/
Author: Топтыгин И.Н.
Tags: электричество магнетизм электромагнетизм электродинамика учебное пособие сборник задач
ISBN: 5-93972-164-8
Year: 2005
Text
1 -чг> а
Ч
л "А ;' '* - ^ .Ьсё" . •■*'* S^ -^ .-s* г Л •' > I it
1 vf^TS О
-Лгз
И. Н. Топтыгин
СОВРЕМЕННАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ЧАСТЬ 2
ЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
В ВЕЩЕСТВЕ
Москва ♦ Ижевск
2005
УДК 537.1
Интернет-магазин • физика
• математика
^№$5
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru технологии
>с±Ъи
Издание осуществлено при финансовой
поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту №05-02-30009.
Топтыгин И. Н.
Современная электродинамика, часть 2. Теория электромагнитных явлений
в веществе: Учебное пособие. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», 2005. — 848 с.
Общий характер второй части книги остался таким же, какой имеет изданная
в 2003 г. ее первая часть. Предлагаемое учебное пособие сочетает в себе стиль
краткого учебника и сборника задач с ответами и частично с решениями. Всего во
второй части собрано около 750 задач и примеров. Кроме собственно
электродинамических вопросов, много внимания уделено приложениям электродинамики в
смежных областях, включая термодинамическую и статистическую теорию
диэлектриков, сверхпроводников и магнетиков, квантовую теорию атомов и твердых тел,
магнитную гидродинамику, теорию колебаний и волн в различных средах,
нелинейные волны, теорию ускорения частиц в турбулентных плазменных средах и др.
В связи с этим во второй части больший удельный вес занимают приложения к
рассматриваемым вопросам не только собственно электродинамики, но также законов и
методов квантовой механики, термодинамики, статистической физики и физической
кинетики.
Книга рассчитана на подготовку специалистов по физическим и техническим
специальностям. Она может использоваться как справочное пособие также
научными работниками, инженерами-исследователями и преподавателями различных
физических дисциплин.
ISBN 5-93972-164-8
© И. Н. Топтыгин, 2005 .
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005
http://rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
Предисловие 9
Список основных обозначений 11
Глава 7. Уравнения постоянных электрического и магнитного
полей в средах 15
7.1. Усреднение микроскопических уравнений Максвелла.
Векторы электромагнитного поля в средах
Определение усредненных величин. Сторонние заряды и
токи. Напряженность электрического поля и магнитная
индукция. Сила Лоренца в макроскопической электродинамике . . 16
7.2. Уравнения электростатики и магнитостатики сред
Векторы электрической и магнитной поляризации.
Связанные заряды и ток намагничения. Уравнения связи.
Электрическая и магнитная восприимчивости и проницаемости.
Электрическая индукция и напряженность магнитного поля.
Примеры 18
7.3. Поляризация вещества в постоянном поле
Распределения Максвелла и Больцмана. Кинетическое
уравнение Больцмана. Электрическая поляризация. Действующее
и среднее (макроскопическое) поле. Магнитная поляризация.
Электропроводность. Примеры и задачи 22
7.4. Ответы и решения 33
Глава 8. Электростатика проводников и диэлектриков 56
8.1. Основные понятия и методы электростатики
Уравнения и граничные условия. Единственность решения
электростатической задачи. Потенциальные и емкостные
коэффициенты. Теорема взаимности Грина. Примеры и задачи . 56
8.2. Специальные методы электростатики
Метод разделения переменных в криволинейных
координатах. Метод интегральных преобразований. Метод инверсии.
Решение граничной задачи с помощью функций Грина.
Метод конформных отображений. Примеры и задачи 66
4
Оглавление
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения для
проводников и диэлектриков
Термодинамические функции диэлектрика. Силы,
действующие на проводники и диэлектрики в электрическом поле.
Тензор напряжений. Сегнетоэлектрики. Термодинамическая
теория сегнетоэлектриков. Примеры и задачи 81
8.4. Ответы и решения 103
Глава 9. Постоянный ток и магнитное поле в средах 148
9.1. Постоянный ток
Уравнения и граничные условия с учетом сторонних ЭДС.
Квазилинейные проводники и законы Кирхгофа. Джоулевы
потери и транспортные явления в постоянном электрическом
поле. Принцип симметрии кинетических коэффициентов Он-
загера. ТермоЭДС, эффекты Томсона и Пельтье. Примеры и
задачи 148
9.2. Магнитное поле в магнетиках
Уравнения и граничные условия. Ферромагнетики и
спонтанная намагниченность. Скалярный потенциал. Магнитный
эллипсоид в однородном поле. Задачи 164
9.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения для
магнетиков
Термодинамические функции магнетика. Силы в магнитном
поле. Тензор натяжений. Ферромагнетизм. Спонтанная
намагниченность. Антиферромагнетизм. Примеры и задачи . . 169
9.4. Электрические и магнитные свойства сверхпроводников
Основные опытные факты. Термодинамика
сверхпроводников. Феноменологическая магнитостатика
сверхпроводников. Теория Лондонов. Полуфеноменологическая квантовая
теория Гинзбурга-Ландау. Элементы микроскопической
теории сверхпроводимости. Куперовские пары. Примеры и задачи 188
9.5. Ответы и решения 205
Глава 10. Квазистационарное электромагнитное поле 238
10.1. Квазистационарные явления в линейных проводниках
Условия квазистационарности. Комплексное сопротивление
контура. Собственные колебания и формула Томсона.
Примеры и задачи 238
10.2. Вихревые токи и скин-эффект
Уравнения квазистационарного поля. Толщина скин-слоя.
Оглавление
5
Диффузия магнитного поля. Магнитная поляризация.
Примеры и задачи 247
10.3. Магнитная гидродинамика
Система уравнений магнитной гидродинамики. Диссипатив-
ные процессы. Магнитная вязкость. Магнитное давление и
магнитные натяжения. Вмороженность и диффузия
магнитного поля. Простые волны Римана. Сильные МГД разрывы.
Ударные волны. Примеры и задачи 254
10.4. Ответы и решения 279
Глава 11. Уравнения Максвелла для переменных и неоднородных
полей 338
11.1. Различные формы уравнений Максвелла в средах. Уравнения
связи и электромагнитные функции отклика
Система уравнений с четырьмя векторами поля. Уравнения
связи. Система уравнений с тремя векторами поля.
Электромагнитные функции отклика. Продольная и поперечная
диэлектрические проницаемости. Диэлектрическая
проницаемость равновесной газовой плазмы. Примеры и задачи . . . 338
11.2. Причинность и дисперсионные соотношения
Принцип причинности. Аналитические свойства функции
отклика при комплексных частотах. Вывод дисперсионных
соотношений. Примеры и задачи 359
11.3. Энергетические соотношения для переменного
электромагнитного поля в средах. Продольные электрические
колебания
Диссипация электромагнитной энергии. Энергия поля в
прозрачной диспергирующей среде. Примеры и задачи. 366
11.4. Магнитные колебания и магнитный резонанс
Парамагнетики. Уравнение Блоха. Ферромагнетики.
Уравнение Ландау-Лифшица. Примеры и задачи 375
11.5. Электродинамика движущихся сред
Уравнения Максвелла и уравнения связи Минковского.
Электромагнитные потенциалы в движущихся средах. Векторы
Герца и функция Грина. Электромагнитные силы,
действующие на вещество в переменном поле. Тензоры энергии-
импульса Абрагама и Минковского. Сила Абрагама.
Примеры и задачи 380
11.6. Ответы и решения 398
6
Оглавление
Глава 12. Распространение электромагнитных волн 439
12.1. Поперечные волны в изотропных средах. Отражение и
преломление волн
Собственные колебания в изотропной среде. Дисперсионное
уравнение. Групповая скорость. Отражение и преломление
волн на границе двух сред. Отрицательный коэффициент
преломления. Формулы Френеля. Граничное условие Леонтови-
ча. Аномальный скин-эффект в металлах. Волны в
неоднородных средах. Примеры и задачи 439
12.2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах
Анизотропные среды. Уравнение Френеля. Гиротропные
среды. Эффекты Фарадея и Коттон-Мутона. Магнитостатиче-
ские волны. Спиновые волны. Естественная оптическая
активность. Примеры и задачи . . 457
12.3. Рассеяние волн на макроскопических телах. Дифракция
Рассеяние на бесконечном цилиндре и шаре. Задача Ми.
Принцип Гюйгенса-Френеля и формула Кирхгофа.
Геометрическая оптика. Дифракция Френеля. Дифракция Фраунго-
фера. Дифракция векторных полей. Метод медленно
меняющейся амплитуды. Укороченное уравнение. Примеры и задачи 464
12.4. Дифракция рентгеновых лучей
Диэлектрическая проницаемость. Кинематическая теория
дифракции. Дифракция на монокристалле. Уравнения Лауэ
и Брегга-Вульфа. Задачи 483
12.5. Ответы и решения 489
Глава 13. Когерентность и нелинейные волны 550
13.1. Когерентность и интерференция
Корреляционные тензоры поля. Время и длина
когерентности. Влияние временной и пространственной когерентности
на интерференцию волн. Взаимная функция когерентности и
контрастность. Понятие о голографии. Задачи 550
13.2. Случайные волны и волны в случайно-неоднородных средах
Флуктуации электромагнитного поля в равновесной среде.
Флуктуационно-диссипационная теорема. Рассеяние света в
равновесной изотропной прозрачной среде. Коэффициент
экстинкции. Формула Эйнштейна. Однократное рассеяние
электромагнитных волн случайными неоднородностями
среды. Дифракция на случайном экране. Примеры и задачи . . ; 567
13.3. Волны в нелинейных и активных средах
Оглавление
7
Уравнение Бюргерса. Профиль слабой МГД ударной
волны. Уравнение Кортевега-де Вриза. Солитоны и кноидаль-
ные волны. Нелинейное уравнение Шредингера.
Нелинейный отклик вещества на высокочастотное поле. Нелинейный
осциллятор. Самофокусировка. Усиление электромагнитных
волн в неравновесных средах. Примеры и задачи 584
13.4. Ответы и решения 601
Глава 14. Электромагнитные колебания в ограниченных телах . 622
14.1. Электромагнитные волны в волноводах
Поверхностные волны. Металлические волноводы.
Диэлектрические волноводы. Затухание волн в волноводах.
Волноводы с заполнением. Замедляющие структуры. Фотоны в
волноводе. Световоды. Задачи 622
14.2. Электромагнитные колебания в резонаторах
Металлические резонаторы. Собственные колебания в полых
резонаторах. Добротность резонатора. Открытые
резонаторы. Задачи 632
14.3. Ответы и решения 638
Глава 15. Взаимодействие заряженных частиц с равновесными и
неравновесными средами 673
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии быстрых
частиц в средах
Кинематика столкновения быстрой частицы с
электроном. Ионизационные потери. Нерелятивистский случай.
Релятивистский случай. Генерация плазмонов. Излучение
Вавилова-Черенкова. Многократное рассеяние быстрых
частиц. Уравнение Фоккера-Планка. Радиационные потери
энергии. Особенности тормозного излучения кванта
релятивистским электроном. Длина когерентности. Учет
экранирования. Формула Бете-Гайтлера. Лавинная единица длины и
электронно-фотонные ливни. Влияние многократного
рассеяния и поляризации среды на тормозное излучение. Эффекты
Ландау-Померанчука и Тер-Микаэляна. Роль электронов
среды в радиационных процессах. Примеры и задачи 673
15.2. Макроскопические механизмы излучения быстрых частиц в
средах
Излучение Вавилова-Черенкова при высоких частотах.
Излучение Вавилова-Черенкова электрического и магнитного
диполей. Излучение плазмонов. Переходное излучение на гра-
Оглавление
ницах диэлектриков и проводящих сред. Переходное
излучение поверхностных волн. Поляризационное тормозное
излучение и влияние на него эффекта Вавилова-Черенкова.
Влияние среды на магнитотормозное излучение. Эффект Разина-
Цытовича в спектрах космических радиоисточников.
Примеры и задачи . 706
15.3. Каналирование и излучение быстрых частиц в кристаллах
Интерференционные эффекты при рассеянии быстрых
частиц. Осевое и плоскостное каналирование. Излучение
релятивистских частиц в кристаллах. Когерентное и
некогерентное тормозное излучение. Дифрагированное рентгеновское
излучение. Излучение каналированных и надбарьерных
частиц. Спектр излучения каналированных частиц. Примеры и
задачи 727
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах
Свойства космических неравновесных сред. Движение
быстрых частиц в случайных магнитных полях. Кинетическое
уравнение и уравнение диффузии. Диффузия частиц в
сильном магнитном поле. Продольный коэффициент диффузии.
Поперечная диффузия в случайном крупномасштабном поле
и блуждание магнитных силовых линий. Кинетическое
уравнение в сильном магнитном поле. Учет электрического поля
и изменение энергии частиц. Ускорение частиц
мелкомасштабными электрическими полями. Диффузия по
импульсам. Оценка времени ускорения. Общие свойства
уравнения переноса. Источник энергии. Давление релятивистских
частиц. Ускорение частиц вблизи ударного фронта.
Ускорение при крупномасштабном стохастическом движении
среды. Примеры и задачи 746
15.5. Ответы и решения 777
Дополнение 4. Турбулентность и ее описание с помощью
корреляционных тензоров
Физическая картина турбулентного движения. Спектральные
свойства корреляционных тензоров однородной и изотропной
турбулентности. Законы Колмогорова-Обухова. Слабая МГД турбулентность 815
Литература 826
Предметный указатель 840
Исправления к первому изданию части 1
«Современной электродинамики» 843
Предисловие
При изучении наук
примеры важнее правил.
И.Ньютон
Отворяй страницу-дверь!
В книжке самый разный зверь.
В. Маяковский, стихи для детей
Вторая часть предлагаемой книги тесно связана с первой частью и
является ее продолжением. Поэтому нумерация глав в обеих частях сплошная,
и вторая часть начинается с седьмой главы. Достаточно полное
представление о содержании книги дает ее подробное оглавление.
Главной особенностью книги является большое число примеров и задач
разной степени сложности. Они включены для того, чтобы стимулировать
читателя к самостоятельной работе и способствовать активному усвоению
излагаемого материала. Как и в первой части, сложные задачи помечены
одной и двумя звездочками, а наиболее важные (не обязательно сложные)
задачи, содержащие материал общего характера, помечены жирной точкой.
Макроскопическая электродинамика находит многочисленные и
разнообразные применения в статистической физике, физике твердого тела,
астрофизике и геофизике, теории распространения линейных и
нелинейных электромагнитных волн, теории взаимодействия заряженных частиц
с разнообразными средами и во многих других областях науки и
техники. Автор старался уделить определенное внимание вопросам приложений
электродинамики в смежных областях в той мере, в какой это возможно
в учебном пособии общего типа. Все примеры и многие задачи
разобраны в тексте книги с достаточной полнотой, что позволит пользователю
приложить полученные при проработке книги навыки к решению сходных
проблем.
Хотя основные законы электромагнетизма были сформулированы в
современной форме еще в 19 веке (уравнения Максвелла), большая часть их
приложений в смежных областях науки, особенно касающихся строения
10
Предисловие
рещества, была выполнена позже, уже в 20-м столетии. Эти приложения
кроме законов электромагнетизма базировались существенным образом на
двух фундаментальных теориях, сформулированных в начале 20 века —
теории относительности и квантовой механике, доказавших свою
плодотворность в прошедшие десятилетия. В предлагаемой книге автор старался
отразить основные результаты этих глубоких исследований. Но читатель
должен иметь в виду, что в начале третьего тысячелетия перед
физической наукой стоит, по-видимому, еще более грандиозная задача, чем те,
которые она успешно решила в прошлом. Современные наблюдательные
данные из области космологии (науки о строении и эволюции Вселенной
в целом) убедительно говорят о том, что наблюдаемое вещество (барион-
ная материя), электромагнитные свойства которого описаны в этой книге,
составляет лишь малую долю (всего порядка 5%) от полного количества
материи в доступной наблюдениям области Вселенной. Выяснение природы
ненаблюдаемой в настоящее время материи («темного вещества» и «темной
энергии») и подлинной роли барионной «светлой» материи во Вселенной —
это самая главная фундаментальная задача физики, астрофизики и
космологии 21 века. Интересующиеся могут познакомиться с этим кругом проблем
по книге Хлопова (2004) и, разумеется, по оригинальным публикациям в
научных журналах.
При написании книги наибольшую трудность для автора составило
почти полное отсутствие в постсоветской России современной англоязычной
монографической и учебной литературы, а также полный паралич
механизмов распространения немногочисленных изданных в России современных
книг естественно-научного характера. А о том времени, когда в Советском
Союзе переводились и издавались почти все выпускавшиеся за рубежом
значимые книги по естественно-научной тематике, сейчас можно только
мечтать. Автор старался восполнить этот крупный пробел путем
систематического использования обзорных материалов из журнала «Успехи
физических наук». Большинство книг и статей, указанных в списке рекомендуемой
литературы, в той или иной "степени использовано в предлагаемой книге.
Автор признателен А. И. Цыгану, предложившему задачи 9.10, 10.79
и некоторые другие. Большую помощь автору оказали А.В.Блинов,
А. Н. Константинов, В. В. Масленникова. Всем им автор приносит
искреннюю благодарность.
Список основных обозначений
А — работа.
А — векторный потенциал электромагнитного поля.
а в — радиус Бора.
a, b — постоянная кристаллической решетки.
b — вектор обратной решетки.
В, ЙВ, Ь — магнитная индукция.
с — скорость света в вакууме (предельная скорость).
cs — скорость звука.
С — электрическая емкость; теплоемкость.
Cik — емкостные коэффициенты.
D(p) — коэффициент диффузии в пространстве импульсов.
D, Э — электрическая индукция.
d, p — электрический дипольный момент.
e, q, Q — заряд частицы либо макроскопического тела.
ео — элементарный заряд.
E, W — энергия.
8 — ЭДС; энергия частицы.
Е, S — напряженность электрического поля.
е — единичный вектор.
F — свободная энергия Гельмгольца на единицу объема.
3* — свободная энергия Гельмгольца всего тела.
F — сила.
Flk — 4-тензор электромагнитного поля.
/(р, г, t), F(p, r, t) — функция распределения.
/ — плотность силы.
G — функция Грина.
д — ускорение силы тяжести.
д — плотность импульса.
Ж — гамильтониан.
Н, Ж — напряженность магнитного поля.
12
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Нгк — 4-тензор электромагнитной индукции.
h — постоянная Планка.
г — плотность поверхностного тока.
/ — интенсивность излучения.
j — объемная плотность тока.
J — сила тока.
К\и — тензор электромагнитных флуктуации в равновесной системе.
К, Т — кинетическая энергия.
к — волновой вектор.
L — самоиндукция; длина (характерный масштаб); функция Ланжевена.
Lik — коэффициенты индуктивности.
I — длина (характерный масштаб).
М, га — масса.
М — вектор намагниченности (магнитный момент единицы объема тела).
Ж — магнитный момент макроскопического тела.
m — магнитный момент отдельной частицы.
п, N — концентрация (плотность числа частиц); коэффициент преломления.
п — единичный вектор нормали.
7V — полное число частиц.
N(p, r, i) — изотропная часть функции распределения.
р — импульс частицы; давление.
Р — давление.
Р — вектор электрической поляризации (электрический дипольный момент
единицы объема тела).
9 — электрический дипольный момент всего тела.
q, Q — заряд отдельной частицы или макроскопического тела.
q — плотность потока тепла; переданный рассеивателю волновой вектор.
Q — теплота; добротность колебательной системы.
г, R — радиус-вектор.
R — электрическое сопротивление; число Рейнольдса; коэффициент
отражения.
s — удельная энтропия (на единицу массы).
S — поверхность; энтропия (на единицу объема).
S — энтропия тела.
t — время.
Т — температура в энергетических единицах по шкале Кельвина;
кинетическая энергия.
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
13
Tik — тензор энергии-импульса электромагнитного поля.
и — скорость.
U — потенциальная энергия; внутренняя энергия тела на единицу объема.
U — внутренняя энергия всего тела.
v, V, и — скорость.
V — объем; энергия взаимодействия.
V — объем.
w — объемная плотность энергии.
W — энергия.
Z — импеданс (комплексное сопротивление); зарядовое число атомного
ядра.
Z — вектор Герца.
а — электрическая восприимчивость (на единицу объема); коэффициент
затухания в волноводе (на единицу длины).
/3 — электрическая и магнитная поляризуемости отдельной частицы или
макроскопического тела; отношение скорости частицы к скорости света.
7 — релятивистский фактор; мнимая часть частоты; отношение теплоемко-
стей при постоянных объеме и давлении; показатель степенного
спектра; ширина спектральной линии; комплексная степень когерентности.
7 — вектор Пойнтинга; обобщенный вектор Пойнтинга (в среде).
Г — ширина спектральной линии; взаимная функция когерентности.
6 — глубина проникновения поля в металл; параметр вырождения в
теории когерентности; толщина фронта ударной волны; символ вариации
(приращения функции, не связанного с изменением независимых
аргументов).
А — символ приращения.
€ — внутренняя энергия на единицу массы.
ер — энергия Ферми.
е, е — диэлектрическая проницаемость.
( — химический потенциал на единицу массы; поверхностный импеданс.
7] — гиромагнитное отношение; динамическая вязкость.
#, в — угол.
0 _ ступенчатая функция.
к — электропроводность; коэффициент диффузии.
Л — длина волны; постоянная молекулярного поля Вейсса; глубина
проникновения поля в сверхпроводник.
Л — средний пробег частиц между столкновениями (транспортный пробег).
14
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Лс — h/mec — комптоновская длина волны электрона.
fi — магнитная проницаемость; химический потенциал на одну частицу
v — кинематическая вязкость; магнитная вязкость; частота релаксации.
£ — длина когерентности в теории сверхпроводимости.
П — коэффициент Пельтье; тензор вязких напряжений.
р — объемная плотность заряда.
р — оператор плотности.
а — плотность поверхностного заряда; эффективное сечение.
&а(3 — тензор натяжений электромагнитного поля.
£ — эффективное сечение; поверхность.
г — время релаксации; время корреляции; плотность массы.
ф — угол.
(р — скалярный потенциал электромагнитного поля; угол.
Ф — магнитный поток; термодинамический потенциал Гиббса.
X — магнитная восприимчивость (на единицу объема); коэффициент
диффузии магнитного поля; коэффициент теплопроводности.
ф, Ф — волновая функция; комплексный параметр порядка;
псевдоскалярный потенциал магнитного поля.
и, ft — частота.
Глава 7
Уравнения постоянных электрического
и магнитного полей в средах
Уравнения Максвелла (2.82)-(2.85), сформулированные в главе 2 части
первой настоящей книги, справедливы и при наличии вещества —
диэлектриков, проводников, намагничивающихся сред и т.д. Но вещество, даже
если оно в целом электронейтрально, как чаще всего бывает, состоит из
множества заряженных частиц — электронов и атомных ядер. Результирующее
электромагнитное поле в веществе создается как сторонними зарядами и
токами, не входящими в состав вещества, так и частицами самого
вещества. Поле, созданное сторонними зарядами, вызывает перераспределение
зарядов и токов в веществе и приводит к появлению дополнительного поля.
Поэтому в общем случае в веществе мы имеем дело с самосогласованным
результирующим электромагнитным полем, создаваемым сторонними
зарядами и зарядами вещества.
Заранее очевидно, что ввиду огромного разнообразия имеющихся в
природе и создаваемых искусственно материалов по их электрическим и
магнитным свойствам, описание электромагнитных явлений в каждом из
них имеет свою специфику. В макроскопической электродинамике не
удается разработать столь же общие методы исследования электромагнитных
явлений, как это имеет место в микроскопической вакуумной теории. По
необходимости приходится использовать наряду с наиболее
последовательными микроскопическими подходами, основанными на учете конкретной
атомной структуры веществ, также феноменологические закономерности,
являющиеся обобщением данных макроскопических опытов.
Мы в настоящей книге рассмотрим в первую очередь наиболее общие
закономерности, справедливые для любых веществ, а затем уделим
внимание более конкретным (но достаточно простым) моделям поляризующихся
и намагничивающихся сред, в том числе плазме, ферромагнетикам,
проводникам, сверхпроводникам и диэлектрикам. В необходимых случаях мы не
будем избегать использования квантовой механики, статистической физики,
термодинамики и физической кинетики, которые совершенно необходимы
для последовательного анализа электромагнитных явлений в средах.
16
Глава 7
7.1. Усреднение микроскопических уравнений Максвелла.
Векторы электромагнитного поля в средах
Будем обозначать в этом разделе микроскопические (точные) значения
напряженностей электрического и магнитного полей прописными
буквами 8, Ж. Систему уравнений Максвелла (2.82)-(2.85) для
микроскопических полей можно записать в виде
rot*(r,*) = -± ау ' (7Л)
rot Jf(r,*) = \Щ^ + ^tiint(r,t)+jext(rM (7.2)
div g(r, t) = 4тг(рш(г, t) + pext(r, t)), (7.3)
divJIP(r,*) = 0. (7.4)
Плотности зарядов и токов в правых частях состоят из двух составляющих,
создаваемых частицами вещества и внешними источниками. Они помечены
индексами int и ext соответственно. Мы будем считать внешние источники
заданными. Частицы же вещества испытывают воздействие полей &,Ж,
поэтому величины Pint,3int B общем случае представляют собой сложные
функционалы, зависящие от этих полей. Для определения движения
частиц среды и вычисления плотностей зарядов и токов нужно использовать
уравнения классической или, в большинстве случаев, квантовой механики.
Совместное решение уравнений Максвелла и уравнений движения частиц
среды позволяет в принципе определить микроскопические значения
полей &,Ж.
Однако столь детальное описание поля ввиду огромного числа частиц
среды невозможно и в большинстве случаев не нужно. В
макроскопических экспериментах измеряются поля, усредненные по статистическому
ансамблю состояний среды (т. е. по регулярным и хаотическим
движениям частиц вещества). Такое усреднение, согласно общим принципам
статистической физики, см. [Ландау и Лифшиц, Статистическая физика],
эквивалентно усреднению по некоторому интервалу времени At. Кроме
того, при измерении полей макроскопическими приборами производится еще
одно усреднение — по макроскопически малым объемам AV, содержащим
большое число элементарных зарядов (мы уже касались этого вопроса в
начале раздела 2.1). Необходимость такого усреднения вызвана тем, что
микроскопическое поле в среде испытывает очень большие и нерегулярные
изменения в пространстве и во времени, например, на расстояниях порядка
3 х 10~8 см в конденсированной среде, см. задачи 2.15, 2.16.
7.1. Усреднение микроскопических уравнений Максвелла 17
Усредненную по пространству и времени величину будем обозначать
черточкой и определим формулой
At/2
f{r't)=AVAijAVd3p J dr/(r + P.* + ^). (7-5)
-At/2
где интегрирование по координатам производится в пределах объема AV.
Определенное таким образом макроскопическое поле остается функцией
координат и времени. Дифференцируя обе части (7.5) по какой-либо
координате или по времени, находим соотношение
dJ-^J пел
Ж " а • (7-6)
т. е. производная от среднего значения равна среднему значению
производной.
Поскольку уравнения Максвелла (7.1)-(7.4) содержат производные по
координатам и по времени, то равенство (7.6) позволяет записать
и т. д. Введем для макроскопических напряженностей поля обозначения
*(r, t) = E(r, t), Щг, t) = B(r, t). (7.7)
Первую из этих величин называют вектором напряженности
электрического поля, а вторую — вектором магнитной индукции. В этих
обозначениях уравнения Максвелла примут вид
гоЩМ) = -1^Д (7.8)
rotB(r,t) = 1СЩ^- + ^Gtnt(r,t)+jext(r,t)), (7.9)
div E(r,t) = Mpint(r,t)+pext(r,t)), (7.10)
divB(r,i) = 0. (7.11)
Здесь внешние заряды и токи тоже должны представлять собой
макроскопические величины. Макроскопические векторы Е, В являются аналогами
18
Глава 7
микроскопических напряженностей &, Ж (хотя вектор В по историческим
причинам изменил название). Именно через них выражается сила,
действующая на макроскопическое тело малых размеров с зарядом q, движущееся
со скоростью и:
F = q(E+±uxB). (7.12)
Система уравнений (7.8)—(7.11) неполна, так как величины jint,Pint
неизвестны заранее. Их необходимо выразить через макроскопические
векторы Е, В. Наиболее последовательный подход к этой проблеме основан на
использовании функций распределения (в классическом случае) или
матрицы плотности (в квантовом случае) для описания движения частиц в
веществе. Это требует привлечения соответствующих кинетических уравнений
и весьма подробной информации о микроскопических параметрах, которые
характеризуют состояния частиц в веществе. Такой подход удается
последовательно провести лишь для наиболее простых моделей среды. В
большинстве случаев приходится использовать различные феноменологические
модели и экспериментальную информацию.
7.2. Уравнения электростатики и магнитостатики сред
Векторы электрической и магнитной поляризации. В статическом
случае электрическое и магнитное поля могут существовать по отдельности:
из системы (7.8)—(7.11) при dB/dt — dE/dt = О получаем
rotE = 0, divE = ^{pint +Pext), (7.13)
rotB = ^(Jint + Jext), divB = 0. (7.14)
Макроскопические плотности рш,3ш удобно выразить через векторы
электрической Р(г) и магнитной М(г) поляризации вещества, которые по
определению представляют собой электрический и магнитный дипольные
моменты, приходящиеся на единицу объема:
Р= ^iPi M= ^{ТП{ (7 15)
AV ' AV ' К }
Здесь р{,тпг — электрические и магнитные моменты отдельных
структурных единиц среды (атомов или молекул), суммирование производится по
всем частицам, находящимся в макроскопически малом объеме AV.
7.2. Уравнения электростатики и магнитостатики сред 19
Пример 7.1. Показать, что плотность наведенного внутри среды
объемного заряда связана с вектором электрической поляризации
соотношением
Pint(r) = -divP(r). (7.16)
Какой смысл приобретает это соотношение на границе тела?
Решение. Рассмотрим некоторое электронейтральное тело,
находящееся в вакууме, при наличии вне тела сторонних электрических зарядов pext.
Полный электрический дипольный момент тела 9 можно представить в
виде интеграла по объему тела от вектора электрической поляризации:
9 = J P(r)dV. С другой стороны, дипольный момент можно записать
через макроскопическую плотность заряда: 9 = Jrpint(r)dV. Последний
интеграл не зависит от выбора начала отсчета, если выполняется условие
электронейтральности f Pint(r)dV = 0. Приравняем два полученных выше
выражения для 9, умножив их предварительно на постоянный вектор а:
(1) J{a-P)dV = J pint(a-r)dV.
Используем тождества а-Р = (P-W)(a-r) = V • [P(a-r)] — (a-r)(V-P) и
применим к интегралу от полной дивергенции в (1) теорему Остроградско-
го-Гаусса:
(2) f pint(a-r)dV = I[P(a-r)]-dS - f(a-r)(V-P)dV.
Поверхность, по которой производится интегрирование в (2), можно
выбрать за пределами рассматриваемого тела, где Р = 0. Опуская вектор а в
оставшемся равенстве, получаем
(3) Jrpint(r)dV = - J
rdivPdV.
Из этого равенства следует, что плотность наведенного заряда можно
отождествить с дивергенцией вектора электрической поляризации
согласно (7.16). На границе тела вектор Р скачком обращается в нуль. В
равенстве (7.16) в этом случае необходимо выполнить предельный переход,
аналогичный тому, который привел к соотношению (2.18), и учесть, что вне
тела Р = 0. В результате находим плотность поверхностного
макроскопического заряда, индуцируемого на поверхности поляризованного тела:
°int = Pn. (7.17)
20
Глава 7
-MdV.
Полученные выше плотности зарядов (7.16), (7.17) относятся к
диэлектрикам — таким веществам, внутренние заряды которых могут смещаться
лишь на микроскопические расстояния. Поэтому указанные величины
называют еще плотностями связанных зарядов. Внутри проводников заряды
перемещаются свободно, поэтому всегда pint = 0, Р — 0, но может
присутствовать поверхностный заряд, который выражается через внешнее поле
(см. главу 8).
Пример 7.2. Показать, что в отсутствие зарядов, способных
свободно перемещаться по всему объему тела (свободных зарядов), плотность
наведенного внутри среды объемного тока (тока намагничения) связана
с вектором магнитной поляризации соотношением
Jint(r)=crotM(r). (7.18)
Записать предельный вид этого соотношения на границе тела.
Решение. Используем тот же прием, что в примере 7.1: приравниваем
два интеграла для полного магнитного момента тела Ж, умноженные на
постоянный вектор а. Получаем равенства
(1) a-Jt = ±Ja-[rxjint]dV = Ja
Затем используем тождество
(2) 2а М = М-rot [а х г] = a-[r x rotM] - V-[M x (а х г)]
и приводим равенство (L) к виду
(3) Ycja'[rx ~jint]dv = \j a\r* rot M\dV'
из которого следует (7.18). Предельный вид этой формулы на границе тела,
где М скачком обращается в нуль, можно получить по аналогии с (2.58).
Скачок вектора намагниченности определяет поверхностный ток согласно
соотношению
iint=cnx M, (7.19)
где п — орт нормали к поверхности тела. ■
С помощью полученных выше выражений (7.16), (7.18) уравнения
(7.13), (7.14) для статических полей приобретают вид
rot E = 0, div D = Атгрехг, (7.20)
rotH=^jext, dwB = 0. (7.21)
7.2. Уравнения электростатики и магнитостатики сред 21
Здесь введены два новых вектора поля: вектор электрической индукции
D = Е + 4тгР (7.22)
и вектор напряженности магнитного поля
Н = В- 4тгМ. (7.23)
Уравнения связи. Системы уравнений (7.20), (7.21) не являются
замкнутыми, пока не установлена связь между векторами соответственно D
и Е, Н и В. Для широкого класса веществ оказывается возможным найти
вид уравнений связи на основе общефизических соображений и
экспериментальных данных общего характера, не привлекая конкретных сведений
о внутренней структуре вещества. Речь идет о средах, у которых в
отсутствие внешних полей отсутствуют и векторы электрической и магнитной
поляризации. Если внешние поля малы по сравнению с внутриатомными,
то векторы электрической поляризации Р и намагниченности М являются
линейными функциями компонент соответствующих внешних полей. Для
изотропных тел имеем в этом случае
Р = аЕ, М = хН, (7.24)
где коэффициенты пропорциональности а, \ не зависят от внешних полей
и называются диэлектрической и магнитной восприимчивостями
соответственно. Но эти величины, разумеется, различны для разных веществ,
зависят от плотности и в общем случае от температуры. В постоянном
электрическом поле всегда а > 0, магнитная же восприимчивость может быть
как положительной, так и отрицательной. Вещества с х > 0 называются
парамагнетиками, вещества с х < 0 — диамагнетиками.
Если проводящее тело, т.е. тело, которое содержит в своем составе
свободные заряды, имеет форму замкнутого контура, то при наличии
подходящего источника энергии (сторонних ЭДС) в нем может поддерживаться
отличное от нуля электрическое поле и течь ток. В случае достаточно
слабых полей связь между плотностью тока j = jint и электрическим полем Е
дается законом Ома
j = кЕ, (7.25)
где электропроводность к, является макроскопической характеристикой
среды и не зависит от Е.
С помощью соотношений (7.22), (7.23), (7.24) находим уравнения
связи:
D = eE, B = fiH, (7.26)
22
Глава 7
где коэффициенты пропорциональности
е=1 + Атга, fjL=l+ 4тгх (7.27)
носят название соответственно диэлектрической и магнитной проницаемо-
стей. В анизотропных средах как восприимчивости, так и проницаемости,
а также и электропроводность представляют собой тензоры второго ранга,
связь между которыми является очевидным обобщением формул (7.27):
£gv = &ov + kKQ-ov, Vov = &ov + 47ГХ<71/ (7-28)
Уравнения связи (7.26) в этом случае принимают вид
Da = eavEv, Ba = ЦмНу. (7.29)
В очень сильных.внешних полях линейные соотношения (7.24), (7.26)
теряют силу и уравнения связи приобретают нелинейный характер.
Кроме того, существуют вещества, у которых при определенных температурах
имеется спонтанная поляризация (сегнетоэлектрики, ферромагнетики). Во
всех этих случаях уравнения связи сильно усложняются.
7.3. Поляризация вещества в постоянном поле
Электрическая поляризация. Вычисление электрической и
магнитной проницаемостей различных сред удается произвести как правило лишь
в некоторых упрощенных моделях. Для разреженных молекулярных газов
проницаемости связаны простыми соотношениями с поляризуемостями
отдельных молекул. Под поляризуемостью некоторой системы частиц
понимают в общем случае тензор второго ранга, связывающий вектор наведенного
дипольного момента р с вектором действующего на систему поля Е:
рк = pKVE„ (7.30)
где (3К1/ — тензор поляризуемости. Поляризуемости атомов и молекул
вычисляются квантовомеханическими методами (см. задачи 6.62, 7.5, 7.17,
7.19).
Если молекулы обладают электрическими дипольными моментами в
отсутствие внешнего поля, то для вычисления вектора поляризации в
заданном поле следует использовать распределение Больцмана
dN(qi) = Сехр
Т
dT. (7.31)
7.3. Поляризация вещества в постоянном поле
23
Здесь dN — число частиц в элементе объема dT в пространстве обобщенных
координат, U(qi) — потенциальная энергия одной частицы во внешнем поле,
qi — совокупность обобщенных координат, характеризующих положение и
ориентацию частицы, Т — температура в энергетических единицах, С —
постоянная нормировки.Распределение молекул по импульсам в равновесном
состоянии является максвелловским:
dN = Mp)d3p = J^W ехР (- ёг) ** <7-32>
где п — плотность числа частиц со всеми энергиями, которая может зависеть
от координат в неоднородной системе, га — масса молекулы. Распределение
Максвелла предполагает, что частицы движутся по классическим законам.
Пример 7.3. Разреженный статистически равновесный газ
состоит из одинаковых дипольных молекул с моментами р и имеет
концентрацию N. Пренебрегая взаимодействием молекул и деформацией их
электронных оболочек, вычислить зависимость вектора поляризации Р от
приложенного электрического поля Е. Вычислить также диэлектрическую
проницаемость среды и указать критерий применимости линейной
зависимости (7.24).
Решение. Вычисляем проекцию Р вектора поляризации на
направление внешнего поля с помощью распределения Больцмана (7.31)
С cos д ехр \(рЕ/Т) cos #] sin tidd я }
(1) Р = Np^— LV ' ) - = ■£- Ь / eaxdx,
/*ехр[(рЯ/Г)совфт*Ш da J
где U = — pE cos д — энергия взаимодействия диполя с внешним полем,
а = рЕ/Т, х = costf. Произведя вычисления, получим
(2) Р = Np£ In U shaY= NpL(pE/n
где L(a) называется функцией Ланжевена:
L(a) = ctha- \. (7.33)
Функция Ланжевена близка к единице при а ^> 1, а при малом аргументе
разлагается в ряд
(3) L(a)=|-.^+..., a«l.
24
Глава 7
Поэтому при рЕ > Т имеет место насыщение, все диполи
ориентированы вдоль поля. При рЕ <С Т зависимость поляризации от поля линейна с
коэффициентом пропорциональности а = Np2/3T. Это приводит к
диэлектрической проницаемости
е = 1 +
AnNp2
зт
(7.34)
Несложные молекулы имеют дипольные моменты порядка произведения
элементарного заряда на линейный размер молекулы (боровский радиус),
т. е. р « Ю-18 CGS единиц. Граница между линейной зависимостью
поляризации от напряженности поля и областью насыщения соответствует
значению поля Ес « Т/р, или Ес « 104 CGSE « 3 х 106 В/см при Т «
« 300 К « 0.03 эВ. Для газа при нормальных условиях (N « 3 х 1019 см-3
имеем е-1«4х 10~3. ■
Пример 7.4. Молекулы диэлектрика сферически симметричны и не
имеют дипольных моментов в отсутствие действующего на них поля.
Концентрация молекул N и их поляризуемость (5 известны. Найти
зависимость диэлектрической проницаемости е от концентрации и
поляризуемости молекул. При этом следует учесть возможное отличие действующего
на молекулу электрического поля S от среднего {макроскопического)
поля Е, вызванное присутствием других молекул.
Решение. Если действующее на
молекулу поле совпадает со средним, т. е. S = Е,
то наведенный дипольный момент одной
молекулы р = РЕ, вектор поляризации Р =
= Np = NpE = aE.
е = 1 + Атга = 1 + AttNP.
(7.35)
Рис. 7.1
Для учета влияния окружающих
молекул на заданную окружим ее сферой радиуса
а ;» TV-1/3 (рис. 7.1) и представим
действующее поле как сумму двух полей, & = S\ +
+ &2> где S\ — поле внешних зарядов и всех
молекул, находящихся вне шара радиусом а;
82 — поле молекул, находящихся внутри шара. Поле 8\ является
макроскопическим, и его можно вычислить как поле в центре шара, вырезанного в
равномерно поляризованном диэлектрике. По принципу суперпозиции в\ =
= Е - Ей где Е{ = -АтгР/3 — поле равномерно поляризованного шара
внутри него (см. задачу 7.3). В итоге получаем S\ = Е + 47гР/3.
7.3. Поляризация вещества в постоянном поле
25
Поле &2 просто вычисляется в двух предельных случаях: а)
молекулы внутри шара распределены совершенно беспорядочно; поле отдельного
диполя, усредненное по объему шара, дает нуль, т. е. &2 = 0; б) молекулы
находятся в узлах кубической решетки. При этом £2 = 0 в силу симметрии
(см. поле отдельного диполя в примере 2.5). Для указанных случаев имеем
g = E+^-P (7.36)
и далее Р = N0S = N(3(E + 47гР/3), откуда следует
N0E „ Л Л N0
Р = н = аЕ, е=1 + Атга = 1 +
1 - AirN0/3 1 - AttN0/3
или
ттъ = т"0- (7-37)
Соотношения (7.36), (7.37) называются формулами Клаузиуса-Мосотти.
В тех случаях, когда они используются в оптической области спектра, их
выражают через коэффициент преломления п = у/ё (см. главу 12) и
называют формулами Лоренц-Лорентца. Эти соотношения подтверждаются
опытными данными о поляризации жидкостей, состоящих из молекул с
квазиупругими диполями, но не описывают веществ с твердыми диполями. ■
Магнитная поляризация вещества представляет собой чисто
квантовое явление. Магнитный момент системы заряженных частиц, находящихся
в магнитном поле в состоянии статистического равновесия, равен нулю,
если частицы движутся по классическим законам (см. задачи 7.15*, 7.21*).
Поэтому вычисление магнитной восприимчивости производится на основе
квантовой механики (задачи 7.17*, 7.19*, 7.22, 7.23). Даже модели, в
которых предполагается существование классических электронных орбит в
атомах (задачи 7.16, 7.18) по существу имеют квантовый характер, так как
в классической физике атом неустойчив и стационарные орбиты в нем не
могут существовать (см., например, задачу 5.119).
Электропроводность. Для вычисления электропроводности требует
найти электрический ток, возникающий под действием слабого
электрического поля. Эти задачи решаются с использованием классической функции
распределения либо квантовомеханической матрицы плотности в
зависимости от характера движения частиц. Уравнение для матрицы плотности
приведено в дополнении 3 (см. (Д3.42)). Функция распределения f{r,p,t)
заряженных частиц, находящихся в электромагнитном поле, удовлетворяет
26
Глава 7
уравнению Больцмана
+ t,-g + e(l5 + I„xB)|£ = /[/]. (7.38)
Функция распределения нормируется условием
f(r,p,t)d3p = n(r,t), (7.39)
/■
где n(r,t) — плотность числа частиц. В многокомпонентной системе нужно
описывать каждую компоненту своей функцией распределения.
Правая часть уравнения (7.38) называется интегралом столкновений.
Интеграл столкновений описывает процессы взаимного рассеяния частиц и
должен содержать подробную информацию о законах их взаимодействия.
Для каждой системы он имеет свой, как правило достаточно сложный вид.
В большинстве случаев (хотя и не всегда) уравнение (7.38) представляет
собой интегродифференциальное уравнение относительно функции
распределения. Для получения полукачественных результатов интеграл
столкновений часто записывают в приближении времени релаксации:
т(р)
где /о — равновесная функция распределения, т(р) — время релаксации,
которое может зависеть от энергии частиц. Эта величина должна
рассматриваться как феноменологический подгоночный параметр, который
подбирается из условия наилучшего согласия с опытными данными или с более
строгой теорией. Смысл этого параметра становится понятным из
рассмотрения пространственно однородной системы в отсутствие внешних полей:
^ = -£[/<м)-/о(р)],
откуда следует экспоненциальный закон релаксации неравновесного
распределения
/(р,*) = /о(р)+№0)е-'/т<*>, (7.41)
где /о(р) + 8f(p,0) — начальная неравновесная функция распределения.
Следует иметь в виду, что приближение к равновесию может происходить
по более сложному закону (например, определяться несколькими
различными временами релаксации), поэтому возможность использования
приближения (7.40) следует проверять в каждом конкретном случае.
7.3. Поляризация вещества в постоянном поле
27
Пример 7.5. Вычислить в приближении времени релаксации г = const
электропроводность полупроводника. Концентрация п свободных
носителей заряда достаточно мала, поэтому равновесную функцию распределения
можно считать классической (максвелловской), см. (7.32).
Решение. Записываем стационарное кинетическое уравнение для
однородной системы заряженных частиц в однородном электрическом поле:
(!) e£— = --.
Считая формально Е малой величиной (это означает, что еЕт < р) и
учитывая, что неравновесная добавка к функции распределения также имеет
порядок Е, линеаризуем уравнение (1):
Подставив в (2) в качестве /о распределение Максвелла (7.32), найдем
неравновесную часть функции распределения:
(3) Sf = ^E-vfo(p).
Электрический ток вычисляется по формуле
(4) j = е / v6f(p)d3p,
из которой находим тензор электропроводности:
(5) Ка/з = ^y j vavpfo(p)d3p.
При изотропном распределении частиц по импульсам электропроводность
изотропна: кар = к5ар, где
« = Чг (7-42)
- формула Друде. ■
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика
сплошных сред; Ландау и Лифшиц, Статистическая физика; Ландау и
Лифшиц, Квантовая механика; Тамм (1976); Бредов и др., Классическая
электродинамика; Сивухин, Электричество; Пайерлс (1988); Лифшиц и Питаев-
ский, Физическая кинетика; Фрелих (I960)].
28
Глава 7
Задачи
7.1. Получить формулу (7.16) наглядным способом, предполагая,
что электрическая поляризация Р создается в веществе одинаковыми
элементарными диполями р = el, и подсчитывая заряд, заключенный внутри
произвольной замкнутой поверхности.
7.2. Получить формулу (7.18) наглядным способом, предполагая, что
магнитная поляризация М создается замкнутыми круговыми
микроскопическими токами, циркулирующими в веществе, и вычисляя ток,
протекающей через произвольную поверхность внутри вещества.
7.3. Диэлектрический шар радиуса а равномерно поляризован (вектор
поляризации Р = const) и находится в вакууме. Вычислить электрическое
поле внутри и вне шара на основе модельных соображений, рассматривая
относительный сдвиг на малое расстояние положительных и отрицательных
зарядов.
7.4. Вычислить поляризуемость атома водорода (3 в слабом
внешнем электрическом поле с помощью следующей классической модели.
Пусть плотность электронного облака описывается функцией р(г) =
= -(ео/тга3в)ехр(-2г/ав), где ео — элементарный заряд, ав —
постоянная (боровский радиус). Деформацией электронного облака пренебречь.
Как изменится поляризуемость, если считать, что электронное облако имеет
постоянную плотность внутри сферы радиусом а#?
7.5*. Вычислить поляризуемость атома водорода в основном
состоянии квантовомеханическим методом (см. общую формулу в задаче 6.62).
7.6*. Молекула состоит из двух атомов, находящихся на расстоянии а.
Атомы сферически симметричны, их поляризуемости равны /3' и /?".
Найти тензор поляризуемости молекулы, считая радиусы атомов малыми по
сравнению с а. Рассмотреть, в частности, случай (3' = (3".
1.1. Исходя из закона сохранения энергии доказать, что тензор
поляризуемости молекулы в постоянном поле является симметричным.
7.8. Диэлектрик состоит из одинаковых молекул, не имеющих ди-
польных моментов в отсутствие внешнего поля. Тензор поляризуемости
отдельной молекулы fak известен. Найти коэффициент поляризации
диэлектрика а; рассмотреть два случая: а) все молекулы ориентированы одинако-
7.3. Поляризация вещества в постоянном поле
29
во; б) молекулы ориентированы беспорядочно1. Учитывать отличие
действующего на молекулу поля от среднего с помощью формулы Клаузиуса-
Мосотти.
7.9*. Если поляризуемости молекулы в разных направлениях
различны, то энергия взаимодействия молекулы с внешним полем будет зависеть
от ее ориентации. Поэтому наряду с деформационным механизмом
поляризации будет действовать ориентационный механизм, хотя молекула и не
имеет постоянного электрического момента. Это вызовет температурную
зависимость диэлектрической постоянной вещества, состоящего из
беспорядочно ориентированных неполярных молекул. Исследовать данный
эффект на примере двухатомного газа, находящегося в слабом постоянном
электрическом поле. Вычислить коэффициент поляризации диэлектрика а.
Продольная поляризуемость молекулы газа /Зь поперечная /32.
7.10. Две молекулы в газе имеют дипольные моменты р\ и р2 и
находятся на расстоянии R друг от друга. Вследствие столкновений с
другими молекулами их ориентации будут меняться; вероятность данной
взаимной ориентации определяется формулой Больцмана (7.31), в которой U
будет энергией взаимодействия двух диполей. Считая выполненным
условие U <С кТ, показать, что величина U, усредненная по распределению
Больцмана2, имеет вид
U(R)= 2PlP2
V ; 3TR6'
7.11. Молекула с электрическим дипольным моментом р
взаимодействует с неполярной молекулой, поляризуемость которой /3. Показать, что
энергия взаимодействия, усредненная по возможным ориентациям диполь-
ного момента2, имеет вид:
где R — расстояние между молекулами.
7.12*. В диэлектрике, находящемся в постоянном электрическом
поле, наряду с дипольным моментом (вектором поляризации Р) существуют
1 Случай а) может иметь место в твердых телах, кристаллических и аморфных; случай б) —
в газах, жидкостях и твердых телах. Но следует иметь в виду, что твердое тело в отличие
от газа представляет собою единую систему сильно взаимодействующих частиц. Поэтому
представление об отдельных молекулах в составе твердого тела может оказаться лишенным
смысла.
2В задачах 7.10 и 7.11 при усреднении по направлениям дипольных моментов следует
использовать формулы, полученные в задаче 1.33.
30
Глава 7
в общем случае также моменты высших порядков. Найти плотности
объемных и поверхностных зарядов, эквивалентных квадрупольной
поляризации Qik (Qik — составляющие квадрупольного момента единицы объема
диэлектрика).
7.13. Вычисление диэлектрической проницаемости полярных
веществ, для которых неприменима формула Клаузиуса-Мосотти, можно
произвести следующим приближенным методом, принадлежащим Онзагеру.
Рассматривается малая сфера, внутри которой может поместиться
только одна молекула. Принимается, что вне этой сферы находится однородный
диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е, внутри сферы вакуум,
и что поле внутри сферы совпадает с эффективным полем, действующим
на молекулу. Это поле определяется путем решения макроскопических
уравнений электростатики. Найти таким способом связь диэлектрической
проницаемости вещества е с поляризуемостью его молекул /3.
7.14*. Однородный изотропный диэлектрик имеет диэлектрическую
проницаемость е и не имеет спонтанной поляризации в отсутствие
внешнего поля. Поэтому в любом выделенном макроскопическом объеме V без
внешнего поля дипольный момент, усредненный по равновесным
конфигурациям распределения зарядов, (9) о = 0, однако мгновенное значение
момента флуктуирует и 9 ф 0. По этой причине в общем случае (^2)о ф 0.
Показать, что (^2)о выражается через диэлектрическую проницаемость:
УГ(1 + 2£)(£-1)
^ '° " 4тг£
где Т — температура, V — объем макроскопического шара внутри
диэлектрика, (^2)о — средний квадрат флуктуационного (в отсутствие какого-либо
внешнего поля) дипольного момента этого шара.
7.15*. Показать, что магнитный момент системы заряженных частиц,
обусловленный их движением в магнитном поле по законам классической
механики, в стационарном состоянии равен нулю (теорема Бора-Ван
Левей). Для этого записать среднее по ансамблю Гиббса значение энергии
рассматриваемой системы при наличии магнитного поля и в его отсутствие
и убедиться, что энергия не зависит от внешнего поля.
7.16. Атомы (молекулы) статистически равновесного
разреженного газа (концентрация TV, температура Т) имеют собственные магнитные
моменты /х. Предполагая, что электроны в атомах движутся по
стационарным классическим орбитам, показать, что при включении магнитного поля
7.3. Поляризация вещества в постоянном поле
31
каждый атом приобретет дополнительную кинетическую энергию АК —
= —fjL-H. Вычислить вектор магнитной поляризации М и парамагнитную
восприимчивость газа, вызванную ориентацией магнитных моментов
атомов. Согласуются ли полученные результаты с теоремой, доказанной в
предыдущей задаче?
7.17*. Произвести квантовомеханический расчет намагниченности и
парамагнитной восприимчивости статистически равновесного
разреженного атомарного газа, помещенного в слабое магнитное поле.
Квантовомеханический оператор полного магнитного момента отдельного атома имеет
вид (ср. с формулой (6.86))
Ia = hb(J + S), (7.43)
где цв — магнетон Бора, J = L + S, S — безразмерные операторы полного
и спинового механических моментов электронной оболочки атома. Атом
находится в основном состоянии с определенными значениями квантовых
чисел J,L,S. Магнитное поле слабое и неспособно разорвать Ьб'-связь.
7.18. Пусть атомы в квазиклассической модели (см. задачу 7.16)
сферически симметричны и не имеют собственных магнитных моментов.
Вычислить диамагнитную восприимчивость атомов, обусловленную лар-
моровской прецессией электронных оболочек во внешнем магнитном поле.
7.19*. Произвести квантовомеханический расчет диамагнитной
восприимчивости атомарного газа. Электронные оболочки атомов имеют
квантовые числа L = S = 0.
7.20. Атом со сферически симметричным распределением заряда
помещен во внешнее-однородное магнитное поле Н. Показать, что
добавочное поле около ядра, обусловленное диамагнитным током (ларморовской
прецессией электронов), равно
где <р(0) — электростатический потенциал, создаваемый около ядра
атомными электронами, е и га — заряд и масса электрона.
7.21*. Рассмотреть систему, состоящую из частиц с зарядом е и
массой га, каждая из которых движется на фиксированном расстоянии а
от некоторого центра (классические ротаторы). Эта система находится в
32
Глава 7
магнитном поле в состоянии статистического равновесия. Показать, что
полная магнитная восприимчивость такой системы равна нулю.
7.22. В простейшей модели свободные электроны в металлах
можно рассматривать как идеальный Ферми-газ при температуре Т, близкой
к абсолютному нулю. Вычислить парамагнитную восприимчивость
электронного газа, вызванную ориентацией их спиновых магнитных моментов
в слабом магнитном поле. Концентрация электронов N, Т = О, влияние
магнитного поля на движение электронов в пространстве не учитывать.
Указание. В отсутствие магнитного поля энергия Ферми е? (т. е.
энергия наивысшего заполненного уровня) при Т —> О выражается в виде tp =
— h2(37r2N)2/3/2m, где га — масса электрона, N — их концентрация.
7.23. Разреженный электронный газ подчиняется статистике Мак-
свелла-Больцмана и находится в слабом однородном магнитном поле при
температуре Т. Вычислить магнитную восприимчивость электронного
газа, выделив из нее часть, обусловленную ориентацией спиновых магнитных
моментов, и вклад, вызванный влиянием магнитного поля на орбитальное
движение частиц. Использовать квантовомеханическое выражение для
энергии электрона в магнитном поле.
Указание. Электрон в однородном магнитном поле обладает энергией
[Ландау и Лифшиц, Квантовая механика]
§п = (П + |) hwB + Ъь " »в7П*В- <7'44)
Здесь ujb = \e\B/mc — циклотронная частота, п = 0,1 • • • , ms = ±1/2.
Значения энергии вырождены ввиду неопределенности положения лармо-
ровского кружка, число квантовых состояний в объеме V и интервале dpz
есть
d^=7^TdP" (7'45)
7.24*. Ионизированный газ состоит из ионов (заряд Ze, средняя
концентрация TVo) и электронов (заряд —е, средняя концентрация по). Газ
в целом электронейтрален, т. е. ZNq = щ, и находится в состоянии
статистического равновесия при температуре Т. Считая, что такой газ
описывается классической статистикой, и что энергия взаимодействия частиц друг с
другом невелика по сравнению с тепловой энергией Т, найти распределение
плотности заряда вблизи отдельного иона.
7.4. Ответы и решения
33
7.25. Бесконечная проводящая пластинка, ограниченная
плоскостями х = h и х = — h, находится в постоянном и однородном поперечном
электрическом поле Е$. Пластинка в целом электронейтральна, средняя
концентрация «свободных зарядов» Nq, диэлектрическая проницаемость е.
Считая изменение концентрации под действием приложенного поля
малой (\N — No\ С No), найти распределение поля внутри пластинки и
определить толщину слоя, в котором концентрируется «поверхностный» заряд.
Частицы-носители заряда подчиняются распределению Больцмана.
7.26*. Слой электролита находится между двумя бесконечными
плоскими электродами, х = h и х = —h, на которые подана разность
потенциалов 2<ро- Электролит состоит из ионов двух сортов, их заряды +е
и -е, средняя концентрация при отсутствии внешнего поля N0.
Диэлектрическая проницаемость электролита е. Найти распределение потенциала
между электродами. Частицы подчиняются распределению Больцмана.
Указание. Использовать метод решения, примененный в задаче 7.24*.
7.27*. Найти распределение заряда и потенциала вокруг примесного
иона с зарядом Ze в металле. Использовать простейшую модель металла
в виде вырожденного (Т —> 0) электронного газа со средней
концентрацией по, заряд которого нейтрализован неподвижными положительными
ионами.
Указание. Использовать квазиклассическую модель Томаса-Ферми
(см. [Ландау и Лифшиц, Квантовая механика]).
7.28. В приближении времени релаксации т(е) вычислить
электропроводность вырожденного электронного газа, имеющего концентрацию п.
7.29. Равновесная плазма с концентрацией электронов п и
неподвижными ионами находится в слабом однородном магнитном поле В = const.
Вычислить в приближении времени релаксации г = const ток в плазме,
возникающий под действием слабого электрического поля, и тензор
электропроводности. Учесть в токе члены не выше первого порядка
относительно Б.
7.30*. Решить предыдущую задачу без ограничения величины
магнитного поля. Вычислить анизотропный тензор электропроводности,
проанализировать случаи слабого и сильного магнитного поля.
7.4. Ответы и решения
7.1. Рассмотрим произвольный объем V внутри диэлектрика,
окруженный поверхностью S, и подсчитаем электрический заряд qint =
= Jv PintdV внутри этого объема. Указанный заряд создается только теми
34
Глава 7
диполями, которые пересекаются поверхностью S (см. рис. 7.2). Все прочие
диполи находятся целиком либо внутри, либо вне объема и не дают вклада
в суммарный заряд. Элемент поверхности dS пересекает в среднем NldS
диполей; их заряд, остающийся внутри замкнутой поверхности, dqint =
= -eNldS = -P-dS. Отсюда qint = - $sP-dS = - JvdivPdV, что и
приводит к (7.16).
7.2. Магнитный момент отдельного элементарного тока записываем
в виде га = isn/c, где г — сила элементарного молекулярного тока, s —
площадь кружка, п — единичная нормаль к плоскости кружка (см.
формулу (2.60)). Изобразим произвольный замкнутый контур внутри вещества
(рис. 7.3).
Рис. 7.2 Рис. 7.3
Ток намагничения Jint через поверхность S, ограниченную контуром /,
создается только теми замкнутыми элементарными токами, которые
проткнуты этим контуром. Остальные токи либо пересекают поверхность S
дважды, либо не пересекают ее вовсе и не дают вклада в Jint. Отрезок
dl контура пересекает в среднем s(n-dl)N молекулярных токов и вносит в
полный ток вклад dJint — is(n-dl)N = cM-dl; отсюда Jint = с§{ Mdl =
= с Js rot M-dS. Ввиду произвольности выбранного контура из последнего
соотношения следует (7.18).
7.3. Пусть концентрация элементарных диполей р = el в
поляризованном шаре N, так что полный дипольный момент шара 9 = Атта3Р/3,
где Р = Np — вектор поляризации. Ввиду условия / <С а поляризованный
шар можно рассматривать как совокупность двух шаров с зарядами q =
= ±47ra37Ve/3, центры которых раздвинуты на расстояние / (рис. 7.4). Во
внешней области каждый шар создает поле как точечный заряд,
расположенный в соответствующем центре, т. е. два шара создадут поле диполя с
7.4. Ответы и решения
35
моментом ql — 9, потенциал которого
а)
(см. формулу (2.21)).
*.(г) = Ч
Рис. 7.4
Внутри поляризованного шара, на расстоянии г < а от его центра,
поле создается только внутренними зарядами, находящимися на расстояниях,
меньших г. Внешние заряды не создают поля во внутренней области.
Поэтому в ней также применима формула (1), но с заменой 9 на дипольный
момент внутренней области, равный 9>г3/а3:
(2)
<Рг(г)
9-7
Напряженность поля во внешней области была вычислена в задаче 2.21, во
внутренней области имеем
(3)
£?i = -V^(r) = -^ = -^P.
7.4. (3 — За™/4. При равномерном распределении заряда в
электронном облаке /3 = агв.
7.5. Атом водорода в основном состоянии сферически симметричен,
тензор его поляризуемости диагоналей. Общая формула (см. (3) из решения
задачи 6.62) принимает вид
-2'<n|z|0)|2
(1)
/^Е-
@п — <§0
36
Глава 7
Наибольшую сложность представляет здесь суммирование по
промежуточным состояниям п. Следуя [Ландау и Лифшиц, Квантовая механика],
вводим вместо координаты z вспомогательный оператор
где т — масса электрона. Матричный элемент оператора производной по
времени с волновыми функциями стационарных состояний вычисляется по
правилу (п|£|0) = i(So — §п)(п\£\0)/h, что позволяет избавиться в (1) от
энергетического знаменателя и произвести суммирование:
(з) /з = ^(ок|о).
Находим теперь результат действия £ на волновую функцию основного
состояния атома водорода, записав его в виде
(4) C|0)=g(r)|0>,
где q(r) — новая неизвестная функция. С помощью (2), (4) и формулы
(Д3.34) из первой части книги имеем
(5) *|0> = f §|0) = %j*(M - Ш\0) = г^(Ж - ШФ).
Подставив в (5) гамильтониан атома водорода
(6) & = -^Ь + Щт\
получим уравнение для определения q(r):
(7) ||0)A9 + Vg-V|0)=iz|0).
Нам требуется только частное решение этого уравнения, выражающееся
через величины, входящие в его правую часть.
Подставляя в (7) волновую функцию основного состояния |0) =
= ехр(-г/ав)/>/7гаБ' где ав = h2/me2 — боровский радиус, и используя
7.4. Ответы и решения
37
зависимость от полярного угла #, определяемую правой частью z = r cos #,
ищем решение в виде q(r) — f(r) cos??. Получаем уравнение
(8) 1Г+(1-^)/'-^/ = ,г,
частное решение которого имеет вид
(9) /(г) = -iaBr (ав + \
В итоге находим с помощью (2), (3), (9)
(10) /?=J|(0|r/(r)cos2tf|()) = !4.
Сравнение с результатом предыдущей задачи показывает, что классические
модели дают правильный порядок величины (если заимствовать из
квантовой механики значение радиуса атома), но не позволяют получить
правильный числовой множитель.
7.6. Из симметрии молекулы очевидно, что одна из главных осей
тензора поляризуемости будет совпадать с осью молекулы, а две другие оси
могут быть выбраны произвольно в плоскости, перпендикулярной оси
молекулы. Поэтому из трех главных значений тензора поляризуемости только
два будут различны: /3^\ (3^ = (5^3\ Для их определения нужно отдельно
рассмотреть следующие случаи:
а) Внешнее поле направлено по оси молекулы. Очевидно, что
индуцированный дипольный момент каждого из атомов будет направлен вдоль
внешнего поля. Обозначив эти моменты соответственно через р' и р",
получим для их определения два уравнения
(1) р' = (5\Е + Е'), р" = (5"{Е + Я"),
где Е — внешнее поле, Е' и Е" — дополнительные поля, вызываемые
в центре каждого из атомов присутствием другого атома. Поля Е' и Е"
можно выразить через дипольные моменты соответствующих атомов,
воспользовавшись формулой для напряженности поля, создаваемого диполем
с моментом р и учитывая, что все векторы направлены вдоль оси молекулы.
Определяя затем р' и р" из системы (1), с помощью формулы р = pf' + р" =
= (З^Е найдем
1 2(а3 + 2/?")Г1
/?' а3(а3 + 20')
(2) (3{1) =
I 2(а3 + 2/У)
/?' а3(а3 + 2/3")
I ~~ J-
+
38
Глава 7
б) Внешнее поле перпендикулярно оси молекулы. Аналогичным путем
получаем
(3) /J<2> = /J<3>
57 +
а3-/?'
п -1
+
j_ а3 - (3"
Р" + а3(а3/?')
-1
ff ' а3(а3-/?")
При Р' = (3" выражения /3^ и (3^ упрощаются:
(4) pw = 2/7/(1 - 2/?'/а3), /?(2) = 2/57(1 + 2/7/а3).
Средняя поляризуемость
(5)
я = 1(й(1) + /^(2)) = V [ 1 + 2 \
7.8. а) Диэлектрик в целом будет анизотропным. Главные значения
тензора поляризуемости диэлектрика (ср. 7.37):
а
(О
Nfi
:о
l-47riV/3W/3
б) В случае беспорядочной ориентации молекул в макроскопических
объемах диэлектрика не будет никаких физически выделенных
направлений, кроме направления внешнего поля. Поэтому средний дипольныи
момент молекулы р будет пропорционален действующему на молекулу
полю S:
p = pg.
С другой стороны, имеем, очевидно:
Pi = Pik@k = Pik^k,
где усреднение производится по макроскопическому малому объему. Из
сравнения двух последних формул следует, что
0 = 0и=022=0зз> &*=0 (при г ф к).
Таким образом,
Р=1(Р11+Р22+РЗЗ)-
7.4. Ответы и решения
39
Но сумма диагональных компонент тензора есть инвариант, равный сумме
главных значении
/3(1) + /3(2) + /з(з) (см ф0рмулу 1.263). Поэтому
/3=1(/3(1)+/3(2) + /3(3)).
Коэффициент поляризации диэлектрика а связан с ft обычной формулой
(см. пример 7.4).
7.9. Если ось молекулы ориентирована под углом в к направлению
внешнего поля Ео, то энергия молекулы запишется в виде
W = -\р • Е0 = -±(ft cos2 в + ft sin2 0)£2.
Число частиц в единице объема, оси которых направлены под углом в
относительно Ео, дается формулой Больцмана 7.31. Вектор поляризации
определяется формулой Р = Np, где р — усредненный по
распределению Больцмана дипольный момент одной молекулы, TV — число частиц
в единице объема. Поскольку в отсутствие поля молекулы ориентированы
хаотически, р будет иметь направление внешнего поля.
В соответствии с этим вычисляем величину р по формуле
Е0 /* ехр (- ^Д ) (ft cos2 в + ft sin2 в) sin в йв
/;exp(-^)sin^ '
где через рц обозначена компонента дипольного момента молекулы,
параллельная полю. По условию задачи поле — слабое, поэтому достаточно
учитывать только члены, линейные по а — (ft — ft)E'2/2T <^C 1. Использовав
далее формулы Р = Np = аЕо, получим окончательно
а = N(32 + ^N(Pi -ft) 1^1 + — - J.
Как видно из этой формулы, зависимость между Р и Ео
получается нелинейной, и о; не является коэффициентом пропорциональности, не
зависящим от Ео. Оценим величину поправочного члена при обычных
температурах (Т = 300 К). Считая ft - ft порядка 10~24 см3, получим T/(ft -
- ft) ~ Ю6. Таким образом, этот член мал, если Ео < 103 В/см.
Пренебрегая поправочным членом, получим для а прежнее выражение:
c*=i;V(ft + 2ft)
'-*/
(см. задачу 7.8).
40
Глава 7
7.12. Дополнительный потенциал, обусловленный квадрупольной
поляризацией диэлектрика, запишется в виде
где R — расстояние от точки наблюдения до элемента объема dV, а
интегрирование ведется по объему диэлектрика. С другой стороны, потенциал
объемных и поверхностных зарядов в общем случае имеет вид
(2) « = lPRdV + jlidS + JT'All)dS>
где р' — плотность объемных зарядов, а' — плотность поверхностных
зарядов, т' — мощность двойного слоя. Приведя (1) к виду (2), получим
,„v . 1 d2Qik , idQin , i
(3) р=2д^-к> <7="2^Г' T* = 2Qkini-
Таким образом, квадрупольная поляризация эквивалентна объемным
зарядам р' внутри диэлектрика, поверхностным зарядам а' и двойному
электрическому слою с мощностью т' на поверхности диэлектрика. Поскольку
плотности объемных и поверхностных зарядов в диэлектрике связаны с
вектором поляризации формулами р' = — div Р', а' = Р'п, то из (3) следует,
что квадрупольная поляризация эквивалентна дополнительной дипольнои
поляризации
р, = \dQik
к 2 дхг
и двойному слою с мощностью т'к.
Формулы (3) можно получить также из рассмотрения энергии
диэлектрика, обусловленной квадрупольной поляризацией.
7.13. е = \
4
l + 3x + 3(l + |x + x2)
где х — A7TN/3. Поляризуемость /3 для полярных веществ в слабых полях
дается формулой
(> = £
р зг,
где р — дипольный момент молекулы, Т — температура.
7.4. Ответы и решения
41
При х <^С 1, когда отличие действующего на молекулу поля от среднего
поля становится очень малым,
е = 1 + х=;1 + 4ttN(3.
7.14. Описываем заряды внутри шара микроскопически, на основе
классического распределения Больцмана (7.31), а вне шара рассматриваем
диэлектрик как сплошную среду, характеризуемую диэлектрической
проницаемостью е. Пусть а-й заряд внутри шара смещается на вектор иа
относительно равновесного положения. Совокупность таких смещений обозначим
через Q = Q(u\, .. .иа, ... )• В отсутствие внешнего поля смещения
носят чисто флуктуационный характер. Взаимодействие зарядов описывается
потенциальной энергией Uo(Q), которая включает взаимодействие зарядов,
находящихся внутри шара, между собой. Взаимодействие с зарядами вне
шара происходит по поверхности и пренебрежимо мало ввиду макроско-
пичности шара. Дипольный момент шара выражается в виде
(1) 9 = У^еаца.
а
Ввиду отсутствия спонтанной поляризации среднее статистическое диполь-
ного момента равно нулю:
(2)
<*>o = /*exp(-^)dg = 0.
При включении внешнего поля внутри шара возникает однородное
электрическое поле с напряженностью (см. задачу 8.11)
(3) * = WTTE-
Это поле создается внешними источниками и внешними (относительно
шара) зарядами диэлектрика. В результате потенциальная энергия зарядов
внутри шара приобретет добавочное слагаемое
(4) U(Q,Е) = U0(Q) - £eaua-S = U0(Q) - ^Л9^'
а
Эту потенциальную энергию нужно теперь использовать в распределении
Больцмана при вычислении дипольного момента, наведенного внешним
полем:
(5) {9(E)) = j 3»exp (-!fj dQ/jexp (-fj dQ.
42
Глава 7
Считая поле Е слабым, разлагаем экспоненту в ряд и получаем
(6) exp(-f)-
\ , Ze 9-E
_ 2e + 1 T
expf
Используя (2), находим
(7)
/^„expf-fW
lea. itp\\ - 6££j,/ v J -
-f).
3eEv
(2e + l)T , ( t/0\ (2e + l)T{^v)o-
Jexp^-^jdQ
Среднее от компонент дипольного момента преобразуем исходя из
соображений симметрии:
(8) <^^„>o = §(^2)o<W
Левую часть равенства (7) можно записать через проекцию Рм вектора
электрической поляризации:
(9) (Р*(Е)) = VP, = Щ^-Е».
Подставляя в (7) результаты (8) и (9), получаем формулу, приведенную в
условии задачи.
Обращаем внимание читателя на то, что эта формула
устанавливает связь между откликом среды на внешнее возмущение,
характеризуемым диэлектрической проницаемостью е, и флуктуацией внутреннего
параметра среды ((^2)о) при статистическом равновесии в отсутствие
внешнего возмущения. Это соотношение представляет собой частный случай
флуктуационно-диссипационной теоремы (ФДТ). Общее соотношение
такого рода для возмущения, зависящего от времени, см. в разделе 13.2.
7.15. Пусть в отсутствие внешнего магнитного поля система частиц
имеет функцию Гамильтона
(!) ^ = £^ + 1/,
7.4. Ответы и решения
43
где потенциальная энергия U — функция координат. При наличии
магнитного поля функция Гамильтона примет вид (см. (4.65'))
(2) • .* = £^(р.-2м.)2 + ц
а
где Ра — обобщенный импульс а-й частицы, Аа — векторный потенциал
внешнего поля в точке, где находится частица. Средняя по ансамблю Гибб-
са энергия системы (ее внутренняя энергия в термодинамическом смысле)
выразится интегралом по фазовому пространству
(3) g=±Jtfexp(-f-\dr,
где dT = Y\i dPidxi — элемент фазового объема. Произведем в (3) замену
переменных
(4) Ра ~ ^Аа - Ра,
оставив координаты прежними. При такой замене Ж в (3) превращается
в J<?o» a dT = Ylidpidxi, так как якобиан перехода к новым переменным
равен 1. В итоге внутренняя энергия системы в магнитном поле выразится
точно так же, как в отсутствие поля, т. е. энергия не зависит от поля. Тело,
не имевшее магнитного момента в отсутствие поля, не приобретет его и
при включении поля. Но этот результат имеет место только в классическом
случае. Он теряет силу, если частицы движутся по квантовым законам.
7.16. Пусть электроны в атоме движутся со скоростями va. При
наложении поля Н каждый электрон испытывает ларморовскую прецессию
с угловой скоростью fib = —еН/2тс (см. задачу 4.102) и приобретает
добавочную скорость
(1) Ava = CtLx ra.
Изменение кинетической энергии электронов
(2) A^=^J][(t;a + At;a)2-t;2]«m^t;a.At;a = mfiL.^raxt;a,
a a a
где опущено слагаемое второго порядка по малой скорости A v.
Воспользовавшись формулой связи (4.76) между механическим и магнитным
орбитальными моментами, /ia = era x ра/2тс, и очевидным выражением
44
Глава 7
/х = ^а /ха для полного магнитного момента атома, находим соотношение,
приведенное в условии задачи. Заметим, что по физическому смыслу было
бы правильнее в выражении для FLl вместо Н писать В. Но ввиду малости
магнитной восприимчивости у газов допускаемая при этом ошибка очень
мала.
Дальнейшие расчеты намагниченности и магнитной восприимчивости
производятся так же, как для электрической поляризации в примере 7.3, т. е.
с помощью распределения Больцмана. Намагниченность в общем случае
выражается через функцию Ланжевена
(3) М = NfiL(fiH/T).
При fiH <^С Т зависимость между М и Н линейна, магнитная
восприимчивость имеет значение
(4) X = -д^г <* f
(закон Кюри для парамагнетика). Полученные результаты не
противоречат теореме Бора-Ван Левен, так как рассмотренная в этой задаче модель не
является чисто классической: предположение о существовании
стационарных орбит электронов в атомах несовместимо с классической механикой и
электродинамикой.
7.17. Оператор взаимодействия атома с полем в линейном
приближении по полю имеет вид
(1) V = -fiH.
В отсутствие внешнего поля уровни энергии при заданных L, S, J, Mj
вырождены по Mj с кратностью 2 J + 1, но в магнитном поле вырождение
снимается. Для решения задачи нужно найти по теории возмущений
поправки к уровням энергии и затем вычислить средний магнитный момент
атома в магнитном поле, пользуясь матрицей плотности в энергетическом
представлении(см. формулы (Д3.43), (Д3.44)).
Выбираем в качестве оси квантования Oz направление поля Н. Тогда
согласно стационарной теории возмущений поправки к уровням энергии
должны вычисляться по формуле
(2) ASlsjMj = -(LSJMj\fiz\LSJMj)H.
Для вычисления написанного матричного элемента удобно представить
оператор магнитного момента в виде
(3) А = GJ,
7.4. Ответы и решения
45
где G — некоторый скалярный оператор. Используя явный вид /х из условия
задачи, записываем
(4) GJ = lib(J + S)
и умножаем обе части равенства справа скалярно на оператор J. После этого
вычисляем диагональные матричные элементы от обеих частей равенства:
(5) (LSJMj\GJ2\LSJMj) = fiB(LSJMj\J2 + S-J\LSJMj).
Имеем, очевидно,
f\LSJMj) = J(J + l)\LSJMj),
(6) L2\LSJMj) = L(L + l)\LSJMj),
S2\LSJMj) = S{S + l)\LSJMj).
Наконец, возводя в квадрат обе части равенства J - S = Ьи пользуясь (6),
находим
(7) 2S-J\LSJMj) = [J(J + 1) - L(L+1) + S{S + l)]\LSJMj).
С помощью (6) и (7) находим матричный элемент
(8) (LSJMj\G\LSJMj)=gfiB
и вычисляем уровни энергии
(9) &$lsjmj = -gfjieHMj.
Здесь
J(J + 1)-L(L + 1) + S(S + 1)
(Ю) д = 1 +
2J(J + 1)
— гиромагнитный множитель, или множитель Ланде.
Намагниченность газа вычисляем с помощью вероятности (Д3.44),
подставляя значения энергии уровней (9):
■\rn-J ^„ат / m=J
r,arn
Е™- rmeam A ^
E™>=J „am "' da
m=-Jt
\,m= — J
46
Глава 7
где а = дцвН/Т, сумма по га под знаком логарифма представляет собой
статистическую сумму, относящуюся к отдельному атому. Вычисляя ее с
помощью формулы для конечной геометрической прогрессии, получаем
(12)
M = M0Lj{aJ), гдеМ*) = (i+£)cth[(l+£)x]-£cthQL)
— квантовая функция Ланжевена (или функция Бриллюэна). Величина
Mo = NgfjLsJ представляет собой намагниченность насыщения и
достигается при низких температурах (aJ > 1). Если выполняется
противоположное неравенство, то намагниченность пропорциональна магнитному полю
и парамагнитная восприимчивость выражается в виде
(13) х = зт •
Переход к квазиклассической модели предыдущей задачи происходит при
J ^> 1. В этом случае магнитный момент атома выражается в виде
р, « gpeJ, а квантовая функция Ланжевена переходит в классическую,
Lj(x) —> L(x) при J —> оо.
Парамагнитная восприимчивость газов в обычных условиях очень
мала. Подставляя в (13) N « 3 х 1019 см3 и Т « 10~14 эрг, получаем
X ~ Ю-7. Для сравнения диэлектрическая восприимчивость при тех же
условиях а « 10_3. Разница обусловлена тем, что намагниченность
связана с движением частиц и магнитная восприимчивость приобретает лишний
малый множитель (v/c)2 « Ю-4, где v — скорость атомных электронов.
7.18. За счет ларморовской прецессии каждый электрон
приобретает добавочную скорость Av, величина которой дается формулой (1) из
решения задачи 7.16. Вводя объемную плотность заряда электронной
оболочки р(г), вычисляем магнитный момент атома, вызванный ларморовской
прецессией:
(1) /х = y I r х pAvdV = y I pr х [ilL х r]dV.
Ввиду сферической симметрии р(г) вектор /х направлен вдоль Пь:
(2) 11=^1 p{x2+y2)dV,
7.4. Ответы и решения
47
где оси Ох, Оу ориентированы перпендикулярно Н. Очевидно, можно
записать
(3) Jp(x2+y2)dV = lzea2,
где Ze — полный заряд электронной оболочки, а2 — средний по всем
электронам квадрат их расстояния от ядра. В итоге получаем из (2) и (3)
(4) M = Nn = XH, где X = ~N^f <0
— диамагнитная восприимчивость. Диамагнитный момент атома
направлен противоположно магнитному полю, а диамагнитная восприимчивость
отрицательна.
7.19. Если орбитальный и спиновый моменты электронной оболочки
атома равны нулю, то оператор (7.43) даст нулевое значение для магнитного
момента во всех порядках теории возмущений, а ненулевой результат будет
связан с квадратичным по векторному потенциалу слагаемым в операторе
взаимодействия (6.57). Поскольку мы имеем дело не с квантованным, а с
постоянным внешним полем, подставляем в (6.57) А = Н х г/2 и записываем
оператор взаимодействия электронной оболочки с магнитным полем в виде
а
Поправка к энергии атома в первом порядке теории возмущений выражается
интегралом
(2) Ag = JiP*(q)ViP(q)dq,
где q — совокупность координат всех электронов атома. В силу сферической
симметрии электронной оболочки при интегрировании по углам sin2#a,
входящий в векторное произведение, можно заменить его средним
значением 2/3. В итоге будем иметь
48
Глава 7
Магнитный момент атома можно вычислить по формуле \х — -дА£/дН
(см. ниже раздел 9.3), и при концентрации атомов TV вычисление
намагниченности дает
(4) M = N» = XH, где х=-Л^^^ф).
а
Сумму квадратов атомных электронов в (4), усредненных по квантовому
состоянию атома, можно заменить произведением Za2, где а2 — квадрат
расстояния, усредненный по всем электронам. После этого квантовая
формула для диамагнитной восприимчивости совпадет с квазиклассической,
полученной в предыдущей задаче.
Численное значение диамагнитной восприимчивости газов очень мало.
Оценку можно получить, подставив в (4) квадрат боровского радиуса. При
нормальном давлении будем иметь \ ~ Ю-10. Для конденсированных тел,
у которых концентрация частиц выше на 4 порядка, будем иметь всего
х « ю-6.
7.21. Полная магнитная восприимчивость равна сумме парамагнитной
и диамагнитной восприимчивостей (см. задачи 7.16, 7.18, 7.19*):
Входящий в эту формулу магнитный момент одного ротатора \i может быть
вычислен следующим образом. На основе известной теоремы (см.
формулу (2.61)) имеем
где К — момент количества движения частицы. В случае ротатора К связан
с кинетической энергией формулой
(з) wk = -*L.
2maz
Поэтому среднее статистическое значение К2 выражается через среднюю
кинетическую энергию:
(4) ~K* = 2ma3Wk.
7.4. Ответы и решения
49
Но средняя кинетическая энергия W k может быть найдена по теореме о
равномерном распределении энергии по степеням свободы. Поскольку ротатор
имеет две степени свободы, Wk = кТ. Подставляя (4) и (2) в (1),
находим х — 0- Этот результат находится в соответствии с общей теоремой
Бора-Ван Левен (см. задачу 7.15*), согласно которой полный магнитный
момент тела, подчиняющегося классической статистике, равен нулю.
Отличный от нуля магнитный момент получается только в том случае, когда
делается предположение о существовании дискретных электронных орбит
в атомах. Но такое предположение означает выход за рамки классической
теории.
7.22. В отсутствие поля каждая пара электронов с одинаковой
энергией имеет в соответствии с принципом Паули противоположно
направленные проекции спина, и макроскопический магнитный момент системы
равен нулю. При включении поля каждый электрон приобретает добавочную
энергию ±ЦвВ в зависимости от направления проекции его спина. Таким
образом, уровни Ферми электронов с разными проекциями спинов
раздвигаются на величину 2\хвВ. Но в статистически равновесной системе должен
установиться единый для всех частиц уровень Ферми. Это означает, что
часть электронов изменит проекцию спина. Концентрация TV' электронов,
испытавших переворот спина, можно определить из условия е^+ = £f-,
или
9 / \ 2/3 9 / \ 2/3
(1) fe(H2/3(f-^') W?=|^(67r)2/3(f +N'j -цВ.
Это же условие обеспечивает минимум внутренней и свободной энергий
при Т = 0.
В слабом поле (цвВ < ер) будем иметь TV' <C TV и из (1) получим
(2) N' = 4^N-
Намагниченность вычисляем по формуле М = 2цbN' и находим
парамагнитную восприимчивость полностью (Т =' 0) вырожденного электронного
газа
О) Храга
2eF
Температурные поправки к (3) имеют порядок величины (Т/ер)2 ~ Ю-4
для большинства металлов при комнатных температурах. Поэтому
«парамагнетизм Паули» (3) в отличие от закона Кюри (см. формулу (4) в
задаче 7.16 и (13) в 7.17*) практически не зависит от температуры.
50
Глава 7
Вырожденный электронный газ обладает также диамагнитной
восприимчивостью («диамагнетизм Ландау»), причем
1 2
V v Xdia = ~nXparai X = Xpara i Xdia = Т^Храга
(см. «Статистическую физику» Ландау и Лифшица, а также следующую
задачу).
7.23. Для расчета намагниченности используем формулы
статистической физики для свободной энергии F = -TlnZ (см. (Д3.46) и М —
= -dF/dB (см. раздел 9.3). Поскольку газ разреженный и однородный,
взаимодействием между электронами пренебрегаем и вычисляем
свободную энергию (на единицу объема газа) по формуле F = —NT In z, где z —
статистическая сумма, относящаяся к одному электрону, который считаем
квазинезависимой равновесной подсистемой. С помощью данных,
приведенных в условии задачи, находим
<л\ ™V^ ( 2^вВт3 \ (»вВ\
(1) z = zszorb, zs= 2^ ехР( ^~f J=2c l~T~]'
тэ = —1/2
(2)
v^ ( hivB^ ,Л f I Pi \eBVdPz
zorb = ^expi-^r(2n+l)J exp'
n=0
2mT (2nh)2c
,/g7rrnr eBV 1
(2nh)2c2sh(hwB/2Ty
где zs относится к спиновым состояниям, zorb — к состояниям орбитального
движения. Далее учитываем, что hws/l = \хвВ и \1вВ <^С Т. Производя
разложение гиперболических функций по малому аргументу, находим
(з) m = nt(^ + ^) = ^-^.
1 } \ав зв ) т зт
Первое слагаемое в правой части описывает парамагнитный эффект,
второе — диамагнитный. Соответствующие восприимчивости теперь зависят
от температуры, но соотношение между ними остается таким же, как для
вырожденного газа:
_ М^в _ 1
V*) Xpara — 7р •> Xdia — ТлХрага-
7.4. Ответы и решения
51
7.24. Концентрации ионов (N) и электронов (п) определяются по
формуле Больцмана (7.31)3
(1)
N = No exp -
Z_exp\
Т Г
п = по ехр
е(р
где (р(х, у, z) — электростатический потенциал. Множители перед
экспонентами выбраны Гак, чтобы при Т —> оо, когда взаимодействие частиц
становится несущественным, N и п переходили бы' в TVo и щ. На
основе (1) плотность заряда запишется в виде
(2)
р = ZeN - en = e(zN0e
Ze<p
T _
n0e
)•
Потенциал ip должен быть определен путем решения уравнения
Пуассона:
(3)
Д<£ = —47Гр :
-Атге
(zNoe
Zeip
п0е
у
Чтобы решить это уравнение, используем условие малости энергии
взаимодействия по сравнению с тепловой энергией:
Ze<p
«1,
etp
Y
<i.
Разлагая экспоненты в ряд с точностью до членов, линейных по (р, и
используя условие электронейтральности газа ZNq = по, получим
(4)
Р=-^,
к2 =
A7re2(Z2N0 + no)
Это позволяет записать уравнение (3) в виде
(5) А<р = к2(р.
Потенциал (р может зависеть только от расстояния г до рассматриваемого
иона. Сферически симметричное решение (5) имеет вид
р-КТ „КГ
3В этой и трех последующих задачах рассматриваемые величины усредняются по
статистическому ансамблю, но не по объему
52
Глава 7
Потенциал не может возрастать на бесконечности, поэтому Сч — 0. С\
определяется из условия, что при г <^1/к потенциал должен переходить в чисто
кулоновский потенциал рассматриваемого иона:
Иг«1/к = — = —' С*= Ze-
Таким образом, ион окружен «облаком» электронов и других ионов,
плотность которого убывает по экспоненциальному закону, а средний
радиус 1/к тем меньше, чем ниже температура.
Рассмотренный в этой задаче метод вычисления потенциала
принадлежит Дебаю и Хюккелю и применялся ими в теории сильных электролитов.
Константа 1/к называется радиусом Дебая-Хюккеля.
7.25. Электрическая индукция внутри пластинки описывается
формулой
п(„\ z? сЪкх
спкп
где к = у/Атге2no-ekT. При кЬ, ^> 1 имеем вблизи поверхностей х = ±h
D(x) = £0e-*(/l"|x|);
отсюда следует, что при \х — h\ ^> 1/к, D(x) = 0, т.е. поле проникает
в проводник на глубину 1/к. В слое такой же толщины концентрируется
заряд
= j_aD = ±i^oe-K(h-\x\)
н 47Г дх 47Г
Плотность «поверхностного» заряда, которая рассматривается в
макроскопической теории, получается интегрированием р. На границе х — h
получим
оо
Ео
4тг'
о
что совпадает с обычным граничным условием на поверхности проводника.
7.26.
,„ - ,„ SluKX * - А /87Ге2П0
Значение к2 в данном случае получается вдвое большим, чем в предыдущей
задаче, так как имеются два сорта подвижных ионов.
оо
а= fpdx = -'^fe-KX'dx'
7.4. Ответы и решения
53
7.27. В отличие от задачи 7.24*, здесь электроны подчиняются
распределению Ферми. Исходим из предположения, что состояния электронов
в окрестности иона квазиклассичны. Совместив начало координат с
местонахождением иона, обозначим через п(т) концентрацию электронов. Вдали
от иона имеем граничные условия п(г)|г_>о —> ™о, <^(г)|г—о —► 0, где
(р(г) — электростатический потенциал. При температуре Т —> О заполнены
все уровни энергии электронов от 0 до уровня Ферми cf, который вдали от
иона определяется условиями
(1)
2 4 з Pf (>2п0)2/3Н2
Здесь импульс Ферми pf определяется из равенства числа заполненных
квантовых состояний р3Е/Зтг2Н3 числу электронов п0 (в расчете на единицу
объема).
Энергия Ферми сохраняет значение (1) всюду в пространстве, так как в
противном случае электроны перейдут в места с меньшим значением ер- Но
при конечных г под cf надо понимать сумму кинетической и потенциальной
энергий, т. е. величину
(2)
CF =
(Зтг2)2/3^2
2га
п2/3(г) -е(р(г).
Выражая п(г) из равенств (1) и (2), находим
л3/2
(3) п(г) = по
1 +
е(р(г)
tF
n0
1 + 3
е(р(г)
2eF
С помощью (3) находим распределение плотности заряда вокруг иона
р(г) = — (Зе2по/2б^)</?(г) и получаем для потенциала уравнение (5) из
решения задачи 7.24*, в котором постоянная экранировки
(4)
2 _ 4гае^
h2
1/3
ЗпоУ/д= 8
* ) aBXF'
где ав = h?/me2 — боровский радиус, Xf = 2nh/pF длина волны де-
Бройля электрона, находящегося на уровне Ферми.
7.28. Используем кинетическое уравнение, как в примере 7.5. В
качестве равновесной функции распределения /о(е) в уравнение (2) подставим
54
Глава 7
«ступеньку Ферми» /0(е) = 1, с ^ 6f; /о(е) = 0, б > ер, где е^ —
энергия Ферми, которая выражается через концентрацию частиц (см. условие
задачи 7.21). Пользуясь соотношением v = де/др, записываем
(1) 6f = -e(E.v)r(e)^
и получаем выражение для тока
v3/o 2d3p
(2) j = -е2 f r(e)v(E-v)
де (2тгй)3'
где последняя дробь под интегралом представляет собой число квантовых
состояний с учетом двух проекций спина. Для вырожденного электронного
газа имеем dfo/де = —5(е — ер). Подставляя в (2) требуемые величины
и производя интегрирование по энергии с помощью дельта-функции,
получим коэффициент пропорциональности между током и напряженностью
электрического поля:
(3) «-=^.
Результат совпадает с формулой Друде (7.42).
В реальных металлах электронный газ взаимодействует с
кристаллической решеткой. Это приводит к тому, что зависимость энергии частицы от
ее импульса е(р) усложняется, эффективная масса носителей заряда может
стать анизотропной, а поверхность Ферми в импульсном пространстве —
несферической. В этом случае изложенная простая модель неприменима.
7.29. Неравновесная добавка к функции распределения электронов с
учетом в первом порядке слабых электрического и магнитного полей
вычисляется из кинетического уравнения и имеет вид
(1) Sf = (-e(E.v)r +^[Ex В]-р) ^.
Пользуясь этой функцией распределения, вычисляем плотность тока:
(2) j = кЕ + Е х а,
где
/о\ пе2т л пе3т2 D
(3) K=-frT> а=——В.
7.4. Ответы и решения
55
Электропроводность в результате действия магнитного поля становится
анизотропной,
(4) кар = к5а(з — еа/#7а7,
возникает ток, перпендикулярный магнитному полю (ток Холла).
Обратная зависимость между током и электрическим полем в том же
приближении имеет вид
(5) E=h- ru x въ
где R = 1/сеп — постоянная Холла.
7.30. Записываем стационарное кинетическое уравнение с учетом
членов только первого порядка по Е, но без ограничения на величину В:
»' -*% + &* *%~'4-
Умножаем обе части (1) на еv и преобразуем это уравнение в алгебраическое
уравнение для тока j = e J v5fd3p путем интегрирования по импульсам.
После умножения на г получаем
(2) кЕ = j -rj x wB,
где к, дается формулой (3) предыдущей задачи, и: в = еВ/тс —
циклотронная частота. Разрешая уравнение (2) относительно компонент jf, находим
За = Кар Ер, где тензор электропроводности имеет вид
(К± КН °Л к <ивт)
(3) ««/?= -«я «± 0 , где к±=-— -_-, кн=—- -2, кц=к;.
\0 0 /cj 1+(wbt)2 1+(u>bt)2
Значки J_, || обозначают направления, перпендикулярное и параллельное
магнитному полю. Составляющая к и ответственна за ток Холла.
Величина ljbt представляет собой угол поворота поперечного
импульса частицы за время релаксации при ее движении по спиральной
траектории. При ljbt <^С 1 роль магнитного поля мала, и электропроводность почти
изотропна. В обратном предельном случае, ивт > 1, электропроводность
резко анизотропна: яц ^> кц ^> к±.
Глава 8
Электростатика проводников и
диэлектриков
8.1. Основные понятия и методы электростатики
Уравнения и граничные условия. Электростатическое поле в
диэлектрике характеризуется вектором напряженности электрического поля Е
и вектором электрической индукции D, которые удовлетворяют,
согласно (7.20), уравнениям
rot Я = 0, <ьЕ-<й = 0,
divD — ^npext, Ф DdS = Anq
(8.1)
и уравнению связи (7.26)
D = eE либо £>м = e^Ev (8.2)
(последняя форма используется для анизотропного диэлектрика). Здесь
Pext — плотность внешних по отношению к диэлектрику зарядов, q —
полный внешний заряд внутри поверхности 5. Плотности связанных
макроскопических объемных и поверхностных зарядов диэлектрика (которые мы
будем в этой главе обозначать через р, а без каких-либо индексов)
даются формулами (7.16), (7.17). Векторы поля на границах разделов разных
диэлектриков удовлетворяют граничным условиям, которые получаются из
интегральных уравнений (8.1) и имеют вид (см. вывод формул (2.17), (2.18))
(Е2 - Ег) х п = 0, (D2- D{)-n = 4тг<7е**. (8.3)'
Для описания поля удобно пользоваться скалярной величиной —
электростатическим потенциалом (f(r):
го
Е = -V<p, (p(r) = / E-dr, (8.4)
8.1. Основные понятия и методы электростатики
57
где <р(го) = 0. Потенциал удовлетворяет уравнению, следующему из (8.1),
(8.2):
div(£grad</?) = -47rpext, (8.5)
которое в тех областях, где диэлектрик однороден, сводится к уравнению
Пуассона
д^=_4тг^ (86)
Граничные условия для электростатического потенциала на границе раздела
сред с разными диэлектрическими свойствами следуют из (8.1), (8.2) и для
изотропных диэлектриков имеют вид (ср. с (2.19), (2.20))
¥>! = ¥», e1—-e2— = ^aext. (8.7)
Орт нормали п направлен из первой среды во вторую.
Внутри проводников свободные заряды распределяются всегда таким
образом, чтобы электрическое поле было равно нулю. Из
электростатической теоремы Гаусса следует, что при этом внутри проводника р — 0,
свободные заряды локализуются в тонком поверхностном слое (см. задачи 7.25,
7.26). Граничные условия на поверхности S проводника имеют вид
ET\S = 0, <p\s= const. (8.8)
Поверхностную плотность заряда на проводнике можно найти по формулам
В общем случае поверхностный заряд проводника распределяется
неравномерно, и его распределение нельзя указать заранее. Но может быть задан
полный заряд проводника q, и в этом случае граничные условия следует
дополнить уравнением
/.
VMy>dSM = -^, (8.10)
s
где интегрирование производится по поверхности проводника.
Пример 8.1. Пусть имеется система проводников и диэлектриков,
в общем случае анизотропных, занимающих конечную область
пространства. Доказать, что решение электростатической задачи единственно,
58
Глава 8
если задано распределение сторонних зарядов pext в диэлектриках, а
также либо электростатические потенциалы (fi проводников, либо их полные
заряды q{. При доказательстве использовать свойство симметрии
диэлектрического тензора е^у — evyi и положительность его главных значений
ем > 1 (см. раздел 8.3).
Решение. Проводим доказательство от противного. Пусть y?i, у?2 — Два
разных потенциала, удовлетворяющих уравнению
(1) V^^V^i^ = -4тгрехг
и граничным условиям
(2) <Р1,2|г-юо -► 0> <Pl,2|s4 = <Pi,
либо
(3) <Р1,2|г-юо->0, <Pi,2\si = const, f ellvVv4>\2dSIJl = -±irqi.
Применим теорему Остроградского-Гаусса к вектору ам = фе^^^ф, где
(4)
/ ^V^e^V^dV + / e^V^V^dV = Ф ^>e^V^dSfi.
Здесь интегрирование распространяется на все пространство, занятое
диэлектриками, a S включает в себя бесконечно удаленную поверхность и
поверхности всех проводников. Первый интеграл в левой части обращается
в нуль в силу равенства (1), а интеграл в правой части равен нулю из-за
граничных условий (2), (3). Таким образом,
(5) Je^(V^)(V^)dV = 0.
Записывая подынтегральное выражение в главных осях диэлектрического
тензора, убеждаемся, что потенциалы <рх, <р2 различаются не более чем на
постоянную и описывают одно и то же электростатическое поле. ■
Потенциальные и емкостные коэффициенты. Емкостью С
конденсатора называется отношение заряда q на одной из его обкладок (первой) к
разности потенциалов V = у>\ — у>2 между обкладками:
С=£. (8.11)
8.1. Основные понятия и методы электростатики 59
Емкостью уединенного проводника называется отношение заряда
проводника к его потенциалу (потенциал должен обращаться в нуль на
бесконечности).
Если имеется п проводников, находящихся в диэлектрической среде,
в которой связь между электрической индукцией и напряженностью поля
линейна, то потенциалы V\ проводников зависят от их зарядов q\ по
линейному закону:
п
Vi = ^8ikqk (i = l, 2, ..., п). (8.12)
к=\
Величины Sik называются потенциальными коэффициентами. Они
зависят от взаимного расположения, формы и геометрических размеров
проводников, а также от диэлектрической проницаемости окружающей среды.
Матрица s симметрична:
Sik = Ski (8.13)
(см. задачу 8.27). Величина Sik представляет собой потенциал, который
приобретает г-й проводник, если сообщить fc-му проводнику заряд qk = 1,
а остальные проводники оставить незаряженными. Все Sik > 0.
Из равенств (8.12) следует, что и заряды проводников являются
линейными однородными функциями их потенциалов
п
qi = J2CikVk (i = 1' 2, ...,п). (8.14)
k=i
Величины ^к называются емкостными коэффициентами, причем сц > 0
(собственные емкости); с^ = cki < 0, г ф к (взаимные емкости). Величины
Cik представляют собой заряд, приобретаемый г-м проводником, когда все
проводники кроме /с-го заземлены, а к-й проводник имеет потенциал Vk = 1.
Матрицы Sik и Cik являются взаимно обратными.
В случае одиночного проводника имеется единственный емкостной
коэффициент сц, который называется просто емкостью. Емкость
конденсатора (8.11) может быть выражена через емкостные коэффициенты его
обкладок (см. задачу 8.31).
Во многих случаях необходимо знать поляризуемость проводящего или
диэлектрического тела во внешнем однородном электрическом поле. Так
называют тензор второго ранга /?М1/, связывающий проекции дипольного
момента ^м тела с напряженностью 8V поля вдали от тела
^М = V^ySy.
(8.15)
60
Глава 8
Здесь объем тела выделен в отдельный множитель, поэтому тензор (3^
является безразмерной величиной и характеризует анизотропию формы,
а в случае диэлектрика — и диэлектрическую восприимчивость его
вещества (ср. с формулой (7.29)). Иногда множитель V в (8.15) не выделяют,
в этом случае тензор поляризуемости приобретает размерность объема (см.,
например, задачи 7.4, 7.5).
Пример 8.2. Доказать электростатическую теорему взаимности
Грина: если потенциалы п проводников равны V\, V2, ..., Vn, когда их
заряды q\, #2, • • •, qn> и равны V{, V£, • • •, V^, когда их заряды q[, qf2, ..., q'n,
то имеет место соотношение
п п
5>^' = 1>#- (8-16)
г=1 г=1
При этом диэлектрическая среда между проводниками может быть
неоднородной и анизотропной, но сторонние заряды в диэлектрике должны
отсутствовать.
Решение. Исходим из тождества, представляющего собой обобщение
соотношения (4) в примере (8.1):
/ {v'V^e^Vvip - (pV^e^vVv(p')dV = 6 ((p'e^VuipdS^ - (pe^vVv(p')dS^.
Ввиду отсутствия сторонних зарядов в диэлектрике дифференциальные
слагаемые под интегралом в левой части равенства обращаются в нуль. В
правой части остается сумма интегралов по поверхностям проводников,
которая в силу граничных условий на проводниках приводит к (8.16). ■
Рекомендуемая литература: [Тамм (1976); Ландау и Лифшиц,
Электродинамика сплошных сред; Френкель (1935); Смайт (1954); Бредов и др.,
Классическая электродинамика; Батыгин и Топтыгин (2002); Зоммерфельд
(1958); Власов (1955)].
Задачи
8.1. Точечный заряд q расположен на плоской границе раздела двух
однородных бесконечных диэлектриков с проницаемостями в\ и в2. Найти
потенциал </? напряженность Е и индукцию D электрического поля.
8.1. Основные понятия и методы электростатики 61
8.2. От некоторой прямой, на которой находится точечный заряд q,
расходятся веерообразно три полуплоскости, образующие три двугранных
угла е*ь е*2, с*з (#1 + #2 + #з = 27г). Пространство внутри каждого из углов
заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью соответственно е \,
£2» £з- Определить потенциал </?, напряженность Е и индукцию D
электрического поля.
8.3. Центр проводящего шара радиуса а, заряд которого q, находится
на плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков
с проницаемостями е\ Иб2- Найти потенциал </? электрического поля, а
также распределение заряда а на шаре.
8.4. Пространство между обкладками сферического конденсатора
частично заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного угла Q
с вершиной в центре обкладок. Радиусы обкладок а и 6, проницаемость
диэлектрика е. Найти емкость С конденсатора.
8.5. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок а и b
диэлектрическая проницаемость меняется по закону
Г е\ = const при а ^ г < с,
[62= COnst При С ^ Г ^ 6,
где а < с < Ь.
Найти емкость С конденсатора, распределение связанных зарядов 0{nt
и полный связанный заряд в диэлектрике.
8.6. Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и b заполнен
диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния г до центра
по закону е(г) — еоа2/г2. Показать, что емкость такого конденсатора равна
емкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком
с проницаемостью во, у которого площадь обкладки 47га2, расстояние между
обкладками b — а (краевым эффектом пренебречь).
8.7. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость
которого изменяется по закону е = во(х + а)/а, 0 ^ х ^ а, где а —
расстояние между обкладками, ось х направлена перпендикулярно обкладкам,
площадь которых S. Пренебрегая краевым эффектом, найти емкость С такого
конденсатора и распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам
приложена разность потенциалов V.
8.8. Точечный заряд q находится в точке А на расстоянии а от плоской
границы раздела двух бесконечно протяженных однородных диэлектриков
62
Глава 8
с проницаемостями в\ и e<i (рис. 8.1). Найти потенциал </? электрического
поля методом изображений.
\z Указание. Решение искать в виде
ных поверхностных зарядов, наведенных
Рис- 8.1 на плоской границе раздела двух
однородных диэлектриков в\ и в2 точечным зарядом q (см. задачу 8.8). Какой
результат получится при £2 —> оо, каков его физический смысл?
8.10. Двугранный угол между двумя заземленными проводящими
плоскостями равен е*о. Внутри угла находится точечный заряд q. Найти
методом электрических изображений электрическое поле. Рассмотреть
случаи е*0 = 90°, е*о = 60° и а0 = 45°.
8.11*. Однородный шар радиуса а с диэлектрической
проницаемостью £ь погружен в однородный неограниченный диэлектрик в2- На
большом расстоянии от шара в диэлектрике имеется однородное электрическое
поле, напряженность которого Е$. Найти поле </? во всем пространстве.
Построить картину силовых линий для двух случаев: в\ > в2 и в\ < Е2\ найти
распределение связанных зарядов.
8.12. Неограниченный диэлектрик был сначала однороден и
равномерно поляризован (вектор поляризации Р = const). Затем в нем вырезали
сферическую полость. Определить изменение электрического поля АЕ в
полости в двух случаях: а) если при образовании полости поляризация в
окружающем диэлектрике не изменилась1; б) если вследствие изменения
поля поляризация изменяется, т. е. Р = (е - 1)Е/47г.
8.13. Незаряженный металлический шар радиуса R вносится в
электрическое поле, которое в отсутствие шара было однородным и равным Е$.
1 Это имеет место, если диэлектрик («электрет») состоит из полярных молекул, ориентация
которых фиксирована.
8.1. Основные понятия и методы электростатики 63
Диэлектрическая проницаемость окружающей среды £0 = const.
Определить результирующее поле (р и плотность поверхностных зарядов а на
шаре.
8.14*. Проводящий шар радиуса R находится в поле точечного
заряда q, отстоящего от центра шара на расстояние а > R. Система погружена
в однородный диэлектрик с проницаемостью е. Найти потенциал поля (р
и распределение а индуцированных зарядов на шаре, если задан а)
потенциал шара V (на бесконечности ip = 0); б) заряд шара Q.
Представить потенциал в виде суммы потенциалов нескольких точечных зарядов-
изображений.
Указание. Использовать решение уравнения Лапласа в виде ряда по
шаровым гармоникам и разложение поля точечного заряда, полученное в
задаче 2.30.
8.15. В проводнике с потенциалом V имеется сферическая полость
радиуса R, заполненная диэлектриком с проницаемостью е. На расстоянии а
от центра полости (а < R) находится точечный заряд q. Определить поле
в полости. Найти эквивалентную систему зарядов-изображений.
8.16. Заземленная проводящая плоскость имеет выступ в форме
полусферы радиуса а. Центр сферы лежит на плоскости. На оси симметрии
системы, на расстоянии b > а от плоскости находится точечный заряд q.
Используя метод изображений, найти поле </?, а также заряд qf,
индуцированный на выступе.
8.17. Проводящий шар радиуса R\ находится в однородном
диэлектрике с проницаемостью е\. Внутри шара имеется сферическая полость
радиуса R2, заполненная однородным диэлектриком с проницаемостью в2-
В полости на расстоянии а от ее центра (а < R2) расположен точечный
заряд q. Найти поле </? во всем пространстве.
8.18. Точечный заряд q находится внутри диэлектрического шара
радиуса R с проницаемостью е\ на расстоянии а от центра шара.
Диэлектрическая проницаемость среды вне шара равна £2- Найти поле (р во всем
пространстве. Рассмотреть, в частности, случай а = 0 (заряд в центре
шара).
8.19*. Изолированная металлическая сфера радиуса а находится
внутри полой металлической сферы радиуса 6. Расстояние между центрами
сфер равно с, причем с <^С а, с < 6. Эти сферы образуют сферический
конденсатор. Вычислить поправку к емкости АС, вызванную отклонением
от концентричности, в первом неисчезающем приближении.
64
Глава 8
8.20. Электростатическое поле образовано двумя проводящими
цилиндрами с параллельными осями, радиусами i?b i?2 и зарядами на
единицу длины ±к. Расстояние между осями цилиндров а > Ri + R2. Найти
емкость С на единицу длины конденсатора, обкладками которого служат
указанные цилиндры (С = я/OPi ~ ^2), где </?i и </?2 — потенциалы
цилиндров).
Указание. Воспользоваться результатом задачи 2.51.
8.21. Оси двух одинаковых проводящих цилиндров с радиусами R
находятся на расстоянии 2а друг от друга. Цилиндры несут заряды ±к на
единицу длины. Найти распределение зарядов а на поверхностях
цилиндров.
8.22. Конденсатор образован двумя цилиндрическими
проводящими поверхностями с радиусами R\ и #2 > Ri- Расстояние между осями
цилиндров а < R2 — R\. Найти емкость С конденсатора.
8.23. Определить поле </? точечного заряда в однородной
анизотропной среде, характеризуемой тензором диэлектрической проницаемости вгк-
8.24. В пустоте находится плоскопараллельная пластинка из
анизотропного однородного диэлектрика с тензором проницаемости £^. Вне
пластинки однородное электрическое поле Е$. Используя граничные
условия для вектора поля, определить поле Е внутри пластинки.
8.25. Найти -емкость С плоского конденсатора с площадью
обкладок S и расстоянием между ними а, если пространство между обкладками
заполнено анизотропным диэлектриком с проницаемостью вгк- Краевым
эффектом пренебречь.
8.26. Найти изменение направления линий вектора Е при
переходе из пустоты в анизотропный диэлектрик. Воспользоваться результатом
задачи 8.24.
8.27. Доказать с помощью теоремы взаимности Грина (9.16) свойство
симметрии потенциальных коэффициентов Sik — Ski-
8.28. Система состоит из двух проводников, удаленных от всех других
проводников. Проводник 1 заключен внутри полого проводника 2. Выразить
емкости С и С конденсатора и уединенного проводника, образующих эту
систему, через ее емкостные коэффициенты. Доказать, что взаимные
емкости проводника 1 и любого проводника, находящегося вне проводника 2,
равны нулю.
8.1. Основные понятия и методы электростатики 65
8.29. Выразить потенциальные коэффициенты Sik через
емкостные Cik в случае системы двух проводников.
8.30. Емкости двух уединенных проводников равны С\ и С<2. Эти
проводники находятся в однородном диэлектрике с проницаемостью е на
расстоянии г, большом по сравнению с их собственными размерами.
Вычислить емкостные коэффициенты системы.
Указание. Определить сначала потенциальные коэффициенты с
точностью до величины 1/г.
8.31. Емкостные коэффициенты системы двух проводников равны сц,
С22» Ci2 = C21. Найти емкость С конденсатора, обкладками которого служат
эти два проводника.
8.32. Четыре одинаковые проводящие сферы расположены по углам
квадрата. Сфера 1 несет заряд q. Затем она соединяется тонкой проволочкой
поочередно на время, достаточное для установления равновесия, со
сферами 2, 3, 4 (нумерация проводников циклическая). Найти распределение
заряда между проводниками по окончании всех операций. Потенциальные
коэффициенты системы заданы.
8.33. Три одинаковые проводящие сферы с радиусами а находятся
в вершинах равностороннего треугольника со стороной b ^ а. Вначале все
сферы имели одинаковые заряды q. Затем они по очереди заземлялись на
время, достаточное для установления равновесия. Какой заряд остается на
каждой сфере по окончании всех операций?
8.34. Замкнутая проводящая поверхность с потенциалом V\ содержит
внутри себя проводник с потенциалом Vo. При этом потенциал в некоторой
точке Р между проводящими поверхностями равен Vp. Пусть, теперь
проводники заземлены, а в точку Р помещен заряд q. Какие заряды будут при
этом индуцированы на проводниках?
8.35. Показать, что в отсутствие точечного заряда геометрическое
место точек, из которых единичный заряд индуцирует на некотором
заземленном проводнике заряд одной и той же величины, совпадает с
эквипотенциальной поверхностью поля этого проводника.
8.36. Два проводника с собственными емкостями сц и С22 и
взаимной емкостью ci2, составляющие часть некоторой системы изолированных
проводников, соединены тонкой проволокой. Какова собственная емкость
объединенного проводника, коэффициенты взаимной емкости его и
остальных проводников системы?
66
Глава 8
8.37*. Проводник заряжается путем последовательных
подсоединений к разрядному шарику электрофора. Шарик электрофора после каждого
подсоединения вновь заряжается, приобретая при этом заряд Q. При
первом подсоединении на проводник с шарика переходит заряд q. Какой заряд
получит проводник после очень большого числа подсоединений?
8.2. Специальные методы электростатики
В этом разделе собраны задачи, решение которых как правило требует
специальных математических методов и приемов. Многочисленные методы
решения задач электростатики изложены во многих учебниках и
монографиях, в частности [Гринберг (1948); Ландау и Лифшиц,
Электродинамика сплошных сред; Пановский и Филипс (1963); Смайт (1954); Стрэттон
(1948); Шимони (1964); Джексон (1975)]. Наиболее часто используемые
методы перечислены ниже. Они разъясняются на примерах решения ряда
классических задач.
Метод разделения переменных в криволинейных координатах —
см. задачи 8.38*-8.42, 8.56* и др.
Метод интегральных преобразований — см. задачи 8.50*, 8.54* и др.
Метод инверсии основан на преобразовании инверсии. Это —
такое преобразование пространства, при котором каждая его точка
переходит в точку, сопряженную относительно некоторой, надлежащим образом
выбранной сферы инверсии радиуса R. Если сферическими
координатами (с началом в центре сферы инверсии) первоначальной точки
являются г, д, а, то сферическими координатами инвертированной точки будут
г' = R2/r, д, а. В векторной форме
Преобразование инверсии обладает свойством конформности. При
инверсии сфера преобразуется в сферу. Если, в частности, центр инверсии лежит
на преобразуемой сфере, то последняя преобразуется в плоскость (и
наоборот).
Уравнение Лапласа инвариантно относительно преобразования
инверсии: если функция </?(г) является решением уравнения Лапласа в исходном
пространстве, то
^(г') = ^(г) = ^>(^г') (8.18)
8.2. Специальные методы электростатики
67
представляет собой решение уравнения Лапласа в инвертированном
пространстве.
Основная задача, которую можно решить методом инверсии,
формулируется так. Нужно найти поле системы заземленных проводников и
точечных зарядов qi9 находящихся в точках Г{. Потенциал на бесконечности
V = const.
Для решения задачи произведем инверсию с таким расчетом, чтобы
поверхности проводников приобрели более простую форму. При этом
точечные заряды qi заменяются зарядами
<&=*Qi, (8-19)
находящимися в точках г • = R2r{/rf. Кроме того, в точке г' = 0 появляется
точечный заряд
q0 = -RV. . (8.20)
В инвертированной системе решаем электростатическую задачу — находим
потенциал ч>'(г'). Потенциал (р(г) получаем с помощью обратного
преобразования (см. задачи 8.61*, 8.62).
Решение граничной задачи с помощью функций Грина. Пусть
имеется область объемом V, ограниченная поверхностью S, внутри которой
находится однородный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е.
Внутри объема могут находиться также сторонние заряды с объемной
плотностью pext, а на поверхности S задан либо электростатический потенциал
4>\s = /(г) (8.21)
(граничные условия Дирихле) либо его нормальная производная
дп
= F(r) (8.22)
s
(граничные условия Неймана). Требуется найти внутри поверхности
потенциал (р(г), удовлетворяющий уравнению Пуассона (8.6).
Используем для решения этой задачи тождество Грина (1.98),
I
у(фф - ^)dV = £ (^ - ^) dS, (8.23)
выбрав в качестве (р искомый потенциал, а в качестве ф — функцию Грина
G(r, г'), удовлетворяющую уравнению Пуассона для единичного точечного
заряда:
A'G(r,r') = -^fS(r - г'). (8.24)
68
Глава 8
Если во всем пространстве имеется один точечный заряд, то функция Грина
имеет вид G(r, г') = 1/е\г - г'\ (ср. с формулой (1.225)). Но при наличии
вне рассматриваемого объема других зарядов, заданных не явно, а через
посредство соответствующего граничного условия на S, вид функции Грина
усложняется:
G(r, r'\ = 1 + Щг, г'). (8.25)
е\г — г |
Здесь У (г, г') удовлетворяет уравнению Лапласа Af(£(r,r') = 0 и,
следовательно, учитывает действие зарядов, находящихся вне заданного объема.
При задании граничных условий Дирихле (8.21) подберем функцию
(S(r,r/) так, чтобы при любом г выполнялось условие
G(r,r')|s = 0, (8.26)
когда координаты г' принадлежат поверхности S.
Подставляем в (8.23) правые части равенств (8.6), (8.24) и используем
граничное условие (8.26). Получаем
?(г) = J G(r,r')pext(r')dV --^j 4>{r')dG{*j']dS'. (8.27)
Поскольку значение (р на поверхности S задано, то и вся правая часть
последнего равенства известна, если построена функция Грина, т.е. это
равенство дает решение задачи в заданной области.
В случае граничных условий Неймана (8.22) для потенциала
необходимо наложить некоторое условие на производную dG/dn'. Указанная
производная удовлетворяет интегральному условию
следующему из уравнения (8.24). Простейшее условие, согласующееся
с (8.28), имеет вид (см. [Джексон (1975)])
dG(r, r')
дп'
■% (8-29)
когда координаты г' принадлежат поверхности S, а г — любое. В этом
случае получим из (8.23)
<p(r) = J G(r, r')Pext(r')dV + ^ j G(r, r')^p-dS' + ip, (8.30)
8.2. Специальные методы электростатики
69
где ф = §s (pdS/S — среднее значение потенциала на поверхности S,
которое может быть выбрано произвольно. Равенство (8.30) дает решение
электростатической задачи внутри области при задании на границе условия
Неймана (8.22).
Пример 8.3. Внутри сферической металлической оболочки радиуса а,
заполненной однородным диэлектриком, на расстоянии b < а от центра
находится точечный заряд q. Потенциал оболочки поддерживается
равным нулю. Найти поле внутри сферы.
Решение. Построим функцию Грина, удовлетворяющую внутри сферы
уравнению (8.24), а на ее поверхности — условию (8.21). Это достигается
путем выбора ^(г, г') в виде потенциала точечного заряда
(1) У(гУ) =
\г* -г'У
величина q* и положение г*(г) которого подбираются так, чтобы выполнить
условие (8.21). Из соображений симметрии очевидно, что г и г*,
отсчитываемые от центра сферы, должны быть направлены вдоль одной прямой.
Выбирая ось Oz сферической системы координат вдоль этой прямой,
получим из (9.21) условие для определения параметров q* иг*:
(2) 1 = + 9* = = 0.
V г2 + а2 — 2ar cos в \Jr2 + а2 — 2ar* cos в
Последнее уравнение имеет два решения: q* = — 1, г* = г (тривиальное
решение, потенциал равен нулю всюду в пространстве) ид* = -а/г, г* =
= а2/г. Второе решение и позволяет построить функцию Грина, которая в
сферических координатах имеет вид
(3) G(r,rV ' Ф
у/г2 + г'2 — 2rr' cos д' \Jr2 + г'2 — 2r*r' costf'
Здесь д' — угол между векторами гиг'. Вычисляя затем потенциал с
помощью (8.27), где следует положить pext{^r) = qd(b - г'), (р = 0 на 5,
получим
(4) ф) =
e\Jr2 + b2 — 26rcos# S\Jr2b2 /a2 + a2 — 26rcos#
где д стал углом между линией расположения зарядов и
радиусом-вектором г. ■
70
Глава 8
Метод конформных отображений функциями комплексного
переменного z = х + гу широко применяется при решении двумерных
электростатических задач. Плоскость (ж, у) в этом методе выступает как комплексная
плоскость переменного z. Функция w(z) = и(х,у) + iv(x,y) отображает
точки плоскости z в соответствующие точки комплексной плоскости w, на
осях которой откладываются величины (и, v). Особую ценность для
физических приложений представляют такие функции w(z), которые однозначны
и дифференцируемы (аналитичны) в некоторой области комплексной
плоскости (ж, у), за исключением конечного числа особых точек.
Дифференцируемость функций комплексного переменного
накладывает на них значительно более жесткие ограничения, чем
дифференцируемость функций действительных переменных. А именно, производная w'(zq)
в точке zq, определяемая как предел
и/(2о) = lim
w(z0 + Az) - w(z0)
~Az
aw;
W(Z0)
не должна зависеть от способа стремления Az к нулю (в частности, от
того, по какому направлению сближаются точки zq + Az и zq в
комплексной плоскости). Ясно, что произвольная дифференцируемая функция двух
действительных переменных f(x,y) таким
свойством не обладает, так как в общем
случае, например, df/dx ф df/dy.
Дифференцируемость функции
комплексного переменного w(z), осуществляющей
отображение плоскости z на плоскость w,
влечет за собой два важных следствия.
1. Конформность — сохранение углов
между пересекающимися линиями при
отображении аналитической функцией. Это
свойство становится очевидным, если выразить в
точке пересечения zq на плоскости z малые
приращения вдоль каждой кривой через
модуль и фазу: Az\£ = Qi,2^1,2- Очевидно, что
угол между кривыми равен разности
аргументов (52 - /3\ (см. рис. 8.2). С другой стороны,
на плоскости w имеем вдоль соответствующих
кривых приращения Aw\^ ~ wf(zo)Azi^, и,
если w'(zq) = дега ф 0, разность аргументов
этих приращений тоже равна fc — Ри так как
значение производной аналитической функции
Рис. 8.2
8.2. Специальные методы электростатики
71
не зависит от направления приращения. Обе кривые в точке пересечения на
плоскости w оказались повернутыми на один и тот же угол а, а угол между
ними остался прежним.
2. Действительная и(х, у) и мнимая v(x, у) части аналитической
функции являются функциями гармоническими, т. е. удовлетворяют
двумерному уравнению Лапласа. Чтобы в этом убедиться, вычислим первую
производную dw/dz двумя способами, сближая точки вдоль Ох и вдоль Оу.
В первом случае имеем Az = Ах и
во втором Az = гАу и
dw _ ди . -dv
dz дх дх'
dw _ -ди . dv
dz дх ду'
Приравнивая два выражения для dw/dz, находим условия Коши-Римана
ди _ ду_ ди _ _ду_ Г8 3П
дх ду' ду дх'
ранее полученные Даламбером и Эйлером. Из условий Коши-Римана и
равенства перекрестных производных д2 f /дхду = д2 //дудх следуют
уравнения Лапласа
д2и . д2и п д2у . д2у п /010Ч
dJ + W~ ' d^2 + di2~ ' ( }
которым удовлетворяют по отдельности действительная и мнимая части
аналитической функции.
Рассмотренные свойства аналитических функций комплексного
переменного позволяют использовать их для решения двумерных
электростатических задач на вычисление полей заряженных металлических тел,
погруженных в однородную диэлектрическую среду. Если действительная часть
и(х,у) комплексной функции w подобрана таким образом, что уравнение
и(х, у) = const описывает поверхность двумерного металлического
электрода, то и(х, у) в окружающем диэлектрике будет представлять собой
электростатический потенциал, который удовлетворяет уравнению Лапласа.
Вычислим электростатическую индукцию:
72
Глава 8
Здесь использованы соотношения Коши-Римана (8.31). Составляя
уравнение для силовых линий вектора индукции,
получим
dx
Dx
^dx + <^dy = 0
ox ay
dy
или v(x,y) = const.
Таким образом, мнимая часть v(x,y) = const аналитической функции w
при разных const описывает семейство силовых линий
электростатического поля, которые ортогональны эквипотенциальным поверхностям и(х,у) =
= const. С равным основанием можно в качестве электростатического
потенциала использовать мнимую часть v(x,y). Тогда уравнение и(х,у) —
= const будет изображать семейство силовых линий.
Вычислим емкость (на единицу длины, отсчитываемой
перпендикулярно плоскости (ж, у)) конденсатора, образованного двумя заряженными
металлическими поверхностями и(х,у) = с\ и и(х,у) = С2 (рис. 8.3). На
них поддерживаются потенциалы Vi, V2. Вычисляем заряд на внутренней
поверхности:
Здесь т — орт, касательный к
эквипотенциальной поверхности (рис. 8.3) и использованы
условия Коши-Римана. Заметим, что интеграл
по замкнутому контуру здесь не изображает
работу и не равен нулю! Емкость вычисляется по
формуле (8.11).
Если требуется найти заряд на части
поверхности, это можно сделать согласно (8.33) с
помощью формулы
О
Рис. 8.3
^(V2-Vl),
(8.34)
где v\, г>2 относятся к начальной и конечной точкам пути интегрирования.
8.2. Специальные методы электростатики 73
Пример 8.4. Вычислить емкость конденсатора, образованного двумя
коаксиальными круглыми цилиндрическими оболочками, с помощью
аналитической функции w(z) = In z, z = х + iy = гега. Исследовать также
с помощью указанной функции структуру электрического поля, которое
создается металлическими плоскостями с разными потенциалами,
расходящимися веерообразно от оси Oz.
Решение. Имеем w = и + iv = In r + ш, т. е.
(1) и(х,у) = In r = In y/x2 + y2, v(x,y) = а = arctg-.
Выбирая в качестве потенциальной функции и, находим
эквипотенциальные линии в плоскости (ж, у): г2 = х2 + у2 = const, окружности. Силовые
линии определяются условием v = а = arctg(y/x) = const — прямые,
расходящиеся радиально из начала координат. В плоскости w рассматриваемая
система представляет собой плоский конденсатор (рис. 8.4). Если
внутренний цилиндр радиуса а находится под потенциалом V, а внешний
радиуса b заземлен, то в аналитическую функцию нужно ввести
соответствующие константы: w(z) = — (V/\n(b/a))\n z + VIn 6/ln(6/a). Мнимая часть
v(x,y) принимает вид v(x,y) = — V arctg(t//x)/ln(6/a) = — Va/\n(b/a).
Вычислив заряд согласно (8.34), считая а = 1-к в точке 1, а = 0 в точке 2,
находим q = eV/2\n(b/a) и получаем емкость С = е/2\п(Ь/а).
Выбрав в качестве потенциала функцию v, получим поверхности
равного потенциала в виде плоскостей, расходящихся от оси Oz (рис. 8.5).
Рис. 8.4
Рис. 8.5
74
Глава 8
Потенциал в областях 1 и 2 описывается функциями соответственно
(2)
V V . У
4>i = 7^a=7^*Tct£x'
&о
ао
Ч>1 = ~
V
27г — ао
(а — 27г) = —
У (arctg|-27r).
27г - ао
Силовые линии электрического поля представляют собой дуги
окружностей. Отличные от нуля компоненты записываются в цилиндрических
координатах в виде
(3)
Еа\ = —
V
аог'
Еа2 =
V
(27г - а0)г
При ао <С 1 поле в основном сосредоточено между пластинами (рис. 8.6),
при заданном г имеем \Ea2/Eai\ « ао/27г <С 1. При ао = 7г пластины,
находящиеся под разными потенциалами, расположены «в стык» (рис. 8.7),
структура поля симметрична относительно плоскости у = 0. ■
/
/ /
/ / г
тт-т
\ \
\ *
ч
\
Vm,
7
\s
WH+
У /
/
О
Рис. 8.6
Рис. 8.7
Задачи
8.38*. Проводящий эллипсоид с зарядом q и полуосями а, 6, с
помещен в однородный диэлектрик с проницаемостью е. Найти потенциал </?,
а также емкость эллипсоида С и поверхностную плотность заряда а на его
поверхности.
Указание. Воспользоваться эллипсоидальными координатами (см.
задачу 1.94). Искать потенциал в виде </?(£)•
8.2. Специальные методы электростатики
75
8.39. Исходя из результатов предыдущей задачи найти потенциалы
и емкости вытянутого и сплюснутого эллипсоидов вращения. Рассмотреть
частные случаи тонкого длинного стержня и тонкого диска. Емкость С
и потенциал (р вытянутого эллипсоида вращения найти также, используя
результат задачи 2.8.
8.40*. Проводящий эллипсоид с зарядом q находится в пустоте в
однородном внешнем поле, напряженность Е$ которого параллельна одной
из осей эллипсоида. Найти потенциал (р полного электрического поля.
Указание. Воспользоваться эллипсоидальными координатами
задачи 1.94. Граничные условия на поверхности эллипсоида (£ = 0) могут
выполняться только, если зависимость потенциала <//, вызванного
наведенными зарядами, от rj, £, будет такая же, как у внешнего поля:
<S = MZ,v,QF(Q.
8.41. Напряженность поля в плоском конденсаторе равна Eq. На
заземленной обкладке имеется проводящий выступ в форме половины
вытянутого эллипсоида вращения, ось симметрии которого перпендикулярна
к плоскостям обкладок. Расстояние между обкладками велико по сравнению
с размерами выступа. Найти электрическое поле (р в конденсаторе.
Определить, во сколько раз максимальное значение напряженности поля Ешах
превосходит Eq?
8.42. Проводящий незаряженный эллипсоид находится во внешнем
однородном поле Ео, ориентированном произвольно по отношению к его
осям. Найти полное электрическое поле (р. Рассмотреть поле на больших
расстояниях от эллипсоида, выразив его через коэффициенты
деполяризации:
оо оо
(х) = abc f ds (у) = abc f ds
2 J (s + a^Rs' 2 J (s + b2)^
0 0
оо
n(Z) = irl ( \n (Rs = y/(s + a2)(s + V)(s + c%
Z J (S + C')RS
8.43. Найти выражения коэффициентов деполяризации,
введенных в предыдущей задаче, в случае вытянутого эллипсоида вращения
Результат задачи поясняет принцип работы громоотвода.
76
Глава 8
(а > b = с). Рассмотреть частные случаи очень вытянутого эллипсоида
(стержня) и эллипсоида, близкого к шару
8.44. Найти коэффициенты деполяризации для сплюснутого
проводящего эллипсоида (а = b > с). Рассмотреть, в частности, случай диска.
8.45*. Диэлектрический эллипсоид с полуосями а, 6, с находится
в однородном внешнем поле с напряженностью Eq. Диэлектрическая
проницаемость эллипсоида е\, а окружающего его однородного диэлектрика 62-
Найти потенциал </? результирующего электрического поля
(воспользоваться указанием к задаче 8.40*). Найти напряженность Е электрического поля
внутри эллипсоида, а также потенциал </?2 вне эллипсоида на больших от
него расстояниях, выразив его через составляющие поляризуемости
эллипсоида по главным осям.
8.46. Эллипсоид вращения с диэлектрической проницаемостью в\
находится во внешнем однородном поле Е0 в однородной диэлектрической
среде £2- Найти энергию U эллипсоида в этом поле и приложенный к нему
вращательный момент N. Рассмотреть также случай проводящего
эллипсоида вращения.
8.47*. Показать, что при сообщении проводящей жидкой
сферической капле достаточно большого заряда капля теряет устойчивость. Найти
это критическое значение заряда qc. Радиус капли R, коэффициент
поверхностного натяжения а.
Указание. Сравнить энергию сферической капли с энергией
деформированной капли, имеющей форму вытянутого эллипсоида вращения.
Площадь поверхности такого эллипсоида
S = 2тг62 + 27r6fl2 arccos \ (а>Ь = с).
8.48*. Однородное электрическое поле Eq \\ Oz в
полупространстве z < 0 ограничено заземленной проводящей плоскостью z = 0 с круглым
отверстием радиуса а. Найти поле </? во всем пространстве. Рассмотреть,
в частности, поле на больших расстояниях за отверстием (в
полупространстве z > 0).
Указание. Воспользоваться сплюснутыми сфероидальными
координатами (см. задачу 1.95) сс = 0. Искать решение во всем пространстве в
виде (p=-EozF(£).
8.2. Специальные методы электростатики
77
8.49. Найти распределение зарядов а на проводящей плоскости в
предыдущей задаче.
8.50*. Внутри клиновидной области пространства, ограниченной
двумя пересекающимися под углом /3 заземленными проводящими
полуплоскостями ОА и ОВ, в точке N(r0) находится точечный заряд q (рис. 8.8).
Цилиндрические координаты заряда (ro,7> 0)i ось Oz направлена вдоль
ребра клина, азимутальный угол а отсчитывается от грани О А. Доказать, что
потенциал </?(r, a, z) может быть записан в виде
:dk,
где
tp(r, a, z) — \ (fk (r, ос) cos kz с
о
оо
^2 Кпп/(з(кго)1пп/(3(кг) sin(n7T7//?) sm(n7ra//3) при г < г0,
п=1
оо
^2 1пж/р(кго)Кпп/р(кг) sin(n7T7//?) sm(n7ra/(3) при г > г0,
1П7Г/(3 и КП7Г/р — цилиндрические функции.
В
ipk{r,a)=—{
Рис. 8.8
8.51. Доказать, что потенциал поля точечного заряда в клиновидной
области, найденный в предыдущей задаче,' можно представить в виде
<р(г,а,г)
(5у/2гг^
оо
/
sh«//3)
ch(7r£//?) - cos(7r(a - 7)//?)
зЬ(тгС//?)
ch(7rC//3) - cos(7r(a + 7)//?)
dC
\/ch £ — ch Tj
78
Глава 8
где
Chr]= 2rr0 ' Ч>0-
Указание. Воспользоваться формулами:
оо оо
/Кv(кг)Iv (кго) cos кz dk =——= \
2J2rro J
2rro J v^ch £ — ch 77
v
,2
Wcosnz = If ^ 5 - l).
■^ 2Vi -2pcosa;+p2 /
Tl=l r r
8.52. Найти поле ip заряда q, находящегося вблизи проводящей
полуплоскости а = 0 в точке го с цилиндрическими координатами (го, 7> 2 = 0).
Указание. Воспользоваться результатами задачи 8.51. Для вычисления
интеграла сделать подстановку ch(£/2) = сп(т//2) ch u, где 0 < и < оо.
8.53. Найти распределение а поверхностного заряда вблизи ребра
проводящего клина с двугранным углом (3 (угол отсчитывается вне
проводника). Клин находится в поле произвольным образом распределенного
заряда.
Указание. Сначала рассмотреть случай, когда вблизи клина находится
один точечный заряд, воспользовавшись результатом задачи 8.50* и
формулой
оо
JK„(kp)k» cos kzdk = 2-^г(, + I)—-£—-.
о ^ '
8.54*. Точечный заряд q находится на расстоянии а от однородной
плоскопараллельной диэлектрической пластинки толщиной с. Найти
электрическое поле, воспользовавшись тем, что как произведение Jo(kri)e±hz
(r\,z — цилиндрические координаты точки, Jo — функция Бесселя), так
и /0°° A(k)Jo(kri)e±kzdk (A(k) — произвольная функция от к)
удовлетворяют уравнению Лапласа.
Указание. Применить разложение:
оо
_J_= j e-k^J0{krx)dk.
8.2. Специальные методы электростатики
79
8.55. В плоский конденсатор с расстоянием а между обкладками
вставлена плоскопараллельная плитка из диэлектрика, толщина которой а/2
и проницаемость е. Плитка касается одной из обкладок, обкладки
заземлены. На поверхность диэлектрика нанесен заряд q, который можно
рассматривать как точечный. Найти поле tp в конденсаторе. Выяснить, в частности,
какой вид оно имеет вблизи заряда. Представить это поле в виде
суперпозиции изображений.
8.56*. Радиусы обкладок неконцентрического сферического
конденсатора равны а,\ и а2, расстояние между их центрами равно b (а\ + b < а2)\
внешняя обкладка заземлена, внутренняя поддерживается при
потенциале V. Найти поле (р внутри такого конденсатора. Определить также его
емкость С.
Указание. Решать задачу в бисферических координатах (см.
задачу 1.97). Сделав подстановку (р = у/2 ch £ — 2 cos 77^, произвести в
уравнении для *ф разделение переменных и воспользоваться свойствами
полиномов Лежандра, в частности, разложением
оо
1 = V2Y е-^^Щсозч).
Vcn £-cos r/ ^
8.57. Найти емкость слабо неконцентрического сферического
конденсатора (6 ^ ai, 02) с точностью до б2, исходя из результата предыдущей
задачи (ср. с задачей 8.19*).
8.58. Расстояние между центрами двух проводящих сфер с
радиусами а\ и а2 равно b (b > а\ + а2). Найти емкостные коэффициенты с^
системы, используя бисферические координаты.
8.59. Две проводящие сферы, рассмотренные в предыдущей
задаче, находятся на большом расстоянии друг от друга (6 > a>i,a2). Найти
емкостные коэффициенты с^ с точностью до 1/64.
8.60. Показать, что функция (8.18) удовлетворяет уравнению Лапласа
А'(р'(г') = 0, если А(р(г) = 0.
8.61*. Две проводящие сферы с равными радиусами а касаются
друг друга. Найти емкость С системы методом инверсии. Найти также
электрическое поле ip системы, когда сферам сообщен заряд q.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 8.55.
80
Глава 8
8.62. Решить методом инверсии задачу о поле заземленной сферы
радиуса R, вблизи которой на расстоянии а (а > R) от ее центра находится
точечный заряд q (см. задачу 8.14*).
Указание. Считать известным потенциал равномерно заряженной
сферы при отсутствии точечного заряда.
8.63*. Поверхность проводника образована двумя сферами с
радиусами Ri и R2, пересекающимися по окружности радиуса а. Найти емкость С
этого проводника, исходя из результата решения задачи 8.51 о проводящем
клине в поле точечного заряда и применяя метод инверсии.
Указание. Поверхность рассматриваемого проводника описывается
в тороидальных координатах (см. задачу 1.98) уравнениями
£ = £1 = const, £ = £2 = const (sinfi = ±a/R\, sin £2 = ±а/Я2).
Достаточно рассмотреть преобразование координат в плоскости,
перпендикулярной ребру клина и проходящей через центр инверсии, который должен
быть взят на линии пересечения сфер. Для определения заряда q
проводника при заданном его потенциале удобно воспользоваться тем, что поле
на больших расстояниях от проводника имеет вид </? = q/r — V, где —V —
потенциал на бесконечности.
8.64. Найти емкости С следующих проводников:
а) полого сферического сегмента с радиусом R и углом раствора 2в\
б) полушара радиуса R.
8.65. Проводник образован двумя сферами с одинаковыми
радиусами а, поверхности которых пересекаются под углом 7г/3 друг к другу. Найти
емкость С проводника.
8.66. С помощью функции Грина (3) из примера 8.3 вычислить
потенциал, создаваемый равномерно заряженным кольцом радиуса b с
зарядом q, расположенным внутри заземленной сферической оболочки
радиусом а > Ь. Центр кольца совпадает с центром сферы.
8.67. Решить предыдущую задачу для случая, когда поле внутри
сферической оболочки создается равномерно заряженным отрезком с зарядом q,
совпадающим с одним из диаметров.
Указание. В сферических координатах с полярной осью вдоль отрезка
объемное распределение заряда имеет вид
Pext(r',#') = ±-^[6(cOS#' - 1) + *(COS0' + 1)].
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 81
8.68. Исследовать поле, потенциал и силовые линии которого
описываются аналитической функцией z = Ichw, I = const.
а) Найти форму проводников, поле которых можно представить
указанной функцией.
б) Найти силовые линии и эквипотенциальные поверхности, созданные
заряженной бесконечно длинной тонкой металлической полосой конечной
ширины.
в) Найти силовые линии и эквипотенциальные поверхности, созданные
заряженными металлическими взаимно перпендикулярными плоскостью и
полуплоскостью. Край полуплоскости находится на конечном расстоянии
от плоскости.
8.69*. Бесконечно длинные круговые цилиндры с радиусами Ri, R2
и расстоянием между параллельными осями L погружены в однородную
диэлектрическую среду с проницаемостью е. Воспользовавшись
аналитической функцией
, z + га
w = In —,
z — га
вычислить емкость системы на единицу длины. Рассмотреть случаи
L<R2-R\ иЬ> Д2 +Дь
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения
для проводников и диэлектриков
Термодинамические функции диэлектрика. Для вычисления
термодинамических функций системы, состоящей из заряженных диэлектриков и
проводников, необходимо найти элементарную работу, связанную с
изменением электрического поля. Пусть заряд г-го проводника получит
приращение Sqi, а плотность сторонних зарядов в диэлектрике возрастет на Spext(r).
Поскольку на перенос малого заряда Sq из бесконечности (где потенциал
равен нулю) в заданную точку затрачивается работа (p(r)Sq, то полную работу
можно представить в виде
5А = ^2 4>is<H + / <P&PextdV, (8.35)
где сумма берется по всем проводникам, а интеграл — по всему
пространству вне проводников, включая как области, занятые диэлектриками, так и
вакуум.
82
Глава 8
Приращение заряда проводника можно выразить через приращение
индукции вблизи его поверхности с помощью формулы (8.9):
Sqi = -— (b 8DndSi,
где нормаль, внешняя по отношению к диэлектрику, направлена внутрь
проводника. Приращение плотности внешних зарядов в диэлектрике
записываем с помощью (7.20) в виде div SD/47г и преобразуем объемный интеграл,
используя тождество div (pSD = (р div SD + SD-V(p:
f vsPextdv = ^J2^i(f DndSi + h i ipDnds+h I E'5Ddv-
Здесь всюду нормаль — внешняя по отношению к области, занятой
диэлектриком или вакуумом. Подставив это выражение в (9.35), получим
SA=± E-SDdV. (8.36)
Интеграл распространен на все пространство, связь между Е и D не
конкретизирована.
Поскольку термодинамическое состояние диэлектрика зависит от его
плотности, температуры, электрического поля и, возможно, других
параметров, то в зависимости от внешних условий элементарная работа (8.36)
может характеризовать изменение разных термодинамических
потенциалов. В случае теплоизолированного статистически равновесного тела работа
электрических сил производится при постоянной энтропии и
представляет собой изменение внутренней энергии К. Полное изменение внутренней
энергии согласно первому закону термодинамики складывается из теплоты
и работы и имеет вид
4тг/
SU = TSS+^ E-SDdV. (8.37)
Здесь в отличие от (Д3.46), внутренняя энергия тела обозначена через U,
S — энтропия тела, Т — его температура, а для малых приращений
термодинамических величин использован символ 5, чтобы-отличать их от элемента
интегрирования dV. В (8.37) не включена механическая работа за счет
изменения объема тела.
Если рассматриваемое тело находится в тепловом контакте с
окружающими равновесными телами и его температура не изменяется, то работа
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 83
представляет собой изменение свободной энергии Гельмгольца <^, а ее
полное изменение запишется в виде
8$ = -SdT + -^ / E-SDdV. (8.38)
Приведенные выше изменения термодинамических потенциалов можно
записать и для удельных величин, относящихся к единице объема
диэлектрика:
dU = TdS + Cdr + -j-E-dD, (8.39)
dF = -SdT + £dr + -^E-dD. (8.40)
Поскольку рассматриваемый объем может обмениваться с окружающим
диэлектриком частицами, то в (8.38), (8.39) включено соответствующее
слагаемое, содержащее изменение плотности массы dr и химический потенциал,
отнесенный к единице массы, £ = fi/m, где \х — химической потенциал,
входящий в (Д3.47) и отнесенный к одной частице с массой га.
В качестве независимой электрической величины в (8.38), (8.39)
выступает индукция D, которая определяется зарядами проводников (и
сторонними зарядами в диэлектрике). Несложно перейти к независимой
переменной Е, определяемой потенциалами проводников. Это достигается
введением новых термодинамических потенциалов
U(S,t,E) = U-±E-D, F(T,t,E) = F-±E-D, (8.41)
дифференциалы которых запишутся в виде
dU = TdS + <;dT--^D-dE, dF =-SdT + (dr --j-D-dE. (8.42)
47Г 47Г
Через термодинамические функции можно выразить электрическое поле и
индукцию в диэлектрике:
(8.43)
Пример 8.5. Вычислить добавки к термодинамическим функциям
U, U, F, F, S, £ диэлектрика, вызванные наличием электрического поля.
Диэлектрик изотропный, его уравнение связи D = е(Т, т)Е.
84
Глава 8
Решение. Исходим из соотношения (8.43)
(1) (§Е.) =К= о ,
Интегрируя обе части равенства, получаем
F(T,t,D)-F0(T,t) = ^. (8.44)
Диэлектрическая проницаемость е не зависит от поля, поэтому ее можно
выразить только через энтропию и плотность диэлектрика: e(S,r).
Пользуясь термодинамическим соотношением U = F + TS, получим
U(S,t,D)-Uo(S,t) = ^. (8.45)
Далее находим
U-Uo(S,t) = -^, F-F0(T,t) = -^-, (8.46)
<-(£L-«™-&(§0r- ,8-48)
где можно записать, разумеется, D2 /е2 = Е2.
Выше получены плотности термодинамических величин в системе,
состоящей из заряженных проводников и диэлектриков, в которых могут
находиться сторонние заряды. Поэтому плотность электрической энергии
отлична от нуля и вне диэлектрика (в вакууме), тогда как Sh(b вакууме
равны нулю. Проводящие тела вносят вклад в термодинамические функции
So, %и др. без поля, но полевая добавка от внутренних свойств
проводников не зависит, так как поле в них не проникает. ■
Пример 8.6. Записать энергию электростатического поля {т. е.
зависящую от поля часть внутренней энергии системы проводников и
диэлектриков) W = К — Ко через заряды проводников qi и их потенциалы
Vi для случая, когда сторонние заряды в диэлектрике отсутствуют.
Выразить указанную энергию через потенциальные (9.12) и емкостные (8.14)
коэффициенты.
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 85
Решение. Записываем энергию (8.44) в виде
a) w = Ji£dV>
где из объема интегрирования исключены проводники, внутри которых
Е = 0. Далее используем равенства Е = -V</?, V((pD) = (pV-D + D-Vip,
уравнение Максвелла VD = 0 и теорему Остроградского-Гаусса. Получим
w = - Е v> j wd5i = \£qiVi- (8-49)
Сумма берется по всем проводникам. С помощью формул (8.12), (8.14)
находим
W = \Y,8ikqiqk = \Y,dkViVk. (8.50)
i i
Полученные формулы пригодны и для неоднородного диэлектрика.
Пример 8.7. В однородное внешнее поле 8 в вакууме вносится
диэлектрическое или проводящее незаряженное тело. Выразить изменение
внутренней энергии тела через его поляризуемость, считая тело
теплоизолированным и пренебрегая изменением объема.
Решение. В случае диэлектрика имеем
U-Uo = J E'Ds~g2dV = ^ f(E+e).(D-t)dV-± fg.(D-E)dV.
Подынтегральное выражение первого интеграла в правой части записываем
в виде
(Е + £).(D -£) = -[Щ<р + 4>o)]-{D -S) = -V-[(y> + <po)(D - *)],
где фо, ip — потенциалы неискаженного и искаженного диэлектриком
поля. Здесь учтено, что VD = V•& = 0. Интеграл от полной дивергенции
обращается в нуль из-за стремления к нулю разности D — & на больших
расстояниях от тела. В результате, заменяя D — Е = АтгР, получим
U-Uo = -\ IP-8dV = -\»-$ = -\vQpUSpSu.
(8.51)
86
Глава 8
Последнее равенство является следствием однородности внешнего поля,
9= f PdV, &» = VP^8V
— дипольный момент диэлектрического тела, /3^ — его поляризуемость
(см. (8.15)). При этом поляризация и поле внутри тела могут быть
неоднородными. Однородность поля сохраняется только для тел, имеющих форму
эллипсоида (см. задачу 8.45*).
В случае проводника
и ~ * = I ^fdv = £ IjE+*и* - № - i I ^
где первый интеграл берется по области вакуума, а второй — по объему V
проводника, внутри которого Е = 0. Производя преобразования,
аналогичные выполненным выше, приводим искомую величину к виду
u~Uo = ~~h т v°E'dS'
где интеграл берется по поверхности проводника. Записываем для
однородного поля </?о = —&г, где начало отсчета радиуса-вектора произвольно, и
получаем под интегралом величину rEndS/S7r = —radS/2, где а —
поверхностная плотность заряда на проводнике. В итоге получаем электрический
дипольный момент проводника во внешнем однородном поле
9 = I radS, &» = Р^ви. (8.52)
Энергия проводника записывается через его дипольный момент в том же
виде (8.51), что и для диэлектрика. ■
Силы, действующие на проводники и диэлектрики в
электрическом поле. Пусть проводник окружен диэлектриком с проницаемостью е.
Поверхностная плотность его заряда, согласно (8.9), а = Dn/Атг. Сила,
приложенная к элементу dq = adS заряда поверхности проводника, выразится
как dF = Eefdq, где Eef — напряженность поля, создаваемая всеми
зарядами, кроме dq. На расстояниях от поверхности, малых по сравнению с
линейными размерами dS, эта площадка создает электростатическую индукцию
D' — ±2тгап как бесконечная заряженная плоскость, разных направлений
по обе стороны от площадки. Все прочие заряды, находящиеся за
пределами выбранной площадки, создают вблизи нее однородную индукцию Def.
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 87
Суммарная индукция внутри проводника равна нулю: Def — 27ran = О
(нормаль — внешняя относительно проводника). Отсюда находим Def = 2тгan
и силу, приложенную к единичной площади поверхности проводника:
п dF 2тга2п еЕ2 _ /С ^ч
/s = is = ~^ = ~wn- (8-53)
Сила направлена по нормали к поверхности и стремится увеличить объем
проводника.
Вычислим теперь плотность силы /, действующей на элементы
диэлектрической среды при их малом перемещении и деформации. Если
через и(г) обозначить вектор малого перемещения элемента среды,
находившегося в точке с координатами г, то затраченная на это работа запишется
в виде
6А = / u(r)-f(r)dV,
где интегрирование производится по объему диэлектрика. Поскольку
работа электрических сил производится за счет убыли энергии, то величина
элементарной работы с противоположным знаком равна приращению
электрической энергии, т. е.
/
6W = - u{r)-f{r)dV. (8.54)
Эту энергию в термодинамическом смысле нужно понимать как
внутреннюю энергию, если диэлектрик теплоизолирован, или как свободную
энергию, если процесс деформации изотермичен. Используя (8.44) или (8.45),
находим
" ™ = J£-E-dV. (8.55)
8тг
Если поле создается сторонними зарядами в диэлектрике, то ту же самую
энергию (8.55) можно преобразовать к другому виду
-и
W = ± I PextvdV (8.56)
(см. раздел 2.1).
Приращение энергии при малых смещениях элементов среды
представим в виде
tW = ^J <p6pextdV + \ J S<pPextdV
88
Глава 8
и в виде
5W=±- f E25edV + -^ / D-SEdV =
= sf / E4edv + h I v'DS*dV - h /5_ «^^
где символом 8 обозначено малое изменение соответствующей величины в
данной точке пространства (локальное изменение). Интеграл по
бесконечно удаленной поверхности в последнем равенстве обращается в нуль для
конечной системы. В итоге получаем
SW = 28W -8W = -± f E2SedV + /(p5pextdV. (8.57)
Рассматриваем величину е(т) как функцию плотности массы (второй
аргумент — температура или энтропия — постоянен). Имеем
8е = (де/дт)8т, (8.58)
причем локальное изменение плотности складывается из двух частей: за
счет перемещения в данную точку элемента среды с другой плотностью
т(г — и) « r(r) — u-Vr и за счет его сжатия или расширения при
перемещении. Малые добавки аддитивны. Второе изменение плотности выражается
через дивергенцию вектора деформации:
, s'V §undS ,.
О Т = —Т^гг- = —Г — = — TdlVU.
Объединяя оба результата, получаем
8т = -rV-u - u-Vt = -V-(ru). (8.59)
Точно такое же изменение испытает плотность сторонних зарядов:
Spext = -V'(PextU). (8.60)
Подставив (8.58)-(8.60) в (8.57), получим
8W = -± f E2^div(ru)dV + (<pd\v(pexsu)dV.
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 89
Использование тождества (1.85) и теоремы Остроградского-Гаусса
позволяет представить правую часть в форме (8.54), где
/ = pe^-^Ve + ^v(^fr). (8.61)
Первое слагаемое представляет собой силу, действующую на сторонние
заряды в диэлектрике. Второе слагаемое связано с неоднородностью самого
диэлектрика. Третий член не дает вклада в полную силу, действующую
на диэлектрическое тело, но влияет на распределение в нем внутренних
напряжений (электрострикция).
Формула (8.61) применима только к жидким и газообразным
диэлектрикам, у которых изменение диэлектрических свойств связано с
изменением плотности. У твердых диэлектриков возможны деформации
сдвигового характера, не вызывающие изменения плотности, но приводящие к
изменению электрических свойств, которые здесь не учтены. Кроме
того, полученная формула дает лишь силу, вызванную электрическим полем.
В неподвижной жидкости действует еще сила гидростатического давления
—Vpo(r,T), которую нужно добавить к (8.61) для получения полной силы.
Величина ро — давление в жидкости.
Тензор напряжений. Объемные силы, действующие на сторонние и
связанные заряды в некотором объеме V, можно заменить эквивалентной
системой поверхностных напряжений, приложенных к поверхности S этого
объема:
F = [ fdV= I andS, (8.62)
Jv Js
где ап — поверхностная сила, приложенная к единичной площадке с
внешней нормалью п. Поверхностные напряжения описываются тензором
напряжений а^, а величина ап представляет собой проекцию a^v на
направление внешней нормали п к элементу dS : (<?n)M = и^п».
Преобразование от / к а^ легко осуществить, воспользовавшись
тождеством (1.275) и (8.62):
f f^dV = I a^nvdS = f -^rdV,
откуда следует
i' - fe- <8-бз>
90
Глава 8
Тензор напряжений строится на основе (8.63) и (8.61). Он имеет вид
«V = ^ВД - ±& (е - gr) «V (8.64)
и представляет собой обобщение на случай наличия диэлектрика максвел-
ловского тензора напряжений, определенного равенством (4.131) при Н = 0.
Для учета гидростатического давления нужно добавить к (8.64)
слагаемое po<W
Член в (8.61), (8.64), содержащий производную от диэлектрической
проницаемости по плотности (стрикционный член), вообще говоря, не мал.
Однако, при вычислении равнодействующей сил, приложенных к
диэлектрическому телу, этот член не дает вклада и может быть отброшен
(подробности см. в [Тамм (1976)], & 34). В этом случае можно использовать более
простой (максвелловский) тензор
а'п = JL (епЕ - ±Е2п). (8.65)
На поверхности проводника Е \\ п, поэтому
/s = ап = п^. (8.66)
Пример 8.8. Записать условие равновесия плоской границы между
атмосферой (е = 1) и жидким диэлектриком, в котором имеется
электростатическое поле Е.
Решение. Силы, приложенные к поверхности с двух сторон,
должны быть равны по величине и противоположны по направлениям: {a^v +
+Po<W)ni/ = -(Vpv+PatmS^n',,, где п' = -п. Кроме того, имеем
граничные условия для компонент поля: Е\ = Et, E'n = еЕп. Из этих равенств
находим
Ро(т.Т) -раш = -^ieEl + E2t) + ^g. (8.67)
Сегнетоэлектрики. Выше рассматривалось возникновение
электрической поляризации в диэлектрике под действием внешних зарядов или
внешнего электрического поля. В некоторых ионных кристаллах поляризация
возникает при их деформациях (растяжении или сжатии в определенных
направлениях). Это явление называется пьезоэлектрическим эффектом.
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 91
К числу пьезоэлектриков относятся турмалин, винная кислота, сегнетова
соль, титанат бария и др. У некоторых пьезоэлектриков поляризация
наблюдается и в отсутствие внешних нагрузок, а также внешнего электрического
поля. Такие вещества, обладающие спонтанной поляризацией,
называются пироэлектриками (турмалин — один из самых известных пироэлектри-
ков).
Наиболее важным классом пироэлектриков являются сегнетоэлектри-
ки, которые обладают следующими основными особенностями.
1. Имеют спонтанную поляризацию в определенной области
температур. В этой области диэлектрик находится в такой кристаллической
модификации (упорядоченной фазе), которая характеризуется некоторой
спонтанной поляризацией. Температуры перехода из упорядоченной фазы в
неупорядоченную называются диэлектрическими температурами Кюри Тс- Так,
титанат бария ВаТЮз имеет спонтанную поляризацию при Т < Тс =
= 393 К = 120 °С; сегнетова соль NaKC4H406-4H20 имеет две точки
Кюри, ТС\ =2ЪЪК= -18 °С, ТС2 = 297 К = 24 °С и обладает
спонтанной поляризацией при температурах Та <Т < Тс2-
2. Переход из неупорядоченной в упорядоченную фазу может быть
фазовым переходом второго или первого рода. В первом случае спонтанная
поляризация нарастает плавно по мере удаления от температуры Кюри, во
втором случае она возникает скачком.
3. Прямая, параллельная направлению спонтанной поляризации в се-
гнетоэлектрике, называется полярной осью. Полярных осей у сегнетоэлек-
трика может быть одна (сегнетова соль) или несколько (титанат бария).
Приложением внешнего поля вдоль полярной оси направление
поляризации можно изменить на противоположное.
4. Вблизи температуры Кюри диэлектрическая проницаемость
аномально велика (до 104). Зависимость индукции D от электрического поля
нелинейна и неоднозначна.
5. Сегнетоэлектричество — достаточно распространенное явление,
которое находит все более широкие практические применения. Известны
многие десятки сегнетоэлектрических веществ.
Основные свойства сегнетоэлектриков можно объяснить на основе
феноменологической термодинамики. Начнем с рассмотрения спонтанной
поляризации на основе теории Л. Д. Ландау (см. [Ландау и Лифшиц,
Статистическая физика]) фазовых переходов второго рода. Для анализа свойств
сегнетоэлектриков эту теорию применил В. Л. Гинзбург3 ([Гинзбург (1949)],
3Виталий Лазаревич Гинзбург (1916) — выдающийся советский физик-теоретик,
получивший важные результаты в теории сегнетоэлектричества, сверхтекучести и сверхпроводимости,
92
Глава 8
см. также [Гинзбург (2001)]). Анализ основан на предположении, что
удельный термодинамический потенциал Гиббса Ф вблизи точки Кюри и в
отсутствие внешнего электрического поля можно представить в виде разложения
по четным степеням вектора поляризации
Ф(р, Г, Р) = Ф0(р, Т) + \а[р, Т)Р2 + I/J(p, T)P\ (8.68)
где высшими степенями пренебрегается, а диэлектрик предполагается
изотропным. Величина Р представляет собой проекцию вектора поляризации
на полярную ось и должна входить в четных степенях, поскольку
энергия изотропного тела не может зависеть от направления Р. Поляризация
в данном случае играет роль «параметра порядка», отличного от нуля в
упорядоченной фазе. Ее равновесное значение при заданном давлении р
и температуре Т определяется из условия минимума термодинамического
потенциала
||=0, 0>О. (8.69)
В применении к (8.68) условия (8.69) дают
Р{а + (5Р2) = 0, а + 3(ЗР2 > 0. (8.70)
Теперь рассматриваем две области температур. При Т > Т^с
(неупорядоченная фаза) равновесная поляризация Р — 0, и из (8.70) следует а > 0.
При Т <Тс (упорядоченная фаза) находим из (8.70) равновесное значение
поляризации:
Р02 = -|>0, е*<0, 0>О. (8.71)
Чтобы равновесная поляризация отсутствовала в неупорядоченной фазе,
необходимо считать (5 > 0 и при Т > Тс- Таким образом, вблизи
температуры Кюри (\Т - Тс\ « Тс) зависимость коэффициентов разложения
а, /3 от температуры выглядит следующим образом:
а(р, Т) « а(р)(Т - Тс), /3(р, Т) « /J(p, Tc) = const. (8.72)
Эти соотношения позволяют найти температурную зависимость спонтанной
поляризации вблизи температуры Кюри:
Р$ = ^(ТС-Т), Т<ТС. (8.73)
классической и квантовой электродинамике, физике космических лучей, физике плазмы,
радиоастрономии, астрофизике и др. За работы по сверхтекучести и сверхпроводимости (см.
раздел 9.4) ему присуждена в 2003 г. Нобелевская премия.
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 93
Зависимость термодинамического потенциала Гиббса от поляризации,
иллюстрирующая возникновение спонтанной поляризации, приведена на
рис. 8.9.
Для вычисления диэлектрической восприимчивости включим внешнее
электрическое поле, которое добавит к плотности термодинамического
потенциала (8.68) слагаемое —РЕ:
Ф(р, Г, Р) = Ф0(р, Т) + Ь(р, Т)Р2 + Ь(р, Т)Р4 - РЕ.
(8.74)
Условия равновесия сегнетоэлектрика (8.69) во внешнем поле принимают
вид
Р(а + (ЗР2) -£7 = 0, с* + 3/ЗР2 > 0. (8.75)
При Т > Тс спонтанная
поляризация отсутствует, и в слабом поле
можно пренебречь кубическим членом: Р =
= Е/а = (е - 1)Е/47г, откуда
С
Т-Тс
(8.76)
Рис. 8.9
Здесь С — Атг/а — константа Кюри, а
зависимость (8.76) от температуры
называется законом Кюри-Вейсса. Константа
Кюри лежит в пределах 103 —105, поэтому диэлектрическая проницаемость
вблизи температуры Кюри весьма велика.
В упорядоченной фазе (Т < Тс) при наличии
внешнего поля полная поляризация зависит от поля согласно
первому уравнению (8.75):
Е = аР + (ЗР3.
(8.77)
Г>
/
О
9 Е
Ь
График этой зависимости приведен на рис. 8.10.
Участок ab на кривой Р(Е) соответствует
неустойчивому состоянию. На этом участке, как видно из
рисунка, dE/dP < 0, тогда как минимум термодинамического
потенциала имеет место при dE/dP > 0, что совпадает
со вторым условием (8.75). Из рисунка видно также, что
при уменьшении поля Е и изменении его знака
поляризация Р меняет знак не сразу, а при достижении полем некоторой конечной
Рис. 8.10
94
Глава 8
величины, которая определяется точками / и д. Изменение направления
поляризации происходит скачком (переход из точки а в точку d и из точки b в
точку с).
В слабом поле Е нетрудно выделить ту часть поляризации Pind, которая
создается полем. Записываем Р = Ро + Pind, Pind < Ро, где Р0 = -а//3,
и находим из (8.76) P{nd — —Е/2а. Из сравнения с аналогичной формулой
для неупорядоченной фазы следует, что диэлектрическая восприимчивость
в точке Кюри испытывает скачок и уменьшается в два раза при переходе в
упорядоченную фазу.
Как уже отмечалось, существуют такие сегнетоэлектрики, у которых
спонтанная поляризация возникает скачком при некоторой температуре То,
а значение температуры Тс, при которой диэлектрическая проницаемость
имеет особенность, на несколько градусов ниже То. Такие случаи
интерпретируются как фазовые переходы первого рода, и их оказывается возможным
объяснить путем некоторой модификации изложенной выше теории.
Пусть параметр /3 < О в разложении (8.74). Среда с такой свободной
энергией Гиббса становится неустойчивой относительно спонтанного
роста Р при всех температурах, при которых выполняется указанное
неравенство, и использованное разложение становится некорректным. Его нужно
продолжить,
Ф(р, Т, Р) = Ф0(р, Т) + ±а(р, Т)Р2 + i/J(p, Т)Р4 + ±7(р, Т)Р6 - РЕ,
(8.78)
причем нужно потребовать выполнения
неравенства 7 > 0 (разложение Гинзбурга-
Девоншира). Для того, чтобы при некоторой
температуре То скачком возникла спонтанная
поляризация, требуется поведение
термодинамического потенциала как функции
температуры и поляризации, схематически
изображенное на рис. 8.11. Кривая при T = Tq
имеет три минимума одинаковой глубины,
что означает возможность существования
при этой температуре трех равновесных значений поляризации, Ро — О
и ±Ро ф 0. Спонтанная поляризация в точке фазового перехода должна
удовлетворять условию
Рис. 8.11
с*+1/?Р02 + 17Р04 = 0,
(8.79)
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 95
вытекающему из (8.78), и условию экстремума
^ = Р0(а + /И* + 7Р04) = 0. (8.80)
Исключив из двух последних равенств ^Pq, находим
p» = -f>0' -> = Ш <881)
Поскольку /3 < 0, то должно быть а>0в точке фазового перехода. Таким
образом, при переходе из области Т > То в область Т < То поляризация
скачком меняется от нуля до значения учЗЩ/Ф-у. Скачок диэлектрической
проницаемости при фазовом переходе вычисляется в задаче 8.85.
Остановимся на недостатках и ограничениях изложенной теории се-
гнетоэлектриков. Она является феноменологической и не позволяет
вычислить коэффициенты разложения а, /3,7- Теорию, устанавливающую их
связь с микроскопическими параметрами вещества, можно найти в
книгах [Вакс (1973), Блинц и Жекш (1975)]. Рассмотренная теория применима
вблизи точки фазового перехода, но не слишком близко к ней. Причиной
последнего ограничения является наличие флуктуации поляризации, которые
не должны превосходить ее среднего значения Pq. Именно с этим
средним значением мы и имели дело в изложенной термодинамической
теории. Наконец, сегнетоэлектрик достаточно больших размеров в отсутствие
внешнего поля разбивается на области с противоположной поляризацией —
домены. Выше рассматривались только однодоменные сегнетоэлектрики.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Статистическая
физика; Кубо (1970); Бредов и др., Классическая электродинамика; Сивухин,
Электричество; Тода и др. (1983); Батыгин и Топтыгин (2002); Барфут
(1970); Струков и Леванюк (1995); Лайнс и Гласе (1981); Галицкий и Ерма-
ченко(1988)].
Задачи
8.70. Формула (8.45) дает изменение плотности внутренней энергии
теплоизолированного тела при включении электрического поля. При этом
температура тела может изменяться. Вычислить изменение плотности
внутренней энергии при изотермическом (Т = const) процессе. Изменениями
объема и плотности массы пренебречь.
96
Глава 8
8.71. Вычислить теплоту Q на единицу объема, которую получает
или отдает диэлектрик при изотермическом изменении поля от 0 до Е.
8.72. Записать плотности термодинамических функций для
анизотропного диэлектрика с линейным уравнением связи D^ = e^vEv. Исходя
из термодинамических соотношений, доказать, что тензор диэлектрической
проницаемости анизотропного диэлектрика симметричен, e^v — evyi.
8.73. Вычислить производную dT/dD2, характеризующую
изменение температуры теплоизолированного диэлектрика при его поляризации
(электрокалорический эффект). Изменением плотности пренебречь.
8.74. В газообразном диэлектрике, состоящем из жестких диполь-
ных молекул, электрическое поле адиабатически нарастает от нуля до Е.
Вычислить изменение температуры Т2 - Т\ (в градусах Кельвина) с
помощью диэлектрической проницаемости (7.34). Оценить по порядку величины
эффект охлаждения АТ/Т для газа при нормальных условиях.
8.75. Пусть в изотропной диэлектрической среде с
проницаемостью е\ создано поле Е\. Затем в эту среду внесено незаряженное
диэлектрическое тело объемом V с диэлектрической проницаемостью €2-
Показать, что внутренняя энергия системы изменится на величину
U=±J(e1-e2)EvE2dV, (8.82)
где £?2 — электрическое поле после внесения тела. Величину U можно
рассматривать как энергию взаимодействия диэлектрического тела с внешним
полем.
8.76. Вычислить изменение теплоемкости диэлектрика при
постоянном объеме и электрической индукции Су о — Су о за счет включения
электрического поля. Сравнить эту разность с разностью Суе - Су о,
считая уравнение связи между D и Е линейным.
8.77. Вычислить разность удельных теплоемкостей диэлектрика Се -
- Со, не предполагая линейного характера зависимости между D и Е. При
этом остаются фиксированными также либо объем V, либо давление р.
8.78. Доказать, что удельные теплоемкости диэлектрика могут быть
представлены формулами
cd={%)d се=(ш)е-еШ0>
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 97
где Р — удельный дипольный момент диэлектрика, а индексы указывают,
какой параметр остается постоянным.
8.79. В нелинейном случае диэлектрическая восприимчивость а =
= дР/дЕ зависит от условий процесса поляризации: остается ли
диэлектрик теплоизолированным, или он находится в контакте с термостатом,
поддерживающим его при постоянной температуре. Найти связь между
адиабатической и изотермической восприимчивостями:
СР
где теплоемкости Ср, Се соответствуют постоянству поляризации и
электрического поля.
Указание. Применить метод якобианов.
8.80*. Диэлектрическое тело поляризуется в воздухе во внешнем
однородном электрическом поле 8, причем форма тела такова, что
электрическое поле Е внутри тела тоже остается однородным. Считая процесс
поляризации изотермическим и изобарическим, вычислить изменение
объема тела AV <С V («электрострикция»), выразив его через поляризуемость,
сжимаемость и внешнее поле.
8.81. В условиях предыдущей задачи вычислить теплоту Q,
приобретаемую телом в процессе поляризации.
8.82. Пусть в жидком диэлектрике электрическое поле возрастает
изотермически от нуля до заданного значения Е. Показать с помощью
формулы (8.61), что в пренебрежении изменением плотности давление
увеличивается на величину:
р-ро = -8^д^- (8-83)
8.83. Вычислить плотность электрической силы /, действующей
в однородном незаряженном газообразном диэлектрике. Воспользоваться
формулой (7.34) для диэлектрической проницаемости газа.
8.84. Сделать то же самое, использовав для диэлектрической
проницаемости формулу (7.37).
8.85. Пользуясь разложением (8.78), вычислить скачок
диэлектрической проницаемости сегнетоэлектрика при фазовом переходе первого рода.
Найти связь между температурами То и Тс-
98
Глава 8
8.86. а) С какой силой /0 на единицу площади притягиваются друг
к другу в вакууме обкладки плоского конденсатора, если расстояние между
ними а, разность потенциалов V; б) какое новое значение / примет эта сила,
если заряженный конденсатор отделить от батареи, а потом либо наполнить
его жидким диэлектриком с проницаемостью е, либо вставить в него плитку
из твердого диэлектрика с тем же е, толщина которой чуть-чуть меньше а,
так что она не касается обкладок; в) какова будет сила / притяжения
обкладок, если сначала либо залить конденсатор жидким диэлектриком, либо
вставить в него плитку из диэлектрика, а потом зарядить?
8.87. Обкладки плоского конденсатора находятся на расстоянии h\
друг от друга и имеют форму прямоугольников со сторонами а и 6. Между
пластинами параллельно им помещена плитка из диэлектрика е, имеющая
форму параллелепипеда с толщиной /i2 и основанием ах Ь. Плитка не
полностью вставлена в конденсатор — внутри него находится часть х стороны а.
Найти силу F, с которой плитка втягивается в конденсатор, в двух
случаях: а) на обкладках поддерживается постоянная разность потенциалов V;
б) постоянен заряд q обкладок. Краевые эффекты не учитывать.
8.88*. Плоский конденсатор погружен в несжимаемую жидкость с
диэлектрической проницаемостью е и плотностью г так, что его обкладки
расположены вертикально. Расстояние между ними d, разность
потенциалов V. Определить высоту h поднятия жидкости в конденсаторе.
Указание. Применить формулу (8.67).
8.89. Как направлено максвеллово натяжение а'п, действующее на
площадку dS, нормаль п к которой составляет угол д с направлением
поля Е1 Какова величина ст'п1 Как направлено стрикционное натяжение <т^?
8.90. Два одинаковых точечных заряда q находятся в однородном
жидком диэлектрике е на расстоянии а друг от друга. Вычислить с
помощью максвеллова или полного тензора натяжений силу F, действующую на
каждый из зарядов. Выяснить, из каких составляющих складывается сила
электрического взаимодействия зарядов q2/a2e. Для сравнения вычислить
силы, приложенные: а) к плоскости симметрии, перпендикулярной линии,
соединяющей заряды; б) к поверхности малой сферы, в центре которой
находится один из зарядов.
8.91. Незаряженная проводящая сфера радиуса R с массой m плавает
в жидкости с диэлектрической проницаемостью е и плотностью г,
погрузившись в нее на четверть своего объема. До какого потенциала </?о нужно
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 99
зарядить сферу, чтобы она погрузилась наполовину? Решить задачу: а) с
использованием тензора натяжений Максвелла; б) с использованием полного
тензора натяжений, включающего стрикционный член.
8.92. Найти силу F, приложенную к точечному заряду в задаче 8.8
(сила электрического изображения). Решить задачу несколькими
способами, в частности, с помощью тензора натяжений Максвелла. Если заряд
способен двигаться через диэлектрики, описать качественно характер этого
движения.
8.93*. Два однородных диэлектрика с проницаемостями в\ и £2
заполняют все пространство, соприкасаясь вдоль бесконечной плоскости. Два
заряда q\ и <?2 находятся на прямой, перпендикулярной к этой плоскости,
на равных расстояниях а по разные стороны от нее. Найти силы F\ и^,
действующие на каждый из зарядов. Чем объясняется неравенство этих
сил?
8.94. Точечный заряд q находится в однородном диэлектрике на
расстоянии а от плоской границы бесконечно протяженного проводника. Найти
электрическое поле </? в диэлектрике, распределение а индуцированных
зарядов на металле и силу F, действующую на заряд q.
8.95. Электрический диполь с моментом р находится в однородном
диэлектрике вблизи плоской границы бесконечно протяженного
проводника. Найти потенциальную энергию взаимодействия U диполя с
индуцированными зарядами, силу F и вращательный момент N, приложенные к
диполю.
8.96*. Два одинаковых точечных заряда <?i = <?2 = <7 находятся на
расстоянии а друг от друга в твердом диэлектрике с проницаемостью е\.
Заряды расположены в центрах малых сферических полостей радиуса R.
Найти силы, действующие на заряды. Сравнить с электрическими
натяжениями, приложенными к плоскости симметрии, перпендикулярной линии,
соединяющей заряды.
8.97*. Диэлектрический шар радиуса R с проницаемостью е\
находится в однородном диэлектрике с проницаемостью е2- На
расстоянии а > R от центра шара расположен точечный заряд q. Найти поле tp
во всем пространстве и получить соответствующим предельным
переходом поле проводящего шара; найти также силу, действующую на заряд q
вследствие созданной им поляризации шара. Как изменится эта сила,
если поместить симметрично относительно центра диэлектрического шара
другой такой же точечный заряд?
100
Глава 8
8.98*. Изолированная металлическая сфера радиуса а находится
внутри полой металлической сферы радиуса 6. Расстояние между центрами
сфер равно с, причем с « а, с С !). Полный заряд внутренней сферы
равен q. Определить распределение заряда а на внутренней сфере и
действующую на нее силу F с точностью до членов, линейных по с.
8.99. Найти энергию U и силу F взаимодействия точечного заряда q
с заземленным проводящим шаром радиуса R. Заряд находится на
расстоянии а от центра шара. Система помещена в однородную диэлектрическую
среду с проницаемостью е.
8.100. Точечный заряд q находится в диэлектрике на расстоянии а
от центра проводящей изолированной сферы радиуса R. Заряд сферы Q.
Найти энергию U и силу F взаимодействия заряда со сферой.
8.101. Каким условиям должен удовлетворять пробный заряд q
(в смысле его величины и положения в пространстве), чтобы можно было
с его помощью исследовать поле системы зарядов, находящихся на
проводящих и диэлектрических телах, в частности, поле заряженного шара в
однородном диэлектрике?
8.102*. Электрический диполь р находится в однородном
диэлектрике на расстоянии г от центра заземленного проводящего шара
радиуса R. Найти систему изображений, эквивалентную индуцированным
зарядам, энергию взаимодействия U диполя с шаром, силу F и вращательный
момент N, приложенные к диполю. Рассмотреть предельный случай г —> R
(г > R).
8.103. В проводнике вырезана сферическая полость радиуса R. В
центре полости находится электрический диполь с моментом р. Найти
распределение а зарядов, индуцированных на поверхности полости. Какое поле Е'
создается в полости этими зарядами?
8.104*. В однородном диэлектрике с проницаемостью е имеется
электрическое поле, потенциал которого в окрестности некоторой точки О
может быть представлен в виде
^ = Ev2^Ta'ror'r'ro(,?'a)-
l,m
Пусть затем в окрестности точки О нарушена однородность и
нейтральность диэлектрика (например, туда помещен проводник, вообще
говоря, заряженный, или диэлектрик с проницаемостью е\ ф е). Вследствие
8.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 101
этого, потенциал электрического поля вне области неоднородности примет
теперь вид у? = ^ + </?2, где
— потенциал поля, вызванного свободными и связанными зарядами в
области неоднородности (множитель е введен для удобства). Найти
потенциальную энергию U взаимодействия области неоднородности с внешним
полем </?1.
Указание. Рассмотреть электрические натяжения, действующие на
замкнутую поверхность, охватывающую область неоднородности.
Использовать результат задачи 2.66.
8.105. Найти энергию взаимодействия со слабо меняющимся
внешним полем С/о малой области неоднородности в диэлектрике (см.
предыдущую задачу). Вследствие быстрой сходимости достаточно ограничиться
членами с I = 0 и 1. Результат представить в векторной форме. Найти в этом
приближении силу F и вращательный момент N, приложенные к области
неоднородности.
8.106. Показать, что незаряженное диэлектрическое тело с
проницаемостью во, находящееся в диэлектрике с проницаемостью е, втягивается
в область с большей напряженностью электрического поля, если во > е,
и выталкивается из этой области, если во < е.
Указание. Использовать формулу (8.82).
8.107. В общем случае компоненты дипольного момента р,
приобретенного диэлектрическим телом во внешнем однородном поле Е, можно
представить в виде щ = fakEk, где fak — симметричный тензор
поляризуемости тела. Какую ориентацию стремится занять это тело во внешнем
однородном поле? Тело не заряжено, fak'xiXk > 0, ж* (г = 1,2,3) —
произвольный вектор.
8.108. Стержень из диэлектрика с проницаемостью е\ погружен в
однородную жидкую диэлектрическую среду с проницаемостью еъ- Какую он
займет ориентацию, если систему поместить в однородное внешнее поле?
Какую ориентацию займет тонкий диск, находящийся в жидком
диэлектрике?
8.109. Найти силу F, действующую на диэлектрический шар со
стороны точечного заряда q (см. условие задачи 8.97*).
102
Глава 8
Рассмотреть предельный случай проводящего шара. Решить задачу
двумя способами: методом задачи 8.104* и с помощью формулы (8.82).
8.110. Собственные емкости двух проводников, находящихся в
однородном диэлектрике, С\ и Сч, расстояние между проводниками г много
больше их размеров. Найти действующую между ними силу F, если
поддерживаются постоянными либо их потенциалы V\ и V^, либо заряды q\ и ф.
8.111. Два одинаковых сферических конденсатора с радиусами
внутренних и внешних обкладок, соответственно а и 6, изолированы и
находятся на большом расстоянии г друг от друга. Внутренним сферам сообщены
заряды q и q\, после чего внешние сферы соединяются проволокой. Найти
(приближенно) изменение AW энергии системы.
8.112. Заземленная внешняя обкладка сферического конденсатора
имеет малую толщину. В ней проделано небольшое отверстие, через
которое проходит изолированный провод, соединяющий внутреннюю обкладку
конденсатора с третьим проводником, находящимся на большим
расстоянии г от конденсатора. Собственная емкость этого проводника С и вместе
с внутренней обкладкой конденсатора он несет заряд q. Радиус внешней
обкладки конденсатора 6, радиус внутренней обкладки а. Найти силу F,
действующую на третий проводник.
8.113*. Для удаления одной заряженной частицы из проводника
требуется затратить некоторую работу А > 0, которая называется работой
выхода и зависит как от рода проводника и его термодинамического
состояния, так и от рода частицы (электрон, ион).
1. Выразить работу выхода через поверхностную плотность к диполь-
ного момента, образующего двойной электрический слой на поверхности
проводника (двойной электрический слой рассмотрен в примере 2.6 и
задача 2.42, 2.43).
2. Выразить разность потенциалов (ръ — <ра, которая установится
между двумя проводниками при их соприкосновении, через их работы выхода
3. Выразить через работы выхода двух проводников Аа, Аъ
электростатический потенциал <р и электрическое поле внутри двугранного угла 7,
образованного указанными проводниками. Проводники находятся в вакууме
и соприкасаются вдоль бесконечной полуплоскости (см. рис. 8.32).
8.114. Плоский конденсатор имеет обкладки в виде дисков
радиусом а с расстоянием h <^C а между ними и заполнен диэлектриком с
проницаемостью е. Заряд q(t) на обкладках медленно изменяется. Пренебрегая
8.4. Ответы и решения
103
краевым эффектом, вычислить изменение dW/dt электростатической
энергии конденсатора и показать, что это изменение совпадает с потоком вектора
Пойнтинга через боковую поверхность.
Указание. Вычислить магнитное поле в конденсаторе с помощью
уравнения Максвелла (11.12) и соображений симметрии.
8.4. Ответы и решения
8.1.
т ,п 2 д п 2ег дг _ 2е2 дг
£i + £2 т ех + е2 г3 ег + е2 г3
8.2.
27г д n 27T£i дг
E\ol\ +е2а2+еза3г зд+эд+адг3
8.3. Граничным условиям (</? — const на поверхности проводника
и (р = 0 при г —► оо) можно удовлетворить потенциалом вида </? = С/г;
постоянная С определяется из условия § Dn dS = Anq, С = 2/(е\+е2). От-
s
сюда находим потенциал (р — 2q/{e\ +e2)r и распределение поверхностных
зарядов:
де\ де2
2тга2(е1 + е2)' 2^a2(ei + е2)'
_ q(ei - 1) _ q(e2 - 1)
/?lint — ~ т; Г» a2int
8.4.
8.5.
2тга2(£1 + е2)' m 2тга2(£1 + е2)'
с=[(£:1)п+л а<>
47Г
Ъ — а
Ye\ \а с) е2 \с 6/J.
104
Глава 8
Связанные заряды находятся в местах неоднородности диэлектрика т. е. на
сферах радиусов а, 6, с:
Q €i - 1 Q £2-1 Я_
47raz £i 47r6z 62 4ttcz \£2 £i
где q — заряд внутренней обкладки конденсатора.
Полный связанный заряд в конденсаторе равен нулю.
8.7. Емкость конденсатора
e0S
С =
47га In 2'
Поверхностная плотность связанных зарядов
(У int = -<т\1- 1/еЛ при х = 0,
(У int = <т( 1 - 1/2^о) при х = а.
Объемная плотность pint — -аа/ео(х + а)2 (а — заряд обкладки
при х = 0).
8.8. При z > 0:
= _ 9 (gl ~ g2) 9
при 2^0:
2 Q
8.9.
1 Г/ -,ч^2 , ,4^1"
^ = ^[(,2-1)^-^-1)^
9а ei - e2
2=о 27гг3 е\{е\ + е2У
где г = ^х2+у2+а2 = ri\z=Q = r2\z=Q.
При ^2 —> °° получаем случай точечного заряда q, находящегося
в диэлектрике £\, у границы с плоским проводником. При этом aint —►
—qa/27reir3. Эта предельная плотность на самом деле представляет собой
8.4. Ответы и решения
105
сумму плотностей связанного заряда на границе диэлектрика и свободного
заряда на поверхности проводника.
8.10. Поле внутри двугранного угла создается системами зарядов,
изображенными на рис. 8.12.
-Я
+Я
Т±
о, = 90° +2
8.11. Введем полярные координаты, выбрав полюс в центре сферы
и ось Oz || Eq. Потенциал можно искать в виде ряда по полиномам Лежан-
дра (ср. с решением задачи 8.14). Окончательный результат:
Ч>\ = -
Зе2
€Х + 2е2
E0rcosfi при г < а,
(£i -g2)£oa3cos#
</?2 = -Eorcosv -\ при г > а.
(е1 + 2е2)г2
Внутри шара получается однородное электрическое поле,
напряженность которого
Ei
Зе2
£i + 2е2
Е0
(>Е0
\<Е0
при е2 > е\,
при 62 < е\.
Вне шара на внешнее однородное поле Eq накладывается поле
электрического диполя, момент которого
р = Е0а
з gi ~ g2
ei + 2е2'
106
Глава 8
Это вторичное поле вызвано связанными зарядами на поверхности
диэлектрического шара:
&int
3 £\-£2
47г е\ + 2е2
Eocosd, pint = 0.
Легко понять причину такого распределения зарядов, представив себе
каждый малый элемент поляризованного диэлектрика в виде элементарного
диполя.
8.12. Для диэлектрика с неизменной поляризацией Е = АтгР/3 (см.
задачу 2.38).
Для обычного диэлектрика
АЕ = -
\1>ке
(2е + 1)(е-1)-
8.13.
Рис. 8.13
if:
-Дот + ^f (г^Д),
где р = R3E0, R3 — поляризуемость шара; а =
= 3£o^ocos??/47r.
8.14. Выберем полюс сферической
системы координат в центре шара (рис. 8.13),
полярную ось проведем через точечный заряд. Будем
искать потенциал в форме
<р(г,д,а) = щ-+
(1)
+ 5^(а/тгЧ-^)лт(со8^)е*'
1,тп
где г\ — расстояние от q\ до точки наблюдения. Ряд, входящий в (1),
очевидно, описывает поле зарядов, индуцированных на шаре. Это поле должно
исчезать на бесконечности, поэтому а/ш = 0. Вследствие симметрии потен-,
циал не зависит от угла а, поэтому члены ст/0 также отсутствуют.
Оставшиеся константы 6/ = Ью определим из граничных условий.
8.4. Ответы и решения
107
В случае а) потенциал шара <р(Д,#) = V — const. Воспользуемся
разложением для q/r\ из задачи 2.30:
Отсюда bi = -qR21*1 /ea1*1 при I ф 0, &о = VR-Rq/ea, так что потенциал
вне шара
(2) ^(Г,0) = _ + ___2Д—J .
Теперь находим плотность зарядов, наведенных на поверхности шара:
о «**>- -£gl_- & -s|<2'+'>£?«<«-*>■
В случае б) потенциал V неизвестен и должен быть выражен через
заряд Q шара. Очевидно,
Q = 2тг [a(R,d)R2smddd = eVR - ^,
откуда У = Q/eR + q/ea. Используя задачу 2.30, можно записать (2) в виде:
(4) <Р=щ + —ёГ--Щ>
где
q' = q§, r2 = Vr2 +a'2 -2a'rcostf, a' = ^L.
Таким образом, потенциал точечного заряда и заряженного шара в
области г > а сводится к потенциалу четырех точечных зарядов,
расположенных на оси симметрии: заряда q на расстоянии а от начала координат
и трех его изображений — зарядов Q и qf = qR/a в начале координат
и заряда — q' в гармонически сопряженной относительно поверхности шара
точке а' = R2/а. Заряд — q' описывает действие зарядов, индуцированных
на ближайшей к q стороне поверхности шара. Знак этих зарядов, очевидно,
противоположен знаку q. Заряд +q' описывает действие зарядов одного с q
знака, индуцированных на удаленной от q части шара.
108
Глава 8
Если шар нейтрален, то член с Q отсутствует. Если шар
заземлен (V = 0), то потенциал принимает вид
(5)
^ ег\ ег2 '
8.15.
^М) = ^~к + У
(рис. 8.14), где
Рис. 8.14
Я =Я-а> а =~аГ-
8.16.
(рис. 8.15), где
/ qa i/ а2
e=T' b=T-
Заряд на выступе равен
б2-а2
Q=-q
1
Рис. 8.15
bVa2+b2
8.17. ip = ifi = qjer\ — вне шара, <р = <р3 = q/£\R\ — впроводнике,
ip = (р2 = q/e2T\ - q'/б2Г2 + q/e\R\ — в полости (рис. 8.16), где q' =
= qR2/a, a' = Щ/а.
8.18.
1 + 1
</?2
= <£
21 + 1
а
-—Pj(costf) при г ^ Я,
^е11 + е2(1 + 1)г1+1'
где ri — расстояние от точки наблюдения до заряда q.
8.4. Ответы и решения
109
Рис. 8.16
При а = 0,
8.19.
Ч>\
AC
e2R'
a2b2c2
8.20.
8.21.
С
= * = IГ
Ч>\ - V2 2 L
(b-a)2{b3-a3)'
2-R2-Rh-i
arcch ■
a = ±LTL = ±
47Г
"27Г
Ч>\-ЧЪ ^L 2Д1#2
R + (a — 6) cos a;
Я2 + (a - b)2 + 2Я(а - b) cos a
i? + (a + 6) cos a
R2 + (a + 6)2 + 2Я(а + 6) cose*
где b = \Ja2 - R2, угол 0 ^ a ^ 27г характеризует положение точки на
поверхности одного из цилиндров. Плотность поверхностных зарядов
обладает зеркальной (т. е. с изменением знака) симметрией относительно
плоскости, расположенной посредине между цилиндрами.
по
Глава 8
8.22.
С =
1
arcch
2R1R2
8.23. Если оси Ox, Оу, Oz параллельны главным осям тензора ецс, то
(1) <p(x,y,z) = £j =
г' у/еМеМеМ L£{x) £{y) £{z)
г2 у2_ г2
При произвольной ориентации координатной системы формула (1)
запишется в виде
(2)
<Р(г) =
\J\£ik\£zkX>
Хк
где \€гк\ — определитель тензора £^.
8.24.
IP е, (£гк ~ Sik)riiEok
Ь = Ь0 П.
8.25. С = Se^ /Ana, где z — координата, нормальная к пластинам
конденсатора.
8.26. Если выбрать оси Ox, Oz в плоскости (Eq, п), Oz \\ п, то
tgtf
Ех
Ez
1 -Szxtgdo'
где tg#o = Eqx/Eqz- При этом силовая линия в диэлектрике остается
в плоскости (Ео, п).
8.27. Из теоремы взаимности Грина и формулы (8.12) находим
Yli,k(sik ~ Ski)qiq'k = 0. Поскольку заряды проводников q{, q'k
независимы, из этого равенства следует искомое соотношение.
8.28. Обозначим через q\ заряд первого проводника и через q' заряд на
внешней поверхности второго проводника (заряд на внутренней
поверхности второго проводника равен — q\, как это следует из электростатической
теоремы Гаусса). Система (8.14) принимает вид:
(1)
Q\ = cnVi +c12V2, l
-<7i + ч' = C12V1 + C22V2. J
8.4. Ответы и решения
111
Сложив эти уравнения, получим
(2) q = (си + ci2)Vi + (ci2 + с22)^2.
Заданием q' определяется поле во всем внешнем пространстве, в
частности, потенциал V2 второго проводника. Равенство (2) должно, таким
образом, иметь место при любых значениях V\ и фиксированных qf, V2, что
может быть, только если
(3) Сц+С12 = 0.
При этом первое из уравнений (1) принимает вид:
(4) qi=cu(V1-V2).
Из (2), (3) и (4) следует, что
С = Си = -Ci2 = -С21, С = Ci2 + С22-
8.29.
С22 в Сц Ci2
5ц = 2~, 522 = 2~' 5l2 = §21 = 2~*
С11С22 ~~ с12 с11с22 ~~ с12 с11с22 ~~ с12
8.30.
п п С\ С2
Cii«Gi, С22-С2, С12 = С21 « ^г-.
8.31.
2
£г _ С11С22 ~~ С12
СЦ +С22 + 2Ci2"
8.32.
8\\ -2512 + 513 9 9 Л 9 511-5139
Ql ~ 5Ц-512 8' **=2' *3"4' 94 = 51Г^18-
8.33.
2а Л а За2
91 = -у9. 92 = -^, © = -£г<7.
8.34.
Vb - Vp Vi - VP
112
Глава 8
8.36. Собственная емкость объединенного проводника:
СОО = СЦ +С22 + 2ci2-
Взаимная емкость объединенного проводника и г-го проводника системы:
СОг = Сц + С2г-
8.37. Шарик и проводник приобретают при соприкосновении один
и тот же потенциал
У\ = qsn +(Q- q)s12 = qsn + (Q - q)s22 = V2,
откуда
(1) flU^li G_i,
V ) 522 " 512 q
где Sik — потенциальные коэффициенты (индексы 1 и 2 относятся
соответственно к шарику и к проводнику).
Обозначим через qu заряд проводника после к-то подсоединения. Из
равенства потенциалов проводника и шарика при соприкосновении следует:
QkSn + (Q + qic-i ~ qk)s\2 = qkS\2 + (Q ~ q + <7/c-i)s22-
Отсюда, используя (1), получим рекуррентное соотношение,
связывающее qk-\ и qk:
(2) <7fc = <7+^<7/c-i-
Последовательное применение формулы (2) с переходом в дальнейшем
к пределу к —> оо дает окончательно:
2 /fl\3
«=л*=«[1+й+Ш +© +-] =
_ jQ_
Q • \QJ ' \QJ ' "'J Q-<j'
8.38. Уравнение Лапласа принимает вид:
8.4. Ответы и решения
113
Это уравнение должно быть проинтегрировано с граничными
условиями (р = const при £ = О (на поверхности эллипсоида), </? —> 0 при £ —> оо.
Выполняя интегрирование и воспользовавшись для определения
постоянной интегрирования тем, что при г = у/х2 + у2 + z2 —> оо, £ —> г2,
получим:
оо оо
ч
Отсюда
<9</?| _ £ / 1 ^</А _ Я /^2 ^2 г2\_1/2
1*=о
An дп
J.(JL^£.\ = * (х2 у2 z2\
4ttUi ^Л=о 4тга6с\а4 б4 с4/
Плотности зарядов на концах полуосей прямо пропорциональны длинам
полуосей: аа: оъ: сгс = а : Ъ : с.
8.39. При а = b > с (сплюснутый эллипсоид):
9 ' , а2-с2 п л/а2 - с2
у/а2 - с2 у £ + с2 ' arccos(c/a)
В частности, при с = О (диск) С = 2а/7г.
При а > Ь = с (вытянутый эллипсоид):
q y/z + at + ytfrzrp eVa^P
V=~ / О ,о 1П /. У о .о» С"
ley/а2 - Ь2 y/zT^2 - Va2 - b2 ln[(a + у/а2 - b2)/b]
В частности, при b < а (стержень):
C =
£a
ln(2a/6)
8.40. Будем сначала считать эллипсоид незаряженным: q = 0. Если
внешнее однородное поле Е$ параллельно оси Ох, то
<ро = -Е0х = tEqa
(£ + a2)(77 + a2)(£ + a2)
V (62-a2)(c2-a2) '
114
Глава 8
Знак минус соответствует х > О, знак плюс х < 0. Как функция </?о, так и
потенциал </?' поля наведенных на эллипсоиде зарядов удовлетворяют
уравнению Лапласа. Подставляя <// = ipoF(£) в уравнение Лапласа, получим
уравнение для определения неизвестной функции F(£):
% + f|ln№« + «!)]=0.
Это уравнение легко интегрируется. Решение, удовлетворяющее граничным
условиям, имеет вид
оо оо
<% I Г <%
V\q=o
(fo <
1
J (£ + а2)Щ I j
(£ + а*)Щ/ J (£ + а2Щ
> .
Если эллипсоид имеет собственный заряд q, то решение,
удовлетворяющее условиям <р\с=0 — const и — § дф/дп dS = Anq (S — замкнутая поверх-
s
ность, содержащая внутри себя эллипсоид), можно получить по принципу
суперпозиции (см. задачу 8.42):
4>\q = <Ря=о +
8.41. Потенциал имеет тот же вид, что и в предыдущей задаче.
Входящие в выражение потенциала интегралы могут быть выражены через
элементарные функции — это имеет место во всех случаях, когда эллипсоид
обладает симметрией вращения. В итоге получим:
(f = -EqX + EqX
In
2e
у/1+£/а2 + е
y/l+Z/a2-e y/l+£/a2\
ln|±^-2e
1-е
где a — большая и b — малая полуось, е — y/l — b2/a2 — эксцентриситет
эллипсоида, ось х направлена перпендикулярно плоскости,
=ф+$к+$)
(см. задачу 1.96). Напряженность поля достигает максимального значения
в вершине эллипсоида:
Етах = 1_^| 2е\1-е2Гх = Х
Е0 Eohz д£ 1«,о,С=-ь2 1п[(1 + е)/(1 - е)] - 2е „(*)'
8.4. Ответы и решения
115
где п^ — коэффициент деполяризации (см. задачу 8.43). В случае
сферы е = 0 и Етах/Ео = 3. В случае очень вытянутого стержня (громоотвод):
&тах CL Л„ 2d л \
|(,„f-.)-, «»ь,
Е0 Ъ2
поэтому искровой пробой воздуха значительно более вероятен у конца
такого громоотвода, чем на других его участках.
8.42. Поле на произвольных расстояниях от эллипсоида получается
как суперпозиция трех полей вида, установленного в задаче 8.40* (поле Eq
разлагаем на составляющие, параллельные главным осям эллипсоида).
На больших расстояниях от эллипсоида:
г
Главные значения тензора поляризуемости эллипсоида:
Ых) = аЬс о{у) = abc „(z) = abc
р Зп<*>' р ъфУ р 3nW
8.43
*) = i^i!fini±£_9,.WI n(«)=„(*) = 1-n{x)
2е2 V 1-е *"7 ^ 3' 2
где е = у/1 — Ь2/а2 — эксцентриситет эллипсоида.
В случае е —» 1 (стержень):
п(х) = 0, п^ = п^ = |.
В случае е«1 (форма, близкая к шару):
8.44.
п(г) = 1±Ё!(е _ arctge) J> 1 п(х) = п(у) = 1 ~n{z) ^ e = la2jc2 _ L
е6 о I
В частном случае диска: п^ = 1, п^ = п^ = 0.
116
Глава 8
8.45. (f = (fx = (fy = (fz-
Внутри эллипсоида:
- Eqx
4>x = <Plx =
1 + (е1-е2)пЫ/е2
Вне эллипсоида:
oo
abc(ei - e2) f d£
<px = ч** = -Eox + E0x^-, — j —2
'2[e2 + (e1-€2)n^)J (Z + a2)^
где
oo
пЫ = label %—•
2 J (£ + а2)Д«'
о
(py и (pz определяются аналогичными выражениями, в которых х нужно
заменить соответственно на у и z, а на b и с. Внутри эллипсоида однородное
поле:
Е = Е0хех Е0уеу Eozez
1 + (ei ~ е2)п^/е2 1 + (ех - е2)п^/е2 1 + (ei - е2)п^/е2'
На больших расстояниях от эллипсоида:
^ Р • г
г6
гдерх=(З^Ех,
0(х) = аЬс
3(e2/(ei-e2)+nM)
и т. д.
U = El
8.46. Воспользовавшись формулой (8.82), получим:
abc(e2-e1){2[e2 + (ei-e2)n]sm2д + [е\+е2 + (е2-е\)п\ cos2??}
о"
Ь[е2 + £i + п(е2 - ei)][e2 + (е1 - е2)п]
N = _dU_ = е2 a6c(g2-gi)2(3n-l)sin2#
дй °6[е2-{-е1-{-п(е2-е1)}[е2-{-(е1-е2)пУ
8.4. Ответы и решения
117
где д — угол между осью симметрии и полем Ео,п — коэффициент
деполяризации относительно оси симметрии эллипсоида (см., например, решение
предыдущей задачи).
Из последней формулы видно, что внешнее поле стремится повернуть
ось симметрии вытянутого (п < 1/3) и сплюснутого (п > 1/3) эллипсоида
в положение, параллельное и перпендикулярное полю соответственно.
В случае проводящего эллипсоида, в\ —> оо и
~abc(?>n- l)sin2#
N = El -— Ц .
бп(1 — п)
8.47. Потенциальную энергию жидкой заряженной капли, имеющей
форму эллипсоида вращения с эксцентриситетом е = у/\ — Ь2/а2 и
объемом, равным объему сферы с радиусом R (заряд q), можно выразить
формулой
(воспользоваться выражением для емкости С вытянутого эллипсоида
вращения, приведенным в ответе к задаче 8.39.
Чтобы ответить на вопрос об устойчивости заряженной сферической
капли, надо выяснить характер зависимости энергии (1) от е при малых е.
Разложим U в ряд с точностью до е4:
ад-£+*гя>„+ £(*#„-i)
Из последней формулы видно, что если заряд капли q<qc = Vl67rR3a,
то при малых деформациях капля стремится вернуться в сферическое
состояние — капля устойчива. При q > qc, поскольку возникшая
деформация продолжает увеличиваться — капля неустойчива. Процесс кончается
расщеплением неустойчивой капли на две или большее количество4 более
мелких устойчивых капель. То, что в конце концов получаются устойчивые
капли, видно из выражения qc. С уменьшением размеров капли критический
заряд qc уменьшается пропорционально корню квадратному из ее объема, в
4Легко непосредственно проверить, что, например, при расщеплении заряженной капли на
2
две равные сферические капли энергия уменьшается в 2 3 раза.
118
Глава 8
то время как заряд капли q уменьшается в среднем пропорционально
объему; поэтому при достаточно малых размерах капли условия устойчивости
начинают выполняться.
8.48.
где у/% нужно брать со знаком плюс при z > О и со знаком минус при z < 0.
На больших расстояниях за отверстием £ « г2 и поле приобретает вид
E0a3z
Зтгг3
ф ~ =- ПРИ z > 0-
Такой характер имеет поле электрического диполя, ось которого
совпадает с осью z, а момент р = Е0а3/Зтг. Отсюда видно, что силовые линии,
проходящие через отверстие, замыкаются на обратной стороне
металлического экрана.
8.49.
^о ( а а \ . п
а = -—= - arcsin — при z = +0,
где г\ = у/£ + а2 — расстояние от центра отверстия до точки наблюдения
на плоскости.
8.50. Нужно решить уравнение А(р = -A7rqS(r - го); дельта-функция
должна быть при этом записана в цилиндрических координатах:
5(г - го) = ^6(г - г0)6(а - ч)5(г).
Компонента Фурье
(1) (fk(r,a) = - / <p(r, a,z)coskzdk
8.4. Ответы и решения
119
потенциала </?(r, a, z) удовлетворяет уравнению
и граничным условиям (см. рис. 8.8):
(3) <Pk(r,O) = <pk(r,0) = O,
(4) <рк(оо,а) = 0.
Рассмотрим соответствующее (2) однородное уравнение. Частными его
решениями, удовлетворяющими (3), являются произведения Rn(r) sm(n7ra//3)
(п = 1,2,3, ...), где величина Rn(r) равна с точностью до постоянного
множителя либо /П7г//з(&г)> ли^° ^пп/р(^г)- Будем искать решение
неоднородного уравнения (2) в виде суперпозиции таких частных решений:
(5) <Рк
^2 Anlnn/p(kr) sm(n7ra/(3) при г < а,
71=1
ОО
У^ ВпКП7Г/р(кг) sm(n7ra/(3) при г > а.
п=1
При написании (5) мы учли, что потенциал (рк должен удовлетворять (4)
и быть ограниченным при г = 0.
Для определения постоянных Ап и Вп воспользуемся, во-первых,
непрерывностью потенциала при г = г^. Это даст
(б) Вп 1п«/0(кго)
Ап Кпп/р(кг0)'
Во-вторых, потребуем, чтобы потенциал (5) удовлетворял
уравнению (2). Подставив (5) в (2), помножим обе части получившегося равенства
на sm(m7ra/(3) (т = 1, 2, ...) и проинтегрируем по с* от 0 до /?. Учитывая
ортогональность функций sm(n7ra/'/?) в указанном промежутке, получим
где
о (г\ _ / Ат1т7г/(3(кг) при г < а,
Лт^ ~ \ BmKmif/0(kr) при г > а.
120
Глава 8
Функция Rm(r) непрерывна при г = г0, но ее первая производная по г
испытывает при этом скачок
Ь = R'm(r0 + 0) - R'm(r0 - 0) = kBmK'mn/0(kro) - kAmI'm«/0{kro).
Поэтому вторая производная Rm(r) будет равна R'^r) = bS(r — го).
Подставляя это выражение в (7) и отбрасывая члены, ограниченные
при г = го, получим второе уравнение для определения Ап, Вп\
(8) кВпК'П1г/0(кго) - кАп1'П1г/0(кго) = -|L sin 2П.
При упрощении выражений для Ап и Вп полезно воспользоваться
формулой , 1
Kl/(x)Il(x)-Kl(x)Il/(x) = ±.
8.52.
,п(, „и 2Ч 1 „r^or /ch(Ty/2) + cos[(a-7)/2]
^*■z) = тг [ъ ^ у сЩ/2) _ cos[(a _ 7)/2] ■
j_ /сЬ(ту/2)+со8[(а + 7)/2]\
^arCgVch(7y/2)-cos[(a + 7)/2]r
где
Rq = л/Гд + г2 + z2 — 2rr0 cos(7 — а) = \/2rro(chr) — cos(7 — а)),
■^о — V го + г2 + z2 - 2rr0 cos(7 + а) = \/2гг0(сЬт7 - cos(7 + «))•
8.53. а = const • r W"1*,
где г — расстояние до ребра клина. В частном случае клина, находящегося
в поле точечного заряда (см. задачу 8.50*),
qrfrZ/l3sm(iry/l3)r(ir/l3 + l/2)
const ^—
02(г2+22),г//т/2 Г(7г//9 + 1). *
Отсюда видно, что а —> 0 при г—>0и/?<7г;<7 —► оо при г —► 0
и (5 > 7г. В частном случае, когда заряд находится у края плоскости,
а ос ——.
у/Г
8.4. Ответы и решения
121
8.54. Поместим заряд q в начале координат, а ось Oz направим
перпендикулярно поверхности пластинки. Тогда уравнения передней и задней
поверхностей ее примут вид z = anz = a + c соответственно. Будем искать
потенциал в виде
оо оо
(p1=q J0(kri)e~kW dk+ / A1(k)J0(kri)ekzdk (-00 < z < a),
о о
об оо
(1) ЧЪ = /'Bi(k)J0(kri)e-kz dk+ I'B2(k)J0(kr1)ekz dk (a < z < 6),
о
oo
0 — kz
ip3= A2(k)J0(kri)e kz dk (b = a + c<z< oo).
о
Граничные условия на поверхностях пластинки дадут систему четырех ал^
гебраических уравнений для определения коэффициентов А\, А2, В\, В2.
Решая эту систему, получим:
2кЬ _ с-2ка I - (З2
Ai=QP~, -^ЖГ, M = q
1-р2е-2кс ' < *1_р2е-2кс>
(2)
н = g(l-i8) =д/3(1-0)е-2кь
1 1-р2е-2кс> 2 1-р2е-2кс >
где Р = (е- 1)/{е + 1), Ъ = а + с.
Формулы (2) совместно с (1) дают решение нашей задачи. На больших
расстояниях за пластинкой (z > 0) поле принимает вид:
/ \ Я pz
у/^Т^ (r2+Z2)3/2'
где п = у/х2 + У2> Р = ~(е ~ l)2cq/2e.
8.55.
о
где г\ = у/х2 + у2 (рис. 8.17).
122
Глава 8
I-
Рис. 8.18
При y/z2 + r\ —> 0 (вблизи заряда)
ч>-
2q
(£ + 1)уЯГ+^2
(ср. с задачей 8.1).
Потенциал (р можно представить в виде
<р:
2д
е + 1
£
("1)П
y/r\ + (z - 2ап)2
Соответствующая система изображений приведена на рис. 8.196.
8.56. Можно ввести бисферические координаты так, чтобы
поверхности внутренней и внешней обкладок были координатными
поверхностями £ — £i и £ — & соответственно. Для этого нужно провести ось z через
центры обкладок так, как это показано на рис. 8.18. Координаты центров
обкладок будут при этом равны z\ =a cth£i, z<i = a cth^2 (а — параметр би-
сферических координат). Радиусы обкладок связаны с величинами а, £ь £2
8.4. Ответы и решения
123
уравнениями а = aish£b a = a2sh£2, b = z2 — z\ = a(cth^2 — cth£i),
откуда
(1) cHl = 2a,b ' Chb = 2a2b '
Функция ф в пространстве между обкладками конденсатора удовлетворяет
уравнению
д2Ф 10/. дф\ 1 д2ф 1 , Л
Производя в уравнении (2) разделение переменных и учитывая, что в нашем
случае ф не зависит от азимутального угла а, найдем частные решения этого
уравнения, ограниченные при rj = О,7г:
(3) ^«^)=[^ch(/ + i)f + B/sh(/ + |)f]fl(cosT7)>
где / = 0,1,2,3, ...
Будем искать ф в виде ряда ф(£, rj) = ^2^10 Ф1(£, rj). Коэффициенты Ai
и В\ определяются из граничных условий ф^.'Ц) = 0,
оо
^ь^^^сЬб-гсоз^-^^У^ехр^^ + ^^^РКсозту).
1=0
Окончательно получим:
(4)
^ exp[-a+l/2)6]sh(i+l/2)(e-6)
^,,)=yV2ch^2cos,g sha + i/2)(ei-6) P'(C0S^-
Емкость конденсатора
тг 2тг
1 r)tn I
r_ 91 _ 1 / / 1 dtp
c" v ~^v J J hz~dz^h«
о о
e=*l
Знак «+» в последней формуле объясняется тем, что вдоль внешней
нормали к внутренней обкладке координата £ убывает. Подставляя сюда (4)
и используя ортогональность полиномов Лежандра, получим:
оо
С = | + в1 sh6 £ е-*2*1* cth(l + i) (6 - &).
z=o
124
Глава 8
8.57.
2 2l2
с = ala2 ага2Ь
а2-а1 ■ (a2-ai)2(a32-al)'
8.58.
оо
си = у+aish6^ехр[-(/ + 1)б] cth(/+ !)«!+&),
z=o
оо
С22 = у + a2sh& 5>xp[-(/ + I)&] cth(/ + |)(6 +&),
z=o
оо
c12=-alSh6E л(, + 1/2)К1+&) .
где ch^i = (б2 + а\- a|)/2bab ch£2 = (Ь2 - а? + а|)/2Ьа2.
Поверхности первого и второго проводников описываются
уравнениями £ = -£i и £ = £2 соответственно, причем а\ sh£i = a2 sh£2.
8.59.
Си = ai(l + mn + mn3 + ra2n2),
c\2 = — ain(l+ran),
C22 = ^2(1 + mn + ra3n + ra2n2),
где m = ai/b, n = a2/b.
8.61. Пусть потенциал сфер равен нулю, потенциал на
бесконечности равен -V. Произведем инверсию системы в сфере радиуса R = 2а,
центр которой находится в точке касания проводящих сфер (рис. 8.19а),
сфера инверсии изображена пунктиром). После инверсии система примет
вид плоского конденсатора (рис. 8.196), сфера инверсии изображена
пунктиром) с расстоянием 2Д между заземленными обкладками. Внутренности
сфер соответствует при этом внешняя область конденсатора. В центр
инверсии в конденсаторе попадает бесконечно удаленная точка первоначальной
системы с потенциалом V. Этому соответствует точечный заряд qf0 = —RV
в центре инверсии. Поле в инвертированной системе может быть, согласно
задаче 8.55 (е = 1), получено как поле следующей бесконечной
системы изображений: точечные заряды (-l)nqf0 находятся в точках z'n — 2Rn
8.4. Ответы и решения
125
а) б)
Рис. 8.19
оси г', проходящей через центр инверсии перпендикулярно к обкладкам
конденсатора. Поскольку мы интересуемся емкостью, нужно найти полный
заряд первоначальной системы:
q = 2^> = 2£7Г=9о£Ч^ = -<?о 1п2 = ДУ1п2.
71=1 71=1 П 71=1
При выполнении суммирования мы воспользовались известным
разложением в ряд In 2. Отсюда емкость
С= 1 = 2а\п2.
Для определения потенциала с помощью формул (8.17), (8.18) запишем г
и г' в цилиндрических координатах (ось z совпадает с осью симметрии
системы, начало координат в точке касания сфер). Тогда zf = R2z/r2, r[ =
= R2r\/r2, r2 = т\ + z2 и для потенциала получим
, , q R2q 7shk(R-R*\z\/r*) /fci?2n\ ,,
*{r) =C--CFJ chkR J°(-?-)dk-
0
Член q/C добавлен для того, чтобы ip(r) обращался в нуль при г —> оо.
8.63. Угол (3, под которым пересекаются сферические поверхности
(будем отсчитывать его вне проводника) выражается формулами:
д _ Г 27г - |&2 - f 11, если f 1 и & одного знака,
^ ~~ [ 27г - j^i + £г|» если ^i и £2 разных знаков.
126
Глава 8
Рис. 8.20
Выбрав центр инверсии О на линии пересечения сфер, положив
радиус инверсии равным 2а и производя инверсию, получим клин с
двугранным углом (3 и ребром (ось Oz'), перпендикулярным плоскости
симметрии (а — 0,7г) рассматриваемого проводника. На рис. 8.20 изображен
случай £i > 0, £2 < 0. При инверсии в точке О появится заряд q'0 = -2aV.
Как легко может быть показано, угол 7 = £ь если отсчитывать 7 от той
грани клина, в которую переходит сферическая поверхность £ = £i. При
преобразовании инверсии поверхности £ = const переходят в
полуплоскости а' = const, причем
цч £=/^-q/ приО ^ а'^ 7Г + 7,
^ ' ^ [ 7 ~~ а' + 27г при 7г + 7 < о- < (3 (если /3 > 7г + 7)-
Расстояния гиг' могут быть выражены через координаты р, £ точки
наблюдения М (при этом нужно использовать соотношения между
декартовыми и тороидальными координатами из задачи 1.98, а также рассмотреть
8.4. Ответы и решения
127
юдобные треугольники ОО'М' и ОО'М):
к1) г — — , г = 2ае и.
yj2(ohp- cos£)
Используя выражение для потенциала клина, полученное в задаче 8.51,
1 также формулы (1) и (2), получим после некоторых преобразований
следующее выражение для емкости:
C=l= lim Г{« + ¥)-
V r-^oo (р—0,£-^0) V
ОО /
d< (n sh«//3) n sh(7rC//?) + shC
sh С/2 \ /? сЬ(тг<//3) - cos(2tt7//3) /? сп(тгС//3) -1 ch С-1 / '
0 . \ /
8.64. а)
б)
C=f (sin 0 + 0);
C = 2*(l--U«i§*,
—С/2
интеграл из решения задачи 8.63 берется подстановкой е = х.
8.65.
c = f(5-^>
8.66. Имеем согласно формуле (8.27), полагая </? = 0 на поверхности
сферической оболочки
(1) <р(г)= [ G(ry)Pext(r')dV',
Jv
где
(2) PeXt(r') = -^6(b-r')5(cos#')
2nbz
- объемная плотность заряда кольца, расположенного в плоскости (ж, у).
Угол в в формуле (3) примера 8.3 нужно выразить через углы (#, а) и (#', а')
128
Глава 8
по формуле 1.259. Использование производящей функции для полиномов
Лежандра (1.182) и теоремы сложения сферических функций (1.195), а
также формул (1.184) позволяет получить из (1), (2) искомый потенциал в виде
ряда по полиномам Лежандра:
*>МН£ 2^1 Р2»(^){ b*» r-2»-l_r2»a-4»-l , a>r>b.
71=0
8.67.
*.1-§й+|^[1-(Г
p2n(cos<m.
8.68. В равенстве х + гу =f / ch(u + гг>) отделяем действительную и
мнимую части и находим
(1) я = Zch ucos г>, у = Ish usmv.
Разрешая эти уравнения относительно cos v и sin v, исключаем v и
получаем форму кривой в комплексной плоскости z, соответствующую условию
и — const:
(2) £ | У- = 1
1 ' l2ch2u l2sh2u '
Эти кривые представляют собой семейство софокусных эллипсов с
одинаковыми фокусными расстояниями
(3) I = Vl2ch2u-l2sh2u.
Исключая и из уравнений (1), аналогичным образом получаем
отображение
(4) -^ у— = 1
\ ' /2 2 т9 • 2
прямых v = const на семейство софокусных гипербол.
Эти семейства кривых взаимно перпендикулярны. Они могут
описывать поле цилиндрических проводников, границы сечений которых имеют
форму эллипсов или гипербол (рис. 8.21). В частности, эллипс (1) при wCl
8.4. Ответы и решения
129
вырождается в тонкую полосу шириной I. Эллипсы с конечными и будут
описывать поверхности равного потенциала заряженной полосы, а
гиперболы представляют собой силовые линии электрического поля (рис. 8.22).
Гипербола (4) при v « 1 и з; ) I вырождается в полупрямую. Вторая
гипербола при v = -к 12 вырождается в прямую, совпадающую с осью у.
Гиперболы с 0 < v < 7г/2 описывают поверхности равного потенциала,
создаваемые заряженными плоскостью и полуплоскостью, а эллипсы
представляют собой силовые линии (рис. 8.23).
Рис. 8.21
Рис. 8.22
8.69. Устанавливаем форму кривых в z-плоскости,
соответствующих заданной аналитической функции. Для ц
этого записываем
(1) eu+iv
x + a + iy
х + а — iy
t+
х — a + iy x — a — гу
и перемножаем почленно записанные два равенства. Это Jj
позволяет исключить v и получить уравнение окружно- Щ
сти
(2) (х-a cth и)2 + у2 =а2 sh~2 и,
на которую отображаются прямые и = const. Аналогич- *
ным образом, деля почленно равенства (1), находим
второе семейство окружностей,
(3) х2 + (у + a cot v)2 = a2 sin-2 v,
Рис. 8.23
130
Глава 8
Рис. 8.24
2к
ортогональных первому семейству. Из этих
результатов следует, что рассматриваемой
функцией можно описать поле заряженных
проводников кругового сечения.
Чтобы подобрать нужные радиусы и
требуемое расстояние между осями, запишем
потенциал, создаваемый двумя нитями с зарядами
на единицу длины =ря, находящимися в точках
у — 0, х = =Fa, в цилиндрических координатах
(рис. 8.24):
(4)
Ч>
е г+
г_
у/{Ъ + а)2 + R2 - 2R{b + a) cos a,
r+ = у/(Ъ - a)2 + R2 - 2R(b - a) cos a,
где b — координата центра, а R — радиус окружности равного потенциала.
На этой окружности </? = const, др/да — 0. Второе равенство позволяет
найти связь между Rub. Произведя дифференцирование и освободившись
от знаменателей, находим b = ±y/R2 + а2. Выбирая b\ > 0, получаем две
возможные связи расстояния L = Ь\ — &2 между центрами
эквипотенциальных окружностей и их радиусами R\ > R2:
(5)
L = ^В,\ + a2 + у/Щ + a2 > /?! + R2,
L = ^Щ + a2 - ^Щ + a2 < Д1 - R2.
Каждое из этих равенств позволяет определить параметр а > 0 через
заданные величины:
(6)
2 [Д2-(£ + Д2)2р2-(Ь-Д2)2]^
4L2 >а
Емкость на единицу длины определяется по формуле С = я/|</?1 — </?г|»
где </?i, </?2 — потенциалы на двух обкладках конденсатора. Вычисляем эти
потенциалы в точках а = тг/2. Получаем
(7) С = е
(8) С = е
In
In
(s/R\
(ч/lf
Wr\
+ 0?
Та*
+ а)(^Д2+а2
-a)(v/R2+a2
-aK^ARf+a2
+ a)
-a)
+ a)
-1
L > R\ + i?2i
a2 - a)
где величина a дается формулой (6) (см. рис. 8.25, 8.26).
L < R\ — R2,
8.4. Ответы и решения
131
Ь=Ьг-Ь2
Рис. 8.25
Рис. 8.26
8.70. Из (8.38), (8.47), находим
откуда следует
\dD2)T}T 8тге 8тг£
1 + 1(3*
U(T,t,D2) = U0(T,t) + ^
1 +
£ \st)t.
Изменения внутренней энергии при изотермическом и адиабатическом
процессах различны.
132
Глава 8
8.71.
Q = TAS - TFj2 * de
D
87Г \dT;
8.72. Полевая добавка к термодинамическим функциям С/, F имеет
вид
добавка к U, F имеет противоположный знак. Симметрия
диэлектрического тензора следует из равенства перекрестных производных от функции
состояния U:
д2и = д2и
dE^dEv dEvdEp
8.73.
dT Т de r =T(dS_
dD2 S7re2CDdT' D \dT
— теплоемкость диэлектрика при постоянной индукции.
8.74. Ввиду малого отличия е для газов от единицы (см. оценку в
примере 8.3) формулу, полученную в предыдущей задаче, можно записать
в упрощенном виде
dT T de
dE2 SnCydT'
где в пренебрежении влиянием электрического поля на теплоемкость Со ~
« Су = (5/2)N. В этих формулах температура выражена в энергетических
единицах, теплоемкость относится к единице объема и имеет размерность
обратную объему. Множитель 5/2 — безразмерная теплоемкость на одну
молекулу, имеющую пять степеней свободы (три поступательные и две
вращательные). Воспользовавшись (7.33) и перейдя к температуре,
выраженной в градусах Кельвина, после интегрирования получим Т| - Т2 =
— 2р2Е2/1Ьк'в, к в — постоянная Больцмана, или
ДТ Р2Е2 е2
Т \Ък2вТ2 15£с2'
где Ес « 3 х 106 В/см — значение напряженности, при которой поляризация
диэлектрика приобретает нелинейный характер. При Е <^С Ес
электрокалорический эффект мал.
8.4. Ответы и решения
133
8.75. Решается по образцу примера (8.7).
8.76. С помощью (8.47) получаем
2
Су и - Суо =
TD2
87Г£2
д2е\ _ 2 (де\
дТ2)т ё\дт)т
r r ТЕ2 д2е
CVE-Cyo = -ё^г I ^2
8тг
8.77. При нелинейной связи между D и Е пользуемся методом
якобианов:
D)d(T,E)
(1)
г =т(2£\ -Td{S'D) -Td{s>
D \dTjD d(T,D) д(Т,Е) d(T,D
dDJT [\dTjE\dEj
dEJT\dT/E
Из равенства перекрестных производных свободной энергии F в (8.42)
находим
.(2)
as\ = j_ (до\
дЕ)т 4тт\дт)Е
и получаем окончательно в общем (нелинейном) случае
T{dD/dT)%
(3) СЕ - CD
При D = еЕ уравнение (3) дает
(4)
4n(dD/dE)T'
п п ТЕ2 ( де
Ce-Cd = ^f\&t
Это же значение разности можно получить из результатов предыдущей
задачи. Условие г = const означает, что Со, Се вычисляются при постоянном
объеме. Если поддерживается постоянное давление, то в (3), (4)
производные нужно брать при р = const.
8.80. Вводим термодинамический потенциал Гиббса тела Ф(Т, р, ё) =
= U - TS + pV, полный дифференциал которого с помощью (8.51)
записываем в виде
(1)
<1Ф = -SdT + Vdp - &dS
134
Глава 8
(здесь мы направили внешнее поле вдоль одной из главных осей тензора
поляризуемости, чтобы направления векторов 9wS совпадали.
Поляризуемость в этом направлении в дальнейшем обозначаем через /3). Из равенства
перекрестных производных находим
(2)
dp )Tg
дв)Тр
Дифференцируя равенство 9 = V/3S, получаем из (2)
(3)
м)тр
VS
на:
где к = -(l/V)(dV/dp)r — изотермическая сжимаемость. Уравнение (3)
можно проинтегрировать по V и по § путем разделения переменных, имея
в виду, что поляризуемость и сжимаемость при фиксированных Гирне
зависят от объема (и от внешнего поля). Считая эффект электрострикции
малым, находим
(4)
V
1 б>2
МП
8.81. Q = TAS, где AS — приращение энтропии, обусловленное
внешним полем. Вычисляя энтропию через Ф(Т,р, §), находим
Q= ±VTS2
»♦■£).
где k = (l/V)(dV/dT)p — коэффициент теплового расширения.
8.83.
8тг
8.84.
/ =
(е-1)(е + 2)„^
24тг
8.85. Использовав первую формулу (8.72), находим
16тг7 m „, З/З2
Ае = е\т>т0 ~ е\т<т0
01
То-ТС
15а7
8.4. Ответы и решения
135
б) /о = ^ = |/о (жидкий диэлектрик),
/ = -^ = /о (твердый диэлектрик);
в) / = ^- = е/о (жидкий диэлектрик),
/ = ^г = £2/о (твердый диэлектрик).
8.87. a) F
{s-l)bh2V2
Sneh
[hi
h2{e-l)
6) F = -
27rq2hih2[hi£ - h2(e - l)](e - 1)
. Общие знаки минус
b[eah\ - (e - l)h2x]2
говорят о втягивании диэлектрика в конденсатор (координата х стремится
уменьшиться).
8.88. Сравним давление в точках А и В
жидкости (рис. 8.27). В точке В давление равно
атмосферному ратм- Давление в точке А можно
найти двумя способами. С одной стороны, по
формуле (8.67) при г = const (несжимаемая жидкость)
имеем рл = ратм + |^ ^ (здесь ратм = Ро, Е =
= V/d). С другой стороны, рл отличается от
давления у поверхности жидкости в конденсаторе,
определяемого формулой (8.67), на величину гидроста-
_Е8де
тического давления rgh, рл = rgh + г
8тг дт
Рис. 8.27
£-1
8тг
Е2 +ратм- Сравнивая, получим
Ътгдт
8.89. Тензор максвеллова натяжения <т'п направлен так, что электриче-
fF2
ское поле Е делит пополам угол между п и <т' (рис. 8.28). \сг' \ = w = ^—
о7Г
при любой ориентации площадки. Стрикционное натяжение сг^ = тп -^-
136
Глава 8
имеет всегда характер «отрицательного давления» — оно направлено вдоль
нормали п к площадке.
8.90. а) Введем цилиндрические
координаты, как показано на рис. 8.29а.
На плоскости ху поле имеет
радиальное направление, его величина Е —
= —о о, чч/9- ДЛЯ вычисления си-
е(г2 + а2/4)3/2
лы F, действующей на один из зарядов,
например, на левый, нужно
просуммировать напряжения, приложенные к
элементам dS этой плоскости со
стороны, обращенной к другому заряду:
Рис. 8.28
eq-
G*dS--^E dS=-2n{r2+a2/A)3£2
dS,
если воспользоваться максвелловым тензором натяжений. Отсюда
Fz = jozdS=-±e<?j
r22irrdr
e2(r2+a2/4)3
еа*
Именно такое значение обычно принимается для силы, действующей
между зарядами в однородном диэлектрике. Однако, если провести то же
самое вычисление с полным тензором натяжений, то сила будет равна Fz +
+ AFZ, где AFZ = q2e~2a~2r^- получается за счет стрикционного члена.
Но в теории, учитывающей электрострикционные натяжения, нужно также
учитывать явление втягивания жидкости в поле и связанное с этим повы-
Е2тде
шение гидростатического давления в жидкости на величину Ар =
8тг дт'
согласно 8.67. Результирующая гидростатическая сила AFzh
Я г де =
е2а2 дт
= -AFZ. Полная сила взаимодействия зарядов Fz + AFZ + AFzh = 9-
еа
совпадает с той силой, которая получается без учета стрикционных сил
и представляет собой, таким образом, результирующую электрических и
механических сил.
б) Те же результаты получаются, если рассматривать действие
натяжений на поверхности малой сферы радиуса R с центром в той точке,
8.4. Ответы и решения
137
а) б)
Рис. 8.29
где находится заряд q, испытывающий действие силы (рис. 8.296).
Введем сферические координаты и рассмотрим максвелловы натяжения Т'п =
= -^(ЕЕт - ^Е2вг\ где Е = Ег + Е2, Ег = -^^ - поле заряда,
испытывающего действие силы, Е2 = —г(е# sin# — ercos'd) — поле вто-
еа
рого заряда, которое можно рассматривать как однородное, так как
расстояние между зарядами а ^> R. Просуммировав натяжения, приложенные к
поверхности сферы, получим
F= fT'ndS = ±ея.
J eaz
Рассмотрение стрикционных натяжений опять не дало бы ничего
нового из-за гидростатической компенсации.
8.91.
8гпд
где д — ускорение силы тяжести.
138
Глава 8
8.92.
F= q2{el-e2)
Aa2£2(ei +£2)'
При £\>£2 заряд отталкивается от границы диэлектриков, при £\<£2 —
притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большим е,
отталкиваясь от границы, стремится уйти на бесконечность. Заряд, находившийся
сначала в среде с меньшим е, притягивается к границе, пересекает ее и
затем, будучи уже в другой среде, отталкиваясь от границы удаляется на
бесконечность. (Сказанное будет справедливо только в том случае, если
пренебречь силой трения, действующей на заряд со стороны среды.)
Приведенное значение силы F можно получить разными способами:
а) рассматривая взаимодействие двух точечных зарядов q' и </'; б)
вычисляя силу, действующую на точечный заряд со стороны связанных зарядов,
находящихся на границе раздела диэлектриков; в) с помощью тензора
натяжений Максвелла. В последнем случае удобно рассмотреть натяжения,
приложенные либо к плоскости раздела диэлектриков, либо к поверхности
малой сферы, окружающей заряд.
8,93# Z7 £i -g2 <7i , <7i<72
*i = ~~т-——тг^ +
£\ (ei + £2) 4а2 2{е\ + е2)а2 '
р = £2 - £i 92 ! <7i<72
£2(^1 + £1) 4а2 2(ei + е2)а2 '
Неравенство сил, действующих на заряды q\ и q2 объясняется тем, что
эти заряды сами по себе не образуют замкнутую механическую систему;
имеются еще связанные заряды на границе раздела диэлектриков. Векторная
сумма сил, приложенных к этой границе и к зарядам q\ и <?2, равна нулю,
как и должно быть.
8.94. Если положить в металле </? = 0, то в диэлектрике </? = q/er\ -
- q/er2 (см. рис. 8.1: заряд q в точке А, заряд —q в точке В; £\ - е,
82 = сю). Член -qjST2, обусловленный наведенным зарядом
проводника и связанными зарядами диэлектрика, имеет такой вид, как если бы он
описывал поле точечного заряда —q/e, находящегося в точке с
координатой z = — а. Заряд — q/e называется изображением заряда q/e относительно
плоскости z = 0 (множитель 1/е учитывает влияние диэлектрика).
27гг3' 4а2£'
где г — радиус-вектор в плоскости z = 0.
8.4. Ответы и решения
139
8.95. Пусть диполь находится в точке (0,0, z). Если проекции диполь-
ного момента р на оси х, у, z равны psina, 0, pcosa, то проекции его
изображения р' на те же оси будут —psina, 0, pcosa.
тт (Р • РУ - 3(р • г)(р • г) р2 2
U = —g = - ——- (l+cos^a),3
2егъ 16ezs
i- Зр2 и , 2 ч лт р2 sin 2a
F = -i^(1+cosa)' N° = —[^-
При любой ориентации р диполь притягивается к плоскости.
Вращательный момент N стремится установить диполь вдоль положительного
или отрицательного направления оси z (a = 0,7г). Момент N = 0 также
и при a = 7г/2, но это положение равновесия неустойчиво.
8.96. Силу F, приложенную к заряду q, можно найти, помножив qi
на напряженность поля, созданную вторым зарядом <j2 в полости, где
находится q\. Так как полость мала, поле в ней будет однородным с
напряженностью, равной
ЗеЕ0 _ Зд
2^+1 " (2£ + 1)а2'
где Ео = —т ~~ однородное поле в окрестности полости.
еа
Отсюда
3«2
F =
(2е + 1)а2
Эта сила отличается от той, которая действовала бы между такими же
зарядами в однородном жидком диэлектрике с тем же значением е (см.
задачу 8.90). Если бы мы аналогично задаче 8.30 попробовали найти силу,
приложенную к плоскости симметрии, то получили бы при учете толь-
2
ко максвелловых натяжений значение силы F\ = -Ц, отличающееся как
. еа
от силы F, приложенной к самому заряду, так и от полной
электрической силы натяжений (не учтен стрикционный член, имеющий сложный
5Множитель 1/2 в выражении U возникает благодаря тому, что поле Е' дипольного
момента р' пропорционально р. При увеличении р на ds (и неизменной ориентации) энергия
взаимодействия возрастает на dU = —Е' dp, откуда U = f£ dU = — — (J£; • р) (ср. с
решением задачи 8.104*.
140
Глава 8
вид в случае твердого тела). Такая же сила будет действовать на любую
область диэлектрика, охватывающую полость с заключенным в ней заря-
дом. Часть этой силы - приложена к точечному заряду о, другая
(2e + l)az
rpf (2^-l)g2
часть F = х к связанным зарядам, наведенным на поверхно-
(2е + 1)а2£
сти полости.
8.97.
оо .
Mr,#)=qEl£J\t+1)£2-^P'^ при r^J;
где Гб — расстояние от д до точки наблюдения. Здесь потенциал не
может быть представлен простой системой изображений, в отличие от случая
проводящего шара. При е\ —> оо получим результат задачи 8.14*.
<?2(£1-£2)у> /(/ + 1) R2i+im
£2 Sl£l + С + V62 а2Ш
F = ё5 Ъ
д2 2д2(е1-е2)^ 2/(2/+ 1) д4/+1
е2(2а)2 £* ^ 2/^ + (2/ + 1)е2 а4<+3 '
Сила отталкивания одноименных зарядов ослабляется поляризацией
диэлектрика При £2 > £2 И уСИЛИВаеТСЯ При Е\ < £2-
8.98. Обозначим поверхности внутренней и внешней сфер
соответственно через S\ и S2 и положим потенциал внешней сферы равным нулю.
Удобно решать задачу в сферической системе координат с полярной осью,
направленной вдоль линии, соединяющей центры сфер, и с началом
координат в центре внутренней сферы(рис. 8.30). В этих координатах уравнение
поверхности Si запишется в виде г = а. Чтобы получить уравнение
поверхности S2, заметим, что из треугольника ОО' А следует:
8.4. Ответы и решения
141
Из (1) с точностью до членов первого порядка по с находим уравнение
поверхности £2:
(2)
где
R(D) = 6 + cPi(costf),
Pi (cos??) = cos??.
У////////У
Рис. 8.30
Член cPi(costf) = с cos г? в (2) описывает отклонение от сферической
симметрии, которое обращается в нуль при с —> 0. Естественно искать
потенциал в виде разложения по сферическим гармоникам, ограничившись
первыми двумя членами. При этом второй член, учитывающий отклонение
от сферической симметрии, должен быть пропорционален с.
Итак, положим
(3) </?М) = (ах + Щ +с(а2 + ^) costf,
где А{ и В{ определяются из граничных условий:
(p\Si = const, (p\ = 0, Ф тг- dS\ = —Атгд.
J дп
Si
142
Глава 8
Окончательно:
*-«Н) + ё*г('-$)""-
Отсюда плотность заряда на внутренней сфере:
д з<?с
сила, действующая на внутреннюю сферу:
<7с
F = -
63-а3*
8.99. При увеличении заряда q на dq энергия U его взаимодействия
с шаром возрастет на dU = p'dq, где <// — потенциал индуцированных на
шаре зарядов. Но этот потенциал сам пропорционален q: <// = const • q.
Поэтому
(i) u = fdu = *f*f = yq.
Если бы величина <// не зависела от q (потенциал внешнего поля), то энергия
взаимодействия была бы вдвое больше (U = ip'q). Используя (1) и
результаты задачи 8.14*, получим
2е(а2 - R2)'
откуда
р = _ q2aR
e(a2-R2)2'
8.100.
„ QQ Q2R3 Qg q2R\2a2-R2)
ea 2a2e(a2 - R2)' ea2 ea3(a2 - R2)2 '
В случае одноименных зарядов Qq > 0, и сила взаимодействия может
обратиться в нуль, а при достаточно больших q или малых расстояниях а —
даже стать отрицательной (притяжение).
8.4. Ответы и решения
143-
8.101. Пробный заряд q должен быть мал по сравнению с
зарядами, расположенными на других проводниках и диэлектриках, и не должен
находиться слишком близко к местам неоднородности среды, например,
к границам проводников и диэлектриков, чтобы обратное влияние зарядов,
наводимых пробным телом, было мало. Например, при измерении
электрического поля заряженного проводящего шара нужно, чтобы сила
электрического изображения была мала по сравнению с измеряемой силой Щ-
аг
(Q — заряд шара, а — расстояние от пробного заряда до центра шара). Это
приводит к условию (см. ответ предыдущей задачи)
Q|>>2_ (2a/R-l)2
(a/R){a/R-lf
которое выполняется только при не слишком малых a/R и не слишком
больших q/Q.
8.102. Изображением электрического диполя р =р(ех sin a+ ez cos a)
в заземленном шаре является система, состоящая из точечного заряда q =
= — cos а и диполя р' = р( у 1 (— ех sin a + ez cos а), находящихся в точ-
г>2
ке А' (рис. 8.31) на расстоянии т' = ^— от центра шара.
г
р2R(r2 cos2 a + R2)
~ 2е(т2 - Я2)3 '
_ р2 Rr2 sin 2a
~~2e{r2-R2f
В предельном случае г —> R получим, полагая г = R + z, R —> оо,
z = const, результаты задачи 8.95 (диполь у проводящей плоскости).
8.103. а = -(Зр/47гЯ3)cos??, где д — угол между р и направлением
из центра в точку наблюдения.
v
Индуцированные заряды создают в полости однородное поле Е = -^.
R
144
Глава 8
8.104. Силы, действующие на
неоднородность, могут быть получены
дифференцированием величины
(1) U' = J2<4mQL
1,т
при постоянных Qfm.
Величина U' отличается от истинной
энергии взаимодействия области
неоднородности с внешним полем U,
определяемой работой, которую надо совершить,
чтобы при наличии неоднородности
создать поле (р (ср. с (8.68)). При
нахождении такой энергии нужно учитывать, что
моменты Qim зависят от внешнего
поля. В частности, если область
неоднородности представляет собой незаряженный
проводник или диэлектрик, то истинная энергия взаимодействия
неоднородности с внешним полем определяется формулой
(2) U=\Y.almQlm-
1,т
Коэффициент 1/2 можно получить так же, как это сделано в решении
задачи 8.79, учитывая, что в этом случае Qim пропорциональны а*ш. При
нахождении обобщенных сил с помощью выраженная (2) путем
дифференцирования по обобщенным координатам как Qim, так и ajm следует считать
переменными величинами.
8.105. С/0 = qpo - рЕ0,
при этом
(fi=(po-r-E0, Ч>2 = — + ^г, F = qE0 + (p-V)E0, N = р х Е0
ет ег*
(вращательный момент вычисляется относительно начала координат).
8.107. Тело стремится занять такое положение, при котором его
потенциальная энергия U = —\р • Е — минимальна. Удобно направить
координатные оси вдоль главных осей тензора Дь тогда U = — -(/З^Е^ +
+ $№Е\ + /3{z)E2z). Отсюда видно, что если (3^ ^ (3^ ^ {№ > 0, то
8.4. Ответы и решения
145
минимум U имеет место, когда Е \\ Ох; если же (3^ ^ (3^ < @№ < О, то
минимум получается при Е \\ Oz.
8.108. Ось стержня и плоскость диска стремятся установиться
при е\ > eg параллельно направлению поля, а при е\ < 82 —
перпендикулярно.
8.109.
F_g2-gi 2У *(* + !) Д2'+1
62 tt lei + (I + 1)е2 а2<+3 '
При ^2 < £\ происходит притяжение, при €2 > £\ — отталкивание. В случае
проводящего mapaei —*• оо- Суммируя геометрическую прогрессию, найдем
энергию взаимодействия U = -q2R/2e2{R2 - а2), откуда
2е2(а2 - В2)2
(ср. с задачей 8.99).
Сделаем некоторые замечания к вычислению силы с помощью
формулы (8.82). Рассмотрим величину U' = (1/87г) Jv,(£2 - S\)E • E\dV.
Объем V ограничен сферой 5, бесконечно близкой к поверхности
диэлектрического шара и находящейся целиком внутри него. Интеграл, входящий
в выражение U', лишь на бесконечно малую величину отличается от
потенциальной энергии U взаимодействия точечного заряда с шаром.
Введем вместо напряженностей суммарного поля Е и поля точечного
заряда Е\ в однородном диэлектрике £2 соответствующие потенциалы и
вынесем постоянную величину (б2 - £i) за знак интеграла. Тогда U' = ((£2 -
- £i)/87r) fv, Vtp • Vtpi dV. Применив формулу Грина fVip • Vtp\ dV =
= §sip-jp-dS + J(pA(p\dV9 и воспользовавшись тем, что внутри
шара Д</?1 = 0, найдем для U следующее выражение:
£2-£1л2Г I Д2/+1
и = -Ч^«2Е
i=ol£l +(1 + 1)е2 а21+3'
Оно совпадает с выражением, получающимся из формулы (2)
задачи 8.104*. Отсюда для F получим приведенное выше значение.
8.110.
\дг )v ЕТ2 V l 2 ЕГ ЕГ Г
146
Глава 8
либо
\ or J я ет2,
8.111. Энергия уменьшается на величину
46г
8.112. С точностью до 1/г,
г3[С + аЬ(Ь-а)-1]
8.113. 1. На поверхности проводника (и любого твердого тела)
образуется двойной электрический слой, поскольку легкие и подвижные
электроны с большей вероятностью, чем тяжелые ионы, оказываются на
периферии среды. Образующийся таким образом поверхностный дипольный
момент существенно зависит от чистоты поверхности и качества ее
обработки. Он зависит также от свойств и количества посторонних молекул,
особенно полярных, которые могут специально высаживаться на
поверхность или налипать на нее из атмосферы. В отсутствие таких примесей
работа выхода является характерным параметром, присущим данному телу
и его термодинамическому состоянию.
Требуемую связь между к, и А можно найти с помощью формулы (2.25),
если записать ее в виде
(1)
оо
</?2 - Ч>\ = 47Г / zp(z)dz,
где (р\, (f2 — электростатические потенциалы соответственно внутри
проводника и вне его на значительном расстоянии от поверхности, p(z) —
плотность электрического заряда, причем все эти величины в отличие от
обычных макроскопических величин не усреднены по координате z,
отсчитываемой вдоль нормали к поверхности. Фактически интегрирование в (1)
производится по длине в десяток атомных расстояний, так как вне этого
интервала p(z) —> 0. Интеграл характеризует плотность дипольного
момента на поверхности проводника и может иметь оба знака в зависимости от
8.4. Ответы и решения
147
распределения зарядов в переходном слое:
оо
zp(z)dz — ±я,
где к > О совпадает с плотностью дипольного момента, которая была
определена как существенно положительная величина в формуле (2.25).
Работа по удалению частицы из проводника совершается против
электрических сил, поэтому
(2)
(2)
е Е • dl — e((f2 ~ </?i) = 47геяг.
(i)
Величины е, kz зависят не только от
свойств поверхности, но и от рода
частицы, удаляемой из проводника.
2.
(3)
Ч>Ъ-Ч>а
Аь- Аа
Контактная разность потенциалов (3)
возникает при установлении равновесия
между соприкасающимися проводниками.
При этом часть частиц перейдет в
проводник с большей работой выхода. Величину
(3) можно получить, рассмотрев
перемещение одной частицы из точки А в точку В Рис. 8.32
(рис. 8.32) по двум путям: один путь, AN В,
проходит внутри проводников а и 6, и работа по нему равна нулю. Другой
путь, AM В, захватывает внешнюю область (вакуум).
3. В цилиндрических координатах г, а
(4) (f = (fa + а, 0 ^ а ^ 7;
Еа =
<Ра ~Ч>Ъ
^, vy -<; ^ -<; /J л-,а у.
Здесь радиус г не должен превышать масштаб точности обработки
поверхности и, разумеется, атомных расстояний.
8.114.
Глава 9
Постоянный ток
и магнитное поле в средах
9.1. Постоянный ток
Уравнения и граничные условия с учетом сторонних ЭДС.
Объемная плотность постоянного тока j(r) удовлетворяет уравнению (2.48)
divj(r) = 0, (9.1)
которое является следствием закона сохранения электрического заряда.
В проводящей среде с удельной электропроводностью к(г) плотность тока
связана с напряженностью электрического поля законом Ома (7.25). При
наличии во всем проводнике только электростатических сил их
воздействие на свободные заряды проводника привело бы к перетеканию зарядов
и выравниванию потенциалов вплоть до установления состояния с Е = О и
прекращения тока. Для того, чтобы существовал стационарный ток,
необходимо наличие в проводящей среде сил неэлектростатических, которые
поддерживали бы разность потенциалов между разными частями проводника.
Эти силы называются сторонними электродвижущими силами (ЭДС).
Примером таких сторонних (неэлектростатических) сил является ЭДС
индукции, рассматривавшаяся в разделе 2.3 и вызванная изменением во времени
магнитного поля. К ним относятся также статические силы, возникающие
из-за химической и физической неоднородности проводника
(гальванический элемент, аккумулятор, градиент температуры, градиент концентрации
и др.). Сторонние силы можно характеризовать эквивалентной
напряженностью их поля Eext. Закон Ома (7.25) с учетом сторонних ЭДС примет
вид
j = *{E + Eext). (9.2)
Для описания электрического поля Е и распределения токов j в
проводнике при наличии сторонних сил удобно, как и в электростатике, ввести
9.1. Постоянный ток
149
скалярный потенциал </?, связанный с напряженностью поля формулой (2.8):
Е = —V</?. Из последнего соотношения и уравнений (9.1), (9.2) следует
дифференциальное уравнение для </?:
V-(«V<p) = V-KEext.
(9.3)
На поверхностях разрыва к, или jext = nEext уравнение (9.3) заменяется
граничными условиями
т-, т-, Aext) Aext)
к2Е2п - KiEin = з\„ - J2n > • Ч>\ = P2-
(9.4)
На поверхности изоляторов (к = 0) первое условие (10.4) принимает вид
jn = 0 или
кЕп+з{гГг) = 0- (9-5)
Если среда состоит из ряда однородных областей и не содержит внутри
себя сторонних ЭДС, то внутри каждой такой области
A(fk = 0,
а на границе г-й и k-й областей (суммирования нет!)
Ч>\ = <Рк,
1 дп
*к-
d(fk
дп
(9.6)
(9.7)
Из сравнения этих уравнений с уравнениями раздела 8.1 видно, что
существует тесное соответствие между основной токовой задачей по
определению потенциала </? и аналогичной задачей электростатики при наличии
сред. Решение токовой задачи может быть получено из решения задачи
электростатики (и наоборот), если заменить величины электростатические
на токовые:
Electrostatics
€
D = -eVip
Атгр
Атга
Steady
currents
~v-jext,
Jext) _ Aext)
Jin J2n '
(9.8)
Методы электростатики могут быть, следовательно, применены и для
решения задачи о распределении в проводящей среде постоянного тока, а
150
Глава 9
i
существование сторонних ЭДС должно учитываться и в чисто
электростатических задачах с j — 0. Электростатическое поле Е внутри проводника
в этом случае не будет равно нулю:
E=-Eext. (9.9)
В дополнение к перечисленным в разделе 9.3 методам решения
электростатических (и токовых) задач обратим внимание читателя на
возможности вариационных методов. Их суть можно уяснить из обстоятельно
разобранного примера Казанцева (2002).
Если в среду с конечной проводимостью к(г) помещен идеальный
(к, —> оо) проводник — электрод, то на его поверхности S имеет место
условие
(p\s = const. (9.10)
Токовая задача с идеальными проводниками аналогична
электростатической задаче о поле системы проводников, помещенных в диэлектрическую
среду. Как и в электростатическом случае, могут встретиться два
основных варианта токовой задачи: а) заданы потенциалы электродов (fk = Vk',
б) заданы исходящие от электродов токи
Jk = j> JndSk =-j> K^dSk. (9.11)
Из последнего равенства видно, что аналогичными в смысле (9.8)
величинами являются заряд к-го проводника qk в электростатической задаче и и
ток J/c/47r от к-го электрода в токовой задаче.
Потенциалы Vk электродов являются линейными функциями токов Jk,
стекающих с электродов:
У\ = R\\J\ + R12J2 + ... + R\nJn, I
V2 = .#21 Л + #22^2 + . . . + R2nJny I
> (9.12)
Vn = Rn\J\ + Rn2^2 + ... + RnnJn.)
Коэффициенты пропорциональности Rik называются коэффициентами
сопротивления. Они не зависят от потенциалов Vk и токов Jk и определяются
исключительно геометрией электродов и распределением проводимости к.
Коэффициенты Rik аналогичны потенциальным коэффициентам Sik
электростатической задачи (см. задачу 9.17*).
9.1. Постоянный ток
151
Квазилинейные проводники и законы Кирхгофа. В технике самые
распространенные проводники — квазилинейные, поперечные размеры
которых малы по сравнению с их длиной, а ток течет вдоль оси проводника.
В силу закона сохранения электрического заряда сила постоянного тока
J = const во всех сечениях проводника, даже если площадь сечения S(l)
изменяется вдоль его длины. Применим уравнение (9.2) к этому случаю.
Проинтегрируем его вдоль осевой линии проводника между сечениями 1
и 2, предварительно поделив обе части равенства на к:
2
[*£ = J E-dl+ J E^-dl.
Если проводник однороден и его сечение постоянно, то jdl = Jdl/S и
интеграл в левой части выражается через сопротивление R\2
рассматриваемого участка:
2
J-^ = JR12, tfi2 = % (9.13)
z
/
i
Заметим, что для проводника переменного сечения обобщение
формулы (9.13) для сопротивления
2
61
zS(l)
Rl2 = j^ (9.14)
дает лишь приближенную оценку снизу (см. [Казанцев (2002)]). Это
объясняется тем, что распределение тока по сечению переменной величины
неравномерно и его плотность во внешней области сечения в местах
расширения ниже, а в местах сужения — выше средней.
Интегралы в правой части (9.12) можно записать в виде /2 E-dl =
2
/
E{ext).dl = g[e2xt\ (9.15)
1
где последняя величина представляет собой стороннюю ЭДС, действующую
на рассматриваемом участке провода. Таким образом, закон Ома для участка
проводника в общем случае принимает вид
k JRi2= vi- </?2 + £[e2xt). (9.16)
152
Глава 9
Для замкнутого провода разность электростатических потенциалов
обращается в нуль, и закон Ома приобретает вид
JR = g(ext\ (9.17)
где в сопротивление R должно быть включено и сопротивление источника
сторонней ЭДС.
При наличии разветвлений проводов на каждом неразветвленном
участке ток подчиняется закону Ома в форме уравнения (9.16). Расчет силы
тока на каждом участке разветвленной цепи можно выполнить на
основе двух законов Кирхгофа, которые сформулированы ниже и представляют
собой следствия закона сохранения электрического заряда и закона Ома.
а) Первый закон Кирхгофа. Пусть к точке разветвления (узел с
номером а, рис. 9.1) подходят токи от других узлов b ф а, втекающие и
вытекающие из нее (направление обхода соответствующего участка показано
стрелкой). Поскольку заряд в стационарном случае не может накапливаться,
то должно выполняться равенство
J2Jba = 0, a =1,2, ... (9.18)
ь
где силы токов <Да считаются положительными, если направление от b
к а совпадает с направлением обхода соответствующего участка контура,
и наоборот. Уравнение (9.18) должно быть записано для каждого узла
разветвленной цепи.
Рис. 9.1 Рис. 9.2
б) Второй закон Кирхгофа. Выберем в разветвленной цепи
произвольный замкнутый контур (рис. 9.2) и произвольное направление обхода вдоль
9.1. Постоянный ток
153
него. Для участка ab этого контура справедливо уравнение типа (9.16).
Суммируя обе части уравнения по всем участкам выбранного контура, получим
Е^Даб=Е<Ге), (9-19)
так как разность электростатических потенциалов вдоль замкнутого контура
XX^а - <Рь) обращается в нуль. Нужно составить минимально необходимое
число уравнений такого типа, в которых должны быть представлены все
неразветвленные участки цепи. Уравнения (9.18), (9.19) позволяют выразить
силы токов в каждом звене цепи через их сопротивления и сторонние ЭДС.
Рационализация указанных уравнений («метод контурных токов») изложена
в книге Смайта (см. главу VI, & 6).
Джоулевы потери и транспортные явления в постоянном
электрическом поле. При протекании тока в проводнике электрическое поле
совершает работу, равную j -E в расчете на единицу объема за единицу времени
(см. условие примера 2.15). При наличии в проводнике кроме
электрического поля также сторонних ЭДС полная удельная работа над зарядами будет
равна j-(E + Eext). При постоянстве электрических величин и сторонних
сил эта работа превращается в тепло и расходуется на нагрев проводника
(джоулево тепловыделение). Плотность мощности джоулева
тепловыделения с помощью (9.2) можно записать в разных формах:
Q = НЕ + Eext) = к{Е + Eext)2 = 3—. (9.20)
Наиболее универсальным является последнее выражение (через плотность
тока), которое справедливо независимо от наличия сторонних ЭДС.
Полное тепловыделение Q в проводнике дается интегралом по его
объему от плотности (9.20). В случае замкнутого квазилинейного проводника
с помощью замены (2.40) jdV —> Jdl находим
Q= j QdV= [jiE + Eext)dV = j£(E + Eextydl = JgexU (9.21)
где §ext = faEexfdl — полная сторонняя ЭДС, а циркуляция постоянного
электрического поля по замкнутому контуру равна нулю.
Электрический ток в проводнике представляет собой один из
процессов переноса (транспортных процессов), при котором через поперечное
сечение проводника переносится электрический заряд. Поскольку
электрический ток вызывается движением частиц — носителей заряда* то протекание
154
Глава 9
тока сопровождается переносом и других физических субстанций, в первую
очередь транспортировкой энергии, так как перемещающиеся частицы
переносят свою кинетическую и потенциальную энергию. Процессы переноса
становятся более разнообразными, если проводник неоднороден по составу
или в нем в силу внешних условий поддерживается градиент температуры.
Рассмотрим в первую очередь перенос электричества и тепла в однородном
по химическому составу проводнике, в котором созданы градиенты
электростатического потенциала Е = - V</? и температуры VT (не предполагая
наличия других сторонних ЭДС).
Из качественных соображений ясно, что градиент температуры создаст
дополнительный электрический ток, так как частицы — носители заряда
будут диффундировать из более нагретых мест проводника в менее нагретые.
Кроме того, градиент температуры создает, согласно закону
теплопроводности Фурье, поток тепла — £VT, где £ — положительный коэффициент.
Дополнительный поток тепла будет создан электрическим полем,
вызывающим направленное движение частиц. Наконец, с электрическим током
будет связан поток потенциальной энергии (pj частиц. Поэтому
плотности потоков электричества j и энергии q следует записать с учетом всех
перечисленных факторов:
j = кЕ + /JVT,
q = (pj +iE - £VT. V'LL)
Кинетические коэффициенты к, /3,. 7, £ не зависят от электрического поля,
но зависят от природы и термодинамического состояния проводника, в
частности, от его температуры. Поэтому градиент температуры VT в (9.22)
должен рассматриваться как достаточно малая величина, высшими членами
разложения по которой можно пренебречь. Сравнение первого уравнения
(9.22) с (9.2) показывает, что в данном случае Eext = (3VT/k.
Кинетические коэффициенты не являются независимыми. Связь между
ними устанавливается на основе принципа симметрии кинетических
коэффициентов Онсагера, который является следствием обратимости во
времени уравнений квантовой и классической механики. Обоснование
принципа Онсагера можно найти в курсах статистической физики и физической
кинетики (см., например, [Ландау и Лифшиц, Статистическая физика;
Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных сред; Де Гроот и Мазур (1964);
Дьярмати (1974)]). Его можно сформулировать следующим образом.
Пусть имеется набор макроскопических параметров ха, а = 1,2, ... п,
которые характеризуют термодинамическое состояние неравновесной
макроскопической системы, причем равновесному состоянию отвечают
значения ха — 0. Тогда при малом отклонении от равновесия удельную энтропию
9.1. Постоянный ток
155
системы можно представить в виде разложения
5(xi,X2, • • .хп) = So - £ 22ааъхахъ, ааъ = аЬа = ~к—о—» (9.23)
а, Ь
где So — равновесная энтропия, а члены первого порядка обратились в
нуль вследствие максимальности энтропии при равновесии. Коэффициенты
разложения ааь зависят только от равновесных величин. Наряду с
параметрами ха определим сопряженные с ними в термодинамическом смысле
величины
Ь
которые иногда называют «обобщенными термодинамическими силами».
Переход к равновесию сопровождается возрастанием энтропии,
изменение которой выражается через скорости изменения параметров ха\
а
Скорости ха = Ja в неравновесной термодинамике часто называют
«потоками».
Важный постулат неравновесной термодинамики, обобщающий
опытные данные о поведении слабо неравновесных систем, утверждает, что
скорости изменения термодинамических параметров ха при малых
отклонениях от равновесия являются линейными функциями самих этих
параметров ха, которые полностью определяют скорости релаксации. С равным
основанием можно считать величины ха линейными функциями
обобщенных термодинамических сил Ха, поскольку ха и Ха связаны линейными
соотношениями (9.24). В итоге можем записать линейные уравнения:
ха = - ^2 ^а,ьХь, а = 1,2, ... п. (9.26)
ь
Именно к кинетическим коэффициентам \аъ, описывающим переход к
равновесию, относится принцип симметрии, математическая формулировка
которого имеет вид:
Xab = ha- (9.27)
При наличии внешнего магнитного поля кинетические коэффициенты могут
от него зависеть, и в этом случае принцип симметрии приобретает форму
\аЬ(В) = \ьа(-В). (9.28)
156
Глава 9
В качестве параметров ха, характеризующих неравновесное состояние
системы, можно выбирать разные величины. Каждому набору параметров
соответствует свой набор обобщенных термодинамических сил. Критерием
правильности выбора кинетических коэффициентов является возможность
представить скорость роста энтропии (9.25) в виде интеграла от суммы
произведений обобщенных сил на «потоки». Принципу симметрии Онсаге-
ра подчиняются не любые коэффициенты, а только те, которые связывают
«потоки» с обобщенными силами.
Пример 9.1. Из принципа симметрии Онсагера найти связь между
коэффициентами /3 и j, входящими в выражения потоков электричества
и энергии (9.22).
Решение. Выделим произвольный малый элемент объема АV системы
и вычислим энергию, втекающую через его поверхность в единицу времени:
(1) AQ = - iq-dS = - fv-qdV « -(V-g)AK
Эта энергия диссипирует, превращаясь в тепло, что позволяет найти
возрастание энтропии системы:
<2> f-X^-
Это выражение следует привести к виду (9.25), что достигается
преобразованием подынтегрального выражения:
_V^ = У-(</?j) V-(q-<pj) =j-E (q-w)-VT q-tpj
\9) rp rp rp rp 2 T
При получении первого слагаемого в правой части использовано
уравнение (9.1). Последнее слагаемое (полная дивергенция) дает нуль при
интегрировании по всему объему системы, так как поток энергии и
электрический ток за пределами системы отсутствуют. Поэтому (2) можно заменить
выражением
f=l№
"-«'■"U.
Выбираем в качестве «потоков» величины j и q - <pj. Тогда, согласно
(9.22), (9.25) и (4), имеем обобщенные силы
(5) Xj — — —, Xq —
Е у VT
X' q х2
9.1. Постоянный ток
157
и находим кинетические коэффициенты
(6) Х33 = кТ, Xqq = £Т2, Xjq = -(ЗТ2, Xqj = 7Г.
Принцип симметрии Онсагера дает
(7) 7 = -РТ.
Ш
Пример 9.2. Записать плотность мощности тепловыделения для
общего случая, когда проводник неоднороден по химическому составу и в
нем поддерживается градиент температуры.
Решение. С помощью формул (1) и (7) из предыдущего примера, а
также уравнений (9.22) находим плотность мощности тепловыделения
Q = ff = -V-g = 4 + V-faVT) + Tj-V [pj . (9.29)
Первое слагаемое в правой части (1) представляет собой джоулево
тепловыделение, второе слагаемое связано с теплопроводностью. Коэффициент
теплопроводности г} = £ - /32Т/к. Последнее слагаемое линейно
относительно плотности тока и связано с химической и термической
неоднородностью проводника. Оно содержит термоэлектрические эффекты, которые
рассмотрены в задачах 9.27-9.29. ■
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика
сплошных сред; Смайт (1954); Френкель (1935); Пановский и Филипс
(1963); Шимони (1964); Зоммерфельд (1958); Тамм (1976); Гринберг (1948);
Нейман и Демирчян (1981а); Дыхне (1970а); Дыхне (1970b); Виноградов
(2001); Де Гроот и Мазур (1964); Дьярмати (1974); Мартинсон и Недоспа-
сов (1993); Фокин (1996)].
Задачи
9.1е. В отсутствие тока проводник квазинейтрален, плотности
зарядов ионов и электронов в нем скомпенсированы: р — pi + ре = 0. Найти
плотность заряда внутри проводника с магнитной проницаемостью /х, по
которому течет постоянный ток с плотностью j.
Указание. Учесть действие магнитной силы на электроны
проводимости, движущиеся с некоторой постоянной дрейфовой скоростью и.
158
Глава 9
9.2.. Аккумуляторная батарея с малым внутренним сопротивлением
и ЭДС § не может обеспечить питания током J некоторого прибора в
течение длительного времени. Чтобы продлить срок службы батареи, включают
прибор и батарею в сеть постоянного тока параллельно друг другу через
сопротивление R. Напряжение V в сети неустойчиво и меняется от V\ до Vb
(Vi > V2 > §). Сопротивление R подбирают так, чтобы при V = V\ батарея
не давала тока. Какой ток J будет давать батарея при V = V<p.
9.3. Каковы должны быть параметры обмотки гальванометра с
вращающейся катушкой, чтобы при заданных ЭДС цепи и внешнем
сопротивлении R (соединение последовательное) отброс гальванометра был
максимальным? Угол отброса стрелки гальванометра пропорционален числу
витков п катушки и току J в цепи. Вследствие ограниченности объема,
занимаемого катушкой в кожухе прибора, произведение nS, где S — сечение
провода катушки, является приблизительно постоянным.
9.4. Квадратная сетка из однородной проволоки состоит из п2
одинаковых квадратных ячеек. Сопротивление стороны ячейки равно г. Ток
входит в один из углов сетки и выходит из противоположного угла. Найти
сопротивление R всей сетки для случаев п = 2,3, 4.
Указание. Для уменьшения числа контурных токов использовать
симметрию цепи.
9.5*. Телеграфная линия (рис. 9.3) подвешена на п изоляторах
в точках А\, А2,..., Лп (роль второго провода играет земля). Отрезки
линии АА\, А\А2,..., AnAn+i имеют одно и то же сопротивление R. При
Рис. 9.3
сухой изоляции сопротивление изоляторов бесконечно. При сырой
изоляции возникает утечка через изоляторы в землю; сопротивление каждого из
изоляторов при этом становится равным г. Между концом А линии и землей
включена батарея с ЭДС 8 и внутренним сопротивлением R{. Конец Ап+\
9.1. Постоянный ток
159
через нагрузку с сопротивлением Ra также соединен с землей. Найти ток
на каждом из участков линии, а также ток, протекающий через нагрузку.
Во сколько раз ЭДС батареи при сырой изоляции должна быть больше ЭДС
при сухой изоляции, чтобы ток через нагрузку был в обоих случаях один
и тот же? Рассмотреть, в частности, случай Ra = 0.
Указание. Рассмотреть контурные токи в цепочке контуров, каждый
из которых образован отрезком Ak-\Ak линии и утечками через
изоляторы Ak-\ и Ak. Решением получившегося разностного уравнения второго
порядка является гиперболический косинус.
9.6*. Подземный кабель имеет постоянное сопротивление р на
единицу длины. Изоляция кабеля несовершенна и через нее происходит утечка.
Проводимость утечки на единицу длины кабеля'постоянна и равна 1/р'.
Роль обратного провода играет земля. Найти дифференциальное
уравнение, которое описывает распределение постоянного тока в кабеле. Найти
связь между током в кабеле J(x) и разностью потенциалов (р(х) между
жилой кабеля и землей.
Указание. Исходить из уравнения (1) в решении задачи 9.5*.
9.7*. К одному из концов подземного кабеля длиной а, с
сопротивлением на единицу длины р и проводимостью утечки — (на единицу длины)
Р.
подключена заземленная одним полюсом батарея с ЭДС § и внутренним
сопротивлением R{. Второй конец кабеля подключен к заземленной
нагрузке с сопротивлением Ra. Найти распределение тока J(x) по длине кабеля.
Рассмотреть, в частности, случай R{ = Ra = 0. Выполнить для проверки
результата предельный переход к случаю кабеля без утечки.
Указание. Исходить либо из дифференциального уравнения,
полученного в задаче 9.6*, либо из формулы (7) в решении задачи 9.5*.
9.8. В пространство между обкладками плоского конденсатора
вставлены две плоскопараллельные проводящие пластинки, плотно прилегающие
друг к другу и к обкладкам конденсатора. Пластинки имеют толщины h\
и /i2, их проводимости и диэлектрические проницаемости яь k<i и е\, в2
соответственно. На обкладки конденсатора, изготовленные из материала
с проводимостью, много большей чем к\ и к,2, подана разность
потенциалов V. Найти напряженность Е электрического поля, электрическую
индукцию D и плотность тока j в пластинках, а также плотности свободных <jext
и связанных ащь зарядов на всех трех границах раздела.
160
Глава 9
9.9. Найти закон преломления линий тока на гладкой поверхности
раздела двух сред с проводимостями к\ и к^-
9.10. По бесконечному прямолинейному проводу радиусом а с
электропроводностью к течет постоянный электрический ток с плотностью j.
Вычислить поток вектора Пойнтинга через поверхность провода и показать,
что он восполняет джоулевы потери внутри проводника.
9.11*. Постоянный ток J течет по бесконечно длинному прямому
проводу радиуса а с проводимостью к. Провод окружен толстой
коаксиальной с ним проводящей цилиндрической оболочкой, служащей обратным
проводом. Внутренний радиус оболочки 6, наружный радиус с —> оо.
Найти электрический потенциал </? и магнитное поле Н во всем пространстве.
Найти также распределение а поверхностных зарядов. Диэлектрическая
проницаемость среды между проводниками равна е.
9.12. Три проводника с круглыми сечениями одного и того же
радиуса г соединены последовательно, образуя замкнутое кольцо. Длины
проводников /о, ^ь h ^> г, проводимости kq, к\, К2. Но объему проводника с
проводимостью к0 равномерно распределена сторонняя ЭДС §0, не зависящая
от времени. Найти электрическое поле Е и распределение электрических
зарядов внутри кольца.
9.13. Найти потоки энергии 7 через поверхности трех проводников,
рассмотренных в задаче 9.12. Получить таким способом закон Джоуля-
Ленца.
9.14. Распределение тока в трехмерном проводнике с
проводимостью к обладает такой симметрией, что во всех точках каждой его
эквипотенциальной поверхности напряженность электрического поля, а
следовательно, и плотность тока имеют одно и то же значение. Доказать, что
в этом случае сопротивление проводника выражается той же формулой, что
и сопротивление квазилинейного проводника с переменным поперечным
сечением1.
9.15. Используя результат предыдущей задачи, найти
сопротивления R:
а) сферического конденсатора с радиусами обкладок а и 6, а < Ь,
заполненного однородной средой с проводимостью к;
'Сформулированные условия совпадают с условиями, при выполнении которых можно
пользоваться электростатической теоремой Гаусса в соответствующей электростатической
задаче.
9.1. Постоянный ток
161
б) такого же конденсатора, заполненного двумя однородными слоями
с проводимостями к\ и К2 (слой с к\ прилегает к внутренней обкладке),
границей раздела между которыми является сфера радиуса с;
в) цилиндрического конденсатора с радиусом обкладок а и 6, а < b
и длиной /, заполненного средой с проводимостью к (краевого эффекта не
рассматривать).
9.16. Заземление осуществляется с помощью идеально
проводящего шара радиуса а, наполовину утопленного в землю (проводимость
земли к\ = const). Слой земли радиуса 6, концентрический с шаром и
прилегающий к нему, имеет искусственно повышенную проводимость к,2- Найти
сопротивление R такого заземлителя.
9.17*. Система идеальных проводников (электродов) находится в
среде с проводимостью к(г) и диэлектрической проницаемостью е(г),
обладающей тем свойством, что к(г)/е(г) = const во всех точках пространства2.
Найти связь между потенциальными коэффициентами Sik и
коэффициентами сопротивления Rik этой системы проводников. Как связаны между
собой заряды qk электродов и исходящие от них токи J^?
9.18. Конденсатор произвольной формы заполнен однородным
диэлектриком с проницаемостью е. Найти емкость С этого конденсатора, если
известно, Что при заполнении его однородным проводником с
проводимостью к он оказывает постоянному току сопротивление R.
9.19. Система электродов характеризуется коэффициентами
сопротивления Rik. Найти количество тепла Q, выделяемое в единицу времени
токами в пространстве между электродами, если известны токи Jk,
исходящие от электродов.
9.20. Две идеально проводящие сферы с радиусами а и b находятся
в однородной среде с проводимостью к и диэлектрической
проницаемостью е. Расстояние между центрами сфер равно I. Ток J подводится к одной
из сфер и отводится от другой сферы. Найти сопротивление R = (Va — Vb)/J
среды между сферами, где Va, VJ, — потенциалы сфер, J — ток, текущий от
сферы с радиусом а.
Указание. Выразить Rik через емкостные коэффициенты с^ системы
двух сфер (см. задачу 8.58).
2Иначе это условие можно сформулировать так: вместо среды с проводимостью к
пространство между идеальными проводниками заполняют диэлектрической средой, проницаемость е
которой пропорциональна к в каждой точке пространства, так что е/к = const.
162
Глава 9
9.21. Концы некоторой цепи заземлены с помощью двух идеально
проводящих сфер (радиусы их а\ и аг), наполовину утопленных в землю,
служащую вторым проводом. Расстояние между сферами I ^> а\, а2,
проводимость земли к = const. Найти сопротивление R между заземлителями.
9.22. Решить предыдущую задачу, если заземлители осуществляются
в виде двух одинаковых эллипсоидов вращения, с объемом V и
эксцентриситетом во. Оси вращения эллипсоидов перпендикулярны к поверхности
земли, а центры лежат на ней. Какая форма заземлителей выгоднее
(обеспечивает меньшее сопротивление)?
9.23. В среду с электропроводностью к погружены наполовину два
сферических идеально проводящих электрода с одинаковыми радиусами а,
имеющими потенциалы V/2 и —V/2. Вычислить ток J, текущий от одного
электрода к другому, и показать, что он равен току, стекающему с отдельного
электрода, потенциал V которого относительно бесконечно удаленных точек
равен разности потенциалов между двумя электродами.
9.24*. Частицы с зарядом е и массой т могут в неограниченном
количестве испускаться чплоским электродом х = 0 под действием
электрического поля. Испущенные с нулевой скоростью частицы ускоряются в
направлении к другому плоскому электроду, параллельному первому и
отстоящему от него на расстояние а. Разность потенциалов между
электродами <ро- Эмиссия из первого электрода продолжается до тех пор, пока поле
образовавшегося между электродами объемного заряда с плотностью р не
скомпенсирует внешнее поле у поверхности первого электрода, так что
напряженность результирующего поля — д(р/дх\х=о = 0. Найти зависимость
плотности стационарного тока j между электродами от разности
потенциалов </?о.
Указание. Потенциал в пространстве между электродами
определяется уравнением Пуассона Д</? = — Атгр, р = j/v, где v — скорость частиц
в данной точке пространства.
9.25. В анизотропном проводнике электропроводность к^ является
тензорной, величиной. Показать, что принцип симметрии Онсагера требует
симметрии тензора электропроводности.
9.26. Найти ограничения, которые накладывает на кинетические
коэффициенты в уравнениях (9.22) закон возрастания энтропии
неравновесной системы.
9.27*. Показать с помощью формулы (9.29), что при наличии в
проводнике из однородного материала электрического тока и градиента тем-
9.1. Постоянный ток
163
пературы в нем возникает тепловыделение Томсона, плотность мощности
которого
Qth = Q3-VT. (9.30)
Его знак зависит от взаимной ориентации тока и градиента температуры.
Вычислить коэффициент Томсона д.
9128*. Пользуясь уравнением (9.29), показать, что на контакте (спае)
двух проводников разного химического состава при прохождении
электрического тока выделяется (поглощается) в расчете на единицу площади тепло
Qp = n12j, (9.31)
зависящее от направления тока (эффект Пельтье). Вычислить коэффициент
Пельтье Щ2.
9.29*. Разомкнутая цепь состоит из двух разных квазилинейных
проводников 1 и 2, причем места их контактов находятся при разных
температурах Т\ и Тч (рис. 9.4). Показать с помощью первого уравнения (9.22), что
Рис. 9.4
на концах цепи образуется разность потенциалов (термоЭДС)
W(|-§)^ = /^, (9.32)
где П12 — коэффициент Пельтье, определенный в предыдущей задаче.
164
Глава 9
9.30*. Проводник состоит из областей с удельными электропроводно-
стями к\ и к>2, распределенными по случайному закону, так что его
электропроводность к(х,у) представляет собой случайную функцию точки в
плоскости ху и не зависит от координаты z. Области 1 и 2 статистически
эквивалентны, т. е. занимают равные площади в плоскости ху. Ток течет в
плоскости ху и в каждой точке (локально) подчиняется закону Ома j = к(х, у)£,
где S — напряженность электрического поля. Вычислить эффективное
значение электропроводности К, которое входит в макроскопический закон
Ома J — КЕ, связывающий средние по объему проводника значения
плотности тока J = (1/V) J jdV и электрического поля Е = (1/V) fSdV.
Вычислить также относительные квадратичные флуктуации силы тока и
напряженности поля Aj = ((j2) - J2)/J2, AE = ((S2) - E2)/E2.
9.31 **. Обобщить предыдущую задачу на случай, когда в направлении
оси Oz приложено внешнее магнитное поле Hq. При этом локальный закон
Ома можно записать в виде (см. ответ к задаче §.28)
j+jxn = к8,
где п — безразмерный векторный параметр Холла, направленный вдоль Hq.
Найти эффективное значение электропроводности К и параметр Холла N,
входящие в закон Ома для усредненных значений J, E:
J + JxN = KE.
Рассмотреть по отдельности случай, когда флуктуирует к, а п остается
постоянным, и случай постоянной к, при флуктуациях п.
9.2. Магнитное поле в магнетиках
Уравнения и граничные условия. Магнитное поле в средах
описывается вектором магнитной индукции В и вектором напряженности
магнитного поля Н, которые в статическом случае удовлетворяют уравнениям (7.21)
rot
H = i?j, JH-dl = ^A
divB = 0, Ф B-dS = 0
(9.33)
и уравнению связи (7.26)
В = fiH либо Ва = царН0. (9.34)
9.2. Магнитное поле в магнетиках
165
(последние уравнения используются для изотропных и анизотропных диа- и
парамагнетиков. О ферромагнетиках см. ниже). В (9.33) величина j —
плотность тока проводимости, a J — полный ток проводимости через
поверхность, опирающуюся на контур I. Плотность объемного и поверхностного
тока намагничения (который определяется совокупностью «молекулярных»
токов) дается формулами (7.18), (7.19):
jint = crotM, iint = cnx (М2 - Mi), (9.35)
где М2 - Mi — скачок вектора намагниченности на границе. Этот вектор
связан с В и Н соотношением
В = Н + 4тгМ. (9.36)
Векторы поля на границах раздела магнетиков удовлетворяют граничным
условиям, которые выводятся из интегральных уравнений (9.33) и имеют
вид, сходный с (2.58):
п\В2 - Вг) = О, пх(Н2 - Нг) = ^г. (9.37)
Если всю среду, включая и проводники с током, можно считать
однородной и изотропной (/i = const), то напряженность магнитного поля Н в
ней, согласно (9.33), (9.34) и (9.37), будет такой же, как в вакууме при том же
распределении токов проводимости, а магнитная индукция В = fiH
изменится в д раз. Напомним, что именно магнитная индукция В представляет
собой усредненное микроскопическое магнитное поле. Поэтому
макроскопическая сила Лоренца, действующая на точечную заряженную частицу
в среде, определяется напряженностью электрического поля и магнитной
индукцией:
F = eE+^vx В. (9.38)
Уравнения (9.33) допускают введение векторного потенциала А,
В =rotA, (9.39)
удовлетворяющего в однородной изотропной среде уравнению
AA = -^j. (9.40)
Ферромагнетики и спонтанная намагниченность. Скалярный
потенциал. Ферромагнетики отличаются от диа- и парамагнетиков в следу-
166
Глава 9
ющих отношениях: а) многие из них обладают «остаточной
намагниченностью», т. е. спонтанной намагниченностью в отсутствие внешнего
магнитного поля Н; б) связь между векторами В и Н нелинейна и
неоднозначна, она зависит от истории процесса намагничивания (гистерезис). Для
приближенного расчета магнитных полей в ферромагнетиках используют
модель «идеализированного ферромагнетика», принимая линейную связь
между векторами поля в виде
В = цН + 4тгМ0. (9.41)
Магнитомягкие материалы имеют большую магнитную проницаемость,
/i « 102 -г- 106 (см. [Григорьев и Мейлихов (1991)]). Намагниченность М0
должна рассматриваться как не зависящая от Н величина, свойственная
постоянному магниту. Она может быть заданной функцией координат.
Поле, создаваемое постоянными магнитами, удобно рассчитывать
методом скалярного потенциала. В отсутствие токов проводимости имеем
уравнения
rot if = 0, divB = 0, B = fiH + 4тгМ0. (9.42)
Первое из этих уравнений позволяет ввести псевдоскалярный потенциал ф
(см. пример 2.12) соотношением Н — — VV>. Потенциал удовлетворяет
уравнению, аналогичному уравнению (8.5) для электростатического
потенциала в неоднородном диэлектрике:
V- (/iVVO = -4тгрш, (9.43)
где величина
Pm(r) = -V.Mo(r) (9.44)
играет роль объемной плотности сторонних «магнитных зарядов». На
границе постоянного магнита возникают и поверхностные «магнитные
заряды». В однородном ферромагнетике псевдоскалярный потенциал
удовлетворяет уравнению Пуассона
^ = -^Г- (9-45)
В этом случае к задачам магнитостатики применимы все методы
электростатики, рассмотренные в главе 8.
Рекомендуемая литература: [Тамм (1976); Ландау и Лифшиц,
Электродинамика сплошных сред; Батыгин и Топтыгин (2002); Джексон (1975);
Бредов и др., Классическая электродинамика; Френкель (1949); Стрэттон
(1948); Смайт (1954); Шимони (1964); Пановский и Филипс (1963); Нейман
и Демирчан (1981а)].
9.2. Магнитное поле в магнетиках
167
Задачи
9.32. Вычислить напряженность магнитного поля Н и магнитную
индукцию В, создаваемые постоянным током J, текущим по
бесконечному цилиндрическому проводнику кругового сечения радиуса а. Магнитная
проницаемость проводника равна /io, окружающего проводник вещества /х.
Решить задачу наиболее простым способом — с помощью уравнения
Максвелла в интегральной форме (9.33), а также путем введения векторного
потенциала А.
9.33. Решить предыдущую задачу для полого цилиндрического
проводника (внутренний радиус а, наружный 6).
9.34. Свести задачу магнитостатики об определении поля,
создаваемого заданными токами в неоднородной среде с линейным уравнением
связи между векторами поля В = fi(r)H, к задаче электростатики. Для
этого представить магнитное поле в виде суммы двух полей: Н = Но + Н\
где Но — «первичное» поле, которое создавалось бы тем же распределением
токов в пустом пространстве, а Н' — поле, обусловленное наличием
магнетиков. Ввести для Н' скалярный потенциал ф, получить для ф уравнение
и граничные условия.
9.35. Контур с током лежит в плоскости раздела двух сред с
магнитными проницаемостями /ii и fi2- Вычислить напряженность магнитного
поля Н во всем пространстве, считая известным поле, создаваемое этим
контуром в вакууме.
9.36. Бесконечный прямой провод с током J расположен
параллельно плоской границе двух сред с магнитными проницаемостями /ii и /i2-
Расстояние от провода до границы а. Вычислить магнитное поле.
Указание. Применить метод изображений, подобно тому как это
делалось в задачах электростатики (раздел 8.1).
9.37. В однородное магнитное поле Но вносится шар радиуса а
с магнитной проницаемостью \х. Определить результирующее поле Н,
индуцированный магнитный момент т и плотность токов jint, эквивалентных
приобретаемой шаром намагниченности.
9.38. Найти форму силовых линий магнитного поля внутри и вне
шара, рассмотренного в предыдущей задаче.
Указание. Использовать формулу, полученную в задаче (2.79).
168
Глава 9
9.39. В магнетике с магнитной проницаемостью \хе имеется
однородное магнитное поле Н. Из магнетика вырезают шар радиуса а и вставляют
вместо него другой концентрический шар радиуса b с магнитной
проницаемостью fii. Можно ли подобрать \i{ и Ь таким образом, чтобы поле в области
г > а осталось прежним?
9.40*. Анизотропный неферромагнитный шар вносится в однородное
магнитное поле. Найти результирующее поле Н и момент сил N,
действующих на шар.
9.41. Вычислить магнитное поле, которое создается тонким прямым
проводом с током J в анизотропном магнетике. Провод ориентирован в
направлении одной из главных осей тензора /iQ£.
9.42. Бесконечно длинная полая цилиндрическая оболочка с
внутренним радиусом а и внешним радиусом b находится во внешнем однородном
магнитном поле Но, перпендикулярном ее оси. Магнитная проницаемость
цилиндра /ib окружающего пространства \х^ Найти напряженность поля Я
в полости. Рассмотреть, в частности, случай \i\ ^> /i2-
9.43. Полая сфера, внутренний и наружный радиусы которой
соответственно а и 6, помещена во внешнее однородное магнитное поле Но.
Магнитная проницаемость сферы /хь окружающего пространства /i2- Найти
поле Н в полости. Рассмотреть, в частности, случай fi\ ^> Ц2-
9.44. Вычислить изменение ДФ потока магнитной индукции через
сечение полого шара радиуса а, рассмотренного в предыдущей задаче,
относительно первоначального потока, который существовал в однородном
магнетике. Сечение проходит через центр шара перпендикулярно
направлению внешнего поля.
9.45* Бесконечный прямолинейный провод радиуса а с магнитной
проницаемостью Ц\ находится во внешнем однородном поперечном
поле Но в среде с магнитной проницаемостью /i2- По проводу течет
постоянный ток J. Найти результирующее магнитное поле внутри и вне провода.
9.46. В некоторой ограниченной области задано распределение
намагниченности М(г). Определить скалярный ф и векторный А
потенциалы, создаваемые этим распределением намагниченности. Показать прямым
вычислением, что векторы В — rot А и Н = -grad^ связаны
соотношением В = Н + АтгМ.
9.47. Тело произвольной формы намагничено однородно. Показать,
что скалярный потенциал магнитного поля, создаваемого этим телом, мож-
9.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 169
но записать в виде
ф = -М • grad</?,
где М — намагниченность, а </? — электростатический потенциал
равномерно заряженного (с плотностью р = 1) тела такой же формы и размеров.
9.48. Ток J течет по прямолинейному проводу, совпадающему
с осью Oz. От оси расходятся веерообразно три полуплоскости,
образующие три двугранных угла: а\, е*2, «з (#1 + #2 + #з = 27г). Пространство
внутри каждого из углов заполнено однородным магнетиком с магнитными
проницаемостями соответственно Ji\, /хг, Мз- Определить магнитное
поле Hi (г = 1,2,3) в каждом из двугранных углов.
9.49*. Пользуясь уравнением связи (9.41), найти поле равномерно
намагниченного постоянного магнита сферической формы. Магнитная
проницаемость сферы /ib внешней среды /i2-
9.50*. Найти поле, создаваемое бесконечным цилиндром радиуса а,
намагниченным однородно. Вектор намагниченности М$ перпендикулярен
оси цилиндра. Магнитная проницаемость цилиндра fi\, окружающей
среды Д2-
9.51. Эллипсоид из магнитного материала с проницаемостью \х внесен
в однородное магнитное поле Но. Вычислить внутреннее поле и магнитный
момент эллипсоида. Рассмотреть частные случаи тонкого диска, тонкого
длинного стержня и сферы.
9.52*. Эллипсоид из анизотропного материала с магнитной
проницаемостью fak внесен во внешнее однородное магнитное поле Но. Вычислить
внутреннее поле Н\ в эллипсоиде.
9.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения
для магнетиков
Термодинамические функции магнетика. Рассмотрим ограниченную
систему, которая состоит из вещества и токов, создающих магнитное поле.
Поскольку магнитное поле само по себе работы не производит, то отличная
от нуля работа возможна только при наличии в системе электрического
поля Е. Источники тока производят над системой «вещество + поле» за
время St работу
6A = -6t [ j-EdV,
170
Глава 9
где интеграл распространен на все пространство. В последнее соотношение
подставляем j = с V х Н/Атг и преобразуем интеграл с помощью теоремы
Остроградского-Гаусса:
SA=-^ f H-[VxE]dV.
Вихревое электрическое поле возникает при изменении магнитного поля в
соответствии с уравнением индукции (7.8):
Таким образом, элементарная работа генерации магнитного поля
выражается через приращение магнитной индукции:
4тг/
6А=-^ Н 6BdV. (9.46)
Полученная формула формально аналогична выражению (8.36) в
электростатике. Фактически же магнитная индукция является аналогом
напряженности электрического поля, а не электрической индукции.
Как и в случае диэлектриков, в зависимости от внешних условий
элементарная работа (9.46) может характеризовать изменение разных
термодинамических потенциалов. В случае теплоизолированного статистически
равновесного тела работа электрических сил производится при постоянной
энтропии и представляет собой изменение внутренней энергии U. Полное
изменение внутренней энергии согласно первому закону термодинамики
складывается из теплоты и работы и имеет вид
Ш = TSS + -±- / H6BdV. (9.47)
Здесь в отличие от (Д3.46), внутренняя энергия тела обозначена через U,
S — энтропия тела, Т — его температура, а для малых приращений
термодинамических величин использован символ 5, чтобы отличать их от элемента
интегрирования dV. В (9.47) не включена механическая работа за счет
изменения объема тела.
Если рассматриваемое тело находится в тепловом контакте с
окружающими равновесными телами и его температура не изменяется, то работа
представляет собой изменение свободной энергии Гельмгольца ^, а ее
полное изменение запишется в виде
hi»
SdT+j- HSBdV. (9.48)
9.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 171
Приведенные выше изменения термодинамических потенциалов можно
записать и для удельных величин, относящихся к единице объема магнетика:
dU(S, т, В) = TdS + tdr + ^H-dB, (9.49)
dF(T, r, В) = -SdT + Cdr + ^H-dB. (9.50)
Поскольку рассматриваемый объем может обмениваться с окружающим
веществом частицами, то в (9.49), (9.50) включено соответствующее
слагаемое, содержащее изменение плотности массы dr и химический потенциал,
отнесенный к единице массы, £ = /i/ra, где \х — химической потенциал,
входящий в (Д3.47) и отнесенный к одной частице с массой га.
В отличие от локальных величин Т, S, г, которые существуют только
внутри рассматриваемого тела, магнитная индукция В отлична от нуля и
за его пределами. Поэтому часто бывают удобны такие термодинамические
потенциалы С/*, F*, у которых независимой полевой переменной
выступает намагниченность М, равная нулю за пределами тела. Эти потенциалы
вводятся соотношениями
U,(S,t,M) = U(S,t,B)-^, F*(T,t,M) = F(T,t,B)-^, (9.51)
и имеют полные дифференциалы
dU* = TdS +. £dr + H • dAf, (9.52)
dF* = -SdT + £dr + H- dAf,. (9.53)
Наконец, можно ввести такие термодинамические потенциалы, для
которых независимой переменной будет вектор Н, определяемый токами
проводимости:
U(S,t,H) = U-±H-B, F(T,t,H) = F-±H-B, (9.54)
Их дифференциалы запишутся в виде
dU = TdS + C,dr - -j^BdH, dF = -SdT + C,dr - ^-BdH. (9.55)
Через термодинамические функции можно выразить магнитное поле и
магнитную индукцию в магнетике:
(9.56)
172
Глава 9
Пример 9.3. Вычислить добавки к удельным термодинамическим
функциям С/, С/, F, F, 5, С магнетика, вызванные наличием магнитного
поля. Магнетик изотропный, его уравнение связи линейное: В = /х(Т, т)Н.
Решение. По аналогии с примером 8.5 получим
F(T,t,J5)-Fo(T,t) = ^, U(S,t,B)-Uq(S,t) = £^: (9.57)
Здесь в первой формуле магнитную проницаемость /х, не зависящую от
поля, следует выразить через температуру и плотность магнетика, а во
второй — через энтропию и плотность.
U-U0(S,t) = -&£-, F-F0(T,t) = -^, (9.58)
£)„-<ь<™-&(£)г- ^
Пример 9.4. £ однородное внешнее магнитное поле Ж в вакууме
вносится диэлектрическое тело с магнитной проницаемостью fi.
Выразить изменение внутренней энергии тела через его магнитный момент,
считая тело теплоизолированным и пренебрегая изменением объема. Как
изменится свободная энергия тела, если вместо теплоизоляции в нем
поддерживается постоянная температура?
Решение. В соответствии с (9.57), изменение внутренней энергии тела
(1)
ак= [ н' Bs~ ж2 dv = ± [(H+je)-(B-je)dv-± j Mjedv,
где из подынтегрального выражения вычтена плотность магнитной энергии
в отсутствие тела, а само выражение преобразовано с учетом формулы
В — Н = АтгМ. В правой части (1) в первом интеграле выражаем через
векторные потенциалы разность В - Ж = V • (А - si). Здесь A, si —
векторные потенциалы при наличии и в отсутствие магнетика. С помощью
формул векторного анализа записываем тождество
(2) (Н+Ж)-(В-Ж) = [Чх(Н+Ж)].(А-*) + Ч-[(А-*).(Н+Ж)].
9.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 173
Первое слагаемое в правой части дает нуль из-за отсутствия токов
проводимости: V х (Н + Ж) — 0. Второе слагаемое дает нуль при интегрировании
по всему пространству В итоге получаем из (1)
Ш = -\ J M.tfdV =-±МЖ, (9.61)
где
М= [MdV (9.62)
— магнитный момент тела. В случае изотермического процесса та же
величина (9.61) будет представлять собой изменение свободной энергии. ■
Пример 9.5. Магнитное поле в однородной среде с магнитной
проницаемостью /х(Т, г) создается тонкими квазилинейными проводниками с
токами. По аналогии с токами в вакууме {см. раздел 2.2) выразить
энергию магнитного поля через коэффициенты индуктивности. Найти
зависимость этих коэффициентов от магнитной проницаемости среды.
Решение. При фиксированных значениях температуры и плотности
среды энергия магнитного поля представляет собой часть свободной
энергии (9.57) системы:
a) ^ = hjH
BdV.
Преобразуем эту формулу путем, обратным тому, которцй был использован
при переходе от (2.75) к (2.76). Получим
(2) Д*=£/
A-jdV.
Интеграл по объему можно представить в виде суммы интегралов по
квазилинейным контурам:
(3) ** = T,&f
А • dk.
Это позволяет выразить энергию через магнитные потоки Ф& = § В • dSb'.
(4) Д^=££ЛФ6.
ь
174
Глава 9
Представление в виде суммы по контурам возможно и для векторного
потенциала:
(5) A = Y,A«, Аа{гъ) = ^1^,
a J a
где использовано решение (2.50') с добавленным согласно (9.40)
множителем /х, Rab — расстояние между элементами длин dla и сИъ. В итоге
свободная энергия (3) оказывается выраженной в виде суммы
Д^=Е^-+Е^^, (9.63)
а а<Ь
где
L«b = »j%^ (9.64)
— коэффициент взаимной индукции контуров с током а и 6, Laa —
коэффициент самоиндукции. Его нужно вычислять с учетом конечности сечения
проводника, т.е. по формуле (2.74) с добавлением в правую часть
множителя fi.
Сравнивая (9.66) с формулой (4), находим выражение для магнитного
потока через контур а:
ъ
Этот поток обусловлен полем Ва, которое создается током Ja, текущим в
этом же контуре, и полями Въ> Ьф а всех прочих контуров. ■
Силы в магнитном поле. Сравнение полученных выше результатов
с (2.68), (2.75) показывает, что при /х = 1 величина А& переходит в
рассмотренную в разделе 2.2 энергию W системы токов. Поэтому обобщенные
силы при постоянных токах в контурах следует вычислять по формуле
где qa — обобщенная координата. Аналогом «потенциальной функции» U,
использовавшейся в разделе 2.2, является величина А&, которая может
быть получена из (9.58) и отличается от А& только знаком (ср. (9.57)
и (9.58)).
9.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 175
Формула Ампера (2.45) для силы, действующей на элемент
квазилинейного тока, в магнетике будет выражаться через магнитную индукцию:
dF= ^dl xB. (9.66)
Аналогия между электрическими и магнитными явлениями позволяет
получить из формулы (8.61) выражение для плотности силы, приложенной
к жидкому магнетику с линейной связью В = fiH:
j*B-tH'^+tv [?'£*)• (967)
Здесь в случае неферромагнитной электропроводной жидкости главный
вклад дает первое слагаемое с током проводимости j. Этой силе
соответствует тензор натяжений
аа0 = ±НаВ0 - Ц („ -, т^) 5а0. (9.68)
Ферромагнетизм. Ниже мы рассмотрим основы феноменологической
термодинамической теории ферромагнетизма и простейшие
микроскопические модели. Основные опытные данные:
1. Спонтанная (в отсутствие внешнего магнитного поля)
намагниченность Мо, достигающая при низких температурах значений порядка
нескольких тысяч гаусс.
2. Исчезновение спонтанной намагниченности при повышении
температуры до значений, превышающих характерное для каждого
ферромагнетика значение Тс — температуру Кюри. При Т > Тс ферромагнетик
переходит чаще всего в парамагнитное состояние.
3. Температуры Кюри чистых элементов (Fe, Со) превышают 103 К =
= 0,1 эВ, у других элементов и соединений достигают сотен либо
десятков К.
4. Магнитная восприимчивость ферромагнетиков достигает значений
104 -т- Ю5; намагничивание до насыщения происходит в относительно
слабых полях до « 100 Э.
5. В ферромагнитных кристаллах имеет место зависимость магнитных
величин от направления — магнитная анизотропия.
Бросается в глаза сходство между ферромагнетиками и сегнетоэлек-
триками (см. раздел 8.3), хотя последние стали изучаться значительно
позже ферромагнетиков. Ввиду отмеченного сходства сегнетоэлектрики иногда
называют «ферроэлектриками».
176
Глава 9
Возникновение спонтанной намагниченности ниже температуры Кюри
указывает на процесс магнитного упорядочения, поэтому переход в
ферромагнитное состояние естественно рассматривать как фазовый переход 2-го
рода и применить к нему теорию Ландау. При этом сохраняют силу многие
формулы из теории сегнетоэлектричества, полученные в разделе 8.3.
Термодинамический потенциал Гиббса для ферромагнетика в слабом
магнитном поле Н вблизи точки Кюри можно записать в виде, сходном
с (8.74):
Ф(р, Г, М) = Ф0(р, Г) + \а(р, Т)М2 + i/J(p, Т)М* - МН. (9.69)
Зависимость феноменологических параметров а, (3 от температуры дается
формулами (8.72). Температурная зависимость равновесной
намагниченности получается из (8.73):
М0 = J^(Tc-T), T<TC. (9.70)
Магнитная восприимчивость при Т = Тс имеет особенность и описывается
в парамагнитной области (Т > Тс) законом Кюри-Вейсса
Х=Т^7Ъ' Т>Тс' <9-71)
В упорядоченной фазе (Т < 7с) имеем
x = W^)> Т<Тс- (9Л2)
Как уже отмечалось в разделе 8.3, в области сильных флуктуации
параметра порядка вблизи точки Кюри теория Ландау неприменима.
Например, для железа область применимости определяется неравенством
\Т — Тс\ ^> 0,02Тс- Кроме того, изложенная теория не позволяет найти
Тс и коэффициенты а, /3, С.
Первый шаг в построении микроскопической теории ферромагнетизма
сделал французский физик П.Вейсс (1907), который ввел в рассмотрение
внутреннее («молекулярное») магнитное поле
Ншо1 = AM, (9.73)
выстраивающее магнитные моменты ферромагнетика параллельно друг
другу. Природа этого поля в то время не была известна. Естественное
предположение о том, что внутримолекулярное поле создается взаимодействием
элементарных магнитных моментов, не согласовывалось с опытными
данными. Из опыта для типичных ферромагнетиков (например, железа) следует
9.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 177
значение спонтанной намагниченности М$ « 103 Гс и постоянной
молекулярного поля Л « 104, так что Hmoi « 107 Э. В то же время магнитный
момент атома (порядка магнетона Бора) на межатомных расстояниях
создает значительно меньшее поле порядка /хв/а3 ~ Ю3 -т-104 Э.
Природа молекулярного поля Вейсса нашла объяснение в трудах
Я.И.Френкеля и В.Гейзенберга на основе квантовой механики.
Рассмотрим простейший вариант модели ферромагнетика, предложенной Гейзен-
бергом. Пусть каждый атом локализован в своем узле и имеет магнитный
момент, квантовомеханический оператор которого Д = 2/х#£. Здесь мы
учли, что главная роль в ферромагнетизме принадлежит спиновым
магнитным моментам, и будем считать S оператором спинового механического
момента атома. Спин атома взаимодействует с внешним полем if и со
спинами ближайших соседей. Взаимодействие между спинами имеет кван-
товомеханическую природу и носит «обменный» характер, обусловленный
антисимметрией (см. (Д3.6)) полной волновой функции электронной
системы. В основе обменного взаимодействия лежат кулоновские электрические
силы (а не слабые магнитные), способные обеспечить нужную величину
эффективного поля. Считая все атомы одинаковыми, запишем оператор
обменного взаимодействия между спинами в виде Щк = —4/5* • £&, где
/ > 0 — константа обменного взаимодействия, имеющая размерность
энергии. Положительность этой постоянной делает состояние с параллельными
спинами энергетически выгодным.
Чтобы перейти к приближению самосогласованного молекулярного
поля, заменим воздействие соседних спинов на выделенный спин S
некоторым средним полем ([Кубо (1967), Бердышев (1992)]), выражающимся
через средний спин:
Z
tl^Si • S -> 2zI~S • S = 2fiBHmoi • 5,
г=1
где z — число ближайших соседей. Поскольку макроскопическая
намагниченность в рассматриваемой модели должна выражаться в виде М =
= 2fiBNS, где TV — средняя концентрация спинов, то самосогласованное
поле приобретает вид (9.73). Константа молекулярного поля Вейсса Л =
= zI/figN определяется квантовомеханическим обменным
взаимодействием между электронами.
Таким образом, каждому локализованному спину в ферромагнетике
можно сопоставить гамильтониан
V = -2fiB(H + НтЫ) - S = -2fiB(H + AM) • S. (9.74)
178
Глава 9
В дальнейшем мы будем считать ферромагнетик изотропным и направления
М и Н одинаковыми.
Пример 9.6. На основе гамильтониана (9.74) получить уравнение
связи между намагниченностью и магнитным полем в ферромагнетике.
Вычислить спонтанную намагниченность как функцию температуры
{построить графики). Выразить температуру Кюри через константу
обменного взаимодействия.
Решение. Пользуясь результатами задачи 7.17 или выполнив
усреднение заново, получим уравнение связи в параметрической форме:
где Mq = 2[IbNS — намагниченность насыщения, Ls(x) — функция Брил-
люэна, определенная равенством (12) из решения задачи 7.17. Величина
S — квантовое число, определяющее полный спин атома (предполагается,
что орбитальный момент не вносит вклада в ферромагнетизм).
Возможны значения S = 1/2,1,3/2 Наименьшее значение S = 1/2 отвечает
предельному квантовому случаю, когда в атоме имеется один неспаренныи
электронный спин, случай S ^> 1 соответствует классическому пределу
Для вычисления спонтанной намагниченности полагаем в (1) Н = О
и находим точки пересечения прямой у\(х) = х с линией У2{х) =
= Ls{^zIS2x/T) (см. рис. 9.5 для S = 1/2), причем х = М/М0. Кроме
—и.—^——__.,*.
/т<т/ 1*^
О
Рис. 9.5
9.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 179
корня х = О, отвечающего нулевой намагниченности, возможны еще
значения х = хо > О, хо < 1, которым соответствует намагниченность М =
= xqMq > 0. Ненулевой корень имеется только при dy2(x)/'dx\x=o < 1,
когда касательная к кривой У2(х) при х = 0 проходит выше прямой у\(х) = х.
Вычислив указанную производную, находим условие существования
спонтанной поляризации, из которого определяется температура Кюри
ферромагнетика:
TC=4ZS%+1)I = I,IS(S + 1)NX. (9.75)
Зависимость намагниченности от температуры приведена на рис. 9.6. ■
Основные черты поведения
ферромагнетика описывает также модель
Изинга. Эта модель непосредственно
относится к анизотропному
ферромагнетику, в котором электронные спины,
локализованные в узлах
кристаллической решетки, могут быть
направлены только вдоль или противоположно
некоторому фиксированному
направлению. Обменное взаимодействие спинов
в этой модели можно описать функцией
V = -I^*i*k, (9.76)
г, к
где учитывается только взаимодействие ближайших соседей, а
величины а{,Ok принимают значения ±1 (собственные значения az-матрицы
Паули). При / > 0 взаимодействие (9.76) способствует параллельному
расположению спинов. Более простая, чем теория Гейзенберга, модель
Изинга позволяет вычислить термодинамические потенциалы и
рассчитать термодинамические параметры ферромагнетика, хотя даже в этой
упрощенной модели точный расчет произвести нелегко (см., например,
[Уайт (1985), Бердышев (1992)]).
Мы выполним, следуя Кубо (1967), приближенное вычисление
термодинамических функций в модели Изинга. Спиновая часть внутренней
энергии системы должна вычисляться путем усреднения энергии (9.76) по
равновесному распределению спинов. Точное выражение для среднего с
М/М0
180
Глава 9
помощью формул (Д3.44) и (Д3.46) следует записать в виде
<^> = |£П{*})ехр
где суммирование нужно произвести по всем переменным {а}
ферромагнетика. Чтобы не заниматься вычислением этой сложной суммы, мы введем
при усреднении упрощающее предположение, что корреляция" между
спинами полностью отсутствует и они в этом смысле образуют идеальный газ.
При этом сама усредняемая энергия учитывает обменную спиновую
корреляцию. В этом приближении имеем
{V) = -I(NU+Nu-Nn), (9.77)
где через АГц, N±±, АГц обозначено полное число пар спинов в
ферромагнетике с соответствующими ориентациями. Пусть TVf и N± — число спинов,
направленных соответственно вверх и вниз, а■ N — N^ + N± — полное
число спинов. Намагниченность ферромагнетика зависит от избытка спинов
одного направления, т. е. от величины х = (TVf - N±)/N.
В отсутствие корреляции вероятности того, что в данном узле
находится спин заданного направления, равны
^Т 1, х Ni 1/
независимо от направления спинов в соседних узлах. Если число
ближайших соседей z для каждого узла, то среднее число пар со спином вверх
Nu = \zN]W] = \zN{l + x)2:
Множитель 1/2 в исходном выражении учитывает тот факт, что в
произведение ZW} ■ TVf каждый спин нужного направления входит дважды — один раз в
качестве центрального спина и второй раз в качестве одного из ближайших
соседей. Аналогичным образом находим
Nu = |*ЛГ(1 - х)2, Nn = \zN(l-x2)
(в последнем выражении двойного учета нет). В итоге получаем из (9.77)
ту часть внутренней энергии U, которая связана с взаимодействием спинов:
U{x) = (V) = ~zINx2. (9.78)
V(W})
9.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 181
Для определения всех термодинамических потенциалов системы
нужно еще вычислить ее энтропию. Вычисляем ее по формуле Больцмана S =
= 1пАГ, где АГ — число микросостояний, которыми реализуется
макросостояние системы с заданными х и N. В отсутствие корреляций между
спинами все возможные перестановки спинов равновероятны, поэтому
АГ= ЛМАМ' 5 = iVln2-|iV[(l+x)ln(l+x)+(l-x)ln(l--x)]. (9.79)
Здесь использована формула Стирлинга In N\ « N\n N - N для всех трех
чисел N, которые считаются большими.
С учетом внешнего магнитного поля Н и полученных значений U и S
записываем потенциал Гиббса в виде
ф = ф0 + |ЛГГ[(1 + х) 1п(1 + х) + (1 - х) 1п(1 - х)} - ±zINx2 - fiBNxH.
(9.80)
Здесь —[хвН — энергия отдельного спина во внешнем поле, Nx —
число некомпенсированных спинов, Фо — вклад от степеней свободы
ферромагнетика, не связанных с взаимодействием спинов. В пренебрежении
эффектами, связанными с наличием границ, можно считать величину (9.80)
удельным термодинамическим потенциалом, если TV — число спинов на
единицу объема.
Пример 9.7. Из условия минимума потенциала Ф при
фиксированных р, Т и Н вычислить равновесную намагниченность М = fiBNxeq
ферромагнетика в модели Изинга и исследовать устойчивость полученных
состояний. В частности, показать, что состояние со спонтанной
намагниченностью М > 0 при Т < Тс и Н — 0 соответствует минимуму
термодинамического потенциала.
Решение. Приравнивая нулю первую производную по х от потенциала
Гиббса (9.80), получим уравнение, из которого определяется xeq. Записав
xeq = М/Мо, где М0 = libN — намагниченность насыщения, после
некоторых преобразований получим
£-«.(*^).
Это — нелинейное уравнение связи между М и Н. Сравнивая его с
уравнениями (1) примера 9.6, убеждаемся, что при S =1/2 они становятся
тождественными полученному выше уравнению (1), если учесть, что Li/2(x) =
= th:r.
182
Глава 9
Условие устойчивости равновесного состояния имеет вид
Р)
= NTC
Тс 1-х,
eq
>о,
где Тс = zl Состояние с xeq = О устойчиво при Т > Тс и неустойчиво при
Т <Тс- Если xeq > 0, воспользуемся уравнением (1) при Н = 0 и получим
<3>
^Ф
dr
^[shj,-j,]>0.
Написанное неравенство выполняется при любом у = 2TqM/TMq > О,
что возможно лишь при температурах ниже точки Кюри. Таким образом,
состояние со спонтанной намагниченностью термодинамически устойчиво.
■
Ферромагнетики достаточно больших размеров состоят из
макроскопических областей, намагниченных до насыщения — магнитных доменов.
Выше рассматривались свойства ферромагнетика в пределах отдельного
домена.
Антиферромагнетизм. Антиферромагнетиками называются магнито-
упорядоченные вещества, которые в кристаллическом состоянии имеют
две или несколько подрешеток с упорядоченными магнитными
моментами, имеющими разные направления в разных подрешетках. Но при
сложении намагниченности подрешеток взаимно компенсируются и
результирующая намагниченность равна нулю. Антиферромагнетиками являются
Сг, Mn, K2O, MnO, FeCb и многие другие элементы и соединения.
Применим метод самосогласованного поля к исследованию свойств
антиферромагнетизма в простейшей модели. Пусть антиферромагнетик
состоит из двух подрешеток, а и 6, с одинаковыми числами атомов N/2 на
единицу объема и с одинаковыми спинами. Учитываем взаимодействие только
с ближайшими соседями, в предположении, что соседние спины стремятся
принять антипараллельные направления. В этом случае можно использовать
представление (9.73) для молекулярного поля, действующего на магнитные
моменты каждой из подрешеток, со следующими изменениями:
а) заменить / на -/, считая по-прежнему / > 0;
б) заменить TV на N/2;
в) поле в каждой из подрешеток будет определяться намагниченностью
второй подрешетки.
В результате будем иметь
H<£,= H-2\M<b\ H.W = Я - 2АМ<»\ (9.81)
9.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 183
где постоянная молекулярного поля имеет прежнее значение X=zI/fi2BN> О
и добавлено внешнее магнитное поле. Уравнения связи для намагниченно-
стей двух подрешеток получаются из равенств (1) примера 9.6 формальной
заменой I —> -J, TV —> N/2 (при этом А■—> -2А):
t^=L5(^|H-2AM«l),
LS(^|H-2AMW|).
M0
(9.82)
Здесь Мо = hbSN — одинаковые намагниченности насыщения
подрешеток, в левые части равенств входят проекций намагниченностей на
соответствующие локальные поля:
Н-2ЛМ(М)
|H-2AAf(b«a>|
Анализ свойств антиферромагнетика на основе уравнений (9.82)
производится в задачах 9.81-9.83*.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика
сплошных сред; Ландау и Лифшиц, Статистическая физика; Тамм (1976);
Батыгин и Топтыгин (2002); Смайт (1954); Кубо (1970); Кубо (1967); Бер-
дышев (1992); Леонтович (1983); Уайт (1985); Завадский и Вальков (1980);
Изюмов и Скрябин (1987)].
Задачи
9.53. В бесконечном соленоиде с радиусом а и числом витков п
на единицу длины медленно изменяется сила тока J(t). Внутри соленоида
магнетик с проницаемостью /х. Вычислить изменение магнитной энергии
dW/dt на единицу длины соленоида и показать, что оно обеспечивается
потоком вектора Пойнтинга через боковую поверхность соленоида.
Указание. Электрическое поле внутри соленоида вычислить из закона
электромагнитной индукции (11.11).
9.54. Вычислить магнитную индукцию В и напряженность
магнитного поля Н на оси соленоида с густой намоткой, имеющего форму цилиндра.
184
Глава 9
Высота цилиндра ft, радиус а, число витков на единицу длины п, сила
тока J. Снаружи и внутри соленоида находится однородная среда с магнитной
проницаемостью /х.
9.55. Найти коэффициент "самоиндукции if на единицу длины
бесконечного цилиндрического соленоида с густой намоткой и с произвольной
(не обязательно круговой) формой сечения. Площадь сечения S, число
витков на единицу длины п. Соленоид заполнен однородным магнетиком с
проницаемостью /х.
9.56. Найти коэффициент самоиндукции L тороидального соленоида,
заполненного магнетиком с проницаемостью /х. Радиус тора 6, число
витков N, сечение тора — круг радиуса а. Определить самоиндукцию на
единицу длины соленоида в предельном случае b —> оо (N/b = const). Решить ту
же задачу для тороидального соленоида, сечение которого —
прямоугольник со сторонами а и ft. Как изменится самоиндукция, если равномерно
распределенный ток будет течь, сохраняя то же направление, не по проводу,
намотанному на тор, а прямо по полой оболочке тора?
9.57. Линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических
оболочек с радиусами а и b (a < 6), пространство между ними заполнено
веществом с магнитной проницаемостью /х. Найти самоиндукцию if на
единицу длины.
9.58. Вычислить коэффициент самоиндукции if на единицу длины
двухпроводной линии. Линия находится в среде с магнитной
проницаемостью /х и- состоит из двух параллельных прямых проводов, радиусы
которых а и 6, расстояние между осевыми линиями ft, магнитная проницаемость
материала /хо- По проводам текут равные по величине, но противоположно
направленные токи J.
9.59*. Показать, что коэффициент самоиндукции тонкого замкнутого
проводника с круговой формой сечения можно приближенно вычислить по
формуле
где /хо — магнитная проницаемость проводника, I — его длина, V —
коэффициент взаимной индукции двух линейных контуров. Один из контуров
совпадает с осевой линией рассматриваемого квазилинейного проводника,
3Первый и второй члены в выражении L могут быть названы соответственно внутренней
и внешней самоиндукцией, так как они определяют магнитную энергию, запасенную внутри
проводника и вне его.
9.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 185
другой — с линией, по которой пересекается с поверхностью
проводника произвольная незамкнутая поверхность S, опирающаяся на его осевую
линию (рис. 9.7).
9.60. На основе результата
предыдущей задачи вычислить
коэффициент самоиндукции L тонкого
проволочного кольца радиуса 6. Радиус
провода а <^ Ь, магнитные
проницаемости провода и внешней среды
различны.
9.61. Вычислить
самоиндукцию L проволочного квадрата со
стороной Ь. Радиус провода а <^ Ь, магнитная проницаемость окружающего
пространства /х, внутри провода //о = 1.
Указание. Использовать формулы, полученные в задачах 9.59*, 2.114.
9.62. Прямолинейный провод с током J расположен параллельно оси
бесконечного кругового цилиндра на расстоянии b от нее. Радиус
цилиндра а (а < 6), магнитная проницаемость /х. Найти силу взаимодействия /
на единицу длины4.
Указание. Применить метод изображений.
9.63. Прямолинейный провод с током J расположен внутри
бесконечной цилиндрической полости, вырезанной в однородной магнитной
среде. Провод расположен параллельно оси цилиндра на расстоянии b от
нее. Радиус цилиндра а, магнитная проницаемость магнетика \х. Найти силу
взаимодействия / на единицу длины.
9.64. Небольшой постоянный магнит, момент которого га,
находится в пустоте вблизи плоской границы вещества с магнитной
проницаемостью fi. Определить силу F и вращающий момент N, действующие на
постоянный магнит.
Указание. Применить метод изображений.
9.65. Контур с током находится на плоской границе двух сред с
магнитными проницаемостями /xi и /х2. Выразить самоиндукцию L контура
через ее значение L$ для того же контура в вакууме.
4Из результатов задач 9.36, 9.62 легко получить решение электростатических задач об
определении поля, создаваемого заряженной нитью.
186
Глава 9
9.66. Вычислить изменение внутренней энергии AU магнетика при
изотермическом намагничивании (магнитная индукция изменяется от О
до В). Сравнить полученную величину с /7 — Щ, определенной
согласно 9.57 для адиабатического процесса. Изменением объема и плотности
массы пренебречь.
9.67*. Пользуясь принципом Нернста в формулировке Планка и
соотношением (9.55) для dF, показать, что магнитная восприимчивость любого
магнетика должна удовлетворять условию (дх/дТ)т —> 0 при Т —> 0.
Принцип Нернста утверждает, что S(T, аг)|т->о —> 0, т. е. энтропия равновесного
тела при стремлении абсолютной температуры к нулю стремится к нулю при
любых фиксированных значениях внешних параметров (давления, внешних
полей, фазового состояния). Удовлетворяют ли этому условию
парамагнитные восприимчивости вырожденного электронного газа (задача 7.22) и
разреженного атомарного газа (задача 7.17)?
9.68*. Кристаллический парамагнетик, магнитная восприимчивость
которого в некоторой области температур подчиняется закону Кюри хСП —
= С/Т, С = const, теплоизолирован и находится в магнитном поле В при
температуре Т. Как изменится его температура при выключении поля?
9.69. Парамагнетик, подчиняющийся закону Кюри (см. предыдущую
задачу), изотермически и обратимо намагничивается при температуре То
в магнитном поле, возрастающем от 0 до Я, и затем изотермически
размагничивается до нуля. Вычислить теплоту Q, получаемую телом в этих
процессах. Согласуется ли ее знак с результатом предыдущей задачи об
адиабатическом размагничивании?
9.70*. «Идеальными парамагнетиками» называются вещества,
намагниченность М которых зависит от величин Н и Т только через их
отношение5, т.е. М = f(H/T) (рассматриваем изотропную среду). Предполагая
плотность вещества неизменной, показать, что у идеального парамагнетика
внутренняя энергия С/*, определенная согласно (9.68) и рассматриваемая
как функция температуры и намагниченности, на самом деле не зависит
от М. Выразить энтропию S и {/* через теплоемкость Суо, предполагая
ее зависимость от температуры вида Суо = 6Т3, b = const, и через
функцию f(H/T).
9.71. Магнетик поляризуется в воздухе во внешнем однородном
магнитном поле Н. Считая поле также однородным внутри тела, а процесс
намагничивания изотермическим и изобарическим, вычислить изменение
Такая зависимость возможна только в ограниченном интервале параметров.
9.3. Энергия, силы и термодинамические соотношения 187
объема тела А V <С V, выразив его через поле Я, магнитную
восприимчивость х и изотермическую сжимаемость /3 = — (1/У)(дУ/др)т, где р —
давление.
Указание. Может быть решена по образцу более сложной задачи 8.80.
9.72. Для изотропного магнетика выразить через намагниченность М
и магнитную восприимчивость х(Т, г) связанные с намагничением добавки
к величинам С/*, F*. Эти величины определены равенствами (9.68). Найти
аналогичную добавку к энтропии S. Плотность массы г считать
неизменной.
9.73. Вычислить изменение Су в — Су о теплоемкости магнетика
при постоянных объеме и магнитной индукции, вызванное включением
магнитного поля. Сравнить эту разность с разностью Сун — Суо, пользуясь
уравнением связи В = /х(Т, т)Н.
9.74. Вычислить разность удельных теплоемкостей магнетика
Си — С в, не предполагая линейного характера зависимости между В и Н.
При этом сохраняются постоянными также либо объем V, либо давление р.
9.75. Доказать, что удельные теплоемкости магнетика можно
представить формулами
Г - (ди\ г _ (ди\ тт (дМ\
где М — удельный дипольный момент магнетика, а индексы указывают,
какой параметр остается постоянным.
9.76. В нелинейном случае магнитная восприимчивость \ — дМ/дН
зависит от условий процесса поляризации: остается ли магнетик
теплоизолированным, или он находится в контакте с термостатом, поддерживающим
его при постоянной температуре. Найти связь между адиабатической и
изотермической восприимчивостями:
См
Xs = -q-Xt,
где теплоемкости См, Сн соответствуют постоянству намагниченности и
магнитного поля.
9.77. На основе соотношений (9.69)-{9.72) вычислить скачок
теплоемкости АСР = Ср\т=тс+о — Ср\т=тс-о ферромагнетика в точке Кюри.
188
Глава 9
9.78. Магнитная восприимчивость парамагнетика дается законом
Кюри-Вейсса х(Т) = С/(Т - Тс), уравнение связи линейно: М = \Н.
Известна также теплоемкость См • Вычислить удельные величины {/*, S как
функции температуры и намагниченности М (считая плотность вещества
неизменной). Сравнить полученные формулы с результатом задачи 9.70*
для «идеального парамагнетика».
9.79. Вычислить в аналитической форме зависимость
намагниченности от температуры в модели самосогласованного молекулярного поля
(пример 9.6) в области температур Тс — Т <^Тс иТ < Тс-
9.80. Вычислить в модели самосогласованного поля (пример 9.6)
магнитную восприимчивость ферромагнетика вблизи точки Кюри в
парамагнитной и ферромагнитной фазах. Вычислить также намагниченность в
точке Кюри при наличии слабого внешнего поля.
9.81. Из уравнений (9.82) для антиферромагнетика найти область
температур, в которой существует отличная от нуля спонтанная
намагниченность подрешеток.
9.82. Вычислить магнитную восприимчивость антиферромагнетика
в парамагнитной фазе, в которой отсутствует спонтанная намагниченность
подрешеток. Среду в отсутствие внешнего поля считать изотропной.
9.83*. Вычислить магнитную восприимчивость
антиферромагнетика при температурах ниже точки перехода в антиферромагнитное
состояние. При этом следует учесть, что результирующая намагниченность при
всех температурах отсутствует, но в среде имеется выделенное
направление, определяемое противоположными направлениями намагниченностей
подрешеток, и магнитные восприимчивости в разных направлениях могут
различаться.
9.4. Электрические и магнитные свойства
сверхпроводников
Основные опытные факты. Первый сверхпроводник открыл
голландский физик X. Камерлинг-Оннес6 в 1911 г. Ртуть при охлаждении до
6Любопытно, что при присуждении Нобелевской премии Камерлинг-Оннесу в 1913 г. «за
исследования свойств тел при низких температурах, которые, в частности, привели к
получению жидкого гелия», нобелевский комитет не счел нужным выделить в своем решении
открытие сверхпроводимости. История изучения сверхпроводимости и современные задачи в
этой области отражены в статьях Нобелевского лауреата В. Л. Гинзбурга (2004, 2005).
9.4. Электрические и магнитные свойства сверхпроводников 189
температуры Тс = 4.15 К переходила в состояние, в котором ее
электропроводность повышалась более чем на 10 порядков по сравнению
с электропроводностью лучших проводников (Си, Ag), т.е.
сопротивление падало фактически до нуля. Кроме ртути, в сверхпроводящее
состояние переходят многие другие металлы и их соединения. Долгое время
наиболее высокотемпературным сверхпроводником считалось соединение
NbaGe (Тс « 23 К). Но во второй половине 1980-х годов в Европе и
Америке были синтезированы высокотемпературные сверхпроводники,
например, Bi4(SrCa)6Cu016, Tc « 105 К, Tl2BaCa2Cii30io, Tc « 125 К.
В настоящее время поиск высокотемпературных сверхпроводников
интенсивно продолжается и они находят все новые области применения.
1. Итак, главное свойство сверхпроводников — падение электрического
сопротивления до нуля, которое происходит в узком интервале температур
порядка долей градуса при охлаждении их ниже критической температуры.
2. Достаточно слабое магнитное поле всегда выталкивается из
сверхпроводника, независимо от его предыстории, т. е. от того, до или после
перехода проводника в сверхпроводящее состояние оно было включено (эффект
Мейсснера-Оксенфельда). Это объясняется тем, что внешнее магнитное
поле вызывает электрический ток в тонком поверхностном слое
сверхпроводника. Созданное этим током вторичное магнитное поле компенсирует
внешнее поле. В этом отношении сверхпроводник существенно
отличается от идеального проводника (т. е. проводника с высокой проводимостью).
Магнитное поле обладает свойством «вмороженности» в хорошо
проводящую среду (подробнее см. раздел 10.3), поэтому первоначально имевшееся
в «идеальном» проводнике поле будет в нем сохраняться даже при
выключении внешнего поля.
Плотность поверхностного тока в сверхпроводнике можно найти с
помощью второго соотношения (9.37):
г = ^п х Я. (9.84)
Здесь п — внешняя нормаль, Н — напряженность магнитного поля вне
сверхпроводника, который мы будем считать находящимся в вакууме.
Внутри сверхпроводника поле равно нулю, поэтому внешнее поле, в которое
помещен сверхпроводник, перестраивается таким образом, что на его
поверхности
п • Н = Нп = 0. (9.85)
Касательная проекция поля испытывает на этой поверхности скачок в
соответствии с (9.84).
190
Глава 9
Пример 9.8. Внешнее магнитное поле Н параллельно боковой
поверхности сверхпроводника, имеющего форму длинного кругового цилиндра
радиуса а. Вычислить магнитный момент М на единицу объема
сверхпроводника, создаваемый поверхностным током (9.84), и его поляризуемость
во внешнем поле. Сравнить поляризуемость сверхпроводника с
поляризуемостью большинства обычных диамагнетиков (х ~ Ю-6).
Решение. По формуле (2.59), используя выражение для тока (9.84),
находим магнитный момент на единицу длины цилиндра и из него
получаем М = —(1/4тг)Н. Этот результат показывает, что сверхпроводник ведет
себя в магнитном поле как идеальный диамагнетик с магнитной
восприимчивостью х — — 1/47Г и магнитной проницаемостью /х = 0. Поле внутри
такого диамагнетика ослабляется до нуля. Его магнитная восприимчивость
на пять порядков превышает восприимчивость обычных металлов. ■
3. При любой температуре достаточно
-\жМ\ сильное магнитное поле разрушает
сверхпроводимость и проникает внутрь
сверхпроводника. По поведению во внешнем
магнитном поле различают сверхпроводники
первого и второго рода. К первой группе
относится большинство чистых металлов, во
второй преобладают сплавы и химические
соединения, в том числе
высокотемпературные сверхпроводники-керамики. В схемати-
рис g g ческой форме кривые зависимости
намагниченности от внешнего магнитного поля
для цилиндров, ориентированных вдоль поля, приведены на рис. 9.8 для
сверхпроводника I рода и на рис. 9.9 для сверхпроводника II рода.
Начальный прямолинейный участок в обоих случаях соответствует эффекту
Мейсснера-Оксенфельда, когда магнитное поле в толще сверхпроводника
отсутствует.
У сверхпроводников I рода при увеличении поля до значения НС(Т),
зависящего от температуры, магнитное поле «скачком» проникает в толщу
сверхпроводника и он превращается в нормальный металл. При этом
намагниченность уменьшается на 5-6 порядков. Зависимость критического поля,
разрушающего сверхпроводимость, от температуры хорошо описывается
эмпирической формулой
НС(Т) = Яс(0)[1 - (Т/Тс)2].
(9.86)
9.4. Электрические и магнитные свойства сверхпроводников 191
-4тгМ
Рис. 9.9
Значение Нс для чистых металлов составляет сотни эрстед (400 Э для Hg,
800 Э для РЬ).
У сверхпроводников II рода уменьшение магнитного момента
происходит постепенно, в интервале от Нс\ до НС2, причем второе критическое
поле, при котором весь сверхпроводник переходит в нормальное
состояние, достигает значений порядка 105 Э. Кривая намагниченности
необратима и зависит от предыстории процесса (гистерезис). Между значениями
Нс\ и НС2 сверхпроводник находится в смешанном состоянии, в котором
сверхпроводящие и нормальные области чередуются. При увеличении поля
сверх Нс\ нормальные области зарождаются в виде тонких нитей,
пронизывающих сверхпроводник. В аналогичном состоянии в некотором интервале
значений поля может находиться и сверхпроводник I рода сложной формы,
поле внутри которого неоднородно. Области, в которых Н < Нс, останутся
сверхпроводящими, а области сЯ^Яс перейдут в нормальное состояние.
Такое состояние называется промежуточным.
4. Если возбудить незатухающий ток в сверхпроводящем кольце, то
плоскость кольца будет пронизывать некоторый магнитный поток Ф,
зависящий от силы тока. Как показали тонкие эксперименты, магнитный поток
квантуется:
ф = пФ0, Ф0 = ^ ~ 2 х 10"7 Гс • см2, п = 0,1, 2 ... (9.87)
где во — элементарный заряд. Квант магнитного потока Фо — вполне
заметная величина. В капилляре диаметром порядка 10_3 см одному кванту
потока соответствует магнитная индукция порядка 0.1 Гс. Квантование маг-
192
Глава 9
нитного потока, создаваемого сверхпроводящим током, указывает на
квантовую природу сверхпроводимости.
5. Изотопический эффект в сверхпроводимости был открыт при
исследовании сверхпроводящих свойств различных изотопов ртути. При
изменении массового числа М изотопа изменялась критическая температура
сверхпроводимости по закону
ТСМ^2 = const. (9.88)
Изотопический эффект свидетельствует о связи явления сверхпроводимости
с колебаниями кристаллической решетки, так как частота колебаний иона в
решетке обратно пропорциональна М1/2.
Термодинамика сверхпроводников. Основные термодинамические
свойства вещества, связанные со сверхпроводимостью, можно описать,
если известна зависимость ТС(Т). Воспользуемся результатами примера (9.8).
При намагничивании сверхпроводника в полях, не проникающих в его
толщу, элементарная работа на единицу объема 5Л = -М • dH = Н • dH/An.
При изотермическом изменении поля от 0 до Я запишем удельную
свободную энергию Гельмгольца в виде (ср. с формулой (9.64); здесь через Н
обозначено внешнее поле, в котором находится сверхпроводник)
F8(T,H) = F8(T,0) + |£ (9.89)
(изменением объема и связанной с этим работой пренебрегаем). Пусть поле
становится равным критическому: Н —> НС(Т). Сверхпроводник переходит
в нормальное состояние и его свободная энергия за вычетом энергии поля
в объеме тела становится равной Fn(T, Н) = Fn(T) - М • Н/2 « Fn(T),
так как магнитный момент неферромагнитного вещества пренебрежимо мал
по сравнению со сверхпроводящим. Таким образом, получаем связь между
свободными энергиями сверхпроводящего и несверхпроводящего
состояний при заданной температуре Т <ТС:
Fn(T) = Fs(T,0) + ^ft. (9.90)
Из этого соотношения следует, что Fn(T) > Fs(T,0) и при Т < Тс
осуществляется состояние с меньшей свободной энергией, т. е.
сверхпроводящее. Следует отметить, что величина НС(Т) хорошо измеряется только у
сверхпроводников I рода. У сверхпроводников II рода эта величина
(«термодинамическое критическое поле») лежит между значениями Нс\ и НС2
9.4. Электрические и магнитные свойства сверхпроводников 193
(рис. 9.9) и непосредственно не измеряется, но может быть вычислено.
Термодинамические свойства сверхпроводников I рода рассматриваются в
задачах (9.84)-(9.86).
Задачи
9.84. Пользуясь соотношениями (9.89) и (9.86), вычислить разность
энтропии нормального и сверхпроводящего состояний в интервале
температур 0 < Т ^ То при наличии внешнего магнитного поля О < Н ^ НС{Т).
На этой основе указать классификацию фазовых переходов (первого или
второго рода) из сверхпроводящего в нормальное состояние.
9.85. Вычислить скрытую теплоту перехода из сверхпроводящего в
нормальное состояние, вызванного разрушением сверхпроводимости
магнитным полем Н > Нс. Сравнить этот эффект с адиабатическим и
изотермическим размагничиванием парамагнетика (см. задачи 9.68*, 9.69.)
9.86. Вычислить скачок теплоемкости АС = Cs — Сп вещества в
точке фазового перехода Тс из нормального в сверхпроводящее состояние.
Найти значение АС в калориях на см3 и на градус Кельвина для свинца,
у которого Тс « 7.2 К, Яс(0) « 803 Э.
Феноменологическая магнитостатика сверхпроводников. В
простейшей модели сверхпроводника предполагается, что свободные
электроны вещества (с концентрацией п) можно разделить на две группы:
нормальные и сверхпроводящие, т. е. п = пп + ns. Соотношение между этими
группами зависит от температуры: п ^ ns ^ 0 при 0 ^ Т ^ Тс. В
статическом случае электрический ток создается только сверхпроводящими
электронами, так как они движутся сквозь сверхпроводник без всякого трения.
Учтем возможность проникновения магнитного поля в тонкий
поверхностный слой и будем рассматривать плотность тока и магнитную индукцию
внутри сверхпроводника как функции координат.
Записываем плотность сверхпроводящего тока jfs(r) = ens(r)vs(r) и
плотность кинетической энергии сверхпроводящих электронов:
nsmv2s mj2s
С помощью макроскопического уравнения Максвелла (8.9), rot В = A7rjs/c,
в котором производная по времени и j ext равны нулю, а ток j int обозначен
194
Глава 9
через js, выражаем плотность кинетической энергии через магнитное поле:
w=£(rotB)2,
где параметр
имеет размерность длины.
Пример 9.9. Найти уравнение, описывающее распределение
магнитного поля внутри сверхпроводника. Для этого записать свободную энергию
Гельмгольца как функционал {интеграл) от магнитной индукции и
использовать условие минимума свободной энергии в равновесном состоянии.
Решение. Свободную энергию (включая энергию поля в объеме тела)
записываем в виде интеграла по объему сверхпроводника:
(1) 9.[Т, В (г)] = 9a(T) + ±J[B2 + A2(rot B)2}dV.
Считаем объем тела и температуру неизменными при изменениях
магнитного поля. Далее следует записать необходимое условие минимума для
функционала &s[B(r)]9 т.е. равенство нулю его первой вариации при
варьировании поля, как это делалось многократно в разделе 4.3. При этом
предполагаем, что
(2) 6В = О
на границе сверхпроводника, на которой задано внешнее поле. Получаем
(3)
3[В(г)} = ± f {В 8В + \2 rot В vot8B)dV = 0.
С помощью тождества
Л2 rot В • rot 6В = 5В rot Л2 rot В - div[A2 rot В х SB]
и теоремы Остроградского-Гаусса, а также граничного условия (2) приводим
условие (3)к виду
(4) / (В + rot Л2 rot В) • 6В dV = 0
Jv
9.4. Электрические и магнитные свойства сверхпроводников 195
и получаем искомое уравнение
rot A2 rot В + В = 0. (9.92)
С помощью уравнения Максвелла полученному соотношению можно
придать вид уравнения связи между сверхпроводящим током и магнитным
полем:
Щ- rot(A2js) + В = 0. (9.93)
Параметр Л имеет смысл глубины проникновения магнитного поля в
сверхпроводник. Поскольку число сверхпроводящих электронов зависит от
температуры, то и Л является функцией температуры. Для чистых металлов
Л и 10"5 -г Ю"6 см.
Изложенная феноменологическая теория была развита немецкими
физиками братьями Ф. и Г. Лондонами в 1935 г. Соотношения (9.92)-(9.93)
носят их имя. Теория Лондонов используется в задачах 9.87-9.97.
Задачи
9.87. Записать уравнения Максвелла и материальное уравнение,
описывающие статическое электромагнитное поле в сверхпроводнике. Вывести
уравнения, описывающие в этом случае распределение тока и магнитного
поля.
9.88. Сверхпроводник заполняет подупространство х ^ 0, при х < 0 —
вакуум. В вакууме существует однородное магнитное поле Щ \\ Оу. Найти
распределение магнитного поля и токов в сверхпроводнике в статическом
случае.
9.89. Найти силу, действующую на единицу поверхности
сверхпроводника, рассмотренного в предыдущей задаче. В какую сторону
направлена эта сила?
9.90*. Сверхпроводящая пленка толщиной 2а, расположенная
симметрично относительно плоскости х = 0, находится в однородном
магнитном поле Hq || Oz. Найти распределение магнитного поля по объему
пленки, а также средний магнитный момент единицы объема.
9.91. В сверхпроводящей пленке, рассмотренной в предыдущей
задаче и находящейся в вакууме, течет ток в направлении оси Oz. Сила тока
равна г на единицу длины сечения пленки в направлении оси Оу. Найти
196
Глава 9
распределение тока по сечению пленки и магнитное поле внутри и снаружи
пленки. Рассмотреть, в частности, предельные случаи А С а и А > а.
9.92*. Первоначально в свободном пространстве (вакууме) в области
х > О расположена система проводников, в которой текут токи с объемной
плотностью j(x,y,z), создающие поле H(x,y,z), причем jx(x,y,z) = О
всюду в пространстве. Затем полупространство х < 0 заполняется
сверхпроводником. Используя метод изображений, вычислить результирующее
поле Н'{х, у, z) в области х > 0.
Указание. Проанализировать уравнения для векторного потенциала и
граничное условие на поверхности сверхпроводника.
9.93. Бесконечно длинный круговой сверхпроводящий цилиндр
находится во внешнем однородном магнитном поле Но || Oz. Ось цилиндра
параллельна полю. Найти распределение магнитного поля по объему
цилиндра и средний магнитный момент единицы объема.
9.94. Сверхпроводящий шар радиуса а находится во внешнем
однородном магнитном поле Но. Найти распределение токов в шаре и магнитное
поле во всем пространстве. Рассмотреть предельные случаи а > Л и а < Л.
9.95. По бесконечно длинному сверхпроводящему прямому проводу
кругового сечения (радиус а) течет ток J. Найти распределение плотности
тока j по сечению провода и магнитное поле во всем пространстве.
9.96. Сверхпроводящее плоское кольцо с самоиндукцией L, в котором
течет ток J, вдвигается полностью в однородное магнитное поле Hq. Найти
ток J', который будет после этого протекать по кольцу. Площадь осевого
сечения кольца S. Нормаль к плоскости кольца составляет с направлением Но
угол д.
9.97. Проводящее кольцо с самоиндукцией L находится в нормальном
состоянии во внешнем магнитном поле (магнитный поток через контур
кольца равен Фо). Затем температура понижается, и кольцо переводится
в сверхпроводящее состояние. Какой ток будет течь по кольцу, если теперь
выключить внешнее магнитное поле?
9.98. По сверхпроводящему прямому проводу радиусом а,
находящемуся во внешнем продольном магнитном поле Hq, течет ток J. Каково
критическое значение тока Jc , при котором провод теряет сверхпроводящие
свойства?
9.4. Электрические и магнитные свойства сверхпроводников 197
9.99. Внешнее магнитное поле Но приложено перпендикулярно
сверхпроводящему прямому проводу. Найти критическое значение тока Jc,
при котором в проводе появляется несверхпроводящая область.
Полуфеноменологическая квантовая теория Гинзбурга-Ландау.
В отсутствие магнитного поля переход в сверхпроводящее состояние
представляет собой фазовый переход второго рода (см. задачу 9.84).
Следовательно, ниже температуры перехода в системе должен появляться параметр
порядка. Гинзбург и Ландау (1950), считая сверхпроводимость квантовым
явлением, ввели комплексный параметр порядка Ф и приписали ему смысл
«эффективной волновой функции сверхпроводящих электронов». В
однородном и изотропном сверхпроводнике без магнитного поля параметр
порядка не зависит от координат. Термодинамический потенциал Гиббса
вблизи температуры фазового перехода Тс можно записать в виде
разложения (8.68), но по степеням |Ф|2 и (для удобства дальнейших записей) с
измененными численными коэффициентами:
Ф(р,Г,Ф) = Ф0(р,Г) + е*(р,;Г)|Ф|2 + ±/?(р,Т)|Ф|4. (9.94)
Используя условия минимума термодинамического потенциала при
равновесии, находим вблизи температуры Кюри (см. формулы (8.71), (8.72))
а(р,Т) « а(р)(Т - Тс), а > 0; /?(р,Г) « /?(р,Гс) = const > 0 (9.95)
и значения равновесного параметра порядка
|Фо|2 = -| = |(ГС - Г), Г < Тс- |Ф0|2 = 0, Т > Тс. (9.96)
При Т > Тс параметр порядка |Ф0|2 = 0, поэтому Фо(р, Т) в
разложении (9.94) представляет собой термодинамический потенциал нормального
состояния. Подставляя (9.95), (9.96) в (9.94), находим равновесный
термодинамический потенциал сверхпроводящего состояния:
Ф8(р,Т) = Фп(р,Т)-^(Тс-Т)2. (9.97)
Через термодинамические параметры а, (3, Тс легко выразить
критическое поле Яс(0), разрушающее сверхпроводимость. Пренебрегая
изменениями объема, имеем из (9.97) и (9.90)
Ф„(р,Т) - Фв(р,Т) = Fn(T) - FS(T) = !%р- = ^(Тс - Tf. (9.98)
198
Глава 9
Вблизи точки Кюри из (9.86) находим НС(Т) « 2ЯС(0)(1 - Т/Тс)9 что
позволяет получить
Нс(0) = ^Tl (9.99)
Если сверхпроводник слабо неоднороден, то параметр порядка Ф
будет зависеть от координат и в разложение термодинамического потенциала
войдет слагаемое, пропорциональное |УФ|2:
Ф3 = Фп + е*(р,Т)|Ф|2 + ±/?(р,Г)|Ф|4 + <?|УФ|2. (9.100)
Здесь опущены члены более высокого порядка по градиенту. На постоянный
множитель должно быть наложено условие д > 0, в противном случае
однородное состояние сверхпроводника (УФ = 0) не будет соответствовать
минимуму Ф3 и, следовательно, не будет равновесным.
Введем теперь удобную нормировку волновой функции и
постоянной д. Для этого используем сведения из микроскопической теории
сверхпроводимости, которые не были известны при создании теории Гинзбурга-
Ландау. Как было установлено позже в работах американских физиков
Дж. Бардина, Л. Купера и Дж. Шриффера (БКШ), а также советского
исследователя Н. Н. Боголюбова7, носителями электрического тока в
сверхпроводниках являются спаренные электроны — куперовские пары. Связь
между электронами в куперовской паре осуществляется в результате
обмена фононами, т. е. квантами колебаний кристаллической решетки. Заряд
куперовской пары равен удвоенному заряду электрона, а ее масса —
удвоенной массе электрона.
Естественно интерпретировать Ф как макроскопическую волновую
функцию, описывающую коллективное (когерентное) движение куперов-
ских пар. Тогда удобно нормировать Ф условием
|Ф(г)|2 = ^, (9.101)
где ns/2 — число куперовских пар в единице объема. Если выбрать д =
= h2/2m*, где m* = 2m — масса куперовской пары, то последнее слагаемое
7Николай Николаевич Боголюбов (1909-) — выдающийся советский физик-теоретик и
математик, получивший важнейшие научные результаты в теории сверхтекучести и
сверхпроводимости, классической и квантовой статистике, теории нелинейных колебаний, теории
элементарных частиц и квантовой теории поля. Создатель многочисленной советской школы
теоретической физики.
9.4. Электрические и магнитные свойства сверхпроводников 199
в правой части (9.100) примет вид слагаемого, отвечающего кинетической
энергии частицы в нерелятивистском квантовом лагранжиане (4.100):
В квазиклассическом приближении этому слагаемому можно сопоставить
величину
Р2 ns
2га* 2
— плотность кинетической энергии куперовских пар.
Введение традиционного квантовомеханического слагаемого в
плотность термодинамического потенциала (9.100) позволяет учесть
взаимодействие сверхпроводника с магнитным полем по обычным правилам
квантовой механики. Следует заменить оператор
p = -ihV на р-|;4(г), (9.103)
где А(г) — векторный потенциал, q = 2е — заряд куперовской пары. При
такой замене теория остается калибровочно инвариантной, произвол в выборе
векторного потенциала не сказывается на значениях наблюдаемых величин
(см, в частности, задачи 4.124, 4.131).
Запишем полный термодинамический потенциал сверхпроводника,
включающий также энергию магнитного поля:
ФсотР1 = Ф0 + I {а|Ф|2 + |/3(р,Т)|Ф|4 +
Am
гпс
2 (V х А)2 }
+ К 8?г ' \dV, (9.104)
где Фо не зависит от Фо и А, а интегрирование производится по объему
сверхпроводника. Систему уравнений для определения Фи Дв
неоднородном сверхпроводнике можно получить из условия минимума
функционала (9.104), как это делалось многократно в разделе 4.3.
Пример 9.10. Из равенства нулю первой вариации
термодинамического потенциала ФСОтр*[^5 ^*, А] при фиксированном значении А(г),
рассматривая 5Ф*(г) как независимое малое приращение комплексного
параметра порядка, получить нелинейное уравнение Шредингера для Ф внутри
200
Глава 9
сверхпроводника
И I r-7 *ге Л \ iTf i ~.iTf i /3hTf|2i
4mVV~~fic J 9 + a9 + 0\9\* = ° (9-105)
и граничное условие9, на его поверхности S:
пПйУФ + ^Аф) =0 на S. (9.106)
Решение. Рассматривая 5Ф*(г) и 5Ф(г) как независимые вариации и
варьируя Ф*(г) , получаем из (9.104) с помощью теоремы Остроградского-
Гаусса
йФСотР1 = У *Ф* | аФ + /?|Ф|2Ф + £^ (v - |f ^ Ф | dV+
+ / 5Ф* ГгЯУФ + ЩЛЪ J • ndS = 0,
откуда при произвольной функции 5Ф*(г) получаем равенства (9.105),
(9.106). ■
Пример 9.11. Получить из (9.104) уравнение для магнитного поля в
сверхпроводнике и выражение для тока, варьируя векторный потенциал А
внутри объема при заданном его значении на поверхности и при
фиксированном параметре порядка Ф(г).
Решение. Варьирование (9.104) по А с последующим преобразованием
подынтегрального выражения приводит к условию
6ФсогпР1 = J 5А(Г) • |^(ф*УФ - ФУФ*) +
+Ща\Ъ\2 + -±-V х [V х А]\ dV = 0.
тс2 4тг JJ
Поверхностный интеграл обратился в нуль, так как векторный потенциал
задан на поверхности сверхпроводника и 6A(r)\s — 0. Используя
выражение В = V х А, находим уравнение Максвелла
votB = ^js, (9.107)
8Более общее граничное условие и примеры его использования содержатся в статье Ан-
дрюшина и др. (1993)
9.4. Электрические и магнитные свойства сверхпроводников 201
в котором сверхпроводящий ток имеет вид
js = _М(ф*уФ - ФУФ*) - |gU|tf|2. (9.108)
Электрический ток (9.108) имеет обычный, известный из квантовой
механики вид (ср. с ответом к задаче 4.130, который представляет собой ток
вероятности для частицы с зарядом е и массой га). ■
Пример 9.12. Записать уравнения Гинзбурга-Ландау через
безразмерную функцию ф(г) — у/2/п®Ч?(г), где n°s — средняя по объему
концентрация сверхпроводящих электронов, и через параметры
у 4тге2п^ у/4т\а\
имеющие размерности длины.
Решение. С помощью соотношений (9.96) и (9.101) находим связь
между концентрацией куперовских пар в однородном сверхпроводнике и
термодинамическими параметрами: n°s = 2\a\//3. Это позволяет записать
уравнения (9.105)—(9.108) в виде
Z2(iV + ^A) ф-ф + \ф\2ф = 0, (9.110)
V х [V х А] = -г-^-(ф^ф - ф^ф*) - ±\Ф\2А, (9.111)
п НЧ + ^А)ф = 0. (9.112)
Задачи
9.100*. Показать, что условию (9.106) можно придать вид п-js\s = 0,
т. е. оно выражает собой требование обращения в нуль нормальной
составляющей тока на поверхности сверхпроводника. Такое условие выполняется
на границе с вакуумом или диэлектриком, но не выполняется на границе с
другим сверхпроводником или нормальным металлом.
202 Глава 9
9.101*. Показать, что выражение (9.108) для сверхпроводящего
тока калибровочно инвариантно, т. е. не изменяется при переходе к другому
векторному потенциалу А' = А + V</?, если при этом также надлежащим
образом (каким?) преобразуется волновая функция Ф.
9.102*. Проанализировать уравнения (9.110)—(9.112) для одномерного
случая и выяснить смысл входящих в них длин Л, £. Выяснить пределы
применимости уравнений Ф. и Г. Лондонов (9.92)-(9.93).
9.103*. Вывести условие квантования (9.87) магнитного потока в
сверхпроводнике. Для этого рассмотреть полость цилиндрической формы
(рис. 9.10) в массивном сверхпроводнике, вдоль оси которой приложено
магнитное поле. Записав параметр порядка в виде ф — ехр(гф(г))9 где ф(г) —
действительная фаза, воспользоваться условием однозначности волновой
функции при обходе по замкнутому контуру.
9.104. Металлическая пленка толщиной
S <^С А нанесена на поверхность
диэлектрического цилиндра радиусом а ^> 5, находящегося в
продольном магнитном поле. Сначала
температура Т > Тс, пленка несверхпроводящая. Затем
температура понижается до значения Т < Тс и
внешнее поле выключается. Найти правило
квантования магнитного потока внутри цилиндра.
Элементы микроскопической теории
сверхпроводимости. Следующие важные
положения лежат в основе микроскопической теории,
объясняющей механизм сверхпроводимости на
основе внутреннего строения соответствующих
веществ:
1. Любые два электрона испытывают кулоновское отталкивание. Но
между ними возможно и результирующее притяжение, если они
одновременно взаимодействуют с другой системой частиц. В сверхпроводниках
притяжение осуществляется при взаимодействии электронов с колебаниями
кристаллической решетки — фононами. В простейшей такого рода модели —
модели «желе» (т. е. электронно-ионной плазмы, когда ионы не образуют
упорядоченной решетки и ведут себя как жидкость) эффективный
потенциал взаимодействия двух электронов с учетом окружающих частиц имеет
вид
9.4. Электрические и магнитные свойства сверхпроводников 203
Здесь потенциал записан в представлении Фурье (вывод этой формулы см.
далее в главе И), к — постоянная экранировки, Uk — частота
собственных колебаний ионной системы. При и < Uk это потенциал притяжения
двух электронов. При ujk — 0 он переходит в экранированный кулоновский
потенциал, рассмотренный в задачах 7.24, 7.27, и описывает отталкивание.
2. Пара электронов, находящихся в вырожденном электронном газе,
может находиться в связанном состоянии при любом сколь угодно малом
притяжении между электронами. Получающиеся таким образом связанные
пары электронов называются куперовскими парами. Они представляют
собой составные частицы с нулевыми спинами (бозоны), число их в любом
квантовом состоянии может быть произвольным, в отличие от отдельных
электронов, подчиняющихся принципу запрета Паули. Эти частицы могут
перемещаться когерентно без сопротивления и без разрушения, выступая
носителями электрического тока в сверхпроводнике. Сверхпроводимость,
таким образом, можно рассматривать как сверхтекучесть куперовских пар.
Пример 9.13. Пусть в вырожденном {температура Т —> 0)
электронном газе между электронами существует притяжение, которое
определяется некоторым потенциалом V(ri,r2). Матричные элементы Vkk'
потенциала взаимодействия, отвечающие переходам пары электронов из
состояния с волновыми векторами (к',—к') в другое состояние {к,—к),
отличны от нуля лишь в узком слое вблизи заполненной сферы Ферми:
■{■
У = . -V < 0, при kF ^ /с, k' ^kF + Д/с; {
кк' ' 0 в остальном пространстве. ^ ' '
Здесь кр — волновой вектор электрона на поверхности Ферми, Д/с «
« lod/vf — толщина слоя, в котором существенно взаимодействие с
колебаниями решетки, и о — характерная частота фонона, vf — скорость
электрона на поверхности Ферми. Учитывая только взаимодействие
между рассматриваемой парой электронов и считая все остальные электроны
вырожденным идеальным ферми-газом, показать, что связанное
состояние возможно при любом сколь угодно малом притяжении V. Вычислить
энергию связи Е куперовской пары.
Решение. Ищем координатную волновую функцию ^я(гь г2) и
энергию связи пары электронов из уравнения Шредингера, записанного в
системе центра масс:
(1) "^(Д1 + Д2)^ + У(п,Г2)фЕ = {Е + 2еГ)ф.
204
Глава 9
Волновая функция в системе центра масс зависит от разности радиусов-
векторов: ^(ri, г2) — Фе{^\ — Гг). Энергия Е отсчитывается от уровня
Ферми каждого электрона и в случае связанного состояния должна
удовлетворять условию Е < 0.
Переходим в fc-пространство, разлагая искомую функцию Фе{^\ — Гг)
в ряд Фурье по состояниям ^(^ъ^г) = L~3 ехр[гк • (г\ - г2)\9 в
которых электроны имеют волновые векторы (к,-к). Волновые функции г/>*
нормированы условием LL3\^,^kd3r\d3r2 = &ш в ящике объемом L3.
Разложение имеет вид
Фе(п - г2) = 5^^(*)^*(П,Г2),
(2)
<р(к) = 7 Фе(г\ - r2)^l(rur2)d3rid3r2.
Слагаемое с потенциалом взаимодействия преобразуется следующим
образом:
(3)
/ V(ri, r2)^E{r\ - ГгЖ(п, r2)d3r1d3r2 =
к' J к'
После этих преобразований уравнение Шредингера принимает вид
(4) (Е + 2eF - 2екЫк) = £ Ушф') = "£ !>(*').
kf
Здесь ek — Н2к2/2т и всюду (р(к) = 0 при к ^ кр, так как все состояния
при к ^ кр заняты фоновыми электронами.
В последнем равенстве (4) использовано (9.114), поэтому указанное
равенство справедливо только для значений к и к' внутри слоя вблизи сферы
Ферми. Вне этого слоя правая часть обращается в нуль.
Поделив обе части равенства (4) на величину (Е + 2ер - 2вк) и
просуммировав их по к, можем сократить общий множитель ^2к (р(к) ф 0 и
получим трансцендентное уравнение для определения энергии связи Е:
(5) 1 = -V£
E + 2eF-2ek'
к
9.5. Ответы и решения
205
Перейдем в этом уравнении к интегрированию по энергиям, введя
плотность N(ek) числа квантовых состояний на единичный интервал энергии.
Уравнение (5) примет вид
de
(6) 1 = V J N(ek)
2e-E'
где введена переменная интегрирования е = е^ — ер. Ввиду неравенства
hujo <£рв аргументе N(ek) заменяем е^ на ер и выносим этот множитель
из-под знака интеграла. После интегрирования получаем
(7) 2 E-2hu>D
Здесь безразмерная величина д = VN(€f) выполняет роль константы связи
куперовской пары. Даже при д <^С 1 возможно связанное состояние:
(8) E=-hwDe~2/9.
Заполненная сфера Ферми не позволяет разорвать эту связь. Куперовские
пары способна создавать только малая часть электронов из энергетического
СЛОЯ ТОЛЩИНОЙ hbJD <C €f- ■
Рекомендуемая литература: [Гинзбург и Ландау (1950); Теория
сверхпроводимости (1960); Бардин и Шриффер (1962); Де Жен (1968); Шриффер
(1970); Тилли и Тилли (1977); Роуз-Инс и Родерик (1972); Кресин (1978);
Высокотемпературные сверхпроводники (1988); Шмидт (2000)].
9.5. Ответы и решения
9.1. р = fij2/c2pe. Это малая релятивистская поправка, порядок
которой и2/с2 < 1 относительно ре.
9.2.
J = Vi ~ V2
J2 V2-S'
9.3. Сопротивление катушки гальванометра должно быть равно
внешнему сопротивлению R.
9.4. R = Зг/2 при п = 2, R = 13г/7 при п = 3, R = Air/22
при п = 4. Использование соображений симметрии позволяет, например,
в случае п = 3 ограничиться всего тремя контурными токами.
206
Глава 9
9.5. Введем контурные токи, как показано на рис. 9.3. Уравнение
Кирхгофа для ячейки BkAkAk+iBk+i имеет вид
(1) Л+1 + Л+1 = (2 + £)л.
Это линейное разностное уравнение второго порядка имеет два линейно
независимых решения: ека и е~ка, где
(2) shf = |^
Общее решение (1) имеет вид Jk = А'ека + В'е~ка. В данном случае
удобно, перегруппировав члены, записать (1) в форме
(3) Jk = Ach((3-k)a,
где А и /3 — произвольные постоянные. Определим их из граничных
условий на концах линии. Рассмотрим последнюю ячейку. Уравнение Кирхгофа
для этой ячейки принимает вид
(4) Jn(R + Ra + r) - Jn.xr = 0.
Подставив в (4) выражения токов Jn и Jn-\ из (3) и используя (2), получим
после сокращения на А уравнение для определения /3:
Ra ch па + у/Вт sh (п + - ) с*
(5) th/За-- V ZJ
Rashna + \/#rch(n + jrja
Значение постоянной А можно получить, составив уравнение Кирхгофа для
начальной ячейки линии:
(6) > J0{R + Ri + r)- Jir = g.
Из (6) после некоторых преобразований находим, что
8
Ri ch/ta + y/Rrsh(p + ±)а
9При выводе этого и нижеследующих выражении полезно помнить, что формулы
гиперболической тригонометрии получаются из формул обычной тригонометрии заменами
cos га —► cha, sin га —► isha.
9.5. Ответы и решения
207
Окончательно получаем для тока на отрезке AkAk+i линии следующее
выражение:
(7) Л= §СЧр-к)а
R{ ch/fa + y/Rrsh(p + ±)e*
Входящие в (7) постоянные аи /3 определяются уравнениями (2), (5).
При сухой изоляции г —> оо, а —> 0 и (7), как и следует ожидать,
принимает вид:
(8) Л- * •
Я;+Яа + (П+1)Я'
Из (7) и (8) находим для отношения ЭДС §о и <£, обеспечивающих один
и тот же ток через нагрузку при сухой и сырой изоляции, выражение:
_ RidLPa + VRrsh(p+}-)a
(9) а. = ^ а .
S° [Ri + Ra + (n + 1)Д] ch(/J - n + ±)e*
Если сопротивление нагрузки Да = 0, то уравнение (5) упрощается
и из него в этом случае следует, что
(Ю) Р = п+±.
9.6. Если J(x), </?(#) — ток и потенциал жилы (относительно земли)
в сечении с координатой х, то
Ф) = -р^, J = -p^ ^ = 7J-
9.7.
§chs(x - Xq)
(1) J(x) =
Ri ch sxq + y/pf/sh sxq
208
Глава 9
где s = , \—г Постоянная х0 определяется из уравнения
V р
(2) ths{x0-a)= Ra
При Ri = Ra = 0
(3) J(x) =
§' chs(x — xo)
y/p/7shsa
Если нет утечки, то р' —> оо, х0 —> а, 5 —> 0 и вдоль кабеля ток принимает
постоянное значение:
Ri + pa + Ra'
При использовании формулы (7) из решения задачи 9.5* нужно
положить
R = pdx, r = —, к=-у-, п=-у-.
ах ах ах
Тогда из уравнения (2) решения задачи 9.5* следует, что а = sdx.
Величина (3 в этом решении связана с хо соотношением (3 = xo/dx, так
что (За = xos. Подстановка этих выражений в уравнения (5) и (7) решения
задачи 9.5* приводит к приведенным выше формулам (1) и (2).
9.8.
Е = к2У D = €Хк2У
Е2 = LKiV L , D2 - £2KlV
^l/l2+^2^l' «1/12 + ^2^1'
К\П2 + «2^1
На границе раздела между пластинками:
_ Е2 -Ei _ = к2(ег - l)-/ci(g2 ~ 1)„
47Г €Х • 47T(«i/l2 + «2^l)
_ D2-Di _ (^2^1-^1^2)^
0"ex£ —
47Г 47T(«i/l2 + ^2^l)
9.5. Ответы и решения
209
Величина V больше нуля, если первая пластинка прилегает к положительно
заряженной обкладке. У границы обкладки и первой пластинки:
Пг
El-D1
*e*i-47r, (Tint- 47r
У границы обкладки и второй пластинки:
_ Eh E2-D2
(Text- 47r, (Tint- 47r •
9.9.
tgflt
tg/fc
«2'
где /?i, /?2 — углы, образованные линией тока с нормалью к поверхности
раздела в первой и второй среде.
9.11.
Ч>= \
Jz
2 '
Jz\n(r/b)
7га2 \п(а/Ь)'
0,
0 ^ г ^ а,
а < г ^ 6,
г > 6.
Из этой формулы видно, что электрическое поле в пространстве между
проводниками не направлено по оси z. Наличие отличной от нуля
радиальной составляющей электрического поля Ет говорит о том, что на
цилиндрических поверхностях проводников имеются поверхностные заряды
с плотностями
(Т\
еЕг
47Г
eJz
4тг2а3к1п£
о
°2
еЕг
47Г
eJz
r=b
47r2a26/clnf
О
При-г = 0 плотности а\ и (72 обращаются в нуль. Положение сечения,
на котором (7i = (72 = 0, не является определенным. Это сечение может
быть смещено, если на провод поместить добавочный постоянный- заряд.
Заряды qi = 2тгаа\.и qi = 2nba2 = -<?ь приходящиеся на единицу длины
210
Глава 9
провода и оболочки (при одном и том же z), связаны с разностью
потенциалов между ними
ъ
V= f Erdr = -4r
J а'к
a
соотношением
V = Щь/а) = C°nSt
Отношение q\/V совпадает в данном случае с емкостью на единицу длины
цилиндрического конденсатора в электростатической задаче.
Магнитное поле имеет, очевидно, тот же вид, что и поле бесконечно
длинного прямого провода с током J. Это объясняется тем, что плотность
тока в бесконечно толстой оболочке равна нулю, вследствие чего обратный
ток не создает магнитного поля.
9.12. Е0 = -к(к21\ + K>ih)^o, Ei = кк2§о, Е2 = кк,1§0,
где k = kq/Iq{kqKi12 + fto^i + ^i^o), g0 = Eextlo — ЭДС источника.
Внутри него электрическое поле направлено противоположно току (Е0< 0).
Заряды, создающие это электрическое поле, возникают на границах
раздела проводников с разными проводимостями и могут быть определены
с помощью граничных условий; например, заряд на границе 01 равен
г2
<7oi = -т{Е\ - Eq).
9.13. Рассмотрим, например, поток энергии через поверхность 0-го
проводника, в котором действует ЭДС. Магнитное поле вблизи
поверхности совпадает с полем бесконечно длинного прямого провода Я = 2 J/cr.
Вектор Пойнтинга 7 — с(Ео х Н)/4тг (Е0 — напряженность
электрического поля в 0-м проводнике, направленная противоположно току, см.,
задачу 9.12), как легко убедиться, направлен из проводника по нормали к
его поверхности. Величина потока энергии через поверхность этого
проводника, следовательно, равна 2тгг1о/у = JV, где V = EqIq — разность
потенциалов на концах проводника. Величина JV представляет собой
разность между работой ЭДС SJ (§ — Eextlo) и джоулевыми потерями в
единицу времени в самом источнике.
Энергия JV вытекает ежесекундно через наружную поверхность
источника, течет в окружающем проводники пространстве (в основном вне
проводников) и втекает внутрь 1 -го и 2-го проводников через их
поверхности, превращаясь внутри этих проводников в джоулево тепло. В том, что
9.5. Ответы и решения
211
общее количество энергии, втекающей в 1-й и 2-й проводники за единицу
времени, равно JV\, JV2, легко убедиться, рассмотрев вектор Пойнтинга
так же, как выше.
9.14. R — Jx dl/hiS, где элемент 61 направлен по нормали к
эквипотенциальной поверхности с площадью S; цифрами 1 и 2 обозначены
граничные поверхности.
в) R= «Vln-.
2тг1к а
9.16.
9.17.
9.18.
9.19.
■д= 1 (i_i)+ 1
2тгк,2\а Ь) 2ък\Ъ
т 47гк; о е п
C =
AkkR'
Q = / ^RjkJjJk-
i,k
9.20.
К =-A (5ц - 25i2 + 522) = 1 о •
4™ 4™ c212-cnc22
9.21. R= YuzYl = Rl + R2-l^R1+R2,
J 7ГК1
где R\ = l/27rK,ai, R2 = 1/2тгк,а2 — сопротивления уединенных заземли-
телей (см. задачу 9.16).
212
Глава 9
9.22. Обозначим через е0 = у/1 - Ь2/а2 эксцентриситет эллипсоидов
вращения (Ь/а — отношение меньшей полуоси к большей). Тогда
— в случае сплюснутого эллипсоида вращения,
к (бтг^/Зео 1"ео
— в случае вытянутого эллипсоида вращения.
Более выгодной (при фиксированном объеме V) является сильно
вытянутая или, наоборот, очень сплюснутая форма заземлителей.
9.23. J = 27TKVa.
9.24. Плотность тока в пространстве между электродами
(1) j = pv
не зависит от х (v(x) - скорость частиц в данной точке х). Скорость связана
с потенциалом (р(х) формулой
((р = О при х = 0).
Из (1) и (2) следует, что р = jy/—m/2e(p, так как уравнение Пуассона
принимает вид
d2<p
(3> I?=-W-&-
Интегрируя (3) с граничными условиями d<p/dx\x=0 = 0 и ip\x=a = у?о,
получим
1 /2lel 2
(«закон трех вторых»).
9.5. Ответы и решения
213
9.26. Используя равенство (4) из примера 9.1 и подставив в него
величины (9.22), получим на основе закона возрастания энтропии
где г] = £ - /32Т/к — коэффициент теплопроводности. Это приводит к
неравенствам к > О, г] > 0.
9.27.
9.28. Интегрируем обе части уравнения (9.29) по малому интервалу
2h оси Oz9 включающему место спая. Ось направлена вдоль тока
перпендикулярно спаю. Первые два слагаемых в правой части дадут малые вклады,
а последнее ввиду скачка величин (3 и к на спае даст конечный вклад Qp =
= jT((32/K2 - /?i/fti) = П12.7, где П12 — коэффициент Пельтье. Величина
Qp представляет собой мощность тепловыделения на единицу поверхности
контакта.
9.30. Микроскопические значения тока и электрического поля
удовлетворяют в каждой области однородности к уравнениям
(1) J = к£, V х S = 0, Vj = 0.
Следуя Дыхне (1970а), введем новые микроскопические величины
(2) з' = («1«2)1/2[ег х *], f = (KlK2)-1/2[ez х j],
где ez —декартов орт. Пользуясь уравнениями (1), убеждаемся, что в каждой
из областей однородности
(3) Vx*; = 0, V-j' = 0.
и выполняется локальный закон Ома
(4) *' = «'*',
где
,рч / _ «i«2 _ / ^2 в области 1,
^ ' ~~ я ~~ \ Ki в области 2.
214
Глава 9
Но поскольку области 1 и 2 статистически эквивалентны, то
электропроводность в макроскопическом законе Ома для величин J', Е' должна быть
той же самой, что и для величин J, Е9 т. е.
(6) J' = КЕ'.
Усредняя по объему равенство (2), находим
(7) Г=(к1К2)1/2[е2хЯ], JE,=(«1«2)-1/2[e2xJ]=(«1«2)-1/2X[e2xJE;],
где в последнем равенстве использовано определение К, приведенное в
условии задачи. Подставив (7) в (6), найдем
(8) К = (*iK2)1/2.
Путем аналогичных расчетов находим
,9, *,_*._ ![(*)■''. (*)"]'>*
9.31. См. оригинальную работу Дыхне (1970b).
9.32. Рассмотрим решение задачи методом векторного потенциала.
Если направить ось z вдоль оси цилиндра, то декартовы компоненты А
будут удовлетворять уравнениям:
(1) ДАх = 0, ДЛу = 0, AAz = -^jz,
причем jz = 0 при г > a, jz = -^ при г ^ а.
7га
Поскольку в уравнения для Ах и Ау заданный ток J не входит, эти
компоненты можно считать равными нулю; Az будет зависеть только от
расстояния г до оси z. Интегрируя уравнение для Az и используя условия
непрерывности Az и На на границе г = а и ограниченности Н при г = 0,
получим:
при г < а
(2) Л2 = С — ( - I , Ва = ——г, Яа = —г;
с Va/ or or
при г > а
(2') Л2 = С-^(/хо + 2м1п£), В„ = ^, На = Ц.
Константа С — произвольна.
9.5. Ответы и решения
215
9.33. При г <а
Аг = Си В = 0;
при а ^ г ^Ь
2 цо J а? л г г2 \ , ^ , 2/W
А2 =
c(62-a2)V а 2а2^ " а ф2 - а2)
при г > 6
Остальные компоненты А и -В равны нулю. Две любые константы,
входящие в AZ9 можно выразить через третью, использовав условия
непрерывности векторного потенциала на границах.
9.34. Вторичное поле Н' удовлетворяет уравнению rot H' = 0, т. е.
является потенциальным. Введя скалярный потенциал по формуле Н' =
= — grad0, получим для него уравнение, совпадающее с уравнением
электростатики в неоднородной среде:
div(/xgrad^) = -47rpm,
где величина
играет роль плотности магнитных зарядов.
На границе раздела двух сред должны выполняться условия для
касательных компонент поля:
Н1т-Н2т ИЛИ -д^-^
и для нормальных компонент поля:
/i2#2n - Ml#ln = (Ml - M2)tf0n ИЛИ Vl-g^ ~ №~Q^ = 47T<Tm.
Здесь величина
&m = JziVl "" №)Hon
216
Глава 9
играет роль плотности поверхностного заряда. Заметим, что это выражение
для ош может быть получено и из формулы для объемной плотности рт
путем предельного перехода:
<7Ш = lim pmh.
h—>0
Заменим поверхность раздела тонким слоем толщиной h. Тогда grad рь будет
направлен по нормали к слою и будет равен (/i2 - Hi)/К откуда
Рт = -jz ' т Н0п, ат = lim pmh = jz(Mi - №)Щп-
9.35.
п± = v.—гтгмо, *12 — -——— -ио»
/XI + /Х2 Ml + М2
где ifo — поле, создаваемое контуром с током в вакууме, Нь Н2 — поля
в средах с проницаемостями /хь /хг-
9.36. Магнитное поле в среде 1 совпадает с полем, создаваемым в
вакууме двумя прямолинейными токами
т т т Ml(M2-Ml) t
Ji = fiJ и J2 = —J;
Ml +M2
ток J\ течет по тому же проводу, что и начальный ток J; ток J2 течет вдоль
провода, который является зеркальным изображением первого провода
относительно плоскости раздела сред.
Магнитное поле в среде 2 совпадает с полем, которое создается в
вакууме током J\ = 2/ii/i2/(/ii + Hi) J, текущим по тому же проводу, что
и начальный ток J.
9.37. Векторы поля удовлетворяют во всем пространстве
однородным уравнениям rot Н = О, div В = О, поэтому можно ввести скалярный
потенциал ф (Н = — grad-0), который будет удовлетворять уравнению
Лапласа. В результате задача магнитостатики сведена к задаче электростатики.
Решение имеет вид (см. задачу 8.11):
внутри шара
Hl = ^Т2Яо;
вне шара
Н2 = Но + Н<цр,
9.5. Ответы и решения
217
где Hdip — поле, создаваемое магнитным диполем с моментом
т =
Поскольку поле внутри шара однородно, намагниченность постоянна:
4тга3 4тг(/* + 2)
Плотность эквивалентного объемного тока будет поэтому равна нулю:
jint = crotM = 0.
Плотность поверхностного тока можно определить по формуле (9.35)
tint = c[n х (М2 -Mi)].
Подставляя М2 = 0 и М\ = М, найдем:
3c(/i-l)
lint
"4тг(/* + 2)
Щ sin 1?.
Интересно отметить, что такой поверхностный ток можно получить, если
заставить вращаться вокруг одного из диаметров сферу, заряженную
равномерно по поверхности (см. задачу 2.86).
9.38. Силовые линии представляют собой линии пересечения
плоскостей а = const с поверхностью вращения вокруг оси Oz
1 +
2(M-1) fa\3
/i + 2
(?)'
(х2 +у2) = const,
где г = у/х2 + у2 + z2.
9.39.
(/ie-l)(/ij + 2)
(^-l)(/ie + 2)
^ 1 При /^ > /ie
9.40. Если направить оси координат вдоль главных осей тензора
магнитной проницаемости, то внутри шара компоненты поля будут
равны 3#ofc/(/i^ + 2), где Но — внешнее поле. Вне шара
Н2 = Но + Hdip,
218
Глава 9
где Hdip — поле магнитного диполя с моментом га, причем
/*<*> - 1
ГПк
/*<*> + 2
Момент сил, действующих на шар:
N = га х Н0.
а Нок-
9.41. Из соображений симметрии следует, что векторы поля лежат в
плоскости, перпендикулярной проводу. Направляем ось Oz вдоль провода и
вводим векторный потенциал Az = А(х,у), Вх = дА/ду, Ву = —дА/дх.
Он должен вычисляться из уравнения
(1)
,(*)
д2А (у)д2А^ 4тф(аУу)
дх2 м ду2 с
Л(х)5(у).
Переходя к переменным х' = х/ у/ц(х\ у' = у/ \/ц^у\ приводим уравнение
(1) к виду
(2)
^+^ = _wpe^W)_
дх'2 ду'2 с
Задача свелась к нахождению магнитного поля провода с эффективным
током Jy/fi^fi^ в изотропной среде. Использовав результат задачи 9.32,
находим
Вх
2Jyyfj№
сг
/2
Bv
2Jxx/u(y)
^
сг'2
где rf = y/x2/fiW +y2/fi(y\
9.42.
Н =
1-
[1-(д/Ь)2](М1-/х2)2
(Mi+M2)2-(a/6)2(/ii-/i2)2
Яп
При fii ^> fi2 поле в полости сильно ослабляется — происходит
магнитная экранировка.
9.5. Ответы и решения
219
9.43.
Я
2[l-(a/6)3](/i1-/i2)2
(/ii + 2/i2)(2/ii + /i2) - 2(a/6)3(/ii - /i2)2
Я0.
При /ii > /i2 поле сильно ослабляется (Я <С Я0).
9.44.
2тг(а3-Ь3) //ii-1 >2-l
ДФ = Б0-
9.45. Магнитное поле
Mi + 2 /i2 + 2
Н =roti4,
где
А, =
;Г +
2/ii
2тг
4тга2 ' Mi + М2
Bor sin a
при г < а,
№J i„ а , Л , Mi ~М2
Mi + М2 г
^-j^orsina при г > а.
Ось г направлена вдоль оси цилиндра; остальные компоненты А равны
нулю.
9.48.
Нг = ±
2rf [11 №113
Но,
fli fjLlfjL2QL3 + М2М3^1 + MlM3^2
где Но — поле, которое создается тем же током в вакууме.
9.49. Во внешней области индукция В и магнитное поле Н связаны
обычным соотношением #2 = М2-Й2- Внутри шара, согласно (9.41), В\ =
= Mi-Hi +47гМ0, где М0 — постоянная намагниченность. Вводя скалярный
потенциал, как в задаче 9.37, получим
Ф\
Hi • г,. ф2
где
#1
АттМр
2М2 + Mi'
га
га • г
47га3М0
2М2 + Mi'
Таким образом, поле внутри шара однородно, а вне шара совпадает с полем
магнитного диполя с моментом га.
220
Глава 9
9.50. Поле внутри цилиндра:
и 4тгМ0
Поле вне цилиндра:
н = 2г(™> • г) т
где Mq — постоянная намагниченность,
47га2М0
т = ; .
М2+М1
9.51. Искомые величины можно получить путем замены в ответе к
задаче 8.45 электрических величин на соответствующие магнитные. В
частности, при произвольном выборе координатных осей внутреннее поле Н\
в эллипсоиде запишется в виде
Hik = Нок - 4nNklMh
где М — вектор намагниченности, Nki — коэффициенты
размагничивания (компоненты тензора размагничивающего действия формы). Главные
значения этого тензора были определены в задачах 8.42-8.44, обозначались
через п^ и назывались там коэффициентами деполяризации. Для
предельных случаев они имеют следующие значения:
Форма
диск
стержень
сфера
дг(*)
0
0
1/3
N(y)
0
1/2
1/3
NM
1
1/2
1/3
Ориентация
перпендикулярно оси Oz
вдоль оси Ох
произвольно
9.52. Формула, приведенная в ответе предыдущей задачи, остается
справедливой и в случае анизотропного магнетика. Имеет место еще одно
соотношение, связывающее М и Нi:
Н1к + 4тгМк =11ЫНц.
Из этих двух формул получаем
Щк = bkmHim,
9.5. Ответы и решения
221
где
Отсюда
Ькт = hm - Nkm + NklUlm-
НЫ = ЬктН0гп,
где Ь^ — компоненты обратного тензора. Они могут быть определены
с помощью формул, полученных в задаче 1.27.
Рассмотрим один частный случай. Выберем оси координат вдоль
главных осей эллипсоида. Если тензор /^ имеет в этих осях диагональный
вид:
/ /i(x) О О
1Нк = 0 /*<*> О
\ О О /|W
то тензор bik будет диагональным, поэтому и обратный тензор б^.1 также
будет диагональным:
/[1 + ЛГ<я>(д<я>-1)]_1 О
О [l + N{y\n{y)-l)}'
\ О О
\
[l + N<'W>-l)]-lJ
9.53.
dW _ 47r2fm2a2
~dt~ 72
JJ.
9.54. Вг=/*Яг = ?^(сов01+
+cos^2), где (см. рис. 9.11):
h — z
cos^i =
cos 62 =
у/а2 + (Л - z)2
у/ЯТ.
9.55. Z£ = 4717m2 S. Для
соленоида большой, но конечной длины Л,
пренебрегая краевым эффектом,
получим полную индуктивность
Рис. 9.11
L = Атгцп Sh.
222
Глава 9
9.56. Для кругового сечения
L=A7TfxN2(b-Vb2-a2).
Самоиндукция на единицу длины ££
2тгЪ
для бесконечного соленоида
получится, если сделать предельный переход b
N
витков на единицу длины п —
оо при заданном числе
<£•
2тгЬ'
47Г2 fm2a2
(ср. с задачей 9.55).
Для прямоугольного сечения
L = 2fiN2h\n
47Грп2 S
2Ь + а
2Ь-а
При b > а опять имеем ££ = 47r/m2S.
Если ток течет непосредственно по оболочке тора, то самоиндукция
уменьшается в N2 раз по сравнению с самоиндукцией тора, обмотанного
проводом. В соответствии с этим будем иметь:
L = 4тгр(Ь - \/b2 - a2)
для тора круглого сечения и
L — 2fih In
для тора прямоугольного сечения.
(1)
Рис. 9.12
Jr2
Alz = C-iio—ъ
2b-a
9.57. ^ = 2/xln|.
9.58. Вычислим магнитную
энергию единицы длины линии по
формуле (2) примера 9.5). Векторный
потенциал прямого провода с током был
получен в задаче (9.32). Для провода 1
(рис. 9.12) запишем его в виде
Alz = С-^(/*о + 2/Лп£)
при
при
Г1 < а,
г\ > а.
9.5. Ответы и решения
223
Векторный потенциал, создаваемый проводом 2, получится при замене в (1)
J на — J, а на Ь и г\ на г2.
Находим магнитную энергию:
(2) Д^ = -±-2 [ (А1х + A2z) dS1 - -^ [ (Alz + A2z) dS2.
2ncaz 7(i) 2-kcV J(2)
Интегралы, входящие в (2), берутся в элементарных функциях. Учитывая
затем связь между коэффициентом индуктивности и магнитной энергией
системы, получим окончательно:
^ = /i0 + 2/iln^.
ао
9.59. Полная магнитная энергия тока, протекающего по проводнику,
складывается из двух частей:
(1) А& = Д^1+Д^2,
где
Д^1 = £° [HldV
— энергия, запасенная внутри проводника и интегрирование ведется по
объему проводника,
А&2 = ^- [HldV
Ы*
8тг
— энергия, запасенная в остальном пространстве.
Предположим, что можно ввести параметр т§\ имеющий размерность
длины и удовлетворяющий условию
(2) а < го < R,
где а — радиус проводника, R — радиус кривизны осевой линии
проводника (который в общем случае меняется от точки к точке). Тогда на
расстояниях, меньших го, магнитное поле можно считать совпадающим с полем
бесконечного прямого провода. В частности, внутри провода:
и 2Jr
п\ = —j"
224
Глава 9
(см. задачу 9.32). Это позволяет найти «внутреннюю» энергию Д^:
(3),
Д^1 =
VoW2
\cz
Для определения «внешней» энергии Д<^2 построим
вспомогательную поверхность 5, опирающуюся на произвольный контур, лежащий на
поверхности проводника, и введем скалярный потенциал ф. Скалярный
потенциал будет испытывать на S скачок
(4)
*Ф+-*Ф- = -T-J-
Интеграл, через который выражается Д<^2, можно преобразовать
следующим образом:
[{B-H)dV = - f BVipdV = - fdiv(il>B)dV = - <f фВп
dS
(здесь опущен индекс 2 и
использовано уравнение divi? = 0). В
последнем интеграле интегрирование
должно проводиться по обеим сторонам
вспомогательной поверхности S и
по поверхности проводника S' (см.
рис. 9.13), на котором изображено
сечение проводника некоторой
плоскостью). Интеграл по бесконечно
удаленной поверхности обращается в нуль вследствие конечных размеров
проводника с током. Таким образом,
Рис. 9.13
(5) Д^2
if/5,^d5+^//^d5-^//-^
dS.
Первый из этих интегралов обращается в нуль, так как в силу
условия (2) магнитное поле на поверхности S' совпадает с полем
прямолинейного провода и имеет, следовательно, только касательную составляющую. Для
преобразования других двух интегралов нужно использовать равенство (4)
и условие непрерывности компоненты Вп. Получим
(в)
w2
J_
2с
!.
BndS.
9.5. Ответы и решения
225
На больших расстояниях от провода (г > г о) магнитное поле не зависит от
распределения тока по сечению проводника, поэтому можно считать, что
ток течет по оси. На малых расстояниях (а ^ г < г о) это поле совпадает с
магнитным полем бесконечного круглого цилиндра, и тоже можно считать,
что ток течет по оси. Таким образом, интеграл в формуле (6) представляет
собою поток магнитной индукции, создаваемой током, текущим по оси
проводника, через поверхность, которая опирается на замкнутый контур,
лежащий на поверхности проводника. Используя выражение потока через
коэффициент взаимной индукции, получим
(7) А^2 = ^L'.
С помощью формул (1), (3), (7), используя связь между коэффициентом
самоиндукции и магнитной энергией системы, получим требуемую формулу
для коэффициента самоиндукции:
(8) L=<f + L>.
9.60. Используя результат предыдущей задачи и задачи 2.106, получим
L' = 47rMb(lnf -2),
где до — магнитная проницаемость среды, в которой находится проводник.
Полная самоиндукция
L = 47rb(/iln§-2/i + i/io)
или, если до = д — 1>
L _ 4,6(1» f-!).
9.61. Ь = 2ц0Ь + 8цЬ
2J2o2(/*-l)
In 2L_ + V2 - 2
a(l + y/2)
9.62. / =
9.63. / =
сЧ(Ь2-а2)(ц + 1)'
2J2b(n - 1)
c2(a2-62)(M+l)'
9.64. F=^-^-m2(1+4C°s2^, AT=^Vsin0cOS0 _
16 M + 2 a4 ix + 2 8a3
226
Глава 9
расстояние от магнита до плоскости, в — угол между т и нормалью к
плоскости. При // ^> 1 (мягкое железо в слабом магнитном поле) получим такой
же результат, как в случае электрического диполя, находящегося вблизи
металлической плоскости (см. задачу 8.95).
9.65. Согласно результату задачи 9.35,
(1) В, = М1Н1 = j^rj^Ho, B2 = /i2tf2 = j^J^Ho,
где Но — напряженность магнитного поля, создаваемая контуром с током в
вакууме. Выражая магнитную энергию через Щ и используя связь энергии
с коэффициентом самоиндукции, находим
L = -Щ^Ьо.
9.66.
, . тМт,т)
+ м эт
9.67. При т = const записываем (9.55) в форме dF = -SdT
юпользуем равенство перекрестных пр
dS\ 1 (дВЛ _ (дМа
- j-BadHa и используем равенство перекрестных производных:
(1)
дна)Тт ^\дт)НаТ \дт/НаТ
При Т —> О производная от энтропии в левой части стремится к нулю в
силу принципа Нернста. При линейном уравнении связи Ма = ХарНр это
дает (дха(з/дТ)тН(з —> 0 при Т —> 0 и, поскольку Hp — независимые
переменные, отсюда следует
(2) (°™\ ^0 при Г->0.
Если зависимость М(Н) нелинейна (как у парамагнетика при
насыщении, см. формулу (12) в решении задачи (7.17)), то выполняется условие,
следующее из (1):
\ / И а,Г
9.5. Ответы и решения
227
9.68. В теплоизолированном парамагнетике процесс размагничивания
происходит адиабатически, т. е. при
(1) S(T,B2) = const, dS=(jjf) dT+-ШЛ dB2 = 0.
С помощью формулы (9.59) находим
(2) fdS\ _ Сув _Су0 В2 d2 (\\ ( dS \ _ 1 d (\
дТ)в Т Т S7rdT2\^J' \дВ2)т 8тг^Т\^/'
где Суо = T(dSo/dT)r — теплоемкость магнетика в отсутствие магнитного
поля. В результате получаем из (1) общую связь между температурой и
магнитным полем:
(3) йТ=Ш^аЬ{1
Если магнитная восприимчивость зависит от Т по закону Кюри, то
d(l/fj,)/dT > 0 и знаки приращений температуры и поля совпадают.
Поэтому при размагничивании происходит охлаждение парамагнетика. Для
конкретной оценки эффекта сделаем в (3) замены Су в ~ Су о ~ ЬТ3
(пренебрегли влиянием поля на теплоемкость, использовали
низкотемпературную асимптотику теплоемкости кристаллов) и 1/// « 1 — 47г% = 1 — АтгС/Т
(предполагаем неравенство АтгС/Т <С 1). Тогда
(4) dT=-^-dB2.
Из-за четвертой степени температуры в знаменателе эффект охлаждения
велик при низких температурах, и таким способом получают температуры
ниже 1 К (а в системе ядерных спинов даже до 10~6 К, см. [Физический
энциклопедический словарь]). Но следует иметь в виду, что при Т —> О
закон Кюри несправедлив (см. задачу 9.67*).
9.69. При изотермическом намагничивании тело отдает тепло,
Q = -СН2/2То < О, при размагничивании — получает такое же тепло.
9.70. Из (9.52) записываем дифференциал
dM.
с» «-Нж)"*
1 (ША _ К
Т \дМ)т Т
228
Глава 9
Приравнивая перекрестные производные, учтем, что й{Н/Т)м/йТ = О, так
как условие М = const приводит к постоянству отношения Н/Т. Получим
(2) щт
S(T,H) = ±ЬТ3 - S.f Ш + J f(x)dx + const.
о
Здесь const можно определить из принципа Нернста S(T, #)|т-.о —* 0 (см.
задачу 9.67*), если известна функция f(x).
9.71.
U^\ =_(Ш\ АУ = Я2 Л дХ\
дН)р>т \др)нт' V 2 \РХ dp)'
9.72. Интегрируя равенства (9.52), (9.53) или пользуясь уже
вычисленными величинами (9.58), (9.59), находим
ut(s, м) = u0(S) + -ML f,(t, м) = f0(t) + м2
2X(SY *" ' ' uv ' ' 2Х(ТУ
s(t,m) = -(*£) =s0(T)+ M2 d*
dTJM 2X2(T)dT-
Аргумент г всюду опущен. Проверим выполнимость термодинамического
тождества Гиббса-Гельмгольца [/* = F* + TS. Подставив в него величины
из (1), получаем
(2) Uo{S) = F0(T)+TSo(T) + M^f^.
В левой части переходим к переменной Т, представив S = Sb(T) + AS,
где Д5 — добавка, вызванная магнитным полем. В первом порядке по AS,
что соответствует линейной связи М = %Я и квадратичной по полю
поправке к энергиям, убеждаемся в справедливости равенства (2), из которого
следует очевидная связь Uo(T) = F0(T) + TSo(T). Таким образом, в
переменных Т, М имеем
(3) ^(T,M) = WT) + J^(l + J_!Y
9.5. Ответы и решения
229
Для парамагнетика, подчиняющегося закону Кюри, \ = С/Т и С/* = Uq(T)
в согласии с результатом задачи 9.70*.
9.73.
Су в — Cvo =
ТВ2
8тф2
/д2М\ _ 2(д(±\2
\дТ2К И\дТ)т
а
VE
ТН2{д2ц\
-CvQ = ^T\W2)r
9.74.
(1)
Сн — С в =
При В = fiH уравнение (1) дает
(2)
Сн — С в =
Т(дВ/дТ)2н
4п(дВ/дН)т'
ТН2 (дц
4тф \дТ)т'
Это же значение разности можно получить из результатов предыдущей
задачи. Условие г = const означает, что С в, Сн вычисляются при постоянном
объеме. Если поддерживается постоянное давление, то в (1), (2)
производные нужно брать при р = const.
9.77. ДСР = -Тса2/2/3.
9.78.
U,(T, M)=jcM(T)dT-?^f- + const, S= J^P-dT-^l + const,
где теплоемкость См (при постоянной плотности и намагниченности) не
зависит от намагниченности.
9.79. При Тс—Т <с Тс, разлагая функцию Бриллюэна в ряд до членов
3-го порядка, получим
М = М0
10(5+1)2
1-
М = М0
1-^ехр
\|3[(5 + 1)2 + S2] V 'ТсГ
ЗТС
(5 + 1)Г
при Т < Тс.
230
Глава 9
9.80.
*=т=Тс ,прт Т>Тс' х = ^Фп) при Т<Тс'
м = мо(Ш-) ПРИ Г = ГС.
,АМ0
Здесь константа Кюри С = ^i2BN.
9.81. Полагаем в уравнениях (9.82) Н = 0 и получаем с помощью
(9.83) равенства
-"SafirM^^Y
Поскольку правые части положительны, то корни, отличные от нуля,
возможны только при (М^ • М^) < 0. Ищем решение в виде М^ =
= —М^ = М и получаем для отношения х = М/Мо в точности
такие же уравнения, как в примере 9.6. Следовательно, антиферромагнитное
состояние со спонтанной намагниченностью подрешеток существует при
температурах 0 ^ Т ^ Тс, где температура Кюри дается равенством (9.75)
из примера 9.6 (иногда ее называют температурой Нееля и обозначают
через TN).
9.82. В рассматриваемой области температур спонтанная
намагниченность отсутствует, а индуцированная направлена вдоль локального поля,
поэтому левые части уравнений (9.82) принимают вид M^a,b>)/Mq. Удерживая
в правых частях первые неисчезающие члены, находим
С и ../^ч С
м = м(а) + м(6) = G_ я, х(г) =
Т + Тс ' AV } Т + Тс'
где Тс дается формулой (9.75), С = 45(5 + l)fi2BN/3 (ср. с ответом к
задаче 7.17).
9.83. 1. Внешнее магнитное поле перпендикулярно направлению
намагниченности подрешеток. В уравнениях (9.82) полагаем М<а'6) =
= MSp ^ + ^ind > где величины Msp' соответствуют Н = 0, М^ * —
добавки, обязанные внешнему полю. Ищем решение указанных уравнений
9.5. Ответы и решения
231
в виде M^d * = Н/2Х. После подстановки в уравнения (9.82) из
аргументов функции Ls поле Н выпадает, члены первого порядка по Н не входят
и в левые части в силу условия Н • MSp — 0. Малыми членами
второго порядка пренебрегаем. Остаются уже рассматривавшиеся в задаче 9.81
уравнения для спонтанной намагниченности. Записывая Mind = MJ£d +
+ M-(n6] = Я/Л, находим
Это значение имеет место в области Т < Т0, в которой 2\М&Ь) »|Я-
- 2XM^d '|. В самой точке Кюри Map' = 0, антиферромагнетик
становится изотропным в рассматриваемой модели, и применим результат
предыдущей задачи х± = Х\\ = X = V2^-
2. Магнитное поле направлено вдоль намагниченности MSp = —MSp.
В уравнения (9.82) подставляем 1а = еа, k = -еа, где еа — единичный
вектор в направлении MSp . Намагниченности М/^j, M^nd направлены
вдоль магнитного поля. Из (9.82) получим
а)
Ча) + Л4°> = LS (^(2AMJ;) + Я - 2Ш/«)
<а) - М& = LS (^(2AMJ°> - Я + 2A3f&>)) ■
При температурах, не слишком близких к точке Кюри, локальное поле
подрешеток велико по сравнению с внешним полем. Разлагаем правые
части по малым добавкам и из получившихся линейных уравнений находим
(2) м,„, _ «2+<> . М(-лм,„, + вщ, {^ЩМ^
Это позволяет найти магнитную восприимчивость:
(3) Mind = Х\\ Я, х\\
T + 4\v2BS2NLfs
Здесь L's — производная от функции Бриллюэна по ее аргументу. При
низких температурах аргумент велик, L's(x)\x^i « (1/452)е_х/5, и хц —► 0
232
Глава 9
при Т —> 0. При Т —>Тс аргумент мал, L's(x)\x<^i « (5 + 1)/35, и в этом
пределе получаем результат предыдущей задачи \\\ — С ЦТ + Тс).
9.84. Согласно (9.89) и (9.90), AF(T,H) = Fn(T) - FS(T,H) =
= —(Н%(Т) — Н2)/8тг. Вычисляя энтропию, находим
АЧ=-(д&Е\ Hc(T)dHc
\ дТ ) н 4тг dT
Как следует отсюда, изменение энтропии не зависит от внешнего
магнитного поля. На концах температурного интервала 0 ^ Т ^ Тс имеем
Д5(0) = 0 в силу принципа Нернста (этот принцип сформулирован в
условии задачи 9.67*) и Д5(ТС) = 0 по определению критической температуры:
НС(ТС) = 0. При этих температурах переходы п <—► s происходят без
изменения температуры и являются фазовыми переходами второго рода. При
0 < Т < Тс с помощью (9.86) находим
^-ЖН)
>0.
В этой области температур при изменении внешнего поля происходят
фазовые переходы первого рода.
9.85. Из результатов предыдущей задачи находим Q = TAS =
#с(0)Т2 , л ± . л
1 1 — ^ > 0, тело при намагничивании нагревается в отличие
2тгТс у тс2
от парамагнетика (задача 9.69), который при этом охлаждается. Если
сверхпроводник будет теплоизолирован, то при намагничивании он охладится,
а при размагничивании нагреется, тоже в противоположность
парамагнетику (см. задачу 9.68*).
9.86. АС= Р (дН^
4тг у дТ
6,8 х 1(Г4 cal/cm3 К.
9.87. Зп = 0, js ф 0,
. Для свинца АС « 2,8 х 104 erg/cm3 К t
Е = 0,
rot(A2js) = -^Б,
rot5 = Щ-за,
div В = 0.
9.5. Ответы и решения
233
Исключая из этих уравнений js или В, получим
Э s = T2 3 s>
9.88. BX = BZ= О, By = Но ехр(-ж/А), ^ = jy = О,
. _ с дву сН0 ( х
ехр
9.89.
4тг <9я 4тгЛ ^ V Л
Fx = -\JjzBvdX = ^.
О
Сила Fx стремится вытолкнуть сверхпроводник из поля. В этом проявляется
диамагнетизм сверхпроводника.
9.90.
При а > А, £?2 экспоненциально мало всюду в толще пленки, кроме тонких
слоев вблизи ее границ: Bz = Но exp[-(a=F^)/A], где знак минус относится
к границе х = а, знак плюс — к границе х = -а. Имеет место, таким
образом, эффект выталкивания магнитного поля из сверхпроводника. При
А > а ослабление поля мало.
Для среднего магнитного момента получаем неожиданный результат.
Производя вычисление в расчете на единицу длины в направлениях осей
Оу и Oz, будем иметь
-а 0
Mz имеет знак, противоположный полю (диамагнетизм). Но при А <С а
средний магнитный момент Mz ~ —Hq/Stt, что вдвое меньше по
абсолютной величине, чем в случае сверхпроводящего цилиндра (пример 9.8; см.
также задачу 9.93).
Это отличие вызвано некорректным рассмотрением сверхпроводника
с бесконечно большим размером вдоль оси Оу. В действительности
любой сверхпроводник ограничен. Пусть ширина пленки вдоль оси Оу
равна 26, причем Ь ^> а, Л, тогда как полутолщина а может быть сравнима
234
Глава 9
с Л (рис. 9.14). В этом случае всюду внутри пленки можно
пользоваться решением (1), за исключением областей вблизи границ у = ±Ь. Ввиду
неравенства b ^> А ток вдоль этих границ можно считать поверхностным.
Вычисляем среднюю намагниченность на единицу длины вдоль оси Oz\
(3)
о а
— b —a
где теперь нужно учесть, что поверхностный ток
замыкается вдоль границ у = ±Ь:
(4) 3s
с dBZc
47г дх у
сНр
47Г
[6(у + Ъ)-6(у-Ъ)}ех
Здесь поверхностные токи для единообразия
записаны с помощью дельта-функции, выражение (4)
относится только к области внутри пленки и к ее
границам. Подставляя это выражение в (3), находим
добавочное слагаемое, т. е. исправленное выражение (2):
(5)
^ Но
Мг = -
Рис. 9.14
8тг
а А
Щ
8тг'
Удаленный узкий край пленки дает добавку,
превышающую вклад широкой поверхности. При А <С а пленка ведет себя как
идеальный диамагнетик: Mz = -Я0/47г, \ — —1/47Г, /х = 1 + Ак\ = 0.
9.91. В областях х ^ а, х ^ —а — однородное поле Я0 = ±2ni/c9
направленное соответственно вдоль и противоположно оси Оу. Внутри плен-
ки
р , , _ ц sh(g/A) . _ сЯр сЬ(ж/Л)
Щ(Х) ~ °^/А)' Jsz ~ 47ГА sh(a/A)"
При А <С а ток течет в тонком поверхностном слое, в толще пленки ток
и поле отсутствуют (ср. с результатом задачи 2.76, случай б). При А ^> а
ток распределен равномерно по сечению, а поле внутри пленки меняется
по линейному закону: Ву(х) = Щх/а.
9.92. На поверхности сверхпроводника должно выполняться
граничное условие обращения в нуль нормальной компоненты результирующего
поля: Н'х(0, у, z) = 0, а в области х > 0 — уравнения Максвелла и
уравнения для векторного потенциала с заданным током. Все эти требования будут
выполнены, если поле в области вакуума будет создаваться заданными
проводниками с током и их зеркальными изображениями в плоскости х = 0,
9.5. Ответы и решения
235
причем в проводниках-изображениях должны течь токи той же силы, но
противоположного направления.
9.93.
я -и 7о(г/Л) м - я°
1_2\h(a/X)
aI0(a/X)
где /о, h — модифицированные функции Бесселя.
9.94. Вне шара
Нг
2га
Яо + ^fjcostf, Щ= f-#o + ^]sintf,
где т — постоянная, имеющая смысл магнитного момента.
Внутри шара
ja = f(r) sin д, jr = j# = 0.
Функция ja(r, fi) удовлетворяет уравнению
Дja - \ sin2 д • ja = 0
(см. ответ задачи 1.91), откуда
-х-х*!1-
Здесь А — постоянная интегрирования. Компоненты Вг и В#
магнитного поля внутри шара выражаются через ja(r, $)'
Вг
в*
2Х2А
2А2
sh-^
ch — I cos д.
AAA
AAA
l + glsh^-^ch^
sin#.
Постоянные пыл А определяются из условий непрерывности векторов поля
при г = а.-
a A a2
А = —
ЗЯ0а
2sh(a/A)'
236
Глава 9
При Л <С а получим га = —Ноа3/2 (ср. с ответом 9.37 при // = 0), А = 0.
При А > а, га = -Я0а5/30А2.
9.95.
^-°' ^-2^а7^7а)' Вг-в,-о,
^а = <
J w y при г < а,
2itca'h{a/\)
J
2тгса
/о, Л — модифицированные функции Бесселя
9.96. J' = -cHoScosti/L + J.
9.97. 7 = сФ0/£.
при г > а,
9.98. Jc = (са/2)у/Щ — Щ, где Яс — критическое поле при
рассматриваемой температуре.
9.99. Jc = (ca/2)(HC-2H0).
9.102. 1. Полагаем А = 0. При этом из системы (9.110)-(9.112)
выпадает мнимая единица и можно считать ф действительной величиной.
Предполагаем также, что сверхпроводник по поверхности z = 0 граничит с
обычным металлом и граничное условие (9.112) не выполняется. В случае
слабой неоднородности ф записываем ф = 1 - £(г), |С(я)| <1и
линеаризуем уравнение (9.112):
Ч2^| + 2С = о.
Решение, описывающее однородное состояние в глубине (z —> оо)
сверхпроводника, имеет вид £ = £оехр(—\/2г/£). Таким образом, £ — это
масштаб неоднородности параметра порядка, или масштаб неоднородности в
распределении куперовских пар, который называют также «длиной
когерентности». Эта величина возрастает вблизи критической температуры по
закону £ ос (Тс-Т)-1/2.
2. Величина А, определенная равенством (9.109), совпадает с А в
теории Лондонов и характеризует глубину проникновения магнитного поля
в сверхпроводник. Уравнение (9.111) переходит в уравнение (9.92) теории
Лондонов, если ф « 1.
Свойства сверхпроводника сильно зависят от отношения к = А/£. При
к <С 1 магнитное поле слабо влияет на параметр порядка и применима
9.5. Ответы и решения
237
локальная теория Лондонов, в которой электрический ток зависит от
магнитного поля в той же точке. При к ^> 1 связь между током и полем
становится нелокальной (случай Пиппарда).
9.103. Вдали от границы полости, где сверхпроводник однороден,
наиболее общее выражение для волновой функции имеет вид ф(г) =
= ехр({ф(г))9 где ф — действительная фаза. Сверхпроводящий ток (9.108)
в этом случае приобретает вид
(1) * = -^(1>(г) + А(г,)
где Фо определяется выражением (9.87). Строим замкнутый контур,
охватывающий полость, в толще сверхпроводника. Интегрируя ток вдоль контура,
находим §t js - dl = 0, так как в толще сверхпроводника тока нет. В
совокупности с (1) это дает
(2)
£а-м = -^ 1чф-м.
Но §г А • dl = Js rot A • dS = Ф — магнитный поток через площадь,
ограниченную контуром; §г V0 • dl — изменение фазы волновой функции при
обходе контура. Ввиду требования однозначности волновой функции это
изменение кратно 27г:
I
(3) * V0 • dJ = 2тгп, 'п = 0,±1,±2,
Отсюда — квантование абсолютной величины магнитного потока (9.87).
9.104. Ток распределен в пленке однородно, магнитный поток
сосредоточен внутри цилиндра (с точностью до величин порядка 6/а <С 1).
Интегрируем сверхпроводящий ток (см. формулу (1) предыдущей задачи)
вдоль замкнутого контура, лежащего внутри пленки. Получаем
i
js • dl = 27TCLJS = -—Т?(Ф + пФ0)'
i 47гА2
Плотность тока js выражаем через магнитный поток внутри цилиндра с
помощью формулы, полученной в задаче 2.83, считая ток поверхностным
ввиду условия 6 <^ a: js = сВ/Атгб = сФ/4тг2а26. В итоге получаем
квантованную абсолютную величину магнитного потока
Ф= 7Г. , 71 = 0,1,...
1 + 2А2/аД
Глава 10
Квазистационарное электромагнитное
поле
10.1. Квазистационарные явления в линейных
проводниках
В этой главе будут рассмотрены электромагнитные явления, вызванные
относительно медленным изменением поля. Если период колебаний
электромагнитного поля Т значительно превышает время распространения поля
через систему:
Т>^, cj<f, (10.1)
с I
где с — скорость света, I — линейный размер системы, то можно
пренебречь конечностью скорости распространения электромагнитных
возмущений внутри системы. Электромагнитное поле в этих условиях будет
определяться мгновенными значениями зарядов и токов в системе. Такое
приближение называется квазистационарнымх Мы начнем с рассмотрения
квазистационарных явлений в квазилинейных проводниках.
Пусть в некотором квазилинейном замкнутом и недеформируемом
контуре действует сторонняя ЭДС 8ext- Если ЭДС постоянна, то она создаст
в контуре постоянный ток J в соответствии с законом Ома (9.17): gext =
= JR9 R — сопротивление контура постоянному току. Если ЭДС Sext(t)
изменяется со временем, то переменный ток в контуре в соответствии с
законом электромагнитной индукции Фарадея (2.79) создаст дополнительную
электродвижущую силу — ЭДС индукции2
«ш = -Ш, (Ю.2)
применение квазистационарного приближения к линиям передачи с длиной L, не
ограниченной условиями (10.1), см. в задачах 10.20*—10.26.
2Эта формула годится также в случае движения и деформации контура — см. ниже
пример 10.4.
10.1. Квазистационарные явления в линейных проводниках 239
и закон Ома примет вид
«ext(t) + eind(t)=RJ(t).
В разделе 2.3, рассматривая электромагнитное поле в вакууме, мы
понимали под Ф поток напряженности магнитного поля if. Но в средах под Ф
нужно понимать поток магнитной индукции В через поверхность,
опирающуюся на замкнутый контур: Ф = Js B-dS. Тогда (10.2) будет представлять
собой интегральную форму макроскопического уравнения (7.8).
В квазистационарном приближении магнитный поток определяется
мгновенным током в контуре в соответствии с формулой
магнитостатики (9.64'):
где L — коэффициент самоиндукции контура. В итоге закон Ома для
замкнутого контура с переменной ЭДС примет следующий вид3:
gext(t) = RJ(t) + ±^^. (10.3)
cr at
Пример 10.1. Пусть сторонняя ЭДС изменяется следующим
образом:
о и\ _ / s = const> * ^ 0;
<W)-jo, *>o.
Найти зависимость силы тока в контуре от времени.
Решение. При t < 0 имеем постоянный ток в соответствии с
формулой (9.17): J = 8/R. При t > 0 уравнение для тока
(1) L^-+RJ = 0
сг at
и начальное условие J(0) = 8/R. Решение имеет вид
(2) 7(t) = |e-«/T, где т=^
— время затухания тока в контуре. ■
3 Здесь мы считаем, что сопротивление R остается таким же, как и для постоянного тока.
При достаточно высоких частотах это предположение может нарушиться из-за скин-эффекта —
концентрации тока в тонком поверхностном слое проводника. Этот вопрос рассмотрен в
разделе 10.2.
240
Глава 10
Пример 10.2. Пусть сторонняя ЭДС зависит от времени по
гармоническому закону: @ext (t) = ge~lujt. Найти связь между ЭДС и силой тока
в установившемся режиме.
Решение. Для установившегося состояния ищем частное решение
J(t) = Joe~luJt уравнения (10.3) и находим
(1) Jo = ^fr, где Z(u)=R-i^-
— комплексное сопротивление (импеданс) контура. Ее действительная
часть называется активным, а мнимая — реактивным сопротивлениями.
Комплексный характер импеданса свидетельствует о наличии сдвига фаз
между током и ЭДС. Отделяя действительную часть в законе Ома для случая
гармонического переменного тока J(t) = iext(t)/Z(u)9 находим
(2) J(t) = -7=£==coB(u,t-<p), tgV>=-^.
y/R2+u2L2/c4 c2R
В данном случае ток отстает по фазе от ЭДС. ■
При наличии в контуре с переменной ЭДС конденсатора с емкостью С
на его обкладках будет попеременно возникать заряд ±q(t)9 а между
обкладками — разность потенциалов V(t) = q(t)/C (см. формулу (8.11)).
Эту разность потенциалов следует добавить в правую часть (10.3),
выразив предварительно силу тока как изменение заряда одной из обкладок в
единицу времени:
Это уравнение описывает электрические колебания в контуре с емкостью,
индуктивностью и активным сопротивлением.
Пример 10.3. Вычислить импеданс рассмотренного выше контура
с емкостью, индуктивностью и активным сопротивлением. Найти силу
тока в нем. Вычислить частоту собственных колебаний в контуре и их
декремент.
Решение. Задаем стороннюю ЭДС в виде гармонической функции,
Sext(t) = §e~luJt, и ищем частное решение q(t) = qoe~luJt уравнения (10.4).
Для тока J = q получаем решение
10.1. Квазистационарные явления в линейных проводниках 241
Теперь реактивное сопротивление (мнимая часть Z) зависит также и от
емкости конденсатора. Измеряемое значение тока (действительная часть
комплексного выражения (1)) можно записать в виде
(2) J(t)= , ^ ==, tg^-|—- —
lR2+[^--^
2
Ш1
С
Собственные колебания в контуре происходят при 8 = 0. Это возможно,
если подкоренное выражение в (2) обратится в нуль, что соответствует
равенству Z((jj) = 0. Это условие определяет частоты собственных колебаний cjo-
Решая квадратное алгебраическое уравнение, находим
(3) шо=ш0 + ш0 =±\j—- I — 1 - г—.
При наличии в контуре активного сопротивления R собственная частота
комплексна, колебания затухают с декрементом 7 = —ш'о — Rc2/2L. В
пренебрежении затуханием (малое R) получаем собственную частоту
незатухающих колебаний:
"о = -р= (Ю.5)
(формула Томсона). ■
Для разветвленной цепи дифференциальные уравнения, определяющие
токи в отдельных участках, в которых могут быть и конденсаторы,
составляются на основе законов Кирхгофа. Последние были сформулированы в
разделе 9.1. Кроме сторонних ЭДС, при наличии индуктивной связи между
контурами в уравнения нужно включать индукционные ЭДС, которые
выражаются согласно (10.2). Магнитные потоки, учитывающие влияние всех
контуров, выражаются через токи в них и коэффициенты индуктивности
согласно (9.64'):
*a = lYlL"bJb- (106)
ь
Пример 10.4. Формулы (2.79), (10.2) выражают закон
электромагнитной индукции Фарадея для неподвижного контура. Вывести этот закон
для движущегося и деформируемого замкнутого контура, находящегося в
переменном электромагнитном поле:
242
Глава 10
Решение. В движущемся с нерелятивистской скоростью и(г) и
деформируемом контуре I электрическое поле Е' = Е + их В/с согласно (4.70),
где надо положить 7 ~ 1- По определению ЭДС индукции
(1)
°ind
Ie'-<H = <£>E-dl + \l\ и х B]-dl.
Первый интеграл в правой части представляет собой ЭДС индукции §ind
(2.79) в неподвижном контуре Z, поскольку скорость в этот интеграл не
входит. Во втором интеграле заменяем скорость и элемента dl контура
величиной ds/dt, где ds — вектор малого сдвига элемента контура за время dt.
В итоге имеем интеграл §b[ds x B]-dl = — JASB-dS, где dS = ds x dl —
элемент дополнительной поверхности AS, описанной контуром / в
результате его движения и деформации за время dt. При этом поле В можно
считать постоянным. В итоге получаем в правой части (1) два слагаемых,
каждое из которых содержит скорость изменения магнитного потока, одно —
за счет изменения магнитного поля, второе — за счет движения контура:
(2)
°ind
1 ЙФ
с dt
1 йФ
с dt
J3=const
С dt'
Таким образом, ЭДС индукции в движущемся контуре определяется
полной скоростью изменения магнитного потока через контур. Формула (10.2)
остается в силе при любой причине изменения магнитного потока через
контур. ■
Силы взаимодействия между контурами с квазистационарными токами
можно вычислять по формуле (9.65), дифференцируя магнитную энергию
по обобщенным координатам.
Работа сторонних сил над заряженными частицами в контуре в
единицу времени выражается формулой (9.21): Q = §extJ. В случае постоянного
тока эта работа превращается в тепло, величина Q представляет собой
тепловыделение в контуре. В случае переменного периодического тока часть
этой величины будет описывать колебания энергии от частиц к стороннему
источнику и обратно. Чтобы получить среднее за период тепловыделение,
нужно усреднить переменную величину по периоду:
Q=«ext{t)J{t).
(10.7)
Во всех таких квадратичных выражениях следует использовать
действительные функции @ext{t)> J(t). В случае гармонической комплексной зави-
10.1. Квазистационарные явления в линейных проводниках 243
симости J(i) = Joe luJt будем иметь (см. аналогичные формулы в
разделе 2.3)
С = iRetfextJ*) = \\J\2ReZ(u). (10.8)
Рекомендуемая литература: [Смайт (1954); Тамм (1976); Френкель
(1935); Власов (1955); Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных сред;
Шимони (1964); Нейман и Демирчян (1981а); Нейман и Демирчян (19816);
Бриллюэн и Пароди (1963); Батыгин и Топтыгин (2002)]
Задачи
10.1. Круглая проволочная петля радиуса а, находящаяся в
постоянном магнитном поле Яо, вращается с угловой скоростью и вокруг своего
диаметра, перпендикулярного Я0. Найти_силу тока в петле J(t)9
тормозящий момент N(t) и среднюю мощность Р, которая требуется для
поддержания вращения.
10.2. Плоский контур с электрическими параметрами й, L, С и
площадью S вращается с угловой скоростью и в постоянном магнитном
поле Я0 вокруг оси, лежащей в плоскости контура и перпендикулярной Я0.
Определить средний тормозящий момент N, приложенный к контуру.
10.3. В одном из двух индуктивно связанных контуров течет
ток J(t) = Joe~lujt. Индуктивности и сопротивления контуров заданы.
Выразить среднюю обобщенную силу взаимодействия контуров через
производную от коэффициента взаимной индукции по обобщенной координате qi.
10.4. В один из двух одинаковых контуров, имеющих
сопротивления R и индуктивности L, включена ЭДС S(t) = 8oe~luJt. Коэффициент
взаимной индукции контуров L\2. Определить среднюю по периоду
силу F взаимодействия контуров. Результат выразить через производную от
коэффициента взаимной индукции по соответствующей координате.
10.5. Определить собственные частоты ш\9 U2 электрических
колебаний в двух контурах (рис. 10.1), связь между которыми осуществляется
через емкость С (Z = -^ 1.
Указание. Составить систему алгебраических уравнений для
определения токов и приравнять нулю определитель системы.
244
Глава 10
10.6. Решить предыдущую
задачу для случая, когда связь между
контурами осуществляется через
индуктивность (см. рис. 10.1, Z = —iuL/c2).
10.7. Найти собственные частоты
Рис. 10.1 колебаний cji,2 в двух индуктивно
связанных контурах с емкостями d, C2,
индуктивностями Li, L2 и коэффициентом взаимной индукции Ь\2.
10.8. Два контура связаны друг с другом через активное
сопротивление (см. рис. 10.1, Z = R). Найти собственные частоты колебаний, считая
связь слабой (R велико).
10.9. В контур с индуктивностью Li, емкостью С\ и
сопротивлением R\ включена сторонняя ЭДС S(t) = 8oe~lUJt. С этим контуром
индуктивно связан второй контур, параметры которого L2, С2, Я2, коэффициент
взаимной индукции L\2. Определить токи J\ и J<i в обоих контурах.
Рассмотреть, в частности, случай, когда второй контур содержит только индук-
оо); определить частоту и, при которой ток J\
10.10. Найти комплексное
сопротивление Z участка цепи (двухполюсника),
изображенного на рис. 10.2.
10.11. Конденсатор заполнен
веществом с диэлектрической проницаемостью е =
1 "г ,
= 1 ———- (ионизованный газ, см. зада-
ада; + fy)
чу 11.17). Емкость незаполненного
конденсатора Со. Доказать, что комплексное сопротивление участка цепи,
содержащего такой конденсатор, равно сопротивлению двухполюсника,
изображенного на рис. 10.2, если параметры его подобраны соответствующим
образом. Определить R9 L, С.
10.12. Определить средний запас энергии W и тепловые потери Q
за единицу времени в конденсаторе, описанном в предыдущей задаче.
Выразить эти величины через напряжение на обкладках конденсатора U =
= U0e~iuJt.
\LX dpa
с2Ф L><
тивность (Д2 = 0, Сч
максимален.
Рис. 10.2
10.1. Квазистационарные явления в линейных проводниках 245
10.13. Конденсатор заполнен ве- .«с
ществом с диэлектрической проницаемо- I "
стью е = l+cjp/(cj0—i*yuj—и2) (диэлектрикс ^
, С' I* R
потерями, см. задачу 11.13). Емкость
конденсатора при отсутствии диэлектрика Со-
Какими параметрами G, Gi, .L, R должен обладать
двухполюсник, изображенный на рис. 10.3, Рис. 10.3
чтобы его сопротивление переменному току
было таким же, как сопротивление конденсатора?
10.14. Определить средний запас энергии W и средние тепловые
потери Q за единицу времени в конденсаторе, рассмотренном в задаче 10.13.
Напряжение на обкладках Uoe~lU;t.
10.15. Колебательный контур состоит из емкости С и
индуктивности L. В некоторый момент времени к обкладкам конденсатора
присоединяется батарея с постоянной ЭДС 8 и внутренним сопротивлением R. Найти
зависимость тока, текущего через индуктивность, от времени. Исследовать
зависимость этого тока от величин R, L, С.
10.16. К цепочке, состоящей из последовательно соединенных
сопротивления R и емкости С, прикладывается прямоугольный импульс
напряжения: Ui(t) = С/0 при 0 < t < Т, и Ui(t) = 0 при t < 0, t > Т. Найти
напряжение U^t) на сопротивлении R.
10.17. К цепочке, состоящей из последовательно соединенных
сопротивления R и индуктивности L, прикладывается прямоугольный импульс
напряжения: U\(t) = Uq при 0 ^ £ < Т, и U\(t) = 0 при t < 0, t > Т. Найти
напряжение U2{t) на индуктивности L.
нн
10.18. Цепь состоит из плоского конденсатора с
емкостью С и сопротивления R (рис. 10.4). Между пласти- С
нами конденсатора (расстояние К) требуется создать поле, Н I
которое линейно возрастает от 0 до Ео за время Т, а затем п
за такое же время линейно уменьшается до нуля. Опреде- N
лить форму импульса, который нужно при этом подать на Т
вход цепи.
10.19. В цепь, состоящую из последовательно соеди- Рис- 104
ненных сопротивления R и индуктивности L, включается
в момент времени t — 0 ЭДС §{t) = §q cos(ut + tpo). Определить силу тока
в цепи J(t). При каком значении фазы <р0 переходные явления в цепи не
возникнут?
246
Глава 10
10.20*. Электрическая цепь (искусственная длинная линия) состоит
из N одинаковых звеньев (N ^> 1) и разомкнута на концах (рис. 10.5).
Найти частоты собственных колебаний этой системы.
1 п-1 п п+1 N
Jo}
L
L
L
L
Рис. 10.5
10.21. Считая полное число собственных частот в искусственной
длинной линии (см. задачу 10.20*) большим, найти число Дг колебаний,
приходящихся на интервал частот До;.
10.22*. Искусственная длинная линия, состоящая из 27V
чередующихся звеньев с параметрами L\9 С и L2, С, разомкнута на концах (рис. 10.6).
Исследовать спектр собственных колебаний такой системы.
U L, U L,
j_c \±Р\л£\л9 \ Ji-
I J, * I Т * I Tf * I Т * I
Jn-l
С
Рис. 10.6
10.23*. Искусственная длинная линия (рис. 10.7) состоит из N
одинаковых звеньев, содержащих импедансы
г--'(^'-=гг)- *--'(£*»-=s)-
К линии приложено напряжение U\9 конец линии разомкнут. Найти
напряжение U^ между точками а, Ь.
10.2. Вихревые токи и скин-эффект
247
Рис. 10.7
Указание. Искать решение разностного уравнения для тока Jn в п-м
звене цепи в форме Jn = const • qn.
10.24. Основываясь на результатах предыдущей задачи и
считая N > 1, исследовать зависимость коэффициента передачи К = U^/Ui
от частоты. Найти интервал частот, для которых К заметно отличен от нуля.
10.25*. Из рассмотрения искусственной длинной линии с
сосредоточенными параметрами (задача 10.20*) получить путем предельного
перехода дифференциальное уравнение для тока в длинной линии с равномерно
распределенными параметрами.
10.26. Идеальная (Я = 0) длинная линия с распределенными
параметрами длиной / разомкнута на концах. Определить спектр собственных
колебаний такой системы, сравнить его со спектром цепочки с
сосредоточенными параметрами (см. задачу 10.20*).
10.27*. ЭДС, включенная в замкнутый контур, вызывает в нем
ток J{t) = Joe~lujt. Найти общее выражение для комплексного
сопротивления контура, не пренебрегая запаздыванием внутри системы.
10.28. Для контура, имеющего форму окружности радиуса а, найти
поправку к индуктивности и сопротивление Rr(u) в первом неисчезающем
приближении (см. предыдущую задачу). Показать, что Rr(u) представляет
коэффициент пропорциональности между средней величиной энергии,
излучаемой в единицу времени, и среднеквадратичным значением силы тока
в контуре.
10.2. Вихревые токи и скин-эффект
В этом разделе будут рассмотрены квазистационарные явления в
массивных проводниках, которые находятся во внешнем переменном электро-
248
Глава 10
магнитном поле, удовлетворяющем условиям квазистационарности (10.1).
В этих условиях вне проводника (в вакууме или в диэлектрике) магнитное
поле удовлетворяет уравнениям магнитостатики
V-B = 0, Vxtf = 0 (10.9)
и закону электромагнитной индукции (7.8) в дифференциальной форме:
Vx £7 = -!££,. где B = fiH. (10.10)
Внутри проводника сохраняет силу уравнение (10.10), а вместо второго
уравнения (10.9) имеем уравнение (7.9) без тока смещения:
V-B = 0, VxH = ^fj. (10.11)
В хороших проводниках ток создается в основном электронами
проводимости, а вклад связанных зарядов весьма мал, поэтому в (10.11) можно
использовать закон Ома (7.25) и записать
Vx tf = ^f«£7, (10.12)
где к — электропроводность проводника. Этот ток называется вихревым
(или током Фуко), поскольку он создается вихревым электрическим
полем (10.10). Пренебрежение током смещения (dE/cdt) означает
выполнение неравенства
4t™>cj, (10.13)
где и — характерная частота изменения поля. Электрическое поле внутри
проводника можно найти с помощью уравнения (10.12).
В однородном проводнике (к = const, /i = const), исключая из
приведенных уравнений поочередно Е и Н, получим одинаковые уравнения II
порядка по координатам и I порядка по времени для векторов поля:
Эти уравнения кардинально отличаются от волновых уравнений, которыми
в главе 5 описывалось распространение электромагнитных волн в
вакууме. В проводящей среде поле распространяется по законам диффузии или
теплопроводности
dH- = vmAH, (10.15)
где ит = с2/Атг^к — коэффициент диффузии магнитного поля.
10.2. Вихревые токи и скин-эффект
249
На границах раздела двух проводников или проводника и диэлектрика
векторы поля должны удовлетворять условиям
n-(Bi-B2) = 0, nx(Hi-H2) = 0, n x (Ei - Е2) = 0. (10.16)
Пример 10.5. На плоской границе проводника поддерживается
магнитное поле H(t) = Hoe~lu;t, и = const, касательное к границе.
Вычислить магнитное и электрическое поля внутри проводника, оценить их
относительную величину и глубину их проникновения в проводник.
Решение. Направив ось Oz в глубь проводника, ищем решение первого
уравнения (10.14) в виде H(z,t) = H(z)e~lujt и с помощью граничных
условий (10.16) находим Н(z) = Ще~^1~г^2^;, где глубина проникновения
(толщина скин-слоя)
Л= с -. (10.17)
Электрическое поле внутри проводника вычисляем по формуле (10.12) и
находим
В силу неравенства (10.13) имеем \Е\ <С \Н\. ■
Пример 10.6. Магнитное поле задано в начальный момент времени
t = 0 в ограниченной области внутри проводника как функция координат:
Н(г, 0) = Но (г). Считая проводник однородным и безграничным,
построить функцию Грина уравнения (10.15) w записать решение задачи для t > 0.
Исходя из явного вида функции Грина, интерпретировать глубину
проникновения (10.17) как расстояние, на которое успевает распространиться
поле за время порядка половины периода его изменения.
Решение. Сначала перепишем уравнение (10.15) в такой форме, чтобы
оно включало в себя начальное условие:
(1) ^-iymAH = H0(r)6(t), H = 0 при *<0.
Чтобы убедиться в том, что из уравнения (1) следует начальное условие,
проинтегрируем обе части (1) по малому временному интервалу (—г, +т).
При г —> 0 будем иметь Н(г,0) = Но(г), так как.гДН —> 0. Теперь
250
Глава 10
уравнение (1) стало неоднородным и его решение можно записать обычным
образом (см. раздел 5.1)
(2) Я(г, t) = fG(r-rf, t-t')Ho(rf)6(t')d3rfdtf = [G(r-rf, *)H0(r')dV
через функцию Грина, удовлетворяющую уравнению
(3) ^-iymAG = 5(r-r')5(t-t'), G = 0 при t -1' < 0.
Уравнение (3) легко решить путем разложения функции Грина в
интеграл Фурье по пространственной переменной г — г'. Ее фурье-образ Gk
удовлетворяет уравнению
(4) ^ + umk2Gk = S(t-t'),
которое имеет решение Gk{t -1') = Q{t - 1')е~игп<"1~1 ^к . Обратное
преобразование Фурье позволяет выразить функцию Грина через координаты и
время:
G(r - г',* - t') = JGk{t - t*y^-*')jgh- =
J - (2тг)3
(5) e(t-t) f (r-o2
exp^--
[4тп/т(*-г')]3/2 I At/rn{t-t')\'
Здесь &(t - t') — ступенчатая функция (1.212).
Из явного вида показателя экспоненты в функции Грина (5)
следует, что в квазистационарном приближении магнитное поле в проводнике
распространяется на расстояние L за время At « I2/Аиш. По такому же
закону распространяется тепло или диффундируют частицы в
неподвижной среде. Полагая в этих формулах At «.Т/2 = 'тгс/ш,
находим.расстояние L « с/ уДжй, что по порядку величины совпадает с толщиной скин-
слоя (10.17). ' ■
Вследствие возникновения вихревых токов проводник, помещенный
в магнитное поле, приобретает магнитный момент, даже если у него /х = 1.
Для характеристики этого магнитного момента удобно ввести тензор
магнитной поляризуемости тела /?^ по формуле
mi = PikHok, (10.18)
10.2. Вихревые токи и скин-эффект
251
где т — магнитный момент тела, Щ — внешнее гармоническое
магнитное поле, однородное на расстояниях порядка размеров тела. Тензор (3{к
симметричен (fak = /?ь), а его компоненты в общем случае комплексны и
зависят от частоты.
Среднее (по времени) тепловыделение внутри проводника может быть
подсчитано путем интегрирования джоулева тепловыделения по объему
тела
Q= f(pTS)dV= f nEPdV (10.19)
или путем вычисления потока электромагнитной энергии внутрь тела:
Q = _ JL Le х Н) • dS. (10.20)
В обоих случаях следует произвести усреднение по времени (обозначено
чертой), чтобы исключить ту часть энергии, которая периодически
переходит из внешнего пространства внутрь тела и обратно.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика
сплошных сред; Смайт (1954); Тамм (1976); Френкель (1935); Власов (1955);
Нейман и Демирчян (1981а); Нейман и Демирчян (19816)]
Задачи
10.29. На плоской границе двуслойного проводника поддерживается
магнитное поле H(t) = Н0е~гшг9 и = const, касательное к границе z = 0.
При 0 ^ z < а проводник имеет электропроводность к\ и магнитную
проницаемость /xi, а при а < z < оо другие их значения «2 и ^2- Вычислить
магнитное поле при z > 0, исследовать частные случаи.
10.30. Широкая плита с проводимостью к и магнитной
проницаемостью //, ограниченная плоскостями х = ±h, обмотана проводом, по
которому протекает ток jQe~lujt. Провод тонкий, число витков на единицу
длины п, витки намотаны параллельно друг другу. Пренебрегая краевым
эффектом, определить вещественную амплитуду магнитного поля внутри
плиты. Исследовать предельные случаи слабого (S ^> h) и сильного (6 <^ К)
скин-эффекта.
10.31*. Металлический цилиндр бесконечной длины с
проводимостью к и магнитной проницаемостью // расположен так, что его ось
совпадает с осью бесконечного соленоида кругового сечения, по которому течет
252
Глава 10
переменный ток J = Joe~luJt. Найти напряженность магнитного и
электрического поля во всем пространстве, а также распределение плотности тока j
в цилиндре; радиус цилиндра а, радиус соленоида b > а, число витков на
единицу длины п.
10.32. Проводящий цилиндр находится в однородном переменном
магнитном поле Н = Hoe~lujt, параллельном его оси. Используя результаты
предыдущей задачи, исследовать распределение тока j внутри цилиндра
в предельных случаях малых и больших частот.
10.33. Подсчитать количество тепла Q, выделяющегося за единицу
времени на единице длины цилиндра, рассмотренного в задаче 10.31*.
Исследовать предельные случаи малых и больших частот. Результат записать
через поле Я о внутри соленоида.
10.34. Найти магнитную поляризуемость (3 (на единицу длины)
цилиндра, находящегося в переменном магнитном поле, параллельном его оси.
Частота поля и, радиус цилиндра а, проводимость к, магнитная
проницаемость /х = 1. Рассмотреть предельные случаи больших и малых частот.
10.35*. Металлический цилиндр находится во внешнем однородном
магнитном поле Н = Hoe~lu;t, перпендикулярном его оси. Радиус
цилиндра а, проводимость к, магнитная проницаемость /х = 1. Найти
результирующее поле и плотность тока j в цилиндре.
Указание. Выразить Е и Н через векторный потенциал А и
проинтегрировать дифференциальное уравнение для А.
10.36. Найти диссипацию энергии на единицу длины бесконечного
проводящего кругового цилиндра, помещенного в поперечное относительно
оси цилиндра магнитное поле, меняющееся с частотой и.
10.37*. Бесконечный круговой цилиндр радиуса а с проводимостью к
находится в поперечном относительно его оси магнитном поле,
поляризованном по кругу:
H0(*) = (Hoi+iHo2)e-iwt,
где Hoi и Н02 — взаимно перпендикулярные векторы с одинаковыми
длинами: #oi = #02 = #о- (Вектор Ho(t) описывает окружность
постоянного радиуса #о в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра.) Найти
средний вращательный момент N, приложенный к единице длины
цилиндра (/х = 1).
10.38. Бесконечный цилиндр, находящийся в постоянном и
однородном поперечном магнитном поле #о, вращается вокруг своей оси с угловой
10.2. Вихревые токи и скин-эффект
253
скоростью и. Найти тормозящий момент N, приложенный к единице длины
цилиндра.
10.39*. Бесконечный металлический цилиндр радиуса а с
проводимостью к и магнитной проницаемостью // находится в постоянном и
однородном, продольном относительно его оси, магнитном поле Яо. В некоторый
момент времени внешнее поле выключается и поддерживается затем
равным нулю. Найти ход затухания со временем магнитного поля в цилиндре.
10.40. Металлический шар радиуса а с проводимостью к и
магнитной проницаемостью //, помещен в однородное переменное магнитное
поле Ho(t) = Hoe~lujt. Считая частоту малой, найти в первом неисчезающем
приближении распределение вихревых токов в шаре и среднюю
поглощаемую им мощность Q.
10.41. Металлический шар помещен в однородное магнитное
поле, меняющееся с частотой и. Найти результирующее поле Н и среднюю
поглощаемую шаром мощность Q при больших частотах. Радиус шара а,
магнитная проницаемость //, проводимость к.
Указание. При определении поля вне шара считать, что внутри шара
поле равно нулю (т.е. пренебречь глубиной проникновения 6 по
сравнению с радиусом шара а). При определении поля внутри шара считать его
поверхность плоской.
10.42*. Проводящий эллипсоид находится в однородном
переменном магнитном поле. Определить магнитную поляризуемость эллипсоида
при сильном скин-эффекте (т.е. считая, что глубина проникновения поля
в проводник пренебрежимо мала). Рассмотреть предельные случаи тонкого
круглого диска и длинного тонкого стержня.
10.43*. Шар радиуса а с проводимостью к находится в
однородном магнитном поле H(t) = Hoe~lujt. Найти результирующее магнитное
поле и распределение вихревых токов в шаре для общего случая
произвольных частот. Убедиться, что в предельных случаях слабого и сильного
скин-эффекта получаются результаты, найденные в задачах 10.40 и 10.41
(считать для простоты // = 1).
10.44. Найти среднюю мощность Q, поглощаемую проводящим
шаром в однородном переменном магнитном поле при произвольных частотах.
10.45*. В момент времени t = 0 магнитное поле в окрестности
проводящего шара, рассмотренного в задаче 10.43*, выключается. Вычислить
ход затухания поля внутри и вне шара.
254
Глава 10
10.46. Найти активное сопротивление R тонкого
цилиндрического проводника при скин-эффекте. Длина проводника /, радиус а,
проводимость к, магнитная проницаемость /х = 1. Исследовать предельные случаи
малых и больших частот.
10.47. На поверхность цилиндрического проводника, у которого
радиус а, удельная проводимость к\9 нанесен слой другого металла. Толщина
слоя ft, его проводимость «2, причем ft < а. Найти активное
сопротивление R такого проводника переменному току, считая толщину скин-слоя
малой по сравнению с а (// = 1).
10.48. Бесконечный полый цилиндр, у которого внутренний радиус а,
толщина стенки ft (ft <С а), находится в однородном продольном магнитном
поле Ho(t) = Hoe~luJt. Найти амплитуду Н' магнитного поля в полости.
Исследовать ее зависимость от и.
Указание. В силу условия ft <с а при определении поля в толще
оболочки можно считать ее плоской.
10.49. Переменный ток J{t) = Joe~luJt течет по полому
цилиндрическому проводнику, у которого средний радиус а, проводимость я,
магнитная проницаемость //, толщина ft < а. Найти распределение тока j по
сечению и активное сопротивление R на единицу длины. Указать условие,
при выполнении которого сопротивление полого проводника будет мало
отличаться от сопротивления сплошного проводника такого же радиуса.
Указание. Пренебречь кривизной поверхности проводника.
10.50*. Внутри металлической трубы на расстоянии / от ее осевой
линии течет прямолинейный ток J. Радиус трубы а, толщина стенки ft < а,
проводимость стенки к (/х = 1). Как ток J, так и расстояние I зависят от
времени по произвольному закону, но так, что во все моменты времени 1«а.
Считая выполненными условия квазистационарности, определить силу / на
единицу длины, действующую на ток J со стороны вихревых токов,
индуцируемых в цилиндрической оболочке, при слабом скин-эффекте (ft <С 5).
10.51*. Решить предыдущую задачу для случая сильного
скин-эффекта (ft > S).
10.3. Магнитная гидродинамика
Движение проводника в магнитном поле В с нерелятивистской
скоростью и <^с создает в нем добавочное электрическое поле их В/с (см.
формулы (4.70), в которых следует положить 7 = 1). Поэтому закон Ома (7.25)
10.3. Магнитная гидродинамика
255
для движущегося проводника принимает форму
i = «(£?-+JtixJB). (10.21)
Это выражение предполагает достаточно слабое магнитное поле , в
противном случае электропроводность станет анизотропной (см. задачу 7.30),
и отсутствие токов, вызванных неоднородностью проводника (градиентами
температуры и концентрации). Плотность тока в первом порядке по и/с
одинакова в системе проводника и в неподвижной (лабораторной) системе.
Пример 10.7. Получить уравнения, которое описывают эволюцию
магнитного поля в немагнитном (fi = 1) движущемся проводнике в
квазистационарном приближении.
Решение. Из уравнений (10.10) и (10.21) получаем
| = Vx[t,xB]-cVxJ.
Подставляя в это равенство ток из второго уравнения (10.11), в котором
полагаем Н = В (// = 1), находим систему уравнений
V-JB = 0, ^=Vx[uxB] + i/mAB, иш = ^ = const. (10.22)
Из этих уравнений следует, что для определения поля в
проводнике нужно знать скорость движения его элементов. Но эта скорость сама
зависит от поля, так как на проводник с током действует сила Лоренца.
Поэтому уравнение (10.22) должно рассматриваться совместно с уравнениями
движения проводника. Если проводник представляет собой проводящую
жидкость или ионизованный газ (плазму), то для описания движения
среды в рассматриваем квазистационарном приближении можно использовать
уравнения гидродинамики (см. [Ландау и Лифшиц, Гидродинамика]).
Уравнение движения жидкой или газообразной среды имеет вид (ниже всюду
считаем магнитную проницаемость // = 1)
|jjf + (u-V)ti) =-Vp+^[VxB]xB+/+r/Atx+|v(V-tx). (10.23)
Здесь [V х В] х В/Атг = j x В/с — сила Лоренца, приложенная к единице
объема проводящей среды, / — объемная сила, не связанная с
электромагнитным полем (например, гравитация: / = fg = тд9 где д — ускорение
256
Глава 10
силы тяжести). Последние два слагаемых в правой части описывают силы
вязкости; 77 — коэффициент динамический вязкости (мы не рассматриваем
здесь вторую вязкость). Этот кинетический коэффициент, как и
электропроводность к9 вычисляется на основе физической кинетики и в гидродинамике
должен рассматриваться как заданная величина.
Кроме подлежащей определению скорости среды и, в уравнение (10.23)
входят две скалярные величины: плотность т и давление р, которые могут
изменяться при движении среды. Поэтому к уравнениям (10.22), (10.23)
следует добавить уравнение непрерывности
§ + V(™)=0 (10.24)
ot
и уравнение состояния среды
Р = р(т,*), (10.25)
где через s обозначена удельная (на единицу массы) энтропия. При наличии
диссипативных процессов (вязкости, теплопроводности и джоулевой
диссипации магнитного поля) происходит рост энтропии, который описывается
уравнением:
тТ (|| + (u-V)a) = nlfcVfcti* + xAT + ^[V x В}2. (10.26)
— тензор вязких напряжений, \ ~ коэффициент теплопроводности
(считается постоянным).
Приведенная выше система уравнений магнитной гидродинамики
(10.22)—(10.27) в общем случае нелинейна и весьма сложна. Ее
аналитические решения как правило возможны только при некоторых упрощающих
предположениях. Одним из таких предположений является пренебрежение
диссипативными процессами (его возможность должна проверяться в
каждом конкретном случае). Необходимыми условиями пренебрежения
диссипацией в уравнениях 10.23 и 10.22 являются неравенства соответственно
Д=^»1, Лт = ^-»1, (10.28)
и "га
где и — характерное значение скорости, / — характерный масштаб ее
изменения, v = tj/t — кинематическая вязкость (величину иш называют по
Здесь
10.3. Магнитная гидродинамика
257
аналогии магнитной вязкостью; масштаб изменения магнитного поля тоже
обозначен через /). Неравенства 10.28 представляют собой условия малости
диссипативных слагаемых. Безразмерные параметры R и Rm называются
числами Рейнольдса ( второе из них — магнитное число Рейнольдса).
В отсутствие диссипации система уравнений принимает вид
Ш = у х [и х JB], V В = 0, (10.29)
|L+V(rti)=-0, (10.30)
fjf + (ti-V)ti = -±Vp + ^[V x В] х В + I/, (10.31)
g = |* + (u-V)* = 0, P = p(r,5). (10.32)
Уравнение (10.32) для энтропии описывает ее постоянство в каждом
движущемся макроскопическом элементе вещества, а производная d/dt = д/dt +
+ (tx-V) называется субстанциальной (материальной) производной. Если в
начальный момент система была однородной, то (10.32) можно заменить
условием постоянства энтропии в пространстве и во времени:
s = const. (10.33)
Электрическое поле в отсутствие диссипации можно выразить через
магнитное поле и скорость среды. Устремляя в (10.21) к —> 0 и считая
плотность тока j конечной, получаем
Е=-\ихВ. (10.34)
Если гидродинамическая скорость и мала по сравнению со скоростями
распространения малых возмущений в среде, то эффекты сжимаемости
играют малую роль. Считая среду несжимаемой, т = const, вместо уравнений
(10.23), (10.24) будем иметь
^ + (u-V)u = -\Vp+-^[V xB] xB + vAu, Vu = 0. (10.35)
Здесь неэлектромагнитная сила опущена. Силовой член в правой части
можно преобразовать с помощью формулы (1.89): [V х В] х В = —VB2/2 +
+ (B-V)B. В результате часть магнитной силы преобразуется в градиент
258
Глава 10
«магнитного давления» рт = В2 /87г,
^ + (tt.V)„ = -IV (p + С) + 4^(B'V)B + ^ (1036)
другая ее часть образует «магнитные натяжения» (JB-V)JB/47г, отличные от
нуля лишь в том случае, если магнитные силовые линии искривлены.
Сравнение (10.35), (10.36) с (10.22) поясняет смысл термина
«магнитная вязкость»: величина vm играет для магнитного поля ту же роль, что
кинематическая вязкость v для гидродинамической скорости. Диссипативные
слагаемые в том и другом случае выражаются через вторые производные
по координатам.
Пример 10.8. Доказать, что в пренебрежении джоулевой
диссипацией магнитное поле обладает свойством «вмороженности» в проводящую
среду: силовая линия, проходящая в начальный момент времени через две
макроскопические частицы среды, в последующие моменты перемещается
вместе с этими частицами без проскальзывания.
Решение. Две частицы среды, находившиеся в близких точках г и г +
+ 51, имеют скорости и и и + (5l-V)u. Поэтому за время dt расстояние
между частицами изменится на (5l-V)udt9 и это изменение происходит по
закону
(1) j-5l = {5lV)u.
В левую часть входит материальная производная, так как она описывает
изменение расстояния между движущимися частицами. С другой стороны,
вычислим материальную производную от отношения В/т. Имеем
(о) d В = ldB Bdr
К ] dtT T dt r2 dt'
Материальную производную от поля В находим с помощью уравнений
(10.29):
(3) ^ = (B.V)u-B(V.u).
Материальную производную от плотности вычисляем из уравнения
непрерывности (10.30):
(4) | = -r(V.«).
10.3. Магнитная гидродинамика
259
Объединив равенства (2)-(4), находим
Уравнения (1) и (5) для величин 61 иВ/r одинаковы. Следовательно, если в
начальный момент частицы лежали на одной силовой линии, т. е. эти
векторы были параллельны, то их параллельность сохранится и во все
последующие моменты, частицы останутся на той же силовой линии. Величина В/т
будет меняться пропорционально расстоянию между частицами. ■
Один из важных объектов применения магнитной гидродинамики —
квазистационарные электромагнитные явления в движущейся
электропроводящей плазме, полностью или частично ионизованной. При этом все
компоненты плазмы должны двигаться одинаковым образом, образуя единую
среду. Но существует множество явлений, в которых электронная и ионная
компоненты ведут себя различным образом. Один из подходов к таким
задачам — рассмотрение электронов и ионов как двух разных
взаимодействующих друг с другом сред («двухжидкостная магнитная гидродинамика»).
Одна из таких моделей рассматривается в следующем примере (и в
разделе 13.3 в связи с теорией нелинейных волн в плазме).
Пример 10.9. Рассмотреть двухжидкостную модель холодной замаг-
ниченной полностью ионизованной плазмы, в которой плотность энергии
магнитного поля намного превышает плотности тепловых энергий
электронов и ионов: 8irnejTej/B2 <С те/т{. Электроны и ионы
рассматривать как две сплошные среды, макроскопические скорости которых ve, Vi
различны, но плазму моэюно считать квазинейтральной из-за медленного
изменения всех макроскопических величин в пространстве и во времени.
Записать для этого случая систему уравнений для макроскопических
величин В, массовой скорости и = (rriiVi + meve)/(rrii + me) и концентрации
частиц одного сорта п = щ = пе.
Решение. В холодной плазме пренебрегаем электронным и ионным
давлениями и всеми диссипативными эффектами, за исключением трения
между электронами и ионами. Запишем уравнения для макроскопических
величин (подробности см. у Брагинского, 1963):
(1) ггц{дь + Vi • V)vt = еЕ + (е/с)у{ х В + (те/те)(0,5Ivy + v±),
(2) me(dt + ve • V)ve = -eE - (e/c)ve x В - (те/те)(0,51иц + vj_),
(3)
dtne,i + V- (пеЛуе^) = 0,
260
Глава 10
(4) rot В = (4тге/с)(щу{ - ncve),
(5) rot#= -c~ldtB, divB = 0.
Здесь е > 0 — заряд иона, v = Vi — ve — относительная скорость электронов
и ионов,
(6) те = ЗтУ2Те3/2/4(2тг)1/2Ле4п,
— время потери электронами направленного импульса (см. задачи 4.70-
4.72), Л — кулоновский логарифм.
Преобразуем систему (1)-(5), введя массовую скорость и « Vi +
+ (me/mi)ve (учтена малость me/rrii < 1). Складывая почленно уравнения
(1), (2) и пренебрегая членами порядка me/mi, получим
(7) dtu + (u.V)u=^-rotBxB,
где было использовано также уравнение (4). Далее поделим (1) на mi9 (2) на
те и сложим указанные уравнения, использовав приближенные равенства
Vi/mi + ve/me « (u-j/en)/me, ve « u^j/en, где j = env — плотность
тока. В результате получим обобщенный закон Ома
(8) г
Е = -(и/с) х В + {enc)-lj х В + (те/е2теп)(0,51;/у + j J+
Hme/e2{dt(j/n) + (и • V)(j/n) + n~l{j • V)u - (en)"1^ • V)(j/n)},
где е2пте/те = к — электропроводность плазмы вдоль магнитного поля.
С помощью (4), (5) и (8) получаем уравнение для индукции магнитного
поля
dtB = rot(u х В) - rot z/m(0,51 roty В + rotj_ B)-
(9) -rot(47ren)-1(rotB x В) - (mec/e2){dt(j/n)+
+ (u • V)(j'/n) + n~l(j • V)u - (en)-\j • V)(j/n)},
где j = (c/Att) rot JB, z/m = с2/Атгк — магнитная вязкость. Равенства (7), (9)
и уравнение неразрывности
(10). dtn + V-(nu) = 0
образуют полную систему уравнений, описывающих движение плазмы и
эволюцию магнитного поля в рассматриваемом приближении. ■
10.3. Магнитная гидродинамика
261
Далее рассмотрим некоторые наиболее важные случаи
макроскопических движений проводящей среды с магнитным полем.
Пример 10.10. Получить решение бездиссипативной системы
уравнений (10.29)-( 10.32) в виде простых волн Римана. Так
называются одномерные возмущения среды, в которых все неизвестные функции
и(ф), В(ф), т(ф)... зависят от одной координаты и времени через
посредство некоторой единой для всех макроскопических параметров
функции (р(х, t). Простые волны удовлетворяют системе обыкновенных
нелинейных дифференциальных уравнений с одной независимой переменной. Эту
систему можно проинтегрировать в аналитической форме.
Решение. Из уравнений (10.29) и предположения о зависимости
решения от одной координаты х следует, что
(1) Вх = const.
Преобразуем уравнения, обозначая штрихом производную по <р. Например,
в случае уравнения неразрывности имеем
т+и*дх- + т^х- = т {-т+и*дх-)+и°тдх- = 0'
Поверхности постоянного значения физических величин — это плоскости
х = const, на которых
(2) (р(х, t) = const
и которые перемещаются в направлении оси Ох. Скорость их перемещения
dx/dt = (дх/dt)^ = vph естественно назвать фазовой скоростью по
аналогии со случаем плоских монохроматических волн. Дифференцируя (2),
находим
(3) л = -*»Ш
и приводим уравнение неразрывности к виду
(4) t'v - и'хт = 0,
где v = vph — ux — скорость распространения простой волны в
сопутствующей системе отсчета.
262
Глава 10
Остальные уравнения преобразуются аналогичным образом. В
проекциях на координатные оси они имеют вид:
(5) u'xv - р'/т - (ВуВ'у + BzBz)/4ttt = 0,
(6) u'yv + ВхВ'у/4тгт = 0,
(7) u'zv + ВхВ'г/4тгт = 0,
(8) Bfyv-ufxBy+u'yBx = b,
(9) B'zv - v!xBz + u'zBx = 0,
(10) s'v = 0,
(11) p = p(s,r).
Условие (1) и нелинейные уравнения (4)-( 11) составляют полную систему
для рассматриваемого случая.
а) Энтропийные простые волны получаются из этой системы в
случае, когда энтропия среды испытывает возмущения: s' ф 0. Из (10) получаем
(12) v = ve = 0
— энтропийная волна неподвижна в системе покоя среды и переносится
вместе с ней. Если Вх ф 0, то из уравнений последовательно вытекает
их = Ву = Bz = иу = uz = p' = 0, т. е. все перечисленные величины
постоянны. Плотность среды испытывает возмущения, связанные с
возмущениями энтропии уравнением (11) и условием р = const. Таким образом,
в пренебрежении диссипативными процессами профиль энтропийной
волны не искажается, а сама волна представляет собой нагретую (или
охлажденную) область, переносимую движением среды. Фактически
теплопроводность (диффузия нагретых частиц) приводит к медленной диссипации
энтропийного возмущения.
При Вх = 0 из (4), (5) следует постоянство продольной скорости и
полного давления:
В2
(13) их = const, р + з- = const
о7Г
Производные и'у, v!z могут иметь произвольные значения.
При v ф 0 из (10) следует s' = 0 или s = const, т.е. простые волны
с отличной от нуля фазовой скоростью представляют собой движения с
постоянной энтропией. Это позволяет записать в уравнении (5) р' = с^т',
10.3. Магнитная гидродинамика
263
где
(14)
— локальное значение скорости звука в среде без магнитного поля. Будучи
функцией плотности, эта величина, вообще говоря, непостоянна.
б) Альвеновские простые волны — это движения, при которых наряду
с энтропией остается постоянной плотность среды:
(15) г = const.
Из уравнений (4), (5) следует
(16) их = const, Bl + В\ = В\ = const,
а уравнения (6)-(9) разбиваются на две одинаковые пары:
(17) u'yv+^=0, u'yBx + Byv = 0
и аналогичную систему для u'z, B'z. Из последней системы определяется
скорость альвеновской волны относительно среды:
(18) v = vAx = ±-^L.
Эта скорость постоянна в силу (1) и (15). Альвеновская волна исчезает при
Вх = 0, так как при этом уравнения совместимы только с однородной
средой: и = const, В = const. Система уравнений (17) и аналогичная
система для u'z, Bz позволяют найти связь между скоростью и среды и
магнитным полем в альвеновской простой волне:
(19) и --
Постоянная интегрирования выбрана так, чтобы было и = 0 при В = 0.
Знак минус отвечает одинаковым знакам Вх и vax\ знак плюс —
противоположным знакам.
264
Глава 10
Точным частным решением для альвеновской волны является
плоская монохроматическая волна, поляризованная по кругу и бегущая вдоль
однородного магнитного поля:
(20) Ву = В± cos к[х — (vax + ux)t], Bz = В± sin к[х — (vax + ux)t].
Приближенное решение для волны малой амплитуды можно построить при
распространении ее под произвольным углом к внешнему однородному
полю Bq\
(21) 6(r, t) = bo cos(k-r - u>At),
где к — волновой вектор,
(22) wa=^!
уА-кт
— частота альвеновской волны, а ее амплитуда &о перпендикулярна
внешнему полю JBo. Условие постоянства модуля магнитного поля (16)
выполняется при этом с точностью до членов первого порядка по малому
отношению bo/Во. Амплитуда bo поперечна также относительно к.
в) Быстрые и медленные простые волны. Это — решения системы
(4)-(11), у которых s = const, т' ф 0, v ф ve^Ax- При малых
амплитудах такие волны называются магнитозвуковыми. Для упрощения геометрии
замечаем, что уравнения (7), (9) обращаются в тождества, если выбрать
uz = Bz = 0. Оставшаяся система четырех уравнений (4)-(6) и (8) имеет
нетривиальное решение при значениях фазовой скорости
(23) V2 ЕЕ V\s = I {с* + V\ ± ^/(С2+^)2-4с2<} ,
где использовано обозначение
(24) vA = -£=
для псевдовектора альвеновской скорости.
Сравнение формул (23), (18) показывает, что при любых значениях
магнитного поля и скорости звука выполняются следующие соотношения:
(25) v) > v\x > v2s ^0, v) > cl v2s ^ c2s.
10.3. Магнитная гидродинамика
265
Последние два неравенства определяют названия рассматриваемых волн —
они являются быстрыми (fast) или медленными (slow) по сравнению с
обычными звуковыми волнами без магнитного поля.
После подстановки Vf или vs в систему уравнений она может быть
проинтегрирована. Ввиду сложности этой процедуры в общем случае
выполним ее для поперечного распространения, т.е. при Вх = 0, В2 = В2.
В этом случае v/ = ±(с^ + v2A)1/2, vs = 0, т. е. может существовать только
быстрая волна. Из уравнений (4)-(6) находим, выбрав в качестве
независимой переменной плотность,
Гоа\ i dux Vf dB2 о 2
(26) uy = const, —r— = —, —— = Sttva.
ат ' ат
Интегрирование последнего уравнения с учетом определения альвеновскои
скорости (24) дает
(27) В = В^
где Во — значение поля при т = то (например, в невозмущенной области).
Равенство (27) выражает собой условие вмороженности поля в вещество.
Используя его, а также уравнение состояния (11), находим зависимость v.f
от г и интегрируем второе равенство (26):
(28) их{т) = J
vf(r)
dr,
то
где положено ^(то) = 0. Далее записываем (dx/dt)r = Vf(r) + их(т) и
получаем решение
(29) ^ = [v/(r)+tia(r)]* + /(r),
которое определяет в неявном виде зависимость т(ж, t). Вид функции /(г)
определяется по начальному условию т(ж,0) = F(x). Ш
Сильные МГД-разрывы. В задаче 10.69* рассмотрена физическая
картина укручения переднего фронта поперечной магнитозвуковой волны
и образования разрыва. Существование разрывов является естественным
следствием уравнений магнитной гидродинамики в отсутствие диссипации.
Разрывы могут возникать как результат эволюции первоначально гладкого
возмущения либо в случае разрывных начальных и граничных условий
266
Глава 10
К
(например, первоначально покоившийся поршень внезапно начинает
двигаться с конечной скоростью). Фактически все разрывы имеют конечную
толщину, которая определяется диссипативными процессами. Но она
часто оказывается весьма малой по сравнению с другими длинами. В таких
случаях разрывы рассматриваются как бесконечно тонкие поверхности.
Локальные свойства стационарных разрывов
можно исследовать на основе законов сохранения
т р | V | т^ р I основных физических величин — массы, импульса
и энергии, дополненных граничными условиями
для векторов электромагнитного поля. Будем
считать разрыв локально плоским и свяжем с
разрывом систему координат (рис. 10.8), одна из осей
которой направлена по нормали к разрыву. Построим
две вспомогательные плоскости 11 и 22 по обе
стороны разрыва вблизи него таким образом, чтобы на
этих плоскостях можно было пренебречь
диссипативными процессами (которые могут быть весьма
существенными внутри переходного слоя, в
области больших градиентов МГД-параметров).
Из законов сохранения на стационарном
разрыве будем иметь
6(iana) = 0, 5{Па(3П(з) = 0, 6(qana) =■ 0, (10.37)
где символом 6 здесь обозначен скачок соответствующей величины при
переходе от плоскости 22 к плоскости И, т.е. 6in = гП2 — гп\ и т.д.; п —
вектор нормали к поверхности разрыва; г, Па/#, q — соответственно
плотности потоков массы, импульса и энергии:
У
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
у
У
у
К 12
Рис. 10.8
и
г = ти, Па(3 = pSa(3 + ruaU(3 - -f-BaBp + ■£-В26ар,
47rJ
8тг
9 = ru(^ + £+jUiflx[uxB].
(10.38)
В потоках импульса и энергии учтены как механические, так и
электромагнитные слагаемые, но пренебрежено эффектами диссипации. В плотности
потока энергии е — внутренняя энергия среды на единицу массы, а
последнее слагаемое представляет собой вектор Пойнтинга 7 = сЕ х В/4тг,
в котором использовано выражение (10.34) для электрического поля в
движущейся среде в отсутствие диссипации. В плотности потока импульса
магнитные слагаемые представляют собой магнитную часть максвелловского
тензора напряжений.
10.3. Магнитная гидродинамика
267
Наряду с законами сохранения (10.37) на разрыве должны быть
выполнены граничные условия для векторов поля: непрерывность нормальной
компоненты В и тангенциальной компоненты Е = — и х В/с ,т. е.
5(Вапа) = 0, 5(иВапа - Виапа) = 0. (10.39)
После подстановки выражений (10.38) в законы сохранения (10.37) и
использования граничных условий (10.39) приходим к четырем равенствам,
связывающим скачки МГД параметров на разрыве:
(•2у2 2 VB2\ Я
e + P^+^- + -^ + ^j- ^S(BT-Ur) = 0, (10.40)
SB2
Sp + i2n6V+-^ = 0, (10.41)
in6uT-^6BT=0, (10.42)
47Г
Bn5ur - гп5(уВт) = 0. (10.43)
Здесь индексы пит обозначают нормальную и тангенциальную к плоскости
разрыва компоненты (не путать второй индекс с плотностью); V = 1/т —
удельный объем. Равенства (10.40)-( 10.43) образуют полную систему
условий на МГД-разрывах. Они обладают большей общностью, чем уравнения
МГД, и сохраняют силу в бесстолкновительной плазме, если давление в ней
изотропно и определены локальные значения термодинамических и
гидродинамических параметров.
Пример 10.11. Проанализировать на основе равенств (10.40)—(10.43)
разрывы, обладающие следующими свойствами:
а) гп = 0, Вп ф 0 (контактный разрыв);
б) гп = Вп = 0 (тангенциальный разрыв);
в) in ф 0, SV = 0 (альвеновский, или вращательный, разрыв).
Для каждого случая найти связи между скачками макроскопических
параметров и указать величины, которые непрерывны на разрыве.
Решение. На контактном разрыве 8и = 0, SB = 0, 5р = 0. Могут
испытывать скачки плотность вещества, его температура, химический состав
и другие термодинамические параметры. Контактный разрыв — это
неподвижная граница двух веществ, находящихся во взаимном механическом
равновесии.
268
Глава 10
На тангенциальном разрыве скорость и магнитное поле имеют только
тангенциальные составляющие, которые могут испытывать произвольные
скачки. Термодинамические параметры среды также могут испытывать
разрывы, и единственное ограничение — непрерывность полного давления:
(1)
В отсутствие скачка скорости две среды, разделенные тангенциальным
разрывом, неподвижны друг относительно друга, и тангенциальный разрыв
становится разновидностью контактного, на котором должен выполняться
баланс полного давления (1).
В случае альвеновского разрыва из равенств (10.42), (10.43) следует
I /-? I
(2) in = ±—=, 6ит=Т
\J\-kV
После перегруппировки членов и сокращения множителя гп ф 0 уравнению
(10.40) можно придать вид
(3) ве + Уб(р+Щ+1б(ит±}[ГВ^
0.
Третье слагаемое здесь равно нулю в силу (2), а второе — на основе
уравнения (10.41) при SV = 0. Поэтому из (3) следует 5е = 0, а поскольку
любой термодинамический параметр однородной жидкости или газа можно
представить как функцию двух независимых переменных — е и V, то из
отсутствия скачков этих величин вытекает, что все термодинамические
параметры, в том числе давление р, непрерывны. Но тогда из (10.41) следует
SB% = 0, т. е. абсолютная величина магнитного поля не меняется на альве-
новском разрыве, как в альвеновской простой волне. Однако, 5ВТ ф 0, т. е.
возможен поворот вектора В вокруг нормали к поверхности разрыва. ■
Пример 10.12. Ударным фронтом называется разрыв, на котором
гп ф 0, 6V ф 0. Ударный фронт вместе с потоками вещества, втекающим
и вытекающим из него, называется ударной волной.
а) Показать, что существует такая система отсчета, в которой
векторы U\, tX2, .Bi, В 2 и нормаль к разрыву п лежат в одной плоскости
(«теорема компланарности»).
10.3. Магнитная гидродинамика
269
б) Показать, что скачки термодинамических параметров и
магнитного поля связаны уравнением ударной адиабаты
6i - е2 + 1(рх + p2)(Vl - V2) + ^(Vi - V2)(Brl - BT2f = 0, (10.44)
где тангенциальные компоненты поля считаются коллинеарными в силу
п. а). Индекс 2 относится к величинам за фронтом, индекс 1 — к величинам
перед фронтом.
в) Рассмотреть частные виды ударных волн — параллельную
ударную волну (Вп ф 0, ВТ\ = Вт2 = 0) и перпендикулярную ударную волну
(Вп = 0). Для этих волн выразить электрическое поле в системе фронта
через скорость вещества и магнитное поле. Выразить также
отношение плотностей т2/т\ через отношение давлений р2/р\ для сильных
ударных волн (р2 ^> pi), считая, что вещество представляет собой
проводящий идеальный газ (разреженную плазму). В этом случае е = pV/fr — 1),
7 = 5/3.
Решение, а) При Вп ф 0 из уравнений (10.42), (10.43) следует, что три
вектора, 5ВТ = Вт\ — Вт2, S(VBr) = V\BTi — V2Br2, Sur = ит\ -
— ит2 — взаимно параллельны (антипараллельны). Поскольку V\ Ф V2,
отсюда следует, что Вт\, Вт2 параллельны, т. е. В\, В2ип лежат в одной
плоскости. Учитывая тот факт, что 6ит лежит в этой же плоскости, выбором
системы отсчета (такой, например, чтобы и\ лежала в нужной плоскости)
нетрудно добиться того, чтобы и векторы txi, u2 по отдельности были
ориентированы в этой плоскости.
При Вп = 0 имеем из (10.42), (10.43)
(1) иТ1 = ит2, ViBri = V2Br2.
Это означает, что JBi, JB2, n лежат в одной плоскости, а ввиду
непрерывности тангенциальной скорости можно обратить ее в нуль выбором
системы отсчета. Следовательно, обе скорости будут направлены в этой системе
вдоль нормали.
в) В параллельной ударной волне магнитное поле непрерывно, и
тангенциальная скорость тоже непрерывна, как следует из равенств (10.42),
(10.43). Поэтому выбором системы отсчета можно обратить ее в нуль.
8 этой системе, согласно (10.34), электрическое поле также обращается
в нуль. Магнитное поле не влияет на движение плазмы вдоль поля, ударная
адиабата превращается в адиабату Гюгонио для ударной волны в среде без
магнитного поля:
(2) el-e2 + ±(pl+p2)(V1-V2) = 0.
270
Глава 10
Отношение плотностей по обе стороны ударного фронта определяется из
уравнения (2):
/Зч Т2 = 7~ l + (7+l)(p2/pi)
Tl 7 + l + (7-l)(P2/pi)'
В предельном случае сильной волны (р2 > Pi (7 + 1)/(7 ~~ 1)) имеем
(4) %
7+1
7-1
для разреженной плазмы.
В случае перпендикулярной ударной волны, как следует из (1),
существует система отсчета, в которой движение среды по обе стороны
перпендикулярно фронту. В этой системе электрическое поле по обе стороны
параллельно фронту и непрерывно:
(5) Е = -\щ хВх = -\и2 х В2.
Магнитное поле в такой волне пропорционально плотности: В2/В\ =
= Р2/Pi- Уравнение ударной адиабаты в этом случае опять сводится к
уравнению Гюгонио (2), если переопределить внутреннюю энергию и давление:
вместо р следует подставить полное давление
» 9
(6) Р* = Р +
8тгУ2'
а вместо е — полную плотность внутренней энергии на единицу массы,
Ь2
(7) е* = б +
8тгУ
связанную с р* соотношением р* = —(de*/dV)3. Здесь Ь — V\B\ = V2B2
— величина, не изменяющаяся при переходе через фронт.
Для сильной поперечной ударной волны в разреженной плазме
(62 ^> 6i, р2 ^> р\ ударная адиабата принимает вид
(R) г2 = 7+1 В\ /т2 Ч3
{ } тг 7_1 4тгр2 Vri /
Предельное сжатие такое же, как и в отсутствие магнитного поля. Но при
конечных значениях р2 сжатие меньше за счет того, что часть энергии
расходуется на усиление магнитного поля. ■
10.3. Магнитная гидродинамика
271
В области ударного фронта МГД и термодинамические параметры
среды имеют большие градиенты, что приводит к сильной диссипации энергии
механического движения. Это вызывает нагревание вещества, прошедшего
через фронт, и в силу второго закона термодинамики рост энтропии:
S2>si, (10.45)
где 5i, 52 — удельные энтропии перед и за фронтом соответственно. Из
последнего неравенства при дополнительных условиях
(0)^0, Щ>0
следуют неравенства
р2 > Рь т-2 > п, (10.47)
т. е. ударные волны являются волнами сжатия.
МГД разрывы, удовлетворяющие законам сохранения и граничным
условиям (10.40)—(10.43), могут оказаться неустойчивыми. Устойчивость
в обычном смысле требует, чтобы начальное малое возмущение не
нарастало со временем и оставалось малым в течение конечного наперед заданного
промежутка времени. Исследование устойчивости конкретных МГД систем
производится в задачах 10.77*—10.81*, 10.84.
Наряду с устойчивостью важную роль играет понятие эволюционно-
сти МГД разрыва. Разрыв называется эволюционным, если малые
возмущения либо не нарастают, либо нарастают, но остаются малыми в течение
малого промежутка времени. Пример последней ситуации — рост
возмущения по закону е7*, 7 > 0; возмущение мало на временах t <С 1/7. Разрыв в
этом случае неустойчив, но эволюционен. Разрыв неэволюционен, если он
распадается на несколько разрывов или волн таким образом, что
возмущение сразу становится большим в области, в которой отдельные разрывы уже
разошлись. Неэволюционные разрывы возникают под влиянием внешних
причин, например, при столкновении двух облаков газа. В этом случае на
границе их раздела возникает разрыв, на котором скачки параметров газов
определяются начальными условиями и не связаны уравнениями (10.40)-
(10.43). Такой разрыв мгновенно распадается на несколько разрывов и волн
разрежения.
Исследование условий эволюционности ударных волн приводит к
следующему выводу (см. Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных сред,
§ 73). МГД ударные волны имеют две области эволюционности:
ип\ ^ Vfu VAn2 < Un2 < Vf2\ (10.48)
VS2 < Uni < VAnU Un2 ^ VS2- (10.49)
272
Глава 10
Здесь уап = \Вп\/у/4тгт — альвеновская скорость; v/, vs — скорости
быстрой и медленной магнитозвуковых волн; ип — нормальная компонента
скорости среды в системе фронта.
Ударные волны, удовлетворяющие (10.48), называются быстрыми, при
уменьшении амплитуды волны они переходят в быструю линейную магни-
тозвуковую моду. Волны, удовлетворяющие условию (10.49), называются
медленными и переходят при уменьшении их амплитуды в медленную маг-
нитозвуковую моду. В медленных МГД ударных волнах магнитное поле
ослабляется {Вт2 < Вт\)9 а в быстрых усиливается (£?r2 > Вт\) при
переходе через фронт.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика
сплошных сред; Ландау и Лифшиц, Гидродинамика; Половин и Демуцкии
(1987); Седов (1972); Ахиезер и др. (1974); Моффат (1980); Куликовский
и Любимов (1962); Альвен и Фельтхаммар (1967); Шерклиф (1967); Пи-
кельнер (1966); Паркер (1982); Зельдович (1956); Вайнштейн и др. (1989);
Краузе и Рэдлер (1984); Вайнштейн и др. (1980); Быков и Топтыгин (1993);
Рузмайкин и др. (1988); Сыроватский (1957); Островский и Потапов (2003)].
Задачи
10.52*. Доказать, что уравнения
Vx#=-i^, VxB=^j, V.JB = 0,
используемые в магнитной гидродинамике, инвариантны относительно
преобразований Галилея г' = г — Vt9 t' = t9 т. е. принимают вид
V'xS' = -±^, V'xB'4/, V\B' = 0,
если напряженности поля и плотность тока преобразуются следующим
образом:
j' = j, B=B, E' = E+\VxB.
10.53*. С помощью закона электромагнитной индукции (10.36)
показать, что если магнитное поле удовлетворяет бездиссипатйвным
уравнениям (10.29), то магнитный поток через любой замкнутый движущийся и
деформирующийся контур остается постоянным.
10.3. Магнитная гидродинамика
273
10.54. Показать, что при статическом равновесии проводящей
среды в магнитном поле векторы поля В и плотности тока j касательны к
поверхностям p(r) = const.
10.55. Вдоль цилиндрического столба горячей плазмы, радиус
которого а, течет ток J, распределенный по сечению с плотностью j(r) (г-пинч).
Как зависит от г давление плазмы в стационарном состоянии, если оно
уравновешивается магнитным давлением, создаваемым текущим вдоль столба
током? Записать связь между полным током пинча и давлением в нем,
проинтегрированным по поперечному сечению.
Пусть плазма является изотермической и удовлетворяет уравнению
состояния идеального газа. Выразить силу тока J через температуру Т плазмы
и полное число N частиц одного знака, приходящихся на единицу
длины столба плазмы. Вычислить силу тока, приняв N « 1015 частиц/см,
Т « 108 К (значения, характерные для термоядерных исследований).
10.56. Как должен быть распределен ток по сечению плазменного
столба (см. условие предыдущей задачи), чтобы давление плазмы было
постоянным по сечению?
10.57. Найти условие равновесия цилиндрического столба плазмы с
радиусом а, в котором ток имеет только азимутальную компоненту j<p(r)
(тета-пинч). Вне столба давлением среды можно пренебречь. Можно ли
обеспечить равновесие за счет магнитного поля внешних источников?
10.58. Магнитное поле называется бессиловым, если плотность
магнитной силы всюду равна нулю: j х В/с = 0. Для этого необходимо и
достаточно, чтобы ток в любой точке был направлен вдоль магнитной
силовой линии.
а) Показать, что бессиловое магнитное поле В удовлетворяет системе
уравнений
V х В = аВ, В Va = 0,
где а(г) — произвольная дифференцируемая скалярная функция, включая
константу.
б) Построить в цилиндрических координатах бессиловое поле при а =
= const, зависящее только от г.
10.59. Вывести из уравнений (10.22) уравнение для векторного
потенциала А, связанного с магнитным полем обычной формулой В = V х А.
10.60. В проводящей среде поддерживается стационарное поле
скоростей и = (гхх(г/, г),0,0) (сдвиговое течение). В начальный момент t = 0
274
Глава 10
магнитное поле имело компоненты В0 = (0, В0у(у, z), B0z(y, z)). В бездис-
сипативном приближении (уш —> 0) вычислить поле при t > 0.
10.61. В проводящей среде поддерживается стационарное
дифференциальное вращение с угловой скоростью 17 = ezQ(r, $), где г, д —
сферические координаты (т. е. разные слои проводящей жидкости или
газа вращаются с разными угловыми скоростями). Начальное магнитное
поле лежит в меридиональных плоскостях (полоидально): при t = 0, В —
= (£?or(r,#),i?otf(r,$),0). Вычислить в пренебрежении диссипацией
магнитное поле при t > 0.
10.62*. В несжимаемой однородной проводящей среде
поддерживается стационарное двумерное движение с полем скоростей и =
= {их(х,у),иу(х,у),0). Показать, что такое движение неспособно
поддерживать магнитное поле в течение длительного времени, так Что начальное
поле диссипирует за конечное время (Я.Б.Зельдович, 1956).
10.63*. В сферических координатах поле скоростей проводящей
среды задается вектором u = Vx егф(г), а электропроводность к(г) зависит
только от расстояния до центра. Показать, что независимо от начального
состояния магнитное поле затухает за конечное время (антидинамо-теорема
Эльзассера).
10.64*. Вязкая несжимаемая проводящая жидкость движется между
двумя неподвижными параллельными плоскостями в направлении оси Oz
под действием постоянного градиента давления dp/dz = const.
Электропроводность жидкости к и коэффициент динамической вязкости г)
постоянны, расстояние между плоскостями 2а. Перпендикулярно плоскостям в
направлении оси Ох приложено постоянное и однородное внешнее
магнитное поле -Во. Вычислить зависимость скорости жидкости от х и добавочное
магнитное поле, возникающее в движущейся жидкости. Проанализировать
результат для больших и малых значений Во.
10.65. Вязкая несжимаемая жидкость находится между
параллельными плоскостями х = ±а. Плоскость х = — а движется со скоростью —г>о,
а плоскость х = а — со скоростью vo в направлении оси Oz. Градиент
давления отсутствует, электропроводность жидкости к и коэффициент вязкости г\
заданы и постоянны. Перпендикулярно плоскостям приложено однородное
магнитное поле В0. Вычислить скорость жидкости и добавочное магнитное
поле в ней.
10.66. Получить решение (21), (22) для альвеновской волны
малой амплитуды (см. пример 10.10) путем линеаризации системы уравнений
(10.29М10.32).
10.3. Магнитная гидродинамика
275
10.67. Вычислить декремент 7 плоской альвеновской волны малой
амплитуды, если известны кинематическая v и магнитная иш вязкости
среды. Декремент мал по сравнению с частотой волны.
10.68. Рассмотреть быстрые и медленные простые волны (см. п. в)
примера 10.10) при малых амплитудах возмущений. Для этого использовать
систему уравнений (10.29)—(10.32) в линеаризованной форме. Определить
взаимную ориентацию векторов к, и, Ъ, JB0, где последние два вектора —
амплитуда магнитозвуковой волны и внешнего однородного магнитного
поля.
10.69*. Исследовать изменение профиля быстрой поперечной
простой волны, рассмотренной в примере 10.10, вызванное зависимостью
фазовой скорости от плотности среды. Для этого задать профиль скорости
среды в начальный момент t = 0 в виде их(х,0) = и(х,0) = щ/ ch(x/h)9
где щ = cso = vao совпадает со скоростью звука cso и с альвеновской
скоростью vao в невозмущенной среде. На основе численного решения с
помощью компьютера построить функцию u(x,t) для t > 0. Построить
также графики магнитного поля B(x,t) при t = 0 и t > 0. Определить
момент времени £*, до которого применимо решение в виде простой волны
(т. е. решение однозначно). Уравнение состояния среды для адиабатического
процесса имеет вид р(т) = ро(тЛо)7-
10.70. Плазма испускается изотропно во все стороны с поверхности
шара радиуса а, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной
угловой скоростью ft. Скорость плазмы и постоянна по величине и направлена
по радиусу. Вблизи поверхности шара существует магнитное поле, которое
в системе, вращающейся вместе с шаром, имеет значение В(а,#,а) =
= JBo(#,aO, гДе а отсчитывается в плоскости, перпендикулярной оси
вращения. Плотность энергии плазмы велика по сравнению с плотностью
энергии магнитного поля, так что влиянием поля на движение плазмы можно
пренебречь. Предполагая магнитное поле вмороженным в плазму, найти
его зависимость от координат и времени в области г > а в неподвижной
системе отсчета4.
10.71. Найти вид силовых линий межпланетного магнитного поля
в модели Паркера, рассмотренной в предыдущей задаче. Определить
величину магнитного поля и угол в между силовой линией и радиальным
направлением на орбите Земли, задавшись следующими значениями
параметров: радиус Солнца а = 0,7 х 106 км; среднее магнитное поле на
4 Модель, рассматриваемая в этой задаче, использовалась Паркером для описания
межпланетного магнитного поля, создаваемого потоками солнечной плазмы (солнечным ветром).
276
Глава 10
поверхности Солнца В0 ~ 1 Гс; радиус орбиты Земли г0 « 1.5 • 108 км;
угловая скорость вращения Солнца ft = 2,7 • 10~6 рад/с; скорость солнечного
ветра и = 300 км/с.
10.72. Показать, что одно из решений задачи 10.70 о магнитном поле
в области стационарного радиального звездного ветра имеет вид
Br(r,tf,a,t) = Fla- (Г~ц +Ш) (f)22costf,
Ba{r,d,a,t) = qFla- ц +»*) ^2sintfcostf.
Здесь р, q — постоянные, удовлетворяющие условию р + g = 1.
10.73*. В однородной проводящей среде (газовой плазме) с
однородным магнитным полем Во в некоторой малой области («точке») мгновенно
выделилась значительная энергия, в результате чего возникла сильная
ударная волна. Плотность энергии вещества в возмущенной области намного
превышает плотность энергии магнитного поля, поэтому отклонением от
сферической симметрии, вносимым магнитным полем, можно пренебречь
и считать ударный фронт расширяющейся сферой радиуса R3(t). Поле
скоростей в возмущенной области г < R3{t) можно представить в виде иг =
= и = 2rRs(t)/(/y + l)R3(t), u# = иа = 0, где 7 = 5/3 для разреженного
газа. Вычислить магнитное поле во всем пространстве после взрыва.
Построить, в частности, график зависимости магнитного поля от времени на
заданном расстоянии г от центра взрыва5.
10.74*. Решить предыдущую задачу для случая, когда магнитное поле
звезды можно аппроксимировать полем магнитного диполя с моментом М.
Можно ли считать диполь точечным? Учесть конечные размеры диполя с
помощью модели, рассмотренной в задаче 2.85. Построить график
зависимости магнитного поля от времени на заданном расстоянии г от центра
взрыва.
5В этой задаче рассматривается простая модель перестройки магнитного поля в
окрестности взорвавшейся звезды. Приведенное выше поле скоростей за ударным фронтом хорошо
аппроксимирует автомодельное решение Седова для сильного взрыва (см. Седов (1972), гл. IV
§11), которому соответствует зависимость Rs(t) ос t2/5.
10.3. Магнитная гидродинамика
277
10.75*. Магнитное поле в окрестности звезды до ее взрыва можно
представить в виде ряда по шаровым векторам, которые были определены
в задаче 5.14:
1тп 1тп, к=1,2
Здесь учтено, что шаровые векторы с к = 3 направлены вдоль радиуса,
а при к = 1,2 они перпендикулярны радиусу. Считая коэффициенты
разложения а^ известными, записать поле в каверне, образовавшейся после
взрыва. Закон движения ударного фронта Rs{t) известен.
10.76. Взрыв звезды происходит в область с неоднородной
плотностью го ос г-2, занятую звездным ветром с магнитным полем, приведенным
в условии задачи 10.72. Вычислить магнитное поле после взрыва для
случая, когда зависимость компонент поля от угла а отсутствует, р = 0, q = 1,
зависимость радиуса ударного фронта от времени Rs (t) считать известной6.
10.77*. Плоский контактный разрыв разделяет две проводящие среды
с плотностями т\ и т2. Перпендикулярно разрыву приложены поле тяжести
(ускорение д) и однородное магнитное поле В. Методом малых
возмущений в приближении несжимаемой и недиссипативной среды исследовать
устойчивость разрыва. Найти критерий устойчивости.
Указание. Неустойчивые моды искать в классе потенциальных
течений.
10.78*. Выполнить то же самое, что в предыдущей задаче, для
случая магнитного поля, параллельного невозмущенной поверхности разрыва.
Произвести сравнение с предыдущим случаем.
10.79*. Плоский контактный разрыв отделяет проводящую
несжимаемую жидкость, имеющую плотность т и коэффициент поверхностного
натяжения а, от вакуума. Перпендикулярно разрыву действует поле тяжести
(ускорение д) и электрическое поле Е, ориентированные так, что жидкость
находится снизу. Найти значения Е, при которых контактный разрыв
становится неустойчивым относительно малых возмущений (эффект Тонкса).
Найти волновые числа неустойчивых мод.
Указание. Применить энергетический принцип — сравнить энергии
возмущенной и невозмущенной систем и найти условия, при которых
энергия деформированного разрыва окажется меньше.
6Для сильного взрыва в данном случае, согласно Седову (1972), Rs(t) ос £2/3.
278
Глава 10
10.80*. Исследовать устойчивость тангенциального разрыва в
несжимаемой проводящей среде с магнитным полем. Плотности среды, ее
скорости и магнитные индукции по обе стороны разрыва различны, гравитация
отсутствует (неустойчивость Кельвина-Гельмгольца).
10.81*. Исследовать влияние турбулентности на эволюцию
магнитного поля в проводящей среде. Для этого, пользуясь теорией возмущений,
произвести усреднение уравнений для магнитного поля по ансамблю
турбулентных пульсаций. Считать турбулентность однородной и изотропной
и описывать ее тензором (Д4.15) для несжимаемой среды. Вычислить
магнитную вязкость среды с учетом турбулентности. Столкновительную
магнитную вязкость ит = с2/4тгк считать заданной.
10.82*. Вывести уравнение, описывающее магнитное поле в среде с
гиротропной турбулентностью и нулевым временем корреляции
турбулентных скоростей. Для этого записать корреляционный тензор в координатном
представлении (ср. с (Д4.23)):
Uap(r, t) = {Q(r)6a(3 + R(r)xaX(3 + С(г)еараха} • 2тс 6(t).
Столкновительную магнитную вязкость иш = с2/4тгк считать конечной.
Показать, что искомое уравнение имеет вид
^=aVxJB + (i/t + i/m)AJB,
где vt — Q(0)tc = (и2)тс/3 — турбулентная вязкость, a = -2С(0)тс =
= (и(г) - rotu(r))rc/3 — параметр гиротропии.
10.83. Найти связь между функциями Q(r), Д(г), С (г)
предыдущей задачи и функциями A(k,t), P(k,t)9 которые входят в определение
спектрального тензора (Д4.23).
10.84. С помощью уравнения, полученного в задаче 10.82*,
найти магнитное поле в неограниченной гиротропной турбулентной среде по
заданному начальному полю В0 (г) в предположении, что параметры
турбулентности не зависят от магнитного поля («кинематическое приближение»).
Показать, что в такой среде происходит неограниченное нарастание
длинноволновых гармоник. Найти критерий неустойчивости.
10.85*. Согласно результатам задач 10.81*, 10.82*, турбулентность
среды увеличивает магнитную вязкость, добавляя к ней турбулентную
составляющую щ: vtoi — иш + щ. Это означает изменение кинетических
10.4. Ответы и решения
279
коэффициентов среды: если неподвижная среда обладает
электропроводностью к и магнитной проницаемостью // = 1, то в турбулентной среде
эти величины приобретают другие значения а ф к, ц ф 1. Найти
величины <т, /i. Для этого использовать для усредненных полей в турбулентной
среде уравнения (10.10) - (10.12) с эффективными значениями <т, // и
результаты задач 10.81*, 10.82* для негиротропной турбулентности, положив
параметр гиротропии а = 0. Выразить искомые величины через ит, щ.
10.4. Ответы и решения
10.1.
— =sin((j*-<p), где tg</?=-5—,
Сч/Л2 + (cjL)2/c4 с2 Л
ы(тга2Я0)2 .
ЛМ£) = S1T1 Ldt. ЯШ (bjf. — if),
c2yjR2 + {uL)2/cA
^ (тга2Я0)2Д = i ,
2c2 Л2 + (сЛ,)2/с4 2 °
Здесь L — индуктивность кольца (см. задачу 2.113), R — его сопротивление,
Jo — амплитуда тока в кольце. Начало отсчета выбрано так, что при t = 0
плоскость петли перпендикулярна Hq.
10.2
~/v =
2с2
дг = _cj (SH0)2R
д2+ #-Л,
2*
10.3. Средняя обобщенная сила, стремящаяся увеличить обобщенную
координату qu равна
Jq и) LL\2 дЬ\2
где L и R — индуктивность и сопротивление второго контура, L и —
коэффициент взаимной индукции контуров.
280
Глава 10
^1,2 =
10.4.
-р = u2LL12\i0\2 dLu
2c6{[R2 + u4(L22- L2)/c4}2 + 4u2L2R2/c4} dQi '
10.5.
c2[(Li+L2)C'+LiC'i+L2C'2]±c2{[Li(C'+C'i)^L2(C'+C'2)]2+4LiL2C2}1/2
2LiL2(CiC2+CCi+CC2)
При отсутствии связи между контурами, т. е. при С = 0, и\ и и2 становятся
равными c/y/LiCi и c/y/L2C2, что соответствует независимым колебаниям
в каждом из одиночных контуров.
При очень сильной связи (С > С\,С2) остается одна частота и =
= c/y/L'C, где V = LiL2/(Li + L2), С = Ci + C2. Это соответствует
колебаниям в одиночном контуре, в котором параллельно включены
емкости Ci, C2 и индуктивности L\,L2.
10.6.
)±
w2 2 = &_ (_±_ + _1_ + _J_ + 1 V
' 2 \LC\ LC2 L\C\ L2C2J
2UCiVL^Li; C2VL^Li;J L2CiC2/
10.7.
2 _ 2 Lid + L2C2 ± [(LiCi - L2C2)2 + 4Ci<72Lj2]1/2
cj1j2 — с
2CiC2(LiL2 — L12)
10.8. Составляя систему уравнений относительно токов и
приравнивая нулю определитель системы, получим после некоторых вычислений
уравнение четвертого порядка:
(1) ^+ш3(^ + ^)-с2(^+^)-га,(^ + ^)+с^=0,
где
10.4. Ответы и решения
281
Коэффициенты этого уравнения комплексны, поэтому частота и будет
также комплексной: и = u/ + iuj"'. В нулевом приближении в уравнении (1)
можно отбросить члены с п, г2. Тогда уравнение (1) примет вид
(2) cj4 - u2(ul + и\) + uj\uj22 = 0.
Уравнение (2) имеет следующие решения: ш[* = ш\ и и2 ' = uj<i- Таким
образом, в этом приближении и)" = 0, и не происходит диссипации энергии
(так как мы считали, что R бесконечно велико); колебания в каждом контуре
происходят независимо. В следующем приближении ищем и в виде и =
= с»/0) + До/ + го/', где и/', До/ порядка 1/т или выше. В соответствии
с этим, пренебрежем всеми членами более высоких порядков. Подставляя и
в (1), учитывая (2) и приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимую
части, найдем
(3) Ди/ = 0, и/{ = -± <4' = -£..
Поправка к и/, содержащая R, появится только в следующем приближении.
10.9.
т 8 т iu)Li2 г
в
Птах = Ъ ПРИ U
4/Li.Ci(l-£?2/LiL2)
10.10.
Л - zcjL/c2
^ = :—;—;—^—. ^, где cji
1-(ы/сл)2-гыДС' VTC
— собственная частота колебаний в контуре. При R = Они = и\, Z
становится бесконечно большим. Это свойство рассмотренного двухполюсника
используется в радиотехнике (запирающие фильтры).
282
Глава 10
10.11.
С = С0, L = L0, Д=^, где L0 = ^
<о2рС0'
10.12.
10.13.
С — Cn, L =
^Co'
W — -rt/Q, -tt — —5- —
Wn
с u#70
10.14.
2 2
1 tj tj«7 о 1
G = 5, 2 2,L 2 2 • C0|%|2, W = I
^ (ur—cjjj) +w 7 4
1 +
a;2(a>2+a;2)
(w2-u,2)2+u>272
Co|C/0|:
10.15. Обозначим токи, текущие через индуктивность, конденсатор
и батарею, через J\,Ji, -h- На основе законов Кирхгофа получим уравнения
(1)
J1 + J2 + J3 = 0, ±J1 = ^ = g(t) + J3R,
где #(£) — заряд на обкладке конденсатора, связанный с J<i
соотношением J2 = q, a
при £ < 0,
при t > 0.
«(<)
{s
Из (1) получаем уравнение второго порядка для тока J\. Соответствующее
характеристическое уравнение имеет корни
10.4. Ответы и решения
283
В зависимости от соотношения между R9 L, С возможны три случая:
a) cjo > тгвЯ' находя решение для J\ методом вариации произвольных
постоянных Лагранжа, получим
Л(.) = |[1-«-^(Й^ + «.^)],
где ш = у/и>20 - (2ДС)-2;
б) wo < 1/2RC;
Л«) = |[1-в-^(^Ж + сЬш)],
где П = ^/(2RC)-2-w2Q;
в) w0 = 1/2ЯС;
Л(«) = |
-(1 + 2ЙС>
-tjIRC
В последних двух случаях переходный процесс является полностью
апериодическим, колебаний не возникает.
10.16.
U2(t)
(о
I иое-ь'нс
[^о(е-'/дс-е-('-т)/дс)
при t < 0,
при 0 < t < Т,
при t > Т.
10.17.
Го
U2(t) = {
Uoe-Rc2t/L
при t < 0,
при 0 < t < Т,
[ Uo (e-Rc2t'L - е-п?(*-т)/ь^ При t > Т.
10.18. На вход четырехполюсника нужно подать импульс
ГО при К -Т,
НЕо(1 + ± + Щ при^ -T<t<0,
hEo(l--f) при 0<t<T,
Ui(t)
о
при t > Т.
284
Глава 10
Начало отсчета времени выбрано так, что поле между пластинами
конденсатора достигает максимума при t = 0.
10.19.
Р г
J(t) = ° гпя(ш< + <л0 - (п) - e~Rc t/L cos(<A) - Ч>)
^/R? + (cjL/c2)2 L
где tg(^ = ujL/c2R. Переходный процесс отсутствует, если tg<po =
= -Re2/ujL. Это условие имеет простой смысл: в момент включения
стационарное значение тока должно быть равно нулю.
10.20. При гармонической зависимости токов от времени, уравнение
Кирхгофа для n-го контура запишется так:
(1) -^jJn + ^c^Jn - Jn-1 - Jn+l) = 0.
Уравнение (1) представляет собою разностное линейное уравнение
с целочисленной независимой переменной п. Оно имеет (ср. с задачей 9.4)
два линейно независимых решения sin/m и cos/m, причем частоты
собственных колебаний выражаются через параметр к:
(2) cj2 = 3^sin2^, cj0 = ^=.
2 Л/Тп
Используя граничные условия J0 = JN = 0, находим
(3) Jn = AsinK,n, к=Щг.
Здесь г может принимать любые целочисленные значения (г = 1,2,...).
Значение г = 0 соответствует нулевому току в цепи. Однако вследствие
периодичности sin(«/2), входящего в (2), число собственных частот
системы будет конечно. Чтобы получить весь спектр частот, достаточно менять г
в пределах 1 ^ г ^ N. При этом к будет меняться в пределах 0 ^ к ^ 7г,
каждому к будет соответствовать одна собственная частота, а всего частот
будет N, как и должно быть в системе N связанных контуров. Они будут
лежать в интервале 0 < и < 2cjo-
Для интерпретации величины к введем координату уп = an n-й ячейки
(а — «длина» одной ячейки цепи). Тогда (3) вместе с временным
множителем можно записать в виде
(4) Jn(t) = J0smkyne-iWk\
где к = к/а.
10.4. Ответы и решения
285
Выражение (4) представляет собою суперпозицию двух волн, бегущих
в противоположных направлениях. Величина к играет роль «волнового
вектора» колебаний, распространяющихся по цепочке из отдельных
дискретных звеньев. Фазовую и групповую скорости этих волн можно вычислить
по обычным формулам
(5)
Vph
к'
dk'
Поскольку зависимость и от к
нелинейна, vph и уд отличаются друг от друга —
имеет место дисперсия. Из (2) находим:
(в)
Vph =
- 2^о • ка
к
sin ■
ко,
Уд = CJqGCOS —.
Величина 2тг/к имеет смысл «длины
волны» колебаний в дискретной
цепочке; для длинных волн (Л ^> а)
имеем ка <^ 1, откуда следует, что фазовая
и групповая скорости одинаковы, vph =
= уд = cjoa, и не зависят от к —
дисперсия отсутствует. Графики зависимо- Рис. 10.9
сти и и уд от к приведены на рис. 10.9.
Электрические колебания рассмотренной цепочки аналогичны
механическим колебаниям линейной одноатомной цепочки, которая может служить
одномерной моделью кристалла. Индуктивность L аналогична массе атома,
величина 1/С — коэффициенту жесткости7.
10.21.
Дг =
2N
Аи
>/4o;g -cj2
10.22. Обозначим токи в контурах с самоиндукцией L\ через J, в
контурах с самоиндукцией L<i — через J'.
7Подробнее о колебаниях атомных цепочек см., например, М. А. Леонтович, Статистическая
физика, Наука, 1983; М. Борн и Хуан Кунь, Динамическая теория кристаллических решеток,
ИЛ, 1958 г. Аналогии между электрическими и механическими колебаниями рассматриваются
в книге Л. Бриллюэна и М. Пароли (1959), гл. 3 и 4.
286
Глава 10
Уравнения Кирхгофа будут иметь вид:
(1)
1j„ + ^(2j„-j;-j;_1) = o,
uL,2
7„ + ^(27;-7n-J„_i) = 0.
Введя частоты ш\ = c/\JL\C, u>2 = c/y/L^C, получим
{Z) \(2w22-w2)J^=u22(Jn + Jn-i)-
Решение этой системы будем искать в виде
(3) Jn = AeiKn, J'n = BeiKn,
где А, В, к — постоянные. Подставив эти решения в (2), получим
(4) А(2и2 + и2) = Ви2(1 + e~iK), В(2и22 - и2) = Аи2(1 + eiK).
Из равенства нулю определителя этой системы найдем связь между
частотой и и к:
(5)
и2 = и2 + и2 ± J(u2+u2)2-4u2u2sm2^.
Чтобы получить весь спектр колебаний, нужно менять к в пределах
от 0 до 7г. Значения к, как и в задаче (10.20*), могут быть найдены из
граничных условий.
Наиболее существенным отличием от случая цепочки с
одинаковыми звеньями является то, что каждому значению к теперь соответствуют
две частоты, как следует из формулы (5). Поэтому существуют две ветви
колебаний. Обозначим частоты этих колебаний через и+ и cj_, где
индексы «+» и «—» соответствуют таким же знакам перед корнем в формуле (5).
Зависимость частот от к изображена графически на рис. 10.10. Колебания
с частотой uj- аналогичны колебаниям в цепочке с одинаковыми звеньями.
В частности, при малых к (длинные волны) имеем
CJ1CJ2
U- = —==К,
у/2(и2+и2)
т. е. дисперсия отсутствует.
10.4. Ответы и решения
287
>/2(u7i +o;.J)
О * *
Рис. 10.10
Для ветви и+ при малых к получим закон дисперсии вида
cj+ = а + Ьк2.
При к —> 0 фазовая скорость стремится к бесконечности, а групповая
скорость обращается в нуль.
Для исследования характера колебаний в обеих ветвях найдем
отношение амплитуд токов в соседних контурах для очень длинных к <С 1 и самых
коротких (к близко к 7г) волн. Из равенств (4) имеем при к^'1:
для ветви uj-
(!).-'■
для ветви и+
(А\ ~_^± = _h
\в)+~ ш* Li-
Для ветви uj- колебания токов в соседних контурах происходят с
одинаковой амплитудой в одной фазе. Для ветви и+ колебания в соседних контурах
противофазны, а амплитуды колебаний обратно пропорциональны индук-
ТИВНОСТЯМ. При К = 7Г
Переходя в формуле (4) к пределу к —> 7г, получим
288
Глава 10
Таким образом, в предельном случае к = 7г колебания с частотой и+ =
с\ Т~г ПР0ИСХ°ДЯТ только в контурах с индуктивностями Lb а колебания
с частотой uj- = С\ ~г~г ~ в К0НТУРах с индуктивностями L2.
Рассмотренные в этой задаче колебания с частотами ы_ и и+ являются
аналогом акустических и оптических колебаний в линейной атомной
цепочке, состоящей из атомов двух сортов с разными массами (см. литературу,
указанную при решении задачи 10.20*).
10.23.
(1) Jn = Aq? + Bq2,
где q\,q2 — корни уравнения
(2) 92-(2 + |)д+1 = 0.
Постоянные А, В определяются из граничных условий Jn = 0; (Jo —
- J\)Z2 = U\. Второе условие означает, что между точками а'Ь' (см.
рис. 10.7) приложено напряжение U\. Используя равенство q\q2 = 1
вытекающее из (2), получим окончательно:
^2 = Jn-1^2 = U\
'(1-91)92*-(1-92)9?'
10.24. Коэффициент передачи К определяется из результатов
предыдущей задачи:
к= 91-92
(l-92)9f-(l-9i)92V'
В знаменателе этого выражения имеются множители q± и q% . Так
как qi • q2 = 1, то возможны два случая:
!• \Я%\ = Ш = 1; 2- Ш > 1, \qi\ < 1-
В первом случае q± и q^ будут по модулю равны единице, К тоже будет
порядка единицы. Во втором случае при N > 1 \q±\ ^> 1, a \q^\ <С 1,
. поэтому
к= qi~q\«i.
(1-92 9Г
10.4. Ответы и решения
289
Интервалы частот, для которых реализуются случаи 1 и 2, определяются из
уравнения (2) предыдущей задачи. Из него следует, что
<71,2 = 1 +
JiL
2Z2
fi^B'
1.
Если подкоренное выражение отрицательно, то q\ и д2 — два комплексно
сопряженных корня, по модулю равных единице, т. е. осуществляется
случай 1. При положительном подкоренном выражении, q\ и д2 вещественны
и различны, т.е. имеет место случай 2. Приравнивая нулю подкоренное
выражение, найдем область значений Zb Z2 для случая 1:
Это соответствует значениям cj2, лежащим между
Lid
c2(4Ci+C2)
CiC2(4L2 + Li)"
10.25. Рассмотрим n-й замкнутый
контур искусственной длинной линии (рис. 10.11).
Этот контур можно рассматривать как
эквивалентную схему для отрезка длиной а линии с
распределенными параметрами, причем AL
будет индуктивностью, а АС — емкостью
данного отрезка. В случае произвольной зависимости
тока в линии от времени уравнение Кирхгофа
для этого контура примет вид:
а
AL
дс
п+\
Рис. 10.11
(1)
__^д£<ЭЛг Яп-1,п
at
АС
(7п+1,п
~~АС~
= 0,
где (7n-i,n и (7n+i,n — заряды на верхних обкладках левого и правого
конденсаторов. Дифференцируя (1) по времени и пользуясь
соотношениями qn-iin = -Jn + Jn-u <?n,n+i = Jn- Л+ь получим:
(2)
1 л г92Jn
1
AC
(2Jn - Jn_i - Jn+i) = 0.
290
Глава 10
Теперь нужно перейти от переменной п к переменной z — координате точки
линии с распределенными параметрами. Для этого положим
Jn(t) = J(z,t), Jn-i(t) = J(z-a,t), Jn+i(t) = J(z + a,t)
и вычислим разности:
т _ т ~ 䱄_ ld2J „2
Jn Jn-i~dza 2dz2*,
т т ~ 9Jn ld2Jn2
Подставляя эти разности в (2) и замечая, что L = AL/a и С = АС/а —
индуктивность и емкость на единицу длины, получим уравнение
(1\ Ld2J = 1 д2 J
К } с2 dt2 С dz2'
Это — уравнение длинной линии без потерь. В реальной длинной линии
всегда имеются потери как за счет сопротивления в проводах, так и за счет
неидеальной изоляции между проводами.
Эквивалентная схема для случая, когда второй фактор не учитывается
(т.е. изоляция проводов считается идеальной), приведена на рис. 10.12.
Уравнение длинной линии (телеграфное уравнение) в этом случае можно
получить таким же способом, как было получено (3):
<л\ L d2J , pdJ _ 1 d2J
[ } с2 dt2 + dt - Cdz2'
где R — активное сопротивление проводов на единицу длины.
10.26. Решая уравнение (3), полученное в предыдущей задаче, найдем
и) = vk,
где v = с/у/ТС — скорость распространения волн в длинной линии, к =
= тгг/1, г = 1,2,3...,2уиС — индуктивность и емкость на единицу
длины. В полученном спектре длинной линии, в отличие от спектра цепочки
с сосредоточенными параметрами, число собственных частот бесконечно.
Это связано с тем, что длинная линия является континуумом с бесконечным
числом степеней свободы, тогда как в цепочке число степеней свободы N —
конечно. В случае идеальной длинной линии характерно также отсутствие
дисперсии.
10.4. Ответы и решения
291
10.27. Исходим из закона Ома в
дифференциальной форме: j = а(Е + Eext), где Eext —
напряженность поля сторонних сил. Выразим Е j^\
AR
через потенциалы:
В = -Ъ-Ш Eext = i + Vv + l?A
Д1
^
zbAC n ±zAC
Ч*
с dt
с dt '
Рис. 10.12
Считая проводник тонким, проинтегрируем обе
части последнего равенства по контуру,
совпадающему с проводником:
(1)
j>Eext.dl= <ft.dl+ Iv<p.dl + ± j>$£.
dl.
Интеграл, стоящий в левой части равенства (1), представляет собою
стороннюю ЭДС ёехи включенную в цепь; интеграл §{j /a) • dl = JR
определяет потери на джоулево тепло за единицу времени. Интеграл § V<£ • dl =
= § d<p = 0. Последний интеграл преобразуем следующим образом. С
учетом запаздывания
л=1 IJ^-rlc)dV.
J(t-r/c) = Joe-^t-r'c\ ^ = -iuA.
Подставляя эти выражения в равенство (1) и отделяя вещественную и
мнимую части, получим
«ext(t) = J(t)
Д+
и f f sin(ur/с) dl • dl' \ {ш Г fcos(ur/c) dl • dl'
M
f№
Выражение в квадратных скобках представляет комплексное сопротивление
цепи. Активное сопротивление равно R + Rr{u), где
Rr{!a) = ^jj^pudl.dV.
Величина R связана с потерями на нагревание проводника;
величина Rr(uj) характеризует потери энергии на излучение и называется
сопротивлением излучения (см. следующую задачу).
292
Глава 10
Реактивное сопротивление равно —iuL(u)/c29 где
L(u) = j>jC°S{wrrlc)dl.dl>,
представляет собою индуктивность, зависящую от частоты.
Рассмотрим случай, когда можно считать с/и = Х/2-к > /, где / —
размер контура. В области интегрирования иг/с < 1 и, с учетом
квадратичного члена в разложении косинуса, получим
вд«//^-1(Ю7/г<й-сй'-
Первый член в этом выражении не зависит от частоты и представляет собой
обычную индуктивность8; второй член дает поправку, существенную при
высоких частотах.
В разложении синуса нужно учесть кубический член, так как интеграл
от первого (линейного) члена обращается в нуль. Сопротивление излучения
ДгМ = —*4 I <f>r2dl'dlf.
10.28.
т( \ т . 64тг4 а4 р / ч 2тг2/2тга\4
ВД = £+ — -дЗ. R^=^{ —) *
Кольцо с током является магнитным диполем. Энергия, излучаемая в
единицу времени, дается формулой 2т2/3с3, где га — магнитный дипольный
момент.
Значение коэффициента пропорциональности между излученной
энергией и J2 равно 2тг2а2и4/3с5 и совпадает с Rr(uj).
10.29. Решая первое уравнение (10.14) с граничными условиями
Практически для вычисления самоиндукции нужно использовать формулу (2.74), так как
интеграл § § —-— расходится. Эта расходимость вызвана тем, что проводник считается
бесконечно тонким (линейным).
10.4. Ответы и решения
293
(10.16), находим
H(z) = #o{ch[(l - i)*/Ji] - Ash[(l - 1)г/6г]}, 0 ^ z < a,
H{z) = H{a)e-^-^z-a)/s\ a < z < oo,
«2^2 sh[(l - i)a/Si] + «i^i ch[(l - i)a/Si]
A =
K\S\ sh[(l - i)a/Si] + «2^2 ch[(l - z)a/5i]'
где глубины проникновения 6\, S2 даются равенством (10.17). При a <С S\
и к\6\ ~ K2S2 имеем
яы = я0{1-<1-,,^},
z ^ а.
При а > ^i получаем
Я(г) = Я0е-(1^)2/<51, z<a; Я(г) = яое-(1-Оа/*1-(1-0(*-а)/*2? z>a.
10.30.
V sVr Л. /Л -к рос2 Л /Л / с
sh2x/5 + COS2x/J^1/2 ^ 47Г
sh2 и/** + cos2/i/<^
При S < Л, Я (я) = Яое-^-Н)/*; при Д » Л, Я (я) = Я0.
10.31. Так как система симметрична относительно оси цилиндра,
а первичное магнитное поле Я0 однородно, то ясно, что вихревые токи
в цилиндре будут течь по окружностям в плоскостях, перпендикулярных
его оси. Эти токи создадут такое же магнитное поле, какое создавалось бы
множеством отдельных коаксиальных соленоидов. Но поле соленоида во
внешнем пространстве равно нулю, а внутри соленоида направлено вдоль
его оси. Таким образом, полное магнитное поле вне цилиндра совпадет
с полем Яо, а внутри цилиндра определяется первым уравнением (10.14),
которое ввиду осевой симметрии примет вид
drz ' dr
где
*=ЦН, H = Hz{r), На = Нг = 0,
294
Глава 10
и граничным условием Н(а) = Я0 = AnnJo/c, где Я0 — поле внутри
соленоида (см. задачу 2.83).
Решение, конечное при г = 0 и удовлетворяющее этому граничному
условию, выразится через функцию Бесселя нулевого порядка:
н и Мкг)
Jo{ka)
Вне цилиндра имеем
Н = Н0 при а ^ г ^6, Н = 0 при г > 6.
Плотность тока и электрическое поле внутри цилиндра вычисляются по
формуле (10.12):
47Г J0(ka)
Для определения электрического поля вне цилиндра воспользуемся
уравнением Максвелла для rot E9 которое запишем в интегральной форме:
1екИ=1^- f BndS.
Внутри цилиндра имеется только одна компонента электрического поля EQ,
из граничного условия на поверхности стержня и из симметрии системы
следует, что вне цилиндра поле Е также будет иметь лишь
составляющую Еа9 зависящую только от г. Если выбрать в качестве контура I
окружность, то контурный интеграл дает 2тггЕа. При вычислении интеграла по
площади используем формулы раздела 1.3. Окончательно получим:
„ ксН0 J\(ka) а . Но, 2 2ч ^ ^и
Еа = ^-Мка)-г + ^Г "«О' еСЛИ а<г<Ь>
„ ксН0 Ji(ka) а Но,,2 2ч ^ ,
Е° = ^-ЫЫ)-г + ^Ь ~а)' eC™ Г>Ь-
При отсутствии цилиндра, т. е. если а = 0, поле будет равно
Еа = \н0г (г<Ь), Еа = ^- (г>Ь).
10.4. Ответы и решения
295
Таким образом, добавочное магнитное поле, связанное с наличием
цилиндра, равно нулю при г > а, хотя добавочное электрическое поле отлично от
нуля. Это связано с тем, что точное уравнение
с at
справедливое вне проводника, заменяется приближенным уравнением
V х Н = 0 (в квазистационарном приближении током смещения
пренебрегаем). При точном решении задачи добавочное магнитное поле вне
проводника также будет отлично от нуля (см. задачу 10.35*, в которой
рассматривается дифракция плоской волны на проводящем цилиндре).
10.32. При малых частотах (\ка\ <С 1 или S > а)
. _ .сНо г _ ifiKuHo
3 " %~А^ ' Д2 - 2с Г'
следовательно, плотность тока линейно зависит от г и пропорциональна
частоте.
При больших частотах (\ка\ > 1 или S <С а) нужно использовать
асимптотическую формулу для функции Бесселя, с помощью которой получим
При а — г > S плотность тока становится исчезающе малой. Таким
образом, при больших частотах ток сконцентрирован в основном в тонком
поверхностном слое.
10.33.
ас2Я2
kJ\ (ка)
Jo(ka) J
При \ка\ <С 1 (малые частоты):
f,2 = MflKU)
С2
При \ка\ > 1| (большие частоты):
с2Н\/а\ = асН\ f~^J
4 16™ Ш 8 У 2пк'
296
Глава 10
Диссипация энергии при малых частотах пропорциональна cj2, а при
больших у/й).
10.34.
/3 = /? + 0" =
а2
4
1-
2 Ji(ka)'
ka J0(ka)
, fc2
A-kkuj
Cz
При \ка\ ^> 1 (большие частоты):
са
ау/2тгк,и' Ау/Ъгки
следовательно, при больших частотах (3" —> 0, т. е. потери уменьшаются,
ввиду вытеснения поля из проводника. Действительная часть
поляризуемости (3\ если ее отнести к единице объема, в этом пределе совпадает с
магнитной поляризуемостью сверхпроводящего цилиндра (см. пример 9.8):
х = р'/7га2 = -1/4тг.
При \ка\ <С 1 (малые частоты):
а/ _ тг2а6к2и2 пп _ тга4ки
Р ~ 12с4 ' Р 8с2 ■
Таким образом, при и —> 0, (3 —> 0; это связано с тем, что /х = 1, т.е.
статическая магнитная поляризуемость равна нулю.
10.35. Магнитный момент, создаваемый вихревыми токами,
вследствие симметрии системы будет направлен вдоль внешнего магнитного
поля. Поэтому во внешней области полное магнитное поле Н^ можно записать
в виде
(1) нгМ = ±^-1>-^ + н„.
Здесь га — неизбестный магнитный момент единицы длины цилиндра,
совпадающий по направлению с if о; т — радиус-вектор в плоскости,
перпендикулярной оси цилиндра. Полю H<i соответствует векторный потенциал
2(га х г) тт
А2 = -*—5—- + (Но х г),
10.4. Ответы и решения
297
который в проекциях запишется так:
(2) A2z = А2 = (^Пк + Н0г") sin а, А2г = А2а = 0
(угол а отсчитывается от направления Но).
Таким образом, во внешней области векторный потенциал имеет только
продольную (относительно оси цилиндра) составляющую,
пропорциональную sin а. Условиям непрерывности составляющих поля на границе можно
удовлетворить, если искать векторный потенциал во внутренней области
в аналогичном виде:
(3) Аи = Ai = F(r) sin a, AXr = АХа = 0.
Электрическое поле Е выражается в общем случае через оба потенциала,
А и (р.
Наложим, как обычно, на потенциалы дополнительное условие
div^ + £^=0.
с at
Тогда, поскольку divA = 0, что следует из формул (2) и (3), будем
иметь d(f/dt = —гилр = 0, так что
Е = -IM = iU-A.
с dt с
Поэтому А будет удовлетворять такому же уравнению (10.14), как и
электрическое поле. Решением этого уравнения, ограниченным при г = 0,
является функция Бесселя:
(4) F(r) = CJi(kr), Ax = CJi(kr)sina.
Постоянные С и га в (4) и (2) определяются из условия равенства
внутреннего (Hi) и внешнего (Н2) полей на границе цилиндра: Hi =' Н2
при г = а. Использовав свойства функций Бесселя, получим
(Ъ Г= 2Я° m = -«^°(l--L Jl(kaA
W кМкаУ 2 \ ка J0(ka)J'
Из выражения для га следует, что поперечная магнитная поляризуемость
цилиндра
(6) /3 = -f
1 _ JL . Ji(fca)
ка J0(ka)\
298
Глава 10
вдвое больше его продольной поляризуемости (см. предыдущую задачу).
Компоненты магнитного поля внутри цилиндра определяются из (4) и (5):
(7)
or Jo(ka)
Определим еще плотность тока в цилиндре. По формуле j =
= (с/Атг) rot H получим
(8) Jz = —к- ——- sin a, Ja=jr = 0.
^7г Jo(ka)
Из формулы (8) видно, что в каждый момент времени в двух половинах
цилиндра 0^а^7ги7г^а^27г токи текут в противоположных
направлениях; полный ток через сечение цилиндра равен нулю. Радиальная
зависимость плотности тока такая же, как в случае цилиндра, находящегося
в продольном поле, и была исследована в задаче 10.32. (Однако нужно иметь
в виду, что в случае продольного поля токи текут по окружностям в
плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, тогда как в случае поперечного
поля они текут вдоль оси цилиндра.)
10.36. Среднее тепловыделение на единицу длины цилиндра проще
всего вычислить по формуле (10.20), рассмотрев поток энергии, втекающий
через боковую поверхность цилиндра. Используя результаты задачи 10.35*,
получим
ас2Щ fJi(ka)
ч = —£тг-Ке
Тот же результат получится с помощью формулы (10.19).
10.37. Для определения вращательного момента нужно знать
электрическое и магнитное поля внутри цилиндра. Их можно найти тем же
способом, что и в задаче 10.35* для линейно поляризованного внешнего
поля:
_ 2НоМкг)^ 2гНоЛ(кг) .
(1)
krJo(ka) Jo(ka)
гскНр Ji(kr)
27Г Jo(ka)
10.4. Ответы и решения
299
Сила, приложенная к единице объема цилиндра, вычисляется по
формуле
(2) f = l(jxH)
(считаем, что внутри цилиндра // = 1). Радиальная компонента этой силы
вызовет радиально направленное давление, азимутальная компонента
создает вращательный момент. Поскольку j и Н — комплексные величины,
среднее значение азимутальной составляющей силы выразится так:
(3) Ja = ±Re(jzH;).
Вращательный момент, действующий на единицу длины цилиндра,
получится путем умножения средней силы (3) на г и интегрирования по сечению
цилиндра. Интеграл вычисляется с помощью формулы (1.176). В результате
получим
(4) я.-Щ^иЩ).
V } \к\2 V Ыка))
Этот же результат получается другим путем. Момент сил можно
выразить через магнитный момент системы по формуле
(5) N(t) = m(t) x H0(t).
Определяя Nz = N через комплексные амплитуды Щ и га, а га —
через поперечную магнитную поляризуемость цилиндра (см. задачу 10.35*),
приходим к формуле (4).
При малых частотах из (4) получим
п4Н2
(й\ "м - ° - nKUJ н2п4
(6) N--&~-i*Hoa'
а при больших частотах
(7) N=\a8Hl = -^=Hl
Из этих формул видно, что вращательный момент исчезает в обоих
предельных случаях очень малых и очень больших частот.
300
Глава 10
Если поле поляризовано линейно, средний вращательный момент равен
нулю (формально это следует из того, что интеграл по а обратится в нуль
при вычислении 7V; см. задачу 10.35*, в которой найдены j и Н для этого
случая). Таким образом, вращательный момент создается «вращающимся»
полем.
Явление, рассмотренное в данной задаче, лежит в основе устройства
асинхронного электромотора.
10.38. Наряду с неподвижной системой отсчета, у которой ось Oz
совпадает с осью цилиндра, а ось Ох —с направлением внешнего поля if0,
рассмотрим систему координат £, 77, г, вращающуюся вместе с цилиндром.
В этой системе координат внешнее магнитное поле запишется в виде
Л0(1) = (Н01-Шо2)е-^.
Здесь if01 и Д32 — постоянные векторы одинаковой длины Hoi = #02 =
= Но, имеющие направления координатных осей £, rj. Поле такого вида
было рассмотрено в задаче 10.37*. Создаваемый им вращательный момент
(который в данном случае будет тормозящим) равен
N~ \к\>Ке{кМка))-
10.39. В задаче 10.31* было показано, что вихревые токи,
возникающие в цилиндре при изменении внешнего продольного поля, не создают
добавочного магнитного поля вне цилиндра; во внутренней области
создаваемое ими поле продольно и зависит только от г. Это поле будет
удовлетворять уравнению
m <92Я . 1дН 4тг/ждЯ =п
[ } дг2 г дг с2 dt
Очевидно, что магнитное поле внутри цилиндра будет затухать со временем.
Поэтому частные решения уравнения (1) будем искать в виде F(r)e~7*,
где 7 > 0 — постоянная. Для F(r) получаем уравнение Бесселя:
(2) F//(r) + iF/(r) + fc2F(r)=0,
где к2 = AnfiKj/c2.
10.4. Ответы и решения
301
Ограниченное при г = 0 решение уравнения (2) имеет вид F(r) =
= CJo(kr). Поскольку внешнее поле Яо выключается, а добавочное
поле, создаваемое вихревыми токами, вне цилиндра равно нулю, на границе
должно выполняться условие Н\ = 0, т. е.
(3) J0(ka) = 0.
Отсюда находим кта = /Зт, т = 1,2, ..., где (Зш — нули функции J0.
Возможными значениями 7 будут
с2в2
(4) Ъ ^т
Атг^ка2
Общее решение уравнения (1), соответствующее рассматриваемой краевой
задаче, запишется в виде
(5) H(r,t) = ^СтМктф-^К
т
Коэффициенты Сш определятся из начального условия
(6) H{r,Q) = Y,CrnMkrnr).
т
Воспользовавшись свойством ортогональности функций Бесселя:
1
(7) xJ0(kTnx)Jo(knx)dx =-[^(кт)] 6тп,
о
получим
а
(8) Ст = 2 [Щг, 0)J0(kmr)rdr.
o?[J'0{kma)}2 {
В начальный момент времени поле Я(г, 0) равно внешнему полю Яо, так
как постоянное магнитное поле не искажается, если в него поместить
бесконечный цилиндр, ось которого параллельна полю. Использовав форму-
лы (1.145Н1.147), найдем
(9) С„ 2Яо
(fcma)Ji(fcma)
302
Глава 10
Скорость затухания поля будет определяться наименьшим из значений 7т,
т. е. 7i • Его можно получить, подставив в (4) значение наименьшего корня
функции Бесселя /5\ « 2,4. Время затухания поля г = 1/7ь
10.40. Магнитное поле внутри шара в нулевом (по частоте)
приближении было найдено в задаче 9.35:
(1) Я = ^Т2Я-
Электрическое поле внутри шара в этом же приближении, как следует из
уравнения (10.12), оказывается равным нулю, так как постоянное магнитное
поле не создает электрического поля. Для определения электрического поля
в следующем (линейном по и) приближении используем уравнение (10.11)
в интегральной форме.
Из свойств симметрии системы ясно, что токи в шаре будут течь по
окружностям в плоскостях, перпендикулярных if о; так же будет направлено
электрическое поле.
Выбрав сферическую систему координат с осью Oz вдоль if0, получим
(2) E=l^rsmd, j = kE,
где Н определено равенством (1). Выделяющееся в шаре тепло Q найдем,
г шара:
37ra5/ftj2#0
интегрируя q = ^к\Е\2 по объему шара:
(3) Q
5с2(// + 2)
2 *
10.41. Вне шара магнитное поле:
Зг(гот) т
Н = Но Н -,
где m = -^а3Н0; (3 = —^а3 — магнитная поляризуемость шара при
сильном скин-эффекте.
Внутри шара:
Щ = -|#0e-(1-')2/<5sintf, Hr = Ha= 0,
10.4. Ответы и решения
303
где z отсчитывается от поверхности по нормали в глубь проводника,
полярная ось сферической системы координат направлена вдоль if0;
п За2 с / \ш> гг2
10.42. В случае сильного скин-эффекта поле внутри эллипсоида равно
нулю, а во внешней области удовлетворяет уравнениям rot Е = 0, div Е = 0
и граничным условиям Hn\s = 0, H\r^oo —> Н0, где Н0 — внешнее поле
и через S обозначена поверхность эллипсоида.
Сравним эту задачу с задачей о диэлектрическом эллипсоиде с е = 0,
находящемся в однородном электрическом поле. Электрическое поле вне
такого эллипсоида будет удовлетворять уравнениям
(1) rot Я = 0, div Я = 0
и граничным условиям
(2) En\s = eEint\s = 0, Е\г^оо^Е0.
Условия для касательных компонент Е можно не рассматривать, так как
соотношения (1) и (2) однозначно определяют вектор Е во внешней области.
Мы видим, что рассматриваемая задача о проводящем эллипсоиде, при
сильном скин-эффекте формально совпадает с задачей о диэлектрическом
эллипсоиде, у которого е = 0. Полагая в формулах, приведенных в ответе
задачи 8.45, е\ = 0, получим магнитные поляризуемости в направлении
главных осей эллипсоида:
(3) /?W = -
V
4тг(1-п^)'
где п^ — соответствующий коэффициент деполяризации, V — объем
эллипсоида.
Для сильно вытянутого эллипсоида вращения с полуосями а, Ь ^> а
(стержень) имеем (см. задачу 8.43):
Для сильно сплюснутого эллипсоида (6 <С а, диск):
/Зх = -^, /Зц = -±а2Ь^0 при 6^0.
304
Глава 10
10.43. Вследствие аксиальной симметрии системы шар + внешнее
поле, распределение вихревых токов в шаре и электрическое поле также
обладают аксиальной симметрией. На этом основании можно утверждать,
что электрическое поле будет иметь только одну составляющую Еа, которая
не может зависеть от а: Еа = /(г, #). Множитель e~luJt всюду опускаем.
Ищем решение уравнения (10.14) для полного электрического поля Е
в виде
(1) Еа = F(r) sin tf, Er = E#= 0.
Пользуясь выражением для лапласиана вектора в сферических координатах
(1.279), найдем уравнение для F(r), которое подстановкой F(r) = x(r)/V^
сводится к уравнению Бесселя. Его решением, ограниченным при г = 0,
будет
(2) X(r) = AJ3/2(kr), к=Ц±.
Магнитное поле внутри шара определится из уравнения (10.10). Магнитное
поле во внешней области будет складываться из внешнего поля Щ и поля
магнитного диполя га, направление которого совпадает с Щ\
Постоянные А и га определяются из граничных условий для Н на
поверхности шара. Выражая функции Бесселя полуцелого порядка через
тригонометрические функции, получим
(4) т=-т(1-1Ь + Га^ка)Н-
10.44.
к2 а2 ка ) csinka
_ За62Щ / а sh 2a/S + sin 2a/6 \
Q~ 8 V ~б' ch2a/6-cos2a/s)'
10.45. Используем решение, полученное в задаче 10.43*. Ищем
электрическое поле внутри шара в виде
(1) E(r,d,t) = eag(r,d)e-^,
10.4. Ответы и решения
305
где 7 > 0 — неизвестная постоянная затухания, и накладываем начальное
условие
(2) £(r,*M)|t,o = eQ£oM) - e°2l7"kajl{kr)sind'
где Е{){г^) — стационарное значение электрического поля, полученное в
задаче 10.43*. Оно записано через сферическую функцию Бесселя (1.171)
ji(z) = ^k/2zJ3/2(z). Подстановка (1) во второе уравнение Ю.Мприводит
к следующему уравнению:
(3) Д*_._^^в2* = 0, S=J^.
г2 snr 1? у с
Его решение, ограниченное при г = 0, имеет вид
(4) <?(г,#) = A jiisr) sin Я,
где А — постоянная.
Магнитное поле внутри шара можно вычислить из закона
электромагнитной индукции (10.10):
оо
(5) Hint = -J^^dt = -±Vxeag(r,#)e-^.
t
Магнитное поле вне шара после выключения внешнего поля Н0 создается
затухающими вихревыми токами и его можно записать в виде (см.
уравнение (3) из решения задачи 10.43*)
(6) Hext = I — I e Л
где т — магнитный момент вихревых токов. Собственные числа 7 должны
определяться из граничных условий. При // = 1 граничные условия имеют
вид
(7) Щп1 = Щх\ Щп1 = Щхг при г = а.
306
Глава 10
Подставляем решения (5) и (6) в граничные условия (7) и получаем два
уравнения
(8)
r^[(«a)joM-ji(«0] = *b
сА- / \ га
"таЛ(ва) = -.
Исключив отсюда постоянные А, т, находим уравнение для определения
собственных чисел:
2 _ П27Г2 л _ 7ГП2С2
(9) (ea)j0(ea)=sinea = 0, < = ^-, 7п = ^Ц", где п= 1,2, ...
Поскольку получено бесконечное множество собственных чисел, то все
решения должны быть записаны как суммы по всем возможным
положительным п. Значение п = 0 приводит к нулевому решению, а отрицательные п
дают линейно зависимые решения. Постоянные Ап, тп приобретают
индекс п.
Остается вычислить указанные постоянные. Значения Ап
определяются из начального условия (2), а величины тп выражаются через Ап с
помощью уравнений (8). Условие (2) после подстановки найденного решения
дает
71=1
Таким образом, нужно разложить известную левую часть этого равенства
по системе собственных функций задачи ji(snr). Убедимся в том, что эти
собственные функции взаимно ортогональны:
(и)
а 1 .
/ r2ji(snr)ji(smr)dr = j^ x2ji(snax)—j0(snax)dx =
о о
1
3 Г
= -о-2- / x2jo(snax)jo(smax) dx = -^-Smn.
Здесь использованы формулы для сферических функций Бесселя
3i(z) — ~Jb(z)> z2Ji(z) — z23o(z) - 2zJi(z)- Вычисление интеграла
10.4. Ответы и решения
307
fr2ji(kr)ji(snr)dr производится с помощью соотношения (1.176), кото-
о
рое при р = 3/2 можно записать через сферические функции Бесселя:
(12) / x2ji(ax)ji(bx)dx
о
В итоге получим
aji(a)ji(b)-«i(b)ji(a)
Ь2-а2
о
(13) Аш = г—j—^-y^ — [kj [(ka)j i(sma) - smj[(sma)ji(ka)]
csin/ca(s^ - к2)
Электрическое поле внутри шара записывается в виде ряда
(14) S(r,0,*) = easini?£i4nji(enr)e-7w*,
п=1
Аналогичным образом, обобщая выражение (6), можно записать магнитное
поле вне шара:
<„, н„,=|(^-)_-)
е-^К
Нетрудно проверить, что начальное условие для Hext выполняется
благодаря соотношению J2n m„ = т.
10.46.
R=iiMR*
\l + i)Mka)
Ji(ka)
При \ка\ <C 1 (малые частоты):
й = До[1 + ±(я^!)'],
„ (1 + 1)у/2тгки
, где Rq = ? .
где #о = 1/тга2к — сопротивление постоянному току.
При \ка\ ^> 1 (большие частоты):
о _ 1 I —I'm
к 2тга5 саУ 2-кст'
308
Глава 10
Как следует из последней формулы, эффективная площадь сечения
проводника при сильном скин-эффекте равна 2тга6.
10.47.
_ uS2 (Si - 51) sin2h/S2 - {8\ + 5%) sh2h/S2 + 2SiS2 cos2h/62
~ 2^? (6l sin h/S2 + <J2 cos Л/й)2 + (Si + J|) sh2 h/S2 '
где S\ = с/у/2-kkiu), S2 = с/у/2тгк2и.
10.48.
rj/ 2Hp _ 1 + г
ka sh kh + 2 ch /c/i' J
При |fcft| <§: 1 (малые частоты) Я' = Я0 т.е. наличие
цилиндрической оболочки не сказывается на величине поля. При \kh\ ^> 1 (большие
частоты), имеем:
shkh^chkh^^l+i^h/s;
так как а > S, то
Я' = (1-0^е~(1+0*Я0, Я0»|Я'|.
Сильное ослабление поля получается за счет того, что вихревые токи,
возникающие в оболочке, создают в полости добавочное поле обратного
направления.
10.49.
2iJofjLKLO shk(h-x)
3 = с2ка chkh '
где х отсчитывается от поверхности по радиусу в глубь проводника;
1 sh2h/S-sin2h/S
" 2naSa ' 2(sh2 h/S + cos2 h/S)'
Полый и сплошной проводники имеют одинаковое сопротивление при £< h.
10.50. Выберем цилиндрическую систему координат, как показано на
рис. 10.13. При слабом скин-эффекте касательная к стенке трубы
компонента магнитного поля на поверхности S этой стенки должна удовлетворять
условию
(1) я2т - я1т = ip,
где i = nhE = £E — поверхностный ток, £ — поверхностная проводимость.
10.4. Ответы и решения
309
Электрическое поле, которое будет иметь, очевидно, только 2-компо-
ненту, должно быть непрерывно на той же поверхности S:
(2)
Е\ = Е2 = Е.
Дальнейшее решение весьма сходно с
решением задачи 8.98 (задача о слабо
неконцентрических сферах). С точностью до
членов (l/а) уравнение границы запишется
в виде
(3)
г = a + l cos a.
Векторный потенциал, направление
которого совпадает с направлением тока, ищем
в виде
2J
(4)
Ai = -^-ln£+Circosa + C,
2J'
,42 = -^ln£ + ^cosa,
У
в J
\ """
\amaLlL
а/
/\а
,1
0)л
\s
В *х
/(2)
Рис. 10.13
где С\ и В\ — функции времени, имеющие
первый порядок малости относительно (//a), J' — имеет нулевой порядок
относительно (//а).
При слабом скин-эффекте (h <С 6) векторный потенциал удовлетворяет
условию:
(5) А\ = А2 при г = а + l cos a.
Отсюда, отбрасывая члены порядка (//а)2, находим
(в)
B1=a2C1 + 2{J'J)l, C = 0.
В граничном условии (1) можно заменить Яг на На. Как легко проверить,
это приведет к ошибке порядка (//а)2. Поскольку
На = -
дА
дг'
>=<°-т
имеем на S:
дАг
дг
дА2
дг.
4тгСЭА
с dt
310
Глава 10
или, с точностью до (//а),
2(J/ " J) о^ 47ГС Г 2 d(Jl) dCi
+ 2Ci cos а =
са ' с2
са dt dt J
cos а.
Отсюда сразу следует J = J'\ этот результат связан с тем, что скин-
эффект считается слабым. Для С\ получается дифференциальное уравнение
(7) dCl \pCL- 2 d{Jl).
dt a2c dt
Параметр р = с2 /2-каС, совпадает со значением сопротивления
единицы длины трубы, выраженным в электромагнитных единицах.
Решение уравнения (7) легко получить методом вариации
произвольных постоянных. Оно имеет вид
г
Cl = ^/e'(T_<)i:[J(T)/(r)ldT
(считаем, что при t —> — оо ток отсутствовал).
Сила /, приложенная к единице длины тока J, может быть вычислена
по формуле
fx = --JH'y,
где Ну — магнитное поле вихревых токов, текущих в оболочке, на прямой,
вдоль которой течет ток J. Этому полю соответствует векторный потенциал
откуда
Окончательно
А' = С\т cos a = С\у,
г/ _ дА' _ г
^^/^"^^^^
10.4. Ответы и решения
311
Рассмотрим некоторые частные случаи. Если ток постоянный (J
const), то
t
/* = ¥l [ е«т-Щт)(1т.
czaz J
При отклонении тока от оси цилиндра (I > 0) возникнет сила,
препятствующая этому отклонению. При медленном движении (/ <С pi), интегрируя
по частям, найдем
В частности, при равномерном перемещении I = vt тормозящая сила
2J2v
JX
1 1 '
czazp
10.51.
2J2(t)l(t)
Jx —
cV
10.54. При статическом равновесии (и = 0) в отсутствие
неэлектромагнитных сил имеем из уравнений (10.23), (10.11) условие равновесия
Vp = j x В/с. Отсюда следует, что векторы В и j перпендикулярны
градиенту давления, т. е. касательны к поверхностям равного давления.
10.55. Магнитное поле имеет одну проекцию
г
Bv = B(r) = ^jrj(r)dr.
о
Интегрируя уравнение равновесия, следующее из (10.23) при и = 0,
с граничным условием р\ =0, находим
а
w ^ = hlH{r2B2)dr>
312
Глава 10
где В = (47г/сг) J rj(r) dr при г < а, В = 2 J/cr при г > а. Чтобы связать
о
полный ток с давлением, интегрируем (1) по всему поперечному сечению
и пользуемся соотношением аВ(а) = 2 J/с. Получим
а
(2) Jp(r)2nrdr=^.
о
Рассматривая плазму как равновесный идеальный газ с заданной
температурой Т (в энергетических единицах), полагаем р = 2п(г)Т и получаем
из (2)
(3)
Подстановка в (3) численных значений дает J = 7,5 х 104 А. На практике
обычно плазма неизотермична, температура электронов выше
температуры ионов. Для поддержания равновесия ток должен расти, так как при
его протекании температура плазмы и ее давление возрастают. Кроме того,
равновесие неустойчиво относительно изгибов плазменного шнура и его
перетяжек.
10.56. Ток должен течь в тонком поверхностном слое. Тогда внутри
столба будет постоянное давление
п= J2
Р 2тгс2а2"
10.57. Магнитное поле внутри цилиндра имеет одну составляющую
Bz(r) = В (г) = (47г/с) /ra jy{r)dr. Условие равновесия внутри цилиндра
требует постоянства полного давления:
р (г) Н — = const.
Вне цилиндра в отсутствие вещества р = 0 и магнитное поле азимутальных
токов В = 0, поэтому уравновесить внутреннее давление может только
внешнее магнитное поле, направленное параллельно оси цилиндра и равное
на границе В0 = л/8тгр(а). Магнитное поле внутри плазменного столба
всегда меньше внешнего поля,
8тг 8тг р'
поэтому плазма является диамагнетиком.
10.4. Ответы и решения
313
10.58. б) В (г) = В0(0, «Л (ar), Jo(ar)), где Jn(x) — функция
Бесселя.
10.59. Из уравнений (10.22), подставив в них В = V х А, получим
(1) V х (&£ - и х [V х А] + UmV х [V х А]\ = 0.
Это позволяет представить выражение, стоящее в круглых скобках, в виде
градиента некоторой скалярной функции </?(r, t):
(2) ^~UX 'V xAH^Vx (V x Al = ~cV(f.
Поскольку векторный потенциал определен с точностью до градиента
произвольной скалярной функции, то замена А —> A — cf(p(r,tf)dtf устраняет
произвольный скаляр из уравнения (2) и позволяет записать его в виде
(3) ^=ux[VxA}- UmV x [V х А].
Если на векторный потенциал накладывается условие калибровки Кулона
V--4 = 0, то уравнение (3) приобретает вид
(4) |^x[VxA]- 1/тДА.
10.60.
Bx{y,z,t) = ( Воу-гг^- + Bqz-^ \t, By = В0у, Bz = B0z.
10.61.
Ba(r,#,t) = sintf (rBor(r,ti)^ + В0#Щ )t, B* = Bm, Br = B0r.
10.62. Пользуемся декартовыми координатами и проецируем
уравнение (10.22) на ось Oz:
(1) -^ + (tt-V)B, = umABz.
314
Глава 10
Затем умножаем обе части равенства на Bz и интегрируем по всему
двумерному пространству. Слагаемое, содержащее скорость и, обращается в
нуль, если среда несжимаемая (Via = 0) и область движения ограничена.
Остальные слагаемые приводятся к виду
(2) ^ J B2zdxdy = -2иш J{VBz)2dxdy.
Поскольку правая часть равенства при ограниченной области, занятой
полем, отрицательна, то происходит монотонное уменьшение энергии поля и
Bz —> 0 при t —> оо. Таким образом, Bz -компонента затухает, и остальные
компоненты можно исследовать считая Bz = 0.
Они удовлетворяют уравнениям
(3) —^ + (и-Ч)ВХъУ = 1УтАВх,у + {B-V)ux,y.
Эти компоненты удобно выразить обычным образом (В = rot А) через
векторный потенциал, направленный вдоль оси Ог, Az(x,y) = А(х,у).
Оба уравнения (3) можно получить из уравнения
(4) ^ + (wV)A = VmAA
(при проверке этого утверждения следует снова учесть несжимаемость
среды). Умножим обе части (4) на А и проинтегрируем по плоскости (я, у) и
по t. Получим
(5)
С
/ А2(х, у,0)dxdy - J А2(х,у, t)dxdy = 2ь>ш \ dt \{В2Х + B2y)dxdy.
Интеграл в правой части равенства представляет собой монотонно
возрастающую функцию времени, ограниченную величиной J A2(x, у, 0)dxdy.
Следовательно, интеграл по времени при t —► оо сходится, а из его сходимости
следует, что В2 = В2Х + В2 —> 0 при t —> оо. Этот результат представляет
собой одну из антидинамо-теорем, доказывающих невозможность
генерации магнитного поля движениями проводящей среды определенного
(достаточно симметричного) типа. Рассмотренная проблема важна для теории
происхождения магнитных полей небесных тел.
10.4. Ответы и решения
315
10.63. Записываем и = Чф х ег и проецируем уравнение индукции
(10.22) на направление ег. При этом диссипативное слагаемое,
содержащее «(г), нужно записать с учетом неоднородности среды, т. е. в форме
-V х i/m(V х В). После этого будем иметь ег- (V х [и х В]) = —(u-V)Br;
-ег- (V х i/m[V х В]) = АВГ + \д-^- + 4^г-
В последнем равенстве учтено, что Wm имеет направление ег, а также
VJB = 0. Таким образом, имеем уравнение, которому удовлетворяет Вг:
(1) д~§ + (u-V)Br = vm (ДВГ + р^ + ^Вг) ■
Умножаем (1) на Br/vmr2 и интегрируем обе части равенства по всему
пространству. В итоге получаем, преобразовав по теореме Остроградского-
Гаусса интеграл, содержащий АВГ:
где чертой обозначено усреднение по телесному углу. В случае
ограниченной системы поле должно обращаться в нуль на больших расстояниях.
Поэтому правая часть отрицательна, если Вт отлична от нуля где-либо в
пространстве, что означает диссипацию r-компоненты поля: Вт —> 0 при
t —► оо.
Анализ поведения поперечных компонент поля удобно производить
с помощью векторного потенциала A(r) = erA(r,t), удовлетворяющего
уравнению (3) из решения задачи 10.59. В данном случае удовлетворить
условию V--4 = 0 невозможно, так как оно приводит к сильной
сингулярности при г —► 0. Поэтому уравнение для скалярной функции Л(г, i)
примет вид
(3) й* + (,,.7М=Цдч-^-£1£А1).
Умножение обеих частей равенства на A/vm и интегрирование по всему
пространству позволяет привести (3) к виду
(4) !/4> = -2/(™-erf)V<0.
316
Глава 10
Полученное условие обеспечивает А = const всюду в пространстве
при t —> оо, так как интеграл f(A2/vm)dV ^ 0 не может сделаться
отрицательным и производные по времени и по координатам должны обратиться
в нуль, что означает отсутствие магнитного поля.
Для генерации магнитного поля требуется более сложное трехмерное
движение проводящей жидкости или газа, например, вращение проводящих
шаров вокруг непараллельных осей (см. Моффат (1970), гл. 6).
10.64. Естественно предположить, что скорость движения
жидкости направлена вдоль оси Oz и зависит только от поперечной
координаты х. Поскольку движущаяся проводящая жидкость увлекает за собой
силовые линии магнитного поля, то при движении должна возникнуть
продольная составляющая магнитного поля Bz(x). Таким образом,
неизвестные функции v и В ищем в виде v(0,0,v(x)); B(Bo,0,Bz(x)); при этом
уравнения V-JB = 0, V-v = 0 удовлетворяются тождественно.
Уравнения (10.23), (10.22) принимают следующий вид:
(1) ^ + г £ё*. = о
У } dx^ АтгкВо dx2
(Я d2y i B° dBz = l d (n i B*\
{ } dx2 47Г7/ dx rjdzV^ 87J'
<» £(>+£)-■
Из последнего равенства следует, что р+В2/8тг может зависеть только от z.
Но
<«> £(>+£)-§-— •
так как В2/8тг от z не зависит. Поэтому равенства (1) и (2) представляют
собой систему обыкновенных линейных уравнений для определения
неизвестных функций v(x)9 Bz(x). Исключая из них dBz/dx, получим
уравнение относительно u = dv/dx:
(*\ d2u l ., п „ с Рп
(5) ^~4и = 0' Х0 = н-0]/к>
^ 10.4. Ответы и решения
317
из которого следует
(6) v = x0(Aew[%]-Bexp[-±])+C.
Граничные условия имеют вид v(±a) = 0, так как вязкая жидкость у стенки
неподвижна. Кроме того, из соображений симметрии следует v(x) = v(—x).
Из граничных условий и (6) находим
ch(a/xo) - ch(s/s0)
ch(a/xo) - 1
где vo — новая постоянная, имеющая смысл скорости в средней
плоскости х = 0. vo можно выразить через градиент давления:
_ ах0 ch(a/x0) - 1 dp
(8) ^"~ч sh(a/x0) Tz
Магнитное поле определяется из (2), (7) и граничных условий Bz(±a) = 0:
4тгг/ (x/a)sh(g/a;o)-sh(a;/a;o)
(9) ^ = - — ^vo Мфо) _ г •
Отношение а/хо = G называется числом Гартмана. При G <С 1 имеем
(ю) „-£*. «w = „„(i-£),
как в обычной гидродинамике. Магнитное поле Bz = 0 в первом порядке
по числу Гартмана. Продольное поле Bz появляется только в следующих
приближениях.
В противоположном предельном случае G > 1 получаем
/ \ a2 dp / ч / Г а ~ \х\'\\
(11) Vo = -^gTz; Ф) = «о(1-«ф[--^-Jj.
Сравнение (10) с (11) показывает, что средняя скорость движения
уменьшается с ростом Во, а профиль скоростей становится более плоским в средней
части потока, но резко меняется в слое толщиной хо у стенок. Продольное
магнитное поле в этом пределе имеет вид
с& dz\a I xq J xq )
318
Глава 10
Как видно из формулы, оно убывает с ростом числа Гартмана. Наибольшую
величину Bz имеет при G « 1.
Плотность тока в движущейся жидкости вычисляется из уравнения
Максвелла j = cV x B/Атг. Отлична от нуля только у-компонента тока:
Создаваемое им магнитное поле Bz равно нулю всюду вне области, занятой
жидкостью. Там остается только поперечное поле Во.
10.65. , ч sh(x/x0)
sh{a/xo)
Плотность тока i / /rt> \
1 [ X) ^= .
B0x% sh(a/x0)'
Этот ток создает магнитное поле
4тгт)Уо сЦа/хр) - ch(x/x0)
*z[X) ~ В0х0 sh(a/x0)
которое обращается в нуль при \х\ ^ а.
10.67. Если амплитуда волны убывает по закону е-7*, то ее энергия
изменяется как е^11. Из соотношения dw/dt = —2yw — —Q находим 7 =
= Q/2w, где w, Q — плотность энергии волны и плотность ее диссипации
в единицу времени, усредненные по периоду Т = 2-k/oj <С 1/7- Если Ь —
магнитное поле волны, то плотность ее энергии w = |6|2/87г (здесь учтено,
что в альвеновской волне магнитная и механическая энергии одинаковы).
Величина Q представляет собой правую часть уравнения (10.26) (за
исключением температурного члена, поскольку теплопроводность в альвеновской
волне не играет роли). Усредняя ее гю времени и пользуясь соотношениями
v = rj/т, \и\2 = \Ь\2/4тгт, находим Q = к2{у + v<m)\b\2/8тг и
T=±k\v + vm) = ^{v + ,,m),
где использованы обозначения примера 10.9.
10.68. Вектор Ь лежит в плоскости (к, Во) и перпендикулярен
вектору к. Вектор и лежит в этой же плоскости, но имеет обе составляющие,
продольную и поперечную относительно к.
10.69. При распространении простой волны конечной амплитуды
происходит укручение переднего фронта (рис. 10.14а, 10.146). В некоторый
10.4. Ответы и решения
319
момент t = t* в определенной точке х* переднего фронта происходит
перегиб профиля и возникает бесконечная производная (du/dx)t^tm —> оо
(рис. 10.14в). При t > t* решение становится многозначным, и простая
волна перестает существовать. Величины t*, x*y и* определяются из условий
существования перегиба на графике зависимости и(х, t*) (см. рис. 10.14г):
dx(u,t*)
ди
= 0,
d2x(u,U)
ди2
= 0.
Рис. 10.14
10.70. Взяв проекцию уравнения (10.29) на ось г и подставив и
иг /г, v = const, получим уравнение для определения Вг:
320
Глава 10
Решение этого уравнения выражается через произвольную функцию F от
аргументов г - ut9 $ и а:
(2) Br{r,d,a) = \F{r-ut,d,a).
Граничное условие имеет вид
(3) Вг\ _ =B0r(i),a + nt) = ^F(a-ut,i),a)
\г-а аг
(аргумент a —fit у Вог написан в связи с переходом в неподвижную систему
координат). Таким образом,
F(a - ut, #, а) = а2Д)г(#, ос + Ш).
Следовательно, (2) запишется в виде
(4) Br(r,0,a,*)= (р)2Б0г(^а- (г~ца)^+ш).
Таким же путем находим
(5)
В<, = £Во*(0,а-*!_^1 + т),
Ва
аВоа^а_(1^Е + Шу
Из уравнения divJB = 0 вытекает следующая связь между проекциями
вектора Во:
тт— sintf+^-(£0tfSintf) + —— =0.
и да ov да
При Во# = 0 находим В# = 0,
если положить /(#) = 0, то будем иметь
(б) Ва(г,0,а,*) = ^Bor(i?,a - (Г ~ца)" + Ш) sin I?.
10.4. Ответы и решения
321
Паркер использовал рассмотренную модель для описания межпланетного
магнитного поля, создаваемого потоками солнечной плазмы (солнечным
ветром). В модели межпланетного магнитного поля Паркера В# = 0, а Вг
и Ва даются формулами (4), (6). Измерения межпланетного магнитного
поля, произведенные на спутниках и ракетах, показывают, что
усредненное магнитное поле вблизи орбиты Земли удовлетворительно описывается
моделью Паркера.
10.71. Силовые линии имеют вид спиралей Архимеда:
г = У-(а- а0), а0 = const,
в = arctg ^ « 56°; В « 4.5 х 10"5 Гс.
10.73. МГД возмущения от взрыва существуют только внутри сферы,
ограниченной ударным фронтом. Выведем сначала граничные условия для
магнитного поля на фронте. Из равенства (10.42), подставляя в него поток
вещества через фронт гп = tqus, где т0 — невозмущенная плотность среды,
us = R9 — скорость фронта, получаем оценку ит/и3 « vatiVat/uI- Здесь
правая часть выражена через компоненты альвеновской скорости va-
Отношение Ma = us/va скорости среды перед фронтом к альвеновской
скорости называется альвеновским числом Маха. Тангенциальные компоненты
скорости малы по сравнению с радиальными, если велико альвеновское
число Маха: М\ > 1. В этом случае, полагая в уравнении (10.43) левую
часть равной нулю, находим граничные условия: при г = Rs(t) должно
быть
(1) В^ = В0п, вР = Вот%,
где индексом s обозначены величины на фронте с внутренней
(возмущенной) стороны.
Уравнения (10.29) записываем в сферических координатах:
0ВГ = u(r,t) д ^
dt r2 дг
(2) ^-^'.о*.
322
Глава 10
Если зависимость u(r, t) = p(r)q(t) факторизуется, то можно
проинтегрировать уравнения (2) в общем виде, введя новые зависимые переменные
6r(r, t, #, a) = r2Br(r, t, #, а),
(3) Ь0(г,*,#,а) = rp(r)B^(r,*,i?,a),
Ьа(г,*,#,а) =rp(r)Ba(r,t,'d,a)
и новые независимые переменные
(4) V(t) = jq(t)dt, s(r) = J-^-y
Все уравнения (2) принимают одинаковый вид
Их решением является произвольная дифференцируемая функция 6г(<Л $>а)
автомодельной переменной </?(г, £) = s(r) - 7/(£). В рассматриваемом случае
(5) p(r)=r, 9(t) = _?ML- ^(Г,«)=1п
(7 + iR(t)' rv \^/(7+1)(t),
Очевидно, что без потери общности можно считать bi функцией отношения,
стоящего под знаком логарифма: bi{r/R2J^1+ \t), д, а). Вид зависимости bi
от этого отношения, а также от^иа определяется из граничных условий
с использованием, если требуется, уравнения VJB = 0.
В случае однородного внешнего поля имеем граничные условия
(6) Вг(Дв(О,*,0) = Восов1?, B#(Rs(t),t,ti) = -Bol^smd, Ba = 0.
Записываем решение в виде
f(r/R2/b+l))
Br(r,t,ti) = М ' \ ^Д>сов0,
г
(7) в , * и тМяУ(1+1)) п . ,
Д|(г,£,$) = - J30sintf,
r0rz
10.4. Ответы и решения
323
Из граничных условий находим f(Rs ) = R2S. Это означает
что/(ж) = х2^+1)/^-1),т.е.
(8) /(г/Л2'<^>) = г2(7+1)/(7"1)
В итоге получаем окончательно
д4/(7-1)
4/(7-1)
О)
/ \ 4/(7-1)
При 7 = 5/3 имеем 4/(7 — .1) = 6. Таким образом, радиальное магнитное
поле выметается из области взрыва вместе с плазмой, фактор ослабления
равен (r/Rs(t))6. Тангенциальное поле также выметается, но на фронте оно
усилено на фактор ts/to > 4 по сравнению с невозмущенным значением.
Фактор усиления может превысить обычное значение (7 + 1)/(7 — 1) = 4
(см. формулу (8) примера 6), если имеет место потеря энергии с фронта за
счет излучения или ускорения частиц до релятивистских энергий.
10.74. Решая эту задачу по образцу предыдущей, находим магнитное
поле в каверне, образованной взрывом:
/ о т* 2/(7_1)
Br(r,t,#)-2Mc™»(Rs{t)
(1)
о / + „ox Msintf rs I Rs(t) .
Магнитное поле в каверне, в противоположность случаю,
рассмотренному в предыдущей задаче, существенно усиливается. Полученный результат
объясняется тем, что поле точечного магнитного диполя имеет сильную
сингулярность в центре взрыва. Неограниченное усиление поля в каверне
связано с его выносом из сингулярности. Поэтому полученный результат
нефизичен, и в задаче необходим учет конечных размеров диполя.
Для этого примем модель магнитного поля, рассмотренную в
задаче 2.85: при г > а — поле магнитного диполя М; при г < а — однородное
324
Глава 10
поле Во = 2М/а3; на сфере г = а — токовый слой с поверхностным током
г = 3Mceasin#/47ra3, обеспечивающий нужный скачок тангенциальной
составляющей поля. После центрального взрыва ударная волна сначала
распространяется по области г < а, где поле однородно. Поле в образующейся
каверне ослабляется в соответствии с результатами задачи 10.73*, т.е. на
фактор (r/Rs(t))A^1~l\ Эта стадия продолжается до момента ta,
определяемого условием R3{ta) = а. Начиная с этого момента граница между
первоначально однородным и дипольным полями вовлекается в движение
плазмы и ее радиус начинает возрастать по закону
t
(2) Ra(t) = a + / u{Ra{r),т)йт, t > ta,
ta
откуда находим
I 2/(7+1)
(3) Ra(t) = a\'-^\ >a, t^ta.
Ударный фронт движется быстрее вещества за фронтом, поэтому
R3(t) > Ra(t) при t > ta. В области Ra ^ г ^ Rs применимо
решение (1) для магнитного диполя. Но, в отличие от (1), теперь поле всюду
в каверне убывает со временем. Наибольшего значения оно достигает с
внешней стороны поверхности г = Ra(t):
Br(Ra(t),t,ti)
/ r> /,ч\2/(7_1) / \ 4/^+1)
2Mcostf / Rs{t) \ 2Mcosd а \
Rl(t) \Ra(t)J a3 \Rs(t)
B#(Ra(t),t,ti)= "
/ D Лл\2/(7_1) / \ 4/(7+l)
Msin drs / K8(t) \ м
Rl(t) ro \Ra(t)J a3 ro \Rs(t)J
В области г < Ra(t) по-прежнему справедливы формулы (8) предыдущей
задачи.
При взрывах звезд кроме выделения энергии как правило в
окружающее пространство сбрасывается заметная часть массы звезды («оболочка»).
В приведенных расчетах выброс массы не учитывался. Это справедливо
лишь на поздних этапах эволюции возмущенной области, при условии, что
масса вещества в каверне существенно превосходит массу сброшенной
оболочки.
10.4. Ответы и решения
325
10.75.
^ ' 1т
tiS
2<j-2
£ «ISw1)^.»).
lm, fc=l,2
гдесг = (7 + l)/(7- 1)
10.76.
Br(r,ti,t) = Bor(a,ti)^y,
Ва(г,#,*) = £0r(M)sintf
rsa2fJ / r
ro^r l да(*)
, Д? = 0.
Здесь uw — постоянная скорость звездного ветра.
10.77. Вводим малые добавки
6, и, р, £ к невозмущенным величи- z
нам £?, -и = 0, Р, z = 0. Величина £
дает форму возмущенной
поверхности z = £(ж,г/,£) раздела двух сред
(рис. 10.15). Записываем
линеаризованную систему уравнений в
пренебрежении диссипацией:
а)
V-u = 0, О
^ = -VP-±Bx[Vxb} + Tg,
§ = (*.VK
Выражаем через скалярный
потенциал ф скорость среды и возмущение
магнитного поля:
Рис. 10.15
(2)
и = Щ(х, 0, Ъ(х, t)= (В- V)V#'.
326
Глава 10
Из последней формулы следует, что V х Ь = 0. Это позволяет записать
уравнение движения для uz -компоненты в виде
/оч др д (дф ,
и проинтегрировать его:
(4) р=-т(^+дг^+Р0.
Здесь через Ро обозначено давление на невозмущенной границе, общее для
верхней и нижней сред. Все остальные величины (кроме g и В) различны.
На возмущенной границе раздела z = £(x,y,t) должны выполняться
граничные условия (10.37), (10.39) с учетом отсутствия потока вещества
через контактный разрыв, гп> = 0. Кроме того, на границе можно
выразить вертикальные скорости в обеих средах с помощью общего для них
уравнения граничной поверхности:
<5> *.-*.-|-| + (.-vk-|.
С точностью до оставленных в (5) величин первого порядка малости это
условие можно отнести к невозмущенной поверхности z = 0. Компоненты
тензора потока импульса вычисляем с помощью соотношений для
проекций невозмущенного поля на локальные штрихованные оси, орты которых
выражаются через исходные декартовы орты:
#С _ ^С _ _ <^_ ^
\Р) &Х' &Х I &Z г\ ■) &у' &у I в2 ~ , в2' Cz СХ р\ &у р. •
Имеем
(7) Bz> = Bz = В, Вх> — Bz — , By' = Bz —
и записываем компоненты тензора
д(: в -вд^
1 DL ТТ _ 1 / TDU i d2
Ilzlz,=p-^Bbz, nx,z, = -^[Bbx+B'f),
(8) ( \
4тг V у ' ду
10.4. Ответы и решения
327
Условия сшивания компонент тензора плотности потока импульса,
П^/2, = П^,2,, а! — х' ,y',z' при z = £, удобно продифференцировать
по времени,
(9) -^П(1,}, = $-TllV, а' = х' v' z'
чтобы исключить с помощью (5) величину £. При о! = z' с помощью (2),
(4), (7) будем иметь
fm\ д2ф2 д2ф1 ( \ д^ В2 д2 (ж ,л п
Скалярный потенциал ф удовлетворяет уравнению Лапласа V • и = Аф = 0.
Будем искать решения в виде плоских монохроматических волн,
распространяющихся вдоль невозмущенной границы раздела:
ф\ = Aexp(kz + гкхх + гкуу — iut), z < 0;
(и) I
02 = Cexp(-kz + ikxx + ikyy - iut), z > 0, к = J к2 + k2.
Из соотношения (5) находим С = —А, а из уравнения (10) получаем
дисперсионное соотношение для возмущений:
(12) ^ = !L=Jlgk+ ВЧ*
V } П+Т2* 2тг(т1+т2)
Прочие граничные условия также выполняются.
При т\ > т2 (плотная среда снизу) контактный разрыв устойчив
относительно возмущений с любыми к. Неустойчивость возникает, если
разреженная среда находится снизу {т\ < т2), при значениях волнового вектора,
приводящих к мнимым частотам:
(13) * < кс = 2-?Цр±9.
Неустойчивы длинноволновые возмущения с Л > 2тт/кс. В отсутствие
магнитного поля все возмущения неустойчивы, если плотная среда
находится сверху (аналогично неустойчивости шарика на острой вершине горы).
Стабилизация коротковолновых возмущений при наличии вертикального
магнитного поля связана с тем, что вещество при перемешивании должно
328
Глава 10
совершать горизонтальные перемещения и увеличивать при этом в условиях
вмороженности поля магнитную энергию системы.
10.78. Дисперсионное соотношение для малых возмущений имеет вид
Т1+Т2* 2ТГ(Г1+Г2)
При т2 > т\ неустойчивость не стабилизируется магнитным полем,
возмущения с волновыми векторами к _L В будут нарастать, так как магнитные
силовые линии при этом не искажаются.
10.79. Задаем форму возмущенной поверхности разрыва в виде
(1) z = С(Х,У) = I sin k\x sin къу, I <С 2тг/к\, 27г//с2.
Гравитационная энергия малого элемента массы dm = rdxdydz равна
gzdm. Интегрируя эту величину по dz от 0 до £ и затем по всей
поверхности S разрыва, находим изменение AUg гравитационной энергии при
деформации разрыва. При интегрировании по поверхности
невозмущенного разрыва считаем длины волн возмущений Ai?2 = 2-к/к\^ малыми по
сравнению с его линейными размерами и заменяем квадраты синусов их
средними значениями 1/2. В итоге имеем AUg = rgl2S/S.
Приращение поверхностной энергии находим по формуле AUS =
= аД5, где AS — приращение поверхности:
(2) Д5=/Ь/1+(-^) +(£) -l[dsdi/«£f£
В итоге имеем AUS = al2k2S/S9 где к2 = к2 + к%.
Приращение электростатической энергии вычисляем по формуле
оо
(3) AUe= f dxdy f dz®* E2
8тг
где 8 — электростатическое поле над возмущенной поверхностью.
Электростатический потенциал <р удовлетворяет уравнению Лапласа и
граничному условию на проводящей поверхности (p\z=c = 0, а также условию
(^|2_оо = —Ez на большом расстоянии от поверхности. При kl <С 1
10.4. Ответы и решения
329
уравнение и граничные условия выполняются для потенциала <р(х, у, z) =
= —Ez + Е£(х, у) exp(-kz), который позволяет найти напряженность поля
над искаженной поверхностью 8 = — V<p и вычислить приращение энергии:
AUe = -E2l2S/327rk.
Полное приращение энергии
(4)
AU = AUe + AUS + AUg=1^- irg + ak2 - |£ k\ .
Поверхность будет неустойчивой, т.е. амплитуда горбов и впадин будет
расти, если их рост будет уменьшать энергию системы, т. е. при AU < 0.
Граничному случаю отвечает значение поля
<5> £-?+■*•
Минимизируя правую часть по /с, находим кс = у/тд/а и получаем
наименьшее значение электрического поля, Е2 = 8тгу/тда9 при котором
выполняется условие AU = 0. При Е > Ес существует область значений
волновых чисел, для которой выполняется условие неустойчивости AU < 0:
fci < к < к2, где fcif2 = Е2/8тга =F у/(Е2/8тга)2 - к2.
10.80. Обозначим невозмущенные величины через v, В, Р, а их
малые возмущения соответственно через и, Ь, р. Возмущенная
поверхность разрыва задается уравнением z = £(x,y,t). Введем также альве-
новскую скорость и л = В/у/А-кт и скорость альвеновского возмущения
w = Ъ/у/А-кт. Линеаризованные уравнения имеют вид
V u = V w = 0, ^ + (v ■ V)w = {иа • V)w,
(1) dt
Q± + {vV)u = -^Vp - V{uA • w) + (uA • V)u>.
Граничные условия на тангенциальном разрыве z = £ требуют равенства
полных давлений р + (В + Ь)2,/8тг и обращения в нуль нормальной
компоненты магнитного поля [В + Ь)п/ = 0. Линеаризовав эти условия и перейдя
от локальных штрихованных ортов к первоначальным декартовым, как в
задаче 10.77*, получим
(2) 5(р + риА • w) = 0, wz — (иа • V)£ = 0, при z = 0.
330
Глава 10
Применив операцию div к последнему уравнению (1), находим уравнение
для добавки к полному давлению:
(3) Д(р + тиА • w) = 0.
Из этого уравнения следует, что зависимость малых возмущений от
координат и времени можно искать в виде
и, гу,р ос exp(±kz + ikxx + ikyy — iut),
(4) I
С ос exp(ikxx + ikyy - iut), где k = Jk2. + Щ,
а знаки ± в показателе экспоненты относятся соответственно к областям
z < 0 и z > 0.
Исключив из уравнений (1) скорость и с помощью соотношений (4),
получим
(5) [(о; - (к -г;)2 - (к • uA)2]w = — (к ■ гм)(к =И/ге2)(р + тгм • ги).
Далее берем проекцию уравнения (5) на ось Oz и используем граничные
условия (2). Это позволяет получить дисперсионное соотношение для
малых возмущений:
(6) п(о; - (к • vi)2 + t2(cj - (к • v2)2 = Ti(k • uAi)2 + r2(k • uA2)2.
Оно представляет собой квадратное уравнение относительно частоты
вида auj2 + bu + с = 0. Условием отсутствия комплексных корней является
неравенство Ъ2 - Аас ^ 0, которое приводится к виду
(7) Та(3как(з ^ 0.
Здесь тензор Тар (а, (3 = 1,2) имеет вид
/о\ т» (1) (1) i (2) (2) ПТ2
(8) Та/3 = тщуу^ + т2<>^ - ^-^-Vovp.
Для неотрицательности квадратичной формы (7) при произвольных
действительных значениях компонент fcQ, А^ требуется выполнение неравенств
Таа > 0) |^а/з| ^ 0 (неотрицательны след тензора и его определитель). Эти
условия, записанные через магнитную индукцию, имеют вид
(9) В\ + В\ > 2тгту2, [Вг х В2]2 ^ 2ttt([v xBi]2 + [vx Вг]2),
10.4. Ответы и решения
331
где v = v\ — V2, т = т\Т2/(т\ + Т2), и определяют условия устойчивости
тангенциального разрыва с магнитным полем (С. И. Сыроватский, 1953).
Как видно из этих условий, достаточно сильное магнитное поле
стабилизирует тангенциальный разрыв. В отсутствие поля разрыв в несжимаемой
среде неустойчив.
10.81. Обозначим неусредненный по турбулентным движениям
вектор магнитной индукции через Ж, а усреднение — угловыми скобками:
{Ж) = В. Используем неусредненные уравнения (10.22) для случая ит =
= const:
(1) \7хЖ = 0, <Щ- = V х [и х Ж] + итАЖ.
Усреднение по ансамблю перестановочно с операциями
дифференцирования по координатам и времени, поэтому после усреднения будем иметь
(2) V • В = 0, ^=Vx(wxl) + 1/тДБ.
ОТ
Для замыкания системы уравнений необходимо выразить через
усредненные величины (магнитную индукцию и корреляционный тензор
турбулентности) среднее значение (и х Ж). Для этой цели выделяем малую
турбулентную добавку к магнитной индукции b(r,t) = Ж{г,1) — B(r,i)
и с помощью (1) и (2) находим для нее уравнение
(3) ^ - ушАЬ = V х [и х В] + V х [и X Ь] - V х (и х Ь).
Здесь использовано условие {и) = 0. Далее применяем «наивную» теорию
возмущений: считая и и 6 величинами первого порядка малости, опускаем
из уравнения (3) их произведения и из оставшегося уравнения, содержащего
только члены первого порядка, находим
t
Ь(г, t)= f G(r -r',t- r)(B • y)ti(r;, r)d3xfdr-
(4)
-oo
t
- I G(r- r', t - r)^-u0(r', T)d3x'dT,
ve
где функция Грина G дается формулой (5) из примера 10.6. Размеры
областей интегрирования по координатам и по времени — порядка
соответствующих корреляционных величин, I и тс, турбулентного поля скоростей.
332
Глава 10
Усредненное по турбулентным пульсациям поле B(r,t) мало меняется на
таких временах и расстояниях. Поэтому множители, содержащие JB, можно
вынести из-под интегралов:
t
b(r,t) = B0(r,t) J G(r -r',t-
r)^-d3x'drib)
-oo
t
~1T~ I G(r-r^-r)Mr',r)dVdr.
— oo
С помощью последнего результата производим усреднение:
t
/ди (г т)
G(r -r',t- т)(иа(г, t) MQY )d3x'dr-
OXg
— oo
t
FiFi f
~-faT G(r-r',t-T)(WQ(r,^(r',r))dV(lr.
Первый интеграл здесь представляет собой полярный тензор третьего ранга,
не зависящий от координат. Он обращается в нуль для однородной и
изотропной (негиротропной) турбулентности, ввиду отсутствия таких тензоров
в рассматриваемой задаче (антисимметричный псевдотензор еа^7
неправильно преобразуется при отражениях, и его нельзя использовать в данном
случае). Второй интеграл представляет собой симметричный тензор второго
ранга, и его можно записать в виде
t
(7) / G(r-r,,t-T)(ua(r,t)u(3(r',T))d3x,dT = vt6a(3,
— oo
где vt — некоторый скаляр, для вычисления которого нужно задать
корреляционный тензор (ua(r,t)u(3(r',T)). В итоге находим необходимую
величину:
(8) (u(r, t) х Ь(г, t)) = -vtV х В.
Подстановка (8) во второе уравнение (2) приводит к уравнению для
магнитной индукции крупномасштабного усредненного поля:
(9) ^ = (ut+um)AB,
10.4. Ответы и решения
333
где vt — турбулентная магнитная вязкость. Полученное уравнение по
форме совпадает с уравнением (10.15) для магнитного поля в неподвижной
диссипативной среде. Но турбулентное движение увеличивает магнитную
вязкость: полная магнитная вязкость vioi = иш+щ. Турбулентное движение
деформирует магнитное поле, дробит его на области порядка турбулентных
масштабов и делает его таким образом мелкомасштабным.
Мелкомасштабное поле испытывает более эффективную джоулеву диссипацию,
превращаясь в тепло.
Оценим турбулентную вязкость в предельных случаях. Используем
функцию Грина
(10) G(r -r',t-r) = ^ — ехр \ - (Г ~ ^ ' 1.
Пусть основной масштаб турбулентности равен Z, а время корреляции
тс « 1/и9 где для сокращения письма обозначено и = (и2). В интеграле
(7) характерное расстояние \г - r'\ « Z, характерное время t — т « тс ^ 1/и.
1. Случай уштс > Z2, или Rm = ul/um <с 1, где Rm — магнитное число
Рейнольдса (ср. с (Д4.2)). Экспонента в функции Грина близка к единице.
Оценивая интеграл (7) как произведение подынтегрального выражения на
область интегрирования, получаем
В этом случае Vt/vm < Rm < 1 — турбулентная вязкость составляет
малую добавку к столкновительной магнитной вязкости. Необходимое условие
применимости теории возмущений выполнено.
2. Противоположный случай иштс «С /2, или i?m > 1. Функция Грина
в этом пределе очень узка в координатном пространстве, G(r — r',t-r) «
« 6(г — г'). С помощью этой аппроксимации получаем из (7)
(12) ^^\{и2)тс^уш
— теория возмущений неприменима. Для корректного вычисления
турбулентной вязкости в этом пределе нужно использовать другой приближенный
метод (см. следующую задачу).
334
Глава 10
10.82. Используя обозначения предыдущей задачи, запишем неусред-
ненное уравнение (10.22) в виде
(1) ^-1УтАЖ« = А^^чЖ(7 + Ва6(т-1), rZt,
где A*g = eaflueU7(79 a ^-образный член играет роль начального условия для
неусредненного поля Ж (г, t). Интегральная форма уравнения (1) имеет вид
(2) Жа = А«£ jdr' Jd3x'G(r -г',т- r')^ru'^ + В^(г,т),
где
(3) £i°)(r,r) = fd3x'G(r -г',т- t)Ba(r',t),
a G — функция Грина, удовлетворяющая уравнению (3) примера 10.6 (с
заменой х на vm) и начальному условию G(r, т) —> 5(г) при т —> 0.
Теперь путем решения уравнения (2) методом итераций вычислим Жа
в момент t + At с точностью до членов, линейных по At. Ввиду явной
зависимости Жа(г, t + At) от турбулентных скоростей усреднение по ним
можно будет произвести непосредственно. Затем, считая At малым,
получим дифференциальное уравнение для В (г, t).
Итерация нулевого порядка относительно случайной скорости дается
выражением (3) и может быть представлена в виде
(4) в£\г, * + А*) = Ba(r, t) + Д* ушАВа(г, t).
Это следует из того, что G(r, т) —> 5(г) при т —> 0, а поправочный член к
функции Грина при малом At имеет вид {dG/dr)At = AtumAG(r — r',t)>
Интегрируя соответствующий член в (3) дважды по частям, приведем его к
виду (4).
Первая итерация получится, если в интегральный член уравнения (2)
подставить нулевую итерацию (3) или (4):
(5)
Ж^\г, T)=A°zjdT'jd3x'G(r-r', т-т'^и'^г', r')Bf\r', т')+в£\
т\т .
10.4. Ответы и решения
335
X
t
г
Наконец, вторая итерация примет вид
г
Ж^\г,т) = А°£^т'1^х<С(г-г\т-т')-^и'у(г',т')ЖУНг',т')+
t M
Г
+В£°)(г,т) = A^AZ^JdnJd'x.Gir-ruT-r^^-u^ruT^x
(6) Т1
/ dT2 J d3X2G(n - Г2)Т1 - Г2)^|-ик(Г2)Т2)В£(0)(Г2)Т2) +
t
т
+ ^/driyd3xiG(r-ri,T-T1)^|-u7(ri,ri)40)(ri,ri)+Bi0)(r,T).
t
При усреднении равенства (6) получим (<#?i (^т)) = £?а(г, т),
(иу) = 0, корреляционный тензор (ix7(ri, ri)wK(r2, r2)) берем в форме,
указанной в условии задачи. Внутренние интегралы по dr2 и d3£2 вычисляем
с использованием дельта-функций:
г
/ drz / d3xiG(r-ri,T-Ti)- w7(ri,ri)x
Tl
(7) x f dr2 Jd3x2G(rl-r2lTl-T2)-^uK(r2,r2)B^(r2,T2) =
t
Теперь подставим в (7) т = t + At и вычислим правую часть в линейном
по At приближении. Для этого достаточно взять функцию Грина в
нулевом приближении, т.е. G « 5(г — г\). В таком же приближении нужно
взять Be , опустив в (4) слагаемое, пропорциональное At. В результате
правая часть (7) принимает вид
336
Глава 10
Преобразование произведения А^£А™ и суммирование по греческим
индексам выполняем с помощью тождеств, приведенных в задаче 1.28. На
заключительном этапе используем соотношение
,0ч Ba(t + At) - Ba(t) дВа
w д* ~ at
и получаем уравнение, приведенное в условии задачи.
10.83.
Q(k)=A(k), С(к) = -Р(к), к±±^ = -А(к),
где Q(fc), i?(fc), С (к) — фурье-образы функций Q(r), Д(г), С(г). Из
спектральных функций j4(fc,£), P(k,t) нужно выделить дельтаобразный
множитель, зависящий от времени.
10.84. Произведя преобразование Фурье по координатам, получим из
уравнения задачи 10.82* следующее уравнение для гармоник Фурье
магнитного поля:
(1) ?B±=iakxBk-vk2Bk,
где а — параметр гиротропии, который может иметь любой знак, v = vt+vm
— полная магнитная вязкость. Решение имеет вид
(2) Bk{t) = {B°k ch(kat) + i[k x B0k}k~l sh{kat)}e-yk2\
где В°к — гармоника Фурье начального поля. Нарастание к-й гармоники
имеет место при
к<кс=14 или A>Ac = ^>^f.
u к \а\
Неустойчивы достаточно длинноволновые гармоники, система должна
иметь размер L > Ас, чтобы они могли существовать. Полученное решение
годится только для ограниченных времен, с ростом поля оно станет влиять
на гиротропию турбулентности, должна произойти нелинейная
стабилизация неустойчивости и ограничение роста поля.
10.4. Ответы и решения
337
10.85. В турбулентной среде усредненное значение магнитной
индукции В = fiH удовлетворяет уравнениям (10.14):
(!) AB-^f.
Сравнив это уравнение с уравнениями, полученными в задачах 10.81*,
10.82*, находим произведение искомых величин:
(2) /яг =
1 + Щ/Vrt
Чтобы определить их по отдельности, обратимся к граничным условиям
сшивания тангенциальных компонент полей на некоторой границе.
Используем результат задачи 10.29. Пусть область 0 < z < а заполнена
неподвижной средой с электропроводностью к и // = 1, а в области z > а возбуждена
турбулентность, создающая эффективную электропроводность а и
магнитную проницаемость ^ф\. При а ^> 5\ имеем для гармоник Фурье
tfi(2) = tf0e-(1-iW*, %z<a, Si =
(3) V27TKXJ
H2(z) = ^(oje-t1-*'^^, z > a, S2 = C
у/2-к^аи)
Для этих полей условие Н\ = Н2 при z = а выполняется, а условие
Е\ = Е2 приводит к равенству
/л\ с dHi с dH2
(4) ~л т~ = ~л Т~ ПРИ z = a,
ккк dz 47ГСГ dz
откуда находим условие ц = а/к.С помощью (2) получаем
(5) м= 1, а= к
у/\ + Vt/l/m \/\ + Ut/Um
Турбулентность уменьшает эффективные значения обеих величин, причем
уменьшение сильное при щ > иш. Турбулентная область имеет // < 1
и обладает диамагнитными свойствами, ослабляя внешнее магнитное поле.
Глава 11
Уравнения Максвелла для переменных
и неоднородных полей
11.1. Различные формы уравнений Максвелла в средах.
Уравнения связи и электромагнитные функции
отклика
Система уравнений с четырьмя векторами поля. В разделе 7.1 была
получена система уравнений (7.8)—(7.11) для макроскопических
(усредненных) полей E{r,t), B(r,t):
r*E{r,t) = -±°*^, (11.1)
rotB(r,t) = I^M + My.nt(r,t)+iMt(r|t)), (Ц.2)
dwE(r,t) = Mpint(r,t)+pext(r,t)), (11.3)
divJB(r,*) = 0. (11.4)
(черточку над усредненными Pint{r, t), jint(r^ 0 Для простоты письма
опускаем). Усреднение производилось по физически малым объемам AV и
промежуткам времени At с помощью формулы (7.5). На основе этой системы
уравнений мы рассмотрели в главах 7-10 большое число
электростатических и магнитостатических задач, а также квазистационарных явлений,
когда электромагнитное поле медленно изменяется со временем. Но очевидно,
что способ усреднения (7.5) ограничивает возможность описания быстро-
переменных и сильно неоднородных полей, так как пространственный Л и
временной Т масштабы их изменения должны превосходить
соответствующие масштабы усреднения (ДУ)1/3 и At.
Способ усреднения, свободный от этого недостатка — усреднение
векторов поля и других электромагнитных величин по статистическому
ансамблю состояний рассматриваемого макроскопического тела. Таким
усреднением мы уже пользовались во многих задачах раздела 7.3 (см. задачи 7.14
11.1. Уравнения Максвелла и функции отклика
339
и далее). Поскольку внутренняя структура атомов, молекул и
конденсированных сред адекватно описывается квантовой механикой, то усреднение, о
котором идет речь, должно включать в себя и квантовомеханическое
усреднение по соответствующим квантовым состояниям. В итоге операция
усреднения будет теперь определена для векторов поля следующим образом:
Е{гЛ) = Sp(pE{r,t)), B(r,t) = Sp(p H(r,*)) (11.5)
(черта над усредняемой величиной опущена). Здесь Е, Н — гейзенбергов-.
ские операторы векторов поля, которые были определены в главе 6 (см.
также дополнение 3), р — статистический оператор среды. Аналогичным
образом определяются другие макроскопические величины (плотности заряда,
тока, электрического и магнитного моментов) — как средние по ансамблю
состояний среды значения своих гейзенберговских операторов.
В силу принципа соответствия квантовомеханические операторы
удовлетворяют тем же уравнениям,' что и соответствующие им
(классические) физические величины. В частности, гейзенберговские операторы
электромагнитного поля удовлетворяют уравнениям Максвелла (2.82)-(2.85)
(см. задачу 6.11). Поэтому при усреднении по ансамблю остаются в
силе формулы (7.6) и усредненные уравнения Максвелла (11.1)-(11.4).
Формула связи между плотностью Pint{r,t) наведенного в среде заряда и
плотностьюР(г, t) электрического дипольного момента (7.16) также
сохраняет силу для переменных во времени полей, так как при ее обосновании
в примере 7.1 нигде не было использовано условие постоянства величин
PinU P (см. также модельный подход к (7.16) в задаче 7.1). Поэтому
уравнение связи (7.16) остается справедливым и для зависящих от времени
величин:
Pint(r,*) = -div Р(г,*), (11.6)
где вектор P(r, t) по-прежнему имеет смысл удельного дипольного
момента.
Чтобы найти уравнение связи для тока jinU воспользуемся уравнением
неразрывности
^f+ V-jin( = 0. (11.7)
Подставив в (11.7) величину (11.6), находим
340
Глава 11
Отсюда следует, что величину в скобках можно записать через ротор
некоторого вектора М:
дР(г t)
jint(r,t) = —^+crotM(r,t). (11.8)
Здесь введен множитель с (скорость света), чтобы для статических полей
вектор М имел смысл плотности магнитного момента и уравнение (11.8)
переходило в (7.18). Но в случае переменных полей отождествление М
с вектором магнитной поляризации, произведенное в примере 7.2, теряет
силу ввиду появления в равенстве (3) дополнительного слагаемого,
содержащего произведение г х (dP/dt). В быстропеременных полях теряет силу
и модельное рассмотрение (задача 7.2). В этом случае молекулярные токи
внутри вещества становятся незамкнутыми, и примененный в указанной
задаче подсчет тока через выделенную площадку неприменим. Таким
образом, вектор М в (11.8) можно отождествить с намагниченностью лишь при
условии
" ~~' < |rotM|, (11.9)
дР
at
т.е. в медленно меняющихся полях. Но представление (11.8) без
отождествления М с намагниченностью возможно и в быстропеременных полях,
хотя в этом случае может оказаться более удобным непосредственное
вычисление полного тока jint без разделения его на ток поляризации dP/dt
и ток намагничения crotM. Вводя обозначения (7.22) и (7.23)
D = E + 4ttP, Н = В-АтгМ (11.10)
для векторов электрической индукции и напряженности магнитного поля,
запишем с помощью (11.6) и (11.8) систему уравнений (11.1)-(11.4) в виде
rotE(r,t) = -±d-^, (11.11)
rotiJM) = l^j^ + 4? jext(r,t), (11.12)
divD(r.t) = 4npext(r,t), (11.13)
divJB(r.t) = 0. (11.14)
Это — одна из наиболее употребительных форм записи уравнений
Максвелла в средах. Ее целесообразно применять в случае достаточно медленного
изменения полей со временем, когда электрические и магнитные параметры
среды не сильно отличаются от своих статических значений.
11.1. Уравнения Максвелла и функции отклика
341
Формальное сходство системы (11.11)-( 11.14) с уравнениями
Максвелла (2.83)-(2.86) в отсутствие сред позволяет по аналогии с (2.87)-(2.90)
записать граничные условия для векторов поля на границах раздела сред:
п х (Е2- Ei) = О, n-(D2 - Di) = 4тгаехЬ;
п х (Н2 - Hi) = ^riexU n-(B2 - Bi) = 0.
Здесь п — единичный вектор нормали к поверхности раздела. В правые
части этих условий входят поверхностные плотности сторонних зарядов и
токов. Но в отличие от уравнений Максвелла в вакууме система (11.11)-
(11.14) содержит четыре вектора поля, Е, В, D, if, и число уравнений
недостаточно для определения всех неизвестных векторов. Необходимо
дополнить эту систему некоторыми уравнениями связи между векторами
поля, которые выражали бы, например, вспомогательные векторы D, Н через
четко определенные равенствами (11.5) макроскопические напряженности
поля Е, В.
Задача нахождения корректных уравнений связи является одной из
наиболее сложных в макроскопической электродинамике. Такие уравнения как
правило существенно зависят от индивидуальных свойств рассматриваемой
среды и для их вывода методами квантовой механики и физической
кинетики требуется конкретизировать модель среды. Сравнительно простой анализ
возможен только для самых простых моделей. Тем большее значение
приобретают те свойства электромагнитных параметров среды, которые можно
установить на основе общих принципов физики (причинность, свойства
симметрии среды, ее термодинамическая устойчивость). Ниже мы в
первую очередь используем эти общие принципы.
Уравнения связи. В статических полях, малых по сравнению с
внутриатомными полями, уравнения связи в изотропных средах имели вид (7.26):
D = eE, В = цН, (11.16)
где б, // — скалярные множители, зависящие от свойств среды и ее
термодинамического состояния. В анизотропных средах диэлектрическая и
магнитная проницаемости представляют собой тензоры второго ранга:
DK = eKVEv, BK = iikVHv. (11-17)
Ясно, что в медленно изменяющихся полях в некоторой области
достаточно низких частот будут применимы эти же уравнения связи со
статическими значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей. Но в
быстропеременных и сильно неоднородных полях уравнения связи
усложняются.
(11.15)
342
Глава 11
Предполагая линейность уравнений связи (т. е. достаточно слабые
поля), запишем их в наиболее общем виде как результат действия на основные
векторы Е, В некоторых линейных операторов
D = 3E + kB, H = pB + VE. (11.18)
Здесь величины со шляпками — операторы, которые в общем случае
могут быть тензорами второго ранга, содержать производные и интегралы по
координатам и по времени. Уравнения (11.18) можно упростить, если
заметить, что Е и В связаны линейным уравнением (11.11). Благодаря этому из
правых частей (11.18) можно исключить один из векторов. Например,
записав (11.11) в виде B(r,t) = -с J rot E(r,i)dt или в фурье-представлении
В(к,и) = (с/и)к х Е{к,и), и использовав это в первом уравнении (11.18),
получим D = дЕ — ск J rot E dt или
D = eE, (li:i9)
где ? — некоторый результирующий линейный оператор (оператор
диэлектрической проницаемости), который в статическом случае превращается в
оператор умножения на постоянный скаляр е или на постоянный тензор еар.
В аналогичной форме запишем и второе уравнение (11.18):
В = /Ш, (11.20)
где Д — оператор магнитной проницаемости. Ниже в этом разделе мы
проведем более подробное обсуждение свойств операторов ?, Д.
Система уравнений с тремя векторами поля. Как уже отмечалось в
связи с уравнением (11.8), для быстропеременных полей невозможно
произвести разделение полного индуцированного в среде тока на две части — токи
поляризации и намагничения. Поэтому в такой ситуации вводят новый,
отличный от (11.10), вектор обобщенной электрической индукции 9(г,£),
связывая его с плотностью всего индуцируемого в среде тока:
t
9(r,t) = E(r,t) + 4ir J jint(r,t')dt'. (11.21)
— OO
Здесь предполагается, что поле медленно (адиабатически) включается при
t —> —оо, так что интеграл (11.21) сходится. По аналогии с (11.10) можно
обозначить интеграл в (11.21) через
t
»= J Jint(r,t')dt', (11.22)
— оо
11.1. Уравнения Максвелла и функции отклика 343
хотя введенный таким образом вектор 9 нельзя отождествить с
электрическим дипольным моментом, приходящимся на единицу объема. Теперь этот
вектор включает в себя и ток намагничения:
3int(r,t) = -§-tP(r,t). (11.23)
Плотность наведенного заряда вычисляется с помощью уравнения
непрерывности:
t
Pint(r,t) = - j divjint(r,t')dt' = -div^(r,*). (11.24)
— oo
Магнитное поле в этой схеме описывается одним вектором B(r,i). Таким
образом, уравнения Максвелла будут содержать три вектора поля:
rot*M) = -I^, (11.25)
rotB(r,t) = \Щ^А + ^эехг(гЛ (11.26)
div@(r,£) = 4тгрвя*(г,*), (11.27)
dWB(r,t) = 0. (11.28)
Систему уравнений (11.25)—< 11.28) следует дополнить одним уравнением
связи, которое можно записать в виде (.11.19):
9(r,t) = eE(r,t). (11.29)
Но оператор ? в (11.29) не совпадает с е в (11.19). Поскольку вектор Н
и уравнение связи (11.20) в рассматриваемой схеме вообще отсутствуют,
то уравнение (11.29) должно содержать оба оператора, е и Д, из (11.19),
(11.20). Ниже мы установим связи между этими тремя операторами.
Чтобы найти граничные условия для векторов поля Е, В, Э на
границе раздела сред, переписываем уравнение (11.26) в форме (11.2) и
сравниваем получившуюся систему с уравнениями Максвелла в отсутствие среды.
По аналогии с граничными условиями (11.15) находим
п х (Е2 - Ei) = 0, п-(Э2 - 9i) = 4тг<7ея*;
/Ьг > С11-30)
п х (Б2 - JBi) = ^f(iext + tin*), п-{В2 - Bi) = 0.
Здесь iint — индуцированный в веществе поверхностный ток.
344
Глава 11
Другие формы записи макроскопических уравнений Максвелла можно
найти в учебнике Памятных и Турова (2000) и в статье Виноградова (2002).
Электромагнитные функции отклика. Начнем обсуждение
уравнений связи между векторами электромагнитного поля с записи уравнения
(11.29) в наиболее общей интегральной форме
оо
9a(r,t)= j dt' fd3r'ea0(r,r';t,t')E0(r',t'), (11.31)
— ОО
где интегрирование по координатам охватывает всю среду. Здесь еар —
некоторая действительная тензорная функция, включающая в себя всю
информацию о реакции вещества на слабое переменное и неоднородное
электрическое поле. Ее называют по этой причине функцией линейного отклика
(если бы поле Е было сравнимо с внутриатомным, то связь обобщенной
электрической индукции с напряженностью поля была бы нелинейной).
Физический смысл интегральной связи (11.31) состоит в том, что
реакция среды в точке г в момент t может зависеть от значения поля в другие
моменты времени и не только в данной, но и в соседних точках пространства.
Зависимость от других моментов времени объясняется тем, что перестройка
зарядов и токов среды в связи с изменившимся внешним полем
происходит не мгновенно, а в течение конечного времени — времени релаксации
среды. Разные подсистемы вещества могут иметь разные времена
релаксации. Фактически интервал интегрирования по времени в (11.31) имеет
порядок наибольшего времени релаксации ту, т. е. функция отклика быстро
убывает при \t —t'\ ^> ту. Если свойства среды в отсутствие внешнего поля
не изменяются со временем (среда равновесна), то все моменты времени t
равноценны и функция отклика зависит только от разности t — t\ т. е.
€a/j(r,r';M') = €a/j(r, г'; *-*')■ С11.32)
Если величина, характеризующая воздействие не среду (в данном
случае Ep(r',t')\ может задаваться произвольно и независимо от состояния
среды, то возникает очень существенное ограничение на свойства функции
отклика: она должна строго обращаться в нуль при t — t' < 0. Это
свойство отражает принцип причинности: причина (электрическое поле) должна
предшествовать следствию (поляризации среды). Важные следствия
принципа причинности будут рассмотрены ниже в этом разделе. Но уже сейчас
заметим, что электрическое поле в среде не всегда может задаваться
независимо от свойств среды.
11.1. Уравнения Максвелла и функции отклика
345
Нелокальность, содержащаяся в (11.31), т. е. зависимость поляризации
в точке г от поля в точке г', объясняется тем, что в данную точку
вследствие теплового движения приходят частицы из соседних областей, в
которых поле имеет другую величину. Второй причиной нелокальности могут
выступать макроскопические случайные или упорядоченные вкрапления в
вещество для придания ему нужных электрических и магнитных свойств.
Этот эффект тем больше, чем сильнее поле изменяется в пространстве.
В статистически однородной среде зависимость функции отклика от г и г'
тоже приобретает вид разности
€а/з(г,г,;*-0 = eap(r-r';t-t'). (11.33)
Такая зависимость предполагает отсутствие границ между средами с
разными свойствами, в противном случае вблизи границы эта зависимость будет
нарушаться.
Интегральная зависимость (11.31) охватывает все возможные случаи
линейной зависимости. В частности, при еар = eap8(t — t')S(r — г')
получаем уравнение связи типа (11.16). Разлагая поле E(r', t') в ряд по
разностям г — г' и t — t' вблизи точки (г,£), можем получить уравнение связи,
содержащее производные от поля по координатам и по времени.
Пример 11.1. Пусть среда однородна {безгранична) и равновесна.
Записать уравнение (11.31) для компонент Фурье по координатам и
времени от векторов поля, считая функцию отклика зависящей от разностных
аргументов.
Решение. Умножив обе части (11.31) на ехр(гс<;£ — ik-r) и произведя
интегрирование в бесконечных пределах (—оо,оо) по каждой переменной,
получим вместо интегрального алгебраическое уравнение связи
9а(к,и) = €а0(к,ш)Е0(к,и), (Н.34)
где
€«/*(*,")= fdreiuJT [d3re-ikreap(r,T) (11.35)
— комплексная диэлектрическая проницаемость. Интегрирование по
временному аргументу г — t — t' производится только в пределах
положительной полуоси (одностороннее преобразование Фурье), если
рассматриваемые величины связаны причинной связью. Сравнив (11.34) с фурье-
образом уравнения (11.21), получим связь тензора комплексной
электропроводности кар с тензором диэлектрической проницаемости:
З™1 = КарЕр, ка(3 = -jz{eai3 - йа/з)- (11.36)
346
Глава 11
Из определения тензора комплексной диэлектрической
проницаемости (11.35) и действительности функции отклика ба/з(Д,т) следуют
свойства симметрии при действительных значениях и и к:
€a/3(fc,o;) = £^(-fc,-a;), (11.37)
где звездочка, как и раньше, означает комплексное сопряжение. ■
Пример 11.2. Пусть среда равновесна, однородна и изотропна, а
также инвариантна относительно инверсии пространственных осей.
Показать, что тензор еар(к,и) комплексной диэлектрической проницаемости
определяется двумя скалярными функциями, зависящими в общем случае
от и и к = \к\.
Решение. Тензор второго ранга еар является истинным (полярным) и в
изотропной среде может быть построен только из полярных тензоров 5ар и
какр/к2. Составим из них поперечный и продольный относительно к
тензоры 5^р = 5ар — какр/к29 o^q = kakp/k2. Другие тензоры в
рассматриваемой задаче отсутствуют. Общий вид тензора комплексной диэлектрической
проницаемости:
к кй I к kfi \
еа(3(к,и) = ei(k,u)-^-+ et{k,u) [Sa(3- -^— j , (11.38)
где ей £t — скалярные функции, в общем случае комплексные, которые
можно назвать продольной и поперечной диэлектрическими проницаемо-
стями. Из соотношения (11.37) получаем полезные свойства симметрии для
действительной е' = Re е и мнимой е" = Im e частей диэлектрических
проницаемостей:
e,M(fc,a;)=e,M(fc,-a;) е'^к.ш) = - е\ t(fc, -ш). (11.39)
Действительные части e^t являются четными, а мнимые части e^t—
нечетными функциями частоты.
В анизотропных средах вид тензора еа(з(к,и) усложняется, и он не
может быть представлен в форме (11.38). ■
Пример 11.3. Показать, что двух введенных в предыдущем
примере диэлектрических проницаемостей е i, et достаточно для формулировки
макроскопических уравнений Максвелла в однородной и изотропной среде.
Для этого выразить в фурье-представлении величины jint,Pint в системе
11.1. Уравнения Максвелла и функции отклика
347
(11.1)-(11.4) через ei, et и макроскопическую напряженность
электрического поля Е(к, и). Записать систему уравнений через указанные величины
и выразить амплитуды Фурье векторов поля через плотности сторонних
заряда и тока.
Решение. Из уравнении (11.31), (11.34), (11.38) находим
jL(fc,W) = -M(ei_i)j3ii(fc,W),
jht(k,u>) = -^{et - 1)Е±(к,и), (11.40)
Pint(k,u>) = ^ = -iil^-lk-E(k,u).
Последнее равенство получено из уравнения непрерывности, индексы _L и ||
обозначают компоненты, перпендикулярную и продольную относительно
вектора к. Далее выписываем в представлении Фурье систему уравнений
Максвелла (11.1)-(11.4)
к х Е±(к,и) = ^В(к,и), (11.41)
кхВ(к,и) = -^etE^k^-i^jitfaLj), (11.42)
etk-E(k,u) = -1А-крех1(к,и), 01-43)
к-В(к,и) = 0 (11.44)
и находим из нее компоненты Фурье векторов поля:
Я "(*.") = -». tl ^Pest(fc,4), (11.45)
E±(k>w) = ~{ 2 ^ 2t,2J^(fc^), (П-46)
u)zet(k,u)) — czkz
B(fc,o;) = Bx(fc,a;) = -i 4nc —к х jext(k,u). (11.47)
uzet{k,u) - czkz
Перейдем теперь к уравнениям связи, представленным в форме (11.19),
(11.20). Как и в случае уравнения (11.31), записываем их в интегральной
форме. В однородной равновесной среде ядра интегральных операторов
будут зависеть от разностных аргументов. В случае статических однородных
348
Глава 11
полей они должны превращаться в постоянные тензоры в соответствии с
равенствами (11.17). В изотропной среде будем считать ядра операторов е
и Д скалярными величинами: еЕ — J_oo Jd3rfe(r-r'',t-t')E(r'',£') и
аналогично для /1 В представлении Фурье уравнения (11.19), (11.20) примут
вид (см. пример (11.1))
D(k,u) = е(к,и)Е(к,и), В(к,и) = ц(к,и)Н (к,и). (11.48)
Здесь в аргументах е и // указана величина к — |fc|, так как скалярная
функция может зависеть только от скаляров. В анизотропных средах
диэлектрическая и магнитная проницаемости представляют собой тензоры
второго ранга:
DK(k,u) = eKl/(k,u)El/(k,u), BK(k,u) = ^1/(^,ы)Я1/(^,ы). (11.49)
Пример 11.4. Найти связь между проницаемостями е, fi и ei, St,
введенными ранее. Для этого записать систему (11.11)-(11.14) в
представлении Фурье с использованием (11.48) и сравнить ее с системой (11.41)-
(11.44). Воспользоваться тем, что векторы Е, В в обеих системах по
определению одни и те же.
Решение. Система (11.11)-( 11.14) в представлении Фурье принимает
вид
kxE(k,u) = ^B(k,u), (11.50)
±kxB(k,u) = -^eE{k^)-i^jext{k^\ (11.51)
ek-E(k,u) = -i47rpext(k,u), (11.52)
k-B(k,u) = 0. (11.53)
Из сравнения (11.52) с (11.43) находим
е{к,ш) = е1(к,ш). (11.54)
После этого записываем равенства (11.51) и (11.42) в виде
(1) I* х В(к,ш) = -%eiE\k,u) - i^jit(k,u),
(2) к х В(к,и) = -^£tEL(k,w)-i^3tAk^).
11.1. Уравнения Максвелла и функции отклика 349
Продольное электрическое поле и продольный ток сократились из (11.51)
в силу уравнения (11.52) и уравнения непрерывности к • jext = ujpext.
Вычитая почленно равенство (2) из (1), находим
(3) (^-l)kxB = -%{ei-et)E\
Для исключения вектора В используем закон электромагнитной индукции
(11.50) и получаем важное соотношение
Mb)=i+(s)2(£((fc'w)-£^w))- (п-55)
Из этого соотношения видно, что различие между е i и е t обусловлено
магнитными свойствами среды. Таким образом, при всех и ф 0, пока векторы
В и Е± связаны законом электромагнитной индукции, для полного
описания электрических и магнитных свойств однородной и изотропной
среды достаточно знать две скалярные функции и и к. В статическом случае
(и = 0) связь между векторами Е и В отсутствует, вещество описывается
двумя проницаемостями е(/с,0) = £j(fc,0), /i(/c,0), которые в случае
неоднородного поля могут зависеть от к. ■
Пример 11.5. Из общих систем уравнений Максвелла в fc,
(^-представлении {см. равенства (11.41)-(11.53)) получить уравнения дисперсии,
определяющие зависимость частоты от волнового вектора для поперечных
и продольных собственных колебаний электромагнитного поля в веществе.
Записать требуемые уравнения через проницаемости ei(k,uj),et(k,uj) и
через е(к, и), /x(fe, и).
Решение. Собственные колебания происходят в отсутствие внешних
источников, т. е. при jext = pext = 0. Как следует из (11.45), в этом случае
продольная часть вектора Е может иметь ненулевое значение только при
обращении знаменателя правой части равенства в нуль. Из этого условия
находим уравнение дисперсии продольных колебаний:
ei(k,u) =0. (11.56)
Продольные колебания являются чисто электрическими, так как
магнитное поле поперечно (div В = 0) и при продольных колебаниях не может
возникнуть. Поперечные векторы Е±, В в отсутствие внешних источников
350
Глава 11
могут быть отличны от нуля при обращении в нуль одинаковых
знаменателей правых частей равенств (11.46), (11.47). Это условие дает уравнение
дисперсии поперечных волн:
u2et(k,u) = c2k2. (11.57)
Уравнения дисперсии, выраженные через е(к, и), /x(fc, и), можно
получить аналогичным путем из системы (11.50)-( 11.53) или с помощью (11.54),
(11.55):
е(к,ш) = 0, и2е(к,и)р(к,и) = с2к2. (11.58)
Пример 11.6. Вычислить тензор комплексной диэлектрической
проницаемости полностью ионизованной однородной и изотропной бесстолк-
новительной газовой плазмы, находящейся в равновесном состоянии при
температуре Т (средние концентрации частиц пе = щ = п). Бесстолкно-
вительной называется плазма, в которой частота столкновений частиц
мала по сравнению с частотой волны, а свободный пробег частиц велик по
сравнению с длиной волны.
Решение. Вычислим ток в плазме, вызванный слабым внешним полем
с заданными значениями fc, и. Он может быть найден по формуле
(1) 3 = Y,JevSfd*K
где Sf — неравновесная часть функции распределения частиц данного сорта,
вызванная внешним полем, сумма берется по всем сортам частиц (мы будем
рассматривать только электроны и однозарядные ионы). Величину Sf
вычисляем из уравнения (7.37), записав интеграл столкновений в форме (7.39)
/(/) = —vSf, где v — малая частота столкновений, которую, однако,
можно будет устремить к нулю только в конце расчета. Считая поле малым,
подставляем в (7.37) / = /0 + Sf, \Sf\ <C /о, где /о — максвелловское
распределение (7.31), и линеаризуем уравнение:
с» (!+•■&+-)«—(*+b**)-g-
Поскольку £?, В ос exp(ik-r — iuot), то зависимость 5f(r,t,p) от
координат и времени можно искать в такой же форме:
(3)
<ШГ» ^ Р) = $f(p) Gxp(ik-r — iut).
11.1. Уравнения Максвелла и функции отклика
351
В случае распределения Максвелла (7.31) производная по импульсу
(4) ffe-jA, |„*В1.2£=0.
Подставив все это в (2), получим решение
e(E-v)f0(p)
(5) 6f(p)
T(v + ikv — iuj)
Из полученного выражения становится ясно, почему целесообразно
сохранить даже в бесстолкновительном случае малую частоту столкновений
v > 0: знаменатель последнего выражения не обращается при этом в нуль ни
при каких действительных (физических) значениях к, v, и, и формула (5),
как и последующие выражения на ее основе, математически корректны.
Подставив найденное выражение в (1), можем придать связи между
током и электрическим полем форму закона Ома
(6) ja = кар(к,и)Ер,
где тензор комплексной электропроводности имеет вид
(7) «*W = T,tJ v + ik-v-iu,**'
Согласно (11.21), этот тензор связан с комплексной диэлектрической
проницаемостью соотношением
(8) е*(з{к,и) = да(з + 1 й •
Выделим из тензора еар инвариантные величины е i и е t в соответствии
с его представлением (11.38):
ГСП * 1 i ;-у4тгв2 [ "\\Ш' ,зп
(Ю) е1 = 1 + ^Щ- (-£. .
*-^ иТ J v + ikv\\ - ги
vIMp) d3p
352
Глава 11
Здесь использованы проекции скорости, параллельная и перпендикулярная
вектору к.
Интегрирование по поперечным компонентам импульса в (9), (10)
легко произвести, используя явный вид распределения Максвелла (7.31). В
результате формулы примут вид
ni\ ,- п. л ii -Y^47rne2 1 f e~x l2x2dx
(11) ei[k,u)) = 1 + г > —хгг — / —,
по\ ,- п. л ii -Y^47rne2 1 f е~х l2dx
(12) et{k,u) = 1 + г > —— — / —,
^ ш y/2^kvTuJ x-s-ii/
где vt = y/T/m — тепловая скорость, s = u/kvr > 0 и i/ = u/kvr > 0 —
безразмерные величины. С помощью формул Сохоцкого (1.223)
преобразуем дробь:
(13) —^ = х
х — s — IV
1 +
х — s — IV
S2
= x + s+ —
х — s — IV
Интегрирование х + s сводится к табличному интегралу. Последнее
интегрирование выполняем с помощью тождества
оо
1
J e-{v'-i8 + ix)td^
и' + г(х — s)
о
которое имеет силу благодаря тому, что и' > 0. Имеем
оо оо оо
Г е-*2/Чх = . [ dte-(v'-is)t Г e-(x>+2Xit)/2dl
J х- s-iu J J
Введем об
(14)
юзначени.
X(s) =
я
Z{s) = X(s) - iY(s), где
S
-- se-*2'2 J e»''2du, Y(s) = Ms e^'2
0
11.1. Уравнения Максвелла и функции отклика
353
Действительная часть выражается через интеграл вероятности (см.
Абрамович и Стиган, 1979).
Использовав обозначения (14), а также определив плазменную частоту
записываем окончательное выражение для продольной и поперечной про-
ницаемостей бесстолкновительной газовой плазмы при произвольных
значениях и и к:
ei(k,u) = 1
et(k,w) = 1
Сумма здесь берется по электронам и всем сортам ионов, имеющихся в
плазме. Следует иметь в виду, что частоты ыое» ^oi и тепловые скорости
VTe, VTi различны для электронов и ионов из-за различия их масс (и,
возможно, температур, если плазма находится в неполном равновесии).
Заметим, что обе диэлектрические проницаемости ei,et имеют
согласно (14) мнимые части, пропорциональные Y(s). Мнимая часть
диэлектрической проницаемости определяет диссипацию электромагнитной энергии
(см. ниже раздел 11.3). Возможность диссипации энергии в
бесстолкновительной плазме была открыта Л.Д.Ландау в 1946 г. и называется
затуханием Ландау (см. [Ландау (1946)]). Как можно увидеть из структуры
знаменателей в формулах (9), (10), затухание Ландау обязано тем частицам,
скорость v\\ которых в направлении волнового вектора близка к фазовой
скорости волны: г;ц ~ vph = u/к. Такие частицы, двигаясь длительное
время в резонансе с волной, могут отбирать от нее энергию. В
неравновесной плазме возможен и обратный процесс — раскачка волн частицами.
Но эффекты затухания и раскачки механизмом Ландау отсутствуют у волн,
у которых vph ^ с, из-за релятивистского условия v < с для любых частиц
с конечными массами.
Многочисленные применения полученных формул и их анализ будут
произведены в задачах (см. 11.8*, 11.9, 11.47*, 11.48 и др.) ■
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика
сплошных сред; Ландау и Лифшиц, Статистическая физика; Памятных и
Туров (2000); Линдхарт (1954); Батыгин и Топтыгин, Современная
электродинамика, ч. 1; Бредов и др., Классическая электродинамика; Силин и
-Е4ад.
(11.60)
(11.61)
354
Глава 11
Рухадзе (1961); Батыгин и Топтыгин (2002); Александров и др. (1978); Ахи-
езер и др. (1974)].
Задачи
11.1*. Показать, что уравнения (11.12), (11.13) инвариантны
относительно преобразования
D' = D+rotQ, Н' = Н+±^,
где Q(r,t) — произвольный псевдовектор. Неоднозначность определения
векторов D, Н отражает уже обсуждавшуюся в связи с формулой (11.8)
неоднозначность разделения полного тока на ток поляризации и ток
намагничения.
11.2*. Записать тензор €а/з(к,и), определенный равенством (11.35),
через проницаемости е(к,и)9 /i(/c,cj):
еа0 = е8а0 + (f)2 (l - I) L0 - k-f-\ . (11.62)
11.3*. Обобщим материальные уравнения (11.48) для однородной,
изотропной, равновесной среды и введем разные диэлектрические
проницаемости для продольного и поперечного электрического поля:
D^fcw) = е1{(к,и)ЕЦк,и), D±(k,u) = е±(к,и)Е±(к,и),
В(к,и) = ц±(к,и)Н(к,и)
(магнитные векторы оба поперечны и для них введена одна проницаемость).
Показать, что проницаемости е±, fi± можно произвольно менять, оставляя
неизменной величину (Киржниц, 1987)
с2к2/»±-и2е± = c2k2- u2et
с2к2 - и2 с2к2
ч(к>ш) = .2,2, ,.,2 = -зга—:г- (ч-63)
которая и является реальной физической характеристикой среды
относительно поперечного электромагнитного поля.
11.1. Уравнения Максвелла и функции отклика
355
11.4*. С помощью системы уравнений (11.1)-(11.4) найти связь
между фурье-образами ptot = рш + pexU jiot = j±nt + jfxt полных заряда
и тока и j^xt, pexU выразив их через введенные в задаче 11.3* величины
е\\{к,и)) иг](к,и).
11.5*. Выразить векторы поля Е, В через электромагнитные
потенциалы
В =rotA, E = -±££-gr8dip. (11.64)
Выбрать кулоновскую калибровку: div A = 0. С помощью системы
уравнений (11.1)-(11.4) построить в фурье-представлении функции Грина
G"(/c,cj), G_l(/c,cj) для равновесной, однородной и изотропной среды,
позволяющие выразить скалярный и векторный потенциалы через сторонние
заряды и токи рехг(к,и), jext(k,w).
11.6*. Ток, возникающий в металлах под действием низкочастотного
электрического поля E(t) = Е^е^шЬ, хорошо описывается законом Ома
j = кЕ, где к — статическая электропроводность, а связанные заряды
вносят исчезающе малый вклад. Показать, что в этом случае
e(Lj) = ei(Lj)=et{u) = l + i^p- (к -> 0, /* = 1). (11.65)
11.7**. Вычислить диэлектрическую проницаемость вещества при
высоких частотах и > ио, где cjo — частота движения электронов в
атомах (порядка частот переходов между атомными уровнями). Учесть, что
за период волны Т = 2-k/uj нерелятивистский атомный электрон проходит
путь 1т ~ vT9 который мал по сравнению с размером атома и с длиной
волны поля А = сТ. Поэтому электроны вещества на протяжении
нескольких периодов волны могут считаться свободными и движущимися в слабом
однородном переменном поле заданной частоты и.
11.8*. На основе полученного в примере 11.6 результата
исследовать распределение электростатического потенциала вокруг неподвижного
точечного заряда q, находящегося в равновесной плазме, средняя
концентрация и температура которой заданы. Сравнить полученное решение с
решением задачи 7.24.
11.9. Получить асимптотические выражения для диэлектрических
проницаемостей, вычисленных в примере 11.6 (формулы (11.60), (11.61))
в предельных случаях s>1hs< 1.
356
Глава 11
11.10. Вычислить магнитную проницаемость /x(fc,o;) бесстолкно-
вительной газовой плазмы. Исследовать предельные случаи и ^> kvr
и и <С kvr.
11.11. Вычислить диэлектрические проницаемости ei(k,uj), et(k,uj)
бесстолкновительной полностью вырожденной плазмы твердого тела.
Ионы, закрепленные в узлах кристаллической решетки, можно считать
неподвижными. Исследовать предельные случаи и ^> kvp и lj <С kv?, где vp —
скорость электронов на поверхности Ферми.
11.12*. Заряженный осциллятор с собственной частотой колебаний lj0
и постоянной затухания 7 сначала покоится. Затем на него начинает
действовать внешнее электрическое поле E(t), зависящее от времени
произвольным образом. Длины волн колебаний поля велики по сравнению с
амплитудой колебаний осциллятора. Записать дипольный момент частицы
р (t) = er(t) относительно центра колебаний в виде интеграла,
содержащего внешнее поле, и вычислить функцию отклика (которая будет
характеризовать поляризуемость осциллятора).
11.13*. Квазиклассическая модель дисперсии основана на
представлении атомных электронов в виде классических осцилляторов,
обладающих собственной частотой колебаний cjo и постоянной затухания 7- В
простейшей модели можно считать все осцилляторы одинаковыми, отличия
локального поля от среднего не учитывать. Вычислить в такой модели
диэлектрическую проницаемость е(и) среды, средняя концентрация
электронов в которой равна п. Построить графики зависимости s'{uj) = Re e(u) и
e"{uj) = Im e(u) от частоты для прозрачной среды (7 <С cj). Использовать
функцию отклика, полученную в предыдущей задаче.
11.14*. Квантовая теория дисперсии вдали от резонансов. Пусть
вещество состоит из нейтральных атомов, концентрация которых N в единице
объема. Вычислить на основе квантовой теории дипольный момент
отдельного атома, индуцированный слабым внешним длинноволновым полем, и
затем получить диэлектрическую проницаемость вещества в
пренебрежении отличием локального поля от среднего. Сравнить полученный результат
с тем, который найден в предыдущей задаче на основе квазиклассической
модели.
11.15*. Квантовая теория дисперсии вблизи частот спектральных
линий атома. В условиях предыдущей задачи учесть радиационное ушире-
ние спектральных линий (см. пример 6.11) и вычислить диэлектрическую
проницаемость при частотах, близких или совпадающих с частотами
спектральных линий.
11.1. Уравнения Максвелла и функции отклика 357
11.16. Искусственный диэлектрик состоит из одинаковых идеально
проводящих металлических сфер радиуса а, хаотически распределенных в
вакууме. Среднее число сфер в единице объема N. В этой среде
распространяется электромагнитная волна. Пренебрегая отличием поля, действующего
на каждую сферу, от среднего поля, определить электрическую е и
магнитную // проницаемости такого искусственного диэлектрика. При каких
условиях его можно рассматривать как сплошную среду?
Указание. Электрическая и магнитная поляризуемости идеально
проводящей сферы вычислены в задачах 8.13, 10.40.
11.17*. Вычислить диэлектрическую проницаемость проводящей
среды, считая ионы неподвижными и диэлектрическую восприимчивость а* (и)
ионной среды известной. Диссипацию энергии учесть введением «силы
трения» -77 г, действующей на электроны проводимости, концентрация
которых N. Связать коэффициент г\ со статической удельной
электропроводностью к.
11.18*. Газообразный диэлектрик, находящийся в состоянии
статистического равновесия при температуре Т, состоит из молекул,
концентрация которых N, главные значения тензора поляризуемости (3^ = (3
и 0^ = (3^> = (3' {(3 и (3' зависят от частоты и). На него действует
постоянное и однородное электрическое поле Е$. Найти тензор диэлектрической
проницаемости диэлектрика для гармонически зависящего от времени
электрического поля E(t) = Se~lujt, считая S <С Eq.
11.19. Газообразный диэлектрик состоит из полярных молекул,
электрический дипольный момент которых при отсутствии внешнего поля ро-
Главные значения тензора поляризуемости молекулы в переменном поле
равны (3^ = (3 и (3^ = (3^ = /3', причем ось х\ имеет направление ро-
На диэлектрик действует постоянное электрическое поле Eq и переменное
поле E(t) = Se~tuJt. Пренебрегая ориентирующим действием
переменного поля и ориентационным эффектом, связанным с анизотропной
поляризуемостью молекулы в постоянном поле, найти тензор диэлектрической
проницаемости диэлектрика для переменного поля, если температура Т,
концентрация частиц N.
11.20*. Некоторая система зарядов (например, молекула) находится в
электромагнитном поле, меняющемся по гармоническому закону. Показать,
что если в системе не происходит диссипации электромагнитной энергии, то
тензор ее поляризуемости удовлетворяет условию эрмитовости fak = (3^.
358
Глава 11
11.21. Показать, что если тензор /3^ эрмитов, то при
соответствующем выборе координатных осей он может быть записан в виде /3^ =
= ft^Sik + ieikigi, где ец^ — единичный антисимметричный тензор III ранга
(его определение см. в разделе 1.1), д — некоторый вещественный вектор
(вектор гирации)1, (3^ — вещественные поляризуемости.
11.22. Найти поляризуемость атома (Згк в поле плоской
монохроматической волны при наличии слабого внешнего постоянного магнитного
поля ЯЬ. Исходить из модели упруго связанного электрона (см. задачу 11.13*);
применить метод последовательных приближений. Действием магнитного
поля плоской волны и потерями электромагнитной энергии пренебречь.
Определить также вектор гирации д.
11.23*. Используя осцилляторную модель атома, найти тензор
диэлектрической проницаемости ецс{ш} диэлектрика, содержащего N атомов
в единице объема и находящегося в постоянном магнитном поле Н0
произвольной величины. Диссипацией электромагнитной энергии и действием
магнитного поля плоской волны пренебречь. При каком условии точное
решение перейдет в приближенное решение предыдущей задачи?
Указание. При интегрировании уравнения движения электрона
перейти к циклическим компонентам
х±1 = ^—(х ± iy), хо = z.
V2
11.24. Вычислить тензор диэлектрической проницаемости плазмы,
находящейся во внешнем постоянном магнитном поле В, если средняя
концентрация электронов N. Положительные ионы считать неподвижными,
потери энергии учесть введением «силы трения» —rjr.
11.25*. Найти диэлектрическую проницаемость ионизованного газа,
находящегося в постоянном магнитном поле, с учетом движения
положительных ионов, имея в виду, что масса иона значительно больше массы
электрона. Рассмотреть зависимость диэлектрической проницаемости от и
и сравнить ее со случаем, когда ионы считаются неподвижными.
Концентрация ионов и электронов N.
Указание. Рассмотреть систему уравнений движения электрона и иона.
Принять во внимание, что на электрон действует «силатрения» [-rj(r - R)]
на ион — «сила трения» [—r/(R—г)], где г и jR — радиусы-векторы электрона
и иона.
1 Среды, в которых вектор гирации отличен от нуля, называются гиротропными.
Распространение электромагнитных волн в гиротропных средах рассматривается в гл. 12.
11.2. Причинность и дисперсионные соотношения 359
11.26*. Пусть в безграничной однородной среде имеется только одно
выделенное направление (например, направление внешнего поля). Пусть,
далее, Тгк — какой-нибудь тензорный параметр этой среды, например,
электрическая или магнитная проницаемость. Очевидно, что компоненты
тензора Tik должны быть инвариантны относительно любого поворота системы
координат вокруг выделенного направления. Получить ограничения,
которые накладываются этим требованием инвариантности на вид тензора Т^.
11.2. Причинность и дисперсионные соотношения
Принцип причинности. Причинно-следственные связи между
явлениями позволяют установить некоторые общие свойства функций
электромагнитного отклика, не связанные с конкретными моделями среды. Но при
этом очень важно корректно выбрать величины, характеризующие причину
и следствие. Следуя Киржницу (1987, 1976), будем считать, что величина-
причина может принимать любое наперед заданное значение, не зависящее
от состояния среды. Величина-следствие определяется причиной и
электромагнитным откликом среды. Принцип причинности состоит в том, что
причина всегда предшествует по времени следствию.
В качестве примера рассмотрим конденсатор, заполненный средой с
диэлектрической проницаемостью е. На обкладки конденсатора подается
переменное гармоническое напряжение с частотой и от внешнего
источника. Внутри конденсатора векторы электрического поля D и Е связаны
линейным соотношением через продольную диэлектрическую проницаемость
е(и) = €i(uj). Напряженность поля Е = U/L определяется разностью
потенциалов на обкладках конденсатора и расстоянием между обкладками L.
Напряженность Е может задаваться произвольно, а индукция D
подстраивается под заданное значение Е и связана с ней, таким образом, причинной
связью. Поскольку L — макроскопическая величина, то волновой вектор
к « 2тт/Ь весьма мал, и рассматриваемая ситуация относится к
длинноволновому пределу к —> 0. Сильно уменьшить расстояние L нет
возможности — это приведет к увеличению краевого эффекта, и функция отклика в
этих условиях уже не будет характеризовать объемные свойства среды.
Пренебрегая пространственной дисперсией (к —> 0), запишем
интегральную связь между D и Е в рассматриваемом случае в причинной форме
t
D{t) = E(t)+47r f a{t - t')E(tf)dt', (11.66)
360
Глава 11
где a(t - tf) — функция отклика, характеризующая возникновение
электрической поляризации Р под действием поля Е и обладающая свойством
a(t — t') = 0 при t' > t. Переходя к представлению Фурье, получаем
из (11.66) D(u) = e(w)E(w)9 где
оо
е(ы) = 1 + 4тг /а{т)ешт(1т (11.67)
о
— комплексная диэлектрическая проницаемость в длинноволновом пределе.
Аналитические свойства функции отклика при комплексных
частотах. Электрическая восприимчивость а(т) как функция времени по-
разному ведет себя в случае диэлектриков и проводников. Для диэлектриков
при и = 0 имеем е(0) = £о = 1 + 47гао, где ао = /0°° а{т)йт — конечное
статическое значение восприимчивости. Интеграл по времени быстро
сходится, так как моменты t\ далеко отстоящие от рассматриваемого
момента t9 дают малый вклад в поляризацию. Добавление множителя ешт только
ускоряет сходимость интеграла.
У проводников, согласно (11.65), диэлектрическая проницаемость как
функция частоты имеет особенность вида Attk/oj при и —> 0, где к —
статическая электропроводность. Следовательно, интеграл /0°° а(т)йт
расходится. Но любое конечное действительное значение частоты и делает интеграл
сходящимся:
оо
ja{r)e^dr = i^.
о
Рассмотренные свойства сходимости интеграла (11.67) позволяют
вывести важное свойство е как функции комплексной частоты и = и/ + го/':
диэлектрическая проницаемость не имеет особенностей в верхней
полуплоскости комплексной переменной и, т. е. при и" > 0. Это объясняется
тем, что в (11.67) под интегралом появляется множитель е~" т, т ^ 0,
который обеспечивает сходимость интеграла. Наоборот, в нижней
полуплоскости, т. е. при и" < 0, экспонента неограниченно нарастает при т —> оо, что
приводит к появлению особенностей (см. диэлектрические проницаемости,
вычисленные в задачах 11.13*, 11.15*).
В верхней полуплоскости интеграл в (11.67) обращается в нуль при
стремлении и —> оо по любому пути из-за осцилляции множителя eluJ T
и обращения в нуль множителя е~" т (при и" = 0 это свойство
следует из решения задачи 11.7**, из которого находим e(u;)|w—oo —> 1). Таким
11.2. Причинность и дисперсионные соотношения 361
образом, в верхней полуплоскости комплексного и диэлектрическая
проницаемость е(и) представляет собой аналитическую функцию комплексной
частоты.
Вывод дисперсионных соотношений. Из аналитичности е(ш)
вытекает ряд соотношений между ее действительной е'(ш) и мнимой е"(и)
частями. Так, эти функции связаны дифференциальными соотношениями
Коши-Римана (см. раздел 8.2, формулы (8.31)). Но более удобными
являются интегральные соотношения, в которых производятся интегрирования
по действительным значениям частоты. Для получения требуемых
соотношений используем интегральную формулу Коши
1 Г f(z)dz = Г
2mjTz-uj \
/(cj), если и внутри контура,
О, если и вне контура,
(11.68)
где Г — замкнутый контур, f(z) — любая функция, аналитическая внутри
контура и на самом контуре.
Рассмотрим аналитическую в верхней
полуплоскости функцию f(z) = ф) — 1 и замкнутый . Г£\
контур Г, изображенный на рис. 11.1. Повсюду на
контуре и внутри него f(z) аналитична, поэтому
интеграл Коши равен нулю:
£
[ф) - l]dz
= 0.
(11.69)
При интегрировании по действительной оси
делается обход двух особых точек по дугам малого
радиуса р —> 0. На внешней дуге бесконечного (R —> оо) радиуса
подынтегральное выражение убывает быстрее, чем 1/г, ввиду того, что e(z) — 1 —> 0
при z —> оо, и этот участок контура, таким образом, дает нулевой вклад.
Обходы по дугам малого радиуса дают соответственно
— Z7T
- i7r[e(u) - 1].
(см. раздел 1.3 о свойствах дельта-функции). Поэтому (11.69) принимает
вид
9
7 Ф) ~ 1
J г-"
dz — i7r[e(uj) — 1]
47Г2«
и
0,
(11.70)
362
Глава 11
где символ 9 перед интегралом означает его вычисление в смысле главного
значения.
Разделяя действительную и мнимую части в каждом слагаемом,
находим
оо
£'М = 1 + >/^^. (п.71)
— оо
оо
*"(») = ¥-** f^r^** о1-72)
— оо
— дисперсионные соотношения, или соотношения Крамерса-Кронига. Эти
соотношения позволяют, например, находить действительную часть е'(ш)
по измеренной в экспериментах мнимой части еп(и). Для этой цели удобно
записать (11.71), (11.72) через интегралы только по положительным
частотам, воспользовавшись свойствами симметрии (11.39) диэлектрической
проницаемости:
оо
£'M = l + i^/fr^, 01-73)
О
оо
e"{U) = ^ + ^»J^ldz. (11.74)
О
Если на обкладках конденсатора контролируются и могут задаваться
произвольным образом заряды, то тем самым задается внутри конденсатора
электрическая индукция D, связанная с поверхностной плотностью зарядов
&ext соотношением D = kKoext независимо от вещества, заполняющего
конденсатор. Индукция выступает в роли причины, а следствием является
напряженность электрического поля:
ВД =-ЦДИ. (11.75)
Ф)
При этом электромагнитный отклик осуществляет величина е~1(и)9 она
аналитична в верхней полуплоскости комплексной частоты и именно
она удовлетворяет дисперсионным соотношениям. Величины Ree~l(uj)
и Im e~l(uj) связаны теми же соотношениями (11.71), (11.72), что и
величины s'(uj) = Re е(и), e"(uj) = Im е(ш).
11.2. Причинность и дисперсионные соотношения 363
Перейдем теперь к рассмотрению принципа причинности при наличии
пространственной дисперсии. Мы будем считать, что независимо от
состояния среды могут задаваться и контролироваться внешние по отношению к
среде заряды и токи pext(k,uj), j~txt(k,u). Для того> чтобы создать
гармоники с достаточно малыми длинами волн, внутрь среды нужно поместить
малые заряженные зонды либо малые контура с током, которые
управляются внешними устройствами. Через эти заряды и токи выражаются многие
электромагнитные величины (см. формулы (11.45)—(11.47), задачу 11.3*):
ЕЧЬ,") = -*, ** ,РеАк,и), (11.76)
Е±(к>Ш) = ~{ 2 J™! 2,2^*«(*,"), • (П-77)
u)*et{k,tjj) — trkz
B(k,w) = -i 2 47ГС 2kxjit(k,u), (11.78)
ptot{k,u) = — -pext(k,u), (11.79)
jtotibu) = -jr-JLt(k^) (11.80)
Соответственно, коэффициенты, стоящие при pext, j^xt в правых
частях этих равенств, представляют собой причинные функции отклика,
аналитические в верхней полуплоскости комплексной частоты. В частности,
при к ф 0 дисперсионным соотношениям будет удовлетворять не сама
диэлектрическая проницаемость ei(k,u), но обратная ей величина е~[1(к,и)\
Im et l{k,z)
л i Г Im e, (k,z) 0
Re e;l{k,u) = 1 + ±9J ^l_KJ } dz\
(11.81)
Ree7l(k,z)- 1
i, x 9ы ^ Г Re e, (k,z) - 1
\me;\k,u) = ^& J JjTZJ dz (1L82)
о
(здесь статическая электропроводность положена равной нулю).
364
Глава 11
К поперечному полю относятся уравнения (11.77), (11.78), (11.80).
Наиболее простой вид имеет отклик в уравнении (11.78), который удовлетворяет
дисперсионным соотношениям
оо
Re[u2et{k,u)-c2k2]-1 = ±9 J -^L_ lm [z2et{k,z)-c2k2]-\ (11.83)
о
oo
Im[u2et(k,u)-c2k2}-1 = Ц& J -0-Re[z*et(k,z)-c2k2]-\ (11.84)
о
В (11.83), в отличие от (11.81), отсутствует в правой части равенства
слагаемое единица, так как \uj2et(k,u)) — с2/с2]-1 —> 0 при и —> оо.
Помимо приведенных выше, дисперсионным соотношениям
удовлетворяют еще многие электродинамические величины. Их можно найти в
цитированных статьях Киржница (1976, 1987).
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика
сплошных сред; Ландау и Лифшиц, Статистическая физика; Нуссенцвейг
(1976); Леонтович (1961); Батыгин и Топтыгин, Современная
электродинамика, ч. 1; Силин и Рухадзе (1961); Бредов и др., Классическая
электродинамика; Киржниц (1976); Киржниц (1987); Долгов и др. (1982); Долгов и
Максимов (1981)].
Задачи
11.27. Показать, что функция е(к,ш) = ei(k,u) не имеет нулей в
верхней полуплоскости комплексной частоты.
11.28. Показать, что при чисто мнимых значениях частоты и = ги"
диэлектрическая проницаемость вещественна: e(iuj") = e*(iuj").
11.29. Показать, что при действительных частотах и имеет место
формула
" J ZZ + СсГ
11.30. В некоторых случаях функцию e(t - t')9 определяющую
интегральную связь между векторами D и Е9 можно представить в виде2
2Такая форма соответствует, например, модели вещества, состоящего из твердых диполей.
Она не учитывает поляризуемости электронных оболочек.
11.2. Причинность и дисперсионные соотношения 365
e(t — tf) = fo&{t — £')ехр[—(£ - t')/r]9 где /0 и г — постоянные, в —
ступенчатая функция, нелокальность (пространственная дисперсия)
отсутствует. Вычислить е(ш).
11.31. С помощью дисперсионных соотношений Крамерса-Кронига
определить вещественную часть диэлектрической проницаемости е'(ш)9 по
известной мнимой части е"(ш):
1 + UZTZ
где sqwt — постоянные.
11.32*. Доказать следующие правила сумм для мнимых частей
диэлектрической проницаемости:
ООг -I ОО
о L -I о
где ыое = (47гА/'е2/т)1/2 — плазменная частота.
Указание. Обратить внимание на то, что е(ш) и 1/е(ш) —
аналитические функции от cj, Re е(ш) является четной, a Im е(ш) — нечетной
функциями от и на вещественной оси, и воспользоваться асимптотическим
выражением е(ш) = 1 - cJoe/t<A справедливым при \ш\ —> оо всюду в верхней
полуплоскости и.
11.33. Записать дисперсионные соотношения (11.71)-(11.72) в виде
одного интегрального уравнения для комплексной диэлектрической
проницаемости е(ш).
11.34. Записать дисперсионные соотношения (11.71)-(11.72) в
виде одного интегрального уравнения для комплексной электропроводности
к(и) = -(1и/Атг)(е(и) - 1).
Указание. Учесть свойства симметрии функции к(ш) = к'(и) — 1к"(и):
к'(и) = к'(-и), к"(и) = -к"(-ш).
11.35*. Дисперсионные соотношения М. А. Леонтовича (1961). Пусть
R(r—r', t—t') — причинный отклик на электромагнитный сигнал в
изотропной среде. Обобщить принцип причинности и вытекающие из него
дисперсионные соотношения, полученные выше в настоящем разделе, с учетом
требований специальной теории относительности (см. главы 3,4). Сигналов
366
Глава 11
точку г в момент t может придти только из точек (г', £'), находящихся
внутри и на поверхности светового конуса, обращенного в прошлое, т. е.
удовлетворяющих условию релятивистской причинности c\t — t'\ ^ \г — г'\ ^ 0.
11.3. Энергетические соотношения для переменного
электромагнитного поля в средах. Продольные
электрические колебания
Диссипация электромагнитной энергии. Действие переменного
поля на вещество нарушает его термодинамическое равновесие и приводит к
процессам релаксации, которые сопровождаются ростом энтропии и
диссипацией энергии электромагнитного поля. Механизмом такой диссипации
могут служить столкновения между частицами, приводящие к потере
направленной скорости и переходу энергии в неупорядоченную форму, а также
ее передача таким возбуждениям среды, которые слабо взаимодействуют с
электромагнитным полем.
Вычислим плотность мощности Q диссипируемой в среде энергии
монохроматического электромагнитного поля. Используем исходное
выражение
Q = J-^E=\(jint.E*+fint-E), (11.85)
где jint — ток в среде, чертой обозначено усреднение по периоду поля.
Усреднение необходимо для исключения той части мощности, которая
попеременно переходит от поля к частицам и обратно. Представим
индуцированный в среде ток с помощью формулы (11.36). Из (11.85) получим
компактное выражение
Q = -^еа(3ЕаЕ(3 = 2К*(3Е*ЕР, (11.86)
где
С = \(^-^«) о1-87)
— антиэрмитова часть комплексного тензора диэлектрической
проницаемости. Эта величина обладает свойством
*??=-<$> (П.88)
в отличие от эрмитовой части
&0 = ъ(€а0 + €}а) = 4*а (11.89)
11.3. Энергетические соотношения
367
Свертка антиэрмитова тензора с^р с эрмитовым тензором Е^Ер
является чисто мнимой величиной:
^ah тр* тр ^ah* тр* тр ^o,h тр* тр \*
поэтому плотность мощности диссипации (11.86) — величина
действительная. Если в отсутствие поля среда находится в равновесном состоянии, то
энергия поля расходуется на нагрев среды и в силу второго закона
термодинамики величина Q положительна. Но неравновесная среда может передать
часть своей энергии полю и привести к изменению знака Q.
В случае изотропной среды можно воспользоваться выражением
(11.61) для тензора диэлектрической проницаемости. При этом имеем
<*ъ ir"(h , лл -и */*"(*'") (ск\2 (с к«кА п 1 от
е*13 = г£ {к,и)да(3 + ——— 1 — 1 I да(3- —jj-\ • (11.90)
Далее с помощью уравнения (11.47) находим
(б*, - к-^\ КЕ, = Е*±-Е± = (f)2 \tfH*.H (11.91)
и получаем из (11.86), (11.90) и (11.91)
Q = ^"l^l2 + /Л # |2} = ^W& + ц"Щ. (11.92)
Последнее выражение относится к случаю действительных
монохроматических векторов £?, if, черта обозначает усреднение по периоду.
В равновесной среде Q ^ 0 и должны выполняться неравенства
ие"(к,и) ^ 0, ш^(к,ш) > 0. (11.93)
При и —> 0 для диэлектриков неравенства превращаются в равенства, для
проводников первое неравенство принимает вид к > 0. При всех и > 0
мнимые части е" > 0, //' > 0, хотя в определенных областях частот они
могут быть весьма малыми. Если
e"4Z\e'\, //'<|/Д (11.94)
то диссипация энергии за период изменения поля мала (по сравнению с
запасенной в веществе электромагнитной энергией). Области частот, в которых
выполняются последние неравенства, называются областями
прозрачности вещества.
368
ГлАва 11
Пример 11.7. Электромагнитное поле E(t), H(t) действует в среде
в течение ограниченного времени, обращаясь в нуль при t —> ±оо.
Вычислить плотность диссипации электромагнитной энергии Q за все время
действия поля. Пространственную дисперсию не учитывать.
Решение. Исходим из выражения
(1) Q = j' jint(t)-E(t)dt,
где jint{t), E(t) — действительные функции времени, и разлагаем их в
интеграл Фурье
(2) Jintit)
причем
(3) Ji„tH=#Bt(-w), Е(ш) = Е*(-ш).
Подставив (2) в (1) и использовав (3), приводим (1) к виду
2тг'
(4) Q = J\jint(wyE*(u;) +Гш(и>)-Е(и>))
Здесь подынтегральное выражение совпадает по форме с (11.85) и может
быть преобразовано аналогичным образом. В результате, пользуясь (11.92),
получим
оо
Q=|{e"H|£;H|2+/z"(a;)|IfH|2}g. (11.95)
Энергия поля в прозрачной диспергирующей среде. Преобразуем
систему уравнений (11.1)-(11.4) подобно тому, как были преобразованы
уравнения Максвелла при выводе баланса энергии в разделе 2.3 (см.
формулы (2.97), (2.98)). Вместо (2.97) получим
д (Е* + В2\ + с dw{E х в) +Jint.E = _jex^ (1L%)
dt \ 8тг / 4тг
Рассмотрим сначала случай медленно меняющихся во времени и в
пространстве полей, когда дисперсия не сказывается, проницаемости е, /х
11.3. Энергетические соотношения
369
не зависят от частоты и уравнения связи в изотропной среде (7.24) сводятся
к пропорциональной зависимости
Р=^±Е, М=^^Н. (11.97)
47Г 47Г V
Пользуясь представлением (11.8) для тока в среде и уравнением (11.1),
находим
6-U &Е c(/i-l)
4тг ' <9* 4тг
Jint.E=^-E.^ + ^^E-rotH
После подстановки этого выражения в (11.96) получаем
lfe + T) + ^div^xff) = -^^ (п-98>
Это равенство можно истолковать точно так же, как уравнение баланса
энергии (2.97): работа —jext-E внешних источников над полем расходуется
на увеличение плотности w электромагнитной энергии в среде
w = ±(еЕ? + 1лН2) (11.99)
и на создание потока энергии, плотность которого дается вектором Пойн-
тинга
1=±ЕхН. (11.100)
Последний имеет в случае недиспергирующей среды такой же вид, как и
в вакууме. Плотность энергии (11.99), включая и ее термодинамический
смысл, уже обсуждалась (по отдельности для электрического и магнитного
полей) в главах 8, 9, 10.
Если среда имеет электропроводность к9 то приведенный вывод нужно
дополнить, добавив к току jint ток проводимости кЕ. В результате в левую
часть (11.92) добавится слагаемое кЕ2, которое будет описывать джоулеву
диссипацию поля в среде (см. формулу (9.20) из раздела 9.1, в которой
следует положить Eext = 0). Энергия внешнего источника, таким образом,
будет распределена по трем каналам.
370
Глава 11
В общем случае произвольной диспергирующей среды не удается
однозначным образом определить величины, которые можно было бы
интерпретировать как изменение плотности электромагнитной энергии в среде
и плотность потока энергии3. Это оказывается возможным сделать только
в областях прозрачности среды, в которых выполняются условия (11.94)
(е" <С е', //' <С //) или, в более общей записи,
ah
еа(3
<б
а/3'
(11.101)
т. е. диссипация электромагнитной энергии мала.
Рассмотрим в такой среде волновой пакет с несущими величинами
fc, и и их разбросом До; <С а>, |Дй| <С к. Его можно считать плоской
монохроматической волной с медленно меняющейся амплитудой
£?(r,*)=*(r,*)ei(*'r"w0.
(11.102)
Переменная амплитуда 8{r, t) слабо изменяется на расстояниях Л = 2к/к
и временах Т = 27t/cj, т. е. удовлетворяет условиям
д8
dt
<CJd
дха
<
(11.103)
Вычислим плотность тока, индуцированного волновым пакетом в
однородной среде:
jLn\r, t) = J ка0(г -rf,t- t')Ep(rf, tf)d3rfdtf =
= е^к'г~^ f кар(г -r',t- Oe^'-^-Mt-O^^ t,)d3r,dt/.
(11.104)
Медленно меняющуюся амплитуду можно разложить в степенной ряд в
окрестности точки (г, t):
S(r',t') = g(r,t) + ((г - r').V)S(r,t) + (f - t)^^- + ...
После подстановки этого разложения в (11.104) вычисляем интегралы:
ка0{г -r',t- гУМг'-гЬй"(''-^3г,<й' = каР{к,и),
/'
3Подробное обсуждение этого вопроса проведено в статье [Бараш и Гинзбург (1976)].
11.3. Энергетические соотношения
371
/
Ka0(r ~r',t- t'){r' - r)e^(r'-r)^(t'-t)(i3r/^ = _iJLKa0(k^
I'ка0(г -r',t- t'){t' - ^)e^(r,-r)-M^-0d3r/^/ = • JL^fc^).
Здесь электропроводность кар(к,и) связана с диэлектрической
проницаемостью обычным соотношением (11.36). Пользуясь полученными
соотношениями, записываем плотность тока (11.104):
iint(r, t) = «a/9(fc, u>)E0(r, t) + e«*"-"*> x
f д и(ес*(3 - 8<*р) д _ и де<*Р
Х | ди 4тг dt 4тг дку
vAg0(r,t). (11.105)
Теперь усредним произведение jint-E по периоду Т = 27t/cj с
помощью формулы (11.85). При этом примем следующие приближения:
а) будем считать амплитуду 8 постоянной ввиду ее малого изменения
за период Т (условие (11.103));
б) пренебрежем антиэрмитовой частью тензора еа/з (условие (11.101))
и положим еар ~ б^. Находим
1>
jint.E=±K^E*aE0+
+ ISF (£(^} - Ч 1*^ - T^V • (it**) • ° М06)
Последний этап расчета — усреднение по времени уравнения (11.96) и
подстановка в него результата (11.106). Это приводит к уравнению баланса
энергии (ср. с (2.97))
+ <М Tib [ExB*+E*xB- %^E*aEfi) |. (11.107)
16тг I ~ ' ~ ■ — с дк
В левую часть вынесена плотность мощности внешнего источника
энергий. Первое слагаемое в правой части представляет собой плотность
диссипируемой электромагнитной энергии (11.86). Под знаком производной
372
Глава 11
по времени входит плотность w электромагнитной энергии
квазимонохроматического поля:
W
= m{h^)E^+B'-B)- (11Л08)
Наконец, под знаком дивергенции входит плотность 7 потока
электромагнитной энергии в среде (обобщение вектора Пойнтинга)
7 = ш (Е х в*+Е*х в ~ %жКЕ0) ■ °1109)
Все перечисленные величины усреднены по периоду
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика
сплошных сред; Батыгин и Топтыгин, Современная электродинамика, ч. 1;
Памятных и Туров (2000); Бредов и др,, Классическая электродинамика;
Александров и др. (1978)].
Задачи
11.36*. Показать, что в случае изотропной среды без
пространственной дисперсии выражения (11.108); (11.109) приобретают вид
Ю=Ш
7=^(Е*хН + ЕхН*),
(11.110)
где е = е , // = // — действительные части электрической и магнитной
проницаемостей. Для недиспергирующей среды эти формулы переходят
в (11.99), (11.100), если последние применить к
квазимонохроматическому полю и усреднить по периоду.
Указание. Использовать формулу (11.62).
11.37*. Вычислить плотность мощности Q диссипируемой
энергии электромагнитного поля для случая, когда уравнения связи имеют вид
(11.49). Использовать исходную формулу Q = — §^ - dS для энергии,
втекающей из вакуума внутрь тела через его поверхность в единицу времени.
11.3. Энергетические соотношения
373
Вектор Пойнтинга 7 усреднен по периоду поля. Показать, что искомое
выражение можно записать в виде
Q = -l^(eaah0E*aE0 + ^H*aH0), (11.111)
где индексами ah обозначены антиэрмитовы части тензоров (ср. с
формулой (11.86)).
11.38*. Получить аналог уравнения (11.98) и формул (11.99), (11.100)
для медленно изменяющихся полей в анизотропной недиспергирующей
среде с тензорными проницаемостями еар, ^а(3- Показать, что из
требования закона сохранения энергии следует симметрия тензоров: еар = £ра,
11.39**. Получить аналог формул (11.110) для плотности и потока
энергии в анизотропной прозрачной среде без пространственной дисперсии.
Показать, что искомые величины выражаются в виде
W=lk
7= ттНЯ* хН + ЕхН*),
107ГЧ
(11.112)
где тензоры еа@, fia(3 должны быть эрмитовыми, еар = е*ра, ^а(з = /i£a,
чтобы можно было ввести плотность w электромагнитной энергии.
11.40*. Показать, что статическая проницаемость диэлектрика в
длинноволновом пределе удовлетворяет неравенству е(0,ш)\ш-^о > 1.
11.41*. Найти область допустимых значений величины £/(&, 0) —
продольной диэлектрической проницаемости в статическом пределе и = 0.
11.42. Найти ограничение на значение мнимой части е['(к,ш) при
произвольных к, и.
11.43. Выразить величину /i(/c, 0) через интеграл по всем частотам
от величины г](к,и)9 которая определена равенством (11.63).
11.44*. Колебательный контур состоит из конденсатора, заполненного
диспергирующей средой с проницаемостью е(и)9 так что его емкость
зависит от частоты, и катушки с индуктивностью L. Длина волны колебаний
велика по сравнению с размерами контура. Вычислить среднюю по времени
электромагнитную часть U внутренней энергии контура, выразив ее через
среднее по времени значение заряда q(t) на обкладках конденсатора.
374
Глава 11
11.45. В задачах 11.14*, 11.15* была вычислена квантовомеханиче-
ским методом поляризуемость отдельного атома в поле плоской
монохроматической волны. На основе этих результатов найти в модели Лоренц-
Лоренца (см. пример 7.4) диэлектрическую проницаемость среды с учетом
отличия локального поля, действующего на атом, от среднего поля.
Рассмотреть частоты вдали от резонансов и случай, когда частота внешнего поля
близка к одной из частот перехода в атоме. Каковы пределы применимости
модели для переменного поля?
11.46. Найти частоту ui продольных колебаний вблизи одной из
резонансных частот в среде с диэлектрической проницаемостью, рассмотренной
в предыдущей задаче. Вычислить плотность w электромагнитной энергии
и плотность потока энергии колебаний.
11.47*. Найти частоту uji продольных колебаний бесстолкновитель-
ной плазмы, использовав диэлектрическую проницаемость, найденную в
задаче 11.9 в приближении kvre <^ cj, с учетом ее мнимой части.
Вычислить плотность w электромагнитной энергии, скорость Q ее диссипации и
плотность 7 потока энергии колебаний.
11.48. Обмен энергией между электронами и ионами в газовой плазме
происходит медленно ввиду резкого различия их масс, поэтому электронная
и ионная подсистемы могут длительное время сосуществовать при разных
температурах Т{ ф Те: При этом каждая из подсистем описывается
распределением Максвелла с соответствующей температурой. Используя результат
примера 11.6, найти продольную диэлектрическую проницаемость для
промежуточного случая, когда Si = uj/Uvti ^> 1, se = и/кУте <^ 1- Вычислить
частоту продольных колебаний неизотермической плазмы и их затухание.
Найти условия, при которых затухание рассматриваемых колебаний мало.
11.49. Исследовать спектры продольных колебаний бесстолкнови-
тельной вырожденной плазмы твердого тела. Вычислить частоту и
декремент затухания колебаний. Оценить частоты электронных плазменных
колебаний типичных металлов. Диэлектрическая проницаемость вырожденной
плазмы вычислена в задаче 11.11.
11.50**. Кристаллы с двумя ионами в элементарной ячейке (NaCl,
LiF, KBr и др.) имеют кубическую симметрию, и их длинноволновые
колебания (ка <С 1, а — постоянная решетки) изотропны. В таких кристаллах
могут возбуждаться акустические и оптические колебания. В акустических
колебаниях участвуют макроскопические элементы решетки как целое, т. е.
положительные и отрицательные ионы колеблются совместно, в одной
фазе. Оптическими называются колебания подрешетки отрицательных ионов
11.4. Магнитные колебания
375
относительно подрешетки положительных ионов. Такие колебания сходны
с плазменными колебаниями электронного газа относительно ионного
фона, которые рассмотрены в задачах 11.47*, 11.49. Но в ионных кристаллах
главную роль играют упругие силы, удерживающие ионы вблизи узлов
кристаллической решетки. Наряду с упругими силами может возникнуть
макроскопическое электрическое поле Е и макроскопическая поляризация Р,
влияющие на оптические колебания.
Найти частоты продольных и поперечных оптических колебаний с
учетом упругих и электрических сил. Считать колебания квазистатическими,
т. е. пренебречь запаздыванием электромагнитных возмущений и описывать
их уравнениями электростатики. Искомые частоты выразить через
заданную частоту cjo чисто упругих (без влияния электрических сил)
колебаний, а также через две диэлектрические проницаемости: статическую во
и ту, которая учитывает поляризуемость электронных оболочек ионов, но
не учитывает взаимного смещения положительных и отрицательных ионов.
Последнюю обозначают обычно через е^ и измеряют на частотах, которые
много больше частот колебаний ионов, но много меньше частот переходов в
электронных оболочках ионов [Борн и Хуан Кунь (1958), Давыдов (1976)].
11.51. Вычислить в длинноволновом пределе диэлектрическую
проницаемость е{и) ионного кристалла в области частот, соответствующей
квазистатическим колебаниям ионов. Использовать результаты предыдущей
задачи.
11.4. Магнитные колебания и магнитный резонанс
Парамагнетики. При наложении магнитного поля на парамагнетик
магнитные моменты т отдельных частиц в пренебрежении их
взаимодействием испытывают прецессию, которая описывается уравнением движения
(см. формулы (4.77)-(4.80))
йт. = -т]тхВ. (11.113)
at
Здесь вместо Н теперь пишем В — усредненное значение напряженности
магнитного поля, rj — среднее квантовомеханическое значение
коэффициента пропорциональности между магнитным и механическим моментами
частицы. Значения rj для орбитального и спинового.моментов отдельных
частиц приведены в разделе 4.2, для атома — вычислены в задаче 7.17. Для
электронов и электронных оболочек атомов имеем rj > О после выделения
376
Глава 11
знака «минус» в правой части равенства (11.113). Суммируя по всем
частицам в единице объема, перейдем к вектору намагниченности М = ^ га
и вместо В можем подставить в (11.113) сумму В = Н + АтгМ. В итоге
получим уравнение движения для вектора намагниченности:
Щ- = -г}МхН. (11.114)
at
В случае парамагнетиков отличие локального магнитного поля от среднего
мало, и в последнем равенстве Н — среднее (макроскопическое) магнитное
поле.
Уравнение (П. 114) описывает только вращение вектора
намагниченности вокруг Н(£), сохраняя неизменной его абсолютную величину:
М2 = const. Это связано с тем, что в уравнение не включены процессы
взаимодействия (столкновений) частиц, приводящие к установлению
равновесного состояния. Для того, чтобы отразить на феноменологическом
уровне процесс намагничения парамагнетика при включении постоянного
магнитного поля Н0, можно ввести в уравнение (11.114) релаксационное
слагаемое вида — (М — Mq)/t (ср. с (7.39)), где Мо — намагниченность в
постоянном поле, т — время релаксации, константа, определяемая из опыта.
В слабых полях Мо = хо-^о» статическая магнитная восприимчивость \о
была вычислена в задачах 7.16, 7.17. Если полное магнитное поле H(t) =
= if о + h(t) не совпадает по направлению с if о, то намагниченность тоже
будет иметь продольную и поперечную относительно if о составляющие.
Эти составляющие могут релаксировать с разными временами т\, т^.
Уравнение (11.114) с учетом релаксации примет вид
^ = -7?Мх/*-1-(М||-Мо)-^М±. (11.115)
(уравнение Блоха)4.
При воздействии на парамагнетик переменного магнитного поля и
совпадении частот внешнего поля и прецессии намагниченности имеет место
явление магнитного резонанса — существенно возрастают вектор
намагниченности и поглощаемая парамагнетиком энергия внешнего поля (см.
задачу 11.52*).
Ферромагнетики. В отличие от парамагнетиков, в которых
взаимодействие между магнитными моментами отдельных частиц невелико, в
ферромагнетиках обменное взаимодействие между спинами приводит к
появлению эффективного магнитного поля, величина которого много больше
4Блох Феликс — американский физик, Нобелевский лауреат (премия присуждена за
открытие ядерного магнитного резонанса в 1946 г.)
11.4. Магнитные колебания
377
Hef = H + \M + qV2M. (11.117)
среднего (макроскопического) поля (см. раздел 9.3). Благодаря этому уже
относительно слабое внешнее поле намагничивает ферромагнетик до
насыщения, что мы и будем в дальнейшем предполагать. Движение вектора
намагниченности в пренебрежении диссипативными процессами
описывается уравнением Ландау-Лифшица [Лифшиц и Питаевский, Статистическая
физика, ч. 2]
^ = -7/MxiJe/, (11.116)
где эффективное магнитное поле в изотропной ферромагнитной среде имеет
вид
Поле Вейсса ХМ выпадает из уравнения (11.116). Частная производная
в левой части (11.116) написана для того, чтобы подчеркнуть
возможность рассмотрения неоднородной намагниченности. Последнее слагаемое
в (11.117) как раз и связано с неоднородностью в распределении
намагниченности, которая должна быть малой (ка С 1, а- межатомное
расстояние). В большинстве ферромагнетиков коэффициент г\ = ео/тс, так как
главный вклад вносят спиновые магнитные моменты.
Для того чтобы уравнение (11.116) учитывало потери
электромагнитной энергии в среде, его нужно дополнить диссипативным членом. Обычно
предполагают, что в Не/ входит некоторое поле «сил трения» —pdM/dt,
пропорциональное скорости изменения намагниченности. Тогда
уравнение (11.116) примет вид
ш. = -1М,(н„-Рту (|,.,18)
где р — некоторый параметр (параметр потерь). Если потери малы, а полное
магнитное поле представляет собою сумму постоянного поля Щ и
переменного поля h(i): H = Ho + h(t), причем \h\ <С Щ, то уравнение (11.118)
примет более простой вид [Гуревич и Мелков (1994)]:
^ = -7(М х Н) +иг(ХоН - М). (11.119)
Здесь хо =(Мо/Яо, oor = pj2Mq/xo, M) = \М\ — намагниченность
насыщения. Уравнение Ландау-Лифшица является исходным при решении задач
о ферромагнитном резонансе.
В радиотехнике сверхвысоких частот получили широкое
распространение ферромагнетики с очень малой проводимостью (ферродиэлектрики,
378
Глава 11
ферриты). Распространение электромагнитных волн в ферритах
рассматривается в гл. 12 и 13.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика
сплошных сред; Лифшиц и Питаевский, Статистическая физика, ч. 2;
Памятных и Туров (2000); Уайт (1985); Батыгин и Топтыгин (2002); Батыгин
и Топтыгин, Современная электродинамика, ч. 1; Гуревич и Мелков (1994);
Пейк(1965)].
Задачи
11.52*. На парамагнетик действует постоянное магнитное поле if о и
малое переменное поле he~lujt9 h <С Я0, перпендикулярное if о-
Линеаризуя уравнение движения (11.115), вычислить магнитную восприимчивость
парамагнетика x(cj) и поглощаемую в единицу времени энергию
магнитного поля Q(lo).
11.53. Вычислить характерные частоты ядерного магнитного
резонанса и электронного парамагнитного резонанса в постоянном магнитном
поле напряженностью if о = Ю3 Э. В первом случае эффект вызван
магнитными моментами атомных ядер, во втором — магнитными моментами
отдельных электронов или электронных оболочек атомов.
11.54. Найти закон движения вектора намагниченности М при
отсутствии потерь в безграничной ферритовой среде, намагниченной до
насыщения. Магнитное поле if в среде постоянно и однородно.
11.55. Ферромагнетик намагничен до насыщения постоянным
магнитным полем if 0. В пренебрежении диссипацией найти спектр
собственных (в отсутствие внешнего переменного поля) колебаний намагниченности
с учетом всех слагаемых эффективного поля (11.117)
11.56. Решить задачу 11.54 с учетом потерь. Исходить из уравнения
Ландау-Лифшица в форме (11.119). Считать, что отклонения М от
направления if малы и иг <С cjo = 7#o-
11.57*. Пусть в неограниченной ферромагнитной среде наряду с
однородным постоянным полем if о действует высокочастотное поле he~luJt
(h = const). Считая h <С Я0 и пренебрегая потерями, а также
неоднородностью намагниченности, найти в линейном по h приближении
вынужденные колебания вектора намагниченности М. (Собственные колебания, т. е.
ларморова прецессия под действием постоянного поля if о, затухнут из-за
потерь, существующих во всех реальных системах.)
11.4. Магнитные колебания
379
11.58. Используя результат предыдущей задачи, найти тензоры
магнитной восприимчивости Хгк и проницаемости fiik для
высокочастотного поля. Построить зависимость компонент тензора /х^ от постоянного
магнитного поля Я0 при М0 = 160 Гс и v = uj/2-k = 9375 МГц (Л =
= 3,2 см). Проследить резонансный характер изменения этих величин.
Определить Hq res-
11.59. Получить решение задачи 11.57* с учетом неоднородности
намагниченности (пространственной дисперсии), но в пренебрежении
потерями. Вычислить тензор магнитной проницаемости в этом приближении.
11.60*. В неограниченной намагниченной до насыщения ферритовой
среде кроме постоянного магнитного поля Но = Hz действует переменное
поле, поляризованное по кругу: Нх = hcosut, Hy = hsinut, h = const.
Найти точное решение уравнения Ландау-Лифшица, соответствующее
вынужденной прецессии вектора М с частотой и внешнего поля. Диссипацию
энергии не учитывать.
11.61. Получить решение задачи 11.57* о вынужденных колебаниях
вектора намагниченности с учетом потерь. Использовать уравнение Ландау-
Лифшица в форме (11.119).
11.62. Используя результат предыдущей задачи, найти тензор
магнитной проницаемости /х^ для высокочастотного поля. Получить выражения
действительной и мнимой частей компонент этих тензоров. Построить
зависимость обеих частей компонент тензора магнитной проницаемости от
постоянного магнитного поля для М0 = 160 Гс, v = uj/2-k = 9375 МГц,
<jjr = 3 • 109 рад/с. Определить резонансное поле Но res (т.е. значение Щ,
при котором мнимые части компонент тензора // имеют максимум).
11.63. Определить полуширину АНо резонансной кривой мнимых
частей компонент тензора магнитной проницаемости, считая ur ^ и.
Полушириной резонансной кривой называется расстояние между двумя
ординатами //' = fires и //' = fires/2.
11.64*. Найти, без учета потерь, частоту ларморовой прецессии ыь в
ограниченном ферромагнитном образце, имеющем форму эллипсоида.
Образец находится во внешнем однородном поле if о, приложенном вдоль
одной из осей эллипсоида. Считать отклонение вектора намагниченности М
от равновесного положения малым.
Указание. В уравнение Ландау-Лифшица войдет теперь внутреннее
поле Hi, которое будет отличаться от внешнего поля Н0 вследствие раз-
380
Глава 11
магничивающего действия формы тела:
Н = Н0-Н', H'k = 47rNklMh
где Nki — тензор размагничивающего действия формы (см. задачу 9.49).
11.65. Решить предыдущую задачу с учетом потерь. (Учитывать
только члены, линейные относительно иг.)
11.66*. Рассмотреть вынужденные колебания при наличии потерь
в малом образце эллипсоидальной формы. Определить компоненты тензора
магнитной восприимчивости \гк для высокочастотного поля, читая
амплитуду его h малой по сравнению с постоянным полем Я0.
11.67. В некоторых ферромагнитных средах (антиферромагнетиках)
результирующая намагниченность М складывается из двух частей: М =
= Mi + М2, где Mi и М2 создаются ионами, находящимися в разных узлах
кристаллической решетки и образующими две магнитные подрешетки (см.
раздел 9.3). В равновесном состоянии векторы намагниченности М\ и М^
ориентированы антипараллельно, так что М = \М\ — М2|. При прецессии
во внешнем магнитном поле антипараллельность векторов М\ и М2
нарушается. В результате этого на каждый из векторов начинает действовать
молекулярное поле Вейсса (см. формулу (11.117)). Определить частоты
собственной прецессии, предполагая, что \\М\ — М2| ^> Яо, где Щ — внешнее
поле, Л — постоянная молекулярного поля Вейсса. Считать отклонения
векторов Mi и М2 от равновесного положения малыми.
11.5. Электродинамика движущихся сред
Изучение электромагнитных явлений в движущихся средах имеет не
только принципиальное, но и практическое значение, так как все чаще
встречаются макроскопические тела, имеющие релятивистские скорости.
К их числу относятся многочисленные и активно изучаемые
релятивистские объекты в астрофизике (релятивистские дтруи, релятивистские
ударные волны, релятивистские аккреционные диски и др.), а также ускоренные
сгустки плазмы и плотные пучки энергичных электронов в технических
ускорительных устройствах.
Уравнения Максвелла и уравнения связи Минковского5. Мы будем
здесь рассматривать только среды, движущиеся с постоянной скоростью
5Минковский Герман (1864-1909) — выдающийся немецкий математик и физик, выдвинул
идею о четырехмерном пространстве-времени с псевдоэвклидовой геоиетрией и разработал ее
следствия. Сформулировал релятивистски инвариантные уравнения электромагнитного поля в
движущейся среде.
11.5. Электродинамика движущихся сред
381
V = const. Такое движение имеет место не всегда. Пример описания в
квазистационарном приближении проводящей среды, скорость которой может
варьироваться в пространстве и во времени (магнитная гидродинамика),
содержится в разделе 10.3.
Микроскопические уравнения Максвелла (7.1) - (7.4), как и
результат их усреднения (11.1)-(11.4), имеют силу не только для неподвижных,
но и для движущихся сред. Сохраняет свой смысл и вектор Р как
электрический дипольный момент, приходящийся на единицу объема, так как
уравнения (11.6)-(11.8) справедливы и в движущейся среде. Однако, смысл
вектора М как удельной намагниченности ограничен, по сути дела, лишь
областью статических явлений (см. неравенство (11.9)). Поэтому вектор М
следует рассматривать как вспомогательную величину, удобную для
параметризации тока jint9 создаваемого частицами среды. Отличие М от нуля
свидетельствует о наличии такого тока. Таким образом, будем описывать
поле в движущихся средах системой уравнений Максвелла (11.11)-(11.14).
Для удобства ссылок приведем ее здесь еще раз:
эт/ х \dB(r,t)
div D(r,t) = A-Kpext(r,t),
div B(r,t) = 0.
(11.120)
(11.121)
(11.122)
(11.123)
Дальнейшие расчеты удобно производить в четырехмерной тензорной
форме. Основы алгебры и анализа в четырехмерном псевдоэвклидовом
пространстве изложены в главах 3,4.
Поскольку векторы Е, В представляют собой усредненные значения
микроскопических напряженностей 8, Ж, то при переходе в другую инер-
циальную систему они преобразуются таким же образом, т. е. образуют в
совокупности 4-тензор электромагнитного поля, аналогичный тензору (4.68):
Fik =
( °
—Ех
-Еу
\-Ez
Ех
0
Bz
-в,
о
Вг
By
-вх
о
\
pik _
(°
Ех
Еу
\EZ
—Ех
0
Bz
-в,.
-вя
о
Вх
-Е.\
By
—Вх
о
(11.124)
Для того, чтобы система уравнений (11.120)—(11.123) была релятивистски
ковариантной, необходимо, чтобы и вторая пара векторов объединялась в
382
Глава 11
такой же 4-тензор — тензор электромагнитной индукции:
/ 0 Dx Dy Dz \ /О -Dx -Dy -Dz \
и _ I — Dx 0 —Hz Hy I „г/. _ I Dx 0 — Hz Hy J
nik ~ -Dy Hz 0 -Hx \ > n ~ \ Dy Hz 0 -Hx '
\-Dz-Hy Hx 0 / \DZ-Hy Hx 0 /
(11.125)
Аналогичный тензор можно ввести и для величин (Р, М). Уравнения
Максвелла, записанные через тензоры F^, Яг/с, имеют вид (4.114), (4.112):
diFik + diFkl+dkFu=0, dkHik = -^jlext, (11.126)
где j lext — 4-вектор внешнего тока.
Уравнения связи между векторами Е, В (имеющими точный смысл
и в движущихся средах) и вспомогательными векторами Z>, H получим с
помощью преобразования Лоренца. Пусть среда изотропна, а электрическая
и магнитная проницаемости не имеют дисперсии. Тогда в системе покоя
среды уравнения связи имеют вид (11.16):
D' = еЕ', В' =цН', (11.127)
где е, fi — проницаемости в неподвижной среде. Преобразуем векторы поля
в лабораторную систему по формулам (4.69) и получим уравнения связи
Минковского
D + \V х Н = е(е + \V х НV В - \V х Е = Jh - \v x Г>).
(11.128)
В Н(ерелятивистском приближении F С с, и в поправочных членах можно
использовать формулы (11.127). Это дает
D = eE+E^-^VxH, B = vH-^-^VxE, V < с. (11.129)
Условия на границе раздела двух сред тоже можно получить путем
пересчета в лабораторную систему граничных условий (11.15), полученных
для неподвижной среды. Считаем некоторый элемент граничной
поверхности локально плоским и вводим сопутствующую систему отсчета S',
в которой движение этого элемента по нормали п к его плоскости
отсутствует. Относительная скорость двух систем в этом случае имеет значение
v = Vnn. В системе S' граничные условия имеют вид (11.15). При их
пересчете в лабораторную систему по формулам (4.69) условия для нормальных
11.5. Электродинамика движущихся сред
383
компонент останутся прежними:
n-(D2-Di) = 0, n-(JB2-JBi) =0 (11.130)
(мы считаем отсутствующими поверхностные заряды и токи). Условия для
тангенциальных компонент примут вид
пх(Е2- Ег) = \{В2 - JBi), пх(Я2- Н г) = -\{В2 - Dx).
(11.131)
В нерелятивистском приближении в поправочных членах можно положить
Eri = ЕГ2, Нт 1 = Нт2, и условия (11.132) несколько упростятся:
пх(Е2- Ег) = ^(М2 - /ii)HT, пх(Я2- Н г) = -У±(е2 - е{)Ет.
(11.132)
Задачи
11.68*. Выразить из уравнений связи Минковского (11.128) векторы
индукции D, Н через усредненные векторы напряженностей поля Е, В.
Показать, что искомые связи имеют вид
2
D = eE + ^-[02E -{3(0-Е) + /Зх В],
2 (М133)
Н = ±В + ^[-рВ + (3(0 ■ В) + (3 х Е},-
где использованы обозначения
к = е/*-1, (3 = V/c, 7=(1-/32)_1/2- (11.134)
11.69*. Показать, что уравнения связи Минковского (11.133) можно
записать в ковариантной четырехмерной форме
Hik = €ikmnFm^ €ikmn = ц-Цдрт + Ку?ит)(дкп + KUkUn). (1 1.135)
Здесь егктп — 4-тензор электрической и магнитной проницаемостей,
метрический тензор определен уравнением (3.18) (дгк = дне), иг — безразмерный
вектор 4-скорости среды:
• u* = (7>7V/c), и{щ = 72 - /3272 = 1- (11.136)
384
Глава 11
11.70*. Пусть в сопутствующей системе электрическая и магнитная
проницаемости среды е(и'), /i(c</) зависят от частоты, т.е. имеет место
временная дисперсия. Записать уравнения Минковского (11.128), (11.133)
для фурье-образов векторов поля (Екш, BkuJ и т. д.) в лабораторной системе
координат.
Электромагнитные потенциалы в движущихся средах. Этот вопрос
будет изложен на основе обзоров Болотовского и Столярова (1974,1983).
Четырехмерная формулировка уравнений Максвелла и уравнений связи
позволяет существенно упростить выкладки. Выражаем тензоры поля через
четырехмерный вектор-потенциал Аш согласно (4.52):
Гтп — UmAn — UnAm, Н = € ОтЛп — ОпАт, (1 1.137)
где использовано уравнение связи (11.135). При этом первое уравнение
(11.126) выполняется тождественно, а из второго получим
(girn + ки*ит){[-дкпдкдп - к(икдк)2}Ат+
+ dm(dkAk + KukundkAn)} = -^jixt. (11.138)
Здесь —дкпдкдп = Д — (d/cdt)2 — оператор Даламбера (4.38).
Вследствие неоднозначности в выборе электромагнитного
потенциала на него можно наложить дополнительное условие. Удобно выбрать его
таким образом, чтобы упростить уравнение (11.138):
дкАк + кикипдкАп = (дкп + кикип)дкАп = 0. (11.139)
Последнее уравнение представляет собой обобщение условия Лоренца
(2.105) дкАк = 0 на случай движущейся среды. С помощью этого
условия запишем уравнение (11.138) для потенциала в виде
L(gim + Kuium)Am = -^rjLo где оператор L = -дкпдкдп - п{икдк)2.
(11.140)
Более, удобная форма записи достигается, если ввести 4-тензор второго
ранга
Sik=gik-T^—uiuk. (11.141)
Из уравнения (11.138), умножив его на Sn;, получим более компактное
уравнение
LAn = -^Snipext. (11.142)
11.5. Электродинамика движущихся сред
385
Это уравнение имеет ковариантную форму, поэтому оно
справедливо в любой инерциальной системе отсчета. Оператор L, как следует из
его определения (11.140), является релятивистским инвариантом, его
перевод в другую инерциальную систему сводится к преобразованию Лоренца
4-векторов хг иик,в частности,
Z-A'-^-A-ig-g^V.v)'. 0-3,
Первое выражение относится к сопутствующей системе и оператор
действует на штрихованные координаты, второе выражение относится к
лабораторной системе.
Пример 11.8. Получить из (11.138), (11.142) уравнения в трехмерной
форме для векторного A(r,t) и скалярного <p(r,t). потенциалов в
движущейся среде и дополнительное условие для них.
Решение. Использовав связи Ак = (</?, A), jk = (cp,j), получим
LA = -^ (jext + V-^—AV ■ jext - c2pext)\ ,
-=• 47Ш I Kf2 /Ir . 2. .
Lf = — < CPext + (1+ , (V ■ Jext - С pext)
(11.144)
V-A+i^-^-(|+V-v)(V-A-c^)=0. • (11.145)
Здесь оператор L дается вторым выражением (11.143). При V = 0
предыдущие уравнения принимают вид
<?тч с 3ext' v c2dt2
Д-^&М = -^«*. д-5Ьк = -^ ("-"б)
с дополнительным условием
V.A + ^ = 0. (11.147)
386
Глава 11
Пример 11.9. Ввести по аналогии с формулами (5.40)-(5.46)
электрический и магнитный векторы Герца в движущейся среде. Получить для них
уравнения и найти их связь с электромагнитным четырехмерным
потенциалом Ак. Представить указанную связь такэюе в трехмерной векторной
форме.
Решение. Сначала запишем уравнения для векторов Герца в
неподвижной среде с проницаемостями е, // без дисперсии. Уравнения для
потенциалов (11.146) и дополнительное условие (11.147) будут выполняться, если
связь потенциалов с векторами Герца будет иметь вид
(1)
аЛ^ + vxzW, v = -iv-zw.
При этом сами векторы Герца нужно подчинить уравнениям
(2)
(A-2f&)*"~4,№ (A-Sfg) *-.--*«.
где р, т — векторы электрической и магнитной поляризации,
определяющие внешний ток
(3)
др „
Pext = -V • p.
Для записи этих соотношений в произвольной инерциальной системе
следует придать им релятивистски ковариантную форму. Для этой цели
замечаем, что закон преобразования величин (р, т) такой же, как векторов
поляризации среды (Р, М), т.е. их совокупность образует
антисимметричный 4-тензор второго ранга:
(4)
Р =
Рх
/ о
-Рх О
—Ру mz
\-р,
-mv
Vz \
ть
Ру
—т
О —т.
тх О
/
Векторы Герца Z^e\ Z^ тоже объединяются в единый 4-тензор
(5)
Zik =
/ О
г(е)
7(е)
&х
о
,(е) 7(т)
(е)
\-zr -z,
Ае)
zie) \
7(т) Mm)
О
7(rn) Mm)
Mm)
&х
о /
11.5. Электродинамика движущихся сред
387
Теперь уравнения (2) можно записать в ковариантной форме, которая
применима в любой инерциальной системе:
(6) LZik = -4irp,pik.
Оператор L дается уравнениями (11.143) и в случае неподвижной среды
приводит к уравнениям (2). В лабораторной системе нужно использовать
выражение (11.143) сУ/0.
4-потенциал Аг = (</?, А) тоже выражается через Zlk в ковариантной
форме с помощью тензора (11.141):
(7) А* = -S\dkZlk = (jf^u'm - б(\ dkZlk.
При иг = (1,0), т.е. в сопутствующей системе, (7) дает формулы (1). При
переходе в лабораторную систему получим
(8) 9t (1 + ")C
х Lv ■ Z(e) + i J^(V • Z(e)) + (V ■ [V x Z(m)])|,
mv.-(1-g.y.«.> + -jzL.v.{i
iezW+VxZW ,
dt
Пример 11.10. Построить запаздывающую функцию Грина для
уравнения (11.142) в движущейся среде без дисперсии (ер, > 1). Сравнить
полученное решение с функцией Грина в вакууме (см. формулу (5.9)).
Решение. Ищем решение уравнения
(1) LG{r,t) = -4irn6(r)6(t),
удовлетворяющее условию
(2) G(r,t) =0 при t < 0.
Оператор L определяется выражением (11.143) и является инвариантным
обобщением оператора Даламбера на случай движущейся среды.
388
Глава 11
Как и в разделе 5.1, используем преобразование Фурье уравнения (1)
по координатам и времени:
(3) б(к,и)[дйк1к1 - к(щк1)2} = 4тф.
Формальное решение, аналогичное (5.6), имеет вид
47ф
(4) G =
к2 - (ш/с)2 - («72/c2)(w - fc • V)2
Обратное преобразование Фурье
(5) G(r,t)= [с(к,и)е«кг-^^
J 2тг>
duj
(2тг)3 2тг
следует выполнять таким образом, чтобы полюса подынтегрального
выражения при интегрировании по частоте были обойдены сверху (см. рис. 5.1).
Тот же результат будет достигнут, если в знаменатель добавить малое
мнимое слагаемое путем замены и —> и + г£, £ —> +0 (см. формулу Сохоцко-
го (1.223)). При этом полюсы подынтегрального выражения смещаются в
нижнюю полуплоскость. В проводимом ниже расчете эта процедура будет
выполнена неявно при использовании табличных интегралов от
цилиндрических функций.
Направим ось Oz вдоль скорости среды V и введем цилиндрические
координаты, в которых к • V =. &ц V, к • г = k\\z + к±г± cos<£. Здесь <р —
угол между векторами г± и к±, перпендикулярными V. Проинтегрировав
по d<p с использованием формулы (1.150), получим из (4)
«б»
g"'(>=£/
/i f Jo(k±r±)exp(ik\\z — iut)k±dk±dk\\duj
fci + fc2 - (W/c)2 - (k72/c2)(w - W2 '
Здесь Jo — функция Бесселя. Интегрирование по dk± выполняем с
помощью формулы (Градштейн и Рыжик, 1971, 6.565.4)
со
(7) / Mk,r±)k±dk± = где Rea>Q)
J kr+a'
о v±
К0 — модифицированная функция Бесселя (функция Макдональда (1.163)).
В нашем случае
(7) а = 7^/(1 - ецрЩ + 20(е» - Щ(и/с) - (efi - /?W/c2) > 0.
11.5. Электродинамика движущихся сред
389
Для выполнения оставшихся двух интегрирований выполним замену
переменных
(8) # = fc||, а = и ^— fc||, причем dk\\duj = dxda.
Pcjefi - 1)
ец-$'
Воспользуемся формулами (1.163)
K0(z) = fH^(iz)
и 6.616.3 (последняя — из справочника Градштейна и Рыжика, 1971):
оо
(9) / eixz'H^\g^b2-x2)dx = 2i P}by/g2+*t2 ^
— oo v
где Щ * — функция Ханкеля первого рода (1.154),
(10) z —z —, д — , о= ——а.
ер ~ Р2 -fy/ep - (З2 CV^
Последнее интегрирование производится с помощью (1.219):
(и)
/Ч-Ч'-^^^Ь
•2\„2
27гф-(£/Х-Д)7у^Т>2
Собрав предыдущие результаты, запишем конечное выражение для
функции Грина:
(ец-(32)т
2\„,2
G(r,t) = —^—6[t-^ ^J y^T^ . (11.148)
y/g2 + z'2 V CV^ /
Полученная функция удовлетворяет условию (2), что следует
непосредственно из структуры аргумента дельта-функции. При V = (3 = 0, 7 = 1
имеем yjg2 + z'2 = г и функция Грина приобретает вид
(12) G(r,t) = ±6\t
с/у/еЦ
390
Глава 11
Это соответствует формуле (5.9) для вакуумной функции Грина, если в
последней заменить скорость с на фазовую скорость vPh = c/y/eji
электромагнитных волн в диэлектрике. При е = fi = 1и произвольной V увлечения
электромагнитного поля движущейся средой не происходит, и из (12)
получаем выражение (5.9).
Функцию Грина (12) можно представить в более наглядной форме,
если преобразовать аргумент дельта-функции по формуле (1.209). Такое
преобразование дает
G(r,t) = ^L{(1 +signTiW* - n) + (1 +sig*Tl)6(t - n)}, (11.149)
где signx = x/\x\9
д. = (*2 + (1-е/х/з2Ь2г1)1/2,
Tl~ c(l-e/x/32) ' (11.150)
_ (efi-l)f3z + (l-/32)^sJiRt
фм/32 - 1)
Множители (1 + signr) обращаются в нуль при т < 0 и тем самым
обеспечивают выполнение условия запаздывания (2). Их нужно считать равными
нулю и в тех случаях, когда Я* становится мнимым. ■
Электромагнитные силы, действующие на вещество в переменном
поле. Тензоры энергии-импульса Абрагама6 и Минковского. Эти
вопросы, дискуссия по которым еще не завершена, изложим для случая
неподвижной (либо движущейся с нерелятивистской скоростью V <^ с) недис-
пергирующей изотропной среды, опираясь на обзоры [Скобельцын (1973),
Гинзбург (1973), Гинзбург и Угаров (1976)], учебные курсы и
монографии [Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, Тамм (1976),
Гинзбург (1987)].
Найдем силу, с которой переменное электромагнитное поле действует
на неподвижное вещество. Эту задачу удобно решать, исходя из
уравнения баланса импульса. Требуемое уравнение получим, используя уравнения
Максвелла и уравнения связи (11.127) для неподвижной среды.
Проницаемости £, // считаем зависящими только от плотности вещества г (временная
и пространственная дисперсии отсутствуют).
6Абрагам Макс (1875-1922) — немецкий физик-теоретик, автор многих работ по
классической электродинамике и электронной теории вещества.
11.5. Электродинамика движущихся сред
391
Умножим (11.120) векторно на D, уравнение (11.121) — на В и сложим
почленно. Это приведет к равенству
-4^I[£>XjB] + ^{[Vx-E]XjD+[VxH]XjB} = b'extXB, (11.151)
или в проекциях на оси координат
-i&DKma+liM°D0-pLD0+
A-KcdV J А-к\дхр р дха р
+^в'-^в"}=^"'хв|°(,u52)
Полученное равенство необходимо теперь представить в дивергентной
форме:
(здесь мы имеем дело с тензорами в трехмерном пространстве и не
различаем верхние и нижние индексы). Если вектор g представляет собой
плотность импульса электромагнитного поля, а тензор Тар = —<та/з —
плотность потока импульса, то вектор / в правой части будет представлять
собой объемную силу, с которой поле действует на среду. Это
объясняется тем, что сила является источником изменения импульса. С частными
случаями уравнения (11.153) мы уже встречались ранее. Равенство (4.129)
представляет собой интегральную форму уравнения (11.153) в отсутствие
вещества. Равенство (8.63) получается из (11.153) для случая статического
электрического поля в веществе.
Но заранее очевидно, что имеющиеся равенства (11.152), (11.153) не
позволяют выделить три группы членов (плотность импульса, плотность
потока импульса и силу) единственным образом. Для того, чтобы это
сделать, нужна дополнительная информация. Эта неоднозначность связана с
тем, что мы рассматриваем незамкнутую систему — электромагнитное
поле, взаимодействующее с веществом. Энергия, импульс и другие величины
распределены между полем и веществом. Импульс поля и импульс
вещества (как и соответствующие энергии) легко разделить в простейшей
модели вещества — модели заряженных частиц, взаимодействующих с полем
по классическим законам (см. раздел 4.3, где рассмотрена такая модель).
Реальное же вещество устроено более сложным образом. Поэтому даже
использование дополнительных соображений общего характера не позволяет
392
Глава 11
получить однозначные результаты, и остаются некоторые альтернативные
варианты (см. ниже).
Будем опираться на принцип соответствия, согласно которому
вычисляемые для переменного поля в веществе величины д, аар, f должны
переходить в предельных случаях в полученные ранее значения (4.128),
(4.131) в отсутствие вещества
д = ^-ЕхН, аар = ±(ЕаЕр + НаНр)-±(Е2 + Н2)6ар. (11.154)
Для постоянных электрического и магнитного полей в веществе уравнение
(11.153) принимает вид fa = da^jdx^. Ранее для постоянного
электрического поля были получены выражения (8.61), (8.64):
(11.155)
и для постоянного магнитного поля выражения (9.67), (9.68)
„т _ 1 „ R Я2 (п 9ц\
(11.156)
При наличии того и другого поля тензор натяжений (напряжений) должен
включать в себя как минимум оба тензора, (11.155) и (11.156):
<Та0 = °еа0 + &™0 = -^(EQDp + НаВ0)-
2 / Я„М
8*0. (П.157)
Е2 L тде\,НЧп дц
Обозначим / = /е + /т, где /е и /т определяются уравнениями
(11.155), (1.1.156) соответственно, и произведем дифференцирование
тензора натяжений (11.157) по координате. Получим
- Pextba + U + J-< -TT-Dp - -TT-Dp + ^—В/з
дхр 4л- j дхр дха дхр дх0
(11.158)
дх^^}-
11.5. Электродинамика движущихся сред
393
Здесь последнее слагаемое, т. е. выражение в фигурных скобках, совпадает
со вторым слагаемым в (11.152). Далее введем обозначение
°м = шВхВ (11159)
(плотность импульса электромагнитного поля по Минковскому). В
отсутствие вещества эта величина совпадает сов (11.154). С помощью (11.158)
уравнение (11.152) можно записать в требуемой форме
дд? , даар
at + &f = /-+/- (1М60)
где
fL = pextE+llJextxB} (11.161)
— сила Лоренца, действующая на сторонние электрические заряды и токи,
если они имеются в веществе;
— сила, вызванная электромагнитным полем и связанная с неоднородностью
вещества и с внутренними напряжениями в нем (электрострикция и магни-
тострикция). Разумеется, на вещество могут действовать также
неэлектромагнитные силы (например, гравитация и градиент давления).
Выражение Минковского (11.159) для плотности импульса не является
единственно возможным, поскольку векторы D, В характеризуют не
только поле, но и вещество. Поэтому величина (11.159) содержит в себе и
импульс поля, и импульс вещества. Четырехмерный тензор энергии-импульса,
составленный с использованием плотности импульса Минковского (11.159),
оказывается несимметричным (ср. с тензором (4.126) для вакуума):
Здесь плотность энергии w дается формулой (11.105), а плотность потока
энергии 7 — величиной (11.106). Несимметрия тензора проявляется в том,
что
394
Глава 11
Как было разъяснено в разделе 4.3, симметрия тензора энергии-импульса
замкнутой системы необходима для того, чтобы можно было определить
момент импульса по обычным формулам механики как сохраняющуюся
величину. Но для отдельной подсистемы такое требование не обязано
выполняться.
Приведенные соображения показывают, что разделение полных
величин (например, импульса) на части, относящиеся к разным подсистемам
(полю и веществу), до некоторой степени условно. Поэтому вместо
выражения (11.159) многие авторы принимают в качестве плотности импульса
величину
яА = ШЕхН = %' (1М65)
предложенную Абрагамом. Между векторами Минковского и Абрагама
существует соотношение дм = дА + (efx — 1)дА. При подстановке этого
выражения в (11.160) будем иметь
—dT + -d^-f«+fa + f«' (1М66)
где в правой части появилась дополнительная сила — сила Абрагама,
действующая на вещество:
fA = Wc>xB-ExH^£J^^ExH^ (11Л67)
Сила Абрагама весьма мала, и первые сообщения о ее измерении на опыте
появились только в 1975 г. Но они свидетельствуют о том, что эта сила
существует в природе. Тензор энергии-импульса в форме Абрагама, в отличие
от представления Минковского, оказывается симметричным:
Хотя обнаружение силы Абрагама на опыте, казалось бы, однозначно
решает вопрос о форме тензора энергии-импульса в пользу
представления Абрагама (11.168), но и тензор Минковского (11.163) не следует
рассматривать лишь как исторический курьёз. Тензор Минковского удобно
использовать при описании излучения движущихся источников в средах (см.
[Гинзбург (1973), Гинзбург и Угаров (1976), Гинзбург (1987)], см. также
задачу 11.77).
11.5. Электродинамика движущихся сред
395
Пример 11.11. Вывести уравнения (11.162), (11.167) для сил,
действующих на незаряэюенный (pext —Jext = 0) диэлектрик в электромагнитном
поле, исходя из закона сохранения энергии {а не импульса, как это было
сделано выше). Для этого рассмотреть среду, движущуюся с
нерелятивистской скоростью, и использовать уравнения электромагнитного поля
для движущейся среды. Найти выражения для плотности энергии в
форме Минковского и Абрагама.
Решение. В неподвижной среде уравнения связи имеют вид (1.1.127),
где проницаемости е, // считаем зависящими только от плотности
вещества г (временная и пространственная дисперсии отсутствуют). В
медленно движущейся среде имеем уравнения связи Минковского вида (11.128).
Рассмотрим баланс энергии на основе уравнений Максвелла. Умножая ска-
лярно (11.120) на .D, (11.121) на Н и производя почленное вычитание,
приходим" к равенству
С помощью уравнений связи (11.128), справедливых в первом порядке
по V/с, вычислим с той же точностью левую часть (1). В поправочных
членах дифференцируем только векторы поля и находим
(2)
-—^~ai[ExH]'v+diE +тн ■
Производные от проницаемостей можно выразить через скорость V с
помощью уравнения неразрывности (10.24):
{) at drdt дт дт
и аналогично для /i. Вычисления, подобные тем, которые привели к (2),
позволяют получить
Теперь рассмотрим величину
(5) «,<**) = ±(еЕ2 + цН2) = ±(D • Е + В • Н),
396
Глава 11
представляющую собой плотность электромагнитной энергии для
постоянных полей в неподвижной среде (см. формулы (8.44), (8.46) и (9.57), (9.58)).
В рассматриваемом случае это будет плотность энергии поля в форме Мин-
ковского. Ее производную по времени с помощью (4) можно записать в
форме
(в)
dt
47Г
dD т?,дВ
■"'-£(£*+!*
Подставим в правую часть этого равенства в качестве первого члена правую
часть (1), а второй член преобразуем с помощью (3). Получим равенство
(7)
dt
дт8п + дт 8тг
V.£-
И1
8тг
V/x + V
+
деЕ2
дт 8тг "*" дт 8тг
которое учитывает, таким образом, уравнения Максвелла. Его можно
рассматривать как уравнение баланса энергии:
(8)
dwW
dt
= WS + fV.
Убыль энергии электромагнитного поля (левая часть) расходуется на
создание плотности потока энергии
(9)
S = <y-V
дт8п + дт 8тг
и на работу над движущейся средой. Объемная сила / согласно (7) имеет
вид
(10)
-f^-f^ + V
дт8тг ^ дт 8тг
и совпадает с полученным раньше выражением (11.162).
Переход к представлению Абрагама происходит путем замены
плотности энергии (5) величиной
(11) wA = 4-(D E + B H)- -J-V [DxB-ExHl
' 87TV Aire L J
11.5. Электродинамика движущихся сред
397
которая связана с (5) соотношением
/19\ dwA _ dwM _ *А xr
[iZ) at ~ at J '
где fA — сила Абрагама (11.167). При этом уравнение баланса энергии
примет вид
(8) -^^ = V-S + (f + fA)-V.
Плотность потока энергии (9) осталась прежней, в левой части уравнения
появилась сила Абрагама. ■
Задачи
11.71*. Выразить векторы поляризации Р и М через векторы поля
Е, В. На этой основе выяснить связь между электрическими и
магнитными явлениями в движущейся среде. Выяснить, в частности, возможность
появления электрической поляризации Р в среде с е = 1 и возможность
магнитной поляризации М в немагнитной (// = 1) среде, объяснить
физические причины их возникновения.
11.72*. Проанализировать свойства функции Грина, описывающей
распространение электромагнитного сигнала в движущейся среде
(пример 11.10). Рассмотреть случаи досветового (V < с/у/еЦ = vph < с),
светового (V = vph) и сверхсветового (V > vph) движения среды.
Исследовать форму короткого сигнала, испущенного в момент t = 0 из начала
координат.
11.73*. Пусть точечный заряд q покоится в лабораторной системе,
а среда движется вдоль оси Oz со скоростью V. Вычислить
электромагнитные потенциалы и векторы электромагнитного поля. Найти электрическую
и магнитную поляризацию движущейся среды.
11.74*. Сделать то же самое для магнитного диполя то, который
покоится в лабораторной системе. Использовать векторы Герца, введенные
для движущейся среды в примере 11.9.
11.75. Сделать то же самое для электрического диполя р0> который
покоится в лабораторной системе. Использовать векторы Герца, введенные
для движущейся среды в примере 11.9.
11.76. Магнитный диполь покоится относительно движущейся среды.
Найти наиболее простым способом электромагнитное поле в лабораторной
398
Глава 11
системе. Сравнить его с полем неподвижного в лабораторной системе
диполя при наличии движущейся среды (см. задачу 11.73*).
11.77. Пусть некоторый излучатель, находящийся в однородной среде,
испускает пакет волн, имеющий полный импульс GA = J gAdV
(интегрирование по всему пространству). Найти потерю импульса AGA излучателем
в этом процессе.
11.78. Пользуясь преобразованиями Лоренца, записать величины
wA, gA и плотность потока энергии S в инерциальной системе,
относительно которой среда движется со скоростью V.
11.79*. Квазимонохроматическая волна частоты и распространяется
в диэлектрике с дисперсией (проницаемости е(ш), р = 1). Показать, что
усредненную по периоду силу Абрагама можно записать в виде
'"=8Гс<£-1>!1^>'НТ+8НсВе
I*»'
. (11.169)
11.6. Ответы и решения
11.3. Из (11.8), (11.10) и уравнений Максвелла (11.1)-(11.4) находим
*(ец -1) i г(ш2 - с2к2)
продольный ток выражается через pint. В любой среде pint, j^nt, E — четко
определенные физические величины, и коэффициенты пропорциональности
между ними являются электромагнитными характеристиками (функциями
отклика) данной среды. Таковыми в рассматриваемом случае выступают
£ц = е и 77, но не е± и р± , которые определены только в единой
комбинации 7].
11.4.
Ptot — e..Pexti Pint — I £.. J- 1 Pexti Jtot ~ f]Jexti Jint ~ \ T] ) Jexf
11.5.
(p(k,u) = Gll(k,u)pext(k,u), A(k,u) = ?G-L(/c,cj)j^(fc,cj);
СЦк,и)= f94f . G±(k,u) =
A-k
k2e(k,u) v ' ' {к2-ш2/с2)г){к,и)'
11.6. Ответы и решения
399
Здесь г](к,и) — введенная в задаче 11.3* величина, характеризующая
влияние среды на поперечное поле. Функции Грина нормированы так, чтобы в
вакууме они давали результаты, полученные в разделе 5.1 (с учетом того,
что там использовалась лоренцевская калибровка).
Отметим, что величины е = ei, et, /i при и ф О комплексны,
поэтому, в отличие от вакуума, в среде знаменатель поперечной функции
Грина G±(kyu) как правило не обращается в нуль при действительных
значениях и и к.
11.7. Движение свободного электрона в слабом поле на временах
порядка нескольких периодов волны описывается упрощенным уравнением
Ньютона
(1) mv = еЕ0е~ш + §v0 x Вое"*",
где в малом члене с магнитным полем учтена только начальная (тепловая)
скорость vo. Из этого уравнения находим:
ieE(t) iev0 x B(t)
Макроскопический ток вычисляем по формуле j(t) = env(t), где п —
средняя концентрация электронов, v(t) — их средняя по ансамблю скорость. Но
в отсутствие поля ток в веществе равен нулю, поэтому vо = 0 и j(t) =
= ienE(t)/muj. С помощью формулы (11.21) находим
t
(3) ® = Е+ [ jdt'=(l-^4-)E,
J \ racer /
— оо
откуда
47гпе2
(4) еа(3 = е5а(3, е = et = et = 1
racj2
Пространственная дисперсия в рассматриваемых условиях не сказывается.
11.8. Используем результат задачи 11.5*:
47Г
k'ze(k,u)
(!) 4>(к,и) = ?2 * лРехг(к,и),
где е(к,ш) = ei(k,u) — продольная диэлектрическая проницаемость,
Pext{k,oj) — фурье-образ плотности заряда pext(r, t) = qS(r), создаваемого
400
Глава 11
неподвижным точечным зарядом q:
оо
(2) pext{k,u) = d3r dtqS(r)exp{-i(k • г - u>t)} = 2nq6(u>).
—oo
Таким образом, требуется значение £j(fc, 0). Обращаясь к формулам
примера 11.6, находим Z(s)|s_>o —* 0,
(3) ^(fc,0) = l+-^ + -^? = l+ l
(kVTi? (kVTe)2 fc'rj,'
где r2D = T/Snne2 — квадрат радиуса Дебая, совпадающий с величиной
1/к в задаче 7.24 в случае однозарядных ионов. Потенциал вычисляем по
формуле
<^г) = / 1,2 /Г , WMexp{-t(fc • г - u>t)}
J kze(k,uj)
d3kdw
k2e{k,u) ч ' L ч /J (2тг)4
(4) oo
= ^~ I ^4-e^dk=q-e-^°.
гпг J k2 + r2D r
—oo
Последнее интегрирование выполнено путем замыкания контура в верхней
полуплоскости комплексного к дугой большого радиуса.
Характерно, что в этой задаче дебаевское экранирование заряда в
плазме получено с использованием понятия пространственной дисперсии.
Экранирование несколько иного характера имеет место и* в случае движущихся
зарядов (см. задачи из раздела 15.1).
В заключение приведем характерные значения дебаевских радиусов
(в сантиметрах) для некоторых сред: металлы (плазма вырожденная, т.е.
квантовая), Ю-7; полупроводники, Ю-5; плазма в термоядерных
установках, 10_3 -г Ю-4; ионосфера Земли, Ю-1; межпланетная плазма, 103;
межзвездная плазма, 103 -г 105.
11.9. s ^> 1; Y(s) — экспоненциально мало; X(s) = 1 + 1-s"2 +
+ l-3-s-4 + l-3-5-s-6 + ---
u>Zp ( 3k2v^p \ [Z uju&p , ,2 /ol.2 2
V2fc34e
uj2 \ . и2 I У 2 i-3„,3
, .2 / p7.2 \ /— ,.,2
^Oe I л . K vTe
I--!*- I'1 + ~jT- I +«*/^-rs-e-
.2 1 - .2 / l/ 9 U)kVTe
i /"
\J2ujkv
11.6. Ответы и решения
401
так как ш^ = (те/тг)и%е <С cj2e, S; » se. Хотя мнимая часть
экспоненциально мала, она придает диэлектрической проницаемости новое качество,
так как приводит к диссипации электромагнитной энергии.
5<1; X(s)^s2-s4/3 + --- ;
Y(s) « ^/ф{з - s3/2 + • • •) rD = y/T/Snne2;
et^l +
J , • Г7Г 1 I U) , U) \
(krD)2 V8(*rD)2 \kvTe куп)'
r _ -, 1 , . /тг" 1 /Ьте ■ kvTj\
11.10.
дЬт'+Е (£)'«'-.•>*<.>+.>>. ...
5> 1;
1
5< 1;
/x(fc,<j)
1 +
(fcrD)2 V<*
V(k,u)
2
1.
2 „2
4) «1 +
OVs-i.
(fcrD)2 \*я>т/ c2
11.11. В качестве невозмущенной функции распределения берем
распределение Ферми
(1)
Me) =
(2ттП)'
-в(бр-б),
где б^ = (37г2Я3)2/3/2т — энергия Ферми электронов. Тогда первая
формула (4) примера 11.6 примет вид
(2)
dfo=vdfo
dp де
2v
(2тгЛ):
;S(eF - б),
а вторая останется в прежнем виде. Последующие вычисления упрощаются
ввиду наличия в (2) дельта-функции и приводят к следующим результатам:
(3)
ei(k,u) = l +
Не
k2v2F
, ш . ш + kvp
1 — -^-. In
2kvp и — kvF
402
Глава 11
(4) et(k,u) = l- Зи1
2k2v2
1 +
kvp
~2U~
\kvF)
In
CJ + kVp
UJ — kVp
)
При и ^> kvp имеем e\ w et ~ 1 — и2е/и2, что соответствует результатам
задачи 11.7**. При о; <С fcvjr получаем е\ « 1 + 1/(Ат£>)2, £* ~ 1-1/(^г£>)2,
где г£> = VF/у/Зшое — радиус экранирования в вырожденном электронном
газе (см. задачу 7.27). Диэлектрические проницаемости (3), (4) имеют
мнимые части в области параметров 0 < и/к < vf, когда некоторые частицы
движутся в резонансе с волной и отбирают от нее энергию. Это возможно
только в случае продольных волн.
11.12. Записываем уравнение движения осциллятора:
(1) f + 7r + o;gr=£B(*).
Действием магнитного поля волны на осциллятор пренебрегаем ввиду
малости фактора v/c <С 1. Неоднородность поля не учитываем из-за условия
г <С А. Решение этого уравнения можно записать в интегральной форме
(2)
-(<) = £ J G(t-t')E(t')dt',
где G(t — tf) — функция Грина, удовлетворяющая уравнению
(3) ' G + 7G + wgG = J(*-0-
Ищем частное решение последнего уравнения, отвечающее дельтаоб-
разной правой части, методом вариации постоянных, т. е. в форме
(4) G(t) = A(r)eSlT + B{r)eS2\ r = t-t',
где si, S2 — корни характеристического уравнения s2 + js + и% = 0:
(5>
ai,2 = ±iywo 4
9
7 7
2*
Функции j4(t), B(t) определяются из системы уравнений
(6) AeSlT + Bes*T = 0, 5iieSlT + s2BeS2T = 6(т).
11.6. Ответы и решения
403
Интегрируем эту систему в предположении, что при г —> — оо осциллятор
покоился (адиабатическое включение поля). Получаем
(7) В(т) = -А(т) = /6(Т) ,
где в(т) — ступенчатая функция (1.212). В итоге имеем
(8) G(t) = К2 - 72/4)-1/2e(r)e-^/2sin(v/Wo2-72/4r).
Дипольный момент осциллятора p(t) = er(t) с помощью (2) и (8)
записываем в виде
оо t
(9) р (t) = J f(t - t')E(t') dt1 = J fit- t')E(t') dt',
— OO —OO
где функция отклика
(10) f{t-t') = ^G{t-t').
Из-за наличия ступенчатой функции 6(т) в (8) формула (9) выражает
собой причинную связь дипольного момента осциллятора с внешним полем:
р (t) определяется значениями поля в предшествующие моменты t' ^t.
11.13. Вектор поляризации среды P(t) = пр (£), вектор электрической
индукции D(t) = E(t) + Атгпр (£), где р (t) дается равенствами (9), (10) из
предыдущей задачи. Вычисляя е(и) по формуле (11.67) с использованием
явного вида функции Грина (8), находим
(Ч е(и) = 1 + — ;—=, ы0е = —^—,
т.е.
(2) ^) = ^/f°ei1~U2l, *»" ^
(W2 _ w2)2 + ^2 - V"> (w2 _ ^2)2 + 72w2 '
Характер зависимости вещественной и мнимой частей е от частоты показан
на рис. 11.2. Мнимая часть е'\ определяющая поглощение
электромагнитной энергии, заметно отличается от нуля только вблизи собственной частоты
cj0 колебаний осцилляторов среды. Она всюду положительна (при и > 0).
404
Глава 11
Рис. 11.2
В области частот, лежащих вблизи cjo, е' убывает с ростом частоты
(аномальная дисперсия). В остальной области частот е' растет с ростом частоты
(нормальная дисперсия).
11.14. Длина волны поля велика по сравнению с размером атома,
поэтому оператор взаимодействия атома с полем берем в форме (6.102),
считая поле классическим объектом:
z
(1) V(t) =-d.E(t), 2 = е"£га,
a=l
где E(t) — вещественная напряженность электрического поля, d —
оператор дипольного момента атома и суммирование производится по всем
электронам. По теории возмущений находим поправку первого порядка
Ф^^(г1, .. .rz,t) к волновой функции ф(°)(г1, .. .rz,i) невозмущенного
атома, удовлетворяющей уравнению Шредингера
(2) ;/^ = да(о).
Электроны в этой задаче можно рассматривать как частицы без спина,
так как воздействие внешнего поля на спин мало и спиновое состояние
атома не изменяется. Подставив Ф(гх, ...rz,t) = Ф^(гь •••rz,t) +
-I- ф(1)(п, ...rz,t) в уравнение Шредингера (Д3.29) с гамильтонианом
11.6. Ответы и решения
405
Ж = Жо + V(t)9 получим приближенное уравнение для определения Ф^:
(3) гЙ^-;#ЬФ(1) = Р(<)Ф(0),
где слагаемое, билинейное по возмущению, опущено.
Используем процедуру адиабатического (медленного) включения поля
при t —> — оо:
, v „, v _ / E0eat cosut, t^ 0, а > 0,
w ^W" I^ocoscj*, ^0,
где малый параметр а нужно устремить к нулю после всех интегрирований
по времени. Целью такого выбора включения поля является устранение
переходного процесса установления стационарного состояния. В соответствии
с этим выбором записываем начальные условия для уравнения (3):
(5) Ф|^_ос -> ^о(п, .. .rz)e~iE^\ Ф(1)|^_ос -> 0.
Здесь и в дальнейшем через ips обозначены волновые функции
стационарных состояний невозмущенного атома; 5 = 0 соответствует основному
состоянию.
Ищем решение уравнения (3) в виде разложения по собственным
функциям невозмущенной задачи:
(6) ф(1) = £ c.(t)Mri, ■ ■ ■ г2)е-^'п.
S
Пользуясь ортонормированностью системы функций ф39 получаем из (3)
(7) % = .l.{dt0.E{t))e^t
где dso — матричный элемент дипольного момента атома. Заметим, что
doo = 0 ввиду того, что волновые функции стационарных состояний атома
обладают определенной четностью.
Выполнив интегрирование по времени в (7) с использованием (4) и (5),
получим
(8) cs(t) = 8° ° - ■ + - , t - конечно.
406
Глава 11
Этот результат можно использовать только при нерезонансных частотах,
когда знаменатели в последнем выражении не малы. Среднее квантовомеха-
ническое значение индуцированного дипольного момента атома вычисляем
по формуле (Д3.15):
(9) d(t) = [<b*d&dq = /(Ф(0)*Зф(1) + Ф(1)*2ф(0))^
где dq = d3ri • • -d3rz, отброшена квадратичная поправка и использовано
соотношение doo = 0. С помощью (6), (8), (9) находим
d(t) = ^ V( ( е^ + е~Ш1 ) (ds0'E0)d0s+
(10) *
+ (^^ + 7TT^)№o^o)Xo}-
1
u;s0 + ^ ^so - и
Из соображений симметрии ясно, что макроскопический вектор
поляризации направлен вдоль вектора поля Eq, который в нашем случае
действителен. Поэтому достаточно вычислить проекцию вектора d на
направление поля. Совмещая это направление с осью Ох и пользуясь эрмитово-
стью матрицы (dx)os = (dx)lo » находим из общей формулы (10)
(11) Ь = №Ео, где /?М = Е 2^°](<*х)*°'2
— поляризуемость атома. Отсюда получаем диэлектрическую
проницаемость:
(12) е(ш) = 1 + 4^/3(0,) = 1 + *f £ ^1^12.
Сравним (12) с квазиклассической теорией (формула (1) задачи 11.13*).
Осцилляторная модель требует следующих модификаций:
а) введения бесконечного числа осцилляторов с разными собственными
частотами, cjo —> uso'9
б) суммирования по всем таким осцилляторам;
в) что касается затухания, то вдали от резонансов можно положить
7 = 0, если 7 <^ И)-
11.6. Ответы и решения
407
U)
2'
Введя отношение fs = ns/n — долю электронов, принадлежащим
осцилляторам с номером 5, придадим квазиклассической формуле (1) из
задачи 11.13* вид квантовой формулы (12),
(13) еИ = 1+4л£в!Е^
s
довели величины fs определить через матричные элементы дипольного
момента:
(14) fs=*^\{dxU\\ (dx)s0 = e^rxas0.
Величины fs называются силами осцилляторов, их определение уже
было приведено в задаче 6.61. В указанной задаче было получено, что силы
осцилляторов удовлетворяют условию ^2S fs = Z. Поэтому при и) ^> uso
квантовые формулы (12), (13) принимают универсальный вид, найденный в
задаче 11.7**, причем среднее число электронов в единице объема п = NZ.
Диэлектрическая проницаемость, найденная в рассмотренной задаче,
неприменима вблизи частот спектральных линий.
11.15. Вблизи резонанса, и & cjs0, вероятность возбуждения
состояния s внешним полем возрастает неограниченно (см. формулу (8)
предыдущей задачи). Это связано с поглощением атомом квантов с энергией hu>
от внешнего поля. Но в результате перехода атомов в возбужденное
состояние будет происходить и обратный процесс спонтанного испускания
квантов возбужденными атомами, в результате чего процессы поглощения
и испускания уравновесятся и амплитуда вероятности состояния s примет
некоторое стационарное значение. Учтем этот эффект в модели
двухуровневого атома, уже рассмотренного в примере 6.11.
Кроме взаимодействия с внешним полем E(t)9 включим
взаимодействие атома с квантованным электромагнитным полем. Оператор этого
взаимодействия (6.102) обозначим здесь через V'\
(1) V' = -d-E.
Как и в примере 6.11, будем учитывать только вакуумные и однофотонные
состояния квантованного поля. Вектор состояния, описывающий систему
атом во внешнем поле + квантованное поле, можно записать по аналогии с
формулой (1) примера 6.11 в виде
(2)
к
408
Глава 11
где hwk — энергия испущенного атомом фотона, к = (к, а) — его квантовые
числа, cs(t) — амплитуды однофотонных состояний. Сумма по к фактически
сводится к интегрированию по частотам и направлениям вылета фотона и
суммированию по поляризациям. Сумма по s в (2) отсутствует, так как
рассматривается двухуровневая система.
Подставив разложение (2) в уравнение Шредингера (Д3.29), получим
систему уравнений для коэффициентов:
(3) ^ = -^(Olfcl^l^e^-^^c., us0 = \{ES - £о),
(За) ^ = -i{00\v\s0)e-^ «с„
(4) ^ = -i<e0|P|00>eiw'°'q> - ! 5Z<e0|V/|01fc>e-i<Wfc-w-°)*cfc.
к
При получении этой системы уравнений использованы соотношения dss =
= doo = 0 H.(0|lfc) = 0. Поскольку мы учитываем спонтанные переходы с
возбужденного уровня, то переходный процесс будет затухать и в данном
случае нет необходимости в адиабатическом включении внешнего поля.
Считаем, что оно включается при t = 0 и начальные условия имеют вид
ce(0)=cfc(0)=0,co(0) = l.
Записываем уравнения (За), (3) в интегральной форме
t
c0(t) = 1 - | f(00\V\sO)e-i^ot,cs(t,)dt\
о
t
ck(t) = -i(01k\V'\s0) f e^-"^1'cs{t')dt'.
о
Из первого уравнения следует, что отличие co(t) от единицы имеет второй
порядок малости по возмущению, которым мы пренебрежем и положим в
дальнейшем co(t) = 1. Второе уравнение путем интегрирования по частям
приводим к виду
t
1 ^, ., u Г 1 _ pi(ujk-ujso)(t'-t) fjc
(5) с® = -fcoUW'We^-»"» J eWk_WsQ ^dt'.
11.6. Ответы и решения
409
Подстановка полученного результата в уравнение (4) позволяет получить
неоднородное интегродифференциальное уравнение для cs(t):
к q
Рассматриваем достаточно большой интервал времени, в течение
которого накачка атомов внешним полем и их спонтанное излучение придут в
стационарное состояние. При больших t интервал t — t' в показателе
экспоненты под интегралом тоже будет большим. Воспользуемся формулами
(1.216), (1.224а) и представим подынтегральное выражение в виде
1 _ pi(uso-ujk)(t-t')
(7)
Шк — Us0
t — t'^KX)
+ i7TS((jJk - Uso).
После подстановки правой части этого равенства в (6) первое слагаемое
(главное значение) будет описывать малый радиационный сдвиг частоты
перехода (лэмбовский сдвиг), которым мы в дальнейшем пренебрежем.
Слагаемое с дельта-функцией представляет собой половину постоянной
затухания, вызванной спонтанным излучением (см. формулу (9) из примера 6.11):
^ | = |r£/l(sO|K'|01fc>|2«5(u,fc-u,.
S0' (27ГС)3 '
Здесь суммирование по дискретным модам заменено интегрированием по
частотам кванта и направлениям его движения, осталась лишь сумма по
поляризациям. Первое слагаемое в правой части равенства (6) тоже упростим,
оставив в нем лишь главное (резонансное) слагаемое. В итоге уравнение (6)
примет упрощенную форму
W dt + 2Ca~ 2h s0 °
Решение полученного уравнения при t > j~l имеет вид
(Ю) cs(t) = dso-Eo—^ —г.
2h(us0 -и) -гъ/2)
По сравнению с формулой (8) предыдущей задачи, здесь резонансное
значение амплитуды возбуждения атома имеет конечную величину. Пользуясь
410
Глава 11
формулой (10), находим значение диэлектрической проницаемости при
частоте, близкой к одному из резонансов:
(11) e(u,) = l+*rN l(d*U2
h uso-u-i~is/2'
Эффект радиационного затухания делает диэлектрическую проницаемость
комплексной величиной. При произвольных частотах (и при 7s ^ ^so)
можно пользоваться приближенной интерполяционной формулой вида
AnNe2 v^ fs
(12) £И = 1+42^Е
^s0 - ^2 - hsW
Вдали от резонанса она переходит в квантовую формулу (13) предыдущей
задачи, а вблизи одного из резонансов дает результат, близкий к (11).
11.16. е = 1 + 4тгЛГа3, /х = 1 - 2тгЛГа3 < 1.
Такой диэлектрик является диамагнитным. Проницаемости е и // не зависят
от частоты вследствие предположения об идеальной проводимости сфер.
Для того чтобы искусственный диэлектрик можно было рассматривать
как сплошную среду, должны выполняться условия А » Z, А » а, где А —
длина волны, I — среднее расстояние между сферами. Пренебрегать
отличием действующего поля от среднего можно лишь при малой поляризуемости
среды (т. е. при AnNa3 <С 1).
11.17. Уравнение движения электрона проводимости запишется в виде
(1) тг + г)г = eE0e~iu;t.
Его частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям, имеет
вид
(2) г = - еЕое^
т(и2 + г^и)
где 7 = г]/т.
Дипольный момент единицы объема получим умножением г на заряд
электрона е и на число частиц в единице объема N, после чего
определяются поляризуемость среды а(и) и диэлектрическая проницаемость е(ш),
создаваемые электронами проводимости:
(3) e(w) = i + 4we(W) = l-^-l < = Щ^-
11.6. Ответы и решения
411
С помощью уравнения (1) и закона Ома для постоянного тока найдем
связь между удельным сопротивлением р постоянному току и
коэффициентом г]:
(4)
Записав (3)в виде
(5)
1 V
Р~к Ne2'
£H = l+i£-JVeL-
находим зависимость электропроводности от частоты:
Ne2
(6) ф)
га(7 - ги)'
Для учета связанных электронов следует в правую часть (3) добавить
слагаемое Атта^и) с ионной поляризуемостью:
(7) е(и>) = 1 + 4тга,И + г —^.
При достаточно низких частотах дисперсией ионной восприимчивости
можно пренебречь и записать (7) в виде
(8) g((j) = е0 + г цШ), где е0 = 1 + 4^(0).
Оценим порядок величины 7 = т?/га для меди (проводимость в
статическом случае к = 5 • 1017 с-1). Из формулы (4) следует:
= Ne2 = A^oe2d
где TVo ~ 6 • 1023 моль-1 — число Авогадро, А « 63,5 г/моль — атомный вес
nd « 8,9 г/см3— плотность меди. Оценка дает 7 ~ 10+14 с-1; для сравнения
укажем, что видимой части спектра соответствуют частоты « 1015 с-1.
Таким образом, в этом случае можно считать, что проводимость
сохраняет значение, которое она имеет в стационарном случае, вплоть до частот,
лежащих в инфракрасной области спектра. Однако нужно иметь в виду,
что при высоких частотах, когда длина свободного пробега электрона
становится сравнимой с глубиной проникновения поля в металл, начинают
412
Глава 11
сказываться эффекты пространственной неоднородности поля (аномальный
скин-эффект) и статическая величина к теряет смысл.
Для полупроводника (германий) имеем к«2х 1010 с-1, 7 ~ Ю12 -т-
1013 с"1, €0 = 16.
Полученные в этой задаче результаты в ограниченной области частот
применимы к металлу, а также к полупроводнику и к ионизованному газу
(плазме), если движением положительных ионов можно пренебречь.
Вычисление диэлектрической проницаемости плазмы с учетом движения
положительных ионов см. ниже в задаче 11.25*.
11.18. Молекулы диэлектрика не обладают сферической
симметрией, поэтому внешнее поле Eq частично ориентирует их, и диэлектрик в
целом становится анизотропным. При этом ориентирующим действием
переменного поля, в силу условия ё ^ Eq, можно пренебречь. Поскольку
причиной анизотропии является внешнее электрическое поле Eq, одна из
главных осей тензора диэлектрической проницаемости будет совпадать с его
направлением, остальные две главные оси будут перпендикулярны Eq.
Обозначим компоненты поляризуемости молекулы в этих осях
через (3'ik (значения г, к = 1 соответствуют оси, параллельной Ео).
Компоненты (3[к выразятся через главные значения (3^ по обычной формуле:
(3[к = auakmPlm = (0 ~ @')OL%\OLk\ + Р'^гк,
где аи — косинусы углов между осями симметрии молекулы и главными
осями тензора диэлектрической проницаемости (использовано
соотношение аиаы = Sik, вытекающее из ортогональности матрицы а^). Чтобы
подсчитать тензор диэлектрической восприимчивости для единицы объема
диэлектрика, нужно найти с помощью формулы Больцмана статистические
средние величин (3[к, т. е. усреднить произведение а^а^.
Если обозначить полярные углы оси симметрии молекулы в
штрихованной системе через #, ср9 то величины аи запишутся так:
ац = cost?, а\2 = sin i? cos (^, a\s = sin д simp.
Проводя усреднение с помощью формулы Больцмана (7.30), получим
с точностью до членов, линейных по а = (fio — /3'0)Е$/2Т:
11.6. Ответы и решения
413
(/Зо и (3'0 — статические значения тензора поляризуемости молекулы).
Отсюда
^=s = §(/?-/?') (l-^a)+/?'-
Пренебрегая отличием действующего на молекулу поля от среднего,
получим главные значения тензора диэлектрической проницаемости:
е*1) = 1 + 4тгЛГ/?[7, е(2) = е(3) = 1 + 4тгЩ^.
Этот результат показывает, что в сильном постоянном электрическом
поле диэлектрик становится анизотропным по отношению к
высокочастотным (например, световым) колебаниям. Возникновение анизотропии под
действием постоянного электрического поля носит название эффекта
Керра. Инерционность этого эффекта очень мала: время установления или
исчезновения анизотропии — порядка 10~10с. (Оно определяется временем
установления статистического равновесия в диэлектрике.) Явление Керра
широко используется в технике для быстрой модуляции силы света.
11.19. Считая параметр рЕо/Т = а малым, получим с точностью до
членов порядка а2:
£М = 1 + 4тгЛ^, e(2) = е(3) = 1 + 4тгЛГ/^.
Обозначения те же, что и в предыдущей задаче.
11.20. Пусть амплитуда поля 8 увеличится на dS = (dSx,dgy,d£z).
При этом над молекулой будет совершена работа
(1) dA=\ Re(P ' dg*) = |(Р ' ^* + Р* ' d8),
где pi = PikEk — компонента дипольного момента системы. Работа
усреднена по периоду изменения поля. Поскольку поглощение энергии отсутствует,
эта работа целиком идет на увеличение средней потенциальной энергии
молекулы во внешнем поле:
dA = dW.
414
Глава 11
Поэтому выражение dA должно быть полным дифференциалом некоторой
функции амплитуды поля — энергии системы. Перепишем dW в виде
(2) dW = \ ]£(&*£* del + /%£* Мк).
Видно, что эта величина будет представлять собою полный дифференциал
только в том случае, если (3ik = /?£•; тогда
dw = \^^k^kds:+s:dgk) = ^pikd(g:gk) = d(\p^rY
i,k i,k ^ '
ИЛИ 1
W = -AV'S\
4
Точно так же можно доказать эрмитовость тензора магнитной
поляризуемости для системы, внутри которой не происходит диссипации энергии.
11.22. Уравнение движения атомного электрона, связанного с ядром
упругой силой, запишется в виде
(1) r + w20r = ^[E0e-^+^ хЯо)],
где и о — частота собственных колебаний. Решая его методом
последовательных приближений, получим в линейном по Но приближении:
еЕ • еи_
т(и1 - и2) m2c(cjQ - ^2)2
(2) *•=...,J. .24-*-.2.,. .2 2л2{ЕхН0).
Чтобы получить тензор поляризуемости атома, используем запись
векторного произведения с помощью антисимметричного тензора е^. Это даст
j2 £. i e2uH0i
m((jjQ - и2) г т2с(и1 - и2)2
В соответствии с общим положением, доказанным в задаче 11.20*, этот
тензор является эрмитовым. Вектор гирации (см. задачу 11.21) в данном
случае имеет вид
где cjl = eHo/2mc — ларморова частота.
11.6. Ответы и решения
415
11.23.
(е++е-)/2 (е+-е-)/2 О
eik= | -(е+-е-)/2(е++е-)/2 О
О О е°
где
с± - 1 0е ^ - 1 0е , ,2 _ 4тге2АГ
и(и± 2(jJl) -Uq uz - Uq "L
Вектор гирации равен по величине
и направлен по оси z.
Результат предыдущей задачи получается из найденного точного
решения при выполнении условия 2ulu <С \и% - и2\.
11.24. Тензор sik имеет такой же вид, как и в предыдущей задаче. Но
его компоненты е± и е° определяются следующими выражениями:
е± = 1 ^ ,
и2 + cj(ry ± 2u>lY
_0 _ •, _ U0e
2 i • '
ur + ZCJ7
Из-за наличия «трения» (rj ^ 0) в электронном газе происходит диссипация
энергии, и тензор eik неэрмитов.
11.25. Обозначим массу, скорость и заряд электрона через га, f, -е,
а те же величины, относящиеся к иону, через М, Д, +е. Тогда получим
следующую систему уравнений движения:
raf = -eE0e-iuJt - §(f х В) - га7(г - Л), 1
^ МД = еЯЬе-*" + §(Я х Б)-га7(Д-г). J
Здесь Б — постоянное и однородное магнитное поле, т7 — коэффициент
«трения»; сила трения пропорциональна относительной скорости
электронов и ионов, т.е. разностям (г — R) и (R — г) для электронов и ионов
416
Глава 11
соответственно. Электрическое поле Е = Е0е~ги;1 зависит от времени по
гармоническому закону.
Ищем решение системы (1) в виде
(2) г = r0e~iuJt, R = П0е~ш.
Выберем направление В за ось Oz и введем циклические компоненты
векторов г0 и Ro по формулам
П)±1 = =f —р(П)х ± iroy), До±1 = T-r(Rox ± Шоу).
Подставим (2) в (1) и сложим получившиеся уравнения:
-iu(mr0 + MR0) = |[(il0 - r0) x В].
Левую часть последнего равенства можно записать в виде
-iu[(M + m)R0 + m(r0 - Ro)].
Пренебрегая т по сравнению с М, получим
(3) ujRo±i= (±nB+u^\s±u
где
Пв = fe' s = Ro~ r°'
Затем поделим первое из уравнений (1) на т, второе на М и вычтем их друг
из друга. Пренебрежем всеми членами, содержащими М в знаменателе.
Обозначив ujb = еВ/тс и используя (2), получим:
(-iu) + y^iu)B)s±i^iu)BRo±i = ^^о±ь
(4)
-(ы2+гы7)52 = ^.
Из уравнений (3) и (4) находим s.
Вектор поляризации Р вычисляется по формуле Р = Nese~luJt,
где N — число ионов (равное числу электронов) в единице объема.
11.6. Ответы и решения
417
Компоненты тензора диэлектрической проницаемости запишутся в
виде
(5) ^ = 1-- ^ —-, е^ = 1-—^—.
Компонента е^ имеет такой же вид, как скалярная диэлектрическая
проницаемость в отсутствие магнитного поля, полученная в задаче 11.17*;
она неограниченно возрастает при и —> 0. Компоненты е± при учете
движения ионов содержат в знаменателе лишний член ujb^b\ им можно
пренебречь при Пв/и; <С 1, т.е. при больших частотах и. Однако при малых
частотах этот член становится существенным; при и —> 0 он приводит
к тому, что компоненты е± остаются конечными: е± = 1 + (^ое/шв^в-
Благодаря этому в плазме могут существовать волны весьма малой
частоты (магнитогидродинамические волны). Эти волны уже рассматривались в
гидродинамическом приближении в разделе 10.3. На основе полученного
тензора (5) распространение этих же волн рассматривается ниже в
задаче 12.51.
11.26. В системе координат, ось Охз которой совпадает с выделенным
направлением, тензор Т^ должен иметь вид
Tik =
Это согласуется с результатами, полученными в задачах 11.23*, 11.24 и др.
11.30.
е{ш) = 1 + (е0-1)/{1-шт),
где во — статическое значение диэлектрической проницаемости.
Полученное выражение называется формулой Дебая для полярного диэлектрика.
Модель, позволяющая вычислить постоянную релаксации т, рассмотрена
в учебнике Памятных и Турова (2000). Статическая диэлектрическая
проницаемость газообразного диэлектрика с жесткими диполями вычислена в
примере 7.3.
11.31. е'(и>) = 1 + (е0-1)/(1 + и>2т2).
11.33.
оо
Лтгко i ^ f ф) - 1
ф)-1+,*р-^1
z — и
— оо
где ко — статическая электропроводность.
418
Глава 11
11.34.
оо оо
ф) = -±9 J ^Ldz = -i9j[K(w + z)-K{U-z)]
dz
z '
11.35. Использовав условие причинности в обычной
(нерелятивистской) форме t — t' ^ 0, запишем фурье-образ причинной функции отклика
в форме, аналогичной (11.36):
оо
(1) R(k,w) = f dreiuJT fd3re-ikrR(k,T),
о
где интегрирование производится по всему трехмерному пространству.
Принцип релятивистской причинности, т ^ г /с, приводит к условию
(2) Д(г, г) [l-sign(r-г/с)] = О,
где signх = х/\х\ — знаковая функция. Равенство (2) означает, что
Д(г, т) =0 при г < г/с. Для того, чтобы получить ограничения на
функцию i?(fc,u;), вытекающие из (2), выполним одностороннее (по времени)
преобразование Фурье (1) над обеими частями равенства (2). Но для
удобства расчета придадим равенству (2) более общую форму:
(2') R(r, т) [1 - sign(r - и • г /с2)] = 0.
Равенство (2') совпадает с (2) в частном случае, когда вектор и параллелен г
и равен с по модулю. Знаковую функцию представим в интегральной форме
оо
(3) й&х=±& j^e*«*.
— оо
С помощью (1) и (3) получим из (2')
оо
Я(к,ш) = -i- / -£[R(k + r)u/c2,uj + Ti)-R(k-T]u/c2,oj-'n)} =
гтг J ч
<4>
R(k + u(z - u)/c2\z)
dz.
= ±9 f
ITT J
z — uj
11.6. Ответы и.решения
419
В изотропной среде при и \\ к дисперсионные соотношения (4) принимают
вид
оо
(5) R(k,u) = ±9 J
R(k + u(z-u)/c2,z) ,
— dz.
z — и
оо
Условию (2) соответствует и = с. Но в оригинальной работе Леонтовича
(1961) показано, что соотношение (5) справедливо при любом \и\ ^ с, если
оно выполняется при и = с. Это соотношение более ограничительно, чем
нерелятивистские соотношения типа (11.83)—(11.84), так как оно
затрагивает зависимость не только от частоты, но и от волнового вектора. При с —> оо
оно переходит в обычное дисперсионное соотношение Крамерса-Кронига.
11.36. Согласно (11.76), е~1(к,и) представляет собой причинную
функцию отклика и аналитична, т.е. не имеет полюсов и других
особенностей в верхней полуплоскости комплексной частоты. Ввиду отсутствия
полюсов обратная ей функция е(к, и) не имеет в указанной области нулей.
11.38.
dw , 1. -ir. £а(зЕаЕр ца(3НаНр E-D+HB
^ + div7 = -jext-E, где w = —^— + —я— = ^ ,
а вектор 7 дается прежней формулой (11.100).
11.40. Для диэлектрика е"(0,0) = 0, ej(0,0) = e(0,0): Из
дисперсионного соотношения (11.73) находим
оо
е(0) = 1+||ф^>1,
о
так как здесь e"(z) > 0 в силу неравенств (11.93).
11.41. Из соотношений симметрии (11.39) имеем £"(fc,0) = 0,
е'(М) = ei(k,0). Из (11.81) находим
оо
(1) £7\k,0) = l + ±J^lme;\k,z) = l-±j
о о
g"(M) dz2 t
ММ)|2 z2 '
Последнее неравенство следует из условия (11.93) e"(k,z) ^ 0. Из (1)
находим две области значений ei (/с, 0):
(2) ej(fc,0)>l; ei(fc,0) < 0.
420
Глава 11
К первой области относится £j(fc,0) бесстолкновительной плазмы,
найденная в примере 11.6. При выполнении второго неравенства потенциал
экранированного заряда, <р(к) = 47rq/k2ei(k,0)9 изменит знак по сравнению с
потенциалом того же заряда в вакууме (см. задачу 11.8*). Это означает, что
два одинаковых заряда q в среде с е] (/с, 0) < 0 будут испытывать
притяжение: их энергия взаимодействия U(k) = q<p(k) = 47rq2/k2ei(k,0) < 0. Этим
свойством объясняется эффект образования куперовских пар, приводящий
к сверхпроводимости (см. раздел 9.4).
К числу веществ с £/(&, 0) < 0 относятся также неидеальная (плотная)
классическая плазма, сильные электролиты и другие вещества с сильным
взаимодействием между частицами.
11.42. ше'Цк.ш) ^0.
11.43.
оо
11.44.
и = 1 d(u>2C(u) q*
и>С2(и>) du> 2 -
Частота колебаний в контуре определяется формулой Томсона (10.5): ш =
11.45. Формула Лоренц-Лоренца (пример 7.4) выводится в
предположении однородности электрического поля в окрестности атома, поэтому
должно выполняться условие Л » а, где А — длина волны колебаний, а —
размер атома. При этом
1 + 87TJV/3H/3
(1) £И = 1-4^/ЗН/З'
поляризуемость атома /3(ш) определяется формулами (12) из решения
задач 11.14*, 11.15* и в общем случае дается приближенным выражением
(2) /?м = ЙЕ /s
и20 -и2 - z7scj
11.6. Ответы и решения
421
Вдали от резонанса в (2) можно пренебречь слагаемыми —i^suj,
поскольку обычно 7s <^ ^so> но сумма сохраняется. Вблизи резонанса с
номером s можно оставить в (2) только одно (резонансное) слагаемое. В этом
случае имеем
[6) €{U) « — —— : = 1 + — — ; ,
uso ~ ^p/s/3 _ и гЪи и; -uz - z7scj
где и2 = 47гАГе2/т, N — концентрация атомов (а не электронов).
Диэлектрическая проницаемость сохраняет резонансную зависимость от частоты,
но резонансная частота уменьшается за счет эффекта плотности (отличия
локального поля от среднего):
(4) (u2s0)loc = u2^u2s0-uj2pfs/3.
11.46.
г- u2s0 + 2cj2/s/3
A20 + 2^s/3-i7s/2, w~ s° // \E0
В рассматриваемом приближении поток энергии отсутствует, происходят
однородные затухающие колебания атомных осцилляторов, Ео — начальная
амплитуда продольного поля.
11.47. Если пренебречь мнимой частью диэлектрической
проницаемости, полагая е"(к,ш) « 0, то
(1)
В этом приближении электронный газ колеблется как целое
относительно неподвижного газа ионов. Плотность энергии колебаний превышает
вдвое плотность энергии электрического поля из-за наличия потенциальной
энергии кулоновского взаимодействия электронов и ионов. Поток энергии
колебаний отличен от нуля благодаря учету пространственной дисперсии,
несмотря на отсутствие магнитного поля и равенство нулю вектора Пойн-
тинга. Перенос энергии осуществляется тепловым движением электронов.
С учетом мнимой части е"(к,ш) (затухания Ландау) собственная
частота tJi(k) приобретает малую мнимую добавку. Записав uji = и[ +
+ г7, Ы <^ ufl9 находим и[ из уравнения е[{к,и) = О и получаем для нее
422
Глава 11
прежнее значение (1). Малую мнимую часть частоты находим из уравнения
27 = 0,
(2) el(k,LH)*el(k,u'l) + ie'l'(k,u'l)+ de'l(Ku)
duj
где мнимую часть диэлектрической проницаемости е" заимствуем из
результатов задачи 11.9. Получаем
(3) 7(*) = -
е{'(М)
^
де[(к,и)/ди\1
8 (krD)2
UQe -l/4(krD)2-3/2
где vd = y/T/Sirne2. При uj'Jkvre = l/y/^kro > 1 затухание продольных
плазменных волн экспоненциально мало. Это объясняется малым
количеством частиц в распределении Максвелла, скорости которых сравнимы с
фазовой скоростью vph = и/к продольной волны. Плотность мощности
диссипации энергии продольных волн дается формулой (11.92), которая в
рассматриваемом случае примет вид
(4)
ш,
Q = ^e'l'(kM)\E(t)\2-
Здесь |i£(£)|2 = Ele~2lt, Eq — начальное значение амплитуды поля.
Величины w и 7 с учетом затухания описываются по-прежнему выражениями (1)
с заменой ui на и[. Квадрат поля 1-Е"!2 в них также будет затухать со
временем.
11.48.
(1)
';м~1+4;
U,
'(И
1 +
3k2v2
'Ti
ОТ
e't'(k,w)
V2U4e
LJLJn
<0e_ """0t -u;2/2k2v^
3 k3V*
uTi
Считая мнимую часть е" малой, определяем действительную и мнимую
части частоты способом, использованным в предыдущей задаче:
(2) W/2(*)«u&
1 + Ък'г'т 1 +
k2r2
1 +
De ,
к2Г2
De ,
11.6. Ответы и решения
423
(3) 7(*)
ехр
<4
/2
(к)
2k2v2Ti
Здесь введены обозначения гое, % = \fTe,i/Airne2 для электронного и
ионного дебаевских радиусов и использовано предположение о сильной неизо-
термичности плазмы: Те ^> 7*. При выполнении этого условия и
неравенств, указанных в условии задачи, имеем из (2), (3) |7| <С и[.
В длинноволновом пределе, когда кгве « 1 и кго% <С 1, формулы
упрощаются:
и{(к) xivsk, vs = a -fj (1 +
(4)
ЗТ{
7 « -fcvfi
тгте I /ш£ / т;
8ГГЦ 1 + V Ше V Т<
3/2
ехр1-§-^
Эти колебания называются ионнозвуковыми, так как их закон дисперсии
(зависимость частоты от волнового вектора) такой же, как у звуковых волн
в нейтральной среде. Скорость ионного звука vs определяется в основном
температурой электронов, но массой ионов.
В коротковолновом пределе (кгое ^> 1, но по-прежнему кгщ <С 1)
имеем ионные плазменные слабозатухающие колебания
(5)
/тгтГ шог \л , [т~(Те\3/2 ( з _1 \\
11.49. Приы > kvF
^(/c)^cj0e(l + ^2rb), 7 = 0.
При uj — kvF <С cj, /c^f, но cj > /c^f полагаем в формуле (3) задачи 11.11
uj/kvp + 1 ~ 2 и находим спектр
LJi(k) ~ kvp
I + 2e"2(fcVF)2"2
,7 = 0.
При и > kvp колебания не затухают ввиду отсутствия резонансных частиц.
При и < kvF колебания быстро затухают. Энергия плазмонов hwoe в
типичных металлах (п « 1023 см-3) составляет 10-20 эВ. Плазмоны
возбуждаются при прохождении быстрых электронов через тонкие металлические
424
Глава 11
пленки и регистрируются по дискретным потерям их энергии AS = huoe,
2huoe, ... В некоторых неметаллических веществах (С, Si, MgO и др.) плаз-
моны также возбуждаются, в плазменных колебаниях участвуют валентные
электроны.
11.50. Относительные колебания ионов происходят с приведенной
массой т = т+т-/(т+ + га_). Вводим параметр w = y/m/v(r+ — r_),
характеризующий относительное смещение ионов двух знаков из
равновесных положений. Здесь v — объем, приходящийся на одну элементарную
ячейку кристалла. Колебания под действием одних упругих сил
описывались бы уравнением
(1) w = —ulw.
Этим колебаниям соответствует лагранжиан
(2) L(w, w) = w2/2 - u%w2/2
на единицу объема.
С другой стороны, учитывая электрические силы, можно записать
линейное соотношение, определяющее вектор поляризации кристалла:
(3) Р = jw + аЕ.
Первое слагаемое вызвано смещением ионов из равновесных положений.
Смысл второго слагаемого и постоянной а легко определить. В отсутствие
относительного сдвига ионов поляризация вызывается только деформацией
их электронных оболочек. Поэтому а — соответствующая электрическая
восприимчивость, связанная с боо, заданной в условии задачи,
соотношением а = аоо = (воо - 1)/47г.
Наличие поляризации приводит к добавочной потенциальной энергии
Е
(4) U = - f P(E)dE = -yr-E- ±Е2.
о
Добавляя ее к лагранжиану (2), получим
(5) L(tb, w) = w2/2 - u)lw2/2 + 7™ ■ E + \e2.
Из лагранжиана (5) получаем уравнение движения с учетом электрических
сил:
(6) ib = -ujIw + 7-Е.
11.6. Ответы и решения
425
Постоянную 7, входящую в (6), выразим через статическую
диэлектрическую проницаемость во. Для этого записываем уравнения (3), (6) в
статическом пределе:
(7) Р0 = 7™о + (*ооЕ, wo =-2-Е.
UJ{
В то же время имеем, очевидно, Ро = аоЕ, где а0 — статическая
восприимчивость. С помощью (7) находим
(8) 7 = И> /£°
47Г
После определения всех постоянных переходим к вычислению частот
собственных колебаний. До сих пор мы считали систему однородной. Учтем
теперь, что колебания в кристалле распространяются в виде слабо
неоднородной волны (малый fe). Векторы w, E, P могут быть ориентированы
перпендикулярно или параллельно fe. Представим каждый вектор в виде
суммы поперечной и продольной части: w = wt + wi, .... Соответственно,
равенства (3) и (6) будут относиться либо к поперечным, либо к
продольным векторам. Для вектора Et уравнения Максвелла в квазистатическом
приближении имеют вид rot Et = 0, div Et = 0, откуда следует Et = 0,
т. е. на поперечные колебания электрическое поле не влияет. Уравнение (3)
принимает вид ibt = —uj^Wu т. е. частота поперечных колебаний ujt = ио.
Продольное поле удовлетворяет уравнениям rotEi = 0, div D =
= div(Ei + 47гР/) = 0, откуда имеем
(9) Et = -47гР/5
так как при Р = 0 в квазистатическом случае должно быть Е = 0. Теперь
из уравнений (3), (6) и (9) исключаем векторы Р/, Е\ и находим уравнение
движения ib\ = —u>fwi, откуда получаем
2 2 , 47Г72 €0 2
1 ° 1 + 4тг72 €°°
В таблице приведены экспериментальные значения параметров
некоторых ионных кристаллов [Давыдов (1976)].
426
Глава 11
Кристалл
NaCl
КС1
Т1С1
ZnS
wt, Ю13 рад/с
3.09
2.67
1.61
5.71
£o
5.62
4,68
31.9
8.30
£oo
2.25
2.13
5.10
5.07
11.51.
e(w) = e0 +
(gp ~ goo) _ Soojuf -u2)
1 - u>2/u>2 u2 - u2
11.52. В установившемся режиме Мц = М0, поэтому
линеаризованное уравнение (11.115) для намагниченности принимает вид
(1)
dM±
-r)Mj_ x Но
Mi
Решение для вынужденных колебаний имеет вид
т)М0 х he
-iu>£
(2) М± = хо
Un
ul-(u + ir2 l)2
he
' + *Xo-
u0(u + ir2 l)
;2-(u; + ir2-1)2
nxhe
где cjo = tyffo» w- — единичный вектор в направлении Но. Из (2) находим
тензор магнитной восприимчивости парамагнетика при наличии
постоянного магнитного поля:
Ха/зМ = Х±(и)(6а0 - папр) + iea0u9u,
(3)
X_lM = Хо-
-Хо-
cjo(^H-^t2 *)
'а;§-(аЛ-гт2 *)2 cjg - (а; + гт2 *)2
Диссипацию энергии находим по формуле (11.111):
п.
(4)
2, ,2, ,2
QM = Xo\h\ Щи
т2[(и2-и2 + т2-2)2+4и2т2-2}'
Зависимость Q(lj) имеет резонансный характер. Если резонанс узкий
(т2-1 «С а;о), то вблизи резонанса (|а; — а;о| <^С а;о) форма линии поглощения
упрощается и приобретает лоренцевский вид
(5) QH
ХоН2
4т2 (£0 - и;)2 + т2-2
где wo = wo + 1/2ш0Г2
— резонансная частота.
11.6. Ответы и решения
427
11.53. Резонансная частота имеет порядок величины шо « fiHo/h,
где [I — магнитный момент одной частицы. Если это — момент
отдельного электрона или электронной оболочки атома (электронный
парамагнитный резонанс, ЭПР, открыт советским физиком Е. К. Завойским
в 1944 г.), то мерой магнитного момента выступает магнетон Бо-
ра fi « fiB ~ 0,93 х 10"23 Дж/Тл « 0,93 х Ю-20 эрг/Гс. В этом случае при
Но = Ю3 Гс имеем uq « 1010 рад/с. Если исследуется взаимодействие
переменного поля с магнитными моментами атомных ядер (ядерный
магнитный резонанс, ЯМР, открыт американским физиком Ф. Блохом в 1946 г.),
то резонансная частота при том же постоянном поле определяется ядерным
магнетоном, который в тр/те « 2 х 103 раз меньше магнетона Бора.
В результате имеем резонансную частоту ljq « 107 рад/с. Частоты обоих
резонансов, таким образом, сильно взаимно различаются.
11.54. Мх = Asm(u>0t + а), Му = A cos(u>0t + а), Mz = С,
где с^о = ^Я0, а — начальная фаза, А и С — константы, связанные
условием М2 = Mq, т.е. А2 + С2 = Mq, где М0 — намагниченность насыщения.
Движение вектора намагниченности представляет собою обычную лармо-
рову прецессию.
11.55. Ищем решение в виде М = M0+me~iu)t\ т _1_ М0, т < М0.
Подставив эффективное поле (11.117) в (11.116) и линеаризовав уравнение,
получим
(1) гсишх = r}Moqk2my, iumy = -r]Moqk2mx,
откуда находим закон дисперсии волн намагниченности (спиновых волн,
магнонов)
(2) и{к) = rjM0qk2.
В квантовой теории формула (2) определяет спектр энергии в {к) = hu>(k)
элементарных возбуждений — магнонов. Более точное выражение для
спектра магнонов с учетом ряда поправок см. у Лифшица и Питаевского (1978).
11.56. Ищем решение уравнения
(1) ^ = -VM хН0+ ujr(xoH0 - М)
в виде Мх = mxe~iu)t, Му = mye~iu)t, Mz = M0 + mze~iu)t, где и —
неизвестная частота; ось z направлена вдоль Щ.
428
Глава 11
Проецируя (1) на оси координатw подставляя М, получим систему
алгебраических уравнений, условие совместности которой имеет вид
(2) wl-(w + iujrf = 0.
Частота и оказывается комплексной: и = и о — iur; наличие потерь
приводит, как обычно, к затухающему движению. Компоненты тх и ту сдвинуты
по фазе на 7г/2. Вектор М совершает затухающую прецессию вокруг Щ.
11.57. Если выбрать ось Oz вдоль Н, то полное магнитное поле
будет иметь составляющие hxe~lujt, hye~luJt, Я0 + hze~luJt. Ищем решение
уравнения Ландау-Лифшица (11.116) без учета неоднородного слагаемого
V2M в виде
(1) Мх = mxe-iuJ\ Му = mye-iuJt, MZ = M0 + тге~^\
где Мо — намагниченность насыщения. Эта форма решения соответствует
предположению, что ларморова прецессия прекратилась вследствие
затухания и колебания поддерживаются только высокочастотным (вынуждающим)
полем. Поэтому нужно считать величины тх, ту, mz малыми, порядка не
ниже h. Подставляя (1) в уравнение Ландау-Лифшица и отбрасывая
квадратичные по h и т члены, определим компоненты га:
^о , гили0 ,
ТПх = ХО-^2 2hx ~ X°H2 2hV
U)q — UJ U)q — UJ
тУ = XO^j 2hx ~ Х0~2 2hy Шг = °*
Как видно из этих формул, характер зависимости тх и ту от и при
фиксированной ио = V^o или от Яо при заданной и — резонансный: в
точке и = luo компоненты тх и ту неограниченно возрастают, наступает
ферромагнитный резонанс.
Неограниченное возрастание амплитуды га связано с приближенным
методом решения уравнения Ландау-Лифшица. Точное решение (см.
задачу 11.60*) должно обеспечивать постоянство длины |М|, так как из
уравнения Ландау-Лифшица без учета диссипации следует М2 = const. При
решении задачи методом последовательных приближений с учетом потерь М
также остается ограниченным.
11.58.
Х± -1Ха 0 \ / fl± -Ща 0'
(1) Хгк = \ iXa X-L 0 , flik= \ Ща Ц± 0
0 0 0/ \ 0 0 /ХЦ
11.6. Ответы и решения
429
где
(2)
Х± =Хо-
Ха = Х0~
UZ
и>и>о
(3) ц± = 1 + 4тгХ± = 1 +
2 2 '
Uq -U>Z
На = 47ГХа
UJUJM
ujI
■ и
Р\\
1.
Здесь введены единообразные обозначения им = ДтгцМо, ио = т]Н0. Как
ВИДНО ИЗ Приведенных формул, \гк И flik — ЭРМИТОВЫ ТеНЗОрЫ (flik = ll*ki).
Это означает, что среда является гиротропной, а потери отсутствуют.
Графики зависимости компонент /z*fc от частоты приведены на рис. 11.3
(Яг««3400Э).
Рис. 11.3
11.59. Выбираем переменное магнитное поле в виде плоской
монохроматической волны, Н = Но + hexp(ik • г — iut), и ищем решение в
аналогичном виде: М = М0 + mexp(ife • г — iui). После линеаризации
уравнения Ландау-Лифшица и вычисления коэффициентов
пропорциональности между компонентами векторов тп и h находим компоненты тензора
магнитной проницаемости:
ц±(и,к)=1+
им(ио+иеха2к2)
(и0+иеха2к2)2-и2
На~~
иим
(и0+иеха2к2)2-и2:
/*ll
= 1.
430
Глава 11
Здесь использовано обозначение и>еха2 = rjMoq, где а — постоянная
порядка атомных размеров, иех — некоторая частота, характеризующая обменное
взаимодействие спинов в ферромагнетике. Из сравнения с результатом
предыдущей задачи следует, что учет пространственной дисперсии приводит
к замене си0 —> И) + и>еха2к2. Хотя в макроскопических задачах ак < 1,
вклад второго члена может быть заметным, если иех > uq.
11.60.
(1) Мх = ^p-Ccosut, My = ^p-Csinut, Mz = С,
/ли /ли
где Аи = и>о — и, uo = r]Ho, u\ = rjh. Постоянная С может быть определена
из условия М2 + М2 + М2 = Mq, которое следует из уравнения Ландау-
Лифшица: •
где- Q = у/Аи2 +и\.
В выражение С входит модуль |Да;|, так как Mz > 0. Компоненты М
примут вид:
Мх = ± — Mocosut = xhx,
(2) шл \Аш\
Му = ±—M0smut = \hy, Mz = LM0.
Здесь знак ± соответствует знаку Да;. Как следует, из этих равенств, связь
между М nh нелинейна, коэффициент пропорциональности \ зависит от h
через и\\
= ±__пМо__
Х у/Аи;2+LU2'
Угол прецессии т9 (угол между М и Щ) определяется равенством
. Q М± иг
М0 ft
где М± = Jm2 + М2. При ферромагнитном резонансе Аи = 0, и из (1)
получим
Мх = ±М0 cosut, My = ±М0 smut, Mz = 0.
Вектор М в этом случае вращается с частотой и в плоскости,
перпендикулярной Но, его компоненты не обращаются в бесконечность.
11.6. Ответы и решения
431
11.61. М = М0 + me luJt, где Мо имеет направление Но, а
компоненты га определяются формулами
ft2 - i
lUJUJr , . CJCJQ
2 .^.o,,-,.,,., '"у
Ш* = Х07^2 2 ^ Нх - ^°о2 2 о-
— lUJUJr
™>y = гХо-г$ ^— hx + хотг^ 5— hy,
mz = XO —Jlz,
SI •= yju>l + u;2, cj0 = ?7#o-
Как видно из этих формул, наличие потерь (иг Ф 0) приводит к тому,
что при резонансе амплитуда га остается конечной.
11.62.
V-L -Ща 0 \ , . „
0 0 М||/ ^ Ма + *Ма>
fi2(ft2 - а;2) + 2w2w2
^_L
,/'
v±
,,'
Va
,."
Ра
* ' *"AU (fi2-u;2)2+4u;2u;2 '
cjuvffi2 H-u;2)
AU(ft2-u>2)2 + 4u-2u;2'
wuWfi2 - u>2)
Au(Q2-w2)2+4a;2w2'
- Ittv ш2ш°Шг
AU(Q2-u;2)2+4u;2u,2'
_ 1 , л-,. Ur
LUr — IU
где П = v^Tcj2, cj0 = г)Щ, Hres « 3400 Э.
Графики зависимости /z'± и /х" от постоянного поля Яо приведены на
рис. 11.4. Зависимость ц'а и /xj[ от Яо имеет аналогичный вид.
432
Глава 11
Мнимые части //" и /х^ имеют максимумы при Яо = Hres « и/г],
а вещественные части //±, //^ принимают экстремальные значения при
Н0&(и>±иг)/т).
Кривые, изображенные на рис. 11.4, имеют такой же характер, как
дисперсионные кривые для е(ш) (см. рис. 11.2).
Рис. 11.4
Мнимые части компонент тензора /х" и [i"a, /zjf определяют диссипацию
электромагнитной энергии. Они обращаются в нуль при иг = 0.
11.63. ДЯ0 = шг/т).
11.64. Выберем оси координат вдоль главных осей эллипсоида, ось Oz
направим вдоль поля Но. В этих осях тензор Nik имеет диагональный
вид. Поэтому уравнение Ландау-Лифшица в проекциях на оси координат
запишется так:
(1)
Мх = -г)[Н0 + 4тг(ЛГ^ - N&)Mx]My,
Му = rj[H0 + 47r(W<*> - NW)MZ]MX,
Mz = -Ащ{И^ - N(y))MxMy.
Таким образом, уравнения становятся нелинейными. Предполагая, что
отклонения вектора М от равновесного положения (направление оси Oz)
малы, ищем решение в виде
(2) М = М0 + me~ioJt,
где вектор Мо направлен вдоль оси Oz. Если пренебречь членами с т2,
11.6. Ответы и решения
433
которые войдут в систему (1) после подстановки (2), то система (1)
линеаризуется. Приравнивая определитель системы нулю, находим
(3.) ш2 = и)\ = v2 \h0+MN{x)-N^)M0] [Яо+4тг(Л^-ЛГ^)Мо
11.65. и = ик + 1иг [1+хо(А^(х)+А^ы)/2],хо = M0/{H0-N^M0).
Значение ик приведено в ответе к предыдущей задаче.
11.66.
/ Xi -iXa О'
Хгк = г\а Х2 О
V ° ° °>
(ось Oz направлена вдоль Яо),
Xi = ^ [г?Мо[Н0 + (N^ - nM)M0] - iXouur} ,
Х2 = ^ {v2M0 [я0 + (JV<*> - N^)M0] - ixowr},
Xa = -дГ^Мо,
где
Д = (ul - и;2) - iuLUr [2 + Xo(W(x) + N^)
Xo
Mn
H0 - N^M0
Поскольку в выражения компонент тензора Xik входят
размагничивающие факторы, положение резонанса и ширина резонансной линии будут
зависеть от формы тела.
11.67. Система уравнений движения для векторов
намагниченности Mi и Мч имеет вид
(1) ^ = -пМг х (Я0 + АМ2), ^ = -VM2 x (Я0 + АЛ*).
dt
dt
Ищем решение в виде М\ = Мю + m\e~lujt, M4 — М20 + rrb2e~luJt
(М10, М20 — равновесные значения Мь М2).
При решении системы (1) удобно перейти к циклическим компонентам
rrij± = mjx ± irrijy (j = 1, 2).
434
Глава 11
Частоты собственной прецессии:
(2) и>01=г}Н0, о;о2 =^А|Мю-М2о|.
Формулы (2) справедливы при условии Л|Мю - M20I > Я0. Частота c^oi
имеет такую же величину, как и в случае ферромагнетика без подрешеток.
Частота и>02 зависит от молекулярного поля и обычно сильно
превышает Шо\.
11.70. При пересчете в лабораторную систему уравнений связи
(11.127) кроме преобразования полей следует выполнить также
преобразование Лоренца частоты и/, определенной в сопутствующей системе
отсчета. Величина и'/с представляет собой временную компоненту волнового
4-вектора к[ и преобразуется по закону (см. ответ к задаче 3.12)
o/ = 7(w-fc-V).
Уравнения (11.128), (11.133) сохранят свой вид, но всюду
электрическая и магнитная проницаемости приобретут аргумент е(у(ш — к • V)),
fjL(y(uj — к -V)). Зависимость от волнового вектора к свидетельствует о
том, что в лабораторной системе движущаяся среда приобретает
пространственную дисперсию. При наличии пространственной дисперсии в
сопутствующей системе волновой вектор к' также следует выразить через сии к.
11.71. Находим векторы поляризации из уравнений (11.9),
(1) P=±{D-E), M=±{B-H),
и с помощью (11.133) получаем
{2) _Г
M = ^jrB + ik[02B-(3{f3-B)-f3xE]-
При е = 1 имеем электрическую поляризацию
(3) Р = (М ~ ^ [02Е -0(0-Е) + 0х В].
При fi = 1 магнитный вектор
(4) М={£ ~Л?7* [02Н - (3(0 • Н) - /3 х D].
11.6. Ответы и решения
435
В обоих случаях поляризация связана с движением среды (/3 ф 0). В
неподвижной электрически не поляризующейся среде (е = 1, // Ф 1) при
наличии магнитного поля имеются токи намагничения jint ф 0, хотя связанный
заряд pint = 0. Заряды нейтрилизованы внутри молекул. При движении
среды на положительные и отрицательные заряды действуют разные силы
Лоренца, которые смещают их в разных направлениях и создают
электрическую поляризацию (3).
В случае ц = 1, е ф 1 электрическое поле в неподвижной среде создает
связанный заряд. Движение среды создает ток, обеспечивающий магнитную
поляризацию.
11.72. Приравняв нулю аргумент дельта-функции в формуле (11.148),
найдем форму поверхности волны, испущенной мгновенным точечным
источником. В каждый момент времени это — эллипсоид вращения,
х
2 .„,2
+ у2 , (z-Mt))2
(1) a2(t) + b2(t) h
центр которого находится на оси Oz в точке
(2) z0(t) = ^-±Vt,
ец-Р2
а оси увеличиваются со временем:
I 1-Я2 (1 - /32)JsE
у E[i - /Г E[i - /3Z
причем их отношение a/b = j^/l - P2/efx > 1 постоянно.
Важную роль играет скорость центра эллипсоида
(4) v0 = z0(t) = -^—2 V = VV.
е/х- 1
efi-02
С этой скоростью происходит увлечение любого электромагнитного
возмущения движущейся средой. Коэффициент увлечения rj растет до единицы
при /3 —> 1. Скорости v± = zo(t)±b(t) распространения возмущения в
положительном и отрицательном направлениях оси Oz различны, движущаяся
среда обладает анизотропией.
При досветовом (V < c/y/ejl) движении среды V- < 0, сигнал может
дойти до любой точки наблюдения, находящейся при z < 0 либо при z > 0
436
Глава 11
(рис. 11.5а). Цифры 1-3 обозначают соответствующие поверхности в три
последовательных момента времени, разделенных равными промежутками.
Р — точка наблюдения. При световом движении V- = О и сигнал попадает
только в точки, лежащие в правой полуплоскости z > О (рис. 11.56). При
сверхсветовом движении zq > b, эллипсоид сносится вниз по течению в
положительном направлении оси Oz. Возмущения доходят только до точек,
Рис. 11.5
11.6. Ответы и решения
437
лежащих внутри конической поверхности, уравнение которой
/ем/?2 - 1
(5) ^УТ^^^'
Вне конуса с углом раствора дд поле отсутствует во все времена. Внутри
конуса в каждую точку сигнал приходит дважды: от переднего и заднего
фронта эллипсоида (рис. 11.5в).
11.73.
(1) <P(r) = ъ—Тл S"' Л^ = —Тл Ж^(г)у>
Я* е{1 - Pz с(1 - e/i/r)
где в досветовом случае (ед32<1) 5 = 1, а в сверхсветовом случае
(efi/З2 < 1) s = 2, если точка наблюдения находится внутри конуса,
определяемого уравнением (5) предыдущей задачи, и s = О вне конуса.
(2) " T1 cil-evip)
E = -Vtp, B= _/ [ДхУ],
D = Y^^[{l~l32)E~{^~imf3'E)i н = 0'
Потенциалы и векторы поля не зависят от времени, магнитная индукция
отлична от нуля, хотя напряженность магнитного поля равна нулю.
_ 1 _ГГЛ. ^,.«2
4тг(1
(3)
47Г(1 - £^Р )
е/г — 1
с(1-ем/?'2)'
М=.,Г . ..^ЛДжУ].
Причина возникновения магнитной поляризации под действием
статического электрического поля в движущейся среде обсуждалась в задаче 11.71*.
11.74.
z(m) = /x£mO! Z(e) = 0)
438
Глава 11
где s и Я* соответствуют обозначениям предыдущей задачи.
fisj2(efx - 1) R • [/3 х га0]
4>{т) =
Sfl дЗ
_ m0 x R №2(ец - 1) /3(R • [/3 x m0])
Д? ^ Д+3
Я = .*е* + 7(1 - efi(32)r±, {3 = V/c.
11.75.
Z(e) = ^fP0^ Z(m)=()e
Д*
V(r)=S72(l/e-/,/32)^, A = -(^~1)<Y.y(r).
Д* C(l - £///r)
Обозначения те же, что в задачах 11.73*, 11.74*.
11.76. В сопутствующей системе магнитный диполь создает
статическое магнитное поле, которое вычислялось в разделах 2.2 и 9.2. Магнитное
и электрическое поля в лабораторной системе можно получить с помощью
преобразований Лоренца, имея в виду, что векторы (Е, В) и (D, Н)
попарно образуют антисимметричные 4-тензоры второго ранга в соответствии
с выражениями (11.124), (11.125). В отличие от покоящегося в
лабораторной системе диполя, в данном случае потенциалы и векторы полей зависят
от времени.
11.77. Кроме импульса, переданного волнам, излучатель передаст
некоторый импульс среде через силу Абрагама. Его можно вычислить
как импульс силы Абрагама за все время взаимодействия волн со средой:
AG = J fAdVdt = GM — G . Поэтому потеря импульса излучателем
совпадает с импульсом, отвечающим формуле Минковского: AG = G +
+ AGA = GM.
11.78.
wA = -±-(D • E + В • H) - t^-72V (DxB-ExH),
87rv J Anc v n
9A = ±S=±-c\exH- ±12V(V -[DxBl-V-lEx H]) J .
Глава 12
Распространение электромагнитных
волн
12.1. Поперечные волны в изотропных средах. Отражение
и преломление волн
Электромагнитные волны в вакууме представляют собой колебания
напряженностей электрического и магнитного полей, которые происходят в
отсутствие источников излучения. Свойства волн в вакууме были
рассмотрены в разделе 2.3. В веществе колебаниям напряженностей поля
сопутствуют колебания заряженных частиц — электронов и ионов вещества. Поэтому
колебательные процессы становятся более разнообразными. В частности,
в общем случае в средах электромагнитные волны непоперечны — векторы
поля могут иметь как поперечные относительно направления
распространения, так и продольные компоненты.
Собственные колебания в изотропной среде. Собственные
колебания среды можно исследовать с помощью системы уравнений Максвелла
(11.25)—(11.28), положив в ней pext = jext = 0. После исключения
вектора В получим уравнение
с2 at2
votvotE = —l-^-, (12.1)
которое надо дополнить уравнением связи между векторами ® и Е. В случае
однородной среды используем уравнение (П.34), связывающее гармоники
Фурье этих векторов:
9а(к,ш) = еа0{к,и)Е0{к,и). (12.2)
Преобразовав по Фурье уравнение (12.1), получим с помощью (12.2)
систему однородных алгебраических уравнений относительно компонент поля:
к25ар - как@ - ^r-6a/3(fe,u;)
Ер(к,и>) = 0. (12.3)
440
Глава 12
Ненулевое решение системы возможно только при равенстве нулю ее
определителя:
\к 8ар -как(з 2"ба/з(й,и;)
с2
= 0. (12.4)
Уравнение (12.4) связывает частоту и волновой вектор собственных мод
среды и называется дисперсионным уравнением волн в среде. При
нахождении явного вида дисперсионной зависимости задают либо волновой
вектор, либо частоту и определяют другую величину из дисперсионного
уравнения. Первый случай реализуется, когда волновой вектор определен
геометрией тел (например, граничными условиями в кусочно-неоднородной
среде). Тогда дисперсионное уравнение позволяет найти частоту и (к),
вообще говоря, комплексную ввиду комплексности еа/з. Но в областях
прозрачности среды мнимая часть диэлектрической проницаемости может быть
пренебрежимо малой. Если поле создается внешним монохроматическим
источником, то задается его частота и, а волновой вектор к(ш)
определяется из дисперсионного уравнения и некоторых дополнительных условий
(симметрия, условия на границах и др.). При этом волновой вектор в общем
случае тоже комплексный,
к = к' + ik", (12.5)
причем действительные векторы fc', к" могут иметь разные направления.
Такие плоские волны называются неоднородными. Их направления
распространения и затухания не совпадают.
Как правило, в среде существует несколько ветвей колебаний, которые
определяются уравнением дисперсии и граничными условиями. Каждой
ветви соответствует своя поляризация (соотношение между компонентами
вектора Е), которые определяются из системы (12.3). Способы анализа
поляризаций изложены в разделе 2.3. Магнитный вектор можно найти из
уравнения (11.41):
В(к,ш) = %кх Е(к,ш). (12.6)
В изотропных средах поперечные и продольные колебания могут
существовать раздельно. Дисперсионные уравнения для них были получены
в разделе 11.1 (формулы (11.56)—(11.58)):
ei(k,(j) = 0, u2et(k,uj) = c2k2
либо e(fe,a;)=_0, u>2e(k,u)fi(k,u>) = с2к2.
Дисперсионные зависимости для продольных волн в некоторых средах
рассмотрены в задачах (11.44)—(11.48).
12.1. Поперечные волны в изотропных средах
441
Групповая скорость. Зависимость частоты от волнового вектора у
электромагнитных волн в диспергирующих средах имеет более сложный
характер, чем прямая пропорциональность и (к) = ск у волн в вакууме.
Поэтому фазовые скорости волн vph(k) = и (к)/к зависят от длины волны
(или от частоты), т. е. разные гармоники Фурье распространяются с разными
скоростями. Это приводит к тому, что волновые пакеты в диспергирующей
среде (в отличие от вакуума, см. задачу 2.127) не сохраняют своей формы,
а скорость переноса энергии не совпадает с фазовой скоростью.
Пример 12.1. Показать, что квазимонохроматический (Alj «С и)
пакет волн распространяется в диспергирующей прозрачной среде с
групповой скоростью . ,- V
vg = -д-. (12.8)
Показать также, что скорость переноса энергии пакетом волн в среде без
пространственной дисперсии совпадает с групповой скоростью.
Решение. Необходимо оценить интеграл вида
/з.
a(k +-q) exp[i(fc + q) • r - iu{k + q)t] —^
по области значений \q\ ^ Ak, где Ak «C fc, u(k) — дисперсионная
зависимость для рассматриваемых волн. Произведем разложение частоты с
точностью до линейных членов:
(2) u(k + q)& ш(к) + j£-q = u + vg-q.
Подстановка этого разложения в (1) дает
E(r, t) = А(г — vgi) exp(ife "• г — iut),
(3) a, * f ,, . s r- , .м d3q
где A{r - vgt) = / a(fe + q) exp[iq • (r - vgt)]
(27Г)
3*
Мы получили плоскую волну с медленно меняющейся амплитудой. Ширина
пакета в координатном пространстве порядка 1/Д/с (см. задачу 2.40). В
рассмотренном приближении пакет не меняет своей формы и перемещается в
пространстве с групповой скоростью vg. Расплывание пакета происходит
при учете следующих членов разложения частоты по q (см. задачу 12.6).
Скорость переноса энергии v вычислим по формуле v = *y/w , где
7 — плотность потока энергии, w — плотность энергии, усредненные по
442
Глава 12
времени. Они даются выражениями (11.110). Магнитный вектор
вычисляем из закона электромагнитной индукции, считая медленно меняющуюся
амплитуду постоянной. Получим
Н=7±пкхЕ, 7 =
(4)
W
1
1б7Г
d
с2к
Е* Е,
е d
^М^ + ^^Н)
Е* Е.
Из этих соотношений находим
(5) v = —
^-UJ^/€(uj)fl(uj)
На последнем этапе преобразований нужно использовать уравнение
дисперсии LJ2€fl = С2 к2. Ш
Математическую теорию распространения узко полосных импульсов в
диспергирующих средах, основанную на разложении Фурье (к сожалению,
без должного числа физических примеров) можно найти в монографии
Вайнштейна и Вакмана (1983). Анализ коротких электромагнитных
импульсов в диспергирующих средах, основанный на точных решениях без
использования разложений Фурье, см. в [Шварцбург (1998)].
Отражение и преломление волн на границе двух сред.
Пример 12.2. На плоскую границу раздела двух прозрачных
диэлектриков с проницаемостями S\(u), [i\ = 1 и £2(^), А^2 — 1 падает под
заданным углом во к нормали (рис. 12.1а) плоская монохроматическая
волна с произвольной поляризацией. Из граничных условий найти частоты,
направления распространения и амплитуды отраженной и преломленной
волн. Найти также коэффициент отражения R — долю энергии падающей
волны, переходящую отраженной волне. Какому условию должна
удовлетворять толщина переходного слоя S, чтобы ею можно было пренебречь
и считать равной нулю?
Решение. На границе сред (z = 0) должны выполняться граничные
условия:
(1)
Eqt + Е\т — Еът, Нот + Н\т — Нът,
где индексы 0,1,2 относятся к падающей, отраженной и преломленной
волнам соответственно. Волновой вектор отраженной волны должен быть
направлен в глубь первой среды, а волновой вектор преломленной волны —
12.1. Поперечные волны в изотропных средах
443
Z
а
п
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
А
У
<Ы
f fe.
n,>0
((\\4\\\\\\\\\\W\\\\V\
Ч4
n,>0
X
Рис. 12.1
в глубь второй среды. Поскольку каждое из полей содержит множитель
exp(ik • г — iut) с соответствующими к и ш, то из необходимости
выполнения граничных условий в любой точке плоскости z = 0 и в любой момент
времени получаем равенство частот и одноименных компонент волнового
вектора у всех трех волн: ш0 = ил = U2 = w, к$х = к\х = /с2Х
(выбираем систему координат так, чтобы было ку = 0). Использовав
дисперсионное соотношение (12.7), находим п\ sin#0 = n\ sin#i = n2sin#2, где
ni = y/ii, П2 = у/б2 — коэффициенты преломления, и получаем законы
отражения и преломления Снеллиуса
01 — #о>
sin #2
sin^o
щ_
П2'
(12.9)
Эти соотношения выполняются при любой поляризации падающей волны.
Если рф 1, то коэффициент преломления определяется как п = у/ёЦ.
Для вычисления амплитуд отраженной и преломленной волн разложим
падающую волну на две, из которых у одной вектор 2£, а у другой вектор Н
параллельны границе раздела (и перпендикулярны плоскости, в которой
лежат волновые векторы всех трех волн). Из граничных условий (1) выражаем
амплитуды отраженной и преломленной волн через амплитуду падающей
волны (формулы Френеля). В первом случае записываем их для вектора Е,
во втором — для Н:
sin(g2 ~ 0о) у „ 2 sin 02 cos flp^
sin(02 + #o) sin(02 + #o)
= tg(fl0-fl2) = sin 2^q
1 tg(0o+02) °' 2 sin(eo+^2)cOS^o-^2)
(12.10)
■H0. (12.11)
444
Глава 12
Коэффициенты отражения вычисляем как отношение нормальных к
границе сред компонент плотности потока энергии в отраженной и падающей
волнах, обозначая их через R± и Дц (индексы характеризуют ориентацию
поля Е относительно плоскости падения). Используем формулу (11.110)
для вектора Пойнтинга:
sin2(0O+02) " tg2(0O+02)
Анализ полученных соотношений см. в задаче 12.9*. Они выполняются,
если толщина границы много меньше длин волн в обеих средах: 5 «С Ai, A2.
■
Во всех полученных выше формулах коэффициент преломления
определен как положительная величина: п > 0. Но в конце 90-х годов прошлого
века были созданы и исследованы экспериментально и теоретически
композитные материалы (периодические структуры), обладающие
отрицательным коэффициентом преломления. В длинноволновом пределе их можно
рассматривать как изотропные среды с £ < 0, // < 0, п = —у/еЦ < 0.
Поскольку В = fiH, то из (12.6) следует, что при [i > 0 (т. е. в обычных
средах) векторы к, Е, Н образуют правую тройку. При // < 0 они
образуют левую тройку, т. е. при заданных Е, Н направления волнового вектора
и определяемой им фазовой скорости меняются на противоположные. В то
же время направление потока энергии и групповой скорости определяются
вектором Пойнтинга 7 — (с/4:7г)Е х Н, который всегда образует правую
тройку с Е и Н. Поэтому в изотропных средах с п > 0 (обычных,
«правых») фазовая и групповая скорости направлены одинаково, а в средах с
п < 0 («левых») эти две скорости направлены противоположно.
Расположение падающего и отраженного лучей на границе раздела правой и левой
сред также изменяются по сравнению с обычным случаем (см. рис. 12.16).
Падающий и преломленный лучи теперь расположены по одну сторону от
нормали к границе. Формула (12.9) остается в силе, по при п^ < 0 угол
преломления 02 < 0, т. е. должен откладываться в другую сторону. В левой
среде поток энергии направлен, как и в обычном случае, от границы
раздела, но фазовая скорость направлена к границе. Другие весьма необычные
свойства левых сред и их возможные применения в технике обсуждаются в
работах Веселаго (2003), Блиоха и Блиоха (2004). Мы ниже будем
рассматривать только обычные среды.
Пример 12.3. Плоская монохроматическая волна падает наклонно из
области, занятой прозрачным диэлектриком с проницаемостямие\, Ц\ = \
12.1. Поперечные волны в изотропных средах
445
на границу проводящей среды (/х = 1, е = е' + is"). Найти закон
преломления, т. е. направление распространения, направление затухания и фазовую
скорость волны в проводящей среде.
Решение. В проводящей среде имеем k = к' + ik", где fc', к" —
действительные векторы. Обозначив действительные углы между этими
векторами и нормалью через 0, #, из сравнения показателей экспонент всех трех
волн найдем равенства
а)
в\ = во, к\ sin #о = &' sin в + ik" sin д.
Отсюда находим sin# = к\/к', д = 0 (значение д = 7г не подходит ввиду
условия ограниченности полей в проводящей среде). Таким образом,
вектор к" направлен по нормали в глубь проводящей среды. Остается выразить
величины к!\ к" через е, £i, 0О-
Это достигается с помощью уравнения дисперсии
(2)
к2 = к'2 - к"2 + 2гк'к" cos0 = ^r(s' + is").
Приравнивая действительные и мнимые части, находим
(3)
к
//2_ Ш
2с2
{el sinflo-e'Hv^i sm60-e')2+e"2 > 0, к'2=к"2+^е'> 0.
Плоская волна в проводящей среде
неоднородна (рис. 12.2): E(r,t) =
= Е2в~к z exp(ik'x sin 6+ ik'z cos 6 -
— iuot). Поверхность постоянной фазы
перемещается в направлении вектора
к1 с фазовой скоростью vph = си/к',
зависящей от частоты и угла падения
волны на границу проводника.
Глубина проникновения поля в проводник
д = 1/к" также зависит от этих
величин. Комплексная амплитуда Е^ на
границе выражается с помощью
граничных условий через амплитуду
падающей волны. ■
Граничное условие Леонтовича.
Рассмотрим область частот, в которой
Плоскость
постоянной
амплитуды
Рис. 12.2
446
Глава 12
у/ё" ^> \Гё', у/ё\ (это условие выполняется для металлов в широком
диапазоне). При этом к' « к" « u\fe" /2c, sin# = к\/к! <С 1, т.е. направления
fc' и fc" приблизительно совпадают, волна в проводящей среде становится
однородной, она распространяется и затухает в одинаковых направлениях,
по нормали вглубь среды. Если [i ф 1, то к" « uy/efffi/2c. Векторы поля
внутри проводящей среды связаны соотношением, следующим из
уравнения Максвелла:
E = -(l+i)^nxH = ^H х п,
где е = ге", п — единичный вектор нормали. В это соотношение входят
только тангенциальные компоненты полей. В силу их непрерывности на
границе сред таким же соотношением связаны тангенциальные компоненты
в прозрачной среде на границе независимо от угла падения волны:
Ет=(Нтхп на S, где С = J § (12.13)
— поверхностный импеданс, относящийся к проводящей среде.
Поэтому соотношение (12.13) можно использовать как приближенное граничное
условие при решении внешней по отношению к проводнику задачи
(граничное условие Леонтовича). Это условие применимо при \(\ < 1 не
только к плоской, но и к искривленной поверхности при условии, что
локальный радиус кривизны велик по сравнению с глубиной S = 1/к"
проникновения поля в проводник. Последняя величина играет роль длины волны
в проводящей среде.
Аномальный скин-эффект в металлах. Глубина проникновения поля
в металл
8 = c/yj2iriiKQUj, (12.14)
найденная в главе 10 (формула (10.17)) и в задаче 12.20*, соответствует
нормальному скин-эффекту. Это означает, что и<7 или ит «С 1, где г =
= 1/7 — время свободного пробега электрона. Кроме того, при нормальном
скин-эффекте применим обычный закон Ома j = kqE: ток определяется
локальным значением поля. Такая зависимость предполагает однородность
электрического поля на расстояниях порядка длины свободного пробега
A^vpT, где vp — скорость электронов на поверхности Ферми. Это
означает, что должно выполняться неравенство Л «С 6. Но глубина проникновения
уменьшается с ростом частоты, а свободный пробег растет с уменьшением
температуры. Так, при гелиевой температуре (Т « 4 К) на
сантиметровых волнах в чистых металлах S « 10~6 см, Л « 10~2 см. Выполняется
12.1. Поперечные волны в изотропных средах
447
условие Л ^> (5, при котором лишь малая часть электронов, пришедших в
данную точку после последнего столкновения, испытала на себе действие
электрического поля (см. рис. 12.3). Это — случай, когда пространственная
дисперсия очень существенна (аномальный скин-эффект).
Последовательное вычисление поля в
металле в случае аномального скин-эффекта мож- Поверхность металла
но найти в книге [Бредов и др., Классическая '/////^//////^/бУЩУ///
электроднамика]. Здесь мы ограничимся
порядковой оценкой глубины проникновения на
основе «концепции неэффективности» Пиппар-
да. При нормальном скин-эффекте ток
определяется электропроводностью ко = и^/А-к^ = рис J2.3
= Ne2T/m, где TV — полная концентрация
электронов проводимости. При аномальном скин-эффекте большая их часть
неэффективна для создания тока. Эффективна лишь небольшая доля
электронов, пробег которых лежит в заштрихованном узком слое толщиной S у
поверхности металла. Концентрацию эффективных электронов можно
записать в виде Nef = aN(S/A), где а — безразмерная постоянная порядка
единицы. Этому значению соответствует электропроводность ке/ = clk,q(6/A).
Подставив эту величину в формулу (12.14) и вычислив из получившегося
уравнения глубину проникновения, получим
= ( сЧ )
\ 2тгацк,ои>)
1/3
осиГ1/3. (12.15)
Два выражения для глубины проникновения, (12.14) и (12.15), сшиваются
при и « ис = с2/2тг{ЖоА2.
Неоднородная среда. Наиболее разработанный метод для
неоднородных сред — это приближение геометрической оптики, которое предполагает
малость длины волны по сравнению со всеми другими размерами в
рассматриваемой задаче. Подробное изложение этого метода можно найти в
фундаментальной монографии Борна и Вольфа (1970). Ниже, в разделе 12.3,
этот метод будет использован для решения задач дифракции волн. Точные
же решения для неоднородных сред удается получить лишь в немногих
случаях ввиду сложности соответствующих уравнений.
При \i = 1 находим из (12.1) следующее уравнение для электрического
поля частоты и:
АЕ(г) - V(V • E(r)) + U ^I'^Efr) = 0. (12.16)
с1
448
Глава 12
Здесь масштаб L пространственной неоднородности диэлектрической
проницаемости считается большим по сравнению с межатомным
расстоянием: L > а. Примеры точного решения уравнения (12.16) см. в
задачах 12.28*, 12.29*.
Недавно Шварцбург(2000) предложил метод, позволяющий
существенно расширить класс точно решаемых одномерных электродинамических
задач для неоднородных и нестационарных сред. Ниже дается понятие о
сущности этого метода.
Рассмотрим область частот, в которой несущественны временная и
микроскопическая пространственная дисперсии, рассмотренные в главе 11.
Среду считаем немагнитной (// = 1) и изотропной, но пространственно
неоднородной:
D = e(z)E, e(z) = n20U2(z), U(0) = 1, (12.17)
где no — показатель преломления при z = О, U(z) — некоторая
функция, описывающая макроскопическую пространственную неоднородность
среды. Эта функция пока не конкретизируется. Вместо уравнения (12.16)
рассмотрим пару одномерных уравнений Максвелла, описывающих
поперечное электромагнитное поле:
dz ~ с at ' dz ~ с at ' к }
Один из способов решения последней системы основан на
использовании векторного потенциала, у которого отлична от нуля одна проекция
Ax = A(z,t):
1дА о _ дА
cdt> *у~ dz
Ex = -T^e, By = ^. (12.19)
Первое уравнение (12.18) обращается в тождество, а второе дает уравнение
второго порядка
%Л-Щй%Л=0. (.2.20,
OZ1 С1 OtZ
Далее вводим новую независимую переменную г) и новые функции
z
F(r),t) = A{z,t)y/U$), Q(z) = U-1(z), ф) = ju(z')dz'. (12.21)
12.1. Поперечные волны в изотропных средах
449
Переменная г] имеет размерность координаты и при умножении на по дает
длину оптического пути в неоднородной среде. Уравнение (12.20) в новых
переменных принимает вид
82F Щ d2F
дг)2 с2 dt2
-Аш-т\ <->
Выберем теперь функцию Q = U l таким образом, чтобы упростить
уравнение (12.22):
lQ^Q_i(dQ\2 = _,
Постоянная р2 будет определена ниже. При таком выборе Q(z) и
гармонической зависимости поля от времени уравнение (12.22) принимает простой
вид
л0л /„2, ,2 \
р2 \F = 0 (12.24)
и имеет решение F(rj, t) = exp(±iqrj — iut), а векторный потенциал
представляется в виде двух бегущих волн с переменной амплитудой:
A(z, t) = -£^L (Аге*™ + А2е~^),
VW)
где q = kN, fc = ^ , N
(12.25)
А\ и Л2 — произвольные постоянные, которые определяются из граничных
условий.
При р2 > 0 решение (12.25) эквивалентно бегущим волнам в холодной
бесстолкновительной плазме с плазменной частотой up. Произведение rioN
дает коэффициент преломления такой среды, которая прозрачна для волн
с частотами а; > а;р. Но в данном случае дисперсия вызвана не
реакцией электронов на приложенное поле, а макроскопической неоднородностью
среды. Частота отсечки может существенно отличаться от плазменной
частоты LUoe (см. пример 11.6). При р2 < 0 имеет место нормальная дисперсия
(коэффициент преломления убывает с ростом частоты).
450
Глава 12
Значения параметра р2 и профили диэлектрической проницаемости,
которые можно исследовать рассматриваемым методом, определяются
путем решения уравнения (12.23). Будем искать его решение в виде полинома
с действительными коэффициентами. При Q(z) = 1 имеем случай
однородной среды: г] = z, р2 = 0. Полином первой степени запишем в виде
Q(z) = 1 ± z/L, где L — произвольный параметр с размерностью
длины. Из (12.23) находим р2 = 1/4L2. Без затруднений определяется
зависимость r](z). Полученные соотношения можно использовать для расчета
поля в неоднородной среде с диэлектрическими проницаемостями
ф) = I^L. (12.26)
Рассмотрим также полином второй степени:
Q{z) = U~l(z) = 1 ± z/Li ± z2/L22. (12.27)
Здесь знаки ± могут выбираться в двух слагаемых независимо, L\ и L2 —
произвольные длины. Из (12.22) находим р2 = \/£L\±,l/Ь\. В зависимости
от соотношения между L\, L2 и знака возможны значения р2 > 0, р2 < 0
и р2 = 0. Оптический путь rj(z) для этого случая тоже вычисляется в
элементарных функциях. Варьируя свободные параметры, с помощью (12.27)
можно строить монотонные и немонотонные профили изменения
диэлектрической проницаемости и получать для них решения
электродинамических задач. Недостаток этого представления состоит в том, что
неоднородный диэлектрический слой должен иметь ограниченную толщину. При
достаточно больших z диэлектрическая проницаемость попадает в
нефизическую область е(z) < 1 (представление, свободное от этого недостатка:,
см. в задаче 12.30*).
Рекомендуемая литература: [Батыгин и Топтыгин, Современная
электродинамика, ч. 1; Памятных и Туров (2000); Батыгин и Топтыгин (2002);
Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных сред; Фейнберг (1999);
Бредов и др., Классическая электродинамика; Шварцбург (1998); Шварцбург
(2000); Борн и Вольф (1970); Вайнштейн и Вакман (1983); Островский
и Потапов (2003)].
Задачи
12.1*. Плоская волна распространяется в однородной и изотропной
недиспергирующей среде, в которой е и /х не зависят от частоты и волнового
12.1. Поперечные волны в изотропных средах
451
вектора. Найти с помощью уравнений (12.7) дисперсионные зависимости
для продольных LJi(k) и поперечных ut(k) волн, а также соотношение
между напряженностями электрического и магнитного полей поперечных волн
и соответствующими плотностями энергий.
12.2. Найти дисперсионную зависимость для поперечных
электромагнитных волн вблизи одной из резонансных частот диэлектрика,
молекулы которого не имеют постоянных дипольных моментов (неполярный
диэлектрик). Диэлектрическая проницаемость неполярного диэлектрика была
получена в модели Лоренц-Лоренца в задаче 11.43. Найти область
непрозрачности такого диэлектрика. Изобразить дисперсионные зависимости на
графиках.
12.3. Найти дисперсионную зависимость для поперечных
электромагнитных волн в бесстолкновительной газовой плазме (диэлектрическая
проницаемость вычислена в примере 11.6 и в задаче 11.9).
12.4. Найти дисперсионную зависимость для поперечных
электромагнитных волн в ионном кристалле, диэлектрическая проницаемость
которого вычислена в задаче 11.49. Найти область непрозрачности ионного
кристалла. Изобразить дисперсионные зависимости на графиках.
12.5. Исследовать форму и движение волнового пакета, полученного
наложением плоских волн с одинаковыми амплитудами ао и с
волновыми векторами, лежащими в области [ко - к\ < q (ко, q — постоянные).
Действительный закон дисперсии и (к) заменить приближенным
соотношением и (к) = uj(ko) +vg - (к — ко).
12.6. Исследовать «расплывание» одномерного волнового пакета
в диспергирующей среде. Для этого выбрать амплитудную функцию в виде
кривой Гаусса а(к) = аое~а(к~к°} и учесть квадратичный член в
разложении частоты и по к.
12.7. Найти фазовую vph и групповую vg скорости распространения
волн в средах, диэлектрические проницаемости которых
е(ш) = 1 1- (плазма) , е(ш) = 1 Н—т, ~ (неполярный диэлектрик).
Во втором случае ограничиться рассмотрением только случаев больших и
малых (по сравнению с и0) частот и (// = 1).
452
Глава 12
12.8. В однородной плазме с концентрацией электронов Ne
распространяются от одного источника два узких волновых пакета,
испущенные одновременно. Несущим (центральным) частотам, которые велики по
сравнению с электронной плазменной частотой си0е = y/^7rNee2/me,
соответствуют длины волн Ai и А2. Сигналы приходят на приемник, который
находится на расстоянии L от источника, в разное время, что вызвано
различием их групповых скоростей. Использовав диэлектрическую
проницаемость плазмы из предыдущей задачи, выразить время запаздывания At
между приходом сигналов на приемник через их длины волн и
произведение NeL, которое называется в радиоастрономии мерой дисперсии
(Dispersion Measure, DM = NeL).
12.9*. Произвести анализ формул Френеля (12.11)-(12.12) для случая
прозрачных диэлектриков:
а) показать, что отраженный свет будет полностью поляризован, если
угол падения во — 6р удовлетворяет условию tg#p = П2/п\ (угол полной
поляризации Брюстера);
б) показать, что при падении света на оптически менее плотную среду
(п2 < п\) под углом #о = @г, где sin#r = П2/П1, преломленный свет
распространяется параллельно границе; при 0О > ®г происходит полное
отражение (т. е. R = 1 при любой поляризации падающего света; sin #2 > 1,
a cos 02 становится чисто мнимой величиной);
в) показать, что при нормальном падении (0О —> 0) коэффициент
отражения для обеих поляризаций дается формулой
R =
П\ — П2
П\ +П2
г) показать, что волна испытывает полное отражение от среды, у
которой е < 0 (/х = 1).
12.10. Поляризованная по кругу плоская монохроматическая волна
падает наклонно на плоскую границу диэлектрика. Определить характер
поляризации отраженной и преломленной волн.
12.11*. Пучок почти монохроматического неполяризованного света
падает на плоскую границу диэлектрика. Найти тензоры поляризации Цк\
1\к и коэффициенты деполяризации рь р2 отраженного и преломленного
света.
12.12. Неполяризованный почти монохроматический пучок света
падает на плоскую границу раздела диэлектриков. Найти коэффициент отра-
12.1. Поперечные волны в изотропных средах 453
жения R и коэффициенты деполяризации pi? 2 отраженного и
преломленного света, если угол падения равен углу Брюстера.
12.13*. Показать, что после полного отражения от границы
диэлектрика линейно поляризованная волна приобретает в общем случае
эллиптическую поляризацию. При каких условиях поляризация будет круговой?
12.14. Исследовать движение энергии при полном внутреннем
отражении. Найти поток энергии вдоль поверхности раздела и в
перпендикулярном направлении в среде, от которой происходит отражение. Определить
линии вектора Пойнтинга 7-
12.15. Плоская монохроматическая волна падает на плоскую границу
раздела двух диэлектриков с проницаемостями е\ и €2- Какой характер
примет поле по обе стороны от границы в случае скользящего падения
(угол падения во —> тг/2)?
12.16. Плоская монохроматическая волна падает на плоскую
границу раздела прозрачной среды с вакуумом и частично отражается от нее
с коэффициентом отражения R(6). Вычислить давление волны на
границу (световое давление), выразив его через плотность энергии в падающей
волне.
12.17. Плоская монохроматическая волна падает из вакуума на
плоскую границу проводящей среды, коэффициент отражения от которой R(6)
известен. Прошедшая во вторую среду волна полностью поглощается в ней.
Вычислить давление, которое оказывает падающая волна на проводящую
среду.
12.18*. Диэлектрический слой с проницаемостью в2, ограниченный
плоскостями z = О и z = а, разделяет диэлектрические среды с
проницаемостями Е\ и £з (/xi = fi2 = Мз = !)• На этот слой нормально к его
поверхности падает из области z < О электромагнитная волна. При
какой толщине слоя отражение будет минимальным? При каком соотношении
между £ь £2, £з отражения не будет?
12.19*. Пусть плоская монохроматическая волна падает из
прозрачной среды с проницаемостями е\, ц\ на границу другой прозрачной среды с
^2, Д2, причем у/£2^2 > y^i/zi. Показать, что граничное условие Леонто-
вича (12.13) применимо к этому случаю, причем поверхностный импеданс
может быть не малым.
12.20*. Произвести анализ глубины проникновения поля в
проводящую среду при разных частотах и, воспользовавшись результатами приме-
454 Глава 12
pa 12.3 и модельной диэлектрической проницаемостью
е{ш) = ео+1—jjP, «M = л ( ■ у
ш 47г(7 - ги)
полученной в задаче 11.17. Рассмотреть разные соотношения между
параметрами среды: a) Sq « 1, ujqc/^2 > £о (металл, плазма); б) £0 ~ Ю,
ш1еМ2 ^ ^0 (ПОЛУПРОВОДНИК) , U < 7 < ^0е, И)е < ^ < 7- ВЫЧИСЛИТЬ
глубину проникновения S и поверхностный импеданс С проводника.
12.21. Применить модель предыдущей задачи к газовой плазме со
столкновениями. Вычислить глубину проникновения поля в плазму в
области частот 7 <^ и «С и>ое ио;» мое-
12.22. Пусть в плоской неоднородной волне вектор электрического
поля Е поляризован линейно. Определить взаимное расположение
векторов Е$, Ж\, Ж2, kf, к", (Ж\, Ж2 — вещественная и мнимая части
комплексной амплитуды Но; к' и к" — вещественная и мнимая части волнового
вектора к). Какую кривую описывает конец вектора Н в фиксированной
точке пространства?
Решить ту же задачу для случая, когда вектор Н поляризован линейно.
12.23. Вывести формулы Френеля для случая, когда электромагнитная
волна падает из вакуума на плоскую границу проводящей среды с малым
поверхностным импедансом С-
12.24. Найти коэффициент отражения R от металлической
поверхности с малым поверхностным импедансом £ = С' + К" - При каких углах
падения 0О коэффициент отражения минимален?
12.25. Линейно поляризованная волна падает на плоскую границу
проводящей среды с малым поверхностным импедансом £. Определить
характер поляризации отраженной волны, если угол скольжения падающей
волны равен углу Фо, определенному в предыдущей задаче.
12.26. Линейно поляризованная плоская волна падает под углом во на
поверхность металла. Направление ее поляризации составляет с плоскостью
падения угол 7г/4. Экспериментально определены отношение поперечной
и продольной (относительно плоскости падения) компонент отраженной
волны E\\i/E±\ = tgp и сдвиг фаз между ними 5:
12.1. Поперечные волны в изотропных средах 455
Выразить через р, 6 и 0О вещественную часть показателя
преломления п' и коэффициент поглощения п" (nf + in" = 1/С, С - поверхностный
импеданс), считая \п'2 - п"2\ > sin2 0О-
12.27. .Найти коэффициент отражения R от плоской границы
проводника при нормальном падении в предельном случае малых значений
проводимости (см. формулу (8) из решения задачи 11.17).
12.28*. Плоская волна падает нормально из вакуума на границу
диэлектрика. Исследовать влияние размытости границы на коэффициент
отражения. Для этого аппроксимировать ход диэлектрической проницаемости
функцией
ф) =£ Ai_ £ = 1 + д£
е*/а + 1
где еиДе- постоянные. Исследовать частные случаи больших и малых а.
Указание. В дифференциальном уравнении для E(z) (см. (12.16)
сделать замену независимой переменной £ = -e~z'a и подстановку Е(£) =
_ £-гка"ф(£)9 где 1р(£) будет удовлетворять гипергеометрическому
уравнению (см. справочник Абрамовиц и Стиган, 1979).
12.29*. При отсутствии поглощения диэлектрическая проницаемость
плазмы имеет вид (см. задачу 11.9):
р, Ane2N
2 '
raur
Рассмотреть распространение электромагнитной волны в плазме,
концентрация которой меняется линейно: N(z) = N0z. Плоская
монохроматическая волна падает на неоднородный слой плазмы нормально. (Такой случай
может иметь место при распространении радиоволн в ионосфере.)
Указание. Уравнение для E(z) можно решать путем разложения
искомой функции в интеграл Фурье.
12.30*. Найти решение уравнений Максвелла (12.18) для
монохроматического поля с помощью подстановки
(*\ jp - 1 д! о __!!о5/
1 j x~ U2(z)dz> *у~ с т-
Получить уравнение для новой неизвестной функции I(z, t) и
преобразовать его путем второй подстановки / =-fy/u в уравнение с постоянными
456
Глава 12
коэффициентами
( ' <V с2 dt2 p J
Здесь фазовая координата (оптический путь) г) определяется
уравнением (12.21) через U(z), ар — постоянная, которая удовлетворяет уравнению
(***) -tt=p2Q' где Q = ~7=-
drf VU
12.31*. Вычислить коэффициент отражения от неоднородной среды,
рассмотренной в предыдущей задаче. Плоская монохроматическая волна
падает из вакуума нормально на границу z = 0 среды, неоднородность
которой при z > О задается в функции оптического пути профилем U(rj) =
= [cos(r)/L) + Msin(r]/L)]~2, L > О, М > О — постоянные параметры.
Построить на компьютере зависимость диэлектрической проницаемости e(z)
в неоднородной среде.
12.32*. Слой неоднородного диэлектрика занимает область 0 <г^ L.
Внутри слоя диэлектрическая проницаемость дается формулой (12.26) (знак
плюс в знаменателе). Слой находится в воздухе, у которого е ~ 1. На
границу слоя по нормали падает плоская монохроматическая волна. Записать
выражения для электрического и магнитного полей во всем пространстве.
Вычислить коэффициент R отражения электромагнитной волны.
12.33**. Построить решения уравнений Максвелла (12.18) для
нестационарной немагнитной среды, в которой
D = e{t)E, e(t) = n20U2{t), U{0) = 1.
Предполагается, что характерные периоды изменения e(t) велики по
сравнению с временами микроскопической релаксации, рассмотренной в главе 11,
и обусловлены внешним воздействием на среду (нагрев, ионизация,
сильное внешнее поле). Но эти периоды могут быть сравнимы с обратными
частотами изменения вычисляемых полей Е и Н.
Следует произвести некоторую модификацию и обобщение
изложенных выше методов построения решений уравнений Максвелла для
пространственно неоднородных сред. В частности, нужно ввести временную
координату т = /0 drf/U(rf) и получить уравнения, которые определяют
12.2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах 457
возможные функции U(t) либо U(t), позволяющие упростить исходную
систему (12.18) и найти ее решения в аналитической форме. Вычислить
и проанализировать коэффициент отражения электромагнитной волны от
нестационарной среды.
12.2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных
средах
Анизотропные среды. Оптически анизотропными называются такие
среды, у которых электрические и магнитные свойства различны по разным
направлениям. Электрическая и магнитная проницаемости таких сред
являются тензорами, даже если их зависимость от волнового вектора
(пространственная дисперсия) не учитывается. Оптическая анизотропия может быть
следствием кристаллической структуры тела, а также вызываться внешним
электрическим полем (см. задачи 11.18, 11.19) или внешними
механическими воздействиями. При отсутствии внешнего магнитного поля и в
пренебрежении потерями тензоры £ik{u) и /iifc(^) симметричны:
Егк(ш) = Ski{u), Цгк{и) = ^кг{^)- (12.28)
Как известно из общих свойств симметричных тензоров (см. раздел 1.1),
каждый такой тензор в главных осях является диагональным и
определяется тремя скалярными главными значениями. Главные оси взаимно
перпендикулярны, их направления определяются внутренней симметрией среды.
Не обязательно для одной и той же среды обе проницаемости должны
быть тензорами. В большинстве оптических кристаллов [i^ = fxSik, [i ~ 1.
В ферритах (см. раздел 11.4) анизотропны магнитные свойства, а
диэлектрическую проницаемость часто можно считать скаляром.
Запишем систему уравнений (11.11)—(11.14) для плоских
монохроматических волн, положив jext = pext = О и,считая магнитную проницаемость
скаляром:
kxE = ^fxH, kxH = -<^D, к D = О, к-В = 0. (12.29)
Дисперсионное уравнение для волн в анизотропной среде получается из
первых двух уравнений с использованием уравнения связи Da = Еъ$Е$\
fc2<W - как в - ^1леа0(ш)
= 0.
(12.30)
458
Глава 12
Оно отличается от (12.4) в основном тем, что в анизотропной среде
неприменимо выражение (11.38) для диэлектрического тензора.
Введем безразмерный вектор п = ск/и и запишем дисперсионное
уравнение в главных осях тензора еар\
n2/x(£(1)n? + e(24 + e^n\ - М W +£(3))п2+
+ £(2)(е(1)+е(3))п2+£(3)(е(1)+£(2))п2]+£(1)£(2)£(3у = а (12J1)
Это — уравнение Френеля, основное уравнение кристаллооптики. В
отсутствие зависимости главных значений диэлектрической и магнитной про-
ницаемостей от к при заданном направлении распространения уравнение
Френеля имеет второй порядок относительно величины п2 > 0.
Следовательно, в каждом направлении в общем случае будут распространяться две
волны с разными фазовыми скоростями vph = с/п, зависящими от
направления распространения. Электрическая и магнитная индукции в них
согласно (12.29) перпендикулярны направлению распространения п, но вектор Е
будет иметь не только поперечную, но и продольную относительно п
составляющую. Поэтому поляризацию удобно определять с помощью вектора
электрической индукции D. Направления, вдоль которых фазовые скорости
двух волн совпадают, называются оптическими осями. Они в общем
случае не совпадают с главными осями тензора еа/з-
Пример 12.4. Показать, что в двух волнах, распространяющихся
в заданном направлении, вектор D поляризован линейно в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях.
Решение. Исключаем из первых двух уравнений (12.29) вектор Н и
записываем получившееся равенство в проекциях на плоскость,
перпендикулярную вектору n: fiDa = n2Ea. Введя обратный тензор диэлектрической
проницаемости, получим
(1) iiDa = n2e-alE(3,
где иднексы а, /3 принимают по два значения и нумеруют оси,
перпендикулярные вектору п. Совместим эти оси со взаимно перпендикулярными
главными осями двумерного симметричного тензора е~р. В этих осях
тензор будет иметь только диагональные компоненты е[, е'2 (отличающиеся
от его главных значений е^г\ г = 1, 2,3, входящих в (12.31)). В указанных
осях соотношение (1) запишется в виде двух уравнений
<2> (;МЬ-' МК0
12.2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах 459
При п = л/ё\р будем иметь D<i = О, волна поляризована вдоль оси 1. При
п = yje'2[i получаем D\ = О, волна поляризована вдоль оси 2. ■
Плотность энергии и плотность потока энергии
квазимонохроматического поля в анизотропной среде определяются выражениями (11.112):
1
16тГ
*Г=^(Е*хН + ЕхН*),
(12.32)
Направление распространения энергии в общем случае не совпадает с
направлением волнового вектора (см. задачу 12.37*).
Гиротропные среды. При наличии внешнего постоянного магнитного
поля тензоры е^ и /ijfc перестают быть симметричными; но в непоглощаю-
щих средах, которые только и будут рассматриваться в этом параграфе, они
являются эрмитовыми:
£г*; = 4г> »ik = rikt- (12.зз)
В этом случае мнимая часть каждого из тензоров антисимметрична
относительно перестановки индексов, е'^ = (еар - е*а^)/21 = -£@а, и их
можно заменить дуальными векторами, де и дт соответственно. Связь между
напряженностями полей и индукциями можно записать в виде (ср. с
задачей 11.21)
D = e'E + i{E х д.), В = $'Н + i{H x дш), (12.34)
где ден дт — векторы гирации (электрический и магнитный), €'Е — вектор
с компонентами s'ikEk. Тензоры е' и Д' действительны и симметричны.
Среды, в которых векторы поля связаны уравнениями (12.34), называются
гиротропными.
Гиротропными средами являются, в частности, плазма и ферритовые
материалы, находящиеся во. внешнем магнитном поле. Если ось Oz выбрана
вдоль поля, то в изотропной (в отсутствие поля) ферритовой среде тензор
магнитной проницаемости имеет вид (см., в частности, задачи 11.56, 11.57)
(12.35)
где компоненты /z_l, /хц, fia действительны, если среда без потерь.
Аналогичный вид имеет тензор е^ (см. задачу 11.23). Гиротропией могут обладать
460
Глава 12
некоторые кристаллические и неупорядоченные среды и в отсутствие
внешнего магнитного поля. В этом случае гиротропию называют естественной
оптической активностью. Вектор гирации в таких средах зависит от
волнового вектора распространяющейся волны.
В гиротропной среде в заданном направлении могут распространяться
с разными фазовыми скоростями две плоские волны одной частоты. Эти
волны поляризованы эллиптически с противоположными направлениями
вращения, эллипсы поляризации имеют одинаковое отношение осей и
повернуты друг относительно друга на 7г/2.
Граничные условия на поверхности анизотропного или гиротропно-
го тела имеют такой же вид, как и на границе раздела изотропных сред
(см. формулы (11.30)).
Рекомендуемая литература: [Борн и Вольф (1970); Ландау и Лифшиц,
Электродинамика сплошных сред; Батыгин и Топтыгин, Современная
электродинамика, ч. 1; Бредов и др., Классическая электродинамика; Каганов и
др. (1997); Гуревич и Мелков (1994); Федоров (2004)].
Задачи
12.34. С помощью уравнения Френеля (12.31) найти фазовые
скорости волн, распространяющихся вдоль главных осей тензора
диэлектрической проницаемости в анизотропной среде.
12.35*. Среда, в которой два главных значения тензора еа/з одинаковы
(£(*) = £&) = е±, £&) = £ц)9 называется одноосной.
1. Показать, что оптическая ось совпадает с осью 3.
2. Из уравнения Френеля найти фазовые скорости волн,
распространяющихся под углом в к оптической оси:
(1) _ (2) _ /£xsin2fl + £||Cos~^
pft_N/£lM' ph ~ V e±£l^
Первая волна называется обыкновенной, а вторая — необыкновенной (ее
скорость зависит от направления распространения).
3. Найти поляризации обыкновенной и необыкновенной волн.
12.36. С помощью формул, полученных в задаче 11.38, показать,
что в анизотропной недиспергирующеи среде плотности электрической и
12.2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах 461
магнитной энергий плоской монохроматической волны одинаковы:
we=wm = jr-[E x if] • п.
Здесь Е и Н — действительные векторы.
12.37*. С помощью формул, полученных в задаче 11.38, и уравнений
Максвелла найти скорость vg распространения энергии плоской
квазимонохроматической волны в анизотропной недиспергирующей среде.
Определить ее как отношение плотности потока энергии к плотности самой
энергии, vg = ~f/w> и выразить через электрические векторы Е, D. Сравнить
с фазовой скоростью vph = сп/п2. Изобразить на рисунке относительное
расположение векторов е, D, if, В, vph, vg.
12.38. Необыкновенная волна распространяется в одноосном
кристалле под углом в к оптической оси. Определить угол а между волновым
вектором к и вектором Е, а также угол д между направлением луча
(вектором Пойнтинга) и оптической осью кристалла.
12.39. Плоская электромагнитная волна с частотой ш
распространяется в недиспергирующем диэлектрике с проницаемостями е, //.
Диэлектрик перемещается как целое с постоянной скоростью V. Найти фазовую
скорость волны как функцию частоты и направления распространения.
Вычислить групповую скорость и определить поляризацию волны. Сравнить
свойства волн в движущейся среде и в неподвижном одноосном кристалле.
Указание. Использовать уравнения (11.144), (11.145) для
электромагнитных потенциалов в движущейся среде.
12.40. Плоская волна падает из вакуума на плоскую поверхность
одноосного кристалла. Оптическая ось кристалла нормальна к его
поверхности. Найти направления обыкновенного и необыкновенного лучей в
кристалле, если угол падения во.
12.41. Решить предыдущую задачу для случая, когда оптическая ось
кристалла параллельна его поверхности и составляет угол а с плоскостью
падения.
12.42. Плоская волна падает нормально на плоскую решетку,
образованную тонкими параллельными бесконечно длинными проводниками.
Расстояния между проводниками и их толщина много меньше длины
волны. Какое влияние окажет решетка на распространение волн с различными
поляризациями?
462
Глава 12
12.43. Плоская монохроматическая волна распространяется в
безграничной ферритовой намагниченной до насыщения среде под углом в
к постоянному магнитному полю. Магнитная проницаемость феррита —
тензор (12.35). Диэлектрическую проницаемость феррита е « 15 можно
считать скаляром (это объясняется тем, что в СВЧ-диапазоне влияние
постоянного магнитного поля на магнитные свойства феррита значительно
сильнее, чем на электрические). Найти фазовые скорости
распространения нормальных волн.
12.44. Исследовать волны, полученные в предыдущей задаче, для
случая продольного распространения (в = 0), использовав компоненты тензора
магнитной проницаемости
RL = 1 + — 2 ' ^а ~2 2 ' ^Н ' (12.36)
CJq — U) CJq- — U)
которые были получены в задаче 11.56.
1. Найти дисперсионные зависимости к (и) нормальных волн и области
их существования (построить графики).
2. Определить поляризации нормальных волн и их поверхностные им-
педансы1 (12.13).
3. Вычислить угол поворота на длине z плоскости поляризации
линейно поляризованной волны (эффект Фарадея).
12.45. Сделать то же самое для случая поперечного распространения
(в = тг/2):
1. Найти дисперсионные зависимости к (и) для нормальных волн и
области их существования (построить графики).
2. Определить поляризации нормальных волн и их поверхностные им-
педансы.
3. Найти изменение поляризации волны при поперечном
распространении (эффект Коттона-Мутона).
12.46. Плоская монохроматическая волна оптической частоты
распространяется в ферродиэлектрике, у которого тензоры электрической и
магнитной проницаемостей имеют структуру (12.35). Для случая
продольного распространения вычислить угол фарадеевского вращения плоскости
поляризации на длине /. При этом использовать компоненты тензора //,
приведенные в задаче 12.44, и приближения и > им, Иь £а < £±-
В безграничной среде больше подходит термин «волновой импеданс».
12.2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах 463
12.47. Магнитостатическими волнами называются колебания
намагниченности и магнитного поля, удовлетворяющие условию кс ^> и. В
нулевом приближении по малому параметру (и/кс) их можно описывать
уравнениями магнитостатики div В = О, rot if = 0. Найти дисперсионное
соотношение и (к) для магнитостатических волн в безграничной феррито-
вой среде с тензором магнитной проницаемости (12.35) и его
компонентами (12.36). Найти интервал частот, в котором существуют магнитостатиче-
ские волны, и электрическое поле в волне.
12.48. Немагнитный диэлектрик находится во внешнем магнитном
поле. Плоская монохроматическая волна распространяется в направлении
магнитного поля (ось Oz) и имеет при z = 0 линейную поляризацию.
Использовав тензор диэлектрической проницаемости, полученный в
задаче 11.23, определить поляризацию волны при z > 0.
12.49. В однородной плазме с концентрацией электронов Ne и
однородным магнитным полем В распространяются от одного источника две
квазимонохроматические волны, длины которых Ai и Л2. Обе частоты
велики по сравнению с электронной плазменной частотой мое = y/^7rNee2/me и
электронной циклотронной частотой иве = еВ/тес. В источнике обе
волны поляризованы линейно в одной плоскости. Использовав эрмитов тензор
диэлектрической проницаемости, полученный в задаче 11.24, вычислить
относительный поворот А\ плоскостей поляризации этих волн на пути к
приемнику, который находится на расстоянии L от источника. Выразить
его через величину RM = е3NeBL/2it(mec)2, которая в радиоастрономии
называется мерой вращения (Rotation Measure).
. 12.50. Плоская поляризованная по кругу волна падает из вакуума
нормально на плоскую границу феррита. Феррит намагничен в направлении
падения волны. Определить характер поляризации и амплитуды отраженной
и прошедшей волн. Найти также коэффициент R отражения
электромагнитной энергии от поверхности феррита, выразив его через поверхностный
импеданс. При каких условиях отражение будет полным?
12.51. Решить предыдущую задачу для случая, когда падающая волна
поляризована линейно.
12.52*. Искусственный диэлектрик состоит из тонких идеально
проводящих круглых дисков, ориентированных одинаковым образом и
находящихся в вакууме. Перпендикулярно плоскостям дисков приложено
постоянное магнитное поле if о и в том же направлении распространяется плоская
электромагнитная волна. Определить фазовые скорости распространения,
рассматривая диэлектрик как сплошную среду
464
Глава 12
Указание. Учесть эффект Холла, который возникнет из-за наличия
внешнего магнитного поля.
12.53. Ионизованный газ находится в постоянном магнитном
поле. Вдоль направления поля распространяется поперечная плоская волна.
Найти фазовые скорости распространения. Рассмотреть, в частности,
случай малых частот (и —> 0) и исследовать характер электромагнитных волн
с учетом движения положительных ионов.
Указание. Использовать выражение для тензора диэлектрической
проницаемости ионизованного газа в постоянном магнитном поле, полученное
в задаче 11.25.
12.54. Найти с учетом члена qV2M в выражении (11.116)
дисперсионное уравнение для электромагнитных волн, распространяющихся
в изотропной, намагниченной до насыщения ферродиэлектрической среде.
Показать, что в такой среде могут распространяться три типа волн с
разными законами дисперсии и [к). Определить явный вид зависимости и [к)
для того типа волн, у которого может выполняться условие ш2е/(ск)2 <С 1.
Оценить относительную величину электрического и магнитного полей для
этой ветви колебаний.
12.55. Вычислить поверхностный импеданс С ферромагнитного
проводника, находящегося в постоянном магнитном поле, параллельном его
поверхности. Тензор магнитной проницаемости приведен в условии
задачи 12.40, а компоненты тензора электропроводности равны а и = о<п = &i,
0"33 = СГз, 0"12 = — 0"21 = —1(72, £"13 = 0"31 = 0"23 = 0"32 = 0.
Указание. Поверхностный импеданс в данном случае — тензор II ранга
и должен быть определен из условия (ср. с (12.13))
ЕТг = Сгк{Нт X п)к,
где г, к = 1, 2, Ет и Нт — касательные составляющие векторов поля вблизи
поверхности проводника, п — орт нормали к поверхности.
12.56. Решить предыдущую задачу для случая, когда постоянное
магнитное поле нормально к поверхности ферромагнитного проводника.
12.3. Рассеяние электромагнитных волн на
макроскопических телах. Дифракция
Точное решение задачи о взаимодействии электромагнитной волны с
проводящим или диэлектрическим телом сводится к интегрированию урав-
12.3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах 465
нений Максвелла при соответствующих граничных условиях. Оно
возможно в немногих случаях (см., например, задачи 12.58, 12.65). В ряде случаев
может быть найдено приближенное решение.
Рассеяние. Если линейные размеры тела малы по сравнению с длиной
волны, то электромагнитное поле вблизи тела можно считать однородным.
Тело, находящееся в однородном периодическом поле, приобретет
электрический и магнитный моменты, которые зависят от времени по тому же
закону, что и внешнее поле.
Рассеянная волна возникает в результате излучения этими
переменными моментами. Задача о рассеянии электромагнитных волн на теле малых
размеров сводится к определению дипольных моментов, которые
приобретает тело. Поля излучения выражаются через дипольные моменты по
формулам (5.28)-(5.29) и (5.37).
Эффективное дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол
dfl вычисляется по формуле (5.119):
dl(#,a)
s = —То—' (12.37)
Здесь dl = ^dS = ^r2 dft — средняя (по времени) интенсивность
излучения в телесный угол dQ,\ 7 и 7о — средние плотности потока энергии
в рассеянной и падающей волнах. Плотность потока энергии описывается
вектором Пойнтинга (11.110)
7 = 1^(Я* хН + Ех Н*), , (12.38)
если рассеивающее тело находится в среде без пространственной
дисперсии.
Эффективным сечением поглощения называется отношение средней
энергии Q, поглощаемой телом в единицу времени, к средней плотности
потока энергии в падающей волне:
°а = ^. (12-39)
В противоположном предельном случае, когда длина волны много
меньше размеров тела, применимы методы геометрической оптики.
Рассмотрим их в связи с задачами о распространении волн через отверстия в
плоских экранах и огибании ими различных препятствий. Такие
процессы называются дифракцией волн (от латинского diffractus — разломанный,
преломленный).
466
Глава 12
Принцип Гюйгенса-Френеля и формула Кирхгофа. В разделе 5.1
были вычислены запаздывающие потенциалы. Они позволяют найти
электромагнитное поле, создаваемое движущимися зарядами в вакууме. Но при
наличии вещества постановка задачи может быть иной: заряды и токи могут
быть заданы в некотором ограниченном объеме V. Источники же,
находящиеся за пределами V, могут задаваться не распределением зарядов и токов
в них, а тем электромагнитным полем, которое они создают на
поверхности 5, ограничивающей объем V. В этом случае для расчета поля внутри
V нужно учесть источники поля, находящиеся внутри V, и те возмущения,
которые исходят от поверхности S.
Мы будем рассматривать в дальнейшем случай отсутствия зарядов
внутри объема V, когда все поле в этом объеме будет создаваться внешними
источниками. Но явное рассмотрение источников можно заменить
рассмотрением поля, которое они создают на поверхности S. Как мы увидим ниже,
каждый элемент поверхности S можно рассматривать как источник
вторичных возмущений, распространяющихся во все стороны. Накладываясь, эти
возмущения и создают результирующее поле в объеме V. Качественные
соображения такого рода были развиты еще Х.Гюйгенсом2 в XVII в. и носят
название принцип Гюйгенса. Впоследствии их уточнили и
сформулировали в количественном виде другие исследователи, особенно О.Френель3
и Г.Кирхгоф4. Ниже мы получим формулу Кирхгофа, которая позволяет
решить поставленные задачи.
Используем тождество Грина (1.98):
/ (<рА<ф - ф^)вУ = I (J^- - ф^Л dS. (12.40)
Будем понимать под <p{r,t) = ip(r)e~luJt некоторую функцию,
удовлетворяющую однородному уравнению Даламбера и зависящую от времени по
гармоническому закону. Это может быть одна из декартовых компонент
напряженностей поля либо потенциала. В этом случае d2(f/dt2 = -и2 у
2Гюйгенс Христиан (1629-1695) — голландский ученый-энциклопедист. Занимался физикой,
механикой, математикой и астрономией. Его теория распространения света была опубликована
в 1690 г.
3Френель Огюстен Жан (1788-1827) — французский физик, автор многих исследований по
оптике, один из основателей волновой оптики.
4Кирхгоф Густав Роберт (1824-1887) — выдающийся немецкий физик. С его именем связаны
правило Кирхгофа для постоянных токов (см. раздел 9.1), закон Кирхгофа для излучения (см.
главу 13), теория дифракции и др. открытия.
12.3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах 467
и амплитуда <^(г) будет удовлетворять уравнению Гельмгольца5
Д<р + *2<р = 0, (12.41)
где к2 = uj2efi/c2, если пространство заполнено однородной средой.
Функцию ф в (12.40) отождествим с фурье-образом запаздывающей функции
Грина Gw(r). Она удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца
AGU + к2вш = -4тг<5(Я), R = rP-r (12.42)
(ср. с уравнением (5.5)). Здесь индексом Р отмечена точка наблюдения,
лежащая внутри объема V; по координатам г = (х, у, z) производится
интегрирование, an — внешняя нормаль к поверхности S.
Подставим в левую часть (12.40) величины
Д<р = -к2<р, Аф = AGU = -k2Gu - 4тг<5(Я). (12.43)
Вычислив интеграл с дельта-функцией, получим
v{rp) = h§s fawner -*H|;G«<*)) dS- (12-44)
Здесь запаздывающая функция Грина Gw может быть взята в форме (5.14)
(с заменой с на vph = c/y/efl):
G„{R) = ±eikR (12.45)
H
(функция Грина для свободного пространства). Но следует иметь в виду,
что можно использовать и другие запаздывающие функции Грина,
удовлетворяющие уравнению Гельмгольца и определенным граничным условиям
на поверхности S. В частности, в электростатике (см. раздел 8.3) мы
использовали функции Грина, удовлетворяющие граничным условиям
G\s=0 либо -Щ
on
= 0. (12.46)
s
Такие функции Грина используются и в задачах дифракции (см. раздел 13.2).
Соотношение (12.44) носит название интеграла Кирхгофа (в
скалярной форме) и дает количественную формулировку принципу Гюйгенса:
связывает поле в произвольной точке с его значением на некоторой замкнутой
5Гельмгольц Герман Людвиг Фердинанд (1821-1894) — выдающийся немецкий
естествоиспытатель. Занимался исследованиями в многих областях: в электродинамике, оптике, акустике,
гидродинамике, термодинамике, физиологии зрения и слуха. Один из первооткрывателей
закона сохранения энергии как всеобщего закона природы.
468
Глава 12
поверхности. Тем самым, электромагнитные возмущения на поверхности
играют роль источников, возбуждающих вторичные возмущения, которые
и создают поле в точке г р. Вывод интеграла Кирхгофа при произвольной
зависимости поля от времени и при наличии в объеме свободных зарядов
можно найти в [Бредов и др., Классическая электродинамика].
Следует отметить, что формулу (12.44) нельзя рассматривать как
решение волнового уравнения, так как значения ip и dtp/дп на поверхности
заранее не известны и не могут быть заданы произвольным образом.
Фактически (12.44) представляет собой сложное интегральное уравнение. Но
интеграл Кирхгофа очень полезен в задачах дифракции электромагнитных
волн, когда значения поля на некоторой поверхности, можно задать
приближенно. Пусть нужно вычислить поле внутри объема, в который оно
проникает через отверстия в непроницаемом для волн экране. В этом
случае чаще всего принимают следующие предположения о поле на границе
объема:
1. Значения <р и dip/дп на теневой стороне экрана равны нулю.
2. Значения Q Q
* = **■ ш = ж (12-47)
на отверстиях принимаются такими, какими они были бы в отсутствие
экрана (через <ро обозначено неискаженное первичное поле).
Задача
12.57*. Уравнению (12.44) в отсутствие сторонних зарядов
удовлетворяет любая декартова компонента векторов поля Е, В. Показать, что
указанные векторы внутри объема V можно представить в виде
E = ±<f {Gu(R)(n • V)E - Е{п • V)Gw(ii)} dS,
В = ±- I {Gu{R){n • V)B - B{n • V)Gu;(i?)} dS.
Показать также, что уравнения (12.48) преобразуются к виду
Е = -±- I [ik{n xB) + (nxE)xV + {n- E)V]Gu(R)dS,
B = -±-I [-ik(n xE) + (nxB)xV + (n. B)V]Gu;(i?)d5,
(12.48)
(12.49)
где Gu,(R) — гармоника Фурье запаздывающей функции Грина (12.45). ■
12.3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах 469
Интеграл Кирхгофа в векторной форме можно записать и для векторов
Герца, применяя формулу (12.44) к каждой из их декартовых компонент.
Это приводит к соотношению
Z = I {GM(n • V)Z - Z(n • V)Gu;(i?)} dS. (12.50)
Напряженности поля вычисляются затем через электромагнитные
потенциалы по формулам (5.40), (5.46). Преимущество такого подхода состоит в
том, что уравнения Максвелла в однородной среде V-2£ = 0HV-if = 0
выполняются автоматически, независимо от точности, с которой задается
поле на поверхности интегрирования (см. [Низьев (2002)]).
Геометрическая оптика. Дифракция Френеля. Скалярная и
векторная формулы Кирхгофа особенно полезны для анализа распространения
коротких электромагнитных волн (для краткости ниже будем говорить о
свете). Случай, когда длина волны света мала по сравнению с размерами
тел и расстояниями от них до источника и точки наблюдения, называется
приближением геометрической оптики.
Рис. 12.4 Рис. 12.5
Рассмотрим дифракцию света от точечного источника О (рис. 12.4) на
отверстии в непрозрачном экране в приближении геометрической оптики.
Будем предполагать, что длина волны света Л мала по сравнению с
расстояниями от источника О и от точки наблюдения Р до краев отверстия.
Эти расстояния мы будем считать конечными. В силу последнего
обстоятельства нужно учитывать кривизну фронта как падающей, так и
дифрагированной волн. Явления, наблюдающиеся при таких условиях, называются
дифракцией Френеля. Если же точки О и Р находятся на очень больших
расстояниях от экрана, то волновые фронты падающей и дифрагирован-
470
Глава 12
ной волн можно считать плоскими. Такой случай называется дифракцией
Ф pay н гофера6.
Воспользуемся скалярным вариантом формулы Кирхгофа (12.44),
понимая под (р(г) одну из декартовых компонент электрического поля,
которую обозначим через и.- В качестве поверхности интегрирования примем
поверхность отверстия. Примем также обычное в теории дифракции
приближение, согласно которому волновое поле на указанной поверхности
совпадает с невозмущенным полем источника. При сферически симметричном
распределении излучения источника О будем иметь на отверстии
7/ _ A-JbRo
/го
где А = const, До — расстояние от источника до dS (см. рис. 12.4).
Учитывая, что kR, kRo » 1 и дифференцируя по этой причине
в (12.44) только экспоненты, получим поле в точке Р за экраном:
ik [ uexpjikR) fRotR\
UP = ^JS R {R-o+R)'ndS- (1151)
Мы увидим ниже, что свет при малых (по сравнению с другими
расстояниями задачи) длинах волн распространяется в основном
прямолинейно, испытывая лишь сравнительно малые отклонения от прямолинейности,
приводящие к огибанию препятствий (дифракции). Ввиду этого в
интеграле (12.51) существенна только малая часть поверхности интегрирования
вблизи прямой, соединяющей источник и точку наблюдения. В этой
области можно заменить (R0/Ro + R/R) ~ -2Rq/Ro = -2п0, что позволит
представить (12.51) в виде
ир = тг^ [ ъ е'кНпо ' "dS, (12.52)
2тгг Js R
где и — поле на отверстии, по • ndS — проекция элемента поверхности
отверстия на плоскость, перпендикулярную направлению луча от источника
к элементу dS.
Конкретный расчет проведем для дифракции света от точечного
источника на краю непрозрачного экрана (рис. 12.4). В качестве поверхности
интегрирования выберем полуплоскость уz (z > 0). В предэкспоненциальных
6Фраунгофер Йозеф (1787-1826) — немецкий физик и оптик-изобретатель.
12.3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах 471
множителях можно положить Ro & a, R « Ь, а в показателе экспоненты
следует учесть малые добавки:
z2 (zp-z)2
а Ъ
При интегрировании по dy воспользуемся табличными интегралами
оо оо
/ sint2dt = / cost2dt = д/|.
— оо —оо
и получим
/•4$(i + iM*-i/*5V+"- <12'53>
Из последнего результата следует, что основной вклад в интеграл вносит
отрезок длиной [2ХаЬ/(а + б)]1/2 « \/AL, где L — меньшее из
расстояний а, 6. Ввиду малости отношения X/L существенная для интегрирования
область имеет линейные размеры (X/L)l/2L «С L. Отрезок, существенный
для интегрирования по dz, имеет такой же порядок величины.
Из слагаемых, зависящих от z, выделим полный квадрат:
z2 {zp-z)2
а Ь
+
+ Ъ) 2(а + Ь)'
После замены переменной t = zy/k(a + b)/2ab приведем интеграл по dz
к виду
ос
/
ехр
о
где
гк ( z2 (zp-z)2
2 U+ b
dz =
I 2ab
k{a+b)
exp
%KiZ p
2(a+b)
оо
[ eit2dt,
s = zP>
I ka
2b(a + b)'
(12.54)
472
Глава 12
Интеграл по dt выражаем через интегралы Френеля:
S S
C{s) = J| f cos t2dt, S{s) = J| f cos t2dt,
о о
oo
(12.55)
Up
Собрав воедино результаты (12.51)—(12.55), запишем поле в точке Р:
Л(1-г)
2(а+Ъ)
exp[ik(a+b)+is b/a]
C(s)+
\)+*(s(')+k
. (12.56)
При свободном распространении волновое поле на расстоянии а + b от
источника имело бы значение
а + Ь
Вводя интенсивности I(s) = \ир\2, Iq = \ио\2, получим
2 / \ 2
/(.)-$
(cw + i) +(s(.) + i)'
(12.57)
Пример 12.5. Исследовать распределение интенсивности (12.57) в
области тени (s < 0) и в освещенной области (s > 0). Получить
асимптотики и построить графики.
Решение. Асимптотика в области тени (|s| > 1) получается путем
интегрирования по частям:
а)
оо
J 2г\
1-1
is , 1 ris2 _
s\ A\s\6
Учитывая одно слагаемое, получим интенсивность света в области
геометрической тени:
/о
/ =
47Г52.
(12.58)
12.3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах 473
Асимптотика освещенной области (s > 1):
(2)
2is
Интенсивность света:
1 = 1о
sin(s2 - 7г/4)
(12.59)
На границе тени и света при 5 = 0 имеем I = /о/4. В промежуточной
области надо использовать точную формулу. График интенсивности,
включающий и промежуточную область, изображен на рис. 12.6. ■
Рис. 12.6
Дифракция Фраунгофера происходит на отверстии в плоском
непрозрачном экране, если источник света и точка наблюдения удалены на
расстояние, значительно превышающее размер / отверстия. Длина волны света
мала по сравнению с /. В этих условиях лучи, падающие на отверстие,
можно считать плоскими. На отверстии происходит дифракция и лучи
расходятся веерообразно.
Пример 12.6. Исследовать распределение интенсивности при
дифракции Фраунгофера на отверстии произвольной формы в непрозрачном
плоском экране (рис. 12.7). Вычислить сечение дифракции da = dl/Io, где
dl — интенсивность света, рассеянного в данный телесный угол, /о —
интенсивность света, падающего на отверстие. Рассмотреть конкретный
случай дифракции на прямоугольном отверстии 211 x 2/2-
474
Глава 12
Решение. Используем формулу (12.52) и приближение неискаженного
поля в падающей волне в плоскости отверстия. В показателе экспоненты
полагаем До ~ cl + cl- r/а, Rmb + Ъ- r/b, a в предэкспоненциальном
множителе Ro ~ a, R « Ь. Вектор а указывает направление распространения
падающей, а вектор 6 — дифрагированной волн. Поскольку частота волны
при дифракции не меняется, то ка/а = ко, kb/b = к — волновые
векторы падающей и дифрагированной волн. Подставив полученные величины
в (12.52), получим в точке наблюдения
иР = -ik^b f e-iqrdS, (12.60)
где и = Аегка/а — поле падающей волны на отверстии, b — расстояние от
отверстия до точки наблюдения, q = к — ко — изменение волнового вектора
при дифракции, интегрирование производится по площади отверстия. Далее
вычисляем интенсивность рассеяния в данный телесный угол dfl
к2\и\'
dl = \uP\2b2dS} = ^L | f e~iqrdS
(27Г)
и дифференциальное сечение дифракции
dn (12.61)
da = -*— J e-*'rdS
^ \Js
k2
dil. (12.62)
Полученная формула годится для расчета дифракции плоскопараллельного
пучка света на отверстии любой формы.
В случае прямоугольного отверстия интеграл по плоскости отверстия
дает
4sin((fe/i)sin((/j//2)
/.
,'-""■*-
При малых углах дифракции имеем qx = квх, qy = кву, где
углы отклонения света в направлениях осей Ох, Оу. Сечение дифракции
принимает вид
2
da _ f 4hh\2 f sin khOx\2 ( sin к12ву\
dfi V A J V khOx J V kl26y J '
Угловое распределение дифрагированного света по каждому из взаимно
перпендикулярных направлений дается функцией f(x) = sin2x/x2, где
12.3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах 475
Рис. 12.7 Рис. 12.8
х = Ш. Эта функция максимальна (/(0) ■= 1) при х = 0 и быстро
убывает с ростом х, испытывая колебания (рис. 12.8). Заметные отклонения
света происходят только в пределах главного максимума на углы
в ^ 2-к/Ы = А//. (12.64)
Этим условием и определяются характерные углы дифракции. ■
При дифракции Фраунгофера существует простое соотношение,
связывающее дифрагированные поля щ, U2 от двух взаимно дополнительных
экранов. Дополнительным называется экран, имеющий отверстия там, где
другой экран не прозрачен, и не прозрачный там, где другой экран
имеет отверстия. Сумма полей и\ + 112 представляет собой поле в отсутствие
каких-либо экранов, т. е. плоскую монохроматическую волну. Но падающая
волна имеет определенное направление распространения к' = к, q = 0,
поэтому при q ф 0 будем иметь
г£1+г£2 = 0, U2 =-щ. (12.65)
Это означает, что дополнительные экраны дают одинаковые интенсивности
дифрагированного света (принцип Бабине).
Метод медленно изменяющейся амплитуды. Укороченное
уравнение. Познакомимся с этим методом в простейшем варианте на характерном
примере.
476
Глава 12
Пример 12.7. Стационарный пучок света (монохроматических волн)
падает нормально на отверстие в плоском непрозрачном экране,
расположенном в плоскости z = 0. В результате при z = +0 непосредственно за
экраном волновое поле описывается функцией ио(х,у,0) (временной
множитель e~lu)t опущен), которая отлична от нуля только в пределах
отверстия, размер которого 1± много больше длины волны. Представив поле
в области z > 0 в виде
и(х, у, z) = А(х, y,z)eikz, к=%у/Щ1>0, (12.66)
вывести приближенное уравнение, которому удовлетворяет амплитуда
Л(х, у, z). Записать в общем виде решение для области z > 0.
Решение. Монохроматическое поле удовлетворяет уравнению Гельм-
гольца (12.41). Подставив в него (12.66), получим точное уравнение для
амплитуды:
(1) &A + &A + &A+2ikdA-0
(1) дх> + ду* + dz*+2tkdz-°-
Покажем, что в рассматриваемых условиях члены с производными по z
имеют разный порядок величины: k\dA/dz\ ^> \d2A/dz2\. Предполагая
выполненным это неравенство, оценим по порядку величины отдельные
члены в (1):
,9 л <лО л л гл л А
(kl±)l± >/_l;
ox" ay l- uz 6 u
(2)
Эта оценка позволяет «укоротить» уравнение (1) и опустит в нем вторую
производную по z:
<«> &%»**%-*■
Погрешность укороченного уравнения (3) порядка (kl±)~2 <C 1 тем
меньше, чем больше поперечный размер пучка по сравнению с длиной волны
А = 2тг/к. Это уравнение можно рассматривать как уравнение диффузии с
мнимым коэффициентом диффузии \:
f -ХДхЛ = 0, Х=±. (12.67)
д2А „
Эх2 "
^д2А „ А дА „ А , „ ,
^?«(Hi)-4l
12.3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах 477
Полезно сравнить это уравнение с уравнением диффузии магнитного
поля в примере 10.6. Распространение пучка света в области z > 0 можно
исследовать с использованием результатов указанного примера. Но следует
учесть, что роль времени здесь играет координата z, а оператор Лапласа А±
двумерен. Поэтому функция Грина уравнения (12.67) будет иметь вид
ЧР- Р ,*) = т—:ехР
£}.
4тгх2 *\ 4*2 у (12.68)
р = (ж,у), р' = {х\у'\ z^O.
Ее можно получить таким же путем, как это было сделано в примере 10.6.
Амплитуда пучка выразится в виде интеграла
А(х, у, 0) = f G(p - p\ z)u0{xf,yf)dxfdyf. (12.69)
На границе z = 0 имеем G(p - р/,г)|2_о —> S(p - pf), выполняется
граничное условие А(х, у, 0) = ио(х, у). Ш
Использование полученных формул и их анализ см. в задачах 12.94-
12.96*.
Рекомендуемая литература: [Ландау и Лифшиц, Электродинамика
сплошных сред; Батыгин и Топтыгин, Современная электродинамика, ч. 1;
Бредов и др., Классическая электродинамика; Вайнштейн (1988); Борн и
Вольф (1970); Ньютон (1969); Ваганов и Каценеленбаум (1982); Вайнштейн
(1966b); Зоммерфельд (I960); Фейнберг (1999); Ахманов и Никитин (1998);
Виноградова и др. (1979)].
Задачи
12.58*. На бесконечный круговой идеально проводящий цилиндр
радиуса а, находящийся в вакууме, падает плоская монохроматическая
волна в направлении, перпендикулярном оси цилиндра. Вектор Ео падающей
волны параллелен оси цилиндра. Определить результирующее поле,
распределение тока по поверхности цилиндра и полный ток J1, текущий вдоль
цилиндра.
12.59. Найти дифференциальное сечение рассеяния das
электромагнитной волны (диаграмму направленности вторичных волн) цилиндром,
рассмотренным в задаче 12.58*. Найти также полное сечение рассеяния as.
478
Глава 12
12.60*. Плоская монохроматическая волна падает на идеально
проводящий круговой цилиндр так, что ее магнитный вектор Щ = Ж^е1<'к'г~^
параллелен, а волновой вектор к перпендикулярен оси цилиндра. Цилиндр
находится в вакууме. Найти результирующее электромагнитное поле.
Рассмотреть, в частности, случай тонкого (ка ^ 1) цилиндра, определить
дифференциальное das и полное as сечения рассеяния для этого случая.
12.61. Пусть d(j\\ и da± — дифференциальные сечения рассеяния на
бесконечном цилиндре плоской волны с вектором Е, направленным
соответственно параллельно и перпендикулярно оси цилиндра. Найти
дифференциальное сечение da's рассеяния волны, у которой вектор Е составляет
с осью цилиндра угол <р, а также дифференциальное сечение da" рассеяния
неполяризованной волны.
Указание. Использовать принцип суперпозиции полей.
12.62. Неполяризованная плоская волна рассеивается на идеально
проводящем тонком (ка <С 1) цилиндре. Определить степень
деполяризации р рассеянных волн в зависимости от угла рассеяния.
Указание. Степень деполяризации определяется формулой (2.134).
12.63. Решить задачу 12.60* о дифракции плоской волны на
бесконечном цилиндре, не предполагая цилиндр идеально проводящим, но
считая его поверхностный импеданс С малым. Воспользоваться приближенным
граничным условием Леонтовича (12.13).
12.64. Определить среднюю потерю энергии Q и сечение
поглощения аа на единицу длины цилиндра, рассмотренного в предыдущей задаче.
Исследовать, в частности, случай Ь « 1 и объяснить получающийся
результат.
12.65*. Рассмотреть дифракцию плоской монохроматической волны
на диэлектрическом цилиндре. Цилиндр радиуса а с диэлектрической
проницаемостью е и магнитной проницаемостью /х находится в вакууме. Волна
падает нормально к образующей цилиндра, вектор Е параллелен его оси.
Определить результирующее поле.
12.66*. Линейно поляризованная плоская монохроматическая волна
рассеивается на шаре, радиус которого а много меньше длины волны Л.
Выразить составляющие электромагнитного поля рассеянного излучения
в волновой зоне через электрическую и магнитную поляризуемости шара.
Определить эффективное дифференциальное сечение рассеяния.
12.3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах 479
Указание. В силу условия а«А считать внешнее поле вблизи шара
однородным и рассмотреть излучение индуцированных электрического р
и магнитного т дипольных моментов.
12.67. Вычислить дифференциальное das и полное as сечения
рассеяния, а также степень деполяризации р вторичного излучения при рассеянии
неполяризованной волны шаром, радиус которого а много меньше длины
волны Л. Результат выразить через электрическую /Зе, и магнитную (Зт
поляризуемости шара.
12.68. Используя результаты предыдущей задачи, определить
дифференциальное das и полное as сечения рассеяния неполяризованного света
малым диэлектрическим шаром с проницаемостью е (р = 1), а также
степень деполяризации р рассеянного света. Построить графики зависимости
этих величин от угла рассеяния в. Указать условие применимости
полученных формул. Решить ту же задачу для идеально проводящего шара с р = 1.
12.69. Плоская монохроматическая волна So exp[i(k • г — tut)]
рассеивается на диэлектрическом шаре радиуса а, удельная поляризуемость
которого (г - 1)/47г <С 1 (р = 1). Соотношение между радиусом шара и
длиной волны произвольно. Вследствие малой поляризуемости
поляризация шара в первом приближении пропорциональна полю падающей волны.
Определить дифференциальное сечение рассеяния и степень
деполяризации р рассеянного излучения. Какой характер приобретает рассеяние в
случае очень большого шара (ка^> 1)?
12.70. Определить полное сечение рассеяния as диэлектрической
сферой, рассмотренной в предыдущей задаче, в предельном случае ка ^> 1.
Сравнить со случаем Ь « 1.
12.71*. Плоская монохроматическая линейно поляризованная
электромагнитная волна падает на идеально проводящий шар радиуса а,
находящийся в вакууме. Вычислить поле во всем пространстве, а также
дифференциальное и полное сечения рассеяния электромагнитной волны шаром для
общего случая, не предполагая его радиус малым по сравнению с длиной
волны.
12.72*. Сделать то же самое для шара из прозрачного диэлектрика,
находящегося в пространстве, заполненном другим диэлектриком.
12.73. Плоская монохроматическая волна падает под углом ^ - а
на идеально проводящий тонкий диск, радиус которого а много меньше
длины волны Л. Определить дифференциальное das и полное as сечения
480
Глава 12
рассеяния при различных поляризациях падающей волны, а также сечение
рассеяния неполяризованной волны.
12.74. В однородном диэлектрике с проницаемостью е (/х = 1)
вырезана полость, имеющая форму тонкого диска радиуса а, толщиной 2/г.
Нормально к плоскости полости падает неполяризованный свет с длиной
волны А > а. Найти дифференциальное das и полное as сечения
рассеяния.
12.75*. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния
плоской волны длиной Л на идеально проводящем цилиндре высотой 2/г и
радиуса а « /i « А. Исследовать различные случаи поляризации падающей
волны. Цилиндр аппроксимировать вытянутым эллипсоидом вращения с
полуосями а и /г.
Указание. Использовать результаты, полученные в задачах (8.38),
(8.39), (10.41).
12.76. Решить предыдущую задачу для диэлектрического цилиндра,
высота которого 2/г много меньше длины волны Л внутри цилиндра.
12.77*. Плоская монохроматическая волна рассеивается некоторой
системой зарядов (например, макроскопическим телом). Электрическое
поле на больших расстояниях от рассеивателя имеет вид
Е — Eq
eelkz + F{n)1-
0ikr
где n = г/г, е = Ео/Ео, к = и/с, Eq — амплитуда падающей волны,
F(n) — амплитуда рассеяния — функция, характеризующая свойства
рассеивателя и зависящая от частоты. Доказать соотношение («оптическую
теорему»):
at = ^-Im[e'F(fio)].
Здесь at = crs + cra — полное сечение взаимодействия волны с системой
зарядов, равное сумме сечений рассеяния as и поглощения аа, F(no) —
амплитуда рассеяния «вперед», т. е. в направлении распространения падающей
волны.
12.78*. Плоская монохроматическая волна падает на
макроскопическую частицу, размер которой много меньше длины волны Л. Электрическая
и магнитная поляризуемости частицы: /Зе = /З'е + г/3" и /Зт = @>ш + 1(3!^ —
комплексны, поэтому наряду с рассеянием происходит поглощение
электромагнитной энергии. Вычислить сечение поглощения аа.
12.3. Рассеяние электромагнитных волн на макроскопических телах 481
Указание. Поглощаемая в единицу времени энергия равна потоку
вектора Пойнтинга через поверхность сферы большого радиуса, окружающей
частицу.
12.79. Вычислить сечение аа поглощения электромагнитной волны
проводящим шаром с малым поверхностным импедансом £ = £' + г£".
Радиус шара b мал по сравнению с длиной волны Л.
12.80. Плоская монохроматическая волна падает на
макроскопическое тело. Сечение поглощения волны телом аа и дифференциальное
сечение рассеяния das /dCl — известны. Выразить через них среднюю по
времени силу F, действующую на тело со стороны волны.
12.81*. Определить среднюю силу F, которая действует на малый
шар радиуса а, находящийся в поле плоской монохроматической волны.
Рассмотреть случаи идеально проводящего шара и диэлектрического шара
с диэлектрической проницаемостью е (магнитная проницаемость // = 1).
Амплитуда падающей волны Е0.
12.82. Точечный источник света расположен на оси, проходящей
через центр круглого непрозрачного экрана радиуса а перпендикулярно его
плоскости. Считая выполненным условие применимости геометрической
оптики (А < а), найти интенсивность света / в симметричной
относительно экрана точке Р.
12.83. В предыдущей задаче рассмотреть дифракцию на
дополнительном экране (т.е. на круглом отверстии в бесконечном непрозрачном
экране).
12.84. Параллельный пучок света падает на круглое отверстие
в непрозрачном экране перпендикулярно его плоскости. Найти
распределение интенсивности света / на средней линии за экраном.
12.85. Найти угловое распределение интенсивности света dl при
дифракции Фраунгофера на кольцевом отверстии (радиусы а > Ь) в
бесконечном непроницаемом экране. Начальный пучок света падает нормально
к плоскости отверстия. Рассмотреть частный случай дифракции на круглом
отверстии.
12.86. Найти угловое распределение интенсивности света dl при
наклонном падении параллельного пучка на круглое отверстие (дифракция
Фраунгофера).
12.87. Вычислить сечение дифракции Фраунгофера на длинной щели
шириной 1\ в непрозрачном экране.
482
Глава 12
12.88*. В непроницаемом экране имеется N бесконечно длинных
щелей шириной 21, расстояния между соседними щелями 2а. Вычислить
сечение дифракции на такой решетке (в расчете на единицу длины щелей).
Исследовать зависимость сечения от угла дифракции при N ^> 1.
12.89. Плоская линейно поляризованная волна падает на
прямоугольное отверстие —а^х^а,—Ь^у^Ьв бесконечном тонком экране
нормально к его плоскости. Амплитуды электрического и магнитного полей
имеют составляющие Еу = Ео, Нх = — Ео, Ну = Ех = 0. Определить поле
излучения из отверстия, а также угловое распределение излучения dl.
12.90. Плоская линейно поляризованная волна Е$ег(к r-u;f) падает на
круглое отверстие радиуса а в бесконечном тонком экране нормально к его
плоскости. Определить поле излучения из отверстия и угловое
распределение интенсивности излучения dl.
12.91. Плоская монохроматическая волна Е°(х, z) = Ео exp(ifeo • г),
ко = (fcsin#00, fccos#o), к = и /с падает наклонно на непроницаемый
экран, который занимает плоскость z = 0. В экране имеется длинная щель
шириной 2/ (—/ ^ х ^ /, параллельная оси Оу. Вычислить
электромагнитное поле в волновой зоне за экраном (z > 0), воспользовавшись формулой
Кирхгофа для вектора Герца в форме (12.50).
12.92. Решить предыдущую задачу для случая, когда вместо щели в
экране имеется прямоугольное отверстие размером 2/ х 2а. По образцу
решения задачи 12.87 осуществить предельный переход к случаю бесконечно
длинной щели.
12.93**. В непроницаемом экране имеется щель кольцевой формы
(внешний радиус Ь, внутренний а). На экран нормально к его
поверхности падает плоская монохроматическая волна. Вычислить и
проанализировать поле в волновой зоне за экраном. Рассмотреть, в частности, случаи
азимутальной и радиальной (относительно кольцевой щели) поляризации
падающей волны.
12.94. Исследовать распространение пучка света в приближении
медленно меняющейся амплитуды (формула (12.69)) для случая точечного
отверстия в экране: ио{х,у) = Ао6(х/а)6(у/а), где Л0, а — постоянные.
Из сравнения с точным решением и = CelkR/R для точечного источника
указать пределы применимости решения.
12.95. Исследовать распространение пучка света в приближении
медленно меняющейся амплитуды (формула (12.69)) для случая, когда
амплитуда поля на отверстии в экране представляется распределением Гаусса
12.4. Дифракция рентгеновых лучей
483
щ(р) = Л0 ехр(-р2/а2). Найти, в частности, ширину пучка a(z) как
функцию продольной координаты z и начальной ширины а.
12.96*. Сделать то же самое для случая, когда поле на отверстии
изменяется по фазе: щ{р) = Л0 ехр(-р2/а2 - ikp2/2R), где Л0, a, R —
постоянные. Исследовать зависимость ширины пучка от z.
12.4. Дифракция рентгеновых лучей
Рентгеновские (рентгеновы7) лучи — это высокочастотное
электромагнитное излучение в диапазоне от « 2 х 1023 рад/с до « 2 х 1016 рад/с (от
Л « 10~12 см до Л « 10~5 см), между ультрафиолетом и гамма-излучением.
Диэлектрическая проницаемость. При рассмотрении рассеяния
рентгеновых лучей на макроскопических телах существенным является то
обстоятельство, что длина волны Л сравнима с размерами а атомов. В
конденсированных средах тот же порядок величины имеют межатомные
расстояния, в газах эти расстояния много больше а. Вследствие этого становится
невозможным усреднение по физически малым элементам объема,
рассматривавшееся в главе 7. Требуется производить усреднение по ансамблю (см.
гл. 11). Однако в том случае, когда частота рентгеновых лучей велика по
сравнению с характерными атомными частотами и о ~ vo/c, электроны
среды можно рассматривать как свободные. Для свободных (к тому же
нерелятивистских) электронов уравнения движения во внешнем
электромагнитном поле легко интегрируются, без затруднений может быть
вычислен наведенный полем ток и определена диэлектрическая проницаемость,
зависящая от координат г (см. задачу 11.7):
£(r) = i_Wn<r) (1270)
raur
Здесь п(г) — концентрация электронов в рассеивателе, определяемая
законами квантовой механики, усредненная по равновесному статистическому
распределению состояний теплового движения атомов. При высоких
частотах магнитные свойства среды чрезвычайно слабы, и можно положить
/х = 1. Теория диэлектрической проницаемости в рентгеновском и гамма-
диапазоне изложена в обзоре [Колпаков и др. (1978)].
7Рентген Вильгельм Конрад (1845-1923) — выдающийся немецкий
физик-экспериментатор. За открытие рентгеновских лучей и исследование их свойств получил первую в истории
Нобелевскую премию по физике (1901). Его учеником был основоположник советской физики
А. Ф. Иоффе.
484
Глава 12
Кинематическая теория дифракции. Мы не будем рассматривать
строгую теорию взаимодействия рентгеновых лучей с веществом и
ограничимся случаем, когда это взаимодействие можно учесть по теории
возмущений. Это означает, что рассматриваются тела небольших размеров и
амплитуда дифрагированной волны предполагается малой по сравнению с
амплитудой первичной волны. Поэтому наложим ограничение
^^<1. (12.71)
raur
Запишем уравнения Максвелла для монохроматических полей в обычном
виде
V х Е = ЩВ, V х В = -i%D, V ■ D = V • В = 0, (12.72)
где
D = eE, или E = D+^^E.
raur
Исключив из системы (12.72) вектор В, будем иметь Vx[VxE] = (u/c)D
или, с учетом уравнения V • D = О, получим окончательно
AD + ^D = Vx
с-
Vx(4zre^
Е
(12.73)
Это уравнение применимо как внутри рассеивателя, где D = еЕ, так и вне
его, где D = Е. В правую часть ввиду наличия малого множителя (12.71)
в дальнейшем следует подставлять невозмущенное электрическое поле
падающей волны. Из уравнения следует, что рассеянное поле имеет ту же
частоту, что и первичная волна, т. е. оно описывает процесс когерентного
рассеяния без изменения частоты.
Решение уравнения (12.73) можно записать через запаздывающую
функцию Грина (см. раздел 5.1). На больших расстояниях от тела (г ^> г')
используем функцию Грина (5.14) вида
G(r, rf) = - exp(ikr — ik-r'), к = ^ ,
где к = кг /г — волновой вектор рассеянной волны. Падающую волну
возьмем в виде Еоехр(гко • г'). Электрическое поле рассеянной волны
вдали от тела запишется в виде
Е(г) = —^ [ G(r,r')V х [V' х E0n(r')exp(ik0 • r')}dV.
raur J
12.4. Дифракция рентгеновых лучей
485
Интегрирование по частям позволяет выразить эту величину через
гармонику Фурье электронной плотности:
E(r) = -Areikrk х [к х Е0] [n{r')e-i(l' r' dY. (12.74)
Здесь q = к - ко — изменение волнового вектора при рассеянии,
интегрирование производится по объему рассеивающего тела.
С помощью (12.74), пользуясь определением (12.37), можно записать
дифференциальное сечение рассеяния поляризованной рентгеновской
волны:
dfi, (12.75)
da = 7q sin в
/ n(r) exp[-iq • r] dV
где ro = e2 /тс2 — классический радиус электрона, в — угол между Ео
и к, dft — элемент телесного угла, в который происходит рассеяние. Для
того чтобы падающее излучение можно было рассматривать как плоскую
поляризованную волну, необходимо, чтобы размеры тела были малы по
сравнению с длиной когерентности8. Обычно рентгеновские волны неполя-
ризованы. Усреднение по поляризациям дает
da = irjj(l + cos2 tf) / n(r) exp[iq • r] dV
dfi. (12.76)
где д — угол рассеяния, т.е. угол между к и feo- Условием применимости
формул (12.75), (12.76) является требование, чтобы полное сечение а =
= Г4 v da было мало по сравнению с площадью поперечного сечения
образца в целом. Изложенный выше подход, основанный на теории
возмущений, называется кинематическим. Если сформулированное условие не
выполняется, то требуется более точная динамическая теория (см.,
например, [Пинскер (1974)]; основные уравнения динамической теории имеются
в учебнике [Бредов и др., Классическая электродинамика]).
Полученные выше формулы применимы и к рассеянию рентгеновых
лучей отдельным атомом. В этом случае интеграл берется по объему атома,
а величина
Fa(q) = [ na{r) exp[-iq • г] dV. (12.77)
8Длиной когерентности называется расстояние, на котором отдельные цуги волн, входящие
в любой реальный сигнал, сохраняют малую разность фаз. На большей длине сигнал
становится некогерентным и неполяризованным. Более точное определение длины когерентности
см. в следующей главе, в разделе 13.1
486
Глава 12
называется атомным форм-фактором. Атомный форм-фактор
представляет собой просто компоненту Фурье от распределения па(г) электронов в
атоме и через него можно с помощью обратного преобразования Фурье
вычислить па(г).
Дифракция на монокристаллах. При дифракции рентгеновых лучей
на монокристалле электронная плотность п(г) представляет собой
периодическую функцию координат:
п(г) = п(г + а), а = m\d\ + т^ач + т3а3, (12.78)
где а\, а,2, аз — основные векторы кристаллической решетки, га* — целые
числа (это условие строго выполняется только для бесконечного и
бездефектного кристалла). Ввиду периодичности разложение электронной
плотности в ряд Фурье по координатам имеет вид
n(r) =J2nbeibr, nb = ± [n(r)e-ibrdV, (12.79)
ь •*
где Ь = 2тгд — векторы обратной решетки, а отличающиеся от них
множителем 27г векторы д образуют взаимный базис (см. пример 1.2 в гл. 1)
по отношению к векторам а исходной решетки. Элементарные векторы
взаимного базиса определяются соотношениями
01 = —у , 92 = —у , 9з = —у » Vc = ai- [а2 х а3\.
(12.80)
При замене в (12.79) г на г + а значение электронной плотности не
изменится, так как егаЬ = e27rlN, где N — целое число.
В случае кристаллического рассеивателя
fn{r)dV = Y,nb fei{b-q)rdV. (12.81)
ь
Интеграл по объему имеет наибольшее значение при q = b или
к-к0 = Ь = 2пд (12.82)
(уравнение Лауэ)9. В этом случае он равен объему кристалла. При
нарушении этого равенства интеграл сильно уменьшается из-за осцилляции
9фон Лауэ Макс Феликс Теодор (1879-1960) — немецкий физик-теоретик, Нобелевский
лауреат (1914), разработал теорию дифракции рентгеновых лучей. Основоположник рентгено-
структурного анализа.
12.4. Дифракция рентгеновых лучей
487
экспоненты. Взяв обе части равенства (12.78) по модулю и учитывая, что
q = \к - fe0| = 2fcsin(#/2), где д — угол рассеяния, получим уравнение
Бреггах °-Вул ьфа] ]
2fc.sin | = b = 2тгд. (12.83)
Уравнения Лауэ и Брегга-Вульфа определяют те направления в
пространстве, вдоль которых сечение рассеяния рентгеновых лучей имеет
наибольшее значение (главные максимумы дифракции). При заданном
значении b главный максимум возникнет лишь при условии к = и/с > Ь/2.
Более подробные сведения о дифракции рентгеновых лучей
содержатся в [Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных сред; Бредов и др.,
Классическая электродинамика; Каули (1979); Пинскер (1974); Кривоглаз
(1967); Джеймс (1950)].
Задачи
12.97. Выяснить, при каких условиях сечение рассеяния рентгеновых
лучей на телах конечной протяженности принимает вид сечения рассеяния
на свободных зарядах (формула Томсона). Написать соответствующие
выражения для сечений. Число атомов в теле N, число электронов в каждом
атоме Z.
12.98. Распределение электронной концентрации в Z-электронном
где п0а
атоме аппроксимируется выражением па(г) = поаехр -
= Z/na3, а = ав/Z1/3, ав = 0,529 х 10~8см — боровский радиус. Найти
дифференциальное сечение рассеяния волны рентгенового диапазона на
одноатомном газе, содержащем 7V атомов, считая распределение атомов
совершенно хаотическим.
12.99. Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на объеме
газа, содержащем 7V двухатомных молекул. Атомы в молекуле одинаковы и
находятся на фиксированном расстоянии R друг от друга. Принять, что
формфактор Fa(q) атома, входящего в состав молекулы, тот же, что и у
изолированного атома.
,0Брегг Лоуренс (1890-1971)— английский физик, Нобелевская премия (1915) за рентгено-
структурные исследования.
"Вульф Георгий Викторович (1863-1925) — российский кристаллофизик и кристаллограф.
488
Глава 12
12.100. Как изменится сечение рассеяния рентгеновых лучей на
объеме газа из двухатомных молекул, рассмотренном в предыдущей задаче,
если учесть тепловые колебания атомов в молекуле?
Указание. Считать, что расстояния R между атомами распределены
около среднего значения Rq ^> Ьпо закону
dWx = —— ехр
Ьу/тГ
b2
dx, где х = R- R0,
Т — температура, // — приведенная масса, и — частота собственных
колебаний атомов в молекуле.
12.101. Вывести уравнение Лауэ (12.82) и условие Брэгга-
Вульфа (12.83), рассматривая интерференцию волн, рассеянных на
отдельных центрах идеальной кристаллической решетки.
12.102. Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на
идеальном монокристалле, состоящем из N одинаковых атомов с формфактора-
ми Fa(q) (считать, что эти формфакторы те же, что и в случае
изолированных атомов). Элементарная ячейка имеет форму куба с ребром а, кристалл
имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами L\, L2, L3,
параллельными ребрам элементарной ячейки. Определить положение главных
максимумов, убедиться в выполнении уравнения Лауэ (12.82). Найти
величину сечения в этих максимумах.
12.103. Кристалл состоит из кубических элементарных ячеек с
ребром а и имеет форму прямой призмы с прямоугольным равнобедренным
треугольником в основании (катеты основания L\ = L2, боковое ребро L3).
Определить положения главных максимумов, найти величину сечения в
этих максимумах.
12.104*. Найти распределение интенсивности в дифракционном
пятне вблизи одного из главных максимумов при рассеянии рентгеновых
лучей на монокристалле, рассмотренном в задаче 12.102. Волновой вектор
падающих рентгеновых лучей параллелен ребру Ьз, а к > 1/а.
Определить ширину дифракционного максимума и полное сечение, отвечающее
рассеянию в пределах одного дифракционного пятна.
12.105. Вычислить распределение интенсивности в дифракционном
пятне вокруг главного максимума при произвольном направлении падения
и произвольном соотношении между к и 1/а. Рентгеновы лучи
рассеиваются на монокристалле, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда
с ребрами L\, L2, L3 (см. задачу 12.102).
12.5. Ответы и решения
489
12.106. Решить предыдущую задачу для случая рассеяния на
монокристаллическом образце шарообразной формы (радиус К).
12.5. Ответы и решения
12.1. u)t(k) = ск/п, п = у/еЦ — показатель преломления. Продольных
колебаний не существует.
иц ' Е уМ' 8тг 8тг "
12.2. Электромагнитное поле с частотой ш может распространяться в
виде поперечных волн с волновым числом
N
LU7 — U)
— (полагаем 7s<^s, ^/),
и: -иг
где и2 = и2 + ujpfs — квадрат частоты продольных колебаний, найденный
в задаче 11.44. Волновое число (постоянная распространения)
становится чисто мнимой в интервале частот us < и < щ, в котором диэлектрик
непрозрачен. Затухание связано не с диссипацией электромагнитной
энергии, а с интерференционным гашением волны колебаниями осцилляторов.
Вне этого интервала диэлектрик прозрачен, при 0 ^ и ^ ш\
дисперсионная зависимость вида 2u;ti(fc) = uf + с2к2 — y/{uf + с2к2)2 - и2с2к2,
0 ^ к < оо. При частотах и > ш\ закон дисперсии 2ut2(k) = и2 + с2к2 +
+ у/{ш2 + с2к2)2 — си2с2к2, О ^ к < оо. В частности, при ск «С щ имеем
<jot2 ~ ид + (1 - uj2/u2)c2k2/2, при ск > lui дисперсионная зависимость
Ljt2 = ск такая же, как в вакууме. В области частот порядка us, ui
проявляется сильная связь между колебаниями электромагнитного поля и атомных
осцилляторов (поляритонные волны и их квантовые возбуждения — по-
ляритоны).
12.3. к = (u)/c)yj\ — и^е/и2. Область непрозрачности и < и0е,
поэтому ветвь поперечных волн в плазме начинается с частоты ut = ш0е'-
u>t(k) = у^Ое + с2к2. Фазовая скорость поперечной волны vph =
= c/y/l — uj2e/uj2 > с, поэтому затухание Ландау полностью отсутствует.
Тепловые поправки к закону дисперсии имеют порядок v\&jc2 «С 1.
490
Глава 12
12.4. Область непрозрачности: ut < и < uj\. Дисперсионные
зависимости при малых к: LUti{k) = с2к2/во, LUt2{k) = и2 + с2к2/е^. При
больших к: LUti(k) = ut, u>t2(k) = с2к2/е^ (к ^ 1/а).
12.5. Волновой пакет описывается функцией
Ф(г, t) = 4na0J — J3/2(pq) exp(iko • г - iu0t),
где <7з/2(яО = \/2/7rx(sinx/x - cosx) — функция Бесселя, р = \r — vgt\.
Амплитуда волнового пакета заметно отлична от нуля только в
пространственной (сферически симметричной) области pq ^ 1. Пакет ограничен по
всем трем измерениям.
Как видно из выражения для Ф(г,£), форма пакета со временем не
меняется. Это обусловлено линейным законом дисперсии, который строго
справедлив для электромагнитных волн только в вакууме. При учете
следующих членов разложения и по к имеет место изменение («расплывание»)
формы пакета. Пакет движется как целое с групповой скоростью vg.
12.6. Представив зависимость и(к) в виде
и = и>0 + vg(k - ко) + Р(к - к0)2,
получим
(х - Vgt)2
Ф(М) =a0J—7-rw;exp{ -77—-т£? + ifox - w0t)
у a + i/3t I 4(a + i(3t) 1
Характер зависимости этой комплексной амплитуды от х и t проще
исследовать, образовав квадрат модуля (именно он определяет интенсивность
волны):
\A(x,t)\2 = -^==e,P
Vа2 + (pt)2
Из этого выражения видно, что интенсивность волны как функция х при
фиксированном t имеет вид кривой Гаусса, но ее ширина / растет со
временем:
а высота убывает за счет множителя (а2 + /32£2)-1/2.
12.5. Ответы и решения
491
Волновой пакет расплывается. Расплывание происходит
симметричным образом (в сторону t = +00 и в сторону — оо) и, разумеется, не связано
с поглощением энергии, так как к вещественно. Отсутствие диссипации
видно и из того, что интеграл /^ \A(x,t)\2 dx = J -^-Oq не зависит от
времени, т. е. полная энергия сохраняется. Причиной расплывания
является неодинаковость скоростей распространения (фазовых) vph = и/к
отдельных плоских волн, входящих в суперпозицию: вследствие дисперсии
отношение и /к зависит от к.
12.7. Плазма. При и > с^ое, vPh — cl\Je{u), vg = су/е(ш).
Неполярный диэлектрик. При и <С ujq
где £0 = е(0). При и > и>0
В последнем случае vph • vg « с2. Вблизи резонансной частоты (и « с^о)
понятие групповой скорости теряет смысл.
12.8.
At = е ^ 1~ *'DM « 4,6(А? - \\)DM мкс.
2тгтес6
В последнем выражении запаздывание выражено в микросекундах, Л — в см,
а мера дисперсии — в парсеках на см3 (1 пк « 3 х 10*8 см). В
радиоастрономии меры дисперсии определяют по запаздыванию сигналов от пульсаров —
быстро вращающихся нейтронных звезд. Ввиду неоднородности
межзвездной плазмы таким путем определяется средняя концентрация электронов
на луче зрения от пульсара согласно формуле DM = J0 Nedl = NeL (если
расстояние до пульсара определено каким-либо другим способом).
12.10. Обе волны будут поляризованы эллиптически. Одна из
главных осей эллипса поляризации лежит в плоскости падения, другая к ней
перпендикулярна. Полуоси имеют следующую величину.
492
Глава 12
В отраженной волне:
р tg(fl0 - в2) _ sin(fl2 - в0)
Щ~ tg(6o + e2)E°' Е±~ sm(62 + 60)E°-
В преломленной волне:
_ 2 cos 0О sin 02 р р _ 2 cos 0О sin в2 р
11 ~ sin(0O+02)cOs(0O-02) °' ±_ sin(0o+02) °'
где 0о — угол падения, 02 — угол преломления, Eq — абсолютная величина
амплитуды падающей волны.
При #о = тг/2 - 02 (угол Брюстера) отраженная волна поляризована
линейно.
12.11. Неполяризованный (естественный) свет можно рассматривать
как некогерентную суперпозицию двух «дополнительным образом»
поляризованных волн с одинаковой интенсивностью. Воспользуемся этим и
представим падающий пучок в виде суперпозиции двух некогерентных
компонент, одна из которых, Е\\, поляризована в плоскости падения, а
другая, Е± — в перпендикулярной плоскости. Интенсивности этих волн
одинаковы:
Ц=1±=1.
После отражения обе компоненты по-прежнему будут некогерентными.
С помощью формул Френеля найдем
(1) Sin2(fl0-fl2)/ ± ± COS2(fl0+fl2) || ||\ _ COS2(fl0+fl2)
ik - sin2(0O+02) V* ^ СО8Чб0-62)е>ек) ' Pl СО^(в0-в2) '
eL и е" — единичные векторы, указывающие направления поляризации
поперечной и продольной компонент; эти векторы лежат в плоскости,
перпендикулярной направлению отраженного света. Степень деполяризации
падающего света равна 1; при отражении свет поляризуется.
Аналогичный расчет дает для преломленного света:
г(2) 4/COS2 0о SHI2 02 / _L _L . вгвк \ 2/л л ч ^ -,
Sin2 (0О + 02) V COS2 (0O -02) /
12.12. R = ±-——А-, pi =0, р2 = L-£T2, где ^ и £2 -
2(ei +£2) (ei+£2)2
диэлектрические проницаемости первого и второго диэлектрика.
12.5. Ответы и решения
493
12.13. Сдвиги фаз между Е±\, Ео и E\\i, Ео можно определить
с помощью формул Френеля:
m 6± _ V'sin2 в0 - п2 Дц _ yjsm2 в0 - п2
[) g 2 " cos 0о ' g 2 " п2 cos во '
Поскольку S± ф (5ц, волна поляризована по эллипсу.
Эллиптическая поляризация перейдет в круговую при выполнении
условий:
a) S = <5ц -6± = ^; Ь) Е\\0 = Е±0-
Условие Ь) означает, что падающая волна должна быть поляризована в
плоскости, составляющей угол 7г/4 с плоскостью падения. Исследуем, может ли
выполняться условие а).
Из формул (1) получим:
S cos0oVsin20o -п2
(2) *6о = ^Га *
z sin во
Отсюда следует, что при во = arcsinn и во = тг/2, S обращается в нуль,
а между этими точками принимает максимальное значение. Обычным
способом легко найти, что tgSmax/2 = (1 - n2)/2n. Чтобы tgS/2 был равен 1
(5 = 7г/2), должны выполняться неравенства 1 - п2 ^ 2n, n ^ 0,414.
12.14. Если вектор 2£0 нормален к плоскости падения, поперечная
и продольная составляющие вектора Пойнтинга имеют вид
^ = ^E*e-2k"*sm2(k>x-wt),
7,1 =j£-EZe-*k">{l-coS2(k>x-wt)}.
Здесь ось Oz нормальна к границе сред, ось Ох представляет собою линию
пересечения плоскости падения и границы раздела,
к' = fc2 sin #o, к" = &2 у sin2 во - п2,
где кч = ^П2 — волновой вектор во второй среде, во — угол падения.
Из формул (1) видно, что в направлении нормали к границе энергия
совершает колебания с частотой 2и>. Средний (по времени) поток энергии
494
Глава 12
во вторую среду равен нулю. Среднее значение 7ц не равно нулю: имеется
поток энергии вдоль границы раздела.
Линии вектора Пойнтинга во второй среде определяются уравнением
(2)
I \slnk'x\
In ■
к"
С
где С — постоянная интегрирования.
Примерный ход этих линий изображен на рис. 12.9. В первой среде
линии 7 имеют более сложный вид.
Рис. 12.9
12.15. Из формул Френеля получим, что при 0О —> 7г/2 амплитуда
прошедшей волны Е\ —> 0, а амплитуда отраженной волны Еч —> —Eq. Это
означает, что плоская монохроматическая волна не может распространяться
вдоль границы раздела диэлектриков.
12.16. Удобно использовать квантовую картину электромагнитного
поля и представить падающую волну как поток фотонов (см. главу 6).
Давление на границу будут создавать только отраженные фотоны. Они будут
передавать в единицу времени удвоеннную проекцию своего импульса на
нормаль к границе, которая и создаст давление prad-
prad = 2NhkR(e) -с cos 6 = 2wR{6) cos2 (9.
Здесь с cos в — проекция скорости фотона на нормаль, 2hk cos в — импульс,
передаваемый одним отраженным фотоном, R(0) — доля отраженных
фотонов, 7V — число фотонов в единице объема, w = Nhw — плотность энергии
в падающей волне. Давление приложено к слою диэлектрика толщиной
порядка длины волны в диэлектрике Л = 2тгс/иу/€Ц.
12.17. В обозначениях предыдущей задачи
Prad =Ю(1+Д(0)) COS2 в.
12.5. Ответы и решения
495
12.18. Для определения коэффициента отражения от плоского слоя
нужно найти связь между амплитудами отраженной и падающей волн. Эту
связь можно определить двумя способами.
По первому способу — с помощью граничных условий. Учитывая, что
на границах z = О и z = а должны, быть непрерывны касательные
компоненты векторов Е и Н, и что перед слоем со стороны падающей волны
имеются волны, распространяющиеся в обе стороны, а за слоем —
только прошедшая волна, распространяющаяся в положительном направлении
оси z, получим из граничных условий:
m г а12+а2зехр(-2г/с2а)
I + ai2a23 ехр(-2г/с2а)
где Е\ — амплитуда отраженной, а Ео — амплитуда падающей волны,
1 -rci2 Л 1 ~^23 п [ёк и и г—
осп = 1 , а23 = 1 , n^fc = \ -F-, /с2 = т-у^2-
I + ni2 I + п2з у г
Второй способ решения задачи — рассмотрение многократных отражений
волны от границ раздела. Используя формулы Френеля для нормального
падения, найдем, что амплитуда волны, однократно отраженной от
границы z = О, запишется в виде
&0 = <*12Ео.
Амплитуда волны, прошедшей внутрь слоя:
где
/?12 =
1+-П12"
Амплитуда волны, вышедшей из слоя в область z < О после однократного
отражения от границы z = a:
Si = /32ia23/3i2£oe-2ifc2a.
Амплитуда волны, вернувшейся в область z < О после 5-кратного
отражения от границы z = а:
«s = Р21р12а2зе-2^а(а21а23е-2гк^у-1.
496
ГЛАВА 12
Полная амплитуда Е\ волны, отраженной от плоского слоя, равна сумме
всех 8S:
оо оо
Ei = £ 8, = (*l2Eo + foifo2a23e-2ik*a Х^к^е"2**"*)'-1-
s=0 s=l
С помощью формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, получим снова соотношение (1).
Коэффициент отражения определяется как R = \Е\\2/\Ео\2. Находя
минимум R обычным способом, получим, что отражение минимально, если
толщина слоя удовлетворяет условию
(2) а = ап=п-^-, га = 1,2,3,...,
где А2 — длина волны внутри слоя.
Рассмотрим наименьшую толщину слоя, а = Аг/4, соответствующую
минимуму R. Приравнивая R нулю, найдем условие отсутствия отражения:
£2 = >/е1ез-
12.20. Находим действительную и мнимую части диэлектрической
проницаемости проводника:
2 2
Глубина проникновения S = 1/fc", где к" определяем по формуле (3) из
примера 12.3 (0О = 0): к" = (ш/суД)у/\е\ -е'.
1. о; « 7 < И)е; ^ое/72 > ео- Имеем S « с/у/2тгк0и, где к0 =
= и;ое/47Г7 — статическая электропроводность. Это значение S совпадает с
формулой 10.17. С ^ (1 - i)y/fJ>uj/87TKo.
2. LUQe < W < 7, ^>1еНи < ^05
27ГК0
у 7^^ C-V/Veo
(случай полупроводника). В отличие от первого случая, здесь глубина
проникновения поля не зависит от частоты в области применимости формулы.
12.5. Ответы и решения
497
12.21. 1. 7 < и < и;0е. При этом е' = е0 - ^ое/^2 < °» \е'\ > е" =
- ^0е7Л<А ^ ~ с/с^ое — в этой области частот столкновительная
диссипация несущественна и поле волны гасится вторичным полем электронных
колебаний.
2. и > ы0е- Если при таких частотах дисперсия во еще не сказывается,
то 5 « 2су/ё^и2/ице7. Величина е0 учитывает влияние связанных зарядов,
входящих в состав ионов и нейтральных атомов.
12.22. Поскольку вектор Е поляризован линейно, амплитуду Ео
можно выбрать вещественной. Из уравнения div Е = 0 имеем к' - Ео = О,
к" • Ео = 0, т. е. Ео перпендикулярна к плоскости (&', к"). Из уравнения для
rot E следует
—Ж\ = к хЕо, — Jtf?2 = fe x Дь
т. е. Ж1 и Jtf?2 перпендикулярны 2£0, «#?i JL к', Ж 2 -L fc".
Конец вектора Н описывает эллипс в плоскости (&', к") (рис. 12.10).
Рис. 12.10
12.23.
E±i = (-1 + 2Ccos0o)£±o, Я,, 1 = (1 - 2C/cos0o)£||o,
Sj_2 = 2Сcosв0Е±0, £ц 2 = 2С£ц о-
Формулы для Е\\ 1 и Е\\2 применимы только в том случае, если угол
скольжения <р0 = тг/2 - #о > |С|-
При у?о «С 1 справедливы формулы
^11 1 - 1 Г7-Ч|0> ^112
Яио-
^о + С l|U' "' *>о + С
Относительная величина |С| и tpo при этом произвольна.
498
Глава 12
12.24. R± = 1 — 4C/cos#o- При всех углах падения R± близок к 1,
достигая минимума при во = 0 (нормальное падение);
4С
Д„ = 1 -
при
Дм
COS#o
(vo - С')2 + С"2
^o=f-^о»4С,
при (ро -С 1.
(vo + C')2 + C"2
Из условия дЩ/дфо = О находим угол ф0, при котором Дц минимален:
ICI-C
<A)=*o = |Cl, Щ
ICI + C
Угол Фо является аналогом угла Брюстера, так как значение Дц
при <ро = Фо минимально (при падении волны на границу диэлектрика
под углом Брюстера коэффициент Дц также минимален и равен нулю).
12.25. Характер поляризации отраженной волны определяется
разностью фаз между продольной и поперечной компонентами. Используя
результаты двух предыдущих задач, получим
"i = 7г;
Ех
"ICI-C"
_1С1 + С'_
1 ^ — Е±о =
1/2
■■eiS^E±0,
tg<5||=-
2Ф0Г
00,
Ч>о —»Фо
ф2-|С|2'
т. е. 5ц = 7г/2.
Таким образом, разность фаз S = S± — <5ц = 7г/2; отраженная волна
в общем случае окажется эллиптически поляризованной, причем одна из
осей эллипса будет лежать в плоскости падения.
При \E\\i\ = \Е±\\ поляризация будет круговой. При Е\\0 = О
или Е± о = 0 поляризация останется линейной.
12.26. С помощью формул Френеля находим
п =
sin #o tg #o cos 2p
1 + sin2 2p cos S
n =
sin #o tg #o sin 2p sin S
1 + sin 2p cos S
12.27. Д =
(v^-v^)2
+ ■
-i Д(Щ\
: + у^)4 V £ V " У
(v^+v^)2 (v^ + v^)4
Здесь £ — диэлектрическая проницаемость среды, из которой падает свет,
12.5. Ответы и решения
499
е' — вещественная часть диэлектрической проницаемости проводящей
среды, к — вещественная электропроводность.
12.28. Уравнение, которому удовлетворяет электрическое поле,
запишется в виде:
dz2 С2 V ez/a + 1 )
Мы должны найти решение этого уравнения, которое при всех z
является ограниченным и при z —> ±оо удовлетворяет некоторым условиям,
вытекающим из физического смысла задачи. При z —> — оо решение должно
представлять суперпозицию двух волн, падающей и отраженной, т. е.
(2) ВД-> AeikoZ + Be~ikoZ,
где fco = и/с.
При z —» оо должна оставаться только прошедшая волна:
(3) E(z)^Ceikz,
где fc0 = ujy/e/c.
Произведем в уравнении (1) замену независимой переменной —e~zla =
= £. Новая переменная меняется в пределах -оо ^ £ ^ 0 при изменении z
от -оо до +00. С помощью подстановки Е(£) = £~гка"ф{€)> получим для
новой неизвестной функции ф(£) уравнение
(4) {(1 - £)<ф" + (1 - 2ika)(l - 0<ф' + к2а2<ф = О,
где к2 = ^гДе. Это уравнение называется гипергеометрическим.
с
Как следует из условия (3), функция ^>(£) должна стремиться к
постоянному пределу при £ —> 0. Решением уравнения (4), ведущим себя
указанным образом, является гипергеометрическая функция
Г(а,р,ъг) 1 + 7.1!г+ 7(7 + 1).2!
Поэтому решение уравнения (4) запишем в виде
(5) ip = CF \-i(k + ко)а, -i{k - ко)а, 1 - 2ika, -e~z/a
500
Глава 12
Чтобы найти вид функции ф при £ —> — оо, воспользуемся
асимптотическим представлением гипергеометрической функции:
(в) f(a,,,7,,) = £™^{-^ + £Wr^(_^
Г(/?)Г(7-а)
Г(а)Г(7'-/3)
С помощью этой формулы убеждаемся, что условие (2) выполнено.
Коэффициент отражения
(7)
R
Т(2гк0а)Т[1 - г(к + k0)a]T[-i{k + к0)а]
T(-2ik0a)T[l - i(k - k0)a\T[-i(k - к0)а]
Для упрощения полученного выражения используем формулы
T(2ik0a)
\Т(-2гк0а)
Окончательно получим
(8)
T(2ik0a)
T*(2ik0a)
= 1, Г(г)Г(1 - z) = -г2—.
sin7rz
R =
sh2 тта(к — ко)
sh2 тга(к + fc0)
При малых a (fca < 1) Д переходит в известное выражение, справедливое
при скачкообразном изменении е:
R
(к - кр)2
(к + fc0)
2'
С ростом a, R монотонно убывает. При больших ка убывание происходит
по экспоненциальному закону:
R = e~47rkoa, fca>l.
12.29. При нормальном падении волны на неоднородный слой,
электрическое поле зависит только от z и удовлетворяет уравнению
(1)
*£ = $*>■•)*-«■
12.5. Ответы и решения
501
Обозначим muj2/47re2No = z\, тогда е = 1 - z/z\. Введением
переменной £ = (uj2/c2zi)1^3(zi — z) уравнение (1) приводится к виду
(2) ^§+£Е = 0.
Решение уравнения (2) проще всего получить с помощью преобразования
Фурье. Разложим Е(£) в интеграл Фурье:
оо оо
ВД = J E(u)e*" du, Е{и) = ± J Е(0е~*и d£.
— оо —оо
Подставляя разложение Е(£) в (2), получаем относительно амплитуды Е(и)
дифференциальное уравнение первого порядка:
(3) ^ + ^Е{и) = 0.
В результате преобразования Фурье мы получили вместо уравнения второго
порядка более простое уравнение первого порядка. Уравнение (3) легко
интегрируется, его решение
Е(и) = Л'е"™3/3.
Переходя к Е(£), имеем
оо
Е(£) = А' ( ехр[-г(и3/3 - £и)\ du.
— ОО
Представляя ехр[—г(и3/3 — £и)] в виде суммы синуса и косинуса, и замечая,
что в силу нечетности подынтегральной функции интеграл от sin(ti3/3 —
- £и)) равен нулю, получим:
оо
(4) £?(0 = ^y"coe^-^d«.
о
Функция
*(0 = ^/cos6£+£u) du
502
Глава 12
называется функцией Эйри (она может быть выражена через функции
Бесселя с индексом ^). Таким образом, окончательно
Е(0 = АФ(-£).
Константа А должна определяться из условия на границе слоя.
Исследуем поведение Е(£) при больших |£|. Пользуясь
асимптотическими формулами для Ф(£)> получаем при больших положительных
значениях £:
в<«=^-(§«з/!+?)-
Здесь поле имеет осциллирующий характер.
При больших по абсолютной величине отрицательных значениях £:
Е(£) = -^-е-!'^4
Поле экспоненциально затухает. Причина этого состоит в том, что
отрицательным £ соответствуют отрицательные значения диэлектрической
постоянной е. Но при е < 0 волновой вектор к = ^ у/ё становится чисто мнимым,
что и ведет к затуханию. Однако затухание в данном случае связано не с
переходом электромагнитной энергии в тепло (так как диэлектрическая
проницаемость вещественна — потери отсутствуют), а с интерференционным
гашением падающей волны вторичным полем.
12.30. После преобразования уравнений указанным в условии задачи
способом находим для величины J(z, t) два линейно независимых частных
решения: I(z,t) = ^U (z)e±iqTJ^~'l<x't. Здесь квазиволновой вектор q
определяется соотношениями (12.25). Зависимость U(rj) = Q~2(rj) вычисляется
из уравнения (***):
U(rj) = [ch{pr)) + Msh(pr))}-2, р2 > 0;
W о о
U(r)) = [cosfa/L) + Msm(r)/L)}-2, p2 < 0, L = 1/|р|.
Чтобы найти зависимость между U и z, выразим из (1) г] через
обратные гиперболические или тригонометрические функции и воспользуемся
12.5. Ответы и решения 503
соотношением, вытекающим из (12.21): dU/dz = (dU/dr])(dr]/dz) =
= U(z)(dU/drj). Вычисления дают
(2) f-±2£,/l-I«l-M>),
0 < М < 1, 1<С/^ Umax = (1 - М2)-\ р2 = 1/L2 > 0;
(3) 2 ^
^=±2^!^t/(l+M2)-l, l>U>(l+M2)-\ p2 = -l/L2<0.
dz Li
Из этих дифференциальных уравнений вычисляется z как функция U. Тем
самым будет получено решение для неоднородной среды с e(z) = tiqU2(z).
12.31.
n2(n0-AQ2+c2M2A,2L2 c2
Д=-5^ ■ „х9 . OwO/ 9.9> ^ N = \! +
n2(n0 + AT)2 + c2M2/lj2L2 ' У (Ln0u;)2'
Отношение амплитуд отраженной и падающей волн комплексно:
Ei n0 (n0 - N) - icM/uL
Ео п0 (п0 + АО + icM/uL'
Это означает, что рассматриваемые волны имеют сдвиг фаз вследствие
неоднородности среды.
12.32. Компоненты поля выражаются по формулам (12.19) через
векторный потенциал A(z, i) = elu>z/c + Re~iuJZ/c при z < 0, A(z, i) = Keiu}Z/c
при z > L. При 0 ^ z ^ L векторный потенциал имеет вид (12.25).
Постоянные R, A\, A<i, К определяются из условий непрерывности компонент
поля на границах z = 0 и z = L. Коэффициент отражения определяется как
R = \R\2.
12.33. См. обзор [Шварцбург (2000)].
12.34. Скорости волн вдоль каждой оси определяются главными
значениями е^ вдоль двух других осей. Так, вдоль оси 1 скорости с/ y/e^Ji
и с/у/е^р и т.д.
12.35. Обыкновенная волна поперечна, векторы D, Е оба
перпендикулярны плоскости, проходящей через волновой вектор и оптическую ось
504
Глава 12
(плоскость главного сечения). В необыкновенной волне вектор D лежит в
плоскости главного сечения и перпендикулярен волновому вектору, а
вектор Е тоже лежит в плоскости главного сечения, но не параллелен D.
12.37.
Е, kD
с{Е • n)D
Скорость распространения энергии в
анизотропной среде не совпадает по величине и
направлению с фазовой скоростью. Второе слагаемое
в правой части перпендикулярно фазовой
скорости. Расположение векторов см. на рисунке 12.11.
Все векторы, кроме В = Н, лежат в одной
плоскости.
12.38.
(е\\ — €±) sin в cos в F ,
cosa = , " tgtf = -ф- tg<9.
Jei cos2 в + е\ sin2 в
12.39. Собственные колебания в движущейся среде описываются
указанными в условии задачи уравнениями при jext = pext = 0. Выбрав (/9 = 0,
из оставшихся двух уравнений находим
Первое равенство позволяет получить дисперсионное соотношение, а
второе определяет поляризацию плоской волны. Волна поперечна, ее
амплитуда перпендикулярна вектору, стоящему в фигурных скобках и
представляющему собой комбинацию волнового вектора и вектора скорости среды.
Из первого равенства находим значения фазовой скорости
/ лч ш к~?20cos в ± V1 + *72(1 - Р2 cos2 в)
VpM,2(w,0) = Т= С — J •
к 1 + К7
Решения связаны условием vphi(<*J,7r — в) = —vph2(u,0)- Таким образом,
в заданном направлении может распространяться одна волна с
определенной фазовой скоростью и с произвольной, но поперечной поляризацией, т. е.
12.5. Ответы и решения
505
имеет место вырождение по поляризациям. В одноосном неподвижном
кристалле в каждом направлении могут распространяться две волны заданной
частоты с разными фазовыми скоростями и разными поляризациями.
_. -cLu =c_k + (*l2/c2)(u-k.V)V
9 dk {u;/c) + {^2/c){u;-k-V)'
Подробный анализ дисперсионных соотношений при разных значениях
скорости среды см. в обзоре [Болотовский и Столяров (1974)].
12.40. Для того чтобы граничные условия для векторов поля
выполнялись в любой точке поверхности раздела, необходимо равенство
касательных к границе раздела компонент волнового вектора у падающей,
отраженной и обеих преломленных волн. Для обыкновенной волны это дает
sin #2
72' sin 0п
, 0111 (7о
/cosin0o = »i sin02, . = y/£±fJ>-
Направление луча (вектора Пойнтинга) в обыкновенной волне совпадает
с направлением волнового вектора и составляет, следовательно, угол д'2
с нормалью к границе.
В случае необыкновенной волны имеем
к0 sin в0 = к2 sin 02 = ^о sin 0% х / 7-^— т—
У €± Sin2 02 + €|| COS2 в2
(см. задачу 12.35*). Отсюда находим
£и sin2 0о
sin2 0:
2 л//
е±£]\Р + (e\\ -£_L)sin20o
Угол •д" между лучом и оптической осью (совпадающей с нормалью к
поверхности раздела), согласно результатам предыдущей задачи, определяется
условием
«г ч» €± ♦ «■a» V^singo
tg# = -gjr tg g2 =
Y^||(^||^-sin20o)
Угол отражения от кристалла, как и от изотропной среды, равен углу
падения: 0i =0q.
506
Глава 12
12.41. Обыкновенный луч лежит в плоскости падения и составляет
с нормалью к поверхности угол в'2:
sin #2 — y/e±fJL sin во.
Волновой вектор к^ необыкновенной волны лежит в плоскости падения
и составляет с нормалью угол в2':
sin2^' = £lSin2<\ _.
е±е\\[л + (е± - ец) sin #ocos2a
Направление луча в необыкновенной волне не лежит в плоскости падения.
Луч расположен в одной плоскости с^и оптической осью и составляет
с последней угол #, причем (рис. 12.12):
\/e\e\\iJ, + e±(e± - e\\)sm2 восоь2 а
£ц sin #o cos a
Рис. 12.12
12.42. Волна, у которой электрический вектор параллелен
проводникам, отразится от решетки, как от сплошной металлической плоскости.
Волна, у которой электрический вектор перпендикулярен проводникам,
будет распространяться как в свободном пространстве, потому что она не
возбудит токов в решетке.
12.5. Ответы и решения
507
12.43. Подставляя в уравнения Максвелла выражения полей Е и Н
в виде плоских монохроматических волн, получим уравнение,
определяющее амплитуды и волновые векторы волн, которые могут распространяться
в данной среде:
(1) к х (к х Я0) = -^f»H0.
Введем угол в между волновым вектором к и осью Oz и запишем (1)
в проекциях на оси координат.
Приравнивая нулю определитель системы, получим биквадратное
уравнение относительно к. Его решение дает:
к2 - У- ruef
Л1,2 — 2 ^± '
(2)
//sin2 в + (2/х±//Х||) ± ^'//2sin4 (9 + (2/ха/>ц)2 cos2 (9
2[(//±///||-l)sin20 + l]
где 2 2
M — 2
Величины /z± можно рассматривать как эффективные магнитные
проницаемости двух нормальных волн.
В каждом направлении могут распространяться две волны с разными
фазовыми скоростями v\y2 = и/к\£, зависящими от угла в. Направлений,
для которых эти фазовые скорости становились бы одинаковыми, не
существует, так как радикал в (2) не принимает нулевых значений ни при каких в.
В области частот, близких к резонансным частотам тензора //,
электромагнитное поле сильно связано с колебаниями намагниченности. В этом случае
рассматриваемые волны называют магнитными поляритонами.
Если в формуле (2) положить ра = 0, то она будет определять
фазовые скорости волн, которые могут распространяться в негиротропном, но
анизотропном магнитном кристалле:
i 2 _ UJ2 ,2 _ LU2
Кг — -yS/ij., #2 — ~~2
ер±£\\
сг с2, /хц cos2 в + /xj_ sin в
Первая из этих волн (обыкновенная) имеет скорость v\ = с/у/ер ±,
не зависящую от направления распространения. Скорость второй волны
508
Глава 12
(необыкновенной) зависит от угла между осью симметрии кристалла и
направлением распространения. При распространении волны вдоль оси
симметрии (в = 0) обе скорости совпадают, две волны вырождаются в одну.
12.44. 1. При продольном распространении удобно рассмотреть
циклические компоненты полей Е± = Ехт^Еу , Н± = Hx^iHy. Из уравнений
Максвелла вычислим их волновые векторы:
CD fc± = ^v^7±^=^(i + ^)
1/2
волна с fc+ существует в интервалах частот 0 ^ и ^ и>о и ио +^м ^ и < оо,
волна с к- — в интервале 0 ^ и < оо (рис. 12.13).
2. Обе волны поляризованы по кругу, волна с fc+ имеет правую спи-
ральность, волна с к- — левую спиральность (определение направления
вращения см. в задаче 2.130). Поверхностные импедансы неодинаковы у
двух волн:
(2) ^=±гЩ = У——'
3. Линейно поляризованную волну следует рассматривать как
совокупность двух циркулярно поляризованных волн с разными направлениями
вращения. Пусть при z = 0 вектор Е0 ориентирован вдоль оси Ох. Тогда
на глубине z будем иметь
(3) Ех = (l/2)E0[eik+z + eik~z], Ey = (i/2)E0[-elk+z + eik~z}.
Вводя полусумму и полуразность волновых векторов, к = (fc+ + fc_)/2, к =
= (fc+ - к-)/2, находим Ex(z) = E§exkz cos kz, Ey(z) = Eoelkzsm kz.
Отношение^ jEx = tg kz определяет тангенс S угла поворота плоскости
поляризации: 5 = kz = (fc+ - k-)z/2.
12.45. Пусть волны распространяются вдоль оси Ох. Обыкновенная
волна имеет волновой вектор к\ = иу/е/с и поляризована линейно, ее
компоненты поля Еу = (,\Н2 ф 0, поверхностный импеданс Ci = 1/v^-
Необыкновенная волна имеет fc2 = u>\iefj,e//с, где ff/ = ц± - fJ%/fi±,
поляризована линейно, Ez = —CiHy Ф 0, Qi = \/м1Iе- Дисперсионные
кривые см. на рис. 12.14.
12.5. Ответы и решения
509
О Ч) Ч,+о;А/ и ° v4(q,+o;A/) ^>~^м
Рис. 12.13 Рис. 12.14
Пусть на границе среды (ж = 0) волна поляризована линейно, вектор Е
колеблется вдоль биссектрисы угла между осями Оу и Oz. На глубине х
имеем
E(x,t) = Ео[(еу + e2)cos кх + г(еу - ez)sm Kx\elkx~lbJt,
где к = (fci + /с2)/2, к = (fci - &2)/2. Из приведенной формулы
непосредственно видно, что при фиксированном х конец вектора Е описывает эллипс
с полуосями у/2Ео cos кх, у/2Ео sin кх. В точках, где cos кх = sin кх,
эллипс превращается в окружность, а в точках кх = п7г/2, п = 0, ±1, ...
поляризация линейна, но может быть ортогональна начальной поляризации.
Явление изменения поляризации при поперечном распространении волны
в гиротропной среде называется эффектом Коттона-Мутона.
12.46.
I
8 = -f\uM^l + ea^
12.47.
;(*0 = у ^о(^о + им sin2 в)
\
LJQ I U)Q+ U)M
k\
_L II /
И) ^ w < \Л<Л)(И) + ^м),
510
Глава 12
где в — угол между направлением волнового вектора и приложенным
постоянным магнитным полем.
Е=^гкхВ, В = £Н, |£?|<|В|.
скг
12.48. В направлении магнитного поля могут распространяться с
разными фазовыми скоростями две волны, поляризованные по кругу в
противоположных направлениях. Поэтому волна, поляризация которой, отлична
от круговой, расщепится на две волны, поляризованные по кругу. Так как
фазовые скорости этих двух волн различны, сдвиг фаз между ними будет
меняться от точки к точке, вследствие чего поляризация суммарной волны
будет различной в разных точках.
Проведя вычисления, получим, что поляризация результирующей
волны остается линейной, но плоскость поляризации повернется на угол \ —
= 7j(k+ — k-)z (эффект Фарадея). Величины fc+ и к- представляют собой
волновые векторы двух волн с круговыми поляризациями и могут быть
найдены из результатов задач 12.44 и 11.23. В случае слабого магнитного поля
получим
X = VHz,
где коэффициент пропорциональности V носит название постоянной Верде.
Если атомы вещества рассматриваются как гармонические осцилляторы,
постоянная V примет вид:
у = 2тге3ЛГ J2
пт2с2 (и2 -с^о)2'
где п = у/ё — показатель преломления в отсутствие магнитного поля.
12-49' ДХ = (Xl - \\)RM.
Меры вращения в межзвездной среде можно измерить, принимая
сигналы на разных частотах от пульсаров — вращающихся нейтронных звезд.
Измерив для тех же пульсаров меры дисперсии (см. задачу 12.8), можно
оценить межзвездное магнитное поле. В тех случаях, когда магнитное поле
направлено под углом к лучу зрения, а электронная концентрация
неоднородна, мера вращения будет определяться интегралом от проекции поля на
направление наблюдения:
L
D3
RM = —, е" „^ f NeB\\dl.
^2\2
2тг(тес2
Подробнее см. в [Физика космоса (1986)].
12.5. Ответы и решения
511
12.50. Из соображений симметрии следует, что волновые векторы
отраженной и прошедшей волн перпендикулярны к границе раздела. Обе эти
волны будут поляризованы по кругу в том же направлении, что и падающая
волна. Амплитуды отраженной и прошедшей волн:
Hi = -z—-т#(ь Н2 = -z—гтНо,
С± + 1 С± + 1
где Но — амплитуда падающей волны, £± = у/([л± ± Ма)А —
поверхностный импеданс для водн с правой и левой круговыми поляризациями.
Коэффициент отражения
обращается в единицу при (->оои при С —> 0. Первый случай реализуется
вблизи резонанса, и « с^о- Второй соответствует антирезонансу, когда fi± ±
да « 0. Для феррита с магнитной проницаемостью антирезонанс наступает
у волны с правой круговой поляризацией при и = ио + to м-
12.51. Волновые векторы отраженной и прошедших волн
перпендикулярны к границе раздела. Отраженная волна поляризована эллиптически,
полуоси эллипса
тт1 тт 1 ~ С+С- гтП _ тт С- - С+
'(С+ + 1КС- + 1)' ' "(C+ + 1KC- + 1)
Направление Н[ совпадает с направлением поляризации вектора Н в
падающей волне. Прошедшая волна расщепляется на две волны с амплитудами
Я/ Но rjff Но
2 - т—ГТ' н2 -
С+ + Г z C-+1
поляризованные по кругу в противоположных направлениях. Скорости их
распространения различны (см. ответ к задаче 12.44).
(1-<+<_)2 + (С--С+)2
R
(С+ + 1)2(С- + 1)2
12.52. Если длина волны много больше радиуса дисков и расстояний
между соседними дисками, то искусственный диэлектрик можно
рассматривать как сплошную среду. Электрическое поле падающей волны
касательно к плоскостям дисков. Поэтому при отсутствии внешнего
магнитного поля Но поляризуемость диэлектрика будет иметь значение а = Nf3e,
512
Глава 12
где Ре = -7Г продольная (относительно плоскости диска) электрическая
07Г
поляризуемость диска, N — число дисков в единице объема.
Продольная магнитная поляризуемость диска /Зт равна нулю (см.
задачу 10.42), поэтому магнитная восприимчивость диэлектрика \ ПРИ Рас_
сматриваемом направлении магнитного поля волны обращается в нуль.
Наличие внешнего магнитного поля Щ приводит к эффекту Холла:
электроны проводимости, создающие ток в каждом диске, будут
отклоняться под действием поля Щ и создавать добавочное электрическое поле Ен,
которое должно уравновесить отклоняющее действие магнитного поля. Это
приведет к появлению добавочного электрического момента каждого
диска, вследствие чего изменяются вектор поляризации среды и электрическая
индукция. Чтобы вычислить это изменение индукции, удобно рассмотреть
полную плотность поляризационного тока dP/dt в диэлектрике, а не ток
в отдельном диске.
В первом приближении по Яо поле Ен, вызванное эффектом Холла,
выразится в виде
(1) EH = R(H0xj) = R(H0-dP
dt
где R — постоянная Холла, Р = аЕ — вектор поляризации в нулевом
приближении. За счет поля Ен вектор поляризации получит приращение
(2) АР = аЕн = a2R (н0 х Щ
благодаря чему индукция D выразится через Е и производную дЕ/дк
(3) D = Е + 4тг(Р + АР) =еЕ + Ana2R (н0 х Щ J .
Здесь е = 1 + AirN/3e — диэлектрическая проницаемость при отсутствии
внешнего магнитного поля.
При гармонической зависимости Е от времени уравнение (3) даст связь
между D и Е вида
D =eE + i(E х g).
где g = 47ra2uRHo — вектор гирации (см. (12.34). Таким образом, среда
будет гиротропной. Как следует из результатов задачи 12.44, в направлении
вектора g возможно распространение двух волн, поляризованных по кругу
12.5. Ответы и решения
513
в разных направлениях и имеющих разные фазовые скорости v± = и/к±.
Определяя к± обычным способом, получим
(4) kl = ^(e±g).
12.53. Вдоль направления постоянного магнитного поля возможно
распространение двух волн с правой и левой круговыми поляризациями.
Волновые векторы этих волн определяются равенством
к2с2
■е± = 1
и,
и2 и (и + г7 =F ин - шн&н/и)
При Пн «С со влияние движения положительных ионов очень мало,
их можно рассматривать как неподвижные. В обратном предельном
случае Пн ^> и и 7^ <^ шн&н роль положительных ионов становится
определяющей:
к2с2 _ х up = j 4ttNMc2
и
,2
^я^я Я2
о
Обе волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью vph, которая
совпадает с их групповой скоростью vg:
V9 = Vph = Т = , ° (2)
* у/1 + 4ttNMc2/H2
или
#0 #0 /0\
^ = ^ = /л лтм = ~/Х=' (3)
V^nNM у/Атгт
если можно пренебречь единицей по сравнению со вторым членом;
здесь т = NM — плотность газа (очевидно, массой электронов можно
пренебречь). Если бы движение положительных ионов не учитывалось, то
вместо конечной постоянной скорости (3) при и —> 0 получилась бы
нулевая скорость, и соответствующие волны не могли бы существовать. Таким
образом, механические колебания газа и колебания электромагнитного поля
оказываются в этом случае тесно связанными. Волны, распространяющиеся
со скоростью (3), называются магнитогидродинамическими. Они уже
рассматривались в разделе 10.3. Они играют большую роль в астрофизических,
геофизических и других процессах.
514
Глава 12
12.54. Ищем совместное решение уравнений Максвелла и уравнения
движения вектора намагниченности (11.115), имеющее вид плоских
монохроматических волн:
(1) Е = Еое*к'г-ш*\ Н = Н0 + h^ei{k'r-ut\ М = М0 + ггцИ*"-^.
Амплитуды полей и намагниченности удовлетворяют системе уравнений:
(2)
с(к х Ао) =. -иеЕ0, с(к х Е0) = u>(ho + 47ггпо), к • (Ло + Дтгтпо) = О,
iumo = -г)(М0 х ho) - г)(то х Но) + щк2(М0 х то).
Исключая Eq и ho из (2), и вводя обозначения
и
им _ _ cj л _ с/с
х=£' £=7^F' fi = u;o+^M+^exa2fc2,
cj0 ■= гуЯо» шеха2к2 = r}M0qk2, uM = 4тгт)Мо,
получим
(4) гхто = -^—z[x2(ez x mo)+^2(n-rno)(e2 x n)] + (l-u)(ez x то),
ж - ?
где n = fc/fc, е2 — единичный вектор в направлении Щ (М0
параллелен Но).
Выберем ось х в плоскости (n, ez) и обозначим угол между ez и п
через 0. Из (4) следует система линейных уравнений относительно
компонент то'.
х2 - е
гхтох + [ 1 + ~2—ij m°^ = °'
1 + -^ 2 cos2 ^ ) т0х - гхт0у = 0.
■2 л-2 ииг2'
Условие разрешимости этой системы дает искомое дисперсионное
уравнение
12.5. Ответы и решения
515
Это уравнение — третьей степени относительно и2 {и2 = П2х2, ft не
зависит от и), поэтому в рассматриваемой среде могут
распространяться волны трех разных типов, различающиеся законами дисперсии. Два из
этих законов дисперсии были исследованы в задаче 12.43 (где мы
полагали и>ех = 0). Им соответствуют обычные электромагнитные волны,
распространяющиеся в гиротропнои среде. Для исследования третьего типа волн
используем условие и2е/с2к2 «С 1, аналогичное условию существования
магнитостатических волн (см. задачу 12.47). При этом х2 <С £2.
Пренебрегая в знаменателях в уравнении (4) х2 по сравнению с £2, получим третий
закон дисперсии:
(6) и2(к) = (и0 + иеха2к2)(и>о + иеха2к2 + им sin2 в)
Из условия и>2е <С с2к2, считая и>о, и\ и им сравнимыми по величине,
находим, что закон дисперсии (6) справедлив только при выполнении
условия £2 > 1.
Найдем относительную величину Ео и ho для волн с законом
дисперсии (6). Используя уравнения Максвелла (2) и условие и2е/(?к2 «С 1,
получим
Е0 « -^г(* х га); ho ~ 47гп(п • га).
скг
Таким образом, Е0 <С h0. Рассматриваемые волны представляют собой
чисто магнитные колебания вектора намагниченности, при которых
электрическое поле очень мало. Они называются спиновыми волнами и
определяют многие магнитные, тепловые и электрические свойства
ферромагнетиков. В задаче 11.53 спектр спиновых волн был получен в приближении
иеха2к2 > и0, им-
12.55. Направим ось Оу в глубь металла нормально к поверхности,
ось Oz — вдоль постоянного магнитного поля. Поскольку импеданс £, если
он мал, не зависит от угла падения волны, рассмотрим случай нормального
падения. Решая уравнения Максвелла и пользуясь определением
поверхностного импеданса, получим
Сх* = (1-г)у^, <„ = (1-*у^-, Cx2=Czx = 0,
где
_ Kj — К2 _ М± ~ Ма
516
Глава 12
Зависимость £22 от частоты носит резонансный характер (см. (12.36)).
Компонента £хх не обладает резонансными свойствами, так как /хц = 1.
12.56.
С± = ±-— = -(1-гЫ-—±, где [i =ii±±iia, к =ki±k2,
Е±\ и h±i — циклические компоненты Е и h (h±i = ^{hx ± ihy))/y/2.
12.58. Удобно ввести цилиндрические координаты с осью Oz вдоль
оси цилиндра и отсчитывать угол а от направления волнового вектора к
падающей волны. Из соображений симметрии следует, что векторы поля не
зависят от z и имеют только компоненты Ez, Hr и На. Опуская в
дальнейшем везде временной множитель e~luJt, воспользуемся для определения
отличных от нуля компонент поля волновым уравнением (2.119) для Е
и уравнением Максвелла (2.91). Первое из них позволяет определить Ez,
а второе — выразить Нг и На через Ez:
т я 1 dEz и 1 dEz
ikr да ' а гк дг
Вторичное поле Е' = Ez — Eoz, вызванное наличием цилиндра,
удовлетворяет уравнению
Если положить Е' = Д(г)Ф(а) и разделить переменные в уравнении (2), то
получим
(3) R'^ + lR'm+(k*-^)Rm = 0,
(4) Ф^ + т2Фт = 0.
Через га2 обозначен параметр разделения. Общее решение уравнения (2)
запишется в виде суммы по всем допустимым значениям га:
(5) E'{r,a) = Y,^rn{a)Rrn{r).
12.5. Ответы и решения
517
Чтобы записать решение уравнения Бесселя (3) сразу в удобной для
нас форме, обратимся к граничному условию г —> оо. Поскольку Е'
описывает вторичное поле, создаваемое наводимыми на цилиндре токами, то
при г —> оо оно будет иметь вид расходящихся цилиндрических волн. Это
означает, что Е' должно быть в этой области функцией вида
(6) E' = g,f{a)^.
у/Г
Условие (6) будет удовлетворено, если в качестве решения
уравнения (3) выбрать функцию Ханкеля Нш (кг) (см. (1.160)), которая при
больших г имеет вид
Н£>(кг) = \[^е'(кг-тп/2-п/4) (кг » 1).
Второе линейно независимое решение будет содержать член вида
(const/у/г)е~гкг, описывающий сходящуюся цилиндрическую волну,
которой в условиях нашей задачи быть не может. Поэтому решение
уравнения (3) запишем в виде Rm(r) = Hm (кг). Уравнение (4) имеет решение
<f>m(a) = Ameima + Bme-ima.
Так как при изменении а на 2п поле не может измениться, число га должно
быть целым. Если считать, что га принимает и отрицательные значения,
то в выражении для Фт(а) достаточно оставить только один член,
например, егпга. Окончательно Е'(г, а) примет вид
оо
(7) Е'(г,а)=ё0 J2 AmH^(kr)eima;
771= — ОО
на больших расстояниях (7) переходит в (6), причем
/(а) = у^к^2Атехр
• (^ л га7Г 7Г \
2
Коэффициенты Аш ряда (7) нужно определить из граничного условия
на поверхности цилиндра. Поскольку он считается идеально проводящим,
то
(8) Е' + £0 = 0 при г = а
518
Глава 12
или
оо
(9) exp(ifcacosa)+ ^ AmH^\ka)eiTna = 0.
т= — оо
Пользуясь ортогональностью функций егта, получим
2тг
/ exp[i(fcacosa - ra'a)] da + 27гЛт/H^J(ka) = О,
о
откуда с помощью (1.150) находим
(Ю) Лт = ^М.
Полное электрическое поле, таким образом, равно
im 7 (ко)
E(r, a) = Sexp(ikr cos a) - S0 Y ™ 'H^(kr)eima.
m H£\ka)
Компоненты магнитного поля определяются по формулам (1):
НТ = -<?0sinaexp(ifcrcosa) - g0T l—M^- ЩМе^
f Н&\ка) кг
im_1Jm(M dH&\kr)
На = —So cos a exp(ikr cos a) + So /J r-
.гтпос
н£\ка) d(kr)
Вторичное электрическое поле поперечно во всем пространстве;
вторичное магнитное поле становится поперечным на большом расстоянии от
цилиндра, при кг > 1 (волновая зона), когда продольная составляющая Нг
исчезает вследствие наличия лишнего множителя кг в знаменателе.
Поверхностная плотность тока определяется из граничного условия
для касательной составляющей Н:
г{а) = iz(a) = ^На(а,а).
12.5. Ответы и решения
519
Полный ток:
J = -
-сас?о
J\(ka) —
J0(ka)H[1){ka)
Н{01](ка)
12.59. В рассматриваемом случае поле двумерно. Поэтому в общей
формуле dxTs = dl/^o (12.37) под dl нужно понимать интенсивность
вторичных волн внутри угла da, отнесенную к единице длины цилиндра:
dl = jrda.
Эффективное дифференциальное сечение рассеяния будет иметь
размерность длины. Пользуясь результатами задачи 12.58*, найдем
das = \f(a)\2da,
где
(1)
/И
D
iJm(ka)
Я,
(1)
■ехр
г (та
ттг 7г
!)
При произвольных ка формула (1) весьма сложна; она существенно
упрощается, если ка «С 1. В этом случае в бесконечной сумме для /(а) достаточно
учесть один член с га = 0, что дает изотропное распределение вторичного
излучения:
(2)
das =
-к da
•da.
2к\п\ка) 41n2(fca)
Полное сечение получится интегрированием (1) по da.
Воспользовавшись ортогональностью функций егша, получим
(3) ,. = | £
тп= — о
При ка «С 1 (3) переходит в
Jm(ka)
Н£\ка)
(Уз =
ТТЛ
21n2(fca)
520
Глава 12
12.60.
Hz
Er
Ea
— <уС0
•US)
•US)
exp(ikrcosa)- jr im-^^-H£>(kr)eima
m= — oo -"m \kCL)
smaexp(ikrcosa) + -±- f^ i™™^™^ H£\kr)eima
i= — oo -"m {rCCL)
COS
aexp(ifcrcosa) + ]T im+1 J™^ Н£>'(kr)e
m= —oo -"m \rCCL)
где a отсчитывается от направления к, а ось цилиндрической системы
координат совпадает с осью цилиндра.
das{a) = о^ а(1 - 2cosa)2da, as = ^тг2/с3а4.
о 4
12.61. dcr^ = cos2 (f da\\ + sin2 <p da±, du"s — х(^ац + da±).
12.62. Неполяризованную волну рассматриваем как совокупность
двух некогерентных компонент одинаковой интенсивности, у одной из
которых вектор Е направлен вдоль оси цилиндра, а у другой —
перпендикулярно оси. Сечения рассеяния первой и второй компонент получены в
задачах 12.59 и 12.60*. Степень деполяризации р определяется отношением
интенсивностей рассеянных волн (меньшей и большей):
р=^±_ = I(fca)4ln2(fca)(1 _ 2cosa)2.
аа\\ 4
Так как (ка) «С 1, то р очень мало, т. е. рассеянные волны почти полностью
поляризованы при любом угле рассеяния; при cos a = ^ т. е. при a = 60°,
р обращается в нуль.
12.63.
Hz = Жо
p(zfcrcosa)-f > гш — — Н£>(кг)е
%Н£'(ка)-Н£' {ка)
12.5. Ответы и решения
521
где £ — поверхностный импеданс металла;
Ha^Hr = 0, E=j- rot H.
12.64.
«-!*££
v у — j у
iQ-Hm klm,
где £' — вещественная часть поверхностного импеданса. Цилиндрические
функции Jm, Ym и Hm (см. раздел 1.3) и их производные берутся в
точке ка.
Сечение поглощения:
а
*. = ? = 2™<Т
umLm ит1тп
iQHm -"m
При fca «С 1, т. е. при Л ^> а, поле в окрестности цилиндра является
квазистационарным (проводящий цилиндр в продольном
квазистационарном магнитном поле, см. задачу 10.30). Поэтому, выразив С,' через
проводимость а ^> и с помощью (11.65) и (12.13), получим для Q выражение
Q
которое совпадает с найденным в задаче 10.32 для случая сильного скин-
эффекта, если в нем выразить Q через магнитное поле.
12.65. При г > а:
Ez = Sq
m= —oo
при г < а:
оо
exp(iAxcosa)+
^J'm{ka)Jm{k'a) - Jm{ka)J'm{k'a)
r(i)
H^{ka)J'm{k'a)-^H^ (ka)Jm(k'a)
(i)'/
■H£(kr)e
г(Ч
J'm{k'a)H^{ka) - J'm{k'a)H^ (ka)
(i)'/
И1)
JUk'a)H^>(ka) - ^Jm(k'a)H^\ka)
Wi
Jm{k'ry-
522
Глава 12
Здесь (§о — амплитуда падающей волны, £ = у/[л/е9 к = и /с, к' = ujy/eji/c,
остальные компоненты Е равны нулю.
Поле Е вычисляется по формуле
ILUfl
Рис. 12.15
12.66. Дипольные моменты шара запишутся
в виде
р = 0еЕое-^, т = 0тНое-ш,
где Ре и (3m — электрическая и магнитная
поляризуемости шара, которые в общем случае являются
комплексными величинами.
По формулам (5.28), (5.29), (5.37) найдем
компоненты векторов Е и Н рассеянной волны:
u>2E0i
Н* = Ев =
с2 г
- (ре cos в + рт) cos а,
Не = -Еа
и2Е0
с2 г
{Ре +/?m)sina.
Углы в и а, характеризующие направление рассеяния, указаны на рис. 12.15.
Дифференциальное сечение рассеяния определяется по формуле (12.37):
dUsf'a) = ^ [|/?e|2(cos2 0cos2 а + sin2 «)+
dtt
+ |/?m|2(cos20sin2a + cos2a) + (0е0^ +%0т)совв].
12.67.
da,{в) = i [das(6, a) + das (fl, а + тг/2)] =
= ^ [(\0е\2 + |/?т|2)(1 + cos2 в) + 2((Зе(3*т + (3*е(Зт)cos0] сШ,
crs =
8пш4
Зс4
(\0е\2 + \0т\2).
12.5. Ответы и решения
523
Чтобы определить степень деполяризации рассеянного излучения,
нужно найти главные направления тензора поляризации. В рассматриваемой
задаче это легко сделать из соображений симметрии. При фиксированных к
и п (см. рис. 12.15) выделенными направлениями для Е$ будут
направление нормали к плоскости рассеяния и направление в плоскости рассеяния,
перпендикулярное к.
Этим направлениям поляризации соответствуют дифференциальные
сечения рассеяния das(6,7г/2) и das(6,0), полученные при решении
предыдущей задачи. Степень деполяризации р определяется как отношение
меньшей из этих величин к большей.
ЕСЛИ \/Зт\ < |/?с|,ТО
daa(0,0)
das(e, тг /2)
Pm + Ре COS в
Prn COS в + Ре
12.68. Для диэлектрического шара:
, и4а6 fe-l\2n , 2/лло 8тги4а6 {е-1\2 2й
sd = ~2^r\£+2) (1 + cos в)№, (Jsd= 3c4 \^2) 5 Pd = cosz6.
Для идеально проводящего шара:
, и;4а6ггг/1 , 2лч о лип 107ги;4а6 /l-2cos0\2
"8^^ ^ ^~ ° ' ^с- Зс4 , Рс= [ 2-cose) '
Из формулы для dasd видно, что сечение рассеяния
диэлектрическим шаром симметрично относительно направлений вперед (в = 0)
и назад (в =-7г). Отношение dasd(0)/dasd(7r) = 1. Сечение
рассеяния проводящим шаром значительно более анизотропно и
несимметрично: dcrsc(0)/d(jsc(7r) = ^. Свет, рассеянный диэлектрическим шаром под
углом в = 7г/2, будет полностью поляризованным; при рассеянии
идеально проводящим шаром полная поляризация достигается при cos# = 1/2,
6> = 7г/3 = 60°.
Применение полученных формул в случае диэлектрического шара
законно, если можно пренебречь эффектами, связанными с конечной
скоростью распространения электромагнитной волны внутри шара, т. е. если
длина волны внутри шара велика по сравнению с его радиусом. В случае
идеально проводящего шара, распространения волны внутри шара не
происходит, и достаточно, чтобы выполнялось условие а «С А, где Л — длина
волны в веществе, окружающем шар.
524
Глава 12
12.69. Полную напряженность электрического поля в некоторой точке
пространства можно представить в виде
(1) E(r,t) = Eo(r,t) + E'(r,t).
Здесь
Eo(r, t) = So exp[i(k • г - ut)\
— поле падающей волны, E'(r,t) — поле рассеянного (вторичного)
излучения.
В каждой точке внутри тела (которое может быть неоднородным)
вектор поляризации P(r, t) пропорционален Е, а приближенно — 80, так как
рассеянное поле много меньше падающего (Ef «С <§о) при (е — 1)/47г «С I.12
Рассеянное поле Е' может быть выражено через электрический вектор
Герца
(2) Z(r, t)= f Р(д^ ехр[г(А:Д - шЬ)) dV
(см. (5.40)-(5.43)) формулой
(3)
Е' = rot rot Z - 4ттР = ^^ rot rot S0 r* f exp[i(k - kn) • r'] dV.
Разность к — kn представляет собою изменение волнового вектора при
рассеянии; обозначим ее через q (q = 2fcsin(0/2), в — угол рассеяния). При
вычислении интеграла выберем полярную ось вдоль q, тогда
(4) / exp[i(q • r')]ru dr' dCt = An - ^ —.
J q3
При вычислении двойного вихря в (3) оставляем только члены,
пропорциональные 1/г: '\
rotrot<?0—i7—~ = к 1п х Со х п)}—^—*-.
Окончательно, для рассеянного поля Е' получим
г2 3
(5) Е' = — — [п х Со х n)]if{qa) ,
12Метод, применяемый при решении этой задачи, аналогичен методу Борна в квантовой
механике. Последний широко применяется при решении задач о рассеянии частиц квантово-
механическими системами.
12.5. Ответы и решения
525
где
3(sing - qa cos qa)
~Ы3 "V M
aysmq-qacosqa ■ п
<^а) = ТГ^з = 3А/Т-Тз J3/2M-
Сравним выражение (5) с тем, которое имеет место при малых а (см.
задачу 12.68). Переходя в (5) к пределу qa «С 1, получим
, ,2„3 с — 1 ^ifcr
(6) Д = / 3 г [wX(*oXn)l'
так как <p(qa) « 1 при да «С 1.
С другой стороны, вычисляя Е' по формуле
Е'= п х (р х п)^-, где р=^-а3<?0
— статический дипольный момент шара, найдем
, ,2Л3 р _ 1 ^zfcr
(б') Е' = "J ^+li-nx(g0xn).
В (6') вместо множителя 1/3 стоит 1/(е+2). Однако противоречия между (6)
и (6') нет, так как (6) справедливо с точностью до 1/(е - 1).
Дифференциальное сечения рассеяния
, ч das(6,a) и>4а6(е - I)2 9/ w 9 9 9 лч
(7) ^ ^ = |^-^2 (да) (sin2a + cos2acos2в)
(углы биа обозначены на рис. 12.15).
Это сечение отличается от сечения рассеяния малой диэлектрической
сферой (см. ответ к задаче 12.68) заменой в знаменателе (е + 2)2 на 9
и множителем tp2(qa), учитывающим интерференцию вторичных волн от
различных элементов сферы. Поэтому степень деполяризации рассеянного
света будет такой же, как в случае малой диэлектрической сферы:
(8) р = cos2 в.
Усреднение по поляризациям дает
d<js(6) и,*а*(е -1)2 2 2
-аг= i8c4 y(ga)(l + cos 0).
526
Глава 12
Рассмотрим еще случай очень большой сферы, т. е. ка ^> 1. Если углы
таковы, что и qa ^> 1, то ip(qa) —> 0, и сечение в этой области углов
очень мало. Из явного вида q следует, что qa ^> 1 эквивалентно
условию в > 1/fca; таким образом, если шар велик, то рассеяние происходит
вперед в интервал углов в < 1/fca.
12.70. При ка ^> 1 функция c^2(aa), входящая в выражение
дифференциального сечения (см. предыдущую задачу), заметно отлична от нуля
только в узком интервале углов в ^ —. В этом интервале множитель (1 +
+ cos2 в) может считаться постоянным и равным 2. Поэтому имеем:
2тги4а6(е-1)2 7 2/ ч
as = ^ — / ip2 (qa) sin в d6.
о
Введем новую переменную у = qa = 2fcasin0/2. В предельном
случае ка > 1, получим окончательно:
тги;2а4(5-1)2
Gs = ш2 •
Для малого шара (ка « 1), заменяя (см. ответ к задаче 12.68) е + 2
на 3, имеем:
8тги;4а6(£-1)2
crs =
27с4
Как видно из этих результатов, сечения по-разному зависят от частоты (~ и4
и ~ и2) и от размера шара (~ а6 и ~ а4).
12.71. Решаем задачу в сферических координатах. Используем
представление поля через векторы Герца (см. формулы (5.40), (5.46)). Для
рассматриваемого общего случая следует ввести оба вектора — электрический
и магнитный, которые, согласно (5.42) и (5.45), должны удовлетворять в
области г > а однородным волновым уравнениям. Выразим их через
скалярные функции u(r, $, a), v(r, $, a):
Z^=ur + VX, х = АГ2|-(гг/);
(1) ОГ
Z(m)=w + VV>, i> = k-2-^-(rv), k = %.
or '-
12.5. Ответы и решения
527
Относительно сложная связь этих функций (потенциалов Дебая13) с
векторами Герца выбрана таким образом, чтобы и и v удовлетворяли волновым
уравнениям.
Записав напряженности поля через векторы Герца с помощью формул
(5.42) и (5.45),
(2)
Е = fc2Z(e)+V(V-Z(e))+ifcVxZ(m) = Vx[VxZ(e)]+z'fcVxZ(m),
Н = Vx[VxZ(m)] - ifcVxZ(e),
убеждаемся в том, что электрический вектор Z^ порождает поле с Ег ф О
(Е'-волна), а магнитный вектор Z^ — поле с Нг ф О (Я-волна); заметим,
что в рассматриваемой задаче В = Н.
Покажем теперь, что векторы Герца будут удовлетворять
однородным волновым уравнениям, если таким же уравнениям подчинить функции
u(r,$,а), v(r, $,a):
(3) Au + k2u = 0, Av + fc2v = 0.
Эти уравнения, записанные для монохроматических полей и не
содержащие производных по времени, называют также уравнениями Гельмголь-
ца. Имеем из (1)
(4) (Д + fc2)Z(e) = (Д + к2)иг + У(Д + к2)Х.
Применив оператор Д к вектору иг, будем иметь
(5) А(иг) = ( й + Й + Й ) и(хе* + УеУ + ze^ = rAu + 2Vu'
Далее записываем в сферических координатах
«» *=&+?£-£• *-*-(—£
где -г — угловая часть оператора Лапласа, используем волновое уравнение
(3) для и и находим
(7, д(г§)-*>(* + ,£
13Дебай Петер (1884-1966) — европейский ученый, физик и химик, Нобелевский лауреат.
528
Глава 12
В итоге получаем
(8)
Дх + £2Х + 2гг=0
и с помощью (4)-(8) убеждаемся, что волновое уравнение для Z^
выполняется:
(9)
(Д + fc2)Z(e) = r(Au + к2и) + V(AX + k2X + 2и) = 0.
Аналогичный результат получается и для Z^m\
Напряженности поля выражаются через функции и, v с помощью
уравнений (2), (3):
(10) Е = k2(ur + Vx) + ikVv x r, if = k2(vr + V^) - zfcVu x r.
В проекциях на сферические оси получим
(и)
Ег
д2{т)
дг2
+ к2
ги,
Нг
d2{rv)
дг2
+ к2
ГУ,
= ld2{ru) _jk_dv_
* г дтдд ^ sintfda'
= 1 d2{rv) jk_du
* г дгдд sintfda'
Еа
1 °2(ru) a udv
rsintf дгда
гк
д&
HQ
1 d2M , ikdu
rsiwd дгда дд'
Заметим, что корректность представления (11) компонент поля через
скалярные функции i£, v (потенциалы Дебая) легко проверить
непосредственно, путем подстановки (11) в уравнения Максвелла V хЕ = ikH, V х Н =
= —ikE, записанные в проекциях на сферические орты. Четыре из шести
уравнений обратятся в тождества, а два уравнения примут форму (3).
Следующий шаг — построение общего решения уравнения Гель-
мгольца (3). Ищем частные решения методом разделения переменных:
и(г, д,а) = Щг)@('в)Ф(а). Использовав явный вид оператора Лапласа в
сферических координатах (1.137), получим три обыкновенных
дифференциальных уравнения
(12)
da1 dxz dx
x m2
L i-H
= 0,
6 = 0,
12.5. Ответы и решения
529
где х = costf, а га2, Л — постоянные, введенные при разделении
переменных. Параметр га = 0, ±1... должен быть действительным и
целочисленным, чтобы функция Ф(а) была однозначной, т.е. принимала исходное
значение при замене а на а + 27г. Общее решение для Ф имеет вид
(13) Ф(а) = Ъ\ cos та + Ъ2 sin гаа,
где 61,2 — произвольные постоянные.
Уравнение для О имеет вид (1.190), и его решение, ограниченное
в области —1 ^ х ^ 1, существует только при Л = /(/ + 1), / =
= 0,1,2..., |га| ^ /. Решением при этих условиях является
присоединенный полином Лежандра (1.189):
(и) е1т(х) = рг(х).
Уравнение для R с помощью подстановок д = кг, R = Q~l^2Q приводится
к уравнению Бесселя (1.151). Поэтому общее решение можно записать через
сферические функции Бесселя (1.171):
(15) Щ(кг) = alZ\l\kr) + a2zl2\kr).
Здесь а^2 — постоянные, a z\ ' \kr) — две произвольные линейно
независимые сферические функции Бесселя. Найденные решения обыкновенных
уравнений (12) позволяют записать общее решения уравнения Гельмголь-
ца (3):
(16)
и(г, д, а) = ^Г uim(r, i9, a),
/,771
u/m(r,tf,a) = {anz\l\kr) + a2izl2\kr))Plm(x)(biTn cos та + b27nsmma).
Такой же вид имеет общее решение для v. Эти решения можно было бы
записать и через комплексные сферические функции Лежандра (1.192).
Построим функции и0, v°, позволяющие описать падающую плоскую
волну
(17) E°(r) = exeikrcos*, H°{r) = eyeikrcos*
(полагаем амплитуду Е0 = 1). Проецируя поля на орт ег, находим
(18) ЕТ = sintfcosae*fcrcos*, Hr = cos 0 cos a eikr cos *.
530
Глава 12
Далее записываем
(19) Er = i^saAeibrcos#
кг ov
и пользуемся разложением плоской волны по полиномам Лежандра (см.
задачу 1.138)
* = ««£«£*(»+ 1ШИ*5§=2-
(20)
= -^^il(2l + l)ji(kr)P?(casti)cosa,
1=1
где ji(kr) — сферическая функция Бесселя (1.171). Производная от
полинома Лежандра по углу преобразована с помощью формулы (1.189) в
присоединенный полином Лежандра. Суммирование начинается с / = 1, так как
Ро1 = 0.
Исходя из разложения (20), ищем и0 в виде ряда
(21) и0 = ^aujtik^Pi1 (costf) cosa,
i=i
выбрав в (16) Ь\т = (5mi, Ь2т = ^2/ = 0, z\l) = ji(kr). Уравнение для Ег
из системы (11) с помощью уравнения Гельмгольца перепишем в виде
(22) £r = -i?u(r,0,a)
и, подставив в качестве и ряд (21), получим
оо
(23) EQr = -^2aul(l + l)ji(kr)P^(cos^)cosa,
1=1
где использовано уравнение 12Р* = 1(1 + 1)Р/. Теперь сравнение (23) с (20)
позволяет найти коэффициенты ац и записать разложение для и0:
сю -/-Wo/ . U
(24) и0 = ^Е щ+1) 'MkrWicobWcoea.
12.5. Ответы и решения
531
Аналогичный расчет дает сходное выражение для второго потенциала Де-
бая:
(25) v° = ig i(; + ^} JjKfcr)^(cos^)sina.
Представим потенциалы Дебая полного поля в присутствии
рассеивающего тела в виде сумм и = и0 + и8, v = v° + vs, где индексом 5 обозначены
потенциалы, которые описывают поле рассеянных волн. Рассеянные волны
на больших расстояниях от шара должны иметь вид расходящихся
сферических волн (принцип излучения). Это требование приводит к граничному
условию
(26) и8 ос \eikr, vs ос \eikr при кг > I.
Граничное условие на поверхности идеально проводящего шара требует
обращения в нуль тангенциальных компонент электрического поля: Е# =
= Еа = О при г = а. Согласно (11), оно будет выполнено, если подчинить
полные потенциалы Дебая условиям
(27) v(a,0,a) =0, |Мг,*,а))|г=в = 0.
На основе общего решения (16) и результатов (24), (25) записываем
полные потенциалы Дебая в форме, удовлетворяющей условию (26) для
рассеянной волны:
и = fc^coeaESi ^£^Ыкг) +alh\1)(kr)]Pll(coS1)),
(28) /i(+)
v = A-^inaESi *'~^( +1)0 [jl{kr) + hfri^H]^1 (cos*?),
где a/, bi — неизвестные коэффициенты, которые определяются из
граничных условий (27):
,00ч {kaji(ka)Y jijka)
(29) a/ = — , bi = — .
(kah{l1\ka)Y к\г\ка)
Здесь h\ \kr) — сферическая функция Ханкеля первого рода (1.171),
обладающая нужной асимптотикой (1.173); штрихом обозначена производная
532
Глава 12
по аргументу ка. Как следует из (1.54), (1.71), h\ ' = ji + гуи где у\ —
сферическая функция Бесселя второго рода (1.153). Поэтому \а\\ ^ 1, |Ь/| ^ 1,
и коэффициенты разложения можно выразить через фазовые сдвиги:
сц = гег5'1 sin<J|, k = ielSl sin Si,
где tgd, = T7 77-TT7' *бй = ~7ITT' ~o ^ ^'^ ^ o'
(kayi(ka)y yt(ka) 2 2
Результаты (28), (29) позволяют по формулам (11) вычислить векторы
напряженности электрического и магнитного полей во всем пространстве.
Для вычисления сечения рассеяния нужно знать напряженности поля на
больших расстояниях от рассеивателя. С помощью (1.173) получим
потенциалы Дебая рассеянной волны в волновой зоне:
(31) ti' = t#0,a)V-> V=vem(0,a)?
Г
где
оо
(32)
Напряженности поля записываются в виде
Ист* ъкт*
(33) E = exeikz+F(ti,a)^r, Н = exelkz + еГ х F{&,a)^-.
Здесь векторная амплитуда рассеянной волны
,'. „ ., /dui I dvi.\ ., / i dui dvi.
\ дд sin д да J \ sin д да дд
называется амплитудой рассеяния (см. условие задачи 12.77*).
Дифференциальное сечение рассеяния выражается через амплитуду
рассеяния. С помощью формул (12.37), (12.38) находим
(34) das(ti,a) = F-F*dn = \F{ti,a)\2dn.
12.5. Ответы и решения
533
Полное сечение рассеяния вычисляется путем интегрирования (34) по
всему телесному углу. Можно, однако, избежать этой утомительной работы,
если использовать оптическую теорему (см. задачу 12.77*). В данном
случае поглощение отсутствует, и полное сечение всех упругих и неупругих
процессов совпадает с сечением рассеяния:
(35) as = at = у Im (ех • F(0, a)),
где в аргументе амплитуды рассеяния указаны углы, определяющие
направление волнового вектора падающей волны, а ех — ее векторная амплитуда.
Использовав формулу (33), получим
(36)
*-™"М£+-ь£Ь«~-*(<ь£-£)
При переходе к пределу д —> О пользуемся формулами (1.189), (1.186):
sin а.
р?
sint?
(37)
dP[
dti
= p((x)\x^ = h(i + i),
ti-^0
= 1(1+ 1)-P[(x)\x^l = ± 1(1 + 1).
Окончательное выражение:
oo oo
(38) as = g 5^(21 + l)(sin2*f + sin2 St) = g £(2Z + l)(|af|2 + |bf|2).
12.72. При записи решения внутри шара нужно использовать
ограниченные при г —> О функции jifar), где к^ = Шу/ё^/с, e<i —
диэлектрическая проницаемость внутри шара. Решение для внешней области будет
содержать функции ji(k\r), h\ (fciK), где к\ = u)y/ei/c. В формулы (11)
войдут Е\ (62), их расположение легко устанавливается с помощью
уравнений Максвелла. Вместо граничного условия (27) предыдущей задачи нужно
потребовать, чтобы на поверхности шара были непрерывны касательные
компоненты Е#, Я#, Еа, На. Это приведет к непрерывности величин
(1) ещ v, -тг(ги), -Q-(rv) при г = а.
534
Глава 12
Приведем коэффициенты, определяющие рассеянную волну во внешней
области:
e2Ji(k2a)(kiaji(kia)Y - €iji(kia)(k2aji(k2a)y
сц =
(2)
bi =
eih\l\kia)(k2aji(k2a)y - e2ji(k2a)(kiah\1\kia)y
ji(k2a)(kiaji(kia))f - ji(kia)(k2aji(k2a))'
h\l\kia)(k2aji(k2a)Y - ji(k2a)(kiah\l\kia))'
12.73. Так же, как и в задаче 12.66*, нужно рассмотреть излучение
индуцированных электрического р и магнитного т моментов. Выберем
систему координат, как показано на рис. 12.16. Вектор к первичной волны
лежит в плоскости xz. Рассмотрим два случая поляризации падающей
волны: а) вектор Ео лежит в плоскости падения xz; б) вектор Ео нормален к
плоскости падения.
В случае а) компонента внешнего электрического поля, продольная
относительно плоскости диска: £0|| = —Е0х = E0cosa; поперечная
компонента: Е0± = -Eoz = E0sma. Электрический момент р в
рассматриваемом приближении (а «С А) можно вычислить как статический момент
проводящего диска в однородном электрическом поле.
Согласно результатам задач 8.38, 8.40, продольная поляризуемость
диска А»|| — 4а3/37г, а поперечная поляризуемость (Зе1_ = 0. Поэтому
4а3
Рх = 0е\\Еох = --^E0cosa, py=pz = 0.
Магнитное поле имеет только продольную составляющую. Но
продольная магнитная поляризуемость диска равна нулю (см. задачу 10.41),
поэтому т = 0.
Дифференциальное сечение рассеяния
(1) das = ШУ* cos2 a(l - sin2 д cos2 ip) dtt.
Полное сечение рассеяния
(2) as = ——г- cos a.
128a6u4
27тгс4
12.5. Ответы и решения
535
В случае б) имеем
(4)
ру = ^-£0, px=Pz=0, mz = ^-E0sma, mx = ту = 0;
(3) das
Зтг
16а6и4
9тг2с4
Зтг
27тгс
1 + sin2 д (- sin2 а — sin2 <р 1 Ч- sin i9 sin а cos у?
6u;4 Л , 1 • 2 \
dfi,
Для неполяризованной волны, с помощью (1), (2) и (3) находим
das = ^54 [l + sin2 i?(l-7 sin2 a - sin2 a cos2 <p) +
9tHc
+ cos2 a + sin д sin a cos <p
dfi,
crs =
128a6u4
277ГС4
(l-|sina).
12.74.
dcrs =
a4/Aj4(£ - I)-
18cV
где д — угол рассеяния.
(l+cos2tf)dft,
(Уз =
87ra*hW{e - l)2
27c4£2
12.75. Выберем координатную систему, как показано на рис. 12.17.
Вектор к первичной волны лежит в плоскости xz. Цилиндр
аппроксимируем вытянутым эллипсоидом вращения с полуосями а и h. Как следует
из решений задач 8.38, 8.39, 10.41, продольная электрическая
поляризуемость сильно вытянутого эллипсоида вращения по порядку величины в h/a
раз больше его поперечных электрической и магнитной поляризуемостей.
Поэтому сечение рассеяния существенно зависит от того, имеется ли
продольная составляющая электрического поля в падающей волне.
Если эта составляющая имеет заметную величину, то вторичное
излучение обусловлено z-компонентой электрического дипольного момента.
Остальными компонентами электрического момента и магнитным
моментом можно пренебречь. Выбирая £?0 в плоскости xz, получим
das = ^ sin2 a sin21? dfi,
9c4\n2(h/a)
S7TLJ4h6 .2 л
- sin a.
27c4 In2(h/a)
536
Глава 12
Рис. 12.16
Рис. 12.17
Если продольная компонента Е$ равна нулю, рассеяние обусловлено
лоперечнои составляющей электрического момента и магнитным
моментом, имеющими одинаковый порядок величины. В этом случае
das = a*hy4 [(l + 2пх sin a)2 + 3 cos2 а+
9с
+ п2(4 - sin2 а) + 8n2 cos а + 2nxn2 sin 2а] d£2,
40тга4/г2и;4
сг.« =
ч
1 + | cos2 a),
27с4 V^ ' 5
где щ (i = x,y,z) — компоненты единичного вектора, указывающего
направление рассеяния.
Сечения рассеяния неполяризованной волны:
4/i6
■ sin2 a sin21
4™4ft6 sin2 a.
d(7s _ _
dfi ~ 18c4ln2(/i/a) "" """ "' "* " 27c4ln2(/i/a)
12.76. Вектор £?о поляризован в плоскости xz (рис. 12.17):
d(7.,n =
4u4a4h2re-l\2
9c
RSl) >-W«+
+ j(£ + l)2(l -n2)sin2a- ±(£ + l)nxn2sin2a
dft.
12.5. Ответы и решения
537
Вектор Е0 поляризован нормально к плоскости xz:
dasj_ = ——-— (1 - sin d sin ф) d\l.
9c4 W + l/ v ^J
12.77. Исходим из соотношения
(1) aa = -~KRe [{ExH*)-nr2(m,
Щ J
где n = г/г, аа — сечение поглощения и интегрирование ведется по
поверхности сферы большого радиуса, окружающей рассеиватель.
Формула (1) выражает тот факт, что сечение поглощения пропорционально потоку
энергии через поверхность сферы, направленному к центру.
Подставляя в (1) выражение для Е из условия задачи и
Н = Ео{{щ х е)егкг + [пх F(n)]^}
и используя условие поперечности п • F(n) = О, получим:
-^ Re(E х Я*) • п = (по • п) + Щ- +
(2) + |[(е • f) + (по • п)(е • F) - (е • п)(по • F)]^^-+
+ ±[(е* • f *) + (no • n)(e* • F") - (e* • n)(no • F*)]^Pl
При интегрировании по углам первое слагаемое даст нуль, а второе —
полное сечение рассеяния as. Интегралы от остальных слагаемых могут
быть преобразованы с помощью интегрирования по частям:
2тг
\J{no-n){e-F)eik^r2<m = l.Jd^{(^-n)(e-F)eik^-c^X==l-
О
7Г
_ feikr(i-cos<»_d_^( . n)(e. F)dco8A.
J a cos и J
538
Глава 12
Последний интеграл при повторном интегрировании по частям дает члены,
пропорциональные 1/г, и поэтому может быть отброшен. Кроме того,
нужно отбросить член с осциллирующим множителем е'2гкг, так как он дает
нулевой вклад в полный поток энергии. Чтобы убедиться в этом, учтем, что
представление о строго монохроматической волне является идеализацией.
В действительности, всякая реальная «монохроматическая» волна является
суперпозицией гармоник, частоты которых лежат в более или менее узком
интервале Да;. При усреднении множителя е2&г по любому такому
интервалу получим нуль, так как г очень велико. Поэтому
\ /(тю • п)(е • F)eifc<r-*>r2 dSl = ^f[e • F(no)].
Аналогично вычисляются интегралы от других слагаемых. Члены,
содержащие множители (еп)и(е*п), при, интегрировании не дадут вклада,
вследствие того, что (е • щ) = 0. Подставляя вычисленные интегралы в (1),
получим окончательно
(3) at = ^Im[e-F(no)].
Оптическая теорема (3) допускает простую физическую
интерпретацию: полное сечение дает меру ослабления первичной волны. Это
ослабление является результатом интерференции падающей волны с той частью
рассеянной волны, которая имеет ту же поляризацию и направление
распространения, что и падающая волна. Поэтому полное сечение оказывается
связанным с амплитудой рассеяния «вперед».
12.78. Рассеянная волна создается электрическим и магнитным ди-
польными моментами, которые индуцируются падающей волной.
Амплитуда рассеяния F(n) (см. предыдущую задачу) определяется по
формулам раздела 5.2 (излучение электрического и магнитного диполей).
Окончательный результат:
°а = **?№ +Ю-
12.79. аа = 6тгЬ2С'.
12.80. Сила направлена вдоль волнового вектора падающей волны
и имеет величину
т-%
W(i-~*>№>)4
12.5. Ответы и решения
539
где 7о — средняя плотность потока энергии в падающей волне и
интегрирование производится по всему телесному углу.
12.81. Для идеально проводящего шара:
для диэлектрического шара:
ли
зс
p_a6w4/£-1'\2F2
12.82. Применяем дифракционную формулу (12.52). В качестве
поверхности интегрирования выберем плоскость, в которой находится экран.
Тогда на поверхности интегрирования
и = А——, dSn = 27rrdrcos(Ri,z) = 27г-=г- dr,
Hi R\
где А = const. После подстановки этих выражений в (12.52) переходим
к новой переменной интегрирования р = R + R\:
оо оо
Г ikiR+Rx) Г ikp
(1) uP(z) = ~ikAZl J -щ-rdr = -ikAz, J -^ dp,
a p0
где
Po
= y/a? + z2 + y/a2 + zl
Интегрированием по частям можно представить (1) в виде ряда по
возрастающим отрицательным степеням кр; условие А«а позволяет
отбросить все члены ряда, кроме первого. Это дает
z eiky/a2 + z2
uP(z)=u0 jgjj ,
где щ = Aexp(iky/a2 + z\)j ^/a2 + z\ — амплитуда падающей волны на
границе экрана.
Переходя к интенсивности / ~ \ир\2, имеем
540
Глава 12
В точке, симметричной относительно экрана (z\ = z):
«*) = т *
2
4 a2 + z2'
Таким образом, в симметричной точке за экраном, не слишком близкой
к нему, будет светлое пятно.
Этот результат, противоречащий представлению о прямолинейном
ходе световых лучей, был теоретически предсказан Пуассоном (1818 г.),
который выдвигал его в качестве возражения против теории дифракции
Френеля и волновой теории света в целом. Однако эксперименты, выполненные
Араго и Френелем, подтверждали наличие пятна, появляющегося
вследствие симметрии экрана. Волны, огибающие его края, приходят в среднюю
точку с одинаковыми фазами. Очевидно, таким свойством обладают все
точки, лежащие на средней линии: в этих точках интенсивность света будет
значительно больше, чем в соседних, не лежащих на оси Oz.
12.83. Используя принцип Бабине (см. (12.65)), получим при z =
= z\ > a:
где /о — интенсивность первичной волны на краю отверстия.
12.84. При z > а, / = 4/0 sin2(fca2/4z).
Интенсивность света на средней линии круглой диафрагмы
осциллирует бесконечное число раз, уменьшаясь до нуля при z —> оо. Убывание
интенсивности по оси связано с тем, что параллельный пучок становится
из-за дифракции на отверстии расходящимся и поток энергии через
отверстие с увеличением z распределяется на все большую площадь.
12.85. Пользуясь формулой (12.61) для дифракции Фраунгофера,
находим
dJ = [аМак^-ЬМЬка)]2^
а2
где a — угол дифракции, /о — интенсивность падающего света.
В случае круглого отверстия
па'
где /q ~ 7ra2|i£o|2 — полная интенсивность падающего на отверстие света.
12.5. Ответы и решения
541
12.86. Дифрагированная волна будет описываться функцией
Up =
где к' — к = q, дц и q± — составляющие q в плоскости экрана и в
перпендикулярном направлении.
При интегрировании по плоскости отверстия воспользуемся
полярными координатами с началом в центре отверстия и полярной осью вдоль дц •
Это дает
Up=UoeikR°kcose f_iqi]rc^rdrd^
2mtto J
где через в обозначен угол падения.
С помощью формул (1.150) и рекуррентных соотношений для функций
Бесселя получим
dl = \uP\2Rl dft = /о I d^
ч
где /о ~ |i£o|27ra2cos# — полная интенсивность падающего на отверстие
света.
Считая угол дифракции а (угол между к и к') малым, выразим q\\
через а, угол падения в и азимутальный угол а' между q и плоскостью
падения:
q\\ = кау 1 - sin2 в cos2 a',
J2(каау 1 - sin2 в cos2 a')
dl = Iq —: dil.
7ra2(l - sin 6 cos2 a')
Формула становится несправедливой при скользящем падении (0«7г/2).
12.87. Сечение дифракции на бесконечно длинной щели расходится,
поэтому вычислим сечение, отнесенное к единице длины щели. Используем
формулу (12.59) для дифракции на прямоугольном отверстии:
d£ = lim do _(*hh'2
V кквх ) \г2-оо 212(кву)2 I y
/2—^00 Zt2 \ '» / \ '"«l^X / \ "^ '^~ £il-l\l\\J у )
542
Глава 12
Предел вычисляем с помощью формул (1.217) и (1.207). После
интегрирования по d6y находим
Сечение имеет размерность длины. Отклонения лучей в направлении вдоль
щели не происходит.
sinJVfcbMV b = a + l.
sin кЬвх
sin Nkb6x \
\fN sin кЬвх)
где dE^ — сечение дифракции на одной щели, полученное в
предыдущей задаче, и рассматриваем углы дифракции, удовлетворяющие условию
кЬвх = птг + а, а<1, п — целое число. При таких значениях угла имеем
/оЧ / sin NkbOx \ sin2(Na) n
(3) -— — = Ц—^ « тг(5(а) = tV(5((9x - птг/кЬ).
У } \y/Nsin кЪ0х) Na2 К > kb К x / J
Мы использовали формулу (1.217), считая N > 1. Из (3) следует, что
сечение имеет острые максимумы при вх « птг/kb. Проинтегрировав по углу
с использованием дельта-функции (3), получим вклад такого максимума в
полное сечение дифракции:
(4) Е(»> = N [ d^-U{ex -n,,kb)dex = МЖ^^.
J UVX Kb nZl 7Г
Полное сечение дифракции равно сумме сечений по всем максимумам.
12.89. Применение формулы Кирхгофа в векторной форме (12.49)
позволяет получить следующие выражения для поля излучения:
• I i г. eikR ( s\nkxa\ ( s'mkyb\ .
Е# = На = -ikabE0Z— ——— -т-r- 1(1 + cost?) sin a,
ttR \ kxa ) \ kyb )
■i i r. eikR ( s\nkxa\ ( sinkyb\
Ea = -Щ = -гкаЬЕ0^-=г( y )( f . 1(1 + cos i?) cos a,
7ГR \ kxa J \ kyb J
12.5. Ответы и решения
543
где 'в, а — углы сферической системы координат с полярной осью,
перпендикулярной плоскости отверстия, кх = к sin д cos а, ку = к sin д sin а —
проекции волнового вектора дифрагированной волны.
Угловое распределение излучения:
"-4£(^)'(tt)V-*>'«
где /о — саЬЕ%/2тг — интенсивность, падающей на отверстие волны.
12.90. Если направить оси Ox, Oy, Oz вдоль векторов Ео, Яо и к
соответственно, то поле излучения:
„ „ ika2E0 eikR /Jx(kasintf)\
Я> = Я° = 2~--Д-( fcasini? )(!+«»*)«»«.
ika2E0 eikR /Jl(kasm'd)\. .
4 V sin 17 /
где /о = са2Е%/8 — интенсивность волны, падающей на отверстие.
При tfcl имеем
Этот результат был получен в задаче 12.85 с помощью скалярной
дифракционной формулы.
12.91. Выразим электромагнитное поле через электрический вектор
Герца Z(x, z) по формулам (см. (5.40))
(1) B = Vx[VxZ], H = -ikVxZ.
Падающей волне соответствует Z0 = k~2E0exp(iko * г)- В правую часть
формулы Кирхгофа (12.50) в качестве Z подставим его невозмущенное
значение Zq и получим
1 fl ( AkR AkR\
(2) Z(r) = ^J i [ V(n ' V)Zo ~ Zo(n ' V) V j ^ *
Здесь n • V = -д/dz, R = y/(x - x')2 + z2 — расстояние между dx' и
точкой наблюдения, имеющей радиус-вектор г = (х,0, z). В волновой зоне
544
Глава 12
kR ^> 1, R^> I, поэтому в (2) следует дифференцировать только
экспоненты:
/
л f £>ik(R+sin0ox') / ~\
<3) z^ = -т*] —r— Н° - i)dx-
-i
Далее полагаем в знаменателях R « г, а в показателе экспоненты
Я + sin 00а/ ~ г + (sin0o - sin0)a/, где sin0 = x/r, cos0 = z/r, и после
интегрирования получим
Z = e0Z(r,6), Z(r,6) = -E0^^^(cos60-cose),
X = kl (sin #o - sin0).
Здесь ео — единичный вектор поляризации падающей на экран волны.
При вычислении векторов поля в волновой зоне по формулам (1) опять
следует дифференцировать только экспоненты. В результате получим
(5) Е(г) = -к2ег х [er x eo]Z(r,0).
Если вектор Е0 лежит в плоскости падения, т. е. ео = ех cos0o - ez sin0o,
разложим его по сферическим ортам er = exsin0+e2cos0, ев = excosO-
— ez sin0: ео = е# cos(0 - 0о) + ег sin(0 - 0o). Подставив это разложение
в (5), получим
(6) E(r) = k2Z{r, 0) cos(0 - в0)ев.
Если вектор Ео перпендикулярен плоскости падения, то ео = еу. Из (5)
сразу получим
(7) E{r) = k2Z{r,6)e0.
12.92.
Е = k2Z(r,0,фМ0,ф), Z = -Eofj; ^S1"XS1"C(cos0o-cos0),
X = fc/(sin0o — sin 0 cos ф), С — ka sin 0 sin ф.
Если Ео в плоскости падения, то q = ев (sin 0o sin 0 + cos 0q cos 0 cos ф) -
— еф cos 0o sin ф. Если Ео перпендикулярно плоскости падения, то q =
= ев cos 0 sin ф + е^ cos 0.
12.5. Ответы и решения
545
12.93. См. статью [Низьев (2002)].
12.94.
С
и = — ехр
ik\z +
х2 + у2
2z
С =
Арка2
2тгг
Решение совпадает с точным только вблизи оси Oz при |х|, \у | «С z и z > Л.
12.95.
A(p,z) =
Ло
ч/ОТ
ехр
+ г-
o2L
a2(l+L2) a2{l+L2)
— г arctg L
L =
2z_
ka2'
Диаметр пучка нарастает по закону a2(z) = a2(l + L2), а амплитуда на оси
пучка (р = 0) убывает как (1 + L2)"1/2. При L(z) > 1, a(z) « 2z/ka и
пучок приобретает вид конуса с углом при вершине порядка a(z)/z « Х/тга.
12.96. Диаметр пучка меняется по закону a2(z) = а2[(1 - z/R)2 +
Н- L2(z)]. Сначала с ростом z диаметр уменьшается (пучок фокусируется)
до величины amin = a/\/l +сг2, a = ka2/2R, при L > сг/(1 + сг2) ширина
монотонно возрастает, при L > 1 по закону а(г) ос г. По сравнению с
предыдущим случаем имеется новое физическое явление — дифракционная
самофокусировка пучка.
12.97. Прежде всего необходимо, чтобы выполнялось
неравенство и) > ujq. Однако этого недостаточно. Рассмотрим сначала случай,
когда длина / когерентности велика по сравнению с размерами L тела. Тогда
при достаточно малых углах рассеяния д < X/L произведение qL «С 1,
экспоненты в формулах (12.71) или (12.72) для сечений близки к единице
и f nexp[iq • г] dV = NZ. Если длина волны Л ^ L, то это выполняется
при любых углах. При этом мы получим, например, из (12.75)
(1)
da
r\N2Z2 sin2 в dn.
Эта формула соответствует когерентному томсоновскому рассеянию на
всех NZ зарядах тела. Если же, например, длина когерентности меньше
межатомного расстояния, но больше размера атома, то при д < Х/1
когерентно сложатся только вклады от Z электронов атома, и в формуле (1)
вместо N2Z2 нужно будет написать NZ2. При больших значениях углов
величина сечения будет резко убывать из-за быстро осциллирующего
множителя ехр[гд • г] под интегралом.
546
Глава 12
12.98. Концентрацию электронов в газе можно представить в виде
z
суммы членов, относящихся к отдельным атомам, n(r) = J2 па{г — Ra),
а=\
где Ra характеризует мгновенное расположение а-го атома. Тогда
/ n(r)exp[iq-r] dV\ = У^ехр[г^-Да] / na{r') exp[iq-r']dV'
(1) а .
= 1^а(<7)|2|$>хр[г9-Да]
а
где г1 — г — Ra, a Fa(q) — атомный форм-фактор (12.77). Усреднение
в (1) должно быть выполнено по всем положениям Ra. Так как атомы в
газе расположены хаотически, то | Х]аехр(г<7' Ra)\ = N. В итоге, для
неполяризованного излучения
(2) da = |rg(l + cos2 ti)\Fa(q)\2Ndn.
Вычисление форм-фактора при заданной в задаче плотности па{г)
выполняется элементарно и дает
(з) ад = (л1\\ 2,2.
Окончательно:
(4) da(d) = — dfi.
а [l/a2 + (47r/A)2sin2(^/2)j
Из экспериментально найденного сечения (2) можно получить модуль форм-
фактора. Для нахождения распределения электронов надо, вообще говоря,
знать еще фазу форм-фактора.
12.99.
, АТ 21+COS2^,^ , 4,2 о Л , S1Ii(IR\jr>
da = Nr£ \Fa(q)r ' 2{1 + ~~^R~)dQ"
qR
Сечение отличается от сечения рассеяния на изолированных атомах
структурным множителем 2(1-1- smqR/qR), зависящим от взаимного
расположения атомов в молекуле.
12.5. Ответы и решения
547
12.100.
оо
1 С / ъ\пп( Яп-\-т)\ г Л1
dx.
M(WM^/(l + ^f^H
б2 J
Существенна сравнительная величина 1/q и Ь. При q ^> 1/6 исчезает
быстро осциллирующий член с sin (/(До + х). Тепловое движение уничтожает
структурный эффект при таких передачах. При q «С 1/Ь структурный
множитель имеет тот же вид 1 + sinqRo/qRo, что и в случае неподвижных
ядер.
12.102. Направим оси Ox, Oy, Oz вдоль ребер L\, L2, L3
монокристалла.
/ n(r) exp[iq • r] dV = Fa(q) ^ exp[iq • R] =
J R
= Fa(q)( ^2 exp[zgxani] J ( ^ exp[iqyan2] J ( ^ exp[z(fcan3] J =
^m=o ' 4i2=o ' ^n3=o '
_ 1 - exp[iqxaNi] 1 - exp[z(/yaJV2] 1 - exp[iqzaN3]
1 — exp[iqxa] 1 — exp[iqya] 1— exp[iqza]
где iVi = Li/a, N2 = L2/a, N3 = L3/a — числа элементарных ячеек вдоль
ребер L\, L2, Ls', очевидно, N = NiN2N3. Используя (12.76), получим
(1)
Игг 1-*<* *~~J*w ,^l2*™2(QxaNi/2) sm2(qyaN2/2) sm2(qzaN3/2) ^
da=^r0{l+cos ti)\Fa{q)\ —— — — — — —- dil.
L sin (qxa/2) sin (qya/2) sin {qza/2)
Положения главных максимумов определяются условием обращения
знаменателей в нуль, откуда следует, что qx = 27гтх/а, qy = 2тгту/а, qz =
= 27rmz/a, где тх, ту, mz — целые числа. Последние равенства
представляют собой уравнение Лауэ, записанное в проекциях, поскольку
компоненты д выражаются формулами: д = (mx/a,my/a,mz/a). В максимумах
сечение
(2) da = \rl{\ + cos2 ^)|Fa(27rg)|2(LlL26L3)2 dil.
Оно пропорционально квадрату объема кристалла. Результаты задач
(12.101)—(12.105) справедливы, только если монокристалл целиком
расположен внутри объема когерентности (об объеме когерентности см.
раздел 13.1).
548
Глава 12
12.103.
,^lro2(1 + COs^)|Fa(,)|2 Sin2(^3/21
2 u 4sin2(gya/2)sin2(^a/2)'
2
sm(qxaNi/2) sin[(qx + qy)aNi/2]
sin(qxa/2) sm[(qx + gy)a/2]
sin((/xa^i/2) sin[(gx + gy)iV;
+
+4sin2(^aA^i/2)
sin(<?xa/2) sin[(gx + gy)
AW2]1
a/2] J
где N\ = Li/a, N3 = L^/a. Положения главных максимумов выражаются
условием Лауэ: q = 2тгд, где д = (mx/a,my/a,mz/a). В максимумах
сечение 2 (Т2Т \2
da = ^(l+cos2^)|Fa(27r^)|2^^da
* 4а°
Угол до связан с q = 2тгд соотношением sin(i?o/2) = тгд/к.
12.104. При к ^> 1/а дифракционная картина сосредоточена в
области малых углов, поскольку, согласно уравнению Лауэ, Ы = 2тгд ~ 1/а
и д ~ 1/ак «С 1; при этом q «С к.
Введем обозначение:
(1) к = q - 2тгд = к - fc*,
где fc* = feo + 2тгд — значение волнового вектора к рассеянной волны при
точном выполнении условия Лауэ (12.82). В пределах узкого
дифракционного максимума к и fc* близки по направлению. Поэтому их разность к
приблизительно перпендикулярна каждому из них; в частности, поскольку
к направлен вдоль Oz, то \kz\ «С \кх\, \ку\. Благодаря этому в выражении (1)
задачи (12.102) отношение
sin2(qzaN3/2) _ s'm2(KzaN3/2)
sin2(qza/2) sin2(hiza/2)
является значительно более пологой функцией от kz, чем первые два
отношения, и может быть заменено значением N2 в максимуме (kz = 0).
Сечение принимает вид (i? «с 1)
9.^/ ч.о о sm2(KxaNi/2) sm2UvaN2/2) ^
(2) da = 4r2\Fa(27rg)\2N2 K \f } У у ' Д1,
(кха/2у (куа/2У
12.5. Ответы и решения
549
откуда видно, что угловая ширина главного максимума по порядку
величины составляет 1/kaNi и l/kaN^ в направлениях Ох и Оу соответственно.
Записав элемент телесного угла в виде d£l = <1кх dKy/k2 и интегрируя по кх
и ку в бесконечных пределах, получим
(3) а = 4r20\Fa(2ng)\2(^)2NiN1N2.
Сечение по-разному зависит от продольных и поперечных размеров. При
приблизительном равенстве их полное сечение пропорционально V4//3 (V —
объем тела), а угловая ширина пропорциональна (У4/3/^/2)1/2 = 1/У1/3.
12.105.
кх Ку Kz
12.106.
j о 2/i , 2 qm 77 /о м 2 sin кД — кД cos кД ,0
da = 87гго(1 H-cos i7)|Fa(27r^)| т <ш.
Глава 13
Когерентность и нелинейные волны
13.1. Когерентность и интерференция
Корреляционные тензоры поля. Время и длина когерентности.
Большинство реальных источников электромагнитных волн состоит из
большого числа независимых (некогерентных) излучателей, испускающих
волны со случайными значениями начальных фаз и амплитуд, а также со
всевозможными поляризациями. Таковы, например, тепловые и
люминесцентные источники света, а также источники, в которых электромагнитные
волны испускаются пучком быстрых электронов при торможении их в
веществе или в магнитном поле. Значительно большая степень согласованности
достигается при излучении радиоволн антеннами или при излучении света
оптическими квантовыми генераторами, в которых главную роль играет
вынужденное излучение. Но и в этих устройствах возможны флуктуации фазы,
амплитуды и поляризации из-за теплового движения частиц, спонтанного
излучения и рассеяния на различных флуктуирующих неоднородностях.
Кроме того, каждый отдельный излучатель испускает
немонохроматические волны. Поэтому поле, созданное реальными источниками, во многих
случаях имеет очень сложную структуру: значения поля меняются
непредсказуемым, случайным образом в пространстве и во времени. Такие поля
называются случайными. Мы в этой книге уже встречались со случайными
полями (см. раздел 10.3 и Дополнение 4). Для удобства читателя некоторые
сведения о случайных полях будут приведены вновь.
Для задания случайного поля нужно указать некоторые усредненные
величины, характеризующие такое поле. Способ усреднения тесно связан со
способом измерения соответствующих величин. Чаще всего измерительные
приборы производят усреднение по времени. Промежуток усреднения At
должен выбираться так, чтобы он превышал периоды всех гармонических
составляющих случайного поля. При таком усреднении среднее значение
поля излучения обратится в нуль:
Ea(r,t)=0.
(13.1)
13.1. Когерентность и интерференция
551
Отличным от нуля будет корреляционный тензор второго ранга:
J«0(ruti;r2,t2)=Ea(rutl)Et(r2,t2), (13.2)
где Еа — комплексная функция (аналитический сигнал), описывающая
поле. Для полного описания случайного поля следует, вообще говоря, задать
и бесконечную совокупность корреляционных тензоров более высоких
рангов, но при решении многих задач можно ограничиться тензором второго
ранга. Что касается усредненных характеристик магнитного поля, то их
можно выразить через соответствующие значения электрического поля с
помощью уравнений Максвелла. При совпадающих аргументах (г\ = г2,
t-i =t2, ot = /3) тензор (13.2) пропорционален энергии, заключенной в а-й
компоненте электрического поля.
Для того чтобы усредненный тензор (13.2) остался функцией времени,
усреднение нужно производить согласно (7.5), зафиксировав времена 11, t2:
At/2
J«(3(rutl-r2,t2) = ^t I Ea(ruti+T)Et(r2,t2 + T)dT. (13.3)
-At/2
Часто, особенно при измерениях в оптическом диапазоне, усреднение по
времени осуществляется в процессе измерения за счет инерционности
измерительного прибора. Времена срабатывания детекторов оптического
излучения составляют 10~10 — 10~12 с, тогда как периоды оптических
колебаний — порядка 10~15 - 10~16 с.
Мы в дальнейшем будем интересоваться преимущественно
стационарными случайными полями, усредненные характеристики которых не
изменяются со временем. Это означает, что Ja@ будет зависеть только от
разности времен т = t\ — 12, но не от начала их отсчета:
Jap(Tuti\r2,t2) =Jap(ri,r2,T). (13.4)
Если случайное поле однородно также и в пространстве, т. е. его средние
(но не мгновенные) характеристики не зависят от координат, то и радиусы-
векторы ri, г2 войдут в Ja/3 только в виде разности г = Г\ — г2. Такими
свойствами, например, обладает поле теплового излучения в замкнутой
полости. Но поле, создаваемое источником конечных размеров в свободном
пространстве, неоднородно.
Для случайных полей корреляционный тензор Ja0(ri,r2,r) обычно
достаточно быстро убывает с ростом времени задержки г. Пусть, например,
552
Глава 13
поле излучения создается тепловыми источниками — атомами,
возбужденными в случайных столкновениях друг с другом. Каждый атом испускает
немонохроматическую волну конечной длительности тс (волновой пакет)
в случайные моменты времени, поэтому волновые пакеты от отдельных
атомов взаимно независимы. Излучение же каждого отдельного атома
когерентно в течение времени тс испускания отдельного волнового пакета.
Фиксировав некоторую точку пространства г\ = г2 = г, рассмотрим
среднее
Ea(r,t + r)E£(r,t) = Jap(r, r, r).
Нетрудно сообразить, что это среднее будет отличаться от нуля только для
таких значений т, которые меньше или порядка длительности отдельного
волнового пакета, г < тс. Если же г > тс, то усредняться будут поля
различных волновых пакетов, независимые друг от друга. Между ними
не будет заметной корреляции, и среднее от произведения можно будет
заменить произведением средних:
Japir,г,т) « Ea(t + т) • E*(t) = О, т » тс. (13.5)
Время тс, в течение которого тензор Ja@ заметно отличен от нуля,
называется временем корреляции или временем когерентности
компонент поля Еа и Ер. Это время можно определить и формально, например,
следующим образом:
Ja/j(r,r,0)
о
оо
/
Jap(r,r,T)dT
(13.6)
Оно может быть, вообще говоря, различным для разных пар компонент, но
мы в дальнейшем для простоты будем считать его одинаковым для всех
составляющих поля.
Зависимость корреляционного тензора Ja@ от координат носит
аналогичный характер: с ростом разностей х\ — #2, У\—У2, z\ — zi корреляция
ослабляется. Можно по аналогии с (13.6) ввести корреляционные длины
(длины когерентности) lx, ly, lz . Они по порядку величины равны
пространственным размерам волновых пакетов, в пределах которых отдельные
фурье-гармоники поля связаны по фазе. В однородном и изотропном поле
излучения корреляционные длины по всем направлениям одинаковы, а
тензор Jap зависит только от разности п — гг. В таком поле 1С « стс, так как
размер волновых пакетов в пространстве порядка стс, а корреляция будет
13.1. Когерентность и интерференция
553
сильно ослаблена, если поля в точках г\ и г2 будут принадлежать разным
волновым пакетам.
В анизотропном поле излучения, например, когда волновые пакеты
испускаются некоторым далеким источником и движутся все в одну сторону,
соотношение /ц = стс будет справедливо только для продольной (в
направлении распространения) длины когерентности. Поперечная длина
когерентности в этом случае определяется другими факторами и не связана прямым
образом с тс (см. ниже).
Для строго детерминированного процесса, каким является в
стационарном случае плоская монохроматическая волна, длина и время
когерентности бесконечны. Но для всех реальных процессов они имеют конечные
значения. Так, тепловой источник света (например, натриевая лампа) имеет
характерное время когерентности тс « 10~10 с и соответствующую длину
когерентности /ц = стс « 3 см. Газовый гелий-неоновый лазер,
работающий в непрерывном режиме, имеет время когерентности тс = 0,02-0,002 и
длину продольной когерентности /у « 60-600 км.
Усреднение по времени (13.3) часто заменяют усреднением по
ансамблю всевозможных реализаций случайного поля. Представим себе большое
(в пределе — бесконечное) число невзаимодействующих макроскопических
систем, тождественных исходной, т. е. состоящих из одинаковых
источников излучения вместе с той частью пространства, в которой это
излучение распространяется. Такая совокупность макроскопически
тождественных систем называется ансамблем. Из-за случайного характера излучения
электромагнитных волн значения полей Е'а, Е£, ... в эквивалентных
точках пространства в один и тот же момент времени у разных систем будут,
вообще говоря, различными:
E'a(r,t)^EZ(r,t)^EZ(r,t)? ...
Среднее по ансамблю (или статистическое среднее) — это среднее
арифметическое
(Ea(r1,t1)E;(r2,t2)) =
= hm — —, (13.7)
N—oo TV
где TV — полное число систем ансамбля. Для произвольных излучающих
систем нет оснований считать, что усреднение по ансамблю (13.7) и по
времени (13.3) дают одинаковые результаты. Однако для широкого
класса случайных процессов, в том числе для многих реальных излучающих
554
Глава 13
систем, средние по ансамблю и по времени совпадают. Такие системы
называются эргодическими.
Условие эргодичности1 для стационарных случайных полей требует
достаточно быстрого ослабления корреляции с ростом т:
At
lim -г- / Jap{r,r,T)dr = 0.
At—>oo /AC J
0
При теоретическом анализе случайных полей, как правило, пользуются
статистическим усреднением. Мы в дальнейшем также будем производить
усреднение по ансамблю, считая рассматриваемые поля излучения
эргодическими. В условиях эргодичности полученные таким образом результаты
будут совпадать со средними по времени, которые измеряют детекторы
излучения.
Влияние временной и пространственной когерентности на
интерференцию волн. Возможность получения картины регулярного усиления и
ослабления волн в пространстве и во времени при их интерференции
(наложении) тесно связана с их когерентными свойствами. Из качественных
соображений ясно, что регулярная интерференционная картина будет
наблюдаться, только если разность фаз отдельных гармоник с одинаковыми
частотами остается приблизительно неизменной за время наблюдения, т. е.
колебания являются когерентными.
Связь временной когерентности с интерференционной картиной
можно проследить с помощью интерферометра Майкельсона2 (рис. 13.1). Луч
света от небольшого источника 5, состоящего из независимых излучателей
(возбужденных атомов), делится полупрозрачным зеркалом 3 на два луча,
1 и 2. Эти лучи в свою очередь отражаются от зеркал 3i и Зг и
смешиваются в области 12, создавая интерференционную картину (чередование
темных и светлых полос) на экране Э. Меняя длины путей s\ и S2, можно
вводить временную задержку (разность хода) между интерферирующими
колебаниями.
Выясним условия появления интерференционной картины в
описанной установке. Пусть каждый атом излучает квазимонохроматичесую
волну (волновой пакет) длительностью тс в интервале частот Аи. Поскольку
Доказательство эргодической теоремы и ее более строгую формулировку можно найти в
книгах [Монин и Яглом (1965), Рытов (1976), Рытов (1978), Мандель и Вольф (2000)].
2Майкельсон Альберт Абрахам (1852-1931) — американский физик, изобрел интерферометр
и произвел многие измерения, в частности способствовавшие признанию специальной теории
относительности. Нобелевская премия (1907) присуждена за создание прецизионных приборов
и выполненные на них измерения.
13.1. Когерентность и интерференция
555
щщ
Т
12
Рис. 13.1
р
R
Рис
к
^
D,
"1 ^1
. 13.2
волновые пакеты от разных атомов имеют случайные начальные фазы, то
при наложении таких пакетов интерференционной картины не
образуется — максимумы и минимумы поля отдельных пакетов будут накладываться
случайным образом. Интерференция возникает при наложении полей,
генерируемых одним атомом и прошедших разные пути s\ и 52. Но для того,
чтобы такое наложение было возможно, время задержки т = (s i — 52) /с не
должно превышать длительности волнового пакета — в противном случае
его часть, распространявшаяся по более длинному пути, дойдет до экрана,
когда вторая часть уже поглотится экраном или отразится от него.
Максимальное время задержки, при котором еще наблюдается
интерференционная картина, не должно превышать длительности отдельного
волнового пакета, которое и есть время когерентности:
Т < 7>
1
До;"
(13.8)
В анизотропном поле излучения, когда волновые пакеты испускаются
некоторым далеким источником и движутся все в одну сторону, продольную
(в направлении распространения) длину когерентности можно оценить
соотношением
'| = СТ'*5ЬИ5Х (13-9)
Здесь Л — длина излучаемой квазимонохроматической волны, ДА —
разброс длин волн, связанный со спектральной шириной соотношением ДА =
= (А2/2тгс)Ди;.
Рассмотрим теперь интерференционный эксперимент в другой
постановке (опыт Юнга)3. Пусть квазимонохроматический свет от некоторого
3Юнг Томас (1773-1829) — английский физик, один из создателей волновой оптики, ввел в
науку термин «интерференция».
556
Глава 13
теплового источнику конечных размеров а (рис. 13.2), пройдя через две
щели D\ и Дг в непрозрачном экране, создает на другом экране Э
интерференционную картину. Стабильную интерференцию могут создать только
волны, испускаемые одним и тем же атомом, так как излучение разных
атомов некогерентно. Для наблюдения интерференции от всего протяженного
источника необходимо, чтобы интерференционные картины от отдельных
атомов складывались примерно с одинаковыми фазами. Найдем
соответствующие условия. Пусть расположение диафрагм, источника и экрана
симметричное, как показано на рис. 13.2. Пусть, далее, расстояние от источника
велико: R > a, R > 1±.
Относительный сдвиг в пространстве двух пучков света, прошедших
через щели D\ и £>2, определяется разностью путей \PD\ — РДг|-
Интерференционные картины от разных атомов будут усиливать друг друга, если
указанная разность путей не будет превышать длины волны излучения Л для
всех атомов-излучателей, независимо от их расположения на поверхности
источника.
Очевидно, что максимальное значение \PD\ — РДг| будет достигаться
для атомов, находящихся на краю источника. Записав
(РИг)2 = R2 + (1± - а)2/4, (PD2)2 = R2 + (1± + а)2/4,
получим \PD\ -РДг| ~ al±/2R, al±/R < А, где в последнем неравенстве,
справедливом по порядку величины, опущен множитель 1/2. Итак,
интерференционная картина будет наблюдаться при расстоянии между щелями,
не превышающем
/±«АД/а«^, (13.10)
которое играет в данном случае роль поперечной длины когерентности.
Величина •
А = 12±ъ ¥^ (13.11)
представляет собой площадь когерентности, а произведение
AV = 1\\A = ctcA (13.12)
называют объемом когерентности. Здесь S = а2 — площадь поперечного
сечения источника.
При квантовом описании (см. главу 6) свет представляет собой
совокупность фотонов — квантов электромагнитного поля. Энергия каждого
фотона частоты и равна hw. Важной характеристикой когерентных свойств
13.1. Когерентность и интерференция
557
поля является параметр вырождения S, который равен среднему числу
фотонов, находящихся в одном и том же состоянии поляризации внутри объема
когерентности, т. е. среднему числу фотонов данной поляризации,
пересекающих площадь когерентности за время когерентности.
Пусть 1и — среднее число фотонов, испускаемых в единицу
времени единичной площадкой поверхности источника в единичном интервале
частот и в единичном телесном угле нормально к поверхности источника.
Если оба возможных направления поляризации представлены
равновероятно, то
6 = ±1и8Аи>АПтс,
где Aft = A/R2 — телесный угол, под которым площадь когерентности
видна из источника. С помощью (13.8)и(13.11) будем иметь
S^^- 1Ш. (13.13)
иг
Записанный в такой форме параметр вырождения не зависит от геометрии
и характеризует только свойства источника излучения.
Из определения S следует, что чем больше этот параметр, тем более
когерентным является поле данного источника. Для тепловых источников
света наибольшее значение S порядка 10~3, т. е. S «С 1. Для лазерных
источников S ^> 1 и может достигать значений порядка 1014.
Взаимная функция когерентности и контрастность. Найдем
количественную связь между интерференционной картиной, которая наблюдается
на экране интерферометра Майкельсона или в опыте Юнга, и
корреляционным тензором поля излучения. Будем считать для простоты, что свет
поляризован линейно и при распространении его поляризация не меняется.
Тогда поле излучения можно описывать скалярной комплексной
функцией U(r,t). Поле в точке Q представляет собой результат наложения волн
от отверстий Di и D2. Его можно записать через поля в точках гь г2 в
моменты времени t — t\, t - t2:
U(r,t) = АгЩгиг - h) + A2U(r2, t - t2), (13.14)
где ti = si/c, t2 = s2/c — времена распространения возмущений из D\ и
D2 в Q; si = \r - ri|, s2 = \r - r2\\ Au A2 — «коэффициенты передачи»,
вообще говоря, комплексные, зависящие от размеров и формы отверстий.
Их фазы мы в дальнейшем будем считать одинаковыми. Малые отверстия
расположены в окрестностях точек, радиусы-векторы которых г\ и г2.
558
Глава 13
Интерференционная картина на экране будет определяться
интенсивностью поля 1(г) — усредненным по ансамблю квадратом модуля
{U*(r, t)U(r, t)) = I(r). Ввиду предполагаемой стационарности источника
величина / не будет зависеть от времени. С помощью (13.14) получим
1(г) = \А1\211(г) + \А1\212(г) + 2\А1А2\КеГ(гиг2,т). (13.15)
Здесь т = t\ — t<i = (si - 52)/с, комплексная величина
Г(Г1,Г2,Г) = <С/*(Г1,«)С/(Г2,« + Г)> (13.16)
называется взаимной функцией когерентности. Она представляет собой
скалярный вариант корреляционного тензора (13.7) (или отдельную
диагональную компоненту указанного тензора). Интенсивности света в
точках rj, j = 1,2 связаны с взаимной функцией когерентности соотношением
J(r,) = rfo,rj,0). (13.17)
Интенсивность поля в точке Q, создаваемая первым отверстием (когда
второе отверстие закрыто) дается выражением
h(r) = \A1\2I(r1). (13.18)
Определим также нормированную функцию взаимной когерентности
7(гьг2»т)> которую называют еще комплексной степенью
когерентности:
Г(г1,г2,т)
^•""-[/(nJ/M]"»- <Ш9)
Запишем интенсивность поля в точке Q через интенсивности волн,
прошедших через каждое из отверстий по отдельности:
/(г) = /x(r) + /2(r) + 2[/i(r)/2(r)]1/2Re 7(ri,r2,r). (13.20)
Для квазимонохроматического света, у которого Аи «С ш,
зависимость U(r,t) от времени будет определяться в основном
множителем ехр(—iut). Амплитуда A(t) и добавочная фаза a(t), будучи для
некогерентного света случайными функциями, изменяются значительно
медленнее, как ехр(—гДи;£). Поэтому, если записать
7(п,г2,т) = |7(п,Г2,т)|ехр[га(г1,г2,т) - iwt] (13.21)
13.1. Когерентность и интерференция
559
то 7 и ехр(т) будут медленными (по сравнению с exp(-iujt)) функциями т,
они существенно изменяются только за время г ^> тс, тогда как ехр(—iut)
сильно изменяется за период оптических колебаний.
Использовав (13.21), перепишем (13.20) в виде
/(г) = 1г{г) + /2(г) + 2[/i(r)/2(r)]1/2 cos(a - lot). (13.22)
С учетом сказанного выше о медленности изменения 7 и а мы видим, что
cos(a — ит) при т «С тс меняется в основном за счет ит. Следовательно,
при перемещении точки Q по экрану и при изменении разности s\—S2 = cr
интенсивность освещенности экрана будет изменяться в пределах от
1шаЛг) = Ii+h + 2(/i/2)1/2|7l (13.23)
до
Imin(r) = h+I2- 2(/1/2)1/2|7|. (13.24)
Поскольку 7^0 при любом соотношении между 1\ и /2, то из (13.23)
и (13.24) следует, что модуль комплексной степени когерентности может
изменяться в пределах
(U|7(ri,r2jT)|<l. (13.25)
Определим контрастность (видность, видимость) интерференционной
картины в данной точке г параметром
' — \lrnax ~ Irnin) I \lrnax ~г Imin)- (iJ.Zb)
Из (13.23), (13.24) имеем
y = 2(vt + vf) |7(гьГ2'т)|- (13-27)
В частности, при 1\ = /2
У = |7(г1,г2,г)|, (13.28)
т. е. контрастность интерференционных полос, измеряемая на опыте, равна
модулю комплексной степени когерентности.
Фазу комплексной степени когерентности можно измерить по
положениям максимумов интенсивности интерференционной картины.
Согласно (13.22), положение максимумов определяется условием
а (п,
г2, £Цг^ ] - ^(si - з2) = 2тгт, m = 0, ±1, ... (13.29)
560
Глава 13
Интенсивности 1\ и /2 — также измеримые величины. Таким образом,
функцию взаимной когерентности Г(гь т2, т) можно (по крайней мере, в
принципе) определить по наблюдаемой интерференционной картине и по
измеренным интенсивностям 1\, /2.
Из выражения (13.20) видно, что при |7| = 0 не возникает никаких
интерференционных полос, экран освещен равномерно. Это означает, что
два световых пучка, достигающих экрана из отверстий D\ и D2, полностью
некогерентны. Если |7| = 1, то интерференционные полосы обладают
максимально возможной контрастностью, а интенсивность поля излучения в
минимумах освещенности падает до нуля. Оба пучка полностью
когерентны. В промежуточных случаях, 0 ^ I7I ^ 1, они частично когерентны. Это
ясно показывает запись уравнения (13.22) в форме
/(r)=(l-|7|)(/i(r)+/2(r))+|7|[/i(r) + /2(r) + 2[/1(r)/2(r)]1/2cos(a-^T)].
(13.30)
Мы видим, что поле в точке Q можно представить как смесь полностью
некогерентного и полностью когерентного света. Первый имеет
интенсивность (1 — |7|)(Л +-Ы» а второй представляет собой полностью когерентную
смесь двух пучков с интенсивностями \j\h, I7I-J2 и разностью фаз а - lot.
Понятие о голографии. Если в поле когерентной световой волны
находится некоторый предмет, рассеивающий эту волну, то в области наложения
рассеянного света на поле основной («опорной») волны образуется
интерференционная картина, интенсивность которой в каждой точке этой области
зависит как от интенсивностей, так и от разности фаз рассеянной и опорной
волн. Эту картину можно отобразить на фотопластинке, а затем
использовать эту фотопластинку как дифракционную решетку, пропуская через нее
когерентный свет. Интенсивность /' света, прошедшего через проявленную
фотопластинку в данной ее точке (х, у) при освещении пластинки светом,
пропорциональна его интенсивности 1(х,у):
Г(х,у)=Т(х,у)1(х,у) (13.31)
и зависит от степени почернения фотопластинки, характеризуемой
«пропусканием» Т(х,у). Пропускание зависит от интенсивности 1о(х,у)
первичного поля, вызвавшего почернение, и от контрастности фотоэмульсии,
характеризуемой законом Т(х,у) ос [1о(х,у)]~7//2, где 7 — коэффициент
контрастности фотоэмульсии.
Фотопластинка, на которой изображена картина интерференции
опорной волны с волной, рассеянной от предмета, называется голограммой.
Оказывается, что при пропускании через голограмму когерентного света
13.1. Когерентность и интерференция
561
за нею образуется объемное изображение первоначального предмета.
Процесс восстановления первичного волнового поля называется
голографией. Теоретические основы голографии изложены в книгах [Строук (1967),
Сороко (1971)] и иллюстрируются задачами 13.16-13.19.
Рекомендуемая литература: [Мандель и Вольф (2000); Скалли и Зубай-
ри (2003); Бредов и др. Классическая электродинамика; Франсон и Слан-
ский (1967); Строук (1967); Сороко (1971)].
Задачи
13.1. Квазимонохроматический источник имеет поперечный размер L
и испускает свет с длиной волны Л. Оценить порядок величины того
телесного угла Aft, в котором его излучение когерентно.
13.2. Каковы поперечная и продольная длина, а также телесный угол
и объем когерентности излучения, испускаемого атомами натрия,
находящимися в атмосфере Солнца. Наблюдается (на Земле) спектральная линия
с длиной волны Ло = 5 • 10~5см, масса атома т = 3,7- 10 ~23 г. Главный
вклад в ширину спектральной линии дает тепловое движение атомов
(температура Т « 6000 К). Среднее расстояние от Солнца до Земли 1,5 х 1013 см.
Указание. Доплеровская ширина спектральной линии
18тг2кТ
где к — постоянная Больцмана (см. задачу 5.123).
13.3. Как изменятся результаты предыдущей задачи, если с Земли
наблюдается звезда типа Солнца, находящаяся на расстоянии 10 световых
лет? Один световой год равен 9.46 х 1017 см.
13.4. Определить продольную и поперечную длины, а также
объем когерентности в непосредственной близости от квантового оптического
генератора, работающего на длине волны Ло = 5 • 10~5 см с разбросом
частот Av = 102 гц. Диаметр зеркал D = 5 см.
13.5. Найти параметр вырождения S излучения абсолютно черного
тела, находящегося при температуре Т. Сделать численные оценки для Л =
= 1 см и Л = 5• Ю-5 см при Т = 273° и для Л = 5• Ю-5 см при Т = 10 000°.
562
Глава 13
Указание. Спектральная плотность энергии излучения черного тела
(см. задачу 6.23)
" тг2с3 exp(hw/T) - 1'
Здесь температура Т выражена в энергетических единицах: Т = кТ°К, где
к = 1,38 • 10~16 эрг/град — постоянная Больцмана.
13.6. Найти параметр вырождения для квантового оптического
генератора, рассмотренного в задаче 13.4. Мощность излучения 200 Вт. Какой
эффективной температуре отвечает это значение 81
13.7. Связать автокорреляционную функцию
Г(г,г,г) = (U*(r,t)U(r,t + r))
со спектром мощности 1(и) излучения. Интенсивность излучения / =
= (U*(t)U(t)) = J0ooI(w)cLj.
13.8. Найти автокорреляционную функцию излучения, если линия
испускания узкая и имеет прямоугольную форму в интервале шириной Аи>
около с^о- Интенсивность излучения /.
13.9. В интерференционном опыте Юнга наблюдается
интерференционная картина в области перекрытия пучков, дифрагировавших на двух
отверстиях (рис. 13.3). Отверстия расположены на расстоянии D друг от
друга в точках с координатами (0,0) и (х, у). Источник света протяженный,
его размер значительно превышает D и он находится на расстоянии R от
отверстий (R ^> D). Свет достаточно монохроматичен, так что для каждого
из независимых излучателей выполняется условие временной
когерентности. Выразить коэффициент частичной когерентности через распределение
интенсивности 1(х, у) излучения по поперечнику источника света.
13.10. Звездный интерферометр Майкельсона представляет собой
вариант интерференционной схемы Юнга, в которой расстояние между
отверстиями может изменяться. Найти зависимость контрастности У
интерференционных полос в интерферометре Майкельсона от расстояния D между
отверстиями и от длины волны Л для двух случаев.
а) Наблюдается двойная звезда — система двух близких звезд,
находящихся на угловом расстоянии а друг от друга. Каждую из звезд можно
рассматривать как точечный источник света. Считать светимости обеих звезд
одинаковыми.
13.1. Когерентность и интерференция
563
Рис. 13.3
б) Наблюдается одиночная звезда больших размеров с угловым
поперечником а (можно рассматривать эту звезду как равномерно излучающий
диск).
13.11. В звездный интерферометр Майкельсона, рассмотренный в
предыдущей задаче, поступает свет от двойной звезды или от одиночной
звезды больших размеров. При увеличении расстояния D между
отверстиями контрастность интерференционных полос ослабевает и при некотором
значении D = Do обращается в нуль. Определить: а) расстояние р между
компонентами двойной звезды Капелла, находящейся от нас на
расстоянии R = 44,6 световых лет, если Do = 70,8 см, а наблюдение ведется на
длине волны Л = 5-10~5 см; б) диаметр d звезды Бетельгейзе, расстояние до
которой составляет 652 световых года, если Do = 720 см, а Л = б • Ю-5 см.
Указание. Первый ненулевой корень функции Бесселя J\(x)
равен xi = 3,8317.
13.12*. В интерферометре Брауна и Твисса (рис. 13.4) независимо
детектируются, а затем перемножаются и регистрируются интенсивности
света, идущего от двух удаленных некогерентных точечных источников или от
различных точек одного протяженного источника. Волны, идущие от
источников, можно считать плоскими (волновые векторы к\, и к%\ их амплитуды
и фазы флуктуируют случайным образом. Показать, что с помощью
интерферометра Брауна и Твисса можно путем наблюдения корреляции между
интенсивностями измерять угловое расстояние между источниками.
564
Глава 13
к///к
/р\^ Фотоэлементы
ОТ ($
rxt
^S
r2t
•^s
Умножитель
Линия
задержки
М ) Интегратор
Рис. 13.4
13.13. Плоская волна (длина волны Л) падает почти нормально на
боковую поверхность тонкой призмы с углом aCl при вершине и
показателем преломления п. Найти зависимость от х (рис. 13.5 а) фазового сдвига,
который приобретает волна в плоском слое ABCD, часть которого занята
призмой.
б)
Рис. 13.5
13.1. Когерентность и интерференция
565
13.14. Плоская волна падает на тонкую собирающую или
рассеивающую линзу с радиусами кривизны Дь Й2 и показателем преломления п
(рис. 13.5 6). Длина волны Л, угол между волновым вектором и оптической
осью линзы мал. Найти зависимость от х фазового сдвига, приобретаемого
волной в плоском слое ABCD, часть которого занята линзой.
13.15. Монохроматическая плоская волна (длина волны Л) от
квантового оптического генератора падает на бизеркало Френеля (рис. 13.6)
с углом д «С 1 между плоскостями зеркал. В области перекрытия двух
плоских волн, идущих от бизеркала, образуется интерференционное
волновое поле. На фотопластинке, помещенной в эту область и образующей
угол $i «С 1 с фронтом одной из волн, возникает система прозрачных и
темных интерференционных полос. Какое волновое поле образуется за этой
фотопластинкой, если после проявления пропустить сквозь нее нормально
к поверхности плоскую волну от того же самого оптического генератора?
Рис. 13.6
13.16. Плоская монохроматическая волна проходит одновременно
через призму и отверстие в непрозрачном экране, находящемся на
расстоянии / (рис. 13.7). Призма тонкая, преломляющий угол а<1,а показатель
преломления ее вещества п. На фотопластинке возникает некоторое рас-
566
Глава 13
пределение интенсивности поля за счет интерференции между «опорной»
плоской волной (часть волны, прошедшая через призму и отклоненная вниз)
и волной, дифрагировавшей на отверстии (угол дифракции считать малым).
Найти это распределение.
Фронт
дефрагированной
волны
Фронт опорной
волны
Рис. 13.7
13.17. Найти распределение пропускания Т(х) сквозь голограмму,
полученную в условиях, описанных в предыдущей задаче. Считать при этом,
что при создании голограммы интенсивность опорной волны была велика
по сравнению с интенсивностью волны, прошедшей сквозь отверстие.
Проследить за процессом восстановления первоначальных волновых фронтов
при пропускании через эту голограмму нормально падающей плоской
монохроматической волны uq = Af0 exp[i(kz — cut)] (длина волны та же, что
и у первичной волны). В частности, проследить за возникновением
точечного изображения первоначального отверстия.
Указание. Волновое поле за голограммой можно получить простым
умножением падающей на голограмму волны щ{х) на пропускание Т(х).
Для интерпретации получившегося выражения следует обратиться к
решениям задач 13.13, 13.14.
13.2. Случайные волны и волны в случайно-неоднородных средах 567
13.18. На установке, рассмотренной в задачах 13.16,13.17, получается
голограмма двух отверстий, находящихся на расстоянии 2D друг от друга
в плоскости призмы. По этой голограмме восстанавливается изображение
двух отверстий. Найти это изображение и выяснить, в каком случае оно
будет увеличенным.
Указание. Голограмму можно освещать при восстановлении
изображения светом с длиной волны А', не совпадающей с той А, которая
применялась при получении голограммы.
13.19. Определить разрешающую способность голограммы, которая
получена на установке типа, рассмотренного в задаче 13.16. Голограмма
выполнена на фотопластинке с размером зерен эмульсии d.
13.20. Электромагнитная волна с фиксированной линейной
поляризацией описывается в некоторый момент времени функцией Е(р, z) =
= S(p)exp(ikz), где 8{р) — случайная функция, зависящая от поперечных
координат р = (х,у). Такое поле возникает после пропускания плоской
волны через экран в плоскости (х, у), прозрачность которого и набег фазы
меняются от точки к точке по случайному закону. Вычислить поперечную
корреляционную функцию К±(р1,р2) = (<£(Pi)<£*(P2))> если известно, что
она однородна и изотропна в плоскости (х, у), а распределение гармоник
Фурье случайного поля по поперечным волновым векторам задается
следующим образом:
1. Равномерное распределение в области 0 ^ к ^ ко, т. е. К (к) = К0 =
= const при 0 ^ к ^ ко, К(к) = 0 при к > ко.
2. Гауссово распределение: К(к) = Коехр(-к2/к1).
13.2. Случайные волны и волны в
случайно-неоднородных средах
Флуктуации электромагнитного поля в равновесной среде. Начнем
этот раздел с рассмотрения тепловых флуктуации электромагнитного поля
в равновесной однородной среде без пространственной дисперсии,
имеющей скалярные электрическую и магнитную проницаемости e(uj), //(cj).
Любая реальная среда является поглощающей, что выражается в наличии
мнимых частей у е и //. В такой среде при конечных температурах, помимо
вакуумных флуктуации поля, рассмотренных в главе 6, будет существовать
электромагнитное поле, находящееся в термодинамическом равновесии с
568
Глава 13
веществом. Это поле будет иметь характер случайных флуктуации,
отдельные цуги волн будут испускаться и поглощаться частицами вещества в
случайные моменты времени.
Вычисление флуктуации поля произведем в несколько этапов. На
первом этапе найдем поле, которое вызывает в рассматриваемой среде слабый
заданный гармонический ток
j(r,t) = j(r)cosut. (13.32)
Выберем такую калибровку электромагнитных потенциалов, при которой
скалярный потенциал ip = О, все векторы поля выразятся через векторный
потенциал:
Е=Щ-А, D=l—^A, B = VxA, H = -?— V х А, (13.33)
где учтена гармоническая зависимость от времени.
Поскольку свойства среды определяются квантовыми
закономерностями, выполним квантовый расчет. Оператор взаимодействия среды с
внешним током запишем в виде (см. аналогичную четырехмерную
формулу (4.108))
Н) = -\ j jx(r,t)Ax(r)d\ (13.34)
где А\(г) — квантованный векторный потенциал (6.13), не зависящий от
времени, суммирование производится по трем значениям индекса Л.
Будем считать среду бесконечно протяженной, выберем достаточно большую
«основную область», и наложим на заданный ток и векторный потенциал
периодические граничные условия, как это делалось в разделах 2.3 и 6.1.
В таком случае оператор взаимодействия можно записать как бесконечную
сумму слагаемых
к
Здесь Ak\ = А\х — эрмитов оператор, не зависящий от времени, a jk\(t) —
действительная функция:
jkx(t) = \{3^-Ш + j&e™) (13.36)
Теперь оператор взаимодействия приобрел стандартный для
теории флуктуации вид суммы произведений классических «сторонних
13.2. Случайные волны и волны в случайно-неоднородных средах 569
сил» jk\(t), генерирующих поле, на операторы Ак\, средние
значения которых по состояниям среды представляют собой
макроскопическое электромагнитное поле в среде (ср. с формулой (125,1) из
[Ландау и Лифшиц, Статистическая физика]). В отсутствие сторонних
токов имеем
АкХ = Sp{pAkx) = Y,Pn{n\AkX\n) = 0. (13.37)
n
В правой части символом Ак\ (без знака усреднения) обозначен
макроскопический, т. е. усредненный потенциал. Усреднение производится по
формулам, подобным (11.5), р — равновесный статистический оператор
плотности среды (Д3.43), через \п) обозначены векторы стационарных состояний
среды. При наличии слабого внешнего тока, jk\(t) ф 0, возникнет
электромагнитное поле, величина которого пропорциональна току и определяется
функцией электромагнитного отклика среды с учетом принципа
причинности (см. раздел 11.1):
оо
AkX{t) = Iax„{k,T)jk„(t-T)dT (13.38)
о
(мы считаем связь между током и потенциалом локальной). Отличие
от (13.37) вызвано тем, что теперь состояние тела неравновесно и
оператор плотности p(t), с которым производится усреднение, отличается от
равновесного оператора (Д3.43).
Введем обобщенную восприимчивость
оо
аА„(*,") = [ахЛк,тУ»т(1т. (13.39)
о
л выразим через нее макроскопический электромагнитный потенциал с
использованием (13.32). В результате будем иметь
AkX(t) = i [aA„(*> ")3&-™Ь + «а„(*. -и)з&е™] . (13.40)
Збобщенная восприимчивость является комплексной величиной и обладает
:войствами симметрии, которые уже обсуждались в разделе 11.1
применительно к е\„, p\v. В частности,
а\„(к,и) = а1/\(к,ш), аХ1/(к,ш) = а\„(к, -и). (13.41)
Действительная часть обобщенной восприимчивости является четной,
i мнимая часть — нечетной функцией действительной частоты.
570
Глава 13
Пример 13.1. Выразить среднюю за период энергию Q, поглощаемую
телом в единицу времени, через внешний ток и обобщенную
восприимчивость.
• Решение. Нужно вычислить среднее по ансамблю от оператора,
представляющего собой производную по времени от полного гамильтониана
тела:
dE = ,<№_, = (дЖ) = ,dV\ =
dt К dt1 К dt ' К dt '
к к
где Ak\(t) дается равенством (13.40). Если усреднить (1) по времени, то
получим мощность диссипации энергии в теле в единицу времени:
к к
(13.42)
Здесь двумя штрихами обозначена мнимая часть обобщенной
восприимчивости. ■
Пример 13.2. С помощью уравнений Максвелла найти обобщенную
восприимчивость a\l/(k,uj), выразив ее через электрическую и магнитную
проницаемости е(ш), fi(uj) для изотропной среды.
Решение. Обобщенная восприимчивость связывает внешний ток и
макроскопический векторный потенциал. Эту связь можно найти с помощью
уравнения для векторного потенциала, получив его из уравнения
Максвелла (11.12) и формул (13.33):
(1) iVx[VxA]^A+|j.
В fe-представлении уравнение (1) принимает вид
(2) (*2 - *£ел) Ак - к(к ■ Ак) = ^jk.
Из этого уравнения находим
(3) k-Ak = -^k-jk
13.2. Случайные волны и волны в случайно-неоднородных средах 571
и, подставив этот результат в (2), получим
/л\ л 47Г^С (z с2к\ки\ .
(4) АкХ = -— — dXl/ о Jkl"
и'ец - czkz V и'ер J
Отсюда находим обобщенную восприимчивость:
ах*{к,ш) = 2^\ (бХи - ^А . (13.43)
При этом действительный векторный потенциал (вместе с временным
множителем) выразится в виде (13.40). При интегрировании этих величин
правила обхода особых точек должны соответствовать выбору запаздывающих
потенциалов. ■
Пример 13.3. Произвести квантовомеханический расчет
поглощаемой телом мощности Q в низшем порядке теории возмущений, выразив
ее через матричные элементы (п\Ак\\т) векторного потенциала между
стационарными состояниями тела. Путем сравнения с формулой (13.42)
из примера 13.1 найти представление мнимой части обобщенной
восприимчивости a\v{k^uj) через указанные матричные элементы.
Решение. Оператор возмущения зависит от времени по
гармоническому закону:
(1) V = Y,Vk, Ъ = -±и2хе-™+Же™)АкХ.
к
Вычислим вероятность перехода wfn_^m в единицу времени под действием
гармонического возмущения в низшем порядке теории возмущений, учтя
в операторе возмущения лишь одно слагаемое с определенным fe.
Использовав известную ([Ландау и Лифшиц, Квантовая механика]) формулу,
получим
(2) <_m = ^^|(n|jfc-^|m)|2[(5(^-^mn) + (5(^+^mn)].
При учете суммы по fe в операторе (1) в вероятность (2) войдут
произведения матричных элементов (п|Л*;А|га)(га|Лд;/А/|п). При к ф к' эти
матричные элементы соответствуют рождению или уничтожению разных
572
Глава 13
квантов и не могут быть отличны от нуля одновременно. Поэтому полную
вероятность перехода w'n_^m мы получим, просуммировав (2) по fe:
(3) Wn^m = -Z^^2\(n\jk ' Ak\m)\2[S(uJ - LJmn) + 8{u) + U)mn)\.
2П с к
Это дает возможность вычислить поглощаемую мощность, просуммировав
все переходы в возможные состояния т и усреднив сумму по начальным
состояниям п:
(4) Q = ^ PnWn-^mhhJmn,
т, п
где, согласно формулам (Д3.44)-(Д3.46), рп = exp[(F - Еп)/Т] —
статистическая матрица. Она описывает распределение Гиббса равновесной среды
вместе с электромагнитным излучением, которое находится в
статистическом равновесии со средой. Использовав равенство рш = рп exp(hu>mn/T)
и свойства дельта-функции, приведем (4) к виду
(5)
Q = ^(1-е~^/Т)ЕЕ Pn{n\AkX\m){m\Akv\n)8{w - wmn)j°xj£.
к тп, п
Из сравнения последнего выражения с (13.42) находим мнимую часть
обобщенной восприимчивости:
a'Ubu) = ^(1 - е-*»'т) £ pn(n\AkX\m)(m\Ak„\n)6(u - ишп).
m, n
(13.44)
■
Этим результатом завершается выполнение предварительных расчетов,
и теперь можно сделать последний шаг — найти флуктуации
электромагнитного поля в равновесной среде.
Пример 13.4. Вычислить фурье-образ по времени К\1/(к, и)
корреляционной функции
KXu(k,t-t') = ±(Akx(t)AkAt') + AkAt')Akx(t)), (13.45)
где Ak\,v(t) — операторы векторного потенциала в гейзенберговском
представлении, скобками обозначено усреднение по ансамблю состояний
равновесной системы, а зависимость от разности времен объясняется
стационарностью состояния системы. Гейзенберговские операторы, взятые в
13.2. Случайные волны и волны в случайно-неоднородных средах 573
разные моменты времени, друг с другом в общем случае не
коммутируют) поэтому корреляционная функция определяется через их симметризо-
ванное произведение. В отличие от предыдущего рассмотрения, здесь не
предполагается наличия в системе стороннего тока, и флуктуации поля
обязаны исключительно тепловому движению частиц среды. Напомним,
что в квантовой системе это движение не прекращается и при нулевой
температуре.
Использовав результаты предыдущих примеров, найти связь между
спектральным тензором K\v(k, и) и обобщенной восприимчивостью (13.43).
Решение. В отсутствие внешнего тока V" = 0 и среда может находиться
в стационарных состояниях \п), удовлетворяющих уравнению Шредингера
Ж\п) = Еп\п), где Ж — гамильтониан среды. Гейзенберговские операторы
согласно формуле (Д3.31) имеют вид
(1) AkXt„(t) = ехР Ц^Ч ^*А,«,ехр (-ffit) ,
где в правую часть равенства входят не зависящие от времени операторы в
шредингеровском представлении. Производим последовательные
вычисления:
оо
Кх„{к,ш) = j Кх„(к,т)е1шт<1т =
— ОО
ОО
= \ J {АкХ(т)Аки(0) + Akl/(0)AkX(T))eiUTdT =
(2)
ОО
1 ~ ' {п\АкХ(т)\тп)(тп\Ак1/(0)\п)+
(п\Ак1/(0)\т)(т\АкХ(т)\п)]е1шЧт.
ОО
+
Далее имеем
(3) (п\АкХ(т)\гп) = (п\АкХ\тп)е*ш™т
и после подстановки (3) в (2) получим
(4) КХи(к,ш) = тг(1 + е"^/т) ^ Pn(n\Akx\m)(m\Akl/\n)S{u; - ишп).
574
Глава 13
Сравнение с (13.44) приводит к соотношению
КхЛЪш) = chcth (j^\ <(*■")> (13.46)
где в качестве a'^v следует использовать мнимую часть выражения (13.43).
Тем самым флуктуации электромагнитного поля в равновесной системе
выражены через электрическую и магнитную проницаемости среды. ■
Соотношение (13.46) носит название флуктуационно-диссипацион-
ной теоремы. Оно связывает флуктуации равновесного параметра (в
данном случае векторного потенциала) с диссипативными свойствами системы,
которые описываются мнимой частью обобщенной восприимчивости.
Изложенный материал можно найти в книгах [Гинзбург (1987); Лиф-
шиц и Питаевский, Статистическая физика, ч. 2; Левин и Рытов (1967);
Рытов(1978)].
Рассеяние света в равновесной изотропной прозрачной среде.
Согласно результатам раздела 12.1 предыдущей главы, в отсутствие
поглощения электромагнитная волна распространяется в однородной среде без
ослабления. Но этот результат не учитывает малых случайных неоднород-
ностей диэлектрической проницаемости, вызываемых тепловым движением
частиц среды. Из-за теплового движения частиц плотность и
температура среды испытывают случайные флуктуации, которые вызывают
флуктуации е (считаем для простоты магнитную проницаемость [i = 1). Это
приводит к рассеянию падающей волны на неоднородностях диэлектрической
проницаемости, к появлению случайных рассеянных волн и к ослаблению
падающей волны. Вычислим соответствующее ослабление в простейшей
модели рассеивающей среды.
Разделим среду на одинаковые макроскопические ячейки объемом V,
линейные размеры которых малы по сравнению с длиной волны.
Представим в каждой ячейке диэлектрическую проницаемость в виде
е = е + Ае, (Де) = 0, (13.47)
где е(и,т,Т) = (ё) — среднее по ансамблю состояний среды значение
диэлектрической проницаемости, с которым мы имели дело в главе 12; т и Т —
плотность и температура среды; Ае — флуктуирующая добавка, которая
меняется от ячейки к ячейке. Пусть линейные размеры такой области много
больше радиуса межмолекулярного взаимодействия. Тогда флуктуации в
разных ячейках будут статистически независимыми и среднее по
равновесному ансамблю от произведения флуктуации в разных ячейках обратится в
13.2. Случайные волны и волны в случайно-неоднородных средах 575
нуль:
(АвгАек) = (Ae2)6ik, (13.48)
где г, к — номера ячеек. Ввиду независимости флуктуации в разных ячейках
рассеянные ими поля также будут независимыми, и достаточно рассмотреть
одну такую ячейку.
Пусть первоначальная плоская монохроматическая волна
распространяется вдоль оси Ох. Считаем рассеянное поле Es малым и записываем
полное поле в виде Е = Е + Es, \ES\ < \Е\. Здесь Е = (Е) — поле,
усредненное по флукутуациям среды. Флуктуация электрической
поляризации имеет вид АР = ЕАе/Атг, а флуктуирующий дипольный момент
объема V равен р = VAP. Рассеянное этим объемом поле Es можно
вычислить по формуле (5.29). Его частота будет совпадать с частотой и
падающей волны. Полный поток энергии, рассеянный объемом V,
вычислим по формуле (5.31). Если усреднить эту величину по флуктуациям и
по периоду изменения поля, записав электрическое поле в виде E(x,t) =
= Е(х) cos(kx — ut), то получим
о* • Я*-Ф ■*&*■*■ "->
Здесь / = 7 = сЕ2 (х)/8тг — поток энергии падающей волны, определяемый
ее вектором Пойнтинга. Представим объем ячейки в виде призмы длиной
Ах в направлении оси Ох с площадью поперечного сечения S: V = SAx.
Тогда отношение (Is)/S = —AI можно рассматривать как убыль потока
энергии, вызванную частичным рассеянием волны, и записать
соотношение (13.49) в виде
AI = -IhAx, где h= v . /V. (13.50)
67ГС4
Закон ослабления интенсивности волны получим, заменив Ах —> dx,
AI —> dl и проинтегрировав равенство (13.50):
I(x) = I0e-hx. (13.51)
Величина h называется коэффициентом экстинкции. Он определяется
частотой и произведением V(Ae2)v, где {Ае2)у — средняя квадратичная
флуктуация диэлектрической проницаемости в объеме V. Эту величину
576
Глава 13
можно выразить через более удобные параметры с помощью
термодинамической теории флуктуации (см. [Ландау и Лифшиц, Статистическая физика]
т
§L\2(AT2)v+2(^)(^
№)v = £ <Дт^+ ^ <ДГ»>у+2- £ N& (ДгДТ)
ату х /v v9r/ \5Гу
(13.52)
)v,
r^ = iZ(dT\ _ ,A7*w = =£
где
cv — теплоемкость на единицу массы при постоянном объеме.
Использовав эти соотношения, получим формулу Эйнштейна для коэффициента
экстинкции:
и4
67ГС4
тж^+шуа
дТ
/ 1
cvt
(13.53)
Изложенная выше простейшая теория молекулярного рассеяния
предполагала, что при флуктуациях сохраняется изотропия среды, т. е. их можно
описывать скалярной диэлектрической проницаемостью. Такое
предположение оправдывается для сферически симметричных молекул, но
несправедливо для более сложных молекул. При флуктуациях среда может
испытывать отклонения от изотропии, что приводит к более сложным
выражениям для коэффициента экстинкции. Кроме того, рассеяние может
сопровождаться изменением частоты (комбинационное рассеяние Рамана4-
Ландсберга-Мандельштама). Рассмотренное рассеяние без изменения
частоты называется рэлеевским5. Первые этапы развития теории рассеяния
света в газах освещены в статье Собельмана (2002). Более полное
изложение современной теории рассеяния света см. в книгах [Гинзбург (1987);
Леонтович (1983); Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных сред].
Однократное рассеяние электромагнитных волн случайными неод-
нородностями среды. Часто среда, сквозь которую распространяются
электромагнитные волны, находится в неравновесном состоянии (например,
облака водяного пара и пыли в атмосфере, облака плазмы и разреженного
4Раман Чандрасекхара Венката (1888-1970) — выдающийся индийский физик.
Нобелевская премия (1930). за обнаружение комбинационного рассеяния света в жидкостях.
Историю открытия комбинационного рассеяния советскими учеными Г. С. Ландсбергом и
Л.И.Мандельштамом и неполучения ими Нобелевской премии см. в статье Е.Л.Фейнберга
(2003).
5Рэлей (Стретт) Джон Уильям (1842-1919) — крупнейший английский физик, Нобелевский
лауреат.
13.2. Случайные волны и волны в случайно-неоднородных средах 577
нейтрального вещества в межзвездном пространстве и др.). В этих
случаях рассеяние волн происходит значительно интенсивнее, чем на
равновесных флуктуациях, а рассеянное излучение содержит важную информацию
о структуре и свойствах рассеивающей среды.
Пример 13.5. Рассмотреть облако, состоящее из N одинаковых
неподвижных макроскопических сферических частиц, которые находятся
в вакууме или в прозрачной среде. На облако падает плоская
монохроматическая электромагнитная волна, длина которой велика по сравнению
с размером отдельной частицы {но не облака). Вычислить эффективное
дифференциальное сечение рассеяния волны облаком частиц в приближении
однократного рассеяния. Это условие означает, что ослаблением
падающей волны и вторичным рассеянием в облаке уже рассеянных волн можно
пренебречь. Но следует учесть возможную корреляцию в расположении
частиц облака (структурный фактор среды). Электрическая поляризуемость
/3((jj) частиц известна, магнитная поляризуемость пренебрежимо мала.
Решение. Если длина волны Л = 2тгурн/ш велика по сравнению с
размером отдельной частицы, то ее дипольныи момент выразится через
поляризуемость (3(и) в однородном поле:
pa(t) = (ЗЕ0 exp(ife-r - iwt),
где га — радиус-вектор центра масс частицы, Е0 — амплитуда падающей
волны, к — ее волновой вектор. Для однородной сферической частицы с
диэлектрической проницаемостью е поляризуемость вычислена в задаче 8.11:
где во — диэлектрическая проницаемость окружающей среды, а — радиус
частицы. В волновой зоне рассеянное поле дается формулой (5.29) с
заменой с на vph:
E'a = -^n'x[paxn'}exp(-ik'-ra), га«Л, к' = ^п'.
Единичный вектор п' указывает направление рассеяния.
Дифференциальное сечение рассеяния волны облаком вычисляется по
формулам, приведенным в начале раздела 12.3. Следует учесть рассеяние
от всех частиц облака и произвести усреднение по ансамблю взаимных
578
Глава 13
расположении частиц:
§ - <! !>(-„ ■ ,.)|>)*^ *,«. . F(,)g. (,3.54,
а=1
Здесь q = к1 — к — переданный среде волновой вектор, q = 2/csin(^/2),
д — угол рассеяния, d£2 = siwddddtp, в — угол между Ео и к'. Величина
йп eZuj4в2 (и) 9 л
^ = ° ^ v ; sin2 (9 (13.55)
df2 с4
представляет собой сечение рассеяния волны отдельной частицей,
N
F(q) = (\^M-iQ-ra)\2) (13.56)
— структурный фактор среды (фактор когерентности). В задаче 5.122 мы
уже рассмотрели его для двух предельных случаев полностью когерентного
(1(7 • га\ < 1) и полностью некогерентного (Х!а#ьехР(^ ' (г« ~ гъ) ~ 0)
рассеяния. Здесь рассмотрим более общий случай.
Плотность числа частиц в облаке можно записать в виде
N
i{r) = Y^t(r-ra),
а=\
а структурный фактор можно представить в виде двойного интеграла по
объему облака:
Ня) = (Ы2) = j(n(ri)n(r2)> exp[-iq • (n - r2)]d3M3r2. (13.57)
Будем считать распределение частиц в пределах облака однородным и
изотропным. Запишем среднее от произведения их концентраций в двух точках
через функцию взаимной корреляции (см. [Ландау и Лифшиц,
Статистическая физика]):
(n(ri)n(r2)> = п2 + п[6(п - г2) + д{\гг - г2|)], (13.58)
где п — средняя по облаку концентрация, д(г) — корреляционная функция,
имеющая порядок величины п при г —* 0 и стремящаяся к нулю при г > /с,
где lc <C L — корреляционная длина, L — размер облака.
13.2. Случайные волны и волны в случайно-неоднородных средах 579
Первое слагаемое в (13.58) описывает когерентное рассеяние вперед.
При его интегрировании согласно (13.57) получим
/ n2exp[-^-(ri-r2)]rf3rid3r2=n2/exp(-i9-r)d3rd3i?«(27r)3yn2(5(9),
где г = т*1 - Г2, R = (r*i + Г2)/2, а правая часть близка к дельта-функции,
если линейный размер облака L велик по сравнению с длиной волны. При
q —> О следует сделать замену (27г)3<5(<7) —► V, которая позволяет записать
сечение рассеяния вперед:
_дг2^5 N = nV. (13.59)
ail
g->0
При q —► 0 и N > 1 вклад от членов, пропорциональных п в (13.58),
пренебрежимо мал.
При углах рассеяния д > 1/kL будем иметь
Ш=N%,{1+19{r) ехрН9 ■r)d3r}- (13-60)
Первое слагаемое в скобках описывает некогерентное рассеяние на N
частицах: dE/dd = N(da/dft). Второе слагаемое описывает когерентное
рассеяние, исчезающее при полностью беспорядочном распределении частиц
(при д —* 0). Если 1С<А (мелкомасштабные макроскопические
неоднородности), то ехр(гд ■ г) « 1 и f g(r)d3r « n/3. Угловая зависимость сечения
рассеяния на облаке такая же, как на отдельной частице, а когерентный
вклад существенен при п/3 > 1. В обратном предельном случае /с> Аи
п/3 > 1 когерентное слагаемое велико в области малых углов рассеяния
$ < l/klc (но $ > 1/kL), что приводит к резко анизотропному рассеянию.
При d ^> l/klc когерентный вклад убывает из-за осцилляции экспоненты и
главную роль играет некогерентное рассеяние.
Приближение однократного рассеяния применимо, если в облаке
рассеивается лишь малая доля энергии волны, т.е. полное сечение рассеяния
на облаке мало по сравнению с его геометрическими размерами: Е <С L2.
Ш
Дифракция на случайном экране. Если некоторая регулярная
волна проходит через слой среды со случайными неоднородностями, то при
выходе из слоя поле будет иметь случайную составляющую и его
следует описывать корреляционными функциями. При малой толщине слоя по
580
Глава 13
сравнению с другими длинами задачи такой слой можно рассматривать как
плоский хаотический экран, который случайным образом модулирует по
амплитуде и по фазе падающую на него волну. Свойства такого экрана
задаются его функцией пропускания — безразмерной комплексной
случайной функцией М(р), \М(р)\ ^ 1, где вектор р расположен в плоскости
экрана, которую мы отождествим с плоскостью (х, у). Если на экран падает
начальная регулярная волна uo(p,z)e~luJt, то сразу за экраном (z —► +0)
возникнет случайное волновое поле
u(p,0) = M(p)u0(p,0), (13.61)
статистические характеристики которого будут определяться случайной
функцией М(р). Мы для простоты рассматриваем скалярный случай,
когда можно пренебречь изменением направления векторных величин. Будем
считать падающую волну плоской и положим щ(р, 0) = 1.
Пусть за экраном (z > 0) находится однородная среда. В этом
случае задача сводится к исследованию распространения случайного поля в
однородной среде, где оно удовлетворяет уравнению Гельмгольца
Аи + к2и = 0, к2 = ^-еИ/хЫ. (13.62)
с1
и граничному условию (13.61). Применим метод Рэлея: разложим поле в
плоскости z = 0 в интеграл Фурье:
и(р,0) = М(р)= /m(*)exp(iK.p)-^L
J (2тг)2
(2тг)2
т(к) = / М(р')ехр(-гк • p')d2p .
(13.63)
В области z > 0 каждая пространственная гармоника поля должна
удовлетворять уравнению (13.62). Это означает, что ее зависимость от координат
должна иметь вид
т
(к) ехр(гк • р + ikzz), kz = y/k2 - к2. (13.64)
В зависимости от фурье-спектра т(к) функции пропускания значения к
могут быть как меньше, так и больше к. Поэтому суперпозиция (13.63)
плоских волн при z > 0 будет содержать распространяющиеся волны
13.2. Случайные волны и волны в случайно-неоднородных средах 581
с \/fc2 - к2 > О, к < к и затухающие («неоднородные») волны с у/к2 - к2 =
= i\J\k2 — к2|, к > к:
u(p,z)= / т(к) ехр(гк • р + i\Jk2 - k2z) ^-. (13.65)
J (2тт)2
Поле (13.65) выражается через фурье-образ случайной функции
пропускания т(к) и должно характеризоваться своими корреляционными
функциями. Для их нахождения нужно задать статистические свойства
функции М(р). Примем предположения о статистической однородности
и изотропии ансамбля случайных неоднородностей экрана. Это означает,
что
(М(р)) = М0 = const, ((M(p1)-M0)(M*(p2)-MS))=Km(\pl-p2\).
(13.66)
Здесь корреляционная функция Кш(р) характеризуется некоторой
корреляционной длиной 1т, т.е. становится исчезающе малой при р > 1т. Нам
потребуется и фурье-образ корреляционной функции, который мы
обозначим через (т2)к:
)K = JKm(p)
(т)к= Кт(р) ехр(-гк • p)d p. (13.67)
Эта величина заметно отлична от нуля при значениях к порядка или
меньше 27г//ш. При к > 27г//т интеграл в (13.67) становится весьма малым
из-за быстрых осцилляции экспоненты.
Пример 13.6. Вычислить усредненное по ансамблю поле й(р, z) =
(и(р, z)) в области z > 0.
Решение. Из (13.65) получаем
(1) (и(р, z)) = /<m(#c)> ехр(г#с • р + ixjk2 - k2z)-^.
J (2тг)2
Соотношения (13.63) и (13.66) дают (т(к)) = (27г)2М0<5(к). В итоге
находим
(2) u{p,z) = M0eikz.
Независимость от р объясняется статистической однородностью экрана.
582
Глава 13
Пример 13.7. Вычислить корреляционную функцию поля
Ки(р, z\ р', z) = {(u(p, z) - й(р, z))(u(p', z') - й(р', z')))
вдали за экраном (z,zf ^> А, где А — длина волны за экраном). Выразить
Ки через фурье-образ корреляционной функции (13.67), характеризующий
статистические свойства пропускания экрана.
Решение. Записываем с помощью (13.63) разность
(т(к) - (т(к))) ехр{ш • р + ikzz)~7^p
и составляем искомую корреляционную функцию:
Ku(p,z-p',z') = J((m(K) - <m(#c)>)(mV) " <™V)»>x
х ехр{г(к • р - к' • р') + ikzz - ik*zz'}d Kd*'.
(2тт)4
Далее вычисляем коррелятор, входящий в подынтегральное выражение (2),
с помощью второй формулы (13.63):
<(т(к) - <m(K)»(mV) - <т*(к')»> =
(3) г
= / Кт(\р- р'|)ехр(-гк- р + 1к! • p')d2pd2p'.
Введя новые переменные интегрирования г = р — pf, R = (р + р')/2 и
использовав формулу (1.219), J ехр(—г(к — к') • R)d2R = (2тг)25(к — к'),
находим с помощью (13.67)
(4) <(т(#с) - <т(#с)»(т*(#с') - <т*(#с')»> = (2тг)2(т2)„<5(к - к').
Это позволяет записать (2) в виде
(5) Ки(р, z; p', z') = J(m2)K ехр{гк • (р - р') + ikzz - ik*zzf}-^.
Здесь постоянная распространения kz = y/k2 — к2 становится чисто
мнимым числом при к > к. Но при z,z' > Л эта область значений к вносит
экспоненциально малый вклад в интеграл. Поэтому ее можно исключить из
13.2. Случайные волны и волны в случайно-неоднородных средах 583
интегрирования. В итоге получим корреляционную функцию, зависящую
от разности координат г = р — р', ( = z — z'\
Ku(r,()= [ (т2)к ехр{гк -r + Wk2- *2С}т£%- 03.68)
Jn^k (2тг)2
(напоминаем, что здесь г — поперечный радиус-вектор, лежащий в
плоскости z = const). ■
Здесь мы рассмотрели лишь самые простые задачи о распространении
электромагнитных волн в случайно-неоднородных средах. Более подробная
теория изложена в книгах [Рытов (1978); Татарский (1967); Басе и Фукс
(1972); Исимару (1981)]. См. также обзор [Кузьмин и Романов (1996)].
Задачи
13.21*. Пользуясь формулой (13.46), вычислить зависимость от
координат корреляционного тензора К\„(г — г',и) для компонент векторного
потенциала на заданной частоте ш в однородной (безграничной) изотропной
среде.
13.22. Для однородной изотропной равновесной среды вычислить
корреляционные тензоры
(Ex{r,t)E„(r',t'))kuJ, (Ex{r,t)B„{r',t'))kuJ, (Bx{r,t)B„{r',t'))kuJ,
аналогичные тензору К\„(к,и) = {A\(r,t)Au(r' ,t'))ku, который
определяется уравнениями (13.46), (13.43).
13.23*. Для случая прозрачной равновесной среды (Im е —> О,
Im \i —> 0) вычислить спектральную плотность энергии р(и) равновесного
электромагнитного поля.
13.24. Записать коэффициент экстинкции (13.53) для газов в
оптической области спектра через коэффициент преломления п = у/ё, считая
п-1<1и пренебрегая зависимостью е от температуры.
13.25*. В области объемом V возбуждены стохастические
флуктуации среды, которые можно описать заданной корреляционной функцией
диэлектрической проницаемости Ке(\г\ — r*21) = (Де(г1)Де(г2))
обладающей (в пределах объема V) свойствами однородности и изотропии.
Корреляционная длина 1С мала по сравнению с линейным размером L
рассматриваемого объема. В приближении однократного рассеяния (см. пример 13.5)
выразить сечение рассеяния электромагнитной волны через
корреляционную функцию диэлектрической проницаемости.
584
Глава 13
13.26. Вычислить дифференциальное и полное сечения рассеяния
электромагнитной волны, если корреляционная функция диэлектрической
проницаемости (см. предыдущую задачу) имеет гауссову форму К£(г) =
= K0exp(-r2/2ll), гДе ^о, 1с — постоянные.
13.27. Пусть флуктуации пропускания хаотического экрана
мелкомасштабны по сравнению с длиной распространяющейся волны, т.е. Ыт < 1.
Исследовать на основе формулы (13.68) корреляционные свойства поля за
экраном в поперечном (С = 0) и продольном (г = 0) направлениях.
Оценить для этих случаев корреляционную функцию Ки и соответствующие
корреляционные длины 1±, /ц.
13.28. Исследовать противоположный предельный случай
крупномасштабных флуктуации хаотического экрана klm ^> 1. Вычислить
приближенно корреляционные функции и оценить поперечную и продольную
корреляционные длины.
13.29. Для случая крупномасштабных флуктуации хаотического
экрана (klm > 1) с гауссовским спектром (т2)к = (т2)0 ехр(-к2/^/2)
вычислить трехмерную корреляционную функцию Ku(r, Q. Оценить продольную
и поперечную длины корреляции.
13.3. Волны в нелинейных и активных средах
С нелинейными волнами мы уже имели дело в разделе 10.3,
посвященном магнитной гидродинамике. К их числу относятся, в частности, простые
волны Римана и ударные волны, распространяющиеся в электропроводящей
среде с магнитным полем. Поэтому в настоящем разделе мы рассмотрим в
первую очередь некоторые типы нелинейных волн в плазме.
Уравнение Бюргерса. Пусть имеется одномерная волна с плоским
фронтом, распространяющаяся в проводящей среде вдоль внешнего
магнитного поля (ось Ох). В отличие от задач, рассмотренных в разделе 10.3,
учтем здесь диссипацию энергии волны и ее нелинейность, считая их
малыми эффектами. В рассматриваемой геометрии магнитное поле не влияет
на движение вещества, и его можно описать одномерными уравнениями
(10.24), (10.23) и (10.26),
dtr + идхт + тдхи = 0, (13.69)
dtu + идхи = -т~1дхр + vd\u, (13.70)
8ts + udxs = {Х/тТ)д2хТ, (13.71)
13.3. Волны в нелинейных и активных средах 585
причем в последнем уравнении отброшен в правой части член,
пропорциональный (дхи)2, который имеет третий порядок малости. Здесь в целях
сокращения письма мы обозначаем частные производные символами дх, dt
и т. д., уже применявшимися в главе 4. С помощью уравнения состояния
т = т(р, s) получим
дьт + идхт = (dpT)s(dtp + идхр) + (dsr)p(dts + udxs).
Использовав последнее равенство, получим из (13.69) и (13.71)
dtp + udxP + (dTp)sTdxu = -(х/тТ){дтР)3{д3т)рд2хт. (13.72)
Далее используем приближенное равенство д2Т « (дрТ)3д2р (остальные
слагаемые дадут в уравнении (13.72) члены третьего порядка) и
термодинамическое тождество Т(су1 — с"1) = — (dTp)s(dpT)s(dsr)p. С помощью
этих равенств приводим уравнение (13.72) к виду
dxu + T-l(dTp)s(dtp + udxp) = XTQ2cJ2(cy1 - c~l)dlp. (13.73)
Здесь в правую часть подставлены невозмущенные величины т0 и с2 =
= (dTp)sO- ,
Теперь исключим из уравнений (13.70) и (13.73) переменные и и т
и получим одно уравнение, которое будет содержать только переменную
часть давления р' = р — р0 и невозмущенные величины. При этом будем
учитывать в левых частях уравнений только члены не выше второго
порядка малости, как уже сделано в правых частях. Воспользуемся тем, что
в квадратичных членах можно принять те же соотношения между малыми
возмущениями, которые выполняются в линейной теории, т. е. для звуковых
волн малой амплитуды:
и « с8т'/то « р'/с3т0, т « т0 + p7cs»
т-ЧЗтР),-1 * C7V +Р'/с'.т* - r\dlV)sp',
где V = 1/т — удельный объем. С помощью этих соотношений записываем
уравнения (13.70), (13.73) в виде
dtu + TQldxp' = v(csT0)~1dlp',
дхи + с:2ъ%р' = -csr°(d2pV)spfdxpf + (x/r2c2s)(cyl -c;1)^'.
Продифференцировав первое из этих уравнений по х, второе по t и вычитая
их друг из друга, получим
(дх - c-ldt){dx + с-%)р' = 2dx[ac2sd2xp' - Ьс:1р'дхр'}. (13.74)
586
Глава 13
Здесь а и b — постоянные коэффициенты:
а = 2-Ч_> + xV{cyl - с;1)], Ь = (c2s/2V2)(d2pV)s. (13.75)
Для волны, распространяющейся вдоль оси Ох, естественно ожидать
зависимости от координаты и времени вида р'(х — cst, ex), где е — малый
параметр (в меру малости нелинейности и диссипации). Поэтому оператор
дх + c~ldt имеет порядок е, а оператор дх — c~1dt ~ 2дх с точностью до
членов порядка е. Мы видим, таким образом, что уравнение (13.74) будет
удовлетворяться, если
dtp' + csdxV' + Ър'дхр' = ас38д%р'. (13.76)
Последнему уравнению можно придать более простую форму, если
перейти к новым независимым переменным £, £ = х—cst и к новой зависимой
переменной Р(£, i) = bp'(x, t):
dtP + Рд^Р = кд%Р, (13.77)
где к = ac2s. Мы получили уравнение Бюргерса, которое описывает
волны в сплошных средах с учетом их слабой нелинейности и диссипации.
Мы получили его в результате довольно трудоемких вычислений, исходя
из некоторой конкретной модели сплошной среды. Но область применения
этого уравнения намного шире, чем та, которая следует из нашего
рассмотрения. Оно получается и во многих других случаях. Более подробные
сведения об этой и других нелинейных проблемах можно получить из книги
Уизема (1977) и других источников, приведенных в конце раздела.
Пример 13.8. С помощью уравнения (13.76) вычислить профиль
скорости и оценить толщину фронта стационарной слабой магнитогидро-
динамической ударной волны, распространяющейся параллельно внешнему
магнитному полю. Давление изменяется от значения р\ вдали перед
фронтом до р2 > pi за фронтом.
Решение. Рассматриваем волну, движущуюся в положительном
направлении оси Ох. Отсчитываем добавку к давлению р' от
невозмущенного значения р\ перед фронтом. При t = const имеем граничные условия
р' —> 0 при х —> Н-оо (перед фронтом), р' —> р2 - Pi. = Ар при х —> — оо
(за фронтом). Для стационарного профиля следует искать решение в
виде р'(х — usht), где ush > cs — неизвестная скорость фронта. Обозначив
аргумент через С = х — usht, получаем из (13.76)
(1) * dc (cs - ush)p' + |p/2 - *%>' = О
13.3. ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ И АКТИВНЫХ СРЕДАХ
587
и находим первый интеграл этого уравнения:
(2) кд^р' = тгр'2 + (ce - u8h)p' + const.
Из граничных условий находим const = 0, ush = cs + ЬАр/2 и записываем
(2) для полного давления р = р\ +р' в виде
(3) | = А(р_Р1)(р_Р2).
Это уравнение имеет решение, удовлетворяющее поставленным граничным
условиям:
(4) Ж) = \{pi+P2) + \{pi -p2)th(C/<5),
где
(5) 8 = 4к/ЪАр = 2k/(ush - cs)
представляет собой толщину фронта слабой ударной волны. ■
Необходимо отметить, что сама возможность существования
стационарных волн связана с одновременным действием двух эффектов:
нелинейного укручения фронта и диссипации, которые действуют в
противоположных направлениях и компенсируют изменение профиля волны.
Эффект нелинейности без диссипации не позволяет получить стационарные
решения — он приводит к укручению переднего фронта и образованию
разрыва (см. раздел 10.3, задачу 10.69). На спектральном языке это означает
рождение коротковолновых гармоник в спектре. Диссипативные эффекты
ослабляют в первую очередь гармоники с большими fc, так как вторая
производная в (13.77) дает зависимость вида к2. Диссипация без нелинейности
приводит к неограниченному диффузионному расплыванию возмущения
(см. пример 10.6). Взаимное уравновешивание нелинейного укручения и
диффузионного расплывания делает возможным существование
нелинейных стационарных волн в диссипативной среде.
Диссипативный коэффициент к можно оценить как произведение Acs,
где Л — средний пробег частиц между столкновениями. Это дает для
толщины фронта ударной волны оценку S « Л/(М — 1), где М = ush/cs —
число Маха. Таким образом, толщина фронта слабой (М -1<1) ударной
волны намного больше свободного пробега частиц. При экстраполяции этой
588
Глава 13
оценки на случай М - 1 « 1 получим 8 « Л. Такое значение можно
рассматривать как наименьшее из возможных, поскольку для преобразования
энергии потока во внутреннюю энергию за фронтом волны требуется по
крайней мере одно или несколько столкновений частиц.
Но если ударная волна распространяется в плазме, которая всегда
многокомпонентна (электроны и ионы разных типов, причем те <С гаг),
то структура фронта усложняется ввиду медленного обмена энергией и
импульсом между электронами и ионами. Толщина ионного скачка
температуры определяется пробегом Л* ионов, тогда как выравнивание
температур между электронами и ионами происходит на большей длине
Лег ~ (тг/те)1/2Лг.
Уравнение Кортевега-де Вриза. Исследуем слабонелинейные
движения в двухкомпонентной холодной замагниченной плазме, основываясь на
уравнениях, полученных в примере 10.9:
dtu + (и • V)u = (Атгпгпг)'1 rot В х В, (13.78)
atB = rot(txxB)-rot^m(0,51rot||B+rotj_B)-rot(47ren)_1(rotBxB)-
-(mec/e2){^(j/n)+(n.V)(j/n)+n-1(j.V)tx-(en)-1(j.V)(j/n)},
(13.79)
где j = (с/An) rot В.
Пусть Bq — внешнее однородное поле, а 6 = В - В0 — поле волны.
Сначала рассмотрим линеаризованную систему, считая 6, и малыми
добавками, пропорциональными exp(ife • г - iut). Выбрав ось Ох вдоль fe, а В0
лежащим в плоскости xz, получим после исключения и систему
алгебраических уравнений для by, bz\
by[(k-vA)2-iumk2uj-uj2(l+c2k2/ujle)}-bz(ick^ (13.80)
by(zcfco;/a;oi)(fc-t^^ (13.81)
При иое, uoi —> оо, уш —> 0 получаем из предыдущих уравнений законы
дисперсии и;(к) = vAkcos6, и;(к) = vAk для альвеновской и быстрой
магнитозвуковой волн соответственно.
Рассмотрим нелинейное обобщение быстрой магнитозвуковой волны.
В приближении ск «С с^ог, ^ык2 <С и, в ^> ck/uoi находим для нее закон
дисперсии с малыми дисперсионной и диссипативной поправками:
и(к) = vAk - fik3 - ivmk2/2, [i = vA(c2/2и^)(гае/гаг - cot2 в). (13.82)
С помощью полученного дисперсионного соотношения нетрудно
записать дифференциальное уравнение для bz, учитывающее дисперсионную
13.3. ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ И АКТИВНЫХ СРЕДАХ 589
поправку и диссипацию. Компонента bz играет главную роль в волне,
поскольку Ьх = 0 в силу условия div b = 0, а Ьу «С bz в меру малости
дисперсионной поправки, как следует из (13.80), (13.81). Представляем (13.82) в
виде
[-ги + vAik + fi(ik)3]bz = (vm/2)(ik)2bz (13.83)
и переходим к координатно-временному представлению:
dtbz + vAdxbz + [idlbz = \vmd2xbz. (13.84)
Это уравнение, однако, не содержит нелинейности. Чтобы учесть
нелинейные члены низшего порядка, отвечающие квадратичной нелинейности,
используем уравнение (13.79) в проекции на ось Oz:
dtbz = ez rot(u x В) + vmAbz-
- (4iren)~lez • rot(rot b x B0) - c2/u0edt(ez • rot 6). (13.85)
При записи этого уравнения учтено, что нелинейность, дисперсию и
диссипацию мы рассматриваем как три малых аддитивных эффекта,
поэтому нелинейные слагаемые в дисперсионных и диссипативных членах
отброшены. Нетрудно проверить, что если исключить и из (13.85) с
помощью (13.78), сохранив лишь линейные члены, и использовать связь между
производными по координате и времени, вытекающую из
дисперсионного уравнения (13.83), то получится уравнение (13.84). Для включения в
уравнение нелинейных поправок следует сохранить в (13.85) члены с
квадратичной нелинейностью вида rot(u^ x6l tz(2) x JB0), где и^ и и^
пропорциональны bz и b2z соответственно.
Запишем уравнение (13.78) с точностью до членов второго порядка в
виде
дь(цЫ + и{2)) = {^пггц)-\ех х дхЪ) х (В0 + Ь) - их1)дхи^\
Заменив dt —> — vAdx, находим и^ = — (47гпгаг)_1//2(ех х 6) х &о, где
&о = Во/В0. При вычислении и^ отбрасываем малую компоненту Ьу\
и{2) = (47rnmO"1/2[ex(l + sin20) - е2 sin0cos0](62/2£o).
Вычислив rot^1) х Ъ + и^ х Во) и включив эту величину в правую часть
(13.85), получим вместо (13.84) нелинейное уравнение
dtbz+vA{l + Asmebz/Bo)dxbz + fxdlbz = кд2хЬг, (13.86)
590
Глава 13
где к = Vrn/2. Уравнение упрощается путем введения новой
независимой переменной £ = х — VAt и новой неизвестной функции ii(£, t) =
= 4сА8шОЬг&г)/В0:
dtu + ид^и + fxd^u = кд^и. (13.87)
В отсутствие дисперсионного эффекта (/х = 0) это уравнение
превращается в уравнение Бюргерса (13.77). Если же отсутствует диссипация
(к = 0), то оно переходит в уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ)
дьи + ид$и + fid^u = 0. (13.88)
Оно было получено впервые еще в 1895 г. для гравитационных волн в
жидкости, находящейся в канале конечной глубины. В последние десятилетия
выяснилось, что область применимости уравнения КдВ весьма широка.
Пример 13.9. Исследовать на основе уравнения КдВ (т. е. в
отсутствие диссипации) нелинейные стационарные волны в холодной плазме,
зависящие от х и t в комбинации £ = х — cwt, где cw — скорость волны,
подлежащая определению. Получить общее решение для таких волн и
проанализировать частное решение, удовлетворяющее условию гх(£) —> 0 при
£ —> ±оо (уединенная волна, солитон).
Решение. Из уравнения (13.88) после подстановки в него решения
получим
(1) {-Аси + и2/2 + fiu")' = 0, Ac = cw-vA,
где штрих обозначает производную по £. Интегрируя (1), получаем
уравнение, формально совпадающее с уравнением классической механики:
(2) ^ = К + &си-±1? = -Ш-,
где К — постоянная интегрирования;
(3) Ж{г/) = ^_Дсм!_Ки
— «потенциальная энергия» частицы, зависящая от ее «обобщенной
координаты» и. Роль времени играет £. Постоянную К нетрудно обратить в нуль
заменой и —> и + и0; такая замена, как следует из (1), означает переход в
систему, движущуюся со скоростью va - щ. В дальнейшем считаем К = 0.
13.3. ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ И АКТИВНЫХ СРЕДАХ
591
Основываясь на механической аналогии, нетрудно провести
интегрирование до конца. С помощью интеграла «энергии» /ш2 + W(u) = Е = const
записываем решение уравнения (2) в квадратурах
(4) /
-^—-^ ^ где Р(и) = 6Е + ЗАси2 -и3
у/Щи) V^
— кубический полином. Решение (4) будет иметь физический смысл только
при Р(и) ^ 0 и и — ограниченном (а в случае холодной плазмы требуется
еще |гх| <С va)- Постоянную интегрирования, определяемую начальным
отсчетом координаты (, мы опустили. Решение записано для // > 0, что,
согласно (13.82), соответствует отрицательной поправке к линейному закону
дисперсии.
Уединенная волна получается при Е = 0. Если и ^ 0, то условие
Р(и) = г£2(ЗДс - и) ^ 0 требует, чтобы было Дс>0и0^г£^ ЗДс.
В этом случае
(5)
/
du
-(ЗДс)-1/21п{[(ЗДс)1/2-(ЗАс-и)1/2][(ЗДс)1/2+(ЗАс+и)1/2]}
и решение принимает вид
(5) и{х, t) = ЗДс сп~2[(Дс/4//)1/2(х - cwi)].
Солитон представляет собой в данном случае горб магнитного поля,
который возвышается над окружающим фоном на величину bz = Bz — Во =
= Bou/4va sin в и движется со скоростью cw = va + Дс С возмущением
магнитного поля связаны возмущения скорости плазмы и ее плотности.
Величина Дс — превышение скорости солитона над скоростью va линейной
магнитозвуковой волны — связана с амплитудой щ соотношением
(6) и0 = ЗДс.
Ширина солитона
(7) S = 2(fi/Ac)^2 = 2(3М/г/0)1/2
обратно пропорциональна корню квадратному из его амплитуды. Для
солитона, распространяющегося поперек магнитного поля (в = 7г/2) имеем
S = (с/и>ое){ЗВо/2Ьо), где Ь0 — высота магнитного горба, а параметр ао =
= c/uoe определяет характерную длину дисперсии.
592
Глава 13
При и < 0 условие Р(и) > 0 выполняется для и ^ -ЗАс. В этом
случае
(8) u(x,t) = -ЗДс tg2[(Ac/4fi)l/2(x - cwt)].
Это решение не удовлетворяет условию ограниченности и поэтому
физически нереализуемо. ■
В предыдущем примере рассмотрена уединенная, нелинейная волна -
солитон. Как выяснилось в последние десятилетия, солитоны играют
значительную роль в физике нелинейных волновых явлений. Это определяется
следующими двумя обстоятельствами: а) при взаимодействии солитоны во
многих случаях сохраняют асимптотически свою форму и скорость, т. е.
ведут себя как частицы; б) произвольное нелинейное начальное возмущение
при определенных условиях эволюционирует в некоторую совокупность
солитонов (и волновых «хвостов»). Это дает основание рассматривать со-
литонные решения как своего рода «собственные функции» нелинейного
уравнения, через которые можно выражать его решения более общего
характера. Солитонные решения имеет не только уравнение КдВ, но и другие
нелинейные уравнения, см. многочисленные учебные пособия и
монографии, посвященные этой теме: [Новокшенов (2002); Захаров и др. (1980);
Ньюэлл (1989); Додд и др. (1988); Солитоны в действии (1981); Абловиц
и Сигур (1987); Ахмедиев и Анкевич (2003); Ильичев (2003)]. Любопытно,
что солитон как физическое явление (движущийся без расплывания водяной
горб в узком канале) был наблюден и описан шотландским ученым и
инженером Скоттом Расселом еще в 1834 г., задолго до создания математической
теории солитонов.
Нелинейное уравнение Шредингера. Выше мы получили уравнение
КдВ для холодной плазмы, в которой с2 «С v2A. Если внутренняя
энергия и энергия магнитного поля одного порядка величины, то линейные
и нелинейные волны быстро затухают вследствие их резонансного
взаимодействия с ионами (затухание Ландау). Исключение составляют только
волны, распространяющиеся вдоль внешнего магнитного поля или под
прямым углом к нему. Поперечное распространение по-прежнему подчиняется
уравнению КдВ, но продольное распространение описывается другим
нелинейным уравнением (см. Вайнштейн и-др., 1989):
dTh + id\h + dz(h2h*) = 0, (13.89)
т = LUBit/U, £ = х/гл - ujBit, h = (by + ibz)/B0(l - (З)1'2, uBi =
= eBo/rriiC — циклотронная частота ионов, г а = va/ubi, P = cf/vl,
причем 6/(1 - (З)1'2 < В0. Уравнение (13.89) называется нелинейным
уравнением Шредингера с производной в кубическом члене.
13.3. ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ И АКТИВНЫХ СРЕДАХ
593
Нелинейный отклик вещества на высокочастотное поле. В
разделах 8.3 о сегнетоэлектриках, 9.3 о ферромагнетиках и в настоящем
разделе о волнах в плазме мы уже рассматривали нелинейную реакцию среды
на внешнее возмущение. Все эти явления были свойственны статическим
или квазистатическим (медленно меняющимся) полям. Но
высокочастотные поля, создаваемые лазерами, могут приближаться или даже превышать
внутриатомные поля в конденсированном веществе (Еа « 108 -=-109 В/см).
В этих условиях предположение о линейной связи электрической
поляризации с напряженностью поля (см. формулу (7.24)) теряет силу и уравнения
связи следует записывать в более общей форме.
В изотропной недиспергирующей среде его можно записать в виде
Р(Е) = аЕ + а(3)£3 + а(5)£5 + ..., (13.90)
где а — линейная электрическая восприимчивость, с которой мы имели
дело раньше; с/3\ а^ ... — нелинейные восприимчивости
рассматриваемой среды. В более общем случае анизотропной диспергирующей среды
(но без пространственной дисперсии) уравнение связи нужно записать как
обобщение причинного соотношения типа (11.66):
оо оо оо
P„(t) = Ia^{T)Ev{t-T)dT + fdn fdT2a$K{T1,T2)E„(t-n)EK{t-T2)+
ОС ОО ОО
+ /dn Jdr2 jdrsa^Aru^.^E^t-r^E^t-^E^t-rs) + ...
0 0 0
(13.91)
Переход к гармоникам Фурье позволяет записать это уравнение связи в
эквивалентной форме
оо
/1
—- а$к(и>!,и- ui)Ev(ui)Ek{u - u>i)+
ос оо
/1 Р А
! 27Г J 'Z7T *— -' -' " -,-.-,-.-,-.
X) —ОО
(13.92)
594
Глава 13
Здесь нелинейные восприимчивости определены по аналогии с (11.67):
оо
Q{S»c(wbw2) = / а(2)(г1,г2)ехр(г^1Г1 + ш2т2) dr^dri (13.93)
о
и аналогично величины более высокого порядка. Из формулы (13.92)
следует, что в нелинейной среде частота вектора поляризации может существенно
отличаться от частоты электрического поля (см. также ниже пример 13.10).
Классическая модель нелинейной восприимчивости —
ангармонический осциллятор. Мы видели в разделе 11.1 (см; задачи 11.12, 11.13),
что классическая модель связанных электронов в виде линейных
осцилляторов с затуханием дает правильную качественную картину электрической
восприимчивости среды в слабых полях. Используем модель
ангармонического (нелинейного) осциллятора с затуханием для оценки нелинейных
восприимчивостей.
Пример 13.10. Заряженный изотропный ангармонический
осциллятор находится во внешнем электрическом поле с линейной поляризацией
E(t) = Ео cos est. Неоднородностью поля в пределах области колебаний
осциллятора пренебрегаем. Амплитуда колебаний осциллятора мала и в
разложении его потенциальной энергии достаточно учесть низший
ангармонический член. Пусть диэлектрическая среда состоит из нелинейных
осцилляторов с плотностью N на единицу объема. Вычислить
электрическую поляризацию среды и ее линейную и нелинейную восприимчивости.
Решение. Выберем ось Ох вдоль направления электрического поля и
запишем потенциальную энергию осциллятора с учетом ангармонических
членов:
(1) U{x) « ^тси^х2 + ^mqx3 + ...
Здесь т — масса электрона, си0 — собственная частота гармонического
осциллятора, q — параметр нелинейности. Если потенциальная энергия —
четная функция координат, то q = 0 и следует учесть член четвертого порядка
в разложении потенциальной энергии. Уравнение движения осциллятора с
учетом выписанных членов имеет вид
(2) х + 7Х + и\х + qx2 = щЕ(Ь),
где слагаемое ^х описывает затухание осциллятора. Действием на электрон
магнитного поля пренебрегаем.
13.3. ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ И АКТИВНЫХ СРЕДАХ
595
Полученное уравнение будем решать методом возмущений, считая
ангармонический член малым по сравнению с гармоническим: \qx\ <C cjq.
Ищем решение в виде х = х\ + хпи где хп\ — малая нелинейная поправка
к решению х\ линейного уравнения:
(3) x + <y± + u>lx=fiiE(t).
Для монохроматического поля E(i) = Eq cos cut решение уравнения (3) на
достаточно больших временах t > I/7 имеет вид
(4)
«.(^^(^e-^+zrHe^), где /?И = £ _i_
— линейная поляризуемость осциллятора. Уравнение для малой нелинейной
добавки получаем из (2), оставляя в нелинейном слагаемом только
полученное линейное решение (4):
(5) xni + fXni + ulxni = -qxf.
Решение уравнения (5) имеет вид
xnl(t) = х0 + Се-2™ + СГе*", х0 = - ^\0(и)\2 Е2,
(6) с Ф2шг
4(u;o - 4cj2 - 2г^и)
Решения (4) и (5) позволяют найти электрическую поляризацию среды:
(7) P(t) = Np(t) = Ne(xi + xni) = P0 + Pi(t) + Pnl(t).
Здесь Pi = Next = (E0/2)[a(u)e-iu>t + a*(u>)eiu>t] - линейная
поляризация среды, меняющаяся с частотой падающей волны; а(и>) = Ne/3(u).
Р0 = Nexo = а^2) (0)^о ~~ постоянная нелинейная поляризация,
пропорциональная квадрату напряженности поля; нелинейная восприимчивость на
нулевой частоте а^(0) = —Nqe\P(uj)\2/2ujQ. Она зависит от частоты
исходной волны и параметров осциллятора. Наконец, Pni(t) = Ne(Ce~2lu)t +
+ C*e2luJt) — нелинейная поляризация, меняющаяся с удвоенной частотой.
Выделяя из этого выражения нелинейную восприимчивость на удвоенной
частоте с помощью соотношений Pni{t) = (l/2)Pni(2uj) exp(—2iujt)+ к.с,
596
Глава 13
Pni(2u>) = а(2)(2и)Ец, где к.с. — комплексно сопряженное выражение,
находим
<8) ^w- ,у» ..
2(и>£ - 4ur - 2iju)
Самофокусировка. Рассмотрим на полукачественном уровне еще один
нелинейный эффект. В примере 12.7 и в задаче 12.95 о распространении
ограниченного пучка света в линейной однородной среде было
установлено, что пучок испытывает дифракционное расширение. На расстояниях,
превышающих его первоначальную ширину а, пучок приобретает форму
конуса с углом при вершине
*'*£ = sfe' <13-94>
где Ао — длина волны в вакууме, по — коэффициент преломления
прозрачной среды. Но если ограниченный в поперечном направлении пучок имеет
высокую интенсивность, при которой возникает заметная нелинейная
поляризация, то коэффициенты преломления внутри пучка и за его пределами
будут различными. Пусть снаружи п = щ, а внутри пучка
п = п0+п2\А\2, п2>0, (13.95)
где учтена нелинейная поправка, пропорциональная квадрату локальной
амплитуды пучка (см. (13.90)). Границу пучка можно рассматривать как
границу двух сред с разными коэффициентами преломления. При углах
падения лучей на границу, больших угла вг полного внутреннего отражения
(см. задачу 12.8)
sin0r = ^-г^, (13.96)
лучи будут возвращаться внутрь пучка, т. е. фокусироваться к его оси (см.
рис. 13.8).
Можно подобрать такую мощность пучка, при которой эффекты
нелинейной фокусировки и дифракционной дефокусировки взаимно
уравновесятся и стационарный пучок света будет распространяться без расширения
внутри некоторого световода, который он сам создает своим полем. В этом
состоит эффект самофокусировки, который был предсказан теоретически
советским ученым Г.А.Аскарьяном в 1962 г. Критическую мощность
самофокусировки можно оценить путем сравнения соответствующих углов.
13.3. ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ И АКТИВНЫХ СРЕДАХ
597
Щ
»0+«2M|2
Л
*- Z.
В
Рис. 13.8
— В'
А'
Критический угол 6Г соответствует лучу, наклон которого к оси 6ni = 7г/2 —
- 0Г, т.е. cos6ni = sin6r дается формулой (13.96). При дп\ < Од
дифракционный эффект преобладает, пучок расплывается, но медленнее, чем в
линейном случае, рассмотренном в задаче 12.95. При 6ni = 6д эффекты
уравновешены. Если 6ni « 1, то из (13.96) имеем
0ni -
2п2\А\2
по + п2|Л|2
(13.97)
и, приравнивая эту величину квадрату угла дифракции, оцениваем по
порядку величины критическую амплитуду пучка |ЛС|2 « по0^/2п2. Полная
критическая мощность пучка, переносимая в единицу времени через его
поперечное сечение, дается выражением
Рс = тга27с =
а2сп*Е2
споЛэ
1б7Г2П2
(13.98)
Полученная мощность определяется длиной волны и свойствами среды, но
не зависит от ширины пучка.
Рекомендуемая литература: [Бломберген (1966); Бредов и др.
Классическая электродинамика; Ахманов и др. (1981); Ахманов и др. (1988); Ахма-
нов и Никитин (1998); Клышко (1980); Клышко (1986); Рыскин и Трубецков
(2000)].
Усиление электромагнитных волн в неравновесных средах. В
разделе 11.3 было отмечено, что в равновесных средах всегда происходит
диссипация энергии электромагнитных волн, что является следствием второго
закона термодинамики. Он приводит к соотношениям
ше"{ш) > 0, <W) > 0
(13.99)
598
Глава 13
для мнимых частей электрической и магнитной проницаемостей. Но эти
условия могут не выполняться в неравновесных средах. Их релаксация
(переход к равновесию) может сопровождаться раскачкой колебаний, энергия
которых будет черпаться из энергии неравновесной среды. Среды, в которых
электромагнитные волны усиливаются, называются активными.
Рассмотрим один из наиболее простых примеров таких сред — раскачку
электрических колебаний в неравновесной холодной бесстолкновительной плазме.
Пример 13.11. Квазинейтральная плазма без столкновений и без
магнитного поля состоит из нескольких типов частиц с зарядами еа и
концентрациями Na = const, a = 1,2, . .., 5, J2a eotNa = 0. Каждая популяция
частиц движется со своей постоянной скоростью Vа без теплового
разброса. Записать дисперсионное уравнение для малых электростатических
колебаний такой плазмы, удовлетворяющих условию В = 0, Е = —V<f,
где <р — скалярный потенциал.
Решение. При возникновении колебаний концентрации частиц и их
скорости приобретут малые добавки па, иа. Электростатический
потенциал будет удовлетворять уравнению Пуассона
(1) A(f = -Апр = -47гУ^
ea7ia,
где концентрации па следует найти из линеаризованных уравнении
движения частиц
(2) ^ + (VaV)ua = -^V<p, j^+V(Naua) + V(naVa) = 0.
Рассмотрим возмущения в виде плоских монохроматических вол Hit a, па ос
exp(ik • г — iujt). Из уравнений (2) находим
та(и - к • Va) та(и - к • Va)
Подставив последний результат в (1), находим искомое дисперсионное
уравнение:
13.3. ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ И АКТИВНЫХ СРЕДАХ
599
Пример 13.12. Применить полученное дисперсионное уравнение к
плазме с неподвижными ионами, в которой имеется два электронных
пучка с одинаковыми концентрациями электронов N\ = N2 = N. Пучки
движутся навстречу с одинаковыми скоростями V\ = — V2 = У- Показать,
что в плазме будет происходить раскачка колебаний, и найти инкремент
7 = Im uj соответствующей волны.
Решение. Дисперсионное уравнение принимает вид
(1) 1 ^L _^ов = 0
{ J (и - к . V)2 (и + к • V)2
где /сц — проекция волнового вектора на общее направление движения
электронов. При V = О, и = LUoeV^, что соответствует продольным плазменным
колебаниям с частотой, определяемой полной концентрацией 2N
электронов (ср. с задачей 11.47). Второе значение и = О соответствует отсутствию
колебаний.
При V ф О, решая полученное биквадратное уравнение, находим
частоты собственных волн
Неустойчивы колебания, для которых подкоренное выражение
отрицательно. Это имеет место, если |/сц| < uoeV^/.V. Частота при этом становится
чисто мнимой: и = ±iy(k\\), 7 > О» И амплитуда волны с и = г^ нарастает
экспоненциально. Наибольшего значения 7тах = ^ое/2 инкремент
достигает при Щ = SujQe/4V2. ш
Рекомендуемая литература: [Михайловский (1975); Незлин (1976); Ора-
евский (1998); Бойко и Петров (1988)].
Задачи
13.30*. Записать общее решение уравнения Бюргерса (13.77) в
однородной безграничной среде, удовлетворяющее начальному условию
Р(*,0) = Р0(0-
Указание. Свести нелинейное уравнение Бюргерса к линейному
уравнению теплопроводности с помощью нелинейной подстановки Р(£, t) =
= -2кд$ In (/?(£, t), где <^(£, t) — новая неизвестная функция.
600
Глава 13
13.31. На основе решения, полученного в предыдущей задаче,
рассмотреть случай, когда начальное возмущение сосредоточено в узкой
области: Ро(£) = -4^(0- Поскольку Pq имеет размерность скорости, то А
представляет собой произведение скорости на длину, а безразмерная
величина R = А/2к имеет смысл числа Рейнольдса. Найти форму волны при
t > 0, исследовать случаи R «С 1 и R > 1.
13.32**. Вывести уравнение Бюргерса для МГД волны,
распространяющейся в проводящей среде поперек внешнего магнитного поля.
Исследовать профиль слабой поперечной ударной волны.
13.33. Используя результаты, полученные в примере 13.9, построить
солитон КдВ для случая положительной дисперсионной поправки (т. е. для
/х<0).
13.34*. Используя механическую аналогию, получить решение
уравнения КдВ для стационарных нелинейных волн при Е ф 0 (см.
пример 13.9). Проанализировать переход полученного решения в солитоны и в
периодические линейные волны.
13.35*. Исследовать структуру фронта ударной волны с помощью
уравнения КдВ-Бюргерса (13.87), удержав в нем и диссипативный, и
дисперсионный члены. Сравнить с результатом задачи 13.32**, полученным без
учета дисперсионного эффекта.
13.36. Оценить толщину фронта ударной волны, рассмотренной в
предыдущей задаче, при разных соотношениях между диссипативным и
дисперсионным членами.
13.37**. Построить солитонные решения нелинейного уравнения
Шредингера (13.89) и проанализировать их физический смысл. Сравнить
солитоны НУШ с солитонами КдВ.
13.38. Нелинейный осциллятор, рассмотренный в примере 13.10,
находится в вакууме. На него действует внешнее линейно поляризованное
электрическое поле E(t) = Eoe~lujt. Указать спектральный состав
рассеянного излучения и вычислить сечения рассеяния гармоник, усредненные по
периоду падающей волны.
13.39*. На нелинейный осциллятор, рассмотренный в примере 13.10,
действуют две линейно поляризованные в одной плоскости волны с
разными частотами, E(t) = E\ cosuit + E2 cosu^t. Будем моделировать
нелинейную среду совокупностью нелинейных осцилляторов. Вычислить
нелинейные восприимчивости среды, обусловленные взаимодействием волн.
13.4. Ответы и решения
601
13.40. На основе результатов примера 13.11 рассмотреть холодную
плазму с концентрацией электронов N, в которой имеется пучок малой
плотности N' «С N, движущийся со скоростью V. Найти условия, при
которых электрические колебания неустойчивы, и вычислить инкремент.
13.41*. Электронный компонент квазинейтральной холодной плазмы
движется относительно ионов со скоростью V. Найти инкремент
нарастающих колебаний. Рассмотреть, в частности, резонансный случай.
13.4. Ответы и решения
13.1.
АО 11 г 1 (xv
Телесный угол когерентности не зависит от расстояния R до источника.
13.2. ДЛ«3,52 10-10см;/± ~ А^ = 5,4Ю"3см; l\\ ~ ^ =7,1 см;
Aft ~ 1,3 • 10"31 стерад; AV = l\l\\ ~ 2,1 • 10"4 см3.
13.3. R = 9,46 • 1018км, т.е. в 6,3 • 105 раз больше, чем расстояние
от Земли до Солнца. Отсюда следует, что 1± « 3,4 • 103 см — в 6,3 • 105 раз
больше, чем 1± в предыдущей задаче. Что же касается /ц « А2/ДА « 7,1 см
и Aft « 1,3 • 10~31 стерад, то они сохраняют те же значения, что и в
предыдущей задаче. Объем когерентности AV « 8,3 • 107см3 — в 4- 1011
раз больше, чем объем когерентности солнечного излучения на Земле.
Характерным является увеличение степени когерентности света по мере его
распространения. Это относится только к поперечной когерентности.
13.4. /ц ~ А/ДА « 3 • 108см. Так как от оптического генератора идет
конус лучей с углом раствора Д$ ~А/£) = 10~5, то прилегающий к
генератору объем когерентности имеет вид конуса, обращенного к генератору
вершиной.
{D = 5 см у генератора,
h\n ~ 6000 см у основания конуса когерентности,
ДУ = !Ч^)2/ц^28-1014см3.
602
Глава 13
13.5
S = ■
1
1
s
S = e
6
exp(huj/T) - 1 ехр(2тг/гс/А/сТ) - 1'
XkT
2nhc
100
» 200 при А = 1 см, T = 273 K,
s Ю-43 при A = 5 ■ Ю-5 см, T = 273 K,
exp(2.73) - 1
0.07 при A = 5 x 10_5cm, T = 10 000 К
13.6. S = 5 x 1018, T = 1.4 x 1023 К
oo
13.7. Г(г) = ^ f I(lj)(1+cosljt)(Lj.
0
13.8. Г(г) = 2/ ^ — coscj0t.
/лит
13.9. Разность хода для света от одного из независимых излучателей,
находящегося в точке (х',у'), есть s\ — S2 ~ (хх' + yy')/R (см. рис. 13.3),
если учесть, что поперечные размеры источника много больше, чем D =
= у/х2 +у2. Поле в точках гх(0,0), г^(х, у) создается всеми излучателями
источника:
[/(П, t) = £ t/i(i), t/(r2, t) = J2 Ui(t) exp
."' R *
где f/i(r, £), Ui(r, t) — амплитуды поля г-го излучателя на первом и втором
отверстиях в момент времени t. Корреляционная функция
Г(г\,П,0) = {U'(n,t)U(T2,t))
=52(U№Ui{t)) exp [-гкХ-^Щ + 52(UKt)Uj(t)) ™P
г гфз
-гк
xx'j+yy'j
R
Второй член в Г пропадает из-за некогерентности независимых
излучателей. Первый же член представляет собой усредненную интенсивность
излучения от отдельных излучателей с учетом разности хода s\ - «s'2- Перейдя
13.4. Ответы и решения
603
от суммирования к интегрированию, получим
fsI(x',y')exp\-ikxx' ^М'] dx'dy'
l{x,y)
fsI(x',y')dx'dy>
где интегрирование выполняется по поперечному сечению источника.
13.10. a) r(D) = |7(Д 0)| = cos(7rDa/A);
б) У(£>) = (2A/7rZ))Ji(7raZ)/A).
13.11. а) р = aR = АД/2Д) « 1.5 х 108км;
б) d = aR = 1.22АД/А) « 6.3 х 108 км;
диаметр звезды Бетельгейзе приблизительно в 450 раз больше диаметра
Солнца и, следовательно, больше, чем диаметры орбит не только Земли, но
и Марса!
13.12. От первого источника идет плоская волна U\ = A\ exp[ikir] =
= |j4i|exp[z(fcir + ai)], фаза а\ и амплитуда А\, которой меняются
случайным образом, причем А\ = 0, а \А\\2 имеет постоянное ненулевое
значение. От второго источника идет волна U2 = А2ехр[гк2г], обладающая
аналогичными свойствами. Обе эти волны поступают в фотоэлементы Р\
и Р2. Неусредненный сигнал от фотоэлемента Р\ был бы пропорционален
(!) , - |2
I(ri,t) = \U1(rut) + U2(r1,t)\2 =
|^1|2+|^2|2+^1^2ехР[^(^1-^2) * r\ + A*lA2exp[-i(ki-k2) • г]
Сигнал (1) испытывает случайные флуктуации за счет флуктуации фаз А\
и А2 на частотах, значительно меньших, чем частота волн U\, U2,
пришедших от источников. Эти флуктуации, тем не менее, не регистрируются
и наблюдается усредненная интенсивность. При включении только одного
детектора усредненная интенсивность
I(r1,t) = \A1\2 + \A2\2 = I(r2,t)
не зависит от к\ — къ (фазы А\ и А2 флуктуируют независимо, так
что(Л1^) = (Л1)(^) = 0).
Пусть теперь сигналы от фотоэлементов Р\ и Р2 поступают сначала
в умножитель, в котором интенсивности 1(т\, t) и I(r2,t) перед
регистрацией перемножаются. Наблюдаемый на выходе сигнал будет пропорционален
(2)
(/(г1)*К(г2,<))=((|Л1|2) + (|Л2|2))+2(|Л1|2)(|Л2|2)со3[(к1-А!2)-(г1-г2)].
604
Глава 13
Он зависит от к\ - к2 и, следовательно, от углового расстояния между
удаленными источниками. Меняя расстояние г\ — г2 между детекторами
и наблюдая ослабления и усиления сигнала, можно найти это угловое
расстояние.
13.13. Д<р = (27г/А)(п - 1)х, где координата х отсчитывается от
преломляющего ребра перпендикулярно ему.
Если любым способом осуществить на плоскости ху фазовый сдвиг
Atp ос х, то такая плоскость будет поворачивать фронт плоской волны в
сторону больших х, т. е. действовать так же, как призма.
13.14. Фазовый сдвиг на расстоянии х от оси линзы в случае
собирающей линзы есть о
где / — фокусное расстояние, определяемое равенством
В случае рассеивающей линзы
13.15. Распределение интенсивности света на фотопластинке имеет
вид
I(x) = \A\ exp[ikxtfi] + А2 exp[ifcxi?2]|2 = h
где i?2 = # + $1, к = 27г/А, I\ = \Ai\2, I2 = \A2\2, координата х
отсчитывается вдоль фотопластинки, как показано на рис. 13.6.
Распределение почернения на проявленной фотопластинке определяется
распределением интенсивности 1(х). Пропускание Т(х) пропорционально [/(#)] ~7/2,
где 7 — коэффициент контрастности фотоэмульсии, и является
периодической функцией х с периодом Х/д. Оно может быть записано в виде Т(х) =
= а + b cos кдх (а и b — постоянные), если оставить только две низшие
гармоники. Проявленную фотопластинку можно рассматривать как
дифракционную решетку, которая разбивает падающую плоскую волну на плоские
пучки, направления в распространения которых определяются
соотношением (Ai?) sin# = nA, п = 0, ±1, ±2, ... Главными являются центральный
пучок нулевого порядка и два пучка первого порядка в направлениях в =
= ±д. Заметим, что эти три основных пучка можно получить, умножив
13.4. Ответы и решения
605
падающую волну А0 exp[ikz] на пропускание Т(х). При этом получим
волновое поле за фотопластинкой вида
A0aexp[ikx] + А0- exp[ik(z + &с)] + Ao~ exp[ik(z - &с)],
где первый член описывает неотклоненный центральный пучок, второй —
пучок первого порядка, отклоненный на +#, третий — пучок первого
порядка, отклоненный на — #.
13.16. Опорное поле на пластинке имеет вид
л л л 27г(п — 1)а
C/i = Л0 ехр[-г/3х], (3 = к J .
Мы не пишем здесь и далее общего множителя exp[i(kz — ut)]. Поле,
дифрагировавшее на отверстии:
U2 = А(х)ехр г-г"
;7ГХ
/А Г
Суммарное поле £7(ж) = U\ + U2, а интенсивность
1{х) = \и{х)\2 = А20 + А2(х) + 2А0А(х) cos (/Зх + ^).
+
/А
Распределение интенсивности содержит информацию о фазе
дифрагировавшей волны только благодаря наличию опорного пучка.
13.17. Пропускание Т(х) проявленной фотоэмульсии
А2{х) А{х) / 7гх2\1"7/2
^+2-Ucos(^ + ^)} «
« V~2{^o - ^2(х) - 7Л0Л(х) cos(рх + ^) },
если использовать условие Л о ^> А(х). Последнее соотношение можно
переписать в виде
Т(х) ос 2А\ - jA2{x) - 7А)А(х) ехр [г (j3x + ^)]
(1)
T(x)a[/(x)]-^2 = v{l
-7Л0Л(х)ехр[-г(/?х+^)
Это соотношение называется формулой голограммы Габора6.
6Габор Деннис (1900-1979) — английский ученый венгерского происхождения. Нобелевская
премия (1971) присуждена ему за изобретение голографии.
606
Глава 13
При освещении голограммы плоской монохроматической световой
волной Ао exp[i(kz —tut)] за голограммой возникает волновое поле,
представляющее собой результат дифракции на голограмме. Это поле можно получить
(ср. решение задачи 13.15) просто путем умножения первичного
волнового поля A'0exp[i(kz — ui)] на пропускание Т(х), выражаемое формулой
Габора (1). При этом получится поле вида
U^(2Al-jA2(x))exp[i{kz-ujt)}-^A0A{x)exp[i{kz-ujt}e
(2) --уА0А(х) exp[i(kz - tut)} • ехр [-г (рх + ^)].
Первый член в (2) соответствует неравномерному дифракционному (из-
за А2(х)) ослаблению падающей волны. Угол дифракции мал, так
как А(х) — плавно меняющаяся функция по сравнению с участвующими
экспонентами. Второй член действует как комбинация призмы,
отклоняющей пучок вверх, и рассеивающей линзы с фокусным расстоянием / (см.
задачи 13.13, 13.14). Третий член действует как комбинация призмы,
отклоняющей пучок вниз и собирающей линзы. В итоге при пропускании
плоской монохроматической волны через голограмму восстанавливаются
первоначальные волновые фронты (рис. 13.9): плоская волна и
сферический фронт от отверстия. Последний воссоздается два раза: в виде волны
от действительного и от мнимого изображений.
13.18.
exp[ik'z]T(x) ос \2Al- 27Л2 (l + cos тт^)] exp[ik'z]-
-7АИ{ехр[г-^(х - L>)2] + ехр[г-^(х + L>)2] } exp[i(/fa + k'z)]-
-7Д)Л{ехр [-iff(x ~ D)2] + exP [-lff(x + D)2] } exPH(#£ - *'*)]•
Второй и третий члены, как и в задаче 13.17, описывают поле,
отклоненное вверх и вниз и сфокусированное в две пары точек. Однако фокусные
расстояния соответствующих рассеивающей и собирающей линз другие,
а именно
13.4. Ответы и решения
607
Мнимое
изображение
Неотклоненный
(ослабленный)
пучок
Действительное
изображение
Рис. 13.9
Линейное увеличение выражается формулой
2Д
2D
p + q
А/'
где
Р Q /' А/'
р — расстояние от источника волн А' до голограммы, a q — расстояние
изображения от голограммы (рис. 13.10). Чтобы достичь увеличения, надо
использовать при восстановлении длину волны А' > А, а источник помещать
на конечном расстоянии р от голограммы.
13.19. Распределение интенсивности на голограмме может быть
передано без существенных искажений, если пространственный период
дифракционной картины больше, чем d,
1
|/? + (тг*//А)|
> d
608
Глава 13
Неотклоненный
пучок
Действительное
изображение
Рис. 13.10
(см. решение задачи 13.16). Этим условием ограничивается максимальный
размер голограммы в направлении х, 2хшах ~ 2Xf/d. Этот размер играет
роль диаметра линзы в теории разрешающей способности Рэлея (см.
задачу 2.144). Применяя критерий Рэлея для минимального размера s предмета,
который может быть разрешен, мы получим
_Х_
2д
А/
ZXn
i
2*
Здесь д — половина угла раствора конуса лучей, идущего от голограммы
к изображению.
13.20. Из однородности и изотропии поля в плоскости (х, у) следует,
что
(1)
K±(Pi,P2) = K±(\pi - р2\) = К±{\р\), р = рх -р2.
Координатная корреляционная функция выражается через интеграл Фурье
от спектральной функции:
(2)
Хх(р) = У^(к)ехр(гкр)-0.
13.4. Ответы и решения
609
При изотропии волновых векторов и отсутствии выделенного
направления К± зависит только от модуля \р\ = р. Равномерное распределение:
Гауссово распределение:
(4) ^(р) = ^оехр{-(кор)2/2}.
13.21. Нужно вычислить интеграл Фурье
(1) = cftcth ^ |(Im QXv(k, u))eik-r d3*- -
= chcth Щ, Im j aXu(k, w)eik- .
(27Г)3
d3k
Последнее равенство вытекает из свойства обобщенной восприимчивости
a\v(k,w) — a\v(—k,w) (см. (13.43)). В силу этого свойства имеем
(2)
/ (Ima\„(k,u>))elk'rd3k = / ImaAi/(k,w)cos(zk • r)d3k =
= Im f axAk,u)eik'rd3k.
После подстановки в (1) обобщенной восприимчивости (13.43)
вычисляем интеграл по пространству волновых векторов:
оо
Г exp(ikrcos?9 2nk2dkd cos д = 1 [ keikr » =
,«х J к2-и2е»/с2 (2тг)3 (2тг)2гг J к2-и2е»/с2
= шехр№^)-
Последний интеграл взят с помощью вычетов путем замыкания контура
интегрирования дугой большого радиуса в верхней полуплоскости комплекс-
610
Глава 13
ного к. В силу неравенств (11.93) величина \ти ^е{и)рь{и) > 0 и
обеспечивает затухание корреляции на больших расстояниях г. Интеграл,
содержащий произведение к\к„, приводится к выражению
Конечный результат:
(5)
*л„(г,и,) = ftcth (Ц) Im (W + ^^У | exp (if ^) •
13.22.
(Ex{r,t)EAr\t))k„ = cth (^ Im *f^ (б*, Ак:
2T J с2к2-ш2ец\ v u2e^
{Ex{r,t)Bv{r',t'))k„ = -eXl/0k0cth (%£) Im **"»**
(Bx(r, t)Bv(r', t))ku> = (*2*a„ - кхк„) cth ( % ) Im ^Ф
IT) с2к2-и>2е»
\2TJ ^2 _,.,2,.„/..2
к2 - и2 ерь/с2
13.23. Для вычисления спектральной плотности энергии необходимо
найти спектральные плотности напряженностей поля (Е2)^, (Я2)^. Ищем
их с использованием результатов предыдущей задачи:
(E2)UJ = (Ex(r,t)Ex(r,t))UJ =
Малые мнимые части е и /х следует учесть только в знаменателе,
воспользовавшись формулой Сохоцкого (1.223):
,2^2
(2) ,,, V 19*м(е-<ч-) +
к2 — ш2ерь/с2 у с2 J к2 — и2п2/с2
В этом равенстве в правой части п = у/е'ц' — коэффициент преломления,
который определяется действительными частями е' и \i'. В правую часть (1)
13.4. Ответы и решения
611
даст вклад только дельта-функция. Произведя интегрирование, получим
(3) (E% = ™f±cth(j£
Аналогичным образом найдем
(4) (Н*)и = ±(В2)ш = £(Е2)ш,
где е и /х следует считать действительными величинами.
Спектральную плотность теплового электромагнитного поля вычислим
с помощью формулы (11.110), относящейся к квазимонохроматическому
полю (узкий интервал частот Alj «С о;). В указанной формуле надо сделать
замены
(5) \е*-Е-*{Е2)ш^, \Н*-Н^{Н2)Ш^
и умножить ее на 2. Первая замена связана с переходом от квадратов
полей к их спектральным плотностям, а множитель 2 учитывает симметрию
(Е2)^ = (Е2)-^- Выполнив указанные замены с помощью (3), (4) и поделив
результат на Да;, получим спектральную плотность энергии поля
(6) р(ш) =
fouO , fouO
?hulT .
ш2п2 d(un(u)
тг2с3 du
Для получения полной энергии нужно проинтегрировать (6) по частоте в
пределах от 0 до оо.
Сравним (6) с формулой Планка для спектральной плотности
равновесного излучения в вакууме (полость внутри непрозрачного тела), которая
дается формулой (2) из задачи 6.23:
еПи/Т _ i ^гС6
Первое слагаемое в квадратных скобках в правой части (6) дает плотность
энергии нулевых колебаний (см. формулу (6.7)) и при интегрировании по
всем частотам расходится. Второе слагаемое описывает равновесное
излучение в прозрачной среде и совпадает с формулой Планка (7) при п = 1.
612
Глава 13
Коэффициент преломления п(и) вошел через число собственных
колебаний: k2dk = (Lun/c)2d(un/c), если использовать закон (12.7) дисперсии
плоских волн в изотропной среде к = и>п(и>)/с.
13.24. Формула Рэлея:
2и4(п-1)2
Зтгс4ЛГ '
где N — концентрация молекул газа.
13.25.
d£ _ 4"4V .2
sin20 / K£(r)exp(-iq • r)d3r,
dSl 1бтг2с4
где обозначения те же, что в примере 13.5.
13.26.
Л1 = 4^с4 Sm eexPf-2(«c) sm rf/2].
Интегрирование по углам можно произвести в аналитической форме.
13.27. По определению
(1) Ки(г,0)= [ (т2)кехр(ш.г)-^.
Л^ (2тг)2
Согласно оценке, сделанной после формулы (13.67), фурье-образ (т2)К
заметно отличен от нуля в области к < кт « 27г//т = 2-кк/(к1ш) > 27rfc.
В малой части к ^ к этой области величину (га2)к можно заменить ее
значением при к « 0:
(2) (ш2)0 = | Km(p)d2p « тг&*т(0) = тг&«|М|2> - |(М)|2).
В итоге получим
,3, *.М,,А/^.^<^^>,
13.4. Ответы и решения
613
где 3\ — функция Бесселя. Поперечная корреляционная длина
определяется аргументом функции Бесселя. Она обращается в нуль первый раз при
кг « 3,83, т. е. можно положить l± « 3,83/fc « Л ^> 1т. На больших
расстояниях от экрана поперечная корреляционная длина порядка длины волны и
намного превосходит корреляционную длину неоднородностей экрана.
Продольная корреляционная функция
В этом случае также /ц «А, но продольная корреляция убывает с ростом
расстояния по более медленному закону, чем поперечная корреляция.
13.28. В формуле (13.68) используем условие к < кш « 2-к/1ш =
= 2тгк/(к1т) <С 2пк и аппроксимируем радикал двумя первыми членами:
у/к2 - к2 « к - к2/2к. Пределы интегрирования по к считаем
бесконечными. Получаем
d2K
(1) tfu(r,C)«eifc< f(m2)Kexp{iK-r-iK2C/2k}^
J (2тг)2
Поперечная корреляционная функция
(2) Ки(г, 0) « [(т2)к exp(i#c • г)-£% = Кт(г)
J (2тг)2
совпадает с корреляционной функцией проницаемости экрана.
Корреляционные длины тоже совпадают: 1± = 1т. Продольная функция корреляции,
согласно (1), имеет вид
(3) ад, С) ~ dK \ (т2)к ехр(-ш2(/2к)
iKJ(m2)^
2'
(2тг)
Ее явный вид можно найти, задавшись конкретным спектром (т2)К (см.
следующую задачу). Но продольную корреляционную длину можно
оценить из условия, чтобы экспонента в (3) слабо осциллировала в области
к < кт « 2тг/1т, существенной при интегрировании: /ц « {klm)lm > lm.
13.29.
#>, С) « (m2)0g(C) ехр | zfcC - !^ } , </(С) = л , ,* •
211 l+K/kll
614
Глава 13
13.30. Выполнив указанную подстановку сначала в слагаемом dP/dt,
получим из (13.77) д^[—2кдь\тир + Р2/2 - кд^Р] = 0. Продолжив
подстановку, найдем d^[(p~1(-dt(f + кд^ф)] = 0. Это означает, что dt(f - кд^у =
= (fdF/dt, где dF/dt — произвольная функция времени. Еще одна
подстановка
(1) tp(Syt) = *(Z,t)expF(t)
приводит к уравнению теплопроводности для Ф:
(2) дьФ = кд\Ф.
Поскольку F(t) не влияет на значение Р(£,£), то можно переобозначить
Ф —> (р и считать, что уравнению (2) удовлетворяет функция (р.
Общее, решение уравнения (2) можно построить с помощью функции
Грина, как это было сделано в примере 10.6:
00 ( *! ^
<3) *«•<> - ^Ь / expPET" " kjp^' *
— оо
13.31. Из формулы (3) решения предыдущей задачи запишем решение
уравнения Бюргерса в виде
ГДС 2 "
(2) G«, ч, t) = ^=^ + У Potf)*/.
о
Решение не зависит от нижнего предела последнего интеграла, который
можно выбрать произвольно. Уточним выбор предела и запишем
+о
Теперь интеграл в числителе (1) можно вычислить и придать решению
форму
(ед - 1)е-€ /4Kt D_ Л
V5F+ (ея - 1) JSUse-^Ai'
(4) p(^)=^^+H-";r^_g-^' *=&•
13.4. Ответы и решения
615
Частные случаи: Д<1;в знаменателе оставляем только первое
слагаемое и получаем
(5) „{.,) = yZjfc-."/-.^,^/-
т. е. решение уравнения теплопроводности. В этом случае диссипативныи
эффект в уравнении Бюргерса преобладает над нелинейностью.
Для исследования второго предельного случая вводим безразмерную
переменную С = £/V2At и записываем точное решение (2) в виде
(6) P(U) = M9«,R), g«^) = f~1 _ - e~f* -г--
V l 2VR ^+(eR - 1) f^e-» dV
Теперь используем условие R > 1:
При z < О имеем
оо оо
/ е-71 drj « / е-77 <i?7 = л/7г,
т. е. # « (1/2\/Д)е"яс2 -^ 0 при Д -^ оо.
Если г > 0, то оо
/
e_r> d/7:
е
2Сл/Я
С\/я
и из (7) получаем
(8) Ж,Д)~ С
l + 2CV^Re^"1)
Это приближение приводит к простой зависимости g((,R) ~ С ПРИ
О < С < 1> -R ^> 1. В итоге, возвращаясь к исходным переменным,
получаем треугольную волну с разрывом в точке £ = V'2At:
' ф при О < £ < у/2М,
(9) р&*)~ у0 при ^<0? {>>/2Л*.
В окрестностях точек ^ = 0и(= у/2М имеются узкие (при R > 1)
переходные области. Их исследование проведено в монографии Уизема (1977),
из которой заимствовано и приведенное выше решение.
616
Глава 13
13.32. См. Вайнштейн и др. (1989). Искомое уравнение можно
записать в форме (13.76) или (13.77) с заменой р —> р* = р + В2/8тг, cs —► с± =
= y/cf+v%, * -+ b* = (c3j2V2)(dlV)s, a^a*= 2-lc^[v+vrnv\/cl +
+ xV{cyl — ср 1)cs/c1]j гДе vi4 = В/у/Атгт — альвеновская скорость.
13.33.
и{х, i) = -ЗАс сп_2[(Дс/4|//|)1/2(х - cwt)\,
где Ас = va — cw > О, cw < va- Солитон представляет собой магнитную
яму и является «медленным» — его скорость меньше скорости магнитозву-
ковой волны малой амплитуды.
13.34. Используем график эффективной потенециальной энергии
(рис. 13.11). При и>0и0^Е^ Wm[n = -2Дс3/3 частица в
потенциальной яме совершает нелинейные колебания, при этом ее координата
и изменяется в пределах от и\ до г/2, определяемых точками пересечения
горизонтальной прямой Е = const с границами ямы. Солитону отвечает
Е = О и изменение и в пределах от 3 Ас до 0 в соответствии с результатами
примера 13.9. При и < О движение частицы инфинитно, что соответствует
неограниченному росту и. Этот случай не описывает какой-либо
реальной волны. При Е, близком к Wmin, колебания происходят около значения
и = 2Ас с малой амплитудой и носят синусоидальный характер.
Эту качественную картину можно перевести на язык формул.
Представим Р(и) в виде Р(и) = (и\ — и) (и — г/г) (г/ — г/3), где щ ^ г/2 ^ щ —
корни кубического уравнения Р(и) = 0. При и\ ^ и ^ г/2,
вычисляя интеграл в формуле (4) примера 13.9 с помощью справочника
[Градштейн и Рыжик (1971)], получим
(1) ±С _ 2F(A,p)
\/Зд у/{и\ - и3)
где
/п\ \ ■ . ui-u /г/1 -г/2
(2) A = arcsinW , р=\ .
w у г/i -г/2 ^ у tii -г/з
Разрешая (1) относительно г/, будем иметь
(3) г/(М) = г/1 - (г/1 - u2)sn2(£,p),
13.4. Ответы и решения
617
где £ = [(щ - г^2)/12/х]1/2(х - cwt), a sn(£,p) — функция Якоби. При
£ и р действительных функция Якоби имеет период по £, равный 4К (р)
где К(р) — полный эллиптический интеграл первого рода. Решение (3)
описывает кноидальную волну.
В частном случае Е —> 0 имеем и\ —> ЗДс, ич —> г^з —> 0. При этом
р —» 1, a sn(£,p) —> th£. Таким образом, мы снова имеем солитон. При
малых Е (E/Wm[n <C 1) кноидальная волна представляет собой бесконечную
цепочку солитонов, разделенных расстоянием L « <Hn(864H/rmin/i£) > S,
где (5 = 2(/х/Дс)1//2 — ширина отдельного солитона. При 1 - E/Wm\n ^ 1
получаем щ « 2Дс, г/i - г^2 ~ 2[(£ - VFmin)/Ac]1/2, р « 1, a sn(£,p) «
« sin£; решение (3) принимает вид
(4) u{x,t) = 2Дс + [{Е - Wm;n)/Ac]1/2cos[(ui - u2)/3/z]1/2(x - cwt)
и представляет собой линейную волну малой амплитуды.
h/Au
-1L
Рис. 13.11
13.35. Будем искать решение уравнения КдВ-Бюргерса в виде
и(х — vsht). Оно приводится к виду
(1)
уи" — kv!
f — ¥■
618
Глава 13
который отличается от уравнения (2) из примера 13.9 только наличием
диссипативного члена —ки'. В эффективной потенциальной энергии (3)
Дс = vSh — va > 0, постоянная интегрирования К = О, если потребовать,
чтобы асимптотически перед фронтом и —> 0, а за фронтом и —► Аи =
= const. Параметр Аи определяет силу ударной волны. Штрихами в (1)
обозначено дифференцирование по переменной ( = х - vsht. Устремив
в (1) С —> -оо (область за фронтом), найдем связь между параметрами Ас
и Аи:
(2) Аи = 2Ас.
Качественную картину поведения и выясним на основе
механической аналогии с колебаниями частицы в потенциальной яме с трением
(рис. 13.12). Считаем /х > 0. Осциллятор стартует из состояния а при
С —> +оо (асимптотика и = 0 перед фронтом волны). С ростом t (что
соответствует уменьшению Q осциллятор переходит в состояние b
(вершина первого максимума магнитного поля, весьма сходного с солитоном, если
диссипация невелика). Далее происходит еще бесконечное число
осцилляции (состояния с, d и т. д.), сопровождающиеся уменьшением амплитуды,
пока асимптотически при ( —* — оо осциллятор не переходит в состояние /,
отвечающее постоянному значению и = Аи за фронтом волны.
Рис. 13.12
13.4. Ответы и решения
619
Рис. 13.13
Осцилляционный режим легко исследовать при малых
амплитудах путем линеаризации уравнения (1). Записывая его решение в виде
и(() = ai,2exp(fci,2C)> получим перед фронтом (область 1)
(3)
кг = -(/с/2/х)[(1 - 4//Дс/к2)1/2 - 1].
Это соответствует апериодическому режиму изменения и от 0 до
некоторого Umax- За фронтом (область 2) будем иметь
(4) к2 = к/2// ± г(к/2//)(4//Дс/к2 - 1)1/2.
Режим оказывается колебательным, если
(5) к < (4/гДс)1/2 = (2/iAu)1/2.
(рис. 13.13). При fi < О (положительная дисперсия) картина меняется на
противоположную: перед фронтом — колебания при выполнении условия (5)
для |/х|, за фронтом — плавный выход на асимптотику и2 = Ди. Ширина
620
Глава 13
ударного фронта определяется расстоянием, на котором затухают
осцилляции.
13.36.
5J 1 , 1 ^_ ^KI + ^IAc/k2)1/2
| Re fci| | Re k2\ J к[(1 + 4\^\Ас/к2)^2 - 1]
[i может иметь любой знак. При // —> 0 получаем формулу (5) примера 13.8,
а при к2 «С 4|/х| Ас ширина фронта не зависит от силы волны: S « 4|/х|/я.
13.37. См. раздел 8.8 в монографии Вайнштейна и др. (1989).
13.38.
8тги;4|/3(и;)|2 8уг 2 ^
ЗС4 3 0(w2_w2)2+72w2'
где го = е2/тс2 (ср. с задачей 5.127).
V|/?(uO|2s02
cr(2u;) = а (а;)
(wg - 4cj2)2 + 47V
13.39. Возникает нелинейная поляризация на нулевой частоте Р$ =
= а[ \0)Е2 + а2 (0)^1» которая определяется нелинейными восприим-
чивостями а\ 2(0) = —TVe^l/?^!^)!2/^^, и нелинейные поляризации на
удвоенных 2и\, 2lj2, суммарной ш\ + CJ2 и разностной u;i — CJ2 частотах.
Соответствующие нелинейные восприимчивости:
(2) л, ч iVeg/?2^)
^ 42wi,2) = -;--2—7^ ^ Т'
(2), x JVe^M^M
<*K )(ui-u2) = —2—; ъ—~7 T-
^0 - (^1 - ^2) - «7(^i - ^2)
Они определены так же, как в примере 13.10.
13.4. Ответы и решения
621
13.40. Дисперсионное уравнение:
(1) '"^"t^W ' °=ЛГ
Отсюда при \к\\ | V < woe имеем
(2) Ш = ЬУ + п, 7= al/2w°e
y/(W0e/k\\V)* - 1
Групповая скорость нарастающей волны vp = duj/dk\\ = V. В системе пучка
колебания имеют нулевую частоту и нарастают апериодически с
инкрементом 7 (сносовые колебания).
При fe||V « с^ое формула (2) для инкремента теряет силу, и
уравнение (1) надо решать заново. Ищем решение в виде и = мое + Р, \Р\ «С шое,
но \/3\ > \ujoe - k\\V\. Из уравнения (1) получаем
(3)
2/3 _ аи20е
ШОе 0*
Это уравнение имеет действительные и комплексные корни. Нам требуется
комплексный корень, удовлетворяющий условию 7 — 1ш /3 > 0. Он имеет
вид
(4) 0 = uOea1/32-4/3(-l+iV3),
которым и определяется инкремент 7 вблизи резонанса между ленгмюров-
скими и сносовыми колебаниями.
13.41. При |fe|||V < c^oe имеем
и; = г7, где 7 :
>/(^0е/*||П2-1
При fc||V« -CJoe
^"^/U^J +^' Где ^^^(wj
— инкремент неустойчивости Бунемана.
Глава 14
Электромагнитные колебания в
ограниченных телах
14.1. Электромагнитные волны в волноводах
Во многих технических устройствах (а иногда и в естественных
условиях) электромагнитные волны распространяются вдоль некоторых
направляющих, в роли которых могут выступать металлические или
диэлектрические тела (провода, металлические трубы произвольного сечения,
диэлектрические и ферромагнитные пластины и их комбинации). Такие устройства
называются волноводами (в оптическом диапазоне — световодами).
Вопросы, относящиеся к волноводам, составляют широкую область прикладной
электродинамики. Мы рассмотрим только самые общие и принципиальные
вопросы о возможных типах волн в волноводах и о структуре их
электромагнитного поля.
Поверхностные волны. Начнем с выяснения условий существования
на плоской границе диэлектрика и вакуума поверхностной
монохроматической волны — такого электромагнитного возмущения, которое
распространяется вдоль границы и амплитуда которого убывает при удалении от
границы. Диэлектрик будем считать изотропным и характеризовать скалярными
проницаемостями е(и), ц(и>) (без пространственной дисперсии). Ось Oz
направим по нормали к границе вглубь диэлектрика. Поле поверхностной
волны удовлетворяет в каждом полупространстве уравнениям Максвелла
V х Е = Ц-рН, V х Н = -ЦеЕ, (14.1)
причем в вакууме е = fi = 1. Обращение в нуль дивергенций векторов
Е, Н вытекает из (14.1). Из этих уравнений следуют также уравнения
второго порядка:
AE = -(4-€fiE (14.2)
сг
и точно такое же уравнение для Н.
14.1. Электромагнитные волны в волноводах
623
Ищем зависимость поля от координат в виде
Е\ = S\ exp(ikx + q\z), H\ = Ж\ exp(ikx + q\z), q\ > 0;
(14.3)
E2 = £2 exp(ikx — qiz), if 2 = Ж2 exp(ikx - q^z), <?2 > 0.
Индексы 1 и 2 относятся к вакууму и диэлектрику соответственно,
волна распространяется вдоль оси Ох и затухает при удалении от границы
как в вакууме, так и в диэлектрике. При действительных проницаемостях
затухание не связано с диссипацией электромагнитной энергии. Волновое
число к выбрано одинаковым в диэлектрике и в вакууме, чтобы можно было
произвести сшивание полей на границе z = 0:
Е\т = Е^т, Н\т = Н.2т\ Е\п = sEini Н\п = //#2п- (14.4)
Связь постоянных затухания с частотой и волновым числом находим
из уравнения (14.2), подставив в него решение (14.3):
9i = Л2 - ^ > 0, 92 = W*2 - ^еНМ") > О- (14.5)
Из условий положительности постоянных затухания находим ограничения:
fc2>4> к2><4е(и>Мш). (14.6)
Рассмотрим возможность существования поверхностной волны с
поперечным магнитным вектором, расположенным в плоскости раздела сред:
Ж\ = Ж 2 = Жеу. Из второго уравнения (14.1) находим амплитуды
электрического поля в двух областях: S\x = —(icqi/u))3№, 8\z = . — (ск/и)Ж,
@2х = (^2/сие)Ж, §2z' = —(ск/ие)Ж. Граничные условия (14.3) для
магнитного поля и z-компоненты электрического поля выполняются
тождественно, а приравнивание х-компонент электрического вектора дает важное
соотношение q\ = —qil^- Из него и (14.5) следует еще одно ограничение
на свойства диэлектрика:
е(и) < 0. (14.7)
Пользуясь значениями постоянных затухания (14.5), находим уравнение
дисперсии для поверхностной волны:
Jk2 - {uj/c)2e{u;)fx{u;) t ч
— + е(ш) = 0. (14.8)
у/к2 - (и/с)2
624
Глава 14
Обратим внимание на то, что поверхностная волна непоперечна —
электрический вектор у нее имеет продольную (относительно направления
распространения) компоненту. Это — волна электрического (Е) типа, или ТМ
(поперечно-магнитная) волна.
Аналогичный анализ волны Н типа (Жх Ф 0, Жг ф О, §У ф 0)
приводит к дисперсионному уравнению
л/fc2 - (u/c)2e(uj)fi(uj)
V у \^/+мМ = 0, МИ<0. (14.9)
yjk2 - {и/с)2
Для этой волны остаются в силе ограничения (14.6), но не действует (14.7).
Рассмотрение поверхностных волн для конкретных моделей среды см. в
задачах 14.1*—14.4**. Волны в световоде (в одномерной модели) рассмотрены,
в задачах 14.5-14.7.
Металлические волноводы. Достаточно длинные волны (например,
сантиметрового диапазона) передают по волноводам, представляющим
собой металлические трубы с разными формами сечения. Вдоль оси
волновода (ось Oz) возможно распространение бегущих волн, в поперечном
направлении волна является стоячей. В общем случае волны в волноводе не
являются поперечными, как уже было показано на примере поверхностных
волн. Только в волноводах с неодносвязной формой поперечного сечения
возможны чисто поперечные электромагнитные волны.
Типы волн, которые могут распространяться в данном волноводе,
определяются путем решения уравнений Максвелла при соответствующих
граничных условиях. Волна, бегущая вдоль оси волновода, описывается
функциями
E(r, t) = S(x, у) exp(ikz — iut), H(r, t) = Ж(х, у) exp(ikz — iut).
(14.10)
Здесь uj — частота волны, к — составляющая волнового вектора в
направлении оси волновода. Величину к называют также постоянной
распространения.
В случае волн электрического типа (£-волн) Жг = 0, a Sz
удовлетворяет уравнению
Д±£г+К2£г =0, (14.11)
где к — поперечная составляющая волнового вектора, е и fi —
проницаемости диэлектрика, заполняющего волновод, и граничному условию
gz=0 (14.12)
на стенке волновода.
14.1. Электромагнитные волны в волноводах
625
В случае волн магнитного типа (Я-волн) ёг = О, а Жг является
решением уравнения
А±Ж2 + к2Ж2=0, (14.13)
удовлетворяющим граничному условию
gT=0 или ^Р=0 (14.14)
on
на стенке волновода.
В уравнениях (14.11) и (14.13) А± — двумерный оператор Лапласа.
Граничные условия (14.12) и (14.14) строго справедливы только для
волноводов с идеально проводящими стенками.
Поперечные составляющие векторов 8 и Ж могут быть выражены
с помощью уравнений Максвелла (14.1) через продольные составляющие
этих векторов.
Возможные значения поперечного волнового числа к определяются из
граничных условий на стенках волновода. Частота ш, волновые числа к, к,
а также проницаемости е, [i диэлектрика, заполняющего волновод, связаны
дисперсионным соотношением
и2ец = и2с+(ск)2 (14.15)
которое получается при подстановке решений (14.10) в (14.2). Здесь ис =
= ск — граничная частота волновода для волны данного типа (с конкретным
значением к). В волноводе с односвязной формой сечения (см. задачи 14.9,
14.11, 14.21 и др.) все возможные значения к > 0. В таких волноводах
распространяются волны лишь с частотами и > ио, где ио — минимальная
граничная частота. Соответствующая «длина волны в вакууме» Ао = 2тгс/сио —
порядка линейного размера сечения волновода. При а; < с^о постоянная
распространения к становится чисто мнимой, поэтому распространение волны
невозможно. Однако и при и > с^о к в общем случае комплексно.
Это связано с тем, что стенки волновода имеют конечную
проводимость, поэтому в них происходит диссипация энергии и электромагнитная
волна затухает по закону e~az. Коэффициент затухания а (мнимая часть к)
равен отношению энергии, диссипируемои в единицу времени в стенках
волновода на единице его длины, к удвоенному потоку энергии вдоль
волновода. В случае, когда поверхностный импеданс С = С' + К" стенок мал,
можно получить приближенные выражения коэффициента затухания для Е-
волн:
а = £±- • -^ Ц (14.16)
2ккс f\gz\2dS V }
626
Глава 14
и для Я-волн:
ск2С §[№* + (.к?/к*)\УЖ,\*]<и
а = ^ьГ JwJdS • (1417)
Здесь Sz и J^ — компоненты полей, вычисленные при С — 0 (те-
в предположении идеальной проводимости стенок волновода), dl —
элемент контура поперечного сечения волновода, dS — элемент площади этого
сечения.
В волноводах с неодносвязным сечением (см. задачи 14.9, 14.18)
возможны чисто поперечные (ТЕМ) волны.
Рекомендуемая литература: [Джексон (1975); Вайнштейн (1988); Вайн-
штейн (1966а); Гуревич и Мелков (1994); Солимено и др. (1989); Каганов
и др. (1997); Пановский и Филипс (1963); Иорганев и Бондаренко (2002);
Памятных и Туров (2000); Никольский (1973); Де Бройль (1948)].
Задачи
14.1*. В бесстолкновительной плазме и в любой конденсированной
среде при достаточно высоких частотах диэлектрическая проницаемость
имеет вид е(ш) = X—J^JJ1, а магнитная проницаемость /х = 1. Произвести
с помощью формул (14.7), (14.8) анализ поверхностной плазменной волны,
найти для нее зависимость и (к), рассмотреть частные случаи.
14.2. Сделать то же самое для немагнитного и неполярного
диэлектрика с диэлектрической проницаемостью е(и) = 1 + ш^/(и% - и2)
(поверхностный поляритон).
14.3. Ферродиэлектрик, намагниченный до насыщения вдоль оси Oz,
занимает полупространство у > 0. Получить в магнитостатическом
приближении дисперсионное уравнение для поверхностной волны, волновой
вектор которой ориентирован вдоль либо против оси Ох, а вектор
напряженности магнитного поля имеет отличные от нуля компоненты Ях, Ну. Для
магнитной проницаемости использовать формулы (12.36). Какие
направления имеет фазовая скорость волны при двух указанных выше направлениях
волнового вектора? Суть магнитостатического приближения разъяснена в
задаче 12.43.
14.4**. Ферродиэлектрик, намагниченный до насыщения вдоль
оси Oz, занимает полупространство у > 0. Исследовать поверхностную
14.1. Электромагнитные волны в волноводах
627
Я-волну, распространяющуюся в направлении Ох с отличными от нуля
компонентами векторов поля Ех, Нх, Ну. Получить дисперсионное
уравнение для этой волны, считая е = const и используя выражения (12.36)
для тензора /1 Исследовать его решения с учетом невзаимности, т. е.
зависимости частоты от направления распространения волны (по или против
оси Ох при неизменном направлении постоянного намагничивающего
поля if о и намагниченности М0 \\ Но). Найти на плоскости (кх,и) области
существования поверхностной волны.
14.5. Бесконечно протяженный диэлектрический слой заполняет в
вакууме область — а < х ^ а и имеет проницаемости е и //. Показать, что
такой слой может действовать как волновод (для этого нужно, чтобы поле
бегущей электромагнитной волны концентрировалось, в основном, внутри
слоя). Определить типы волн, которые могут распространяться в таком
волноводе. Ограничиться случаем, когда векторы поля не зависят от
координаты у.
14.6. Диэлектрический слой с проницаемостями е, //, заполняющий
область 0 < х < а, нанесен на поверхность идеального проводника. В
области х > а — вакуум. Какие типы электромагнитных волн с амплитудой,
убывающей при удалении от слоя, могут распространяться вдоль слоя?
Сравнить возможные типы волн с системой волн, полученной в предыдущей
задаче.
14.7. Диэлектрический слой, рассмотренный в задаче (14.5) и
прозрачный в оптической области, можно использовать как световод.
Вычислить для четных Е-воли ту долю К потока электромагнитной энергии,
которая передается внутри диэлектрика (по отношению к полному потоку).
При каких условиях она будет близка к единице?
14.8. Вывести формулы (14.16) и (14.17) для коэффициентов
затухания волн в металлическом волноводе с малым поверхностным импедансом.
14.9. Плоский волновод образован двумя идеально проводящими
параллельными плоскостями больших («бесконечных») размеров,
расстояние между которыми а, и заполнен диэлектриком с проницаемостями е, [i.
Найти возможные типы волн, их дисперсионные уравнения и
распределение монохроматического поля в пространстве.
14.10. Определить типы волн, которые могут распространяться в
прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками (длины
сторон а, Ь). Найти для них закон дисперсии и конфигурации полей (т. е.
зависимость компонент поля от координат).
628
Глава 14
14.11. Определить коэффициенты затухания а разных типов волн
в прямоугольном волноводе. Поверхностный импеданс стенок волновода (
задан.
14.12. Найти возможные типы волн в круглом волноводе радиуса а,
считая его стенки идеально проводящими. Определить граничную
частоту с^о для такого волновода.
14.13. Используя результат предыдущей задачи, найти
коэффициенты затухания а разных типов волн в круглом волноводе. Поверхностный
импеданс стенок ( задан.
14.14. Определить фазовую vph и групповую vg скорости волн в
прямоугольном и круглом волноводах с идеально проводящими стенками.
Построить их зависимость от Л = 2тгс/и.
14.15. Определить фазовую vph и групповую vg скорости волн в
волноводе геометрическим методом. Для этого рассмотреть простейшую
волну типа Ню в прямоугольном волноводе, разложить ее на плоские волны
и исследовать отражение этих волн от стенок волновода.
14.16*. Дисперсионное соотношение (14.15) для электромагнитной
волны в незаполненном (е = /х = 1) металлическом волноводе формально
совпадает с уравнением связи между энергией и импульсом релятивистской
частицы1:
S2 = (Мс2)2 + (ср)2, М - масса частицы;
и2 = lu^o + (cfc)2, ujno — предельная частота рассматриваемой моды.
Аналогия становится более явной, если использовать квантовые
представления о фотонах в волноводе. Тогда 8Ш = hw — энергия фотона, hk = p —
его импульс, а величина Мш = hu>no/c2 играет роль массы:
81 = {Мы<?)2 + {ср)2.
Таким образом, фотон в волноводе, в отличие от фотонов в
неограниченном пространстве, приобретает массу. Проанализировать некоторые
аспекты такой трактовки волноводных мод на примере простейшего плоского
волновода, рассмотренного в задаче 14.9.
1. Показать, что при адиабатическом (медленном) изменении
расстояния между металлическими плоскостями сохраняется продольный
импульс hk = p фотона, который является в данном случае адиабатическим
1 Эта аналогия привлекла внимание одного из основоположников квантовой механики (см.
[ДеБройль(1948)]).
14.1. Электромагнитные волны в волноводах 629
инвариантом.2 Энергия волноводного фотона и его «масса» при этом
изменяются.
2. Вычислить изменение энергии волноводной моды при сближении
стенок, рассматривая его как результат работы внешнего источника против
сил светового давления. Показать, что в процессе эволюции сохраняется
обычный адиабатический инвариант гармонического осциллятора, т. е.
отношение энергии моды к ее частоте.
Указание. При выполнении п. 1 разложить волноводную моду на две
поперечные плоские волны, распространяющиеся под углом к оси
волновода, и вычислить изменения их частот и направлений распространения при
отражении от движущейся полностью отражающей стенки.
14.17**. Произвести дальнейший анализ свойств фотона в волноводе.
С какой скоростью распространяется фотон вдоль волновода? Рассмотреть
его «продольную» и «поперечную» массы (их определение было дано в
задаче 4.41). Рассмотреть также поведение волноводного фотона в
гравитационном поле.
14.18. Исследовать структуру поперечной электромагнитной волны
в идеально проводящей коаксиальной линии (большой и малый радиусы
соответственно b и а). Подсчитать средний поток энергии 7 вдоль линии.
Рассмотреть предельный случай одиночного идеально проводящего
провода.
14.19. Определить возможные типы непоперечных электромагнитных
волн в коаксиальной линии с идеально проводящими стенками (радиусы а
и b > a).
14.20. Определить коэффициент затухания а поперечной
электромагнитной волны в коаксиальной линии. Заданы радиусы a, b > а и
поверхностный импеданс £ = С + К" -
Указание. Использовать приведенное в начале раздела определение
коэффициента затухания через потери энергии.
14.21*. Рассмотреть распространение аксиально симметричной
волны электрического типа вдоль одиночного бесконечно длинного
цилиндрического проводника с конечной проводимостью, находящегося в вакууме.
Определить фазовую скорость волны. Показать, что в случае идеально
проводящего провода волна перейдет в поперечную электромагнитную волну
2См. подраздел «Адиабатические инварианты» раздела 4.2.
630
Глава 14
(см. задачу 14.18). Использовать приближенное граничное условие Леонто-
вича (12.13).
14.22. Аксиально симметричная Е-волиз. распространяется в
круглом волноводе радиуса 6, частично заполненном диэлектриком. Диэлектрик
имеет проницаемость е и занимает область а < г ^Ь. Считая а <^Ь,
определить зависимость фазовой скорости от частоты и граничную частоту. При
каких условиях фазовая скорость будет меньше с? Рассмотреть предельный
случай волновода, полностью заполненного диэлектриком.
14.23. Между двумя идеально проводящими плоскостями х = ±а
(рис. 14.1,а) помещена в плоскости у = 0 лестничная перегородка
(рис. 14.1,6), состоящая из тонких металлических полосок,
ориентированных вдоль оси Ох. Расстояния между полосками и их ширина малы по
сравнению с длиной волны. Область у > 0 над лестничной перегородкой
заполнена диэлектриком с проницаемостью е, в области у < 0 — воздух.
Найти возможные типы бегущих волн, которые могут распространяться в
такой системе вдоль оси z. Как связана постоянная распространения этих
волн с частотой?
Указание. Лестничную перегородку для достаточно длинных волн
можно рассматривать как анизотропно проводящую плоскость,
проводимость которой в направлении оси Ох бесконечна, а в направлении Oz равна
нулю.
14.24. Прямоугольный волновод с поперечным сечением а х b и
идеально проводящими стенками заполнен ферродиэлектриком.
Постоянное магнитное поле приложено перпендикулярно широкой стенке
волновода (вдоль оси Оу). Тензоры электрической и магнитной проницаемостей
ферродиэлектрика имеют вид
(е± 0 -iea\ / fi± 0 -ifia\
геа 0 е± J \^fl 0 я /
Определить составляющие электромагнитного поля, постоянную
распространения и граничную частоту волновода для случая, когда поле не зависит
от Оу.
14.25. Электрическое и магнитное поля в волноводе с идеально
проводящими стенками, не содержащем диэлектрика, описываются функциями
Яо =So(x,y)e*k°z-u)t\ Н0=Ж0(х,у)ег^-"г1
14.1. Электромагнитные волны в волноводах 631
а) 6)
Рис. 14.1
Если в волновод вставить диэлектрический сердечник, имеющий форму
цилиндра произвольного сечения с осью, параллельной оси волновода, то
поля в волноводе примут вид
Е = ё(х,у)е*кг-шг), Н = Ж(х,у)е^кг'шг).
Диэлектрик в общем случае может характеризоваться тензорными
параметрами 6ik, fi>ik- Показать с помощью уравнений Максвелла, что постоянная
распространения изменится на величину
Ак = к — ко = ——— — ,
cfs[(S*0x Ж) + (ёхЖ*0)} ezdS
где Aeik = Sik — Sik, A/iifc = /x^ — Sik, интеграл в числителе берется по
площади сечения диэлектрического стержня (AS), интеграл в знаменателе —
по площади сечения волновода (S).
14.26. В прямоугольный волновод с идеально проводящими
стенками вносится ферродиэлектрическая пластинка толщиной d «С а,
намагниченная вдоль оси волновода (рис. 14.2). Пользуясь формулой, полученной
в предыдущей задаче, определить с точностью до членов порядка d
изменение Ак постоянной распространения волны типа Ню- Диэлектрическая
632
Глава 14
проницаемость пластинки — скалярная величина, тензор ее магнитной
проницаемости дается формулой (12.35).
14.27. В коаксиальный волновод (рис. 14.3) вставлена тонкая ферри-
товая пластина (d < a, b), намагниченная вдоль оси волновода. Определить
изменение Ак постоянной распространения поперечной электромагнитной
волны.
Указание. Амплитуды возмущенных полей определить таким же
методом, как в предыдущей задаче.
Рис. 14.2 Рис. 14.3
14.28. Решить предыдущую задачу для случая, когда постоянное
подмагничивающее поле Яо направлено перпендикулярно оси волновода.
Рассмотреть два направления этого поля: а) Я0 перпендикулярно широкой
грани пластинки; б) Я0 перпендикулярно узкой грани пластинки.
14.2. Электромагнитные колебания в резонаторах
Резонаторы СВЧ-диапазона представляют собой замкнутые полости,
окруженные металлическими стенками. В резонатор часто помещают
диэлектрики, магнетики, металлические стержни и другие элементы для
управления электромагнитными колебаниями. В резонаторе может
существовать система стоячих волн с определенными частотами и
(собственными частотами резонатора) и длинами волн, которые соизмеримы с
размерами резонатора. Эта система волн определяется (в случае не заполненного
14.2. Электромагнитные колебания в резонаторах
633
диэлектриком резонатора с идеально проводящими стенками) путем
решения уравнений
АЕ+^Е = 0, dWE = 0 (14.18)
с2,
с граничным условием для тангенциальной компоненты поля
Ет = 0. (14.19)
Собственные функции резонатора Ev? отвечающие различным
собственным частотам и„, взаимно ортогональны. Собственные функции,
соответствующие одной и той же частоте (их может быть несколько — см.
задачи 14.29, 14.31), также можно выбрать взаимно ортогональными.
Условимся нормировать их на 47г:
/
Ev,*EvdV = ±>K&vv,, (14.20)
где интеграл берется по объему резонатора. Этому же условию
удовлетворяют собственные функции Hv, которые выражаются через Еи с помощью
уравнений Максвелла.
Вследствие потерь энергии в стенках или в веществе, заполняющем
резонатор, а также излучения энергии во внешнее пространство, свободные
колебания реальных резонаторов являются затухающими. Потери энергии
в металлических стенках можно учесть с помощью граничных условий
Леонтовича. Потери энергии данного типа колебаний характеризуются
добротностью Qv, которая определяется отношением
и = —р— или Qu = —. (14.21)
Здесь Wu — энергия, запасенная в резонаторе, Pv — средняя (по времени)
мощность потерь; lov — резонансная частота, которая может отличаться от
резонансной частоты идеального резонатора; ^v — декремент затухания.
Оптические резонаторы, которые применяются в лазерах, как правило
являются открытыми. У них отсутствует боковая поверхность, и
электромагнитная волна удерживается в резонаторе, попеременно отражаясь от
двух плоско-параллельных, сферических или иной формы зеркал,
расстояние между которыми намного превосходит длину волны.
3 Значком v обозначена совокупность четырех величин, однозначно определяющих
собственный тип колебаний («моду») резонатора.
634
Глава 14
Рекомендуемая литература: [Джексон (1975); Вайнштейн (1988); Вайн-
штейн (1966а); Гуревич и Мелков (1994); Солимено и др. (1989); Звелто
(1984); Пановский и Филипс (1963); Иорганев и Бондаренко (2002);
Памятных и Туров (2000); Никольский (1973); Де Бройль (1948)].
Задачи
14.29. Определить типы собственных колебаний в полом резонаторе
с идеально проводящими стенками. Резонатор имеет форму прямоугольного
параллелепипеда, его размеры а х b x h.
14.30. Определить число собственных колебаний AN(u),
приходящихся на интервал частот Аи в полом резонаторе объема V,
рассмотренном в предыдущей задаче. Считать, что выполняются неравенства Аи <С и;
и AN > 1.
14.31. Резонатор имеет форму прямого кругового цилиндра
высотой h и радиуса а. Считая стенки резонатора идеально проводящими, найти
частоты собственных колебаний. Рассмотреть колебания электрического и
14.32. Две круглые металлические
пластинки радиуса R находятся на малом
расстоянии d друг от друга, образуя конденсатор.
Обкладки конденсатора замкнуты проводником
толщиной 2а, имеющим форму кольца радиуса b
(рис. 14.4). Найти собственную частоту
колебаний такого «открытого резонатора»,
предполагая применимым квазистационарное
приближение. Все проводники считать идеально
проводящими.
14.33. Найти собственную частоту с^о колебаний системы,
изображенной на рис. 14.5, предполагая, что соответствующая ей длина волны Ао
велика по сравнению с размерами системы. Потерями энергии и краевыми
эффектами пренебречь.
14.34. Для уменьшения потерь энергии на излучение вместо
открытого колебательного контура (см. рис. 14.4) используют закрытый
резонатор, состоящий из соединенных вместе тороидальной камеры и плоского
конденсатора с круглыми пластинами (его разрез и размеры показаны на
магнитного типов.
14.2. Электромагнитные колебания в резонаторах
635
Рис. 14.5
рис. 14.6). Найти собственную частоту ио основного типа колебаний
такого резонатора в квазистационарном приближении. При каких условиях
применимо такое приближение? Стенки резонатора считать идеально
проводящими.
Рис. 14.6
14.35. Решить предыдущую
задачу для тороидального
резонатора с камерой прямоугольного сечения
(рис. 14.7).
14.36. Резонатор
представляет собой цилиндр кругового
сечения (внутренний радиус Ь, высота /г),
вдоль оси которого вставлен
идеально проводящий стержень радиуса а
(рис. 14.8). Стенки цилиндра также
обладают идеальной проводимостью.
т
Рис. 14.7
636
Глава 14
■26-
Между стержнем и одним из торцов цилиндра оставлен зазор d. Найти
собственные частоты поперечных относительно оси системы
электромагнитных колебаний, считая, что длина волны этих колебаний много
больше зазора d (но не высоты h цилиндра). Как изменится спектр колебаний
при d -> О?
14.37. Известны собственные частоты
колебаний ujv и собственные функции Е», Ни
резонатора с идеально проводящими стенками.
Вычислить изменение собственных частот,
вызванное конечной проводимостью стенок резонатора.
Поверхностный импеданс ( стенок мал.
Указание. Искать решение уравнений
Максвелла в виде
E(r,t) = ^2ql/(t)El/(r),
V
я(г,о = 5>,(ОЯЛг)>
Рис. 14.8 v
2а
где qv и pv — неизвестные функции времени. Вывести уравнения для qv
и pv с точностью до членов, линейных по С и исследовать их решения.
14.38. Полый резонатор имеет форму куба со стороной а.
Проводимость стенок а, магнитная проницаемость /х = 1. Вычислить добротность
резонатора для произвольного типа колебаний. Как она зависит от частоты?
При каких частотах резонансные свойства системы исчезнут?
14.39. Полый резонатор, стенки которого имеют поверхностный
импеданс С, возбуждается сторонним током j{r)e~lu}t, текущим внутри
резонатора. Частота тока и близка к одной из собственных частот резонатора.
Найти электромагнитное поле, возбуждаемое в резонаторе, и его
зависимость от частоты и вблизи резонанса.
Указание. Использовать метод решения, развитый в задаче 14.37.
14.40. Открытый резонатор инфракрасного диапазона состоит из двух
параллельных круглых зеркал диаметром D, находящихся на расстоянии L
друг против друга (рис. 14.9). Пусть собственное колебание такой системы
реализуется в виде двух волн с А « L, D, распространяющихся
перпендикулярно плоскостям зеркал навстречу друг другу и образующих стоячую
электромагнитную волну
14.2. Электромагнитные колебания в резонаторах
637
Оценить по порядку величины добротность такого резонатора в
приближении геометрической оптики. Учесть потери энергии при отражениях
от зеркал (коэффициент отражения К) и излучение через боковую
поверхность резонатора за счет дифракции. Параметры резонатора: D = L = 1 см;
R = 0,95; А = 3-КГ4см.
14.41. Зеркала открытого резонатора,
рассмотренного в предыдущей задаче, слегка непарал-
лельны. Угол между их плоскостями /3 «С 1.
Оценить дополнительные потери на излучение и
соответствующий вклад в добротность резонатора,
обусловленный непараллельностью зеркал. Какие
значения угла Р допустимы без существенного
уменьшения полной добротности резонатора?
Рис. 14.9
14.42. В резонаторе, образованном двумя па- к
раллельными зеркалами (см. рис. 14.9), собственные
колебания с А «С L, D осуществляются в виде
стоячих волн в пространстве между зеркалами.
Рассмотреть тот тип колебаний, в котором волновой вектор стоячей волны
составляет малый угол д с нормалью к плоскостям зеркал.
а) Найти условие, определяющее возможные значения д при
заданной А.
б) Оценить по порядку величины добротность резонатора как функцию
угла д. Рассмотреть различные соотношения между потерями в зеркалах
и потерями на излучение.
14.43. Открытый резонатор с двумя параллельными плоскими
зеркалами (рис. 14.9) отличается от закрытого прямоугольного резонатора
(задача 14.29) отсутствием боковых стенок. Разумно предположить, что при
L ^> А это различие несущественно для тех типов колебаний, у которых
волновой вектор к направлен по нормали к зеркалам. У таких долгоживущих
мод, согласно результатам 14.40, дифракционные потери малы. Пользуясь
результатами задачи 14.29, найти приближенное выражение для спектра
частот долгоживущих мод.
14.44. Исследовать собственные однородные магнитостатические
колебания ферродиэлектрического эллипсоида малых размеров,
намагниченного до насыщения. Внешнее постоянное магнитное поле Яо приложено
вдоль одной из главных осей эллипсоида, его размагничивающие факторы
и намагниченность насыщения Mq известны. Вычислить без учета потерь
638
Глава 14
собственную частоту малых колебаний. Рассмотреть, в частности,
различные предельные случаи эллипсоида (см. задачу 9.51). Найти поляризацию
вектора намагниченности.
14.45. Резонатор имеет форму сферической полости радиуса а.
Считая стенки резонатора идеально проводящими, найти частоты собственных
колебаний, кратность их вырождения и распределение электромагнитного
поля в полости. Рассмотреть колебания электрического и магнитного типов,
использовав результаты задачи 12.69.
14.3. Ответы и решения
14.1. Из (14.7) получаем условие и {к) < cjoe- Подставив заданные
е и /х в (14.8), находим закон дисперсии для поверхностной плазменной
волны:
(1) W2{k) = ^f + (ckf
Наибольший интерес представляет случай ck > uj0e. Частота
поверхностной волны и = ojoe/y/2. Волна в этих условиях является «медленной»,
ее фазовая скорость vph = uj/k <С с. Энергию поверхностного плазмона
в металлах frw = hu>oe/y/2 (порядка 10 эВ, см. задачу 11.47) при
измерениях можно хорошо отличить от энергии hujQe объемного плазмона. При
ck <С cj0e имеем ш(к) = ск, волна «быстрая», vph = с. Условия (14.6), (14.7)
выполняются во всем диапазоне волновых чисел 0 < к < ос.
14.2. Из условия (14.7) получаем возможный диапазон частот для
поляритонной поверхностной волны: и2 > и>р/2+и>$. Уравнение дисперсии:
Ш2(к) = ±(и>2р+и20е) + (ск)2
ш2{к) = WcJq +^р/2 при ск > o;(fc); и2(к) = и;2 при ск = uoq. Отсюда
получаем диапазон возможных волновых чисел: к ^ ljq/c.
14.3. Постоянные затухания поля в вакууме и в ферродиэлектрике
имеют значения q\ = q<i = k, а частота волны ш(к) = {кх/к)(и>о + ljm/2),
1-
1 +
«4
\ Чек)4
(JZ
Ч (скУ
+
(«i
2+^0е)
Цск)4
14.3. Ответы и решения
639
где к = \кх\ — абсолютная величина волнового вектора. Фазовая скорость
волны vph = uj(k)/kx, т.е. скорость перемещения плоскости, на которой
фаза кхх — uj{k)t постоянна, направлена вдоль оси Ох независимо от знака
проекции кх.
14.4. Дисперсионное уравнение
J к2 - ^e^f + fiefJk21^- -kxj^=0,
где к = \kx\,'fief = ([i\ —fi%)/fi±, а радикалы представляют собой
постоянные затухания поверхностной волны вдоль оси Оу в диэлектрике и в
вакууме. Наличие в дисперсионном уравнении величины кх свидетельствует о
том, что частоты, фазовые и групповые скорости волн, распространяющихся
в противоположных направлениях, различны (невзаимность). Это
объясняется тем, что магнитная проницаемость ферродиэлектрика неинвариантна
относительно обращения времени (замена t на —t): величины Н, М, ас
ними и недиагональные компоненты тензора меняют знаки при обращении
времени.
Дальнейший анализ дисперсионного уравнения см. в обзоре Каганова
и др. (1997) и в оригинальных статьях.
14.5. Пусть волна распространяется вдоль оси Ог, постоянную
распространения обозначим через к.
Волны электрического типа.
а) Поперечные компоненты полей — четные функции координаты х.
Поле внутри диэлектрика может выражаться через тригонометрические
либо гиперболические функции:
при х > а
(1) 8г = Ае~°х,
при —а^х^а
(2) Sz = В sin кх,
либо
(3) Sz = В sh кх,
gx = ЩАе-*х, Жу = %А<ГВХ, s > 0;
§х = j^Bcoskx, Жу = ^p^-Bcoskx, к > 0;
gx = -^BchKx, Жу = -1£§Вс\1кх, к>0;
640
Глава 14
при х < — а
(4) gx = -Aeax, 8x = ^Aesx, Жу = г£Ае8Х,
где А = Веза sin ка\ остальные компоненты 8 и Ж равны нулю.
Параметры к и s удовлетворяют системе уравнений
(5) (Sa)2 + M2 = ^(eHMH-l);
(Г
(6) sa=—— Katgna
e(tj)
в случае тригонометрических функций либо системе
(7) (sa)2 - (ка)2 = ^{е{ш)ц{и) - 1);
(8) sa =——— KdtYiKd,
e{uj)
если поля выражаются через гиперболические функции.
Обе системы легко проанализировать графически. В первом случае
возможные значения ки s соответствуют точкам пересечения кривых (6) с
окружностью радиуса г = {uja/c)yje^ — 1 (рис. 14.10). Тригонометрические
решения имеются при е > 0, [i > 0, e[i > 1 и при е < 0, \l < 0, e\l > 1.
При заданных a;, a, е9 ц имеется конечное число точек пересечения, т.е.
конечное число типов волн, у которых распределение поля описывается
формулами (1), (2), (4). В частности, при г < тг существует лишь одна
волна типа Е00.
Рассмотрим зависимость постоянной распространения
m *-,№
С
от частоты и при заданных параметрах диэлектрического слоя для данного
типа волны. Из рис. 14.10 видно, что при частотах, близких к граничной
частоте, при которой появляется данный тип волны, 5 близко к нулю, а к —
14.3. Ответы и решения
641
J—ха
О Ж. я" Зтг 2тг 5я Зтг 7тг 4тг 9тг 5тг Шг ()7Г 13тг
2 2 2 2 2 2 2
Рис. 14.10
Рис. 14.11
к и;/с. Волна при этих частотах имеет такую же постоянную
распространения, как и в вакууме, и поле проникает на большие расстояния от границы
слоя. С ростом lj параметр s возрастает, а к, остается ограниченным. При
этом к стремится к \и/с)у/Щ1, т.е. к тому значению, которое
соответствует волне, распространяющейся в неограниченной диэлектрической среде с
параметрами е, /х. При достаточно больших uj и, следовательно, больших 5,
поле сосредоточено почти целиком внутри диэлектрического слоя.
В случае гиперболического решения нужно искать точку пересечения
гиперболы (7) с кривой (8). Поскольку произведение KathKa
неотрицательно, нужное решение существует только при условиях е < 0, к2 +
+ (о;/с)2(е/х - 1) > 0. Имеется всего одна точка пересечения,
удовлетворяющая этим условиям (рис. 14.11).
б) Поперечные компоненты полей — нечетные функции координаты х.
Поле внутри диэлектрика опять может выражаться через
тригонометрические либо гиперболические функции:
при х > а
(10)
&г = Ле~
8Х = ЩАе
<7Ly —
SC
Ае~
s > 0;
при —а^х^а
гк
(11) 8Z = Bcoskx, 8X = — — Bsin/cE, Жу = — —-Bsiiikx, к > 0
642
Глава 14
либо
(12) gz = Bc\iKX, gx = -l-^Bs\iKx, Жу =-^BsYikx, к > 0;
при х < — а
(13) gz = Aeax, Sx = -z^Aesx, Жу = -%Aes\
где А = Веза ch ка; остальные компоненты S и Ж равны нулю. Для
тригонометрического решения параметры s и к определяются из системы
уравнений
2 2 1
(14) {so)2 + (ка)2 = ^-£-{s{uj)ii(uj) - 1), sa = —-Ц-«actg«a,
сг е[ш)
в гиперболическом случае имеем систему
2 2 1
(15) (so)2 — {ка)2 = и % (e(uj)fi(uj) — 1), sa = —— nactgna.
cz e((j)
Волны магнитного типа можно проанализировать таким же путем.
14.6. Вдоль слоя могут распространяться четные волны
электрического типа и нечетные волны магнитного типа с теми же характеристиками
(постоянная распространения, конфигурация полей в области х > 0 и др.),
что и в предыдущей задаче.
14.7.
(е/sa) cos2 ка \ _ i ecos2 ка
K=il+^.'"~ . }ъ1 , Т\ • о ПРИ **»*■
I l+sin2/^a//^al sa + (s//c)sin2/ca
Распространение волны внутри диэлектрика в условиях, когда во внешнюю
область поле почти не проникает, можно рассматривать как результат
многократного полного отражения от его границ (см. задачу 12.13).
14.9. Волноводные моды описываются формулами (14.10).
Е-волны:
£z = <§bsin кпх, 8Х = —<§bcos кпх,
*ja ILOZ о 717Г 1 г»
Жу = ^—ё&о cos кпх, кп = —, п = 1,2 ...
14.3. Ответы и решения
643
Я-волны:
Жг = Mo cos кпх, Жх = —-zr-Mo sin кпх,
е> ^М *w • П7Г -, г»
Постоянная распространения (волновое число) тех и других волн
выражается через частоту и параметр кп, характеризующий пространственное
распределение поля:
. о U2Sfl о
fc = кт гДе ^ > ^п,
С"5
о;п — частота отсечки, ограничивающая снизу частоты волн с данным
пространственным распределением поля. Кроме указанных выше, возможно
распространение чисто поперечной (ТЕН) волны с Sz = 8У = Жг =
= Жх = О, §х = y/fi/еЖу /Оис произвольной частотой 0 < о; < оо.
У этой волны, как в неограниченной среде, к2 = uj2efi/c2.
14.10. В случае Е-ъояи:
Sz = (posin/^ixsin/^22/,
где
TliTT П27Г
л1 = ~5~» ^2 = -7-, П1,П2 = 1,2...,
начало координат — в углу прямоугольного сечения, размеры которого по
осям Ох и Оу равны соответственно а и Ь.
, В случае Я-волн:
Жг = Жо COS K\X COS /^22/
с теми же к,\9 к,29 однако одно из чисел n.i, П2 может теперь принимать
значение 0. Из приведенных формул следует, что в поперечных направлениях
поле имеет характер стоячих волн. Зависимость постоянной
распространения к от и имеет вид:
Поперечные компоненты полей выражаются через §г9Жгс помощью
уравнений Максвелла.
644
Глава 14
14.11. Для Е-волн:
K'U /2, 2 ч
а= (кчЬ + ъа),
скк, ао
где
Л — ^2 , 2
к2 = к\ + к\, (' = Re(.
Для волн типа Нпо:
„ С" [пМ 2к2Ъ
а = ——г а +
ckab \ к2 + к2
Для волн типа НП1П2 (пь п2 ф 0):
2ск2С
а —
ujkab
2/-/
Aw 2 . 2i
кг
Обозначения те же, что и в предыдущей задаче.
14.12. Волны электрического типа.
Для определения волн этого типа нужно решить уравнение для
продольной компоненты электрического поля:
дг2 г дг г2 да2
Уравнение (1) интегрируется путем разделения переменных. Частные
решения имеют вид
(2) £z(r,a) = Jm(K,r)sm(ma + ipm),
где Jm — функция Бесселя, ф — произвольная постоянная. Чтобы поле
возвращалось к исходному значению при изменении а на 27Г, нужно считать га
целым числом (га = 0,1,2,...).
Поперечные компоненты электрического и магнитного полей
выражаются через 8Z с помощью уравнений Максвелла:
§г = ^J^(«r) sin(raa + ^m),
&а = ^^Jm(^)cos(raa + '0m),
Жг = -^^Jm(/^r)cos(raa + '0m),
Kzcr
^а = ^^m(^r)sin(raa + ^m).
14.3. Ответы и решения
645
Возможные значения параметра к, определяются из граничных условий на
стенке волновода:
gr\ = о, 8а\ = 0.
\г=а
Это дает к,тпа = атп,- где атп — п-й корень функции Бесселя:
Jrn{OLrnn) = 0, П = 1,2, ...
Таким образом, волны рассматриваемого типа характеризуются двумя
индексами га, п\ при га = 0 поле обладает симметрией вращения
относительно оси z. Фазы ipm в случае идеального волновода определяются
условиями возбуждения. В реальных случаях, однако, они существенно зависят
от дефектов стенок волновода (отступления от круговой формы сечения,
продольные царапины и т. д.).
Распространение волны вдоль волновода возможно, если к = \ r^j — к2
будет вещественной величиной. Поэтому волна типа га, n будет
распространяться в волноводе, если ее частота удовлетворяет неравенству
J2 >
,2^2
с"а:
а2
Наименьшая частота возможна для волны типа (0,1):
ш0 =
Соответствующая длина волны
А0 =
c"oi ^ о л с
Щ$ « 2,6а
(JO '
— порядка радиуса волновода.
Волны магнитного типа:
№z = Jm(Kr) sin(ma + ipm) (га = 0,1, 2,...).
Значения постоянной распространения к определяются из равенства
,2 в2
с2 а2
U) fJmn
(п=1,2,...),
где (Зтп — п-й корень уравнения 4(/Зш) = 0. Наименьший корень /?ц «
w 1,8; ему соответствуют граничная частота ujq ~ 1,8с/а и граничная длина
волны Ло = 2ttc/ujo « 3,5a.
646
Глава 14
Для волн магнитного типа граничная частота ниже, чем для волн
электрического типа. Если частота волны лежит в пределах cjoe > и > ^от, то
эта волна может быть только типа #ц.
14.13. Для Е-волны:
для Я-волны типа (т,п):
сС'«2
а = —г
где С = Re О
а =
сак'
1 +
т2и2
с2кг (а2кг - т2)
ХАЛА. Волновой вектор к и частота ш волн в волноводе связаны
соотношением
с1
где к — постоянная, зависящая от типа волны и размеров поперечного
сечения волновода. По обычным формулам имеем
Vph = % = —=f——, vg = %=cy/l- (А/А0)2,
* у/\ - (Л/Ло)2
dk
где Ло — граничная длина волны.
Из полученных формул видно, что всегда vph > с, vg < с, причем
Vph'Vg = с2. Этот результат справедлив для волновода, внутри которого
вакуум (диэлектрические свойства воздуха для рассматриваемой области
явлений практически не отличаются от свойств вакуума).
Если волновод заполнен диэлектриком, причем дисперсией еид можно
пренебречь, все вышеприведенные формулы остаются справедливыми при
замене с на v = с/у/еЦ. Поэтому в таком волноводе
Vph =
VMI^/Ag)
может стать меньше с, волна «замедляется» (см. также задачу 14.23, в
которой рассмотрена лестничная замедляющая структура).
14.3. Ответы и решения
647
14.15. Hz = ±Ж0[е*К1Х+кг) +ei(-Kix+bz)]e-iuJt. Направления
распространения двух плоских волн, на которые разлагается волна #ю,
составляют с осью волновода угол в (рис. 14Л2), который определяется условием
COS0 =
у^пг^
Фазовая плоскость / перемещается со скоростью с в направлении,
составляющем угол в с осью Oz; однако скорость ее перемещения вдоль оси
волновода будет больше:
cos0 ji _ (Л/Ло)2
Vph-
Это и есть фазовая скорость волны в волноводе.
Групповая скорость совпадает со скоростью движения энергии. Но
в плоской волне в вакууме энергия движется со скоростью с в
направлении распространения волны. Каждая плоская волна, входящая в состав
рассматриваемой волны Ню, будет испытывать многократные отражения
от стенок волновода, и ее «путь» будет зигзагообразным. Результирующая
скорость вдоль оси волновода будет
V = С COS в = С \1 1 - ( —
что совпадает с групповой скоростью vg.
14.16. 1. Пусть стенки волновода медленно раздвигаются, каждая со
скоростью (Зс относительно его средней линии (рис. 14.13). Лучевой путь
одной из двух плоских волн, образующих волноводную моду, изображен
на рисунке. Падающая волна распространяется под углом в к оси Ох, где
cos0 = cjn/a;, ujn — граничная частота рассматриваемой моды. В системе
стенки для отраженной волны имеем в' = в, и' = и. В лабораторной
системе (см. задачу 3.40) в результате преобразований Лоренца получаем
m , l+/?2-2/?cosfl _, cosfl(l + /?2)-2/?
(1) UJ = UJ z , COS в = .
W l-/?2 l + /?2-2/?cos<9
При медленном перемещении стенок (/? <С 1) достаточно взять формулы (1)
в линейном по /3 приближении:
(2) Да; = J - uj « -2/?cj cos (9, Д0 = 0' - в « 2(3 sin в.
648
Глава 14
Рис. 14.12
N
N
N
N
ч
N
N
V
N
0Л
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ж
о\ ?к
] еу
п(А „
— а{1)
Рис. 14.13
/
/
/
/
/
/
/
/
/
',Рс
/ * X
/
/
/
/
/
/
/
f
/
/
/
В этом же приближении вычислим прирост Да расстояния между стенками
за время г распространения волны между последовательными
отражениями:
(3)
Да = 2(3ст ;
2/За
COS0'
Теперь находим зависимость волноводной моды от расстояния а на
временах, значительно превышающих время т. На столь больших временах
приращения Да;, Д0, Да можно рассматривать как бесконечно малые. Деля
почленно равенства (2), находим дифференциальное уравнение duj/d6 =
= —о; cos в/ sin 0, интегрирование которого дает адиабатический инвариант
(Ривлин, 1991; 1997)
(4)
u;sin0 = (Jo sin #o-
Здесь ноликом отмечены начальные значения величин. Далее выражаем
cos2 0 = 1 — (ujq/uj)2 sin2 #o и находим из (2) и (3) дифференциальное
уравнение
(5)
<Ь _ 1 / "о ,2 п \
-d^--a{W~^Sm во)'
интегрирование которого дает еще один адиабатический инвариант
(6) * a2cot20 = a£cot20o.
14.3. Ответы и решения
649
С помощью дисперсионного соотношения и равенства (5) находим
(7) (ск)2 = и2 -и2п=и2(1- cos2 0) = u;§ sin2 00 = ujI - cj20 = (ck0)2,
т. е. постоянная распространения к представляет собой адиабатический
инвариант.
2. Вычислим изменение энергии AW отдельной волноводной моды (на
единицу площади волновода) при изменении расстояния а между
стенками волновода, рассматривая это изменение как результат работы внешнего
источника против сил давления электромагнитного поля моды на стенки.
В задаче 12.17 было найдено, что плоская волна, падающая под углом О
на идеально отражающую стенку (R(0) = 1), оказывает давление Р =
= 2w cos2 0, где w — плотность энергии волны. Энергия моды на единицу
площади волновода равна W = 2wa, поэтому давление на одну стенку
Р = (W/a) cos2 0. Прирост энергии моды за счет работы источника по
сближению стенок AW = -РАа/2 - РАа/2 = -(W/a) cos2 0 Да.
Записываем последнее соотношение в дифференциальной форме и с помощью
(6) получаем dW = —(W/a) cos2 О da = —W cot OdO. Интегрирование этого
дифференциального уравнения с использованием (4) дает еще один
адиабатический инвариант:
Наглядный смысл этого инварианта проявляется при квантовой
трактовке волноводной моды с частотой и и постоянной распространения к =
= +\/и>2 — о;2. Выразим ее энергию через число фотонов п: W = huj(n +
+ 1/2+1/2) = hw(n+ 1). Здесь две половинки соответствуют нулевым
колебаниям осцилляторов, которые относятся к модам к и -к, имеющим
одинаковые частоты и. Сохранение адиабатического инварианта (8)
означает сохранение числа фотонов данной моды при медленном изменении
расстояния между стенками.
Любопытная трактовка полученных соотношений возникает, если их
применить к предельному случаю, когда начальный волновод
охватывает все безграничное пространство и ао —> оо. В свободном пространстве
граничная частота о;по = 0. Рассмотрим моду, представляющую собой
постоянное поле с (Jo = 0. Хотя реальных фотонов в этом случае нет, но
присутствуют вакуумные флуктуации, приводящие к эффекту Казимира (см.
задачу 6.17). Из уравнения (7) находим и = оип для волновода конечных
размеров. Работа по сближению стенок оказывается равной энергии hwn
фотона, имеющего граничную частоту ujn. Эта энергия затрачена на
создание массы М = hu>n/c2 волноводного фотона.
650
Глава 14
14.17. Скорость v движения волноводного фотона следует
отождествить с групповой скоростью моды: v = dw/dk. Пользуясь
дисперсионными соотношениям из условия предыдущей задачи, находим v = dS^/dp =
— с2р/§ш < с, откуда получаем связь энергии и импульса фотона с его
скоростью:
Мс2 „ Mv Л/Г hwn
yJl~V2/c2 у/1 - V2/c2
с
,2
Эти формулы совпадают с соотношениями (3.33) для релятивистской
частицы. Другие свойства фотонов в волноводе обсуждаются в обзоре Ривлина
(1997).
14.18.
(1) На = Ег = AeMz/c-t)^
где А — постоянная, а остальные компоненты полей равны нулю.
Поток энергии
(2) 7=^1п|-
В случае одиночного идеально проводящего провода поля во всем
пространстве вне провода описываются формулами (1); полный поток энергии
через плоскость z = const бесконечно велик: 7 —> °° при b —> оо.
Поэтому такая волна не может поддерживаться источником конечной мощности,
и, следовательно, рассматриваемый случай не имеет физического смысла.
14.19. Волны электрического типа:
(ктпГ)] sin(ma + фт), т = 0,1,2 ...
где кшп — п-и корень уравнения
Jm(Ka)Ym(Kb) - Jm(kb)Ym{Ka) = 0.
Здесь Ym, Jm — цилиндрические функции (см. главу 1), Лтп и Вшп —
постоянные, связанные условием
14.3. Ответы и решения
651
Волны магнитного типа:
(ктпг)] sin(ma + фт), т = 0,1,2,...,
где кшп — п-й корень уравнения
J^a)Y^(Kb) - Y^(Ka)J'm(Kb) = О,
а Сшп и Dmn связаны условием:
Остальные компоненты электрического и магнитного полей выражаются
через Sz и J#?2 с помощью уравнений Максвелла.
14.20.
а
2аЫп(Ь/а)'
где С7 = Re С-
14.21. Если поле симметрично относительно оси провода, продольная
компонента Sz удовлетворяет уравнению
Поскольку рассматривается проводник с конечной проводимостью,
параметры кик будут комплексными. Определим знак к так, чтобы Im к =
= к" > 0.
Общее решение уравнения (1) запишем в виде
ёг(г) = А'н£\кг) + В'Н{*) (кг),
где Hq,Hq — функции Ханкеля. Из асимптотического поведения этих
функций (см. раздел 1.3) и условия Im к > 0 следует, что должно
быть В' = 0, так как в противном случае поле будет возрастать на
бесконечности. Остальные компоненты S и Ж выразим через 8Z с помощью
уравнений Максвелла:
(2) gx = A'H™(Kr), ёг = г^А'н[1)(кг), На = г£А'н[1)(Кг).
652
Глава 14
При достаточно больших значениях кг функции Щ1' и #j
пропорциональны е~к т/л/кг и, следовательно, электромагнитное поле затухает
экспоненциально на больших расстояниях от провода. Максимальная
концентрация поля существует вблизи провода, волна имеет поверхностный
характер.
Граничное условие Леонтовича на поверхности провода
8Z = (,Жа
приводит к характеристическому уравнению для определения к:
Щ '(ка)
Здесь £ — поверхностный импеданс металла. Для хорошего
проводника |£| <С 1, поэтому последнее равенство может выполняться только при
малых ка. Пользуясь приближенными формулами для Щ1' и Щ1\
получим
(3)
(ка)2 In fe) = iC£a, In7 = 0,5772.
Трансцендентное уравнение (3) нельзя решить графическим методом,
так как входящие в него величины комплексны (но нетрудно получить
численное решение на компьютере с помощью стандартных программ).
Зоммерфельд использовал для решения этого уравнения метод итераций,
основанный на том, что \п(ка) изменяется значительно медленнее, чем ка.
-„г-) = и, ——£a = v. Тогда уравнение (3) запишется в виде
и\пи = v.
Если найдено приближенное значение ип (га-е приближение), то более
точное значение un+\ ((n + 1)-е приближение) можно получить по формуле
un+\h\un = v.
В нулевом приближении можно положить г^о = v9 тогда
V V V
In г?
In т*"
14.3. Ответы и решения
653
Для дециметровых радиоволн (Л = 2тгс/и> = 30 см),
распространяющихся вдоль медного провода радиусом 1 мм (проводимость меди а =
= 5,2 • 1017 с-1), расчет указанным методом дает
и « (4,2 + 4,5г) • 1СП8,
откуда
А:=£[1 + (6,0 + 6,4г).1(Г5].
Фазовая скорость волны
Vph = IteJfe = (1 " 6 ' 10~5)С < С'
волна несколько замедлилась.
Этот результат можно понять из следующих соображений. В случае
идеальной проводимости провода поперечная электромагнитная волна
имеет фазовую скорость с, поле внутри провода равно нулю. При конечной
проводимости часть энергии будет распространяться внутри провода; так
как скорость распространения в металле значительно меньше с, то «в
среднем» электромагнитная волна замедлится. Кроме того, появится затухание.
Исследуем характер поля в предельном случае ( —> 0 (идеальная
проводимость). При этом, как следует из (3), к —> 0, к —> и/с. Используя
выражение функций щ ' и щ' при малых аргументах, получим из
формул (2)
*, = lim^lnteV *r=lim
к—о п \ 2г J к^о
2кА' 1, Жа= lim 2kA' l
О уГКГ Г «^0 ТГКГ Г
Поскольку компоненты поля не могут принимать бесконечных значений,
нужно предположить, что величина А' пропорциональна к2. Положим А' =
= Ак2//с, тогда
<ъ 'U/? -/i G> с\
<br — <7Са — —, <bz — U.
Это — чисто поперечная электромагнитная волна, распространяющаяся со
скоростью с.
14.22. Составляющие электромагнитного поля в волноводе
определяются следующими выражениями:
при г < а
654
Глава 14
при а < г ^Ь
Sz = AJoiw) + ВУ0(«2г), §r = -iiL[A7i(«fc2r) + BYxfar)],
Ж° = -*Щ;1АМ"2Г) + BY1{n2r)].
Здесь к\ = yfuj2/c2 - /с2, к2 = yjeuj2/с2 - к2; So, А, В — постоянные.
Граничные условия запишутся в виде
;Р> I rv G> I Jt? I i^ I i^ I
^lr=o ' ^lr=a—0 ^lr=a+0' "lr=a—0 "lr=a+0
При этом граничное условие для 8а будет выполняться автоматически.
Исключая постоянные Л, Б, <£о, получим трансцендентное уравнение,
связывающее кии:
m ек± Jo(fcia) _ Jo(^2Q)Vo(^2b) -Y0(K,2a)J0(K,2b)
К2 Ji(«ia) " Ji(«2a)io(«2b)-Vi(«2e)Jb(«2b)'
При a <C 6 это уравнение существенно упрощается. Рассмотрим волну,
которая будет иметь наибольшее к. Если бы волновод был заполнен
диэлектриком целиком (а = 0), то соответствующее значение к2 было бы
равно к;02 = aoi/b, где a0i = 2,4, Jo(aoi) = 0 (см. задачу 14.12).
Будем искать решение, мало отличающееся от kq2:
где Да имеет порядок не ниже а/Ъ. Считая aoia/Ь <С 1, используем
приближенные формулы для Jo, Уо, Ji, Y\ из раздела 1.3. Это дает вместо (1)
уравнение
(к2а)2Уо(к2&) + | JoM)] = (*2а)2 |Vo(«2b) + | In ^М^Ь)
Положим в нем Y0(K2b) = Y0(a0i + Aa) «Vo(«oi)> Jo(^2^) =-Ji(ai0Aa).
Тогда, отбрасывая малый член с логарифмом, получим
д^ Л Пла§1 Уо(во1) /а\2
14.3. Ответы и решения
655
U!
к
(J
(all +2a0iAa)
b2
Фазовая скорость волны
Vph =
Вводя обозначение и о = &oic/b « 2,4с/Ъ (минимальная частота для
волновода, не содержащего диэлектрика) и подставляя табличные
значения lo(aoi) и Ji(aoi), получим
w ^_(^[1+3,7(i-i)£]p.
Если волновод заполнен диэлектриком целиком (а = 0), то
Граничная частота частично заполненного волновода
лежит между граничными частотами незаполненного и целиком
заполненного волновода:
(JO
— < (Jc < (J0-
Фазовая скорость (2) становится меньше скорости с при частотах
(J0
(J >
i+i,85(i-1) а.
v/F^TL ' V еП2У
Таким образом, волновод, частично или целиком заполненный
диэлектриком, является замедляющей системой: фазовая скорость
электромагнитных волн в нем может быть меньше с. Важной особенностью медленных
волн является то, что они могут эффективно взаимодействовать с
пучками заряженных частиц. Взаимодействие волн с пучком частиц может быть
использовано как для генерации и усиления электромагнитных колебаний
сверхвысокой частоты (клистрон, лампа с бегущей волной, магнетрон), так
и для ускорения частиц (линейный ускоритель).
656
Глава 14
14.23. Граничные условия на анизотропно проводящей плоскости
имеют вид
Е\х = Е2х = О, Н\х = Нъх, E\z = Е22-
Индексом 1 обозначена область у > О, индексом 2 — область у < 0. Первые
два равенства являются следствием идеальной проводимости полосок,
последние два выражают отсутствие тока в направлении, перпендикулярном
полоскам. Кроме того, Еу = Ez = 0 при х = ±а и все составляющие поля
должны быть ограничены при у —> ±оо.
Решая уравнения Максвелла с указанными граничными условиями,
найдем
ё\х = 0, 8\у = -Be ^cosax, §\z = гВ-е Ру cosax,
■i<
ар
Ж\х = В(^- -^-V^ cos ax, Ж1у = В??-е-Ру*тах,
\ к к0к/ у кко
Жи = -iB^e-pysmax,
ко
где ко = и/с, В — постоянная,
а ' = а-п
(2га + 1)тг
га ■
0,1,2... /3 = /3m = V/fc2-fc02£ + a2l.
Постоянная распространения А; выражается через ш по формуле
1/2
\[kle/all-l)[\-kl/all)\
l-(e + l)fcg/a!
Для заданного га волна может распространяться, если ее частота ш
заключена в пределах
1 <^<
уГ*
са^
e + V
при этом к меняется от 0 до ос.
Если е = 1 (диэлектрик отсутствует), то система превращается в
резонатор: в ней возможны колебания при дискретных частотах a;m = саш.
При е > 1 рассмотренное устройство является замедляющей системой.
Групповая и фазовая скорости волн в ней меньше скорости света с.
14.3. Ответы и решения
657
14.24. Волны электрического типа в рассматриваемом случае
существовать не могут. Волны магнитного типа:
г&ос ( . /ia
Жг = -^jt^[ к cos кх - к—smKx J,
Жх = -^щ (к sin кх — ^777"cos кх)' &z = &ъ sin кх,
где
-?. * = ^-(?)я. —-2-3'-
Граничная частота cJq = скп/е\\11.
Как следует из формул для J#?2 и J^c, конфигурация магнитного поля
для волны данного типа зависит от знака /с, т. е. от направления
распространения волны, и от знака /ia, т.е. от направления постоянного магнитного
поля. Этот эффект невзаимности связан с гиротропией среды,
заполняющей волновод, и с нарушением инвариантности относительно обращения
времени. Он уже обсуждался в задаче 14.4**.
14.25. Уравнения Максвелла для комплексно-сопряженных
амплитуд £q, Ж о имеют вид:
о-
(1) rot£* " гко(ег х 8*0) = -г-^Ж*0, rot.*?* " **о(е* х JPJ) = l-fg
Амплитуды &, Ж удовлетворяют уравнениям
(2) rot£ + ik(ez x g) = Щ-^'Ж, rotJ4f + ik(ez х Ж) = -Щ-e'g,
где и'Ж, e'g — векторы с компонентами р[кЖк, £**А; /4/с = £ik = ^/с —
вне области, занятой диэлектриком, [i'ik — а^ь sfik = eik — внутри этой
области.
Из уравнений для rot Sq и rot Ж следует: ч
(3) tf-rotgZ-£o-Tottf+i(k-ko)(ezxgZ).tf = -iu(je^l-?g-gl).
Проинтегрируем обе части этого равенства по поперечному сечению
волновода 5. Первые два члена можно преобразовать следующим образом:
/ {Ж • rot<?o - #о * ™1Ж) dS=\ f div(£o x Ж) dV.
Js l Jv •
658
Глава 14
В последнем выражении интеграл берется по объему, ограниченному
стенкой волновода и двумя сечениями, отстоящими друг от друга на расстояние /
(подынтегральное выражение не зависит от z).
Применяя затем теорему Остроградского-Гаусса, получим
/ div(£o х Ж) dV = I\g*0 xJIP)-ndS= f{nx g*) • ЖdS.
На стенке волновода n x Sq = О в силу граничного условия £0т = О,
а интегралы по сечениям входят с противоположными знаками и взаимно
сокращаются. Поэтому
/<
(n xg*0).3tfdS = 0
и равенство (3) дает
(к-к0) f {S*0 x3^)-ezdS =
= -Lj\[(je-jei)dS- [(S-g*0)dS- f Ae8-g*0dS
Us Js Jas
(4)
где Ae~ = е— 1 и AS — поперечное сечение области, занятой диэлектриком.
Таким же путем из уравнений для rot g и rot Ж\ находим
(5)
{к-к0) [(tx#o)-ezdS =
= ш\1\jV-jeo)dS- I\g-g*0)dS+ [ А^Ж-Ж^Б
Us Js Jas
где ДД = Д — 1.
Складывая равенства (4) и (5), получаем формулу, приведенную в
условии задачи. Она представляет собой точное соотношение, связывающее
изменение Ак постоянной распространения с амплитудами полей. Однако
в большинстве случаев точное решение задачи о волноводе, частично
заполненном диэлектриком, не может быть получено. Только при достаточно
малых поперечных размерах области, занятой диэлектриком, удается
приближенно определить амплитуды возмущенных полей g и Ж. Тогда с
помощью полученной формулы для Ак можно подсчитать изменение
постоянной распространения, которая является важной характеристикой волны в
волноводе. Примеры расчета волноводов таким методом приведены в трех
последующих задачах.
14.3. Ответы и решения
659
14.26. В случае пластинки малой толщины амплитуды возмущенных
полей можно приближенно выразить через невозмущенные амплитуды,
которые для волны типа Ню имеют вид:
?а> ?а> ~~о тгя та) гкоа ^ 7гх
^4)2 — «7Ц)С0&—, JTOx = — jTobin—,
°у = ~ттс^{) S1 ~а~' 0х = 6°2 = <™°у = и*
(Эти выражения могут быть получены из результатов задачи 14.10.)
Пренебрежем изменением амплитуд поля вне объема, занятого пластинкой. Кроме
того, пренебрежем изменением полей по толщине пластинки. Это
эквивалентно отбрасыванию членов порядка d2 и выше. На поверхности
пластинки должны выполняться граничные условия:
$у — &0у> Жг — <^0z7 M_l_<^c — ifJ<a<ffiy = <Щ)Х1 &@у = <Щ)у = 0,
где невозмущенные амплитуды в правых частях берутся при х = х\. Эти
равенства определяют амплитуды возмущенного поля в пластинке.
Интеграл, стоящий в числителе выражения для Д/с (см. условие
предыдущей задачи), равен произведению подынтегральной функции на площадь
поперечного сечения пластинки bd, так как поле не зависит от у, а
зависимостью от х пренебрегаем.
В интеграл, стоящий в знаменателе, можно подставить невозмущенные
значения амплитуд. В результате получим:
Так как ц± зависит от величины постоянного подмагничивающего
поля Но (см. задачу 11.55), то и Ак будет зависеть от этого поля. Изменение Но
вызывает изменение фазы волны. Устройства, основанные на этом явлении,
широко применяются в радиотехнике для преобразования фазы.
14.27.
Ak=^d.±^a_(£__L\
47ГС аЬЫ^ ^>
14.28.
ablng аЫп2
660
Глава 14
В случае а) Д/с практически не зависит от величины постоянного
магнитного поля Яо, так как /хц « 1 (см. задачу 11.56). Это объясняется тем, что
внутри пластины высокочастотное магнитное поле совпадает по направлению
с постоянным полем и не поддерживает прецессии намагниченности М.
В случае б) высокочастотное магнитное поле внутри пластины
перпендикулярно постоянному полю, /i_L зависит от Я0, причем эта зависимость
носит резонансный характер.
14.29. Интегрируя уравнения (14.17) с граничным условием (14.18),
находим
Ех = А\ cos(/cix)sin(/c22/)sin(/c32),
(1) Ёу = ^2COs(/c22/)sin(/cix)sin(/c32),
Ez = ^3COs(/c32)sin(/cix)sin(/c22/),
где Ai — постоянные,
к\ = niir/a, &2 = П2тг/Ь, кз = n^n/h,
(2) J1 = c2(kj + к\ + к\) = 7г2с2[(щ/а)2 + (п2/Ъ)2 + (n3/h)%
ni,ri2,пз = 0,1,2, ... (временной множитель e~lujt опущен).
Вектор Н выражается через Е с помощью уравнений Максвелла.
Уравнение div Е = 0 приводит к условию поперечности А • к = 0,
где вектор А = (Ах,А2,Аз). Отсюда следует, что колебания при
заданных кх, ку, kz ф 0 двукратно вырождены, так как вектор А можно выбрать
в плоскости, перпендикулярной к, двумя независимыми и произвольными
способами. Положим для каждого такого к:
(3) Ак(7 = Аек(7, <т = 1,2,
где ека — единичный вектор такой, что ек\ • ек2 = 0 и ек(7 • к = 0, а
постоянная А = y/32nJV9 причем V = abh — объем резонатора.
Тогда все собственные функции будут взаимно ортогональны и
нормированы условием
(4) /Ev,EvdV = 4tt<W.
Это соотношение легко проверить, непосредственно интегрируя (1).
Индексы z/, v' введены для обозначения четырех чисел: п\, П2, щ и а.
Если одна из проекций к равна нулю, то вырождение отсутствует, так
как в решение (1) входит в этом случае только одна постоянная.
14.3. Ответы и решения
661
14.30.
AN = -^-uj2&uj.
-к2, с6
14.31. Колебания электрического типа:
Ez = SoJm(Kr) sin(raa + ipm) cos(kz), Hz = 0,
k
Er = --(g>o^m(^)sin(ma + '0m)sin(/cz),
Ea = -^-£oJm(Kr)cos(ma + 'il>m)sm(kz),
Hr = -^^-S0Jm(K,r)cos(ma + ipm)cos(kz),
Ha = ^SoJ/m(kr)sm(ma-\-ipm)cos(kz);
k — — / — fi 1 2 к — Qmn
где amn — корни уравнения Jm(^mn) = 0, J1 = c2(/^n + /с2), множитель
e~luJt всюду опущен.
Колебания магнитного типа:
Hz = MoJm(kr) sin(ma + ipm) sin(kz);
k = ln/h, I = 1,2,...; значение / = 0 невозможно; кшп = /?mn/a, где j3mn —
корень уравнения J^iPmn) = 0; J1 = c2(/^n + /c2). Остальные компоненты
полей выражаются через Hz с помощью уравнений Максвелла.
При т ф 0 колебания как электрического, так и магнитного типов
в общем случае двукратно вырождены, так как каждой собственной частоте
соответствуют две собственные функции, например,
Hz = ЖъЗш(кг) sin ma sin(kz)
и
Hz = 3^oJm(kr) cos ma sin(kz).
14.32. В квазистационарном приближении можно рассматривать
указанную систему как колебательный контур, состоящий из конденсатора
662
Глава 14
емкостью С = R2/(4:d) и катушки индуктивности с самоиндукцией L —
= 47г6(1п(86/а) — 7/4). (Вычисление самоиндукции проволочного кольца
см. в задаче 2.113). По формуле Томсона (10.5)
(J0
Ry/(irb/d)(ln(8b/a) - 7/4)
Квазистационарное приближение применимо, если А0 = 27rc/(j0 много
больше размеров системы (т. е. А > R, Ь).
14.33.
с / d
аутго
14.34. В квазистационарном приближении (Ао = 27rc/(Jo ^> а, Ь)
считаем, что электрическое поле целиком сосредоточено между обкладками
конденсатора, а магнитное поле — внутри тороидальной камеры. При таких
предположениях резонатор эквивалентен обычному колебательному
контуру, состоящему из емкости и индуктивности. Емкость конденсатора С =
/1 \2
= ———, самоиндукция тора L = 4тг(Ь - yjb2 - а2) (см. задачу 2.110).
Собственная частота:
(J0 =
(Ъ - а) у тг(6 - у/Ь2 - а2)
Высшие типы колебаний рассмотренного резонатора не могут быть
вычислены в квазистационарном приближении, так как для них не выполняется
условие А > а, Ь.
14.35.
2с
(J0 =
2b-a
\\ 2b-a
14.36. В коаксиальном волноводе, закороченном с одной стороны
(при z = 0) идеально проводящей перегородкой, устанавливается стоячая
поперечная волна с напряженностями поля:
(1) Ег = ф:яп^е-ш, Яа =-^cos^fe^.
14.3. Ответы и решения
663
В любой плоскости, перпендикулярной оси волновода, распределение
электрического поля такое же, как в цилиндрическом конденсаторе, и можно
считать, что оно создается разностью потенциалов
(2) A^ = ^ln|sin^
между центральным стержнем и оболочкой.
Эту разность потенциалов следует приравнять напряжению на
обкладках конденсатора, образованного торцом стержня и верхней крышкой
резонатора:
(3) ДИ,=* = я/с.
Здесь С = a2/Ad — емкость конденсатора; q — заряд одной из обкладок,
который можно выразить через силу тока J>, протекающего по стержню
(или равный ему по величине и противоположный по направлению ток
в оболочке)
J = —iujq.
Вычисляя силу тока по известному магнитному полю (1) и подставляя ее,
а также разность потенциалов (2) в формулу (3), найдем трансцендентное
уравнение, которому удовлетворяют собственные частоты:
(4) ctg^ = 2zra^ln6
с са а
Это уравнение легко решается графически. При uh/c <С 1 (это означает,
что Л > 2nh — квазистационарное приближение) получаем
(5) и> =
g.2*ln±- ^
Ы а
где L — коэффициент самоиндукции отрезка коаксиальной линии длиной h.
В этом приближении вычисляется только одна — низшая — собственная
частота (ср. решения предыдущих задач 14.32-14.35).
При d = 0 (закороченный с двух сторон отрезок коаксиального
волновода) имеем
(6) a;m = ^-m, m=l,2, ...
664
Глава 14
Это означает, что на длине резонатора должно укладываться целое число
полуволн: h = (Am/2)m.
14.37. Поле в резонаторе описывается уравнениями Максвелла (14.17),
(14.18), причем В = Н, D — Е. Умножим первое из них скалярно на Ни,
а второе — на Еу и проинтегрируем по объему резонатора:
(1)
( j-t$ H -HvdV = -с J Hv rot EdV,
. j-{E-EudV = с f E„ ■ rot H dV.
Считая собственные функции Ev, Hv ортонормированными в соответствии
с условием (14.20), вычислим интегралы в правых частях равенств (1):
(2) ^ fH HudV = 4тгри, ± [E-EvdV = Ащу.
Собственные функции Ev, Hu удовлетворяют уравнениям:
W "J ггл+ гг,+ к _ £,2 |?1 r^f ™f и _ ъ2
yo\,Ev — ikvIIv, TOtHv = -ikvEv,
rot rot Ey = k2vEv, rot rot Hv = k2vHv,
где ku(ki,k2, k^) — соответствующие собственные числа (они вычислялись
в задачах 14.29, 14.31). С помощью (3) можно преобразовать интегралы,
стоящие в правых частях равенств (1),
div[E х rot Eu] = rot Ey-iotE-E- rot rot Ev = ikvHv • rot E - k2vEv • E,
поэтому
[ Hv-TotEdV = -ikv f E„-EdV + -±- fdiv[Ex rot Ev) dV =
(4)
= -kmkvqv + Ф Hv • [n x E] dS,
где последний интеграл берется по внутренней поверхности резонатора
и п — орт нормали, направленный в глубь проводника. Но поле на стенке
резонатора удовлетворяет условию (12.13), которое можно записать в виде
(5) СНТ = пх Е.
14.3. Ответы и решения
665
Собственная функция Hv резонатора с идеальной проводимостью
имеет на стенке только касательную составляющую, поэтому при
подстановке (5) в интеграл (4) можно заменить Нт на Н. В итоге, собирая
формулы (1)-(5), получим уравнение
(6) pv - iujvqv = --г- <р Hv • НdS.
Второе уравнение выводится аналогичным путем:
(7) qv - iujvpu = 0.
Исследуем влияние конечной проводимости стенок на v-ft тип
колебаний идеального резонатора. Возмущенное поле Н при ( —> 0 должно
переходить в невозмущенное поле, т. е. в сумме
v'
должен оставаться один член с v' = v. Следовательно, амплитуды pv>
с v1 = v пропорциональны £ и их подстановка в (6) дает члены
порядка С2 и выше. Пренебрегая такими членами, заменим Н в (6) на pvHv и
получим уравнение вида
(8) ру - iuovqv = ~Vv-^ Ф Hi dS.
Если исключить одну из переменных (ри) с помощью (7), то для другой
получится уравнение
(9) q„ + Jiq, + (^j)Hl dS)qv = 0.
Величина, стоящая в скобке, комплексна. Поэтому уравнение (9) описывает
гармонический осциллятор, на который действует «сила трения»
-(ifH'dS)^
где (' — действительная часть поверхностного импеданса.
Решая последнее уравнение, найдем комплексную добавку Аии — i^v
к собственной частоте идеального резонатора. Потери приводят к затуханию
собственных колебаний с декрементом
(10) ~t' = lt$ill<LS
■-£/*■
666
Глава 14
и к сдвигу собственных частот на величину
(11) Д*„ = £
'^jtildS,
так что измененная собственная частота ujv = uov + До;^.
Связь между добротностью резонатора и декрементом затухания дается
формулой (14.21).
14.38.
Система потеряет резонансные свойства при достаточно высоких
частотах, когда расстояние между соседними собственными частотами станет
сравнимым с шириной резонансной кривой, определяемой декрементом
затухания 7i/ = oou/2Qu. При высоких частотах, как следует из результатов
задачи 14.30, расстояние между соседними собственными частотами:
Да; _ тг2с3 1
ДАТ а3 J1'
Приравнивая эту величину декременту 7, найдем область частот, для
которых система обладает резонансными свойствами:
lj < ioV/V/5.
При а « 1 см и а = 1017с-1 имеем: и < 3 • 1012с-1.
14.39. Производя разложение Е и Н по собственным функциям
идеального резонатора, как это сделано в задаче 14.37, получим для амплитуд ри
и qv систему уравнений:
(1) Pi/ - iooqv + 2г ^ AQ^j^ = 0,
v'
(2) qv - гшиРи + \з„е-Ш1 = 0,
где ДП„ = Дш — i*iv — комплексный сдвиг собственных частот;
(3) ju = jj-EvdV.
14.3. Ответы и решения
667
Ищем решение уравнений (1), (2) в виде
(4) Р„=Р°е-^, ди = д°е-ш*.
Исключив величины q®, получим
(5) pl(w2 - Зч>АП„ - JI) = Ц^з» + 2" £ 'Д^'Р°'-
Знак «'» у суммы означает, что член с и' = и отсутствует (он перенесен
в левую часть равенства).
Решаем систему (5) методом последовательных приближений. В
нулевом приближении отбрасываем сумму (]П ) и получаем
(6) Vv =
c(cj2 - 2ljASI„ -u2v)
В следующем приближении получим добавку к (6), равную
2а;
^'до,^.
J1 - 2ujAC11/ -Ji,
Она мала, если и близко к^,а все остальные собственные частоты uv
удовлетворяют условию \lj — uv| ^> |ДП^/|.
Выразим знаменатель (6) через добротность Qv и измененную
собственную частоту и)у = uju + Acj^. Имеем:
что справедливо вблизи резонанса (|о; - uv\ <С cj). Отсюда
Зависимость амплитуд поля от частоты имеет резонансный характер,
при заданном j поле при резонансе тем больше, чем выше добротность
резонатора:
(8) а0 =р° = ^®У
\и/ Чу res гv res CLOv '
668
Глава 14
Из полученных формул следует также, что проводник с током нужно
помещать в пучность электрического поля Ev и ориентировать вдоль Ev. При
этом величины ju и, следовательно, р°, q® будут иметь наибольшее
значение.
14.40. Если волновое поле с энергией W, заполняющее резонатор,
отражается от зеркала один раз, то потеря энергии составляет W{\ — R). За
время dt теряется энергия
Li
где cdt/L — число отражений. По определению добротности (14.21)
ujW ujL
Qi =
dW
dt
с(1-Д)'
где uj — частота рассматриваемых колебаний.
Излучение через боковую поверхность вызвано тем, что ограниченный
в поперечном направлении пучок света не может быть строго
направленным. Он обязательно имеет поперечную составляющую волнового
вектора Д/с_ь которую можно оценить из.условия Ак± • D « 1 (см. задачу 2.140).
Это приведет к тому, что лучи света, распространяющиеся от одного зеркала
к другому, образуют слегка расходящийся пучок с углом раствора
20 =
2Ак±
2с
Duo'
Рис. 14.14
Часть лучей не попадет на второе зеркало
(рис. 14.14), и потеря энергии при одном
отражении составит WL6/D. За время dt потеря
dW = -W^^ = -W
D Li
D2uj
■dt.
Добротность за счет излучения:
42 - 7Г~'
14.3. Ответы и решения
669
Если потери в зеркалах и на излучение малы, они складываются. Полная
добротность Q определяется по формуле
1
Q
При указанных в условии задачи значениях параметров:
Qi « 4 • 105; Q2 « 4 • 108 » Qi; Q « Qi « 4 • 105.
14.41. Если первоначально луч распространялся по нормали к
плоскости одного из зеркал, то после п-го отражения угол между нормалью и
лучом будет равен п(3 (рис. 14.15). За n-е прохождение между зеркалами
луч смещается на расстояние n(3L\ число отражений N до выхода луча из
резонатора оценивается из соотношения
N
$>/?£:
D.
71=1
Рис. 14.15
/ \1/2
При N > 1 получим N = ( 2D//3L) , что соответствует времени
затухания собственного типа колебаний
с с\ р /
Это время можно отождествить с обратным декрементом затухания j:
(3 4I/2
7
= ± = c(JL.Y
т \2DLJ
670
Глава 14
Добротность за счет непараллельности зеркал:
п ш uj {2DL\1/2
Q3=2^ = Yc{-T~) '
Чтобы непараллельность зеркал не уменьшила существенным образом
добротности резонатора, требуется выполнение условия Q% < Q, где Q —
добротность резонатора с параллельными зеркалами. Отсюда
я< и2 DL
Р ~ 2с2 Q2 *
Для параметров резонатора, приведенных в условии предыдущей задачи,
находим
Р < 0,0012.
14.42. а) Угол # принимает дискретные значения, определяемые
условием
(л \ L _ п\
1 } cost? " 2 '
'где п > 1 — целое положительное число. Если при заданном Л возможно
значение # = 0, которое соответствует п = п0 (L = щХ/2), то дискретные
значения угла i)fcCl определяется формулой
(2) 0* = (f)
1/2
б) Добротность <2ь учитывающая потери в зеркалах, была найдена
в задаче 14.40. Добротность Q2, связанная с потерями на излучение, по
порядку величины составляет
(3) <?2 = ^f при #>в, Q2 = ^ = ^- при 0<6>,
где в — угол дифракции, определенный в задаче 14.40.
Если Qi < Q2max» то полная добротность Q резонатора для тех
типов колебаний, у которых Q2O?) > Qi> будет практически одинаковой и
близкой к Q\. Если Qi > Q2max» то Q будет определяться, в основном,
величиной Q2 в соответствии с формулами (3).
14.3. Ответы и решения
671
14.43. Используем формулу (2) из решения задачи 14.29, положив для
простоты а = b порядка h. При h ^> А имеем пз > 1, долгоживущими
будут моды с ni, П2 <С п3. В этом случае
7ГСП3 7ГсЛ(п?+п|)
а; « Н — —.
Л а2п3
Расстояние между соседними частотами при изменении числа пз составляет
До;/ ~7rc//i, при изменении ni имеем До;* « 27rchni/ns «С До;/.
14.44. Согласно результатам задачи 9.51, магнитное поле внутри
эллипсоида выражается через внешнее поле Но и намагниченность М:
(1) Hint = H0- 4тг7УМ,
где N = (Nik) —тензор коэффициентов размагничивания. Используем
уравнение Ландау-Лифшица (11.116), подставив в него в качестве Hef поле (1):
(2) 4М = -vHint х М.
В равновесном состоянии М = Mo = const и из (2) получаем условие
равновесия
(3) М0 х (Н0 - 4ttJVM0) = 0.
При малом отклонении вектора намагниченности от равновесия
возникнут колебания: M(t) = М0 + m(t), где т х М0 = 0, га ос e~lujt.
Линеаризуя уравнение (2), находим однородную систему уравнений
(4) iujm - г]{т х (Н0 - IttNMq) + AnNm x М0} = 0.
Приравнивая нулю определитель системы, найдем частоту собственных ко-
пебаний:
(5) J1 = [uj0 + (iV(x) - NM)ljm][u>o + (N{y) - nW)ljm].
Здесь cj0 = цНо, ujm = 47rr/M0.
Вектор га в общем случае имеет эллиптическую поляризацию:
'(£\ у
ujq + (N^ -NW)u)M
Собственные частоты однородного магнитного резонанса для частных
шучаев приведены в таблице:
672
Глава 14
Форма
тонкий диск
тонкий диск
тонкий стержень
тонкий стержень
сфера
Направление намагниченности
касательное
нормальное
продольное
поперечное
произвольное
Собственная частота
ш = y/uj0(uJo +ujm)
и) = |cj0 -uM\
uj = ujo +ujm/2
uj = y/uJo{u;o -cjm/2)
UJ = LOq
В поперечно намагниченном тонком стержне собственные колебания
возможны только при (j0 > о;м/2.
14.45. Я-волны. Собственные частоты: uju\ = xnic/a, где хп\ — корни
уравнения ji (xni) = 0, которые нумеруются в порядке возрастания
натуральным числом п. Компоненты поля определяются через потенциал Дебая
Vnim = ji{xnir/a)P[n(e)(Acosma-\-Bsmma), га = 0,2, .../. Всего на
заданной частоте имеется 2/ + 1 независимое распределение поля (кратность
вырождения частоты).
Е'-волны. Собственные частоты: ujni = xnic/a, где хп\ — корни
уравнения ji(xni) + xnij[{xni) = 0. Компоненты поля определяются через
потенциал Дебая unim, который совпадает с потенциалом vnim Я-волны.
Глава 15
Взаимодействие заряженных частиц с
равновесными и неравновесными
средами
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии
быстрых частиц в средах
Будем называть быстрыми такие частицы, скорости которых велики по
сравнению со скоростями большинства атомных электронов среды.
Напомним, что в квантовой механике это условие позволяет рассматривать
процесс взаимодействия частицы с атомом по теории возмущений. Быстрые
частицы при движении в среде, состояние которой близко к статистически
равновесному, будут терять энергию. Для тяжелых частиц (мюоны,
протоны, атомные ядра и др.) энергия в основном будет расходоваться на
возбуждение и ионизацию атомов среды. Эти потери называются
ионизационными. Легкие частицы (электроны и позитроны) при высоких энергиях
интенсивно генерируют тормозное излучение. Их радиационные потери
начиная с некоторой энергии превышают потери на ионизацию и играют
главную роль.
Кинематика столкновения быстрой частицы с электроном.
Ионизационные потери вызываются передачей энергии быстрой частицы атомным
электронам. Если переданная электрону энергия значительно превышает
его энергию связи, то электрон можно считать свободным и
покоящимся. Переданную электрону кинетическую энергию К можно вычислить из
результата задачи 3.94 как функцию угла в его вылета относительно
первоначального импульса налетающей частицы:
с2р2 cos2 О
(S + mec2)2-c2p2 cos2 в'
(15.1)
674
Глава 15
Здесь 8 — у/с2р2 + га2с4 и р — полные релятивистские энергия и импульс
налетающей частицы, те — масса электрона. Максимальная передача
энергии Кт происходит при лобовом столкновении (cos# = ±1):
9 Т(8 + гас2)
где Т = 8 — тс2 — кинетическая энергия налетающей частицы. При т =
= гае имеем Кт = Т, т.е. вся энергия электрона или позитрона может
перейти к первоначально неподвижному электрону.
В нерелятивистском случае
Кт = -^\2Т. (15.3)
При га ^> гае налетающая частица отдает электрону лишь малую долю
своей энергии Кш/Т = (4me/m) <С 1.
В ультрарелятивистском случае при 8 > (га/гае)гас2 из (15.2)
получаем
к~ = т{1-£$)- (15-4)
В отличие от нерелятивистского случая, в этом пределе независимо от
массы налетающей частицы почти вся ее кинетическая энергия может быть
передана электрону, но такие события редки. Наконец, при умеренном
релятивизме налетающей частицы, 8 <С (га/гае)гас2, га ^> гае, из (15.2)
находим
Km = 2mec2^) = 2гаес2(72 - 1). (15.5)
Передача энергии определяется только релятивистским фактором 7 —
= 8/тс2 налетающей частицы.
Ионизационные потери. Удобно разделить все возможные
столкновения быстрой частицы с электронами среды на две группы — «близкие» и
«далекие». При близких столкновениях электрону передается энергия К,
значительно превышающая его энергию связи, мерой которой является
средний ионизационный потенциал / атома: Кш ^ К ^ Kq > /. Далеким
столкновениям соответствует малая передача энергии, К < К0 < I. Здесь
величина Kq обозначает условную границу между близкими и далекими
столкновениями. В дальнейшем мы уточним требования к этой величине.
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 675
Выбранная классификация позволяет вы- р р'~р.+к
числять сечение близких столкновений по те-
ории возмущений в приближении свободных
электронов. Близкие столкновения как прави-
ло являются парными, потому что одновре- Р» / Ру=Ру-к
менное нахождение двух или нескольких
электронов в малой области пространства малове- Рис. 15.1
роятно. В случае мюонов, протонов и других
тяжелых частиц процесс столкновения описывается одной диаграммой Фей-
нмана (рис. 15.1), на которой все внешние линии относятся к свободным
частицам. Их волновые функции — дираковские биспиноры — были
построены в примере 6.17. Сечение столкновения (см. задачу 15.3), выраженное
через релятивистский фактор 7е электрона после столкновения, имеет вид
da
2тге4
d'ye
т\<?# (Ъ - I)2
1-0
.27е
-1
+
т2ес4
2ё2.
(7е " I)2
(15.6)
Здесь v, /3 = v/c, £ относятся к быстрой тяжелой частице. На ее долю
приходится также множитель е2. Величина jm представляет собой
наибольший релятивистский фактор электрона, определяемый с помощью
формулы (15.2).
Потери (d§/dz)le>10 быстрой частицы на единице пути с передачей
электронам энергии, превышающей (70 - 1)тес2, вычисляются путем
умножения сечения (15.6) на среднюю концентрацию электронов пе, энергию
(7с - 1)тес2 и интегрирования в пределах от 7о ДО 7т-
d£
dz
-nt
7е>70
]ы-ц
me(?da
2тге4пе
mev2
lnlHL^±-f+m*c4
7о - 1
4S2
Ы -1)2
(15.7)
Если среда состоит из атомов одного сорта, то пе = Zna, где Z — зарядовое
число, па — концентрация атомов. В сложной среде пе равно сумме таких
произведений.
Отметим, что потеря энергии обратно пропорциональна массе
электрона тпе. Атомные ядра тоже участвуют в торможении, но их вклад меньше
на фактор тпе/М <С 1, где М — масса ядра, и этим вкладом
пренебрегаем. С ростом энергии релятивистской частицы потеря энергии нарастает по
медленному логарифмическому закону.
676
Глава 15
Торможение за счет далеких столкновений часто носит коллективный
характер и сопровождается малыми передачами импульса и энергии. Эти
величины могут передаваться сразу большому числу частиц, т. е.
коллективным возбуждениям среды, охватывающим макроскопические области
пространства. Эту часть потерь удобно описывать методами макроскопической
электродинамики с помощью функций отклика. Такой способ описания был
предложен Ферми (1940) и развит Ландау (см. [Ландау и Лифшиц,
Электродинамика сплошных сред]).
Потеря энергии частицей определяется электромагнитным полем,
которое она создает в среде. Это поле естественным образом включает в себя
и реакцию среды на движение заряженной частицы. Поэтому потерю
энергии можно вычислить как работу результирующего электрического поля над
частицей на единице пути. Второй эквивалентный способ — вычисление
потока электромагнитной энергии через поверхность цилиндра заданного
радиуса, вдоль оси которого движется частица. Поток энергии даст потери
за единицу времени, переданные частицам среды за пределами цилиндра и
полю излучения.
Пример 15.1. Релятивистская частица с зарядом q движется в
изотропной среде по прямолинейной траектории со скоростью v = const
(рассеянием частицы пренебрегаем). С помощью разложения Фурье
вычислить электромагнитное поле частицы, выразив его через интегралы,
содержащие диэлектрические проницаемости ei(k, cj), et(k,uj).
Решение. Уравнения (11.25)—(11.26) можно привести к виду
1 д29 4тг 9jext
(1) Vx[VxE] +
с2 Ot2 с2 dt '
Преобразование Фурье этого уравнения с использованием формулы 9Q =
= еарЕр дает
2Г „ и U- U2 _ АтГ-Ги.Л-АпШ
(2) ( k2SaP - kakp - ^еа(3 ) Е0(к,и>) = i^ffaxt(k,uj).
Из алгебраической системы уравнений, использовав формулу (11.38),
получаем
„•47га; J какр к дар какр
к2 \ uj2ei(k,u) с2к2 - oj2et(k,tj)
(3) ад,о,) = -г*&. -^- - _~Г Г,? л £-*(*,"),
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 677
а из уравнения Максвелла (11.26) имеем
& Х Jext
(4) В(к,ш) = г4тгс-
с2к2 - uj2et{k,uj)
Плотность тока равномерно движущейся частицы имеет вид
(5) 3ext(r^) = ev6{r-vt),
а его фурье-образ содержит дельта-функцию
(6) Jextfcv) = 2ке6(и -k-v).
Поэтому обратное преобразование Фурье выразится через трехкратный
интеграл:
E(r,t) = *4.e /(-^- ^-^ \ехр^ ■ (r-vt)]-^
k2ei(k,uj) c2k2-uj2et{k,uj)j ^L v (2тг)3'
(15.9)
где всюду нужно положить и = к • v. ■
Пример 15.2. Записать потери энергии частицы в виде двукратного
интеграла по частоте и = к • v и поперечному волновому вектору q =
= y/k2 — uj2/v2, использовав выражение (15.9) для электрического поля
частицы в среде.
Решение. В изотропной среде сила торможения направлена против
скорости частицы, поэтому потери энергии в единицу времени можно
вычислить по формуле
(1) ^=ev-E\r=vt,
где поле берется в точке нахождения частицы. Чтобы получить потери на
единицу пути, нужно поделить (1) на скорость частицы v. Подставим в (1)
электрическое поле (15.9), заменив переменные: d3k = (2тг/v)qdqdu. В
итоге получим
dS • е2 [ , fqdq 1 (32q2 \
678
Глава 15
Записав бесконечный предел в интеграле по q, мы учли тем самым все
возможные прицельные параметры, вплоть до нулевых, так как по порядку
величины р ~ 1/q. Поэтому формула (15.10) в принципе описывает полные
потери, включая близкие столкновения. Но для этого нужно использовать
диэлектрические проницаемости, учитывающие пространственную
дисперсию с к > 1 /а, где а — атомный размер. Такие диэлектрические
проницаемости для сколько-нибудь сложных сред неизвестны, поэтому как правило
формулу (15.10) используют для учета далеких столкновений, обрезая
интеграл по q на некотором значении go ^ 1/а- Это позволяет использовать
диэлектрические проницаемости без учета пространственной дисперсии,
рассматривая их как функции только частоты. Мы в дальнейшем тоже
используем такой подход.
Пример 15.3. Показать, что правая часть (15.10) представляет
собой действительную отрицательную величину Показать также, что при
равномерном двиэюении частицы в вакууме величина (15.10) обращается в
нуль.
Решение. Используем свойства (11.39) величин £/, еи согласно
которым их действительные части — четные, а мнимые части — нечетные
функции частоты. По этой причине в подынтегральном выражении у
комплексных величин
UJ
_ = и(е[ - ге'() ш = ш(а-+1Ь)
£i " \ei\2 ' a-ib a2 + b2 '
где а = к2 - и2е[/с2, b = и2е"/с2, действительные части — нечетные,
а мнимые части — четные функции частоты. При интегрировании по
частотам в симметричном интервале интегралы от действительных частей
обращаются в нуль, а мнимые части дают
d8_ 2e2 f^.f ^ hi +4A\<0. 05.11)
/wdi7;
dz тгу2 J J q2+uj2/v2 \ei\2 a2 + b2
0 0 v
В вакууме е" = e" = 0 и dS/dz = 0. ■
Нерелятивистский случай. Пренебрегая членом,
пропорциональным /?2, находим
оо qo
f = -—Jh^f^n- (15Л2)
dz nv2 J \ei\2 J q2 +uj2/v2
о о
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 679
Здесь мы ограничили верхний предел интегрирования по q значением
<7о <С 1/а, как уже было указано выше. Но величину q0 следует ограничить
также и снизу. Пусть вещество представляет собой атомарный диэлектрик.
Характерные частоты в интеграле (15.12) — порядка атомных частот.
Скорость быстрой частицы намного больше скоростей электронов в атомах,
поэтому величина ujat/v « 1/о (но ujat/vat ~ 1/а)> и можно выбрать q0
таким образом, чтобы было ujat/v < <7о < 1/а- При этом ei(u>) зависит
только от частоты. Выполнив интегрирование по dq, получим
оо
о
Введем в формулу (15.13) среднюю атомную частоту uaU определив ее
соотношением ([Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных сред])
оо
Jujf(w)\nujduj
\nwat = ^ , где f(u,) = Jl^L. (15.14)
О
Интеграл, стоящий в знаменателе, представим в виде
оо оо
О -оо
где опять использованы свойства четности и нечетности действительной и
мнимой частей е. Далее пользуемся отсутствием полюсов и нулей
функции si(uj) в верхней полуплоскости комплексного и и деформируем контур
так, чтобы он превратился в дугу С большого радиуса в верхней
полуплоскости. На этой дуге можно использовать асимптотическое выражение ei(w)
для больших частот:
, ч 47гпее2
ei(uj) = 1 - ——-.
meuj
Интегрирование дает
/uif(uj)duj = — 77 / lj I 1 Н ^-г- I dw = 2ттее2те
* J \ meuj2 I
О С
680
Глава 15
(интеграл fcujdu = 0). В итоге получаем из (15.14) компактное выражение
сЦ
dz
q^qo
4тгпее4 . qov
mev2 Uat
(15.15)
Поскольку импульс hqo много больше импульсов атомных электронов,
его можно отождествить с импульсом электрона, выбитого из атома быстрой
частицей, и ввести энергию этого электрона К0 = (hq0)2/2me, переписав
формулу (15.15) в виде
dl
dz
2тгпее4 . 2mev2Ko
К^Ко
raeir
h2u2
(15.16)
Как видно из структуры этого выражения и формулы (15.7) для близких
столкновений, граничная энергия Kq входит под знаком логарифма, причем
таким образом, что из суммарных потерь эта энергия сокращается:
d£
dz
dl
dz
К^Ко
+ U8
dz
2тгпее4 . 2mev2Kri
In
K^Ko
mev*
h2u
(15.17)
'at
(мы опустили малые в нерелятивистском случае члены в формуле (15.7)).
При чисто квантовомеханическом расчете без использования методов
макроскопической электродинамики для нерелятивистской частицы
получается близкий результат (см., напр., Росси (1955)):
dl
dz
2тгпее4 . 2mev2Kn
Г1п п
mevz г
(15.18)
где / — средний ионизационный потенциал атома. В изложенном нами
расчете Ландау и Лифшица вместо ионизационного потенциала входит
некоторая средняя атомная энергия hwau которая выражается через
диэлектрическую проницаемость согласно (15.14). По-видимому, величины / и hwat
близки друг другу. Расчет, использующий диэлектрическую проницаемость,
в принципе более точен, так как он учитывает поляризацию среды, т. е.
влияние соседних атомов. Но в настоящее время ни одна из этих величин не
может быть вычислена точно.
Релятивистский случай. Расчет производится по формуле (15.11)
аналогичным образом, но более сложен. Для полноты изложения мы приведем
без вывода основные результаты для быстрой тяжелой (тп^> тпе) частицы.
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 681
При (З2 < е0 *, где ео — статическое значение диэлектрической
проницаемости, во — ei(0) = et(0), [i = 1, полные потери энергии имеют вид, сходный
с (15.17):
^ = -^(h?^- A (15.19)
dz mev2 у nwat J
При (З2 > Sq1 для ультрарелятивистских (/? « 1) тяжелых частиц полное
торможение
f = -^(^-.). (15.20,
В теории, не учитывающей поляризации среды, полное торможение
оказывается более сильным за счет далеких столкновений:
dg 4тгп6в4 (^ 2т6с272 Л п«?п
^ = -^-|^1п-7 XJ- (15'21)
В обеих теориях с ростом энергии частицы торможение растет по
логарифмическому закону, но поляризация среды уменьшает потери энергии
при далеких столкновениях, что и приводит к выражению (15.20).
Формулы для торможения электронов за счет ионизационных потерь несколько
отличаются от (15.20), (15.21), но это отличие не превышает 10-15 %.
Генерация плазмонов. Вычислим потери релятивистской частицы в
плазме. Близкие столкновения учитываются формулой (15.7). Торможение
от далеких столкновений вычисляем по формуле (15.11), положив si =
= et = е = 1 - uJoe/uj2 + гт], где и>ое = \/47rnee2/me — плазменная частота,
rj > 0 — малая мнимая часть. Первое слагаемое в фигурных скобках после
интегрирования по dq дает при до ^ u/v
оо
0
Здесь e"(uj) = т) — малое положительное число. По формулам (1.215),
(1.209) делаем замену
\e\z e'z + r]z
= 7Г5(1 - J^JJ1) = -7TUJoe[S(uJ -UJQe) + S((jJ + UJ0e)\. (15.22)
682
Глава 15
Во второе слагаемое формулы (15.11) входит дробь Ь/(а2 + Ъ2). Снова
переходя к пределу rj —> 0, получим
а2 + Ъ2 V v2 с2 v 7 \ v2 с2 с2 )'
(15.23)
Аргумент дельта-функции положителен при всех q ^ 0 и о; ^ 0, поэтому
второе слагаемое не дает никакого вклада в интеграл. Объединяя
предыдущие результаты, будем иметь
dz
q^qo
.^hg. (.5,4,
Уравнение ei(w) = 0, как мы видели в разделе 11.1, определяет частоту
собственных колебаний плазмы. Таким образом, формула (15.24) описывает
генерацию плазмонов быстрой частицей на единице пути. Мы уже отмечали
в задаче 11.49, что этот процесс служит одним из способов
экспериментального исследования электронной структуры твердых тел.
Добавляя к (15.24) потери от близких столкновений, получим полные
столкновительные потери быстрой частицы в плазме:
dg _ 2тгпее4 (ln 2mev2Km _ -г 1~rn i ,J5 25)
dz mev2 \ h2u>le
Структура этой формулы та же, что и в предыдущих случаях,
различия между ними связаны в основном с величиной, стоящей под знаком
логарифма и малыми поправками в скобках.
Излучение Вавилова-Черенкова. Рассмотрим движение частицы в
немагнитном (ei = et = e(u) > 1) непоглощающем диэлектрике и
выделим ту часть полных потерь энергии, которая связана с генерацией
поперечных электромагнитных воле. Она определяется вторым слагаемым в
формуле (15.11):
оо qo
dz I тгс2 J Ш J q2 + u2/v2 a2 + Ь
о о
2 / J q2 j.,.,2/,,2 л2 _l I?
0
oo qo
c2
о о
I^JT^i^-i^y <15-261
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 683
Мы здесь использовали формулу (15.23). Аргумент дельта-функции
обратится в нуль лишь при условии uj2/v2 - uj2s(uj)/c2 < О, т. е.
е(и) > 1, v > <L = vph. (15.27)
Скорость частицы должна превышать фазовую скорость электромагнитных
волн в диэлектрике. Несложно определить и угловое распределение
излучения. Вернемся к замене переменных в примере (15.2) и учтем, что
uj = kv cos 0, где в — угол распространения электромагнитной волны
относительно скорости частицы v. С другой стороны, в изотропном диэлектрике
частота волны и (к) = kvph = кс/п(ш), где п(и) = \/s(uj) — коэффициент
преломления. Сравнивая два выражения для частоты, находим
cos0 = ^ = -С- (15.28)
Излучение Вавилова-Черенкова заданной частоты испускается вдоль
образующей конуса под углом, который определяется соотношением (15.28).
Произведя в (15.26) интегрирование по dq2, получим полное черенков-
ское излучение на единице пути:
dz\tr с2 Jo \ n2{u))v2l
Интегрирование производится по области частот, в которой выполняется
условие излучения (15.27). Это излучение было обнаружено в
экспериментах С.И.Вавилова и П.А.Черенкова в 30-х годах 20-го века.
Теоретическое объяснение эффекта дали И. Е.Тамм и И.М.Франк (1937). В 1958 г.
П.А.Черенкову, И.Е.Тамму и И.М.Франку была присуждена
Нобелевская премия по физике «за открытие, объяснение и использование
эффекта, носящего имя Черенкова». История экспериментальных и
теоретических исследований этого эффекта подробно описана участником открытия
И. М. Франком в его монографии (1988)1.
Ряд вопросов, относящихся к излучению Вавилова-Черенкова,
рассмотрен в следующем разделе.
1 Теоретическое предсказание о возможности излучения заряда при его сверхсветовом
движении в диэлектрике сделал в 1888 г. (еще до открытия первой элементарной частицы —
электрона) выдающийся английский физик О. Хевисайд (см. Болотовский (1985)). Но только
советские ученые обнаружили это явление на опыте и изучили его исчерпывающим образом.
684
Глава 15
Многократное рассеяние быстрых частиц. Кроме потерь энергии,
быстрые частицы в веществе испытывают многократные упругие
столкновения, которые вызываются главным образом их взаимодействием с
атомными ядрами. Ядра ввиду их большой массы можно считать неподвижными.
Многократное рассеяние может существенно влиять на угловое
распределение быстрых частиц и на радиационные процессы в среде. Характерной
особенностью кулоновских столкновений является резко анизотропный
характер резерфордовского сечения упругого рассеяния. В каждом
столкновении релятивистская частица отклоняется на малый угол.
Дифференциальное сечение рассеяния на экранированном кулоновском потенциале в
малоугловом приближении вычислено в задаче 15.2:
(2Ze2\ 1 л vi/з ™ес л е2 _ 1 /icim
[-W) JgTfitf* 0o = Z/a—, a=-^Wr (15.30)
сЮ, = OdOdip — элемент телесного угла, 0О — учитывает радиус
экранировки потенциала в приближении экспоненциальной экранировки. Сечение
максимально при в « в0 <С 1 и убывает с ростом угла как 0~4 при в > в0.
Получим уравнение для решения задач о многократном упругом
рассеянии релятивистской частицы в приближении малых углов. Будем считать,
что в начальный момент пучок частиц имел нулевой разброс по углу, а в
конечном состоянии средний угол рассеяния мал по сравнению с
единицей (но велик по сравнению с углом 0q однократного рассеяния). Малый
угол удобно изображать вектором #, направление которого
перпендикулярно первоначальной скорости частицы и указывает направление ее
отклонения. Модуль же дает угол отклонения.
Внешнее поле отсутствует, поэтому уравнение Больцмана (7.38) для
функции распределения f(p,r, t) будет иметь вид
% + *■% = Ш1 05.31)
где /[/] — интеграл столкновений быстрой частицы с неподвижными рас-
сеивателями (атомами). С точностью до членов первого порядка по малому
углу имеем
где начальное направление движения частицы совпадает с осью Ог, р —
радиус-вектор в плоскости (х,у). Интеграл столкновений записываем из
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 685
соображений баланса в виде
/[/] = nav J[/(tf - в, г, t) - /(i?, r, *)]Ат(0), (15.32)
где первое слагаемое описывает приход частиц в состояние с углом # за
счет упругого рассеяния, а второе — уход частиц из данного во все другие
состояния. При этом энергия частиц сохраняется. В предположении ^<t?
производим разложение по углу рассеяния в:
/(0-0)«/(0)-e.|£ + i
д21П2 , о э2/ а2/ 2
Здесь проекции угла рассеяния можно выразить через азимутальный угол:
вх = Ocosip, ву = 0 sin (р. Вычисление интегралов дает f 0da(O) =
= f 0x0ydcr(0) = О ввиду независимости сечения от азимутального угла.
Обозначив
q = na fo2da{0), (15.33)
получим кинетическое уравнение в приближении Фоккера-Планка:
df df Q Of qv fd2f d2f\ /1CO/l4
w+^ + ^-^ = t^ + 4J" (1534)
Все интегралы по углу, содержащие функцию распределения /(#),
можно брать в бесконечных пределах ввиду быстрой сходимости. Но
интеграл (15.33) на верхнем пределе логарифмически расходится, и его следует
ограничить:
д = 4тгпа(^-) fln%^-iV 0ma,»0o. (15.35)
Pv J \ 00 2
Это выражение имеет логарифмическую точность, т.е. применимо при
условии ln(0ma:r/0o) ^> 1. Величина вшах может быть любым числом
порядка единицы. Для частиц очень высоких энергий нужно учитывать
конечный размер ядра, в этом случае 0max « h/pRn, где Rn — радиус ядра.
Такое ограничение годится в тех случаях, когда вшах < 1.
Решение уравнения Фоккера-Планка для многократного рассеяния см.
в задачах (15.7Ф), (15.8*).
686
Глава 15
Радиационные потери энергии. Кроме потерь на ионизацию и
возбуждение атомов, быстрая частица теряет энергию в среде на излучение.
Один вид таких потерь — черенковские потери — мы уже рассмотрели
выше в этом разделе (см. также раздел 15.2). Но черенковское излучение
вносит небольшой вклад в общие потери энергии. Несравненно более
существенную роль для сильно релятивистских электронов играет тормозное
излучение гамма-квантов на атомных ядрах среды. В тормозном излучении
масса частицы весьма важна, так как в ее сопутствующей системе
ускорение обратно пропорционально массе, а интенсивность излучения, таким
образом, обратно пропорциональна квадрату массы. Поэтому при
одинаковых релятивистских факторах в одном и том же внешнем поле тормозное
излучение протонов в миллион раз меньше, чем электронов. Но из
этого не следует, что при движении тяжелой ультрарелятивистской частицы
в среде излучение будет отсутствовать. Излучать будут электроны отдачи,
возбуждаемые энергичной частицей (см. задачу 6.81).
Тормозное излучение ультрарелятивистского электрона на неэкраниро-
ванном атомном ядре было вычислено методом эквивалентных фотонов в
задаче 6.82. Его сечение с вылетом квантов под всеми возможными углами
имеет вид
dMc,)=4Zar0-|l- —+ -jln—^,
g^mec2, In 28f >1.
mPczhw
(15.36)
Как уже отмечалось, расчет по теории возмущений в низшем порядке дает
близкий результат:
^>H=4Z^#{l-§ + £}
In
2§§'
mec2fojj
S > тес2.
(15.37)
Здесь го = е2/тес2 — классический радиус электрона, a = e2/hc « 1/137
— постоянная тонкой структуры, индекс В означает первое борновское
приближение, §, §' — начальная и конечная энергии электрона. При
\n(2SS//mec2huj) ^> 1 оба сечения совпадают. В мягкой части тормозного
спектра (huu <С §) имеем
In
2S2 1
mPc2huj 2
(15.38)
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 687
Использовав приведенные сечения, можно вычислить радиационные
потери ультрарелятивистского электрона:
d8_
dz
rad
= -naJ>
d (Б)
Yvjj—f—dw,
QJUJ
(15.39)
где па — концентрация атомных ядер. Величина, стоящая под знаком
интеграла, представляет собой спектральную плотность потерь на единице пути
и на единичный интервал частот:
d28LJ
dzdw
= —nahuL)
da\
(В)
dw
(15.40)
Спектральные потери в единицу времени получатся умножением этой
величины на скорость частицы v « с. Они не эквивалентны спектральной
интенсивности излучения (5.77), которая рассматривалась в классической
теории. Формула (5.77) дает спектральные потери за все время
излучения, которое предполагалось конечным. Здесь же время излучения частицы
неограничено, и следует рассматривать потери в единицу времени или на
единице пути.
Возвращаясь к вычислению радиационных потерь, производим
интегрирование согласно (15.39) и получаем
d8
dz
-AZ2arlna§
rad
In
28
mec2
(15.41)
Уже сравнение этого результата с формулой (15.19) для ионизационных
потерь показывает, что у электронов при высоких энергиях
радиационные потери преобладают, поскольку они растут пропорционально
произведению 8 In 8, тогда как ионизационные потери в релятивистской области
пропорциональны только In 8. Но прежде, чем делать окончательные
выводы, нужно уточнить зависимость (15.41) для радиационных потерь. Она
получена в упрощенной модели вещества как совокупности голых ядер без
электронных оболочек, расположенных случайным образом в пространстве.
В действительности имеется еще подсистема электронов, которые
экранируют поля ядер, изменяют закон дисперсии квантов, создавая
диэлектрическую проницаемость среды и сами могут излучать кванты. Сначала мы
учтем экранировку поля ядра атомными электронами, считая электронную
систему статической. В конце этого раздела и в следующем разделе роль
электронов среды будет рассмотрена более подробно.
688
Глава 15
Пример 15.4. Используя метод эквивалентных фотонов (см.
раздел 6.3), вычислить сечение тормозного излучения релятивистского
электрона в поле нейтрального атома. Использовать электростатический
потенциал атома с экспоненциальной экранировкой: ip(r) = (Ze/r)e~r/R,
R = ubZ-1/3, ав —радиусБора. Выяснить роль экранировки в
зависимости от энергии электрона и частоты излучаемых квантов.
Решение. В системе покоя среды скалярный и векторный потенциалы
атома имеют следующий вид:
(1) ^) = /#?^exp(ifc-r)(0' K = i A{r) = 0-
Если электрон движется со скоростью v = const, то в системе электрона
(штрихованной) потенциалы как функции штрихованных координат и
времени можно получить с помощью преобразований Лоренца (см. главу 3):
•VV.*') = 7ГТ [ ТТ^Ч ех№± ■ r± + tfc||7(z' + vt%
(2) 27Г J /г + кг
A'(r',t') = -y(r',t').
Поперечные относительно скорости координаты не преобразуются. Далее
определяем напряженности электрического и магнитного полей:
7р Г k\\dzk
Щ\ = -*^ J ^Г^ eMik±-r± + tfc||7(z' + vt%
(3)
Е'± = ~i^f ^0 exp[ifc±- r±+ »Л„7(г'+ vt% H' = -%xE'.
Здесь снова, как и в примере 6.19, проявляется близость
электромагнитного поля релятивистского объекта к набору плоских волн в вакууме
(или, на квантовом языке, эквивалентных фотонов). Поле почти поперечно,
Е'±/Еп «7^1» частота волн, как следует из вида экспонент, близка к
вакуумному значению
(4) J — v^k\\ « ск',
поскольку к'± = к± <С /с[. = 7&ц •
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 689
Спектральную плотность п(ио') числа эквивалентных фотонов, как и
в примере 6.19, определяем путем приравнивания всей электромагнитной
энергии, прошедшей через плоскость z' = О за время пролета атома мимо
электрона, полной энергии эквивалентных фотонов:
оо оо
(5) —^ f d2r± [ dt'[E' xH']-v= [hLj'n(w')du'.
-оо О
Интегралы в левой части равенства по поперечным координатам и по
времени дают дельта-функции, использование которых позволяет представить
левую часть в виде трехкратного интеграла:
оо
г2
— ОО
С помощью равенства (4) определяем из последнего уравнения
спектральную плотность эквивалентных фотонов:
(?)
n(uj)(Lj = -г-^г-—г I
2nzhc u/ Jo
Z2e2 duj' fkrn 27rfcjdfc±
{к2 + к2)2'
Интеграл по поперечному волновому вектору расходится на верхнем
пределе, и его следует обрезать на обратной комптоновской длине (см. условие
(9) в примере 6.19):
Кш ~ Ас ~ h '
Вычислив интеграл, получим
<8> *'>=-S?jln
(¥)
2 /а \ 2"
+
R
>0.
Здесь опущена единица по сравнению с большим по модулю отрицательным
логарифмом. В пределе неэкранированного кулоновского поля (R —> оо)
результат (8) совпадает с (6.129).
Дальнейшее решение производится по образцу задачи 6.82, отличаясь
от него лишь более общим выражением (8) для спектральной плотности
эквивалентных фотонов. Используя сечение комптоновского рассеяния в
690
Глава 15
системе электрона и переходя затем в систему среды, найдем сечение
тормозного излучения:
(9)
dar(uj) = -2Z аг0— 11 - — + — | In
г \ 2
mec2hw \ (Ас
2SS' I + \ R
Рассмотрим два предельных случая этой формулы,
а) отсутствие экранировки:
Ac ^ rnec2huj
R 2§§
< *лл,, или R»1С, (15.42)
где
1с = Щ_ = Щ1. (15.43)
mzc^oj
В этом случае получаем для сечения прежний результат (15.36).
б) полная экранировка:
-j1» 2ggl , или /С»Д. (15.44)
Под знаком логарифма в формуле (9) главным становится второе слагаемое,
и сечение принимает вид
Л*М = 4Z2«rg# {l - § + g} In A. (15.45)
В этом пределе логарифмический фактор выходит на постоянное значение,
не зависящее от энергий электрона и излученного кванта. ■
Особенности тормозного излучения кванта релятивистским
электроном. Длина когерентности. Проанализируем физический смысл
результатов, полученных в предыдущем примере, и особенно роль длины /с,
которая определяется формулой (15.43). Для этого, пользуясь законами
сохранения, оценим продольный импульс, передаваемый внешнему полю в
сильно релятивистском случае. Под внешним полем будем понимать поле
отдельного атомного ядра, экранированного электронной оболочкой. В
направлении начального импульса электрона р имеем
ТЩ\\ =p -p' cost? - kk cos 0, (15.46)
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 691
где 1?, в — углы рассеяния электрона и вылета кванта. В релятивистском
случае эти углы весьма малы, не превышают тес/р <С 1. Поэтому для оценки
полагаем cos$ « cos# « 1. Кроме того, считаем квант достаточно жестким
и не учитываем поляризацию среды, используя дисперсионное
соотношение к = и)/с. В этих условиях переданный внешнему полю продольный
волновой вектор
hcyy/" ""e" v" "^ с " 288'
% « ^(^-т2с4_^,2_то2с4_£ „ ?££_£. (15.47)
Обратная величина
1* = ш = Щ- (15-48)
определяет в продольном направлении размер области, существенной для
процесса излучения. Это проявляется, в частности, в том, что квадрат
модуля гармоники Uq внешнего поля определяет вероятность излучения (см.
решение задачи (15.9**)).
При фиксированной энергии кванта hw продольная длина растет
пропорционально произведению 77' и может достичь макроскопических
значений. При этом поперечная длина остается величиной порядка комптонов-
ской длины электрона Лс = h/mec, которая определяла параметр
обрезания интеграла по поперечному волновому вектору к± в формуле (7) при-
мера.(15.4). Область, ограниченная двумя указанными длинами, определяет
эффективный объем интегрирования при вычислении матричного элемента
в Uq, поэтому ее следует рассматривать как область формирования кванта.
Продольную длину называют также когерентной длиной. Смысл
понятия «когерентная длина» особенно прозрачен в классическом случае, когда
fej«£, У «7- (15.49)
Пусть релятивистская частица (v « с) излучает электромагнитную волну,
двигаясь по траектории r(t) ~ vt, близкой к прямолинейной. Тогда
излучаемые волны с частотой и имеют фазовый множитель
ехр[г<^(£)] = exp(ikvcosO - iut). (15.50)
Оценим длину 1'с, на которой излучаемые волны приблизительно
когерентны, т.е. их фазы отличаются на Д<р < 1. Длине 1'с соответствует время
движения частицы At = VJv. Из условия
Aip = ip(t) - ip(t + Д*) = (и - kvcos0)l'c/v = 1, (15.51)
692
Глава 15
учитывая малость угла излучения в < 7 \ находим значение
/' = lOLl = к as 52)
с о;(1 + 7202) 1+72^2'
где /с совпадает с (15.48).
Используя концепцию области излучения, легко понять роль
экранировки ядра электронной оболочкой при тормозном излучении.
Экранированный кулоновский потенциал становится короткодействующим и в
приближении экспоненциальной экранировки приведен в условии
примера (15.4). Логарифму, входящему в формулы (15.36), (15.37), можно придать
вид
In 2gf =ln-js-. (i5.53)
meczhuj Ac
Под знаком логарифма стоит отношение двух длин, продольной и
поперечной, определяющих область излучения. Использованные выше формулы
(15.36), (15.37) для сечения применимы лишь при условии lc <С R. При
этом радиус действия потенциала не ограничивает область излучения
(отсутствие экранирования). В противоположном предельном случае lc > R
(полное экранирование) продольный размер области излучения будет
ограничен длиной R, которую и нужно ввести под знак логарифма вместо /с:
In 2gf -> In -£- = In a* = In —Ц-. (15.54)
mec2huj Ac Z^Ac aZ1'3
В результате сечение тормозного излучения примет вид
*rPM = ^ari^- {l - Щ + g} In 137Z-1/3. (15.55)
Более точное выражение для сечения, учитывающее экранировку в
модели Томаса-Ферми, было получено по теории возмущения Бете и Гайтле-
ром. В случае полного экранирования сечение Бете-Гайтлера имеет вид
dar(u)=^arl^ {(l-ff+ g) In 183Z-V3+g J, Хг>ав2^\
(15.56)
Из этой формулы в подтверждение предыдущим качественным
соображениям следует, что с ростом энергии электрона роль экранирования при
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 693
тормозном излучении возрастает. Экранированное сечение, как и
следовало ожидать, оказывается меньше неэкранированного при той же энергии
излучающей частицы.
В пределе малых энергий кванта, hw <С 8, 8' « 8, который можно
получить и из классической теории излучения, сечение (15.56) принимает
вид
*г,М = fz*arl (in 183Z-1/3 + i) %. (15.57)
Расходимость сечения при и —> 0 вызвана излучением большого числа
мягких квантов при больших прицельных параметрах. Но эта расходимость
устраняется при учете поляризации среды (см. ниже). Она не сказывается
при расчете радиационных потерь.
Лавинная длина и электронно-фотонные ливни. Торможение
электрона на единице пути в условиях полного экранирования вычисляется по
формуле (15.39) с сечением (15.56):
= -^-, L;1 = 4Z2ar20na fin 183Z"1/3 - ±\ . (15.58)
Обратим внимание на то, что в интеграл (15.39) главный вклад дает область
значений энергий квантов hu>9 сравнимых с энергией излучающей
частицы 8. Вклад квантов с энергиями hw <С 8 — порядка hw/8 <С 1. То же
самое имело место и при выводе формулы (15.41), которая соответствует
условию отсутствия экранирования lc <С R. Это свидетельствует о том, что
радиационные потери, в отличие от ионизационных, происходят большими
порциями и порождают сильные флуктуации энергии первичной частицы.
Согласно (15.58), значительную часть энергии сверхрелятивистский
электрон теряет на характерной длине Lr (его энергия убывает в е раз на
такой длине). Эта величина называется радиационной (или лавинной)
длиной. Второе название указывает на то, что сверхрелятивистский электрон
порождает лавину («ливень») других релятивистских частиц. Энергичные
кванты в поле атомных ядер генерируют электронно-позитронные, а также
мюонные и таонные пары, те в свою очередь рождают энергичные кванты,
и процесс рождения новых частиц нарастает в геометрической
прогрессии, пока не будет израсходована энергия первичной частицы, породившей
ливень.
Приведем значения радиационной длины для некоторых сред:
Среда I воздух вода С Si Pb
Lr, см 30000 33.9 14.7 10.2 0.26
694
Глава 15
Из сравнения этих величин следует, что наибольший объем ливень
занимает в атмосфере Земли. Регистрация и измерение различных характеристик
широких атмосферных ливней — главный метод изучения космических
частиц сверхвысоких энергий, вторгающихся в атмосферу Земли из космоса.
Такие ливни захватывают на поверхности Земли площади в сотни и
тысячи квадратных километров. Установки для изучения широких атмосферных
ливней имеются в ряде стран, в том числе в России.
Определим с помощью формулы (15.58) энергию электрона <£*, начиная
с которой радиационные потери преобладают над ионизационными.
Приравнивая (15.58) и (15.20) (последняя формула описывает ионизационные
потери электрона с десятипроцентной точностью), находим
*. « 1600m^ (15 59)
Zj
Это дает приблизительно 10 МэВ для свинца, 55 МэВ для меди и 200 МэВ
для воздуха.
Влияние многократного рассеяния и поляризации среды на
тормозное излучение. Для выяснения этого вопроса дадим более точную
оценку когерентной длины (15.48). Во-первых, учтем поляризацию среды через
диэлектрическую проницаемость е(и): к = иу/ё/с. Считая, что частоты
излучения много больше атомных частот и плазменной частоты сиое =
= у/47гпее2/те, используем асимптотическое выражение диэлектрической
проницаемости для больших частот, из которого получим
к^~Ш <15-60)
Во-вторых, при большой продольной длине частица может испытать
в области формирования излучения многократное рассеяние, что
увеличит угол отклонения от первоначального направления. Оба эти фактора
приведут к увеличению переданного импульса, к уменьшению
когерентной длины и как следствие — к уменьшению излучения. Эффект
подавления тормозного излучения многократным рассеянием электрона
(эффект Ландау-Померанчука) был предсказан этими авторами в 1953 г.
и впоследствии получил наблюдательные подтверждения (см. обзор Тер-
Микаэляна (2003)). Влияние поляризации среды на тормозное излучение
обнаружил Тер-Микаэлян (см. его монографию (1969)).
Сделаем оценку продольного передаваемого волнового вектора с
учетом указанных эффектов для случая hw <С §, когда эти эффекты проявля-
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 695
ются в наибольшей степени:
о о "1
1
«II ~
2i2c
i + ^ + f^ + l^
. (15.61)
В случае взаимодействия электрона с одним экранированным кулоновским
центром угол рассеяния # « #о ~ Z 1^атес/р, поэтому последнее
слагаемое в скобках можно записать в виде
^72tf2«Z2/V# (15.62)
где 8 — энергия излучающего электрона. Из (15.61), (15.62) следует, что
длина когерентности сохраняет по порядку величины значение (15.48) при
условиях
О2 < 7"2, Нш » a2Z2^g « 5 х i(T5Z2/3£,
но с ростом энергии частицы угол д станет нарастать за счет многократного
рассеяния электрона, что приведет в соответствии с (15.61) к уменьшению
когерентной длины. При более низких частотах вступит в игру слагаемое
си%е72/и;2, что тоже уменьшит когерентную длину, а вместе с ней и
интенсивность излучения.
Для количественной оценки указанных эффектов проведем расчет
интенсивности излучения в классической области спектра huo <С 8 методами
классической электродинамики. Используем формулу (5.77) для
спектральной плотности излучения в заданном направлении, восстановив в ней
зависимость от к и не пользуясь вакуумным дисперсионным соотношением
к = uj/c:
оо оо
^-^: = -4- ldt' [dt[kxv(t')Ukxv{t)]exp{iuj(t'-t)-ikir(t')-r(t))}^
dudil 4tt2cj J
— оо —оо
(15.63)
Перейдя к переменным интегрирования t и г = t' -1, запишем это
соотношение в виде
d2L e2
ОО ОО
Re jdr dt[k xv(t+T)]-[kxv(t)] exp{iujT—ik-(r(t+T)—r(t))}.
dudfl 2n2c
о
(15.64)
В условиях многократного рассеяния электрона в неупорядоченной
среде величины v(t) и r(t) становятся случайными функциями времени,
696
Глава 15
и необходимо произвести их усреднение по столкновениям электрона со
случайно распределенными силовыми центрами. Будем руководствоваться
работой Мигдала (1956). Усреднение следует провести с функциями
распределения F(v, r, t; 0, vo, 0) и F(v', r', t+т; v, r, t). Первая группа аргументов
соответствует концу движения, а вторая — его началу. Таким образом,
начальные условия для ясности включены в число аргументов, от которых
зависит соответствующая функция распределения. Каждая из них
нормирована на единицу и представляет собой вероятность застать частицу в
конечной точке фазового пространства при условии, что в начальный момент она
находилась в начальной точке. Обе функции удовлетворяют кинетическому
уравнению Фоккера-Планка (15.34) и начальным условиям
F(w, г, 0; 0, vo, 0) = 6(r)6(v-v0), F(v', г', £+0; v, r, t) = S(r'-r)S(v'-v).
(15.65)
Заметим, что в рассматриваемом приближении абсолютная величина
скорости электрона вообще не изменяется, поэтому обе функции распределения
в любой момент пропорциональны соответственно S(v - vo) и 5{v' - v).
Усреднение производится следующим образом:
([fc х v(t + т)\ • [к х v(t)] exp{-ik • (r(t + т) - r(t))}) =
= / d3rd3vd3r'd3v'[k x v'\ • [k x v] exp{-ik • (r' - r)}x
x F(v, r, t; 0, w0, 0)F(t/, r', t + r; v, r,*). (15.66)
В однородной стационарной среде условные вероятности F зависят только
от разностей координат и от разностей времен, F(vf,r',t + r;v,r,t) =
= F(r' — г, v', v, r), поэтому в (15.66) входит фурье-образ по координатам
Fk(v',v,r) = F(r' -r,v',v,T)exp{-ik-(r' -r}d3(r' -r). (15.67)
Углы, определяющие направления v, v', считаем малыми и
отсчитываем их от направления п = к/к вылета кванта,
v « v | 1 - \д2 ) п + vtf, v' « v [ 1 - jU/2 ) n + trtf',
V 2 / V 2 / (15.68)
[к x i/] -[kxv] = {kv)4' • tf,
где векторы #, #' перпендикулярны п и изображают малые углы, как в
равенстве (15.32).
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 697
Уравнение Фоккера-Планка для функции i7*. имеет вид
£+Ч'-И*-?(Й+*г)- ,,569)
причем q дается равенством (15.35).
Пример 15.5. Построить решение уравнения (15.69),
удовлетворяющее начальному условию Fk(vf,v,0) = 5(i?/ — #) и условиям
ограниченности.
Решение. Вводим новую неизвестную функцию
(1) w(0',0,T)=eikvTFk(v',v,T),
удовлетворяющую уравнению
(2) Qw _ likv^ _ TL (dhu + &w_\
(2) dr 2lkvi) W~ 4 [Wl + Wl)
и ищем решение в форме
(3) w(0',0,r) = exp{a(r) + /?(т)0' • tf + 7(т)#'2},
где а(т), /?(т), j(t) — функции времени, которые должны определяться
из уравнения (2) и начального условия. Подставляем (3) в уравнение (2) и
приравниваем члены при одинаковых степенях независимой переменной &'.
Находим систему нелинейных уравнений
(4) а = qvj+ ^qvtf2l32,
(5) (3 = qvfa
(6)
Из уравнения (6) находим
(б) 7 — Qvl2 - yikv.
1 — г к
(7) j(t) = -acthbr, a=-y-W-, b = qva.
Далее интегрируем поочередно уравнения (5) и (4), не забывая включать в
решение постоянные интегрирования:
(8) /3(Т) = ^7' ^r) = ^f1(r)-\nShbr + \nC'.
698
Глава 15
Чтобы при т —> 0 выполнялось начальное условие, необходимо выбрать
С = 2а, С = а/тг. Это приводит к решению
w(#',0,t) = fL exp{-(^2 + #2)acth6r + 2i9^ flash"1 6т}. (15.70)
Вернемся к вычислению интенсивности излучения. Мы усреднили
величину (15.64) по столкновениям электрона с экранированными кулонов-
скими центрами. Подставляя в (15.64) результаты (15.66), (15.67), (15.70),
получим
оо оо
(*LLl) = еЩ± J dt Re f <1те«и-к** Id*rd4d4'{-d' -tf)x
-oo 0
x F(v, r, t; 0, vo, O)w(0', tf, r). (15.71)
Мы не будем интересоваться угловым распределением излучаемых
квантов и проинтегрируем полученное выражение по направлениям
начальной скорости vo электрона. После интегрирования в силу условия
нормировки
/
d3v0d3rF(v,r,t; 0,w0,0)
зависимость от t в подынтегральном выражении исчезнет, и интеграл по
dt формально станет расходящимся. Это означает, что спектральная
плотность излучения пропорциональна времени, поскольку частица
непрерывно взаимодействует с рассеивающими центрами и излучает. Нужно ввести
спектральную интенсивность в единицу времени, поделив обе части (15.71)
на промежуток времени 2Т = J_Tdt. Чтобы перейти к потерям энергии
на единицу пути, которые мы вычисляли в предыдущих разделах,
следует поменять знак и поделить результат на скорость частицы. В результате
из (15.71) мы получим
d2C
dzdu
оо
-^Щ-Ке jdTe^-kv> f d4d4'(& -бМ&Лт). (15.72)
Для выполнения оставшихся интегрирований в (15.72) удобно предста-
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 699
вить все выражение в виде
оо
d2^
dzdw
где
е2к2
2тг2
о
(15.73)
ьР\#'^т) =&{*'-#)<?***'2
(15.74)
— функция распределения свободной частицы, не дающая вклада в
излучаемую энергию. Интегрирование по d2rd' приводит к результату
J d4\ti' • 0)[И7(0', tf, т) - W(°)(tf\ tf, т)\
/си dr
-tf2ath6r_ ikvd1 Iе!
(15.75)
Далее интегрируем один раз по частям по dr. Выделившиеся на
верхнем пределе бесконечно осциллирующие члены следует отбросить. Для
обоснования этого достаточно ввести сколь угодно малое поглощение
квантов. После интегрирования по d2id получим
^ = _e4(,-kv) Re fdTei^kv)T A cth6r _
dzduj
f dre^-^ (}
2i
kvr
(15.76)
Преобразуем оставшийся интеграл к
более удобному виду. Перейдем к
интегрированию по d( = bdr. В плоскости
комплексного £ это "~ интегрирование вдоль луча
1-2 (рис. 15.2). Рассмотрим замкнутый контур
1-2-3, где 2-3 — дуга бесконечного радиуса.
В заштрихованной области подынтегральное
выражение аналитично, поэтому интеграл по
замкнутому контуру равен нулю. Обращается
в нуль также интеграл по дуге бесконечного
радиуса вследствие наличия обрезающей
экспоненты
Г i{uo - kv)
exv\—i—
Рис. 15.2
< -•* (-,+0ж
700
Глава 15
Поэтому интеграл вдоль луча 1-2 равен интегралу по действительной
полуоси 1-3:
й2ёш 2е2(и - kv) Г \ 1 . лщ-куЛ ( ^, \\АГ'
0 ч '
(15.77)
Значение интеграла зависит от одного безразмерного параметра
и — kv /1c по.
s = —:. (15.78)
2су/Щ
Следуя Мигдалу (1956), введем функцию
оо
ФМ = ^/.-(с,Ьх-!)^, „,79,
о
имеющую асимптотики
Ф(в) « 1 При 5>1, Ф(5)^б5 При 5<1. (15.80)
Функция <£(s) протабулирована в работе Мигдала. Потеря энергии
записывается в виде
d2SUJ e2kq
dzdu 37г(о; - kv)
Ф(«). (15.81)
Анализ результатов. Рассмотрим прежде всего случай, когда
многократное рассеяние и поляризация среды не играют роли (s > 1, к = о;/с,
w-kv& cj/272. Из (15.81) и (15.35) получаем
d2SUJ
-|z2ar02na(ln^-|). (15.82)
dzd(huj)
Формула Бете-Гайтлера для этой же величины имеет вид
d2^
dzd(huj)
= -lUZ2ar2na (\nl83Z-1/3 + ±) . (15.83)
Расхождение логарифмических факторов в двух последних выражениях
связано с неточным описанием однократного рассеяния с помощью уравнения
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 701
Фоккера-Планка. Сравнение (15.82) с (15.83) позволяет более адекватно
определить параметр в кинетическом уравнении:
ln^p£_ I ^21nl83Z-1/3, q = S7rnaf^\ 1п183£-1/3 (15.84)
(малую добавку 1/12 опускаем). После исправления логарифмического
фактора итоговую формулу (15.81) можно выразить через спектральную
плотность Бете-Гайтлера:
а 6" _ i - ~« i ж/-ч (15 85)
dzd(huj)
В общем случае с помощью соотношения (15.60) параметру 5 можно
придать вид
Ш I л , ^0е72
°=^л/%[1 + ^-1 (15-86)
где
2
cq = ^^2Zln 183Z"1/3. (15.87)
7 с
Зависимость s(o;) немонотонная, и мы рассмотрим по отдельности случай
ВЫСОКИХ ЧаСТОТ {(J > С^ОеТ) и НИЗКИХ ЧаСТОТ (и <С CJoe7)-
При высоких частотах эффект поляризации среды несущественен, а
эффект многократного рассеяния проявляется при s<l. Используя
асимптотическую зависимость Ф(в) « 6s, находим для этого случая результат,
впервые полученный (с неточно определенным численным коэффициентом)
Ландау и Померанчуком (1953):
5^(м ~б5 ^мувя " ¥ V ~.- (15,88)
По сравнению с формулой Бете-Гайтлера излучение подавлено и форма
спектра иная. Эффект многократного рассеяния усиливается с
уменьшением частоты квантов. Но он будет существенно влиять на лавинную длину
лишь в том случае, когда условие s(lj) <С 1 будет выполнено для наиболее
энергичных квантов, hujmax ~ тес2/у. Оценим параметр 5 для таких частот.
С помощью (15.87) получим
s(wmax)« -^/m2e°3 l (15.89)
702
Глава 15
Условие s(ujmax) <С 1 выполняется при 7>4х 106 для свинца И7> Ю10
для воздуха. Первая из этих величин доступна современным ускорителям,
а вторая присутствует в широких атмосферных ливнях. Аналогичный
эффект подавления проявляется и при образовании электронно-позитронных
пар энергичными квантами в поле ядра. Там эффект вызван многократным
рассеянием рождающихся частиц.
Обратимся теперь к области низких частот (о; <С с^оеТ)- С
уменьшением частоты в этой области параметр 5 нарастает как о;-3'2, поэтому
рассмотрим случай 5 > 1, но и — kv « ш^е/2ио. Подставив в (15.85) Ф(в) = 1,
получим спектральную мощность, излучаемую электроном в этом
диапазоне:
d^ « -2^. (15.90)
dzd(huj) 37rcJoe
По сравнению со спектром Бете-Гайтлера излучение сильно подавлено:
й28ш _ и2 ( d28„ \
dzd(huj) (jujoe)2 \dzd(fajj) J
(15.91)
вн
Влияние поляризации среды на тормозное излучение обнаружил Тер-
Микаэлян (1954) (см. также его монографию (1969) и обзор (2003)).
Заметим, что формула (15.90) не вполне адекватно отражает процессы,
сопровождающие взаимодействие релятивистской частицы со средой в
области высоких частот (huo >mec2 > hwp). Диэлектрическая проницаемость
е(и) = 1 — cjp/o;2, использованная при получении дисперсионной
зависимости (15.60) и спектральной мощности (15.90), учитывает взаимодействие
квантов (или электромагнитных волн) с электронной системой среды лишь
в низшем приближении по константе связи а = е2/he. В следующих
порядках в диэлектрическую проницаемость добавляются действительные и
мнимые поправки. Действительные поправки всегда будут входить в
сумме с cj2/a;2, и ими можно пренебречь по малости, но мнимые добавки
могут дать преобладающий вклад в некоторых спектральных диапазонах.
Мнимые добавки к диэлектрической проницаемости, согласно результатам
раздела 11.3 (см. формулу (11.92)), описывают поглощение средой квантов
соответствующей частоты. Главные процессы, приводящие к поглощению
фотонов высоких энергий, это их комптоновское рассеяние (при этом
возникают кванты меньших энергий) и рождение электронно-позитронных пар
фотонами в полях атомных ядер.
Пример 15.6. Выразить мнимую часть е"(ио) диэлектрической
проницаемости среды при высоких частотах (fouo > тес2 ^> hujp через полные
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 703
сечения сгс(а;), ар(ио) комптоновско го рассеяния квантов электронами
среды и образования электронно-позитронных пар квантами в полях атомных
ядер.
Решение. Учет указанных процессов в диэлектрической
проницаемости можно произвести следующим образом. Рассмотрим поток
фотонов частоты и с концентрацией квантов N(w). Энергия, поглощаемая в
единицу времени на единицу объема среды, дается выражением (пасгр +
+ naZac)chwN(uj). С другой стороны, эту же величину можно записать
через мнимую часть диэлектрической проницаемости по формуле (11.92):
(1) {паар + naZac)chu;N{u;) = ^ } Е2.
Но величина hwN{uj) в левой части равенства как раз дает плотность
электромагнитной энергии:
(2) toN{U) = ±(m+'m) = ±w
(в области высоких частот действительная часть е'(ш) близка к единице,
и плотность энергии описывается вакуумным выражением). Из сравнения
двух последних выражений находим
,Qv т v _ с(паар + naZac) _ Гр + Те
К6) £ М й ~ ш '
где Гр = спаар и Г с = cnaZac — вероятности поглощения кванта в
единицу времени в результате образования им пары либо его комптоновского
рассеяния. В результате диэлектрическая проницаемость принимает вид
(4) сИ = 1_4+£££
причем малые действительные вклады от рассмотренных процессов не
учтены.
Полное сечение ас(и) комптоновского рассеяния было найдено в
задаче 6.79. В ультрарелятивистском случае имеем
(5) ас{и) = тгг1
704
Глава 15
Сечение образования е+е -пары квантом с энергией hw в поле ядра
заимствуем из учебников [Гайтлер (1956), Берестецкий и др. (1989)]:
~ ( л 2872/vj A 2Йы 109^
aPM = fz2ar^lnl83Z-1/3__L^.
Первое выражение применимо при отсутствии экранирования, а второе —
при полном экранировании, но в обоих случаях энергии обеих частиц
должны быть велики по сравнению с энергией покоя. Условия экранирования
определяются равенствами (15.42), (15.44), в которых ё, ё' представляют
собой энергии электрона и позитрона. Эти сечения отличны от нуля только
при huj > 2гаес2. В области умеренного релятивизма сечения комптонов-
ского рассеяния и образования пар могут быть сравнимы по величине, а при
huj < 2тес2 рождение пар невозможно. При frw > 137mec2/Z эффект от
рождения пар превалирует над комптоновским рассеянием. ■
Роль электронов среды в радиационных процессах. Выше мы
рассмотрели поляризационные эффекты, когерентный (изменение закона
дисперсии кванта) и некогерентный (комптоновское рассеяние). Но электроны
среды принимают и более активное участие в излучении
сверхрелятивистских частиц, движущихся сквозь вещество. Во-первых, рассеиваясь на
электроне среды, релятивистский электрон может испустить тормозной квант.
В этом смысле электроны среды подобны ядрам (не тяжелым) с Z = 1.
Поскольку на каждое ядро приходится Z электронов, то вклад электронов
в тормозное излучение можно приближенно учесть, заменив во всех
полученных ранее формулах величину Z2 на Z2 + Z = Z(Z + 1). В частности,
такую замену нужно сделать в формуле (15.59) для лавинной длины. Но
наиболее существенный эффект связан с излучением квантов электронами
среды, возбужденными полем пролетающей релятивистской частицы.
Поглощая первичный квант, электроны среды при комптоновском рассеянии
излучают фотоны меньших энергий. Это излучение особенно важно в тех
областях спектра, в которых излучение самой релятивистской частицы
подавлено эффектом поляризации среды (либо большой массой частицы, см.
задачи 15.11*, 15.12*).
При тормозном излучении квантов с частотами порядка частот
перехода в атомах электронная оболочка принимает участие в этом процессе
как динамическая система, способная возбуждаться. Вероятность
излучения зависит в этом случае от динамической поляризуемости атома (т. е. его
поляризуемости на частоте излучения). Такие процессы получили название
15.1. Ионизационные и радиационные потери энергии 705
поляризационного (или динамического) тормозного излучения. Этот круг
вопросов затрагивается в следующем разделе (см. примеры 15.10, 15.11).
Рекомендуемая литература: [Росси (1955); Ландау и Лифшиц,
.Электродинамика сплошных сред; Тамм и Франк (1937); Гинзбург (1987); Тер-
Микаелян (1969); Ахиезер и Шульга (1993); Ферми (1951); Берестецкий
и др. (1989); Ферми (1940); Ферми (1949); Амусья (1990); Базылев и Жеваго
(1987)].
Задачи
15.1. Вычислить дифференциальное сечение рассеяния
релятивистской дираковской частицы кулоновским полем ядра, считая ядро
неподвижным. Использовать первое борновское приближение. Частицы не
поляризованы по спину.
15.2. Вычислить дифференциальное сечение упругого рассеяния
релятивистской дираковской частицы экранированным кулоновским полем
ядра U(г) = ±(Ze2/r)exp(-r/R). Радиус экранировки в приближении
Томаса-Ферми R = clbZ~1^, где ав = h2/mee2 — радиус Бора.
Использовать первое борновское приближение. Спиновая поляризация частиц в
начальном состоянии отсутствует.
15.3*. Вычислить дифференциальное сечение упругого
столкновения не поляризованного по спину релятивистского мюона с электроном.
В системе, в которой электрон до столкновения покоился, записать
дифференциальное сечение как функцию энергии, переданной электрону при
столкновении.
15.4*. Сделать то же самое для столкновения электрона с электроном
(мёллеровское рассеяние).
15.5. На основе результата предыдущей задачи вычислить потери
релятивистского электрона на единицу пути в близких столкновениях, когда
электроны среды можно считать свободными.
15.6. Вычислить интенсивность dl излучения Вавилова-Черенкова в
заданном интервале duj частот в изотропном диэлектрике. Вычислить также
интервал углов d0, в котором распространяется это излучение.
15.7*. Коллимированный моноэнергичный стационарный пучок
быстрых частиц, имеющий большое поперечное сечение, падает на границу
рассеивающей среды. Пренебрегая потерями энергии, вычислить с
помощью уравнения Фоккера-Планка (15.34) функцию распределения в
зависимости от г и угла $. Найти средний угол рассеяния как функцию z. Оценить
706
Глава 15
характерную длину /, на которой происходит изотропизация пучка.
Сравнить ее с характерной длиной L замедления частиц, которое описывается
формулой (15.18).
15.8*. Коллимированный моноэнергичный стационарный пучок
быстрых частиц с малым («точечным») поперечным сечением падает на
границу рассеивающей среды. Найти функцию распределения пучка. Вычислить
средний квадрат радиуса пучка как функцию глубины его проникновения в
рассеивающую среду.
15.9**. Пользуясь теорией возмущений в первом неисчезающем
приближении, как это делалось в примере 6.18 при рассмотрении эффекта Ком-
птона, вычислить сечение тормозного излучения электрона с произвольной
энергией на неэкранированном атомном ядре с зарядом Ze.
15.10. Показать, что при 7о7 7 ^ 1 общая формула для
тормозного излучения электрона произвольной энергии, полученная в предыдущей
задаче, переходит в релятивистскую формулу (15.37).
15.11*. Найти спектральную плотность потери энергии
релятивистской частицей на единице пути, используя диэлектрическую
проницаемость, найденную в примере 15.6. Использовать метод Ферми, т. е.
вычислить поток вектора Пойнтинга через цилиндрическую поверхность,
окружающую траекторию частицы. Интерпретировать полученный результат в
терминах эквивалентных фотонов.
15.12*. Релятивистская частица движется в среде с
приблизительно постоянной скоростью. Вычислить спектральную плотность потерь на
тормозное излучение в расчете на единицу пути, создаваемое как самой
частицей, так и электронами среды. Сравнить эти две величины для тяжелой
и легкой частиц.
15.2. Макроскопические механизмы излучения быстрых
частиц в средах
В вакууме в отсутствие каких-либо макроскопических тел
электромагнитные волны излучаются только при ускоренном движении заряженных
частиц. При наличии вещества собственные колебания среды в виде
поперечных, продольных или иных, более сложных волн, могут генерироваться
и частицами, движущимися без ускорения. Примеры такого излучения уже
15.2. Макроскопические механизмы излучения
707
были рассмотрены в предыдущем разделе (генерация плазменных
колебаний, черенковское излучение). В этом разделе мы рассмотрим более
подробно основные типы излучения электромагнитных возмущений
быстрыми частицами в средах. При этом мы не будем стремиться к максимальной
общности изложения и проведем рассмотрение на достаточно типичных
конкретных примерах, а также при решении задач к настоящему разделу.
Пример 15.7. Для излучения Вавилова-Черепкова в прозрачном
диэлектрике определить длину формирования {когерентную длину) излучения,
аналогичную когерентной длине тормозного излучения, рассмотренной в
предыдущем разделе. Вычислить граничную энергию частицы So, начиная
с которой возможно черепковские излучение в диэлектрике. Рассмотреть,
в частности, случай е(и) — 1 <С 1.
Решение. Определим длину формирования 1С как расстояние, на
котором частица и излучаемая волна расходятся на длину волны Л:
у/Ф),
(1) £ iv - -^= I = А.
Отсюда находим
(2) 1С = ^1? где п(и) = у/ф)
— коэффициент преломления;
(3) So
\0п
yftf^l
При е(и) — 1 = 47га(а;) <С 1 имеем
(4) 1с =
2Л
47га(а;)—7
Г> ^о =
тс"
^/4тга(и>)
Пример 15.8 (переходное излучение).
Плоскость (х, у) разделяет две
немагнитные среды с диэлектрическими проницаемо-
стями Е\ и 82 (рис. 15.3). Частица с
зарядом е и скоростью v = const движется в
Рис. 15.3
708
Глава 15
положительном направлении оси Oz. Вычислить гармоники Фурье
электромагнитного поля, создаваемого частицей.
Решение. Разлагаем уравнения Максвелла
(1) VX«=-if, Vx£ = i§ + ^vS(r-vt)
в интеграл Фурье по переменным х, у, £, обозначив волновой вектор в
плоскости (х, у) через к. После исключения вектора В и проецирования
полученного уравнения на направления ez и к получим два уравнения для
поперечных и продольных компонент вектора Е:
(2)
(к2 - ^\ Ez + ijL к ■ Е = i^e*»/",
где амплитуды Фурье электрического и магнитного полей обозначены
через Е, В. Из этих равенств получаем неоднородное уравнение для
продольной компоненты:
д2Ег fuj2£ Л тр -Аттеси (Л с2
Решение этого уравнения складывается из частного решения
(4) &ч) =-i^(1-^(^i-K>-^y1 еь>Ф,
соответствующего заданной правой части, и общего решения однородного
уравнения
dz2 V с2
(5) ^ + 1-Л-.2)Е2=0.
Частное решение описывает электромагнитное поле, распространяющееся
в пространстве со скоростью частицы v. В него входит как
квазистационарное поле, создаваемое частицей, так и поле черенковского излучения, если
последнее возможно (т.е. выполнено условие v > с/п(и)9 см. решение
задачи 15.13). Поперечная составляющая поля Е^я' определяется из второго
15.2. Макроскопические механизмы излучения
709
равенства (2):
Вторая поперечная составляющая отсутствует.
Общее решение однородного уравнения (5) имеет вид
(7) Е^ = Aeiqz + Ce~iqz, q = J^f - к2, Im q > 0,
с2
где Л, С — постоянные. Они должны быть найдены из граничных условий
и условия ограниченности решения. При выбранном значении q
ограниченность при больших \z\ требует, чтобы было Л = 0, г < 0 и С = 0, z > 0:
(8)
E{rzad)\z<0 = Се"*", qi = J^ - K2 при г < 0;
Е&%>о = Ae^\ q2 = J^ - к* при z > 0.
Верхний индекс (rad) указывает на то, что это решение может описывать
поле излучения. Например, в прозрачном диэлектрике полю Ezra
соответствует дисперсионная зависимость
(9) kl2 = K2 + ql2 = ^f±l,
свойственная распространяющимся плоским монохроматическим волнам,
если £i)2 > 0, <7i)2 > 0. Ниже мы увидим, что это излучение вызвано
резким изменением диэлектрической проницаемости от значения е\ до e<i.
Оно называется переходным. Полученные решения удовлетворяют
условию V • Е^га ' = 0, которое приводит к соотношениям
(10) к • E{rad) = qiEirad) при z < 0; к E{rad) = -q2E{zrad) при z > 0.
Эти соотношения определяют поперечные компоненты поля E^rad^ через
его продольную компоненту.
710
Глава 15
Условия на границе раздела выражают непрерывность нормальной
компоненты электрической индукции и тангенциальной компоненты
напряженности полного электрического поля:
£1{Е$ + E[?d%=-o = е2{Е% + Eirzad%=+0,
(к ■ Е? + Ч1Е[:а%=-0 = (к • М9) - 42Elad))z=+o.
Отметим, что составляющие поля Е^га > вдоль третьего направления,
ez х к, не связаны никакими соотношениями с полем частицы и не
могут ею создаваться, поэтому в данной задаче они равны нулю. Из двух
алгебраических уравнений (11) вычисляются постоянные С и А.
(12)
47ге/^2(1 -e2/ei) J eifiuj
v{eiq2 + e2qi){ql - uj2/v2) 1 c(q2 + u/v)
(13) A=-i, w^g,i/ea> b+ £20w
v(e1q2 + e2qi)(q2 ~ u2/v2) \ c(qx - w/v) J
Они обращаются в нуль, если диэлектрическая проницаемость не
испытывает скачка.
Таким образом, электрическое поле в первой и второй средах
определяется найденными величинами: Е\,2 = Е[я1 + Е^ > гДе М?2» Е^
даются формулами (4), (6), (8), (12), (13). Магнитное поле определяется с
помощью первого уравнения Максвелла (1). В частности, та часть
магнитного поля, которая обусловлена резкой границей сред, имеет вид
(14)
B(r«D = m[KXez]Ce-w', 2<0; B<rad) = Щ[к х ez]Ae^', z>0.
СНГ СНГ
Пример 15.9. Пусть в предыдущем примере обе среды представляют
собой на рассматриваемых частотах прозрачные диэлектрики. Вычислить
спектр и угловое распределение переходного излучения частицы в переднюю
и заднюю полусферы за все время ее пролета через границу.
Решение. Вычисляем полную энергию Q переходного излучения,
прошедшую через плоскость (х,у) в областях соответственно z —> — ос
15.2. Макроскопические механизмы излучения
711
и z —-> ос:
оо оо .оо
(1) Qi = j- dx dy dw[Si x Яг] -ez, z -> -ос;
— оо —оо —оо
оо оо оо
(2)
Q2 = j- dx dy du[S2 x S&2] • ez, z-> +oo.
-oo —oo
Здесь и далее всюду опускаем индекс (гad). Подставим в (2) разложение
(3) 82 = j E2(z,K,q2,u;)exp(iK.r±-iujt)^^
и аналогичное разложение для &2, где q2 — продольная компонента
волнового вектора. Воспользуемся соотношением
(4) E(z,K,q,uo) = E*(z,-K,-q,-uj).
и получим энергию излучения как интеграл по частоте и поперечному
волновому вектору:
оо
(5) Q2 = -£— Re j du j d2K[E2 x B*] . ez.
о
Теперь в это выражение не входит координата z.
С помощью формул из предыдущего примера находим
(6)
где E2z=Ael(»z, В*2 = ^A*e~l(»z.
Выразим все величины, входящее в подынтегральное выражение (5), через
частоту и угол 02 между скоростью частицы v и волновым вектором к2 =
= к + q2ez в среде 2 (см. рис. 15.3). Имеем
к2 = т^\/£2, к2 = к\ - ql = к\ - q\, q2 = k2 cos02,
(7)
d2 к = к% cos 02dn2, 02 < |.
712
Глава 15
Из приведенных формул следует также
(8)
Яг
^у ei - е2 sin2 в2, eiq2 + e2qi = k2[e\ cos02 + у e\s2 - e\ sin2 02 ].
Использовав полученные результаты, извлечем из подынтегрального
выражения (5) спектрально-угловое распределение переходного излучения
вперед:
d2I{2) = e202^(e2-el)2 sin2 02 cos2 О2\02е2+0Уе1 -е2 sin2 в2-1\2
^dn*~7r2c(02e2cos2O2-l)2\(eicosO2+^eie2-e^
соъв2ф1Ц3^2~.
(15.92)
Здесь использован знак модуля, так как радикалы могут быть мнимыми
даже в случае прозрачных сред. Это связано с тем, что некоторые волны
могут испытывать полное внутреннее отражение на границе. Излучение
назад вычисляется аналогичным образом:
#1™ = e2/32v^r(g2-gi)2sin2^1cos2^i|/32gi-/3y/^":rgisin2^-l|2
^^ tt2c(/32£icos2<9i-1)^^
COS01 ф l/py/Tl.
(15.93)
Результат выражен через угол в\ ^ 7г/2 между вектором — v и
направлением волнового вектора к\ в первой среде (рис. 15.3). Особенности
выражения (15.92) при cos02 = 1/(Зу/Ё2 и (15.93) при cos#i = \/(3y/I\ связаны с
эффектом Вавилова-Черенкова. Излучение в указанных направлениях
можно вычислить путем предельного перехода таким же образом, как это было
сделано в разделе 15.1 при рассмотрении черенковского излучения. ■
Переходное излучение предсказали на основе теоретического
исследования советские ученые В.Л.Гинзбург и И.М.Франк в 1946 г. В настоящее
время это — хорошо развитая область электродинамики, имеющая
многочисленные практические приложения (см. [Гинзбург и Цытович (1984),
Платонов и Флейшман (2002)]).
Переходное излучение поверхностных волн. Согласно результатам
задачи 14.1, дисперсионное соотношение для поверхностных волн при /ii =
= [i2 = 1 имеет вид
„2 = ^-£iJ2->0, £i£2<0, e1+e2<0. (15.94)
с* е\ + е2
15.2. Макроскопические механизмы излучения
713
При этом величины qi, q2, определяющие поле E^rad\ найденное в
примере 15.8, имеют значения
Qi = s - , . < 0, ■ q2 = -it < 0. (15.95)
с* £\ + 82 с2 £1 + £2
Отсюда следует, что поле переходного излучения в этом случае
сконцентрировано в приповерхностной области:
E(rad) = QeM^ z < 0. E(rad) = Ae-\q2\z^ z>^ (15 %)
т. е. имеет место генерация поверхностных электромагнитных волн
быстрой частицей. Вычисление энергии, излученной в форме поверхностных
волн, нетривиально (см. [Гинзбург и Цытович (1984)]). Спектральная
плотность излученной энергии имеет вид
dl„ = 2е2(32\е2-е1\\е1е2\(1 + р\е1+е2\)
** су/\^ТЫ[\ег + е2\ + 02е$][\ег + е2\ + (32е2]'
(15.97)
Поляризационное тормозное излучение.
Пример 15.10. Заряженная частица движется по прямолинейной
траектории в разреженном атомарном газе со скоростью, значительно
превышающей скорости атомных электронов. Динамическая
поляризуемость а (о;) отдельного атома в однородном переменном поле известна.
Вычислить спектральное распределение излучения электронных оболочек
атомов на частотах порядка атомных частот переходов и>о,
генерируемое пролетающей частицей на единице ее пути. После излучения атом
остается в основном состоянии.
Решение. Движение частицы квазиклассично и в рассматриваемых
условиях (излучение мягких оптических квантов) слабо возмущается
взаимодействием с атомами. Поэтому можно рассматривать движение частицы
по прямолинейной траектории с постоянной скоростью. Излучение
происходит в результате поляризации атомных оболочек полем пролетающей
частицы. При пролетах на расстоянии р > R поле в пределах атома почти
однородно и достаточно учесть только дипольную поляризацию. Длявычис-
ления электрического дипольного момента атома на частоте и используем
формулу
(1) рш=а(и>)Еш,
где Еш — компонента Фурье поля частицы в точке нахождения атома.
714
Глава 15
Энергию ёш \ излученную нерелятивистскими атомными
электронами, вычислим по формуле электрического дипольного излучения (5.31):
(2)
Щ =
2p2(t)
Зс3 '
где t — время с учетом запаздывания. Полная энергия, излученная атомной
оболочкой за все время пролета частицы
(3)
оо оо оо
ё^ = J I(t)dt= ^ J'\pj2cb = Ig^cb,
откуда имеем
(4)
Зтгс3'^1 Зтг
mw
а(ш)
\ЕШ(Р)\2-
Здесь использована формула (1), г о — классический радиус электрона.
Чтобы найти излучение de^jdz на единице пути, надо умножить
спектр излучения отдельного атома (4) на концентрацию атомов па и
проинтегрировать по прицельным параметрам:
(5) -тг =
dg„ = 2rgnac
dz 37Г
raur
a(cj)
Рта:
I
\EUp)\2^pdp.
Нижний предел интегрирования должен быть порядка нескольких радиусов
атома R, т. е. pmin ~ R, поскольку при меньших прицельных параметрах
формула (1) теряет силу. Верхний предел ввиду быстрой сходимости
интеграла (см. ниже) можно считать бесконечным: ртах —> ос.
Компоненты Фурье электромагнитного поля релятивистской частицы
в вакууме были вычислены в примере 6.19 (формула (5))2:
(6)
Еи
2quj
о"
*№$-'%к>№1 ">*
2 Здесь устранены опечатки, содержавшиеся в формуле (5) примера 6.19.
15.2. Макроскопические механизмы излучения
715
После подстановки в (5) и интегрирования по прицельному параметру
получим
(7)
Здесь
(8)
й8ш _ 8q2r%nacu:
dz
3v2
VTUjJ*
■а(ш)
X J K0(Um)K2(um)-(l ~ \)к1{иш)- \Kl{Um) I , ПШ = Щ.
uoR „ Re
lv ~ <y\v
<1.
В диапазоне оптических частот условие малости выполняется не только
для релятивистских, но и для быстрых (v ^> vat) нерелятивистских частиц,
так как R/X « 10_3 при таких частотах. Использовав формулы (1.168),
получим с логарифмической точностью окончательное выражение:
(9)
d@u
dz
16q2r£nac
3v~2
muj
a(jJ)
In
JV
ZjR
В случае релятивистских частиц, 7^1» последняя формула применима и в
рентгеновской области, где X < R. При частотах и ^> и о атомные
электроны ведут себя как свободные (см. задачу 11.7), а атомная поляризуемость
принимает вид
Ze2
(10)
а(ш)
UJ > LJQ.
В этом диапазоне излучение на единицу пути релятивистской частицы
dSu 16Z2q2r2na
(И)
dz
Зс
In
7с
~UR
Рассмотренное излучение называют поляризационным (или
динамическим) тормозным излучением ([Амусья и др. (1987), Амусья (1990)];
последние исследования см в [Король и др. (2004)]). В этом названии термин
«тормозное» не вполне адекватен, так как излучение возможно без
всякого торможения быстрой частицы, при ее прямолинейном равномерном
движении. С большим основанием его можно назвать переходным (в
широком смысле) излучением или рассеянием, так как в данном случае
излучение вызвано рассеянием поля быстрой частицы на микроскопических
716
Глава 15
неоднородностях — электронных оболочках атомов. Подробное изложение
теории переходного излучения и переходного рассеяния см. в монографии
[Гинзбург и Цытович (1984)]. Поскольку излучает нерелятивистская
система, то это излучение, даже генерированное релятивистской частицей, не
имеет острой направленности вперед, ее анизотропия, как при любом
электрическом дипольном излучении, невелика. Но интенсивность может быть
значительной ввиду резонансной зависимости атомной поляризуемости от
частоты (см. задачи 11.13-11.15).
Длина /ы = jv/lj под знаком логарифма в (9) имеет смысл
прицельного параметра, приводящего к излучению на заданной частоте. Если это
расстояние больше межатомных расстояний среды, то при расчете
поляризационного тормозного излучения необходимо учитывать влияние соседних
атомов, т. е. диэлектрической проницаемости* среды как на поле быстрой
частицы, так и на распространение излученных фотонов.
Пример 15.11. Рассмотреть поляризационное тормозное излучение
быстрой частицы на атомах с учетом влияния среды на электромагнитное
поле. В частности, проанализировать эффект в условиях, когда е(и) > 1
и одновременно происходит излучение Вавилова-Черенкова. Получить для
этих условий спектр излучения частицы на единицу пути и дать
физическую интерпретацию результата.
Решение. Общий подход остается таким же, как в предыдущем
примере, но на всех этапах следует учитывать наличие окружающей среды с
проницаемостями е(и) = е'{ио) + 1е"(ио) и /х = 1 (мнимая часть е" считается
малой, за исключением узких резонансных пиков). В результате формула (4)
предыдущего примера, которая определяет поляризационное излучение
атома при пролете быстрой частицы на прицельном расстоянии р, примет вид
' \ЕШ{Р)\\
<.) е> - *££*.? - Щ£
—2-аН
где последний множитель содержит электрическое поле в среде, гармоники
Фурье которого были вычислены в примере 15.1. Чтобы их использовать,
нужно выразить величину dS^/dz через интеграл по переданному среде
волновому вектору к± взамен прицельного параметра:
2 1/Л
mcj2a(u;)| f \E»(k±)\22irk±dkA
е2
U dz Зтг(2тг)2
Большим значениям р соответствуют малые к±, поэтому область
интегрирования по к± ограничена окружностью с радиусом 1/R.
15.2. Макроскопические механизмы излучения
717
Пользуясь формулой (15.9), найдем компоненты Фурье электрического
вектора, поперечную и продольную относительно скорости частицы:
(3)
(4)
Е№±)
Атгд
к±
ve
Е!,(к±) = -г
Аттдш
к\ + uj2/v2 -uj2s/c2
1 - v2e/c2
v2e k\ + J1 /v2 - и2е/с2
Обратим внимание на то, что знаменатели в этих формулах могут
обращаться в нуль при интегрировании по dk\, если диэлектрическая
проницаемость вещественна и выполнено условие излучения Вавилова-Черенкова
v > с/ч/ё7. Поэтому нужно рассмотреть отдельно два случая.
1. v < c/VP. Знаменатели не обращаются в нуль, малую мнимую
часть е" можно не учитывать, интеграл в (2) легко вычисляется, и результат
близок к полученному в предыдущем примере:
(5)
d§u
dz
16qzrfinac
3v2e'V2
тио'
a(uj)
In
jLa-Aw/»
где логарифм предполагается большим числом по сравнению с единицей.
При е' = 1 формула (5) переходит в выражение (8) предыдущего примера.
Основной вклад внесло поперечное поле, продольная составляющая
приводит к замене логарифма величиной
(б)
In
ujR
(l-vh'/c2)1'2
+
Ю-f)-
2. v > c/VP. Кроме поляризационного тормозного излучения,
происходит генерация черенковских квантов. При вычислении интеграла следует
учитывать мнимую часть е", которая обеспечивает конечность знаменателя
во всей области изменения к\\
СО к1 - "т (V -1) - %гм,
где Г (о;) = ие"(и)
представляет собой мнимую часть частоты виртуального фотона, которая
характеризует время его жизни т = Г-1 (о;) (или время затухания
компоненты поля на частоте и). Согласно результатам задачи 11.15, эту величину
можно записать в виде
(8)
Г(ш) = ше"(ш)
4ппае
m
£
fsU27s
(u2-u;2s)2+u;2r
,2^2'
718
Глава 15
где fs — силы осцилляторов, ujqs — частоты переходов, js — постоянные
затухания возбужденных состояний атома.
Следует отметить, что при более последовательном квантовом расчете
в знаменатель (7) вошли бы и другие величины, характеризующие времена
жизни излучающей частицы и атома. Время жизни основного состояния
атомов при низких температурах бесконечно, но время жизни частицы в
состоянии с импульсом р ограничено. Основные процессы, изменяющие ее
состояние — это многократное рассеяние на атомах, упругое и неупругое, и
черенковское излучение. Приведем без вывода вклад этих процессов:
(9) '-' = »- + /й('-4)^
где а — полное сечение столкновения частицы с атомом, а интегрирование
в черенковском интеграле производится по частотам, при которых
подынтегральное выражение положительно. Полная ширина, вызывающая уши-
рение резонансного знаменателя (7), при учете перечисленных процессов
выразится в виде
(10) ГИ = г-1+о;е».
Вычисление интегралов, входящих в (2), дает
1/Я2
(§) ^ + 21п
1/Г
/
k±dk± ( с\2 тгЬи)
2 : \v) "г"
(11) о \к1-^Ь(Ш)-ЦЦш)\
V
&Н = ^М - 1 > 0,
IwRb1'2!
1/Д2
(12) / ^^ — «(§)2^
V С
при условиях с2/R2ujY ^> 1, c2buj/v2Y ^> 1. Первое слагаемое в (11)
обусловлено полюсной особенностью, второе — всей остальной областью
интегрирования. Во втором слагаемом пренебрежено членами, содержащими Г,
ввиду их малости. В результате получаем для спектральной плотности
излучения на единице пути dS^/dz = dS^/dzli + dS^/dz^ два слагаемых,
15.2. Макроскопические механизмы излучения
719
соответствующих двум механизмам поляризационного тормозного
излучения:
Первое из двух слагаемых имеет ту же природу, что излучение при
v < с/у/ё* либо при е' = 1: оно происходит от встряхивания атомной
оболочки полем быстрой частицы. Второе слагаемое существует только при
наличии эффекта Вавилова-Черенкова. Перегруппируем в нем сомножители
таким образом, чтобы каждый из них приобрел простой физический смысл:
Здесь &т = 87гГо/3 — томсоновское сечение рассеяния мягкого
кванта свободным электроном без изменения его частоты; первый множитель
(паатА/27г) представляет собой число атомов в цилиндре с основанием
от и высотой порядка длины волны кванта А. Множитель \тио2а(ио)/е2\2
учитывает отличие поляризуемости атомной оболочки от поляризуемости
свободных электронов; произведение первого и второго множителей можно
трактовать как полное эффективное число свободных электронов,
рассеивающих черенковские кванты, с учетом связи электронов в атомах и
когерентного характера рассеяния кванта атомной оболочкой в целом. Далее
в (14') следует безразмерная дробь, числитель которой имеет смысл
парциальной ширины, связанной с излучением черенковского кванта; дробь
в целом представляет собой отношение указанной ширины к полной
ширине, характеризующей вероятность распада состояния излучающей
быстрой частицы. Числитель дроби всегда меньше ее знаменателя. Наконец,
последний множитель имеет нужную размерность спектральной
плотности энергии, деленной на расстояние, и содержит энергию кванта. Таким
образом, рассмотренный механизм поляризационного излучения
представляет собой рассеяние черенковских квантов электронными оболочками
атомов. Черенковский механизм обладает резонансностью, и он будет
преобладать над обычным механизмом, т.е. будет выполняться неравенство
dSu/dz^ > dS^/dzli при cj/Г > 2ln(v/uR).
(13)
dSu;
dz
_ 16q2r£nac
," 3vV3/2
mcj"
a(cj)
In
(14) ^
d§u
dz
S7rq2rQnacb
3v2e'1/2
muj
a(uj)\
\muj'
a((j)\
Г с '
720
Глава 15
Обычное излучение Вавилова-Черенкова намного более интенсивно,
чем обе составляющие поляризационного излучения, однако черенковские
кванты распространяются только под углом в = arccos(c/v\/?) к скорости
быстрой частицы. Поляризационное тормозное излучение имеет угловое
распределение, близкое к изотропному, в частности, оно существует и за
пределами черенковского конуса. В этой области углов оно преобладает
над прочими каналами излучения и может быть измерено. ■
Эффект плотности в магнитотормозном излучении. В предыдущем
разделе было показано, что в тормозном излучении сверхрелятивистских
электронов в среде при частотах ш < u;pj, где ujp = yjATmaZe2/m —
плазменная частота, становится существенным эффект плотности. Он приводит
к подавлению излучения и уменьшает спектральную плотность. Это
вызвано влиянием поляризации среды на распространение электромагнитных
волн, которое изменяет закон их дисперсии и уменьшает когерентную
длину (см. формулу (15.60)). Аналогичный эффект имеет место и при
магнитотормозном излучении релятивистских электронов. Впервые роль среды при
магнитотормозном излучении отметил В. Н. Цытович (1951), хотя самый
интересный вопрос о влиянии среды на излучение в высокочастотной области
он не рассмотрел. В.А.Разин (1960) подробно исследовал роль
плазменной среды для космических источников синхротронного радиоизлучения
и впервые объяснил влиянием фоновой плазмы важный наблюдательный
факт — завал спектров радиоисточников при низких частотах. В настоящее
время эффект Разина-Цытовича общепризнан и часто привлекается при
интерпретации радиоастрономических данных.
z. Пример 15.12. Релятивистский электрон
| движется по окружности в магнитном по-
А ле с В = const в плазменной среде с кон-
I центрацией фоновых электронов пе. Вычис-
У лить спектрально-угловое и спектральное рас-
{ ^ пределение мощности излучения при частотах
\ jL- J uj ^> ujp = у/4тгпее2/т, uj ^> ujb = еВ/тс.
I stf)^—^—^ У Проанализировать частные случаи, сравнить
УУ результаты с магнитотормозным излучением
/ в вакууме (задачи 5.83, 5.84).
Рис j 5 4 Решение. Поскольку диэлектрическая
проницаемость е(ш) = 1 - cjp/a;2 при указанных
частотах изотропна и близка к единице, достаточно учесть ее только в
экспоненте формулы (5.77). Совмещаем плоскость ху координатной системы
15.2. Макроскопические механизмы излучения
721
с плоскостью орбиты, а луч зрения помещаем в плоскости xz под углом
в < 1 к оси Ох (рис. 15.4).
Имеем
s(t) = aex sm(vr/a)+ aey[l— cos(vr/a)],
V = S,
где а = ср/еВ — радиус орбиты. Далее, как в задаче 5.83, учитываем
релятивистский эффект излучения вперед и разлагаем все величины по
малым параметрам 0, u;2/u;2, 1/7 и (vr/a). Получаем
(2)
п х v(t) ^ све^ + ^2\
.,-fe.3(,)4-(^^^)+f(f)2 = |<x+^)-
Здесь единичные векторы е^1) = еу, е^ = пхеу, п взаимно
ортогональны,
((92+7"2+^/cj2)1/2 6c
После этого выполняем интегрирование по переменной, х с помощью
формул, приведенных в условии задачи 5.83,3 и получаем спектрально-угловое
распределение излучения, обобщающее формулу (3) задачи 5.83:
(4)
dudtt Зтг2Л с ) \ 72 и
2
K^\>+A^KUi\
Поделив обе части на период обращения частицы Т = 2tt^/ujb, находим
спектрально-угловую мощность:
(5)
й21ш е2ШЯ /auj\2l„o . 1 . ш;
dwd£l 67Г3С7 \ с ' \ 7 ^
^>v+7-4^K-^>
Сравнивая последнее выражение с формулой (5) задачи 5.83, мы
видим, что наличие плазмы существенно меняет распределение излучения
3В указанных формулах имеется опечатка: дробь 2/3 в аргументах синуса и косинуса
следует заменить на 3/2.
722
Глава 15
по частотам и по углам при и < jujp. В этом диапазоне частот угловое
распределение расширяется, характерный угол в0 ~ шр/ш > 7~\ а
параметр £ уменьшается с ростом частоты. Форму спектра удобно исследовать,
проинтегрировав (5) по телесному углу. Угловое распределение обладает
аксиальной симметрией, а угол в отсчитывается от плоскости ху.
Поэтому сЮ, = 27rcos6d6, —7г/2 < в < 7г/2 и в малоугловом приближении
сЮ, = 2-ndQ, -оо < в < оо. Интегрирование по углу можно выполнить с
помощью формул, приведенных в условии задачи 5.84. Оно дает:
Параметр tj(uj) немонотонно зависит от частоты: он достигает
минимума, rjmin = VSup/jujB, при и = y/b^uop и возрастает по обе стороны
от этого значения. Форма спектра и полная интенсивность излучения
существенно зависят от минимального значения этого параметра. Если г/т^п > 1,
то, используя формулу (1.170), находим
(7)
излучение подавлено эффектом плотности и экспоненциально мало. Это
возможно при умеренном релятивизме частицы и большом отношении
плазменной и циклотронной частот:
(8) К 7 <
у/ЗшР
ujb '
Более интересен противоположный случай, rjmin < 1. С помощью (1.68)
находим
/2 \ 1/3
(9) ^=3^Г(2/3)Й(^) , ,«1.
Этот результат совпадает с тем, который был получен для магнитотормоз-
ного излучения в вакууме при w-<tjc = Зо;в72 (см- ответ к задаче 5.84).
При частотах ы ^> ujp/y/r}min происходит экспоненциальное уменьшение
излучения:
2х/7ГС
ив ( uj \
[ } (ки - 2лЯс \«>с)
е
15.2. Макроскопические механизмы излучения
723
В этом случае наличие плазменной среды не сказывается. Но такой же
эффект экспоненциального уменьшения имеет место и при низких частотах,
U) < UJpJy/rjmin:
(11) *г=^(—J exp("^wJ-
Здесь спектр резко отличается от вакуумного. Последний в
рассматриваемом диапазоне частот описывается формулой (9). Дальнейший анализ
влияния среды на магнитотормозное излучение см. в задачах 15.32, 15.33. ■
Существует множество других процессов излучения заряженных
частиц в средах. В частности, с изящной теорией дифракционного излучения,
возникающего при пролете частиц через отверстия в экранах, можно
познакомиться по обзору Болотовского и Галстьяна (2000).
Рекомендуемая литература: [Тамм и Франк (1937); Гинзбург и Франк
(1946); Франк (1988); Гинзбург (1987); Гинзбург (2002); Базылев и Жева-
го (1987); Гинзбург и Цытович (1984); Батыгин и Топтыгин, Современная
электродинамика, ч. 1; Платонов и Флейшман (2002); Тер-Микаелян (1969);
Амусья и др. (1987); Амусья (1990); Король и др. (2004)].
Задачи
15.13*. Частица с зарядом е движется со скоростью v = const в
однородной и изотропной среде. Диэлектрическая проницаемость среды е(ш),
магнитная проницаемость /х = 1. Определить составляющие
электромагнитного поля, создаваемого движущейся частицей.
15.14*. Частица движется в непоглощающем диэлектрике с
постоянной скоростью v = (Зс. Используя результаты предыдущей задачи,
исследовать создаваемое частицей поле на больших расстояниях от ее
траектории. Показать, что достаточно быстрая частица будет излучать поперечные
электромагнитные волны (эффект Вавилова-Черенкова). Найти условия
возникновения этого излучения и полную величину черенковских потерь w на
единице пути.
15.15. Частица с зарядом е движется с постоянной скоростью через
вещество, диэлектрическую проницаемость которого можно приближенно
описать формулой 2
724
Глава 15
Определить энергию излучения w Вавилова-Черенкова на единице пути,
если скорость частицы удовлетворяет условию v2sq > с2, где е0 —
статическое значение диэлектрической проницаемости. В каком интервале углов
сконцентрировано излучение? Сделать численную оценку, положив ujq =
= 6-1015сГ1, е0 = 2, v = c.
15.16. Получить условие cos# = 1/0п, определяющее направление
излучения Вавилова-Черенкова, из рассмотрения интерференции
отдельных волн, испускаемых частицей в разных точках ее траектории.
15.17. Черенковское излучение частицы можно рассматривать как
следствие резонанса между собственными колебаниями среды и
вынуждающей силой, связанной с движущейся частицей. Получить условие
возникновения эффекта Вавилова-Черенкова из сравнения частот собственных
колебаний среды и вынуждающей силы.
15.18. Релятивистская частица, имеющая скорость v, проходит
через диэлектрическую пластинку толщиной / перпендикулярно ее
плоскости. Показатель преломления пластинки п, дисперсию не учитывать. Найти
длительность т вспышки черенковского излучения, которую
зарегистрирует неподвижный относительно пластинки наблюдатель. Определить поток
энергии I черенковского излучения через поверхность пластинки во время
вспышки. Краевым эффектом пренебречь.
15.19. Показать, что минимальная скорость движения частицы vmin,
при которой возникает излучение Вавилова-Черенкова в данном
направлении, удовлетворяет условию
VminCO80 = Vg(wm),
где vg — групповая скорость электромагнитных волн в диэлектрике, иот —
частота, при которой показатель преломления имеет максимум, в — угол
между направлениями излучения и скорости частицы. Диэлектрик
считается непоглощающим.
15.20*. Частица движется с постоянной скоростью v = /Зс в недис-
пергирующей среде с проницаемостями е9 /х. Найти электромагнитные
потенциалы {р и А. Рассмотреть два случая, v < vph и v > vph, где vph —
фазовая скорость электромагнитных волн в рассматриваемой среде.
15.21. Прямолинейный провод, параллельный оси Ох, перемещается
вдоль оси Оу со скоростью v = const в непоглощающей среде с
проницаемостями е(и)9 /i(cj). В лабораторной системе отсчета провод электро-
15.2. Макроскопические механизмы излучения 725
нейтрален, по нему течет ток $ в направлении оси Ох.4 Найти условие,
при котором возникает излучение Вавилова-Черенкова. Определить
полную энергию излучения w с единицы длины провода на единице пути.
Подсчитать тормозящую силу f, действующую на единицу длины провода
со стороны созданного им поля.
Указание. Векторный потенциал имеет одну компоненту Ax(y,z,t).
При выполнении обратного преобразования Фурье использовать правило
обхода полюсов, сформулированное в предыдущей задаче.
15.22. Два точечных заряда е\ и е^ движутся с одинаковыми
постоянными скоростями v вдоль одной прямой на расстоянии / друг от друга
в среде с проницаемостями е(ш), /х = 1 (/ измерено в лабораторной
системе отсчета). Найти энергию излучения Вавилова-Черенкова w на единице
пути. Рассмотреть два случая: а) е\ = е2 = е; б) е\ = -е2 = е. Путем
предельного перехода получить черенковские потери энергии точечного
электрического диполя, ориентированного вдоль направления движения.
15.23*. Два точечных заряда +е и — е движутся с одинаковыми
постоянными скоростями v на расстоянии / друг от друга в среде с
проницаемостями е(и), /i = 1. Линия, соединяющая заряды, составляет угол а
с направлением скорости (/ и а измерены в лабораторной системе).
Методом, использованным в предыдущей задаче, найти энергию излучения
Вавилова-Черенкова w на единице пути, считая / малым по сравнению с
длиной волны.
15.24*. Магнитный диполь5 движется с постоянной скоростью v = (Зс
в непоглощающей среде, проницаемости которой е(и) и /i(cj). Магнитный
момент, измеренный в лабораторной системе, имеет величину га и
ориентирован вдоль скорости. Определить потери энергии на излучение Вавилова-
Черенкова w на единице пути.
Указание. С помощью преобразования Фурье проинтегрировать
уравнения для потенциалов. Движущийся магнитный момент создает ток
j(r,t) = cTotm5(r — vt).
15.25*. Быстрая частица с зарядом е движется через непоглощающий
диэлектрик с проницаемостью 2
UJq — UJZ
4Быстро перемещающиеся токонесущие пучки частиц могут существовать в ускорителях
и при некоторых видах разряда.
5Нейтральная система (сгусток) частиц, имеющая магнитный момент, излучает как
магнитный диполь, если длина волны в среде много больше размеров сгустка.
726 Глава 15
где ujp = 47re2N/m, m — масса электрона. Вычислить потери энергии
(—dS/dl) в расчете на единицу пути на расстояниях от траектории частицы,
превышающих межатомные расстояния а (параметр а должен быть выбран
так, чтобы в области г > а было справедливо макроскопическое
рассмотрение). Выяснить физический смысл отдельных членов в выражении потерь
энергии.
15.26*. Заряженная частица движется со скоростью v = (Зс через
плазму, диэлектрическая проницаемость которой
иг
где ujp = у/4тге2N/m — электронная плазменная частота. Найти потери
энергии —de/dl на единице пути за счет «далеких» столкновений. Под
далекими нужно понимать столкновения с параметром удара г > а, где а —
расстояние, на котором становится справедливым макроскопическое
рассмотрение.
15.27*. Точечная частица с зарядом е движется в вакууме
нормально к границе идеального проводника. Определить спектральное и угловое
распределение излучения, возникающего при переходе заряда из вакуума в
проводник, пренебрегая ускорением заряда под действием силы
электрического изображения. Скорость заряда v = (Зс.
Указание. Поле в вакууме создается зарядом и его изображением,
движущимися навстречу друг другу с равными постоянными скоростями. Когда
частица пересекает границу проводника, ее заряд мгновенно экранируется
свободными электронами проводника, что эквивалентно внезапной
остановке заряда и его изображения в одной и той же точке на границе проводника.
15.28*. Точечная частица с зарядом е имеет скорость v = (Зс и
движется в вакууме нормально к границе непоглощающего диэлектрика с
проницаемостью е(и) (д = 1). При переходе заряда из вакуума в
диэлектрик возникает излучение. Пренебрегая ускорением заряда под действием
силы электрического изображения, определить спектральное и угловое
распределение излучения в вакуум (т.е. в область z > О, см. рис. 15.16).
Указание. Плотности заряда и тока, создаваемые движущейся
частицей, заменить эквивалентным набором гармонических осцилляторов. Для
определения поля в волновой зоне использовать теорему взаимности (см.
пример 5.7): рв • Еа{В) = рл • ЕВ{Л). Здесь Ев(Л) — поле,
создаваемое в точке А дипольным гармоническим осциллятором рв-> находящимся
15.3. Каналирование и излучение быстрых частиц в кристаллах 727
в точке В; Еа{В) — поле, создаваемое в точке В осциллятором рд,
находящимся в точке А. Так как точка наблюдения А находится на большом
расстоянии от точки встречи заряда с диэлектриком (в волновой зоне), то
при вычислении Еа(В) можно воспользоваться формулами Френеля.
15.29. Записать спектрально-угловые распределения (15.92), (15.93)
переходного излучения для нерелятивистской частицы, v/c = /3 <С 1.
Сравнить полученные выражения с результатами двух предыдущих задач.
15.30*. Записать спектрально-угловые распределения (15.92), (15.93)
переходного излучения для ультрарелятивистской частицы, 7 = £/тс2 ^> 1.
Показать, что излучение в некотором спектральном интервале
сконцентрировано в направлении вперед и оценить раствор конуса излучения. Оценить
также частотный диапазон излучения.
*
15.31*. Получить на основе формул (15.92), (15.93) спектральное
распределение жесткого (с частотами много больше атомных частот среды)
переходного излучения при влете ультрарелятивистской частицы из вакуума
в среду либо при вылете из среды в вакуум. Проанализировать предельные
случаи. Вычислить полную энергию переходного излучения.
15.32*. Обобщить результаты примера 15.12 на случай, когда
ультрарелятивистский электрон движется по спирали в однородном магнитном
поле в плазменной среде. Угол между направлением скорости электрона
и магнитным полем (питч-угол по англоязычной терминологии) равен 0.
Вычислить спектрально-угловое распределение мощности излучения.
15.33*. Найти спектр синхротронного излучения от облака
моноэнергичных ультрарелятивистских электронов, имеющих изотропную функцию
распределения и находящихся в плазменной среде. Число электронов No.
Магнитное поле В однородно, и его направление составляет угол 0 с
направлением наблюдения п. Сравнить найденный спектр с тем, который
можно ожидать в отсутствие среды (задача 5.86).
15.3. Каналирование и излучение быстрых частиц в
кристаллах
При движении быстрых частиц в правильных монокристаллах
существенную роль играют ориентационные и интерференционные эффекты.
Например, при движении в некоторых направлениях (вдоль атомных
цепочек или в кристаллических плоскостях) пробеги частиц возрастают в
728
Глава 15
несколько раз по сравнению с пробегами в веществах с неупорядоченным
расположением атомов. Благодаря большим значениям длины
формирования тормозного излучения ультрарелятивистских частиц они излучают
когерентно с больших участков своих траекторий. Интерференционные
явления в кристаллах уже рассматривались в разделе 12.4 на примере рассеяния
рентгеновых лучей. Ниже в этом разделе будет рассмотрено движение
быстрых частиц и их излучение в кристаллах.
Интерференционные эффекты при рассеянии быстрых частиц.
Пример 15.13. Пользуясь борновским приближением, вычислить
дифференциальное сечение упругого рассеяния релятивистским электроном на
двухатомной системе, выразив его через сечение рассеяния на одном атоме.
Относительное расположение атомов характеризуется вектором а,
атомы одинаковы и каждый из них создает создает кулоновское поле, радиус
экспоненциальной экранировки которого R {см. задачу 15.2). Рассмотреть
разные ориентации начального импульса электрона относительно оси
системы а, оценить длины когерентности для рассеяния при продольной и
поперечной ориентациях.
Решение. Рассеивающий потенциал имеет вид
о (0-TlR v-V-a\ \
(!)■ „(„..^t^ + jL—j.
Дифференциальное сечение рассеяния пропорционально компоненте Фурье
рассеивающего потенциала
i
(2) Ug = J и(г)е-*г = u(q)(l + е"*-),
где q = р' - р — переданный рассеивателю волновой вектор, u(q) — фурье-
образ потенциала отдельного атома. С помощью последнего выражения
находим дифференциальное сечение
где первый сомножитель представляет собой сечение рассеяния на
экранированном кулоновском центре, найденное в задаче 15.2. Первое слагаемое
в скобках дает удвоенное сечение одного атома, т. е. сумму сечений
рассеяния на двух атомах. Слагаемое с косинусом описывает интерференционный
эффект.
15.3. Каналирование и излучение быстрых частиц в кристаллах 729
Условием интерференции является неравенство \q • а\ < 1, так как
при \q • а\ ^> 1 косинус будет сильно осциллировать и интерференционный
эффект ненаблюдаем. При \q • а\ <С 1 сечение увеличивается в 4 раза по
сравнению с сечением на отдельном атоме, т. е. оно пропорционально
квадрату числа атомов. Учтем, что кулоновское рассеяние происходит
преимущественно на малые углы в < 1/rR (см. сечение, найденное в задаче 15.2).
При продольной ориентации q a « кав2/2, и продольная корреляционная
длина
«> ь~*£-
Поперечная корреляционная длина
(5) l^h~K
Продольная корреляционная длина для рассеяния пропорциональна
импульсу частицы и у ультрарелятивистских частиц может достичь
макроскопических размеров. Поперечная длина при всех энергиях остается
микроскопической величиной. Если имеется линейная цепочка атомов с
межатомными расстояниями а, то частицы с начальными импульсами,
параллельными цепочке, будут взаимодействовать когерентно с Nc = Ц/а
атомами, и сечение рассеяния возрастет в Nc раз по сравнению с сечением
на отдельном атоме (в рамках борновского приближения, т. е. при условии,
что оно применимо). При поперечной ориентации сечение
пропорционально числу атомов.
Пример 15.14. Релятивистская частица рассеивается на линейной
цепочке, состоящей из N атомов, которые находятся на взаимном
расстоянии а. Пользуясь борновским приближением, вычислить
дифференциальное и полное сечения упругого рассеяния при N ^> 1. Указать критерий
применимости приближения в зависимости от ориентации начального
импульса частицы относительно линии расположения атомов.
Решение. Произведя вычисления, как в предыдущем примере, получим
дифференциальное сечение
da = (da) sin2(g • aN/2)
(1) dtt \dnjc sin2(g.a/2) '
где при падении рассеивающихся частиц вдоль цепочки
(1) q-a=^ak62.
730
Глава 15
Здесь использовано приближение малых углов для рассеяния
релятивистских частиц на экранированном кулоновском потенциале. При
aM2N/4: <C 1 из (1) следует
<»> S-*(&)-<W
(e2 + etf
N атомов цепочки действуют когерентно, как одно целое. Это приводит к
эффективному заряду ядра NZe и позволяет использовать известный (см.
[Ландау и Лифшиц, Квантовая механика]) критерий применимости борнов-
ского приближения:
(4)
NZe2
hv
«l.
Поскольку e2/hc& 1/137, то борновское
приближение применимо при N ^> 1 лишь для
достаточно легких элементов, Z < 10. Интегрируя (3)
по телесному углу, находим полное сечение
(5)
= ь(ш.
у
-II = *2°с = 4 \*%- ] *tf,
(6)
где R — радиус экранировки. В условиях
применимости (4) борновского приближения сечение
рассеяния на цепочке мало по сравнению с гео-
рис. 15.5 метрическим сечением атома 7гД2. Это означает,
что взаимное затенение атомов от падающей
волны мало.
При перпендикулярном падении частиц на цепочку (рис. 15.5) имеем
q • а = акв cos (p.
В приближении N ^> 1 используем представление дельта-функции (1.217)
как приближенное равенство и преобразуем интерференционный
множитель в (1):
(?)
sin2(g- aN/2) _ sin2(akOcosipN/2)
sin2(g-a/2) sin2 (акв cos <p/2) ^»*
7Г(акв cos (f/2)2
^»i sin2 (акв cos <p/2)
N
5(акв cos ip/2)
2ttN
а к
6(всо$(р).
15.3. Каналирование и излучение быстрых частиц в кристаллах 731
Интерференционный множитель имеет острые максимумы при в —> 0 и
при (р —> 7г/2. Их реальная угловая ширина порядка 1/Nak <C 1. Вычислив
полное сечение путем интегрирования (1) по сЮ, = OdOdip с учетом (7),
получим
(8) а± = М<7С^.
В этом случае рассеяние некогерентно, сечение пропорционально числу
атомов, множитель irR/a близок к единице, так как в конденсированных
средах расстояние между атомами порядка их размеров. Условие
применимости борновского приближения такое же, как для отдельного атома:
Ze2/hv < 1. ■
Осевое и плоскостное каналирование. При выполнении условия,
противоположного борновскому критерию (4), т.е. при NZe2/hv > 1,
применимо квазиклассическое приближение. Полностью пренебрегая
дифракционными эффектами, рассмотрим классическую картину движения
релятивистской частицы в поле длинной атомной цепочки. Если начальный
импульс параллелен цепочке или направлен под малым углом к ней, то при
однократном соударении с прицельным параметром р < R, где R — радиус
экранировки, частица приобретет добавочный поперечный импульс
порядка Ар± « Ze2r/p2, где Ze2/p — сила, т « p/v — время соударения. Частица
отклонится на угол порядка в « Ар±/р ~ Ze2/рР>28 <С 1, где § = mc2j —
ее релятивистская энергия. Приращение прицельного параметра Ар при
соударении будет порядка Ар « ав, где а — расстояние между атомами
цепочки. Для достаточно энергичных частиц (не обязательно релятивистских)
Ар «ри, таким образом, траектория частицы будет представлять собой
плавную кривую, почти прямолинейную на расстояниях порядка
межатомного расстояния (рис. 15.6).
еоее^-
Рис. 15.6
Такой же характер будет иметь траектория и при влете частицы не
параллельно, но под достаточно малым углом # к оси цепочки. При этом
частицы с отрицательным зарядов (электроны) будут притягиваться к осевой
линии и могут двигаться преимущественно внутри цепочки на расстоянии
р ^ R от ее оси (осевое каналирование), а положительно заряженные ча-
732
Глава 15
стицы (позитроны, протоны, положительные ионы) будут
концентрироваться в пространстве между соседними параллельными плотно упакованными
цепочками. Точный расчет траекторий с использованием реалистических
атомных потенциалов весьма трудоемок, но сам характер движения частиц
подсказывает рациональное упрощение задачи — замену реального
потенциала цепочки осесимметричным потенциалом, усредненным по координате
вдоль цепочки:
оо
и(р) = i f Yl<^z - a^dz> <15-98)
-оо п
где и — потенциальная энергия одного атома, ап — его координата на оси
цепочки, L — длина цепочки.
В том случае, когда в кристалле можно выделить плотно упакованные
параллельные атомные плоскости, а начальная скорость частицы
составляет с ними малый угол, тоже можно ввести потенциал, усредненный по
положениям атомов в плоскости:
(х) = \]Т.и
U{x) = £ / 2^ и(х, y + bm,z + an)dydz, (15.99)
71,771
где 5 — площадь плоскости, (6m,an) — координаты атома в плоскости
(у, z). При такой аппроксимации потенциальной энергии задача становится
одномерной. Частицы могут длительное время удерживаться либо вблизи
плоскости (электроны) либо между соседними плоскостями (частицы с
положительным зарядом), в состоянии плоскостного каналирования.
Описание движения быстрых частиц в кристаллах на основе усредненных
потенциалов было введено Линдхардом (см. обзор [Линдхард (1969)]). Более
корректный подход предполагает усреднение также и по тепловым
колебаниям атомов в узлах кристаллической решетки.
Основные закономерности движения частиц при каналировании
можно установить на основе известных из классической механики интегралов
движения, не обращаясь к уравнениям движения.
В одномерном статическом потенциальном поле U(x) сохраняется
полная энергия частицы ё и ее импульс рц, параллельный плотно упакованной
плоскости,
тг2 тф\\
тс + U(x) = S = const, " = р.. = const,
(15.100)
15.3. Каналирование и излучение быстрых частиц в кристаллах 733
где /?ц = v\\/c. Выразим из второго равенства продольную скорость
~2^2
и подставим в первое уравнение. Это позволит найти поперечную скорость:
(8 - U{x))2 - 82 ,
-, где 8\\ = Jm2c4 + с2р2 = const. (15.102)
•2 2
X = С -
{8-U{x)f
Далее примем во внимание, что метод усредненного потенциала
применим лишь при условии движения частицы под малым углом к
плоскостям, а энергия, связанная с поперечным движением, 8± = 8 — <£ц, мала
по сравнению с полной энергией 8 и продольной энергией 8\\. По порядку
величины она сравнима с потенциальной энергией U. Это позволяет
упростить (15.102) и записать в простой форме закон сохранения энергии для
поперечного движения:
4€ + Щх) = 8± (15.103)
(Г *
Такая запись соответствует движению в заданном потенциальном поле U(x)
нерелятивистской частицы с релятивистской эффективной массой гае/ =
= £||/с2.
Характер движения частицы в кристалле (финитный или инфинитный
в направлении оси Ох) зависит от начальных условий влета частицы в
кристалл. Электроны притягиваются к плотно упакованным плоскостям, и
для них потенциальный рельеф имеет вид, схематически изображенный на
рис. 15.7.
Если релятивистский электрон влетает в кристалл в точке хо и его
импульс составляет с плоскостью (yz) угол в <С 1, то 8± = 8\\62/2 + Е/(#о)>
причем U(xq) < 0. Для того, чтобы частица совершала финитное
движение, т. е. была захвачена в одну из потенциальных ям, требуется условие
8± < 0, т.е. в < y/2\U(xo)\/8\\ ■= вс. Такие электроны называются канали-
рованными. При в > вс движение электрона будет инфинитным (надбарьер-
ным), он сможет преодолевать потенциальные барьеры. Для позитронов и
положительных ионов на месте потенциальных ям (рис. 15.7) окажутся
горбы, а ямы переместятся в промежутки между горбами. В этом случае
каналированными будут частицы с поперечной энергией 8± = 8\\в2/2 +
+ U(xq) < Umax, где Umax > 0 — высота горбов, т.е. с углами влета
734
Глава 15
Рис. 15.7
в < ^/2(Urnax — U(xo))/§\\ = вс. Частицы с 0 > вс окажутся надбарьерны-
ми.
Поперечные скорость и ускорение надбарьерной частицы испытывают
колебания с периодом
о
/dx
x=J?f(gj_-U(x)),
(15.104)
где Ь — расстояние между плоскостями. Период колебаний каналированной
частицы
/dx
1*1'
где U(xm) = S±
(15.105)
(см. рис. 15.7). Здесь всюду поперечная энергия S± зависит от угла в и
точки хо влета частицы в кристалл. Продольная скорость частицы
испытывает периодические колебания малой амплитуды в соответствии с
формулой (15.101). Таким образом, у надбарьерной частицы координата за каждый
период нарастает на величину 6, а движение параллельно плоскостям
почти равномерное со скоростью г>ц « v ~ const. У каналированных частиц
продольное движение носит такой же характер, а поперечная координата х,
как и скорость х, испытывают колебания с периодом (15.105).
Обсуждение движения частиц в модели осевого каналирования см. в
задачах 15.34, 15.36*.
Приведенные выше краткие сведения о движении быстрых частиц в
кристаллах весьма схематичны и не претендуют на полноту. В частности,
15.3. Каналирование и излучение быстрых частиц в кристаллах 735
мы не обсудили следующие важные явления, анализ которых можно найти
в литературе к данному разделу
а) Влияние теплового движения атомов (их колебаний в узлах
кристаллической решетки) на движение быстрых частиц. Этот вопрос будет
затронут ниже в связи с радиационными процессами.*
б) Потери энергии быстрых частиц в кристаллах и влияние каналиро-
вания на этот процесс, а также на взаимодействия каналированных частиц
с ядрами кристалла. Уже в первых экспериментах было отмечено
увеличение прозрачности кристалла в несколько раз для каналированных протонов
(см. [Томпсон (1969)]).
в) При определенных условиях колебания каналированных и над-
барьерных частиц приобретают стохастический характер («динамический
хаос», см. [Ахиезер и Шульга (1993)]). Стохастичность может вызываться
также многократным рассеянием каналированных частиц.
г) Ограниченность движения каналированных частиц в поперечном
направлении приводит к дискретности уровней поперечной энергии и
требует в некоторых случаях квантового описания с использованием
уравнения Шредингера (см., например, [Калашников (1981); Базылев и Жеваго
(1987)]).
Излучение релятивистских частиц в кристаллах. Как и в средах с
неупорядоченным расположением атомов, в кристаллах действуют разные
механизмы излучения. Начнем с рассмотрения тормозного излучения при
взаимодействии релятивистской частицы с экранированными полями
атомных ядер. Будем рассматривать в качестве объекта, создающего внешнее
поле, весь кристалл в целом. Вычислим сечение тормозного излучения
методом эквивалентных фотонов, который уже применялся в примерах 6.19
и 15.4. В системе покоя кристалла его электромагнитные потенциалы
где сумма берется по всем атомам кристалла, которые одинаковы и
расположены в точках гп. Используется модель экспоненциальной экранировки.
В системе покоя электрона потенциалы имеют вид
d Q ciq±-r±+iq]l<y(z,+vt,)\^ c-iq±-rn±-iql]<yz!n
<72+*2 п ' (15.107)
736
Глава 15
т.е. отличаются от тех, которые использовались в примере 15.4, только
интерференционным множителем.
После вычисления напряженностей поля получаем соотношение,
определяющее спектральную плотность эквивалентных фотонов (аналог
формулы (6) из примера 15.4):
2тг2
оо
о (л„< f J^lI
2Jdq4WTn
„2\2
^e-i9rn
oo
= f hw'n(u;')duj',
где <7|| = 79|| « uj'/c, rn = (rn±^z'n) = (rn±,zn) — координаты атома
в системе кристалла. Из полученного соотношения находим спектральную
плотность фотонов n(uj')\
п(ои'
,)=Z2e27 1 Г
тг2 he u/ J i
Z2e2j i fqid*q±
(q2+K2)
2\2
£<
-iqrn
, где u/ = C7^||. (15.108)
Сечение тормозного излучения электрона на кристалле вычислим по
очевидной формуле
max
dar(uj) = I d^'n^dac^'^") (15.109)
(см. формулу (1) из решения задачи 6.81). Здесь dac{u',uj") — сечение
комптоновского рассеяния, и',и" — частоты первичного и рассеянного
квантов в системе электрона. Конечную частоту и пределы интегрирования
итгп1итпах следует еще преобразовать в лабораторную систему
(кристалла). Сечение комптоновского рассеяния было найдено в задаче 6.80:
2
d<?c ,2 те
= 7Г7\
d{hw")
'о
(Пи/)
/\2
тс2 тс2
тс2 тс2
(15.110)
Преобразуем это сечение с помощью соотношений, найденных в задаче 6.82
из преобразования Лоренца и = uffj(l — cosO') для частоты рассеянного
кванта в двух системах отсчета и законов сохранения
1 ЛЛоЛ/ тс2 тс2
15.3. Каналирование и излучение быстрых частиц в кристаллах 737
в системе электрона. Находим
dw" =
dw"
dw
i huo i ii i §
dw = -g-ш, >u; = w —,
/ mc i
2£'
2t^
' 8'
(15.111)
где 8, 8' — энергии электрона в системе кристалла до и после испускания
кванта, а b)'min,ufmax устанавливают пределы интегрирования по dwf при
заданной частоте w испущенного кванта в лабораторной системе, а также
заданных 8 и 8' = 8 — hu>. С помощью двух первых формул записываем
сечение комптоновского рассеяния в виде
Аос^М = шЩ^
8 , 8'
8,+ § +
тег
им _ 9 гас ш_
dui.
8' J WJ ' 8' u/
"(15.112)
В итоге сечение тормозного излучения на кристалле примет вид
трехкратного интеграла
л- ( л 1 „2 -7 2 е2 тс2 [ dw' f
dw' f <fi.d2q±
(92 + «2)
2\2
(15.113)
8,8' fmc2\ (им g mc2 w
8' 8^\8' ) WJ 8' w'
£<
-iq-\
dw.
Напомним, что a/ = cyq\\. Поэтому подынтегральное выражение
в (15.113) можно рассматривать как дифференциальное сечение dar(q,uj)
тормозного излучения кванта с частотой и, сопровождающееся передачей
среде фиксированного волнового вектора q = (q±,q\\). Оно отличается от
сечения тормозного излучения на отдельном атоме (1сгвн{я,ш)
структурным фактором среды:
dar(q,w) = daBH(q,v)
£•
,-гдгп
(15.114)
Такая связь между сечениями совершенно естественна, так как
вероятность радиационного перехода в борновском приближении
пропорциональна квадрату модуля \Uq\2 потенциала внешнего поля, который выражается
738
Глава 15
через потенциал uq отдельного атома в виде
\U„
£<
-iq гп
Метод эквивалентных фотонов, как мы видели на примерах 6.19, 15.4, для
ультрарелятивистских частиц эквивалентен первому борновскому
приближению.
Переход от (15.114) к сечению тормозного излучения на
макроскопическом теле с неупорядоченным расположением атомов можно произвести
путем представления структурного фактора в виде
S^e-igrn
£V«-(rm-rn) =N+ ^ e*«-(rm-rn). (15.115)
т,п тфп
где N — полное число атомов. При случайном расположении атомов нужно
усреднить (15.115) по всем гт, считая все положения атомов внутри тела
равновероятными:
(e-i*-rn) = l f е-*Я-гП(1уп = 0,
если размер тела L велик по сравнению с q г.В результате последняя сумма
в (15.115) обратится в нуль, и мы получим
£•
— гд-Гп
) = N, dar(q,uj) = NdaBG{q,u),
что соответствует некогерентному излучению на N атомах.
Но если атомы совершают лишь малые колебания в узлах
кристаллической решетки, то структурный фактор будет существенно и немонотонно
зависеть от переданного волнового вектора д, приводя к
интерференционным максимумам и минимумам, подобно диффузии рентгеновых лучей в
кристаллах. В этом случае усреднение нужно производить методами
физики твердого тела (см. [Займан (1966), Тер-Микаелян (1969)]), учитывая
квантовый характер колебаний атомов в кристаллах. Результат усреднения
имеет вид
(fc^ ) = N(l-e-q2u2)+e-
Е'
,*я<
(15.116)
15.3. Каналирование и излучение быстрых частиц в кристаллах 739
где
3h2
ШТ0
1 + '
TD/T
JL\ f tdt
TDJ J e*-l
— средний квадрат отклонения атома от равновесного положения, г„ —
радиусы-векторы узлов кристаллической решетки, причем все атомы
считаются одинаковыми, М — масса атома, Т/То — отношение температуры
кристалла к его температуре Дебая. Величина у и2 при комнатных
температурах порядка или несколько меньше радиуса экранирования R, поэтому
интерференционные эффекты в тормозном излучении проявятся при
достаточно малых переданных волновых векторах, qR < 1.
С учетом (15.116) сечение тормозного излучения на кристалле
складывается из двух частей, dar(q, uj) = danc(q, uj) + dac(q, lj), где некогерентная
часть сечения,
2^N
donc(q,u>) = N{1 - e~q u )daBH{q,uj),
(15.117)
не зависит от направления влета электрона в кристалл относительно его
кристаллографических осей, а когерентная часть
dac(q,uj) = doBH{q,u)e
— q и*
£•
}iq">
(15.118)
зависит от этого направления. Анализ интерференционных явлений,
содержащихся в (15.118), можно произвести по аналогии с анализом дифракции
рентгеновых лучей (см. раздел 12.4, а также пример 15.15).
Пример 15.15. Тяжелая релятивистская частица (мюон, протон)
взаимодействует с кристаллическим телом объема V, находящимся в
воздухе (е(и) « 1). Найти интенсивность излучения при частотах много
больше атомных, вызванного рассеянием поля быстрой частицы на
электронной подсистеме кристалла. Использовать подход, развитый в
кинематической теории дифракции рентгеновых лучей (раздел 12.4). Обсудить
свойства исследуемого излучения (дифрагированное рентгеновское
излучение).
Решение. У тяжелых частиц мала интенсивность собственно
тормозного излучения в полях атомных ядер, поэтому главный вклад в излучение
740
Глава 15
дадут электроны среды, возбуждаемые полем быстрой частицы.
Рассматриваем область частот, в которой диэлектрическая проницаемость дается
формулой (12.66) и удовлетворяет условию малости (12.67). Уравнение (12.69)
применим для вычисления поля рассеянной волны на большом расстоянии
от тела, где D = Е. В правую часть уравнения (12.69) подставляем
гармонику невозмущенного поля частицы, движущейся равномерно в вакууме
(см. задачу 4.34)
оо
J0°(r) = J Е(г,г)е*»гс
(1) К(г)= / E(r,t)ewtdt
Используемое приближение предполагает, что падающая волна мало
ослабляется, проходя через кристалл (борновское приближение). Записав
решение уравнения (12.69), получим рассеянное поле
(2)
Еш(г) = ~^2 / G£(r,r')V' х [V х Е°ш(г')п(г')}с1У,
muj Jv
где G%{r,r') — функция Грина (5.14) на большом расстоянии от тела
(г > г'), имеющая вид
(3) GZ(r,r') = ±eikr-ik-r', где fc=£f
— волновой вектор рассеянной волны. Здесь интеграл в правой части (2)
берется не по всему безграничному пространству, а только по объему тела V.
Выполнив в (2) интегрирование по частям, как при выводе формулы
(12.70), и подставив разложение (12.75) электронной плотности, приведем
рассеянное поле к представлению, в которое входит сумма по векторам Ь
обратной решетки:
(4) EUr) = -^Ynbkx\kx [ E°Jrf)exp(-i(k-b).rf)dVf
muj2 ^ Y Jv
eikr
Если бы интегрирование производилось в бесконечных пределах, то
интеграл содержал бы сингулярный множитель — дельта-функцию 5(и — к • v)
(см. ответ к задаче 5.144 либо пример 15.1). Но при интегрировании по
ограниченному объему кристалла все интегралы конечны:
(5)
Jv
15.3. Каналирование и излучение быстрых частиц в кристаллах 741
где большой, но конечный множитель V выделен, a 5k,k' представляет собой
символ Кронекера, имеющий конечную ширину порядка \к — к'\~\/Ьпо
каждому направлению, L — размер области интегрирования по
соответствующей оси. В максимуме при к — к' символ Кронекера близок к единице.
В итоге мы имеем
(в)
X
Е°ш{г')ехр{-1{к-Ь) ■ r')dV = -г
4-ке'Ь
v[(k-b)2-w2/c2}
к-Ь-^.
(Г
причем (к - Ь) • v = uj. Здесь L — размер кристалла в направлении скорости
частицы, L/v — время его пролета, а условие (к — Ь) • v = и возникло из
ненаписанного символа Кронекера. После подстановки последнего
результата в (4) получаем поле излучения (рассеянное поле частицы)
(7) Еш(г) = -г
Атте'е2Ь
mvu)
£
Пь
(к-Ь)2-со2/с2
fcx[fcx(b+^)] ^,
где (к — b) • v = и.
Метод, которым было вычислено это поле, родственен методу
эквивалентных фотонов. Но в данном случае быстрая частица не обязана быть
ультрарелятивистской, так как электронная система реагирует на любое
переменное поле частоты uj через посредство е(и>). Механизм рассмотренного
излучения уместно назвать поляризационным (см. пример 15.10), поскольку
оно вызвано поляризацией электронной системы кристалла полем частицы.
В случае тяжелых частиц тормозное излучение самой частицы подавлено
ее большой массой. В случае электронов и позитронов к
рассматриваемому излучению следует добавить когерентное тормозное излучение легкой
частицы. По-видимому, возможна и интерференция обоих механизмов
излучения.
Частота и направление распространения квантов связаны
соотношением, вытекающим из последнего равенства (7):
(8)
COS0= %
с(Ь • v)
VUJ
где в — угол между направлениями движения излученного кванта и
быстрой частицы. Спектрально-угловое распределение излучения находим по
формуле (5.22):
(9)
<121ш
dwdQ,
4e/2e4L2
m2v2c3
Е
Пь
(к - Ь)2 - и2/с2
п х
(Г
742
Глава 15
Направление вылета кванта п и его частота связаны с вектором обратной
решетки и друг с другом соотношением (8). При заданных b, v и cos#
частотный диапазон излучаемых квантов весьма узок — например, порядка
нескольких эВ при энергии квантов 5-^8 кэВ. Обзор сведений об
экспериментальном исследовании дифрагированного рентгеновского излучения
и о его возможных практических применениях см. в обзоре Тер-Микаэляна
(2001). ■
Излучение каналированных и надбарьерных частиц. При каналиро-
вании борновское приближение неприменимо, и характер излучения
существенно изменяется по сравнению с рассмотренными выше в этом разделе
случаями. Вычислим с помощью классической теории излучения полную
радиационную потерю энергии каналированной частицы на единице пути.
В обоих случаях осевого или плоскостного каналирования импульс
частицы вдоль некоторой оси (Oz) сохраняется, и усредненная потенциальная
энергия зависит только от одной или двух поперечных координат.
Дифференцируя полную энергию частицы
£ = \/с2Р2 + ™2с4 + U(p) (15.119)
по времени, находим
dt \dtdpj v ;
Далее воспользуемся уравнением движения частицы с учетом силы F
радиационного трения (5.118):
f-f+F. (.5.121,
Подстановка этого результата в (15.120) дает ё = v • F и показывает, что
потеря энергии частицы равна работе силы радиационного трения. Учитывая,
что в (5.118) Н = 0, еЕ = —dU/dp и что v « с, находим радиационные
потери частицы на единице пути:
d8_ 2eV/W (15.122)
dz 3m2c4 \др
Полученная формула сохраняет силу и для надбарьерных частиц при
условии, что они движутся под малым углом к атомным цепочкам или атомным
плоскостям и возможно их описание на основе усредненного потенциала.,
15.3. Канллирование и излучение быстрых частиц в кристаллах 743
Если потенциальная энергия периодична, то следует усреднить
радиационные потери энергии (15.122) по периоду.
Сравним этот результат с синхротронными потерями релятивистского
электрона в однородном магнитном поле (см. задачу 5.75):
сШ
dz
■=?£■■ (15-123)
3m
2 л
Величине с2 И2 соответствует квадрат производной (dU/dp)2, который
можно записать через напряженность атомного поля e2E2t. Для атомов с
атомным номером Z по порядку величины Eat = Ze/R2 « Z5^3e/a2B «
% 4 х 1010 CGSE « 1013 В/см для тяжелых элементов (Z = 64).
Эквивалентное магнитное поле имеет величину 4 х 1010 Гс.
При движении электрона в среде со случайным расположением
атомов радиационные потери даются формулой (15.58). Отношение потерь в
аморфной и кристаллической средах можно представить в виде
dS/dz\am _ 30 (ПаАс\ (]г } ?д,
dS/dz\cr ~7Z4/3 V a4 J' U ^
аа — концентрация атомов, Aq = h/mc и а « 1/137. Для
конденсированных сред множитель в скобках порядка единицы, поэтому излучение ка-
налированных релятивистских электронов и позитронов существенно
превышает их излучение в аморфных средах. На возможность интенсивного
излучения релятивистских частиц в кристаллах впервые обратил внимание
Кумахов (см. его монографию [Кумахов (1986)]).
Спектр излучения каналированных частиц. Воспользуемся
формулой (5.58) для поля произвольным образом движущейся частицы в волновой
зоне:
еп х [(п - v/c) х г;]
Е =
c2R(l - п • v/cf
(15.125)
t'=t-R(t')/c
У каналированнои релятивистской частицы считаем v = const, а ускорение
v — периодической функцией времени (см. формулы (15.104), (15.105) при
плоскостном каналировании и задачу 15.36* при осевом каналировании).
Считаем также векторы v и v взаимно перпендикулярными, пренебрегая
тем самым членами порядка 7-2- Для вычисления спектра нужно найти
компоненту Фурье поля (15.125):
оо
Еш= / E{t)ewtdt. (15.126)
744
Глава 15
Поле (15.125) выражено через запаздывающее время t\ поэтому следует
перейти к интегрированию по dt', учитывая постоянство скорости частицы:
t =t> _ Щ1 « § + (l - ^) t'. (15.127)
После подстановки (15.125) и (15.127) в формулу (15.126) получим
оо
^=?a^^^/nx[(n-v/c)x'(0]e4i41-I^)t,}d('
— оо
(15.128)
Теперь роль частоты играет величина о/ = uj{\ — п • v/c)9 которая для
ультрарелятивистской каналированной частицы принимает вид
J « uj (l - \ cosfl) « |(7"2 + О2). (15.129)
Здесь О — угол между направлением излучения и осью канала. Таким
образом, компонента Фурье поля выразилась через компоненту Фурье ускорения
на частоте а/:
^ = 4 р7 Sr~п х Кп - vl°) x *«']• (15.130)
Спектрально-угловое распределение излучения можно вычислить по
формуле (5.22), имея в виду, что при высоких частотах в веществе l-H^I2 =
= IE-I2-
!&=gi*.<ft>i". (u.131)
Раскрывая квадрат двойного векторного произведения в (15.131), получим
п х
;|n-t,/c)x^]|3 = M3(i-n^)2-|n.M2(i-§)-
Проинтегрируем (15.131) по телесному углу d£), = OdOdip = dipdu'/uj, где
мы воспользовались формулой (15.129) и перешли к интегрированию по
частоте а/. Азимут (р отсчитываем от направления вектора Ьш' и записываем
|™ • уш' |2 — \Уш' |2#2 cos2 ip, где угол 0 нужно выразить через uj' . В результате
получаем
cLo ~ 27ГС3 J ' ш
w/272
UJ , (J2
7V 274u/2
^7j. (15.132)
о;7"5
15.3. Каналирование и излучение быстрых частиц в кристаллах 745
Это выражение может быть использовано для различных случаев
движения каналированных и надбарьерных частиц, для которых применимо
приближение усредненного потенциала. Рассмотрим простейший
(«модельный») случай, когда происходит плоскостное каналирование и электрон
совершает между плоскостями гармонические колебания с частотой £1 и
амплитудой хш: x(i) = xmcos£),t. Для оценки круговой частоты П учтем,
что каналированная релятивистская частица имеет эффективную массу
mef « g/c2 = "ут (см. формулу (15.103)). Поэтому П = ujo/j1/2, где ujq —
частота колебаний нерелятивистского электрона в потенциальном поле U,
которая при плоскостном каналировании имеет порядок величины о; о =
= y/EatR/mb29 где b — расстояние между плоскостями кристалла. В этом
случае
уш>
= J x{t)eiuJ,tdt = -тгП2а;тД(а/ - П) при П > 0, J > 0.
При возведении этой величины в квадрат возникнет расходящееся
выражение, что соответствует бесконечному времени движения электрона через
кристалл:
\Ьы.\2 = ±п&х2т6(ш'-П)Ы\ы-.00.
Поэтому следует вычислять потерю энергии на излучение в расчете на
единицу пути, т.е. поделить (15.132) на vAt « cAt и поменять знак:
d28„ = e2{nxm)2uj
dzdu 4c4
и , ил2
72fi 274fi2
е(272П-о;). (15.133)
Такой прием уже применялся при переходе от (15.71) к (15.72).
Наличие ступенчатой функции означает, что спектр обрывается на
частоте
ш = 2j2Ct ="273/JW (15.134)
На частоты такого порядка приходится основное излучение каналированной
частицы. При интегрировании (15.133) по всем частотам получаем
dl = _e2^x2m 2
dz Зс4 7 ' l j
что согласуется с общим выражением (15.122). При негармонических
колебаниях или более сложном вращательном движении в канале поперечное
746
Глава 15
ускорение частицы и спектр излучения будут содержать большое число
гармоник Фурье. Анализ многочисленных конкретных случаев каналирования
и квазиканалирования (т. е. надбарьерных движений), а также подробное
сравнение теории с экспериментальными данными можно найти в
литературе к данному разделу.
Рекомендуемая литература: [Линдхарт (1969); Томпсон (1969); Тер-
Микаелян (1969); Кумахов и Ширмер (1980); Ландау и Лифшиц, Теория
поля; Ахиезер и Шульга (1993); Кумахов (1986); Калашников (1981); Базы-
лев и Жеваго (1987); Барышевский (1982); Тер-Микаелян (2001); Кумахов
и Комаров (1985)].
Задачи
15.34. Вычислить усредненную потенциальную энергию атомной
цепочки, если для отдельного атома она имеет вид кулоновского потенциала
с экспоненциальной экранировкой (см. условие задачи 15.2), расстояние
между атомами Ь.
15.35. Вычислить усредненную потенциальную энергию атомной
плоскости, если для отдельного атома она имеет вид кулоновского
потенциала с экспоненциальной экранировкой (см. условие задачи 15.2), расстояние
между атомами на плоскости а, расстояние между плоскостями Ь.
15.36*. Записать интегралы движения и проанализировать характер
движения релятивистского электрона в поле одной атомной цепочки в
приближении усредненного потенциала. Обсудить картину движения частиц в
кристалле под малыми углами к направлению атомных цепочек.
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных
средах
Свойства космических неравновесных сред. Мы видели в
разделе 15.1, что в обычном равновесном веществе энергичные частицы быстро
теряют свою энергию и в конечном счете приходят в состояние
статистического равновесия со средой. Но в природе происходят и такие процессы,
которые приводят к ускорению заряженных частиц до чрезвычайно
высоких энергий при их взаимодействии с естественными, т. е. имеющимися в
природе, средами. Убедительное подтверждение этому дает факт
существования космических лучей — частиц высоких энергий, приходящих из глубин
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 747
Вселенной и пронизывающих атмосферу Земли. Такие частицы
регистрируются уже много десятилетий как наземными установками, так и приборами
на космических аппаратах в межпланетном пространстве за пределами
магнитосферы Земли. Наибольшая измеренная энергия таких частиц
составляет величину около 3 х 1020 эВ, т. е. на 8 порядков превышает энергию,
достигнутую на современных ускорителях элементарных частиц. Энергией
такого порядка обладает макроскопическая частица массой в 1 г, летящая
со скоростью звука в воздухе (~330 м/с).
Большую часть ускоренных частиц естественного происхождения при
умеренных энергиях (S < 1012 эВ) составляют протоны, около 10%
приходится на а-частицы (ядра гелия), и менее 1% — на более тяжелые ядра.
Электроны также составляют около 1% от общего потока космических
лучей.
Вопрос о происхождении частиц столь высоких энергий представляет
собой одну из самых интересных и до конца не решенных загадок природы.
Путь ее решения подсказывает изучение сильно неравновесных состояний
вещества. В разделе 13.3 мы рассматривали примеры неравновесных сред
и выяснили, в частности, что плазма с пучками частиц неустойчива, в ней
нарастают электрические колебания. Значительная часть вещества в
звездах, а также в межпланетном и межзвездном пространстве находится в
виде плазмы, в которой существуют всевозможные макроскопические
движения и магнитные поля. Вещество вне звезд по земным меркам
чрезвычайно разрежено — плотность числа частиц п составляет величину порядка
10 > п > 10_3 см-3 и находится в сильно неравновесном состоянии..
Такое состояние поддерживается механическими движениями
небесных тел и их конгломератов, но главным образом внутренней эволюцией
звезд, которые способны взрываться и извергать из своих недр струи и
сгустки плазмы, движущиеся со скоростями в десятки тысяч км/с. За
пределами нашей звездной системы (Галактики) известно много плазменных
струй, движущихся с релятивистскими скоростями, о происхождении
которых можно лишь строить гипотезы. Но все эти данные говорят о том,
что в космическом пространстве существуют сильно возмущенные области,
заполненные регулярно или хаотически движущимися облаками плазмы с
магнитным полем. В таких областях возможно появление также регулярных
или хаотических электрических полей. Эти поля способны ускорять
частицы до высоких энергий. Условием ускорения является неравновесность
среды и большой запас в ней свободной энергии, способной превращаться в
энергию ускоренных частиц.
Заряженная частица, двигаясь в электрическом поле по некоторой
траектории из точи 1 в точку 2, приобретает энергию AS = е /А ч Е • vdt.
748
Глава 15
Если при усреднении по траекториям разных частиц в области ускорения
(Е) ф О, то ускорение называют регулярным. Если же (Е) = О, это
означает, что электрическое поле на траектории частицы многократно меняет
направление. Но и в этом случае возможно ускорение, так как величина
(/Ач Е • vdt) ф О из-за того, что скорость частицы v[E] представляет
собой функционал от электрического поля и при усреднении будут возникать
величины типа (Е2), отличные от нуля. Ускорение в этом случае называют
стохастическим.
Если среда имеет высокую электропроводность, то электрическое поле
можно выразить через магнитное поле и макроскопическую скорость среды
(см. формулу (10.34))
Е = -\ихВ. (15.136)
В этом случае ускорение частиц можно интерпретировать как результат их
столкновений с движущимися «магнитными неоднородностями», которые
передают частицам часть своей энергии. Мы в настоящем разделе
рассмотрим некоторые наиболее изученные процессы ускорения частиц в
неравновесных плазменных средах, способные обеспечить достаточно высокие
энергии.
Движение быстрых частиц в случайном магнитном поле. В
разделе 4.2 были рассмотрены различные случаи движения частиц в
регулярном магнитном поле. Такое поле можно задать как вполне определенную
функцию координат и времени. Но в естественных плазменных средах в
межпланетном и межзвездном пространстве кроме крупномасштабного
регулярного магнитного поля присутствуют случайные магнитные
неоднородности. Они обусловлены случайными макроскопическими движениями
плазмы, ее неустойчиво стями и различными колебаниями, которые могут
раскачиваться в неравновесной плазме. Случайное магнитное поле
допускает множество реализаций, и оно, как мы видели в разделе 10.3 и
Дополнении 4, может быть задано своим средним значением и корреляционными
тензорами различных рангов.
Траектория отдельной частицы, движущейся в случайном
электромагнитном поле, тоже допускает множество реализаций, и она в общем
случае не может быть вычислена как некоторый функционал случайного
поля. Систему частиц, движущихся в случайных полях, следует
описывать функциями распределения, усредненными по возможным значениям
этих полей. В разреженной среде часто можно пренебречь
столкновениями быстрых частиц с частицами фоновой плазмы, так как
макроскопическое поле оказывает на их движение несравненно более существенное
воздействие.
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 749
Выведем кинетическое уравнение для функции распределения
быстрых частиц, движущихся в магнитном поле со случайной
составляющей. Электрическое поле движущихся магнитных неоднородностей (слабых
МГД волн с фазовой скоростью vph, см. раздел 10.3) в vph/c раз меньше
их магнитного поля, и электрическим полем мы в рассматриваемой задаче
пренебрежем. Пусть полное магнитное поле состоит из двух частей,
регулярного поля Во = const и случайного поля b(r,t), причем при
усреднении по ансамблю случайных полей (6) = 0. Будем считать случайное поле
статистически однородным и изотропным и характеризовать его в системе
отсчета, в которой плазма локально неподвижна, корреляционным тензором
Ta0(r'1-r,2,t1-t2) = (bair'Mbpir'M). (15.137)
В космических условиях плазма как правило перемещается, участвуя в
крупномасштабном движении с некоторой скоростью и, которую мы здесь
будем считать нерелятивистской постоянной величиной, и = const. В этом
важном случае радиусы-векторы в лабораторной и сопутствующей плазме
системах связаны соотношением г = г' + ut. Скорость v
рассматриваемых быстрых частиц мы будем считать большой по сравнению со всеми
скоростями плазмы:
v > и, v^>vph (v^>cs,va), (15.138)
поскольку скорость vph движения неоднородностей в неподвижной
плазме определяется звуковой с3 и альвеновской va скоростями. В этих
предположениях магнитные неоднородности в системе среды можно считать
статическими и записать корреляционный тензор в лабораторной системе,
в которой плазма движется, в виде
(МГ1,*1)Ь/3(Г2,*2)) = Га/з(Г1 " Г2 - Ufa ~ t2)). (15.139)
Таким образом, мы пренебрегли фазовыми скоростями МГД волн и их
магнитными полями. Но скорость и (газодинамическая скорость
плазмы) может быть весьма значительной (солнечный и звездный ветры,
и « 300 -г-1000 км/с, вспышка сверхновой, и « 3000 -т- 30000 км/с), и эту
скорость мы в дальнейшем будем учитывать. Наличие этой скорости
порождает в лабораторной системе отсчета электрическое поле согласно
формуле (15.136).
Обозначим через f(r,p,t) функцию распределения быстрых частиц,
не усредненную по случайным полям. Она удовлетворяет бесстолкнови-
тельному кинетическому уравнению
750
Глава 15
Сила
9 = еЕ + f v х В = %(у - и) х В
(15.141)
содержит электрическую и магнитную составляющие. Запишем
уравнение (15.140) в виде
at or
(15.142)
где
D = f(„-„)x£
(15.143)
— оператор, изменяющий величину и направление импульса частицы. На
данном этапе мы будем считать скорость плазмы и регулярной величиной,
поэтому оператор D регулярен.
Случай мелкомасштабных неоднородностей. На опыте измеряются
потоки, создаваемые многими частицами, движущимися каждая по своей
случайной траектории, в результате чего происходит усреднение по
траекториям. Такие потоки можно вычислять с помощью функции распределения,
усредненной по всем возможным реализациям случайных полей:
F(r,p,t) = (f(r,p,t)).
(15.144)
Рис. 15.8
Получим из точного бесстолкнови-
тельного уравнения (15.140)
уравнение для усредненной функции F.
Рассмотрим сначала наиболее
простой случай, когда
b ^ £?о, ^о
ср
»£с
еВ0
(15.145)
где R0 — ларморов радиус
частицы в регулярном поле, Lc —
корреляционная длина случайного
поля. Это — случай
мелкомасштабных неоднородностей, когда в
пределах одной случайной
неоднородности траектория частицы слабо искривлена и поле одной неоднородности
отклоняет частицу на малый угол (см. рис. 15.8). Кроме того, мы будем
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 751
искать функцию распределения F для частиц, которые уже провзаимодей-
ствовали со многими неоднородностями.
Выделив из функции распределения ее усредненную часть,
f(r,p,t) = F(r,p,t) + f(r,p,t), F(r,p,t) = (/(r,p,0), </> =0,
(15.146)
получим из (15.142) равенство
% + %+v-^+v^-=Bo-DF + B0-Df + b-DF + b-Dl (15,147)
at at or or
Усредним левую и правую часть (15.147) по реализациям случайного поля.
Используя условия (6) = (/) = 0, получим точное уравнение
^ + v^-B0-DF = (b(r) ■ D /). (15.148)
В этом уравнении содержится неизвестное среднее от произведения
случайных величин (6/) (оператор D регулярен). Чтобы уравнение (15.148) стало
замкнутым, нужно выразить (6 • D /) через усредненную функцию F.
Выполним этот этап расчета приближенно, предполагая неравенство
|/| «F, (15.149)
т. е. считая случайную добавку к функции распределения малой по
сравнению с ее средним значением. Мы увидим ниже, что неравенство (15.149)
следует из (15.145).
Вычтем почленно из (15.147) равенство (15.148). Будем иметь
^+v.^-B0-Df = b.DF + b.Df-(b.Df).
Пользуясь условием (15.149), опустим в правой части последнего уравнения
два слагаемых, содержащих малую величину /, и получим приближенное
неоднородное уравнение для случайной добавки:
ZL+v-^-B0-Df = b-DF'= Q(r,p, t). (15.150)
Мы обозначили через Q правую часть уравнения, играющую роль
источника для случайной величины /. Ее нужно вычислить для расстояний порядка
752
Глава 15
корреляционной длины Lc и времен порядка времени Lc/v движения
частицы через область корреляции, так как среднее (6/) пропорционально
корреляционному тензору случайного поля.
Решение уравнения (15.150) можно записать через функцию Грина
оператора
Ь = ^+у.^-В0-£>: LG(r,p,t;r',p',t')=6(r-r')6(p-p')6(t-t').
(15.151)
На длине корреляции можно в силу условия и <С v пренебречь
переносной скоростью и. Кроме того, при выполнении неравенств (10) траектория
частицы в пределах одной области корреляции близка к прямолинейной, а
изменением импульса можно пренебречь. Поэтому приближенно функция
Грина представляет собой пропагатор свободного движения:
G{r,p,t\r\p\t') = 6(г - г' - v(t - t'))8(p -p')@(t - t'). (15.152)
Добавка к функции распределения примет вид
t t
f'= [Q(r-v(t-t'),p,t')dt' = fb(r-v(t-t')-ut'yDF(r-v(t-t'),p,t')dt'.
—oo —oo
(15.153)
Оценим ее по порядку величины: интервал интегрирования по t' порядка
Lc/v, оператор D ~ ev/cp, f ~ (ebLc/cp)F « (Lc/rg)F9 где rg « cp/eb —
ларморов радиус частицы в случайном поле. В силу равенств (15.145) имеем
Lc < гд и |/| < F.
Слагаемое в правой части (15.148) теперь выразится через
усредненную функцию распределения F и корреляционный тензор:
t
(b(r)3f)=Da J Ta^{v-u){t-t'))DpF{r-v{t-t'),p,tf)dtf. (15.154)
— oo
Поскольку тензор Тар пренебрежимо мал при аргументе, превышающем Lc,
то по порядку величины v(t - t') « Lc. Усредненная функция F слабо
меняется на корреляционной длине, если частица уже прошла несколько
областей корреляции. Она также слабо меняется за время t - t' « Lc/v
прохождения одной области корреляции. Поэтому в уравнении (15.154) в
функции F можно заменить г' на г, t' на t и вынести эту функцию из-под
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 753
знака интеграла. Интегрирование после этого будет относиться только к
корреляционному тензору:
(b(r) -Df)=Da lJTap((v - u)r)dr J DpF(r,p, t). (15.155)
В случае статистически однородного и изотропного случайного поля
наиболее общий вид корреляционного тензора
Taf3((v-u)r) =Т((у-и)т)6аР+Р((у-и)тУ- / Ja\ }\ (15.156)
(v - u)a(v - и)р
{v - и)2
где Т(г), Р(г) — скалярные функции,удовлетворяющие условиям
T(0) = i(62>, P(0) = 0, (15.157)
(Ь2) — средний квадрат случайного поля. Второе слагаемое в (15.156) не
дает вклада в правую часть (15.155), так как {у - u)pDp = 0. Определим
корреляционную длину условием
ос
/
T{r)dr=±{b2)Lc. (15.158)
Тогда
7lvi" "l/"' 3|«-u|
о
T{\v-u\r)dr =
и кинетическое уравнение (15.148) после подстановки в него (15.155)
и (15.158) станет замкнутым:
f +v.§-B0.DF = l(b>)LcDvL_DF.. (15.159)
Правая часть этого уравнения играет роль столкновительного члена и
описывает взаимодействие быстрых частиц с движущимися случайными
неоднородностями. Величины В0, и, (Ь2) могут быть медленными
функциями координат, лишь бы их можно было считать постоянными на
корреляционной длине. Притом и <С г>, так что разность \v - u\ не обращается в
нуль.
754
Глава 15
В неподвижной среде и = 0 и оператор D принимает вид
Ъ=^д, где б = рх£- (15.160)
6 ор
— оператор поворота импульса частицы. Абсолютная величина импульса
и энергия частиц в этом случае не меняются, происходит только упругое
рассеяние. Кинетическое уравнение (15.159) упрощается:
(15.161)
dF
dt
or
А(р) =
ее г.
~JBo
si
2L '
OF
r2 =
9
= v д2
2А(р)
с2р2
е2(Ь2)'
F,
(15.162)
Величина А(р) — транспортный пробег частицы, т.е. расстояние, на
котором происходит ее рассеяние на угол порядка единицы. Через г2 обозначен
квадрат ларморовского радиуса в случайном поле. Мы рассмотрели случай
г9 > Lc, при этом А(р) > гд > Lc и А(р) ос р2. Соотношение между гд
и Л может быть произвольным. Оператор О в правой части (15.161)
представляет собой угловую часть оператора Лапласа в пространстве импульсов.
Отметим, что в рассмотренном случае транспортный пробег зависит только
от квадрата случайного поля и не зависит от спектра магнитных неодно-
родностей.
Пример 15.16. Преобразовать и упростить кинетическое уравнение
(15.161) для случая, когда распределение частиц по импульсам близко к
изотропному Такая ситуация реализуется на расстояниях Аг ^> Л от
любого анизотропного источника. Представить функцию распределения в
виде
F(r,P,t) = ±
N(r,p,t) + ^vJ(r,p,t)
(15.163)
где
N(r,p,t) = f F(r,p,t)(mp, J(r,p,t) = fvF(r,p,t)dnp (15.164)
соответственно изотропная часть функции распределения и плотность
потока частиц с заданной энергией, причем J <^C vN. Получить замкнутое
уравнение для N(r,p, t).
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 755
Решение. Подставим (15.163) в уравнение (15.161) и выделим члены,
не зависящие от углов импульса и члены, пропорциональные р/р. Это даст
два уравнения:
^ + V-J = 0, (15.165)
Щ+J+ib°*J = -f™> b°=t- <15166>
Первое слагаемое в уравнении (15.166) можно оценить как (A/v)(J/t) «
& (rs/t)J9 где A/v = rs — время изотропизации частиц. Анизотропия
функции распределения будет малым эффектом на временах t ^> rs, когда
рассмотренное слагаемое можно опустить. Из оставшегося уравнения находим
связь между плотностью потока и градиентом концентрации:
«||#0
Ja = -Kap^pN, где кц = кгг = «_l = — —,
Kq + Л
vA «|| Л До
«33 = -ТГ = «||, «12 = -«21 = «Я
(15.167)
3 П.— '- »п Л2+Л2'
Здесь ось с номером 3 направлена вдоль поля В0.
Тензор диффузии анизотропен из-за присутствия крупномасштабного
магнитного поля. Структура его такая же, как у тензора
электропроводности плазмы во внешнем магнитном поле (см. задачу 7.30). Недиагональные
компоненты к,н описывают эффект закручивания частиц внешним
магнитным полем (эффект Холла). При Во —> 0 (Ro —> ос) диффузия становится
изотропной: кар = «<5а/з, « = «_l = «ц = vA/З, «я = 0. При Ro <С Л
тензор становится сильно анизотропным:
(R \2 R
-£■) , «я~«ц-^, «^<«я<«||- (15.168)
При подстановке плотности тока (15.167) в уравнение непрерывности
(15.165) получаем в общем случае уравнение анизотропной диффузии:
^ = VaKaf3VpN. (15.169)
Пример 15.17. Для случая изотропной диффузии, кар = к5ар,
к = const, получить уравнение диффузии с учетом слагаемого (A/v)dJ/dt
в уравнении (15.166).
756
Глава 15
Решение. Дифференцируем равенство (15.165) по времени и
подставляем в него производную
(1) U± = ^{j + kVN).
Затем для исключения V- J используем снова (15.165) и получаем уравнение
диффузии со второй производной по времени:
f + A^=*AN. ,,,,70)
Обсуждение эффектов, которые описывает уточненное уравнение
диффузии (15.170), см. в задаче 15.39*.
Диффузия частиц в сильном магнитном поле. В естественных
условиях турбулентное магнитное поле как правило характеризуется очень
широким спектром масштабов. Например, в Галактике установлено
существование турбулентности, максимальный масштаб которой имеет порядок
величины 3 х 1020 см =100 пк, а минимальный по крайней мере на 10
порядков меньше. Поэтому во многих случаях условие До > Lc, которое мы
использовали выше, не выполняется. Более реалистичным является условие
Lc> R0 »/m, (15.171)
где lm — минимальный масштаб турбулентности, Д0 = ср/еВ0 — ларморов
радиус частицы в квазиоднородном магнитном поле. Мы произведем для
этого случая порядковые оценки компонент тензора диффузии. Более
строгое рассмотрение на основе усреднения кинетического уравнения можно
найти в книге Топтыгина (1983).
Если имеется непрерывный спектр масштабов турбулентных
пульсаций в указанном интервале (рис. 15.9), то мелкомасштабные (/ < Д0) и
крупномасштабные (I > Rq) магнитные неоднородности будут действовать
на частицу различным образом. Мелкомасштабные неоднородности будут
вызывать рассеяние частицы и формировать ее транспортный пробег вдоль
регулярного поля В о. Порядковую оценку этого пробега, Лц, можно
произвести по формуле (15.162), понимая в ней под Lp величину Д0, а под (б2) —
турбулентное поле, которое создается мелкомасштабной (Д0 ^ / ^ 1т)
частью спектра. Будем считать, что турбулентный спектр можно
аппроксимировать степенной зависимостью от волнового числа с показателем и:
(62>fc = (z,-l)(Bt2)^^, „>1, (15.172)
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 757
2е к
Рис. 15.9
где (В$) — полное турбулентное поле. Интегрируя (15.172) в пределах от
к0 до кт (к0 < кт), находим
Km
ко
(Ъ2) = (b2)kdk = (В2) 2£
v-\
и по формуле (15.162), заменяя в ней Lc на Ro, получаем
В% /До
(Б,2) \Lc
2-й
Lr,
(15.173)
Мы оценили пробег с точностью до неизвестного безразмерного множителя
порядка единицы. Более точное выражение и другие модели турбулентности
можно найти в [Топтыгин (1983)].
Качественное отличие (15.173) от (15.162) состоит в том, что в данном
случае пробег частиц зависит от формы спектра неоднородностей.
Зависимость от импульса вида Лц ~ p2~v, полученная выше, означает увеличение
пробега с ростом энергии при v < 2, постоянство пробега при v = 2
и уменьшение пробега с ростом энергии частицы при и > 2. Последний
случай, по-видимому, мало реалистичен из-за отсутствия турбулентности
с таким спектром. Продольный коэффициент диффузии выражается
обычной формулой яц = г>Лц/3. Напомним, что турбулентности Колмогорова-
758
Глава 15
Обухова соответствует и = 5/3, слабой МГД турбулентности и = 3/2.
Значение v = 2 реализуется, если турбулентность создается ударными волнами
и другими разрывами.
Поперечная диффузия в случайном крупномасштабном поле.
Обратимся теперь к выяснению роли крупномасштабных магнитных неоднород-
ностей. Поля с масштабами / > R0 частица воспринимает как
адиабатические и движется в таком поле с сохранением поперечного
адиабатического инварианта р2±/В = const (см. раздел 4.2). Ведущий центр частицы
движется в основном вдоль силовой линии с небольшими поперечными
дрейфами. Но силовая линия принадлежит результирующему
крупномасштабному поля, которое складывается из поля В о и крупномасштабного
турбулентного поля (обозначим его через В). Силовые линии из-за наличия
случайной составляющей поля будут иметь весьма сложную и запутанную
форму. В частности, две близкие силовые линии, выходящие из одной
области корреляции поля, через несколько длин корреляции могут существенно
разойтись (рис. 15:10). Этот эффект носит название «блуждание
магнитных силовых,линий». При В <С Во он слабо сказывается на продольном
(относительно В0) движении частиц, но может существенно увеличить их
поперечную диффузию.
В()4-В0
Рис. 15.10
Оценим по порядку величины коэффициент поперечной диффузии
частиц за счет блуждания силовых линий. Рассмотрим два случая.
а) Пусть Л у ^> Lc, частицы проходят область корреляции случайного
поля, почти не рассеиваясь. Поперечный путь в пределах области корреля-
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 759
ции (длина одного шага) l± « BtLc/B09 где Bt <C В0 — среднее значение
случайного поля (почти вся энергия случайного поля принадлежит
крупномасштабным гармоникам). За время t частица сделает N = |г>ц \t/Lc шагов.
При случайном блуждании путь AL±9 пройденный частицей в
поперечном направлении за время t, пропорционален корню квадратному из
числа шагов: AL± « l±N1/2. Отсюда находим (АЬ±)2 « ({В2) / Bl)Lc\v\\\t.
Сравнивая это выражение с х2 = 4K±t (см. задачу 15.38), находим к± «
((2?^)/2?o)LcN||- Это выражение еще следует усреднить по питч-углу.
Более точный расчет на основе кинетического уравнения дает
к± = ±vA±, A_l = v ' А l' Lc. (15.174)
3 ^ 2T{v/2-l/2)B2 V '
Во втором случае, Лц <C Lc, частицы диффундируют через область
корреляции. К сожалению, простую оценку поперечной диффузии,
аналогичную вышеприведенной, для этого случая произвести не удается,
имеется несколько возможностей. Поэтому приведем здесь только результаты
(см. [Быков и Топтыгин (1993)]). Если имеется слабая альвеновская
турбулентность (е = (B2)/Bq <С 1), причем vaLc > г>Лц, то для поперечного
коэффициента диффузии имеет место оценка
к±_ « €Яц. (15.175)
В интервале vaLc <С я у «С vaLc£~1 оценка меняется:
к± « €VaLc. (15.176)
Наконец, при кц ^> vaLc€~1 флуктуации можно считать
квазистатическими, и коэффициент поперечной диффузии становится пропорциональным
четвертой степени отношения случайного и регулярного полей:
к± «б2кц. (15.177)
Коэффициенты поперечной диффузии, вызванные блужданием
силовых линий, во многих случаях значительно превосходят коэффициент
к± « кц(7?о/Л||)2, обязанный эффекту рассеяния частиц
мелкомасштабными неоднородностями. Если крупномасштабное случайное поле имеет тот
же порядок величины, что и регулярное поле, то поперечный и продольный
коэффициенты диффузии тоже становятся величинами одного порядка и
диффузия приближается к изотропной.
760
Глава 15
Кинетическое уравнение в сильном магнитном поле. Если
регулярное магнитное поле настолько сильное, что период ларморовского
вращения быстрых частиц Т = 2тг£/есВ0 много меньше времени свободного
пробега т3 = Лц/v, то кинетическое уравнение записывают в
приближении ведущего центра (см. подраздел «Приближенные методы» раздела 4.2).
Такие частицы иногда называют «замагниченными». Функцию
распределения частиц нужно усреднить по вращению вокруг силовых линий
магнитного поля, в результате чего число ее аргументов уменьшится до шести:.
F(p±,P\\,r,t) р\\ = pcostf, р± = psintf, ft — угол между импульсом и
направлением магнитного поля (питч-угол). Приведем вид кинетического
уравнения для этого случая:
(15.178)
Здесь 5 — координата, отсчитываемая вдоль магнитной силовой линии;
слагаемые, содержащие р±, рц, описывают изменение компонент импульса,
вызванные медленным изменением крупномасштабного поля в
пространстве и во времени; оператор с производными по углу отражает рассеяние
частиц мелкомасштабными неоднородностями. Он представляет собой обоб-
щение оператора О , входящего в уравнение (15.161), причем 6S($) —
коэффициент диффузии по питч-углу. Наконец, последнее слагаемое в (15.178)
описывает поперечную диффузию, вызванную блужданием магнитных
силовых линий.
Если магнитное поле можно считать статическим, то энергия
частиц сохраняется, и производные по компонентам импульса в (15.178)
можно преобразовать путем использования адиабатического инварианта
p2L/B(s) = const (см. формулу (4.89)). Уравнение несколько упрощается
и принимает вид
(15.179)
Переход от этого уравнения к диффузионному приближению дает уравнение
анизотропной диффузии.
Учет электрического поля и изменение энергии частиц. В
предыдущем рассмотрении мы в большинстве случаев учитывали только магнитное
поле, считая среду неподвижной (и = 0). Учет электрических полей,
вызванных движением среды, приводит к изменению энергии частиц — их
ускорению или замедлению.
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 761
Пример 15.18. Получить уравнение диффузионного типа из
кинетического уравнения (15.159) с учетом движения среды. Считать скорость
и медленной функцией координат (и(г) слабо изменяется на масштабах
порядка Lc). Использовать представление функции распределения в
виде (15.163) и учесть малый параметр u/v < 1 с точностью до членов
второго порядка.
Решение. Повторяем вычисления примера 15.16, но учитываем
скорость и во втором порядке:
(1)
V - U\
1 +
и
■Л+3(и-"У
2v4
2v2
Получаем два уравнения:
at 9к
i
(2)
Зк
>.d2N
dp2
+
i+g)^
JJ , v2
+ Wv[UXb°]
+
dp
рЪр- +
1 +
<3> £f+J+£b°*J
_„ViV-^
pdN
з dp
u + —b0 x и
По сравнению с уравнениями (15.165), (15.166) добавилось значительное
число новых членов. В частности, уравнение неразрывности (2)
приобрело источник — правую часть. Это связано с изменением энергии частиц,
которое вьтзвано действием электрического поля. Поэтому число частиц с
заданной энергией теперь не остается постоянным.
Опустив снова первое слагаемое в уравнении (3), разрешаем это
уравнение относительно J и получаем плотность потока частиц с заданным
импульсом р:
Р dNn
Ja = -KapVpN
3 dp
(15.180)
Кроме диффузионного слагаемого, в токе присутствует конвекционный
член, пропорциональный и и возникающий из-за увлечения изотропизо-
ванных частиц движущимися магнитными неоднородностями. Другой
вывод конвекционного слагаемого см. в задаче 15.40.
При подстановке (15.180) в уравнение (2) все слагаемые,
пропорциональные и2, сокращаются, и остается относительно простое уравнение
переноса:
ON
8t
VaKapVpN - u • VW + ! 4г^ V • ti.
dp
(15.181)
762
Глава 15
Дополнительные (по сравнению с (15.169)) члены, содержащие и,
описывают конвективный перенос частиц и изменение их энергии.
Ускорение частиц мелкомасштабными электрическими полями.
Прежде, чем обсуждать физический смысл и свойства уравнения (15.181),
произведем еще некоторое обобщение. Мы рассматривали до сих пор
величину и как регулярную скорость среды, которая может быть функцией
координат и времени, слабо изменяющейся на масштабах Lc и на
временах Lc/v. В действительности наряду с переносом магнитных неоднород-
ностей общим крупномасштабным движением среды нередко происходит
их относительное движение. Оно может быть вызвано флуктуациями
общей скорости (солнечный или звездный ветры), либо законами эволюции
самого магнитного образования (МГД волны малой амплитуды,
вращательные разрывы, солитоны, слабые ударные волны и др.). Пространственные
масштабы флуктуации скорости будем считать не превышающими
транспортного пробега частиц Л.
Разброс скоростей магнитных неоднородностей эквивалентен
появлению хаотических мелкомасштабных электрических полей, изменяющих
энергию частиц (в уравнении (15.181) учтено только
крупномасштабное электрическое поле). Поскольку скорости магнитных образований
vph < и <С v, то на длине корреляции энергия частицы изменяется на
малую величину и эффект от ускорения проявляется на больших временах,
когда частицы уже изотропизованы. Чтобы последовательно учесть
эффект ускорения мелкомасштабными электрическими полями, нужно
включить эти поля в схему усреднения, которая привела к уравнению (15.159).
Чтобы избежать громоздких выкладок (их можно найти в книге
Топтыгина (1983)), произведем здесь полуколичественную порядковую оценку
эффекта.
Общий вид уравнения, учитывающего эффект ускорения
хаотическими электрическими полями, можно установить на основе общефизических
соображений. Случайные изменения импульсов частиц под действием
слабых электрических полей приводят к диффузии частиц в импульсном
пространстве. Этот эффект можно описать оператором такого же вида, каким
в уравнении (15.181) описывается диффузия в обычном пространстве. Но
ввиду изотропизации частиц достаточно оставить только производные,
действующие на абсолютную величину импульса:
VaKa0V(iN->±£pD(p)^L. (15.182)
Здесь через D(p) обозначен коэффициент диффузии в пространстве
импульсов. Его можно оценить следующим образом.
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 763
Оценка времени ускорения. Отвлечемся на время от регулярного
движения среды и будем считать скорость и случайной величиной: (и) = 0.
Частота столкновений частицы с магнитными неоднородностями (обратное
время рассеяния) и3 = 1/т3 = v/A. Эта величина обусловлена
случайной магнитной силой &ш = (e/c)[v x b] и пропорциональна ее квадрату,
vs ос (<^™), так как первая степень силы обращается в нуль при усреднении:.
Случайная электрическая сила &е = -(e/c)[u x (В0 + 6)] тоже
обращается в нуль при усреднении, {&е) — 0. Это объясняется тем, что в
неподвижной в целом плазменной среде не может быть
крупномасштабного электрического поля. Поэтому частота ускорения частиц будет
пропорциональна квадрату &е\ иа ос (&%). Соответственно, время ускорения
та = 1/va обратно пропорционально среднему квадрату силы. В итоге
можно записать по порядку величины
_ (П) ..„{»')Bg + t,'
"■•"^"лц—р— <15ЛИ)
При наличии общего регулярного движения вместо (и2) в формулу
войдет случайная составляющая скорости, (Дп2) = (и2) — (и)2. Коэффициент
диффузии связан с частотой ускорения va соотношением va « D/p2, что
приводит к оценке
, ч (Аи2)р2 В2 + Ъ2
Если среда представляет собой плазменные «облака», движущиеся в более
разреженной плазме, так что Bq < 6, то D(p) « (Au2)p2/vA(p). В случае
МГД волн малой амплитуды b <C В0, а скорость плазмы и « vphb/Bo,
что дает D(p) « v2hp2/vA. Здесь скорость возмущения vph определяется
скоростью Альвена va и скоростью звука с3. Особого рассмотрения требует
случай, когда возмущение создается сильной ударной волной (см. ниже).
Уравнение переноса, учитывающее эффект ускорения частиц
слабыми хаотическими электрическими полями, получается путем добавления в
правую часть (15.181) слагаемого (15.182):
§ = VaKaPV0N-uo.VN + lfv.uo + ±lD(P)fAl5AS5)
где мы обозначили регулярную скорость среды через и0. Это уравнение
позволяет описать диффузию частиц в пространстве, их конвективный
перенос, а также изменение их энергии за счет регулярного движения среды
и вследствие действия мелкомасштабных электрических полей.
764
Глава 15
Общие свойства уравнения переноса. Источник энергии. Для
анализа общих свойств удобно переписать уравнение (15.185) в такой форме,
чтобы в него входила дивергенция плотности потока частиц в шестимерном
фазовом пространстве:
f + V-J+^|^ = °- (15Л86)
Здесь J — плотность потока частиц с заданной энергией в координатном
пространстве, определенная формулой (15.180), а
Р
3
Sp = %u0-VN (15.187)
— проекция плотности потока частиц в импульсном пространстве на
направление р. Проекции этого потока на другие оси отсутствуют, так как частицы
изотропизованы. Последнее слагаемое в левой части (15.186) представляет
собой дивергенцию плотности потока S.
Проинтегрировав (15.186) по p2dp, получим уравнение неразрывности
в координатном пространстве:
^T + V-j = 0, (15.188)
где n(r, t) = /0°° N(r, р, t)p2dp — концентрация частиц со всеми энергиями,
j (r, t) = J0°° J(r,p, t)p2dp — полная плотность потока частиц.
Проинтегрировав (15.186) по Sp2dp, получим уравнение баланса
энергии:
^ + V.g = Q(r,*). (15.189)
Здесь
оо
w(r,t)= /g(p)N(r,p,t)p2dp = ~gn(r,t) (15.190)
о
— плотность энергии релятивистских частиц,
оо
q(r,t) = JvS(p)F(r,p,t)d3p = Jg(p)J(r,p,t)p2dp (15.191)
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 765
— плотность потока энергии. Последняя состоит из плотности
диффузионного потока
оо
qW = -Jg(p)KapVpN(r,p,t)p2dp (15.192)
пот
(с) = (w + P)uq. (15.193)
о
и плотности конвекционного потока
Величина
оо
P(r,t) = i f pvN{r,p,t)p2dp (15.194)
о
представляет собой давление газа быстрых (возможно, релятивистских)
частиц. В нерелятивистском случае v = р/т, и (15.194) можно выразить через
среднее значение кинетической энергии К = р2 /2га частиц: Р = (2/3) if п.
В частности^сли газ частиц находится в состоянии статистического
равновесия, то К = (3/2)Т, где Т — температура, и получаем известное
выражение Р =_пТ. В сильно релятивистском случае pv « рс « ё и
давление Р = ёп/39 что совпадает с давлением газа фотонов, если под ё
понимать энергию фотона (см. задачу 6.27). Плотность конвекционного
потока (15.193) можно записать в виде
q^=h{r,t)u0, где h = w + P (15.195)
— плотность энтальпии газа быстрых частиц. Это согласуется с
общим выражением для потока энергии в механике сплошных сред (см.
[Ландау и Лифшиц, Гидродинамика]). Мы предполагаем, разумеется, что
функция распределения энергичных частиц достаточно быстро убывает при
больших импульсах, так что все интегралы сходятся и все энергетические
величины конечны.
Величина Q(r,t) в правой части (15.189) имеет смысл плотности
источника энергии. Она состоит из двух слагаемых, которые интегрированием
по частям можно привести к следующему виду:
оо
Q(r,t) = и0 • VP + /N{r,p,t)j- (vp2D(p))dp. (15.196)
о
Первое слагаемое знакопеременно, оно зависит от угла между скоростью
крупномасштабного движения и градиентом давления быстрых частиц.
Второе слагаемое всегда неотрицательно, так как N ^ 0 и d(vp2D(p))/dp > 0.
766
Глава 15
Последнее неравенство следует из формулы (15.184): D(p) ~ p2/vA(p),
а А(р) нарастает не быстрее, чем р2 (см. (15.162)). Поэтому произведение
vp2D(p) ~ ра, где а ^ 2, и интересующая нас производная положительна.
Пример 15.19. Некоторое облако быстрых частиц в начальный
момент времени занимало ограниченный объем. Получить и
интерпретировать изменение dE/dt полной энергии частиц. В среде имеются
мелкомасштабные электрические поля и происходит крупномасштабное движение
с неоднородной скоростью и(г).
Решение. Интегрируем обе части уравнения (15.189) по всему
пространству и находим соотношение
dE_
dt
оо
[P(r,t)V-ud3r+ f d3r IN(r,p,t)j-(vp2D(p))dp. (15.197)
Первое слагаемое в правой части содержит под интегралом дивергенцию
крупномасштабной скорости, которая характеризует локальное расширение
или сжатие среды: diva > 0 — расширение, divti < 0 — сжатие. В этом
можно убедиться, проследив за малым макроскопическим элементом массы
М = pV движущейся среды. В процессе движения М = const, dM/dt = 0,
откуда следует (l/V)dV/dt = — {\/p)dp/dt. Далее используем уравнение
непрерывности для среды и получим dp/dt = dp/dt + и • Vp = —pV • и,
(l/V)dV/dt = V-u.
Таким образом, первое слагаемое в (15.197) описывает увеличение
энергии частиц (ускорение) при сжатии среды и замедление частиц при
расширении среды. Эффект имеет ту же природу, что и изменение температуры
идеального газа при адиабатическом изменении объема сосуда: газ
охлаждается при расширении сосуда и нагревается при сжатии. В рассматриваемом
случае адиабатическое изменение энергии частиц происходит за счет их
взаимодействия с макроскопическими возбуждениями среды (магнитными
неоднородностями).
Второе слагаемое в уравнении (15.197) описывает ускорение частиц за
счет хаотических электрических полей (на другом языке — за счет
столкновений с беспорядочно движущимися магнитными неоднородностями).
Последние, будучи макроскопическими объектами, даже при малых скоростях
из-за своей большой массы имеют энергию, намного превышающую
энергию быстрой частицы. В процессе взаимодействия двух подсистем (частиц
и неоднородностей) происходит выравнивание их температур, т. е.
увеличение энергии частиц. Впервые модель ускорения частиц при их
столкновениях с намагниченными облаками космической плазмы использовал для
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 767
объяснения высокой энергии космических лучей выдающийся итальянский
физик Э. Ферми (1949). ■
Подчеркнем еще раз, что все уравнения, которые были выведены
выше, описывают распространение и ускорение только быстрых частиц, т. е.
тех частиц среды, энергия которых в Силу случайных неравновесных
процессов оказалась в несколько раз больше средней энергии, приходящейся
на одну частицу. Доля таких частиц весьма мала. В равновесных средах,
в которых частицы подчиняются распределению Максвелла, доля частиц с
энергиями заметно выше средней экспоненциально мала, и в таких средах
ускоренные частицы не возникают. Но в неравновесных средах доля надтеп-
ловых частиц становится заметной, и эти частицы могут инжектироваться
в ускорительный процесс.
Нужно отметить, что вопрос об инжекции частиц в тот или иной
ускорительный механизм очень сложен и до сих пор не решен. Поэтому в
большинстве случаев невозможно теоретически определить, какая доля частиц
ускоряется в той или иной ситуации, и мы не будем заниматься здесь этим
вопросом. В разных диапазонах энергии частиц могут действовать
различные ускорительные механизмы, и результирующий процесс ускорения
может быть многоступенчатым.
Ускорение частиц вблизи
ударного фронта. Мы рассмотрим здесь
процесс ускорения частиц вблизи МГД
ударного фронта, который в настоящее время
рассматривается большинством
исследователей как наиболее перспективный для
объяснения происхождения основного
количества релятивистских ускоренных
частиц в нашей звездной системе —
Галактике. Увеличение энергии частиц
вблизи фронта вызвано двумя необходимыми
условиями: наличием турбулентных
магнитных полей (магнитных неоднородно-
стей), которые вызывают случайные
блуждания частиц, и наличием потока
рассеивающих центров, скорость которого
испытывает скачок (замедление) на ударном
фронте (рис. 15.11). В результате действия
этих двух факторов частицы в окрестности фронта оказываются между
двумя сближающимися стенками. Стенки реализуются потоками магнитных
Ударный фронт
Рис. 15.11
768
Глава 15
неоднородностей и имеют эффективную толщину порядка Л —
транспортного пробега частиц. Чем большее число раз частица пересечет фронт, тем
большую энергию она наберет в столкновениях с магнитными неоднород-
ностями. Но рано или поздно любая частица сносится потоком вещества за
фронт. Источником для увеличения энергии частиц служит
газодинамическая энергия вещества, в котором возбуждена ударная волна.
Сделаем количественную оценку. Применим уравнение (15.197) к
плоскому ударному фронту, пренебрегая турбулентным ускорением (т. е. вторым
слагаемым). В одномерном случае на ударном фронте
V • и = |^ = -(т - u2)5(z) = -Au6{z), (15.198)
поэтому из (15.197) получаем прирост энергии частиц вблизи фронта
^ = AuP(0,t) >0. (15.199)
Однако, ситуация становится более сложной в трехмерном случае, так как
за ударным фронтом, на котором всегда происходит сжатие вещества, может
следовать волна разрежения, в которой Vu > 0. Баланс энергии принимает
вид
^-=AunP{r,t)\s- f P{r,t)V-ud3r, (15.200)
где первое положительное слагаемое соответствует ускорению на фронте,
а второе слагаемое — адиабатическому замедлению частиц в волне
разрежения. Результирующий эффект будет определяться суммарным действием
обоих процессов.
Пример 15.20. На плоском стационарном ударном фронте
реализуется источник Q = Qo5(z)5(p—po)/pQ, инжектирующий частицы в режим
ускорения ударной волной. Среда в окрестности фронта однородна.
Вычислить энергетический спектр ускоренных частиц и их распределение в
пространстве, пренебрегая турбулентным ускорением. Рассмотреть
случаи релятивистских и нерелятивистских частиц.
Решение. Пишем единое уравнение (15.185) для областей перед и за
фронтом:
д^кЖ -u^ + 3^Tz + ri6{z)6{p~Po) = а (15'201)
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 769
Здесь функция распределения N должна быть непрерывна на фронте,
Nx = N2, * = 0, (15.202)
а производные dN/dz всюду конечны. Но вторые производные имеют дель-
таобразную особенность. Чтобы найти второе граничное условие,
проинтегрируем обе части уравнения по малому интервалу Дг в окрестности
фронта. Получим
0N2 dNx PdNA ^Qoc, ч n n п*-н\1\
K2^z--Kl^z--3^Au+^6{p-po) = °' * = 0' (15-203)
где через N обозначено общее значение функций распределения на фронте.
В отсутствие источника полученное равенство выражает непрерывность
потока частиц (15.180) на фронте. При наличии источника поток испытывает
скачок.
Вне фронта уравнение (15.201) принимает вид
<92iVi 2 dNi 2
«1,2-^ " "1,2-^ = 0 (15.204)
dz2 oz
и имеет решение
Nh2(z,p) = А1>2(р)ехр №j) + Dlt2(p). (15.205)
Для определения величин Л, D используем граничные условия (15.202),
(15.203) на фронте и граничные условия на бесконечности: при z —> оо
функция распределения ограничена, а при z —> — оо она должна обращаться
в нуль, так как все частицы сносятся потоком магнитных неоднородностей
за фронт. Из условий на бесконечности находим
N1(z,p) = A1(p)exp(jg), N2(p) = D2(p), (15.206)
а из условия на фронте, учитывая, что Ai(p) = D2(p) и решая простое
дифференциальное уравнение первого порядка, получаем
N2(p) = ^ (f) в(р-ро), tfi(*,p) = JV2(p)e"^. (15.207)
Переход к интенсивности 1(Т) потока частиц, приходящегося на
единицу площади, на один стерадиан и на единичный интервал кинетической
энергии Т = § — тс2 осуществляется по формуле
I{T)dT = vNp2dp = Np2dT. (15.208)
770
Глава 15
В области за фронтом получаем
Т2+2тс2Т0\ а + 2 п щ р2
Т2+2тс2т) ' ГД6 7=^1' а=^ = р-г-
(15.209)
Последняя величина — относительное сжатие вещества в ударной волне.
Если частицы ультрарелятивистские (Г > тс2, То > тс2), то спектр
принимает простой вид
т=^±(^)\ g>gQm (15.210)
Аи \g ,
Для нерелятивистскйх частиц (Т, То «С гас2)
m = 3Qo(T±y'\ Т>п_ (15>2П)
Аи \Т,
Если же начальная энергия нерелятивистская (Т0 <С тс2), а конечная —
релятивистская (Т 3> тс2), то спектр принимает вид
■
Отметим характерные особенности ускорения частиц ударной волной.
1. Спектр в рассмотренном одномерном случае при релятивистских
энергиях имеет степенную форму с показателем 7, зависящим только от
силы ударной волны, которая определяется относительным сжатием а
вещества на фронте. При а = 4 (предельно сильная адиабатическая волна)
7 = 2. Наблюдаемому у галактических космических лучей в широком
диапазоне энергий 10 ^ 8 ^ 106 ГэВ значению 7 ~ 2.7 соответствует а « 2.8.
При нерелятивистских энергиях показатель спектра вдвое меньше.
Показатель спектра не зависит от свойств турбулентности в окрестности фронта.
2. Пространственная неоднородность в распределении быстрых частиц
характеризуется масштабом
где Л — транспортный пробег частиц в направлении нормали к фронту.
Этот масштаб для быстрых частиц, v > u\, намного превосходит
транспортный пробег Л. Масштаб L задает то расстояние, на которое частицы,
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 771
побывавшие на фронте, могут возвращаться обратно вверх по потоку.
Частицы из слоя толщиной L многократно пересекают фронт. Среднее число
пересечений порядка v/u\.
3. Реальные ударные фронты имеют конечную протяженность и
существуют конечное время. Интервал энергий, для которого успевает
установиться степенной спектр, зависит от времени существования ударной
волны, размера фронта, рассеивающих свойств среды (коэффициентов
диффузии к\, K2). В частности, ускорение выключается для частиц
достаточно высоких энергий, для которых транспортный пробег Ai приближается
к характерному размеру фронта. По оценкам разных авторов, одиночный
ударный фронт от взрыва сверхновой может ускорить протоны до энергий
порядка 104 - 106 ГэВ.
4. В случае предельно сильной ударной волны, а = 4, показатель
спектра ускоренных частиц 7 — 2, и плотность энергии ускоренных частиц,
w = fgmax SI{S)dS ~ \п§шах расходится логарифмически на верхнем
пределе. Это свидетельствует о том, что переданная ускоренным
частицам энергия может составить значительную долю от полной механической
энергии ударной волны. В этом случае задачу об ускорении частиц следует
решать самосогласованно, учитывая отбор энергии частицами от ударной
волны и его влияние на структуру ударного фронта.
Ускорение при крупномасштабном стохастическом движении
среды. Вернемся к уравнению переноса (15.185). Последнее слагаемое в нем
описывает эффект ускорения частиц стохастическими движениями среды
в масштабах, не превышающих транспортного пробега Л. Но случайные
движения могут иметь намного большие масштабы, Lq ^> Л. Как
правило, крупномасштабные движения обладают большей энергией. Поэтому
следует обобщить уравнение (15.185) на случай крупномасштабных
стохастических движений. Для простоты дальнейшее рассмотрение произведем
в предположении изотропии (кар — к5ар) и статистической однородности
среды.
Перепишем уравнение (15.185) в виде
^kAF-u-VF + I^V-u, (15.214)
где мы переобозначили функцию распределения через F и опустили за
малостью эффект ускорения мелкомасштабными движениями. Считаем здесь
772
Глава 15
и крупномасштабной стохастической величиной:
(и)=0, но {ua(r1,t1)up(r2,t2)) = (15.215)
Ка@(к, т) exp(ik • г) d3k ^ О, г = Г\ - r2, т = t\ - t2.
/■
В статистически однородной и изотропной среде спектральный тензор
скоростей Кар имеет вид
Кар(к, г) = А(к, т)6аР + В(к, т)какр/к2. (15.216)
Если среда сжимаема, то V • и ф 0 и
А{к,т) + В{к,т) ф0, (15.217)
в противном случае эффект ускорения будет отсутствовать в рассматриваем
приближении.
При усреднении уравнения (15.214) нужно различать два случая:
те, <С тс и Td > тс, где Td ~ L\Jk — время диффузионного
распространения частиц на расстояние порядка основного масштаба турбулентности,
тс « Lo/n — время их конвективного переноса на то же расстояние.
Случай
Td/Tc « L0u/Av < 1. (15.218)
Метод усреднения такой же, как при получении уравнения (15.159).
Записываем
F = N + f, N=(F), |/| «TV, </) = 0, (15.219)
где / — малая случайно-неоднородная добавка к усредненной функции
распределения N. Из (15.214) получаем два уравнения:
M=ka^-(„.V/> + |^(/V-u>, (15.220)
gf-^-ffifiv.* 05.22,,
В последнем уравнении оставлены только первые порядки малых членов.
Записываем его решение через функцию Грина:
/= [G(q,q>)V-u(q'W^, G(q,q')= \ exp
J 6 OP U-kkt)3'2
.А 2
(Г-Г7)
Акт
(15.222)
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 773
где q = (г, t), т = t — t'. Величину dN/др пишем вне интеграла, так как
после усреднения ее изменение на длине Lq мало. По порядку величины
/ « NLou/vA, и условие |/| <С iV выполнено.
Слагаемое (и • V/) в (15.220) преобразуем путем интегрирования по
частям, пользуясь тем, что величины G(q, q') и (иаи'д) зависят от разностей
г-г', t- t'\
(u.Vf) = -JG(q,q')((V.u)(V.u'))dqf^.
В результате последние два слагаемых в (15.220) приводятся к виду
где коэффициент диффузии по импульсам
D(p) = у /(V • u(q) V • u(q'))G(q, q')dq'. (15.223)
Уравнение (15.220) принимает окончательный вид уравнения диффузии
в пространстве координат и в пространстве импульсов:
a-i = ^N+H/D{r)t- (,5224)
коэффициент диффузии по импульсам с помощью формул (15.216)—(15.217)
может быть представлен в виде интеграла по турбулентному спектру
оо
D = ^ / k2d3k f[A(k, т) + В(к, т)]е-к2кЧт. (15.225)
о
Время корреляции скоростей в масштабе к~1 можно оценить как
Тк ~ (ukk)-1, где Uk — значение скорости в масштабе к~г. При
степенном спектре Uk ~ и(ко/к)^~г^29 где v — показатель спектра, и — скорость
в основном масштабе Lq ~ к^1. При выполнении условия (15.218)
корреляционное время Tfc велико по сравнению с временем распространения частиц
(к2к)-1 для всех масштабов вплоть до Lo- Поэтому в интеграле (15.225)
в функциях А(к,т), В(к,т) можно положить т = 0. В итоге интеграл по
dr легко вычисляется, и коэффициент диффузии приводится к виду
D(p) = ^ J[A(k, 0) + В(к, 0)}d3k = -^-, (15.226)
774
Глава 15
где через (u\f) обозначен интеграл, по порядку величины равный (и2). Как
видно, общая структура коэффициента диффузии близка к той, что
дается формулой (15.184). Но в данном случае эффект ускорения значительно
больше, так как крупномасштабная скорость (и^*) намного превосходит
мелкомасштабную величину (Д?х2).
Случай Td/rc « Lou/Av ^> 1. Основную роль в пространственной
диффузии частиц и их ускорении играет стохастическая конвекция. Расчет
несколько усложняется (его можно найти в [Быков и Топтыгин (1993)]), но
окончательное уравнение имеет прежнюю форму (15.224), если прирост
энергии частицы на корреляционной длине составляет малую долю ее
кинетической энергии. Коэффициенты диффузии по порядку величины имеют
значения
где тс ~ Ьо /и — время конвекции.
Кроме изложенных выше, имеется большое число других процессов
ускорения частиц в плазменных средах. Здесь были рассмотрены лишь те
из них, которые, по-видимому, могут обеспечить наиболее высокие энергии
ускоренных частиц и объяснить происхождение большей части энергичных
частиц (космических лучей), наблюдаемых в Галактике.
Рекомендуемая литература: [Гинзбург и Сыроватский (1963); Топтыгин
(1983); Березинский и др. (1990); Антонова и др. (1988); Бережко и др.
(1988); Тверской (2004].
Задачи
15.37. Быстрые частицы распределены однородно в пространстве с
однородным магнитным полем Bq и случайными магнитными неоднород-
ностями. Их функция распределения в начальный момент t = 0 известна:
F(0, ф, 0) = F0(6, ф), где 0, ф — углы, определяющие направление импульса
в сферической системе координат. Пользуясь уравнением (15.161),
вычислить функцию распределения при t > 0. Найти время изотропизации rs, за
которое анизотропная часть функции распределения уменьшится в е раз.
15.38. Найти решение уравнения анизотропной диффузии (15.169)
для мгновенного точечного источника частиц, Q{r,t) = S(r)6(t).
Вычислить средние размеры облака частиц в трех направлениях для моментов
времени t > 0.
15.4. Ускорение частиц в турбулентных плазменных средах 775
15.39*. Построить функцию Грина уравнения диффузии (15.170) со
второй производной по времени для безграничного трехмерного
пространства. Проанализировать физический смысл полученного решения, сравнить
его с решением для обычного уравнения диффузии, содержащего лишь
первую производную по времени.
15.40. Пусть среда с магнитными неоднородностями движется со
скоростью и. Быстрые частицы в системе покоя среды описываются
изотропной функцией распределения F0 = N(po)/4tt. Вычислить плотность
потока частиц с заданным р в лабораторной системе.
15.41. Замагниченные частицы распространяются от точечного
стационарного источника вдоль магнитной силовой линии в сторону убывания
крупномасштабного поля, испытывая при этом рассеяние магнитными
неоднородностями. Используя кинетическое уравнение (15.179), исследовать их
функцию распределения в зависимости от питч-угла д и расстояния 5 вдоль
силовой линии. Ограничиться случаем малоуглового приближения.
Сравнить результат с рассеянием частиц в однородной среде (задача 15.7*).
15.42. Релятивистские частицы (v « с) инжектированы в режим
ускорения мелкомасштабными случайными электрическими полями.
Использовав уравнение (15.181) для пространственно однородного случая
(VpN = 0, по = 0), вычислить функцию распределения при
произвольных L Найти среднее значение импульса p(t). Начальное условие: N(p, 0) =
= NqS(p — po)/pq, po — импульс инжекции. Транспортный пробег дается
формулой (15.162).
15.43*. Сделать то же самое для случая, когда А(р) = const. Решение
искать в виде
N(p, t) = ЛГ0(рроГ3/2е-9г/4/Ог, т), где
а; = 1п^'т = ^'Та = Щ=С0П8*-
15.44. Пусть в случае, рассмотренном в предыдущей задаче,
электрические поля выключаются через конечное время из-за затухания
турбулентности. Этот процесс можно описать, предположив, что коэффициент
диффузии D(p,t) зависит от времени, причем D —> 0 при t —> оо. Найти
спектр ускоренных частиц после затухания турбулентности.
15.45. Релятивистские частицы ускоряются в области конечных
размеров, в которой существует стационарная турбулентность,
обеспечивающая транспортный пробег частиц Л = const. Инжекция в режим
ускорения происходит однородно по всей области, источник ускоряемых частиц
776
Глава 15
Q(p) — Qo$(p — Po)/Po- Вычислить стационарный спектр ускоренных
частиц. Уход частиц из области ускорения учесть в приближении времени
релаксации, добавив в уравнение слагаемое вида N/rd с нужным знаком,
где Td — среднее время пребывания частицы в области ускорения (порядка
времени диффузии через эту область).
15.46. Решить предыдущую задачу для сферической области
радиуса а. Вычислить время релаксации Td из граничных условий. Искать
сферически симметричное решение, зависящее от г и р. Во внешней
области ускорение отсутствует, а коэффициент диффузии к, = const в обычном
пространстве такой же, как и в области ускорения.
15.47*. В однородной среде происходит турбулентное
ускорение частиц с коэффициентом диффузии по импульсам вида D(p,t) =
— {p/Po)aDo(t), а ф 2, где D0(t) —> 0 при t —> ос. Частицы
инжектируются в режим ускорения с импульсом ро- Вычислить энергетический
спектр ускоренных частиц после затухания турбулентности.
15.48. На плоском стационарном ударном фронте (см. пример 15.20)
отсутствует инжекция частиц, но в набегающем на фронт потоке вещества
имеются быстрые частицы с функцией распределения по импульсам N0(q).
Вычислить спектр ускоренных частиц в окрестности фронта.
15.49*. Рассмотреть ускорение частиц стационарным сферически
симметричным ударным фронтом, на котором происходит переход от
сверхзвукового к дозвуковому звездному ветру. Принять следующую модель
звездного ветра:
к = к\ = const, и = и\ = const при г < го;
« = «2(0» и = и2(^-) При Г > Г0.
Фронт ударной волны расположен при г = го и характеризуется скачком
скорости Аи = их — u2 > 0. В дозвуковой области г > го скорость среды
убывает пропорционально г-2, что соответствует расширению с
постоянной плотностью. Источники частиц, инжектируемых в режим ускорения,
задать в виде Q{r,p) = (<2о/47гГоРо)<5(р - Р))6(г - г0). Вычислить спектр
ускоренных частиц по импульсам и их распределение в пространстве6.
63вездными ветрами обладает большинство наиболее активных звезд, у которых и\ «
« (2 -г- 3) х 108 см/с, го ~ 3 ч-10 пк « 1019 -i-3x 1020 см. В солнечном ветре эти параметры
намного скромнее: и\ « 4 х 107 см/с, го « 1015 см (последняя величина еще окончательно
не установлена).
15.5. Ответы и решения
777
15.5. Ответы и решения
15.1.
da(0)
<№
Ze2\2(l-/?Wfl/2)
2^ ) sin4 0/2
Это выражение без множителя (1 — /?2 sin2 0/2) совпадает с формулой Ре-
зерфорда (см. задачу 4.67). Множитель дает релятивистскую спиновую
поправку.
15.2.
da(0)
dn
2pv
В приближении малых углов
d°(0) _ (2Ze2
dtt
(l-/?2sin2(fl/2))
(sin2 в/2 + h2/4p2R2)2
в0 = h/pR.
\ PV ) (02+02)
2\2 '
15.3.
do
2тге4
dje
m2ec2v2 (7e - l)2
1-0
,2 7e ~ 1
7m - 1
+
ra2c4
~2S2
(7e " l)2
Здесь 7e — релятивистский фактор электрона отдачи, 7m — его
максимальное значение, v и £ — скорость и полная релятивистская энергия
налетающей частицы.
15.4.
da
2тге4 dje
(7 - 1)27:
2^2
272 + 27-1
тУ 72 " 1 I (7е - 1)2(7 " 7е)2 (7 - 1)(7 " 7е)
+ 1
Здесь 7 — релятивистский фактор быстрого электрона, 7е и 7 — 7е + 1 —
релятивистские факторы двух неразличимых электронов после столкновения.
Процесс описывается двумя диаграммами Фейнмана (рис. 15.12).
15.5.
ds
dz
7е>70
7/2
// i\ 2 j 27Ге47
(7е - \)те<гахг =
27ге4пе
2~
70
In
7 9
4(7о - 1) + 8
778
Глава 15
Pi \ ft Р\ \ Р\
Pi ] ( Pi Pi
Рис. 15.12
15.6.
czv \ nz(uj)vz I nz{uj)vsm6uw
15.7. Функция распределения удовлетворяет уравнению диффузии по
углам
(1) »L = i(W + *f\
и граничному условию f(&x,&y,z)\z=o = 6(,вх)6('ву) (нормировка на
единицу). Уравнение диффузии рассматривалось в примере 10.6, и его решение
можно записать по аналогии:
tf2 + tf2 )
(2) f^x^z) = ^exp^^-± ,
f(0x,#y,z) = ^expi-
откуда
(3) Щг) = qz
(интегрируем в бесконечных пределах ввиду быстрой сходимости
интеграла). Из условия #2(/) « 1 находим длину изотропизации: I & q~l. Длина
замедления L оценивается из формул (15.17), (15.18) как
(4) L«^-, где Т = 8-тг
— кинетическая энергия, причем dS/dz = dT/dz. Отношение длин
I _ dT/dz _ {pvf
(5)
qT ZTmev2'
если опустить отношение логарифмических множителей, считая их
порядка единицы. В нерелятивистском случае имеем l/L « T/Zmev2 w m/Zme,
где т — масса быстрой частицы. Тяжелые частицы замедляются, почти не
15.5. Ответы и решения
779
рассеиваясь, даже в веществе с большим Z. У нерелятивистского электрона
длина изотропизации в Z раз меньше, чем длина замедления. В
ультрарелятивистском случае имеем l/L « T/Zmec2, т.е. тяжелые частицы опять
замедляются почти не рассеиваясь.
15.8.
/ =
12
7r2q2z*
ехр
Зр2 Зр • tf
tt+^V-
p2(z) =
qz°
\z42(z).
15.9. Пусть ультрарелятивистский электрон испускает тормозной
квант во внешнем статическом поле, которое характеризуется
потенциальной энергией U(r). Будем учитывать по теории возмущений как
взаимодействие электрона с внешним полем, так и его взаимодействие с
квантованным полем излучения. Вероятность процесса должна вычисляться по
теории возмущений второго порядка с промежуточными состояниями (см.
пример 6.18).
Рис. 15.13
Фейнмановские диаграммы тормозного излучения отличаются от
диаграмм эффекта Комптона заменой линии начального кванта на линию
внешнего поля (штриховая линия на рис. 15.13; импульс hq передается
внешнему полю). Производим вычисления по той же схеме, которая
использовалась при рассмотрении комптон-эффекта. Вероятность перехода в
единицу времени, соответствующая диаграммам рис. 15.13, дается
выражением (ср. с формулой (1) из примера 6.18)
dwfi
а)
2тг
h
у Uf\V\l)(l\U\i) | (f\U\l)(l\V\i)
(i ~ e
х5(е{ - ef)
Vk2dk<mk 2
(2*)» Р dpdn"-
780
Глава 15
Здесь V — оператор (6.126) взаимодействия релятивистского электрона с
квантованным электромагнитным полем, U = U(r) — потенциальная
энергия электрона во внешнем поле. В вершине с испусканием фотона импульс
сохраняется, так как все частицы описываются плоскими волнами. В
вершине с внешним полем импульс электрона не сохраняется, внешнему полю
передается импульс hq. Энергия начального состояния — это энергия
электрона, кванты отсутствуют:
(2) €i = g{p0) = ^с2р20 + тес*.
В конечном состоянии имеется электрон с положительной энергией и
испущенный фотон:
(3) ef = 8(р) + hw = у/с2р2 + гаес4 + hv.
Энергия промежуточного состояния е[ соответствует диаграмме 1. В этом
состоянии имеется только электрон с неопределенным знаком энергии:
(4) е[ = gx(pf) = ±у/с2р'2+тес\ p'=p+hk, €<-б{ = 8(ро)-«х(р'\
где индекс Л, как и в примере 6.18, нумерует два знака энергии и два
спиновых состояния для каждого биспинора, описывающего промежуточные
состояния электрона.
Диаграмме 2 соответствует энергия промежуточного состояния е", в
котором имеются электрон и испущенный фотон:
€{' = /*; + 8х{р") = hw± ^/с2р"2 + тес\ р" = р0 - hk,
ег-е[; = 8(р)-8х(р;;)-^.
Число квантовых состояний в формуле (1) записано как произведение
величин, относящихся к фотону и к электрону, причем биспиноры нормированы
на дельта-функцию от импульса.
Матричные элементы в (1) имеют вид
(6)
где Uq = U(r) exp(iq • r)d
(7) hq = Po-p- fife,
15.5. Ответы и решения
781
(8)
(fW\l)
(l\V\i) = -ек
12тг fie2
Vlo
(и\а- е*\и'х)д(р' -р- hk),
l2nhc2
Vuj
(u'{\a-e*\u0)6(p"-p0 + hk).
При такой записи матричных элементов сумма по / в (1) должна включать
суммирование по четырем значениям Л и интегрирование по
промежуточным импульсам р', р" электрона.
Дальнейший расчет, включающий также суммирование по
поляризациям частиц в конечном состоянии и усреднение по начальным состояниям
электрона, производится так же, как в примере 6.18. Алгебраические
выкладки достаточно трудоемки, но каждый читатель получит полезный навык
вычислений, если произведет их. Подробности вычислений можно найти в
книге Гайтлера (1956) и особенно у Мак-Коннела (1962). Приведем
значение сечения, проинтегрированного по углам вылета кванта и вторичного
электрона, для неэкранированного кулоновского поля ядра U(r) = -Ze2/r:
dar(u) = Z2ar2^fQ
3 с2р2р2 \Ро P
РоР
(9)
+
&§q8
+
где
(10) L = 21n
Зс2р0р
m2ec2hu; f g0g + c2pl
ZpoP у c3pl
g0g+c2p0p-m2ec4
| (M2(^2 + cW),
c6pIp3
S0S + c2p2J 2hwg0^
h 7-5 1 +
c3p3
4 2 2
с PoP
mec2hw
/0 = 2 In
gp+cpo
,c2 '
/ = 21n
m.
S+cp
mec2
Это выражение для сечения справедливо при любых значениях энергий
электрона и кванта, допускаемых законом сохранения.
15.11. Определим из уравнений Максвелла монохроматические
компоненты электромагнитного поля частицы, движущейся с постоянной
скоростью v = const, в цилиндрической системе координат:
(1)
7ГСГ
02е,
K0(sp)e
iuj(z/v—t)
Bue(r,«)=^JfiMe^-,),
S2 = ^L
U)
nc
с2Ф)
, Re s > 0,
782
Глава 15
где e(w) дается формулой (4) примера 15.6 (детали вычислений можно
найти в задаче 15.13*). С помощью этих формул вычисляем потери энергии
частицей на единицу пути:
оо оо
(2) -% = 2nb I f^ lE x B]pdt = -27rc6Re / B^E^dw.
-оо О
Радиус 6, как следует из соотношений неопределенностей, должен быть
порядка комптоновской длины Л с; при этом \bs\ <С 1. Подставив в (2)
компоненты (1), получим спектральную мощность потерь на единицу длины:
(3) - = плищи)-
dzd(huo) c
где
[ ] П[Ш) -*Пс"П /^[Г2/о;2 + (ujI/uj2 + 7"2)2]1/4
— спектральная плотность фотонов, эквивалентных собственному полю
частицы. При получении этой формулы предполагалось, что входящий в нее
логарифм много больше единицы; величина под знаком логарифма
определена с точностью до множителя порядка единицы. В отсутствие среды
(ujp = Г = 0) величина (4) переходит в спектральную плотность (6.129)
эквивалентных фотонов релятивистской частицы в вакууме.
Результат (3) имеет простой смысл: произведение Tpn(uj)duj
представляет собой число квантов, поглощаемых в единицу времени из собственного
поля частицы за счет образования пар, или, что то же самое, число пар с
суммарной энергией частиц hw, образуемых полем частицы. Подробнее эта
тема освещена в работе Терновского (1960).
Произведение Ypn{uj)duj дает число квантов, поглощаемых за счет
комптон-эффекта. При этом образуются другие кванты меньшей энергии,
т. е. происходит тормозное излучение квантов электронами среды.
15.12. Излучение электронов среды можно найти по методу
задачи 6.81. При huu :» гаес2, когда имеют место эффекты Комптона и
рождения пар, в качестве спектральной плотности эквивалентных фотонов
следует использовать формулу (4) предыдущей задачи. Произведя вычисления,
получим
(1) -/5Г J =%Zna£^\n
dzd(hu>)
3 ahc fkj /ia>[r2/u;2 + (^/u;2+7-2)2
15.5. Ответы и решения
783
В области спектра, где Г с ^> Гр, выражение под знаком логарифма
упрощается. Если к тому же и <С 7^р» то» вычислив спектральную плотность с
использованием комптоновского сечения из задачи 6.80, получим
(2)
й28ш
dzd(hu>)
16
Zanarl <1-
huo
тес
2 + V
(-
•с2
m(
(3)
d2g„
dzd{hw)
= --Zanar0
2ГПеС?
huj
mec
■+
r}-
(rnec2\2\
\Ahuj ) J
mec
hw < ^mec2;
In
mec
hwv
hw>-mec2.
В случае тяжелой частицы ее собственное излучение сильно
подавлено большой массой, и излучают только электроны среды. Излучение
первичного электрона или позитрона при и ^> 7^0е в отсутствие
эффекта Ландау-Померанчука дается формулой Бете-Гайтлера (15.83), а при
и <С 7^0е — формулой Тер-Микаэляна (15.91). Сравнивая указанные
величины с (1), находим, что при и ^> 7^0е излучение первичного электрона
превышает излучение электронов среды по меньшей мере в « Z раз. Но
при и <С 7^0е отношение первичного и вторичного излучений меняется и
имеет порядок величины Z(uj/juJoe)2. Оно может быть значительно
меньше единицы, и главный вклад будут давать электроны среды. Это связано с
подавлением первичного тормозного излучения поляризацией среды.
Рассмотрение этих вопросов совместно с эффектом Ландау-Померанчука см. в
[Топтыгин (1964)].
15.13. Разложив векторы поля в интеграл Фурье по координатам и
времени:
получим из уравнений Максвелла систему алгебраических уравнений
относительно амплитуд Фурье:
кп х S(k,cj) = Ж(к,ш),
кпхЖ(к,со) = -s{u)g{k,uj)-i^p-6^ n-v-l),
ке(ш)п-*(к,и) = -i^££s( ^n-v-l\
(1)
кп • Ж{к,ш) = 0;
784
Глава 15
Здесь Ж (к, й) — амплитуда Фурье магнитного поля, к = икп/с, к —
параметр, выражающийся через и и к, п — единичный вектор. При выводе (1)
нужно учесть, что амплитуда Фурье функции 6(R - vt) равна 27Г 5(к -v — lj)
и что 5(ах) = (1/\а\)5(х). Из системы (1) определяются & и Ж:
(2)
ьг е(кг - е) Vс /
I Ж(ц,ч>) = i izrfp . n*v_ 5Un . v _ Л
L U> К — £ \ /
Для определения полей нужно произвести обратное преобразоэание
Фурье. Начнем с вычисления EZ(R, t). Как следует из (2):
8тг2ес KcosO- (Зе
е(к2 - е)
поэтому
gz(k,v) = -i^C- "7 2> 76(0*0080-1),
*■<**>=-*/»^Wi^
(3)
х exp^ i^tt[rsin0cos^ — ф) — 2cos0] \8((3ксо$0 - I)sm6d6d$.
Здесь через г обозначена составляющая R в плоскости ху, <р — угол
между г и осью Ох, (3 = у/с,6иФ — полярные углы п.
Интеграл по Ф выражается через функцию Бесселя Jo от аргумента
(ш/с)кг&тв. Интеграл по в имеет вид:
(4) f №8(/Зксо*0-1)8твМ=± J <р(у)8(у - l)dy.
О -(Зк
Он отличен от нуля только в случае, если (Зк ^ 1, поэтому нижний предел
изменения к равен 1/(3. В формуле (3) это учитывается автоматически,
вследствие наличия дельта-функции, но после интегрирования по dy дельта-
функция исчезнет, и нужно будет учесть нижний предел интегрирования в
явном виде.
Интегрируя (4) по dy, получим
(5) 1^ = т«т
cos0=l//3«
15.5. Ответы и решения
785
Подставим (5) в (3) и введем вместо к переменную х = у/к2 — I//?2;
поскольку к меняется в пределах от 1/(3 до оо, х будет меняться от 0 до оо.
Тогда EZ(R, t) запишется в виде:
оо оо
*<*"-£/^ЧЩ-0](>-;Ш?^-
-оо ,0
Произведя интегрирование по х с помощью формулы
оо
(6) J -^^- = tfo(*r),
о
находим
оо
(7) Ez{R,t) = -^ J (l - -^)Ko(sr)exP [Ц§ - «)] иски,
— ОО
где обозначено s2 = uJ2/v2 - (uj2/c2)s(uj). Знак s нужно выбирать так,
чтобы было Re s > 0, в противном случае интеграл по и оказывается
расходящимся. Интегрирование по о; в (6) можно провести, только задавшись
конкретным видом функции е(и).
При вычислении Ex(R,t) также начинаем с интегрирования по Ф.
Интегрирование по в выполняется с помощью дельта-функции. При
последующем интегрировании по х = ^к2 — 1/(32 нужно воспользоваться
формулой
°°
Jl{xr)x2dx
= kKi{kr),
J х2 + к2
о
которая получается из (6) дифференцированием по г, если учесть, что
4 = -Jl9 Kb = -Къ
В результате находим
оо
Ex(R,t) = cosip^ f |Xi(sr)exp [^(f -<)] dw.
— OO
Компоненты Ey(R, t) и H(R, t) определяются таким же путем. Еу
отличается от Ех заменой cos <p на sin <р\ поэтому в цилиндрических координатах
786
Глава 15
имеем
(8) Er(R,t) = Wv [ f#i(*r)exp [Ц§ -*)] dw, £„ = 0.
— oo
Для Н получим
oo
(9) Я„(Я,*) = ^ У 5К!(5г)ехр [Ц§ -*)
dw, Hz = Hr = 0.
Как следует из формул (7)-(9), электромагнитное поле обладает аксиальной
симметрией.
Полученные формулы справедливы только в области г > а, где а —
величина порядка межатомных расстояний. В области г ^ а необходимо
учитывать пространственную дисперсию диэлектрической проницаемости.
15.14. Как следует из формул (7)-(9) предыдущей задачи,
монохроматические компоненты полей ЕШ(Я, t) и Нш(11, t) имеют вид:
(1) E„x(R,t) = ^(l - -±)Ko(sr)exp [Ц§ -*)] ...,
где
(2)
3* = <£-<££(и>), Res>0,
а Кп — модифицированные функции Бесселя.
В волновой зоне \sr\ ^> 1, вследствие чего можно использовать
асимптотическое выражение (1.170) для функций Кп\
(з.)
Kn(sr) = t/^e
7Г „ — sr
Из (2) следует, что при вещественном е(и) s будет вещественным,
если I//?2 > е(и) или (Зп(ио) < 1 (п(и) — показатель преломления для волн с
частотой и). При /Зп(ш) > 1 параметр 5 будет чисто мнимым.
Если 5 — вещественная величина (в силу (2), при этом s > 0), то в
волновой зоне поле будет затухать экспоненциально, излучения не происходит.
При чисто мнимом 5 амплитуда полей в волновой зоне будет меняться
15.5. Ответы и решения
787
как 1/у/г, что соответствует цилиндрическим волнам. Покажем, что эти
волны будут расходящимися, т. е. в этом случае действительно будет
происходить излучение.
Запишем s в виде
(4)
= ±%>1±-е{ш) = щпу/рапг[
и выясним, какой знак нужно выбрать перед корнем. Для этого нужно
принять во внимание, что рассматриваемый диэлектрик без потерь
является предельным случаем слабо поглощающего диэлектрика с комплексным
показателем преломления п = п' + in". Чтобы мнимая часть показателя
преломления п" действительно описывала поглощение энергии (т. е. чтобы
амплитуда соответствующей волны затухала, а не возрастала), требуется
выполнение условий п" > 0 при и > 0 и п" < О при и < 0. Считая п"
весьма малым, можем записать
y/lP(n' + in»)2-l « x//?2n/2-lfl + ij!n'f ).
V (3zn'z - 1/
Отсюда следует, что условие Res > 0 будет выполняться, если выбрать
в (4) знак минус. Устремив после этого п" к нулю, получим
(5) 5 = -;^V/?%2_L
Но такой знак как раз соответствует расходящимся волнам, так как
экспоненциальный множитель в выражениях (1) примет вид
(6) ехрг(& • R — uot) = expi[k(z cos в + rsinfl) — wt],
где к = ип/с, cos# = 1//?га, sin# = y/l - l//?2n2, к cos в = kz — /сц
и к sin в = к± — компоненты волнового вектора.
Таким образом, при выполнении условия /Зп(ш) > 1 частица,
движущаяся в диэлектрике с постоянной скоростью v = /?c, излучает
электромагнитные волны с частотой и (излучение Вавилова-Черенкова). Условие (Зп > 1
означает, что скорость частицы должна превосходить фазовую скорость
волны с частотой и в данной среде. Как следует из выражения для волнового
вектора к, излучение направлено под углом в к скорости частицы, причем
(7) cos0 = -^—.
788
Глава 15
Эта характерная направленность излучения является следствием
когерентности волн, испускаемых частицей в разных точках ее траектории (см.
задачу 15.15).
Фазовая скорость волн Вавилова-Черенкова
_ LU _ С.
ph ~ к ~ п
— такая же, как у всех поперечных электромагнитных волн. Поляризацию
излучения легко определить из формул (1): вектор Н направлен
перпендикулярно плоскости, проходящей через траекторию частицы и волновой
вектор к, а вектор Е лежит в указанной плоскости (и перпендикулярен к
в волновой зоне). В перпендикулярности к и Е можно убедиться, вычислив
скалярное произведение к • Ей;.
Полная энергия черенковского излучения w на единице пути равна
интегралу по времени от потока вектора Пойнтинга через бесконечно
удаленную цилиндрическую поверхность единичной длины, окружающую
траекторию частицы:
(8) w
2тгг f ^(ЯхЯ)гА=-| f H^Ezdt.
Переходя к компонентам Фурье, можно представить (8) в виде
(9) w = -27rcrRe J H^E^dw,
(3n{uj)>\
где монохроматические компоненты НШ(р9 Ешг должны быть взяты в
волновой зоне, а интегрирование ведется по области частот, в которой
выполняется условие излучения (3n(uj) > 1. С помощью формул (1)-(3) находим
окончательно:
duj.
^ vznzJ
/3(w)>l
15.15.
w
= ^2-D + ^o-l)ln;£0
2v2 2v2 J Sq-1'
При указанных в условии задачи значениях параметров w « 5000эВ/см.
Излучение сконцентрировано в интервале углов во ^ в ^ 7г/2, где
/?2£OCOS20O = 1.
15.5. Ответы и решения
789
15.16. Каждую точку траектории
можно рассматривать как источник
элементарного возбуждения,
распространяющегося в виде сферической волны со
скоростью vph = ^ (рис. 15.14). Фронт
результирующей волны представляет
собой огибающую элементарных
сферических волн. Нормаль к фронту составляет
с траекторией угол 0, причем, как
следует из рисунка, cos0 = \ЦЗп.
15.17. Поле равномерно
движущейся заряженной частицы представля- рис 15.14
ет собой суперпозицию плоских волн с
частотами и = к • v, где v — скорость
частицы, к — волновой вектор. В неограниченном диэлектрике возможны
колебания с частотами и = кс/п, где п — показатель преломления среды
(собственные колебания среды). Из условия резонанса
кс
= к • v = kv cos в
следует, что cos в = c/vn. Так как cos в < 1, то vn/c > 1, а это и есть условие
существования излучения Вавилова-Черенкова.
15.18. т = (l/v) tg2 в, I = wvctg2 в, где cos# = c/nv, w — энергия
черенковского излучения на единице длины, вычисленная в задаче 15.14.
15.20. При (Зп < 1 (т. е. при v < vph)
(1)
if:
ey/(z-vt)2 + r2(l-(32n2)
Это решение можно получить, вычислив гармонику Фурье потенциала из
неоднородного волнового уравнения и выполнив обратное преобразование
Фурье.
При (Зп > 1 подынтегральное выражение будет иметь полюс при к2 =
= efi(k • v)2/с2. Введя в пространстве к цилиндрические координаты,
запишем (р в виде
<p(R,t)
2тг2е]
exp[ikz(z—vt)+ik±r cos a]
k\ - k?z(JPn* - 1)
k± dk± dkz da.
790
Глава 15
Для вычисления интеграла по kz воспользуемся теоремой о вычетах.
Знаменатель имеет нули в точках kz = ±к±/\/(32п2 — 1; чтобы выяснить правило
обхода этих полюсов, допустим, что п имеет малую мнимую часть п" > 0
при kz > 0, п" < 0 при kz < 0 (см. аналогичный анализ в задаче 15.2;
в данном случае знак и совпадает со знаком kz, так как и = к • v). Поэтому
оба нуля будут смещены в нижнюю полуплоскость комплексной
переменной kz. При z > vt нужно замкнуть контур интегрирования дугой
бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости (на этой дуге
подынтегральная функция обращается в нуль). Так как знаменатель не имеет нулей
в верхней полуплоскости, интеграл по kz в этом случае будет равен
нулю. При z < vt замыкаем контур интегрирования в нижней полуплоскости.
Вклад в интеграл дают оба полюса, в результате интегрирования получим:
оо
/
exp[ikz(z - vt)} 2тг • k±(z - vt)
■ akz = , sin ■
k\ - k2z((32n2 - 1) k±y/02n2-l y/pW
Интеграл по а выражается через функцию Бесселя Jo(k±r) (см. (1.150)).
Последний интеграл по к± вычислим с помощью формулы (6.671, 7),
приведенной в справочнике Градштейна и Рыжика (1971). Таким образом,
при (Зп > 1 имеем:
2е
. , == при z < vt-rJ 32п2-\,
(2) ip(R,t) = { еу/(г-уф-гЦ(3*п*-1)
0 в остальном пространстве.
Векторный потенциал А получается умножением (р на efiv/c.
Формула (2) показывает, что при выполнении условия Вавилова-
Черенкова (Зп> 1 поле является разрывным. Оно существует только внутри
конуса, поверхность которого описывается уравнением
(3) z-vt + ry/(32n2 - 1 = 0.
Нормаль к поверхности конуса составляет с направлением движения
частицы угол в = arccos(l//?n). Как следует из (3), коническая волна
распространяется вдоль оси Oz со скоростью частицы.
Рассмотренную структуру могут иметь не только электромагнитные
волны, но и волны другой природы. Например, разрывные акустические
волны указанного типа возбуждаются снарядом, движущимся в воздухе со
скоростью, большей скорости звука (ударная баллистическая волна). Тот
15.5. Ответы и решения
791
же характер имеют волны, образованные на поверхности воды достаточно
быстро движущимся судном.
15.21. Излучение Вавилова-Черенкова происходит при условии (Зп > 1,
где п(и) = y/e(uj)fi(uj); векторный потенциал имеет вид:
U f exp[(iuj/v)(y — vt+ \/(32n2 - l\z\) ii(u) duj
A =i£ f.
X c J ^/(32n2 - 1
w= IT \
CZV jRn>\
hn>\ у//32П2 - 1
Тормозящая сила вычисляется по формуле = (j xB)/c, где В должно
быть взято в точке z = 0, у = vt. Сила приложена в направлении, обратном
оси Оу, и по абсолютной величине равна потере энергии на единице
пути: Fy = -w. Этот результат прямо вытекает из закона сохранения энергии.
15.22.
w
-?И1-М1±*'*>*'-
Знак плюс соответствует случаю а), минус — случаю б). Спектральная
плотность излучения двух одинаковых зарядов отличается от спектральной
плотности излучения одного заряда множителем 2(1 + cos(wl/v)). Поэтому
интенсивность гармоник с частотами
ш= ^-п (п = 0,1,2, ...)
возрастает в 4 раза, а гармоники с частотами
w=f(2n+l)
исчезнут. При различных по знаку зарядах картина станет обратной. Для
перехода к случаю точечного диполя, ориентированного по направлению
движения, нужно разложить 1 — cos(ujI/v) в ряд, считая аргумент косинуса
малым. Это даст
c2v2 J(3n>iK 02n2;
где р — электрический момент диполя, измеренный в лабораторной системе.
792
Глава 15
15.23.
n2
w = JT-5 I (l - "^) [cos2 a + bin2 a(/?2n2-1)1 a;3 do;,
c2v2 J/3n>iv /rrr/L ^ -I
где n = y/e, p — электрический дипольный момент в лабораторной системе
отсчета.
15.24.
777/
-J (i-^)»VcL,.
v2 Jen>iK $2п2'
W
15.25. Потери энергии на единицу пути выражаются интегралом по
времени от потока энергии через цилиндрическую поверхность единичной
длины и радиуса а, окружающую траекторию частицы. Для вычисления
потерь можно воспользоваться формулой (9), полученной при решении
задачи 15.14, если в этой формуле взять значения полей при г = а и вести
интегрирование по всем частотам от 0 до оо. Используя выражения
компонент поля, найденные в задаче 15.13, и указанный в условии данной задачи
конкретный вид функции е(ш), получим
оо
dl 7ИГ J \£о - # '
о
где х = cj/tJo, £(0) = £о = 1 + ^р/^о — статическое значение
диэлектрической проницаемости,
*-■$&-№■
Ъ =
Как следует из формулы (1), в потери вносит вклад только мнимая часть
интеграла. Функции Ко и К\ — вещественны при вещественном
аргументе, поэтому интересующая нас мнимая часть интеграла будет определяться
только той областью изменения х, в которой 5 будет комплексным. Эта
область, как видно из (2), зависит от знака и величины параметра Ь. Если b > 0
(это означает, что v < с/у/ёо), то 5 будет чисто мнимым при значениях х
в интервале (л/Ь, 1) и вещественным вне этого интервала. Если b < 0 (этому
соответствует v > с/у/ёо), то s будет мнимым при 0 < х < 1 и
вещественным при х > 1.
Кроме указанных интервалов изменения х9 вклад в мнимую часть
интеграла будут давать отдельные точки, в которых знаменатель
подынтегрального выражения во - х2 обращается в нуль: х = ±у/ей. Поскольку
15.5. Ответы и решения
793
интегрирование в (1) ведется по значениям х > О, нужно рассмотреть один
полюс х = у/ёо > 1. Если пренебречь потерями, то этот полюс окажется
на вещественной оси. При учете потерь, как легко видеть из явного
выражения е(и) (см. задачу 11.13), он переместится в нижнюю полуплоскость
комплексной переменной о;)7. Чтобы получить правильное значение
интеграла, нужно или ввести параметр затухания и после вычисления интеграла
устремить этот параметр к нулю, или слегка деформировать путь
интегрирования, произведя обход вокруг полюса по окружности бесконечно малого
радиуса в верхней полуплоскости. Используем второй способ. Обозначив
интегрирование по указанной полуокружности значком ^, получим
Г 1 _х2
./ -s*aKi(s*a)Ko(sa)xdx =
(3) ■/— £о ~ ж
,1-ео И)й>/^7 /ш0ау/ё^\ /оо0ау/ё^\
= г—J j—Ko^—v—jK^ v у
Теперь вычислим интеграл по области, в которой 5 чисто мнимо. Для этого
заметим, что при чисто мнимом аргументе цилиндрические функции Ко
и К\ связаны зависимостью
5*aKi(s*a)Ko(sa) — saKi(sa)Ko(s*a) = Щ,
которая следует из свойств вронскиана системы решений уравнения
Бесселя. Поэтому
(4)
Reif (±^-P2)s*aK1{s*a)K0{sa)xdx=-?r [ (±^--02)xdx.
Л2<оч£о-я J 2Js2<ok£q-x j
Последний интеграл вычисляется элементарными методами. Пределы
интегрирования выбираются так, как указано выше.
Подставляя (3) и (4) в (1), получим при v < с/у/ёо
(5)
dS _ 2ne4N
dl mv2
2аси0у/ё^ /аси0у/ё^\ /аси0у/ё^\
—IT—^о (—^—) /fi (—3—)-02-Н1-р
и при v > с/у/ёо:
(6)
dS 2ne4N \2йшру/Ц /аа^/ёо\ /ашоу/ёо\ I-/?2
dl mv2
£о
£0-1 £0-1
7Это находится в соответствии с общей теоремой о том, что е{ш) не имеет нулей в верхней
полуплоскости (см. раздел 11.2).
794
Глава 15
Та часть полных потерь, которая не исчезает при а —> ос (члены, не
содержащие а в (5) и (6)), представляет собой потери энергии на излучение
поперечных волн (эффект Вавилова-Черенкова):
е2и>1
<7' -(f)v-C,S»=^|-/»2-Kl-«l Пр„ .<-£,,
.2, ,2
(8) -№) sw = fJ£(_Iz^+ln_£0 при „> с
Выражение (8) было получено в задаче 15.15.
Члены с Ко, К\ в (5) и (6), зависящие от а, возникли в результате обхода
полюса в точке и = Q = \/и% + cj^, в которой г обращается в нуль. Но
при таких частотах возбуждаются продольные колебания (см. задачи 11.45,
11.46), поэтому выражение
описывает потери на возбуждение продольных колебаний
(поляризационные потери). При Cta/v <С 1 формула (9) принимает простой вид
(см. (1.168)):
При Cta/v > 1 величина -(dS/dl)poi становится очень малой (она
пропорциональна ехр(—£la/v)). Это показывает, что влияние поляризации среды
при малых скоростях мало.
Изложенный в этой задаче макроскопический метод расчета потерь
принадлежит Ферми (1940).
15.26.
(1) ~ir = —Ko\—)Ki\—)'
Если параметр u>pa/v <c 1, что имеет место при достаточно большой
скорости частицы, то можно использовать приближенные формулы (1.168)
для модифицированных функций Бесселя. При этом (1) переходит в
(2) --^ = —5-111;
dl w2 7^Р«'
15.5. Ответы и решения
795
Как следует из формул (1), (2), потери частицы существенно зависят
от величины ир. Она представляет собою частоту продольных плазменных
колебаний.
Излучения Вавилова-Черенкова в плазме не возникает, так как при
всех частотах е(и) < 1 и условие излучения (32е > 1 не выполняется
(но черенковское излучение становится возможным, если плазма находится
в магнитном поле).
При квантовомеханическом рассмотрении возбуждение плазменных
колебаний эквивалентно возникновению некоторых дискретных
элементарных возбуждений (квазичастиц — «плазмонов»). Энергия каждого плазмона
равна hwp, где h = 1,05 • Ю-27 эрг-сек — постоянная Планка. Для
металлов величина hwp лежит в пределах от 5 до 30 эВ. Таким образом, при
возбуждении плазменных колебаний частица теряет энергию дискретными
порциями. Как уже отмечалось, изучение этих дискретных (или
характеристических) потерь энергии позволяет получать ценные сведения о свойствах
твердых тел.
15.27. Разложим плотность тока (рис. 15.15)
-evS(z - vt)S(x)S(y) при z > 0,
(1) 3=3, \
-ev5(z + vt)6(x)6(y) при z < 0, — оо < t < 0,
в интеграл Фурье по времени:
(2) J = J juje~lUJt dt, juj =
-■^- exp(—iwz/v)6(x)6(y) при z > 0,
-■£-exp(iwz/v)6(x)6(y) при z < 0..
Введем вектор поляризации согласно (5.41):
(3) Р„ = -^.
Вектор Рш направлен по оси Oz.
Формулы (2) и (3) показывают, что плотность заряда и плотность тока,
создаваемые движущейся частицей, эквивалентны набору гармонических
осцилляторов, распределенных в пространстве по закону
(4)
-■^=- exp(-iujz/v)S(x)S(y) при z > 0,
[ --^=-exp[iu;z/v)5(x)5(y) при z < 0.
796
Глава 15
о —е
Рис. 15.15
Наличие 6(х)6(у) в (4) означает, что фактически осцилляторы находятся
только на линии движения заряда.
Осцилляторы, находящиеся на отрезке dz, создадут в точке М волновой
зоны магнитное поле (см. рис. 15.15):
(5)
йНш
w е -(Pu)xR)dz = -w f _ Рш sin§eadz.
2R2
c2R
Интегрируя (5) no dz, получим полное поле:
О оо
„■ iew \ [ e(^V^)+»^sin^
Н"а = ^г[1 я dz +
-оо О
оо
Г e-(iujz/v
)+ikRs[n$
R
dz
В последнем выражении интегралы берутся от произведения убывающей
и осциллирующей функций, поэтому основной вклад в них даст область
вблизи z = 0. С точки зрения физики это объясняется тем, что
излучение имеет место при переходе из вакуума в металл. Вычислим интегралы
приближенно, для чего положим в показателях, экспонент R = г — zcosO.
15.5. Ответы и решения
797
Выражая sin д через R, получим
/
о
ieo;eifcrrsin6>[" f exp[i(u>/v)(l - /3cose)z]
2тгс2 J R2
OO
exp[—i(uj/v)(l + /3 cos 0)z]
о
Интегрированием по частям можно представить эти интегралы в виде рядов
по степеням 1/R; оставляя только члены, линейные по этому параметру,
получим
(6) На = Ев
еио
+
2тгс2 L (и/v)(1 - /3 cos в) (u/v)(l+/3 cos в)
sin в егкг
Второй член в этом выражении описывает поле излучения, возникающего
при внезапной остановке заряда, а первый член — излучение, создаваемое
изображением. Интенсивность излучения с частотой и в телесный угол d&l
определяем по формуле
(7) difao) = c№,e)|Vdn = 44• n Siiedn2^-
7Г(Г (1 ~/3Z COS2 О)2
В нерелятивистском пределе (/? <С 1) формула (7) дает дипольное
излучение:
(8) dI{u,0) = ^sm20dS},
-к1 с6
интенсивность которого пропорциональна квадрату скорости частицы.
Отметим, что интенсивность излучения не зависит от массы частицы.
Интегралы от (7) и (8) по ш, дающие угловое распределение полного
излучения (со всеми частотами), будут расходящимися. Это обусловлено
тем, что металл считался идеально проводящим. В действительности, уже
в инфракрасной области спектра металл нельзя считать идеально
проводящим, так что при высоких частотах результаты (7) и (8) неверны.
Спектральное распределение полного излучения получится
интегрированием (7) по верхней полусфере:
(Q\ т( л 4еУ/3(/32 +1)^1+/3 з \
(9) /и = ^1^^1пг^-^>
798
Глава 15
В ультрарелятивистском пределе, когда полная энергия частицы § много
больше энергии покоя гас2, формула (9) дает
(Ю) 1(ш)=2ё1]п«
тгс тс*
Интенсивность излучения растет логарифмически с ростом энергии.
В нерелятивистском пределе выражение в скобках обращается в
единицу:
15.28. Компонента Фурье вектора поляризации имеет вид
(1) Рш = -£-е-*»'/Щх)6(у).
Определим сначала поле в точке А от осцилляторов, находящихся в
области z > 0 (рис. 15.16). Достаточно рассмотреть осцилляторы, лежащие
вблизи точки z = 0, так как только они создают поле излучения (см.
предыдущую задачу).
При использовании теоремы взаимности выберем осциллятор рв на
оси Oz вблизи z = 0 (точка В), а осциллятор рл в точке Л, поле в которой
мы должны определить. Пусть оба они одинаковы по абсолютной величине
и направлены вдоль Oz, а расстояние между ними велико по сравнению
с длиной волны. Осциллятор рв создает в точке А поле, амплитуда Е+
которого составляет с осью Oz угол, приближенно равный 7г/2 - О (см.
рис. 15.16). Волны из А в В приходят двумя путями: непосредственно и
после отражения от границы диэлектрика. Соответствующие амплитуды
обозначены на рисунке через Е' и Е". Они составляют с Oz такие же
углы 7г/2 - д' « 7г/2 - 0. Поэтому по теореме взаимности имеем Е+ =
= Е' + Е" или, учитывая, что в волновой зоне осциллятора Н = п х Е,
получаем Н+ = —Н' — Н" (все три вектора Н+, Hf, H" перпендикулярны
плоскости AOz).
Волна, приходящая из Ав В непосредственно, создает поле
(2) dH' = У-%—P^sinOdz.
c2R
Амплитуду отраженной волны можно определить с помощью формул
Френеля, так как расстояние АС велико и волна, испускаемая из точки Л, может
15.5. Ответы и решения
799
Рис. 15.16
рассматриваться вблизи точки С как плоская. С помощью формул (12.11),
учитывая изменение фазы волны и то, что д' « 0, получим
(3)
где
2 f ikR'
dH" = \ , Рш sin в dz,
c2R
/=£cosfl-y/£-sin^ RI = ACB
e cos в + ye - sin2 в
To поле if+, которое создается в точке А всеми осцилляторами,
находящимися в области z > О, получится интегрированием суммы —(dH' + d#")
по (iz от 0 до оо. Интегрирование проводится точно так же, как в
предыдущей задаче. Результат имеет вид
(4)
Я ev ( 1 * \ s'm0eikr
+ 2тгс2 \l+/?cos<9 l-/?cos<97 r
Эту формулу легко понять путем сравнения с аналогичной формулой (6)
предыдущей задачи. Первый член описывает поле частицы, движущейся
800
Глава 15
в вакууме и внезапно останавливающейся в точке z = 0; второй — поле
изображения (—е/), движущегося в диэлектрике навстречу частице и также
останавливающегося в точке z = 0. В отличие от случая идеального
проводника, изображение слабее в / раз, его величина зависит от частоты и
рассматриваемой гармоники (через е(и)) и от положения точки наблюдения
(через угол в).
Поле Н- от диполей, лежащих при z < 0, определяем таким же путем.
Волна придет из А в В, преломившись на границе раздела. Используя снова
формулы Френеля, получим
(5) dH. = ^(l + f)P„smti'J*dz.
eczR"
Здесь R" = V + /" — длина ломаной линии АС В' (см. рис. 15.16). Фаза <р
учитывает запаздывание:
U it , U г-ill
При |г| < r (z < 0) имеем V = г + гtgtf"sin0, /" = -z/'cosfl". Учитывая
закон преломления siwd" = siwd' /у/ё и заменяя д' на 0, находим
и
r-^zVe-sm20.
N ^ с' с
Проинтегрировав (5) от — оо до 0, получим поле от диполей, лежащих в
области z < 0:
(6) Я_ = --^(1 + /) } • ^^ •
Полное поле в точке А равно сумме Н+ + Н-. Интенсивность
излучения с частотой ш в телесный угол dil:
(7)
i2V2
4тг2с3
dl(u>,6) = -^-3 A2 (w, 6») sin2 edtl,
.. .. 2/3 cos 6 ,, ,.
1-/3 cosJ 0
U(l-/3V£-sin2^) l-/?cos^J'
Величина Л зависит от частоты через e{w).
15.5. Ответы и решения
801
В нерелятивистском пределе /? <S 1 получаем
e2v2 (£- l)2 sin2 в cos2 в
^С3 (£COS0+^£-Sin20)2
(8) ЩШ, в) = ^- VC ' ~ <«•
15.29.
d2/q) = е2/32уёГ(£2 - £l)2 sin2 ft cos2 ft
dUJaill о I л / 9• 2 л 19
7Гс I £2 cos0i + л/eie2 - e{ sin 0i р
d2fW ^ в2/?2y^(g2 - gl)2 Sin2 02 COS2 fl2
dUJailo 9 i л / 9•9 л 19
7ГС I El COS 02 + ySlS2 - £2 Sin #2 |
При £i = 1, 82 = e первая формула совпадает с нерелятивистским пределом
в задаче (15.28*). При е\ = 1, £2 —► оо она переходит в нерелятивистский
случай задачи (15.27*).
15.30. Из вида знаменателей формулы (15.92) следует, что максимум
излучения при малых углах 02 = 0 возможен лишь при выполнении условия
ki,2 - 1| <С 1. Это имеет место при частотах и > 0^1,2, где и)р\^ —
плазменные частоты двух сред. При этом £i)2 = 1 — ш^^/ш2. Запишем
(15.92) в приближении малых углов, воспользовавшись разложениями
(1)
l-/?2£2cos20«7-2 + 4 + f
or z
Получим
d*iL2) e2
(2) dwdSl2 тг2с\ J1 } (7-2+a;22/a;2+^2/2)2(7-2+a;21/a;2+^2)2,
Отсюда следует, что характерный угол излучения по порядку величины
определяется условием
(3) *^7-2 + 4'
or
802
Глава 15
где ujp — большая из двух плазменных частот. Порядковую оценку для
спектра можно получить, взяв (2) при 0 « #о и умножив его эту величину
вк
на t%:
(4)
dli2) „. е2
dw тг2с
(*4
и>2
(7-2 + W22/u,2 + 0о2/2)2(7-2 + о&/^ + в1
2
При частотах, удовлетворяющих условию ujp/uj ^ 7-1» зависимость
спектра (4) от частоты слабая, так как характерный угол с уменьшением частоты
растет, числитель и знаменатель в (4) нарастают приблизительно одинаково.
При и ^> 7^Р характерный угол определяется фактором 7, поэтому спектр
убывает с ростом частоты как о;-4. Таким образом, основное излучение
идет на частотах меньше и порядка "уир, хотя в принципе спектр ограничен
лишь частотой шшах — (^ — l)mc2 / h. Приведенные соображения позволяют
дать оценку также полной энергии AS = j^™ax {dl^ /duj)duj переходного
излучения. Подставляем в (4) характерную частоту ^шр и умножаем правую
часть на эту же частоту:
тс2
Излученная энергия пропорциональна энергии релятивистской частицы.
Излучение назад не обладает острой направленностью, а генерируемые
частоты значительно меньше ^ujv. Поэтому вперед излучается основная
энергия.
15.31.
dPJ
(2)
dcu
(i)
Д£= / dI" du= Р7 = Р §
J du Зс Зс тс2
о
15.32. Задача решается по аналогии с 5.85.
dudtt T dudtt '
15.5. Ответы и решения
803
Здесь
— период между импульсами излучения, которые измерит удаленный
наблюдатель, в — угол между направлением наблюдения и образующей
конуса излучения, причем приведенный результат применим при питч-углах
6»0.
Модифицированные функции Бесселя в (1) убывают
экспоненциально при больших значениях аргумента (см. формулу (1.170)). Поэтому
граничную частоту ujc спектра можно оценить, приравняв единице
величину £(lj, 0), взятую при 0 = 0:
/о\ 3c73Sin6 _ 2 • гл
(3) ис = —]—^ = ЗивТ sm в.
15.33. Интегрируя полученный выше результат по углу 0, как это было
сделано в задаче 5.86, найдем
dP„ N0 e2uj
(1)
^ 4\/37r2csin36 It
2\ °°
uj;
2X
3ujBsmQ \<y2 J1
2cj7 / i
3/2
Анализ этого общего результата аналогичен произведенному в
примере 15.12. Найдем наименьшее возможное значение параметра tj(uj):
л/3а;р 33/VP /-
(2) rjmin = —- = — при и = V 2-у Up.
7^В81Пв ис у
Если параметры таковы, что r/min > 1, то излучение экспоненциально
мало при всех частотах, оно подавлено эффектом плотности среды. В вакууме
такое подавление отсутствует (см. задачу 5.86). При г)Шы <С 1 имеем
значительный диапазон частот, в котором влияние плазменной среды мало. Если
выполнено условие г/ < 1 (шс > ш > Т^р7?™^)» то с помощью формулы
(1.168) находим
m dP^ = у/ЗГ(2/3)АГ0 е2и>в /щ\*/з
{> <Ь 4тг2 rsin2eV^/ '
804
Глава 15
В вакууме такой спектр формируется при всех частотах и < ujc. При более
высоких частотах, и > ис, влияние среды тоже не сказывается, но
спектральная плотность экспоненциально убывает с ростом частоты:
/4ч dPi = V3Np е2ив / оА V2 /шс
[) dw 8 7r3/2csin2e^c;
Но в области низких частот, ш < Ч^рТ]^^ излучение сильно подавлено и
практически отсутствует:
Подавление излучения при низких частотах происходит и в том случае,
когда релятивистские электроны распределены по энергиям по степенному
закону. Подробный анализ спектров радиоисточников и более подробную
теорию см. в статьях Разина (1960), Гундырева и Разина (1995).
15.34. Для одной цепочки
для многих цепочек
2Ze2v-r^ (\P-Pn\
U(y,z) = ±^"£K°
R
где рп — координаты цепочек на плоскости х = const.
15.35. U(x) = ±(27rZe2R/a2)e~\x\/R — для одной плоскости, U(x) =
= ±(27rZe2R/a2) Y^,n e~^x~nb^R — для системы плоскостей.
15.36. Если можно выделить отдельную цепочку атомов, потенциал
которой аксиально симметричен, то в поле цепочки интегралами движения
будут продольный импульс частицы рц = const, момент импульса
относительно оси М = /утр2ф и полная энергия поперечного движения
(1) <?х = ^(Р2 + Р2Ф2) + U(p) = ^ + ^ + U(p),
15.5. Ответы и решения
805
где р, (р — цилиндрические координаты частицы. Значения всех трех
интегралов движения определяются начальными условиями. Потенциальная
энергия U(p) электрона в поле цепочки отрицательна и убывает
экспоненциально при больших р. Для финитности движения в поперечном направлении
(каналирования) требуется условие
(2) -к-Ро + j < \и(Ро)1
где ноликом отмечены значения величин в точке влета частицы в кристалл.
Это условие означает, что полная поперечная энергия электрона
отрицательна.
Из закона сохранения энергии (1) определяется в неявной форме
зависимость p(t):
(3) ± / dp = t, где Uef(p) = U(p) + -^r
— эффективная потенциальная энергия. При М ф 0 движение частицы
ограничено пределами р\ < р < р2, которые определяются из уравнения
U{p\,2) = &±- Период радиальных колебаний
Pi
dp
(4) T = 2J
V(Vim)[g± - Uef(p)]
Pi
За это время азимутальный угол получит приращение
91
(5) А<р
ш [
dp
рТ7ш^.
9\
p^(2/1m)[g±-Uef(p)}
и релятивистская частица пролетит вдоль цепочки расстояние Дг « сТ.
Если условие (2) не выполняется, но угол влета мал, то частица
будет совершать надбарьерное движение по сложной траектории, переходя от
одной цепочки к другой и попадая в области, где их поля перекрываются.
15.37.
F(0,0,0 = £ C^YimiO, if) exp UwSlt - ^ 1(1 + 1)Л ,
l,m ' ^ ^
Значение rs показывает, что Л имеет смысл длины изотропизации.
806
Глава 15
15.38. /
х2 + У2 z2
N{r,t) = —- ехр --
х2 = у2 = 4/^j_f, z2 = 4к;ц£.
15.39. Искомая функция Грина удовлетворяет уравнению
(1) ^+Ш~кАС=6{г - r')6{t -°-
Для более ясной интерпретации смысла этого уравнения и его решения
перепишем (1) в другой форме, введя обозначения
(2) и=^, Q=k = & -^=1 R=r~r\ r = t-t':
Это уравнение можно интерпретировать как волновое уравнение в среде с
потерями: первые два слагаемых в левой части содержат оператор Даламбе-
ра, а третье, с первой производной по времени, описывает диссипативный
процесс. Скорость и имеет смысл скорости распространения возмущений.
Решение уравнения (3) можно найти тем же способом, каким
решалось более просто/уравнение (3) в примере 10.6. Усложнение возникает
лишь при выполнении обратного преобразования Фурье, когда необходимо
обойти разрез в комплексной плоскости. В результате получим функцию
Грина
UQ
U[Il,T) =
(4)
G(R,r) = ^e-^2{S(ur-R)+
4- , UQR ЛЛ
2у/Е? - и2т2
\quVW
в{ит - R)
(подробности вычислений можно найти у Морса и Фешбаха (1958) гл. 7).
Первое слагаемое с дельта-функцией сходно с функцией Грина (5.9)
волнового уравнения и выражает собой распространение волны с конечной
скоростью и от точечного источника. Ее ослабление происходит не только
за счет геометрического фактора 1/R, но и вследствие диссипации в
среде ехр(—и2дт/2). Слагаемое с функцией Бесселя отражает чисто
диссипативный эффект. Но присутствие ступенчатой функции обеспечивает
конечную скорость распространения и этого возмущения. Для перехода к
приближению обычной диффузии следует рассмотреть случай ит ^> R, ди2т > 1,
15.5. Ответы и решения
807
т.е. vr > Л. Используя равенство (1.162) и асимптотическое
представление (1.169), без затруднений получим известную функцию Грина уравнения
диффузии
о 0WT>-is^-(-&
Этот закон реализуется по истечении времени, за которое частицы пройдут
много длин свободного пробега.
15.40. При переходе из системы среды в лабораторную импульс
преобразуется по формулам релятивистской кинематике (см. главу 3):
(!) Ро= г. -=**p--j.
р - uS/c2 _ug
у/\ ~ U2/c2 ~ P С2
Функция распределения в лабораторной системе
(2) F(p) = iLjV(|p-n£/c2|)«^
'т _ *L£M
с^р op
Плотность тока
(3) J = -L J'vF(p)<Klp =
Р dN „
-з~др-и-
15.41. Проинтегрируем обе части уравнения (15.179) по поперечным
координатам с учетом малости поперечной диффузии при малых питч-
углах. Тогда в стационарном случае и в приближении малого питч-угла
уравнение примет вид
т dF -l 1 dBAdF 1 1 д ndF , 1 г/ЛШ. 0 ч
(1) а7 + w -ъ*м = pw'w + 2^6{ms -So)-
Здесь в правую часть включен точечный источник, l(s) = v/b3(0) —
продольный пробег частиц. Далее проводим решение аналогично задаче 15.7*
и находим функцию распределения
(2) ^.-Ж-^-^-), J.W.4/.BW*
nB(s0)ti2(s) V d2(s)J J B(z)l(z)
so
808
Глава 15
Если величины В, / не зависят от s (однородная среда), то квадрат угла
рассеяния нарастает пропорционольно пройденному пути 5 — 5о. Но в
неоднородной среде частицы могут не только изотропизоваться, но и
фокусироваться регулярным магнитным полем. Пусть, например, В ос s~2. Такая
зависимость приближенно имеет место в солнечном ветре на
расстояниях, не превышающих радиуса орбиты Земли. Если по такому же закону
меняется и случайное поле, то l(z) « lo{z/so)2(2~^ (мы использовали
зависимость (15.173) / ос Д2,~v для транспортного пробега). В этом случае
из (2) находим #2(s) ос s2"-3 при s ^> so- При показателе спектра
турбулентности v = 3/2 (слабая МГД турбулентность) имеем 2и — 3 = 0, т. е.
пучок частиц распространяется, не увеличивая свой угловой размер.
Рассеяние компенсируется фокусировкой в убывающем регулярном магнитном
поле.
15.42.
Nfat)
No
exp
(р-ро)2
ADt
exp
(4ttD*)1/2PPo
p(t) = 4(Dt/тг)1/2 при p(t) » p0
Спектр спадает как гауссова экспонента при p^>p(t).
15.43.
(р + Ро)2
ADt
f{x,t)
(47ГТ)
1/2
exp
-fT), p(t)=Poe4^
В рассмотренном режиме спектр оказывается очень жестким (много частиц
с высокой энергией), а энергия отдельной частицы растет экспоненциально
со временем. Но с ростом энергии частицы на некотором этапе ее пробег
начинает расти, что снижает темп ускорения. Кроме того, область
ускорения имеет конечные размеры, и частица проводит в ней конечное время.
Поэтому ускорение всегда происходит до конечной энергии.
15.44. Задача сводится к уже рассмотренной путем введения
безразмерного времени т = JQ dt'/ra{t'). Искомый спектр дается выражениями,
полученными в предыдущей задаче, если безразмерное время т заменить
конечной величиной то = /0°° dt/ra(t)9 где ra(t) = p2/D(p, t). Коэффициент
диффузии должен убывать при t —> со быстрее, чем t~l.
(1)
15.45. Решаем стационарное уравнение
\ dP AN N ,Чох, п ч п
р2 dp та> dp
15.5. Ответы и решения
809
где D(p) = р2/та — коэффициент диффузии в импульсном пространстве,
Та = const. Сингулярный источник частиц заменяем граничными
условиями. При р = ро функция распределения должна быть непрерывна,
(2) Wlp=p0+0 = W|p=po-0.
Второе граничное условие получим, проинтегрировав обе части уравнения
(1) по узкому интервалу импульсов, включающему р = ро, и учтя
ограниченность N:
_ dN_
р=ро+о dp
. = -Qo.
р=ро-0 ,
i-x\ Po fdN\
После этого решаем однородное уравнение (1) (р Ф ро). Решение имеет
вид
N(p) = Ap~Sl при р > ро, N(p) = BpS2 при р<ро,
^ ™ о /9 , Га 3 о /9 , Та 3
Из граничных условий получим
51 + S2 '
(5) N{p) = qi(^y , р>Ро, No
Формируется степенной спектр, показатель которого зависит от
отношения TaJTd. Сравним полученный спектр с наблюдаемым спектром
космических лучей. Обычно измеряют поток частиц 1(8), приходящихся на
единицу площади, на один стерадиан и на единичный интервал энергии.
С плотностью числа частиц N в фазовом пространстве эта величина
связана соотношением
(6) I{8)d8 = vNp2dp = Np2d8.
Наблюдаемый спектр аппроксимируется степенным законом, /(й>)осй)~7,
причем показатель в области энергий протонов 10<(£<106 ГэВ имеет
значение 7 ~ 2,7. Для ультрарелятивистских частиц 8 « ср и согласно (6)
показатель 7 — $г — 2. Отсюда находим требуемый параметр: та/та « 8.
Следует, однако, иметь в виду, что использованное выше условие трудно
обеспечить в конкретных астрофизических условиях в широком интервале
энергий. Поэтому полученный степенной спектр с ростом энергии сменится
более крутым спадом типа того, который был получен в задаче 15.42.
810
Глава 15
15.46. В уравнении (1) предыдущей задачи нужно заменить слагаемое
—N/Td величиной
г2 дг дг
описывающей диффузию в обычном пространстве. Переменные в
уравнении разделяются, N(r,p) = R(r)P(p), радиальная функция удовлетворяет
уравнению
1 } г2дг дг * '
где А — параметр разделения, и во внутренней области имеет вид R(r) =
= (A/r) sin кг, где к = у/Х/к.
Во внешней области радиальная функция имеет вид R(r) = В/г.
Сшивание радиальных функций R и потоков частиц KdR/dr при т — а позволяет
найти значения к: кпа = (7г/2)(2п+1), п = 0,1, ... Таким образом, найден
бесконечный набор времен релаксации
(2) rdn = — = ————, где rd0 = —
Хп (2п + If ttzk,
— наименьшее время релаксации, обозначенное в предыдущей задаче
через rd.
Функция Рп (р), зависящая от импульса, определяется тем же способом,
что и в предыдущей задаче, и имеет тот же вид. Но каждому значению п
теперь соответствует свой показатель спектра s\n, растущий с ростом п.
Функция распределения имеет вид суммы
оо
(3) N(r,t) = J2AnRn(r)Pn(p).
71 = 0
При импульсах р > р0 главную роль играет слагаемое с п = 0.
Коэффициенты Ап определяются путем разложения в ряд по ортогональной системе
функций Rn(r) с весом г2 радиальной зависимости источника, которая в
нашем случае дается ступенчатой функцией 6(а —г). Решая задачу
приближенно, с одним временем релаксации, мы потеряли слагаемые с большими
показателями спектра (что несущественно, если мы интересуемся
высокими энергиями) и неправильно определили пространственное распределение
частиц в области ускорения.
15.5. Ответы и решения
811
15.47. Вводим безразмерные переменные
(1)
dN 1 д 2+adN
dt q2 dq4 dq '
и записываем уравнение в виде
(2)
Уравнение (2) имеет частное решение вида
(3) Nx(q,r) = fx(q)e-x2T,
причем подстановка f\(q) = <7~^1+а^2^л(0> где £ = ql~a/2 (а ф 2)
позволяет получить для F\ (£) уравнение Бесселя
(4)
?!%+№ +
А2£2 (1 + а)2
(1-а/2)2 (2-а)2
Ограниченное решение этого уравнения
2А£ \
FA = 0.
(5)
Fx(Z) = h
\2-а\Г
где индекс функции Бесселя /?=(1+а)/|2 — а|.
Общее решение исходного уравнения (2) можно записать в виде
интеграла
(6)
N(q,r) = q-V+*V*JrK\)e-*TJ0 (^^^
(Л \
~«/2 \d\.
Коэффициент разложения ф(Х) определяется по начальному условию
N(p,0) = NoS(p - Po)/pq = NoPq S(q - 1) с помощью теоремы Фурье-
Бесселя:
(7)
^(Л) = |2^[ ]^pf8{q - 1)7, (^ q^ dq =
2JV0 / 2Л
\2-a\pl р\|2-а|Г
812
Глава 15
Подстановка этого выражения в (6) и интегрирование по Л позволяет
получить решение при произвольном аф2:
(8> w(»T)-i,-b£^J'(^)4-£&}-
где 1(3 — модифицированная функция Бесселя. Решение описывает
эволюцию спектра со временем. После затухания турбулентности спектр имеет
форму (8), где надо положить т = т0 = р$2 /0°° Do(t)dt.
Если произошло сильное ускорение частиц, так что преобладающие
импульсы много больше начального (q ~ г1^2"^ > 1, а < 2), то аргумент
функции Бесселя мал, и (8) приобретает более простой вид
<9) W(^)°l2-a|.^1+fflrreX"("(^)-
15.48.
р
2<0, N1(z,p) = a j No(q)(J)Qe^K^+No(p)(l-e^^);
Qmin
V
z>0, N2(z,p) = a J N0(q)(l)a^, a = |£.
Здесь через qmin обозначен наименьший импульс доускоряемых частиц.
Они инжектируются извне («из бесконечности»). Второе слагаемое
перед фронтом описывает частицы, не провзаимодействовавшие с ударным
фронтом. Функция No(q) обрезается при q > qmax, где qmax —
наибольший импульс исходной популяции частиц. Поэтому при р > qmax второе
слагаемое обращается в нуль, а распределение за фронтом принимает вид
N2(z,p)~p-a.
15.49. Граничные условия имеют вид
N2(r,p) —> 0 при г —> оо; N\ = N2,
(1) 8N2 dNr pONlA Qo x, ,
K2-R «1-Q— = о "о— Au~ Z ^°{P-P0) При Г = Г0.
dr dr 3 dp 47rrgp§
15.5. Ответы и решения
813
Кроме того, обе функции должны быть всюду ограничены.
Задачу удобно решать с помощью преобразования Меллина по
переменной р:
(2)
N(r,s)= IN{r,p)ps-1
dp.
Уравнение переноса для образа Меллина во внутренней области принимает
вид
d2Ui , (п и \ d~Nx 2us ■
(3)
dr
^.('■вд-^-1
Его решение выражается через вырожденную гипергеометрическую
функцию (см. Абрамович и Стиган, 1979):
(4)
т(г,з) = А(8)ф№,2,У£).
Во внешней области уравнение записывается в виде
1 d 2 . / ^dN2 r$dN2
1 (Л I . / \ кл,± ' «s
г2 dr dr r2 dr
(5)
и имеет решение
(6) N2(r,s) = B(s)il-exp
= 0
/
и2г\
dr
K2{r)r2
Сшив решения с помощью граничных условий, получим
jrf , , QoPo" V2 " 1) Ф(25/3,2, щг/кг)
Ni(r,s) =
(7)
4nr2U2 Ф(5, Дп,/ci,/c2)
*.=*?. *»-/
К2{г)г2
dr,
(8) Ф =
OU2
Ф(2*/3,2, кг) + g(efc2 - 1)Ф'(2*/3,2, А*),
где штрихом обозначена производная от вырожденной
гипергеометрической функции по последнему аргументу.
814
Глава 15
Чтобы выполнить обратное преобразование Меллина, нужно
проинтегрировать меллинов образ по контуру, представляющему собой прямую,
параллельную мнимой оси на плоскости комплексного s:
/З+гоо
(9)
N{r'p) = ii j N(r's)p~°ds-
/3—гоо
Для этого надо найти нули функции Ф по переменной s. Пользуясь
рекуррентными формулами для вырожденной гипергеометрической функции,
приведем уравнение Ф = 0 к виду
nm ,-3ui \л 'i Ф(2д/з-1,1,&1)1 Зи2
{ ' А« \ *i к1Ф(28/3,2,к1) j + Аи(ек* - 1) '
Будем интересоваться наименьшим по абсолютной величине
положительным корнем уравнения (10), который даст наиболее существенный вклад
при р ^> ро. При к\ —> оо, &2 —> оо получим из (10) 5q = Зи\/Аи, что
соответствует ускорению частиц плоским ударным фронтом (см. пример 15.20).
При конечных, но больших значениях fci, &2 используем асимптотику
функции Ф и получим большее значение корня
(И)
SQ =
3ui
Аи
1 +
2u2
к\Ац
+
3^2 3ui
Аи(ек2-1) Ди'
Выполнив обратное преобразование Меллина, получим
3Q0 Ф(250/3,2,М1г/к1)
(12)
Ni(r,p)
Атгг^Аир* Ф(250/3,2,Й1)
(?)•
(13) N2(r,p) =
3Qo
47rr^Aupg(l-e-fc2)
,1-ехр
ОО
-/;
К>2(г)г2
dr
По сравнению с плоским фронтом спектр оказался более крутым, т. е.
энергичных частиц в нем меньше. Это связано как с более быстрым уходом
частиц от фронта конечной протяженности, так и с адиабатическим
замедлением частиц в сверхзвуковой области (при г < r0, divtii = 2u\/r > 0,
среда расширяется).
Дополнение 4.
Турбулентность и ее описание с
помощью корреляционных тензоров
Физическая картина турбулентного движения. Движение
жидкости или газа при достаточно высоких скоростях может потерять
устойчивость. Примеры неустойчивых состояний МГД систем рассмотрены в
задачах 10.77-10.80. В неустойчивой среде случайные малые возмущения
скорости, поля и других параметров будут нарастать со временем, пока
нелинейные и диссипативные процессы не стабилизируют их на некотором
равновесном в данных условиях уровне. В неустойчивой системе скорость
и другие параметры приобретают нерегулярный характер, их значения в
фиксированной точке пространства испытывают хаотические флуктуации
(пульсации) по величине и направлению, причем величина флуктуации
скорости не мала по сравнению со средней скоростью потока. Такое движение
приобретает запутанный и нерегулярный характер и называется
турбулентным в отличие от регулярного (ламинарного) движения, при котором
изменения скорости в пространстве и во времени носят закономерный характер.
Переход к турбулентному движению происходит при достаточно
большом значении безразмерного параметра R = uljv — числа Рейнольдса.
Здесь и — характерная скорость среды, / — характерный масштаб ее
изменения, v — кинематическая вязкость. Число Рейнольдса представляет собой
отношение нелинейного инерционного члена в уравнении движения к дис-
сипативному слагаемому. Записав уравнения движения для несжимаемой
нейтральной среды в форме (10.34) (без магнитной силы),
^ + (u-V)u = -\Vp + vbu, Vu = 0, (Д4.1)
находим
"-w-* <Д4'2)
если пространственные производные заменить делением на характерный
масштаб. Критическое значение Rc числа Рейнольдса, при котором теряется
устойчивость ламинарного движения и возникает турбулентность, весьма
велико. Так, при течении воды по трубам круглого сечения Rc « 103 -г-104
816 Дополнение 4
в зависимости от качества обработки поверхности и однородности течения
на входе.
Мы будем рассматривать лишь развитую турбулентность, когда в
системе возбуждено много макроскопических степеней свободы и существуют
движения (вихри, волны, неоднородности и т.п.) разных масштабов в
широком диапазоне. Для этого требуется, чтобы число Рейнольдса значительно
превышало то пороговое значение Rc, при котором происходит переход от
ламинарного к турбулентному течению. Весьма большие числа Рейнольдса
характерны для турбулентности в геофизических и астрофизических
объектах ввиду значительных характерных масштабов. Так, в атмосфере Земли в
городе с крупными зданиями (/ « 100 м) при скорости ветра и « 20 м/с и
кинематической вязкости воздуха и « 0.15 см2/с получаем R = ul/v « 108.
В гигантских водородных молекулярных облаках галактического диска по
наблюдательным данным (Рузмайкин и др., 1988; Вайнштейн и др., 1989)
и « 106 см/с, / « 10 пк « 3 х 1019 см, температура порядка 100 К и
концентрация молекул достигает 100 частиц/см3. Это дает г/«3х 1015 см2/с
и Я«1010.
Если вещество не ионизовано, то в дозвуковой области скоростей
(и <С cs) основными элементами турбулентности выступают вихревые
движения разных масштабов. При скоростях и > cs становятся существенными
звуковые волны и ударные фронты. В проводящей жидкости и в плазме
турбулентные пульсации могут создаваться разными типами волн, возможными
в соответствующих средах, в том числе МГД линейными и нелинейными
модами.
Усреднение турбулентных величин. Для задания случайного поля
турбулентных скоростей нужно указать некоторые усредненные
величины, характеризующие такое поле. Для статистически равновесных систем
усреднение как правило производят по статистическому ансамблю
равновесных состояний (ансамблю Гиббса, см. Дополнение 3). Но все
турбулентные системы сильно неравновесны, и вероятности распределения
макроскопических скоростей в них неизвестны. Поэтому способ усреднения в таких
системах должен быть тесно связан со способом измерения
соответствующих величин. Чаще всего измерительные приборы производят усреднение
по времени. Промежуток усреднения At должен выбираться так, чтобы
он превышал периоды всех основных гармонических составляющих
турбулентных пульсаций. При таком усреднении пульсации сглаживаются,
At/2
{u(r, t)) = ± f u{r, t + t')dt' = u0{r, t), (Д4.3)
At/2
Турбулентность и ее описание
817
и средняя скорость uo(r,t) становится регулярной функцией координат и
времени, медленно меняющейся на временах At. Разность
u'(r,t) = u(r,t)-u0(r,t) (Д4.4)
называется скоростью пульсаций. Ее среднее значение равно нулю,
(uf) = 0, но двухточечный корреляционный тензор отличен от нуля:
At/2
Ua0(r1,t1;r2,t2) = -£i J u'niruh+t'Wpir^ + t'Wt'. (Д4.5)
-At/2
Для полного описания случайного поля турбулентных скоростей
нужно иметь также и бесконечную совокупность многоточечных
корреляционных тензоров более высоких рангов. Через такие тензоры можно выразить
среднее значение любого функционала (F[u'(r, £)]), который разлагается
в степенной ряд по компонентам u'(r,t). Но для приближенного решения
многих задач достаточно знания средней скорости и корреляционного
тензора второго ранга. Например, плотность кинетической энергии несжимаемой
турбулентной среды запишется в виде
Wk(r,t) = ^T{u20 + Uaa{r,t;r,t)}, (Д4.6)
где т — плотность массы.
Мы в дальнейшем будем интересоваться только стационарной
турбулентностью, усредненные характеристики которой не изменяются со
временем. Это означает, что Uap будет зависеть только от разности времен
t = t\ - t2 но не от начала их отсчета. Если случайное поле скоростей
однородно также и в пространстве, т. е. его средние (но не мгновенные)
характеристики не зависят от координат, то радиусы-векторы г г, г 2
войдут в Uap только в виде разности г = г\ - г2. Корреляционные тензоры
стационарной и однородной турбулентности зависят только от разностей
координат и времен каждой пары точек:
£Mri,tr,r2,t2) = Uap(r,t). (Д4.7)
При г = t = 0 свертка £/QQ(0,0) = {и'2) > 0 дает средний квадрат
пульсационной скорости. Но при t —> оо имеем
ЕМ<М) = (u,a(r,t1)u,f3(r,t2)) « «(г,*1))(^(г,*2)> = О, (Д4.8)
818
Дополнение 4
так как по истечении длительного промежутка времени всякая
взаимозависимость комнпонент пульсационной скорости ослабляется, и их можно
усреднять по отдельности. Время тс, в течение которого тензор Uap заметно
отличен от нуля, называется временем корреляции или временем
когерентности компонент скорости. Можно дать и формальное определение
времени корреляции для любой пары случайных величин:
оо
тс=тт * [uap{0,t)dt. (Д4.9)
О
Аналогичным образом определяется корреляционная длина, или длина
когерентности Lc:
tfa/3(ri-r2,0)->0 при |ri-r2|»Lc. (Д4.10)
Здесь использовано предположение, что турбулентность статистически
изотропна и корреляционные длины в разных направлениях одинаковы.
Хотя для неравновесных турбулентных систем распределение
вероятностей скоростей и других макроскопических параметров неизвестно,
формальное усреднение по ансамблю возможно и в этом случае. Представим
себе большое (в пределе — бесконечное) число невзаимодействующих
систем, тождественных исходной. Такая совокупность макроскопически
тождественных физических систем называется ансамблем. Из-за случайного
характера скорости ее значения и'а, и'^, • • • в эквивалентных точках
пространства в один и тот же момент времени у разных систем будут, вообще
говоря, различными: ufa(r,t) Ф uf^(r,t) ф uf^f(r,i) Ф ... Среднее по
ансамблю (или статистическое среднее) — это среднее арифметическое
{u(r1,t1)u(r2,t2)) = Jim - ,
N—юо iV
(Д4Л1)
где N — полное число систем ансамбля. Для многих турбулентных
систем средние по ансамблю и по времени (при достаточно большом времени
усреднения) совпадают. Такие системы называются эргодическими.
Условие эргодичности8 для стационарных случайных полей требует
достаточно быстрого ослабления корреляции со временем:
At
lim -±- [uap(0,t)dt = Q.
At—юо IXt J
0
См. Монин и Яглом. 1965.
Турбулентность и ее описание
819
При теоретическом анализе случайных полей, как правило, пользуются
статистическим усреднением.
Спектральные свойства корреляционных тензоров однородной
турбулентности. Одна из главных характеристик турбулентного
состояния — распределение энергии турбулентных пульсаций по масштабам Л
(или обратным величинам — волновым числам к = 27г/А). В случае
нейтральной среды без магнитного поля такое распределение задается фурье-
образом корреляционного тензора второго ранга в совпадающие моменты
времени:
иа0{гг -r2,0) = /с/а/зе^(Г1-Г2)-^%. (Д4.12)
Энергид Е турбулентности на единицу массы определяется сверткой
E=±Uaa(0,0) = ^ JUaP(k)d3k. (Д4.13)
Если турбулентность можно считать не только однородной, но и
изотропной, т. е. в среде отсутствуют выделенные направления, то
спектральный тензор Uap(h) может быть составлен только из компонент вектора ка
и инвариантных единичных тензоров 5ар, еар1. Построим сначала
спектральный тензор на основе симметричных тензоров 5ар и какр/к2. Он
будет определяться двумя скалярными функциями А(к), В (к):
г£(%г£р
Т2
Ua0(k)=A(k)6a0 + B(k)^. (Д4.14)
В случае несжимаемой среды условие divu = О в фурье-представлении
позволяет найти В (к) = —А(к) и записать (Д4.14) в простой форме
Uap(k) = А(к) (бар - ^п) • (Д4.15)
Спектральные тензоры (Д4.14) и (Д4.15) легко проинтегрировать по углам
и записать энергию (Д4.13) в виде однократного интеграла по абсолютной
величине волнового вектора:
оо
fdE
J dk
dk, где Ш = £-@A(k) + B(k)) (Д4.16)
820
Дополнение 4
— спектральная плотность энергии турбулентности (в расчете на единицу
массы и единичный интервал волновых чисел). Если характерные скорости
турбулентных пульсаций и дозвуковые, то эффекты, связанные со
сжимаемостью среды, малы, порядка u/cs < 1, и спектральная плотность
определяется одной скалярной функцией, которая получается из (Д4.16) при
В = -А:
f = йт- (Д4Л7)
Последовательная количественная теория, которая позволяла бы
вычислять корреляционные тензоры турбулентности и распределение энергии
по масштабам, в настоящее время еще не создана. Но существуют
приближенные полуколичественные модели, доказавшие свою адекватность для
многих относительно простых ситуаций. Наиболее наглядная и
апробированная модель такого рода предложена Колмогоровым (1941) и Обуховым
(1941) для развитой однородной, изотропной и стационарной
турбулентности несжимаемой нейтральной (неионизованной) среды. Она базируется на
следующих основных положениях:
а) Энергия, поддерживающая турбулентность, создает движения с
пространственными масштабами, которые определяются свойствами
конкретных источников энергии (характерное значение этих масштабов обозначим
через L — внешний масштаб турбулентности, близкий к введенной
выше корреляционной длине Lc). В этой области наиболее крупных
масштабов турбулентность может быть неоднородной и анизотропной. В единицу
времени в среду поступает средняя энергия порядка е на единицу массы,
которая в стационарном случае должна в конечном счете диссипироваться
и переходить в тепло. Величина е также определяет интенсивность
турбулентных пульсаций (см. формулу (Д4.20)).
б) Основная часть энергии турбулентности принадлежит вихревым
движениям с масштабами порядка L, которые образуют энергосодержа-
щую область масштабов (и соответствующих волновых чисел в
окрестности ко = 2тг/Ь, см. рис. Д4.1). В случае развитой турбулентности L > и/и,
поэтому диссипация механической энергии в энергосодержащей области
играет малую роль. Основной отток энергии из этой области обусловлен
нелинейным дроблением крупных вихрей на более мелкие. Такая
возможность заложена в нелинейной структуре уравнений сплошной среды.
Каскадное дробление вихрей происходит в широкой области масштабов вплоть
до некоторого масштаба I (внутренний масштаб турбулентности), начиная
с которого становится существенной диссипация энергии механического
движения. В диапазоне масштабов от L до / основным процессом является
Турбулентность и ее описание • 821
Диссипативный
интервал
Рис. 15.17
нелинейная передача по спектру всей энергии г, получаемой от источника,
от крупномасштабных к мелкомасштабным движениям. Поскольку
основной нелинейный член (и • V)u9 ответственный за этот процесс, обусловлен
силой инерции du/dt, диапазон масштабов L > А > / называется
инерционным. Нелинейный процесс дробления вихрей изотропизует
турбулентность, поэтому на масштабах A<L она становится локально однородной
и изотропной даже в том случае, когда крупномасштабное движение этим
свойством не обладает.
в) В инерционном интервале зависимость скорости движения ил от
масштаба Л можно найти на основе следующих соображений. Пусть время ■
жизни вихря с масштабом Л порядка времени его оборота т\ « \/и\
(«сильная» турбулентность). За время т\ энергия этого вихря (ц\/2 на единицу
массы) будет передана более мелкомасштабным движениям. За единицу
времени должна быть передана энергия е9 определяемая источниками:
Отсюда имеем по порядку величины
их * (еЛ)1/3
Д1/з
(Д4.18)
(Д4.19)
(закон Колмогорова-Обухова зависимости скорости от масштаба).
Зависимость (Д4.18) по порядку величины сохраняет силу и на масштабе L,
822
Дополнение 4
поэтому
j;, (Д4.20)
где и — среднее значение скорости пульсаций, близкое к их максимальной
скорости. Но в эту оценку, разумеется, не должна входить средняя скорость
потока, если она имеется. В приведенных выше формулах величину и\
следует понимать как и\ = (и\)г/29 поскольку для изотропной турбулентности
(их) = 0.
г) Диссипативный масштаб / определяется условием
приблизительного равенства инерционного и диссипативного членов в этом масштабе:
l~luf « ищ1~2, что дает / « v/щ. С помощью (Д4.19) получаем
/ з\1/4
'«(т-) (Д4-21)
Масштабы Л < / образуют диссипативный диапазон, в котором
турбулентность затухает.
Получим с помощью (Д4.19) спектральную плотность энергии (Д4.17).
Имеем
оо
Л = 2тг/к, и\ = f(u2k)47rk2dk « 4тг(и£)/с3,
к
откуда получаем для инерционного интервала
; к> 4пк3 \ к ) 47rfc3'
Это позволяет записать распределение энергии по спектру:
4| = Щ^4жк2 = Се2'Ч-ъ1* (Д4.22)
(закон Колмогорова-Обухова для спектральной плотности энергии в
инерционном интервале волновых чисел). Разумеется, весь приведенный расчет
имел характер порядковых оценок. Поэтому безразмерная постоянная С
должна определяться из эксперимента. Несмотря на простоту модели,
закон Колмогорова-Обухова находит подтверждение в измеряемых
характеристиках атмосферной и морской турбулентности, а также турбулентности
молекулярных облаков галактического диска.
Турбулентность и ее описание
823
В более сложном случае, когда корреляционный тензор скоростей
содержит единичный антисимметричный псевдотензор e\^v, наиболее
простая форма спектрального тензора имеет вид
U^(k, t) = А(к, t) К„ - -^ - iP(k, t)e^xkx. (Д4.23)
Существенно, что функция Р(к, t) здесь должна быть псевдоскаляром,
т.е. изменять знак при инверсии пространственных осей. Турбулентность
с P(k,t) ф 0 носит название гиротропной (или отражательно
неинвариантной). Она может возникнуть, например, во вращающемся теле под
действием сил Кориолиса (подробнее см. Вайнштейн и др., 1980). Покажем,
что гиротропию турбулентности можно характеризовать интегральным
параметром
оо
а=-± (u(r,t + T)-rotu(r,t))dT = -^(u(r,0) • rotu(r,0)). (Д4.24)
о
Последнее равенство здесь можно рассматривать как определение
корреляционного времени тс. Запишем
(ii(r,0)-rotii(r,0)> =еЛ/^т^— (пл(гь0)и1,(г2,0))|Г1^Г2 =
J (27Г)*3
Подставив сюда (Д4.24) и использовав (Д4.23), получим связь псевдоскадя-
ра а с псевдоскалярной функцией Р(к>0):
оо
a=^fk4P(k,0)dk. (Д4.25)
Интерес к гиротропной турбулентности возрос после того, как было
установлена ее способность усиливать крупномасштабное магнитное поле в
проводящей среде. Этот вопрос рассмотрен в задачах 10.82-10.84.
Слабая МГД турбулентность в несжимаемой проводящей среде с
магнитным полем. Пусть на турбулентную среду с энергосодержащим
824
Дополнение 4
масштабом L и скоростью и в этом масштабе наложено внешнее магнитное
поле В, плотность энергии которого по порядку величины
Это означает, что альвеновская скорость порядка скорости в основном
масштабе: и « и л = В/у/Атгт. Даже если первоначально магнитное поле
было однородным, со временем из-за вмороженности оно приобретет
хаотический характер с наибольшим масштабом неоднородности порядка L.
В несжимаемой среде собственные моды — это альвеновские волны, причем
в простой альвеновской волне или в альвеновской волне малой амплитуды
магнитная и кинетическая энергии одинаковы в любом масштабе А(см.
формулу (19) из примера 10.9):
Поток энергии по спектру в сторону меньших масштабов возникает
вследствие нелинейной генерации мелкомасштабных мод. Обобщение модели
Колмогорова-Обухова на рассматриваемый случай можно получить,
учитывая, что в масштабах I « А « L диссипация энергии играет малую
роль, а скорости пульсаций малы по сравнению со скоростью в основном
масштабе (и\ «и « и\). Запишем поток энергии по спектру е в виде
разложения по малому отношению (и\)/и2А:
е « а{и\)/и\ + b{{ul)/u\f +... (Д4.27)
Первое слагаемое, пропорциональное квадрату скорости, может описывать
только поток диссипируемой энергии. В пренебрежении диссипацией а = 0.
Во втором слагаемом b — коэффициент, имеющий размерность е. Его
можно составить из масштаба А и альвеновской скорости ид, одинаковой для
движений всех масштабов: b = и\/(3\ (3 — безразмерный коэффициент.
В итоге получим из (Д4.27) соотношения
£*^Х' <«л> * (/feu^A)1'2, (Д4-28)
определяющие зависимость турбулентной скорости от масштаба. Переходя
к распределению турбулентной энергии по спектру волновых чисел, как это
делалось при выводе формулы (Д4.22), находим
<ШъС(еиА)1/2к3'2 (Д4.29)
Турбулентность и ее описание
825
Здесь С — безразмерная постоянная. В силу (Д4.26) спектр энергии
турбулентного магнитного поля повторяет спектр кинетической энергии (Д4.29).
На диссипативном масштабе / главную роль начинает играть переход
механической и магнитной энергий в тепло, который описывается первым
слагаемым в разложении (Д4.27). Это слагаемое с учетом размерного
множителя можно записать в виде е « ил(и2)/1. С другой стороны, дисси-
пируемая энергия складывается из поглощенной механической энергии на
единицу массы и{и2)/12 и аналогичной величины, связанной с магнитным
полем: иш{В2) / Акт12 « Vm{u2)]l2. В итоге имеем е « {у + иш){и2)/12 и,
сравнивая два полученных выше выражения для €, получаем
В последнее время наряду с кратко изложенным выше подходом к
теории турбулентности, основанном на ее описании с помощью
корреляционных тензоров, получает все большее развитие анализ турбулентного
состояния как результата самоорганизации сильно неравновесной и
нелинейной открытой системы. С этим кругом идей и методов читатель может
познакомиться по обзору Зеленого и Миловангова (2004) и цитированной в
этом обзоре литературе.
Рекомендуемая литература: [Монин и Яглом (1965); Монин и Яглом
(1967); Фриш (1998); Фрик (2003); Фрост и Моулден (1980); Рытов (1978);
Лихтенберг и Либерман (1984); Вайнштейн и др. (1989)].
Литература
[Абловиц и Сигур (1987)] Абловиц М, Сигур X. Солитоны и метод
обратной задачи. — М: Мир, 1987.
[Абрамовиц и Стиган (1979)] Абрамовиц М, Стиган И. Справочник по
специальным функциям. — М: Наука, 1979.
[Агранович и Гинзбург (1979)] Агранович В.М., Гинзбург В.Л.
Кристаллооптика с учетом пространственной дисперсии и теория экситонов. —
М: Наука, 1979.
[Александров и др. (1978)] Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Руха-
дзе А.А. Основы электродинамики плазмы. — М.: Высшая школа,
1978.
[Альвен и Фельтхаммар (1967)] Альвен Г., Фельтхаммар К.-Г Космическая
электродинамика. — М.: Мир, 1967.
[Амусья (1990)] Амусья М.Я. Тормозное излучение. — М.: Энергоатомиз-
дат, 1990.
[Амусья и др. (1987)] Амусья М.Я., Буймистров В.М., Зон Б.А. и др.
Поляризационное тормозное излучение частиц и атомов. — М.: Наука,
1987.
[Андрюшин и др. (1993)] Андрюшин Е.А., Гинзбург В.Л., Силин А.П.
О граничных условиях в микроскопической* теории
сверхпроводимости. УФН, т. 163, № 9, 1993, с. 105-108.
[Антонова и др. (1988)] Антонова Е.Е., Бахарева М.Ф., Ломоносов В.Н.,
Тверской Б.А. Ускорительные механизмы в космосе. — М.: Изд-во
Московского университета, 1988.
[Ахиезер и др. (1974)] Ахиезер А.И., Ахиезер И.А., Половин Р.В., Си-
тенко А.Г, Степанов К.Н. Электродинамика плазмы. Под ред.
А.И. Ахиезера. М.: Наука, 1974.
[Ахиезер и Шульга (1993)] Ахиезер А.И., Шульга Н.Ф. Электродинамика
высоких энергий в веществе. — М.: Наука, 1993.
[Ахманов и др. (1981)] Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение
в статистическую радиофизику и оптику. — М.: Наука, 1981.
Литература
827
[Ахманов и др. (1988)] Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика
фемтосекундных лазерных импульсов. — М: Наука, 1988.
[Ахманов и Никитин (1998)] Ахманов С.А., Никитин СЮ. Физическая
оптика. — М: Изд-во Московского университета, 1998.
[Ахмедиев и Анкевич (2003)] Ахмедиев Н.Н., Анкевич А. Солитоны.
Нелинейные импульсы и пучки. — Физматлит, 2003.
[Базылев и Жеваго (1987)] Базылев В.А., Жеваго Н.К. Излучение быстрых
частиц в веществе и во внешних полях. — М: Наука, 1987.
[Бараш и Гинзбург (1976)] Бараш Ю.С, Гинзбург В.Л. О выражениях для
плотности энергии и выделяющегося тепла в электродинамике
диспергирующей и поглощающей среды. УФН, т. 118, № 5, 1976, с. 523-
538.
[Бардин и Шриффер (1962)] Бардин Дж., Шриффер Дж. Новое в изучении
сверхпроводимости. — М: ГИФМЛ, 1962.
[Барфут(1970)] Барфут Дж. Введение в физику сегнетоэлектрических
явлений. — М.: Мир, 1970.
[Барышевский (1982)] Барышевский В.Г. Каналирование, излучение и
реакции в кристаллах при высоких энергиях. — Минск: Изд-во БГУ им.
В.И.Ленина, 1982.
[Басе и Фукс (1972)] Басе Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически
неровной поверхности. — М.: Наука, 1972.
[Батыгин и Топтыгин, Современная электродинамика, ч. 1] Батыгин В.В.,
Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, ч. 1. — Москва-
Ижевск: ИКИ, 2003.
[Батыгин и Топтыгин (2002)] Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач
по электродинамике. — М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2002.
[Бердышев (1992)] Бердышев А.А. Введение в квантовую теорию
магнетизма. — Екатеринбург: Изд-во Уральского университета, 1992.
[Бережко и др. (1988)] Бережко Е.Г., Ёлшин В.К., Крымский Г.Ф., Петухов
СИ. Генерация космических лучей ударными волнами. —
Новосибирск: Наука, 1988.
[Березинский и др. (1990)] Березинский B.C., Буланов СВ., Гинзбург В.Л.,
Догель В.А., Птускин B.C. Астрофизика космических лучей. Под
редакцией В.Л.Гинзбурга. — М.: Наука, 1990.
[Берестецкий и др. (1989)] Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский.
Л.П. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1989.
828
Литература
[Блинц и Жекш (1975)] Блинц Р., Жекш Б. Сегнетоэлектрики и антисегне-
тоэлектрики. — М: Мир, 1975.
[Бломберген (1966)] Бломберген Н. Нелинейная оптика. — М.: Мир, 1966.
[Бойко и Петров (1988)] Бойко Б.Б., Петров Н.С. Отражение света от уси-
' ливающих и нелинейных сред. — Минск: Наука и техника, 1988.
[Болотовский (1985)] Болотовский Б.М. Оливер Хевисайд. М.: Наука, 1985.
[Болотовский и Столяров (1974)] Болотовский Б.М., Столяров С.Н.
Современное состояние электродинамики движущихся сред. УФН, т. 114,
№ 12, 1974, с. 569.
[Болотовский и Столяров (1974)] Болотовский Б.М., Столяров С.Н. Поля
источников излучения в движущихся средах. Эйнштейновский
сборник 1978-1979. - М.: Наука, 1983, с. 173.
[Борн и Вольф (1970)] Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука,
1970.
[Борн и Хуан Кунь (1958)] Борн М., Хуан Кунь. Динамическая теория
кристаллических решеток. — М.: ИЛ, 1958.
[Брагинский (1963)] Брагинский СИ. Явления переноса в плазме. Вопросы
теории плазмы, в. 1, с. 183-271, Госатомиздат, 1963.
[Бредов и др., Классическая электродинамика] Бредов М.М., Румянцев
В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика — М.: Наука,
1985.
[Бриллюэн и Пароди (1959)] Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение
волн в периодических структурах. — М.: ИЛ, 1959.
[Быков и Топтыгин (1993)] Быков A.M., Топтыгин И.Н. Кинетика частиц в
сильно турбулентной плазме. Методы перенормировок и
самосогласованного поля. УФН, т. 163, № 11, 1993, с. 19.
[Ваганов и Каценеленбаум (1982)] Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З.
Основы теории дифракции. — М.: Наука, 1982.
[Вайнштейн (1966а)] Вайнштейн Л.А. Открытые резонаторы и открытые
волноводы. — М.: Советское радио, 1966.
[Вайнштейн (1966b)] Вайнштейн Л.А. Теория дифракции и метод
факторизации. — М.: Советское радио, 1966.
[Вайнштейн (1988)] Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. — М.:
Радио и связь, 1988.
[Вайнштейн и Вакман (1983)] Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение
частот в теории колебаний и волн. М.: Наука, 1983.
Литература
829
[Вайнштейн и др. (1989)] Вайнштейн СИ., Быков A.M., Топтыгин И.Н.
Турбулентность, токовые слои и ударные волны в космической
плазме. - М.: Наука, 1989.
[Вайнштейн и др. (1980)] Вайнштейн СИ., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А.
Турбулентное динамо в астрофизике. — М: Наука, 1980.
[Вакс (1973)] Вакс В.Г Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлек-
триков. — М.: Наука, 1973.
[Веселаго (2003)] Веселаго В.Г. Электродинамика материалов с
отрицательным коэффициентом преломления. УФН, т. 173, 2003, с. 790-794.1
[Виноградов (2001)] Виноградов А.И. Электродинамика композитных
материалов. - М: УРСС, 2001.
[Виноградов (2002)] Виноградов А.И. К вопросу о форме материальных
уравнений в электродинамике. УФН, т. 172, 2002, с. 363.
[Виноградова и др. (1979)] Виноградова МБ., Руденко О.В., Сухоруков
А.П. Теория волн. — М: Наука, 1979.
[Власов (1955)] Власов А.А. Макроскопическая электродинамика. — М:
ГИТТЛ, 1955.
[Высокотемпературные сверхпроводники (1988)] Высокотемпературные
сверхпроводники. — М: Мир, 1988.
[Гайтлер (1956)] Гайтлер В. Квантовая теория излучения. — М.: ИИЛ, 1956.
[Галицкий и Ермаченко (1988)] Галицкий В.М., Ермаченко В.М.
Макроскопическая электродинамика. — М.: Высшая школа, 1988.
[Гинзбург (1949)] Гинзбург В.Л. Теория сегнетоэлектрических явлений.
УФН, т. 38, 1949, с. 390.
[Гинзбург (1973)] Гинзбург В.Л. О законах сохранения энергии и импульса
при излучении электромагнитных волн (фотонов) в среде и о тензоре
энергии-импульса в макроскопической электродинамике. УФН, т. 110,
1973, с. 309.
[Гинзбург (1987)] Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика.
Дополнительные главы. — М.: Наука, 1987.
[Гинзбург (2001)] Гинзбург В.Л. Фазовые переходы в сегнетоэлектриках
(несколько исторических замечаний). УФН, т. 171, 2001, с. 1091.
[Гинзбург (2002)] Гинзбург В.Л. Несколько замечаний об излучении
зарядов и мультиполей, равномерно движущихся в среде. УФН, т. 172,
2002, с. 373 - 376.
830
Литература
[Гинзбург (2004)] Гинзбург В.Л. О сверхпроводимости и сверхтекучести
(что мне удалось сделать, а что не удалось), а также о «физическом
минимуме» на начало века. УФН, т. 174, №11, 2004, с. 1240-1255.
[Гинзбург (2005)] Гинзбург В.Л. Несколько замечаний об изучении
сверхпроводимости. УФН, т. 175, №2, 2005, с. 187-190.
[Гинзбург и Ландау (1950)] Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории
сверхпроводимости. ЖЭТФ, т. 20, 1950, с. 1064.
[Гинзбург и Сыроватский (1963)] Гинзбург В.Л., Сыроватский СИ.
Происхождение космических лучей. — М: Изд-во АН СССР, 1963.
[Гинзбург и Угаров (1976)] Гинзбург В.Л., Угаров В.А. Несколько
замечаний о силах и тензоре энергии-импульса в макроскопической
электродинамике. УФН, т. 118, 1976, с. 175.
[Гинзбург и Франк (1946)] Гинзбург В.Л., Франк И.М. Излучение
равномерно движущегося электрона, возникающее при его переходе из
одной среды в другую. ЖЭТФ, т. 16, 1946, с. 15 - 28.
[Гинзбург и Цытович (1984)] Гинзбург В.Л., Цытович В.Н. Переходное
излучение и переходное рассеяние (некоторые вопросы теории). — М.:
Наука, 1984.
[Градштейн и Рыжик (1971)] Градштейн B.C. и Рыжик И.М. Таблицы
интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука, 1971.
[Григорьев и Мейлихов (1991)] Физические величины. Справочник. Под
ред. Григорьева И.С. и Мейлихова Е.З. — М.: Энергоатомиздат, 1991.
[Гринберг (1948)] Гринберг ГА. Избранные вопросы математической
теории электрических и магнитных явлений. — Изд-во АН СССР, 1948.
[Гуревич и Мелков (1994)] Гуревич А.Г., Мелков Г.А. Магнитные
колебания и волны. — М.: Физматлит, 1994.
[Давыдов (1976)] Давыдов А.С. Теория твердого тела. — М.: Наука, 1976.
[Дацюк и Измайлов (2001)] Дацюк В.В., Измайлов И.А. Оптика
микрокапель. УФН, т. 171, 2001, с. 1117.
[Де Бройль (1948)] Де Бройль Л. Электромагнитные волны в волноводах и
полых резонаторах. — М.: ИЛ, 1948.
[Де Жен (1968)] Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. — М.:
Мир, 1968.
[Джексон (1975)] Jackson J.D. Classical Electrodynamics. — New York: Wiley,
1975.
[Джеймс (1950)] Джеймс Р. Оптические принципы дифракции
рентгеновских лучей. — М.: ИЛ, 1950.
Литература
831
[Додд и др. (1988)] Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны
и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988.
[Долгов и др. (1982)] Долгов О.В., Киржниц Д.А., Лосяков В.В. О
допустимых значениях диэлектрической и магнитной проницаемостей
вещества. ЖЭТФ, т. 83, 1982, с. 1894.
[Долгов и Максимов(1981)] Долгов О.В., Максимов Е.Г. Эффекты
локального поля и нарушение соотношений Крамерса-Кронига для
диэлектрической проницаемости. УФН, т. 135, 1981, с. 441.
[Дыхне (1970а)] Дыхне A.M. Проводимость двумерной двухфазной
системы. ЖЭТФ, т. 59, 1970, с. 110.
[Дыхне (1970b)] Дыхне A.M. Аномальное сопротивление плазмы в
сильном магнитном поле. ЖЭТФ, т. 59, 1970, с. 641.
[Де Гроот и Мазур (1964)] Де Гроот С, Мазур П. Неравновесная
термодинамика. — М.: Мир, 1964.
[Дьярмати (1974)] Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория
поля и вариационные принципы. — М.: Мир, 1974.
[Железняков и др. (1989)] Железняков В.В., Кочаровский В.В., Кочаров-
ский Вл.В. Волны поляризации и сверхизлучение в активных средах.
УФН, т. 159, 1989, с. 193.
[Завадский и Вальков (1980)] Завадский Э.А., Вальков В.И. Магнитные
фазовые переходы. — Киев: Наукова Думка, 1980.
[Займан (1966)] Займан Дж. Принципы теории твердого тела. — М.: Мир,
1966.
[Захаров и др. (1980)] Захаров В.Е., Манаков СВ., Новиков СП., Питаев-
ский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — М.: Наука,
1980.
[Звелто (1984)] Звелто О. Принципы лазеров. — М.: Мир, 1984.
[Зеленый и Милованов (2004)] Зеленый Л.М., Милованов А.В.
Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к
проблемам космической электродинамики. УФН, т. 174, №8, 2004, с. 809-
852.
[Зельдович (1956)] Зельдович Я.Б. Магнитное поле в проводящей
турбулентной среде при двумерном движении. ЖЭТФ, т. 31, 1956, с. 154.
[Зоммерфельд (1958)] Зоммерфельд А. Электродинамика. — М.: ИИЛ, 1958.
[Зоммерфельд (I960)] Зоммерфельд А. Оптика. — М.: ИИЛ, 1960.
832
Литература
[Игнатов и Рухадзе (1981)] Игнатов A.M., Рухадзе А.А. О неоднозначности
определения магнитной проницаемости материальных сред. УФЫ,
т. 135, 1981, с. 171.
[Изюмов и Скрябин (1987)] Изюмов Ю.А., Скрябин Ю.Н. Статистическая
механика магнитоупорядоченных систем. — М: Наука, 1987.
[Ильичев (2003)] Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях
гидромеханики. — Физматлит, 2003.
[Иорганев и Бондаренко (2002)] Иорганев Д.В., Бондаренко О.В.
Волоконно-оптические кабели и линии связи. — М: Эко-Трендз, 2002.
[Исимару (1981)] Исимару А. Распространение и рассеяние волн в
случайно-неоднородных средах, т. 1 и т. 2. — М: Мир, .1981.
[Каганов и др. (1997)] Каганов М.И., Пустыльник Н.Б., Шалаева Т.И. Маг-
ноны, магнитные поляритоны, магнитостатические волны. УФН, т.
167, 1997, с. 191.
[Казанцев (2002)] Казанцев В.П. Пример, демонстрирующий возможности
и особенности вариационного подхода к задачам электростатики.
УФН, т. 172,2002, с. 357.
[Калашников (1981)] Калашников Н.П. Когерентные взаимодействия
заряженных частиц в монокристаллах. — М.: Атомиздат, 1981.
[Каули (1979)] Каули Дж. Физика дифракции. — М.: Мир, 1979.
[Килин (2003)] Килин С.Я. Квантовая оптика. Поля и их детектирование.
- М.: УРСС, 2003.
[Киржниц (1976)] Киржниц Д.А. Всегда ли справедливы соотношения
Крамерса-Кронига для диэлектрической проницаемости вещества?
УФН, т. 119, 1976, с. 357.
[Киржниц (1987)] Киржниц Д.А. Общие свойства электромагнитных
функций отклика. УФН, т. 152, 1987, с. 399.
[Клышко (1980)] Клышко Д.Н. Фотоны и нелинейная оптика. — М.: Наука,
1980.
[Клышко (1986)] Клышко Д.Н. Физические основы квантовой
электроники. -М.: Наука, 1986.
[Кляцкин (2004)] Кляцкин В.И. Распространение электромагнитных волн
в случайно-неоднородной среде как задача статистической
математической физики. УФН, т. 174, 2004, с. 177.
[Колпаков и др. (1978)] Колпаков А.В., Бушуев В.А., Кузьмин РН.
Диэлектрическая проницаемость в рентгеновском диапазоне частот. УФН, т.
126, 1978, с. 479.
Литература
833
[Король и др. (2004)] Король А.В., Лялин А.Г., Соловьев А.В.
Поляризационное тормозное излучение. — СПб: Изд-во СПбГПУ, 2004.
[Краузе и Рэдлер (1984)] Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная
гидродинамика средних полей и теория динамо. — М: Мир, 1984.
[Кресин (1978)] Кресин В.З. Сверхпроводимость и сверхтекучесть. — М.:
Наука, 1978.
[Кривоглаз (1967)] Кривоглаз М.А. Теория рассеяния рентгеновских лучей
и тепловых нейтронов реальными кристаллами. — М.: Наука, 1967.
[Кубо (1967)] Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967.
[Кубо (1970)] Кубо Р. Термодинамика. - М.: Мир, 1970.
[Кубо и др. (1985)] Kubo R., Toda M., Hashitsume N. Statistical Physics II.
Nonequilibrium Statistical Mechanics. — Berlin: Springer-Verlag, 1985.
[Кузьмин и Романов (1996)] Кузьмин В.Л., Романов В.П. Когерентные
эффекты при рассеянии света в неупорядоченных системах. УФН, т.
166, 1996, с. 247-278.
[Куликовский и Любимов (1962)] Куликовский А.Г., Любимов Г.А.
Магнитная гидродинамика. — М.: ГИФМЛ, 1962.
[Кумахов и Ширмер (1980)] Кумахов М.А., Ширмер Г. Атомные
столкновения в кристаллах. — М.: Атомиздат, 1980
[Кумахов (1986)] Кумахов М.А. Излучение каналированных частиц в
кристаллах. — М.: Энергоатомиздат, 1986.
[Кумахов и Комаров (1985)] Кумахов М.А., Комаров Ф.Ф. Излучение
заряженных частиц в твердых телах. — Минск: Изд-во "Университетское",
1985.
[Лайнс и Гласе (1981)] Лайнс М., Гласе А. Сегнетоэлектрики и
родственные им материалы. — М.: Мир, 1981.
[Ландау (1946)] Ландау Л.Д. О колебаниях электронной плазмы. ЖЭТФ, т.
16, 1946, с. 574 (см. также Собрание трудов, 1969, т. 2, с. 7-25).
[Ландау и Лифшиц, Квантовая механика] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.
Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.: Наука, 1974.
[Ландау и Лифшиц, Гидродинамика] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.
Гидродинамика. — М.: Наука, 1986.
[Ландау и Лифшиц, Статистическая физика] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.
Статистическая физика, часть 1. — М.: Наука, 1978.
[Ландау и Лифшиц, Теория поля] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.
- М.: Наука, 1973.
834
ЛИТЕРАТУРА
[Ландау и Лифшиц, Электродинамика сплошных сред] Ландау Л.Д., Лиф-
шиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.:
[Левин и Рытов (1967)] Левин М.Л., Рытов.С.М. Теория равновесных
тепловых флуктуации, в электродинамике. — М.: Наука, 1967.
Наука, 1982.
[Леонтович (1961)] Леонтович М.А. Обобщение формул Крамерса-Кронига
на среды с пространственной дисперсией. ЖЭТФ, т. 40, 1961, с. 907.
[Леонтович (1983)] Леонтович М.А. Введение в термодинамику.
Статистическая физика. — М.: Наука, 1983.
[Линдхард (1954)] Lindhard J. On the properties of gas of charged particles.
Det. Kong. Danske Vid. Selskab. Dan. Mat. Fys. Medd., v. 28, 1954,
No. 8.
[Линдхард (1969)] Линдхард Й. Влияние кристаллической решетки на
движение быстрых заряженных частиц. УФН, т. 99, 1969, с. 249-296.
[Лифшиц и Питаевский, Статистическая физика, ч. 2] Лифшиц Е.М.,
Питаевский Л.П: Статистическая физика, ч. 2. — М.: Наука, 1978.
[Лифшиц и Питаевский, Физическая кинетика] Лифшиц Е.М., Питаевский
Л.П. Физическая кинетика. — М.: Наука, 1979.
[Лихтенберг и Либерман (1984)] Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная
и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.
[Мандель и Вольф (2000)] Мандель Л., Вольф Э. Оптическая
когерентность и квантовая оптика. — М.: Физматлит, 2000.
[Максвелл (1989)] Максвелл Д.К. Трактат об электричестве и магнетизме,
т. I и И.-М.: Наука, 1989.
[Мартинсон и Недоспасов (1993)] Мартинсон М.Л., Недоспасов А.В.
О плотности заряда внутри проводника с током. УФН, т. 163, № 1,
1993, с. 91-92.
[Михайловский (1975)] Михайловский А.Б. Теория плазменных неустой-
чивостей, т. 1. Неустойчивисти однородной плазмы. М.: Атомиздат,
1975.
[Монин и Яглом (1965)] Монин А.С, Яглом A.M. Статистическая
гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965.
[Монин и Яглом (1967)] Монин А.С, Яглом A.M. Статистическая
гидромеханика. Часть 2. — М.: Наука, 1967.
[Моффат (1980)] Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей
среде.-М.: Мир, 1980.
Литература
835
[Нейман и Демирчян (1981а)] Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические
основы электротехники, т. 1. — Л.: Энергоиздат, 1981.
[Нейман и Демирчян (19816)] Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические
основы электротехники, т. 2. — Л.: Энергоиздат, 1981.
[Незлин (1976)] Незлин М.В. Волны с отрицательной энергией и
аномальный эффект Доплера. УФН, т. 120, 1976, с. 481-495.
[Низьев (2002)] Низьев В.Г. Дипольно-волновая теория дифракции
электромагнитного излучения. УФН, т. 172, 2002, с. 601.
[Никольский (1973)] Никольский В.В. Электродинамика и распространение
радиоволн. — М.: Наука, 1973.
[Новокшенов (2002)] Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. —
Москва-Ижевск: ИКИ, 2002.
[Нуссенцвейг (1976)] Нуссенцвейг Х.М. Причинность и дисперсионные
соотношения. — М.: Мир, 1976.
[Ньютон (1969)] Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. — М.:Мир,
1969.
[Ньюэлл (1989)] Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир,
1989.
[Ораевский (1994)] Ораевский А.Н. Спонтанное излучение в резонаторе.
УФН, т. 164, 1994, с. 415-427.
[Ораевский (1998)] Ораевский А.Н. Сверхсветовые волны в усиливающих
средах. УФН, т. 168, 1998, С.131Ы321.
[Островский и Потапов (2003)] Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в
теорию модулированных волн. — М.: Физматлит, 2003.
[Пайерлс (1988)] Пайерлс Р. Сюрпризы в теоретической физике. — М.:
Наука, 1988.
[Памятных и Туров (2000)] Памятных Е.А., Туров Е.А. Основы
электродинамики материальных сред в переменных и неоднородных полях. —
Наука, Физматлит, 2000.
[Пановский и Филипс (1963)] Пановский В., Филипс М. Классическая
электродинамика. — М.: ГИФМЛ, 1963.
[Паркер (1982)] Паркер Е. Космические магнитные поля, ч. 1 и 2. — М.:
Мир, 1982.
[Пейк (1965)] Пейк Дж. Парамагнитный резонанс. — М.: Мир, 1965.
[Пикельнер (1966)] Пикельнер СБ. Основы космической электродинамики.
- М.: Наука, 1966.
836
Литература
[Пинскер (1974)] Пинскер З.Г. Динамическая теория рассеяния
рентгеновых лучей в кристаллах. — М: Наука, 1974.
[Платонов и Флейшман (2002)] Платонов К.Ю., Флейшман Г.Д.
Переходное излучение в случайно-неоднородных средах. УФН, т. 172, 2002,
с. 241-300.
[Половин и Демуцкий (1987)] Половин Р.В., Демуцкий В.П. Основы
магнитной гидродинамики. — М.: Энергоатомиздат, 1987.
[Ривлин (1991)] Ривлин Л.А. Энергия образования волновода как мера его
критической частоты. УФН, т. 161, 1991, с. 143.
[Ривлин (1997)] Ривлин Л.А. Фотоны в волноводе (несколько мысленных
экспериментов). УФН, т. 167, 1997, с. 309.
[Росси (1955)] Росси Б. Частицы больших энергий. — М.: ГИТТЛ, 1955.
[Роуз-Инс и Родерик (1972)] Роуз-Инс А., Родерик Е. Введение в физику
сверхпроводимости. — М.: Мир, 1972.
[Рузмайкин и др. (1988)] Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д., Шукуров A.M.
Магнитные поля галактик. — М.: Наука, 1988.
[Рыскин и Трубецков (2000)] Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные
волны. — М.: Физматлит, 2000.
[Рытов (1976)] Рытов СМ. Введение в статистическую радиофизику, ч. I.
Случайные процессы. — М.: Наука, 1976.
[Рытов (1978)] Рытов СМ., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в
статистическую радиофизику, ч. И. Случайные поля. — М.: Наука, 1978.
[Седов (1972)] Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. —
М.: Наука, 1972.
[Селезов и Корсунский (1991)] Селезов И.Т., Корсунский СВ.
Нестационарные и нелинейные волны в электропроводящих средах. — Киев:
Наукова думка, 1991.
[Сивухин, Электричество] Сивухин Д.В. Курс общей физики, том III.
Электричество. — М.: Наука, 1977.
[Силин и Рухадзе (1961)] Силин В.П., Рухадзе А.А. Электромагнитные
свойства плазмы и плазмоподобных сред. — М.: Госатомиздат, 1961.
[Скалли и Зубайри (2003)] Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика.
— М..Физматлит, 2003.
[Скобельцын (1973)] Скобельцын Д.В. О тензоре энергии-импульса
электромагнитного поля. УФН, т. ПО, 1973, с. 253.
[Скотт (1977)] Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в
приложении к электронике. — М.: Советское Радио, 1977.
Литература
837
[Скотт и др. (1977)] Скотт Э., Чу Ф., Маклафлин Д. Солитон — новое
понятие в прикладных науках. Idid., с. 215.
[Смайт (1954)] Смайт В. Электростатика и электродинамика. — М: ИИЛ,
1954.
[Собельман (2002)] Собельман И.И. К теории рассеяния света в газах.
УФЫ, т. 172, № 1, 2002, с. 85-90.
[Солимено и др. (1989)] Солимено С, Крозиньяни Б., Ди Порто П.
Дифракция и волноводное распространение оптического излучения. — М:
Мир, 1989.
[Солитоны в действии (1981)] Солитоны в действии. Под редакцией
К.Лонгрена и Э. Скотта. — М: Мир, 1989.
[Сороко (1971)] Сороко Л.М. Основы голографии и когерентной оптики. —
М.: Наука, 1971:
[Строук (1967)] Строук Дж. Введение в когерентную оптику и
голографию. — М.: Мир, 1967.
[Струков и Леванюк(1995)] Струков Б.А., Леванюк А.П. Физические
основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах. — М.: Наука, Физ-
матлит, 1995.
[Стрэттон (1948)] Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма. — М.- Л.:
ГИТТЛ, 1948.
[Сыроватский (1957)] Сыроватский СИ. Магнитная гидродинамика. УФН,
т. 62, № 3, 1957, с. 247. '
[Тамм (1976)] Тамм И.Е. Основы теории электричества. — М.: Наука, 1976.
[Тамм и Франк (1937)] Тамм И.Е., Франк И.М. Когерентное излучение бы-
< строго электрона в среде. ДАН СССР, т. 14, с. 107, 1937.
[Татарский (1967)] Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной
атмосфере. — М.: Наука, 1967.
[Тверской (2004)] Тверской Б.А. Основы теоретической космофизики.
Избранные труды. - М.: УРСС, 2004.
[Теория сверхпроводимости (I960)] Теория сверхпроводимости. Сборник
статей (под редакцией Н.Н.Боголюбова). — М.: ИИЛ, 1960.
[Тер-Микаелян (1969)] Тер-Микаелян М.Л. Влияние среды на
электромагнитные процессы при высоких энергиях. Ереван: Изд-во АН Арм.
ССР, 1969.
[Тер-Микаелян (1997)] Тер-Микаелян М.Л. Простейшие атомные системы
в резонансных лазерных полях. УФН, т. 167, № 12, 1997, с. 1249 -
1294.
838
Литература
[Тер-Микаелян (2001)] Тер-Микаелян М.Л. Радиационные
электромагнитные процессы при высоких энергиях в периодических средах. УФН,
т. 171, №6, 2001, с.597-624.
[Тер-Микаелян (2003)] Тер-Микаелян М.Л. Электромагнитные процессы
при высоких энергиях в аморфных и неоднородных средах. УФН,
т. 173, № 12, 2003, с.1265 - 1286.
[Терновский (I960)] Терновский Ф.Ф. Влияние многократного рассеяния
на собственное поле быстрой заряженной частицы. ЖЭТФ, т. 39,1960,
с. 491-496.
[Тилли и Тилли (1977)] Тилли Д.Р. и Тилли Дж. Сверхтекучесть и
сверхпроводимость. — М.: Мир, 1977.
[Томпсон (1969)] Томпсон М. Каналирование частиц в кристаллах. УФН, т.
99, 1969, с. 297-318.
[Тодаи др. (1983)] Toda M., Kubo R., Saito N. Statistical Physics I.
Equilibrium Statistical Mechanics. — Berlin: Springer-Verlag, 1983.
[Топтыгин (1964)] Топтыгин И.Н. К теории тормозного излучения и
рождения пар в среде. ЖЭТФ, т. 46, 1964, с. 851 - 862.
[Топтыгин (1983)] Топтыгин И.Н. Космические лучи в межпланетных
магнитных полях. — М.: Наука, 1983.
[Уайт (1985)] Уайт Р. Квантовая теория магнетизма. — М.: Мир, 1985.
[Уизем (1977)] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.
[Федоров (2004)] Федоров Ф.И. Оптика анизотропных сред. — М.: УРСС,
2004.
[Фейнберг (1999)] Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн вдоль
земной поверхности. — М.: Наука, Физматлит, 1999.
[Фейнберг (2003)] Фейнберг Е.Л. Мандельштам Леонид Исаакович. В
сборнике: Эпоха и личность. Физики, с. 7-53. — М.: Физматлит, 2003.
[Фейнман (1975)] Фейнман Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1975.
[Ферми (1940)] Fermi E. Ionization energy losses in gases and condensed
media. Phys. Rev., v. 57, p. 485, 1940.
[Ферми (1949)] Fermi E. On the Origin of the Cosmic Radiation. Phys. Rev.,
v. 75, p. 1169, 1949.
[Ферми (1951)] Ферми Э. Ядерная физика. М.: ИИЛ, 1951.
[Физика космоса (1986)] Физика космоса. Маленькая энциклопедия. — М.:
Советская энциклопедия, 1986.
Литература
839
[Физический энциклопедический словарь] Физический
энциклопедический словарь. Гл. редактор А.М.Прохоров. — М: «Советская
энциклопедия», 1984.
[Фокин (1996)] Фокин А.Г. Макроскопическая проводимость случайно-
неоднородных сред. Методы расчета. УФН, т. 166, №10,1996, с. 1069-
1093.
[Франк (1988)] Франк И.М. Излучение Вавилова-Черенкова. Вопросы
теории. - М.: Наука, 1988.
[Франсон и Сланский (1967)] Франсон М., Сланский С. Когерентность в
оптике. — М.: Наука, 1967.
[Френкель (1935)] Френкель Я.И. Электродинамика, т. И.
Макроскопическая электродинамика материальных тел. — М.: ГОНТИ, 1935.
[Френкель (1949)] Френкель Я.И. Теория явлений атмосферного
электричества. - Л.- М.: ГИТТЛ, 1949.
[Фрелих (I960)] Фрелих Г. Теория диэлектриков. — М.: ИИЛ, 1960.
[Фрик (2003)] Фрик П.Г. Турбулентность: подходы и модели. — Москва^
Ижевск: ИКИ, 2003.
[Фриш (1998)] Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н.Колмогорова. М.:
Фазис, 1998.
[Фрост и Моулден (1980)] Фрост У, Моулден Т. (редакторы).
Турбулентность. Принципы и применения. — М.: Мир, 1980.
[Шварцбург (1998)] Шварцбург А.Б. Видеоимпульсы и непериодические
волны в диспергирующих средах (точно решаемые модели). УФН,
т. 168, № 1, 1998, с. 85-103.
[Шварцбург (2000)] Шварцбург А.Б. Дисперсия электромагнитных волн в
слоистых и нестационарных средах (точно решаемые модели). УФН,
т. 170, № 12, 2000, с. 1297-1324.
[Шерклиф (1967)] Шерклиф Дж. Курс магнитной гидродинамики. — М.:
Мир, 1967.
[Шимони (1964)] Шимони К. Теоретическая электротехника. — М.: Мир,
1964.
[Шмидт (2000)] Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. — М.:
МЦНМО, 2000.
[Шриффер (1970)] Шриффер Дж. Теория сверхпроводимости. — М.: Наука,
1970.
Предметный указатель
Угол полной поляризации 452
Адиабатическое размагничивание
186
Атомный форм-фактор 486
Вектор магнитной индукции 17
— напряженности магнитного поля
21
— напряженности электрического
поля 17
— электрической индукции 21
Вихревой ток 248
Волны альвеновские 263
— магнитозвуковые 264
— простые 261
Восприимчивость диамагнитная 31
— диэлектрическая 21
— магнитная 21
— парамагнитная 31
Высокотемпературные
сверхпроводники 189
Геометрическая оптика 469
Гиромагнитный множитель Ланде 45
Гиротропная турбулентность 823
Граничное условие Леонтовича 446
Двухжидкостная магнитная
гидродинамика 259
Дисперсионные соотношения 362
Диэлектрическая и магнитная
проницаемости 22
Единственность решения в
электростатике 57
Емкость конденсатора 58
Закон Джоуля-Ленца 153
— Кюри для парамагнетика 44
— Кюри-Вейсса 93, 176
— Ома 21
— преломления 443
Законы Кирхгофа 152
Затухание Ландау 353
Изотопический эффект 192
Ионные плазменные колебания 423
Ионный звук 423
Квант магнитного потока 191
Кноидальная волна 617
Комплексная диэлектрическая
проницаемость 345
Комплексное сопротивление
(импеданс) 240
Контактная разность потенциалов
147
Коэффициент экстинкции 57.5
Коэффициенты деполяризации 75
— емкостные 59
— потенциальные 59
Куперовские пары 199, 203
Магнитная вязкость 257
Магнитное давление 258
Предметный указатель
841
Магнитные поляритоны 507
Магнитострикция 187
Мейсснера-Оксенфельда эффект
189
Мера вращения 463
— дисперсии 452
Модель Изинга 179
Нелинейное уравнение Шредингера
592
Неустойчивость Кельвина-Гельм-
гольца 278
Неустойчивость Релея-Тейлора 277
Области прозрачности 367
Обобщенная электрическая
индукция 342
Оптические оси 458
Парамагнетики и диамагнетики 21
Переходное излучение 709
Плазмоны 423
Поверхностный импеданс 446
Поляритоны в диэлектрике 489
Приближение времени релаксации
26
Принцип Бабине 475
— симметрии кинетических
коэффициентов 155
Работа выхода 102
Радиус Дебая-Хюккеля 52
Распределение Больцмана 22
— Максвелла 23
Регулярное и стохастическое
ускорение 748
Сила Абрагама 394
Скорость альвеновская 264
Солитон 590
Спектр магнонов 427
Спонтанная поляризация 91
Сторонние ЭДС 148
Сторонние заряды и токи 15
Температура Кюри сегнетоэлектрика
91
Тензор комплексной
электропроводности 345
— поляризуемости 22, 60
Теорема Бора-Ван Левен 30
Ток Холла 55
Толщина скин-слоя 249
Турбулентная магнитная вязкость
333
Угол полного отражения 452
Уравнение Блоха 376
— Больцмана 26
— Брегга-Вульфа 487
— Бюргерса 586
— Гельмгольца 527
— Кортевега-де Вриза (КдВ) 590
— Ландау-Лифшица 377
— Лауэ 486
— Фоккера-Планка 685
— Френеля 458
— дисперсии 440
Ферромагнетик Гейзенберга 177
Ферромагнитный резонанс 428
Флуктуационно-диссипационная
теорема 574
Формула Рэлея 612
— Томсона 241
— Эйнштейна 576
Формулы Клаузиуса-Мосотти 25
— Лоренц-Лорентца 25
— Френеля 443
Функция Бриллюэна 46
— Ланжевена 23
842
Предметный указатель
Число Рейнольдса 257
Электронные плазменные (ленгмю-
ровские) колебания 421
Электронный парамагнитный
резонанс, ЭПР 427
Электропроводность 21
Электростатическая теорема
взаимности 60
Эргодичность 554
Эффект Коттона-Мутона 509
— Пельтье 163
— Томсона 163
Ядерный магнитный резонанс, ЯМР
427
Исправления к первому изданию части 1
«Современной электродинамики»
5 Строки 11-16. Напечатано:
5.2. Излучение нерелятивистских систем зарядов и токов
Электромагнитное поле движущейся заряженной частицы. Потеря
энергии и импульса заряженной частицей. Спектральное
распределение заряженных частиц. Излучение при столкновениях частиц.
Излучение при распадах и превращениях частиц.
Должно быть:
5.2. Излучение нерелятивистских систем зарядов и токов
Электрическое дипольное излучение. Квадрупольное и магнитно-
дипольное излучение. Вектор Герца и излучение антенн. Принцип
взаимности. Примеры и задачи.
18 Ф-ла (1.27).
Напечатано: \Тар — ^&ар\ = 0. Должно быть: \Тар — \5ар\ = 0.
55 Ф-ла (1.148).
Напечатано: J\(x) = —Jq{x). Должно быть: J\(x) = —Jq(x).
150 Строка 16 сверху.
Напечатано: Д.К.Максвелл Должно быть: Дж.К.Максвелл
217 Ф-ла (3.3). Напечатано: с = 299792458 ± 1.2 м/с « 3 х 1010 см/с
Должно быть:
с = 299792458 м/с « 3 х 1010 см/с (3.3)
(метр — это расстояние, проходимое светом за 1/с секунд).
358 Строка 4 снизу. Напечатано:
Должно быть:
((-
47ГС
dkFik...
844
Исправления к первому изданию части 1
396 Строка 10 снизу. Напечатано: т = ту3/4тге2е'2п\
Должно быть: г = т2у3/4тге2е,2пХ
406 Строка 10 снизу. Напечатано: и = кН, Должно быть: uj = rjH,
463 Ф-ла (5.55). Напечатано:
cRz(l - п -у/с)
Должно быть:
Н(г, t) = — Ь ...
V ; cR2(l-n-v/c)
475 Пропущены условия задач:
5.73. Скорость v релятивистской частицы в некоторый момент ретар-
дированного времени t' параллельна ее ускорению v. Найти
мгновенное угловое распределение интенсивности излучения dl/dfl, полную
мгновенную интенсивность излучения /, а также суммарную по всем
направлениям скорость потери энергии —d£/dtf. Какой характер имеет
угловое распределение интенсивности излучения в
ультрарелятивистском случае?
5.74. Скорость частицы убывает от vq до 0 в течение промежутка
времени г. Найти угловое распределение тормозного излучения,
испущенного за все время движения частицы, считая ускорение постоянным.
Какая длительность Д£ импульса будет зарегистрирована покоящимся
прибором?
5.75. Релятивистская частица с зарядом е, массой т и импульсом р
движется по круговой орбите в постоянном однородном магнитном
поле Н. Радиус орбиты а = ср/еН. Найти суммарную по всем
направлениям скорость потери энергии частицей —d£/dt'.
5.76. Ультрарелятивистский электрон движется в однородном
магнитном поле с напряженностью Н по винтовой линии. Его скорость v
составляет угол в с вектором Н. Найти энергию -d£/dt\ теряемую
электроном в единицу времени. Найти также поток энергии излучения
/ через неподвижную сферу большого радиуса, окружающую электрон.
477 Строки 3, 4 сверху, аргумент синуса и косинуса.
Напечатано: ~£(# + -^х3) Должно быть: ^£(х + «х3)
Исправления к первому изданию части 1
845
490 Ф-ла (5.117). Напечатано:
F = -|^{(Я • v? -(cE + vx H)>, (5.117)
Доллсно быть:
F = -^Ь-{(Я . v)2 + (cE + vx H)2}v, (5.117)
3raV
493 Строка 16 снизу.
Напечатано: допплеровское Должно быть: доплеровское
525 Строка4сверху.Напечатано: s(т) = expsm(vr/a)—ey[cos(vr/a) — i\,
Должно быть: s(t) = exasm(vt/a) — eya[cos(vr/a) — 1],
527 Строка 4 сверху (вторая строка формулы).
/о /О
Напечатано: —— Должно быть: ——
565 Строка 7 сверху.
Напечатано: Г°° e^'^dt Должно быть: Г°° e^-^^dt
J — ОО ^ J — ОО
582 Ф-ла (6.27)
Напечатано: a\zs) = zs\z3). Должно быть: as\zs) — zs\zs).
598 Ф-ла (6.62), первая строка.
Напечатано: — i f j^- A (r)d3r Должно быть: — i f jfi • A(r)d3r
599 Ф-ла (6.65).
(Ns +1V2 _ . V(NS + IV2
Напечатано: ... = _ _ . Должно быть: ... = r-^-г—
4тг2Й2с5 4тг2Й2с5
Ф-ла (6.66).
Напечатано: ... = — Должно быть: ... =
4тг2й2с5 " ' " ' 4тг2Я2с5
605 Строка 7 снизу. Напечатано: задачи 6.47. Должно быть: задачи 6.48.
626 Ф-ла (3). Напечатано: (с(й • р) + /?гас2 - £)и = 0,
Должно быть: (c(ol • р) + /?гас2 — £)и = 0,
Ф-лы (4). Напечатано:
,д\ J с(^ • Р)Х + (™^2 - £)у> = 0,
w \ с(£ • р)(^ + (тс2 + £)х = 0.
846
Исправления к первому изданию части 1
Должно быть:
(л\ J с(а ' Р)Х + (™<с2 ~ Е)Ч> = 0.
w \ с(Э • р)(р + (тс2 + £)* ■= 0.
или
Должно быть:
627 Ф-ла (5) и далее. Напечатано:
с(Э-р)х с(Э-р)(р
с - mcz с + гшг
с2(^-р)2 _
£2 - т2с4
с(£-р)х с(<г-р)<р
с - mcz с + гшг
c2(Z'P)2 =
£2 - т2с4
627 Строка 13 снизу. Напечатано: где /х — собственное значение проекции
спина. Сравнивая...
следует опустить текст начиная со слов "Сравнивая... до конца
абзаца. Должно быть:
где /х — собственное значение проекции спина. Уравнения (7)
одинаковы. Явный...
628 Ф-лы (12). Напечатано:
или
2иср 2/хср
т^д, оП
Должно быть:
Т~1 2^' 7 2Ш»
S + mc"5 £ - mcz
с(Э • р) с(Э • р)
£ + га(Г £ - тжг
629 Ф-ла (13).
4 4
Напечатано: J2 и\чи\к = $jk, Должно быть: Yl u\ju\k = &jk,
A=l A=l
Исправления к первому изданию части 1
847
635 Ф-лы (4). Напечатано:
(4) E(r±,t) = д(г\+:*>. *= qr±xv
{v2t2 + г2/72)3/2' (vH2 + ri/72)3/2'
Должно быть:
(4)
„/ n q(r± + vt) ,,, . qvxr±
E(r±,t) = —^-±—±—, H(r±,t)-
^(v^+rl/j2)3/2' 12c{v2t2^v\h2fl2
635 Ф-ла (5). Напечатано:
Должно быть:
646 Строка 7 сверху.
Напечатано: еь ±1 = ekl ek2 Должно быть: ek ±i = ekl *ek2
\/2 ' \/2
647 Строка 2 снизу. Напечатано: Релея-Джинса Должно быть: Рэлея-
Джинса
687 Ф-ла (5). Напечатано: (5) dar(uj < тс2/2) = ... Должно быть:
(5) d(ir{hjO < тс2/2) = ...
687 Ф-ла (6). Напечатано:
(о) dcrr(u; > mc /2) = з^го — • • •
Должно быть:
•(6) ^>тс^)=§£,^...
Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или
электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш
Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307,
тел.: 332-48-92 (почтовый адрес: Нахимовский проспект, д. 34)
2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. 135-54-37
3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж)
4. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
«Библиоглобус» (ад. «Лубянка», ул. Мясницкая, 6)
Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г. Долгопрудный,
Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409-93-28)
С.-Пб.: «С.-Пб.. дом книги» (Невский пр., 28)
Топтыгин Игорь Николаевич
Современная электродинамика
Часть 2. Теория электромагнитных явлений в веществе
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Корректор 3. Ю. Соболева
Подписано в печать 28.02.03. Формат 60 х 84У16.
Печать офсетная. Усл.-печ. л. 49,47. Уч.-изд. л. 42,34.
Гарнитура Тайме. Бумага газетная. Тираж 1200 экз. Заказ № 5945.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500-295
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных материалов
в ОАО «Дом печати — ВЯТКА». 610033, г. Киров, ул. Московская, 122. ,
ISBN 5-93972-164-8
9"785939»721646