/
Author: Куликовский А.Г. Галин Г.Я. Голубятников А.Н. Каменярж Я.А. Карликов В.П.
Tags: общая механика механика твердых и жидких тел физико-математические науки физика механика термодинамика гидромеханика задачи по физике
ISBN: 5-7611-0083-5
Year: 1996
Text
МЕХАНИКА
СПЛОШНЫХ СРЕД
В ЗАДАЧАХ
Том 2
Ответы и решения
Под редакцией М. Э. Эглит
Г. Я. Галин
А. Н. Голубятников
Я. А. Каменярж
В. П. Карликов
А. Г. Куликовский
А. Г. Петров
Е. И. Свешникова
И. С. Шикина
М. Э. Эглит
/luu/ей»
ББК 22, 25
С23
УДК 531
Издание осуществлено при поддержке
Российского Фонда Фундаментальных исследований
Механика сплошных сред в задачах. Том 2: Ответы и решения.
М.: <'Жоасо(ккии 4ицги», 1996. — 394 с.
Под ред. М. Э. Эглит
ISBN 5-7611-0083-5
Том 2 содержит ответы, указания и решения около 1000 приве-
приведенных в Томе 1 задач и упражнений по всем главным разделам
механики сплошных сред, включая: общие основы механики и
термодинамики сплошных сред, гидромеханику, газовую динамику,
теорию упругости, теорию пластичности, основы моделирования.
Для студентов, преподавателей и научных работников в области
механики и физики.
Авторы: Глеб Яковлевич Галин, Александр Николаевич Голубятников, Яков
Александрович Каменярж, Владимир Павлович Карликов, Андрей
Геннадьевич Куликовский, Александр Георгиевич Петров, Елена Ивановна
Свешникова, Ирина Сергеевна Шикина, Маргарита Эрнестовна Эглит.
Рисунки Е. Н. Пащенко
ISBN 5-7611-0083-5
© <<t4Coaca^ocuu 4щей», 1996
© Авторы, 1996
Частное некоммерческое учебное
заведение <<t4loaca&ctcuu viuqeu»
129348, Москва, Ярославское ш., д. 2, корп. 1
Тел. @95) 188-59-71, факс @95) 188-33-10.
Содержание
Предисловие ко второму тому 5
Глава 1. Основные понятия, используемые для описания
движения и деформации сплошной среды .... 6
1. Лагранжево и эйлерово описания движения 6
2. Тензоры в евклидовом пространстве. Декартовы координаты . 11
3. Криволинейные координаты 13
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 21
5. Относительное движение и четырехмерное пространство-время 40
6. Элементы симметрии и тензорные функции 48
Глава 2. Общие законы и уравнения механики сплошных сред 53
8. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности 53
9. Тензор напряжений 55
10. Дифференциальные уравнения движения и равновесия .... 60
11. Применение законов сохранения массы, количества движения, мо-
моментов количества движения в интегральной форме для определе-
определения сил и моментов, действующих на тела, движущиеся в жидко-
жидкости (метод контрольных поверхностей) 67
12. Уравнения моментов количества движения 75
Глава 3. Термодинамика сплошных сред . . . 81
14. Первый закон термодинамики. Уравнения энергии и уравнение
притока тепла. Совершенный газ 81
15. Второй закон термодинамики. Энтропия. Тождество Гиббса . 91
16. Ограничения на вид определяющих соотношений, вытекающие из
законов термодинамики и принципа Онзагера 97
17. Термодинамика сред с внутренним моментом количества движе-
движения 103
4 Содержание
Глава 4. Поверхности разрыва в сплошных средах .... 107
18. Условия на поверхностях разрыва 107
19. Поверхности разрыва в лагранжевом описании 117
Глава 5. Механика жидкости и газа „ . . . 120
21. Гидростатика 120
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 126
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 147
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 168
25. Механика сжимаемой жидкости 187
26. Газовая динамика 240
Глава 6. Теория упругости 264
28. Линейная теория упругости 264
29. Нелинейная теория упругости 298
30. Моментная теория упругости и осреднение 302
Глава 7. Неупругие деформируемые среды 310
31. Теория пластического течения 310
32. Вязкоупругость и вязкопластичность 323
Глава 8. Специальная теория относительности 327
33. Преобразования Лоренца. Пространство Минковского .... 327
34. Некоторые понятия релятивистской кинематики и динамики . 333
Глава 9. Электродинамика сплошных сред 337
35. Уравнения Максвелла 337
36. Магнитная гидродинамика 343
37. Электрогидродинамика 359
Глава 10. Анализ размерностей и моделирование 363
39. Примеры приложений теории размерности 363
Предметный указатель 387
Предисловие ко второму тому
Второй том книги содержит ответы, указания и решения к
задачам, включенным в первый том. Как правило, приведены
лишь главные моменты решения, а детали оставлены читателю
для самостоятельной работы. Поэтому даже те задачи, решение
которых дано в книге, могут быть использованы преподавателя-
преподавателями в качестве домашних заданий, при составлении контрольных
работ и экзаменационных билетов.
В любом случае, даже если читатель решил задачу совершен-
совершенно самостоятельно, авторы считают, что ему было бы полезно
изучить решение, представленное в этом томе. Зачастую оно
содержит не только указание на другой возможный путь реше-
решения, но также дополнительные элементы теории и комментарии,
которые дают более глубокое понимание проблемы.
Ответы и решения задач включены во второй том последо-
последовательно, в том же порядке, как соответствующие тексты задач
входят в первый том, и имеют ту же нумерацию.
Для удобства ориентировки во втором томе повторены на-
названия глав и парагафов первого тома, также с сохранением их
нумерации (естественно, параграфы, не имеющие задач, во вто-
второй том не включены).
Номера формул и рисунков, относящиеся ко второму тому,
содержат букву О (ответы). Если же в какой-либо ссылке эта
буква отсутствует, то имеется в виду формула или рисунок из
первого тома книги. Как и в первом томе, сначала указан номер
параграфа, а затем порядковый номер формулы или рисунка в
этом параграфе.
Во втором томе также повторен общий для всей книги пред-
предметный указатель, содержащий ссылки на наиболее важные по-
понятия, определения, факты, встречающиеся как в первом, так и
во втором томах книги.
Я желаю больших успехов всем читателям этой книги.
М.Э.Эглит
Москва, 1 июня 1996 года
Глава 1. Основные понятия,
используемые для описания
движения и деформации
сплошной среды
1. Лагранжево и эйлерово описания движения
1.1 Решение: Введем в пространстве декартову систему ко-
координат (жьж2,жз). В качестве лагранжевых координат части-
частицы (жь#2?жз) возьмем координаты (?ъ?2>?з) точки простран-
пространства, в которой частица находилась в момент t = 0.
а) Пусть ось Х\ направлена по (имеющему постоянное напра-
направление) вектору скорости. Движение состоит в переносе тела в
направлении оси х\ на расстояние vt. Поэтому закон движения
имеет вид
xi = vt + ?i, ж2 = 6» ж3 = ?з-
б) Пусть ось хз направлена по оси вращения, неподвижной в про-
пространстве. Движение состоит в повороте вокруг нее на угол ut.
Преобразование вектора начального положения частицы в век-
вектор ее положения в момент t осуществляется при таком повороте
ортогональной матрицей
—smut 0
cosut 0
0 1
Поэтому закон движения имеет вид
Другое решение. Соответствие F <-> (а1,а2,аз) векторов ев-
евклидова пространства и троек чисел не обязательно устанавли-
устанавливать в виде
п\ = Ж1, U2 = Х21 &3 = ^з,
где (#i, #2, хз) — компоненты г в декартовой системе координат.
1. Лагранжево и эйлерово описания движения 7
Например, можно использовать цилиндрические координаты
xi = Я, х2 = <р, х3 = z,
где R — расстояние от конца вектора г до оси х3, <р — угол
между плоскостью, проходящей через г и ось х3, и плоскостью
х\Ох3, z = х3. При вращении вокруг оси х3 цилиндрические
координаты R и z частицы очевидно не меняются, а координата
<р изменяется за время t на величину и;?, если угловая скорость
постоянна. Поэтому закон движения в цилиндрических коорди-
координатах имеет вид
R = i?o? <Р — Ut + Сро, Z = Zq,
здесь (До5 ?>о? ^о) — лагранжевы координаты частицы.
Таким образом, декартова система координат не всегда са-
самая удобная.
1.2 Решение: При поступательном движении твердого тела
скорости всех частиц одинаковы,
vi{?,t) = tti(t), v2(?,t) = u2(t), v3{^t) = u3(t).
Из определения скорости
*{М = ??§?, ,-=1,2,3
находится закон движения
t t t
xi = /t*i(r)rfr + ^i, ж2 = I u2{r)dT + ?2, хз = из{т)Aт + €з.
0 0 0
1.3 Поле скорости:
vi = <2, ^2 = Ь^ь г;з = 0;
поле ускорения:
а\ = а2 = а3 — 0.
В точке (жох, ^02, ^оз) в момент t = to находится материальная
точка, имеющая лагранжевы координаты
х01 — atoxO2 х02
6= 6
l-abtl ' 6" 1-ottg
8 Глава 1. Основные понятия
1.4 а) Поле скорости:
поле ускорения:
аг = 0, а2 = 0, а3 = 2%
г
б) Частица находится в точке Bа; 76/3; 5с).
1.5 Значения функций ?Q = ga{%i,X2,X3,t), где а = 1,2,3,
указывают, какая частица находится в момент t в точке про-
пространства (#i, ж2, #з); d^a/dt = 0, а = 1, 2,3.
1.6 В эйлеровом описании поля скорости v и ускорения а име-
имеют следующий вид (точка означает производную по времени):
а) V{ = а—, п{ = а—, г = 1, 2, 3.
а а
б) t>i = bx2, ^2 = ^3 = 0, а\ = Ьх2, а,2 = «з = 0.
в) vt- = Btfcsjfe, а,- = CikXk, где В = АЛ, С = АЛ.
1.7 Закон движения имеет вид
где в качестве лагранжевых координат введены координаты по-
положения индивидуальной точки (частицы) в момент t = 0.
1.8 Если в качестве лагранжевых координат ввести коорди-
координаты частицы в момент t = 0, то закон движения примет вид
a) xi = —, #2 = —, жз = ?з»
где V^ & (
О
б) ^^^ t= 1,2,3,
где До
в)
1. Лагранжево и эйлерово описания движения 9
Линии тока в случаях а), б) и в) совпадают с траекториями,
хотя в случаях а) и б) движения не являются установившими-
установившимися. В случаях а) и в) линии тока лежат в плоскости #з = const,
картины линий тока одинаковы во всех таких плоскостях и опи-
описываются соответственно уравнениями
В случае б) линии тока — всевозможные прямые, проходящие
через начало координат.
1.9 Если в качестве лагранжевых координат ввести коорди-
координаты индивидуальной частицы в момент t — О, то закон движе-
движения примет вид
-fA(r)dr fB(r)dr
Линии тока в момент t = to такие же, как при установившемся
движении с А = A(to) = const иВ = В(?о) = const.
а) Нельзя: для каждой частицы известна кривая, по которой она
движется, однако это движение может происходить с разной по
величине скоростью.
б) Нельзя: в каждой точке известна прямая, вдоль которой на-
направлена скорость, но величина скорости может быть разной.
1.10 Указание: а) На вращение с угловой скоростью ш во-
вокруг оси хз наложено поступательное движение со скоростью и
вдоль этой оси.
б) Траектории определяются по закону движения среды
xi = ^-cosu^ + fi, х2 = — sino;?-K2, х3 = ?3
путем исключения времени t.
Ответ: а) Линии тока и совпадающие с ними траектории
суть винтовые линии на цилиндрах х\ + х\ — с2, с = const, с
шагом 2ttu/uj.
б) Линии тока и совпадающие с ними траектории — эллипсы
г2 v2
1 ¦ 2 1 +¦
д + В=с> Хз== &' с = const#
10 Глава 1. Основные понятия
в) Траектории — окружности
линии тока в момент to — прямые
xx-ci = ~(х2 - с2) tgurto, хз = с3, сь с2, с3 = const.
1.11 а) Могут; б) могут.
1.12 Может.
1.13 Поле ускорения а имеет компоненты
ч п 2ж2 6tx3
a) ei=0f = ;^, "^F^
б) ai = A{t)x2 + A(t)B(t)xu a2 = B{t)xi+A{t)B(t)x2, a3 = 0.
1.15 0.
1.16 а) Надо проверить, что компоненты скорости Vi(x,t) в
эйлеровом описании не зависят от времени, х = (#i, #2, #з). Ком-
Компоненты скорости равны
от=
где 5i/,- — производная функции /t- по первому аргументу. Что-
Чтобы перейти к эйлерову описанию, выразим из соотношений
s.- = /.-(Ci + tf*,6,&), г = 1,2,3,
аргументы функций /г- через х:
^х + Ш = 5i (ж), 6 = 52 (ж), ?3 = 5з (ж).
Тогда в эйлеровом описании компоненты скорости равны
Vi(x,t) = difi{gi(x),g2(x),g3(x))U
и, очевидно, не зависят от времени.
б) Поскольку движение установившееся, линии тока совпадают
с траекториями. Траектория индивидуальной частицы с коор-
координатами (?о15?о2,?оз) — это геометрическое место точек, для
2. Тензоры. Декартовы координаты 11
которых найдется момент времени t такой, что выполняется ра-
равенство
т. е. кривые Х{ — /«(г, ?0216K)» гДе т — параметр.
2. Тензоры в евклидовом пространстве.
Декартовы координаты
2.1 a) tn + t22 + *зз.
б) Первые два выражения равны и представляют при г — 1, 2, 3
соответственно суммы
Третье и четвертое выражения равны и при j = 1, 2, 3 пред-
представляют соответственно суммы, вообще говоря, не равные пре-
предыдущим,
PllUl+P2lU2+P3iy>3, P12U1+P22U2+P32U3, Р13Щ+Р23и2+РззЩ-
в) Первые шесть выражений равны, седьмое выражение пред-
представляет сумму, отличную от них.
2.2 а) 3, 3, 3; б) п, п, п.
<L4 9Л 5 А (х, t)
2.3 — = — + Vi У J.
at at oxi
2.4 а) Указание: Наборы T{j и rfkl для ортонормированных
базисов t{ и е' связаны тензорным законом преобразования.
б) Ответ: т^щп^ = tijU{Uj; свертки TijU{Vj и tijU{Vj, вообще го-
говоря, не равны.
2.6 Свертка не зависит от того, какими буквами обозначают-
обозначаются индексы, по которым производится суммирование. Поэтому
Sijdij = Sjiuji. Остается заметить, что Sji — S{j и aji = —ay, и,
таким образом, syay = —Sijuij = 0.
12 Глава 1. Основные понятия
2.8 Произведения Bijkismn и их суммы Bijki?kl преобразуются
по тензорному закону. Чтобы показать это, выразите Дд/ и вы
через их компоненты в другом ортогональном базисе, например,
Ski — AkpAiqe'pq и используйте формулу AkrAkp = 5гр, верную для
матрицы ортогонального преобразования ||Аг>?||.
2.9 t{j = tJ Jt + — —; представление единственно.
2.10 Указание: Заметьте, что
Sij(U{ + V{)(Uj + Vj) — SijUiUj + SijUiVj + SijViUj + SijViVj.
2.11 См. задачу 2.9.
2.12 a) 0; 6) 0.
2.13 Если ег — ортонормированный базис, то и базис
/ / /
ортонормирован и t'i2 = 0. Выразить tf\2 через t{j и заключить,
что ?хз = 0.
Аналогично показать, что tij = 0 при г ф j, и, следователь-
следовательно, матрица ||^-|| диагональна. С учетом этого подобрать еще
один ортонормированный базис е*, для которого условие t*i2 = 0
приводило бы к равенству tn — t22. Показать, что t\\ = ?33-
Ответ: Во всяком ортонормированном базисе матрица ||tt-j||
компонент тензора t пропорциональна единичной, Uj = cS{j,
число с не зависит от базиса.
2.14 а) Главные компоненты суть
Ai = —2, А2 = 1, A3 = 3.
Соответствующие главные оси направлены вдоль векторов
б) Главные компоненты суть
Ах = -2, А2 = А3 = 2.
Соответствующие главные оси тензора направлены вдоль векто-
вектора л/3 ?\ + е2 и вдоль произвольной пары ортогональных векто-
векторов, лежащих в плоскости векторов -л/3 в\ + е2 и е3. Обратите
внимание, что тройка главных осей не является единственной,
если среди главных компонент имеются равные.
3. Тензоры. Криволинейные координаты 13
2.15 а) Указание: Функции Ji, J2 и J$ получены в резуль-
результате свертки тензоров, поэтому они являются скалярами. Их
независимость от выбора базиса может быть доказана так же,
как в задаче 2.8.
б) Указание: Функции Д, /2 и Is выражаются через Ji, J2 и J$
следующими формулами:
2.16 Да, являются. Они инвариантны, поскольку могут быть
определены как корни уравнения третьей степени с инвариант-
инвариантными коэффициентами.
2.17 Если Ai, А2 и Аз суть главные значения тензора, то
h — Ai + А2 + A3, /2 = AiA2 + A1A3 + А2Аз, /з = АхА2Аз,
J\ — Ai + А2 + A3, /2 = Ах + А2 + А3, Js — Ах + А2 + А3.
3. Криволинейные координаты
3.1 а) Взаимный базис можно искать в виде ek = Xk^ej.
Коэффициенты Xki определяются из условий ек • в{ = 5к.
б) ё • е? = gikek • gjlei = gikgjlek • в/ = gikgjlgid = 9ij-
г) Проверить, что в{ • е-7 = 5^.
3.2 а) Базис, взаимный ортонормированному, совпадает с ним.
б) Да.
1 _ 3ci - е2 - е3 2 _ Зе2 - е3 - ^i 3 _ Зе3 - ех - е2
, За — 6 — с 9 36 — с — а ¦> Зс — а — 6
vl = -, v2 = , v3 = .
14 Глава 1. Основные понятия
3.4 Закон преобразования величин д^ находится с использо-
использованием выражения базиса efk через базис е^. Чтобы найти закон
преобразования величин дгэ, достаточно проверить, что матри-
матрица с компонентами
дхт дхп
обратна матрице Ц'
3.5 а) Например, пусть Sij — Sji, тогда
. п — У ьгп — У ьпг — sn •
3.6 а) Вообще говоря, нет. б) Да.
3.7 а) Векторы базиса цилиндрической системы координат:
Поэтому
в точке Mi: ei = e'i, е2 = 5в'2,
в точке
М2: ег = —е\ + -е'2, е2 = -5е\ + 5>/Зв;2, е3 = е'3.
б) Компоненты метрического тензора в цилиндрической системе
координат таковы:
9и = 1? 922 = г2, #зз = 1, #i2 = #13 = #2з = О,
»" = 1» 522 = ^' 533-l, 512 = ff13 = <723 = О, Л- = *}.
Это соотношение справедливо в любой системе координат.
в) е1 = еь е2 = е2/г2, б3 = е3.
3.8 c'i = cos(/p в\ sin(/? е2, е'2 = sin<^ в\ -\—cos^ 62.
г г
3.9 Ненулевые компоненты тензора:
pfn = a cos 2</? + 6 sin 2</?,
р'12 = р'21 = (а — 6) cos 99 sin ip,
pf22 = a sin 2(f + 6 cos 2</?.
3. Тензоры. Криволинейные координаты 15
3.10 Базис сферической системы координат:
в\ = sin в cos Л е\ + sin в sin А е^ + cos в е'з,
е2 = г cos в cos Л e'i + г cos 0 sin A e72 — г sin б в'з,
вз = —г sin 0sin A e'i + г sin 0 cos A e^;
Компоненты тензора g в сферической системе координат:
ffn = 1, 922 = г2, #3з = г2 sin 20, ^12 = ^13 = 5^23 = 0;
„П _ 1 П22 _ 1 33 _ 1 „12 _ 13 _ 23 _ п.
3.11 Воспользуйтесь ковариантным законом преобразования.
Такой метод годится для любого векторного поля. В частных
условиях этой задачи есть и более простое решение. Заметьте,
что v — г/|г|, где г есть вектор с компонентами (xf ,V , ж'') в
базисе е'ь е'2, е'3.
Ответ: v\ = 1, ^2 = ^3 = 0.
3.12 ds2 = (r2 + a2 sin V) (-Й-, + d<A + dz2.
3.13 rfs2 = (r2 + a2 cos 2в)(-^% + dO2) + (r2 + a2) sin
3.14 a) €i/|ci|; б) косинус угла равен в\ •e2/|ei||c2|; в) е1/^11.
3.15 Искомый базис:
h\ (da db \ db da
t\ = I 1 H— ) ( —ex + —i
V RJ \ds ds
где R = Д(^) есть радиус кривизны заданной кривой;
3.16 а) [х1] = L, [х2] = [ж3] = 1;
б)[в1] = 1, [еа] = [«,] = !, [е1] = 1, [е2] - [в3] = L;
в) Ы = 1, [322]= [дзз] = Ь2; b»] = l, [^2] = [ff33]=
г) [v1] =
16 Глава 1. Основные понятия
Здесь через L и Т обозначены размерности длины и времени
соответственно; размерность любой величины обозначена ква-
квадратными скобками [•], например, [v] есть размерность скорости
v, [v] — L/T; [/] = 1 означает, что / безразмерна.
3.17 б) и-ю =
в) Например,
Чи = *12kill«2| = h2\el\\e2\ = t!2ki||e2| = ^2|e1|
3.18 а) Искомое выражение физического базиса имеет вид
ег = в\ = cos(fe\ + sin
в2 I , /
е(р = — = - sin (ре i + cos (pe 2,
ez = е3 = в'3.
б) иф1 = 0, иф2 = о;г, г?ф3 = 0, аф1 = -а;г2, аф2 = сОг, аФз = 0.
3.19 Если бы физический базис er, e^, ez был локальным ба-
базисом системы координат (yfc), то базис е; цилиндрической си-
системы координат был бы связан с ним соотношениями
е = djLe + Мв + <^!е
- ®]Lt + ^-е 4- — е
е =^!.в +^с +^е
9z dz ^ dz
В силу связей между базисами вг и еГ, е^,, ez, см. задачу 3.18,
первые два из этих соотношений несовместны.
3.20 а) Проверьте, что b{j = Ь(ег, ej) и воспользуйтесь этим.
б) Ы-
3.21 а) Проверьте, что a\j = ег • ае7 и воспользуйтесь этим,
б) Элементы матрицы \\a\j\\ оператора равны a\j = 8j - п%Пу
3. Тензоры. Криволинейные координаты 17
3.22 Тензор t может быть лишь шаровым, см. задачу 2.11.
Однако равенство t^ = О, в отличие от ситуации задачи ,2.11,
теперь должно сохраняться не только при ортогональных пре-
преобразованиях. В частности, рассмотрим систему координат
x1 = x'i+x'2, х2 = 2х'1 + х'\ х3 = х'3.
Из формул преобразования компонент тензора и условия t'i2 = О
найдем tn = ?22 = 0. Аналогично tn = ?3з = 0. Итак, t = 0.
3.23 Рассмотрите системы координат хг и хн — 2хг и покажи-
покажите, что суммы аи +b{j и а'**7 + Ь'- не связаны тензорным законом
преобразования, если не выполнено условие а = 0 или b = 0.
3.24 Найдите компоненты метрического тензора в системе ко-
координат (хг) и затем контравариантные компоненты ЬгК
Контравариантные компоненты суммы суть
а11 + 611 = 2, а12 + Ь12 = а21 + Ь21 = -1, а22 + б22 = 1,
другие компоненты равны нулю.
3.25 Выразите обе части рассматриваемого равенства через
Qijku используя компоненты метрического тензора.
3.26 а) Компоненты В и в в различных системах коорди-
координат связаны тензорным законом преобразования. Использова-
Использование этого факта дает тот же закон для рассматриваемых сумм.
3.27 См. задачу 3.23. Да, в общем случае зависят; если же
используются только декартовы координаты, то не зависят, см.
задачу 2.15.
3.28 Л - «;., J2 = <:;•«;, J3 = t\-tvktk.i.
3.29 а) В координатной системе с базисом ег, собственные
значения и собственные векторы и = пгв{ определяются из любой
из следующих трех систем:
t{jvj = \gijvj; tijvj = Xgijvj- t]'^ = АгА
б) Используйте критерий существования ненулевого решения
последней системы из предыдущего пункта,
18 Глава J. Основные понятия
3.30 Проверьте, что при переходе к другой системе координат
(xf . xf , .г'' ) набор чисел e'kim = е'к ' {e'l X efm) выражается через
tijk по правилу преобразования тензора.
3.31 в) Пусть векторы базиса е1 разлагаются по правому де-
картову базису е/? с коэффициентами Aki, т. е. е7 = Akiefk- Тогда
ех • (е2 х с3) = del А, где Л = \\Акг\\.
Выразите det А через д = det \\gij\\* учитывая, что АА1 = \\9ij\\-
3.32 б) Покажите, что f123 = е1-(в2хе3). Выразите е1-(в2хе3)
через det \\g^\\ = l/y/д, см. указание к задаче 3.31.
3.35 б) Используя формулы из задач 3.28 и 3.27, найдем, что
а х F х с) - €'гЧ-(^7гЬр^)е^- - (-^" + ^^N^а,-е,- =
= (-a,-fcV + а?:сг7;-;)е? = А(а • с) - с(а • Ь).
3.37 а) Нет.
б) dt]\\\\?Uik ^
Элементы матрицы ||Ь?.7||, обратной к ||^!j||, суть
3.38 а) Используйте формулы для элементов обратной матри-
матрицы, см. задачу 3.39.
3.39 Используйте соотношения hkja{k — Ц*. определяющие эле-
элементы обратной матрицы.
3.40 Нет. Эти производные не подчиняются тензорному за-
закону преобразования.
3.41 Символы Кристоффеля равны нулю в декартовой системе
координат, но по крайней мере один из них не равен нулю в
криволинейной системе.
3.42 Нет.
3.43 а) Vfcffy = 0; б) Цецк = 0.
3. Тензоры. Криволинейные координаты 19
3.44 Символы Кристоффеля для цилиндрических и полярных
координат таковы:
Г*22 — ~г: rj2 = Гз! = 1/г, остальные Тг-к = О,
индексы г, j принимают значения 1, 2, 3 и 1, 2 в случаях а) и б)
соответственно.
3.45 Символы Кристоффеля для сферических координат:
Y\2 = -г, FL = -г sin2 в, Г?2 = Foi = -, Г§з = ~ sin (9 cos (9,
г '
Г|3 = Г^ = -, Г|3 = Г.32 = ctg0> остальные Г^ = 0.
3.46 Символы Кристоффеля для системы координат, описан-
описанной в задаче 3.15, таковы:
Г2 Л J_ ^?Л ^ Г1 Г2 — Г2 П
1 11 = - ( ! + д ) д» [ 22 = L 12 - Х 22 - U-
Здесь 7? — радиус кривизны заданной кривой.
3.47 Используйте формулу для дифференциала детерминанта
матрицы, см. задачу 3.38, и соотношение
гк ~~ 2д \дхк ^ Ох* дх1 ) ~ 29
дхк ^ Ох* дх1 ) ~ 29 дхк'
3.48 а) Достаточно проверить равенство в декартовой систе-
системе координат.
б) Используйте формулу задачи 3.47.
3.51 Учесть симметрию символов Кристоффеля Р^ = П •.
3.53 В рассматриваемой системе координат выполнено
следовательно правило преобразования дает дхг/дхп ¦— кг. По-
Поэтому рассмотрим систему дифференциальных уравнений
20 Глава 1. Основные понятия
Пусть хг = /? (s; а, 6, с) — решение этой системы при начальных
условиях
ж1@) = я, *2@) = Ь, ж3@) = с,
где (а, 6, с) — произвольная точка в окрестности неособой то-
точки этой системы — точки, где к ф 0. Без потери общности
можно принять, что ее координаты суть х1 = х2 = х3 = 0, и на-
направление вектора Л@,.т2,.т3) выходит из поверхности х1 — 0 (в
рассматриваемой окрестности). Тогда решения хг — /гE;0,6,с)
с начальными данными на поверхности х1 = О можно использо-
использовать для введения новой системы координат
хг = F(*'VV3), FVVV3) - /V1; о, Л**),
которая обладает требуемым свойством.
3.54 б) Достаточно показать, что формула верна в декарто-
декартовой системе координат (хг) с базисом е,-. Рассмотрим также
криволинейную систему координат (.т/г) с базисом е', в которой
« = е[. Так как div v = 0, то формула из задачи 3.48 б) сводит-
сводится к равенству ду/д'/дх'1 — 0, где д' — det||^||. Поэтому л/д*
зависит только от х'2 и х/3: у/д1 — <р{х'2, х'г).
Удобно выразить е[ через е'2 и е'3 по формуле из задачи 3.1 г)
где V* = 1/л/д7, см. решение задачи 3.32. Таким образом, имеем
дх'2 , &т'3 .
дхк
О
'2 Ох'3
Поэтому для компонент vl в декартовой системе координат (хк)
выполнены равенства
Определим два скалярных поля а и /?, которые принимают значе-
значения а(р) — х/2(р), /?(р) = xf3(p) в любой точке (р, хг) выбранной
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 21
выше (фиксированной) системы координат. Предыдущая фор-
формула принимает вид
: , m да д/3 :-к
Для получения окончательной формулы
- Л
xi дхк
остается показать, что две функции ф и х можно выбрать так,
чтобы скалярные поля а — ф(а,/3), b = х{а10) удовлетворяли
условию
хк ~ дх*
Это условие эквивалентно равенству
да д/3 дC да) dxi дхк
которое очевидно выполняется, если
, Лч дф д\ дф дх
^^) = ТаЪ^-^Та
Это условие выполнено, например, для функций
4. Деформация, скорость деформации, вихрь
4,1 Эти материальные элементы переместились параллельно
самим себе. Относительное удлинение элемента, направленно-
направленного вдоль оси ж1, равно а; элементов, перпендикулярных оси xi,
равно 0. При а > 0 происходит растяжение, при — 1 < а < 0 —
сжатие материальных элементов.
22 Глава 1. Основные понятия
4.2 Компоненты тензоров деформаций можно вычислить по
формулам, связывающим их с компонентами поля перемещения.
Ответ: Поле перемещения имеет вид
w = a?i6i (в лагранжевом описании),
а ( \
w = Х1в\ (в эйлеровом описании).
1 + а
Отличны от нуля только компоненты ёц и е\\ тензоров Грина и
Альманси, они равны соответственно
.„ = I [l -
4.3 а) Использовать формулу ds2 — ds^ = 2sap d?<y rf^, где ds
и dso — длина материального элемента до и после деформации.
Относительное удлинение равно
у 1 + 2eapdadp - 1,
где da — компоненты единичного вектора, имеющего то же на-
направление, что и d?.
б) Относительное удлинение каждого из элементов равно
4.4 а) Угол между материальными элементами можно най-
найти, вычислив скалярное произведение векторов, которым соот-
соответствует их положение после деформации
При этом следует учесть, что
дх-i dxi
и воспользоваться ответом задачи 4.3 а), чтобы найти величины
\dxW\ и \dx(%
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 23
Угол <р между элементами определяется по формуле
cos <р = —, / -1
л . о о ,A) ,A) /-, . о о ,B) ,B)
Л / I I х^4 Л /7 /7 \ I I -4— УР* /7 A
\1 ¦*- I ^О j/Д Wijy tX \ W JL | ajC nj; яЛ/ п УЛ>у
,A) ,B)
где а» и а^ ; — компоненты единичных векторов, имеющих то
же направление, что d^ и d^ соответственно,
б) Угол между элементами равен
2а + а2
т — arccos тг.
Y 2 + 2а + а2
4.5 Относительное изменение объема равно а.
4.6 а) Отрезки, первоначально параллельные оси #з, пере-
переносятся параллельно себе без удлинения; отрезки, параллельные
оси #2, переносятся без удлинения и поворачиваются на угол 7г/2
вокруг оси а?з; отрезки, параллельные оси a?i, переносятся, пово-
поворачиваются таким же образом и удлиняются в A + 6) раз.
б) Отличны от нуля только компоненты ёц и ?22 тензоров Грина
и Альманси; они равны соответственно
«» = 5
«=И1-
в) При |Ь| <С 1 можно записать приближенные равенства
6 « beiei, и е
В этом случае тензоры Грина и Альманси не совпадают даже
при малых деформациях из-за наличия конечного поворота.
4.7 Материальный элемент с началом в точке ?, характеризу-
характеризуемый в недеформированном состоянии вектором d?, в деформи-
деформированном состоянии занимает положение, характеризуемое век-
вектором dx с компонентами
dx\ = d?i + akcos(k?i) d?i, dx2 = ^2? ^з == ^з-
24 Глава 1. Основные понятия
Таким образом, малая окрестность частицы ? испытывает одно-
одноосное растяжение в направлении оси х\. Относительное удлине-
удлинение материального элемента с началом в частице ?, параллель-
параллельного оси х\, равно I = ak cos(k^i). Тензор деформаций Грина
равен
и обращается в нуль в частицах, для которых
7Г ГП7Г , н
6 = -zr + —г-, где га = 0, ±1, ... или
1/ . /2
i = 7 ± arccos г + 2тггг , где
к\ V «Л/
1, 71 = 0,±1,
4.8 По нолю перемещения и = а?ова определяются компонен-
компоненты тензора деформаций Грина ёар = (а + а2/2)8ар. Воспользо-
Воспользовавшись результатом задачи 4.3 а), находим, что относительное
удлинение всякого материального элемента равно а. В случае
а > 1 происходит растяжение, при а < 1 — сжатие.
4.9 Тензор деформаций Грина определяется соотношением
.а, , а2
его главные значения и соответствующие главные оси суть
а2
Тензор деформаций Альманси определяется соотношением
а а2
его главные значения и соответствующие главные оси суть
4.10 Поле перемещения в лагранжевом описании задается фор-
формулой и(?, t) — a^2ei, в эйлеровом — w(x,t) — аж2ех. Вычисле-
Вычисление компонент тензоров деформаций через производные поля
перемещений приводит снова к формулам, указанным в ответе
к задаче 4.9. Тензор малых деформаций е^ — -(eie2 + e2ei).
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 25
4.11 Из формулы, полученной при решении задачи 4.3 а),
при известном тензоре деформаций Грина можно найти относи-
относительное удлинение всякого материачПьного элемента, и наоборот,
можно найти все материальные элементы, испытывавшие отно-
относительное удлинение заданной величины. Тензор деформаций
Грина для простого сдвига найден при решении задачи 4.9.
а) Относительные удлинения всех материальных элементов, па-
параллельных в начальном состоянии оси х\ или оси #з, равны ну-
нулю, т. е. 1\ = /3 = 0, а параллельных оси х2 — отличны от нуля,
/2 = у/\ + а2 - 1.
б) В момент t относительное удлинение равно нулю для всех ма-
материальных элементов, направления которых в начальный мо-
момент характеризуются вектором d? = d?aea с d^2 — 0 или с
d?i + ad?2/2 = 0. Другими словами, это материальные элементы,
лежавшие в момент t — 0 в плоскости ?2 = const или в плоско-
плоскости ?i + #?2/2 = const. Еще иначе: это материальные элементы,
лежащие в момент t в плоскости Х2 = const или в плоскости
х\ - ах2/2 — const.
4.12 0.
4.13 Относительные удлинения находятся по формуле, полу-
полученной при решении задачи 4.3 а). Воспользоваться свойством
главных осей и главных значений: наибольшее и наименьшее
значение квадратичной формы sapda'dp на векторах d единич-
единичной длины достигаются, когда d направлен по одной из главных
осей тензора, и равны соответствующим главным значениям.
Наибольшее и наименьшее относительные удлинения равны
/max = 0.04 И /min = -0.02,
их испытывают материальные элементы с направлениями
_ ег + е2 , _ ~ех + е2
Umax- ^ И пт[п ^_ .
Относительное изменение объема равно 0.03.
26
Глава 1. Основные понятия
4.14 Компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси в
базисе ег образуют соответственно матрицы
0
ъ
2
0
b
2
Ь2
2
b
2
0
Ъ
2
Ь2
2
о
b
2
b
2
' 2
bl
' 2
4.15 Поле перемещений:
тензор малых деформаций:
3е2).
е2ех + е2е3 + е3е2
4.16 Рассмотрим элемент, положение которого в деформиро-
деформированном состоянии характеризуется вектором dx^. Его положе-
положение в недеформированном состоянии характеризуется вектором
dxh
ds еа =
ds.
Скалярное произведение
с другой стороны, равно
#<•) • d^ = A + /,-)A + ij) cos фц ds2,
отсюда и следует доказываемая формула.
4.17 Главные значения тензора деформаций Грина А^ равны
значениям его компонент еаа в ортонормированном базисе глав-
главных осей. Из равенства
где 1а — относительное удлинение материального элемента, ко-
который при t = 0 направлен вдоль соответствующей главной оси,
вытекает соотношение 1 + 2ёаа > 0. Здесь учтено, что 1а > -1
в силу определения относительного удлинения.
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 27
Неравенство для главных значений тензора деформаций Аль-
манси устанавливается аналогично с использованием равенства
полученного при решении задачи 4.16.
4.18 Пусть (х{) — пространственные декартовы и (?а) — со-
соответствующие лагранжевы координаты; F = \\Fia\\ — матрица
дисторсии. Матрицы компонент тензоров деформаций Грина и
Альманси имеют тогда вид
° - 1 ( \ -1
2 \ / 2
где ||#7j|| — матрица, обратная к матрице ||F«a||.
Пусть А — главное значение тензора Грина и т]а — компо-
компоненты соответствующего главного вектора, а А и гц — глав-
главное значение и компоненты соответствующего главного вектора
тензора Альманси. Это эквивалентно выполнению соотношений
1 / \ о 1
2 \ а j 2
или, что то же самое, соотношений
о
FkaFkpVp — A + 2А)г/о,, H1{H1jyj = A — 2\)гц. @.4.1)
Если материальный элемент до деформации был направлен по
вектору Т7, то в деформированном состоянии он будет направлен
о
по вектору F • Г) с компонентами Fiaria. Пусть гц и А удовлетво-
удовлетворяют первому из равенств @.4.1). Для доказательства утвер-
утверждений а) и в) остается проверить, что уг — Fiar)i и число А, для
которого
1 -2А= —~,
1 + 2А
удовлетворяют второму из равенств @.4.1), т. е. что справед-
справедливо соотношение
1
1 -г ZA
В силу того, что матрица ||#7;|| обратна матрице ||Fja||, это
соотношение эквивалентно равенству
I + IЛ
28 Глава 1. Основные понятия
или, что то же самое, равенству
F
Va =
2А
которое выполнено по условию.
Утверждение б) доказывается аналогично.
4.19 Рассмотрим симметричную матрицу С/, определенную
своими главными осями и главными значениями. Пусть главные
оси матрицы совпадают с главными осями тензора деформаций
Грина, соответствующего дисторсии F,
р - -
2
а ее главные значения равны
где Аг — главные значения тензора Грина, причем 1 + 2Аг > О,
как показано при решении задачи 4.17. Матрица U невырожде-
невырождена, поэтому из соотношения F = RU однозначно определяется
матрица R. Покажем, что она ортогональна. Для этого доста-
достаточно указать тройку взаимно ортогональных единичных век-
векторов, остающихся взаимно ортогональными и единичными при
преобразовании с матрицей R. Очевидно, оно оставляет взаимно
ортогональными направления главных осей тензора ?, посколь-
поскольку таким свойством обладает дисторсия, см. задачу 4.18, а пре-
преобразование с матрицей U — в силу его определения. Проверим,
наконец, что преобразование с матрицей R сохраняет длину ка-
каждого из векторов, имеющих одно из этих трех направлений.
Действительно, пусть еь е2, е3 — ортогональный базис, со-
составленный из векторов, имеющих эти направления. Матрица
компонент тензора ё в этом базисе диагональна с компонента-
компонентами еаа = А^. Рассмотрим, например, материальный элемент,
имеющий до деформации направление в\. Его относительное
удлинение 1\ при рассматриваемой дисторсии F определяется со-
соответствующей компонентой тензора деформаций е:
4. Деформация, скорость деформации, вихрь
29
То есть он удлиняется в 1 + ^i = у 1 + 2ёц = у 1 + 2АХ раз. Но
в такое же число раз к\ = у 1 + 2\\ он растягивается и при пре-
преобразовании с матрицей U. Таким образом, преобразование с
матрицей R не изменяет его длину, что и требовалось доказать.
4.20 Воспользуйтесь утверждением, доказанным при решении
задачи 4.18 а).
Взаимно ортогональными после деформации остаются три
материальных элемента, один из которых в начальном состоянии
направлен по оси х\, а два другие — по любым двум ортогональ-
ортогональным направлениям в плоскости {х.2\ хз). Относительное удлине-
удлинение максимально для материальных элементов, направленных в
начальном состоянии по оси Х\.
4.21 Сравните главные значения тензоров деформаций, кото-
которые не изменяются при совершении дополнительного поворота
или переноса.
4.22 Представьте матрицу дисторсии в виде F ~ Ж/, где R
— ортогональная матрица, а С/ — симметричная положительно
определенная матрица. Для этого можно сначала найти матрицу
U — ее главные оси и главные значения определяются по глав-
главным осям и главным значениям тензора деформаций Грина, см.
задачу 4.18. Матрица R находится затем как R — FU.
Частица ? переносится в точку с координатами х\ = ?х + ^?2?
#2 = ^2? хз = ?з- Преобразование ее малой окрестности состоит
из растяжений вдоль трех взаимно ортогональных направлений
с последующим поворотом. Матрицы трехосного растяжения и
поворота в системе координат (ж?) имеют соответственно вид
30 Глава 1. Основные понятия
Поворот происходит вокруг оси х% на угол — arctga/2. Растя-
Растяжение вдоль оси ж3 происходит с коэффициентом 1, т. е. длина
направленного вдоль нее материального элемента не изменяется.
Два другие главные направления матрицы U суть
2 " 1 ' 2
вдоль этих направлений происходит растяжение соответственно
с коэффициентами
4-23
аа + J4a* + а4
2 ' \
a1! ^2 _
1 +
б) Координатными линиями сопутствующей системы координат
являются прямые, параллельные осям #i, x<i и х%\ ее базис:
ei = [l + a(t)]eu e2 = e2, ё3 = е3;
компоненты метрического тензора в ней равны
5п = [1 + a(t)]2, 922 = <7зз = 1, ft'j = 0 при г ф j.
в) Ненулевая компонента тензора деформаций Грина, см. зада-
задачу 4.2, равна ёц — |[A + аJ — 1], остальные компоненты равны
нулю. С ними, как всегда, совпадают ковариантные компоненты
тензора деформаций Альманси в сопутствующей системе коор-
координат ёа/з = ёар. Контравариантные и смешанные компоненты
тензора Альманси в сопутствующей системе координат равны
л _ I [, L_ll ,п _ 1 U _
Ь -1 ~~ о \ L (л х \2 М ~~ о/1 i \2
2 L (l + aJJ' 2A +aJ L A + aM
остальные компоненты равны нулю.
4.24 Лагранжевы координаты (т/) связаны с лагранжевыми ко-
координатами (?) соотношениями ту = ж(^,^#), т. е.
У71 = [lH-a(t*)]ei, ^/2 = 6, Ч3 = 6-
Закон движения с использованием лагранжевых координат (rj)
переписывается в виде
1 + a(t) ! 2 з
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 31
Сопутствующая система координат (г/) в момент t = 0 точке
с пространственными координатами х — {х.\\ х2; #з) ставит в
соответствие тройку чисел G/1; if1: rj3)
г 1 + a(t*) 2 з
Таким образом, координатными линиями сопутствущей системы
координат (г/) в момент t = О являются прямые, параллельные
осям a?i, а*2 и з*з; ее базис:
1 + а@)
1 + а(^)
компоненты метрического тензора в ней дар = ёа • ё^ равны
1 _. и \ ) ' ^22 = ^33 = 1? ^ = 0 при а ^ /?.
4.25 Координатная линия ?1 сопутствующей системы коорди-
координат является прямой линией x<i — 0, х% = 0; координатная линия
?2 — прямая х\ — a(t) х2, ^з = 0 (она изменяется со временем),
координатная линия ?3 — прямая х\ = 0, Х2 = 0. Векторы базиса
сопутствующей системы координат определяются равенствами
в1 = вь ё2 = a(t) ех + е2, ё3 = в3;
компоненты метрического тензора в ней равны
5п =5зз = 1, ?i2 = a@> 522=1 + «2@^ 513.= .923 = 0.
4.26 а) Поперечное сечение стержня ?3 = const остается в сво-
своей плоскости. Окружность (CiJ + (^2J = й2, где R — начальный
радиус цилиндра, переходит в концентрическую ей окружность
радиуса R — RJl+{a^J. Радиальный отрезок поворачива-
поворачивается на угол C = arctg(a^3); продольный отрезок переходит в
отрезок прямой, лежащей на поверхности гиперболоида, в кото-
которую переходит поверхность стержня. Например, отрезок, для
которого^ =-0, переходит в отрезок прямой х\ — R, х2 = oiRx^.
б) Поле перемещения:
w(x,t) = (хг sin2 ft - .T2sm/5cos/3)ei + [x\ sin/3 cos/3 + x2sin2 ft)e2i
где ft — arctg(a.T3).
32 Глава 1. Основные понятия
в) При |а| <С 1 компоненты тензора малых деформаций равны
A) A) ol а) и) а
Ъ13 — fc31 ~ ~~^ x'2j ?-23 ~ 632 — 2 Ь
остальные компоненты равны нулю. Из материальных элемен-
элементов с началом в точке х наибольшее относительное удлинение ве-
величины ^ \1%\ + #2 испытал элемент, направленный параллельно
вектору с компонентами (— sin<^; c;os<^; 1).
г) В цилиндрических координатах (г; <р; z), см. задачу 3.7, за-
закон движения имеет вид
где (го, <ро, zq) — координаты частицы в начальном положении.
4.27 а) Тензор деформаций Грина находится по формуле
где в рассматриваемом случае используется цилиндрическая си-
система координат ж1 = г, ж2 = <?>, #3 = г и лагранжевы координа-
координаты ^ = го, ?2 = <^о, ?3 = ^о- Компоненты метрического тензора
в этой системе координат таковы:
Зи = 1, 322 = г2, 5зз = 1, 9хз = 0 при г ф j.
Величины дхг/д^а находятся по заданному закону движения.
Следует учесть, что в общей формуле компоненты дг? вычисля-
вычисляются в точке .т(?,?), и да/з иеа — в точке ?.
Ответ: В частице (г0; щ: z0) в момент t тензор деформа-
деформаций Грина задается формулой
_lje1(ro)e1(ro)
o + /(ro,t)J-^
где е1, е2 — векторы базиса, взаимного базису ei, е2, вз цилин-
цилиндрической системы координат.
б) Ковариантные компоненты тензора деформаций Альманси в
сопутствующей системе координат совпадают с компонентами
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 33
тензора Грина в базисе е^го), ?2(г0), е3(го)? найденными при ре-
решении задачи а). Остается найти базис сопутствующей системы
координат ёа = (дхг/д?а)в{
ei(r0, (ро, *о, 0 = I! + ^г(г°' Ojci(ro + Дго, 0)»
>о, 20, t) = e2(r0 + /(г0,0)>
Ро, 20, t) = е3(г0 + /(г0,0)
и, далее, взаимный к нему базис
€2(г0, <ро, 2о, *) = е2(г0 + /(г0,0)»
ё3(г0, ??0, 20, t) = е3(г0 + /(г0, 0)-
Ответ: В частице (г0; <^о! ^о) в момент t тензор деформа-
деформаций Альманси имеет вид
+ \ [(го + /(го, ОJ - rg] €2(г0 + /(г0, 0)^2(г0 + /(го, *))>
\
где с1, е2 — векторы базиса, взаимного базису Ci, C2, бз цилин-
цилиндрической системы координат.
в) Относительные удлинения в рассматриваемом случае легко
найти из наглядных соображений. Например, материальные ча-
частицы, заполнявшие до деформации окружность радиуса г0, в
момент t располагаются по окружности радиуса го + /(го,?); по-
поэтому относительное удлинение материального элемента, касаю-
касающегося координатной линии 99, равно /(го, 0/го- С другой сторо-
стороны, интересно вычислить относительное удлинение и по общей
схеме. Однако непосредственно использовать формулу
2 Зак. 2369
34 Глава 1. Основные понятия
нельзя, поскольку она справедлива лишь для компонент тензо-
тензора деформаций Грина в декартовых системах координат. Что-
Чтобы применить ее, нужно сначала найти физические компоненты
тензора Грина, т. е. его компоненты в ортонормированном ба-
базисе
вг ^
е1
и для них использовать эту формулу. Величины |в?;| известны,
поскольку |ег|2 = 1/дц.
Ответ: Относительные удлинения материальных элемен-
элементов с началом в точке (го] <ро', ^о)? направленных до деформации
по координатным линиям г0. ^о и z0, равны соответственно
М, , о.
дг0 г0
4.28 Тензор деформаций Альманси и соответствующий линеа-
линеаризованный тензор деформаций вычисляются через производ-
производные (заданного в эйлеровом описании) поля перемещения
Ковариантные компоненты тензора деформаций Грина в базисе
в{ совпадают с ковариантными компонентами тензора Альманси
в сопутствующей системе координат и, следовательно, отличны
от нуля и также являются величинами порядка единицы.
4.29 Компоненты линеаризованного тензора деформаций ё^
вычисляются через производные поля перемещения
Они равны
и, вообще говоря, являются величинами порядка единицы. В
то же время тензоры деформаций Грина и Альманси в точно-
точности равны нулю при любой ортогональной матрице ||Д^||- Это
можно проверить непосредственным вычислением, в чем одна-
однако нет надобности: рассматриваемое преобразование, определя-
определяемое ортогональной матрицей, не изменяет расстояния между
частицами, и поэтому е = В — 0.
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 35
4.30 Поле скорости « и тензор скоростей деформаций е в про-
пространственной декартовой системе координат (ж,-) с базисом е,-
имеют вид
a(t) a(t)
а) v = Xe e =
б) u = d(
в) v = b(t)(x2 - b(t)x3)el + 6@*зв2,
е2е3 + е3е2 - b(t){ele3
2
4.31 Ненулевые компоненты тензора скоростей и его девиато-
ра таковы:
а) еп = А, е22=В, еп = - , е22 = - , е33 = —;
2-1
о) 6ii = О'Г, eJi = — at, вгу0 = €оо = —at;
в) ei3 = e\J - -fit.
4.32 ei2 = 2/t, остальные компоненты eij равны нулю. Изме-
Изменение объема не происходит, поскольку div v — 0.
к
4.33 Тензор скоростей деформаций е = ^-(eie2 + e2ei) удобно
записать в базисе
так, что рассматриваемые материальные элементы расположены
вдоль е'1? е'2. Он представляется в виде е = тЛ^х - ?2?2), и
компонента е'12 равна нулю. Следовательно, скорость изменения
угла между рассматриваемыми элементами также равна нулю.
4.34 а) Траектории суть окружности г = const, z = const.
Величина скорости равна vf — к/г, Пф = v^ = 0.
б) еГ(р = —к/г, остальные компоненты равны нулю.
в) 0.
36 Глава 1. Основные понятия
г) Главные оси тензора скоростей деформаций имеют направле-
направления er ± -е^ и ez. Они поворачиваются со временем в индиви-
индивидуальной частице.
д) Движение материального элемента (отрезка, а не трехмерно-
трехмерного тела!) состоит из параллельного переноса, вращения вокруг
поперечной оси и продольного растяжения (шесть степеней сво-
свободы). Скорость вращения материальных элементов, располо-
расположенных в данный момент вдоль главных осей тензора скоростей
деформаций, в этот момент равна нулю.
4.35 Поворачиваются те материальные элементы, направле-
направление которых не параллельно плоскости (#25 жз) и не паРаллель~
но оси х\.
4.36 и — — |а(?)вз. Со скоростью и) поворачиваются мате-
материальные элементы, имеющие направление в\ ± в2. Скорость
вращения материальных элементов, направленных вдоль осей х\
и жз, равна нулю, а направленных вдоль оси #2, равна 2о>. Такшл
образом, скорости вращения материальных элементов различны
и не обязательно равны вектору вихря, см. задачу 4.34 д).
4.37 ft.
4.38 Воспользуемся декартовой системой координат (х{). Вве-
Введем обозначение
1 fdvj dv{
В декартовых координатах uok — ^7, гДе °°к — компоненты век-
вектора вихря, ujij называют компонентами тензора вихря, значе-
значения индексов fc, г и j составляют круговую перестановку A, 2, 3).
Имеет место тождество
du>kj de{j deik
где e{j — компоненты тензора скоростей деформаций. Это то-
тождество проверяется подстановкой вместо u^j, etj и е^ их вы-
выражений через производные от компонент скорости V{. Из этого
тождества следует, что если e?j не зависят от координат, то и;^,
а значит и u>k, и о>, тоже не зависят от координат.
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 37
4.39 Пусть vfoi^t) — скорость в произвольной точке среды с
координатами (жг) в момент времени ?, a v(xi + dx^t) — скоро-
скорости частиц из бесконечно малой окрестности рассматриваемой
точки в тот же момент. По формуле Коши-Гельмгольца
v(x{ + dxi) t) — v(x{, t) + e{j dxjti + to x cfr, dr — ег- dx{.
При e{j = 0 вектор со может зависеть только от t, см. за-
задачу 4.38. При фиксированном t формулу Коши-Гельмгольца
можно переписать в виде
dv = и* X dr.
Интегрируя это равенство вдоль любой линии, соединяющей не-
некоторую точку О с произвольной точкой А сплошной среды, и
учитывал, что ш = const при t = const, получим
v(A)-v(O) =шх(гА -го).
Обозначая v(O) — Vq, ^л — ro — г> V(A) — v, получаем формулу
Эйлера
V — Vq + 10 X Г.
Вектор мгновенной угловой скорости есть вектор вихря.
4.40 а) Используйте симметрию Г^ = Г^г.
б) Для доказательства первой формулы используйте определе-
определение вихря и тензора u;7?ezeJ. Вторая формула получается из пер-
первой с учетом свойств тензора Леви-Чивита, см. задачу 3.37.
4.41 Используя лагранжево описание можно показать, что для
компонент ускорения в сопутствующей лагранжевой системе
координат верна формула
_ дх{ dv1 _ дйа д \v\2
где vi и va — компоненты скорости в пространственной декарто-
декартовой системе и лагранжевой сопутствующей системах координат
соответственно. Отсюда для компонент rota в сопутствующей
системе координат следует
д дЪр
?tW
38 Глава 1. Основные понятия
Тогда условие rot a = 0 сводится к соотношению
д dv/з д dva _
dt~d^~diW =
Отсюда, воспользовавшись результами задачи 4.40, получаем,
что du>ap/dt = 0. Каждая из компонент и1 равна &а{з/\Л} или
, следовательно, d(u>'yy/g)/dt = 0.
4.42 Рассмотрим вихревую линию, проходящую через части-
частицу с координатами (?*,?*,?*) в момент ?q- Пусть s — параметр
на этой линии, а ?а = €a(s) — параметрические уравнения этой
линии в сопутствующей системе координат, ?а@) = ??. По опре-
определению вихревой линии функции ?a(s) удовлетворяют системе
уравнений
разделив на
,*о) Vafoto) с^2(е,to) VWJo) oo3{tt0)
Согласно задаче 4.41 б), функции шал/д в действительности не
зависят от t0. Поэтому решение ?a(s) этой системы дифферен-
дифференциальных уравнений, удовлетворяющее условию ?а@) = ^J, не
зависит от времени. Это означает, что рассматриваемая вихре-
вихревая линия, проходящая через точку (?Ц,?*,?*), в любой момент
времени проходит через одни и те же частицы ?a(s).
4.43 Прямым вычислением проверить, что rotgrady? = 0.
4.44 Потенциал поля скорости при простом растяжении вдоль
оси х\ равен
(i)
где / — произвольная функция времени.
4.45 а) Учесть, что компоненты тензора Леви-Чивита в де-
декартовой системе координат равны 1,-1 или 0.
б) Выражение в левой части доказываемого равенства — компо-
компоненты тензора. Достаточно проверить, что они все обращаются
в нуль в некоторой системе координат.
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 39
4.46 Утверждение о том, что е — поле скоростей деформаций
для некоторого поля скорости, означает, что существует вектор-
векторное поле t>, удовлетворяющее в декартовой системе координат
соотношениям
1 (дщ ,dvA_e..
2 \дх3+ дхг) "¦
Условие разрешимости относительно v таких соотношений из-
известно как условие совместности компонент тензора малых де-
деформаций.
Ответ: Необходимым, а в случае односвязной области — и
достаточным, условием являются равенства
дхкдх
-
4.47 а) Если хотя бы одна из постоянных А, В или С отлична
от нуля, то не является.
б) Да, является.
4.48 Указание: Рассмотреть, например, компоненты f\j и су-
существование функции i?i, для которой имет место соотношение
Это возможно, если и только если
Ответ: Если и только если данные компоненты Д, в лю-
любой криволинейной координатной системе удовлетворяют усло-
условиям elkiVkfij = 0, то существует векторное поле V, для которого
VjVi = fij.
4.49 Указание: Ввести тензор с компонентами ojji = €jimwm.
Тогда вопрос о существовании векторного поля v сводится к ре-
решению уравнений
dv{ dvj дщ ду3
dxj дхг J dxj dxi J
40 Глава 1. Основные понятия
или dvi/dxj = ejj+ujji. Согласно результату предыдущей задачи
для этого необходимо и достаточно, чтобы
?lkj-Q^{eij+vJt) = 0.
Ответ: Если и только если заданные компоненты etj и и^
удовлетворяют условиям €lk^keij — ^-u/, то существует поле
скорости w, для которого еио; суть поля скорости деформации
и вихря.
5- Относительное движение и
четырехмерное пространство-время
в ньютоновской механике
5.1 По определению, всякая инерциальная система отсчета
движется как твердое тело, поступательно, прямолинейно и рав-
равномерно. Пусть (хг) и (у1) соответственно декартовы координа-
координаты двух таких систем отсчета, совпадающие в момент времени
t = 0. Рассматривая (хг) как эйлеровы координаты наблюдателя,
а (уг) как лагранжевы при движении системы отсчета (уг) от-
относительно системы (хг), получим закон движения хг = уг + V4,
где Vх — компоненты постоянного вектора.
г/?/г г/тг • тг • ?/г 4-VH ¦ 7/г
5.2 a) gL = gL-V" = --y>=y+-yt = g-.
} dt dt t t t
б) Пусть
Тогда для функций fl имеет место функциональное уравнение
f(xk,t)-Vl = r(xk-Vkt,t).
Дифференцируя его по Vk и полагая Vk = 0, получим
5. Относительное движение 41
откуда /*•= хг/t + ipl{t). Ясно, что эти функции удовлетворяют
условию задачи без ограничений на <рг(г).
Рассматриваемое движение является комбинацией поступатель-
поступательного движения и всестороннего расширения.
5.3 Пусть расстояние от А до В равно /; обозначим vT —
скорость теплохода относительно переносной системы отсчета,
связанной с течением реки, а vp — скорость течения реки отно-
относительно берегов, с которыми связывается абсолютная система
отсчета. Движение одномерно. Тогда имеет место равенство
/ = 20(vT + vP) = 24(vT~vp).
Откуда, исключая ит, найдем l/vp — 240 час.
5.4 Пусть vn — величина скорости лодки относительно пере-
переносной системы отсчета, связанной с течением реки, vp — вели-
величина скорости течения реки относительно берегов, с которыми
связывается абсолютная система отсчета, и / — длина всего пу-
пути, пройденного лодкой. Тогда
1>л = >/3г;р, / = 2л/3, * + —( г = 1.
Отсюда
2 км
2.73
р« 2.73, !;л = ~
V3 - 1 час V3 - 1
5.5 В неподвижной системе координат (х; у), оси которой со-
совпадают в данный момент времени с радиальным и касательным
направлениями колеса турбины, абсолютная скорость струи на
ободе колеса равна va — (vcos a; v sin a); переносная скорость
точек колеса vt = @; 2тгггД). Тогда для относительной скорости
струи получим
vr = vn — Vt = (vcosa; v sin a —
откуда
( 2imR\
/3 = arctg I tg a .
V vcosa/
42 Глава 1. Основные понятия
5.6 По определению,
Таким образом, v
vr =
dy
d\
= vr
dt
к
+
t
4
tt dx%
vu где
a
dx{
~dJe
(dyk
{dt
'i = ~
dyk
dt
п дх{ dyk
Производные —— и -^г— вычисляются соответственно при посто-
ОТ (УЪ
янных / и жг, а производные d/dt — при постоянных ?'. Ско-
Скорость среды равна нулю относительно сопутствующей системы
отсчета с координатами (?').
5.7 Использовать представление
е\ — —-? ef и условие -^- — О,
О У Оь x-?=const
связанное с инерциальностью системы (хг).
5.8 В инерциальной системе отсчета (хг) выберем декартову
систему координат. По определению ускорения вычислим
dv d2xl a d (дхг dy д.
д2х{ dyk dy1 дх{ d2yk
дукду1 dt dt дук dt2 dykdt dt dt2
dvk dt2 k r dvk dt2 %
Таким образом, ar = ——e\. Производные д/dt берутся при по-
dt
стоянных ук; производные d/dt — при постоянных ?*; в формуле
для ог производная dv^/dt определена с коэффициентами связ-
связности r*-fc.
5. Относительное движение 43
5.9 Пусть, как для твердого тела, vt = v0 + ut X гг есть
распределение переносной скорости подвижной системы отсчета
относительно абсолютной, щ — скорость некоторой ее точки О,
ut — ее угловая скорость, гг — относительный радиус вектор.
Тогда для переносного и кориолисова ускорений справедливы ра-
равенства
• гг) - И|2гг, ас = 2ut x vr.
Точка означает дифференцирование по времени в инерциальном
базисе.
5.10 Пусть Ъ%г — компоненты относительной скорости мате-
материальной точки, движущейся относительно данной среды в со-
сопутствующем базисе бь Среда движется со скоростью vt от-
относительно наблюдателя, находящегося в системе координат с
базисом ef.
а) При вращении имеет место vt — ^(a^elj — х2е\), где
х =? C0S9P — ^ sin<y9, ж = ^ sin (^+ ^ cos(^, х — ? ; ф — и>.
Тогда
дхк д? дхг ' 2'
и обобщенное ускорение Кориолиса равно 2wF^c2 - и^в!).
б) 20^-в!; в) 20r26ei; г) 2c[@r2-ct>?)ei+«?e2].
5.11 Ускорение Кориолиса равно 2vjJ AJ 5f с^., где В — матри-
матрица, обратная к А; е\ — базис системы (уг); v} — компоненты
относительной скорости в этом базисе.
5.12 За счет действия силы инерции Кориолиса Fc = -ас, см.
задачу 5.9, у восточного берега уровень выше. Порядок величи-
величины А/г можно оценить, считая, что уровень текущей жидкости
перпендикулярен вектору Fc + g, где g — сила тяжести; силы
отнесены к единице массы. Тогда
Ah 2uj3v . ла 1П_5 •
—— = sin (р « 1, 46 • 10 sin (p,
I 9
где ср — широта местности, и>з — угловал скорость Земли.
44 Глава 1. Основные понятия
5.13 На восток в обоих полушариях.
5.14 Согласно решению задачи 5.10 в) при поперечном дви-
движении в направлении убывания продольной скорости на частицу
действует продольная ускоряющая сила, в обратном направлении
— замедляющая.
5.15 К северу, так как действие горизонтальной составляю-
составляющей силы инерции Кориолиса, направленной к югу, с высотой
уменьшается.
5.16 Пусть (х) — система отсчета наблюдателя, (у) — сопут-
сопутствующая система отсчета резинки, так что х = y(l-\-vot/l), где
/ — длина резинки. Тогда относительная скорость муравья есть
dx дх
at oi y=const
откуда его абсолютная скорость равна dx/dt = —v\ + ущ/l, а,
закон движения определяется соотношением
Равенство нулю работы сил, действующих на муравья, дает ра-
равенство его начальной, при у = /, и конечной, при у = 0, кинети-
кинетических энергий, что выполняется при v\ = vq/2. Полное время
движения и конечное относительное удлинение резинки равны
соответственно
/?^1) и ^ = е2 _ 1и 6.39;
5.17 Пусть Vo и v\ — соответственно величины максимальной
скорости потока и скорости пловца в системе отсчета наблюда-
наблюдателя; (ж, у) — декартова система координат с началом в точке
старта и осями, направленными вдоль и поперек потока. Тогда
законы движения пловца и точек указанной материальной линии
соответственно равны
хп = 0, уп = vxt и хл = votyo(l - у0), Ул = Уо,
где уо G [0; /] — лагранжева координата и / — ширина потока.
Отклонение Ах = у2A — y)vo/v\ максимально при у = 21/3.
5. Относительное движение
45
5.18 а) Винтовые линии, б) — г) Семейства прямых с раз-
различными углами наклона к оси t.
5Л9 Пусть xl(?k,t) — закон движения среды, тогда
d_
dt
а_
di
_
~ U
дх* dt дха " дха)
где а = 1, 2, 3, 4; ti — вектор четырехмерной скорости, каса-
касательный к мировым линиям частиц среды.
5.20 В координатах (уг) выполнено
ду1 a ду{ dxa dy{
dt
a
w = L
В произвольных координатах последнее условие выглядит как
условие нормировки вектора и:
Fit
= 1.
дхс
5.21 В инерциальной системе отсчета (хг) с постоянным бази-
базисом еа, а = 1, 2, 3, 4 и ж4 = ?, имеет место
и = е4 + «' е,:, а = и° — = — (е4 + и'е,-) = — «,-, * = 1, 2, 3.
В любой другой системе четырехмерных координат (ya(x*,t))
равенство afx>. = 0 имеет вид аа -j— — 0.
5.22 Четырехмерная скорость данной системы отсчета опре-
определяется условиями
if^ = l, a =1,2,3,4, o:4 = f,
откуда
н —
или
* =const
где г^ — компоненты переносной скорости в инерциальном ба-
базисе t\. Четырехмерное ускорение имеет вид
at = -(е*4 + vie?)
yl=zconst
46 Глава 1. Основные понятия
где а\ — компоненты переносного ускорения. При заданном по-
поле скоростей щ{ха) координаты уг(ха) определяются системой
уравнений в частных производных
Щ I* ) дха ~ "•
Если уг(ха) — решение, то ун = fl{yk{xa)) также будет решени-
решением при произвольных гладких функциях /г(ук). Однако больший
произвол не допустим. Любая зависимость у'1 — fl(yk^t) уже не
df
является решением при -—— ф 0.
С/ Ь
5.23 xfi = Щ xj + V4+l\ t! = t+a, где а, /, V, R — постоянные
параметры, причем R — ортогональная матрица.
5.24 Проверить равенства
в декартовой инерциальной системе координат, в которой х4 = ?,
а координаты х'а — х'а{;х^) получены с помощью преобразования
Галилея.
5.25 В силу равенства Va и13 = е'а@ + u'J3 + а@ Vat и определе-
определения четырехмерного ускорения а, выполнено иа {е^ + ш^) = 0,
и поднятие индекса а с помощью тензора 7 не приводит к поте-
потере информации; всегда вместо j можно взять невырожденный
тензор вида у + кии.
5.26 Использовать результаты задач 5.19 и 5.21.
5.27 Проверить эти тензорные равенства в декартовой систе-
системе координат некоторой инерциальной системы отсчета.
5.28 Расписать четырехмерные коэффициенты связности Г^
и использовать результаты задач 5.20 и 5.22.
5.29 a) Luut = -LUtu = 0;
б) -^- + vJt —j = —-^ + vJ -—г, где v* и vj — трехмерные ком-
ot dxJ ot дх3
поненты векторов и и и^, х4 — t.
5. Относительное движение 47
5.30 Верхняя и нижняя производные Олдройда тензора Т:
Использовать соотношение —— — Vk v%t{, см. задачу 5.7.
at
5.31 Искомые производные равны
Щ*- ёгУ = 2е?? eV, Щ^ ё{ё>ёк = V?; i;4
at • at
dgij ¦¦ deijk
— ti tj = -2eu titj, —?- ёгё3ёк = -V2 иг€,
где etj — компоненты тензора скоростей деформаций.
5.32 Искомые производные равны
|$(*V* = 0, ^ (<Г5?г) Щ = -2(g\{eki + 9°lke^
где e^eitj — тензор скоростей деформаций.
5.33
где u>ijete:> - тензор вихря, u>ij = (ijkU>k. Использовать соотно-
соотношения
_ к
5.34 Проверить равенства покомпонентно.
5.35 а) Преобразования компонент скорости и ускорения
имеют соответственно вид
/i dxi ___ l)i
48 Глава 1. Основные понятия
где v% = dxz/dt и аг = dvl/dt. Отметим особенности этих фор-
формул. Равенство l + vk\7k<p = 0 отвечает невозможности определе-
определения vn и а'г при специальном движении среды, когда dtf/dt = 0.
Отличие а1г от аг ведет к появлению своего рода сил инерции.
б) Величина V отвечает скорости движения синхронизатора
времени ?', устанавливающего часы с одинаковым масштабом
времени на одну и ту же начальную отметку. Для солнечных
часов V — местная линейная скорость вращения Земли, ось х1
направлена вдоль параллели.
5.36 а) Использовать переменные t ± х/с.
ч dx с2
в) Исследовать график v' = с2 -* как функции v.
с - vV
6. Элементы симметрии и тензорные функции
6.1 А1|2 = в±|>, Л3 = 1.
6.2 Rlj = nlrij + (8j - nzrij) cos (f - e\jknk sin <p,
где e\jk — компоненты тензора Леви-Чивита.
6.3 Для матрицы третьего порядка существует хотя бы одно
вещественное собственное число А. Пусть п — соответствую-
соответствующий ему единичный собственный вектор. Тогда, свернув два-
дважды условие ортогональности матрицы Щ^Щд^ = д^\ с векто-
вектором п, получим А2 = 1. Значение А = — 1 отвечает отражению в
плоскости, перпендикулярной вектору п.
6.4 Компоненты всякой ортогональной матрицы представля-
представляют собой набор компонент трех ортонормированных векторов,
выбор ориентации которых исчерпывается представлением
Rlj = ±n2nj + (8%j — nlrij) cosy? — e]jkn sin (p.
6. Симметрия и тензорные функции 49
6.5 Два мнимых, отличающихся знаком, и одно нулевое.
6.6 Искомые тензорные функции определяются равенствами
^i s», (g-s)-1
n=0 Пш п=1 П п=0
где g — метрический тензор.
6.7 Свернуть степенной ряд F(S) с собственным вектором
тензора S. Собственные векторы S и F(S) совпадают. Соб-
Собственные числа связаны тем же степенным рядом.
6.8 Равенство не зависит от выбора базиса и, очевидно, вы-
выполняется, если матрица S приведена к треугольному виду (воз-
(возможно, с помощью комплексных преобразований).
6.9 Использовать приведение S к диагональному виду.
6.10 Использовать приведение S к диагональному виду.
6.11 Использовать приведение S к диагональному виду.
6.12 При А! = А2 = А3: F(g,S) = g • F(Ai).
При А2 = Аз ф Хц F(g,S) = ^Z^g F(Al) + ^
6.13 Ортогональные матрицы с определителем, равным 1.
6.14 а) Повороты вокруг оси ж3, см. задачу 6.1, отражение
в плоскости (#2,.т3) и их всевозможные произведения.
б) Преобразования задачи 6.1 с добавлением их произведений
на отражение в плоскости (х1,т2).
в) Объединение произведений преобразований а) и б).
г) Преобразования задачи 6.1.
д) Преобразования задачи 6.1 с добавлением их произведений
на поворот на угол тг вокруг оси х1.
6.15 В главных осях тензора S группу симметрии составляют
всевозможные степени и произведения отражений в координат-
координатных плоскостях. В случаях двух совпадающих собственных зна-
значений тензора S — группа симметрии задачи 6.14 в), трех —
полная ортогональная группа.
50 Глава 1. Основные понятия
6.16 а) Условия инвариантности тензора Т = Тисге^ второ-
второго ранга имеют вид Ь^ЦТ*1 — Тг^, где Ь\ — компоненты про-
произвольной ортогональной матрицы. Достаточно рассмотреть
инвариантность относительно некоторых частных преобразова-
преобразований. Инвариантность относительно отражений в координатных
плоскостях дает равенство нулю всех недиагональных элементов
матрицы ||Ти||. Далее, инвариантность относительно поворотов
на угол 7г/2 вокруг координатных осей приводит к искомому
выражению Т = fcg, где к — произвольный скаляр, которое уже
инвариантно относительно полной ортогональной группы.
б) Возможны три комбинации: дг^дк1, дгкд^\ дг1дкз• Линейная
независимость соответствующих тензоров четвертого ранга до-
доказывается „от противного": пусть существует линейная зави-
зависимость вида адг3ды + /3gtkgjl + удг1дк^ — 0 при а2 + (З2 + у2 > 0.
Тогда, путем сверток с gij. gik, gu, получим систему уравнений
Откуда следует, что а — fi = 7 = 0, т. е. предположение о
линейной зависимости не выполняется.
6.17 Применяя метод задачи 6.16, получим, что инвариант-
инвариантный симметричный тензор второго ранга имеет вид &^+&2взвз;
инвариантный ненулевой антисимметричный тензор существует
в случаях б) и г) и равен к3€-е3. Здесь fci, k2 и кз — произвольные
скаляры.
6.18 Применяя метод задачи 6.16, получим искомое выраже-
выражение fcig + ^2S + fc3S-S. Здесь &i, к,2 и &з — произвольные скаляры.
6.19 Изучить преобразование компонент обратной матрицы.
6.20 Компоненты искомых тензоров суть
ff'V, gV, gil9k3, gijBkl, дгкВ>\
gilBjk, gklBi], дз1Вгк, g'kBlt, Bij Bkl,
где В = е.зСз. Линейная независимость доказывается „от про-
противного" путем сверток с g и В, как в задаче 6.16.
6. Симметрия и тензорные функции 51
6.21 а) а = fb: б) с = /ха + f2b. Здесь / и /i, /2 — произ-
произвольные скалярные функции аргументов |&| и |а|, |6|, а • 6 соот-
соответственно.
6.22 Искомый потенциал имеет вид
1*1
ф = / rf(r) dr + const,
о
6.23 Использовать зависимость Ф(^1,«/2?*/з) в главных осях
тензора S.
6.24 Раскрыть скобки в формуле Лагранжа-Сильвестра. В
общем случае.
цикл(Л1 - A2)(Al -A3)'
(A2 + A3)F(A1)
ЦИКЛ
(Ai-A2)(A1-A3)'
где символ Х^цикл означает сумму членов с циклической переста-
перестановкой индексов 1, 2, 3.
6.25 Указанный тензор инерции имеет вид
I = / (|г| V - x
где г = х11{ — радиус-вектор относительно центра масс; р —
плотность и V — объем тела.
а) В силу симметрии тензор инерции однородного шара — ша-
шаровой I = fcg, см. задачу 6.16. Проводя вычисления в сфериче-
сферической системе координат, получим для скаляра к = \l]i — |МД2,
где М и R — масса и радиус шара.
б) 1п = |МF2 + с2), 122 = 1М{а2 + с2), /зз = 1М(аЧЬ2), I{j = О
при гф j\ здесь М, а, 6, с — масса и полуоси эллипсоида.
52 Глава 1. Основные понятия
6.26 Правильный тетраэдр вписывается в куб так, что его ре-
ребра являются диагоналями граней куба. Тогда, очевидно, группа
симметрии правильного тетраэдра является подгруппой группы
симметрии куба. В свою очередь, группа симметрии октаэдра,
который может быть вписан в куб так, что его вершины являют-
являются центрами граней куба, совпадает с группой симметрии куба.
Поэтому достаточно доказать, что указанный тензор инерции I,
см. задачу 6.25, как инвариантный относительно группы сим-
симметрии тела тензор второго ранга, является шаровым в случае
правильного тетраэдра.
Инвариантность относительно поворотов на угол 7Г вокруг
взаимно перпендикулярных осей, проходящих через середины
противоположных ребер тетраэдра, дает, что в этих осях все
недиагональные элементы матрицы \\1гЦ\ равны нулю. Далее,
инвариантность относительно поворотов на углы 27г/3, 4тг/3 во-
вокруг одной из осей, проходящих через вершины тетраэдра пер-
перпендикулярно его граням, приводит к желаемому результату.
6.27 В случае 6.14 г) в цилиндрической системе координат
(г, <?, z) все компоненты любого инвариантного тензорного по-
поля суть произвольные функции аргументов г и z. В остальных
случаях возникают определенные соотношения четности по z, a
также нулевые компоненты у вектора v и тензора Т.
а) v* = О, Ттч> = T*r = Tz* = T*z = 0, остальные компоненты,
включал скаляр, — произвольные функции аргументов г и z\
б) vz, Trz, Tzr) T^z, TZ(f — нечетные по аргументу z функции,
остальные — четные; от г зависимость произвольная;
в) объединение ограничений а) и б);
д) vz, v*, Trz, Tzr, Тг<^, T*r — нечетные по аргументу z, осталь-
остальные — четные; от г зависимость произвольная.
6.28 В сферической системе координат (г, 0, у>), инвариантные
скаляр, вектор и тензор имеют вид
Ф(г), 1> = г;г(г)ег, Т = Тгг ев 2
Глава 2. Общие законы и уравнения
механики сплошной среды
8. Закон сохранения массы.
Уравнение неразрывности
8.2 —J pdV=- J pvnda.
V Е
Здесь V — пространственный объем; Е — его поверхность;
vn — проекция на нормаль к Е скорости v среды.
8.3 б) Если (ж, у, z) — декартовы координаты, то уравнение
неразрывности имеет вид
до до до до (dvT dvv dvz
dt dx y dy dz \dx dy dz
8.4 Для доказательства использовать соотношение, верное,
если V — индивидуальный (материальный) объем,
8.5 Для несжимаемой среды: V2V?;o? = А<р = 0;
для сжимаемой среды: — + V*(/oVt-y>) = 0; V* = #UVj.
8.6 См. решение задачи 8.7.
8.7 В произвольной криволинейной системе координат верна
формула, см. задачу 3.48,
. div v= -
¦ дх° ' ^
V "
В ортогональной системе gij = 0 при г ^ J, det||^jH = ^11522^33-
Физические компоненты иф вектора V, обозначаемые ниже для
удобства ^а, определяются формулами
V — и сг — а. сг / сг . и,
54 Глава 2. Общие законы и уравнения
суммирования по а нет. В ортогональной системе координат
уравнение неразрывности имеет вид
dx*
а) В цилиндрической системе координат (г, <р, z) обозначим
dpruz o
= Ur, U2 = Uy, U3 —
r<fy, dprur dpuy o
dt dr dip dz
б) В сферической системе г, в (широта), А (долгота) обозначим
и1 = иГ1 и2 = ид, и3 = и\,
2 • пдР , • ndpurr2 дрщsin 0 дри\
г1 sin 0-7 + sin e-t-т + г — + г—— = 0.
at or дв дХ
dp I dpurru
8.8 ——| = 0. где v — 0, 1 и 2 соответственно для
dt ry дг
движений с плоской, цилиндрической и сферической симметрией.
8.9 Воспользоваться формулами, связывающими величины
dVo и dV малой частицы в начальном и конечном состояниях,
см. § 4, и законом сохранения массы этой частицы.
8.10 Эти формы можно вывести из соотношения
ро\Д = р\Д, где ^ = det||^j||,5 = det||^||,
используя равенства
дц = дц + 2ец - gik(^ + 2е)) и д%3 = gtj - 2etJ = дгк(^ - 2ек7).
В линейном приближении уравнение неразрывности можно за-
записать в виде
8Л1 т
1 dS dv I dp d д д
оо at с/сс />о dt at at ox
9. Тензор напряжений 55
8.13 Используя уравнение неразрывности, получим
V V
8.14 Вычислить div v.
8.15 a) Uy = —j-;
г
б) v = grad <р, поскольку rot v = 0; Д92 = div v = 0;
„ dx dy
в) уравнение траектории: — = —, т. е. х dx + у dy = 0.
vz vy
8.16 В рассматриваемом случае потенциал скорости <р опре-
определяется как решение задачи Неймана
On
Уравнение и граничное условие для <р, а также связь скорости
с <р линейны. Уравнение А<р = 0 получено только из уравнения
неразрывности.
9. Тензор напряжений
9.1 Пусть ось х направлена вдоль скорости бруса, ось z —
вертикально вверх, тогдаpnz = -1 кгс/0.02 м2 = -50 кгс/м2. По
закону Кулона сила трения пропорциональна нормальной силе,
т. е. \рпх\ = 0.3 \рп2\, рпх = 15 кгс/м2;рпу = 0.
9.2 а) Для декартовых координат векторы пг единичных
нормалей к координатным площадкам совпадают с векторами
базиса сг, поэтому формула Коши (9.1) дает рг = pJtej. Таким
образом, в декартовых координатах столбцы матрицы компо-
компонент тензора напряжений суть компоненты векторов напряже-
напряжений на координатных площадках.
б) р12 — это проекция на ось х1 вектора напряжения, действу-
действующего на площадке, перпендикулярной оси. а:2.
56 Глава 2. Общие законы и уравнения
в) Используйте то, что в криволинейных координатах векто-
векторы единичных нормалей для координатных площадок хг — const
могут быть записаны в виде пг = ег/\ег\.
г) Физические компоненты р^г вектора р*г суть ^Jgjj/g"
(суммирования по г, j нет). В ортогональной системе коорди-
координат да = 1/дгг и
В цилиндрической системе координат дц = д3з = 1, #22 = Г?
поэтому, например, физические компоненты вектора р*1 напря-
напряжений на площадке г = const таковы:
„*п _ „и „*2i _ rw2i *3i _ 31
Рф — V ? Рф — ГР ? Рф — Р •
9.3 а) Используйте соотношение, выражающее закон сохра-
сохранения количества движения для малой частицы среды, имеющей
форму тетраэдра, вершина которого расположена в рассматри-
рассматриваемой точке среды, три грани лежат в координатных плоско-
плоскостях декартовой системы координат, а четвертая грань перпен-
перпендикулярна вектору п. Разделите все члены на площадь четвер-
четвертой грани и перейдите к пределу когда тетраэдр стягивается в
точку.
б) Необходимо, чтобы / р(а - F) dV был малой выше второго
v
порядка по линейному размеру малого объема V. Достаточно,
чтобы р(а — F) было ограничено.
9.4 Рассмотрите малую частицу среды, имевшую до дефор-
деформации форму тетраэдра, расположенного по отношению к ла-
гранжевой декартовой системе координат в начальном состоя-
состоянии аналогично тетраэдру, описанному в указании к задаче 9.3.
9.5 а) Используйте соотношения жпо da0 — pnda и
А А ~ ^к А • К*
р da rij = pdunk—-- — ро da0 nk —-j.
dxJ ox3
где ftj, hk — компоненты п в эйлеровой и лагранжевой систе-
системах координат в деформированном состоянии. Последнее соот-
соотношение можно получить, применяя закон сохранения массы к
9. Тензор напряжений 57
индивидуальному объему в форме малого цилиндра, имевшего в
начальном состоянии площадь основания d<70 и образующую dr0.
б) В декартовой системе координат 7ГЫ — это отношение вели-
величины проекции на ось ?к силы, действующей на площадку, ко-
которая была перпендикулярна оси ?* до деформации, к площади,
которую имела эта площадка до деформации.
9.7 р1п и 213 Па, р\ « -56 Па, р\ и -32 Па, \рп\ « 223 Па,
рпп « 56 Па, рпт « 216 Па; cos0 = pnn/|pn| ~ 0.25, в « 75°.
10 4
9-8 Pn = -—e2 + -e3.
9.9 Прежде всего, запишем выражения рппг и рП1П через тен-
тензор напряжений
Рпт = Ргзщпи, рП1П = ргзп137ц = pJtnlinJ;
так как р^ = р*г, то рпП1 = рП1П.
9.10 а) В главной системе координат для тензора напряже-
напряжений, например, на площадке, перпендикулярной оси ж1, по фор-
формуле Коши (9.1) имеем
Pnl = Pll, Рп2 = Р21 = 0, РпЗ = Р31 = 0.
б) pnn = purlin1; в главной системе координат
+ р^ + Рз^ причем nl+nl+nl= 1;
экстремум рпп достигается при га,-, удовлетворяющих условиям
= 0, t = 1, 2, 3.
Здесь А — множитель Лагранжа. Если р\ > Р2 > Рз? то эти усло-
условия означают, чторпп достигает экстремума, когда п параллелен
ОДНОЙ ИЗ ГЛаВНЫХ ОСеЙ. Тогда (рПп)тах = Pi, {Рпп)mm = РЗ-
9.11 а) сфера;
б) две параллельные плоскости ж1 = ±с;
в) гиперболический цилиндр ж1^2 = с.
58 Глава 2. Общие законы и уравнения
• xje* gmdJ7
9.12 а) рп = pijn3el = Pij-гт- = 2 , где г = х3е,,
JT = р^х%х*, Т = const — уравнение поверхности напряжений.
б) Поверхность напряжений есть поверхность второго поряд-
порядка. Для любой поверхности второго порядка существуют три
взаимно перпендикулярные оси такие, что радиус-вектор г точ-
точки параллелен нормали к поверхности п в этой же точке.
в) Ра = Рь Pij = 0 при г ф j, где р{ — главные компоненты
тензора.
г) Только для сферы г \\ п для всех ее точек.
9.13 а) Главные компоненты суть р\ = -8, Р2 = 4, р3 — 16.
Направляющие косинусы главных осей суть
1 1 \ / 1 1 1 \ / 2 1 1
°' ^' ^" 1 ^ у/г' V3J' \ V6' V6'
б) Компоненты девиатора тензора напряжений р определяются
формулой
где gt-j — компоненты метрического тензора, равные 8{3 в декар-
декартовых координатах. Для заданного тензора напряжений компо-
компоненты шарового тензора и девиатора следующие:
'4 0 0\ / -8 4 4
0 4 0,4-4 8
,0 0 4/ \ 4 8-4
9.14 Главные компоненты: р\ = р2 = 1, рг — —2. Векторы
— ^ Г— — —\ (— — —
можно принять за направляющие векторы главных осей. Пре-
Преобразование к главным осям [у1) имеет вид
1,9 19.глЧ 19*4
rp i I гр & гп 1 ___ гр & _1 / Т* Т* Т* Т*
У =
V2 ' У " V6 ' *' " ч^
9. Тензор напряжений 59
9.15 Из-за симметрии достаточно рассмотреть 0 ^ в ^ тт.
Главные компоненты равны
Pi,2 = A I ldbsin- I , р3 = 0;
для 0 < в < 7Г максимальное из pi есть р\\ а = C0 + тг)/4.
9Л6 а) Инварианты тензора напряжений таковы:
h = Pi + Р2 + РЗ, /2 = Pi P2 + Р2РЗ + РзРЪ ^3 = Pi Р2РЗ;
J\ = Pi +Р2 +РЗ, J2 = Р? + Р2 +РЗ» J3 = Р? +Р2 +Pl-
б) Из формул пункта а) видно, что /2 = ~(Jf — J2) Для любого
тензора, причем всегда J2 > 0. Так как для девиатора t/i = 0,
to/2 = --J2 < 0.
9.17 Pnn=fnl p\T = {fmf - (рЧ2J-
9.19 а) Экстремальные касательные напряжения: (pi - Pj)/2;
площадки, на которых они действуют, проходят через одну из
главных осей тензора напряжений и составляют углы 45° и 135°
с другими главными осями.
в) Поверхность рпт тах — к = 0 — шестигранная призма. Рассто-
Расстояния равны к у/2 и 4&/\/б, соответственно.
9.20 Возьмем декартову систему координат с осями ж, у, я,
направленными вдоль ребер параллелепипеда, имевших в началь-
начальном состоянии длины а, 6, с соответственно. Тогда
а) на торцах тгхз — 0, 7г2з = 0, тг3з = V/(ab), V = \V\ при ра-
растяжении, V = -|Я| при сжатии. На гранях, перпендикулярных
оси ж, рп = 0, т. е. 7Гц = 0, 7r2i = 0, 7Г31 = 0. На гранях,
перпендикулярных оси у, рп = 0, т. е. 7Ti2 = 0, 7г22 = 0, 7Г32 = 0.
б) Все компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа равны нулю, за
исключением тг3з = V/(ab).
в) Чтобы найти тензор напряжений Коши, необходимо знать
площади граней, на которые действуют силы, в деформирован-
деформированном состоянии.
г) В этой задаче тензор Пиолы-Кирхгофа не зависит от формы
поперечного сечения цилиндра.
60 Глава 2. Общие законы и уравнения
9.21 Компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа равны
7Г21 = <Х, 7Г13 = 7Г31 = 7Г12 = 7Г22 = 7Г23 = 7Г32 = Я3 = 7Гц = 0.
9.22 Выберем декартову систему координат так, чтобы ось х1
была направлена по оси бруса. По условию компоненты тензора
напряжений таковы: р11 = P/S, остальные ри = 0. Вектор
напряжений на площадке с нормалью n(ni, ?г2, пз) имеет вид
pn=pnn1e1 = (P/S)n1el.
Величины нормальной и касательной составляющих соответст-
соответственно равны
Рпп = Рпп1 p?t = (p"J»i(i-»?);
их максимальные значения:
Р р11 Р л/2
(Pnn)max = Р11 = "у , ^i = ±1; bnrlmax = — = ^, «1 = ± —•
9.23 а) Пусть известно, что р*-7' = —рд%*. Подставляя это вы-
выражение в формулу Коши (9 Л), получаем рп = —рпге{ = —рп.
Наоборот, если известно, что рп = РппП Для любого п, то, на-
например, в декартовой системе координат имеем ргэ — 0 при г ф j
и по формуле Коши
Pnn{n\ei + 7ii«1 + щвг) - pnniei + р22п2е2 + р33п3е3
Отсюда р11 = р22 = р33 = рпп = —р. Последнее равенство есть
просто обозначение.
10. Дифференциальные уравнения
движения и равновесия
10.2 а) Лагранжева сопутствующая система координат (?г)
с базисными векторами ёг- и метрическим тензором с компонен-
компонентами gij движется и деформируется вместе со средой. Скорость
изменения векторов базиса в частице есть
ЗМСУ) _ д дг _ dv _ к _ (dvk /fл
10. Уравнения движения и равновесия 61
поэтому
б) Уравнения движения имеют вид
в) В выражения \7г-й* и V{pkl входят символы Кристоффеля
Но gi1 — (Jij + 2eij, где #г? — компоненты метрического тензора в
лагранжевой системе в начальном состоянии; ец — компоненты
тензора деформации. Следовательно, в уравнениях движения в
лагранжевой сопутствующей системе содержатся члены с про-
производными Sij по координатам ?к.
10.3 Закон сохранения количества движения для индивиду-
индивидуального объема может быть записан в виде
— J povdVo = J poFdVo = J жпо da0,
' Vq Vb Eo
где Vo — объем, который занимала рассматриваемая среда в на-
начальном состоянии, So — поверхность этого объема; v — и(?*, ?),
F — F(?\ t), pn{^\ t) — скорость, плотность массовых сил и век-
векторы напряжений в момент t; тгПо dao = Pn da — по определению
Я"п0; PodVo — pdV — по закону сохранения массы.
Отсюда, используя то, что жпо = 7ru7?oje?;, что объем Vo про-
произволен и что все функции имеют, по предположению, необходи-
необходимое число производных, получаем дифференциальное уравнение
Если начальное состояние не меняется со временем, т. е. выпол-
выполнено с,- = const, то
dv Oh'
10.4 Fx = -137^, Fy = -47-, Fz = 0.
P P
62
Глава 2. Общие законы и уравнения
10.5
10.6
a) F = 0,
r sin2 0-2-, />F2 = -6 ctg в+с sin в cos 0, /?F3 = 0.
б)
в)
10.7 а) Из уравнений A0.1) при » = 0и jpIJ* — -ДОи полу-
получаются уравнения равновесия жидкости в виде pF - gradp = 0.
б) Так как rotgradp = 0, то rot pF = 0 при равновесии. Умно-
Умножив последнее равенство скалярно на F, получим F • rot F = 0.
Г
Вид сбоку Вид сверху
Ряс. 0.10.1.
10.8 Уравнение для прогиба мембраны w можно получить,
приравнивая нулю сумму проекций на ось z всех сил, действу-
действующих на малый элемент мембраны ABCD, см. рис. О.ЮЛ, со
сторонами Ах и Ау. Натяжение Г действует вдоль внешней
нормали к контуру ABCD в плоскости, касательной к поверх-
поверхности мембраны. Сумма проекций сил, связанных с натяжением
Г, действующим на сторонах AD и ВС, с точностью до малых
высшего порядка равна
-Т—Ау+ [Т— + — [Т— )Ах )Ау= — Г— )АхАу.
дх \ дх дх V дх / ) дх V дх /
Здесь учтено, что Дж, Ду малы, и прогиб мембраны мал по*срав-
по*сравнению с ее размером, т. е. dw/dx мала. Учитывая еще сумму
проекций сил натяжения на сторонах АВ и DC', а также распре-
распределенную нормальную нагрузку д, будем иметь
^ +
или, так как Т = const, получим Aw — —q/T.
10. Уравнения движения и равновесия 63
10.9 Проверяется вычислением.
10.10 Из уравнений равновесия в рассматриваемом случае сле-
следует, что выражения рц dy — р12 dx и р2\ dy — Р22 dx суть полные
дифференциалы некоторых функций F и Ф. Из условия рм = P2i
следует, что F dy — Ф dx также является полным дифференциа-
дифференциалом некоторой функции U. Поэтому F = dU/dy, Ф = dU/dx,
дФ d2U 5F . d2U
10.11 б) На боковой поверхности
га3 = 0, рп= ргзп3е{ = (p31rii + р32п2)е3;
ni, П2 можно рассматривать как компоненты нормали к конту-
контуру поперечного сечения стержня. Введем единичный вектор т
касательной к этому контуру, г п — 0, и выразим р31 и р32 через
функцию напряжений Т. Тогда условие рп = 0 принимает вид
дТ дТ , , ^ ч дТ
— t2 + — ti = (grad T • т) = -т— = О,
ду дх ds
т.е. Т — const на контуре поперечного сечения.
в) Используя формулу Стокса и учитывал, что Т — const на
контуре сечения, получим
Ry= IJ^
s
где S — площадь поперечного сечения.
Момент сил, действующих в сечении с нормалью п = @; 0; 1),
имеет только составляющую, направленную вдоль оси стержня,
поэтому он является крутящим.
10.12 Уравнения Эйлера имеют вид
ра — pF — gradp.
64 Глава 2. Общие законы и уравнения
10.13 Используйте закон сохранения количества движения и
то, что в идеальной жидкости рп = — рп,
10.14 Выражение для ускорения преобразуется так:
+ kVi +
10.15 Спроектируйте уравнение Эйлера на линию тока или
линию вихря. Используйте:
1) выражение для ускорения, полученное в задаче 10.14,
2) то, что проекция grad Ф на некоторое направление есть про-
производная Ф по этому направлению,
3) то, что для установившегося движения величины р и р на
любой заданной линии С суть функции только параметра s на ?:
р = p(s), р — p{s), поэтому, если dp/ds ф 0, то р на С можно
считать функцией р, вообще говоря, разной на разных линиях ?.
10.16 Из уравнений Эйлера следует
Отсюда вытекает, что
dt + 2 + u
10.17 Используйте выражение Тг-к через компоненты метри-
метрического тензора и то, что в ортогональной системе координат
недиагональные компоненты метрического тензора равны нулю.
10.18 В цилиндрической системе координат (г, </?, z) введем
физические компоненты скорости ttr, ttv и ад2, пользуясь равен-
равенством
v = угв{ = мгт-^т,
I ^i I
где обозначено и1 = иг, и2 = и^} и3 — uz. Аналогично введем
физические компоненты плотности массовых сил и градиента
10. Уравнения движения и равновесия 65
давления. Пользуясь формулами для компонент ускорения из
задачи 10.17, запишем уравнения Эйлера в виде
диг диг Uy dur диг и% _ г? * &Р
от or r dtp dz г р or
duy ди<р Uy duy duy uru^ 1 dp
от or г д(р dz r * prd(p
duz duz Uy duz duz __ 1 dp
dt dr r d(p dz pdz
В сферической системе координат г, в (полярный угол), А (дол-
(долгота) уравнения Эйлера таковы:
dur dur щ dur u\ dur и2в + u\ I dp
~dt + Ur!fr + 7? + гsin^ dX г = r ~ ~p~d~r'
due due u9due ux due urue ctg^ 2 I dp
их
г sin<
dur
) dX
due
dux
от аг r d9 rsmO d\ r r pdO
dux dux uedux ux dux urux
at or r oO rsmv
pr sin в dX
10.19 Используйте формулы е^\ = ^(V^t;/ +
10.20 Используйте формулы е^/ = \{^кЩ +
10.21 Умножьте скалярно уравнения движения па, dr = vdt и
проинтегрируйте полученное равенство по объему V. Плотность
работы внутренних поверхностных сил равна
а) -fetf, б) 0.
Р
10.22 а) В сферической системе координат имеем vr = v(r,t),
17^ = ид = 0. Уравнения неразрывности и движения имеют вид
dvr2 _ flv dv _ ldp
!fr~~0' !t+Vlfr~~'p!fr'
Граничные условия:
v = drc/dt, p = 0 при г = гс, р —>• 0 при г —> оо,
где гс — радиус каверны.
3 Зак. 2369
66 Глава 2. Общие законы и уравнения
Начальные условия:
оо 2
Екин = / 4тгг -— dr -> Ео, гс -> 0 при t -> 0.
б) Искомые параметры равны
Зрс2 Зрс5 з/т
В) Ртах = Оз/Т о = Т; rpm« = V4 ГС.
г) v = v(t,r,E0,p), p = p{t,r,E0,p);
на основании П-теоремы, см. § 38,
fEV
Если роо ф 0, то
т. е. задача не автомодельна.
д) Если роо т^ 0, то возникают колебания: сначала радиус ка-
каверны возрастает до
г -
1 с max —
/
47ГРОО
после этого начинается ее схлопывание.
е) Нет, потому что для осуществления такого движения на еди-
единице площади плоского заряда или на единице длины заряда,
распределенного по прямой, в начальный момент должна быть
выделена бесконечная энергия. В этом можно убедиться, подста-
подставив выражение для v, следующее из уравнения неразрывности, в
формулы
соответственно для взрыва на плоскости и для взрыва на прямой.
11. Применение интегральных законов 67
11. Применение законов сохранения массы,
количества движения, моментов количества
движения в интегральной форме
для определения сил и моментов,
действующих на тела, движущиеся в жидкости
(метод контрольных поверхностей)
11.1 а) Написать соответствующие законы для индивидуаль-
индивидуального объема среды и воспользоваться формулой (8.10) диффе-
дифференцирования интеграла по подвижному объему.
б) Закон сохранения энергии G.4) для установившегося движе-
движения имеет вид
Е V Е
11.2 Воспользоваться формулой Гаусса-Остроградского.
11.3 а) Обозначим через Е^ и Е# поверхности тел Л и В, че-
через Tij — внутреннюю поверхность стенок трубы Т. Используя
также обозначение
S = Е^ + Е# + Ет»
по определению главных векторов сил R и момента М и притока
энергии W, запишем
R=-Jpnda, M=-J(rxpn + Qn)da, W = - j{pn • v - q*n) da,
ЕЕ Е
где n — нормаль к поверхности, внешняя по отношению к жид-
жидкости.
Возьмем в качестве контрольного объем жидкости, заклю-
заключенный между сечениями Si и ?2, тогда контрольная поверх-
поверхность есть
Используя законы сохранения количества движения, момента ко-
количества движения и энергии, см. задачу 11.1, а также условие
68 Глава 2. Общие законы и уравнения
непротекания жидкости через Ед, Е# и ?т,*т. е. условие vn = О
на Ед, Е# и Ej, получим
М= / (г х рп + Qn - p{r x у + k)vn) da,
б) При учете силы тяжести в формуле для R прибавится член
Jpgdv =
v
в формуле для М — член
/,,х^=(/
X 5 = mr0 X д = r0 x
где m — масса жидкости в объеме V; д — ускорение силы тя-
тяжести; Го — радиус-вектор центра тяжести в объеме V.
в) Отметим индексами 1 и 2 параметры потока в сечениях Ei и
Е2- Жидкость втекает в контрольный объем через поверхность
Ei и вытекает через Е2, поэтому
V2 =
где Пх и п2 — нормали к Ех и Ег, внешние по отношению к
контрольному объему.
Пусть 5i и #2 — площади Ei и Т>2; г| и г2 — радиусы-векторы
геометрических центров этих сечений. Тогда piV\Si — p2v2S2 в
силу закона сохранения массы, и
R = (Pi + pxvl)Si— - {р2 + p2vl)S2 — ,
Щ v2
M = {Pl + pivl)Sirl x — - (pa + p2^M2r; x —7
Vl ^2
W = (г^ - t;)G, G =
11. Применение интегральных законов 69
где через г* обозначено выражение v2/2 + и + р/р; г* называют
полной удельной энтальпией, см.,гл. 3.
г) Верны, так как непрерывность параметров потока в точках
объема V при использовании формул A1.1) — A1.3) не тре-
требуется.
11.4 а) Рассмотрим в качестве контрольного объема часть
струи, выделенную ее поперечными сечениями So и Ед, располо-
расположенными далеко вверх и далеко вниз по течению от места встре-
встречи потока со стенкой. На рисунке П.2 этот объем показан пунк-
пунктиром. Его граница есть S = Ео + Ед + Ej + Sw, где Ej и Ew
— соответствующие части поверхностей струи и стенки. Сила,
действующая на переднюю часть.стенки равна
Rj = / pnwda при наличии струи,
.у
Rq — ponw da при отсутствии струи,
поэтому искомая сила равна
R = Rj - Ro= {р- Ро)п*п da — {р- Po)nw da.
Здесь Е^о — вся передняя поверхность стенки; nw — нормаль к
ней, внешняя по отношению к жидкости. Замена интегрирова-
интегрирования по Е^о интегрированием по Hw возможна потому, что вдали
от места встречи со стенкой давление в струе выравнивается по
сечению и становится равным давлению ро на ее внешней грани-
границе всюду, в том числе и на стенке. Закон сохранения количества
движения для контрольного объема может быть записан в виде
/ pvvn da = - / pnda = - (р - po)nda,
Е ЕЕ
см. задачу 11.2. Проектируя это соотношение на направление
nw и учитывая, что vn = vq на Ео; vn = 0 на Ej и Еш; р = ро на
Ео, Sg и Ej; v • nw = 0 на Eg; v • nw — i?osina на Ео, получаем
ответ:
R — PqSqVq sin a.
70 Глава 2. Общие законы и уравнения
б) Для плоской струи рассмотрим контрольный объем V', грани-
граница которого включает, кроме So, Eg, Sj, Е^, еще два продоль-
продольных, т. е. параллельных плоскости течения, сечения, расстоя-
расстояние между которыми равно единице. Так как по условию все
параметры потока на этих сечениях одинаковы, а внешние по
отношению к V нормали к ним противоположны, общий вклад
интегралов по этим сечениям во всех используемых соотноше-
соотношениях равен нулю. Поэтому формула для Л, полученная в п. а),
может быть использована и для плоской струи, причем So = / • 1.
Следовательно,
R = pqIvq sin a.
. Для получения ответов на другие вопросы задачи введем де-
картову систему координат с началом в точке О, направив ось х
по нормали к стенке (по п^), а ось у вдоль стенки в такую сторо-
сторону, чтобы проекция Vq на ось у была неотрицательна, на рис. 11,2
— вверх, вдоль стенки. Обозначим через vi, г^, /i, h скорости и
толщины растекающихся по стенке „вверх" и „вниз" струй, вда-
вдали от точки О, v\y = v\, V2y = V2* Используя законы сохранения
массы и количества движения в проекции на ось у, получим со-
соответственно
/г;0 = lxv\ + /2t?2, /vgcosa + l\v\ = l2v\.
Интеграл Бернулли A1.4), записанный для линий тока, идущих
по поверхности струи, где р = р0 = const, дает
1'1 = V0 И V2 = ^0-
Поэтому
1 + cos a 1 — cos a
h = l j ' h==l 2 •
Точка С приложения суммарной силы R определяется усло-
условием, что момент R относительно любой точки равен сумме мо-
моментов сил, составляющих Д, т. е.
гсхй= / г х (р- po)nda.
В общем случае такой точки С может не существовать.
11. Применение интегральных законов 71
Рассмотрим моменты сил относительно точки О. Используя
закон сохранения момента количества движения, получаем
-fi -h
гс х R= / г х pvvn da — / г х pvxvi dx + r x pv2v2 dx.
s о о
Так как векторы rc, Д и г, Vi, V2 лежат в плоскости (ж; у), то
последнее равенство в проекциях на оси х и у дает тождество, а
в проекции на ось z дает
ycR = ^ (v?/? - и*/*), т.е. ус = - - ctg а.
в) « 9 м/с.
11.5 Рассмотреть контрольный объем, показанный пункти-
пунктиром на рис. 11.3. Использовать интеграл Бернулли.
a) R = pv2S{l-cosa); б) R = 2pv2S.
ИЛ a = 0
т
11.7 So :5= 1 :2.
11.8 а) Сопротивление — это составляющая силы, действую-
действующей со стороны жидкости на тело, параллельная скорости тела;
подъемная сила — составляющая, перпендикулярная этой скоро-
скорости. В рассматриваемом случае сопротивление равно нулю (это
явление называют парадоксом Даламбера), подъемная сила мо-
может отличаться от нуля.
б) Суммарное сопротивление всех тел равно нулю.
в) Сопротивление тела вместе с полостью равно нулю.
11.9 а) Разность между силой, действующей на тело со сто-
стороны движущейся жидкости, и силой, действующей при отсут-
отсутствии движения, равна
pv{SSl
2E -SoJ
и направлена по скорости V\.
б) при S —> оо и конечной So'- Щ —^ vi? Vi ~^ V\-> -R ~* 05
в) Величина силы R будет та же, что в п. а), но направлена эта
сила против скорости V\.
72 Глава 2. Общие законы и уравнения
11.10 а) Рассмотрим контрольный объем, показанный пунк-
пунктиром на рис. 11.7, его ширина в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном плоскости течения, равна единице. Сечения АВ и DC па-
параллельны вектору периода /, а контуры АВ и DC — это одна и
та же кривая, сдвинутая поступательно на один период. Законы
сохранения массы и количества движения дают
plvXn- plv2n-G или vln = v2n = ^n,
где
nl/; R = (pi -Р2)*л + <2(»1 - t>2).
Циркуляция Г по контуру ABCD в силу периодичности течения
равна Г = (t?2/ - vu)L Поэтому
Ri = G(vu- v2\) = -pIX;
используя интеграл Бернулли, получим, что
Отсюда видно, что
Я±(„1 + „2), Ш = ,rfe±*!, т.е. Я = ,^хГ.
б) При / -> оо и Г = const имеем V2j -> vi/, v2 -> Vi = v^,
поэтому
Д = pVoo X Г.
11.11 Известно, что при движении тела в несжимаемой жид-
жидкости, и во многих случаях— в сжимаемой жидкости, вызванная
движущимся телом скорость жидкости быстро стремится к нулю
при удалении от тела во всех направлениях, кроме направления
назад, где образуется течение в сторону движения тела, назы-
называемое спутной струей. Предположение об отсутствии вязких
напряжений в жидкости и о выравнивании давлений вдали от
тела позволяет не учитывать расширения поперечного сечения
спутной струи вдали от тела.
Рассмотрим контрольный объем в виде прямоугольного па-
параллелепипеда с гранями, соответственно параллельными и пер-
перпендикулярными скорости тела и расположенными достаточно
далеко от тела. В способе а) этот контрольный объем движется
11. Применение интегральных законов 73
вместе с телом, движение является установившимся в системе,
связанной с телом, метод контрольных поверхностей дает, что
сопротивление равно
R—l pv2 do — I ри2 da,
Si S2
где S\ и $2 — передняя и задняя грани контрольного объема,
перпендикулярные скорости тела; и — скорость спутной струи
относительно тела вдали от него. Используя закон сохранения
массы
/ pv do — I puda — / dm,
S\ S2 S2
получим
R = (v — u) dm — I pv(v — u) da.
s2 s2
В способе б) тело движется внутри контрольного объема,
движение неустановившееся относительно системы, связанной с
контрольным объемом. Поэтому при вычислении R надо учи-
учитывать скорость изменения количества движения внутри кон-
контрольного объема, которая равна / pvvc da. Следовательно,
s2
г
R
s2
где vc — скорость в спутной струе относительно окружающей
жидкости. Так как и = v - г;с, то две полученные формулы для
R совпадают.
11.12 Действуя аналогично методу а) решения предыдущей
задачи, получим, что сила, действующая на ракету, равна раз-
разности потоков количества движения через S\ и S^- В случае,
когда можно пренебречь потоком количества движения и массы
через Si, получим
R = — / puudo,
s2
где и — скорость газа в струе, вытекающей из ракеты, относи-
относительно ракеты. Если и не меняется по сечению, то R = ти.
= / pvvc do,
74 Глава 2. Общие законы и уравнения
11.13 R = -{{р' - Po)S + pv2S)n; R = -pv2Sn.
Здесь S — площадь выходного сечения сопла.
11.14 a) R представляется вектором, являющимся диагона-
диагональю параллелограмма, построенного на векторах
— И {Pl
V2
см. решение задачи 11.3.
б) Если линии, параллельные V\ и v2 и проходящие через гео-
геометрические центры входного и выходного сечений трубы, пе-
пересекаются в точке О, то эту точку можно рассматривать как
точку приложения равнодействующей сил, действующих на тру-
трубу со стороны жидкости.
в) 6.75 кгс.
11.15 Отметим индексами 1 и 2 параметры во входном и вы-
выходном сечениях трубы. Закон сохранения массы дает v\ = v2)
так как S\ = S2. Из интеграла Бернулли A1.4) получаем, что
Pi — V2- Используя для R формулу из решения задачи 11.3, на-
находим, что сила, действующая на трубу со стороны жидкости,
направлена под углом 45° к V\ и v2 и равна V^S\(pi + pv\)/2.
11.16 Применить закон сохранения количества движения к
жидкости между сечениями А и Л', указанными на рис. 11.10.
п , рЫ - ^J
Ответ: р2 - р2 = .
11.17 Для вычисления силы R перейдем в систему отсчета,
движущуюся вместе с телом; в этой системе имеется стацио-
стационарное обтекание неподвижного тела и можно воспользоваться
формулами задачи 11.3, рассматривая сечения Ei и Е2 потока
далеко впереди и далеко позади тела. В этих формулах следует
положить
Sx = 52 = 5, Vi = v2 = -v,
тогда
где т — масса жидкости, заключенной между сечениями
Ег; 9 — ускорение силы тяжести.
12. Уравнения моментов количества движения 75
Учитывал, что U = ~gz, где ось г направлена вертикально
вверх, и пользуясь интегралом Бернулли A1.4), получим
V2 - Pi = pg(z\ - z2).
При движении вверх ?х — верхнее и Е2 — нижнее сечения,
Rz = «/S(*i - 22) - P9V = pg(S{Zl - z2) - V) = ^(F! - K2).
Таким образом, на тело с пузырем со стороны жидкости дей-
действует сила Архимеда, направленная вверх и равная весу вытес-
вытесненной ими жидкости. Если тело движется вниз, ответ тот же.
11.18 В качестве контрольной поверхности, см. рис. 1J.11,
взять поверхности лопаток, осесимметричного кожуха, части
тела обтекателя вала и круглых конусов Si и 52- Момент сил
давления, действующих на лопатки ротора, равен
Mz= rivtitfcpvnda - I
Si S2
где i'tia6c? ^t2a6c — абсолютные трансверсальные скорости сре-
среды. Скорость есть сумма осевой, радиальной и трансверсальной
составляющих.
12. Уравнения моментов количества движения
12.1 Рассмотреть закон сохранения момента количества дви-
движения для малого элемента среды в форме тетраэдра, см. задачу
9.2, с основанием, перпендикулярным п, и боковыми сторонами,
параллельными координатным плоскостям. Разделить все чле-
члены уравнения на площадь основания и перейти к пределу при
стремлении к нулю высоты тетраэдра.
12.2 Привести закон сохранения момента количества движе-
движения для конечного объема среды к соотношению, содержащему
только объемные интегралы. Предположить непрерывность всех
функций, входящих под знак интеграла. Использовать то, что
это равенство имеет место для произвольного объема.
76 Глава 2. Общие законы и уравнения
12.3 Распределение скоростей точек абсолютно твердого те-
тела, имеющего неподвижную точку О, описывается формулой Эй-
Эйлера
V = U X Г,
где о; — мгновенная угловая скорость тела, г — радиус-вектор
рассматриваемой точки относительно точки О. Вычислим мо-
момент К количества движения тела относительно точки О
К= f rxvpdV= f rx{uxr)pdV= 1{ш\г\2 -r{r-u))pdV.
V V V
В декартовой системе координат г = x%t{, поэтому
К = шдер J (\r\25pq - хрх*) pdV = Pqu>qep,
v
где введено обозначение
/w= H\r\4pq-xpxq)pdV.
v
Тензор I = Ipqepeq называется тензором центральных момен-
моментов инерции тела. При вычислениях система координат может
быть неподвижной (эйлеровой) или вращающейся вместе с те-
телом (лагранжевой). В последнем случае векторы базиса будем
обозначать через ёр, а компоненты I и о; — через Ipq и u>q. Оче-
Очевидно, Ipq не зависят от времени ?, так как лагранжевы коор-
координаты индивидуальных точек постоянны. Так как вектор ёр
можно рассматривать как радиус-вектор некоторой индивиду-
индивидуальной точки тела, то по формуле Эйлера de/dt — шхё. Поэтому
где М — момент всех действующих на тело сил и пар.
12.4 a) ^ = ^F4V
где е**к — компоненты тензора Леви-Чивита.
б) Уравнение внутреннего момента количества движения дает
12. Уравнения моментов количества движения 77
12.5 Согласно условию задачи полный момент количества
движения сохраняется и равен нулю. Тогда в проекции на ось
симметрии стержня 1и + ту~1М — О или у = —тМ/{1ш). От-
Отметим, что обычно коэффициент у отрицателен.
12.6 Производная Яуманна от тензора Т есть тензор
где dTtJ/dt есть индивидуальная производная, а ё,- — базис, свя-
связанный с индивидуальной точкой среды и вращающийся со ско-
скоростью и) = 0.5 rot v. Если среда движется как твердое тело, то
ё{ есть базис сопутствующей лагранжевой системы координат.
Так как компоненты тензора инерции I твердого тела в сопут-
сопутствующей системе постоянны, то Djl = 0.
12.7 а) Материальный отрезок. б) ft = nx dn/dt.
12.8 В силу равенства I = 7(g - nn), получим
JT = I. П = /О,
где I — собственное число тензора инерции ротатора I.
12.9 М = аН+Eп(М-п), а, C = const, MxH = /3(М-п)пхН.
12.10 Компоненты тензора моментных напряжений Q равны
где fci, A;2 и /?з — постоянные.
12.11 Компоненты тензора моментных напряжений Q равны:
(kAgij
При замене VQ на Vn в силу равенства nlViUi = 0 исчезнут
члены, содержащие fc4> &ю, ^5 и fcg.
78 Глава 2. Общие законы и уравнения
12.12 Тензор Q выражается через квадратичный потенциал
U = ai^irfJ + (a,2VV ^
12.13 -(№i - Pji) = eijk{agkl + bnknl)(ui - щ).
12.14 a) ilnx ^) = P{n.H)nxH-2(agki+bnkni)(ul-ujl)ek.
б) 0 = 0.
в) pij - pji = 2a(niDjrij - rijDjni).
12.15 pF = /?(# . п)Н{Ущ.
12.16 а) Компоненты тензора вязких напряжений равны
^ + b3eikejk + bAeikejinknl +
h{eikn nj +¦ ej^n
где коэффициенты 6a, a = 1,..., 6 — произвольные функции от
трех собственных значений тензора е и двух совместных скаля-
скаляров е и п.
б) В линейном случае Ьз — &4 = 0, &2 = const, 65 = const,
где ci, С2, сз и С4 — постоянные.
12.17 В силу условий стационарности и однородности поля
ориентации п имеем dn/'dt = 0 и, следовательно, П = 0. На осно-
основании уравнения внутреннего момента количества движения
М х Н + \(и-п(ш- п)) = 0,
используя выражение для М, получим уравнение
/3(Я -п)пхЯ+ А (а; - п(а; • п)) = 0. @.12.1)
а) При Я || о;, умножая скалярно уравнение @.12.1) нао;, будем
иметь
А(И2 - {ш • пJ) = 0.
Откуда в силу соотношения |п| = 1 следует, что п \\ ш и п \\ Я,
и векторное уравнение @.12.1) удовлетворяется полностью.
12. Уравнения моментов количества движения 79
б) При Я _J_ ш после умножения скалярно уравнения @.12.1) на
Я получим Х(Н • п)(и) • п) = 0.
1) Если Я • п — 0, то \{у> - п(и • п)) = 0, и, следовательно, п \\ ш.
2) Если и • п = 0, то получим
/?(ff-n)(nx Я) + Ао; = 0.
Ищем решение в виде п = сН + d(H X и). Тогда
Pcd\H\2{Hxu))xH+\u> = 0.
Раскрывая двойное векторное произведение
{Нхш)хН= \Н\2ш - {и • Н)Н - \Н\2и>,
получим уравнение
Соотношение |п|2 .= 1 имеет в данном случае вид
Тогда
|Я|2
Решение этого уравнения существует только при относительно
большой величине магнитного поля |Я|4 ^ 4А2|а;|2//?2. При этом
возможны два различных, с точностью до направления, положе-
положения вектора п, отвечающие корням
Для данного течения ненулевые компоненты тензора е и вектора
ш соответственно равны ей = €21 = е, а;з = — е.
В случаях а) и 6i) вектор п перпендикулярен плоскости тече-
течения, анизотропия среды не влияет на величину напряжений, при
этом
В случае 62), когда вектор п лежит в плоскости течения, эф-
эффективный коэффициент вязкости равен ц + А/4.
80 Глава 2. Общие законы и уравнения
12.18 Из уравнения внутреннего момента количества движе-
движения и уравнения для намагниченности следует система уравне-
уравнений для ПиМ
Пх#=-(М-х#).
При разложении решения в ряд Тейлора по малому безразмер-
безразмерному параметру \ш\т принимается, что |П|/|од| = 0A). Тогда в
нулевом приближении по \ш\т —> 0 выполнено
В первом приближении
М = \Н + тшх Я,
H) х Я,
где Ях — составляющая Я, перпендикулярная ш.
Глава 3. Термодинамика сплошных сред
14. Первый закон термодинамики.
Уравнения энергии и притока тепла.
Совершенный газ
14.1 Рассмотреть закон сохранения энергии для малого объ-
объема среды в форме тетраэдра, так же, как это делается при
выводе формулы Коши для напряжений, см. задачи 9.2 и 12.1.
14.3 Эти выражения имеют вид:
а) 0;
б) - рdiv v dt = -р -у = р dV, V = -;
Р р Р
1 • • 2/i •
р %3 р
. . Л ,. .dp 2a ••
г) \-Р+ Adivv)-y eJe{jdt.
Р Р
14.4 Воспользоваться тем, что в актуальной лагранжевой си-
системе выполнено i{j = deij/dt, если компоненты метрического
тензора gij не зависят от времени t.
14.5 а) Уравнение энергии
Р
Уравнение притока тепла
dq _ ,_, __ du
82 Глава 3. Термодинамика сплошных сред
14.6 Если и = и(р,Т), то уравнение притока тепла записы-
записывается в виде
011 uU 7)
du=—dT+—dp=-dp + dq.
При V = const, т. е. при dp = О, получим
dq = ^е/Г,
поэтому
_ / dq \ _ ди
Cv = U) = W
14.7 Для упругой среды и = и(бц,Т). Уравнение притока
тепла имеет вид
ди 1ГГЛ ди . ри ,
du= —dT+ -— deij = — dsij + dq.
Ol OSij p
При deij = 0 получим
dq\ _du{T,ei3)
eij =const
14.8 du = cvdT = p-% + dq.
P
При р = const в силу уравнения состояния
dp=-?-dT и dq = cpdT= {cv + R)dT.
При р — const выполнено dg = cv dT. Следовательно,
cp — cv + R.
Это соотношение называется формулой Майера.
t л n j dp , rm e^m eft
P2 P
При /? = const выполнено
dq = cdT = cvdT - rmA:eA;m eft.
Следовательно, в вязкой жидкости в процессе с р = const те-
теплоемкость можно считать равной cv только при условии, что
можно пренебречь величиной rmke^m по сравнению с cvdT/dt.
14. Первый закон термодинамики 83
Р
14.10 Учесть, что и = г , и рассмотреть уравнение притока
тепла.
14.11 Для идеальной жидкости из уравнения притока тепла
при dq — О и соотношений и = и(р, Т), р = р(р, Г) следует
"¦((*-?)/?)*
поэтому Г = const при р = const, т. е. Г = Т(/о). Для вязкой
жидкости уравнение притока тепла дает при dq = О
следовательно, изменение Г связано не только с изменением р.
14.12 а) Используя результат задачи 14.11, получаем
т (Ру-г р
v / ' \ ' ' @.14.1)
о \Ро/ Ро \Ро,
где 7 = cp/cv = Д/cv + 1 — показатель адиабаты; ро? ^о, ро
— значения р, Г, р в некотором состоянии частицы. Второе из
соотношений @.14.1) называется адиабатой Пуассона.
б) Нет, не верны, если членом r^e^dt)'p в уравнении притока
тепла нельзя пренебречь.
14.13 Рассматриваемое соотношение имеет вид
(т т, а(ЗЛ + 2/х)Л(е)Го
с(Г-Го) = ,
где То — температура, при которой s,j = 0 при pij = 0.
В изотермических процессах:
в адиабатических процессах:
Pij = Аад Ji (eMtj + 2/uetj, Аад = А +
84
Глава 3. Термодинамика сплошных сред
14.14 1) Для процесса при неменяющихся деформациях урав-
уравнение притока тепла дает
Ви
= du=— dT,
01
следовательно,
ди
2) Рассмотрим процесс при постоянном давлении р, т. е. усло-
условии, что компоненты р%* не зависят от времени *. Из закона Гука
следует, что deij = адц dT.
Из уравнения притока тепла следует
1 {.
РР Ч
таким образом, ср — с + За2(ЗА + 2//)То. Этот ответ не зависит
от вида напряженного состояния и величин pij.
м2
14.15 T = rj
dq =
\ рJ
})т~ р
14.16 Используя уравнение адиабаты Пуассона @.14.1), по-
получаем
а =
14.17 Обозначим массу газа
через М. В рассматриваемом
процессе d?KllH = 0, поэтому
параметры р, р и Т одинаковы
для всех частиц.
Для участка (I) уравнение энер-
1 гии, см. рис. 0.14.1, имеет вид
Рис. 0.14.1. Р Д^1 = McvATi = 0 = Qie)+A{e),
где AUi — изменение внутренней энергии газа за процесс (I);
QY — количество тепла, переданное газу в этом процессе;
III
14. Первый закон термодинамики 85
Aj — работа внешних сил над газом. Учитывал формулу для
работы внутренних сил из задачи 14.3, получим
92
А[е) = -А® = М [I^±dp= -MRTX In ?i < 0;
J p p2
p X
p p2
9\
Qje) = -Aje) > 0, Ai = -A[e) > 0.
Здесь через А\ обозначена работа газа над внешними телами в
процессе (I). Газ получает тепло Qj и производит работу А\.
В процессе (II) газ не получает тепла извне, Qjj = 0; в адиа-
адиабатическом процессе р = Ср1', С = const, 7 — cP/cv = 1 + -
поэтому
p J -
92
Газ совершает работу Ац.
Формулы для процессов (III) и (IV) аналогичны формулам
для (I) и (II) соответственно, причем р\/р2 — Р4/рз-
Всего за цикл:
Д[/ = 0, QW = MR{Ti - Т2) In ^; A = g(e);
КПД равен A/Qj = 1 — Т2/Г1 и не зависит от М и степени
расширения в изотермическом процессе.
ч dq^ div q x
14.18 а -4— = = -
' dt p p
14.19 Уравнение энергии имеет вид
цмасс я
1, Ч
86 Глава 3. Термодинамика сплошных сред
= -^i ((-P + A div v)v* + 2iieijVj + xgij-^)
p V дхэ J
Уравнение притока тепла:
Г l дТ \ х
div „ + ^eO'e. + f дг
^ee + f дг + fe
p p dt
- XAT I
/ at
Уравнения притока тепла и энергии для рассматриваемых сред
сводятся к классическому уравнению теплопроводности, если
vk= dq^ = Q и il = const
at pc
14.20 Уравнение энергии для адиабатического стационарного
движения:
Используя уравнение неразрывности, получаем
4k(vkp) = Vk(p
Итак, о
д fv2 . \ р
— Иг + г~?/ =0' где г = ^+-.
V 2 У /?
Если dr направлен вдоль линии тока, то vk = \dxk, тогда
т. е. вдоль линии тока выполняется соотношение
V2
— + г - U = const.
14. Первый закон термодинамики 87
14.21 Уравнение притока тепла для процесса теплопроводно-
теплопроводности в неподвижной среде имеет вид pcdT/dt = хАТ. Очевидно,
что Т = Т(г), ось z перпендикулярна граничным пластинам,
поэтому для стационарного процесса теплопроводности в поко-
покоящемся слое d2T/dz2 = 0. Граничные условия: Г = 1\ при z = 0,
Т = Т2 при z = Л.
Ответ; Г = 7\ + (Г2 - Ti) ^.
14.22 Направим ось ж декартовой системы по скорости движу-
движущейся пластины, ось z перпендикулярно пластинам. Очевидно,
что все параметры среды не зависят от у; vy = vz = 0; р, vx, T
не зависят от ж, ускорение частиц равно нулю.
Из уравнений Навье-Стокса — уравнений движения линейно-
вязкой жидкости, см. задачу 10.19, получается с использовани-
использованием граничных условий для скорости, что
Z Vq
0 h' xz h'
Уравнение притока тепла дает
d?T
dz2 xh2'
Обозначим а = //Uq/x/i2, AT = Т2 - Т\. Интегрируя уравне-
уравнение притока тепла и используя граничные условия Т — Т\ при
z — 0, и Г = Т2 при z — h^ получаем
m „ z2-zh zAT
В найденном решении dT/dz = 0 при z = | + ~^ = ^м- Если
^М < Л, то (dT/dz)z=h < 0, т. е. поток тепла на горячей стенке
направлен от жидкости к стенке (или равен нулю при zm = h).
Следовательно, при zm < h горячая стенка не будет охлаждаться
жидкостью, имеющей на расстоянии h от стенки температуру
Т\ < Т2. Этот эффект связан с действием вязкости. Условие
ZM ^ h имеет вид fxv^ ^ 2хАТ. Максимальная температура в
потоке при zm ^ h есть
Г1 + Г2 V (АГJ
imax- 2 +°8 +
88
Глава 3. Термодинамика сплошных сред
Численные значения Tmax равны
а) 30.02° С; б) 66° С.
В течении теплопроводной невязкой жидкости процесс тепло-
теплопроводности протекает как в покоящемся слое, см. задачу 14.21.
z « 14.23 Граничные условия в этой
задаче таковы:
Т = Т\ при z = 0,
Чп = 4z — 0 при z = h,
dT\
т. е. — = 0.
dZ \z=h
Пользуясь решением задачи 14.22,
получаем
Рис. 0.14.2.
где а —
равна
. Температура у теплоизолированной стенки
а) Т2 = 30.005°С. б) Т2 = 39°С.
в) Г2 = 22 430°С. г) Нет.
д) В установившемся состоянии поток тепла от жидкости к тер-
термометру отсутствует — между термометром и жидкостью име-
имеется тепловое равновесие, т. е. термометр показывает темпера-
температуру Т2 вместо Т\.
14.24 Уравнение, описывающее
процесс нестационарной теплопро-
-__.-rjrj_:._ ---- водности в покоящейся среде, име-
"?_"?_"?_"?-"?_"?_"?-"?_" ет вид
дТ
т,
Рис. 0.14.3.
где х =
Начальные и граничные условия:
Т = Го при t = 0, z ^ 0;
при z = 0, t > 0.
Г Т = Го
I Т = Тх
14. Первый закон термодинамики 89
Следовательно, Т может зависеть только от ?, z, х? Го, Ti, по-
поэтому по П-теореме, см. § 38, получаем Т = Тг /(?,ro/Ti), где
? — z/>Ax- Подставляя это выражение для Т в уравнение тепло-
теплопроводности, получим для / уравнение
/" + ?/'/2 = 0,
решение которого есть
Ф
~^i d?i + ci, с, ci = const.
f = с
о
Используя краевые условия и то, что
ПОЛуЧИМ
О
Функция —-=. \ е"^1 d?i обозначается erf (ж), поэтому реше-
V 7Г J
=.
О
ние можно записать в виде
Решение, в котором искомые функции зависят от z и t только че-
через одну их комбинацию вида z/ta, называется автомодельным.
Решение рассмотренной задачи автомодельное.
14.25 Процесс нагревания слоя описывается уравнением
-
dt
где х = х/Рс — коэффициент температуропроводности, см. за-
задачу 14.24. Следовательно, время t\ достижения температу-
температуры Гг на верхней границе зависит только от толщины слоя ft, a
также от х, Гь Го, Г2: ii = *1(Л,х>21,Го,Т2). Применение П-
теоремы показывает, что t\ = h2f(Ti/To,T2/To)/x- Таким обра-
образом, при одинаковых х> Ti, Го, Г2 время ?i пропорционально h2.
Поэтому прожарить одну сковороду толстых котлет требует в
два раза больше времени, чем последовательно прожарить две
сковороды в два раза более тонких котлет.
90 Глава 3. Термодинамика сплошных сред
14.26 Плотность внутренней энергии равна и = cvT, внутрен-
внутренняя энергия воздуха в комнате объемом V равна
Так как давление не меняется, то U также не меняется.
14.27 Уравнение движения пули в стволе имеет вид
d2x
™-^ = {v-Pa)S,
где х — расстояние вдоль ствола; 5 — площадь поперечного се-
сечения ствола; ра — давление впереди пули, считается равным
атмосферному; р — давление сзади пули; т — масса пули. Про-
Процесс расширения газа позади пули — адиабатический, поэтому
р = роР7/Ро> пРичем Р — Mq/Sx, где Мо — масса пороха, пре-
превратившегося в газ. Обозначим через / длину ствола.
Скорость пули в конце ствола достигает максимального зна-
значения, если рA) = ра, т. е.
V
где Vo = Мо/ро- Начальное давление ро можно оценить следу-
следующим образом: начальная внутренняя энергия единицы массы
газа, образовавшегося при сгорании пороха, есть cvTq) она рав-
равна Q — удельной теплоте сгорания пороха, поэтому
Ро = poRTo = ро = PoQb - !)•
Су ,
Вычисление дает / « 110 см.
14.28 Масса воздуха составляет около 144 кг.
14.29 А « 400 Дж.
14.30 Температура находится из соотношения
своды ' ^воды(^ "~ J- 0 воды) = скамня * ^камня(^0 камня ~" -* )•
Ответ: 24.5°С.
14.31 900 К.
15. Второй закон термодинамики 91
14.32 Для оценки величины требуемой работы будем считать,
что объем первоначально имеет форму шара. Тогда
V0 = -7ГЯ* = -7ГГ3 . 71,
где Rq — радиус первоначального объема, г — радиус капли,
п — число капель. Следовательно,
) « 6 106 см2;
? - So = Wo (- - —) « — = 6 ¦ 106 см2;
\r RoJ r
Т - Го = — « 0.01°С, Ah = — w 4.46 м.
тс гид
15. Второй закон термодинамики.
Энтропия. Тождество Гиббса
15.1 Из равенства AS — Q^/T и решения задачи 14.17,
получим
ASi = MR In — > 0; ASn = 0; А5Ш = МД In ^ < 0; A5iv = 0.
AS = A5i + А5ц + Д5щ + ASiv = 0.
15.2 Выражение для плотности энтропии совершенного газа
имеет вид
s = Су In —— + const = cv In (- const =
и Т
= Су In —— + const = cv In 7_1 4- const,
р ^7
где 7 = -^ = — + 1 — показатель адиабаты.
Су Су
15.3 Нет.
92 Глава 3. Термодинамика сплошных сред
15.4 s = ( + /)
Ро
где so есть величина энтропии при Т = Го, Sij = 0.
XJl uJ^iil ^(ЗА + 2/i)
2 ро Ро Ро
1 ~ 0> -so{T- То) + const;
Jo
и = — X^Jf + ^J2 -а(ЗА + 2//)(s - s0) Ji
*Po Po cp
°^~ S°' +T0{s- s0) + const,
гдеАад = А
15.5 Выражение для плотности внутренней энергии и совер-
совершенного газа имеет вид
S
и = cvT + const = A\p1"'lecv + const =
1 Р \
h const = А2р 7 еср + const;
9
7- lp
Выражения для свободной энергии Т, энтальпии г, термодина-
термодинамического потенциала Гиббса Ф таковы:
Т - cvT[Bi - In ——г) + const = B2p1"lecv (cv - s) + const -
\ pi 4
1 p ( p \ 1~l —
— ( g3 _ [n j ^ const = B±p 1 e°p (Bs — s) + const;
7 — 1 p V /9y/
г = cpT + const = Cip7~1ecv + const =
Y-1 5
1 p
h const = C2p 7 ecp + const;
7
Ф = cpT[Di - 7In —ту) + const = D2p1~1ecv (cv - s) + const =
V pi /
7 P ( P\ 2zl A
= f D3 - In — J + const = D4P 1 e°p (D5 - s) + const.
Здесь Аг-, Д, Сг и Dt — константы.
15. Второй закон термодинамики 93
15.6 Использовать уравнение энергии и второй закон термо-
термодинамики.
15.7 Для несжимаемой жидкости s — s(T). Это следует из
тождества Гиббса и того, что^ = и{Т). Поэтому s = const при
Т = const. В адиабатическом движении ds = d\s ^ 0.
15.8 При изотермическом сжатии совершенного газа выпол-
выполнено и — const, тогда из тождества Гиббса следует
Tds = -^-4~ < 0 при dp > 0.
Р
15.9 Для несжимаемой жидкости и — и(Т), du/dT = с > 0.
Уравнение притока тепла по второму закону термодинамики для
адиабатических процессов дает:
— для идеальной жидкости du = cdT = 0,
— для вязкой жидкости du — cdT = > 0.
Р
15.10 Энтропия каждой частицы и всего слоя не меняется, так
как при стационарном процессе в покоящейся среде состояние
каждой частицы не меняется. В силу необратимости происхо-
происходящего процесса теплопроводности в единице массы в единицу
времени производится количество энтропии
где AT = Т2 — Т\. Производство энтропии максимально у хо-
холодной границы, минимально у горячей. Полное производство
энтропии в слое на единицу площади пластин в единицу времени
равно
\2
О
Плотность притока энтропии есть
\2
dt p kT PT2h
2l2
<о,
94 Глава 3. Термодинамика сплошных сред
т. е. от каждой частицы уходит энтропии больше, чем поступа-
поступает. Ко всему слою от каждой единицы площади горячей пласти-
пластины в единицу времени поступает количество энтропии
2 п±2
в свою очередь от слоя среды к единице площади холодной пла-
пластины передается в единицу времени большее количество энтро-
энтропии
AT
В итоге во внешнюю среду уходит количество энтропии
deS _ ДТП J_
~df ~ X~h~ \j\ ~ T2;
в точности равное произведенной энтропии d\S/dt.
15.11 Энтропия каждой частицы и всего слоя не меняется;
dt pTT
(dTY
При zm < h энтропия от жидкости передается как холодной, так
и горячей стенкам.
При Тч — Т\ через единицу площади каждой из пластин в
единицу времени уходит количество энтропии, равное xah/2T\.
Численные значения для площади 1 см2 за 1 сек:
а) « 17 эрг/град, б) « 7 • 103 эрг/град.
15.12 При таянии льда в термосе энтропия увеличивается на
величину Q/T « 150 кал/град, при замерзании энтропия умень-
уменьшается на ту же величину.
15.13 Энтропия возрастает на величину Q/T « 700 кал/град.
15.14 Выражение для плотности энтропии линейной термо-
термоупругой среды, см. задачу 15.4, имеет вид
_EaJl{eii) с(Г-Гр)
A - 2а) р То
15. Второй закон термодинамики 95
где Го — температура, при которой в отсутствие напряжений де-
деформации равны нулю. Если длинный стержень растягивается
силами, приложенными к его торцам, то можно считать, что на-
напряжения и деформации в нем не зависят от координат, причем
рп = .F/E, остальные компоненты тензора напряжений равны
нулю; здесь Т — величина растягивающей силы, S — площадь
поперечного сечения, ось х1 направлена по оси стержня.
а) При изотермическом растяжении при Т — То = const согласно
закону Гука
рц = Евц, ?22 = ^33 = -0"?ц;
при 6ц — 0.001 получаем
Т = рп • ? = 2 • 103 кг/с, Ji{€ij) = 5 • 10~4.
Изменение энтропии стержня равно
аЕ
AS = mAs = / • Е • -——Ji{eij) « 0.24 Дж/град.
б) При адиабатическом растяжении энтропия сохраняется, тем-
температура уменьшается
ЕаТ0
rrJ(^)
Изменение температуры вызывает температурные деформации;
при адиабатическом простом растяжении, см. задачу 14.13,
„Адиабатические" модуль Юнга Еад и коэффициент Пуассона
о-ад связаны с „изотермическими" Ежа соотношениями
где
л Д л AiA + or) х
В этой задаче S « 2 • 104 кгс/см2, ?"ад = Е1 • 1.0025,
д « 2.005 • 103 кгс, (Г - То) « -0.2°.
96
Глава 3. Термодинамика сплошных сред
15Л5 Так как в рассматриваемом процессе приток энергии
к газу извне отсутствует, то полная энергия газа не меняет-
меняется. Это значит, что температура газа в конце процесса равна
его начальной температуре. Конечная плотность газа в 2 раза
меньше начальной, поэтому давление равно 0.5 атм. Изменение
энтропии газа равно
AS = М • cv In —^-г ] = MR In 2 = До In 2 « 1.38
\Тор7 /
кал
град
поршень
УУ/УУУУУУУУ/У/УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ
Рис. 0.15.1.
15.16 Решение, удовлетворяющее закбнам сохранения массы,
количества движения и энергии на разрывах I и II и граничному
условию v = vq на поршне, см. рис. 0.15.1, имеет вид
Ро
Ро
1)Р1,н/Ро.
= ; ^
где ад = -—; у — -^; знак ,,+" относится к области I, a „-"
— к области II, D\ji — скорости разрывов I, II в направлении
движения поршня относительно стенок трубы.
В рассматриваемой задаче:
Р1/р0 = 1.496, pi/po = 1.331, Di = 402.1 м/с,
o = 0.652, рп/ро = 0.738, Ai = -282.1 м/с.
16. Ограничения на вид определяющих соотношений 97
Изменения энтропии единицы массы газа при переходе через
скачки I и II равны соответственно:
ASl = Cv in (EL Pi) = 0.00045 -^-;
\PoPiJ г-град
Д5П = -0.00054 КаЛ < 0.
г•град
Следовательно, данное решение для области II противоречит
второму закону термодинамики. Для области II существует дру-
другое, непрерывное, решение, см. задачу 25.30 д).
16, Ограничения на вид определяющих
соотношений, вытекающие из законов
термодинамики и принципа Онзагера
16.1 Воспользоваться тождеством Гиббса и условием того,
что ds — полный дифференциал s(p,T).
16.2 На основании первого и второго законов термодинами-
термодинамики для упругой среды выполнено тождество Гиббса
Ji
du=—deij + Tds.
Выписывая условие того, что ds есть полный дифференциал
функции s(eij,T), получим требуемую формулу.
16.3 Тождество Гиббса можно преобразовать так:
^- + ds) = Td(Rlnp + s) = Td<p,
p p )
где (p = s + Rlnp. Отсюда и = const, если (р = const, т. е.
и = u(<p), T = % = Т{ф), поэтому ip = <p(T), т.е. u= u{T).
Этот вывод верен, если заранее предполагается, что s и и мо-
могут зависеть от Т и /?, но не зависят от производных Т и р по
времени. При р = const, du — dq и du = (du/dT) dT, dq = cv dT,
поэтому
CV = -^; = CV(T), U = JCv(T)dT.
4 Зак. 2369
98 I лава 3. Термодинамика сплошных сред
16.4 Для рассматриваемого газа выполнено
где (р е
Далее рассуждение аналогично решению предыдущей задачи.
16.5 Воспользоваться формулой задачи 16.1.
16.6 На основании тождества Гиббса запишем
( Rdp \
du = T{pJi^bpJ + ds)-adp'
т. е. d(u + ар) = Тс/<^, где (р = s + R\np — Д1пA — Ьр). Поэтому
Рассмотрим процесс, в котором р = const, тогда выполнено
du = f[(T) dT = cv с/Г, следовательно, /i = cv dT.
Итак,
гг = I cv dT — ар.
Кроме того, при р — const выполнено
du = Td(p, т.е. dp^Cv — iV^
Отсюда
1-Ър
=Лс
R\n
р
16.7 Учесть тождество Гиббса и определения f, i и Ф.
16.8 Воспользоваться формулами задачи 16.7.
16.9 б) Для получения формул Мурнагана нужно записать
уравнения термодинамики так, чтобы в них входили эйлеровы
компоненты соответствующих тензоров. С помощью дифферен-
дифференцирования по времени равенств, связывающих компоненты iij и
Ski тензора деформаций в лагранжевой (?г) и эйлеровой (хг) си-
системах координат
дхк дх1
16. Ограничения на вид определяющих соотношений 99
получается следующая формула, связывающая компоненты тен-
тензора скоростей деформаций и производные по времени от ком-
компонент тензора деформаций в эйлеровой системе координат
—jj- - еар{<>{ Oj - Sj di - e{ b-) + uJaf3{ej d{ + e{ dj j.
Подставляя эти выражения в равенство
ди J ди , р*Р 1 „ 1
-z~ds+ -— deij еар dt + Tds
as dsij J p .
и пользуясь тем, что величины еар и ds независимы, а также
тем, что (du/deij) deij не должно содержать членов с иар, так
как внутренняя энергия не меняется при повороте среды как
твердого тела, получим требуемые формулы.
16.10 A^kl = Aijlk, А^ы = Ajikl, так как pij и еы — сим-
симметричны; A%*kl = Akhi, так как дргз/дем — dpkl/deij — это
следует из формул задачи 16.9 с учетом того, что при малых
деформациях в этих формулах можно заменить р на р$.
16.11 Воспользоваться тем, что скорость производства энтро-
энтропии за счет вязкости представляется в виде
djs _ ЗЛ + 2/i 2 ^rjrd) ed-e..
16.12 Неравенство диссипации примет вид
v ттк Q^/kT
a) dT-^dp Vkvm dt + sdT- dq** + ^—^di < 0;
P2 P pT
dv ттк aVhT
б) di-^- Vkvm dt-Tds- dq** + ^-~-dt < 0;
P P PT
dv ттк
в) dV
dV Vkvmdt + sdTdq + ?
P P PT
16.13 Неравенство диссипации имеет вид
ди р \ , /ди \ , ди , ди , к т
dP+{T)ds+йе + d<l
кт
р1' \ds ' деьт dqk p
100 Глава 3. Термодинамика сплошных сред
Так как de^m и dqk входят только в подчеркнутые члены и при-
притом линейно, то эти члены могут иметь любой знак при услови-
условиях, что du/dekm ^Ои du/dqk ф 0. Это противоречит неравен-
неравенству диссипации. Поэтому и = u(p,s). Для квазистатических
процессов величиной ткте\гш dt можно пренебречь, а р и s могут
меняться независимо. Поэтому
ди _ Р_ ди _Т
др р2' ds
причем последние равенства выполняются в любых процессах,
так как и, р и Т не зависят явно от е^щ.
16.14 Первый и второй законы термодинамики дают
ди 1 ди , ди t ди ,.. р ,
— ds+ — dp+—dp + —dp=-^dp
ds dp dp dp p2 ^
где обозначено р = dp/dt. Так как dp —P dt входит только в
член, подчеркнутый одной чертой, и может меняться независи-
независимо от величин ds/dt, dp/dt и d2p/dt2, то должно выполняться
равенство ди/др = 0. Далее, dp = /5 eft входит только в два чле-
члена, подчеркнутых двойной чертой, поэтому
ди \хр цр2
= те U=
16.15 Выводы получаются так же, как в задаче 16.14, из со-
соотношений первого и второго законов термодинамики
дТ г дТ л. дТ ,..
^г- dp + — dp + —г dp + • • • +
dp dp dp
16.16 Пусть и = u(eij, V^jj, s), T ds = dg, тогда
Далее,
+ -х- ds = *— deij + dg** +
d
f Я
16. Ограничения на вид определяющих соотношений 101
Следовательно, можно принять, что
О моделях, в которых среди параметров состояния имеются выс-
высшие производные перемещений по координатам, см. в § 17.
16.17 Неравенство диссипации в данном случае имеет вид
дТ , дТ 1ГТЛ дТ ,
d+dT+dekm-
др дТ дект
_ р% _ f0-е. * _ 2А1е0е * + edT + i^Irf, < о.
Р* Р Р РТ
Отсюда, как в задаче 16.13, получается, что
дТ
0.
Из этого следует, в частности, что должно быть выполнено со-
соотношение (тгз: + 2/xetJ')et-j ^ 0, но так как е^- могут иметь любой
знак и любую величину, a ftJ = const, то левая часть рассматри-
рассматриваемого неравенства может иметь любой знак, что противоре-
противоречит неравенству диссипации. Например, пусть для такой среды
рассматривается течение Куэтта, см. задачу 14.22, в котором
к
vx = ку, vy = 0, vz = 0, еху — еух = -, остальные е^ = 0.
Тогда
Если г12 > 0, то при -т12/ц < к < 0 это выражение прини-
принимает отрицательные значения.
16.18 21.
16.19 6.
102 Глава 3. Термодинамика сплошных сред
16.20 Предполагал линейную зависимость между термодина-
термодинамическими „силами" и „потоками", получим
gradT Л(р\-Рг
i ** \ § /
Агр , . @.16.1)
. _ gradГ
«/=-Ь21^—5 L22grad
Т
На основании принципа Онзагера L\2 = L2i- Далее,
/Ик\ Mfcgr^dr grad /i^
grad I — J = ^2 у »
grad ^ik — -sk grad Г + -^— grad c,
поэтому соотношения @.16.1) можно переписать в виде
grad Г
J = -(L21 + AL22M^ - L22B grad c, @.16.2)
Л = /i2 - /i! + T(S2 - 5i), Б = - -^-^ ^.
Эффект Дюффора определяется коэффициентом а, а эффект Со-
Соре — коэффициентом /J, где
Так как L12 = L2b то а = В{(ЗТ2 - AL22). Из @.16.2) следует
что коэффициент теплопроводности смеси равен (Lu+ALi2)/T2
а коэффициент диффузии равен BL22.
17. Среды с внутренним моментом количества движения 103
17. Термодинамика сред с внутренним
моментом количества движения
17.1 а) Используя распределение скорости « = uc+wxr,
где рс — скорость центра масс, г — радиус-вектор относительно
центра масс, из теоремы живых сил в дифференциальной форме
с учетом eij = 0 интегрируя по объему тела V, получим
pl^tJ dVy
V Е V
где М, I, а; — масса, тензор центральных моментов инерции и
вектор угловой скорости вращения тела, uij = tijkUk'.
б) В силу уравнения внутреннего момента количества движения
W = eiikpik
указанная работа равна нулю:
1'р{>Щ} dV= [ Vj {QlJUi) dV = / Qn • ш da = 0,
V V E
где учтено, что V%uj = 0.
в) Для ротатора
.2 а) Урав
jt{v2 + Ю2) =
н = .
17.2 а) Уравнение имеет вид
i - pijeijk(Qk -
б) -pijeijk{nk-ojk)=0
в) В соответствии с теорией к настоящему параграфу, измене-
изменение суммы кинетической энергии среды и кинетической энергии
внутреннего вращения равно сумме работ внешних массовых сил
и пар, внешних поверхностных сил и пар, внутренних поверх-
поверхностных сил и пар, а также внутренних поверхностных сил на
изменении ориентации среды.
104 Глава 3. Термодинамика сплошных сред
17.3 Уравнение изменения функции и имеет вид
р ^ = piieij + Q^Vjui + р^еф(пк - ик) - Vrf + р
17.4 Рассмотрим бесконечно малые ортогональные преобра-
преобразования системы координат хн = хг + €likXjaic, причем \а\ —> 0.
Функция й, как ска.?1яр, не должна зависеть при преобразова-
преобразовании своих аргументов от а. Дифференцируя по а1 соотношение
инвариантности функции и
и полагая затем а = 0, получим
дп дп дй
где €%il — компоненты тензора Леви-Чивита.
17.5 а) Компоненты тензоров равны
1) tJ 2'3 Qt3 0
дп •• •• дп
• к
Здесь также'использовано, что
-(Угп?) = Щез
б) п\ = cos cxat, n2 = sin cxat, из = 0, a = 2, 3.
17.6 Величины р^6р и Q^6p определяются формулами преды-
п, дп
дущеи задачи, i = —,
as
17. Среды с внутренним моментом количества движения 105
17.7 а) Составим соотношения
В силу принципа симметрии Онзагера т = п — с = 0. Тогда
а = ^ + ^ (А(е-*J ^i2
б) В рассматриваемом случае получаем
\{ptj + ^)необР = Xg4k + 2^', pJLep^i* = Y- + Wk - щ);
в) Величина ~(рг^ + р*г)Необр определяется линейной формулой
задачи 12.16, где С2 = с$.
Й2(П«" - о;')),
+ o (fi w) + пп ( + a(fij - u>)\.
17.8 Функция диссипации имеет вид
1
а =
2
\-Ш +
где efj = e?j - - gijek/k — компоненты девиатора тензора е.
о
Выполнены неравенства
на2 2
106 Глава 3. Термодинамика сплошных сред
17.9 а) В силу равенства Qo6pn* — 0 и дифференциальных
условий скалярности функции й выполнено
дй ди
+
f OU OU л iki
б) Ограничения на коэффициенты ai + а2 = 0 и Ь\ + Ь2 = 0;
17.10 Из уравнения изменения и имеем
*Т"{х2) + е2D/х + АA - п§)) = 0.
Тогда, если х2 = ±Л/2 отвечает границам потока, то
где в случаях a) h'6i) выполнено п§ = 1; а в случае 62) — пз = 0.
Приток энергии dq**/dt ~ 0 в силу равенства ft = 0.
17.11 а) Подставить в уравнения притока тепла величины
и* тт М fdM
= (MxH)k- pt3eijk, Н=— + т ( — -ОхМ
I = (MxH)k peijk, Н= + т (
и использовать условие несжимаемости V{V% — 0.
б) Уравнение притока тепла с учетом первого приближения по
Тогда, если у — ±h/2 соответствует границам потока, то
„ = ,3 =.0, .» = ^
Приток энергии dq**/dt = 0 в силу равенства dM/dt — 0:
Глава 4, Поверхности разрыва
в сплошных средах
18. Условия на поверхностях разрыва
18.1 Обозначим через D скорость поверхности Е. Для точек
поверхности выполнено
di=D' - /<*'••> = о, -• §f+D-I?=°-
Единичный вектор нормали к Е есть п = grad//| grad/|, поэто-
поэтому
18.2 Будем отмечать индексами 1 и 2 значения величин по
разные стороны от Е. Рассмотрим произвольную точку хд, ле-
лежащую все время на плоскости S. Она движется в пространстве
со скоростью
= Т) =
dt
см. задачу 18.1. Вычислим скорость изменения и в точке хд.
Если считать точку xj принадлежащей стороне 1, то
\dtI~\'dt)l+\dx~I~d7~\dtI+ Ute/Г
Если же считать, что точка хд принадлежит стороне 2, то
UtJ~[~diJ+ \diJ'
Но так как u(x,t) непрерывна на Е, то щ = иъ во все моменты
времени, поэтому (du/dt)\ = (du/dtJ или
Это и есть кинематическое условие на Е. С использованием обо-
обозначения [<р] = ipi - <Р2 его можно переписать в виде
?н1 --п\—
dt\~ [дх
108 Глава 4. Поверхности разрыва
18.3 а) Отметим индексами 1 и 2 величины по разные сто-
стороны Е. Запишем систему уравнений для точек, стремящихся к
точке на Е со стороны 1 и со стороны 2. В пределе имеем
Значения коэффициентов а^ и Ь{ в этих системах одинаковы, так
как они зависят лишь от ?, х и гц-, непрерывных на Е. Отсюда
получаем динамические условия на Е
[?]¦-[?]¦••
б) С использованием кинематических условий, см. задачу 18.2,
динамические условия приводятся к виду
Эти соотношения можно рассматривать как систему уравнений
для нахождения [duj/dx], определитель которой должен обра-
обращаться в нуль, если не все [duj/dx] равны нулю. Таким образом,
(j - DSij) = 0
и D есть собственное значение матрицы сц-j.
18.4 а) См. решения задач 18.2 и 18.3.
Кинематические условия:
Динамические условия:
\дрЛ , \dv
Ш+рШ
б) Применяя результат задачи 18.3, получаем, что возможны
слабые разрывы, движущиеся со скоростями
18. Условия на поверхностях разрыва 109
18.5 б) Рассматриваемые условия имеют вид
(vnl - D)pi = (vn2 - D)p2 = га, или [p(vn - D)] = 0;
гп(щ - v2)=pnl -pn2, или [p{vn -D)v- pn] = 0;
V
i 2 \ *
2 + Щ ~ 2 ~ V = Pnl " Vl " Pn2 " V2 " '^ + 4n2'
или [р(г;п - D) ^у + tij - pn • v + gnj = 0.
Здесь D — скорость поверхности разрыва (по нормали к ней).
18.6 а) На тангенциальном разрыве выполнено
vn\ ~ D = vn2 - D = 0,
т. е. vn\ — vn2. Условия на таком разрыве:
Рп\ = Рп2, РпЛ*т1 ~ ^т2) - Яп1 + Яп2 = 0.
б) На контактном разрыве выполнено vT\ = vr2, поэтому
18.7 То, что среда не протекает через поверхность / = 0,
означает, что разность между скоростью точек среды, находя-
находящихся на поверхности и скоростью точек поверхности по норма-
нормали к пей равна нулю, т. е. vn — D7l, или
v • grad f = D- grad f =- — ,
см. задачу 18.1. Поэтому
где vk — компоненты скорости среды в точках, расположенных
на поверхности / = 0. Если / = 0 — поверхность тангенциаль-
тангенциального разрыва, то это условие должно выполняться для скорости
среды по обе стороны поверхности.
18.8 Запишем требуемое условие в системе координат, в ко-
которой уравнение поверхности разрыва есть х3 = С = const, a
координатные линии х1 и х2 лежат на этой поверхности. Оче-
Очевидно, что производные dw/dxa, a — 1, 2, непрерывны, так как
110 Глава 4. Поверхности разрыва
на поверхности непрерывен вектор w(xl,x2,C). Если векторы
базиса ек системы координат непрерывны по разные стороны
от поверхности разрыва, то можно заключить, что непрерывны
и компоненты V^u^., к = 1. 2, 3. Отсюда следует непрерывность
компонент еар, а, /? = 1, 2.
Из непрерывности w следует непрерывность производной
где Dk — компоненты скорости точек поверхности разрыва, по-
поэтому
Учитывая тождество
dw h dw
+
и непрерывность производных dw/dxa, а = 1, 2, получим
Это и есть требуемая связь. Если (хг) — координаты точки в
начальной лагранжевой системе координат, то эта связь имеет
вид
непосредственно следующий из @.18 Л).
18.9 Будем обозначать индексами 1 и 2 значения параметров
на границе, относящиеся к средам по разные стороны границы
раздела. Кинематические условия во всех случаях имеют вид
— + t>1?2>grad/ = 0,
см. задачу 18.7. Динамические условия таковы, см. задачу 18.6:
а) Pl=P2, ?nl=?n2!
б) -pin1 = -р2пг + r^rij, г = 1, 2, 3; д*х = д*2;
если вторгш жидкость — линейно-вязкая изотропная, т. е. под-
подчиняется закону Навье-Стокса A3.32), то
-pin1 = -р2пг + A div v2nl + 2[i,e2Jnj, д*г - д*2;
18. Условия на поверхностях разрыва 111
в) - рхпг + rlJrij = -р2Пг + r^rij;
r[3n3{vTli - vr2i) - g*j + Яп2 = 0;
Д) PinJ = Рг2пк] р\3п3(утц - vr2i) - q*x + g*2 = 0;
если среды — линейно-упругие изотропные, т. е. подчиняются
закону Гука A3.35), и температурные напряжения не учитыва-
учитываются, то первая группа из этих условий принимает вид
18.10 Условия на поверхности сильного разрыва в идеальной
жидкости при отсутствии внешних воздействий на этой поверх-
поверхности имеют вид
(vin - D)pi = {v2n -
j{Vln ~ V2n) = P2 - P
2 2
При j ф 0 последнее равенство можно преобразовать к виду
ln
+ г1 + т + г2 +
где г = и + р/р — энтальпия единицы массы.
18.11 а) Уравнение адиабаты Гюгонио
V\ (-у + l)/>i - (Т - 1)Р2'
б) *-* = *
_ 2l.
в) Если либо 1) скачка нет, р\ = р2, Pi — Р2\ либо 2) у = 1.
18.12 Соотношения, выражающие сохранение у-составляющей
потока импульса и непрерывность у-перемещений среды на раз-
разрыве, имеют вид
Р • D ' М ~ И = 0, [и] - D • [т] = 0, [v] = v2- vu @.18.2)
112
Глава 4. Поверхности разрыва
где р = const — плотность среды; D — скорость разрыва отно-
относительно среды; v — dwy/dt — у-составляющая скорости среды.
Из этих равенств следует
@.18.3)
Следовательно, необходимо, чтобы было [тG)]/[т] > 0- Из фор-
формулы @.18.3) следует, что скорость разрыва D определяется
наклоном секущей к кривой гG), а скорость бесконечно-малого
разрыва (малого возмущения) — наклоном касательной.
Рис. 0.18.1.
Упомянутые в задаче соотношения скорости разрыва и малых
возмущений (условия эволюционности) имеют геометрическую
интерпретацию и определяют взаимное расположение касатель-
касательных и секущей к кривой в точках у = 7ь перед разрывом, и
у = у2, за разрывом. На рис. 0.18.1 показаны эволюционные
разрывы при различном виде г [у).
В силу того, что напряжения г по условию задачи не зависят
от энтропии s, внутренняя энергия и разделяется на механиче-
механическую и тепловую, см. формулы задачи 16.9,
u(s), %) = - [
р J
@.18.4)
[{y)y,
р J as
Для нахождения знака изменения энтропии запишем на разрыве
непрерывность потока энергии
18. Условия на поверхностях разрыва
113
Отсюда, полагая для простоты vi = О и исключая [v] и [г] с по-
помощью первых двух соотношений на разрыве @.18.2), получим
Тл -4~ То
1
[ри] = -
+ т2)[у] или [рп] =
[у] - \рй].
В силу соотношения между и и г, см. формулы @.18.4), за-
заключаем, что [и] — площадь (с соответствующим знаком), за-
заключенная на плоскости (г; 7) между кривой т(у) и секущей.
а)
У2 У
Ъ У
Рис. 0.18.2.
Условие неубывания энтропии на разрыве совпадает с условием
неотрицательности соответствующей площади. На рис. 0.18.2 а)
и 0.18.2 б) показаны скачки 71 —> 72 с возрастанием и убыванием
энтропии соответственно. Разрыв, показанный на рис. 0.18.26)
не может существовать, так как он противоречит второму за-
закону термодинамики.
18.13 Для течения с обеих сторон разрыва выполняются со-
соотношения
pV1 = с, — = ш,
@.18.5)
где V = 1/р; v — скорость га-
газа относительно разрыва; сит
— постоянные. Из соотноше-
соотношения для потоков импульса на
разрыве запишем
\p] + m2[V] = J. @.18.6)
На плоскости (р; V) при задан-
заданном m и заданном начальном со-
р-рА = -m\V-VA
В,
к, vBi v
Рис. 0.18.3.
стоянии (точка А) кривая pV^ = с пересекается в двух точках
114 Глава 4. Поверхности разрыва
В\ и jE?2 (или ни в одной) с прямой @.18.6), имеющей наклон
—га2. На кривой pV1 — с выполнено
dp __ 1 dp __ a2
'dy^'v^Tp^'v1'
где а = у/dp/dp — скорость звука. Из сравнения с равенством
га = v/V получаем
Если приток импульса J меняется непрерывно, а га = const, то
при монотонном изменении J возникает течение без перехода
через скорость звука.
18.14 а) Рассмотрим течение с полем скорости
v = —у при -h < у ^ /г,
г , / 1 1 \
г; = —у + тп[ ) при у ^ п,
Vi yVo Vi}
т 1 ( ! 1 \ l
и=—У-rhl ) при у ^ -/г,
где г = тху = const — напряжение трения на площадках у —
const. Разность скоростей Аг; = v(h) — v(—h) = 2гЛ///о- Считая,
что одновременно г и Av не стремятся к бесконечности, получим
при h —>• 0 следующие граничные условия при у — 0:
{Av —> 0 при /хо/Л ~~* °°?
аДи -> 2т при/хоМ-*а, @.18.7)
г —у 0 при /го/Л —>• 0.
б) Пусть уравнения плоскостей суть у = ±Я, на них выполнены
условия прилипания v(H) = —v(—H) = Vq, и имеется тонкий слой
маловязкой жидкости при —h ^ у ^ Л, /? —> 0, /хо —> 0. Используя
уравнения Навье-Стокса, см. задачу 10.19, непрерывность г^
и граничные условия @.18.7), получим при h —>- 0
при ——>> оо, Av = v(h) — v(—h) = 0, г =
/io Л 2т 2v0
при — у а, Аи = —, г =¦
д а
при 91 -> 0, Аи = 2и0, г = 0.
а
18. Условия на поверхностях разрыва 115
18.15 Запишем соотношения на поверхности раздела дождь —
вода в системе координат, связанной с этой поверхностью
pvn = PoVnO (= 3); Pvl + Р = Povlo + Ратм5 *>т = *>т0 5
^2 2 \ @.18.8)
Г - Го) + f - -f) = PmAvn - pvn.
Здесь величины с индексом „О" относятся к дождю, без индекса
— к воде. Плотность внутренней энергии принята равной сТ.
Давление в среде, моделирующей дождь, считается равным ат-
атмосферному. Работа сил атмосферного давления, которая вхо-
входит в соотношение @.18.8), равна ратмип, а не Pa,TMvno, так как
она производится над каплями, а общий объем капель, который
притекает к единице площади поверхности в единицу времени,
есть vn. Из выписанных соотношений получаем величины ско-
скорости, давления и температуры в воде за поверхностью раздела
1-е A — еJ
v = vOe v = v р = Р + т2Г = Г0 + ^
, 0 ^0 ,
ро ?с
где е = ро/р.
18.16 Попытаемся построить решение следующим образом:
считаем, что граница раздела „дождь — вода" — это две плос-
плоскости, проходящие через ребро крыши. Скорость течения за
каждой из плоскостей всюду постоянна, направление ее задано,
поток параллелен крыше. Рассмотрим одну из граней крыши.
Выберем декартову систему координат так, чтобы ось z была
направлена по скорости дождя «о, ось х перпендикулярна Vq и
ребру крыши. Обозначим через а и /3 углы наклона крыши и по-
поверхности раздела к направлению Vq. Из условий на поверхности
раздела, см. предыдущую задачу, запишем
vn - vno?, vT-vTQ, т. е. vxctg(i-vz = -evz0, vxtgC+vz = vz0,
где е = po/p- Отсюда, учитывая, что vz/vx = ctga, получаем
уравнение для определения tg/3
т. е.
2 tg/3 = ctg a ( - - 1) ±
116 Глава 4. Поверхности разрыва
Если ctga > 2y/ej{\ — е), то получается два возможных угла на-
наклона поверхности раздела и соответственно два значения ско-
скорости и давления. Выбор одного или другого решения зависит
от условий, определяющих дальнейшее течение воды (например,
условий на кромке крыши) и в рамках рассматриваемой поста-
постановки не может быть произведен. При увеличении угла а между
крышей и скоростью дождя два решения для C сначала совпа-
совпадут, а потом исчезнут. Таким образом, при ctga < 2y/ej{\ — е)
решения рассматриваемого типа не существует.
18.17 Из закона сохранения количества движения в проекции
на горизонтальную ось для всего объема бочки, включая толь-
только что упавшие и разгоняющиеся до скорости бочки частицы
дождя, следует, что абсолютная скорость тележки (с бочкой)
равна скорости вытекающей струи по отношению к тележке. Ее
найдем, с помощью интеграла Бернулли для линии тока, начина-
начинающейся под поверхностью, отделяющей воду в бочке от дождя,
и попадающей в вытекающую струю.
Ответ: громки — ytyh + v^e, где е — ро/р] р — плотность воды.
18.18 Для гладкой функции <р(р) имеем (ось х направлена по
движению автомобилей — направо)
др дЫр) др , ,др
dt ox at ox
где с(р) = <pf(p) — убывающая функция р. Это уравнение выра-
выражает закон сохранения количества автомобилей (обгон и съезды
отсутствуют). Оно имеет характеристическую форму, см. за-
задачи 25.26, 25.28 и ответы к ним. Решение этого уравнения
находится методом характеристик: р = р0 при х = Хо + c(po)t.
Характеристики не пересекаются, если дро/дх < 0. Соотноше-
Соотношение, следующее из сохранения количества автомобилей на раз-
разрыве, имеет вид
(Pi ~ P2)D = (р(р{) - (р{р2),
где р\ и р2 — значения р слева и справа от разрыва, D — его
скорость.
19. Поверхности разрыва в лагранжевом описании 117
Считая, что разрыв поддерживается различными значени-
значениями р, приносимыми к нему по характеристикам, мы должны
принять (чтобы характеристики приходили с обеих сторон к
разрыву), что
с{р{) > D > с(р2)
(условия эволюционности, см. § 25). Отсюда р2 > р\.
Решение, описывающее остановку однородного потока у све-
светофора, содержит один разрыв, движущийся налево навстре-
навстречу потоку машин. Слева от разрыва — невозмущенный поток,
а справа v = 0, р = ртах. Движение от светофора, начав-
начавшееся при включении зеленого света при t = О, описывается
„центрированной волной разрежения", см. задачу 25.30; p{x)t)
и скорость автомобилей v{x,t) находятся из соотношений
х = c(p)t при 0 < р < />тах; р = ртах при х < c(pm3iX)t; v = .
19. Условия на поверхностях разрыва
при лагранжевом описании
19.1 Рассмотреть гладкую функцию, которая равна разно-
разности гладких продолжений левой и правой частей функции <р за
поверхность разрыва. Пусть в произвольной системе координат
поверхность разрыва определяется уравнением f(yz) — 0. Тогда
_ Eh.\ ?l = о
ду>\ дуЧ dyi •
——\ — /i-^-т; f(yl) = 0 — поверхность разрыва.
19.3 I .^ . = VtAtt^'i f{y%) — 0 — поверхность разрыва.
19.4 В квадратных скобках стоят алгебраические дополне-
дополнения элементов матрицы (дуг/дхкI которые в свертке с д//дхг
содержат только производные вдоль поверхности разрыва и, сле-
следовательно, непрерывны.
118 Глава 4. Поверхности разрыва
19.5 Дифференцируя вдоль образа поверхности разрыва в
четырехмерном пространстве-времени, получим
dX
дХ д г , d
nQ=const ™U
19.6 Рассмотреть отображение ? = (pl(xl,t), ?4 = i, свя-
связанное с законом движения среды. Здесь (?*) — лагранжевы, а
(#г) — эйлеровы переменные. Считал известным уравнение по-
поверхности разрыва f(xl,t) — 0, можно определить нормальную
составляющую ее скорости Dn и вектор нормали п по формулам
И П =
|V/|
Положить к = 4.
19.7 Пусть t — h(xl) — уравнение поверхности в эйлеровых
переменных ?г(?9,?). Использовать соотношение
19.8 Использовать непрерывность df/d?q.
19.9 Условия на разрыве имеют вид
М]=«. [»+^
Используя формулы задачи 19.10, получим
^ df + д д/)
19.12 Из соотношения [p(vn - Dn)] = 0 получим
[Р1 Ы + Vni-D*'
где р\ и vni — значения перед разрывом.
19. Поверхности разрыва в лагранжевом описании 119
19.13 Пусть (хг) — декартовы координаты, тогда
Используя результат задачи 19.3, где t = f{€q) — уравнение
поверхности разрыва, получим
19.14 Используя указание к задаче 19.13, получим
19.15 Использовать результаты задач 19.6 — 19.8.
L J {Dn-vnly Dn-vnl Dn-vnl'
19.16 Пусть сплошная среда занимает в данный момент вре-
времени в окрестности поверхности разрыва объемы V\ и Уг? разде-
разделенные куском материальной поверхности Е с границей L. Тогда
Е
Согласно теории сильных разрывов, первый интеграл в пределе
при V\ и V21 стремящихся к нулю, дает
Е
Нормаль направлена в сторону с индексом 1. Второй член равен
dl = / {75^а) + V°("V))dS'
7s
Е L E
где G = det(Ga/#); m — вектор внешней нормали к L, перпенди-
перпендикулярный n; eaVa — ковариантая производная на поверхности.
В пределе при стягивании Е к точке, получим
М = JL ?
Глава 5. Механика жидкости и газа
21. Гидростатика
21.1 Используя тождества
rot(ca) = с rot a + (grad с) х а и rot grad с — О,
из уравнений равновесия получаем
р
Отсюда
а) F • rotF = 0;
б) grad р X gradf/ = 0, т. е. р = p(U).
21.2 На глубине Л, отсчитываемой от линии АВ, р = pa+pgh,
поэтому
*Р = I (p ~~ Pa)ndS = npghcS, he — тг / Л diS,
Е Е
где п — нормаль к Е, внешняя по отношению к жидкости. По
теореме о моменте равнодействующей
V-ho— (р - pa)hdS, т.е. ho — ——, где /= h2dS.
J S he J
Е Е
.3
21.3 Сила: V — п——, глубина ее приложения: Н = —.
2 о
Здесь а — сторона квадрата, п — вектор нормали к стенке.
21.4 G>V
21 к и
21Л н=
21. Гидростатика
121
21.6 Силы, действующие на
плиту в момент ее отрыва, изобра-
изображены на рис. 0.21.1: R — глав- =
ный вектор сил давления, дейст- -^Ь.
вующих на единицу ширины пли- JEF
ты, R == рдН2/2] Р — вес плиты; ~E^*f _-~^-i
N — сила реакции дна, N — Р; ^2
F — сила трения, F = kN.
Плита не сдвинется, если-fcP ^ R.
Плита не опрокинется, если Рис. 0.21.1.
тотоР > momo72.
Учитывая, что h > Н, имеем три условия:
/Л /Л Г» А
а > 1, а/3 ^
21Л а) Воспользоваться тем, что равновесие окружающей
тело жидкости не нарушается, если заменить объем твердого
тела объемом покоящейся жидкости с распределениями плотно-
плотности и давления, удовлетворяющими условиям равновесия.
3 R 1
21.8 Рп = -Р; - = -.
21.9 В равновесии свободная
поверхность должна быть ортого-
ортогональна вектору плотности массо-
массовых сил F. В относительном рав-
равновесии F = д- а, где а — ускоре-
ускорение цистерны.
а) В этом случае
а
а = arctg —;
9
б) В этом случае ускорение цистерны равно а = д sin в - к cos в;
поверхность жидкости образует с горизонтом угол
a cos в
а = arctg —,
д — asm и
см. рис. 0.21.2.
Свободная поверхность горизонтальна, если к = tg0.
Рис. 0.21.2.
122
Глава 5. Механика жидкости и газа
21.10 а) Рассмотрим цилиндрическую систему координат,
связанную с сосудом. Ее начало расположим в центре дна, а
ось z направим вертикально вверх. Из уравнений относительно-
относительного равновесия в этой системе координат найдем
г2
р = — pgz + pQ2 h const.
Далее учтем, что р = ра на свободной поверхности z = zi{r)i a
объем жидкости известен.
При Я* = (П2а2)/Dд) ^ Я получим
„ „ 2г2Я*
Если Я* > Я, то свободная поверхность пересекает дно со-
сосуда при г = ri, где г2 = а2A — у/Н/Н*);
1 -vl при г >
б) Величина силы V = (ра+ рдН)па2.
в) Сила, действующая на тело объема V\ погруженное во вра-
вращающуюся жидкость и покоящееся относительно нее, равна
FA = -JP(g+U2r)dV.
V
21.11 На рисунке 0.21.3 показаны случаи расположения сво-
свободной поверхности z = z2(r) и поверхности раздела z — z\(r).
1 2 13
Рис. 0.21.3.
21. Гидростатика 123
1) Если Я* = П2а2/4д < Яь то
Z{ — Н{ — Я* + 2Я*-^т, г = 1, 2.
а
2) Если Я2 > Я* > Ях, то
Z2 — 112 — 11* ~
2 '
О
г2 - г2
^х = 2Я* ~~ ПРИ г > гъ ^1 = 0 при г ^ г\.
а
3) Если Н*> Н2, то
при г > гг, 2гг = 0 при г < гг-,
гдегг2 = а2 1-./— , ^ = -—5, Я2 =
21.12 Поверхности р = const совпадают с поверхностями
/2 2\
С/ = -gz + — (г + У ) = const,
ось ж направлена по оси вращения, ось z — вертикально вверх.
21.13 Потенциальная энергия П плавающего бревна равна
-pgVz0 + pi gVi zx = pgV(zx - z0),
где pi, V\, z\ и p, V, zo — плотности, объемы и координаты цен-
центров тяжести бревна и вытесненной им воды. Ось z направлена
вертикально вверх. Положению устойчивого равновесия соот-
соответствует минимум П, что осуществляется, если бревно плавает
горизонтально. Здесь предполагается, что длина бревна много
больше его диаметра, а р\ ф р.
21.14 Выберем систему координат так, чтобы ось х была пер-
перпендикулярна поверхности линейки, ось z направлена по линейке
вертикально вверх. Уравнение поверхности линейки есть х — 0,
а уравнение свободной поверхности жидкости (границы раздела
жидкости и воздуха) z — С{х)] кроме того,
С{х) = С (ж) = С'{х) = 0 при х -> оо.
124
Глава 5. Механика жидкости и газа
Динамическое граничное условие на поверхности z = С{х):
а
р ^ = р0 — -— -
где ро — атмосферное давление; а — коффициент поверхностно-
поверхностного натяжения; R(x) — радиус кривизны свободной поверхности.
Учитывая, что 1/R = С"/A + ?/2K/25 из уравнения равновесия и
граничного условия находим
Интегрируя один раз с учетом условий при х -*¦ сю, получаем
1 >2
7:Р9<
2
+ ~
= о.
Замечая, что С = — ctg#, находим
х=0
рд
Величина а = \ — имеет размерность длины и называется ка-
V РЯ
пиллярной постоянной. Для границы воды и воздуха а « 0.4 см.
Таким образом, относительная погрешность измерения глубины
равна 8 = h/H = ау/1 - sin в/Н, где Н — истинная глубина.
Сравните решение этой задачи с решением задачи 39.11, по-
полученным с использованием только теории размерности.
21.15 Интегрируя уравнения равновесия, получаем бароме-
барометрическую формулу z
p{z) =poe о
__2?_ р р 1
а) Р — Рое RT°, — = —; р — -ро при z « 5.65 км;
ро Ро 2
б) p =
Здесь п —
100G ~
при AT и 0.98°С.
— показатель политропы; п = у = 1.4
21. Гидростатика 125
21.16 Рассмотреть баланс сил, действующих на частицу жид-
жидкости при ее вертикальном смещении из положения равновесия.
21.17 Решение аналогично предыдущей задаче.
21.18 Поскольку F = grad С/, из уравнений равновесия имеем
div ( -gradp ) = —AnGp.
\Р J
В случае сферической симметрии это дает
pdr
а
а) р = -7rGp2(a2 - г2), М = 4тг / />r2dr = -пра3,
о J о
О
где а — радиус звезды;
б) Подставляя р = Ср6/Ъ в уравнение равновесия, получим урав-
уравнение для р(г). Оно имеет частное решение
где
ЧЫ и A=const-
Это решение соответствует звезде бесконечного радиуса, но ко-
конечной массы
., 4тг6
М
из последнего соотношения находится А;
27А3С2
126
Глава 5. Механика жидкости и газа
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости
22.1 В каждый момент времени t значение <р определяется из
решения внешней задачи Неймана Аср — О всюду вне тела,
дп
= U n,
где dV — поверхность тела; U — скорость поверхности 8V', и
поэтому зависит лишь от формы тела и нормальной составля-
составляющей скорости точек его поверхности. Последнее утверждение
справедливо также для v — grad<?>, но в общем случае не спра-
справедливо для dv/dt, а следовательно, и для р.
22.2 Известно, что если на жидкость в течение малого про-
промежутка времени т —> 0 действуют большие давления р1 —> оо,
импульс которых конечен и равен
Pt
= lim / pf dt,
т-Wo
т. е. происходит удар, тогда
где Vo и v — поля скоростей до и после удара.
Если Vo = 0 и р = const, то после удара возникает потенци-
потенциальное поле скоростей с потенциалом (р — —pt/p.
а) Постановка задачи:
/ А<р = 0 при z > 0;
f/i при z = 0, г ^ а;
<р = 0 при z — 0, г > а;
^ <р — 0 при z = оо.
Здесь г = vV + у2, <^ = ?^(г^ 20-
б) m(f/0 - f/i) = - / ptpdS, где 5 — площадь диска.
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 127
22.3 Пусть Е — кинетическая энергия потенциального тече-
течения с полем скорости v — grad </?, а Е' — кинетическая энергия
другого течения, со скоростью vr. Тогда
+ (» »)
Поскольку
/(» -v')-vdV = j Vj{<f{vJ - v'J)) dV= f фп - v'n) dS = 0,
V V dV
то E < E1\ если t/ ^ u.
22.4 Пусть (f\ и </?2 — два решения одной из трех краевых
задач. Тогда из тождества
/с-•»)'"=/<*-*) (?-
справедливого для односвязной области следует, что V\ = V2? где
t>i = grad v?x, t>2 = grad <p2.
22.5 В системе координат, связанной с сосудом, возникает
добавочная массовая сила инерции, в результате имевшееся сна-
сначала состояние с зависимостью р только от вертикальной ко-
координаты не удовлетворяет уравнениям относительного равно-
равновесия. Возникающее относительное движение не может быть
потенциальным, так как в силу теоремы единственности для за-
задачи Неймана решением для потенциала было бы <р = 0. Если
жидкость однородна, то выполняются теоремы Томсона и Ла-
гранжа о сохранении вихрей, поэтому вихревое движение, а сле-
следовательно, и вообще движение, не может возникнуть.
22.6 а) Внутри области в точке минимума было бы выпол-
выполнено неравенство А(р > 0, а в точке максимума — неравенство
А<р < 0, что противоречит уравнению А<р — 0; проекции скоро-
скорости V{ = д(р/дхг также удовлетворяют уравнению Лапласа.
б) Из уравнений движения с учетом div v = 0 следует
Ар = -pViidv'/dt) = -pVitfVjV*) = -M^vVHVj-VV) < 0,
поэтому во внутренней точке р не может достигать минимума,
так как в точке минимума Ар > 0.
128 Глава 5. Механика жидкости и газа
22.7 Воспользоваться тождеством
<р Аф — ф А(р = div ((p grad ф — ф grad ф)
и формулой Гаусса-Остроградского.
22.8 Воспользоваться формулой Грина, см. задачу 22.7, для
области V с вырезанным шаром с центром в точке г, или для
области V с вырезанным шаром с центром в точке г, затем пе-
перейти к пределу, устремив радиус шара к нулю.
22.9 а) В предположении, что <р(г) —> 0 при г -» оо, справед-
справедливость разложения с нулевой аддитивной постоянной следует
из последнего тождества задачи 22.8, если подставить в него
ряд Тейлора
|го-г|-|г| ^ ''|г|
Из условия <^(оо) == 0 следует (grady?)^ = 0. Обратное, вообще
говоря, неверно;
б) Так как
где (хг) — декартовы координаты, то поверхностные интегралы
dV dV
не меняются при непрерывном деформировании dV к поверхно-
поверхности сферы So радиуса г с центром в начале координат. Под-
Подставляем разложение для <р в интегралы по поверхности сферы,
тогда в / даст вклад только слагаемое С/г (источник),
' "JZ«-J №«•-«>¦
So So
В Р даст вклад лишь слагаемое ^ = С-7 дA/г)/дх* = -C^rij/r2
(диполь). На поверхности сферы 5о, дсрд/дп = 2C*nj/r3, следо-
следовательно,
Г = J (nV
( nV)
Sq So
dS =
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 129
в) / — это поток жидкости через границу тела, он равен изме-
изменению объема тела, т. е.
Из соотношений
V dV
следует
r = ±(r*vy + ^, C' = f.
dt p 4тг
22.10 Воспользоваться формулами задачи 22.8.
22.11 Решение аналогично предыдущей задаче.
22.12 а) Существование функции тока ф(х, у) следует из урав-
уравнения неразрывности.
б) То, что Аф = 0, следует из условия ш — 0.
22.13 Скалярное произведение векторов
дф дф
v= —ех- —еу и grad ф
ду дх у
равно нулю. Поэтому линии ф — const суть линии тока.
22.14 Q = ф(х2, у2) - Ф{хиУг).
22.15 Г = (р(х2,У2) ~ 4>{хъу{).
22.16 Потенциал скорости и функция тока имеют вид:
а) ?>=^1пг, ф=?е; б) v=^e, ^ = ~lnr;
в) ^^-^(ginr ±
Z7T
ф(<2еГ\пг);
Z7T
г) (р = тп cos ne, ф — vn sin гге,
где гиг — полярные координаты.
Величины Q — § v - ndl = <f с1ф и Г = <f v • dl = <f dtp — соответ-
c с ее
ственно расход жидкости через контур и циркуляция скорости
по контуру ?, охватывающему начало координат, где помещен
источник (Q > 0) или сток (Q < 0); число п определяет угол
а = п/п, внутри которого происходит течение.
5 Зак. 2369
130 Глава 5. Механика жидкости и газа
22.17 а) Течение является суперпозицией поступательного по-
потока и течения от диполя, помещенного в точке z — 0. Функция
dW/dz имеет полюс второго порядка в точке z = 0, нули — в
точках z = ±а. Линии тока: ф = U(r — а2/г) sine = const,
z — геге. Уравнение обтекаемого контура г = а.
б) Течение — суперпозиция поступательного потока и течений,
создаваемых источником, расположенным в точке z = -а, и сто-
стоком в точке z — а. Функция dW/dz имеет полюсы в точках
z = ±а, нули в точках zij2 — ±\A2 + Qa/nU. Линии тока
, тт Q . 2аУ
„ о . „ „ = const.
Обтекаемый контур ф = 0 представляет собой овал, проходящий
через точки z\ и я2.
При а-^Ои Qa = const получим функцию тока
соответствующую обтеканию кругового цилиндра.
22.18 В полярных координатах (г, е) функция тока имеет вид
ф = ([/sin е - FcoseW г ) + — In -.
V т ) 2п а
Линия тока ф = 0 есть окружность радиуса а. Скорость на
бесконечности имеет компоненты U и V. Произвольная посто-
постоянная Г имеет смысл циркуляции скорости по контуру, один раз
охватывающему цилиндр.
Критические точки находятся из уравнения
йг V г 2тгг^ооаг
где Uqo€?c> = f/ + iV'. При
Г
они лежат на окружности радиуса г = аи для них выполнено
sin(e - а) —
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 131
22.19 1) Существование и единственность аналитической
функции /(?) вытекает из теоремы Римана о существовании и
единственности конформного отображения при заданных усло-
вих нормировки. Вид ряда Лорана функции /((") следует из од-
однолистности функций z — /(?) и обратной к ней ( = (p(z) в
окрестности точек е = оои2: = оои условия df/dCloo ~ ^m
2) Функции C(^M ^(С) и их суперпозиция W(z) = W(((z))
являются аналитическими функциями во внешности контура С
и |С| > 1. На контуре С выполнено ((z) — ега', функция тока
имеет вид
ф = /ш ТУ (г) = /т 1У(егЪ) = О,
следовательно, контур С является линией тока; скорость на бес-
бесконечности определяется формулой
(dW\ (dW\ I (df\ U - iV ...
-у- = — I / — =— = voo(cosa-tsina).
\dz Jw \ d( J^l VrfC/oo *
22.20 Функция z(Q = k( + k0 + к\/( отображает внешность
единичного круга |?| ^ 1 на внешность эллипса
{х-х0J + (У-УоJ =1 а = Л + Ль Ъ = к-кх, xo + iyo = ko]
а2 Ь1
Комплексная скорость на бесконечности равна
(dW\ , . . . U + iV
i i — y^ (cos Ck -f~ г sin Of) = .
Критические точки определяются из уравнения
При iF^TrfcVool ^ 1 две критические точки жп + гг/п = ;
расположены на границе эллипса
хп - хо = acosen, уп - уо —
значение еп определяется из уравнения
sin(?n - а) =
см. решение задачи 22.18.
132
Глава 5. Механика жидкости и газа
22.21 Из решения задачи 22.20 при к — к\ — Ь/2 и ко = О
следует, что функция
^ — ~ I С + т )
отображает внешность единичного круга \(\ ^ 1 на внешность
пластинки. Точке С — 1 соответствует z = zb (задняя кромка).
Согласно постулату Жуковского-Чаплыгина скорость в точ-
точке В
dW
C=i
= 0.
dz
конечна. Это возможно, только если
dW
Отсюда находим, что Г = — 27r?msina, см. решение задачи 22.20.
Следовательно, W(z) определяется формулами
e \
у + 2г sin «In С ) ,
Ь
Распределение скорости на пластинке имеет вид
dW/dC
v =
dz/dC
sin (e - а) + sin a cos(e/2 - a)
= и = и-
sine
cos(e/2) '
Значениям е G [0; тт] соответствует верхняя сторона пластинки,
а значениям е G [тг; 2тг] — нижняя сторона. На задней кромке
v — и cos а. В точке е = 2а + 7Г, (ж = -Ь cos 2a) на нижней
стороне пластинке выполняется v = 0. Подстановкой cose = ж/Ь
в формулу
г; = г/ I cos a ± sin a\
11 - cos e
1 + cos г
находим зависимость v = г;(ж).
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 133
22.22 Чтобы удовлетворить граничным условиям, решение, по
методу зеркальных отражений, ищется в виде
= W0(z) + Wm(z), где W0(z) = ±-Qln(z - zA),
W* (z) — комплексный потенциал дополнительных источников
или стоков в точках, положение которых следует найти: эти
точки лежат вне области, занятой жидкостью.
а) Дополнительный источник той же мощности расположен в
точке ~za, являющейся зеркальным отражением точки za отно-
относительно прямой у = О,
W = —Q(ln(z - zA) + ln(z - zA)), 0 < arg^ < тт.
б) Дополнительные источники той же мощности расположены в
точках г^, —za и —г^, являющихся зеркальными отражениями
точки za относительно прямых у — 0 и х — О,
в) В этом случае комплексный по-
потенциал имеет вид
*-*о \ OBJ AD
где
2 ZA
zr — a
|г-гь|>о. Рис. 0.22.1.
Проверим, что ф = ImW — const во всех точках границы круга.
Имеем
—Q{LCAD^LCBDLCOD)^^Q{LCAD^LOCB) = %,
2я" 2тг 2
так как АОСВ и АО АС подобны, то
ОВ-ОА = ОС2, LOCB = LOAC, LCAD + LOAC = тт.
134 Глава 5. Механика жидкости и газа
22.23 Указание: Использовать формулу Эйлера
а) W=Q-
1 2тг
Г 1 Л VZ\
б) W = —: In I sin — :
; 2ти V a ' '
в) W=— In (sin
Z7T V
Г / .
г) W — In sin
2тгг \
. 7гBг - a) . тг(г + a)
in ^sin
26 26
. тг(г — a) . тг(
sin
26 26
22.24 В цилиндрической системе координат ж1 = г, ж2 = г,
#3 = е уравнение div v — 0 для осесимметричного движения при-
принимает вид
1 fdrvz dr vr
г \ dz dr
отсюда
1 дф 1 дф
г 9г' г г dz
Компоненты то1(фе/г) можно вычислить по формулам
где ^ = det(^j) = г2; индексы г, j и fc составляют круговую
перестановку из чисел 1, 2, 3; а^ суть ковариантные компоненты
вектора а. Для а = фе/r имеют место равенства
а,\ =0, а2 — 0, а3 = ф,
поэтому, если v€ = 0,
= rot 1 — ) =
г
б) v • grad ф — 0.
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 135
22.25 а) Щ ^
ГТ^2 и2 = -77 А,
2h3 их2 hih3 ox1
где h{ = y/gjj — параметры Ламе,
б) В этом случае h\ — h2 — 1, Л3 = r«
__l/aV д2ф 1 дфУ
г \ dz2 дг2 г дг
в) В этом случае h\ = 1, h2 — Л, Лз = Д sin 0:
1 дф 1
#sin0
22.26 а) В осесимметричных течениях t; = v(x1,x2) поэтому
потенциал скорости может зависеть от угловой координаты х3
только линейно <р — <р(хг,х2) + Сх3. Для однозначных потен-
потенциалов выполнено: С = 0 и и3 = Уз^ = 0.
б) Для потенциала скорости (р справедливо уравнение Лапласа
уравнения для функции тока ф получаются из формул @.2.25),
если в них положить и = 0.
22.27 27г{ф{г2,г2)-ф{гиг1)).
22.28 Функции фиир являются решениями уравнения Лапласа
и называются шаровыми функциями. Соответствие потенциа-
потенциала и функции тока проверяется непосредственным вычислением
компонент скорости.
136 Глава 5. Механика жидкости и газа
22.29 а) Функции (риф представляют собой суперпозицию
решений, рассмотренных в задаче 22.28 при п = 1
, д 1 а3 д 1 \ J а3
- a3) sin2 в
2Л
где R и в — сферические координаты,
б) В этом случае
где U — скорость шара, который движется в направлении 0 = 0.
22.30 Ищем (р в виде, см. задачи 22.28, 22.29,
(р = ARcos0 + ВсоБв-^,
где А и В — постоянные, определяемые из граничных условий
_ ^1
ДЗ 7>3 ' с%( j-K E>3\
1 — ^2 ^V^l — **'2)
Здесь R\ — радиус шара, i?2 — РаДиУс оболочки; шар движется
в направлении 0 = 0.
22.31 а) (р = /л — ' * ~ 1 ' "ж" в ( 1
где
2
Д/ г\ г» . / » \ О -»-» /г». О./ 1\О * ^*
Q~ R + bR* aj y/(z'-zJ + x2 + y2'
о
V» г — b a(z — 6*) Д — До
Q = Д + 6Д» a '
где До =
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 137
22.32 К уравнениям Эйлера, записанным в форме Громеки-
Лэмба применить операцию rot и использовать тождества
rot(a х 6) = (b-V)a- (a-VN+ adivfc- bdiva и diva; = 0.
22.33 Проверяется вычислением.
22.34 а) Так как (и • V)v = uz dv/dz, то из уравнения Гельм-
гольца получается требуемое уравнение. Его также можно по-
получить непосредственно из уравнений движения.
б) Из части а) следует, что и постоянна на линии тока, кото-
которая характеризуется определенным значением функции тока ф.
Отсюда следует, что и = и(ф).
22.35 а) 2и = -Аф = -2А (а~2 + б);
б) Для переносного движения
vnep = ие х г = rot I - и—е \, фпер = -<*>у.
Для относительного движения
(
= 0, ^отн = Ф~ Фпер = -? ( ^J ~ J2 ) V^2 " У) '
= А ( 72 - ~2 ) ху, vOTH = тоЬ(фотне) = grad <fOT
22.36 Поле скорости имеет вид
со
г
ДЗ
где г2 = х2 + у2; ось z совпадает с
линией С.
э
22.37 Пусть х и у координаты точ- \^J
ки, где помещен данный вихрь. Отра-
Отразим его относительно координатных
осей, как показано на рис. 0.22.2. В /-~^
точке z = х + iy получим " J
Г / 1.1 1
¦^ С
2ni\ z-z 2z z + zj Рис. 0.22.2.
У
/О
138
Глава 5. Механика жидкости и газа
Отсюда
Г /1
у
Уравнение траектории имеет вид 1/х2 + 1/у2 = const.
22*38 а) Пусть п —
нормаль к 5, а г _1_ п.
Поток rot t; через пло-
площадку с площадью S dl и
нормалью пхт, см. рис.
0.22.3, есть 2u>-(nXTMdl.
По теореме Стокса он ра-
равен циркуляции
8/2
/
/
п
~ dl
X
S/
Рис. 0.22.3.
= t>
-rdl-v
Z=2
Здесь ось z параллельна п, начало координат выбрано на S.
В пределе при S —> 0 выполнено соотношение
BЙхп- [v]) • г = 0, [v] = v -v
z=-0 z=+Q
Кроме того, Bfixn—[v])-n = 0 вследствие непрерывности потока
массы через S. Следовательно, 2П х п = [и], причем разрывна
только касательная составляющая скорости,
б) Рассмотрим течение несжимаемой жидкости, в котором
{Vi — const при z ^ 5, i v __
viz) при Ы < 8,
v2 — const при г ^ -5; OVz/az — \).
Начало координат выбрано на 5, ось г параллельна п. Локаль-
Локально систему координат можно считать декартовой. Внутри слоя
\z\ < S выполнено 2и = -{dvy/dz)^i + (dvx/dz) e2; вне этого слоя
ш = 0. При 6 —> 0 на поверхности z = 0 возникает скачок каса-
касательной составляющей скорости и вихревая пелена, на которой
+6
-6
Проверкой убеждаемся, что
2[Йх е3] = [vx
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 139
22.39 а) Введем систему координат, координатные линии х1
и х2 которой лежат в меридиональной плоскости, а х3 = е —
азимутальный угол. В решении задачи 22.24 показано, что
9 {Фе\
+ v2e - rot у—J,
где V{ — компоненты v в разложении v — v\el + v2e2 +
е = re3 — единичный вектор координатной линии г. Используя
физическую компоненту w = из/г, получим
—J
v = rot f—J + we, div t; = 0;
в) Воспользоваться уравнением Гельмгольца для вихря.
22.40 a) t>-grad У; ее 0;
б) Рассмотрим жидкий контур С, получающийся в некоторый
момент t как пересечение поверхности тока ф = const с плоско-
плоскостью z = const. Поскольку С — окружность радиуса г, цирку-
циркуляция скорости по С есть Гс = 2nrw. При установившемся дви-
движении контур С остается окружностью, принадлежащей одной и
той же поверхности ф = const. По теореме Томсона Гс = const,
т. е. rw = const на ф — const.
22.41 a) v2/2+p/p и rw постоянны на линии тока, см. зада-
задачу 22.40, и — в силу осесимметричности — одинаковы на всех
линиях тока, лежащих на поверхности ф = const;
б) Использовать формулы задачи 22.39 и уравнение движения
в проекции на ось z в форме 2(vruje — v€ujr) = дН/dz.
22.42 а) Функция тока удовлетворяет уравнению
д2ф д2ф 1 дф 2
dz2 Ч- дг2 г дг
см. задачу 22.39. Граничное условие ф = const при z2 -\-г2 = а2.
Решение краевой задачи ищем в виде
ф = Ar2{a2 -z2- г2) = А{а2 - R2)R2sin2 в.
Уравнение удовлетворится при А — с/10.
140 Глава 5. Механика жидкости и газа
в) Потенциал и функция тока для обтекания сферы имеют вид,
см. задачу 22.28,
а3 \ г;о
—2 ), Фо =
ZH J
2
[R+ 2 ), Фо rgsin
\ ZH
Из условия непрерывности скорости
дф0 дф
~Ъ— = ~й~5 ПРИ
найдем
2са
2
15
22.43 Из уравнений движения как для идеальной, так и для
вязкой жидкости получается формула для скорости v движения,
возникшего в результате удара, см. задачу 22.2,
pv=-
где
pt = lim / pf dt,
T40J
0
следовательно,
v
2u = rot v = - gradp x -;
б) В нулевом приближении по ? имеем р — const, следовательно
и> = 0, v = ад.
В первом приближении:
22
где
.44
Форма
сосуда
определяется
г4 = Az,
S2
7T2V
уравнением
2'
Здесь S — площадь отверстия; г; — скорость понижения уровня;
z — вертикальная координата; г2 = х2 + у2.
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости
141
22.45 Распределения скорости
и давления и сила R имеют вид:
г; — 2г;оо sin 0, V.
2 I -4sin20
Р = Poo + pvZo 2
ср — 1 — 4 sin2 0,
Д = 0;
б) г^^оо ^2 sin 6» —
Ряс. 0.22.4.
ср = 1 - I 2 sin 0 - .,
V 2-Kv^a)
, в) v = U
Г 42
1 -2.25 sin2 в
= P
оо т Г^оо
cp = 1-2.25 sin2 (9,
12 = 0.
22.46 Кавитация возникает на границе обтекаемого тела, в
точке, где давление становится равным нулю. Если р^ = ратм =
106г/(см • с2), то из решения 22.44 находим
а) г;оо =
12.6 м/с; б) г;оо =
8.1м/с.
22.47 Для доказательства воспользоваться уравнениями дви-
движения в форме Громеки-Лэмба и тождеством
2ш X v = 2о;е^ х v = 2u; grad ^.
22.48 Из решения задачи Неймана для потенциала скорости
найдем
ста , . 9у? aza
где a(t) — радиус полости, R — сферическая координата. Из
интеграла Коши-Лагранжа следует
dip v2
P = P~-p-Qt-P-2'
так как р — 0 при R = а, то для a(t) получаем уравнение Релея-
Лэмба о
аа Н—а = .
2 р
142 Глава 5. Механика жидкости и газа
Уравнение Релея-Лэмба имеет интеграл энергии
• 2 з 2Роо{<4 ~ я3)
а а =
Ър
Время схлопывания полости составит
/ Зр f da л л.- f~P~
V 2poo У уДао/аK - 1 V Poo
22.49 ф = c(y - aeky cos kx), W = c(z - aie~tkz), z = x + iy.
Линии тока ф = 0 соответствует уравнение
у = ае у coskx^
которое при малых ак превращается bj/ = acos&? с относитель-
относительной погрешностью порядка afc<l.
Если д/> = 0 есть свободная поверхность (р = ратм = const),
то на ней выполнено соотношение
(gradu?J
V 9 ; +ffy^ const
ИЛИ
с2
A — 2akcoskx + О (а2/?2)) + да cos kx = const,
2
т. е. с = ±у/д/к; с — скорость распространения волны отно-
относительно жидкости, покоящейся при у — -оо; а, 2п/к и к — ее
амплитуда, длина и волновое число соответственно.
22.50 В окрестности критической точки В на границе пузыря
для скорости жидкости относительно пузыря, см. задачу 22.45,
имеем v « 1.5U0. Из условия р = const на границе пузыря и
интегала Бернулли
- = gR(l - cos в) - — + const « (gR - -U2J — + const
получаем
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 143
22.51 Запишем условие равенства давлений на границе разде-
раздела двух жидкостей в системе координат, связанной с фронтом
Pl \~2 + 9X COS7J = p2 \Y + gx cos
где 7 — угол между осью х и вертикалью. Подставляя сюда вы-
выражения для скоростей в окрестности точки О (течения в углах
а и 7Г — а)
п—а
Vi = CiX ot и V2 = С2Х7Г~а ,
получим
2 ~^ 2 i о/ \ п
plC^X ос — р2С2Х7Т~а + z(^i — р2)дх COSJ = U.
При а = тг/3 слагаемые имеют порядки ж4, ж и ж соответствен-
соответственно. Последние два компенсируют друг друга при подходящем
выборе С2, а первое несущественно, как величина более высоко-
высокого порядка малости.
22.52 В системе координат, связанной с волной, для линии то-
тока на свободной поверхности волны в окрестности угловой точки
имеет место интеграл
v2 a
gx cos — = const.
Так как v « сх « ? это соотношение выполняется при а = —.
22.53 б) Использовать тождества
div [ - V{V ] == 0 и div ( ——t — - (г х v)vi J = О,
где сг — базисные векторы декартовой системы координат.
22.55 а) Величины векторов /р и /м стремятся к нулю при
удалении S' в бесконечность;
б) так как задача линейна и функции (fk не зависят от ^, потен-
потенциал <р и силу F можно представить в виде
3 т г 3 й11
v~^ (If , Y^ "^A:
Л=1 ' с А?=1
144 Глава 5. Механика жидкости и газа
22.56 Воспользоваться тем, что для установившегося течения
dt dt
22.57 a) dX + г dY — —р(пх + iny)dl = р i dz, поскольку
dz = (тх + гту) dl ~ (-пу + гпх) dl = i(nx + iny) dl,
где тип — единичные касательная и нормаль к контуру;
/ 1 dW dW\
р — p\h -- - — — ) — интеграл Бернулли;
у Zj CLZ (ZZ J
б) обтекаемый контур есть линия тока;
^ .,, 1 . fdW dW 1 1 . / fdW\2 f
в) X + iY = — рг ф — — dz = - рг ф —— dz.
} 2Н J dz dz 2 й J \dz J
с с
г) Так как W(z) — аналитическая всюду вне контура С, то она
представляется в виде ряда Лорана
dW
Ai
Г = Voo + — + ....
dz z
Используя теорему о вычетах, находим
2niAi= i^-dz= idW= ?d
с ее
где Г — циркуляция по контуру С.
Используя формулу Чаплыгина, находим
X-iY =%-^j> (^P) dz = ^2тгг • 2A1voo = ipTv^.
с
22.58 Методом зеркальных отражений, см. задачу 22.22, на-
находим комплексный потенциал
W(z) = 9-^- In (z + to) + ^^ In (г - to).
27Г 2n
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 145
По формулам Чаплыгина, используя теорию вычетов, нахо-
находим силу
dW
= -гр-
z—га
и момент
— Re I — pni выч ( —— ) (z — ia)
V [\ dz )
Учитывая, что
(Q + гГJ
ВЫЧ || . ; \ а, ил/ | — ел ,
47Г
находим
X = 0, Y = -p(
An a
L Yx0, ^o^y^,
сила приложена в точке х = ж0, у = 0, вихреисточник находится
в точке ж = 0, у = —а.
22.59 Выражения для силы F имеют вид
a) F=-^; б) F = />rxu,
где // = ртга2 — присоединенная масса; а — радиус цилиндра;
Г — вектор, направленный по оси цилиндра, |Г| = Го, см. зада-
задачи 22.18 и 22.45 б). Формулы задачи 22.55 здесь неверны, так
как <р — неоднозначный потенциал.
146 Глава 5. Механика жидкости и газа
22.60 По формуле Жуковского, см. задачи 22.21 и 22.57 г),
получим
X + iY = —ipTu(cos a + г sin а), Г = —2жЬи sin a.
Сила, действующая на пластинку, перпендикулярна скорости на-
набегающего потока (подъемная сила); ее составляющая X назы-
называется подсасывающей силой.
22.61 В соответствии с задачей 22.29 б) получим
a3uR du
2Д3 М ' ' dt'
2 з
где аи// — радиус и присоединенная масса шара, fi = -ттра
о
22.62 В системе координат, движущейся со скоростью и^ и
ускорением й^, на жидкость дополнительно действует массовая
сила инерции — и^, а шар движется с ускорением — й^. Нали-
Наличие силы инерции приводит к действию на тело „силы Архимеда"
jFa = pVuvo, а из-за ускорения шара на него действует со сто-
стороны жидкости сила R — fiuoo-
Суммарная сила, действующая на неподвижный шар, равна
где // и У — соответственно присоединенная масса и объем шара.
22.63 Представляем скорость течения в виде
V = vHCT. + V , 47Г«ИСТ. = q— "з •
Из формул задачи 22.53 следует, что
F=IF = Pj(^n-vvn)dS.
S'
В качестве S' возьмем Se — сферу малого радиуса е с центром
в особой точке г. При е —> 0 найдем
РЧ f ( i' ' г ' \
F% = lim I ( — v Jrilrij -\- vn -\- v Jntnj 1 dS =
е-ю Аке1 J v /
Se ,. pg / /,• ,^
= lim I v dS = />^u (r).
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 147
22-64 В начале всплытия на пузырь массы М действует сила
тяжести Мд, сила Архимеда Рд = —М\д и сила сопротивления
жидкости R = -fidu/dt, где /i — присоединенная масса пузы-
пузыря, М\ =2A, — масса жидкости в объеме пузыря. Уравнение
движения пузыря имеет вид
/ w ч d>u , _ . , ж ч du M - Mi
{М + »)- = (М-М1)д, отсюда - = 5-^__.
Пренебрегая массой пузыря, приближенно получим du/dt « — 2д.
22.65 В системе координат, связанной с потоком, появится
массовая сила инерции -w, под действием которой сферический
пузырь приобретает ускорение 2t0, см. задачу 22.64. В непо-
неподвижной системе координат ускорение пузыря равно 3t0.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости
23.1 См. § 13.
23.2 Обозначим через U потенциал силы тяжести: д = gradZY.
Используя граничное условие v\dV = 0, найдем
= / div{pUv) dVdt= f PUvn
V dV
dV
отсюда dEKliH = —V dt < 0, кинетическая энергия Екин со време-
временем убывает, приведенная в движение жидкость тормозится.
23.3 В системе координат, связанной с твердым телом, по-
появятся две массовые силы инерции, одна из них имеет потенциал
Hi = Q2r2/2, где г — расстояние до оси вращения, другая — сила
Кориолиса.
Работа всех массовых сил равна нулю, см. задачу 23.2, сле-
следовательно, отн
dE =-Vdt<0,
кин
с течением времени жидкость стремится прийти во вращатель-
вращательное движение с угловой скоростью О.
148 Глава 5. Механика жидкости и газа
23.4 Для кинетической энергии однородной вязкой жидко-
жидкости, для движения относительно твердого тела, справедливо не-
неравенство
Щ^ = -V < 0.
at
Отсюда следует, что если при t = 0 жидкость покоилась, то это
состояние сохранится для t > 0. В однородной идеальной жидко-
жидкости, покоящейся в начальный момент времени, движение может
быть только потенциальным, а в силу единственности решения
задачи Неймана для <р, относительным движением будет всегда
состояние покоя. Для неоднородной жидкости
A,ЕК1Ш = dAMACC -Vdt = - J Uv'VipdVdt-V dt, F = grad W.
v
Как в вязкой, так и в идеальной жидкости dAMSLCC ф 0, поэтому
кинетическая энергия при специальных движениях тела может
увеличиваться с течением времени, см. задачи 22.5 и 22.43.
23.5 а) &у^ =
(XL
в) так как —(—¦)= /I'm, где ds — элемент траектории, то
ds \\v\j
dv{ . , d (. , v\ , l2r,
щ -— — щ\о\ -т~ I lvl т—г ) = t; An- m при n- v = 0;
dt ds \ \v\ I
г) подставить — = grad h rottr X v в тождество б).
23.6 В системе координат, связанной с телом, движение уста-
установившееся, поэтому
= 0 и dA?>B = Vdt>0.
С другой стороны
f f •
dA^JB = / p^rijVi dtdS = / p^rijUi dS dt — —F%U{ dt,
dV dV
где щ — компоненты вектора скорости твердого тела; п — нор-
нормаль, внутренняя по отношению к телу; F1 — компоненты силы,
действующей на тело со стороны жидкости. Следовательно,
F и < 0.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 149
23.7 Проинтегрируем уравнение для кинетической энергии:
5 t
Екин = J Fds- fvdt,
о о
где S = и2/2а — путь, пройденный шаром за время t; и — его
скорость. Так как V > О, то, используя принцип Кельвина, см.
задачу 22.3, можно записать
/
F ds > Екин ^ ?кин — №а$ — -KpR o,S.
о
23.8 Выполним преобразования
= -рпг - fi(n х rot vI
Здесь n — единичная нормаль к dS.
Используя оператор jlk = $гк - пгпк, см. задачу 3.21 б),
преобразуем последнее слагаемое в этой формуле, чтобы оно
определялось лишь касательными производными поля скорости
ylkVkVj. Так как
где VnVj = nkVkVj — нормальная производная поля V, то
Для скорости твердого тела VkUj = SijkQ1. В силу условия при-
прилипания на поверхности тела скорости жидкости и тела, а также
их производные вдоль поверхности совпадают, поэтому
n'V't;, = njfkejikUl - п{ - 0 = -(П X п)\
23.9 Используя для ргп формулы предыдущей задачи, для ка-
касательного напряжения на поверхности тока v • п = 0, получим
7[р? = /i(rott> X п)г + 2n,n3fkVkVj = //(rot v X п)г + 2/j,bijVj,
где 7j.Vfc72J' = —Ьи, 6г'; — тензор второй квадратичной формы
поверхности тока.
150 Глава 5. Механика жидкости и газа
Учитывая, что
± fi-
fids \\v\
получаем
V V
Рпш гт = д(го* v х п) ' гт + 2//Л |v (п • ш).
23.11 а) Пусть ось х параллельна скорости пластины, тогда
vy = vz = 0, ^ = t/(y, ^), — = г/—т.
Граничные условия:
Полученное уравнение для и называется уравнением теплопро-
теплопроводности и имеет частные решения вида
и — ие , к — dz/c^c, к* — - , о — \ -р—.
о V II
С учетом граничных условий
и = Яе(и(ИМ""Ш)) = ще'^ cos (| -
Это решение представляет собой быстро затухающую с ро-
ростом у поперечную волну; и « 0 вне „пограничного" слоя толщи-
толщины 5, в идеальной жидкости всюду и = 0.
б) Г = r^yl^o = -Щу/прЦСОБ (ut + -J.
в) Среднее за период колебаний значение диссипации энергии,
отнесенное к единице площади пластины равно
о о
Среднее значение работы силы трения равно
<"¦>=?/¦
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 151
23.12 Решение ищем в виде суперпозиции волн, соответству-
соответствующих к = к* и к = — к*, см. решение задачи 23.11, т. е.
С учетом граничных условий
и А = u@,i) = Re{uoe~iut), uB = г*(М) = 0
получаем
ТА = тху\у=0 = -цщ Re
О при п > z///i2; max тв/ max гд -> 1 при П <С г///^2.
23.13 а) Из линейности задачи и соображений размерности
следует, что
vx = и = С/о /@? ГДе ? = yvvt'
Задача является автомодельной. Для функции /(?) получим за-
задачу
е/;@ + 2/"@ = 0, где /@) = 1 и / -> 0 при ? -+ оо.
Таким образом, для скорости и получаем выражение
Ф
•=«¦('- т? 7 е"'г<")=4 -erf Ш\s %F(i!) ¦
X
2
Функцию erf (ж) = —=. е v dr], называют интегралом ошибок.
V 7Г J
О
б) Аппроксимировать зависимость U(t) ступенчатой функцией
и использовать результат пункта а)
Последний интеграл называется интегралом Дюамеля.
152
Глава 5. Механика жидкости и газа
23.14 По существу эта задача совпадает с задачей 23.13 а).
Отличие в граничных условиях: /(+оо) = 1, /(-оо) = —1.
б) Так как erf B) = 0.99, то толщина слоя S « 8y/ui. В любой ко-
конечной точке течения величина скорости \и\ с ростом времени t
уменьшается, так что \и\ —> 0 при t —>¦ оо;
U
— на месте
.?.
Для всех ? > 0, величина |а;| максимальна при у = 0
первоначального разрыва.
23.15 Для vx — u(y,t) можно записать уравнение
ди д2и
соответствующие начальные и граничные условия:
" и(у, t) = 0 при у < 0, t = 0;
ди
М— = г0 при у = 0, t > 0;
w -> 0 при у -> -оо.
Обозначим т — fidu/dy, тогда
дт _ д2т
дг~У ду2
и граничные условия примут вид
т — т0 при у = 0, t > 0,
т -> 0 при у -> —оо, ^ > 0;
г = 0 при у < 0, t = 0.
Согласно решению задачи 23.13 а),
т =
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 153
Отсюда
и= f-dy + C(t).
J /i
Интегрируя по частям с учетом условия и\ _^ = 0, получаем
где
На свободной поверхности выполнено
Толщина слоя равна
S =
где ?0 — корень уравнения Ф(^о) = 0.01.
23Л6 a) vx - —=е а .
у/а
б) Е«"=тШ> Q^'-T^^Qo, где а = 1 + 46*.
4у26а 2 V о
в) Ькин —* 0, Q^ = Qo- При t —^ 0 скорость равномерно стре-
стремится к нулю, а количество движения Qx остается неизменным!
23.17 Очевидно, vR = v(R,t), % = ^ = 0. Из уравнения
неразрывности с учетом кинематических условий на границах
следует
t, = ?,
Уравнение кинетической энергии дает
-1) •
154 Глава 5. Механика жидкости и газа
23.18 Из уравнений задачи 23.17 при
Д2 - Rx ДД
-^-ls «I, Pl=p2 = 0
получим
R2 4 Д ^е~12
ДД = —npR , Д + 12z/—j = О, Д - ^—.
4 R К по
До До
где Re = .
v
Если Re > 12, то Д -> оо при ? —>> оо;
если 0 < Re < 12, то Дпшх = Д* = ^ _ R° ;
если Re = 0, то Д = До;
если Re < 0, то Дт1п = Л*-
23.19 При взрыве в жидкости образуется расширяющаяся сфе-
сферическая каверна радиуса RK(t);
Д2
R=RK
=0,
Из уравнения задачи 23.17 при Дх = Дк, Д2 -> оо, р\ = р2 = О
получим уравнение
и(it' ¦?? ) • о
имеющее интеграл
= const.
Начальные условия: Дк@) = 0, 2npR2KR3\ = E$. Отсюда
При t —> оо выполнено
О, Д„
1287Г/Л/2'
В отличие от аналогичной задачи для идеальной жидкости ра-
радиус каверны остается конечным при t —>• оо. Давление опреде-
определяется из интеграла Коши-Лагранжа
А А2
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 155
23.20 Для ламинарного течения vx — v(z), vy = vz = 0.
Здесь ось х параллельна, а ось z перпендикулярна дну;
d2v . fdv'
dz2 * ' \^Л=Л ; *=о
г? = — sin а • Bhz — z2), umav = v(h) — — sin a, uCD = -i
2i> V ; v ; 2// ' p 3
а) t?max ~ 1-25 Cm/c, Ucp « 0.83 см/с.
б) t>max = 12.5 КМ/С, Vcp — 8.3 Км/с.
Абсурдность результата б) связана с неверным для этого слу-
случая предположением о ламинарности течения.
23.21 Составляющие скорости будут иметь вид vx = vx(y),
vy = vz = 0. Здесь ось ?/ перпендикулярна пластинам, ось ж
направлена по вектору и;
Н
'ху
у=о = ~Н
б) — = -го = const, vx= —у{Н -у),
С/Ж Z//
в) и-я+^
23*22 В цилиндрических координатах с осью г, направленной
вдоль трубы, справедливо vr = v^ = 0,
r2
4//
r2\ _ 2Q _ toa2a
aV 7raz 4//
ч «о Л х2 у2\ аЧ2 тгго а363
2 • 4
23.23 vmax = —— /(»«)» Q = ^(а«)» гДе а — характерный
размер поперечного сечения трубы; аг- — безразмерные параме-
параметры, задающие его форму.
156 Глава 5. Механика жидкости и газа
23.24 В цилиндрических координатах с осью z% направленной
вдоль оси цилиндров, vr = vz — О, и*из = v{r) и р = р(г). Из
уравнений Навье-Стокса
dp v2 d2v I dv v
dr r drz г аг г1
и граничных условий v(Ri) = uiR\, v(R2) = SI2R2 находим
В П2а2 - Пх Д?(П1 - О2)а2 R2
v = Аг + -, где Л = 2—Г~' 5 = 2—i ' а = Б"'"
г а - 1 а - 1 Я1
Моменты Mi и Мг, действующие на внутренний и внешний ци-
цилиндры (в расчете на единицу длины), равны
М\ — -4тг//В = -М2.
В предельных случалх:
При /?2 -^ °о и 0,2 = 0 возникает потенциальное течение с рас-
распределением скорости
г
при R\ — 0 и Q\ — О поле скорости определяется равенством
v =
23.25 Для скорости v сохраняются формулы задачи 23.24,
Ri) о ът] • др
D D
При —2— = е<1 введем новую переменную у равенством
Тогда имеют место формулы:
-у) как в плоскопараллельном течении Пуазеиля,
~fii)y как в плоскопараллельном течении Куэтта.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 157
23.26 В невозмущенном движении каждая частица движется
по окружности г = const. На нее действует градиент давления
и уравновешивающая его центробежная сила инерции
^ин — з'
рг
где v(r) — азимутальная скорость; А(г) = pvr = рг2ф — момент
импульса, сохраняющийся в частице и при возмущении ее дви-
движения. Пусть малая частица смещена с окружности радиуса г0
на близкую окружность радиуса г > г0. В смещенном положении
др_^1 „ __ А2(г0)
гл — о ? *ИН — о
or pr6 ргл
Для устойчивости движения необходимо и достаточно, чтобы
было
др „ д\2 ,д(фг2)
/>FHH, т. е. — >0, & ф-^j—Z>o.
дг дг дг
С помощью решения задачи 23.24 условие устойчивости пре-
преобразуется к виду
(U2R22 - п\Я1)ф > 0.
Если $1x^2 < 0, то ф меняет знак и течение неустойчиво.
При ^i > 0 и U2 > 0 течение устойчиво, если f^^l > fii-R?.
Если Г^2 — 0? то течение неустойчиво; если Г21х = 0 — устойчиво.
23.27 Применить операцию rot к уравнениям Навье-Стокса,
см. решение задачи 22.32.
23.30 ф^фое-^К
23.31 В силу цилиндрической симметрии течения
vr = vz = Q, vJH3 = v(r,t), o;r=o;v = 0, wz = u{r,t).
Из уравнения задачи 23.28 следует
ди> _ v д{гди/дг)
~dt ~ 7 Ъг '
Начальное условие: г 2п
Г(г,0) = Г0 = const, где Г(г,*) = 2 f f ur'dtpdr'.
о о
158 Глава 5. Механика жидкости и газа
Из факта линейности о; по Г и соображений размерности следует
вид зависимости и = (Го/vt) /(?), где ? = г2 jvt.
Для функции / получаем уравнение
Интегрируя, найдем
Го ~iL
и =
8ici/t
23.32 Условие экстремума скалярной функции /(ж1, ж2) во вну-
внутренней точке М, где хотя бы одна из производных V;Vj/
м
отлична от нуля, состоит в том, что:
1) V;/ =0 и 2) величина ||V;Vj/||M знакоопределена.
Так как функция ш не зависит от преобразования координат
х1 и ж2, рассмотрим декартовы координаты (ж, у) плоскости те-
течения. Пусть существует точка М, в которой V{U — 0. В силу
уравнения задачи 23.28 б) выполнено VtV*u; = 0, т. е. М не
м
является точкой экстремума.
23.33 См. решение задачи 23.32. Так как величина и/г не
зависит от преобразования координат ж1 и ж2, рассмотрим ци-
цилиндрические координаты гиг, в которых уравнение оси тече-
течения есть г = 0. Пусть в точке М выполнено Vi(v/r) = 0. В силу
уравнения задачи 23.29 а) выполнено V2V*(u;/r)|M = 0, т. е. М
не является точкой экстремума.
23.34 Запишем уравнение задачи 23.28 б) для функции тока
дАф дф дАф дф дАф
dt + ~ду дх ~дх ду
д4 д4 д4
2
@.23.1)
Представим функцию ф в виде
ф(х, у, t) = фо(у) + фг(ж, у, ?),
где фо — функция тока невозмущенного течения, ф\/фо <С 1.
2Л. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 159
Учитывая, что ф0 удовлетворяет уравнению @.23.1) и
dy
получим
дф\ d2u
v дАфх , Ч
а) \-и(у)
1 dt КУ>
\и(у)
dt КУ> дх дх dy2
д4 п д* д4
+2+
- дф
б) ф = — = 0 при у = ±d.
23.35 Выполним очевидные преобразования. Для простоты
выкладки проводятся в декартовой системе координат.
/(е1- - e-)edV —
[etJ etJ)etJav -
v
V
= % J("'' " "iH'
dS = 0.
dV
С помощью тождества
/(«') - /(*) = 2» j{e'i3e'i3 - ег]е{]) dV =
V
= 2l*JB(e'ij - e^eij + [
dV
v
и доказанного равенства получаем
е'ц - etJ) dV > 0.
160 Глава 5. Механика жидкости и газа
23.36 Допустим, что какая-либо из краевых задач имеет два
решения (г;г-,р, е^) и (v^ р1, е'-?). Тогда с помощью преобразова-
преобразований, аналогичных преобразованиям задачи 23.35, получим
V dV
Для каждой краевой задачи интегралы по dV равны нулю и,
следовательно, в области течения е\- = e?j.
23.37 С помощью преобразований, аналогичных преобразова-
преобразованиям задачи 23.35, доказывается, что
2/i / еце'{> dV = - I P'l3vln> dS = - [ рг^п3 dS.
V dV dV
На границе твердого тела v — и + Я X г, откуда
2/i / ецег{> dV = ufF + п'М = uF1 + пМ1.
v
23.38 F - pv2l2C(Re), где Re = lv/v, см. задачу 23.10. В силу
линейности уравнений Стокса и граничных условий F должна
быть линейной по v. Отсюда C(Re) = Л/Re.
23.39 Использовать уравнение кинетической энергии, см. за-
задачу 23.1, и то, что F • Voo = Х>, см. задачу 23.6. Так как
V > Рстокса, см. задачу 23.35, то F > FCTOKca.
23.40 Использовать линейность задачи для уравнений Стокса,
то, что F\ Uj — компоненты векторов, и теорему взаимности,
см. задачу 23.37.
23.41 Для вариации функционала I(vf) в точке vf = v с по-
помощью преобразований, аналогичных преобразованиям'задачи
23.35, получим
51 (vf) = f
п3 - 2рпг - 2к)№ dS.
dV
Из краевого условия следует, что 81 = 0. Поскольку функци-
функционал I(v) — выпуклый, точка экстремума является точкой его
минимума.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 161
23.42 Доказательство аналогично задаче 23.41.
23.43 Воспользуемся результатом задачи 23.42: I(vf) ^ /(о),
где vf и v — решения уравнений Навье- Стокса и Стокса соответ-
соответственно. Из уравнения кинетической энергии следует Vdt = dAe,
I(vf) =" -р', I(v) = -Р, р' < Р, Р = 2//
23.44 Поля скоростей и давлений имеют вид
1- z2/h2 _ 1 /г3 Зя
vr = .:
4/? 2
где г = ±/г — уравнения плоскостей, Ро —
, 7? = const.
г=Д'
23.45 Вне зазора между дисками течение практически отсут-
отсутствует, а давление можно считать постоянным, равным р0. Ис-
Используя решение задачи 23.44, найдем
„ . „ 37Г//.1/.Й4
Интегрируя, найдем силу сопротивления F = ^—.
23.46 Для тонкого слоя большой протяженности очевидны не-
неравенства
— —
Формула для р в этом приближении
Р= -' л1з—— + Ро
Air
по сравнению с решением задачи 23.45 имеет относительную
погрешность
— 1
Сила сопротивления оказывается такой же, как в задаче 23.45.
6 Зак. 2369
162
Глава 5. Механика жидкости и газа
23.47 б) С помощью формул
J! df df df df df
уравнение Стокса можно представить в виде
д3ф др
Проверкой убеждаемся, что это уравнение удовлетворяется.
23.48 Указание: Убедиться проверкой.
23.49 Неизвестные константы находим из граничных условий:
vR = vg = 0 при R = a, vz
Получим решение:
txa3cos0 _ Зсш
/i = —
3/лай cos О
= Ш + (RM - G)
/За
= Ч1 - й
За
Totv
dV^
Формула для силы сопротивления F называется формулой Сток-
Стокса; сх = 12/Re.
23.50 а) Решение ищем в таком же виде, как в задаче 23.49.
Из граничных условий при R = а
dvg Vg .
vR = 0, 2еЯ0 = ——- — = 0 и vz
ая /г
находим
л = UCOS0 1- — ,
V
fiau cos в
= Ро ^ '
/
И Sin 0 1 1
\
dvR
3jiaucosO
r2
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 163
Величина силы сопротивления пузыря равна
F = / / {Prr cos в — pRo sin в) dS = 2па2 pRR cos в sin 0 d6 — iirfiaU,
S 0
что в 1.5 раза меньше, чем для твердого шара; сх = 8/Re.
б) При всплытии пузыря его вес и сила сопротивления уравно-
уравновешиваются силой Архимеда; поэтому
где рв и р^с — плотности воздуха и воды соответственно; Для
данного радиуса пузырька получим и = 0.8 см/сек, Re = 0.4.
23.51 Результат следует из того, что Ар = 0.
23.52 Пусть E<L. Из уравнения неразрывности следует, что
характерная поперечная скорость
V - jU.
L
Введем безразмерные переменные
х у и v p ~ Ut
х = -, у=-, «=-, v=y, V=—2, t = —.
Уравнения неразрывности и Навье-Стокса в безразмерных пере-
переменных имеют вид
дп dv _
дп „дй „дй _ dp J_d4 L2 д2п
~dt+udE + vmj = ~~di + teds? + ?ReW
2 dp }<^ L2 d2v
dv „dv „dv _ L2 dp }_<^ L2 d2v
^! + U^ + V^ = ~?'d§+Re'di2+'52Re'dg2'
где Re = UL/u — число Рейнольдса. При Re > 1 и S2Re/L2 ~ 1,
получаем уравнения Прандтля B3.2). Толщина пограничного
слоя равна S
164
Глава 5. Механика жидкости и газа
23.53 Я- + /"' = 0) /@) =/'@) = 0, /'(«>) = 1.
Решение краевой задачи находится численно,
г = „? =/"@)^, /"@)* 0.332.
23.54 Уравнение Прандтля можно записать в виде
Интегрируя, получим требуемое соотношение.
23.56
тг/2- 1
в =
1-7Г/4
а а
23.57 Из соотношений задач 23.56 и 23.57 следует
Отсюда
тт М Л d lP
vUol = ( 1 - - .
4 У ах а
[их [ди\ Ip/iU3
Гл\/7F' ^ Т" w °-328 V
4 - 7г V U \ду/ yz=0
8
23.58 б) mf*-&±llff» = m + f'»m
в) Обтекание клина с углом раствора 2тгт/(т+ 1). Этот класс
течений получили Фоккер и Скен A930).
г) Граничные условия: /@) = /'@) = 0, /;(оо) = 1.
23.59 а) На свободной поверхности рпт = 0. С помощью со-
соотношений задачи 23.9 получим
= --—- = 2K(U +
ду
где К — кривизна линий тока на свободной поверхности.
при у = 0,
б) Так как и! — — 2 / и dy и
ио
= 0, то
и
KUS
U
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 165
23.60 Как показано в задаче 23.59, в пограничном слое ком-
компоненты скорости равны
Учитывал, что — ~ —f=, положим и = U(x), v = -у-r— и, ис-
С/ VRe аж
пользуя уравнение Гельмгольца для вихря, см. задачу 23.28 а),
получим требуемое уравнение.
у
23.61 а) Пользуясь соотношением uf = —2fudyn интегрируя
о
по у уравнение для ш задачи 23.60, получим требуемое уравне-
уравнение для и'.
б) Подставляя в уравнение Прандтля и = U(x) + и1 и учитывая
и' 1
оценку — ~ , получим требуемое уравнение для и .
U VRe
23.62 а) Диссипируемая энергия равна
где величина Т>0 = 2/х / е^-е^ dF вычисляется по потенциальному
обтеканию, см. задачу 23.5 в),
Г v2
V0 = 2fi —dS = 12тф[/2а,
5
потому что v = ^ С/ sin 0, d5 = 27ra2sin OdO. Следовательно,
j
v v
где e\j вычисляется через вязкую добавку к скорости, с(- ~ 1
в пограничном слое толщины S ~ -у= и ег- ~ О(—=) вне
Т)
пограничного слоя. Отсюда следует V
VRe
б) Учитывая, что F • U = Х>, см. задачу 23.6, найдем
166 Глава 5. Механика жидкости и газа
23.63 а) да; б) да; в) 1) нет; 2) да.
23.64 Воспользоваться формулой
dt dt
которая для функции / = f(x\t) следует из определения произ-
производной df/dt, условия несжимаемости и свойств осреднения;
Условие на границе: v = t/, где U — скорость границы.
s
23.66 vr ~ 10 м2/с = Ю4 • 1/воды.
, дЧ
23.67 divt> = 0, — = F-grad--
где Д — двумерный оператор Лапласа по горизонтальным ко-
координатам, z — вертикальная декартова координата.
23.68 Интегрируя уравнение движения Рейнольдса
dy dy2
и используя гипотезу Прандтля, получим
Kdy) \dy) p'
В области у ^ S пренебрегаем вязким напряжением и получаем
логарифмический профиль скорости
v = — In у + с,
к
где v* — \/tq/p называется динамической скоростью; с = const.
23.69 При у > 6 имеет место турбулентный поток, следова-
следовательно, см. задачу 23.68,
V = Vj = — In у + С.
к
При у < S из уравнений ламинарного движения
dv то
dy "Г Р
находим
2
V = Олям = -1-.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости
167
Условие Re
у=8
= vTF), найдем
= 1 дает S = —, v(S) = v*. Далее, приравнивал
, v* v*y
23.70 —- = /(у, р, г0). По П-теореме
dy
dv/dy
у/то/(ру2)
= с = const, отсюда v —
л
fVT 1
23.71 с — = — divfg + qT)< qT = pcTV.
o^ p
Здесь q — средний поток тепла, с — коэффициент теплоемкости.
23.72 В среде выполено соотношение
d{qy + qj)
dy
= 0,
dT
где qy = -к—; A: — коэффициент молекулярной теплопроводно-
теплопроводному
сти;
В турбулентном потоке, рассмотренном в задаче 23.68, име-
имеет место равенство
dv V*
dy ну'
Пренебрегая молекулярной теплопроводностью и интегрируя,
получим
ЯуО
Т = const
axv*
-Inу, где и* =
168 Глава 5. Механика жидкости и газа
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости
24Л Для решения задачи требуется найти потенциал скоро-
скорости <р(х,у, z,t) и форму свободной поверхности С(Ж>У? О-
Потенциал скорости определяется уравнением А<р = 0.
Граничные условия на дне и на свободной поверхности имеют
^\ =о ^=
dn)z=-h ' dt
t 2
Второе уравнение — это кинематическое условие на свободной
поверхности; третье — динамическое условие, оно следует из
условия р — ро и интеграла Коши-Лагранжа.
Начальные условия при t = 0 задаются равенствами
С(ж, у, 0) = Со(я, У), ^(^^ У» Со, 0) = (ро(х, у),
функции Со(я»у) и <Ро(^?у) заданы.
24.2 Линеаризация условий на свободной поверхности дает
Поэтому
а для потенциала скорости <р получается следующая задача в
области с известной границей
~ ' dt~\dz)z=0'
dnjz=-h ' \dzjz=o g\dt2
f dtp\
функции (ро и Со заданы.
Вместо (fo может быть задана производная
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 169
24.3 Потенциал скорости <р будем искать в виде <р = 1т ф,
где ф = f(z)e^kx~ujth Уравнение А<р = 0 дает
Из граничного условия при z = -h следует А\екн = А2е~кк = 2С,
и, если Сяк действительны, то
<р = Cch(k(h + z)) sm{kx - u>t),
аналогично получается решение <р = Re ф, которое отличается
сдвигом фазы (кх — ujt) на тг/2. Используя граничное условие
при z — 0, получим дисперсионное соотношение и2 = gkthkh.
Свободная поверхность определяется уравнением
( = acos(fcx - u>?), где a = Cuchkh/g.
Для периодического движения должны быть заданы амплитуда
а и длина волны А = 2п/к или частота о;, что соответствует
двум начальным условиям. Точки С = const перемещаются со
скоростью с = и/к, которая называется фазовой скоростью.
а) u2 = gk, с=*/-; б) u>2=ghk2, с = y/gh.
V Л
24.4 а) W(Z) — аналитическая функция, поэтому это тече-
течение несжимаемой жидкости, причем
1т
dW
dZ
= °< R'lz
= с.
Z-+ — OO
Функция тока есть
ф = Im W = c(z — ае z cos kx),
Уравнение линии тока ф = 0 есть
г = aekz coskx « acosfex(l + akcoskx + ...).
Если ф = 0 — свободная поверхность волны, то вдоль нее спра-
справедлив интеграл Бернулли
-с2 - c2ak cos кх + да coskx + с2О(а2к2) = const, откуда с2 = -,
б) г = acosk(x' + rf), xf = х - ct,
где a — амплитуда, с — скорость волны.
170 Глава 5. Механика жидкости и газа
24.5 a) vx = U + u', vz — vf. Из результата задачи 23.61 при
условии U(x) = с и ак <С 1 для и' получаем краевую задачу:
ди' д2и' ди'
с-— — v
дх dz2' 8z
— 2сак2 coskx, и' = О,
2=0
решение которой ищем в виде и' — Re{Aetqz гкх]. В результате
q = -кA + i)yjRe/2, А = сакA + i)^2/Re.
Из уравнения неразрывности следует
', ) _ } ди' _ v_ } ^_ d -- (— - —\
J дх с J dz2 с \dz z=o dz J '
В пограничном слое толщины S ~ l/(ky/Re) величина v' изменя-
2
ется от v' — 0 при z = 0 до v' = —-сак cos kx при z — 8.
Re
б) Вне пограничного слоя вязкая добавка имеет потенциал <//,
так что v = grad(</? + у?'). Из условия сращивания асимптотиче-
ду .
ских разложении: внешнего ——, при z —> 0, и внутреннего v ,
при 2 —> <?, устремив ? к нулю, получаем краевое условие для (pf:
При z —> — оо имеет место <// -> 0.
Таким образом, у?' = 2(ca/Re) екгсоъкх. С учетом решения
задачи 24.4, найдем
(р — с \х — aekz sin kx\ + <pf.
L J
24.6 Производная по времени от работы силы тяжести равна
/ gvzdz= -p — \ dx / gzdz\ =
— h x\ —h
dtjnoT
dt
Здесь учтено, что / z(vn - D)ds — 0, где dV — граница объема
dv
V, a D — скорость этой границы.
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 171
24.7 Воспользуемся решениями задач 24.4 и 24.5.
а) В системе координат, в которой скорость жидкости равна
нулю ври z —» —оо, для идеальной жидкости выполнено
vx - ivz = d— (-caie-<kZ) ,
2тт/к acoskx
ЕКИИ = ^ J dx J v2dz = ^Pa2c2(l + O(ak)),
0 -oo
Епот -^К*12- ?кин-
б) В вязкой жидкости t; = grad<? + vf, где if — Re W(Z). Здесь
\vf\ ~ cRe~^2 внутри пограничного слоя толщины S ~ ARe/2 и
\vf\ ~ cRe вне его; на поверхности волны v'n = 0. Следователь-
Следовательно, выполняется равенство Екин = j^o + Е\ + Е2, где
= р [div(ipv') dV = p f yv'n dS = 0,
dV
E2=P- /VJdF~Re-3/2.
V ¦
в) Для идеальной жидкости ЕП€УГ + Ект = const, для вязкой жид-
жидкости d(EnoT + Екин) '= -V dt.
24.8 Представим v — grad tp + vf. Диссипируемая энергия
равна V = Т>о + Vf, где
Do = 2/1У е?-е?- rfV, D* = 4р Je'tJe% dV + 2»J e1^ dV.
Здесь е^ вычисляются по потенциальному обтеканию, а е(- • вы-
вычисляются через вязкую добавку v'. По формуле задачи 23.5 в)
T>o = 2fx (grad <pJK ds,
С
где С — профиль одного периода волны, определяемый уравне-
уравнением
z = ((х) = a cos Аж-, A' ds = С" da:.
172 Глава 5. Механика жидкости и газа
Согласно интегралу Бернулли на свободной поверхности имеем
(grad (pJ = const - 2g(,
поэтому
2тт/к
1>0 = —4/лд / (>(>" dx — 47Tfj,ga2k.
о
Учитывая, что
1
e'ij ~ 1 в пограничном слое толщины S
1
е- ~ . вне пограничного слоя,
3 VRe
находим Vr rsj
VRe
24.9 а) Уравнение энергии d(EnoT + .Екин) = —V dt.
По результатам задач 24.7 и 24.8:
^пот + ^кин — ртгс2а2, V = 47T//c2(afcJ,
поэтому
rfa = -2vk2adt, отсюда а = л -~2ик2г
2тг а — ^п с
б) При t = 7— окажется: — = е Re, где Re = —-.
fee a0 &*/
24.10 Решение будем искать в виде суммы двух волн с одинако-
одинаковыми |fc|, и и а, бегущих навстречу друг другу, см. задачу 24.3,
¦ф = Cch{k{z
^> — Re(p — 2Cch(k(z + h))
Q — asina;^cosA:x, a = — 2C— chfcft (стоячая волна).
Граничное условие для х — 0 при таком выборе вида реше-
решения удовлетворяется автоматически, а условие при х = L да-
дает sinfcL = 0, fc = 7rn/L или А = Ln/2, n = 1,2, Значения
& = тгп/L называются собственными волновыми числами, а со-
соответствующие им (в силу дисперсионного уравнения) частоты
uj — собственными частотами бассейна; полученное решение
называют собственными колебаниями бассейна.
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 173
24.11 Из дисперсионного уравнения, см. задачу 24.3, следует,
что для каждого значения к имеется две волны, для которых
и; = иI2 = ±y/gkthkh.
В силу линейности задачи решение можно представить в виде
оо
COM) = / h{k)eikx-iu>l^tdk+ I f2(k) <>•¦**-*•*(*)'dk.
—oo —oo
Неизвестные функции fi(k) и /2(&) определяются из начальных
условий
оо оо
Со = J 9i(k)eik*dk, Co = / 92(k)eikxdk,
— оо —оо .
откуда
Л (к) = — _
где
оо оо
91(к) = ±- [ Ш e~ikxdx, 92(k) = i- / Co(x) e-i;
Z7T J Z7T J
—оо • —оо
24.12 Результирующая волна имеет вид
«Ак\ ( ДоЛ \
kl + ~Y)x~ Г1 + Т/7 х
хАк-tAu л
X cos = А(х - Ut) cos(k0x - а;(Ло)*),
где к0 = — -; А = 2а cos ((х - Ut) j — амплитуда волны;
Дси duj
U = —, а при ДА: -»¦ О, С/ = -^ ^
— групповая скорость.
Ak dk
Так как Ак мало, то производные
М дА
дх И dt
малы, т. е. амплитуда A(x,t) является медленно меняющейся
функцией х и t.
7 Зак. 2369
174
Глава 5. Механика жидкости и газа
(к-к0).
24.13 Поскольку ДА; мало, положим
duo
(jj(k) ~ и(ко) + —г
dk
Тогда
оо оо
I dk _ ei(kox-wot
— оо —оо
где х' = х — Ut n U = —г . Обозначим (А; - А;о) = А ДА;, тогда
dk к=к0
оо
/ f(k) ei(<kx
оо
оо
/(A)
d\ = Ак А(х!
Из этого выражения видно, что масштаб изменения функции А
по оси х обратно пропорционален ДА;, т. е. А при малых ДА;
есть медленно меняющаяся функция хг. Так как ДА; — заданная
постоянная, то
С = Re А{х - Ut) С'"(*о*-"О? а = ААк.
Отброшенный в разложении частоты и член дает малое измене-
изменение фазы, пока
и
dk2
к=к0
(AkJt < 2тг.
24.14 а) Из определения А: и и; следует условие совместности
at ах
Дифференцируя дисперсионное уравнение
,x,t) = 0
по х и используя условие совместности, получим уравнение
№ дП дк дп _
lH+~dk'lh+lte~0)
которое эквивалентно системе
dk дп dx дП
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости
175
б) Если невозмущенное течение однородно, то
дх
и волны с заданным значением к — ко — const движутся с груп-
групповой скоростью
— во
Распространение фиксированного значения фазы 0(x,t)
происходит со скоростью (фазовой скоростью)
dx 0t _ uj
dt ~ ~~ 9X ~ ft'
24.15 Согласно решению пре-
предыдущей задачи, волна, соответ-
соответствующая фиксированному значе-
значению ft, распространяется незави-
независимо от волн с другими значени-
значениями ft, и энергия волны, приходя-
приходящаяся на интервал [к\\ к2], оста-
остается постоянной. Плотность этой
энергии обратно пропорциональ-
пропорциональна длине отрезка [х\\ х2], на ко-
котором в данный момент времени находятся волны с ft ? [х\;
где (fti — к2) = Aft мало.
Для длины Аж, см. рис. 0.24.1, выполнено
(дх
Ах = х2 -хх « I —-
\дк
где U — групповая скорость.
Кроме того, плотность энергии пропорциональна квадрату
амплитуды A(k,t) волн, поэтому
A(ft,0)
Рис. 0.24.1.
A(k,t) = -
где
t=0'
Кк) =
176
Глава 5. Механика жидкости и газа
dc
24.16 a) U = c+k—;
ак
б) с =
24.17 Линеаризованная задача для малых возмущений отлича-
отличается от задачи 24.2 только граничными условиями на свободной
поверхности. По формуле Лапласа выполнено
где а — коэффициент поверхностного натяжения, a R\{x) и
R>2{x) — радиусы главных кривизн свободной поверхности. Учи-
Учитывая, что
получаем линеаризованное условие на свободной поверхности:
Аналогично решению задачи 24.3 получаем дисперсионное урав-
уравнение
, .2
Р9
thkh.
Для длинных волн при
влияние поверхностного натяжения мало, а для коротких (ка-
(капиллярных) волн с
А < Л* = —
к*
оно существенно. Для волн на воде: а — 74дн/см,А* = 1.73 см.
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 177
24.18 Так как поверхностное натяжение существенно для ко-
коротких волн, для упрощения выкладок рассмотрим приближение
kh > 1. Дисперсионное уравнение задачи 24.17 примет вид
Отсюда следует
* р 2 V рд ) \ рд
б) Фазовая скорость достигает минимума при к = к* = J—,
V ®
причем c(fc*) = U(к*). Для волн на воде
а = 74^-, cm = 23.2—, А, = ^ = 1.73 см.
см сек к*
24.19 Причиной является дисперсия волн. Картина стацио-
стационарна только для волн, фазовая скорость которых с(к) равна
скорости потока V. Согласно решению задачи 24.18 выполне-
выполнено неравенство с(к) ^ ст = с(к*). Следовательно, при V < ст
стационарная картина волн невозможна. Для каждого значения
V > К = ст имеется два действительных значения &, для ко-
которых с(к) = V. Для гравитационной ветви (к < Л*) выполнено
JJ < с = У, а для капилярной — выполнено U > V. Поэтому
волновой пакет длинных гравитационных волн находится ниже
препятствия, а пакет коротких капиллярных волн — выше него.
24.20 а) Проектируя уравнение Эйлера на вертикаль и прене-
пренебрегал вертикальной составляющей ускорения, получим
т. е. распределение давления является гидростатическим.
Остальные два уравнения движения запишем в виде B4.2).
Уравнение B4.1) получим, интегрируя уравнение divv = 0 по
глубине с граничными условиями при z = -h и z — ?.
at ox at ox
Из этих уравнений получим волновые уравнения для ии(
02С _ д2С д^_ d2v
W9 дх^ дР ~9 дх^
поэтому скорость распространения волн равна с = dzyfgh. Здесь
использованы обозначения v = v\ и х = х1.
178 Глава 5. Механика жидкости и газа
24.21 а) Очевидно vx = vx(x, t), ( = С(х, 0- Рассмотрим урав-
уравнения задачи 24.17 б), добавляя в правую часть уравнения дви-
движения силу Fx. Исключив скорость, получим неоднородное вол-
волновое уравнение для свободной поверхности ((x,t)
—— - с2 -?-т = AIChcos(ICx - at), с2 = gh.
otl axz
Его решение имеет вид
Функции /i и /2 находятся из начальных условий. Частное реше-
решение будем искать в виде ?f = acos(/Cx — at), где а — неизвестная
амплитуда. Подставив в уравнение, найдем а — AJCh/(c2K,2-a2).
б) Резонанс наступает при h = а2/(д1С2).
24.22 Аналогия вытекает из совпадения уравнений „мелкой
воды" и уравнений движения газа, см. задачи 24.20 и 25.5 б),
g(h + Q2
при замене h + ( — р и —-—-—— = р.
24.23 Уравнения для инвариантов J_ и J+ есть характеристи-
характеристическая форма системы уравнений мелкой воды при h = const.
Способ их получения описан, например, в §25.
24.24 Пусть J-= М — const. Тогда
vx = М + 2а, J+ = М + 4а, с+ = М + За, где а = yg(h + ();
Так как J^ = const вдоль линий dx/dt — с_}_, см. задачу
24.23, то а = const вдоль этих линий, являющихся прямыми
х - c+t = const. Поэтому
Функции /i, /2 и /з можно найти, если, например, в начальный
момент заданы ((х) и М.
б) Так как ( = /2(х - c+t), то каждое значение ?, не меняясь,
переносится в пространстве со скоростью с+. Так как С+ зави-
зависит от С, то форма волны со временем меняется: если с+ > 0, то
участки с д(/дх > 0 становятся положе, а с д(/дх < 0 — круче;
на этих участках и возникает опрокидывание.
<=о'
/TfT СУХ Zj /7 CjT
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости
179
Вид прыжка сбоку Вид сверху
Рис. 0.24.2.
24.25 Применяя законы сохранения массы и количества дви-
движения для малого объема, заштрихованного на рис. 0.24.2, с уче-
учетом гидростатического закона распределения давления по глу-
глубине получим условия на гидравлическом прыжке
' hi {vni - D) = h2 {vn2 - D) = m,
h\-h\
m (vni - vn2) = g
@.24.1)
I Vri = Vr2.
где vn и vT — проекции скорости на нормаль и касательную к
скачку, D — Dn.
б) Пусть vT = 0, vni = ui, г?П2 = v2. Исключая ^ из условий
@.24.1), найдем
gh2 (hi + h2)
2hx
Выбор знака „+" обосновывается в пункте в).
в) Если п направлена в сторону 1, то при D > vi частицы сре-
среды переходят со сторюны 1 на сторону 2. Вычислим разность
втекающей в скачок и вытекающей из него механической (кине-
(кинетической и потенциальной) энергии
Так как при прохождении скачка происходит диссипация меха-
механической энергии, то при D > vi должно быть АЕ > 0, т. е.
hi < h2. Это означает, что глубина потока после прохождения
скачка возрастает, а скачок по отношению к жидкости движется
в сторону меньшей глубины.
180
Глава 5. Механика жидкости и газа
24.26 а) Искомые уравнения имеют вид
dS_ d(Sv) _ ди ди _ 1 дУ
где
/
= Jg(h-z)ds.
Здесь ось х направлена по оси канала, z
h — глубина потока.
вертикально вверх,
-Л.
1)
Ряс. 0.24.3.
б) Аналогия видна при введении обозначений р := S, р := V.
Зависимость р(р) определяется зависимостью V(S). Для случаев
1) и 2) соответственно получаем, см. рис. 0.24.3,
gBh2 gs2
2) V =
,cth0
-.1.5
3Vcth в
в) с=и±Ш
г) Волны Римана могут существовать, если форма сечения ка-
канала не зависит от х\
[дТР
J± = u±J-dS, где а=уа5,
Условие опрокидывания волны, перемещающейся в положитель-
положительном направлении вдоль оси я, можно записать в виде
d2V dS
дП2 дх > '
о
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 181
24.27 Пусть vx — горизонтальная скорость жидкости в систе-
системе координат, связанной с волной. Из закона сохранения массы
следует
С
/ vxdz — —ch.
-h
+оо С +оо
a) Qx = р j dx I (vx + с) dz = pc / ( dx; Qz = 0;
-oo -h
+ OO
— oo
+oo С
б) Екин= P- I dx f(vx + cJdz*^- у C2dx,
—oo — h
так как
С
~C+CT ПРИ
h
v* = TT7 ^ C+CT
h + Q h
Из интеграла Бернулли
vl ^ с2 /с2
f + C (
..- = const.
следует с =• ±\fgh, поэтому Вкин « ?пот. Для определения
профиля волны требуется более тонкое приближение Кортевега-
де Вриза, см. задачу 24.31.
24.28 a) u* = ghk\ ф = 91гф
б) uj = ±ky/gJ, ^
ot
ч 2 2^ ^^^ ч , ГТ,( k2h2\
24.29 a) u2 = ghk2n — J, 6) u = ±y/ghkll — J.
24.30 Добавить в уравнение, полученное в задаче 24.24 в),
члены, учитывающие дисперсию, см. задачу 24.29 б).
182 Глава 5. Механика жидкости и газа
24.31 Решение уравнения Кортевега-де Вриза для формы вол-
волны будем искать в виде
), где ? = x-Ut, U = const.
Для функции W(?) получаем уравнение
V + - WW' (
6 2
Интегрируя дважды, находим
W12 + W3 - 2(
3
где G и F — постоянные интегрирования.
Из условий при х = ±оо находим G = F — 0 и уравнение
принимает вид
у(?J = ил2(а-^' @-24-2)
где а = 2(U/co - 1). Его точное решение
*V'" + - WW' - (- - l) W = О, со = yfijh.
6 2 4co '
^W12 + W3 - 2(— - l) W2 + AGW + F = 0,
3 vc0 /
Ясно, что W имеет максимум в точке, где
W = a, ( = ha = (\
Если амплитуда волны С* задана, то находим
h ъ "
Скорость этой волны [7 = соA + —-) > с0.
24.32 При волновом движении введем
г = ?i(#, t) + hi — уравнение свободной поверхности,
z = B(x,t) — уравнение поверхности раздела.
В приближении длинных волн малой амплитуды из уравнений
движения, осредненного по z уравнения неразрывности и гра-
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 183
ничных условий получим:
для верхнего слоя (с индексом 1)
для нижнего слоя (с индексом 2)
V2 = ро + pig{Ci - С2 + ^1) +
dt р2 дх У V Рг) дх '
<9^2 ^2
^2 -^—Ь -^г = 0; /?2 > />ь
Ищем решение этой линейной системы с постоянными коэффи-
коэффициентами в виде
v —у Akx-wt) с — Z Акх~ш1) а - 1 9
Нетривиальное решение существует, если удовлетворено диспер-
дисперсионное уравнение
w2 , 1
\ [g(hi + h2) ±
которое определяет два возможных значения величины скоро-
скорости распространения волн. Отношение амплитуд внутренней и
поверхностной волн равно
При (р2 - Pi)/pi <C 1 получаем
как в однородной жидкости;
Z2
2 l l l~Pl/p2 Z2
с2 = ghih2———7—, — = [h 7 ) ( 1
h + h Z \ h) V P2
эта пара волн распространяется в разные стороны с малой по
величине скоростью и большой амплитудой на внутренней гра-
границе.
184
Глава 5. Механика жидкости и газа
24.33 Пусть z — О — положение невозмущенной поверхности
разрыва, U = V\ — и2 — относительная скорость слоев. Напра-
Направим ось х вдоль Г/, тогда в системе координат, движущейся со
скоростью и2 выполнено t>i = Uex, v2 = 0. Для возмущений
потенциалов скоростей (pa(x,z, t) и поверхности разрыва ({x,t)
получаем линейную задачу
dy2
= 0,
= 0,
= о,
dt
Pi
dt
l+ljd-?)
z=0
2=0
' dt dz
z=0
г=0
94
ОХ2
Дисперсионное уравнение, отвечающее этой задаче, имеет вид
PlkU
Р1+Р2
ак3
Р1+Р2 {Pl+P2J PI+P2
При р2 > Р\ И
тангенциальный разрыв неустойчив (неустойчивость Келъвина-
Гелъмголъца), так как выполнено неравенство 1ти\ > 0 для
& € (&ъ&2), гДе к\ п к2 — ненулевые корни уравнения F(k) = 0.
Наибольшую скорость роста имеют возмущения, для кото-
которых к = А;*, где fc* — больший корень уравнения dF/dk = 0.
24.34 а) Уравнения движения жидкости таковы:
dt
Для Земли 2[Q x v]z
pdz
5, так как U
y
7 • 10~5
сек
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 185
б) Для движений, близких к горизонтальным, в первых двух
уравнениях движения членами, содержащими vz, пренебрегаем
по сравнению с vx n vy. Приближенная система уравнений имеет
вид
at р ох
dt ~ Рду J "*'
dvz 1 dp
~dt^~9~~plh'
где / = 2UZ — 2U sin (p — параметр Кориолиса, ср — географи-
географическая широта места.
24.35 В предположениях теории мелкой воды, для волн малой
амплитуды, из уравнений задачи 24.34 получаем
а) Рассмотрим частное решение этой системы, положив vy.= 0:
^С , dvx dvx д( д( л
at ox dt ox ay
Первые два уравнения сводятся к волновым и имеют решение
= Pl(y) Fx{x - ct) + P2(y) F2(x + ct), vx =
где с2 = gh\ F\ и F2 — произвольные функции, a Pi и Р2 опре-
определяются из уравнения
t рЛг _^(dpi fpAv п
fc— ) Fi + — /c— F2 = 0,
ghj V dy ghj
dy ' '>/' ' Wy J gK
следующего из последнего уравнения системы. Учитывая произ-
произвольность функций Fi и F2, имеем
dy с ' dy с '
Следовательно,
_1л /у
С = Ае с F\(x — ct)
186 Глава 5. Механика жидкости и газа
В Северном полушарии / > 0 и из условия затухания ( при
\у\ —> оо имеем В — 0 при у > О, А = О при у < 0. Полученное
решение называется волной Кельвина, с = л/gh — ее скорость,
f /с — Bfisin <p)/y/gK — коэффициент затухания амплитуды вол-
волны при удалении от границы влево (в Северном полушарии) по
движению.
б) Пусть vy ф. 0. В силу линейности задачи, (", vX) vy представи-
мы в виде суперпозиции волн вида exp(ikxx + ikyy — iut) с неиз-
неизвестными амплитудами. Дисперсионное уравнение имеет вид
и? - gh(kl + к2у) - /2 = 0.
Из него следует, что для заданных действительных ш и кх име-
имеется два корня ку = куа{и, кх), а = 1, 2 (которые соответствуют
двум волнам), причем из условия затухания решения при \у\ -> оо
эти корни должны быть чисто мнимыми. Для vy(x,y,t) имеем
2
С a exp(ikxx - Im kyay - iut),
где Im kyi > 0, Im кУ2 < 0, Ca — константы, vy —> 0 при |у| -> схэ,
vy = 0 при у = 0. Отсюда Ci = С2 = 0 и vy = 0.
24.36 При г^ = 0 имеем
dvx ,dvy_ ?fdvy dvx\ _ rfBnsiny)
5ж 9y dt V aar dy) y dy
Здесь второе уравнение получено в результате исключения дав-
давления из уравнений задачи 24.31. Решение этих уравнений бу-
будем искать в виде v = vo ег(кх~ш*\ где Vo — постоянный вектор.
Тогда
vx-uq- const, vy - v0 e*'(fc*-w*)? ku - щк2 + /3 = 0,
фазовая скорость: с = и/к = и0 — /3/к2;
групповая скорость: U = duj/dk = 2/3/к3.
В частности, г^о = 0, с = ~/3/к2. В Северном полушарии вы-
выполнено /3 > 0 и эта монохроматическая волна распространяется
на Запад, а волновой пакет — на Восток, \с\ мал из-за малости Г2.
Наблюдаемые в природе волны имеют А ^ 300 — 400 км и,
следовательно, с ~ 3 — 5 м/сек.
25. Механика сжимаемой жидкости 187
25. Механика сжимаемой жидкости
25.1 а) В систему уравнений входят:
уравнение неразрывности
dp
-f + pdivv^O, @.25.1)
dt
уравнение движения
J! = F- - gradp+ - Vj-г'Ч', @.25.2)
at p p
уравнение энергии
= (F• v) div(pv) H— ^j{tijV{) H , @.25.3)
р р dt
уравнение энтропии
т ds da I ¦
Т — _1 _}_ -тгзе..^ T3ei:^Q, @.25.4)
dt dt p ' ^
определяющие уравнения
и = и(р,Т), @.25.5)
р = р{р,Т), @.25.6)
rij - rij(ekh Г), ekl = 0.5 {Vkvt + Цук). @.25.7)
Здесь F — плотность массовых сил; ги и ек\ — компоненты
тензоров вязких напряжений и скоростей деформации; dq/dt —
приток тепла к единице массы в единицу времени. При заданных
F и dq/dt эта система замкнута.
Вместо уравнения энергии @.25.3) часто используют рав-
равносильное ему уравнение притока тепла
* = 4+1^ + 4* @.25.8)
dt dt p pl dt
а вместо уравнения для энтропии @.25.4) — его комбинацию
с уравнением @.25.8) — тождество Гиббса
Г? = ^_4|, @.25.9)
dt dt p2 dt
откуда при заданных и(р, Т) и р(р, Т) можно найти s = s(p, T).
188
Глава 5. Механика жидкости и газа
б) В этом случае, см. гл. 3,
rij = A div vgij + 2fieij, F = g, ^ = - ДГ,
at p
u = cvT + const, p = RpT,
где Аи// — коэффициенты вязкости; х — коэффициент тепло-
теплопроводности; cv = const, R = const; g — ускорение силы тяже-
тяжести.
Система уравнений имеет вид
-? + р div v = О,
at
dv
at
г/
+ - grad(div v) +
о
at p2 at p
s — cv In
+ const = cv In ( —- ) + const,
где v — ц/р — кинематический коэффициет вязкости; у = cP/cv
— показатель адиабаты; сР — R + су.
25.2 а) Запишем уравнение притока тепла, используя урав-
уравнение неразрывности и уравнение состояния р = ДрГ, в виде
cv
о/тп
= -cvt/
1
div v + - rijeij + - AT.
p p
at ~ ~v" dxi
Работой вязких напряжений можно пренебречь, если выполнено
хотя бы одно из следующих неравенств
1 .•„•
Р
1
Р
1
Р
cvv
у <
dxi
RT div v
dT
@.25.10)
cv
dt
Притоком тепла за счет теплопроводности можно пренебречь,
25. Механика сжимаемой жидкости
189
если выполнено хотя бы одно из следующих неравенств
-AT
p
*AT
p
-AT
P
«
«
«
• дТ
дх{
RT div v
ОТ
@.25.11)
Введем характерный линейный масштаб рассматриваемого
движения / — расстояние, на котором параметры потока меня-
меняются на величину порядка их самих, и характерное время г —
время, за которое параметры потока в данной точке постран-
ства меняются на величину порядка их самих. Типичные зна-
значения скорости, давления, плотности и температуры будем обо-
обозначать и, р, /) и Г. Тогда
дТ Т дТ
охг I иг
Неравенства @.25.10) принимают вид
Г
— и так
г
и v
cvTv
UV*
1?
RTv
UV
cvT
/2 / ' /2 7 72
Первые два неравенства выполняются или не выполняются од-
одновременно, так как cv ~ Д, и могут быть записаны в виде
Re> M2. @.25.12)
Здесь Re = vl/u — число Рейнольдса; М = v/a — число Маха;
а2 — (dp/dp)s = jRT; a — скорость звука.
Выражение для а2 для совершенного газа получается следу-
следующим образом. Уравнение состояния р = RpT можно, используя
выражение для энтропии совершенного газа, см. задачу 25.1 б),
переписать в виде
Ро \ро>
Здесь ро, ро vl so — значения параметров в данной частице в
некотором состоянии. Дифференцируя эту зависимость по р при
s = const, получим формулу для а2.
?^
190 Глава 5. Механика жидкости и газа
Последнее неравенство группы @.25.10) для установивших-
установившихся движений, когда г = сю, не выполнено, а для неустановивших-
неустановившихся — выполнено, если
/Re Re
г < - —2 или St < ~2,
v Mr Mz
где St = vr/l — число Струхаля.
Первые два неравенства группы @.25.11) также выполня-
выполняются или не выполняются одновременно и дают
Ре>1,
где Ре = cPlpv/k — число Пекле.
Последнее неравенство группы @.25.11) выполнено, если
St < Ре.
б) Численные оценки для движения вне пограничного слоя:
Re « 7 • 107, а « 340 м/с, М « 0.3, Ре « 5 • 107.
В этом случае уравнение притока тепла можно записать в виде
du / р \ dp ds
» — 1 о i I ИЛИ . — U.
dt \p2) dt dt
25.3 Сила тяжести входит только в проекцию уравнения дви-
движения на вертикаль:
dvz dvz dvz dvz dvz _ 1 dp
dt at ox y ay ox p ox
Здесь ось z направлена вертикально вверх.
Если характерный линейный масштаб / и характерная ско-
скорость v для всех направлений одинаковы, то
dvz dvx v2 v v2
— + - = — 1 + —
dt dt It / V St
где St = vr/l — число Струхаля.
Из уравнения движения в проекции на горизонталь получаем
Ар dvx v2 ( 1
pi dt I V St
25. Механика сжимаемой жидкости 191
Величиной д можно пренебречь, если
v2 1
где Fr = v/y/gl — число Фруда.
Например, если движение установившееся, т. е. г = оо и
1/St = 0, и пусть v ~ 100 м/с, / ~ 10 м, тогда #//г;2 ~ 10~3.
25.4 В этом случае удобно рассматривать в качестве термо-
термодинамических параметров состояния не р и Г, а р и 5, так как
в каждой частице 5 = const. В частности, уравнение состояния
записывают в виде
p = p(p,s) или s = s(p,p).
Система уравнений газовой динамики имеет вид:
dp dv I
25.5 а) Эти выражения имеют вид, см. задачу 15.2,
1 Р ( Р \
и = h const, 5 = cv In -— I + const,
7-lp VpV
г = м + - = сРГ + const = —^— - + const, а2 = —.
Р 7- 1 Р />
б) Система уравнений
Эту систему иногда записывают в другом виде, считая искомы-
искомыми функциями давление р и энтропию s.
Учитывая, что dp — a2dp в силу условия ds/dt = 0, получаем
dp о 1. rfw 1 . rfs
— + а> div v = 0, — = — gradp, — = 0,
at at p at
a2 = 7-, p = Cp^ecP, C = popo1e cp = const.
192 Глава 5. Механика жидкости и газа
25.6 При адиабатическом движении идеальной жидкости
§=о, т.е. s=
гДе (С) — лагранжевы координаты. Так как для любой одно-
однородной сжимаемой жидкости s = s(p1pI то для адиабатического
движения р = р(/9, 5о(?*))> поэтому в общем случае движение не
баротропно. Если энтропия всех частиц одинакова, т. е. s0 не
зависит от ?г, то движение баротропно.
25.7 Циркуляция скорости по линии L от точки А до точки В
есть величина
= / Vidx%.
L
Пусть L — линия, проходящая все время через одни и те же
частицы жидкости. Вычислим изменение Tab со временем.
Введем на линии L лагранжеву координату ?. Тогда запишем
Vi = Vi(Z,t), dx% = -gz-d^
и выражение для циркуляции Tab имеет вид
дх
—
(а
Далее,
Tab = J v{ — df, где ?А, & = const.
dt
L U
Здесь учтено, что -^— = vl; аг- = —г — компоненты уско-
at o at
рения. Если L — замкнутый контур, т. е. ?д — ?4, г;^ = vA,
то
-/¦
25. Механика сжимаемой жидкости 193
В данной задаче
e = grad(P-?/),
где V — / dp/p; U — потенциал массовых сил, поэтому
а{йх{ = d(V-U);
если U однозначная функция координат, то
dt
25.8 Воспользоваться теоремой Томсона, см. задачу 25.7.
25.9 Система состоит из уравнения неразрывности
— + (grad (р • grad р) + рА<р = О
и интеграла уравнений движения — интеграла Коши-Лагранжа,
см. параграф 10,
где V(p) = f dp/p — функция давления; U — потенциал массо-
массовых сил.
25.10 а) Это система, приведенная в решении задачи 25.9, в
которой U = — gz, где ось z направлена вертикально вверх,
б) Так как dp — pdV\ то уравнение неразрывности можно запи-
записать в виде
т dV
0 ? + (
4^ + A^ = 0 или -?- +
a1 at at
Выражая V и dV/dt через производные от кр с помощью интег-
интеграла Коши-Лагранжа, получим уравнение, содержащее лишь tp.
25.11 а) Замкнутая система уравнений для баротропного дви-
движения идеальной сжимаемой жидкости или газа имеет вид
dp dv I
-j-+pd\vv=:0, — = —
at at p
194 Глава 5. Механика жидкости и газа
При Vq = 0 система удовлетворена, если ро = р(ро). В результате
линеаризации получаем
др' л , dvf 1 , ,
— + podivi,=0l «--gradp,
@.25.13)
p=a*p', a2=f-Jp=po=const.
Дифференцируя по t первое уравнение, вычисляя дивергенцию
от второго и вычитая результаты, исключаем v и для функций
pf и р\ получаем
где Д — оператор Лапласа.
Для потенциальной v[ и соленоидальной v!2 составляющих вы-
выполнено
div v[ = Aip, div t/2 = 0, rot v[ = 0.
Применение оператора rot ко второму уравнению @.25.13) при-
приводит к уравнению
Применение оператора grad к первому уравнению и d/dt ко вто-
второму с учетом формулы
grad div v - rot(rot v) — Av
позволяет исключить р из системы @.25.13) и получить
Потенциал <р скорости v[ тоже можно считать удовлетворяющим
волновому уравнению
dt2
б) Ар' = 0.
25. Механика сжимаемой жидкости 195
25.12 а) Подставляя ср = (р0 ег{*'г~шг) в волновое уравнение,
получим связь ш2/к2 — а2 между о;, к = \к\ и коэффициентом
уравнения а, называемую дисперсионным уравнением.
Нормальная составляющая скорости перемещения поверхно-
поверхности постоянной фазы / = const определяется формулой
D^ (df/9t)
| grad/|'
см. задачу 18.1. Для монохроматической волны grad/ = А,
фазовая скорость равна ш/\к\ = ±а. Она не зависит от &, и, в
частности, от длины волны А = 2п/к.
Число \к\ называется волновым числом.
Таким образом все монохроматические волны малой ампли-
амплитуды в рассматриваемых условиях распространяются по покоя-
покоящейся среде со скоростью, величина которой равна а. При одном
и том же к могут существовать две волны, распространяющиеся
в противоположные стороны.
Нормаль к поверхности / = const параллельна вектору Л, т. е.
волновой вектор указывает направление перемещения поверхно-
поверхности постоянной фазы по нормали к ней. Это направление часто
называют направлением распространения волны.
б) Считая функцию <р — <ро Re е*(*'г-^0 потенциалом скорости,
имеем v = grad</? = -(foklm e*(*'r~w*)? т. е. вектор скорости
частиц направлен вдоль волнового вектора к.
25.13 а) Линеаризованная система уравнений для малых воз-
возмущений в виде плоских волн такова
dp' dvf л dvf 1 #У , 2 / 2
Общее решение волнового уравнения, см. задачу 25.11,
имеет вид
p'(x,t) = h{x - at) + f2{x + at),
где /i и /г — произвольные функции.
196
Глава 5. Механика жидкости и газа
Подставляя это выражение для р1 в систему уравнений, полу-
получим для других функций равенства
[f{t) f( + t)] '[fi{x-at)-f2{
v'=
где С = const. Это движение потенциально,
арор = Fl(x-at)-F2{x+at)+Cx, где Fa = //<*(?) df, a = 1, 2.
Решения вида /(ж — a?) и /(ж + at) называются бегущими
волнами. Они переносят возмущения вдоль оси х со скоростью
а или (—а) без изменения формы.
kP
V'
V'
V'
-*- X
Рис. 0.25.1.
б) Используем решение, приведенное в п. а). Найдем Д и /г из
начальных условий. При t = 0 получим
Далее,
т. е.
=0, т.е.
2/, (х)
При t = 2//a получаем
р'{х, t) = h{x- 21) + f2{x + 21) = 0.5{р'0{х - 21) + р'0(х + 2/)),
25. Механика сжимаемой жидкости 197
причем первое слагаемое отлично от нуля только лишь при
-/ ^ х - 21 ^ /, т. е. при I ^ ж ^ 31, а второе слагаемое — толь-
только при -3/ ^ х ^ - I. Графики р1 и v1 при разных значениях t
представлены на рис. 0.25.1.
в) Так как v = dw/dt, где w — перемещение, то в монохрома-
монохроматической волне, в которой w = A Re ег(кх~ш^ = Acos(kx - u>t),
выполнено
v = Aojsm(kx - иг), vrmax = Ли; = A • 2жи = 0.785 м/с.
В волне, бегущей в одну сторону, как видно из решения п. а),
р'/ро = v'/a. Длина волны А ='2тг/к — 2па/и — а/и. Поэтому
при распространении в воздухе (р'/ро)тЛх ~ 2.3-10~3, А = 0.68 м;
в воде (pVPo)max = 5.6 • 10~4, А = 2.8 м.
25.14 В совершенном газе р = рДТ, аТ = y/RT\ для адиа-
адиабатических колебаний р = С/?7, as = y/jRT. При температуре
Г = 288 К для воздуха ат « 287 м/с, ов « 340 м/с. Скоростью
звука следует считать скорость распространения малых возму-
возмущений в адиабатическом процессе. Это согласуется с результа-
результатом задачи 25.2: для этого процесса Ре ~ 104.
25.15 Если <р = <р(г, ^),тов сферических координатах
#V 2 9(/? 1 92гу?
дг2 г дг г дг2 '
поэтому волновое уравнение можно записать в виде
д*г<р ,^_
Общее решение этого уравнения есть
Здесь /i и /2 — произвольные дважды дифференцируемые функ-
функции. Для р; и г/ получаем
v, = dip = f[{r-at) _ h{r-at) + f'2{r + at)
дг г г2 г
Здесь /i и /2 — производные функций /i и /г.
198 Глава 5. Механика жидкости и газа
Решение есть сумма двух бегущих волн, одна из которых рас-
распространяется со скоростью а в направлении от центра, другая
— с той же скоростью к центру.
В противоположность плоским волнам, сферические меняют
интенсивность при распространении: амплитуда расходящихся
волн убывает, сходящихся возрастает.
25.16 Линеаризация приводит к уравнениям
dpf dp' dv' dv' dvf a2 dp'
+ f/+/?0-0, — + и —- -| _ - о.
at ox ox • ot ox po ox
Подстановка в эту систему решения в виде
приводит к дисперсионному уравнению — связи uj и к:
и = (U±a)k.
Фазовая скорость волн есть U + а или U — а.
25.17 Для неподвижного наблюдателя, см. задачу 25.12, вы-
выполнено |о>| = ак. Наблюдатель, находящийся впереди источни-
источника, приближающегося к наблюдателю, воспринимает волну, иду-
идущую вперед, т. е. имеющую скорость uj\/k\ — а. В системе, дви-
движущейся вместе с источником, среда, образующая „фон" имеет
скорость (—С/), поэтому фазовая скорость волны есть (—U + а),
а частота u;* = (-U + a)&i, см. задачу 25.15. Следовательно,
1 - Ufa
Наблюдатель, находящийся позади источника, воспринимает
волну, идущую назад; для этой волны
u2-ak2s и* = -{U + a)k2, и2 = 1 , тт/ , |w2| < к*|.
1 + и/а
Итак, звук приближающегося источника воспринимается непо-
неподвижным наблюдателем более высоким, удаляющегося — более
низким, чем в случае, когда источник неподвижен. Это явление
называют эффектом Допплера.
25. Механика сжимаемой жидкости
199
U<a
U>a
25.18 Возмущения распространяются во все стороны по ча-
частицам среды со скоростью а, см. задачу 25.15, и одновременно
сносятся потоком вдоль оси х со скоростью ?/, поэтому грани-
граница возмущенной области имеет вид, показанный на рис. 0.25.2
сплошной жирной линией для t = t2, пунктиром для t = t\.
При t —> оо возмущенным будет при U < а весь поток, при
U — а — только область ниже по потоку от плоскости х — 0, при
U > а — только область, внутри обращенного вниз по потоку
конуса с вершиной в точке О и полууглом а при вершине, таким
что sin a = a/U = 1/М (конус Маха).
25.19 Линеаризованная система для одномерных баротроп-
ных малых возмущений р'(#, ?), р'(х, ?), г/(ж, t) в вязкой жидкости
имеет вид
dp* dv' dvf 1 dp1 d2vf , о , 2 /dp^
'^ ' ^ /?o 9ж дх2' ' Ч^Ру
Здесь po = const, /?o = const, po = p{po) характеризуют состоя-
состояние „фона"; v\ — (A + 2/i)/p0, A, /i — коэффициенты вязкости.
Исключая р7 и р\ получаем уравнение для v'(x,t)
решение которого будем искать в виде монохроматической вол-
волны v1 — Ae^kv-ut)^ Где д. — действительное число. Подстановка
в уравнение для г/ приводит к дисперсионному уравнению
и? + ik2uiuj - а2к2 = 0.
200 Глава 5. Механика жидкости и газа
Его решение имеет вид
и = 0.5 (-ik2vi ±
Пусть к < 2а/ui. Обозначим Reu> — ±.ujq. Решение для v'(x,t)
имеет вид
и содержит множитель е к2^\ убывающий со временем. Срав-
Сравните с аналогичным затуханием поперечных волн в несжимае-
несжимаемой вязкой жидкости, см. задачу 23.11.
25.20 Ось х направим в сторону области B). В области A)
имеются две волны: падающая р'1О — fo(t - x/ai) и отраженная
pfn = fx(t + ж/ai), так что давление представлено суммой
р[ (ж, t) = /о (t-—)+ /i (*+—)•
В области B) — только прошедшая волна p'2(x,t) = (p(t - х/а2).
Для скоростей частиц соответственно получим, см. задачу 2.13,
1 Г - / х \ ( х \~\ 1 / х \
V\ = /о [t 1 — /i I t -\ J , v2 = (f 11 — 1 .
Р\п\ L V al / V al/J /^2a2 V tt2 /
На границе a; — 0 должны быть выполнены условия на контакт-
контактном разрыве, см. § 18, р\ = p2l v\ = v2, что дает уравнения для
нахождения /i и у? по заданной /о- Решая их, находим
/@ с
Таким образом,
а) При прохождении волны из воздуха в воду а\р\ <С «2^2? С <С 1,
следовательно, получим р'п « р'1О, р'2 « 2pi0.
б) Если среда A) — вода, среда B) — воздух, то С > 1 и тогда
Рп ~ ""Pio? ^2 ~ О? Т- е* звуковые возмущения из воды в область,
занятую воздухом, почти не проходят.
25. Механика сжимаемой жидкости 201
25.21 В системе координат, в которой ось у направлена по
границе раздела и ось х — по нормали п к ней, см. рис. 25.2,
выполнено
? = ?cos0 + у sin в.
Таким образом, в падающей волне
(р0 = A exp[i(xk cos в + ук sin в - ut)\
и волновой вектор имеет вид
к = eifccos0 + e^sinfl.
Аналогично в отраженной и преломленной волнах возмущение
представляем в форме
(fi = А\ ехр[—г(хк\ cos в\ + ук\ sin в\ — w\t)\,
+ Z/^2 sin ^2 - ^t)]-
При этом наличие границы ж = 0 не может повлиять на вид
зависимости всех функций от у и t, т. е. вновь возбужденные
волны должны иметь такую же, как у падающей волны, частоту
и у-компоненту волнового вектора
и>1 = и>2 = и, к\ sin в\ — &2 sin 62 — к sin в.
Для падающей и отраженной волн в среде A) скорость звука
одна и та же а\ = и/к = и/к\. Следовательно, к — к\ и в = в\.
Во второй среде а2 = а;/А?2 = aik/k2. Отсюда получаем
sin ^2 — — sin #•
ai
Если a2/ai > 1, то прошедшая волна отсутствует для не
слишком малых углов в (полное внутреннее отражение). Это
свойство распространения волн вблизи границ слоев с разными
акустическими свойствами лежит в основе эффекта волновода
— звуковые возмущения не выходят за пределы слоя, в котором
скорость звука меньше, чем в окружащих областях, тем самым
не рассеивают свою энергию и меньше затухают.
Выполнение условий непрерывности давления и нормальной
к границе компоненты скорости позволяет найти амплитуды от-
отраженной А\ и преломленной А2 волн.
202 Глава 5. Механика жидкости и газа
25.22 Пусть совершенный газ, составляющий первую фрак-
фракцию, имеет плотность р\1 массу т\ и занимает объем V\. Анало-
Аналогично для несжимаемой жидкости />2, тп2 и V2 — ее плотность,
масса и объем. Суммарная масса m = т\ + т,2 занимает объем
V = V\ + V2, так что плотность смеси составит
p=v v•
Массовая концентрация первой фракции равна а = mi/m, вто-
второй — т2/гп = 1 - а. Очевидно, плотность смеси р зависит от
плотностей р\ и р2 фракций и концентрации а. Запишем эту
связь в явном виде: V\/V = o>p/pi (из определения а), аналогич-
аналогично V2/V — (V - V\)/V — 1 - otpjp\. Подставляя эти выражения
в определение /9, получим
Р=.л '''Г • @.25.14)
A - а)рх + ар2
Из-за отсутствия теплообмена энтропия каждой фракции посто-
постоянна: si = const, S2 = const. Энтропия единицы массы смеси:
s = = asi + A — ®)$2 — s{a).
т
По определению скорости звука а2 — (dp/dp)s-const. Так как
s = ,s(a), то а2 = (dp/dp)a=const. Давление в обеих фракциях
по условию одинаково и может быть представлено давлением в
совершенном газе р — р\ = ApJ. Отсюда находим
2 _ (dp\ (dpA _ 2
где ai — скорость звука в сжимаемой фракции. Входящую в
это соотношение величину (dp\/dp)a можно найти из выражения
@.25.14), учитыва, что р2 = const. Получим
A
а(а) = ах
Найденное выражение имеет минимум при а* = Рх/{Р2 — Pi)>-
При этом, если р2 > 2pi, то а(а*) < ai и, следовательно, имеется
целый диапазон значений а, о? < а < 1, для которых скорость
звука смеси меньше, чем в сжимаемой фракции. В несжимаемой
считаем а2 = оо.
а) a = аг • 0.08 с^ 27 м/с; б) a = ax • 0.11 ~ 37 м/с.
25. Механика сжимаемой жидкости 203
25.23 а) Направим ось х по направлению скорости набегаю-
набегающего потока V. Положим
Vx = t'0 + <4 1]У = Vy, *>* = «>*, P = ft) + /1 P = />0 + /Л
где ро и po — давление и плотность в невозмущенном потоке.
Все величины со штрихами, а также их производные по коорди-
координатам считаем малыми, а производные по времени равны нулю
в силу стационарности. G точностью до членов первого порядка
малости уравнение неразрывности есть
Щ -w- + po div t/ = 0.
дх
Интеграл Коши-Лагранжа имеет в данном случае вид
}L = C, C-const, P
Так как при х —> -ос выполнено v —> v0 и р -» р07 то
С точностью до малых первого порядка
^P} {p-Po)=V{po) + — ,
apjp=po po
поэтому интеграл Коши-Лагранжа дает
PoVqv'x + p1 = 0 или р1 = -povov'x.
Кроме того,
dpj p=po
Из этих соотношений, используя условие t/ = grady/, получим
б) На поверхности тела Ео:
— — п • grad (f = uon-c + n • grad </?' = 0,
an
где n — нормаль к Ео.
в) Так как тело тонкое и угол атаки мал, то нормаль п к
приближенно перпендикулярна оси ж, т. е. пх мала.
204 Глава 5. Механика жидкости и газа
Поэтому на поверхности тела Ео
т^ = щпх + п • grad <р = vonx + — пу + — п2.
Далее, так как точки поверхности So тела близки к оси ж, то
можно считать, что граничное условие должно выполняться не
на Ео, а на отрезке [0; /] оси ж.
Итак, граничное условие на поверхности тела сводится к ус-
условию
df , d<ff df dip' df
ox ay ay oz oz
при 0^?<^/, у = г == 0. Здесь /(я, у, г) = 0 — уравнение
поверхности обтекаемого тела Ео.
г) Для потока несжимаемой жидкости уравнение для потенциа-
потенциала есть Д</? = 0, а интеграл Коши-Лагранжа и граничные усло-
условия имеют тот же вид, что для потока сжимаемой жидкости с
малыми возмущениями.
25.24 а) Используем соотношения, полученные в решении за-
задачи 25.23. В этом потоке ip = (/?(#, у), а уравнение поверхности
обтекаемого крыла имеет вид у —/г2(ж) = 0 для нижней стороны,
и у — h\(x) — 0 для верхней стороны. Уравнение для потенциала
есть
+ ду2 ~ °-
Граничные условия на поверхности крыла
д(р' dh
"Б~ = ^о -у при у = 0, 0 < х ^ /,
ау аж
где h = Л2 на нижней стороне, /г = /ii на верхней стороне.
б) Пусть Мо < 1, тогда введем новые координаты of, у и потен-
потенциал Тр по формулам
Для ^ получаем уравнение Лапласа
25. Механика сжимаемой жидкости 205
а граничное условие не меняет вида
дТр
dh n / / /
= v — при и ^ x ^ /.
ax
Формула для р1 принимает вид
Видно, что задача для (р в координатах ж, у совпадает с задачей
для <р в координатах х, у, соответствующей обтеканию крыла
потоком несжимаемой жидкости, см. задачу 25.23.
На поверхности крыла возмущение давления в потоке сжи-
сжимаемой жидкости во всех точках получается в 1/v/l — Mq раз
больше, чем в потоке несжимаемой жидкости, во столько же раз
больше получается и суммарная сила, действующая на крыло,
так как она равна
- pnda — ~ (р - po)nda — - / pfnda.
Здесь Ео — поверхность крыла, п — нормаль к Ео« Известно,
что для потока несжимаемой жидкости в рассматриваемых усло-
условиях верен парадокс Даламбера-Эйлера — сопротивление тела
равно нулю. То же верно и для дозвукового потока сжимаемой
жидкости.
25.25 Используем соотношения, полученные в задаче 25.24 а).
При Мо > 1 уравнение для кр есть волновое уравнение
Л
ду2 дх2 '
где А = v/Mq — 1. Его общее решение есть
Функция /i постоянна на линиях х - \у = const, /2 постоянна
на линиях х + Ху = const. Синус угла наклона этих линий к на-
направлению скорости потока равен ±1/М. Такие линии называют
линиями Маха.
8 Зак. 2369
206 Глава 5. Механика жидкости и газа
Так как при х -> -оо должно быть выполнено ф' — О, то в
верхней полуплоскости, у > О, должна равняться нулю функция
/2, а в нижней, у < 0, — функция Д.
Найдем /i и /2 с помощью граничных условий на поверхности
крыла. Имеем при 0 ^ х ^ /
Отсюда
/i(*) = -yM*)i /2(*) = ^Л2(*)-
Итак, в верхней полуплоскости:
Г Л(^' = — г;0 h\(x — Ay) если 0 ^ х — \у ^ /,
\ ^ = 0 если х — Ху ^ 0.
В нижней полуплоскости:
Г Ay?7 = и0 h\(x + Ay) если 0 ^ х + Ху ^ /,
(^ ipf — 0 если ж + Ay ^ 0.
Из условия непрерывности скоростей vx, vy на оси х за телом,
получаем
/{(*) = /?(*) и -A/((x) = A/^(a;),
т. е. /{(з:) = /2О?) = 0 при х > I. Следовательно,
fi{x - Ху) = const при х - Ху > /, и
/г(^ + Ау) — const при х + Ау > /.
Поэтому за линиями х ± Ау = / снова будет невозмущенный по-
поступательный поток.
Ряс. 0.25.3.
Таким образом, поток возмущен только в области, ограни-
ограниченной соответствующими линиями Маха, см. рис. 0.25.3.
25. Механика сжимаемой жидкости 207
Используя интеграл Коши-Лагранжа, см. задачу 25.24, най-
найдем возмущение давления на верхней и нижней поверхностях
крыла
dh2
Проекция на ось х силы, действующей на крыло, сила сопроти-
сопротивления, равна
— / pfnx da.
Здесь Ео — поверхность крыла, п нормаль к ?0, внешняя по от-
отношению к крылу. В рассматриваемом приближении на верхней
и нижней сторонах крыла соответственно
dh\ dti2
Пх = И Пх = ;—,
dx dx
а интегрирование по поверхности крыла можно заменить инте-
интегрированием по соответствующему участку плоскости у — 0.
Сопротивление единицы длины крыла определяется равенством
Rx = I —, ( —— J + I —— j dx.
{ yJ\Al-\Wdx> \dx ) \
Для плоской пластины, обтекаемой под малым углом атаки е,
dx ) V dx
Поэтому сопротивление Rx есть
Таким образом, при сверхзвуковом обтекании крыло испыты-
испытывает сопротивление. Оно называется волновым и существенно
связано с тем, что область, где скорости и давления возмуще-
возмущены, простирается назад до бесконечности, и возмущения в этой
области не затухают при удалении от тела вниз по потоку.
208 Глава 5. Механика жидкости и газа
25.26 а) Рассматриваемые уравения имеют вид
dt + дх + р дх '
ds ds n . .
б) Третье уравнение системы пункта а) имеет характеристиче-
характеристическую форму, скорость соответствующих характеристик с = и; а
первые два — нет.
в) Сначала перепишем уравнение неразрывности так, чтобы в
него входили только производные р и зу, учитывая, что
, ч ds ds
P = p(P,s) и ^ + ^ = 0.
Получим
dv ¦ 2
0
Умножим уравнение неразрывности на /i, уравнение движения
на /2 и сложим их. Получим
Эта комбинация имеет характеристическую форму, если
= с,
«2
= с,
«2
т. е. при /1//2 = ±а/р. Таким образом, получаем два значения
для скорости характеристик
ci = v + а, с2 = v - а
и два уравнения в характеристической форме
I dp dv ^ d д , ч 5
I dp dv d д , , д
~J7 + Т77 ~ ^ж, где — = — + (и - а) -^-,
которые вместе с третьим уравнением исходной системы соста-
составляют полную систему в характеристической форме.
25. Механика сжимаемой жидкости
209
г) При адиабатическом баротропном движении s = const во
всем потоке, а = а(р), dp = a2 dp; введем инварианты Римана
J+ и J_ по формулам
J+ = v+ -dp, J_ = v - -dp.
J p J p
Уравнения в характеристической форме переписываются в виде:
J+ = const вдоль характеристик dx/dt = v + a,
J_ = const вдоль характеристик dx/dt = v — а.
25.27
2а
7=т
a =
25.28 Характеристики L^ и L^ с уравнениями
di
= и - a
eft
= v + a,
проходящие через точки (хд; 0) и (ж^; 0), а также значения пара-
параметров v, p и 5 в областях левее L^ и правее L^, не меняются при
изменении в момент t — to значений v, р к s на отрезке [хд] хв]-
Это можно обосновать, используя метод характеристик, при-
применяемый при численном решении и состоящий в следующем.
Пусть решение при t — to известно и надо найти решение при
х — х\ в момент времени t\ = to + At. Проведем через точку
(х\] ti) характеристики и заменим производные в уравнениях в
характеристической форме отношениями конечных разностей.
Из этих уравнений, зная и,ри«в точках пересечения характе-
характеристик с осью t — ?q, найдем их значения в точке х\ в момент
времени t\. Затем аналогично можно построить решение в мо-
момент ^ = h + At и т. д.
tk
хг х
Рис. 0.25.4.
210 Глава 5. Механика жидкости и газа
Очевидно, что значения i?, p и s в точке х.\ в момент t зависят
от их значений в момент to только на интервале ж/ ^ х ^ хг, где
х/из;г — значения х в точках пересечения характеристик L+ и
L~, проходящих через точку [х\] t), см. рис. 0.25.4.
Непрерывность решения существенна, так как только при
условии непрерывности характеристики одного и того же семей-
семейства не пересекаются и поэтому решение, полученное методом
характеристик — однозначное.
25.29 Для рассматриваемого движения s = const. Подставля-
Подставляем в систему, приведенную в решении задачи 25.26 а), зависи-
зависимости v = v{0) и р — р(в). Получим
1
дв
до
dt
+ v
1дв
1 дх
дв\
дх)
\ dv
) Те
dp
— н
1
р
-р
дв
дх
дв dv
dp -n
de~°-
Это система уравнений для нахождения dp/dO, dv/dO. Чтобы она
имела ненулевое решение, ее определитель должен быть равен
нулю, т. е.
дв дв дв дв , , ч дв
— + и — = =ра — или — + (V ± а) — = 0.
dt дх дх dt дх
Подставив эти соотношения в исходную систему, получим
дв ( 1 dp dv\ f dp л/г
дх V a de dej J pa
Итак, возможны два решения в виде волны Римана, соответству-
соответствующие знакам + или — в формулах. В первом из них
[dp
J- = v — / — = const
J pa
во всем течении и в — const вдоль характеристик L+ с урав-
уравнением dx/dt = v + а; характеристики L+ являются прямыми
линиями х - (v + a)t = const, поэтому v = и@), а — а(в), и, сле-
следовательно, v + а = const вдоль L+. Если х — (v + a)t = const, то
i; и р не изменяются, следовательно,
v = v(x - (v + a)i), jp = р(ж - (v + a)t).
25. Механика сжимаемой жидкости
211
Эти формулы показывают, что каждое значение v и р перено-
переносятся в пространстве со скоростью (и + а), поэтому решение
представляет собой волну. Значение (v + а) для волны Римана
равняется / dp/(pa) + а + М и зависит только от р, следователь-
следовательно, различные значения р переносятся с различными скоростями,
поэтому форма волны изменяется. Вторым решением является
волна в которой постоянные значения v ш р переносятся со ско-
скоростями (г; — а).
25.30 а) Направим ось х вдоль трубы. При t = О пусть пор-
поршень находится в начале координат, газ занимает область х ^ 0.
Система уравнений имеет вид, см. задачи 25.26 и 25.27,
2а
7-1
2а
= const на U
= const на
@.25.15)
@.25.16)
где L*1- — характеристики с уравнениями dx/dt = v ± a; a —
скорость звука, причем
-у , С = const =
о
Граничное условие есть
v = vx — u при х = X(t),
где X(t) — координата поршня. Это условие выполняется, пока
газ не отрывается от поршня, см. пункт г).
Рис. 0.25.5.
212 Глава 5. Механика жидкости и газа
б) Предполагая решение непрерывным, применим метод харак-
характеристик, см. задачу 25.28. Используя соотношения @.25Л5)
для характеристик, проходящих через точки оси х (х :$> 0, t = 0),
получим, что v = 0, а = ао, Р — Ро всюду в области х ^ dot.
Следовательно, граница Г возмущенной области перемещается
со скоростью по и совпадает с характеристикой Lq. На всех
характеристиках L~, начинающихся в точках t = 0, х ^ 0 и пе-
пересекающих Lq, имеет место равенство
2а
v __ — const =
G-1)" G-1)'
т. е. а = uq + 0.5G ~~ 1)и ВСЮДУ в области, примыкающей к Lj,
поэтому на L+ величины v и а — постоянны, L+ — прямые. Это
волна Римана, см. задачу 25.29.
в) Считая, что область волны Римана простирается до порш-
поршня, и используя граничное условие v = и на поршне, имеем
v(x,t) = и(т) на характеристиках х - Х(т) = c(r)(t - г), где
г — значение t в точке пересечения характеристики L+, прохо-
проходящей через точку (х; t) с траекторией поршня х — X(t),
с(т) = {v + а)х=х(т) = а0 + -G + l)ti(r).
Выражая г через ж и (из уравнения характеристики и подста-
подставляя в выражение для Цг), найдем и(ж,?), а, значит, и a(x,t)
и p{x,t). При г ^ ti, т. е. если ж ^ ж/ = X(^i) + c(ti)(t - ^i),
получим
7
Если г ^ *i, то tt(r) = ^i = const, следовательно при
имеем поступательный поток со скоростью v = и\ и
Л у — I щ
р — ро I I H -
25. Механика сжимаемой жидкости
213
В области xi(t) ^ х ^ aot наклон характеристик L+ к оси t с
ростом г уменьшается, так как и < 0 и |гг| возрастает, поэто-
поэтому характеристики L+ не пересекаются, решение однозначное.
Плотность и давление в частицах газа в этой зоне со временем
убывают (волна разрежения), а сама волна растягивается в про-
пространстве.
г) Так как а ^ 0, то всюду, в том числе на поршне, должно быть
v ^ — 2ао/(у — 1), следовательно, полученное решение применимо
при \и\ ^ 2ао/(у — 1) (\и\ = 5а0 при у = 1.4). При и = -2ао/(т~1)
давление на поршне равно 0. Если \и\ > 2ао/(т - 1M то пор-
поршень отрывается от газа, между поршнем и газом образуется
вакуум, скорость газа на границе с вакуумом равна по величине
2<2o/(y~1) (скорость нестационарного истечения в вакуум). Она
вычисляется из условия р = 0 на границе с вакуумом.
вакуум
т
*- X
\и,\ >
2ап
у-1
Рис. 0.25.6.
д) Устремим t\ к нулю. Картина характеристик на плоскости
(ж, t) будет иметь вид, показанный на рис. 0.25.6. В области
xi(t) ^ х ^ aot
все характеристики L+ проходят через начало координат, их
уравнения
7+1
х— ( а0 Ч — v ) t.
Отсюда
2 (х \ 2
v = —— I - - «о , я =
— 1 т
7 + 1 V* V 7+1
2 ^ , 7-1 М^
7
214
Глава 5. Механика жидкости и газа
Граница х\ определяется из одного из условий
2а0
v(x,t) = Mi пока \ui\ ;
p{xi,t) =0 При |«!| >
¦\7-l
2a0
7-1'
или
X{t)
25.31 Формально решение
можно строить так же, как в
задаче 25.30. Получается вол-
волна, в которой давление и плот-
плотность в частицах газа возраста-
возрастают (волна сжатия). Однако, по-
поскольку u(t) > 0 и u(t) возра-
возрастает с ростом t, то характери-
характеристики L+, выходящие из точек
траектории поршня, пересека-
пересекаются. Это приводит к неоднозначности скорости и давления,
следовательно, начиная с момента первого пересечения харак-
характеристик L+, это решение непригодно. При u(t) — Xt момент
первого пересечения характеристик L+ равен
2flQ
°~G
Рис. 0.25.7.
Для этой задачи можно построить решение, содержащее разры-
разрывы скорости и давления — ударные волны.
25.32 а) В результате движения поршня в газе возникает
простая волна разрежения, примыкающая к поршню. Пусть пор-
поршень движется вправо от плоскости х = 0, а влево со скоростью
звука по = у/уро/ро движется граница волны разрежения, пред-
представляющая собой слабый разрыв.
Тогда распределение скорости газа в простой волне выража-
выражается через давление р, см. задачу 25.30, по формуле
г; =
2а0
25. Механика сжимаемой жидкости 215
Используя это соотношение на поверхности поршня, соста-
составим уравнение движения
mva(t) = Spn = Sp0 (l -
Интегрируя, получим
„n = +
7-11 V 2ma0
При m —> О (или t -> сю), vn -> 2ао/(т - 1).
б) Если 7 —> сю, формально условие адиабатичности
переходит в уравнение
dt
При этом в пределе vn — 0, т. е. происходит мгновенный сброс
давления, а поршень остается на месте.
25.33 а) Закон движения газа имеет вид
х = а№ а@) = 1, А=±, а = ^, / = «„@) ^
а I
Из уравнений адиабатического движения газа в лагранжевой
форме получим
Здесь 7 — показатель адиабаты. Разделив переменные ? и ?,
приходим к уравнению
йа7 = А = const > 0, Ро(О = —
Отсюда следует, что
а2 , A ug(oo)
2 + G _
Вычисление сохраняющейся полной энергии системы при t -» сю
дает
216 Глава 5. Механика жидкости и газа
при этом в силу а —> оо внутренняя энергия газа стремится к
нулю. Тогда
2l2 {m + mg/3)l2'
l
С учетом равенств Eq = S J po(x)(iy-l)~ldx и р0 = f{x)Po найдем
о
_ G - 1) Др m + 0.5mg(l - x2/l2)
SI Tfi + Tfig/3
б) В этом случае р = ро(?)/а(?), остальные соотношения те же,
что и в пункте а),
m д= ДоG-1)
m + Л^' (m-
При а —»> 1 ро -> {y—l)Eo/Sl и 7/ —> 1. В начальный момент почти
весь газ сосредоточен вблизи а: = 0, а его энергия распределена
равномерно от х = 0 до я = /.
25.34 а) Из условий на ударной волне при заданных ро> Ро
перед волной и v = t/ за волной можно найти pi, pi и скорость
волны D. В частности
Pi _ 1 , 7G+ 1)^2 , Iй L ,
4 а0 V
б) Для разности значений энтропии за и перед ударной волной
справедливо равенство
1 (V\ fPoV
Si - S0 = CV In I — I — I
\Po \piJ
Обозначим Pi/po = t > 1. Уравнение адиабаты Гюгонио, см.
задачу 18.11, дает
Ро = 7 + 1 + G ~ 1)*
/>i 7-1 +G+1)*'
25. Механика сжимаемой жидкости 217
тогда
Po\PiJ VG + 1)*+ G-
поэтому si - s0 > 0 при pi > р0.
Для эволюционности ударной волны необходимо, чтобы чи-
число Nj характеристик, уходящих от нее, было равно 2, потому
что число условий на ударной волне равно 3 (условия сохранения
потоков массы, импульса и энергии). Имеется три семейства
характеристик с каждой стороны ударной волны; их скорости
равны ао, —«о, 0 впереди волны и и + ai, и — ai, и — позади. Из
условия сохранения массы
pi(D-u) = poD >0,
следует, что D > и > и — ai, т. е. характеристики dx/dt — и и
dx/dt = и — а\ уходят от волны. Тогда все остальные характери-
характеристики должны приходить на нее, т. е. условия эволюционности
B5.1) принимают вид
-а0 < 0 < ао < D, и - а\ < и < D < и + а\.
Первое неравенство удовлетворяется в силу формулы для D из
пункта а), а второе (с учетом ро < р\) — в силу формулы
которая может быть выведена из условий на ударной волне,
в) В этом случае Р\/ро < 1 и неравенства пункта б) не выполне-
выполнены, см. также задачу 15.16.
25,35 а) В силу сферической симметрии-верны равенства
t>0 = tv = 0, tv = u(r,?), P = p{r,t) и p = p(r,t)
для компонент вектора скорости, давления и плотности газа со-
соответственно. Только компонента аг не равна нулю и система
уравнений принимает вид
!
at
218 Глава 5. Механика жидкости и газа
б) Пусть
г
I p(ri,t)r\dri.
о
Тогда, рассматривая г как функцию т и t, получим
_ дг _ 1
dt' 4кг2 дг/din
Искомые уравнения будут иметь вид
в) Уравнение энергии
принимает форму
dt\2 G-
г) Пусть г = R(t) — закон движения разрыва. В терминах
массы этот закон имеет вид т = M(tI причем R(t) = r(M(?),?).
Радиальная скорость движения разрыва D = R(t). Для скачка
потока массы [p(v — D)] имеем
Условия сохранения импульса и энергии дают
= 0.
25. Механика сжимаемой жидкости 219
25.36 а) Используя П-теорему, можно записать закон движе-
движения в виде 1_ 1.
На ударной волне выполнено -
— 3 2
Функция / равна
, ?q/i(t)
дЕ 2 дЕ v2 p
б) — = -4Я-Г pv = +
at dm 2 G — l)p
В силу условия на ударной волне, связанного с сохранением
энергии, см. задачу 25.35 г), и отсутствия перед ударной волной
скорости газа и давления выполнено E(M(t),t) = 0.
В соответствии с постановкой задачи
lim E(M, t) = Eq,
следовательно, E(M,t) — Eq.
Согласно теории размерности выполнено E^n^i) = EoEi(t),
причем Е\{т8) = I. Дифференцируя это соотношение по m и ?,
исключая производную Е[ (г) и используя выражения для произ-
производных dE/dt и дЕ/dm,, получим
Р
в) Вычисляя плотность и скорость через закон движения среды
r(m,t), см. пункт а), получим
1 г\{1-Ъи/2)'
Тогда интегра,а энергии, см. пункт б), дает уравнение для г\{т)
1/3\§,2 ДE7ц/2-1) _г[т
2V47T
220 Глава 5. Механика жидкости и газа
которое интегрируется с использованием параметра и. Из усло-
условий на ударной волне, см. задачу 25.35 г), можно вывести соот-
соотношения
7+1 *? Ра
Ps — 7 РОу ~7Г — 1
7-1 2 G-
откуда определяются значения
2
> 9\ л/ — 1 / Ч \ о" /л/
-; 7 » л-
2 UJ [j + lj U
Величину rs можно найти из интегрального уравнения энер-
энергии E(M,t) = ^о, см. пункт б), которое имеет вид
Уравнение для Г! допускает степенное решение вида
2 2
гг = const • тд^~1 при значении ^ = ,
37-1
которое совпадает с и8 — 4/EG + 1)) ПРИ- 7 — 7. Этот слу-
случай исследуется особо. Если 7/7, решение представляется в
параметрической форме. При ^ ф2
G-l)«2(l-f
При 7 = 2
Из монотонности функции <р(и) следует, что
2 " 4
При 7 > 7 асимптотика решения при m -> 0 (г -> схэ) в силу
^ « 0.4 имеет вид r « const • t2^ > 0; если 7 < 7, то ^ « 0.4/7 и
25. Механика сжимаемой жидкости
221
г « const • ?2/57mG ^/37 -> 0. Таким образом, при у > 7 имеется
расширяющаяся полость,
г) Если 7 — 7, то
То
т --±-CY R-B25EoYtl
4тг
25.37 а) Из уравнений движения газа в лагранжевой форме,
см. решение задачи 25.35 б),
д2х , дР п гг ч -у
где 7 — показатель адиабаты, следует, что
1 С /
/9 = ; — Г, Р = ~, Г", tl = ,
где С — постоянная.
б) Из условий на разрыве в лагранжевых координатах, см. ре-
решение задачи 25.35 г),
".,2
[v-pt's(m)] =
Р
-pvt's(m)
= 0,
получим два уравнения для функций v и ts
v2 Cv'
°' 2 G
Ct'a
I
решая которые, найдем
m\-\
)
Начальное распределение массы определяется из условия [х] = 0
* = v(m)(ts(m)
222 Глава 5. Механика жидкости и газа
или
откуда находится
dm 3G - 1) М
в) Распределение плотности энергии в расчете на единицу мас-
массы имеет вид
При t —> 00 плотность внутренней энергии почти всюду прене-
пренебрежимо мала и равна плотности кинетической энергии только
на ударной волне. Плотность кинетической энергии v2/2, в свою
очередь, стремится к бесконечности при Моои m-> M. Пол-
Полная энергия, сообщаемая газу, равна C/2)Мг^ и полностью пе-
переходит в кинетическую энергию газа. Скорость ударной волны
скачок температуры
где cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.
25.38 а) В силу условия отсутствия давления на границах
слоя начальное давление газа всюду равно нулю. Пусть ро и /о
— начальные плотность и толщина слоя. На первом этапе данная
задача эквивалентна задаче о вдвигании поршня в газ с посто-
постоянной скоростью (-v0) (задача 25.34). В момент удара (t = 0)
в газе возникает ударная волна, которая проходит слой с посто-
постоянной скоростью D. В области между стенкой и ударной волной
газ покоится. Его плотность р\ и давление р\ постоянны и опре-
определяются, вместе с D, из условий на ударной волне, связанных с
сохранением масс^ы, импульса и энергии
7 + 1 7 + 1 2 п ^~ 1
7 — 1 l l
25. Механика сжимаемой жидкости 223
На втором этапе, после выхода ударной волны на свободную по-
поверхность слоя в момент t\ = 2/0/(т + 1)ио, возникает простая
волна разрежения (волна Римана), связанная с истечением га-
газа в вакуум (задача 25.30). Свободная поверхность начинает
двигаться в противоположном направлении в силу сохранения
соответствующего инварианта Римана со скоростью
На третьем этапе в момент ^ — ti+h/ai, гДе h — ^о(т~
волна разрежеия отражается от стенки. Граница отраженной
волны является характеристикой С и распространятся со скоро-
скоростью звука (и — а), известной из решения задачи о предыдущей
волне разрежения. Покажем, что граница отраженной волны ни-
никогда не выходит на поверхность слоя, и, следовательно, искомая
скорость движения г?ь не меняется и равна — voy/2j/(y — 1). Из
уравнений движения газа и граничных условий следует, что рас-
распределения v и а в первой волне разрежения имеют вид
2 / х + 1Л 2
v = —"Т ~ai + 7—Г Ь а =
7+1 V х t-tj* т + 1 V х 2 t-t,
где х = 0 отвечает положению стенки. Составим уравнение не-
необходимой характеристики С (t ^ ^)
dx 2 / 3 - 7 ж +
его решение дает
хс = -h [ 1 + 71V" и7 ~ ^ [ "lv'z "x/)
^ G- l)/i 7- 1 V к )
Сравнивая с
G - l)/
получим хс > хъ-
б) В рамках линейной теории упругости процессы нагрузки
и разгрузки при ударе упругой пластины обратимы. Распре-
Распределения скорости и напряжений кусочно постоянны. Разрывы
распространяются со скростью продольных волн. После уда-
удара вблизи стенки образуется область напряженного состояния
224 Глава 5. Механика жидкости и газа
покоя, затем, когда разрыв выйдет на свободную поверхность,
начнется движение ненапряженной части пластины в обратную
сторону со скоростью (—vo). Таким образом, после прохождения
волны разгрузки пластина в ненапряженном состоянии отойдет
от стенки со скоростью (—i>o)« Скорость движения границы рас-
расширяющегося слоя газа по величине всегда больше, чем \/2 vo.
25.39 Пусть ось х направлена по скорости щ набегающего
потока, (р — угол между ударной волной и v0. Условия на удар-
ударной волне, следующие из законов сохранения, см. задачу 18.10,
можно записать в виде
Pi + рА = Ро + PovL, vir = vOr, @.25.17)
2 у - 1 pi 2 7~lPo
где индексы пит обозначают нормальную и касательную соста-
составляющие скорости,
v\n = v\x sin (p — v\y cos 99, fon — Vo sin <p,
t;lr = г?!^ COS y? — Viy sin </?, Vor = Vo COS (^.
Кроме того, потребуем, чтобы скорость за ударной волной была
направлена вдоль поверхности клина, т. е. viy/v\x = tg0. Из
этих соотношений, зная ро> Ро, Щ и в, найдем pi, pi, i?ix, vi^ и </?.
В частности, связь между в и у? имеет вид
/|2 \
где Mo = — и al - —-.
<io ро
Из условий @.25.17) можно найти следующее соотношение:
v\y = (vo - vlxJ 2 V^a , @.25.18)
Vq - vovlx + al
7+1
^—
7+1
дачу 25.44.
2 G-l)ttp + 2qg
где a* = ^— критическая скорость звука, см. за-
7+1
25. Механика сжимаемой жидкости
225
Отсюда, используя еще,
что v\y = t^tgfl, можно на-
найти v\y и vix. Зависимость
V\y от г;^, которая опреде-
определяется формулой @.25.18),
называется ударной полярой ^
и имеет вид, показанный на
рис. 0.25.8. Расстояние OD
равного- Ударная поляра пе-
пересекается с прямой
vi =vXxtg9 Рис' °25-8-
при в < 0тах в трех точках Л, В и С Решение, соответству-
соответствующее точке С, не имеет физического смысла, так как в такой
волне энтропия убывает. Решения, соответствующие точкам А
и В, не противоречат всем известным условиям и для клина ко-
конечных размеров осуществляется то или другое в зависимости
от условий на заднем конце.
Угол 0max есть угол наклона касательной к ударной поляре,
проведенной из точки О, а угол <р определяется из условия непре-
непрерывности касательной составляющей скорости как угол наклона
перпендикуляра, опущенного из точки О на линию DB (для ре-
решения, соответствующего точке В).
25.40 Система уравнений движения газа имеет вид:
2 4 Л'
pv2 + p- -fiv ) = О,
3 /
У-мТ') =0,
где р = pRT, cP = jR/{y - 1). Интегрируя каждое уравнение
один раз, получим
pv = p\V\,
pv +P-t,»v =/»i«i+Pi, @.25.19)
- plVl
226 Глава 5. Механика жидкости и газа
Отсюда при условии, что сРц, = Зх/4, следует уравнение для
величины г = v2/2 + сРТ:
. 4 .,
решение которого при г'(+оо) = 0 дает г = i\ = v\/2 + cPT\.
Исключая далее р, р к Т из уравнений @.25.19), получим урав-
уравнение для распределения v(x)
- v2), @.25.20)
где v2 = —Ц-(т - 1 + TToh Mi = — = vij— число Маха
7 + lV; Щ/ tti V IPi
набегающего потока, Mi > 1, v2 = г;(+оо). Решая уравнение
@.25.20), получим в неявной форме распределение v(x)
87// ,
х = — In
3(l)
3G+ljpit>i \vi-v2 \v-v2j
v G+l)M?
где а = = ——=~~^—L и выбрано х — 0 при и =
Толщину ударного слоя можно оценить по формуле
что при нормальных условиях, т. е. при
рх = 1.293 кг/м3, ai = 331 м/с, /х = 1.72 • 10 кг/м-с, 7 = 1.4,
дает / « 1.25 • 10~7 —^—— м. Например, / = 1.38 • 10~7 м при
Mi(Mf - 1)
Mi = 2, что сравнимо с длиной свободного пробега молекул газа.
25.41 а) Вводя плотность потока массы j, можно переписать
соотношение G.11) при т = 0 в виде
vx — jVi, v2 — jV2.
Здесь Vx ft v2 — скорости газа относительно поверхности раз-
разрыва по разные стороны от нее. Затем проектируя равенство
G.12) при R = 0 на нормаль с учетом равенства рп — -рп,
получим
• 2 _ Р2 - Pi
Vx-V2
Величины скорости волны относительно газа равны V\\j\ и V2\j\.
25. Механика сжимаемой жидкости 227
б) Аналогично задаче 18.11, исключая из равенства G.14) при
W = 0, q7ll = 0, qn2 = 0 величины v\ и V2 с помощью приведенных
в пункте а) равенств, получим
и2(Р2, ^2) -tti(pi, Vi) + \ {p2 + Pi){V2 - Vi) = 0. @.25.21)
в) Подставляя в @.25.21) выражение w = pV/(j - 1) + const,
получим уравнение ударной адиабаты в виде
Таким образом, для совершенного газа ударная адиабата есть
проходящая через точку (р\; V\) гипербола с асимптотами
рР1Ц и V Vi.
7+1 7+1
Из @.25.22) можно вычислить производную dp2/dV2 при фик-
фиксированных р\ и Vi. При V2 — V\ она равна
^2 _ _ Pi_ __ _al_
dV2~ 7Vi" Ух2'
где а2 = ypV для совершенного газа.
25.42 а) Подставляя в уравнение @.25.21)
Pi'Vi , n P2V2 , ^
wi = 7 + Сь и2 = + С2,
7-1 7~1
и вводя обозначение Q — С\ - Сг, получим
При фиксированных pi, Vi и Q точки [р2\ V2), удовлетворяющие
этому соотношению, лежат на гиперболе, проходящей через точ-
характеризующую состояние газа, которое может возникнуть
при выделении тепла Q при неизменном объеме. Детонацион-
Детонационная адиабата изображена на рис. 0.25.9. Очевидно, условиям
Р2 > 0, Vi > 0 могут соответствовать только точки одной ветви
гиперболы.
228
Глава 5. Механика жидкости и газа
-крх
kVx
Рис. 0.25.9.
б) Если на разрыве имеются только три условия, то для выполне-
выполнения условия эволюционности нужно, чтобы в каждой точке были
две уходящие от разрыва характеристики, см. условия B5.2).
При v\ > 0 и i>2 > 0 условия эволюционности имеют вид
а2,
@.25.23)
где v — скорость газа относительно разрыва; а — скорость зву-
звука; индексы 1 и 2 относятся к состояниям перед и за разры-
разрывом. Первое из этих неравенств означает, что впереди разрыва
нет уходящих от него характеристик, второе — что позади два
семейства характеристик состоят из уходящих характеристик,
одно — из приходящих. На детонационной адиабате условиям
@.25.23) удовлетворяют точки, лежащие выше „точки Жуге"
j — точки касания детонационной адиабаты с прямой, прове-
проведенной из точки А, см. рис. 0.25.10. Чтобы убедиться в этом,
рассмотрим, наряду с детона-
детонационной адиабатой, ударную
адиабату, проходящую через
начальную точку А с коорди-
координатами (р\\ V\). Обе кривые
представляют собой гипербо-
гиперболы с одними и теми же асим-
асимптотами. На плоскости (р; V)
точки (р2'ч Уг) СУТЬ точки пе-
Т^ ресечения детонационной ади-
адиабаты с прямыми
Рис. 0.25.10.
25. Механика сжимаемой жидкости 229
-Vx\ где >2 = |^|. @.25.24)
При каждом j2 прямая @.25.24) пересекает ударную адиабату
только в одной точке (кроме начальной точки р = pi, V = Vi).
Рассмотрим первое условие @.25.23). Так как
см. решение задачи 25,41, то условие эволюционности v\ ^ а\
означает, что ему могут соответствовать только такие точки на
детонационной адиабате (р2; V2), что продолжение прямой, со-
соединяющей точки (pi; V\) и (p2'i V2), пересекает ударную адиа-
адиабату выше начальной точки (р\; Vi). Второму условию эволюци-
эволюционности @.25.23) могут удовлетворять только точки, лежащие
выше точки J. Действительно, см. рис. 0.25.10, скачки АчВи
А —у С соответствуют разрывам, в которых происходит выделе-
выделение одного и того же количества химической энергии и которые
движутся с одинаковой скоростью относительно газа. Поэто-
Поэтому скачок В -+ С соответствует ударной волне, движущейся с
той же скоростью v\ = |jVi|. Из эволюционности ударной вол-
волны следует, что vb > а>в, vc ^ «с? см. решение задачи 25*34 в).
Итак, второе условие эволюционности выполнено лишь для то-
точек типа С, лежащих на детонационной адиабате выше точки
J. Эта часть детонационной адиабаты отмечена штрихами на
рис. 0.25.10. В самой точке Жуге J выполнено условие vj = aj.
25.43 Рассмотрим скачки детонации, распространяющиеся с
разными скоростями по газу, находящемуся в состоянии (pi; Vi).
Каждому значению скорости скачка соответствует значение по-
потока массы j сквозь него. Уравнения одномерного стационарно-
стационарного (в системе координат, связанной с волной) движения, описы-
описывающие структуру скачка, можно проинтегрировать. Получим
pv = const = piVi = j, pv2 + p = const = piv\ + pi, @.25.25)
2 2
^ ^ 1 + я, @.25.26)
где q — C\ — ^хим, q меняется непрерывно от нуля сразу за пе-
передней ударной волной до q = Q = С\ — Сг далеко позади нее.
230
Глава 5. Механика жидкости и газа
Формально соотношения @.25.25) и @.25.26) для любой
промежуточной точки потока совпадают с условиями на дето-
детонационном скачке, см. формулы задачи 25.42 с Q, заменен-
замененным на д. Поэтому можно находить распределение параметров
в потоке, рассматривая множество детонационных фронтов для
всех возможных значений q при j = const. При фиксирован-
фиксированных значениях р\ и V\ состояния, отвечающие различным д,
изображаются на плоскости (р; V) точками пересечения пря-
прямой (р — pi) — —J2(V — V\) с соответствующими детонационны-
детонационными адиабатами, являющимися гиперболами с одними и теми же
асимптотами для всех q. При q = 0 детонационная адиабата со-
совпадает с ударной адиабатой, проходящей через точку (рх; Vi),
поэтому состояние непосредственно за передней ударной волной
соответствует точке Е, см. рис. О.25Л0. При возрастании q
точка, изображающая состояние газа, движется по линии ЕА.
В случае a) q меняется непрерывно и монотонно до значения
Q. Поток за передней ударной волной непрерывен, величины р
и V меняются монотонно от их значений в точке Е до значений
в точке С. Разрывов в течении быть не может; в самом деле,
разрыв должен был бы быть ударной волной типа перехода от
С к Б, но это была бы волна разрежения, невозможная в совер-
совершенном газе, см. задачу 25.34 в). Таким образом, в случае а)
структурой обладают только такие детонационные волны, со-
состояние за которыми изображаются на детонационной адиабате
точками, лежащими выше точки J или самой точкой J.
Заметим, что эта же часть
детонационной адиабаты была
получена в задаче 25*42 из ус-
условий эволюционности.
В случае б) рассмотрим две
детонационные адиабаты: для
q = Q и для q = gmax = Сг-
Cmin? СМ. рИС. 0.25.11.
Сразу за фронтом ударной
волны снова имеется состояние
Е. Затем q возрастает и точ-
точка (Р; V) движется вдоль ли-
Рис. 0.25.11.
25. Механика сжимаемой жидкости 231
нии ЕА к точке F. После этого q уменьшается и изображающая
точка движется назад вдоль FE к точке С — верхней из точек
пересечения адиабаты q = Q с линией (р - р\) = -j2(V - V\).
Это решение возможно лишь если j2 ^ Jmin> гДе imin — величина
потока массы, для которого линия (р—р\) = —j2(V—Vi) является
касательной к детонационной адиабате q = qm3LX- Обозначим
соответствующую точку касания через Jgmax, см. рис. 0.25.11.
Волна при j = jm\n движется по газу с минимальной скоростью.
В случае, когда j = jmin, кроме описанного выше решения
существует другое: при уменьшении q точка (р; V) может дви-
двигаться от точки Jgmax вверх к точке G или вниз к точке Я.
Следовательно, в случае б) структура существует для волн
со значениями риУ, лежащими на части детонационной адиа-
адиабаты, расположенной выше точки G, отмеченной штрихами на
рис. 0.25.11 и, кроме того, со значениями р и V, соответствую-
соответствующими точке Я.
Точка Я соответствует „недосжатой" детонации. При этом
для скачка А -> В выполняются неравенства и а > а а, ив > ав,
следовательно условия @.25.23) не выполнены. Но соответ-
соответствующая детонационная волна эволюционна, так как в этом слу-
случае имеется добавочное условие на разрыве — условие j = Jmin-
25.44 Из теории размерности, см. § 38, следует, что решение
может быть функцией только от комбинации x/t независимых
переменных. Таким образом, оно может состоять из волн Рима-
на, разрывов и областей с постоянными значениями величин.
Рассмотрим решения задачи при различных значениях ско-
скорости поршня vn. Если поршень вдвигается в газ и г;п доста-
достаточно велика, то и в случае а), и в случае б) решение состоит
из детонационного скачка и области с постоянными значениями
всех величин, располагающейся между этим скачком и поршнем.
Скорость детонационной волны определяется из условия, что за
ней скорость газа равна скорости поршня. Меньшим значениям
скорости поршня соответствует меньшая скорость детонацион-
детонационной волны. В случае а) при некоторой положительной скорости
поршня vn = и* детонационная волна будет соответствовать точ-
точке J на рис. 0.25.10 (детонация Жуге).
232 Глава 5. Механика жидкости и газа
Если vn < т;* (г>п может быть отрицательной, если поршень
выдвигается из газа), то решение задачи будет состоять из дето-
детонационного фронта Жуге и примыкающей к нему волны Рима-
на, интенсивность которой определяется скоростью поршня. Та-
Такое решение оказывается возможным, поскольку непосредствен-
непосредственно за фронтом детонации Жуге скорость газа равна скорости
звука vj = aj, см. решение задачи 25.43. При достаточно боль-
большой по модулю отрицательной скорости поршня между ним и
волной Римана возникает вакуум; при этом выполняется р = О
на границе волны Римана, см. задачу 25,30.
В случае б) скорость детонационного фронта также убыва-
убывает при убывании скорости поршня и при некотором значении
vn = v** достигает минимально возможного значения, см. реше-
решение задачи 25.43. При vn > и** решением является детонацион-
детонационный фронт, соответствующий точкам, лежащим выше точки G,
см. рис. 0.25.10. В силу непрерывности зависимости решения
от vn при г;п = г;** решение представляется точкой G. Скачок
А -> G можно рассматривать как сумму двух скачков: недосжа-
той детонации А —> Н и ударной волны Н —> G, см. решение
задачи 25.43.
При дальнейшем уменьшении скорости поршня vn детонаци-
детонационная волна А-+ Н меняться не будет, а ударная волна ослабнет
и ее скорость будет меньше скорости фронта недосжатой дето-
детонации. Затем ударная волна сменится волной разрежения Рима-
Римана. При достаточно большой по модулю отрицательной скорости
поршня между волной Римана и поршнем имеется зона вакуума.
25.45 Уравнение, выражающее постоянство потока энергии,
в системе координат, связанной с волной, в рассматриваемом
случае имеет вид
Записывая уравнение для химической реакции
и, используя равенства и = jfV, р = RT/V = const, получим
в области Т > Г* систему уравнений, описывающих структуру
25. Механика сжимаемой жидкости 233
фронта горения
Температура Т^ соответствует однородному потоку после за-
завершения выделения химической энергии, когда q = Q. Таким
образом, имеем линейную систему уравнений с особой точкой
типа седла при Г — Г^, q — Q. Имеется два собственных на-
направления и две прямолинейных интегральных кривых (сепара-
(сепаратрисы), проходящих через особую точку. Одна из них q = Q, а
вторая
Для существования решения, связывающего начальное состояние
Г = Го, q — 0 с конечным Г = Т^, q = Q необходимо, чтобы
выписанная выше сепаратриса проходила через точку Г = Г*,
g = 0, откуда
,2 _ а&р Гро - Г*
Получаемое таким образом значение v — jV — jRT0/p опре-
определяет скорость распространения волны. Это соотношение, за-
задающее скорость волны, следует рассматривать как еще одно
соотношение на разрыве, который получается при предельном
переходе к —> 0, а —> оо в случае, когда произведение ка стре-
стремится к конечному пределу. С учетом наличия одного допол-
дополнительного соотношения дозвуковой фронт горения становится
эволюционным.
25.46 Для идеального совершенного газа (р = />ДГ, R = сР -
cv, 7 = сР/су) при адиабатическом движении р = Ар1. Интеграл
Бернулли, см. § 10, принимает вид
2 т-1р
где С(С) постоянна на линии тока С. Эта постоянная может
быть выражена через параметры торможения ро, р0, Go, -^Ь
v2 , 1 Р _ 1 Ро _ «о „
2 7-1 р J -I ро 7-1
234 Глава 5. Механика жидкости и газа
Максимальная скорость г;тах, возможная для данной линии тока,
достигается при истечении газа в вакуум, т. е. при р = 0 и
р/р = 0. Из интеграла Бернулли получаем, что
7-1
Критическая скорость достигается в точке, где v = а = и*. Под-
Подставляя это условие в интеграл Бернулли, получаем
/ 2 _ /7-1
V7+1 V^ + 1
Для воздуха при Го = 288 К, а0 ~ 340 м/с, vmax — 850 м/с,
i;* ~ 310 м/с. При нестационарном истечении в вакуум скорость
на границе с вакуумом равна 2ao/(j — 1), см. задачу 25.30. Для
воздуха она в л/b раз больше, чем vm3LX.
25,47 Интеграл Бернулли для несжимаемой жидкости при от-
отсутствии массовых сил имеет вид
">+Р = РЛ йли -?. = !-?!!,¦ @.25.27)
2 р р ро %
где ро — давление торможения, р — ро = const. Из интеграла
Бернулли для адиабатического движения совершенного газа, см.
задачу 25.45,
^2 7 Р = 7 Ро
2 7 - 1 Р 7 - ! Ро'
используя уравнение адиабаты р/й) = (^/Р°O' получаем
" V 2 У V
7 2р0 У V 2
Если г; <С «о, то правую часть можно заменить приближенным
выражением используя разложение в ряд
ро 2а0 V 4g " / 2 V
При v2/uq ^ 1 вторым членом в скобках можно пренебречь.
Тогда выражение для р/ро для газа становится таким же, как
для несжимаемой жидкости.
25. Механика сжимаемой жидкости 235
• При использовании для газа формулы для несжимаемой жид-
жидкости ошибка в давлении порядка одного процента получается
при и2/4ао < 0.01, т. е. при v ^ 0.2ао- Для воздуха в обычных
условиях по ~ 340 м/с. Следовательно, с ошибкой порядка 1%
воздух можно считать несжимаемой жидкостью при установив-
установившихся движениях со скоростями v < 68 м/с = 240 км/час.
25,48 Для сферически симметричного установившегося дви-
движения поток массы через любую сферу с центром в начале ко-
координат одинаков и равен расходу источника, т. е. 4irr2pv = Q,
где v(r) = vr. Следовательно,
Q
Чтобы найти и (г), выразим р{г) из интеграла Бернулли
f JP _
+
где ро и Ро — параметры торможения. В результате получим
Подстановка в закон сохранения массы дает
Г2 = ^^ г- = /
Функция f(v/vm3iX) имеет асимптоты v/vm3LX = 0и v/vmax = 1 и
минимум в точке, где
ц /т-1
Umax V 7 + 1'
В этой точке v — v* и М = и/а = 1. Течение возможно лишь в
области г ^ гтш, где
2 Q fj+l\2(-y-l)
Г*,. = -!:
mm л __ _ _ I о i
47Г/Оо^О \ ^ /
При г > rmin может быть дозвуковое течение, в котором v
растет от нуля при г = оо до v* при г = rmin, или сверхзвуковое,
в котором v растет от и* при г = гтш до vmax при г = оо.
236
Глава 5. Механика жидкости и газа
25.49 Поле скорости v = v^ = А /г (в полярной системе ко-
координат) удовлетворяет уравнению неразрывности div pv = 0 и
условию-rot v — 0 как в случае несжимаемой, так и в случае сжи-
сжимаемой жидкости. Постоянная А задает интенсивность вихря.
Так как движение установившееся, баротрошюе и потенци-
потенциальное, то верен интеграл Коши-Лагранжа
*4
2
IP
TPO
2 '
где ро, ро — значения р, р при г —>• сю. Отсюда
1 V
р = ро 1 —
Течение возможно только в области г ^ гт\п
А л /G-1)Ро
' ТП1П
2ТРО
При г = rmin, и = ^тах? М = схэ. Скорость v — v* достигается
при г = г* ~ A/v*. При г > г*, скорость дозвуковая и убывает
до нуля в бесконечности.
25.50 Уравнение неразрывности получается если написать за-
закон сохранения массы
d
~dt
v E
для контрольного объема, показанного на рис. 0.25.12.
pdV = I pvnda = {pvxU)x+dx - {pvxU)x = d(pvU) = 0,
25. Механика сжимаемой жидкости 237
Так как vn = 0 на боковой поверхности трубы, то
Vn — Vx в сечении (х + dx):
vn = —vx в сечении х;
Величина vx далее обозначается через v. Аналогично с исполь-
использованием закона сохранения количества движения и энергии по-
получаются остальные уравнения.
25.51 Запишем уравнение неразрывности в форме
dp dv dtt Л
р v И
Далее из уравнения движения, используя условие обратимости и
адиабатичности ds = 0, получаем
1 2
-dp— — dp — —v dv;
P P
следовательно,
dp v ш о dv л я v
— = -— dv = -M2—, M = -.
pa1 v a
Поэтому
,M»-1)?=*
v п
Рис. 0.25.13.
Таким образом, в дозвуковом, М < 1, установившемся потоке
при сужении трубы скорость увеличивается, а в сверхзвуковом,
М > 1, — уменьшается. Чтобы получить на выходе из тру-
трубы сверхзвуковую скорость, имея на входе дозвуковую скорость,
нужно использовать трубу, сечение которой сначала уменьшает-
уменьшается, а потом увеличивается* как показано на рис. 0.25.13. Труба
такой формы, используемая для выпуска газа, называется соп-
соплом Лаваля.
9 Зак. 2369
238 Глава 5. Механика жидкости и газа
25.52 Поступал так же, как при решении задачи 25.51 и учи-
учитывал, что Q — const и ds — 0, где s — энтропия, получим
M2-l) — = Frdx.
v
Пусть ось х выбрана так, что v > 0.
а) Fx — д > 0, дозвуковой поток замедляется, сверхзвуковой
поток ускоряется.
б) Fx — —д < 0, дозвуковой поток ускоряется, сверхзвуковой за-
замедляется. Физический смысл этого результата можно понять с
помощью следующих рассуждений. Рассотрим столь малые ско-
скорости, что в уравнениях движения величиной vdv можно прене-
пренебречь. Тогда зависимость давления и плотности от координаты
определяется уравнением гидростатики и условием s = const,
при этом плотность падает с высотой. В силу сохранения пото-
потока массы pv = const, значит, скорость с высотой растет. Дру-
Другой предельный случай — когда скорость очень велика, а членом
(dp)/p можно пренебречь. Движение происходит почти по инер-
инерции и частицы за счет действия силы тяжести замедляются при
движении вверх и ускоряются при движении вниз.
25.53 Используем уравнение состояния совершенного газа в
виде
s
р = Cecv р7, С — const.
Тогда
dp\gT = —7
dp —a dp-\ —, а ——, 7-— — •
Су р Су Су
Из уравнения энергии, см. задачу 25.50, с учетом тождества
Гиббса
получаем
— = — dp H ds = —v dv — Г ds = —v dv + f dx.
p p pcv
Следовательно,
dp 2 dv T p 2 dv 1
— = -M ds — ds — —M — ds.
p v a1 palcv v К
25. Механика сжимаемой жидкости 239
Используя еще уравнение неразрывности, запишем
Так как движение адиабатическое, то энтропия частиц при дви-
движении возрастает за счет трения, ds > 0 если v > 0. Следова-
Следовательно, дозвуковой стационарный поток в результате действия
трения ускоряется, сверхзвуковой — замедляется.
25.54 Используя результаты задачи 25.51, запишем
() ^
так как в рассматриваемом процессе
где dq — количество тепла, подводимое к единице массы газа за
время dt = dx/v, v > 0.
Если тепло подводится к газу, то dq > 0, и тогда дозвуковой
поток ускоряется, сверхзвуковой — замедляется.
Если тепло отводится от газа, то dq < 0, и тогда дозвуковой
поток замедляется, сверхзвуковой — ускоряется.
Можно осуществить разгон газа-от дозвуковой скорости до
сверхзвуковой, если подводить тепло, пока скорость не станет
равной скорости звука, а затем на последующем участке трубы
тепло отводить. Такое устройство называют тепловым соплом.
240 Глава 5. Механика жидкости и газа
26. Газовал динамика
26.1 a) w — ±а, pw\ = /un, a = 0;
pw[divv]= f^l, [rott;] = 0.
Соответствующие слабые разрывы суть звуковые волны.
б) w — О, /i = О, (А, п) = 0, а одна или обе из величин а и (Л, г)
отличны от нуля. В общем случае
[div v] = 0, [rot v] = п х А ф 0.
Этот тип слабого разрыва есть энтропийно-вихревая волна.
26.2 Согласно формуле B6.1)
'Т\ > о
Поэтому в газе в состояниях (pi,pi) и (/>2>Pi) энтропия и темпе-
температура не могут при р2 Ф Р\ иметь одинаковые значения.
26.3 Могут, например в случаях, когда тангенциальный (или
контактный) разрыв разделяет:
1) два газа с разными термодинамическими свойствами, кото-
которые при одинаковых риТ имеют разную плотность;
2) жидкость и ее пар, в состоянии равновесия.
26.4 Вычислив производные
(8Н\ (дН
получим формулы
(дН\ __ Vq-V (дру
Справедливость формулы для (dn+l Н / dVn+1) 8 можно доказать
методом индукции. В точке (Vo;po) ударная адиабата Я = О
и изоэнтропа s = so имеют касание не ниже второго порядка,
поскольку в этой точке
\dvjs '
26. Газовая динамика
241
26.5 Искомые производные и соответствующие разложения
имеют вид
T[d3s\ _ 1(д2р\ „_{д2р\ (Уо-УK .
V J° Л/3 и ""о ЯШ ' S-SQ-
jHo
12Г0
24ГО
26.6 Решение показано на рис. 0.26.1.
Рис. 0.26.1.
26.7 Для рассматриваемых случаев возможны ударные волны
небольшой интенсивности следующего вида:
1) V<V0; 2) V>V0;
3) невозможны;
4) V < Vo и V > Vq.
26.8 Утверждение следует из выполняющегося на ударной
адиабате соотношения
ds\ (v v2
{УУ)
26.9 Искомые предельные значения равны
1
/о \dVM' \dVjHo 2
\dV2U'
\ dV2 )h0 6T0 Vdsho \dV2U 3 VdV3)*o
242 Глава 5. Механика жидкости и газа
26.10 Искомые разложения функций имеют вид
26.11 Следует из решений задач 26.5 и 26.10.
26.12 Из полученных в задаче 26.4 формул для производных
(дН\ (дН\ /дп+1Н\
следует, что для рассматриваемых сред верны неравенства
("НТ7 ) > ° ПРИ s = *о, V ф Vb и при 5 < 50, V < Vb;
;• ¦ (Л)
Неравенства для функции H(V, s] Vb,so), которые требуется до-
доказать в задаче, вытекают из ее монотонности на указанных в
(А) диапазонах значений *V и s по соответствующей переменной
и из того, что //(Vb, so; Vo, ^o) = 0.
Точки (V, s), удовлетворяющие уравнению Н(У, 5, Vb, So) = 0^
могут принадлежать только областям
{V <V0, s>80) и (V>Vb, *<*>).
Следовательно, согласно второму закону термодинамики, в сре-
средах, у которых
ударные волны разрежения невозможны.
26. Газовая динамика 243
26.13 а) Формулы следуют из соотношений
(dH\ _(дН\ ГдН\ fds
\dVjj2 ~ \dVj* + \!h)v \dV
др\ /др\ (ds\ .2
б) На рассматриваемой прямой ,s, (ds/dV)p, Я, (dH/dV)p суть
непрерывные функции V, причем «(V/,) = ^(Vo) и в точке экс-
экстремума функции s(V) производная
fd2s\ _ fds\ Гд2р\
Следовательно, на прямой существует точка M(Vl < Vm < Vo),
где s(V) имеет абсолютный максимум при рассматриваемом зна-
значении j2, см. рис. 26.3. Следовательно, в соответствии с полу-
полученными в п. а) формулами,
>0 при v<Vm>
{т?)р<0 при v>Vm-
Отсюда и из того, что H(Vl) < 0, см. задачу 26.12, Я (Vo) = О,
следует утверждение, сформулированное в задаче.
26.14 Для каждого фиксированного j2 такого, что
р\ .2
SQ
в точках (Vo,po) и (V", р) пересечения прямой р — ро — i2(Vo — V) с
ударной^адиабатой H(V,p; Vo,Po) = 0 выполняются неравенства,
см. задачу 26.13 и рис. 26.3,
в точке (Уо,Ро), f < ~(gyj, в точке
Из них и условий на ударной волне B6.7') следует, что
244 Глава 5. Механика жидкости и газа
26.15 В области V < V$ на ударной адиабате выполняется
неравенство, см. задачу 26.13,
(дН\ _ /Щ (д_Н\ (др_\
\dVjs~ \dVjp \dpjv \dVjs >и'
а в области V ^ Vo — неравенство
(дН\ (дН\ (д*\
\dpjv \dsjv\dpjv
Следовательно, для рассматриваемых сред на ударной адиабате
производные
(дН\ (дН\
\dvjp и \др)\
не обращаются одновременно в нуль.
26.16 1) Уравнение ударной адиабаты для совершенного газа
имеет вид
Ро ~ V-xVo' X~ т+1'
V
2) lim — = х-
> р->оо Vq
26.17 Возрастает, так как для совершенного газа
(dT\ а2 + 2хст + 1 р
cv I—- =Т— ——, (т = —, к~
\dsJ (сг IJ р
\dsJH (сг - IJ ро 7+1
26.18 Ответ:
26.19 В совершенном газе возможны только лишь ударные
волны сжатия (р > ро, V < Vo), а ударные волны разрежения
(р < Ро, V > Vq) невозможны, так как
26. Газовая динамика 245
26.20 а) Из условий на ударной волне B6.7') следует, что
( \ ч\г лг\ ¦ IР-РО
{v-Vo)'n = j(Vo-V), где j = < / — —.
V Vo - У
Учитывал, что у волны У+ вектор п направлен по оси ж, то есть
п = е, и п = -в у волны У~, получим, что уравнения кривых
, У~ имеют вид соответственно
и - щ — а0
б) Качественные особенности кривых У+ и У~ определяются
неравенствами
dp d2p , dp d2p
-Г > 0 и —% > 0 на У+; -f < 0 и —? > 0 на У".
а^г at// du
в) Зависимость ординаты р от параметров Vb и 7 характеризу-
характеризуется соотношениями
dp _ ро{а-1)(а + х) dp_ (l-x)(a2-!)
dV0 " Уо(^ + 1 + 2х) ' ду~Р° 2(а+1
р
Так как к < 1 и на ударной волне <т = — > 1, то
Ро
26.21 Искомые решения имеют вид
1) и — I — dp = const, 5 = const, ж = (w + aL +
/ a
/" V
2) u+ — dp = const, s — const, x = (u — a)t + (p(p).
J a
Здесь f(p) и <p(p) — произвольные функции.
26.22 В лагранжевых переменных ^, ? простые волны опреде-
определяются соотношениями
1) и — / — dp = const, 5 = const, ? = — + /i(p).
/ V f at
2) u+ —ap = const, s = const, ? = — — +
J (X V
Здесь /i(p) и <^i(p) — произвольные функции.
246 Глава 5. Механика жидкости и газа
26.23 Давление (скорость) можно задать в виде произвольной
дифференцируемой функции #, а скорость (давление) — так,
чтобы выполнялось одно из соотношений
[У , [V ,
и — / — ар — const или и + / — ар — const.
J a J а
Энтропия должна быть постоянной.
26.24 Если фронт простой волны обращен в сторону области
х > 0, то справедливы соотношения
=-F(p), ( )^
_ V4 (д2р\
Если фронт простой волны обращен в сторону области х < 0, то
справедливы соотношения
8t~~ a dt' дх~~ а дх' ^Л" W
26.25 Характер начальных данных позволяет предположить,
что решением задачи будет, по крайней мере на некотором от-
отрезке времени 0 ^ t ^ fci, простал волна
и= — dp + ci, s = c2, x = (u + a)t +f(p),
J a
где постоянные ci и с2 и функция /(р) определяются по началь-
начальным данным. В соответствии с этим решением на каждой С+
характеристике р и и должны быть постоянными.
Изучим поведение производной др/дх со временем при фик-
фиксированном р, опираясь на формулу
(tV*(d*p\ , Л dp
lM4 + /(p)J = 1
см. решение задачи 26.24.
26. Газовая динамика 247
Из нее следует, что при t — 0 должно выполняться равенство
f( \**p _
дх t=0
Поэтому, см. рис. 26.4,
f'(p) > 0 там, где рх > О, f'(p) < О там, где рх < 0.
При t > 0 на участке, где ff(p) > 0, для каждого р производная
др/дх с ростом t уменьшается, оставаясь положительной.
На участке, где f'(p) < 0, для каждого р производная др/дх по
величине будет возрастать со временем и в некоторый момент
времени, став неограниченной, сменит знак с минуса на плюс.
Следовательно, существует момент времени t* такой, что при
t > t* распределение р по х станем неоднозначным. Этот эффект
называется опрокидыванием простой волны.
26.26 1) Опрокидывания простой волны не произойдет, если,
например, в начальный момент времени др/дх > 0 на отрезке
а ^ х ^ 6, а вне его давление постоянно.
2) yj-p
3) Можно, так как
_ V^_((Pp\ др_ +== (
дх ~ 2a3\dV2)sdx' ~{dt) '
26,27 В простой волне, фронт которой обращен в, сторону
области х > 0, выполняются неравенства
dp du ч dp du
а» i<0' ж<0; 6> i>0' й>0-
а в простой волне, фронт которой обращен в область х < 0:
ч dp du \ dp n du Л
26.28 В газах, у которых
в неопрокидывающейся простой волне температура частицы
убывает, а ее удельный объем увеличивается.
248 Глава 5. Механика жидкости и газа
26.29 Граница между областями 1 и 2 должна быть поверхно-
поверхностью слабого разрыва, т. е. характеристической поверхностью
семейства С+ (или семейства С~). На ней должны быть посто-
постоянны и непрерывны и, р и s, а следовательно, и оба инварианта
Римана J+ и J~. Поэтому в области 2 инвариант J~ (инвариант
J+) и энтропия будут иметь постоянное и одинаковое значение
на соответствующих характеристиках.
26.30 а) и, р и s — константы.
Г V
б) иТ — dp — const, s = const, x — (и ± a)t.
J и
Искомое частное решение должно содержаться в частных реше-
решениях, найденных в задаче 26.21, так как из и = и{т]), Р — Piv)
следует, что и = и(р). Зависимость и и р от х и t будет иметь
искомый вид в тех случаях, когда произвольные функции f(p) и
(р(р) в решении задачи 26.21 равны нулю.
26.31 Уравнения имеют вид
, ^>0, . «@) - «о =-гао;
du
[
\
Ро L ra0
2
где г = -.
7~ 1
26.32 Для рассматриваемой центрированной волны
2а х г- 2ао
и = Jo , и + а = -, Jo = щ = const,
7 — 1 t у — I
а уравнение С~ — характеристик: dx/dt = и — а. Из указанных
соотношений следует, что
(dx
—
Проинтегрировав эти уравнения, получим уравнения С~~-харак-
теристик и закон движения частиц соответственно:
где х— G — l)/G + l); c\ и С2 — константы; ^о — скорость газа;
по — скорость звука перед фронтом волны.
26. Газовая динамика 249
26.33 Для совершенного газа частное решение системы B9.9),
соответствующее простой волне, фронт которой обращен в сто-
сторону области х > О, см. задачу 26.21, имеет вид
г = сь s = c2, х = (и + a)t + f(p). (A)
7-1
Чтобы построить решение рассматриваемой задачи, надо по за-
заданным условиям определить произвольные постоянные ci, С2 и
функцию /(р). Определим сначачЛа с\ и С2. На фронте простой
волны и, р, s непрерывны, а перед ее фронтом, в покоящемся
газе, и ~ 0, р = ро, s = s0. Следовательно, согласно (А),
С\ = И С2 = Sq.
7-1
Учитывая, что
J2L
Ро
7-1
и, согласно (А), а = ац -\ —г/, представим соотношения (А) в
иной форме
¦¦¦-*¦
Ро \ 2 по/ \ 2
(В)
Функцию f(p) определим по известному закону движения
поршня, имея в виду, что на нем должно выполняться граничное
условие и = X(t). Предварительно отметим, что на каждой ухо-
уходящей от поршня звуковой волне С+ скорость газа и давление
остаются постоянными. Каждому значению щ а также р, можно
поставить в соответствие парамерт т — момент времени, в ко-
который соответствующая звуковая волна С+ уходит от поршня.
Очевидно, что соответствие между ииг,а также между риг,
будет взаимно однозначным, если при t > 0 производная X(t)
не меняет знака. Полагая в третьем соотношении в (В) t = г,
х = Х(т), и = Х(т), определим /(р) как функцию параметра т
Г.
250 Глава 5. Механика жидкости и газа
Решение задачи в области X(t) ^ х ^ dot представляется в па-
параметрическом виде
27
у J I
и = Х(т), р = ( 1^
а в области х ^ a$t — в виде: и = 0, р = р#, s = 5о-
Согласно решению задачи максимальное по модулю значение
скорости газа в простой волне достигается при р —>• 0 и равно
и@) — — 2ао/(т ~ !)• Следовательно, поршень не оторвется от
газа и вакуум вблизи него не образуется, если при всех t > 0 вы-
выполняется неравенство X(t) > - 2ао/(т ~ !')• Если же, начиная с
момента времени ?i, выполнено Х(^) < —2ао/G — 1)? то образу-
образуется зона вакуума. Ее границы определяются неравенствами
а границы простои волны в этом случае — неравенством
X(ti) - 2а0 ^ х ^ aot.
7-1
26.34 Чтобы ответить на поставленные вопросы, надо изу-
изучить, как и в задаче 26.25, поведение поизводных ди/дх и др/дх
со временем при фиксированном р. В рассматриваемом случае,
см. решение задачи 26.33, р = р(т), а производные ди/дх и
др/дх, как функции t и параметра г, определяются следующими
соотношениями
дт\ dp dp ди dp Po f P
dxjt' дх du дх' du ао \ро
Ш),* Ц1*^- т» - Ц^Мт)-*,, (А)
l+^(r)=(f)^
2.а0 \poJ
Из соотношений (А) следует, что на поршне, при t — т, для
каждого р G @, ро] и соответствующего ему значения т произ-
производная (dx/dr)t отрицательна.
26. Газовал динамика 251
Если X(t) < 0, то неравенство (dx/dr)t < 0 выполняется и
при t > т. Это значит, что при X(t) < 0 производные ди/дх и
др/дх будут при каждом фиксированном р ? @, ро] монотонно
убывать, стремясь к нулю с ростом t, и опрокидывания простой
волны не произойдет.
Если же X(t) > О, то при некотором t > т производная
(dx/dr)ti обращаясь в нуль, изменит свой знак, а производные
ди/дх и др/дх при этом, согласно (А), изменят свой знак, обра-
щаясь в бесконечность. Иными словами, если X(t) > О, то про-
произойдет опрокидывание простой волны.
Совокупность значений t и ж, при которых ди/дх и др/дх
обращаются в бесконечность, образует в плоскости (х; t) кривую
t = i(r), s = i(r), где
х(т) - Х(т) + (ао +
- г).
Время t* и место х* образования ударной волны определяют-
определяются из условия
U — mint(r).
Вычисления значений t* и х* при
X(t) = b. и Ь>0
п + 1
дают следующий результат:
Прип = 1: U ° t
G + 1N
_ 2o0(B7+l)n- l)t«
* / i Л \ ( I i Л \ i
252 Глава 5. Механика жидкости и газа
26.35 В этом случае в газе образуется простая волна, голов-
головная часть которой будет центрированной волной. Можно также
сказать, что в газе образуются две волны — центрированная
волна и примыкающая к ней простая волна. Решение имеет вид
В области х ^ aot:
и = 0, р — ро, s — so-
( 7 + 1 \
В области (ао vojt ^ х ^ aot:
р ^л , ?-у "^
Ро V 2а0
2ао х
и = — + -, -v0 < и < 0.
7 + 1 t
( 7 ~f~ I
В области X(t) ^ х ^ (а
Ро
26.36 Решение задачи должно зависеть от х и t и постоян-
постоянных ро, Vo, f^o, ЙИ7, входящих в начальные и граничные усло-
условия и соотношения, определяющие термодинамические свойства
среды. Из ж, t и перечисленных постоянных можно образовать
только одну независимую безразмерную переменную rj = ж/&?,
где постоянная 6 имеет размерность скорости. Следовательно,
движение будет автомодельным. Возможны следующие случаи.
а) Uo > 0 — в газе образуется ударная волна.
б) С/о < 0 — в газе образуется центрированная волна;
т т 2а°
при Uo — центрированная волна примыкает к поршню;
тт / 2°о
при Uo < поршень отрывается от газа.
7-1
В последнем случае между поршнем и задним фронтом центри-
центрированной волны, где р = 0, образуется вакуум.
26. Газовая динамика 253
26.37 F увеличивается (уменьшается) с увеличением (умень-
(уменьшением) ?/о (или ро5 или т)- F увеличивается (уменьшается),
если Vo уменьшается (увеличивается).
26.38 а) Г/о больше в газе, у которого Vb больше,
б) f/o больше в газе, у которого у меньше.
26.39 а) Решение задачи должно зависеть от х и t и постоян-
постоянных Д, 7, w0n Poi и И)п i = 1, 2. Из ж, ? и перечисленных постоян-
постоянных можно образовать только одну независимую безразмерную
переменную г) = x/bt, где постоянная 6 имеет размерность ско-
скорости. Следовательно, движение будет автомодельным.
б) Могут образовываться следующие комбинации
1) R-KR+; 2) R-KY+: 3) Y~KR+] 4) УКУ*.
Возможны частные случаи:
i?"fi+; R~OR+; R~Y+; Y~ R+; У
26.40 Ограничения на начальные данные таковы:
< В у/ах,
A - х)тгх{А, В}
' f^
7-1
26.41 Ограничения на начальные данные таковы:
а) aOi + «02
«0
б) 0,01 + «02 > 7а(^01 - ^02) > «01 - «02? <?0 — ;
«01
ч / ч , ^02 7~ 1
в) ja[uoi - U02) > «oi + «02, ^0 = —1 « = -^—
Рог ^7
254 Глава 5. Механика жидкости и газа
26.42 Из начальных условий для р и и следует, что в газе
должна образоваться волна R~ и волна У+. Температура в цен-
центрированной волне убывает и за волной R~ будет меньше Го, а
в ударной волне Г возрастает и за волной У+ будет больше То.
Поэтому в газе кроме волн Д~, У+ обязательно должен образо-
образоваться контактный разрыв.
26.43 1) Значение постоянной to и координаты твердой стен-
стенки хт не влияют на течение газа при t > t0. Положим т = t — to
и хт — 0. Тогда рассматриваемая задача о движении газа при
г > 0 сводится к задаче 26.39 с дополнительными ограничения-
ограничениями. Движение при т > 0 автомодельно.
2) В газе образуется отраженная ударная волна.
3) Давление на стенке увеличится.
26.44 Положив т = t — to, а, координату х контактного разрыва
равной нулю, сведем рассматриваемую задачу о движении газа
при t > to к задаче 26.39 с дополнительными ограничениями на
начальные данные. Движение при t > t0 автомодельно.
а) При V\ < V2 в газе 1 образуется центрированная волна, а в
газе 2 — ударная волна.
б) При V\ > V2 образуется две ударные волны, распространяю-
распространяющиеся в противоположных направлениях. В общем случае, как
при V\ < V2, так и при V\ > V<i, образуется контактный разрыв.
26.45 В газе 1 отраженная волна не образуется, если заданные
при t < to на контактном разрыве значения ро, V01, V02, 7ь 72 и
давление р за фронтом ударной волны удовлетворяют условиям
26.46 Из уравнения движения в форме Эйлера следует, что
для стационарных течений
v дт д a д
—, кп= -777, 7T7 — т 7Г
v ol о1 ох
Вектор п направлен к центру кривизны линии тока.
v дт д a д
где г = —, кп= -777, 7T7 — т 7Г77? ^ — кривизна линии тока.
v ol о1 ох
26. Газовая динамика 255
26.47 Следует из уравнения движения в форме Громеки-Лэмба,
определения г*, см. формулу B6.14), и соотношения
Vi = TVs + VVp.
26.48 (-—-) < 0 при 0 < М < 1; (-—-) > 0 при М > 1.
\dpjs \opjs
26.49 Возможные случаи следуют из соотношения
(дМ^\ 2У{1- М2 + ГМ2) V (д2р\ (дУ\ в
а) если М < 1, то ( —— ) < 0;
\opjs
б) если М > 1 и Г > 1, то ( —- ) < 0;
\dpjs
в) если М>1иГ<1, тоМ может изменяться немонотонно.
а) если М < 1, то М может изменяться немонотонно;
fdM\
б) если М > 1, то —- > 0.
V dp Js
26.50 Рассмотрим функцию
(р(р*, 5,р) = г* - г(р, s) - 2а2(^' 5)'
Согласно определению критических параметров 4>{p*,s,pk) — 0.
Так как s* = Sk — s по определению, то s в обоих случаях
единственным образом определяется из уравнения состояния по
заданным величинам и задача сводится к отысканию pk (или
р*). Утверждения 1) и 2) следуют из монотонности функции
*, 5, р) по параметрам р и р*:
2
256 Глава 5. Механика жидкости и газа
26.51 Если при фиксированном s увеличить (уменьшить) р*,
то в рассматриваемых газах pk и 7\ возрастут (уменьшатся),
a Vk уменьшится (возрастет).
26.52 При стационарном течении D = 0 в рассматриваемой
системе координат и из 1-го и 3-го условий B6.6) следует, что
на ударной волне
y + i2 = y + *i, т-е- г*2 = **1.
26.53 1) На ударной волне энтальпия торможения г* непре-
непрерывна, см. задачу 26.52, и перед ее фронтом по условию посто-
постоянна. Поэтому в потоке за фронтом ударной волны г* = const и,
следовательно, rotv XV — TVs, см. задачу 26.47.
2) Это соотношение в проекциях на единичные векторы n, r и
т имеет вид
2(vTun-vnuT) = T(Vs-m);
2u>mvT = -T{Vs-n).
Здесь 2и = rot v.
26.54 1) Формула для ds/dl следует из соотношений
ds\ ?
2) =
2) Если плотность потока массы через ударную волну, как функ-
функция точки на ее поверхности не равна тождественно константе,
то этого достаточно, чтобы течение за фронтом было вихревым.
За фронтом ударной волны энтропия будет постоянной, если
а) iv = 0, ^ ф 0; б) vT ф 0, ^ = 0; в) vT = 0, ^ = 0.
Примеры: а) течение со сферической ударной волной,
б) осесимметричное течение с конической ударной волной,
в) плоская ударная волна, ортогональная Vo-
26.55 Воспользоваться соотношением di = Tds + Vdp. Для
вывода второй и третьей формул в правой части перейти к не-
независимым переменным (У, s) и (Г,р) соответственно.
26. Газовая динамика
257
26.56 Величина р* уменьшается, а V* возрастает. Это следует
из непрерывности г* и возрастания s на ударной волне и формул,
полученных в задаче 26.55.
26.57 V = Tf(p) (или г = i{T)). В совершенном газе на удар-
ударной волне [1\] — 0.
26.58 В совершенном газе а\ — A + x)RT* и поэтому на удар-
ударной волне [uk] — 0. Здесь я — G - 1)/(т + !)•
26.59 1) р*2 = P*ie-*, V*2 = Kie?, где q = flUfL.
2) Равенства следуют из того, что в совершенном газе на удар-
ударной волне [Г*] = 0, [Тк] = 0 и точки {V*,p*)i, .(Vk,Pk)i, i = 1, 2,
лежат на одной изоэнтропе 8 = S{.
26.60 Трубка тока на дозвуковом участке течения сжимается,
на сферхзвуковом — расширяется.
0
Рс
Рис. 0.26.2.
26.61 1) Зависимость q от р при фиксированных р*, s и F и
качественный вид графика этой функции, см. рис. 0.26.2, опре-
определяются соотношениями
'dpi _ М2-1
•*, s,p*) = 0, lim
2) При фиксированном значении р, где 0 <р < р*, отношение
ординат точек, лежащих на графиках qi{p) и gi(p) равно отно-
отношению F2/F1.
258 Глава 5. Механика жидкости и газа
3) Общий для всех сечений максимально возможный расход ра-
равен (/max — J{p*,s,Pk)Fm\n — максимально возможному "расходу
через минимальное сечение.
4) В сужающейся части сопла:
) < р*.
В расширяющейся части сопла:
p{F) 9max) ^ Р ^ Рвых — при дозвуковых режимах истечения,
р = рс, где 0 < pc{F, qmax) < Рк — при сверхзвуковом режиме.
5) Надо знать i = i(p, s) для рассматриваемого газа и
26.62 Воспользоваться дифференциальным соотношением
\dpjs dx dx
26.63 Возможные течения:
a) Mi = 1, M2 = 1; 6) Mi > 1, M2 < 1; в) Mi < 1, M2 > 1.
26.64 В переменных (?Д ?), где ук = хк -vkt, система B6.17)
запишется в виде
v't + VVp' = 0, Vp't + a2 div vf = 0, s[ = 0.
Исключив из первых двух уравнений и', получим волновое урав-
уравнение для pf) а исключив р',-получим волновое уравнение для
div и'. Из уравнения движения следует (dwtv'/dt) = 0. Следо-
Следовательно, rott/ = 2и'(ук), sf = sf(yk).
26.65 1) Записать систему уравнений B6.17') в характери-
характеристической форме. '=
2) Наличие у системы B6.17') приведенных частных решений
можно проверить, подставив их в B6.17').
3) Следует из 1) и 2).
26. Газовал динамика 259
26.66 Искомые соотношения имеют вид
26.67 Соотношения между инвариантами имеют вид
2М2 V- (g) ys' = A - МJJ'+ - A + МJ/",
2М A - ^-W = A - M)J'+ - A + M)J'~, M - -.
V W а
Коэффициент /1 отражения звуковых возмущений от плоской
ударной волны можно вычислить по формуле
_ 2A - М) - р . .
26.68 1) Из условий непрерывности иг и р' на контактном раз-
разрыве и формул, выражающих uf и р1 через инварианты J/+, J'"",
следует, что
/'+ 4- /'" — 7/+ 4- 7;" /'+ 7'" — Ж 7/+ 7;""\ Л — п2 1
ai\/2
2) Выразив J{+ и J'2~ через приходящие на контактный разрыв
возмущения, получим
т/+ _ I-* w- , 2^ г/+ т/- _ 2 ,_ 1-^ ,+
Ji ~ 1 + /1 +1 + Г2 ' 2 + Г1 + Г2 '
Следовательно,
Если J{ / 0, ^2+ = 0, либо J[ = О, J^ / 0, то величина
звукового возмущения при отражении от контактного разрыва
уменьшается, т. к. \Q\ < 1.
260 Глава 5. Механика жидкости и газа
26.70 Для рассматриваемого диапазона значений к при усло-
условии Mmin < М < 1 выполняется неравенство
дк
Ш<0'
Следовательно,
А» =
l + x+2yfx'
26.71 Искомые оценки таковы:
|) =9-4^5^0.058.
26.72 Значения Mo, M и А'(М,7) таковы:
при 7 = ,, — = 5: Мо = л/12, М = 0.6, К = —;
7 Р 9 м о м ^ л- 139 - 80^3
при 7 = г, — = -: Мо = 2, М = —, К = .
о ро * 3 11
26.74 1)«;о>ао, го < а, (Х + 2M)(ff )+/(^)у 7^ 0.
2) Опираясь на свойства решения системы B6.17') можно по-
показать, используя, например, метод характеристик, что при вы-
выполнении условий п. 1) возмущения однозначно определяются по
начальным данным на ударной волне х = Dt и в области х > Dt,
а в области х < Dt, t > 0 — по начальным данным и найденным
возмущениям на ударной волне.
3) Если в условиях п. 1) wq > по, w < а, то возмущения на
ударной волне будут равны нулю при t> **, где
f h h \
t* = max < , >.
{w0- a0 a- w)
Если в этих условиях имеют место равенства wq = а$ и w = a,
или хотя бы одно из них, то D' и уходящие от ударной волны
26. Газовая динамика 261
возмущения «/'", s', а также Jq~, s'o будут при ?, большем неко-
некоторого ?i, равны нулю. При Мо = 1 (М = 1) возмущение Jq+
(J/+) на ударной волне при t > О будет равно своему значению
при ? = 0.
2) ,
s'tft) = -Ks'(t), D'{pt) = -KD'(t);
где /1 — коэффициент отражения звуковых возмущений от удар-
ударной волны, см. задачу 26.67.
3) В зависимости от значений коэффициента К возможны сле-
следующие случаи:
\К| < 1 — устойчивость,
|А'| = 1 — нейтральная устойчивость,
\К\ > 1 — неустойчивость.
26.76 1) Через К и Q обозначим коэффициенты отражения
звукового возмущения от ударной волны и контактного разрыва
соответственно, см. задачи 26.67 и 26.68. Тогда
г QKu'{t), р'Щ = QKp'(t),
= QKs'(t), D'(fit) = QKD'{t).
2) В зависимости от значений QK возможны следующие случаи:
\QK\ < 1 — устойчивость,
\QK\ = 1 — нейтральная устойчивость,
\QK\ > 1 — неустойчивость.
26.77 Для рассматриваемых газов имеют место неравенства
\wo\ > по и \w\ < а, см. задачу 26.14, и при ограниченном \К\
выполняются условия п. 1) задачи 26.74, при которых ударная
волна будет устойчивой.
26.78 Да, так как для совершенного газа верны соотношения:
ifL \ 4- -i2 — 1 "> П. Iwnl > Яп. Ы < а. \К\ < 1.
Следовательно, и \QK\ < 1, так как \Q\ < 1.
262 Глава 5. Механика жидкости и газа
26.79 1) [t0; pt0], \tof3n-1- toCn , где /? = —;
2)
3)
Положение ударной волны неустойчиво при |Д| > 1 и при R — 1.
4) С@=
Положение ударной волны устойчиво при |Д| < 1.
26.80
Положение ударной волны устойчиво при \Ri\ < 1, и неустойчиво
при |i?i| > 1 и Й1 = 1. Здесь Rx = 0QK.
26.81 Да, поскольку для совершенного газа \(ЗК\ < 1 и, следо-
следовательно, \QflK\ < 1, так как \Q\ < 1.
Требуемые оценки:
В(|) = 1.875, В(|) = 1.833, В(|) = 1.75.
Здесь обозначено
В (у) = max В(М, 7).
М
26.83 Требуемые оценки:
Д(|) = 0.4, Й(|) = 0.308, й(|) = 0.146,
Здесь обозначено
ДG).=
М
26.84
Следовательно, если положение ударной волны в потоке устойчи-
устойчиво (неустойчиво), то положение контактного разрыва тоже будет
устойчивым (неустойчивым).
26. Газовая динамика 263
26.85 В общем случае
Для совершенного газа
где
,r , w »,2ч1-М-2хA-М2)
1 - x+ M2
причем j^V^f | = -—— < 1, так как Лг < 1. Здесь обозначено
В последнем соотношении характеристики невозмущенного по-
потока в области х ^ ut отмечены индексом 1, а в области х ^ ut
— без индекса.
Глава 6. Теория упругости
28. Линейная теория упругости
28.1 Ненулевыми являются лишь диагональные компоненты
тензора деформаций:
А + /i p А
6 Р = в Е = р
Искомые соотношения между модулем Юнга Е, коэффици-
коэффициентом Пуассона v и коэффициентами Ламе А и ц:
Е = //(ЗА + 2fi) ^= A
-i/)' r 2(l + i/)"
28.2 Напряжения и деформации равны
рА
Pll = -Р, РП = Pl3 = Р23 = 0, р22 = РЗЗ = - ч , о
11 ~ А+ 2//' <¦"-"«-"•
28.3 Тензор напряжений имеет лишь две ненулевые компо-
компоненты pi2 = P21 = т, остальные компоненты равны нулю;
т ~ ¦ ~ Е
7 = 2ei2 = -, г =
,я, f _ 1 Р9Ц д_ Р к-\л.2п- —
о A + oit A + 5Д о oil — .
28.7 po^=^AV12+g(j2-^i2I Л' = А + ^, G = д.
28. Линейная теория упругости 265
28.8 Использовать разложение функции состояния в ряд по
малым величинам Е{3 и Г — Го, считая, что в ненапряженном
состоянии деформации отсутствуют.
б) poT(Ju J2, Js,T) = ^- + fiJ2- aJi(Г - Го) -
Pij =
28.9 6) pij = XJi&ij + 2jifSij - b'(s - so)StJ.
28.10 a = щК = За/1, /i = Л + -//.
28.11 Применить второй закон термодинамики; Ь = ——.
28.12 Компоненты тензора деформаций суть
9XJi(p)8i
1 г л
= — A + v)pij — vj\\p) Sij\ + oi{T — Tojdij.
Jlj
28.13 Выражения для инвариантов девиатора напряжений:
Очевидно,
jf>0 и 72 < 0.
Подставляя выражения для pfj и efj в закон Гука, получим
266 Глава 6. Теория упругости
28.14 Из уравнения
дТ_ _
находим выражение для (Т - То)
Зависимость напряжений от деформаций определяется соотно-
соотношением
..= Л , 9а2А:2Го\ у | 2 ^
28.15 Связь между изотермическими и адиабатическими ко-
коэффициентами:
Л Л|(ЗА + 2МJГо / 9с?Т0К
28.16 Воспользуемся термодинамическим уравнением Гиббса
й.Т{ец, Т) = - pij detJ -sdT = d^-^-_ - - ец dplJ - s AT.
Отсюда видно, что можно ввести термодинамическую функцию
Т) = ±рЧец-Пец,Т)
такую, что
дФ
Если для среды выполняется закон Гука, то Т и Ф являются
квадратичными формами, т. е.
что приводит к равенству
28.17 Равновесие устойчиво, если для создания произвольной
дополнительной деформации Aeij = ?ij — e*j требуется прило-
приложить дополнительные силы, которые производят для этого до-
дополнительную работу. Очевидно, эта работа равна разности
28. Линейная теория упругости 267
между приращением энергии тела и работой приложенных на-
напряжений plJ*
Для малой дополнительной деформации Aeij — ?t-j—?*•, сохраняя
в разложении ^(sij) члены до квадратичного, получим
д2Т А А
AetJ Аеы > О,
если не все Е{2 равны нулю. Такие функции Т называются вы-
выпуклыми. Таким образом, для устойчивости необходима вы-
выпуклость функции Т'.
Для линейной упругой среды представим Т в виде суммы
энергий изменения объема и сдвига
см. задачу 28.7. Требование выпуклости функции Т дает усло-
условия К > О и ц, > 0. Используя результаты задач 28Д — 28.4,
получаем неравенства А>0и-1^г/^ 1/2.
28.18 Выражение функции свободной энергии имеет вид
А(^'J + %3 &dijJ +
Для задания материала необходимо 9 упругих констант: А, //,
т, п1 /, A:, c?i, с?25 ^з? где dx? ^2i ^з — главные компоненты сим-
симметричного тензора d{j. Вместо них могут быть использованы
A'i, К2, К3 — скалярные инварианты тензора d{j.
28.19 Выражение для функции свободной энергии:
рТ = - \J\ + pj2 + me3je33 + fcWi + ^^зз-
Зависимость компонент тензора напряжений от деформаций:
Pll = AJi + 2д?ц + -кзз, Р22 = A Ji + 2fl?22
Рзз = AJi + 2^33 + 2(m + n + О^зз + К?п +
pi2 = 2^12, Р13 = 2(/i + m)?i3, P23 = 2(// + m)e23-
268 Глава 6. Теория упругости
28.20 Компоненты тензора деформаций суть
. _1 B/л+ 1)р
28.21 Пользуясь результатами задачи 28.19, запишем
divw + vAwl + (l + m)^ + m,
/х ч # ,. л /, ч d2w3 d2w2
ра2 = {X + fi)-—divw + fi Aw2 + {l + m) —— + m ——,
ay dyaz az2
pa3 =(\ + fi)~d'ww+(ii + m) Aw3 +(m+2n + 21) -^
d2w
dydzj'
28.22 Применить операцию div к уравнению равновесия в пе-
перемещениях.
28.23 Воспользоваться результатами задачи 28.22.
28.24 Компоненты перемещения W{ представим в виде
где кр{ — три гармонические функции, удовлетворяющие урав-
уравнению Лапласа. Подставляя W{ в уравнения Ламе, получаем для
функции ф уравнение Пуассона
Его решение имеет вид ф = фо + фр, где ^о — решение одно-
однородного уравнения А^о = 0, т. е. ^о — гармоническая функция,
а фр можно искать в форме фр = Ащхк, к = 1, 2, 3. Задача,
сведена к отысканию четырех гармонических функций фо и (pk
= !. 2,.3.
28. Линейная теория упругости 269
28.25 Искомые деформации равны
S = il я) ? S
28.26 6=
U = ° ПРИ
28.27 Ось ж направим вдоль троса вниз, х = 0в точке подвеса.
Уравнение равновесия в проекции на ось х имеет вид
При х — I получим ри = F/S, где F — вес груза, 5 — площадь
поперечного сечения. Распределение напряжения:
F
Максимальное напряжение:
F
(Pll)max = ТГ + pgt < °Ъ,
где G5 — допускаемое напряжение. Для данного троса:
28.28 Растягивающая сила Р
действует вдоль оси х стержня
поперечного сечения 5, в резуль-
результате чего возникают напряжения V
Рп = P/S, а остальные компо-
компоненты равны нулю. Найдем мак- р п 28 1
симальные растягивающее и ка-
касательное напряжения. Вектор напряжения на любой площадке,
расположенной под углом а к оси ж, равен', см. рис. О.28.1г
Р
Рп=Р\
Р Р
где |ei| = 1, рпп = —cos2 а — растягивающее и рпт'= —sin2a
— касательное напряжения. Их максимальные значения равны
/ \ Р ( \ 1 Р тг
[Рпп) = — при^^О и [pnrj = -— при а= -,
\ / max ,S ^ y max 2 i 4
10 Зак. 2369
270 Глава 6. Теория упругости
следовательно, должны выполняться ограничения
р
5 *
; 1400
кгс
см2
и
1
2
Р
5
600
кгс
см2
откуда получаем предельное значение силы
Р< 30 000 кгс.
28.29. 6=-——~ 0.027 см.
О ?j
Р
28.30 В каждом сечении х находим рц — . Из уравне-
Ьо + Oix
ний равновесия следует
аР а2Р
Рп = ~
где функции / и <р определяются из граничных условий на боко-
боковой поверхности рп — 0, n = {sin#; cos б}. Получаем / = <р — 0.
Так как задача решалась в напряжениях, следует проверить вы-
выполнение условий соместности. Для плоской задачи это одно
уравнение, см. задачу 28.54,
д2Рп д2р22 о д2ри
Полученное решение удовлетворяет этому уравнению, если пре-
пренебречь членами порядка а2. Для вычисления S используется
закон Гука ?ц — j$ (Рп — I'Pii)- Так как приняли ргг — 0, то
1 / , Р1
d
28.31 Ищется приближенное решение задачи, в котором счи-
считается, что имеются лишь напряжения вдоль оси стержня рхх.
Напряжения складываются из тех, которые вызваны силой Р, и
тех, которые вызваны весом части стержня ниже рассматривае-
рассматриваемого сечения. Пусть в сечении S(x) напряжение рхх(х) равно а.
Тогда в близком сечении 5(х + Ах) выполняется
{<r+.pgAx)S
28. Линейная теория упругости 271
Считая, что рхх = const, получим дифференциальное уравнение
для S
(а + рд dx)S — a(S + dS).
Его решение: 5 = S^e ° , причем а = рхх@) — —.
Ответ: Форма стержня — сосулька, S(x) = S^e ° .
28.32 См. решение предыдущей задачи. Роль силы тяжести
играет центробежная сила F = и>2х. Равенство напряжений в
сечениях х и (х — dx) дает уравнение
(а — ри2х dx)b
(Т= b-db "
Отсюда получаем Ь{х) — Ь$е 2 о .
28.33 Компоненты тензора деформаций:
У\ ~ VP2 _Р2~ vp\ _
^ , ^22- ^ , ^33-
недиагональные компоненты тензора равны нулю.
Относительное изменение объема и максимальное касатель-
касательное напряжение соответственно равны
~у- = ^(Pi+P2)A-2j/), rmax= -(pi -p2).
28.34 Используя принцип Сен-Венана, решение ищем в виде
рхх z=z —ay, a = const, остальные pij = 0.
Граничные условия на боковых поверхностях удовлетворены. На
торцах
Тх = Iрхх dS = 0, МХ = МУ = 0, Mz = al = М,
s
где I — \ у2 dS — момент инерции поперечного сечения стержня
5
относительно оси z. Отсюда получаем а = М//. Деформации
вычисляются по закону Гука
М М .
?хх = --^j У, ?уу = ?zz = v -gj y' E{i = ° при г г 3-
272 Глава 6. Теория упругости
У
Рис. 0.28.2.
По ним находятся перемещения. Обнаруживается, что имеется
нейтральная ось, на которой ехх — О, а сечения стержня повора-
поворачиваются, оставаясь плоскими и ортогональными оси. Обозна-
Обозначим через 7/ прогиб балки, т. е. перемещение точек нейтральной
- М 2
оси вдоль у. Уравнение нейтральной оси — парабола г\ — х
2EI
u I M d2rj
с кривизной - = - * —.
28.35 Предполагаем наличие нейтральной оси, длина элемента
волокна которой не меняется при изгибе. Рассмотрим элемент
балки между двумя близкими сечениями, см. рис. 0.28.2. До
изгиба длина 5 всех продольных волокон этого элемента равна
одной и той же величине So- После изгиба длина волокна ней-
нейтральной оси S = So — R(f сохранится, где R — радиус кривизны
нейтральной оси, <р — угол поворота сечения при изгибе. Длина
волокна на расстоянии у от оси на основании гипотезы плоских
сечений составит
Таким образом.
5*о R
Из закона Гука рц = —Ey/R. Такое распределение напряжений
соответствует моменту
28. Линейная теория упругости 273
Отсюда получаем уравнение для изогнутой оси балки
1 _ d2T] _ М
R~~d^~ EV
где г/(х) — прогиб балки — вертикальное перемещение точек
нейтральной оси.
28.36 Находим величину изгибающего момента в каждом сече-
сечении, рассматривая равновесие части балки, расположенной пра-
правее этого сечения
Пользуясь результатами задачи 28.35, находим
М(х) Р
р
Рхх = j(l-x)y,
dx* ~ у ~~ ЕГ ''
Отсюда получаем
x O/< \ it i/*\i JL &
28.37 Дифференциальное уравнение нейтральной оси балки
имеет вид
1-х
М(х)= J q{x
Изгибающий момент в сечении х вычисляется по формуле
1-х
J q{x
о
ось х направлена вдоль балки, начало отсчета на левом заделан-
заделанном конце. Подставим это выражение для М(х) в дифференци-
дифференциальное уравнение изогнутой оси и продифференцируем его два
раза по х. При этом
М"{х) = q(x)
и уравнение для 7](х) примет требуемый вид.
274 Глава 6. Теория упругости
28.38 Дифференциальное уравнение нейтральной оси балки
имеет вид
где М(х) — изгибающий момент в сечении х. При указанном
закреплении балки в ее торцевых сечениях возникают неизвест-
неизвестные реакции R и моменты Мо, в силу симметрии одинаковые по
величине на обоих торцах. Они тоже дадут свой вклад в М(х).
В результате:
X
М{х) = - [
x = --qx2
о
и получаем уравнение изогнутой оси балки
г. 2
'<*> =
Мо~ +Сх + С0\.
2
j
Неизвестные постоянные Д, Мо, С и Со определяются из гра-
граничных условий закрепления балки
7,@) = 7]A) = 0, 7/@) = ?/'(/) = 0.
В результате получим
ч7/ - ~24Е1 ^ ~~ Х' ' ^^ "" 384 ?7'
R=-ql, M0 = -—ql , p^ = — = —g^ -
Замечание. Это решение можно получить, интегрируя урав-
уравнение задачи 28.37 с указанными граничными условиями.
28.39 Использовать уравнение задачи 28.37 или решение за-
задачи 28.38;
28.40 См. указание к предыдущей задаче;
28. Линейная теория упругости 275
28.41 Профиль продольной деформации имеет вид
Коэффициент к найдем из граничных условий для температуры
(^) (~) = а(Г2-7Ь),
отсюда
, Т2-Тх
к-а h ,
и уравнение изогнутой оси имеет вид
А (т2 - гр (г2 - гр
28.42 Изгибающий момент в сечении х равен
1-х
l
о
где q — const — вес единицы длины балки. Тогда
Рп = jM(x)y= —q(l-xJy.
Компонента р\2 определяется из уравнения равновесия
дрп дри __ Q
дх ду
В результате интегрирования получим
Воспользовавшись граничными условиями pi2 h = 0, можно
определить функцию f(x)
тогда
я (
х=О,у=О 8/
276 Глава 6. Теория упругости
28,43 Согласно гипотезе плоских сечений вц = ку по всей тол-
толщине балки. При этом ось х должна проходить по нейтральной
оси балки, ?п@) = 0, положение которой а неизвестно и требует
определения. По закону Гука р^ = kEay, a = 1, 2. Суммарный
изгибающий момент М задан,
M = kEi [ у2 dS + кЕ2 f y2dS = k{EJi + E2I2),
Si S2
где Sa — площади сечений балок; 1а — их моменты инерции. По
М определяются к и, следовательно, р^:
к = М »« = МЕ°У
ElIl + E2I2' Pn Exh + E2I2
Положение нейтральной оси а находится из условия равенства
нулю суммарной силы на торцах
-(h2-a) а
кЕх j ydy + kE2 J ydy = 0.
-(Л2+Л1-0) -(-0+Л2)
Отсюда
п~ 2 Eihx + E2h2 "
28.44 Ищем перемещения в виде
wi = -azy, w2 = azx, w3 = f(x, y),
где z — координата вдоль оси стержня, а = const. По переме-
перемещениям вычисляются деформации и напряжения
( df\ ( df\
Ргз = ац[-у + — ) , p23 = a/i [x + — , остальные pij = 0.
V ox) V oy)
Задача сводится к определелию функции /(ж, у) из уравнения
равновесия А/ = 0 и граничного условия на боковой поверх-
поверхности, свободной от напряжений pn(r = R) = 0, что в случае
кругового цилиндра дает
df
dn
= 0.
r=R
28. Линейная теория упругости 277
Это означает, что f(x,y) = const = 0. Сечения, перпендикуляр-
перпендикулярные оси г, остаются плоскими и поворачиваются одно относи-
относительно другого на угол Ав — a Az. Величина а определяется по
заданному на торцах крутящему моменту Mz = М
= / (хрз2 ~ УРз\) dS = afil = - а//тгД4, а =
s
М
1
где / = -ttR — полярный момент инерции сечения.
28.45 В предыдущей задаче найдено, что
pi3 = -afiy и p23 = otfJLx:
Напряжение рп на произвольной площадке с нормалью п равно
Рп =
Так как задача обладает осевой симметрией, то достаточно рас-
рассмотреть вектор п, лежащий в плоскостях продольных сечений,
проходящих через ось стержня, т. е. щ = 0. Тогда
Рпп = Pi3 sin 20, pnr = рхз cos 20,
где ni — cos0. Максимальное растягивающее напряжение вели-
величины \рпп\ — a/iR будет достигаться на внешней поверхности
стержня на площадках, расположенных под углом 45° к оси z.
Максимальные касательные напряжения на площадках, перпен-
перпендикулярных оси 2г, тоже будут на внешней поверхности стержня
Prmax =
28.46 Воспользоваться указанием к задаче 28.45;
16М2\ _ Р I 16M2
1:tV
28.47 Воспользоваться результатами задачи 28.44;
— / a(z) dz — \ — . az =
J K } J finR4
о о
278 Глава 6. Теория упругости
28.48 Освободим правый конец вала В, заменив жесткую за-
заделку реактивным моментом Мв противоположного с Mq напра-
направления. Суммарный угол <pBl на который повернулось бы правое
сечение под действием моментов Мв и Мо, равен
(fB = (Мо - MB)—j- - Мв—г,
где I = / г2 dS — полярный момент инерции сечения. Из усло-
5
вия (рв = О (конец закреплен) определяется М#. Затем находим
угол (fo поворота сечения стыка и из условия Мо = Ма +
вычисляем реактивный момент Ма на левом конце
MobRJ MpaRj 2Moab
МВ = ?> =
28.49 Согласно результата задачи 26.44, максимальное каса-
касательное напряжение обратно пропорционально моменту инерции
стержня, rmax ~ 1/1. Моменты инерции для сплошного и полого
валов равны соответственно
7ГЯ4 7Г[1 - @.6L]й4
/о=" И /= 2 '
Следовательно,
1™? = 1.15, ^- = 0.64.
28.50 Обозначим / = / г2 dS — — полярный момент
s
инерции сечения, тогда
U MGaRa MGbRb
28.51 Существование Т следует из уравнения равновесия в от-
отсутствие массовых сил. AT = —2a/i, A — оператор Лапласа.
Граничные условия для функции Т имеют вид Т\с — const = 0.
28.52 рзз = А(ец + е22) = v{Pu+P22)-
28. Линейная теория упругости 279
28.5.J е.зз — -а — — -А
А + 2/i
— А,
А + 2/i 2ц
d2w
где gradj и А\ — двумерные операторы.
28.54 Уравнения совместности деформаций для плоского со-
состояния имеют вид
д2е33 _ д2е33 _ д2е3з _ Q д2еп д2е22 _ 2 д2еи
дх2 ду2 дхду ' ду2 дх2 дхду'
Первая группа этих уравнений дает ?зз — Ах + By + С. Из
закона Гука выражаем ра/з через sOfp) а = 1, 2, и подставляем в
оставшееся уравнение совместности. Получим
= 2^
дхду
где А — оператор Лапласа по двум переменным.
28.55 а) ^ ^ ^
д2? д2<р
28.56 По ^{х^у) находим компоненты напряжений
fe = с, руу = а, ря;У — -Ь.
Такое состояние рар может быть, если на сторонах образца, пер-
перпендикулярных оси ж, задано рхх = с, а на сторонах, перпенди-
перпендикулярных оси у задано руу = а и всюду на границе касательное
напряжение равно т = —Ь.
28.57 Зная функцию у>(ж, у), находим напряжения
а) рхх — 6rfy, р^у = Руу = 0 — чистый изгиб;
б) рхх = 2с.х, рУ2/ = 0, рху = -2су.
Эти напряжения соответствуют граничным условиям:
рхх = 2с.т, ря;У = ^p2ch при у = ±h,
рхх — ±2cl, рху — -2су при х = ±/.
280 Глава б. Теория упругости
28.58 Искомые выражения имеют вид
Prr
"l
r
д
дг
1
г
(
\
d<f
дг
Ггд)
V дг)
1 fl"V
г2 c?02
1
r2
96>2J
dr2
if-
д Aд<р
Vr9~-~d~rVr~d9)'
28.59 Функция напряжений:
<р = Л In г + Вт1 In г + О2 + ?>.
Компоненты тензора напряжений:
^4
Р^ = —~ + 2В In г + ЗВ + 2С, рг^ = 0.
28.60 Уравнения равновесия имеют вид
(А + /i) grad div w + fiAw — 0.
Используя формулу векторного анализа
grad div w = Aw + rot rot w,
уравнения движения можно представить в виде
(А + 2/i) grad div w - /i rot rot w = 0.
Задача обладает сферической симметрией, т. е.
tug = Wy = 0, гуг = гуГ(г), следовательно, rot to = 0.
Тогда уравнение равновесия дает grad div w = 0 и в сферической
системе координат
div w = — -—(г2/шг) = const = ЗЛ.
г2 dr
Отсюда находим выражения для перемещений, деформаций и
напряжений
В 2В _ _ шг _ В
wr — At -f- ——, srr — A — ~, Eqq — Emm — — A H t,
prr = (ЗА + 2M)A - ^, pffe = pw = (ЗА + 2ц)А
28. Линейная теория упругости 281
Из граничных условий
Р
rr
оо
= о, Ргг
•=R
= -Ро
находим значеннния постоянных
.4 = 0 „
4/i
и, тем самым, деформации и напряжения
PqR3 _ _PoR3 _ PoR3 __ _PoR
e еерpp
_
-, ргг_-
2/ir3 ^ 4//r3 г3 ^ 2r3
28.61 Задача обладает сферической симметрией, w = ty(r).
Дальнейшее решение аналогично предыдущей задаче. Постоян-
Постоянные интегрирования А и В находятся из граничных условий при
г = R\ и г = R2:
л __ P2R32+PlR3 n_ P1+P2 d3 оЗ
28.62 См. решение задачи 28.60. Константы находятся из
граничных условий,
а3\ ( а3
з
Ргг = -р[ 1 - -зу рее = Рцнр = -Ру1 + ^з )•
Наибольшее значение |р^^|тах = -р достигается на границе по-
полости.
28.63 Задача плоская и обладает осевой симметрией, следова-
следовательно, w = w(r). Аналогично задаче 28.60 можно получить
1 A i
div w = - — (rwr) = const = 2Л, г = Jx2 + у2,
г dr v
Отсюда
wr = Аг Н , W0 == гул = 0.
г
Далее находим выражения для деформаций и напряжений
Л В А В
282 Глава 6. Теория упругости
Постоянные интегрирования А и В определяются из граничных
условий при г — R\ и г = /?2, получаем
Vrr~Rl-R\\ гЧ RJ-RJV r*
, RA Д2Р2 л
Л R2lPl - Rjp2
Pzz~X + H R22-R\ '
В несжимаемой среде модуль объемного сжатия
2
А = \ + -ц -* ос.
о
Тогда
X + fi
28.64 Можно воспользоваться решением задачи 28.63. Кон-
Константы определяются из граничных условий
( \ (
ргг = р ^1 - — J , р^ = р ^1 + —
28.65 Сила тяготения, действующая на единицу массы сфери-
сферического тела пропорциональна расстоянию до центра и напра-
направлена к центру Fr — -gr/R. Задача со сферической симметрией,
w — ю(г), и, следовательно, rot to = 0. Подставив плотность си-
силы тяготения в уравнение равновесия, аналогично задаче 28.60,
получим
„ _ pgR L г2 5А + 6/х]
10(А + 2/i) I R2 ЗА +
pgR{l-2v){l
г2 3-J/
28.66 Задачу с осевой симметрией решаем в цилиндрической
системе координат (г; в; z). Уравнения равновесия в напряжени-
напряжениях в проекциях на оси z и 0, с использованием граничных условий
28. Линейная теория упругости 283
Prz — Ргв — 0 при г — а, дают prz = prg — 0 всюду. В проекции
на ось г получим
dprr prr -рве 2 п dPrr . 2 2
~1 I h ри г = 0, т. е. г — h рГг = Рев - ри г*.
аг г аг
Решая это неоднородное уравнение для ргг, получим
А(г) dA 22
Prr = , где — = рев - ри г .
г аг
Из закона Гука находим выражения деформаций через А(г)
\ (A dA 2 Л 1 (dA 2 2 Л
г dr ) Е d
Вследствие осевой симметрии
dwr wr
srr = — и see — ^
dr r
тогда условие совместности деформаций имеет вид
?rr = see + r j-
dr
Это приводит к следующему уравнению для А(г)
Его решение
Из условия ограниченности напряжений при r-Ои гранично-
граничного условия Prr {а) = 0 определяются константы С\ и Сг- Тогда
получим
Ргг = 1C + ^2(а2 - г2), we = 1C +
28.67 Задача плоская, в плоскости пластины выберем поляр-
полярную систему координат (г; 9) с началом в точке приложения си-
силы. Угол в отсчитывается от направления действия силы, см.
рис. 28.21. Функция напряжений <р(г, в) удовлетворяет бигармо-
ническому уравнению, см. задачу 28.58. Граничные условия на
границе полуплоскости при в — а имеют вид
(г, а) = 0, ргв(г,а) = 0.
284 Глава 6. Теория упругости
Чтобы обеспечить выполнение этого условия, следует принять
<р = А@)г, что приводит к уравнению для функции А(в)
Alv + 2А" + А = 0.
Его общее решение
А(в) = ав sin$ + Ьв cos в + сц sin в + Ьг cos в.
Отличный от нуля вклад в компоненту напряжения ргг дают
только первые два слагаемые. Константы а и b определяются
из условия fpndS = — F, где интегрирование ведется по полу-
s
окружности радиуса р с центром в точке приложения силы при
р —> 0. В проекциях на направление силы и перпендикулярное к
нему получим
а а
/ prrrcosOd9 — — F, / prrrsmede = 0.
а —7Г a—7Г
В результате получаем
COS0
prr = -2F , pr# =рве = 0 и
7ГГ
28.68 Задача плоская, рар — рар(х,у), а = 1,2. Система
уравнений состоит из двух уравнений равновесия и уравнений
совместности напряжений AApij = 0, из которых достаточно
добавить к первым двум еще одно, например, для ^22
дх ду дх ду
Граничные условия на поверхности у = 0 можно записать в виде
) = Fa?(s), a=l, 2,
оо
где E(ж) — дельта-функция Дирака такая, что / 8(?) d? = 1. К
— оо
уравнениям и граничным условиям применяется преобразование
Фурье по переменной х
оо
P*Qf3(s>y) = -7= J pap{x,y)e%sxdx.
28. Линейная теория упругости 285
Для образов получается система обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений
*& ^ Q АIV 2s2p. „ + S4p = „
с условиями р*2(^0) = Fa/y/br. После решения этой системы
для р*^ обратным преобразованием Фурье восстанавливаются
функции рар(х,у)
оо
28.69 Условия на бесконечности pfx = Г, pf2 = р^ = 0. В
отсутствие отверстия такие же напряжения были бы во всей
плоскости. Это состояние соответствует функции напряжений
(р° = Гу2/2, см. задачу 28.56. Выберем полярную систему (г; в)
с началом в центре кругового отверстия, тогда
у>° = - Гг2 sin2 0 = - Г r2(l - cos20).
При наличии отверстия ищем функцию напряжений (р в виде
(р = <р° + у*1 (г, cos20) - <^° + Л(г) + /2(г) cos 2в,
где каждое из слагаемых удовлетворяет бигармоническому урав-
уравнению. Отсюда
/i = Аг2 In г + Вт2 + СМп г, /2 3= Лхг2 + Вхг4 + %
г
Константы определяются из граничных условий на контуре от-
отверстия, свободном от напряжений ргг = ргв = 0 при г = Д и из
условий на бесконечности
286 Глава 6. Теория упругости
28.70 Наличие жестких границ на торцах не дает пластине
удлиняться в направлении оси х. т. е. ?ц = 0. Отсутствие на-
напряжений на боковых гранях позволяет искать напряжения в
виде
Ри Ф 0, V22 = Рзз = Pij = 0, %ф j.
Из закона Гука для термоупругого тела, см. задачи 28.8 б) и
28.10, следует
ри = AJi + 2lisn - «(ЗА + 2/х)(Г - Гср),
где а — коэффициент теплового удлинения, находим
Ри —
При заданном профиле температур выполнено равенство
2,
Ъ
Таким образом,
ср ~ -i0-
28.71 (А + ц) grad div w + /л Aw - aCA + 2/л) grad T = 0,
ч d Г1 rf(r^)! ЗА + 2/i dT
aj V~4 = a~^ г~ в полярных координатах;
dr [r dr J A + 2/i а г
б) -г- — —Ц—- = a— — в сферических координатах;
dr [r2 dr J \-\-2ji dr
ч rf fl rf(rti)] ЗА + 2/i dT
B) ~r~ ;— — a~r^ гт~ в полярных координатах.
ar [r dr J 2(A + ji) dr
Здесь и = wr.
28.72 Уравнение Ламе для плоского напряженного состояния
в полярных координатах, см. задачу 28.71 в),
d Г1 d(rtt)j _ ЗА + 2/л dT _ dT_
~dr [r dr I " a o/x ' -л "^ = ( + ^a ^
имеет решение
г
1 /*
)a -
г У
1 /
и = A + i/)a - Trdr + Cxr
С1
28. Линейная теория упругости 287
Из закона Гука следует, что
Prr = —
\-v2
Рве —
1-й2
и
du и
?гг — ~1~ч ^99 — •
dr г
Таким образом, для ргг получаем
0
и, ангилогично, для рве. Константа С2 определяется из условия
ограниченности решения в центре диска (при г = 0), что дает
С-2 — 0. Из граничного условия prr(R) — 0 на внешнем контуре
диска находим
(R
±-2
рве
= аЕ 1-Т + jp J rT{r)dr- ^ J rT{r)dr\ .
V о о /
28.73 Сначала находим распределение температур в диске, ре-
решая уравнение теплопроводности. На границах области темпе-
температура постоянна, поэтому внутри кольца dT/dt = 0. Уравнение
теплопроводности сводится к уравнению Лапласа
В полярных координатах при наличии осевой симметрии урав-
уравнение
г dr \ dr
имеет решение
удовлетворяющее заданным граничным условиям-.
288 Глава б. Теория упругости
Общее решение упругой задачи приведено в ответе к зада-
задаче 28.72, см. формулу @.28.1). В него следует подставить
найденное распределение температур
Т{г) = То при г <а,
получим
-J-/ln-^ при а< г < Я,
К' К
Prr = д
4 In —
a
28.74 Перемещения при плоской деформации в задаче с осевой
симметрией описываются уравнением Ламе в полярных коорди-
координатах, задача 28.71 а). Далее так же, как в задаче 28.72;
г R
Err =
1-й
о о
28.75 Сначала ищут Т(г) при стационарном потоке тепла, как
в задаче 28.73. Далее решают, как в задачах 28.74 и 28.72, но
интегрирование ведут от внутреннего радиуса и константу Сг
определяют из условия на внутреннем контуре ргг(а) = 0.
_ Ъг-аг\ тЧ а\
Утт - b ,
2A - z/)ln -
а
аЕТ011 — In i7a (l + -Л In -
L г Ь2-а2\ гЧ а
рве = ^
2A -и) In -
а
2а2и ,
„ -__, Ь2-а2
Pzz ~ b
2A -v) In-
а
28. Линейная теория упругости 289
28.76 Задача обладает сферической симметрией. Уравнение
для перемещений, см. задачу 28.71 б), имеет вид
d ( 1 d(r2u)\ __ ЗЛ + 2/i dT
) a
dr
Ход решения тот же, что для задачи 28.72.
А + 2/i L r6 J ЗА + 2ц R
о о
г Я
<*CA + 2/x) fl /фЬ 2// 1/^2,1
е9в = -Ц—J—ZL — Tr2dr + ¦—!-— — Tr2dr\.
A + 2/i L r3 ./ ЗА + 2// Д3 J J
о о
28.77 Распределение температуры находим из уравнения
ДГ = 1 A fra ^) = О
гг dr V dr J
при заданных граничных условиях Т(а) = Го, Т(Ь) = 0. Получим
Далее, используя уравнение задачи 28.71 б), решение строим
методом, приведенным в задачах 28.72 и 28.75.
аЕТ0 ab \ L I /l2 2ч 1
~ ^тз j \а + Ь- {Ъ + аЪ + а) + — ,
1 - ?/ б3 - а6 [ г г3 J
ab \ . 1 /|2 f 2n а262
+ ь(ь +Ь + )
28.78 В приближенной теории слабого изгиба длинных тонких
стержней получено уравнение для прогиба
где / — момент инерции сечения, М(х) — момент действующей
силы относительно рассматриваемого сечения х. В линейной по-
постановке данной задачи момент М вычислялся бы относительно
точки х недеформированной (неизогнутой) оси и отсутствовал
290 Глава б. Теория упругости
бы. При учете прогиба г](х) момент сил, действующих по од-
одну сторону рассматриваемого сечения, равен М(х) = — Prj(x).
Уравнение для прогиба
имеет решение
г/ = С\ sin kx + С2 cos kx,
где к — ±\/Р/Е1. Граничное условие т/@) = 0 удовлетворено,
если С2 = 0 и 7/ = Tjosmkx. Граничное условие на втором конце
rj(l) — 0 удовлетворено, если
1) т/о — 0 — форма стержня прямолинейная или
2) sin kx — О, т. е. к = 7гп/1, п — 1, 2,... и имеется дискрет-
дискретный набор значений силы Р = Е1тг2п2/12 (собственные значения
Р), дающих изогнутую форму стержня. Минимальное (крити-
(критическое) значение силы Р, при котором появляется бифуркация,
равно Ркр = Е1тг2/12.
28.79 Задача приводится к уравнению предыдущей задачи, ес-
если начало координат выбрать в точке приложения силы Р. Гра-
Граничные условия в точке закрепления т)(—1) = //(—/) = 0. Крити-
2
ческое значение силы Ркр = ^.
4Н
28.80 Прямолинейному стержню, сжатому вдоль оси силой Р,
дается малое отклонение его свободного конца в поперечном на-
направлении, см. рис. 28.24, силой Q. Устойчивому равновесию
соответствует минимум энергии, т. е. для выведения стерж-
стержня из этого состояния надо совершить положительную работу
dA — Q dy. При выбранной системе координат, в которой про-
прогиб считается положительным, а начало взято в точке приложе-
приложения силы Р, отклонение dy отрицательно. Следовательно, чтобы
работа dA была положительной, нужно приложить силу Q < 0.
Найдем равновесие изогнутой формы стержня под действи-
действием сил Р и Q. Дифференциальное уравнение для отклонения
изогнутой оси имеет вид
dx* ~ El У El
28. Линейная теория упругости 291
Его решение
у — С\ sin kx + C<i cos kx — — ж,
где к2 — P/(QI). Из граничных условий у@) = О, у'{-1) = О
находим константы С\ и GV Стержень имеет форму
О ( sin kx \
Р \ к cos kxj
Максимальный прогиб в точке х = -I равен
Углах —
Условие устойчивости Q < 0 дает tgkl > kl. Следовательно,
положение устойчиво при kl < тг/2. При kl ^ 7г/2 положение
неустойчиво,
кр ~ о/' кр = лп '
?uh jet
При Р > Ркр прямолинейная форма стержня неустойчива.
28.81 Уравнение для прогиба балки
d4r] _ 1
dx4 ~ El4'
Величина q пропорциональна полному прогибу — сумме началь-
начального и текущего, т. е.
d4r\ а ( . 7txs
Интеграл этого неоднородного уравнения таков:
т)(х) = С\ sin kx + С2 cos k$ + C3 sh kx +
Граничные условия т/@) = ?/(/) = 0, r/"@) = rf'{l) = 0 определяют
константы Ci = C2 = С3 = С4 = 0. Решение имеет вид
П4Е1
КХ П4Е1 . 7ГЖ 7ГЖ
+ )
Х .
т + т) = 7r4g/ _ a/4 %sm — - wife—,
тг?/
где а; = —т т — коэффициент усиления амплитуды. Ко-
7г El - al
эффициент и равен 1 при а = 0 и растет с ростом а. При
292 Глава 6. Теория упругости
а = акр = 7г*Е1/14 коэффициент усиления обращается в беско-
бесконечность, наступает потеря устойчивости. Предельное значение
а равно акр.
28.82 Задача решается аналогично предыдущей;
г/о kl3
28.83 Непосредственной подстановкой компонент перемеще-
перемещения Wi(x, t) в уравнение движения линейной упругой среды в пе-
перемещениях получаем
d2wx _ 2 d2wx d2wViZ _ 2 d2wViZ _ /Л
dt2 ~~Cl dx2 ' dt2 " °2 dy2 ' Cl ~
Эта система имеет решение
i»x = f(x ± cit), wy — wz = 0.
Это продольная волна; rot to = 0. Два других решения этой
системы
wViZ = (р(х ± c2t), wx = 0
представляют собой две поперечные волны, div w — 0. В изотер-
изотермическом процессе используются коэффициенты Ламе Аи/i, в
адиабатическом Аад и //ад, см. задачу 28.15.
28.84 Подставляя w — W\ + W2 в уравнение Ламе, приведенное
в задаче 28.23, и применяя к этому уравнению последовательно
операции div и rot, получим
div^x = 0, rot ф2 = 0,
где
d2w2
1 Qp ф2 = jjjf
По условию rot^ = 0, div ф2 — 0. Непрерывная функция ф, для
которой во всем пространстве rot ф = 0 и div ф = 0 одновременно
и которая обращается в нуль вне некоторой конечной области,
есть тождественный нуль. Таким образом, получаем уравнения
для ttfi и w2
d2w1 2 d2w2 А + 2// //
28. Линейная теория упругости 293
28.85 В тонком стержне с боковыми границами, свободными
от напряжений, выполнены равенства рц = Еец, р\2 = р\з — 0.
Уравнение движения в проекции на ось стержня имеет вид
д2и дрц трд2и
Это волновое уравнение, скорость волны равна
р
где с\ — скорость продольной волны в неограниченной упругой
среде.
28.86 Уравнение для продольных волн в стержне, получено в
задаче 28.85:
д2и д2и
E
Чтобы обеспечить условие закрепления u(Q,t) — 0, ищем реше-
решение в виде стоячей волны и — Л sin kx cosujt. Оно удовлетворяет
уравнению, если и — \jEjpk. Волновое число к определяется из
условия на втором конце pu(l,t) = 0;
^ и u;=W-~(l + 2n), n = 1, 2,....
28.87 Уравнение, описывающее поперечные перемещения то-
точек оси стержня wy = 7/, см. задачу 28.37, имеет вид
= Ч
дх4 ЕГ
Здесь / — момент инерции сечения S; q = F5, где F — массовая
сила, приложенная к единице длины стержня. В нестационарных
задачах массовой силой является сила инерции —pd2r)/dt2. Урав-
Уравнение для перемещения принимает вид
El д4г] __
PS дх4 " dt2'
Решение ищем в форме 7/ = г]Ое^кх~ш^. Подстановка в уравнение
дает связь между и и к — дисперсионное уравнение
294
Глава 6. Теория упругости
Фазовая скорость волны
зависит от к. В этом случае групповая скорость
__du^_ [ЁТ
~ ~dk ~~2\J~pS
не совпадает с фазовой U = 2с.
28.88 В упругой среде при от-
отражении возникают как продоль-
продольная, так и поперечная волны.
Векторы перемещения в этих
волнах можно записать в виде
W\ — fi(xcosa + у sin a — c\t)n\
для продольной волны и
гу2 = /2(х cos/З + у sin /3 — C2t)r2
для поперечной волны, где
fii{cos a, sin а} и n2{cos/3,sin/3}
Рис. 0.28.3.
суть единичные векторы направлении, вдоль которых распро-
распространяются соответственно продольная и поперечная отражен-
отраженные волны; Т2{- sin/?,cos/3} _L n2 — направление в плоскости
фронта поперечной волны; с2 = y/fi/p — скорость поперечной
волны. Амплитуды /i и /2 и углы а и /3 отраженных волн опре-
определяются из условия равенства нулю вектора перемещений на
жесткой границе: «Jo + W\ + to2 = 0 при х = 0. В проекциях на
нормаль и касательную к границе получаем
/о(у sin оо + c\t) cos «о + /i (у sin а — c\t) cos а —
- /2 (у sin /? - c2t) sin /? = 0,
/o(ysinao + cit)sino'o + /i (у sin a - cit)sina +
+ /2(ysin/3 - c2^) cos/3 = 0.
Для удовлетворения этих уравнений необходимо, чтобы все
функции имели одинаковые аргументы при любых у и ?, т. е.
у sin oiq + c\t — у sin a — ci? — у sin/3 — c2L
Отсюда получаем sin a = — sin «о и sin /3 = — (c2/ci) sin ао-
28. Линейная теория упругости 295
а) Решая систему уравнений для /i и /2, находим амплитуды
отраженных волн
sin2 oq — С\ cos r>0 cos /3
/i=/o
/2 — -/о
С2 sin2 «о + С\ cos ao cos f3'
с\ sin
«0 +
где cos/3 = у 1 - (c2/c2) sin2 a0.
б) Поперечная отраженная волна отсутствует, т. е. /2 = 0, если
падение продольной волны w0 происходит точно по направлению
нормали к границе а0 — 0.
в) Если падающая волна поперечная, то аналогичное выражение
для угла отраженной продольной волны sin/З = — [cxjc^) sin »o
имеет смысл только для таких углов падения «о, для которых
28.89 Одномерное движение с плоскими волнами имеет компо-
компоненты перемещения Wi(x,t). Подставляя их в уравнения движе-
движения трансверсально изотропной среды, получим в проекциях на
оси координат три волновых уравнения, дающих в качестве ре-
решения одну продольную волну со скоростью с\ и две поперечные
волны со скоростями С2 и
/А + 2а ПГ
р
28.90 Задача обладает сферической симметрией wr = u(r,t).
Введем потенциал перемещений <p(r, t) так, чтобы и — д<р/дг.
Функция <р удовлетворяет волновому уравнению
Его решение <р — ф(сг — г)/г. Уравнение для функции ф получа-
получается из граничного условия prr{R) = ~Po
296 Глава 6. Теория упругости
Интегрируя его, получим
<р = - < e~^ct~r^ [A sin /3(ct - г) + В cos(ct - г)] > ,
г [ 4/х J
где
= t/-5r-l7, 7 = 2
Для определения констант Л и В используют начальные условия
du
и = 0, — = 0, ргг = 0 при ? = 0.
а?
При решении удобно воспользоваться переменной ? = ct-(r-R):
28.91 Воспользуемся представлением вектора перемещения в
виде w = wW + w^2\ где rottn^1) = 0, div f»B) = 0, см. задачу
28.85. В данной плоской задаче это означает
^=„. @,а.2)
Каждал из компонент удовлетворяет своему волновому уравне-
Здесь с\ = ^/(А + 2//)/р, С2 = y/jjjp — скорости продольных
и поперечных волн. Решение ищем в виде tuj^ = р^ег{кх-^)щ
Функции fp (у) удовлетворяют уравнению
Так как нас интересует решение, затухающее при у —> ~оо, то
знак коэффициента в уравнении должен быть положительным
2 2
2^ х2>0, ^-^-^Х). @.28.3)
С1 С2
Решение имеет вид
28. Линейная теория упругости 297
Для определения четырех констант Аа, Ва воспользуемся усло-
условиями @.28.2) и граничными условиями на свободной поверх-
поверхности руу — рху — О при у — 0. Задача разрешима, если между и
и к имеется соотношение
р i\4 *
п> JL
которое называется уравнением Рэлея. Это кубическое уравне-
уравнение относительно величины и>2/к2 = с2 = т
ф{т) = т3 - 8с22т2 + 8с| (\ - \\ т - 16с| (\-^)= 0.
\С2 Cj / \С2 С1'
Согласно условиям @.28.3) величина с2 может принимать зна-
значения лишь в пределах 0 < с2 < с\. Кубическое уравнение имеет
на этом отрезке вещественный корень, т. к. ^(О) < 0, ф{с^) > О,
и притом только один, т. к. в этом диапазоне ф'(т) не имеет
корней. Если кии вещественны, то с = и/к — скорость рас-
распространения волны вдоль оси х. Доказано, что поверхностная
волна (волна Рэлея) существует, ее скорость с < С2 < с\ и она не
обладает дисперсией.
28.92 Используем решение задачи 28.91. Константы Аа и Ва
найдем из условий на свободных границах руу = рху = 0 при
у = dth. Для скорости с = и/к получается уравнение
th mh 4к2пт 2 = и2 (л с2 ^ ^ ^ ^ ^ _
thnh (т2 + к2J' ~ V cl
а) А > /i, т. е. mh < 1, п/г < 1 (длинные волны). Уравнение
принимает вид
га 4к пт
п {т2 + к2J
и имеет два решения
где сМ равна скорости волны сдвига; с^ равна скорости про-
продольной волны в пластине,
б) А <С h (короткие волны). Уравнение для скорости
Ак2пт= (т2 + к2J
совпадает с уравнением Рэлея, см. задачу 28.91, и с = срэлея.
298 Глава 6. Теория упругости
29. Нелинейная теория упругости
29.1
29.2 Относительное изменение объема определяется форму-
формулой, см. § 3,
+ Q J 1 A T \ Q T 1
Zl\ -f- 4i2 t~ O-*3 ~ -L7
где
h=?kk, °1г = \(%-?ц&), /3 = det||%||;
iij — компоненты деформации в начальном лагранжевом базисе.
В несжимаемой среде в = 0 и /з выражается через 1\ и Д.
29.3 Функция свободной энергии имеет вид
1 2
и 2
где
29.4 Упругий потенциал для среды Мурнагана имеет вид
РоТ = - J2 + /iJ2 + /W2 + 7^з + r/Jj3,
где Ji, e/2, J3 — инварианты тензора деформаций eij в лагран-
лагранжевом базисе начального состояния, см. предыдущую задачу.
Система координат в начальном недеформированном состоянии
выберем декартовой прямоугольной.
Компоненты тт^ для среды Мурнагана найдем по формулам
tj
= (А + 2ц)и + Заи2 + - Ь{и\ + и\),
каа = Хи + (- А + Р + Зт/)и2 + - (А + C){ul + u\) +{fi + -
+ /3 + -
29. Нелинейная теория упругости 299
В этих формулах
a=-+/i + /? + T + r/, Ь = Л + 2/х + /? + ^у,
_ dw± _ dwa _
U — Ua — , OL — Z, О.
их ох
29.5 Предполагаем, что в данном случае возможны переме-
перемещения лишь в направлении оси ж, тогда
wi = wi(x, ?), w2 = w3 = 0.
Воспользуемся формулой предыдущей задачи для 7Гц. Получим
Viu>i = w, V\w2 — Vi^3 = 0, 7Гц = (А + 2//)гг + Зеш2 = р,
где а = |А + /^ + /? + 7 + 7/- При а < 0 график функции пц(и)
выпуклый вверх, при а > 0 — вогнутый.
29.6 Волны распространяются вдоль направления оси ж, т. е.
W{ — Wi(x,t). Уравнения движения в лагранжевых переменных в
декартовой системе начального состояния имеют вид
dvi _ дтгц
at ox
где ро — плотность в начальном состоянии, V{ = dwi/dt — ком-
компоненты скорости. Для компонент тензора напряжений Пиолы
возьмем выражения, полученные в задаче 29.4. Введем обозна-
обозначение щ — dwi/dx. Уравнения движения имеют вид
po -кг = (A + 2/i) — + 3awi -^— + 2b [u2 + u
at ox ox \
кг = (A + 2/i) + 3awi ^ + 2b [u2 ^ + u3
at ox ox \ ox ox
dva диа ( диа диЛ
Po -^- = V -7— + b[ui -^— + гга —- , a = 2, 3.
d? 5x V ox ox )
где
В чисто продольной волне w2 = w3 = 0. Второе и третье урав-
уравнения удовлетворяются тождественно, а для продольной компо-
компоненты имеется система уравнений для ^i и v\
дщ дщ дп'1
ox
которая может иметь ненулевое решение щ / 0.
300 Глава 6. Теория упругости
Для чисто поперечных волн выполнено w\ = О, что приводит
к системе уравнений
/ ди2 ди3\ dva диа
cW ' ru at r дх •
Этой системе может удовлетворить только такая поперечная
волна, в которой
й («5 + -§) = о,
т. е. ^2 + Чз ~ const- Если начальные деформации отсутствуют,
то const = 0 и «2 = 0, г/з = 0, т. е. таких волн не существует.
Чтобы существовала волна с и\ + и\ ф О, надо допустить,
что в уравнении движения в проекции на ось х, кроме члена
д{и\ + и$)/дх, присутствуют другие члены, содержащие щ, не
превышающие его по порядку. То есть в таких волнах наряду с
компонентами и\ + и\ ф 0 появляется и продольная компонента
щ ~ и\ + и\. Такие волны называют квазипоперечными.
29.7 В несжимаемой среде
0 = \[\
см. задачу 29.3. Для плоских одномерных движений
т i /2 2 2\ т /2 2\ т г\
1Х = е\ = иг + - (щ + Щ + Щ), 12 = -- (w2 + Щ), /3 = 0.
Условие несжимаемости 0 = 0 дает щ — Q для продольных де-
деформаций, следовательно, и продольных волн нет.
29.8 Для среды Мурнагана, см. задачу 29.3, система уравне-
уравнений для плоских одномерных движений получена в задаче 29.6.
В несжимаемой среде щ — 0 и уравнения для поперечных волн
имеют вид
/2 2\ 2 2
— (u2 + u3) = 0, «2 + u3 =
д2ип ndun
Волна, в которой и% + ul = const, обладает круговой поляриза-
поляризацией; для второй волны интегральная кривая лежит в плоскости
(^2? ^з)- Такие волны называют плоскополяризованными.
29. Нелинейная теория упругости 301
29.9 Для уравнений плоских продольных волн в лагранжевых
переменных, см. задачи 29.5 и 29.6,
dv ди п ди ди dv
Po? = (A + 2/,)- + 3aU-, - = -,
где
dwx dwx 1. п
u = "97' U = ^T' «=2A + // + /? + T + r?'
ищем решение вида г; = (р(и) (волна Римана). Подставляя в си-
систему уравнений решение такого вида, получим уравнение для
определения функции v — (р(и)
dv
±Jc+3.
аи у Ро
Зависимость u(x,t) находится как решение уравнения
du ди , ч ди
dt dt дх
вдоль линии, определяемой уравнением
dx
т. е. линии и = f(x - c(w)t).
Каждое состояние перемещается со своей скоростью с(м), на-
называемой характеристической скоростью и равной
Так как
то возмущение при движении меняет форму.
Эти волны имеют тенденцию к опрокидыванию
ди
при а > 0, если в волне — > 0 и
дх
ди Л
при a < 0, если в волне — < 0.
ох
11 Зак. 2369
с —
дс2
дх
+
2М
)
= 6-1
Я ° и
Ро
ди
дх'
302 Глава 6. Теория упругости
30. Моментная теория упругости и осреднение
ЗОЛ В линейном приближении имеет место уравнение
1 дФ Ф д\Ф\
из — — rot v — — ¦—-
w dt |Ф| dt '
откуда следует, что |Ф| — величина угла поворота частицы сре-
среды как твердого тела вокруг вектора Ф/|Ф|. В силу уравнений
величины (^L)) представляют собой матрицу соответствующего
поворота и приближенно равны
п\а) = 51а + еа\кф\ хт]п = етП9ЦФа = \ V,(Vmwn - Vnwm).
30.2 Использовать алгебраические свойства тензора Леви-
Чивита и симметричность вторых ковариантных производных.
30.3 В силу соотношения
ят.п = €mnsv^ где ф = I гЫ w
выполнено
РТ = ^ {е]гJ + iieae" + 2vV&j • V^'
причем
2
A + -//>0, > > 0, v + S>0, v-5>0.
о
Так как х— тензор третьего ранга, перекрестные члены между
х и € отсутствуют.
Уравнения состояния:
= р
Уравнения движения:
d2w{ ¦ ¦ ....
р —j- = (А + ii)VlV3w3 + //Дг/;г + ^(V^^-7 - Дмг) + pF\
30. Моментная теория упругости и осреднение
303
30.4 Искомые уравнения для коэффициента в и вектора Ф:
д2в
д2Ф о
р -— = /zДФ - 1/ДДФ + - rot F.
30.5 Уравнения продольной и поперечной волн:
82wl
82w2
82w2 84w2
где
P V P
Суммарная волна имеет вид (при вещественном AJ)
cos
s \Щ -u'j)t - {к' - к")х] cos ]-Щ
В пределе
J - u>"
Для продольных волн:
к'-к" dk
duj и
.' B'lb П/
для поперечных:
duo
~dk.
2vk2)
OJp
da;
30.6 Компоненты w1 = w3 — 0; w2(xl) удовлетворяет урав-
уравнению
li{w2)" - v{w2)lv - 0.
= 0.
а) При х = ±L выполнено
С учетом w2@) = О
304 Глава 6. Теория упругости
б) При х1 = ±L выполнено
При этом имеет место
= ?1_
/Л' 2sh(L//);-
При l/L —> 0 решения стремятся почти всюду за исключением
краевых точек (пограничных слоев) к решениям соответствую-
соответствующих задач в рамках классической теории упругости.
30.7 а) Выражение для вектора Ф и тензора Q:
Ф = -Щ- (ze2 - уе3), Q = -^ (f - <5)(е2е3 - е3е2).
При у2 + z2 — R2 выполнено
при х = 0 и х = —L выполнено
Нагрузка самоуравновешена. Отметим, что коэффициент <$ не
входит в уравнения равновесия, но входит явно в краевые усло-
условия.
М 4М
б) Ф = — {azei + хе3), Q = — ((* + i/<r)eie3 + {8а + v)e3ex).
Jbl Г/1
При у2 + z2 = R2
при х = О
4М
при х — L
^ AM/
Нагрузка самоуравновешена.
30. Моментная теория упругости и осреднение
305
а
в) Ф = -- (хег + уе2 - 2ze3), Q = -2a(v+6)(e1e1+e2e2-2e3e3).
При х2 + у2 = Д2
__2а
при z = О
при 2г = L
Нагрузка самоуравновешена.
30.8 Из уравнения равновесия р11'^1) = 0 следует
р = р = const, к; '(ж ) = с = .-
2/i'
При я1 = L
откуда
Р
11
-1
Для всякой периодической функции /(х) с периодом /,
L I
Пусть
Тогда
, где
= т — целая часть, ? € [0; 1).
Последние два слагаемых образуют при ? 6 R периодическую
функцию с периодом 1.
306
Глава 6. Теория упругости
30.9 Считая р и // функциями ? и выбрав масштаб L — 1,
получим
) 1 d/j, f dN\\ d2N\ d(w)
e d? V rff / ^f2 ^^
Откуда при 1/е имеем
d
где
= 0,
Осредняя член уравнения порядка 1, получим
d2(w) 1
(р)
или
dt2 A///) дх2
= f(x-ct)+g(x + d
( 1 А/2
где с— [(р)(—) 1 , а / и j — произвольные функции.
Сравнить уравнение для (гу) с исходным уравнением при по-
постоянных р и /i.
30.10 Пусть амплитуды прошедшей и отраженной волн равны
Ai и В\ соответственно; /ii, /x2 и fci, ^2 — модули упругости и
волновые числа до и после скачка. Здесь ка = и>/са, где са =
у/На/Ра, & — 1, 2 — скорости звука. Тогда
При соударении материальных точек с массами mi, m2 и перво-
первоначальными скоростями t7i, 0, конечные скорости равны
— тп2
v[ =
то2
30. Моментная теория упругости и осреднение 307
30.11 В силу законов сохранения энергии и импульса после
прохождения волны столкновений
оо 2 °°
— vnl + EOO = —^, }^ mnvn = movo.
п=0 п=0
В силу неравенства Коши-Буняковского
2(М + то)
оо
< (
п=0 Vn=0
. оО
причем равенство достигается при vn = — , что отвечает
2
наибольшему значению Е^ = A - ?), где 8 = mo/(M+mo).
Исключая скорости vn, vfn из формул полученных в задаче 30Л0,
найдем оптимальное распределение масс
гаоA - 8)
тп =
A + (п-!)*)(! +п*)'
причем У^ пгг = М. В рамках механики сплошной среды соот-
ветствующее движение разрыва вдоль оси х описывается урав-
уравнениями, см., например, задачу 19.16,
— = — - p2{D - v2), ^(aD) =
1 2/ri , dx.
с начальными данными <То, ^о? жо = 0. При наилучшей передаче
энергии скорость среды за скачком равна и2 = ДА где
^—, м
оо
= / р\(х) dx.
о
Тогда распределение р\ находится в параметрическом виде
Р\ =
MDIS
lD(D-SDoy S\D0 D
308 Глава 6. Теория упругости
30.12 Пусть в областях [—1/2; 0) и [0; 1/2) решение имеет вид
wa = Re (elujt{Aae-lk«x + Ваегк«х)), а = 1, 2,
тогда в области [1/2; /) в силу периодичности F(x) выполнено
го3 - Re
Из условий на контактных разрывах при х = 0 и х = 1/2 получим
систему четырех линейных однородных уравнений для величин
Ai, Bi, А2, В2, определитель которой полагается равным нулю,
что дает
~ кг1 k2l 1 (р\сл р2с2\ . hi . k2l
cos kl = cos — cos sin — sin —,
2 2 2 \p2c2 PicJ 2 2 '
ГДе Ca ~ y/fla/pa И kQ = Cj/c^. При Ci = C2 = С
cos fc/ = 1 - — —J— sin —.
2p\p2 2c
Зоны непрозрачности, отвечающие эффективному отражению
падающей волны, определяются неравенством
(pi +/02Jsin2 1Г
2с
В длинноволновом приближении
2 = ^ Л _ _*! {Pl
(p)(l/fi)\ 384
30Л3 о; = ±2\/ — sin —, |fc| ^ — в силу неотличимости коле-
у т 2 а
2тг
бании системы с длинами волн — < 2а от указанных wn. При
„ , 2 ^;2Л кп\
малых |Ага , а; = к I 1 , что дает уравнение
d^wfia? (&ha a? d4w\
+ j
W ~ пГ \дх* + 12 j
отличающееся знаком при четвертой производной от аналогич-
аналогичного уравнения в моментной теории упругости.
30. Моментная теория упругости и осреднение 309
30.14 Уравнения колебаний имеют вид
МиJп+1 = —/3BгО2Г14-1 "~ ^271+2 — ^2пЬ
решая которые, получим
1
кт М) г\\т М) тМ
где ш-(к) — акустическая мода, ш+(к) — оптическая,
2C-mul A
Аи = mino;_L - maxu;_, B± = — -^- А,
А: к 2/3 cos ka
А — произвольное комплексное число.
При \ка\ -> 0 выполняется
соответственно
_ 1 - (акJ/2
1 + М/т
nJ\ \\ 2Ca2 d2w
+ 2/9 - + — Ц + —if— ^г = О
8t2 * '\т * MJ т + М дх2
— уравнение эллиптического типа (неприменимо при больших
|afc| по построению). При акустических колебаниях смещения
соседних частиц направлены в одну сторону (бегущая волна),
при оптических — противоположно (собственные колебания це-
цепочки).
Глава 7. Неупругие деформируемые
среды
31. Теория пластического течения
31.1 Воспользоваться решением задачи 9.18.
31.2 а) При изменении только шаровой составляющей тен-
тензора его главные значения pi изменяются на одну и ту же вели-
величину. Следовательно, величины (pi — pj), входящие в критерий
текучести Мизеса и Треска, не изменяются.
б) Значения всякой изотропной функции симметричного тензо-
тензора р можно выразить через три его независимых инварианта,
например, через J\ = pkk, j\ \ j\ • Значения функций, задаю-
задающих критерии Мизеса и Треска, от J\ не зависят.
в) В представление критерия Треска входит инвариант j\ , так
как в противном случае оба критерия совпадали бы (при подхо-
подходящем соотношении величин rs и as).
Рис. 0.31 Л.
31.3 Для решения использовать
1) условие отсутствия нагрузки на боковой поверхности, имею-
имеющее вид Pijfij = О, где rij — компоненты единичной нормали;
2) одно из условий равновесия половины образца, отсекаемой
плоскостью, перпендикулярной оси z, — равенство нулю про-
проекции суммарной силы на ось z;
31. Теория пластического течения 311
3) одно из условий равновесия полукольца — равенство нулю
проекции суммарной силы на ось х3, см. рис. 0.31.1.
кутвет: prr = р^т — prz — Prw = "j P^pz == ~ тт? Pzz ~ zz ё*
2тта о гжао
31.4 a) F = О, М ф 0; б) F ф 0, М = 0.
31.5 а) Предел текучести при чистом растяжении as — это
величина р3з? при которой тензор напряжений с физическими
компонентами р^, где р33 ф 0, а остальные р^ = 0, удовлетворя-
удовлетворяет критерию текучести. Величину рзз можно найти, если крите-
критерий текучести известен. Критерий Треска полностью определен
постоянной rs, которая имеет смысл предела текучести при чи-
чистом сдвиге, см. задачу 31.4, и, следовательно, дана в условии.
Ответ: <js = 2rs = 46 кН/см2.
б) Предел текучести при чистом сдвиге — это величина pi2, при
которой тензор напряжений с физическими компонентами р{^
где р\2 = Р2\ ф 0, а остальные р%3 = 0, удовлетворяет крите-
критерию текучести. Подставив такие pij в критерий Мизеса, можно
найти определяющую его постоянную, имеющую смысл предела
текучести при чистом растяжении, см. задачу 31.4.
Ответ: as = y/3rs « 40 кН/см2.
31.6 Пластическое течение происходит только при выполне-
выполнении критерия текучести f(pij,x) = 0- Продифференцировав его
по времени и использовав затем уравнение, определяющее х, и
ассоциированный закон, можно получить выражение для А.
В случае идеальнопластической среды течение может проис-
происходить при постоянных напряжениях, причем с различной ско-
скоростью пластической деформации. Например, если напряжения
во всех точках тела одинаковы и имеют в декартовой системе ко-
координат только одну ненулевую компоненту pi2, то происходит
простой сдвиг с произвольной скоростью. Поэтому для идеаль-
идеальнопластической среды множитель А в ассоциированном законе
не выражается через скорость изменения напряжений.
Ответ: Для среды с критерием текучести f(pij,x) — 0
'df df
312
Глава 7. Неупругие деформируемые среды
31.7 Использовать выражение для А, полученное в предыду-
предыдущей задаче. Учесть, что А ^ 0.
В случае идеальнопластической среды:
— при df /dt < 0 происходит разгрузка;
— осуществить процесс, начинающийся при f{pij) = 0 с усло-
условием df /dt > 0, невозможно — напряжения не могут выходить
за поверхность текучести;
— при f(pij) = 0 и df /dt — 0 возможно как ё?- ф 0, так и ??• = 0.
31.8 Воспользоваться тем, что функция, задающая крите-
критерий текучести, зависит в рассматриваемом случае только от де-
виаторной составляющей тензора напряжений f(pij) = F(p\• ),
поэтому
df dF дры
®Pij dp^ ®Pij
31.9 а) Производные, входящие в ассоциированный закон,
можно представить в виде
^ ^dF dP3
dpi
дрц dpi dpij др2 др^ др3 dpi3
Найдите входящие в правую часть уравнения величины j
как производные от функции, заданной неявно характеристиче-
характеристическим уравнением
3 2 I2p - J3 = 0,
р3 - hp2
где
h = Pkk, h = j [(PkkJ - PijPij], /з = det \\pij\\.
Полезно вспомнить, что производная определителя по его эле-
элементу равна алгебраическому дополнению этого элемента. По-
Покажите, что в матрицах производных
dp3
в базисе главных осей тензора напряжений отличны от нуля
только элементы
dpi dp2 dp3
dpn dp22
= 1.
31. Теория пластического течения 313
б) В неизменном базисе главных осей тензора деформаций спра-
справедливы равенства
^12 — ^13 — ^23 — 0.
Из определяющих соотношений упругопластической среды вы-
вывести в этом случае уравнения
р = 2/iAр = 2мА
, р13 = 2/iA, р23 = 2мА•
OPl2 VPl3 OP23
Их можно рассматривать как систему обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений относительно р12, р\з и Р23, считая данными
величины А(?), рц(?), Р22@ и рзз{^)- Правые части этих уравне-
уравнений обращаются в нуль при
Pl2 = Pl3 = P23 = 0,
а в начальный момент по условию выполнено
Р12(О)=Р13(О)=Р23(О)=О.
Воспользоваться теоремой единственности решения системы
обыкновенных дифференциальных уравнений.
в) Воспользоваться результатом п. а).
Ответ: е\ — A, ev2 = 0, e? = — А.
31.10 Учесть, что из ассоциированного закона следует ёркк — 0,
см. задачу 31.8, а следовательно, и еркк = 0.
31.11 Использовать уравнения Прандтля-Рейсса, см. преды-
предыдущую задачу. Зависимость поверхности нагружения от пара-
параметра упрочнения х УД°бно брать в виде, разрешенном отно-
относительно х: X ~ ?KPl)? гДе Pi — интенсивность касательных
напряжений, см. задачу 31.13.
Пять из шести уравнений Прандтля-Рейсса выражают свой-
свойство iij = 0 для всех компонент, кроме ezip. Оставшееся уравне-
уравнение вместе с уравнением поверхности нагружения и уравнением,
определяющим изменение параметра х< имеют вид
ё = — ст + Act, х = А2ст2, х = ^(>/2<т), eZ4> = e, pZ4> = a.
Z/1
314 Глава 7. Неупругие деформируемые среды
Исключив из них Лих, получить обыкновенное дифференци-
дифференциальное уравнение для функции е{а). Проинтегрировать его, учи-
учитывал, что до достижения начального предела текучести пласти-
пластическая деформация отсутствует.
Функция е(а) нечетна, т. е. е(—а) = — ?(<т), причем
е — — при 0 ^ а ^ fc,
6 = Ь + 72 / ^/(e)rl ^ при а ^*•
Здесь к — (Ts/y/З — начальный предел текучести при чистом
сдвиге.
Ответ: При указанном в условии частном виде закона упроч-
упрочнения диаграмма (а; е) кусочно линейна.
31Л2 Используя закон Гука р±2 = 2/i^i2, вычислить упругий
модуль сдвига по упругому участку диаграммы. Начальный
предел текучести при чистом сдвиге найти по точке излома диа-
диаграммы. Для нахождения закона упрочнения использовать такое
же, как в задаче 31.11, представление поверхности нагружения
X = <р(у/2(т). Из решения этой задачи получить для функции <р
соотношение
2/ip l\i
где 2/ip — наклон Аа/Ае пластического участка диаграммы.
Отсюда с учетом того, что при первоначальном достижении пре-
предела текучести (а = к) параметр упрочнения равен нулю, т. е.
(f(y/2k) — 0, найти выражение для (р. Показать, что предел те-
текучести при чистом сдвиге с ростом % изменяется по закону
rs =>
Ответ: Упругий модуль сдвига \i w 0.4 • 104 кН/см2; на-
начальный предел текучести при чистом сдвиге к w 12 кН/см2;
предел текучести при чистом сдвиге удовлетворяет уравнению
rs = {к2 + а2хI/2, где а « 2 • 102 кН/см2.
31. Теория пластического течения 315
31.13 Использовать уравнения Прандтля-Рейсса, приведенные
в условии задачи 31.10. С помощью определяющих соотноше-
соотношений исключить из них величины х и К как ПРИ решении зада-
задачи 31.11, и получить уравнение
(d) . (d)
В случае простого нагружения, при котором р\- = ts°'•, заме-
заметить, что из этих уравнений вытекает пропорциональность тен-
тензоров Sij и s?j, а, следовательно, и равенство
(d) (d)
e\j _ Pjj
e\ ~ Pi '
Из уравнения Прандтля-Рейсса вывести также уравнение
de\ I (ff (pi)
dpi 2/x pi
Его интегрирование приводит к связи интенсивностей
Pi г~
si = —- при pi ^ V2fc,
31.14 а) Нет. В этом можно убедиться следующим образом:
воспользоваться уравнением поверхности нагружения (Мизеса)
и показать, *что в процессе изменения напряжений при р\ = const
параметр упрочнения х не изменяется, поэтому А = 0. Измене-
Изменение деформации, следовательно, происходит в соответствии с
законом Гука, если рассматриваемый процесс нагружения опи-
описывается по теории пластического течения. Если же его опи-
описывать по деформационной теории пластичности, то получится
другой закон изменения деформации.
б) Нет.
316
Глава 7. Неупругие деформируемые среды
Рис. 0.31.2.
31.15 Пластическое деформирование начинается в момент пер-
первого перехода напряжения через начальный предел текучести.
Кривая e(t) в соответствующей точке имеет излом, если он име-
имеется на диаграмме (до; ?j), см. рис. 0.31.2. В момент прохожде-
прохождения напряжения через первый максимум начинается разгрузка.
При повторных нагружениях деформация изменяется по упру-
упругому закону.
31.16 Учесть, что в условиях плоской деформации, например,
?13 = 0. Из уравнений Прандтля-Рейсса, см. задачу 31.10, вы-
вывести соотношение
2/i
и заключить с его помощью, что до3 = 0. Аналогично устано-
установить, что р2з = 0. Из уравнений Прандтля-Рейсса с использова-
использованием условия несжимаемости получить уравнение
1 d(pdn+pd22)
2/i dt
Р11+Р22
и вытекающее из него равенство рзз — •
31.17 Рассмотреть задачу в цилиндрической системе коор-
координат (г, <р, z). Вследствие симметрии физические компоненты
скорости имеют вид
vr = vr(r\ vir) = 0, vz = 0.
31. Теория пластического течения 317
Используя условие несжимаемости, покажите, что радиальная
компонента скорости представляется в виде vr = A(t)/r. За-
Заметьте, что аналогичным свойством обладает и перемещение
u(r) = B(t)/r, В — А. Из уравнений Прандтля-Рейсса устано-
установите, как в предыдущей задаче, свойства физических компонент
тензора напряжений
Рг<р = Prz = Pcpz = 0, Pzz = 2
а) Если происходит упругое деформирование, то задача сводит-
сводится к решению системы уравнений, состоящей из уравнений рав-
равновесия и закона Гука, с краевыми условиями ргг(г) = -р при
г = а, ргг = 0 при г = 6. Проверьте, что в силу упомянутых
выше свойств перемещений и напряжений часть уравнений си-
системы удовлетворяется тождественно, а оставшиеся уравнения
имеют вид
dprr Prr - Pw _ n dur _ prr - pw
dr r dr 4fi
Решите эту систему при указанных краевых условиях, используя
вид перемещений иг = В/г.
Ответ: Если происходит лишь упругое деформирование, то
распределение перемещения и напряжения в трубе описывается
формулами
р _ _ рA - b2r~2)
2/лг(а~2 - о~2) аго 2 - 1
р{\ - Ь2г~2)
_2; _2 1 '
_ _ _
— Prz — Pvz — '
б) Показать, что при указанных свойствах напряжений крите-
критерий текучести Мизеса приводится к виду \prr - pw| = 2k. Ис-
Используя найденное распределение напряжений при чисто упру-
упругом деформировании, выяснить при каком значении давления и
в каком месте поперечного сечения напряжения впервые достиг-
достигнут поверхности текучести.
Ответ; Пластическая зона возникает при условии р > р0,
гдеро = {1 — а2/Ь2)к и начинает распространяться от внутренней
поверхности трубы.
318 Глава 7. Неупругие деформируемые среды
в) Вследствие осевой симметрии задачи пластическая зона явля-
является цилиндром, примыкающим к внутренней поверхности тру-
трубы. Задача о нахождении напряжений в этой зоне статически
определима, т. е. решается лишь с использованием уравнений
равновесия, из которых не обращается в тождество лишь одно,
и критерия текучести
Prr ~ Pyy _ n - 1-9
-f- — U, \prr Pipip] — Z
r
dr r
с краевым условием prr{r) — -р при г = а.
Знак величины prr — pw определить из условия неотрица-
неотрицательности множителя А в ассоциированном законе. Для этого из
уравнений Прандтля-Рейсса, см. задачу 31.10, получить соот-
соотношение
~ 2к2 •
В рассматриваемом случае с учетом указанных выше свойств
напряжений и скорости, учитывая условие несжимаемости, при-
привести ее к виду
А — с —
и использовать условие vr > 0.
Ответ: Распределение напряжений в пластической зоне опи-
описывается формулами
ргг = -p+2fcln-, 7W = -p + 2k (ln- + l) ,
а \ a J
п VW + Pr
Pry - Prz = Pipz = 0, pzz =
2
г) Пусть R — радиус цилиндрической поверхности, разделяю-
разделяющей упругую и пластическую зоны. Тогда упругую зону можно
рассматривать как трубу с внутренним радиусом R и внешним
радиусом 6, нагруженную изнутри давлением. Последнее опре-
определяется по известному решению в пластической зоне и равно
>ч
Воспользоваться найденным выше решением для чисто упругого
деформирования трубы.
31. Теория пластического течения 319
Ответ: Распределение напряжений в упругой зоне задается
формулами _ г2
prr = U-2lfeln-v '
I
д) Для найденых полей напряжений в упругой и пластической
зонах выполнены условия непрерывности компонент ргг и рГЧР
на поверхности, разделяющей зоны. Потребовав непрерывности
компоненты pw, получить уравнение для радиуса R разделяю-
разделяющей цилиндрической поверхности
kR2 + b2(p-k) = 2kb2ln-.
(Л
е) Для исследования разрешимости уравнения, см. п. д),
Д ! _ R2/b2
найти на отрезке [а; Ь] наименьшее и наибольшее значения функ-
функции, стоящей в левой части, и проверить ее монотонность.
31.18 а) В случае, когда во всем поперечном сечении листа
происходит упругое деформирование, описывающая его систе-
система уравнений состоит из соотношений закона Гука и уравнения
равновесия. Система дополняется соответствующими краевыми
условиями. С учетом того, что деформация плоская и напряже-
напряжения удовлетворяют условиям
Pi2 = P22 — Pi3 = Ргз — О,
привести соотношения закона Гука к виду
Л 4/i(A + /i) Л
А + 2/х A + 2/i
Используя их и единственное не обращающееся в тождество
уравнение равновесия, показать, что перемещения имеют вид
aix\ xaixl +
щ = aixxx2 + aoxu u2 =. h A——
где «о, (i\ = const.
320 Глава 7. Неупругие деформируемые среды
Показать, что граничные условия — отсутствие нагрузки на
верхней и нижней поверхностях листа — удовлетворены в си-
силу указанных в условии задачи свойств напряжений. Условие о
нулевой результирующей силе на краю листа имеет вид
б
Рп dx2 = 0.
-ь
Записать аналогично условие о заданном результирующем мо-
моменте на краю листа, найти из этих условий константы ао и aj.
Ответ: Если происходит лишь упругое деформирование, то
распределение перемещений в листе описывается указанной вы-
выше формулой с постоянными
о
°°-°' ai - 8ЛМА + А*)'
а напряжения — формулой
ЪМх2 Арп
РП = 2&3 ' РЗЗ = 2,д ч , Р12 = Р13 = Р23 = Р22 =
Поверхность текучести достигается впервые при значении мо-
момента Mq = 4rsh2/3 одновременно на верхней и нижней поверх-
поверхностях листа. С этих поверхностей начинается распространение
внутрь листа зон пластического деформирования.
б) Используя результат п. а), показать, что напряжения дости-
достигают поверхности текучести в точке, где \р\ — р2\ = 2rs, причем
Pi =Р1Ъ Р2 :=Р22 = 0.
Система уравнений, описывающая процессы в зоне пластиче-
пластического деформирования, состоит из уравнений равновесия и опре-
определяющих соотношений для упругопластической среды. Послед-
Последние можно записать аналогично уравнениям Прандтля-Рейсса,
см. задачу 31.10, в виде выражения для компонент тензора ско-
скоростей деформаций через компоненты напряжений pij, скорости
их изменения pij и множитель А. Выписать эти уравнения с уче-
учетом того, что:
1) происходит плоское деформирование;
2) pi2 = Pi3 = Р23 = Р22 = 0;
31. Теория пластического течения 321
3) напряжения лежат на участке поверхности текучести
\Р\ ~P2i = 2rs;
использовать при этом представление определяющих соотноше-
соотношений в главных осях тензора напряжений, см. задачу 31.9. По-
Показать, что они сводятся к условиям
Ьп| = 2rs, p33 = О, ёп + ё22 = 0, ёи = 0, ёп = А.
В силу непрерывности компонент тензора напряжений на по-
поверхности, разделяющей упругую и пластическую зоны, условие
р33 = 0 означает, что компонента рзз сохраняет в точке пласти-
пластической зоны то значение, которое она имела в момент прохо-
прохождения через эту точку разделяющей поверхности. Используя
на разделяющей поверхности равенства
соответственно со стороны упругой и пластической зон, найти
значение р3з в пластической зоне.
Ответ: В примыкающей к верхней поверхности листа пла-
пластической зоне имеется однородное распределение напряжений
Ars
Рп = 2г8, рзз = 2ц у ри = Pi3 = Р23 = Р22 = 0.
В пластической зоне, примыкающей к нижней поверхности, на-
напряжения имеют такую же величину и противоположный знак.
в) Пластические зоны примыкают к верхней и нижней поверх-
поверхностям листа, в центральной части располагается упругая зо-
зона. Пусть ее толщина 2h. Учитывая найденные значения компо-
компонент напряжений в пластических зонах и условие непрерывности
компонент напряжений на поверхности, разделяющей упругую и
пластическую зоны, показать, что упругую зону можно рассма-
рассматривать как лист толщиной 2Л, верхняя и нижняя поверхности
которого свободны от нагрузки. Тогда напряжения в упругой
зоне распределены так же, как в п. а):
но с неизвестной постоянной А.
322
Глава 7. Неупругие деформируемые среды
h
Ри
-h
Fhc. U. 3L3.
Используя условие непрерывности напряжений на поверхно-
поверхности, разделяющей упругую и пластическую зоны, и краевое усло-
условие для момента, найти константу А и толщину h упругой зоны.
Ответ: Упругая зона занима-
занимает полосу
\х2\ < h,
Напряжения в упругой зоне распре-
распределены по закону, указанному вы-
выше, с постоянной А — 2rs/h. Рас-
Распределение компоненты рц показа-
показано на рис. O.3J.3.
г) Предельной является нагрузка,
при которой становится нулевой толщина упругой зоны; поверх-
поверхность х2 = 0 разделяет две пластические зоны с напряжениями
Ри — 2rs и с рц = —2rs. При больших нагрузках решения нет.
Ответ: Предельное значение момента М* = 2rsb2.
д) Для определения скорости в пластической зоне решить систе-
систему уравнений
dv\ dv2 dv\ dv2
дх\ дх2 ' дх2 дх\
с условиями непрерывности скорости при х2 = h\ см. п. б).
Для записи краевых условий найти поле скорости в упругой
зоне. Оно находится по полю перемещений, имеющему такой же
вид, как в п. а), но с коэффициентом аь который следует опре-
определить заново. Для этого используется закон Гука и известное
уже распределение напряжений в упругой зоне, см. п» в).
Ответ: Поле скорости в пластической зоне, примыкающей
к верхней поверхности листа, имеет вид
v2 = А I --
ЗА
h2
где
А =
М.
32. Вязкоупругость и вязкопластичность 323
32. Вязкоупругость и вязкопластичность
32.1 Использовать одно из определяющих соотношений мо-
модели Максвелла
+
при условии eZ(fi = const.
Ответ: Если материал описывается моделью Максвелла, на-
напряжение релаксирует по закону
Если же материал описывается моделью Фойхта или моделью
пластического течения, напряжение остается постоянным.
32.2 Рассмотреть определяющие соотношения модели Макс-
Максвелла в случае, когда лишь одна компонента напряжений pzz от-
отлична от нуля. Получить уравнение
. __P_zz_ Pz^_
zz E ^3'
и найти закон релаксации напряжения при условии ezz = const.
Получить аналогично соотношение егг — ?w = 0. Оно означа-
означает, чточравенство err — ?w, если оно выполнено в начальный
момент, остается справедливым и в дальнейшем. Используя это
равенство, соотношение pkk — SKtkk и найденный закон релакса-
релаксации напряжения, установить зависимость егг и ew от времени.
Тем самым определяется относительное удлинение любого ма-
материального волокна поперечного сечения образца, а по нему и
закон изменения площади поперечного сечения.
Ответ: а) Релаксация напряжения описывается формулой
tE
Pzz{t) = Pzz{0)e 3"T.
б) Изменение площади поперечного сечения образца описывает-
описывается формулой
324
Глава 7. Неупругие деформируемые среды
32.3 Из определяющих соотношений выбрать то, которое
связывает компоненты eZ(f и pzlf. Решить соответствующее урав-
уравнение для eZ{p с учетом условий pzip = ро — const и ?Z(f@) = ?о.
Ответ: а) Если материал описывается моделью Фойхта, то
изменение деформации определяется формулой
0"(/
б) Если материал описывается моделью Максвелла, то деформа-
деформация нарастает линейно
Pot
С. Zin ~~~ <
2цт'
32.4 Уравнение диаграммы имеет вид
а2/BАт)
е =
2//
где ?о — величина деформации в начальный момент. Прин-
Принципиальное отличие от случая пластически деформирующегося
образца состоит в зависимости диаграммы от скорости нагру-
жения, которая задается параметром А.
Е,= е„-
2ц
t t t
Рис. 0.32.1.
32.5 В случае упругопластического образца происходит раз-
разгрузка, и, следовательно, деформация мгновенно следует за из-
изменением напряжения. В случае материала Максвелла пока ско-
скорость изменения напряжения велика, именно ею определяется
скорость деформации. Эта скорость тоже велика. При нуле-
нулевом напряжении деформация перестает изменяться. В случае
32. Вязкоупругость и вязкопластичность 325
материала Фойхта за время быстрого изменения напряжения от
начального значения до нуля деформация не успевает существен-
существенно измениться. При нулевом напряжении происходит релаксация
деформации.
Ответ; На левом рисунке 0.32.1 показано изменение дефор-
деформации в случае упругопластического материала, на среднем —
в случае материала Максвелла, на правом — в случае материала
Фойхта. Здесь (Tq и Sq — значения напряжения и деформации в
начальный момент.
32.6 Жестковязкопластическая среда определяется соотно-
соотношениями
у/2к '%3 + 2?/e?;j, если e,-j ф 0;
любые, удовлетворяющие условию
(л\ / ,х •• если еИ = 0.
32.7 а) Показать, что компонента скорости V\ не зависит
от координаты х\. Использовать условие несжимаемости. Из
определяющих соотношений рассматриваемой среды, см. зада-
задачу 32.6, заключить, что девиатор тензора напряжений имеет
только одну ненулевую компоненту
Здесь штрихом обозначена производная по #2- Показать, что
требуемые свойства давления вытекают тогда из уравнений рав-
равновесия.
б) Вследствие симметрии задачи компонента скорости V\ явля-
является четной функцией координаты Z2- Если бы к плоскости
х2 = 0 сверху и снизу примыкали области, в которых v[ = 0,
то оказалось бы, что
и не выполнено условие [pfJ']i/,- = 0, выражающее при наличии по-
поверхности разрыва закон сохранения импульса. Здесь квадрат-
квадратными скобками обозначается скачок величины на поверхности
разрыва.
326 Глава 7. Неупругие деформируемые среды
в) Значения напряжений на верхней и нижней границе недефор-
мирующегося слоя найти, используя неравенство р\л р\~ ^ 2к2 в
недеформирующемся слое и обратное неравенство — в примы-
примыкающих к нему деформирующихся слоях. Используя определяю-
определяющие соотношения установить обращение в нуль производной v[
на этой поверхности,
г) Использовать условия равновесия объема недеформирующе-
гося слоя, заключенного между двумя сечениями, ортогональ-
ортогональными оси #i, с учетом результата п. в).
Ответ: В = kh.
д) Поведение среды в деформирующемся слое описывается си-
системой уравнений, состоящей из уравнений равновесия и опреде-
определяющих соотношений. Единственное нетривиальное из послед-
последних см. в п. а), а единственное оставшееся неудовлетворенным
уравнение равновесия
дрп дрп =0
дх\ дх2
Здесь, согласно установленным в п. а) сведениям о виде тензо-
тензора напряжений, выполнено рц = Ах\ + const и постоянная А
совпадает с постоянной В, см. п. г).
Решить эту систему при заданных краевых условиях: прили-
прилипание на стенке канала и dvi/dx2 = 0 на границе с недеформи-
рующимся слоем, см. п. в).
Ответ: Компонента скорости vi(x2) — четная функция:
(#2 _
(# h _ (Я _ Л)
V 1Т)П ч / 7]
Толщина h недеформирующегося слоя связана с расходом Q со-
соотношением
Глава 8. Специальная
теория относительности
33. Пространство Минковского.
Преобразования Лоренца
33.1 Из условия а) ясно, что преобразование с точностью до
сдвига начала координат имеет вид
. f' = Af, т/ = /хт/, ? = ct-x,r) = ct + x. @.33.1)
Отсюда следует
1 \ @.33.2)
-(\-n)x + -{\ + ij)ct.
Обратные к @.33.1) преобразования получаем заменой штри-
штрихованных и нештрихованных величин, а также А и /х на 1/А и
l//i. Скорость v системы (sc;; tf) по отношению к (х; t) получаем
из условия х1 ~ 0, которое дает
А-//
X = СГ, V — С .
Скорость vf системы (х; t) относительно (ж;; t1) имеет вид
V = С
: -
Очевидно, скорость системы ((—ж); t) относительно ((—ж'); tf)
равняется v. Таким образом, с одной стороны, преобразование
от ((-ж'); tf) к ((-ж); t) может быть получено из @.33.2) заме-
заменой Аи д на А и /х, а с другой стороны, согласно условию
б), должно даваться той же матрицей, что и преобразование
@.33.2). Это возможно тогда и только тогда, когда A/i = 1.
Воспользовавшись выражением v через Аи//, получим
1
328 Глава 8. Специальная теория относительности
Подставляя эти выражения в @.33.2), найдем
х/ = пцХ - auct, ct' = -а\2Х + «22^,
1 v/c
а =
где ап = а22 =
- v*
33.2 Проверяется вычислением.
33.3 Ортогональное преобразование двух переменных (без
отражений, которые могут быть учтены отдельно) имеет вид
?| = ?х cos 0 — ^2 sin 0, ?2 — ^1 sin @ + ?2 cos 0.
При ?i = 0 получаем
откуда
- v2/c2
Введя действительную переменную (f = — гв, преобразование Ло-
Лоренца можно переписать в виде
х1 — ch (р • х - sh у? • ct, ct' = - sh <р - х + ch (р - ct, v = cth у?.
33.4 Приведенные в решении задачи 33.3 преобразования —
„повороты на мнимый угол" — очевидно представляют группу.
В качестве действительного параметра, аддитивного при пре-
преобразованиях группы, можно выбрать
(р = arcth (v/c), -00 < (р < сю, -с < v < с;
Значение у> = 0 соответствует тождественному преобразованию,
значение <р = ±схэ соответствует v = ±с.
Пусть заданы ^i = cthy?i и f2 — cth<^2- Тогда произведение
соответствующих преобразований Лоренца будет преобразова-
преобразованием Лоренца с (р — <pi + <f2 (в этом можно убедиться и непосред-
непосредственно). Соответствующее (^значение скорости v определяется
из равенства v = cth(y?i + ^2)? поэтому
v
_ =
с 1 + (viv2/c2) '
Это равенство носит название релятивистского правила сложе-
сложения скоростей.
33. Пространство Минковского. 329
33.5 Воспользуемся тождеством
2д^хгу3 = gijx'x3 + д^угу3 - gij(xl - уг){х3 - у3).
При общих преобразованиях Лоренца согласно их определению
сохраняется величина каждого из трех членов, стоящих в пра-
правой части. Ортогональность пространства и времени следует из
диагональности gij.
33.6 Пусть общее преобразование Лоренца преобразует пе-
переменные ж, у, г, t в xf, у', z\ t1, Ось tf при этом должна лежать
внутри светового конуса
x2 + y2 + z2 ^ c2t2.
Это следует из сохранения величины д^хгу3, и, следовательно, ее
знака. Будем считать, что положительные направления осей t и
t' могут быть непрерывным образом совмещены. В противном
случае следует изменить направление оси t' с помощью отраже-
отражения.
Рассмотрим двумерную плоскость, проходящую через оси t
и V. В этой плоскости пространственную ось, ортогональную
к ?, обозначим через ?*. Пространственые оси ?2, ?3 ортого-
ортогональны к ?*. Переход от переменных ж, у, z к ?*, ?2, ?3 дается
ортогональным преобразованием.
В плоскости (?,?1) совершим частное преобразование Лорен-
Лоренца так, чтобы ось t совпала с t'. При этом ?* перейдет в ?;, а
?2 и ?3 не преобразуются. Очевидно, что подпространство, на-
натянутое на оси ?', ?2, ?3 совпадает с подпространством х', у;,
г', так как легко проверить, что оба они ортогональны оси tf и,
следовательно, преобразование от одних переменных к другим
— ортогональное. Таким образом, общее преобразование Ло-
Лоренца представлено последовательностью перечисленных выше
преобразований.
33.7 Определим тензор дгз, который в одной из систем ко-
координат х1 = ж, х2 = у, х3 — г, х4 = t имеет перечисленные
компоненты дгз. Тогда в произвольной лоренцевой системе ко-
координат (хп) выполнено
Так как координаты (хп) произвольны, получаем, что д[- =
330 Глава 8. Специальная теория относительности
33.8 а) Как известно, преобразование базисных векторов да-
дается обратной сопряженной матрицей по отношению к матрице
преобразования координат. Так как обратное преобразование
Лоренца получается заменой v на (—и), см. решение задачи 33.1,
то преобразование базисных векторов ег, направленных по коор-
координатным осям х1 = х, х2 — у, х3 = z, х4 — ct, имеет вид
е[ = anei + аие4, е'2 — е2, е'3 = е3, ef4 = a12€i + «2264,
где «
1 V/C
«11 = «22 = / = , «12 =
/
C2
y/l - V2/
Очевидно, векторы е[ и ег4 на плоскости (ж, ci) расположены сим-
симметрично относительно прямой х — ct, причем при изменении v
концы этих векторов пробегают гиперболы, пересекающие оси
координат при х = 1 и ct — 1, с асимптотами х = ct и х = —ct.
б) Если на плоскости (ж, ct) для пары точек (х\; t\) и [х2] ?2) тан-
тангенс угла наклона отрезка (Ах; Д?), где Ах — Х2 — х,\, At = t2 — t\^
по отношению к оси х меньше единицы, то согласно предыдуще-
предыдущему можно выбрать скорость v таким образом, чтобы вектор е[
был бы параллелен вектору {Дат, cAt} (т. е. Д^ = 0), в про-
противном случае можно добиться того, чтобы вектор е'4 был бы
параллелен этому вектору (т. е. Ах' = 0).
в) При преобразованиях Лоренца, сохраняющих ориентацию,
якобиан преобразования равен единице, так как в силу принципа
относительности системы координат равноправны. Для частно-
частного преобразования Лоренца равенство якобиана единице легко
проверяется непосредственно.
г) Рассмотрим тождество, получаемое интегрированием (фор-
(формула Гаусса-Остроградского)
V(A)
где S — гиперповерхность, ограничивающая VD)> ^t — проек-
проекции элемента гиперповерхности на координатные гиперповерх-
гиперповерхности. Подчеркнем, что интеграл по dSi (так же как и по dV^)
— см. выше) понимается в том же смысле, что принят в анализе:
33. Пространство Минковского.
331
как интеграл от произведения дифференциалов независимых пе-
переменных по множеству точек, являющихся проекциями на коор-
координатные гиперплоскости точек, принадлежащих dS. Пусть /*
— компоненты произвольного контравариантного вектора, от-
отличного от нуля на поверхности S только на элементе поверх-
поверхности dS с проекциями dS{. Считая /г произвольными посто-
постоянными, можно заключить, что dS{ представляют компоненты
ковариантного вектора, так как левая часть написанного выше
равенства — скаляр.
33.9 Пусть координаты концов стержня в „собственной" си-
системе координат таковы: х\ — О, х'2 — I.
/
x=Hl-v'/c\ х
Рис. 0.33.1.
Используя результаты задачи 33.1, нетрудно получить, что дви-
движение концов стрежня задается уравнениями
хл = vt, х2 = ly/l - v2/c2 + vt.
Очевидно, см. рис. 0.33.1, что
33.10 Пусть в движущейся системе события произошли при
х[ = 0, t[ = 0 и х'2 = 0, t'2 = т.
Тогда, по формулам задачи 33.1, в системе наблюдателя
jr_ Г_ 1
, — j
2/2 Т
=0, ?i = 0, х2 =
t2 = T =
yJl-V2/c
332
Глава 8. Специальная теория относительности
Рис. 0.33.2.
33.11 Согласно решению зада-
задачи ЗЗЛО, на ракете пройдет вре-
время
г = Ty/l - v2/c2.
При движении ракеты с постоян-
постоянной скоростью оба наблюдателя
равноправны и, с точки зрения ка-
каждого, у другого прошло време-
времени меньше, чем у него. Неравно-
Неравноправие возникает в момент изме-
изменения скорости ракеты при замене системы координат (х'\ ?'),
движущейся со скоростью v, на систему координат (х"; ?"), дви-
движущуюся со скоростью (~-v). При этом время неподвижного
наблюдателя (t при х — 0) как функция собственного време-
времени, прошедшего на ракете, испытывает скачок, обозначенный
на рис. 0.33.2 как At. Если v = v(t), то
в
Величина т — инвариант (не зависит от системы координат, в
которой она вычисляется), так как
A dS
(IT = ,
с
где
ds2 = c2dt- dx2 - dy2 - dz2,
см. задачу 33.2. Величина г достигает максимума, если инте-
интегрирование на плоскости (х; t) ведется вдоль прямой, соединяю-
соединяющей точки Л и В. Это утверждение очевидно в системе коорди-
координат, в которой прямая АВ является осью времени.
Упомянутое выше неравноправие наблюдателей (неподвиж-
(неподвижного и на ракете), можно объяснить тем, что один из них, со-
согласно исходному предположению о виде метрики, все время на-
находится на одной и той же геодезической, а второй — нет.
34. Понятия релятивистской кинематики и динамики 333
34. Некоторые понятия
релятивистской кинематики и динамики
34.1 а) Обозначим va = dxa/dt, где ха, а = 1, 2, 3 — декар-
декартовы координаты; тогда
ds = sjc2 dt2 - dx2 - dy2 - dz2 = csjl - v2/c2 dt,
где v2 = (и1J + (и2J + (v3J и
_ dxa va 4 dt 1
= = vT -
и
ds ^1Л _V2IC2 ds CJ\-V2/C2
y/l - v2/c
a inu 4
P = / P =
y/l - v2/c2 ' ^/l - u2/c2 '
3
34.2 Для компоненты 4-импульса справедливы разложения
— v2/с2
ЗтИ
4 4 "° L 2
= — тс Н— 1 =~ + • •
с V 2 8с
34.3 Новые значения т и va находятся из уравнений
где Pq — начальный 4-импульс, Арг — приращение 4-импульса.
Тогда выполнено
-»* = С -
Для действительности 7П необходимо, чтобы было выполнено
з
v2 < с2, или
т. е. чтобы новый 4-импульс был бы времениподобным векто-
вектором.
12 За к. 2369
334 Глава 8. Специальная теория относительности
34.4 При взрыве бомбы 4-импульс ее продуктов остается рав-
равным 4-импульсу бомбы до взрыва (сохранение импульса и энер-
энергии), хотя масса покоя частиц, составляющих продукты взрыва,
уменьшится. Согласно решению задачи 33.3, ее скорость и мас-
масса при этом не изменяются.
34.5 Пусть известна производная от 4-импульса по собствен-
собственному времени
d-f = f\ i=l 4,
ат
где рг = т——, j — четырехмерный вектор.
ат
Пренебрегая величинами порядка v2/c2 по сравнению с еди-
единицей, получим
d{mva) _ d(mc2 + mv2/2) _ 2 4
dt ~f ' dt ~ ° J '
откуда в том же приближении
dm l1 2 33
dm _ 4 _
dt ~f
dt ~f с2
При va — 0 (в собственной системе координат) справедливы ра-
равенства
dm dm /4
It = ~d^^ i '
Здесь штрих означает, что компонента /4 рассматривается в
собственной системе координат.
34.6 Пусть в собственной системе координат ускорение точ-
точки равно а. За интервал собственного времени dr точка получит
в собственной системе приращение скорости adr.
Согласно релятивистскому правилу сложения скоростей (за-
(задача 33.4), скорость точки в неподвижной системе получит при-
приращение
v + adr ( v2\
2
1 + adr(v/c2) \ с
Интегрируя, получим
- = th
34. Понятия релятивистской кинематики и динамики 335
По определению
dx
/ v
v = —- и ат = \ /1 ;т
Интегрируя последние соотношения, получим
(t-to) = ^sh (i(r - r0)) , {х-хо) = ? (ch 0(r - го)) - l) .
Точка на плоскости (х; t) при изменении собственного времени
т описывает гиперболу, задаваемую уравнением
/ С2 ч 2 С4
C2{t-tOJ- (х-Х0+—) = 2*
34.7 Определим количество 4-импульса, прошедшее через не-
некоторую площадку с проекциями dS{ на координатные гипер-
гиперплоскости, см. задачу 33.8, равенством
Это равенство очевидно, если вектор dSj направлен по одной из
пространственных осей. Тогда выражение
dp1 = Тш dSa
(без суммирования по а) определяет соответствующий поток
4-импульса, как это следует из условия задачи. Если вектор dSj
направлен по оси времени, то формула dp7 — T^dS^ определяет
содержание 4-импульса в элементе пространства dS^ что можно
принять за поток импульса из прошлого в будущее через элемент
гиперповерхности dS$.
Для получения формулы dpi = Ги dSj для произвольно ори-
ориентированной площадки dSj рассмотрим притоки 4-импульса к
малому четырехмерному пентаэдру, четыре грани которого ле-
лежат в координатных гиперплоскостях, а пятая — замыкает эти
четыре, ограничивая малый четырехмерный объем. Предпола-
Предполагая, что объемный поток 4-импульса отсутствует или пропорци-
пропорционален 4-объему, так что для достаточно малого пентаэдра он
пренебрежимо мал по сравнению с притоком через грани, и при-
приравнивая поток 4-импульса через пятую грань сумме притоков
через первые четыре, получим dpi = T47 dSj.
336 Глава 8. Специальная теория относительности
В полученном равенстве слева стоят компоненты 4-вектора;
dSj — также компоненты вектора, поэтому матрица Тгз\ зада-
задающая линейное преобразование векторов, — тензор. Все про-
проведенное выше рассуждение фактически повторяет стандартное
доказательство того, что напряжения в сплошной среде харак-
характеризуются тензором, см. задачу 9.3.
34.8 В собственной лоренцевой системе координат для иде-
идеального газа имеем
а4 = 0 Т4р = О Г44
Та4 = 0, Т4р = О, Г44 = ^
где U — U(p,p) задана. Так как в той же системе координат
9ар = -&ар, 9ai = 0, #44 = С2,
а вектор 4-скорости имеет компоненты и4 — \,иа — 0, то можно
написать
г, =
Эти выражения справедливы уже в произвольной системе коор-
координат.
34.9 Законы сохранения импульса и энергии имеют вид
dTij
—т^0, 1 = 1,2,3,4.
ох3
Уравнение, выражающее сохранение массы покоя, записывается
в виде
где р — плотность массы покоя. Это уравнение вместе с преды-
предыдущими составляет замкнутую систему уравнений относительно
неизвестных р, р и иа, а = 1, 2, 3.
В случае пыли Тгз = ригиК
Глава 9. Электродинамика
сплошных сред
35. Уравнения Максвелла
35Л а) Требуемые уравнения можно получить с помощью
формул Стокса и Гаусса-Остроградского.
б) Направим ось ж по направлению нор-
нормали к поверхности разрыва П в некото-
некоторой ее точке и рассмотрим малую поверх-
поверхность ? (заштрихованную на рис. 0.35.1)
в виде плоского прямоугольника со сторо- , ,~к
нами длины el и /, параллельными осям ж и
у соответственно. Далее е и / устремим к
нулю так, чтобы поверхность разрыва не
пересекала стороны прямоугольника, па-
параллельные оси у. Тогда из левых уравне-
уравнений C5.1) — C5.2) в пределе получим
П
е//2
4/2
Рис. 0.35.1.
= 0,
Airiz
с \ ~ ~ / с '
где индексы 1 и 2 означают, что берутся предельные значения со-
соответствующих величин при подходе к поверхности разрыва со
стороны 1 или 2, ось ж направлена в сторону 1; W — скорость
перемещения цоверхности разрыва по оси ж; iz — поверхност-
поверхностная плотность тока в направлении z. Аналогичные соотношения
можно получить и для площадки, лежащей в плоскости (ж, z).
Беря объем V для второй пары уравнений C5.1) — C5.2) в
виде цилиндра с образующей, параллельной оси ж, и устремляя
к нулю диаметр цилиндра, а еще быстрее длину образующей,
получим
rB) _ rC1) — п е;B) _ ?;(!) — —4тг<т
X X 1 X X 1
где а — поверхностная плотность заряда.
338 Глава 9. Электродинамика сплошных сред
Полученным равенствам можно придать векторную форму
[Ет] + - Wn х [Вт] = О,
[BT]--Wnx[ET] = - — хп,
[Вп] = 0, [Еп] = -*
где квадратными скобками обозначены скачки соответствую-
соответствующих функций: [А] — АB) - A^l\
Отметим, что из закона сохранения заряда можно получить
соотношение, связывающее величины поверхностного тока и за-
заряда. Однако оно является следствием уже полученных, как это
имеет место для уравнений Максвелла в общем случае, см. за-
задачу 35.7.
Если W = 0 (а этого, если W ф с, всегда можно добиться
выбором движущейся системы координат) первые два равенства
упрощаются:
4тг*
с
35.2 В стационарном случае Е — grad<^. Тогда, если Ет раз-
разрывна на некоторой поверхности, то скачок потенциала <р при
переходе через поверхность не будет тождественно равен нулю.
В этом случае интеграл / Е • dx, взятый поперек поверхности,
не будет стремиться к нулю при (#2 — xi) —> 0. Это показыва-
показывает, что предположения, сделанные в задаче 35.1 б), не всегда
справедливы.
35.3 Уравнения движения и энергии частицы массы m с за-
зарядом е в лоренцевой системе координат имеют вид
d'P т-.Ы i к 1с h QX
-j- = -eF 3Uj, Uj = u%gij, p — men, и — ——.
CLT US
Эти уравнения могут быть переписаны в виде
dpa _ / vxB\a dp4 _ a_dxa
dt \ с J dt dt
Они естественным образом обобщают нерелятивистские уравне-
уравнения движения и энергии заряженной точки. Таким образом, сила
35. Уравнения Максвелла 339
Лоренца представляет собой точное выражение для производной
по времени от первых трех компонент 4-импульса частицы. Ве-
Величина е есть скаляр, так как dpk/dr — компоненты векторов,
откуда следует, что Fki — компоненты тензора.
35.4 Проверяется вычислением.
35.5 Существование искомой системы координат очевидным
образом следует из формул задачи 35.4.
Ларморовская частота находится из уравнения
evB
muv = ,
с
получаем:
еВ
vac
35.6 а) Первая C5.3) и вторая C5.4) пара уравнений за-
записывается в лоренцевой системе координат в виде
*lji, j«=.« j4 @.35.1)
с
x + JT + я
ОХ{ OXj OX к
где использовано обозначение
Qp dFij
+ -JT- + -я— = 0, @.35.2)
OX OX
9
дхт 9 дхп'
Матрица дтп — обратная к дц и диагональная; ее ненулевые
компоненты равны:
В уравнениях @.35.2) каждое слагаемое — компонента тен-
тензора третьего ранга, а независимых уравнений — четыре. Из
вида уравнений @.35.1) и из того факта, что F*-7' являются
компонентами тензора, следует, что J1 — компоненты вектора
(четырехмерной плотности тока).
б) Рассмотрим случай движения нескольких заряженных жид-
жидкостей, вообще говоря, с разными скоростями. Для каждой из
340 Глава 9. Электродинамика сплошных сред
них четырехмерная плотность тока может быть определена сле-
следующим образом:
Jk *k a Va и4= 1
cy/l - v2/c2'
где р* — плотность электрического заряда в собственной систе-
системе координат, так что
V1 - v2/c2
Знаменатель в выражении для ре можно рассматривать как след-
следствие уменьшения длин в движущейся среде и соответствующего
увеличения плотности заряда. Таким образом, в случае несколь-
нескольких заряженных жидкостей 4-ток представляет собой сумму, ка-
каждый член которой является 4-вектором.
в) Преобразование величин ja и/?е — векторное, такое же, как и
величин хг, см. задачу 33.1. В нерелятивистском случае обычно
считается
j'a = ja-p,va, Р* = Р*.
Эти формулы справедливы, если v2/с2 <С 1. Для справедливо-
справедливости равенства р'е = ре необходимо еще выполнение неравенства
Ре ^ v2j/c2. Оно заведомо не выполнено при ре = 0, j' ф 0. По-
Появление плотности заряда ре ф 0 при смене системы координат,
когда р'е = 0, — релятивистский эффект, связанный с различным
лоренцевым сокращением длин и соответствующим изменением
плотностей сред, движущихся с различными скоростями.
35.7 Вычислив 4-дивергенцию от первого уравнения Макс-
Максвелла, получим уравнение сохранения заряда
4
дхк
или
т + дха ~
так как
d2Fij
dxldxJ
в силу антисимметрии тензора F'J'.
35. Уравнения Максвелла 341
35.8 Вычислив дивергенцию от третьего и первого уравне-
уравнений Максвелла, выписанных во введении к данному параграфу,
получим соотношения
= 0,
Сравнивая последнее соотношение с уравнением сохранения за-
заряда, получим
— Dтгре - div Е) = 0.
35.9 Для получения плотностей силы и притока энергии про-
просуммируем по всем заряженным частицам, находящимся в еди-
единице объема, силу и мощность, относящиеся к каждой частице,
см. задачу 35.3,
с
Вводя плотности заряда и тока
¦у И j —
получим
j
f pej , j
с
35.10 Непосредственным вычислением проверяется, что в ло-
ренцевых системах координат выполнены равенства
S°P = — (ваВр + ЕаЕ?) - —8ар (В2 + Е2),
4тг V / 87Г v /
Sa4=—(ExB)a,
4ttcV >
Тензор SaP называется тензором максвеллоеских напряжений',
да = ga4 — плотностью импульса; W = с2544 — плотностью
энергии; S@ = c2S4@ — плотностью потока энергии электро-
электромагнитного поля (вектором Умова-Пойнтинга).
342 Глава 9. Электродинамика сплошных сред
С помощью уравнений Максвелла дивергенцию тензора Stk
можно преобразовать к виду
^ U х В)а
dt
Последнее соотношение называется теоремой Пойнтинга. Пра-
Правые части в полученных равенствах представляют собой импульс
и энергию, передаваемые полю заряженными частицами (кото-
(которые характеризуются величинами ре и j).
35.11 а) Пусть два решения уравнений Максвелла удовлетво-
удовлетворяют одинаковым начальным и граничным условиям, а также
соответствуют одинаковому распределению электрического то-
тока j(xa, t). В силу линейности уравнений разность Е* и В* этих
решений будет удовлетворять тем же уравнениям при j = 0 и
нулевых начальных и граничных условиях. Используя для Е* и
В* теорему Пойнтинга, см. задачу 34.10, получим
д
_9 [
dtj
/ 4тг
8тг ./ 4тг
V dV
откуда, в силу условия Е#Т = О,
(El + Bl) dV = О, т. е. Е* = 0 и В* = 0.
v
б) Решение задачи Коши с заданными при t = 0 начальными
данными в любой точке в момент времени ?* может зависеть
лишь от начальных данных в сфере радиуса ct* с центром в этой
точке. Вне этой сферы при t — 0 без каких-либо изменений в рас-
рассматриваемом решении начальное электромагнитное поле можно
положить равным нулю. Тогда при 0 ^ ? ^ ?* электромагнитное
поле будет равно нулю при г ^ 2ct*. Единственность решения
задачи Коши следует из единственности начально-краевой зада-
задачи с нулевыми граничными условиями, заданными на замкнутой
поверхности, содержащей внутри себя сферу радиуса г = 2с?*,
и начальными условиями, совпадающими с исходными внутри
сферы радиуса г = ct* и равными нулю вне этой сферы.
36. Магнитная гидродинамика 343
35Л2 Решение аналогично задаче 35.11.
35.13 Искомое преобразование не зависит от предыстории, по-
поэтому можно рассмотреть только вопрос о преобразовании элек-
электромагнитного поля, возникшего при нулевых начальных усло-
условиях из-за наличия 4-тока, который будем считать отличным от
нуля лишь при t ;> t0. Из-за конечности скорости света рассма-
рассматриваемое электромагнитное иоле можно считать равным нулю
на бесконечности. Если преобразовать электромагнитное поле
согласно тензорному закону, то в новой системе координат по-
получим решение уравнений Максвелла с тем же вектором 4-тока
в правой части и нулевыми начальными и граничными условия-
условиями. Так как решение уравнений Максвелла при перечисленных
условиях единственно, то отсюда следует единственность пре-
преобразования электромагнитного поля, удовлетворяющего усло-
условиям задачи.
36. Магнитная гидродинамика
36Л Для элемента жидкости запишем уравнение притока
тепла, отнесенное к единице массы жидкости,
Р
Здесь V — 1/р, учтено, что рп = — рп (отсутствие вязкости),
dq = 0 (отсутствие теплопроводности), и что приток энергии
от электромагнитного поля к единице массы элемента среды в
собственной системе координат этого элемента имеет вид
dq* = dt,
Р
см. задачу 35.7. Сравнение тождества Гиббса
dU = -pdV + Tds
с уравнением притока тепла дает
344 Глава 9. Электродинамика сплошных сред
Отсюда видно, что энергия f • Ег, передаваемая от электромаг-
электромагнитного поля к среде, проявляется при сделанных предположе-
предположениях в виде тепла (приводит к тому же изменению энтропии)
и называется джоулевым теплом. Если рассмотреть электро-
электромагнитное поле и жидкость как единую систему, то изменение
энтропии за счет протекания электрического тока является для
нее внутренним процессом и можно записать
ds _ d\s _ / Е1
Tt " ~dt ~ рТ '
где d\s/dt — внутреннее производство энтропии в системе. Ве-
Величина dqf = T ds — dq называется некомпенсированным теплом.
Здесь dq — приток тепла, рассчитанный на единицу массы.
В рассматриваемом случае dq — 0 и ds = d\s, так что
36.2 а) Согласно предыдущей задаче
dp _ f • Е1
~dt ~ рТ
В термодинамике необратимых процессов, см. § 13, производ-
производство энтропии представляется в виде суммы произведений мно-
множителей, характеризующих отклонение от термодинамического
равновесия. Одни из этих множителей называются потоками, а
другие силами (названия, разумеется, не важны) и для процес-
процессов, незначительно отклоняющихся от равновесных, постулиру-
постулируется линейная связь между силами и потоками.
Таким образом, j[ — (JijE1- (множитель рТ включен в (Jij).
Матрица сг^, очевидно, является матрицей компонент тензора,
зависящего от имеющихся в наличии скалярных, а также век-
векторных и тензорных аргументов; последние могут вносить ани-
анизотропию в рассматриваемую связь. Зависимость crzj от акси-
аксиального вектора В' удобнее изучать как зависимость от тензо-
тензора €ijk B'k.
Из теоремы Гамильтона-Кэли следует, см. § 6, что любая
аналитическая зависимость между трехмерными тензорами вто-
второго ранга всегда может быть представлена в виде многочлена
второй степени со скалярными коэффициентами. В рассматри-
36. Магнитная гидродинамика 345
ваемом случае в декартовых координатах получаем следующее
соотношение
Очевидно, что в случае изотропии, когда влияние В несуще-
несущественно, связь между f и Е' задается равенством, выражающим
закон Ома:
]' = аЕ'.
б) Для оценки величин ст, а и /3 в собственной системе координат
элемента среды запишем уравнения движения электронной жид-
жидкости, пренебрегал силами инерции и градиентом электронного
давления
ЕГ *' х В'
е ~г ^ Т" Jtp*
Предположим, что сила трения, которую испытывает электрон-
электронная жидкость, имеет вид
nemev
/тр = - •
Здесь пе — концентрация электронов; ше — масса электрона;
г — среднее время между столкновениями электронов с части-
частицами среды; v — средняя скорость электронов относительно сре-
среды, связанная с f равенством f = neev. Считается, что ток
создается только движением электронов.
Обозначив eJB'/(cme) = ш, рассматриваемое равенство пере-
перепишем следующим образом
пее2т
f + и>т X f = а0Е', где а0 = . .
(Величина e\Br\/(cme) — ларморовскал частота электронов, см.
задачу 35.5.) Это соотношение и представляет собой обобщен-
обобщенный закон Ома, который обычно используется именно в таком
виде. Сравнение последнего равенства с полученным ранее пред-
представлением G{j показывает, что
Появление у тока j' компоненты, перпендикулярной Bf и Е1\ на-
называется эффектом Холла. В плотных средах эта компонента
тока обычно пренебрежимо мала (при иот <С 1).
346 Глава 9. Электродинамика сплошных сред
36.3 Пусть система координат выбрана так, что ось х пер-
перпендикулярна стенке. Тогда исходные уравнения имеют вид
— = щеЕ, — = 4ке(щ - пе),
ах ах
—^ — -пееЕ, р{ = щкТ, ре — пекТ,
ах
где щ и пе — число ионов и электронов; к — постоянная Больц-
мана; Т = const; для определенности заряд иона считается рав-
равным по модулю заряду электрона е. Отсюда
йщ щеЕ dne neeE dE
Для вычисления дебаевской длины линеаризуем уравнения в
окрестности бесконечности, где для определенности положим
электрический потенциал ср равным нулю. Получим
кТ '
здесь п° — плотность электронов (или равная ей плотность ио-
ионов) на бесконечности.
36.4 Исходные уравнения имеют вид
3 = аЕ, ^ + div j = 0, div E = 4тг/>е,
отсюда ре = ple~4nat. Следовательно, всюду div j ^0 и заряд
утекает на бесконечность.
36.5 а) Обозначая индексом „0" характерное значение вели-
величины, а „~" — характерное значение ее изменения в рассматри-
рассматриваемой задаче и считая, что а меньше или порядка ао? запишем
первую пару уравнений Максвелла с учетом закона Ома и оце-
оценим порядки их членов
1 дЕ 4тг / v \
rot В [aE+<T-xB+pev) = 0, div E = 4npe.
. Cdt СЛ J . @.36.1)
В Е gEq (tvqBq ре0Щ Е
— =- Т. — реО
t сТ с с2 с L
Здесь под каждым членом уравнения выписана его оценка по
порядку величины, L и Т — характерные длина и время.
36. Магнитная гидродинамика 347
1) Введем обозначения
L с2 г
V\ = —, iJ = —, v* = max{uo, t?i, t?2j
1 <jL
и предположим, что
-^;<1, Ц<1. @.36.2)
сг! с1
Второе неравенство предполагает, в частности, что
v2 с2 с2 ( 1 ~
с2
г;
1 у
Левыми частями неравенств @.36.2) будем в дальнейшем пре-
пренебрегать по сравнению с единицей. Тогда с учетом второго
уравнения @.36.1) в левой части первого уравнения можно пре-
пренебречь вторым и последним членами по сравнению с третьим.
Тогда получим
Е= - (vmvotB- - х В ) , Е~—Во, @.36.3)
с \ су с
где vm = с2/Dтга) — коэффициент магнитной вязкости. Вто-
Второй и последний члены в первом уравнении @.36.1) можно оце-
оценить, используя @.37.2) и @.37.3),
1дЕ v*B0 v vlB0
с dt c2T" rec c2L'
Этими членами можно пренебречь по сравнению с rot В ~ B/L,
если считать, что дополнительно к @.36.2) выполняется соот-
соотношение
^«1. @.36.4)
с2В
Тогда первое равенство @.36.1), с учетом того, что выраже-
выражение, стоящее в скобках, представляет плотность тока J, можно
переписать в виде двух равенств
j, j ( ) @.36.5)
с ш \ с J
2) С точностью до членов v2/с2 преобразование магнитного по-
поля к движущейся системе координат имеет вид
В' = В--хЕ.
с
348 Глава 9. Электродинамика сплошных сред
Последний член, по @.36.3), не превосходит у^Во/с2 и в силу
@.36.2} и @.36.4) пренебрежимо мал по сравнению с первым.
3) Электрическая и магнитная силы имеют следующие порядки
величин
ЁЕо < El v*B* 1 В Во
реЕ ~ —— ~ — ~ —гТ"' — |J X jB| ~ ———. @.36.6)
Согласно @.36.4) электрической силой можно пренебречь по
сравнению с магнитной.
Так как согласно @.36.5) конвективный ток мал по сравне-
сравнению с током проводимости, джоулево тепло может быть записа-
записано в виде
f.E'=-j'2 = -j2 = ^(rotBJ. @.36.7)
б) Из второй группы уравнений Максвелла и формул @.36.5)
получим
дВ
— rot(v X В) + tot(i/m rot В) = 0, div В = 0. @.36.8)
(первое из этих уравнений называется уравнением индукции), а
уравнения импульса, неразрывности и притока тепла запишутся
в виде
dv rot В х В
dp л. ds i/
d 0
Л 'Л 4тг/>Т
Уравнения @.36.8) и @.36.9) составляют систему уравнений
магнитной гидродинамики. Как и для полной системы уравне-
уравнений Максвелла, второе уравнение @.36.8) для нестационарных
задач представляет собой ограничение на задание начальных
условий для В, так как из первого уравнения @.36.8) следу-
следует d(div B)/dt = 0.
Отметим, что исходное предположение @.36.2), связанное
с величиной сг, можно переписать в виде
1 г2
а а2
36. Магнитная гидродинамика 349
36.6 а) Магнитное число Рейнольдса имеет величину
где и* и L — характерные скорость и длина.
б) Интегральное уравнение Максвелла, описывающее изменение
во времени магнитного поля, после подстановки в него выраже-
выражения для Е, принятого в МГД, см. равенство @.36.3) в решении
задачи 36.5, приобретает вид
— I BndE- <b(v х В) -dl+ I vm rot В • dl = 0,
Eo L L
где Eo — неподвижная поверхность, a L — ее граница. Это
уравнение является интегральной формой уравнения индукции.
Очевидно, как и в общем случае, что для замкнутой поверх-
поверхности S всегда выполняется равенство
Bn dZ = О,
5
если оно имеет место в какой-нибудь один момент времени. Ин-
Интегральное уравнение индукции можно преобразовать, рассмо-
рассмотрев изменение магнитного потока через поверхность ?(?), дви-
движущуюся вместе со средой, учитывая, что для произвольного
векторного поля B(x,y,z,t) с равной нулю дивергенцией выпол-
выполнено соотношение
-? / BndZ=^ [BndZ+ f В • (» х Л),
at J at J J
E(t) So L
где So — неподвижная поверхность, совпадающая с ?(?) в рас-
рассматриваемый момент времени. При этом интегральные урав-
уравнения, соответствующие уравнению индукции, принимают вид
— f BndE+ [ иш rot B-dl = 0, i Bn dE = 0,
?(<) L ?
где T,(t) — материальная поверхность, L — ее граница.
350 Глава 9. Электродинамика сплошных сред
36.7 Если ^m rot В = 0, или, согласно @.37.3), Е = -их В/с,
то для неподвижной поверхности So и для материальной по-
поверхности ?(?) имеют место интегральные уравнения индукции,
эквивалентные между собой,
ndZ = J(vxB)-dl, jt
Последнее равенство называют теоремой вмороженности.
36.8 Согласно теореме вмороженности магнитного поля, при
деформациях среды должно сохраняться неизменным смешанное
произведение
(d/(l)(«) X rf/B)@) ' B(f) = Const>
где dl(i)(t) и dlB){t) — два вектора, скрепленных со средой, т. е.
Если рассмотреть третий вектор d/((), скрепленный со средой и
параллельный в некоторый момент времени вектору В, то
dV{t) = (dl{1)(t) x dlB)(t)) ¦ dl{t) = dV0 ¦ Д@,
где Д(?) — отношение текущего и начального объемов. Так как
d/n)@) и dl/2\@) произвольны, то из сравнения двух приведен-
приведенных равенств следует
const • dl{t)
{) = Д@ '
откуда видно, что векторные линии В скреплены со средой. Вос-
Воспользовавшись правилом вычисления компонент вектора dl(t),
скрепленного со средой, получим
где В§ — компоненты вектора В в начальный момент. Из урав-
уравнения неразрывности следует, что
A{t) =det
дх
их0
Ро
36. Магнитная гидродинамика 351
36.9 а) Проверяется вычислением с учетом того, что
rot В =-А
с
Рассмотрим декартову систему координат, ось х которой на-
направлена вдоль вектора J5, в ней тензор магнитных напряжений
имеет компоненты
хх ~~ 8тг ' уу ~ zz ~ 87Г '
а остальные компоненты — нули.
Так как в случае идеальной проводимости изменение вектора
В выражается через тензор градиентов перемещений дтк/дхг0,
где гиг — хг — хг0 — компоненты вектора перемещений в недефор-
мированной системе координат (з^), а давление имеет вид
то суммарные напряжения также выражаются через тензор гра-
градиентов перемещений и энтропию. Поэтому газ с вморожен-
вмороженным магнитным полем можно рассматривать как упругую сре-
среду и уравнения идеальной МГД могут быть записаны в форме
Пиолы-Кирхгофа
где
82wk _ _8_ ( dU* \ dS_ _
Ро dt2 ~ дхг0 \д{дь)к/дх{0)) ' dt " '
есть полная энергия, отнесенная к единице первоначального объ-
объема.
в) Поток электромагнитной энергии через площадку, связан-
связанную со средой, дается нормальной компонентой вектора Умова-
Пойнтинга, см. задачу 35.10,
352 Глава 9. Электродинамика сплошных сред
Для случая идеальной проводимости, когда Е = -v х В/с, вели-
величину Sn можно записать в виде
/ \ B2
I гп 1
J Щ +
Здесь выделено слагаемое, связанное с работой тензора напря-
напряжений, а оставшийся член представляет поток энергии магнит-
магнитного поля, если считать, что эта энергия в силу вмороженности
магнитного поля перемещается со скоростью среды.
36.10 Для разрыва, имеющего нулевую скорость в некоторой
системе координат, с учетом результатов предыдущей задачи
запишем
[Вп] = 0, [v х В]т = 0, [pvn] = О,
[(<
Здесь квадратные скобки, как обычно, означают скачок соот-
соответствующей величины.
Первые два соотношения следуют из общих соотношений на
разрыве электромагнитного поля при Е = —v x JB/c, см. зада-
задачу 35.1. Эти соотношения получаются также непосредственно
из интегральной формы уравнения индукции при vm — 0.
36.11 Линеаризованная система имеет вид
-о.
до ди
-? + Ро-тг = 0, @.36.12)
t
= e, „.зела,
36. Магнитная гидродинамика 353
@.36.14)
@.36.15)
dv
dt
dw
dt
да
dt ~
в»
47Г/90
B°x
4тгр0
о,
dBy
dx
dBz
dx
П
— u,
n
— u,
@.36.16)
где и = ux, v = vy, w = vz. Величины, соответствующие невозму-
невозмущенному состоянию, отмечены индексом „0", величины без этого
индекса — возмущения, то есть малые добавки к невозмущен-
невозмущенным величинам. Система координат выбрана так, что В® — 0 и
и0 = v° = w° = 0.
Из первых двух уравнений @.36.10) следует, что Вх не ме-
меняется, так что можно положить Вх = 0. Это было учтено в
уравнении @.36.13).
Система @.36.10) — @.36.16) представляет собой одно-
однородную по порядку дифференцирования систему уравнений с по-
постоянными коэффициентами; она гиперболическая, и ее общее
решение может быть найдено как суперпозиция бегущих волн,
т. е. решений, зависящих от аргументов вида х - \t, A = const.
Общий вид систем подобного рода
дщ duj _
dt дх
Отыскание бегущих волн приводит к уравнению
(aij - ХбцЩ = 0,
откуда следует, что А удовлетворяет характеристическому урав-
уравнению
\aij - X8ij\ = 0,
а и[ пропорциональны правому собственному вектору гг матри-
матрицы ||сч?||, так что в изучаемой волне
щ — Т{ • f(x - \t) + const,
где / — произвольная функция своего аргумента. Такое реше-
решение может быть найдено для каждого корня характеристическо-
характеристического уравнения.
354 Глава 9. Электродинамика сплошных сред
Для упрощения дальнейших вычислений отметим, что из си-
системы @.36Л0) — @.36.16) выделяются независимые под-
подсистемы. Это, во-первых, уравнение @.36.16), для которого
А = 0, а собственный вектор имеет вид
< Ву = 0; Bz = 0; р = - (-^ J s; и = 0; v = 0; w = 0; Л .
Соответствующая волна, движущаяся со скоростью газа, назы-
называется энтропийной. Во-вторых, — это уравнения @.36.11) и
@.36.15). Для них
В0
Соответствующие собственные векторы имеют вид
f 5У = 0; В,; р = 0; и = 0; v = 0; м; = Т^=; 5 = о
а волны называются альфвеновскими. Для оставшихся уравне-
уравнений @.36.10), @.36.12) — @.36.14) при s = 0, Bz = 0 (все
возмущения с Вг / 0, 5 / 0 уже рассмотрены выше) характери-
характеристическое уравнение имеет вид
л_ am . +
V 4ТГ/>О
где Од = {dp/dpfs. Любому корню А этого уравнения соответ-
соответствует собственный вектор
Эти возмущения называют магнитозвуковыми [быстрыми или
медленными в зависимости от выбранного значения А).
36.12 В неподвижной среде при а = const уравнение индукции
сводится к уравнению теплопроводности
д2В
Разыскиваемое решение принадлежит множеству решений вида
Re
36. Магнитная гидродинамика 355
Из уравнения находим
ш = vmk или к = ±A +
Искомое решение соответствует знаку „+",
В = Вое V'2Um cosK/—s + wt) .
VV 2i/m )
Отсюда S rsj y/vm/u.
36.13 Собственные функции выписанного выше уравнения те-
теплопроводности имеют вид ъткх, где к — 7гп/1, п — целое чи-
число; соответствующие частоты и = -ivmk2. Произвольные не-
непрерывные начальные данные В = Во(х) можно разложить в
ряд по системе этих функций. Наиболее медленно затухающим
возмущением будет член, соответствующий первой собственной
функции
71-2 2 Г / \
о
т. е. характерное время затухания возмущений составляет
„ /2
Если С окажется равным нулю, то затухание поля будет проис-
происходить быстрее и для оценки скорости затухания нужно найти
первый ненулевой член разложения.
36.14 а) В силу геометрии задачи
поэтому всюду. Ву = О, Bz = Во- Для нахождения и(у, z) и
Bx(y,z) имеются два уравнения — проекции уравнений движе-
движения и индукции на ось х:
Эр 1 _ (дВх
= вЛ
356
Глава 9. Электродинамика сплошных сред
С помощью линейной комбинации уравнений получим
~
@.36.17)
@.36.18)
где
1
= u-/3Bx, v2 = u + /3Bx, a= — V4irpm, A =
Вп
Величина
в дальнейшем будет считаться положительной.
Будем считать, что течение жидкости происходит в обла-
области z\(y) < z < 2г2(у), причем кривые z\{y) и ^(у) смыкаются,
образуя замкнутую кривую. На границе выполняются условия
прилипания и непротекания электрического тока:
и\ = 0 и jn
= 0.
Так как j = {с/An) rot J3, то последнее условие дает
— const = 0, поскольку Ву = О, BZ = Bq.
Так как j = 0 и вне трубы, то там
Вх — const = ДТоо = 0.
Для ui и V2 имеем, таким образом, на стенках трубы нулевые
граничные условия.
Если число Гартмана велико,
а
то первые члены в правой части уравнений для v\ и v2 оказы-
оказываются существенными только в узких областях у стенок (по-
(пограничные слои). При этом около стенки можно заменить А на
вторую производную по нормали к стенке
дп2 соз2вдг2'
где 9 — угол между осью z, т. е. магнитным полем, и стенкой.
36. Магнитная гидродинамика 357
Таким образом, уравнения для v\ и v2 сводятся к обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых по-
показывает, что v\ обращается в нуль на нижней стенке z = z\ (у)
и линейно растет при удалении от нее щ — C(z - zi(y)). За-
Затем резко, на расстояниях порядка y/&FfJw^/(Bo cos20), умень-
уменьшается до нуля на верхней стенке z = z2{y). Аналогично имеем
v2 = C(z2(y) - z) всюду вдали от нижней стенки с резким умень-
уменьшением до нуля на нижней стенке.
Из выражений для v\ и v2 получаем, что всюду, за исключени-
исключением узких пограничных слоев толщины порядка 8 =
около стенок, имеет место равенство
vi + V2 1
т. е. скорость не зависит от г, а ее величина и(у) пропорцио-
пропорциональна длине отрезка оси г, лежащего внутри трубы. Для тех
значений у, для которых cos# <C 1, полученное выражение не
справедливо. Далее,
V2 - vl
= C\z-
2
т. е. линии электрического тока Вх = const параллельны сред-
средней линии поперечного сечения трубы z — (z\(y) -f z2(y))/2. При
На > 1 нетрудно получить решение также и внутри погранич-
пограничных слоев вдали от точек смыкания кривых z — z\(y) и z = z2(y).
б) Из уравнений @.36.17) и @,36.18) с учетом нулевых гра-
граничных условий при z = ±Я для и и для Bz (здесь использовано
отсутствие суммарного тока по направлению оси у), а, следова-
следовательно, нулевых граничных условий и для v\ и^, получим
аН) - chjaz) C(z + Hsh(az))
U —
- С/1
Если число Гартмана велико, то из приведенных формул видно
резкое изменение величин вблизи стенок, соответствующее по-
граничным слоям, которые называются гартманоескими.
358 Глава 9. Электродинамика сплошных сред
36.15 При v = кВ уравнение индукции в случае vm = О вы-
выполнено. Оставшиеся уравнения принимают вид
/ к2 \
[1- -— }(v-V)v= -
V AnpJ
В2
и при к = const, р = const сводятся к уравнению Навье-Стокса
с давлением р\ и вязкостью //i, определяемыми формулами
Р* Д
рг = _|_ const, //i = =~ +
i i
47Г/9 4тгр
а) Если // = 0, то при к2 = Аттр существует класс решений:
v(xl) — произвольный соленоидальный вектор,
Если на бесконечности В —> Во = const, то, выполняя преобра-
преобразование Галилея, получаем решение, описывающее волну, рас-
распространяющуюся по покоящейся на бесконечности жидкости,
в которой
Скорость ее равна ±Во/у/4пр. Это волна Альфвена.
б) Обтекание тел с магнитным полем будет соответствовать об-
обтеканию при В = 0 с числом Рейнольдса, подсчитанным по вяз-
вязкости fii.
В случае, когда к2 > 4тгр, для получения уравнений с поло-
положительной вязкостью дополнительно нужно изменить знак ско-
скорости и ввести Vi = —v. В этом случае толщина пограничного
слоя будет расти в сторону набегающего потока и туда же будет
обращен вязкий след.
37. Электрогидродинамика 359
37. Электрогидродинамика
37.1 а) В связанной с зарядом системе координат выполнено
В исходной системе при v2/c2 <С 1 выполнено
VE'\ л vx Е' , _ evJy2 + z2
с2 У с ' ''- г3 '
Здесь предполагается, что заряд движется вдоль оси х.
б) Пусть заряженные частицы занимают объем с характерным
линейным размером L, характерная плотность их заряда р*. Ис-
Исходя из уравнения
div Е = 4пре,
оценим порядок величины электрического поля ?"*, получим
Е* ~ 4tt/)*L.
Если заряженные частицы движутся с характерной скоростью
t>*. то, считая процесс квазистационарным и пренебрегая в урав-
уравнении Максвелла членом A/е) dE/dt, который важен только при
быстропеременных процессах с характерными временами 1\
меньшими или порядка L/c, получим
vplL
rot В = —Ll- или В*
поэтому В* ~ E*v*/c, как в п. а).
в) Согласно преобразованию Лоренца
37.2 Средняя скорость ЬЕ носителей заряда относительно
среды приобретается в течение времени т между последователь-
последовательными столкновениями за счет действия электрического поля, по-
поэтому ЬЕ — вг/2, где а = еЕ/т. Отсюда 6 = ет/Bт).
Если \ЬЕ\ <С Н, т. е. еЕт/Bт) <С и, то член />еЬ^ мал но
сравнению с pev.
360 Глава 9. Электродинамика сплошных сред
37.3 а) Плотность электромагнитной силы / в общем случае
может быть представлена, см. задачу 34.5, следующим образом
с dt
, д=
dt дхР ' 47гс
где величины
р _ Е
4тг 8тг
являются компонентами тензора электрических напряжений.
Как видно, если Е2 ^> В2, всеми слагаемыми, содержащими В в
выражении для Та&', можно пренебречь. Величина dga/dt имеет
по отношению к реЕ порядок LB/(cTE). Считая, что в зада-
задачах механики L/T имеет порядок некоторой скорости, много
меньшей скорости света, и считая В/Е малой величиной (при
движении зарядов одного знака В/Е ~ v/c, см. задачу 37.1),
получим, что член dga/dt может быть опущен.
б) Система уравнений ЭГД приведена во введении к этому па-
параграфу. Уравнение
следует из того, что в собственной системе координат плот-
плотность притока энергии от электромагнитного поля к среде равна
f E — реЬЕ2, аналогично тому, как это показано в задаче 35.1.
Согласно второму закону термодинамики peb ^ 0. Уравнение
rot JS7 = 0 получается из соответствующего уравнения Максвелла
при пренебрежении членом A/с) dB/dt, который имеет порядок
LjB/(cT?'), to есть пренебрежимо мал по отношению к оставлен-
оставленному. Остальные уравнения комментариев не требуют.
37.4 Воспользовавшись равенством
дЕ
и считая, что на начальном этапе развития процесса j = bpeE,
запишем уравнение сохранения заряда
д2Е д / дЕ\
+ {ЬЕ- =0, @.37.1)
dtdx дх \ дх J
откуда
— + ЬЕ —- = 0. @.37.2)
at ox
37. Электрогидродинамика
361
При получении последнего равенства использованы условия на
бесконечности. Равенство @.37.1) может быть записано в виде
с/ре _ Ьр\
dt ~~ 47г '
где d/dt — производная вдоль линии dx/dt = 6?, которая, со-
согласно @.37.2), является прямой, на которой Е — const. Инте-
Интегрируя, получим
Рё1 - Рёо = 4nbt-
Поскольку при t = О согласно условию задачи Ьре ;> <т, то членом
~
можно пренебречь. Тогда
p~l = 4nbt.
Таким образом, условие j > аЕ, выполняется при t < <т/4тг
на прямых
X = ;То + bEgt,
где о^о — начальная точка, ?70 = ??(^o,0).
37*5 В стационарном одно- ^
мерном течении
dj
—- =z 0, 2 — const.
дх
Записывая закон Ома, получаем
dF
(v + ЬЕ) -г— = 4nj = const.
ox
Интегрируя, получим
1=0
.1=0
Е(х) = -
v - \/С + 8nbjx
Рис. 0.37.1.
Здесь С — (ЬЕо + г;J — постоянная интегрирования, найденная
из условия Е — Ео при х = 0.
Знак перед корнем выбран с учетом того, что имеют место
неравенства
i<0, 6<0, g<0.
Такая зависимость Е(х) имеет место, если EqI > (pi > —оо.
362 Глава 9. Электродинамика сплошных сред
Действительно, в этом случае всегда можно найти j так, чтобы
Ь ах — <рь
о
см. рис. 0.37.1, где представлены зависимости Е(х) для j =-О,
3\ и j2, где j2 <ii < 0.
Если cpi/l > Eq, to E(x) = у?х// и j = 0.
Пусть устройство — насос. Работа (полезная), совершаемая
над жидкостью в единицу времени, равна интегралу от произве-
произведения силы на скорость v f peEdx. Необходимая электрическая
о
мощность, потери мощности и КПД имеют вид соответственно
/ i i
j Edx = j<pu / (j - pev)Edx, -— / peEdx.
J J JViJ
Глава 10. Анализ размерностей
и моделирование
39. Примеры приложений теории размерности
39.1 Считая движение установившимся (водоем большой) и
предполагая, что в рассматриваемом струйном течении основ-
основную роль играют силы тяжести и инерции жидкости, предста-
представим искомую зависимость в виде
G = f(p,g,h).
Далее реализуется стандартная последовательность действий
при использовании анализа размерностей.
Выбирается класс систем, например, {LMT}. В этом классе
систем записываются размерности определяемого и определяю-
определяющих параметров
[G] = МГ, [р] = ML~\ [g] = LT~\ [h] = L.
Устанавливается, что размерности р. д и h независимы (частный
случай П-теоремы, к = п).
Составляется безразмерная комбинация П для G. Для этого
записывается выражение размерности [G] в виде степенного од-
одночлена из степеней размерностей [/?], [д] и [h] с неизвестными
показателями а, /3 и j
[G] = {pnefihV-
Приравниваются показатели степени при М, L и Т
М : 1 = а,
L : 0 = -За +/3 + 7,
Т : -3 = -2/3.
Из этой системы находится единственное решение
3 3
«=1. /? = !j> 7=2-
364 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование
С
Поэтому П =¦——. г-. Согласно П-теореме имеем П = С, где
Pg3'2h3'2
С — постоянная. Тогда
3 3
39.2 Аналогично задаче 39.1, G — /(a, p,g,h). В классе си-
систем {LMT} имеем
[G] = MLT~3, [p] = ML~3, [g] = LT-2, [h] = L.
Согласно П-теореме запишем
G 2 §
—о/91е/9 = ?»(<*)» откуда G = <p(a)pg2fi2.
рд * h *
Для определения у?(а) при фиксированном а достаточно прове-
проведения единственного опыта.
39.3 Предположим, что траектории частиц жидкости с мас-
массой т в струе формируются главным образом под действием сил
инерции и сил тяжести. Тогда
? = f(vcosa, vsma, g, га).
Следуя методу Хантли, можно выбрать две различные единицы
длины — в горизонтальном направлении (символ Lx) и в верти-
вертикальном (символ Ьу).
Используем класс класс систем единиц {Lx, Ly,M,T}. В этом
классе систем имеем
[v cos a] = LxT~l, [v sin a] = LyT~l,
Все аргументы искомой функции размерно независимы (случай
к = п). Находим безразмерную комбинацию для С:
[С] = [vcosa]w • [и sin а]п • [д]р • [т)\
Lx - L™T~m • LnyT~n • LpT~2p • M9.
Приравнивая показатели при L^, Ly, Г и М, получаем
L^ : 1 = т,
Ly : 0 = п + р,
Г : 0 = -т - п-2р,
М : 0 = ?.
39. Примеры приложений теории размерности 365
Отсюда т = 1, п = 1, р — —1, q = 0. Тогда
(и cos о?) • A7 sin a) • g v cos a sin ag
Согласно П-теореме II = С, где С — постоянная. Тогда
i?2 cos a sin о? . г?2
— Ci sin 2а—.
Аналогично находится
9
где С2 — постоянная.
Замечание. Из точного решения следует, что
Сг = 1, С2 = 0.5.
Если бы не был использован метод Хантли, то в классе систем
{LMT} было бы
[С] = L, [m] = M, [vcosa] = LT, [г?sin a] = LT, [5] = LT~2.
Из числа аргументов исходного соотношения только два размер-
размерно-независимы, например, v sin a и д. Безразмерные комбинации
для С и t?cosa имеют вид
С vcosoi
П = - ; — —г. Hi — ".
\ys№a)*g l usina
Согласно П-теореме П = <р(Х\\). Тогда
9 • 9
где y?(ctga) — неизвестная функция. Получено существенно
меньше информации, чем в случае применения метода Хантли.
Успех, достигаемый при использовании хМетода Хантли, в
данном случае связан с независимостью движений каждой ча-
частицы струи в горизонтальном и вертикальном направлениях,
что делает несущественным возникающий новый размерный па-
параметр, показывающий во сколько раз отличаются друг от друга
выбранные для разных направлений различные единицы длины.
13 Зак. 2369
366 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование
Действительно, уравнения движения частицы и начальные усло-
условия имеют вид
{тх = О, Г х = 0, х = v cos а,
при t = 0: <
= —тпд; [ у = 0, у = и sin а.
Первое и второе уравения могут решаться независимо друг от
друга и начальные условия также являются независимыми. Из
этих соотношений становится очевидной и независимость реше-
решения от массы га частицы.
39.4 Дальность полета струи, вытекающей из отверстия, рас-
расположенного на высоте h над дном сосуда равна С = f(v,g<h),
где v — скорость истечения струи. Используя метод Хантли в
классе систем {Lx, Ly,T}, см. задачу 39.3, получим
[?] = Lx, [v] = LXT~\ [g] = LyT~2, [h] = Ly.
Все определяющие параметры размерно-независимы,
Согласно П-теореме, получим II = С, где С — константа. Сле-
Следовательно,
Можно принять, что скорость стационарного истечения из ма-
малого отверстия, расположенного на глубине S под свободной по-
поверхностью, близка к величине, следующей из интеграла Бернул-
ли, т. е.
v= уДд8.
Тогда для отверстия 1 имеем
а для отверстия 2
Условие С\ — С,2 выполняется при Н = h2.
Замечание. Предположение о стационарности течения допу-
допустимо при большой емкости сосуда и незначительности размера
отверстий, через которые вытекает жидкость.
39. Примеры приложений теории размерности 367
39.5 Предположим, что при искомом режиме течения
H = f(Q,d,g).
Воспользуемся методом Хантли, выбрав класс систем {Lx, Ly, T}.
В этом классе систем имеем
[H] = Ly, [Q] = L2xLyT-\ [d] = Lx, [g] = LyT-2.
Все аргументы исходного соотношения размерно-независимы.
Безразмерная комбинация для Н имеет вид
Я
Согласно П-теореме П = С, где С — постоянная. Откуда полу-
получаем
39.6 Соотношение для компонент скорости Vj в любой точке
на поверхности тела с координатами Х{ можно из общих сообра-
соображений записать в виде
Vj = / N, ~J, -J, <*k, V0, PO, p)
Здесь размеры и форма тела заданы характерным линейным
размером d и отношениями остальных линейных размеров к это-
этому, т. е. ln/d; отношения Xi/d суть безразмерные координаты
точки.
Покажем, что в рассматриваемом случае безотрывного обте-
обтекания тела параметр ро можно не включать в число аргументов.
Будем исходить из математической постановки задачи. Да-
Давление р входит только в уравнение движения и в граничное
условие на бесконечности
dv
р—= -gradp, p
со
Если вместо р ввести новый параметр р1 — р — ро, где Pq — const,
то вид уравнения движения не изменится, а граничное условие
на бесконечности примет иной вид:
dv л'*
р— = -gradp, p
= 0.
оо
368 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование
Таким образом, из постановки задачи исчез параметр ро,
и требовалось показать. Тогда исходное соотношение можно за-
записать в виде
В классе систем {LMT} имеем
[Vj] = LT~\ [d] = I, [v0] = LT~\ [p] = ML~3.
Принимая в качестве размерно-независимых аргументы d,
р из П-теоремы имеем
V' (I '..
Щ V d' d
Аналогично получается требуемый вывод для
39.7 Если определяемым параметром является, например, си-
сила сопротивления X, то ее зависимость от определяющих пара-
параметров можно представить в виде
X = f [p,vo,Po,Pd,-i,d,ak)
\ a J
Аналогичные соотношения могут быть записаны и для длины
кавитационной полости С и ее максимального диаметра D.
Легко показать, что в число аргументов этой функции вмес-
вместо ро и р^ следует включить только их разность ро — рд.
Действительно, используя, как в задаче 39.6, подстановку
р' — р—ро, имеем на бесконечности условие р7^ = 0, а на границе
кавитационной полости pf = pd — р0. Уравнение движения свой
вид не меняет.
Кроме того, для величины силы X имеем
X = I pnx da = I (р — ро)пх da = p'nx da.
¦ Е Е Е
Здесь S — поверхность тела, пх — проекция вектора нормали к
? на направление скорости набегающего потока и использовано
соотношение /ponxda = 0. Таким образом,
Е
d, J а*, /), v0, ро - Pd
39. Примеры приложений теории размерности 369
В классе систем {LMT} имеем
[X] = МLT~\ [р] = ML-\ bo ~ Pd] = ML~lT~\ [d] = L.
Выбрав в качестве размерно-независимых параметров />, и0 и d,
будем иметь
_ 1г и -
d
Ро ~~ Pd
Используя П-теорему, получаем
х "Л'* ... 2(РО-Р^Г
о
Безразмерный параметр
2 °в
Pvo
называют числом естественной кавитации. Для безразмерных
значений длины каверны C/d и ее максимального диаметра D/d
получаются аналогичные соотношения.
Критерии подобия имеют вид
1) ( — ) — I — \ — требование геометрического подобия на-
\«/ \dj
турного обтекаемого тела и его модели;
2) rv" = а™ — требование одинаковой ориентации обтекаемых
тел по отношению к потоку;
,ч \4Po-Pd)]" \2{Po-pd)]M
о) 5 — о — равенство чисел естествен-
L pvl J L p% J
ной кавитации, что легко осуществимо в гидродинамической
трубе путем подбора необходимых значений (ро — Pd)M или v™.
Формула для пересчета данных испытаний модели на натуру
в случае использования для модели той же жидкости имеет вид
х -х Uv w ¦
При соблюдении указанных критериев справедливы также
формулы для пересчета ?иО
d d
Очевидно, что и формы кавитационных полостей будут при
соблюдении критериев подобия геометрически подобными.
370 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование
39.8 Возникновения естественной кавитации следует ожи-
ожидать в точке, где достигается максимальное значение скорости
и, следовательно, минимальное значение давления ртш. Такал
точка при обтекании потенциач^ьным потоком должна быть рас-
расположена на границе области течения (в рассматриваем случае
на поверхности тела). В этой точке, см. задачу 39.6, имеем
Естественная кавитация возникает когда ртт = р&, т. е. при
выполнении условия
Левая часть этого соотношения, как показано в задаче 39.6,
не зависит ни от скорости Vo, ни от давления ро, а число кави-
кавитации аЕ зависит от них.
При проведении экспериментов с моделью в гидродинамиче-
гидродинамической трубе выполнения условия CPmin = — аЕ можно добиться,
варьируя <тЕ за счет изменения ро или г;0.
39.9 Из П-теоремы следует v = CxfgA, где С — постоянная.
39.10 Допуская, что с — /(р, /9,7)? из П-теоремы получаем
c=z v
Из уравнения Клапейрона следует, что р = рДТ, где R — газовая
постоянная, поэтому
с = у/Тф{ЪЯ).
39.11 Пусть h — f{pg,cr,O). В классе систем {LMT} имеем
Параметры рд и а размерно-независимы, в — безразмерный па-
параметр. Из П-теоремы следует, что
где (р@) — неизвестндя функция краевого угла.
Сравните решение этой задачи с решением задачи 21.14, где
функция <р(в) вычислена.
39. Примеры приложений теории размерности 371
39.12 Высоту подъема жидкости Н будем считать функцией
указанных параметров
Н = /{8,рд,ст,в).
Воспользуемся методом Хантли. В классе систем {Lx, Ly, M.T}
запишем
[H] = Ly, [S\ = LX, \pg] = MLZ2T-\ [a] = МL~xl LyT~2,
где Lx — символ единицы длины в горизонтальном направлении,
a Ly — в вертикальном.
Аргументы 5, рд и о — размерно-независимы.
Из П-теоремы получаем, что
где ф(в) — неизвестная функция краевого угла.
39.13 Предполагал наличие зависимости
Pl =
получаем из П-теоремы, что
pvLdL \ ji d
т. е.
где Re = pvd/fi = vd/u — число Рейнольдса, v = \ijp — кинема-
кинематический коэффициент вязкости.
Сила сопротивления, обусловленная вязким трением, при по-
постоянной скорости движения жидкости уравновешивается силой,
связанной с перепадом давления (р\ —Р2)ч т. е.
Из экспериментов известно, что перепад давлений (р\ — р2),
а, следовательно, и Р/, пропорциональны /, откуда получаем, что
-pv2d2.
а
372 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование
39.14 Предположим, что
Используем метод Хантли, выбрав класс систем {Lx, Ly7 М,Т}.
где Lx и Ly суть символы единиц измерения длин соответственно
вдоль трубы и поперек нее. В этом классе систем
[Р,] = MLXT~\ [d] = Ly, [v] = LXT~\
Далее, в качестве размерно-независимых выберем аргументы d,
v, fj, и р. Из П-теоремы следует, что
\
)
= (
d2v2p V \d2vp) '
Поскольку при стационарном ламинарном режиме можно прене-
пренебречь силами инерции по сравнению с силами вязкости, формула
для Р/, очевидно, не может зависеть от плотности р, и, следова-
следовательно, функция (р (з2^~) должна иметь вид
? ~3 = ^ 12 '
\drvpj azvp
где С — постоянная. Тогда для силы сопротивления Р/ получаем
формулу
Р/ = Cl/w.
39.15 1 способ решения. Из решения задачи 39.13 имеем
pvd.
Из стационарности течения следует, что сила сопротивле-
сопротивления уравновешивается силой, обусловленной перепадом давления
{Pi — Р2)- Тогда, записав Р/ в виде
Pi = {Pi-P2) —
и выражал перепад давления (pi — p2) через коэффициент сопро-
сопротивления А, получим
/ pv2 nd2
39. Примеры приложений теории размерности 373
Из сравнения найденных выражений для Р/ следует, что
А = V'(Re).
Поскольку при стационарном ламинарном режиме плотность
р несущественна и не должна входить в выражение для Р/, то
очевидно, что Л = С/Re, где С — постоянная.
2 способ решения. Предполагая наличие зависимости
Р\ ~ Р2 = f{lihp,d,fi)
и используя метод Хантли, в классе систем {LX) Ly, M, Г}, где
Lx и Ly суть символы единиц измерения длины вдоль трубы и
поперек нее, запишем
\рг - р2] = МЬХЬ~2Т~\ [I] = Lx, [и] = L.T-1,
В качестве размерно-независимых выберем /, /?, d и /i, тогда,
согласно П-теореме, получим
Pi - V2 __ (pvd2\
12р~Ч-*ц2 ~^\ 1ц )'
Но при стационарном ламинарном режиме течения в трубе пе-
перепад давления не может зависеть от плотности р< т. е. должно
быть
где C\ — постоянная. Тогда [р\ — Р2) = С\ l/iv/d2 и, следователь-
следовательно,
-Р2 С
А =
(l/d)(pv*/2) Re'
39.16 Пусть Q = f(d, /х, г). В классе систем {LMT} все аргу-
аргументы этой функции размерно-независимы, следовательно
где С — постоянная.
374 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование
39.17 Предположим, что
В классе систем {LMT} запишем
[X] = MLT~2, [d] = L, [v] = LT~\
Считая размерно-независимыми аргументы d, р и v, используя
П-теорему, получим
где использован безразмерный параметр, число Рейнольдса,
vd
Ке =
/А V
Здесь v — кинематический коэффициент вязкости.
Если Re <С 1, например, при медленном движении, когда сила-
силами инерции можно пренебречь по сравнению с силами вязкости,
плотность р несущественна и должна отсутствовать в формуле
для X. Поэтому Cx(Re) = С/Re, тогда
X = Cifidv.
Это линейный по скорости закон сопротивления (закон сопро-
сопротивления Стокса).
При очень больших значениях числа Re можно считать, что
главный вклад в сопротивление дают силы инерции, а вязкость
несущественна. Тогда
С* (Re) =C2 = const
и получаем
X =C2 — d .
Это квадратичный закон сопротивления.
39.18 При стационарном погружении шара уравновешены си-
сила веса шара Р и сумма сил Архимеда А и вязкого гидродина-
гидродинамического сопротивления X, т. е. имеет место равенство
39. Примеры приложений теории размерности 375
Используя для величины силы X выражение, полученное в
предыдущей задаче из соображений теории размерностей, т. е.
запишем баланс сил
4 о 4 п _, ,_ ч pv2 wd2 d
3 *r Pi9 - з *r3pg + Cx(Re) >— —, г = -.
Из этого выражения определяется скорость г;, если зависимость
Cx(Re) известна.
При Re <C 1, например, в случае медленного погружения, ис-
используя результат задачи 39.17, получаем
р
При очень быстром погружении, когда можно приближенно счи-
считать Сх = const, имеет место равенство
С\ — const.
39.19 1) При быстром проникании, очевидно,
лг f D- \
откуда на основании П-теоремы, получаем
X = C{a)pv4t2.
2) При медленном проникании
поэтому получаем
X = С(а) tv2/!,.
39.20 Исходное соотношение имеет вид
В классе систем {LMT} запишем размерности определяемого и
определяющих параметров
= LT-2.
376 Глав^ 10. Анализ размерностей и моделирование
Выбрав в качестве размерно-независимых параметры d, g и /?,
на основании П-теоремы получим
Q'\J g
где v = /i/p — кинематический коэффициент вязкости.
Критерии подобия:
E)"-E)"-
Из этого критерия вытекает требование геометрического подо-
подобия натурного и модельного сосуда и насадка.
2)
Из этого критерия следует, что начальная глубина жидкости в
модельном сосуде должна быть равна
где п = dH/dM.
QY (QY
Выполнение этого критерия означает, что в опыте с моделью
следует узнать время истечения объема QM жидкости, равного
4)
dH I ~ ~3'
Если ^fH = дм, то из этого критерия следует, что
Н
т. е. в опыте с моделью должна использоваться жидкость с ко-
коэффициентом вязкости, меньшим натурного в \гп? раз.
39. Примеры приложений теории размерности 377
Если соблюдаются все критерии подобия, то пересчет дан-
данных испытаний модели на натуру при условии дн = дм произво-
производится по формуле
где Щ — время истечения объема QM жидкости из модельного
сосуда.
Все требования, следующие из критериев подобия, легко вы-
выполнимы (если имеется модельная жидкость, кинематическая
вязкость которой в yfn? раз меньше, чем у натурной жидкости);
поэтому в данном случае оказывается возможным осуществить
моделирование с полным подобием явлений в натуре и на модели.
Рассмотрим частный случай, когда модельный сосуд, геоме-
геометрически подобный натурному, имеет в 5 раз меньшие размеры,
т. е. п — 5. Тогда в опыте с моделью начальная глубина жид-
жидкости в сосуде должна быть в 5 раз меньше натурной; следует
измерить время tg истечения в 125 раз меньшего объема жид-
жидкости; должна использоваться жидкость с кинематическим ко-
коэффициентом вязкости v в л/125 раз меньшим, чем в натурном
явлении.
Если все критерии подобия выполняются, то время истечения
объема Q жидкости из натурного сосуда находится по формуле
»Н _ /М /г"
lQ — lQ V О.
Если бы имелась возможность осуществить центробежное мо-
моделирование, т. е. провести опыт с моделью на центрифуге, поз-
позволяющей создать любое необходимое значение ускорения „силы
тяжести" д, то можно было бы использовать в опыте с моделью
ту же жидкость, что и в натурном сосуде. Действительно, из
критерия D) в этом случае следует, что на центрифуге следует
создать центробежное ускорение, равное ды = gH(dH/dMK. По-
После проведения опыта пересчет полученных данных на натурные
значения следовало бы проводить по формуле
2
у ** tf v /
В случае dM = dH/5 должно быть дм = 125#н и tg = 2ЪЩ
378 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование
39.21 Записав для силы сопротивления W искомое соотноше-
соотношение в виде
( к \
W = / [l,-,D,v,g,ii,p\
и выбрав класс систем, например, {LMT}, считая размерно-не-
размерно-независимыми аргументами в этом классе систем аргументы /, v
и р, получим на основании П-теоремы
W /D h ql I
pv2!2 Ч'3' V v2'
Независимость безразмерных аргументов функции / позволяет
изменять их вид путем умножения друг на друга, деления, возве-
возведения в степень и других подобного рода операций. В результа-
результате можно получать всевозможные эквивалентные соотношения,
например, следующего вида
W fj U v
Записанные в представленной форме аргументы часто встреча-
встречаются при использовании анализа размерностей в задачах, свя-
связанных с движением тел на поверхности вязкой тяжелой жидко-
жидкости или под ней.
Безразмерная комбинация ф = l/y/D носит название коэффи-
коэффициента остроты. Очевидно, для кораблей, имеющих при том же
объемном водоизмещении большую длину, коэффициент остро-
остроты, имеет большее численное значение.
Безразмерный параметр Fr = v/y/gl называют числом Фру-
да. Он играет важную роль при анализе явлений, в которых
оказывается существенным свойство весомости жидкости.
Параметр Re = pvlj\х, — vljv — число Рейнольдса — является
одним из основных в задачах, где важен учет вязкого трения.
Возможность определения сопротивления корабля методом
моделирования связана с определенными трудностями: необхо-
необходимость одновременного соблюдения критериев подобия
Re11 = ReM и FrH = FrM при дИ = дм и ин = иы
приводит к взаимоисключающим требованиям к скорости дви-
движения модели.
39. Примеры приложений теории размерности 379
Действительно, из равенства чисел Рейнольдса следует, что
--(?)¦
а из равенства чисел Фру да получается, что
т. е. в этих условиях осуществить полное подобие оказывается
невозможным.
Указанная трудность преодолевается следующим образом.
Функция <р(ф, U/l, Fr, Re) представляется в виде
т. е. волевым образом допускается, что сила сопротивления,
обусловленная вязким трением, может быть выделена в виде
аддитивного слагаемого в формуле для полного сопротивления
корабля.
Кроме того, приближенно считается, что эта сила не зависит
от формы поверхности, на которую она действует, и может быть
вычислена с использованием экспериментальных данных о коэф-
коэффициенте сопротивления С/(Re) плоской пластники, полученных
при ее продольном обтекании потоком жидкости.
Таким образом, формула для сопротивления W представля-
представляется в виде
= С/(Re) ^- SB + Cw (±, ф, Fr) pgD,
где 5В — смоченная площадь поверхности корпуса корабля. Ее
принимают равной площади поверхности части корпуса, находя-
находящейся ниже ватерлинии.
Коэффициент Cw(U/lii/),Fr) называют коэффициентом оста-
остаточного сопротивления.
Опыт с моделью корабля проводят с целью определения вида
зависимости Cw = CW(U/L Ф, Fr).
380 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование
Для этого соблюдаются следующие критерии подобия:
fkY-(k
и \i.
выражение требования геометрического подобия;
2) ф" = фм,
условие, которое легко осуществить;
3) FrH = FrM, откуда Vм = "Н\/С.
После измерения в опыте с моделью величины WM, находят
Можно считать, что CJJ, = С™, так как аргументы этих функций
для натуры и для модели одинаковы. Тогда для определения WH
используют формулу
W" = C7(Re») ^-5ВН + CZ (у,Ф, Fr) pgD\
Конечно, ряд сделанных весьма сильных допущений позволя-
позволяет получить значение сопротивления корабля лишь с определен-
определенной погрешностью, однако, как показывает опыт, использование
описанной методики является практически вполне приемлемым.
39.22 Рассмотрим в качестве определяемого параметра, на-
например, сопротивление X, которое преодолевает летящее тело.
Форму и размеры тела зададим с помощью характерного линей-
линейного размера d и совокупности отношений к нему прочих линей-
линейных параметров U/d. Ориентацию тела в потоке определим с
помощью углов otk* Тогда
X = f (d l-i ак «о Ро I* 1
Используя класс систем {LMT}, выберем в качестве размерно-
независимых аргументы d, po и v. Применив П-теорему, запи-
запишем
X _ (U _//_
а pvd
39. Примеры приложений теории размерности 381
Можно преобразовать аргументы этой функции. Очевидно, что
ji 1
pvd Re'
где Re — число Рейнольдса.
Домножив последний аргумент на у, получим вместо него
новый параметр (уро)/(роу2). Заметив, что
ТРО 2
— а0,
Ро
где по — скорость звука в невозмущенном газе, можно этот ар-
аргумент записать также в виде
^ = М1'
где М = v/a0 — число Маха — один из основных параметров
в задачах, где существенно проявляется свойство сжимаемости
среды.
В результате сделанных преобразований получаем
У _ fk
pv2d2 Y \d
Следовательно, критерии подобия имеют вид
, а? = а?, 7Н = 7*"\ ReH - ReM, Мн = Мм.
Необходимо заметить, что с ростом числа Рейнольдса зависи-
зависимость от него становится слабой и при умеренных сверхзвуко-
сверхзвуковых скоростях основными критериями подобия, кроме связан-
связанных с геометрией тела и его ориентацией в полете, становятся
равенства для натурного и модельного течений показателя адиа-
адиабаты 7Н = 7м и числа Маха Мн = Мм.
Важно, что эти критерии не содержат характерного линей-
линейного размера, что делает выбор размера модели свободным. Ра-
Равенство чисел Маха обеспечивается в сверхзвуковых аэродина-
аэродинамических трубах за счет создания натурной скорости.
39.23 Течение, очевидно, является осесимметричным. Выра-
Выражение для скорости в точке (х: у) записывается в виде
382 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование
Используя класс систем {LMT} и выбрав ж, р и Jo в качестве
размерно-независимых, получаем из П-теоремы
, ч 1
При у = 0, т. е. на оси струи, получается
Следовательно, скорость убывает вдоль оси струи обратно про-
пропорционально первой степени координаты х.
Отношение скоростей v(x,y) и v(x,0) равно
^,"\l4-n
Jo
т. е. действительно может быть представлено в виде универ-
универсальной зависимости от отношения у/х.
39.24 Пусть г2 = f(Eo,po,j,t). Из П-теоремы получим
39.25 При t = 0 в начале сферической системы координат
(г; в: <р) мгновенно выделяется конечная энергия ?"о, то есть про-
происходит точечный взрыв, см. задачу 39.24.
Уравнения газовой динамики для определения течения газа в
области, ограниченной сферической ударной волной радиуса г2
имеют вид:
1) уравнение неразрывности
dp d{pv) 2pv _
at дг "*" г " '
где р — плотность, v — скорость, t — время;
2) уравнение движения
dv dv I dp
^7 + ^^- + -/ = 0,
at or p or
где p — давление;
39. Примеры приложений теории размерности 383
3) условие адиабатичности
д ( р
где 7 — cp/cv — показатель адиабаты.
Неизвестными в этой системе являются />, v и р. Граничные
условия имеют вид:
1) при г = О должно быть v = 0. это условие следует из симмет-
симметрии течения;
1
2) при г = r2(t) = С(~[) • ( — ) t$ должны выполняться условия
V Ро )
на сильной ударной волне, т. е.
2 7+1 2 2
1>2 = —ГтД А>2 = 7Р0, Р2 = ——poD ,
7+1 7~1 7+1
где D = dr2/dt — скорость ударной волны, ро — плотность перед
ударной волной, а индекс 2 относится к параметрам за фронтом
ударной волны. Условия на границе области течения газа запи-
записаны в предположении о том, что взрыв сильный, т. е. в условиях
на ударной волне можно пренебречь давлением р0 перед ударной
волной, которое, таким образом, можно не включать в число
определяющих параметров.
Из математической постановки задачи следует, что
v = v(t,r,Eo,po,'y), р- p(t,r,Eo,po,y), p = p(?,r,?t),/>o?7)-
Воспользуемся анализом размерностей. В классе систем {LMT}
имеем
Считая размерно-независимыми параметры t, Eq и />о, можно,
применив П-теорему, записать
Уг1у(А,7), Р = РоЩХ,7), Р=Е*р*Г*Р(\,<у),
Ро /
где А = r/(Eo/po)l/5t2/5 — безразмерный параметр, а V(А,7)'
Д(А,7) и Р(А,7) — безразмерные функции.
384 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование
После подстановки этих выражений в систему уравнений га-
газовой динамики и сокращения размерных множителей, получим
5\V'R - АД7BА - 5V) + 10RV = 0,
BА - 5V)RVf + 3RV - ЪР1 = 0,
[ГУ1 Г)/1
Это система трех обыкновенных дифференциальных уравнений,
штрихи означают производные по А.
Подставляя выражения для v, р и р в условия на ударной
волне, получим граничные условия для V, R и Р
VI — — -—TTi Я-2 = Г, ±1 —
5G+1)' ' 7-1' 25G+1)"
Эти условия должны выполняться при г = Г2, т. е. при А =
Задача сведена к отысканию решения системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующего такому
значению С (у), при котором выполняется условие V = 0 в цент-
центре взрыва, т. е. при А = 0. Л.И.Седов показал, что такое ре-
решение существует и единственно. Оно было найдено им в виде
конечных алгебраических соотношений.
39.26 В задаче о точечном взрыве с учетом противодавления
сдисок определяющих параметров состоит из величин
?, г, Ео, ро, 7, Ро,
т. е. по сравнению с задачей о сильном точечном взрыве, см.
задачу 39.25, он содержит дополнительный параметр ро.
Определяемыми параметрами являются и, />, р и г2 — радиус
ударной волны.
Выбрав в классе систем {LMT} в качестве размерно-незави-
размерно-независимых параметры ?, Ео и ро и применив П-теорему, получаем,
например, для давления р выражение
2 з б
г pnt 5 г
P=-V-p(A>r'7), где А= х , ^ л ,
00
39. Примеры приложений теории размерности 385
Равенство значений безразмерных параметров А, г и 7 Для на-
натуры и для модели является условием физического подобия воз-
возникающих течений газа, т. е. критерии подобия имеют вид
7Н = 7М, Лн = Лм, гн = гм.
Если эти условия выполнены, то имеется следующая связь меж-
между определяемыми и определяющими параметрами натурного и
модельного явлений
откуда
Для определения значения р\ на заданном расстоянии г" в мо-
момент времени t™ методом моделирования запишем для этого слу-
случая подробнее критерии подобия:
7Н = 7м,
гм
При моделировании во взрывной камере можно использовать на-
натурную среду (воздух) с тем же 7, с той же начальной плотно-
плотностью />q = pQ и с тем же начальным давлением р™ = р"- После
выбора приемлемой величины заряда взрывчатого вещества, при
взрыве которого выделится энергия Е™, можно воспользовать-
воспользоваться двумя последними критериями для определения значений гм
и ?м, соответствующих месту и моменту времени, при которых
следует измерить давление рм в лабораторном опыте.
В этом случае искомое и измеренное значения давления будут
одинаковыми, т. е. р\ = рм-
386 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование
I тр
39.27 v = С\ —, где С — постоянная.
V Р
39.28 Для получения критериев подобия выписываются опре-
определяющие параметры. Упругие свойства материала характери-
характеризуются модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона а. Форма
и размеры балки задаются с помощью характерного линейного
размера / — длины балки и совокупности параметров U/1.
Учитывается удельный вес материала рд, где р — плотность
материала, д — ускорение силы тяжести.
Очевидно, что
h = f[a,E,l,j,pgJ.
В классе систем {LMT} величины U/1 и а безразмерны. Из П-
теоремы следует
/ pgl
Критерии подобия имеют вид
--¦
Если модель и балка в натуре выполнены из одинакового мате-
материала и имеют одинаковую форму, то для моделирования доста-
достаточно удовлетворить условию
И" = (9l)M-
При /м ф Iй следует осуществить центробежное моделирова-
моделирование, поместив модель в центрифугу, что обеспечит искусствен-
искусственное увеличение ускорения д во столько раз, во сколько размер
модели меньше размера натурной балки. В этом случае сме-
смещение конца натурной балки будет большим, чем у модели во
столько же раз, во сколько длина натурной балки больше длины
модели.
Предметный указатель
Автомодельность, I: 109, 267, II: 89,
151, 252, 253
Автомодельное решение, II: 89
Адиабата Гюгонио, I: 162, 257, 265,
II: 111
— детонационная, I: 257
— Пуассона, I: 138, II: 83
— ударная, I: 257, 265, II: 227
Адиабатический коэффициент Пуас-
Пуассона, II: 95
— модуль Юнга, II: 95
— процесс, I: 128, 138
Ассоциированный (нормальный) за-
закон в теории пластичности, I: 334,
346
Вектор вихря, I: 49, 192
— волновой, I: 242
— намагничивания, I: 357
— перемещения, I: 50, 293
— поляризации, I: 357
— соленоидальный, I: 43
— Умова-Пойнтинга, I: 359, 364,
И: 351
Величины безразмерные, I: 370
— размерно-независимые, I: 370
— размерные, I: 370
Взаимный координатный базис, I: 26
Взрыв, I: 108, 210, 253
Вихревая пелена, I: 194
Вихреисточник, I: 187
Вмороженность магнитного поля,
I: 363
— электрического заряда, I: 367
Внутреннее вращение, I: 322
Волна Альфвена, I: 365, II: 354, 358
— бегущая, I: 318, II: 196, 353
— гармоническая, I: 227, 318
— Кельвина, I: 237
— звуковая, I: 245, II: 240
— магнитозвуковал, II: 354
— монохроматическая, I: 242
Волна плоская, I: 163, I: 243
— плоскополяризованная, II: 300
— поперечная, I: 318, II: 299
— прогрессивная, I: 227
— продольная, I: 318, II: 299, 301
— простая, I: 276
— Римана, I: 233, 249, 276, 322,
II: 210, 212
— Россби, I: 237
— с круговой поляризацией, II: 300
— стоячая, I: 229
— ударная, I: 247, 251, 264
— уединенная (солитон), I: 235
— простая центрированная, I: 277
— энтропийная, I: 270, II: 354
— энтропийно-вихревая, II: 240
Волновод, II: 201
Волновое сопротивление, II: 207
— уравнение, I: 242, 318, II: 194
Волновой вектор, I: 242
— пакет, I: 230
Волны внутренние, I: 236
— гравитационные, I: 227
— диспергирующие, I: 231
— длинные, I: 232
— капиллярные, I: 231
— малой амплитуды, I: 227
— Рэлея, I: 320
Время абсолютное, I: 65
— релаксации, I: 344
— собственное, I: 351
— характерное, II: 189
Второй закон термодинамики, I: 86,
129, 130, II: 97, 113
Вязкость, I: 170, 343
Вязкоупругая среда Максвелла,
I: 343
Фойхта, I: 343
Гармоническая функция, I: 181
Гидравлический прыжок, I: 234
388
Предметный указатель
Гипотеза Прандтля о турбулентных
напряжениях, I: 226
Гиромагнитные свойства, I: 120
Гиромагнитный эффект, I: 122
Главные значения тензора, I: 22
Главные компоненты тензора, I: 97
Главные оси тензора, I: 22, 97
Граничные условия для вязкой жид-
жидкости, I: 173
для идеальной жидкости, I: 172
для упругого тела, I: 292
Группа симметрии тензора, I: 77
тензорного поля, I: 80
Групповая скорость, I: 230, 231, 318,
II: 173
Движение абсолютное, I: 66
— автомодельное, I: 267, II: 252, 253
— баротропное, I: 106, 197, 238, 241
— квазиодномерное, I: 260
— относительное, I: 66
— потенциальное, I: 91, 181
осесимметричное, I: 190
— стационарное, I: 15
— установившееся, I: 15
Дебаевская длина, I: 362
Девиатор тензора, I: 24, 299, 333
Детонационная адиабата, I: 257
Деформации температурные, I: 314
Джоулево тепло, I: 361, II: 344
Дивергенция вектора, I: 41
Динамические условия на поверхно-
поверхности слабого разрыва, I: 159, 160,
263, 272, II: 108
Дисперсионное уравнение, I: 227,
318, II: 169, 195, 198, 199, 293
Дисперсия волн, I: 231, 318
Диссипация, I: 150
— механической энергии, I: 206
Диффузия, I: 151
— вихря, I: 214
Жидкие кристаллы, I: 120, 124, 125,
152, 157
Жидкость анизотропная линейно-
вязкая, I: 151
Жидкость вязкая, I: 135, 171, 205
— идеальная, I: 135, 170
— линейно-вязкая, I: 135, 171
— магнитная, I: 125, 158
— неньютоновская, I: 171
— несжимаемая, I: 135, 180
— ньютоновская, I: 135
Задача автомодельная, I: 109, II: 151
— Блазиуса для пограничного слоя
на пластине, I: 221
— Дирихле, I: 182
— Гартмана, I: 365
— Коши-Пуассона в теории волн,
I: 227
— Ламе, I: 313
— Неймана, I: 182, II: 126
— Стокса об обтекании шара, I: 218
Закон Архимеда, I: 174
— Гука, I: 107, 136, 290, 293
— движения, I: 12
— Навье-Стокса, I: 135
— Ома, I: 362, 367, II: 345
— преобразования компонент векто-
вектора ковариантный, I: 27
контравариантный, I: 27
тензора, I: 27
— сохранения количества движения,
I: 86
массы, I: 86
момента количества движения,
I: 86, 118
энергии, I: 86
— теплопроводности Фурье, I: 128,
292
— термодинамики второй, I: 86, 129,
130, II: 97, 113
первый, I: 126, 127
Законы сохранения, I: 85
Идеальная жидкость, I: 135, 170
Идеальная пластичность, I: 332
Изотермический процесс, I: 128, 243,
292
Изотропия, I: 77
— трансверсальная, I: 82, 83
Предметный указатель
389
Инварианты Римана, I: 233, 248,
267, II: 209
Инварианты тензора, I: 22, 25
Индивидуальная производная, I: 13
Интеграл Бернулли, I: 106, 140, 197,
259, II: 233
— Дюамеля, II: 151
— Коши-Лагранжа, I: 107, 197, 241,
II: 236
— ошибок, II: 151
Интенсивность тензора деформа-
деформаций, I: 339
напряжений, I: 339
Кавитация, I: 198, II: 141
Кинематические условия на поверх-
поверхности сильного разрыва, I: 159,
162
слабого разрыва, I: 159,
160, 263, II: 107
Кинематический коэффициент вяз-
вязкости, I: 205
Кинетические соотношения, I: 133
Класс систем единиц измерения,
I: 369
Ковариантная производная, I: 29, 51
Комплексный потенциал, I: 186
Композит, I: 326
Компоненты вектора ковариантные,
I: 26
контравариантные, I: 26
физические, I: 35
Конвективный ток, I: 363
Контактный разрыв, I: 264
Конус Маха, II: 199
Концентрация напряжений на от-
отверстии, I: 313
Координаты криволинейные, I: 26
.— лагранжевы, I: 12, 44, 51, 253, 254
— сферические, I: 33
, компоненты метрического
тензора, I: 33, II: 15
, символы Кристоффеля, I: 41,
II: 19
— цилиндрические, I: 32, II: 7
Координаты криволинейные, ком-
компоненты метрического тензора,
I: 32, II: 14
, символы Кристоффеля, I: 41,
II: 19
Коэффициент вязкости, I: 135, 149,
171
кинематический, I: 205
— давления, .1: 198, 376
— линейного теплового расширения,
I: 136
удлинения, I: 299
— магнитной вязкости, I: 361, II: 347
— объемной вязкости, I: 171, 240
— поверхностного натяжения, I: 173
— проводимости, I: 361
— Пуассона, I: 145, 294, II: 264
— сопротивления, I: 208
при обтекании шара, I: 218
— теплового расширения, I: 299
— теплопроводности, I: 128, 292
— турбулентной вязкости, I: 226
коэффициенты Ламе, I: 136, 293
— присоединенных масс, I: 202
Критерии подобия, I: 372
Критерий текучести, I: 333
Мизеса, I: 333, 335
Треска, I: 333, 334
Критические параметры, I: 268
Критические точки на линии тока,
I: 188
Крыло бесконечного размаха, I: 246
Лагранжево описание движения,
I: 12, 253
Ламинарный подслой, I: 226
Ларморовская частота, I: 358, II: 339,
345
Линеаризация, I: 227, 269, II: 194
Линии Маха, II: 205
— тока, I: 14
Логарифмический профиль скоро-
скорости, II: 166
Локальный координатный базис,
I: 26
390
Предметный указатель
Масса покоя, I: 353
Математическая модель сплошной
среды, I: 134
Материальная производная, I: 13
Метод контрольных объемов, I: ПО
поверхностей, I: ПО
— размерностей, I: 368
— характеристик, II: 209
Мировая линия, I: 67
Моделирование, I: 372
Модель атмосферы, I: 179
Модуль объемного сжатия, I: 298,
II: 282
— сдвига, I: 297
— Юнга, I: 145, 294, И: 264
— Юнга адиабатический, II: 95
Момент изгибающий, I: 304, II: 273
— количества движения внутрен-
внутренний, I: 118, 152, 324
— крутящий, I: 308
Нагружение, I: 332
— активное, I: 337
— нейтральное, I: 337
— простое, I: 339
Намагничивающиеся среды, I: 120
Напряжения вязкие, I: 135, 170
— моментные, I: 322
— температурные, I: 314
— турбулентные Рейнольдса, I: 225
, гипотеза Прандтля, I: 226
Нейтральная ось изгиба, I: 304
Некомпенсированное тепло, I: 130,
361, II: 344
Неравенство диссипации, I: 131
Неустойчивость Кельвина-Гельм-
гольца, II: 184
Нормальный закон в теории пла-
пластичности, I: 334
Обратимый процесс, I: 129, 131, 290
Обтекание кругового цилиндра,
I: 188, 197
— шара, I: 192, 218
Одномерные движения с плоскими
волнами, I: 248, 266
Одномерные нестационарные дви-
движения, I: 318
Одноосное растяжение, I: 53
Определяющие параметры, I: 368
— соотношения, I: 122, 152, 334
в теории пластического тече-
течения, I: 334
Опрокидывание волны, I: 233, II: 247
Ортотропия, I: 82, I: 83
П-теорема, I: 370
Парадокс Даламбера-Эйлера, II: 205
Параметр упрочнения, I: 332
Параметры критические, I: 268
— определяющие, I: 368
— торможения, I: 259, 268
Первый закон термодинамики,
I: 126, 127
Пластическая деформация, I: 333
Пластичность, I: 332
Плоская задача теории упругости,
I: 311
Плоский источник, I: 187
Поверхностное натяжение, I: 143,
173, 231
Поверхностный вихрь, I: 194
Поверхность нагружения, I: 333
— напряжений, I: 97
— сильного разрыва, I: 263
— слабого разрыва, I: 263, 272
— текучести, I: 333
Мизеса, I: 333
Треска, I: 333
Пограничный слой, I: 206
гартмановский, II: 357
Подобные явления, I: 372
Показатель адиабаты, II: 83
Ползучесть, I: 343
Ползущие движения, I: 215
Полная производная, I: 13
Поляризующиеся среды, I: 120
Постулат Жуковского-Чаплыгина,
I: 189
Потенциал комплексный, I: 186
Предметный указатель
391
Потенциал термодинамический,
I: 133, 148, 291
— упругий, I: 296, 321
Поток дозвуковой, I: 247, II: 237 —
239
— сверхзвуковой, I: 247, II: 237-6239
— тепла турбулентный, I: 226
Предел текучести при чистом ра-
растяжении, I: 336
при чистом сдвиге, I: 336
Предельная нагрузка, Г: 341, 342
Преобразование Лоренца, I: 349
Приближение Стокса для вязкой
жидкости, I: 215
Принцип Онзагера, I: 133, 156
— Сен-Венана, I: 293, 301
Присоединенная масса цилиндра,
II: 145
шара, II: 146
Приток энергии добавочный, I: 127,
139, 151, 153
— энтропии, I: 129
Производная индивидуальная, I: 13
— ковариантная, I: 29, 51
— Ли, I: 74
— материальная, I: 13
— Олдройда, I: 75
— полная, I: 13
— Яуманна, I: 75, 122, И: 77
Производство энтропии, I: 129, 132,
145, 154, 361, II: 93,. 344
Простое растяжение, I: 101, 297
Простой сдвиг, I: 55
Пространственный источник в газе,
I: 260
Пространство Минковского, I: 348
Процесс адиабатический, I: 128, 138
— изотермический, I: 128, 243, 292
— обратимый, I: 129, 131, 290
Работа внешних сил, I: 108
— внутренних сил, I: 108, II: 65
— внутренних поверхностных сил,
I: 128, 137
Разгрузка, I: 334, 336
Разрыв контактный, I: 264
— тангенциальный, I: 161, 194, 209,
264
— эволюционный, I: 251, 257, II: 231,
233
Расход жидкости, I: 186
Релаксация напряжений, I: 344,
II: 323
Релятивистское правило сложения
скоростей, I: 350
Ротор вектора, I: 42
Свертка тензоров, I: 21, 29
Сила инерции, I: 67
— Лоренца, I: 355, 364, II: 339
— массовая, I: 103, 124
— подсасывающая, II: 146
— подъемная, I: 201, II: 146
— сопротивления, I: 218, II: 207
— четырехмерная, I: 353
Символы Кристоффеля, I: 30
Система единиц измерения, I: 368
— координат лоренцева, I: 348
главная для тензора, I: 97
— отсчета, I: 65
абсолютная, I: 66
инерциальная, I: 65
Скорость групповая, I: 230, 231, 318,
II: 173
— звука, I: 239
в смеси, I: 246
— критическая, I: 259
— относительная, I: 67
— переносная, I: 66
— света, I: 355
— фазовая, I: 231, 243, 318, II: 169,
175
— четырехмерная, I: 68, 353
Собственная длина, I: 351
— частота, II: 172
Собственные векторы тензора, I: 22
— значения тензора, I: 22
— колебания, II: 172
Совершенный газ, I: 136, I: 138
Соленойдальный вектор, I: 43
392
Предметный указатель
Соотношения кинетические, I: 133
— на поверхностях сильного разры-
разрыва в МГД, I: 364, II: 352
— определяющие, I: 122, 334
в теории пластического тече-
течения, I: 334
Сопло Л аваля, I: 283, II: 237
Состояние плоское деформирован-
деформированное, I: 311
напряженное, I: 311
Специальная теория относительно-
относительности, I: 348
Спутная струя, II: 72
Среда анизотропная упругая, I: 295,
300, 301, II: 267
— вязкоупругая Максвелла, I: 343
— вязкоупругая Фойхта, I: 343
— жестковязкопластическая, I: 333,
II: 325
— идеально проводящая, I: 363
— изотропная упругая, I: 293
— линейная термоупругая, I: 136,
292
— Мурнагана, I: 321
— ортотропная, I: 295
— термоупругая, I: 136
— трансверсально изотропная, I: 295
— намагничивающаяся, I: 120
— поляризующаяся, I: 120
Структура" детонационной волны,
I: 257, II: 229
— ударной волны, I: 251, 256
— фронта горения, I: 258, II: 233
Сумма тензоров, I: 28
Сферический вихрь Хилла, I: 196
Тангенциальный разрыв, I: 161, 194,
209, 264
Тензор, I: 20
— антисимметричный, I: 24
— деформаций Альманси, I: 44, 45,
50
Грина, I: 44, 45, 50
линеаризованный, I: 46
Тензор коэффициентов электропро-
электропроводности, I: 362
— Леви-Чивита, I: 38
— магнитных напряжений, I: 364
— малых деформаций, I: 47
— моментных напряжений, I: 118,
121, 123
— метрический, I: 28, 50
— напряжений Коши, I: 93, 296
Пиолы-Кирхгофа, I: 94, 296,
364
, антисимметричная часть,
I: 121, 123, 324
— симметричный, I: 24
— скоростей деформаций, I: 49
— электрических напряжений,
II: 360
— электромагнитных напряжений,
I: 359, II: 341
— энергии-импульса, I: 354, 359
— шаровой, I: 24, 98
Тензорная функция, I: 77
Тензорное произведение, I: 21, 29
Теорема вмороженности, II: 350
— живых сил, I: 108, 126
— Лагранжа, I: 241
— Стокса, I: 193
— Томсона о циркуляции скорости,
I: 193, 241
— Цемплена, I: 275
— П (П-теорема), I: 370
Теория мелкой воды, I: 232
— пластического течения, I: 332
— пластичности деформационная,
I: 339
— относительности специальная,
I: 348
— упругости линейная моментная,
I: 325
моментная, I: 322
Тепло джоулево, I: 361, II: 344
— некомпенсированное, I: 130, 361,
II: 344
Теплоемкость, I: 128
Предметный указатель
393
Термодинамический потенциал,
I: 148, 291
Гиббса, I: 133
Течение винтовое, I: 190
— Куэтта, I: 141, 211
— ламинарное, I: 223
— пластическое, I: 334, II: 311
— плоское потенциальное, I: 186
— Пуазейля, I: 211
— турбулентное, I: 206, 223
Тождество Гиббса, I: 132; 154, 290,
II: 97
— Грина, I: 184
Ток смещения, I: 363
Толщина вытеснения, I: 221
— пограничного слоя, II: 163
— потери импульса, I: 221
Точечный вихрь, I: 187, 260
Турбулентные напряжения Рей-
нольдса, I: 225
— пульсации, I: 223
Угол закручивания, I: 308
— смачивания, I: 178
Ударная адиабата, I: 257, 265, II: 227
— поляра, II: 225
Удлинение относительное, I: 43
Упрочнение, I: 332
— изотропное, I: 333
Упругий потенциал, I: 296, 321
Упругопластическое тело, I: 333
Уравнение Буссинеска, I: 235
— Ван-дер-Ваальса, I: 148
— внутреннего момента количества
движения, I: 119
— волновое, I: 242, 318, II: 194
— Гельмгольца для вихря, I: 193
— дисперсионное, I: 227, 318, II: 169,
195, 198, 199, 293
— индукции, II: 348
— Клапейрона, I: 147
— Кортевега-де Вриза, I: 235
— Лапласа, I: 181, И: 135, 204
— магнитной индукции, I: 363,
II: 349
Уравнение момента количества дви-
движения, I: 87, I: 121
— неразрывности, I: 87, 89, 291
в сферических координатах,
I: 91
в цилиндрических координа-
координатах, I: 91
при лагранжевом описании,
I: 89, 291
— Орра-Зоммерфельда, I: 215
— притока тепла, I: 126, 138, 140,
323, II: 81, 86, 343
— Пуассона, I: 179, II: 268
— сохранения заряда, II: 360
— сохранения массы покоя, I: 354,
II: 336
— сохранения электрического заря-
заряда, I: 359, II: 340
— теплопроводности, I: 140
— энергии, I: 87, 127, 138, 140, 153,
II: 81, 85
Уравнения Бельтрами-Мичелла,
I: 294
— вязкой жидкости в безразмерной
форме, I: 205
— газовой динамики, I: 241, II: 191
в характеристической фор-
форме, II: 209
— движения, I: 87, 102
в форме Громеки-Лэмба, I: 196
— Ламе, I: 107, 293
— Максвелла, I: 356
, интегральная форма, I: 355
— магнитной гидродинамики, I: 361,
II: 348
— Навье-Стокса, I: 107, 171
— Прандтля-Рейсса, I: 338
— Прандтля пограничного слоя,
I: 220
— равновесия, I: 174, 293
— совместности деформаций, I: 53,
311, II: 279
— Эйлера, I: 106, 170, II: 63
в сферических координатах,
I: 107, II: 65
394
Предметный указатель
Уравнения Эйлера в цилиндрических
координатах, I: 107, II: 64
— электрогидродинамики, I: 366,
II: 360
Ускорение Кориолиса, I: 67
обобщенное, I: 67
— относительное, I: 67
— переносное, I: 66
— при эйлеровом описании, I: 13
— четырехмерное, I: 68
Условие непротекания, I: 172
— несжимаемости, I: 180
— неубывания энтропии на разрыве,
I: 163, 252, 265, II: 225
— прилипания, I: 173
— стационарности, I: 74
— на поверхности разрыва, I: 88,
159, 357
для идеальной жидкости,
I: 162, II: 111
— на свободной границе, I: 172, 173
— эволюционности, I: 163, 252,
II: 217, 228, 231
Устойчивость равновесия, I: 316
— стационарных течений, I: 214, 236
— тангенциального разрыва, I: 236
— течения Куэтта, I: 212
— ударной волны, I: 271
Формула Био-Савара, I: 194
— Жуковского, I: 201
— Лагранжа-Сильвестра, I: 82
— размерности, I: 369
— Стокса для сопротивления шара,
II: 162
— Блазиуса-Чаплыгина, I: 201
Функция давления, I: 106
— диссипации, I: 154
— напряжений Эри, I: 105, 311
— тока, I: 187, 213, 214
Характеристики дифференциальных
уравнений, I: 248, 267
Характеристическая форма диффе-
дифференциальных уравнений, I: 248, 266
Характерный линейный масштаб,
II: 189
Цикл Карно, I: 140
Циркуляция скорости, I: 186, 193
Частота ларморовская, I: 358, П: 339,
345
— собственная, II: 172
Четырехмерная плотность тока,
И: 340
— сила, I: 353
— скорость, I: 68, 353
Четырехмерное пространство-вре-
пространство-время, I: 67
— ускорение, I: 68
Четырехмерные уравнения импуль-
импульсов и энергии, I: 354, II: 336
Четырехмерный импульс, I: 353
Число Гартмана, I: 365, II: 356
— естественной кавитации, I: 377
— Маха, I: 180, 239, II: 189
— Пекле, II: 190, 197
— Рейнольдса, I: 205, II: 189
магнитное, I: 363
— Струхаля, I: 180, 205, II: 190
— Фруда, I: 180, II: 191
Чистый изгиб, I: 304, 305
Эволюционный разрыв, I: 251, 257,
II: 231, 233
Эйлерово описание движения, I: 13
Электрическая проводимость, I: 360
Энергия, I: 126
— внутренняя, I: 126, 152, 291
— волны, I: 229
— свободная, I: 133, 144, 291
Энтальпия, I: 133, 144
Энтропия, I: 129, II: 225
— линейной термоупругой среды,
I: 144, II: 94
— совершенного газа, I: 144, II: 91
Эффект гиромагнитный, I: 122
— Допплера, I: 244, II: 198
— Холла, II: 345
Подписано в печать 4.11.96 г. Формат 60x907ie. Бумага офсетная № 1. Пе-
Печать офсетная. Тираж 270(К Заказ 2369.
Отпечатано в ГИПП «Янтарный сказ», 236000, Калининград,
ул. Карла Маркса, 18.