Text
                    МЕХАНИКА
СПЛОШНЫХ СРЕД
В ЗАДАЧАХ
Том 1
Теория и задачи
Под редакцией М. Э. Эглит
Г Я. Галин
А. Н. Голубятников
Я. А. Каменярж
В. П. Карликов
А. Г. Куликовский
А. Г. Петров
Е. И. Свешникова
И. С. Шикина
М. Э. Эглит


ББК 22, 25 С23 УДК 531 Издание осуществлено при поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований Механика сплошных сред в задачах. Том 1: Теория и задачи. — М.: <<<4СйСм?асий rtuqeu», 1996. — 396 с. Под ред. М. Э. Эглит ISBN 5-7611-0082-7 Том 1 содержит около 1000 задач и упражнений по всем главным разделам механики сплошных сред, включая: общие основы механики и термодинамики сплошных сред, гидромеханику, газовую динамику, теорию упругости, теорию пластичности, электродинамику, основы моделирования. В каждом разделе имеется краткое теоретическое введение — сводка необходимых основных понятий и соотношений. В томе 2 приведены ответы и решения задач тома 1. Для студентов, преподавателей и научных работников в области механики и физики. Книга содержит список литературы и предметный указатель. Авторы: Глеб Яковлевич Галин, Александр Николаевич Голубятников, Яков Александрович Каменярж, Владимир Павлович Карликов, Андрей Геннадьевич Куликовский, Александр Георгиевич Петров, Елена Ивановна Свешникова, Ирина Сергеевна Шикина, Маргарита Эрнестовна Эглит. Рисунки Е. Н. Пащенко ISBN 5-7611-0082-7 1996 © Авторы, 1996 Частное некоммерческое учебное заведение «/ftwcoicKuu i/Ьщей» 129348, Москва, Ярославское ш., д. 2, корп. 1 Тел. @95) 188-59-71, факс @95) 188-33-10.
Содержание Предисловие 5 Список обозначений 9 Глава 1. Основные понятия, используемые для описания движения и деформации сплошной среды .... 12 1. Лагранжево и эйлерово описания движения 12 2. Тензоры в евклидовом пространстве. Декартовы координаты . 20 3. Криволинейные координаты » 25 4. Деформация, скорость деформации, вихрь 43 5. Относительное движение и четырехмерное пространство-время 65 6. Элементы симметрии и тензорные функции 77 Глава 2. Общие законы и уравнения механики сплошных сред 85 7. Краткая сводка общих законов и уравнений 85 8. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности 89 9. Тензор напряжений 93 10. Дифференциальные уравнения движения и равновесия .... 102 11. Применение законов сохранения массы, количества движения, мо- моментов количества движения в интегральной форме для определе- определения сил и моментов, действующих на тела, движущиеся в жидко- жидкости (метод контрольных поверхностей) 109 12. Уравнения моментов количества движения 118 Глава 3. Термодинамика сплошных сред 126 13. Основные законы и понятия термодинамики 126 14. Первый закон термодинамики. Уравнения энергии и уравнение притока тепла. Совершенный газ 137 15. Второй закон термодинамики. Энтропия. Тождество Гиббса . 143 16. Ограничения на вид определяющих соотношений, вытекающие из законов термодинамики и принципа Онзагера 147 17. Термодинамика сред с внутренним моментом количества движе- движения 152
Содержание Глава 4. Поверхности разрыва в сплошных средах .... 159 18. Условия на поверхностях разрыва 159 19. Поверхности разрыва в лагранжевом описании 166 Глава 5. Механика жидкости и газа 170 20. Обзор уравнений гидромеханики 170 21. Гидростатика . 174 22. Динамика идеальной Несжимаемой жидкости ' . 180 23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 205 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 227 25. Механика сжимаемой жидкости 238 26. Газовая динамика 261 Глава 6. Теория упругости 290 27. Модель упругого тела 290 28. Линейная теория упругости 297 29.; Нелинейная теория упругости . 321 30. Моментная теория упругости и осреднение 322 Глава 7. Неупругие деформируемые среды . 332 31. Теория пластического течения 332 32. Вязкоупругость и вязкопластичность 343 Глава 8. Специальная теория относительности 348 33. Преобразования Лоренца. Пространство Минковского .... 348 34. Некоторые понятия релятивистской кинематики и динамики . 352 Глава 9. Электродинамика сплошных сред 355 35. Уравнения Максвелла 355 36. Магнитная гидродинамика 360 37. Электрогидродинамика 366 Глава 10. Анализ размерностей и моделирование 368 38. Основы теории размерности 368 39. Примеры приложений теории размерности 374 Литература 383 Предметный указатель 388
Предисловие Предлагаемая книга имеет целью помочь изучающим меха- механику сплошных сред понять основные идеи и методы этой науки, а также научиться творчески их применять. Этой цели служат более 1000 задач, составляющих основное содержание книги. Механика сплошной среды изучает поведение всевозможных деформируемых сред в различных физических условиях. При этом, в зависимости от целей исследования и от внешних усло- условий, для описания одной и той же физической среды на практи- практике используются различные математические модели. Эти моде- модели изучаются в таких разделах механики сплошной среды, как гидро- и аэромеханика, гидравлика, теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, сопротивление материалов и других. Студенты, специализирующиеся в одной из перечислен- перечисленных областей, часто изучают только ее. Однако гораздо более глубокое понимание возникает, если проследить, как проявляют- проявляются общие законы в различных условиях и какие результаты полу- получаются при использовании различных моделей в одних и тех же условиях. Именно эти аспекты пытались продемонстрировать авторы, собирая в одну книгу задачи, посвященные не только общим основам механики сплошной среды, но и ее частным мо- моделям. Таким образом, отличительной чертой этой книги явля- является то, что задачи, собранные в ней, имеют целью показать не только разнообразие, но и единство идей и методов, используе- используемых в механике сплошной среды. Укажем здесь лишь один пример такого подхода. В совре- современной механике часто встречаются ситуации, когда параметры среды (скорость, давление и т.д.) меняются настолько резко, что это изменение можно считать мгновенным и рассматривать как разрыв непрерывности. При описании разрывов необходимо ис- использовать физические законы сохранения, законы термодина- термодинамики, условия эволюционности, условия существования струк- структуры, условия устойчивости разрывов. В книге все эти понятия демонстрируются не только на примере газовых потоков, но и на движениях сред со сложными уравнениями состояния, упругих сред, а также сред, взаимодействующих с электромагнитным по-
6 Предисловие лем, на движениях воды в каналах, на потоках дождя и даже на потоках транспорта. Задачи, включенные в книгу, имеют разный уровень сложно- сложности. Часть из них — просто упражнения, в той или иной мере стандартные, но необходимые для хорошего усвоения материа- материала. Другие — задачи в полном смысле слова, их решение требу- требует большой творческой работы и позволяет читателю подойти к пониманию самых современных проблем. Нетрадиционными для учебников, но весьма актуальными являются включенные в книгу задачи по нелинейной теории упругости, по осреднению микронеоднородных сред, по взаимодействию сплошных сред с электромагнитным полем, по теории пластичности и вязкоупру- гости, по применению тензорного анализа, в частности, теории нелинейных тензорных функций, по построению новых моделей сплошных сред и много других. Практически все задачи снабжены ответами, значительная часть — указаниями и решениями, текст которых написан так, чтобы оставить простор для дополнительной самостоятельной работы. Все ответы, указания и решения выделены в отдельный том. В книгу включены также краткие теоретические сведения, предваряющие соответствующие группы задач. Эти разделы призваны не только помочь в решении задач, но и привести чита- читателя к пониманию общей структуры механики сплошной среды. Тем не менее работа с книгой требует параллельного обращения к другим учебникам. Группы задач и теоретические сведения, составляющие пер- первый том, объединены в параграфы, которые имеют сквозную нумерацию (§1 — § 39). Взаимосвязанные по смыслу парагра- параграфы объединены в главы (гл. 1 — гл. 10). Для удобства ссылок введена двойная нумерация задач — первое число означает номер параграфа, второе — порядковый номер задачи в этом парагра- параграфе. Аналогичным образом перенумерованы формулы и рисунки. Например, ссылка B5.10) означает, что имеется в виду десятая по порядку формула в § 25 первого тома книги. Чтобы избежать путаницы, ссылки на номера формул и рисунков, помещенных во второй том, снабжены буквой О (ответы).
Предисловие 7 Для упрощения поиска наиболее важных понятий, определе- определений, фактов книга снабжена предметным указателем. Посколь- Поскольку теоретический материал содержится и в первом томе, и во втором — в решениях задач, составлен единый предметный ука- указатель, содержащий ссылки на оба тома книги. Авторы надеются, что книга будет полезна для студентов, аспирантов, а также для инженеров и исследователей в области механики, математики и физики. Книга написана преподавателями кафедры гидромеханики Московского государственного университета имени М.В.Ломо- М.В.Ломоносова. Заведующий этой кафедрой академик Л.И.Седов внес значительный вклад в становление механики сплошной среды из набора отдельных дисциплин в единую науку. Написанный им фундаментальный двухтомный учебник „Механика сплошной среды" E-е издание: Москва, Наука, 1995 г.) является в настоя- настоящее время одним из основных учебников в этой области. Авторы в течение многих лет читали лекции и вели упраж- упражнения по основному курсу механики сплошных сред, а также по различным ее разделам — гидромеханике, газовой динами- динамике, теории упругости, теории пластичности, термодинамике и электродинамике сплошных сред, применению анализа размер- размерностей и моделированию явлений в сплошных средах. Все авто- авторы ведут также, активную научную работу, ими опубликовано большое количество научных статей и несколько монографий. Работа по составлению этой книги была распределена между авторами следующим образом: Г.Я.Галин — параграф 26; А.Н.Голубятников — параграфы 1 — 6, 12, 17, 19, 30; Я.А.Каменярж — параграфы 1 — 4, 31, 32; В.П.Карликов — параграфы 38, 39; А.Г.Куликовский — параграфы 11, 18, 24, 25, 33 — 37; А.Г.Петров — параграфы 20 — 24; Е.И.Свешникова — параграфы 24, 25, 27 — 29; И.С.Шикина — параграфы 20 — 24; М.Э.Эглит — параграфы 4, 7 — 11, 13 — 16, 18, 25. Общее редактирование книги выполнено М.Э.Эглит.
g Предисловие На первом этапе работы над книгой авторы с большой поль- пользой обсуждали ее содержание с В.В.Розанцевой, много лет рабо- работавшей на кафедре гидромеханики и активно участвовавшей в создании программы упражнений по курсу механики сплошных сред на механико-математическом факультете МГУ. Огромную работу по созданию окончательного варианта текста проделал А.Г.Якушев, он сделал ряд полезных замечаний, касающихся необходимых уточнений формулировок задач. Компьютерные рисунки выполнил Е.Н.Пащенко. Большую помощь при оформлении рукописи оказали А.Г.Ка- А.Г.Калугин и Н.И.Гвоздовская. Надо отметить также неоценимую помощь А.Е.Якубенко, ко- который участвовал в работе над книгой с. самого начала, давал необходимые советы, печатал предварительные варианты тек- текста и рисунков. Всем перечисленным лицам авторы выражают большую бла- благодарность. М.Э.Эглит Москва, 1 марта 1996 года
Список обозначений Авторы не стремились строго соблюдать одни и те же обо- обозначения по всей книге. Обычно все обозначения объясняются в тексте. Все же есть некоторые стандартные обозначения, кото- которые используются почти всюду в книге. Они приведены ниже. Координаты обычно нумеруются верхними индексами и обо- обозначаются хг, г = 1, 2, 3. Декартовы координаты часто обозна- обозначаются ж, у и z, иногда Х{\ лагранжевы координаты — ?\ Символ Vt используется для обозначения ковариантных про- производных по координатам хг. В декартовых координатах Основные обозначения: а — скорость звука; с — скорость света; скорость характеристики; теплоем- теплоемкость единицы массы; концентрация; ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении; cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме; dA — работа за время dt; dq -— количество тепла, поступающего к единице массы сре- среды за время dt; dq' — некомпенсированное тепло; ds -h скорость производства энтропии в единице массы сре- ды; da — элемент площади; dV — элемент объема; в{ — ковариантные векторы базиса; ег — контравариантные векторы базиса; ёг-,сг- — базисные векторы Лагранжевой системы координат в начальном и конечном состояниях среды соответ- соответственно; e{j — компоненты тензора скоростей дефомаций;
10 Список обозначений д — ускорение силы тяжести; 9ijj 9%^ — компоненты метрического тензора; г — удельная энтальпия; мнимая единица; к — волновое число; к — внутренний момент количества движения единицы массы; п — нормаль к границе; р — давление; Pij — компоненты тензора напряжений Коши; рп — вектор напряжений; q — вектор потока тепла; ql — компонента вектора потока тепла в направлении хг\ s — энтропия единицы массы; t — время; и — внутренняя энергия единицы массы; составляющая скорости, направленная вдоль декартовой оси х\ v — скорость; составляющая скорости, направленная вдоль декартовой оси у; v — вектор скорости; w — компонента скорости вдоль декартовой оси г; to — вектор перемещения; х1 — координаты; ж, у, г — декартовы координаты; В — магнитная индукция; D — скорость поверхности разрыва; Е — модуль Юнга; Е — напряженность электрического поля; Т — свободная энергия единицы массы; F — массовая сила в расчете на единицу массы; G — метрический тензор; Qij — компоненты тензора моментных напряжений; R — газовая постоянная;
Список обозначений 11 S — энтропия; Т — температура; U — внутренняя энергия; потенциал массовой силы; V — объем; W — комплексный потенциал; Fr — число Фруда; М — число Маха; Ре — число Пекле; Re — число Рейнольдса; St — число Струхаля; а — коэффициент теплового расширения; 7 — показатель адиабаты, отношение cvjcv\ Sij, Sj — символы Кронекера; 6{j — компоненты тензора деформаций; €ijk — компоненты тензора Леви-Чивита; А — один из коэффициентов вязкости; один из упругих ко- коэффициентов; /л — коэффициент вязкости; один из упругих коэффициен- коэффициентов; v —-- коэффициент кинематической вязкости; V,- — ковариантные производные; р — плотность; Ktj — компоненты тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа; а — коэффициент Пуассона; коэффициент электропровод- электропроводности; т — касательное напряжение; T*j — вязкие напряжения; <р — потенциал скорости; ф — функция тока; ?г — лагранжевы координаты; ш — вектор вихря; угловая скорость; Г — циркуляция скорости.
Глава 1. Основные понятия, используемые для описания движения и деформации сплошной среды 1. Лагранжево и эйлерово описания движения В рамках классической механики все частицы сплошной сре- среды отличимы друг от друга — индивидуализируемы. Каждой индивидуальной частице ставится в соответствие тройка чисел (?ъ6,?з)- Такая тройка называется лагранжевыми координа- координатами соответствующей индивидуальной частицы. Лагранжевы координаты используются, чтобы указать эту частицу, т. е. слу- служат ее „именем", так же, как номера служат „именами" частиц, когда последние расположены дискретно. В качестве лагранже- вых координат частицы обычно используются координаты точ- точки, в которой эта частица находилась в начальный момент. Движение сплошной среды и происходящие процессы описы- описываются цолями физических величин (скорости, давления, темпе- температуры и т.д.). Если эти величины рассматриваются как функ- функции лагранжевых координат (?ъ6,?з) и времени ?, то описание называется лагранжевым или материальным. При этом под- подходе события описываются как происходящие с индивидуаль- индивидуальными частицами. Основной кинематической характеристикой при лагранжевом описании является закон движения сплошной среды. Для всякой частицы (?i,6,?3) во всякий момент t за- закон движения указывает ее положение (относительно выбран- выбранной системы отсчета) — вектор r(?i, ?21 ?з,1) трехмерного евкли- евклидова пространства. Если в этом пространстве выбрана систе- система координат (установлено взаимно-однозначное соответствие г <-> (жх, #2, #з) векторов и троек чисел), то закон движения опи- описывается также функциями ^ = /,F,6,6,*), t= 1,2,3.
1. Лагранжево и эйлерово описания движения 13 Скорость и ускорение частиц сплошной среды определяется соотношениями где ? = (^1,^2»^з)« Вообще скорость изменения некоторой вели- величины А в индивидуальной частице сплошной среды называется индивидуальной, или материальной, или полной производной по времени этой величины. При лагранжевом описании — это про- просто частная производная dA(?,t)/dt. Физические величины, характеризующие движение сплош- сплошной среды и происходящие процессы, можно рассматривать как функции пространственных координат (жьЖ2>жз) и вРемени ?• При этом подходе события описываются как происходящие в точках пространства. Такое описание называется эйлеровым или пространственным,. Основной кинематической характери- характеристикой при эйлеровом описании является поле скорости и(ж,?), где х — (ж1,а?2, а?з). Вектор v(xi, ?2,^3, ^) — это скорость ча- частицы сплошной среды, которая в момент t находится в точке пространства с координатами (#1,^2» #з)- Индивидуальная про- производная по времени величины А при эйлеровом описании обо- обозначается dA{x,t)/dt и вычисляется по формуле dA{x. t) __ дА(х, t) дА(х, t) дА(х, t) дА{х, t) jI ~ оТ ^ I;i —Б 1" U2 —Ъ 1" из —^ • at at ох\ 0x2 ихз Здесь ^i =' v\{x,t), V2 = V2(x,t) и из = vs(x,t) — компоненты вектора скорости среды v(x,t) в системе координат Х{. В частности, ускорение a(x,t) при эйлеровом описании нахо- находится по формуле Лагранжев и эйлеров подходы эквивалентны: если события описаны в рамках одного из них, то описание в рамках другого подхода получается при помощи простой процедуры. Чтобы перейти от лагранжева описания к эйлерову, нужно соотношения, выражающие закон движения &,&,«)> * = 1, 2. 3,
14 Глава 1. Основные понятия разрешить относительно лагранжевых координат, т. е. найти функции ?а = #«(ЯЬ #2, Ж3, t), а = 1, 2, 3. Тогда для всякой величины Л, лагранжево описание которой Л(?ь ?г> ?з> t) известно, эйлерово описание находится как сложная функция A(9i(x, t),g2(x, t),g3(x, t),t). Чтобы перейти от эйлерова описания к лагранжеву, нахо- находят решение системы обыкновенных дифференциальных урав- уравнений dx' ~~ = Vi(xuxux3,t), i= 1, 2, 3, удовлетворяющие начальным условиям Это решение Х{ — /«(Ci?^2i^3?0? « = 1? 2, 3, найденное для все- всевозможных значений параметров (?ь?2>?з)> и есть зак°н дви- движения, а (?ь?2>?з) — лагранжевы координаты частиц. Тогда для всякой величины В(жх,Ж2, ?з,?), эйлерово описание которой известно, лагранжево описание находится как сложная функция Хорошее, хотя и неполное, представление о движении сплош- сплошной среды дают траектории частиц и линии тока. Траекторией частицы (?ь?2??з) называется геометрическое место ее положе- положений во все моменты времени. Линией тока называется опре- определенная в данный момент to кривая, касательная к которой в каждой точке х имеет направление вектора скорости v(x,to). Уравнения линии тока в момент to имеют вид Линии тока, вообще говоря, зависят от момента to, для кото- которого они записаны. При установившемся движении линии тока не зависят от момента to и совпадают с траекториями частиц. Установившимся или стационарным называется движение, при
1. Лагранжево и эйлерово описания движения 15 котором поле скорости в эйлеровом описании не зависит от вре- времени t. В задачах этого параграфа a?i, Х2, хз — пространственные декартовы координаты, fi, &> ?з — лагранжевы координаты. Задачи 1.1 Ввести пространственную систему координат и лагран- лагранжевы координаты частиц и найти закон движения в следующих случаях: а) твердое тело движется поступательно со скоростью, посто- постоянной по направлению и имеющей постоянную величину v; б) твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с постоян- постоянной угловой скоростью со. 1.2 Для поступательных движений твердого тела указать об- общий вид поля скорости в лагранжевом описании и общий вид закона движения. 1.3 Движение среды происходит по закону si=?i + a*f2» ff2 = f2 + b??i, хз = ?з, a, b = const. Проверить, что числа (?ь?2>?з) Для индивидуальной частицы имеют смысл координат х\, Х2, #з точки пространства, в которой она находилась в момент t = 0. Найти поля скорости и ускорения в лагранжевом описании. Какая частица в момент ?о находится в точке пространства с координатами 1.4 Движение среды происходит по закону *i = 6 (l + l~) , ^2 = 6 (l + 2|;) , ж3 = 6 (l + ^) , г = const. а) Найти поля скорости и ускорения в лагранжевом описании. б) Где находится в момент t = Зт частица, которая в момент ? = г находилась в точке пространства с координатами (а, 6, с)?
16 Глава 1. Основные понятия 1.5 В момент t рассматриваются функции &* = &*(?!, Я2>з3, *)> Qf =1,2,3, обратные закону движения 6,6,*)> t = 1,2,3. Каков смысл их значений? Чему равны индивидуальные произ- производные d^a/dtt 1.6 Найти поля скорости и ускорения в лагранжевом и эйле- эйлеровом описаниях, если движение среды происходит по закону а) трехосное растяжение тела: хг = a(t)fi, х2 = б) простой сдвиг: xi = 6 + 6@ 6» Ж2 = &, ж3 = &5 в) однородная деформация при одновременном вращении тела с закрепленной точкой: det |К|| ^ 0. 1.7 Ввести лагранжевы координаты и найти закон движения среды, если оно происходит с полем скорости хг 2tx2 3?2ж3 у v2 = ^-—г' из = -г-.—з' т = const > °- t2 + Т2 t3 + Г3 t + T t2 + Т2 t3 + Г3 1.8 Ввести лагранжевы координаты и найти закон движения сплошной среды, линии тока и траектории, если поле скорости имеет вид а) Vl = §?S' V2 = 1*Г% V3 = °' r = V^+^' б) и,-= ^^, .- = 1,2,3, Д= в) ui = -A«i, «2 = Вх2, v3 = 0, Л = const > 0, Б = const > 0.
1. Лагранжево и эйлерово описания движения 17 1.9 Ввести лагранжевы координаты и найти закон движения сплошной среды, если оно происходит с полем скорости vx = -A(t)xu v2 = B{t)x2r v3 = 0, A(t) > О, B{t) > 0. Найти линии тока и сравнить их с линиями тока для частного случая А, В = const, задача 1.8 в). Привести пример функций A(t) и B(t), при которых линии тока и траектории частиц не совпадают. 1.10 а) Можно ли по известным траекториям частиц среды найти закон ее движения? б) Можно ли по известным в данный момент линиям тока найти мгновенное поле скорости? 1.11 Найти линии тока и траектории, если движение среды происходит с полем скорости a) vi = -и>х2, V2 = шх\, vs ~ и, и,и = const; б) vi — —Ах2, V2 = Вх\. юз = О, А = const > О, В = const > 0; в) v\ = -Vsmut, V2 = Vcosut, vs = 0, w,V = const. 1.12 Могут ли частицы среды двигаться ускоренно, если а) скорости всех частиц одинаковы? б) в каждой точке пространства скорость не изменяется со вре- временем? 1.13 Плотность каждой индивидуальной частицы несжимае- несжимаемой среды остается постоянной. Может ли в какой-нибудь точке пространства происходить изменение плотности со временем? ,1Л4 Найти поле ускорений, если движение среды происходит с полем скорости а) указанным в задаче 1.7; б) имеющим компоненты v\ = A(t)x2, v2 = B(t)xi, v3 = 0.
18 Глава I. Основные понятия 1.15 При движении среды, происходящем с полем скорости Vi = —OJX2, 1>2 = ШХ\, V3 = О, U = Const, в пространстве создается (при помощи подходящим образом рас- распределенных источников тепла) поле температуры Т = Тое т \ а / V ь У V с У , Го. г, а, 6, с = const. Найти скорость изменения температуры в индивидуальной ча- частице в момент ?о> если она находится в этот момент в точке пространства с координатами х\ = а, х-2 — 6, #з = с- 1.16 Движение среды происходит с полем скорости vi = fcxi, ^2 = — кх2, vs = 0, fc = const и полем плотности р = ро + Ах2ек\ /?о, Л == const. Найти скорость изменения плотности в каждой из частиц среды. 1.17 Положение индивидуальной частицы (?ь?2??з) в каждый момент t описывается соотношениями Xi - Шг + t/t,6,6), % - 1, 2, 3, U = const. Показать, что а) движение установившееся; б) линиями тока являются кривые, параметрические уравнения которых имеют вид *г = Мт,&$), г =1,2,3, где т — параметр вдоль кривой, ?§, ^§ Для каждой из кривых — фиксированные числа. 1.18 Движение среды происходит так, что траектории всех частиц лежат на лучах, исходящих из точки О, а величина ско- скорости v и плотность среды р зависят только от момента t и расстояния г до точки О. При изучении такого (сферически симметричного) движения в качестве одной из лагранжевых ко- координат ? материальной точки часто используют величину мас- массы среды, которая заключена в момент t = 0 внутри проходящей через эту точку сферы с центром в точке О.
1. Лагранжево и эйлерово описания движения 19 Показать, что для лагранжевой координаты ? материальной точки, находящейся в момент t на расстоянии г от точки О, справедливо выражение г ?= f 47rR2p{R,t)dR. о Показать, что при лагранжевом описании величина скорости и плотность среды зависят только от ? и t. Найти уравнение для этих функций б(?,?), /5(?, ?), содержащее также функцию r(f,?), преобразовав уравнение dp dp dv pv _ dt дг дг г выражающее закон сохранения массы в эйлеровом описании. 1.19 Движение среды происходит по закону 1 г = const. а) Найти поля скорости и ускорения. б) Найти в момент t = 2т скорость частицы, которая в момент t — т находилась в точке с координатами (а, а, а). 1.20 Найти поля скорости и ускорения в лагранжевом и эйле- эйлеровом описаниях, если движение среды происходит по закону 1.21 Движение среды происходит с полем скорости Vi(x,t) — at, V2(x,t) = — и—, 1?з(ж,?) = 0, а, г/. = const и полем температуры Го, г, Д = const. Найти в момент ? = г скорость изменения температуры в инди- индивидуальной частице, которая находится в точке пространства с координатами т - и2 то - 9й2 то - Чи2 XI- —, *2-^ —, Ж3-^ —.
20 Глава 1. Основные понятия 2. Тензоры в евклидовом пространстве. Декартовы координаты Выражения с индексами. Набор величин часто обозна- обозначают одной буквой, снабжая ее некоторым набором индексов. Пример набора таких величин — „дельта Кронекера" 8ij. По определению, 1, при г = j, В дальнейшем при отсутствии специальных оговорок считается, что различные индексы принимают независимо друг от друга каждое из значений 1, 2, 3. Для сокращения записи принимается следующее соглашение о суммировании: если в одночленном выражении, составленном из выражений с индексами, некоторый индекс встречается два- дважды, это означает, что рассматривается сумма соответствую- соответствующих одночленов, взятых для каждого значения этого индекса. Например, а^ bjki означает сумму ац &ш + а# Ь2ы + Щз Ьзы- Ин- Индексов, встречающихся в одночлене дважды, может быть не- несколько; каждая пара означает независимое суммирование. Тензоры. Для пары векторов а, Ь вводится их тензорное произведение а Ь; тензорные произведения можно складывать и умножать на число. Тензорное произведение линейно по каждо- каждому из сомножителей: если а\, а2> /?ь /?2 суть скаляры, то i + C2Ъ2) = Всевозможные линейные комбинации тензорных произведений образуют линейное пространство, его элементы называются тен- тензорами второго ранга. Базисом в этом пространстве служат тензорные произведения вге^, где ег — базис исходного вектор- векторного пространства. В частности, пусть ег- — ортонормирован- ный базис евклидова пространства; тензор второго ранга пред- представляется в виде t = tijtitj. Числовые коэффициенты t{j назы- называются компонентами тензора t в этом базисе. В этом параграфе компоненты тензоров будут рассматри- рассматриваться только в ортонормированных декартовых базисах.
2. Тензоры. Декартовы координаты 21 Пусть е,- и е'- — два ортонормированных базиса, связанных преобразованием в{ = Аг<?е^, тогда ?tj, t'k\ являются компонента- компонентами тензора второго ранга в этих базисах, если и только если Uj = AikAjit'ki- Эта формула называется тензорным законом преобразования для компонент тензора второго ранга. Законы преобразования компонент тензоров при переходе к произвольному неортонор- мированному базису приведены в § 3. С помощью тензорных произведений abc, abed, ... определя- определяют тензоры третьего, четвертого и более высоких рангов (ана- (аналогично тензорам второго ранга) и их компоненты. Базисами в пространствах тензоров третьего, четвертого и более высо- высоких р1ангов являются тензорные произведения etCj6^, еге^е^в/ и т.д. Вектор является тензором ранга 1. Число, не зависящее от выбора базиса, называется тензором ранга 0 или скаляром. Операции над тензорами. Для любого тензора t опреде- определена операция умножения на число а. Ее результатом является тензор at с компонентами где ?;j...m суть компоненты тензора t. Сложение двух тензоров а и b одинакового ранга дает тен- тензор а + Ь, компоненты которого суть суммы соответствующих компонент исходных тензоров (а+ b)t-j...m = aij.m.m + bij_m. Кроме этих операций определяется также тензорное произ- произведение любых двух тензоров. Например, тензорным произве- произведением АВ тензоров А = А^-е^с^ и В = Bkimekel^m является тензор 5-го ранга АВ = A Для любого тензора, ранга не меньше 2, определено понятие свертки по выделенной паре индексов. Компоненты тензора — результата свертки получаются суммированием тех компонент исходного тензора, у которых индексы выделенной пары имеют одинаковые значения; суммирование выполняется для каждого
22 Глава 1. Основные понятия фиксированного набора значений остальных индексов. Напри- Например, сверткой тензора Q = Qijki^i^j^k^i по первому и третьему индексам является тензор Свертка часто выполняется в тензорном произведении, так, например, из тензоров с компонентами Ау и Вы получается тен- тензор с компонентами Си = AijBji. Можно одновременно произ- производить свертки по каждой из нескольких выделенных пар ин- индексов, так, например, из тензоров с компонентами Aijku emn образуется тензор с компонентами pij = AijkiSkl- Для любого симметричного тензора t второго ранга (такого, что t{j = tji) существует ортонормированный базис е*, в кото- котором недиагональные компоненты тензора будут равны нулю +* ^* +* j.* f* х* r\ Прямые, вдоль которых направлены векторы этого базиса, на- называются главными осями тензора t. Компоненты tj1? t^2i ^33 в этом базисе называются главными компонентами или главными значениями тензора t. Числа А и векторы с компонентами vt-, удовлетворяющие си- системе уравнений Uj Vj ~ \Vi, называются соответственно собственными значениями и соб- собственными векторами тензора t. Следовательно, собственные значения могут быть найдены из критерия существования нену- ненулевого решения ut- этой алгебраической системы уравнений det ||^ - А<у | = О, то есть где h = Ui, h = -^(Uitjj - Ufa), /3 = det ||tt-j||. Числа /i, /2, /3 не зависят от выбора ортонормированного ба- базиса, в котором рассматриваются компоненты t{j (задача 2 Л5). Поэтому /i, /2, /3 называются инвариантами тензора t. Любые
2. Тензоры. Декартовы координаты 23 числовые функции от компонент ^j, обладающие этим же свой- свойством, тоже называются инвариантами тензора t. Любые инва- инварианты симметричного тензора t могут быть выражены через инварианты J1? /2 и /з. Задачи Выражения с индексами 2.1 Выписать подробно следующие выражения, используя числовые значения индексов, а не их буквенные обозначения: б) PijUj, UjPij, в) qijdibj, qijbjdi, Г) dijOij, djjOjij dijOji, Qijdji, Указать равные между собой выражения. 2.2 Вычислить а) суммы 6ц, SijSji, SijSjkSki', б) те же суммы, если все индексы пробегают значения 1,2,..., п. 2.3 Используя соглашение о суммировании, записать в сок- сокращенном виде формулу для вычисления индивидуальной произ- производной dA/dt в эйлеровом описании. Тензоры 2.4 Пусть Uj — компоненты тензора в ортонормированием базисе С{. а) Показать, что набор т^ — tji (например, г^ = ?21) является компонентами некоторого тензора. б) Равны ли свертки 1) TijUiUj И UjUiUj] 2) TijUiVj И UjUiVj, где щ и Vj — компоненты векторов?
24 Глава 1. Основные понятия 2.5 В некотором ортонормированном базисе компоненты тензора удовлетворяют соотношениям a) t{j = tji] б) t{j = —tj{. Показать, что аналогичные соотношения выполнены для его компонент в любом ортонормированном базисе. В первом случае тензор второго ранга называется симмет- симметричным, во втором — антисимметричным. 2.6 Показать, что полная свертка симметричного S{j и анти- антисимметричного aki тензоров равна нулю: stjaZJ = 0. 2.7 Рассмотреть суммы aijk + b{jk компонент тензоров а и b в произвольном ортонормированном базисе и показать, что они являются компонентами тензора. 2.8 Рассмотреть произведения Вц^тп компонент тензоров Виев произвольном ортонормированном базисе и показать, что они являются компонентами тензора. Показать, что суммы вида BijkiSkl также являются компонентами тензора. 2.9 Показать, что любой тензор второго ранга представляет- представляется в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Единственно ли такое представление? 2.10 Показать, что свертка SijU{Vj симметричного тензора второго ранга s выражается через свертки вида SijWiWj, где щ, V{ и W{ — компоненты векторов. Другими словами, значения симметричной билинейной формы выражаются через значения соответствующих квадратичных форм. 2.11 Показать, что если для тензора второго ранга при любом векторе v выполнено t{jV{Vj = 0, то тензор t антисимметричен. 2.12 Шаровой составляющей t^ и девиатором t^ симме- симметричного тензора t второго ранга называются соответственно тензоры с компонентами а) Найти девиатор шаровой составляющей (t б) Найти шаровую составляющую девиатора
3. Тензоры. Криволинейные координаты 25 2.13 Найти общий вид тензора второго ранга t, если во всяком ортонормированном базисе его компонента t\2 равна нулю. 2.14 Найти главные компоненты и главные оси тензора, име- имеющего в некотором ортонормированном базисе ег следующую матрицу компонент: / 1 -л/3 0 \ /1 -\/3 О а) -л/3 -1 0 ; б) -л/3 -1 О \ О 0 3/ \ 0 02 2.15 Показать, что следующие функции компонент Uj симме- симметричного тензора второго ранга t являются его инвариантами: а) Ji = ta, J2 = Ufa, J3 = tijtjktki', б) h = *«, h - \{Uitjj - Ujtij), /3 = det \\tij\\. 2.16 Являются ли главные компоненты симметричного тензо- тензора второго ранга его инвариантами? 2.17 Выразить инварианты /1? /2, /з, Ji, ^2> ^з через главные компоненты тензора t, см. задачу 2.15. 3. Криволинейные координаты Хотя в евклидовом пространстве всегда можно ввести де- картову систему координат, при решении задач механики часто используют криволинейные системы координат. Обычно это бы- бывает связано с симметрией задачи. Например, описывать пове- поведение осесимметричного тела под действием осесимметричной нагрузки удобнее в цилиндрической системе координат. Системы координат, локальные базисы. Система коор- координат в евклидовом (трехмерном) пространстве устанавливает соответствие г <-> (ж1; ж2; ж3) между векторами и тройками чи- чисел; говорят также о точке с координатами (ж1; ж2; ж3). Только в специальных прямолинейных системах координат тройка чисел ж1, ж2 и х3 является компонентами вектора г.
26 Глава 1. Основные понятия Обратите внимание, что в этом параграфе (и далее в тексте книги) индексы в обозначениях координат стоят вверху. Если в пространстве задана криволинейная система коорди- координат, то через каждую точку можно провести координатные ли- линии — линии, вдоль которых две координаты постоянны. Система координат определяет в каждой точке (ж1; ж2; х3) ло- локальный — соответствующий этой точке — базис евклидова про- пространства в{ = дг/дхг. Векторы ?{ направлены по касательным к координатным линиям. Базис ег- называют ковариантным. Взаимным базису ег называется базис efc, удовлетворяющий соотношениям ек • б{ = Sk. Здесь ек • et- — скалярное произведе- произведение векторов ек и е,-. Он существует, единствен и эффективно находится, задача 3.1. Базис ег называют контравариантным. Если gij — набор скалярных произведений g^ = е,- • 6j, а дх* — набор элементов матрицы ||<jrtJ"||, обратной матрице ||^||, то справедливы соотношения ё = gikek, ej = gjkek, gij = e{ • ej. Векторные и тензорные поля. Векторнозначная функция на области (поверхности, кривой) называется векторным полем на области (поверхности, кривой) или часто — просто вектором. Если выбрана система координат (жг), то векторное поле пред- представляют, используя локальные базисы ег или взаимные базисы е-7, в виде v = v% ti = VjeJ, где v* = gtkvk, Vj = gjkvk. C.1) Величины vl называются контравариантными компонента- компонентами векторного поля v в системе координат (жг), величины Vj — его ковариантными компонентами. Для обозначения контра- вариантных компонент индексы ставятся вверху, ковариантных — внизу. В случае ортогональной криволинейной системы ко- координат часто используют также физические компоненты, см. задачи 3.17 и 3.19. Если наряду с системой координат (хг) рассматривается си- система координат (х1 ), то ее базис, ^взаимный базис и компонен- компоненты векторного поля v в системе координат (х1 ) (отмечаемые
3. Тензоры. Криволинейные координаты 27 штрихами) связаны с базисами ег-, е-7 и компонентами векторно- векторного поля v в системе координат (хг) соотношениями (законами преобразования) дхк дхк e'i — ——-ек, vf{ = rVk (ковариантный закон), dxt% oxfl ro n\ • dxfi ¦ 8xfi l% OX l n OX k / \ e = -т-т-с , v = -jr-j-v (контравариантныи закон). Справедливы также соотношения дх'к , дх'к , ох1 дхг dxfk дх1к ^Ls1 дх'1 дхк dxrk dxJ v dxk dx'j r Тензорнозначная функция на области (поверхности, кривой) называется тензорным полем на области (поверхности, кривой) или часто — просто тензором. Если выбрана система коорди- координат (#г), то тензорное поле представляется, например, в случае тензоров второго ранга в виде i. fij g>.g> . f j ?>kg> . +*'• g>.J> /, , Л^л' щ^ .—.. \j C С i '""' t/ hi С С ъ —— ?/ i С«С? "™'™ (/M С С • Числовые коэффициенты называются компонентами тензора в системе координат (ж1): V* — контравариантными, t\\ и t'k{ — смешанными, tk\ — ковариантными. Точки в выражениях tk^ t1^ и аналогичных указывают порядок индексов. Например, в выражении А\к индекс г — первый, к — второй, и набор чисел А\к можно представить в виде матрицы. Компоненты тензора в системе координат (х' ) связаны с его компонентами в системе координат (хг) так называемым тен- тензорным законом преобразования: для каждого нижнего индекса используется ковариантный, для каждого верхнего — контрава- риантный закон преобразования, см. формулы C.2), например ' дхг .„„. дх'к
28 Глава 1. Основные понятия Если (хг) и (х'к) — две системы координат, то tp.q.'r и tnj/k — компоненты Тензора t в этих системах координат, если и только если они связаны тензорным законом преобразования. Тензор третьего ранга рассмотрен здесь в качестве примера, сформу- сформулированное утверждение справедливо в случае любого ранга. Метрический тензор. Величины gij = t{ • е5, д\{ = д{\ = 6j, gij - е{ • е>, где ег • eJ — скалярное произведение векторов ег и е-7, являются компонентами тензора второго ранга g, см. задачу 3.4, кото- который называется метрическим. Квадрат длины элемента дуги определяется соотношением ds2 — dr-dr — gij dx%dxk. Матрица \\дгЦ\ обратна матрице ||sfi'j||- Верны соотношения е{ =gikek, ej=gjkek. Контравариантные и ковариантные компоненты вектора свя- связаны законом C.1), тензора второго ранга — законом ?.- = giktkj, t^=giktkj, tij=gikg>ltkl. Аналогичные формулы справедливы и для тензора любого ранга, например &V, = gqk t\i-kl индекс поднимается или опускается так же, как если бы он был единственным, см. формулы C.1). Тензорные операции. Произведением тензора t на чи- число а является тензор с компонентами, полученными умножени- умножением компонент тензора t на а, например, at = a(tijeiej) ^ {^ V Сумма определена для любых двух тензоров а и b одинаково- одинакового ранга г, ее компоненты получаются сложением компонент а и be одинаковым расположением индексов. Например, сумма тензоров а = а^еге^ иЬ = Ьыеке1 является тензором а + b = (aij + bij)eleJ =
3. Тензоры. Криволинейные координаты 29 Тензорное произведение определено для любых двух тензоров. Например, тензорное произведение АВ тензоров А = А^еге^ второго ранга и В = Bkimtkelem третьего ранга является тен- тензором пятого ранга АВ = А^Вк1те{еЫкёет. Его можно также представить через компоненты с другим рас- расположением индексов, например, АВ = А]':В'к1^1е{е:>еке(еТп. Для тензора любого ранга, не меньшего двух, определена свертка по отношениею к выбранной паре индексов, из кото- которых один должен быть верхним, а другой нижним. Например, свертка тензора Q = Q\\k\t%t^ek^ по отношению к первому и третьему индексам — это тензор какой из индексов верхний, а какой нижний, не имеет значения, поскольку справедливо равенство Qj-JJj'= QHjj, см. задачу 3.26. Ковариантное дифференцирование. По определению, производные dv/dxk векторного поля по координатам выража- выражаются через компоненты некоторого тензора второго ранга Vv, компоненты которого имеют специальные обозначения по формулам Величины VfcU2, VfctJj называются ковариантными производными соответственно контравариантных и ковариантных компонент векторного поля V. Они находятся по формулам |? > 0r>s, (з.з) где величины Pfc — коэффициенты в разложениях производных векторов локального базиса евклидова пространства по этому базису д
30 Глава 1. Основные понятия Отсюда вытекает также формула де^ /дхк — -Т31ке1. Величины T%jk называются символами Кристпоффеля (или коэффициента- коэффициентами связности), они выражаются через производные компонент метрического тензора - lj ~ 29 dxi HL- dgik\ 8xk dx1)' Производные dt/dxk любого тензорного поля t по координа- координатам выражаются через компоненты некоторого тензора, на еди- единицу большего ранга, обозначаемого Vt. Его компоненты назы- называются ковариантными производными соответствующих компо- компонент тензора t и находятся по формулам, аналогичным C,3), например для тензора третьего ранга t = ^™e/emen производ- производные равны = (V* «!-) / j.s • п Г7 J-l • П v -771 • | pi j.S • П pS j.1 -П I Г*П j.1 • S Vfc*-m. = «k +lskt.m- -ГтЛ*.в. +1sfc*.m.- где В частности, если Т — скаляр, то величины ются компонентами вектора grad T: = дТ/дхк явля- являЗадачи Системы координат 3.1 а) Показать, что существует единственный базис ек, вза- взаимный данному базису в,*, причем справедливы соотношения = д г где дгк — компоненты матрицы ||<jrtJ'||? обратной матрице \\gij\\,
3. Тензоры. Криволинейные координаты 31 б) Проверить соотношения ег • е7 = дгК в) Проверить соотношения и • v = ulvi — U{v\ vz = ег • v, иг- = в{ • «. г) Проверить, что базис ег и взаимный базис е-7 выражаются друг через друга по формулам 1 _ ^2Хбз 2 _ взхех з _ е1хе2 , , е — — , е — — , е — г^ , v* — et ^e2 x е3>|, е2 х е3 е3 х е1 е1 х е2 _^ , /9 оч где в2 X Сз — векторное произведение векторов С2 X ез, а У* — смешанное произведение векторов Ci, в2 и вз- д) Чему равны длины векторов ег и е7? Компоненты метриче- метрического тензора считать известными. 3.2 а) Найти базис, взаимный ортонормированному. б) Ортогонален ли базис, взаимный ортогональному базису не- неединичных векторов? в) Базис в{ образован единичными векторами, каждые два из которых образуют угол 7г/3. Найти взаимный ему базис. Ка- Каковы длины векторов ег? Найти контравариантные компоненты вектора v = ael + be2 + се3, 3.3 Докажите утверждение, сформулированное в задаче 2.5, в случае произвольного базиса ег. 3.4 Во всякой системе координат рассматриваются наборы чисел: 1) д{- — а • ej и 2) д%* — компоненты матрицы \\д%Ц\, обратной матрице Ц^о'Ц- Покажите, что они являются соответственно ковариантными и контравариантными компонентами одного и того же тензора, он называется метрическим. Найдите смешанные компоненты этого тензора.
32 Глава 1. Основные понятия 3.5 Покажите, что следующие наборы соотношений для ком- компонент тензора эквивалентны: ii «I б) ац = -a3i <=> аы = -а1к *<=> атп = -а'пт. Это означает, что любое из соотношений из наборов а) и б) мож- можно принять за определение соответственно симметричного и ан- тисимметричого тензора второго ранга, см. задачи 2.5 и 3.3. 3.6 Справедливы ли для тензора второго ранга t следующие соотношения: a) ttj =«;¦•'; б) 3.7 Цилиндрические координаты х1 — г, х2 = х3 = см. рис. 3.1, связаны с декартовыми ) соотношениями /1 /2 . х = г cos </?, ж = г sin /3 х = z. л: Рис. 3.1. а) Найдите векторы базиса цилинд- цилиндрической системы координат в точ- точках Mi (г = 5; <р = 0; z = 0) и М2 (г = 10; у> = тг/6; z = 1), выразите их через базис е[ декартовой системы. б) Найдите ковариантные, контравариантные и смешанные ком- компоненты метрического тензора в цилиндрической системе коор- координат. в) Найдите векторы взаимного базиса в точках М\ и Мг. 3.8 Разложите базисные векторы е'1 и, в'2 декартовой систе- системы координат (ж'1,' х'2) на плоскости по базису полярной систе- системы координат х1 — г, х2 — <р, связанной с декартовой соотноше- соотношениями х'х — г cos <р, х!2 = г sin
3. Тензоры. Криволинейные координаты 33 3.9 Тензор второго ранга р в цилиндрической системе коор- координат, см. задачу 3.7, имеет компоненты рп = а, р22 — Ъ/r2, a остальные компоненты равны нулю. Найдите компоненты этого тензора в декартовой системе координат. 3.10 Сферические коорди- координаты х1 = г, х2 = 0, х3 == А, см. рис. 3.2, связаны с декар- декартовыми (х'г) соотношениями х' = г sin в cos A, х1 — г sin в sin A, х1 — г cos в. Найдите базис сферической системы координат — выра- выразите его через базис декарто- декартовой системы. Найдите ковариантные, контравариантные и сме- смешанные компоненты метрического тензора в сферической систе- системе координат. 3.11 Векторное поле v определено в декартовой системе коор- координат (х'г) равенством X х'1/ Рис. 3.2. V = — . Найдите его компоненты в сферической системе координат, см. задачу 3.10. 3.12 Найдите квадрат длины элемента dxle\ + dx2t2 + dx3e^ в эллиптической системе координат х1 = г, х2 = х3 = связанной с декартовыми координатами (ж, у, z) соотношениями ж = v г2 + a2 cos у?, у = г sin у?, г ^ 0. 3.13 Найдите квадрат длины элемента + dx2t2 + dx3e% в эллипсоидальной системе координат х1 = г, ж2 = 0, х3 = у?, с координатными поверхностями г = const в виде эллипсоидов вращения, связанной с декартовой системой соотношениями х = \/г2 + a2 sin 0 cos у?, у = v г2 + о2 sin 0 sin у?, г = r cos 0. 2 Зак. 2368
34 Глава 1. Основные понятия 3.14 Выразите через базисные векторы ег или ег криволиней- криволинейной системы координат (хг): а) единичный касательный вектор к координатной линии ж1, т. е. к линии х2 = const, х3 = const; б) угол между координатными линиями х2 и х3 в данной точке; в) единичный вектор, нормальный к координатной поверхности (х2;х3), т. е. к поверхности х1 — const. п 3.15 В некоторых случаях, например при изучении течения в тонком слое вблизи тела, удоб- удобно использовать специальную криволинейную систему коор- координат. Если течение рассмат- рассматривается как плоское, система координат вводится в плоскос- плоскости следующим образом. Пусть в плоскости течения граница тела — гладкая кривая L, задан- заданная параметрически г = f(s) = a(s)ex + b(s)ey, где s — длина дуги кривой L; ех,еу — базис декартовой системы координат (х\ у) в плоскости. Тогда в окрестности кривой каждой точ- точке с радиус-вектором г с помощью рассматриваемой системы координат можно поставить в соответствие пару чисел (s, /г), определяемых из уравнения, см. рис. 3.3, г = f(s) + n(s)h, где n(s) — единичная нормаль к кривой L; h — расстояние до L. Найдите базис системы координат х1 — <s, х2 = h и ковари- антные, контравариантные и смешанные компоненты ее метри- метрического тензора. Физические компоненты векторов и тензоров 3.16 В механике декартовы координаты обычно рассматрива- рассматриваются как безразмерные, а их базисным векторам приписывается
3. Тензоры. Криволинейные координаты 35 размерность длины. Найдите в этом случае для сферической системы координат, см. задачу ЗЛО, размерности: а) координат; б) векторов базиса и взаимного базиса; ковариантных и контравариантных компонент в) метрического тензора; г) вектора скорости. 3.17 Размерности компонент вектора, одинаковые в декарто- декартовой системе координат, в криволинейной системе координат мо- могут быть разными, см., например, предыдущую задачу. Чтобы избежать этого, в криволинейной ортогональной системе коор- координат (е{ 1_ tj при г ф j) вводят так называемые физические компоненты 1?ф? вектора v Вектор при этом представляется в виде ег е2 е3 а) Покажите, что 1 = v2\e\ г;Фз = г73|е3 е1 е2 с2 в3 е3 Эта тройка векторов называется физическим базисом, связан- связанным с рассматриваемой криволинейой системой координат. б) Выразите скалярное произведение векторов и- v через их фи- физические компоненты. в) Аналогично физическим компонентам векторов введите фи- физические компоненты тензора второго ранга.
36 Глава 1. Основные понятия 3.18 а) Выразите связанный с цилиндрической системой коор- координат физический базис (вг;е^;в^), см. задачи 3.7 и 3.17, через базисы в{ цилиндрической и е'г- декартовой систем координат, б) Тело вращается вокруг оси с угловой скоростью uj{t). Найди- Найдите физические компоненты векторов угловой скорости и ускоре- ускорения в цилиндрической системе координат, для которой коорди- координатной линией х3 является ось вращения. 3.19 Покажите, что физический базис, связанный с цилинд- цилиндрической системой координат (хг). см. задачу 3.18 а), не мо- может служить локальным базисом никакой криволинейной систе- системы координат ук(хг, х2, х3). Тензорный закон преобразования 3.20 Билинейная форма b — это скалярнозначная функция двух векторных аргументов, линейная по отношению к каждо- каждому из них. В каждой координатной системе существует такая матрица ||&2'j||? что b(u, v) = b^u%v^ для любых двух векторов ti и v: эта матрица называется матрицей билинейной формы Ь. а) Покажите, что элементы матрицы \\bij\\ билинейной формы являются компонентами тензора второго ранга. б) Найдите матрицу билинейной формы, ставящей в соответ- соответствие паре векторов их скалярное произведение. 3.21 Линейный оператор а — это линейная векторнозначная функция векторного аргумента1. В каждой координатной сис- системе существует такая матрица ||a!j||, что av = a\^t{ для всякого вектора и; эта матрица называется матрицей линейного оператора а. а) Покажите, что элементы матрицы ||<z!j|| линейного оператора являются смешанными компонентами тензора второго ранга. б) Найдите матрицу линейного оператора, проектирующего век- вектор на плоскость, ортогональную данному вектору п = пгв{. 3.22 Найдите общий вид тензора второго ранга t, если из- известно, что его компонента ti2 равна нулю во всякой системе координат.
3. Тензоры. Криволинейные координаты 37 Тензорные операции 3.23 Для двух тензоров второго ранга а и b рассмотрите сум- суммы их компонент au + 6tJ во всякой системе координат. Покажи- Покажите, что они не являются компонентами тензора за исключением случая, когда а = 0 или b = 0. 3.24 Найдите контравариантные компоненты суммы тензоров а = вхвх и b = е2е2, где et- — базис системы координат (жг), х1 = х[+х'2, Х2 = х'2, х^ — х'г и {х\) — декартовы координаты. 3.25 Докажите равенство Q\'j\\ = Q\]\\ для компонент тензора Q - Q^eVeV. 3.26 Рассмотрите компоненты тензоров В = Bijkiele^eke1^ и е = Sijele3 во всякой системе координат и докажите, что а) суммы B{jkiskl являются компонентами тензора; б) справедливы следующие равенства: Bijklekl = вЦ-к[ек.} = В[{к\е-к[ = В\{к\ек[. 3.27 Рассмотрите числа ?,-;, Ufa и Ujtjktki, определенные компонентами тензора второго ранга t во всякой системе ко- координат. Зависят ли они от системы координат? 3.28 Числа J\ = Ьц, J2 = tijtij и J$ — Ujtjktkii определен- определенные компонентами тензора второго ранга t в декартовой систе- системе координат, не зависят от этой системы, см. задачи 2.15 и 3.27. Найдите формулы, выражающие эти числа через смешан- смешанные компоненты тензора t в произвольной системе координат. 3.29 Собственные числа и собственные векторы симметрично- симметричного тензора второго ранга t определяются как числа А и векторы с компонентами vfi} удовлетворяющие системе уравнений в декартовой системе координат. а) Выведите уравнения, определяющие числа А и компоненты v\ в произвольной системе координат через A) ковариантные; B) контравариантные; C) смешанные компоненты тензора t.
38 Глава 1. Основные понятия б) Выразите коэффициенты уравнения определяющего собственные значения А, через смешанные ком- компоненты тензора t в произвольной системе координат. Тензор Леви—Чивита. Вычисления в криволинейных системах координат 3.30 Покажите, что числа tijk = «." • {е3 х ек) являются компонентами тензора третьего ранга. Этот тензор называется тензором Леви-Чивита. 3.31 Проверьте, что тензор Леви-Чивита обладает следующи- следующими свойствами: а) он антисимметричен по отношению к любой паре индексов, т. е. выполнены соотношения eijk — ~€jiki tijk = ~?ikji eijk ~ ~^kji'i б) среди его компонент отличны от нуля только те, у которых значения индексов получаются перестановкой чисел 1, 2 и 3; соответствующие компоненты тензора Леви-Чивита равны ли- либо €i23, либо -6123 в зависимости от того, четна или нечетна перестановка, соответствующая индексу рассматриваемой ком- компоненты, т. е. справедливы равенства €213 ~ €l32 = €з21 = ~6 в) компонента €123 выражается через д = det \\gij\\ по формуле , если 6i, в2, €з — правый базис, i если Ci, в2, Сз — левый базис.
3. Тензоры. Криволинейные координаты 39 3.32 а) Сформулируйте свойства контравариантных компо- компонент тензора Леви-Чивита, аналогичные свойствам ковариант- ных компонент, рассмотренным в задаче 3.31 а), б). Докажите эти свойства. б) Покажите, что компонента тензора €123 выражается через определитель д = det ||^|| по формуле 123 / 1/\/?' если еь <*2, е3 — правый базис, I / если еь е2? в3 — левый базис. 3.33 Проверьте справедливость следующих соотношений для тензора Леви-Чивита ei}kepqr = ЯДОг + WJ + WJ - W* - °'* $ % eiklejkl = 2*j, e^*6ijfe = 6. 3.34 Покажите, что при помощи тензора Леви-Чивита вектор- векторное произведение axb векторов а и Ь может быть представлено в следующем виде axb — etikaibj€k = epqrapbqer в любой системе координат. Это одна из причин, по которым тензор Леви-Чивита удобен в вычислениях. 3.35 а) Покажите, что при помощи тензора Леви-Чивита сме- смешанное произведение трех векторов а, 6 и с может быть пред- представлено в следующем виде а • F х с) = €ijk агУск в любой системе координат. б) Выразите компоненты двойного векторного произведения а х F х с) векторов а, Ь и с через их компоненты. 3.36 Покажите, что объем параллелепипеда со сторонами а, Ь и с равен
40 Глава 1. Основные понятия 3.37 Рассмотрите следующий набор чисел Zijk, определенный в любом правом базисе следующим образом: = €132 = остальные €{jk = 0. Эти числа называются символами Леви-Чивита и часто исполь- используются в вычислениях (их также обозначают ег^к). а) Существует ли тензор, компоненты которого в каждом ба- базисе равны €;jfc? б) Используя символы Леви-Чивита, выразите через компонен- компоненты данной матрицы ее определитель и компоненты обратной к ней матрицы. 3,38 Выведите формулы для дифференциалов определителей: а) матрицы ||a!j|| где ||Ь*/|| — матрица, обратная матрице \\a\j\\. б) матрицы H^il^ 3.39 а) Выведите формулу для дифференциалов элементов ма- матрицы ||ft!j||, обратной матрице ||a!j||, б) Выведите формулу для дифференциалов контравариантных компонент метрического тензора dgij = -gtkgjld9kl. Ковариантное дифференцирование 3.40 Являются ли производные диг/дх^ компонент vl вектора v компонентами тензора?
3. Тензоры. Криволинейные координаты 41 3.41 Являются ли символы Кристоффеля Гг-к компонентами тензора? 3.42 Верно ли следующее утверждение: если компонента и1 векторного поля в некоторой системе координат равна нулю во всех точках, то в этой системе координат и VkV1 = О? 3.43 Вычислите ковариантные производные компонент а) метрического тензора; б) тензора Леви-Чивита. 3.44 Найдите символы Кристоффеля а) для цилиндрической системы координат, см. задачу 3.7; б) для полярной системы координат на плоскости, см. зада- задачу 3.8. 3.45 Найдите символы Кристоффеля для сферической систе- системы координат, см. задачу 3.10. 3.46 Найдите символы Кристоффеля для криволинейной си- системы координат, описанной в задаче 3.15. 3.47 Выведите формулу dxi 3.48 Скалярное поле div v, которое в декартовой системе ко- координат (х'г) находится по формуле div v = т, называется дивергенцией векторного поля V. Покажите, что в любой системе координат (хг) имеют место следующие формулы: a) div v = Vtt/; поэтому естественно использовать обозначение div v — V • v, где V — „вектор" с ковариантными компонентами Уг;
42 Глава 1. Основные понятия 3.49 Векторное поле, обозначаемое rotw или curl и, которое в правой декартовой системе координат (хп) с базисом е\ опреде- определяется по формуле rot v — e'i ef2 е'3 д д д dxfl дх'2 дх'3 v'1 v'2 v'3 называется ротором векторного поля V. Покажите, что в любой системе координат справедлива сле- следующая формула Поэтому естественно использовать обозначение rotv = V X v, см. задачу 3.34. 3.50 Покажите, что для симметричного тензора второго ран- ранга справедливо равенство °(УИ) Кыдды 8х* 2 Г 3.51 Покажите, что выражения где V{ — компоненты произвольного вектора, не содержат сим- символов Кристоффеля. 3.52 Покажите, что для любого антисимметричного тензора второго ранга ш: 1 Я а) справедлива формула V{Utk = — тг^Сл/^^*)! у/9 дхг б) выражения e^kV{UJjk не содержат символов Кристоффеля. 3.53 Покажите, что всякое векторное поле к = У{хг)е^{хг) вы- выбором подходящей системы координат (х/1(хг)) можно локально, в окрестности точки, в которой к не обращается в нуль, пред- представить в виде к = е[(хп).
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 43 3.54 а) Пусть поле v имеет компоненты i iik да дЪ дхк i = iik дхэ дхк в криволинейной системе координат (хк), а и 6 — скалярные поля. Покажите, что поле v соленоидально, т. е. удовлетворяет условию div v = 0. б) Пусть векторное поле v соленоидально, div v = 0. Покажите, что в окрестности точки, где v не обращается в нуль, найдутся такие два скалярные поля а и 6, что для компонент поля v в любой системе координат справедлива формула .' Цк да дЬ _ дхк' Таким образом, предыдущая формула локально дает общее ре- решение t; уравнения div v = 0. 4. Деформация, скорость деформации, вихрь Деформирование сплошной среды — это изменение рассто- расстояний между ее частицами. Деформирование вызывает отклик сплошной среды, в частности приводит к появлению в ней вну- внутренних усилий. Поэтому необходимо вводить количественные меры деформации. Например, при растяжении стержня его про- продольную деформацию можно охарактеризовать относительным удлинением (/ — /o)/'(h где / и /0 — длина стержня соответственно в текущий момент и в состоянии, по отношению к которому от- считывается деформация. Абсолютное удлинение I - 1о не явля- является разумной мерой деформации: стержни длиной /о = 10 см и /0 = 1 м одинаковое удлинение / — /0 = 1 мм приводит в раз- различные состояния. Выбор отсчетного состояния до некоторой степени условен, однако часто для него есть естественные осно- основания; например, для упругого стержня за отсчетное принимают состояние, в котором стержень свободен от внутренних усилий.
44 Глава 1. Основные понятия Тензоры деформаций Обычно считают, что отсчетпое (недеформированное) со- состояние, в котором по определению деформация равна нулю, реализуется в начальный момент t = 0, что в дальнейшем под- подразумевается. Пусть (#i, #2, #з) — пространственная система координат (декартова, пока не указано противное) с базисом ег, Х{(?, t) — закон движения и ? = (?i; ?2; ?3) — лагранжевы ко- координаты частицы, равные пространственным координатам, ее положения в начальный момент, т. е. ?г- = яг(?, 0). В качестве мер деформации часто используются тензор деформаций Грина о __ о о _ 1 (дх{ dxi 2\О(;аО(;р и тензор деформаций Альманси где {€а(я, t)) — лагранжевы координаты частицы, находящейся в момент t в точке х. Y dx (^1^2^з) " (хх,Х2,Хъ) начальный момент t = 0 текущий момент t Рис. 4.1. Материальным элементом с началом в частице ? и соответ- соответствующим вектору d? = d?o ea называется совокупность частиц, заполняющих бесконечно малый отрезок и имеющих лагранжевы координаты в пределах от (?i; ?2; ?з) до (?i+d?i; ?2+^2; ^з+^Сз)« В момент t положение материального элемента определяется, см. рис. 4.1, положением х(?, t) его начальной точки и вектором dx = ах; е, = ттт- ata e»,
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 45 Каждый из тензоров ё и 6 позволяет непосредственно вы- выразить изменение квадрата длины ds2 материального элемента (один — через d?, другой — через dx) ds2 — ds$ — 2ёар d? Здесь dso — длина материального элемента в момент t = 0. Тен- Тензоры деформаций также позволяют найти относительное удли- удлинение всякого материального элемента, изменение угла между любыми двумя материальными элементами, см. задачи 4.3 и 4,4, а также относительное изменение величины dV бесконечно малого объема 1 ; г 1 + 2/ 4/ 8/1 1 о где /?;, /;, i = 1, 2, 3 — инварианты соответствующих тензоров, см. задачу 2.15, определяемые как h = en, h = 2 Gi2 ~ е%зеч)> 7з = det \\ец||. Механический смысл компонент тензора деформаций Грина виден из их связи с достигнутыми в текущий момент t а) относительными удлинениями /ь /2, /з материальных элемен- элементов, которые в начальный момент t — 0 были направлены по базисным векторам соответственно е^, е2 и ез; б) углами фар, <х ф в, между этими материальными элементами, например, ^23 — угол между элементами, которые в начальный момент t = 0 были направлены по е2 и е3, ё-ар = 2К1 + /«)A + ^)cos^ - <W], по а и /3 не суммировать. В частности, для компонент с одинаковыми индексами ёаа = \ [A + Q2 ~ l] , 2 по а не суммировать. Аналогично компоненты тензора Альман- си связаны с „обратными" характеристиками деформации — с „достигнутыми" в момент t = 0 относительными удлинениями
46 Глава 1. Основные понятия по сравнению с длиной в момент t материальных элементов, на- направленных в момент t по базисным векторам ег, и углами между этими элементами, см. задачу 4.16. Компоненты тензоров деформаций просто выражаются че- через поле перемещения в лагранжевом описании или в эйлеровом описании w(x,t) = (jct--?(s,t))et-, где, конечно, ti(f,i) = ю(ж(?,4),?). Справедливы формулы: ч ! (диа дир ди^ дг^Л В случае, когда относительные удлинения и повороты всех материальных элементов малы, т. е. когда малы все производ- производные диа/д^(з ~E< 1 или, что то же самое, малы все производ- производные dwi/dxj ~ S <С 1, тензоры деформаций Грина и Альманси отличаются лишь на величину порядка S2 от линеаризованных тензоров деформаций ?' ^ и е® На величину порядка S2 отличаются и сами тензоры Грина и Альманси и линеаризованные тензоры
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 47 Поэтому обычно, допуская вольность, говорят об одном (линеа- (линеаризованном) тензоре деформаций. Его компоненты в зависимо- зависимости от удобства вычисляют по одной из формул 1/диа дир\ \(dwi dw \W+WJ или 2V^J + ^7 Этот тензор часто называют также тензором малых деформа- деформаций. Механический смысл его компонент: Е\\ — относительное удлинение материального элемента, на- направленного в момент t — 0 по вектору е\] аналогичный смысл имеют компоненты ?22 и ?зз? 6ij, при г ф j, суть половины изменений углов между матери- материальными элементами, направленными в момент времени t — О соответственно по векторам в{ и tj. Преобразование малого объема сплошной среды Рассмотрим малый объем сплошной среды, который содер- содержит частицу ? и состоит из всех материальных элементов, соот- соответствующих всевозможным векторам d? с началом в частице ?. Положения этих материальных элементов в момент t опреде- определяются положением частицы ? — точкой с координатами жг(?,?) и векторами rfx, см. рис. 4.1, которые связаны с d? линейным преобразованием или, короче, dx = где использовано обозначение дх{/д^а — Fia. Линейное преобра- преобразование F называется дисторсией, его матрица F = ||^ъ|| — матрицей дисторсии или деформационным градиентом. Компо- Компоненты тензоров деформаций очевидно выражаются через ком- компоненты матрицы дисторсии следующим образом ?$ (FkFkp 6p) Sij = (S{j HiHj) где ||Я7^|| — матрица, обратная к F, т. е.
48 Глава 1. Основные понятия По теореме о полярном разложении матрица F представля- представляется в виде F = RU, Fia = RipUpa, где R = \\Rip\\ — ортогональная матрица; U = ||^/?а|| — сим- симметричная положительно определенная матрица. Линейное пре- преобразование d? —> U • d?, определяемое матрицей {/, состоит в выполнении трех растяжений вдоль главных осей тензора де- деформаций Грина, а линейное преобразование d? -> R - d?, определяемое матрицей Д, состоит в повороте, который перево- переводит главные оси тензора деформаций Грина в главные оси тен- тензора деформаций Альманси, см. задачу 4.19. Поэтому преобра- преобразование малого объема сплошной среды с центром в частице ? можно представить как последовательное выполнение растяже- растяжений вдоль трех взаимно ортогональных направлений — преобра- преобразование U, и поворота — преобразование R, см. рис. 4.2, кроме которых следует совершить параллельный перенос, переводящий точку ? в точку х(?Л). Преобразование U имеет смысл чистой деформации. Оно тесно связано с тензором деформаций Грина, см. задачу 4.19. и R главные оси тензора Грина главные оси тензора Альманси Рис. 4.2. Скорость деформации, вихрь, дивергенция скорости Тензор скоростей деформаций. Многие среды откли- откликаются не столько на деформацию — относительное удлинение материальных элементов, сколько на ее скорость. Для коли- количественного описания скорости деформирования используется
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 49 тензор скоростей деформаций, компоненты которого выража- выражаются через поле скорости v по формулам 1 / дгц ( 13 2 \ дхj I Механический смысл его компонент: ец — скорость относительного удлинения материального эле- элемента, направленного в текущий момент по вектору el5 анало- аналогичный смысл имеют компоненты е-22 и езз; компоненты etJ при г ф j суть половины скоростей изменения углов между материальными элементами, направленными в те- текущий момент по t{ и ej. Через компоненты тензора скоростей деформаций выража- выражается также скорость относительного изменения элемента объема сплошной среды, она равна Вектор вихря определяется формулой 1 1 где tjjk — компоненты тензора Леви-Чивита, см. задачу 3.30. Распределение скорости в малом объеме сплошной среды выра- выражается через тензор скоростей деформаций и вектор вихря. А именно, если v0 — скорость частицы, находящейся в точке Го, то скорость v частицы, находящейся в точке Го + />, описывается формулой Коши-Гельмгольца дФ где Ф = (l/2)eijpipj. Вектор вихря и имеет смысл угловой ско- скорости вращения рассматриваемого объема, как абсолютно твер- твердого тела. Линейная скорость вращения складывается со скоро- скоростью, связанной с деформацией (второе слагаемое в предыдущей формуле) и скоростью переноса и0.
50 Глава 1. Основные понятия Использование криволинейных систем координат Решение некоторых задач существенно упрощается, если вме- вместо декартовой использовать подходящую криволинейную систе- систему координат. Например, колебания сферического пузыря в бес- бесконечной массе жидкости удобно изучать при помощи сфериче- сферической системы координат. Формулы, справедливые в декарто- декартовой системе, требуют некоторой модификации при переходе к криволинейной системе. Она необходима в связи с тем, что ба- базис t{ — дг/дхг криволинейной системы координат (яг), вообще говоря, зависит от точки х пространства, В частности, базис ег(ж(?, ?)) в точке, где в момент t находится частица ?, вообще говоря, отличается от базиса ег(ж(?,0)) = в{(?) в точке, где ча- частица находилась в момент t = 0. Здесь, как обычно, в качестве лагранжевых координат частицы используются пространствен- пространственные координаты ее положения в начальный момент, ? = ж(?, 0). Вектор перемещения при лагранжевом описании обычно раскладывают по базису et-(?) а при эйлеровом — по базису е;(ж) здесь, конечно, ю(ж(?,?), i) — ti(?, t). При сокращенной записи аргументы функций опускают; во избежание путаницы обозна- обозначают еа(?) — еа и в{(х) — t{, например, и = иаеа, w — тгв{. Тензор деформаций Грина представляется тогда в виде где ед — базис, взаимный базису в^, см. §3; дар = еа • ег, ком- компоненты метрического тензора gij = сг • tj вычисляются в точке х = x(?,t). Тензор деформаций Альманси представляется в виде е - ei3e е , ец -
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 51 где ет — базис, взаимный базису en; g\j = ег • е^\ компонен- компоненты метрического тензора дар = еа • вр вычисляются в точке ? = €(x,t). Выражения для компонент тензоров деформаций через поле перемещения остаются прежними, однако, с заменой частных производных ковариантными: 1 _ 1 где в ковариантной производной Va используются символы Кри- стоффеля Гд (?), определяемые по обычным формулам через компоненты метрического тензора др^(?), см. параграф 3. Если относительные удлинения и повороты всех материаль- материальных элементов малы, то используется тензор малых деформа- деформаций. Его можно вычислять любым из двух способов: %иа) Г или « \ е (<7аир + %иа) ГеР или е \ (Чщ + VjWi) ее. Компоненты тензора скоростей деформаций выражаются че- через поле скоростей по формулам еу = \ (Ч«,- + У,",). Сопутствующая система координат. В некоторых слу- случаях оказывается полезной специальная криволинейная система координат, которая сама определяется движением сплошной сре- среды и называется сопутствующей. Как и всякая система коорди- координат, она ставит в соответствие точке х пространства три числа, а именно, лагранжевы координаты ?а = ?a(x,t) той частицы, которая в текущий момент t находится в точке х. Таким образом, эта система координат своя в каждый мо- момент t: одной и той же точке пространства в разные моменты соответствуют разные тройки чисел; строго говоря, их следо- следовало бы обозначить (?L; ?L; ?|L). При этом координатные ли- линии ?а в моменты t\ ф ^2 занимают различные положения, но проходят через одни и те же частицы; поэтому такая система
52 Глава 1. Основные понятия координат и называется сопутствующей (движению сплошной среды). Ее базис определяется уравнением дг дг дх{ дх1 Тензор деформаций Альманси в сопутствующей системе ко- координат представляется в виде е = Sije е , Sij — - (gij — gij), где ёт — базис, взаимный базису ёп, д^ — ёг • ej — компоненты метрического тензора. Как и в любой системе координат, компоненты е^ выража- выражаются через поле перемещения по формуле е^ = - Компоненты тензора Альманси в базисе ёг совпадают с компо- компонентами тензора Грина в базисе еа: ёа(з — ?аC- Потенциальность и условия совместности В некоторых важных случаях поле скорости v течения сплош- сплошной среды определяется одной функцией (р в виде t> = grady?. В этом случае векторное поле v называется потенциальным, а функция (р — его потенциалом. Далеко не всякое векторное по- поле v потенциально. Ясно, что для потенциальности необходимо, чтобы три компоненты векторного поля удовлетворяли некото- некоторым условиям, поскольку эти три функции выражаются через одну — потенциал. Необходимым условием потенциальности поля v является со- соотношение rotv = 0; оно также называется условием совмест- совместности компонент потенциального поля V. Если поле v рассма- рассматривается в односвязной области, то это условие и достаточно для существования однозначного потенциала.
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 53 Условия совместности для компонент тензора малых деформаций. Аналогично соотношению v — grad (р шесть ком- компонент тензора малых деформаций е выражаются через три ком- компоненты поля перемещения W{ и поэтому не могут быть произ- произвольными. Они удовлетворяют соотношениям, которые называ- называются уравнениями или условиями совместности деформаций. В декартовых координатах эти уравнения имеют вид дЧ^ дЧп dhkj Эти условия необходимы, а в случае односвязной области и достаточны для выполнения соотношений 1 (dw{ dwj\ при некотором векторном поле w. Другими словами уравнения совместности деформаций — это условия того, что эти дефор- деформации можно получить в результате некоторого перемещения. Во всех задачах этого параграфа (жг) — пространственные, эйлеровы, а (?а) — лагранжевы координаты. За лагранжевы ко- координаты частицы всюду принимаются пространственные коор- координаты точки, в которой частица находилась в начальный мо- момент — в недеформированном состоянии. Пространственная си- система координат — декартова, если не оговорено противное. Задачи Деформации. Декартовы координаты. 4.1 В результате перемещения частицы (&; ^5 ?з) среды ока- оказались в точках с координатами Ж1=6+о?ъ «2 = 6» «3 = 6» а = const относительно пространственной декартовой системы координат (х{). Такая деформация называется однородным одноосным ра- растяжением в направлении оси х\.
54 Глава 1. Основные понятия Что произошло в результате деформации с материальными элементами, первоначально расположенными параллельно и пер- перпендикулярно координатной оси a?i, при а > 0 и при -1 < а < О? 4.2 Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, найти поле перемещения в лагранжевом и в эйлеровом описании и вычи- вычислить компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси. 4.3 а) Материальный элемент с началом в частице ? соответ- соответствует вектору d?. Зная компоненты ёар тензора деформаций Грина в этой частице, найти относительное удлинение матери- материального элемента в результате деформации. б) Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, найти относи- относительные удлинения материальных элементов, которые в состо- состоянии до деформации были перпендикулярны оси а?3 и ПРИ этом составляли углы ±7г/4 с осью х\. 4.4 а) Два материальных элемента с началом в частице ? со- соответствуют векторам d^1' и d^2K Зная компоненты ёар тен- тензора деформаций Грина в этой частице, найти, какой угол обра- образуют материальные элементы после деформации. б) Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, найти, какой угол образуют после деформации материальные элементы, ко- которые в состоянии до деформации были перпендикулярны оси ж,з и при этом составляли углы ±тг/4 с осью х\. 4.5 Найти относительное изменение объема при одноосном растяжении, см. задачу 4.1. 4.6 В результате перемещения из начального состояния ча- частицы (?i; ?2; ?з) среды оказались в точках с координатами &i=f2i я2 =-(l + 6)fi, жз = ?з, Ь = const >-1 относительно пространственной декартовой системы координат. а) Что произошло в результате деформации с материальными элементами, первоначально расположенными параллельно коор- координатным осям? б) Найти тензоры деформаций Грина и Альманси. в) Можно ли считать тензоры Грина и Альманси совпадающими при |6| <С 1? Сравните с результатами задачи 4.2 при а<1.
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 55 4.7 В результате перемещения из начального состояния ча- частицы (?х; ?2; ?з) среды оказались в точках с координатами где о- = const, \а\ < 1, к = const, относительно пространственной декартовой системы координат. Показать, что в малой окрестности каждой точки среды произошло одноосное растяжение, см. задачу 4.1. Чему рав- равно относительное удлинение материального элемента с началом в заданной точке, который до деформации был параллелен оси х{! Вычислить тензор деформаций Грина. Указать части- частицы, в малой окрестности которых деформация не происходит. 4.8 В результате перемещения из начального состояния ча- частицы среды (?i; ?2; ?з) оказались в точках с координатами Х{ = & + я&? г — 1, 2, 3, а = const > —1 относительно пространственной декартовой системы координат. Показать, что относительное удлинение всех материальных элементов одинаково, поэтому такая деформация называется все- всесторонним растяжением или сжатием. При каких значениях а происходит растяжение, при каких — сжатие? 4.9 Простым сдвигом называется деформация сплошной сре- среды, отвечающая закону движения где (х,{) — пространственная декартова система координат; (?а) — лагранжева система координат; a(t) — функция времени, причем а@) = 0. Считая функцию a(t) заданной, найти тензоры деформаций Грина и Альманси. Найти их главные компоненты и главные оси. Упростить формулы в случае \a(i)\ <C 1. 4.10 Найти компоненты поля перемещения в лагранжевом и эйлеровом описании при простом сдвиге, см. задачу 4.9. Опре- Определить компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси, выразив их через производные поля перемещения. Найти тен- тензор малых деформаций.
56 Глава 1. Основные понятия 4.11 При простом сдвиге, см. задачу 4.9, найти а) относительное удлинение материальных элементов с началом во всевозможных частицах ? и до деформации параллельных осям a?i, х2 и х3; б) всевозможные материальные элементы, для которых относи- относительное удлинение в момент t равно нулю. 4.12 Найти относительное изменение величины малого объема среды при простом сдвиге, см. задачу 4.9. Провести вычисле- вычисления двумя способами — используя инварианты тензора Грина и инварианты тензора Альманси. 4.13 В некоторой точке среды, в которой произошла малая деформация, тензор малых деформаций в декартовой системе координат имеет следующую матрицу компонент 0.01 0.03 0 0.03 0.01 0 0 0 0.01 Найти наибольшее и наименьшее относительчое удлинение материальных элементов в этой точке. Найти направление ма- материальных элементов, которые испытали а) наибольшее относительное удлинение; б) наименьшее относительное удлинение. Вычислить относительное изменение объема в этой точке. 4.14 Двойным сдвигом называется деформация сплошной сре- среды, отвечающая закону движения хг = & где (х{) — пространственные декартовы и (?а) — лагранжевы координаты; b(t) — функция времени, причем 6@) = 0. Счи- Считая функцию b(t) заданной, найти тензоры деформаций Грина и Альманси. 4.15 Найти компоненты поля перемещения в эйлеровом описа- описании при двойном сдвиге, см. задачу 4.14. Найти тензор малых деформаций.
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 57 4.16 Положения трех материальных элементов в деформиро- деформированном состоянии задаются векторами dx^ = dse{, г = 1, 2, 3, ег- — векторы базиса ортогональной системы координат. Их „обратные" относительные удлинения ds^/ds - 1, где ds$ — длины элементов до деформации, равны 1{. Элементы, характе- характеризуемые в деформированном состоянии векторами dx^ и dx^\ образуют до деформаций угол ф^. Доказать формулу, устана- устанавливающую механический смысл компонент тензора Альманси по г и по j не суммировать. 4.17 Доказать, что главные значения тензора деформаций Гри- о на Ха и главные значения тензора деформаций Альманси At удо- удовлетворяют неравенствам 1 + 2Аа > 0, 1 - 2Аг > 0. 4.18 Доказать, что при деформации с тензором Грина е и тензором Альманси € а) материальный элемент, направленный до деформации по гла- главной оси тензора е, в деформированном состоянии направлен по главной оси тензора ?; б) наоборот, материальный элемент, направленный в деформи- деформированном состоянии по главной оси тензора ?, в недеформиро- ванном состоянии был направлен по главной оси тензора ё; в) главные значения (компоненты в главной системе координат) тензора Грина А и тензора Альманси А связаны соотношением 4.19 Доказать теорему о полярном разложении: матрица дис- торсии F = ||^-(*||, и вообще всякая невырожденная матрица, представляется в виде где R — ||#tc*li — ортогональная матрица, a U = \\иа/з\\ — сим- симметричная положительно определенная матрица. Главные оси матрицы U совпадают с главными осями тензора деформаций
58 Глава 1. Основные понятия Грина, а соответствующие главные значения ка матрицы U вы- выражаются через главные значения Аа тензора Грина Линейное преобразование, определяемое матрицей J?, переводит главные оси тензора Грина в главные оси тензора Альманси. 4.20 Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, при а > О найти в начальном состоянии три взаимно ортогональных на- направления материальных элементов, углы между которыми в ре- результате деформации не изменились. Какие направления имеют эти элементы после деформации? Указать направления элемен- элементов, для которых относительное удлинение максимально. 4.21 Показать, что следующие движения не сводятся друг к другу наложением дополнительного перемещения, не изменяю- изменяющего расстояний между частицами, т. е. вращения и переноса: а) поворот вокруг оси #з5 б) одноосное растяжение вдоль оси a?i, см. задачу 4.1; в) простой сдвиг в плоскости a?i, #2? см. задачу 4.9; г) двойной сдвиг, см. задачу 4.14. 4.22 Представить преобразование малой окрестности части- частицы ? при простом сдвиге, см. задачу 4.9, как растяжение вдоль трех взаимно ортогональных направлений, поворот и перенос. Деформация. Криволинейные координаты. Сопутствующая система 4.23 Для одноосного растяжения, см. задачу 4.1, с парамет- параметром а, являющимся функцией времени а = а(?), причем а@) = О, а) записать формулу перехода в момент t от пространственной системы координат (х{) к сопутствующей системе (?а); б) нарисовать координатные линии, найти векторы базиса и компоненты метрического тензора для сопутствующей лагран- жевой системы координат (?а) в момент t\
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 59 в) найти компоненты тензора Грина в момент t в системе коор- координат (х{), а также ковариантные, смешанные и контравариант- ные компоненты тензора деформаций Альманси в сопутствую- сопутствующей лагранжевой системе координат (?а) в момент t. 4.24 Для одноосного растяжения, см. задачи 4.1 и 4.23, в качестве лагранжевых координат (г)@) выбрать координаты (х{) точки пространства, в которой частица находится в момент ?*. Нарисовать координатные линии, найти векторы базиса и ком- компоненты метрического тензора для сопутствующей системы ко- координат (tj^) в момент t = 0. 4.25 Для простого сдвига, см. задачу 4.9, найти в момент t ко- координатные линии сопутствующей системы координат, проходя- проходящие через точку пространства с координатами @;0;0). Изменя- Изменяются ли они со временем? Найти векторы базиса сопутствующей системы координат и компоненты метрического тензора в ней. 4.26 Ось цилиндрического стержня кругового сечения совпа- совпадает с осью Хз пространственной декартовой системы коорди- координат (х{). Стержень деформируется в соответствии с законом где (?а) — лагранжевы координаты, a a(t) — функция времени, причем а@) = 0. Считал функцию a(t) заданной, а) найти в момент t положения частиц, составлявших при t = 0: — поперечное сечение стержня; — окружность, ограничивающую это сечение; — ее радиус; — отрезок, параллельный оси стержня и лежащий на его поверх- поверхности; б) найти поле перемещения в эйлеровом описании; в) при \а\ <С 1 найти тензор малых деформаций, величину наи- наибольшего относительного удлинения материальных элементов с началом в точке х и направление элемента, испытавшего его; г) записать закон движения в цилиндрической системе коорди- координат, приняв в качестве лагранжевых координаты (цилиндриче- (цилиндрические) положения частицы при t = 0.
60 Глава 1. Основные понятия 4.27 Труба (толстостенный круговой цилиндр) расширяется под действием внутреннего давления. Ее деформация происхо- происходит в соответствии с законом движения г = г0 + /(г0, t), <р = <?о, z = zo, где (г; (р; z) — пространственная цилиндрическая система коор- координат, см. задачу 3.7, (го; <Ро] ^о) — лагранжевы координаты (цилиндрические координаты начального положения частицы); /(го, 0) = 0. Считая функцию /(го,?) заданной, найти а) тензор деформаций Грина; б) тензор деформаций Альманси; в) относительное удлинение материальных элементов с началом в частице (г0, щ, zo)i направленных до деформации по коорди- координатным линиям цилиндрической системы координат. 4.28 Компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси мо- могут быть порядка единцы и в случае, если компоненты тензора малых деформаций малы или даже равны нулю. Убедиться в этом на примере поля перемещения w\(x) — х2, w2{x) = -?i, w3 — 0, где х — (a?i; x,2\ x2) — пространственные декартовы координаты. 4.29 Компоненты линеаризованного тензора деформаций мо- могут быть порядка единицы и в случае, если компоненты тензоров деформаций Грина и Альманси малы или даже равны нулю. Убедиться в этом на примере поля перемещения Х{ = jR,j?j, где (х{) — пространственные декартовы и (?а) — лагранжевы координаты; \\Rij\\ — ортогональная матрица. Скорость деформации. Вихрь 4.30 Найти поле скорости в эйлеровом описании и вычислить тензор скоростей деформаций при а) одноосном растяжении, см. задачу 4.1, считал параметр а заданной функцией времени ?; б)" простом сдвиге, см. задачу 4.9; в) двойном сдвиге, см. задачу 4.14.
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 61 4.31 Вычислить компоненты е?? тензора скоростей деформа- деформаций в пространственной декартовой системе координат (жг) и (d) I r компоненты его девиатора е\ ¦ — etJ — ^e^kOij для течении среды с полями скорости, имеющими в этих координатах компоненты а) vi = Ах\, V2 = Вх2* Vs — О, A — const, В = const; б) v\ = atx\, v2 — V3 ~ О, (У = const; в) г^ = /Sfxa, t;2 = V3 = 0, A = const. 4.32 Вычислить компоненты e?j тензора скоростей деформа- деформаций в пространственной декартовой системе координат (х{) для течения среды с полем скорости, имеющим в этой системе коор- координат компоненты Происходит ли при этом движении изменение объема, занимае- занимаемого индивидуальными частицами среды? 4.33 Компоненты поля скорости среды в пространственной декартовой системе координат (х{) в данный момент имеют вид Vi = kx2, v2 = vs — 0, к — const. Найти в этот момент скорость изменения угла между материаль- материальными элементами с началом в точке ж, расположенными вдоль двух прямых, образующих углы 7г/4 с осью #i и 7г/2 с осью ж,з- 4.34 Ковариантные компоненты поля скорости в простран- пространственной цилиндрической системе координат х1 = г, х2 = у?, х3 = г имеют вид их = 0, i?2 = &, г?з = 0, fc = const всюду, кроме точки г = 0. а) Нарисовать траектории частиц среды, найти величину ско- скорости частиц, физические компоненты скорости. б) Вычислить компоненты тензора скоростей деформаций. в) Вычислить вектор вихря. г) Найти главные оси тензора скоростей деформаций. Повора- Поворачиваются ли они со временем в индивидуальной частице?
62 Глава 1. Основные понятия д) Чему равна в некоторый момент скорость поворота матери- материальных элементов, расположенных в этот момент времени вдоль главных направлений тензора скоростей деформаций? 4.35 Среда испытывает одноосное растяжение, т. е. происхо- происходит движение по закону Здесь (xi) — пространственная декартова система координат; (?а) — лагранжевы координаты; a(t) — функция времени, при- причем а@) = 0. Проверить, что при этом движении поле вектора вихря и нулевое. Показать, что имеются материальные элемен- элементы, которые поворачиваются, одновременно меняя длину. 4.36 Найти поле вектора вихря ш при простом сдвиге, см. за- задачу 4.9. Указать материальные отрезки, угловая скорость вра- вращения которых в момент t равна ш. Найти угловую скорость вращения материальных отрезков, направленных в рассматри- рассматриваемый момент t вдоль осей a?i, X2 и х%. 4.37 Распределение скорости в твердом теле определяется фор- формулой Эйлера где il(t) — угловая скорость; г — радиус-вектор относительно некоторой точки О; Vo(t) — скорость точки О. Вычислить век- вектор вихря для такого поля скорости. 4.38 Доказать, что если тензор скоростей деформаций в неко- некоторый момент одинаков во всех точках среды, то в этот момент и вектор вихря одинаков во всех точках. 4.39 Во всех точках среды тензор скоростей деформаций ра- равен нулю. Показать, что в этом случае поле скорости описыва- описывается формулой Эйлера, соответствующей распределению скоро- скоростей в твердом теле, v = v0 + ?2 х г, где г — радиус-вектор относительно точки О, t>o@ — скорость движения этой точки и Q(t) — некоторый вектор, не зависящий от г — вектор мгновенной угловой скорости.
4. Деформация, скорость деформации, вихрь 63 4.40 Антисимметричный тензор второго ранга ш^еге^ опре- определяется векторным полем v: а) Показать, что в произвольной криволинейной системе коор- координат (хг) сраведливо равенство _ 1 Uij = 2 б) Показать, что вектор вихря ш может быть представлен тен- тензором ojij&e3, поскольку справедливы следующие формулы: 1ар и>а/3 = 4.41 Среда движется с полем ускорения о, удовлетворяющим условию rota = 0. Рассмотреть компоненты и1 вектора вихря в сопутствующей системе координат и компоненты &ар анти- антисимметричного тензора второго ранга, представляющего век- вектор вихря, как указано в предыдущей задаче. Показать, что справедливы следующие соотношения: где g = det ||&у/?||« 4.42 При заданном в задаче 4.41 движении сплошной среды рассмотреть во всякий момент вихревую линию — линию, каса- касающуюся вектора вихря в каждой ее точке. Показать, что вихре- вихревая линия вморожена в среду, т. е. проходит через одни и те же частицы в любой момент. Условия совместности 4.43 Проверить, что равенство rotv = 0 является необходи- необходимым условием потенциальности векторного поля V. 4.44 Проверить, что поле скорости при одноосном растяже- растяжении, см. задачу 4.1, удовлетворяет условию потенциальности. Найти потенциал этого поля скорости.
64 Глава 1. Основные понятия 4.45 Показать, что, используя тензор Леви-Чивита, условия совместности тензора малых деформаций можно представить следующим образом: а) в декартовой системе координат б) во всякой системе координат Л^У,^ = 0. Здесь tijk и ег:*к — компоненты тензора Леви-Чивита. 4.46 Указать условия, которым должно удовлетворять поле симметричного тензора второго ранга, чтобы оно было полем скоростей деформаций для некоторого поля скорости. 4.47 Тензорное поле задано своими компонентами в декарто- декартовой системе координат (х\] х2; хз): а) еп = Ах1, е22 = Вх\, е3з = Сх1, еи = еХз = е23 - 0, где А, В, С — const; б) еп = 2Ахгх2, €22 = 2Bxix2, е12 = -(Ах2г + Вх]), ?13 = ?23 = ?зз — 0? где А, В = const. Является ли оно полем тензора малых деформаций для неко- некоторого поля перемещений? 4.48 В декартовой системе координат (ж&) заданы компонен- компоненты fij поля тензора второго ранга. Можно ли найти векторное поле V, для которого дгц/dxj = Д,? Доказать, что это возможно тогда и только тогда, когда ком- компоненты fij удовлетворяют условиям где €ikj — компоненты тензора Леви-Чивита. Сформулировать это утверждение в криволинейной системе координат.
5. Относительное движение 65 4.49 В декартовой системе координат (xk) заданы компонен- компоненты e{j и ujj соответственно поля симметричного тензора вто- второго ранга е и векторного поля (J, удовлетворяющего условию divu = 0. Можно ли найти векторное поле скорости и, для кото- которого е и и суть тензор скоростей деформаций и вектор вихря? ' Доказать, что это возможно, если и только если компоненты e{j и ujj удовлетворяют условиям 3 где eikj — компоненты тензора Леви-Чивита. Сформулировать это утверждение в криволинейной системе координат. 5. Относительное движение и четырехмерное пространство-время в ньютоновской механике В ньютоновской механике движение сплошной среды проис- происходит в трехмерном евклидовом пространстве R3 и может быть параметризировано единым абсолютным временем t. Понятие движения по существу относительно и требует введения систе- системы эйлеровых координат (хг), определяющих с точки зрения свя- связанного с этой системой наблюдателя положение точек сплош- сплошной среды в пространстве R3 в каждый момент времени t. Си- Система координат наблюдателя, вообще говоря, может быть по- подвижной и деформирующейся. Всегда можно ввести мыслен- мысленно некоторую проникающую идеализированную сплошную среду („среду наблюдателя"), для которой система эйлеровых коорди- координат (хг) будет сопутствующей. Такая среда наблюдателя назы- называется системой отсчета. Замена переменных вида х1% ~ /г(х^) представляет собой переход к новым сопутствующим координа- координатам той же системы отсчета. Преобразование же координат уЭ = gJ(xl,i), зависящее от времени ?, означает переход к новой системе отсчета с сопутствующими ей координатами (у-7'). В ньютоновской кинематике предполагается, что существует семейство так называемых инерциальных систем отсчета, дви- 3 Зак. 2368
66 Глава 1. Основные понятия жущихся друг относительно друга по определению без деформа- деформации, вращения и ускорения, т. е. как абсолютно твердые тела, поступательно, прямолинейно и равномерно. Одна из инерци- альных систем отсчета, которая должна быть, как и абсолютное время, назначена из физических соображений, считается непо- неподвижной и называется абсолютной. Движение сплошной среДы относительно указанной инерциальной системы отсчета опреде- определяется как абсолютное движение, а относительно любой другой системы отсчета — как относительное. Абсолютные, относительные и переносные скорости и ускорения. Пусть система отсчета (ук) движется относи- относительно абсолютной системы (хг) по закону хг = hl(yk^t). Базис системы (хг) есть ef, причем полагается, что UL a;fc=const Соответствующие скорость и ускорение t/fc=const "*- dt называются переносными. Производные по времени от векторов подвижного базиса f дхг де ек = —г е\ равны — Для всех инерциальных систем отсчета обязательно имеет место равенство Гу = 0. Можно ввести тензор переносных скоростей деформаций е* и вектор переносной угловой скорости вращения щ данной по- подвижной деформируемой системы отсчета (ук) по формулам е * = 1 (VjVkt + Vkvtj) , 4 = У^у^ J L \ / L где € — тензор Леви-Чивита. Пусть закон абсолютного движения сплошной среды записы- записывается в виде хг — Fl(?k:, t). Тогда при переходе к новой системе отсчета уг = gl(xk,t) закон движения среды принимает вид
5. Относительное движение 67 Относительные скорость и ускорение определяются соотноше- соотношениями tdGj dvl t td\A В силу этих равенств абсолютные скорость и ускорение можно представить в виде, см. задачи 5.6 и 5.8, Слагаемое абсолютного ускорения ас = 2гг тгт* которое учиты- дук вает вращение и деформацию системы отсчета (у^), мы называ- называем обобщенным ускорением Кориолиса. В механике абсолютно твердого тела обычно рассматривают только недеформируемые подвижные системы отсчета, в этом случае ускорение Кориоли- Кориолиса равняется ас = 2шг х vr. Если система отсчета (у-7) инерциальна, то вг = оа. При составлении уравнений движения сплошной среды отно- относительно неинерциальных систем отсчета вектор F = -(ac + at) рассматривают в качестве массовой силы (в расчете на единицу массы), которая называется силой инерции. Четырехмерное пространство-время в ньютоновской механике. Поле вектора скорости v как геометрический объ- объект не зависит от выбора системы пространственных координат хн = /*(#J), однако изменяется при преобразованиях, зависящих от времени t. Для формулировки кинематических соотношений, не зависящих от выбора системы отсчета, вводится понятие че- четырехмерного пространства-времени R4. В дополнение к трем пространственным переменным в качестве четвертой координа- координаты выбирается, например, абсолютное время х4 = t = ?4. Закон движения частиц среды определяет в R4 мировые линищ точки которых называются событиями. В данной четырехмерной системе координат (хг; t) коорди- координатные линии t являются мировыми линиями точек системы от- отсчета (хг). Координатный вектор, направленный вдоль линии ?, обозначается е±. Для любой инерциальной системы отсчета по-
68 Глава 1. Основные понятия де4 де4 лагается, что -г— = -^-^ — 0. 1ем самым полностью опреде- at ох1 ляются коэффициенты связности в пространстве R4 — в любой инерциальной системе отсчета с декартовыми пространствен- пространственными координатами х\ г — 1, 2, 3 и х4 = t все коэффициенты связности равны нулю. В пространстветвремени R4 также можно использовать лю- любые четыре координаты уа с локальным базисом еа, а = 1, 2, 3,4, в частности, „местное время" y4(x\t). При этом ^ _ Г7 Г7 _ д2х^ дУ1 где х^ — декартовы инерциальные координаты и абсолютное время. Определенная таким образом связность позволяет вве- ввести ковариантно постоянный „метрический" тензор 7 = Ja^^a^i3 такой, что 7а^тгЦг = 0, с помощью которого задается обычная дуР • ' трехмерная метрика подпространства t = const. Четырехмерные скорость и ускорение частицы сплошной среды определяются формулами dGa du n ди и = —г-еа, а = —- = и -—» at dt oya где уа = Ста(?*,?); ^fc = const — уравнения ее мировой линии. Четырехмерные векторы и и а связаны только с мировой ли- линией частицы среды и не зависят от системы отсчета. Четы- Четырехмерный вектор скорости точек любой системы отсчета, если у4 — ?, имеет контравариантные компоненты @; 0; 0; 1) в соб- собственном базисе, таким образом, для этих точек и = е4. Тогда четырехмерный вектор скорости частиц среды равен и — V + C4, где v — трехмернал скорость. Формулы E.1) переписываются при х4 — у4 — t следующим образом: и = va + el = vr + е\ = vr + vt,+ e%, а также, так как абсолютная система отсчета инерциальна, а = аа = К + е\)а —?, at = е\а —±
5. Относительное движение 69 Аналогичным образом определяются и четырехмерные тензоры скоростей деформаций и угловой скорости вращения среды как члены разложения ди ( в Й dt где СХ / • fj I • C\ f\ LJLG • /3 ___ ,/3q/ • LI LLOt • /v pCt • /X i/ I ^ —4— (jj I ^J л/ С ^' С . 'Y Ct^ —— —— '"У Ct«^ • В этом параграфе, если не оговорено противное, латинские индексы пробегают значения 1, 2, 3, а греческие — 1, 2, 3, 4. Задачи Относительное движение 5.1 Показать, что любые две инерциальные системы отсчета могут быть связаны при подходящем выборе системы координат преобразованием Галилея вида уг = хг — V4, где V1 — компо- компоненты постоянного вектора. 5.2 а) Показать, что поле скорости среды с компонентами иг = хг/t, где хг — эйлеровы декартовы координаты, относя- относящиеся к некоторой инерциальной системе отсчета, инвариант- инвариантно (сохраняется вид его компонент как функций пространствен- пространственных координат и времени) относительно преобразований Гали- Галилея у1 = хг — V4, Vх — const, отвечающих переходу к новой системе отсчета. б) Найти общий вид всех полей скорости, инвариантных отно- относительно преобразований Галилея, см. п. а). Дать физическую интерпретацию полученным движениям среды, вычислив уско- ускорение, скорость деформации и завихренность. 5.3 Теплоход идет от пункта А до пункта В вниз по реке 20 часов, а обратно — 24 часа. За какое время плот проплывает от А до В? Скорости течения реки и теплохода считать постоян- постоянными по величине, скорость плота равна скорости течения.
70 . Глава 1. Основные понятия 5.4 Лодка, держа курс перпендикулярно берегам реки, пере- пересекает ее два раза под углом 60° к направлению потока и возвра- возвращается обратно, двигаясь против течения реки. Найти скорость течения реки и собственную скорость лодки, которые считают- считаются постоянными, если общее время движения составляет 1 час, а ширина реки равна 1 км. 5.5 Струя воды с абсолютной скоростью v падает извне под углом а к направлению радиуса R стационарно вращающегося с частотой п колеса турбины. Абсолютная система отсчета не- неподвижно связана с основанием турбины. Найти угол наклона относительной скорости струи к радиусу в системе отсчета, свя- связанной с колесом турбины. 5.6 Пусть (хг) и (у-7) — координаты соответственно абсо- абсолютной и переносной систем отсчета с локальными базисами е* и е*, связанные соотношением уг = yl{xk,t). Зная закон дви- движения сплошной среды хг = #*(?*,?), определить при переходе к системе отсчета (уг) векторы переносной скорости vt и скорости среды vr относительно системы (уг). Указать систему отсчета, относительно которой скорость среды равна нулю. 5.7 Для переносной системы отсчета, указанной в условии задачи 5.6, вывести формулу де\ dvt OZ yfc=const ОУ в частности, показать, что 8v для сопутствующей системы отсчета с базисом ё*, движущейся со скоростью v относительно абсолютной системы (хг). 5.8 Вывести формулу E Л) для абсолютного ускорения. 5.9 Найти общий вид переносного и кориолисова ускорений при движении сплошной среды относительно подвижной систе- системы отсчета, движущейся, в свою очередь, как абсолютно твердое тело относительно абсолютной системы отсчета.
5. Относительное движение 71 5.10 Пусть хг — декартовы эйлеровы координаты абсолют- абсолютной системы отсчета, ?к — совпадающие с ними в начальный момент времени сопутствующие координаты некоторой сплош- сплошной среды. Найти обобщенное ускорение Кориолиса 2й^ —г для материальной точки, движущейся с данной скоростью vr отно- относительно сопутствующей среде системы отсчета, при следующих движениях среды: а) среда вращается как твердое тело вокруг оси х3 с угловой скоростью u(t); б) среда подвергается одноосному растяжению вида в) при течении простого сдвига г1=^+ г) при „двойном сдвиге" 5Л1 Найти обобщенное ускорение Кориолиса при однородной деформации неинерциальной системы отсчета (уг) общего вида х1 — AlAt)yl относительно абсолютной системы отсчета с декар- декартовыми координатами хг. 5.12 Скорость течения воды в канале, расположенном в север- северном полушарии Земли, направлена с юга на север. Объяснить ка- качественно, у какого берега канала уровень воды выше. Оценить порядок разности уровней у берегов канала Ah по сравнению с его шириной / при заданной скорости течения v = 1 м/с. 5.13 В какую сторону отклоняется вытекающая вертикально вниз струя жидкости за счет вращения Земли? 5.14 Объяснить, почему в основном сдвиговом потоке, см. за- задачу 5.10 в), при наличии поперечных пульсаций скорости есть тенденция к выравниванию профиля средней скорости.
72 Глава 1. Основные понятия 5.15 Пусть на определенной высоте над поверхностью Зем- Земли в некоторой точке южного полушария дует установившийся восточный ветер. Определить в какую сторону уклоняется на- направление ветра вблизи поверхности за счет вращения Земли, учитывая, что величина скорости ветра падает с высотой. 5Л6 Однородная резинка, левый конец которой закреплен, растягивается с заданной постоянной скоростью vo на правом конце. По ней с правого конца на левый переползает муравей с постоянной по величине и направлению относительной скоро- скоростью^. Найти величину скорости г?!, при которой полная рабо- работа суммы всех сил, действующих на муравья, равна нулю; вычи- вычислить при этом конечное относительное удлинение резинки. 5.17 С точки зрения наблюдателя, находящегося на берегу, пловец преодолевает установившийся водный поток ширины / по прямой, перпендикулярной его берегам. Скорость пловца от- относительно берега постоянна. Скорость потока распределена по параболическому закону и равна у берегов нулю. На каком рас- расстоянии от берега старта отклонение пловца от материальной линии потока, которая была в начальный момент прямой, соеди- соединявшей точки старта и финиша, максимально? Четырехмерное пространство-время в ньютоновской механике 5.18 В условиях задачи 5.10 определить мировые линии точек среды, считая uj = const, а = 1 + at, b — fit, с — jt, где of, /3 и 7 — постоянные. Как движутся материальные отрез- отрезки, в момент t — О направленные вдоль осей координат? 5.19 Пусть (хг) — эйлеровы инерциальные декартовы коорди- координаты, (?*) — лагранжевы, х4 = t = ?4. Представить индивиду- индивидуальную производную dt ?fc=const как производную по направлению (какому?) в четырехмерном пространстве-времени.
5. Относительное движение 73 5.20 Пусть (yk(xt1t)) — некоторая новая система отсчета, у4 = t, движущаяся относительно инерциальной системы (хг). Показать, что пространственные компоненты вектора четырех- четырехмерной скорости среды ti в системе координат г/а, а = 1, 2, 3, 4, являются компонентами ее относительной скорости, а временная компонента равна 1. Записать последнее условие в четырехмер- четырехмерном тензорном виде, не зависящем от выбора координаты у4. 5.21 Предполагая систему отсчета (хг) инерциальной, иссле- исследовать определение четырехмерного ускорения сплошной среды: а = du/dt. Показать, что в системе координат (х\ t) его вре- временная компонента равна нулю, а пространственные являются компонентами абсолютного ускорения. Записать условие а4 = О в четырехмерном тензорном виде в произвольной системе коор- координат (у"), а=1, 2, 3, 4. 5.22 Определить поля четырехмерных скорости и ускорения некоторой системы отсчета с пространственными координата- координатами вида yl(xk,t), где (хг) — пространственные координаты аб- абсолютной системы отсчета. Чему равно ускорение точек инер- циальных систем отсчета? Указать произвол, с которым поле четырехмерной скорости всякой системы отсчета определяет со- сопутствующие ей координаты уг. 5.23 Установить связь всех возможных декартовых координат инерциальных систем отсчета в R4, включая изменение начала отсчета времени t. Указанные преобразования составляют пол- полную группу Галилея, см. также задачу 5.1. 5.24 Показать, что четырехмерный тензор, заданный в де- декартовой системе координат некоторой инерциальной системы отсчета в виде у = ja^eaep = S%^eiej, инвариантен относительно преобразований Галилея, см. задачу 5.23. Доказать, что Г0— - о 7 дхР~ 5.25 Используя тензор у, см. задачу 5.24, выделить в разло- разложении E.2) четырехмерные тензоры скоростей деформаций и скорости вращения среды.
74 Глава 1. Основные понятия 5*26 Показать, что во всякой инерциальной системе отсчета пространственные компоненты тензоров скоростей деформаций е = е@хеаер и скорости вращения среды ш = со^еаер в разложе- разложении E.2), имеют обычный вид: 5.27 Доказать, что где a, /3, S = 1, 2, 3, 4, и ковариантная производная Va строится с помощью четырехмерной связности Г^. 5.28 Получить разложение пространственных компонент абсо- абсолютного ускорения, см. E Л) и задачу 5.8, используя операцию четырехмерного ковариантного дифференцирования где г = 1, 2, 3; /3 = 1,2, 3, 4; х4 = у4 = t; и — вектор четырех- четырехмерной скорости среды. 5.29 Стационарность движения сплошной среды относитель- относительно системы отсчета (ut) определяют аналогично свойству про- пространственной однородности как независимость компонент век- вектора четырехмерной скорости среды и от времени t в системе координат данной системы отсчета. В произвольной системе координат (уа) это условие записывают с помощью производной Ли: L$? %?\ а, /3 - 1, 2, 3, 4. а) Показать, что движение системы отсчета (щ) относительно системы (и), связанной со средой, также стационарно. б) Записать условие стационарности LUtu = 0 в трехмерном виде в абсолютной системе отсчета внешнего наблюдателя.
5. Относительное движение 75 5.30 Выразить в эйлеровой системе координат, связанной с абсолютной системой отсчета, компоненты тензора „ „ df^ е%ез dt заданного в лагранжевой системе координат (?*), через компо- компоненты тензора Т = T^e?ej, вектора скорости среды v и их про- производные; то же — для тензора с с dt Сравнить полученные результаты. Указанные тензоры называ- называются верхней и нижней производными Олдройда от тензора Т. 5.31 Найти эйлеровы компоненты производных Олдройда, см. задачу 5.30, от метрического тензора g и тензора Леви-Чиви- та ег обобщив это понятие путем увеличения числа индексов на тензоры любого ранга. 5.32 Найти эйлеровы компоненты производных Олдройда, см. задачу 5.30, от метрического тензора g° начального состояния сплошной среды. 5.33 Выразить в эйлеровой системе координат, связанной с абсолютной системой отсчета, компоненты тензора . _ df" е. &. гС3 1л. ' «С f*=const где ё{ — локальный базис, в общем случае не связанный с какой- либо системой координат (неголономный), вращающийся с угло- угловой скоростью вращения частиц среды а>, через компоненты тен- тензора Т = Тг^ё{ ej, их производные и компоненты векторов v и и. Указанный тензор называется производной Яуманна тензора Т. Показать, что он равен полусумме производных Олдройда, см. задачу 5.30. 5.34 Пусть DjT — производная Яуманна тензора Т, см. за- задачу 5.33. Используя результат задачи 5.31, показать, что Djg = 0, Dje = О, где g — метрический тензор, € — тензор Леви-Чивита.
76 Глава 1. Основные понятия Следующие две задачи используют определения характери- характеристик движения среды по „местному" времени, что позволяет нам сравнить подходы ньютоновской механики и специальной теории относительности. 5.35 Пусть в инерциальной системе отсчета с эйлеровыми ко- координатами (хг) для описания движения наряду с абсолютным временем t используется местное время t1 = t + ф(хг). а) Установить законы преобразования компонент трехмерных векторов скорости и ускорения среды при переходе от абсолют- абсолютного времени к местному. б) При tf = t — xl/V дать физическую интерпретацию посто- постоянной V. Чему соответствует V при использовании времени, измеренного солнечными часами? 5.36 Процесс одномерного распространения звуковых волн в изотропной упругой среде описывается волновым уравнением d2w _ 2 d2w _ п dt2 С дх2 ~ U' где w — продольное или поперечное перемещение частиц среды; с = const — соответствующая скорость звука. а) Показать, что волновое уравнение не изменяется при пре- преобразованиях вида х' = к(х - Vt), tf = k(t- ?f) , wf = raw, где У, fc, га — постоянные. б) Найти скорость движения наблюдателя, для которого мест- местное время ?', определенное в п. а), остается постоянным. в) Выразить скорость движения произвольной материальной точки v1 = dxf/dtf относительно системы отсчета (ж'), опреде- определенную с помощью местного времени ?', см. п. а), через скорость v — dx/dt относительно системы отсчета (х) со временем t. По- Показать, что при таком определении скорости и' переход через величину скорости звука с при \v\ ^ с невозможен.
6. Симметрия и тензорные функции 77 6. Элементы симметрии и тензорные функции В данной точке трехмерного евклидового пространства с ло- локальным базисом ег рассмотрим алгебраические свойства тен- тензорных характеристик сплошной среды. Группой симметрии G набора фиксированных тензоров Tj,..., Тдг, среди которых име- имеется метрический тензор g, называется множество ортогональ- ортогональных преобразований базиса с' = a^ej7 сохраняющих значения компонент каждого из этих тензоров. Например, для контрава- риантных компонент тензора Т ранга г при таких преобразова- преобразованиях должно выполняться 1 eii • • • eir — или 6 ...b?r =r? F>1) где Т'ч"Лг и Тч"Лг — компоненты тензора Т в базисах е'- и е,- со- соответственно, (blj) — матрица, обратная к (azj). Говорят также, что тензор Т инвариантен относительно группы G. Группой симметрии самого тензора g (изотропия) является полная группа вращений и отражений, представленная ортого- ортогональными матрицами. Группа симметрии данного набора тен- тензоров, содержащего g, является подгруппой полной группы вра- вращений и отражений или совпадает с ней. Тензорной функцией Т = F(Ti,...,T^) называется зависи- зависимость компонент тензора Т от компонент тензоров Ti,..., Тдг, пробегающих некоторое множество значений, инвариантная от- относительно произвольного выбора базиса t\. Это означает, что для набора функций вида Гг\..лг rpi\...ir (rpJl-"Jrl rpJl---JrN\ — г К1! 5 • • -i-t-N )•> где г, ri, ..., гдг — ранги тензоров Т, Ti,..., Тдг соответствен- соответственно, выполняются соотношения i\..Ar pi\...ir frpl3l---3ri rpfJl"-3rN\ для любой невырожденной, не обязательно ортогональной, ма- матрицы преобразования (ofj), т. е. во всех системах координат
78 Глава 1. Основные понятия зависимость компонент Т от компонент Ti, T2, ...,Tw имеет один и тот же вид. Это условие можно записать следующим образом: F.2) birkr Ffcl••¦*•¦ Соотношение F.2) представляет собой очень сильное ограни- ограничение на форму функции F. Используя это соотношение, можно доказать, например, что: 1. если вектор а является функцией одного вектора Ь, а также метрического тензора g, то а = кЬ, где к — скаляр, возможно зависящий от |6|; заметим, что при вычислении \Ь\ используются компоненты метрического тензо- pag; 2. если тензор второго ранга Н является функцией одного тен- тензора второго ранга Т и метрического тензора g, который играет роль единичного, а также используется для вычисления скаляр- скалярных инвариантов, то справедливо равенство где Т2 = Т-Т, а А?о, &ъ &2 — скалярные функции инвариантов Т; 3. если симметричный тензор второго ранга Н является функ- функцией двух независимых симметричных тензоров второго ранга Т и Р, то справедливо равенство Н = kog + A?iT + k2P + к3Т2+ + к,4(Т • Р + Р • Т) + h(T2 Р + Р Т2), где к{ — скалярные функции инвариантов тензоров Т и Р. Из определения тензорной функции следует, что группа сим- симметрии фиксированных значений аргументов тензорной функ- функции является и группой симметрии тензора, являющегося значе- значением функции. Это свойство позволяет определять общий вид
6. Симметрия и тензорные функции 79 тензорных функций с точностью до скалярных коэффициентов, которые в свою очередь зависят произвольным образом от ска- скаляров, составленных из компонент тензорных аргументов. Пусть требуется найти общий вид тензорной функции где Т — тензор ранга г. Для этого: а) фиксируем в данном базисе ег значения аргументов функ- функции F в случае общего положения и преобразованием базиса е,- приводим их к возможно более простому виду. Например, у од- одного из векторных аргументов две компоненты можно обратить в нуль или привести симметричный тензор второго ранга к диа- диагональному виду; б) вычисляем согласно определению группу G симметрии полу- полученных значений аргументов; в) с помощью соотношения F.1) находим все линейно незави- независимые инвариантные относительно G тензоры ранга г, отбираем среди них линейно независимые, и, используя операции тензор- тензорного умножения и свертки, выражаем полученную базисную си- систему тензоров через тензоры Ti,..., Тдг; г) тензор Т есть линейная комбинация указанных базисных тензоров ранга г со скалярными коэффициентами, в общем слу- случае зависящими от инвариантов системы тензоров Ti,..., Тдг; д) возвращаемся к исходному базису. Для тензоров второго ранга аналитические тензорные функ- функции Т = F(S) определяются разложениями в степенные ряды С использованием смешанных компонент Т и S это соотношение записывается в виде Т) = F;(Sft = ао6) + aiS) где Sj — символы Кронекера — смешанные компоненты тен- тензора g. Они одинаковы в любом базисе, поэтому g можно не отмечать специально среди аргументов функции F(S).
80 Глава 1. Основные понятия По теореме Гамильтона-Кэли любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, где /fc, к = 1,2,3, — сумма главных миноров матрицы Ej) по- порядка к. Это исключает степени матрицы Ej), большие второй. Распространим определение группы симметрии тензоров в точке на определение группы симметрии тензорных полей. Груп- Группой симметрии G набора тензорных полей Тх(жг),..., Т^(жг), среди которых имеется поле метрического тензора g, называ- называется множество преобразований декартовых систем координат (жг), сохраняющих вид компонент каждого из этих тензорных полей. Так, для контравариантных компонент тензорного поля Т(х1) ранга г, как функций переменных х\ должно выполняться ИЛИ Ь)\ .. .Ь? Tjl~'jr{ali(xfi - с{)) = Т1"Лг{х1{) при преобразованиях хп = Ьг^ + сг, где (azj), F^') — взаимно обратные ортогональные матрицы. Говорят, что тензорное поле инвариантно относительно группы G. Тензор g инвариантен от- относительно полной группы движений евклидового пространства. Тензорное поле, инвариантное относительно группы сдвигов на- начала координат х1г = хг + с% называется однородным. Основываясь на понятии тензорной функции, укажем способ построения тензорных полей, инвариантных относительно за- заданной группы G преобразований хн = Щх^, оставляющих на ме- месте начало координат О. Пусть G — группа симметрии набора тензоров Ti,..., Тдг, заданных в точке О, и г — радиус-вектор произвольной точки Р относительно О. Составим в точке О тензорную функцию Т = F(r, Ть ..., Тдг), компоненты которой, очевидно, как функции компонент радиус-вектора г, удовлетво- удовлетворяют необходимым условиям симметрии. Остается перенести параллельно (без изменения компонент) тензор Т в точку Р.
6. Симметрия и тензорные функции 81 Задачи 6.1 Найти собственные числа матрицы поворота на угол <р вокруг оси х3 6.2 Установить общий вид матрицы поворота вокруг единич- единичного вектора п на угол (р. 6.3 Показать, что произвольная ортогональная матрица тре- третьего порядка имеет хотя бы одно собственное число, равное 1 или —1. Выяснить, какому преобразованию отвечает матрица 1 О О О 1 О 0 0-1 6.4 Показать, что произвольная ортогональная матрица мо- может быть представлена либо в виде матрицы поворота вокруг некоторой оси, см. задачу 6.2, либо в виде произведения матри- матрицы поворота на матрицу отражения в плоскости, перпендику- перпендикулярной той же оси, см. задачу 6.3. 6.5 Найти собственные числа антисимметричного тензора второго ранга. Сравнить с собственными числами ортогональ- ортогональной матрицы задачи 6.1. 6.6 Используя разложения функций одного переменного F(x) = е*, F(x) = ln(l + ж), F(x) = A - х)'1 в степенные ряды по х, определить соответствующие аналити- аналитические тензорные функции F(S), заменив степени переменной х на такие же выражения относительно тензора S, см. введение к настоящему параграфу. 6.7 Найти связь главных значений и собственных векторов тензоров второго ранга S и Т, если зависимость Т = F(g,S) представляет собой аналитическую тензорную функцию от S.
82 Глава 1. Основные понятия 6.8 Показать, что det(es) = etrS, где del и tr означают со- соответственно определитель и след матриц, составленных из сме- щанных компонент тензора второго ранга S. 6.9 Показать, что если S — антисимметричная матрица, т. е. S^ дгк = —Sikgli, то es — ортогональная. Найти такую матрицу S, чтобы матрица е^ была равна матрице поворота задачи 6.2. 6.10 Показать, что если S — симметричная матрица, т. е. $^9гк — Sik91^ TO значения любой аналитической матричной функции F(S) также симметричны. 6.11 Пусть все главные значения А?;, г — 1, 2, 3, тензора второ- второго ранга S вещественны и различны. Показать, что для всякой тензорной функции F(g,S), аналитической по S, имеет место формула Лагранжа-Сильвестра , (S-A3g)(S-Alg) (S-Alg)(S-A2g) (А2 - A3j(A2 - Aij (A3 - Aij(A3 - A2j 6.12 В задаче 6.11 исследовать случаи совпадающих главных значений тензора S при наличии трех линейно независимых соб- собственных векторов. 6.13 Найти группу симметрии набора тензоров (g, б), где g — метрический тензор, € — тензор Леви-Чивита. 6.14 Найти в ортонормированном базисе ег группы симметрии наборов тензоров a) (g, e3); б) (g, €-e3); в) (g, e3e3) — трансверсальная изотропия; г) (g, €, е3); д) (g, €, е3е3), где g — метрический тензор, ? — тензор Леви-Чивита. 6.15 Найти группу симметрии тензоров g, S, где S — симме- симметричный тензор второго ранга общего положения, g — метри- метрический тензор (ортотропия). Рассмотреть случаи совпадающих собственных значений тензора S.
6. Симметрия и тензорные функции 83 6.16 а) Найти все тензоры второго ранга, инвариантные от- относительно группы симметрии метрического тензора g. б) Известно, что существуют три линейно независимых тензора четвертого ранга, инвариантных относительно полной группы вращений. Составить их компоненты из компонент тензора g. 6.17 Для групп симметрии, найденных в задаче 6.14, указать все симметричные тензоры второго ранга, инвариантные отно- относительно этих групп. Указать, для каких групп существуют инвариантные антисимметричные тензоры второго ранга. 6.18 Найти все симметричные тензоры второго ранга, инвари- инвариантные относительно группы ортотропии, заданной тензорами g и S, см. задачу 6.15, и составить их из тензоров g и S. 6.19 Показать, что матрица, обратная к невырожденной ма- матрице ковариантных компонент тензора второго ранга, является матрицей контравариантных компонент некоторого нового тен- тензора, т. е. определяет тензорную функцию. 6.20 Известно, что существует десять линейно независимых тензоров четвертого ранга, инвариантных относительно группы трансверсальной изотропии, см. задачу 6.14 в). Составить их компоненты из компонент тензоров g и 6.21 Найти общий вид тензорных функций a) a = FF,g); б) c = F(a,ft,g), где а, & и с — векторы, g — метрический тензор. 6.22 Доказать, что тензорная функция в задаче 6.21 а) имеет скалярный потенциал Ф(Ь, g) такой, что щ = дФ/дЬг. 6.23 Пусть тензорная функция F(S, g), где S — симметричный тензор второго ранга, g — метрический тензор, считающийся постоянным, имеет вид где коэффициенты к\, к2, к3 являются функциями инвариантов тензора S. Показать, что необходимые условия существования
84 Глава 1. Основные понятия скалярного потенциала функции F, Fij = дФ/dS2^ можно пред- представить в виде „,„=1,2,3, a oJp p o,Ja где Ji = SU, h = ЗД,-, J3 = SiiS^kS^i. 6.24 Выписать вид тензорных функций es, sinS, S3, исполь- используя формулу Лагранжа-Сильвестра, см. задачу 6.11. Сравнить с разложением в степенные ряды. Найти скалярные коэффици- коэффициенты а, 6 и с представлений этих функций в виде ag + 6S + cS2, см. введение к настоящему параграфу. 6.25 . Вычислить тензоры моментов инерции относительно центра масс для а) однородного шара, используя соображения симметрии; б) однородного эллипсоида, используя главные оси. 6.26 Показать, что тензор моментов инерции относительно центра масс однородного правильного тетраэдра — шаровой — пропорционален метрическому тензору g. To же — для куба и октаэдра. Использовать соображения симметрии. 6.27 Найти общий вид скалярного, векторного и тензорного второго ранга полей, инвариантных относительно группы сим- симметрии из задачи 6.14 г). Такие поля называються осесимме- тричными. Как изменятся результаты для остальных групп из задачи 6.14? Записать результаты в цилиндрической системе координат. 6.28 Найти общий вид скалярного, векторного и тензорного второго ранга полей, инвариантных относительно полной груп- группы вращений и отражений. Такие поля называются сферически симметричными. Записать результаты в сферической системе координат.
Глава 2. Общие законы и уравнения механики сплошной среды 7. Краткая сводка общих законов и уравнений В этой главе применительно к сплошным деформируемым средам рассматриваются общие, или универсальные, т. е. вы- выполняющиеся для всех сред, физические „законы сохранения" и вытекающие из них непосредственно свойства характеристик, описывающих состояние и движение всевозможных сред, а так- также уравнения, которым они удовлетворяют. В ньютоновской механике такими законами являются: — закон сохранения массы; — закон сохранения количества движения; — закон сохранения момента количества движения; — закон сохранения энергии (первый закон термодинамики); — закон сохранения энтропии (второй закон термодинамики). Эти законы обычно формулируются (постулируются) в инте- интегральной форме, для конечных индивидуальных объемов сплош- сплошной среды. Для движений, описывающихся гладкими функциями, зако- законы сохранения приводят к дифференциальным уравнениям, вы- выполняющимся в каждой точке области, занятой средой. Если в этой области имеются поверхности разрыва параме- параметров среды, то в силу законов сохранения эти разрывы параме- параметров связаны между собой некоторыми соотношениями, называ- называемыми условиями на поверхности разрыва. Ниже приводится краткая сводка общих законов и уравнений механики сплошной среды. Более подробно они рассматривают- рассматриваются в следующих параграфах этой главы, а также в главах 3 и 4.
86 Глава 2. Общие законы и уравнения Универсальные „законы сохранения" для произвольного индивидуального объема сплошной среды записываются в сле- следующем виде: 1) закон сохранения массы: масса индивидуального объема по- постоянна d-tJpdV = 0; G.1) v 2) закон сохранения количества движения: скорость изменения количества движения индивидуального объема равна сумме дей- действующих на него внешних сил Jnda; G.2) 3) закон сохранения момента количества движения: скорость изменения момента количества движения индивидуального объ- объема равна сумме моментов действующих на него внешних сил и пар jifp(rxv+k)dV=frxpFdV+frxpnda+jphdV+fQnda; G.3) V V Е V Е 4) закон сохранения энергии (первый закон термодинамики): скорость изменения полной энергии индивидуального объема равна притоку в единицу времени энергии извне (в форме ра- работы внешних сил, тепла и других) V =JpF-v dV+Jp«"v da-jq*n da+Sp^^dV] G'4) E 5) закон сохранения энтропии (второй закон термодинамики): скорость изменения энтропии индивидуального объема сплош- сплошной среды равна сумме притока энтропии извне и производства энтропии внутри объема в единицу времени. Производство эн- энтропии неотрицательно dt - dtj p V ~ dt + Л ' dt * U' U'b;
7. Сводка общих законов 87 В соотношениях G.1) — G.5) использованы следующие обо- обозначения: V — индивидуальный объем; Е — граница объема V] п — внешняя нормаль к da; t — время; р и v — плотность и скорость среды соответственно; F — массовая плотность внеш- внешних по отношению к объему V массовых сил, действующих на среду; рп — поверхностная плотность поверхностных сил, дей- действующих на границе Е; г — радиус-вектор точки; к — массо- массовая плотность внутренних моментов количества движения; h и Qn — массовая и поверхностная плотности моментов внешних массовых и поверхностных пар; и и s — массовые плотности внутренней энергии и энтропии; д* и dqlmcc/dt — поверхност- поверхностная и массовая плотности притоков энергии в единицу времени за вычетом работы макроскопических сил; deS/dt — приток эн- энтропии к объему V извне в единицу времени; d{S/dt — произ- производство энтропии в единицу времени. Подробно все эти понятия рассматриваются в следующих параграфах. Для гладких движений эти законы эквивалентны следующим дифференциальным уравнениям: 1) уравнение неразрывности —гг Т //uiv и — и, С7.6) 2) уравнение движения (lit) jp I Т~7 /п*«? 4> • /7 \ 3) уравнение моментов р^ = ph + VjQijei + (ei x Cj)p?i; G.8) 4) уравнение энергии pd /V + \ = (F . w^ + Vj(p^Vt.) + р%^ - Vjg*j; G.9) at \z j at 5) уравнение энтропии
88 Глава 2. Общие законы и уравнения В уравнениях G.6) — G.10) использованы следующие обозна- обозначения: ри — компоненты тензора напряжений; Vj — ковариант- ная производная; ег — векторы базиса; Q7-7 — компоненты тен- тензора моментных напряжений; q*J — компоненты вектора потока энергии (без работы макроскопических сил); sJ — компоненты вектора потока энтропии; pdesM?LCC/dt - VjS-7 — приток энтропии извне к единице массы в единицу времени; d{s/dt — массовая плотность производства энтропии в.единицу времени. В каждой точке на изолированной поверхности разрыва Еа, как вытекает из универсальных законов сохранения G.1) — G.5), выполняются следующие соотношения, называемые усло- условиями на поверхности разрыва: p2v2n] {(¦11) R + Pln -plVlnVl = Р2пГ P2V2nV2; G.12) Л^ + Q\n — PlkiVln — Ягп ~ P2^2v2n\ G.13) W + Pin-oi -Pi[ir + ui)vin-qin = 2 о G.14) = Ргп -V2-P2 [— + u2j v2n - q2n'i ,ns2 + s{nj - s{nj = п. G.15) Здесь индексами 1 и 2 отмечены значения параметров по раз- разные стороны поверхности разрыва Ej; n — единичный вектор нормали к Ed, направленный в сторону 1. Условия G.11) — G.15) написаны в „собственной" системе координат, относительно которой величина скорости поверхно- поверхности разрыва для данной точки поверхности в данный момент времени равна нулю. Через т, Л, М и W обозначены поверх- поверхностные плотности на Еа внешних для среды притоков массы, количества движения сил, момента количества движения и энер- энергии, Q — плотность распределения на Еа изменения энтропии за счет внешних притоков тепла и массы, а также роста энтропии за счет необратимости процесса перехода через скачок (в едини- единицу времени). Если на Еа нет внешнего притока тепла и массы, то согласно второму закону термодинамики Q ^ 0.
8. Уравнение неразрывности 89 8. Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности Уравнение неразрывности е'сть следствие закона сохранения массы. Оно может быть записано в разных формах. При эйлеро- эйлеровом описании движения используются формы (8.1) или (8.2): ^ + div/*tf = O, (8.1) -? + pdivv = Q. (8.2) at При лагранжевом описании можно использовать одну из форм (8.3) — (8.7): -? + pdivv = 0, (8.3) at где div V определяется через производные по сопутствующим лагранжевым координатам ?•?; и дхг и pdet —- \\=р0, (8.4) где />о, р — плотности, х\ хг — пространственные координа- координаты индивидуальной точки в начальном и конечном (текущем) состояниях, хг — хг(х3,i)\ (8.5) где g = det||.9t-j||, g = det||^||; gih g{j — компоненты метриче- метрических тензоров в лагранжевой системе координат в начальном и конечном состояниях; Р== ; (86) Р° = ч/1-2/1(?) где /^(б), h{€) — инварианты тензоров деформаций Грина ё и Альманси ё, определяемые формулами h(e) = e\i, h{?) = \{I2x-e\)ei^, /3(e) = det||e!;||.
90 Глава 2. Общие законы и уравнения При использовании в качестве тензора деформации других тензоров соответственно получаются другие формы уравнения неразрывности. Для несжимаемой среды по традиции уравнением неразрыв- неразрывности называют условие несжимаемости divt> = 0, detll^r = 1, \/b=\fl, и т.д. (8.8) Закон сохранения массы для несжимаемой среды дает Задачи 8.1 Вывести формулу дифференцирования по времени инте- интеграла по подвижному объему V Jvnda, (8.10) где vn — проекция скорости точек поверхности S, ограничива- ограничивающей объем V, на внешнюю нормаль к Е. 8.2 Написать закон сохранения массы для конечного непо- неподвижного пространственного объема, через который протекает среда. 8.3 а) Вывести уравнение неразрывности в переменных Эй- Эйлера из закона сохранения массы индивидуального объема. б) Написать его в декартовой системе координат, раскрыв вы- выражения dp/dt и div и. в) Вывести заново это уравнение, рассматривая баланс массы для малого объема в виде прямоугольного параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям: изменение массы в неподвижном пространственном объеме равно величине массы, притекающей через его поверхность.
8. Уравнение неразрывности 91 8.4 Доказать, что div v (= VtV) равна скорости относитель- относительного изменения объема в малой окрестности рассматриваемой точки среды, движущейся со скоростью V. 8.5 Движение называется потенциальным, если существует функция (р такая, что v = grad (р. Написать уравнение неразрыв- неразрывности для потенциального движения сжимаемой и несжимаемой среды в виде уравнения для потенциала (р. 8.6 Вывести уравнение неразрывности в переменных Эйлера а) в цилиндрической системе координат; б) в сферической системе координат, рассматривая баланс массы для элементарного координатного объема, см. рис. 8.1. гАф а) б) Рис. 8.1. 8.7 Записать уравнение неразрывности в переменных Эйлера в произвольной криволинейной ортогональной системе коорди- координат, используя физические компоненты вектора скорости. Вы- Вывести из него уравнение неразрывности а) в цилиндрической системе координат, б) в сферической системе координат. 8.8 Записать уравнение неразрывности для одномерных дви- движений с плоской, цилиндрической и сферической симметрией. При таких движениях все параметры зависят лишь от одной про- пространственной переменной г и времени ?, причем поверхности г = const в первом случае — плоскости, во втором — цилиндры, в третьем — сферы; кроме того, для скорости отлична от нуля только составляющая вдоль координатной линии г.
92 Глава 2. Общие законы и уравнения 8.9 Используя условие равенства массы любого индивидуаль- индивидуального объема в начальном и конечном состояниях, вывести урав- уравнение неразрывности в переменных Лагранжа в формах (8.4) и (8.5), приведенных в начале этого параграфа. 8.10 Вывести уравнение неразрывности в переменных Лагран- Лагранжа в формах (8.6) и (8.7), связывающее изменение плотности с инвариантами тензоров деформации. Показать, что они совпа- совпадают в случае малых деформаций в линейном приближении. 8.11 Имеется плоское тече- течение слоя однородной несжима- несжимаемой жидкости, ограниченного • с одной стороны неподвижным непроницаемым дном z~— h{x), с другой стороны — свободной поверхностью z = ("(#,?), где ж, ис' ' у, z — декартовы координаты. В плоском течении все его характеристики не зависят от одной декартовой координаты у и vy — 0. Введя среднюю по глубине z скорость vx = vx(x, t) и считая ее известной, получить уравнение для ?(ж, ?), рассматривая закон сохранения массы для объема, за- заключенного между двумя близкими поперечными сечениями. 8.12 В трубе со слабо деформирующимися стенками, площадь поперечного сечения S(xA) которой мало отличается от исход- исходной So{x) = S(x, 0), где х — координата вдоль оси трубы, течет слабосжимаемая жидкость, плотность р(х, t) которой мало отли- отличается от ро — const. Считая, что скорость v вдоль оси трубы однородна по сечению и мало отличается от vq(x) = г;(ж,0), со- составить линеаризованное уравнение неразрывности, рассмотрев массу жидкости, протекающую через поверхность объема, за- заключенного между двумя близкими поперечными сечениями, и изменение массы внутри этого объема. 8.13 Для индивидуального подвижного объема V доказать: V V где р — плотность среды; dA/dt.— полная производная по t.
9. Тензор напряжений 93 8.14 Поток называется плоскопараллельным, если компоненты скорости vx и vy не зависят от декартовой координаты z и vz — 0. Дан плоскопараллельный поток с полем скорости vx = А-—— vy = 2A-j, vz = 0, А — const, где ж, у, z — декартовы координаты, г = \Jx2 + у2. Доказать, что это поле является полем скорости несжимаемой среды. 8.15 В некотором плоскопараллельном потоке выполнено У vx = -A—, A = const, г = Найти во всем потоке компоненту vy, если известно, что жид- жидкость несжимаема и vy -> 0 при у -» оо для всех я. Показать, что течение потенциально всюду, кроме оси г = 0; что потенциал яв- является гармонической функцией, а траектории — окружности. 8.16 Показать, что, если движение несжимаемой среды в одно- связной ограниченной области потенциально, т.е. v = grad <p, то поле скоростей v однозначно определяется значением нормаль- нормальной составляющей скорости vn\r на границах Г рассматриваемой области, причем зависимость v от vn\r линейна. Таким образом, поле скоростей в этом случае целиком определяется кинематикой и не зависит от действия внешних сил. 9. Тензор напряжений При описании сил, действую- действующих на поверхности, вводят плот- плотность поверхностных сил — век- вектор напряжений рп как предел от- отношения поверхностной силы ДЯ, действующей на площадке с нор- нормалью п, к ее площади Да, когда Аа стремится к нулю рп = lim п г Дет Рис. 9.1.
94 Глава 2. Общие законы и уравнения Тензором напряжений Коши называют тензор р с компонен- компонентами ри такой, что вектор напряжений рп, с компонентами ргп, для площадки с нормалью п в рассматриваемой точке может быть вычислен по формуле рп = рп, т.е. рхп=р13п5. (9.1) Существование такого тензора следует из закона сохранения ко- количества движения. При лагранжевом описании среды часто вместо вектора напряжений рп используют вектор номинальных напряжений я*По, связанный с рп формулой nnodao = pnda, (9.2) где dao и dtr, n0 и п — площади рассматриваемой индивидуаль- индивидуальной элементарной площадки и нормали к ней до и после деформа- деформации. Таким образом, ппо есть предел, при стягивании площадки в точку, отношения силы, действующей на площадке, к площади, которую она имела до деформации. Вводят также тензор на- напряжений Пиолы-Кирхгофа с компонентами 7ги, определяемый соотношениями где noj — компоненты вектора нормали к площадке в начальном состоянии. Компоненты тензоров напряжений Коши и Пиолы- Кирхгоффа в лагранжевой системе координат связаны законом Ро г Р где ро и р — плотности, ег и ёк — базисные векторы лагранжевой системы координат в начальном и деформированном состояни- состояниях, причем dw h = ek + —T: = (8гк + \/кьзг)еи (9.5) где w — вектор перемещения. Если лагранжевы координаты суть просто начальные коор- координаты Xi точек в пространственной декартовой системе (жг), то верны формулы Ро dxk ( . ( \ Р ®хз /»\
9. Тензор напряжений 95 Из закона сохранения момента количества движения при от- отсутствии внутренних моментов и моментных взаимодействий выводится симметрия тензора напряжений Коши Тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа в общем случае несимме- несимметричен. Задачи 9.1 По горизонтальной шеро- шероховатой плоскости движется с по- постоянной скоростью брус. Вес бру- бруса равен 1 кгс, коэффициент куло- нова трения о плоскость равен 0.3, площадь основания бруса 0.02 м2. Найти вектор напряжений на ча- части плоскости, находящейся в дан- данный момент под брусом. Рис. 9.2. 9.2 Пусть рг — векторы напряжений на площадках, перпен- перпендикулярных осям хг декартовой системы координат. а) Найти выражения векторов рг через компоненты тензора на- напряжений Коши р%К б) Каков физический смысл компоненты р12 тензора напряже- напряжений в декартовой системе координат? в) Показать, что в произвольной системе координат векторы р*г напряжений на координатных площадках хг = const имеют вид суммирования по г нет. г) Выразить физические компоненты векторов р*г (компоненты в единичном базисе 6j/\ej\) в цилиндрической системе координат через компоненты тензора напряжений р%К
96 Глава 2. Общие законы и уравнения 9.3 а) Вывести из закона сохранения количества движения формулу Коши (9 Л), которая определяет тензор напряжений, б) Какие ограничения на распределение плотности внешних сил и на поле ускорений необходимы для получения формулы (9 Л)? 9.4 Из закона сохранения количества движения вывести фор- формулу (9.3), определяющую тензор напряжений Пиолы-Кирх- гоффа. 9.5 а) Вывести формулы, связывающие компоненты тензора напряжений Коши с компонентами тензора Пиолы-Кирхгофа. б) Каков механический смысл компонент nkl, если начальная ла- гранжева система координат декартова? 9.6 Из закона сохранения момента количества движения (см. соотношения G.3), G.8), а также § 12) при условии, что вну- внутренние моменты количества движения к и моменты распреде- распределенных пар Л, Q несущественны, вывести свойство симметрии тензора напряжений. 9.7 В некоторой точке тела в декартовой ортогональной си- системе координат тензор напряжений задан своими компонента- компонентами (в паскалях): A00 100 160 100 0 -150 160 -150 -60 Для площадки с нормалью п\ — 1/2, П2 = 1/2, пз = 1/л/2, найти компоненты вектора рп, а также величины касательного рпт и нормального рпп напряжений. Найти угол в между рп и п. 9.8 В точке М в декартовой системе координат компоненты тензора напряжений заданы матрицей 8 0 -4 0 5 0 -4 0 4 Определить вектор напряжений рп на площадке с нормалью
9. Тензор напряжений 97 9.9 Векторы напряжений рп и рП1 действуют в точке М на площадках с нормалями п и П\. Показать, что если тензор на- напряжений симметричен, то выполнено рпП1 = рП1П. 9.10 Главной системой координат для тензора р называют декартову ортогональную систему координат, в которой Pij = О при % ф j. Его компоненты JPll=Pb P22—P2, РЗЗ = РЗ в этой системе называют главными компонентами, а оси глав- главной системы — главными осями тензора р, см. задачу 2.14. а) Показать, что на площадках, перпендикулярных главным осям тензора напряжений, векторы напряжений направлены по нормали. б) Пусть главные оси и главные компоненты тензора напряже- напряжений известны. Найти площадки, на которых величина нормаль- нормального напряжения рпп экстремальна. Найти соответствующие ЗНачеНИЯ ВеЛИЧИН (pnn)max И {Рпп)тт. 9.11 Поверхностью напряжений для некоторой точки М спло- сплошной среды называется тензорная поверхность тензора напря- напряжений р — такое геометрическое место точек, декартовы ко- координаты х1 которых удовлетворяют условию pijx%xi = const, где р^ — компоненты тензора р в точке М в системе (хг). Определить форму поверхности напряжений для точки сре- среды, где компоненты тензора напряжений в ортогональной де- декартовой системе координат следующие: а) Рп = Р22 = Рзз = Р-, Pij ~ 0 при г ф j — всестороннее растя- растяжение при р > 0 или сжатие при р < 0; б) рп = р, остальные р^ = 0 — одноосное растяжение при р > 0 или сжатие при р < 0; в) pi2 = P2i = ?¦» остальные р^ — 0 — простой сдвиг; г) рп = Л, р22 = 5, рзз = С, Pij = 0 при г / j — напряженное состояние самого общего вида в главных осях тензора напряже- напряжений. Исследовать вид поверхности напряжений в зависимости от знаков А, В и С. 4 За к. 2368
98 Глава 2. Общие законы и уравнения Рис. 9.3. 9.12 а) Показать, что нор- нормаль П\ к поверхности напря- напряжений, см. задачу 9.11, в точке поверхности с радиусом-векто- радиусом-вектором г параллельна вектору на- напряжений на площадке с норма- нормалью п — г/|г|, см. рис. 9.3. б) Воспользовавшись геометри- геометрическими свойствами поверхнос- поверхности напряжений, показать, что при произвольном напряженном состоянии в каждой точке существуют три взаимно перпенди- перпендикулярных направления fii, П2, Л3, таких, что Рщ II ЛЬ Рп2 II П2, Рпз II П3- в) Выписать компоненты р в базисе 6j = rtj. г) Показать, что если рп || п для всех п, то тензорная поверх- поверхность есть сфера. Тензор р в этом случае называют шаровым. 9.13 В декартовой системе координат компоненты тензора на- напряжений в точке М таковы: рц — 12, рп = Pl3 = 4, р23 = 8, Р22 — РЗЗ = 0. а) Определить главные компоненты и главные оси тензора на- напряжений. б) Разложить тензор напряжений на сумму шарового тензора и девиатора, см. задачу 2.12. 9.14 Симметричный тензор напряжений в некоторой точке в декартовой ортогональной системе координат имеет компонен- компоненты Pll = Р22 = РЗЗ = 0, Рп = Р13 = ~Р23 = 1. Здесь значения pij отнесены к некоторому характерному значе- значению напряжения ро и приведены в безразмерном виде. Определить главные компоненты тензора, возможные напра- направления главных осей и написать преобразование, с помощью ко- которого выполняется переход к главным осям.
9. Тензор напряжений 99 \ К W X NJX X X X К ч t"X"\- 9.15 Компоненты тензора напря- напряжений р в декартовой ортогональ- ортогональной системе координат (хг) заданы формулами рп = в Рис. 9.4. sin л . в 39 Р12 = Р21 = ^ Sin - COS у, р13 = Р31 = Р23 = Р32 = = 0, где С —— С = const. /, r Это формулы для асимптотических, при малых г и в ф тг, выражений компо- компонент тензора напряжений вблизи конца щели, растягиваемой симметричной нормальной нагрузкой, приложенной на ее берегах, в случае плоского напря- напряженного состояния. Найти главные значения pi, P2, Рз тензора р и ориентацию его главных осей в пространстве, в частности, получить форму- формулу для угла наклона а главного направления, соответствующего наибольшему из р,-, к оси ж1. 9.16 а) Записать через главные компоненты тензора напря- напряжений его следующие инварианты б) Показать, что для девиатора любого тензора инвариант /2 неположителен. 9.17 Получить формулы, выражающие величины нормального и касательного напряжений на площадке с нормалью п в точке М через главные компоненты тензора напряжений в этой точке. Считать известными проекции вектора п на главные оси тензо- тензора напряжений.
100 Глава 2. Общие законы и уравнения 9.18 Октаэдрической называется площадка, составляющая равные углы с главными направлениями тензора напряжений. Показать, что нормальная компонента вектора напряжений на ней равна Д/З, где /j — первый инвариант тензора напряже- напряжений. Показать, что касательное напряжение на октаэдрической площадке (октаэдрическое касательное напряжение) равно У(Р1 - Р2? + (Р2 - РЗJ + (РЗ - PiJ где I2d — второй инвариант девиатора тензора напряжений; Pi, Р2, Рз — главные значения тензора напряжений. 9.19 а) Определить максимальные касательные напряжения Рпт max и направления площадок, на которых они действуют в данной точке, если в этой точке известны направления главных осей и главные компоненты тензора напряжений. б) Рассмотреть частные случаи равенства между собой величин главных напряжений. в) Построить поверхность текучести Треска для пластических материалов в пространстве главных напряжений р{ <p{p\j) - к = 0, ГДе к = Const, <p(p\j) = Pnrmax! определить расстояние от начала координат до плоскостей, об- образующих поверхность, и до вершин сечения поверхности плос- плоскостью, ортогональной линии pi = р2 = рз и проходящей через начало координат. 9.20 До приложения нагруз- нагрузки тело имело форму бруса — прямоугольного параллелепипе- параллелепипеда с длинами ребер а, 6 и с. К двум противоположным торцам приложены поверхностные силы с равнодействующими, равны- Рис. 9.5. миРи -Р, действующими вдоль прямой, параллельной ребру с в недеформированном состоянии; остальные грани свободны от напряжений, массовые силы отсутствуют. Это напряженно-де- напряженно-деформированное состояние называют простым растяжением.
9. Тензор напряжений 101 Пусть известно, что тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа не зависит от координат. а) Написать условия, которым удовлетворяют компоненты тен- тензора Пиолы-Кирхгофа на границах тела. б) Найти тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа. в) Что нужно знать для нахождения тензора напряжений Коши? г) Рассмотреть случай, когда растягиваемое тело — прямой ци- цилиндр с произвольной формой поперечного сечения. б) Рис. 9.6. 9.21 На рис. 9.6 а) и б) показано тело в начальном и деформи- деформированном состояниях. Компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа таковы: 7Гц = а ф О, остальные тг^ = 0. Как они изменятся, если тело в деформированном состоянии вместе со всеми напря- напряжениями и деформациями повернуть на угол 7г/2 вокруг прямой, параллельной оси ?3, см. рис. 9.6 в)? 9.22 Найти величину нормальных и касательных напряжений на различных площадках в зависимости от их ориентации в слу- случае простого растяжения бруса, см. задачу 9.20. Площадь по- поперечного сечения деформированного бруса равна 5, на торцах действуют равномерно распределенные нагрузки величины Р. Найти максимальные нормальные и касательные напряжения и соответствующие им площадки. 9.23 а) Установить равносильность утверждений A) и B), входящих в определение модели идеальной жидкости: A) в идеальной жидкости тензор напряжений — шаровой, т. е. plJ = -pglJ, где р — скаляр;
102 Глава 2. Общие законы и уравнения B) в идеальной жидкости вектор напряжений на любой площад- площадке параллелен нормали к этой площадке. б) Жидкостью называют среду, которая не может находиться в покое, если в ней на какой-либо площадке есть касательные напряжения. Показать, что в покоящейся жидкости р1^ = —рдг:>. 10. Дифференциальные уравнения движения и равновесия Из закона сохранения количества движения, кроме факта су- существования тензора напряжений, выводятся дифференциаль- дифференциальные уравнения движения (или равновесия, если v — 0) — в обла- области, где состояние среды описывается гладкими функциями. При использовании эйлеровой системы координат или лагран- жевой сопутствующей системы (с базисом ё{) эти уравнения имеют вид раг = PF{ + Vk ргк, а{ = — + vkVk v\ A0.1) at где ptk — компоненты тензора напряжений Коши, аг — компо- компоненты вектора ускорения а. При использовании начальной лагранжевой системы коорди- координат (с базисом hi) уравнения движения могут быть записаны в виде ^ ^ + <7кж{к, A0.2) где ро — начальная плотность среды; гЬг и F1 — компоненты векторов перемещения и плотности массовой силы в базисе в,; пгк — компоненты тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа в ба- базисе ё{.
10. Уравнения движения и равновесия 103 Задачи 10.1 Вывести дифференциальные уравнения движения в эй- эйлеровом описании из закона сохранения количества движения. Записать их в компонентах в произвольной системе координат и в декартовой ортогональной системе. 10.2 а) Как связаны между собой компоненты ускорения аг и скорости vk в сопутствующей лагранжевой системе координат? б) Написать уравнения движения* в сопутствующей лагранжевой системе координат. в) Показать, что выражения Vkptk и аг в сопутствующей систе- системе содержат производные от компонент тензора деформаций. 10.3 Получить дифференциальные уравнения движения в на- начальной лагранжевой системе координат. 10.4 Поле тензора напряжений в декартовых координатах задано матрицей (Зхуу 5у27 0 \ 5г/27 0 2г27 , 7 =const- О 2z2j 0 ) Какими должны быть массовые силы, чтобы среда с заданной плотностью р была в равновесии? 10.5 Пусть в декартовой системе координат тензор напряже- напряжений имеет компоненты рц — —pgx + ip(y) z), остальные pij равны нулю; плотность р = const, g = const. Найти массовые силы, если известно, что среда находится в равновесии. 10.6 Матрица компонент тензора напряжений в покоящейся среде с заданной плотностью р имеет вид (а О О О Ь О 0 0с где а, 6, с — постоянные величины. Найти массовые силы, если рЧ суть контравариантные компоненты тензора в а) декарто- декартовой; б) цилиндрической; в) сферической системах координат.
104 Глава 2. Общие законы и уравнения 10.7 а) Вывести уравнения равновесия для жидкости, поль- пользуясь тем, что в покоящейся жидкости тензор напряжений ша- шаровой, т. е. ргз = —рдг^ см. задачу 9.23. б) Показать, что если F • rot F ф О, то в поле массовых сил F невозможно равновесие какой-либо жидкости. 10.8 Мембрана — это очень тонкая пленка, которая не со- сопротивляется изгибу, но сопротивляется растяжению. Пусть однородная равномерно растянутая натяжением Т мембрана на- нагружена вертикальной нагрузкой интенсивности q на единицу площади, ось z направлена вертикально вниз, оси ж и у и нача- начало координат взяты в исходной горизонтальной плоскости мем- мембраны. Вывести уравнение для малого вертикального прогиба мембраны w(x,y), считая натяжение Т не зависящим от w. 10.9 Тело находится в равновесии под действием только по- поверхностных сил. а) Пусть Ри = где Фх, Ф2, Фз — произвольные достаточное число раз дифферен- дифференцируемые функции. Показать, что уравнения равновесия удовле- удовлетворяются, если P22~ dz* + дх2' Рзз~ + дУ2 ^ п дЧ, дЧ2 дЧ3 б) Пусть рп = dyoz ozox дхду Показать, что уравнения равновесия удовлетворяются, если 1 д дх д_ Рзг " ~2 ду 2 ду \дх д riz 2dz V дх ' ду dz Функции Фх, Ф2, Фз? через которые можно найти все компонен- компоненты тензора напряжений так, что уравнения равновесия тожде- тождественно удовлетворяются, называют функциями напряжений.
10. Уравнения движения и равновесия 105 10.10 Показать, что при отсутствии массовых сил уравнения равновесия в случае плоского напряженного состояния (только Pib Рп и Р22, отличны от нуля и они зависят только от х и у) позвол^ют^ввести функцию напряжений Эри U(x,y) такую, что Рп = д2и ду2' Р22 = д2и дх2' Р\2 = д2и дхду' при произвольной трижды дифференцируемой функции U и та ким образом полученных компонентах pij тензора напряжений уравнения равновесия удовлетворяются тождественно. 10.11 Пусть в находящемся в равно- равновесии цилиндрическом стержне, на кото- который действуют только силы, приложен- приложенные на его торцах, во всех точках выпол- выполнены равенства Ортогональные декартовы оси .т, у и z выбраны так, как показано на рис ЮЛ; х внешние массовые силы не действуют. Рис. ЮЛ. Показать, что а) существует функция напряжений Т(х,у)\ ' дх1 р 32 введение которой приводит к удовлетворению всех уравнении равновесия; б) условие рп = 0 на боковой поверхности стержня сводится к условию дТIds — 0 вдоль контура поперечного сечения в плос- плоскости (ж; у), где s — длина дуги контура сечения; в) если в стержне имеется указанное выше напряженное состо- состояние, то главный вектор сил, действующих в любом поперечном сечении, равен нулю, а главный момент сил, действующих на сечение, сводится к крутящему моменту.
106 Глава 2. Общие законы и уравнения 10.12 Из общих уравнений движения сплошной среды полу- получить уравнения движения идеальной жидкости — уравнения Эй- Эйлера. По определению в идеальной жидкости тензор напряжений имеет вид рг^ = —рдгК 10.13 Получить уравнения Эйлера, применив закон сохране- сохранения количества движения к индивидуальному объему V идеаль- идеальной жидкости. 10.14 Для баротропного движения, т. е. когда плотность р есть функция только давления р, в поле потенциальных массовых сил преобразовать уравнения Эйлера к виду Громеки-Лэмба dv v2 — + grad — + 2[и X v] = grad U - grad V, где ш = ^ rot v — вектор вихря, U — потенциал массовых сил, V = Р{Р) ро называют функцией давления, ро — некоторая константа. 10.15 Пусть движение идеальной жидкости установившееся, внешние массовые силы имеют потенциал (F = grad С/). По- Показать, что в этом случае уравнения движения Эйлера имеют интеграл v2 _ „ _ называемый интегралом Бернулли, где С = const вдоль линии ?, если С есть линия тока или вихревая линия; V(p,?) = / J — функция давления, разная для разных линий тока или вихря, если движение не баротропно, см. задачу 10.14. Написать ин- интеграл Бернулли для движения несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. 10.16 Пусть движение идеальной жидкости потенциально, т. е. v = grad<^; внешние массовые силы имеют потенциал, F = grad U; движение баротропно, т. е. плотность р зависит
10. Уравнения движения и равновесия 107 только от давления р. Показать, что уравнения Эйлера имеют интеграл Коши-Лагранжа + +VU где V — функция давления, T{i) — произвольная функция. 10Л7 В произвольной ортогональной системе координат до- доказать формулы для компонент ускорения в переменных Эйлера по г суммирования нет. Векторы базиса системы наблюдателя в{ от времени не зависят. 10.18 Написать уравнения Эйлера в цилиндрической и сфе- сферической системах координат. 10.19 В линейно-вязкой изотропной жидкости тензоры напря- напряжений р и скоростей деформаций е связаны законом Pij = -P9ij + AJi(e)#j + 2/xetj, где p — давление; gij — компоненты метрического тензора; Ji(e) = еыдк1 — первый инвариант тензора скоростей дефор- деформаций; Аи// — коэффициенты вязкости. Считая, что А = const, /л = const, получить уравнения движения линейно-вязкой жидко- жидкости в форме уравнений Навье-Стокса /7tt р— = pF - gradр + (А + /i) graddiv v + //Аи. at 10.20 В линейно-упругой изотропной среде с малыми относи- относительными перемещениями тензоры напряжений р и малых де- деформаций е подчиняются закону Гука Pij = где J\{s) = ?ыдЫ, Ai и fjii — коэффициенты (параметры Ламе). Считая, что Ai = const, ji\ = const, получить уравнения движе- движения линейно-упругой среды в форме уравнений Ламе F + ^Al + ^ graddiv w где w — вектор перемещения.
108 Глава 2. Общие законы и уравнения 10.21 Из общих уравнений движения сплошной среды полу- получить уравнение изменения кинетической энергии Екин индиви- индивидуального объема V сплошной среды — „теорему живых сил": dEKm _ dA^) x dA® ^кин - dt dt dt V dt V E Здесь dA^/dt, dA^/dt — соответственно работа внешних и вну- внутренних сил в единицу времени. Чему равна плотность рабо- работы внутренних сил (предел отношения работы внутренних сил к массе частицы, когда частица стягивается в точку) для: а) произвольной сплошной среды? б) идеальной несжимаемой жидкости? 10.22 В точке М неограничен- неограниченного пространства, заполненно- заполненного покоящейся жидкостью, про- происходит взрыв — мгновенно вы- выделяется и передается жидкости энергия Е$. Определить возник- возникшее движение жидкости. Жид- Жидкость считать идеальной и не- „ „Л Л сжимаемой; силой тяжести и ве- Рис. 10.2, w личиной давления на бесконечно больших расстояниях от места взрыва пренебречь. Считать, что вся энергия Eq расходуется на создание кинетической энер- энергии жидкости и что в результате растекания жидкости от точки М возникает расширяющаяся полость — каверна с центром в М, внутри которой давление равно нулю. а) Поставить задачу математически — написать полную систе- систему уравнений для определения и ир, граничные и начальные условия в удобной системе координат. б) Найти радиус каверны и распределение «ирв момент t. в) Чему равно максимальное значение давления в момент tl Где оно достигается?
11. Применение интегральных законов 109 г) Используя теорию размерностей, в частности II теорему, см. главу 10, показать, что задача автомодельна, сводится к опреде- определению функций от одной комбинации г т t вида r/ta. Сохраняет- Сохраняется ли автомодельность, если давление в бесконечности р^ ф 0? д) Рассмотреть задачу при Роо ф 0. е) Возможны ли аналогичные постановки задач, если взрыв про- происходит не в точке, а на прямой или на плоскости? 11. Применение законов сохранения массы, количества движения, моментов количества движения в интегральной форме для определения сил и моментов, действующих на тела, движущиеся в жидкости (метод контрольных поверхностей) При изучении движения тел относительно жидкости часто интересуются не детальным распределением скорости и давле- давления в жидкости, а лишь интегральными характеристиками дви- движения, например, суммарными силой и моментом, действующи- действующими на тело со стороны жидкости. Ответ в ряде случаев можно получить, не обращаясь к дифференциальным уравнениям, а ис- используя интегральную форму соответствующих законов, запи- записанных для некоторого объема, выбранного удобным образом и называемого контрольным. Его граница называется контроль- контрольной поверхностью. Для установившегося движения законы G.1) — G.3) со- сохранения массы, количества движения, момента количества дви- движения для жидкости в объеме V можно записать в виде jpvnda = 01 A1.1) Е j pvvn da = j pFdV + J Pn da, A1.2) E V E fp{r xv + k)vn dZ=Jp{r xF + h)dV +j(r xpn + Qn)da, A1.3) EVE
110 Глава 2. Общие законы и уравнения где Е — граница объема V; vn — нормальная составляющая ско- скорости среды на Е. Входящие в эти соотношения интегралы по объему есть главный вектор и главный момент внешних массо- массовых сил и пар, значения которых для любого объема V обычно известно. Например, если массовые силы — это силы тяжести, то / pFdV есть просто вес жидкости в объеме V. v Контрольный объем V выбирается так, чтобы поверхность интересующих нас тел была частью его границы, и чтобы на остальной части его границы параметры среды были в достаточ- достаточной степени известны. Силы и моменты, действующие на тела, представляются интегралами от плотностей поверхностных сил и моментов по поверхности этих тел, поэтому они могут быть определены из A1.2) и A1.3), если интегралы по остальной части границы Е, входящие в A1.2) и A1.3), известны. Такой метод нахождения величины суммарного воздействия жидкости на тела называется методом контрольных объемов или мето- методом контрольных поверхностей. При решении ряда задач этого параграфа нужно использо- использовать, кроме соотношений A1.1) — A1.3), интеграл Бернулли, который для несжимаемой жидкости записывается в виде 2 !L + l-U = C, (H.4) 2 р где U — потенциал массовых сил, С = const вдоль линии то- тока. Интеграл Вернулли A1.4) имеет место при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости в поле потенциаль- потенциальных массовых сил, см. задачу 10.15. Задачи 11.1 а) Показать, что законы сохранения массы, количества движения, момента количества движения для установившихся движений записываются в виде A1.1) — A1.3). б) Написать в аналогичном виде закон сохранения энергии.
tl. Применение интегральных законов 111 11.2 Показать, что для любой замкнутой поверхности Е вер- верны равенства / роп da — О, / г х роп da = О, где п — единичный вектор нормали к S, а ро = const. 11.3 В трубе, по которой течет жидкость, находятся непо- неподвижные тела Л и В. Пусть Ei и Е2 — поперечные сечения трубы далеко впереди и позади тел А и В; символом Г обозна- обозначим стенки трубы между сечениями Ei и Е2, см. рис. 11.1. п Рис. 11.1. Течение установившееся, обтекание тел безотрывное, массовых сил и пар, а также массовых притоков энергии нет. Все параме- параметры потока в сечениях Ei и ?2 известны. а) Найти главные вектор сил Я и момент М сил и пар, действу- действующих со стороны жидкости на тела А и В и стенки трубы Г, а также приток энергии W от жидкости к Л, В и Г. б) Как изменятся формулы для Д, Ми W, полученные в пункте а), если учесть силу тяжести? в) Упростить формулы для й, М и ТУ, полученные в пункте а), считая, что в сечениях Ei и Е2: 1) моментные напряжения, внутренний момент количества дви- движения жидкости и приток немеханических видов энергии отсут- отсутствуют; 2) напряжения сводятся к давлению, рп = -рп; 3) скорость V, плотность р и давление р постоянны по сечению. г) Верны ли полученные в пункте а) формулы для Я, М и W при наличии разрывов характеристик движения в жидкости?
112 Глава 2. Общие законы и уравнения 11.4 а) На плоскую неограниченную твердую неподвижную стенку натекает и растекается по ней струя невесомой (F = 0) идеальной (рп — —рп) жидкости. Далеко от области встречи струи со стенкой площадь поперечного сечения струи равна 5, давление, скорость и плотность жидкости в струе постоянны по ее сечению и равны ро> ^о5 Ро', скорость v0 составляет со стенкой острый угол а. Давление в окружающей среде равно ро- Жид- Жидкость несжимаемая. Определить дополнительную суммарную силу Я, действую- действующую на стенку при наличии струи. Имеется в виду, что R есть разность между силой, действующей на стенку при нали- наличии струи, и силой, действующей на нее за счет внешнего давле- давления ро при отсутствии струи. б) Рассмотреть эту задачу в случае плоской струи толщиной /. Кроме величины равнодействующей (на единицу ширины стен- стенки), найти ее точку приложения О, а также скорости и толщины струй, растекающихся по стенке, на больших расстояниях от ме- места встречи струи со стенкой. б) Рис. 11.2. в) Подсчитать скорость вертикальной водяной струи с попереч- поперечным сечением площади 0.01 м2, необходимую для того, чтобы удержать платформу со стоящим на ней клоуном. Вес клоуна с платформой равен 81 кгс. 11.5 а) Осесимметричная струя идеальной несжимаемой жидкости натекает на препятствие в виде соосного с ней конуса, см. рис. 11.3 а). Угол раствора конуса равен 2а. Далеко впереди
11. Применение интегральных законов 113 конуса площадь поперечного сечения струи равна 5, скорость и давление одинаковы во всех точках сечения и равны v и р. Да- Далеко от вершины конуса вниз по течению скорость и давление также выравниваются по сечению. Движение установившееся, давление в окружающей среде равно р0 = const, сила тяжести несущественна. Вычислить дополнительную, см. задачу 11.4 а), силу, действующую на конус со стороны струи. а) ' б) Рис. 11.3. б) Найти силу воздействия струи на препятствие в виде полу- полусферы, см. рис. Л.3 6). 11.6 По гладкой (без тре- трения) горизонтальной поверх- поверхности движется тележка, на которой стоит закрытый со- сосуд с налитой в него жидко- жидкостью, см. рис. 11.4. Общая масса жидкости, сосуда и те- тележки равна га. Давление над свободной поверхностью жид- жидкости в сосуде pi, давление в окружающей среде ро < Pi- В задней вертикальной стенке Рис. 11.4. сосуда имеется отверстие, че- через которое выливается струя сечением So. Пренебрегая изме- изменением массы га и считая жидкость идеальной и несжимаемой, вычислить ускорение, с которым движется тележка под действи- действием вытекающей струи. Силу тяжести при вычислении скорости истечения струи не учитывать. СУ
114 Глава 2. Общие законы и уравнения 11.7 Из большого сосуда через затопленный в жидкость цилиндри- цилиндрический насадок (насадок Ворда) с поперечным сечением S происходит установившееся струйное истечение идеальной невесомой жидкости пло- плотности /?. Давление в сосуде дале- Рис. 11.5. ко от отверстия с насадком равня- равняется pi, во внешнем пространстве ро < р\] So — поперечное сечение истекающей струи далеко от сосуда. Определить коэф- коэффициент сжатия струи So/S. 11.8 а) В бесконечной цилиндрической трубе, заполненной несжимаемой идеальной жидкостью, с постоянной скоростью v движется твердое тело. Далеко перед и за телом жидкость по- покоится, движение жидкости в системе, связанной с телом, уста- установившееся, массовые силы отсутствуют. Действует ли на тело сила реакции жидкости: сопротивление, подъемная сила? б) Пусть в трубе движется не одно, а несколько тел с одинако- одинаковыми скоростями. Остальные условия те же, что и в п. а). Что можно сказать о силе реакции жидкости на эти тела? в) За движущимся в трубе телом образовалась конечная полость, заполненная газом, паром или жидкостью. Чему равно сопроти- сопротивление тела? ч\\\\\\\Л Рис. 11.6. 11.9 а) Получить формулу для силы сопротивления тела, простирающегося вниз по потоку до бесконечности, где площадь его поперечного сечения равна So. Тело обтекается идеальной несжимаемой невесомой жидкостью в цилиндрической трубе с площадью поперечного сечения S. Движение жидкости устано- установившееся, характеристики течения далеко перед телом постоян-
11. Применение интегральных законов 115 ны по сечению и равны vi, p\ и /?, скорость в бесконечности вниз по потоку также постоянна по сечению трубы, см. рис. 11.6. б) Что можно сказать о силе сопротивления такого и так обте- обтекаемого тела в безграничном потоке жидкости, т. е. если S —> оо при So — const? в) Сохраняются ли заключения о силе сопротивления, если тело простирается до бесконечности вперед по потоку? 11.10 Имеется решетка крыльев — бесконечная система одинаковых бесконечно длинных цилиндричес- ких крыльев с параллельными обра- образующими, расположенных периоди- периодически. На рис. П.7 показаны про- профили крыльев, т. е. их сечения плос- плоскостью, перпендикулярной образу- образующим. Через / обозначен вектор периода решетки. Решетка об- обтекается установившемся потоком идеальной несжимаемой жид- жидкости перпендикулярно образующим. Поля скорости и давления имеют период / и выравниваются вдали от решетки. а) Установить связь между силой й, действующей на единицу длины одного крыла и скоростями потока перед и за решеткой. б) Устремляя / к бесконечности, получить формулу Жуковско- Жуковского для силы воздействия потока на единицу длины одиночного крыла '. R = pv^ х Г, Г = (bv-ds, с где Г — циркуляция скорости по контуру С, охватывающему профиль крыла, Г — вектор величины Г, направленный перпен- перпендикулярно плоскости течения. в) Получить формулу Жуковского, рассматривая обтекание одиночного профиля в отсутствие других. 11.11 Найти сопротивление тела при его движении в несжима- несжимаемой жидкости с учетом существования за телом спутной струи жидкости. Считать известным распределение скорости в спут- спутной струе вдали от тела, где можно пренебречь вязкими напря-
116 Глава 2. Общие законы и уравнения жениями и считать давление в струе равным давлению в окру- окружающей жидкости Poq. Внешними силами скорость тела v под- поддерживается постоянной. Провести вычисления, выбирая кон- контрольную поверхность: а) неподвижной относительно тела; б) неподвижной относительно жидкости на бесконечности. 11.12 Найти силу, действующую на ракету, которая летит с постоянной скоростью v и выбрасывает в единицу времени массу т. Считать известным распределение скорости в струе за раке- ракетой вдали от ракеты, где можно пренебречь вязкими силами и считать давление равным давлению в окружающей среде р^. Рис. 11.8. 11.13 Вывести формулу для силы тяги ракетного двигателя, см. рис. 11.8, при установившемся истечении струи из его сопла. По определению эта сила есть сумма поверхностных сил, дейст- действующих на двигатель по его внутренней Е и внешней Ео поверх- поверхностям. Количеством движения поступающего в камеру сгора- сгорания горючего пренебречь. Получить формулу для тяги в случае расчетного сопла, когда давление в вытекающей струе на выходе из сопла pf равно давлению в окружающей среде ро- 11.14 По неподвижной искри- искривленной трубе движется идеаль- идеальная жидкость или газ, рис. 11.9. а) Вычислить силу реакции R жидкости на трубу при устано- установившемся движении, если р\, р\ и Vi — характеристики течения во входном сечении трубы, пло- площадь которого 5i, а рг, Vi и V2 — в выходном сечении площа- площади $2. Рассмотреть случай, когда R ф 0. В частности, испыты-
11. Применение интегральных законов 117 вает ли труба силу реакции, если р\ = р2, Pi — V2-> ^\ — Щ^ но направления V\ и v2 разные? б) Определить точку приложения силы R. в) Вычислить силу, с которой пожарный должен держать бранд- брандспойт, из которого бьет струя воды. Брандспойт представля- представляет собой сужающуюся трубу, насаженную на подающий воду шланг. Диаметры входного и выходного сечений 8 см и 2 см. Скорость воды на выходе из брандспойта 15 м/с. При вычисле- вычислениях вязкостью воды пренебречь. 11.15 Труба постоянного поперечного сечения изогнута под прямым углом. В одно ее сечение втекает с постоянной скоро- скоростью, а из другого вытекает идеальная несжимаемая невесомая жидкость. Испытывает ли труба силу реакции? Какую? 11.16 По цилиндрической тру- . , бе сечения S со скоростью v\ и давлением р\ течет поток идеаль- , ,, нои несжимаемой невесомой жид- жидкости. Внезапно поток переходит в более широкую, также цилинд- цилиндрическую трубу сечения S2. На сравнительно небольшом расстоя- рис цю. нии от места внезапного расшире- расширения трубы скорость жидкости по сечению трубы выравнивается и принимает значение v2 < ui, а давление — значение р2 > р\. Считая, что течение происходит согласно схеме рис. 11.10 и во всем сечении А давление равно pi, с помощью закона сохранения количества движения и интеграла Бернулли вычислить потерю давления р2 — р2, к которому приводит внезапность расширения трубы. Здесь р — плотность жидкости, р2 — давление, которое возникло бы в широкой части трубы при плавном расширении. 11.17 В вертикальной достаточно длинной и широкой трубе постоянного поперечного сечения в идеальной несжимаемой ве- весомой жидкости движется с постоянной скоростью v тело объ- объема Vi; за телом образовался присоединенный газовый пузырь объема V2. Определить вертикальную проекцию R силы, дей- действующей со стороны жидкости на тело с пузырем, предполагая,
118 Глава 2. Общие законы и уравнения что жидкость покоится далеко впереди и сзади тела. Может ли эта проекция превысить вес тела? лопатки турбины Рис. 1L1L 11.18 Определить суммарный гидродинамический момент, дей- действующий на вращающееся коле- колесо турбины, относительно ее оси. Считать, что движение жидкости относительно колеса в среднем ус- установившееся, жидкость идеаль- идеальная, несжимаемая и невесомая; внутренний момент количества движения в жидкости, а также распределенные массовые и по- поверхностные пары отсутствуют. 12, Уравнения моментов количества движения Закон сохранения полного момента количества движения ин- индивидуального объема сплошной среды V, ограниченного по- поверхностью Е, имеет вид G.3) jt f{rxv+k)pdV = IrxFpdV+J hpdV+J rxpnda+J Qnda, V V V E E где г — радиус-вектор точек среды; v — скорость; р — плот- плотность; pF — объемная плотность массовых сил; рп — поверх- поверхностная плотность поверхностных сил; рк — объемная плот- плотность внутреннего момента количества движения; ph — объ- объемная плотность моментов массовых пар и Qn — поверхност- поверхностная плотность моментов поверхностных пар (вектор моментных напряжений). Индекс п в обозначениях рп и Qn указывает на зависимость рп и Qn от ориентации площадки. Этот закон позволяет ввести тензор моментных напряжений Q = Q^titj такой, что на любой площадке с нормалью п в дан- данной точке Qn = Q^rijti.
12. Уравнения моментов количества движения 119 Уравнение полного момента количества движения можно за- записать при условии достаточной гладкости входящих в него функций в дифференциальной форме Pjt (г х v + к) = рт х F + ph + Vj(r x rf + Q3), где Q3 = QtJ'et- и р? = pVe,-. В силу уравнений движения среды где р = plJei€j — тензор напряжении, уравнение полного момен- момента количества движения преобразуется в уравнение внутреннего момента количества движения G.8) - р*) (в,- Наличие внутреннего момента количества движения связано с тем, что сплошная среда с „микроскопической" точки зрения со- состоит из частиц, которые могут обладать согласованным момен- моментом количества движения (например, за счет вращения), даже если макроскопическая скорость среды равна нулю, см. рис. 12.1. к=0 Рис. 12.1. Внутренним моментом количества движения могут обладать гранулированные среды и суспензии, смеси с вращающимися ча- частицами, среды с квантовыми и гиромагнитными свойствами, магнитные жидкости, жидкие кристаллы и другие среды. В систему уравнений механики сплошной среды необходимо включать определяющие уравнения для входящих в уравнения моментов количества движения величин.
120 Глава 2. Общие законы и уравнения По аналогии с теорией твердого тела вводят, иногда условно, угловую скорость Я внутреннего вращения такую, что к = I • П, I — заданный тензор внутренних моментов инерции среды, рас- рассчитанный на единицу массы. Для сред с гиромагнитными свой- свойствами М = 7 • к, где 7 — тензор гиромагнитных коэффициен- коэффициентов, М — намагниченность среды. Вид массового момента сил зависит от физики явления. На- Например, ph—MxH для намагничивающихся сред в магнитном поле Н, ph = Р х Е для поляризующихся сред в электрическом поле, Р — вектор поляризации, Е — напряженность электриче- электрического поля. Тензор Q может быть связан с тензором градие0*гов V12, и, кроме того, с учетом упругости внутренних поворотов, с Vnt-, где П{ — три ортонормированных вектора, составляющих ор- ортогональную матрицу внутренней ориентации. Примером сред с внутренней ориенитацией могут служить нематические жид- жидкие кристаллы, в которых имеется достаточно упорядоченное расположение длинных молекул, см. рис. 12.2. Твёрдый кристалл Нематический жидкий кристалл Рис. 12.2. Изотропная жидкость Выделенное направление в нематическом жидком кристалле можно характеризовать одним вектором ориентации л, являю- являющимся в общем случае функцией времени и координат, или, более точно, тензором пп с компонентами щп^, если свойства жидкого кристалла в направлениях п и —п одинаковы. В моментной теории упругости тензор Q считается завися- зависящим от вторых производных вектора перемещений V-iVjWk, на- например от
12. Уравнения моментов количества движения 121 Существуют модели сплошных сред, в которых антисиммет- антисимметричная часть тензора напряжений р выражается через разность (П - о;), где ш — вектор вихря среды. Отметим, что этот век- вектор не зависит от скорости вращения системы отсчета как абсо- абсолютно твердого тела, поэтому его присутствие среди аргумен- аргументов функций, определяющих тензор напряжений, допустимо, не противоречит аксиоматическому принципу независимости урав- уравнений состояния сплошной среды от выбора системы отсчета, движущейся как твердое тело, в том числе неинерциально. Вообще говоря, тензор напряжений при наличии внутренне- внутреннего момента количества движения и распределенных пар может быть и симметричным. Задачи 12.1 На основании закона сохранения момента количества движения произвольного индивидуального объема сплошной сре- среды показать, что можно ввести тензор моментных напряжений Q = Q^aej такой, что Qn = Q2n^ Q3 = Qx*ti, где Qn — поверх- поверхностная плотность моментов поверхностных пар, действующих на площадке с нормалью п. 12.2 Вывести уравнения моментов количества движения. 12.3 Получить из закона сохранения момента количества дви- движения сплошной среды уравнения Эйлера для угловой скорости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой в проек- проекциях на оси координат, связанные с телом. Считать, что вну- внутренний момент количества движения отсутствует. 12.4 В моментной теории упругости рассматриваются мо- модели, в которых учитываются моменты распределенных поверх- поверхностных пар Qn, а внутренний момент количества движения и распределенные массовые пары отсутствуют. Для таких сред: а) с помощью уравнений моментов количества движения исклю- исключить из уравнений движения антисимметричную часть тензора напряжений; б) показать, что в случае однородного напряженного состояния, когда тензор моментных напряжений не зависит от координат, тензор напряжений симметричен.
м н 122 Глава 2. Общие законы и уравнения 12.5 Свободно подвешенный железный сте- стержень, первоначально покоящийся и ненамаг- ниченный, будучи помещенным в магнитное поле if, параллельное его оси симметрии, од- однородно намагничивается до величины М. В процессе намагничивания М \\ Н. Стержень начинает вращаться вокруг оси с угловой ско- Рис. 12.3. ростьюа; (гиромагнитный эффект Энштейна- де Гааза). Известны масса стержня т и его момент инерции / относительно оси вращения. Используя за- закон сохранения полного момента количества движения, найти гиромагнитный коэффициент у = 7л/3, считая тензор гиромаг- гиромагнитных коэффициентов 7 шаровым. Задачи 12.6 — 12.16 посвящены установлению возможного вида различных определяющих соотношений для сред с внутрен- внутренним моментом количества движения. 12.6 Производная Яуманна от тензора Т, см. задачу 5.33, определяется формулой / где ti — базис неподвижной пространственной системы коор- координат; Тгз — компоненты тензора Т в этом базисе, а величины ujij — 0.5 (V,*Vj - VjVt) СУТЬ компоненты тензора вихря. Для абсолютно твердого тела, тензор моментов инерции ко- которого относительно центра масс есть I, показать, что DjI = 0. 12.7 Ротатором называется абсолютно твердое тело, тензор моментов инерции которого относительно центра масс имеет од- одно нулевое собственное число, а остальные два его собственных числа равны между собой. а) Что представляет собой ротатор геометрически? б) Связать угловую скорость ft ротатора, считая ее по опреде- определению ортогональной его оси п, со скоростью изменения ориен- ориентации ротатора со временем dn/dt. Векторы ft, n и dn/dt образуют правую тройку. Проверить, что П не меняется при замене п на —п.
12. Уравнения моментов количества движения 123 12.8 Показать, что если внутренний момент количества дви- движения отсутствует, то момент количества движения ротато- ротатора К, см. задачу 12,7, пропорционален вектору его угловой скорости П с некоторым постоянным коэффициентом. Доказать, что этот коэффициент пропорциональности не за- зависит от времени. 12.9 Используя теорию тензорных функций, см. параграф 6, установить общий вид функции, определяющей зависимость на- намагниченности М нематического жидкого кристалла с вектором ориентации п от магнитного поля Я, от тензора пп и метриче- метрического тензора g. Считать, что функция М зависит от Н линейно и однородно. Найти произведение М х Н. 12.10 Найти общий вид тензора моментных напряжений Q, зависящего от тензора Vfi и от метрического тензора g. Счи- Считать зависимость Q от Vfi линейной и однородной. Разделить тензор Q на симметричную и антисимметричную части. 12.11 Найти общий вид тензора моментных напряжений Q как функции тензоров Vfi и пп, где п — вектор ориентации среды, а также метрического тензора g. Считать зависимость тензора Q от Vfi линейной и однородной. Какие упрощения произойдут при замене Vfi на Vn, если \п\ = 1? 12.12 Для тензорной функции Q(Vn, n,€,g), линейной и од- однородной по первому аргументу, найти скалярный „потенци- „потенциал" C/(Vn, nn, g) такой, что справедливо равенство где ег:>к — компоненты тензора Леви-Чивита; |п| = 1. 12.13 Используя теорию тензорных функций, установить общий вид антисимметричной части тензора напряжений р, по предположению, зависящей от вектора (П - ш), тензора пп, метрического тензора g и тензора Леви-Чивита ?, считая зави- зависимость от (П-од) линейной и однородной.
124 Глава 2. Общие законы и уравнения 12.14 В теории нематических жидких кристаллов использу- используется вектор ориентации п, \п\ = 1. Он имеет только две не- независимые компоненты, определяемые из векторного уравнения внутеннего момента количества движения. Считая, что имеют место определяющие уравнения, см. задачи 12.7 — 12.9, 12.13, ), ^ = 0, ph = MxH, Q = 0, at '' at (Зп{п • Я), рч - p>{ = 2eiik {agkl + Ьпкщ) (п1 - и1) , для намагничивающегося жидкого кристалла: а) составить уравнение внутреннего момента количества дви- движения; б) показать, что при а + Ь = 0 проекция этого уравнения на направление п является тождеством; в) выразить при Ь = —а антисимметричную часть тензора на- напряжений р через производную Яуманна dn Djn =--wxn, at где и> — вектор вихря. 12.15 Массовая сила pF, действующая на единицу объема на- намагничивающегося тела, равна pF = 0.5(МгУ//г- — Нг^7М{). Ис- Используя в случае намагничивающегося нематического жидкого кристалла с ориентацией п зависимость М = аН + /3n(n- H) на- намагниченности М от магнитного поля Я, найти силу /?F, считая а и /3 постоянными. 12.16 В модели нематического жидкого кристалла с ориента- ориентацией п симметричный тензор вязких напряжений г есть функция от тензора скоростей деформаций е, тензора пп и метрического тензора g. а) Найти общий вид этой функции. б) Найти вид этой функции, если она линейна и однородна по е. 12.17 Между двумя параллельными пластинами, одна из ко- которых движется с постоянной скоростью, а другая неподвижна,
12. Уравнения моментов количества движения 125 осуществляется такое установившееся (сдвиговое) течение сре- среды, что его компоненты скорости в декартовой системе коорди- координат, ось я*з которой перпендикулярна пластинам, имеют вид г*1 = 2еа*2. ^2 — V3 = 0, е = const. Среда представляет собой намагничивающийся нематический жидкий кристалл с ориентацией п. Система помещена во внеш- внешнее магнитное поле, индуцирующее однородное постоянное поле Н внутри потока. Используя уравнение внутреннего момента количества движения и определяющие уравнения -Н), Q = 0, П=пх^, at р = -pg + 2це + 0.5\eijk{6? - пкщ){п1 - и:1)еге\ где е — тензор скоростей деформаций, а> — вектор вихря пото- потока, р — давление, найти допустимые стационарные однородные положения ориентации при: а) Н \\ ш; б) Н _L ш. Вычислить коэффициент эффективной вязкости, определяемый величиной О.Ьрп/еп- При какой ориентации среды п анизотропия среды не влияет на величину напряжений в ней? 12.18 Для магнитной жидкости намагниченность М связана с магнитным полем Н уравнением at T где х — коэффициент магнитной восприимчивости среды, г — время релаксации. Это уравнение описывает эволюцию векто- вектора М вблизи его равновесного значения хН- Остальные опреде- определяющие уравнения имеют вид Q = 0, р = -pg + 2/ле + 0.5А^ (пк - ик) eV, где р — давление; е — тензор скоростей деформаций; и) — век- вектор вихря. Пусть имеется установившийся поток магнитной жидкости в однородном постоянном магнитном поле Н и его компоненты скорости в декартовой системе координат равны vx = 2еу, vy = vz — 0; е = cqnst. Найти стационарное однородное распределение векторов вну- внутреннего вращения П и намагниченности М при \lj\t <С 1. Вы- Вычислить коэффициент эффективной вязкости О.Брп/еи-
Глава 3. Термодинамика сплошных сред 13. Основные законы и понятия термодинамики Первый закон термодинамики Первый закон термодинамики (закон сохранения энергии) утверждает, что для любой термодинамической системы суще- существует однозначная функция состояния системы — энергия ? такая, что для любого элемента процесса, происходящего в си- системе, выполняется равенство d? = dA& + dQ(e) + dQ**, A3.1) где d? — дифференциал энергии ?, а остальные входящие в уравнение величины d.A^\ dQ^ и dQ** не являются дифферен- дифференциалами каких-либо функций; dA^ — работа действующих на систему внешних сил; dQ^ — приток тепла к системе извне; dQ** — другие возможные притоки энергии извне за время dt. Изменение кинетической энергии ?кин системы описывается уравнением, называемым еще теоремой живых сил, , A3.2) где dA^ — работа внутренних сил. Как следствие уравнений A3.1) и A3.2) можно записать уравнение притока тепла dU = -dA® + dQ^ + dg**, A3.3) где по определению U — ? - ?KVm — внутренняя энергия.
13 Основные законы и понятия термодинамики 127 Для индивидуального объема V сплошной среды, ограничен- ограниченного поверхностью Е с внешней нормалью п можно записать /v2 f v v dA& = f(F- v)p dt dV + f{pn • v) dt da, V E dQ{e) =Jp dWc dV- Jqn dt da, V E dQ** = Jpdq^dV - Jq?dtd<r. V E Здесь и — плотность внутренней энергии (внутренняя энергия единицы массы); dqMgiCC — массовый приток тепла, т. е. поступа- поступающий непосредственно к внутренним точкам V, как, например, джоулево тепло, за время dt в расчете на единицу массы; qn — количество тепла, поступающее через поверхность Е в напра- направлении нормали п за единицу времени, на единицу поверхности; ^?масс и ?п* — соответствующие притоки других возможных ви- видов энергии, отличных от тепла и работы макроскопических сил. Далее для краткости dQ** будем называть добавочным притоком энергии, см. задачу 14.15, а также § 17. Первый закон термодинамики A3.1) записывается в виде A3.4) V Е V Е Из A3.4) в области, где движение описывается гладкими функциями, получается дифференциальное уравнение энергии для сплошной среды Р где с^асс = dqMacc + dq^cc, q*k = qk + q**k; qk и q**k — компонен- компоненты векторов потоков тепла q и потока добавочной энергии д**.
128 Глава 3. Термодинамика сплошных сред Уравнение живых сил A3.2) дает 4% = (F ¦ v) + -V{(pklvk) - V'V№, A3.6) at I р р а уравнение A3.3) приводит к дифференциальному уравнению притока тепла где dq = dqMacc - Vkqkdt/p — плотность полного притока те- тепла, т. е. полный приток тепла к единице массы; аналогично, dq** = dq?*cc — V/ьд*** dt/p — полный приток добавочной энер- энергии. Величина -pMVivk A3.8) Р представляет собой взятую с обратным знаком работу внутрен- внутренних поверхностных сил на единицу массы в единицу времени, см. задачу 10.21. Отношение величины притока тепла к единице массы в неко- некотором процессе к соответствующему изменению температуры в этом процессе называется удельной теплоемкостью с = dq/dT. Величина теплоемкости зависит не только от материала, но и от процесса, который в нем происходит. ' Закон теплопроводности Фурье для изотропных тел гласит 9=-xgradT, A3.9) где х— коэффициент теплопроводности, Г — температура. Для анизотропных сред закон Фурье имеет вид qm = -x^kVkT, A3.10) где xmk — компоненты тензора коэффициентов теплопроводно- теплопроводности. Процесс называется адиабатическим, если для любой малой частицы приток тепла равен нулю, т. е. dq = 0. Процесс называ- называется изотермическим, если температура любой частицы сохра- сохраняется во времени, т. е. dT/dt = 0.
13. Основные законы и понятия термодинамики 129 Второй закон термодинамики Второй закон термодинамики утверждает, что для любой термодинамической системы существует функция состояния си- системы — энтропия 5, такая, что для любого малого участка процесса, происходящего в системе, выполняются соотношения dS = deS + d{S, <hS > 0. - A3.11) Здесь dS — дифференциал энтропии, d.eS и d\S — не дифферен- дифференциалы, а просто бесконечно-малые величины, имеющие следую- следующий смысл: deS — приток энтропии извне, d\S — производство энтропии в системе, которое происходит, если процесс необра- необратимый. Для обратимых процессов d\S == 0. Процесс называется обратимым, если 1) возможно провести его по тем же состояниям в обратную сторону, 2) в прямом и обратном процессах притоки энергии извне во всех формах для всех частей системы отличаются только знаками. Обрати- Обратимые процессы описываются уравнениями, инвариантными отно- относительно изменения знака времени. Приток энтропии извне может происходить только если си- система обменивается с окружающей средой теплом или массой. Если массообмена с окружающей средой нет, а температура всех частей системы одна и та же, то deS = dQ/T. Для обратимых процессов в такой системе второй закон термодинимики имеет вид dS=Cf. A3.12) Обычно в сплошной среде температура различных точек раз- различна, а тепло к индивидуальному объему V может поступать 1) через его границу S, при этом к каждому элементу поверх- поверхности da поступает тепло (-qndtda), или 2) непосредственно к точкам объема, при этом к элементу объема dV поступет pdqMa.ccdV. Приток энтропии извне ко всему объему V за счет притока тепла представляется в виде 5 Зак. 2368
130 Глава 3. Термодинамика сплошных сред Для индивидуального объема V- сплошной среды при отсут- отсутствии массообмена с окружающей средой (за счет диффузии) второй закон термодинамики записывается в виде di* dj« ^ азлз) V V где s — плотность энтропии (энтропия единицы массы), d\s/dt — плотность скорости производства энтропии. Из A3 13) для непрерывных движений получается дифференциальное уравне- уравнение, описывающее изменение энтропии, если d\s/dt задано, Уравнение второго закона термодинамики A3.14) может быть записано в виде Tds = dq + dqf, A3.15) где dq = dqM3iCC - Vkqkdt/p, dq' = Tdxs + qkVkTdt/PT. Вели- Величина dqf называется некомпенсированным теплом. Если закон теплопроводности не зависит явно от других возможных необра- необратимых процессов, то величина dq1 /T равна плотности производ- производства энтропии за счет всех необратимых процессов, кроме те- теплопроводности, и по второму закону термодинамики является неотрицательной. Для обратимых процессов dq1 — 0. Итак, для мрделей сред, в которых механические процессы считаются обратимыми, например, для идеальных (невязких) жидкостей и газов, упругих тел, уравнение второго закона тер- термодинамики записывается в виде Tds = dq, A3.16) если нет других (кроме теплопроводности), возможных необра- необратимых процессов (необратимых химических реакций, прохожде- прохождения электрического тока и т.д.).
13. Основные законы и понятия термодинамики 131 Неравенство диссипации и тождество Гиббса Для сред с обратимыми процессами, комбинируя уравнение второго закона A3.16) и первого закона в виде уравнение при- притока тепла A3.8), можно получить соотношение du = -pkmVkvm dt + Tds + dq**, A3.17) P которое, если еще dg** = 0, связывает между собой только вну- внутренние параметры среды в любом процессе; внешние воздей- воздействия — работа внешних сил и приток тепла — исключены с помощью уравнения кинетической энергии и второго закона тер- термодинамики. При наличии необратимых процессов из первого и второго законов термодинамики вместо равенства A3.17) получается неравенство. Именно, уравнения A3.7) и A3.14) дают Согласно второму закону термодинамики d\s ^ 0, поэтому du - -pkmVkvm dt - dq** - Tds+—qkVkTdt <C 0. A3.19) P PT Неравенство A3.19) называют неравенством Клаузиуса (нера- (неравенством диссипации). Примером среды с обратимыми механическими процессами является идеальная (невязкая) жидкость. В идеальной жидкости по определению ркт = -рдкт, где р — давление. Соотношение A3.17) для идеальной жидкости при dq** = 0 принимает вид du= -^dp + Tds. A3.20) Р Движение вязкой жидкости представляет пример необрати- необратимого процесса. В вязкой жидкости где ттк — ткт — вязкие напряжения, являющиеся функциями компонент тензора скоростей деформаций ект, причем ткт = 0 при ект = 0.
132 Глава 3. Термодинамика сплошных сред Если для вязкой жидкости выполняются соотношения то неравенство A3.20) записывается в виде /ди р \ гди ^др о2 геЛтЛ+^А<0. р р! Рассматривая процессы, в которых ект малы, VkT = 0 и учи- учитывая, что и,ри Г не зависят от dp и c/s, a rtfc при малых ект малы, получим, что A3.21) может выполняться только если р _ du(p,s) ^ _ du(p,s) i _ i _ ф /9^ G/> US В действительности равенства A3.22) верны для любых про- процессов, т. е. не только при малых е&ш и при V&T = 0, так как они связывают между собой величины, которые по условию яв- явно не зависят от значений e^m и V^T. С учетом соотношений A3.22) неравенство диссипации приводится к виду -^qkWr + Tmkekm^>0, A3.23) а уравнение A3.19) дает E ^k A3.24) at Формула A3.24) дает выражение для скорости производства энтропии в вязких теплопроводных жидкостях за счет необра- необратимых процессов, связанных с вязкостью и теплопроводностью. Равенства A3.22) могут быть записаны в виде соотношения du= -^dp + Tds, A3.25) р2 верного не только для идеальных, см. A3.18), но и для вяз- вязких жидкостей, и называемого тождеством Гиббса. Его смысл состоит в том, что даже при наличии необратимых процессов связи между термодинамическими параметрами, явно не зави- зависящими от параметров, определяющих необратимость, остаются такими же, как для обратимых процессов. Подобные тождества Гиббса можно написать для других моделей сплошных сред.
13. Основные законы и понятия термодинамики 133 Принцип Онзагера В моделях сплошных сред с необратимыми процессами обыч- обычно, обобщая A3,24), принимают выражение для d[s/dt в виде "яп, A3.26) где Хп — так называемые „термодинамические силы44, хп — „потоки44. В силу требования второго закона термодинамики о неотрицательности d\s термодинамические силы и потоки не могут быть независимыми. Зависимости между ними во многих случаях описываются линейными соотношениями Хп = Lnmxm. A3.27) Соотношения A3.27) называются кинетическими соотношени- соотношениями, a Lnm — кинетическими коэффициентами. Примером ки- кинетических соотношений является закон теплопроводности Фу- Фурье A3.5) и A3.6). Принцип Онзагера — принцип симметрии кинетических ко- коэффициентов — утверждает, что если среди аргументов Lnm нет аксиальных векторов, то г пт г ran Если диссипативные процессы зависят от аксиальных векторов, например, от напряженности магнитного поля ff, то предыду- предыдущие равенства заменяются соотношениями Lnm(H) = Lmn(—H). Свободная энергия, энтальпия, термодинамический потенциал Гиббса При описании термодинамцческих свойств сплошных сред, кроме внутренней энергии и, температуры Т, энтропии s, ис- используются и другие функции состояния, в частности, свободная энергия Т = и — Ts, энтальпия (теплосодержание) г = и + р/р для жидкостей и газов, г = и - pmkSkm/p Для твердых деформи- деформируемых сред, термодинамический потенциал Гиббса Ф = г — Ts (все функции отнесены к единице массы).
134 Глава 3. Термодинамика сплошных сред О математических моделях сплошных сред Законы термодинамики используются в механике сплошных сред двояко. Во-первых, они необходимы при расчетах конкрет- конкретных процессов. Уравнение энергии входит в полную систему уравнений, описывающих движение среды, а второй закон опре- определяет класс возможных процессов, см., например, задачи 14.1 — 14.48, а также задачи из других разделов этой книги. Во- вторых, законы термодинамики используются при установлении новых моделей сплошных сред. Задать математическую модель сплошной среды — значит задать полную (замкнутую) систему уравнений, позволяющую описать движение или равновесие сре- среды. Полная система уравнений для любой модели среды состоит а) из универсальных уравнений, выполнение которых требуется для всех сред, и выражающих законы сохранения массы, коли- количества движения, момента количества движения и энергии, а также второго закона термодинамики; б) из соотношений, задающих свойства конкретной среды. Эти соотношения называют определяющими. Среди определяющих соотношений могут быть связи между равновесными параметра- параметрами состояния — тогда их называют уравнениями состояния, на- например, связь р = RpT для совершенного газа, и соотношения между параметрами, описывающими процесс — тогда их часто называют кинетическими соотношениями, например, связи меж- между напряжениями и скоростями деформаций в вязкой жидкости. При записи определяющих соотношений используют опытные данные о поведении среды и делают гипотезы о виде уравнений. Эти гипотезы должны быть согласованы с законами термодина- термодинамики. Использование следующих из общих законов связей меж- между параметрами существенно сокращает число необходимых для построения модели гипотез и экспериментов, см. параграф 16. Приведем краткую сводку соотношений, определяющих неко- некоторые классические модели сплошных сред. Эти соотношения не представляют минимальной системы, необходимой для задания модели среды, см. задачи 16.7 — 16.9, 16.13. Подробнее они рассматриваются и используются в следующих разделах книги.
13. Основные законы и понятия термодинамики 135 Определяющие соотношения для некоторых моделей сплошных сред 1. Идеальная несжимаелшя жидкость ij f ^ A3.28) где плотность внутренней энергии и(Т) — заданная функция температуры Г; р — давленние; #и — компоненты метрического тензора. 2. Идеальная сжимаемая жидкость или газ pij = -pgij, dg' = O, p = p{p,T), u = u(p,T), A3.29) где р(р. Т) и и(р, Т) — заданные функции. 3. Вязкая несжимаемая жидкость ар * 1 р — —pa -f- т , — '==i 0, do :=^: —т e<ijdt^ dt P A3.30) TJ = TJ(eki,l), u = u(l), eij = -{ViVj + VjVi), где r^(ekiiT) и t/(T) — заданные функции. Тензор с компонен- компонентами T{j называется тензором вязких напряжений. 4. Вязкая сжимаемая жидкость или газ ч = _pgij + Tij^ dq> = 1г^6г. л Р . A3.31) р = р{р,Т), и = и(р,Т), г^" = г^(е«,Г), где р(р,Т), и(р,Т) и тгэ(еы,Т) — заданные функции. В частности, жидкость называется линейно-вязкой (или нью- ньютоновской), если связь между тензорами скоростей деформаций и вязких напряжений линейна, то есть ТИ = Aiikl(T)ekl; например, для изотропной линейно-вязкой жидкости справед- справедлив закон Навье-Стокса Tij = A div vgij + 2це^, A3.32) где А и /л — коэффициенты вязкости, А = А(Г), \i — fi(T).
136 Глава 3. Термодинамика сплошных сред Идеальный или вязкий газ называется совершенным, если р = RpT, и - cvT + const, cv = const, R = const = ^Ц A3.33) тть где Rq — универсальная газовая постоянная, m — молекулярный вес газа. 5. Упругая (термоупругая) среда Pij =pij{eki,T), и = u{skUT), dq1 = 0, A3.34) где ргэ(еы, Т) и и(вк1, Т) — заданные функции, Ski — компоненты тензора деформации. Для линейной изотропной термоупругой среды с малыми де- деформациями выполнен закон Гука, который с учетом темпера- температурных напряжений имеет вид Pij = МхШц + 21Яц - а(ЗА + 2у)(Г - Т0)дц, A3.35) а плотность внутренней энергии и определяется равенством и = yJ1 + ~J2(e) + ~(ЗА + 2ii)hT0 + 9 Р (т-т\* A3<36) + 1 от 0) + с(Т - Го) + const, zi где J\(e) = g^Sij, «/2^) = ^tJ'^tjj А и ^ — коэффициенты Ламе; a; — коэффициент линейного теплового расширения; с — удель- удельная теплоемкость в процессе с неменяющейся деформацией. Во всех перечисленных моделях тензор напряжений считает- считается симметричным. Термодинамика сред с внутренним вращени- вращением и несимметричным тензором напряжений рассматривается отдельно в § 17. В последующих задачах этой главы, если не оговорено про- противное, рассматриваются процессы, в которых добавочные при- притоки энергии dq** отсутствуют.
14. Первый закон термодинамики 137 14. Первый закон термодинамики. Уравнения энергии и притока тепла. Совершенный газ Задачи 14.1 Доказать с помощью первого закона термодинамики A3.4), что для процесса теплопроводности в сплошной среде существует вектор q такой, что qn — q • п, где qn — предел отношения количества тепла, протекающего в единицу времени через площадку с нормалью п, к площади этой площадки, ко- когда площадь стремится к нулю и площадка стягивается к точке. Вектор q называется вектором потока тепла. 14.2 Из первого закона термодинамики для конечного объ- объема сплошной среды A3.4) вывести дифференциальное уравне- уравнение энергии A3.6). 14.3 Написать выражение для плотности работы внутренних поверхностных сил, т. е. величины —p^VjVidt/p, см. определе- определение A3.8), для: а) несжимаемой идеальной жидкости, см. A3.28); б) сжимаемой идеальной жидкости (газа), см. A3.29); в) несжимаемой вязкой жидкости, в частности изотропной ли- линейно-вязкой, см. A3.30),A3.32); г) сжимаемой изотропной линейно-вязкой жидкости. 14.4 Показать, что для упругой среды, и вообще для любой среды, в которой тензор напряжений симметричен, плотность работы внутренних поверхностных сил может быть представле- представлена в виде — Pt3diij, где pij, eij — компоненты тензоров напряжений и деформаций в актуальной (сопутствующей) лагранжевой системе координат.
138 Глава 3. Термодинамика сплошных сред 14.5 Написать уравнения энергии и притока тепла для: а) идеальной несжимаемой жидкости; б) идеальной сжимаемой жидкости; в) вязкой жидкости; г) упругой среды, используя определяющие соотношения A3.28) — A3.35). 14.6 Используя уравнение притока тепла, показать, что для идеальной жидкости производная удельной внутренней энергии ди(р,Т)/дТ есть удельная теплоемкость в процессе с неменяю- неменяющимся объемом. 14.7 Показать, что удельная теплоемкость упругой среды в процессе с неменяющимися деформациями равна производной du(?.:j,T)/dT. 14.8 Найти связь между удельными тешюемкостями в про- процессах с постоянным давлением (ср) и в процессах с постоянным объемом (cv) для идеального совершенного газа, см. форму- формулы A3.29) и A3.33). 14.9 Показать, что в общем случае движения вязкого совер- совершенного газа с неменяющимся объемом частиц удельная тепло- теплоемкость не равна cv. Для какого процесса в вязком газе cv явля- является удельной теплоемкостью? 14.10 Показать, что в процессах с постоянным давлением для идеальной жидкости и идеального газа приток извне тепла к еди- единице массы равен приращению плотности энтальпии г, а удель- удельная теплоемкость ср есть di(p,T)/dT. 14.11 Показать, что при адиабатических движениях идеаль- идеальной жидкости температура и давление в частицах зависят толь- только от их плотности. Верно ли это для вязкой жидкости? 14.12 а) Записать уравнения адиабаты Пуассона — соотно- соотношения между температурой и плотностью, а также между дав- давлением и плотностью для адиабатических движений идеального совершенного газа. б) Сохраняются ли они в случае вязкого совершенного газа?
14. Первый закон термодинамики 139 14.13 Найти связь между изменением температуры и величи- величиной первого инварианта тензора деформаций при адиабатиче- адиабатическом деформировании линейной термоупругой изотропной сре- среды с малыми деформациями, см. формулы A3.35), A3.36). Сравнить соотношения, связывающие напряжения и дефор- деформации в адиабатических и изотермических процессах в такой среде. 14.14 Имеется растянутый однородный стержень из линейно- линейного термоупругого материала, см. формулы A3.35), A3.36). Рассмотреть два процесса нагревания стержня: 1) когда стержень помещен в жесткую недеформируемую обо- оболочку; 2) когда жесткая оболочка отсутствует, а к торцам стержня приложены постоянные растягивающие напряжения р. Вычислить теплоемкости сЕ и ср в первом и втором процессах соответственно. Объяснить независимость ср от значений pij. 14.15 Найти связь между температурой Г и намагниченно- намагниченностью М в процессе адиабатического намагничивания среды, для которой вектор намагниченности М пропорционален вектору напряженности магнитного поля Н: М = \Н- Считать, что деформирования среды не происходит, внутренняя энергия при постоянной температуре явно не зависит от намагниченности, теплоемкость при постоянной намагниченности см постоянна, восприимчивость х подчиняется закону Кюри х — А/Т', где А = const, приток энергии от поля к среде при намагничивании определяется формулой pdq** = Н • dM. Этот приток энергии представляет собой пример добавочного притока энергии, т. е. отличного от притока тепла и работы макроскопических сил. 14.16 Известно, см. §§ 25, 26, что малые возмущения плотно- плотности и давления в идеальном газе распространяются по газу со скоростью а — \fdpjdp. Распространение звука — это процесс распространения малых возмущений, который можно считать адиабатическим. Показать, что в идеальном совершенном газе скорость звука есть функция только температуры.
140 Глава 3. Термодинамика сплошных сред 14.17 В однородной массе М совершенного газа происходит замкнутый квазистатический процесс (цикл Карно): (I) изотермическое расширение при температуре Т\ с изме- изменением плотности от р = р\ до р — р2 < р\\ (II) адиабатическое расширение до р = р3 < р2 и Т = Т2 < Т\\ (III) изотермическое сжатие при температуре Г2 до р — р4 > /?з; (IV) адиабатическое сжатие до р = pi, T = 7\. Вычислить изменение энергии газа, величину работы, совер- совершаемой газом, и количество тепла, полученное газом на каждом из четырех участков процесса и во всем процессе. Показать, что р\/р2 — Ра/ Рз- Вычислить коэффициент полезного действия цикла, определяемый как отношение работы, совершенной газом за весь цикл, к количеству подведенного к газу тепла. 14.18 Используя закон Фурье A3.9), получить выражение для плотности притока тепла dq при теплопроводности, если а) я = const; б) х— 14.19 Считая, что теплопроводность подчиняется закону Фу- Фурье, причем ус = const, написать уравнение энергии и уравнение притока тепла для следующих теплопроводных сред: а) идеальная несжимаемая теплопроводная жидкость; б) линейно-вязкий совершенный теплопроводный газ; в) линейное термоупругое тело. В каких случаях уравнение энергии сводится к классическому уравнению теплопроводности dT/dt = хЫ-> X — const? 14.20 Из уравнения энергии для стационарного адиабатиче- адиабатического движения идеальной жидкости в потенциальном поле мас- массовых сил вывести соотношение г?2/2 + г — U = const вдоль линии тока (интеграл Бернулли). Здесь г = и+р/р — удельная энталь- энтальпия, U — потенциал массовых сил. 14.21 Найти стационарное распределение температуры в од- однородном покоящемся слое сплошной среды с постоянной тепло- теплопроводностью, расположенной между двумя бесконечными па- параллельными пластинами с постоянными температурами Т\ и Г2 соответственно. Толщина слоя равна h.
14. Первый закон термодинамики 141 14.22 Рассмотреть течение Куэтта — стационарное течение линейно-вязкой жидкости между двумя бесконечными парал- параллельными пластинами, одна из которых покоится, другая дви- движется с постоянной скоростью t'o- Расстояние между пластина- пластинами равно /i, давление р = const. Скорость жидкости на пласти- пластинах равна скорости пластин, см. уравнения и граничные условия для вязкой жидкости в § 20. Пусть жидкость теплопроводная, коэффициенты вязкости и теплопроводности постоянны. Темпе- Температуры пластин постоянны и равны Т\ жТ<1^Т\ соответственно. Найти" стационарное распределение температуры в слое жидко- жидкости. Чему равен максимум температуры в жидкости? Провести вычисления при Тх — Тъ — 30°С; vq — 10 м/с, h — 1 см, а) для воды (fi « 0, 01 г/см -с, >с « 6 • 104 см/с3 • град); б) смазочного масла (/i « 4 г/см -с, к« 1,4-104 см/с3 • град). Сравнить с аналогичным течением теплопроводной, но не- невязкой жидкости. 14.23 Рассмотреть задачу 14.22 с измененными условиями на пластинах. На одной из них вместо условия Т — Т2 выставляется условие, что пластина выполнена из теплоизолирующего матери- материала, т. е. поток тепла через эту пластину равен нулю. Чему рав- равна температура жидкости у теплоизолирующей пластины? Про- Провести расчеты с данными из пунктов а), б) задачи 14.22. в) Найти температуру среды у теплоизолирующей пластины, ес- если скорость пластины 8 км/с, среда — воздух, температура вто- второй пластины 30°С. Для воздуха принять /л/х = 7 • 10~8 с2 • град/см2. г) Возможно ли стационарное распределение температуры, если обе пластины выполнены из теплоизолирующего материала? д) Объяснить, почему решение этой задачи дает ответ на во- вопрос, насколько показания пластинчатого термометра, располо- расположенного на тонкой пластинке, поставленной по потоку, отлича- отличаются от значения Г в потоке при отсутствии термометра. Поток считать ламинарным.
142 Глава 3. Термодинамика сплошных сред 14.24 Полупространство заполнено покоящейся однородной сплошной средой при температуре Tq. В момент времени t = 0 на всей границе полупространства температура внезапно становит- становится и далее поддерживается равной Т\ ф То. Найти распределение температуры в среде в последующие моменты времени. Измене- Изменением плотности при изменении температуры пренебречь. 14.25 Что займет больше времени: прожарить одну сково- сковороду толстых котлет или последовательно две сковороды в два раза более тонких котлет? Полагать, что уложенные на сково- сковороде котлеты можно схематизировать в виде бесконечного слоя, на нижней границе которого задается температура печки Т\, а верхняя граница теплоизолирована. За время прожаривания принять время, за которое температура на верхней границе до- достигнет величины Т2. Начальная температура слоя равна Tq. 14.26 Увеличилась ли внутренняя энергия воздуха, находяще- находящегося в комнате, если температура повысилась от Т\ до Т2 > Ti, a давление не изменилось? Воздух считать совершенным газом. 14.27 Найти длину ствола ружья, необходимую для разгона пули до максимальной скорости в зависимости от начального состояния продуктов сгорания пороха с учетом давления газа перед пулей. Инерцией и вязкостью газа пренебречь. Связать начальное давление с теплотворной способностью пороха. Про- Провести расчет, если порох имеет плотность 1.6 г/см3 и теплотвор- теплотворную способность 3 МДж/кг; длина заряда 5 см, диаметр ствола 1 см; продукты сгорания пороха считать совершенным газом с 7 = cp/cv = 3; давление перед пулей равно 1 атм. 14.28 Сколько килограммов воздуха содержится в комнате размером 20 X 20 X 3 м при нормальных условиях: температу- температура 20°С, давление 1 атм? Воздух считать совершенным газом, для воздуха R = 287.042 м2/(с2 • град). 14.29 Пар впускается в цилиндр машины при постоянном да- давлении 20 атм. Ход поршня 60 см, его диаметр 20 см. Какую работу (в джоулях) совершает пар за один полный ход поршня?
15. Второй закон термодинамики 143 14,30 Камень массой 5 кг, имеющий температуру 200°С, опус- опускают в сосуд, содержащий 9 кг воды при 5°С. Удельная теплоем- теплоемкость камня 0.20 кал/(г • град). Найти конечную температуру, не учитывая потери тепла через стенки сосуда. 14,31 Совершенный газ проходит цикл Карно, см. задачу 14.17, в котором изотермическое расширение происходит при 600 К, а изотермическое сжатие — при 300 К. При какой тем- температуре должно происходить расширение, чтобы совершаемая за цикл работа удвоилась? Считать, что изменения объема и температура, при которой происходит изотермическое сжатие, остаются прежними. 14.32 Для увеличения площади поверхности жидкости на вели- величину АЕ необходимо из-за наличия поверхностного натяжения совершить работу АА = стДЕ, где а — коэффициент поверх- поверхностного натяжения. Какую работу необходимо затратить, чтобы разделить 1 л воды на капли диаметром 10~2 мм? Принять, что а = 73 дин/см. На сколько градусов можно поднять температуру воды пере- перемешиванием за счет этого количества работы? Потери тепла во внешнюю среду не учитывать. На какую высоту можно поднять 1 л воды с помощью этого количества работы? 15. Второй закон термодинамики. Энтропия. Тождество Гиббса Задачи 15.1 Вычислить изменение энтропии для каждого из четы- четырех участков обратимого цикла Карно в совершенном газе, см. задачу 14.17.
144 Глава 3. Термодинамика сплошных сред 15.2 Используя тождество Гиббса A3.25), получить выра- выражение для плотности энтропии s совершенного газа как функции а) температуры Т и плотности р, б) давления р и плотности /?, в) давления р и температуры Т, г) внутренней энергии и и плотности р. 15.3 Отличаются ли функции, определяющие энтропию вяз- вязкого газа в зависимости от параметров состояния, от аналогич- аналогичных функций, определяющих энтропию идеального газа, соот- соответствующего рассматриваемому вязкому газу, т. е. с теми же связями р(р, Т) и и(р, Г)? 15.4 Используя первый и второй законы термодинамики, най- найти выражение для плотности энтропии s и свободной энергии Т изотропной линейной термоупругой среды как функций Т ие^, а также выражение плотности внутренней энергии и как функ- функции s и Sij. Считаются заданными функции ргз(еы,Т) и и(вкиГ), см. формулы A3.35) и A3.36). 15.5 Для совершенного газа написать выражения для плот- плотности внутренней энергии и, свободной энергии Т, энтальпии г, термодинамического потенциала Гиббса Ф как функций от а) р, Г; б) р, s; в) р, р; г) р, s; д) р, Т. 15.6 Показать, что при обратимых квазистатических изо- изотермических процессах приращение свободной энергии среды равно работе внешних сил, приложенных к среде. 15.7 Показать, что в несжимаемой вязкой жидкости энтро- энтропия каждой частицы в адиабатическом движении в общем случае возрастает, а в изотермическом остается постоянной. 15.8 Показать, что при изотермическом сжатии некоторой массы совершенного газа энтропия каждой частицы и всей мас- массы газа убывает. 15.9 Показать, что при адиабатическом движении идеаль- идеальной несжимаемой жидкости температура остается постоянной, а вязкой несжимаемой жидкости-— в общем случае растет.
15. Второй закон термодинамики 145 15.10 Рассмотреть стационарный процесс теплопроводности в слое покоящейся среды, см. задачу 14.21. Что происходит с энтропией каждой частицы и всего слоя? Чему равны плот- плотность производства энтропии и притоки энтропии и тепла через границы слоя? 15.11 Ответить на вопросы задачи 15.10 для течения вязкой теплопроводной жидкости, рассмотренного в задаче 14.22. Рас- Рассчитать численные значения des/dt в условиях задачи 14.22. 15.12 Термос заполнен смесью льда и воды. Поскольку изо- изоляция термоса неидеальна, лед постепенно тает. Однако таяние происходит медленно, температура в термосе остается практи- практически неизменной и равной 0°С. Вычислить изменение энтро- энтропии, соответствующее таянию 500 г льда. Теплота плавления льда равна 79,67 кал/г. Как изменится энтропия 500 г воды при превращении ее в лед при температуре 0°С? 15.13. Вычислить изменение энтропии 500 г воды при ее испа- испарении при 100°С (при кипении). Теплота испарения при такой температуре равна 539 кал/г. 15.14 Чему равно изменение энтропии упругого стального стержня, длина которого 1 м, площадь поперечного сечения 1 см2 а) при его изотермическом растяжении до 1,001 м при темпера- температуре 15°С? б) при его адиабатическом растяжении до той же конечной дли- длины? Какова в этом случае конечная температура стержня? Какова величина растягивающей силы в случаях а) и б)? Считать, что для стали модуль Юнга Е — 2 • 106 кгс/см2, коэффициент Пуассона а = 0.25, удельная теплоемкость при по- постоянных деформациях с = 0.46 кдж/(кг • град), коэффициент линейного теплового расширения а = 12 • 10~6 1/град. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона выражаются через коэффициен- коэффициенты Ламе А и /i по формулам F_ ЗА + 2/х А
146 Глава 3. Термодинамика сплошных сред 15.15 Имеется прочный цилиндр с теплоизолирующими стен- стенками, разделенный на два равных объема А и В некоторой пе- перегородкой. Объем А заполнен совершенным газом в количе- количестве одного моля при давлении ро и температуре Tq. Объем В откачан до глубокого вакуума, так что количеством остаточно- остаточного газа и его давлением можно пренебречь. Далее перегородку разрушают и газ начинает двигаться внутри цилиндра. С тече- течением времени движение газа затухает. Тогда получается, что газ заполняет весь цилиндр и покоится. Каковы конечные да- давление и температура газа? Каковы изменения его энергии и энтропии? 15.16 Бесконечная цилиндрическая труба заполнена покоя- покоящимся идеальным совершенным газом с плотностью р0 и давле- давлением ро- Внутри трубы в некотором сечении расположен пор- поршень, который в момент t = 0 начинает двигаться вдоль трубы с постоянной скоростью г;о- Показать, что формальным решени- решением задачи о нахождении движения газа по обе стороны поршня как для области I, куда движется пошень, так и для области И, откуда он выдвигается^ может быть следующее: к поршню при- примыкают области, где газ имеет постоянные скорость, плотность и давление. Эти области с помощью разрывов (скачков параме- параметров газа) соединяются с областями, где газ по-прежнему поко- покоится. Найти это решение, если г;0 = 100 м, ро-1-013-105^, с м ро = 1.25 • 10 -^, cv = 0.169 кал , т = 1.4. г см:3 г • град' ; Используя то, что прохождение через скачок является необра- необратимым процессом, показать, что это решение для области I не противоречит, а для области II противоречит второму закону термодинамики. Условия на скачках в идеальном газе см. в задачах 18.10 и 18.11.
16. Ограничения на вид определяющих соотношений 147 16. Ограничения на вид определяющих соотношений, вытекающие из законов термодинамики и принципа Онзагера Задачи 16.1 Показать, что для сжимаемых жидкостей и газов вну- внутренняя энергия и и давление р, рассматриваемые как функции плотности р и температуры Г, т. е. функции и = и(р, Т) и р ¦=. р(р, Т), связаны соотношением др)т 16.2 Для упругой среды доказать формулы где и = и(ец<,Т) — внутренняя энергия единицы массы; через агк обозначены отношения ргк/р, где ргк — компоненты тензора напряжений; eik — компоненты тензора деформаций в сопут- сопутствующей лагранжевой системе координат. 16.3 Показать, что если для некоторого идеального газа вы- выполняется уравнение Клапейрона р — ДрТ, то плотность вну- внутренней энергии и этого газа и удельная теплоемкость при по- постоянном объеме cv являются функциями только температуры Г, и для нахождения выражения для и достаточно задать cv(T). 16.4 Показать, что выводы задачи 16.3 верны для любого идеального газа, в котором соотношение р = р(/>, Т) имеет вид 16.5 Показать, что если плотность внутренней энергии га- газа есть функция только температуры, и — t/(T), то уравнение состояния газа имеет вид р = Т/(/?), где f(p) — произвольная функция р.
148 Глава 3. Термодинамика сплошных сред 16.6 Считая, что удельная теплоемкость cv известна как функция от температуры, найти выражение для плотности вну- внутренней энергии и энтропии идеального газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса RpT 2 р ~ ар щ 1 — ор где а и 6 — постоянные. 16.7 Из определения модели сжимаемой жидкости видно, что в качестве параметров, определяющих состояние частицы жид- жидкости в общем случае можно вместо р и Т взять, например, любую из следующих пар: р и s:\р и s\ p и Т. Показать, что для задания конкретной модели вместо двух функций р(/9, Т) и и(р, Т) достаточно задать лишь одну из функ- функций м, Т, г или Ф, если параметры состояния выбраны соот- соответствующим образом. Здесь Т, г и Ф — удельные свободная энергия, энтальпия и термодинамический потенциал Гиббса со- соответственно, см. § 13. Показать, что для жидкостей и газов функции u(p,s), T(p,T), i(p,s) и Ф(р, Г) являются термодинами- термодинамическими потенциалами, т. е. выполняются соотношения а) L = (f*L\- Г=(—); б) 4=(—) ' s=-(^) ^ 16.8 Показать, что модель совершенного газа, которая обыч- обычно вводится двумя соотношениями A6.1) полностью определяется заданием только одной функции ( \ 7-1 s-sq ¦^J e cv , A6.2) т. е. что соотношения A6.1) следуют из A6.2).
16. Ограничения на вид определяющих соотношений 149 16.9 Показать, что если для упругой среды с конечными де- деформациями в качестве параметров, определяющих ее состоя- состояние, взяты Sij и s, то: а) для компонент тензора напряжений pij в сопутствующей ла- гранжевой системе координат и для температуры Т верны фор- формулы Р ~Р dei3 ' да где gij — компоненты метрического тензора лагранжевой систе- системы координат в начальном состоянии; б) компоненты рг^ в эйлеровой системе координат и температу- температура Г для изотропной упругой среды определяются формулами Мурнагана p - , 1- Это означает, что для задания конкретной модели упругой сре- среды достаточно задать одну функцию u(gij,Sij,s). 16.10 Показать, что для анизотропной линейной термоупру- термоупругой среды, в которой ргз = Аг*к1еы + Вг^ (Т - Го), где ец — малы, максимальное число независимых упругих коэффициентов Аг^к1 равно 21. 16.11 Показать, что коэффициенты вязкости линейно-вязкой изотропной жидкости, см. соотношения A3.32), должны удо- удовлетворять неравенствам А > - |/i, fi > 0. 16.12 Записать неравенство диссипации (неравенство Клаузи- уса) A3.20) для жидкостей и газов так, чтобы вместо внутрен- внутренней энергии в него входили: а) свободная энергия Т\ б) энтальпия г; в) термодинамический потенциал Гиббса Ф.
150 Глава 3. Термодинамика сплошных сред 16.13 Используя неравенство диссипации (неравенство Клау- зиуса), показать, что из предположений, что состояние частицы вязкого теплопроводного газа определяется величинами s, /?, е^т и qk, и что давление р и температура Т не зависят явно от произ- производных dp/dt и ds/dt, следует, что плотность внутренней энер- энергии газа и не зависит от параметров е^ш и qk и что выполняются равенства 16.14 При обработке экспериментов для некоторой среды — жидкости с пузырьками пара — было получено, что состояние этой среды определяется температурой, плотностью и измене- изменением плотности во времени; вязкостью можно пренебречь, а для давления выполняется соотношение d2p где /х = const. Предполагая обратимость процессов деформирования этой среды, показать, что а) функции и и s пе зависят от d2p/dt2; б) функция и зависит от dp/dt квадратично. 16.15 Для сред, в которых ргз — -рдг^ причем величина р и другие параметры состояния среды зависят от температуры, плотности и ее изменения во времени, показать, что а) если р зависит от первой производной по времени от р и не зависит от высших производных, то динамические процессы де- деформирования обязательно сопровождаются диссипацией, т. е, являются необратимыми, dq' ф 0; б) если свободная энергия зависит от производных от р по t до тг-го порядка включительно, а процессы деформирования про- происходят без диссипации, то давление должно зависеть от произ- производных от р по t до (п + 1)-го порядка, причем от производной dn+lp/dtn+l давление должно зависеть линейно.
16. Ограничения на вид определяющих соотношений 151 16.16 Уточненной моделью упругой среды можно считать мо- модель, в которой внутренняя энергия и напряжения зависят не только от 6{j и 5, но и от VkSij. Зависимость от Ец есть зави- зависимость от первых производных перемещений по координатам; уточнение состоит в учете влияния и вторых производных. По- Показать, что в уточненной модели необходимо учесть добавочный приток энергии rf<?**, см. § 13. Получить выражение для dq**. Вывести формулы, связывающие напряжения с производными от энергии и обобщающие формулы задачи 16,9. 16.17 Показать, что уравнения состояния вида Р%3 = -P9ij + Tij, p = р(р, Т), Tij = Tij + 2fieij, Tij = const противоречат второму закону термодинамики, если рассматри- рассматривается среда, определяемая параметрами Т, р и e,-j. 16.18 Для произвольной анизотропной линейно-вязкой жид- жидкости г*-7' = Atjkl(T) ем. Подсчитать максимальное возможное число независимых коэффициентов вязкости Аг^к1. Воспользо- Воспользоваться принципом Онзагера. 16.19 Для анизотропной среды с теплопроводностью, подчи- подчиняющейся закону Фурье, подсчитать число возможных незави- независимых коэффициентов теплопроводности. 16.20 Скорость производства энтропии в необратимых про- процессах диффузии и теплопроводности в смеси двух не реагирую- реагирующих между собой газов, например, азота и водорода, в условиях механического равновесия определяется формулой 9 л "" Г2 gradi ~J grad л Г2 gradi J grad т ' где индексы 1 и 2 относятся к первой и второй компонентам; q— вектор потока тепла; J = p\(vi — v) — вектор потока диффу- диффузии — потока вещества первой компоненты относительно смеси в целом; fi\ и //2 — химические потенциалы компонент, явля- являющиеся известными функциями температуры Г, давления р и концентрации компонент q и С2, определяемые как отношения
152 Глава 3. Термодинамика сплошных сред Если градиент давления равен нулю, то Hi - fi2 f 0 fix- fi2\ / д fii-ii2\ . grad-——= f— r ) gradr+ (- 7^) gradci. Принимая в качестве „потоков" векторы q и J, а в качестве л" „термодинамических сил" величины i grad Г и ^ и используя соотношения Онзагера, найти связь между коэф- коэффициентом, определяющим возникновение потока тепла за счет градиента концентрации с (эффект Дюффора), и коэффициен- коэффициентом, определяющим возникновение потока вещества (диффузии) за счет градиента температуры (эффект Соре). 17. Термодинамика сред с внутренним моментом количества движения Задачи этого параграфа в основном посвящены установле- установлению различных определяющих сооношений, согласованных с пер- первым и вторым законами термодинамики, см. §§ 13 — 16, для сред, обладающих внутренним моментом количества движения. В качестве примеров рассматриваются среды типа нематиче- ских жидких кристаллов, см. § 12, с единичным вектором ориен- ориентации п, определяющим скорость внутреннего вращения Считается, что удельная внутренняя энергия среды имеет вид и = ?вРащ + й{р, s, gij, n\ Vknl), ?вращ = - /Г22 = - Шг. Здесь ?Вращ — энергия внутреннего вращения, причем dl/dt = 0; к = iQ — вектор внутреннего момента количества движения; р — плотность среды; s — удельная энтропия. Взаимодействие среды с электромагнитным полем рассма- рассматривается как внешний фактор, поэтому в задачи специально не включена термодинамика процессов намагничивания и поля- поляризации, см. лишь задачу 17.11.
17. Среды с внутренним моментом количества движения 153 Уравнение внутреннего момента количества движения, см. § 12, приводит к уравнению изменения энергии внутреннего вращения dt и dt A7.1) где €{jk — компоненты тензора Леви-Чивита. Это позволяет дать следующую интерпретацию стоящим в правой части членам: phiiV + y?-(Q^Q*) — работа, в расчете на единицу объема и в единицу времени, внешних массовых и поверхностных пар; -pl^€ijkUk — работа внутренних поверхностных сил на измене- изменении ориентации частиц среды; —Q'^Vjil1 — работа внутренних поверхностных пар. В соответствии с этим предполагается, что полное уравнение энергии, отвечающее первому закону термодинамики, имеет вид (+)V{t3+Qi3Q3)+р{+hQi+р (т+и)= V]{pt3vi+Qi3Qi"q3) Таким образом, в средах с внутренним моментом количества движения имеют место добавочные (не тепловые) массовые и поверхностные притоки энергии С помощью уравнения изменения энергии внутреннего вра- вращения A7.1) и теоремы живых сил выводят уравнение измене- изменения функции и где отделены работы симметричной и антисимметричной частей тензора напряжений р; е — тензор скоростей деформаций; и — вектор вихря; а также введено некомпенсированное тепло
154 Глава 3. Термодинамика сплошных сред Это уравнение позволяет определить, согласно предположе- предположению о выполнении тождества Гиббса, „обратимые" части тензо- тензоров р и Q с компонентами plj6p и Q^6p. Учитывая скалярность функции й, см. задачи 17,4 — 17.5, перепишем тождество Гиббса в следующем виде: дп ^к Л /ГЛ1 7Ч /_ дп\ ds у -7"'in''"'»+ "(г " ai)л Если входящие в это уравнение величины __ L. ds ViVj = eij + ei:jku , VjQi и — являются независимыми, т. е. можно построить примеры функ- функций xl(?k,t) (закон движения среды), ^г(?^,?) и s(?fc,?), когда лишь одна (любая) из компонент указанных независимых вели- величин отлична от нуля, а остальные равны нулю, тождество Гиббса однозначно определяет тензоры рОбр? Qo6p и температуру Т. Если же между этими величинами имеются связи, например, условие несжимаемости среды, то эти характеристики определяются из тождества Гиббса с известным произволом. Вид „необратимых" частей тензоров р и Q, а также вектора потока тепла д, определяется на основании предположений об общем виде производства энтропии diS _ 1 dq' q^WT _ 1 _ ~dt~Tdt~ рт* ~ рт\ Хп~а Во многих случаях зависимость между „термодинамическими силами" Хп и „потоками" хп считается линейной и однородной Xn — Lnmxm, удовлетворяющей принципу симметрии Онзагера: т nm г ran Величина а называется также функцией диссипации.
17. Среды с внутренним моментом количества движения 155 Задачи 17.1 а) Вывести теорему живых сил в интегральной форме для абсолютно твердого тела. б) Чему равна полная работа внутренних поверхностных сил для абсолютно твердого тела, если отсутствует внутренний мо- момент количества движения, а также нет распределенных массо- массовых и поверхностных пар? в) Установить вид кинетической энергии вращения ротатора, см. задачи 12.7 и 12.8. 17.2 а) Используя уравнения движения среды и уравнение внутреннего момента количества движения, вывести уравнение изменения „полной" кинетической энергии, включающей кинети- кинетическую энергию внутреннего вращения. б) Выделить в уравнении пункта а) работу внутренних поверх- поверхностных сил, связанных с антисимметричной частью тензора на- напряжений. В каких случаях она может быть равна нулю, если тензор напряжений р не зависит от относительной угловой ско- скорости внутреннего вращения (Q — а;)? в) Каков физический смысл остальных членов уравнения п. а)? 17.3 Используя полное уравнение энергии для сред с внутрен- внутренним вращением, см. теорию к настоящему параграфу, и уравне- уравнение задачи 17.2 а), получить уравнение изменения функции и — части внутренней энергии среды без кинетической энергии вну- внутреннего вращения. 17.4 Установить дифференциальные условия инвариантно- инвариантности функции п(п\ Vjn*,^j), как скаляра, относительно беско- бесконечно малых поворотов декартовой системы координат (жг), где пг — компоненты вектора ориентации среды, Vj7il — его кова- рйантной производной, e/tj — метрического тензора. 17.5 а) Из уравнения изменения функции й, см. задачу 17.3, исключить внешний приток тепла dq _ 1 • dgMacc — _ — v^g -f- dt p ^ dt
156 Глава 3. Термодинамика сплошных сред с помощью второго закона термодинамики. Предполагал про- процессы изменения энтропии, движения, деформации и внутренне- внутреннего вращения среды независимыми и обратимыми, а также тензо- тензоры напряжений р и моментных напряжений Q не зависящими от тензоров Vv, Vfl и производной ds/dt, установить вид тензоров р и Q при следующих условиях: 1) u = u(p,s); 2) u = u(p,s,n\V3n\gij), где п — вектор ориентации среды. Использовать результат за- задачи 17.4. б) В декартовой системе координат (хг) построить примеры распределения ориентации n(xk,t) в покоящейся среде, когда от- отлична от нуля лишь одна из компонент тензора Vfi, например, V2O3 или V3Q3? остальные — нули. 17.6 Используя результаты задачи 17.5 а), записать тожде- тождество Гиббса для сред, для которых каждый из тензоров р и Q можно разложить на сумму „обратимой" и „необратимой" ча- частей. Считая заданной функцию й(р, s, п\ Vjn1,^), получить формулы для обратимых частей тензоров р и Q и температу- температуры Т. С помощью уравнения изменения функции й, см. за- задачу 17.3, установить вид некомпенсированного тепла pdqf jdt. Вывести формулу для производства энтропии <т. 17.7 а) Предположим, что необратимые части тензоров на- напряжений р и моментных напряжений Q, см. задачу 17.6, а так- также вектор -T^gradT, рассматриваемые как термодинамические силы, зависят линейно и однородно от следующих термодинами- термодинамических потоков: е, б-(О—ш) и q. Здесь е — тензор Леви-Чивита. Кроме того, предположим, что зависимость от Vfi отсутствует. Считал тензорные коэффициенты функциями метрического тен- тензора g, найти в этих условиях общий вид функции диссипации а для сред с внутренним моментом количества движения. Исполь- Использовать принцип симметрии Онзагера. б) Как изменится результат пункта а), если, считая QHeo6p = О, в качестве термодинамических сил и потоков рассмотреть соот- соответственно величины с компонентами
17. Среды с внутренним моментом количества движения 157 в) Установить соотношения между термодинамическими сила- силами и потоками, определенными в п. б), предполагая, что их ко- коэффициенты зависят от тензоров g и пп, где п — вектор ори- ориентации среды. Использовать результаты задач 6.17 и 6.20. 17.8 В случае б) задачи 17.7 привести функцию диссипации а к сумме квадратов независимых термодинамических потоков и установить неравенства на коэффициенты в соответствие со вторым законом термодинамики. 17.9 а) Показать, что вектор, стоящий в правой части урав- уравнения внутреннего момента количества движения, с компонен- компонентами VjQ'k\6p - plj6peijk, где ш e n" всегда ортогонален вектору ориентации среды п для любой до- достаточно гладкой скалярной функции й(/?, s, п\ Vjn*, <7;j), см- за~ дачу 17.4. б) Пусть P^eo6pUjk^k = 0 для любого вектора п. Найти огра- ограничения на скалярные коэффициенты и установить общий вид термодинамической силы с компонентами РнеобР6иЬ удовлетво- удовлетворяющей условиям задачи 17.7 в). 17.10 Имеется установившееся сдвиговое течение намагничи- намагничивающегося жидкого кристалла между двумя бесконечными па- параллельными пластинами, расстояние между которыми равно h. Температура обеих пластин поддерживается постоянной, равной Го. Уравнение изменения функции и имеет вид Р f = -W + pijetj + pl4ijk(uk - uk), где и = cT и вектор потока тепла q = -xgradT (с, я — по- постоянные), а остальные определяющие уравнения, распределе- распределения скорости, магнитного поля и ориентации среды те же, что и в задаче 12.17. Найти распределение температуры Г внутри потока и вычислить нормальную составляющую qn на его гра- границах. Определить распределение притока энергии dq**/dt, см. теорию к настоящему параграфу.
158 Глава 3. Термодинамика сплошных сред 17.11 Рассматривается модель несжимаемой магнитной жид- жидкости, обладающей внутренним вращением, определяющие урав- уравнения которой приведены в задаче 12.18. Предположим, что приток энергии имеет вид dq** u dM{ и пусть уравнение притока тепла для этой жидкости имеет вид где и = + + 2рХ ' Г" ' - Здесь щ, с, х, / и к — постоянные. а) Используя уравнение для внутреннего момента количества движения, второй закон термодинамики и соотношение Т - — Qs Af = const ' Л = const показать, что некомпенсированное тепло имеет вид dM п л, 2 -UX М dt б) Пусть в сдвиговом стационарном потоке такой жидкости в зазоре шириной h между двумя бесконечными параллельными пластинами, на которых поддерживается одинаковая постоян- постоянная температура То, распределения скорости, магнитного поля и параметра П те же, что и в задаче 12.18. Найти распределения температуры Т и потока тепла д. Чему равно dq**/dt7
Глава 4. Поверхности разрыва в сплошных средах 18. Условия на поверхностях разрыва Поверхность разрыва — это изолированная поверхность, на которой терпят разрыв параметры, описывающие движение и состояние среды (тогда она называется поверхностью сильного разрыва), а также поверхность, на которой сами параметры не- непрерывны, но их производные терпят разрыв (поверхность сла- слабого разрыва). Величины всех скачков параметров при переходе через по- поверхность разрыва не могут быть произвольными: в каждой точке поверхности они оказываются связанными некоторыми со- соотношениями, которые называются условиями на поверхности разрыва. Часть этих условий следует непосредственно из зако- законов сохранения массы, количества движения, момента количе- количества движения, энергии. Это условия G.11) — GЛ5), при- приведенные в § 7. На поверхностях слабого разрыва скачки про- производных получаются связанными в силу того, что по разные стороны поверхности параметры удовлетворяют некоторым си- системам дифференциальных уравнений (динамические условия). Другим типом условий на поверхности разрыва являются ки- кинематические условия, не связанные ни с законами сохранения, ни с видом уравнений по разные стороны поверхности. Кине- Кинематические условия на поверхности слабого разрыва следуют из того, что сами параметры на этой поверхности непрерывны. Кинематические условия на поверхности сильного разрыва пред- представляют собой чисто кинематические связи между скоростями (перемещениями) поверхности и среды, или среды по разные сто- стороны поверхности. В этой главе скачок величины-у? на поверхности разрыва обо- обозначается [<р].
160 Глава 4. Поверхности разрыва Задачи 18.1 Уравнение поверхности в эйлеровых переменных имеет вид /(ж1, x2,x^,t) = 0. Найти скорость движения этой поверх- поверхности по нормали к ней, направленной в сторону, где / > 0. 18.2 Величина и(х, t) зависит от одной пространственной пе- переменной х и времени t, непрерывна и дифференцируема всюду, кроме точек плоскости Е, уравнение которой f{x,t) = 0. На Е величина u(x,t) также непрерывна, но ее первые производные разрывны, то есть S есть поверхность слабого разрыва для и. Найти связь между скачками du/dt и ди/дх на S, вытекаю- вытекающую из непрерывности функции и (кинематическое условие на поверхности слабого разрыва). 18.3 Плоскость Е, задаваемая уравнением f{x,t) — 0, есть поверхность слабого разрыва для щ(х, ?),..., ип(х, t). Дополни- Дополнительно известно, что всюду, кроме точек плоскости S, функции Ui(x,t) удовлетворяют системе уравнений дщ duj где а) Найти вытекающие из этого условия связи между скачками дщ/dt и дщ/дх на поверхности Е (динамические условия на по- поверхности слабого разрыва). б) Показать, что скорость D перемещения слабого разрыва есть собственное значение матрицы ||atj||. 18.4 Одномерное адиабатическое движение идеального со- совершенного газа описывается системой уравнений, см. §§ 25, 26, ' dp dpv dv dv _ 1 dp dt dx p 9.x' P ?\i \ ~. I ' О I л#1
18. Условия на поверхностях разрыва 161 где 7 — постоянная; х — декартова координата; р — плотность; р — давление; v = vxi vy = vz = 0 — компоненты скорости. Пусть плоскость х = X(t) есть поверхность слабого разрыва параметров р, р и и. а) Написать кинематические и динамические условия, выполня- выполняющиеся при х = X(t). б) Выразить скорость D — dX/dt движения поверхности слабо- слабого разрыва через значения р, р, v на ней. 18.5 а) Используя законы сохранения массы, количества дви- движения, момента количества движения и энергии вывести соот- соотношения G.11) — G.14) на поверхности разрыва. б) Написать их в системе координат, относительно которой по- поверхность разрыва движется с заданной скоростью D = Dn. 18.6 Тангенциальным разрывом называется поверхность раз- разрыва, через которую вещество не протекает, например, граница раздела двух сред. а) Получить условия на тангенциальном разрыве из общих усло- условий G.11) — G.14) на поверхности разрыва при отсутствии на ней внешних воздействий. б) Записать эти уравнения для случая, когда на поверхности разрыва непрерывен вектор скорости (тогда она называется кои- тактным разрывом). 18.7 Пусть уравнение поверхности ? в эйлеровых перемен- переменных имеет вид f(x\t) = 0 и известно, что среда не протекает сквозь эту поверхность. Написать условие, связывающее поле скорости среды и функцию f(x%,i) = 0. 18.8 Написать условия, связывающие компоненты тензора Vita* по разные стороны от поверхности разрыва, выражающие непрерывность перемещений w = w^Bj на этой поверхности. Связать изменения ViWJ с изменением вектора скорости среды в случае ненулевого потока массы через поверхность разрыва. Получить из этих условий соотношения для компонент тензора малых деформаций. 6 Зак. 2368
162 Глава 4. Поверхности разрыва 18.9 Поверхность f(x\ t) — О разделяет две среды и является тангенциальным или контактным разрывом. Написать условия на этой поверхности, следующие из законов сохранения (динами- (динамические условия) и условия непротекания среды сквозь нее (кине- (кинематические условия), если по разные стороны от этой поверхно- поверхности находятся: а) идеальные жидкости; б) с одной стороны идеальная, а с другой — вязкая жидкости; в) вязкие жидкости; г) с одной стороны вязкая жидкость, с другой — упругое тело; д) упругие тела. Для вязкой жидкости и упругого тела записать эти условия через тензоры деформаций и скоростей деформаций, считая, что среды изотропные и подчиняются законам Навье-Стокса и Гука соответственно, см. A3.32), A3.35). 18.10 Получить условия на поверхности сильного разрыва для идеальной жидкости, следующие из G.11) — G.15), полагая в этих соотношениях, что Считать, что внешние воздействия на поверхности разрыва от- отсутствуют, то есть т = 0, Д = 0, М = 0, W = 0. 18.11 Идеальный совершенный газ, в котором р = pRT, и = cv + const, протекает сквозь поверхность разрыва, на которой нет внешних притоков массы, импульса и энергии. Считая потоки тепла qn\ и qn2 равными нулю (адиабатичность), а значения р = рь р = р\ по одну сторону поверхности разрыва известными, найти: а) Р2 как функцию /?2, где индекс 2 относится к величинам по другую сторону поверхности разрыва (адиабата Гюгонио); б) изменение энтропии $2 - si как функцию р2> в) В каких случаях справедливо соотношение S2 - s\ = 0 ?
18. Условия на поверхностях разрыва 163 18.12 Пусть несжимаемая упругая среда движется так, что все величины зависят от одной декартовой координаты х и вре- времени t и не зависят от у и z (движение в виде плоской волны). Считая, что компонента wz вектора перемещений равна ну- нулю, записать условия на разрыве х = X{t) для среды, в кото- которой касательное напряжение г = рху является функцией только 7 = dwy/dx: т = т(у). Выразить скорость разрыва относитель- относительно среды перед разрывом через скачки [Т] = Т2~Т1 И M = 72-Ti.' Найти скорость разрывов с бесконечно малым изменением вели- величин. Указать условия, при которых конечный разрыв догоняет движущиеся в том же направлении бесконечно малые разрывы перед ним и движется медленнее бесконечно малых разрывов за ним — условия эволюционности разрыва. О понятии эволюци- онности см. § 25. Найти общее выражение для зависимости внутренней энер- энергии указанной среды от у. и энтропии s. Выписать условие не- неубывания энтропии на рассматриваемом разрыве. 18.13 Исследовать соотношения на поверхности „идеального пропеллера" в совершенном газе, т. е. на поверхности разрыва, на которой имеется внешний приток импульса к газу, равный J на единице площади поверхности разрыва, а движение счи- считается обратимым с притоками тепла и массы, равными нулю. Показать, что при заданном течении газа с одной стороны от разрыва существуют два течения с другой стороны, удовлетво- удовлетворяющих условиям на разрыве; одно из них — дозвуковое, другое — сверхзвуковое. Чтобы выбрать одно из этих течений, рассмотреть вместо разрыва непрерывное одномерное течение газа в поле некоторой силы. Можно считать, например, что это течение — последова- последовательность бесконечно малых разрывов исследуемого типа. Вы- Выяснить для этого случая условия реализации на выходе одного из двух возможных течений. 18.14 а) Рассмотреть возможность моделирования тонкой прослойки маловязкой жидкости в течении вязкой жидкости с
164 Глава 4. Поверхности разрыва помощью тангенциального разрыва. Для этого рассмотреть пло- плоскопараллельное течение и = v(y)ex с непрерывной скоростью v(y), считая, что вязкость /л зависит от у следующим образом: Их лри y^h, цо при - h < у < h, ц2 при у ^ -h. Рассмотреть предельный переход h -* 0, но -> О при Hi = const и //2 = const, считая сдвиговое напряжение г = fidv/dy ограниченным. Показать, что если Цо/h ~> °°? то предельное поле скорости непрерывно, а если Цо/h -* const ф 0 или /io/h -> 0, то в пределе возникает тангенциальный разрыв. Выписать условия, связыва- связывающие параметры течения по разные стороны этого разрыва. б) Рассмотреть стационарное течение вязкой жидкости между двумя параллельными плоскостями, движущимися в противопо- противоположных направлениях со скоростью v0. Расстояние между плос- плоскостями равно 2#. Коэффициент вязкости задан в пункте а), причем /1<Я, ^0<Ml, /io</^2- Найти величину касательного напряжения т на плоскостях и ска- скачок скорости v при у = 0 при различных соотношениях между Но и h (при h —> 0, ^о -* 0). 18.15 На поверхность воды падает дождь. Написать соотно- соотношения на поверхности Е, разделяющей дождь и воду, рассма- рассматривая дождь как сплошную среду; воду считать несжимаемой жидкостью плотности р. Предполагая известными скорость дождя относительно по- поверхности S, а также его среднюю плотность и температуру, найти скорость, давление и температуру в воде под поверхно- поверхностью Е.
18. Условия на поверхностях разрыва 165 18.16 Дождь средней плот- плотности ро падает со скоростью #о на неподвижный клин с гори- горизонтальным ребром (крышу). Считая, что течение стаци- стационарно и что скорость частиц после прохождения разрыва не меняется, найти положение гра- границы, отделяющей воду от до- дождя, скорость течения и давле- Рис. 18.1. ние в воде. Плотность воды р и угол а между v0 и плоскостью крыши известны. Угол между v0 и ребром крыши равен 90°. 1111111111 и Рис. 18.2. 18.17 На тележке стоит от- открытая бочка с отверстием сза- сзади в вертикальной стенке. Пренебрегая трением, найти скорость движения тележки во время вертикального дождя, средняя плотность которого /?о, а скорость падения капель vo. Считать, что уровень жидкости установился на высоте h над от- отверстием, из которого вытека- вытекает струя. Для нахождения давления в бочке воспользоваться гра- граничными условиями, полученными в задаче 18.15. Считать, что горизонтальная составляющая скорости воды в бочке гасится уже в верхнем тонком слое за счет наличия вер- вертикальных стенок. 18.18 Найти уравнение осредненного движения автомобилей по шоссе с односторонним движением без съездов, предполагая, что обгон запрещен, а скорость автомобилей v (выбираемая во- водителями) определяется плотностью р автомобилей и при неко- некотором р — Рты обращается в нуль. Считая, что поток авто- автомобилей <р(р) = pv(p) удовлетворяет условию <р" < О, выяснить условия существования однозначного непрерывного решения в
166 Глава 4. Поверхности разрыва зависимости от задания начальных (или граничных) условий. В случаях отсутствия однозначного решения ввести разрывы, на которых выполняется условие, выражающее сохранение чи- числа автомобилей. Исследовать задачи об остановке однородного потока автомобилей у светофора и о начале движения при пере- переключении светофора. 19. Условия на поверхностях разрыва при лагранжевом описании В этом параграфе используется лагранжево описание дви- движения сплошной среды. Представлен ряд задач на вывод со- соотношений, связывающих различные производные от функций хг — хг(?кЛ), определяющих закон движения сплошной среды, по лагранжевым координатам ?к и времени t по разные стороны от поверхности разрыва. Рассматриваются как разрывы функ- функций х\ отвечающие нарушению сплошности среды, так и разры- разрывы их первых производных, соответствующие сильным разры- разрывам при эйлеровом описании движения среды, а также разрывы вторых производных хг — слабые разрывы в эйлеровом описа- описании. Разрывы лагранжевых переменных ?k(xl,t) имеют место при наличии притока массы к поверхности разрыва. Эйлерова система координат (хг) считается единой в окрестности поверх- поверхности разрыва, „координатные разрывы" не рассматриваются. Задачи 19.1 Пусть функция <р(х%), г = 1,..., п, и ее первые частные производные по всем аргументам хг непрерывны при х1 < О и х1 > 0, а производные по ха, а = 2, ...,п, имеют непрерывные по ха пределы слева и справа на поверхности х1 = 0. Обозначим скачок (р(хх) на поверхности х1 = 0 через А = lim (р — lim <р — ip+ — <р_ = М- Показать, что функция Х(ха) непрерывно дифференцируема, причем д\/дха = [д(р/дха]. Записать это условие в произволь- произвольной системе координат, гладко связанной с системой (хг).
19. Поверхности разрыва в лагранжевом описании 167 19.2 Пусть функция <р{хг), рассмотренная в задаче 19.1, всю- всюду непрерывна, т. е. А = 0, и имеет при х1 = 0 скачок произ- производной [д<р/дх1] = fi{xa). Выписать это условие в произвольной системе координат, гладко связанной с системой (хг). 19.3 Пусть функция <р(хг)< г = 1,..., п, дважды непрерывно дифференцируема при х1 < 0 и х1 > О, всюду непрерывна вместе с частными производными д(р/дхг и д2(р/дхадх\ а — 2,..., п, и имеет при х1 = 0 скачок производной \д2^р/д(х1) = г/(жа). За- Записать это условие в произвольной системе координат (уг), если функции уг = Fl(xk) дважды непрерывно дифференцируемы. 19.4 Пусть уг = Fl(xk), г, fc = l,...,n, — кусочно гладкое, взаимно однозначное отображение, непрерывное вместе со свои- своими касательными производными, и с разрывом нормальной про- производной на поверхности !{хг) = 0. Используя результат задачи 19.2, доказать, что \дх{ \ду det dx = 0. 19.5 Пусть при образовании трещины в твердом теле ее края разошлись на вектор где иа, а = 1, 2, — лагранжевы координаты на поверхности разрыва. Предполагая существование необходимых производ- производных, найти скачки вектора скорости [v] и координатных векто- векторов [еа], используя результат задачи 19.1. Доказать, что 19.6 Используя результат задачи 19.4, доказать, что на силь- сильном разрыве выполнено равенство - о где (D — и) — скорость движения поверхности разрыва относи- относительно среды, g — детерминант матрицы компонент метриче- метрического тензора в лагранжевой системе координат.
168 Глава 4. Поверхности разрыва 19.7 Пусть в лагранжевых переменных уравнение некоторой подвижной поверхности имеет вид t = /(?9). Доказать формулу df дх* щ где пг — компоненты единичного вектора нормали в эйлеровой системе координат (жг), (D - v) — скорость движения данной поверхности относительно среды., 19.8 Используя результаты задач 19.6 и 19.7, показать, что на сильном разрыве выполнено соотношение -У-о где hk — компоненты единичного вектора нормали к поверхно- поверхности разрыва в лагранжевой системе координат. 19.9 При p(vn *- Dn) ф О записать условия на разрыве для по- потоков массы, количества движения и энергии, используя уравне- уравнение поверхности разрыва в лагранжевых переменных t = f(?q). Исключить величину (vn - Dn) с помощью формул, полученных в задачах 19.7 и 19.8. Рассмотреть случай /(?g) = const. 19.10 Доказать алгебраические равенства [аЬ] = [а](Ь) + [Ь](а) = [а][Ь] + [о]^ + [Ь]аи где обозначено [а] = a*i — п\, (а) = а1 ^ а2; то же — для 6 и ab. 19.11 В лагранжевых переменных выразить скачок компонент метрического тензора [gpq] на сильном разрыве через скачок эй- эйлеровых компонент вектора скорости |V], компоненты матрицы дисторсии (дхг/д?яI в состоянии перед разрывом и уравнение поверхности разрыва t = 19.12 На сильном разрыве выразить скачок плотности среды [р] через скачок нормальной составляющей скорости среды [ип], нормальную составляющую скорости поверхности разрыва Dn и параметры состояния перед разрывом.
19. Поверхности разрыва в лагранжевом описании 169 19.13 На слабом разрыве установить связь скачка коэффи- коэффициентов связности Грд в лагранжевых переменных со скачком эйлеровых компонент ускорения среды [аг] и непрерывными па- параметрами среды. 19.14 На слабом разрыве выразить скачки лагранжевых ком- компонент тензора скоростей деформации [epq] и тензора вихря [&pq] через скачок эйлеровых компонент ускорения среды [аг] и непре- непрерывные параметры среды. 19.15 Пусть на сильном разрыве лагранжевы контравариант- ные компоненты некоторого тензора второго ранга Т непрерыв- непрерывны. Выразить в эйлеровых переменных скачок компонент [Ги] через скачок компонент скорости среды [ut-], нормальную соста- составляющую скорости поверхности разрыва Dn и параметры состо- состояния перед разрывом. 19.16 Пусть к поверхности разрыва осуществляется в расчете на единицу площади и в единицу времени приток массы м = Р2К2 - АО - />iKi - АО- Используя определение поверхностной плотности массы а и век- вектора v скорости частиц среды, находящейся в данный момент времени на поверхности разрыва, вывести формулу для М из закона сохранения массы в интегральной форме. Учесть, что ко- коэффициенты первой квадратичной формы поверхности разрыва ds2 = Gap dua dvP = {ea • ер) dua dvP меняются со временем. Здесь иа. a = 1, 2, — координаты; еа — координатные векторы на поверхности.
Глава 5. Механика жидкости и газа 20. Обзор уравнений гидромеханики Жидкости и газы, а с точки зрения механики между ними нет принципиального отличия, описываются моделями, для ко- которых невозможно состояние покоя при наличии касательных напряжений. Это отражает свойство текучести жидкостей. Сле- Следовательно, в покое должно выполняться рп = -рп и pij = -pgij, где рп — вектор напряжений на площадке с нормалью n; p — давление; ргэ и дгз — компоненты тензора напряжений и метри- метрического тензора. Свойство вязкости проявляется в том, что при движении (точнее, при деформировании) касательные составля- составляющие вектора напряжений в общем случае отличны от нуля, а компоненты тензора напряжений представляются э виде р* = -рдЧ + т'>, B0.1) где ги — компоненты тензора вязких напряжений, зависящие от компонент тензора скоростей деформаций е*/. Все реальные жидкости — вязкие и сжимаемые, однако в определенных условиях одно или оба из этих свойств могут быть несущественными, что позволяет внести упрощения в рассма- рассматриваемые модели. Идеальной (невязкой) жидкостью называется среда, в кото- которой не только при равновесии, но и при движении рч = -pgij, т. е. г^ = 0. Уравнения движения идеальной жидкости — уравнения Эйлера — имеют вид dv _ . p-jr = - grad p + pF, B0.2) at где р — плотность, v — скорость частиц; JF — плотность мас- массовых сил.
20. Обзор уравнений гидромеханики 171 Вязкой жидкостью называется среда, для которой компо- компоненты тензора напряжений р%3 имеют вид B0.1), причем и для сжимаемой жидкости р = р(/>, Т), а для несжимаемой р является независимым параметром. Компоненты тензора вяз- вязких напряжений rtJ могут также зависеть от различных физико- химических параметров, например, концентрации отдельных ве- веществ в случае смесей различных жидкостей. Явное задание зависимости тгз от аргументов конкретизирует модель вязкой жидкости. Наиболее широко используется модель Навье-Стокса (ньютонова или линейно-вязкая жидкость), в которой зависи- зависимость тгз от еар линейна. Для изотропной среды она имеет вид г%3 — A di v v gtJ + 2р,егз. Коэффициенты вязкости А и /i для разных сред различны. Во- Вообще говоря, они не являются константами, в частности зависят от температуры. Однако во многих случаях изменения Аи/i не- незначительны и их считают заданными постоянными. Уравнения движения линейной изотропной вязкой жидкости с постоянны- постоянными коэффициентами сдвиговой (//) и объемной (? = А + 2///3) вязкости р — = pF — gradp-f (С Н—) graddiv v + /iAv B0.3) называются уравнениями Навье-Стокса. Существуют другие модели, в которых зависимость тгз{еар) нелинейна, — ненью- неньютоновские жидкости. Уравнения Эйлера или Навье-Стокса вместе с уравнением не- неразрывности уравнением притока тепла (здесь и — плотность внутренней энергии) du^ p_dp_ I {j dq dt p2 dt ^ p u+ dV уравнениями состояния f(p,p,T) = 0, и = и(р,Т), тЧ = т
172 Глава 5. Механика жидкости и газа и законом, определяющим приток тепла dg, например, ^ = divf= at p P (при теплопроводности, подчиняющейся закону Фурье с х = const) составляют замкнутую систему уравнений соответствен- соответственно идеальной или линейно-вязкой сжимаемой жидкости. При рассмотрении конкретных задач для получения опреде- определенного решения системы уравнений в частных производных не- необходимо задать граничные, начальные и другие условия. Для идеальной жидкости типичными являются следующие граничные условия. Если положение и движение границы dV жидкости известны, то в точках dV обычно задается нормаль- нормальная составляющая скорости среды. Например, на поверхности непроницаемого тела при его безотрывном обтекании ставится кинематическое „условие непротекания" V, vn = vn, дУ где п — нормаль к dV", U — скорость границы. Во многих случаях положение границы жидкости заранее не- неизвестно и должно находиться из решения задачи. В этом случае на dV кроме кинематического необходимо удовлетворить дина- динамическому условию — для вектора напряжений. В частности, на границе раздела двух идеальных жидкостей ставятся следующие кинематические а) и динамические б) условия: a) Vni = vn2 = Un; б) рх = р2, где индексы 1 и 2 отмечают параметры по разные стороны гра- границы. Условие б) написано без учета поверхностного натяжения. Если в одной из жидкостей давление р = ро задано, то для другой жидкости условия на границе имеют вид дУ = ип, дУ где U — скорость границы, определяемая в процессе решения задачи. При ро = const эти условия называют условиями на свободной границе.
20. Обзор уравнений гидромеханики 173 Если поверхность раздела двух жидкостей искривлена, то на ней действуют силы поверхностного натяжения, которые стре- стремятся уменьшить площадь поверхности. В этом случае динами- динамическое условие б) на поверхности раздела принимает вид (формула Лапласа). Здесь а — коэффициент поверхностного натяжения, его величина зависит от того, какие жидкости нахо- находятся в контакте; R\ylR2 — радиусы главных кривизн в данной точке поверхности, радиусы Дг, г = 1,2 считаются положитель- положительными, если центр г-й кривизны находится в среде 1. Для вязкой жидкости порядок уравнений движения выше, чем для идеальной, и число граничных условий больше. На не- непроницаемой границе, например, может быть задан один из сле- следующих вариантов условий: 1) „условия прилипания44: v = U, где U — заданная скорость границы; 2) vn —Un^ рпт — /т, где Un и /г — заданные нормальная dV dV составляющая скорости границы и касательное напряжение на ней; 3) Pnn\QJ, = /п, Рпт Qlr = /т> гДе fn,fT — заданные нормальное и \dV dV касательное напряжения на dV. В последнем случае для опреде- определения нормальной составляющей скорости границы необходимо использовать соотношение vn\dV — Un. Если при этом /n = const и /т = 0, эти условия называют условиями на свободной границе. На границе раздела двух вязких жидкостей должны выпол- выполняться кинематические условия а) и динамическое условие не- непрерывности вектора напряжений б): a) vni = vn2 = Un, t>ri = *>т2; 6) pnl = pn2 - a I — + Jf Если область, занятая идеальной или вязкой жидкостью, про- простирается в бесконечность, то на бесконечности в простейших случаях задается давление и скорость среды. При решении задач об определении температуры в жидкости на dV обычно задается значение температуры или поток тепла. 7 Зак. 2368
174 Глава 5. Механика жидкости и газа Выбор модели идеальной или вязкой жидкости определяется целью исследования и требуемой точностью результата. 21. Гидростатика В гидростатике изучается равновесие жидкостей и газов. При равновесии v = 0 и вязкая жидкость неотличима от иде- идеальной. Уравнения равновесия имеют вид grad р = pF. Из уравнения неразрывности следует, что в покое dp/dt = О, т. е. р — р{хг). Для однородной (р — const) жидкости с заданной плотностью, покоящейся в заданном поле массовых сил, уравне- уравнения равновесия и граничные условия определяют распределение давления. В случае неоднородной жидкости для решения задач необходимы дополнительные соотношения или сведения, напри- например, связь между р и р для сжимаемых сред или распределение массы жидкости по плотности для несжимаемых сред. В конкретных задачах требуются граничные и другие допол- дополнительные условия, однозначно определяющие решение. Напри- Например, на свободной поверхности задается давление. Если поло- положение свободной поверхности неизвестно, дополнительно может быть задана масса жидкости, находящейся в равновесии. На тело, со всех сторон окруженное неподвижной тяжелой жидкостью, действует со стороны жидкости сила Fa = -JpgdV, где р — плотность жидкости, V — объем тела (закон Архимеда). Линия действия силы Fa проходит через центр тяжести массы жидкости в объеме тела.
21. Гидростатика 175 Задачи 21.1 Показать, что при равновесии неоднородной жидкости: а) поле внешних сил удовлетворяет условию jF • rot F = 0, а в однородной жидкости условию F — grad (/; б) если поле внешних сил потенциально, т.е. F = grad С/, то а, следовательно, иГ = Г(С/) для газа с уравнением состояния в) если F = grad {/, то граница раздела двух жидкостей с разной плотностью совпадает с поверхностью уровня функции U и на ней давление постоянно. 21.2 Тяжелая однородная жидкость налита в сосуд, име- имеющий плоскую стенку. Свобод- Свободная поверхность жидкости и сам сосуд находятся в контак- контакте с атмосферой, давление ра в которой постоянно. Пусть V — равнодействую- равнодействующая сил давления, действующих на площадку Е, расположенную на смоченной жидкостью части плоской стенки; ho — глубина погружения центра давления О (точки приложения этой равно- равнодействующей). Показать, что V=\V\ = pgShc, ho = j^s, где S — площадь Е; he — глубина погружения ее геометриче- геометрического центра С; / — момент инерции площадки Е относительно линии АВ пересечения свободной поверхности со стенкой. 21.3 Найти силу Р, действующую на квадратную стенку аква- аквариума, до краев заполненного водой. На какой высоте Н от дна находится точка приложения этой силы? Рис. 21.1.
176 Глава 5. Механика жидкости и газа Ряс. 21.2. 21.4 Открытый тяжелый колпак в виде усеченного круго- кругового конуса с углом а при осно- основании и радиусом основания R стоит на горизонтальной плос- плоскости. Каков должен быть вес колпака G, чтобы он смог удер- удержать воду, налитую внутрь него до высоты Н? Всюду вне колпа- колпака давление атмосферное. 21.5 В прямоугольном ка- канале в вертикальном положении установлен щит, который раз- разделяет разные уровни воды #i и #2. Щит может свободно вра- вращаться относительно шарнира в точке О. Со стороны мень- меньшего уровня установлен упор. На каком наименьшем рас- расстоянии Н от дна следует по- поместить шарнир, чтобы при превышении уровня #2 щит откры- открывался, а при понижении был закрыт? 21.6 Прямоугольный канал перегорожен незакрепленной бе- бетонной плитой, имеющей фор- форму прямоугольного параллеле- параллелепипеда. Каким условиям долж- должны удовлетворять толщина а и высота h плиты, чтобы она на- находилась в равновесии, если Рис 21 4 уровень подпираемой жидкости равен Н? На плоскости безраз- безразмерных переменных а/Н, h/H область равновесия плиты изо- изобразить графически, считая, что плотность бетона р§ = 3 г/см , а коэффициент трения плиты о дно к = 0.2. Жидкость однород- t / 3 на, ее плотность р = 1 г/см . Рис. 21.3. ~-—_ •_*¦*•* ~г~_=~. ___ ._ __. /777777/////////////////////////
21. Гидростатика 177 21.7 Однородная жидкость покоится в однородном поле си- силы тяжести. Тело произвольной формы полностью погружено в жидкость и окружено ею со всех сторон. а) Вывести формулу для силы, действующей на тело со стороны жидкости — закон Архимеда. б) Показать, что линия действия этой силы проходит через гео- геометрический центр С объема V тела, f rdV. v в) Написать выражение для силы Архимеда, действующей на те- тело в неоднородной жидкости. г) При каком условии возможно равновесие неоднородного тела, погруженного в однородную жидкость? д) Какая сила действует на тело, частично погруженное в жид- жидкость? 21.8 Тонкая палочка одним концом прикреплена к стенке со- сосуда, а другим погружена в во- воду. Палочка может вращаться относительно горизонтальной оси шарнира О, находящегося над уровнем жидкости. Найти плотность рп материала палоч- Рис. 21.5. ки, если при равновесии в воду погружена ее половина. Вычислить отношение силы реакции R в шарнире О к весу палочки Р. 21.9 Тяжелая жидкость покоится относительно движущейся открытой цистерны. Найти угол наклона а свободной поверх- поверхности к горизонту, если цистерна а) движется в горизонтальной плоскости с постоянным ускоре- ускорением в; б) соскальзывает с плоскости, наклоненной под углом в к гори- горизонту. Коэффициент трения к известен. В каком случае поверх- поверхность жидкости будет горизонтальной?
178 Глава 5. Механика жидкости и газа 21.10 Тяжелая однородная жидкость, налитая в вертикальный цилиндрический круговой сосуд радиуса а (стакан), вращается вокруг оси цилиндра как твердое тело с постоянной угловой ско- скоростью О. а) Определить давление в каждой точке жидкости и форму ее свободной поверхности, если известно, что в состоянии покоя жидкость имела уровень // от дна сосуда и на поверхности жид- жидкости давление равно атмосферному. б) Вычислить силу V, действующую на дно сосуда. в) Сформулировать аналог закона Архимеда для этого случая. 21.11 Ответить на вопросы задачи 21.10 а), б), если в стака- стакане находятся две несмешивающиеся жидкости с различными за- заданными плотностями р\ и р2 и массами М\ и Мг. Найти также форму поверхности раздела между жидкостями. Рассмотреть случай, когда свободная поверхность пересекает дно стакана. 21.12 Замкнутый сосуд, наполненный однородной тяжелой жидкостью, вращается с постоянной угловой скоростью Q отно- относительно горизонтальной оси. Показать, что поверхности рав- равного давления представляют собой круговые цилиндры, общая ось которых расположена на высоте ff/O2 над осью вращения. 21.13 Объяснить почему длинное бревно в воде плавает всегда так, что его ось горизонтальна. Казалось бы, центр тяжести бревна в устойчивом равновесии должен опуститься на макси- максимальную глубину. Почему это неверно? v 21.14 Известно, что если жид- у1/ кость смачивает твердую стенку, /-К то в точках контакта свободной поверхности жидкости со стенкой / поверхность жидкости поднимает- поднимается под действием сил поверхност- поверхностного натяжения. Угол между стен- стенкой и плоскостью, касательной к р 9 поверхности жидкости в точке кон- контакта со стенкой, называется уг- углом смачивания или краевым углом, см. рис. 21.6,
21. Гидростатика 179 Простейшим способом определения глубины покоящейся жид- жидкости в сосуде является опускание до его дна плоской линейки и измерение длины ее смоченной части. Определить относитель- относительную погрешность при этом способе измерения. Угол смачива- смачивания в считать известным. 21.15 Совершенный газ, у которого р = RpT, покоится в од- однородном поле силы тяжести (модель атмосферы). Известна за- зависимость температуры от высоты T(z). Найти распределение давления p{z) и плотности p(z). Рассмотреть частные случаи: а) Г — То = const. На какой высоте плотность изотермической атмосферы уменьшается вдвое по сравнению с плотностью ро у поверхности Земли, р0 = 1.293 кг/м3, р0 = 1.033 кгс/см2? б) Г = Го — ДГг/100, где Го — абсолютная температура при z = 0, ДГ = const — перепад температуры при подъеме на 100 м, высота z измеряется в метрах. Показать, что в этом случае р/ро = (р/роL, т. е. расслоение атмосферы является по- литропным. Найти значение ДГ, соответствующее адиабатиче- адиабатическому (п = у = Cp/cv) расслоению. Для воздуха считать у = 1.4, R/g = 29.27 м/град. 21.16 Показать, что условие dp/dz < 0 является необходи- необходимым условием устойчивого (или, при dp/dz = 0, безразличного) равновесия неоднородной тяжелой жидкости; ось z направлена противоположно д. 21.17 Атмосфера называется политропной, если выполнено соотношение P{z) = Ро ( —— ) , где п = const. \ Ро J Доказать, что относительно адиабатических смещений ча- частиц газа, при которых р/р1 = const, у = cp/cv, равновесие атмосферы устойчиво, если п < 7, неустойчиво, если п > 7? и безразлично, если п = у. 21.18 Написать уравнение механического равновесия газооб- газообразной звезды плотности /9, части которой удерживаются силами гравитационного притяжения. Учесть, что гравитационный по- потенциал U удовлетворяет уравнению Пуассона ДU = —AwGp, где
180 Глава 5. Механика жидкости и газа G — гравитационная постоянная. Найти распределение давле- давления в звезде и ее радиус, если масса звезды равна М, а уравнение состояния имеет вид: 6 а) р — ро = const; б) р = Срь. Давление в центре звезды считать конечным, вне звезды — рав- равным нулю. 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости Жидкость называется несжимаемой, если плотность каждой индивидуальной частицы есть заданная постоянная величина. Тогда должно выполняться условие несжимаемости dt и из уравнения неразрывности следует divt) = 0. Свойство сжимаемости среды характеризуется величиной Ар/р относительного изменения плотности частиц в рассматри- рассматриваемом процессе; заведомо Ар/р << 1, если выполнены следую- следующие условия: 1) v < а, 2) L < fa, 3) 5L < а2, 4) f3AT < 1. Здесь и, а = у/др/Wp, L, t* и AT — соответственно характерные для рассматриваемого процесса скорость среды, скорость звука, длина, время и изменение температуры; /3 = ~~^р — коэффици- коэффициент теплового расширения; д — ускорение силы тяжести. Неравенства 1) — 3), соответствующие тому, что малы из- изменения плотности, вызванные изменением давления, можно пе- переписать в безразмерном виде 1)М<1, 2)M-St«l, 3){J«1, где М = v/a — число Маха; St =- L/(t*v) — число Струхаля; Fr = v/yfgL — число Фруда.
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 181 Условие 4) означает, что малы изменения плотности, вызван- вызванные изменением температуры. Если р зависит не только от р, Т, но и от других параметров, например солености, то появляют- появляются дополнительные неравенства, требующие выполнения условия Ар/fp <C 1. Но это условие не всегда означает, что можно пользо- пользоваться моделью несжимаемой жидкости. При изучении явлений, само существование которых обусловлено способностью среды изменять плотность (распространение звука, конвекция и т.д.), нельзя пренебречь величиной Ар/ р, как бы мала она ни была. Для несжимаемой идеальной жидкости задача определения механического движения, т. е. задача нахождения характеризу- характеризующих его параметров: скорости v(xl, ?), давления р(хг, i) и плот- плотности p(x\t), описывается системой уравнений, состоящей из условия несжимаемости, уравнения неразрывности и уравнений Эйлера. Уравнение притока тепла используется только для пс>- следующего определения температуры Т(жг,?), если это нужно. При использовании модели идеальной жидкости задачи, как правило, оказываются существенно более простыми, чем для вяз- вязкой жидкости, не только потому, что порядок системы диффе- дифференциальных уравнений ниже, но и потому, что течения идеаль- идеальной жидкости, в отличие от вязкой, во многих случаях являются потенциальными. Для потенциальных движений выполнено v = grad у>, ш — ^ rot v = 0. Согласно теоремам Томсона и Лагранжа для однородной несжи- несжимаемой жидкости при движении в поле потенциальных массовых сил свойство потенциальности течения сохраняется во времени в любом индивидуальном объеме. В частности, все движения, воз- возникшие из состояния покоя, при перечисленных условиях явля- являются потенциальными. Общие свойства потенциальных течений несжимаемой жидкости Лз уравнения неразрывности div v — 0 следует, что в несжи- несжимаемой жидкости потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа Aip = 0, т. е. <р является гармонической функцией.
182 Глава 5. Механика жидкости и газа Рассматривают три основные краевые задачи, в которых тре- требуется найти функцию, гармоническую в области V, на границе 6V которой задаются следующие условия: 1) (р =f (задача Дирихле); 2) д<р/дп = /i (задача Неймана); dV 3) <р = /, д(р/дп = /i, $V = dV\ U 9Уг (смешанная av, задача), где / и /i — заданные функции. Если область V не содержит бесконечно удаленную точку, краевые задачи называются внутренними, в противном случае — внешними. Во внешних задачах необходимы дополнительные условия в бесконечно удаленной точке. Часто принимается, что при удалении по любому пути в бесконечность скорость жидко- жидкости стремится к нулю или к заданной постоянной. Отметим, что в указанных постановках задача об опреде- определении скорости жидкости отделяется от задачи об определении давления. Кроме того, при определении скорости можно пользо- пользоваться методом суперпозиции решений в силу линейности урав- уравнения Лапласа и перечисленных граничных условий. В ряде задач гидродинамики граничные условия для потен- потенциала могут быть нелинейными, как, например, в теории волн, см. § 24. Задачи 22.1 Пусть поле скорости неограниченного объема идеальной несжимаемой жидкости обусловлено движением в ней твердого тела, форма и размеры которого известны. а) Сформулировать краевую задачу для потенциала поля ско- скорости, считая, что движение потенциально и непрерывно всюду вне тела, а на бесконечности среда покоится. б) Показать, что поле скоростей жидкости в каждый момент времени определяется только распределением скорости точек по- поверхности тела в этот момент и не зависит, например, от уско- ускорения тела.
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 183 в) Справедливо ли свойство поля скорости, указанное в п. б), для давления? г) Перечислить условия, при которых движение жидкости явля- является потенциальным. Рис. 22.1. 22.2 На поверхность однород- -=~ ной жидкости, заполняющей полу- •=? пространство, падает плоская аб- ?^= солютно твердая пластина в виде 1г\ круглого диска радиуса а. В мо- IE1 мент t = 0 диск касается поверхно- поверхности жидкости и мгновенно меняет свою скорость до значения C/i, т. е. происходит удар твердого диска о воду. а) Поставить задачу — записать уравнения и граничные усло- условия, позволяющие определить скорость жидкости непосредствен- непосредственно после удара. Вязкостью жидкости пренебречь. б) Предполагая решение поставленной задачи известным, най- найти скорость диска С/о в момент непосредственно перед ударом. Масса диска равна га. 22.3 Доказать, что потенциальное течение несжимаемой жид- жидкости в односвязной области обладает меньшей кинетической энергией, чем всякое другое течение с таким же распределением нормальной скорости на границе области (теорема Кельвина). 22.4 Доказать единственность решения внутренних задач Ди- Дирихле, Неймана и смешанной задачи Дирихле-Неймана для од- односвязной области. 22.5 Пусть имеется закрытый покоящийся сосуд, целиком заполненный неоднородной (р ф const) идеальной несжимаемой жидкостью. Жидкость находится в равновесии в поле силы тя- тяжести. Показать, что, если начать двигать сосуд горизонталь- горизонтально с ускорением, в сосуде возникнет непотенциальное движение жидкости относительно его стенок. Рассмотреть также случай однородной жидкости.
184 Глава 5. Механика жидкости и газа 22.6 Показать, что во внутренней точке области потенци- потенциального течения несжимаемой жидкости а) ни потенциал скорости, ни одна из проекций скорости на де- декартовы оси координат не могут достигать ни наибольшего, ни наименьшего значений; б) модуль скорости не может достигать наибольшего значения; в) давление однородной идеальной жидкости не может дости- достигать наименьшего значения, если поле массовых сил F соленои- дально, т. е. div F = 0. 22.7 Доказать тождество Грина ( Оds=/ дУ У где dV — кусочно-гладкая граница области V; dS — элемент площади dV; д/дп обозначает дифференцирование по нормали, внешней к V в точке элемента dS; dV — элемент объема. Для какого класса функций оно справедливо? 22.8 Пусть V — ограниченная область пространства, V — ее дополнение, функции (р п ф — гармонические соответственно в областях 7иУ, причем ф —> 0 при \г\ —> оо. Доказать следующие тождества: A f II „I О„ Г О., 1„ „I I **^0 дф д Г0 - Г 0ПО 0Щ Го ~ Г дУ 1/*/1 дф „ д I^jc — 47г У \|го — т\ дпо дп0 |го — т\) где точки с радиус-векторами г, г и г0 принадлежат соответ- соответственно V, V и 5F; dV — граница области V; dSo — элемент поверхности на dV; д/дщ обозначает дифференцирование по нормали, внешней к У в точке Го элемента dSo-
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 185 22.9 Доказать, что: а) потенциал скорости течения идеальной несжимаемой жидко- жидкости, вызванного движением в ней тела конечных размеров, вдали от тела имеет разложение (р = const + - + С*—. - + ..., г дхг г где г == \1{х1J + (ж2J + (х3J ; (хг) — декартовы координаты; тело находится на конечном расстоянии от начала координат; б) коэффициенты разложения представляются в виде dV dV где n — внешняя к телу нормаль, dV — граница тела; в) выразить СиС1 через объем тела V, импульс Q и радиус- вектор геометрического центра объема г*, где = - [ P<pndS, r* = V~l f\ rdV. dV V В этом разложении второе и третье слагаемые являются со- соответственно потенциалами источника и диполя, далее следуют члены, соответствующие потенциалам мультиполей. . 22.10 Пусть ^риф — решения соответственно внутренней и внешней задач Неймана с одинаковыми условиями на границе. Доказать, что потенциал <р можно представить в виде потенци- потенциала двойного слоя с плотностью /i = (ф — (р)/4тт, т. е. dV 22.11 Пусть (риф — решения соответственно внутренней и внешней задач Дирихле с одинаковым условием на границе. До- Доказать, что ф можно представить в виде потенциала простого слоя с плотностью дп dV
186 Глава 5. Механика жидкости и газа Плоские потенциальные течения Движение среды называется плоским, если все частицы, ле- лежащие на перпендикуляре к некоторой плоскости (ж; у) с единич- единичной нормалью е, совершают одинаковое движение, параллельное этой плоскости. Поле скорости плоского потенциального тече- течения несжимаемой жидкости удобно описывать комплексным по- потенциалом W(z) =<p(x,y) + itl>(x,y), аналитической функцией комплексного переменного z = х + iy. Здесь ф{х,у) — функция тока, и = grad if = rot(^e). Производная dW/dz определяет скорость течения dW — = Vx-lvy. Для любой кривой, расположенной в области, занятой жид- жидкостью, выполнено /dW [ [ — dz = Г + iQ, Г = /(vx dx + vydy), Q = (vx dy - vy dx), с с с где Г — циркуляция скорости по линии ?; Q — расход жидкости через линию ?. В плоских задачах обтекания твердых тел область течения неодносвязна и для выделения единственного решения краевой задачи должны задаваться значения циркуляции скорости по не- стягиваемым в точку замкнутым контурам (циклические посто- постоянные). Различные методы решения плоских задач обтекания твер- твердых тел иллюстрируют в простейшем виде следующие задачи: а) метод особых точек, задачи 22.16 — 22.18; б) метод конформных отображений, задачи 22.19 — 22.21; в) метод зеркальных отражений, задачи 22.22 — 22.23.
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 187 Задачи 22.12 Показать, что для плоских течений несжимаемой жид- жидкости а) существует функция ф(х,у) (функция тока) такая, что дф дф vx = -21, vv = -, т. е. v = ] ду дх б) в потенциальном потоке выполнено Аф = 0 и введенная функ- функция W = (р + гф является аналитической функцией комплексного переменного z = х + iy. 22.13 Показать, что для любой аналитической функции W(z) комплексной переменной z функция ^~ в каждой точке ком- комплексной плоскости определяет вектор, направленный по каса- касательной к кривой Im W(z) = const, проходящей через эту точку. Дать гидродинамическую интерпретацию этого утверждения. Чертой сверху обозначена операция комплексного сопряжения. 22.14 Выразить через функцию тока ф(х, у) расход жидкости Q через криволинейную дугу, соединяющую точки с координа- координатами (a?i; j/i) и (ж2; у2). 22.15 Выразить через потенциал скорости (р(х,у) циркуля- циркуляцию скорости Г по кривой, соединяющей точки с координатами (xii y\) и (ж2; у2). 22.16 Найти потенциал скорости и функцию тока для течений, задаваемых комплексными потенциалами a) W(z) — jf-lnz (плоский источник или сток); б) W(z) = ^p-r In z (точечный вихрь); в) W(z) = ^~г Inz (вихреисточник); г) W(z) = г71, гг > 0 (течение в угле). Построить линии тока, исследовать поля скорости. Каков физический смысл действительных постоянных Q, Г, п?
188 Глава 5. Механика жидкости и газа 22.17 Найти особые точки, качественно представить картину линий тока и написать уравнения контуров, обтеканию которых соответствуют комплексные потенциалы a) W = U-(z+^); б) W = Uz+$-\nZ±^, где С/, а и Q — действительные постоянные. 22.18 Проверить, что комплексный потенциал обтекания кру- кругового цилиндра, заданного уравнением х2 + у2 = а2, имеет вид где [/, V и Г — действительные постоянные. Какой физический смысл имеют эти постоянные? Найти критические точки на линии тока — точки, в кото- которых скорость равна нулю. Нарисовать линии тока при различ- различных значениях Г > 0 и Г < 0. 22.19 Аналитическая функция определяет на комплексной плоскости ? комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра единичного радиуса, см. зада- задачу 22.18. Пусть z = /(С) задает конформное отображение внешности единичного круга радиуса \(\ ^ 1 на внешность контура С в плоскости z = х + гу, причем /(оо) = оо, df = *, где к — действительное положительное число. Показать, что: 1) Функция f(Q представляется единственным образом рядом Лорана вида Точка z0 = &o называется конформным центром контура С.
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 189 2) Формулы W = И^С), z — /(С) определяют комплексный по- потенциал W(z) обтекания контура С на комплексной плоскости z со скоростью на бесконечности Vqq (cos a + г sin a) = U + iV Таким образом, для определения комплесного потенциала W(z) обтекания контура С со скоростью v^e101 на бесконечности до- достаточно найти конформное отображение z = /(?) внешности единичного круга на внешность контура С и подставить значе- значения U — kv^ cos a, V — kv^ sin a в комплексный потенциал W(z). В этом суть метода конформ- конформных отображений. 22.20 Комплексный потенциал течения задается формулами с с где С/, V, Г, к и &i — действительные постоянные, к ^ к\ ^ 0; &о — комплексная постоянная. Обтеканию какого контура на плоскости z соответствует этот потенциал? Чему равна скорость его обтекания на бес- бесконечности Vqo? Где расположены критические точки? 22.21 Найти комплексный по- потенциал обтекания пластинки длины 26 под углом атаки а. По- Подобрать циркуляцию Г по кон- контуру, охватывающему пластин- пластинку, так, чтобы скорость жидко- жидкости на задней кромке в точке В Рис. 22.2. была конечной (постулат Жу- Жуков ского-Чаплыгина). Найти распределение скорости на пла- пластинке.
190 Глава 5. Механика жидкости и газа 22.22 Найти комплексный потенциал течения от источника с расходом Q, расположенного в точке А(хд; уд) а) в полуплоскости у > 0; б) внутри прямого угла х > 0, у > 0; в) вне неподвижного круга радиуса а с центром в z$. В этом случае решение искать в виде комбинации потенциалов задан- заданного источника, источника той же мощности, расположенного в инверсной точке, и стока в центре круга. 22.23 Найти комплексный потенциал течения от а) бесконечного ряда источников равной интенсивности, распо- расположенных на равном расстоянии на оси х в точках @;0), (±а; 0), (±2а; 0), ... ; б) бесконечного ряда вихрей равной интенсивности, располо- расположенных в тех же точках; в) источника, расположенного в точке (а; 0) между двумя пла- пластинами х = 0, х = 6; г) вихря, расположенного аналогично источнику в пункте в). Осесимметричные потенциальные движения Движение называется осесимметричным, если оно одинаково во всех плоскостях, проходящих через некоторую ось — мериди- меридиональных плоскостях. В таких течениях поле скоростей не зави- зависит от координаты, определяющей положение меридиональной плоскости. Если к тому же компонента скорости, соответству- соответствующая этой координате, равна нулю, то такое осесимметричное течение называется течением без закрутки, а если она не равна нулю, то это течение с закруткой, или винтовое. Осесимметричные потенциальные течения с однозначным по- потенциалом поля скорости являются течениями без закрутки. Направим ось z декартовой системы координат (ж, у, z) по оси симметрии. Для течений без закрутки поле скорости можно представить в виде г2
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 191 где ф(х,у,г) — функция тока Стокса; е — единичный вектор с началом в точке (ж; у; z) и перпендикулярный плоскости ме- меридиана; е направлен в сторону роста азимутального угла г, tge = у/ж, 0 ^ г ^ 2тт, определяющего положение плоскости ме- меридиана. Для осесимметричных течений в системах координат ж1, ж2, ж3 = ? функция тока не зависит от ж3, т. е. ^ = ^(ж1, ж2). Задачи 22.24 Показать, что а) из уравнения неразрывности для осесимметричного движе- движения следует существование функции тока Стокса; б) поверхности ф = const являются поверхностями тока. 22.25 Через функцию тока ф(х1, х2) выразить физические ком- компоненты скорости и физические компоненты вихря скорости а) в правой ортогональной криволинейной системе координат ж1, ж2, х3 = ?, где ж1, ж2 — координаты в плоскости меридиана, е — угол, определяющий положение плоскости меридиана; б) в цилиндрической системе координат ж1 = z, ж2 = г, ж3 = е; в) в сферической системе координат ж1 = Д, ж2 = 0, ж3 = г. 22.26 Для потенциальных осесимметричных течений: а) доказать, что линии тока расположены в меридиональных плоскостях; б) написать уравнения для потенциала скорости (р и функции тока ф в системах координат, перечисленных в задаче 22.25. 22.27 Выразить через функцию тока расход жидкости через поверхность, образованную вращением вокруг оси z криволиней- криволинейной дуги, соединяющей лежащие в плоскости меридиана точки с цилиндрическими координатами (z\; r\) и (z2; Г2). 22.28 Потенциалы Яп 1 описывают осесимметричные течения несжимаемой жидкости, а
192 Глава 5. Механика жидкости и газа соответствующие им функции тока имеют вид a) i>=-f^R, б) ^ = -_^-Д^ Qzn+l п + 1 где R = \fx2 + у2 + z2: n — целое неотрицательное число. Проверить это утверждение при п — О, 1, 2. если d°f/dz° = f. Потенциал ф при п = 0 соответствует течению от источника с единичным расходом, помещенного в начало координат, а при п = 1 — течению от диполя с единичным моментом и осью, направленной по оси z. 22.29 Найти потенциал и функцию тока обтекания твердого шара радиуса а однородным на бесконечности потоком со ско- скоростью t'oo относительно шара. Представить решение в системе координат а) связанной с шаром; б) в которой жидкость на бесконечности покоится. 22.30 Найти потенциал течения жидкости, заключенной меж- между неподвижной сферической оболочкой и движущимся внутри нее твердым шаром, в момент времени, когда центр шара совпа- совпадает с центром оболочки, а его скорость равна U. 22.31 Найти потенциал и функцию тока течения вне непо- неподвижной непроницаемой сферы радиуса а, создаваемого распо- расположенным на расстоянии Ь > а от центра а) диполем с моментом \х и осью, проходящей через центр сферы и диполь; б) источником с расходом Q. Вихревые течения идеальной несжимаемой жидкости Течение жидкости называется вихревым, если и) = - rot и ф 0. Вектор ш называется вектором вихря скорости или завихрен- завихренностью.
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 193 Теорема Стокса устанавливает связь между Г — циркуляци- циркуляцией скорости по замкнутому контуру С и потоком вектора вихря через поверхность 5, натянутую на С, Г= iv-dl= I votv-ndS. В однородной идеальной несжимаемой жидкости в поле по- потенциальных массовых сил циркуляция скорости по жидкому за- замкнутому контуру сохраняется — не зависит от времени (тео- (теорема Томсона). В этих же условиях вектор вихря удовлетворяет уравнению Гельмгольца Задачи 22.32 При сформулированных выше условиях из уравнений Эйлера вывести уравнение Гельмгольца. 22.33 Показать, что в плоскопараллельных течениях вихрь перпендикулярен плоскости течения, и — сое и и = —Аф/2. 22.34 Доказать, что в плоскопараллельном течении идеальной несжимаемой жидкости в поле потенциальных массовых сил а) завихренность сохраняется в каждой жидкой частице, т. е. справедливо уравнение dui/dt = 0; б) в установившемся течении ш = и(ф), где ф — функция тока. 22.35 а) Доказать, что функция тока ф = А(х2/а2 + у2/Ь2) определяет плоскопараллельное течение внутри эллипса, имею- имеющее постоянную завихренность ш = const. б) Рассмотреть это течение относительно системы координат, вращающейся с угловой скоростью и. Найти поля скорости и вектора вихря относительного движения.
194 Глава 5. Механика жидкости и газа 22.36 Закон Био-Савара ч Г fdlxR M(x,y,z) С определяет распределение скоростей, создаваемое в неограниченном объеме рис 22 3 несжимаемой жидкости изолированной вихревой линией С (бесконечно тонкой вихревой трубкой). Здесь Г — циркуляция скорости по контуру, один раз охватывающему вихревую линию, см. рис. 22.3. Показать, что для прямолиней- прямолинейной вихревой линии С полем скорости является поле плоскопа- плоскопараллельного течения точечного вихря, см. задачу 22.16. 22.37 Жидкость заполняет двугранный угол, образованный взаимно перпендикулярными плоскими стенками. Найти траек- траекторию изолированной вихревой нити, параллельной ребру угла. Считать выполненными условия теоремы Томсона. 22.38 Рассмотрим течение, в котором rot v велик всюду в тон- тонком слое толщины 5. Поверхность, к которой стягивается этот слой при S -> 0, называется вихревой пеленой, если lim 5 • rot v = 2fi, где вектор П ф 0 конечен и лежит в плоскости, касательной к этой поверхности. Вектор П называется плотностью поверх- поверхностного вихря. Вихревая пелена возникает при обтекании кры- крыла самолета и других тел, имеющих малый размер в направлении, перпендикулярном скорости обтекания. Доказать, что а) если некоторая поверхность S является вихревой пеленой, то на ней выполняется равенство 2П х п = [v], где [v] — скачок составляющей скорости, касательной к 5, при переходе через нее в направлении нормали п; б) указанное равенство справедливо, если S — поверхность тан- тангенциального разрыва скорости. Следовательно, вихревая пелена является поверхностью тан- тангенциального разрыва скорости и верно обратное утверждение.
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 195 22.39 Показать, что в произвольной цилиндрической системе координат х1 = z, х2 = г, х3 = е: а) поле скорости произвольного осесимметричного винтового те- течения несжимаемой жидкости может быть представлено в виде v = rot I —— I + ew(z, r, ?), V r J где е — единичный вектор координатной линии е1 направленный в сторону роста е; б) физические компоненты вектора вихря могут быть определе- определены из соотношений ld(rw) o ld{rw) n д2ф д2ф \дф 2u =2и , -2иег — + ; 2uz =, 2иг — , -2иег rj + 75 ^; г or г oz ozl or1 г or в) в поле потенциальных массовых сил справедливы уравнения duz ди2 dujz dvz dvz at oz or oz or du>r dujr dujr dvr dvr ot oz or oz or dujE/r d(jjE/r due/r dw/r dw/r ot oz or oz or 22.40 Для осесимметричных течений с закруткой показать, что а) поверхности ф = const есть поверхности тока; б) если течение установившееся, то вдоль траекторий частиц выполнено rw = const. Обозначения для г и w те же, что и в задаче 22.39. 22.41 Показать, что для установившегося винтового течения идеальной несжимаемой однородной жидкости в отсутствие мас- массовых сил: а) имеют место интегралы уравнений движения и гы где Н(ф) и С(ф) — произвольные функции;
196 Глава 5. Механика жидкости и газа б) физические компоненты вихря выражаются через функции Н и G формулами dG dG „dG dH 2 2ujz = vz —, 2шг = vr —, 2rue = G—-—r% dty d-ф аф аф а уравнение для функции тока имеет вид д^ф 1дф_ 2 д2 д dz2 дг2 г дг dф dф 22.42 Сферический вихрь Хилла представляет собой осесим- метричное течение без закрутки внутри сферы радиуса а, в ко- котором вихрь имеет только азимутальную компоненту, пропор- пропорциональную расстоянию от оси симметрии ие = сг/2, с = const. а) Получить функцию тока этого течения. б) Изобразить поверхности тока ф = const. в) Найти скорость и потенциал обтекания сферического вихря Хилла, используя условие непрерывности поля скорости. 22.43 Закрытый покоящийся сосуд, заполненный неоднород- неоднородной несжимаемой жидкостью, мгновенно приводится в поступа- поступательное движение со скоростью и. а) Показать, что в общем случае в сосуде возникает вихревое движение жидкости. б) Для случая слабо неоднородной жидкости, когда Ртах ~ Pmin __ X ^ i определить вектор вихря ш в нулевом и первом приближениях по малому параметру S. в) Изменится ли ответ, если жидкость является вязкой? Интегралы уравнений движения идеальной несжимаемой однородной жидкости Для получения интегралов уравнений Эйлера удобно запи- записать эти уравнения движения в форме Громеки-Лэмба — + grad — + 2ш х v = —gradp + F. at 2 p
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 197 Если течение идеальной несжимаемой однородной жидкости потенциально, v = grad<^, что возможно, только если массовые силы F обладают потенциалом, F = gradC/, то во всей области течения справедлив интеграл Коши-Лагранжа где f(t) — произвольная функция времени. Если течение установившееся, а массовые силы F имеют по- потенциал, то вдоль линии тока L (а также на линии вихря для однородной жидкости) справедлив интеграл Бернулли Величина г* постоянна на линии тока L. На разных линиях тока величина г*, вообще говоря, различна! Замечание. Интегралы Коши-Лагранжа и Бернулли имеют место и для сжимаемой жидкости при условии, что течение ба- ротропно, т. е. р = р(р). В этом случае член р/р в интеграле следует заменить на функцию давления V(p) = f dp/p(p). Для частных движений могут существовать и другие инте- интегралы уравнений движения, см. задачи 22.41 и 22.47. Задачи 22.44 Показателем времени в во- водяных часах служит высота уровня в верхнем сосуде, которая должна уменьшаться равномерно с постоян- постоянной скоростью. Определить фор- форму сосуда, употребляемую для во- водяных часов. 22.45 а) Найти распределение скорости и давления на границе бесконечного кругового цилиндра к * Рис. 22.4.
198 Глава 5. Механика жидкости и газа при его бесциркуляционном обтекании (плоская задача). Счи- Считать, что на бесконечности скорость набегающего потока v^ и давление р^ постоянны. Вычислить коэффициент давления и силу Д, действующую на цилиндр со стороны жидкости. б) То же для обтекания цилиндра радиуса а с циркуляцией Г. в) То же для шара. Воспользоваться решением задач 22.18 и 22.29. 22.46 В реальных жидкостях давление не может быть отрица- отрицательным. Если динамические условия течения таковы, что да- давление снижается до некоторого критического значения рд « 0 в какой-либо области течения, то в ней образуются пустоты (ка- (каверны), которые заполняются паром и растворенным в жидкости газом. Явление образования каверн называется кавитацией. а) Найти величину скорости обтекания шара однородным на бесконечности потоком воды, при которой начнется кавитация. Указать место, где она начнется. Принять, что до возникнове- возникновения кавитации течение безотрывное, давление в потоке вдали от шара равно атмосферному, а в каверне — нулю. б) То же для бесциркуляционного обтекания прямого кругового цилиндра. 22.47 Показать, что для установившихся плоскопараллельных течений идеальной несжимаемой жидкости в поле потенциаль- потенциальных массовых сил справедливы интегралы: 2 а) — + - - U + 2и>ф = const, 2 р если завихренность течения ш постоянна; v2 v б) — + --и + шф = const, 2 р если и = \ф, А = const. Здесь U — потенциал массовых сил, ф — функция тока.
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 199 22.48 Из идеальной несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно удаляется сферический объем радиуса по. Получить уравнение, определяющее закон движения грани- границы полости. Определить время, в течение которого образовав- образовавшаяся полость заполнится жидкостью. Плотность жидкости и ненулевое давление на бесконечности считать известными. 22.49 Показать, что поле скорости с потенциалом <р = с(х - аеку sin(fcx)), с, а, к = const определяет течение несжимаемой жидкости. Найти комплекс- комплексный потенциал этого течения. С какой погрешностью при ак <С 1 кривая у = acoskx явля- является линией тока? При каком значении с эта кривая определяет профиль волны на поверхности тяжелой жидкости бесконечной глубины? Какой физический смысл имеют параметры с, а, к? Ось у направлена противоположно вектору д. 22.50 Известно, что крупные воз- воздушные пузыри, всплывающие в во- воде, имеют форму сферического сег- сегмента ABC. Схема обтекания пу- пузыря изображена на рис. 22.5, По- Показать, что скорость всплытия та- такого пузыря U связана с радиусом кривизны сферического сегмента R формулой Рис. 22.5. 22.51 Жидкость в виде „языка" движется под действием силы тя- тяжести по наклонной плоскости, по- погружаясь в более легкую жидкость, которая на достаточном удалении от плоскости покоится. Течение двумерное и установившееся в си- системе координат, движущейся вме- вместе с языком. О Рис. 22.6.
200 Глава 5. Механика жидкости и газа Показать, что касательная к поверхности раздела между дву- двумя жидкостями в передней точке языка составляет с плоскостью угол а — 60°. 22.52 Прогрессивная волна стационарной формы с прямо- прямолинейными гребнями на свобод- свободной поверхности тяжелой жид- жидкости движется с максимально возможной (до опрокидывания) Рис. 22.7. амплитудой. Известно, что при этих условиях рассматриваемая волна вблизи гребня имеет форму клина с вершиной на греб- гребне и с двумя гранями, симметричными относительно вертикали. Показать, что угол а между гранями этого клина равен 120°. Силы и моменты, действующие на тело в потоке идеальной несжимаемой жидкости Формулы для силы F и момента М имеют вид F=-fpndS, ,М=- /prxndS, s s где S — поверхность тела; n — нормаль к ней, внешняя по от- отношению к телу; г — радиус-вектор точек поверхности 5, исхо- исходящий из точки, относительно которой вычисляется момент М. Для потенциальных потоков использование интеграла Коши- Лагранжа позволяет преобразовать эти формулы к виду, удоб- удобному для вычислений, см. задачи 22.53 — 22.55. В плоских задачах для безотрывных обтеканий контуров, по аналогии с понятием комплексной скорости vx + ivy, вводится комплексный вектор силы R = X+iY, действующей на контур С, по формулам X = — Ф рпх d/, Y = — Ф рпу dl. с с
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 201 Для установившихся плоско-параллельных течений в отсут- отсутствие массовых сил справедливы формулы Блазиуса-Чаплыгина = Re -- Ф v2(z - zo)dz\ , < с I где L — момент сил, действующих на контур относительно то- точки го; z = х + ^у; и = г^ — ivy. Для потенциальных течений с известным комплексным потенциалом W(z) эти формулы позво- позволяют просто вычислить силу и момент. Если набегающий поток однороден, то для силы получается формула Жуковского где Г — циркуляция скорости по контуру С; использовано обо- обозначение Uqo = t^(oo) — ivy(oo). Эта сила перпендикулярна ско- скорости набегающего потока [подъемная сила). Задачи 22.53 Для течений с однозначным потенциалом скорости а) вывести следующие тождества (rxn) dS + / (у(г х п) ~ (r x v)) Е Е где Е — произвольная замкнутая жидкая поверхность с норма- нормалью п; б) доказать, что последние интегралы в правых частях не за- зависят от вида поверхности S и в области регулярного течения несжимаемой жидкости ее можно деформировать произвольно.
202 Глава 5. Механика жидкости и газа 22-54 Используя интеграл Коши-Лагранжа и тождества зада- задачи 22.53, получить следующие формулы, удобные для вычисле- вычисления силц F и момента М, действующих на тело в потенциаль- потенциальном потоке идеальной несжимаемой однородной жидкости при отсутствии массовых сил: M=-dK + IM, К = -p J (p(r x n) dS, dt J s = pi ( y(r xn)-(rx v)vn) dS, S' где 5 — поверхность тела; n — внешняя к телу нормаль; г — радиус-вектор точек поверхности 5, исходящий из точки, от- относительно которой вычисляется момент; Sf — произвольная поверхность, получаемая непрерывным деформированием 5 в области регулярного течения; tp предполагается однозначным. 22.55 Для покоящейся на бесконечности жидкости показать: а) что формулы задачи 22.54 принимают вид IP dQ ъж dK F=-— и Af=-—-. dt dt Векторы Q и К называются присоединенными количеством дви- движения и моментом количества движения; б) что если тело движется в жидкости поступательно со скоро- скоростью Г/, то k Fa t% ~ ^гк dt ' где коэффициенты присоединенных масс /г^ зависят только от формы тела, Pik = -Р ЩЩ dS; s а функции xpk определяются как решения задач Неймана: Ащ = 0 всюду вне тела, grad cpk]^ = О, ~^\S = nk, где S — поверхность тела; rik — компоненты нормали к 5 в системе координат, связанной с телом; щ однозначны.
22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 203 22.56 Тело движется поступательно с постоянной скоростью в неограниченной покоящейся на бесконечности идеальной не- несжимаемой жидкости. Доказать, что действующая на него со стороны жидкости сила сопротивления при безотрывном обте- обтекании равна нулю. 22.57 При отсутствии массовых сил доказать, что: а) сила dX + г dF, действующая на элемент dz = dx + г dy кон- контура, обтекаемого стационарным потенциальным потоком иде- идеальной несжимаемой жидкости, представляется в виде JV . ^ Л \dwdw\.j ал + гаУ = о а ; — г dz. У 2 dz dz J где h — константа в интеграле Бернулли; W{z) — комплексный потенциал. Здесь чертой обозначена операция комплексного сопряжения; б) на обтекаемом контуре выражение dW dz dz является действительным числом; в) для силы, действующей на контур С, справедлива формула Чаплыгина г) в случае однородного на бесконечности потока справедлива формула Жуковского ( dz где Г — циркуляция скорости по контуру С. 22.58 В полуплоскости у < 0 в точке А на расстоянии а от границы у = 0 расположен вихреисточник с расходом Q и цир- циркуляцией Г. Вычислить силу, действующую на единицу ширины твердой границы и момент этой силы относительно точки А.
204 Глава 5. Механика жидкости и газа 22.59 Определить величину и направление силы F, действую- действующей со стороны жидкости на единицу длины бесконечного кру- кругового цилиндра, движущегося перпендикулярно своей оси со скоростью и, если a) u = u{t), Г = 0; б) ti = const, Г = Го Ф 0. Здесь Г — циркуляция скорости по контуру, охватывающему цилиндр. Обтекание цилиндра считать безотрывным. 22.60 Вычислить силу, действующую на единицу ширины (по нормали к плоскости обтекания) плоской пластинки длины 26 при ее безотрывном обтекании под углом атаки а. Скорость жидкости на бесконечности равна ti, см. рис. 22.2. Силой тяжести пренебречь. 22.61 Вычислить силу, действующую со стороны жидкости на шар, движущийся в ней со скоростью и, если а) u=u{t); б) и — const. Обтекание шара считать безотрывным. На бесконечности жидкость покоится. 22.62 Вычислить силу, действующую на неподвижный шар со стороны обтекающей его (без отрыва) жидкости, если поток на бесконечности однороден, а его скорость и^ — заданная функ- функция времени. Силой тяжести пренебречь. 22.63 Доказать теорему Лагалли: источник с постоянным массовым расходом pq = const при наличии в жидкости непо- неподвижного тела действует на него с силой pqv\ где vf — регуляр- регулярная часть скорости жидкости в точке, где находится источник. 22.64 Каково ускорение сферического газового пузыря при начале его всплытия в тяжелой жидкости? 22.65 Сферический пузырек приводится в движение движу- движущейся жидкостью. Чему равно его ускорение, если ускорение жидкости вдали от пузырька равно wi Силой тяжести пренебречь.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 205 23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости Для несжимаемой вязкой жидкости задача определения меха- механического движения, т. е. нахождения скорости v(x\t), давле- давления p{xx,t) и плотности p(x\t)} описывается при системой урав- уравнений, состоящей из условия несжимаемости, уравнения нераз- неразрывности и уравнений Навье-Стокса, если коэффициент вязко- вязкости /i = const. Уравнение притока тепла используется при этом только для последующего определения температуры T(x\t), ес- если это нужно. Если зависимость /л от температуры существенна, то замкнутая система включает в себя уравнение притока тепла. Построение решений системы уравнений, описывающей дви- движение вязкой жидкости, как правило, затруднительно. Широ- Широкое применение нашли различные приближения этих уравнений. Для выяснения смысла используемых приближений полезно за- записать исходные уравнения в безразмерной форме, отнеся все входящие в них величины к некоторым характерным их значе- значениям. Для однородной несжимаемой линейно-вязкой жидкости в отсутствие массовых сил система уравнений в безразмерной форме такова: div 6 = 0, St -^ + (Ъ ¦ VN = -Vp + -^, ot Ke где i = t/t*, v — t>/u*, x% — x%/L ир = p/{pvl) — безразмерные время, скорость, координаты и давление; Re = v*L/v — число Рейнольдса, St = L/(t*v*) — число Струхаля; v*, ?* и L — ха- характерные скорость, время и длина; и = ц/р — кинематический коэффициент вязкости. Если Re <С 1 и St • Re <C 1, то в уравнениях движения мож- можно пренебречь „инерционными членами", т. е. ускорением, по сравнению с членами, связанными с вязкостью. Так получаются уравнения, соответствующие приближению Стпокса. Если Re ^> 1, то „вязкие члены" в уравнениях относитель- относительно малы. Однако полностью пренебречь ими для всей области течения при сохранении граничных условий нельзя, так как, во- вообще говоря, невозможно найти решение уравнений Эйлера, удо- удовлетворяющие граничным условиям для вязкой жидкости. При 8 Зак. 2368
206 Глава 5. Механика жидкости и газа больших Re вблизи границ образуются обычно относительно то- тонкие пограничные слои, внутри которых вязкость существенно влияет на течение, а вне — может не учитываться. При описании движения в тонком пограничном слое уравнения Навье-Стокса могут быть заменены более простыми уравнениями погранично- пограничного слоя. Другое явление, которое возникает при больших числах Рей- нольдса, — потеря устойчивости течений. При достаточно боль- больших числах Рейнольдса течения, как правило, имеют сложный хаотический характер — все характеристики хаотически пульсируют на фоне некоторых регулярных значений. Это явле- явление называется турбулентностью. Задачи Общие свойства течений несжимаемой вязкой жидкости 23.1 Вывести уравнение изменения кинетической энергии ин- индивидуального объема вязкой жидкости dEKliH = dA^ + dA^l\ где dA^e\ dA^ — работа внешних и внутренних сил. Почему для несжимаемой жидкости величину V dt = — dA^ называют диссипацией механической энергии? 23.2 Тяжелая однородная вязкая жидкость, целиком заполня- заполняющая полость в неподвижном твердом теле, приводится в дви- движение и далее предоставляется самой себе. Доказать, что кине- кинетическая энергия жидкости убывает со временем. 23.3 Тяжелая однородная вязкая жидкость целиком запол- заполняет полость в твердом теле, которое вращается с постоянной угловой скоростью П. Жидкость приводится в движение от- относительно стенок полости и далее предоставляется самой себе. Доказать, что кинетическая энергия относительного движения жидкости убывает со временем.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 207 23.4 Неподвижная тяжелая жидкость заполняет полость в покоящемся твердом теле. Можно ли заставить жидкость дви- двигаться относительно стенок полости за счет произвольных по- поступательных движений тела? Рассмотреть случаи идеальной и вязкой, однородной и неоднородной жидкостей. 23.5 Доказать следующие тождества: а) 2еце{> = 2 div (^) + | rot v\2, б) 2> = jx f\votv\2dV + 2fx [4 v dV где V = / 2/j,eijeli dV — скорость диссипации энергии в объ- V еме V с границей dV. Если течение установившееся, то в) V = // /1 rot v|2 dV + 2p f K{n - m)v2 dS, V dV где А'иш — соответственно кривизна и вектор главной нормали траектории частиц жидкости, п — внешняя нормаль к dV\ г) V = р f \votv\2dV + р [ ^-dS + 2fjt f (votvx v) -ndS. V dV dV 23.6 Тело движется в вязкой жидкости с постоянной скоро- скоростью, массовые силы отсутствуют. Показать, что проекция на направление скорости силы, действующей на тело со стороны жидкости, отрицательна. 23.7 Твердый шар радиуса /2 из состояния покоя начинает двигаться в вязкой жидкости с постоянным ускорением а. До- Доказать, что средняя на пути S величина силы сопротивления не меньше произведения присоединенной массы шара и его ускоре- ускорения, т. е. о Массовые силы не учитывать.
208 Глава 5. Механика жидкости и газа 23.8 Показать, что при движении твердого тела в вязкой жидкости сила, действующая со стороны жидкости на элемент dS его поверхности, равна - (рп + //л х (rot v - 2fl)) dS, где n — внешняя к телу нормаль; П — угловая скорость тела. 23.9 Получить следующее выражение для касательного на- напряжения на поверхности тока с нормалью п: Рпт = /i((rot v, п,т) + Ш |*| (п • го)), где А', гит — соответственно кривизна и векторы касательной и главной нормали линии тока. 23.10 Используя П-теорему, см. § 38, доказать, что величина силы сопротивления тела в установившемся потоке вязкой жид- жидкости имеет вид где Re = v^d/v^ v — /i/p; d — характерный размер тела; ^оо — скорость потока на бесконечности; C(Re) — безразмер- безразмерная функция числа Рейнбльдса Re и формы тела (коэффициент сопротивления). Массовыми силами пренебречь. Нестационарные течения 23.11 Вязкая жидкость заполняет полупространство у > О, ограниченное горизонтальной твердой пластиной у = 0. Пла- Пластина может двигаться в своей плоскости. Считая, что пластина совершает колебания вдоль прямой по гармоническому закону с частотой Q и амплитудой и0, найти а) скорость жидкости; б) касательное напряжение т на пластине; в) средние по времени значения диссипируемой энергии и рабо- работы силы трения на пластине.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 209 23.12 Вязкая жидкость заключена между двумя бесконечны- бесконечными горизонтальными параллельными пластинами Ал В. Пласти- Пластина А колеблется в своей плоскости вдоль фиксированной прямой со скоростью щ cos fit, а пластина В — неподвижна. Каково от- отношение максимальных значений касательных напряжений, дей- действующих на пластины А и В в случаях больших и малых ft? Расстояние между пластинами равно h. 23.13 В условиях задачи 23.11 найти распределение скоро- скоростей в жидкости, если при t < 0 пластина покоится, а при t ^ О движется со скоростью a) u = Uq = const; б) u = U(t). 23.14 Пусть при t = 0 в пространстве, заполненном вязкой жидкостью, распределение скорости имеет вид vy = vz = 0, vx = U при у > 0, vx = -U при у < О, следовательно, плоскость j/ = 0 есть поверхность тангенциаль- тангенциального разрыва. а) Найти профиль скорости при t > 0. Показать, что тангенци- тангенциальный разрыв мгновенно „размывается" в пространстве. б) Как меняется со временем толщина слоя, в котором происхо- происходит изменение скорости от vx — 0,99 U до vx = —0.99 U. в) Вычислить вихрь скорости. 23.15 Вязкая несжимаемая жидкость занимает полупростран- полупространство у < 0 и в начальный момент покоится. При t > 0 на ее по- поверхности у = 0 действует постоянное касательное напряжение Го. Определить движение жидкости (простейшая модель тече- течения в приповерхностном слое воды под действием ветра). Най- Найти толщину слоя — S < у < 0, S = 5(t), в котором для скорости жидкости выполнено u(-S,t) = 0.01w@,t). 23.16 Вязкая несжимаемая жидкость занимает полупростран- полупространство у < 0. Граница жидкости у = 0 свободна от действия поверхностных сил. При t = 0 vy = vz = 0, vx = uoe~by , где г^о, b — постоянные.
210 Глава 5. Механика жидкости и газа Найти при t > 0: а) распределение скорости; б) кинетическую энергию ЕкинA) и количество движения Q(t) жидкости в слое единичной ширины у < О, х0 < х < х0 + 1; в) предельные значения Екин и Q при t —у оо. 23.17 В шаровом слое Ri(t) <: R ^ Дг@ вязкой жидкости под действием заданных на границах слоя давлений Pi(t)=p{Ri), P2{t)=p{R2) происходит сферически симметричное течение. Масса жидко- жидкости в слое равна М. Составить систему уравнений, определяю- определяющих движение границ слоя R\ и /?2- Массовыми силами прене- пренебречь. 23.18 Тонкий сферический слой вязкой жидкости совершает сферически симметричное движение в пустоте. При t = 0 из- известны его радиус R@) = йо и скорость (dR/dt)\ = i?@). Записать уравнение, определяющее R(t). 23.19 В точке М неограниченного пространства, заполнен- заполненного покоящейся жидкостью, происходит взрыв — мгновенно выделяется и передается жидкости кинетическая энергия Е$. Определить возникшее движение жидкости, считая ее линейно- вязкой. Сжимаемостью жидкости, силой тяжести и величиной давления на больших расстояниях от точки М пренебречь. Срав- Сравнить с решением аналогичной задачи 9.44 для идеальной жид- жидкости. Стационарные ламинарные течения 23.20 Бесконечный слой вязкой жидкости толщины h огра- ограничен свободной поверхностью, а снизу — неподвижной плос- плоскостью, наклоненной под углом а к горизонту. Под действием силы тяжести в слое происходит стационарное течение.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 211 Найти распределение скорости в слое, а также значения мак- максимальной vm3kX и средней по сечению t;cp скорости. Используя полученное решение, оценить значения t>max и vcp при течении воды (и — 0.01 см2/с) в канале, длина которого /, перепад высот начала и конца над горизонтальной плоскостью i/, глубина Л, если а) / = 100 м, Я = 1 см, h - 0.5 см; б) / = 3000 км, Н — 300 м, h = 5 м (модель реки Волги). Почему результат в случае б) явно противоречит опыту? 23.21 Слой вязкой жидкости ограничен двумя горизонталь- горизонтальными бесконечными параллельными пластинами Ли В, рассто- расстояние Н между которыми фиксировано. Найти распределение скоростей и напряжения сил трения та и тв на пластинах, если: а) пластина А покоится, пластина В движется со скоростью и и давление вдоль пластин постоянно (течение Куэтта); б) обе пластины покоятся, а движение жидкости вызывается за- заданным градиентом давления вдоль пластин (плоское течение Пуазейля)', в) пластина А покоится, пластина В движется со скоростью ti и задан градиент давления вдоль и. 23.22 Найти стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в длинной горизонтальной цилиндрической трубе под действием заданного постоянного продольного перепада давле- давления г'о = -др/дх (течение Пуазейля), если сечением трубы является: а) круг радиуса а; б) круговое кольцо, а и 6 — внутренний и внешний радиусы; в) эллипс с полуосями а и 6. Во всех случаях вычислить расход Q, максимальную vmax и среднюю по сечению иср скорости. Для течений в трубах эл- эллиптического сечения показать, что при заданных г'о и площади сечения S расход Q будет максимальным при а = Ь.
212 Глава 5. Механика жидкости и газа 23.23 Используя теорию размерности, в условиях задачи 23.22 получить формулы для расхода Q, максимальной vmax и средней по сечению vcp скорости для цилиндрической трубы произволь- произвольного поперечного сечения заданной площади. 23.24 Вязкая жидкость заключена между двумя бесконечно длинными коаксиальными цилиндрами, вращающимися вокруг оси с постоянными угловыми скоростями fii и ^2- Градиент давления вдоль оси отсутствует. Радиусы цилиндров равны R\ и Д2, i?2 > Дь Найти распределение скоростей и моменты сил, действующих со стороны жидкости на цилиндры (вращательное течение Куэтта). Рассмотреть предельные случаи: а) п2 = О, R2 -> оо. б) Пг = 0, Ri = 0. Силу тяжести не учитывать. 23.25 Решить задачу 23.24 при дополнительном условии, что вдоль оси имеется заданный постоянный градиент давления г'о. Рассмотреть случай малого зазора между цилиндрами. 23.26 Показать, что для устойчивости вращательного тече- течения Куэтта, рассматриваемого в задаче 23.24, по отношению к осесимметричным невязким возмущениям, необходимо и доста- достаточно выполнения условия дг >U) где ф — угловая скорость жидкости, г — расстояние от оси вращения. Что можно сказать об устойчивости этого течения, если ци- цилиндры вращаются: а) в разные стороны; б) в одну сторону; в) один из цилиндров покоится?
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 213 Функция тока и вихрь В вязкой несжимаемой однородной жидкости, находящейся в поле потенциальных массовых сил, вектор вихря и удовлетворя- удовлетворяет уравнению Гельмгольца &ш 1 — = (ш . V) v + i/Аи, и = - rot v. (XL Zj Для плоского течения и осесимметричного течения без за- закрутки поле скорости несжимаемой жидкости можно выразить через скалярную функцию тока ф. В первом случае v = rot(e^), во втором v = rot(e^/r), где е — единичный вектор, перпен- перпендикулярный плоскостям течения, которые для плоского случая параллельны, а для осесимметричного случая имеют общую пря- прямую — ось симметрии, г — расстояние до оси симметрии. Вихрь в обоих случаях направлен по вектору е, rot v = 2ие. В задачах этого пункта предполагается, что жидкость одно- однородна, массовые силы имеют потенциал, закрутка отсутствует. 23.27 Вывести уравнение Гельмгольца, используя уравнения Навье-Стокса для однородной несжимаемой жидкости, находя- находящейся в поле потенциальных массовых сил. 23.28 Показать, что в плоскопараллельном течении вязкой не- несжимаемой жидкости: а) вихрь скорости удовлетворяет уравнению Tt Это частный вид уравнения Гельмгольца; б) получить уравнения для функции тока и вихря в виде ди д{и>, ф) ф где д{ш,Ф) _дш дф ди^дф_ д{х,у) ~ ~дх ~ду ~ ~ду дх' ж, у — декартовы координаты в плоскости течения.
214 Глава 5. Механика жидкости и газа 23.29 Получить уравнение для вихря и функции тока в осе- симметричном течении вязкой жидкости в виде aj dt+ r ) + Г ( ( ( aj dt+ d(z,r) -^\dz\r dz ) + д^\Г дг где z и г — цилиндрические координаты; ди> 1 д(ш/г,ф) ~dt+~R dt+R d(R,9) й в) + Ш Vй sm вШ) + de{R sin вд где R и в — сферические координаты, г = R sin в. 23.30 Пусть в плоскопараллельном течении вязкой жидкости вихрь линейно зависит от функции тока 2и = \ф. В началь- начальный момент времени t = 0 функция тока равна фо(х,у). Найти функцию тока в произвольный момент времени. 23.31 Для вязкой жидкости характерна тенденция выравни- выравнивания внутри жидкости завихренности различных частиц. В качестве примера при t > 0 найти распределение вихрей и ско- скоростей в вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей все про- пространство, если при t = 0 на оси z = 0 имеется концентрирован- концентрированный вихрь с конечной циркуляцией Го ('диффузия вихря). 23.32 Показать, что вихрь скорости не может достигать ни наименьшего, ни наибольшего значения во внутренней точке области плоскопараллельного стационарного течения вязкой не- несжимаемой жидкости. 23.33 Показать, что величина и/г не может достигать ни наи- наименьшего, ни наибольшего значения во внутренней точке обла- области осесимметричного стационарного течения вязкой несжима- несжимаемой жидкости вне оси симметрии. 23.34 В линейной постановке устойчивость или неустойчи- неустойчивость стационарных течений определяется поведением во вре- времени малых возмущений параметров этих течений.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 215 а) Получить линеаризованное уравнение для малых возмущений ф\(х, у, t) функции тока в стационарном плоскопараллельном те- течении вязкой несжимаемой жидкости с профилем скорости vx = u(y), vy = 0, где vx и vy — декартовы компоненты скорости. б) Показать, что это уравнение имеет решение вида ф\{х, у, i) — ф(у) егкх~гш\ к = const, и = const, где ф(у) удовлетворяет уравнению Орра-Зоммерфельда и{ф1У - 2к2ф" + кАф) = ik ((и - ~) [ф" - к2ф) - ип Сформулировать краевые условия для ф(у), соответствующие течению между плоскими твердыми стенками у = ±d. Течения при малых числах Рейнольдса. Приближение Стокса При Re = vL/v <C 1 стационарные течения вязкой несжимае- несжимаемой однородной жидкости в поле потенциальных массовых сил описывают линейными уравнениями [приближение Стокса) divv = 0, gradp'=/zAv, B3.1) где pf — модифицированное давление, включающее потенциал U массовых сил, р1 — р — pli. Эти уравнения следуют из уравне- уравнений Навье-Стокса, если в последних пренебречь инерционными членами по сравнению с вязкими. Движения при Re<Cl называют медленными или ползущими. Задачи 23.35 Доказать теорему Гельмгольца: на множестве солено- идальных векторных полей t/, определенных в области У, при фиксированном значении скорости на границе vf\dv = / Функ- Функционал I(v') = 2ц / е'гзе1гзвУ v достигает минимума, на векторном поле и, удовлетворяющем приближению Стокса B3.1).
216 Глава 5. Механика жидкости и газа 23.36 Доказать, что решение краевой задачи для уравнений Стокса B3.1) единственно, если заданы: а) скорость на границе; б) вектор напряжений на границе; в) на части границы — скорость, на другой части — вектор напряжений (смешанная задача); г) касательное напряжение на граничной поверхности тока; д) касательное напряжение на части граничной поверхности то- тока, а на другой части — касательная скорость. 23.37 Пусть F, Ми F', М! — силы и моменты, действую- действующие на тело при его медленных движениях в вязкой жидкости с поступательными и угловыми скоростями, равными соответ- соответственно ti, ft и ti', ft'. Доказать теорему взаимности: 23.38 С помощью П-теоремы, см. § 38, показать, что величина силы сопротивления при медленном поступательном движении тела в вязкой жидкости определяется формулой F = A/ilv, где v — скорость тела, / — характерный размер тела, А — без- безразмерный коэффициент, зависящий от формы тела и направле- направления его движения. 23.39 Доказать, что точное значение силы сопротивления при движении тела в вязкой жидкости не меньше силы сопротивле- сопротивления, вычисленной в приближении Стокса. 23.40 Показать, что формулы для компонент силы F, действу- действующей со стороны вязкой жидкости на тело при его медленном поступательном движении в жидкости, могут быть записаны в виде Fi = Aijfiui, где и^ — компоненты скорости тела в осях, связанных с ним, A{j — компоненты симметричного тензора, не зависящего от скорости тела.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 217 23.41 Доказать, что на множестве соленоидальных векторных полей t/, определенных в области V, при фиксированном значе- значении напряжения на границе p^rij\dv = /*> функционал = 2fi j е\5е*> dV - 2 J v\f dS достигает минимума на векторном поле V, удовлетворяющем уравнениям Стокса. 23.42 Пусть соленоидальное поле скорости v определено в об- области V и удовлетворяет условиям на границе dV: v, = 0, v -0, p пт av Доказать, что при фиксированном / функционал I(v) = 2»J еце* dV - 2 J v . рпт dS, v dv определенный на этом векторном поле, достигает минимума, если оно удовлетворяет уравнениям Стокса. 23.43 В области V под действием касательного напряжения рпт) заданного на части границы, происходит установившееся течение. На оставшейся части границы выполняется условие прилипания — скорость равна нулю. Вся граница является по- поверхностью тока. Доказать, что если пренебречь нелинейными членами в уравнениях Навье-Стокса, то для диссипации энергии и работы поверхностных сил получатся завышенные значения. 23.44 Найти поля скоростей и давлений в осесимметричном ползущем течении вязкой жидкости между параллельными плос- плоскостями, сближающимися с относительной скоростью 2t/, в мо- момент, когда расстояние между ними равно 2h. Решение искать в виде vr = г/(>г), vz = 9{z)i ось z перпендикулярна слою. 23.45 Два круглых соосно расположенных диска одинакового радиуса R погружены в вязкую жидкость и медленно сближа- сближаются с относительной скоростью 2и.'Определить испытываемое дисками сопротивление, когда расстояние 2/i между ними мало.
218 Глава 5. Механика жидкости и газа 23.46 Осесимметричное медленное растекание вязкой несжи- несжимаемой жидкости в тонком слое приближенно описывают урав- уравнениями (ось z перпендикулярна слою) dp d(rvr) d(rvz) ~dz = ' дг + dz ' Обосновать это приближение. Решить задачу 23.45 в этом при- приближении. 23.47 Доказать, что в приближении Стокса для плоскопарал- плоскопараллельного течения вязкой несжимаемой жидкости а) функция тока ф(х, у) удовлетворяет бигармоническому урав- уравнению ААф = 0; б) функция тока ф(х,у), скорость v(x,y) и давление р(х,у) мо- могут быть выражены через две аналитические функции H(z), G(z) по формулам ф(х, у) = zH(z) + zH(z) + G(z) + G(z), V dz dz где z — x + гу, черта означает комплексное сопряжение. vx + ivy = -2г ( — ) , р = 23.48 Доказать, что если H(x,y,z) и G(x,y,z) — гармониче- гармонические функции, то функции v и J9, опеделенные равенствами v = gradН + zgrzidG - kG, p = 2 где z — декартова координата, к — единичный вектор оси z, р0 = const, удовлетворяют уравнениям Стокса B3.1) и rot v = 2к х grad G. 23.49 Шар радиуса а обтекается потоком вязкой несжимаемой жидкости. Вдали от шара скорость потока и давление равны соответственно и и ро- При Re = uajv <C 1 найти распределение скорости, вихря и давления. Вычислить диссипируемую энергию и силу сопротивления F (задача Стокса). Найти коэффициент сопротивления 2F 7га2ри2'
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 219 Указание: Использовать приближение Стокса и представле- представление решения, указанное в предыдущей задаче. В качестве Н и G взять функции R где А, В, D — константы; R и в — сферические координаты с началом в центре шара; ось z параллельна и. 23.50 В приближении Стокса: а) найти распределение скорости и давления в задаче об обте- обтекании сферического пузыря. Вычислить силу сопротивления и коэффициент сопротивления. На границе пузыря принять усло- условие отсутствия касательного наряжения. Скорость потока на бесконечности равна t*; б) вычислить скорость всплытия в воде воздушного пузырька радиуса a — 5 • 10~~3 см. 23.51 Показать, что если поле массовых сил соленоидально, то давление во внутренней точке области ползущего течения вязкой несжимаемой жидкости не может достигать ни наименьшего, ни наибольшего значения. Течения при больших числах Рейнольдса. Ламинарный пограничный слой При Re > 1 во многих случаях всю область течения V разби- разбивают на две части: тонкие пограничные слои V\ вблизи границ, в которых учитывают вязкость, и оставшуюся часть V^ гДе жид- жидкость считают идеальной. Так как толщина пограничных слоев мала, можно 1) при решении задачи в области V^ пренебрегать наличи- наличием пограничных слоев, т. е. считать, что V-2 совпадает со всей областью течения У, и 2) для области V\ использовать вместо полных уравнений Навье-Стокса приближенные.
220 Глава 5. Механика жидкости и газа Уравнения плоского ламинарного пограничного слоя на по- поверхности 5 в несжимаемой жидкости, называемые уравнениями Прандтля, имеют вид ди dv ди ди ди 1 др д2и др Л , ТГ + ТГ^0' !IT + Uir + Vjr = — TT + ^ITT' / = 0,B3.2) ох оу eft ох оу рох оу1 оу где г*, v — компоненты скорости в ортогональной системе коор- координат, в которой поверхность S задается уравнением у = 0, ко- координатные линии х = const направлены по нормали к 5. Учиты- Учитывал последнее уравнение, давление р во втором уравнении следу- следует считать известной функцией жи^, определяемой как давление на 5 в соответствующей задаче для идеальной жидкости; p(x,t) связано со скоростью U идеальной жидкости на S соотношением ? + t, 1* B3.3, at ox p ox Граничные условия для системы B3.2) состоят из обычных условий, которые ставятся на 5 в вязкой жидкости, см. § 20, а также условия и -> U при у —у оо. 23.52 При Re ^> 1, учитывал малость толщины пограничного слоя, вывести уравнение плоского пограничного слоя из уравне- уравнений Навье-Стокса, оставляя в них лишь главные по порядку ве- величины члены и считая, что в уравнениях Прандтля инерционные и вязкие члены имеют одинаковый порядок. Оценить толщину пограничного слоя S на теле с характерным линейным размером L, движущимся с постоянной скоростью С/, если а) L — 100 м, U = 36 км/ч, v — 0.01 см2/с — корабль на воде; б) L = 50 м, U — 900 км/ч, v = 0.15 см2/с — самолет в воздухе. 23.53 Показать, что при установившемся обтекании со ско- скоростью U = const полубесконечной пластины, поставленной по потоку, функция тока для течения в пограничном слое может быть представлена в виде ф = >/vUxf{ri), где rj = y\J^- Начало координат расположено в носике пластины, ось х напра- направлена вдоль пластины. Получить из уравнений Прандтля урав-
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 221 нение для f(r]). Какие граничные условия следует ставить для /(г;)? Найти касательное напряжение г на пластинке. Эта задача называется задачей Блазиуса. 23.54 Вывести из уравнений Прандтля интегральное уравне- уравнение количества движения ди "Ту y=l дх ду 23.55 Толщина вытеснения 8\ и толщина потери импульса в в пограничном слое определяются формулами О О Показать, что интегральное уравнение количества движения, см. задачу 23.54 для пограничного слоя на непроницаемой стен- стенке, можно записать в виде v dv, ду 8A18,) dU d{U4) - —w, V Uoi — Н . у=0 dt дх дх 23.56 Профиль скорости в пограничном слое задан соотноше- соотношениями J Usm(ay) при 0 ^ ay ^ -, и-\ U при ау > -. Здесь а = о?(ж), U = const. Найти толщину вытеснения #i и толщину потери импульса #, см. задачу 23.55.
222 Глава 5. Механика жидкости и газа 23.57 Использовать профиль скорости задачи 23.56 и инте- интегральное уравнение количества движения для приближенного вы- вычисления величины касательного напряжения г на поверхности обтекаемой пластинки в задаче Блазиуса. Сравнить полученное значение г с величиной 0.332 найденной при численном решении уравнения для /(г/), см. за- задачу 23.53. 23.58 а) Показать, что если вне пограничного слоя скорость имеет вид U = Схт, х > 0, где С > 0, т — постоянные, то течение в пограничном слое имеет функцию тока вида ф = VvUxf{rj), где 1) = у yjlL б) Получить из уравнений Прандтля уравнение для /(г/). в) Обтекание каких тел описывает данный класс течений? г) Какие следует ставить граничные условия для функции /(??)? 23.59 а) Чему равен вихрь на свободной поверхности, кото- которая ограничивает плоское установившееся течение вязкой жид- жидкости? б) Показать, что в пограничном слое на свободной поверхно- поверхности вязкая добавка и1 к скорости U потока идеальной жидкости является малой величиной порядка U/y/Re при Re —у оо (что не- неверно для пограничного слоя на твердой поверхности). 23.60 Показать, что определение вихря в плоском погранич- пограничном слое на свободной поверхности у = 0 сводится к краевой задаче ^ .^ dU_fa _ д^ 8t+ Эх У Эх dy~Vду2' 2w = (rott>J) oj\y=o = KU, w|v-kx,-+°i где К — (dr/dx, n) — кривизна линий тока на свободной поверх- поверхности, т = ех, п — единичные векторы касательной и нормали, внешней к жидкости.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 223 23.61 а) Используя результаты задач 23.59 и 23.60, получить следующую краевую задачу для определения вязкой добавки и1 в пограничном слое на свободной поверхности у = 0: dv/_ ,dU_ dv/_ dU_dv!__ д2и' ди> -7г- = -2KU, и = О при у -> оо. оу у=о б) Показать, что полученное линейное уравнение пограничного слоя на свободной поверхности асимптотически при Re —> оо совпадает с уравнением Прандтля. 23.62 Сферический газовый пузырь радиуса а движется в вяз- вязкой жидкости с постоянной скоростью U. а) Вычислить диссипацию энергии в жидкости, считая движе-. ние потенциальным. Определить погрешность этого приближе- приближения при Re ^> 1. б) Вычислить силу вязкого сопротивления при Re ^> 1. Турбулентные движения Если для некоторого течения характерные скорость v, ли- линейный размер L и вязкость v таковы, что число Рейнольдса Re = vL/i/ больше некоторого критического значения ReKp, раз- разного для разных классов течений, то течение является турбу- турбулентным. Поля всех механических и термодинамических вели- величин в турбулентном потоке обладают хаотическими пульсация- пульсациями на фоне средний значений характеристик. Нетурбулентное течение называется ламинарным. Точное описание турбулентных течений представляет собой чрезмерно трудную задачу. На практике часто нужно уметь рас- рассчитать лишь средние значения характеристик. Для этой цели применяются так называемые полуэмпирические теории турбу- турбулентности, которые обычно строятся следующим образом. Исходные величины а, характеризующие течение, предста- представляются в виде а = а + ^', где а — среднее значение, о! — пуль- пульсация. Определение среднего а может быть различным (среднее
224 Глава 5. Механика жидкости и газа по времени, по объему, в смысле вероятности и т.д.), но предпо- предполагается, что выполняются следующие правила: да да да да —, ~ -~> ~ -тг; "Б7 = "Б7> ^~ = Б~~> а + 6 = а + о, ab = ab + a'b'. at ot ox ox Далее проводится осреднение исходной системы уравнений с использованием этих правил, в результате получается система, в которую входят средние скорость t), давление р, плотность /5 и т.д., а также — в качестве новых дополнительных неизвест- неизвестных — средние значения произведений пульсаций этих величин. Для получения замкнутой системы необходимы дополнительные уравнения или соотношения, определяющие упомянутые новые неизвестные. Эти дополнительные соотношения постулируют- постулируются в некоторой форме, затем их коэффициенты определяются путем сравнения рассчитанных и измеренных в эксперименте величин. В настоящее время предложено много различных по- полуэмпирических теорий для описания различных классов турбу- турбулентных течений (течения в пограничных слоях, в трубах, тур- турбулентность в океане и атмосфере и т.д.). 23.63 Известно, что при отсутствии специальных условий те- течение турбулентно: - в открытых каналах глубины h при vh/v > 500; - в круглых трубах диаметра d при vd/v > 1300; - в потоках у поверхности обтекаемых затупленных тел с ра- радиусом затупления носика г при vr/v > 105. Является ли турбулентным течение а) воды в равнинной реке (г; = 1 м/с, h = 5 м, v = 0.01 см2/с); б) воды в водопроводной трубе (г? = 2 м/с, d = 2.5 см); в) воздуха около возвращающегося в атмосферу космического аппарата при 1) v = 7 км/с, Я = 75 км; 2) v = 2 км/с, Я = 40 км? Здесь Я — высота над поверхностью Земли; для стандартной атмосферы р = р0 ехр(-0.142Я), где р0 = 1.225 • 10~3 г/см3; у — /^/р-} ц — 1.3 • 10~4 г/см • с соответствует температуре 200К; г = 1 м.
23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 225 23.64 Осредняя уравнения неразрывности и движения для не- несжимаемой однородной вязкой жидкости, получить уравнения Рейнольдса div t> = 0, р ^ = -Vip + Ч'тц + V'VJ, где f{j — средние вязкие напряжения, rj- = -pv[v'- называют- называются турбулентными напряжениями Рейнольдса. Какому условию удовлетворяет 0 на непроницаемой границе 57 23.65 Показать аналогию механизмов турбулентной вязкости и обычной (молекулярной) вязкости газов, связав напряжения rj: с переносом хаотически движущимися частицами количества движения через площадки, движущиеся со скоростью среды 0. 23.66 Предполагая, что rj- = 2pvTeij (гипотеза Буссинеска), и считая коэффициент турбулентной вязкости иТ постоянным, оценить его величину, проведя расчет течения в реке типа Вол- Волги: перепад высот истока и устья 300 м, длина 3000 км, средняя скорость 1 м/с, глубина 5 м, см. задачу 23.20. 23.67 При изучении морских течений в океане часто исполь- используется модель турбулентности, в которой для rj- принимается гипотеза Буссинеска, см. задачу 23.66, с двумя разными по величине, но постоянными кинематическими коэффициентами турбулентной вязкости Av и Лд: производные от средней скоро- скорости по вертикальной координате входят в rj- с коэффициентом Ау, по горизонтальным координатам — с Аь, причем А^ на не- несколько порядков больше Av, что связано со стабилизирующим влиянием силы тяжести и меньшей вертикальной протяженно- протяженностью океана. Пользуясь этой моделью, написать уравнения тур- турбулентного движения в океане, считая жидкость идеальной, не- несжимаемой, однородной. 23.68 Рассмотрим турбулентный поток однородной несжима- несжимаемой жидкости вдоль бесконечной неподвижной плоскости у = 0 в отсутствие массовых сил — ветер над поверхностью Земли. Предполагается, что все средние характеристики течения зави- зависят только от у, vy = vz = 0, Ъх = й(у). На границе у = 0 задано касательное напряжение r0 = const. Для rj принимается
226 Глава 5. Механика жидкости и газа гипотеза Прандтля: rj = puT(dv/dy), где коэффициент тур- турбулентной вязкости vT — x2y2(dv/dy), x — 0.4 — эмпирическая константа. Найти 0(у) в области у ^ S > 0, в которой можно пренебречь молекулярной вязкостью по сравнению с турбулентной. 23*69 Логарифмический профиль скорости й(г/), полученный в предыдущей задаче, не удовлетворяет условию прилипания на поверхности у == 0. Для продолжения решения вплоть до гра- границы у = 0 вдоль нее вводится тонкий ламинарный подслой 0 ^ У ^ $1 в котором турбулентные напряжения меньше вязких, поэтому учитываются только последние. Найти v(y) для всех у ^ 0, стыкуя при у — 5 найденное в предыдущей задаче реше- решение с решением для ламинарного подслоя. Величину S найти из условия 23.70 Найти v(y) в задаче 23.68 с помощью теории размерно- размерности, § 39, и не используя гипотезу Прандтля. 23.71 Осредняя уравнение притока тепла для несжимаемой идеальной теплопроводной жидкости, получить уравнение для средних характеристик. Члены qj = pcTlv\ называются компо- компонентами вектора турбулентного потока тепла. 23.72 Найти профиль средней температуры Т(у) в течении, рассмотренном в задаче 23.68, считая, что на у = 0 задан поток тепла <70, вектор турбулентного потока тепла пропорционален градиенту средней температуры, qj = k1{дТ/дх1), коэффици- коэффициенты турбулентной вязкости Vх и теплопроводности кт пропор- пропорциональны, кт = аит, а — размерная постоянная.
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 227 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости В предлагаемых задачах о волнах считается, что граница- границами жидкости являются свободная поверхность и непроницаемая неподвижная поверхность (дно и берега). Система координат выбирается так, что ось z направлена противоположно векто- вектору <7, a z = О — уравнение свободной поверхности покоящейся жидкости. При волновом движении свободная поверхность пред- представляется уравнением z = ("(ж, у, ?), где С — функция, подлежа- подлежащая определению. Непроницаемая граница задается уравнением z = —h{x,y) и величина h называется глубиной жидкости. Ес- Если не оговорено другое, в большинстве задач в качестве модели среды принята идеальная несжимаемая однородная жидкость. Задачи 24.1 Считая движение потенциальным, написать уравнения, граничные и начальные условия для задачи о гравитационных волнах в идеальной несжимаемой однородной жидкости, вызван- вызванных начальным возмущением [задача Коши-Пуассона). Поверх- Поверхностным натяжением пренебречь. 24.2 Получить приближенную линеаризованную постановку задачи Коши-Пуассона для потенциала скорости у>, считая ма- малым отклонение ? свободной поверхности от невозмущенного состояния — горизонтальной плоскости (ж; у), а также наклон этой поверхности д?/дх, д^/ду (постановка задачи о волнах ма- малой амплитуды). Невозмущенную скорость считать нулевой. 24.3 Показать, что плоская задача (vy = 0, д/ду = 0) о гра- гравитационных волнах малой амплитуды в неограниченном по х бассейне конечной постоянной глубины h имеет решение, в ко- котором С = Re A exp (ikx - iut), где к и и — действительные постоянные, г — \f—\. Такая гар- гармоническая волна называется бегущей или прогрессивной. Най- Найти это решение, объяснить смысл названия, получить уравнение,
228 Глава 5. Механика жидкости и газа связывающее волновое число к и частоту и (дисперсионное урав- уравнение). Как выражаются через к пи длина, период (по времени) и скорость распространения таких волн? Рассмотреть предель- предельные случаи а) kh > 1; б) kh < 1. 24.4 а) Показать, что комплексный потенциал W = c(Z-iae-ikZ), где Z = х + iz\ с, а и к — действительные константы, с2 = д/к, определяет при ак <С 1 поле скорости плоской гармонической прогрессивной волны малой амплитуды в жидкости бесконечной глубины. б) Каковы уравнения поверхности волны и ее скорость относи- относительно покоящейся при z —> — оо жидкости? 24.5 На поверхности тяжелой вязкой жидкости бесконечной глубины распространяется прогрессивная волна малой амплиту- амплитуды, см. задачу 24.4. В системе координат, связанной с волной, при Re = cjkv >> 1 найти установившееся распределение скорости: а) внутри пограничного слоя у свободной поверхности жидко- жидкости; вычислить нормальную составляющую вязкой добавки к скорости на внешней границе пограничного слоя; б) вне пограничного слоя. 24.6 Тяжелая идеальная несжимаемая жидкость совершает волновое движение в канале глубины h — const, причем ? = ?(#, t). Показать, что для объема жидкости, ограниченного дву- двумя плоскостями х = a?i, х = х2 = хг + А, (А — длина волны) справедливо равенство dA = —dEnoT, где dA — работа силы тя- тяжести за время dt, а 2?Пот — потенциальная энергия этого объема жидкости, вычисляемая по формуле Х2 ЕПОТ = у /Bdx + const. 271
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 229 24.7 а) На поверхности тяжелой идеальной несжимаемой жидкости бесконечной глубины распространяется прогрессив- прогрессивная волна малой амплитуды, см. задачу 24.4. Вычислить кине- кинетическую и потенциальную энергию жидкости, приходящуюся на один период волны. б) Показать, что при учете вязкости кинетическая энергия определяется по потенциальному течению идеальной жидкости с точностью до членов порядка Re/2 при Re = c/{kv) > 1. в) Записать закон сохранения полной механической энергии для случаев идеальной и вязкой жидкостей. 24.8 Показать, что диссипируемая энергия V одного пери- периода гармонической прогрессивной волны малой амплитуды на поверхности вязкой жидкости бесконечной глубины имеет вид +0 (-7=)) ПРИ Re = т~ > 1# Первое слагаемое вычисляется по скорости, соответствующей потенциальному течению, второе слагаемое определяется вкла- вкладом вязкой добавки vf к скорости в пограничном слое, см. задачи 24.7 и 24.5. 24.9 а) Используя уравнение энергии, найти закон затухания амплитуды прогрессивной гармонической волны малой амплиту- амплитуды в вязкой несжимаемой жидкости бесконечной глубины. б) Во сколько раз уменьшится амплитуда волны за время про- прохождения ею расстояния, равного длине волны? 24.10 Найти решение задачи о плоских гармонических по вре- времени волнах малой амплитуды (задача 24.3) в бассейне постоян- постоянной глубины, ограниченном плоскими вертикальными стенками х = 0 и х — L, перпендикулярными оси х. Это решение представляет стоячие волны, которые в геофи- геофизике называются сейшами. 24.11 Найти решение задачи Коши-Пуассона для одномерных волн бесконечно малой амплитуды (задача 24.2), если начальные данные Со (я), Со(#) = (9C/dtH представимы в виде интеграла Фурье.
230 Глава 5. Механика жидкости и газа 24.12 Биением называется суперпозиция двух одномерных гармонических волн вида (а — aacos(kax -с^а*)» <*=1, 2 с одинаковыми амплитудами а\ = а2 и близкими волновыми чи- числами &i и А^2 такими, что разность &2 — &i = Д& мала. Найти форму огибающей результирующей волны и скорость этой оги- огибающей [групповую скорость). 24.13 Решение линейной задачи о волнах вида оо С(х, t) = Re J f{k) e'(fc*-"W0 dki -ОО где f(k) ф О на малом отрезке [ко] ко + Ак] представляет со- собой группу волн, имеющих близкие значения волнового числа, и называется модулированной гармонической волной или вол но- новым пакетом. Показать, что для t <C 2n/(uj"(AkJ) это решение можно записать в виде где х1 = x — Ut] U = (dfjj/dk)\kzzk0 — групповая скорость; А{х') — амплитуда волнового пакета, представляющая собой функцию, отличную от нуля на отрезке оси ж, длина которого обратно пропорциональна Д&; в — kox — u>ot — фаза волнового пакета; &0, и>о = и(ко) — постоянные. 24.14 Пусть в решении линейной задачи о волнах на поверхно- поверхности движущейся жидкости в бассейне переменной глубины h(x) возмущение свободной поверхности имеет вид причем Л, дв/дх, дв/dt, а также глубина бассейна и другие па- параметры невозмущенного течения являются медленно меняющи- меняющимися функциями х и ?, т. е. мало изменяющимися на рассто- расстояниях порядка 2п/(дв/дх) и на временах порядка 2п/(дв/dt); производные дв/дх, дв/dt — конечны. Такое решение называ- называется волновым пакетом, А(х, t) — его амплитуда, 0(ж, t) — фаза,
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 231 дв/дх = к — локальное волновое число, -дв/дх = и — локаль- локальная частота. В указанных предположениях можно считать, что к и и удовлетворяют дисперсионному уравнению и = fi(fc, #, t) со значениями параметров невозмущенного течения в точке (я, t). а) Показать, что кии; удовлетворяют уравнениям Гамильтона dk дп dx _ дп ~dt~~lh' ~сп~~дк' роль функции Гамильтона играет И(к, ат, t). б) Каков физический смысл групповой скорости U = dil/dk? 24.15 В предположениях задачи 24.14 и однородности и ста- стационарности фона, найти зависимость амплитуды волнового па- пакета от времени, пользуясь законом сохранения энергии. 24.16 Если волны разной длины распостраняются с разными фазовыми скоростями, то говоят, что имеется дисперсия волн, а сами волны называют диспергирующими. Понятие дисперсии является общим для различных волновых процессов. а) Показать, что при наличии дисперсии групповая скорость волн U — duj/dk отличается от их фазовой скорости с = и/к. б) Для прогрессивных волн малой амплитуды на поверхности жидкости в бассейне конечной постоянной глубины вычислить групповую и фазовую скорости, используя дисперсионное урав- уравнение (задача 24.3). Рассмотреть предельные случаи: 1) h <C А (волны на мелкой воде); 2) h >> А (волны в бесконечно глубоком канале). Какие из этих волн обладают дисперсией? 24.17 Вывести дисперсионное уравнение для плоских гравита- гравитационных волн малой амплитуды (задачи 24.2, 24.3) на поверх- поверхности тяжелой жидкости конечной глубины Л, учитывая поверх- поверхностное натяжение на свободной поверхности. Указать длины волн, для которых влияние поверхностного натяжения существенно. Такие волны называются капиллярны- капиллярными или волнами ряби.
232 Глава 5. Механика жидкости и газа 24.18 Для плоских гравитационных волн малой амплитуды при учете поверхностного натяжения (задача 24.17) а) найти фазовую с = и/к и групповую U = du/dk скорости; б) показать, что существует минимальное значение фазовой ско- скорости ст = min с{к) = с(к*) и каждому значению с > ст соот- соответствуют две волны. Для одной из них к > к*, эту область зна- значений часто называют капиллярной ветвью, для другой к < к*, ее называют гравитационной ветвью; в) показать, что для капиллярной ветви выполнено U > с, а для гравитационной выполнено U < с. 24.19 В потоке жидкости, движущейся с постоянной скоро- скоростью V, имеется неподвижное препятствие (ступенька дна или неподвижное тело). Задача двумерная. Если V превышает не- некоторое значение V*, то в системе отсчета, связанной с препят- препятствием, наблюдается стационарная система волн, причем выше по потоку находятся короткие волны (рябь), а ниже по потоку находятся длинные волны. Найти V* и объяснить причину наблюдаемого явления. 24.20 Если изучаются волны, длина А которых много больше характерной глубины бассейна Л, т. е. А > h (длинные волны), то можно использовать так называемую теорию мелкой воды. В этой теории пренебрегают ускорением по вертикали и предпо- предполагают, что горизонтальная скорость однородна по вертикали. а) Показать, что в приближении мелкой воды возвышение сво- свободной поверхности ((xl,x2,t) и горизонтальные составляющие скорости va(xl,x2,t), a = 1, 2, удовлетворяют уравнениям at ox1 ax2 6) Как упростятся эти уравнения, если h — const, волны плоские, т. е. v2 = 0 и д/дх2 = 0, и амплитуда волн мала, ( < ft < А? Какова скорость распространения таких волн?
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 233 24.21 Волны, вызванные только действием силы тяжести, на- называются свободными гравитационными волнами. При действии других (добавочных) сил волны называются вынужденными. Ре- Решить задачу о вынужденных длинных волнах малой амплитуды, см. задачу 24.20, вызванных силой Fx = Asm(ICx-crt) в бассей- бассейне постоянной глубины Л, где А, /С и а — заданные постоянные. К такой постановке сводятся некоторые задачи теории лунных и солнечных приливов на Земле. Найти отличие в фазе действу- действующей силы и вызванных ею волн. Указать глубину бассейна, в котором амплитуда волны обращается в бесконечность (явление резонанса) и, следовательно, нарушается законность линеаризо- линеаризованной постановки. 24.22 Установить аналогию между движением идеальной не- несжимаемой жидкости в мелком бассейне постоянной глубины и адиабатическим движением идеального совершенного газа при 7 = cp/cv = 2, см. задачу 25.5 б). 24.23 Показать, что при h = const система одномерных урав- уравнений теории мелкой воды vy = О, д/ду = 0 (задача 24.20) рав- равносильна системе дх где J± = vx ± 2Jg(h + Q — инварианты Римана, с± = vx ± \/g{h + Q — скорости характеристик. См. § 26 и задачи 26.28 и 26.29. 24.24 а) Рассмотреть частные решения системы одномерных уравнений мелкой воды при h = const, в которых один из ин- инвариантов Римана постоянен во всем потоке, см. задачу 24.23. Такие решения называются волнами Римана, см. задачи 25.29, 26.20 — 26.26. б) Найти изменение со временем формы свободной поверхности и условие опрокидывания волны, т.е. возникновения точек, где производная д^/дх обращается в бесконечность. в) Написать приближенное уравнение для ?(х, t) в волне Римана малой амплитуды, сохранив главный нелинейный член.
234 Глава 5. Механика жидкости и газа 24.25 Система уравнений мелкой воды, см. задачу 24.20, является гиперболической и, следовательно, допускает решения с разрывами. а) Написать условия на поверхности разрыва (скачке) скорости и глубины потока в предположениях теории мелкой воды. Такой скачок называется гидравлическим прыжком или борой. б) Для прямого скачка (v перпендикулярна скачку) найти ско- скорость D его распространения, если известны глубины h\ и h,2 по разные его стороны и скорость V\. в) Показать, что относительно жидкости скачок движется все- всегда в сторону области с меньшей глубиной. 24.26 В предположениях теории мелкой воды, задача 24.20, рассмотреть движение жидкости в длинном канале произволь- произвольного поперечного сечения. а) Вывести уравнения для скорости и потока вдоль канала и площади сечения потока 5. б) Установить аналогию полученных уравнений с уравнениями, описывающими движение газа, см. § 25. Какая при этом должна быть зависимость р(р) в газе, если поперечное сечение канала: 1) прямоугольное; 2) треугольное? в) Чему равняется скорость с распространения волн малой ам- амплитуды? г) Рассмотреть волны Римана, вывести условия их опрокидыва- опрокидывания в зависимости от формы сечения канала. 24.27 Уединенная волна на поверхности тяжелой жидкости имеет профиль z = С(^М) с горизонтальной асимптотой (? —>• О при х —> ±оо) и распространяется в слое постоянной глубины h со скоростью с относительно покоящейся на бесконечности жид- жидкости. а) Найти количество движения жидкости Q и ее потенциальную энергию ЕПОТ. б) При vz = О и dvx/dz = 0 и Q/h << 1 найти с и кинетическую энергию жидкости Ект1. Сравнить Епот и ЕКИН.
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 235 24.28 Из дисперсионного уравнения для гравитационных волн малой амплитуды на поверхности жидкости постоянной конеч- конечной глубины Л, задача 24.3, в первом приближении по kh <C 1 по- получить дисперсионное уравнение линейной теории мелкой воды а) для волн бегущих в разные стороны (разложением и2(к)); б) для волн бегущих в одну сторону (разложением ш(к)). Написать соответствующие этим разложениям дифференци- дифференциальные уравнения для длинных волн малой амплитуды и срав- сравнить с результатами задачи 24.20. 24.29 Найти следующее приближение в разложениях по kh <C 1, рассмотренных в задаче 24.28, и проверить, что им соответствуют дифференциальные уравнения Первое называют линеаризованным уравнением Буссинеска, а второе — линеаризованным уравнением Кортевега-де Вриза. Эти уравнения учитывают дисперсию длинных волн. 24.30 Считая, что дисперсия и нелинейность независимо вли- влияют на поведение волны, бегущей в одну сторону, и используя решение задач 24.24, 24.29, получить уравнение dt ox 2 h ox 6 ox6 C=o учитывающее дисперсию и нелинейность длинных волн с точно- точностью до членов второго порядка по Q/h — уравнение Кортевега- де Вриза. 24.31 Уравнение Кортевега-де Вриза (задача 24.30) имеет частные решения в виде уединенных волн — солитонов, которые распространяются в канале постоянной глубины Л, не меняя сво- своей формы. Найти такое решение, считая, что на бесконечности выполняются условия ox ox2 Показать, что скорость этой волны зависит от ее амплитуды и больше, чем cq = \f<gfi.
236 Глава 5. Механика жидкости и газа 24.32 В расслоенных по плотности жидкостях могут распро- распространяться волны на внутренних поверхностях раздела слоев (внутренние волны). Пусть имеется два несмешивающихся слоя несжимаемой жидкости разной плотности. В покое это слой О < z ^ h\ с плотностью р\ и слой 0 > z > — h2 с плотностью />2 > />ь гДе z — h\ — свободная поверхность; z = ~h2 — дно. Толщины слоев hi и h2 малы, что позволяет использовать поста- постановку мелкой воды, задача 24.20. В рамках теории волн малой амплитуды найти соотношение между скоростями и амплитуда- амплитудами поверхностных и внутренних волн. Получить упрощенные формулы для случая близких значений величин р\ и р2. 24.33 При исследовании в линейной постановке устойчивости однородных стационарных течений рассматривается поведение во времени малых возмущений таких течений. Линейная задача для одномерных возмущений имеет решения вида exp(ikx - iut), где А; и о; связаны дисперсионным уравнением D(u,k) ~ 0. Его корни и (к) при действительных значениях к определяют пове- поведение возмущений во времени. Если при всех действительных значениях &, для всех и(к) выполнено Imu(k) ^ 0, то стацио- стационарное однородное течение устойчиво. Если найдутся действи- действительные значения fc, для которых хотя бы для одного корня и (к) выполнено 1ти(к) > О, то течение является неустойчивым, так как соответствующие этим к возмущения растут во времени. В указанной постановке исследовать устойчивость течения с тан- тангенциальным разрывом, разделяющим два плоскопараллельных однородных потока идеальной несжимаемой жидкости с плотно- плотностями ра и скоростями va\ а = 1 для z > 0 ж а = 2 для z < 0. Учесть поверхностное натяжение и силу тяжести. 24.34 При изучении волн в бассейнах на поверхности Земли во многих случаях необходимо учитывать вращение Земли. а) Написать уравнения движения идеальной жидкости в декар- декартовой системе координат, связанной с точкой поверхности сфе- сферы, вращающейся с угловой скоростью П. Ось z этой системы координат направлена по вертикали, а (ж; у) — горизонтальная плоскость в рассматриваемой точке. Считать, что ускорение си-
24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 237 лы тяжести д зависит от географической широты места <р так, что центробежная сила инерции включена в силу тяжести, б) Обычно для течений в океане vz <C vx, vy. Оценить члены в уравнениях и написать приближенную систему уравнений для таких движений. 24.35 В северном полушарии Земли, в касательной плоскости на широте <р в слое жидкости глубины h имеется плоская вер- вертикальная стенка у = 0. В приближении длинных волн малой амплитуды, см. задачу 24.20, найти поверхностную волну, ам- амплитуда которой затухает при удалении от стенки. Показать, что эта волна распространяется вдоль правой по ее ходу сторо- стороне стенки и в ней отлична от нуля лишь составляющая скорости, параллельная стенке (волна Кельвина). Найти скорость распро- распространения волны и коэффициент затухания ее амплитуды при удалении от стенки. Изменением широты пренебречь. Указание: а) рассмотреть частное решение vy = 0; б) показать, что в этой постановке vy = 0 является общим решением. 24.36 В достаточно протяженном бассейне на поверхности вращающейся Земли могут существовать волновые движения, вызванные силой Кориолиса, траектории частиц при этом лежат в горизонтальной плоскости, vz = 0, а колебания происходят во всей толще жидкости. Эти волны наблюдаются в атмосфере и в океане и называются планетарными волнами или волнами Россби. Найти периодические волны такого типа, распространяющи- распространяющиеся вдоль направления х параллели Земного шара в бассейне на- настолько протяженном, что необходимо учитывать переменность географической широты места ip = </?(у), где у — направление вдоль меридиана. Специальный выбор осей х и у — вдоль па- параллели, к востоку, и вдоль меридиана, к северу, соответственно, позволяет считать, что параметр Кориолиса / = 2Г2 sin у? зави- зависит только от у. В первом приближении эту зависимость можно взять в виде / = /0 + /?У, где /3 = df/dy = const. Определить ве- величину и направление скорости распространения волн; показать, что они обладают дисперсией. 9 Зак. 2368
238 Глава 5. Механика жидкости и газа 25. Механика сжимаемой жидкости В этом параграфе, а также в § 26, рассматриваются эффек- эффекты, связанные со сжимаемостью жидкостей и газов, т. е. с изме- изменением их плотности при изменении давления. Во многих случа- случаях даже для легко сжимаемых сред — газов изменение плотности при движении мало и им можно пренебречь. Условия, при кото- которых жидкости и газы можно рассматривать как несжимаемые, приведены в § 22. Здесь изучаются ситуации, когда изменение плотности не мало или когда оно мало, но именно это изменение составляет сущность явления, например, распространение звука. При описании движения сжимаемой жидкости или газа ме- механических уравнений (неразрывности и количества движения) недостаточно. Даже если коэффициенты вязкости не зависят от температуры, эти четыре уравнения содержат пять неизвест- неизвестных функций координат и времени: плотность />, давление р и три компоненты скорости vt*. Поэтому для определения /),рии обязательно использование термодинамических уравнений, вы- выражающих первый и второй законы термодинамики, а также уравнений состояния среды (см. гл. 3). Жидкости и газы обычно можно рассматривать как двупа- раметрические среды, термодинамическое состояние малых ча- частиц которых определяется двумя параметрами, например плот- плотностью р и температурой Г. В частности, давление р и плот- плотность внутренней энергии и для каждой частицы сжимаемой жидкости суть функции р и Т Р = Р(р,Т), и = и(р,Т). Эти соотношения называют уравнениями состояния. Во многих случаях удобнее использовать в качестве параметра состояния вместо температуры Т энтропию s. При некоторых условиях из термодинамических уравнений можно выразить давление как функцию одной только плотности. Если эта функция одинакова для всех частиц среды, то движение называют баротпропным, а зависимость р = р(р) используют для замыкания системы механических уравнений.
25. Механика сжимаемой жидкости 239 Сжимаемость частиц среды можно количественно описывать коэффициентом сжимаемости к k=dp/fldp\ dt/ \p dtj' Величина к определяется не только свойствами среды, но и про- происходящим в ней процессом. Если процесс можно считать обратимым и адиабатическим, то энтропия каждой частицы сохраняется и, используя уравне- уравнение состояния в виде р = р(р, s) и условие ds/dt = 0, получим pdt)-^\dpjs=coiysrpa2' где 'др' J = М Величину а называют скоростью звука. Именно с этой скоро- скоростью звук, т. е. малые периодические изменения давления, рас- распространяются по частицам среды. Для баротропных процессов k-p dp Для величины J ^У' часто используется обозначение а и условное название скорость звука. Для несжимаемой среды а = оо. Величина а, а также число Маха М м=°, а где v — величина скорости среды, играют важную роль в меха- механике сжимаемой жидкости. В частности, при установившемся движении дозвуковые потоки (v < а, М < 1) качественно отли- отличаются от сверхзвуковых (и > а, М > 1).
240 Глава 5. Механика жидкости и газа Задачи Уравнения, описывающие движение и состояние сжимаемой жидкости или газа 25.1 а) Написать замкнутую систему уравнений, описываю- описывающих движение сжимаемой вязкой жидкости или газа. б) Написать эту систему для линейно-вязкого теплопроводного совершенного газа в поле силы тяжести. Считать, что теплопро- теплопроводность подчиняется закону Фурье, коэффициенты теплопро- теплопроводности и вязкости постоянны, причем коэффициент объемной вязкости ? = А + 2///3 равен нулю. 25.2 а) Для вязкого теплопроводного совершенного газа, сравнивая порядки величин членов уравнения притока тепла, получить условия, при которых можно в этом уравнении пре- пренебречь работой вязких напряжений и притоком тепла за счет теплопроводности (и тем самым считать, что в каждой частице энтропия сохраняется). б) Провести конкретные оценки для стационарного обтекания тела потоком воздуха со скоростью 100 м/с и нормальной тем- температурой и давлением. Линейный размер тела 10 м. Считать, что для воздуха р = 0.125 кг/м3, v = 1.45 • ИГ5 м2/с, х — 0.025 Дж/(м • с • град), сР = jcv — 103 Дж/(кг • град), 7 = 1.403, а = 340 м/с, R = 287.14 м2/с2 • град. 25.3 Сравнивая порядки величин различных членов в урав- уравнениях движения, написать условия на параметры потока, при которых в этих уравнениях силу тяжести можно не учитывать. Газ считать идеальным.
25. Механика сжимаемой жидкости 241 25.4 Написать полную систему уравнений для определения скорости, плотности и давления в адиабатическом движении иде- идеальной сжимаемой жидкости или газа в отсутствие массовых сил. Эту систему называют системой уравнений газовой дина- динамики. 25.5 Для совершенного газа а) написать выражения для плотности внутренней энергии и, энтропии s, энтальпии i и скорости звука а — \J{dp/dp)s как функций давления и плотности; б) написать замкнутую систему уравнений для определения ско- скорости, плотности и давления при адиабатическом движении иде- идеального совершенного газа. 25.6 При каких условиях адиабатическое движение идеаль- идеальной сжимаемой жидкости или газа является баротропным? 25.7 Доказать, что при непрерывных баротропных движени- движениях идеальной сжимаемой жидкости в поле потенциальных мас- массовых сил циркуляция скорости по замкнутому контуру, прохо- проходящему через одни и те же частицы жидкости, со временем не меняется (теорема Томсона). 25.8 Доказать, что если в некоторый момент времени по- поле скорости идеальной жидкости во всем пространстве потен- потенциально и в дальнейшем происходит непрерывное баротропное движение, причем массовые силы обладают потенциалом, то по- поле скорости остается потенциальным (теорема Лагранжа). 25.9 Написать систему уравнений для определения плотно- плотности и потенциала скорости для баротропного потенциального движения в потенциальном поле массовых сил. 25.10 Для изэнтропического (s = const) потенциального дви- движения совершенного газа в поле силы тяжести а) написать интеграл уравнений движения — интеграл Коши- Лагранжа; б) получить уравнение, в которое входит только потенциал ско- скорости.
242 Глава 5. Механика жидкости и газа Движение с малыми возмущениями. Распространение малых возмущений давления. Скорость звука. 25.11 а) В идеальной сжимаемой жидкости или газе в отсут- отсутствие массовых сил при механическом равновесии, когда всюду v = 0, давление и плотность заданы величинами р = р0 = const, р — ро = const. В результате малого возмущения возникло движение, в котором Р = Ро + p'fa, i), p = ро + //(ж,-, t), t; = v'(xi, t), причем p7, //, t/, а также их производные малы. Движение ба- ротропно. Написать линеаризованную систему уравнений для функций р7, />7, V7. Показать, что функции р7, /?7 удовлетворяют волновому уравнению. Вектор скорости v любого движения может быть предста- представлен суммой v = V\ + t>2 потенциального (v\ — grad ф) и солено- идального (div V2 = 0) векторов. Написать уравнения для t^ (и соответственно (/?) и v'2, б) Какому уравнению удовлетворяют малые возмущения давле- давления pf в однородной несжимаемой жидкости? 25.12 Найти связь между А и а;, при которой функция является решением волнового уравнения Здесь (ро — const; а; = const; г — радиус-вектор точки наблюде- наблюдения; к — постоянный вектор; г = >/~Т? Д^ — оператор Лапласа. Такое решение называется монохроматической волной. Если и — действительное, то <ро — амплитуда волны; |о>| — угло- угловая частота; & — волновой вектор; А = 2тг/|А?| — длина волны; / = k-r-wt — фаза; / = const — поверхность постоянной фазы,
25. Механика сжимаемой жидкости 243 иногда называемая фронтом волны. Скорость перемещения по- поверхности постоянной фазы по нормали к ней называют фазовой скоростью, а) Найти фазовую скорость и связь между направлением волно- волнового вектора и направлением перемещения поверхности посто- постоянной фазы. б) Показать, что звуковые волны являются продольными, т. е. перемещение частиц жидкости параллельно волновому вектору. 25.13 Рассматриваются одномерные движения с плоскими вол- волнами, когда vy = vz = О, vx = и(ж, ?), где х — декартова коорди- координата. а) Найти общее решение системы, полученной в задаче 25,11, для функций p'{x,t), p'(x,i), v'(x,t), (p(x,t). б) В начальный момент времени возмущение скорости v' всюду равно нулю, а возмущение давления р отлично от нуля только в слое |ж| ^ /, где оно равно р'о = pi(l - х2/12). Найти //(ж,?), /р'(ж,?), v'(x,t) при t = 21 /а и при t = 31/а. в) В монохроматической плоской звуковой волне частицы со- совершают колебания с амплитудой 0.25 мм. Частота колебаний 500 Гц. Найти длину волны, максимальную скорость частиц и максимальное относительное изменение плотности в волне, если она распространяется 1) в воздухе (а = 340 м/с); 2) в воде (а = 1400 м/с). 25.14 Скорость распространения малых возмущений давления по покоящемуся газу вычисляется по формуле а == y/{dp/dp)o (см. задачи 25.12, 25.13) и определяется видом зависимости р = /(/?>). Найти выражение для скорости малых возмущений в совершенном газе с заданными теплоемкостями сР и cv в слу- случаях изотермических возмущений (формула Ньютона для аТ) и адиабатических возмущений (формула Лапласа для а3). Вычислить ат и as для воздуха, у которого cP/cv = 1.4 и R = 287.14 м2/(с2 -град) Из измерений известно, что скорость звука в воздухе при температуре 15°С равна примерно 340 м/с. Какая из величин ат или а3 соответствует скорости звука? Объяснить ответ, используя результат задачи 25.2.
244 Глава 5. Механика жидкости и газа 25.15 Для сферически симметричных одномерных движений (движений со сферически симметричными волнами) найти об- общее решение полученной в задаче 25.11 линеаризованной систе- системы для функций где г — расстояние от центра симметрии. 25.16 Получить линеаризованную систему уравнений для од- одномерных малых возмущений, зависящих от х и ?, на фоне равно- равномерного потока, движущегося с постоянной конечной скоростью U ВДОЛЬ ОСИ X. Показать, что для монохроматической волны ег(кх~~шг) при за- заданной длине волны, т. е. величине fc, частота колебаний зависит от скорости U движения потока. 25.17 Источник малых монохроматических возмущений дви- движется с постоянной скоростью U < а вдоль оси х в неподвижной сжимаемой жидкости. Возмущения, производимые источником, имеют вид плоских волн с фронтом, перпендикулярным оси х. Показать, что частота колебаний \ш\ в монохроматической волне, см. задачу 25.12, в системе неподвижного наблюдателя отличается от частоты и* в системе, движущейся с источником (эффект Допплера). 25.18 Однородный поток газа движется с постоянной скоро- скоростью U в направлении оси х. В момент времени t = 0 в точке О внутри этого потока начинает действовать источник малых возмущений давления. Найти область, в которой поток является возмущенным в мо- моменты времени f = fi и { = B>*1, если a) U < а; б) U = а; в) U > а, где а — скорость распространения малых возмущений по газу. 25.19 Из-за вязкости малые возмущения имеют тенденцию за- затухать. Показать это, рассматривая малые одномерные моно- монохроматические колебания вязкого газа при р = р{р).
25. Механика сжимаемой жидкости 245 25.20 Плоская звуковая вол- волна, распространяющаяся вдоль оси ж, падает на границу раз- раздела двух сред — плоскость х — О, параллельную фронту волны (нормальное падение). Давле- ние в падающей волне '- : _-" "-. - "- " 7 - о -' - р' — — ^ ¦' - ¦^г-_г-_>- \ax _--. I. ./----- I-rET-EI Рис. 25.1. известно. Найти амплитуды давления pfn в отраженной и р'2 в прошедшей волнах при заданных значениях плотностей pi, р2 и скоростей ai, а2 в обеих средах в равновесном состоянии. Отношения найденных амплитуд к амплитуде падающей волны Рп/Рго и Р2/Р10 называют коэффициентами отражения и прелом- преломления данной пары сред. Оценить величины амплитуд отраженной и прошедшей волн, если волна проходит а) из воздуха в воду, б) из воды в воздух. Скорость звука в воде 1400 м/с. 25.21 Плоская монохромати- монохроматическая звуковая волна, распро- распространяющаяся вдоль оси ? и имеющая потенциал скорости А III1 - / ф е в падает на границу раздела АВ -=^2F_*-"^ZF_-^1-3=:_^:^^_^: двух сред, см. рис. 25.2, так, ^^ что направление ее распростра- распространения — ось ? — образует угол в с нормалью к плоскости границы (косое падение). Плотности ра и скорости звука аа, а = 1, 2, в обеих средах в равновесном состоянии известны. Найти углы в\ и #2? определяющие напра- направления распространения отраженной и преломленной (проходя- (проходящей) волн. Показать, что при а2 > ^i проходящая волна суще- существует не при любых углах падения в.
246 Глава 5. Механика жидкости и газа 25.22 Имеется мелкодисперсная смесь двух сред, одна из ко- которых несжимаемая жидкость, другая — совершенный газ. Те- Теплообмен и фазовые переходы между фракциями отсутствуют. Давление и скорость в обеих фракциях можно считать одинако- одинаковыми. Найти скорость звука в смеси в зависимости от массовой концентрации сжимаемой фракции. Показать, что скорость зву- звука в смеси может оказаться меньше скорости звука в каждой из составляющих фракций. Вычислить скорость звука в среде, состоящей из а) малых капель воды в воздухе (туман), если массовая концен- концентрация воздуха а = 0.001, а плотности равны соответственно Рвоздуха = 0.00125 г/см3, рводы = 1 г/см3; б) мелких частиц льда в воздухе при а = 0.01, /оЛьда — 0.8 г/см3. Движение с малыми возмущениями. Стационарное обтекание тонкого тела 25.23 В поступательном потоке газа помещено под малым углом атаки тонкое тело, слабо возмущающее этот поток. Вяз- Вязкость газа и массовые силы не учитываются, движение газа установившееся, баротропное и потенциальное. а) Получить линеаризованное уравнение для потенциала скоро- скорости и линеаризованную форму интеграла Коши-Лагранжа. б) Какое граничное условие должно выполняться на поверхно- поверхности тела (обтекание предполагается безотрывным)? в) Линеаризовать граничное условие на поверхности тела. г) Какой вид имеют уравнения для потенциала <р, формула свя- связывающая р1 и (f и граничные условия на поверхности тела для потока несжимаемой жидкости? Какие из этих соотношений отличаются от соответствующих соотношений для потока сжи- сжимаемой жидкости? 25.24 Тонкое крыло бесконечного размаха (цилиндрическое, бесконечно длинное) обтекается под малым углом атаки стацио- стационарным потоком газа перпендикулярно образующей. Движение баротропное и потенциальное, вязкость и массовые силы не учи- учитываются, обсекание безотрывное.
25. Механика сжимаемой жидкости 247 v. Рис. 25.3. а) Написать уравнения и граничные условия для определения по- потенциала скорости и давления. б) Пусть поток дозвуковой, Vq < ao, Mq < 1. Привести задачу об определении потенциала скорости к задаче об определении потенциала потока несжимаемой жидкости, обтекающей то же крыло. Найти связь между силами, действующими со стороны потока на крыло в случаях сжимаемого и несжимаемого потока. Чему равно сопротивление крыла? 25.25 Тонкое крыло обтекается сверхзвуковым потоком, t?o > «о> в условиях, указанных в задаче 25.24. Найти потен- потенциал и силу сопротивления крыла, если оно представляет собой плоскую пластинку. Распространение конечных возмущений в идеальной сжимаемой жидкости Задачи 25.26 — 25.31 демонстрируют следующие эффекты, характеризующие распространение возмущение конечной (не ма- малой) амплитуды. Фронт возмущения давления, плотности и ско- скорости движется по частицам среды с местной скоростью звука, пока движение остается непрерывным. Форма волны возмуще- возмущения при распространении меняется. Во многих случаях фронт возмущения мгновенно или с течением времени превращается в ударную волну, т. е. поверхность сильного разрыва, перемеща- перемещающуюся по среде.
248 Глава 5. Механика жидкости и газа В задачах 25.26 — 25.31 рассматриваются одномерные не- неустановившиеся движения с плоскими волнами т. е. предполага- предполагается, что параметры среды зависят только от времени t и одной декартовой координаты я, причем vy = vz = 0. 25.26 а) Написать уравнение неразрывности, уравнение дви- движения и уравнение притока тепла для адиабатического движе- движения идеальной сжимаемой жидкости с плоскими волнами. б) Если производные от всех искомых функций по независимым переменным t и х входят в квазилинейное уравнение первого по- порядка только в комбинации d/dt + сд/дх, где с — функция ?, х и искомых функций, то говорят, что уравнение имеет характери- характеристическую форму. Линии в плоскости (?; ж), задаваемые урав- уравнением dx/dt — с, называются характеристиками, d/dt + сд/дх есть производная вдоль характеристики. Имеют ли уравнения п. а) характеристическую форму? в) Получить, составляя линейные комбинации исходных уравне- уравнений, систему уравнений в характеристической форме, эквива- эквивалентную исходной. г) Пусть движение баротропно, а массовые силы несуществен- несущественны. Найти величины, которые постоянны вдоль характеристик (инварианты Римана). 25.27 Чему равны скорости характеристик и инварианты Ри- Римана, см. задачу 25.26, для адиабатического баротропного дви- движения совершенного газа? 25.28 Имеется адиабатическое одномерное движение идеаль- идеального газа вдоль оси ж, с известными v = v(x,t), p-p{x,t), p~p{x,t), s = s(x,t). B5.1) В момент t = to в результате каких-то внешних возмущений в области ха ^ х ^ хв возникло возмущение потока такое, что и, р, р и s остались непрерывными. Здесь х = ха и х — хв — поверхности слабого разрыва при t = t0, см. гл. 4. Предполагая, что при t > to движение непрерывно, нарисовать на плоскости (х; t) области, где газ „не почувствовал" возмущения, т. е. где по-прежнему выполнены соотношения B5.1).
25. Механика сжимаемой жидкости 249 25.29 Найти частные решения системы уравнений баротроп- ного движения сжимаемой жидкости с плоскими волнами, в ко- котором v, p и р зависят только от одной комбинации 0(x,t) неза- независимых переменных х и t. Такие движения называют волнами Римана. . Вязкость, массовые силы и притоки тепла не учитывать. 25.30 В цилиндрической трубе, неограниченной с одной сто- стороны и закрытой поршнем с другой, находится идеальный со- совершенный газ с параметрами р — ро, Р = Аь v = 0. В момент t = О поршень начинает выдвигаться из трубы со скоростью u(t), причем Г А?, А = const > 0 при 0 < t < t\\ \u(t)\ — < у \t\ = I'^iI = const при t ^ t\. Возникающее движение газа адиабатическое, массовыми силами пренебречь. v=0 Р=Ро Рис/25 А. а) Написать уравнения для определения скорости и давления в характеристической форме, см. задачи 25.26 и 25.27. б) Найти скорость границы Г, отделяющей пришедший в дви- движение газ от еще покоящегося. Показать, что в области, при- примыкающей к Г, движение представляет собой волну Римана, см. задачу 25.29. в) Найти распределение скорости и давления в трубе. г) Найти максимальную скорость поршня, при которой он еще не отрывается от газа. д) Пусть поршень сразу начал двигаться со скоростью щ = const при t ^ 0. Найти v(x,t) и p(x,t) для этого случая.
250 Глава 5. Механика жидкости и газа 25.31 Рассмотрим явление, описанное в задаче 25.30, с той разницей, что поршень не выдвигается из трубы, а движется в сторону, заполненную газом. Показать, что в этом случае непрерывное решение существует лишь при ? ^ t0, где t0 зависит от ускорения поршня. 25.32 В цилиндрической трубе с площадью поперечного се- сечения S имеется поршень массы га, который может двигаться без трения. Поршень отделяет от вакуума газ, находящийся в начальный момент t = 0 в состоянии покоя с постоянными плот- плотностью ро и давлением ро. Газ считается идеальным и совершен- совершенным, движение газа — адиабатическим, труба — неограничен- неограниченной, массовые силы отсутствуют. а) Найти скорость движения поршня vn@» считая ^п(О) = 0. Сравнить ее со скоростью истечения газа в вакуум (га = 0). б) Пусть 7 — показатель адиабаты. Исследовать предел при 7 ~> оо, который отвечает случаю несжимаемой жидкости. 25.33 В полубесконечной цилиндрической трубе с площадью поперечного сечения S поршень массы га, движущийся без тре- трения, отделяет газ массы тд, заключенный между неподвижной стенкой ж = 0и поршнем xn(t) > 0, от вакуума. Газ предполага- предполагается идеальным и совершенным, движение газа — адиабатиче- адиабатическим. Массовые силы отсутствуют. тп„ т > вакуум Рис. 25.5. а) В начальный момент плотность газа /?о постоянна, а давле- давление ро распределено таким образом, что при t > О газ движется с распределением скорости вида v = A{t)x, причем А@) = 0. Най- Найти функцию ро(х) и коэффициент полезного действия установки г] = га1?п(оо)/B?'о), где ?"о — начальная энергия газа.
25. Механика сжимаемой жидкости 251 б) Исследовать семейство решений аналогичной задачи со сте- степенным начальным распределением плотности и тем же распределением v(x1t)^ см. п. а). Показать, что ц -» 1 при а —> 1. Движение с ударными волнами При пренебрежении вязкостью и теплопроводностью реше- решение многих задач получается разрывным — на некоторых по- поверхностях скорость, давление, температура и плотность или их производные терпят разрывы. При этом скачки различных вели- величин связаны соотношениями, следующими из законов сохранения и других условий (см. гл. 4), Поверхности разрыва скорости, давления, температуры и плотности, движущиеся по частицам среды, называют ударными волнами. Если учесть вязкость, теплопроводность и другие диссипа- тивные механизмы, то вместо ударной волны получим узкую зо- зону непрерывного изменения параметров среды. Распределение параметров в этой зоне называют структурой ударной волны. За счет действия диссипативных механизмов энтропия частиц, проходящих через ударную волну, возрастает. При построении решений с разрывами следует учитывать условия, следующие из а) законов сохранения массы, количества движения и энергии; б) второго закона термодинамики; в) требований эволюционности поверхности разрыва; г) требований существования структуры разрыва; д) требований устойчивости поверхности разрыва, см. § 26. Поверхность разрыва T>d называют эволюционной, если ли- линеаризованная задача о ее взаимодействии с малыми возмуще- возмущениями, фронт которых параллелен поверхности разрыва, име- имеет единственное решение. Амплитуды волн, приходящих на E<j,
252 Глава 5. Механика жидкости и газа считаются в этой задаче известными. Требуется найти ампли- амплитуды волн, уходящих от Е^ и изменение скорости самой Erf. Для разрешимости этой задачи необходимо, чтобы где N/ есть число уходящих волн, N — число соотношений, свя- связывающих параметры по разные стороны поверхности разрыва (условий на поверхности разрыва). В идеальном газе, рассматриваемом в этом параграфе, ско- скорости малых возмущений равны скоростям характеристик с&. Возмущения (волны), распространяющиеся впереди Erf (отметим их знаком „-"), уходят от нее, если их скорости с~ больше ско- скорости D поверхности Erf; волны,распространяющиеся позади Erf (отметим их знаком „+"), уходят (отстают) от нее, если их ско- скорости с+ меньше D. Пусть впереди и сзади Erf имеется п~ и п+ семейств характеристик соответственно. Условия эволюционно- сти Erf записываются в виде l f, , , B5.2) D < Cn+ для всех возможных к. Это условие означает, что (к-1) и (N — k) волн уходят от Erf соответственно впереди и позади нее так, что 25.34 а) Доказать, что решением задачи 25.31 в случае, ес- если поршень начинает вдвигаться в газ сразу со скоростью и = const, является следующее: по газу распространяется со скоро- скоростью D ударная волна, впереди которой газ покоится, а позади получается поступательный поток со скоростью v = и и давле- давлением р\. Использовать условия на ударной волне в совершенном газе, полученные в задаче 18.10. Найти D и р\. б) Проверить выполнение условий возрастания энтропии на ударной волне и эволюционности волны. в) Доказать, что аналогичное решение в случае поршня, выдви- выдвигающегося из газа с постоянной скоростью, не удовлетворяет условиям, перечисленным в п. б).
25. Механика сжимаемой жидкости 253 25.35 а) Записать в эйлеровой форме в сферических коорди- координатах (г, 6, (р) уравнения сферически-симметричного адиабати- адиабатического движения идеального совершенного газа при отсутствии массовых сил. б) Рассмотреть в качестве лагранжевой координаты массу газа г m(r, t) = I 4тгр(ги t)r\ dru о заключенного в момент времени t внутри сферы радиуса г, где р — плотность газа; проверить, что dm/dt = 0. Вывести урав- уравнения движения в лагранжевой форме в переменных га и t. в) Составить уравнение энергии в лагранжевой форме. г) Записать в лагранжевой форме условия на сильном сфери- сферическом разрыве. Показать, что условие непрерывности потока массы есть следствие непрерывности функции г(га,?). 25.36 В результате взрыва покоящемуся газу, заполняюще- заполняющему все пространство с постоянной начальной плотностью />о? в некоторой точке мгновенно передается энергия Е$. От центра взрыва распространяется сферическая ударная волна радиуса г = Д(?), R@) — 0. Газ считается идеальным и совершенным, движение газ после взрыва — адиабатическим. Массовые силы отсутствуют. Начальное давление в газе считается пренебрежи- пренебрежимо малым („сильный точечный взрыв"). а) Используя теорию размерности, см. §§ 38, 39, и условия сфе- сферической симметрии, установить общий вид: — закона движения газа г(га,?), где га — масса газа внутри сферы радиуса г; — закона движения ударной волны R(t), или га = M(t); — функции р/р1 — /(га), связанной с распределением энтропии. Принять, что все функции зависят параметрически от раз- размерных величин 1?о> Ро и безразмерного показателя адиабаты у. б) Вводя энергию газа в шаре радиуса г
254 Глава 5. Механика жидкости и газа выразить производные dE/dt и дЕ/дтп через параметры дви- движения и состояния газа, используя уравнение энергии, см. за- задачу 25.35 в). Показать, что на ударной волне E(M,t) = Ьо? а, также, что в каждой точке имеет место „интеграл энергии" (v\ р \ ""\2 G-1W 3 - - в) На основании интеграла энергии, см. п. б), составить в без- безразмерной форме уравнение для закона движения газа г (га, ?), проинтегрировать его в параметрическом виде, используя в ка- качестве параметра величину и = vt/r. Определить неизвестные постоянные, используя условия на ударной волне и соотношение E(M,t) = Ео. Показать, что при у > 7 в результате взрыва вблизи центра образуется расширяющаяся полость. г) Проверить, что при у — 1 решение задачи о сильном точеч- точечном взрыве имеет степенной вид, и выписать его явно. 25,37 Плоский поршень начинает двигаться вдоль перпенди- перпендикулярной ему оси х с постоянной скоростью vn, создавая удар- ударную волну в газе с переменной начальной плотностью ро{х), при- причем полная масса газа в расчете на единицу площади поршня конечна и равна М. Газ считается идеальным и совершенным, движение — адиабатическим. Массовые силы отсутствуют. На- Начальные давление и скорость газа равны нулю. Пусть в области за ударной волной закон движения газа имеет вид х х = v(m)(t + ti) — /, и@) = vn, m — I pdx, t\ — —, где / — положительная постоянная, га — масса слоя газа в расче- расчете на единицу площади поршня, заключенного в момент времени t между плоскостью с координатой х = const и поршнем; га игра- играет роль лагранжевой координаты. Проверить, что dm/dt = 0. а) Найти общий вид распределений давления р и плотности р. б) Используя условия на ударной волне, связанные с сохранени- сохранением массы, импульса и энергии, определить подходящие функции и(га), ро(х) и закон движения ударной волны вида t = ts(m).
25. Механика сжимаемой жидкости 255 в) Найти распределение плотности энергии в области за удар- ударной волной. Исследовать предел при t —> оо, обратив внимание на эффект неограниченного ускорения ударной волны и роста скачка температуры за счет убывания функции ро(х). Вычи- Вычислить полную энергию, сообщаемую газу, 25.38 а) Плоский однородный слой газа, движущийся по- поступательно в вакууме с постоянной скоростью Vq, перпендику- перпендикулярной его границам, ударяется о параллельную ему абсолютно твердую неподвижную стенку. Газ считается идеальным и со- совершенным, движение газа — адиабатическим. Массовые силы отсутствуют. Зная показатель адиабаты 7, найти скорость по- последующего движения границы слоя. б) Решить аналогичную задачу об ударе упругой пластины о твердую стенку в рамках линейной теории упругости. Материал пластины изотропный, процесс — изотермический. Сравнить результаты п. а) и б). 25.39 Тело в виде бесконеч- бесконечного клина с углом при верши- вершине 20 обтекается стационарным сверхзвуковым потоком идеаль- идеального совершенного газа, как по- показано на рис. 25.6. Скорость, v давление и плотность набегаю- набегающего потока равны соответст- соответственно t>o, Ро и Ро] Показать, что если в < 0тах? то решение имеет следующий вид: V Рис. 25.6. перед клином находится присоединенная к его носику О (верши- (вершине) ударная волна АОВ, до ударной волны поток невозмущен, в ударной волне скорость скачком меняется так, чтобы стать па- параллельной поверхности клина. В области между ударной волной и клином имеется поступательный поток со скоростью v\. Най- Найти связь между углом наклона <р ударной волны к скорости Vo и углом клина 0, величину vi и предельный угол 0тах- Объяснить, почему такое решение неверно, если Мо < 1.
256 Глава 5. Механика жидкости и газа 25.40 Под структурой ударной волны, распространяющейся в идеальном газе, понимается непрерывное решение одномерной задачи о переходе безграничного стационарного (в системе от- отсчета, связанной с ударной волной) сверхзвукового потока вяз- вязкого теплопроводного газа в дозвуковой. Рассмотреть струк- структуру прямого скачка уплотнения, при котором скорость потока перпендикулярна поверхности скачка. Для совершенного газа найти распределения скорости V, давления р и плотности р в за- зависимости от значений декартовой координаты ж, предполагая, что при х —> —оо заданы соответствующие пределы v -> v\ > О, Р ~* Р\ч Р —* Pii a также, что пределы первых производных г>, р и р при х —> ±оо равны нулю. Коэффициенты вязкости А и /i, теплоемкости сР и теплопроводности х постоянны и удовле- удовлетворяют соотношениям А = — 2/i/3, cPfi = Зх/4. Для воздуха cPfi « 0, 72х. Оценить толщину ударного слоя для воздуха при нормальных условиях в набегающем потоке. Детонация и медленное горение В следующих задачах рассматриваются поверхности разры- разрыва, на которых происходит выделение химической энергии, на- например происходит горение и выделяется тепло. Воспламенение, происходящее из-за повышения температуры газа при прохождении по нему ударной волны, называют дето- детонацией. Если газ воспламеняется в результате прогрева, обусло- обусловленного теплопроводностью, и пламя перемещается по газу с дозвуковой скоростью, процесс называют медленным горением. Далее через V обозначен удельный объем газа, т. е. V = 1/р. 25.41 Рассмотреть движущуюся относительно идеального не- нетеплопроводного газа поверхность разрыва — ударную или де- детонационную волну. а) Пусть величины давления и удельного объема перед и за раз- разрывом равны соответственно pi, V\ и р2, V2- Выразить через эти величины плотность потока массы сквозь разрыв, исполь- используя только законы сохранения массы и импульса — соотношения G.11), G.12) при т = О, R = 0. Считая р\ и V\ фиксирован-
25. Механика сжимаемой жидкости 257 ными, найти связь между р2 и V2, возникающую, если плотность потока массы приравнять некоторой постоянной. б) Считая известным выражение внутренней энергии через р и V', найти уравнение, связывающее р2 п V2, при заданных р\ и Vi, получающееся путем исключения скоростей газа из зако- законов сохранения массы, импульса и энергии — уравнений G.11), G.12) и G.14) при т = 0, « = 0,?^ = 0, q*2 = 0, Ж = 0. Кри- Кривая, определяемая этим уравнением, называется ударной адиаба- адиабатой или адиабатой Гюгонио, если термодинамические свойства газа по разные стороны поверхности разрыва одинаковы, в част- частности, внутренняя энергия — одна и та же функция параметров состояния. Сама поверхность разрыва в этом случае есть удар- ударная волна. в) Написать уравнение адиабаты Гюгонио для совершенного га- газа, в котором и = pV/{^/ — 1) + const. Показать, что производная dp2/dV2 вдоль ударной адиабаты в точке pi, V\ равна (—a\/Vi). Это верно не только для совершенного газа, см. § 26. 25.42 а) Исследовать и изобразить на плоскости (р; V) кри- кривую, изображающую связи р2 и V2 за разрывом в случае, когда по обе стороны от разрыва газ совершенный и на фронте раз- разрыва происходит выделение химической энергии (горение), т. е. когда внутренняя энергия газа имеет вид и = pV/^ — 1) + иХИМ, причем перед разрывом ^хим — С\, а за разрывом wXHM = C2, где С\ и С2 — известные постоянные. Величина Q — С\ - С2 представляет собой выделившуюся химическую энергию. Эта кривая называется детонационной адиабатой. б) Пусть полная система соотношений на разрыве дается зако- законами сохранения массы, импульса и энергии. На детонационной адиабате найти множество точек, соответствующих эволюцион- эволюционным разрывам. 25.43 Исследовать качественно изменение величин в потоке, представляющем собой структуру детонационной волны, пред- предполагая, что 1) поток одномерный и стационарный в системе координат, свя- связанной с волной;
258 Глава 5. Механика жидкости и газа 2) на переднем фронте имеется ударная волна, которая поджи- поджигает газ; 3) в потоке происходит горение, выражающеееся в непрерывном изменении ихим от С\ до C<i- Показать, что значения р, V в конце зоны горения соответ- соответствуют точкам, лежащим на детонационной адиабате, см. зада- задачу 25.42. Найти, какие точки на детонационной адиабате соответству- соответствуют состояниям за детонационными фронтами, имеющими струк- структуру. Рассмотреть два случая: а) ^хим меняется в волне монотонно; б) иХим монотонно убывает от С\ до заданного значения Стт, а затем монотонно увеличивается до значения С2. Проверить эволюционность соответствующих фронтов дето- детонации. 25*44 Качественно исследовать решение задачи о поршне в следующей постановке. В момент времени t = 0 плоский пор- поршень начинает двигаться с постоянной скоростью в трубе, за- заполненной покоящимся горючим газом с р = р\, р = р\. Пред- Предполагается, что в тот же момент времени от поршня уходит детонационный фронт. Исследовать зависимость вида решения от скорости поршня для случаев а) и б) задачи 25.43. 25.45 Рассмотреть структуру фронта медленного горения в совершенном идеальном теплопроводном газе, т. е. изучить од- одномерную стационарную волну, в которой начало химической реакции в газе (зажигание) вызывается его прогревом за счет теплопроводности. Диффузией продуктов сгорания пренебречь. Найти изменение параметров внутри волны и скорость ее дви- движения. Для простоты вычислении принять, что: 1) коэффициент теплопроводности постоянен; 2) скорость выделения химической энергии dq/dt (q — количе- количество химической энергии, выделившейся в единице массы газа) отлична от нуля при Т > Г* и пропорциональна абсолютной
25. Механика сжимаемой жидкости 259 температуре Г и количеству несгоревшего вещества, которое при отсутствии диффузии пропорционально (Q — q) (Q — пол- полное изменение химической энергии в волне в расчете на единицу массы), то есть ^ = aT(Q-q) при Г > Г*; § = 0 при Г < Г*. at at Здесь Г* — температура начала реакции, причем Г* > Го, Го — начальная температура газа перед волной; 3) скорость фронта горения, определяемая решением задачи, на- настолько мала, что можно считать, что в волне р = const и при написании потока энергии в системе координат, связанной с вол- волной, можно пренебречь потоком кинетической энергии. Установившееся движение сжимаемой жидкости 25.46 Написать интеграл Вернулли для адиабатического дви- движения идеального совершенного газа с заданными теплоемко- стями в отсутствие массовых сил. Найти выражения для мак- максимально возможной на линии тока скорости итах и критиче- критической скорости v*, совпадающей с местной скоростью звука а, и* = а*, представленные через параметры торможения ро? Ро» Go? Го — параметры состояния на линии тока, при котором v — 0. Вычислить г>тах и v* для воздуха при Го = 15°С, cP/cv = 1.4, R = 287.14 м2/(с2 • град). Сравнить Umax со скоростью неустановившегося истечения в пустоту, см. задачу 25.30. 25.47 Оценить влияние сжимаемости среды на величину да- давления в стационарном адиабатическом движении совершенного газа. Для этого сравнить зависимости р/ро от v в сжимаемой и несжимаемой среде при не слишком больших скоростях v/ao < 1, где ро — давление торможения, см. задачу 25Л1. При каких скоростях движения воздуха для вычисления да- давления можно пользоваться моделью несжимаемой жидкости, ес- если допустимая погрешность при расчетах составляет 1%?
260 Глава 5. Механика жидкости и газа 25.48 Найти поле скоростей при адиабатическом стационар- стационарном течении от пространственного источника с массовым рас- расходом Q — const в совершенном газе. Это течение обладает сфе- сферической симметрией, все параметры зависят только от г. Пока- Показать, что течение возможно в области вне некоторого шарового ядра радиуса rmjn, на границе которого число Маха М = 1. 25.49 Для стационарного течения от точечного вихря, для ко- которого в полярной системе координат (г; (р) выполнено rot и = 0, iv = 0, Vy = v(r), в совершенном газе при условии р = вр1', в = const найти рас- распределение давления р(г) и температуры Т{г). Показать, что такое течение возможно только вне некоторого кругового ядра, на границе которого М = оо, а внутри области течения суще- существует окружность, на которой М = 1.. 25.50 При изучении установившихся непрерывных движений жидкости в слабо искривленных трубах с плавно меняющимися формой и площадью поперечного сечения можно применять ква- квазиодномерное описание, то есть рассматривать только средние по сечению значения давления, плотности и продольной скоро- скорости как функции расстояния х вдоль трубы. Истинные значения параметров в точках поперечного сечения почти всюду мало от- отличаются от средних. Вязкими нормальными напряжениями и тепловыми потоками в поперечных сечениях можно пренебречь. Рассматривая в качестве контрольного объема, см. § 11, объ- объем между двумя близкими поперечными сечениями трубы, полу- получить уравнения неразрывности, движения и энергии в виде d(pvU) = О, vdv+ -dp = Fxdx- fdx, roc Qv p Uo.o; „2 fv2 p\ d[ — + U+-) = Fxdx + qxdx, \ I p J где v — продольная скорость; О — площадь сечения трубы; Fx — плотность массовой силы, действующей вдоль трубы, мас- массовой силой, действующей поперек трубы, пренебрегаем;
26. Газовал динамика 261 / — сила трения о стенки трубы в расчете на единицу массы жидкости и единицу длины трубы; и — плотность внутренней энергии; qx — подводимое к жидкости тепло, отнесенное к еди- единице длины трубы и к единице массы протекающей жидкости. 25.51 В слабо искривленной трубе с плавно меняющимися фор- формой и площадью поперечного сечения, см. задачу 25.50, проис- происходит стационарное адиабатическое движение идеального газа. Массовых сил нет. Найти связь между изменением скорости вдоль трубы и изменением площади ее поперечного сечения. 25.52 По цилиндрической трубе постоянного поперечного се- сечения, расположенной вертикально, движется адиабатически и стационарно идеальный газ. Как меняется скорость в результа- результате действия силы тяжести, если движение происходит а) сверху вниз; б) снизу вверх? 25.53 По горизонтальной цилиндрической трубе постоянного поперечного сечения, настолько длинной, что надо учитывать трение, происходит стационарное адиабатическое движение со- совершенного газа. Массовые силы отсутствуют. Как меняется скорость газа в результате действия вязкости? 25.54 По горизонтальной цилиндрической трубе постоянного поперечного сечения стационарно движется совершенный газ. Через стенки трубы к газу подается или от газа отводится тепло. Трением и массовыми силами можно пренебречь. Как меняется скорость газа вдоль трубы? 26. Газовая динамика В задачах этого параграфа рассматриваются адиабатические течения идеальных (невязких) газов и сжимаемых жидкостей, термодинамическое состояние которых определяется двумя па- параметрами. Внешние массовые силы не учитываются. Для рас- рассматриваемых сред считается известным один из термодинами- термодинамических потенциалов, например, энтальпия г как функция давле- давления р и энтропии s или внутренняя энергия е как функция s и
262 Глава 5. Механика жидкости и газа удельного объема V. Предполагается, что функции i(p, s), e(V, s) определены и непрерывны вместе со своими частными производ- производными в области р > О, V > Vd > 0, Vd = const и удовлетворяют вытекающим из законов термодинамики соот- соотношениям и ограничениям общего характера. В частности, (др\ (д1 B6.1) V>Vd. Также предполагается, что изоэнтропы имеют на (p-V) диа- диаграмме горизонтальную (р = 0) и вертикальную (V — Vd) асим- асимптоты. Дополнительные предположения содержатся в формули- формулировках задач. Если рассматривается совершенный газ, для которого выпол- выполнено то об этом говорится в тексте задачи, либо в заголовке раздела. Поверхности сильного и слабого разрыва Пусть f(xk,t) = 0 — уравнение поверхности S в системе ко- координат (хк). Скорость D перемещения поверхности Е в систе- системе координат (хк) определяется соотношениями Ji B62) Скоростью распространения поверхности Е по частицам при- принято называть величину w, вычисляемую по формуле w = (D-ti)-n=D-vn, B6.3) где v — скорость газа. Отметим, что вектор D соотношения- соотношениями B6.2) определен однозначно, а величины D, п и w в B6.2)
26. Газовая динамика 263 и B6.3) определены с точностью до выбора знака у функции f{xk,t) в уравнении поверхности Е. При w ф О знак w зави- зависит от выбора направления вектора п. Если для находящегося на S наблюдателя вектор п направлен в сторону натекающего на Е потока, то согласно B6.3) w > О, а если п направлен в противоположную сторону, то w < 0. Пусть значение некоторой скаляр- скалярной, векторной или тензорной функ- функции Ф(хк,г) в точке М поверхности Е со стороны области 1 равно Фх, а со стороны области 2 равно Ф2, см. рис. 26.1. Разность Ф2 - Ф\ принято называть скачком функции Ф(ж^, t) на поверхности S и обозначать символом [Ф]. Если ГФ1 ф 0 на Е, то она называ- ^ п„ . 1 J L J Рис. 26.1. ется поверхностью сильного разрыва функции Ф. Поверхность Е называется поверхностью слабого разрыва функции Ф, если на ней [Ф] = 0, а скачки ее частных производных какого-нибудь порядка отличны от нуля. На поверхности слабого разрыва параметров потока должны выполняться кинематические условия B6.4) dv] Г dp] Ids] дха\ [дха\ [дха\ где множители А, //, а в общем случае являются функциями t и координат точки на Е. В областях 1 и 2, см. рис. 26.2, характеристики течения долж- должны удовлетворять соответствующей системе дифференциальных уравнений движения. Из этого требования следуют дополнительные ограничения на скачки производных на поверхности Е, которые называют- называются динамическими условиями совместности. Такие условия на поверхностях разрыва в невязких газах при адиабатических те- течениях предлагается получить в задаче 26.1.
264 Глава 5. Механика жидкости и газа Соответствующая этим случаям система уравнений движе- движения может быть записана в виде где р = 1/V — плотность; а = J{dp/dp)s — скорость звука. В настоящем параграфе рассматриваются только такие по- поверхности сильного разрыва характеристик течения, на которых отсутствуют внешние по отношению к газу поверхностные силы, источники силовых полей, массы, тепла и других видов энергии. Условия на таких поверхностях, вытекающие из законов меха- механики и термодинамики, имеют вид p2w2 = piwu p\wi(v2 - Vi) = (p2~Pi)n, -^-J -P2Vti2 = PlWilsi + -ф) -p\Vni, B6.6) Z J Z J Piwi(s2 -si) > 0, где индексами 1 и 2 отмечены значения величин на разных сто- сторонах поверхности Е. Поверхность Е называется тангенциальным разрывом, если на ней D = vn\ = vn2, Vi ф v2. Поверхности слабого и силь- сильного разрывов, на которых D = vn\ — vn2, V\ = v2, называ- называют контактными разрывами. Согласно определению и услови- условиям B6.6), на тангенциальных и контактных разрывах должны выполняться равенства D = vni = vn2, p2 = р\. Поверхность сильного разрыва, на которой скачки р, s и v отличны от нуля и удовлетворяют условиям B6.6), а термоди- термодинамические свойства проходящих через нее частиц при этом не изменяются, называется ударной волной. Иными словами, для ударной волны е2 и Е\ в условиях B6.6) — значения одной и той же функции при разных аргументах, причем Е2-Е\ —>> 0 при
26. Газовал динамика 265 Если проходящие через волну частицы газа переходят со сто- стороны 1 на сторону 2 поверхности Е, то принято называть сто- сторону 1 фронтом волны, характеристики движения р\, s\, V\ — состоянием перед фронтом, ар2, ^2> *>2 — состоянием за фрон- фронтом волны. В задачах используются обозначения: состояние перед фрон- фронтом ударной волны — ро, sq, Vq, состояние за ее фронтом — р, s, V. В этих обозначениях условия на ударной волне можно пред- представить в виде т7 = 17" = h Л» - «>о) = (р - ро)», v ^o B6.7) е-во- 0.5(р + Po)(Vb - V) = 0, s ^ s0, а в случаях, когда v = vn, — в виде V V* " J V0-Vf B6.70 e-eo-0.5(p + po)(Vo- V) = 0, s> s0. Подчеркнем, что условия B6.7) и B6.70 получены из усло- условий B6.6) в предположении, что j > 0. Иначе говоря, вектор п выбран направленным в сторону состояний перед фронтом вол- волны. Это надо иметь в виду при использовании B6.7) и B6.70 при решении задач. Функцию H(V, s, Vo, so) = ? —eo —0.5(p+po)(Vo —V) называют функцией Гюгонио. При фиксированном состоянии (Vb,Po) перед фронтом ударной волны уравнение определяет в плоскости (V; р) кривую, которую называют удар- ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио. Ударная адиабата — совокупность состояний (V, р) за фронтом ударной волны, воз- возможность реализации которых допускается законами сохране- сохранения. Согласно второму закону термодинамики за фронтом удар- ударной волны могут реализовываться не все допускаемые законами сохранения состояния, а только те из них, для которых s ^ sq. В ряде задач предлагается изучить вытекающие из этого огра- ограничения следствия и свойства ударных волн, на которых условие s > sq выполняется.
266 Глава 5. Механика жидкости и газа Одномерные адиабатические движения газа с плоскими волнами При исследовании одномерных адиабатических течений га- газа с плоскими волнами наряду с эйлеровыми переменными (х; t) используются лагранжевы переменные (?; t). В задачах коорди- координата ? выбрана так, чтобы дх/д? = F, а проекция вектора v на ось х обозначается через и. Системы уравнений движения в этих переменных имеют вид ди ди dp dp dp а2 ди ds ds at ах ах at ах V ах at ах ди др др (а\2 ди ds Для системы квазилинейных уравнений в частных производ- производных первого порядка одно из принятых определений характе- характеристического направления формулируется следующим образом. Если из уравнений системы можно составить линейную комбина- комбинацию, в которую будут входить производные от искомых функций (или функции) только по одному направлению, то такое напра- направление называется характеристическим. Нетрудно проверить, что система уравнений B6.8) (система B6.87)) эквивалентна системе уравнений B6.9) (системе B6.90), которую называют характеристической формой системы B6.8) (системы B6.80) ди хди V (др , ,др\ + (и + а — + - [-? + {и + а / 1=0, v 'ox a \dt ч дх) ди . .ди V [др , ^др\ ,__ лЧ ds ds + 0 ди а ди V (др а др + + + 0l_ iLf^_ Yi (HE- —®l\ -n B6 m vd$ a \dt vdd~ ds °
26. Газовая динамика 267 Следовательно, у системы уравнений B6.9) (системы B6.90) имеется три характеристических направления B6Л0) (B6.10')) В области плоскости (х; t) (плоскости (?; ?)), где существует решение системы B6.9) (системы B6.90), каждое из характе- характеристических направлений определяет семейство линий, которые принято называть соответственно С+, С", С0 характеристика- характеристиками системы уравнений B6.9) (системы B6.90). Если течение изоэнтропическое, 5 = const, то V — V(p) и системы B6.9), B6.90 можно записать в виде Г\ J-_J_ Г\ тг_|_ Г\ J f\ J -^7-+(^+«)-5-=0' -5r+(w-a)ir-=0' s = const; B6.il) at ox at ox 9J+ a dJ+ dJ~ adJ- ft + - = 0, -—---—= 0, s -const, B6.110 Ot V д? где функции [V = и± / —dp J a t± - называются инвариантами Римана. Движение газа называется автомодельным, если безразмер- безразмерные характеристики движения зависят только от одной незави- независимой безразмерной переменной 7] = bxmtn¦, где 6, m, n — посто- постоянные. Если из постановки задачи для рассматриваемого газа следует, что из ж, t и размерных постоянных, входящих в началь- начальные и граничные условия, можно образовать только одну незави- независимую безразмерную переменную, то задача имеет автомодель- автомодельное решение. Аналогичным образом формулируется определение автомодельного движения и условие существования автомодель- автомодельного решения в переменных ? и t.
268 Глава 5. Механика жидкости и газа Стационарные адиабатические течения Для стационарного в системе координат (хк) адиабатическо- адиабатического течения газа система уравнений движения B6.5') ^ p **H i t,«?- = 0 B6.5') у Qxa ' имеет два интеграла B6.12) s = C2{L). B6.12) Первый из них — интеграл Бернулли. Из B6.5') следует, что C\{L) и С2{Ь) в B6.12) постоянны вдоль каждой линии тока. В общем случае энтропия, а следовательно, и C\{L) на разных линиях тока различны. Для непрерывных течений в тонких трубках тока, а также для одномерных непрерывных течений в сопле Лаваля, в каналах переменного сечения выполняются соотношения v2 Ь i{p, $) — const, q = jF — const, s — const, B6.13) где F(x) — площадь поперечного сечения; j = \v\/V — плот- плотность потока массы в этом сечении. Параметры торможения. Критические параметры Каждому состоянию движения частицы, характеризуемому параметрами (р, 5, v), можно поставить в соответствие состоя- состояние торможения (р*, 5*, V*) и критическое состояние (р&, s^, V&). По определению 5* = sk = 5, v* = 0, 1^1 = ак = a(pk, s). Энтальпия торможения г*, называемая также полной энталь- энтальпией, определяется для рассматриваемого состояния движения соотношением V2 i* = i(p,s)+—. B6.14)
26. Газовая динамика 269 По известным s и г* из уравнения B6.15) определяется давление торможения р*, а из уравнения B6.16) — критическое давле- давление pk i{p*,s) = i*, B6.15) B6.16) Удельный объем V* и температура Г* торможения, а также кри- критические температура Т& и удельный объем Vjt, определяются из уравнений состояния. Максимальной скоростью итах называет- называется параметр, однозначно определяемый соотношением » = 2(tt@e)) Линеаризированная постановка задач для малых возмущений Когда изучают движение газа, вызванное малыми возмуще- возмущениями, или устойчивость того или иного течения газа по от- отношению к малым возмущениям, то каждую из характеристик возмущенного течения ф(хк, t) представляют в виде ф — ф + ф', где ф — соответствующая характеристика невозмущенного те- течения, а ф1 — ее возмущение, предполагаемое малым. Если характеристики невозмущенного течения известны, то задача сводится к отысканию возмущений — функций ф'{хк^). Под- Подставляя ф(хк,г) в систему уравнений для возмущенного движе- движения и в условия на границах, когда таковые имеются, получают систему уравнений и граничные условия для функций ф'(хк^). Задачу для малых возмущений рассматривают обычно в лине- линеаризированной постановке, т. е. полагая фг(хк,г), а также ее производные по хк и t малыми, в уравнениях и граничных усло- условиях для возмущений сохраняют лишь члены первого порядка малости, причем граничные условия для возмущений на поверх- поверхностях, которые могут смещаться под действием возмущений, переносят на невозмущенную поверхность. Если невозмущенное течение является поступательным пото- потоком, а возмущенное течение — адиабатическим, то в линеаризи- линеаризированной постановке возмущения t/, pr, sf должны удовлетворять Ю Зак. 2368
270 Глава 5. Механика жидкости и га:*а системе уравнений B6.17), а в тех случаях, когда они зависят только от (x,t) ии' = {г*Л0,0} — системе B6.170 8v' ;dv' B6.17) dt dxi V дх1 dt dv! dv! ЛЫ + и-тг + V-f- = 0, dx dx dt ¦ dp' "bir- "birds' dt + dx dp' Udx ds' dx dx a2du' + V~dx~ — 0. Рис. 26.2. B6.170 Характеристики С+ и С си- системы уравнений B6.17'), как ли- линии в плоскости (ж; t) и как по- поверхности в потоке газа, будем на- называть звуковыми волнами С+ и С~ (или волнами С+, С"), а С0 характеристики — энтропийными волнами. Принятые названия для волн, взаимодействующих с поверх- поверхностью L, проиллюстрированы на рис. 26.2, где Е — контактный разрыв; волны приходящие — Cj~ и С?; уходящие — Cf и С^~; волна падающая — С{" (С^), отра- отраженная — Cj*" (CJ), преломленная — С^" (CJ1"). Исследование устойчивости ударных волн В настоящем параграфе предлагается ряд задач на исследо- исследование устойчивости плоских ударных волн в различных усло- условиях. Это смешанные задачи для системы уравнений B6.17').
26. Газовая динамика 271 Чтобы выделить случаи, когда смешанная задала с условиями на поверхности Е будет из-за их специфики некорректной, можно опереться на следующее определение. Если линеаризированные условия на поверхности S, как система линейных алгебраиче- алгебраических уравнений относительно возмущений, переносимых уходя- уходящими от S волнами, являются совместными и определенными, то их называют корректными, а в противном случае — некор- некорректными. Критерии корректности условий на ударной волне предлагается установить в задаче 26.74. Пусть условия на Е корректны и волна С+ — падающая, а волна С~ по отношению к ней — отраженная. Тогда из условий, которые должны выполняться на Е, можно получить соотноше- НИЯ J'-{t) = KEJ'+(t) + L{t), B6.18) где L(t) линейно зависит от других приходящих на S возмуще- возмущений. Инварианты J'+ и Jf~ и возмущения т/+, pf+, V|, и'_, р'_, VI, переносимые, соответственно, волнами С+ и С", связаны соотношениями, см. задачу 26.65, и' р' VL J' -Т = -^Г = -ТУТ = Ц~- B6.180 и\ р'+ v; j; Параметр Ку, в B6.18) называется коэффициентом отражения звукового возмущения от поверхности Е. Если на S приходит только волна С+, т. е. L = О, то согласно B6.18) и B6.180, отношение величины возмущения в отраженной волне к ее зна- значению в падающей волне будет равно |А'е|. В рамках линеаризированной постановки ударная волна и исследуемое течение рассматриваются как неустойчивые, если условия на ударной волне некорректны. Если возмущения опре- определяются единственным образом и растут со временем, то удар- ударная волна и исследуемое течение неустойчивы. В тех случаях, когда возмущения на ударной волне при t, большем некоторого $1, равны нулю или асимптотически затухают при t —> ос, усло- условимся называть ударную волну и исследуемое течение устойчи- устойчивыми, а если возмущения р', u', p'0) u'Q или некоторые из них, а также D', в1 на ударной волне не затухают, но остаются малыми - нейтрально устойчивыми. Будем говорить, что ударная вол- волна устойчива в широком смысле, если устойчиво ее положение.
272 Глава 5. Механика жидкости и газа Ограничения на параметры невозмущенного течения, при вы- выполнении которых ударная волна и исследуемое течение устой- устойчивы (неустойчивы), называют критериями устойчивости (не- (неустойчивости). Задачи Слабые и сильные разрывы. Ударная адиабата. Ударные волны 26.1 Получить динамические условия совместности на по- поверхностях слабого разрыва в невязком газе при адиабатиче- адиабатических движениях и, использовав кинематические.условия B6.4), систему уравнений относительно параметров Л, //, а. Найти не- нетривиальные решения этой системы (типы поверхностей слабо- слабого разрыва, которые могут образоваться при рассматриваемых условиях) и соответствующие им ограничения на [divv], [rotv]. 26.2 В газе образовалась поверхность тангенциального (или контактного) разрыва, на которой [р] ф 0. Показать, что на ней [Г]/0 и [8]ф0. 26.3 Могут ли на поверхности тангенциального (или кон- контактного) разрыва одновременно выполняться соотношения [Г] = 0 и М/0? 26.4 Полагая состояние (Vq,so) фиксированным, вычислить частные производные функции Гюгонио #(F, s;Vo,so) по V и s первого порядка. Доказать справедливость формулы (дп+гН\ _ п-1(дпр\ Уо - V ( дп+1р \ Какой порядок касания могут иметь ударная адиабата и изоэн- тропа s = so в точке (Voi Po)? Напомним, что H{V,s;V0,s0) = e{V,s) - е0 - 0.5{p + po){Vo - V), и для ударных волн i/(Vo, $o] Vq, sq) = 0.
26. Газовая динамика 273 26.5 Полагая Vb и ро фиксированными, найти первую отлич- отличную от нуля в точке (Vb; Ро) производную от s по V, вычислен- вычисленную вдоль ударной адиабаты, в случаях, когда в точке (Vb; Ро) 1) (d2p/dV2)s ф О, 2) (d2p/dV2)s = О, (d3p/dV3)s ф 0. В каждом из этих случаев написать первый отличный от нуля член разложения функции s в ряд по степеням (F—Vb) на ударной адиабате в точке (Vb; Ро)- 26.6 Полагая (dp/ds)y > 0, изобразить на (р-V) диаграм- диаграмме относительное расположение изоэнтропы s = sq и ударной адиабаты вблизи точки (Vb; ро) в случае, когда в этой точке 1) (d2p/dV2)s>0; 2) (d2p/dV2)s<0; 3) (d2p/dV2)s = 0, (d3p/dV3)s>0; 4) (d2p/dV2)a = 0, (d3p/dV3)s<0. 26.7 В каждом из рассмотренных в предыдущей задаче слу- случаев выяснить, могут ли в согласии со вторым законом термоди- термодинамики образоваться ударные волны сжатия (V < Vo) и ударные волны разрежения (V > Vb) небольшой интенсивности с состоя- состоянием (Vo,Po) перед фронтом волны. 26.8 Показать, что если при фиксированном состоянии (Vb, Ро) плотность потока массы j через ударную волну возра- возрастает (убывает), то скачок энтропии на ударной волне тоже воз- возрастает (убывает). 26.9 Вычислить предельные при (V,p) -> (Vb,po) значения j\ (df/dV)H, (d2j2/dV2)H на ударной адиабате, где j2 = (р - po)/(V - Vb). 26.10 Найти первые отличные от нуля члены разложения фу- функций (w2-a2) и (wQ-ао) ВРЯД по степеням (V-Vo) на ударной адиабате в точке (Vb; Ро) в случае, когда в этой точке
274 Глава 5. Механика жидкости и газа 26.11 Проверить справедливость утверждения: во всех рас- рассматриваемых в задаче 26.6 случаях для ударных волн неболь- небольшой интенсивности неравенство s > sq и неравенства Wq > Gq, w2 < а2 выполняются одновременно. 26.12 Для газов, у которых {d2p/dV2)s > 0, (dp/ds)y > 0, по- полагая состояние (Vo, ^o) перед фронтом ударной волны фиксиро- фиксированным, показать, что функция Гюгонио H(V, s, Vo, s0) обладает следующим свойством: {Я > О при V = Vo и s > sq и при V > Vo и s ^ s0, Н < 0 при V = Vo и 5 < so и при F < Vb и s ^ s0, Указать области (У, s), которым могут принадлежать точки ударной адиабаты Н = 0. Сформулировать вытекающие из вто- второго закона термодинамики ограничения на возможный харак- характер изменения р и V в ударных волнах. 26.13 Показать, что при фиксированных Vo и ро а) для производной функции Гюгонио H(V,p, Vo,Po) по напра- направлению прямой р — ро = J2(V — uo), j2 = const, проходящей через точку (VoiPo) и точку, в которой вычисляется производная, име- имеют место формулы \dVJp \dVJp dV \dpjv\ б) для газов, у которых (d2p/dV2)s > О {dp/ds)v > О, при каждом j2, удовлетворяю- удовлетворяющем неравенству -(dP/dV)so<j2<oo, Рис. 26.3. на рассматриваемой в п. а) пря- прямой кроме точки (Vb,po) есть еще только одна точка (V#,p#), где она пересекается с ударной адиабатой, причем эта точка расположена на интервале LM, см. рис. 26.3.
26. Газовая динамика 275 26-14 Опираясь на полученные в задачах 26.12, 26.13 резуль- результаты, показать, что в газах, у которых (d2p/dV2)s > 0 и {dp/ds)v > О, на ударных волнах любой интенсивности должны, в соответ- соответствии со вторым законом термодинамики, выполняться неравен- неравенства Wq > ад, w2 < a2. 26.15 Для газов, у которых {d2p/dV2)8>0 и (dp/ds)v>Q, доказать, что при ро > 0 и Vq > Vd на ударной адиабате не может быть особых точек, т. е. производные FH/dV)p и {дН/др)у не могут одновременно обращаться в нуль на ударной адиабате. Ударные волны в совершенном газе 26.16 1) Получить уравнение ударной адиабаты для совер- совершенного газа. 2) Определить предельное при р —> ос относительное сжатие в ударной волне. 26.17 Как изменяется температура в ударной волне в совер- совершенном газе? 26.18 Для совершенного газа получить формулы, выражаю- выражающие зависимости Мо = wo/ao< М = w/a от р/р0 на ударной волне. Определить диапазон возможных значений числа М. Изучить характер зависимости MmjnG). 26.19 Изучить характер изменения энтропии как функции р на ударной адиабате при фиксированном состоянии (Vo>Po)« Сформулировать следствия, вытекающие из второго закона тер- термодинамики о возможном характере изменения р и V в ударной волне в совершенном газе (теорема Цемплена).
276 Глава 5. Механика жидкости и газа 26.20 а) Получить уравнения, определяющие на плоскости (щ р) кривые У+ и У~ — совокупность пар значений «ир, ко- которые могут реализоваться за фронтом плоской ударной волны, обращенным в сторону области х > 0 и х < О соответственно, при заданных щ, ро, Уо перед фронтом ударной волны. б) Установить качественный вид кривых Y+ и У". в) Выяснить, как изменятся ординаты р (или абсциссы и) точек кривой У+ (кривой У"), если увеличить (уменьшить) значение 1) параметра Vb при фиксированных щ, Ро и 7? 2) параметра у при фиксированных щ, Ро и Vo- Одномерные нестационарные адиабатические течения с плоскими волнами 26.21 Найти частные решения системы B6.8), для которых скорость зависит только от давления. Такие решения называ- называются простыми волнами или волнами Римана. 26.22 Перейти в найденных в задаче 26.21 решениях к пере- переменным Лагранжа ?, ?, либо получить их непосредственно как частные решения системы B6.8'). 26.23 Какими должны быть начальные данные (м, р, s), что- чтобы возникающее при t > О движение было, по крайней мере на некотором отрезке времени 0 ^ t ^ t\, простой волной? 26.24 Получить формулы для вычисления частных производ- производных dp/dt, др/дх, du/dt, ди/дх в простой волне. 26.25 Пусть начальное распределе- распределение давления имеет вид, изображен- изображенный на рис. 26.4, распределение ско- скорости удовлетворяет соотношению [У , X и= I —dp + const, ^ J а a s = const. Изучить (качественно) эволюцию распределения давления Рис. 26.4. по ж при ^ > 0, если {d2p/dV2)s > 0.
26. Газовая динамика 277 26.26 1) Указать пример начального распределения давления в задаче 26.25, при котором образующаяся в газе простая волна при t > О не опрокинется. 2) Каким ограничениям при этом должна удовлетворять функ- функция f(p) — обратная по отношению к р(х, 0)? 3) Можно ли сформулировать условие неопрокидывания прос- простой волны в виде ограничений на величины наклонов С+ харак- характеристик при t — 0? 26.27 Изучить характер изменения давления в частице газа и ее скорости в неопрокидывающейся простой волне. Рассмотреть два случая: 0' б) 26.28 Как изменяются температура и удельный объем части- частицы в неопрокидывающейся простой волне, если в рассматривае- рассматриваемом газе выполнены условия 26.29 Пусть характеристики течения газа и, р и s непрерыв- непрерывны в областях 1 и 2 и на их границе, причем в области 1 они сохраняют постоянные значения. Показать, что если течение в области 2 не является поступа- поступательным потоком, то оно должно быть простой волной. 26.30 а) Найдите такие частные решения системы уравнений B6.8), для которых характеристики и, р п s являются функци- функциями только от одной независимой переменной rj = x/t. Нетривиальные решения такого вида называются центриро- центрированными волнами. б) Обоснуйте утверждение: центрированные волны являются частным видом простых волн.
278 Глава 5. Механика жидкости и газа Нестационарные одномерные адиабатические движения совершенного газа с плоскими волнами 26.31 Получите уравнение, определяющее в плоскости (щ р) кривую Д+ (кривую R~) — совокупность значений параметров и и р, которые могут реализоваться в центрированной волне, фронт которой обращен в сторону области х > 0, (х < 0), при заданных значениях vq, ро и Vb перед фронтом волны. Опреде- Определите предельное значение разности (?/ — uq) при р —> 0 для этих центрированных волн. 26.32 Для центрированной волны, фронт которой обращен в сторону области х > 0, получить уравнение характеристик се- семейства С~ и закон движения пересекающих волну частиц. 26.33 Покоящийся газ находится в цилиндрической трубе в области х ^ 0, ограниченной поршнем (х — 0). В момент време- времени t — 0 поршень начинает двигаться по закону х — X{t). 1) Построить решение задачи о движении газа, предполагал, что под действием поршня в газе образуется простая волна, см. задачу 26.21. 2) Указать ограничения на закон движения поршня, при выпол- выполнении которых: а) вблизи поршня не образуется вакуум, т.е. поршень не отры- отрывается от газа и граничное условие на нем и — X(t), где и — скорость газа, будет выполнено при всех t > 0; б) между поршнем и газом образуется зона вакуума. Рассмотреть только те случаи, когда граничное и начальные условия согласованы, т.е. Х@) = 0 и производные функции X(t) непрерывны и ограничены. 26.34 Опираясь на решение задачи 26.33, получить ограниче- ограничения »на закон движения поршня, при выполнении которых: а) образующаяся в газе простая волна не опрокидывается (об эффекте опрокидывания см. задачу 26.25); б) в некоторый момент времени должно произойти опрокиды- опрокидывание простой волны.
26. Газовая динамика 279 Определить время ?ж и место х* образования ударной волны в случае, когда закон движения поршня имеет вид 6Р X(t) = -—-, 6 = const > 0, п>1, где ?* — минимальное значение ?, при котором производные др/дх и ди/дх, обращаясь в бесконечность, меняют знак. 26.35 Построить решение задачи 26.33 в случае, когда выпол- выполнено условие Х@) = -vo, v0 > О, т. е. когда граничное и начальные условия не согласованы и X(t) < 0. Производные функции X(t) предполагаются непре- непрерывными и ограниченными при t ^ 0. В частности, 2а0 X(t)\ 7-1' 26.36 Рассмотреть задачу 26.33 о движении газа под дей- действием поршня в случае, когда скорость поршня С/о постоянна. Показать, что движение газа при t > 0 в этом случае будет ав- автомодельным. Установить качественный характер течения при t > 0 в зависимости от величины и знака [/о- 26.37 Находящийся в цилиндрической трубе и первоначально покоившийся газ приводится в движение поршнем, перемещаю- перемещающимся в сторону газа с постоянной скоростью f/o- Давление ро и удельный объем Vo в невозмущенном газе постоянны. Как изменится величина F силы, с которой поршень действу- действует на газ, если изменить значение одного из параметров f/o, Ро, Vo, 7? сохранив значения остальных? 26.38 Пусть в предыдущей задаче известна не скорость порш- поршня С/о, а величина F силы, с которой поршень действует на сжи- сжимаемый им газ, F — постоянна. Установить, в каком из двух газов скорость поршня будет больше, если а) Vox > Vo2> при этом F, ро, 7 одинаковы; б) 7i > 72? ПРИ этом F, ро? Vo одинаковы.
280 Глава 5. Механика жидкости и газа 26.39 Рассмотреть задачу о распаде произвольного разрыва в газе — задачу Коши, когда при t = 0 характеристики течения и, р, V кусочно-постоянны и в области 1 (х ^ 0) равны ггоъ Роъ Voi, а в области 2 (х ^ 0) — U02, Рог? ^02- Значения 7 в областях 1 и 2 одинаковы. а) Показать, что движение газа при t > 0 будет автомодельным. б) Какие комбинации из ударных волн У+, У~~, центрированных волн Д+,Д~~, контактного разрыва А', зоны вакуума О могут образоваться при ? > 0? У волн У+, Д+ (У"~, Д~) фронт обращен в сторону области х > 0 (х < 0). 26.40 Каким ограничениям должны удовлетворять начальные данные задачи 26.39, чтобы при t > 0 образовалось течение вида а) Д-КУ+; б) УКД+; в) У"АТ+? 26.41 Пусть имеют место начальные данные, указанные в за- задаче 26.39, и poi > ро2- Каким ограничениям должны удовлетво- удовлетворять начальные данные, чтобы при распаде начального разрыва образовалось течение вида а) R-KR+, б) R" Д+ (без контактного разрыва и вакуума), в) R~ О Д+ (с образованием вакуума)? 26.42 Пусть при t = 0 имеют место начальные данные в обла- области 1, х ^ 0, и в области 2, х ^ 0, соответственно: р = poi, Г = То, и = 0 и р = ро2, Г = Го, и = 0, причем То, роъ Ро2 — постоянны и ро2 > Poi- Установить каче- качественную картину течения при t > 0 и показать, что в рассма- рассматриваемом случае обязательно образуется контактный разрыв. 26.43 Ударная волна, распространяющаяся с постоянной ско- скоростью D по покоящемуся газу, в момент времени t0 достигает ограничивающей газ жесткой стенки. 1) Показать, что движение газа при t > to автомодельно. 2) Определить качественный характер течения при t > to. 3) Как изменится давление на стенке?
26. Газовая динамика 281 26.44 Ударная волна, распространяющаяся с постоянной ско- скоростью D по покоящемуся газу 1, в момент времени to достигает поверхности контактного разрыва, отделяющей газ 1 от газа 2. 1) Показать, что движение газов при t > t0 автомодельно. 2) Установить качественный характер течения при t > t0 в слу- случае, когда значение у у газов одинаковое и при t < to на кон- контактном разрыве a) VX<V2, б) VX>V2. 26.45 Допуская, что в предыдущей задаче значение 7 У газов может быть различным, установить условия, при которых в газе 1 при t > t0 отраженная волна не образуется. Стационарные адиабатические течения 26.46 Показать, что в каждой точке потока вектор Vp лежит в соприкасающейся плоскости линии тока и имеет составляю- составляющую, направленную в сторону выпуклости линии тока, если ее кривизна отлична от нуля. 26.47 Показать, что для полной энтальпии г* имеет место со- соотношение Vi* = TVs + v x rot v. 26.48 Изучить возможный характер изменения плотности по- потока массы j = \v\/V вдоль линии тока в зависимости от давле- давления. 26.49 Изучить возможный характер изменения числа Маха М = \v\/a вдоль линии тока в зависимости от р и термодинами- термодинамических свойств газа. 26.50 Для газов, у которых {d2p/dV2)s > 0, (dp/ds)v > О, показать, что 1) критические параметры р&, 14 определяются единственным образом по заданным параметрам торможения р*, К; 2) если заданы критические параметры рд., 14, то по ним един- единственным образом определяются параметры торможения р*, V*.
282 Глава 5. Механика жидкости и га:т 26.51 Как изменятся pk, Vjb ^Ь если при фиксированном ,9 увеличить (уменьшить) давление торможения р* в случае, когда 26.52 Проверить, что полная энтальпия г* на линии тока, пе- пересекающей ударную волну, непрерывна. 26.53 Показать, что 1) если перед фронтом ударной волны величины р0. sq. \x)q\ как функции точки на ее поверхности постоянны, то за ее фронтом rot v X v = TVs; 2) написать это соотношение в проекции на единичные векторы п, г, т, где п — нормачяьный, т — касательный к поверхности ударной волны вектор, а га = п х т, причем т лежит в плоскости, проходящей через векторы п и Vq. 26.54 Пусть на фронте ударной волны величины р0, s0 и |t/0| как функции точки на ее поверхности, постоянны. Опираясь на полученные в задачах 26.8, 26.53 результаты, 1) показать, что за фронтом ударной волны для производной от энтропии s по любому касательному к поверхности ударной волны направлению / имеет место формула ds (Ур - VJ д/3 где пит — те же, что и в задаче 26.53, и обозначено vr0 = и0 cos /?, vn0 = -i;0 sin /3; 2) указать достаточные условия, при которых течение за фрон- фронтом ударной волны будет вихревым, и условия (с примерами), при которых за фронтом ударной волны энтропия постоянна. 26.55 Вывести формулы Здесь индекс г означает, что производная вычисляется при по- постоянной энтальпии.
26. Газовая динамика 283 26.56 Как изменяются параметры торможения р*? V7* на удар- ударной волне, если (dp/Os)v > О? 26.57 Каким термодинамическим свойством должен обладать газ, чтобы температура торможения на ударной волне не изме- изменялась? Обладает ли таким свойством совершенный газ? 26.58 Как ведет себя критическая скорость звука пк на линии тока, пересекающей ударную волну в совершенном газе? 26.59 Для совершенного газа: 1) получить формулы, дающие изменение каждого из параме- параметров торможения р*, К* на ударной волне через скачок энтропии; 2) показать, что на ударной волне выполняются равенства Р*2 = Рк2 V*2 _ ]42 P*i Pk\' К.1 ~ Vki' Одномерные стационарные течения 26.60 Известно, что на рассматриваемом участке тонкой трубки тока течение непрерывно и давление в частицах газа уменьшается со временем, причем во входном сечении течение дозвуковое, а в выходном — сверхзвуковое. Как изменяется фор- форма трубки тока между входным и выходным сечениями? 26.61 Для газов, у которых дР полагая параметры р*И5 задан- заданными и форму сопла — извест- ±ис. 2Ь.о. ной, установить: 1) качественный вид графика q(p) — зависимости расхода газа от давления в фиксированном сечении сопла Лаваля, рис. 26.5; 2) чем будут отличаться графики q(p), построенные для двух разных сечений?
284 Глава 5. Механика жидкости и газа 3) максимально возможный расход газа через сопло; 4) какие давления и соответствующие им участки (точки) гра- графика q(p) могут, в принципе, реализоваться в сечениях, распо- расположенных в сужающейся и в расширяющейся части сопла при непрерывных течениях; 5) какими данными достаточно располагать, чтобы определить а) максимальный расход газа через сопло? 6) значения внешнего давления, при которых реализуются не- непрерывные дозвуковые и сверхзвуковые режимы истечения, в частности, расчетный сверхзвуковой режим истечения? 26.62 Опираясь на результаты, полученные в задаче 26.61, построить для рассматриваемых в этой задаче газов качествен- качественный вид функции р(х), характеризующий изменение давления между входным и выходным сечениями в сопле Лаваля, см. рис. 26.4, при непрерывных режимах истечения. Расход газа q рассматривать в качестве параметра. 26.63 Два идеальных (невязких) газа не смешиваясь протека- протекают через горловину сопла Лаваля, образуя двухслойное течение. Каким может быть течение (дозвуковым, звуковым, сверхзву- сверхзвуковым) каждого из газов в горловине, если градиент давления отличен от нуля? Малые возмущения. Устойчивость ударных волн 26.64 В системе уравнений B6.17) перейти к независимым переменным yfc, ?, где (ук) — система координат, в которой невозмущенный газ покоится. Показать, что р1 и divt/, как функции ук, t должны удовлетворять волновому уравнению, а энтропийно-вихревые возмущения вморожены в среду. 26.65 Пусть возмущенное течение является одномерным тече- течением с плоскими волнами, ортогональными скорости и{м,0,0} невозмущенного поступательного потока.
26. Газовая динамика 285 Проверить, что в этом случае: 1) система уравнений для возмущений B6.170 имеет инвари- инварианты u'+-p' = j'+(b+), u'--p' = J'-(b-), s' = s'(b°), а а 6+ = х - (и + a)t, Ь~ =х - (и- a)t, b° = х - ut, где 6+, 6~, 6° — произвольные константы; 2) возмущения, которые переносятся звуковыми волнами С+ и С", определяются приведенными ниже соотношениями и явля- являются частными решениями системы B6.170 , n si = 0. 2? Jf~(b~) а 2 еЗ) Возмущения uf, p\ sr в каждой точке определяются суперпо- суперпозицией возмущений, переносимых энтропийной волной и звуко- звуковыми волнами С+ и С~~, т. е. и' = и'+ + и'_, р' = р'++р'_. 26.66 Получить из формул B6.6) линеаризированные условия для возмущений на плоской ударной волне, полагая, что невоз- невозмущенное и возмущенное течения являются одномерными тече- течениями с плоскими волнами и перед фронтом волны выполнены условия t>0 = uQe, v'o = и'ое, а за ее фронтом — условия v = we, v1 = и'е. Считать, что в невозмущенном потоке вектор п направлен вдоль оси х, т. е. п — е. 26.67 Представить полученные в задаче 26.66 условия для возмущений в виде соотношений между инвариантами системы уравнений B6.170, полагал возмущения перед фронтом волны равными нулю. Получить формулу для коэффициента К отра- отражения звуковых возмущений от плоской ударной волны.
286 Глава 5. Механика жидкости и газа 26.68 Пусть невозмущенное и возмущенное течения газа явля- являются одномерными течениями с плоскими волнами, ортогональ- ортогональными оси #, и в областях 1 (х ^ ut) и 2 (х ^ ?if), разделенных контактным разрывом (х — ut), характеристики невозмущенно- невозмущенного течения постоянны. Получить: 1) условия, которым должны удовлетворять инварианты систе- системы уравнений B6.170 на контактном разрыве; 2) формулу для коэффициента Q отражения звукового возмуще- возмущения, приходящего на контактный разрыв из области 1. 3) Как изменится величина звукового возмущения при отраже- отражении от контактного разрыва в случае, когда J[~ ф 05 J!^ — О, либо когда J[~ = О, J'2+ ф О? 26.69 Для совершенного газа представить полученную в за- задаче 26.67 формулу для коэффициента К отражения звуковых возмущений от ударной волны в виде К = Л (М), где М = ги/а, 26.70 Пусть К (я) - гаахм |Л'(М,х)|, где К{Ы,х) — коэффи- коэффициент отражения звуковых возмущений от ударной волны в со- совершенном газе, см. задачу 26.69; я= (у- 1)/G + 1). Получить в явном виде функцию К (я) для значений я Е @,1/4]. 26.71 Опираясь на решение задачи 26.70, получить числовую оценку сверху для |А'(М, -у)| при у = 9/7; 7/5; 5/3. 26.72 Для совершенного газа вычислить на ударной волне Мо, М и Л'(М, 7) ПРИ 7 — 5/3» р/ро — 5 и при у = 7/5, р/р0 = 4.5. 26.73 Показать, что возмущение плотности p!{x,t) зависит не только от значений //|_ и р'_ на приходящих в точку (ж; t) звуко- звуковых волнах С+ и С", но и от значения s' на приходящей в эту точку энтропийной волне, см. задачу 26.65. 26.74 Характеристики невозмущенного течения газа перед фронтом (х ^ Dt, D > 0) плоской ударной волны и за ее фрон- фронтом (х ^ Dt) постоянны. Начальные (при t = 0) возмущения характеристик течения малы и заданы в областях 0< ж < /i, -/2< х< О, а вне их равны нулю (либо заданы на всей оси х и асимптотиче- асимптотически затухают при х —> ±оо). Предполагая возмущенное течение
26. Газовая динамика 287 адиабатическим, а возмущения при t ^ 0 зависящими только от х и f, в линеаризированной постановке 1) получить ограничения на параметры невозмущенного тече- течения, при которых условия на ударной волне корректны. Показать, что если условия на ударной волне корректны, то 2) решение рассматриваемой смешанной задачи единственно; 3) ударная волна будет устойчивой, 26Л5 Параметры невозмущенного течения газа между жест- жестким поршнем (х = ut. у > 0) и ударной волной (х = Dt) и перед ее фронтом (х ^ Dt) постоянны. На ударной волне w0 > а0, w < а. Начальные (при t = to) возмущения характеристик течения малы и заданы в области nt-o <^ х ^ Dto* а в области X ^ Dto равны нулю. Предполагая возмущенное течение адиа- адиабатическим, а возмущения при t ^ to зависящими только от х и ?, в линеаризированной постановке 1) определить /3 такое, что звуковая волна G+, отразившись при t = t\ > to от ударной волны, затем от поршня, вновь придет на ударную волну при t = Et\; 2) сравнить значения г//, р\ s', D1 на ударной волне при t = /3t\ с их значениями при t = t\ (на жестком поршне, по определению, справедливо равенство и' — 0); 3) получить критерии устойчивости (неустойчивости) ударной волны и исследуемого течения. 26.76 Параметры невозмущенного течения газа между кон- контактным разрывом (х = ui) и ударной волной (х = Dt) и в областях х ^ ut, х > Dt постоянны. На ударной волне wq > а0, w < а. Начальные (при t = ^о) возмущения характеристик тече- течения малы и заданы в области uto ^ х ^ Dto, а в областях х ^ uto, х ^ Dto равны нулю. Предполагая возмущенное течение адиаба- адиабатическим, а возмущения при t ^ to зависящими только от х и ?, в линеаризированной постановке 1) сравнить значения параметров и\ р', s', D1 на ударной волне при t = /3ti с их значениями при t = t\ > t0, коэффициент /3 определен в задаче 26,75; 2) получить критерии устойчивости (неустойчивости) ударной волны и исследуемого течения.
288 Глава 5. Механика жидкости и газа 26.77 Показать, что в газах, у которых плоская изолированная волна (так принято называть невозму- невозмущенное течение, рассматриваемое в задаче 26.74) будет устой- устойчивой по отношению к возмущениям, не искажающим ее форму (т. е. зависящим только от х и ?), если коэффициент отражения звуковых возмущений от ударной волны ограничен. 26.78 Будут ли устойчивыми течение и ударная волна в со- совершенном газе в условиях задач 26.74, 26.75 и 26.76? 26.79 Пусть ((t) — смещение ударной волны от невозмущен- невозмущенного положения (х — Dt), причем С(^о) = 0. Условия задачи 26.75 предполагаются выполненными. 1) Определить отрезок времени, в течение которого все образо- образовавшиеся при t — to звуковые волны С+ и С~ один раз провза- имодействуют с ударной волной, причем волны С~ — предва- предварительно отразившись от поршня, и отрезок времени, в течение которого произойдет их п-е отражение от ударной волны. 2) Выразить С(/^о) через начальные возмущения. Параметр /3 определяется в задаче 26.75. 3) Сравнить каждое^ из от- относительных смещений х = ut Рис. 26.6. С(*3)-С(*2) И С(*3) - C(*l) со смещением С(^) — C(^i)- Связь между ?з> ^2 и t\ сле- следует из рис. 26.6, на котором волны С+ и С~ изображены пунктиром. Получить крите- критерии неустойчивости положе- положения ударной волны. 4) Выразить <(*), где 0nto < t < /?n+1i0, через ДО0) и ф/Рп). Получить критерий устойчивости ударной волны в широком смысле — ограничения на параметры невозмущенного течения, при выполнении которых \((t)\/(wto) при t > to будет малой ве- величиной, стремящейся к определенному пределу при t —> оо.
26. Газовая динамика 289 26.80 Пусть имеют место условия задачи 26.76 и ((t) — сме- смещение ударной волны от невозмущенного положения х = Dt, причем С(^о) = 0. Выразить ?(?), где Cnt0 < ? ^ /Зп+Ч0, через C{flto) и С(^//^п)? параметр /3 определяется в задаче 26.75. Получить критерии устойчивости (неустойчивости) положе- положения ударной волны. 26.81 Выполняются ли полученные в задачах 26.79, 26.80 критерии устойчивости положения ударной волны для совершен- совершенного газа? 26.82 Если при условиях задачи 26.74 положение ударной вол- волны устойчиво, то С Вр где С = lim р' = тах|р'(ж,*0)|- Для совершенного газа получить в явном виде функцию В(М,у) и оценить ее сверху при j — 9/7, 7/5, 5/3. 26.83 Дл^совершенного газа оценить сверху абсолютную ве- величину |Д(М, 7)| при 7 = 9/7, 7/5, 5/3, где R — параметр, от ве- величины которого зависит устойчивость положения ударной вол- волны при рассматриваемых в задаче 26.78 условиях. 26.84 Пусть имеют место условия задачи 26.76 и xfk(t) — сме- смещение контактного разрыва от его невозмущенного положения х — ut, причем x'k{to) = 0. Выразить x'k(t), где /3nt0 < ^ < /?П+ЧО, через xfk(/3tq) и xk(t//3n), параметр C определяется в задаче 26.75. Какое заключение можно сделать об устойчивости положения контактного разрыва? 26.85 При условиях задачи 26.76 смещение xk(t) контактно- контактного разрыва и смещение ?(?) ударной волны от невозмущенного положения при t ^ A + М)?о связаны соотношением ), где U = A + M)t0, a = 1) Получить формулу, выражающую М через параметры невоз- невозмущенного течения. 2) Показать, что для совершенного газа \М\ < 1.
Глава 6. Теория упругости 27. Модель упругого тела В упругой среде деформации при постоянной температуре однозначно определяются напряжениями. Это можно записать в одной из форм eij = ?ij(Pkh Т) или рм = Pki{eij, Г). B7.1) Здесь Sij — компоненты тензора деформации, ры — компоненты тензора напряжений, Т — температура. Процессы деформиро- деформирования считаются термодинамически обратимыми. В частном случае, когда зависимость B7.1) между 6{j и ры при Т = const линейна, соотношение Ры = называют законом Гука. Вместо уравнений состояния в форме B7.1) можно пользо- пользоваться их записью с помощью термодинамических потенциалов упругой среды. Уравнения первого и второго законов термодинамики в ла- гранжевых переменных в текущем состоянии имеют вид dU=- pij deij + dqe, Tds = dqe, где С/, 5, dqe — соответственно внутренняя энергия, энтропия, приток тепла к частице, рассчитанные на единицу массы. Ис- Исключая из этих соотношений внешний приток тепла rfge, получим соотношение, связывающее только внутренние параметры среды и называемые тождеством Гиббса, dU=- pij de^ + Т ds. B7.2) Р
27. Линейная теория унругогги 291 Если внутренняя энергия U задана как функция параметров состояния 6{j и 5, то равенство B7.2) равносильно системе .урав- .уравнений состояния (dU\ Т= Т" > B7'3) в которой первая группа представляет другую запись уравнений состояния B7.1). Таким образом, внутренняя энергия, задан- заданная как функция E{j и s, служит термодинамическим потенциа- потенциалом, см. задачу 6.57. Наряду с внутренней энергией в теории упругости часто ис- используется другой термодинамический потециал — свободная энергия (единицы массы) Т — U — sl\ заданная как функция параметров состояния S(j и Т. Тождество Гиббса B7.2), запи- записанное через функцию Т', имеет вид df= -pi'deij-sdT и позволяет получить другую форму уравнений состояния Система дифференциальных уравнений теории упругости в лагранжевых координатах содержит: — уравнение неразрывности Р л/9 = Ро у/%, 9 = det \\дц\\, где ро и р — плотность среды в начальном и текущем состоянии, \\gij\\ — матрица компонент метрического тензора; — уравнения движения где аг — компоненты ускорения, F1 — компоненты массовых сил;
292 Глава б. Теория упругости — уравнения первого и второго законов термодинамики, одно из которых может быть заменено тождеством Гиббса B7.2), dU = — р%3 dsij -Ь Т ds, T ds = dqe] Р — уравнения состояния B7.3) или B7.4) при заданной вну- внутренней энергии U = U{eij,s) или при заданной свободной энер- энергии Т = Т(ец, Т); — выражения компонент тензора деформаций через компо- компоненты вектора перемещений w _ 1 Приток тепла dqe, если он происходит за счет теплопровод- теплопроводности, может быть представлен в соответствии с законом те- теплопроводности Фурье выражением dqe = - div xgrad T dt, Р где х — коэффициент теплопроводности материала. Очевидно, при изотермическом деформировании, когда Г = const, удобнее пользоваться функцией Т, при адиабатиче- адиабатическом, когда s — const, — функцией U. В качестве граничных условий для системы уравнений тео- теории упругости обычно задают на всей поверхности тела либо 1) вектор перемещений, либо 2) вектор напряжений, либо 3) на части поверхности задают перемещения, а на остальной — на- напряжения. Линейная теория упругости В линейной теории упругости предполагают малость гради- градиентов перемещений и, следовательно, компонент деформации. В этом случае Eij - -{ViWj + VjWi), B7.5) и нет различия в использовании лагранжевых и эйлеровых пере- переменных, начальной и текущей лагранжевых систем координат.
27. Линейная теория упругости 293 Функции U(eij,s) и ^(eijjT) при малых деформациях и ма- малых изменениях температуры можно представить разложением по ?t-j, (Г — То), (s — So) до квадратичных членов включительно; при этом уравнения состояния B7.3) или B7.4) получаются линейными. Для изотропной упругой среды это разложение естественно представить через скалярные инварианты тензора деформаций pU=\ \'J* + fi'J2 - a'Ms -s0) ~l b'{s - s0J + df{s - *0), где Закон Гука для изотропного материала при Г = const имеет вид Pij = tekkgij + fyeij, г, j, k = 1, 2, 3. Коэффициенты А и \i называются коэффициентами Ламе. В линейной теории упругости граничные условия для систе- системы дифференциальных уравнений выставляются на начальной недеформированной границе. На основании принципа Сен-Ве- нана можно заменять граничные условия на статически эквива- эквивалентные. Вследствие линейности задач применим метод супер- суперпозиции решений. Доказана единственность решения статиче- статических и динамических задач, что позволяет использовать полу- полуобратный метод (частичного угадывания решения). Используя закон Гука (при Т — const) и выражения B7.5) для et-j, можно получить уравнения движения в перемещениях (уравнения Ламе) Р ~^Г = (А + АО graddiv w + //Дю + pF. Когда граничные условия заданы через напряжения, задачу о равновесии упругого тела можно решать в напряжениях. При этом используют уравнения равновесия ii j = 0
294 Глава 6. Теория упругости и уравнения Бельтрами-Мичелла, которые получаются из урав- уравнений совместности деформаций с учетом закона Гука и урав- уравнений равновесия. При FJ = const и Т — const уравнения Бельтрами-Мичелла имеют вид Jl ^ = и для каждой компоненты напряжений = 0. Здесь А — оператор Лапласа, АД — бигармонический оператор. Опыт на простое растяжение, когда имеется лишь одна от- отличная от нуля компонента напряжения рц, демонстрирует для изотропного тела закон Гука в его простейшей форме ри = Еец. Коэффициент пропорциональности Е называют модулем Юнга. Удлинение образца вц в направлении действующей силы сопро- сопровождается сжатием ?22, ?.зз в поперечных направлениях. Отно- Отношение поперечной деформации к продольной -?22/^11 называют коэффициентом Пуассона v. Коэффициенты Е и v выражаются через Аи//. Относительное изменение объема в при деформации в линей- линейном приближении равно первому инварианту тензора деформа- деформации Ji(e). Коэффициенты Е и v служат характеристиками упругих свойств среды и считаются постоянными для каждого однород- однородного материала. Значения Ежу для различных материалов мож- можно найти в справочниках. Другие, принятые в употреблении упругие характеристики сред, введены ниже в задачах: — модуль объемного сжатия К, см. задачу 28.5, — модуль сдвига G — /i, см. задачу 28.3, — коэффициент теплового расширения а, см. задачу 28.10.
27. Линейная теория упругости 295 Линейные анизотропные среды Для анизотропных сред закон Гука pij — A{jkl6ki содержит, вообще говоря, 81 константу Aijkl. Однако вследствие симме- симметрии тензоров напряжения и деформации среди них различны только 36. Дальнейшее уменьшение числа незавитсимых упру- упругих констант до 21 происходит вследствие наличия термодина- термодинамических соотношений B7.4). Если же материал обладает сим- симметрией, то их число может быть еще меньше. Свойства сим- симметрии среды можно описывать специального вида векторами и тензорами. Наиболее часто встречающимися в прикладных задачах механики являются ортотропная и трансверсально изо- изотропная среды. Ортотропным называется материал, обладающий тремя вза- взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии (ромбическая система симметрии). Для описания свойств симметрии такой среды можно использовать симметричный тензор второго ран- ранга d{j, главные оси которого перпендикулярны плоскостям сим- симметрии материала. Плотность свободной энергии тогда будет представлена функцией Трансверсально изотропная среда имеет ось симметрии бес- бесконечного порядка, т. е. такую, что при повороте вокруг нее на любой угол среда совмещается сама с собой (по свойствам сим- симметрии она относится к текстурам). Такая модель годится для многих слоистых и волокнистых материалов. Свойства симметрии характеризуются некоторым выделен- выделенным направлением / = {/г-}, причем важна лишь линия действия этого вектора, а оба противоположных направления вдоль нее равноправны. Для описания этого типа симметрии можно ис- использовать симметричный тензор второго ранга d{j = Z;/j, где U — направляющие косинусы оси симметрии. В декартовой пря- прямоугольной системе координат выполняются равенства ]Г da = 1, dij = 0, при г ф j.
296 Глава 6. Теория упругости Нелинейная теория упругости Кроме тензора напряжений Коши р, его компоненты опре- определяют вектор напряжений рп, отнесенный к площадке S с нор- нормалью п, в нелинейной теории упругости используют тензор на- пряжений Пиолы-Кирхгофа к, его компоненты определяют век- вектор напряжений 1ГПо, отнесенный к площадке Ео с нормалью По, которой была площадка Е в начальном состоянии. Если F— по- поверхностная сила на Е в текущий момент времени, то F F l3 Ч** Тензор *г, вообще говоря, несимметричен. Из тождества Гиббса dp0U Ъз = Функцию роТ = Ф часто называют упругим потенциалом среды. При использовании тензора тг уравнения движения в лагранже- вых переменных имеют вид причем систему координат, связанную с начальным недеформи- рованным состоянием, всегда можно выбрать наиболее удобным образом, например, декартовой прямоугольной или соответству- соответствующей симметрии задачи. В этом подходе вместо компонент тен- тензора деформации Sij используют компоненты V{Wj несимметрич- несимметричного тензора, называемого тензором дисторсии. В линейной теории упругости компоненты тг^ и рц совпадают. При описании движения (равновесия) упругой среды в пе- переменных Эйлера следует пользоваться внутренней (свободной) энергией, заданной в виде функции компонент деформации в эй- эйлеровой неподвижной системе отсчета JJ{e\^s). Однако, в урав- уравнениях состояния B7.3) дифференцирование ведется по компо- компонентам 6{j в лагранжевом базисе. Поэтому в случае нелинейного деформирования при вычислении компонент напряжения pij по U{e\A следует производить соответствующий пересчет прира- приращений деформаций, см. задачу 6.57. В линейной постановке лагранжевы и эйлеровы компоненты Sij совпадают.
28. Линейная теория упругости 297 28. Линейная теория упругости Задачи Определяющие соотношения 28.1 Призматический стержень из линейно упругого матери- материала находится в равновесии под действием растягивающих уси- усилий, равномерно распределенных по торцевым сечениям, и при свободных боковых гранях (простое растяжение). Найти компо- компоненты тензора деформаций при заданной величине напряжений р на торцах. Указать связь между упругими константами среды Е (модуль Юнга) и v (коэффициент Пуассона) и коэффициента- коэффициентами Ламе Аи//. 28.2 Образец из линейно упругого материала находится меж- между двумя парами параллельных жестких стенок, так что его по- поперечные размеры не могут меняться. На торцах образца дей- действуют однородные сжимающие напряжения р. Найти напряже- напряжения и деформации в материале, считая, что между ним и стен- стенками трение отсутствует. 28.3 Слой упругого мате- У риала находится между двумя бесконечными плоскостями, перпендикулярными оси у. По плоскости у = О материал за- закреплен, на второй границе дей- действует равномерно распределен- распределенное касательное напряжение Ри = т- Деформацию, возника- возникающую при этом, называют про- простым сдвигом. Найти компо- Рис. 28.1. ненты тензора деформации и величину 7 — изменение наклона волокна, первоначально парал- параллельного оси у. Коэффициент G пропорциональности между 7 и т называется модулем сдвига. Найти его выражение через ко- коэффициенты Ламе Аи//.
298 Глава (>. Теория упругости 28.4 Найти относительное изменение объема среды в при де- деформациях, полученных в задачах 28.1 — 28.3. Обратить вни- внимание, что при деформации простого сдвига, см. задачу 28.3, объем не меняется. 28.5 Напряженное состояние, описываемое шаровым тензо- тензором напряжений pij = —pgij, называется всесторонним сжати- сжатием. Определить компоненты деформации и относительное изме- изменение объема в. Коэффициент пропорциональности между р и в называется модулем объемного сжатия К. Найти выражение для К через Е и v и через коэффициенты Ламе А и ц,. 28.6 Используя предыдущую задачу, показать, что для не- несжимаемой упругой среды коэффициент Пуассона v равен 1/2. 28.7 Представить свободную энергию Т при Т — const в виде суммы энергий изменения объема, см. задачу 28.5, и энергии сдвига, см. задачи 28.3, 28.4. 28.8 Предполагал, что деформации Sij и изменение темпе- температуры (Т — То) малы, написать наиболее общий вид функции свободной энергии для: а) произвольной линейно упругой среды; б) для изотропной среды. Пользуясь полученными выражениями для Т и термодинами- термодинамическими соотношениями, найти выражение для компонент тен- тензора напряжений pij. 28.9 Выполнить задание задачи 28.8, если состояние среды определено ее внутренней энергией U(eij,s). 28.10 Для выяснения физического смысла коэффициента а при (Т — То) в законе Гука для изотропного термоупругого тела, см. задачу 28.8, Ргэ = \Jrfij + 2цегэ - а(Т - Г0)<$у, Ji = ekk решить задачу об определении деформаций, вызванных измене- изменением температуры в отсутствие напряжений. Показать, что в этом случае тензор деформаций шаровой. Коэффициент пропор- пропорциональности olq между AT = Т — То и относительным изменени- изменением объема в называют коэффициентом теплового расширения,
28. Линейная теория упругости 299 коэффициент пропорциональности а между ДГ и относитель- относительным удлинением отрезков называется коэффициентом линейно- линейного теплового удлинения. Найти выражение для коэффициента о через А, /1 и а или через а и К — модуль объемного сжатия, см. задачу 28.5. 28.11 В изотропной упругой среде по свободной энергии Т с использованием результата предыдущей задачи можно вычи- вычислить энтропию pos = -р0 — = а(ЗА + 2p)Ji + b(T - То) + poso. Для выяснения физического смысла коэффициента 6 рассмотреть термодинамический процесс в упругой среде, протекающий без объемной деформации (в — J\ = 0). Показать, что Ь выражается через коэффициент теплоемкости при постоянном объеме cv — {dq/dT)9=0. 28.12 Для линейной изотропной термоупругой среды написать выражение компонент тензора деформаций 6{j через компонен- компоненты напряжений pij. 28.13 Девиатором тензора напряжений называется тензор с компонентами pj- = р^ — \J\{p)bij< где J\{p) = рА Написать выражения для инвариантов девиатора напряжений if и /| и выяснить их знаки. Для линейно упругой среды Гука написать выражения для компонент девиатора напряжений через компо- компоненты девиатора деформаций ef- = 8{j - \J\{o)8ij. 28.14 Изотропная упругая среда задана свободной энергией PQT =\j\ + fJ-h - aJ! (T - To) -\{T- ПJ. Физический смысл термодинамических коэффициентов а и 6 вы- выяснен в задачах 28.10 и 28.11. Найти при относительном изме- изменении объема, равном 0, изменение температуры (Т - То) при отсутствии теплообмена между частями среды. Написать зави- зависимость напряжений от деформаций для процесса адиабатиче- адиабатического деформирования.
300 Глава 6. Теория упругости 28.15 Закон Гука, выражающий связь между напряжениями и деформациями, установлен для изотермических процессов де- деформирования. В связи с этим коэффициенты Л и /х и соответ- соответствующие им модули объемного сжатия К и сдвига G называ- называются изотермическими константами среды. Аналогично вводят- вводятся соответствующие коэффициенты пропорциональности между Pij и 6{j при адиабатическом деформировании, см. задачу 28.14. Найти связь между изотермическими и адиабатическими коэф- коэффициентами A, /i, К. 28.16 В упругой среде, заданной свободной энергией Т{е{^ Г), напряжения определяются формулой ри = р (dT/dsij). Показать, что при наличии закона Гука существует термоди- термодинамическая функция Ф(р#,Т), такал что Eij = р(дФ/др^). Ука- Указать ее вид. 28.17 Упругая среда задана свободной энергией !F(eij,T). Найти условие устойчивости при Г = const однородно дефор- деформированного состояния Sij = e*j при действии не меняющихся во времени внешних напряжений р%3* — рдТ/де*'•, заданных на границе. Рассмотреть как частный случай линейную среду с J2 i pF = A-^- + //J2, J\ — Si , J2 = ?ij?%3 • 28.18 Написать выражение функции свободной энергии T{eij,dij,T) для линейной ортотропной среды. Сколько упру- упругих констант входят в ее задание при Т = const? 28.19 В линейном трансверсально изотропном материале ось симметрии принята за ось х% декартовой системы Координат Х{. Написать выражение для функции свободной энергии Т. Показать, что такую среду характеризуют пять упругих кон- констант. Получить зависимость напряжений от деформаций, пред- представляющую закон Гука. Использовать результаты предыдущей задачи; считать Т = const. 28.20 Найти для трансверсально изотропной среды компонен- компоненты тензора деформаций при всестороннем сжатии напряжением р. Ось симметрии направлена по оси #з. Воспользоваться соот- соотношениями между р^ и e,-j, полученными в предыдущей задаче.
28. .Линейная теория упругости 301 28.21 Написать уравнения движения в перемещениях для трансверсально изотропной упругой среды. Ось ж3 = z напра- направить по оси симметрии материала; считать Т = const. Исполь- Использовать выражение для Т^ полученное в задаче 28.19. 28.22 Показать, что при равновесии изотропной упругой сре- среды в отсутствиие массовых сил функция в = div w является гармонической, а вектор перемещений w удовлетворяет бигармоническому уравнению. Проверить, что это верно и при действии однородных массовых сил F = const. 28.23 Показать, что при равновесии изотропной упругой сре- среды в отсутствие массовых сил компоненты напряжений pij явля- являются бигармоническими функциями. 28.24 Решение уравнений равновесия упругой среды в переме- перемещениях (уравнений Ламе) при отсутствий массовых сил можно искать в виде суммы слагаемых W = Wi + W2, одно из которых является гармонической векторной функцией Awi = 0, а второе — потенциальным вектором vJ = grad^ (представление Папковича-Нейбера). Показать, что в этом случае задача сводится к отысканию четырех гармонических функций. Простейшие задачи на растяжение и сдвиг при равновесии В предлагаемых ниже задачах с позиции линейной теории упругости рассматриваются образцы, у которых длина много больше поперечных размеров, так что на основании принципа Сен-Венана при нахождении напряженно-деформированного со- состояния во всех областях, кроме окрестности концов, способ за- заделки одного из концов можно считать несущественным, а рас- распределение нагрузки на другом конце заменить любой, статиче- статически эквивалентной. 11 Зак. 2368
302 Глава 6. Теория упругости g У i 1 r Рис. 28.2. 28.25 Определить деформацию вер- вертикально стоящего стержня длины /, находящегося в устойчивом равнове- равновесии в поле силы тяжести д, рис. 28.2. 28.26 Определить удлинение S и из- изменение объема AV стержня первона- первоначальной длины / и веса Р, висящего вертикально в поле силы тяжести. 28.27 На стальном тросе диаметром 2 мм подвешен груз в 100 кгс. Какую максимальную длину может иметь трос, чтобы он не оборвался? Предел прочности стали считать равным 3500 кгс/см2, удельный вес — 7.85 гс/см3. 28.28 Какую максимальную растягивающую силу можно при- приложить к стальному призматическому стержню сечения 5x5 см, если предельно допустимое растягивающее напряжение равно 1400 кгс/см2, а предельно допустимое касательное напряжение 600 кгс/см2? Г Рис. 28.3. 28.29 Найти выражение для удлинения S цилиндрического стержня длины /, прикреплен- прикрепленного одним концом к валу, вра- вращающемуся с постоянной угло- угловой скоростью и около верти- вертикальной оси. Вычислить это удлинение для медного стерж- стержня длины 1 м, если и — 30 1/с. Удельный вес меди 8.87 гс/см3, Е - 1.05 • 106 кгс/см2. Весом стержня пренебречь. 28.30 Образец прямоуголь- прямоугольного поперечного сечения пос- постоянной толщины а = 1 имеет длину / и продольное сечение в форме трапеции с основаниями
28. Линейная теория упругости 303 b и &о. Одно основание закреплено, к другому приложена сила Р. Найти компоненты напряжений ра@ и выражение для удлинения образца ?, если считать угол наклона сторон трапеции в малым, а = tg#, се = F — bo)/l <C 1, так что а2 можно пренебречь. Собственным весом образца пренебречь. 28.31 Стержень слабо переменной по длине формы висит в вертикальной плос- плоскости, находясь под действием силы тя- тяжести и силы Р, равномерно распреде- распределенной по нижнему сечению So- При ка- какой форме стержня (указать функцию S(x)) растягивающее усилие рхх в каж- каждом горизонтальном сечении одинаково? Из-за малого изменения формы при удо- удовлетворении граничных условий стежень считать призматическим. g У //у р Рис. 28.5. х Рис. 28.6. 28.32 Найти форму лопатки турбины Ь(ж), вращающейся во- вокруг оси с угловой скоростью и;, при которой напряжение в ка- каждом прямоугольном сечении, перпендикулярном оси ж, одина- одинаково. Изменение формы невелико, так что при решении можно граничные условия удволетворять приближенно. 28.33 Пластина прямоуго- прямоугольной формы находится в со- состоянии двухосного растяже- растяжения в своей плоскости однород- Р. ными напряжениями р\ и р2 на ее торцах. Передняя и задняя плоскости, ограничивающие пластину, свободны от напря- Рис. 28.7. Pl 1 I И W 1 1 v Pl
304 Глава 6. Теория упругости жений. Найти компоненты деформации Sij и относительное из- изменение объема. Вычислить максимальное касательное напря- напряжение в пластине. Изгиб стержней Чистым изгибом называют деформацию стержня при дей- действии на него пары сил с моментом, перпендикулярным его оси. Строгая формулировка приведена в задаче 28.34. Точное реше- решение в линейной теории упругости показывает, что существует некоторое волокно, которое не испытывает деформации растя- растяжения-сжатия, а только искривляется. Его можно назвать ней- нейтральной осью. Кривизна этой линии определяется изгибающим моментом, который постоянен вдоль стержня. Плоские попереч- поперечные сечения стержня после деформации остаются плоскими и ортогональными изогнутой нейтральной оси. Обычно изгиб вызывается не моментом, а силами, действу- действующими поперек стержня. Стержень, нагруженный силами, на- направление которых ортогонально его оси, называют балкой. При небольших прогибах и достаточно длинных и тонких балках в задачах на изгиб в качестве гипотезы принимается, что при на- наличии поперечных сил в балке, как и при чистом изгибе, 1) существует нейтральная ось, не испытывающая деформаций растяжения-сжатия; 2) плоские поперечные сечения балки и после деформации оста- остаются плоскими и ортогональными изогнутой нейтральной оси. Это утверждение называют гипотезой плоских сечений. Осно- Основанный на этих предположениях приближенный метод расче- расчета балок рассматривается в теории сопротивления мате риалов. Конечно, при этом используется также принцип Сен-Венана. Расчет балок на изгиб основан на подсчете изгибающего мо- момента в каждом сечении. Это делается путем рассмотрения рав- равновесия части балки, расположенной по одну сторону от рассма- рассматриваемого сечения. Нормальное напряжение в поперечных се- сечениях находят, как и в случае чистого изгиба, по вычисленным значениям изгибающего момента, который теперь будет пере-
28. Линейная теория упругости 305 менным вдоль оси балки. Этот приближенный метод следует использовать при решении задач 28.36 — 28.42. Во всех этих за- задачах считается, что балка имеет вертикальную плоскость сим- симметрии, совпадающую с плоскостью чертежа, силы приложены в этой плоскости и изгиб происходит в этой плоскости. В ряде задач для нахождения решения необходимо из условия равновесия определить реакции в местах закрепления балки. 28.34 Призматический стержень постоянного по длине попе- поперечного сечения, один конец которого жестко закреплен, имеет свободные от нагрузки боковые поверхности. Ось стержня на- направлена по оси х и проходит через центры тяжести сечений. На втором конце стержня приложена пара сил с моментом М, параллельным оси z. Других сил нет. Такое деформированное состояние называется чистым изгибом. Рис. 28.8. Найти напряжения и деформации в стержне. Написать урав- уравнение нейтральной оси стержня (волокна, не испытывающего деформации растяжения-сжатия). Показать, что плоские попе- поперечные сечения стержня остаются после деформации плоскими и ортогональными изогнутой нейтральной оси. 28.35 Считая, что при изгибе верна гипотеза плоских тече- течений, рассмотреть геометрию деформируемого элемента стерж- стержня, найти распределение продольных напряжений^ деформаций. Написать уравнение изогнутой нейтральной оси. 28.36 Балка, жестко закрепленная (защемленная) на одном конце, и не имеющая опоры на другом, называется консолью, см. рис. 28.9. Консольная балка длины / изгибается силой Р, прило- приложенной на ее свободном конце перпендикулярно оси. Материал балки (модуль Юнга Е) и форма сечения заданы. В предполо-
306 Глава 6. Теория упругости жении гипотезы плоских сечении найти в каждом сечении на- напряжение рп, написать уравнение нейтральной оси, вычислить максимальный прогиб т/. У Рис. 28.9. 28.37 Показать, что при нагрузке, непрерывно распределен- распределенной вдоль балки, дифференциальное уравнение для прогиба г](х) нейтральной оси в каждом сечении при равновесии можно запи- записать в виде dx4 ~ EI ' где / — момент инерции сечения балки относительно оси изги- изгиба z; q(x) — интенсивность распределения поперечной нагрузки вдоль балки. Нагрузка расположена в вертикальной плоскости симметрии балки — плоскости z = 0. 28.38 Горизонтальная балка длины /, жестко заделанная на концах, находится под действием собственного веса. В предпо- предположении гипотезы плоских сечений найти форму оси балки т/(ж), максимальный прогиб 7]тах и напряжение рп в каждом сечении. У R мп Рис. 28.10. Вес единицы длины балки равен д, модуль Юнга — Е. Учесть, что при жесткой заделке на концах возникают заранее не из- известные реакции R и моменты Л/q.
28. Линейная теория упругости 307 28.39 Балка называется свободно опертой, если оба ее конца закреплены шарнирами, допускающими поворот около точки за- закрепления, а один из этих шарниров может к тому же скользить в осевом направлении, см. рис 28.11, Решить для такой балки предыдущую задачу. ////// Рис. 28.11. 28.40 Решить задачи 28.38 и 28.39 для балки, заделанной на одном конце и свободно опертой на другом. Найти место и величину максимального прогиба. 1У А Рис. 28.12. 28.41 Свободно опертая, см. задачу 28.39, балка длины / пря- прямоугольного сечения и толщины h неравномерно нагрета по сво- своей толщине. Профиль температуры линейный, Т\ — на верхней грани, Т2 — на нижней, причем Гг > Т\. Найти изогнутую фор- форму балки и максимальный прогиб, если коэффициент теплового удлинения материала равен а, а модуль Юнга Е. 28.42 Найти выражение для касательных напряжений ри в консольной балке прямоугольного сечения длины / и толщины h при ее изгибе под действием собственного веса, см. рис. 28.13. Выяснить, где касательное напряжение р\2 максимально. У 'А Рис. 28.13.
308 Глава 6. Теория упругости 28.43 Балка прямоугольного поперечного сечения, состоит из двух слоев различных материалов, соединенных так, что она ра- работает как единое целое (биметаллическая композитная балка), см. рис. 28.14. Ее ширина Ь, толщина слоя из материала с мо- модулем упругости Ei равна /ii, второй слой имеет толщину /i2 и модуль упругости 272. Балка находится в состоянии чистого изгиба моментом М, действующим в вертикальной плоскости. у h2 м Рис. 28.14. Найти распределение напряжений ри я положение нейтральной оси, т. е. ее расстояние а от верхней грани балки. Кручение стержней Деформированное состояние, вызванное парами сил с момен- моментами М, направленными вдоль оси стержня, называют кручени- кручением, а момент М — крутящим моментом. Если моменты при- приложены только на торцах стержня, то перемещение имеет ком- компоненты wi = -otzy, w2 = azx, ws = /(ж, у), постоянный мно- множитель а есть угол закручивания, отнесенный к единице длины стержня. Если стержень имеет круговое сечение, то в поперечных се- сечениях действуют только сдвиговые напряжения, /(ж, у) = const, плоские поперечные сечения остаются