Статистическая механика. Строгие результаты - Рюэль Д.

Author: Рюэль Д.
Tags: кинематика математическо-механическая геометрия движения статистическая механика
Year: 1971
Similar
Конструктивная теория поля
Устойчивые и фазовые переходы
Методы современной математической физики. Том 3. Теория рассеяния
Синергетика
Text
                    Д.Рюэль
VI I./YOlTJ/IKi

STATISTICAL MECHANICS
Rigorous Results
DAVID RUELLE
Institut des Hautes Etudes Scientifiqaet
W. A. BENJAMIN, INC.
New York Amsterdam 1969

Д. РЮЭЛЬ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
Строгие результаты
Перевод с английского
И. Д. НОВИКОВА и В. М. ГЕРЦИКА
Под редакцией
Р. А. МИНЛОСА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1971

УДК 531.19
Книга Рюэля является первой в мировой литера-
литературе монографией, в которой собраны воедино строгие
результаты по статистической механике. Эти резуль-
результаты, полученные в последние годы, требуют хорошего
знания математического аппарата, в частности, функ-
функционального анализа.
Книга может быть рекомендована студентам стар-
старших курсов, аспирантам и научным работникам как
физических, так и математических специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
Д. РЮЭЛЬ
СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Редактор В. Ф. Пахомов Художник К. Я. Сиротов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор И. К. Дерва Корректор В. И. Постнова
Сдаио в набор 29/Х 1970 г. Подписано к печати 13/IV 1971 г. Бумага ки.-жури.
84Х108'/з!=5,75 бум. л. 19,32 усл. печ. л. Уч.-нзд. л. 17,61 Изд. № 1/5810
Цена 1 р. 42 к. Зак. 850
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполнграфпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР. Измайловский проспект, 29

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Книга Д. Рюэля «Статистическая механика» пред-
представляет собой монографию, в которой впервые делается
серьезная попытка изложить большое число результатов
статистической физики в виде логически безупречных
математических теорем. Автор книги — один из самых
видных зарубежных ученых, внесший существенный
вклад в эту тематику.
Значительная часть содержания основана на резуль-
результатах, полученных за последнее десятилетие большой
группой советских и зарубежных физиков и математи-
математиков. Следует, впрочем, подчеркнуть, что научное направ-
направление, которому посвящена книга, идейно восходит
к более ранним работам конца сороковых — начала пя-
пятидесятых годов (работы Ван-Хова, Боголюбова и Хаце-
та, Ли и Янга). В книге систематически изложены ре-
результаты о существовании термодинамического предела
для термодинамических потенциалов и корреляционных
функций и о существовании фазовых переходов. В по-
последних двух главах строится один из главных объектов
теории — система статистической физики с бесконечным
числом степеней свободы. Оказывается, что все обычно
вычисляемые термодинамические пределы являются точ-
точными характеристиками этой бесконечной системы.
В ходе изложения автор применяет целый ряд недав-
недавних достижений функционального анализа и теории
вероятностей. В книге, как правило, излагаются парал-
параллельно классические решетчатые, классические непре-
непрерывные, квантовые спиновые и квантовые непрерывные
системы.
Как видно из сказанного, многие важнейшие вопросы
статистической физики не затронуты в книге. Это

в Предисловие к русскому изданию
связано с тем, что разработанные к настоящему времени
строгие математические методы пока еще не позволяют
решать эти вопросы.
Исследования в области статистической механики
ведутся столь интенсивно, что и за тот сравнительно не-
небольшой срок, который прошел с момента выхода анг-
английского издания книги, уже накопилось значительное
число новых результатов. Помещаемое в конце книги
приложение, написанное Добрушиным, Минлосом и Су-
Суховым, содержит краткое изложение некоторых из этих
работ.
Книга Рюэля несомненно представит интерес как для
физиков-теоретиков, так и для математиков.
Я. Я. Боголюбов

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Richtiges Auffassen einer Sache and
Missverstehen der gleichen Sache
schliessen einander nicht vollstandig
aus.
F. Kafka1)
Физика — это попытка человека понять определенный
класс явлений природы с помощью научных методов.
Мы не станем пытаться определить научные методы
вообще, но заметим, что они весьма продуктивны и раз-
разнообразны. Математическая физика является одним из
этих методов или подходов, в котором структуре физи-
физического явления ставится каким-либо образом в соответ-
соответствие математическая структура. Затем эта математиче-
математическая структура изучается средствами математики с
целью получения утверждений, имеющих физический
смысл. Никакие математические средства, если они дают
физически осмысленные результаты, нельзя порицать
как слишком искусственные или слишком тривиальные.
Применяя математику как орудие исследования фи-
физического мира, мы можем получить очень ценный интел-
интеллектуальный опыт. С одной стороны, знание физических
явлений подсказывает нам новые теоремы и пути их до-
доказательств. С другой стороны, математический анализ
дает физическому миру новую структуру и смысл. Зна-
Знание этой структуры и смысла и составляет понимание
«природы вещей» настолько глубокое, насколько мы во-
вообще можем надеяться его получить.
Не всякая область физики порождает интересную
математическую физику. К счастью, мы живем в период,
богатый интересными нерешенными проблемами, кото-
которые, по-видимому, поддаются обработке. Исключе-
Исключение, возможно, составляет релятивистская квантовая
') Правильное понимание явления и неправильное его Понима-
Понимание не исключают друг друга полностью.
Ф. Кафка

8 Предисловие автора
механика, главным образом из-за ее «затоптанности», но и
здесь также имеются огромные области terra incognita.
Настоящая монография посвящена изложению опре-
определенного класса строгих результатов равновесной ста-
статистической механики. Эти результаты касаются пре-
предельного перехода к бесконечной системе, а также
природы фаз и фазовых переходов. Основное внимание
уделяется общим методам, а частные модели, как пра-
правило, не рассматриваются. (Точно решаемые модели
заслуживали бы специальной посвященной им книги.)
Понимание природы фазовых переходов остается од-
одной из главных нерешенных проблем математической
физики. Последующие главы представляют собой введе-
введение в эту проблему, в решении которой за последние
годы произошел некоторый фундаментальный сдвиг.
Вслед за некоторыми общими сведениями об ансамблях
(гл. 1) мы анализируем пределы термодинамических
функций для бесконечных решетчатых (гл. 2) и непре-
непрерывных (гл. 3) систем. Далее следует подробное изуче-
изучение разреженных систем (гл. 4) и изложение того, что
известно о фазовых переходах (гл. 5). Затем мы обсу-
обсуждаем природу состояний физических систем с группо-
групповой инвариантностью (гл. 6) и анализируем, в частности,
равновесные состояния бесконечных систем в статисти-
статистической механике (гл. 7). В добавлении приведены неко-
некоторые математические методы, используемые в гл. 6 и 7,
так как эти главы математически более сложны, чем
предыдущие. (По мнению автора, прогрессу математи-
математической физики значительно содействовали бы изложения
результатов важнейших математических теорий в сжатой
форме и без доказательств, в духе «Сводки результатов»
Бурбаки. Приложение к этой монографии представляет
собой попытку подобного изложения.) Логические связи
между главами примерно таковы
4 *5
t I
1 +2-
6 *7

Предисловие автора
Люди, занимающиеся статистической механикой, ра-
работают в разных областях: в математике, физике или
химии. Этот разброс составляет одну из привлекатель-
привлекательных сторон темы, но он же создает проблему языка. Чи-
Читатель должен это помнить, если найдет, что текст книги
излишне или, наоборот, недостаточно математизирован.
Область строгих результатов статистической меха-
механики далеко выходит за пределы того, что мы решили
включить в этот том, посвященный основным результа-
результатам, касающимся равновесных систем. Но здесь мы опу-
опустим несколько работ: доказательство устойчивости
квантовых кулоновских систем, найденное Дайсоном и
Ленардом [1], изучение Минлосом и Синаем [1] двухфаз-
двухфазной области для модели Изинга и анализ временной эво-
эволюции бесконечных классических систем, проведенный
Ланфордом [1].
Я очень обязан Г. Галлавотти, К. Груберу, О. Лан-
форду, С. Миракль-Солю и А. С. Уайтману за многие по-
поправки и улучшения, внесенные в рукопись этой книги.
Давид Рюэль

Глава 1
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ.
АНСАМБЛИ
Эта глава содержит обзор систем и ансамблей, кото-
которые используются в последующих главах монографии.
Здесь обсуждаются понятия термодинамического пове-
поведения и термодинамического предела (предельного пере-
перехода к бесконечной системе).
§ 1.1. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Статистическая механика возникла из желания ма*
тематически осмыслить класс физических систем, харак-
характеризуемых следующими свойствами:
(а) система представляет собой совокупность одина-
одинаковых подсистем *);
(б) количество подсистем велико;
(в) взаимодействия между подсистемами таковы, что
система проявляет термодинамическое поведение.
На сегодняшний день понятие «термодинамического
поведения» является феноменологическим. Оно отно-
относится к макроскопическому2) описанию системы, пред-
представляющему собой идеализацию реальных наблюдений.
Термодинамическое поведение обычно описывают так;
') В этом предварительном обсуждении мы не рассматриваем
более общий случай, когда система состоит из подсистем несколь-
нескольких различных типов.
*) Если система проявляет термодинамическое поведение, то
можно определить понятие макроскопического наблюдения. Наблю-
Наблюдение является макроскопическим, если считается, что подсистемы
малы и их нельзя наблюдать индивидуально. Однако наблюдения
статистических корреляций между подсистемами возможны (напри-
(например, дифракция рентгеновских лучей).

12 Гл. 1. Термодинамическое поведение. Ансамбли
(а') Равновесные состояния конструктивно опреде-
определимы. При неограниченном возрастании времени
состояние изолированной системы стремится к
равновесному состоянию («приближение к рав-
равновесию»).
(б') Система в состоянии равновесия состоит из од-
одной или нескольких макроскопически однород-
однородных частей (называемых фазами).
(в') Равновесные состояния можно описывать с по-
помощью аппарата термодинамики. В частности,
можно задать конечное число термодинамиче-
термодинамических параметров, определяющих все термодина-
термодинамические функции1). Принято считать, что тер-,
модинамические функции зависят от параметров
кусочно аналитически или кусочно гладко, а их
особенности соответствуют изменениям фазовой
структуры системы (фазовым переходам).
(г') «Коэффициенты переноса» можно определить,
рассматривая реакцию системы на малые откло-
отклонения от равновесия в первом порядке теории
возмущений.
Искусство теоретика состоит в том, чтобы отыскать
математическое обоснование утверждений типа (а') —
(г'). Можно предвидеть (имея в виду наличие «боль-
«большого» числа «малых» подсистем), что при этом придется
рассматривать предельный переход к бесконечной систе-
системе— термодинамический предел. Наше понимание
утверждений (а') — (г') пока еще крайне неполно, так
как большая часть имеющихся исследований базируется
на приближениях, которым не найдено достаточного
обоснования. В этой книге мы сконцентрируем внимание
на утверждениях (б') и (в'), т. е. на равловесной теории.
К сожалению, нашего понимания пункта (а) совершенно
недостаточно для того, чтобы дать твердое обоснование
понятию равновесия. Поэтому мы обратимся к некото-
некоторому специальному классу систем и привлечем эргодиче-
скую теорию.
') Давление, энергия, объем, температура, энтропия и т. п. яв-
являются термодинамическими функциями. Некоторые из них выби-
раются в качестве термодинамических параметров.

§ I.I. Термодинамические системы 13
Рассмотрим классическую теорему с гамильтониа-
гамильтонианом Я, не зависящим от времени, и фазовым простран-
пространством Q. Эволюция во времени оставляет неизменной
меру Лиувилля da, а также меру1)
6 (Я (со) - ?) Жо A.1)
для любого Е, по крайней мере в тех случаях, когда это
выражение корректно определено. Для систем, которые
мы будем рассматривать, мера A.1) ограничена (т.е.
имеет конечную общую массу). Пусть отображение
t—>(at описывает эволюцию во времени точки простран-
пространства Q. Наблюдение системы в момент времени t дает
величину /(ах), где / — некоторая функция, определен-
определенная на Q. Если система проявляет термодинамическое
поведение, то {(at) практически не зависит от t2) по
крайней мере большую часть времени. Поэтому имеет
смысл отождествить результат наблюдения функции /
«в равновесии» со средним по времени от /(со(). Если мера
A.1) эргодическая, то, очевидно, это среднее для почти
любого (относительно меры Лиувилля) начального усло-
условия wo e Q будет иметь вид
г
lim-~ \dtf(at) =
Т + оо Т J
= [ J d<sA(H (со) - ?)]"' J А»в(Я (со) -E)f(a), A.2)
где
Е = Н(щ). A.3)
Следовательно, если мера A.1) эргодическая, то резуль-
результат наблюдения </) функции,/ имеет вид
</) = [ Jdfflfl (Я (©)-?) ]"' Jdfflfl(Я (©)-?)/(©). A.4)
') Символ б обозначает здесь б-функцию Дирака.
2) Согласно теореме Пуанкаре о «возвращении», можно ожи-
ожидать, что большая (но конечная) система, не находившаяся в равно-
равновесии в момент времени t = 0, достигает видимого равновесия, от
которого будет отклоняться на короткие относительно длительного
промежутка времени периоды. Это утверждение, разумеется, неспра-
несправедливо для малых систем (для которых условие (б) не выпол-
выполнено) .

14 Гл. I. Термодинамическое поведение. Ансамбли
Какой-нибудь вариант усреднения типа A.4) необ-
необходим как отправная точка равновесной статистической
механики. Поэтому много усилий затрачивается на то,
чтобы исследовать вопрос об эргодичности меры A.1)
для различных частных систем *). Это трудная пробле-
проблема, и только недавно Синаю удалось доказать эргодич-
эргодичность некоторых систем с взаимодействиями реального
типа2). Историческая традиция придает большое значе-
значение обоснованию выражения A.4) с помощью эргодиче-
ской теории. Однако следует подчеркнуть, что более
удовлетворительным был бы подход, опирающийся на
тот факт, что мы имеем дело с большими системами.
В частности, большая система может проявлять с физи-
физической точки зрения вполне нормальное термодинамиче-
термодинамическое поведение, не будучи, строго говоря,эргодической3).
Как бы то ни было, мы будем принимать с некоторыми
поправками описание равновесия с помощью среднего
A.4), соответствующего мере A.1). В физически инте-
интересных случаях это описание оказывается действительно
адекватным.
Вместо выражения A.1) можно пользоваться други-
другими мерами, соответствующими широко известным ан-
ансамблям Гиббса. Принято считать, что в термодинами^
ческом пределе, т. е. для большой системы, различные
ансамбли приводят к эквивалентным описаниям этой
системы. В доказательстве этого и заключается пробле-
проблема эквивалентности ансамблей, разрешенная еще не пол-
полностью.
Равновесная статистическая механика не ограничи-
ограничивается изучением только классических систем, о которых
говорилось выше. Соответствующим образом видоизме-
видоизменяя распределение A.1), а также и другие ансамбли,
') Это некоторые системы твердых шариков, помещенных в со-
сосуд и взаимодействующих с помощью парного потенциала. Доказа-
Доказательство (см. Синай [1]) еще не полностью опубликовано, но его
очертания даны Арнольдом и Авецом [1], стр. 65 (см. след. сноску).
2) В настоящее время появилось подробное изложение этих ре-
результатов (см. Синай [2]). — Прим. ред.
8) Мы увидим в п. 3.1.4 пример системы, в которой основная
связная компонента фазового пространства описывает газ, ио имеют»
ся также малые связные компоненты с аномальным поведением.

§ 1.2. Классические системы и ансамбли 15
можно ввести в рассмотрение иные типы систем. Этот
вопрос мы обсудим в последующих двух параграфах.
§ 1.2. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И АНСАМБЛИ
Этот параграф содержит обзор различных систем и
ансамблей, с которыми нам придется иметь дело в даль-
дальнейшем. Изложение ведется формально, а вопрос о схо-
сходимости встречающихся здесь рядов и интегралов будет
рассмотрен позднее.
1.2.1. Классические непрерывные системы. Подсисте-
Подсистемы, из которых состоит система, часто называют части-
частицами. В непрерывных системах эти частицы движутся
в v-мерном пространстве (обычно v = 3). Кроме того,
они могут иметь вращательные и другие степени свобо-
свободы. Система также может содержать частицы несколь-
нескольких различных типов. Для простоты мы ограничимся
здесь системами, состоящими из одинаковых частиц, об-
обладающих только поступательными степенями свободы.
Рассмотрим классическую непрерывную систему,
содержащую п частиц, положение которых мы будем
обозначать через лгге=1^, а импульсы — через р{. Мы
предполагаем, что система описывается гамильтонианом
вида
п 2
tf(pi, ..., рп, хи ..., x^ = ^l~ + U(xu .... хп), B.1)
где U — (полная) потенциальная энергия.
В статистической механике обычно предполагают,
что система заключена в сосуд. Мы будем считать, что
таким сосудом может служить ограниченная область
AcRv. Выражение B.1) при этом следует дополнить
требованием, чтобы ^еЛ при i = 1, ..., п, и условием,
что частицы упруго отражаются от границы области Л.
(а) Классические непрерывные системы, микрокано-
микроканонический ансамбль. Среднее A.4) называется микрокано-
микроканоническим средним. Для его существования необходимо
аккуратно определить меру A.1), однако эту труд-
трудность можно обойти, если заменить A.1) одной из

16 Гл. 1. Термодинамическое поведение. Ансамбли
следующих мер1) на фазовом пространстве (Rv)"xA":
п\
г ..., рт хи .... xn)-E)dPl ...dpnX
X dx{... dxn, B.2)
¦^-fl-(Я (©)-?) Ad-
= Жб~(Я(рь •••' pn' Xu ¦¦•' Xn)-E)dp{ ... dpnX
XdXi ... dxn. B.3)
Здесь бЛ и б~ — характеристические функции интерва-
интервалов (—А, 0) и (—оо, 0) соответственно. Так как воз-
возможны только макроскопические наблюдения системы,
в принципе нельзя точно измерить величину ее полной
энергии Е2). Поэтому замена б на бЛ эвристически
оправдана. Замена б на 6~ оправдана a posteriori3) тем
фактом, что для больших систем ббльшая часть
объема ансамбля B.3) соответствует значениям Я (и),
близким к Е.
Вследствие специального вида гамильтониана Я B.1)
роль импульсов р{ в равновесной статистической меха-
механике довольно тривиальна. (Это станет более очевидным
в случае канонического ансамбля.) Поэтому имеет смысл
ввести конфигурационный микроканонический ансамбль,
определяемый мерой на конфигурационном простран-
пространстве системы Л". По аналогии с B.2) и B.3) выберем
в качестве меры выражение
±
..., xn) ~E)dXl... dxn B.4)
') Новый нормировочный коэффициент —- в формулах B.2)
и B.3) пока для нас несуществен, так как при определении сред-
среднего по ансамблю используются только нормированные величины.
Позднее (см. § 1.4) мы придадим физический смысл нормировоч-
нормировочным коэффициентам для мер B.2) и B.3) и приведем для них
общепринятые обозначения.
2) Это также относится и к числу частиц п, но технически
удобно считать п точно известным.
8) См. п. 3.3.14.

§ 1.2. Классические системы и ансамбли 17
ИЛИ
-^6~(U(xlt ..., xn)-E)dXl...dxn. B.5)
(б) Классические непрерывные системы, канониче-
канонический ансамбль, В каноническом ансамбле в отличие
от микроканонического вместо энергии Е в качестве
термодинамического параметра используется обратная
температура р>0. Мера, определяющая канонический
ансамбль, имеет вид
-^ ехр (— pt/ (Jfj хп) )dxl... dxn] . B.6)
X
Это выражение является произведением кинетических
множителей
для каждой частицы и конфигурационного множителя
-^ ехр (- р?/ (х, xn))dXl... dxn, B.8)
который определяет конфигурационный канонический
ансамбль.
(в) Классические непрерывные системы, большой
канонический ансамбль. В микроканоническом и кано-
каноническом ансамблях число частиц п фиксировано. В от-
отличие от них большой канонический ансамбль задается
мерой, определенной на сумме фазовых пространств
(Rv)" X Л", взятой по всем значениям п. Вместо числа
частиц в качестве термодинамического параметра выби-
выбирают химический потенциал ц. На каждом простран-
пространстве (Rv)"x А" ограничение меры, определяющей большой

18 Гл. 1. Термодинамическое поведение. Ансамбли
канонический ансамбль, имеет вид ')
J_ ^ ехр (_рЯ (со)) dv> = *** JJ [ехр (- р4) dp] X
X [-jj ехр (— рС/ (дс„ ..., дг„)) ^дс„ ..., dxn]. B.9)
Конфигурационный большой канонический ансамбль
определяется мерой на 2 Л", которая на каждом Л"
имеет вид
-^-ехр(—р?/(*!,..., д:„)) ^д:, ... Лс„. B.10)
Нам удобно считать, что выражение B.10) получено
из B.9) интегрированием по импульсам, так что
z==ePll(i^L\V/2. B.11)
Параметр г называется «активностью».
1.2.2. Классические непрерывные системы частиц
с твердыми сердцевинами. В системе частиц с твер-
твердыми сердцевинами из конфигурационного простран-
пространства Л" исключены определенные конфигурации. Обычно
требуют, чтобы евклидовы расстояния | х} — xt | между
любыми двумя частицами оставались больше некото-
некоторого числа ./?>0. Если мы определим
S« = {(*i, •••, *n)e(Rv)": \x,-xt\<R
хотя бы для одной пары i?=j), B.12)
то пространством допустимых конфигураций будет
Л" \ S?. Кроме этого, выражение для гамильтониана B.1)
следует дополнить условием, что частицы, сблизившиеся
на расстояние R, испытывают упругое соударение. Пере-
') При п = 0 пространство (Rv) ХЛ (и соответственно А )
сводится к одной точке, которой выражение B.9) (соответственно
B.10)) приписывает вес, равный единице,

§ 1.2. Классические системы и ансамбли 19
ход к случаю частиц с твердыми сердцевинами не вно-
вносит существенных изменении в рассмотрение описанных
выше ансамблей.
1.2.3. Классические решетчатые системы. К решет-
решетчатым системам наиболее естественным образом при-
приводит идеализация кристаллов, подсистемы которых
могут находиться в конечном числе (классических или
квантовых) состояний. Мы полагаем, что подсистемы
(узлы решетки) задаются наборами v целых чисел, так
что решетку можно отождествить с пространством Zv«
Ограничимся пока классическим случаем. Пусть со-
состояния подсистемы jteZv занумерованы числами
пх=>0, 1, ..., N. Можно интерпретировать пх как ука-
указание типа частицы, находящейся в точке х («сплавы»),
или как число заполнения («решетчатые газы»)'). Можно
также считать величину sx = nx — -^N спином частицы
(«спиновые системы»).
Ограниченная область Л представляет собой в этом
случае конечное подмножество пространства Zv: Л=»
¦={*!, ..., Ху). Ансамбль для классической решетчатой
системы определяется мерой на множестве возможных
конфигураций системы внутри Л. Существует (N+l)v
таких конфигураций, задаваемых всевозможными набо-
наборами чисел (ац, ..., пХу), и каждой из них в ансамбле
приписывается определенный вес. Мы рассмотрим только
большой канонический ансамбль, для которого весом
служит
exp |j3 S ц («X|)J ехр [—р?/ (>ц, ..., «*„)]. B.13)
В этом выражении U(nx, ..., п*,Л —потенциальная
энергия конфигурации (ац, ..., пХу). Если система
') «Решетчатые газы» представляют собой дискретный вариант
систем, изученных в п. 1.2.1, но при этом имеют смысл только кон-
конфигурационные варианты ансамблей. Обычно N =• 1, т. е. в каждом
узле решетки может находиться не более одной частицы; по сутн
дела, это условие «твердых сердцевин». «Решетчатый газ» не является
газом ии в каком смысле этого слова.

20 Гл. 1. Термодинамическое поведение. Ансамбли
интерпретируется как «сплав», то ц (пх) — химический
потенциал частицы, находящейся в точке х; если си-
систем а представляет собой «решетчатый газ», то ц (пх) = пх\\.
и выражение B.13) принимает вид
exp I [S nXij pjxj exp [— р?/ (/ц, ..., nXv)\ =
= 2reexp[-pf/(«x1, ..., nxy)\ B.14)
где
v
2 = еРи( п= 2 пх.. B.15)
Правая часть формулы B.14) аналогична выражению
B.10) для конфигурационного большого канонического
ансамбля в непрерывном случае. Если система является
«спиновой», то ц (пх) с обратным знаком есть энергия
взаимодействия спина с магнитным полем h
Используя B.15), выражению B.13) можно придать вид1)
ехр [(п - \ NV) рл - рС/ (nXi, ..., пху)]. B.16)
§ 1.3. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ И АНСАМБЛИ
Если в классических системах наблюдаемые вели-
величины есть вещественные функции, определенные на
фазовом или конфигурационном пространстве системы,
то в квантовых системах каждой наблюдаемой вели-
величине соответствует самосопряженный оператор, дей-
действующий в гильбертовом пространстве состояний си-
системы. В классической статистической механике для
определения среднего по ансамблю мы использовали
вероятностную меру на фазовом или конфигурационном
пространстве системы. В квантовой статистической меха-
механике для этой цели служит матрица плотности, опре.
') Здесь отсутствует кинетическая энергия, связанная со спином.

§ 1.3. Квантовые системы и ансамбли 21
деленная в гильбертовом пространстве состояний си-
системы. Ненормированной матрицей плотности называется
положительно определенный оператор, обладающий сле-
следом. Каждый квантовый ансамбль задается соответ-
соответствующим оператором Т, и среднее величины А опре-
определяется так:
l C.1)
1.3.1. Квантовые непрерывные системы. Как и в клас-
классическом случае, мы ограничимся системами в про-
пространстве Rv, состоящими из одинаковых частиц, обла-
обладающих только поступательными степенями свободы.
Система, содержащая п частиц, описывается гамильто-
гамильтонианом вида
где Дг —оператор Лапласа по координате х{ i-й частицы,
a U действует на волновую функцию как оператор
умножения. Если система заключена в ограниченной
области Л, то R оператор Нп действует в гильберто-
гильбертовом пространстве L2(A") квадратично интегрируемых
(по Лебегу) функций, зависящих от п переменных jtjeA.
Выражение C.2) для гамильтониана следует, кроме
того, дополнить условием, что граница области Л
является «бесконечно отталкивающей» '). При таком
условии гамильтониан Я„ становится самосопряженным
оператором Я„(Л), ограниченным снизу. Его спектр со-
состоит из изолированных собственных значений конечной
кратности (см. § 3.5).
Обычно требуют, чтобы волновая функция кванто-
квантовой системы, состоящей из одинаковых частиц, была
либо симметрична (если частицы — «бозоны»), либо
антисимметрична (если частицы — «фермионы») относи-
относительно перестановки аргументов, соответствующих этим
') Это условие обычно выражается в виде требования, чтобы
собственные функции оператора Я обращались в нуль на границе
области Л. В § 3.5 мы даднм шире применимое условие, используя
расширение по Фридрнхсу.

22 Гл. 1. Термодинамическое поведение. Ансамбли
частицам '). Пусть L,l{jsP) (где е= ±) —подпространство
пространства L?(An), состоящее из функций, симме-
симметричных (если е=+), либо антисимметричных (если
е=—) относительно перестановки своих п аргументов.
Гамильтониан #„(Л) симметричен относительно пере-
перестановки частиц. Поэтому его можно ограничить на
пространство L+(A") в случае бозонов (статистика
Бозе — Эйнштейна, или Б.-Э.-статистика) и на простран-
пространство /Л(Л") в случае фермионов (статистика Ферми —
Дирака, или Ф.-Д.-статистика). Иногда бывает инте-
интересно рассмотреть случай, когда на волновую функцию
не накладывается никаких условий симметрии и гиль-
гильбертовым пространством системы остается простран-
пространство L2(A") (статистика Максвелла —Больцмана, или
М.-Б.-статистика).
(а) Квантовые непрерывные системы, микроканони-
микроканонический ансамбль. Исходное определение классического
микроканонического ансамбля с помощью формул A.1)
и A.4) не имеет удовлетворительного квантового аналога
из-за дискретности спектра гамильтониана Я„(Л). Ме-
Мерам же B.2) и B.3) соответствуют следующие ненор-
ненормированные матрицы плотности в пространстве L2(An):
я! " \"п\*ч ~/ „|
til tt\ <MH
где Ет— собственные значения оператора Я„(Л), а Рт —
') Оказывается, что принадлежность частицы к бозоиам или
фермиоиам зависит от того, какое значение, целое или полуцелое,
имеет ее спин. Это правило («связь между спииом и статистикой:»)
может быть установлено в релятивистской теории поля, ио для
нашего иерелятивистского описания в ием нет логической иеобхо»
домости. Поэтому иам иет иужды вводить спиновые компоненты
даже для фермиоиов. Читатель легко может сам добавить индексы
спина и типа частиц, опущенные нами для удобства изложения.

§ 1.3. Квантовые системы и ансамбли 23
проектор на соответствующее собственное подпростран-
подпространство ').
В случае Б.-Э.- или Ф.-Д.-статистик следует огра-
ограничить операторы Я„(Л) и Рт на пространства L|(a")
и заменить выражения C.3) и C.4) следующими:
C.5)
6-(Я„(Л)-?)= 2 Рт- C.6)
Ет<Е
(б) Квантовые непрерывные системы, канонический
ансамбль. Для канонического ансамбля ненормирован-
ненормированная матрица плотности, действующая в пространстве
Х,2(Л"), имеет вид
^2. C-7)
Матрица плотности на пространствах Ll(A") (e= ±)
имеет вид
ехр[- РЯ„(Л)] = 2 ехр[- Р^Р^. C.8)
(в) Квантовые непрерывные системы, большой ка-
канонический ансамбль. Так как в большом канониче-
каноническом ансамбле число частиц не фиксировано, соответ-
соответствующая матрица плотности определена на прямой
сумме пространств L2(An):
Ж(А)=@Ь2(Ап). C.9)
л=0
') Мы ие можем оправдать введение квантовых ансамблей,
апеллируя к эргодичедаой теории, и просто используем аналогию
с классической ситуацией. Заметим, однако, что для независимости
среднего по ансамблю от времени нужно, чтобы соответствующая
матрица плотности р коммутировала с гамильтонианом Нп (Л).
Если Нп(А) имеет невырожденные собственные значения (общая
ситуация), то р должна быть функцией гамильтониана #„(Л), т. е.
р = {(Нп (Л)). Оказывается, что в больших системах свойства ан-
ансамблей «нечувствительны» к виду f (эквивалентность ансамблей).

24 Гл. /. Термодинамическое поведение. Ансамбли
Для Б.-Э.- и Ф.-Д.-статистик областью определения ма-
матрицы плотности является
Же(А)=@ Ll(An), C.10)
где е = ± соответственно статистике, а пространство Же
является пространством Фока1), соответствующим обла-
области Л. Назовем оператором числа частиц я (Л) само-
самосопряженный неограниченный оператор, действующий
в пространстве Ж (Л) или Жг(А) и имеющий собственные
подпространства /,2(Л") или Ll(An) с соответствующими
собственными значениями п. Очевидно, о(Л)^0. Само-
Самосопряженный оператор Я (Л) в пространстве Ж (Л) или
Же(А), ограничения которого на подпространства L2 (Л")
или Le(An) (предполагаемые инвариантными для него)
совпадают с Я„(Л), называется полным гамильтонианом.
Очевидно, что п(А) и Я (А) коммутируют. Теперь боль-
большой канонический ансамбль в пространстве Ж (Л) можно
определить с помощью ненормированной матрицы плот-
плотности вида
(п (Л)!) ехр [6 (Ц/г (Л) - Я (Л))] -
„„, C.11)
а в пространстве <5^е(Л) (е=±) —с помощью матрицы
плотности
ехр[р((А/г(Л)-Я(Л))] = 2е^2[ехр(-р^)]Р„а. C.12)
п а
1.3.2. Квантовые непрерывные системы с твердыми
сердцевинами. Если мы рассмотрим, как и в классиче-
классическом случае, сферические частицы с твердыми сердце-
сердцевинами диаметра /?>0, то получим для п частиц гиль-
гильбертово пространство L2(A"\S?) или Z,f(A"\S?). Гранич-
Граничные условия, отвечающие упругим соударениям между
') То есть гильбертово пространство, в котором действует
фоковское представление канонических коммутационных (е =• +)
илн антнкоммутационных (е=—) соотношений (см. п, 7.1.4).

§ 1.3. Квантовые системы и ансамбли 25
частицами, вводятся здесь так же, как для соударений
частиц с границей области Л (см. § 3.5).
1.3.3. Квантовые решетчатые системы. В квантовом
варианте решетчатой системы, обсуждавшейся в п. 1.2.3,
каждому узлу решетки j;eZv соответствует гильбер-
гильбертово пространство Жх конечной размерности N+1,
описывающее состояния подсистемы. Если \ = {хх, ...
..., Ху}— конечное подмножество пространства Zv, то
ему соответствует гильбертово пространство
Ж(А) = ® Жх C.13)
размерности (N + \)v. Гамильтониан Я (Л) для решет-
решетчатой области Л является некоторым самосопряженным
оператором в Ж (Л). Большой канонический ансамбль
теперь описывается ненормированной матрицей плот-
плотности вида
ехр[-рЯ(Л)] C.14)
в пространстве Ж (Л) (химические потенциалы илк
энергия в магнитном поле опущены). Пусть (tyx, nH<n<N—
ортонормированный базис в пространстве Жх для каж-
каждого xeZv. Тогда операторы числа частиц пх и я (Л)
определяются на Ж (Л) следующим образом:
V V
nXk ® Ъхр п, = я*.® Ф*г nt, C.15)
о(Л)= 2 я*. C.16)
хе=Л
По аналогии с B.13) можно заменить выражение C.14)
выражением
[ J C.17)
Эту формулу, аналогичную формуле B.13), легко интер-
интерпретировать для конкретных случаев '). Заметим, что
') Если система — «решетчатый газ», то «кинетическую энергию»
можно моделировать разностным оператором.

26 Гл. 1. Термодинамическое поведение. Ансамбли
если положить
H(A)J9^x,n3l=*U(nXl Л*к)ж®АФж.я/ <ЗЛ8>
то выражение C.17) сводится к B.13). Отсюда видно,
что классические решетчатые системы являются частным
случаем квантовых.
§ 1.4. РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ
И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Будем называть состоянием физической системы не-
некоторый функционал усреднения, определенный на мно-
множестве наблюдаемых величин для этой системы. Сред-
Средние, соответствующие ансамблям, введенным в пунк-
пунктах 1.2 и 1.3, являются такого рода состояниями.
Назовем системы, для которых средние по ансамблю
определены, конечными системами. Можно также рас-
рассматривать соответствующие бесконечные системы, со-
состоящие из бесконечного числа подсистем и занимаю-
занимающие все пространство Rv или Zv. Общие рассуждения
§ 1.1 позволяют предположить, что если система про-
проявляет термодинамическое поведение, то состояния,
определяемые как средние по ансамблю,.для больших ')
конечных систем близки в некотором смысле к состо-
состояниям соответствующих бесконечных систем. Кроме
факта существования предельных состояний (термоди-
(термодинамического предела), желательно доказать, что эти
состояния не зависят от выбора ансамбля (эквивалент-
(эквивалентность ансамблей). Будем называть предельные состо-
состояния равновесными состояниями (для бесконечных си-
систем).
Здесь мы придерживаемся точки зрения, что главной
задачей равновесной статистической механики является
изучение равновесных состояний бесконечной системы,
а также изучение связи этих состояний с порождающими
их взаимодействиями. Так как нас интересуют системы
с термодинамическим поведением, можно считать, что
равновесные состояния описывают ситуацию, в которой
') В дальнейшем для некоторых частных случаев будет точно
указано, в каком смысле систему следует считать большой.

§ 1.4. Равновесные состояния и термодинамические функции 27
(а) число подсистем, находящихся в ограниченной
области пространства, остается конечным и
(б) взаимодействием любой подсистемы с подсисте-
подсистемами, достаточно удаленными от нее, можно прене-
пренебречь.
Это означает, что взаимодействия между подсисте-
подсистемами не могут быть произвольными: они должны быть
слабыми для удаленных друг от друга подсистем и не
должны допускать скопления бесконечного числа под-
подсистем в ограниченной области пространства. Другим
условием, налагаемым на взаимодействия, является их
инвариантность относительно сдвига в пространстве Rv
или Zv. Эта инвариантность не играет большой роли
для конечных систем, так как существование границы
области Л ее нарушает. Однако для бесконечных си-
систем инвариантность равновесных состояний относи-
относительно сдвига') окажется существенной при их изу-
изучении.
Можно ожидать, что если в равновесной бесконеч-
бесконечной системе выделить ограниченную область Л, то
состояние, возникающее в этой области, будет анало-
аналогичным состоянию, определяемому средним по ансамблю,
и, следовательно, его можно описать вероятностной
мерой или матрицей плотности в соответствующем про-
пространстве. Это дает возможность математически опи-
описать равновесное состояние с помощью совокупности
мер или матриц плотности, соответствующих всем
ограниченным областям пространства Rv или Zv. Мы
будем также использовать другие, более удобные
описания: корреляционные функции для классических
систем и приведенные матрицы плотности для кванто-
квантовых систем.
Теперь пришло время рассмотреть проблему опре-
определения термодинамических функций в статистической
механике. В традиционном подходе для каждого ан-
ансамбля вводят статистическую сумму, которая пред-
представляет собой общую меру фазового пространства
') Или иивариаитиость относительно более широкой группы
преобразований.

28 Гл. 1. Термодинамическое поведение. Ансамбли
системы (классические системы) или след ненормирован-
ненормированной матрицы плотности, задающей ансамбли (кванто-
(квантовые системы). Затем предполагают, что логарифм ста-
статистической суммы, деленный на объем области, содер-
содержащей систему, имеет предел при возрастании системы,
и отождествляют этот предел с некоторой термодина-
термодинамической функцией'). Такой подход мы применим
в следующей главе. Заметим, однако, что если равно-
равновесные состояния, введенные выше, полностью описы-
описывают термодинамический предел, то они должны также
определять термодинамические функции. Ниже мы уви-
увидим, что это действительно так, хотя и не очевидно
в случае, если термодинамические функции опреде-
определяются через логарифм нормировочных множителей.
Фактически равновесные состояния дают статистическое
описание систем, а степень неопределенности, присущая
такому описанию, отражена в удельной энтропии
(см. § 7.2).
') Эта термодинамическая функция зависит от ансамбля, и
термодинамические функции, получаемые из различных ансамблей,
должны подчиняться обычным термодинамическим соотношениям
(эквивалентность ансамблей).

Глава 2
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
ДЛЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
ФУНКЦИИ: РЕШЕТЧАТЫЕ СИСТЕМЫ
Во второй и третьей главах мы займемся изучением
термодинамического предела для термодинамических
функций. В этой главе мы рассмотрим простой случай
большого канонического ансамбля для решетчатых си-
систем (классических и квантовых). Мы введем также
некоторые необходимые в дальнейшем понятия и ре-
результаты, касающиеся предельного перехода к беско-
бесконечному объему (§ 2.1), и неравенства для квантовых
систем (§ 2.5).
§ 2.1. ПЕРЕХОД К БЕСКОНЕЧНОМУ ОБЪЕМУ
Все ансамбли, которые мы рассматривали до сих
пор, описывали системы, заключенные в ограниченной
области Л пространства Rv или Zv. При переходе
к термодинамическому пределу предполагается, что
область Л «стремится к бесконечности». Объясним,
каким образом это происходит.
Пусть точка а*=(а\ ..., av) е Rv (соответственно Zv),
причем а}>0, ..., av>0. Определим область Л (а)
A(a) = U<=Rv: 0<*'<a', при t = l v}, A.1)
и соответственно
Л (а) = t* e= Zv: 0<л;'<а', при г = 1, ..., v}. A.2)
«Объем» области Л (а) определим как
V(a) = UaK A.3)

30 Гл. 2. Термодинамический предел. Решетчатые системы
Утверждение а—>оо означает, что а1—>+ оо, ...,
av->+oo. При а->оо область Л (а) возрастает доста-
достаточно удобным для изучения термодинамического пре-
предела образом. Однако имеются более общие и физи-
физически более удовлетворительные определения.
Если мы сдвинем множество Л (а) на вектор па =
= (/Л*1, ..., nvav), где п е Zv, то в результате получим
множество
ЛЛ = А(а) + па. A.4)
Семейство множеств (Л„)пеЕ^ образует разбиение про-
пространства Rv или Zv. Для каждого подмножества Л
пространства Rv или Zv определим N% (Л) (соответст-
(соответственно NU (Л)) как число множеств Л„, таких, что
Л„ П Л ф 0 (соответственно Л„ с: Л).
2.1.1. Определение. Множества А стремятся
к бесконечности в смысле Ван Хова ')» если
UmNa(A) = + °°', ШпЛГГ(Л)/Л#(Л)=1 A.5)
для любого а.
Это определение инвариантно относительно неодно-
неоднородных линейных преобразований пространства Rv
или Zv.
Предположим, что множество AcRv ограничено
и измеримо по Лебегу. Пусть V (Л) — мера Л, a Vh (Л) —
мера множества точек, расстояние которых of границы
множества Л не превосходит h. Понятие стремления
к бесконечности по Ван Хову эквивалентно следующему:
НтУ(Л) = + оо; Нт V (Л) Vh (Л) = 0. A.6)
Для доказательства существования термодинамического
предела в некоторых случаях необходимо более силь-
сильное увловие.
2.1.2. Определение. Обозначим диаметр2) мно-
множества А через d(A). Множество А стремится к бес-
') См. Ван Хов [1].
2) Диаметром множества называется верхняя грань расстоя-
расстояний между его точками.

§ 2.2. Взаимодействия в квантовых решетчатых системах 31
конечности в смысле Фишера '), если
limF(A) = + oo, A.7)
и существует функция я (а), такая, что
Нтя(а)-О, A.8)
а->0
и для достаточно малого а и всех А имеем
Vad (A)(A)/V (А) ^я(а). A.9)
Это определение также инвариантно относительно
Линейных преобразований. Так как Vad(A)(A) больше,
О t1
Рис 1. Множество Л((<2, t)) в пространстве R2.
чем объем сферы радиуса ad(A), то из выражения A.9)
следует существование числа С>0, такого, что
V(A)^Cd"(A). A.10)
Множество A((t2,t)) в пространстве R2 (рис. 1) стре-
стремится к бесконечности при ?->оо в смысле Ван Хова,
но не в смысле Фишера.
f 2.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВЫХ РЕШЕТЧАТЫХ
СИСТЕМАХ
Мы начинаем изучение термодинамического предела
с квантовых решетчатых систем. В такой системе ка-
каждому конечному множеству AcZv сопоставлен
гамильтониан Я (Л). Он является самосопряженным опе-
') См. Фишер [1].

32 Гл. 2. Термодинамический предел. Решетчатые системы
ратором, действующим в гильбертовом пространстве
Ж(А), определяемом формулой C.13) гл. 1. При Л= 0
положим Я (Л) = 0.
Если Л1Г|Л2=0, то пространство Ж(А1[]А2), оче-
очевидно, можно отождествить с Ж (Л[) ® Ж (Л2). Отожде-
Отождествим также любой оператор Ах в пространстве Ж (Л,)
с оператором л) Л( <S> 1 в пространстве Ж(А1[]А2).
В частности, для любого Л гэ Л, оператор Я (Л,)
может быть продолжен до оператора в Ж (Л).
Для того чтобы сделать теорию инвариантной отно-
относительно переноса начала координат, введем для ка-
каждого aeZv и каждого igZv унитарный оператор
Vх(а): 2@x->2@x+ai так что КЛ@) —тождественный опе-
оператор в Жх, а Vх (а| + а2) = Vx+aa {а\) Vх (а2). Пусть также
Vx(a). B.1)
Теперь мы постулируем, что
Я(Л + а) = Кл(а)Я(Л)Ка+л(-а), B.2)
или (опуская индексы 2) при V)
Я (Л + а) = V (а) Я (Л) F (а). B.3)
Запишем
= 2 Ф(Х). B.4)
Это выражение рекуррентно определяет Ф(А) как само*
сопряженный оператор в Ж(Х) (являющийся также
оператором в Ж (Л) для любого Л :э X). Из выраже-
выражения B.3) имеем
Ф(Х + а)^У(а)Ф(Х)У(а)~1. B.5)
Функция Ф, принимающая операторные значения, есть
потенциал 3), который вводится в теории для описания
взаимодействия подсистем. Формула B.5) выражает
') Символом 1 мы обозначаем тождественный оператор. Про-
Пространство, в котором он действует, ясно из контекста.
2) Отбрасывание индексов согласовано с отождествлением
Н (Л,) -»# (А,) ® 1, введенным выше.
3) Мы приняли точку зрения, что гамильтониан не содержит
кинетической энергии. Этот подход пригоден, например, для кван-
квантовой спиновой Системы. В этом случае Ф ({я}) является взаимо-
взаимодействием спина в точке xeZ'c внешним магнитным полем.

§ 2.2. Взаимодействия в квантовых решетчатых системах 33
инвариантность потенциала относительно переноса на-
начала координат. Опишем теперь классы потенциалов,
которыми будем пользоваться в дальнейшем.
Потенциал Ф имеет конечный радиус действия
{финитный потенциал), если число множеств X, таких-, что
^эО иФ (X) ф О, конечно. Пусть Д — объединение
этих множеств. Очевидно, Д — конечно, АэО и
Д = — Д !). Можно назвать Д «областью действия» по-
потенциала Ф. Если х, г/е X и х — уф. Д, то Х~ х<?А
и Х-^эО. Следовательно, Ф {X — х) = О, откуда
Ф (X) ¦= 0. Пусть
а ф Л, - Л2 + Д, B.6)
или, что то же самое, [Л, — (Л2 + а)]П А= 0. Если
jcsA,, a г/еЛ2 + а, то х — уф& и, следовательно,
если х, у^Х, то Ф(Х) = 0. В частности, при условии
B.6) имеем
= S Ф(Х)+ 2 Ф(Х) = Я(Л,) + Я(Л2 + а). B.7)
Отсюда видно, что множества Л, и Л2 + а «не взаимо-
взаимодействуют», если они достаточно удалены друг от друга.
Ограничимся потенциалами Ф, такими, что
где N{X) — число точек множества X. Пространство 3$
этих потенциалов является действительным банаховым
пространством с нормой B.8). Пространство $0 потен-
потенциалов с конечным радиусом действия всюду плотно
в 91. Из определений B.4) и B.8) получаем
ПЯ<АH| S
х<=&
B.9)
') А = {дс: существует X э х, такое, что 0 s X и Ф(^)=^0},
следовательно, если х<=Х, то ~х<=Х~х, 0<=Х-х и Ф(Х-х)Ф0,
откуда хе-Д.
2 Зак. 850

34 Гл. 2. Термодинамический Предел. Решетчатые Системы
В п. 1.3.3 мы ввели ансамбль, описываемый ненор-
ненормированной матрицей плотности ехр[—р#(Л)]. Соот-
Соответствующая ему статистическая сумма имеет вид
() B.10)
а соответствующая термодинамическая функция ') равна
Hmtf(A)-IlnS(A,p) B.11)
при Л, стремящемся к бесконечности каким-либо под-
подходящим способом. Очевидно, роль множителя р в этих
выражениях тривиальна. Для упрощения записи вклю-
включим р в потенциал взаимодействия Ф (что равносильно
условию Р=1). Напишем
B.12)
так что S (Л, р) = Za (РФ), и определим
' B.13)
Заметим, что вследствие инвариантности потенциала
относительно переноса начала координат
2л+а(Ф) = 2Л(Ф) Ял+а(Ф) = Рл(Ф). B.14)
2.2.1. Лемма. Если А и В — самосопряженные one-
раторы, действующие в пространстве С", то
| In Sp (e*) - In Sp (ев) | <|| А - В Ц. B.15)
Пусть h ~> A (h) — линейное отображение простран-
пространства R в пространство самосопряженных операторов,
действующих в С". Тогда
I й
h
откуда, подставляя A (h) = В + h (Л — В) и интегрируя
полученное выражение от 0 до 1, получаем B.15).
') Если система интерпретируется как «спиновая», то эта функ-
функция с точностью до знака совпадает со спиновой «свободной энер-
энергией», умноженной на р.

§ 2.3. Квантовые решетчатые системы 35
2.2.2. Предложение. Справедливы следующие
утверждения:
(а) если Ф, Ч'е!, то
|Ял(Ф)-ЯлОР)|<||Ф-ЧЧ1; B.16)
(б) функция Ра{") выпукла на $.
Используя B.13), B.15) и B.9), получаем
= N (Л)1 In Sp ехр ЯФ (Л) - In Sp exp H% (Л) |<
и утверждение (а) доказано. Утверждение (б) немед-
немедленно вытекает из предложения 2.5.3, которое мы до-
докажем позже.
2.2.3. Предложение. Если Фе1, то
|Рл(Ф)-1п(ЛГ+1)|<||Ф||. B.17)
Это следует из предложения 2.2.2 (а), так как при
РА @) = N (Л) In Sp^ (ДI = N (Л) In {N + lf<A) =
§ 2.3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
ДЛЯ КВАНТОВЫХ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ
2.3.1. Предложение. Пусть потенциал Ф имеет
конечный радиус действия (Фе$0), а Л — соответ-
соответствующее ему конечное подмножество пространства Zv.
Пусть также Л1ПЛ2^=0, а N (ЛЬ Л2) — число точек
ae=Zv, таких, что A,n(A +
Тогда
- N. (Л2) РКг (Ф) | < Л^ (Ль Л2) || ф ||. C.
2*

36 Гл. 2. Термодинамический предел. Решетчатые системы
Из формулы B.4) имеем
| Я (A, U Л2) - Я (Л,) - Я (Aj) || == I ? Ф {Х)\
C-2)
где S* означает суммирование по тем X с Л, (J Л2, для
которых одновременно выполняется X П Л, ^ 0 и
АТ)Л2^=0. Заметим, что Ф(Х)^=О, только если
X-xczk, т. е. если Л, Л (А + х)ф 0 и Л2 П (А + х)ф0,
откуда следует последнее неравенство.
Воспользуемся леммой 2.2.1, где полагаем Л =*
= - Я (Л, U Л2) и В = - [Я (Л,) + Я (Л2)] в пространстве
^(Л,иЛ2). Тогда
| ЛГ (Л, U Лг) Р^ и а, (Ф) - # (Л,) ЯА, (Ф) - N (Л2) PXl (ф) | =
= |1п8рехр[-Я(Л,иЛ2)]-1п8рехр[-Я(Л,)-Я(Л2)]|<
<|| (Я (Л, U Л2) - Я (Л,) - Я (Л2) || <# (А,, Л2) || ф ||,
что и требовалось доказать.
2.3.2. Предложение. Если Ф s $0, то суще-
существует конечный предел
Р (Ф) = lim РЛ (Ф) C.3)
Л->ов
при Л -»• оо б сльгсле Ван Хова.
Используя обозначения § 2.1, напишем Г^сгЛ, где
через Г^ обозначено объединение NZ (Л) сдвинутых
множеств Л (а), содержащихся в Л. Пусть Л/; где
/ =» 1, ..., WiT (А) — сдвиги Л (а), из которых состоит Г„,
и пусть
()и

§ 2.3. Квантовые решетчатые системы 37
так что Г (Na (Л)) -»Л. Из предложения 2.3.1 следует,
что
Суммируя по /, получаем
\N(A)Pa№-N(A \ Г:)РЛЧГ_(Ф)-^(Л)К(а)РЛ(а)(Ф) К
((/) ;) C.4)
По определению, N(T(j — 1), А/) меньше, чем число
точек Ь, таких, что множество А + Ъ пересекает как А},
так и его дополнение. Поскольку точки Ь «близки
к границе» множества Л;, для любого е>0 можно
выбрать а, столь большое, что
Подставив это выражение в C.4), получим
-N(A \ Г:) р>дчг_(Ф)-ЯА<а) (Ф)] |< N7 (Л) V (а)-|. C.5)
Из формулы B.17) имеем
РЛЧГ- (Ф) - Рл (а) (Ф) | < 2 || Ф ||. C.6)
С другой стороны, так как Л ->¦ оо в смысле Ван Хова
можно допустить, что
ЛГ (Л) N(A\ Г:) < Nt (Л) [Л^а+ (Л) - Л^Г (Л)] < -^.
C.7)
Подставляя C.6) и C.7) в формулу C.5), получаем
|Ял(Ф)-Ял(«(Ф)|<в
при достаточно больших Л и а, откуда и следует спра-
справедливость нашего утверждения.

38 Гл. 2. Термодинамический предел. Решетчатые системы
2.3.3. Теорема '). Если Фе1, го существует
конечный предел
Р(Ф)= Игл РЛ(Ф) C.8)
Л-»оо
при Л-»оо е смысле Ван Хова и, кроме того,
а) если Ф, fe^, то
|Р(Ф)-Р(Ч01<||Ф-ЧЧ1; C.9)
б) функция Р (•) выпукла на пространстве 38.
Из B.16) следует, что функции Ру. $->R равно-
равностепенно непрерывны2); так как, согласно предложе-
предложению 2.3.2, они сходятся на всюду плотном множе-
множестве $0, то они сходятся и всюду на 08, откуда выте-
вытекает справедливость C.8). Остальные свойства следуют
из предложения 2.2.2.
2.3.4. Периодические ящики. Часто бывает удобно
рассматривать системы в периодическом ящике, полу-
полученном путем «склеивания» противоположных сторон
области Л (а). Пусть Г (а) —факторгруппа группы Zv
по подгруппе Zva={na: яеZv}. Если aeT(a), то че-
через [а] обозначим его представитель в Л (а). Определим
для каждого aeT(a) и иеЛ(а) унитарное отображе-
отображение Vx{a): Жх->Ж[Х+а) следующим образом:
Определим также унитарное преобразование F(a) про-
пространства Ж (Л (а)) в виде
F(a)=
Пусть теперь Ф имеет конечный радиус действия
(Ф е$0); если а достаточно велико и ХсЛ(а), то сле-
следующее определение однозначно задает Ф(Х):
(а) Ф(Х)=Ф(Х), если
') См. Робинсон [1], I.
2) См. п. Д. 1.2.

§ 2.4. Классические решетчатые системы 39
(б)^Ф(X) = V (а) Ф ([X + а]) V (а),
если Ф([Х + а]) уже определен пунктом (а);
(в) Ф (X) = 0 в остальных случаях.
Для всех аеГ(а) имеем
Ф([Х + а]) = 9(а)Ф(Х)9(ау\ (ЗЛО)
Можно определить Я, 2\(а)(Ф), Р\(а)(Ф) выражениями,
аналогичными B.4), B.12) и B.13). По аналогии с пред-
предложением B.3.2) легко показать, что
C.11)
§ 2.4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ
В п. 1.3.3 мы отметили, что классические решетча-
решетчатые системы являются частным Случаем квантовых ре»
шетчатых систем. Эту связь можно установить, если
выбрать базис (¦фл„H<п<лг в 5^л для каждого ie Zv, такой,
что
> D.1)
и в гл. 1 подставить формулу C.18) в C.17)'). Мы рас-
рассмотрим здесь частный случай решетчатого газа при
W=*l, т. е. случай, при котором в каждом узле ре*
шетки может находиться не более одной частицы.
Введем обозначение
U(nXl, ...,nXv) = UA(X), D.2)
где X = {х е Л; пх = 1}. Мы полагаем, что
UA(X)= 2 Ф(У), D.3)
YczX
') В § 2.2 и 2.3 мы использовали формулу C.14) гл. 1 чаще,
чем C.17), но если переопределить Я (А), как Я (Л) — V Ц (пх.)>
то одна переходит в другую.

40 Гл. 2. Термодинамический предел. Решетчатые системы
где «потенциал» Ф является функцией, определенной
на конечных подмножествах Zv. Равенство D.3) экви-
эквивалентно утверждению, что пустые узлы не вносят
вклада во взаимодействие'); в частности, Us. не зави-
зависит от индекса Л, который мы в дальнейшем будем
опускать. Заметим, что соотношение инвариантности B.3)
переходит в равенство
U(X + a)=U(X). D.4)
Теперь, используя результаты § 2.2 и 2.3, мы дадим
общее описание решетчатого газа, полученное указан-
указанным методом.
Пусть Ф — действительная функция, определенная
на конечных подмножествах Zv, инвариантная относи-
относительно сдвига, т. е.
Ф {X + а) = Ф (X), D.5)
для всех aeZv и такая, что Ф@) = О. Обозначим
буквой 98 пространство таких функции, для которых
где N {X) — количество точек в X. По отношению
к норме D.6) 91 есть действительное банахово про-
пространство. Пусть 9&0 — подпространство пространства 91,
состоящее из тех Ф, для которых Ф {X) ф 0 только
на конечном числе множеств ^эО (потенциал конеч-
конечного радиуса действия). Положим
иФ(Х)= 2 ®(Y), D.7)
Ycx
тогда, если Фе^, то
D.8)
Пусть Л —конечное подмножество Zv; конфигурация
классического решетчатого газа в Л описывается мно-
') Оператор Ф (X), определенный формулой B.4), в данном
случае является диагональным; его единственное ненулевое соб-
собственное значение соответствует пх = 1 для всех х е А и обозна-
обозначается здесь также через Ф (К).

§ 2.4. Классические решетчатые системы 41
жеством X с Л занятых узлов. Чтобы задать ансамбль,
припишем каждой конфигурации X вес
ехр[-р?/Ф(*)]. D.9)
Пусть $Р — подпространство !%, состоящее из функ-
функций Ф, таких, что Ф (X) = 0 при N (X) Ф k (k — частич-
частичные потенциалы). Вследствие D.5) пространство $'
одномерно и можно записать
$ = $'©J, D.10)
где $' представляет собой действительную ось, а Л со-
состоит из тех Ф, для которых Ф(Х) = 0 при N(X)=\.
В соответствии с D.10) при Фе| будем писать Ф =
= (Ф1, Ф), где Ф'е^1, а фе|; тогда имеем
иф(Х) = Ы(Х)Ф* + и$(Х). D.11)
Если ввести обозначения Ф1 = — ц и 2 = ^, то выра-
выражение D.9) примет вид
exp [(N (X) fyi] ехр [ - р?/ф W] = z" W exP [ ~ Р^ф W], D-12)
совпадающий по форме с мерой в большом канониче-
каноническом ансамбле (см. формулу B.14) гл. 1). «Большая
статистическая сумма», соответствующая D.12), будет
иметь вид
S (Л, г, р)- S 2" 2 exp[-pf/5(J)l. D.13)
Введем также
S D.14)
так что
S(A, eft», P)=Za(P(-|i, Ф)), D.15)
и определим
Рл(Ф) = ^(Л)-'1п2л(Ф). D.16)
2.4.1. Теорема1). Если Фе^, го существует и
конечен следующий предел:
Р(Ф)= Urn ЯА(Ф), D.17)
Л->оо
'} См. Галлавотти и Миракль-Соль [1].

42 Гл. 2. Термодинамический предел. Решетчатые системы
где Л стремится к бесконечности в смысле Ван Хова.
Кроме того:
(а) если Ф, ?'(=Я, то
|Р(Ф)-Р(ЧГ)|<||Ф-ЧГ||; D.18)
(б) функция Р(') выпукла и положительна на @.
Имеем
?л(Ф)= 2 ехр[-?/фШ]>ехр[-?/Ф@)] = 1. D.19)
X cz Л
Теорема 2.4.1, за исключением утверждения о положи-
положительности Р(-), следует из теоремы 2.3.3, частным
случаем которой она является. Положительность Р(-)
следует из D.19).
Если Фе^, положим
Ясно, что |Сф|<||Ф||.
2.4.2. Периодические ящики. Мы можем, как
в п. 2.3.4, заключить систему с взаимодействием
Фе10в периодический ящик, полученный путем склеи-
склеивания противоположных сторон Л (а) при достаточно
большом а. Потенциальная энергия множества ХсгЛ(а)
равна
0 2 D.21)
2
Y<=X
где Ф таково, что для всех а^Т(а) имеет место
Ф([Х + а]) = Ф(Х). D.22)
Тогда, если дгеЛ (а), имеем
Можно определить 2л (а) и Рл (а) (Ф) формулами, ана-
аналогичными D.14) и D.16). Так же, как в квантовом
случае,
lim Рма){Ф) = Р(Ф). D.24)

§ 2.4. Классические решетчатые системы 43
2.4.3. Связь со спиновыми системами'). Будем го-
говорить, что Фе1 является парным взаимодействием,
если Ф(Х) = 0 при N(X)>2, т. е. если Ф = (Ф!, Ф2)^
е$'©$2. Пусть Ф также имеет конечный радиус дей-
действия; тогда, используя D.23), можно записать потен-
потенциальную энергию для периодического ящика в виде
С/ф (X) = N(X)Q)l+ 2 Ф2 ({*, у}) = N (X) Ф! +
{х, y}czX
(a), уфх y
= N (X) (Ф1 + СФ2) - i- J] S Ф2 «JC, У))- D-25)
Мы можем, таким образом, интерпретировать Оф как
потенциальную энергию спиновой системы с потен-
потенциалом взаимодействия между узлами х, у, равным
—5" Ф2 ({х, у}), если эти узлы имеют различные спины,
и равным нулю в противном случае2).
Потенциальная энергия, соответствующая правой
части формулы D.25), в случае области AcrZv (а не
периодического ящика) имеет вид
+сФ2) - 4- Е S ф2 «*. 0»- D-26>
Для классического случая периодического ящика форму-
формулы D.24) и D.25) приводят к соотношению
lim N(A)~lln Ц ехр[- U\{X)\ =
Л-»оо Х<=А L J
= lim V (a) In S exp [ - Оф (X)] = P (Ф).
') См. Ли и Яиг [1].
2) Член Л/ (X) (Ф1 + Сф2) является с точностью до константы
~п V (а) (Ф1 + Сф2) взаимодействием спииовой системы с магиитиым
полем.

44 Гл. 2. Термодинамический предел. Решетчатые системы
Условие Фе^0 можно отбросить, так как потенциалы
взаимодействия с конечным радиусом действия всюду
плотны в $'ф$2 и для Рд (Ф) выполняется условие
равностепенной непрерывности B.16). Таким образом:
для всех Ф = (Ф!, Ф2)<=$'ф$2 имеет место
lira ЛГ (Л) In У, ехрГ- Ы(Х){Ф1+ C&) +
+ ? 2 S &({*. У})] = Р(Ф), D-27)
где Л стремится к бесконечности в смысле Ван Хова.
2.4.4. Свойство симметрии'). Уравнение D.25) пока-
показывает, что для парных взаимодействий потенциальная
энергия решетчатого газа может быть записана в такой
форме, что занятые и пустые узлы решетки играют
симметричные роли. Более того, можно заменить, взаи-
взаимодействие Ф между занятыми узлами, первоначально
входившее в D.3), взаимодействием 9?Ф между пу-
пустыми узлами. Положим, что существует k, такое, что
Ф(^Г) = 0 при N{X)>k (это выполняется, если Ф —пар-
—парное взаимодействие или имеет конечный радиус дей-
действия), и определим 2?Ф следующим образом:
D.28)
2 () при N(X)^ 1.D.29)
Ясно, что 3! линейно отображает ^'ф^ф ... ®$*
в себя, и можно легко проверить, что 2? является ин-
инволюцией, т. е.
% {ТФ) = Ф. D.30)
Пусть теперь Фе^0, Рассмотрим снова систему,
заключенную в достаточно большой периодический ящик.
Если XczA(a), находим, что
имх)" 2 ^фE)= 2 {~if(S) 2
SX SXS0 TS
2
T=>S
ф(Г) 2 (-if(s)=- 2 ф(Г).
STnX S^0 ТТПХ0
1) См. Галлавотти, Миракль-Соль и Робиисон [1].

§ 2.5. Некоторые неравенства для квантовых систем 45
С Другой стороны,
иФ(А(а)\Х)-иФ(А(а))=- 2 &(S) =
S<?A(a)\X
- - S ФE).
Поэтому, используя D.23), получаем
Оф (Л (а) \ X) - 0<е<ь (X) - ?/Ф (Л (а)) =
= S S W>=V{a)C*- D-31)
л;«=Л(а) Х
Из D.31) имеем
X с: Л (а)
= 2
X <= Л (а)
и, следовательно,
РB'Ф) = Р(Ф) + Сф. D.32)
Мы доказали D.32) для Фе^0, но это тождество
вследствие непрерывности остается справедливым и для
всех Фе$'ф$2ф ... ф$6. Заметим, что замена Ф
на З'Ф в формуле D.32) дает
С#ф= — Сф. D.33)
§ 2.5. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ДЛЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ >)
Как мы увидим в третьей главе, изучение термоди-
термодинамического предела для квантовых систем можно про-
проводить параллельно с классическими системами. Для
того чтобы сделать эту аналогию очевидной, нам пона-
понадобится предложение 2.5.1, доказываемое ниже. Кроме
того, мы докажем несколько других неравенств для
') Большая часть материала этого раздела сообщена автору
устно Р. йостом, Д. В. Робинсоном и А. Губером.

46 Гл. 2. Термодинамический предел. Решетчатые системы
квантовых систем, необходимых в различных частях
этой книги. Эти неравенства читатель может изучить
в удобной для него последовательности.
2.5.1. Предложение. (Принцип минимакса.)Пусть
А — неограниченный самосопряженный оператор в Ш.
Для каждого конечномерного подпространства М из
области определения А положим
К(М)= sup (ф, Лф). E.1)
Пусть также для каждого целого т~^\
Ят = inf K(M). E.2)
dim M=m
Тогда:
а) К1 ф — оо в том и только том случае, если опе-
оператор А ограничен снизу;
б) если Aj ф — оо и Ят->оо при т->оо, то спектр
оператора А состоит из изолированных собствен-
собственных значений конечной кратности;
в) если %{Ф~ оо и если спектр А состоит из изоли-
изолированных собственных значений конечной крат-
кратности, то числа %т и являются этими собствен-
собственными значениями, занумерованными в порядке
возрастания и повторенными в соответствии с их
кратностью.
Справедливость (а) очевидна. Для доказательства (б)
заметим, что если спектр не таков, как сказано, то
можно найти последовательность подпространств М,
таких, что dimAl->oo, а К(М) ограничены.
Для доказательства (в) возьмем возрастающую по-
последовательность (ят) собственных значений оператора А,
повторенных соответственно их кратности, и семейство
(фт) соответствующих этим значениям собственных векто-
векторов. Достаточно показать, что если dim M = m, то
Х(М)^Хт (очевидно, что Ят^Хт). При любом е>0
легко аппроксимировать М пространством М, таким,
что Я (М) < Я (М) + е и М содержится в подпространстве
пространства Ш, являющемся линейной оболочкой век-
векторов ф;, ..., фдг при достаточно большом N. Теперь

§ 2.5. Некоторые неравенства для квантовых систем 47
достаточно показать, что К(М)~^%т. Из соображений
размерности можно видеть, что пространство М и про-
пространство с базисом фт, фт+1, ..., q>N имеют общий
вектор ф с нормой ||ф||= 1. Поэтому
и предложение доказано.
2.5.2. Неравенство выпуклости. (О. Клейн.) Пусть
А, В — самосопряженные (неограниченные) операторы со
спектрами, лежащими в области определения выпуклой
функции f. Тогда
Sp (f (A) -f(B)-(A- В) Г (В)) > 0. E.3)
Мы не останавливаемся более подробно на описании
спектров операторов Л, В и на том, какой смысл сле-
следует придать производной f. Доказательство формулы
E.3) просто, и его можно изложить для частного случая.
Пусть {фД и {t|)J —полные ортонормированные семейства
собственных векторов операторов Л и В, и пусть {at} и
[bi) — соответствующие семейства собственных значений.
Положим сц — (фг, ф/), тогда
(Ф,- ,U(A) - f(B) - (А - В) Г (В)] Ф,) =
= 2.1 ctl I2 U (ад - f (b,) - (at - b,) f F,)] > 0, E.4)
откуда следует E.3).
2.5.3. Предложение. Пусть А, В — положительно
определенные, самосопряженные операторы, обладающие
следом, тогда
SpAlnA-SpAlnB^Sp(A-B). E.5)
Доказательство: положить в E.3) f(t) = t\nt.
2.5.4. Предложение. (Теорема Пайерлса.)
Пусть А — самосопряженный (неограниченный) оператор

48 Гл. 2. Термодинамический предел. Решетчатые системы
и {фг} — ортоноржированное семейство векторов в области
его определения; тогда
Sexp[-(q>,, ЛфЖЭре-*. E.6)
Мы можем предположить, что семейство {ф;} полно,
т. е. является базисом. Пусть В — самосопряженный
оператор с собственными векторами {ф;} и соответствую-
соответствующими собственными значениями (фь Лф;). Подставляя
А, В в E.3), получаем
2f((<Pi, ApiJKSpfW) E.7)
и, полагая f(t) = e~t, получаем E.6).
2.5.5. Предложение. Пусть $ (Ж) — действитель-
действительное пространство самосопряженных операторов, дей-
действующих в конечномерном гильбертовом пространстве Ж\
тогда функция /4->lnSpeA является выпуклой и воз-
возрастающей на $(Ж).
Используя E.6), неравенство Гельдера и снова E.6),
получаем
Sp еаА+<1-^ в = sup S ехр (<р,, [аА + A - а) В] ф,)
= sup 2[ехр(ф,, Лф,)]"[ехр(ф„
() г
pS
откуда следует выпуклость. Используя снова E.6), ви-
видим, что при А^В выполняется неравенство
р
D>i)
и доказательство окончено.
') Здесь следует заметить, что в базисе {<рг} матрица оператора
(А-В)}'(В) имеет нулевые диагональные элементы. - Прим. ред.

§, 2.5. Некоторые неравенства для квантовых систем 49
2.5.6. Предложение. Пусть а — матрица плот-
плотности (положительный оператор с единичным следом),
действующая в Ж = У6Х ® Шъ и пусть а, и а2 — частичные
следы а относительно пространств Звг и Шх') соответ-
соответственно, так что вх и а2 — матрицы плотности на Ш\
и Ж2; тогда
l 2 E.8)
Доказательство: положим в E.5) А=о, В =
= а у ® а2 и используем равенство
In (ol ® or2) = In а, ® 1 + 1 ® In <x2-
2.5.7. Предложение. Функция а-* Spain а вы-
выпукла на выпуклом множестве матриц плотности.
Пусть <х = аа1 + A — а)а2- Полагая В = а и A = Oi
или <х2 в формуле E.5), получаем
Sp о In a = a Sp a{ In a + A — a) Sp <x2 In a ^
^a Spa, In a, + A —a) Spa2lna2.
2.5.8. Предложение2). Пусть А, В — самосопря-
самосопряженные ограниченные операторы, обладающие ограни-
ограниченными обратными, такие, что
0<Л<В, E.9)
тогда:
а) В-ЧЛ; E-Ю)
б) In A < In В. E.11)
Пусть С = B~>kAB~%l\ тогда из E.9) следует, что
0<С^1, значит 1 s^C = в'1зА~1в'!\ откуда вытекает
E.10). Утверждение (б) следует из (а) и представления
оо
\пВ-1пА= f dxiixl + A^-ixl+B)]. E.12)
') То есть <т, = Sv<v? а и <T9 = Sp<v^<T. Операция Sp WA опреде-
ляется первоначально на операторах вида А\ ® Л2 формулой
Sp^, (А^ ® Л2) = Л2- Sp Л] и затем по линейности продолжается на
остальные операторы. — Прим. ред.
2) Это предложение является частным результатом теории
монотонных операторных функций; см. Бендат и Шерман[1].

Глава 3
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
ДЛЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ: НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
В этой главе мы распространим изучение термодина-
термодинамического предела, начатое в гл. 2, на случай непре-
непрерывных систем (классических и квантовых). Сначала
мы введем условия, относительно взаимодействий, при
которых можно ожидать от системы термодинамического
поведения (§3.1 и 3.2), а затем докажем существова-
существование термодинамического предела для различных ан-
ансамблей и установим эквивалентность этих ансамблей.
§ 3.1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КЛАССИЧЕСКИХ
НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ
В § 2.2 — 2.4 мы изучили термодинамический предел
для классических и квантовых решетчатых систем, огра-
ограничиваясь одним видом ансамбля (по существу большим
каноническим). Рассмотренная ситуация оказалась
весьма благоприятной, и нам удалось доказать не только
существование термодинамического предела для термо-
термодинамической функции Р, но также непрерывность и
выпуклость функции Р, определенной на банаховом
пространстве потенциалов $. Используя большой кано-
канонический ансамбль, можно получить сходные резуль-
результаты для класса непрерывных систем частиц с твердыми
сердцевинами1), но общее рассмотрение классических
непрерывных систем приводит к совершенно новым про-
проблемам. Вот две из них.
(а) Как правило, микроканонический ансамбль более
труден для изучения, чем канонический, который
в свою очередь труднее, чем большой канони-
') См. упражнение 3.3.

§ 3.1. Взаимодействия в непрерывных системах 51
ческий. В частности, некоторые свойства выпук-
выпуклости, имеющие место для конечных систем при
использовании большого канонического ансамбля
(например, предложение 2.2.2 (б)), в канониче-
каноническом или микроканоническом ансамблях выяв-
выявляются только после перехода к термодинами-
термодинамическому пределу.
(б) Мы увидим в § 3.2, что изменение знака допу-
допустимого взаимодействия в непрерывной системе
вызывает катастрофическое взаимодействие (при
котором нет и термодинамического поведения).
Катастрофические явления возможны потому,
что в системе частиц без твердых сердцевин
в ограниченном объеме может скопиться сколь
угодно большое число частиц.
Если задана классическая непрерывная система, то
для каждого целого числа п ^ О и множества точек
хи ..., ^eR' определена потенциальная энергия п ча-
частиц U (хи ..., хп), находящихся в точках хь ..., хп.
Мы полагаем, что при п = О выполняется U = О и что U
принимает значения из R U {оо}, т. е. что потенциальная
энергия может принимать значение оо. Заметим, что
ансамбли из п. 1.2.1 приписывают конфигурациям частиц,
у которых U = оо, вес, равный нулю, т. е. на самом деле
эти конфигурации «запрещены». В частности, таким
образом можно получить системы частиц с твердыми
сердцевинами, положив для исключенных конфигураций
?/ = оо. Мы полагаем, что величина U (xt xn) инва-
инвариантна относительно перестановки своих аргументов в
соответствии с ее физическим смыслом (потенциальная
энергия), а также, что U инвариантна относительно сдви-
сдвига: если а е Rv, то
U(Xl + a xn + a) = U(Xl xn). A.1)
Если U не принимает значения оо, можно записать
U(xu .... *„)=2 2 Фк(хг ..., xik). A.2)
к 1</,< ... <lk<n Ч ' Ю
Выражение A.2) единственным образом определяет
(индукцией по к) ^-частичный потенциал Фй, который

52 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
является действительной функцией, инвариантной отно-
относительно перестановки аргументов и относительно сдвига.
В случае если значения U = оо разрешены, мы сохраним
форму A.2), где Ф* тоже могут принимать значение оо.
Мы везде будем считать функции Ф* измеримыми
по Лебегу. Вследствие инвариантности относительно
сдвига Ф1 является постоянной величиной. Условно
можно положить Ф' = 0. В действительности это не
нарушает общности, так как, например, в большом
каноническом ансамбле Ф1 появляется вновь в виде
Химического потенциала.
Итак, мы полагаем, что потенциальная энергия U
определена формулой
и(хи .... *„)= 2 _ 2 ^ ф*(*1, *,*), A.3)
где k-частичный потенциал Ф* является измеримой по
Лебегу функцией со значениями в R U {°°}, инвариантной
относительно перестановки аргументов и относительно
сдвигов
Ф*(*, + а, ..., дс» + а) = Ф*(дс, xk). A.4)
Последовательность (Ф*)А>2^-частичных потенциалов
будем называть взаимодействием. Потенциал двух частиц
называют также парным потенциалом, а взаимодей-
взаимодействие (Ф*)А>2, такое, что Ф* = 0 при k>2, — парным
взаимодействием. Заметим, что благодаря инвариант-
инвариантности относительно сдвига Ф2(а:1, аг2) зависит только
от разности лг2 — лг^ мы будем писать Ф2(л:|, х2) =
— Ф(х2 — х1). Из инвариантности относительно переста-
перестановки Х\ и #2 следует, что
Ф(-х) = Ф(х). A.5)
Мы говорим, что парный потенциал имеет конечный
радиус действия, если Ф обладает компактным носи-
носителем, т. е. если существует Ru, такое, что
Ф(х) = 0 при |х |>#0. A.6)

§ 3.1. Взаимодействия в непрерывных системах
53
Наличие у частиц твердых сердцевин, при котором
из конфигурационного пространства исключаются об-
области S# (см. B.12) гл. 1), выражается в требовании:
Ф(х) = оо при \x\<R.
Взаимодействие является инвариантным относительно
евклидовых преобразований, если при каждом враще-
вращении О пространства Rv выполняется условие
Ф*(О*„ ...,
ь ..., хк).
A.7)
При k = 2 выражение A.7) означает, что парный потен-
потенциал сферически симметричен, поэтому Ф(х) зависит
только от евклидовой нормы | х | своего аргумента.
Рис. 2. Типичный парный потенциал.
Взаимодействие между атомами разреженного газа
достаточно хорошо описывается как парное взаимодей-
взаимодействие со сферически симметричным парным потенциа-
потенциалом, подобным тому, который изображен на рис. 2.
Как уже упоминалось в § 1.4, для того, чтобы система
проявляла термодинамическое поведение, нужно на-
наложить на взаимодействия определенные условия:
(а) взаимодействие между удаленными друг от друга
частицами должно быть пренебрежимо мало;
(б) взаимодействие не должно допускать скопления
бесконечного числа частиц в ограниченной обла-
области пространства Rv.

54 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
В этой главе требование (а) будет обеспечено усло-
условием быстрого убывания 3.1.1, а требование (б) —усло-
—условием устойчивости, подробно обсуждаемым в § 3.2.
Определим взаимную потенциальную энергию Wn,n,
так:
И7 (vf rr • y" y"\
wпщгК I' •••' ni> 1' *••' n,)~
= |п|1К(<2<(<я t< <2<.<пФ(^;1 x[k,
x"h,..., xjty A.8)
так что
и \xv . . ., лП(, лх , . . ., *nj —
3.1.1. Определение1). ЛТб^ называем взаимодей-
взаимодействие быстро убывающим, если существуют Я > v, /?0 > О
и Л^О, такие, что
K,nAxv ••" <} <>••¦> x^<AnlV-\ A.10)
как только \х" — х'( \^г^Ro для всех i=\ щ,
/= 1 «2-
Это понятие инвариантно относительно линейных пре-
преобразований пространства Rv (несмотря на использование
евклидовой нормы). Можно положить в неравенстве A.10)
Л= 1, изменив соответствующим образом Я и Ro. Быст-
Быстрое убывание означает, что положительная часть №„,„,
стремится к нулю при г->оо, но отрицательная часть
может быть произвольной. Однако быстрое убывание
совместно с устойчивостью (определение 3.2.1) уже
вполне достаточно для доказательства существования
термодинамического предела.
Быстрое убывание обеспечивается, если
') См. Фишер [1].

§ 3.2. Устойчивые взаимодействия 55
как только \х'[—л^|>/?одля всех/=1,..., га,, /=1,..., щ;
это просто частный случай определения 3.1.1 при А = 0.
Другим интересным случаем является случай парных
потенциалов: условие быстрого убывания выполняется
в том и только том случае, если парный потенциал
удовлетворяет неравенству
Ф(хХЛ|хГ* при |x|>/fc. A.12)
Мы выясним физический смысл быстрого убывания,
если оценим с помощью неравенства A.12) энергию
взаимодействия частицы с другими частицами, распре-
распределенными случайным образом с плотностью d на рас-
расстояниях, больших D ^5 Ro:
00
d J <S>{x)dx<Ad J \x\~kdx = C jf'^dt, A.13)
\x\>D \x\>D D
где С —константа. Интеграл в правой части A.13) схо-
сходится при %~>\ и стремится к нулю при D -> оо. Быстрое
убывание означает, таким образом, что положительная
часть энергии взаимодействия между частицами, нахо-
находящимися на больших расстояниях друг от друга, пре-
пренебрежимо мала (отрицательную часть энергии взаимо-
взаимодействия регулирует условие устойчивости B.1)). Быст-
Быстрое убывание в том виде, в каком мы его определили,
не является, конечно, наилучшим требованием из воз-
возможных условий такого рода, обеспечивающих суще-
существование термодинамического предела, но оно обладает
преимуществом простоты и выполняется для большинства
обычно рассматриваемых взаимодействий.
Частным случаем неравенства A.12) является
Ф(х)<0 для |х|>/?0. A.14)
Условие A.14) выполняется для реальных межмолеку-
межмолекулярных потенциалов («дальнодействующие» силы при-
притяжения Ван-дер-Ваальса) и для парных потенциалов
конечного радиуса действия.
§ 3.2. УСТОЙЧИВЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
За исключением нижеследующего определения, этот
параграф при первом чтении можно опустить.

56 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
3.2.1. Определение. Взаимодействие (Ф\>2 на-
называется устойчивым, если существует В^О, такое, что
U(xi, ..., хп)^-пВ BЛ)
для всех
Ясно, что условие B.1) выполняется, если Ф^
для всех k (положительные взаимодействия)'). Сумма
двух устойчивых взаимодействий является устойчивым
взаимодействием. Для классических решетчатых систем,
рассмотренных в § 2.4, устойчивость автоматически
следует из формулы D.8) гл. 2.
Ниже мы дадим полезный критерий устойчивости
парных взаимодействий. Но прежде чем это сделать,
мы хотим, чтобы читатель убедился, что взаимодействие,
не обладающее устойчивостью, может привести к на-
нарушению термодинамического поведения (катастрофи-
(катастрофическое взаимодействие). Пусть Л—ограниченное, измери-
измеримое по Лебегу подмножество пространства Rv с объемом
(лебеговой мерой) V{A). Статистическая сумма Вл,
соответствующая большому каноническому ансамблю
и называемая большой статистической суммой (см.
формулы B.9) и B.10) гл. 1), задается выражением
It J dXi • • ¦ rf*«exp[- W (*u •••> xn)l B.2)
где р>0, 2>0. Устойчивость влечет сходимость большой
статистической суммы, как показывает следующая
оценка:
J,, .... *„)]<
я-1 л"
) Однако из неравенства U>0, вообще говоря, не следует
п

§ 3.2. Устойчивые взаимодействия 57
С другой стороны, если ряд B.2) расходится, то это
означает нарушение термодинамического поведения си-
системы. Мы покажем сейчас, что для большого класса
парных взаимодействий ряд B.2) расходится в том
и только том случае, если условие устойчивости B.1)
нарушено.
3.2.2. Предложение1). Пусть Ф — действительная
полунепрерывная сверху2) функция на Rv, такая, что
Ф (— а:) = Ф (*). Определим
?/(*„ .... *„) = 2 Ф(*/-*|). B.4)
Тогда следующие условия эквивалентны:
(а) неравенство
2 2 Ф (*,-*,)> О B.5)
ii /1
выполняется для всех п ^ 0 и всех хи ..., xneRv;
(б) существует 5^0, такое, что
?/(*i *„)>-пВ B.6)
<5ля все* /г, Х\ хп;
(в) следующий ряд сходится для всех ограниченных
и измеримых по Лебегу множеств А с: Rv
- ldXl ¦¦¦dxnexp[-W(xl хп)\. B.7)
n-l
Тот факт, что (а)=#(б) при В = уФ@), следует
из тождества (заметим, что из (а) следует Ф@)!>0)
2 2 Ф (*/ - xt) = /гФ @) + W (дс„ ..., *„). B.8)
f-i /-1
Из неравенства B.3) следует, что (б)=#(в). Покажем
теперь, что если (а) не выполняется, то не выполняется
') См. Рюэль [5].
2) См. п. Д. 1.3.

S8 Рл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
и (в). Действительно, пусть п и хи ..., хп таковы, что
2 2So(je/-Jc<)=-2e<0. B.9)
Функция (у, уп, ги ..., zn) -* S 2 ф (z/ - У*) П0ЛУ
непрерывна сверху на R2nv и принимает значение —2е
в точке (Х[ х„, jfi, ..., хп). Существует б>0, такое,
что при \yi-xi\<6 \уп-хп\<Ь, |z1-f|6
..., |zn — хп \<б выполняется
"е- BЛО)
га
Пусть Л = (J {x e Rv: | х-х{ \<б) и
где р = 0, ..., s — 1 и / = 1 rt}.
При (хи ..., A:sn)ejWs из B.10) имеем
U \Х\ xsn) =
Г s s n n "J
Lp=i 9=i г=1/=i J
<y[- s2e-snO@)]. B.11)
Отсюда* если V6 — объем v-мерной сферы радиуса б, то
сю
С
J dXl • • ¦ dXsn exp [ - pt/ (*i xsn)\ >
z
-
oe
[f
Доказательство окончено').
') Общий член ряда в правой части B.12) стремится к беско-
бесконечности благодаря присутствию exp [(Pe/2) s2] (по формуле Стир-
линга).

§ 3.2. Устойчивые взаимодействия
59
3.2.3. Катастрофические потенциалы. Катастрофиче-
Катастрофическое поведение системы, возникающее в условиях пред-
предложения 3.2.2 при нарушении устойчивости, происходит
оттого, что конфигурациям, при которых в ограничен-
ограниченную область пространства Rv собирается много частиц,
приписывается большой вес.
С помощью п. 3.2.2 (а) при
п=> 1 можно проверить, что
отрицательный парный потен-
Ф
М
Рис. 3. Отрицательный пар-
парный потенциал (прямоуголь-
(прямоугольник — область чистого притя-
притяжения).
Рис. 4. Катастрофический
парный потенциал.
циал, такой, как на рис. 3, является катастрофиче-
катастрофическим. Потенциал, показанный на рис. 4, при v = 3 вы-
выглядит благоприятнее* но мы покажем, что тем не менее
он тоже катастрофичен. Напомним, что в гранецентри-
рованной кубической трехмерной решетке каждый узел
имеет 12 ближайших соседей. Пусть R — расстояние
между соседними узлами, и пусть х\, ..., хп — все узлы
решетки, расположенные внутри сферы, столь большой,
что если обозначить через N число пар соседних узлов

60 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
среди хи ..., хп, то JV>llrt/2. Тогда
= 1 щ — 2N < 1 In — 1 In = О
и, следовательно, согласно предложению 3.2.2, потен-
потенциал Ф катастрофичен.
Другие примеры катастрофических парных потен-
потенциалов можно получить из следующего результата.
3.2.4. Предложение1). Пусть парный потенциал Ф
абсолютно интегрируем. Если
J </хФ (л:) < 0, B.13)
то можно выбрать ограниченную область Л, такую, что
Вл расходится.
Из выпуклости экспоненциальной функции следует,
что
У (Л)"" jdXi ...</*„ ехр[-pi/(*„ ..., *„)]>
л"
>ехр[-рУ(АГ" \dxx ...dxnU{xu ..., хп)] =
L л» J
= ехр Г - р "^-^ V (Л) J d«, ^^2Ф (х2 - X
Из B.13) следует, что если выбрать в качестве Л до-
достаточно большой куб, то
- е = У (Л) J </*! йх2Ф (х2 - *,) < 0,
Л»
следовательно,
Мы укажем теперь классы парных взаимодействий,
для которых условие устойчивости выполняется.
') См. Добрушин [1].

§ 3.2. Устойчивые взаимодействия 61
3.2.5. Парные взаимодействия с твердой сердцеви-
сердцевиной. Пусть Ф — парный потенциал с твердой сердцевиной:
Ф (*) = «> при \x\<R.
Предположим далее, что
и
2Ф(**)>-2? B.14)
для всех п и всех расположений (хх хп), таких, что
| Xj — х{| ;> R для любой пары 1Ф\. В этом случае
условие устойчивости удовлетворяется, так как
и
U (*,, ..., дс„) = 4-
Условие B.14) выполнено, в частности, если существует
положительная убывающая (ограниченная) функция <р
на [R, + оо), такая, что
oo B.16)
R
Ф(дс)>-Ф(|дс|) при |*|>Я. B.17)
3.2.6. Положительно определенные парные потен-
потенциалы. Комплексная непрерывная функция f на Rv на-
называется положительно определенной функцией, если
при всех АГ| xogRv и г, г„еС удовлетво-
удовлетворяется неравенство
ЗЕ^гЖ-^О. B-18)
Известно (теорема Бохнера), что функция является по-
положительно определенной функцией в том и только том
случае, если она служит преобразованием Фурье поло-
положительной меры с конечной общей массой на Rv. В ча-
частности, преобразование Фурье положительной инте-
интегрируемой функции есть положительно определенная
функция. Если положительно определенная функция /

62 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
действительна, то /(— x) — f(x) и, выбирая в B.18) зна-
значения zlt ..., zn=\, получаем
2 2/(*/-**)><>,
т. е, в точности условие (а) предложения 3.2.2. Следо-
Следовательно, / является устойчивым парным потенциалом.
3.2.7. Предложение1). Если парный потенциал Ф
можно представить в виде
Ф = Ф, + Ф2, B.19)
где
(а) Ф, — положителен,
(б) Ф2 является действительной непрерывной положи'
тельно определенной функцией,
то потенциал Ф устойчив.
Этот критерий, как мы увидим позднее, очень эф-
эффективен 2).
3.2.8. Предложение3). Пусть 0<а1<а2, и пусть
Фь Ф2~- положительные убывающие функции на (О, aj
и (а2, + °°) соответственно, такие, что
,(/)Л~1Л=+ оо, |ф2@^"'Л<+оо. B.20)
Если парный потенциал Ф ограничен снизу и удовлетво-
удовлетворяет условиям
Ф(*)>Ф,(|х|) при \x\Kalt B.21)
B.22)
то потенциал Ф устойчив.
Мы укажем только идею доказательства, которая
состоит в построении для Ф положительно определенной
миноранты и в использовании затем предложения 3.2.7.
') См. Рюэль [1].
2) Построение устойчивого потенциала, не представимого в виде
B.19), является, по-видимому, открытой проблемой.
3) См. Добрушин [1]. Доказательство, намеченное здесь, при-
принадлежит Фишеру и Рюэлю [1].

§ 3.2. Устойчивые взаимодействия 63
(а) Построим ограниченную функцию
такую, что
J (х) < + оо,
J
при Ijc-jc'KI.
(б) Регуляризуя') функцию ip,, получим ограничен-
ограниченную функцию ^2;>0i такую, что
J dx^2(x) < + 00,
— Ф2 (*) =Ss Ф (*) Для всех х,
й преобразование Фурье ф2 функции ф2 на
бесконечности быстро стремится к нулю, так что
для некоторого Cj>0
§2 (р) < С{ A + р2)"^ B.23)
(в) Пусть функция Xi такова, что ее преобразование
Фурье равно fa (р) = A + p2)~v, и пусть X2 = Xi • <*>
где а ^ 0 — положительно определенная функция
класса С°° с компактным носителем. Преобразо-
Преобразование Фурье функции %2 является результатом
свертки A + p2)~v с а^О; следовательно, суще-
существует С2^0, такое, что %2(p)^C2(l + p*)~v.
(г) Функция Ф + 1р2 положительна и имеет неинте-
грируемую особенность в начале координат. С дру-
другой стороны, функция Х2 ограничена и обладает
компактным носителем; следовательно, можно
подобрать Ki, ..., kN>l и аь ..., aN>0, такие,
что
N
с)<Ф(х) + 1Ы*)> B-24)
-2. B.25)
') Путем свертки с функцией а {х) ^ 0 из класса С* с доста-
достаточно малым носителем и, такой, что J a(x)dx—l.

64 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
Используя B.25) и B.23), получаем для преобра-
N
зования Фурье функции 2
>2 2 ЫГA + P2)~v> С, A + /?TV> %(p). B.26)
Следовательно, функция ^a{%2(k{x) — ip2 является
положительно определенной минорантой для Ф.
3.2.9. Сверхустойчивые потенциалы'). Мы упомянем
без доказательства о некоторых усовершенствованиях
условия устойчивости B.1). Пусть Ф = Ф' + Ф", где Ф' —
устойчивый парный потенциал, а Ф"^ 0—непрерывная
функция, причем Ф"@)>0. Тогда существуют постоян-
постоянные В, С>0, такие, что, если область Л является кубом
достаточно большого объема V и Х\, ..., хп^А, то
II (y y \~-> и Й J- Г" \ (9 97\
U \X\, ..., Xn) ^ П\ — D -\- С -у I . \4-4l)
мы положим теперь Ф"{х) = а\х|~\ где а>О,
то неравенство B.27) можно заменить неравен-
неравенством
Удельная потенциальная энергия на одну частицу при
достаточно больших плотностях возрастает с увеличе-
увеличением плотности по линейному закону B.27) или быстрее
B.28). Можно показать, что потенциалы, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям предложения 3.2.8, сверхустойчивы.
3.2.10. Класс потенциалов Ленарда — Джонса. Мы
говорим, что потенциал Ф принадлежит классу потен-
потенциалов Ленарда — Джонса, если он ограничен снизу
и удовлетворяет условиям B.21) и B.22), где (pi(|x|) =
= Ф2 (I х |) = | х |~\ X > v. Устойчивость и быстрое убы-
убывание выполняются автоматически, так же как усло-
условие B.28).
') См. Рюэль [1].

§ 3.3. Конфигурационный микроканонический ансамбль 65
3.2.11. Системы частиц нескольких типов1). Резуль-
Результаты, полученные для частиц одного типа, распростра-
распространяются на случай систем частиц нескольких типов. Осо-
Особый интерес представляет случай распределения элек-
электрических зарядов р,, ..., р„в пространстве R3; энергия
Кулоновского (=* электростатического) взаимодействия
п
между ними ограничена снизу величиной — 2 ?«. гДе
Et— собственная энергия зарядов pt
п _ ' Г ^ Г ^ Р,(*)Р,(*0.
\dx
\х-х'\
Заметим, что системы классических точечных зарядов
не ведут себя термодинамически; конфигурационный
интеграл для двух частиц противоположного знака рас-
расходится
§ 3.3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
ДЛЯ КОНФИГУРАЦИОННОГО МИКРОКАНОНИЧЕСКОГО
АНСАМБЛЯ
В этом параграфе выбирается фиксированное взаимо-
взаимодействие (Ф*)й>2 и с помощью A.3) вычисляется потен-
потенциальная энергия U.
Пусть снова Л — ограниченное и измеримое по Ле-
Лебегу подмножество пространства Rv с объемом V(A).
Мы вводим конфигурационную микроканоническую ста'
тистическую сумму2)
Q(A, я, Е) = ± JV(?/(*„ .... xn)-E)dxi ...dxn=*
л"
*,, .... xn)czAn: U {xu ••., ^<4 C.1)
')
2)
См. Фишер и Рюэль [1].
Символ mes обозначает меру Лебега.
3 Зак. 850

66 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
соответствующую ансамблю, определенному выраже-
выражением B.5) гл. 1. Далее мы определяем конфигурацион-
конфигурационную энтропию
S (Л, я, ?) = In Q (Л, я, ?), C.2)
где S может принимать значение — оо (при Q = 0).
Величина S(A, n, Е) является возрастающей функцией Л
и ? и, как функция Е, имеет обратную1) функцию
?(Л, п, S), возрастающую с S.
3.3.1. Предложение. При фиксированном п функ-
функция Е(А, ft, S) является
(а) возрастающей функцией S,
(б) убывающей функцией Л.
Утверждение (б) следует из (а) и того факта, что
S(A, ft, E)~ возрастающая функция Л.
Заметим, что если выполняется условие устойчи-
устойчивости B.1), то
?(Л, ft, S)>-ftB. C.3)
Теперь мы попытаемся доказать, что выражение
F(A)~'S(A, ft, Е) имеет предел при Л->оо в смысле
Фишера, а величины V (А)~1 п, ^(Л)^ стремятся к ко-
конечным значениям. С этой целью мы изучим термодина-
термодинамический предел величины V(A)~lE(A, n, S), опираясь
на неравенство, доказываемое ниже.
3.3.2. Предложение. Пусть взаимодействие удо-
удовлетворяет условию быстрого убывания 3.1.1.
(а) Если области Л, и Л2 удалены друг от друга на
расстояние г ^ ^0. то
Е (Л, U Л2, ft, + ft2, S, + S2)< E (Л„ ft,, S.) +
+ E (A2, ft2, S2) + Ащп2г~ь. C.4)
') Обратная функция может принимать значения — оо и + оо.
Двузначность, которую может породить это определение, устра-
устраняется введением условия непрерывности слева.

§ 3.3. Конфигурационный микроканонический ансамбль 67
(б) Если имеется несколько областей Л,, ..., Лт и
расстояние между любыми двумя из них ^ г ^ /?0,
го
/ m
+тА
4
Действительно, пусть конфигурации
л:'', ..., л:'' е Л таковы, что
тогда
^(*1 <,'< О
Поэтому
х + Ег + Апхп/~
,) s Л, U Л2:
, + Я2 + Лп,п2г-^}
.... OsA,: U tft ...
и, логарифмируя это выражение, получаем
> S (Л„ я,, ?,) + S (Л2, n2, ?jj). C.6)
Выражение C.4) прямо следует из C.6), а с помощью
повторного применения C.4) и неравенства
получаем выражение C.5).

68 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
3.3.3. Предел для специальной последовательности
кубов. Предположим теперь, что взаимодействие является
быстро убывающим. Сначала мы докажем существова-
существование термодинамического предела для частной последо-
последовательности (Л^) областей про-
пространства Rv. Пусть 0 удовле-
удовлетворяет условию
1<2*<9<2, C.7)
и пусть #0 то же> что и в опре-
определении быстрого убывания
3.1.1. Пусть также
L> К- 2_е \й.Ъ)
и для целых N ^ 0
LN = 2NL - QNR. C.9)
Рис. 5. Кубы Л^ н A/v+1. Определим теперь Л^ как
куб с ребром LN в простран-
пространстве Rv. В кубе Л^+1 можно разместить 2V кубов Л$,
получающихся сдвигом из куба Л^ (рис. 5), так, что
расстояния между ними не меньше
Л*
LN+l - 2LN =
Ro.
C.10)
Применяя последовательно предложения 3.3.1 (б) и
3.3.2 (б), получаем
2v
2V
В частности,
E(AN+l, 2\ 2V
- Cл1)
N, n, S) + f BV«JRJj\ C.12)

§ 3.3. Конфигурационный микроканонический ансамбль 69
Для действительного а и такого б, что 2Nv6 является
целым числом ^0, положим
N-1
N, 2N\ 2Nvo)-^6
т=0
C.13)
Из C.12) следует, что
F, a).
Последовательность (cN) как убывающая имеет предел
lim cN (б, а) = с (б, а).
С другой стороны, так как 2V0~A'<1, согласно C.7), то
существует предел
lim 2V+l)X*-B-er**o~*2v 5 BЧЭ-У-
N-*°° m=0 /n=0
Таким образом, мы показали, что если б — рациональ-
рациональное число вида 2~"р ^ 0, где р и q — целые числа,
а а — действительное число, то существует следующий
предел:
lim 2~NVE(AN, 2n\ 2NVa) = r\(f>, a), C.14)
где
4F, a) = cF, а) + 4б2^2"п+1>Х" C-15)
m=0
и r\ F, a) = + oo в том и только том случае, если
E(AN, 2n\ 2wvcx)= + oo для всех N.
Разделив выражение C.11) на 2(N+l)v и переходя
к пределу при Л^-^оо, получим как частный случай
Ч (уб. + ^-бг, i-a, +|a2) <i-tiF,, a,) + i-tj (б2) a2). C.16)
При a = 2~"p, 0<a^l, повторным применением фор-
формулы C.16) найдем
т)(аб, + A — а)б2, аа1 + A —0H2X011F!, в{) +
г, о2). 13.17)

70 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
Так как последовательность (cN) убывающая, для
б* = 0; 1 имеем
а). C.18)
т=0
т=0
и C.2)
Л
С помощью C.1) и C.2) можно проверить, что
Е (Ло, 0, а) = 0 при а < 0 и Е (Ло, 1, а) = 0 при в < In V (Л„).
Подставляя в C.17) б, = 0,
52=1,а=1-6,сх,=ст-61пУ(Л0),
ст2 = ст + A — б) In F (Ло), имеем
(рис. 6)
п(б,
т—0
C.19)
при
, a<61nF(A0).C.20)
3.3.4. Предложение.
Пусть выполняется условие
устойчивости. Тогда существует
непустое открытое выпуклое
множество Ac:R2 (рис. 6), та-
Рис. 6. Выпуклая область Д. кое, что ц может быть непре-
непрерывно продолжена до выпуклой
функции на А, и ц(д, о)= + оо, если точка (б, а) не при-
принадлежит замыканию Д множества А. Кроме того, цF, р)
является возрастающей функцией а.
Заметим сначала, что ц(д, а) является возрастающей
функцией а в силу предложения 3.3.1 (а). Доказатель-
Доказательство выпуклости ц является более тонким", так как ц(д, а)
первоначально определена только для б вида 2~"р. Обо-
Обозначим
Г = {(б, а): п(б, сх)=И= + оо}, C.21)
и пусть Г —замыкание этого множества в R2; в силу
неравенства C.16) Г выпукло. Обозначим через А вну-

§ 3.3. Конфигурационный микроканонический ансамбль 71
тренность множества Г, которая является выпуклым
открытым множеством.
Из оценки C.19) следует, что т\ ограничена сверху
(там, где она определена) в области C.20). Отсюда,
в частности, видно, что множество Д непусто. Если
точка (d, в)еД, то можно выбрать точки (бг, а^еГ и
а = 2~"р. 0^а^1, такие, что множество
о(в„ a,) + (l-a)F2, a2)
покрывает окрестность точки (d, а), если точка (б2, а2)
меняется в пределах C.20). Из C.17) следует, что т)
ограничена сверху и в окрестности точки (d, а). С дру-
другой стороны, условие устойчивости (см. C.3)) предпо-
предполагает ограниченность г\ снизу
т)F, a)>-6B C.22)
так, что |т]| ограничена в окрестности любой точки Д.
Используя неравенство C.17) и ограниченность^ мы
докажем') теперь, что г\ можно непрерывно продолжить
на Д. Пусть D сг Д — круг, такой, что для некоторого
/С > 0 выполняется условие
в, а)\<К при F,я)еО, C.23)
и пусть D' — круг, концентричный первому, с половин-
половинным радиусом. Поскольку круги типа D' покрывают Д,
достаточно показать, что г\ имеет непрерывное продол-
продолжение на D'. Это будет сделано, если мы докажем,
что т) равномерно непрерывна на первоначальном мно-
множестве своего определения внутри D'.
Для простоты положим (б, о) = |. В частности, из
C.17) получаем
. C.24)
Следовательно,
') Это стандартное доказательство принадлежит йеисеиу; см.
Полна и Сеге [1], ч. 1, отд. II, № 124, стр. 89 и 266.

72 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
и подобным же образом
' 'Г'))(')] C.26)
Если ?', ?"eZ)' и ?Л —?"->0, мы можем считать, что
|" + 2я B-' — Ъ,№) ^ D, |' + 2* (|" - ^') g D при q —> оо.
Из C.23), C.25) и C.26) находим, Что
1*1F>)-'ПF'г)К21-«/С* C.27)
где <7->оо. Отсюда следует равномерная непрерыв-
непрерывность т), что и завершает наше доказательство.
Непрерывное продолжение функции т) на А мы снова
обозначим символом г\,
3.3.5. Замечание. Пусть даны (б, or,), (б, <х2)еД,
еде Ь = 2~"р; тогда функции 2~NvE(AN, 2n\ 2Nva) схо-
сходятся к т) (б, а) равномерно, относительно всех а ^ [а,, а2],
так как последовательность монотонных функций, схо-
сходящаяся к непрерывной функции на компактном ин-
интервале, сходится равномерно.
3.3.6. Общий Случай. Мы докажем теперь существо-
существование термодинамического предела уже не для после-
последовательности кубов, как это было сделано выше,
а для произвольных областей Л, стремящихся к бес-
бесконечности в смысле Фишера.
3.3.7. Предложение. Пусть А-*¦ оо (в смысле
Фишеоа), и пусть
S->L~vtf, C.28)
еде (б, о) е Л, тогда
lim V (Л) ? (Л, п, S) - L~\ (б, а). C.29)
Покажем сначала, что
шп V (Л) Е (Л, я, 5) < Z,-vt] (б, а). C.30)
Л-Х»
Пусть величина 6q>6 близка к б, и имеет вид 2~Afv/i0.
Положим

§ 3.3. Конфигурационный микроканонический ансамбль 73
Фиксируя б0, выберем N как функцию п так, чтобы
ft~'Z,>->0, /Г'^-юо. C.31)
С помощью определения 2.1.2 легко убедиться, что
если область Л «достаточно велика» (т. е. Л -> оо),
то она содержит т + г0 не пересекающихся кубов
с ребрами ?,LN, где
Поэтому Л содержит кубы Л$, /=1, ..., т + го, по-
полученные сдвигами куба Л^ и отстоящие друг от
друга на расстояние не менее (?— I) LN. Используя
предложения 3.3.1 (б), 3.3.2 (б) и тот факт, что
?(Лдг, 1, In V (Лдг) ) = 0, получаем
(т+г.
U Л$, mno + ro,
C.32)
Можно переписать это выражение в виде
V(A)~l E(A, ft, 5)<
^ V (Л) я б„ " г 1
Полагая Л->схэ и пользуясь C.31) и замечанием 3.3.5,
приходим к следующему результату:
fim V (Л) Е (Л, ft, 5) < L~v • * . л (б0, h- a). C.33)
V_»oo "О \ О /
Л-*оо
Теперь, устремляя б0 к б справа, мы получим из C.33)
неравенство C.30).
Для завершения доказательства C.29) покажем, что
lim V(A)~lE(A, ft, S)^L~vr\{6, a). C.34)

74 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
Сходимость в смысле Фишера (см. A.10) гл. 2) озна-
означает, что существуют С > 0 и целое число N', такие,
что Лдг содержит сдвиг Л' области Л и
1. C.35)
Пусть б,, близкое к б, имеет вид 2~pq; если N
можно положить 6l = 2~Nvni. Пусть также Л" — мно-
множество точек Aw, отстоящих от Л' более чем на 9^'./?.
Так как Л->оо (в смысле Фишера), то и Л"->оо
(в смысле Фишера) и
Игл К(Л„/Г'(К(Л) + К(Л"))=1. C.36)
Л-»оо
Из предложений 3.3.1 (б) и 3.3.2 (а) следует, что
<?(Л, п, S) + E(A", ft,-ft, 2N'vo-S)
Разделив обе части этого неравенства на V (Л) и пере-
переходя к пределу при Л -> оо (а значит, и N' -> оо), с по-
помощью C.36) получаем
Пт К(Л)-'?(Л, ft, S)>
', щ-п,
Преобразуя теперь правую часть этого неравенства
с помощью выражений C.14), C.30) и C.35), приходим
(при б,->б) к искомому результату C.34).
Можно дополнить предложение 3.3.7 следующим
предложением.
3.3.8. Предложение. Пусть Л->оо (б смысле
Фишера) и
K(A)-'ft->L-v6, V(A)-lS->L~va. C.37)
(а) Если точка (б, а) не принадлежит замыканию Д
множества А, то
lim V (Л) Е (Л, ft, S) = + оо. C.38)
Л

§ 3.3. Конфигурационный микроканонический ансамбль 75
(б) Если точка (б, а) принадлежит границе множе-
множества Д, то
lim V (Л) Е (Л, п, S) > L~\' (б, а), C.39)
где ц(Ь, а) = Птт](б*, а*) при
(б*, о*уё=А, (б*, а*)->(б, а).
Пусть 1/(Л)~1?'(Л, п, S) стремится при Л->оо к ко-
конечной величине, так что утверждение (а) или (б) на-
нарушается. Определим AN>, Л' и Л" так же, как во вто-
второй части доказательства предложения 3.3.7, и (пере-
(переходя к подпоследовательности) допустим, что
V(AN,)~iV(A)->a. Пусть также К(л")~' п" ~> L^b",
V{A"TlS"->L-vo", где (б",а")еД и " 2N'\
Из предложения 3.3.2 (а) следует, что
а Пт V(A)~lE(A, n, S) + (I - а) Ь~\(б", а")>
>L"V lim 2~N'VE(AN,, 2^6,, 2w'?a,).
ЛГ'-»оо
В случае (а) можно выбрать (б], а^^ёЛ, и возникает
противоречие с тем, что E(AN>, 2^6!, 2/v'vaI)= + оо.
В случае (б) противоречие получается, если устремить.
(б", а") к (б, а) вдоль прямой линии.
3.3.9. Предложение. Функция г\ непрерывна
на объединении множества А с полупрямой {(б, а): 6 = 0,
а < 0}. Если А -> оо (б смысле Фишера) и
V(A)~ln->0, V(A)~lS->L~va<0, C.40)
то
lim V{A)~lE(A, n, S) = L~\{0, a) = 0. C.41)
Л-»°о
Из C.19) и C.22) следует, что если б*->0 и
а*->а<0, тот)(б*, а*)->0 = т]@, а). Окончательно равен-
равенство C.41) следует из неравенства C.39) и C.30), так
как доказательство C.30) остается справедливым и
в данном случае.

76 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
3.3.10. Энтропия как функция энергии и плотности.
При изучении термодинамического предела мы до сих
пор рассматривали по техническим причинам энергию Е
как функцию п и S. Рассмотрим теперь энтропию S как
функцию п и Е. Для этих новых переменных легко по-
получить теорему о существовании термодинамического
предела, так как мы можем сформулировать получен-
полученные выше результаты в виде, симметричном относи-
относительно S, п и Е. Пусть 2* — подмножество простран-
пространства R3, состоящее из
(а) графика г\ над областью Д, т. е.
{(б, а, т]): (б, а)е=Д, ц = цF, а)};
(б) объединения полупрямых {(б, а, г\): б = б*, а = а*,
т)^т)*}, где (б*, а*) — точка границы области Д,
отличная от F=0, <х<0), а г\* = Ит г\ (б, а) при
(б, а)е=Д, (б, а)->(б', а');
(в) полупрямой {(б, а, ц): 6 = 0,0<О, -р = 0}.
Прежде чем сформулировать основной результат,
мы изменим по очевидным причинам нормировку пере-
переменных. Запишем
р = L~*b, e = L~\ s = L~va C.42)
и обозначим через Е поверхность, соответствующую
в этих новых переменных поверхности Е\ Предложения
3.3.7, 3.3.8 и 3.3.9 дают следующий результат.
3.3.11. Предложение. Если Л->оо в смысле Фм-
шераиеслиУ(Л)~1п->р, V(A)~lE->e, V(A)~'S(ft, E)->s,
где р, е, s конечны, то (р, е, s) e 2.
Заметим, что если (р, е, s) e E, то
е>-рВ, s<p-plnp. C.43)
Это следует из C.22) и неравенства
5 (Л, п, ?)<1п-^-. C.44)
Определим рпл = sup p, т. е. рпл является наиболь-
(р, е, s) e 2
шей плотностью в S. При отсутствии твердых сердце-
сердцевин (т. е. в случае, когда можно считать, что U не при-

§ 3.3. Конфигурационный микроканонический ансамбль 77
нимает значения +оо) имеем1) рпл= + оо. Если ча-
частицы имеют твердые сердцевины, то рпл полностью
определяется их размером и служит плотностью их
«наиплотнейшей упаковки». Если О^р<рпл, положим
е0 (р) = inf е; положим также е0 @) = 0. Теперь все
(р, е, s) e 2
е
с = -рВ
Рис. 7. Выпуклая область в.
наши результаты мы можем выразить в виде следую-
следующей теоремы (рис 7).
3.3.12. Теорема. Пусть 5(Л, п, Е) определена
формулами C.1) и C.2) для устойчивого, быстро убы-
убывающего потенциала. Тогда существуют:
(а) рпл>0 или рпл= + оо;
(б) выпуклая непрерывная функция eg на полуинтер-
полуинтервале [0, рпл), такая, что
= 0 и
') Заметим, что можно сделать Q (Л, п, Е) Ф 0, взяв энергию
достаточно большой, а также используем тот факт (см. 3.3.3), что
ц (б, а) = + оо в том и только том случае, если E(\N, 2Wv6, 2Wvct) =-
•= + оо для всех N.

78 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
(в) вогнутая непрерывная функция s на области
в = {(р, е): 0 sg; р < рпл, е > е0 (р)}, возрастающая
с возрастанием е при фиксированном р и такая,
что s (О, е) = О при е > О.
Пусть Л->оо в смысле Фишера и lim У(Л)~'п = р,
Л-»оо
lim V (Л) ? = е. Тогда
(а) еслм (р, е)ев, то lim К(Л)~'5(Л, n, ?) = s(p, e);
(б) еслм (р, е) принадлежит границе области в, го
()S(A, n,
Л-»оо
s* (p, e) = lims(p*, е")
(р*. е*)ев м (р*, 8')->(р, е);
(в) если (р, е) принадлежит дополнению замыкания
множества в, то
lim V(A)-'S(A, n.f): оо.
Л-»оо
3.3.13. Равномерная сходимость F(A)-'S(A, и, ?).
Пусть /С — компактное множество /С с: в и Л -> оо
(в смысле Фишера). Сходимость выражения
|K(A)-'S(A, n, E)-s{V(A)-ln, V(A)~lE)\
к нулю равномерна для (v(A) n, V(A)~l E) е /С. (В про-
противном случае можно найти С>0 и Лг, пг, ?г, такие,
что
Лг->оо, V(At)-lni^p,
(р, в)е/С и |K(A)-'S(A, n, E)-s(p,
что противоречит теореме 3.3.12.)
3.3.14. Ансамбль B.4) гл. 1. В гл. 1 мы ввели две
меры (выражения B.4) и B.5)), описывающие конфигу-

§ 3.3. Конфигурационный микроканонический ансамбль 79
рационные микроканонические ансамбли
1, ••-, xn)-E\dxy ... dxn,
у \ /71 А у Ну
у У ¦ • • j л ft/ *-• J ь*Л j ••¦ 14.Л д.
ге!
1
ге!
C.45)
C.46)
Сравним теперь эти ансамбли.
На рис. 8 показана типичная зависимость e->s(p, e)
при фиксированном р, 0<р<рпл. В силу оценки C.43)
Рис. 8. Зависимость энтропии от энергии.
5(р) = sups(p, е)< + оо. Пусть е, (р) — точная нижняя
грань тех е, для которых s(p, e) = s(p); гх (р) есть дей-
действительное число либо + оо. Заметим, что (так как s
выпукла) функция e->s(p, e) строго возрастает на ин-
интервале (cq(р), е, (р)). Этот факт позволяет сравнить
ансамбль, определенный выражением C.46), который
мы использовали до сих пор, с ансамблем, определен-
определенным выражением C.45). Если статистическая сумма QA
определена выражением, аналогичным выражению C.1),
определяющему статистическую сумму для ансамбля
C.45), то
Q (Л, п, Е) = Q (Л, п, Е - А) + QA (Л, п, Е). C.47)

80 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
Пусть Л->оо (в смысле Фишера), У(Л)~'п->р, где
0<р<р„л, и V(A)~l Е->ъ, где е<=(ео(р), е, (р)). Из стро-
строгого возрастания s и теоремы 3.3.12 следует, что
lim V (Л) In QA (Л, п, E) = s (p, е). C.48)
Л->оо
Далее легко видеть, что нормированные меры, соот-
соответствующие выражениям C.45) и C.46), становятся
близкими по норме при Л->оо. При в + 6>е,(р) эти
два ансамбля могут не совпадать (пунктирная вогнутая
линия на рис. 8), но этот факт не является существен-
существенным при переходе к классическим ансамблям, который
будет сделан в следующем разделе. Ансамбль C.45)
интересен тем, что он может дать нетривиальный термо-
термодинамический предел для неустойчивых взаимодействий.
§ 3.4. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ АНСАМБЛЕЙ
Все взаимодействия, рассматриваемые в этом па-
параграфе, предполагаются устойчивыми и быстро убы-
убывающими.
Теперь, когда мы подробно изучили термодинами-
термодинамический предел для конфигурационного микроканони-
микроканонического ансамбля (предложение 3.3. 11 или теорема 3.3.12),
нам будет легко исследовать и другие ансамбли.
Основная идея перехода от одного ансамбля к другому
состоит в том, чтобы выделить в статистической сумме
второго ансамбля часть, которая является подавляющей
при переходе к термодинамическому пределу и выра-
выражается при этом в терминах исходного ансамбля. Для
каждого ансамбля мы получим термодинамическую
функцию, выпуклую (или вогнутую) на своей области"
определения; эта выпуклость известна как свойство
термодинамической устойчивости. Переход от микрока-
микроканонического ансамбля к каноническому и большому
каноническому ансамблям сводится в термодинами-
термодинамическом пределе к описанию поверхности 2 предложе-
предложения 3.3.11 в терминах касательных к ней линий и пло-
плоскостей (с помощью так называемого преобразования
Лежандра).

§ 3.4. Классический ансамбль 81
3.4.1. Микроканонический ансамбль. С учетом им-
импульсов и кинетической энергии микроканоническая
статистическая сумма имеет вид
Оо6щ (Л, п, Е) =
±
U(xh ..., xn)~Ej. D.1)
Определим кинетическую статистическую сумму сле-
следующим образом:
()
()
Rnv \|-1 / ?\2
D.2)
тогда
Йо6ш(Л, п, E)=jdt jdPl... dpnb i 2 -^— /) X
Rnv \j-l /
X -^ j dXi ... dxnb- (U (xlt ..., xn) + t-E) =
= \ dtQKHH (ft, /) Q (Л, ft, E - t). D.3)
Пусть Л->оо (в смысле Фишера), V(A)~'ft->p,
V(A)~' ?->e, тогда
lim УЩ-1\ппкт{п, E) = sKHH(p, 8) = ^-(ln-^-+ l).
D.4)
Положим теперь О^р<рпл и е>ео(р), и пусть
sO6m(p. e)= sup [sKHH (р, е') + s (р, е - в')]. D.5)
е' г @, е-е0 (р))
Теорема 3.3.12 и формула D.4) показывают, что суще-
существует непустой интервал (/,, /2)> такой, что при данном
б> 0 для достаточно большой области Л и всех / е (/,, /2)
QKHH(ft, /)Q(A, ft, ?-/)>exp[F(A)(so6l4(p, e)-6)].

82 Гл. S. Термодинамический предел. Непрерывные системы
Подставляя это неравенство в D.3), получаем
lim V (Л) In Qo6ui (Л, я, Е) > so6ui (p, е). D.6)
Покажем, что, с другой стороны, при данном б>0 для
достаточно больших Л и всех t
ЙКИн(я, ОQ(Л, n,E-t)<exp[V(Л)(so6ui(p, е) + б)]. D.7)
Левая часть неравенства D.7) равна нулю при t<0 и по
условию устойчивости при больших t. Если D.7) не вы-
выполняется на оставшемся компактном отрезке, то
можно, как в 3.3.13, выбрать последовательность
(Л,, п{, Е{), исключающую существование термодина-
термодинамического предела (теорема 3.3.12 (а), (б) или (в)). Из
неравенства D.7) и того факта, что его левая часть
обращается в нуль вне фиксированного компактного
отрезка, получаем
fim К(ЛГ'1пОобщ(Л> п, ?)<sota(p, е). D.8)
3.4.2. Предложение. Пусть Л->оо в смысле
Фишера и V(A.)~ln->p, V(A)~lЕ->г, где 0<р<рпл
и ео(р)<е; тогда если Q06m задано формулой D.1), то
lim ^(AJ-'lnQoeu^A, n, ?) = so6ui(p, e), D.9)
где sO6m задано формулой D.5).
Случаи, при которых (р, е) ф в, рассматриваются
аналогично. Из выражения D.5) видно, что е распре-
распределяется между кинетической и потенциальной (конфи-
(конфигурационной) энергиями так, чтобы сумма кинетической
и конфигурационной энтропии была максимальной. Ве-
Величина (удельной) конфигурационной энергии содержится
внутри отрезка [ео(р), е, (р)].
3.4.3. Канонический ансамбль. Каноническая стати-
статистическая сумма записывается в виде

§ 3.4. Классический ансамбль
83
где Q — конфигурационная статистическая сумма
Q(A, я, p) = ^rJdjc,...dxnexp(-p?/(jc *„)). D.11)
D.12)
При О^р<рср, р>0 определим
f(p, P)
inf (e-p-'s(p, e)).
е > е0 (р)
Заметим, что точная нижняя грань достигается в точке
е = е*, если в этой точке тангенс угла наклона каса-
касательной к кривой e->s(p, e), имеет величину р. Таким
наклону
Рис. 9. Зависимость энтропии от плотности.
образом, /(р, Р) является абсциссой точки пересечения
этой касательной с осью е (рис. 9). Из D.12) следует,
что f(p, p) —выпуклая функция р; р/(р, р) —вогнутая
функция р и f(p, p) —вогнутая функция р~\
Пусть Л->оо (в смысле Фишера) и V(А)~1 п->р.
При данном 6 > 0 можно найти ё, такое, что рё — s (p, ё) <
<Р/(р, Р) + б. Пусть ? = ёУ(Л). Для достаточно боль-
больших Л имеем
Q(A, л,
~-
... dxn6~ (U (хь ..., хп)-Е)Х
Л"
Xexp(-pt/(x A:n))>exp(-p?)Q(A, n, ??)>
>ехр[V (Л)(- рё + s(р, ё)- 6)] >
>ехр[У(Л)(-р/(р, р)-26)],

84 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
так что
lim V (Л) In Q (Л, п, Р) > - р/ (р, р). D.13)
Л-»°о
Оценку сверху легко получить, если записать
Q-IiQt + Q,
л"
Хехр(-р?/(*, *„)),
где Е{ = V(Л)ег, -рВ<е,< ... <е„+1 и pe,-s(p,
>Р/(р, р) — 6. Последним слагаемым
можно пренебречь, если е„+1 выбрано достаточно боль-
большим. Итак,
lim V(Л) InQ(Л, п, р)<-р/(р, р). D.15)
Л-»°о
Аналогичнмй результат получается при lim V (Л) n ^
^рпл, и мы приходим к следующей теореме.
3.4.4. Теорема. Пусть Q{A, n, р) определяется вы-
выражением D.11). Функция /(р, р), определенная при
0<р<рпл и р>0 формулой
f(p, P)= inf (e-p-'s(p, e)), D.16)
е > е0 (р)
является вогнутой функцией р и выпуклой функцией р.
Функция р~'/(Р> Р) является выпуклой и убывающей
функцией р.
Пусть Л-> сх5 е смысле Фишера и У (Л) п->р.
а) если 0<р<рпл, то lim У (Л) In Q(Л, п, р)
= -р/(р, р); _
б) если р = рпл, то jim^APlnQfA, я,Р)<-РГ(Р),
(Р)- lim^°° /(р, р);
плпл
в) если р>рпл, то lim У (A) MnQ(A, п, Р)= - оо.
Л-»оо

§ 3.4. Классический ансамбль 85
Функция / известна как удельная свободная энергия
(свободная энергия на единицу объема). Свободная
энергия на одну частицу р~'/(р, р) является убывающей
функцией р, так как <?(Л, п, р) при фиксированных
п, р является возрастающей функцией Л.
Формула D.16) устанавливает связь между пара-
параметрами канонического и микроканонического ансамблей,
а именно ставит в соответствие точке (р, р) точку (р, е*),
где е* является абсциссой точки касания прямой с на-
наклоном р и кривой e->s(p, е) (рис. 9). Предполагая
дифференцируемость '), легко можно получить обычные
термодинамические соотношения
Эти соотношения выражают здесь эквивалентность ан-
ансамблей.
3.4.5. Большой канонический ансамбль. Большая
статистическая сумма имеет вид
оо
2 (Л, z, P)=2z«Q(A, я. Р), D.17)
га=0
где Q(A, 0, р)= 1, a z> 0 —активность. Определим
р(г, Р)= sup (р-1р1пг-/(р, р)). D.18)
°<Р<Рпл
Точная верхняя грань достигается в точке р = р*, в ко-
которой тангенс угла наклона касательной к кривой
р->/(р, р) имеет величину р In г, а — $p(z, p) является
ординатой точки пересечения этой касательной с осью f
(рис. 10). Из D.18) следует, что Р/?(г, р) является вы-
выпуклой функцией In z и р.
Пусть Л->оо (в смысле Фишера). При данном 6>0
можно найти р, 0 ^ р < рпл, такое, что р~'р In z — / (р, р) ^
~^p(z, p) — р~'б. Выбирая п, такое, что У(Л)~'п-*р,
') Вследствие выпуклости производная действительно суще-
существует почти всюду.

86 Га 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
для достаточно больших Л получаем
Н(Л, z, p)>2"Q(A, Я, р)>
>ехР[К(Л)(р1пг-р/(р, P)-*)]>exp[V(A)(pp(z, p)-
/
наклон J3~' log Z
Рис. 10. Зависимость свободной энергии от плотности.
Отсюда
Ит V (Л) In 3 (Л, z, р) > рр (г, р). D.19)
А-»оо
Из условия устойчивости имеем
2"Q(A, Я, PX-Jr
Определим wo = -2-2:~1e~PB~1, тогда справедливо нера-
неравенство
2 z"Q(A, я,рК S (I!"
п > о0" V (Л) „ > о"
D.20)
С другой стороны, при данном 6>0 для величины
У (Л) "'л, лежащей в компактном отрезке [0, vqX\, и для

§ 3.4. Классический ансамбль 87
достаточно больших Л имеем
znQ (Л, п, р) < ехр [V (Л) (р In z - pf (V (A)~\ p) + б)] <
так что
S (Л, z, p)< v-W (Л)ехр[1/ (Л)(рр (z, p) + 6)] +
Ы»
откуда
Пт У (Л) In S (Л, z, p) < p/j (г, р). D.21)
Л->ос
3.4.6. Теорема. Пусть 2 (Л, г, р) определяется фор-
формулой D.17). Функция /?B,р), определенная при г>0
м Р > 0 выражением
p(z, p)= sup (p-1plnz-f(p, P)), D.22)
о<р<рпл
является неотрицательной возрастающей функцией z.
Функция Р/? (г, р) является выпуклой функцией In г м р.
Пусть Л->оо в смысле Фишера, тогда
Нт У (Л) In S (Л, z, р) = р/? (г, р). D.23)
Л
Функция р называется давлением; р^О, так какЗ^ 1;
р (z, р) — возрастающая функция z, так как 3(Л, г, Р)
тоже возрастающая функция г. Предполагая дифферен-
цируемость, получаем из формулы D.22) следующие
термодинамические соотношения:
ЗАЛ. Обобщения. Результаты, полученные в п. 3.3
и 3.4, можно, конечно, обобщить. Упомянем следующие
моменты.
(а) Понятие быстрого убывания является несколько
искусственным. В частности, в следующей главе
при изучении термодинамического предела для

88 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
парных потенциалов при малой активности мы
будем использовать другое понятие.
(б) Можно, по-видимому, заменить стремление об-
области к бесконечности в смысле Фишера более
общим понятием. Можно показать, что для кано-
канонического ансамбля при использовании парных
потенциалов из класса Ленарда — Джонса
(п. 3.2.10) достаточно стремления к бесконечности
по Ван Хову (см. также упр. З.Г и теорему 5.3.1).
(в) Результаты, доказанные для непрерывных систем,
справедливы при соответствующих изменениях и
для решетчатых систем.
3,4.8. Непрерывность давления. Условие термодина-
термодинамической устойчивости в теореме 3.4.4 предполагает,
что при фиксированном р давление р является убываю-
убывающей функцией удельного объема р~'
D.24)
Судя по экспериментальным данным, р, кроме того,
является непрерывной функцией р~'; никаких скачко-
скачкообразных разрывов не наблюдается. В случае положи-
положительных парных потенциалов или парных потенциалов
с твердыми сердцевинами непрерывность давления выте-
вытекает из выводимого ниже неравенства D.28), но доказа-
доказательство для общего случая отсутствует').
3.4.9. Предложение2). Пусть парный потенциалФ
положителен (Ф ^ 0) или обладает твердой сердцевиной
и удовлетворяет неравенству B.14).
Определим Ф+(х) = тах(Ф(*), 0) и
J+(*)]). D,25)
Пусть также
рА (г) = (Г V(A)-' In 3 (Л, 2, р), D.26)
^Л,2,р). D.27)
') Можно также показать, что р непрерывно, если потенциал Ф
ограничен сверху (см. Рюэль [1]) или если Ф —потенциал из класса
Ленарда — Джонса (см. Добрушин и Минлос [1]).
2) Пенроуз (не опубликовано) и Жинибр [2J.

§ 3.4. Классический ансамбль 89
Тогда
<z)/dz ,
-"*"' " ' ~ ч D.28)
Определим
\ рУ(д; *„)]. D.29)
Применяя неравенство Шварца к выражению
l1 .... хп)]Х
X J d^+iexp -^Ф(хп^-Х1) \,
получаем
J
.Я + 2
X ехр
Запишем теперь
-$^®(Xn+2-xi)\dxl ... dxn+2. D.30)
п 1 Г п + \ -I
-р2ф(^+2-*()=ехР ~р2 ф(^+2-^) +
г»1 J L <-i J
[1 - ехр (- РФ (д:„+2 - *„+,))] ехр I - р S Ф {xn+i - хМ
+ р Р +
-ехР(-рФ+(д;„+2-д;„+1))]. D.31)
Подставляя D.31) в D.30), получаем
D.32)
Пусть на целых числах п^О определена вероятно-
вероятностная мера так, что вероятностью события п служит

90 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
величина (l/nl)Pn. Если (^ — соответствующее матема-
математическое ожидание, то из неравенства Шварца и D.32)
следует
]
Ln=o
/1=0
-Ж <P»+* + DzPa+l + 2Pn+lnDz + Pnn2D2z2) =
n=0
= {n (n - 1) + nDz + 2n(n-\)Dz + n?D2z2) =
= {n2)(\+Dzf-{n){\+Dz).
Поэтому
TfiJ D.33)
что и требовалось доказать.
§ 3.5. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
ДЛЯ КВАНТОВЫХ АНСАМБЛЕЙ
Первая проблема, с которой мы сталкиваемся при
попытке построить статистическую механику квантовых
систем, заключается в определении гамильтониана си-
системы в сосуде Л как неограниченного самосопряжен-
самосопряженного оператора. Для начала зададим гамильтониан фор-
формальным выражением
Hn-T + U, E.1)
U (хи ..., *„) = 2 2 ®k(xi , ..., х А, E.3)

§ 3.5. Квантовый ансамбль 91
где А; — оператор Лапласа относительно координат точки
xt — положения г-й частицы, а Фй — 6-частичный потен-
потенциал, определенный в § 3.1. Оператор Т естественно
определен как (неограниченный) самосопряженный опе-
оператор в пространстве L2(R"V) (с помощью преобразова-
преобразования Фурье). Пусть Ф (Т) — область его определения.
С другой стороны, оператор U определен на 3)(U) =
= {<peL2(R"v): Ucp <= L2(R"v)}. Упомянем один важный
случай, когда S>(T)cz g>(U).
3.5.1. Теорема (Т. КатоI)- ЗапишемФк(хи .... xk)=*
= Фй (х2 — хи ..., xk — xx). Предположим, что
Ф^Ф^р + Ф*-00, E.4)
где
6*-peLp(R(*~1)v), e*'°°er(f-1)v) E.5)
и р~^% р>-к(к — l)v. Тогда справедливы следующие
утверждения:
(а) 2>(T)cz2)(Uy,
(б) при заданном а > 0 существует b > 0, такое, что
для всех фй)(Г
¦ b || ф ||; E.6)
(в) оператор Т + U самосопряжен и ограничен снизу
на 3>(Т).
Эта теорема справедлива также для случая несколь-
нескольких типов частиц. Заметим, что для парных взаимо-
взаимодействий и v^3 условия теоремы сводятся к требова-
требованию, чтобы Фе L2(Rv) + L°°(Rv), которому, в частности,
удовлетворяют кулоновские взаимодействия точечных
зарядов.
Если условия теоремы 3.5.1 не выполняются, то
область 3>(T){\3>{U) не обязана быть плотной в L2(R"V).
Это не является серьезной помехой, так как мы рас-
рассчитываем определить гамильтониан для системы с твер-
твердыми сердцевинами только на подпространстве про-
пространства L2(R"V).
') См. Като [1], [2] и Нельсон [2].

92 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
Утверждение теоремы 3.5.1 о том, что оператор Т + U
ограничен снизу, весьма существенно. Мы будем требо-
требовать выполнения этого свойства во всех случаях, так как
для канонического ансамбля нам придется пользоваться
следом оператора е п. Эти соображения указывают
путь к определению гамильтониана в случаях, интерес-
интересных для статистической механики: предположим, что
симметричный оператор Т + U, определенный на области
2) (Т) П 2> (U) П L2 (Л"), ограничен снизу, и возьмем его
расширение по Фридрихсу, которое является самосо-
самосопряженным оператором в замыкании области 2> (Т) П
0(?/)Н2(Лп)
0(?/)ГН().
Опишем сначала расширение по Фридрихсу, а затем
обсудим применение его в данной ситуации.
3.5.2. Теорема (Фридрихе) ')• Пусть А — симметрич-
симметричный2) оператор, определенный на области 2>, плотной
в гильбертовом пространстве Ж. Предположим, что
А ограничен снизу: А^а-l. Мы можгм теперь ввести
на области D скалярное произведение
Ы>,ф] = (Ф,И + A-«I]ф) E.7)
и пополнить 2) до гильбертова пространства SS в соот-
соответствии с E.7). Тогда справедливы следующие утвер-
утверждения:
(а) каноническое отображение SS ->Ж является вло-
вложением;
(б) существует одно и только одно самосопряженное
расширение А оператора А, такое, что область
его определения 30) а 3?, и имеющее ту же ниж-
нижнюю грань, что и А. Оператор А называется рас-
расширением по Фридрихсу оператора А.
Заметим, что даже в случае, рассматриваемом тео-
теоремой 3.5.1, где T + U является самосопряженным опе-
оператором в L (R"v), мы все еще должны определить
гамильтониан как самосопряженный оператор для огра-
') См., например, Рисе и Секефальви-Надь [1].
2) То есть при ф, if s 2), (ф, Л\|з) = (Лф, т|>).

3.5. Квантовый ансамбль 93
ничейной области Л. Это требует введения некоторых
граничных условий. Выбор граничных условий для диф-
дифференциального оператора T + U, заданного на области
3>(U)f\3>(T)f\L2(An), сводится к выбору его самосо-
самосопряженного расширения. В частности, для расширения
по Фридрихсу выполняется условие «исчезновения вол-
волновой функции на границе» («абсолютно отражающая
стенка»), хотя само расширение является более общим.
Чтобы убедиться в выполнении этих «нулевых» граничных
условий, заметим, что «волновая функция» <р является
элементом области SD, поэтому ее норма E.7) конечна.
Предположим, что оператор U ограничен снизу (как
это обычно и будет), тогда квадратичная форма (<р, Г<р)
конечна, и поэтому квадраты производных первого по-
порядка функции ф (в смысле обобщенных функций) снова
интегрируемы. Это предполагает у ф некоторые свойства
гладкости, и, так как <р исчезает вне области Л, волно-
волновая функция должна в некотором смысле стремиться
к нулю у границы Л. Для примера читатель может
проверить, что если U = О (свободные частицы) и об-
область Л представляет собой куб, то расширение по
Фридрихсу приводит к хорошо известным собственным
функциям1), исчезающим на границе области Л.
Обозначим через #„ (Л) (соответственно Я (Л)) само-
самосопряженный оператор, полученный с помощью расши-
расширения по Фридрихсу оператора T + U, определенного
на 2>(T){\3>(U)f[L2(An) (соответственно 3>(T)f\2>(U))
в предположении, что T + U ограничен снизу2). В физи-
физически интересных случаях, за исключением случая систем
частиц с твердыми сердцевинами, область определения
Нп (Л) плотна в L2 (Л"). Для системы частиц со сфери-
сферическими твердыми сердцевинами диаметра R>0 область
определения оператора Я„(Л) плотна в L2(An\S^).
Упругость столкновения твердых сердцевин выражается
') Достаточно показать, что эти собственные функции можно
аппроксимировать в смысле метрики || ф || = (ф, [7"+ 1] ф)'^2 дважды
дифференцируемыми функциями с носителем в Л.
*) Читатель должен иметь в виду, что Нп(А) является лишь
одним из возможных определений гамильтониана для области Л;
это определение совпадает для двух областей Л, отличающихся друг
от друга на множество лебеговой меры нуль.

91 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
в исчезновении волновой функции на границе S? и
также вытекает из свойств расширения по Фридрихсу.
3.5.3. Условие устойчивости. Мы потребовали, чтобы
оператор #„(Л) был ограничен снизу. Наложим теперь
более сильное условие, эквивалентное условию устойчи-
устойчивости для классических систем
Я„>-яВ1 E.8)
для некоторого В > 0 при всех п. Если это условие
не выполняется, то удельная энергия связи (на одну
частицу) в основном состоянии системы п частиц стре-
стремится к бесконечности для больших п или вовсе не
определена. В случае Б.-Э.- или Ф.-Д.-статистик опера-
оператор Нп (соответственно #„(Л)), разумеется, рассмат-
рассматривается только на пространстве Ll(R"v) (соответственно
Так как Г^О, классическое условие устойчивости
U(xu ..., хп)^-пВ E.9)
влечет условие E.8), из которого в свою очередь следует,
что
Я„(Л)>-пВ1. E.10)
Система, для которой E.10) не выполняется, является
катастрофической, так как большая статистическая
сумма!)
расходится при всех значениях химического потен-
потенциала ц.
Замечательно, что обычно если не удовлетворяется
условие E.9), то не удовлетворяется и E.10). В клас-
классическом случае мы доказывали наличие катастрофи-
катастрофического поведения, строя конфигурации п частиц в
ограниченной области Л, обладающие потенциальной
энергией, меньшей — Сп2 для больших п (см. п. 3.2.2).
') Мы рассматриваем только случаи Б.-Э.- и Ф-Д.-статистик.

§ 3.5. Квантовый ансамбль 95
Можно аппроксимировать эти конфигурации квантовыми
волновыми функциями <prteZj(A"), такими, что для
больших л1)
(Ф„, ?/Ф„)<-Сг2 E.11)
\С'п (бозоны)> /к 1оч
V+2/v (фермионы). <5Л2)
Неравенства E.11) и E.12) находятся в противоречии
с E.10) для бозонов, а при v^3 также и для фермио-
нов2). Это справедливо для всех полунепрерывных снизу
потенциалов, не удовлетворяющих условию E.9); напри-
например, потенциал, изображенный на рис. 4 (v = 3), остается
катастрофическим в квантовой статистической механике
для бозонов и даже для фермионов.
Существует, однако, физически очень интересный
случай, в котором классическое условие устойчивости
нарушено, но неравенство E.8) все же выполняется,
а именно случай системы точечных электрических зарядов
(с кулоновскими взаимодействиями), в которых частицы
с одинаковым знаком заряда являются фермионами.
Допускается конечное число q типов частиц, т. е. гамиль-
гамильтониан действует в подпространстве 2?п, q пространства
Z.2(R"V), состоящем из функций <р, п аргументов кото-
которых можно сгруппировать в q семейств, причем <р —
антисимметричны относительно перестановок внутри
каждого семейства.
3.5.4. Теорема (Дайсон — ЛенардK). Пусть one*
ратор
[п. р -1
2i \Xj-Xi\ + 2i \yj-y{\ ~iil \yj-xt\
E.13)
') По крайней мере для п, принадлежащих бесконечному под-
подмножеству натурального ряда.
2) Таким образом, в данном случае принципа Паули недоста-
недостаточно для того, чтобы предохранить систему от коллапса.
3) См. Дайсои и Леиард [1], Дайсон [1], [2].

96 tji. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
действует в пространстве &п, q {состоящем из функций
аргументов хь ..., хп\ At — оператор Лапласа относи-
относительно переменной xt). Существует не зависящая от
q, n, р, Уи ..., ур постоянная В>0, такая, что
Нп(Уп ..-, УР)>-Щ^В\. F.14)
Из этой теоремы с трудным Доказательством сле-
следует устойчивость в смысле E.8) для системы, в ко-
которой имеются одинаково заряженные фермионы; при
этом частицы с противоположным знаком заряда мо-
могут быть фермионами или бозонами либо могут счи-
считаться классическими. Если частицы обоих знаков
являются бозонами, то возникает катастрофическое
поведение: существуют Z)>0 и волновая функция п
частиц фга, такие, что для больших п
-n'hD, E.15)
где
2-1 КККп
и et = ± 1 есть заряд частицы с номером /.
Изучение термодинамического предела для квантовых
систем заряженных частиц представляет особые труд-
трудности из-за «дальнодействующего» характера куло-
новского взаимодействия (которое отнюдь не является
быстро убывающим). Используя теорему Дайсона — Ле-
нарда, Либ и Лебовиц недавно преодолели эти труд-
трудности.
Обратимся теперь к проблеме доказательства суще-
существования термодинамического предела Для квантовых
систем. Для простоты введем те же предположения,
что и в классическом случае, а именно что взаимодейст-
взаимодействие (Ф*) быстро убывающее (см; определение 3.1.1) и
устойчивое (см. определение 3.2.1). Ограничим свое рас-
рассмотрение случаями Б.-Э.- и Ф.-Д.-статистик. В даль-
дальнейшем существенную роль будет играть следующий
вариант принципа минимакса для собственных значе*
ний.

§ 3.5. Квантовый ансамбль 97
3.5.5. Предложение. Пусть А — симметричный
оператор с областью определения 2), плотной в гиль-
гильбертовом пространстве Ж. Пусть для каждого конеч-
конечномерного подпространства М из области 2>
k(M)- sup (q>, ЛФ). E.17)
ф?Ш, IIФ 11 = 1
Для каждого целого числа m ^ 1 положим
Km= inf %{M). E.18)
dimAf=m
Пусть КхФ — оо, тсеЗа Ят->оо при т->оо в том и
только том случае, если спектр расширения по Фрид-
рихсу А оператора А состоит из дискретных собственных
значений конечной кратности. Тогда эти собственные
значения, расположенные в порядке возрастания и по-
повторенные в соответствии с их кратностью, совпадают
с числами %т.
Эти результаты следуют из предложения 2.5.1, если
заметить, что конечномерное подпространство М области
определения 2) оператора А можно аппроксимировать
в смысле метрики E.7) подпространством М из обла-
области определения 2) оператора А (см. теорему 3.5.2)
и что поэтому числа %т одни и те же как для А, так
и для А.
Легко вычислить спектр оператора Я„(Л0), если
область Ло является кубом, а взаимодействие (Ф*)^
обращается в нуль. Оказывается, что этот спектр со-
состоит из дискретных собственных значений конечной
кратности. Он определяет числа %°т, вычисленные по
формуле E.18) для оператора Т на области 2) (Т) (] Z-e(Ao).
Заменив Ло ограниченной и измеримой по Лебегу об-
областью ЛсгЛ0, находим числа Я^^Я^. Теперь если мы
введем устойчивое взаимодействие и вычислим значения
Ятдля оператора T+U на области 2)(Т) П 2> (U) П L,l(An),
то получим
*т>К,-"*>%,-«В. E.19)
В соответствии с предложением 3.5.5 мы доказали сле-
следующий результат:
4 Зак. 850

98 Гл. 3. Термодинамический предел Непрерывные системы
3.5.6. П редл о же н ие. Спектр оператора. Нп(Ап)
состоит из дискретных собственных значений конечной
кратности.
Обобщая вышеприведенные рассуждения, получим
3.5.7. Предложение. Собственное значение опе-
оператора Нп(А) с номером пг убывает при возрастании А
или при убывании U (хи ..., хп).
Квантовая микроканоническая статистическая сумма
равна
Q(A, n, E) = Spb-(Hn(A)-E), E.20)
т. е. числу собственных значений (с учетом кратности)
оператора Нп(А), меньших Е. Квантовая энтропия
имеет вид
S(A, n, E) = lnQ(A,n, E). E.21)
Она является возрастающей функцией Л (предложе-
(предложение 3.5.7) и Е. Так же как и в классическом случае,
мы можем перейти к обратной функции относительно Е
и получить функцию Е(А, п, S), возрастающую с воз-
возрастанием S и удовлетворяющую условию
?(Л, п, S)>-nB. E.22)
Величина Е (Л, п, S) удовлетворяет тем же нера-
неравенствам (предложения 3.3.1 и 3.3.2), что и в классичес-
классическом случае. Это можно показать, несложным образом
видоизменив соответствующие доказательства и исполь-
используя предложение 3.5.5. Для примера докажем предло-
предложение 3.3.2 (а). Рассмотрим две области Л] и Л2, рас-
расстояние между которыми г ^Ro. Существует Q(A1( щ, Е{)
собственных значений оператора #rtl(Ai), меньших Е\.
В силу предложения 3.5.5 при е>0 можно найти под-
подпространство М] области 3){Т) f\S)(U) П ?е(Л"')> такое,
что dim Mi = Q (A,, nlt Et) и
sup (фь [2' + ?/]ф1)<?1 + е. E.23)
Ф,еМ„ || Ф, || = 1
Аналогично можно найти подпространство М2 области
9> (Т) Г) 2> (U) П й {Af), такое, что dim М2 = Q (Л2, п2, Е2) и
sup (ф2, [Г+?/]ф2)<?2 + е. E.24)
Ш || ф1| 1

§ 3.5. Квантовый ансамбль 99
Пустьфг ® ф2получено симметризацией (е= +1) или анти-
симметризацией (е= — 1) произведения ф[ • ф2, где q^^
Ф2еМ2. Пространство McL\^Al {) Л.2)П1+т), порожден-
порожденное ф[®ф2'), имеет размерность Q(Ab щ, E{)-Q (Л2, п2, Е2).
8
Используя условие быстрого убывания, можно проверить,
что при <реМ и || ф ||=1
(Ф) [Т + [/]Ф) < (Е{ + е) + (Е2 + е) + Anxn2r~K
Следовательно, согласно предложению 3.5.5, имеем
Ab щ, Ех).п{А.ъщ, Е2). E.25)
Полагая, что е->0, и логарифмируя, получаем
+ S(A2, n2> E2),
откуда следует квантовый вариант предложения 3.3.2 (а).
Другие неравенства доказываются аналогично.
Изучение термодинамического предела для класси-
классических систем в § 3.3 и 3.4 основывалось главным об-
образом на некоторых общих неравенствах, которые, как
мы только что видели, выполняются и в квантовом
случае. Переход от классических (конфигурационных)
ансамблей к квантовым совершается при помощи за-
замены U{хи •••. хп) на Я„(Л) и (п\)~{ j dxi ... dxn
на Sp. Однако в классическом случае иногда исполь-
использовались специальные оценки, которые для квантовой
ситуации необходимо видоизменить. Сформулируем
сначала квантовый эквивалент теорем, доказанных
в § 3.3 и 3.4 для классических систем, а затем дадим
') Здесь следует уточнить, что функция <pj <§) <р2> определенная
8
лишь на множестве JJ а (АП1®АП2), где а — перестановка пх + п2
переменных, продолжается на все (Л) U Лг)"^ нулем; это возможнр
ввиду нулевых граничных условий. — Прим. ред..

100 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
перечень изменений, которые необходимо внести в их
доказательства.
3.5.8. Теорема. Пусть Нп (Л) — расширение по
Фридрихсу оператора T + U, определенного на 2)(Т)()
П 2D (U) П L2 (Л"), где U определяется быстро убываю-
убывающим и устойчивым взаимодействием. Пусть величина
S (Л, п, Е) определена формулами E.20) и E.21), и
пусть
<2(Л, rt,p) = Sp[-ptfn(A)], E.26)
где р > 0 — обратная температура. Положим
оо
2 я,р), E.27)
где Q(A, 0, р) = 1, a z = e^>0. Теоремы 3.3.12, 3.4.4
и 3.4.6 остаются справедливыми в этих новых опреде-
определениях, за исключением того, что в теореме 3.4.6 функ-
функция p(z,Р) может быть определена только при z<zo($),
причем область {(lnz^P): 0<z<z0(p)} выпукла, и
UmV(Л)-'1п5(Л, z,p)= +оо E.28)
при z>z0 (р).
В доказательства упомянутых теорем необходимо
внести следующие изменения. Оценка C.19) не годится
для квантовой ситуации, но вычисление ^(Ло, 1, а) дает
другую оценку, служащую тем же целям. Подобным
же образом меняется оценка C.32). Второе неравенство
C.43) неверно в квантовом случае, но в его использо-
использовании нет особой необходимости. Более серьезную про-
проблему представляет замена оценок D.14) и D.20). Мы
их заменим, пользуясь следующими результатами.
3.5.9. Предложение. Если Л -> оо (в смысле Фи-
Фишера), F(A)~'n-*p и F(A)"'?-*oo, то точки (V(A)~lE,
F(A)~'S.(A, п, Е)) начиная с некоторой Л распола-
располагаются ниже любой касательной к графику функции
e-*s(p, e).
Это видно, если рассмотреть е как функцию s и
воспользоваться предложением 3.3.2 (а).

§ 3.5. Квантовый ансамбль 101
3.5.10.Предложение.ЕслиЛ->оо (всмысле Фишера)
и V(A)~ln->oo, то точки (F(A)-V F(A)"'inQ(A, n, р))
начиная с некоторого Л располагаются ниже любой
касательной к графику функции р-> — Р/(р, Р).
Это следует из неравенства
8рехр[-рЯ„|+„!(Л1иЛ2)]>
>Spexp[- pHni(A!)]Spexp[- р#„г(Л2)]ехр(-рЛп1>г2г-*),
вытекающего из неравенства E.25), которое верно, если
r^R0, где г —расстояние между Л, и Л2.
При использовании предложений 3.5.9 и 3.5.10 нужно
иметь в виду возможность того, что наклон касательной
к графику e->s(p, e) может быть ограничен снизу вели-
величиной Ро>О, а к графику — р/(р, Р) — величиной — lnzu.
Первая возможность не реализуется, что можно видеть,
проведя сравнение со случаем «свободной» системы
((<Pfe)fe>2 = 0). Вторая возможность имеет место для свог
бодных бозонов; отсюда ограничение z<zo(P) в тео-
теореме 3.5.8.
3.5.11. Основное состояние. Пусть Е(А, ^ — наимень-
наименьшее собственное значение оператора Я„(Л), т. е. энер-
энергия основного состояния системы п частиц в области Л.
Используя обозначения рпл') и е0 (• ), имеющие тот же
смысл, что и в квантовом варианте теоремы 3.3.12, по-
получим следующий результат:
Пусть Л->оо в смысле Фишера и V(A)~l n->p.
(а) Если 0 < р < рпл, то У(А)~[Е(А, п)->ео(р).
(б) Если р = рпл, то lim V (А) ' Е (А, п) ^ е*, где
е* = lim e0 (р).
р->рпл, р < Рпл
(в) Если р>рпл, то V(A)~lE(A, n)->oo.
Это следствие теоремы 3.3.12 можно получить, заме-
заметив, что S(A, п, ?)>0 при ?>?'(Л, п) и S (Л, п, Е)-
= -оо при ?<?(Л, п).
') Напоминаем, что для квантовых систем рпл может быть
меньше + оо, даже если потенциальная энергия U не принимает
значения + оо..

102 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Первое доказательство существования термодинами-
термодинамического предела было опубликовано Ван Ховом [1] для
канонического ансамбля в 1949 г. Не зная об этой ра-
работе, Янг и Ли [1] получили доказательство аналогич-
аналогичной теоремы для большого канонического ансамбля
(для системы частиц с твердыми сердцевинами) в 1952 г.
Большая часть ученых сомневалась в том, что сущест-
существование термодинамического предела вообще нуждается
в каком-нибудь доказательстве (Ван Хов, личное сооб-
сообщение). Дальнейший прогресс в этом вопросе приоста-
приостановился до 1962—1963 гг., когда Ван Кампен (не опубли-
опубликовано) указал на серьезную трудность в доказательстве
Ван Хова. Независимо от него Рюэль [1] опубликовал
новое доказательство теоремы Ван Хова, а Фишер [1]
получил сходные результаты, которые были опублико-
опубликованы позднее, с включением идеи Вилса [1], позволив-
позволившей рассматривать быстро убывающие взаимодействия.
Дальнейшие результаты были получены различными
авторами, в значительной мере Гриффитсом [I], [3] и
Добрушиным [1]. Важное понятие устойчивого взаимо-
взаимодействия, возможно, восходит к работе Онзагера [1]
1939 г.
Параграфы 3.3—3.5 представляют собой новую орга-
организацию материала, содержащегося главным образом
в работах Фишера [1], Гриффитса [3] и Рюэля [2].
См. также Минлос и Повзнер [1].
Упражнения
З.А. Покажите, что потенциал Ленарда — Джонса
при v = 3
(Г'
(в, а>0) устойчив и быстро убывает (воспользоваться
предложением 3.2.8).
З.Б. Покажите, что потенциал Морса при v = 3
ФМ - 8 [ехр (- Я1±Ь&>) - 2ехр [~^±

Упражнений 103
(где е, а, /?0>0) устойчив и быстро убывает при
ехр(-^-)^16 и катастрофичен при ехр(-^-)<16 (вос-
(воспользоваться предложением 3.2.4 и п. 3.2.6).
З.В. Докажите, что энергия электростатического
взаимодействия между распределениями зарядов огра-
ограничена снизу величиной, указанной в п. 3.2.11.
З.Г. Если заменить условие быстрого убывания более
сильным условием A.11), доказательства § 3.3 немного
упростятся: вместо переменного расстояния RN между
областями везде можно использовать /?0. Покажите,
что можно также заменить стремление к бесконечности
в смысле Фишера следующими более слабыми усло-
условиями:
(а) Л-»-оо в смысле Ван Хова;
(б) существует С>0 и параллелепипед Л (а) для
каждой области Л, такие, что ЛсЛ(о),
V~l(a)V(A)>C и а->оо.
[Основное различие появляется в доказательстве C.34),
где Л помещается в Л (а) вместо Л^; оценку для
Е(А(а), щ, S^ можно получить, заполняя куб AN> сдви-
сдвигами области Л (а).]
З.Д. Если условие устойчивости выполняется, то
классическая большая статистическая сумма D.17)
является целой функцией 3(г) активности z, рассматри-
рассматриваемой как комплексное переменное. Покажите, что эта
целая функция имеет порядок не больше 1, и если вы-
выполняется B.27), то порядок ее равен 0. В последнем
случае разложение Адамара дает
где ?,— нули функции 3. В частности, при наличии
твердых сердцевин 3 является многочленом. Для кван-
квантовых систем (Б.-Э.- и Ф.-Д.-статистики) из неравен-
неравенства B.27) снова вытекает, что 3 является целой функ-
функцией нулевого порядка, однако большая статистическая

104 Гл. 3. Термодинамический предел. Непрерывные системы
сумма системы свободных бозонов (U = 0) уже не
является целой функцией z.
З.Е. Если выполняется условие B.27), то в тео-
теореме 3.5.8 2го(р)= + оо.
З.Ж.!) Пусть D — односвязная область на комплекс-
комплексной плоскости, симметричная относительно действитель-
действительной оси и имеющая непустое пересечение с положи-
положительной действительной полуосью. Докажите, что если
большая статистическая сумма 3(г) не имеет нулей
в области D (при достаточно больших Л), то функ-
функция р (z, p) может быть продолжена с положительной
действительной полуоси до аналитической функции z
в D. (Воспользуйтесь теоремой Витали об ограничен-
ограниченных последовательностях аналитических функций.)
3.3. Рассмотрите классическую непрерывную систему
частиц со сферическими твердыми сердцевинами диа-
диаметра R (с исключенной областью, заданной форму-
формулой B.12) гл. 1). Пусть ^-пространство последова-
последовательностей (Ф*)й>1, где Ф'еДи (Ф*)й>2 —взаимодей-
—взаимодействие, такое, что Фн = 0 для больших k и Ф6 — непрерывная
функция с компактным носителем (конечным радиусом
взаимодействия) при всех k. Если Ф = (Ф*)А>1 е$0, то
введем обозначения
ЦФЦ-sup sup ф! +
1°* (*<,'*', ;
k
Л
ь -...*«)- 2 2 ф*К xiX
l
J
(Ф)- 1 + 2-jj- / dxx ... dxnexp[- U (xu .... xn)],
p (©) = F(A)-'inz (Ф).
л л
') Решение этого упражнения дано в § 5.1.

Упражнения 105
Покажите, что существует lim Р\(Ф) при Л->оо
Л->оо
в смысле Ван Хова (можно воспользоваться теоре-
теоремой 3.4.6 для кубов и продолжить доказательство, поль-
пользуясь методами § 2.3). Пусть $ —банахово пространство,
полученное с помощью пополнения пространства $0 по
норме || • ||, тогда теорема 2.3.3 остается справедливой
в этих новых определениях, если заменить C.9) на
где рпл — плотность «наиплотнеишей упаковки» для твер-
твердых сердцевин диаметра /?.

Глава 4
СТЕПЕННЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
ПРИ МАЛЫХ ПЛОТНОСТЯХ
И КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Подробную информацию о разреженных системах
можно получить, используя разложения изучаемых вели-
величин в ряды по степеням плотности или активности.
В этой главе мы докажем сходимость подобных разло-
разложений. Наше доказательство будет основано на изуче-
изучении корреляционных функций. Нужнб заметить, что
корреляционные функции позволяют описать состояние
бесконечной системы и поэтому исследование этих функ-
функций само по себе представляет большой интерес.
§ 4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
По мере того как активность г. или плотность р
стремятся к нулю, поведение соответствующей системы
частиц приближается к поведению системы без взаимо-
взаимодействия. Поэтому естественно пытаться получить раз-
разложения интересующих нас величин по степеням пара-
параметров г, или р. Такие разложения хорошо известны:
это так называемое вириальное разложение (разложение
давления р по степеням плотности р) и разложения
Майера (разложения давления р и плотности р по сте-
степеням активности z). Существуют правила, позволяю-
позволяющие последовательно вычислять коэффициенты этих
разложений, подсчитывая вклады от различных диа-
диаграмм 1). Однако до недавнего времени сходимость этих
разложений оставалась недоказанной.
4.1.1. Корреляционные функции. В этой главе нам
будет удобно обозначать символом (х)п набор (*,, ..., хп),
в котором *,, ..., JtneRv. Напомним, что большой
') См., например, Уленбек и Форд [1].

§ 4.1. Определения 107
(конфигурационный) канонический ансамбль опреде-
00
ляется заданием меры на (J Л", которая на каждом Л"
СВОДИТСЯ К
g(*)„]<**, ...dxn. A.1)
Общая масса этой меры называется большой статисти-
статистической суммой
a (A, z, р) = 2-? / **!••• ^~pt/(x4 A.2)
0 »
ft-0
)т
т-частичная1) корреляционная функция рл (х)
= рл(лр ••¦, *т) определяется как плотность вероят-
вероятности (по лебеговской мере) нахождения т различных
частиц в точках хи ..., j(bgA, Используя определе-
определение A.1), получим
Рл (*)т = S (Л- ^ »" S ^ 1
-° л" A.3)
Естественно ожидать, что в термодинамическом пре-
пределе, когда сосуд Л->оо некоторым подходящим обра-
образом, корреляционные функции рЛ (х)п стремятся к пре-
пределу р(х)т (предельным корреляционным функциям).
В этой главе мы почти всюду ограничиваемся слу-
случаем парного взаимодействия. Мы предполагаем, что
потенциал Ф этого парного взаимодействия удовлетво-
удовлетворяет условию устойчивости 3.2.1. Вместо обычного усло-
условия убывания нам потребуется некоторое более сильное
убывание потенциала бесконечности.
4.1.2. Определение. Назовем потенциал Ф регу-
регулярным, если он ограничен снизу и
l !<+ оо A.4)
при некотором |$>0 (а следовательно, при всех Р>0).
') В оригинале m-point (т. е. m-точечная), но в русской лите-
литературе принят термин m-частичная. — Прим. перев.

108 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
Если потенциал Ф устойчив, то он автоматически
ограничен снизу числом — 1В'). Если Ф ограничен
снизу, то условие A.4) эквивалентно требованию абсо-
абсолютной интегрируемости потенциала Ф вне некоторого
множества конечной лебеговской меры (в качестве этого
множества можно взять {х: Ф(х)^\}\ отсюда видно,
что условие A.4) выполняется для всех р>0, если оно
выполняется хотя бы для одного р>0.
§ 4.2. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Корреляционные функции удовлетворяют различным
системам линейных интегральных уравнений (в част-
частности, уравнениям Кирквуда—Зальцбурга и Майера —
Монтролла). Эти интегральные уравнения являются мощ-
мощным средством изучения корреляционных функций при
малых значениях активности.
4.2.1. Уравнения Кирквуда — Зальцбурга. Обозначим
через %л характеристическую функцию ограниченного,
измеримого по Лебегу множества Л с Rv. Положим
Предположим, что потенциал парного взаимодействия Ф
устойчив и регулярен. Положим
?/(*)„= 2 Ф (*,-*,) B.2)
к; </<«
и
где р>0. Формулы A.2) и A.3) можно теперь пере-
переписать в виде
00
НСЛ 7 R1 — V — H(y\ v (y\ \Ъ(у\ /'о дч
п=0
S (Л, г, РГ1 2j -и" J
"=0 B.5)
') Потому, что Ф (х) = U @, х) > - 1В.

§ 4.2. Метод интегральных уравнений 109
Введем следующие обозначения:
m
W1(x)m=^O(xt-xl), B.6)
w;-i=(*2.---. xm)- ад
Тогда
Л = еХР I" № (*)«+»] * М«+„-1 =
{»> - 0)} ¦ с*)»*.-!.
д
B.8)
Положим хт+) = У) и введем ядро
1
]У"Ф^-Х1)-1). B.9)
Подставляя B.8) в B.5), получим
рА(*)« = ХА(*)«ехр[-рГ (*)т]3(Л, *' »"' М(*)т, B.10)
где
| (я-
П=0 5=0
X J d«/s+1 . . . Й«/
оо
S 2^1+1 — 1 «•
—^— j dyl.
n=0
oo oo
-jj- J dy, ... <%Д (х„ (у),) 2j -(^lyr X
5=1 П=-5
X / dys+l ... dynxA(xYm+n_$ (xYm+n_v B.11)
Перемену порядка суммирования и интегрирования
можно обосновать, используя условие устойчивости.

ПО Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
Если в формуле B.11) воспользоваться определением B.5)
корреляционной функции рА(х)'т+п_1У то получится, что
B.12)
B.13)
(при т> 1).
Уравнения B.12) и B.13) называются уравнениями
Кирквуда — Зальцбурга '). Они образуют неоднородную
систему линейных уравнений относительно корреля-
корреляционных функций рА(х)п при п~^\
АЛЛ. Банаховы пространства Е%. Пусть |>0. Обо-
Обозначим через Е% пространство последовательностей
<р = (ф(л:)„)п>1 измеримых по Лебегу комплекснозначных
функций ф(#)„, заданных на пространстве Rv"(n>l)
и таких, что
-" ess-sup |Ф(д;)„|)< + оо. B.14)
Из условия устойчивости B.5) следует, что
0<9А(х)п<*(Л, z, Р)~' ехр(гУ(А)еРВ)(герТ, B.15)
так что pA = (pA(x)n)n>i е?? при ze$B<|. Перепишем
теперь уравнения Кирквуда —Зальцбурга как уравнения
относительно рЛ в пространстве Е^.
Введем линейный оператор %А в Е^, полагая
B-16)
') См. Хилл [!]. Фактически они восходят к Майеру [1]
(уравнение E4')).

§ 4.2. Метод интегральных уравнений 111
Оператор %А идемпотентен '), и его норма равна 1 2).
Определим оператор К равенствами
srJ BЛ7)
п=1
и (при ш> 1)
|
n=l J
B.18)
Из условия устойчивости следует, что потенциал Ф
ограничен снизу числом — 2В. Отсюда, используя усло-
условие регулярности 4.1.2, получим оценку
х)т |<||Ф||?expfeCф)](е^)т~\ B.19)
Итак, оператор К отображает пространство ?? в е^в
Пользуясь введенными обозначениями и сформулиро-
сформулированным результатом, мы можем переписать равен-
равенства B.12) и B.13) как уравнения в пространстве
Е = (J Е%:
Рл = z%Aa + ^Хл^Рл' B-20)
в котором a(jc)i = l и а(л:)„ = 0 при п>\.
Мы покажем, что уравнение B.20) можно рассма-
рассматривать в одном из пространств Е\ (а не только
в Е= [J ЕЛ. Для этого мы должны избавиться от мно-
1>0
жителя (е®в)т , который возникает в оценке B.19)
из-за множителя ехр[— $W~l (x)m\, участвующего в опре-
определении B.18). Переменная я, играет в равенстве B.18)
особую роль, но мы можем переставить переменные и
')
2)
To
To
есть ;
есть
sup
ИфИ|-1
||ХлФ

112 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
рассмотреть равенства, в которых роль хх играет любая
из переменных xt (г = 2 tn), a Wl{x)m заменяется
соответственно на Wl (x)m. Заметим теперь, что
S W1 (х)т = 2U (х)т > - 2тВ. B.21)
Отсюда следует, что для каждого набора (х)т е RVm
можно выбрать значение i так, чтобы
W(x)m>-2B. B.22)
Условие B.22) позволяет построить оператор П в про-
пространстве Ei, который для каждого набора
(х)т = (х, л:т) переводит функцию ф(л:)т в ф (л:,,, ..., jc,J,
а подстановка A m)-+(iu ..., im) выбрана так,
что Wl'{x)m~^ — 2B. Поскольку корреляционные функ-
функции р(х)т симметричны по всем своим т аргументам,
то уравнение B.20) можно заменить на следующее:
B-23)
При этом оценка B.19) заменится на
| AВД (х)т |< || (р ||| ет exp feC (p)] \т~\ B.24)
Поэтому оператор W.K, отображает пространство Е%
в себя и его норма удовлетворяет оценке
|| Щ III = sup || П^ф III <e2fV' exp ЦС (р)]. B.25)
ИФ111
Кроме уравнения B.23), рассмотрим также уравнение
B.26)
В уравнениях B.23) и B.26) параметр z может при-
принимать и комплексные значения. Ввиду оценки B.24)
норма линейных операторов, стоящих в правых частях
этих уравнений, не превосходит числа
|2|е2ЭВГ'ехр[|С(р)]. B.27)

§ 4.2. Метод интегральных уравнений
113
Поэтому каждое из уравнений B.23) и B.26) имеет
единственное решение в пространстве Е\1)
-' z%Aa B.28)
"' za, B.29)
если только выражение B.27) не превосходит 1, т. е. если
B.30)
Последнее неравенство может быть удовлетворено, если
(возьмем % = С (р) )
z\<Ce f-> (р) • B.61)
Описанная ситуация изображена на рис. 11. Из
оценок B.15) и единственности решения уравнения B.28)
Рис. 11. Неравенство \г \ < е *в| ехр [-?С ф)] выполняется в за-
заштрихованной области.
следует, что это решение служит аналитическим про-
продолжением корреляционных функций на множество
комплексных значений активности z, удовлетворяющих
условию B.31).
') Обратные операторы, фигурирующие в равенствах B.28)
И B.29), могут быть представлены в виде ряда Лиувилля-Неймана,

114 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
Для вещественных положительных значений актив-
активности из определений B.4) и B.5) следует, что
оо
J rfx1pA(xI-B(A, г.рГ1 ^-(^ТУГ J *W
n=l
^1пЕ(Л, Zfp). B.32)
Из выражения B.28) следует, что функция, стоящая
в левой части B.32), продолжается до аналитической
функции параметра z внутри круга B.31). Это пока-
показывает, что внутри этого круга большая статистиче-
статистическая сумма 3(Л, г, р), которая является аналитической
функцией от z, не обращается в нуль. Таким образом,
определение B.5) корреляционных функций имеет смысл
для всех комплексных z, лежащих в круге B.31), и
при аналитическом продолжении ') оно приводит к той
же функции, что и уравнение B.28).
4.2.3. Теорема2). Пусть Ф—устойчивый регулярный
потенциал парного взаимодействия, и пусть комплексное
число z удовлетворяет условию
\z\<e-*B-lC(fi)-\ B.33)
Тогда большая статистическая сумма S (Л, z, р) не обра-
щается в нуль в круге B.33). Если определить корреля-
корреляционные функции рЛ (х)п равенством B.5) для всех z из
круга B.33), то существуют предельные корреляционные
функции р (х)п и такая положительная убывающая функ-
функция е( •), что
lim в (А,) - 0 B.34)
|pAWn-pW«l<6"e(A,), B.35)
если параметры \иг удовлетворяют условию B.30), а К обо-
обозначает наименьшее расстояние от точек xlt .... *„еЛ
до границы сосуда Л.
') Заметим, что выражения B.28) и B.29) определяют рЛ и р
как аналитические векторнозначные функции параметра г, поскольку
ряд Лиувилля — Неймана приводит к разложению рл и р в сходя-
сходящийся степенной ряд по г,
2) См. Рюэль [3].

§ 4.2. Метод интегральных уравнений 115
Последовательность рл функций рА(х)п и последова-
последовательность р функций р(х)п являются единственными
решениями уравнений (?23) и B.26) соответственно
в пространстве Е\, если только | удовлетворяет усло-
условию B.30) [в частности, если | = С (р)); последователь-
последовательности р « рл аналитически зависят от г.
Нам осталось доказать только оценку B.35). Как
мы сейчас убедимся, она получается почленным срав-
сравнением степенных рядов для р и рЛ.
Пусть Л' cz Л", тогда
о <%АЛу)п-иЛу)п< ? A -%А,(у),)- B.36)
Пусть Л с Л' — множество точек области Л', отстоящих
от ее границы больше чем на 6.
Из определений A.4) и B.9) и неравенств B.36)
следует, что
ess sup
), B.37)
где мы обозначили
Сб(р)= J rfjc|e-P*W_i|. B.38)
1*1>в
Поэтому из определений оператора К (формулы B.17)
и B.18)) и оператора П следует
essjmp | [(ХЛП^Л„ - ХАШГхл,) ф] (x)m | <
или, переходя к операторной норме,

116 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
где
ЛF) = е*вехр[!С({*)]С6(р). B.40)
Обозначим через Л F) множество точек сосуда Л, от-
отстоящих от его границы больше,чем на 6; из оценки B.39)
вытекают неравенства
||Хл (/6)П^ХЛ №«) ~ *л (/в)П^л ((/-»в) { < Л F) при k < /-1
и
|Х П^ " * П*Хл ((/-1
из которых следует, что
Поэтому
k m faflKft* ~ Хл m (nV% < ^ (*) (IIп^ к)*.
B.41)
Заменяя в последней оценке 6 на lb/k, мы получим
неравенство
к (й) (хАп^* %л - %а m mf [ < 2^ F) (ii m k?-1,
B.42)
справедливое при k—l, . .., I. С другой стороны,
L
II
Ял {16) К '
I L \ *-1 /jig
(УгШГ||6)'+»
1-

§ 4.2. Метод интегральных уравнений 117
Из оценок B.42), B.43) и B.44) получаем
*(и
Правая часть неравенства B.45) стремится к нулю,
когда / и 6 стремятся к бесконечности. Полагая к = 16,
найдем, что существует положительная убывающая и
не зависящая от области Л функция е(-), такая, что
lime(A,) = 0 B.46)
А
B.47)
Используя уравнения B.28) и B.29), окончательно по-
получим, что
||6<в(А,). B-48)
4.2.4. Дополнения к теореме 4.2.3.
(а) Если К, — компактное подмножество области, вы-
выделяемое неравенством B.33) и | = С(р)~:, то функцию
е'(-), связанную с е(-) равенством е( ¦ ) = | z |е'( ¦),
можно выбрать так, чтобы она не зависела от z при
z^K,- Это очевидно следует из оценки B.45).
(б) Если функция е~$ф непрерывна в Rv (а это обыч-
обычный случай), то можно рассматривать банахово прост-
пространство ограниченных непрерывных функций вместо
ограниченных измеримых; в частности, функции р(л:)„
в этом случае непрерывны.
4.2.5. Уравнения Майера — Монтролла. Положим
К((х)т, Ш= П [(Й е-**1»Г'А- ll. B.49)

118 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
Можно показать, что
[~ pt/(x)m]X
I- n=l
Х I 1 + S 7Г f d M"K (<*>»» ^)«) Рл (?)»] • B-50)
Эти интегральные уравнения называются уравнениями
Майера —Монтролла; они образуют неоднородную си-
систему линейных уравнений относительно корреляцион-
корреляционных функций 9А(х)п при ttj3*l. Вместо уравнений
Кирквуда —Зальцбурга для изучения предела корреля-
корреляционных функций при неограниченном возрастании
объема можно воспользоваться уравнениями Майера —
Монтролла. Но они оказываются полезными только при
изучении положительных потенциалов, или потенциалов
с твердой сердцевиной').
4.2.6. Решетчатые системы. Рассмотрим классическую
решетчатую систему (в смысле 2.4). Предположим, что
Фе|, и пусть Ф(X) = 0, если только число элементов X
не равно 1 или 2. Положим
г = ехр[-Ф ({*})], B.51)
РФF) = Ф({*. У))> если х-у = 1Ф0, B.52)
<р@)= + оо. B.53)
Тот факт, что Фе|, эквивалентен следующему свой-
свойству функции ф (|):
°°- B-54)
Теперь, считая ф потенциалом парного взаимодействия,
мы можем построить «дискретную» теорию, совершенно
аналогичную соответствующей теории для непрерывных
систем. При этом все интегралы по Rv, очевидно, за-
заменятся суммами по Zv. Заметим, что из условия B.54)
вытекают условия устойчивости (ввиду соотношения D.8)
') См. Пеироуз [1] (а также Боголюбов и Хацет [1] — Прим.
ред.).

§ 4.2. Метод интегральных уравнений 119
гл. 2) и регулярности парного потенциала. Для доказа-
доказательства последнего утверждения заметим, что
- 1)<ехр (
B.55)
Здесь мы воспользовались сверхаддитивностью1) функ-
функции х-+ех— 1 на полуоси [0. +°°). Мы предлагаем
читателю самостоятельно переформулировать теорему
4.2.3 для данного случая.
Укажем другой способ изучения решетчатых систем,
применимый не только к системам с парным взаимодей-
взаимодействием. Этот подход аналогичен подходу, основанному
на уравнениях Кирквуда — Зальцбурга, но существенно
использует тот факт, что две различные частицы не
могут занимать одну ячейку.
Потенциал взаимодействия Ф является функцией от
конечных подмножеств решетки Zv. Предположим, что
Ф(Х) = 0, если N(X)=l (т.е. если подмножество X со-
содержит только одну точку решетки Zv); химический
потенциал войдет в активность z. Предположим также,
что
D= 2 |Ф(*)|< + оо. B.56)
Х=эО
Это условие более обременительно, чем условие
||ф||< + оо, использованное в п. 2.4, но ему удовлетво-
удовлетворяют все парные потенциалы, для которых выполнено
B.54). Введем обозначения
В (А, г, р)= 2 z^We-W*, B.57)
ХА
2
Хс:А
рл(Х)-В(А, z, рГ1 2 zWW+wor>e-K'Ufuy>. B.58)
Y en Л. \л
Пусть X — конечное подмножество решетки Zv. Обозна-
Обозначим через X' множество, получаемое удалением одной
') А имеиио если а, Ь >0, то (еа - 1) + (е6-1)<еа+6- 1 (так
как (еа-1)(е6-1)>0).

120 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
точки из X, например, первой в смысле лексикографи-
лексикографического порядка ')• Введем обозначения:
Wl(X)= S ФE), B.59)
S: 5Л
Wl(X, Y)= Ц 0>(Sim, B-60)
S: xSX
, Y)= S S
S: j,eScJ[ Г; 0^7"
S Wl(X, T), B.61)
Г:
K(X,Y)-H S* nCe-^^'^-l). B.62)
» Fi r«}/="
В определении B.62) сумма 2* распространяется на все
наборы {Ти ..., Тп} непустых подмножеств множества Y,
покрывающие У /т.е. \jTj = Y и Кт?0). Отметим то-
ждества
U(X\)Y)~W1(X) + I(X, Y) + U(X'\}Y) B.63)
и
е-ьпх, Y) = J] A + (ef»w (х, т) _ j)) = j + 2 К (X, Г).
B.64)
Из предположения B.56) следует неравенство
S ЦР'(*. У)|<?>. B.65)
У: УП^-0
Отсюда, учитывая сверхаддитивность функции е* — 1
при л:^0, получаем, что
T: rru=0 Т; ТПХ-0
'-1, B.66)
') Пусть а~(а1, ..., ov)sZv и b*-{b\ .... >v)sZv. Точка а
считается предшествующей Ь (или «меньшей» Ь) в смысле лексико-
лексикографического порядка, если (al<bl) или (а'=»6' и а2<Ь2) или ...
...(а1-*1 av-l-bv-1 н av<tv).

§ 4.2. Метод интегральных уравнений 121
и поэтому
Y: ГПХ-0
Y: УГи=0 п {Г, Г„} /-1
-\)-\. B.67)
Пусть %А(Х) = 1, если JcrA, и %А(X) = 0 в противном
случае. Используя соотношения B.63) и B.64), мы получим
рл (X) = з-1
У:
У:
+ т: г2 _0к (х, т) (Рл (Г и т-) - Рл (х и т-))],
и поэтому
Т-.ТПХ-0 ]
B.68)

122 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
4.2.7. Теорема1). Пусть Е — банахово пространство
ограниченных комплекснозначных функций, заданных
на непустых подмножествах решетки Zv, наделенное
равномерной нормой. Пусть X — конечное подмножество
в Zv. Обозначим через X' подмножество, получающееся
удалением из X первого элемента (в смысле лексико-
лексикографического порядка в Zv). Определим оператор К,
действующий в Е, равенством
ге-№ да
х [ф (Г) + 2 к (х, т) (Фл (г и т) - Фл (х и г)I,
L Г: TfU=0 J
B.69)
где W1(X) и К{Х, Т) определяются равенствами B.59)
и B.62) соответственно, а первое слагаемое в квадрат-
квадратных скобках ф (X') отсутствует при N (X) = 1. Полагая
С= 2 ФДО « D= 2 \Ф(Х)\, B.70)
мы получим, что
II /СИ <
2ее <о-о
[2ехр(е^-1)-1] B.71)
«р« условии, что
•1)-1]<1. B.72)
В круге на плоскости г, в котором выполняется усло-
условие B.72), большая статистическая сумма В, определен-
определенная равенством B.57), не обращается в нуль и вектор р,
задаваемый выражением B.58), является единственным
решением в пространстве Е следующего уравнения:
« + ЭСл^Рл, B.73)
1 +2 ЛЛ'^Л'
') См. Галлавотти и Миракль-Соль [2] и Галлавотти, Миракль-
Соль и Робинсон [1] (видоизменение уравнения Кирквуда — Зальц-
Зальцбурга B.68) для случая парного потенциала впервые было указано
Р. Л. Добрушиным [б].-Прим. ред.).

§ 4.3. Ряды Май'ера и вириальное разложение 123
где а{Х)=\, если N(X)=l, и а(Х) = О в противном
случае. Для каждого е>0 можно указать такое конеч"
ное множество А с: Zv, что
|рдде-рШ|<в, B.74)
если X + А с: Л и р является единственным решением
уравнения
принадлежащим пространству Е. Вектор ре? анали-
аналитически зависит от г1), если г лежит в области B.72).
Докажем сначала неравенство B.71). Заметим, что
если а — вещественное число, то кривая
{г: \{1+агГ1аг\ = С}
представляет собой окружность, симметричную относи-
относительно вещественной оси. Поэтому, учитывая оценку
B.67), достаточно доказать, что
ге B.76)
для положительных вещественных значений г. А для
них это следует из неравенства Wl (X) ~^ — {D — С) и
того факта, что правая часть в B.76) меньше единицы
(ввиду условия B.72)).
Уравнение B.73) в точности совпадает с B.68).
Остальные утверждения доказываются точно так же,
как при доказательстве теоремы 4.2.3.
§ 4.3. РЯДЫ МАЙЕРА И ВИРИАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
Возвратимся теперь к теореме 4.2.3 и рассмотрим
первые компоненты pa(a;i) и р(хх) векторов рл и р. Как
и раньше
2PB'1. C.1)
') Кроме того, р является вещественно аналитической функ-
функцией от р и Ф, поскольку этим свойством обладает оператор К.

124 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
Отметим сначала следующие факты.
(а) Из инвариантности уравнения B.66) относительно
пространственных сдвигов следует, что вели-
величина р(ati) как функция от хх представляет собой
константу рь аналитически зависящую от г
в круге C.1).
(б) Равенство B.28) показывает, что величина
2г—11 рЛ (леЛ I допускает оценку, не зависящую от хх
и Л, и если z<=/е, где К — компакте круге C.1),
то эту оценку можно выбрать не зависящей и
от г.
(в) Ввиду неравенства B.35) и утверждения D.2.4) (а)
имеем
|Pa(*i)-Pi|<!2|C(P)~'s'(A), C.2)
где функцию е'(-) можно выбрать не зависящей
от г, если 2Е 1(.
Из замечаний (а), (б) и (в) следует, что при Л->оо
в смысле Ван Хова
lim V (Л) 2-1 f djc1pA(jc1) = 2-1p1 C.3)
Л
равномерно на каждом компакте К., содержащемся
в круге C.1). Из равенства B.32) видно, что К (Л) X
X \ dxxpA^x^ является средним значением величины
У (Л) я в большом каноническом ансамбле, т. е. плот-
плотностью, и, кроме того,
z
A, z,p)= J-f У(Л) Jd*,PA(*i)- C.4)
о
Отсюда следует, что если Л->оо в смысле Ван Хова,
то
Z
рр = lim V (Л) In S (Л, г, р) = J Ц- р,. C.5)
о
Сформулируем предыдущие результаты в виде от-
отдельной теоремы.

§ 4.3. Ряды Майера и вириальное разложение 125
4.3.1. Теорема. Пусть Л->оо в смысле Ван Хова.
При этом следующие пределы:
lim р К (Л) In S (Л, г, р) = р, C.6)
Л-»оо
\imz-g-V (Л) In S (Л, z, р) = р, C.7)
существуют для всех г, удовлетворяющих условию C.1).
Эти пределы в круге C.1) являются аналитическими
продолжениями давления и плотности (которые имеют
физический смысл и определены при г > 0). При этом
радиус сходимости разложений Майера
рр=2&„2« C.8)
1
Pi = S nbnzn C.9)
не меньше, чем е~*>а
Эта теорема, очевидно, распространяется и на решет-
решетчатые системы (см. 4.2.5). Кроме того, в условиях тео-
теоремы 4.2.7 функции р и р! аналитичны в области B.72).
Если, как это принято, мы будем считать, что фазовые
переходы происходят только в особых точках термо-
термодинамических функций1) (см. п. 1.1 (в')), то предыду-
предыдущие результаты означают, что при г < е~^в~1С ф) фазо-
фазовые переходы происходят. Мы будем говорить, что при
малых значениях активности система находится в газо-
газообразной фазе 2).
Вместо активности z в качестве параметра можно
использовать плотность pjj так как Ъх=*\, то в окрест-
окрестности нуля разложение C.9) можно обратить и под-
подставить полученное выражение для z в C.8). Таким
') Вещественная аналитичность р и р] как функций от обрат-
обратной температуры р вытекает из того, что ядра уравнений, рассмо-
рассмотренных в п. 4.2, аналитичны по р.
г) В п. 4.4 мы проверим, что при малых значениях активности
корреляционные функции обладают групповым свойством, как ато
и следует ожидать для газа.

126 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
образом, мы получим вириальное разложение
p=Scnp«, C.10)
в котором коэффициенты сп вычисляются по формуле-
г -_L [l*E\JL-$lL f dz nin
* 2tdi[dz)nfff 2я1 J mrf-1' K '
С С
Здесь С — круг с центром в нуле и радиусом меньшим,
чем е-^-'Сф)". Из уравнения B.29) и оценки B.25)
следует, что если | = (С(Р))~1, то
I пк
и поэтому
Из оценки C.13) видно, что на окружности |z|=»
= (l —^—) • е~2Рв-1С(Р)" справедлива оценка | р, |^
21/^)ервС(р). Отсюда следует, что
(а) радиус сходимости разложения активности г
по степеням pi не меньше, чем C —2]/2)х
X е-Фв-'Сф)", и то же самое верно для раз-
разложения C.10);
(б) коэффициенты с„, определяемые формулами C.11),
допускают оценку
¦ (ЗМ)
Результаты (а) и (б) могут быть улучшены, если
грубые оценки коэффициентов bh следующие из нера-
неравенства C.12), заменить на более точные

§ 4.4. Алгебраический метод 127
получающиеся из соотношений D.31) и D.34), доказы-
доказываемых ниже. Таким образом, доказана следующая
теорема.
4.3.2. Теорема *). Радиус сходимости вириального
разложения
Р=1>спР1 C.16)
не меньше а(е®в+ lr'Cfl) и
I сп | < ?- [а-' (е** + 1) С (р)]"-1, C.17)
где а= 0,28952.
Используя более тонкую технику, Грёнвельд
в статье [2] показал, что
а в случае положительного потенциала
где v(sa0>27846) представляет собой положительный
корень уравнения уе'1+1 = 1. Из оценок Грёнвельда сле-
следует, что радиус сходимости вириального разложения
не меньше е~х (е*в+ 1)~'(С(р))~', а для положительных
потенциалов Ф не меньше х
§ 4.4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД
В этом параграфе мы разовьем другой подход к изу-
изучению корреляционных функций. Этот подход имеет
много параллелей с рассмотрениями п. 4.2, но более
удобен в определенном классе задач. Идея его состоит
') Лебовип и Пенроуз [1]. Оценки, устанавливаемые в этой
теореме, справедливы и для конечных значений объема. При
р! <а(е2^в +\)С (Р) вириальное разложение не только сходится,
но его предел совпадает с «физическим» давлением (вообще говоря,
ряд может сходиться и в области, где ни он, ни его сумма не
имеют физического смысла).

128 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
в непосредственном изучении коэффициентов разложе-
разложения корреляционных функций по степеням активности г.
4.4.1. Определения. Обозначим через s4- комплексное
векторное пространство последовательностей1) ф
D-1)
таких, что при каждом п комплексная функция ф (х)п
определена на пространстве RVra, ограничена и измерима
по Лебегу2). Заметим, что нулевая компонента i|>0 после-
последовательности ф представляет собой комплексное число.
Нам будет удобно обозначать конечную последователь-
последовательность (хи ..., хп) векторов из Rv одной буквой: Х =
= (хи ..., хп) = (х)п и писать
1>(Х) = 1|>(*1, ..., хп) = $(х)п. D.2)
Пусть теперь г|>, и i|>2 e S4-. Положим
*(*) = 2 Ф1(К)Ф2(^\У). D-3)
у<=х
где суммирование проводится по всем подпоследова-
подпоследовательностям Y последовательности X, а X \ Y обозначает
подпоследовательность, получающуюся вычеркиванием
из X элементов, входящих в У. Так, например,
¦Фо =
Ф (XU Х2) = 1|IO1|J (jCb Х2) + 1|)! (jCj) 1|J (ДГ2) +
+ Ф1 te) *2 (Xl) + l|5i (JCi, X2) фзо-
Равенство D.3) определяет умножение * в простран-
пространстве (s&)
1|з = t|3, * i|J. D.4)
Очевидно, что при таком определении умножения
s4- превращается в коммутативную алгебру с единич-
единичным элементом 1 A определяется равенствами 10=1 и
!(*)„ = 0 при я>0).
') Пространства Е%, рассмотренные в п. 4.2, состоят из после-
последовательностей (ф„), где я^ 1, в то время как здесь «^0.
2) Мы не различаем функции, отличающиеся только на мно-
множестве нулевой лебеговской меры.

§ 4.4. Алгебраический метод 129
Обозначим через s?+ подпространство в si, образо-
образованное элементами ф, у которых i|H = 0').
Разложение экспоненты в степенной ряд позволяет
определить однозначное отображение Г идеала s4-+
. D.5)
Отображение Г обладает обратным Г (которое соот-
соответствует логарифму)
Мы видим, что (Гф)(л;)„ является суммой произведе-
произведений вида
D-7)
соответствующих всевозможным разбиениям последова-
последовательности (х)п на подмножества Хь ..., Хт (l^r^o).
Если фел^+ и i|) = Гф, то несколько первых компонент
в равенстве D.5) имеют вид
t (хи х2) = ф (хи х2) + ф (jcj) ф (х2),
х2, x3) = q>(xu х2, х3) +
+ ф (хи х2) ф (х3) + ф (хи х3) ф (л;2) +
+ ф {х2, х3) ф (*,) + ф (xi) Ф (х2) ф (х3).
4.4.2. Функции Больцмана и функции Урселла. Рас-
Рассмотрим следующую последовательность i|3Sl+^+:
, D.8)
где функция U (х)п задается равенством B.2).
Определим последовательность ф равенствами % = 0,
@
D.9)
') ?Ф+ является идеалом в
5 Зак. 850

130 Гл. 4, Степенные разложения и корреляционные функции
Суммирование в D.9) производится по всем связным
графам у с вершинами 1, ..., п. (рис. 12), а произведе-
произведение Пу берется по всем парам (i, /), таким, что точки
i и / являются вершинами одного из ребер графа у.
Рис. 12. Связный граф.
Функции -ф (лг)„ и ф(л;)„ известны под названиями
функций Больцмана') и функций Урселла соответ-
соответственно.
Если записать определение D.8) в виде
¦ (*).- П
1</
разложить произведение, стоящее в правой части, и
воспользоваться формулой D.7), то получим, что
г|> = Г<р. D.10)
Связь между функциями Урселла и Больцмана, выра-
выражаемая формулой D.10), позволит нам при изучении
функций Урселла использовать алгебраические свойства
экспоненциального отображения и не рассматривать
различные графы, как это делают обычно.
4.4.3. Групповое свойство. Пусть фе1 + $4+ и функ-
функции2) ^(х)п непрерывны и инвариантны относительно
сдвигов
1, .... Хп).
') В оригинале «Boltzmann factors». — Прим. перев.
г) Здесь ф {х)п не обязательно обозначают функции Больцмана.

§ 4.4. Алгебраический метод 131
Далее, пусть Хх — подпоследовательность (х)п и!2 =
= {х)п \ Х\. Может случиться, что когда минимальное
расстояние | xt — xt | между точками xte.Xi и xt <= Х2
стремится к бесконечности, то
\^(х)п~^(Х1)^(Х2)\^0. D.11)
Если это верно для всех п и всех последовательно-
последовательностей (х)п и Xi с: (х)п, то говорят, что функции ф (х)п
обладают групповым свойством. Это название объяс-
объясняется тем, что если аргументы функции <§{х)п разбиты
на две далекие «группы» Xt и Х2, то функция ty(x)n
разлагается в произведение ¦ф(Х1)|ф(Х2)- Так, например,
если Ф — непрерывный потенциал парного взаимодей-
взаимодействия, стремящийся к нулю на бесконечности, то функ-
функции Больцмана обладают групповым свойством.
Пусть q> = r~'i|y, функции ty(x)n обладают групповым
свойством тогда и только тогда, когда ф(л;)„, рассматри-
рассматриваемые как функции разностей xi+1 — xu стремятся
К нулю на бесконечности.
Этот результат легко вытекает из формулы D.7) и
показывает, почему удобно рассматривать отображе-
отображение Г. Конечно, групповое свойство можно определять
и по-другому, если вместо непрерывных функций,
стремящихся к нулю на бесконечности, мы будем рас-
рассматривать суммируемые потенциалы или налагать на
потенциал какие-нибудь другие условия убывания на
бесконечности.
4.4.4. Дальнейшие определения. Пусть % (•) обо-
обозначает интегрируемую по Лебегу функцию, определен-
определенную на Rv. Для каждой последовательности фе,^
определим формальный степенной ряд
2) = to + S-%¦ J dxi ... dxn%(xi) ...%(xn)i|>(*)„.
D.12)

132 Гл. 4, Степенные разложения и корреляционные функции
Легко убедиться, что если г^, ^е^, то соответствую-
соответствующие им степенные ряды удовлетворяют соотношению')
(%, *i * *2> (*) = (%, *i> (г) • (%, Ъ) (г). D.13)
Пусть теперь фе^+, Используя равенство D.13) и тот
факт, что отображение Г экспоненциально, получим
формулу
< Г())() [( >(>]. D.14)
Зададим теперь отображение Dx: ^->DX^ равен-
равенством
-*(x, Vi,..., yn)- D.15)
И вообще для всякого набора X = (xh ..., xm)
положим
Dx$ = DXi...DxJp. D.16)
Ясно, что отображения Dx и Dx линейны, кроме того,
Dx удовлетворяет тождеству
^(¦|**2) = Ф**|)**« + *|*Ф*. ¦*), D.17)
т. е. является дифференцированием алгебры $ф. Из пра-
правила дифференцирования экспоненты вытекает следую-
следующая важная формула:
Dx (Гф) = Dxq> * Гф, фе^+, D.18)
4.4.5. Выражения для статистической суммы и корре-
корреляционных функций. Рассмотрим теперь случай, когда
последовательность г|> задается равенствами D.8), т. е.
является последовательностью функций Больцмана.
Обозначим через %х характеристическую функцию изме-
измеримого множества Л е Rv. Определение большой стати-
статистической суммы 3(Л, г, р) можно переписать в виде
S (Л, z, р) = ехр [рУ (Л) р (Л, z, р)] = <хл, *> (z). D.19)
Поскольку по предположению потенциал Ф устой-
устойчив, то ряд D.19) представляет собой целую функцию.
') Таким образом, отображение ф -> (%, ф) (г) является гомо-
гомоморфизмом алгебры ?Ф в алгебру формальных степенных рядов.

§ 4.4. Алгебраический метод 133
А так как Е(Л, О, Р)=1, то логарифм 1пЕ аналитичен
в некоторой окрестности начала координат и задается
рядом
И(А)(Л )( >(, D.20)
где <р — последовательность функций Урселла. Здесь мы
воспользовались равенствами D.10) и D.14).
Если значения (комплексной) активности z выби-
выбираются из достаточно малой окрестности нуля (на ком-
комплексной плоскости), то можно определить последова-
последовательность tyzA е 1 + s&+,
¦1W = S-1<Xa,D^>B). D.21)
Действительно, так как большая статистическая сумма 3
не обращается в нуль при вещественных положитель-
положительных значениях z, то выражение D.21) имеет смысл по
крайней мере для всех физических значений z. Сравни-
Сравнивая его с B.5), мы получим
D-22)
Пусть Х = (х\, ..., хт) и т>0. Определим последо-
последовательность фх s si равенством ')
= ^Х *
D-23)
Заметим, что если т = \, т. е. Х. = (х{), то из равенств
D.18) и г|) = Гф следует, что
Следующее соотношение между степенными рядами
дает разложение функции г|)^(Х) по степеням активности
¦1 (X) = В <хЛ, ф * (¦"' * D^)> B) =
1 ' = (Хл. Фх> B)- D-25)
') Напомним, что здесь, как и всюду в этом параграфе, ф обо-
обозначает последовательность функций Больцмана. — Прим. перед.

134 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
4.4.6. Сходимость разложений по степеням актив-
активности. Если воспользоваться равенствами D.22) и под-
подставить разложение D.25) в уравнения Кирквуда —
Зальцбурга, то мы получим (бесконечное) множество
соотношений между функциями фх(У)- Сейчас мы пока-
покажем способ непосредственного получения этих соотно-
соотношений и оценок, к которым они приводят.
Пусть, как всегда, Х = (хи ..., хт). Тогда
meXk=X\(xk). Поэтому D.23) можно переписать в виде
Используя определения B.6), B.9) и D.3), получим, что
Фл (Y) = 2|у *¦' (Y \ Z) DXkDXk^ (Z) =
ZcY
f()
ZcY ScZ
2 K(xk,S) 2
ScY Z.ScZcY
Положим Z\ S = T. Тогда
фх (У) = exp [- РГ*(*)] 2YK(Xk, S) X
X
^(
TcY\S
Отсюда, наконец, вытекает следующее рекуррентное
соотношение'):
фА (У) = ехр [- pr* Wls2y *(** 5)ф^и5(У \ 5). D.26)
Из равенства D.26) для |>0 индукцией по m + и легко
получить следующую оценку 2):
sup jd(y)n\ ф(ж) (у)п| < а! I [еТ1 ехр [С ф) 1]Г+П~\
^_ т D.27)
') Заметим, что если т = 1 и п — 0, то ф^ (#)„ = 1.
2) Мы предлагаем читателю самому провести простые преобра-
преобразования, приводящие к этой оценке; заметим в связи с этим, что

§ 4.4. Алгебраический метод 135
Эта оценка того же типа, что и аналогичные оценки
п. 4.2; из нее следует (возьмем | = С (р)"'), что ряд D.25)
сходится в круге
|2|<е-*в~|С(рГ1. D.28)
Оценку D.27) можно несколько улучшить. Так, на-
например, если ш = \, то U(x)m = 0, и поэтому ввиду ра-
равенства D.24)
J dx2 ... dxn !<р(хи х2, ..., хп
(« - 1)! в'*1 {*23V ехр [С (Р) ИГ'- D.29)
При более аккуратном подсчете вместо оценок D.27)
и D.29) из соотношений D.26) получаются следующие
неравенства'):
sup J d(y)U(x) (y)n\^m(m + n)n-l<?(m+n-mBC(®n, D.30)
(x)m
\dx2... dxn\y{xu
D.31)
4.4.7. Групповое свойство корреляционных функций.
Теорема 4.2.3 утверждает, что функции рх(х)т стре-
стремятся к пределу р(х)т при Л->оо. Поэтому и после-
последовательности г|>^ стремятся к tyz [см. D.22)]. Чтобы
получить коэффициенты разложения г|>г по степеням
активности г, нужно в равенстве D.25) устремить Л—> оо.
правую часть равенства D,26) можно заменить ее средним геомет-
геометрическим по всем k, и тогда для первого множителя получим
') См. Пенроуз [1]. Неравенства, полученные Пенроузом, отли-
отличаются от D.30) и D.31) тем, что в них знак абсолютной величины
стоит не внутри интеграла, а вне его. Стоит заметить, что неравен-
неравенство D.30) не улучшает оценку D.28) для радиуса сходимости раз-
разложения •фд по степеням активности г.

136 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
При этом получается, что
\^^Ay)n D-32)
и ряд в правой части снова сходится в круге D.28).
Очевидно, что
p(x)n = zmV(x)n. D.33)
В частности, при m = 1 мы получаем
оо
pl = S (я— i)i \ dx2 ... dxny(*,, .... *„). D.34)
В последовательности р(х)т, в которой по определению
ро=1 является элементом \+зФ+, положим
р = Г«в, фг = ГФг. D.35)
В таком случае из D.33) следует, что
<o(x)m = zmtf(x)n. D.36)
Функции <о(х)т называются групповыми функциями
семейства корреляционных функций. В соответствии
с п. 4.4.3 корреляционные функции обладают группо-
групповым свойством, если групповые функции <а(х)т как
функции разностей xi+i — xt стремятся к нулю на беско-
бесконечности. Мы покажем, что подобное утверждение
верно, при этом требование «убывания на бесконечности»
мы заменим на абсолютную интегрируемость.
4.4.8. Теорема1). Предположим, что взаимодей-
взаимодействие задается устойчивым регулярным парным потен-
потенциалом Ф. Тогда групповые функции а(х)т семейства
корреляционных функций (определяемые равенством
р = Г©) как функции разностей хш — хг абсолютно ин-
интегрируемы при | 2 |<е"рв~1С(Р)~1, и при этом
I
..«M.i.-WruiJUi+lr™^^ ^
') См. Рюэль [4J.

§ 4.4. Алгебраический метод 137
Прежде чем доказывать оценку D.37), выразим груп-
групповые функции уг(х)т через функции Урселла <f>(x)m.
Из формулы D.18), пользуясь определением D.16) опе-
оператора Dx, получим
Z) Гф = Гф * Wx ф * ... * Dx ф, D.38)
ф
г
где суммирование проводится по всем разбиениям по-
последовательности (х)т на подпоследовательности Хи ...
..., Хг A ^ г < т). Подставляя выражение D.38) в опре-
определение D.23) функций фх, найдем, что
Подставим это выражение в равенство D.32) и получим
Сравнивая последнее выражение с D.35), найдем, что
оо
Из оценки D.29) при | = С(р)~' следует, что
J dx2 ... dxn | ФD1< (m - 1)! е-*" [^+'С (p)f-1.
D.40)
Из соотношений D.39) и D.40) вытекает интегрируемость
функций | фг (х)т |:
... dxm\<f(x)m\<
/г-0

138 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
где мы воспользовались формулой
Zi
4П_ (m-l)i
n-0
И наконец, оценка D.37) вытекает из равенства D.36)
и оценки D.41).
§ 4.5. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
В этом параграфе мы будем считать, что потен-
потенциал Ф парного взаимодействия положителен Ф^&О.
Это предложение позволяет упростить уже полученные
формулы и установить некоторые новые результаты.
Заметим, что в данном случае В = 0 и
С(р)= |ЛсA-е-1»М). E.1)
Разложения по степеням активности сходятся в области,
содержащей круг
'1. E.2)
4.5.1. Неравенство Либа1)- В статистической меха-
механике систем с парным взаимодействием постоянно встре-
встречаются произведения вида
Полагая
в-(Ю(*) = A + (
мы придем к произведениям
П
fc-I
в которых — 1^/й^О (поскольку Ф^О). В связи
с этим представляет интерес следующий результат.
') См. Либ [1], а также Пенроуз [2], где результаты Либа
распространены на случай взаимодействия с твердой сердцевиной.

§ 4.5. Положительные потенциалы 139
4.5.2. Предложение1). Пусть — l^.fk^.O при
6=1, ..., N, и пусть
2 4/. E.3)
Тогда
П/*)<2М*. E.4)
ft0
где Z/ четное, a L нечетное числа и
Действительно, при 0 < 0 < 1 имеем
П
где
Пусть O^f^l, тогда правая часть равенства E.6)
является суммой произведений, содержащих по (L + 1)
множителей вида fk^O и по (N — (L+l)) множите-
множителей вида 1 +fkt^O. Поэтому F(L+I)(8) положительно
при нечетных L и отрицательно при четных L. Исполь-
Используя это соображение в E.5) и полагая t=\, мы по-
получим оценки E.4).
В качестве применения предложения 4.5.2 подста-
подставим оценки E.4) в соотношение B.8) и посмотрим, как
изменятся при этом уравнения Кирквуда —Зальцбурга.
Мы получим
') Обобщения этого результата можно найти у Полна и Сеге[1];
ч. II, отд. V, гл. 3, задача 163, стр. 79 и 276.

140 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
И
PA Wm ^ %A(*)m«xp[- № (*)т] X
S-5T J 'ow.» адрл((*гт_„ ад]
=i J
n=i
E.8)
где знак ^ соответствует четным L, а ^ — нечетным.
При 0<2<е~'С(р)~' мы можем устремить Л-^оо в не-
неравенствах E.7) и E.8). Таким образом, получим
j )„] . E.9)
Разложим корреляционные функции рЛ(*)т по сте-
степеням г
Ввиду равенств D.22) и D.25) коэффициентами этого
разложения являются
Pi Wm = Хл Wm ^ J
Подставляя разложение E.10) в неравенства E.7) и E.8),
можно показать1), что при всех z>0
т. е. правая часть E.12) служит оценкой сверху для
рл(дс)т при четных L и оценкой снизу при нечетных.
Таким образом, частные суммы разложения корреля-
корреляционных функций по степеням активности дают попе-
попеременно оценки этих функций сверху и снизу (при
2>0). Назовем это свойство чередованием границ.
Полагая в E.12) m = 1 и используя соотношения C.4),
C.6) и C.7), мы получим, что свойством чередования
границ обладают и разложения Майера.
') См. Пенроуз [2].

§ 4.5. Положительные потенциалы 141
Упомянем без доказательства '), что это же свойство
верно и для разложения по степеням активности ве-
величин p(;c)m/pi и z/p,.
Из формулы E.12) следует, что функция Р%(х)т,
определенная равенством E.11), имеет знак (—1)". Верен
также и более сильный результат
(-1)пФ(,)т0/)п>0, E.13)
который получается из D.26) индукцией по т + п.
В частности, из D.24) следует, что знаки функций
Урселла чередуются2)
(-lr-'qpMm^O. E.14)
Объединим некоторые результаты о разложениях
Майера в отдельную теорему.
4.5.3. Теорема3). Пусть Ф^О; в этом случае
частные суммы разложений Майера
Pp=2bnzn, Pi-Sn&nz» E-15)
обладают свойством чередования границ; коэффициенты
этих разложений таковы, что (—1)"&„^0 и
1^ 1* <^1, E.16)
Радиус сходимости № рядов E.15) удовлетворяет оценкам
1[1. E.17)
Аналитические функции $р и pt, определяемые раз-
разложениями E.15), имеют особенность при z= — 91.
Свойство чередования границ и неравенства (— I)" X
Х&п^О уже были доказаны. Оценка сверху E.16)
') См. Пенроуз [2].
2) Этот результат впервые получил Грёнвельд [1].
3) Эта теорема, кроме утверждения о чередовании границ,
принадлежит Грёнвельду [1].

142 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
является частным случаем оценки C.15). Опуская не-
некоторые члены в правой части равенства D.26) (все они
имеют один и тот же знак), получим
| Ф(Я1) (У)п | > S A " *-РФ<"Г*д) | ф(^ (ух у. уп)|
откуда следует
dx2 ... dxn+l\q>(x)n+1\ =
" J
и поэтому ввиду равенств C.9) и D.34)
\ dx2 ... dxn\q>(x2
что и доказывает оценку снизу в E.16).
Оценка E.17) следует из E.16). И наконец, из того,
что знаки коэффициентов Ьп чередуются, следует, что
функции Рр и р] имеют особенность при г~ — 01.
Из оценок E.9) следует, в частности, что
z[l-C(p)p,]<p,<z. E.18)
Первое из этих неравенств можно переписать в виде
Из того, что при ге@, е~'С(Р)~') нет фазовых пере-
переходов (этот факт обсуждался в § 4.3), и из оценки E.19)
следует, что при
0<р,<A+еГ1С(рГ1 E.20)
фазовых переходов не происходит, т. е. система остается
газообразной.
Для невзаимодействующих частиц с твердой сердце-
сердцевиной диаметра R константа С(р) равна объему сферы
радиуса R (исключенному объему); поэтому из E.20)
следует, что при достаточно больших размерностях v

§ 4.6. Квантовые системы 143
система находится в газообразной фазе также и при
плотностях, превышающих плотность R~v простой ку-
кубической решетки'). Это означает, что мы можем по-
построить такие большие кубические области Л, что кон-
конфигурационное пространство системы из п частиц,
заключенных в области Л, содержит несколько связ-
связных компонент, в которых каждая конфигурация близка
к конфигурации простой кубической решетки, и одну
главную связную компоненту, являющуюся, насколько
это можно проверить, совершенно нормальным газом.
§ 4.6. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
В своих работах Ж. Жинибр показал, что методы,
развитые в § 4.2 и 4.4 для классических систем, могут
быть распространены и на квантовые системы2). В этом
параграфе мы без доказательств опишем основные мо-
моменты этого обобщения, основанного на использовании
винеровского интеграла.
Траекторией со в пространстве Я1 называется ото-
отображение отрезка [0, |3] вещественной прямой в R1.
Условной винеровской мерой Рху называется мера на
траекториях3), таких, что со(О) = х, со(|}) = г/. Если функ-
функционал f, определенный на таких траекториях, имеет вид
f(со) = F[со(/,),..., со(/„)], F.1)
т. е. если значение f (со) зависит только от положения
траектории со в моменты tit где 0</i< ... </„<|}, то
') Потому, что
Г „V/2nV I
0+е) [ г (v/2 + 1) j >R V ПрИ больших u
2) См. Ж. Жинибр [1].
3) Если рассмотреть компактификацию 1г пространства R*, по-
получаемую присоединением одной бесконечно удаленной точки, и
ввести на пространстве функций м топологию поточечной сходи-
сходимости, то множество всех траекторий Q окажется компактом (по
теореме Тихонова), а винеровская мера — мерой на этом компакте Q.
Хорошее и краткое описание интеграла Винера можно найти в ра-
работе Нельсона B).

144 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
по определению положим
Pxy(f) = j dx{ ... dxnF(x, xn) X
X
... XT l—mX
F.2)
При помощи стандартных приемов общей теории
интегрирования это определение можно распространить
на широкий класс функционалов f. Можно показать,
что мера Рху сосредоточена на непрерывных траекто-
траекториях, «соединяющих точки х и у», другими словами,
мера множества всех остальных траекторий равна нулю.
Будем писать
Pxe(f) = lPxy(d*)f(*) F.3)
и для открытой ограниченной связной области Л в R'
обозначать через %х характеристическую функцию мно-
множества траекторий, содержащихся в Л. Пусть функция
фе!2(Л). Положим
Qq,(x)= j dyj Pxy(d«>)X
X exp - J U [со (/)] dt хЛ (со) Ф (у). F.4)
i о >
При подходящих ограничениях, налагаемых на веще-
вещественную функцию U, заданную на R', формула F.4)
определяет ограниченный оператор Q в Ь2(Л), который
может быть выражен при помощи формулы Каца
Q = exp[-p(-^-A+f/)J, F.5)
где А обозначает оператор Лапласа в Rv, а (— -г A+U) —
\ 4 /А
самосопряженное расширение симметрического опера-

§ 4.6. Квантовые системы 145
тора —-т-/± + и, определенного на дважды непрерывно
дифференцируемых функциях, носители которых лежат
в области Л1).
Нас будет особо интересовать случай, когда R* = R"v
и траектория (<в)„ соответствует траекториям <в1( ..., со„
«га частиц» в пространстве Rv. Предположим, что эти
частицы взаимодействуют при помощи парного потен-
потенциала Ф, и пусть
и(х)п- 2 ф (*/-*,). F.6)
Для каждой ограниченной открытой связной области Л
в Rv мы определим гамильтониан #„(Л) системы га ча-
частиц, заключенных в области Л, равенством2)
F.7)
Ядро оператора ехр[—рЯ„(Л)] ввиду равенства F.5)
может быть записано в виде
ехр[- рЯ„(Л)]( (х)п, (у)п) = J Pix)n(y)n(d(v>)n)xx((i>)n X
X ехр - Г dt У Ф{®, @ - со, @) • F.8)
Формула F.8) дает доступ к исследованию квантового
аналога корреляционных функций, а именно приведен-
приведенных матриц плотности. Мы ограничимся для простоты
статистикой Максвелла — Больцмана (М.-Б.). В этом
случае m-частичная приведенная матрица плотности
') А именно, расширение, задаваемое нулевыми граничными
условиями. — Приц. перев.
г) Для упрощения формул мы считагм, что масса одной ча-
частицы равна 2.

146 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
определяется как интегральный оператор с ядром')
S ^Г I W"» (")«• ^)*. М»)' F.9)
где
00
= S
«-0
ir
В этих формулах Qn = ехр [ — рЯ„ (Л)]. Используя равен-
равенство F.8), мы можем переписать определения F.9) и
F.10) в виде
— 1
2я1
F.11)
F.12)
где
-©,) и Ф(©)= |^Ф((о(О). F.13)
И наконец, мы можем представить F.11) в виде
Pa(W«; Ш= / Л,)т<,)тИ<)Рл(Ч, F-14)
') Определения F.9) и F.10) можно переписать, используя по-
понятие следа; заметим еще, что S является большой статистической
суммой.

4.6. Квантовые системы 147
где мы воспользовались обозначением
J d{< J ^WK)х
XxA(co)m+nexp[-(/(co)m+n]. F.15)
Заметим теперь, что предыдущие формулы очень
напоминают формулы, определяющие большую стати-
статистическую сумму S и корреляционные функции для
классических систем. Действительно, для того чтобы
получить формулы F.12) и F.15) из B.4) и B.5), следует
лишь заменить точки xeRv на траектории со, ле-
беговский интеграл J dx на винеровский интеграл
f du | Puu{d(n) и рФ(х) на функцию Ф(со), определенную
равенством F.13). Поэтому естественно вначале изучить
функционалы рл (<а)т, используя ту же технику (инте-
(интегральные уравнения или алгебраический подход), кото-
которая была применена при исследовании корреляционных
функций, а приведенные матрицы плотности получить
затем интегрированием F.14).
Прежде чем сформулировать результаты, полученные
таким путем, мы уточним ограничения, накладываемые
на потенциал Ф парного взаимодействия. Функция Ф
предполагается непрерывной (кроме, может быть, начала
координат при v ^ 2)'), устойчивой и абсолютно инте-
интегрируемой. Можно также рассмотреть случай твердого
ядра (Ф(л:)= + оо при |дс|^/?). В этом случае от по-
потенциала Ф требуется непрерывность и абсолютная
интегрируемость на дополнении к шару {х е Rv: \x \^R].
Если эти ограничения выполнены и \г\ достаточно мал,
то приведенные матрицы плотности рЛ ((х)т, (у)т), где
Л — шар с центром в начале координат, стремятся к пре-
пределу р ((х)т; (у)т) в смысле сильной топологии в про-
пространстве операторов на L2(Rmv), когда радиус А стре-
стремится к бесконечности. При этом вириальное разложение
') Достаточно потребовать непрерывности функции Ф вне мно-
множества (ньютоновской) емкости 0; емкость точки в Rv равна нулю
при v ^ 2.

148 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
и разложения Майера сходятся в круге положительного
радиуса.
Сформулированные результаты справедливы для ста-
статистики Максвелла — Больцмана. Для статистик Бозе—
Эйнштейна (Б.-Э.) и Ферми —Дирака (Ф.-Д.) определе-
определения F.9) и F.10) нужно заменить на следующие:
п—0
r J d(u)
X
X l(jc)m, («)„; n ((y)m, («)„)], F.16)
zn
n-0
- S -5 Jd («)
Здесь л обозначает перестановку т + га переменных
в F.16) и га переменных в F.17), суммирование произ-
производится по всем перестановкам соответствующего числа
переменных, при этом ея= 1 для бозонов и обозначает
знак перестановки л для фермионов.
Понятно, что переход к другой статистике приводит
к заметным осложнениям. Тем не менее сформулиро-
сформулированные выше результаты остаются справедливыми и для
обеих квантовых статистик при условии, что либо Ф^О,
либо потенциал Ф обладает твердым ядром и удовле-
удовлетворяет условию B.14) гл. З1).
Доказательства можно найти в оригинальных статьях.
§ 4.7. ПОСТРОЕНИЕ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
В этом параграфе мы кратко обсудим замечательное
свойство положительности, которым обладает последо-
последовательность корреляционных функций. В гл. 6 и 7 мы
подробно рассмотрим подход к задачам статистической
механики, основанный на использовании этого свойства.
Обозначим через 9& пространство последовательно-
последовательностей i|) = (i|) (x)n)n>0, в которых i|) (х)п является ограни-
') Можно также показать, что приведенные матрицы плот>
ности обладают определенным групповым свойством.

§ 4.7. Построение гильбертова пространства 149
ченной комплексной борелевской функцией') с компакт-
компактным носителем (в Rnv) и при достаточно больших п
все Мр{х)п равны нулю (компонента г|з, соответствующая
я = 0, представляет собой комплексное число г|з0).
Обозначим через (р(х)п)п>0 последовательность кор-
корреляционных функций, задаваемых равенствами A.3)
для ограниченной области Л, или термодинамический
предел такой последовательности. По определению по-
положим Ро=1. Напомним, что р{х)п есть просто плот-
плотность вероятности нахождения п различных частиц
в заданных точках хи ..., хп. Обозначим через р(х)п
плотность вероятности2) нахождения п не обязательно
различных частиц в точках хь ..., хп. Ясно, что р(лг)„
равняется р(х)п плюс члены, содержащие произведения
6(xt — X[) на функции р(дс<(, ..., х,-т) при пг<пг). Легко
доказать следующее равенство:
d{x)mp(x)m(p(x)m =
—0 AS ', = 1 lm-l
В пространстве & зададим полуторалинейную4)
форму равенством
, Ф) = 2 J d (x)m J d (y)n Ф (x)m Mp' (y)n X
/71, П
Xp(*t- •••- xm, yu ..., yn). G.2)
') Множество борелевских функций содержит все непрерывные
функции и их поточечные пределы, в частности, характеристичес-
характеристические функции открытых множеств.
2) Эта «плотность вероятности» сингулярна, так как включает
fi-образные меры.
5) Так, например, р (*,, дг2) = р (хи кг) +6 (хг, - х2) р (дс,).
4) То есть линейную по второму аргументу и антилинейную
по первому.

150 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
Используя определение G.1), получим, что
s-0
[s s
m 1,-1 1ж-
22 ¦•• 2 ф(*«,.
» <7-3>
откуда следует (ф, ф) ^ 0. Таким образом, форма G.2)
положительно полуопределена').
Для того чтобы воспользоваться этим свойством,
введем еще некоторые обозначения. Для каждой после-
последовательности ipel определим последовательность
Ф* е & равенством2)
ф*Мт = ф(*т, •••- Jfl)', G-4)
а для каждой точки aeRvH каждой последовательности
фб| определим аде! равенством
- а, • • •. *т - а). G.5)
Пусть ф, "фе^. Определим произведение
Положим
оо
^1(х)пр(х)пср(х)п. G.7)
/1=0
') Это утверждение остается верным и для бесконечных систем
в предположении, что соответствующий термодинамический предел
существует. Заметим также, что усреднение по большому канони-
каноническому ансамблю можно заменить на усреднение по более общей
мере в пространстве состояний.
2) То есть нужно взять значение, комплексно сопряженное
значению функции <р в точке, с обратным порядком аргументов.
Впрочем, в коммутативном случае, который мы здесь рассматри-
рассматриваем, это изменение порядка аргументов несущественно.

§ 4.7. Построение гильбертова пространства 151
Тогда определение G.2) можно переписать в виде
G.8)
Начиная с этого места мы будем считать, что р(х)п
представляют собой предельные корреляционные функ-
функции и что они трансляционно инвариантны ')
а, .... хп + а) = р(хь .... хп). G.9)
Это условие можно записать иначе:
р(таф) = р(ф)- G.10)
Свойства функций р(хп), выражаемые условием (ф, ф)^0
и равенством G.10), очень похожи на свойства положи-
положительности и инвариантности вакуумных средних от про-
произведений операторов поля в релятивистской квантовой
теории поля. Поэтому и в нашем случае применима
конструкция Уайтмана2), основанная на этих свойствах.
Факторизуем пространство $ по подпространству
Jf = {ф: (ф, ф) = 0}. На факторпространстве k/Jf скаляр-
скалярное произведение G.8) уже положительно определено,
и поэтому $ЦР можно пополнить до гильбертова про-
пространства §.
Пусть а — каноническое отображение ф->а(ф) из $
в Ф. Обозначим через Qe§ образ аA), где 1 —это
единица в Ш относительно произведения ®3).
Для каждой последовательности фе| определим
линейный оператор Л(ф), первоначально заданный на
всюду плотном в § множестве 3) = а(Ш)
Л(ф)аA|з) = а(ф®1|з). G.11)
(Заметим, что если a(i|)) = 0, то а(ф®1|з) = 0, поскольку
для всех ие| имеем
| (а (ш), а (ф ® 1|з)) | = | р, (ш* ® ф ® 1|з) | =
= | (ф* ® (о, ф) К (ф* ® (о, ф* ® (о)!Л (i|), i|))l/!> = 0.)
') Это условие выполнено, в частности, для функций р (х)№
полученных в теореме 4.2.3.
2) Конструкция Уайтмана [1] в действительности является част-
частным случаем конструкции Гельфанда — Сигала, которую мы рас-
рассмотрим в п. 8.3.5.
3) То есть 1„=1; 1(*)« = 0 при п > 0.

152 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
Зададим представление U аддитивной группы Rv в ф
равенством
?/(а)а(Ч>)-а(твЧ>). G.12)
Это представление унитарно, потому что
М- VI5) = РК (** ® *)) = Р <* ® *) = (*' *)•
Теперь легко доказать следующую теорему.
4.7.1. Теорема. Существуют (а) гильбертово про-
пространство ф, (б) линейное многообразие &), плотное в ф,
(в) вектор Qe2)c единичной нормой ||Q|| = 1, (г) линей-
линейное отображение А пространства Ш в семейство комму-
коммутирующих линейных операторов А(ц>), отображающих
множество SD в себя, A(q>): <?)-*¦ SD, таких, что А (ф®г|з) =
= А (ф) А (г|з), (д) унитарное представление U аддитивной
группы Rv в ф, такое, что
U(a)Q = Q и U(a)A(q>)U(-a) = A(твф). G.13)
При этом выполняется тождество
p(q>). G.14)
Набор (Ф, Q, A, U), удовлетворяющий всем перечислен-
перечисленным условиям, определен однозначно с точностью до
унитарной эквивалентности') в предположении, что
& {A()Q $}
В теории поля вектор Q называют вакуумным, а вели-
величину G.14), выражающую среднее по ансамблю2), —
вакуумным средним. Если последовательность г|з 31
такова, что ф (х)п = 0 при п Ф 1, то отображение ф -
можно записать в виде
j G.15)
¦) То есть если $', п', А', [/' — другой набор, удовлетворяющий
условиям теоремы, то существует изометрия V, отображающая $
на ?', такая, что VQ = й', VAV~l=A', VUV~l = Ur.
2) Точнее говоря, предел среднего по ансамблю при бесконечном
увеличении объема,

§ 4.7. Построение гильбертова пространства 153
и вообще можно записать .4(qp) в виде
хп)А(хд A(xn)
n = l
G.16)
p (x)n = (Й, A (Xl) ... A (xn) Q). G.17)
«Поле» А(х) является операторнозначной мерой.
Чтобы выяснить ее физический смысл, предположим,
что последовательность % такова, что %(х)т = 0 при тф 1,
а %(xi)~ характеристическая функция множества М.
Подстановка в G.1) показывает, что среднее (Q, A(%)nQ)
является n-м моментом числа частиц, попавших в мно-
множество М. Поэтому А (%) можно интерпретировать как
оператор числа частиц в области М. Естественно ожи-
ожидать поэтому, что если fm — непрерывная функция, такая,
чт0 fmiri) = 1 и fm(n) — 0 при целых п Ф т, то выраже-
выражение (Q, fm(A(%))Q) дает вероятность найти в точности т
частиц в области М. К сожалению, А(%) нельзя счи-
считать самосопряженным оператором, так что выражение
fm(A(%)), вообще говоря, может не быть определено.
Однако нам достаточно было бы знать, что оператор А(%)
существенно самосопряжен, т. е. имеет только одно
самосопряженное расширение. В связи с этим оказы-
оказывается полезным следующий результат.
4.7.2. Теорема (Нельсон).') Пусть А — симметриче-
симметрический оператор с областью определения SDafy. Назсвгм
вектор W аналитическим для оператора А, если W при-
принадлежит области определения оператора Ап при всех
целых n ^ 0 и степенной ряд
¦S-Ц^у G.18)
в-0
имеет ненулевой радиус сходимости.
') См. Нельсон [1], лемма 5.1. Применения этой теоремы к тео-
теории поля, аналогичные рассматриваемым здесь, можно найти в ра-
работе Борхерса и Циммермана [1]..

154 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
Если множество аналитических векторов плотно
в пространстве ф, то оператор А существенно самосо-
самосопряжен.
Если ряд
¦^ j d(x)np(x)n%(Xl) ...Х(хп) G.Щ
п=0 п-=0
имеет ненулевой радиус сходимости, то это же верно
и для ряда
m оо
-^-ИФ*L'. А{%) Q)
при всех 4f = a(i|))eS) (для доказательства можно вос-
воспользоваться неравенством Шварца) и, следовательно,
всякий такой вектор УР — аналитический. Можно пока-
показать, что ряд G.19) сходится, если существует такая
константа |>0, что при всех п выполняется
sup p (*)„<!". G.20)
При этом условии оператор А (%) оказывается суще-
существенно самосопряженным '). Заметим, что условие G.20)
выполняется для корреляционных функций, фигурирую-
фигурирующих в теореме 4.2.3 (см. также упражнение 4.Г).
Бывают случаи, когда оператор А(%) не является
существенно самосопряженным и вероятность найти
точно m частиц в области М не выражается через кор-
корреляционные функции; таким образом, описание системы
посредством корреляционных функций в этих случаях
неполно (см. упражнение 4.Д). Заметим еще, что из
существования корреляционных функций вытекает суще-
существование всех моментов для распределения числа
') Если условие G.20) выполнено, то для всех <р, таких, что
ф = ф", операторы А (ф) существенно самосопряжены и их спектраль-
спектральные проекторы перестановочны.

Библиографические замечания 155
частиц1) в области М, а это является сильным ограни-
ограничением на рассматриваемую вероятностную модель. Из
этих замечаний видно, что состояния бесконечной си-
системы лучше описывать при помощи «функционала
усреднения», заданного на ограниченных величинах,
а не на «неограниченном поле» А. Это равносильно
замене корреляционных функций состояниями на соот-
соответствующей С-алгебре, как это описано в гл. 7.
Заметим еще, что конструкция Уайтмана может быть
видоизменена заменой корреляционных функций на при-
приведенные матрицы плотности и при этом «операторы
поля», получаемые таким образом, удовлетворяют кано-
каноническим коммутационным соотношениям (для бозонов)
или антикоммутационным (для формионов). Мы вер-
вернемся к этим вопросам в гл. 7,
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Первый нетривиальный результат о сходимости раз-
разложений по степеням активности был опубликован Грён-
вельдом [1] в 1962 г. и относился к случаю положитель-
положительных парных взаимодействий. (В книге этот результат
выражается теоремой 3.1.3.) Затем Рюэль [3] и Пен-
роуз [1] получили аналогичные результаты для более
общих взаимодействий. В действительности Пенроуз
получил свои основные результаты на несколько лет
раньше2), но, не без основания полагая, что физиков
не очень интересуют оценки радиусов сходимости соот-
соответствующих разложений, он не публиковал своих
результатов, пока не появились работы Грёнвельда.
В нашем изложении мы следовали работам Рюэля [3]
и Галлавотти и Миракль-Соля [2] в § 4.2; Лебовица и
Пенроуза [1] (частично) —в § 4.3; Рюэля [4] —в § 4.4;
') При описании, принятом в теории поля, это означает, что
вектор Q принадлежит области определения оператора А (%)п при
всех я>0.
2) Пенроуз получил оценки для радиусов сходимости разложе-
разложений Майера, не зависящие от объема куба А, в котором заключена
система. Он использовал уравнения Майера —Монтролла, и его
результаты остаются справедливыми для потенциалов с тверды»!
ядром.

156 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
Либа [1], Пенроуза [2] и Грёнвельда [1] —в § 4.5;
Жинибра [1] —в § 4.6. Техника аксиоматической кван-
квантовой теории поля, примененная в § 4.7 к задачам
статистической механики, является стандартной ')•
Упражнения
4.А. Покажите, что для парного взаимодействия
d (*L+n ехр [ - pt/ (x)m+n] =
= J d (*)m+nexp[ - Р(от + пJ(Г+п-1) U М"+„] X
где произведение Ц берется по всем перестановкам
(t'i im+n) чисел A, ..., т + п). Используя условие
устойчивости и неравенство Гёльдера, покажите, что
эта величина не больше, чем
(х)техр[-рс/(х)т]\ X
Выведите отсюда, что давление как функция актив-
активности z удовлетворяет при положительных Zj и z2 сле-
следующим неравенствам:
') Следует сказать, что первое строгое изучение предельных
корреляционных функций для разреженных газов содержится в ра-
работе Н. Н. Боголюбова и Б. И. Хацета [1], появившейся в 1949 г. и
потом, к сожалению, забытой. В этой работе применен тот же
метод — трактовка системы корреляционных уравнений (а именно,
уравнений Майера — Монтролла) как единого операторного уравне-
уравнения в подходящем банаховом пространстве,—что и в более поздней
работе Д. Рюэля [3] (см. также по этому поводу недавнюю работу
Боголюбова, Петрины и Хацета [1]). Подробнее см. Приложение
(§ 2 и § 7).-Прим. р?д.

Упражнения 157
4.Б. Коэффициенты разложений Майера (см. равен-
равенства C.9), D.34) и D.9)) задаются формулой
Ъп = Их
v
= ±- J dx2 ... dxn J] Д (ехр[ -$Ф(х, - хд] - 1).
Можно было бы оценить | bn | следующим образом:
v
Покажите, что это эквивалентно замене потенциала Ф
на потенциал Ф = ( — -g-j In (j е"рф— 1 |+ 1), который
является катастрофическим, если Ф ф 0, и что из
оценки (*) не вытекает сходимость разложений Майера
в круге ненулевого радиуса.
4.В. Пусть взаимодействие Ф финитно, т. е. Ф(л:) = О
при \x\^L. Покажите, что <р(л;)т = О, если | лг2 — *i I*3*
^(т— \)L, и что групповая функция со (хJ = р(хJ — р^
удовлетворяет оценке
J dx2\e>(xlt
\xt~Xi I > mL n=m
-t)~2]tm+l,
где / = | z |e*B+1C(p)< 1. Таким образом, этот интеграл
экспоненциально стремится к нулю, если X = mL—> оо.
Пользуясь этим, докажите аналитичность преобразова-
преобразования Фурье от функции со (хJ (рассматриваемой как
функция разности х2 — хх)х).
4.Г. Покажите, что для положительного взаимодей.
ствия (Ф\>? (т. е. такого, что Ф*!>0 при всех k)
') Другой результат об асимптотическом поведении функции
© Мг приведен в работе Грёивельда [2], гл. III, теорема IV.

158 Гл. 4. Степенные разложения и корреляционные функции
корреляционные функции рА(х)т, определяемые равен-
равенством A.3), удовлетворяют оценкам
Покажите, что для парного потенциала с твердым ядром,
удовлетворяющего условию B.14) гл. 3, справедливы
оценки
4.Д. Обозначим через ра последовательность пре-
предельных корреляционных функций, соответствующих
z = а и Ф = 0; покажите, что ра(х)п = ап. Определим р
как усреднение ра по некоторой положительной норми-
нормированной мере ц^О, заданной на вещественной оси1)
р (х)п = J d\x (а) ра (х)п = J а" dp (а).
Таким образом, функции р(х)п являются моментами
меры ц. Исходя из того что существуют различные нор-
нормированные меры ц, ц'^0, у которых совпадают все
моменты2), покажите, что описание системы при помощи
корреляционных функций р(х)п неполно.
4.Е. Пусть Ф —устойчивый регулярный парный по-
потенциал, а ф е^+— последовательность функций Ур-
селла. Если |z|<e-*B~1C(p)~1, то последовательность
<рг<=,$^+ определяется любым из равенств D.35) или
D.39).
Проверьте, что для достаточно малых (по модулю)
чисел z0 и z
оо
(X) = 2 -J J
A=0
1) Мы не утверждаем, что р {х)п представляют собой корреля-
корреляционные функции, сбответствующие некоторому парному потен-
потенциалу Ф; однако в смысле теории вероятностей они могут быть
названы корреляционными функциями.
2) См., например, Щохат и Тамаркин [1].

Упражнения 159
4.Ж. Пусть Ф —устойчивый регулярный парный по-
потенциал и |г|<е~2рв~1С(р)~1. Покажите, что предель-
предельные корреляционные функции р(х)т удовлетворяют
уравнениям Майера — Монтролла B.50), в правой части
которых опущен множитель %А(х)т,
р (х)т = гт ехр [ - р?/ (х)т] а (х)т,
о (х)т = 1 + Е -^ J d (у)п К ((х)т, Ш Р (У)п-
Покажите, что функции а(х)т непрерывны в про-
пространстве RVn. Если радиус взаимодействия Ф конечен,
а функция е-рф принадлежит классу С*, то и функции
р(х)т и а(х)т принадлежат классу Ck. (Этот результат
справедлив и для некоторых потенциалов с бесконечным
радиусом взаимодействия.)
4.3. Покажите, что в предположениях задачи 4.Ж
при достаточно малых | г | выполняется равенство
а (х)т = ехр | ^ —[ J d (у)п К ((х)т, («/)„) со (у)А.
Здесь через со(г/)„ обозначены групповые функции по-
последовательности предельных корреляционных функций,
а все остальные обозначения имеют тот же смысл, что
и в задаче 4.Ж.

Глава 5
ПРОБЛЕМА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
В этой главе мы придерживаемся традиционной точки
зрения на фазовые переходы, которая состоит в том,
что смена фаз проявляется в нарушении регулярности
термодинамических функций, являющихся вне точки
фазового перехода вещественно аналитическими. С этой
точки зрения теория фазовых переходов должна со-
состоять в доказательстве кусочной аналитичности термо-
термодинамических функций и исследовании природы их воз-
возможных особенностей. Хотя в настоящее время подоб-
подобной теории не существует, некоторые аналитические
свойства термодинамических функций уже известны.
В частности, мы уже видели в гл. 4, что как в класси-
классических, так и в квантовых системах частиц, взаимо-
взаимодействующих с помощью достаточно хорошего парного
потенциала, при малых значениях плотности фазовый
переход невозможен. В этой главе мы обсудим другие
результаты подобного рода, относящиеся большей частью
к классическим решетчатым системам.
§ 5.1. ТЕОРЕМА ЯНГА И ЛИ
В 1952 г. Янг и Ли [1] предложили теорию фазо-
фазовых переходов, основанную на той идее, что в ком-
комплексной плоскости значений активности некоторые
области при Л-»оо остаются свободными от нулей
большой статистической суммы (см. упр. З.Ж). Теоремы
4.2.3 и 4.2.7 показывают, что эта ситуация действительно
возможна. Ли и Янг фактически выделили класс решет-
решетчатых систем, для которых, как мы сейчас увидим, все
нули лежат на окружности |z|=l. Сначала мы уста-
установим соответствующий математический результат, не
обращаясь к физической стороне дела.

§ 5.1. Теорема Янга и Ли 161
5.1.1. Предложение. Пусть (Л,Дфf — семейство
вещественных чисел, таких, что — 1 ^ Ац <11 и Ац = Ац
при i, j = 1, ..., п.
Рассмотрим следующий многочлен &п от п переменных
A.1)
где сумма берется по всем подмножествам S = {i{, ..., is}
множества^, ..., n}1); zs = zlx ... zl$uS' = {j\, ...,/n_s}-
дополнение к множеству S в {1, ..., /г}„ Тогда из усло-
условий. 9>п(гх, ..., г„) = 0 и | zx |> 1, ..., |г„_, |> 1 следует,
что | г„ |^ 1.
Предположим сначала, что все числа Ац отличны
от 0 и ±1. Если мы докажем предложение при этих
ограничениях, то на общий случай его легко будет
распространить по непрерывности. Итак,
l+z,. A.2)
Ясно, что уравнение ^I(г1) = 0 влечет |Z[|=1. Этим
справедливость нашего утверждения при п= 1 доказана.
При «J&2 воспользуемся индукцией.
Предположим, что \z\\~^\, ..., |zn_2|^l. Введем
обозначение Л„ = {1, 2, ..., п}\ тогда
П П
i<=SI<^An\
где
D= 2 z?( П II A
Полагая Z,i = (An-UlAn,i)~1 zit получим
D = [Й An.utAn,,
Й
и, поскольку |?il>l, ..., I Sn—21 > 1» из предположения
индукции следует D Ф 0.
') Если множество S или S' пусто, то соответствующий коэффи-
коэффициент в A.1) равен единице.
Вак. 830

162 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
Уравнение &*(z zn) = О определяет дробно ли-
линейное преобразование zn
Dzn • (!-4)
При этом отображении точка оо переходит в точку
zn_i = — C/D, так что
П П лА A.5)
Если снова положить Zi = (Ani) zu то равенство A.5)
примет вид
n-itt
?„-¦) = О A.6)
и, поскольку |?il>l, ..., |?„_2|>1, из предположения
индукции следует, что | zn_, |<| t,n-i К 1-
Предположим теперь, что сформулированное утвер-
утверждение неверно. Тогда существуют такие z'n_x и z'n, что
Преобразование A.4) отображает пару точек z^, оо
в пару z'n_v zn_v так что |z^_,|>l, |zn_,|<l; поэтому
можно найти такое значение z"n, что |2^|>1 и его
образ z"n_x удовлетворяет условию |z?_,|=l. Повторяя
эти рассуждения с заменой индекса п—\ на г==1,
2 п. — 2, мы получим такой набор чисел zu z2 zn,
что
^B г„_„ г„) = 0 A.7)
и !г,|=1, ..., [2„_,|=1, |2„|>1.
Из того, что Ац = Aji, вытекает тождество
^„BЛ • • - 2-') = 2Г' . . . 2-^пB„ . . ., гя). A.8)
Введя обозначения z\ = z^x ^*n-i — z~}_v можно
переписать равенство A.8) в виде

§ 5.1. Теорема Янга и Ли 163
Сравнивая последнее равенство с A.7), получим1), что
гп = (г*)~' в противоречии с условием |zn|>l. Это за-
замечание заканчивает доказательство.
5.1.2. Теорем а (Ли и ЯнгJ). Сохраняя все обозначе-
обозначения и допущения предложения 5.1.1, образуем полином
п-й степени от z
), A.9)
I
где через N (S) обозначено число элементов множества S.
Все нули этого полинома лежат на единичной окруж-
окружности | z |= 1.
Эта теорема непосредственно вытекает из предло-
предложения 5.1.1.
Рассмотрим теперь решетчатый газ с таким парным
взаимодействием, что потенциальная энергия располо-
расположения Х = {х1 хт} равна
и(Х) = Ы(Х)Ф*+ 2 ФЦ{х,у}). A.10)
{х, у) аХ
В п. 2.4.3 мы показали, что с таким решетчатым газом
естественно связана система спиновых частиц, заклю-
заключенных в области Л. Потенциальная энергия этой си-
системы, соответствующая состоянию, при котором спины
в точках Х\ хт направлены «вверх», а остальные—
«вниз», задается равенством
где
C«* = T 2 ^({О, *})• A-12)
хфО
') Коэффициент при zn в &п совпадает с правой частью ра-
равенства A.5) или, что то же самое, с левой частью равенства A.6)
и по предположению индукции отличен от нуля при |zil^l, ,,,
.... |zn_,|>l.
2) См. Ли и Янг [1].
б*

164 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
Мы уже видели, что 1)
Р(Ф) =
= Mm yV(A)~'lnV ехрГ-ЛГ(Х)Ф'- У ФЦ{х,у})]
Л-*°° Х<=Л [ [х,у)<=Х J
= lim ЛГ(ЛГ'1п
л
<1ЛЗ)
Положим z = ехр [- (Ф1 + СФ»)], Л^ = ехр [ j Ф2 ({л;, г/}I;
тогда
П
A
Л: с: Л
Так что
Р(ф)= Mm ЛГ(ЛГ'1п^(Л)B), 2>0. A.14)
Если Ф2*^, то 0<Лжг/^1. Применяя в этом случае
теорему 5.1.2, мы получим, что нули многочлена ^<Л>(,г)
лежат на окружности |г|=1. Поэтому если |z|<l, то
функция [&*N (A) (z)]ilN ( ' аналитична (мы рассматриваем
ту ее ветвь, которая положительна при z>0) и удовле-
удовлетворяет неравенству
(z)]m (Л) | < [&»<л> A)]щ (Л). A.15)
Переходя к логарифмам, легко видеть, что функции
[05.V(Л)B)]W(A) равномерно ограничены при | z |< 1 и схо-
сходятся, если z^O (воспользуйтесь A.15) и A.14)). Из
теоремы Витали следует, что эти функции сходятся
равномерно на каждом круге {z: \z |<Ja}, где a< 1. Обо-
Обозначим через Я (г) предельную функцию при г< 1. Функ-
') В предположении, что || Ф21| = -j ? | Ф2 ({0, х})\< + то.

§ 5.1. Теорема Янга и Ли 165
ция К аналитична и не обращается в нуль. Если бы она
обращалась в нуль в некоторой точке, то достаточно
малая окрестность этой точки при больших Л содер-
содержала бы корень соответствующего многочлена
[0W(A)B)]1/JV(A), Поэтому Р(Ф) можно продолжить с ин-
интервала 0^г<1 до функции р (z) = In i (z), аналити-
аналитической при |г|<1. Из тождества
-1) = Z-N (Л)^ЛГ (Л) (^ A.16)
которое вытекает из A.8), легко видеть, что функ-
функцию Р(Ф) можно продолжить с интервала 1 <г< 4- оо
до функции p(z~1)+In z. Суммируем все сказанное в виде
следующей теоремы.
5.1.3. Теорема. Пусть взаимодействие частиц ре-
решетчатого газа имеет вид A.10) и Ф2 — фиксированный
отрицательный парный потенциал Ф2^0, || Ф21|< + оо.
Если обозначить
] A.17)
хфО J
то термодинамический потенциал Р (Ф), определяемый')
равенством
Р(Ф)= lim N(A)-1 In 2 exp[-?/(Jf)], A.18)
продолжается с интервала 0 < z < 1 до функции р (z),
аналитической в круге {z: \ z | < 1}, а с интервала
1 < z < + оо до функции р (z) + In z. Поэтому фазовый
переход возможен только при z = 12).
Далее мы рассмотрим как случаи, когда в точке
2= 1 действительно происходит фазовый переход, так
и случаи, когда фазового перехода нет.
') Заметим, что множитель р включен в Ф1 и Ф2 и что z совпа-
совпадает с активностью с точностью до постоянного множителя
2j Здесь мы не рассматриваем зависимость р от

166 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
§ 5.2. ОТСУТСТВИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
В этом пункте мы покажем, что (при подходящих
ограничениях на потенциал взаимодействия) в класси-
классических решетчатых системах не происходит фазовых
переходов при больших значениях температуры р~'').
5.2.1. Теорема. Пусть задан потенциал Ф, удовле-
удовлетворяющий условиям || Ф ||< + оо и Ф(X) = 0, если
N(X) = l или N(X)>k. Положим
рфB,Р) = р-'Ит ЛЧЛ)-'1п 2 zs wexp(- pt/(X)). B.1)
Л-юо Х<=\
Тогда при достаточно малых р функция рф (z, р)
является вещественно аналитической функцией от z при
2
Из теоремы 4.2.7 тем же способом, что и в п. 4.3,
мы получим, что функция рф{г, р) аналитична в круге
J(D-C)
[(Р° 1) 1]1 B.2)
на плоскости комплексных значений активности г.
Применим теперь свойство симметрии 2.4.4. Пола-
Полагая Ф'(X) = 2?Ф(X) при N (X)> 1, Ф'(X) = 0 при N(Х)= 1,
мы можем переписать уравнение D.32) гл. 2 в виде
рф,(г-'ехр(рС), р) = рфB, Р)-р-!1п2: + Сф. B.3)
Пусть С и D' обозначают величины, соответствующие С
и D для потенциала Ф' (см. уравнение B.70) гл. 4).
Тогда
с = 2 () 2 (f
Х=>0 Х^>0, N (Х)>2 Y=>X
= 2 Ф(У) 2 (-l)NW= 2 Ф(У) = С. B.4)
УО X УХО N (Х)>2 УО
2 () 2 ()
УэО X: У=>ХзО, N (Х)>2 УэО
') Этот результат впервые был установлен Р. Л. Добруши-
ным [5] для парного взаимодействия и затем обобщен Галлавотти»
Миракль- Солем и Робинсоном [1].
2) А также вещественно аналитической по р и Ф.

§ 5.3. Существование фазового перехода
167
Поэтому из равенств B.2) и B.3) следует, что функция
рф(г, р) аналитична в области
B.5)
с разрезом1), возникающим из-за In 2.
Рис 13. Функция рф (г, Р) аналитична вне заштрихованной области.
Ясно, что при малых р области B.2) и B.5) целиком
покрывают положительную вещественную полуось на
плоскости z (рис. 13). Теорема доказана.
§ 5.3. СУЩЕСТВОВАНИЕ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА
ПЕРВОГО РОДА ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
В этом пункте мы рассмотрим решетчатый газ с пар-
парным взаимодействием. Теорема 5.1.3 показывает, что
если потенциал парного взаимодействия Ф2 отрицате-
отрицателен, то фазовый переход возможен только при 2=1
(где величина z определена равенством A.17)). Мы дока-
докажем, что для подходящего класса потенциалов парного
взаимодействия в точке 2=1 происходит фазовый пере-
переход, если только температура р достаточно мала.
Этот фазовый переход является переходом «первого
Вдоль отрицательной вещественной полуоси. — Прим. перев.

168 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
рода», т. е. плотность р, как функция активности пре-
претерпевает в этой точке скачок1).
5.3.1. Теорема. Рассмотрим решетчатую систему
с парным взаимодействием, т. е.
U(X) = N (X) Ф1 + 2 Ф2 ({*, у)). C.1)
{х, у)<=Х
Положим
г = ехр Г - РФ1 - -i р 2 Ф* ({0, *})] C.2)
L X ФО J
и
p(z, Р) = Р~' lim N(A)~]\n 2 ехр[- &U (X)]. C.3)
Обозначим через Фн ..., Фу значения потенциала Ф2
на есел: v базисных ортах2), и пусть
S' обозначает суммирование по всем узлам х е Zv,
кроме 0 и 2v ближайших к нулю узлов.
Если v>2a
C.5)
при i = 1, ..., v, то при достаточно малых значениях р
в точке z= 1 происходит фазовый переход первого рода.
Для доказательства положим
С! {А, «)= ^ ехР [IS 2 Ф2 ({*>#})]• C.6)
') Идея доказательства восходит к Пайерлсу [1]. Строгое дока-
доказательство для близкодействующих потенциалов было проведено
Гриффитсом [2] и Добрушиным [2]. В этом пункте мы следуем
статье Жинибра, Гроссмана и Рюэля [1]. См. также Добру-
ш и н [3].
2) То есть Ф,- = Ф2@, et), где е\ = 1, е{=0 при i ф /.

§ 5.3. Существование фазового перехода 169
Величина Q совпадает с малой статистической суммой,
вычисленной для системы спиновых частиц, взаимодей-
взаимодействующих с потенциалом — -^Ф2{х, у), если спины ча-
частиц, находящиеся в точках х и у, противоположны, и
с потенциалом 0 в остальных случаях. Соответствую-
Соответствующую большую статистическую сумму можно в обозна-
обозначениях § 5.1 записать в виде
ЛГ(Л)
^(А)(г)=2г"<?(Л,я). C.7)
5.3.2. Предложение. Пусть кубический «ящик»
Л стремится к бесконечности,
(а) Если N (Л)~'га->р, то предел
g (р) = $-1 \im N (Л)'1 \п d (Л, п) C.8)
существует. Он является положительной вогнутой
функцией плотности р на отрезке [О, 1] (рис. 14)
и удовлетворяет условию
гО-р) = г(р). C.9)
(б) Если z>0, то функция p(z, P), определенная
равенством C.3), удовлетворяет условиям
р (г, Р) = Р lim N (Л) In &ы (Л> (z) =
^^ О V 1 ft *"" Л Ifl It 1 /г/л\1 /Q 1 Л\
р
p(z, p) = plnz + p(z~1, p). C.11)
Результаты подобного рода были рассмотрены в гл. 3,
и сейчас мы воз^'.жимся от формального доказа-
доказательства ')• Мы покажем, что при достаточно малых
') Статсумму Q для спиновой системы можно заменить на стат-
статсумму для решетчатого газа, используя формулу D.25) г\л. 2.
Затем можно применить теоремы 3.4.4 и 3.4.6. Эти теоремы спра-
справедливы и для спиновых систем; нужно только, чтобы взаимодейст
вие удовлетворяло условию

170
Гл. 5. Проблема фазовых переходов
температурах р ' график функции g содержит горизон-
горизонтальный отрезок (рис. 14). Отсюда, используя C.10),
Рис. 14. Зависимость свободной энергии от плотности при фазо-
фазовом переходе первого рода.
легко получить существование фазового перехода первого
рода в точке г= 1.
5.3.3. Предложение1). Для каждого куба AcrZv
выберем некоторую совокупность Ж подмножеств куба А
и положим
Z(A,n) =
s
Если
р~
2 ехрГ§-Е
а«, N(S)~n L JteS
1Hm^(Ar1lnSZ(
Л, га) = рA,
J
p)
C.
C.
12)
13)
lim
то функция g постоянна на отрезке [p0, 1 — p0].
C.14)
') Вместо последовательности кубов можно рассмотреть любую
другую последовательность областей, для которых существует тер-
термодинамический предел. Мы воспользуемся этой возможностью
ниже, при доказательстве теоремы 5.4.6,

§ 5.3. Существование фазового перехода 171
Пусть задано е>0. Построим последовательность
кубов (Л;), такую, что Л, -» оо и
[.2jZ(A<t «)]"'S
Тогда
«>л'(л,-)(ро+Е)
Поэтому
n<JV(A,.)(po+e)
так что
) In 2J
lim N (Л,-) In 2J Z(A|t n) = pp(l,p). C.15)
i <Л?(Л)(+)
Если числа «<<Af (Л,)(ро + е) выбраны так, что
«j)= max Z(Ai; n),
W(A)()
то равенство C.15) принимает вид
lim N(А,Г1 InZ(At, п,)-$р (I, p). C.16)
Выбирая, если это необходимо, подпоследовательность
областей Ait мы можем считать, что
Тогда из C.8), C.16) и C.10) следует
что и доказывает предложение 5.3.3.
5.3.4. Выбор совокупности Л. Пусть сторона куба Л
имеет длину k
A={xe=Zv: 0<x'< k при i=l, .... v}. C.17)
Положим
A'=(xgZv: l<x'<fe-l при i = l, ..., v}. C.18)
В качестве совокупности подмножеств Ж, фигурирую-
фигурирующей в предложении 5.3.3, выберем совокупность всех

172
Гл. 5. Проблема фазовых переходов
подмножеств куба Л'. При таком выборе Ж предложение
5.3.3 можно переформулировать следующим образом.
Переопределим большой канонический ансамбль (при
2=1), введя нулевое «граничное условие» (т.е. потре-
потребовав, чтобы в каждом расположении все узлы на гра-
границе куба Л были свободными). Если при таком пере-
переопределении меняется средняя плотность ('/2 заменяется
на число, не превосходящее р0), то это означает нали-
наличие фазового перехода первого рода.
Таким образом, чтобы доказать теорему 5.3.1, до-
достаточно убедиться в справедливости неравенства C.14),
так как справедливость C.13)
очевидна. Для этого мы введем
некоторые новые понятия и
обозначения.
Будем считать, что решет-
решетка Zv обычным образом вло-
вложена в Rv. Пусть задано мно-
множество Sejf (т. е. Sch!).
Для каждого узла ie5 по-
построим v-мерный единичный
куб с центром в л; и исклю-
исключим из рассмотрения те грани
построенных кубов, которые встречаются дважды. Остав-
Оставшиеся грани образуют замкнутую поверхность '), кото-
которую обозначим через Г E). Каждая грань, принадлежа-
принадлежащая Г E), отделяет узел xeS от узла y^S. Каждое
v-2-мерное ребро многогранника Г E) служит пересе-
пересечением двух или четырех граней построенных кубов.
В последнем случае (пересечение четырех граней) мы
слегка изменим наш многогранник, «срезав» ребра
у кубов, содержащих точки из 5 (рис. 15). После этого
поверхность Г E) разобьется на связные компоненты
Yi. • ••> \г> которые мы назовем циклами.
Для заданного цикла y обозначим через Af (y) число
точек решетки Zv, лежащих внутри цикла Y» и через
| y U число граней цикла Y. ортогональных i-й коорди-
координатной оси. Начальной точкой цикла y мы назовем
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Рис. 15. Многогранник
T()
¦) Возможно, не связную. — Прим. пере в.

§ 5.3. Существование фазового перехода 173
узел xeZv, содержащийся внутри у и первый среди
всех таких узлов в смысле лексикографического порядка
в г\
Докажем теперь три простые леммы, содержащие
оценки энтропии, числа частиц и энергии, ассоцииро-
ассоциированные с циклом у. в терминах чисел \у\х, ..., \y\v.
5.3.5. Лемма. Число циклов у с заданными зна-
V
чениями IyIi, •••, IyIv не больше чем N (А). Д 3|у'г~'.
Доказательство. Рассмотрим циклы y с фикси-
фиксированной начальной точкой; v граней единичного
куба с центром в этой точке принадлежит циклу Y-
Будем теперь строить цикл y. прикладывая грань
к грани. При каждом «прикладывании» к фиксирован-
фиксированному (v — 2)-мерному ребру есть три возможности.
v
Всего нужно «пристроить» 2 (|vb~ 1) граней. Поэтому
«-1
число циклов с заданным набором | y It и фиксирован-
v
ной начальной точкой не больше чем ТТ З1^*, откуда
и вытекает утверждение леммы.
5.3.6. Лемма. Пусть ГE) состоит из циклов
Yi Yr. тогда
%yt) C.19)
и для любого цикла у
ntiI^". C.20)
Поскольку циклы Yi могут содержаться друг в дру-
друге, то
где в/= ± 1. Отсюда следует оценка C.19).

174 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
Если у — цикл, то C.20) означает, что его объем
N (у) не превосходит объема параллелепипеда, грани
которого имеют площади -^ \ у \i ')•
5.3.7. Лемма. Пусть SczA'. Положим
• C.21)
Пусть F(S) состоит из циклов Yi> ..., yr, a F(S') —
из циклов Yi> ..., Уг-\. Тогда
Z (S)/Z (S') < ехр Г| SI Yr li (Ф| + ^>i)l • C-22)
Доказательство. Множества S и S' таковы,
что Г (S) = Г (S') U Yr- Заметим, что две точки х, у е Л,
которые одновременно лежат внутри или вне цикла Yr.
привносят один и тот же вклад в Z (S) и Z (S'). Каж-
Каждая грань цикла Yr разделяет пару «ближайших со-
соседей» ^,1/еЛ, таких, что jcgS, г/ ^ S; с другой сто-
стороны, либо jcgS' и i/eS', либо л: ^ S'и y^S'. Каж-
дая такая пара дает множитель ехр | J~
V
в C. 22). Существует не больше чем SlY*lll'l спосо-
способов, которыми вектор ! = (!', ..-, ?v) может быть пред-
представлен в виде разности \ = х — у или 1 — у — х, где
') Опустим условие, что площади граней цикла у выражаются
целыми числами; неравенство C.20) сохранится, если мы изменим
v
масштаб в Rv по г-й координате в Х{ раз, так чтобы JJ^=1.
i=l
Выбрав Я; подходящим образом, мы можем добиться того, чтобы
|y|!= ... = | у |v, а в этой ситуации C.20) вытекает из того, что
объем цикла у не превосходит объема куба с той же площадью
поверхности.

§ 5.3. Существование фазового перехода 175
узел х лежит внутри цикла уг, а у — вне уг. (Для до-
доказательства соединим узлы х и у ломаной линией,
состоящей из v отрезков '), параллельных координатным
осям; эта ломаная должна пересечь поверхность цикла y.
Если грань, по которой происходит (первое, считая от
точки у) пересечение, перпендикулярна г-й координат-
координатной оси, то такое пересечение может произойти ||'|
способами.) Поэтому кроме множителя, соответствующего
ближайшим соседям, статсуммы Z(S) и Z{S') отли-
отличаются самое большее множителем
что и завершает доказательство леммы.
Перейдем теперь к доказательству неравенства C.14).
Из C.19) и C.21) следует, что
Z(S)N(A)-XN(S)< Ц
21iV(Y)Z(Y)) C.23)
где через Z(y) обозначена сумма величин Z(S) по всем
множествам S, граница которых Г (S) содержит цикл Y-
Легко показать, что
~'z (Y) < ехр Г| 21 у I, (Ф, + D,)]. C.24)
L?J
Г S Z (S0]
Для доказательства оставим в знаменателе левой части
сумму только по тем множествам S', для которых при
некотором S^M и Г (S') = Г (S) \ Y» и затем восполь-
воспользуемся оценкой C.22).
') Длины ||'| каждый.— Прим. перев..

176 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
Из соотношений C.23), C.24) и C.20) следует, что
2 Z(S)Yl 2 Z(S)N(A)-lN(S)<t
(Л)~XN (v) exp U- J | y |4
L i
г v
L «=
V « 1
C.25)
Из неравенства C.25), заменяя суммирование по цик-
циклам y на суммирование по всем наборам чисел | y li =
— 2/ь ..., |vtv = 2/v и используя лемму 5.3.5, получим
[2 Z(A, я)] 2 [Z(A, n)N(A)-ln} =
2 ¦•• I П
Z l Z1 j l
= П (t§'
exP № (Ф| + Д|)]) ¦ C.26)
Из этой оценки следует, что при достаточто боль-
больших р справедливо неравенство C.14). Тем самым тео-
теорема 5.3.1 доказана.
§ 5.4. НЕРАВЕНСТВА ГРИФФИТСА
Существенным пунктом в доказательстве теоремы 5.3.1
является неравенство C.14). На языке спиновых систем
это неравенство означает следующее: потребуем, чтобы
все спины частиц, находящихся на границе куба Л,
были направлены «вниз», тогда и остальные спины
будут стремиться смотреть «вниз». Таким образом,
можно сказать, что если выполнено условие C.5), то
спины стремятся быть направленными в одну сторону.
В частности, спины стремятся быть упорядоченными,
если потенциал Ф2 отрицателен, и естественно ожидать,

§ 5.4. Неравенства Гриффитса \Т7
что чем более отрицателен потенциал Ф2, тем упорядо-
ченнее расположены спины. Эти рассуждения приводят
к весьма общей теореме 5.4.1, которой мы воспользуемся
при распространении результатов § 5.3 о существовании
фазовых переходов первого рода в решетчатых системах.
5.4.1. Теорема1). Рассмотрим конечное множе-
множество Л = {дг,, ..., Ху), и пусть ах принимает значение + 1
и — 1 для каждого неА, Для каждого подмножества
1сЛ положим
ох=И ох, D.1)
х<вХ
и пусть /х^О или Jx= +°°. я /0 = 0. Введем обозна-
обозначения
U'(oXl, ..., oxv)=- 2 *хох> D.2)
Z = 2 ехр [ - U\aXi, ..., аху)\, D.3)
<<r*> = Z-1 Sax exp [ - U\aXl aXy)]. D.4)
Суммирование в D.3) и D.4) производится по всем 2V
наборам aXl, ..., аХу. В этих обозначениях
^ D.5)
для всех подмножеств X, Y cz Л и справедливы следующие
неравенства:
(I) <<7*>>0, D.6)
(II) (ахаг)-(ах)(ау)^0. D.7)
Доказательство. Тождество D.5) вытекает не-
непосредственно из определений.
При доказательстве неравенств D.6) и D.7) мы вос-
воспользуемся тем, что среднее D.4) не меняется, если
') Эта теорема, доказанная Келли и Шерманом [1], содержит
различные результаты Гриффитса [4]. Поэтому мы называем нера-
неравенства D.6) и D.7) неравенствами Гриффитса. Кроме воспроизво-
воспроизводимого здесь доказательства, Келли и Шерман приводят очень инте-
интересное доказательство неравенств Гриффитса, использующее «экспо-
«экспоненциальное продолжение».

[78 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
к U' добавить произвольную константу. Положим
a = (aXi, ..., оХу) и, кроме того,
V (а) = U'(a) + 2 /х = - 21х(ох - 1), D.8)
Г = 2ехр [-?/»]• D.9)
а
а
В этих обозначениях
D.10)
Ясно, что ах — 1 принимает только значения 0 и —2.
Поэтому из D.8) следует, что
1Х; D.11)
Хс=Л: а 1
Введем обозначения
Ах = ехр (- 2JX), Z(o) = exp[-U*(o)]. D.12)
Тогда 0<Лх<1 и
2(а)= П лх. D-13)
z* = 2 2 (а), <а*> = (Г)~'2 ^Z (а). D.14)
а а
5.4.2. Доказательство неравенства (I). Предполо-
Предположим сначала, что /к = 0 для всех У с: Л; в этом случае
из D.11) и D.12) следует, что Z{o)= 1 при всех сг, и из
D.14) мы получаем
"• D.15)
О, если Хф0.
Тем самым мы доказали неравенство I в этом простом
случае.
В общем случае применим индукцию по числу под-
подмножеств У из Л, для которых Jy ф 0.
Предположим, что выражение
\О ) = ?^о L (о) D.1о)
а
положительно, если /к ф 0 только для k подмножеств У
из Л. Обозначим через S (fe + l)-e подмножество из Л.

$ 5.4. Неравенства Гриффитах 179
Мы хотим доказать, что выражение D.16) положительно
при всех /s^0. Удобно рассматривать правую часть
D.16) как функцию {(As) от переменной As, поскольку
из D.13) и D.14) следует, что f является линейной
(неоднородной) функцией As. Так как множеством зна-
значений As служит отрезок [0,1], то достаточно проверить,
что f@)>0 и fA)>0.
Из предположения индукции следует, что f A)^0, так
как As = 1, если Js = 0. С другой стороны значение As = 0
соответствует Js= +oo, так что в этом случае Z(a) = 0,
если as = — 1; поэтому
f@)= 2 oxZ{o). D.17)
0: os = + 1
Заметим, что множители Z(a), входящие в D.17) и
соответствующие только таким а, для которых as = +1,
не зависят от As; поэтому они такие же, как и при /s = 0.
Итак, мы получили
f @) = 2 о* ^fL Z(o) = ± [(o*os) + <<т*>] Г, D.18)
где математические ожидания вычисляются при Js = 0
и поэтому положительны (по предположению индукции).
Итак, f @)^0, что доказывает неравенство (I).
5.4.3. Предварительные замечания к доказательству
неравенства (II). Введем обозначения
F = -^?- [(oW) - (о*) (аУ)}, D.19)
Р= 2 Z(o); q= 2 Z(<x), D.20)
о: цХ~1> 0^=1 о: 0-^ = 1, о^ = —1
г= 2 ^ (a); s= 2 Z(a). D.21)
а: а* — - 1, aY = 1 о: ах = — 1, aY = - 1
В этих обозначениях имеем
F = -j-[(p + q + г + s) (р - q - г + s)~
-(p + q-r-s)(p-q + r-s)] =
= 4-[(р + sf ~(q + rf - (p - sf + (q- rf\ = ps - qr. D.22)

180 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
Из соотношений D.13) иD.22) следует, что/7 полином по
As (ScrA), степень которого по каждой переменной As
не превосходит двух. Кроме того, это выражение одно-
однородно по Ах и Ау с показателем 1 (потому что г и s
пропорциональны Ах, a q и 5 пропорциональны AY).
Каждый полинам P(xlt ..., хм) единственным обра-
образом представляется в виде
P = Po + IiPaxa, D.23)
а
где суммирование производится по 2м — 1 непустым
подмножествам a = {ii, ..., ir) множества индексов
О, .... М), а
ха = х1х ... Х(г, D.24)
и полиномы Ро, Ра являются четными функциями по
каждой переменной xt(i=l, 2, ..., М). Если заменить
Xi(i=l, ..., М) на /4s(ScA) и вместо ха писать Аа,
то мы получим представление функции F в виде
F=liFaAa, D.25)
a
где FQ = 0, так как F — однородная функция с показа-
показателем 1 по Ах и Ау. Следующая лемма дает некоторую
информацию о структуре произведений Аа.
5.4.4. Лемма. Пусть а фа'', и пусть произведение
Z(a)Z(a') представлено в виде D.23)
Z(o)Z(a') = PaAa. D.26)
Тогда найдется такое подмножество Тас:А(Таф 0),
что
As входит множителем в Aa€$N{S(] Ta) нечетно. D.27)
Доказательство. Положим
Та = (D UD')\(D ПD') = {х<=А: охФ а'х) Ф 0. D.28)
Из выражения D.13) вытекает, что следующие утвер-
утверждения эквивалентны
As входит в Z(a)^as= -l^N(S(]D) нечетно.

§ 5.4. Неравенства Гриффитса 181
Отсюда следуют эквивалентности
As входит в ЛаФФ As входит в Z(a) Z (а') с показателем 1ФФ
&N(S[)D) + N(S[)D') нечетно. D.29)
С другой стороны,
= N(S[)(Dl}D'))-N(S[}(D()D'))= (mod 2)
= N (S П [(D U D')\(D П D7)]) = ^V E П Га). D.30)
Из утверждений D.29) и D.30) вытекает эквивалентность
D.27). Лемма доказана.
5.4.5. Замечания
(а) Подмножества 5 куба Л, для которых N (S П Та)
нечетно, составляют ровно половину общего чи-
числа подмножеств. Поэтому ввиду D.27) половина
переменных As входит в Аа.
(б) Пусть ахфа[ и равенство
Z{al)Z{a[) = PaiA^ D.31)
представляет собой разложение произведения
Z(a^Z(a[), соответствующее формуле D.26). Если
а, Ф а, то обязательно найдутся такие перемен-
переменные As, которые входят в Ла' и не входят в Аа.
(в) Из равенств D.20), D.21) и D.22) следует, что F
представляет собой сумму членов вида ±Z{a)Z(a'),
где а ф а'. Поэтому если в равенстве D.25) Fa Ф 0,
то найдутся такие подмножества Та, для которых
справедлива эквивалентность D.27). В частности,
справедливы предыдущие замечания (а) и (б).
5.4.6. Доказательство неравенства (II). Поскольку
^Л5^1 при всех S, то каждый моном Аа в D.25)
положителен. Поэтому, чтобы доказать неравенство (II)
(т. е. F^O), достаточно показать, что Fa~^Q при всех а.
До сих пор мы рассматривали сумму F как полином
от всех переменных As, где 5 сг Л. Для фиксированного а
обозначим через F полином от переменных As, для
которых N(S(]Ta) четно, получающийся, если в поли-
полиноме F всем переменным As, для которых N E Г) Та)

182 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
нечетно, придать значение +1. Мы можем представить
полином F в виде D.23), тогда
F = F0 + ^F^. D.32)
Как уже говорилось, для получения полинома F мы
положили As'=l в точности для всех переменных As-,
входящих в Аа. Поэтому из 5.4.5 (б) следует, что
Fa = Fo. D.33)
Обозначим через Z(o), p, q, r и s многочлены, полу-
получаемые из Z(a), p, q, r и s, если As'=l для всех S',
таких, что N (S' П Та) нечетно.
Определим перестановку а-*а* множества всех рас-
расположений а равенством
ох, если х ф: Та, .. „..
— ах, если х е Та.
Заметим, что ввиду D.13) и D.34)
Z(a) = Ц [As: (оУ = - 1, N (S П Та) - четно]^
= П IAS: (as) = - 1, N (S f] Ta) - четно] = Z (a). D.35)
Если Ах входит в Аа, то лемма 5.4.4 показывает,
что N (X П Та) нечетно; поэтому
ах = - (ау D.36)
и аналогично
аг = _ (ау. D.37)
Из определений D.20) и D.21) многочленов р, q, r
и s, используя равенства D.35), D.36) и D.37), легко
получить, что
p = s, q = r. D.38)
Поэтому _
F = p2- q2. D.39)
Подставляя D.20) в D.39) и отделяя квадраты и попар-
попарные произведения, приведем D.39) к виду
F = Q + R. D.40)

§ 5.4. Неравенства Гриффитса 183
Здесь
Q= 2 Z(of- 2 Z(<xJ= 2 oYZ{af.
D.41)
Многочлен R является суммой слагаемых вида ± Z(oi) X
X Z{a'i) = Ra>Aai для в\фо\ и Л* не входит сомножите-
сомножителем в А"" (D-13) и D.20)). Ввиду 5.4.5F) существует пе-
переменная As,, входящая в Л™1 и не входящая в Аа; по-
поэтому R не дает вклада в член Fo из D.32) и
?o = Q- D.42)
Заметим теперь, что из выражения D.41) следует,
что многочлен Q имеет вид правой части D.17), где не-
некоторые из переменных Ат следует заменить на А% (и
по-прежнему 0<!Лг=?^1), а некоторые —на 1. Эта за-
замена сохраняет справедливость утверждения о положи-
положительности правой части D.17). Итак, мы показали, что
Q^O; ввиду соотношений D.42) и D.33) отсюда сле-
следует, что Fa^0, а это в свою очередь доказывает не-
неравенство (II).
В качестве первого применения теоремы 5.4.1 мы
докажем вариант теоремы 5.3.1, уточняющей результат
статьи Ф. А. Березина и Я. Г. Синая [lj.
5.4.7. Теорема. Сохраним все обозначения и пред-
предположения теоремы 5.3.1, заменив только условие C.5)
на следующее: Ф^О и, кроме того, Ф2 (У < О, Ф2 (?2) < О
для некоторых линейно независимых векторов |) и |2-
При этих условиях в точке г = 1 происходит фазовый
переход первого рода, если только температура р~' до-
достаточно мала.
Сделав, если необходимо, замену координат, мы
можем считать, что ?t = (?|, 0, 0, ...) и |2 = (Ц, Ц, 0, ...).
Положим
Mk = {n%i + п% е= R2: п\ п% = 0, 1, ..., k - 1}. D.43)

184
Гл. 5. Проблема фазовых переходов
Существование фазового перехода первого порядка
мы докажем, используя предложение 5.3.3 и рассмотрев
вместо куба Л область Ak
АА = {х: {х\ х2} g4 0 < х1 < k при / = 3, ..., v}, D.44)
где Mk — множество точек в R2, представимых в виде
линейной комбинации (с рациональными коэффициен-
коэффициентами) точек из Mk (рис. 16). Обозначим через ЛА множе-
Рис. 16. Пример множества Mk (кружки) и Mk (кружки и кре-
крестики) при k — 3. Жирной линией обведена область Л&.
ство всех точек из Аь для которых вектор (дс1, х2) не
представим в виде п%\ + п2\2 с коэффициентами п\ и2,
равными нулю или k — 1.
В качестве множества Л, фигурирующего в пред-
предложении 5.3.3, мы рассмотрим семейство всех подмно-
подмножеств из Ля. Ясно, что равенство C.13) выполнено;
остается доказать оценку C.14). Левую часть неравен-
неравенства C.14) можно переписать в виде
lim Г 2 Z(S)Tl 2 Z(S)N(Ak)-lN(S), D.45)
где
ieS i/eA\S
D.46)
Выразим теперь величины D.45) и D.46) в терминах
теоремы 5.4.1. Для каждого подмножества S из Ак и

§ 5.4. Неравенства Гриффитса 185
j положим ах — + 1, если х ф S, и ах = — 1, если
. Пусть
f + оо, если хеЛдЛ^
/{*} = \ D.47)
i 0 в противном случае;
/х==0, если N(X)>2. D.49)
В этих обозначениях (D.11) и D.12)) имеем
f Z(S), если SczA'k
ЭД = !о, если 5*^ D-5°)
Выражение D.45) можно теперь переписать в виде
.. G*\~1 V 7(\М(А )"' V ——?- —
*->" а х
= limJV (Л,) 2 (-Ц^-> = j - Mm 1Л^ (Л,) ^ (аж).
* D-51)
Воспользуемся теперь теоремой 5.4.1 для того, чтобы
сравнить D.51) с аналогичным выражением, получаю-
получающимся при другом выборе /х. Пусть ]{х< У) = J{Xt yy,
если (х1, х2)еМь (у1, tf)^Mk и x3 = yi xv = yv;
в остальных случаях положим J[x, У) = 0. При N ф 2 по-
положим J'x = Jx- Ясно, что /*<1/х; поэтому из нера-
неравенств D.5) и D.7) следует
где при вычислении среднего ( )' использована функ-
функция Гх- Поэтому
l 2 (ох)'. D.52)
x<±Mk
В последнем равенстве мы воспользовались тем, что
(ох)' = 0, если х е Мк \ Afft. Взаимодействие /^, рассмат-
рассматриваемое на множестве Мк, соответствует парному

186 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
потенциалу Ф'2, такому, что Ф\ = Ф2^) < О, Ф? = Ф2 (|2) < О
и D[ = Di = 0. Поэтому условие C.5) выполнено и для
взаимодействия Ф' справедлива оценка C.14). Поскольку
левая часть неравенства C.14) имеет вид D.51), то
Отсюда ввиду D.52) следует, что
7~ llllT^*) Ll \ox?^j. D.53)
Поэтому оценка C.14) выполняется и для взаимодейст-
взаимодействия Ф. Теорема 5.4.6 доказана.
5.4.8. Фазовые переходы в решетчатых газах с отри-
отрицательным взаимодействием. Для решетчатых газов
с отрицательным парным взаимодействием нам известна
довольно детальная информация о возможностях фазо-
фазовых переходов. Пусть, как и раньше, величина z опреде-
определяется равенством A.17). В § 5.1 было показано, что
фазовый переход возможен только при г= 1. С другой
стороны, в § 5.2 показано, что при больших значениях
температуры р~' фазовых переходов не происходит. Тео-
Теорема 5.4.6 показывает, что при малых температурах Р
происходит фазовый переход первого рода, если взаи-
взаимодействие существенно неодномерно. В случае «одно-
«одномерного» взаимодействия можно доказать'). что если
потенциал этого взаимодействия достаточно быстро убы-
убывает на бесконечности, то фазовый переход невозможен
ни при каких значениях р~'.
5.4.9. Спиновые системы. Пусть множеством Л, фи-
фигурирующим в теореме 5.4.1, служит некоторое конеч-
конечное подмножество решетки Zv. Если /х=0 при Af (X) Ф 2,
то потенциальная энергия D.2) может быть записана
в виде
U' (ох, ..., оХу) = - 2 hx. у) о*а>>, D.54)
{*.»><= А
1) См. 5.6.5.

§ 5.4. Неравенства Гриффитса 187
что соответствует системе частиц со спином при отсут-
отсутствии внешнего магнитного поля. Предположим допол-
дополнительно, что функция J{X, y\ трансляционно инвариантна
hx+a, у+а) = J{x, у}-
Если /{*, j,> = 0 во всех случаях, когда х и у не являются
ближайшими соседями'), то выражение D.54) определяет
потенциальную энергию модели Изинга. Как хорошо
известно, в термодинамическом пределе все термодина-
термодинамические функции в одномерной и двумерной моделях
Изинга могут быть вычислены точно и в замкнутом
виде2).
При v = 2 в так называемой «точке Кюри» происходит
фазовый переход, проявляющийся в нарушении регуляр-
регулярности термодинамических функций. Ниже температуры
фазового перехода в модели Изинга существует «даль-
«дальний порядок»3) в том смысле, что
L= lim lim (вхву)>0. D 55)
Теорема 5.4.1 показывает, что (ахау) убывает по мере
убывания J{X, y)\ поэтому L и «температура Кюри», при
которой появляется дальний порядок, тоже убывают
одновременно с J{x, У). На этом пути можно доказать су-
существование дальнего порядка для многих систем4).
Если к D.5,4) добавить член, соответствующий маг-
магнитному полю, то потенциальная энергия примет вид
V ((Ц, , .., ахл) = - ^ J^ hx) a*~ S л hx. v) вхву D.56)
Предположение трансляционной инвариантности при-
приводит к тому, что ](Х) (напряженность магнитного поля)
оказывается не зависящей от х. Определим термодина-
') Если у вектора х — у модуль одной из координат равен 1,
а все остальные координаты равны нулю, то х и у — ближайшие
соседи.
2) См. Онзагер [2], Херст и Грин [1].
3) См., например, Шульц, Маттис и Либ [1].
) См. Гриффите [4]. Читатель мог обратить внимание, что на-
личие дальнего порядка здесь связано с существованием фазовога
Перехода первого рода, доказанным в теореме 5.4.7.

188 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
мическую «удельную намагниченность (на спин)» равен-
равенством
<т = Urn У (Л)-1 2 (О- D-57)
Изучение спиновых систем, находящихся в магнитном
поле, с потенциальной энергией D.56) математически
эквивалентно изучению решетчатого газа с потенциаль-
потенциальной энергией C.1)'). При такой эквивалентности хими-
химический потенциал решетчатого газа соответствует ли-
линейной функции от напряженности магнитного поля
спиновой системы, а плотность соответствует A+<т)/2.
Теорема 5.4.7 показывает, что при малых значениях
температуры решетчатый газ испытывает фазовый пере-
переход первого рода, т. е. его плотность как функция
активности имеет разрыв первого рода (скачок). В пе-
переводе на язык спиновых систем это означает, что а
как функция /{4 претерпевает скачок, т. е. величина
^ D-58)
положительна (<т5>0) при малых значениях р. Назо-
Назовем as спонтанной намагниченностью. Из теоремы 5.4.1
следует, что она является убывающей функцией взаи-
взаимодействия 1{Х;УJ). Теорема 5.2.1 показывает, что при
больших значениях р~' спонтанная намагниченность от-
отсутствует (т. е. as = 0). Этот результат может быть по-
получен и непосредственно3).
§ 5.5. ТЕОРЕМА МЕРМИНА И ВАГНЕРА
В § 5.4 мы видели, что при v^2 и подходящем
взаимодействии классические спиновые системы обла-
обладают спонтанной намагниченностью, если темпера-
температура р~' достаточно мала. Для соответствующего класса
квантовых систем Мермин и Вагнер получили отрица-
отрицательный результат; при v<2b этих системах нет спон-
>) См. 2.4.3.
2) Спонтанная намагниченность плоской модели Изинга может
быть вычислена точно, см. Янг [1].
3) См. Гриффите [4], а также Уэнг, Гриффите, Фишер [1] и
Фишер [4].

§ 5.5. Теорема Мермина и Вагнера 189
тайной намагниченности. Разницу в поведении класси-
классических и квантовых систем при v = 2 можно пояснить,
сказав, что в квантовых системах стремление к одина-
одинаковой ориентации спинов на всей решетке Zv проявляется
меньше, чем в классических.
Это утверждение довольно правдоподобно, поскольку
для квантовых частиц спин может непрерывно изме-
изменяться между направлениями «вверх» и «вниз»; поэтому
соседние спины могут быть ориентированы почти в одном
направлении, в то время как для всей решетки такого
направления может не быть. Подобная ситуация не-
невозможна для тех классических спиновых систем, ко-
которые мы рассматривали').
Опишем точно класс квантовых спиновых систем,
которые мы будем рассматривать («изотропные модели
Гейзенберга»). Как уже говорилось в § 2.2, каждой
точке ^eZv соответствует «копия» Жх конечномерного
гильбертова пространства Ж. Предположим, что в Ж за-
задано неприводимое унитарное представление группы
SU BJ), которое задается тремя (самосопряженными)
инфинитезимальными операторами S{, S2 и 53, удовлет-
удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:
[S,, S2] = iS3, [S2, S3]=ISU [S3, Si] = iS2. E.1)
Определим матрицы
S± = -±r(Sl±lSi). E.2)
Тогда
з
2s| = S+S_ + SJ+ + Sl = (s+l)s.l E.3)
при условии, что размерность пространства Ж равна
2s+1. Справедливы следующие коммутационные соот-
соотношения:
[S+, S-] = 53, [S3, S±] = ± S±' E.4)
') Можно рассматривать классические системы с непрерывным
множеством направлений спина. Такие системы в том, что касается
спонтанной намагниченности, ведут себя как квантовые. См. Мер-
мин [1].
2) То есть однозначное (или двузначное) представление группы
вращений трехмерного пространства.

190 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
Обозначим через St (х) оператор, соответствующий пре-
преобразованию St в Жх. В качестве гамильтониана на-
нашей квантовой спиновой системы (для конечного «сосуда»
AcrZv) рассмотрим выражение
Я(Л)=-
х,
-h 2 S3(x). E.5)
В этом выражении h обозначает «магнитное поле», на-
направленное вдоль «третьей» оси. Предположим, что
/@) = 0, /(-*) = /(*) и
М= 2 |л:2/(л:)|<+оо. E 6)
Чтобы доказать отсутствие спонтанной намагничен-
намагниченности для взаимодействия E.5) при v^2, нам по-
потребуется неравенство, к доказательству которого мы
и перейдем.
5.5.1. Лемма (неравенство Боголюбова). Пусть
гильбертово пространство $ конечномерно, Н — самосо-
самосопряженный оператор в $ и р>0. Для каждого опера-
оператора X, действующего в ?>, положим
(X) = {Spe~fiH)-1SpXe-m; E.7)
тогда для любых двух операторов А и С, действующих
в ?, справедливо неравенство
\Р(АА* + А*А)([[С, Н], С*])>\{[С, А]) |2. E.8)
Определим в пространстве операторов, действующих
в ?>, положительное полуопределенное скалярное про-
произведение
(А, В) = 2 (+, Л'фНф, В*) *' », E.9)
ф, 4> ф
?ф = (Ф, ЯФ), ^ = (Spe-pT'e"P4 E.10)
где сумма берется по всем парам (ф, а|)) элементов орто-
нормированного базиса, состоящего из. собственных век-

§ 5.5. Теорема Мермина и Вагнера 191
торов оператора Я, за исключением тех пар, для ко-
которых Еу = ?ф.
Если Ев)<Еф, то
е
Поэтому
Отсюда
(Л, Л)<-1р<ЛЛ* + Л*Л). E.11)
Запишем неравенство Шварца для скалярного произ-
произведения E.9)
(Л, Л)(В, В)^\(А, В) |2. E.12)
Выберем В в виде [С*, Н]. Тогда
(А, В) = ({С, Л1>, E.13)
(В, В) = <[<Г, [Я, С]]}. E.14)
Подставляя оценки E.11), E.13) и E.14) в E.12), полу-
получим утверждение леммы.
5.5.2. Теорем а (Мермин — ВагнерI). Положим
= р-' Htn
Л->оо
E.16)
где Я (Л) определяется равенством E.5). Пусть усло-
условие E.6) удовлетворено, тогда
lima(ft) = 0, E.17)
ft->0
если размерность \
') См. Мермин и Вагнер [1].

192 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
Предположим сначала, что потенциал / обладает
конечным радиусом взаимодействия') и что система
содержится в «периодическом» кубе Л (а), как это опи-
описано в 2.3.4. Пусть А обозначает множество таких век-
векторов k = (k1, k2, ..., kv) eRv, для которых kl = 2пп'/а',
где п' — целые числа, и
V
Положим k ¦ х = 2 klxl, и пусть
S,(k)= 2 e-'*-*S,(*),
х е Л (а)
/(*)= 2 е-"-*/(дс), E.19)
х е Л (а) у '
так что 2) для х е Л (а) имеем
Выпишем величину, соответствующую спонтанной на-
намагниченности о (Л) для нашей конечной системы
S3(*)).
E.21)
Усреднение ( ) определено в E.7), где вместо Н
следует подставить Н(А(а)). В дальнейшем удобно
вместо выражения E.21) рассматривать более общее
выражение
A 2 \ E.22)
где вектор К обладает тем свойством, что eiK'x = ± 1
для всех х еЛ (а). Оператор Я (Л (а)), определяющий
') То есть / (х)=0 для всех точек х е Zv, кроме конечного числа.
г) Мы обозначаем V (а) = N (Л (а)).

§ 5.5. Теорема Мермина и Вагнера 193
среднее ( ), имеет вид
Н(А(а)) =
= - 2 J(x-xf)^lSl(x)Sl(xf)-h 2 e-'*-*S3(*).
х, х'€=Л(а) /-1 isA(a)
E.23)
Чтобы получить оценку для а [К), мы воспользуемся
неравенством Боголюбова E.8), в котором положим
A = S.(-k-K), C = S+(k), H = H(A(a)).
Вычислим сначала все выражения, входящие в нера-
неравенство E.8),
(АА* + А'А) = (S+ (k + K)S_(-k-K) +
+ S^(-k-K)S+(k + K)), E.24)
([С, А])= 2 2 e'*-V <*+*>¦» <[S+(*),S
= 2 e*-*{Sz{x)) = V{a)e{h). E.25)
x e Л (а)
Непосредственное (но длинное) вычисление показывает,
что
[С, Я] = 2 2 &>-'*•*- - е-'*-*) 7 (* - *0 53 W 5
([[С, Я], С*]) =
= 22/1- eik^-^I {х - х') <5_ (*') S+ (x) +
+ S3 (x') S3 (x)) + hV (а) а {К). E.26)
Выражение E.26) положительно ввиду неравенства E.8).
Поэтому, добавляя к правой части E.26) выражение
того же типа, в котором k заменено на — k, получим
оценку
<[[С, Я],С*]><2 2 (l-cosk-(x-x/))J(x-x/)X
X Xf
X <S_ (*') 5+ (х) + S+ {/) 5_ (х) + 253 (xf) S3 (x)) +
+ 2hV{a)a{h). E.27)
Из трансляционной инвариантности, неравенства
Шварца и равенства E.3) следует, что
I <S_ (xf) S+ (x) + S+ (xf) 5_ (x) + 253 (xf) S3 (x)) I <
< (S- @) S+ @) + 5+ @) 5_ @) + 2Sl @)> < 2s (s + 1)
7 Зак. 850

194 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
Подставим эту оценку в E.27) и воспользуемся усло-
t2
вием E.6) и очевидным неравенством 1— cos/^-^-.
В результате получим
([[С, Я], C*]><2 2(l-cosbjc)|/(jc)|V(a).2s(s+l) +
+ 2V (a)\ha(h)\^2V(a)^k2x2\ I(x) \s(s+l)+\ ha(h)
= 2V (a) [Ms (s + 1) k2 +1 ha (h) \ ]. E.28)
Подставляя E.24), E.25) и E.28) в неравенство E.8),
получим
<S+ (k + К) 5_ (- k - К) + S_ (- k - К) S+ (k + К)) >
IV (a) [Ms (s + 1) k2 + | ha (h)\] '
y>
Если просуммировать выражения, стоящие в правой
части неравенства E.29), по всем -k e А и воспользо-
воспользоваться оценкой
2 <5+ (Л + /С) S_ (- k - К) + 5_ (- k - К) S+ (k + К)) =
л е Л (a)
то получим
s (s + 1)> Г^й) J] [^ (* + 1) ^2 +1 ha (A) I ]"'. E.30)
Если a->oo, то неравенство E.30) можно переписать
в виде
(А) BяГ Qv f
о {S +

§ 5.5. Теорема Мермина и Вагнера 195
В частности,
(A) |
|Ao(A)|
Откуда получаем оценки
| б (А) |3<я2М [s (s + \)f f$2 j Л |[arctg ("^(aIi0)'4] E'32)
при v= 1, а при v = 2
[( "^0)]' E'33)
Из теоремы 2-3.3 (а) следует, что каждый потен-
потенциал Ф, удовлетворяющий условию E.6), можно при-
приблизить потенциалами с конечным радиусом взаимо-
взаимодействия так, чтобы неравенства E.32) и E.33) при
этом предельном переходе остались справедливыми.
Из этих неравенств следует, что при /г->0 спонтанная
намагниченность о (Л)-* 0 (v=l, 2). Теорема 5.5.2 до-
доказана.
5.5.3. Отсутствие антиферромагнетизма. Теорема 5.5.2
показывает, что системы, взаимодействия в которых
удовлетворяют условиям E.5) и E.6), не обладают спон-
спонтанной намагниченностью, или, другими словами, не
являются ферромагнетиками. С ферромагнетизмом
близко связан другой феномен—антиферромагнетизм.
Он состоит в том, что узлы решетки разбиваются на
два класса (каждый из которых является подрешеткой)
так, что спины частиц, расположенных в узлах одного
класса, направлены в одну сторону, а в узлах дру-
другого—в противоположную. Рассмотрим теперь подре-
шетки {х: eiK-x = + 1} и {х: ещ-х = — 1}. Поскольку мно-
множитель eiK-x входит в выражения E.22) и E.23), то
неравенства E.32) и E.33) доказывают невозможность
«спонтанной намагниченности подрешетки», т. е. анти-
антиферромагнетизма !).
¦) Пример классической спиновой системы частиц, обладающей
антиферромагнетизмом, приведен в упр. 6.Е.

196 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
§ 5.6. ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
Статистическая механика классических одномерных
систем сравнительно легко поддается исследованию, но
она относительно малоинтересна. Дело в том, что
в одномерных системах, если только исключить случаи
«неправдоподобно» дальнодействующих потенциалов,
не бывает фазовых переходов. В этом параграфе мы
рассмотрим одномерные решетчатые системы и одно-
одномерные непрерывные системы с потенциалом, обладаю-
обладающим «твердой сердцевиной».
5.6.1. Классические решетчатые системы. Обозначим
через (а, Ь] конечный интервал решетки Z
(a, b) = {x<=Z: a<x^b}. F.1)
Положим
N N
гь-а(Ф)= 5 ... 2ехр[- Uab(na+U ..., п„)) F.2)
° °
Рь-а(Ф) = (Ь-а)-1\пгь„а(Ф), F.3)
где
Uab(na+u ...,«(,) =
-2 2 Ф{*. xk}(nx., ..., пх), F.4)
а потенциал Ф предполагается инвариантным относи-
относительно сдвигов
, .... Пй) = Ф{*, xk}(m nk). F.5)
Мы будем рассматривать потенциалы Ф с конечным
радиусом взаимодействия, т. е. будем считать, что суще-
существует такая константа L, что для любых чисел k,
«ь •••> nk выполняется условие
}(«!> •••. «й) = °. если Ун-У\>1-

§ 5.6. Одномерные системы 197
Определим далее векторы fseR(JV+1) равенством
N N
= 2 ... 2 exp[-?/_e>1 (»-.+!, .¦¦. nL)], F.7)
»-a+l-° "o=°
тогда
Za+i = Д • • • Дфа («1, • • •, nL) F.8)
И
JV
Фа+1 («1, • • м «l) = 2 Фа («о. •••. «I-l) ^ («1> • • •, tlL), F.9)
яо=1
где
ехрГ- 2 2 Ф{*, ?)("*i' ¦••
[ ft>io<^1<...<Xft_1<z. ll iV ' J
F.10)
Зададим в пространстве R<w+1>i скалярное произведе-
произведение (i|), ф) формулой
JV N
(г|з, ф)= 2 ... 2 Ф(«ь •••, «?)ф(Пь -.., raj- F.11)
0 0
Обозначим буквой х вектор из R<w+1>iJ все компо-
компоненты которого равны единице; тогда равенство F.8)
можно переписать в виде
?a+i = (X. фа). F.12)
Запишем уравнение F.9) в векторной форме
Лфа, F.13)
где А обозначает квадратную матрицу порядка (N + l)L.
Из F.12) и F.13) легко получить, что
Za+L-(X, ^Фо). F-14)
Отметим следующие факты:
(а) все матричные элементы матрицы А неотрица-
неотрицательны, а все элементы ее L-й степени А1 строго
положительны;

198 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
(б) все компоненты векторов % и ф0 положительны;
(в) матричные элементы матрицы А являются веще-
вещественно аналитическими функциями переменных
Ф{о. х2 xk) («1, ¦•¦, nk).
Свойство (а) позволяет нам применить предложе-
предложение 5.6.3, сформулированное ниже; используя замеча-
замечание (б), мы получим, что
Нш % (ФГ° Za+l = (х, 1) ft, Фо) > О, F.15)
а-»оо
и поэтому
lim (Ь-аГ1\пгь-а(Ф)^\п1(Ф). F.16)
Ь—а-»«>
Поскольку собственное значение Я(Ф) простое, то
из утверждения (в) следует, что Я(Ф) является веще-
вещественно аналитической функцией от переменных
Ф{0, х, xk) («1, • • •, tlk).
Итак, мы доказали следующую теорему.
5.6.2. Теорема. Пусть % обозначает пространство
потенциалов одномерных классических решетчатых си-
систем с конечным радиусом взаимодействия. Положим
Р(Ф)= lim (b-aTl\nZb-a(Q>). F.17)
Тогда Р(Ф) оказывается вещественно аналитической
функцией на каждом конечномерном подпространстве
в $0. Поэтому в одномерных классических решетчатых
системах с конечным радиусом взаимодействия никакие
фазовые переходы невозможны.
Для полноты мы установим еще свойство матриц
с положительными элементами, использованное при
выводе равенства F.15).
5.6.3. Предложение !). Пусть А = (Ati) — веще-
вещественная квадратная матрица порядка п, а А' обозна-
обозначает матрицу, сопряженную к А, т. е. {А*)ц = Ац. Пред-
Предположим, что
') Предложение 5.6.3 является частным случаем теоремы
Перрона — Фробениуса; см. Гантмахер [1].

§ 5.6. Одномерные системы 199
(а) Ац^О при всех значениях i и j;
(б) существует такое натуральное число L, что
(AL)t>j > 0 при всех значениях i, j.
Тогда существует число Л>0, являющееся однократ-
однократным собственным значением как матрицы А, так и ма-
матрицы А' и такое, что все компоненты, соответствующих
собственных векторов | и ц строго положительны (Л? =
= Я|, А*г\ = Яг|). Для всех igR"
lim l~kAkx = (r\, х)%. F.18)
Доказательство. Зафиксируем ненулевой век-
вектор xgR"; этот вектор определяет луч ух = {Кх: Я>0}.
Обозначим через Г множество лучей, соответствующих
векторам с неотрицательными координатами
Из условий (а) и (б) следует, что отображение
A": R"->R" индуцирует отображение множества Г в себя.
Из теоремы Брауэра о неподвижной точке') вытекает,
что найдутся Я>0 и г\Ф0, такие, чтог^^О, ..., т)„^0 и
А\ = %х\. F.19)
Из условия (б) следует, что т^Х), ..., rjra>0. Заметим
теперь, что множество
А= \х: 2 ЛЛ=1 и *1>0, ..., *„>()} F.20)
компактно. Кроме того,
п п
(ть Ах) = S 2 ^Аих, = (А\ х) = 1 (п, Я). F.21)
1 1
') Теорема Брауэра утверждает, что у всякого непрерывного
отображения Т замкнутого единичного шара Вл (с R") в себя есть
неподвижная точка, т. е. найдется хеВп, такая, что Тх — х. Эта
теорема применима и в нашем случае, поскольку множество Г,
рассматриваемое в его естественной топологии, гомеоморфно шару

200 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
Поэтому преобразование Я, Л переводит множество
Н = {х: (х\, х) = 1} в себя и множество А в А. Вновь
воспользуемся теоремой Брауэра и получим, что най-
найдется вектор |sA, такой, что
А1 = %1. F.22)
Ввиду условия (б) |i>0, ..., |„>0. Обозначим через
s4- ограничение преобразования АГ'Л на множество Я,
рассматриваемое как векторное пространство с началом
координат в точке |. Отображение si линейно, «s^AczA
и ввиду условия (б) s?LA содержится строго внутри si.
Отсюда видно, что (вообще говоря, комплексные) соб-
собственные значения преобразования si по абсолютной
величине меньше 1; таким образом, ^ — ограниченное
линейное преобразование. Отсюда немедленно вытекает
утверждение F.18).
5.6.4. Решетчатые газы. Решетчатыми газами мы
будем называть частные случаи решетчатых систем,
описанных в § 5.6.1, если N = 1 и Ф^ хк){щ, ..., nk) =
= 0, кроме случая, когда щ = ... = nk = 1. Введем обо-
обозначение
Ф*(*„ ...,^) = Ф{,1,...,,й}A, .... 1). F.23)
Равенство F.4) можно переписать теперь в виде
2 S ФЧхи .... **)• F-24)
.... xk)<=X
Пусть К = {0, 1}. Поставим в соответствие каждой
точке из заданного подмножества 5czZ экземпляр мно-
множества К- Произведение') Ks этих экземпляров естест-
естественно рассматривать как пространство расположений
пустых и занятых точек из S. Определим в простран-
пространстве К(а'Ь] меру Гиббса уаЬ, приписав каждому набору
(па + 1, ..., пь)^К(аМ массу е-и<я, где
X = {xf=(a,b]:nx=l}.
') Мы считаем, что в К задана дискретная топология, а в KS —
топология произведения (в которой К компактно).

§ 5.6. Одномерные системы 201
Положим
Z(b-a) = ZJ ¦¦¦ 2 Vab(na+i Пь), F.25)
yab = Z~_ayab. F.26)
Если SczTczZ, то
A = Л X A ¦ (O-^')
По мере (i, заданной в пространстве Кг, можно построить,
суммируя по множителю KT^S, меру v на прост-
пространстве Ks. Положим в этом случае
v = азгц.
Теорема 5.6.2 показывает, что в одномерных решет-
решетчатых газах с конечным радиусом взаимодействия между
частицами не происходит фазовых переходов. Сейчас
мы сформулируем без доказательства результат, также
справедливый без предположения о конечном радиусе
взаимодействия.
5.6.5. Теорема1). Обозначим через <В пространство
последовательностей Ф = (Ф*)Й>1, для которых
S о<; | <{ t, | Фг+1 @, *, /,) |< + оо. F.28)
Если Фе<?Г, то
а) предел
Р(Ф)= !im -j^-\nZab F.29)
существует, конечен и ограничение Р(Ф) на любое
конечномерное подпространство в <$ является непре-
непрерывно дифференцируемой функцией;
б) для каждого конечного подмножества 5c=Z на
пространстве Ks существует такая мера ps, что
Iim а* ,„ му„И = р.,. F.30)
') См. Рюэль [10]. Аналогичный результат получен одновре-
одновременно и независимо в работе Добрушина [5]. — Прим. ред.

202 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
На пространстве К2 существует такая мера р, что для
каждого конечного подмножества SczZ
F.31)
мера р (Ф) на каждом конечномерном подпространстве в
<S непрерывно зависит от Ф относительно слабой тополо-
топологии в пространстве мер ')¦
Заметим, что мера р (на пространстве К2 всех рас-
расположений пустых и занятых ячеек на всей решетке Z)
описывает «равновесное состояние» бесконечной си-
системы2).
Часть (б) сформулированной теоремы показывает,
что мера р непрерывно зависит от температуры и хи-
химического потенциала, а это означает, что в некотором
смысле фазовые переходы в таких системах невоз-
невозможны3). Для парного взаимодействия (Ф* = 0 при
k~^2) условие F.28) принимает вид
S /|Ф2@,г)|< + оо. F.32)
Это условие обеспечивает конечность энергии взаимо-
взаимодействия всех частиц, расположенных слева от произ-
произвольной точки решетки Z, с частицами, расположен-
расположенными справа от этой точки4).
5.6.6. Классические непрерывные системы с твердым
ядром. Мы закончим этот параграф рассмотрением
одномерных (классических) систем частиц с твердой
') Последнее утверждение означает, что для каждой вещест-
вещественной непрерывной функции <р, заданной на Kz, значение р (<р)
является непрерывной числовой функцией от Ф на каждом конечно-
конечномерном подпространстве в <f.
2) Описание бесконечной системы с помощью меры р эквива-
эквивалентно описанию с помощью системы корреляционных функций
(см. 7.1.1).
3) См. обсуждение в § 5.7. Непрерывность р влечет непре-
непрерывную зависимость корреляционных функций от г и р.
4) Фишер [3] и Кац (частное сообщение) высказали предполо-
предположение, что если Ф!^0 и условие F.32) не выполняется, то фазо-
фазовый переход возможен. (Дайсон [3] построил пример одномерной си-
системы с потенциалом, обладающим большим дальнодействием, в ко-
которой происходит фазовый переход; см. приложение § 4. — Ред.)

§ 5.6. Одномерные системы 203
сердцевиной и конечным радиусом взаимодействия.
Это рассмотрение проводится по аналогии с рассмот-
рассмотрением решетчатых систем с конечным радиусом вза-
взаимодействия.
Обозначим, как в 3.4.3, конфигурационную стати-
статистическую сумму буквой Q. Положим1)
со
Д (р, п, р) = J dXe~mQ (@, Я), п, р), F.33)
о
и пусть
lim i-ln А (р, п, р) = - pv (р, Р)- F-34)
Используя технику, развитую в гл. 3, можно показать,
что этот предел существует и что
p + p-7(p,p)). F.35)
Сравнив полученное равенство с D.18) гл. 3, легко за-
заметить, что если мы положим \nz = $y(p, р), то р =»
= p{z, p). Заметим еще, что v(P>P) является возраста-
возрастающей функцией от р.
5.6.7. Теорема (Ван ХовJ). Рассмотрим непрерыв-
непрерывную систему одномерных частиц с парным взаимодейст-
взаимодействием. Предположим, что потенциал Ф парного взаимодей-
взаимодействия обладает твердой сердцевиной (Ф = + оо при \х\< R),
конечным радиусом взаимодействия (Ф (х) = 0 при
\x\~^R0>R) и является непрерывной функцией от х
при | х | ^ /?. При этих ограничениях р (г, Р) является
вещественной аналитической функцией от z при г>0.
Поэтому в таких системах нет фазовых переходов.
Как уже объяснялось, достаточно показать, что
у(р, р) является аналитической функцией от р при р>0.
Пусть целое число k таково, что k + 1 > Ro/R; заме-
заметим, что в равенстве
U(xi *п)=2 Ф(х,-х,)
') Величина Д называется «изотермо-изобарической> статисти-
статистической суммой.
2) См. Ван Хов [2].

204 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
суммирование для каждой части фактически произ-
производится по набору из k ближайших соседей. Поэтому
QUO, Л), я, р) = -jj- J dxx ... dxne-*v^ *«) =
e K i ч. (b.ob)
@, W"
0 0 0 0<l-Kk
у, Уг ••• Ук х, хп у\ у'г ... y{,
Рис. 17. Определение переменных I,., т);, т)^.
Пусть </,<</2< ... <«/ft = 0; Я- = «/[<г4< ¦ ¦-Ку'к и
¦H/^^+i"^' "Пг = i/i-ы — */i (рис. 17). При n^k положим ')
j
±
[
0 0 0 L f_l /=l
г д
Lo</-i<ft
i=\ i-n-k
Д r^W-/)]. F.37)
J
Обозначая нижнюю грань значений Ф через — М, по-
получим неравенства
Q((R0,X-R0), n, P)<Q?(t|, Tf)<eft<ft+1>^Q((O, Я,), п, р).
F.38)
') Условие я^/г вводится только для упрощения записи.

§ 5.6. Одномерные системы 205
Рассмотрим величину
оо
л? (л> л') = J rfjce-p2* (л- л')- F.39)
о
Из равенств F.37) и F.39) видно, что величины Др
положительны, ограничены и непрерывно зависят от р, г\
и г[; из F.38) имеем
'Д (р, я, р) < Д? (л, лО < eft №+1) РЛ1Д (р, п> р). F.40)
Из оценки F.40) и равенства F.34) следует
lim /Г1 In Д?(л> ЛО = - PyO». P)- F.41)
Введем переменные |0 = Х| — f/fe — хи %\ — Х2~х\> •¦•
••"ln-i = xn-xn-v ?„ = 0[-¦*„ = *,-*„ (рис. 17). В этих
переменных можно записать
оо h хп Х1
dxn fdxn-i ... i dxi ... =
о о
= dxn dxn-\ ... dx\
xn
n
-Pp S I,
0 0 0
оо оо
r r Т 7
J d|o J d|, ... J 4»-. J rf|«e
0 0
0 0 0
Поэтому
оо оо
Д?1+п,+*(л, ЛО = J d?,e~Prtl •.. J ^-,е-рр?*-' X
о о
X ехр Г - р J] Ф (?,+ ... +?/_,)] Др, (л, |) Д^2 ft, лО-
В этой формуле интегрирование фактически произво-
производится по интервалу (R, + оо). После перехода к

206 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
переменным fji = —з— интервал интегрирования стано-
становится конечным
оо (Pp)-'
R О
Поэтому
AS,+«.+ft(n. 40 = J rfEA», (П. ?) Р (?) Л* (?. ПО. F.43)
где функции An(fj, ?) и р(?) непрерывны и строго поло-
положительны.
Используя равенство F.41), можно свести изучение
функции у(р, р) к изучению последовательности итера-
итераций ядер Д^(|, fj), умножение которых задается равен-
равенством F.43).
Рассмотрим теперь уравнение Фредгольма
d, ij)p(rj)/(I). F.44)
Ряд, определяющий резольвенту,
S tqApM-i) k(l rj) = [A - /Д^)"' - l] (I, fj),
сходится в круге радиуса t°, который ввиду F.41)
задается формулой
/о~' = Ш[А^+(,-1, J"" = ехр [- (я + *) pY (P, P)]. F.45)
С другой стороны, /0 определяется расстоянием от
начала координат до ближайшего нуля определителя
Фредгольма. Используя положительность ядра, можно
показать, что ближайший к началу координат нуль
определителя Фредгольма — простой и находится на
положительной полуоси ]). Поэтому из аналитичности
ядра как функции от р следует аналитичность этого
') Этот факт относится к обобщению теории Перрона — Фро-
бениуса F.3) на бесконечномерные пространства (по этому поводу
см. Йентч [I]).

§ 5.7. Замечания о фазовых переходах 207
«ближайшего нуля». Таким образом, t0, а значит,
и у(р, Р) аналитически зависят от р при р>0. Тео-
Теорема 5.6.7 полностью доказана.
§ 5.7. ЗАМЕЧАНИЯ О ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДАХ
В этой и в некоторых предыдущих главах нам встре-
встречались случаи, когда термодинамические функции оказы-
оказывались аналитическими в отдельных частях «физической
области изменения» термодинамических параметров.
Кажется весьма правдоподобным, что термодинамиче-
термодинамические функции (всегда) кусочно-аналитичны г), а их осо-
особенности соответствуют фазовым переходам (см., в
частности, 5.4.7). Однако до сих пор не известно ника-
никакого единого механизма, который мог бы объяснить эту
кусочную аналитичность.
Другой подход состоит в определении фазового пере-
перехода как точки разрыва корреляционных функций при
изменении термодинамических параметров. Линии точек
разрыва могут разделять области, в которых корреля-
корреляционные функции обладают качественно различными
свойствами (например, появление ферромагнетизма или
антиферромагнетизма в спиновых системах, когда р
становится меньше температуры Кюри).
Кажется неправдоподобным, что эти два опреде-
определения фазовых переходов полностью эквивалентны. Сей-
Сейчас мы вкратце изложим соображения, которые, однако,
позволяют надеяться, что эти определения эквивалентны
«по существу». Известно, что вариационная производная
большой статистической суммы Р (Ф) по ^-частичному
потенциалу Ф* формально совпадает с ^-частичной кор-
корреляционной функцией2). Предположим, что функцио-
функционал Р (Ф) в некотором смысле кусочно-аналитичен по Ф,
тогда переход из одной части области аналитичности
к другой, вызванный изменением параметров z и р,
должен, вообще говоря, приводить и к особенностям
') В этой главе мы исследовали только аналитичность относи-
относительно 2, не рассматривая зависимость от р. Аналитичность по р
исследуется в статье Лебовица и Пенроуза [21.
2) См. 7.3.1.

208 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
термодинамических функций и к разрывам корреляцион-
корреляционных функций, соответствующим фазовым переходам.
К сожалению, мы сейчас далеки от доказательства ана-
аналитичности, необходимой для обоснования этих рассу-
рассуждений.
Один из способов подступиться к проблеме фазовых
переходов состоит в том, чтобы попытаться определить
понятие фазы. Мы займемся этим в следующей главе.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Теорема Ли и Янга была опубликована в 1962 г.;
идея доказательства Пайерлса, проведенного в § 5.3,
содержится в его заметке 1936 г.; теорема 5.6.7 (Ван Хов)
относится к 1950 г. Остальные результаты этой главы
получены значительно позднее; многие идеи принадле-
принадлежат Гриффитсу (§ 5.3 и 5.4) и Добрушину (§ 5.2 и 5.3).
В § 5.1 мы следовали статье Ли и Янга [1], в § 5.2 —
статье Галлавотти, Миракль-Соля и Робинсона [1],
в § 5.3 — статье Жинибра, Гроссмана и Рюэля, в § 5.4 —
работе Келли и Шермана [1] (частично), в §5.5 —статье
Мермина и Вагнера [1] и в § 5.6 —статье Ван Хова [2]
(частично).
Упражнения
5.А. Покажите, что при выполнении условий пред-
предложения 5.1.1 и в тех же обозначениях справедливо
неравенство
0»в(-1, ..., -1, 1, ..., 1)>0.
Покажите, что если {ах) вычисляется по отношению
к взаимодействию D.54), то {ах) можно записать в виде
1 О
п
Это доказывает неравенство D.6) для взаимодействия
D.54). Распространите этот результат на случай взаимо-
взаимодействия типа D.56).

Упражнения 209
5.Б. Покажите, что неравенство D.7) содержит как
частные случаи следующие неравенства:
(oxoyouov) - (охоу) (ouov) > 0,
(охоу) - (oxoyouov) (auov) > 0,
l
5.В. Покажите, что в обозначениях § 5.4 имеем
= (Г) [4 (рг + 2</г + qs)] > 0.
5.Г.!) Для каждого JcZv определим инвариантную
относительно сдвигов функцию Jx так, что 0 ^ Jx ^ + °о.
Для конечной области AcZv определим усредне-
усреднение ( }Л равенством D.14). Покажите, что если
X cz A cz Л', то (ах)А ^ (ох)А,. Поэтому если Л -+ оо,
в том смысле, что любое конечное множество в конце
концов попадает в Л, то предел
lim <a*>A = <cx*L (*)
существует и является инвариантным относительно
сдвига. Покажите, что удельная намагниченность (на
спин) совпадает с (Ох)^.
Из равенства (*) мы получаем существование корре-
корреляционных функций решетчатых газов, соответствующих
описанным спиновым системам, для бесконечного объема
, ..., Хт) =
5.Д. Для каждого j;eZv положим е* = ± 1 так,
чтобы
Если (/{Л, j,}) — инвариантное относительно сдвигов взаимо-
взаимодействие (в классической спиновой системе), то и
(Л*. У))' гДе hx. У) = sx-yJ{x, у),
1) См. Гриффите [4], II.

210 Гл. 5. Проблема фазовых переходов
обладает этим свойством. Положим дх = ехах, тогда
2 /{*, у}ОхОу + h Zi ox= 2j hx, yfixOy + h Zi ехдх.
{x, у) tr Л х е Л {х, j)cA Л
Заметим, что если спиновая система с взаимодей-
взаимодействием / является ферромагнетиком, то спиновая си-
система с взаимодействием 7 оказывается антиферромаг-
антиферромагнетиком в смысле 5.5.3 (если только ех не равно тожде-
тождественно единице).
5.Е. Рассмотрим спиновую систему с потенциальной
энергией
х:ах-+1 у.ау—1
Перефразируйте теоремы 5.3.1 и 5.4.7 в теоремы о ферро-
ферромагнетизме этой системы. Используя упражнение 5.Д,
получите соответствующие результаты для антиферро-
антиферромагнетиков. В частности, покажите, что если взаимо-
взаимодействие Ф удовлетворяет условию Фг>/)г, /=1, ...,
(обозначения такие же, как в 5.3.1), то при малых
система является антиферромагнетиком.

Глава 6
ГРУППОВАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
ФИЗИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ
Состояния физической системы можно описать с по-
помощью положительных линейных функционалов, задан-
заданных на подходящей В*-алгебре. Важным свойством равно-
равновесных состояний бесконечных систем в статистической
механике является инвариантность этих состояний отно-
относительно некоторой группы (группы сдвигов решетки Zv
или пространства Rv, группы всех движений евклидова
пространства и т. д.). В этой главе мы обсудим общие
свойства состояний, инвариантных относительно неко-
некоторой группы автоморфизмов В*-алгебры.
§ 6.1. ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЯ БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
Состояния бесконечной системы в статистической
механике обычно описываются корреляционными функ-
функциями в классическом случае и приведенными матри-
матрицами плотности — в квантовом (гл. 4). В классическом
случае можно также использовать вероятностную меру
на конфигурационном пространстве бесконечной системы
(см. п. 5.6.5). Другой способ (§ 1.4) состоит в описании
всех ограничений бесконечной системы на любую конеч-
конечную область при помощи меры на пространстве конечных
конфигураций, попавших в эту область (классический
случай), или при помощи матрицы плотности в фоков-
ском пространстве, соответствующем этой области.
Чтобы объединить эти различные способы описания,
в этой главе мы примем точку зрения, согласно кото-
которой состоянием называется функционал усреднения (как
это делалось в § 4.7). Таким образом, мы считаем, что
наша физическая теория содержит некоторое количество
наблюдаемых Ait и состояние приписывает каждой из

212 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
них среднее значение {At). Чтобы получить математи-
математически содержательное понятие, нужно наделить множе-
множество наблюдаемых {Лг} некоторой структурой. Во всех
случаях, с которыми мы столкнемся, наблюдаемые
можно считать самосопряженными элементами некото-
некоторой В*-алгебры 21 с единицей 1. Среднее значение про-
продолжается с множества наблюдаемых до функционала
на всей алгебре 91, и этот функционал оказывается
положительным (т. е. если А е 21 и А ^ 0, то (Л)^0)
и нормированным (т. е. A)=1). Такие линейные функ-
функционалы принято называть состояниями на Я*-алгебре 91.
В той части, которая нам понадобится, теорию
В*-алгебр можно рассматривать как некоммутативное
обобщение классической теории меры на компактном
пространстве. Хотя это обобщение не слишком трудно,
но оно использует значительно более изысканные мате-
математические средства, чем встречавшиеся до сих пор
в этой книге. В действительности читатель в этой главе
столкнется и с некоторыми другими, «менее классиче-
классическими», понятиями. Для его удобства все необходимые
результаты собраны в приложении (без доказательств).
Читателю, незнакомому с теорией В*-алгебр, прежде
чем двигаться дальше, стоит ознакомиться с содержа-
содержанием п. Д.2 и Д.З добавления, относящихся к этой
теории.
В*-алгебры широко применялись для решения физи-
физических задач Сигалом [2], Хаагом и другими авторами1).
Возвратимся теперь к физической интерпретации В*-ал-
гебры 21 как «алгебры, порожденной наблюдаемыми».
Нужно сказать, что смысл самого понятия «наблю-
«наблюдаемой» в конкретной физической задаче не всегда оче-
очевиден и поэтому в выборе В*-алгебры 21 существует не-
некоторый произвол. Кроме того, обычно не все состояния
на алгебре 91 представляют физический интерес. По-
Поэтому в заданной физической задаче нужно не только
выбрать В*-алгебру 21, но и наложить на состояния не-
') Существует многочисленная литература, в которой В*-алгебры
и алгебры фон Неймана используются в физике элементарных ча-
частиц. В связи со статистической механикой мы упомянем работы
Гординга и Уайтмана [1, 2] о коммутационных соотношениях,
а также статьи Араки и Вудса [1] и Араки и Висса [1].

§ 6.1. Описание состояния бесконечной системы 213
которые ограничения, вытекающие из физического смысла
задачи. Отсюда видно, что математический объект, свя-
связываемый с физической задачей, почти всегда наделен
более богатой структурой, чем просто структура В*-ал-
гебры.
Во многих физических задачах естественно возни-
возникает группа инвариантности. Мы будем считать, что эта
группа действует как некоторая группа автоморфизмов ')
алгебры Я. Часто оказывается естественным рассматри-
рассматривать только инвариантные состояния, т. е. состояния,
не изменяющиеся под действием преобразований из этой
группы. Другой тип условий состоит в требовании, чтобы
ограничение на некоторую подалгебру алгебры 51 имело
норму 1. Условием такого типа мы воспользуемся, чтобы
показать, что число частиц в ограниченной области
AcRv существенно конечно.
Усреднение по ансамблю, описанное в гл. 1, опре-
определяет функционал усреднения, т. е, состояние на соот-
соответствующей В*-алгебре; такое состояние рл описывает
конечную систему, находящуюся в области Л. Есте-
Естественно ожидать, что если Л->оо, то рл стремится
(в некотором смысле) к состоянию р, описывающему
бесконечную систему и инвариантному относительно
соответствующей группы (сдвигов решетки Zv или про-
пространства Rv, или всех движений евклидова простран-
пространства Rv). Поэтому, конечно, важно уметь описывать ту
5*-алгебру 21, на которой р задает состояние (см. § 7.1).
Важно также исследовать существование предела рл->р
(см. § 7.3). Однако в этой главе мы сосредоточим свое
внимание на следствиях, вытекающих из групповой инва-
инвариантности состояния р, не делая почти никаких допол-
дополнительных предположений.
') См. п. Д.2.9 добавления; можно определить также «сопря-
«сопряженный» автоморфизм а равенствами
а (/4, + ХА2) =¦ а (Л,) + Ы (А2); а (Л, А2) = а (Л,) а (Л2).
Впрочем, такие автоморфизмы нам не понадобятся.

214 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
§ 6.2. ИНВАРИАНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
6.2.1. Обозначения и определения. Пусть 91 обозна-
обозначает некоторую в*-алгебру, a aut (91) — группу (всех) ее
автоморфизмов. Мы назовем В'-алгеброй с группой авто-
автоморфизмов тройку (91, G, т), в которой G — некоторая
группа, а т: G -> aut (91) — групповой гомоморфизм.
Для всякого элемента g e G обозначим через xg
автоморфизм алгебры 91, соответствующий g (при гомо-
гомоморфизме т). Через т' обозначим линейный оператор
в пространстве 91', сопряженном к 51, такой, что если
А е= 91 и f e= 91', то
т;(/(Л))-/(тв_,(Л)> B.1)
Пусть SQ обозначает подпространство алгебры 91, по-
порожденное элементами вида А — т?Л, где А е 91 и g e G,
тогда
#? = {/е= И': Ле^й#/(Л) = 0} B.2)
является пространством G-инвариантных непрерывных
линейных функционалов, заданных на 91.
Обозначим через Е множество всех состояний
на 91, E$\?q является множеством всех G-инвариант-
G-инвариантных состояний. Пространство Sq слабо замкнуто в 9l';
поэтому если в алгебре 91 есть единица, то множество
E[\9?q слабо компактно и выпукло.
Если воспользоваться конструкцией Гельфанда — Си-
Сигала (см. Д.3.5), исходя из инвариантного состояния р,
то возникает интересная ситуация.
6.2.2. Теорема (Сигал)х). Пусть (91, G, т) — некото-
некоторая В*-алгебра с группой автоморфизмов. Если ре? f) 3?а
и (&р, яр, Qp) — соответствующее циклическое представле-
представление алгебры 91, то существует единственное унитарное
представление Up группы G в пространстве ?>р, такое,
что для всех ge G и Ае91 имеем
Up (g) яр (A) Up1 (g) = яр (xgA), B.3)
= Qp. B.4)
•) См. Сигал [1].

§ 6.2. Инвариантные состояния 215
Если G — топологическая группа и функции g-+e (rgA)
непрерывны на G (для всех Л е 91 и а е ЕI), то Up —
сильно непрерывное унитарное представление G в Фр.
Если g^G, то изометрический оператор Up(g) опре-
определяется на всюду плотном (в §р) множестве яр B1) Qp
равенством
^р (g) яр (A) Qp = яр (xgA) Ц, B.5)
и продолжается на все пространство ?>р по непрерыв-
непрерывности. Это определение удовлетворяет условиям тео-
теоремы и является единственно возможным ввиду усло-
условий B.3) и B.4). В случае топологической группы
(сильная) непрерывность представления вытекает из
равенства
= 2р (А*А) - Нт р (т„Л* • Л) - lim р (Л* • т„ Л) = 0. B.6)
i i
6.2.3. Коммутативный случай. Предположим, что
5t — абелева алгебра с единицей; с помощью гельфан-
довского изоморфизма (см. Д. 3.9) алгебру % можно
отождествить с алгеброй непрерывных комплекснознач-
ных функций, заданных на компактном множестве К
(пространстве максимальных идеалов, иначе называе-
называемом спектром алгебры Щ. Автоморфизм т алгебры 91
определяет преобразование т пространства максималь-
максимальных идеалов К в себя. Легко видеть, что т—гомеомор-
т—гомеоморфизм пространства К. Пусть задана тройка B1, G, т) и
состояние р^Е[}3?а, и пусть ц обозначает вероятно-
вероятностную меру на К, соответствующую состоянию р при
гельфандовском изоморфизме 2).
G-инвариантность состояния р эквивалентна инва-
инвариантности меры ц при гомеоморфизмах tj(geG).
') На самом деле достаточно предположить непрерывность
функций g -> р (А* • Tg-Л) при всех Лей.
2) То есть такую меру на К, что для любого Де! р(Л) =
= I ф (A) dp, где ф (А) — функция на К, являющаяся образом А
при гельфандовском изоморфизме ф. — Прим. перев.

216 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
Поэтому изучение инвариантных состояний на коммута-
коммутативной Б*-алгебре совпадает с изучением инвариантных
мер, что является одним из вопросов эргодической
теории.
6.2.4. «Квазилокальные» алгебры. Б*-алгебры, кото-
которые мы будем использовать для описания бесконечных
систем статистической механики, обычно возникают
следующим путем. Первоначально определяются Б*-алге-
бры 91Л, соответствующие ограниченным подмноже-
подмножествам Л пространства Rv (или конечным подмноже-
подмножествам Л решетки Zv) (разумеется, v > 0), такие, что
(а) для каждой пары областей Л с Л' задан изомор-
изоморфизм ссл'л алгебры 9tA в %а> и при этом
если Л с: Л' с: Л", то ссл"л = ссл"Л'Ссл'л;
(б) для каждого сдвига х пространства Rv (или ре-
решетки Zv) и каждой области Л задан изомор-
изоморфизм хх алгебры 31л на ЭДл+*, такой, что хх+у=
= %х%у, %-х = {хх)~1 и, кроме того, если Л<=Л',
то т^ал'л = ал'+х, л+*т*;
(в) если Л|"|Л'=0 и Ае1л, А'<=%к>, то ал и л', л А
коммутирует с алил', к>А'.
Ввиду предположения (а) алгебры $л можно ото-
отождествить с подалгебрами алгебры %, являющейся
объединением всех алгебр %к. В алгебре % естественно
вводится норма, но относительно этой нормы %, вообще
говоря, неполна; пополняя ее, мы получим Б*-алгебру 5t.
Далее, ввиду предположения (б) существует естествен-
естественный (групповой) гомоморфизм т: G -» aut (Щ, где в каче-
качестве группы G рассматривается Rv или Zv. Тройка
Et, G, т), полученная таким образом, будет называться
«квазилокальной» алгеброй, построенной из «локальных»
алгебр ЭДл.
Квазилокальную алгебру можно также определить
как тройку (91, G, т), где группа G совпадает с Rv
(или Zv), заданную вместе с семейством подалгебр 91л
алгебры 91, соответствующих ограниченным подмноже-

§ 6.2. Инвариантные состояния 217
ствам пространства Rv (или Zv). При этом предпола-
предполагается, что выполнены следующие условия:
(а) если Л с: Л', то 21Л с: 21Л';
(б) т,Ял = Ял+,;
(в) если ЛПЛ' = 0 и Ле91Л, Л' е= 2Ц,, то [А, Л'] = 0;
(г) объединение подалгебр 21 л плотно в 21.
6.2.5. G-абелевы 2Г-алгебры. Рассмотрим тройку
B1, G, т), и пусть состояние ре?[]^й. Обозначим
через Рр оператор проектирования на подпростран-
подпространство Фр, образованное векторами, инвариантными относи-
относительно U0 (G) (Up (G) обозначает представление группы G,
введенное в теореме 6.2.2). В § 6.3 и § 6.4 мы изу-
изучим ситуацию, когда алгебра фон Неймана [Рряр B1) Рр]"
коммутативна, т. е. когда для всех Аи Л2е21 имеем
[Рряр(Л,)Рр, Рряр(Л2)Рр] = 0. B.7)
6.2.6. Определение1). Алгебра 21 называется
G-абелевой, если для всех состояний peffl^G алгебра
фон Неймана, порожденная операторами Рряр B1) Рр,
коммутативна. Другими словами, алгебра 21 называется
G-абелевой, если равенство B.7) выполняется для всех
реЕПЗ'е « всех Аь Л2е21.
Ниже мы увидим, что примерами G-абелевых алгебр
могут служить абелевы и квазилокальные алгебры.
Большая часть теории инвариантных мер переносится
на инвариантные состояния на G-абелевых алгебрах.
Для удобства читателя мы воспроизведем здесь сле-
следующий классический результат.
6.2.7. Теорема (Алаоглу — БиркгофJ). Пусть
°U — полугруппа сжатий гильбертова пространства Ф,
г. е. множество операторов, действующих в $ и таких,
что
(а) || U || < 1 для всех U <=<U;
(б) если U, U'aQl, то U • U'e= <U.
') См. Ланфорд и Рюэль [1].
2) См. Рисе и Надь [1].

218 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
Пусть Р — оператор ортогонального проектирования
на подпространство векторов из Ф, инвариантных отно-
относительно всех операторов U е1?/, Тогда Р принадлежит
сильному замыканию выпуклой оболочки полугруппы (U.
Приведем теперь полезную характеристику G-абеле-
вых алгебр.
6.2.8. Теорема1). В*-алгебра 91 тогда и только тогда
G-абелева, когда для любых самосопряженных элемен-
элементов Аи Л2е91 и любого состояния р^Е[\5?а
М|р([ЛьЛ2])| = 0, B.8)
где А' пробегает выпуклую оболочку множества
A G)
Прямо из определения следует, что алгебра 91 тогда
и только тогда G-абелева, когда для всякого peffj5?а,
для всякого XY <= Рр$р, такого, что || Y || = 1, и любых
самосопряженных элементов Аь Л2е91, таких, что
|| Ах ||<Г 1 и || Л21|^1, справедливо равенство
(V, яр(Л1)/>р(Л2)Ч') = (Чг> яр(Л2)/>р(Л,)Ч0. B.9)
Покажем сначала, что из B.8) следует B.9). По тео-
теореме 6.2.7 по заданному е>0 можно найти /Ц^О, ...
..., Xm > 0, 5^=1 и такие gu ..., gmeG, что
II B W (gt) - Рр) np (Л,) ^ I < е/2. B.10)
Поэтому если положить
л; = 2я^Л' <2Л1)
то получим, что для всех geC имеет место
. B.12)
•) См. Ланфорд и Рюэль [1].

§ 6.2. Инвариантные состояния 219
п
Пусть заданы А,'^ 0 А„^О, такие, что 2 Л/ = 1. и
g'v ..., g'n^:G. Используя B.12), найдем, что
| OF, яр (Л,) Рряр (Л2) У) - OF, яр (Л2) Рряр (Л,) Ч*) |
я; || яр (Л2) ^ || • || Рряр (Л,) ? - f/p (gj) я
Яр ([ 2 &? А\, Л2]) Y) | . B.13)
Поскольку состояние Q?, яр(«)Ч/) инвариантно, то из
B.8) следует, что при соответствующем выборе чисел %[
и элементов g't выполняется неравенство
, яр([2**^1, Л2])^|<е. B.14)
Таким образом, левая часть неравенства B.13) не пре-
превосходит 2е; тем самым равенство B.9) доказано.
Покажем теперь, что из равенства B.9) вытекает B.8).
Используя B.9), мы получим, что для Xt и gh удо-
удовлетворяющих условию B.10), справедлива оценка
| яр (Л2) W ||. || [ 2 hU
+1 OF, яр (Л,) Рряр (Л2) V) - (V, яр (Л2) Рряр (Л,) Ч') | < е.
B.15)
Если в качестве вектора *Р выбрать Qp, то получим,
что
|р([Ль Л2])|<е, B.16)
что и доказывает равенство B.8).
6.2.9. Следствие. Пусть Н — подгруппа группы G.
Тогда всякая Н-абелева В*-алгебра 91 является также и
G-абелевой.
Это утверждение легко вытекает из теоремы 6.2.8;
нужно только заметить, что 2?g с 2?н и что выпуклая

220 Гл. б. Групповая инвариантность физических состояний
оболочка множества {х^А^. g e G) содержит выпуклую
оболочку множества {XgA^. g^H].
6.2.10. Следствие. Для того чтобы В*-алгебра 9t
была G-абелевой, достаточно, выполнения любого из сле-
следующих условий:
(а) множество E[\3?q пусто;
(б) алгебра % абелева;
(в) для всякого состояния pe?fl3!q и любых само-
самосопряженных элементов А{, Л2 е 9t имеет место
inf |р([т,Л„ Л2])| = 0; B.17)
(г) группа G локально компактна, а алгебра 9t «слабо
асимптотически абелеваъ в том смысле, что для
любых Ль А2е9t и любого функционала а^Е
lim \a([xgAu Л2]) | = 0 B.18)
(д) алгебра 9t «асимптотически абелева», т. е. вместо
B.18) выполняется более сильное равенство
lim !|[т^Ль Л2]|| = 0; B.19)
(е) алгебра 9t квазилокальна в смысле 6.2.4.
Достаточность условия (а) очевидна; достаточность (в)
вытекает из теоремы 6.2.5. Кроме того, как легко
показать,
что и заканчивает доказательство следствия.
6.2.11. Следствие1). Всякая В*-алгебра 9t (с еди-
единицей) является G-абелевой, если в качестве группы G
выбрана группа всех унитарных2) элементов алгебры 9t,
а представление G на 9t задается равенством % А = U AU~X.
Это вытекает из того факта, что G-инвариантные
состояния (называемые «следами») удовлетворяют усло-
условию р(Л]Л2) = р(Л2Л]) для всех элементов Ль Л2е91.
') См. Штёрмер [1].
2) Элемент и называется унитарным, если U'U = UU* •= 1,

§ 6.2. Инвариантные состояния 221
6.2.12. Случай группы с инвариантным средним.
Представляет особый интерес случай, когда на группе G,
фигурирующей в тройке (91, G, %), существует инвариант-
инвариантное среднее (см. § 6.6), а представление т непрерывно
в некотором смыслег). В этом случае, например, если
в алгебре 91 есть единица, то множество Е (] 9?а G-инва-
риантных состояний непусто2) (см. предложение 6.2.13).
Кроме того, для таких групп можно получить более
явное описание проектора Рр в терминах операторов С/р,
чем при помощи теоремы Алаоглу — Биркгофа (см. пред-
предложение 6.2.14).
6.2.13. Предложение. Пусть на группе G суще-
существует инвариантное среднее, а функции g—>o(xgA),
заданные на G, непрерывны (при всех А е 91 и всех а е Е),
тогда
(а) если 91, — В*-подалгебра алгебры 91, инвариантная
относительно %а, и pi —произвольное G-инвариант-
ное состояние на 91,, то существует G-инвариант-
ное состояние р на алгебре 91, являющееся про-
продолжением pi. Если состояние р{ является крайней
точкой множества G-инвариантных состояний
на 91Ь то в качестве состояния р может быть
выбрана крайняя точка множества G-инвариант-
ных состояний на 91;
(б) если в алгебре 91 есть единица, то Е [} SEq ф 0.
(а) Пусть ре? обозначает некоторое продолжение
состояния р! на алгебру 91 (см. Д.3.2). По предположе-
предположению функции фл: g-^-p{xgA) ограничены и непрерывны
на G. Пусть §t — правоинвариантное среднее на G;
положим р (Л) = Tt(fA, тогда р оказывается положитель-
положительным G-инвариантным функционалом на алгебре 91 и
|| р ||^1. Ограничение функционала р на 91, совпадает
') Эта ситуация исследуется в работе Доплишера, Кейдисона,
Кастлера и Робинсона [1].
2) Существуют тройки (Ж, G, т) без инвариантных состояний.
Например, пусть К — вещественная проективная прямая, Ш = W (К)
и G —группа проективных преобразований прямой К; на К не суще-
существует G-инвариантных мер.

222 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
cph и поэтому ||р 11=1. Пусть K<=-E[\9?q обозначает
множество всех G-инвариантных продолжений функцио-
функционала р] на алгебру 51 и К— непустое выпуклое слабо
компактное множество. Если pj — крайняя точка множе-
множества всех G-инвариантных состояний на %, то легко
показать, что в этом случае каждая крайняя точка р мно-
множества К1) является крайней точкой множества Ef\ 2?q
(если это не так, то р = у р' + -jр", где р', р" е Е Я &Ь
и р' ф К\ поэтому р' не является продолжением состоя-
состояния pi, что противоречит тому, что Pi — крайняя точка).
Утверждение (а) доказано.
Для того чтобы вывести (б) из (а), нужно в каче-
качестве 2lj взять алгебру элементов, кратных 1.
6.2.14. Предложение. Пусть на группе G суще-
существует инвариантное среднее и функции g—>o(tgA) непре-
непрерывны на G (для всех Ле! и а е?). Если p
и (%а) — произвольная М-сеть2) на G, то
По теореме 6.2.2 представление Up сильно непре-
непрерывно, поэтому равенство B.19) вытекает из следующей
«эргодической теоремы о среднем».
6.2.15. Предложение. Пусть (%а) — произвольная
М-сеть на группе G, U — сильно непрерывное унитарное
представление группы G в комплексном гильбертовом
пространстве $ и Р — оператор проектирования на под-
подпространство в Ф, образованное векторами, инвариант-
инвариантными относительно представления U. Тогда
st lim \dg%a(g)U(g) = P. B.20)
') Такие крайние точки существуют согласно теореме Крейна —
Мильмана.
2) См. Д.6.1.
3) st lim Га означает сильный предел операторов Та, т. е. Taf
а-»оо
сходится по норме пространства ф для любого / е ?>• — Прим. ред

,ф 6.2. Инвариантные состояния
223
Мы должны показать, что для любого вектора
lim
= 0.
B.21)
Это очевидно для векторов W, таких, что Р^? = ^Р (по-
(потому, что U (g) Р^У = РЧ? при всех g е G). Поэтому
достаточно рассмотреть случай, когда Р^Р = 0. Ядром
оператора Р является ортогональное дополнение к под-
подпространству
Р? = р|{ф ^ ?: ?/ (g) Ф = Ф} = f|{?/ (^)Ф' - Ф': Ф' е Ф}х.
g e
Поэтому ядро оператора Р порождается векторами вида
U (g)<$' — Ф', где Ф'е§. Если Рл? = 0, то для любого е
можно найти такое число п^О, такие векторы Фь ...
..., Ф„е§ и такие элементы glt ..., gn^G, что
1=1
Отсюда видно, что достаточно доказать равенство
д)и(д)-р]{и(д1)Ф~Ф}\ = 0 B.22)
и Фе§. Оно вытекает из оценки
Шп
для всех
dg%a (g) U (g) - Р] [U (gl) Ф - Ф]
= | [ { dg%a (g) U (g)] [U (gl) Ф - Ф] I =
6.2.16. Предложение. Пусть на группе G суще-
существует инвариантная мера, а функции g-^-a(xgA) непре-
непрерывны на G (при всех Лей и всех аеЕ), и пусть
(Ха) ~ некоторая М-сеть на G.

224 Гл. б. Групповая инвариантность физических состояний
Для того чтобы В*-алгебра % была G-абелевой, необ-
необходимо и достаточно, чтобы для любых самосопряжен-
самосопряженных элементов Alt Л2е % и любого состояния pcrffl^c
выполнялось равенство
Пш fdgXa(g)p(Mi. Л2]) = 0. B.23)
Пусть Ч'еРр&р и || W ||=1. Используя предложе-
предложение 6.2.14 и заменяя р(-) на (Ч;, яр (•) ?), получим,
что равенство B.23) эквивалентно следующему:
(Чг, Лр (Л,) Рряр (А2) W) = (W, пр (А2) Ррпр (Л,) ?), B.24)
которое в свою очередь эквивалентно B.7). Поэтому
В*-алгебра 31 тогда и только тогда G-абелева, когда
равенство B.23) справедливо.
§ 6.3. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
В этом параграфе мы займемся детальным изуче-
изучением инвариантных состояний на G-абелевой В*-алгебре.
Сначала мы рассмотрим эргодические состояния.
6.3.1. Определение1). П усть задана тройка {%, G, х).
Обозначим через <§ (Е Л 3?g) совокупность крайних точек
множества Е Л 3?g всех G-инвариантных состояний, эле-
элементы множества (% назовем G-эргодическими состоя-
состояниями.
В абелевой ситуации (см. 6.2.3) эргодические состоя-
состояния сводятся к эргодическим мерам. Мы предпошлем
описанию эргодических состояний (см. теорему 6.3.3,
ниже) некоторые технические результаты, при доказа-
доказательстве которых нам понадобятся алгебры фон Ней-
Неймана (см. Д.4). В следующем предложении не пред-
предполагается, что алгебра % является G-абелевой.
6.3.2. Предложение. Пусть реЕЛ3?о~; тогда
(а) [яр (Щ U {Рр}]' = К (Щ U Up (G)]'; C.1)
') См. Сигал [1].

§ 6.3. Эргодические состояния 225
(б) отображение
a: [np{%)\}Up(G)Y-+Pp[np{%)\)Up(G)]' C.2)
является '-изоморфизмом;
(в) Рр [Яр (Я) U ?/Р (G)]' = Рр [Рряр (Я) Рр]'; C.3)
(г) если алгебра фон Неймана [Рряр (Щ Рр]' абелева, то
Рр [РРлр (Я) Рр]' = Рр [Рряр (Я) Рр]"; C.4)
(д) Рр [РрЯр (91) Рр]" совпадает с сильным замыканием
алгебры Ррпр(ЩРр.
(а) Включение [пр (Я) U {РР}]' => [яр (Я) U ?/p (G)]' оче-
очевидно, поскольку Ppc:[(/p(G)]". Допустим противное:
С е [яр (?l) U {Рр}]', тогда для всех Ле1и всех geC
имеем
Cf/p (g) Яр (A) Qp = Сяр (тгЛ) Qp =
= яр (xgA) CQP = f/p (g) Яр (A) PPC Qp = C/p (g) Сяр (A) Qp.
(б) Если Се[яр(Я)и?/р(О)]/, то СРр = РрСРр = РрС,
поэтому отображение а является "-гомоморфизмом. Если
СРР = 0, то CQP = 0, а поэтому Сяр (A) Qp = пр (A) CQP = 0.
Следовательно, С = 0 и отображение а — изоморфизм.
(в) Это утверждение вытекает из формулы @$')Р = (,&Р)'
(см. Д.3.4), если взять % = [np(K)[)Up(G)]" и Р = Рр.
(г) Вектор Qp является циклическим вектором для
ограничения алгебры фон Неймана Рр [Рряр (Щ Рр]" на
подпространство РрФр; поэтому если эта алгебра ком-
коммутативна, то она совпадает со своим коммутантом
(см. Д.4.5), который является ограничением алгебры
^р^Л^Рр]' на подпространство РРФР.
(д) Алгебра Рр [Рряр (Щ Рр]" всегда совпадает с алге-
алгеброй 33, порожденной Рряр (Щ Рр; в свою очередь алгебра
РрЯр(ЗД)Рр всюду плотна в 33 в сильной топологии, по-
поскольку Pp€=[?/p(G)]".
6.3.3. Теорема. Пусть р е Е (] 2?q. Условия
8 Зак. 850

226 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
(б) множество операторов л;р (?l) U f/p (G) неприводимо
в &р;
(в) подпространство Рр&р одномерно !)
связаны соотношениями (аL:Ф(бL=(в). Если В'-алгебра ЗД
G-абелева, то условия (а), (б) и (в) эквивалентны.
()фф() Существование самосопряженного опера-
оператора Се=[Яр(Я)и?/р(О)]', такого, что 0<С<1, и не
кратного 1, эквивалентно (см. Д.3.5) как отрицанию (а),
так и отрицанию (б).
(б) 4= (в). Эта импликация вытекает из 6.3.2F).
Если алгебра 21 G-абелева, то Рр [яр A) (J ?/р (G)]' =
= Рр[РрлрB1)Рр]", согласно 6.3.2 (в) и (г). Поэтому
условие (б) означает, что в данном случае всякий опе-
оператор из алгебры Рр [Ррпр (Щ Рр]" пропорционален Рр;
но так как вектор Qp циклический для ограничения
алгебры Рр [РрЛр (Щ Рр\" на подпространство РрФр, то
условие (в) выполнено.
6.3.4. Замечание. Из 6.3.2 следует, что условие (б)
теоремы 6.3.3 эквивалентно следующим:
(б') множество яр {Щ U {Рр} неприводимо в §>р,
(б") множество Ррпр(ЩРр неприводимо в РрФр.
6.3.5. Предложение. Пусть на группе G суще-
существует инвариантная мера и функции g-^-a(xgA) не-
непрерывны на G (при всех ЛеЗД и всех ое?); пусть
fe(cJ ~ некоторая М-сеть на группе G. Если состояние
pefflS'a, то следующие условия эквивалентны усло-
условию (в) теоремы 6.3.3;
(г) для всех Аь Л2еЗД выполняется равенство
f Al.A2) = p(Al)p(A2); C.5)
') Это свойство называют «единственностью вакуумного век-
вектора»; оно означает, что всякий G-инвариантный вектор пропорцио-
пропорционален Qp.

§ 6.4. Разложение инвариантных состояний по эргодическим 227
(д) для всех самосопряженных элементов А е 31
выполняется равенство
Hm f dgi f dg2%a (gt) &, Ы Р (т«, Л • тйг Л) = р (ЛJ. C.6)
Используя предложение 6.2.14, можно переписать
равенства C.5) и C.6) в виде
(Qp, яр (А{) РрЯр (Л2) Qp) = (Qp, яр (ЛО Qp) (Qp, яр (Л2) Qp)
(Qp, яр (Л) />р (Л) Qp) = (Qp, яр (Л) QpJ
соответственно; оба эти равенства означают, что Рр
является оператором ортогонального проектирования
на Qp.
6.3.6. Замечание. Равенство C.5) выполняется,
в частности, если группа G некомпактна и
lirn р (т,Л, • Л2) «с р (ЛО р (Л2). C.7)
Соотношение C.7) совпадает с равенством D.11) гл. 4,
т. е. выражает групповое свойство. Равенство C.5)
естественно называть слабым групповым свойством.
§ 6.4. РАЗЛОЖЕНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ СОСТОЯНИЙ
ПО ЭРГОДИЧЕСКИМ
В этом параграфе мы увидим, что каждое инвари-
инвариантное состояние на G-абелевой fi'-алгебре 31 един-
единственным образом представляется в виде интеграла
(в некотором смысле) по множеству эргодических со-
состояний. При изучении этих вопросов мы будем поль-
пользоваться языком и техникой теории интегральных
представлений на выпуклых компактных множествах,
принадлежащей Шоке (см. Д.5).
6.4.1. Теорема1). Пусть в В*-алгебре 31 существует
единица. Для каждого Лей обозначим через А функ-
функцию на множестве Е[\9?а, определяемую равенством
') См. Ланфорд и Рюэль [Ц.
8*

228 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
а -> А (а) = а (А). Пусть состояние р е Е |~| &а и алгебра
[Яряр (91) Яр]" абелева. Тогда существует единственная
максимальная мера цр на Efl ¦S'g с результантом р
(ел. Д.5). Эта жера определяется равенством
Ир (Й Л,) = (qp> [ П (ЯрЯр (А,) Яр)] Йр) D.1)
для любых I самосопряженных элементов Аи ..., Ар
По предположению существует мера F на R', при-
принимающая значение в пространстве проекторов, такая,
что
j ..., tt). D.2)
Пусть SP — полином от п комплексных переменных,
тогда
! (Qp, <? (ЯрЯр (Л,) Яр, .... ЯрЯр Ш Яр) Qp) | -
< sup \^((Ф,пр(А1)Ф), .... (Ф,яр(Лг)Ф))|<
< sup \P(o{A1),...,o(Al))\-
= sup |^(Л,(ст), .... Л,(<г))|,
поэтому равенство D.1) определяет линейный функцио-
функционал на всех полиномах от Ль .... Аь непрерывный
в топологии равномерной сходимости на E(\9?q. Этот
функционал однозначно (используя теорему Стоуна —
Вейерштрасса) можно продолжить до функционала на
пространстве всех непрерывных функций на Ef\3?Q,
т. е. до меры цр на E[\2?q\ при этом, очевидно, цр^ О
и IIЦР 11=1.
m
Пусть p=2A,;pi> где рь ..., рте Е(] %о, А,ь ...
..., А,т>0 и 2^1=1- Тогда существуют (см. Д.3.5)

§ 6.4. Разложение инвариантных состояний по эргодическим 229
однозначно определенные самосопряженные операторы
Tt e= [яр (%)]', такие, что 0<Г<1
) = (TlQp,np(-)TlQp). D.3)
Из D.3) следует, что 2?1= 1- Из G-инвариантности со-
состояний Pi и единственности операторов Tt следует
также, что Up (g) T\UP (g'1) = T\, так что
Tt<=[Up(G)Y, [ThPp] = 0. D.4)
Воспользуемся теперь единственностью конструкции
Гельфанда — Сигала (см. Д.3.5) и отождествим фр с за-
замыканием яр B1) TtQp, Яр^ — с ограничением оператора яр
на подпространство ?Pi, а вектор QPl — с %ThTiQp. При
этом операторы UPl и PS>1 также отождествляются
с ограничениями операторов Up и Рр на подпростран-
подпространство Фрг В частности, алгебра [Рр^^Щ Рр{\г' абелева
и поэтому определена мера щ,г Следовательно,
( П Ak) = ( Op,, [ П (РрЛ (Ak) PPl)
так что
и поэтому
цр = 2я,,Црг D,5)
Пусть теперь ц — мера на множестве Е Л 9?в с резуль-
результантом р (т. е. ц )> бр, см. § Д.5), и пусть q> — непре-
непрерывная функция на E{\9?q. По заданному е>0 можно
иайти меру ц' = 2ЛД>4 с конечным носителем, такую,

230 Гл. б. Групповая инвариантность физических состояний
что Х,>0, рг(=ЕГ\2?о, 2^гР« = Р и I ц(ф)-ц'(ф) |<е(см.
Д.5.1). Если функция ф выпукла, то
ц (Ф) - е < v.' (ф) = 2Я. Д., (ф) < 2 К^. (ф) = fip(ф). D.6)
Поэтому ц > 6р =ф ц «< Цр и цр оказывается единствен-
единственной максимальной мерой на EQS'a, такой, чтоцр>>6р.
6.4.2. Следствие. Если алгебра 91 содержит еди-
единицу и является G-абелевой, то Е Г) 3?q представляет
собой симплекс.
Это утверждение вытекает из теоремы 6.4.1, опре-
определения 6.2.6 С-абелевой алгебры и определения сим-
симплекса (см. Д.5.3). Если алгебра 91 абелева, то можно
показать, что инвариантные вероятностные меры на
компактном множестве с заданной группой гомомор-
гомоморфизмов образуют симплекс ').
В «хороших случаях» максимальные меры цр сосре-
сосредоточены на крайних точках множества Е03?о, т. е.
на С-эргодических состояниях. Это, в частности, верно,
если В*-алгебра 91 сепарабельна и поэтому множество
Е П 3?о метризуемо (см. Д.5.4).
6.4.3. Предложение. Если В*-алгебра 91 G-абе-
лева, сепарабельна и содержит единицу, то каждое
G-инвариантное состояние р является результантом един-
единственной меры, сосредоточенной на G-эреодических со-
состояниях.
В оставшейся части этого параграфа мы будем рас-
рассматривать состояния, ограничения которых на неко-
некоторые подалгебры в 91 имеют норму 1. Такие состояния
часто встречаются в физических приложениях.
6.4.4. Предложение. Пусть В*-алгебра 91 СО'
держит единицу, а 23 — самосопряженная подалгебра в %,
Рассмотрим множество
У =г {а е Е: норма ограничения состояния а
на 23 равна 1}. D.7)
') Доказательство этого утверждения можно найти у Якобса [1]
к Фелпса [1\.

§ 6.4. Разложение инвариантных состояний по эргодическим 231
Тогда
(а) множество @~ является счетным пересечением от-
открытых подмножеств пространства Е;
(б) если ц — вероятностная мера на Е с результан-
результантом р, то
р е &~ 4Ф мера ц сосредоточена на 3~. D.8)
Можно считать, что 33 есть В*-подалгебра в 31 (заме-
(заменив, если нужно, подалгебру 33 на ее замыкание).
Введем обозначение
Bh = {А е 33: А = А\ || А || < 1}; D.9)
тогда утверждение (а) следует из равенства
f| 7m, D.10)
леЕйй m>0
где
Vm= (J |аб?: а(Д)>1_±1. D.Ц)
т
h
Докажем (б). Предположим сначала, что pGf, и
пусть ц = ц' + ц", где ц,' и ц" сосредоточены на Vm и
?¦ \ Fm соответственно.
Для всех ЛеВ4 имеем
ц"(Л)<||ц1.A-1), D.12)
где через Л (как и раньше) обозначена функция на Е,
задаваемая равенством А(а) = а(А). Из D.12) следует
р (А) = IX (А) = ц' (А) + v' (А) <II ц' II + || \? || (l - -1) =
-1-i-Dn'lt
а поэтому || ц" || = 0. Таким образом, мера ц сосредото-
сосредоточена на Fm при всех пг; это означает, что ее носитель
принадлежит f)Vm = &~.
m
Пусть теперь мера ц сосредоточена на У и, зна-
значит, на V2m при всех т. Существует компактное мно-
множество /Cc=F2m, такое, что \i(K)> 1 — l/2/n. Пусть
(f/J — возрастающая аппроксимативная единица (см.

232 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
Д.3.2) подалгебры 33, тогда (см. Д.3.3)
<хе= V2m=> lima (U})> 1 —gL. D.13)
Таким образом, существует конечный набор (U\,)
такой, что
Поэтому (см. Д.3.2) существует такое число Ао, что
{Об?:о([/1,)>1-1|эК. D.14)
Отсюда следует, что
()-± D.15)
и, значит, р е= Vm; но поскольку это верно при всех т,
то J
6.4.5. Предложение. Пусть (9la) — счетное семей-
семейство В'-подалгебр алгебры 91, такое, что {J\ плотно
а
в 51. Для каждого а обозначим через \ сепарабельный
замкнутый двусторонний идеал алгебры %а и положим
9~а = {ие?: норма ограничения состояния а
на За равна 1},
Тогда справедливы следующие утверждения:
(а) если состояние р е &~, то пространство §р — сепа-
рабельно;
(б) существует последовательность {At} самосопря-
самосопряженных элементов алгебры Я, обладающая сле-
следующим свойством: если ре J", а^ЕирФа,
то (>{А1)фа{А1) для некоторого номера i;
(в) пусть алгебра % G-абелева и содержит единицу;
если ц — вероятностная мера на E[\9?q с резуль-
результантом. рЕ^", ТО
(ц — максимальная мера на Е [\3?о)^$
ц сосредоточена на &{Е[)9?о). D.16)

§ 6.4. Разложение инвариантных состояний по эргодическим 233
Поэтому каждое состояние р е SF Л Е Л 3?в является
результантом единственной вероятностной меры |лр, со-
сосредоточенной на &~[)%{Е[)&о).
(а) Обозначим через Фа замкнутое подпространство
в фр, порожденное векторами np(%a)Qp. Из единствен-
единственности конструкции Гельфанда — Сигала (см. Д. 3.5) сле-
следует, что ограничение представления яр на В*-под-
алгебру 21а унитарно эквивалентно представлению яа,
построенному с помощью ограничения р0 состояния р
на $„. Поскольку норма ограничения ра на идеал %
равна 1, то яр(За)Ц, плотно в $„'), поэтому простран-
пространство ?>0 сепарабельно; а так как все пространство фр
порождается счетным семейством подпространств §0,
то и фр сепарабельно.
(б) Для каждого а выберем счетное всюду плотное
подмножество (Лар) единичного шара в подпространстве
самосопряженных элементов идеала %, как-нибудь упо-
упорядочим счетное множество (Лар) и обозначим соответ-
соответствующую последовательность через At. Пусть <ге?,
тогда
up|aD0R) |= 1 при всех а. D.17)
е р
Поэтому если pef и a&2F, то р(Лг)^=а(Л() для не-
некоторого /. С другой стороны, если р, uef и р(Лг) =
~a(Ai) при всех /, то это означает, что ограничения
состояний р и а на % совпадают при всех а; отсюда
(см. Д. 3.3) следует, что при всех а совпадают ограни-
ограничения р и а на %а. Следовательно, р = <т.
(в) Как известно (см. Д. 5.4), всякая мера |л, сосре-
сосредоточенная на <?{E[\9?q), максимальна. Докажем об-
обратное.
Предположим, что мера |л максимальна. Тогда
ц = |лр (см. теорему 6.4.1) и мера |лр сосредоточена
на множестве Т (см. предложение 6.4.4 (б)). Обозна-
Обозначим через р отображение, ставящее в соответствие
') Пусть (Ux) — аппроксимативная единица в Qa; из
lim pa (Ui) = 1 следует || зтр (#х) Qp - Qp || -> 0. Это показывает, что
множество яр (Qia) ^p плотно в фа.

234 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
каждому состоянию а е К = Е П 2?о последовательность
(a(At)), где (/4f) — последовательность, построенная
в п. (б) этой теоремы; р является непрерывным отобра-
отображением множества К в произведение счетного числа
копий числовой прямой R. Зададим меру vp на вы-
выпуклом компактном множестве р(К) равенством
vP(Ф) = ЦР(Фор) = ц(Фо/>), где фе= f (/>(/С)). D.18)
Докажем, что мера vp максимальна на р{К). Оче-
Очевидно, что vp >- брр. Пусть v У- брр на /? (/С), тогда по лю-
любому е>0 и любому фе f7(/?(/С)) можно найти
(см. Д. 5.1) меру v' с конечным носителем, принадле-
принадлежащим р(К), такую, что
SpP < v' = S a, 6ot, I v (ф) - v' (ф) | < е.
Пусть ai = ppi, Pt^K, тогда p(Iatp{) = Iata{ = pp; по-
поэтому из (б) следует 2агрг = р. Если функция ф вы-
выпукла, то
v (ф) - е < v' (ф) = 2а,.ф (p9l) < 2 af|iP| (ф = р) =
= Цp(Фop) = Vp(ф), D.19)
так как отображение <х->ц.ст аффинно. Поэтому v<^vp,
так что мера vp максимальна.
Из метризуемости множества р(К) следует, что
мера vp сосредоточена на &{р{К)) (Д. 5.4); следова-
следовательно, мера ц = цр сосредоточена на &~ П р~1 {<& (р (К))).
Из утверждения (б) легко получить, что 9~Г\р~х{<?>{р(/С)))с
сг 8 (К) = <8 (Е П 2?g)- Теорема полностью доказана.
§ 6.5. ЧИСТЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФАЗЫ
КАК ЭРГОДИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
Предположим, что алгебра 31 квазилокальна (см.
6.2.4), так что группа G совпадает с Rv или с Zv и
алгебра 91 является G-абелевой. Рассмотрим G-инва-
риантное состояние р на алгебре %, которое Мы будем
физически интерпретировать как равновесное состояние

§ 6.5. Чистые термодинамические фазы 235
бесконечной системы. Мы покажем, что состояние р
можно считать чистой термодинамической фазой тогда
и только тогда, когда оно G-эргодично ')•
Группы Rv и Zv абелевы, и потому на них суще-
существует инвариантная мера. Легко построить М-сети (%а)
для этих групп: в качестве %„ возьмем поделенную на <xv
характеристическую функцию куба со стороной а,
а в качестве множества индексов а возьмем натураль-
натуральный ряд.
6.5.1. Лемма. Состояние р эргодично тогда и
только тогда, когда для любого самосопряженного эле-
элемента А е 91 выполняется равенство
Нтр([(Л>о]2) = [р(Л)]2, E.1)
где
J dg%a(g)TgA, E.2)
а отображение xgA: G -> 21 предполагается непрерыв-
непрерывным 2).
Эта лемма является просто переформулировкой пред-
предложения 6.3.5 (д). Заметим еще, что равенство E.1)
можно переписать в виде
Нтр([(Л>о-р(Л)]2) = 0. E.3)
а-*оо
Вернемся теперь к интерпретации самосопряженных
элементов алгебры 91 как физических наблюдаемых.
Наблюдаемая А может, вообще говоря, флуктуировать,
т. е. мера, определяемая состоянием р на спектре
алгебры 21, не сосредоточена в одной точке. Однако
равенство E.3) означает, что при больших значениях а
среднее (Л)о колеблется очень слабо, иными словами,
если состояние р эргодично, то наблюдаемая, усред-
усредненная по достаточно большой области становится
почти константой. Тот факт, что среднее значение
') Этот факт был замечен и использован Рюэлем [6]. Не ясно,
в какой мере это могло бы быть сделано раньше.
2) Мы вводим это сильное требование непрерывности только
для простоты рассуждений.

236 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
наблюдаемой (по области) стремится к постоянной, можно
интерпретировать так, что рассматриваемое состоя-
состояние представляет собой «чистую термодинамиче-
термодинамическую фазу». Однофазные состояния по существу ха-
характеризуются тем, что все макроскопические характе-
характеристики (т. е. средние по большой пространственной
области) не колеблются. И наоборот, для смесей фаз
(например, воды и льда) характерны колебания неко-
некоторых макроскопических характеристик (например, плот-
плотности). Заметим, что «-й момент распределения про-
пространственного усреднения наблюдаемой А равен
Пгпр([<Л>аГ). E.4)
Каждое смешанное состояние р, как это ясно из фи-
физических соображений, должно единственным образом
разлагаться на чистые фазы, т. е. для р должно суще-
существовать единственное интегральное представление
на множестве &(E$\9?g) эргодических состояний. Суще-
Существование этого интегрального представления было рас-
рассмотрено в § 6.4; оно задается мерой цр на
определяемой равенством (см. теорему 6.4.1)
цр (Аь ..., А[) = (Qp, яр (Л,) Рряр (Л2) Яр ... РрЯр (Ai) Qp) =
«. E.5)
Второе равенство вытекает из предложения 6.2.14 и
сводит разложение произвольного состояния на чистые
фазы к нахождению моментов E.4).
До сих пор в этом параграфе мы предполагали, что
группой симметрии G служит Rv (непрерывные системы)
или Zv (решетчатые системы). В физических приложе-
приложениях группа G часто оказывается шире; например,
в качестве G естественно рассматривать группу всех
движений евклидова пространства. Обобщая предыду-
предыдущие рассуждения, естественно называть состояние р
«чистой фазой», если оно G-эргодично.
6.5.2. Спонтанные нарушения симметрии. Пусть со-
состояние р е 8(Е П 9?Ь), т. е. представляет собой чистую

§ 6.5. Чистые термодинамические фазы
237
термодинамическую фазу, соответствующую группе сим-
симметрии G. Пусть подгруппа Н a G такова, что алгебра 91
является Я-абелевой. Если р ф. % (Е (] 3?н), то состояние р
можно разложить по Я-эргодическим состояниям'), ко-
которые обладают более сильным групповым свойством2),
чем исходное состояние р. Эта ситуация типична для
физики и известна под названием «спонтанного нару-
нарушения симметрии»: состояние р, инвариантное относи-
относительно большой группы преобразований G и обладаю-
обладающее «дальним порядком» (т. е. слабым групповым
свойством), разлагается по состояниям с меньшей сим-
симметрией, но лучшим групповым свойством. В этой
ситуации говорят, что симметрия, соответствующая
группе G, нарушена.
Вот несколько примеров.
Группа О
Группа Н
Элементы
(
Элементы
Группа всех
движений Rv
Группа всех
движений Rv
Группа сдви-
сдвигов в Rv
Группа сдви-
сдвигов в Rv
Группа сдви-
сдвигов в Rv
Дискретная
группа сдви-
сдвигов Zv
Изотропная
жидкость
Неориентиро-
Неориентированные кри-
кристаллы
Ориентиро-
Ориентированные кри-
кристаллы
Изотропная жид-
жидкость (нет разло-
разложения)
Ориентирован-
Ориентированные кристаллы
Ориентирован-
Ориентированные кристаллы
с фиксированными
средними положе-
положениями частиц
В квантовых системах может нарушаться даже сим-
симметрия, соответствующая группе всех преобразований,
сохраняющих число частиц (например, в гелии IIK).
К сожалению, до сих пор ни про одно равновесное
состояние реальной системы не доказано, что оно
') Случай, когда Я —нормальный делитель в G, а фактор»
группа G/H компактна, исследован в статье Робинсона н Рюэля [1].
г) См. замечание 6.3.6.
а) Анализ этой ситуации проведен, например, Жинибром [3]

238 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
является кристаллом (в смысле приведенной таблицы).
Это обстоятельство в настоящее время снижает инте-
интерес к детальному разбору спонтанного нарушения сим-
симметрии в статистической физике.
С математической точки зрения интересно выяснить,
существует ли естественный способ выбора нетривиаль-
нетривиальной подгруппы Я в группе G. В частности, этот вопрос
естественно рассмотреть для G = RVl). Положим
?/»= je">°dF(p), E.6)
и пусть f = {peRv: Р{р}фО\. Можно показать, что
множество $в является подгруппой в RV2). Могут пред-
представиться три различных случая:
Е1. #? = {0}: состояние не допускает естественного раз-
разложения, эта ситуация соответствует слабому пере-
перемешиванию в эргодической теории.
Е2. #/ —замкнутая подгруппа в Rv: существует есте-
естественный выбор подгруппы Н Ф {0} и естественное
разложение р по Я-эргодическим состояниям.
ЕЗ. Подгруппа §6 не замкнута: существуют разложе-
разложения, связанные с разными подгруппами, но нет
естественного наилучшего выбора подгруппы Я3).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Изучение инвариантных состояний на В*-алгебре 21
с группой автоморфизмов G является естественным
продолжением изучения инвариантных мер на компакт-
компактном множестве с группой автоморфизмов. Понятие
эргодического состояния впервые было введено Сига-
лом [1] в 1951 г. Однако для того чтобы это обобще-
обобщение эргодической теории на инвариантные состояния,
') См. Кастлер и Робинсон [1].
2) См. упражнение 6.Е.
8) Случай ЕЗ появляется в некоторых физических моделях.
Например, в жидких кристаллах, построенных из уложенных слоями
длинных молекул и таких, что направление молекул меняется при
переходе от слоя к следующему на угол an, где число а иррацио-
иррационально.

Упражнения 239
заданные на В*-алгебре, было содержательным, необхо-
необходимо наложить некоторые ограничения на алгебру 91
и группу G. Это обобщение было изложено в § 6.2,
6.3 и 6.4 в предположении, что В*-алгебра 9t является
G-абелевой. G-абелевы или асимптотически абелевы
В*-алгебры в той или иной форме изучались многими
авторами: впервые Доплишером, Кастлером и Робин-
Робинсоном J) и независимо Рюэлем [7], а позднее — Кейди-
соном, Ланфордом и Штёрмером 2). В своем изложении
мы ближе всего следовали работе Ланфордаи Рюэля[1].
Упражнения3)
6.А. Пусть G-абелева В*-алгебра 9t обладает еди-
единицей. Доказательство того, что Е П 3?о — симплекс,
(см. следствие 6.4.2), отличающееся от изложенного,
можно получить, если непосредственно показать, что
конус положительных G-инвариантных линейных форм,
заданных на В*-алгебре 91, является решеткой (см. Д.5.3).
В действительности достаточно доказать этот факт для
множества Ср инвариантных положительных линейных
форм, ограниченных сверху некоторым состоянием р.
Из Д.3.5 следует, что для всякого функционала f e Ср
существует единственный самосопряженный положи-
положительный элемент алгебры Sf e [лр (Щ]', такой, что
Покажите, что отображение f -»Sf сохраняет по-
порядок, линейно и что Sf е [пр (91) (J Up (О)]'. Последняя
алгебра абелева в силу предложения 6.3.2(в) и (г). Для
завершения доказательства воспользуйтесь тем, что
самосопряженные элементы абелевой В*-алгебры обра-
образуют решетку (Д.3.9).
') См. Кастлер, Доплишер и Робинсон [1], а также Кастлер
и Робинсон [1].
2) См. Робинсон и Рюэль [1]; Ланфорд и Рюэль [1]; Доплишер,
Кейдисон, Кастлер и Робинсон [1]; Штёрмер [1], [2], [3].
3) Упражнения с 6.А по 6.Г возникли в результате бесед
с Ланфордом и под непосредственным влиянием работ Щтёр-
мера [1] и [3].

240 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
6.Б. Пусть 91 является G-абелевой ZT-алгеброй и
(а) Покажите, что для всякого Ле91 равенство
Ляр (Л,) Qp = яр (Л,) РрЯр (Л) Qp
определяет линейный оператор Л на простран-
пространстве Фр (воспользуйтесь тем, что
|| Ляр (Л,) Qp |f = (C1/2Qp, яр (Л') РрЯр (Л) С*%),
гдеС=РрЯр(Л;Л,)/>р).
(б) Покажите, что линейное отображение яр (Л) -> ЛГне
увеличивает нормы и его образ содержится в
(в) Покажите, что Рряр (Л) Рр = ЛРр.
6.В. Для каждого элемента ЛеЭД обозначим через
сопутоЛ множество всех выпуклых1) комбинаций вида
^XiXgiA. Покажите, что формулируемые ниже усло-
условия (а), (б), (в), (г) и (д) связаны следующими имплика-
импликациями:
(аЧ
(б/
(а) Для всех состояний p^E[}3?G и всех самосопря-
самосопряженных элементов Л^ЭД слабое замыкание множества
яр (conv т0Л) содержит элемент из [яр (91)]'2).
(б) Для всех состояний р^ЕГ\3?а, всех элементов
Л ^ 91 и всякого конечного подмножества S с: 91 имеет
место равенство
inf sup |Р(Л,[Л', Л2])| = 0.
Д'ТД AA&S
') То есть таких, что Х[>0 и 2Л<= \. — Прим. перев.
г) Штёрмер называет группу G, для которой выполнено это
условие, большой группой автоморфизмов. Он показал, что группа
ьсех внутренних автоморфизмов В*-алгебры 91 с единицей является
большой (см. Штёрмер [1]).

Упражнения 241
(в) Для всех состояний pe?f]3?g и_всякого само-
самосопряженного элемента Лей оператор Л принадлежит
слабому замыканию множества яр (conv xgA); опера-
оператор А определяется в упр. 6.Б. (Для доказательства
импликации (б)=Ф(в) воспользуйтесь теоремой 6.2.7,
чтобы приблизить РрЯр(Л)йр векторами вида яр(Л")Ц„
где А" е conv т0Л; после этого воспользуйтесь усло-
условием (б), считая, что А' е convxGA".)
(г) Для всех р е Е П 3?а и всех Лей справедливо
включение
(д) Для всех р е f П 2*0 имеет место включение
(или [jtp(?l)]'n[t/p(G)]' совпадаете пересечением центра
алгебры fjipBl)]" и множества [Up(G)]').
(Для доказательства импликации (г)=^(д) заметьте, что
в силу результата упр. 6.Б (б) и (в) имеем
ад) ро\"с рр К (*) n c/p (G)r n к
а затем воспользуйтесь предложением 6.3.2.)
6.Г. Если условие (д) упражнения 6.В выполнено,
а р! и р2 — квазиэквивалентные G-эргодические состоя-
состояния, то pi = р21) (квазиэквивалентность означает, что
существует '-изоморфизм р между слабым замыканием
алгебры яр,(Щ и слабым замыканием алгебры пРг(Щ,
такой, что %,(•) = Р%, (•))•
[Предположите, что pi ф р2, и рассмотрите состояние
Р = Y Pi + у Р2- Из 6.А вытекает, что существуют такие
два ортогональных проектора Ти Т2^[п()(Щ [} UP(G)]',
что Т{ • Т2 = 0, j р« (•) = (Ц>. % (•) ?\Ц>) и nPi совпадает
') В частности, это применимо, если состояния р( и р2 унитарно
эквивалентны, т. е. если существует изометрия V из ф( на ф?. такая,
что Уяр.ЫУ'-Ир,!-).

242 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
с ограничением оператора яр на область значений проек-
проектора Т{ (t=l, 2).
Пусть яр (А) -*- Т{; тогда, поскольку 7^<=[яр E1)]", яр (А)
стремится к 1 на области значений оператора 7", и из
существования изоморфизма р вытекает, что пр(А) стре-
стремится к 1 на области значений Т2, что невозможно.]
6.Д. Если состояние р на алгебре 51 таково, что
слабое замыкание яр(91) в ?>р является фактором
(см. Д.4.5), то р называется факторсостоянием.
(а) Если выполнено условие (д) задачи 6.В, то всякое
G-инвариантное факторсостояние G-эргодично.
(б) Пусть состояние р является G-инвариантным,
и пусть центр алгебры [яр(91)]" содержится в [UP(G)Y;
тогда для того, чтобы р было факторсостоянием, доста-
достаточно, чтобы оно было эргодичным. В частности,
в ситуации, описанной в следствии 6.2.11, эргодические
состояния являются факторсостояниями (их называют
факторными следами).
(в)') Пусть алгебра 21 слабо асимптотически абелева
(см. следствие 6.2.10(г)), и пусть р — факторсостояние
на алгебре 21; тогда lim | р(х А • В) — р (т„Л) р (В) | = 0.
е-»-»
В частности, если состояние р инвариантно, то
p(xgA, В)-> р (Л) р (В). [С*-алгебра 93, порожденная
яр B1) (J яр B1'), неприводима; поэтому, согласно Д.2.8,
существует представление В — р(В) = В, + В2, где Ви
В2^93, BiQp = 0, ВгйР = 0. Подставьте это равенство
в выражение для р (xgA • В) и воспользуйтесь тем, что В2
можно равномерно приблизить конечными суммами
вида 2пр(А{)-Аг{, где At e= Я, ,4^е[яр(ЯI'.]
6.Е 2). Пусть G — абелева, локально компактная, но
некомпактная группа, а функции g^*-o(xgA) непрерывны
на G (при всех А е 21 и а^Е). Пусть состояние
') Этот результат принадлежит Кастлеру и Робинсону (частное
сообщение).
2) Эта задача заимствована с некоторыми упрощениями из
статьи Кастлера и Робинсона [1], см. также Робинсон и Рюэль [1].

Упражнения 243
р е Е П S'g и ? ( ) - спектральная мера на группе харак-
характеров G, такая, что
Up{g)= jX(g)dE(X).
G
Заметим, что Е({1}) = РР.
(а) Если (хо) является М-сетью на группе G, то
Е ({X}) = st lim f dg%a {X) X (ёГ1 Up (g).
[Примените 6.2.14 к представлению X(g)*1 Up(g).\
(б) Предположим, что алгебра 9t слабо асимптотически
абелева (см. следствие 6.2.10 (г)). Используя п. (а)
этого упражнения, докажите, что для любых харак-
характеров Xi, X2, X3 e G выполняется равенство
Е ({Х\}) яр (Л,) Е фЩ) яр (А2) Е (№}) =
х)) яР (А2) Е {{Х21Х3}) яр (Л,) Е ({Х3})
и, в частности,
[Е ({X,}) яр (Л,) Е ({*,}), Е ({Z,}) яр (Л2) Е ({X,})] = 0.
(в) Пусть a? = {X<=G: E ({X}) ф 0}; предположив,
что выполнены условия п. (б), покажите, что
РрЯр (Л*) Е (V0) яр (Л) Рр = РрЯр (Л) Е ({Х-1}) яр (Л*) Р;
отсюда следует, что 9S = 9S~X.
(г) Пусть состояние р эргодично; тогда при выпол-
выполнении условий п. (б) W ¦ 9Sc9S (и поэтому множество 9S
является группой) и Е(Х) одномерно для всех ^е^.
[Для того чтобы доказать, что <% • 9t/C<%, воспользуй-
воспользуйтесь тем, что Рр — одномерный проектор и
Е р,}) яр (Л,) Е ({Х{Х2}) яр (Л2) Е ({Х2}) =
= Е ({Хг)) яр (Л2) Рряр (Л,) Е ({Х$.
Исходя из неприводимости яр(91)и Up(G), докажите, что
Е{Х)пр(%)Е({Х}) неприводима на образе Е({Х}); по-
поскольку эта алгебра абелева (согласно п. (б)), Е({Х})
одномерно.]

244 Гл. 6. Групповая инвариантность физических состояний
6.Ж. Комплекснозначная функция / на локально
компактной группе G называется равномерно непрерыв-
непрерывной, если для любого е>0 можно найти такую окрест-
окрестность JP единицы в G, что для любого х <= G выпол-
выполняется \f(y\xy2)-f(x)\<e, если уи y2^JC.
Пусть <&U(G) — В*-алгебра ограниченных равно-
равномерно непрерывных комплекснозначных функций на
группе G; можно показать1), что если на алгебре <SU{G)
существует состояние, инвариантное относительно пра-
правых сдвигов, то на G существует инвариантная мера.
Исходя из этого утверждения и предложения 6.2.13,
покажите, что следующее свойство выделяет группы
с инвариантной мерой из всех локально компактных
групп:
для любой алгебры 21 с единицей и представлений т,
таких, что функция g-+a{%gA) непрерывна на G (для
всех А е % и ае?), на алгебре % существует G-инва-
риантное состояние.
') См. Гринлиф [1].

Глава 7
СОСТОЯНИЯ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
В этой главе мы рассмотрим термодинамические
равновесные состояния бесконечных систем. Сначала
мы опишем тройки C1, G, т), связанные с такими си-
системами (§ 7.1), затем исследуем существование и свой-
свойства термодинамического предела равновесных состоя-
состояний. В частности, мы докажем слабый вариант Гиб-
бсовского правила фаз (§ 7.5) и установим одно
замечательное свойство аналитичности (граничные усло-
вия-КМШ), справедливое для квантовых систем (§ 7.6).
§ 7.1. В «АЛГЕБРЫ В КЛАССИЧЕСКОЙ
И КВАНТОВОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
В этом параграфе мы опишем состояния, встречаю-
встречающиеся в статистической механике классических и кван-
квантовых систем, и укажем fi'-алгебры, на которых эти
состояния реализуются как положительные линейные
формы. В частности, мы покажем, что теория разло-
разложений, изложенная в § 6.4, позволяет построить для
этих состояний однозначное интегральное представление
посредством эргодических состояний. В качестве группы
движений G мы всегда будем рассматривать группу
сдвигов пространства Rv или решетки Zv, хотя всюду
можно было бы рассматривать и более общие группы
(см. 6.2.9).
7.1.1. Классические решетчатые системы. Рассмотрим
для определенности случай решетчатого газа. Это озна-
означает, что в каждом узле решетки Zv может быть одна
частица или не быть ни одной. Чтобы описать конфи-
конфигурацию такой системы, достаточно указать множество

246 Гл. 7. Состояния в статистической механике
X c:Zv занятых узлов решетки. Эта же система может
быть описана и по-другому: припишем каждому узлу
решетки число 0 или 1, соответствующие числу частиц
в этом узле; конфигурационное пространство такой си-
системы совпадает с произведением
/с={о, ifv (l.i)
множеств {0, 1} в числе, равном числу узлов решетки.
Заметим, что множество К, рассматриваемое в тополо-
топологии декартова произведения, компактно (считается, что
в множестве {0, 1} задана дискретная топологияI).
Состоянием описываемой системы естественно счи-
считать вероятностную меру на пространстве К всех кон-
конфигураций, т. е. состояние на fi'-алгебре W(K) всех
непрерывных комплекснозначных функций на К- Всякую
функцию i4e'g'(^) можно рассматривать как функцию
на подмножествах решетки Zv (конфигурация Х^К
при этом отождествляется с множеством X с: Zv заня-
занятых узлов решетки).
Положим для каждого JteZv
тхА(Х) = А(Х-х). A.2)
Роль тройки C1, G, т) в нашем случае играет тройка
('ё'(К), Zv, т). Поскольку алгебра 91 абелева, то она
G-абелева.
Пусть Л — конечное подмножество решетки Zv; обоз-
обозначим через WA пространство комплекснозначных функ-
функций, заданных на подмножествах из Л2). Определим
алгебру 91Л как подалгебру в 91, состоящую из таких
элементов А, для каждого из которых найдется f e 4?^,
такая, что выполняется равенство
A.3)
') Легко показать, что компакт К гомеоморфен канторову мно-
множеству.
2) Если множество Л содержит V элементов, то размерность
пространства WA равна 2V.

§ 7.1. В*-алгебры в статистической механике 247
По теореме Стоуна — Вейерштрасса, объединение ал-
алгебр 31Л плотно в 31. Это показывает, что алгебра 31
квазилокальна (см. 6.2.4). Отсюда следует также, что
алгебра 31 сепарабельна и поэтому каждое инвариант-
инвариантное состояние р является результантом единственной
меры, сосредоточенной на множестве эргодических со-
состояний (см. предложение 6.4.3).
Пусть р — состояние на алгебре 31; используя обо-
обозначения формулы A.3), можно записать
9(А)= 2 |iA(*)/(*)• A-4)
Число цл(Х)^0 есть вероятность того, что все узлы
множества X заняты частицами, а все узлы в Л \ X сво-
свободны. Для каждого конечного подмножества AcZv
мера цА(-) является неотрицательной функцией на
подмножествах из Л. Будем говорить, что меры Ил(')
образуют систему плотностей распределений, если вы-
выполняются следующие условия:
(а) нормированность
(б) согласованность: если Л с: Л', то
м*)= 2 м*ию- A.6)
Y i= A'\A
Ясно, что существует взаимно однозначное соответствие
между состояниями р на алгебре 31 и системами плот-
плотностей распределений (Ил('))- При этом 7у-инвариант-
ность состояния р также выражается в терминах си-
системы (цл(-)):
(в) инвариантность
A.7)
С каждым состоянием р на алгебре 31 можно свя-
связать корреляционную функцию р(-), определенную на
конечных подмножествах решетки Zv и такую, что р(Х)

248 Гл. 7. Состояния в статистической механике
является вероятностью того, что все узлы подмно-
подмножества X одновременно заняты, Очевидно, р(Х) = рх(Х)
и поэтому
2 ЦА (У) A.8)
YA
М) (Гр(У). A.9)
Y-.XcYcA
7.1.2. Классические непрерывные системы1). Для
непрерывных систем конфигурацией служит счетное под-
подмножество X с: Rv, такое, что пересечение X П Л конечно
для всякого ограниченного множества Л с: Rv. Состоя-
Состоянием было бы естественно называть вероятностную
меру на множестве всех таких конфигураций X. Мы,
однако, сначала рассмотрим другое определение со-
состояния, а именно зададим для каждого ограниченного
открытого множества Л вероятность найти ровно п ча-
частиц в Л, а также распределение вероятностей их рас-
расположений.
Для каждого ограниченного открытого множества
AcRv и целого числа я!>0 обозначим через цА(^0)
некоторую меру на множестве Л" с: RVn. Предположим,
что мера цА инвариантна относительно любой переста-
перестановки п «координат» в Л". Будем говорить, что меры цА.
образуют систему плотностей распределений, если они
удовлетворяют следующим условиям:
(a)|i°,(R°)=.l; A.10)
(б) если Л с: Л', то
<я +
Г dx [ dx un+p(x х \
п\р\ J пХп+\--- J аХп+Р^А' [Х1> ¦••> Хп+р)>
р=0 Л'\Л Л'\Л
A.11)
') Мы ограничиваемся описанием конфигурационного простран-
пространства и не рассматриваем скоростей частиц. Этот пункт носит опи-
описательный характер; все доказательства можно найти в статье
Рюэля [8] (см. также работу Минлоса [1]—Ред.).

§ 7.1. В*-алгебры в статистической механике 24§
где мы воспользовались обозначением
liJJ (xv ..., хп) dxl ... dxn для d|i» (*,, ..., *„).
Заметим, что из (а) и (б) следует условие норми-
нормировки
2/ A.12)
Условие (б) является условием согласованности.
Корреляционные функции, соответствующие системе
плотностей распределений, определяются равенством
(в тех случаях, когда они существуют, см. § 4.7)
где предполагается, что хи ..., илеЛ, Равенство A.13)
можно формально обратить, и при этом получится
х W ' У (~')Р
Р=0 др
... djfn+pp(x,, ..., хп+р). A.14)
Однако ряды в правой части формулы A.14) могут рас-
расходиться; действительно, мы уже знаем, что система
корреляционных функций может не определять состоя-
состояния системы').
С каждой системой плотностей распределений (у,пЛ
мы свяжем состояние на В*-алгебре 91, которую мы
сейчас построим.
Для каждого ограниченного открытого множества
AcRv обозначим через Ж% пространство всех веще-
вещественных непрерывных функций на (R")", носители ко-
которых содержатся в области Л". Обозначим через Ж\
х) См. § 4.7. Заметим, что ряды в A.14) сходятся, если вы-
выполнено условие G.20) гл. 4.

250 Гл. 7. Состояния в статистической механике
пространство последовательностей (fn)n>0, в которых
fejfl и /ге = 0 при достаточно больших я, и через
Ж — объединение пространств ЖА. Наконец, обозначим
через 9~ (топологическую) сумму 2 (Rv)" пространств
ге>0
(Rv)". Пусть / = (Г)ге>оеТ. Функция Sf на Г опре-
определяется так, что ее ограничение на (Rv)re равно
Sf(xu .... хп) = Д Д
Рассмотрим функции на д~ вида q>(Sfu ..., Sfq),
где /i, ..., !Ч^Ж, а ф —ограниченная непрерывная ком-
плекснозначная функция на R9; по отношению к обыч-
обычным операциям над функциями и операции *, опреде-
определяемой как комплексное сопряжение, функции фE/ь • • •
..., Sfq) образуют коммутативную алгебру 21 с инво-
инволюцией. Замыкание 2t алгебры % в равномерной норме
представляет собой абелеву В*-алгебру.
Построим состояние р на алгебре % по заданному
семейству плотностей распределений (х^;- Для каждой
функции ф (Sfu ..., Sfq) обозначим через Л такую об-
область, что f,, ..., /(е1а, и положим
р(фE/1> ..., Sfq))= ? J rf*,... dxnK(*v •••• OX
XyiSftixi, .... хп), .... Sfq(xu ..., хп)). A.16)
Можно показать, что это определение не зависит от
выбора области Л и что функционал р продолжается
по непрерывности до состояния, заданного на всей
алгебре 91. Обозначим через &~ множество состояний,
которые могут быть получены описанным способом из
подходящей системы плотностей распределений; таким
образом, отображение Ах?) -> р взаимно однозначно на $F.
Каждому сдвигу в пространстве Rv, очевидно, соот-
соответствует автоморфизм алгебры 21. Система плотностей

§ 7.1. В*-алгебры в статистической механике 251
распределений определяет инвариантное состояние, если
она удовлетворяет условию
(в)
1*а(*1 Хп)=
при всех aeRv и Л с Rv.
Поскольку алгебра % несепарабельна, то разложе-
разложение инвариантных состояний на эргодические нельзя
получить, применяя предложение 6.4.3. Однако можно
показать, что при подходящем выборе 21а, 3~а можно
воспользоваться предложением 6.4.5') и получить раз-
разложение инвариантных состояний из множества 9" на
эргодические состояния, также принадлежащие 9". Более
того, каждое инвариантное состояние из V допу-
допускает единственное интегральное разложение на чи-
чистые состояния2) из множества 9". Эти чистые со-
состояния могут быть отождествлены с бесконечными
конфигурациями X, определяемыми как счетные под-
подмножества X с: Rv, каждой точке которых приписана
конечная кратность, такие, что множества X П Л ко-
конечны, для любого ограниченного множества Л с Rv.
Отметим еще связь между гильбертовым простран-
пространством, построенным в § 4.7, и конструкцией Гель-
фанда — Сигала, соответствующей состоянию р е 9".
Можно показать, что для каждой последовательности
fe/C существует такой самосопряженный (неограни-
(неограниченный) оператор A(f), что для всех q>(Sfi Sfq)
выполняются равенства
) A(fq\). A.18)
«Поле» А (х) может быть введено так, чтобы выполня-
выполнялось равенство G.16) гл. 4; существование корреляцион-
корреляционных функций (определяемых равенством G.17) гл. 4)
зависит от того, принадлежит вектор Qp области опре-
определения всех операторов A(f) или нет.
•) См. Рюэль [8].
2) Чистым состоянием называется G-эргодическое состояние
для группы G, состоящей только из единицы.

252 Гл. 7. Состояния в статистической механике
7.1.3. Квантовые решетчатые системы. Мы уже объясняли
(см. 1.3.3), что для квантовых решетчатых систем с каж-
каждым конечным подмножеством AcZv естественно свя-
связано конечномерное гильбертово пространство Ж (А).
В § 2.2 мы заметили, что если Л с: Л', то естественный
изоморфизм
Ж{А')Ж(А)Ж{А'\А) A.19)
определяет изоморфное вложение
ал-л: А-»А®\ A.20)
С*-алгебры 21Д всех ограниченных операторов в
в С*-алгебру 21Л, всех ограниченных операторов в Ж {А').
Кроме того, для каждого сдвига а из Zv определен изо-
изоморфизм та: 21Л-*21Л+а, задаваемый формулой
-в). A.21)
где оператор VA{a) задается формулой B.1) гл. 2.
Легко убедиться, что 21Д, ал,л и та удовлетворяют усло-
условиям (а), (б) и (в) п. 6.2.4 и поэтому определяют ква-
квазилокальную /Г-алгебру 21, которую мы и будем счи-
считать В'-алгеброй, соответствующей квантовой решетча-
решетчатой системе.
Алгебра 21 сепарабельна '). и поэтому в силу пред-
предложения 6.4.3 каждое инвариантное состояние допускает
единственное разложение на эргодические состояния.
Любое состояние р на алгебре 21 определяется своими
ограничениями на алгебры 21Л. С другой стороны, для
каждого состояния рЛ, заданного на алгебре ДЛ, суще-
существует единственная матрица плотности цЛ, определен-
определенная в пространстве Жк и такая, что для каждого опе-
оператора А е 21Л
M) S^ A.22)
') Заметим еще, что алгебра % простая; поскольку алгебры ЯЛ
просты, каждый нетривиальный морфизм Ш -»95 является изомор-
изоморфизмом (а значит, и изометрией) на каждой алгебре ЯЛ, и поэтому
он является изометрией (а значит, и изоморфизмом) всей алгебры Ж.

§ 7.1. В*-алгебры в статистической механике 253
Поэтому задание состояния р на алгебре 91 эквивалентно
заданию системы матриц плотности (цЛ), определенных
для всех подмножеств Л cz Zv, таких, что
(а) если ЛсЛ', то (при отождествлении A.19))
имеем
- О-23)
Инвариантность состояния р выражается условием
(б) K+x = VA(a)vLAVa+A(a) A.24)
для всех аег'и всех Л cz Zv.
7.1.4. Фоковское представление. Прежде чем описы-
описывать fi'-алгебры непрерывных квантовых систем, мы
сформулируем основные факты о фоковском предста-
представлении канонических коммутационных и антикоммута-
антикоммутационных соотношений.
В п. 1.3.1 (в) мы определили фоковское пространство
2ёе(А), соответствующее измеримому (по Лебегу) под-
подмножеству Л с: Rv, как прямую сумму
5».(Л)= @Ll{An), A.25)
где через Ll(An) обозначено пространство квадратично
суммируемых функций на Л", симметричных (при
е= +) или антисимметричных (при е= —) по всем своим п
аргументам.
Пусть / — вещественная квадратично суммируемая
функция на Л; определим оператор уничтожения a (/) и
оператор рождения а* (/) следующим образом: пусть
ir (iF(n))^e(A), положим
(a(f)W){n)(xu ...,*„) =
i+l)xu..., xn), A.26)
S в'/ (xt) Y01» (jclf ..., xь ..., xJ. A.27)
i

254 Гл. 7. Состояния в статистической механике
Обозначение х{ указывает, что переменная х( должна
быть пропущена. Операторы а (/) и а* (/), очевидно, опре-
определены на множестве D, состоящем из векторов *Р
с конечным числом ненулевых компонент. Эти опера-
операторы удовлетворяют следующим соотношениям:
2) /)> ) при Т„ W2e=Z>, A.28)
[а (/), a (g)]t = [a* (/), a' (g)\ = О, A.29)
. A-30)
где [A, fl]g = ЛВ - еВЛ. Тождества A.29) и A.30) задают
так называемые канонические коммутационные соотно-
соотношения (ККС) при е = 1 и канонические антикоммута-
антикоммутационные соотношения (КАС) при е = — 1.
В случае ККС удобно рассматривать симметрич-
симметричные операторы
L L. A.31)
*(f)-r
Можно показать, что операторы ср(/) и n{f) однозначно
расширяются с области D до (неограниченных) самосо-
самосопряженных операторов.
В случае КАС при всех Ч^еЗК_(Л) имеем
II а (/) V |р +1| a'(f) V IP = || V IP J dxfHx), A.32)
л
так что операторы a{f) и a*(f) ограничены.
Поскольку отображения/-> a (/) и /-> а* (/) линейны,
можно записать
a(f)=j dxf (х) а (х) и a(f)=j dxf (х) а' (х), A.33)
вводя «полевые» обозначения а{х) и а'{х). В этих обо-
обозначениях ККС и КАС могут быть формально перепи-
переписаны в виде
И*). а(у)]ъ = [а(х), a

§ 7.1. В*-алгебры в статистической механике 255
Среднее по ансамблю для системы, заключенной
в ограниченной области Л, определяется матрицей плот-
плотности рЛ, действующей в Же(А),
Явное выражение для рЛ приведено в 1.3.1. Следующие
выражения, если только они существуют, задают при-
приведенные матрицы плотности конечного объема (см.
§ 4.6)
.. a{yq)), A.35)
Если сделать соответствующие предположения, то
при Л-»оо эти приведенные матрицы плотности стре-
стремятся к некоторому пределу. Этот предел описывает
состояние бесконечной системы. Но, поскольку в случае
ККС операторы a (f) » a*(f) неограничены, при рассмо-
рассмотрении приведенных матриц плотности мы встречаемся
с теми же трудностями, что и для корреляционных
функций классических непрерывных систем. Чтобы из-
избавиться от этих трудностей, естественно рассмотреть
вместо выражения A.35) среднее значение ограниченных
функций от операторов q>(f) и л(/). В случае КАС мы
можем воспользоваться ограниченными функциями от
(ограниченных) операторов a(f) и a*(f). В обоих случаях
мы получаем таким образом состояние на С-алгебре
51л всех ограниченных операторов в Же(А).
Ограничение состояния бесконечной системы на огра-
ограниченную область Л определяет состояние цЛ на
алгебре 91л. Мы всегда будем предполагать, что состоя-
состояние цЛ задается матрицей плотности, действующей
в Же(А). Это условие практически означает, что вероят-
вероятность одновременного пребывания в области Л беско-
бесконечного множества частиц равна нулю. С другой сто-
стороны, для бесконечной системы вероятность того, что
в Rv число частиц бесконечно, как правило, равна
единице. Поэтому такие состояния бесконечной

256 Гл. 7. Состояния 6 статистической механике
системы не могут быть описаны матрицами плотности
в Же(^I).
Опишем, как оператор из 21Л отождествляется с опе-
оператором из %\' при ЛсЛ'. Пусть Лр|Л'=0, опреде-
определим изоморфизм
Же (Al U Л2) ~ Яе (Л,) <8> Яе (Л2) A.36)
следующим образом. Пусть Wl = (W[m))^a^e(Ai) и
х1г2 = (х1г2"))е^е(Л2). Вектор W, соответствующий произ-
произведению У?1<8)ХР2 при изоморфизме A.36), есть вектор
с компонентами
..., xmt у,,..., */„) =
где х,,..., хтеЛ, и ух j,eA2. Функции W{m+n)
продолжаются на (Al [j A2)m+n по симметричности или
антисимметричности.
В частности, если Л с: Л', то
Жг (Л') s? Жг (Л) ® ЖЁ (Л' \ Л) A.38)
и поэтому определен изоморфизм
«л'л: А~*А®1 A-39)
С*-алгебры всех ограниченных операторов в Ж (Л) вС-
алгебру всех ограниченных операторов в Ж {А'). Чита-
Читатель может проверить, что изоморфизм A.39) переводит
операторы рождения и уничтожения a(f) и а:*(/)> дей-
действующие в Же(А), в операторы рождения и уничтоже-
уничтожения, действующие в Жг{А'),
') Состояния, которые могут быть описаны матрицами плотно-
плотности, охарактеризованы в работе Дель-Антонио, Доплишера и Рюэля
[1J. Состояние, описывающее бесконечную систему, позволяет по-
построить с помощью конструкции Гельфанца — Сигала представление
ККС или КАС, которое, вообще говоря, не унитарно эквивалентно
представлению, кратному фоковскому. Упражнение 6. Г показывает,
что состояния бесконечной системы приводят к множеству неэкви-
неэквивалентных представлений ККС или КАС.

§ 7.1. В*-алгебры в статистической механике 257
Для aeRv определим изометрию V\ (а) простран-
пространства ЖЕ(А) на пространство Же(а + А) по формуле
(Vx(a)Vf(xv ..., xa)~VM(xl-a, ..., ха-а). A.40)
Изоморфизм ха С*-алгебры всех ограниченных опе-
операторов, действующих в 2@е(А), на С*-алгебру всех
ограниченных операторов, действующих в 2ёе(Л + а),
задается равенством
iaA-VA(a)AVa+A(-a). A.41)
7.1.5. Квантовые непрерывные системы. Бозоны.
В этом пункте 91л будет обозначать С*-алгебру всех
ограниченных операторов в пространстве Ж+ (Л). Легко
убедиться, что тройка: алгебры 91Л, изоморфизм ал,л
(определенный равенством A.39)) и представление тв
(определенное формулой A.41)) удовлетворяет условиям
(а'), (б') и (в') п. 6.2.4 и поэтому задает квазилокальную
В*-алгебру 91, которую мы будем называть В*-алгеброй
бозе-системы.
Нас интересует множество &" состояний, заданных
на алгебре 91, которые на каждой алгебре 91л задаются
матрицей плотности |лл. Другими словами, задание та-
такого состояния р должно быть эквивалентно заданию
системы матриц плотности |ЛЛ, соответствующих всевоз-
всевозможным ограниченным измеримым подмножествам
Л с Rv, таким, что
(а) если Л с Л', то (при отождествлении A.38))
S A.42)
Инвариантности состояния р соответствует условие
(б) l*.+A-Ma)|iAV.+A(a). A-43)
Заметим, что состояние на алгебре 91Л описывается
матрицей плотности тогда и только тогда, когда норма
его ограничения на идеал 3ai состоящий из вполне
9 Зак. 850

258 Гл. 7. Состояния в статистической механике
непрерывных операторов, равна 1'). Таким образом, со
стояния из множества 9" можно охарактеризовать как
такие состояния, ограничения которых на каждый
идеал Зл имеют норму 1, в действительности достаточно
потребовать этого для счетного семейства идеалов Зл ,
где область Л„ представляет собой шар целочисленного
радиуса с центром в начале координат. Поскольку идеал
Зл сепарабелен2), можно воспользоваться предложением
6.4.5, из которого следует, что каждое инвариантное
состояние из множества 9" единственным образом раз-
разлагается на эргодические состояния.
7.1.6. Квантовые непрерывные системы. Фермионы.
В этом пункте 31л будет обозначать С*-алгебру всех
ограниченных операторов, действующих в пространстве
Ш- (Л). Легко убедиться, что тройка: алгебра 91л, изо-
изоморфизм ал,л (определенный равенством A.39)) и пред-
представление та (определенное равенством A.41)) удовле-
удовлетворяет условиям (а') и (б'), но не удовлетворяет усло-
условию (в') п. 6.2.4. Алгебра 91 может быть построена так,
как это указано в п. 6.2.4, но она оказывается не
квазилокальной. Тем не менее, как мы покажем, она
является 1^-абелевой.
Положим Ж-(А) = ЖЧ(А)®Ж"(А), где
ЖЧЛ)= Ф L-(An), %*(А) = 0 Li (Л"), A.44)
п четно п нечетно
и для всякого Л е 91л положим
А = А4 + Л",
где
АЧЖЧ (A) cz Ж4 (Л); АчЖа(А)^Ж(А);
') Пространство, сопряженное к банахову пространству вполне
непрерывных операторов, состоит из операторов, обладающих сле-
следом; заметим еще, что состояние, заданное на двустороннем идеале
2Г-алгебры, однозначно продолжается до состояния на всей алгебре
(см. Д.3.3).
2) Напомним, что конечномерные операторы составляют всюду
плотное подмножество множества вполне непрерывных операторов,
действующих в гильбертовом пространстве.

§ 7.1. В*-алгебры в статистической механике 259
Операторы А4 и Ан естественно назвать четной и не-
нечетной частью оператора А. Из равенств A.38) и A.39)
при Л сг Л' получаем
(аЛ,ЛЛ)ч = аЛ,ЛЛч; (аА,АА)« = ал,лЛ«.
Заметим также, что
Пусть области Л и Л' не пересекаются, и пусть
е=аГ(Л,), Ч7е=#в(Л,) и Л,е=ЯАг
Легко видеть, что
Отсюда получаем
[Al Л2Ч]_ = \А1, Л2н]_ = \А1 Л2ч]_ = 0, A.45)
[А?, Л2н]+ = 0. A.46)
Эти равенства подразумевают некоторые канонические
изоморфизмы, которые мы явно не указываем.
Пусть р обозначает ^-инвариантное состояние на
алгебре 51 и Л,с:31Л, Л2е91л. Выберем векторы
хи ..., jcrteRv так, чтобы множества (лгг + Л,) не пере-
пересекались попарно между собой и с множеством Л2;
тогда
п. \ 112 /
1V1 *л k Uipf
и, следовательно,
/Г я
[( +)]. A.48)
9*

260 Гл. 7. Состояния в статистической механике
Полагая в A.48) п-»оо и применяя теорему 6.2.8,
мы получим, что алгебра 91 является ^-абелевой').
Кроме того, из оценки A.47) видно, что р(Лн) = 0 для
всех нечетных Ан. Это означает, что всякое ^-инва-
^-инвариантное состояние обязательно является четным со-
состоянием. Существует взаимно однозначное соответствие
между четными состояниями на алгебре 21 и состояниями
на алгебре 21Ч, порожденной всеми четными элементами
всех алгебр 2U. Таким образом, вместо алгебры 21 в ка-
качестве В*-алгебры ферми-систем можно рассматривать
квазилокальную В*-алгебру 2t4.
Нас интересует множество У состояний на алгебре 21,
задаваемых на каждой алгебре %\ матрицей плот-
плотности цА. Каждое состояние pef соответствует
семейству матриц плотности, удовлетворяющих условию
согласованности A.42), как и в случае бозе-систем.
Инвариантность такого состояния выражается усло-
условием A.43), которое в свою очередь влечет
для всех нечетных операторов Лне21л. Таким образом,
матрицы плотности цА перестановочны с операторами
ортогонального проектирования на подпространства
Ж {А) и Ж (А).
Точно так же, как и в случае бозе-систем, состояния
из множества &~ могут быть описаны как такие состоя-
состояния, ограничение которых на каждую из алгебр Зл имеет
норму 1. Таким образом, каждое инвариантное состоя-
состояние из множества Ф~ единственным образом разлагается
на эргодические.
§ 7.2. ЭНТРОПИЯ2)
В этом параграфе мы определим понятие средней
энтропии для тех инвариантных состояний, о которых
') Этот факт впервые был отмечен Лаифордом и Робинсоном
в статье [1]. См. также работу Пауэрса[1].
2) Результаты этого параграфа, относящиеся к классическим
системам, заимствованы в основном из работы Рюэля и Робин-
Робинсона [2], а к квантовым —из работы Ланфорда и Робинсона [1].

§ 7.2. Энтропия 261
говорилось в предыдущем параграфе. Важность этого
понятия связана с тем, что средняя энтропия равно-
равновесного состояния бесконечной системы оказывается
совпадающей со значением удельной физической энтро-
энтропии на единицу объема.
В самом деле, физическую энтропию можно истол-
истолковать как меру неопределенности, присутствующей
в описании системы. Поэтому не удивительно, что,
зная состояние, описывающее систему'), мы можем
найти и эту энтропию.
Понятие средней энтропии состояния возникает не
только в связи со статистической механикой. Например,
в теории информации оно служит мерой количества
информации, приходящейся на один символ сообщения2).
Используемый в эргодической теории инвариант Кол-
Колмогорова—Синая также является средней энтропией3).
7.2.1. Классические решетчатые системы. Мы иссле-
исследуем случай решетчатого газа. Обозначим через (|Д.Л( •))
семейство плотностей распределений, ассоциированное
с состоянием р. Энтропией, соответствующей конечному
подмножеству AcZv, назовем величину4)
5(Л)=- 2 цл(ХIпцл(Х). B.1)
7.2.2. Предложение, Справедливы следующие
неравенства:
(а) 0 < S (Л) < N (Л) In 2; B.2)
(б) если ЛсЛ', то 0 < S(Л')- S (Л)<(N(Л') -
-ЛГ(Л)Iп2; B.3)
') Первые результаты в этом направлении получены Нетлтоном
и Грином в работе [1].
2) См., например, работу Хинчина [1].
3) См., например, работы Якобса [1], Арнольда и Авеца [1].
4) Пусть /и — положительная мера на Q и 0</et'(Q, m),
j / dm = 1; определим энтропию S (/)=»- Г / In / dm. Если мера m
такова, что каждая точка из Q имеет вес 1, то S (f) > 0 [случай B.1)];
если же J dm=l, то S(/)<0 [случай B.7)].

262 Гл. 7. Состояния в статистической механике
(в) строгая полуаддитивность
S (Л, U Л2) - 5 (Л,) - 5 (Л2) + 5 (Л, Г) Л2) < 0. B.4)
Докажем их. Заметим, что 5@) = О; поэтому (а)
вытекает из (б). Пусть теперь Л с: Л'; тогда
5(Л')-5(Л) =
= 2 2 йд,(*
/ сЛ \Л,
А так как цл, (X [} Y) ^ цл (X), из B.5) следует
5(Л')-5(Л)>0. B.6)
Полагая ?Л(Х) = 2м<А'>цА(Х), получим
5(Л) = 5(Л)-1п2Л'(Л)=-2-Л'(ЛJ ЦА(Х)\пЦА(Х). B.7)
Поэтому
B.8)
Из выпуклости функции ^-^-Ип^ при t>0 следует, что
tlnf&t-l или -Ы<у-1. B.9)
Подставим эту оценку в B.8), полагая t = {iA,{X \J Y)/ixA {X),
и получим
5 (Л') - 5 (Л) - [N (Л') - N (Л)] In 2 = 5 (Л') - 5 (Л) <
ХсЛ КсЛ'\Л
Неравенства B.6) и B.10) доказывают утверждение (б).

§ 7.2. Энтропия 263
Используя еще раз оценку B.9), получим
S (Л, U Л2) - S (Л,) - 5 (Л2) + S (Л, П Л2) =
Хс=Л,ПЛ2 Ус-ЛДЛ,
1П lx
x, у ^л'|1ЛгЧ г х, y z
X, У X, У. Z
что и доказывает утверждение (в).
7.2.3. Предложение.
(а) Пусть состояние р Zv-инвариантно, тогда при
Л -> с» в смысле Ван Хова существует предел
s(p)= lim N (Ay'S (A) B.11)
ц 0<s(p)<ln2.
(б) Функционал s(-), рассматриваемый на множестве
Е П i?zv' является аффинным и полунепрерывным
сверху (см. Д. 1.4).
Полагая в B.4) Л]ПЛ2=0, получим свойство полу-
аддитивности
при Л,ПЛ2=.0. B.12)
Используя это свойство, докажем частный случай утвер-
утверждения (а) для Л=Л(а)'). Рассмотрим энтропию 5 (Л(а))
как функцию от а , ..., а1. Из 2у-инвариантности энтро-
энтропии и неравенства 2.12 следует, что энтропия 5(Л(а))
') Этого достаточно для всех дальнейших приложений; в общем
случае при доказательстве (а) используется свойство строгой полу-
полуаддитивности (см. Робинсон и Рюэль [2]). Обозначения Л (а), V (а)
и а-> оо имеют тот же смысл, что и в § 2.1.

264 Гл. 7. Состояния в статистической механике
полуаддитивна по каждому переменному в отдельности.
Отсюда в силу предложения 7.2.4, которое будет дока-
доказано ниже, следует
а™~ V(a) ~™ V(a) ¦ <213'
Кроме того, в силу утверждения 2.2 (а) имеем
<1п2.
Положим 0<а<1 и обозначим через (Hia(*)) и
(ц2Л (•)) семейства плотностей распределений, ассоцииро-
ассоциированных с Zv-инвариантным и состояниями р! и р2 соот-
соответственно. Используя выпуклость функции tint и
возрастание In t, мы получим
<
- х|д [ац1А (X) + A - а) ц2Х (X)] X
[оц1А (X) In hA (X) + A - а) ц2
— a In a — A — a)ln(l — a)
+ A - а) Ц2Л (X) In ц2Л (X)] + In 2. B.14)
Деля первое и последнее выражения в B.14) на V(a)
и устремляя а->оо, мы получим
s (ар, + A - а) р2) = as (р,) + A - a) s (p2). B.15)
Это доказывает аффинность функционала $(•).
При фиксированных Л и X число цЛ(Х) непрерывно
зависит от состояния р в слабой топологии на множестве
Е П 3?g ')> и поэтому энтропия S (Л) тоже непрерывно
') Для любых Л и X мы можем найти элемент ЛЛ ^е? (К),
такой, что |1аД = рDд) (см. 7.1.1).

§ 7.2. Энтропия 265
зависит от состояния р. Равенство B.13) показывает,
что функционал s (¦) является нижней гранью непре-
непрерывных функционалов и поэтому полунепрерывен
сверху1). Это замечание завершает доказательство.
Для полноты мы докажем свойство полуаддитивных
функций, использованное выше.
7.2.4. Предложение. Пусть вещественная функ-
функция F(a\ ..., av) определена для всех а\ ..., aveZ,
таких, что ах > 0, ..., av > 0. Пусть функция F полу-
полуаддитивна по каждому из переменных а\ ..., а? в от-
отдельности, т. е.
^.F(a\ ..., о', ..., av) + r(a', ..., г, .... av), B.16)
lim . ' ; = mf— ' . B.17)
а->оо а ... а а а ... а
Положим
и пусть С ф — oo. Ясно, что
lim /?(a.''""vaV)>C. B.18)
По заданному е>0 выберем b = (b\ ..., 6V) так, чтобы
F(b\ ..., bv)x{bl ... bv)~'<С + е, и пусть а' = п'Ь1 + с1
при всех 1 = 1, ..., v, где «' — неотрицательные целые
числа и 0 <; с' < Ь1. Из полуаддитивности функции F
следует, что (напомним, что V (а) — Ц«')
F{a\ .... av)s
+
') См. Д.1Д

266 Гл. 7. Состояния в статистической механике
Поэтому
Hm f(«V••'«) <С + е. B.19)
а-»оо а ... а
Из соотношений B.18) и B.19) и следует наше пред-
предложение для случая конечного С; случай С = — оо иссле-
исследуется аналогично.
7.2.5. Классические непрерывные системы. Обозна-
Обозначим через- (ц?) семейство плотностей распределений.
Предположим, что меры \inK абсолютно непрерывны по
отношению к лебеговской мере. Это предположение
позволяет нам записать
--V (Л)
Ч^ ••<**». B.20)
где У (Л) обозначает лебеговскую меру (объем) об-
области Л'). Энтропия, соответствующая ограниченной
открытой области Л с: Rv, определяется равенством
X J dxx ... dxfK(xv ..., хп)\пЦ{хх, ..., xn). B.21)
7.2.6. Предложение. Выполняются следующие
неравенства:
(а) 5(Л)<0; B.22)
(б) если А с Л', то S (Л') - 5 (Л)< 0; B.23)
(в) строгая полуаддитивность
S (Л, U Л2) - 5 (Л,) - 5 (Л2) + S (Л, П Л2) < 0. B.24)
Доказательство всех этих неравенств в точности
повторяет соответствующие рассуждения в случае клас-
классических решетчатых систем (предложение 7.2.2).
') Нормировка в B.20) и B.21) выбрана так, чтобы выполня-
выполнялись неравенства п. 7.2.6; в приложениях могут оказаться более
удобными другие нормировки.

§ 7.2. Энтропия 267
В следующих предложениях 7.2.7 и 7.2.8 опре-
определяется средняя энтропия для инвариантных состоя-
состояний и исследуются ее свойства. Доказательства мы
опускаем, так как они аналогичны соответствующим
доказательствам для классических решетчатых систем
(предложение 7.2.3), но технически более сложны').
7.2.7. Предложение. Если семейство (ц?) удовле-
удовлетворяет условиям инвариантности A.17), то при Л->оо
в смысле Ван Хова существует следующий предел:
U — оо ^s^O.
Средняя энтропия s(p) определяется для каждого
состояния реЯП^1 по следующему правилу:
(а) s(p)= — °°, если состояние р не задается систе-
системой плотностей распределений (т. е. если р ф &~);
(б) s(p)= — оо, если состояние р задается системой
плотностей распределений (ц^), но не все меры
цА абсолютно непрерывны относительно лебе-
говской меры;
(в) в остальных случаях s(p) = s, где s определяется
предложением 7.2.7.
7.2.8. Предложение. Функционал s(-), опре-
определенный на множестве Е Л ^Rv, аффинный и полунепре-
полунепрерывный сверху.
7.2.9. Квантовые решетчатые системы. Пусть
(цл) — семейство матриц плотности, ассоциированных
с состоянием р. Определим энтропию, соответствующую
конечному подмножеству Л с: Zv, равенством
A. B.26)
') См. Робинсон н Рюэль [2].

268 Гл. 7. Состояния в статистической механике
7.2.10. Предложение. Выполняются следующие
неравенства'):
(а) 0 < S (Л) <# (Л) In (N + 1); B.27)
(б) если Л с Л', то S (Л') - S (Л)<
^(N (A') —N(A)) X\n(N+1); B.28)
(в) полуаддитивность
S (Л, UЛ2)< S(Л,) + S (Л2), если Л,ПЛ2=0. B.29)
Оценка (а) доказывается просто, и мы оставляем
доказательство читателю. Пусть теперь Л, f] Л2 = Q;
тогда
Ж (Л, U Л2) = Ж (Л,) ® Ж (Л2).
При этом цл и цл являются частичными следами
матрицы плотности nAiUA? по подпространствам Ж(А2)
и Ж (Л,) соответственно. Поэтому свойство (в) вытекает
из предложения 2.5.62). И наконец, оценка (б) оче-
очевидно следует из (а) и (в).
7.2.11. Предложение.
(а) Пусть состояние р Z1'-инвариантно; тогда суще-
существует предел
s (р) = lim V (a)'1 S (Л (а)) B.30)
(б) Функционал s(p), определенный на множестве
Е П i?zv' аффинный и полунепрерывный сверху.
Доказательство этих утверждений по существу по-
повторяет соответствующие доказательства для классиче-
') Напомним, что через JV+1 обозначена размерность гильбер-
гильбертова пространства Зёх Для каждой точки х е Zv.
2) Пока неизвестно, выполняется ли для S (Л) свойство строгой
полу аддитивности.

§ 7.2. Энтропия 269
ских решетчатых систем (предложение 7.2.3). Отметим
только, что оценку B.14) следует заменить на сле-
следующую:
- Sp [ецх1А In |х1А + A - а) ц2Л In ц2Л] <
< - Sp [qx1A + A - а) ц2Л] In [а|х1А + A - а) ц2Л] <
< - Sp [qx1A 1пац,л + A - а) ц2Л InA - а) ц2Л] <
1п2. B.31)
При первом переходе мы воспользовались предложе-
предложением 2.5.7, а при втором — предложением 2.5.8.
7.2.12. Интегральное представление средней энтро-
энтропии. Упомянем без доказательства, что во всех рас-
рассмотренных случаях среднюю энтропию инвариантного
состояния р можно получить усреднением энтропии
чистых состояний, на которые раскладывается состоя-
состояние р. Точнее говоря, если через цр обозначить меру,
введенную в теореме 6.4.1, то
B.32)
7.2.13. Квантовые непрерывные системы. Если обо-
обозначить через (цЛ) семейство плотностей распределений,
описывающее ^-инвариантное состояние системы бозо-
бозонов или фермионов, то можно определить энтропию
B.33)
Можно показать, что S(A)^0 и выполняется свойство
полуаддитивности B.29)'). Однако до сих пор нет удо-
удовлетворительного доказательства того, что S (Л)/У (Л)
стремится к пределу при Л-><».
') Это следует опять же из предложения 2.5.6.

270 Гл. 7. Состояния в стативтической механике
§ 7.3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ СОСТОЯНИЙ
В гл. 4 мы исследовали существование термодина-
термодинамического предела для равновесных состояний при
малых значениях активности. В этом параграфе мы
откажемся от предположения о малости активности;
тем не менее мы сможем доказать существование термо-
термодинамического предела, но только для «почти всех»
взаимодействий. Смысл выражения «почти все» мы
потом уточним.
Рассмотрим классические и квантовые решетчатые
системы ')• Пусть $ обозначает банахово пространство,
определенное в § 2.2 или 2.4, а ^?0 обозначает под-
подпространство финитных потенциалов. В этой главе для
удобства мы введем еще некоторое произвольное бана-
банахово пространство ^, такое, что 10с1,с1, а норма
в 9$\ больше, чем в ^, и, кроме того, 0^ всюду плотно
в $х. Можно, в частности, положить $х—$.
7.3.1. Классические решетчатые системы. Рассмо-
Рассмотрим сперва решетчатые газы. Корреляционные функ-
функции Рд(!)> соответствующие взаимодействию Фс1, и
конечному подмножеству Л с Zv, определяются равен-
равенством
pf(X) = Z(<&)~1 2 ехр[-иФ{Х[)У)], C.1)
Ya\\X
где X cz Л и
2Л(Ф)= 2 ехр[- U9(X)\. C.2)
X <= Л
Пусть pJ(Z) = 0, если ХфА.. Усредняя по всем сдвигам,
мы получим
-1 VI „ф/„ 1 у\ /о о\
') Результаты § 7.3—7.5 были распространены на классические
непрерывные системы частиц с твердым ядром в работе Галла-
вотти и Миракль-Соля [3].

§ 7.3. Термодинамический предел состояний 271
Таким образом, для любого взаимодействия Ч?^$1
имеем
= Z1XN (Л) 2
X Г: Х<=Г<=Л
X'tf (Л)
= Zl'N (Л) 2j exp [- С/ф (Y)] UV (У)]. C.4)
УсЛ
Из этой формулы следует, что функционал рЛ совпа-
совпадает с точностью до множителя (— N (X)) с вариацион-
вариационной производной функционала Рл(Ф) по Ф, где
Ра (Ф) = # (Л)"1п7л(Ф). C.5)
Естественно попытаться получить предельные корреля-
корреляционные функции как вариационные производные пре-
предельной термодинамической функции Р (•) ').
Обозначим через D множество всех взаимодействий
Фе Jfb таких, что в точке (Ф, Р(Ф)) существует един-
единственная касательная плоскость к графику Р( • J). Если
Фей, то в пространстве &\, сопряженном к 3&lt суще-
существует единственный элемент аф, такой, что
Р (Ф + ?) > Р (ф) - аф (W) C.6)
для всех W G±$i,
') Этот подход, в частности, использовал Фишер в своей ра-
работе [2].
2) Графиком Р (•) служит множество
{(Ф, Р (Ф)) 6«,XR

272 Гл. 7. Состояния в статистической механике
7.3.2. Теорема1). Пусть Фей, тогда при Л-> оо
в смысле Ван Хова
для всех Te^i. В частности, для каждого конечного
подмножества X ю Zv существует предел
Птрф(Х) = рф(Х), C.8)
Л->оо
определяющий предельные корреляционные функции рф 2).
Для конечного объема Л у графика выпуклой функ-
функции Р\ (•) в каждой точке (Ф, Р (Ф)) существует един-
единственная касательная плоскость
C.9)
где в соответствии с C.4)
C.10)
Пусть Ф е D, ? s J?! и точка (Ф + VF, ?) лежит строго
выше графика функции Р(-) (рис. 18). Для достаточно
больших сосудов Л точка (Ф + Ч?, |) также лежит выше
Рл(-)> а поэтому и выше касательной плоскости кРл(-)
в точке (Ф, Р\ (Ф)), т. е.
? C.11)
') См. Галлавотти и Миракль-Соль [1].
2) Корреляционные функции рф и их термодинамический пре-
предел рф обычно называют усредненными корреляционными функ-
функциями. Заметим, что усредненные предельные корреляционные функ-
функции могут существовать даже тогда, когда у обычных корреля-
корреляционных функций рф нет термодинамического предела. См., напри-
например, работу Минлсса и Синая [1] или приложение. — Прим- ред.

§ 7.3. Термодинамический предел состояний
273
Отсюда следует, что касательная плоскость к Р\ (•)
стремится к касательной плоскости к Р( •) в силу един-
единственности последней
lim <»•(?)«<*•(?) C.12)
Л-»оо
для всех ?е^[. Из равенств C.10) и C.12) вытекает
C.7).
Таким образом, мы доказали существование термо-
термодинамического предела для корреляционных функций,
Рис. 18. Графики Р(-) и РЛ(-).
когда взаимодействие ФеО. Покажем теперь, что
D — «большое» множество и что оно содержит «почти
все» взаимодействия. Можно показать, что выпуклая
непрерывная функция Р(-) дифференцируема почти
всюду относительно многих мер в пространстве 38{. Для
простоты мы отметим только следующие результаты.
7.3.3. Предложения.
(а) Множество D содержит пересечение счетного
числа открытых всюду плотных подмножеств про-
пространства &В[ и, следовательно, плотно в 38у').
') По теореме Бэра, в полном метрическом пространстве пере-
пересечение счетного семейства открытых всюду плотных множеств
само всюду плотно.

274 Гл. 7. Состояния в статистической механике
(б) Существует подмножество D банахова простран-
пространства Ш, определяемого равенством D.10) гл. 2,
такое, что при ф е D и при почти всех [в смысле
Лебега) (р, (i) e R2 точка ф (— (х, р) принадлежит D.
Обозначим через 2 границу выпуклого множества,
содержащего внутренние точки и лежащего в сепара-
бельном банаховом пространстве, а через Т — подмно-
подмножество точек из 2, в которых существует единственная
касательная плоскость. Оказывается, что множество Т
содержит счетное пересечение открытых всюду плотных
в 2 множеств. Из этого результата, доказанного в книге
Данфорда и Шварца ([1], гл. V, разд. 9, теорема 8),
вытекает утверждение (а). Доказательство п. (б) мы
опустим').
7.3.4. Квантовые решетчатые системы. Интересую-
Интересующийся читатель может самостоятельно перенести ре-
результаты, полученные выше для классических систем,
на квантовые решетчатые системы. Отметим только, что
мы исходим из определения
р* (X) = Z (ФУ1 Sp^ (AV0 exp (- Яф (Л)) C.13)
и приходим к окончательному равенству рф(Х) = [х^, где
([i°) обозначает систему матриц плотности, удовлетво-
удовлетворяющих условиям (а) и (б) п. 7.1.3. Равенство C.7)
должно быть заменено на следующее:
lim
= lim
C.14)
§ 7.4. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
Известный принцип термодинамики утверждает, что
при фиксированных значениях энергии и плотности си-
системы максимум энтропии достигается на равновесном
') См, Галлавотти и Миракль-Соль [1].

§ 7.4. Вариационный принцип 275
состоянии. В этом параграфе мы докажем этот принцип
в виде, приспособленном к бесконечным системам.
Определим прежде всего среднюю удельную энергию,
приходящуюся на узел решетки, для системы с взаимо-
взаимодействием Фе|[И описываемой инвариантным состоя-
состоянием р.
Введем сначала величину Аф с: 21 равенством
АФ (X) =
для классического газа и равенством
N(Y)
КэО
N(X)
хеЛХ:. " '
для квантовых решетчатых систем. Из определения
видно, что отображение Ф->Л<р из $х в 21 не увеличи-
увеличивает нормы. Для классического газа, используя A.2),
в случае конечного сосуда Л мы получим
D-3)
Последнее равенство показывает, что Аф равно вкладу
начала координат в энергию системы. Аналогичная
интерпретация справедлива и для квантовых систем.
Поэтому мы можем рассматривать р(Аф) как среднее
значение удельной энергии, приходящейся на один узел
решетки, в инвариантном состоянии р для взаимодей-
взаимодействия Ф.
7.4.1. Теорема1). Пусть Фе|ь тогда
Р(Ф)= sup Ир)-р(Лф)]. D.4)
') Доказательство для классических систем содержится в статье
Рюэля [9], а для квантовых—в статье Робинсона [I]. См. также
работу Ланфорда и Робинсона [2].

276 Гл. 7. Состояния в статистической механике
Поскольку | р (Аф) — р (Ау) К | Ф - W |, то обе части
равенства D.4) непрерывно зависят от Ф. Поэтому до-
достаточно доказать теорему для ФеЙ0 (т. е. для финит-
финитных взаимодействий). В этом случае существует такое
конечное множество AcZv, что ЛфсЗЦ. Для опреде-
определенности мы будем рассматривать случай решетчатого
газа.
Покажем сперва, что для каждого состояния ре? П 3?L
Р(Ф)>5(р)-р(ЛФ). D.5)
Используя систему распределений плотности (цл (•)),
связанных с состоянием р, получим, что при х + А с: Л (а)
р(ЛФ)= 2 цЛ а)(Х)ххАф(Х). D.6)
Xcz\(a)
Отсюда и из равенства D.3) следует
р (ЛФ) = Нт V (а) 2 2 цЛ (а) (X) хх (Аф {X)) =
а-*оо 1ЕЛ(а) *<=Л(а) { ч '
= НтУ(аГ1 У цХ(а)иф(Х). D.7)
С другой стороны, из предложения 7.2.3 следует
s (р) = lim V (а) Г - 2 цЛ (а) (J) In цл (а) (ХI. D.8)
а-*°о L л с: Л (в) J
Из равенств D.7), D.8) и вогнутости логарифма получаем
s (р) - р (Лф) =
= HmF(a)-If-
ДГсЛ(а)
< lim F (a) In У ехр[-С/Ф(Х)] = Р(Ф). D.9)
Неравенство D.5) доказано.
Покажем теперь, что для любого е>0 можно найти
такое состояние ре Е[\S?L, что
Р(Ф)<5(р)-р(ЛФ) + е. D.10)

§ 7.4. Вариационный принцип 277
Состояние р строится так, чтобы оно было как можно
ближе к равновесному состоянию системы с взаимо-
взаимодействием Ф. Выберем сначала а так, чтобы
| Р (Ф) - V (аГ1 In ZA (fl) (Ф) | < е/2. D.11)
Сдвиги Л„ области Л (а), определяемые правилом A.4)
гл. 2, образуют разбиение решетки Zv. Для каждой
конечной области Л, являющейся объединением
и для каждого подмножества X czA положим
М*) = П Ка> ехР(~ U*(X П АЯ|))]. D.12)
Плотности распределений Рл(") определяют состоя-
состояние р, которое в каждом из множеств Л„ совпадает
с равновесным состоянием конечной системы, соответ-
соответствующим плотности распределения р,Л (•). Состояние р
п
периодично с периодом Л (а), усредняя его по всем
сдвигам лгеЛ(а), мы получим инвариантное состояние
р(т*Л). D.13)
Легко проверить, что
s(p)= НтЛ^ЛГ'Г- 2 \1А(Х)\щхА(Х)] =
Л-»оо L ХсЛ
2
дсД(о)
Используя равенство D.7), легко убедиться, что при
достаточно больших а
<г/2, D.15)

278
Гл. 7. Состояния в статистической механике
Из оценок D.14), D.15) и D.11) следует неравенство
г1 s я
Х<=Л(а)
из которого и вытекает утверждение D.10). Теорема
доказана.
§ 7.5. ГИББСОВСКОЕ ПРАВИЛО ФАЗ
Для однокомпонентной системы гиббсовское правило
фаз утверждает, что в плоскости двух интенсивных
термодинамических параметров почти каждая точка со-
соответствует чистой термодинамической фазе; точки,
соответствующие смеси двух фаз, образуют одномерное
множество, а точки, в которых существуют все три фазы,
жидкое у С
твёрдое
газообразное
Рис. 19. Фазовая диаграмма.
составляют нульмерное подмножество. Например, на
плоскости переменных Р и Т типичная фазовая диа-
диаграмма выглядит так, как показано на рис. 19.
Весьма вероятно, что гиббсовское правило фаз спра-
справедливо только для почти всех взаимодействий и в не-
некоторых исключительных случаях нарушается ').
') В случае непрерывных систем среди взаимодействий инвари-
инвариантных относительно сдвигов взаимодэйствия инвариантные отно-
относительно группы всех движений евклидова пространства, по-види-
по-видимому, являются исключительными в том смысле, что в некоторой
области фазовой диаграммы они, возможно, допускают неориентн-
руемые кристаллические состояния. Такие состояния не эргодичны
(см. 6.5.2) и поэтому не могут считаться чистой фазой.

§ 7.5. Гиббсовское правило фаз 27&
Поэтому можно было бы надеяться доказать резуль-
результат лишь такого рода: «Для почти всех взаимодействий
и почти всех значений химического потенциала и тем-
температуры равновесное состояние представляет собой
чистую фазу». Если же включить \i и 0 во взаимодейст-
взаимодействие, то это утверждение будет звучать так: «Для
почти всех взаимодействий равновесное состояние есть
чистая фаза».
Сейчас мы сформулируем и докажем слабый ва-
вариант гиббсовского правила фаз.
7.5.1. Теорема1). Пусть Da$x обозначает «боль-
«большое'» множество, введенное в § 7.3.
(а) Если Фей, то функция р->s(р) — р(Аф) дости-
достигает максимального значения Р (Ф) в одной и
только одной точке р ^E[}3?L.
(б) Если ФеД, а функционал а e^i определяется
формулой C.6), то для всех взаимодействий
рФ(Л*) = аФ(Ч0, E.1)
так что рф является равновесным состоянием
бесконечной системы, соответствующим взаимо-
взаимодействию Ф.
(в) Если ФеО, то состояние р 2*-эргодично и поэ-
поэтому может быть интерпретировано как чистая
термодинамическая фаза.
Пусть Фе!,; в силу результатов § 7.2 функционал
р -*¦ s (р) — р (Аф) является аффинным и полунепрерыв-
полунепрерывным сверху на множестве Е Л 2?х- Поэтому множество Аф,
состоящее из точек, в которых этот функционал дости-
достигает максимума, выпукло, компактно и непусто. Рас-
Рассмотрим крайнюю точку2) рф множества Аф. Она является
крайней точкой множества Е{\3! . (В противном случае
существовало бы разложение рф = -я-р[+^-р2,гдер],р2е
') См. Рюэль [9].
2) Существование крайних точек непустого выпуклого ком-
компактного множества следует из теоремы Крейна — Мильмана.

280 Гл. 7. Состояния в статистической механике
е Е П &х и р2 ф Дф в противоречие с тем, что аффин-
аффинная функция достигает максимума только на Дф.)
Если р е Дф, то по теореме 7.4.1 для всех fe^.
Р (ф + W) > s (р) - р (Аф+у) = s (р) - р (ЛФ) - р (Ачг) =
. E.2)
Поэтому отображение W -*• Р (Ф) — р(Л>г) определяет
касательную (точнее, опорную) плоскость к графику
Р(') в точке (Ф, Р (Ф)). Заметим, что опорные плос-
плоскости, соответствующие различным элементам из Дф,
различны. Из формулы D.2) мы получаем, что, дейст-
действительно, в квантовом случае
Р (АФ) = 2 *f$P- ^NiX)-1 Spmx)Px<? (X),
ХзО ХэО
так что (вследствие 2у-инвариантности) функционал
\Р-> р (Лчг) определяет систему матриц плотности (рЛ).
Для классического решетчатого газа из формул D.1) и
A.8) следует, что
= Ит
wf=
Y: ОеУсЛ X: УсХ<=Л У=>0
так что функционал Чг-*р(Лчг) определяет корреля-
корреляционные функции и поэтому в силу равенства A.9)
состояние р.
Пусть Фе/Х Единственность касательной плоскости
означает, что множество Дф состоит из одной точки рф,
которая тем самым оказывается крайней точкой мно-
множества E[\SX. Утверждения (а) и (в) доказаны. Для
доказательства (б) достаточно сравнить оценки E.2) и
C.6). Интерпретация функционала рф, как равновесного
состояния бесконечной системы, оправдывается теоре-
теоремой 7.3.2 и ее кванторым аналогом.

§ 7.6. Эволюция во времени квантовых решетчатых систем 281
§ 7.6. ЭВОЛЮЦИЯ ВО ВРЕМЕНИ КВАНТОВЫХ
РЕШЕТЧАТЫХ СИСТЕМ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
КУБО — МАРТИНА — ШВИНГЕРА
В этом параграфе мы кратко опишем результаты,
связанные с временной эволюцией квантовых решет-
решетчатых систем. Эти результаты по существу относятся
к равновесной статистической механике, и техника,
используемая для их доказательства, близка по духу
к технике предыдущих параграфов.
Введем норму || • ||, в пространстве &й
II <¦> Itm — 2ll<DWIIexp(JV(*)-l) F.1)
ХэО
и определим банахово пространство #, как пополне-
пополнение ^0 по этой норме.
Для системы с взаимодействием Ф, занимающей
конечную область Ac=Zv, развитие во времени опреде-
определяется однопараметрической группой автоморфизмов
алгебры 91л, которые переводят «наблюдаемую» А при
/ = 0 в «наблюдаемую» в момент времени / по формуле
ехр [ННФ (Я)] А ехр [ - ИНФ (Л)] =
"|-[Яф(Л), Л](п), F.2)
п=0
где
[В, А]0 = А, [В, Ар = [В, [В, АГ1}. F.3)
7.6.1. Лемма. Пусть Фе1ь А с: 91л, ыЛ,сгЛ,
тогда
)". F.4)
В формуле
() S S ), а)...]}
F.5)
ПОЛОЖИМ
2=2 2

282 Гл. 7. Состояния в статистической механике
и заметим, что можно ограничиться суммированием по
множествам Xt, удовлетворяющим условиям X^S^Q .
Здесь S, = ЛЬ а 5г+1 = Хг1Mг при / = 1, 2, ..., я—1.
Заметим, что множество St состоит не более чем из
+ kl+ ... +ki-x элементов; поэтому
||Яф(Л), Л]<">|<
<2"||Л|| 2 1Ш(Л,) + *,+ ... + *,_,) X
х 2 цф(вд F.6)
Воспользуемся теперь тем, что
ехр (Л^ (Л,) + *, + ... + kn) = exp (N (Л,)). Д exp kt.
Д
Используя эту оценку в F.6), мы и получим нера-
неравенство F.4).
7.6.2. Теорема1). Пусть взаимодействие |
Существует непрерывная в сильной топологии2) однопа-
раметрическая группа автоморфизмов т: R -> aut 91, опре-
определяемая следующим образом. Пусть Ле21л, при неко-
некотором конечном Л,, и пусть область Л стремится
к бесконечности в том смысле, что каждое конечное
подмножество решетки Zv в конце концов попадает
в область Л. Тогда
lim exp [ИНф(А)] А ехр [~ИНФ(А)] = %tA. F.7)
Л-»°о
') Заимствовано из статьи Робинсона [1], II.
2) Это означает, что для всех Л е W предел Игл II А — %(А || = 0.
<»о

§ 7.6. Эволюция во времени квантовых решетчатых систем 283
Доказательство состоит из четырех пунктов,
а) Легко убедиться в почленном равенстве
/1=0
F.8)
Если |/|<B||Ф||1)~1, то из соотношений F.4) и F.2)
следует, что равенство
lim ехр[ЯЯФ(Л)]Лехр[-«Яф(Л)]-г,Л F.9)
Л->оо
определяет xtA.
б) Отображение xt по непрерывности продолжается
до автоморфизма алгебры 21.
(в) Если числа tit t2, t\ + t2 лежат в интервале
((-2|| ФИ,), +B11011,)-'), то
Мы можем определить %tA для всех вещественных зна-
значений t так, чтобы равенство F.10) выполнялось при
всех tlt t2^R. Тогда для всех /eR будет выполняться
и равенство F.9).
(г) Из соотношений F.8) и F.4) следует, что %tА при
малых t является суммой сходящегося степенного ряда.
Поэтому
Пт||Л-т;Л|| = 0 F.11)
*-»0
для всех элементов Лей. На этом доказательство тео-
теоремы заканчивается.
7.6.3. Теорема1). Пусть ФеОс^, и рф опреде-
определяется, как в теореме 7.5.1. Тогда справедливы сле-
следующие утверждения:
') См. Робинсон [1], II. Интересное исследование граничных
условий Кубо—Мартина —Швингера для непрерывных квантовых
систем содержится в работе Хаага, Гугенгольца и Винника [ij.

284 Гл. 7. Состояния в статистической механике
а) инвариантность рф (xtA) = рф (А) для всех Ле! и
б) граничные условия Кубо —Мартина—Швингера
(КМШ): Для любых двух элементов А, Ве?[
существует ограниченная непрерывная функция F,
определенная в полосе [z: 0<Imz< 1}, аналити-
аналитическая в области 0<Imz<l и такая, что для
всех вещественных t
рф (В • %tA) = F(t), рф (xtA-B) = F(t + i). F.12)
Очевидно, что инвариантность достаточно доказать
только для операторов А е 9tAi при конечном А{. Из
7.3.4 следует
)
Л->оо
X S 5р^(Л)[т,Лехр(-Яф(Л))], F.13)
где Л->оо в смысле Ван Хова. Полезно заметить, что
равенство F.13) остается справедливым, если область Л,
заменить на произвольное непустое конечное подмно-
подмножество решетки Zv и А — на произвольный элемент
алгебры 51 при условии, что ххА в правой части ра-
равенства F.13) подходящим образом аппроксимировано
элементами из 51л. В силу теоремы 7.6.2 по заданному
/eR и е>0 можно найти конечное подмножество
Ло с Zv, такое, что
и, значит,
itH(X)itH(K)xxxtA\\<e, F.14)
где мы воспользовались коммутативностью тят/ /ж.
Если в равенстве F.13) заменить Л, на Ло, А на xtA и
воспользоваться свойством F.14), то получим
I Л-»°о

§ 7.6. Эволюция во времени квантовых решетчатых систем 285
и, следовательно,
рф(М)= limjl (A^ZJL1 X
X S 5р^(Л)[тИехр(-Я(Л))] = рф(Л),
х: Jt+ЛосЛ
что и доказывает утверждение (а).
Для того чтобы установить граничные условия КМШ,
рассмотрим целую функцию F\, определяемую равенст-
вом
X
х:
Здесь АеЯА, Bcz%. Используя свойство F.14), полу-
получим, что при всех вещественных t
lim FA (t) - рф (В • t/); lim FA (/ + /) = рф (xtA ¦ В).
Л->оо Л->оо
Каждая из функций FA{z), так же как и ее производ-
производная FA(z), ограничена в полосе {z: 0^1тг^ 1}. Кроме
того, при 1тг = 0 и 1т2;=1 справедливы следующие
оценки, равномерные по Л:
IFaKMII-IIBII. 1^1<НИ, Н (Л)] || • || В || F.15)
и
|| [Л, Я (Л)] || < 21| Л || S ||Ф(*)||<2ЛГ(Л,)||Л1Ы|ФН.
ЛГ:ХПЛ1ЭЬ0
F.16)
Поэтому функции Fa, F\ ограничены в полосе {z: 0^
^Imz^l} равномерно по Л и мы можем так выбрать
последовательность областей Л ->-оо, чтобы функции FA
сходились равномерно на каждом компактном подмно-
подмножестве этой полосы. Предел F этой последовательности
функций F&, очевидно, удовлетворяет граничным усло-
условиям кмш.
Теперь мы должны избавиться от условия А е %А.
Пусть последовательность Ап, принадлежащая объеди-
объединению (J91a, сходится по норме к некоторому элементу
л
А е St. При этом функции ?-»-рф(б • xtAn) и t-*
->рф(т<Л„- В) стремятся к своим пределам равномерно.

286 Гл. 7. Состояния в статистической механике
Поэтому то же самое верно и для функций F. (По-
(Поскольку функции F ограничены, то для них справедлив
принцип максимума модуля ').) Отметим некоторые след-
следствия из граничных условий К.МШ.
7.6.4. Предложение2). Пусть р = рф. Центр ал-
алгебры [яр (91)]" содержится в коммутанте U p (R)
[яр(Я)]' П[яр (91)]" cz [I7p (R)]'. F.17)
Пусть С лежит в центре алгебры [яр (91)]", выберем
последовательность Впcz 91 так, чтобы элементы пр(Вп)
сильно сходились к С и чтобы ||В„1К1|С|| при всех п.
Это можно сделать ввиду теоремы Капланского о плот-
плотности (см. Д.4.6), так как алгебра 91 проста.
Пусть ^„—функции, аналитические в полосе
{z: 0<fmz<l} с граничными значениями p(Bn-xtA)
при z = t и p{xtA-Bn) при z = t + i. Из оценок F.15)
и F.16) вытекает равномерная ограниченность произ-
производных функций Fn в полосе {z: 0<Imz<t}. Поэтому
Fn—>-F,H функция F аналитична в полосе {z: 0< Im z< 1},
а на границе принимает значения (Qp, Сяр (т^Л) Qp) при
2 = f и (Qp, «p(T^)Qp)-(Qp, Cnp(xtA)Qp) при г-t + i.
Отсюда следует, что функцию F можно продолжить до
периодической аналитической функции (так, что F(z) =
— F(z + i) для всех комплексных z). А так как функ-
функция F ограничена, то она является константой, которую
мы обозначим через К
(Qp, ярМ)СОр) = /С.
Полагая А= А{ • Аъ мы получим
(Qp, яр (Л,) Up (t)-1 CUp @ яр (А2) Qp) = К.
') Если функция голоморфна и ограничена в полосе, то верх-
верхняя грань значений ее модуля во всей полосе совпадает с верхней
гранью значений ее модуля на границе.
2) Этот результат принадлежит Гугенгольцу и Виннику (част-
(частное сообщение). Через Up(t) мы обозначаем унитарный оператор,
соответствующий автоморфизму т..

Библиографические замечания 287
Отсюда видно, что Up(t)~lCUp(l) не зависит от t. Пред-
Предложение доказано.
7.6.5. Следствие. Если состояние рф эргодично
относительно сдвигов во времени, то рф представляет
собой факторсостояние (см. упражнение 6.Д).
Это следствие вытекает из утверждений 6.3.3F)
и 7.6.3.
Наконец, мы отметим следующий, результат, связы-
связывающий алгебры [jtpCl)]' и [^B1)]".
7.6.6. Теорема1). Пусть р = рф. Существует такой
антиунитарный оператор J в §р, что Р = 1 и
_Л2р = Ор, F.18)
JUp(l)J = Up(t), F.19)
/ [яр («)]"/ = К W- F.20)
Доказательство использует теорию квазигильберто-
квазигильбертовых алгебр 2).
В том случае, когда алгебра [^B1)]" является фак-
фактором, возможные типы этого фактора рассматриваются
в работах Гугенгольца [1] и Штёрмера [2].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Результаты, изложенные в этой главе, получены
в основном физиками на фоне «аксиоматической» реля-
релятивистской квантовой теории поля. Это придало особый
привкус всей теме.
Изучение энтропии, проведенное в § 7.2, следует
работам Робинсона и Рюэля [2] для классических систем
и Ланфорда и Робинсона [i] для квантовых систем.
Большинство результатов § 7.3 принадлежит Галлавотти
и Миракль-Солю [1], § 7.4 и 7.5 — Рюэлю [9], а § 7.6 —
Робинсону [1] и Хаагу, Гугенгольцу и Виннику [I]3).
') См. Хааг, Гугенгольц и Винник [1].
2) См. Диксмье [1], I, § 5.
3) Изучение состояний для бесконечных систем (в основном
в классическом случае) содержится в ряде отечественных работ,
где состояния задаются как меры на пространстве конфигураций
бесконечной системы. Подробный обзор этих работ дан в приложе-
приложении. — Прим ред.

288 Гл. 7. Состояния в статистической механике
Упражнения
7.А. В условиях п. 7.1.1 (классический решетчатый
газ) состояние р^&(Е П Я?~) представляет собой Zv эрго-
дическую меру на компакте К- Используя индивидуаль-
индивидуальную эргодическую теорему1), покажите, что состояние р
сосредоточено на таких конфигурациях X с К, для кото-
которых при любом Де!
lim V(a)'1 2 А(х + Х) = р(А).
а ¦+ оо 1еЛ(«|
7.Б. Покажите, что в условиях п. 7.1.1 множество
&(E{\2?L) плотно в E{\2?L в слабой топологии. Это
множество является примером симплекса со всюду плот-
плотным множеством крайних точек.
[По заданному ре?A S?1 постройте состояние р по
аналогии с тем, как это сделано в D.12) и D.13), заме-
заменив определение D.12) на
Покажите, что состояния р эргодичны и стремятся к р,
если а->оо.]
7.В. В п. 7.1.2 уже говорилось, что элементы ст мно-
множества &(Е){\&' можно отождествить с бесконечными
конфигурациями Ха (под бесконечной конфигурацией
понимается счетное подмножество Ха пространства Rv,
каждой точке которого приписана конечная кратность
и такое, что для любого ограниченного множества
AcrRv пересечение Ха(]А конечно):
cr(q>(S/If ..., Sfq)) = <p(Sfl(Xa), ..., Sfq(Xa)).
Покажите, что слабая топология на множестве Е инду-
индуцирует на &(Е)Г\@' топологию, подбазой2) открытых
') См. Данфорд и Шварц [1], теорема VIII.6.9.
2) Тот факт, что семейство О\% образует подбазу, означает,
что каждое открытое множество в & (Е) П У является объедине-
объединением конечных пересечений множеств О\^. Ланфорд [1] показал,
что в рассматриваемой топологии множество <? (Е) (] У является
полным сепарабельным метрическим пространством.

Упражнения 289
множеств которой служит (О1к), где К — произвольный
компакт в Rv, Л — открытое подмножество К.: Л с /С;
п — неотрицательное целое число и Слд обозначает мно-
множество конфигураций Ха, у которых п частиц содер-
содержатся в Л и ни одной частицы — в области /0\Л.
7.Г'). Используя обозначения и результат тео-
теоремы 7.6.3, покажите, что из рф(Л*Л) = 0 следует, что
л = о.
[Для этого покажите, что рф(ЛМ) = О =Ф рф (Л*т4Л) =
= 0=фрф(ЛЛ*) = 0, и воспользуйтесь тем, что алгебра 21
проста.]
') См. Робинсон [1], II..
Ю Зак. 850

ДОБАВЛЕНИЕ.
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА
Д.1. НЕКОТОРЫЕ ТЕРМИНЫ
Д.1.1. Обозначения. Для любых двух вещественных
чисел а и Ь, таких, что а^.Ь, через (а, Ь) обозначается
соответствующий открытый интервал, через [а, Ь] — замк-
замкнутый интервал (отрезок) и через {а, Ь] — множество
{х: а<х^.Ь} (полуоткрытый интервал).
Буква Z будет обозначать кольцо целых чисел,
буква R — поле вещественных, а С — поле комплексных
чисел. Zv, Rv и Cv обозначают пространства всех упо-
упорядоченных наборов из v целых, действительных или
комплексных чисел соответственно. Началом координат
в Zv, так же как в Rv и Cv, является набор @, 0, ..., 0).
Если А и В — подмножества некоторого множества,
то через А\В мы обозначим дополнение в А к А[\В.
Д.1,2. Равностепенная непрерывность. Семейство (/а)
вещественных или комплексных функций, заданных на
топологическом пространстве Е, называется равносте-
равностепенно непрерывным, если для любого х е Е и любого
е>0 найдется такая окрестность Jfx точки х, что при
всех а
A.1)
Если семейство функций (/а) равностепенно непрерывно
и функции /а сходятся на всюду плотном подмножестве
множества Е, то они сходятся всюду на Е.
Д.1.3. Полунепрерывность сверху. Функция /, за-
заданная на множестве Е и принимающая значения
в R U {~ °°}> называется полунепрерывной сверху (п. н. с),
если для всякого х^Е и a>f(x) существует такая
окрестность Jfx точки х, что
A.2)

Д.2. Общие сведения о В*-алгебрах 291
Эквивалентное условие состоит в том, что для любого
вещественного числа а множество {х^Е: f(x)<a} от-
открыто или что множество {х^Е: f(x)^a) замкнуто.
Нижняя грань семейства непрерывных вещественно-
значных функций, заданных на множестве Е, всегда
п. н. с. Если множество Е — компакт и функция / — п. н. с,
то существует точка х е Е, такая, что
f(x)=supf(y). A.3)
Иными словами, п. н. с. функция, заданная на ком-
компакте, достигает своей верхней грани.
Д.1.4. Выпуклость. Пусть Е — вещественное вектор-
векторное пространство. Множество С<=? называется выпук-
выпуклым, если
я,, Jt2eC и ае[0, 1]=фал:1+ A — а)лг2еС. A.4)
Выпуклой оболочкой множества S cz E называется
наименьшее выпуклое множество, содержащее S, т. е.
множество всех конечных линейных комбинаций
2^**г> гделгге5, А^О, 2^=1. Вещественная фун-
i i
кция /, заданная на выпуклом множестве С, называется
выпуклой, если
хь jc2?C и ое[0, 1]Ф/(ал:1 + A -а)лг2)<
A.5)
Функция / называется вогнутой, если функция — f вы-
выпуклая; функция / называется аффинной, если она
выпукла и вогнута одновременно. Если С является вы-
выпуклым открытым подмножеством R", то каждая вы-
выпуклая на С функция непрерывна.
Д.2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О В*-АЛГЕБРАХ
В этом и следующем параграфах собраны элементы
теории В*-алгебр. Поскольку все факты сообщаются без
доказательств, то порядок изложения отличается от
общепринятого. Более обстоятельное введение в теорию
В*-алгебр содержится в первых двух главах книги
10*

292 Добавление. Некоторые математические средства
Диксмье [2]. (В дальнейшем мы будем обозначать ее
через [Д].)
Д.2.1. Инволюция в алгебре над полем С. Пусть
% — алгебра над полем комплексных чисел С. Отобра-
Отображение А —> А* алгебры % на себя называется инволю-
инволюцией, если оно
а) инволютивно, т. е. {А*)* = А;
б) антилинейно, т. е. {А\ + ХА2) = А\ + к А*%
в) является антиавтоморфизмом, т. е. (А\А^ = АъА\.
Д.2.2. В*-алгебры. Алгебра % над полем С с инво-
инволюцией А—> А* и нормой А—>|| А|| называется В*-алгеб-
рой, если выполняются следующие условия:
а) || Л* || = || Л ||;
б) ||Л,Л2||<||Д,|Н1Л11;
в) алгебра 91 является полным пространством (отно-
(относительно равномерной топологии);
г) || А* А || = 11 A |f.
Д.2.3. Замечание. Условие (в), приведенное в пре-
предыдущем пункте, показывает, что алгебра 91 является
банаховым пространством относительно определенных
в ней линейных операций и нормы.
Д.2.4. Алгебры функций. Пусть L — локально ком-
компактное топологическое пространство и @0(L)— про-
пространство непрерывных комплекснозначных функций,
заданных на L и обращающихся в нуль в бесконеч-
бесконечности. Пусть /e©0(L). Обозначим через /* функцию,
комплексно сопряженную к /, и положим
Iim=sup|/(*)|. B.1)
При таком определении инволюции /->/* и нормы
/-Ч1 /II алгебра ©0(^) оказывается абелевой В*-алгеб-
рой. И наоборот, каждая абелева В*-алгебра изоморфна
некоторой алгебре ©0(L) (см. Д.3.9).
Д.2.5. С*-алгебры. Пусть § — комплексное гильбер-
гильбертово пространство и 33 (§) — алгебра (над полем С) всех
ограниченных операторов, действующих в Ф. Пусть

Д.2. Общие сведения о В*-алгебрах 293
). Обозначим через А" сопряженный оператор
и определим норму || А || равенством
II Л ||= sup || Af ||. B.2)
llflKl
Подалгебра 2tc:23(§) называется С*-алгеброй, если
она симметрична (т. е. А е 2t=^> А* е21) и равномерно
замкнута (т. е. полна в равномерной топологии). Ка-
Каждая С*-алгебра является В*-алгеброй относительно ин-
инволюции А->А* и нормы Л->||Л||. И наоборот, каждая
#*-алгебра изоморфна С*-алгебре операторов в некото-
некотором гильбертовом пространстве (см. Д.3.6).
Д.2.6. Существование единицы. В*-алгебра 21 может
обладать или не обладать единицей. Например, ал-
алгебра @о(?) (см- Д-2.2) обладает единицей тогда и только
тогда, когда пространство L компактно. Если 21 со-
содержит единицу 1, то || 11|= 1.
Пусть алгебра 21 содержит единицу 1; элемент U
такой алгебры называется унитарным, если U*U =
= С/С/* = 1. Унитарные элементы порождают всю ал-
алгебру 21 (в действительности каждый элемент из 21
является линейной комбинацией унитарных).
Д.2.7. Присоединение единицы. По каждой алгебре %
над полем С можно стандартным образом построить
алгебру 2t, содержащую единицу. Эта алгебра 21 со-
состоит из пар (Я, Л), где 1еС, Л е 21. Операции в 21
определяются равенствами
(Яь Л,) + (Я2, Л2) = (Я! + Я2, Л! + Л2), B.3)
Я(ЯЬ Л1) = (ЯЯЬЯЛ1), B.4)
(Я,,, А{)(Я2, Л2) = (Я1Я2, Я,,Л2 + Я2Л1 + AiЛ2). B.5)
Если в алгебре 1 определена инволюция А^-А*, то
в алгебре 2t также определена инволюция
(Я, Л)^(Я, ЛГ = (Я',Л'). B.6)
Если алгебра 21 является В*-алгеброй, то (см. [Д], 1.3.8)
в алгебре 21 существует норма, относительно которой Й
является В*-алгеброй. Эта норма определяется равен-
равенством B.10).

294 Добавление. Некоторые математические средства
Существует изоморфизм Л-*-(О, А) алгебры 91 на
двусторонний идеал коразмерности 1 в алгебре 9t; этот
изоморфизм сохраняет инволюцию, если таковая опре-
определена в 91, и норму, если 91 является В*-алгеброй.
Д.2.8. Спектр элемента. Пусть 91 — алгебра с еди-
единицей над полем С и А е 91, тогда множество
sp^ = {XeC: A — XI не имеет обратного в 91} B.7)
называется спектром элемента А. Если 91 —алгебра над
полем С и А е 91, то по определению
sP;4 = spt(O, A). B.8)
Предположим, что 91 является В*-алгеброй, и опреде-
определим спектральную норму || A ||sp = sup | z | по всем zesp' A.
Если элемент А самосопряжен (т. е. А = А*), то (см. [Д],
1.3.7)
II ЛII = 11 Л Ц,р. B-9)
Для любого А е 91 элемент А*А самосопряжен и ввиду
условия Д.2.2 (г)
[|Л|р = [|ЛМ|| = ||ЛМ||8р. B.10)
Д.2.9. Морфизмы. В*-подалгеброй В*-алгебры 91 по
определению называется равномерно замкнутая симме-
симметричная подалгебра алгебры 91.
Морфизмом (или '-гомоморфизмом) В*-алгебры 91, в
В*-алгебру 912 называется такой гомоморфизм я: 911-*-912
алгебр над полем С, что я {А") = (зт (А) )*. Можно пока-
показать (см. [Д], 1.3.7), что всякий морфизм не увеличи-
увеличивает нормы (||я(Л)|К; || А ||) и, следовательно, непре-
непрерывен. Поэтому ядром морфизма является замкнутый
двусторонний идеал.
Можно доказать (см. [Д], 1.8.1), что морфизм
В*-алгёбр инъективен (т. е. взаимно однозначно отобра-
отображает 91 на я (91)) тогда и только тогда, когда он изо-
метричен (т. е. сохраняет норму). В частности, всякий
автоморфизм алгебры % изометрично отображает ее
на себя.

Д.З. Состояния на В*-алгебрах 295
Если 3 — замкнутый двусторонний идеал в В*-ал-
гебре 91, то 3 симметричен; алгебра 91/3 с обычной нор-
нормой фактор-алгебры является В*-алгеброй, и фактори-
факторизация 31-* 31/3 является морфизмом ([Д], 1.8.2). В част-
частности, при всяком морфизме я: 511 —»- 512 образ я (9^)
замкнут и поэтому является В*-алгеброй.
Д.2.10. Замечание. В*-алгебры с морфизмами, введен-
введенными в Д.2.9, образуют категорию 1). Из того, что ска-
сказано в Д.2.2, может показаться, чтб определение В*-алге-
бры содержит существенно не алгебраическое понятие
(а именно норму). Однако из равенства B.10) следует,
что норма в В*-алгебре определяется ее структурой как
алгебры с инволюцией над полем С. Отметим еще, что
при определении морфизма норма не используется.
Д.З. СОСТОЯНИЯ НА В *-АЛГЕБРАХ
Д.3.1. Положительные элементы ([Д], 1.6). Эле-
Элемент А, принадлежащий В*-алгебре 91, называется поло-
положительным (А ^ 0), если удовлетворяется одно из сле-
следующих эквивалентных условий:
а) А = А' и spM > 02);
б) А = В*В для некоторого В е 91.
Таким образом, в 91 вводится отношение (частичного)
порядка (Л<В?фВ - Л>0) и множество Р = {Ле=91: Л>0}
оказывается замкнутым выпуклым конусом в 91.
Д.3.2. Существование аппроксимативной единицы.
Каждая В*-алгебра 91 обладает возрастающей аппрок-
аппроксимативной единицей (Ua) в следующем смысле:
а) множество индексов {а} упорядочено так, что для
любых О[ и а2 найдется а^аь а2;
б) 0<С/а и ||?/а||<1 при всех а;
в) а,<а2=#?/а, <?/%;
г) lim|| С/аЛ — Л || = 0 и Нт||ЛС/а-Л||=0 для лю-
а а
бого А ^ 91.
Если алгебра % сепарабельна (т. е. содержит счет-
счетное всюду плотное подмножество), то в качестве мно-
') См., например, Маклейн [1].
2) То есть ? е sp' А => ? ^ 0. - Прим. перев.

296 Добавление. Некоторые математические средства
жества индексов {а} можно взять множество неотри-
неотрицательных целых чисел.
Д.3.3. Состояния. Непрерывный линейный функцио-
функционал р, заданный на алгебре 21, называется состоянием,
если он положителен (А ^0=# р(Л)^О) и его норма
равна 1. Если в алгебре 21 существует единица, то
рA)=1. И наоборот, пусть р — положительный линей-
линейный функционал на В*-алгебре 21, содержащей единицу;
если рA)=1, то р —состояние (см. [Д], 2.1). Если се-
семейство (Ua) является аппроксимативной единицей
алгебры 21 и р —состояние, то limp(?/a)=l (см. [Д],
a
2.1.5 (v)). Для всякой самосопряженной непрерывной
линейной формы h на алгебре 21 существуют такие
(однозначно определенные) непрерывные положительные
линейные формы / и /', что h = f—f и IIЛII = 11/II+ 11/'II
(см. [Д], 12.3.4).
Множество Е всех состояний Я*-алгебры 21 является
выпуклым подмножеством единичного шара в сопря-
сопряженном пространстве 21'. Если в алгебре 21 есть еди-
единица, то множество Е является компактом в слабой
топологии, поскольку оно совпадает с пересечением
единичного шара (который слабо компактен, по теореме
Алаоглу — Бурбаки 1)) и плоскости {/е2Г: /A)=1}.
Состояние алгебры 21 называется чистым, если оно
является крайней точкой множества Е, т. е. если оно
не может быть разложено в сумму p = apj + A — a)p2,
где р,, р2^.Е, Р!^=р2иО<а< 1. Мы обозначим через &{Е)
множество всех чистых состояний (т. е. крайних точек
множества Е). Если в алгебре 21 есть единица, то, при-
применяя теорему Крейна — Мильмана 2) к выпуклому
(слабо) компактному множеству Е, мы видим, что ко-
конечные линейные комбинации чистых состояний (слабо)
плотны в Е.
Если 21, является Я*-подалгеброй в 21, то каждое
состояние Р] на 2Ij продолжается до состояния р на
') Эту теорему часто и исторически более правильно называют
теоремой Тихонова — Алаоглу. — Прим. перев.
2) По поводу теорем Алаоглу — Бурбаки и Крейна — Миль-
Мильмана см. книгу Кёте [1], стр. 250, 335.

Д.З. Состояния на В*-алгебрах 297
алгебре 31; если состояние р1 чистое, то и его продол-
продолжение р может быть выбрано чистым. Всякое состояние,
заданное на замкнутом двустороннем идеале алгебры 31,
однозначно продолжается до состояния, заданного на
алгебре 31 (см. [Д], 2.10.1-2 и 2.11.7). В частности,
состояние на В*-алгебре 31 однозначно продолжается на
алгебру 31, полученную из 31 присоединением единицы.
Д.3.4. Представления. Представлением В*-алгебры 31
называется пара (Ф, я), состоящая из комплексного
гильбертова пространства ф и морфизма я: 31-»-ЭЗ(?>).
Представление называется существенным (или невы-
невырожденным), если из того, что для некоторого Фе§
я(Л)Ф = 0 при всех А е 31 следует, что Ф = 0.
Представление называется неприводимым, если вы-
выполняется одно из эквивалентных условий ([Д], 2.8.4):
а) если С<=23(&) и [С, я(Л)] = 0 при всех Л<=31, то
оператор С пропорционален единичному опера-
оператору, действующему в ф (топологическая непри-
неприводимость);
б) единственными подпространствами в ф, инва-
инвариантными относительно я C1), являются {0} и ?>
(алгебраическая неприводимость).
Циклическим представлением алгебры 31 называют
тройку (ф, я, О), где § и я определяют представление,
а вектор fie§ таков, что |[Q||=1 и множество п(Щп
плотно в ?>.
Д.З.5. Конструкция Гельфанда — Сигала ([Д], 2.4).
Если (?>, я, Q) — циклическое представление В*-алгебры 31,
то отображение А-^р(А) = (Q, n(A)Q) определяет со-
состояние р на алгебре 31. И наоборот, если р — состояние
на алгебре 31, то существует циклическое представле-
представление (&р, яр, Qp), такое, что
р(-) = (Ор,яр(-)Ор). C.1)
Сейчас мы кратко опишем это циклическое предста-
представление (конструкцию Гельфанда — СигалаI).
') Эту конструкцию правильнее было бы называть конструкцией
Гельфанда —Наймарка—Сигала (см., например, работу Гельфанд И. М.
и Наймарк М. А. „Нормированные кольца с инволюцией и их пред-
представления, Изв. АН СССР, сер. матем., 12 A948), 445-480).

298 Добавление. Некоторые математические средства
Предположим, что в алгебре 91 есть единица (в про-
противном случае присоединим ее к 91). Множество
Ж = {А<=%: р(Л*Л) = 0}
является левым идеалом в алгебре 91. По отношению
к скалярному произведению, определяемому состоя-
состоянием р, фактор-алгебра %1Л оказывается хаусдорфовым
предгильбертовым пространством. Обозначим через §р
его пополнение до гильбертова пространства. Если Л,
Л[е91, то отображение Ai~>AAi определяет отобра-
отображение %fjf -> %/jf (поскольку Jf — левый идеал). Легко
показать, что его норма не превосходит || Л ||, поэтому
оно однозначно продолжается по непрерывности до ото-
отображения я (Л): Фр—^-Фр. Легко проверить, что лр
является морфизмом 91->93(ф). Если Qp обозначает
класс в %/Jf, соответствующий 1, то C.1) выполнено.
Конструкция Гельфанда — Сигала единственна в том
смысле, что любое циклическое представление (ф, я, Q),
такое, что (Q,-ji(-)Q) = p(-), унитарно эквивалентно
представлению (Фр, яр, Qp), т. е. существует изометри-
изометрический оператор V: Фр->Ф, такой, что n = VnpV~1,
Q = VQP.
Если р — состояние на алгебре 91 и f — положитель-
положительная линейная форма на 91, такая, что f^p, то ([Д],
2.5.1) существует единственный самосопряженный опе-
оператор Т на фр, коммутирующий с пр (91) и такой, что
Лр()ГЙр). C.2)
Д.3.6. Универсальные представления и обертываю-
обертывающие алгебры фон Неймана. Рассмотрим В*-алгебру 91.
Пусть Е обозначает множество всех состояний на 91,
а (Ф, л) — представление алгебры 91, такое, что ф =
= © Фр, п= 0 я». Такое представление (Ф, л) назы-
вается универсальным представлением алгебры 91. Мор-
физм л: 91->23(ф) является изоморфизмом алгебры 91
на С*-алгебру я (Я) с: 93 (ф) (см. [Д], 2.6.1). Это пока-
показывает, в частности, что каждая В*-алгебра изоморфна
некоторой С*-алгебре.

Д.З. Состояния на В*-алгебрах 299
Обозначим через 9& слабое замыкание алгебры я E1).
Алгебра 9& называется обертывающей алгеброй фон Ней-
Неймана алгебры 21. Для каждого /е2Г (/ — непрерывный
линейный функционал на алгебре 21) существует един-
единственный слабо непрерывный линейный функционал /на
алгебре !%, такой, что f(jx(•)) = /(•). Это равенство
сопоставляет каждому элементу С из алгебры 3! непре-
непрерывный линейный функционал на 2t': f-+~f(C). Можно
показать, что это отображение устанавливает изомор-
изоморфизм между алгеброй ЗИ и пространством 21" — вторым
сопряженным к алгебре 21, рассматриваемой как бана-
банахово пространство ([Д], 12.1.3).
Д.3.7. Неприводимые представления. Пусть р — со-
состояние на алгебре 21 и (§р, зхр, Qp) — соответствующее
циклическое представление алгебры 21. Следующие усло-
условия эквивалентны (см. [Д], 2.5.4 и 2.9.5):
а) ре !?(?), т. е. р —чистое состояние;
б) представление фр, пр) неприводимо;
в) левый идеал Jf = {A e 2t: p (А*А) = 0} является
максимальным регулярным идеалом (регулярность
означает, что существует такой элемент U е 21,
что для любого А е 21 разность UА — А е /С;
если 21 —алгебра с единицей, то любой левый
идеал регулярен).
Если эти условия выполнены, то §p = 2t/yf, рассма-
рассматриваемой с обычной нормой факторпространства
([Д], 2.12.18).
Д.3.8. Теорема Кейдисона о транзитивности ([Д],
2.8). Пусть (¦?>, я) — неприводимое представление 5*-ал-
гебры 21. Если Ф,, ....Ф,,, f,,..., ?Be§ и оператор
Ве23(?) таков, что
Яф. = ^, г = 1, 2, ..., п, C.3)
то найдется элемент А е 21, такой, что
?г, i=l,2 C.4)
Если оператор В самосопряжен, то и Л можно выбрать
самосопряженным; если 21 — алгебра с единицей, а В —

300 Добавление. Некоторые математические средства
унитарный оператор, то и в качестве А можно выбрать
унитарный элемент (т. е. АА* = А"А= 1).
В частности, если Qe-g», ||Q||=1, то (Ф, я, Q) — ци-
циклическое представление.
Пусть р — чистое состояние на алгебре 91 и
(Фр, яр, йр) — соответствующее циклическое представле-
представление алгебры 91. Если А е 91 и р (А) = 0, то существуют
такие элементы Аи Л2е91, что пр(А)п = 0, лр(Л2)*О = 0
и А=А + А2 ([Д], 2.9.1).
Д.3.9. Коммутативные В*-алгебры и гельфандовский
изоморфизм '). Если В*-алгебра 91 абелева, то между
следующими множествами существуют естественные
взаимно однозначные соответствия:
а) & (Е) — множество чистых состояний;
б) множество ненулевых гомоморфизмов алгебры 91
в С;
в) множество максимальных регулярных идеалов
алгебры % (если 91 содержит единицу, то это
множество совпадает с множеством всех макси-
максимальных идеалов).
Множество <8 (Е), снабженное слабой топологией,
называют спектром алгебры 91; оно представляет собой
локально компактное пространство. Для каждого эле-
элемента А е 91 обозначим через А функцию на <%, опре-
определяемую равенством Л(р) = р(Л); это правило опреде-
определяет (гельфандовский) изоморфизм между В*-алгеброй %
и В*-алгеброй непрерывных комплекснозначных функ-
функций, заданных на ? и стремящихся к нулю на беско-
бесконечности.
Спектр & (Е) является компактом тогда и только
тогда, когда в алгебре % есть единица. Изоморфизм
Гельфанда устанавливает взаимно однозначное соот-
соответствие между состояниями на алгебре 91 и вероят-
вероятностными мерами на <§(Е). В частности, пусть ре?, ц
обозначает соответствующую меру на^(?) и (фр, яр, Qp) —
циклическое представление Гельфанда— Сигала. Тогда
•) См. Люмис 11J.

ДА. Алгебры фон Неймана 301
Пусть 31/, — пространство самосопряженных линейных
форм на В*-алгебре 31; оказывается, что 31/, образует
решетку относительно естественного порядка в 31/, тогда
и только тогда, когда алгебра 31 абелева ([Д], 2.12.17).
Д.4. АЛГЕБРЫ ФОН НЕЙМАНА
Теорию алгебр фон Неймана можно найти в книге
Ж- Диксмье [1]. Удобный обзор результатов содержится
в добавлении А к книге [Д].
Д.4.1. Коммутант. Рассмотрим подмножество М
в 23 (Ф), его коммутантом М' называется
В] = 0}. D.1)
Если М' состоит только из операторов, кратных
единичному, то множество М называется неприводимым.
Коммутант М" = (М'У множества Мг называется вто-
вторым коммутантом (или бикоммутантом) множества М.
Д.4.2. Алгебры фон Неймана. Симметричная под-
подалгебра <% алгебры 23(ф), где § — комплексное гильбер-
гильбертово пространство, называется алгеброй фон Неймана,
если она удовлетворяет одному из следующих эквива-
эквивалентных условий:
(а) $ содержит единичный оператор 1 (действующий
на -&) и является слабо замкнутой подалгеброй
23(?)
();
(б) алгебра 0$ содержит 1 и сильно замкнута в 23 (¦§>);
(в) $ совпадает со своим бикоммутантом ($ = $).
В частности, всякая алгебра фон Неймана является
С-алгеброй с единицей.
Если М — симметричное подмножество в 23 (§),
то алгебра М' является алгеброй фон Неймана, а М" —
наименьшей алгеброй фон Неймана, содержащей мно-
множество М (т. е. алгеброй фон Неймана, порожденной
множеством М).
Д.4.3. Ограничение на подпространство в ф. Если
самосопряженная подалгебра $ в 23(§) слабо (= силь-
сильно) замкнута, то $ содержит наибольший проектор Р,
такой, что РВ = В для всех операторов В из $.

302 Добавление. Некоторые математические средства
Ограничение подалгебры $ на область значений опера-
оператора Р является алгеброй фон Неймана.
Пусть $сг 23 (?>) —алгебра фон Неймана. Если
проектор Р'е$', то ограничение алгебры $ на область
значений оператора Р' является алгеброй фон Ней-
Неймана Шр'. Если проектор Ре^, то ограничение Р$Р
алгебры $ на образ оператора Р является алгеброй
фон Неймана $Р и ($РУ = (Ш/)Р.
Д.4.4. Циклические и разделяющие векторы. Пусть
М — симметричное подмножество в 33(•?)) иФе$. Гово-
Говорят, что вектор Ф является циклическим для М, если
множество МФ плотно в •&, и что вектор Ф является
разделяющим для множества М, если из условий BeAf
и ВФ = 0 следует, что В = 0. Вектор Ф, циклический
для множества М, является разделяющим для мно-
множества М'. И наоборот, вектор, разделяющий для М',
является циклическим для М".
Д.4.5. Факторы и абелевы алгебры фон Неймана.
Алгебра фон Неймана $ называется фактором, если
пересечение ${\ffl состоит только из операторов, крат-
кратных единичному. Алгебра фон Неймана $ абелева тогда
и только тогда, когда $ а $'. Если $ = #, то $ на-
называется максимальной абелевой алгеброй. Если абе-
абелева алгебра фон Неймана обладает циклическим век-
вектором, то она максимальна.
Д.4.6. Теорема Капланского о плотности. Пусть ${
и $2 — самосопряженные подалгебры в 23 (ф) и $ih (со-
(соответственно $2ft) — подпространство самосопряженных
элементов в $х (соответственно в $2)- Если $\d$2 и
алгебра ${ плотна в $2 в сильной топологии, то еди-
единичный шар $i (соответственно $ih) сильно плотен
в единичном шаре алгебры $2 (соответственно $2/г)-
Д.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
НА КОМПАКТНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВАХ
Доказательства результатов, собранных в этом па-
параграфе, можно найти в книге Бурбаки [1] и статье
Шоке и Майера [1], которую мы в дальнейшем будем
обозначать Ш.-М.').
') См. также Фелпс [1].

Д.5. Интегральные представления 303
Д.5.1. Результант меры. Пусть F—локально выпуклое
топологическое векторное пространство и /С — выпуклое
компактное подмножество в F. Пространство М, сопря-
сопряженное к 'ё'(К), состоит из мер на /С; через Ж+ мы
будем обозначать конус положительных мер, а через
Ж\ — множество положительных нормированных мер
на К {Ж\ называется также множеством вероятностных
мер на К, и его можно отождествить с множеством
состояний на %?(!())• Для каждого ре К мы обозначим
через др^Ж\ единичную меру (= меру Дирака), со-
сосредоточенную в точке р. (Заметим, что бр определяет
чистое состояние на 'ё'(К)-)
Для каждой меры ц, е Ж\ существует такой элемент
ре/С, что для всех / е F'
(a)dii(a). E.1)
Этот элемент р называют результантом меры ц,1). Если
р служит результантом меры |ielb то меру ц,
можно слабо приблизить мерами ц/ е М\ с тем же pe-
peзультантом р и конечным носителем т. е. ц' = 2 Wp»
п \
> 2 ^«Рг = Р г)- Если р является
i=i /
/
результантом меры (iei, и / — аффинная полунепре-
полунепрерывная сверху функция, заданная на К, то n(/) = f(p)
([Ш.-М.], лемма 10).
Д.5.2. Максимальные меры, Мы будем использовать
те же обозначения, что и прежде. Пусть Sc?(i()-
выпуклый конус выпуклых непрерывных функций, за-
заданных на множестве К. В множестве Ж+ можно
ввести отношение порядка -< (см. Бишоп и де Лиув):
Hi < Ц2# Hi (/) < ^2 (/) Для всех fsS.
Если ц.1 <^ ц2 и / — аффинная непрерывная функция;
тогда ц, (/) = ц2 (/); в частности, || ц, || = || ц,2 II и меры щ
') См. Бурбаки [1].
2) См. Бурбаки [1].

304 Добавление. Некоторые математические средства
и ц2 (если Ц! е Ж\) имеют один и тот же результант.
Если ц е J?! и р е /С, то условия «р является результан-
результантом меры ц» и «ц У' бр» эквивалентны.
Мы будем говорить, что мера ц е Jf + максимальна,
если она максимальна в смысле введенного порядка <^.
Для всякой меры \х е Ж+ существует максимальная
мера ць такая, что щ>ц ([Ш.-М.], теорема 3).
В частности, если р е /С, то существует максимальная
мера с результантом р.
Д.5.3. Проблема единственности. Мы сохраним обо-
обозначения, принятые выше, и предположим для удоб-
удобства, что множество К служит базой выпуклого ко-
конуса С с вершиной в 0 (т. е. К является пересечением
конуса С с замкнутой гиперплоскостью Н, не проходя-
проходящей через 0 и пересекающей все образующие конуса С.
Этого всегда можно достичь, заменив пространство F
на R X F и вложив К в R X F как {1} X К). Конус С
определяет отношение порядка в F. ]\1ы будем гово-
говорить, что К — симплекс, если конус С образует решетку
относительно этого порядка (Шоке). Это определение
не зависит от выбора конуса С.
Следующие условия эквивалентны ([Ш.-М.], тео-
теорема 1):
(а) К — симплекс;
(б) для всякого р е К существует единственная мак-
максимальная мера цр > бр (т. е. каждая точка р е К
является результантом единственной максималь-
максимальной меры).
Если К — симплекс, то отображение р->цр аффинно
(это неявно используется в доказательстве теоремы 11
в статье [Ш.-М.]).
Д.5.4. Максимальные меры и крайние точки. Обо-
Обозначим через <S (К) множество крайних точек ком-
компакта К- Теорема Крейна —Мильмана утверждает, что
К совпадает с замыканием выпуклой оболочки множе-
множества <?{К)- Если мера ц^ Ж+ сосредоточена1) на ${К)
') Мера ц называется сосредоточенной на множестве S, если
это множество S ц-измеримо и |n|(S') = 0 (где S'— дополне-
дополнение к S).

Д.б. Группа с инвариантным средним 305
то мера ц максимальна ([Ш.-М.], предложение 15).
И наоборот, если К метризуем и мера (iei+ макси-
максимальна, то ц сосредоточена на & (К) ([Ш.-М.], лемма 13).
Поэтому если К метризуемо и це J(+, to
(х-максимальная
^Ф мера ц сосредоточена на
В частности, каждая точка ре К. является резуль-
результантом некоторой меры цр, сосредоточенной на ${К),
и если К — симплекс, то соответствие р->-цр взаимно
однозначно отображает К на множество всех вероят-
вероятностных мер на К, сосредоточенных на S1 (К)- В этом
случае говорят, что каждой точке р е К. соответствует
единственное интегральное представление на $ {К)
с помощью такой меры цр, что f (р) = цр (f) для каждой
непрерывной аффинной функции f, заданной на К-
Д.5.5. Пример: состояния на 2Г-алгебрах. Рас-
Рассмотрим В*-алгебру % с единицей; в этом случае мно-
множество Е выпукло и слабо компактно. В соответствии
с Д.3.9 и Д.5.3 каждое состояние р на алгебре % ока-
оказывается результантом единственной максимальной
меры цр тогда и только тогда, когда алгебра 91 абелева.
В самом деле, если 91 абелева и ре?, то мера цр со-
сосредоточена на <% {Е) вне зависимости от метризуемости
множества Е (цр является мерой на спектре алгебры 91,
соответствующей р при гельфандовском изоморфизме).
Д.б. ГРУППЫ С ИНВАРИАНТНЫМ СРЕДНИМ1)
Пусть G — локально компактная группа, a <5B(G) —
абелева Я*-алгебра ограниченных непрерывных ком-
плекснозначных функций, заданных на G. Для всякого
элемента h<^.G определим правый сдвиг f и левый
сдвиг / функции /e<5B(G) равенствами
') Эти группы иногда называют допустимыми (amenable). По-
Подробное исследование таких групп проведено в работе Гринлифа [1].

306 Добавление. Некоторые математические средства
Состояние Ш на ©в(^) называется правоинвариант-
ным (соответственно левоинвариантным), если для вся-
всякого Ае G
m(fh) = m(f) (соответственно Ж (J) = Ш (f)).
Если на группе существуют правоинвариантные со-
состояния, то существуют левоинвариантные и двусто-
ронне инвариантные состояния; в этом случае говорят,
что G — группа с инвариантным средним.
Инвариантное состояние на группе G существует,
если G абелева, или компактна, или допускает разло-
разложение на такие группы (например, группа движений
евклидова пространства). С другой стороны, на связ-
связной полупростой группе Ли существует инвариантное
состояние только в том случае, когда она компактна.
Д.6.1. Af-сети. Семейство функций {%„}, заданных
по локально компактной группе G, называется М-сетью,
если выполняются следующие условия:
(а) множество индексов {а} упорядочено так, что для
любых Оь а2 существует а^а1( а2;
(б) 0<Ха и J dgXa{g)= 1 для всех а (здесь dg обо-
обозначает правоинвариантную меру Хаара);
(в) lim f dg\%a(gh)-%a(g)\ = 0 для всех АеС.
a J
Для того чтобы на группе G существовала М-сеть,
необходимо и достаточно, чтобы на группе G существо-
существовало инвариантное состояние. Заметим, что если в G
существует счетная база, то в качестве множества
индексов а можно взять совокупность неотрицательных
целых чисел.

ЛИТЕРАТУРА
Араки и Висе (A rak i H. and Wyss W.)
[1] Representations of the Canonical Anticommutation Relations, Helv.
Phys. Ada., 37 A964), 136—159.
Аракии Вудс(Ага1иН. and Woods H. J.)
[1] Representations of the Canonical Commutation Relations Describ-
Describing a Nonrelativistic Infinite Free Bose Gas, /. Math. Phys., 4
A963), 637—662.
Арнольд и А в ё ц (Arnold V. I. et Avez A.)
[1] Problemes ergodiques de la Mecanique classique, Gauthier-Villars,
Paris, 1967.
Бендат и Шерман (Bendat J. and Sherman S.)
[1] Monotone and Convex Operator Functions, Trans. Am. Math. Soc,
79 A955), 58—71.
Березин Ф. А., Добр у шин Р. Л., Минлос Р. А., Повз-
н е р А. Я. и С и н а й Я. Г.
[1] Some Facts about General Properties of Thermodinamical Poten-
Potentials and Phase Transitions of the First Kind by Low Temperatures,
1966 (не опубликовано).
Березин Ф. А. и Синай Я. Г.
[1] Существование фазового перехода для решетчатого газа с при-
притяжением между частицами, Труды Моск. матем. общ-ва, 17,
A967), 197—212.
Борхерс и Циммерман (Borchers H. J. and Z i m m e r-
m a n n W.)
[1] On the Self-Adjointness of Field Operators, Nuovo Cim., 31 A964),
1047—1059.
Бурбаки Н.
[1] Интегрирование, гл. 1, 2, 3 и 4, M., «Наука», 1967.
В а н X о в (V a n H о v e L.)
[1] Quelques proprietes generates de l'integrale de configuration d'un
systeme de partioules avec interaction, Physica, 15 A949), 951 —
961.
[2] Sur l'integrale de configuration pour les systemes de particules
a une dimension, Physica, 16 A950), 137—143.
Вил с (Wils W.)
A] De Vrije Energie in de Thermodinamische Limiet van de Statl-
stische Mechanica (не опубликовано).

308 Литература
Галлавотти и Миракль-Соль (Gallavotti G. and Mi-
racle-Sole S.)
[1] Statistical Mechanics of Lattice Systems, Commun. Math. Phys.,
5 A967), 317—323.
[2] Correlation Functions of a Lattice System, Commun. Math. Phys.,
7 A968), 274—288.
[3] A Variational Principle for the Equilibrium of Hard Sphere Sy-
Systems, Ann. Inst. Henri Poincare, 8 A968), 287—299.
Галлавотти, Миракль-Соль и Робинсон (Gallavot-
t i G., М i г а с 1 е - S о 1 е S. and R о b i n s о n D. W.)
[1] Analiticity Properties of a Lattice Gas, Phys. Letters 25A A967),
493—494.
Гантмахер Ф. P.
[1] Теория матриц, М., «Наука», 1967.
Гординг и Уайтман (Garding L. and Wightman A. S.)
[1] Representations of the Anticommutation Relations, Proc. Nat. Acad.
Sci., 40 A954), 617—621.
[2] Representations of the Commutation Relations, Proc. Nat. Acad.
Sci., 40 A954), 622—626.
Грёнвельд (Groeneveld J.)
[1] Two Theoremes on Classical Many-Particle Systems, Phys. Let-
Letters, 3 A962), 50—51.
[2] Estimation Methods for Mayer's Graphical Expansions, Thesis,
Amsterdam, 1967.
Гринлиф (Greenleaf F. P.)
[1] Invariant Means on Topological Groups and Their Applications,
New York, 1969.
Гриффите (Griffiths R. B.)
[1] A Proof that the Free Energy of a Spin System is Extensive,
/. Math. Phys., 5 A964), 1215—1222.
[2] Peierls Proof of Spontaneous Magnetization in a Two-Dimensional
Ising Ferromagnet, Phys. Rev., 136A A964), 437—439.
[3] Microcanonical Ensemble in Quantum Statistical Mechanics,
/. Math. Phys., 6 A965), 1447—1461.
[4] Correlations in Ising Ferromagnets, I, /. Math. Phys., 8 A967),
478—483; II, External Magnetic Fields, /. Math. Phys., 8 A967),
484—489; III, A Mean-Field Bound for Binary Correlations, Com-
Commun. Math. Phys., 6 A967), 121—127.
Гугенгольц (Hugenholtz N. M.)
[1] On the Factor Type of Equilibrium States in Quantum Statistical
Mechanics, Commun. Math. Phys., 6 A967), 189—193.
Д аи сон (Dyson F. J.)
[1] Stability of Matter (Lectures at Brandeis Summer Institute,
1966).
[2] Ground-State Energy of a Finite System of Charged Particles,
/. Math. Phys., 8 A967), 1538—1545.
Дайсон и Ленард (Dyson F. J. and Lenard A.)
[1] Stability of Matter, I, /. Math. Phys., 8 A967), 423—434; Stability
of Matter, II, /. Math. Phys., 9 A968), 698—711.
Данфорд Н. и Шварц Д.
[1] Линейные операторы. Общая теория, М., ИЛ, 1962.

Литература 309
Дель-Антонио, Доплишер и Рюэль (Dell'Anto-
n i о G.-F., D о р 1 i с h e r S. and R u е 11 е D.)
[1] A Theorem on Canonical Commutation and Anticommutation Rela-
Relations, Commun. Math. Phys., 2 A966), 223—230.
Диксмье (DixmierJ.)
[1] Les algebres d'operateurs dans l'espace hilbertien (Algebres de
von Neumann), Gauthier-Villars, Paris, 1957.
[2] Les C*-algebres eet leurs representations, Gauthier-Villars, Paris,
1964.
Добрушин Р. Л.
[1] Исследование условий асимптотического существования конфи-
конфигурационного интеграла распределения Гиббса, Теория вероятно-
вероятностей и ее применения, 9 A964), 626—643.
[2] Существование фазового перехода в двумерной и трехмерной мо-
моделях Изинга, Докл. АН СССР, 160, № 5 A965), 1046—1048,
а также Теория вероятностей и ее применения, 10 A965), 209—
230.
Добрушин Р. Л. и Минлос Р. А.
[1] Существование и непрерывность давления в классической стати-
статистической физике, Теория вероятностей и ее применения, 12
A967), 526—618.
Доплишер, Кейдисон, Кастлер и Робинсон (Dopli-
с h е г S., К a d i s о п R. V., К a s 11 е г D. and Robinson D. W.)
[1] Asymptotically Abelian Systems, Commun. Math. Phys., 6 A967),
101—120.
Доплишер, Кастлер и Робинсон (D о р 1 i с h e r S., К a s t-
1 e r D. and Robinson D. W.)
[1] Covariance Algebras in Field Theory and Statistical Mechanics,
Commun. Math. Phys., 3 A966), 1—28.
Жинибр (GinibreJ.)
[1] Reduced Density Matrices of Quantum Gases, I, Limit of Infinite
Volume, /. Math. Phys., 6 A965), 238—251; II, Cluster Property,
/. Math. Phys., 6 A965), 252—262; III, Hard-Core Potentials,
/. Math. Phys., 6 A965), 1432—1446.
[2] Rigorous Lower Bound on the Compressibility of a Classical
System, Phys. Letters, 24A A967), 223—224.
[3] On the Asymptotic Exactness of the Bogoliubov Approximation
for Many Boson Systems, Commun. Math. Phys., 8 A968), 26—51.
Жинибр, Гроссман и Рюэль (Ginibre J., Gross-
ma n n A. and R u e 11 e D.)
[1] Condensation of Lattice Gases, Commun. Math. Phys., 3 A966),
187—193.
Иентч (Jentzsch R.)
[1] Ober Integralgleichungen mit positivem Kern, Crelles J., 141
A912), 235—244.
Кастлер и Робинсон (Kastler D. and Robinson D. W.)
[1] Invariant States in Statistical Mechanics, Commun. Math. Phys.,
3 A966), 151—180.
К а то (Kato T.)
[1] Fundamental properties of Hamiltonian operators of Schrodinger
type, Trans. Am. Math. Soc, 70 A951), 195-211.

310 Литература
[2] Perturbation Theory for Linear Operators, Springer, Berlin, 1966.
Келли и Шерман (Kelly D. G. and Sherman S.)
[1] General Griffiths Inequalities on Correlations in Ising Ferrotnag-
nets, /. Math. Phys., 9 A968), 466—484.
К ё т е (К о t h e G.)
[1] Topologische Lineare Raume 1, Springer, Berlin, 1960.
Ланфорд (L a n f о r d O.)
[1] The Classical Mechanics of One-Dimensional Systems of Infini-
Infinitely Many Particles, I, An Axistence Theorem, Commun. Math.
Phys., 9 A968), 179—191; II, Kinetic Theory, Commun. Math.
Phys. (готовится к печати).
Ланфорд и Робинсон (LanfordO. and Robinson D. W.)
[1] Mean Entropy of States in Quantum Statistical Mechanics,
/. Math. Phys., 9 A968), 1120—1125.
[2] Statistical Mechanics of Quantum Spin Sistem III, Comm. Math.
Phys., 9 A968), 327—338.
Ланфорд и Рюэль (Lanford О. and Ruelle D.)
[1] Integral Representations of Invariant States on B*-Algebras,
/. Math. Phys., 8 A967), 1460—1463.
Лебовиц и Пенроуз (Lebowitz J. L. and Penrose O.)
[1] Convergence of Virial Expansions, /. Math. Phys., 5 A964), 841—
847.
[2] Analitic and Clustering Properties of Thermodinamic Functions
and Distribution Functions for Classical Lattice and Continuum
Systems (готовится к печати).
Ли и Я н г (L е е Т. D. and Y a n g С. N.)
[1] Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions, II,
Lattice Gas and Ising Model, Phys. Rev., 87 A952), 410—419.
Либ (Lieb E. H.)
[1] A New Method in the Theory of Imperfect Gases and Liquids,
/. Math, Phys., 4 A963), 671—678.
Л ю м и с Л.
[1] Введение в абстрактный гармонический анализ, М., ИЛ, 1956.
М а й е р (М а у е г J. E.)
[1] /. Chem. Phys., 15 A947), 187.
Маклейн (MaclaneS.)
[1] Categorical Algebra, Bull. Am. Math. Soc, 71 A965), 40—106.
Мермин (MerminN. D.)
[1] Absence of Ordering in Certain Classical Systems, J. Math. Phys.,
8 A967), 1061—1064.
Мермин и Вагнер (Mermin N. D. and Wagner H.)
[1] Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or
Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models, Phys. Rev. Letters,
17 A966), 1133—1136.
M и н л о с Р. А. и С и н а й Я. Г.
[1] Явление разделения фаз при низких температурах в некоторых ре-
решетчатых моделях газа, Докл. АН СССР, 175 №2 A967), 323—326.
Нельсон (Nelson E.)
[1] Analytic Vectors, Ann. of Math., 70 A959), 572—615.
[2] Feynman Integrals and the Schrodinger Equation, /. Math. Phys.,
5 A964), 332—343,

Литература 311
Нетлтон и Грин (Nettleton R E. and Green M. S.)
[1] Expression in Terms of Molecular Distribution Functions for the
Entropy Density in an Infinite System, /. Chem. Phys., 29 A958),
1365—1370.
Онзагер (OnsagerL.)
[1] Electrostatic Interaction of Molecules, /. Phys. Chem., 43 A939),
189—196.
[2] Crystal Statistics, I, A Two-Dimensional Model with an Order-
Disorder Transition, Phys. Rev., 65 A944), 117—149.
Пайерлс (PeierlsR.)
[1] On Ising's Model of Ferromagnetism, Proc. Camb. Phil. Soc, 32
A936), 477—481.
Пауэре (Powers R.)
11] Representations of the Canonical Anticommutation Relations, The-
Thesis, Princeton, 1967.
Пенроуз (Penrose O.)
[1] Convergence of Fugacily Expansions for Fluids and Lattice Gases,
/. Math. Phys., 4 A963), 1312—1320.
[2] The Remainder in Mayer's Fugacity Series, /. Math. Phys., 4
A963), 1488—1494.
Полна и Cere(PolyaG. and Szego G.)
[1] Задачи и теоремы из анализа, М., Физматгиз, 1956.
Рисе Ф. и Секефальви-Надь Б.
[1] Лекции по функциональному анализу, М., ИЛ, 1954.
Робинсон (Robinson D. W.)
[1] Statistical Mechanics of Quantum Spin Systems, I, Commun. Math.
Phys., 6 A967), 151—160; II, Commun. Math. Phys., 7 A968),
337—348.
Робинсон и Рюэль (Robinson D. W. and R u e 11 e D.)
[1] Extremal Invariant States, Ann. Inst. Henri Poincari, 6 A967),
299—310.
[2] Mean Entropy of States in Classical Statistical Mechanics, Com-
Commun. Math. Phys., 5 A967), 288—300.
Рюэль (Rue lie D.)
[1] Classical Statistical Mechanics of a System of Particles, Helv.
Phys. Ada, 36 A963), 183—197.
[2] Statistical Mechanics of Quantum Systems of Particles, Helv.
Phys. Ada, 36 A963), 789—799.
[3] Correlation Functions of Classical Gases, Ann. Phys., 25 A963),
109—120.
[4] Cluster Property of the Correlation Functions of Classical Gases,
Rev. Mod. Phys., 36 A964), 580—584.
[5] Rigorous Results in Statistical Mechanics in Ledures in Theore-
Theoretical Physics, University of Colorado Press. Boulder, vol. VI. 1964.
[6] Correlation Functional, /. Math. Phys., 6 A965), 201—220.
[7] States of Physical Systems, Commun. Math. Phys., 3 A966),
133—150.
[8] States of Classical Statistical Mechanics, /. Math. Phys., 8
A967), 1657—1668.
[9] A Variational Formulation of Equilibrium Statistical Mechanics
and the Gibbs Phase Rule, Commun Math. Phys., 5 A967), 324—329.

312 Литература
[10] Statistical Mechanics of a One-Dimensional Lattice Gas, Com-
тип. Math. Phys., 9 A968), 267—278.
Сига л (Segal I. E.)
[1] A Class of Operator Algebras which are Determined by Groups,
Duke Math. I., 18 A951), 221—265.
[2] Математические проблемы релятивистской физики, М., «Мир», 1968.
Синай Я. Г.
[1] Классические динамические системы со счетнократным лебегов-
ским спектром
I. Изв. АН СССР, сер. мат., 2 A961), 899—934.
II. Изв. АН СССР, сер. мат., 30, № 1 A966), 15—68.
Уайтман (Wightman A. S.)
[1] Quantum Field Theory in Therms of Vacuum Expectation Values,
Phys. Rev., 101 A956), 860—866.
Уленбек и Форд (Uhlenbeck G. and Ford G. W.)
[1] Lectures in Statistical Mechanics, Amer. Math. Soc, Providence,
1963.
Уэнг, Гриффите и Фишер (Weng C.-Y., Griffiths R. B.
and Fisher M. E.)
[1] Critical Temperatures of Anisotropic Ising Lattices, I, Lower
bounds (готовится к печати).
Ф е л п с Р. Р.
[1] Лекции по теореме Шоке, М., «Мир», 1968.
Фишер (Fisher M. Е.)
[1] The Free Energy of a Macroscopic System, Arch. Rat. Mech.
Anal, 17 A964), 377—410.
[2] Correlation Functions and the Coexistence of Phases, /. Math.
Phys., 6 A965), 1643—1653.
[3] The Theory of Condensation and the Critical Point, Physics, 3
A967), 255—283.
[4] Critical Temperatures of Anisotropic Ising Lattices, II, General
Upper Bounds (готовится к печати).
Фишер и Рюэль (Fisher M. E. and Ruelle D.)
[1] The Stability of Many-Particle Systems, /. Math. Phys., 7 A966),
260—270.
X а а г, Гугенгольц и Винник (Haag R., Hugen-
h о 11 z N. M. and W i n n i k M.)
[1] On the Equilibrium States on Quantum Statistical Mechanics,
Commun. Math. Phys., 5 A967), 215—236.
X и л л Т.
[1] Статистическая механика, М., ИЛ, 1960.
Харст и Грин (Hurst С. A. and Green H. S.)
[1] New Solution of the Ising Problem for a Rectangular Lattice,
/. Chem. Phys., 33 A960), 1059—1062.
X и н ч и н А. Я.
[1] Математические методы теории массового обслуживания, Труды
Матем. ин-та АН СССР, т. 49, 1955, стр. 1—123.
Шоке и Ме'йер (ChoquetG. et Meyer P.-A.)
[1] Existence et unicite des representations integrates dans les con-
vexes compacts quelconques, Ann. Inst. Fowier., 13 A963), 139—
154,

Литература 313
Шохат и Та Маркин (ShohatJ. A. and Tamarkin J. D.)
[1] The Problem of Moments, Amer. Math. Soc, Providence, 1953.
Штёрмер (S termer E.)
[1] Large Groups of Automorphisms of C*-Algebras, Comtnun. Math.
Phys., 5 A967), 1—22.
[2] Types of von Neuman Algebras Associated with Extremal Inva-
Invariant States, Comtnun. Math. Phys., 6 A967), 194—204.
[3] Symmetric States of Infinite Tensor Products of C*-Algebras (го-
(готовится к печати).
Шульц, Мат тис и Либ (Schultz Т. D., Mattis D. С.
and Lieb Е. Н.)
[1] Two Dimensional Ising Model as a Soluble Problem of Many
Fermions, Rev. Mod. Phys., 36 A964), 856—871.
Якобе (Jacobs K)
[1] Lecture Notes on Ergodic Theory, Aarhus Universitet, Aarhus,
1963.
Янг (Yang С N.)
[1] The Spontaneous Magnetization of a Two-Dimensional Ising Mo-
Model, Phys. Rev., 85 A952), 808—816.
Янг и Л и (Y a n g С. N. and L e e Т. D.)
[1] Statistical Theory of Equations of State and Phase Transitions, I,
Theory of Condensation, Phys. Rev., 87 A952), 404—409.

ПРИЛОЖЕНИЕ.
ОБЗОР РЯДА НЕДАВНИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Р. Л. Добрушин, Р. А. Минлос, Ю. М. Сухов
Книга Рюэля довольно полно отражает все иссле-
исследования, относящиеся к ее теме и опубликованные
в работах западных ученых1) к 1968 г. и в работах
советских ученых к 1966 г. Исследования в этой об-
области науки ведутся в последние годы очень интен-
интенсивно, и за небольшой срок, прошедший со времени
написания книги, накопилось много интересного мате-
материала, которого при подробном его изложении хва-
хватило бы на новую объемистую монографию. В рамках же
данного издания было желательно хотя бы в конспек-
конспективном изложении ознакомить читателя с наиболее ин-
интересными из достижений последних лет. Этой цели и
служит предлагаемое приложение. Отбор включенных
в него работ, а также те или иные акценты в их из-
изложении определяются во многом вкусами составителей
и степенью их знакомства с литературой. Поэтому
на это приложение с самого начала не следует смотреть
как на всеобъемлющий обзор. Дальнейшие сведения
по этим темам, а также по ряду других тем, не за-
затронутых в этом приложении, читатель может получить
из журнальных статей последних лет, обширный спи-
список которых добавлен редактором в библиографию.
(Любопытно отметить, что новый список содержит
больше названий, чем список в оригинале. В конце
этого приложения нами помещен краткий библио-
библиографический комментарий, содержащий аннотации боль-
') Некоторые статьи более позднего периода кратко отмечаются
Рюэлем в сносках или примечаниях.

§ 1. Гиббсовские состояния для бесконечных систем 315
шинства из добавленных редактором статей, а также
некоторых статей, включенных в библиографию ав-
автором.
§ 1. ГИББСОВСКИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ
1.1. Определение гиббсовского состояния. Работы
последних лет позволяют дать много более полное опи-
описание структуры равновесных состояний для классиче-
классических бесконечных систем. Для простоты рассмотрим
сначала случай решетчатой системы.
Пусть А = А(а) — куб со стороной а и центром в на-
начале координат и рА(Х) — корреляционная функция кон-
конфигурации X в большом каноническом ансамбле Гиббса.
В соответствии с теоремами разд. 4.2.3 и 5.2.1 в случае
достаточно малых значений р, а также, наоборот,
в случае достаточно больших по модулю значений хи-
химического потенциала ц, при соответствующих ограни-
ограничениях, наложенных на потенциал взаимодействия,
существует предел при а-»-то значений рА(Х), рав-
равный р(Х). Эти корреляционные функции р(Х) позво-
позволяют определить вероятностную меру на пространстве
конфигураций на бесконечной решетке Zv. Вопрос
о существовании подобных пределов для всех значений
параметров р и ц остается открытым; однако, даже
если эти пределы существуют, они не исчерпывают
собой физически разумных состояний бесконечной си-
системы. Это видно, например, из того, что в случае
потенциалов Ф, для которых, как это описано в разд. 5.3,
существует фазовый переход первого рода при z = 1 и
достаточно больших значений р, при этих значениях
параметров, как можно доказать, корреляционные функ-
функции рл (X) при а-»-то по-прежнему имеют предел р(Х).
Однако из рассуждений разд. 5.3 нетрудно вывести,
что для построенного с помощью р(Х) состояния р
бесконечной системы при больших р каждая ячейка
решетки будет пуста с вероятностью, близкой к единице.
Свойство симметрии системы при z =* 1 (см. разд. 2.4.4)
показывает, что состояние р, получаемое из р заменой

316 Приложение
пустых ячеек на занятые, а занятых на пустые, является
физически не менее естественным.
Учитывая все это, целесообразно ввести более общее
определение гиббсовского распределения в сосуде Л
с тем, чтобы после предельного перехода Л—>оо полу-
получить большой запас состояний, которые могут быть
истолкованы как гиббсовские состояния для всей ре-
решетки Zv. Следуя Добрушину, граничным условием Y
будем называть любую конфигурацию в Zv \ Л. Для
потенциала Ф е 23О') введем энергию взаимодействия
U9{X/Y)- 2 Ф(Л) (^сЛ) (П. 1.1)
и будем называть гиббсовским распределением в Л
с граничным условием Y распределение вероятностей,
заданное при помощи формулы
РА (X/Y) = Z {Y, Л) е~иф{Ш), (П. 1.2)
где Z (У, Л) — нормирующий множитель:
) 2
ХсЛ
Заметим, что обычное гиббсовское распределение для
системы, заключенной в сосуде Л, получается, если
в качестве граничного условия выбрать пустую конфи-
конфигурацию вне Л. Одно из оправданий определения (П. 1.2)
состоит в том, что если Л! с: Л2, то условные вероят-
вероятности конфигураций в Л, при условии, что фиксиро-
фиксирована конфигурация Y в Л2\ Л,, вычисленные на основе
обычного гиббсовского распределения для системы
в сосуде Л2, задаются гиббсовским распределением в Л]
с граничным условием У = У. Пусть Tt ( = Ш (Ф)) — сово-
совокупность всех состояний системы в Zv, получающихся
как пределы (в смысле сходимости всех корреляцион-
корреляционных функций) последовательностей гиббсовских распре-
распределений в Л; (Л^-уоо при г'-^-оо) с некоторыми гра-
граничными условиями Y( (при одном и том же потен-
•) Как это принято в книге, параметры Р и ц включены в Ф,

§ 1. Гиббсовские состояния для бесконечных систем 317
циале Ф). Гиббсовским состоянием для бесконечной
системы назовем любое состояние, задаваемое вероятно-
вероятностной мерой, принадлежащей замыканию выпуклой обо-
оболочки совокупности Ш, а эти меры будем называть пре-
предельными гиббсовскими распределениями. Оказывается,
что совокупность предельных гиббсовских распреде-
распределений можно также описать непосредственным образом.
А именно, вероятностная мера для конфигураций в Zv
является гиббсовским распределением в том и только
том случае, когда для любого куба Л <r Zv и любой
конфигурации Y вне куба Л условное распределение
вероятностей для конфигураций внутри Л при условии,
что в 2^\А находится конфигурация Y, совпадает с гиб-
гиббсовским распределением (П. 1.2) для системы в Л
с граничным условием Y. При этом оказывается доста-
достаточным, чтобы это свойство выполнялось для кубов Л,
состоящих из одной ячейки. Недавно Браскамп [1] по-
показал, что приведенное определение гиббсовского рас-
распределения в терминах условных вероятностей эквива-
эквивалентно общим условиям Кубо—Мартина — Швингера,
примененным к классическому случаю.
В соответствии со сказанным выше гиббсовское рас-
распределение в случае финитного потенциала Ф с радиу-
радиусом взаимодействия R обладает следующим свойством,
аналогичным известному свойству марковских распре-
распределений: условное распределение P\(X/Y) для конфи-
конфигурации в кубе Л при заданной конфигурации Y вне
куба Л зависит лишь от пересечения Y с окрестностью
радиуса R куба Л. Аверинцев (его результаты частично
изложены в [1]) показал, что любая вероятностная
мера ц (•) на пространстве конфигураций в Zv, для
которой выполнено описанное выше марковское свойство
и все условные вероятности Р\ (X/Y), задающие услов-
условные распределения на конфигурациях X а А, положи-
положительны при любых Л и Y, задает гиббсовское состояние
для соответствующим образом выбранного финитного
потенциала.
Представляется интересным вопрос о получении
гиббсовских состояний с помощью вариационного прин-
принципа для энтропии (сравните близкий вариант этого

318 Приложение
принципа, рассмотренный в разд. 7.4). А именно для
данного потенциала Ф рассмотрим класс состояний р,
для которых удельная энергия на единицу объема р (Аф)
и плотность частиц d(p) существуют и принимают фи-
фиксированные значения Eq и d0. Рассмотрим, далее, те
состояния из этого класса, у которых существует энтро-
энтропия s (р)*). Возьмем теперь состояния р из этого класса,
если они существуют, удовлетворяющие следующему
вариационному принципу — принципу максимума энтро-
энтропии
s(po)= max s(p).
р(А)е
Доказано (см. Ланфорд, Рюэль [2]), что любое гиббсов-
ское состояние, для которого существует энтропия, удо-
удовлетворяет этому вариационному принципу. Обратное
утверждение, состоящее в том, что любое состояние
с максимальной энтропией, является гиббсовским, дока-
доказано для состояний, инвариантных относительно всех
сдвигов в Zv. Разумеется, это утверждение неверно,
если не налагать на состояние никаких ограничений,
однако остается открытым вопрос о том, верно ли оно,
если состояние инвариантно относительно некоторой
группы сдвигов, более узкой, чем группа всех сдвигов.
1.2. Описание совокупности гиббсовских состояний.
Важным представляется вопрос об описании совокуп-
совокупности всех гиббсовских состояний в зависимости от
значений потенциала. Единственный общий результат
в этом направлении состоит в утверждении, что при
общих условиях относительно потенциала Ф (всюду
используемых в книге) существует по крайней мере одно
инвариантное относительно всех сдвигов гиббсовское
состояние (этот факт доказывается на основе простых
соображений компактности, см. Добрушин [4]). Осталь-
') Определение энтропии для произвольного состояния р дается
аналогично определению, данному в разд. 7.2 для случая состояния,
инвариантного относительно всех сдвигов. Можно доказать суще-
существование соответствующего предела, если состояние инвариантно
относительно сдвигов, принадлежащих некоторой v-мерной под-
решетке решетки Zv,

§ 1. Гиббсовские состояния для бесконечных систем 319
ные результаты в этом направлении носят частный
характер. В тех случаях, когда применим метод кор-
корреляционных уравнений [случай малых р и малых или
больших значений z (см. разд. 4.2.3 и 5.2.1)], гиббсов-
гиббсовское состояние с данным потенциалом единственно.
Можно доказать, что гиббсовское состояние единственно
в одномерном случае, если потенциал взаимодействия
достаточно быстро убывает на бесконечности. В слу-
случае парного потенциала Ф(х, у) достаточно потребовать,
чтобы
(см. теорему 5.6.5, и § 4 этого приложения). С другой
стороны, изученные случаи фазовых переходов дают
примеры неединственности гиббсовского состояния.
Возникающие ситуации опишем на примере модели
Изинга. Рассмотрим сначала случай парного потен-
потенциала Ф(х,у) = 0 при \х — у\>1 и Ф(х, «/) = /<0 при
\х — у\= Л, т. е. случай притяжения. Здесь, как и
в общем случае, имеет место единственность гиббсов-
гиббсовского состояния для малых р или же достаточно боль-
больших по модулю ц. Далее на основе результатов Мин-
лоса и Синая [2] можно доказать единственность гибб-
гиббсовского состояния для случая достаточно больших р
и гф1 ')• Однако, как уже говорилось выше, при z= 1
и достаточно больших р ситуация оказывается иной.
Можно построить два разных гиббсовских состояния,
рассмотрев пределы при Л->оо гиббсовских распреде-
распределений в Л с разными граничными условиями. Одно
состояние Pi получается, когда Y — пустое множество,
а другое — Р2, когда Y совпадает со всей внешностью
куба Л, т. е. Y = Zv \ Л. При этом типичная конфигу-
конфигурация в первом случае состоит из редких конечных
скоплений частиц в огромном «океане пустот», и с по-
помощью замены частица •*-> пустота из нее получается
типичная конфигурация для второго случая (см. также
§ 3 этого приложения). На языке спиновых систем
мы имеем здесь картину ферромагнетизма, при кото-
которой подавляющая часть спинов принимает одинаковые
') Строгое доказательство этому получил Наср [2].

320 Приложение
значения. Оба эти гиббсовских состояния инвариантны
относительно всех сдвигов и при достаточно больших р
не совпадают друг с другом. Естественную гипотезу
о том, что этими двумя состояниями и их линейными
комбинациями исчерпываются все гиббсовские состояния,
удается доказать для двумерных моделей, но она не-
неверна в трехмерном случае (неопубликованный резуль-
результат Р. Л. Добрушина). Оказывается, что в случае,
когда размерность пространства v^3 и р достаточно
велико, существует предел гиббсовских распределений
в Л, заданных граничным условием Y вида {Y: (|lf ...
..., ^v) e У, если ?i>0}, причем соответствующее со-
состояние Ро на конфигурациях в Zv не является линей-
линейной комбинацией двух рассмотренных выше состояний Pi
и Р2- Это следует хотя бы из того, что гиббсовское
состояние, построенное при помощи граничного усло-
условия Y, не инвариантно относительно сдвигов вдоль
оси %i) в частности, вероятность того, что занята ячейка
с положительной первой координатой, больше 1/2,
а вероятность того, что занята ячейка с отрицательной
первой координатой, меньше 7г- Наглядно можно
сказать, что гиббсовское состояние Ро соответствует
сосуществованию двух фаз, причем поверхность раздела
фаз проходит (с флуктуациями конечного масштаба)
вдоль плоскости gj = 0. Различие между трехмерным и
двумерным случаем связано с тем, что в двумерном
случае линия раздела фаз в квадрате Л имеет флук-
флуктуации порядка У\А\ и поэтому при Л->-оо «беско-
«бесконечно размывается», т. е. не имеет никакого предела
для своего положения. При v = 3 масштаб флуктуации
поверхности раздела фаз не зависит от Л, и это в не-
некотором роде связано с явлениями типа фазовых пере-
переходов. Описанное выше гиббсовское состояние Ро инва-
инвариантно лишь относительно сдвигов, перпендикулярных
первой оси координат.
Общая ситуация в случае модели Изинга при всех
значениях параметров р и |i остается неизвестной, и
можно выдвинуть лишь некоторые гипотезы. По-види-
По-видимому, гиббсовское состояние единственно при всех гф\,
а при 2=1 гиббсовское состояние единственно, если

§ 1. Гиббсовские состояния для бесконечных систем 321
где PJ1— температура Кюри (см. разд. 5.4.9).
В двумерном случае при р>рс совокупность гиббсов-
ских состояний имеет, вероятно, ровно две крайние
точки; ими являются описанные выше состояния Р,
и Р2. В трехмерном же случае вероятно, что для до-
достаточно больших Р^р все крайние точки совокупно-
совокупности гиббсовских состояний исчерпываются построенными
выше состояниями Ри Р2, Pq и состояниями, получаю-
получающимися из Ро отражениями, сдвигами и поворотами.
Совсем неясно, имеет ли место равенство j$ = pc или
же существует промежуточный отрезок ji^p^p,., на
котором ситуация аналогична ситуации в двумерном
случае. Отметим для полноты, что, как можно пока-
показать, в четырехмерном случае имеются еще и другие
гиббсовские состояния.
В случае модели Изинга с />0 (случай отталки-
отталкивания) ситуация оказывается иной (Добрушин [6]).
Оказывается, что при
1
где v — размерность пространства, a sv — некоторая
явно оцениваемая константа, существуют пределы Р+
и Р- гиббсовских распределений в Л с граничными
условиями Y+ и Y- следующих двух видов: если всю
решетку Zv представить в виде суммы двух подреше-
ток Z+ и Zl, у которых суммы координат точек соот-
соответственно четные и нечетные, то одно граничное усло-
условие, обозначенное Y+l совпадает с той частью подре-
шетки Z+, которая лежит вне Л, а второе граничное
условие, обозначенное Y-, является частью Zl, лежащей
вне Л. Получаемые таким образом состояния различны
при больших р. Они инвариантны лишь относительно
сдвигов на векторы из Z+, и типичные для них кон-
конфигурации напоминают шахматную доску: в одном из
распределений заняты «почти все» ячейки, соответ-
соответствующие черным клеткам шахматной доски (подре-
шетке Z+), и пусты почти все ячейки, соответствующие
белым клеткам, (подрешетке Zv~); для второго же состо-
состояния типичная конфигурация получается из только что
И Зак. 850

322 Приложение
описанной путем замены пустых ячеек на занятые и
наоборот. На языке спиновых систем оба случая соот-
соответствуют картине антиферромагнетизма, в которой
соседние спины по преимуществу стремятся принять
разные значения.
В трехмерном случае можно еще построить гиб-
бсовское состояние при помощи граничного условия Yo,
которое в верхнем полупространстве (положительные |i)
совпадает с подрешеткой Z+, а в нижнем —с подрешет-
кой Zl. В остальном ситуация аналогична ситуации
в случае притяжения. Так, например, одна из гипотез
состоит в том, что в двумерном случае существует не-
некоторая кривая р = р (ц) в плоскости параметров (р, ц),
имеющая вертикальные асимптоты в точках Hi и ц2, и
такая, что для точек (р, ц), лежащих под этой кривой
и на ней самой, гиббсовское состояние единственно, а
для точек (р, ц), лежащих над этой кривой, совокупность
гиббсовских состояний представляет собой отрезок
с крайними точками Р+ и Р_.
Укажем еще одну исследованную модель — решет-
решетчатую модель с твердой сердцевиной (Добрушин [6]).
Здесь на конфигурации частиц наложено единственное
ограничение, состоящее в том, что две соседние ячейки
не могут быть одновременно заняты, т. е. рассматри-
рассматривается система с парным потенциалом Ф(х,у), таким,
что Ф(л:, у) = оо при \х — г/1=1 и Ф{х, г/) = 0 при
\х — у\>1. В этом случае для
/, sv — константа, (П.1.5)
существуют различные предельные гиббсовские состоя-
состояния для указанных выше граничных условий У+ и У_.
Возникающая при этом ситуация аналогична ситуации
для модели Изинга с отталкиванием.
1.3. Свойства убывания корреляции. Интересным
является вопрос о том, какими свойствами убывания
корреляций обладают гиббсовские состояния. Оказыва-
Оказывается, что гиббсовское состояние обладает свойством
регулярности, состоящим в том, что у соответствую-
соответствующего распределения события, связанные с поведением
системы на бесконечности, имеют вероятность 0 или 1

§ 1. Гиббсовские состояния для бесконечных систем 323
тогда и только тогда, когда оно является крайним эле-
элементом множества гиббсовских распределений. Для
всех построенных выше примеров крайних гиббсовских
состояний удается доказать и много более сильное
свойство регулярности. А именно, пусть AcZv- ко-
конечное множество и (A)d — совокупность точек из Zv,
отстоящих от Л не более чем на й. Существует функ-
функция фЛ (фл(й)->0 при d->oo), такая, что если собы-
событие А описывает поведение системы в Л, а событие В
поведение системы в Zv\(A)d, то
\Р(АПВ)-Р(А)Р(В)\«?А(с1). (П.1.6)
С другой стороны, более сильное свойство равномерной
регулярности снаружи, состоящее в существований
функции фЛ(фЛ(й)->0 при d->oo), такой, что
\P(AnB)~P(A)P(B)\<<fA(d)P(B), (П.1.7)
оказывается эквивалентным единственности гиббсов-
ского состояния.
1.4. Некоторые обобщения. Результаты, описанные
выше, распространяются и на более широкие классы
потенциалов ')• В частности, все, что сказано о случае
модели Изинга с притяжением, распространяется на
случай потенциалов, удовлетворяющих условиям тео-
теоремы 5.3.1, а также на класс потенциалов, рассмотрен-
рассмотренных Добрушиным [3]. Это класс парных потенциалов
Ф(*> у) = Ф(х — У), таких, что:
1) если D a Zv — множество zcZv, таких, что
ФB)>0, и D— дополнение к D, то
тах[ФB),
1-1. 2...., 2V
2 (П.1.
') Отметим, что открытым остается вопрос об исследовании
структуры класса гиббсовских состояний в рассмотренном Дайсоном
(см. § 4 этого приложения) случае одномерных потенциалов, даю-
дающих фазовый переход.
И*

324 Приложение
где еь ..., e2v — всевозможные единичные векторы ре-
решетки Zv;
2) существуют с>0 и е>0, такие, что
|Ф(г)|<с|гГ4-е. (П. 1.9)
Наглядный смысл условия (П. 1.8) состоит в том,
что отрицательная часть потенциала «в некотором
смысле больше» его положительной части.
Описанные в разд. 1.1 результаты общего характера
находят непосредственные обобщения на случай непре-
непрерывных систем. Некоторые дополнительные трудности
возникают лишь в случае потенциалов без твердой
сердцевины, где приходится использовать оценки, по-
показывающие маловероятность больших скоплений частиц
в фиксированной ограниченной области (см. Добру-
шин [8], [9] и Рюэль [14]). При этом единственность
гиббсовского распределения удается доказать лишь
в классе состояний, для которых выполнено следующее
требование: существуют такая функция c(V)<°° и
константа а, что если N (Л) — число частиц в кубе Л,
то равномерно по всем кубам Л фиксированного
объема V среднее значение ехр{аЛ^(Л)}^сG).
1.5. Марковский процесс, оставляющий инвариант-
инвариантными гиббсовские состояния. В заключение укажем
одну интересную конструкцию, которая оказывается,
в частности, удобной при изучении предельных гиббсов-
ских состояний. Добрушин [10] (см. также Спитцер [1])
ввел марковский процесс с непрерывным временем,
фазовое пространство которого есть множество всех
конфигураций в Z и который оставляет инвариантными
все гиббсовские распределения с данным потенциалом.
В этом процессе в отдельные моменты времени ка-
каждая из ячеек решетки может менять состояние «за-
«занятости» ') на состояние «пустоты» и наоборот. При
этом для финитных потенциалов вероятности таких
изменений зависят лишь от состояний ячеек, отстоящих
от данной не более чем на радиус взаимодействия по-
потенциала. Такой марковский процесс может быть исполь-
') Все ячейки, принадлежащие конфигурации, мы, как обычно,
считаем занятыми.

§ 2. Эквивалентность ансамблей и предельные теоремы 325
зован как грубая модель процесса установления равно-
равновесия в решетчатой системе. С другой стороны, при
помощи соответствующего марковского оператора можно
доказывать разные факты относительно гиббсовских
состояний, например теорему об условиях единствен-
единственности такого состояния. Заметим, что и все остальные
известные доказательства единственности гиббсовского
состояния (доказательство Ланфорда и Рюэля [2], дока-
доказательство Добрушина [5], упрощенное Вассерштей-
ном [1]) основаны на исследованиях сжимающих свойств
специально подобранных операторов, оставляющих гибб-
совские состояния инвариантными.
§ 2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ АНСАМБЛЕЙ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛА ЧАСТИЦ И ЭНЕРГИИ
В гл. 3 (см. п. 3.4.4) объяснено, что термодинами-
термодинамические величины, получаемые с помощью различных
ансамблей — микроканонического, канонического и боль-
большого канонического — совпадают при определенном со-
соответствии между термодинамическими параметрами,
определяющими эти ансамбли: (р, е) — для микрокано-
микроканонического, (р, р) — для канонического, (ц, Р) — для боль-
большого канонического ансамблей. Этот факт означает
термодинамическую эквивалентность ансамблей. Однако
для случая однофазных систем [т. е. систем, для ко-
которых гиббсовское состояние единственно (см. § 1 этого
приложения)] имеет, по-видимому, место более сильная
эквивалентность, означающая, что совпадают все пре-
предельные характеристики (скажем, корреляционные функ-
функции), получаемые из разных ансамблей. Доказательство
такой эквивалентности между малым и большим кано-
каноническими ансамблями в определенной области термо-
термодинамических параметров содержится по существу
в работе Боголюбова, Петрины и Хацета [1] (дополнен-
(дополненной замечанием Симятицкого [1]), а именно, из этой
работы вытекает следующая теорема:
2.1. Теорема. Пусть задана система частиц с пар-
парным потенциалом Ф(х), удовлетворяющим условию 3.2.8
этой книги, тогда для каждого р > О можно указать
такие значения (Xq(P) и ро(Р), что-

326 Приложение
1) соответствие (см. п. 3.4.6)
р, Р) др (ц, Р)
^' и р = И}? w
где f (р, Р) м /э (ц, Р) — термодинамические потенциалы
соответственно малого и большого ансамблей, взаимно
однозначно для р и ц, принадлежащих соответственно
интервалам (О, ро(Р)) « (- °о, Цо(Р));
2) для ц < ц0 (Р) и Р < Ро (Р) существуют термодинами-
термодинамические пределы рй (X) « рр (X) корреляционных функций
большого и малого канонических ансамблей, и для р
и ц, связанных соответствием (П.2.1), эти пределы равны
(X) (X)
Из этой теоремы, в частности, легко следует, что при
малых значениях р состояние Гиббса в малом канони-
каноническом ансамбле, заключенном в конечном сосуде Л,
сходится при Л->оо и Л7|Л|->рк предельному гиб-
бсовскому состоянию, которое совпадает с предельным
гиббсовским состоянием, полученным из большого
ансамбля при соответствующем значении ц. Заметим
тут, что такое совпадение предельных гиббсовских со-
состояний (и предельных корреляционных функций), во-
вообще говоря, уже не имеет места для двухфазных
систем (см. § 3 этого приложения). Доказательства
в работе Боголюбова, Петрины и Хацета[) (а также
в заметке Симятицкого) основаны на непосредственном
изучении корреляционных уравнений, аналогичных урав-
уравнениям Кирквуда —Зальцбурга (см. гл. 4 этой книги).
Их метод восходит к опубликованной в 1949 году статье
Боголюбова и Хацета [1], в которой впервые было на-
начато математически строгое изучение термодинамиче-
термодинамического предельного перехода для корреляционных функ-
функций. Заметим, что в решетчатом случае ввиду имею-
имеющейся двойственности между пустотой и частицей
соответствие (П.2.1) верно также для ц и р, принадле-
принадлежащих соответственно интервалам ((ii(P), °о), A~Ро(Р)> 1),
а для достаточно малых р —при всех значениях ц и
') К сожалению, эта новаторская работа оставалась некоторое
время не известной специалистам, начавшим интенсивные исследд*
рания р этой области в последние годы.

§ 2. Эквивалентность ансамблей и предельные теоремы 327
р(— оо <|л< оо, 0<р<1), поэтому теорема 2.1 может
быть распространена и на этот случай.
В работе Халфиной [1], получившей тот же результат
о совпадении предельных корреляционных функций
малого и большого ансамблей, а также соответствующих
предельных состояний при дополнительном предполо-
предположении о наличии твердой сердцевины, использованы
другие соображения. Эта работа основана на изучении
асимптотики при Л->оо распределения вероятностей
для числа частиц в большом каноническом ансамбле.
Связь между этими двумя проблемами можно понять,
исходя из следующего замечания. Пусть Pr^(X: X^S) —
вероятность события 5 в малом каноническом ансамбле
для системы из N частиц, заключенной в сосуде Л,
а через Pr^(Z: X^S) обозначена соответствующая ве-
вероятность в большом ансамбле (с произвольным ц),
тогда
Pr? (X: N (X) = N)
X- Yc-c4PrA^: N{X)=NIXeS)
Pr?(X: N(X)^N)
Далее, точное изучение асимптотики вероятностей, вхо-
входящих в числитель и знаменатель последней дроби
(при больших Л и N и фиксированном 5) показывает,
что в термодинамическом пределе эта дробь стремится
к единице и тем самым Pr^(X: IgS) имеет тот же
предел, что и Pr^(X: X ^S) (существование же по-
последнего предела установлено, например, в работе
Минлоса [1]). Что же касается асимптотики обоих рас-
распределений вероятностей для' числа частиц (как безу-
безусловного, так и условного), точнее, распределения ве-
вероятностей для флуктуации числа частиц относительно
своего среднего значения, то они оказываются асимпто-
асимптотически гауссовыми. Это обстоятельство следует из
свойств регулярности гиббсовского состояния при малых
значениях активности.
Отметим, что для классических систем эквивалент'
ность в аналогичном смысле малого и микроканониче*

328 Приложение
ского ансамблей может быть получена с помощью по-
подобных же рассуждений, хотя пока это еще нигде не
опубликовано. Что касается решетчатого случая, то
в работе Минлоса и Халфиной [1] доказано, что для
флуктуации энергии и числа частиц имеет место цен-
центральная предельная теорема в интегральной форме.
Из этого результата уже легко вывести предельную
эквивалентность большого канонического ансамбля и
усредненного микроканонического ансамбля (см. п. 1.2.1),
если отрезок усреднения Д>й|Л|'/а, где k — некоторая
фиксированная константа.
§ 3. ЯВЛЕНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ФАЗ ПРИ ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ
ПЕРВОГО РОДА В РЕШЕТЧАТЫХ МОДЕЛЯХ ГАЗА
3.1. Основной результат. После появления работ
Добрушина [2], [3], Гриффитса [2], Березина и Синая [1],
Жинибра, Гроссмана и Рюэля[1], в которых было уста-
установлено существование фазового перехода 1-го рода
для некоторых классов решетчатых систем (см. разд. 5.3
и 5.4), Минлос и Синай [1], [2] предприняли детальное
исследование картины типичных конфигураций частиц
в малом каноническом ансамбле для значений пара-
параметров ф, р), отвечающих фазовому переходу (расслое-
(расслоению фаз, по терминологии физиков). Это строгое ма-
математическое исследование для случая решетчатых
моделей полностью подтвердило принятые в физике
феноменологические и полуфеноменологические пред-
представления о пространственном разделении фаз. Эти
представления сводятся, грубо говоря, к следующему.
Если вещество, заключенное в большом сосуде Q,
имеет общую плотность р (p = iV/|Q|), лежащую вне
отрезка фазового перехода [отрезок, соответствующий
плоскому участку в графике свободной энергии (см.
п. 5.3.3)], то частицы вещества достаточно равномерно
распределены по сосуду (например, так, что в любой
макроскопически большой части сосуда плотность ве-
вещества совпадает с общей плотностью р). При этом
говорят, что вещество находится в «однородной фазе».
При значениях плотности р, лежащих внутри отрезка
фазового перехода [pi, р2]: Pi<P<p2» вещество разде-

§ S. Явление разделения фаз 329
ляется на две различные части, занимающие каждая
свою часть сосуда. Плотность частиц в одной из них
равна pi, а в другой р2. Внутри каждой из частей
вещество устроено достаточно однородно, т. е. пред-
представляет «фазу». Объем V плотной фазы («капли»)
определяется из общего баланса вещества в сосуде
где |Q|—объем сосуда. При этом капля принимает
такую форму, при которой поверхностное натяжение
минимально (в непрерывной изотропной среде это, оче-
очевидно, шар, а в решетчатых моделях — куб).
Мы приведем сейчас основной результат работы
Минлоса и Синая, из которого, как будет видно, сле-
следует строгое подтверждение изложенных выше нагляд-
наглядных представлений для случая решетчатых систем. Для
простоты мы ограничимся в нашем изложении плоской
моделью Изинга (случай притяжения), хотя результат
работы остается справедливым и для общего случая,
описанного в разд. 5.3 и 5.4, а также для случая,
разобранного в работе Добрушина [3] (см. приложе-
приложение, § 1). Предварительно введем некоторые понятия
и обозначения. Мы рассматриваем малый канонический
ансамбль из N частиц, заключенных в квадрате Q на
решетке, и предполагаем, что температура р" доста-
достаточно мала, a Af = [p|Q|] (|Q| —число точек в Q),
причем плотность р лежит на отрезке [р0 (р), 1 — ро(р)]
фазового перехода (см. п. 5.3.3). Пусть для каждого
расположения 5 частиц внутри Q через Г (S) обозначена
граница этого расположения (см. п. 5.3.4), а Г, (S),
Г2E), ... — связанные компоненты этой границы (циклы).
Через N (S) мы обозначим, как всегда, число частиц
в S. В этих обозначениях распределение Гиббса для
малого канонического ансамбля принимает вид
(П.3.2)
где
p, р) = 2
ScQ,
а е-энергия взаимодействия двух соседних частиц.

330 Приложение
Циклы Г, длина которых не превосходит с1п|Й|,
где с —некоторая заранее выбранная константа, мы
будем называть с-малыми циклами, а остальные циклы —
большими.
Далее, если цикл расположения S не охватывается
никаким другим циклом этого расположения, мы назо-
назовем его внешним. Пусть 6 c:Q — некоторое подмноже-
подмножество Q. Мы скажем, что цикл Г попадает в 6, если
совокупность охватываемых этим циклом точек решетки
[обозначим ее через в (Г)] принадлежит 6. Цикл рас-
расположения S мы назовем внешним в 6, если он попал
в 6 и не охватывается никаким другим попавшим
в 6 циклом расположения S.
Определение. Расположение S называется одно-
капельным, если у него имеется ровно один большой
внешний цикл Гтах и все циклы этого расположения,
внешние в в^^х), являются с-малыми. Множество
®(Гтах) в однокапельном расположении назовем каплей.
Наглядно однокапельное расположение устроено так:
вне капли в(Гтах) частицы находятся в сравнительно
маленьких скоплениях, не превосходящих по размеру
с In | Q | и плавающих в «океане пустоты». Внутри же
капли картина двойственная: в огромном «материке
частиц» встречаются небольшие (не больше с • ln| Q |)
лакуны из пустот, так что, образно говоря, внутрен-
внутренность капли служит негативным изображением ее внеш-
внешности. Множество беги назовем макроскопическим
[точнее (k, /)-макроскопическим], если число его точек | 6 |
и его граница ГF) удовлетворяют оценкам: |9|>/t|Q'|,
rF)</|Q|s, где k и / — некоторые заранее фиксиро-
фиксированные константы.
Пусть У cr Z2 — конечное подмножество решетки и
X — подмножество У (X с У). Мы скажем, что пара
(X, У) совместима с заданной конфигурацией ScZv,
если найдется такой вектор решетки а, что (Y + a) f\S =
= Х + а.
Число таких векторов а мы будем называть числом
совмещений пары (X, Y) с S и обозначать через
n{S, {X, У)). Иначе можно сказать, что пара {X, У) со-

§ 3. Явление разделения фаз 331
вместима с конфигурацией S, если в некотором месте
(Y + а) локальная структура конфигурации 5 совпадает
с X + а. Множество % = % (Q) расположений из малого
канонического ансамбля, как обычно, назовем типичным,
если его вероятность стремится к 1 при Q-»oo. Сфор-
Сформулируем теперь основной результат работы Минлоса
и Синая.
3.2. Теорема. В оговоренных выше предположе-
предположениях относительно плотности и температуры располо-
расположения S, обладающие перечисляемыми ниже свойствами,
типичны.
A) S — однокапельное расположение и при этом:
а) «.объем капли» заключен в пределах:
1|в(Гтвх)|-У|<с,(р)|О|>л, (П. 3.3)
где «средний объем капли» V определяется из соот-
соотношения
0-po(P))V + (|Q|-VOpo(p) = tf, (П. 3.4)
а константа Ci(p)-»O при р-»оо;
б) капля имеет «почти квадратную» форму в сле-
следующем смысле:
I 4 • | е (Гтах) |v° - Гтах | < с2 (р) | Q ('*, (П. 3.5)
где константа с2(Р)->0 при р-»оо.
Из утверждений а) и б) следует, в частности, что
капля является (k, l)-макроскопическим множеством при
некоторых k и I.
B) Для любой пары конечных множеств X cz Y суще-
существуют такие величины Р\[(Х, Y)] и /^[(Х, Y)}, что для
всякого (k, l)-макроскопического множества 0 вне капли
| п (S П v, (X, Y))-Pl [(X, Y)] 19 11< с3 (р) | Q (\ (П. 3.6)
а также для всякого (k, l)-макроскопического множе-
множества 0 внутри капли
| п(S П0, (X, Y))-P2[(X, Y)] | 0 11<с3(р)| Q fA, (П. 3.7)
где с3 (р) = с3 (р, (X, Y)) -» 0 при р -» оо. При этом, в част-
частности, для случая пары X = Y = {0}, п(S, (X, Y)) = NE),

332 Приложение
Pi = Ро (Р) и Р2=\- р0 (р), где р0 (р) м 1 - р0 (р) - концы
плоского участка изотермы.
3.3. Пояснения, уточнения, следствия и проблемы.
Если для расположений, описанных в основной тео-
теореме, ту их часть, которая находится вне капли, назвать
разреженной (газообразной) фазой, а ту часть, что
попадает внутрь капли — плотной (кристаллической)
фазой, то наша теорема в точности воспроизводит
наглядную картину разделения фаз, приводившуюся
в начале предыдущего параграфа. При этом тот факт,
что капля имеет «почти квадратную» форму, в точности
соответствует минимальности поверхностного натяже-
натяжения. Заметим здесь, что, хотя это и не содержится
в самой работе, ее методы, по-видимому, позволяют
дать оценку флуктуации длины границы, которые (как
это и подсказывается физическими соображениями)
должны быть порядка | Q | .
Заметим, что в утверждении B) этой теоремы вво-
вводится по существу четкое определение фазы. Действи-
Действительно, пусть, например, X = Y и Y состоит из одной
точки, тогда yg-j-/i(S Л 6, (X, Y)) означает в этом случае
плотность частиц из 5, попавших в 9. Из B) следует,
что внутри каждой фазы эта плотность для любого
макроскопического множества и для всех типичных
расположений почти постоянна. В общем случае для
iv v\ n(Sne, (X, Y))
произвольной пары (л, Y) выражение — ' _. ——
естественно считать плотностью, с которой встречаются
в 9 те места из конфигурации 5, локальная структура
которых описывается парой (X, Y). Утверждение B)
означает, что внутри одной фазы для любого макроско-
макроскопического множества эта плотность почти одинакова
для всех типичных конфигураций.
Утверждение B) приведенной теоремы дает нам
(Sne (X Y))
n(Sne, (X, Y)) Л
оценки для плотности — ,о, — типа законов боль-
Iй I
ших чисел. Можно, однако, утверждать, что для рас-
распределения вероятностей значений этих чисел спра-
справедливы и центральные предельные теоремы. В связи
с этим заметим, что в правой части оценок (П.3.6)

§ 3. Явление разделения фаз 333
и (П.3.7) величину |Q|/4 можно заменить на | Q |'/г+8,
где е>0 произвольно. Заметим, что, как нетрудно
показать, величины Р[[(Х, У)] и Р2[(Х, У)] являются
вероятностями события {S: S Л У = X} для предельных
гиббсовских распределений Pi и Р2, введенных в § 1
этого приложения:
Р\[(Х, У)] = РгE: Sf\Y = X) для распределения Рь
Р2 l(X, У)] = Рг E: 5 Л Y = X) для распределения Р2.
В частности, приХ = У имеем РД(Х, Y)]=pt(X){i= 1, 2),
где pi (X) — корреляционная функция распределения Р{
(?=1,2). Таким образом, различие между фазами,
выражающееся в различии между величинами Pi[{X, Y)]
и Р2[(Х, У)], такое же, как и различие между распре-
распределениями Pi и Р2: после замены частицы на пустоту
и пустоты на частицу величины Pi[(X, Y)] и Р2[(Х, Y)]
переходят друг в друга, точнее
Pi[(Z, Y)] = P2[(Y\X, У)].
Поскольку при указанном выше преобразовании
(частица •«-> пустота) граница конфигурации не меняется,
оба распределения Pi и Р2 порождают одинаковое рас-
распределение вероятностей (обозначим его через &>). На
множестве границ конфигураций 5 с: Z2. При этом для
достаточно больших р распределение 9* обладает сле-
следующим свойством:
3.4. Теорема. С вероятностью единица:
а) каждая компонента границы конфигурации S зам-
замкнута (т. е. является циклом);
б) каждый цикл границы Г E) охватывается лишь
конечным числом других циклов границы Г E).
Таким образом, распределение & на совокупности
границ конфигураций при больших р порождает ансамбль
циклов (т. е. распределение на совокупности всевозмож-
всевозможных расположений попарно непересекающихся циклов).
Кроме того, все циклы лежат внутри внешних циклов,
и таким образом распределение 0* естественным образом
порождает распределение Ф** в ансамбле внешних
циклов, т. е. во множестве расположений попарно

334 Приложение
непересекающихся и лежащих один вне другого циклов.
По-видимому, теорема 3.4 справедлива при всех зна-
значениях р вплоть до критической точки (точки Кюри,
см. п. 5.4.9). Как устроена граница выше критической
точки (например, при малых р)? Состоит ли она только
из циклов или содержит бесконечные «усы» (незамкну-
(незамкнутые ломаные)? Встречаются ли там с положительной
вероятностью внешние циклы? Ответы на эти вопросы
до сих пор не даны. Правда, в работе Вул и Синая [1]
из анализа результатов численного моделирования кон-
контуров на ЭВМ делается вывод о том, что, по-видимому,
бесконечные контуры встречаются с нулевой вероят-
вероятностью.
Другим следствием основного результата является
доказательство известной «гипотезы Майера» (самим
Майером приписываемой Винеру). Пусть р^[(X) — усред-
усредненные корреляционные функции (см. п. 7.3.1) в малом
каноническом ансамбле в квадрате Q с числом частиц
N: N = [f>\Q\], ро(р)<р<1-ро(р).
3.5. Теорема. При Q->oo существует предел
где, р! (X) и р2 (X) — корреляционные функции предельных
распределений Р\ и Р2> a |i и |2 определяются из соот-
соотношений:
р=i.po(Р) + ьО - ро(Р)). li+h = i-
Основной метод исследования, с помощью которого
получены приведенные выше результаты, состоит в под-
подробном изучении ансамбля циклов и ансамбля внешних
циклов. Это изучение в свою очередь опирается на анализ
корреляционных функций в этих ансамблях, прово-
проводимый с помощью бесконечной цепочки уравнений, ана-
аналогичных уравнениям Кирквуда — Зальбурга в ансамбле
частиц (см. разд. 4.2), и с использованием методов,
обобщающих методы работы Боголюбова и Хацета [1]
(см. приложение, § 2) и работы Рюэля [3] (см. разд. 4.2).
В связи с этим следует упомянуть более раннюю работу
Минлоса и Синая [3], где впервые были исследованы
корреляционные функции в ансамбле внешних контуров

§ 4. Новые результаты об одномерных моделях 335
с целью изучить поведение изотермы на концах пло-
плоского участка. В этой работе установлено, что при
больших р график изотермы подходит к концам пло-
плоского участка с крутым наклоном, становящимся почти
отвесным при р—>оо.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ОБ ОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЯХ
4.1. Классические системы. Как известно (см. разд. 2.2),
свободная энергия и другие термодинамические харак-
характеристики решетчатой системы с парным потенциалом
взаимодействия Ф(д:, у) существуют при условии, что
2|Ф@, у)\«*>. (ПАЛ)
у
Доказанная в книге (см. п. 5.6.2) теорема об отсутствии
фазовых переходов в решетчатых системах с финитными
взаимодействиями обобщена одновременно и независимо
Добрушиным [4], [5] и Рюэлем [10] на класс беско-
бесконечно протяженных потенциалов Ф(Х), удовлетворяю-
удовлетворяющих условию теоремы 5.6.5, которое для случая пар-
парного потенциала принимает вид
2 У\Ф(О, у)\<°°. (П.4.2)
у>о
Точнее, в обеих работах было доказано существование
предела гиббсовских состояний в конечном отрезке Л
при Л->оо для всех значений р и ц, непрерывная
зависимость этого предела от параметров, а также
установлен ряд хороших эргодических. свойств этого
предельного состояния (например, свойство (П. 1.7),
см. § 1 этого приложения). Добрушин показал также,
что при выполнении условия (П.4.2) построенное состоя-
состояние является единственным предельным гиббсовским
состоянием (см. приложение § 1).
Доказательство Добрушина обобщает обычное дока-
доказательство эргодической теоремы для цепей Маркова.
Доказательство Рюэля основано на использовании бес^
конечномерных операторов, сохраняющих конус поло-
положительных функций, и обобщением на этот случай

336 Приложение
теоремы Перрона (по своему духу это близко к технике
марковских цепей). А именно, в работе Рюэля [10]
показывается, что построенный им оператор 23 (аналог
матрицы Лиз п. 5.6.1, общеупотребительное название—
трансфер-матрица) имеет единственный собственный
вектор ho с положительным однократным собственным
значением Яо. При этом последовательность операторов
I-т— -о) стягивает прип->оо все пространство к одномер-
одномерному подпространству {c/jj. Интересным и весьма важ-
важным является открытый до сих пор вопрос о структуре
спектра оператора 23 в окрестности Яо. По-видимому,
экспоненциальное убывание Ф@, у) при у-* оо означает,
что Яо — изолированная точка спектра; при более же
медленном убывании не исключено, что картина может
усложниться. С этим же связан и остающийся открытым
вопрос об аналитической зависимости предельного со-
состояния от параметров @, ц).
Одномерным моделям с медленно убывающим потен-
потенциалом (удовлетворяющим условию (П.4.1), но не усло-
условию (П.4.2)) посвящены недавние работы Дайсона [3], [4].
В работе [3] рассматривается потенциал Ф(д:, у) =
= U(\х — у\), удовлетворяющий кроме (П.4.1) еще сле-
следующим условиям:
1) U{x)>0,
2) U{x+l)<U{x), (ПАЗ)
3) 2Пп1п(л: + 4)Г1[л:3?/(л:)Г1<оо.
Для такого класса потенциалов [куда относятся, в част-
частности, потенциалы, убывающие как 1/| х |1+а(О<а< 1)]
спиновая система обнаруживает своего рода фазовый
переход, который проявляется в том, что корреляции
значений спинов в далеко отстоящих друг от друга
точках решетки х и у не стремятся к нулю при \х—у\ -> оо.
Сформулируем этот результат более точно. Рассмотрим
большой канонический ансамбль для спиновой системы
с парным потенциалом U (х) в отсутствие внешнего маг-
магнитного поля (см. п. 5.4.9), когда состояние Гиббса
инвариантно относительно одновременного изменения
знаков у всех спинов. Очевидно, что при этом вероят-

$ 4. Новые результаты об одномерных моделях 337
ности Ргл(ал.= 1)= 7г при всех х е Л. Если мы рассмо-
рассмотрим условные вероятности РгЛ(сгх = 1/°^= 1) = Рл* (х/у),
то оказывается, что при выполнении условий (П.4.1)
и (П.4.3) относительно потенциала U (х) существует
предел
lim
Результат Дайсона может быть теперь сформули-
сформулирован следующим образом.
4.2. Теорема. При сформулированных выше пред-
предположениях существуют такие значения Pi и р2: 0 < Pi <
1) lim p«4x/y) = l/2 при р<р„
|*-»|->оо
2) lim pw(x/y)>1/2 при р>р2.
Доказательство этой теоремы очень тонкое и, в ча-
частности, опирается на неравенства Гриффитса (см.
разд. 5.4). Вопрос о характере фазового перехода (ска-
(скажем, будет ли он переходом 1-го рода?), а также
о структуре множества предельных состояний в работе
Дайсона не исследован. Отметим, однако, что утверж-
утверждение 2) в точности эквивалентно наличию «дальнего
порядка» в системе (см. разд. 5.4.9), который наблю-
наблюдается у 2-мерной и 3-мерной моделей Изинга в точке
фазового перехода. Естественно и здесь выдвинуть ги-
гипотезу, что при Р>р2 мы имеем дело с фазовым пере-
переходом 1-го рода, а совокупность предельных состояний
устроена так же, как и для плоской модели Изинга
в области фазового перехода.
В следующей работе [4] Дайсон показал, что для
положительных потенциалов U (х), удовлетворяющих
условию
N
2 xU (х) = о (In In N) при Af->-oo,
x=l
дальний порядок отсутствует при всех р, т. е.
lim p
12 Зак. 850

338 Приложение
В этом случае предельное состояние единственно (Мин-
лос, неопубликованный результат).
Для случая непрерывных классических одномерных
систем приведенная в книге теорема Ван Хова (см. п. 5.6.7)
об отсутствии фазовых переходов для систем частиц
с твердой сердцевиной и с финитным взаимодействием
была обобщена Добрушиным [7], [8] и независимо Гал-
лавотти и Миракль-Солем [5], на случай бесконечно
протяженных парных потенциалов (по-прежнему с твер-
твердой сердцевиной), удовлетворяющих условию | Ф(л;, г/)|^
^ Ф (| л; — у\) А<\ х — г/|<оо, где ф (г) — монотонно неубы-
вающая функция, такая, что
J ry{r)dr<oo.
В случае же финитных потенциалов, достаточно быстро
растущих в нуле, отсутствие фазовых переходов дока-
доказано в работе Сухова [2] с помощью интересной
модификации метода трансфер-матрицы применительно
к непрерывному случаю.
4.3. Квантовые системы. Идея сведения гиббсов-
ских распределений к изучению трансфер-матрицы (или,
в эквивалентной формулировке, к некоторой цепи Мар-
Маркова) оказалась весьма плодотворной и для одномерных
квантовых систем. Здесь прежде всего следует назвать
недавнюю работу-Араки [1], в которой им были изучены
одномерные спиновые системы с финитным взаимодей-
взаимодействием самого общего вида. Для таких систем он уста-
установил существование предельного состояния Гиббса,
обладающего рядом свойств регулярности и аналитич-
аналитичности. В частности, Араки установил аналитическую
зависимость свободной энергии Гиббса от термодинами-
термодинамических переменных.
Метод Араки представляет собой сложную модифи-
модификацию метода, примененного в работе Рюэля [10]
(см. выше), а именно, им строится аналог трансфер-
матрицы линейного преобразования в некоторой беско-
бесконечномерной подалгебре алгебры квазилокальных one-

§ 5. Фазовые переходы в спиновых моделях 339
раторов (см. п. 7.1.3) и затем устанавливается сущест-
существование собственного вектора ha этого преобразования
с положительным однократным собственным значением Яо.
Отметим, что в отличие от классического случая этот
оператор даже для финитного взаимодействия является
бесконечномерным, но с экспоненциальным убыванием
зависимости от «далеких» переменных. Все предельные
характеристики системы (свободная энергия, предельное
гиббсовское состояние) довольно просто выражаются уже
через hQ и Ка. К сожалению, до сих пор результаты
Араки не перенесены на случай бесконечно протяжен-
протяженных быстро убывающих потенциалов. Здесь уместно
привести одно общее замечание, принадлежащее Синаю.
Подобно тому как одномерные классические системы
могут быть хорошо описаны в терминах марковских
цепей, рассмотрение квантовых систем приводит к новому
понятию «некоммутативных марковских цепей» — некото-
некоторого специального класса состояний на алгебре квази-
квазилокальных наблюдаемых для одномерной системы, ко-
который по своим свойствам служит естественным аналогом
обычных марковских цепей. При этом многие резуль-
результаты и приемы обычных марковских цепей переносятся
на некоммутативный случай.
Задача построения предельного состояния Гиббса
для одномерных непрерывных квантовых систем решена
в недавних работах Сухова [4], [5] для финит-
финитных парных потенциалов Ф(х, у) с твердой сердцевиной.
Здесь применяется новая модификация метода трансфер-
матрицы, использующая представление различного рода
характеристик гиббсовского ансамбля (матрицы плотно-
плотности, корреляционных функций и т. п.) в виде винеров-
ских интегралов (см. разд. 4.6).
§ 5. СУЩЕСТВОВАНИЕ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА
В СПИНОВЫХ МОДЕЛЯХ
Жинибр [6] и Робинсон [2] недавно установили
существование фазовых переходов у некоторых спи-
спиновых моделей. Наиболее простая из них v-мерная
(v^2) анизотропная модель ферромагнетизма—модель
12*

3 40 Приложение
Гейзенберга с гамильтонианом (см. разд. 5.5)
НА=-а' S S3 (х) S3(xf) -
-a 2 2 S^jcJSj^ + A S 53(jc). (П.5.1)
Здесь </>0, a>0, a S,- (/=1, 2, 3)— матрицы Паули,
h—постоянное магнитное поле. Заметим (см. пункт 5.4.9),
что в случае классической модели ферромагнетизма
(модели Изинга) существование фазового перехода 1-го
рода при /г = 0 вытекает из того, что термодинамическое
удельное намагничивание
а= lim |ЛГ' 2 (ах)>а>0, (П.5.2)
где усреднение (ох) происходит по подансамблю таких
расположений спинов {ах}, у которых все спины в точках
границы Л направлены вверх: ах= 1, если х принадле-
принадлежит границе Л; а — некоторая константа. Аналогичный
факт устанавливается в работах Жинибра и Робинсона
для квантового ансамбля Гиббса с гамильтонианом
(П.5.1). А именно, если обозначить через (в{о }) орты
в пространстве Ж (Л), соответствующие расположениям
спинов {ах} в кубе Л, а через Ж+ (Л) подпространство,
натянутое на те орты, у которых все ах= 1 для х, при-
принадлежащих границе куба Л, то результат Жинибра и
Робинсона состоит в том, что при /г = 0 и достаточно
а Ц
малых —т ' и р найдется такая положительная кон-
константа а, что при всех достаточно больших Л
1 Sp^ (ЛM3(Л)<ГРЯл
* >«' (П'5-3)
где S3(A)= 2 S3(x) — оператор полного намдгничива-
ния системы, a Sp^ (д> В означает, что рассматривается
¦) Напомним, что в двумерной изотропной модели ферромагне-
ферромагнетизма (а=аО фазового перехода 1-го рода не бывает (см. разд. 5.5)*

§ 5. Фазовые переходы в спиновых моделях 341
след только от той части оператора В, которая дейст-
действует в Ж+(А)
где Рдс ,(Л) — оператор проектирования на Ж+(А).
Метод исследования, примененный в работе Жинибра,
по своей идее родственен методу, использованному им
в работах по квантовой статистической физике (см.
разд. 4.6). А именно, среднее (П.5.3) по квантовому
ансамблю сводится с помощью обычных в таких слу-
случаях процедур к усреднению некоторых функционалов
по совокупности «кривых» D (/), / = 1, 2 Т, где
D (/) при каждом / является подмножеством куба Л, и
последующим переходом к пределу Г->оо. При этом
допускаются лишь те кривые D (t), у которых при всех
/ D(t) и D(t+ 1) либо одинаковы, либо отличаются еди-
единичным скачком (одна точка перемещается на соседнее
пустое место).
Поскольку «график кривой» D (/) заметает некоторое
подмножество A (v + l)-MepHofi решетки, усреднение
(П.5.3) заменяется фактически усреднением по совокуп-
совокупности всех допустимых подмножеств A (v + 1)-мерного
параллелепипеда Л X Г. Распределение вероятностей,
порождаемое этим усреднением на совокупности под-
подмножеств А, имеет при этом вид
) (П.5.4)
где Z — нормирующий множитель
У (А) = т 5] U [?>(/)], А =
U [?>(/)]= -а'
\х—х'\"\,
1, если точка x^D (/),
— 1 в противном случае
(
{
и X (А) — число различных между собою соседних се-
сечений D (/) и D (t + 1) в А, т. е. иначе число скачков»

342 Приложение
Поскольку U (Л), как и в случае классической модели
Изинга, выражается с помощью v-мерного объема той
части границы Л, которая параллельна оси t, а само
множество Л определяется полностью связными ком-
компонентами своей границы, распределение (П.5.4) поро-
порождает распределение на ансамбле допустимых конфигу-
конфигураций (v + 1)-мерных «циклов». Дальнейшие рассуждения
аналогичны рассуждениям для классического случая
(см. разд. 5.3). А именно, сначала устанавливается
оценка вероятности данного цикла
P(G)<e ' [у
где g (t) v-мерная длина границы сечения G в точке t,
X (G) — число скачков, а затем оценивается число цик-
циклов, проходящих через заданную точку с фиксирован-
фиксированными значениями {g(t)} и {x(t)}, t = 1, ..., Т, где x(t) = 0
или 1, в зависимости от того, имеется ли скачок в точке t
или нет. Это число допускает оценку
S ({g (t)}, {х (/)} )г _ з* + ** - v 2s ^ +2*
После этого легко оценить уже средний объем, охваты-
охватываемый циклами. При больших 0и малых значениях а/а'
он составляет малую долю общего объема параллеле-
параллелепипеда, что и означает положительную удельную на-
намагниченность. Аналогичным образом в работе Жинибра
[6] разбираются и другие модели: 1) решетчатый кван-
квантовый газ с твердой сердцевиной; 2) гейзенберговская
модель антиферромагнетизма; 3) изинговская модель
ферромагнетизма с поперечным магнитным полем; 4) изи-
изинговская модель антиферромагнетизма с поперечным
магнитным полем.
Для модели 3) установлен фазовый переход 1-го
рода при единственном значении параметра Л = 0. Для
остальных моделей установлено существование двух
фаз для целой области значения параметра h, анала-

,<? 6. Кинетика бесконечных систем 343
гичных фазам в соответствующих классических моделях
антиферромагнетизма и решетчатого газа из твердых
шариков, исследованных Добрушиным (см. приложение
§1). Напомним, что в этих случаях различие между фа-
фазами проявляется в различной намагниченности четной
и нечетной подрешеток Z\ и Zv_.
§ 6. КИНЕТИКА БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ
В книге Рюэля и во всех работах, из которых она
возникла, главное внимание было обращено исключи-
исключительно на равновесную теорию, причина этому просто
в том, что равновесная теория проще неравновесной.
Однако в последнее время делаются некоторые попытки
трактовать также и кинетику, исходя из той общей кон-
концепции, которая пронизывает книгу Рюэля [изучать все
вопросы, связанные с термодинамическими системами
(насколько это возможно) на основе явного введения
предельных (бесконечномерных) объектов, возникающих
в результате термодинамического предельного перехода].
При таком подходе для изучения кинетики естест-
естественно ввести сразу бесконечную динамическую систему,
фазовое пространство которой состоит из бесконечных
последовательностей пар{р,-, x,}p,-e Rv, хге Rv, i= I, 2,...
(pi — импульс, a xt ~ положение i-й частицы), а движе-
движение задается бесконечной системой уравнений
m • .. = pi, i=i, z, o, ....
Здесь F (г) ~ сила парного взаимодействия между части-
частицами, am — масса частицы.
Первый и уже достаточно сложный возникающий
здесь вопрос —это вопрос о существовании решения си-
системы (П.6.1). Для произвольной силы /•'(/¦) и произ-
произвольных начальных условий теорема о существовании
решений даже неверна. В работе Ланфорда [1, I] дока-
доказана теорема о существовании решения системы (П.6.1)

344 Приложение
для всех t в одномерном случае при следующих усло-
условиях:
1) функция F (г) финитна [F{r) = 0 при r>R] и удо-
удовлетворяет условию Липшица:
2) начальные данные {jt?J, х®\ удовлетворяют следу-
следующим ограничениям: существуют такие константы С\
и С2, что
а) |р?| < d log+J хо |,
где log+a = max(l, log a),
б) если обозначить через N (a, р) число точек {*ЭД.
попавших в интервал (а, р), то для интервалов, удо-
удовлетворяющих условию
выполняется неравенство:
N(a, P)<C2(p-a).
Обозначим множество последовательностей {pit *,}, удо-
удовлетворяющих этим условиям, через к. Результат Лан-
форда содержит также утверждение, что решение
{pi(t), xt(t)} системы (П.6.1) с начальными условиями
из х в любой момент t снова принадлежит к.
Заметим сразу, что предположение об ограничен-
ограниченности F (г) с точки зрения реальных систем малоинте-
малоинтересно, поскольку все известные реальные потенциалы
содержат бесконечную особенность при г = 0 (отталки-
(отталкивание на малых расстояниях). В случае частиц с твер-
твердой сердцевиной (упруго отражающихся друг от друга)
теорема о существовании решений доказывается просто.
Для потенциалов без твердой сердцевины, но неограни-
неограниченно растущих в нуле, никакие результаты о сущест-
существовании решения при всех t для какого-нибудь разумного
класса начальных условий еще не получены.
Если установлена теорема о существовании решения
уравнений движения и на множестве х, то тем самым
вводится динамическая система Т*, возникают вопросы
о характере этой системы, об ее инвариантных мерах
(в частности, вопрос об инвариантности предельных
гиббсовских состояний) и т. д.

§ 7. Библиографические замечания 345
От динамической системы Т* на множестве к конфигу-
конфигураций различимых частиц с помощью естественной факто-
факторизации мы переходим к динамической системе Т* на
множестве [п] конфигураций неразличимых частиц. В сле-
следующей своей работе [1, II] Ланфорд показал, что для
предельного состояния Гиббса, получаемого из большого
канонического ансамбля при малых значениях актив-
активности, соответствующая мера сосредоточена на [к] и
инвариантна относительно преобразований V. Наконец,
в работе Галлавотти, Ланфорда и Лебовица [1] иссле-
исследован вопрос о сходимости при ^->оо состояний p'(f ( • )) =
= po[f(f*-)] к предельным гиббсовским состояниям для
определенного класса начальных состояний р0.
В заключение следует упомянуть недавний результат
Волковысского и Синая [1], где показано, что в случае
отсутствия взаимодействия (идеальный газ) динамиче-
динамическая система Т*, у которой инвариантная мера совпадает
с предельным гиббсовским распределением, является
/(-системой.
§ 7. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Здесь мы даем краткий комментарий к ряду работ
последнего времени, относящихся к теме этой книги,
а также и к некоторым более ранним работам, не упо-
упомянутым в ней. Мы условно разбили эти статьи по не-
нескольким рубрикам (соответствующим приблизительно
расположению материала в самой книге), но иногда
одна и та же статья появляется в двух или трех руб-
рубриках. Особо отмечены работы, упоминаемые в прило-
приложении.
I. Устойчивость. Свойства термодинамических функ-
функций. В работе Рюэля [14] подробно исследованы свойства
систем для сверхустойчивых потенциалов (см. п. 3.2.9);
на этот случай перенесены многие результаты, получен-
полученные ранее для более специальных классов потенциалов,
в частности, результат Добрушина и Минлоса [1] о не-
непрерывности давления (см. п. 3.4.8). Жинибр [8] доказал
также непрерывность давления для квантовых систем.

346 Приложение
Ленард и Шерман [1] изучили вопрос о разложении
решетчатого одномерного устойчивого периодического
потенциала в сумму неотрицательной и неотрицательно
определенной функций. Для некоторых значений пе-
периода вопрос решается положительно, для других же
приведены отрицательные примеры. В работе Лебовица
и Либа [1] сформулирована теорема Ван Хова и Ли и Янга
(а также дан набросок их доказательств) для случая
нейтральных кулоновских систем как в квантовом, так
и в классическом случае. Наср [1] независимо получил
аналогичный результат для случая нейтральной класси-
классической системы кулоновских частиц с твердой сердце-
сердцевиной. В работе Новикова [1] доказано, что для непре-
непрерывных квантовых систем гельмгольцевская свободная
энергия, а также гиббсовская свободная энергия в тер-
термодинамическом пределе не зависят от выбора гранич-
граничных условий, определяющих гамильтониан системы
в конечном сосуде. В работе Робинсона [3] получен
аналогичный результат, но для более узкого класса
граничных условий.
11. Предельные характеристики в однофазном случае,
их аналитические свойства. В ряде работ исследуется
существование и свойства предельных корреляционных
функций, приведенных матриц плотности, функций Грина
и т. д. для той области термодинамических параметров,
когда система однофазна (малые г или малые E). Здесь
следует указать, во-первых, работу Боголюбова и
Хацета [1], где впервые было установлено существование
предельных корреляционных функций с помощью кор-
корреляционных уравнений (см. гл. 4), а также продолже-
продолжение этой работы в статье Хацета [1] и в недавней
статье Боголюбова, Петрины и Хацета [1], в которой
был учтен ряд усовершенствований, содержащихся в ра-
работе Д. Рюэля [3] (см. разд. 4.2). Некоторые упрощения
доказательств можно найти в заметке Симятицкого [1]
(см. приложение § 2).
Жинибр [5] доказал существование предельных при-
приведенных матриц плотности для квантовых спиновых
систем (например, для модели Гейзенберга) для малых
значений активности. Метод Жинибра (сведение к функ-

§ 7. Библиографические замечаний 347
циональному усреднению) аналогичен методу, применен-
примененному им в непрерывном случае (см. разд. 4.6). Используя
результаты этой работы, Жинибр и Грубер [1] доказали
существование предельных функций Грина для анизо-
анизотропной модели Гейзенберга и исследовали их анали-
аналитические свойства.
Далее, Рюэлем [13] с помощью методов Жинибра
(см. разд. 4.6) было доказано существование термоди-
термодинамического предела для так называемых температурных
функций Грина в случае малой активности для непре-
непрерывных квантовых систем и исследованы аналитические
свойства этих функций.
В работе Галлавотти, Миракль-Соля и Робинсона [2]
доказано существование различных предельных характе-
характеристик и их аналитичность для спиновых квантовых си-
систем в области высоких температур. В статье Лебовица
и Пенроуза [2] приведен обзор результатов, касающихся
группового свойства коррелляционных функций, а также
их аналитических свойств для широкого класса систем
статистической физики. Лебовиц [2] доказал аналитиче-
аналитическую зависимость термодинамических функций от плот-
плотности (или активности) и температуры при малых зна-
значениях плотности (активности) для потенциалов типа
Ленарда —Джонса (см. П. 3.2.10). В работе Галлавотти и
Миракль-Соля [4] установлено групповое свойство для
решетчатых систем при высоких температурах (и всех
значениях химического потенциала), для этого случая
также исследованы аналитические свойства термодина-
термодинамических функций. Близкие результаты получены Доб-
рушиным в [5].
III. Фазовые переходы. В одной части исследований,
относящихся к этой теме, устанавливается существова-
существование фазовых переходов (понимаемых как наличие неко-
некоторых нерегулярностеи в предельном термодинамическом
описании системы) для широкого класса решетчатых си-
систем (классических и квантовых), изучается поведение
систем в области фазовых переходов, а также характер
этих переходов. Другие же исследования, наоборот, по-
посвящены доказательству отсутствия фазовых переходов
(в основном, в одномерных системах).

348 Приложение
Следует начать с работы Добрушина [3] (см. прило-
приложение, § 1), в которой установлено существование фа-
фазового перехода 1-го рода для широкого класса решет-
решетчатых потенциалов (охватывающего случаи, рассмотрен-
рассмотренные Березияым и Синаем [1] (см. теорему 5.3.1) и
Жинибром, Гроссманом и Рюэлем [1] (см. теорему 5.4.7).
Далее, надо указать на работу Минлоса и Синая [3],
в которой исследовано поведение изотермы на концах
плоского участка (см. приложение, § 3), затем на цикл
работ этих авторов (Минлос и Синай [1], [2]), где под-
подробно исследуется структура типичных конфигураций
в области фазового перехода (см. приложение, § 3).
В работе Добрушина [6], наряду с другими вопросами,
рассмотрены случаи фазовых переходов в системах с от-
отталкиванием (см. приложение, § 1). Далее, в работах
Гриффитса [5], [6] доказано существование фазового пе-
перехода в решетчатых спиновых системах, в которых спин
может принимать более двух значений (т. е. на языке
решетчатого газа для многокомпонентных систем). В ра-
работах Жинибра [6] и Робинсона [2] одновременно и не-
независимо установлено существование фазового перехода
в некоторых спиновых квантовых системах, в частности,
в анизотропной модели Гейзенберга (см. приложение, § 5).
В работах Дайсона [3], [4] установлен фазовый переход
[типа «дальнего порядка» (см. п. 5.4.2)] для некоторого
класса одномерных решетчатых систем с медленно убы-
убывающим потенциалом, а также показано, что при более
быстром убывании «дальний порядок» отсутствует
(см. приложение, § 4). В работах Добрушина [5] и
Рюэля [10] одновременно и независимо доказано, среди
прочего, отсутствие фазовых переходов в одномерных
решетчатых системах с достаточно быстро убывающим
потенциалом (см. теорему 5.6.5, а также приложение, §4).
В работах Добрушина [7] и Галлавотти с Миракль-
Солем [5] предыдущий результат одновременно и неза-
независимо перенесен на случай непрерывных систем частиц
с твердой сердцевиной (см. приложение, § 4). Сухову [2]
удалось обобщить последний результат на случай финит-
финитных потенциалов, быстро растущих в нуле (см. прило-
приложение, § 4). Наконец, в статье Араки [1] доказано от-
отсутствие фазовых переходов в одномерных квантовых

§ 7. Библиографические замечания 349
спиновых системах с финитным взаимодействием (см. при-
приложение, § 4). Аналогичный результат для квантовых
непрерывных систем частиц с твердой сердцевиной и
быстро убывающим взаимодействием получен Суховым
[5] (см. приложение, § 4).
IV. Критическая точка. Для систем, в которых уста-
установлен фазовый переход 1-го рода (например, модель
Изинга) критической точкой (иначе именуемой точкой
Кюри) называют то значение температуры, ниже кото-
которой при 2=1 наступает фазовый переход 1-го рода
(см. п. 5.4.9). Имеется ряд работ, где делаются оценки
для этой точки, изучается зависимость этой точки,
а также этих оценок от параметров системы, характер
особенности различных термодинамических величин
в этой точке. Здесь надо указать работы Уэнга, Гриф-
фитса и Фишера [1], а также Гриффитса [4, III], где
находятся некоторые нижние оценки для критической
температуры, работы Фишера [4] и Букингема с Ганто-
ном [1], где установлены аналогичные верхние оценки.
В работах Фишера [5], [6] изучается характер убывания
корреляций вблизи критической точки. В работе Фер-
Фердинанда и Фишера [1] изучается термодинамическое по-
поведение конечной системы при значении температуры,
лежащей в окрестности критической точки ~ 1/L (L —
размер системы). Изучение критической точки как точки
вырождения спектра трансфер-матрицы предпринято
в работе Томсона [1]. В этой связи полезно указать ра-
работу Минлоса и Синая [4], в которой при высоких тем-
температурах исследуется асимптотика спектра трансфер-
матрицы в термодинамическом пределе.
Эта асимптотика имеет очень общий характер (типа
спектра «элементарных возбуждений»), как это впервые
было установлено на основе явных вычислений в изве-
известной работе Онзагера для случая модели Изинга.
В работе Гринберга [1] находятся границы для кри-
критической точки в квантовом решетчатом газе. В работе
Гриффитса, Харста и Шермана [1] для модели Изинга
доказана вогнутость удельного намагничивания как
функции магнитного поля Я при положительном Н. Этот
результат используется для обоснования некоторых

350 Приложение
предположений о поведении системы в окрестности кри-
критической точки.
V. Предельные гиббсовские состояния. Следует упо-
упомянуть работы Минлоса [1], [2], где одновременно
с Рюэлем [8] и независимо от него было введено поня-
понятие предельного распределения Гиббса, доказано его
существование при малых значениях активности и ис-
исследованы различные его эргодические свойства. Затем
в большом цикле работ Добрушин [4] —[9] дал общее
определение предельного гиббсовского состояния, иссле-
исследовал вопрос об единственности такого состояния и при-
привел некоторые примеры неединственности, изучил ряд
свойств таких состояний (приложение, § 1; см. в связи
с этим также работы Аверинцева [1] и Вассерштейна [1]).
Независимо, но значительно позже такой же подход
был предложен в работе Ланфорда и Рюэля [2] и
с его помощью получены некоторые интересные резуль-
результаты (см. приложение, § 1). В недавней работе Рюэль [14]
обобщил ряд результатов упомянутых работ Добрушина
и Ланфорда с Рюэлем на случай непрерывных систем со
сверхустойчивым потенциалом. В работе Добрушина [10]
то же самое сделано для более узкого класса потенциа-
потенциалов. В работе Ланфорда и Робинсона [2] ряд фактов,
касающихся предельного состояния для классического
случая, переносится на случай квантовых спиновых си-
систем. В работе Браскампа [1] показано, что определение
предельного распределения Гиббса при помощи услов-
условных вероятностей (см. приложение, § 1) связано с клас-
классическим аналогом условий Кубо — Мартина — Швингера
(см. разд. 7.6). Условиям Кубо— Мартина —Швингера
для предельных состояний и их связи с различными
другими свойствами этих состояний посвящены работы
Араки и Мияты [1], Росса, Сирки и Тестарда [1],
Такесаки [1]; в последней работе показано, что если
в некотором диапазоне температур Т состояния удовлет-
удовлетворяют условиям Кубо— Мартина — Швингера, то ассо-
ассоциированные с ним алгебры фон Неймана (с помощью
конструкции Гельфанда — Сигала, см. Д. 3.5) являются
при разных Т не эквивалентными между собой факто-
факторами (типа III). Структура С*-алгебр, связанных с со-

§ 7. Библиографические замечания 351
стояниями для решетчатых систем, а также временные
автоморфизмы этих алгебр исследуются в работе Манусо
и Тротина [1]. В работе Миракль-Соля и Робинсона [1]
изучаются инвариантные относительно сдвигов состояния
на алгебре, порожденной фермиевскими операторами
вторичного квантования. Ёлинек [1] изучает аналогичные
вопросы применительно к модели Бардина —Купера—
Шриффера. Существование и единственность гиббсов-
ского состояния для одномерных решетчатых систем
с быстроубывающим потенциалом при всех значениях р
и \х доказайа в упоминающихся выше работах Доб-
рушина [5] и Рюэля [10] (см. приложение, § 4). В ра-
работах Добрушина [7] и Галлавотти и Миракль-Соля [5]
(уже упоминавшихся) этот результат обобщен на случай
непрерывных систем одномерных классических частиц
с твердой сердцевиной (см. приложение, §4). Сухов [2], [3]
установил аналогичный результат для случая финитных
потенциалов, быстро растущих в нуле (см. приложе-
приложение, § 4). Для случая квантовых одномерных решетча-
решетчатых систем с финитным взаимодействием Араки [1] до-
доказал существование предельного состояния Гиббса и
изучил ряд его свойств (см. приложение, § 4). Для не-
непрерывных квантовых одномерных систем частиц с твер-
твердой сердцевиной аналогичный результат получен Сухо-
Суховым [4], [5] (см. приложение, § 4). Наконец, случай
предельного состояния при Г = 0 исследован в работе
Рюэля [12], где показано, что основное состояние кван-
квантовой системы (для достаточно обширного множества
параметров) имеет термодинамический предел. Анало-
Аналогичные рассуждения для классических систем содер-
содержатся в работе Шрадера [1]. В работе Халфиной [1]
при малых значениях активности для большого канони-
канонического ансамбля получена локальная предельная тео-
теорема для распределения вероятностей числа частиц, по-
попавших в большую область (как для состояния в ко-
конечном сосуде, так и для предельного состояния), и
с помощью этого результата установлена предельная
эквивалентность малого и большого ансамблей (см. при-
приложение, § 2). Аналогичный результат для случая рас-
распределения вероятностей для значений энергии и числа
Частиц в решетчатом ансамбле содержится в работе

352 Приложение
Минлоса и Халфиной [1]. В работе Рюэля [11] изучаются
общие свойства феномена «распадения симметрии»
(см. п. 6.5.2). В работе Новикова [2] построено предель-
предельное состояние Гиббса для случая v-мерных квантовых
систем при малых значениях активности z и исследо-
исследованы его эргодические свойства. Далее следует указать
работу Добрушина [10], где изучение предельного со-
состояния проводится с помощью специального марковского
процесса, для которого гиббсовское распределение слу-
служит инвариантной мерой (см. приложение, § 1).
К описываемой теме примыкает ряд работ по общим
вопросам С*-алгебр. Это работы Емча, Кнопса и Фер-
бовена [1], [2], где изучается вопрос о продолжении со-
состояния, определенного на самосопряженных элементах
С-алгебры, на всю алгебру (статья Рюэля [15]), в ко-
которой для заданного компакта Е в пространстве состояний
и заданного состояния р изучается вопрос о предста-
представлении р как центра тяжести масс, распределенных на Е.
VI. Некоторые вопросы неравновесной статистической
физики. В последнее время появились работы, в кото-
которых строгие методы, развитые для равновесной стати-
статистической физики, стали применяться и к кинетике.
Прежде всего следует указать работы Ланфорда [1,1 и И],
где доказано существование решений уравнений дина-
динамики для бесконечной одномерной системы с бесконеч-
бесконечным числом частиц и исследованы свойства соответст-
соответствующей динамической системы (см. приложение, § 6).
Далее в работах Галлавотти, Ланфорда, Лебовица [1]
и Галлавотти [1] изучается вопрос о том, как изме-
изменяется со временем равновесное состояние под дейст-
действием возмущения системы внешним полем. При этом
оказывается, что изменение корреляционных функций
со временем описывается известной цепочкой кинетиче-
кинетических уравнений (см., например, книгу Боголюбова [1]).
Приближение к равновесному состоянию в некоторой
специальной модели, где взаимодействуют тяжелые и
легкие частицы, рассматривается в работе Галлавотти [2].
Можно еще указать работу Волковысского и Синая [1],
в которой для случая бесконечного идеального одномер-
одномерного газа показано, что динамическая система, порож-

§ 7. Библиографические замечания 353
даемая уравнениями движения его частиц, вместе
с обычным равновесным распределением является К-
системой. Эволюция во времени для состояний кванто-
квантовых спиновых систем рассматривается в работе
Рускаи [1].
VII. Случайные системы. В некоторых работах изу-
изучаются гиббсовские распределения, у которых параметры
системы случайны. В работе Бурке и Лебовица [1] рас-
рассматривается система невзаимодействующих частиц со
случайно расположенными спиновыми центрами. В ра-
работе Гриффитса и Лебовица [1] рассматриваются ре-
решетчатые системы со случайными сосудами: любая точка
решетки независимо от остальных с вероятностью р мо-
может принадлежать сосуду, а с вероятностью 1— р — не
принадлежать. Для таких систем получено большинство
результатов, известных для обычных решетчатых систем,
в частности, существование фазовых переходов 1-го
рода при низких температурах. Отсутствие фазовых пе-
переходов и аналитичность корреляционных функций при
высоких температурах для таких систем доказаны Гал-
лавотти [3]. Гриффите [7] обнаружил, однако, что для
случайной модели Изинга в отсутствии внешнего маг-
магнитного поля имеется особенность в точке Гкр, лежащей
строго выше точки Гкр, в которой появляется спонтан-
спонтанная намагниченность.
VIII. Неравенства Гриффитса. Заметим, что во мно-
многих из перечисленных выше работ используется техника,
связанная с неравенствами Гриффитса. Имеется, кроме
того, ряд работ, непосредственно посвященных этим не-
неравенствам или различным их следствиям. В работе
Шермана [1] устанавливается ряд новых неравенств для
корреляций с помощью одного изящного алгебраиче-
алгебраического подхода.
В другой работе Шермана [2] неравенства Гриффитса
переносятся на случай систем с произвольным значением
спина. Жинибр [9] дал простое доказательство и неко-
некоторые обобщения второго неравенства Гриффитса. В ра-
работе [7] Жинибр исследовал общую природу неравенств
Гриффитса и дал их обобщения, применимые уже в

354 Приложение
некоммутативном (квантовом) случае. Харст и Шерман [1J
показали, однако, что в случае ферромагнитной модели
Гейзенберга второе неравенство Гриффитса уже неверно.
Шерман в работе [3] изучает вопрос, как по корреля-
корреляциям спинов в модели Изинга узнать, является ли эта
модель ферромагнитной (т. е. с чисто притягивающим
потенциалом).
IX. Существует ряд обзоров по теме этой книги, со-
содержащих также большую библиографию: обзоры Мин-
лоса [3], Лебовица и Пенроуза [2], Лебовица [1], Гриф-
Гриффитса [8] и Фишера [5]. Представляет большой интерес
книга Фишера [7], вышедшая в русском переводе.
ЛИТЕРАТУРА К ПРИЛОЖЕНИЮ ')
Аверинцев М. Б.
[1] Об одном способе описания случайных полей с дискретным аргу-
аргументом, Проблемы передачи информации, 2 A970), 100—108.
Ар а к и (А г aki H.)
[if Gibbs states of a one dimensional quantum lattice, Comm. Math.
Phys., 14,2 A969), 120-157.
Араки и Л и б (A r a k i H., L i e b E.)
[1] Entropy inequalities, Comm. Math. Phys., 18, 2 A970), 160—170.
Араки и М и я т a (A r i k i H., M i у a t a H.)
[1] On the KMS boundary condition, Publ. Res. Inst. Sci. Kyoto
Univ., ser. A, 4 A968), 361—371.
Березин Ф. A.
[1] Соотношение между корреляционными функциями в классической
статистической физике, Теорет. и матем. физика, 3, 1 A970),
115—125.
Боголюбов Н. Н.
[1] Проблемы динамической теории в статистической физике, М.,
Гостехиздат, 1946.
Боголюбов Н. Н., Петрина О. Я. и Хацет Б. И.
[1] Математическое описание равновесного состояния классических
систем на основе формализма канонического ансамбля, Теорет.
и матем. физика, 1, 2 A969), 251—274.
Боголюбов Н. Н. и Хацет Б. И.
[1] О некоторых математических вопросах теории статистического
равновесия, ДАН СССР, 66, 3 A949), 321—324.
') Нумерация работ продолжает нумерацию первого списка
литературы.

Литература 355
Браскамп (BrascampH. J.)
[1] Equilibrium states for a classical lattice gas, Comm. Math. Phys.,
18, 1 A970), 82—96.
Букенгем и Гантон (Buckingham M.J., GuntonJ. D.)
[1] Correlations at the critical point of the Ising model, Phys. Rev.,
178, 2 A969), 848—853.
Бурке и Лебовиц (Burke Т., Lebowitz J. L.)
[1] Note on statistical mechanics of random systems, Journ. Math.
Phys., 10 A968), 1526—1534.
Вассерштейн Л. Н.
[1] Марковские процессы на счетном произведении пространств, опи-
описывающие большие системы автоматов, Проблемы передачи ин-
информации, 3 A969), 64—72.
Волков ысский К. Л. и Синай Я. Г.
[1] Эргодические свойства идеального газа с бесконечным числом
частиц, Функциональный анализ и его приложения (в печати).
В у л Е. Б. и С и н а й Я- Г.
[1] Об одном виде особенностей в моделях типа модели Изинга,
ЖЭТФ, т. 58, 6 A970), 2121—2126.
Галлавотти (GallavottiG.)
[1] On the mechanical equilibrium equation for classical systems,
Nuov. Cim., ser. X, 57B A968). 208—211.
[2] Divergences and the approach to the equilibrium in the Lorentz
and the wind-free models, Phys. Rev., 185, 1 A969), 308—322.
[3] High-temperature properties of random spin systems, Journ. Math.
Phys., 1 A970), 141—146.
Галлавотти, Ланфорд и Лебовиц (Gallavotti G.,
Lanford О., Lebowitz J. L.)
[1] Thermodynamic limit of time dependent correlation functions for
one dimensional systems, препринт, 1970.
Галлавотти и Миракль-Соль (Gallavotti G., Mi-
Miracle-Sole S.)
[4] On the cluster property above the critical temperature in lattice
gas, Comm. Math. Phys., 12, 4 A969), 269—274.
[5] Absence of phase transitions in hard-core one-dimensional systems
with long-range interactions, /. Math. Phys., 1 A970), 147—155.
Галлавотти, Миракль-Соль и Робинсон (Gallavot-
t i G., М i г а с 1 е - S о 1 е S., R о b i n s о n D. W.)
[2] Analyticity properties of the anisotropic Heisenberg model, Comm.
Math. Phys., 10, 4 A968), 311—324.
Гринберг (Greenberg W.)
[1] Critical temperature bounds of quantum lattice gases, Comm.
Math. Phys., 13, 4 A969), 335—344.
Гриффите (Griffiths R. B.)
[5] First-order phase transitions in spin-one Ising systems, Physica,
33 A967), 689—690.
[6] Rigorous results for Ising ferromagnet of arbitrary spin, Journ.
Math. Phys., 9 A969), 1559—1566.
[7] Non-analytic behavior above the critical point in a random Ising
ferromagnet, Phys. Rev. Letters, 1 A969), 17—19.

356 Литература
[8] Rigorous Results for Ising Ferromagnets (готовится к печати).
Гриффите, Харст и Шерман (Griffiths R. В.,
Hurst С. A., Sherman S.)
[1] Concenty of magnetization of an Ising ferromagnet in a positive
external field, Journ. Math. Phys., 3 A970), 790—796.
Гриффите и Лебовиц (Griffiths R. В., Lebow it zJ. L.)
[1] Random spin systems: some rigorous results, Journ. Math. Phys.,
8 A969), 1284—1291.
Гугенгольц и Веринга (Hugenholtz N. M., Werin-
g a J. D.)
[1] On locally normal states in quantum statistical mechanics, Comm.
Math. Phys., 11, 3 A969), 183-197.
Дайсон (Dyson F. J.)
[3] Existence of a plase transitions in a one-dimensional Ising ferro-
ferromagnet, Comm. Math. Phys., 12, 2 A969), 91—107.
[4] Non-existence of spontaneous magnetization in a one-dimensional
Ising ferromagnet, Comm. Math. Phys., 3 A969), 212—215.
Дель-Антонио (Dell'AntonioG. F.)
[1] On some groups of automorphisms of physical observables, Comm.
Math. Phys., 5 A966), 384—397.
[2] Structure of the algebras of some free systems, Comm. Math.
Phys., 9, 1 A968), 81—117.
Добрушин Р. Л.
[3] Existence of phase transitions in models of a lattice gas, Proc. V
Berk. Symp. Mat. Stat. Prob., VII A967), 73—87.
[4] Описание случайного поля при помощи условных вероятностей
и условия его регулярности, Теория вероятности и ее примене-
применения, 2 A968), 201—229.
[5] Гиббсовские случайные поля для решетчатых систем с попар-
попарным взаимодействием, Функциональный анализ и его приложе-
приложения, 4 A968), 31—43.
[6] Задача единственности гиббеовского случайного поля и пробле-
проблема фазовых переходов, Функциональный анализ и его приложе-
приложения, 4 A968), 44—57.
[7] Гиббсовские поля. Общий случай, Функциональный анализ и его
прилоокения, 1 A969), 27—35.
[8] Задание системы случайных величии при помощи условных рас-
распределений, Теория вероятностей и ее применения, 3 A970),
469—497.
[9] Гиббсовские случайные поля для частиц без твердой сердцеви-
сердцевины, Теорет. и матем. физика, 4, 1 A970), 101—118.
[10] Марковские процессы с большим числом локально взаимодей-
взаимодействующих компонент. I. Существование предельного процесса и
его эргодичность. II. Обратимый случай и некоторые обобще-
обобщения, Проблемы передачи информации (в печати).
Доплишер и Кастлер (Doplicher S., Kastler D.L:
[1] Ergodic states in a non commutative ergodic theory, Comm. Math.
Phys., 7, 1 A968), 1—20.
Елинек (JelinekF.)
[1] BCS-spin-model, its thermodynamic representation and automor-
automorphisms, Comm. Math. Phys., 9, 3 A968), 169—175.

Литература 357
Емч, Кнопс и Фербовен (Emch G. G., Knops H. J. R,
Verb oven E. J.)
[1] On the extension of invariant partial states in statistical mecha-
mechanics, Comm. Math. Phys., 7, 2 A968), 164—173.
[2] On the partial weakly clustering states with an application to the
Ising model, Comm. Math. Phys., 8, 4 A968), 300—314.
Жинибр (GinibreJ.)
[4] On the asymptotic exactness of Bogoliubov approximation for ma-
many boson systems, Comm. Math. Phys., 8, 1 A968), 26—61.
[5] Reduced density matrices of the anisotropic Heisenberg model,
Comm. Math. Phys., 10, 2 A968), 140—154.
[6] Existence of phase transitions for quantum lattice systems, Comm.
Math. Phys., 14, 3 A969), 205—234.
[7] General formulation of Griffith's inequalities, Comm. Math. Phys.,
16, 4 A970), 310—328. .
[8] Continuity of the pressure as a function of the density for some
quantum system's, препринт.
[9] Simple proof and generalization of Griffith's second inequality,
Phys. Rev. Let., 23, № 15 A969), 825—830.
Жинибр и Грубер (GinibreJ., Gruber С.)
[1] Green function of the anisotropic Heisenberg model, Comm. Math.
Phys., 11, 3 A969), 198—213.
Кастлер, Пул и Поульсен (Kastler D., Pool J. С. Т.,
Poulsen E. Т.).
[1] Quasi-unitary algebras attached to temperature states in statistical
mechanics. A comment on the work of Haag, Hugenholtz and
Winnik, Comm. Math. Phys., 12, 3 A969), 175—192.
Кац и Томсон (Кае М, Thompson С. J.)
[1] Critical behavior of several lattice models with long-range inte-
interaction, Journ. Math. Phys., 8 A969), 1373—1387.
[2] Phase transition and eigenvalue degeneracy of a one dimensional
anharmonic oscillator, Stud. Appl. Math., v. 43, 3 A969), 257—264.
[3] On the mathematical mechanism of phase transition, Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 55 A966), 676—689.
Ланфорд и Рюэль (Lanford О. Е., RuelleD.)
[2] Observables at infinity and states with shortrange correlations in
statistical mechanics, Comm. Math. Phys., 13, 3 A968), 194—215.
Лебовиц (LebowitzJ. L.)
[1] Statistical mechanics — a review of selected rigorous results, Ann.
Rev. Phys. Chem., 19 A968), 389—418.
[2] Analytic properties of systems with Lenard — Jones type potentials,
препринт.
Лебовиц и Либ (LebowitzJ. L., L i e b E.)
[1] Existence of thermodynamics for real matter with colomb forses,
Phys. Rev. Letters, 22, 13 A969), 631—634.
Лебовиц, Перкус и Сайкес (Lebowitz J. L., Per-
kus J. K., Sykes J.)
[1] Time evolution of the total distribution function of a one-dimen-
one-dimensional systems of hard rods, Phys. Rev., 171, N° 1 A968), 224—
235.

358 Литература
Ленард и Шерман (Lenard A., Sherman S.)
[1] Stable potentials, I, Comm. Math. Phys., 3 A969), 201—207;
II, Comm. Math. Phys., 17, 2 A970), 91—97.
Л и х а ч е в В. Н., Т ю п к и н Ю. С. и Ш в а р ц А. С.
[1] Адиабатическая S-матрица и квазичастицы, Теорет. и матем. фи-
физика, 2, 1 A970), 3—29.
Манусо и Тротин (Manuceau J., Trotin J. С.)
[1] On lattice spin systems, Ann. Inst. H. Poincare, 10, № 4 A969),
359—380.
M и н л о с Р. А.
[1] Предельное распределение Гиббса, Функциональный анализ и его
приложения, 2 A967), 60—73.
12] Регулярность предельного распределения Гиббса, Функциональ-
Функциональный анализ и его приложения, 3 A967), 40—54.
[3] Лекции по статистической физике, УМН, 1 A968), 133—190.
МинлосР. А.иПовзнерЙ. Я.
[1] О термическом пределе для энтропии, Труды Моск. матем.
общ-ва, 17 A967), 243—272.
МинлосР. А. иСинайЯ. Г.
[2] Явление «разделения фаз» при низких температурах в некоторых
решетчатых моделях газа. I, Матем. сб., т. 73, 3 A967), 375—448;
II, Труды Моск. матем. общ-ва, 19 A968), 113—178.
[3] Новые результаты о фазовых переходах 1-го рода в моделях
решетчатого газа с притяжением между частицами, Труды Моск.
матем. общ-ва, 17 A967), 213—242.
[4] Исследования спектров стохастических операторов, возникающих
в решетчатых моделях газа, Теорет. и матем. физика, 2, 2 A970),
230—242.
МинлосР. А. иХалфинаА. М.
[1] Центральная предельная теорема для энергии и числа частиц
в решетчатых моделях газа, Изв. АН СССР, сер. матем., т. 34, 5
A970), 1173—1191.
Миракль-Соль и Робинсон (Miracle-Sole S., Robin-
Robinson D. W.)
[1] The physical states of Fermi systems, Comm. Math. Phys., 14, 3
A969), 235—270.
[2] Statistical mechanics of quantum mechanical particles with hard,
core. The equilibrium states, Comm. Math. Phys., 19, 3.A970).
H а с р A.
[1] Теорема Ван Хова для системы заряженных частиц, Изв. Выс-
Высшей школы, Математика (в печати).
[2] Единственность предельного состояния Гиббса [в печати].
Новиков И. Д.
[1] О независимости свободной энергии от граничных условий, Функ-
Функциональный анализ и его приложения, 1 A969), 72—83.
[2] Состояния Гмббса в квантовой статистической физике, Функцио-
Функциональный анализ и его приложения, 4 A970), 79—80.
Робинсон (Robinson D. W.)
[2] A proof of the existence of phase transitions in the anisotropic
Heisenberg model, Comm. Math. Phys., 14, 3 A969), 195—204.

Литература 359
[3] Statistical Mechanics of Quantum Mechanical Particles with hard
cores, Comm. Math. Phys., 16, 4 A970), 290—309.
[4] Normal and locally normal states, Comm. Math. Phys., 19, 3
A970), 219—234.
Рокка, Сиргу и Тестард (Rocca F., Sirgue M., Te-
stard D.)
[1] On a class of equilibrium states under the Kubo — Martin —
Schwinger boundary condition, I, Fermions, Comm. Math. Phys.,
13, 4 A969), 317—334; II, Bosons, Comm. Math. Phys., 19, 2
A970), 119—141.
Рускай (Ruskai M.)
[I] Time development of quantum lattice system, препринт.
Рюэл ь (Ruelle D.)
[II] Symmetry breakdown in statistical mechanics, Лекция в летней
школе по теоретической физике, Cargese, Corse, 1969.
[12] Some remarks on the ground state of infinite systems in stati-
statistical mechanics, Comm. Math. Phys., 11, 4 A969), 339—345.
[13] Analyticity of Green's function of dilute quantum gases,
препринт.
[14] Superstable interactions in classical statistical mechanics, Comm.
Math. Phys., 18, 2 A970), 127—159.
[15] Integral representation of states on a C*-algebra, препринт.
Симятицкий И. Л.
[1] Замечания к работе Н. Н. Боголюбова, Д. Я. Петрины, Б. И. Ха-
цета «Математическое описание равновесного состояния класси-
классических систем на основе формализма канонического ансамбля»,
Теорет. и матем. физика (в печати).
Синай Я. Г.
[2] Динамические системы с упругими отражениями, УМН, 2 A970),
141—192.
Сухов Ю. М.
[1] Однопараметрическая полугруппа операторов, порожденная рас-
распределением Гиббса, УМН, 1 A970), 199—200.
[2] Применения матричного метода для одномерных непрерывных
систем классической статистической механики, УМН, 2 A970),
277—278.
[3] Матричный метод для непрерывных систем классической стати-
статистической механики, Труды Моск. матем. общ-ва (в печати).
[4] Предельные матрицы плотности для одномерных непрерывных
систем квантовой статистической механики, Матем. сб., т. 83, 4
A970), 491—512.
[5] Существование и регулярность предельного состояния Гиббса для
одномерных непрерывных систем квантовой статистической ме-
механики, ДАН СССР, т. 195, 5 A970), 1042—1044.
[6] Регулярность предельных матриц плотности для одномерных не-
непрерывных квантовых систем, Труды Моск. матем. общ-ва (в пе-
печати).
Спитцер (SpitzerF.)
[1] Interaction of Markov processes (препринт).
[2] Markov random fields and Gibbs ansambles (препринт).

360 Литература
Такесаки (Takesaki M.)
[1] Disiointness of the KMS-states of different temperatures, Cotntn.
Math. Phys., 17, 1 A970), 33—41.
Томсон (Thompson С J.)
[1] Eigenvalue degeneracy and existence and non-existence of a phase
transitions in one-dimension, Stud. Appl. Math., 48, 4 A969),
299—309.
Фельдерхов (Felderhof B. U.)
[1] Phase transition in one-dimensional cluster interaction fluids,
III, Correlation functions, Ann. of Phys., 58, 1 A970), 281—300.
Фельдерхов и Фишер (Felderhof В. U., Fisher M. E.)
[1] Phase transition in one-dimensional cluster interaction fluids, IA;
Thermodynamics, IB; Critical behavior, II; Simple logarithmic
model, Ann. of Phys., 58, 1 A970), 176—280.
Фердинанд и Фишер (Ferdinand A. E., Fisher M. E.)
[1] Bounded an inhomogeneous Ising models, I, Specific-heat anomaly
of a finite lattice, Phys. Rev., v. 185, 2 A969), 832—846.
Фишер (Fisher M. E.)
[5] The theory of equilibrium critical phenomena, Report Prog. Phys.,
30B) A967), 615.
[6] Rigorous inequalities for critical-points correcations exponents,
Phys. Rev., v. 180, 2 A969), 594—600.
[7] Природа критического состояния, М., «Мир», 1968.
Фишер и Яснов (Fisher M. E., Jasnow О.)
[1] Broken symmetry and decay of order in restricted dimensionality
(препринт).
Халфина А. М.
[1] Предельная эквивалентность малого- и большого канонических
ансамблей (случай малой плотности), Матем. сб., 80, 1 A969),
3-51.
Хааг, Кейдисон и Кастлер (Н a a g R., Kadison R. V.,
Kastler D.)
[1] Nets of C*-algebras and classification of states, Cotntn. Math.
Phys., 16, 2 A970), 81—104.
Харст и Шерман (Hurst С. A., Sherman S.)
[1] Griffiths' theorems for the ferromagnetic Heisenberg model, Phys.
Rev. Letters, v. 22, 25 A969), 1357—1358.
[2] Correlations inequalities for Heisenberg ferromagnets, Jorn. Math.
Phys., II, 8 A970), 2473—2480.
X а ц е т Б. И.
[1] Асимптотичш розклади за степенями густини функщй розподьлу
систем в cTaHi статистично1 р1вноваги, HayKoei записки Жито-
мирського педагопчного шституту, ф1змат серия, 3 A957), 113—
138.
[2] Деяш властивоеп функшй розподшу систем у стащ статистичжл
р1вноваги, HayKOBi записки Житомирського педагопчного инсти-
институту, ф!змат серия, 3 A957), 139—157.
Ш в а р ц А. С.
[I] О постановке задач статистической физики, Труды Моск. матем.
общ-ва, 22 A970).

Литература 361
[2] Новая формулировка квантовой теории, ДАН СССР, т. 173, 4
A967), 793—796.
Шерман (Scherman S.)
[1] Cosets and ferromagnetic correlation inequalities, Cotntn. Math.
Phys., 14, 1 A969), 1—4.
[2] Ising ferromagnet correlations monotone functions of interactions
(case of arbitrary spin), препринт.
[3] When is an Ising magnet a ferromagnet, Journ. Math. Phys., 11,
8 A970), 2480—2481.
Шрадер (ShraderR.)
[1] Ground states in classical lattice systems with hard core, Comtn.
Math. Phys., 16, 4 A970), 247—264.

УКАЗАТЕЛЬ
Активность 85
Алаоглу—Биркгофа теорема 21
Алгебры фон Неймана 301
обертывающие 299
Ансамбль большой канонический
квантовый 23
— классический 17
— гиббсовский 14
— канонический квантовый 23
классический 17
— микроканонический квантовый
22
классический 15
конфигурационный 16
Антиавтоморфизм 292
Антилинейность 292
Антиферромагнетизм 195, 210
Аппроксимативная единица 295
Аффинная функция 291
Боголюбова неравенство 190
Бозоны 95, 257
Больцмана функции 129—130
Большая статистическая сумма
56
Вариационный принцип 274—278
Вектор вакуумный 152
— разделяющий 302
— циклический 302
Взаимодействие 52
— парное 52
¦ быстро убывающее 54
¦ устойчивое 56, 94
Вириальное разложение 106
Вогнутая функция 291
Выпуклая оболочка 291
— функция 291
Выпуклое множество 291
Гейзенберга изотропные модели
189
Гиббсовское правило фаз 278
Границ чередование 140
Граничное условие У 316
Граничные условия Кубо—Мар-
Кубо—Мартина—Швингера (КМШ) 284
Гриффитса неравенства 177
Группа инвариантности 213
— с инвариантным средним 306
Групповое свойство 131
слабое 227
Групповые функции 136
Дальний порядок 187
Дальнодействующий потенциал
196
Дифференцирование алгебры 132
Единственности проблема 304
Единственность вакуумного век-
вектора 226
Изинга модель 187
Изоморфизм Гельфанда 300
Инвариантное среднее 221
Инволюция 292
Интегральное представление сред-
средней энтропии 269
Каноническая статистическая
сумма 82
конфигурационная 83
Капля 330
Катастрофические потенциалы 59
Квазилокальные алгебры 216

Указатель
363
Кинетика бесконечных систем
343—345
Кирквуда—Зальцбурга уравне-
уравнения 108
Класс потенциалов Ленарда—
Джонса 64
Коммутант 301
Конструкция Гельфанда—Сигала
297—298
— Уайтмана 151—152
Корреляционная функция пре-
предельная 107, 271—273
связанная с состоянием на
алгебре % 247
т-частичная 107, 270
Кюри температура (точка) 187
Ленарда—Джонса класс потен-
потенциалов 64
Либа неравенство 138
Ли — Янга теорема 163
Майера — Монтролла уравнения
117
Майера разложения 106
Марковский процесс, оставляю-
оставляющий инвариантными гиббсов-
ские состояния 324
Матрица плотности ненормиро-
ненормированная 21
приведенная 145
Мера максимальная 304—305
Мермина—Вагнера теорема 191
Микроканоническая статистиче-
статистическая сумма 81
конфигурационная 65
Морса потенциал 102
Морфизм 294
Наблюдаемые 211
«Наиплотнейшая упаковка» 77
Начальная точка цикла 173
Некоммутативные марковские це-
цепи 339
Нельсона теорема 153
Непрерывные системы 15—18,
21—24, 51—102
Неприводимость представления
алгебраическая 297
топологическая 297
Неравенства Гриффитса 177
Неравенство Боголюбова 190
— выпуклости 47
— Либа 138
Нули большой статистической
суммы 104, 114, 160
Обратная температура 17
Однокапельное расположение 330
Одномерные системы 192—207
Операторы поля 155
— рождения 253
— уничтожения 253
Основное состояние 101
Пайерлса теорема 47
Периодические ящики 38, 42
Перрона — Фробениуса теорема
198
Плотность «наиплотнейшей упа-
упаковки» 77
Положительные элементы 295
Полуаддитивность 263
Полунепрерывность сверху 290
Потенциал 32
— конечного радиуса действия
33
— парный 52
катастрофический 59
конечного радиуса дей-
действия 52
положительно определен-
определенный 61
регулярный 117
сверхустойчивый 64
устойчивый 56, 94
— регулярный 107
— химический 17
Правило фаз гиббсовское 278
Представления В*-алгебры 297—
299
— — неприводимые 297, 299
существенные 297
универсальные 297
циклические 297

364
Указатель
Принцип максимума энтропии
274—278, 318
— минимакса 46, 47, 97
Присоединение единицы 293
Равновесные состояния 26
Равномерная регулярность сна-
снаружи 323
Равностепенная непрерывность
290
Разделение фаз 328—335
Разложение вириальное 106
Разложения Майера 106, 125,
140, 148, 157
Распределение гиббсовское пре-
предельное 317
с граничным условием У
316
Расширение по Фридрихсу 92—93
Результант меры 303
Решетчатые газы 19, 167, 186
— системы 19, 25, 88, 125, 186
Ряды Майера 123
Свободная энергия 85
Свойства убывания корреляции
322—323
Сигала теорема 214
Симплекс 204
Система матриц плотности 253,
257, 258, 267
— плотностей распределений
247—250
Системы бесконечные 26
— конечные 26
— непрерывные квантовые 21—
25, 90—102
классические 15—19, 51—
90
— решетчатые квантовые 25—26,
31—39
классические 19—20, 39—
45
— спиновые 25, 43, 186—187
— с твердыми сердцевинами
квантовые 24
классические 18
След 220, 242
Соотношения канонические анти-
антикоммутационные (КАС) 254
коммутационные (ККС)
254
Состояния гиббсовские 317
— на В*-алгебре 212, 296, 305
инвариантные 214—224
левоинвариантные 306
правоинвариантные 306
равновесные 244—260
четные 260
чистые 296
— равновесные 26
— физической системы 26
Спектр элемента 294
Сплавы 19
Статистика Бозе—Эйнштейна
(Б.-Э.) 22
— Максвелла—Больцмана
(М.-Б.) 22
— Ферми—Дирака (Ф.-Д.) 22
Статистическая сумма 27
большая 56
изотермо-изобарическая 203
каноническая 82
конфигурационная 83
микроканоническая 81
конфигурационная 65
Стремление к бесконечности в
смысле Ван Хова 30, 88, 105
Фишера 31
Температура 17
— Кюри 187
Теорема Алаоглу—Биркгофа
217-218
— Ван Хова 203, 207
— Дайсона—Ленарда 95
— Капланского 302
— Като 91—92
— Кейдисона 299
— Ли—Янга 163
— Мермина—Вагнера 191
— Нельсона 153
— Пайерлса 47
— Перрона—Фробениуса 198
— Сигала 214
— Фридрихса 92
Термодинамическая устойчивость
80

Указатель
365
Термодинамические функции 26
Термодинамический предел 12
-в квантовых ансамблях
45—47, 90—101
классических ансамблях
39—45, 80—89
корреляционных функций
107
— — состояний 270—274
Термодинамическое поведение 11
Типичные конфигурации (распо-
(расположения) 331
Точка Кюри 187
Трансфер-матрица 338—339
Функции Больцмана 129—130
— Урселла 129, 130, 137
Химический потенциал 17
Центральные предельные теоре-
теоремы для числа частиц и энергий
325—328
Циклы 172, 329—330
— большие 330
— внешние 330
— е-малые 330
Удельная намагниченность 188
Унитарный элемент алгебры 220,
293
Уравнения Кирквуда—Зальцбур-
Кирквуда—Зальцбурга 108
— Майера—Монтролла 117
Устойчивость взаимодействия в
квантовом случае 94
— классическом случае 56
— термодинамическая 80
Фаза 12
— газообразная 125, 323
— «однородная» 328
— плотная 329, 332
— чистая 236
Фазовый переход 160—210, 278—
279
Фактор 302
Факторсостояние 242
Фермионы 95, 258
Ферромагнетизм 195, 209
Флуктуация 235
Фоковское представление 253—
257
— пространство 24
Формула Каца 144
Частицы неразличимые 345
— различимые 345
Чередование границ 140
Эквивалентность ансамблей 14,
26, 85, 325—328
Энергия потенциальная 52
— свободная 85
Энтропия 260
— конфигурационная 66
— средняя 267
Эргодическая теорема о среднем
222
Эргодические состояния 224
б*-алгебра 212, 245—260, 291—
295
— асимптотически абелева 220
— коммутативная 300
— с группой автоморфизмов 214
— слабо асимптотически абелева
220
— G-абелева 217
б*-подалгебра 294
С*-алгебра 293
М-сеть 222—223, 306

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие автора 7
Глава 1. Термодинамическое поведение. Ансамбли 11
§ 1.1. Термодинамические системы 11
§ 1.2. Классические системы и ансамбли 15
§ 1.3. Квантовые системы и ансамбли 20
§ 1.4. Равновесные состояния и термодинамические функ-
функции 26
Глава 2. Термодинамический предел для термодинамичес-
термодинамических функций: решетчатые системы 29
§ 2.1. Переход к бесконечному объему 29
§ 2.2. Взаимодействия в квантовых решетчатых системах 31
§ 2.3. Термодинамический предел для квантовых решет-
решетчатых систем 35
§ 2.4. Термодинамический предел для классических ре-
решетчатых систем 39
§ 2.5. Некоторые неравенства для квантовых систем . . 45
Глава 3. Термодинамический предел для термодинамических
функций: непрерывные системы 50
§ 3.1. Взаимодействия в классических непрерывных си-
системах 50
§ 3.2. Устойчивые взаимодействия 55
§ 3.3. Термодинамический предел для конфигурационного
микроканонического ансамбля 65
§ 3.4. Термодинамический предел для классических ан-
ансамблей 80
§ 3.5. Термодинамический предел для квантовых ансам-
ансамблей 90
Библиографические замечания 102
Упражнения 102
Глава 4. Степенные разложения при малых плотностях и
корреляционные функции 106
§ 4.1. Определения 106
§ 4.2. Метод интегральных уравнений 108
§ 4.3. Ряды Майера и вириальное разложение 123
§ 4.4. Алгебраический метод 127
§ 4.5. Положительные потенциалы 138
§ 4.6. Квантовые системы 143
§ 4.7. Построение гильбертова пространства 148
Библиографические замечания 155
Упражнения 156
Глава 5. Проблема фазовых переходов 160
§ 5.1. Теорема Янга и Ли 160.
§ 5.2. Отсутствие фазовых переходов при высоких тем-

Оглавление 367
пературах 166
§ 5.3. Существование фазового перехода первого рода
при низких температурах 167
§ 5.4. Неравенства Гриффитса 176
§ 5.5. Теорема Мермина и Вагнера 188
§ 5.6. Одномерные системы 196
§ 5.7. Замечания о фазовых переходах 207
Библиографические замечания 208
Упражнения 208
Глава 6. Групповая инвариантность физических состояний. 211
§ 6.1. Описание состояния бесконечной системы .... 211
§ 6.2. Инвариантные состояния , 214
§ 6.3. Эргодические состояния 224
§ 6.4. Разложение инвариантных состояний по эргодиче-
ским 227
§ 6.5. Чистые термодинамические фазы как эргодические
состояния 234
Библиографические замечания 238
Упражнения 239
Глава 7. Состояния в статистической механике 245
§ 7.1. В*-алгебры в классической и квантовой статисти-
статистической механике 245
§ 7.2. Энтропия 260
§ 7.3. Термодинамический предел состояний 270
§ 7.4. Вариационный принцип 274
§ 7.5. Гиббсовское правило фаз 278
§ 7.6. Эволюция во времени квантовых решетчатых си-
систем и граничные условия Кубо—Мартина—Швин-
гера 281
Библиографические замечания 287
Упражнения 288
Добавление. Некоторые математические средства 290
Д.1. Некоторые термины 290
Д.2. Общие сведения о В'-алгебрах 291
Д.З. Состояния на В*-алгебрах 295
Д.4. Алгебры фон Неймана 301
Д.5. Интегральные представления на компактных выпу-
выпуклых множествах 302
Д.6. Группа с инвариантным средним . , . , 305
Литература 307
Приложение. Обзор ряда недавних результатов
Р. Л. Добрушин, Р. А. Минлос, Ю. М. Сухов 314
Литература к приложению 354
Указатель 362

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформле-
оформлении, качестве перевода и другие, просим присылать по
адресу:
Москва, И-278,
1-й Рижский пер. д. 2,
издательство «Мир».