/
Text
в. с. лютиклс
ШКОЛЬНИКУ
О ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебное пособие
по факультативному курсу
для учащихся 8—10 классов
Рекомендовано
Министерством просвещения РСФСР
ИЗДАНИЕ 2-е, ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1983
ББК
22.171я72
Л 96
Лютикас В. С.
Л96 Школьнику о теории вероятностей: Учеб. пособие по фа-
культативкому курсу для учащихся 8—10 классов. — 2-е
изд., доп. — М.: Просвещение, 1983.—127 с.
Цель данного пособия—понятно изложить самые элементарные сведения из теории
вероятностей, научить юного читателя применять их при решении практических
задач.
4398020400-321 ББК 22.171я72
J] инф ПИСЬМО — 83 с«-7 0/О7СЧ
103(03) — 83 517.8(075)
(£) Издательство «Просвещение», 1976 г.
©Издательство «Просвещение», 1983 г-, с дополнениями.
СЛОВО К ЧИТАТЕЛЮ
Эта небольшая книга раскроет перед вами, если вы проявите
достаточно желания и упорства, мир случайного. Собственно, мир
остается таким, каков он есть, но показывается он не совсем с
обычной стороны.
"Оказывается, только пользуясь языком науки о случае —
теории вероятностей, можно описать многие явления и ситуации.
Постепенно при чтении этой книги вы углубите свои знания в
теории и сможете с ее помощью решать задачи практического
содержания, к которым недавно не знали, как и подступиться. На этом
этапе задачи объясняют, иллюстрируют теорию.
Понятно изложить самые элементарные сведения из теории
вероятностей, научить юного читателя применять их при решении
практических задач — такова основная цель, которую преследовал
автор. А для того чтобы эта цель была достигнута, автор, не
претендуя на оригинальность в математических рассуждениях, старался
исходить из возможностей и интересов школьников.
Настоящее издание дополнено новым разделом о непрерывных
случайных величинах и их характеристиках. В связи с введением
в школьный курс математики понятия определенного интеграла
оказалось возможным ознакомить учащихся с нормальным
распределением и теоремой Ляпунова, имеющими важное значение в
прикладных математических дисциплинах.
Автором использованы соответствующие книги по теории
вероятностей для студентов: Б. В. Гнеденко «Курс теории вероятностей»,
Е. С. Вентцель «Теория вероятностей», Н. Я. Виленкин
«Комбинаторика» и др.
Теория вероятностей, изложенная здесь, доступна ученику
VIII—X классов, учащемуся техникума и каждому читателю, уже
получившему среднее образование, но еще не успевшему забыть
школьную математику.
Книга написана так, чтобы старшеклассник мог ею пользоваться
как материалом для внеклассного чтения по математике и для
подготовки к факультативным занятиям, а учитель как конспектом
для проведения факультативных занятий по теории вероятностей.
Термин «Упражнения» здесь означает большее, чем просто набор
учебных примеров для тренировки по усвоению прочитанного
материала. В действительности здесь содержатся и некоторые задачи
для размышлений, самостоятельного поиска.
3
I. КОЕ-ЧТО ИЗ ПРОШЛОГО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников
«вероятность» поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного.
Поэтому и охотились тогда коллективно.
Неосновательно было бы думать, что такие древние
полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь
к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.
Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного
руководства умели как-то оценить «вероятность» своего
возвращения «со щитом» или «на щите», знали, когда принимать бой, когда
уклониться от него. Они не были рабами случая, но Еместе с тем
они были еще очень далеки от теории вероятностей.
Позднее, с опытом, человек все чаще стал планировать
случайные события — наблюдения и опыты, классифицировать их
исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что
случайностями не так уж редко управляют объективные
закономерности. Вот простейший опыт — подбрасывают монету. Выпадение
герба или цифры, конечно, чисто случайное явление. Но при
многократном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что
появление герба происходит примерно в половине случаев1.
Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и
является случайным событием, при неоднократном повторении
подвластны объективному закону. Для тех, кто обладает склонностью к
исследованиям, появляется соблазн накопить побольше таких
закономерностей и попытаться построить из них теорию.
Рассмотрим другой, более сложный пример — эксперимент
с так называемой доской Гальтона2 (рис. 1). Доска размещена
вертикально. Из верхнего резервуара стальные шарики катятся
(на отдельных участках падают) вниз и накапливаются в нижних
гнездах. Каждый шарик, встретив на своем пути очередное
препятствие, отклоняется или влево или вправо, а затем падает
вниз. Шарик, конечно, может попасть в любое из гнезд.
Между . тем правильное расположение шариков (симметричнее,
1 Кю и когда впервые проделал опыт с монетой, неизвестно.
Естествоиспытатель Ж- Л. Л. Бюффон в восемнадцатом столетии 4040 раз подбрасывал
монету -— герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале нынешнего столетия
подбрасывал ее 24 000 раз—герб выпал 12 012 раз. Лет 20 назад американские
экспериментаторы повторили опыт. При 10 000 подбрасываниях герб выпал 4979
раз.
2 У Ф. Гальтона (1822—19J1) прибор выглядел значительно проще — деска
со штифтами. -
4
при котором в центральных
гнездах их много, а в крайних
мало), повторяющееся от
эксперимента к эксперименту,
убедительно свидетельствует о
существовании объективного
закона их распределения. Когда
шариков много, то говорят, что
они распределены по
нормальному закону.
Итак, случайности могут
подчиняться относительно простым
и более сложным
закономерностям. Но, спрашивается, где же
математика, где математические
задачи?
Наиболее интересные для
начинающих задачи теории
вероятностей возникли в области
азартных игр1, хотя формированию
основ теории вероятностей
способствовали также выяснение
длительности жизни, подсчет
населения, практика
страхования. Мы начнем, естественно,
с простых задач.
К азартным играм относили
бросание шестигранных
игральных костей (рис. 2). Слово «азар»
по-арабски означает трудный.
Так, арабы называли азартной
игрой комбинацию очков,
которая при бросании нескольких
костей могла появиться лишь
единственным способом.
Например, при бросании двух
костей трудным («азар») считалось появление в сумме двух или
двенадцати очков.
В 1494 году итальянский математик Л. Пачиоли (1445—1514)
опубликовал энциклопедический труд по математике, где
разбирал следующую ситуацию.
Два игрока договорились играть в кости до момента, когда
одному из них удастся выиграть т партий. Но игра была прервана после
того, как первый выиграл а (а < т), а второй — b (b < m) партий.
Как справедливо разделить ставку?
Рис. 1
Рис. 2
1 Этому, по-видимому, способствовало наличие таких «наглядных пособий»,
как монета или игральная кость.
5
Сам Пачиоли верного решения не нашел. Он предлагал
разделить ставку в отношении а : Ь, не учитывая числа партий, которые
нужно еще выиграть, чтобы получить всю ставку.
Спустя без малого пятьдесят лет другой итальянский математик
Д. Кардано (1501—1576) подверг рассуждения Пачиоли
справедливой критике, но и сам предложил ошибочное решение.
Прошло еще 100 с лишним лет, и в 1654 году задача была,
наконец, решена в ходе переписки между двумя выдающимися
французскими математиками Б. Паскалем" (1623—1662) и П. Ферма
(1601—1665).
Посмотрим, как решал Б. Паскаль задачу в случае т —■ 3,
а = 2 и b = 1.
Допустим, что игра прервана, когда у игрока А две выигранные •
партии, а у игрока В — одна. Как делить ставку, пока неясно.
Но все упростилось бы, если бы игроки сыграли еще одну партию.
В самом деле:
1) если эту партию выигрывает игрок А, то он, как набравший
заветное число т = 3 выигрышей, получает всю ставку;
2) если партию выиграет игрок В, то справедливо разделить всю
ставку пополам, так как у каждого по две выигранные партии.
Возможности у каждого из этих исходов одинаковы.
Таким образом, А может выиграть всю ставку или — ставки,
т. е. в среднем1
2 4
'ставки.
У В возможности поскромнее: он может или ничего не выиграть,
1
или выиграть — ставки, т. е. в среднем
2 4
ставки. Поэтому ставка должна быть разделена в отношении 3 : 1
(а не 2 : 1, как предлагал Пачиоли).
В 1718 году в Лондоне вышла в свет книга со странным по тем
временам названием «Учение о случая^, Её ддшр — французский
математик А. Муавр (ГО67—1751). Самое большое его достижение —
открытие закономерности, которая очень часто наблюдается в
случайных явлениях. Он первым заметил и теоретически обосновал
роль «нормального» распределения2 (вспомните опыт Гальтона).
1 Здесь мы сталкиваемся впервые с математическим ожиданием случайной
величины. О том, что это такое, рассказывается в конце книги.
2 Смысл понятия «распределение» будет раскрыт позже.
6
W 145 150 155 160 165 170 175 180
Рис. 3
Муавр измерил рост у 1375 случайно выбранных женщин.
Результат схематически изображен на рисунке 3. Колоколообразная
кривая, которая приближенно «накрывает» диаграмму
распределения роста, близка к графику функции
где
е = lim[\ + -)" = 2,71828 ... (1.1)
Закон нормального распределения имеет важное практическое
значение. Оказывается, что так распределяется скорость газовых
молекул, вес новорожденных и много других случайных событий
физической и биологической природы.
Впервые основы теории вероятностей был к. „изложены
последовательно французским математиком П. Лапласом (1749—1827) в
книге «Аналитическая теория вероятностей».
В предисловии автор писал: «Замечательно, что наука, которая
началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее
важным объектом человеческого знания... Ведь по большей части
важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь
задачами из теории вероятностей».
П. Лаплас не мог предусмотреть, что пройдет несколько
десятилетий и интерес к теории вероятностей снизится. А так на деле и
7
случилось. Во второй половине XIX века и в начале XX века
некоторые математики перестали интересоваться теорией вероятностей
как математической дисциплиной.
Чем объясняется такое безразличие некоторых математиков к
теории вероятностей? Причин много. Но здесь мы раскроем только
одну.
Вероятность события была определена Лапласом так:
Я(Л)=-, (1.3)
п
где п — общее числб равновозможных событий, am — число тех
событий, когда происходит нужный исход («благоприятствующее
событие»). Например, пусть следует вычислить вероятность
события А — «при бросании двух костей выпало 8 очков».
При бросании двух костей могут получиться следующие равно-
возможные результаты:
I II
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
I 6
I
2
2
2
2
2
12
II
1
2
3
4
5
61
I
со со со со
13
3
II
1
2
3
4
5!
6
I II
4
4
4
4
4
1
2
3
41
5
6
I
5
5
15
5
5
5
II
1
2
3|
4
5
6
I
6
16
6
6
6
6
11
1
2|
3
4
5
6
Как видно, всего возможных вариантов 36. Специально
выделяются те случаи, когда произошло событие А. Таких случаев 5 —
все они равновозможны. Если договориться вероятность события А
обозначить Р (А), то, следуя Лапласу, будем иметь
об
Кажется, что все в порядке — к лапласовскому определению
вероятности события никак не придраться. Но вот вопрос: когда
и какие случайные события можно считать равновозможными?
Рождается ребенок. Мальчик или девочка — кажется, равно?
возможные события (одно из двух, как и при бросании монеты).
Но оказывается, что статистика рождений не вполне согласуется с
нашим «кажется».
Она может быть, например, такой:
Польша
Швеция
Год
1927
1935
,т 1 Число родив-
ЧИСЛО РОДИВ- | шихся
шихся детей мальчиков
958 733
88 273
496 544
45 682
Число
родившихся
девочек
462 189
42 591
Частота
рождения
мальчиков
0,518
0,517
8
Если в разное время в разных странах мальчиков рождается
больше, чем девочек, значит, вероятности рождения мальчика или
девочки неодинаковые: вероятность события «родился мальчик»
1
оольше —.
2
Вспомним о подбрасывании монеты (см. об этом на стр. 4).
Откуда у нас уверенность, что вероятность выпадения герба, когда
подбрасывание неограниченно повторяется, равна —?
Факты, обнаруживающие, что объективная реальность не
обязательно совпадает с человеческим «кажется», послужили причиной
сомнений в правомерности понятия «равновозможные события».
Возникла потребность «перепроверять» вероятности, которые
вычислялись по лапласовской формуле Р (Л) — —, экспериментами.
п
Эта «перепроверка» привела к следующей статистической
оценке возможности появления события. Пусть в результате
некоторого опыта может произойти или.не произойти событие Л. В ходе /
опытов событие Л произошло k раз. Тогда частотой события А
называется
PrW^j. (1.4)
За вероятность события Л нр«тшйе£рея неетея-нная ©едишша,
около которой группируются наблюдаемые значения частоты. Это
определение вероятности называют статистическим.
Противоречия, которые проявились при оценке вероятности
некоторого события it частоты того же события формулами (1.3) и
(1.4), не могли понравиться многим математикам, которые
заботились о строгости науки. Вместе с тем распространению
«антивероятностных» взглядов способствовало опубликование ряда парадоксов1.
Один из наиболее характерных парадоксов — парадокс Бертрана,
в котором читатель разберется, если дочитает эту книгу до конца.
Стойко защищали позиции теории вероятностей русские
математики. В 184fi щду Петербургская Академия наук издала книгу
В. Я- Буняковского (1804—1889) под названием «Основания
математической теории вероятностей». Это был первый русский учебник
по теории вероятностей. По нему учился и выдающийся русский
математик П. Л. Чебышев. Хотя он по теории вероятностей написал
ие так уж много трудов, но все они сохраняют первостепенное
значение вплоть до наших дней. Так называемое неравенство П. Л. Че-
бышева на веки веков вошло в сокровищницу математической
науки.
Ученик П. Л. Чебышева А. А. Марков развил труды своего
учителя. Ему принадлежит слава открывателя важной области приме-
* Парадокс — факт, по виду противоречащий здравому смыслу.
9
нения теории вероятностей — теории вероятностных, или
стохастических, процессов.
Наследие русских математиков получило развитие в работах
советских математиков Е. Е. Слуцкого (1880—1948), С. Н. Берн-
штейна (1880—1968), А. Я. Хинчина (1894—1959), Ю. В. Линника
(1904—1972) и особенно академика А. Н. Колмогорова (род. в
1903 г.). Созданная А. Н. Колмогоровым советская школа теории
вероятностей завоевала всеобщее признание и сегодня занимает
ведущие позиции в мировой науке.
II. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
1. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
Если читатель внимательно прочел первый раздел книги, ему
пришлось поразмышлять над такими терминами, как «вероятность»,
«случай», «событие». Для наглядности и доходчивости они иногда
заменялись разными синонимами, но суть их не менялась. Оттенок
они получили вполне определенный. Теперь пора договориться,
что как назвать.
Подбрасываем монету. Появился герб. А ведь могла появиться
и цифра. То, что появился герб, — случайное событие.
Охотник стрелял в волка. Попал. Но мог и не попасть
(произошла осечка, подвел глаз, дрогнула рука). Попадание — событие
случайное.
Школьник каждый вечер выходит на прогулку. Во время
прогулки, в понедельник, он встретил трех знакомых. Конечно, это
дело случая: он мог встретить только одного знакомого, четырех или
вообще не встретить знакомых.
То, что он встретил именно трех, — случайное событие.
В этих примерах случайные события — последствия
определенных действий или результаты наблюдений при реализации комплекса
условий (подбрасывание монеты, выстрел, прогулка).
На основании только что разобранных примеров можно составить
следующую характеристику случайного события.
Случайным событием называется такой исход эксперимента или
наблюдения, который при реализации данного комплекса условий
может произойти, а может и не произойти1.
Кратко «случайные события» называют «событиями». Выделим
два частных вида событий.
Проведем вначале (мысленно, разумеется) следующий
эксперимент: стакан с водой перевернем дном вверх. Если этот опыт
проводить не в космосе, а дома или в классе, то вода выльется. Это
достоверное событие.
ДгкЗхшерным событием называется такое событие, которое при
реализации данного комплекса условий непременно произойдет.
1 В аксиоматике теории вероятностей понятие случайного события не
является первичным, а строится из более элементарных-понятий; как увидим,
случайные события — подмножества множества элементарных случайных событий.
10
Произведено три выстрела по мишени. «Произошло пять
попаданий» — невозможное событие.
Бросаем камень вверх. Камень остается висеть в воздухе —
невозможное событие.
Буквы слова «антагонизм» наугад переставляем. Получится
слово «анахронизм» — невозможное событие.
Невозможным событием называется такое событие, которое
заведомо не может произойти при реализации данного комплекса
условий.
Случайные события принято обозначать большими буквами
латинского алфавита Л, В, С с индексами или без них1. Достоверное
событие будем обозначать U, невозможное — У. Надеясь, что
читатель разобрался в терминологии, предлагаем ему несколько
упражнений для ее усвоения.
Упражнения
1. Какие из следующих событий достоверные:
А — «два попадания при трех выстрелах»,
В — «появление не более 18 очков при бросании трех
игральных костей»,
D — «наугад выбранное трехзначное число не больше 1000»,
Е — «наугад выбранное число, составленное из цифр 1, 2,
3 без повторений, меньше 400»?
2. Какие из следующих событий невозможные:
А — «опаздывание ленинградского экспресса в субботние
дни»,
В — «появление 17 очков при бросании 3 игральных костей»,
С — «появление слова «мама» при случайном наборе букв
а, а, м, м»,
D — «появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и
кратного 9 числа при случайном однократном наборе
указанных цифр»,
Е — «появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и
кратного 3 числа при произвольном однократном наборе
указанных цифр»?
3. Укажите достоверные и невозможные события:
А — «появление не более 12 очков при однократном
бросании двух игральных костей»,
В — «появление сразу 3 лайнеров над аэропортом»,
С — «попадание в мишень при 3 выстрелах»,
D — «появление в окошке счетчика трехзначного числа,
составленного из цифр 1, 2, 3 и кратного 5».
1 Некоторые из больших букв латинского алфавита, как увидим дальше,
имеют фиксированные значения. Среди них Е, D, М и другие.
11
.^чшешство эдемрнтАрных гог-МУЬ4^
Допустим, что при бросании игральной кости нас интересует
появление определенного числа очков.
Выпадение конкретного числа очков i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) мы
назовем элементарным событием и обозначим et.
Осуществление одного элементарного события в качестве
результата испытания, очевидно, исключает реализацию других.
Ясно, что при бросании игральной кости непременно
произойдет одно из элементарных событий:
е1} е2, e3, е4, е6, ев.
Будем считать, что все эти элементарные события образуют
множество элементарных событий Е; Е — достоверное событие (по
определению).
Рассмотрим события:
1) Л — «появление четного числа очков при бросании
игральной кости». Этому событию благоприятствуют
элементарные события е2, eif ев. Разумеется, множество этих
событий является подмножеством Е,
2) В — «появление числа очков не больше четырех». Этому
событию благоприятствует подмножество множества
элементарных событий Е:
ег, е2, е3, еА,
3) С — «появление числа очков, которое делится на 3».
Этому событию благоприятствует подмножество множества
элементарных событий Е:
Таким образом, событие Л может быть представлено
подмножеством элементарных событий (е2, е4, £6), событие
В—подмножеством элементарных событий (eit е2, е3, е4)> а событие С —
подмножеством элементарных событий (е3, е6).
Представляя события как подмножества множества
элементарных событий, обозначим А (е2, г4, е6), В (ех> е2, е3, е4), С (е3, е&).
Бросаем монету. Событие Г — «появление герба» и событие
Ц — «появление цифры» тоже образуют множество элементарных
событий.
Если события А, В и С можно сравнить в смысле возможности
их появления, то сравнение, например, событий А и Г смысла не
имеет, потому что они представляются подмножествами разных
множеств элементарных событий.
3. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ
Сравним следующие события:
Л — «появление двух очков при бросании игральной кости»,
12
В — «появление четного числа очков при бросании игральной
кости».
Замечаем следующее отношение между событиями: если
произошло Л, то тем самым произошло и В. Тот факт, что «А влечет за
собой В» (или «В является следствием Л»), запишем:
A cz В или В zd А. (2.1)
Событие А является частью события В, поскольку событие В
состоит в осуществлении трех элементарных событий: «появление
2 очков», «появление 4 очков», «появление 6 очков», а событие А —
одним из них — «появлением 2 очков».
Представление событий подмножествами множества
элементарных событий может быть осуществлено в геометрической форме
(рис. 4).
Сопоставим события:
А — «появление герба при подбрасывании монеты»,
В — «непоявление цифры при подбрасывании монеты».
Если же монета не может укатиться и застрять в щели пола или
встать на ребро, тогда если произошло А, то произошло и В и
в то же время если произошло В, то произошло и А. (В
символической записи AczBuBcA.) Тогда запишем: А = В и будем
говорить, что события Л и Б равносильны.
Еще раз подчеркиваем, что Л будет частью события В только
в том случае, когда элементарные события, представляющие
событие Л, принадлежат подмножеству элементарных событий,
представляющих событие В.
Пусть имеем множества элементарных событий:
1) появление герба и появление цифры при подбрасывании
монеты;
2) появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной
кости;
3) появление шаров с номерами 1, 2, 7 при вынимании одного
шара из ящика, содержащего 10 перенумерованных от 1 до 10
одинаковых шаров.
Для каждого из множеств характерно, что ни одно из его
элементарных событий не яппяртся .объективно
более возщшшм* ШОЦЩО&Л'акие события
называются давновозмпжмыми
Упражнения
4. Какие из событий являются частью
другого события:
а) Л — «попадание в мишень первым
выстрелом»,
В — «попадание в мишень по меньшей
мере одним из 4 выстрелов»,
С — «попадание точно в мишень
одним из 2 выстрелов», Рис. 4
13
D — «попадание в мишень не более, чем 5 выстрелами»;
б) Л — «появление 3 очков при бросании игральной кости»,
В — «появление не более 3 очков при бросании игральной
кости»,
С — «появление не более 4 очков при бросании игральной
кости»?
4. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ
Мы уже убедились в том, что между событиями соблюдаются
отношения, аналогичные отношениям «больше», «меньше» или
«равно», как и между числами.
Теперь естественно ввести и операции над событиями.
Сложение
По мишени произведено 4 выстрела. Рассмотрим события:
Л0 — «попаданий нет»;
At — «одно попадание»;
Л2 — «два попадания»;
Л3 — «три попадания»;
А — «не больше трех попаданий».
Разумеется, Л0 cz A, Axcz Л, Л2 с: Л, А3а А.
Вместе с тем событие Л не содержит никаких других событий,
кроме Л 0, Alf Л2, Л3. Поэтому естественно событие Л считать
суммой событий А0, А1} Л2, Л3.
Cjjjamou событий Ль Л2, Л3, ..., Ап называется событие Л,
состоящее в появлении хотя бы одни&о из событий А1% Л2, Л3, ..., Ап
(или Alt или Л2, ..., или Ап, или нескольких из них, или всех).
Символически:
Л = Ах + Л2 + Л3 + ... + Ап. (2.3)
Рассмотрим три события:
Л — «появление одного очка при бросании игральной кости»,
В— «появление двух очков при бросании игральной кости»,
С — «появление не больше двух очков при бросании игральной
кости».
Нетрудно заметить, что событие С является следствием Л или В,
поэтому С = Л + В.
Ясно, что события Л и В не могут произойти одновременно.
Поэтому, представляя их разными секторами круга, получаем
следующее графическое изображение события С = Л + В (рис. 5).
Приведем теперь графическое представление суммы событий:
Л — «появление больше чем 4 очка при бросании игральной
кости»,
В — «появление больше чем 3 очка и меньше чем 6 очков при
бросании игральной кости»,
С — «появление больше чем 3 очка при бросании игральной
кости».
■14
А В A+B А В А+В
Рис. 5 Рис. 6
Ясно, что С = А + В. Так как событию А соответствует
«появление или 5, или 6 очков», а событию В — «появление или 4, или
5 очков», то, изображая эти события разными полукругами,
получаем иное представление события С — А + В (рис. 6). То, что в
рисунке суммы А + В одна четверть круга принадлежит и событию А и
событию В, не является случайностью: частью обоих этих событий
является событие «появление 5 очков».
События Л и В могут быть подмножествами одного и того же
множества элементарных событий Е следующим образом: А (еъ, <?б),
В (е4, еь). Тогда сумма этих событий А + В представляется
объединением этих подмножеств (<?4, еь, eG). Вообще, если событие А
представлено подмножеством А* множества элементарных
событий Е, а событие В — подмножеством В* того же множества
элементарных событий, то сумма А -f- В будет представлена объединением
Л* U В*.
Графическое представление суммы событий позволяет
установить следующие закономерности1:
1) Л + В = В + Л;
2) (Л + В) + С = А + (В + С). (2.4)
Упражнения
5. Событие Л — «попадание в мишень первым выстрелом»,
событие В — «попадание в мишень вторым выстрелом».
В чем состоит событие Л + В?
6. Событие Л — «лотерейный выигрыш 10 руб.»,
событие В — «лотерейный выигрыш 20 руб.»,
событие С — «лотерейный выигрыш 25 руб.».
В чем состоит событие Л + В + С?
7. Событие А — «лотерейный выигрыш 1 руб.»,
событие В — «лотерейный выигрыш 2 руб.»,
событие С — «лотерейный выигрыш 3 руб.»,
событие D — «лотерейный выигрыш 4 руб.».
В чем состоит событие А + В + С + D?
8. Событие А — «появление двух гербов при подбрасывании
двух монет».
1 Доказав эти и другие равенства для событий А, В, С, являющихся
подмножествами множества элементарных событий, можем не возвращаться при
решении конкретных задач всякий раз к рассмотрению элементарных событий.
■15.
Событие В — «появление герба и цифры при подбрасывании
двух монет».
В чем состоит событие А + В?
9. Событие Аг — «поражение мишени одним выстрелом»,
событие Л2 — «поражение мишени двумя выстрелами»,
событие А3 — «поражение мишени тремя выстрелами»,
событие А100 — «поражение мишени сотней выстрелое».
В чем состоит событие Аг + Л2 + А3 + . . . + А100?
10. Событие А — «появление 6 очков при бросании игральной
кости»,
событие В — «появление 5 очков при бросании игральной
кости»,
событие С — «появление 4 очков при бросании игральной
кости».
В чем состоит событие A -f В + С?
11. Выясните смысл событий V + V, V -f- V, U + К»
Умножение
Произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем
события:
А — «выбранные числа кратны 2»,
В — «выбранные числа кратны 3»,
С — «выбранные числа кратны 6».
Событие С происходит, если одновременно происходят события
А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не
произойдет и С. Принято такое событие С называть произведением
событий А и В.
В общем случае произведение событий определяется так:
Произеедти£Ж1^шпийЛ^ А^гЛ9,. .., Ап называется событие А,
состоящее в одновременном исполнении всех (и Ах, и А2, и А3, . . .,
и Ап) событий Аг, Л2, Л3, . . ., Аа.
Символически:
А = А1А2Аа...Ап.. (2.5)
Рассмотрим еще пример:
Л — «входящий в подъезд человек — мужчина»,
В — «входящий в подъезд человек светловолосый»,
С — «входящий в подъезд человек — светловолосый мужчина».
Событие С происходит только при одновременном исполнении
событий Л и В, поэтому С — АВ.
Пусть события Л и В представлены подмножествами одного и
того же множества элементарных событий Е так: Л (еъ еъ е3),
В (е2, es, e4).
Тогда произведение А В будет представлено пересечением этих
подмножеств Л f] В — {<?,, е3}~
A ■ В /13 A ■• Б АН --V
Рис. 7 Рис. 8
*
Вообще, если событие А представлено подмножеством Л*
множества элементарных событий Е, а событие В — подмножеством
В* того жг самого множества элементарных событий, то
произведение Л В-будет представлено пересечением Л* П В*-
Изображая события А и В разными полукругами, получим
следующую геометрическую интерпретацию события С = АВ (рис. 7).
Сравнивая события
Л — «появление герба при первом бросании монеты»,
В — «появление цифры при первом бросании монеты»,
выясняем, что совместное осуществление этих событий невозможно.
Символически это записываем так:
АВ = V. (2.6)
Геометрическая интерпретация приведена на рисунке 8.
Дел события А и ВТ прп»яю,д*М1(? КШРры*- — невозможное габы-
шие (АВ = V)} называются несбвмесаишшш событиями.
Произведение несовместимых событий представляется пустым
множеством. Для таких событий Л и В определение суммы событий
формулируется так:
Суммой двух несовместимых событий А и В называвш&цябьипие С,
осуществляющееся в появлении либо шнши2~-А, либо события В.
Разберемся в таких событиях:
Ах — «появление одного очка при бросании игральной кости»,
Л2 — «появление двух очков при бросании игральной кости»,
Л3 — «появление трех очков при бросании игральной кости»,
Л — «появление не больше трех очков при бросании
игральной кости».
Имеют место следующие зависимости:
1) Л = Ах + Л2 + Л3; 2) АхАг = V; АХА3 = V; А2А3 = V.
Если события Ах, Л 2, Л3 и Л удовлетворяют условиям (1) и (2),
то событие Л составлено из событий Ах, Аг, А3.
Рассмотрим следующие пары событий:
(Ах — «выпадение герба при подбрасывании монеты»,
(Л2 — «невыпадение герба при подбрасывании монеты»,
(Вх — «выздоровление больного»,
[Bz — «иевыздоровление больного»,
\СХ — «появление новой кометы в текущем году»,
[С2 — «непоявление новой кометы в текущем году».
17
Естественно, события в каждой из пар считать
противоположными.
Установим два свойства, которым удовлетворяет любая из этих
пар событий:
1. Сумма событий каждой пары — достоверное событие:
AX + A2=U,
Bt + B2 = U,
сх + сг= и.
2. Произведение событий каждой пары — невозможное
событие:
АгА2 = V,
ВХВ2 - V,
СХС2 - V.
Теперь можно ввести определение:
Если сумма событий А и В — доспщтцшш событие.,, а
произведение — н^озможиое^ойы.шиСщ сабыжия>.А~и В называются
противоположными.
Если А я В — противоположные события, то символически
записываем это так:
А = В~, или В = А".
Тогда АА = V, а А + ~А = U.
Упражнения
12. Событие А — «попадание первым выстрелом»,
событие В — «попадание вторым выстрелом».
В чем состоит событие А В?
13. Событие А — «появление нечетного числа очков при
бросании игральной кости»,
событие В — «непоявление 3 очков при бросании
игральной кости»,
событие С — «непоявление 5 очков при бросании
игральной кости».
В чем состоят события ABC, AB, АС и ВС?
14. Докажите: VV = V.
15. Событие Ах — «появление четного числа очков при
бросании игральной кости»,
событие Л2 — «появление 2 очков при бросании игральной
кости»,
событие А3 — «появление 4 очков при бросании игральной
кости»,
событие Л4 — «появление 6 очков при бросании игральной
кости».
Докажите:
1)ЛЛ = Л2 + Л3; 4) у^ЛИ^ = Л2;
2) Л2Л3- V; 5) ЛЛ2Л3 = Л4;
3) АхАг= Л2; 6) i41i42i48i44= К.
16. Докажите: А А = Л.
17. Рассмотрев конкретные события Л, В, С, убедитесь в том,
что:
АВ = БЛ;
Л (ВС) = (ЛВ) С;
Л (В + С) = ЛВ + ЛС>
Л +_ВС = (Л +_В) (Л + С),
АВ = Л + В;
Л + В = ЛВ;
(Л + В) (Л + С) (В + С) = ЛВ + АС + ВС.
18. Наудачу отобранная деталь может оказаться или первого
сорта (событие Л), или второго (событие В), или третьего (событие С).
В чем состоят события:
А+В; А + С;
АС'
АВ + С?
19. При каких условиях имеет место:
а) Л + В = АВ; б) Л + Л = Л; в) АА = Л?
20. Справедливы ли равенства:
а) ~Ji_+j[^_lT~l[;_
б) А + В + С = ЛВС;
в) Л + В + С = ABC?
21. Упростите выражения:
а) (Л + В) (Л + 5);
б) (Л + В) (В + С) (С + Л);
в) (А -±- В)В + А (АВ).
22. Пусть Л, В и С — случайные события, выраженные
подмножествами одного и того же множества элементарных событий.
Запишите такие события:
а) произошло только Л;
б) произошло одно и только одно из данных событий;
в) произошло два и только два из данных событий;
•г) произошли все три события;
д) произошло хотя бы одно из данных событий;
е) произошло не более двух событий.
Вычитание
Будем рассматривать события:
Л — «наугад остановленный мужчина — брюнет»,
19
В — «наугад остановленный
мужчина —: высокого роста»,
С — «наугад остановленный
мужчина — невысокий брюнет».
Нетрудно заметить, что
событие С означает то, что
произошло А, по не произошло Б.
q Принято такое событие С считать
разностью событий А и В.
Вообще разностью србытий А " Ц нарывается событие Сг
состоящее в том, что произошли те элементарные события^ которые
входят в А, но не входят в В.
В татгж случае пишем:
С=А—В. (2.7)
Если это определение выразить символами уже известных вам
соотношений, то
А — В = АВ. ■ (2.8)
Пусть события А и В представлены подмножествами одного
и того же множества элементарных событий Е, А = {ех, е2, е3, е4) и
В = {<??,, е4). Тогда разность событий А — В представляется
подмножеством {еъ е3}.
Геометрически разность событий изображена на рисунке 9.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача. Пусть А, В и С — события. Доказать, что А (В — С) =
= АВ — АС.
На языке теории множеств а £ А (В — С). Получим отсюда
как следствие, что
а £А (В — С);
а £ А, а £ В ~С;
а £ А, а £ В, а £ С;
а £ АВ, а $ АС;
а £ АВ — АС.
Теперь пусть а £ АВ — АС. Приведем рассуждения в
обратном порядке:
а £ АВ — АС;
а. £ АВ, a i AC;
а £ А, а £ В, а $ С;
а £А,а £В — С;
а G А (В — С).
20
Следовательно, равенство А (В — С) = АВ — АС
действительно имеет место, поскольку множества А (В — С) и АВ — АС
состоят из одних и тех же элементарных событий.
Упражнения
23. Событие А — «попадание в мишень»,
событие В — «попадание в мишень первым выстрелом».
В чем состоит событие А — В?
24. Событие А — «получение достаточней для сдачи экзамена
оценки»,
событие В — «получение пятерки».
В чем состоят события А — В, А — В, А — Bt A — В и
Л—Б?
25. Докажите, что
(А—С)(В — С) = АВ — С,
А— (В + С) = (А— В) — С. (2.9)
26. Событие А — «появление 3 очков при бросании игральной
кости»,
событие В — «появление нечетного числа очков»,
событие С — «появление не больше 5 очков».
В чем состоит событие А В — С?
27. Докажите, что А — ВС = (А — С) + (А — В)\ (А — В) +
+ С = ((А + С) — В) + ВС; (Л — В) — (С —£>) = (Л —
— (B + Q) + (AD—B).
5. ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ
Пусть имеем события:
А — «появление четного числа очков при бросании игральной
кости»,
В — «появление нечетного числа очков при бросании
игральной кости»,
С — «появление 5 очков при бросании игральной кости»,
D — «появление 2 очков при бросании игральной кости».
Ясно, что при бросании игральной кости хотя бы одно из
упомянутых событий непременно произойдет, т.е.Л + В-т-С + Ь =
= 0. Введем понятие «полная группа событий».
Если сумма событий Аъ Л2, Л3, .... Ап — достоверное событие
Ах + А2 + Л3+ ... + An=U, (2.10)
то говощщ+ллт события Alt Ай, АЭ1—гЛ^мбрпяуют помую груп-
пу событий.
Множество элементарных событий есть полная группа событий.
Пусть имеем события:
21
Ax — «появление 1 очка при бросании игральной кости»,
Л2 — «появление 2 очков при бросании игральной кости»,
Л3— «появление 3 очков при бросании игральной кости»,
Л4— «появление 4 очков при бросании игральной кости»,
Лб — «появление 5 очков при бросании игральной кости»,
Лв — «появление 6 очков при бросании игральной кости».
Нетрудно заметить, что эти события образуют полную группу
событий, ибо Аг + Л2 4- А3 + Л4 -f Аь + Л6 = U.
Но, кроме этого свойства, они обладают еще одним: эти события
попарно несовместимы, т. е. АХА2 = V, АХА3 = V, АХА± = V,
>Me = V1A1A9= V,A2A3 = V,A2A,= V,A2Ab = V,A2Ae = V,
Л3Л4= V, . . ., АьАе = V.
Вообще, если события Аи А2, . . ., Ап обладают следующими
двумя свойствами:
1) Ах-\-А2+ . ... + Ап= U\ 2)ArAk=V при 1фк%
то они образуют полную группу попарно несовместимых событий.
Упражнения
28. Образуют ли полные группы событий следующие события:
а) Ах — «появление герба при подбрасывании монеты»,
Л2 — «появление цифры при подбрасывании монеты»;
б) Вх — «появление гербов при подбрасывании двух монет»,
В2 — «появление цифр при подбрасывании двух монет»;
в) в цель выпущено два выстрела. Известно, что:
А0 — «попаданий нет»,
Ах — «попадание одно»,
А2 — «попадания два»;
г) в цель выпущено два выстрела. Известно, что:
Сх — «попадания не менее одного»,
С2 — «промаха не менее одного»?
29. В каких пунктах задачи 28 представлены полные группы
попарно несовместимых событий?
30. Какие из следующих событий несовместимые:
а) Ах — «появление герба при подбрасывании монеты»,
Л2 — «появление цифры при подбрасывании монеты»;
б) Вх — «появление герба при подбрасывании первой из двух
монет»,
В2 — «появление цифры при подбрасывании второй из двух
монет»?
31. Придумайте три события, которые образовали бы полную
группу несовместимых событий.
III. НАУКА О ПОДСЧЕТЕ ЧИСЛА КОМБИНАЦИЙ —
КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторикой называется область математики, в которой
изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций,
подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов,
22
принадлежащих заданному множеству. Иногда комбинаторику
рассматривают как введение в теорию вероятностей, поскольку
методы комбинаторики очень помогают в теории вероятностей
осуществить подсчет числа возможных исходов и числа благоприятных
исходов в разных конкретных случаях.
В теории вероятностей принято говорить не о комбинациях, а
о выборках. Поэтому мы будем придерживаться термина «выборка».
В комбинаторике рассматриваются виды выборок —
перестановки, размещения, сочетания. Как увидим дальше, выборки
могут в отличие от множеств включать повторно тот или иной элемент.
1. ОБЩИЕ ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ
Рассмотрим два общих правила, с помощью которых решается
большинство задач комбинаторики, — правило суммы и правило
произведения.
Допустим, в ящике имеется п разноцветных шариков.
Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами
можно это сделать? Конечно, п. Теперь эти п шариков распределим по
двум ящикам: в первом — т шариков, во втором — k.
Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем одиц шарик. Сколькими
разными способами можно это сделать? Из первого ящика шарик
можно вынуть т разными способами, из второго — к разными
способами. Всего п — т -\- k способами. (3.1)
Если некоторый объект Л можно выбрать т способами, а
объект В — k способами {не такими, как Л), то объект «либо А,
либо В» можно выбрать т + k способами.
Это так называемое правило суммы.
Перейдем к правилу произведений. Рассмотрим следующую
задачу.
Задача. Сколько можно записать двузначных чисел в
десятичной системе счисления?
Поскольку число двузначное, число десятков может принимать
одно из девяти значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число единиц может
принимать те же значения и может, кроме того, быть равным нулю.
Если цифра десятков 1, цифра единиц может быть 0, 1, 2, . . . —
всего 10 значений. Если цифра десятков —2, то вновь цифра
единиц может быть равна 0, 1, 2, . . . . Всего получаем 90 двузначных
чисел.
Обобщим полученный результат. Пусть данное множество из
п — т + k элементов разбито на два подмножества, состоящие
соответственно из т и & элементов. Пусть из подмножества,
содержащего т элементов, выбирается один элемент и независимо из
подмножества, содержащего k элементов, выбирается один элемент.
Спрашивается, сколько различных пар элементов при этом
образуется?
Ответ на поставленный вопрос дает таблица.
23
«А; агЬ2; а А; . . .; atbk
а2Ьг, афг\ а2Ь3; . . .; a2bk I от-строк
ambi> атН атЬз, • • •', ambk
k пар в каждой строке.
Таким образом, если общее число всевозможных пар обозначим
N, то
N = т.к. (3.2)
Сформулируем теперь правило произведений.
Если объект А можно выбрать т способами, а после каждого
такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от
выбора объекта A) k способами, то пары объектов А и В можно
выбрать mk способами.
2. ВЫБОРКИ ЭЛЕМЕНТОВ
Пусть имеем некоторое множество из п элементов аъ а2, а3, ...,
ап. Из этого множества можно образовать разные выборки1,
каждая из которых имеет г элементов
(О < г < п).
Выборки могут быть упорядоченными — размещениями.
Например, из элементов a, b и с можно образовать такие
выборки-размещения по 2 элемента:
ab, ba, са,
ac, be, cb.
Этих выборок 6, и они одна от другой отличаются либо
элементами, либо их порядком.
Попробуем из 4 элементов а, Ь, с и d образовать подобные
выборки по 3. Вот они:
abc,
abd,
acb,
adb,
acd,
adc,
Всего 24 выборки. В обоих примерах мы имеем дело.с выборками,
которые называются размещениями. В первом случае мы имеем дело
с размещениями из 3 элементов по 2, во втором — из 4 по 3.
Размещениями из п элементов по т называются такие выборки,
которые, имея по т элементов, выбранных из числа данных п элемен-
Ьас,
bad,
bca,
bda,
bed,
bde.
cab
cba
cad
cda,
cbd,
cdb,
dab,
dba,
dac,
dca,
dbc,
deb.
1 He всякая выборка является множеством (и может быть поэтому
подмножеством). Далее нам встретятся выборки с повторениями, они множествами
не являются.
24
шов, отличаются одна от другой липа составом зпру^цтсИх либо
порядком их расположения.
Число размещений из п элементов по т договоримся обозначать
А™. Попробуем определить это число.
Пусть имеем п элементов. Первый элемент можно выбрать п
способами. Второй приходится выбирать из оставшихся п — 1
элементов, поэтому второй элемент.можно выбрать п — 1 способом.
Тогда по формуле (3.2) пары двух элементов можно образовать
п (п — 1) способами. Третий элемент придется отбирать из числа
оставшихся п — 2 элементов. Это можно сделать я — 2 способами.
Тогда опять по формуле (3.2) тройки элементов можно образовать
п (п — \) (п — 2) способами. Аналогично четверки можно
образовать п (п — 1) (я — 2) (п — 3) способами, а размещения по т
элементов п (п — 1) (п — 2) . . . (п — (т — 1)) способами. Таким
образом,
/С - п (п — 1).(л — 2) ... (п — т + 1). (3.3)
С помощью этой формулы решим следующую задачу.
Задача. Допустим, в высшей лиге по футболу 18 команд.
Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали.
Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?
Ясно, что нужно найти число размещений А^. По формуле (3.3)
Ай = 18 • 17 • 16 = 4896.
Если кто-то в начале сезона, не зная, как укомплектованы и
подготовлены команды, ручается, что золотые медали будут у киевских
динамовцев, серебряные — у араратовцев, а бронзовые — у
московских спартаковцев, то он смельчак — называет одну
комбинацию из 4896 возможных. (Возможны случаи, когда команды делят
места.)
Если в формуле (3.3) т = п, то Л" — число таких размещений,
которые отличаются только порядком расположения элементов,
но не самими элементами. Такие размещения называются
перестановками. Их число по формуле (3.3)
ЛГг = п (п — 1) (п — 2) . . . 3 • 2 • 1 - п\ = Рп.
Рп - Апп = п\ (3.4)
Число п может принимать не только натуральные значения, оно
может также равняться нулю. Пустое множество (выборка)
является подмножеством любого множества, и естественно считать, что
оно может быть упорядочено только одним способом. Принято
считать, что 0! -- 1.
На практике не всегда важен порядок расположения в
выборках. Например, если в полуфинале первенства СССР по шахматам
участвуют 20 шахматистов, а в финал из них попадут только трое,
то участнику безразлично (если им не руководят соображения
престижа), какое из первых трех мест запять. Ведь были случаи, когда .
занявший третье место в полуфинале в финале был первым.
25
Если требуется установить, сколькими способами может
образоваться финальная тройка, то надо посчитать только те выборки из
20 элементов по 3, которые одна от другой отличаются хотя бы одним
элементом.
Вы, -конечно, узнали в неупорядоченных выборках сочетания.
Напомним, что число .сочетаний1 из п элементов по т
обозначается
Ат
ь„ — — —
I m
п\
(3.5)
(п — т)\ т\
Мрименяя эту формулу для решения задачи о -шахматистах,
получим число возможных финальных троек
20 • 19 • 18
С20-=
3-2.1
1140.
Формулы (3.3), (3.4) и (3.5) могут быть применены для
определения числа случайных событий — результатов испытаний или
наблюдений.
Примеры
1. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько
может быть образовано тренером разных стартовых пятерок?
Так как при составлении стартовой пятерки тренера интересует
только.состав пятерки, то достаточно определить число
сочетаний из 12 элементов по 5
12- И • Ю- 9
С\2 =
5 • 4 ■ 3 • 2 • 1
= 792.
2. Сколькими способами можно расположить на шахматной
доске 8 ладей (рис. 1.0) так, чтобы они не могли взять друг
друга?
Ясно, что в этом случае на
каждой горизонтали и каждой
вертикали шахматной доски
может быть расположено только
по одной ладье. Число
возможных позиций — число
перестановок из 8 элементов:
б • 5;. 4
40 320.
Зх
ps = 8! - 8 • 7
X 2 • 1
3. Для полета на Марс
необходимо укомплектовать
следующий экипаж космического
корабля: командир корабля, первый
1 Значения Седаны в таблице 1.
26
его помощник, второй помощник, два бортинженера и один врач.
Командующая тройка может быть отобрана из-числа 25 готовящихся к
полету летчиков, два бортинженера — из числа. 2.0 специалистов,
в совершенстве знающих устройство космического корабля, и врач —
из числа 8 медиков. Сколькими способами можно
укомплектовать экипаж исследователей космоса?
При выборе командира и его помощников важно определить,
какой из военных летчиков лучше других справляется с теми или
иными функциями в управлении кораблем. Значит, здесь важен не
только персональный состав командующей тройки, но и-
соответствующая расстановка подобранных людей. Поэтому ясно, что
командующая тройка может быть укомплектована Л is способами.
Обязанности у обоих бортинженеров примерно одинаковые.
Они могут выполнять их по очереди. Следовательно, пара
бортинженеров может быть укомплектована Cfo способами.
Аналогичное положение и с врачом — его можно подобрать С8 способами.
В силу формулы (3.2) весь экипаж может быть укомплектован
А\о ■ do • С\ = 20 976 000
способами.
Упражнения
32. В кружке юных математиков 25 членов. Необходимо избрать
председателя кружка, его заместителя, редактора стенгазеты и
секретаря. Сколькими способами можно образовать эту
руководящую четверку, если одно лицо может занимать только один пост?
33. Школьная комсомольская организация, в которой
насчитывается 150 членов, выбирает 6 делегатов на районную
конференцию. Сколькими способами может быть избрана эта шестерка?
34. Сколько разных трехзначных чисел можно составить из
цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?
35. В одной арабской сказке речь идет о такой задаче. Вокруг
костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит
двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное
необходимо выделить пять разбойников. Сколькими способами атаман
может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распри?
36. В колоде 32 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть
случаев появления одного туза среди розданных карт?
37. В пионерском отряде 4 звена по 8 пионеров. Выбираются
4 делегата на дружинный сбор. Что можно сказать о числе случаев
избрания в делегаты хотя бы одного представителя первого отряда?
38. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1,
2, 3, 4 и 5, если цифры могут повторяться?
39. Укротителю диких зверей предстоит вывести на арену цирка
один за другим 5 львов и 4 тигров. Сколькими способами он может
сгруппировать зверей так, чтобы ни разу два тигра не следовали
один за другим?
27
40. На книжной полке плотно уставлены п книг. Сколькими
способами можно взять с полки k книг при условии, что ни разу не
будут вынуты рядом стоящие книги?
3. ВЫБОРКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ
Из букв с, т, е, н, а можно образовать Рь = 5! = 120 разных
слов. Сколько разных слов можно образовать из букв слова
«гамма»? Столько же? Оказывается, нет! Только 30. Знакомая формула
числа перестановок в данном случае бессильна, ибо элементы в
«перестановках» повторяются: в слове «гамма» при перестановке
местами букв а и м никаких изменений не происходит — остается
то же самое слово. Мы ввели новый вид выборок — перестановки
с повторениями.
Пусть даны k элементов. Построим выборку из этого множества
элементов. Первый элемент повторим пх раз, второй п2 раз, . . .,
k-й повторим nk раз: nt + я2 + . . . + nk — п. Если бы все
элементы были различными, то по формуле (3.4) у нас получилось бы
п\ перестановок.
Но так как некоторые элементы в выборке повторяются и при
их перестановке новой перестановки не получим, то понятно, что
число перестановок с повторениями меньше /г!, но во сколько раз
меньше?
Пусть имеется выборка
ааа ... a bbb ... b ....///.../.'
Элементы а можно переставить Рщ — (ni)\ способами, элементы
b — Ль = (п2)! способами, ..., элементы — Рп = (nk)\ способами,
но число перестановок с повторениями от этого не изменится.
Значит, число перестановок с повторениями меньше числа
перестановок без повторения в пх\ пг\ . . . nk\ раз. Поэтому число
перестановок с повторениями
•/V «.....,«*=-ГГ1 ;• (3-6)
п nj!n2! . . . «д.!
В примере с выборкой букв из слова «гамма» п = 5, щ = [,
«2 = 2, п3 — 2. Поэтому, как мы уже убедились, можно образовать
51 =30 . ■
1! 2! 2'
разных слов (не все они имеют смысл).
Рассмотрим следующую задачу.
Задача. В гастрономе имеются конфеты трех наименований.
Конфеты упакованы в коробки трех видов — для каждого
наименования своя коробка. Сколькими способами можно заказать набор
из 5 коробок?
28
Здесь необходимо установить число выборок, которые
составляются из 5 элементов и отличаются (хотя бы одним элементом). В
составе каждой выборки непременно будет повторение элементов.
Каждый заказ зашифруем теперь нулями и единицами. Сначала
напишем столько единиц, сколько заказали коробок конфет первого
наименования. Потом напишем нуль. Дальше напишем столько
единиц, сколько заказали коробок конфет второго наименования.
После этого опять нуль и столько единиц, сколько заказали
коробок конфет третьего наименования. Если конфет второго или
третьего наименования совсем не заказали, то этот факт в нашей
шифровке окажется отмечен двумя нулями. Если не заказаны
конфеты первого или последнего наименования, пишем один нуль.
Например, событие «заказано 2 коробки конфет первого
наименования, 1 — второго наименования, 2 — третьего наименования»
зашифруем так:
1101011,
событие «заказано 2 коробки конфет первого наименования и 3 —
третьего»:
1100111,
событие «заказано 4 коробки конфет второго и 1 — третьего»: .
0111101.
Нетрудно заметить, что каждый зашифрованный заказ
представляет комбинацию пяти единиц и двух нулей. Это перестановки
с повторениями, где 1 повторяется 5 раз, нуль — 2 раза. Применяя
формулу (3.6), устанавливаем число всевозможных наборов конфет:
Р52 = -2— = 21.
' 5! 2!
Встретившиеся в рассмотренной задаче выборки, составляемые
из элементов одного и того же множества, не отличаются по своему
объему, но отличаются по составу (хотя бы одним элементом).
Такие выборки называются сочетаниями с повторениями.
Подсчитаем теперь число сочетаний Ckn с повторениями, если
объем каждой "такой выборки равен k, а множество, из которого
строятся выборки, содержит п элементов.
На основании проведенных рассуждений получаем:
Гк _ Р _ (* + П—1)1 . /о 7\
k\ {п — 1)!
так как (k + n~]Y- __ (k+n-l)(k + n-2)...(n + \)n(n-])\ _
k\(n—l)l k\{n—\)\
s= = Сг-fft—Ь ТО
«I
Cn = £„-1-/2-1 • (3.8)
29
Теперь полезно решить еще такую задачу.
Задача. Сколько разных трехзначных чисел можно составить
из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если одна и та же цифра может повториться
несколько раз?
Если бы не было повторений, то задача нам уже известна —
пришлось бы вычислять Аъ- Но в данном случае элементы могут
повторяться. Значит, мы имеем размещения с повторениями.
Первую цифру трехзначного числа мы можем выбрать пятью
способами: одну из цифр -1, 2, 3, 4 и 5. Вторую — также пятью
способами. Тогда по формуле (3.2) двузначное число можно образовать
5 • 5 = 52 = 25 способами. Третью цифру опять можно выбрать
пятью способами, и поэтому трехзначное число может быть
образовано 5 • 5 • 5 = 53 = 125 способами.
Аналогичные рассуждения помогут нам определить число
размещений с повторениями и в общем случае.
Пусть данное множество содержит п элементов, из которых не:
обходимо образовать размещения по k элементов с повторениями,
т. е. водном размещении тот же самый элемент может повториться
2, 3, . . ., k раз. Сколько таких размещений?
Первый элемент какого-нибудь из упомянутых размещений мы
можем выбрать п способами (одного из данных п элементов). Второй
элемент тоже п способами. Тогда в силу формулы (3.2) пару
элементов можно образовать п- п = п2 способами. Третий элемент
опять можем выбрать п способами, четвертый также и т. д. Понятно,
что в таком случае размещения из п элементов можем образовать
п • п • . . . • п — nk способами. Если договоримся число
размещений с повторениями обозначать An, то
Ж = л*. (3.9)
Примеры
1. Мать купила 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Девять дней
подряд она каждый день предлагает сыну по одному фрукту.
Сколькими способами она может выдать сыну фрукты?
Обозначим: яблоко — я, грушу — г, апельсин — а. Напишем
одну из возможных выборок:
гтягааяаа
Все остальные выборки можно получить перестановкой ее
элементов. Следовательно, приходится вычислять перестановки с
повторениями. В нашей задаче п ■-— 9, пх = 2, пг = 3, п3 — 4.
Поэтому число всевозможных способов раздачи фруктов
Л>,з,4 = —-— = 1260.
2! 3! 4!
2. В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими .
способами можно образовать набор -из 12 открыток? из 8 открыток?
80
В данном случае нам приходится; считать сочетания с
повторениями
Сш = -^- = 293 930,
12! 9!
С?о = -^-= 24 3Ю.
8! 9!
3. Сколько разных четырехзначных чисел можно составить из
цифр 0, 1,2, если та же самая цифра может повториться несколько
раз?
Из цифр 0, 1, 2 можно составить Лз = З4 четырехзначных числа.
Но числа, записанные четырьмя цифрами, первая из которых нуль,
не являются четырехзначными. Значит, из числ*а размещений с
повторениями надо вычесть число таких выборок, которые'начинаются
нулем. Последних столько, сколько трехзначных чисел можно
составить из цифр 0, 1, 2 при повторении цифр. Таких чисел будет
А\ = З3.
Поэтому ответ:
З4 — З3 = 54.
Упражнения
41. Сколько разных слов можно образовать при перестановке
букв слова «математика»?
42. Сколько разных слов можно образовать при перестановке
букв слова «соединение»?
43. Для несения почетного караула из 10 человек могут быть
приглашены офицеры пехотных войск, авиации, погранвойск,
артиллерии, офицеры морского флота и ракетных войск.
Сколькими способами можно избрать состав почетного караула?
44. Докажите:
45. На школьный вечер танцев собрались ребята VIII, IX и
X классов. Вести хоровод приглашаются 10 школьников.
Сколькими способами можно составить хоровод при условии участия в
нем хотя бы одного десятиклассника?
46. На студенческий вечерсобрались юноши и девушки 8
факультетов университета (в том числе математического и филологического).
Для исполнения танцев народов Латинской Америки приглашаются
10 студентов. Сколькими способами можно выбрать эту десятку
при условии участия в ней хотя бы одного студента
математического и хотя бы одного студента филологического факультета?
47. На Всемирный фестиваль молодежи в Москву прибыла
молодежь пяти континентов мира. Возникла необходимость
организовать делегацию из 8 представителей разных стран для
оглашения клятвы борцов за мир. Сколькими способами можно было обр-а-
31
зовать делегацию при условии участия в ней представителей всех
континентов?
48. Сколько пятизначных чисел можно образовать- из Цифр
1, 2, 3, если допускается повторение этих цифр?
49. Сколько пятизначных чисел можно образовать из цифр 0 и 1?
50. В одном государстве (сказочном) не найдется двух человек,
у которых оказался бы одинаковый состав зубов: либо у них разное
число зубов, либо зубов нет в разных местах. Оцените наибольшую
численность населения в этом государстве, если максимальное число
зубов у одного человека 32.
51. Сколькими способами можно отослать 6 писем разным
адресатам, если их будут разносить 3 курьера и заранее неизвестно,
какому курьеру какое достанется письмо?
52. Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть
вариантов распределения оценок, если известно, что так или иначе все
они экзамены сдали?
53. Три парня и две девушки решили после окончания школы
поступить на работу в своем родном городе. В городе имеются 3
завода, на которые набирают мужчин, 2 — где нужны женщины,
и 2 — которые принимают на работу и мужчин и женщин.
Сколькими способами пять выпускников могут распределиться по
заводам города?
4. СЛОЖНАЯ КОМБИНАТОРИКА
Изученные нами до сих пор приемы комбинаторики позволяют
решать немало разных задач, если удается правильно определить
вид выборок, о которых идет речь в той или иной задаче. Мы
советуем читателю каждый раз строить из элементов данного
множества несколько конкретных выборок соответственно
условиям задачи. Обзор таких выборок помогает раскрыть
принадлежность их к определенному типу выборок и,
следовательно, подводит к формуле, которой надлежит воспользоваться.
Упрощенная схема
рассуждений приведена на рисунке П.
Когда в задаче фигурируют
выборки разных видов,
недостаточно их обнаружить.
Необходимо установить связи между ними,
характер математических
закономерностей, которым они
подчиняются, их логическую и
комбинаторную природу. По-видимому,
невозможно представить
всевозможные ситуации одной схе-
/ — выборки; 2 —выборки без повторений; ,„«. „„„ „ пл../м.,гт nnxsni* r\f\
3 - выборки с попторсниями; 4 - переста- МОИ ИЛИ С ПОМОЩЬЮ ОДНОЙ 00-
новки; 5 - сочетания; 6 - размещения щеи заДЭЧИ'. ПОЭТОМУ МЫ Не MO-
32
жем предложить читателю универсальный ключ, который помог
бы легко найти путь решения любой комбинаторной задачи, но
тем не менее разбор некоторых сложных задач раскроет
некоторые способы рассуждений. Надеемся, что это поможет читателю
ориентироваться при решении и других задач повышенной
сложности..
Примеры
1. Сколькими способами можно расставить п нулей и к единиц
так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом?
Эта задача имеет смысл только при к ^ п + 1.
Убедимся в этом.
Между п нулями имеется п —1 одноместное «гнездо» для
единицы. Но единица еще может занять одно место впереди всех нулей
и одно место за всеми нулями. Таким образом, для к единиц имеем
п — 1 + 1 + 1=1+1 одноместных «гнезд». Задача сводится к
такой формулировке: «Сколькими способами можно к одинаковых
«шариков» распределить по п + 1 одноместным «гнездам», что
равносильно: «Сколькими способами из п + 1 элемента можно
образовать выборки по к элементов, когда их порядок не существен?»
Ответ: разумеется, Ckn+i способами.
2. Между четырьмя игроками в домино поровну
распределяются 28 костей. Сколькими способами могут распределиться кости
домино?
Первый игрок 7 костей может выбрать Cls способами. (Он не
обязательно первым набрал кости, но с него мы начинаем строить
возможные выборки.) Второму игроку приходится свою долю костей
выбирать из числа 21 оставшейся кости. Это он может сделать C2i
способами. Третий — Сц способами, а четвертый — Cj
способами. Тогда по правилу (3.2) кости могут быть распределены
/>7 /->7 ni f>j 28!
Ь28 - ^21 * Си * Ь7 = —.
Учащийся может возразить, что число всевозможных выборок
раздачи костей зависит от порядка раздачи. Это не так! Допустим,
игрокам кости розданы в таком порядке:
первый может получить 4 кости Cts способами, после чего
второй может получить 3 кости С%4 способами, после чего
третий может получить 6 костей Cfi способами, после чего
четвертый может получить 2 кости С\ъ способами, после чего
первый может получить 3 кости С?3 способами, после чего
четвертый может получить 5 костей Cf0 способами, после чего
третий может получить 1 кость С15 способами, после чего
второй может получить 4 кости С\ способами.
2 В. С. Лютикас
33
В силу правила (3.2) число всех выборок равно
С 4 /->3 /->6 /->2 ^3 x->5 /-il y-,4
28 * <->24 * С>21 ' t>15 " ^13 " WO ' ^5 • С4 =
— 28! 24! ^ 21! 15! 13! 10! 5! 4! _ 28!
~4! 24! 3! 21! 6! 15! 2? 13! ' 3! 10! 5! 5! ' 1! 4! ' 4! О! ~~ 4! 3! 6! 2! 3! 51 4.»'
Но первый игрок кости выбирал два раза, поэтому выборок
образовалось в —— раз больше из-за очередности, которая не име-
4! 3!
ет влияния на окончательный результат. Второй игрок также вы-
7
бирал два раза, поэтому выборок образовалось в --— раз больше.
7
Третий опять два раза, поэтому выборок образовалось в раз
7
больше. У четвертого получилось в раз больше.
- Следовательно, выборок получилось
28! ш (7!)4 _ 28!
4! 3! 6! 2! 3! 5! 4! ' 4! 3! 3! 4! 6! 2! 5! ~~ (7!)4 '
Итак, очередность выбора костей (как это, естественно, и
следовало ожидать) не влияет на результат.
Упражнения
54. Выпускнику средней школы, поступающему в вуз, нужно
сдать 4 экзамена и набрать на них не менее 17 баллов (двойки при
этом получать нельзя). Сколько существует разных наборов
экзаменационных отметок, дающих ему право поступления?
55. Сколько разных по стоимости браслетов может составить
ювелир из набора в 18 камней, если у него имеются 5 одинаковых
по стоимости рубинов, 6 одинаковых по стоимости алмазов и 7
одинаковых по стоимости кусков янтаря?
56. У мужа 12 сослуживцев: 5 женщин и 7 мужчин. У жены
тоже 12: 7 женщин и 5 мужчин. За семейным столом помещаются 14
человек. Сколько разных компаний из 6 женщин и 6 мужчин могут
они пригласить при условии участия 6 знакомых мужа и 6 знакомых
жены?
57. Все участники туристической поездки владеют по крайней
мере одним иностранным языком. 6 из них владеют английским
языком, 6 — немецким, 7 — французским, 4 — английским и
немецким, 3 — немецким и французским, 2 — французским и английским.
Один турист владеет английским, французским и немецким
языками. Других туристов в группе нет. Сколько туристов владеет
только английским языком, только французским? Сколько туристов
в группе?
58. Отряд из 92 школьников собрался в поход. 47 из них
приготовили бутерброды с колбасой, с сыром — 38, с ветчиной — 42,
34
с колбасой и с сыром — 28, с колбасой и с ветчиной — 31, с сыром
и с ветчиной — 26. 25 школьников взяли с собой бутерброды всех
сортов, а некоторые взяли только по бутылке молока. Сколько
было таких, которые взяли только молоко?
59. Найти сумму всех четырехзначных чисел, которые
получаются при перестановке цифр 1234.
60. Сколько чисел, меньших миллиона, можно записать с
помощью цифр 8 и 9?
61. Найдите сумму трехзначных чисел, которые можно
записать с помощью цифр 1, 2, 3 и 4?
62. Города А и В соединяются 2 шоссейными дорогами, которые
пересечены 10 проселочными. Сколькими разными способами мож-
до добраться от Л до В так, чтобы ни разу не пересекать
пройденный путь?
63. Имеется неограниченное количество монет по 10, 15 и 20 коп.
Сколькими способами можно образовать набор из 20 монет?
64. На заседании научного студенческого общества
присутствовало 52 студента: по 13 студентов от 4 факультетов. Сколькими
способами можно избрать правление общества в составе 4 лиц так,
чтобы в состав правления вошли представители трех факультетов?,.
65. По линейке расположены п предметов. Сколькими
способами можно убрать 3 из них так, чтобы не были убраны рядом
стоящие предметы?
66. 5 белых шариков, 5 черных и 5 красных надо разложить по
3 ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось по 5 шариков.
Сколькими способами это можно осуществить?
67. При закрытии пионерского фестиваля Прибалтийских
республик в первый ряд президиума (из 9 мест) были приглашены
3 литовских, 3 латышских и 3 эстонских пионера. Сколькими
способами их можно рассадить так, чтобы ни одна тройка
представителей из одной республики не занимала трех соседних мест?
68. Сколько цифр понадобится для записи всех чисел от 1 до
999 999 включительно?
IV. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ
Бросаем игральную кость. Выпасть могут или одно, или два,
или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих
событий элементарное, и вместе они образуют множество
элементарных событий. Рассмотрим теперь следующие события:
А — «выпадение 5 очков»,
В — «выпадение четного числа очков»,
С — «выпадение не меньше 3 очков».
Событие А — одно из шести равновозможных элементарных
событий.
Событие В означает «выпадение или 2, или 4, или 6 очков», т. е.
оно представляет три из шести равновозможных элементарных
событий.
2*
35
Событие С означает «выпадение или 3, или 4, или 5, или 6 очков»,
т. е. оно представляет четыре из шести равновозможных
элементарных событий.
У нас нет данных, чтобы, бросая кость, предугадать будущий
результат, но кое-какие предположения высказать мы можем. Так,
ясно, что событие Л должно происходить реже, чем В (событию Л
благоприятствует меньше элементарных событий), а последнее
должно происходить реже, чем событие С (событию В
благоприятствует меньше элементарных событий). Как численно оценить
возможности появления событий А, В и С?
Рассмотрим следующие элементарные события, которые при-
бросании игральной кости, как нам уже известно, образуют полную
группу попарно несовместимых событий: __
At — «выпадение 1 очка»,
А2 — «выпадение 2 очков»,
А3 — «выпадение 3 очков»,
Л 4 — «выпадение 4 очков»,
Л5 — «выпадение 5 очков»,
Л6 — «выпадение 6 очков».
Если имеет место элементарное событие Л 2, то имеет место и
событие В. Если имеет место элементарное событие Л 4,то вновь происходит
событие В. Если имеет место элементарное событие Лв, то опять
имеет место В. Значит, элементарные события Л2, Л4 и Лв
благоприятствуют событию В, аналогично элементарное событие Л6
благоприятствует событию Л, а элементарные события Л8, Л4, Л5 и Лв —
событию С. Возможность появления того или иного события удобно
оценивать отношением числа благоприятствующих элементарных
событий к числу равновозможных элементарных событий, которые
образуют полную группу попарно несовместимых событий. В
данном случае возможность появления события Л оценивается числом—,
события В = —, события С = —. Эти числа называются
6 2 6 3
вероятностями соответствующих событий и обозначаются:
Я (Л) = 1-Я (Я) = 1 Я(С) = |.
О
36
Рис. 12
Пусть т — число всех тех равновозможных элементарных
событий, которые благоприятствуют некоторому событию Л; п —
число элементарных событий, образующих полную группу равно-
возможных и попарно несовместимых событий. Отношение — назы-
п.
ваем вероятностью события Л и обозначаем:
Р(А) = —. (4.1)
п
Вероятность Р (Л) можно рассматривать как функцию
события Л, определенную на множестве элементарных событий Е. Из
определения должно быть ясно, что Р (U) — 1, Р (V) = О1. Если
событие В не является ни достоверным, ни невозможным, то
О <Р(В) < 1.
Иногда мы сталкиваемся с событиями, для которых не можем
определить числа тип для вычисления вероятностей этих
событий, и поэтому не удается непосредственно пользоваться
формулой (4.1).
К числу таких событий относятся содержащие бесконечные
подмножества множества элементарных событий. Рассмотрим,
например, задачу на отыскание так называемой геометрической
вероятности.
Задача. Пусть на плоскости задан круг и в нем треугольник
(рис. 12). В круг наудачу бросается точка. Как определить
вероятность события Л, состоящего в том, что точка попадает в
треугольник?
При решении этой задачи будем руководствоваться следующим
исходным положением:
вероятность попасть в какую-либо часть круга
пропорциональна площади этой части.
Если площадь круга составляет п единиц площади, а площадь
треугольника т единиц площади, то в силу пропорциональности
D , ... mk един. пл. т
f (Л) — — — — .
пк един. пл. п
Отношение —, конечно, в таких случаях совсем не обязано быть
п
рациональным числом, а т и п — положительными целыми числами.
Хотя формально результат и записывается так же, как формула
(4.1), смысл он имеет несколько иной.
Примеры
1. В ящике имеются 4 белых и 7 черных шаров. Какова
вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется белым?
В этом случае т = 4, п — 11. Поэтому Р («наудачу вынутый шар
белыш) = —.
1 Если Р (А) — 0, то это не означает, что событие А невозможно, т. е. что
А и V совпадают.
37
2. Первенство по баскетболу оспаривают 18 лучших команд,
которые путем жеребьевки распределяются на две группы, по
9 команд в каждой. 5 команд обычно занимают первые места.
Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну
группу? Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в одну
группу и трех — в другую?
Обозначаем события:
А — «все 5 лидирующих команд попали в одну группу»,
В — «2 лидирующие команды попали в одну группу, 3 — в
другую».
Из 18 команд группы по 9 команд могут быть образованы С%
способами. Таким образом, п = С%. Событию А благоприятствует
столько событий, сколькими способами 5 лидирующих команд
могут образовывать девятки с четырьмя командами из числа остальных
13 команд. Поэтому как первая, так и вторая девятка могут быть
образованы Cf3 способами. Следовательно, т = 2Cf3.
Р(Л) =
Cl 34"
'18
Аналогичные рассуждения подсказывают нам, что число
событий, благоприятствующих событию В, равно
т — Съ • С13 + С5 • С13.
Поэтому
^2 г1 , ^3 /-6
Р(В) =
q-q3 + q.cf3 12
^18
Наличие лидирующих команд в обеих группах более вероятно,
чем их отсутствие в одной из групп. Любители баскетбола в этом
убеждаются на практике: слабых групп нет!
3. Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании
из 10 человек. Они оба очень хотели сидеть за праздничным столом
рядом. Какова вероятность исполнения их желания, если среди
их друзей принято места распределять путем жребия?
10 лиц могут усесться за стол 10! разными способами. Сколько
же из этих п — 10! равновозможных способов благоприятны для
Тани и Вани? Таня и Ваня, сидя рядом, могут занять 20 разных
позиций. В то же время восьмерка их друзей может сесть за стол 8!
разными способами, поэтому т = 20 • 8!. Поэтому Р («исполнение
~ D ч 20 • 8! 2
желания Тани и Вани») = = —.
10! 9
Не очень-то утешающий ответ.
Формула (4.1) для вычисления вероятностей может быть
применена только тогда, когда известно:
1) что результаты всех испытаний или наблюдений равновоз-
можны;
38
2) что все равиовозможные результаты (события) образуют
полную группу попарно несовместимых событий.
Мы уже рассказывали читателю о трудностях, с которыми
столкнулись последователи Лапласа. Как избежать подобных
недоразумений при вычислении вероятности таких событий, равновозможность
которых не удается установить на основании симметрии
используемых моделей? Как действовать в таких случаях, когда не удается
непосредственно убедиться в попарной несовместимости событий?
Пусть стрелок производит выстрел по мишени. Как оценить
вероятность попадания? Если события «попадание» и «промах» равно-
возможны, то ответ получаем сразу:
Р («попадания») == —.
Но они могут быть не равновозможны. Скажем, Алеша
постоянно посещает тренировки по стрельбе и каждый раз из сотни
выстрелов попадает в мишень 80—90 раз, а Сережа на стрельбище бывает
редко, поэтому из сотни выстрелов попадает только 30—40 раз.
Ясно, что у Алеши возможность попадания больше, чем у Сережи.
Как оценить эти разные возможности? Из практики, так, как
определяется число появлений герба при подбрасывании монеты.
Произведв! о выстрелов
Число попаданий Алеши
Число попаданий Сережи
10
8
3
20
17
5
30
26
8
40
33
12
50
41
15
60
49
19
70
56
22
80
65
25
90
72
28
100
81
31
Из таблицы видно, что как у Алеши, так и у Сережи отношение
числа попаданий к числу произведенных выстрелов меняется. Эти
отношения в какой-то мере зависят от числа произведенных
выстрелов. Но вместе с тем заметно, что упомянутое отношение для
каждого стрелка колеблется около определенного числа: у Алеши около —,
у Сережи около —. Эти числа логично принять за оценку
вероятности попадания — частоту. Эта оценка тем более надежна, чем больше
проведено опытов с целью установления ее значения.
Пусть / — число испытаний, при проведении которых могло
произойти или не произойти событие Л, a k — число испытаний,
при проведении которых событие А произошло. Отношение —
называем частотой события А и обозначаем:
Pi{A} = j. (4.2)
39
Индекс / специально ставим для того, чтобы подчеркнуть
зависимость частоты от числа испытаний. Практика показывает, что
в случаях, когда точно знаем вероятность Р (А) в классическом
понимании, при достаточно большом числе испытаний /,
Р, {А}&Р(А).
Это приближенное равенство получило теоретическое
обоснование, как увидим далее, в законе больших чисел, открытом Яковом
Бернулли. Непосредственно из формул (4.1) и (4.2) следуют такие
важные выводы:
1) Вероятность достоверного события равна 1, т. е.
р(£/) = - = 1.
п
2) Вероятность невозможного события равна нулю, т. е.
Р(У) = - = 0.
п
Замечание: если Р (А) = 0, то это не значит, что событие
А невозможно, т. е. что утверждение, обратное 2-му, неверно.
3) Вероятность любого события А подчиняется неравенству
0<Р(Л)<1, ибо т ■< л.
Примеры
1. Как приближенно установить число рыб в озере?
Пусть в озере х рыб. Забрасываем сеть и, допустим, находим в
ней п рыб. Каждую из них метим и выпускаем обратно в царство
Нептуна. Через несколько дней в такую же погоду и в том же месте
забрасываем ту же самую сеть. Допустим, что находим в ней т рыб,
среди которых k меченых. Пусть событие А — «пойманная рыба
мечена». Тогда по формуле (4.2)
Но если в озере х рыб и мы в него выпустили п меченых, то
согласно формуле (4.1)
Р(Д) = -.
X
Так как
Рт{А}яР(А), то х
тп
Т'
2. Из 1000 произвольно выбранных деталей 4 бракуются.
Сколько бракованных окажется среди 2 400 деталей (приближенно)?
Обозначим события:
А — «наугад выбранная деталь бракованная».
40
Тогда Р {А} = 0,004.
Если среди 2400 деталей х бракованных, то Р (А) = ——. Так
2400
как Р{А) « Р(А), то — да 0,004, откуда х да 10.
Упражнения
69. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга».
Неграмотный мальчик перемешал буквы, а потом их наугад собрал.
Какова вероятность того, что он опять составил слово «книга»?
70. На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3
человека. Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже
одинакова. Найдите вероятности событий:
А — «все вышли из лифта на 4 этаже»,
В — «все вышли из лифта на одном и том же этаже»,
С — «все выходили из лифта на разных этажах».
71. 10 шаров произвольно раскладываются по 4 ящикам. Чему
равна вероятность того, что в первом ящике окажется один шар,
во втором — 2, в третьем — 3 и в четвертом — 4 шара?
72. 4 зенитных пулемета ведут огонь по 3 самолетам. Каждый
пулемет выбирает объект обстрела наугад. Какова вероятность
того, что все 4 пулемета ведут огонь по одному и тому же самолету?
73. На пяти карточках написано по одной цифре из набора 1,
2, 3, 4 и 5. Наугад выбираются одна за другой две карточки. Какова
вероятность того, что число на второй карточке больше, чем на
первой?
74. В одном ящике 6 белых и 4 черных шарика. Во втором —
7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимается по
одному шарику. Чему равна вероятность того, что оба шарика окажутся
белыми?
75. Условия задачи те же. Чему равна вероятность того, что вы- -
нутые шарики разных цветов?
76. Четырем игрокам раздается поровну колода из 32 карт.
Определить вероятность того, что каждый игрок получил карты
только одной масти.
77. Какова вероятность того, что при случайном
распределении п шариков по п гнездам одно гнездо окажется пустым?
78. На стоянке автомобилей можно поместить 12 машин в один
ряд. Однажды оказались свободны 4 места подряд. Является ли
это событием исключительным или столь же часто бывают свободны
4 не соседних места?
79. В ящике 90 стандартных и 10 нестандартных деталей. Какова
вероятность того, что среди 10 наугад вынутых деталей
бракованных не окажется?
80. В некотором семействе 4 сестры по очереди моют посуду.
Из каждых 4 разбитых тарелок 3 разбито младшей, и поэтому ее
называют неуклюжей. Справедливо ли это?
41
81. Номер телефона состоит из пяти цифр. Какова вероятность
того, что все цифры наугад набранного номера разные?
82. Замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых
разделен на 6 секторов, отмеченных цифрами. Замок может быть
открыт только в том случае, если все диски занимают определенные
положения относительно корпуса замка, их цифры образуют
определенное число, составляющее «секрет» замка. Какова вероятность
открыть замок, установив произвольную комбинацию цифр?
83. Два друга условились встретиться в Москве у" памятника
А. С. Пушкину между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет
второго в течение а минут (а < 60), после чего уходит. Чему равна
вероятность встречи?
До сих пор мы использовали для подсчета вероятностей только
определение вероятности. Со следующего параграфа начнем
использовать некоторые простейшие формулы.
V. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕРОЯТНОСТЯМИ
1. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ НЕСОВМЕСТИМЫХ СОБЫТИЙ
Пусть т — число равновозможных элементарных событий,
благоприятствующих событию Л, к — число равновозможных
элементарных событий, благоприятствующих событию В,
несовместимому по отношению к событию-Л. Пусть п — общее число равно-
возможных элементарных событий, образующих полную группу
несовместимых событий.
В силу формулы (4.1)
/>(Л) = —, Р(5) = -.
п п
Согласно определению суммы несовместимых событий А -\- В
означает: «имеет место или Л, или Б». Но число событий,
благоприятствующих такому событию, равно т -\- k, поэтому согласно
формуле (4.1)
Р(А + В)
m-\-k
т k
п п
Р(А+В)--
42
Рис. 13
Применяя только что рассмотренные равенства, находим:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (5.1)
На рисунке 13 дана геометрическая интерпретация формулы (5.1),
если т, к и п здесь величины площадей нарисованных фигур.
Последнее равенство выражает следующее правило, которое
последовательным применением формулы (5.1) может быть
распространено на любое конечное число событий.
Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна
сумме вероятностей этих событий.
С помощью этого правила мы можем справиться со многими
задачами.
Примеры
1. ■ В лотерее выпущено 10 000 билетов и установлены: 10
выигрышей по 200 руб., 100 — по 100 руб., 500 — по 25 руб. и 1000
выигрышей'— по 5 руб. Гражданин купил 1 билет. Какова вероятность
того, что он выиграет не меньше 25 рублей?
Обозначим события:
А — «выигрыш не менее 25 рублей»,
Ах — «выигрыш равен 25 рублям»,
А2 — «выигрыш равен 100 рублям»,
А3 — «выигрыш равен 200 рублям».
Поскольку куплен только один билет, то А = Л1 + Л2 + Л3,
где события Аъ А2 и Л3 попарно несовместимы, поэтому
Р(А) = Р {Ах + А2 + А3) = Р (А,) + Р (А2) + Р (Л3),
Р (А,) = 0,05, Р (Л2) = 0,01, Р (Лв) = 0,001,
Р (А) = 0,05 + 0,01 + 0,001 - 0,061.
2. Военный летчик получил задание уничтожить 3 рядом
расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета
одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01, во
второй — 0,008, в третий — 0,025.
Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и
остальных складов. Какова вероятность того, что склады
противника будут уничтожены?
Обозначим события:
А — «склады уничтожены»,
Лх — «попадание в первый склад»,.
А2—«попадание во второй склад»,
А3 — «попадание в третий склад».
Для уничтожения складов достаточно попадания в один из
упомянутых трех складов. Поэтому
А — А + Ао + А
Р(А) = Р (А, + А2 + Л а) = Р (At) + Р (А2) + Р (Л а) -
= 0,01 + 0,008 + 0,025 = 0,043.
43
3. Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления
хотя бы одного герба?
Обозначим события:
А — «появление герба при подбрасывании первой монеты»,
В — «появление герба при подбрасывании второй монеты».
Снова предстоит найти вероятность события С = А + В. Но
в этом случае Р {С)Ф Р (А) + Р(В), ибо события А и В
совместимы. Поэтому формула (5.1) не применима. Приходится избрать
другой путь решения.
Пусть событие С — «выпадение герба не состоялось». Ясно, что
Р (С) = —, ибо при бросании двух монет могут произойти только
следующие события, составляющие полную группу несовместимых
событий.
гг, цц , цг, гц
Событие С + С представляет собой достоверное событие,
поэтому с + с = и. _
Р (U) = Р (С + С) = Р (С) + Р (С) = 1,
отсюда
Р (С) = 1 — Р (С) = 1 — - = -.
' • V ' 4 4
2. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ СОВМЕСТИМЫХ СОБЫТИЙ
Пусть т — число равновозможных элементарных событий,
благоприятствующих событию А, к — число равновозможных
элементарных событий, благоприятствующих событию В. Допустим,
что среди упомянутых т + к событий содержится / таких, которые
благоприятствуют и событию Л, и событию В. Если п — общее
число равновозможных элементарных событий, образующих
полную группу, то согласно формуле (4.1)
Р(Л) = -,/>(й) = -,Р(/4В) = -.
п п п
Запись А + В означает: «произойдет или событие А, или В,
или и то и другое вместе». Но такому событию благоприятствуют
(т + к — I) элементарных событий. Поэтому по формуле (4.1)
находим:
P(A + B) = m + k-! = Л+ 1-1.
п п п п
Подставляя значение, получим:
Р(А +В) = Р.{А) + Р(В) — Р(АВ). (5.2)
Ясно, что эта формула представляет собой обобщение формулы
(5.1). На основании равенства (5.2) формулируем правило.
44
Рис. 14
Вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности их совместного
осуществления.
Геометрическая интерпретация формулы (5.2) дается на
рисунке 14, где т, k, I, n представляют величины площадей
нарисованных фигур.
Примеры
1. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадания
хотя бы одного герба?
Обозначим события:
А — «появление герба при подбрасывании первой монеты»,
В — «появление герба при подбрасывании второй монеты».
Нам надо определить вероятность события С = А -Ь В.
Так как А и В — совместимые события; то
Р (С) = Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ).
Ясно, что Р(А) = ~, Р(В) = ±, Р(АВ) = -. Отсюда Р(С) =
•«1 + 1^1 = ^
2Т2 4 4'
2. Бросают две игральные кости. Какова вероятность
появления хотя бы одной шестерки?
Обозначим события:
А — «появление шестерки при бросании первой кости»,
В — «появление шестерки при бросании второй кости».
Нам надлежит определить вероятность события С = A -f В.
Р(С) = Р(А+ В) =■/> (А) + Р{В) — Р (АВ).
Ясно, что
Тогда
45
ЖО-1+I-1-H.
' 6 6 36 36
3. Л, £ и С — совместимые события.
Доказать:
Р (А + В + С) = Р (А) + Я (В) + Р (С) — Р (АВ) — Р (АС) —
— Р {ВС) + Р (ABC).
Обозначим А + В = D. Тогда
Р (А + 5 + С) = Р (D + С) = Р (D) + Р (С) — /> (DC) =
= Р (А + В) + Р (С) - Р ((А + В) С) - Р (А) + Р(В)-~
—Р (ЛБ) + Р(С)~Р (АС + ВС)= Р (А) + Р(В) + Р (С)—
—Р (АВ) — (Р (АС) + Р (ВС) — Р (АСВС)) = Р (А) +
4- Р(В)-\- Р (С) — Р (АВ) — Р (АС) — Р (ВС) + Р (ABC), ибо
ЛСБС = ABC.
3. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Из ящика, в котором а белых и b черных шаров, наугад
вынимаются последовательно один за другим два шара.
Рассмотрим события:
Л — «первый шар белый»,
В — «второй шар белый».
Понятно, что Р (Л) = -?—. Ка кова же вероятность события В?
а + Ь
Если событие Л произошло, то среди оставшихся а + Ь — 1
шаров только а — 1 белых, поэтому вероятность того, что второй
шар белый ———. Если же Л не произошло, то среди оставшихся
а-\-Ь— 1
шаров белых а, поэтому вероятность того, что второй шар белый
. Мы столкнулись с ситуацией, когда вероятность появле-
а + Ъ~ 1
ния события В зависит от того, произошло или не произошло
событие Л. В таком случае говорим, что событие В зависит от
события Л, а вероятность появления события В условная.
Найдем способ вычисления таких вероятностей.
Условную вероятность появления события В, если событие Л
произошло, будем обозначать Р (В/А).
Пусть из п равновозможных событий Аъ Л2, ..., Лл,
составляющих полную группу,
событию Л благоприятствуют т событий,
событию В благоприятствуют k событий,
событию АВ благоприятствуют г событий
(понятно, что г ^ k, г ^ т). Если событие Л произошло, то это
означает, что наступило одно из событий Ар благоприятствующих
"событию Л. При этом условии событию В благоприятствуют г и
только г событий Ар благоприятствующих АВ. Таким образом,
46
P(B/A) = ±=±=?№.
' m m P(A)
Точно так же
n
г
v ' k k_ P(B)
n
На основании этих формул находим:
Р (АВ) = Р(В) • Р (А/В),
Р(АВ) = Р(А) • Р(В/А),
т. е.
Р (АВ) = Р(В) • Р (А/В) = Р(А) • Р (В/А). (5.3)
На основании (5.3) формулируем правило умножения
вероятностей.
Вероятность произведения двух событий равна произведению
вероятности одного из этих событий на условную вероятность
другого при условии, что первое произошло. .
Замечание. Формулы (5.3) имеют смысл в том случае,
если имеют смысл события А/В и В/А. А они имеют смысл тогда,
когда события А и В совместимы.
Примеры
1. В ящике а белых и Ь черных шаров. Последовательно
вынимаются два шара. Какова вероятность того, что оба они белые?
Обозначим события:
А — «первый шар белый»,
В — «второй шар белый».
Нам надлежит найти Р (АВ). Имеем:
Р(В/А)= а~1 . Р(А)
а -\-Ь— Г а+Ь
Согласно формуле (5.3) находим:
Р(АВ) = ^=^ .
(а + 6)(а + 6-1)
2. Из колоды в 32 карты наугад одну за другой вынимают две
карты. Найти вероятность того, что:
а) вынуты два валета;
б) вынуты две карты пиковой масти;
в) вынуты валет и дама.
Обозначим события:
47
Л — «первая карта — валет»,
В — «вторая карта — валет»,
С — «первая карта — пиковой масти»,
D — «вторая карта — пиковой масти»,
Е — «вторая карта — дама».
Нам следует найти Р (ЛВ), Р (CD) и Р (АЕ).
По формуле (5.3)
Р (АВ) = Р (В/А) • Р (А);
Р (CD) = P (D/C) • Р (С);
Р (АЕ) = Р (Е/А) • Р (А);
Р (В/А) = 1, Р (А) = 1, тогда Р (АВ) = -L;
Р(DIC) = ~, Р(С) = 1, тогда />(CD) = -Z-;
Я(£/Л) = 1, Я(Л) = 1 тогда Р(ЕА) = ±.
3. Доказать:
Р (Л И Из) - Р (А,) • Р (A2jAx) . Р (Л3/ЛИ2).
Пусть ЛХЛ2 = 5- Тогда P(^H2^3) = Р {ВА9). По формуле (5.3)
Р (АЛ,) = Р (AJB) . Р(В) = Р (А3/А,А2) • Р (ЛИ2).
Еще раз применяем формулу (5.3):
Р ИхЛаЛ.) = Р (Лх) • Р (А2/Аг) • Р (Ла/ЛИа).
4. ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ
Событие В называется независимым от Л, если его вероятность
не зависит от того, произошло или не произошло событие Л.
Р (В/А) = Р (В).
Это, конечно, формальное определение независимых событий.
Но независимость можно определять и интуитивно — например,
нетрудно сообразить, что результаты неоднократного бросания
монеты — независимые события.
В случае независимости события В от события Л из формулы
(5.3) получим:
, Р (АВ) = Р(А) • Р (В). (5.4)
Сопоставляя формулы (5.3) и (5.4), убеждаемся, что свойство
независимости взаимна. Если событие В не зависит от
осуществления Л, то и Л не зависит от осуществления В.
На основании (5.4) формулируем правило.
Вероятность произведения двух независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий.
На практике, как мы убедимся при рассмотрении примеров,
для установления независимости событий обычно пользуются со-
48
ображениями, основанными на опыте обращения с данными
объектами, а не анализом формул.
Примеры
1. Бросают две игральные кости. Какова вероятность
появления на первой кости нечетного числа очков и на второй пяти очков?
Обозначим события:
А — «появление нечетного числа очков при бросании первой
кости»,
В — «появление пяти очков при бросании второй кости».
Нам нужно найти Р (АВ). Так как события А и В совместимы
и независимы, то Р (АВ) = Р (А) • Р (В). Но Р (А) = -, Р (В)=
= —, поэтому Р (АВ) = —.
2. А, В и С — совместимые и независимые события1.
Доказать, что Р (ABC) = Р (А) • Р (В) • Р (С).
Допустим, что А В = D. Тогда Р (ABC) = P (DC) = P (D) X
X Р(С) = Р (АВ) • Р(С) = Р(А) • Р (В) • Р (С).
Рассмотрение этого примера подводит к обобщению правила
умножения вероятностей для произвольного числа событий. В
случае независимости событий соответствующая формула принимает
вид
Р (AtA2 ...Ап) = Р (Ах) - Р (А2) ... Р (Ап). (5.5)
3. Подбрасывают 3 монеты. Найти вероятность выпадения •
гербов на всех трех монетах.
Обозначим события:
Ах — «появление герба при бросании первой монеты»,
Л2 — «появление герба при бросании второй монеты»,
А3 — «появление герба при бросании третьей монеты».
Поскольку события Аъ Л2, А3 совместимы и независимы, то на
основании вывода, полученного при рассмотрении второго примера,
получим:
P(A1A,A3) = P(A1)-P(A2)<P(A3) = ^J=j.
4. Если события А и В независимы, то события А и В так же
независимы.
Действительно, поскольку А и В независимы, то Р (В/А) = Р (В)
и Р (В/А) = 1 — Р (В) = Р (В).
Аналогично убеждаемся, что в случае независимости событий
А и В независимыми будут события В и А.
1 Несколько событий называются независимыми, если любое из них не
зависит от любой совокупности остальных. Для независимости событий в их
совокупности недостаточно, чтобы они были попарно независимы.
49
Предлагаем вам самостоятельно установить, что в этом случае
независимыми будут также события Л и В.
5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть требуется найти вероятность события А, которое
происходит вместе с одним из несовместимых событий Въ В2, В3, ...
..., Вп, образующих полную группу попарно-несовместимых
событий. Если Л произошло вместе с одним из событий Въ В2, В3, ...
..., Вп, значит, произошло одно из несовместимых событий:
АВи АВ2, АВ3, ..., АВп.
Таким образом, событие А представляет или событие ABlf или
АВ2, или АВ3, ..., или АВп, а это означает, что
А = ABt + АВг + АВ3 + ... + АВп.
Поскольку события Ви В2, В3, ..., Вп взаимно несовместимы,
то и события АВЪ АВ2, АВ3, ..., АВп обладают тем же свойством.
Поэтому Р (Л) = Р (АВХ) + Р (АВ2) + Р (АВ3) + ... +
+ Р(АВп). • (5.6)
По формуле (5.3)
Р (АВг) = Р (А/В,) • Р (В,),
Р (АВ2) = Р (AjB2) • Р (В2),
Р (АВп) = Р (А/Вп) • Р (Вп).
Поэтому
Р(А) = Р (А/В,) • Р (Вг) + Р (А/В2) • Р (В2) + ...
... + Р(А/Вп). Р(Вп). (5.7)
Равенство (5.7) носит название формулы полной вероятности.
С помощью этой формулы легко находим так называемую формулу
Бейеса
Р№) = ' рт-Р(лт 5 8)
У " ' Р (А/В,) • Р (В,) + Р (А/ЕЦ • Р (В2) + ...+Р (А/ВJ • Р (Вп)
при i — 1, 2, ..., п.
Особенно широко она применяется при решении задач,
связанных с вероятностной оценкой гипотез.
Докажем справедливость формулы Бейеса.
По формуле (5.3)
Р (АВд = Р (А/В,) • Р (Вд
и
Р (АВд = Р (BJA) • Р (А).
Из последнего равенства находим:
50
P(Bi/A) = ^^-.
v u ' P(A)
Подставляя значение Р (Л), из формулы полной
вероятности (5.7) получаем формулу Бейеса.
Примеры
1. Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность
попадания первым выстрелом 0,4, вторым*— 0,5, третьим — 0,7. Одним
попаданием кабана можно убить с вероятностью 0,2, двумя
попаданиями с вероятностью 0,6, а тремя — наверняка. Найти вероятность
того, что кабан будет убит.
Рассмотрим несовместимые события, составляющие полную
группу: Л0, Ли Л2, Л3.
Л0 — «промах»,
At — «одно попадание»,
Л2 — «два попадания»,
А3 — «три попадания»,
В{ — «попадание с первого выстрела»,
82 — «попадание со второго выстрела», .
83 — «попадание с третьего выстрела»,
А — «кабан убит».
Согласно формуле полной вероятности
Р(А) = Р (Ло) ■ Р (Л/Ло) + Р (At) ■ Р (А/А,) + Р (Л2) X
X Р (А/А2) + Р (Л3) • Р(А/А3).
Вспомнив, что события, противоположные событиям Ви В2, В3,
обозначаются соответственно Ви В2, В3, имеем:
_Л_о_ = Bj.B2Bji, _
Ai — BiB%B$ + BiBbB3 + BiB2B3,
Л2 = BXB2B3 + В,В2В3 + BXB2B3,
A3 = BiB2B3.
Поскольку Bit B2, B3 независимы и B\, B2, В3 независимы, то
Р (Л о) = Р&) . Р JJSa) • Р (fl3),
Р (Ai) = P(Bi) • Р (В2)-Р (В31+ Р (В,) • Р (В2) -Р{ВЛ)+Р{В1)Х
X Р (В2) Р (В3),
Р (Л2) = Р (Я,) • Р (В2) • Р (Д8) + Р (BJ • Р (В2).Р(В3) +
+ Р (£,) • Р (В2) • Р (В3),
Р(Л3) = />(£?,)• Р(В2)- Р(В3).
Из условия задачи известно, что Р (Вх) = 0,4; Р (В2) = 0,5;
Р (В,) = 0,7;
отсюда находим Р (Bt) = 0,6; Р (В2) = 0,5; Р (В9) = 0,3. Поэтому
61
P(A0) = 0,6 • 0,5 • 0,3 = 0,09,
Р{А%) = 0,4 . 0,5 • 0,3 +0,6 • 0,5 • 0,3 + 0,6 • 0,5-0,7= 0,36;
P (Л2) = 0,4 • 0,5 • 0,3 + 0,4 • 0,5 • 0,7 + 0,6 • 0,5 • 0,7 = 0,41;
P(A3) -0,4 • 0,5 -0,7 = 0,14.
Из условия следует
P {A/A0) = 0; P{A/AX) = 0,2; P (A/At) = 0,6; P {A!A3) = 1.
Подставляя эти результаты в формулу полной вероятности,
получим:
Р (А) = 0,09 • 0 + 0,36 • 0,2 + 0,41 • 0,6 + 0,14 • 1 = 0,458.
Оказывается, что тремя выстрелами не так просто положить на
лопатки кабана. Охотникам, впрочем, это хорошо известно.
2. В одном из трех ящиков 6 белых и 4 черных шарика, во
втором — 7 белых и 3 черных, в третьем — только 8 белых. Наугад
выбираем один из трех" ящиков и из него снова наугад выбираем
один шарик. Он оказался белым. Какова вероятность того, что
этот шарик вынут из второго ящика?
Обозначим события:
Ах — «наугад выбран первый ящик»,
Л2 — «наугад выбран второй ящик»,
Л3— «наугад выбран третий ящик»,
А — «наугад вынут белый шарик».
Ясно, что
Р (Ад = Р (А2) = Р (А3) = 1.
Далее легко находим:
РИМ1)=|, Р(Л/Л2) = -^, />(Л/Л3) = 1.
По формуле Бейеса (5.8) искомая вероятность
I L
3 ' 10 7
P(AJA) =
1 1 L L 1 23
3 ' 5 + 3 ' 10 + 3 '
3. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике,
трое подготовились отлично, четверо хорошо, двое
удовлетворительно, а один совсем не готовился — понадеялся на то, что все
помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики
могут ответить на все 20 вопросов, хорошо — на 16 вопросов,
удовлетворительно — на 10 и неподготовившийся — на 5 вопросов.
Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный
первым ученик ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того,
что он отличник?
Обозначим события:
А\ — «приглашен ученик, подготовившийся на отлично»,
52
A 2 — «приглашен ученик, подготовившийся хорошо», ,
Л3 — «приглашен ученик, подготовившийся
удовлетворительно»,
Л4 — «приглашенный ученик к экзаменам не готов»,
А — «приглашенный ученик ответил на 3 вопроса».
Согласно условию задачи
Р(Л,) = 0,3; Р(Л2) = 0,4; Р (Л3) = 0,2; Р (Л4) = ОД.
Кроме того, ясно:
Р(А1АХ) = 1, Р(А/Аг) = i6 • - . 1* « 0,491,
V V 2/ 20 19 18
Р(Л/Л,) = - • - • - « 0,105, Я(Л/Л4) = - • - • - « 0,009.
v 8/ ■ 20 19 18- v ' 4/ 20 19 18
Следует найти Р (AJA).
По формуле Еейеса (5.8).
Р(Л,/Л) = Н^ «0,58.
0,3- 1 + 0,4 • 0,491+0,2.0,105 + 0,1 -0,009
Как видно, искомая вероятность сравнительно невелика.
Поэтому учителю придется предложить ученику еще несколько
дополнительных вопросов.
Упражнения
84. В ящике 10 белых и 8 красных шариков. Одновременно
наугад вынимают 2 шарика. Какова вероятность того, что они
разных цветов?
85. В ящике 7 белых и 9 черных шариков. Наугад вынимают
один шарик, рассматривают его на свету и кладут обратно в ящик.
Опять наугад вынимают один шарик. Какова вероятность, что оба
шарика белые?
86. 10 участников собрания носят галоши одинакового размера.
Уходя с собрания домой, они вынуждены галоши надевать в
темном коридоре, поэтому не могут отличить своих галош от чужих
галош того же номера. Чему равна вероятность того, что каждый
из участников собрания вернется домой в своих галошах?
87. Из N выпускаемых с конвейера деталей допускаются /Ц
нестандартных. С целью контроля качества наугад отобраны п.
деталей. Получено указание: если среди них т окажутся
нестандартными, то следует забраковать всю партию. Какова вероятность
того, что партия деталей будет забракована?
88. Вероятность обнаружения туберкулезного заболевания при
з
одной рентгеноскопии —. Чему равна вероятность, что
заболевание будет раскрыто при трех рёнтгеноскопиях?
89. В лотерее выпущено п билетов, т из которых выигрывают.
Гражданин купил к билетов. Какова вероятность того, что по
крайней мере один из купленных билетов выигрышный?
53
90. Из колоды, содержащей 52 карты, наугад вынимают 4
карты. Найдите вероятность того, что все эти карты разных
мастей?
91. Вероятность, что при нажиме стартера мотор машины
заработает, равна —. Чему равна вероятность, что при повторном
нажиме стартера выключают мотор?
92. Корабль-мишень обстреливается ракетами. Вероятность
попадания каждой ракетой —. Корректировки стрельбы нет, и
поэтому попадания — независимые события. Вероятность того, что
попавшая в цель ракета потопит корабль, —. Обстрел ведется до
О
тех пор, Пока корабль потоплен или пока не исчерпаны запасы
ракет. Ракетный катер, атакующий корабль, вооружен 5 ракетами.
Чему равна вероятность того, что корабль будет потоплен до того
момента, когда катер использует весь запас ракет?
93. У рыбака есть 3 излюбленных места рыбалки. Эти места
он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что
л . 11 1
рыба клюнет в первом месте, —, во втором , в третьем .
3.2 4
Известно, что рыбак забросил удочку 3 раза, а вытащил только
одну рыбу. Какова вероятность того, что он рыбачил в первом
из его излюбленных .мест?
* 94. Путешественник может купить билет в одной из трех касс
железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направится
1 „1 1 D
к первой кассе, —, ко второй— —, к третьей— —. Вероятности
того, что билетов уже нет в кассах, такие: в первой кассе— , во вто-
5
рой , в третьей. . Путешественник обратился в одну из
6 8
касс и получил билет. Определите вероятность того, что он
направился к первой кассе.
95. В одном из ящиков 10 белых и 6 черных шариков, во
втором — 7 белых и 9 черных. Произвольно выбирают ящик и из
него наугад вынимают шарик. Он белый. Чему равна вероятность
того, что и второй шарик, наугад вынутый из этого ящика,
окажется белым?
96. Из полного набора костей домино произвольно берутся две
кости. Определить вероятность того, что, следуя обычным правилам,
вторую кость можно приставить к первой.
97. При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых
категорий: крупные, средние и мелкие, причем число крупных,
средних и мелких осколков составляет соответственно 0,1; 0,3;
0,6 общего числа осколков.
При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с
вероятностью 0,9, средний — с вероятностью 0,2 и мелкий — с веро-
54
ятностью 0,05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найдите
вероятности того, что эта пробоина причинена: крупным, средним
и мелким осколком.
98. Рабочий обслуживает 5 станков. 20% времени он уделяет
первому станку, 10%—второму, 18%—третьему,
25%—четвертому и 30% — пятому. Какова вероятность того, что случайно
заглянувший в цех мастер найдет рабочего:
а) у первого или третьего станка;
б) у первого или пятого станка;
в) у первого или четвертого станка;
г) у первого, у второго или у третьего станка?
99. Группе студентов для прохождения производственной
практики выделено 30 мест: 15 — в Туле, 8 — во Владимире, 7 — в
Калуге. Какова вероятность того, что студент и студентка,
которые в скором времени собираются справить свадьбу, будут
посланы для прохождения практики в один и тот же город, если де-
к?н ничего не знает об их «семейных» делах?
100. Вероятность улучшения спортсменом личного
достижения по прыжку с шестом равна р. Чему равна вероятность того,
что он улучшит свой результат, если ему предоставлена
возможность прыгать 2 раза?
101. Два зенитных орудия ведут огонь по одному и тому же
самолету. Вероятность попадания выстрелом из первого орудия
0,2, из второго — 0,6. Первым залпом в самолет попали только
из одного орудия. Какова вероятность того, что промахнулся
расчет первого орудия?
102. Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от
которой в разные стороны ведут пять дорог. Если турист пойдет
по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение
часа составляет 0,6; если по второй — 0,3; если по третьей — 0,2;
если по четвертой — 0,1; если по пятой — 0,1. Какова вероятность
того, что турист пошёл по первой дороге, если он через час
вышел из леса?
103. Какова вероятность того, что при п бросаниях игральной
кости хотя бы один раз появится шестерка? Хотя бы два раза
пятерка?
VI. НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
1. ФОРМУЛА Я. БЕРНУЛЛИ
Несколько раз бросаем монету. Появление герба, скажем, при
четвертом бросании, не зависит от того, каковы были результаты
при первом, при втором и при третьем бросаниях. Мы имеем дело
с независимыми испытаниями. Решим теперь такую задачу.
При проведении некоторого однократного испытания
вероятность появления события А равна р, а непоявления —
Я = 1 — р. Какова вероятность того, что при п повторных
55
испытаниях событие Л произойдет т раз? Это событие запишем так:
{S„ = т).
Станем искать
P(Sn = m).'
Обозначим события:
Ai — «появление события А при первом испытании»,
Л2 — «появление события А при втором испытании»,
Л3 — «появление события А при третьем испытании»,
Ат — «появление события А при т-и испытании»,
Ап — «появление события А при п-и испытании»,
Ап — «непоявление события А при /г-м испытании»..
Если так, то событие, вероятность которого Р (Sn — m), может
быть представлено записью
AiA2 . . . АтА^т+1Ат^ . . . Ап-\-
+ AiA2 _•_•_•_ Am_2Ajrt^iAmArn+1Ain+2 . . . Ап + . . . +
+ AiA2 ... Ап__тАп_т^Ап_тл.г . . . An,
и искомая вероятность, в силу независимости событий Ль Л2,
Л3, . . ., Ап и в силу несовместимости событий
Bt = ЛИ2 . . . Лтл"^, . . . Ап,
&2 ~ А\А2 . . . Лт_1Л/плт+1Лт+2 . • . Л„,
может быть записана так:
Р (Sn =_m) = /> (В, + Яя + . . О = Я (AiAt . . ._Л/яЛш+1 . . .
. . . Ап) + Р (ЛИ, . . . Лт_лЛтЛт+1Лт+я . .". Ап) +
+ Р (ЛИа . . . Ап_тА Ап) = рр . . . pqq . . . q +
+ рр . . . pqpqq . . . q + . . . + qq . . . qpp . . . p.
У каждого из членов этой суммы m сомножителей р и /г —т
сомножителей q, поэтому
р (Sn = т) = pmqn~m + р«^я"т + • • • + pmqn~m
p^Sn = m) = CnPmqn'm (6.1)
или
р (SB = m) = Om (1 — P)w~,n. (6.2)
Это так называемое биномиальное распределение
вероятностей. Рассуждения, которые к нему привели, часто называют схемой
Я. Бернулли, по имени математика, который первым ее
рассмотрел.
С помощью формулы (6.1) можно найти значение Sn — т0,
56
которому соответствует наибольшая вероятность.
Поскольку
P(Sn = m) _ j (n-f-I)p —/n
P(Sn = m—l) mq
TO
P (Sa = m) >P (S„ = m — 1) при m < (/г + 1) p,
P (Sn = m) < P (Sn = m— 1) при m > (n + 1) p,
P (Sn = m) = P (Sn = m — 1) при m = (л + 1) /7,
если (п + I)/? — целое число.
Поэтому вероятнейшее значение S„ — m0 должно удовлетворять
условию
(п + 1)/? — 1 < т0 < (л + 1)/7.
Поскольку р=1 — 4, то
пР — q ^т0 ^ пр -\- р.
Примеры
1. Подбрасываем монету 10 раз. Какова вероятность
двукратного появления герба?
В этом случае п = 10, т = 2, р = —, q = —;
тогда
я(^-Ч-сЬ(1)'.(1)'-^(1)"-^.о^ ^
2. Вероятность попадания в мишень одним выстрелом .
8
Какова вероятность того, чж> из 12 выстрелов не будет ни одного
попадания?
1 7
Имеем: п = 12, m = 0, /7 = —, q = ~. По формуле (6.1)
. Я(5„-в,»А(1)-.(1)--1в.1.(1)-«адб14.
3. Подводная лодка атакует крейсер, выпуская по нему одну
за другой 4 торпеды. Вероятность попадания каждой торпедой рав-
з
на —. Любая из торпед с одинаковой вероятностью может про-
4
бить один из 10 отсеков крейсера, которые в результате попадания
наполняются водой. При заполнении хотя бы двух отсеков крейсер
тонет. Вычислить вероятность гибели крейсера.
Обозначим события:
Ах — «попадание одной торпедой»,
А2 — «попадание двумя торпедами»,
А3 — «попадание тремя торпедами»,
А± — «попадание четырьмя торпедами»,
57
Л — «крейсер потоплен».
Согласно формуле (6.1)
4/\4/ 64 и V 4 / V 4 / 1:
/>(Л/Л1) = 0, Р(Л/Л2)=1-1 = ^
/>(Л/Л.) = 1 — — = —, Я(Л/Л4)= 1 — 1- = ^..
v 3/ юа юо 4/ io:j юоо
По формуле полной вероятности
р (A) = i.0+— .!+-•— + — •— « 0,9237.
7 64 128 10 64 100 256 ЮОО
У крейсера противника мало шансов на спасение!
Упражнения
104. В телевизоре 10 ламп. Для любой из ламп вероятность,
что она останется исправной в течение года, равна р. Какова
вероятность того, что:
а) в течение года хотя бы одна лампа выйдет из строя;
б) в течение года выйдет из строя ровно одна лампа;
в) в течение года выйдут из строя две лампы?
105. Юноша, желающий ' стать военным летчиком, должен
пройти 4 испытания. Вероятность успешного выполнения им
заданий первого испытания 0,9, -второго — 0,95, третьего — 0,8
и четвертого — 0,85. Какова вероятность того, что:
а) юноша с успехом пройдет все испытания;
б) юноша успешно пройдет два,испытания;
в) юноша с успехом пройдет не меньше двух испытаний? .
106. С разных позиций по мишени выпускают 4 выстрела.
Вероятность попадания первым выстрелом 0,1, вторым — 0,2,
третьим — 0,3 и четвертым — 0,4.
Какова вероятность того, что все четыре выстрела — промахи?
107. В квартире 4 электролампочки. Для каждой лампочки
вероятность того, что она останется исправной в течение года,
равна —. Какова вероятность того, что в течение года придется заме-
6
нить не меньше половины лампочек?
108. Проводятся 3 испытания, каждое из которых может
завершиться результатом А^ — с вероятностями ри, рп, /;13,
результатом А 2 — с вероятностями р2Ь /?22, /?2з» результатом А3 —
с вероятностями psu р32, р33 и результатом Л4 — с вероятностями
Р4ь ^42» /°4з- Какова вероятность того, что при проведении трех
испытаний событие Ai произойдет один раз, событие Л2— Два
раза, а события Л3 и Л4 совсем не произойдут?
58
109. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Чего
следует больше ожидать: трех побед в 4 партиях или пяти побед
в 8 партиях?
ПО. Случайно встреченное лицо с вероятностью 0,2 может
оказаться брюнетом, с вероятностью 0,3 — шатеном, с
вероятностью 0,4 — блондином и с вероятностью 0,1 — рыжим. Какова
вероятность того, что среди шести случайно встреченных лиц:
а) не меньше 4 блондинов;
б) хотя бы один рыжий;
в) 3 блондина и 3 шатена?
Ш. Мишень в тире состоит из «яблока» и двух
концентрических «колец». Вероятность попадания в «яблоко» одним
1 1 2
выстрелом —, в первое «кольцо» , во второе , вероятность
з
промахнуться —. По мишени выпущено 5 выстрелов. Какова
вероятность двух попаданий в «яблоко» и одного попадания во
второе «кольцо»?
112. В лагере т пионеров. Они зажгли п костров и случайным
образом распределились около них. Какова вероятность того, что
у первого костра сели k пионеров?
113. При проведении некоторого испытания вероятность
появления ожидаемого результата 0,01. Сколько раз его нужно
провести, чтобы с вероятностью 0,5 можно было бы ожидать хотя
бы одного появления этого результата?
114. Рабочий обслуживает 12 одинаковых станков. Вероятность
того, что в течение часа станок потребует регулировки, равна —.
Какова вероятность того, что в течение часа рабочему придется
регулировать 4 станка?
115. Какова вероятность того, что при 24-кратном бросании
двух игральных костей хотя бы один раз появятся две шестерки
(задача шевалье де Мере)?
116. В учреждении 10 служащих, которые одновременно
обедают в одном из двух кафе, расположенных недалеко от места их
работы. Сколько мест необходимо резервировать в каждом кафе
для сотрудников этого учреждения, чтобы заведующие кафе с
гарантией в 95% могли быть уверены, что мест в кафе во время
обеда для сотрудников упомянутого учреждения хватит? .
117. В магазин зашли п лиц. Найдите вероятность события,
состоящего в том, что т из них будут что-нибудь покупать.
Вероятность, что любой из посетителей не уйдет без покупки, равна р.
Вычислите значение искомой вероятности, если:
а) п = 8; р = 0,3
б) п = 12; р = 0,2
в) п === 9; р = 0,4
т = 3;
т = 4;
т = 5.
118. Сколько раз придется бросать игральную кость, чтобы
вероятнейшее число появления шестерки было бы 32?
59
119. Чему равно вероятнейшее число ясных дней в сентябре
этого года в данной местности, если наблюдения многих лет
показывают, что в среднем 11 дней сентября здесь пасмурны?
120. Из всей продукции обувной фабрики 31% составляют
изделия высшего сорта. Сколько пар ботинок высшего сорта можно
надеяться найти среди 75 пар, поступивших с этой фабрики в
магазин?
121. С помощью автоматического станка изготовлено 90
деталей. Какова вероятность того, что изготовленная деталь первого
сорта, если в упомянутой партии изготовленных деталей
вероятнейшее число деталей первого сорта 82?
2. ФОРМУЛА МУАВРА — ЛАПЛАСА
Познакомимся с наиболее важным открытием замечательного
французского математика А. Муавра в теории вероятностей.
Медиками установлено, что 94% лиц, которым сделаны прививки
против туберкулеза, отличаются иммунитетом против этого
заболевания. Какова вероятность того, что среди 100 000 граждан,
получивших прививки, 5800 не защищены от заболевания
туберкулезом?
Эту задачу можно было бы решать с помощью формулы (6.1).
В нашем случае п = 100 000, т = 5800, р = 0,06, q = 0,94. Если
интересующие нас события обозначим Л, то
Р (А) = Р (5100 ооо = 5800) = CfoTooo (0,06)5800 (0,94)94 »».
Нетрудно убедиться в том, что попытка получить окончательный
результат непосредственным вычислением — сизифов труд, даже
если воспользоваться логарифмами. Как быть?
Аналогичную задачу для р = — рассматривал Муавр, а для
любого 0 <р < 1 —Лаплас. Проследим путь рассуждений
последнего.
Известно, что
limfl-f- -У = е = 2,71828 ... .
П-оо \ П)
С помощью формулы (6.1) Лаплас доказал, что для достаточно
большого п при р Ф 0 и q ф 0
P(Sn = m) « ,1—е 2 ' ^ ' • (6.3)
Обозначим
\г2лпрд
-1-х*
т — пр , х 1 2
,—Г = х и ю (х) = -т=~е
60
Тогда
Значения функции ф (л;) представлены в таблице 2 в конце
книги. С графиком этой функции читатель уже знаком (рис. 3).
Примеры
1. Решить задачу, условие которой дано в начале этого пункта.
По формуле (6.4)
5800 — 100 000- 0,06
/><SIMOOO = 5800),~ ^""«и-0-"-0."
1/100 000- 0,06 • 0,94
]Л0О 000 • 0,06 ■ 0,94 « 75, х « —2,7.
Отыскивая значение ф (х) по таблице 2, не обращаем внимания
на знак х, так.как ф (—х) = ф (х). Находим ф (2,7) = 0,0104.
Тогда
Р (5юо ооо = 5800) « 0,000139.
2. Вероятность встретить на улице своего учителя 0,002;
Какова вероятность того, что среди 1200 случайных прохожих вы
встретите не более 3 своих учителей?
Пусть Л о — событие, состоящее в том, что вы своих учителей
не встретите, At — событие, состоящее в том, что вы встретите
ровно i своих учителей. Тогда событие Л, состоящее в том, что вы
встретите не больше 3 учителей, равно сумме вышеупомянутых событий,
т. е.
А =* А0 + А, + Л2 + А9.
Но события Л0, А и Л 2, А8 несовместимы, поэтому
P(A)^P(A9) + P(Ai) + P(A^ + P(A3).
По формуле (6.4)
Я(Л0)=*Я(51200~0)~
1 / 0—1200-0,002 \ Л Л--в
Ф ■• = 0,0775;
/1200 • 0,002 • 0,998 \У 1200 • 0,002 • 0,998
P(AJ = P(Slwt=l) =
I I 1 — 1200-0,002 , Л 171П
4>\г7===~~=~==~==г 1 = 0,1719;
/1200 - 0,002 • 0,998 \]/"1200 • 0,002 - 0,998
/>(Л2)-Р(51200 = 2)^
1 /2-1200-0,002 _)==Q>2505;
)/1200 • 0,002 - 0,998 \]/"1200' • 0,002 - 0,998
P(A3) = P(S12Q0^3)~
1 / 3—1200-0,002
)/1200 • 0,002 • 0,998 т \|/ 1200 • 0,002 • 0,
0,2389.
61
Тогда Р (А) = 0,0775 + 0,1719 + 0,2505 + 0,2389 = 0,7388.
Таким образом, гарантия того, что вы встретите не более 3
своих учителей, составляет приблизительно 74%.
Упражнения
122. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных
прохожих окажутся 32 женщины (предполагаем, что количество мужчин
в городе равно количеству женщин)?
123. Допустим, что с вероятностью 0,6 изготовленная деталь
будет забракована. Сколько бракованных деталей из 1000 можно
ожидать с вероятностью 0,9?
124. Предположим, что вероятность выздоровления больного
в результате применения нового способа лечения равна 0,8.
Сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью
0,75?
125. Баскетболист забрасывает штрафной с вероятностью 0,8.
Какова вероятность того, что все 20 его бросков будут удачные?
126. Бросаем монету. Какова вероятность того, что при 10
бросаниях ни разу не появится герб?
127. Два мальчика играют в кости. Каждый бросает 2 кости.
Мальчик А выигрывает партию, если при 20 бросках 2 раза
появляется в сумме 11 очков, мальчик В — если при 10 бросках 2 раза
появляется в сумме 9 очков. Чья удача более вероятна?
128. Бросаем монету 40 раз. Чему равна вероятность того, что
герб появится 25 раз?
129. По данным телевизионного ателье, в течение
гарантийного срока выходит из строя в среднем 12% кинескопов. Какова
вероятность того, что из 46 наугад выбранных кинескопов 36
проработают гарантийный срок?
130. Вероятность рождения мальчика 0,515. Чему равна
вероятность того, что среди 80 новорожденных 42 мальчика?
131. Вероятность попадания в мишень 0,3. Какова вероятность
того, что при 30 выстрелах произойдет 8 попаданий?
132. При проведении некоторого испытания вероятность
появления события А равна 0,5. Сколько раз предполагается ожидать
появление А с вероятностью 0,048 при 100 испытаниях?
3. ФОРМУЛА ПУАССОНА
Когда р близко к 0 или 1, формула Муавра дает результаты,
которые значительно отклоняются от результатов, полученных по
формуле (6.1). Рассмотрим случай, когда при возрастании п
вероятность р появления интересующего нас события убывает, а
пр = k — постоянное число.
Именно такая ситуация возникает, когда имеем дело с редко
происходящими событиями.
По формуле (6.2)
р {$п = т) = п(п-\)(п-2)...(п-т+\) рт{{ _ р)а_п^
62
/
k
Поскольку p = —,
' (S =m) = n{n-\)(n-2)...{n-m + \) /k\m Л _ k_\n-
n m\ \n J \ n J
f,_±)f,_2V../i m-'
ml \ n j I. k
Если обозначим
i——
wi!
Установим предельные значения ап и |Зл при неограниченном
возрастании п. Ясно, что
1— 1— ... 1
lim р„ = lim ^ ±П 11 V 4_l = !
П->0О rt->oo / « \
*-('^Н(1+(-Г*"*
Обозначим /i = . Тогда
Поскольку & ^ 0, то при п ->■ оо, /г -> —со
lim «. = lim ((l + i)T*= ( Hm (l + -L)V= ( lim (*±!)V=
lim Г' + '-'ГУ^/lim (l !_Г*-./1_ ' ^«
/j__oo \ h -(- 1 / / \/i_,._oo \ Л -f 1/ \ /l + l,
Пусть /г + 1 =—x, тогда при h->—оо, лг-э-оо. Получаем
lim a„ = Aim (l + ~Y • Hm (l + -))"* - e~k.
Значит, когда п велико, то
Подставляя эти значения в (6.5), находим формулу Пуассона:
63
urn ,
P(Sn = m)&—e-K (6.6)
ml
Примеры
1. Какова вероятность того, что среди 500 наугад выбранных
человек двое родились 1-го мая?
Естественно считать, что день рождения незнакомого
человека может быть с равной вероятностью любым днем года.
Нам предстоит вычислить Р (5500 = 2). Так как п — 500,
т — 2. р = —, то /г = -- « 1,3699. По формуле (6.6)
' ' 365 365 . F J v '
P(S500 = 2) « Li^p_£-i,3699 _ 0,2385.
При вычислении этого и подобных выражений полезно
пользоваться таблицей 3. Полезно также запомнить, что
lg e-* = —k • 0,4342945.
2. Среди 1000 человек приблизительно 8 левшей. Какова
вероятность того, что среди сотни наугад выбранных человек не
окажется ни одного левши?
В этом случае п = 100, т = 0, р = 0,008. Отсюда k = 0,8.
^ (S100 = 0) « —V0»8 « 0,4493. .
Упр ажнения
133. Какова вероятность того, что среди 500 наугад выбранных
лиц:
а) пятеро родились 8 марта;
б) трое родились 10 июня;
в) ни один не родился 17 сентября?
134. В городе 1900 жителей. Какова вероятность того, что з
году есть 4 дня, когда ни один житель города не отмечает свой
день рождения?
135. Вероятность попадания в мишень 0,001. Какова
вероятность того, что при 5000 выстрелов будет не меньше 2 попаданий?
136. Прядильщица обслуживает 800 веретен. Вероятность
обрыва нитки на одном веретене в течение часа 0,005. Какова
вероятность того, что в течение часа нитка оборвется не больше,
чем на 10 веретенах?
137. Некачественные сверла составляют 2% всей продукции
фабрики. Изготовленные сверла упаковываются в ящики по 100
штук. Какова вероятность того, что:
а) в ящике не окажется некачественных сверл;
б) в ящике окажется не больше 3 некачественных сверл?
64
Сколько сверл необходимо упаковать в ящик, чтобы с
вероятностью не меньше 0,9 в ящике было 100 доброкачественных сверл?
138. Частные конторы страхования жизни в капиталистических
странах заинтересованы в получении прибыли за счет своих
клиентов.
В одной такой конторе застраховано 10 000 клиентов одного
возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти клиента
в течение года 0,006. Каждый клиент 1 января вносит 12 долларов.
Если в течение года он умрет, то контора обязана выплатить его
родственникам 1000 долларов. Чему равна вероятность того, что:
а) контора разорится;
б) контора получит не менее 40 000'долларов прибыли?
4. ФОРМУЛА ЛАПЛАСА
Решим следующую задачу.
Задача. Какова вероятность того, что при п испытаниях событие
Л произойдет не менее а и не более Ь раз?
Вспомним правило сложения вероятностей/
На его основании получим:
Р (а < Sn < Ь) = Р (Sn = а)' + Р (5Я = а + 1) +
+ ... + P(Sn = b~l) + P(Sn = b).
Применив формулу Муавра (6.3), находим
1_ /а—пр у _ J_ /fl+1— rip \a " "
2 { Ynpq ) 2 { У^РЯ )
Р(а<5я<6) « -—=- [е +е ' . +
Задача как будто решена, но провести указанные вычисления
очень трудно. Лапласу удалось доказать, что при достаточно
большом п
1 [а—пр \2
1 / 2 WnpQ
2 \fnpq )
Y2mpq
\VW) \ynpq)
где у = ф (х) — специальная функция. Одно из характерных
ее свойств нечетность:
ф (—х) = —Ф (л:).
Таким образом,
#*<*.<*)ЖФ^-Ф(у=а)...- <м
3 В. с. Лютикас . 65
В таблице 4 приводятся значения функции Лапласа
у = Ф (х).
Примеры
1. Какова вероятность того, что при 200-кратном бросании
монеты число появления герба 5200 удовлетворяет неравенству
95 < 5200 < 105.
В этом случае п — 200, а = 95, в — 105, q = р — —. Поэтому
2
— 0,7070,
0,7070.
1 L
2 ' 2
Теперь, используя формулу (6.7) и таблицу 4,
Р (95 < S200 < 105) « Ф (0,7070) — Ф (—0,7070) -
= 2Ф (0,7070) = 2 • 0,2612 = 0,5224.
2. Вероятность получения по лотерее проигрышного билета
равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 500 наугад купленных
билетов не менее 48 и не более 55 безвыигрышных?
Здесь п = 500, а = 48, Ь = 55, р = 0,1, q = 0,9. Тогда
а — пр 48 — 500-0,1 _ п OOQ
. Vnpq /500-0,1 -0,9-
b — np 55-500-0,1 Л7,, ,
. .__: = =« 0,745.
Vnpq /500- 0,1 • 0,9
Р (48 < 5500 < 55) « Ф (0,745) + Ф (0,298) = 0,3913.
3. Как установить вероятность того, что наугад выбранный
десятиклассник собирает марки? Можно опросить некоторое число
произвольно выбранных десятиклассников. Если среди п
опрошенных окажется Sn коллекционеров марок, то искомая вероятность
с
/)«—, Сколько десятиклассников необходимо опросить, чтобы
п
погрешность вычисления вероятности не превосходила бы 0,005,
если желаем получить правильный результат с. вероятностью 0,95?
Согласно условию задачи
Р[\-п~Р
п
< 0,005) = 0,95,
66
В силу (6.7) получаем:
Р( — —Р <0,00б] = Р (-0,005 <^—р< 0,005] =
=Ф (х) — Ф (—*) = 0,95.
Поэтому 2Ф (х) = 0,95; и по таблице 4, которая на сей раз
применяется в обратном порядке, находим х = 1,96
Тогда
,96 уЧп'
0,005 > 1,96 1/ ^, /г>3922^-
Приближенно /г ^ 160 000 pq. В силу 0 <! р <[ 1, O^^^l,
I
4
pq ^.—, поэтому п ;> 40000
Упражнения
139. Телефонная станция Л, обслуживающая 2000 абонентов,
соединяет их со станцией В. Устанавливать 2000 проводов от А до
В не рационально. Сколько линий проводов необходимо провести
от А до В, чтобы только один из сотни абонентов станции Л, наугад
выбравший момент разговора с абонентом станции В, нашел бы
все линии занятыми? Вероятность того, что при случайном звонке-
П
линия занята, равна —.
140. 10 000 шариков произвольно распределяются по 9 ящикам.
Какова вероятность того, что в первом ящике не менее 1100 и не
более 1200 шариков?
141. Игральную кость бросаем 12 000 раз. Какова вероятность
того, что шестерка появится не менее 1900 и не более 2100 раз?
142. Найти такое число k, чтобы при 1000-кратном бросании
монеты число появлений герба Sl000 удовлетворяло условию
470 < 5100о < k.
143. Из 10 винтовок 4 не проверены в прицельной стрельбе.
Вероятность попадания в мишень из проверенной винтовки 0,9,
из непроверенной 0,3. Из наугад выбранной винтовки выпущено
по мишени 200 выстрелов. Какова вероятность того, что число
попаданий 520о удовлетворяет неравенству 120 ^ 5200 ^ 15.0?
144. Найти такое число k, чтобы с вероятностью 0,9 можно
было бы утверждать, что среди 900 новорожденных более k
мальчиков. Вероятность рождения мальчика 0,515.
145. 80% изделий, поступающих в магазин со склада, высшего
сорта. Сколько изделий придется наугад взять со склада, чтобы
с вероятностью 0,996 можно было утверждать: вероятность Р
события, что наугад выбранное изделие высшего сорта, удовлетворяет
неравенству 0,75 ^ Р ^ 0,85?
3*
67
146. В каждом из 1000 ящиков 5000 белых и столько же черных
шариков. Из каждого ящика наугад вынимаются по 3 шарика.
Какова вероятность, что число ящиков, из которых вынуты 3
шарика одного цвета, не меньше чем 200 и не больше чем 310?
147. 70% продукции объединения «Юность» высшего сорта.
Какова вероятность того, что среди 1000 изделий этого объединения
высшего сорта будет не менее 682 и не более 760 изделий?
148. Вероятность рождения мальчика 0,515. Какова вероятность -
того, что среди 1000 новорожденных не меньше 480 и не больше
540 мальчиков?
149. Вероятность того, что саженец елки прижился и будет
успешно расти, равна 0,8. Посажено 400 елочных саженцев.
Какова вероятность того, что нормально вырастут не меньше 250
деревьев?
150. При 10 000-кратном бросании монеты герб появился 6000
раз. Можно ли считать монету симметричной?
151. В научно-исследовательском институте земледелия
проверяется всхожесть кукурузы. Сколько семян необходимо посеять
с вероятностью всхожести 0,99, чтобы частота всхожести
отличалась бы от 0,95 меньше чем на 0,01?
152. Вероятность того, что смерть человека произойдет на
21 году жизни, 0,006. Застраховано 1000 двадцатилетних. Годовой
взнос 15 руб. с каждого. В случае смерти застрахованного его
родственникам выплачивается 1200 руб. Какова вероятность того,
что в конце года выплата по страховкам превысит сумму страховых
взносов?
VII. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Одно из самых важных понятий в теории вероятностей —
случайная величина. Рассмотрим следующие примеры.
1. Наблюдая движение городского транспорта, замечаем, что
число машин, проезжающих за один час через некоторый
перекресток, под влиянием случайных обстоятельств меняется в течение
суток.
2. Стреляя из одного и того же орудия при одном и том же
прицеле и постоянных условиях, мы наблюдаем, что снаряды ложатся
в разных местах. Расстояние места падения снаряда от места его
вылета есть величина, которая в зависимости от случайных
обстоятельств принимает разные значения.
3. Учет числа писем, поступающих в некоторое почтовое
отделение, показывает, что ежедневное количество писем меняется в
результате каких-то случайных причин.
Эти примеры отличаются по конкретному содержанию, но у
них есть общие черты.
1) В каждом примере речь идет о величине, которая
характеризует некоторое случайное событие.
68
2) Каждая из этих величин может принимать переменное
числовое значение в зависимости от случайного исхода испытания.
Случайной величиной называем переменную, значения которой
зависят от исхода испытаний и для которой определено
распределение вероятностей.
Такие случайные величины, принимающие только отдельные
друг от друга значения, которые можно заранее перечислить,
называются дискретными случайными величинами. Создадим числовую
модель такой величины.
Пусть несовместимые события Аъ А2, . . ., Лп образуют полную
группу. Введем понятие случайной величины следующим путем:
если появляется событие Аь то случайная величина I1 принимает
значение xt (L = 1, 2, . . ., п). Таким образом, \ является функцией
на множестве событий Ах, А2, . . ., Аю т. е.
I (Лх) = хъ I {Аг) = х2, . • ., I (Ап) = хп.
Вместо того чтобы сказать «имеем событие Ар, мы теперь
скажем «имеем событие £ = хр. Пусть Р (Aj) — вероятность
появления события At Теперь эту же вероятность мы можем
обозначать и так: Р (I — xt) = pt.
В общем случае имеет место:
Р Щ = Р (I = xii = Pl.
После введения случайной величины £, вместо того чтобы
говорить «имеем полную группу несовместимых событий Аъ А2, ■■■,
Ап с вероятностями Р (Аг), Р (А2), . . ., Р {Ап)>>, скажем «имеем
случайную величину Н, которая принимает значения xlt х2, . . .,
хп с вероятностями plf р2, . . ., рп». (При этом, конечно, рх + р2 +...
... -Vpn=\)
Задание случайной величины Н можно осуществлять с помощью
такой записи:
£• (xli х2> • • •> хп\
"' \Pi, Рг, • • м Рп)
Набор ръ р2, . . .., рп называется распределением вероятностей.
Иногда подобную модель представляют в виде таблицы:
1
р
ч
Pi
*2
Рг
х3
Рз
ХП—1
Рп-1
Хп
Рп
В частности, при бросании симметричной игральной кости наша
вероятностная модель будет таковой:
/1, 2, 3, 4, 5, 6 \
I'lLlllll)
\б' б' 6' 6' 6' б/
В случае /г-кратного бросания монеты случайную величину £,
1 £ — буква греческого алфавита «кси».
69
обозначающую число появления герба, обозначим Sn. Тогда
вероятностная модель.
*44т)'-*Ы4)л':::'-Фа
(7.1)
При решении задач часто приходится пользоваться такими
характеристиками случайной величины, как математическое
ожидание и дисперсия.
1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
Пусть нам предстоит решать следующую задачу.
Выпущено 100 лотерейных билетов. 40 билетов принесут их
владельцам по 1 руб., 10 — по 5 руб., 5 — по 10 руб. Остальные
билеты безвыигрышные. Какой средний выигрыш соответствует
одному билету?
Выигрыш является случайной величиной £, которая может
принять значения 0, 1, 5, 10 с вероятностями соответственно
45 А0_ _]0_ _5_
юо' Too' Too-' loo'
Распределение этой случайной величины можно представить
таблицей:
1
р
0
0,45
1
0,4
5
0,1
10
0,05
Если покупатель приобретает все 100 билетов, то
0 руб. он выиграл бы 45 раз,
1 руб. он выиграл бы 40 раз,
5 руб. он выиграл бы 10 раз,
10 руб. он выиграл бы 5 раз.
Всего
0 • 45 + 1 • 40 + 5 • 10 + Ю • 5 рублей.
Выигрыш, соответствующий одному билету, в 100 раз меньше,
он равен
0- 45 + 1 . 40 + 5 . 10 + 10-5 __
100 ~~
0 ■ 0,45 + 1 • 0,4 + 5 • 0,1 + 10 • 0,05 = 1,4 рубля
Обратите внимание на выделенную рамкой сумму, сравните ее
с таблицей распределения случайной величины £.
Вы должны заметить, как строится среднее значение выигрыша.
70
Перейдем к рассмотрению общего случая.
Пусть при проведении «я» независимых испытаний некоторая
случайная величина £ может принимать
п\ раз значение xlt
т2 раз значение х2,
mk раз. значение xk.
Определим среднее значение этой случайной величины £.
Согласно условиям испытаний
P{i = x1) = "± = p1,
■••.•••..■■ п
Р(1 = х2) = ^ = р2, (7.2)
п
P(t = xk) = ^ = pk.
п
Просуммируем все значения случайной величины I, которые
она принимает при проведении п испытаний:
*1 + *! + ••• + *! + х2 + *2 + • * ■ + *2 + - +ii±ii+.^i±fft=
mt раз т2 раз т^ раз
= д:^! + лг2«2 + . . . + xkmk.
Тогда среднее значение случайной величины составит:
*1m1- + *2m2 + - -\-xkmk mx , m2 , mk
я п п п
Воспользовавшись равенствами (7.2), окончательно получаем
среднее значение случайной величины £. Оно называется
математическим ожиданием случайной величины | и обозначается М (£).
Таким образом,
М (I) = ххрх + х2/?2 +..-. + xkPk- (7-3)
Поскольку при проведении испытаний случайная величина 1
непременно принимает одно из значений хъ х2, ..., xk, то
Pi + Р2 + . . . + pk = 1.
Если случайная величина £ может принимать только одно
значение а с вероятностью 1, то по формуле (7.3)
М (а) = а • 1 = а, (7.4)
что иначе можно сформулировать так: математическое ожидание
постоянной величины равняется этой величине.
Пусть случайная величина £ = .х + у, где л: и у тоже случайные
71
величины. Случайная величина х принимает значения аъ а2, ..., ап
соответственно с вероятностями ръ р2, ..., р,г> а случайная
величина у — значения Ьъ Ь2, ••-, Ьт соответственно с вероятностями qu
92, •■-, qm.
Тогда по формуле (7.3)
М (х) = ахрх + а2р2 + ... 4 апрп,
М (у) = bxqx + b2q2 + ... 4 bmqm. (7.5)
Случайная величина | = л; 4 у может принимать значения ах 4-
4- Ьь «1 + Ь2, ..., «1 + fcm, а2 + &ъ «2 + Ь2, ..., а2 4 &т, ...
... ап-\~ Ьх, ап-\-Ь2, ..., ап 4 Ьт соответственно с вероятностями
Al» /?12> •••> /?lm> /?2Ь /?22> •••> Р2т\ ••■'■> РПЪ Рп%> •••» Р/гти'
где /?у — вероятность того, что х примет значение ah ay —
значение Ьу
По формуле (7.3)
М(х + у) = (aj + ^^п + (fli + b2)p12 + ... + (fli 4- bm)plm +
4 («2 + &l)/>2l 4 («2 + h)p22.4" ... .+ (fl2 4- 6„)/*2M + ... 4-
+ (fl« + bi)/>m 4- (a„ 4 &2K2 + ... 4- (an + 6т)/?яж =
= («i (Pii + P12 + ... 4 pim) + a2 (p21 + /722 + ... + pzj- +
4- ... 4- aa (pnl + ри2 + ... + Рпт)) 4 {bx (plx 4 /?2i + ... 4- pni)+
4- b2 (p12 4 p22 + ... + pn2) 4- ... + fcm (Am + P2m + ... + /?„J).
По формуле полной вероятности (5.7)
Pll + Pi2 + ..- 4 /?im = /7Ь /?ц 4- PziJ~ Р31 + ..• 4-.^„l = <7l,
Р21 + /?22 + -.. 4 p2m = Ръ Pl2 + P22 4 p32 + .•• 4 £„2 = <?2,
P/,1 4 P„2 4- ... + Рпт = Pn> Plm 4- P2ffl.4- Рзт + ••• 4" Рпт^Ят-
Тогда М (х + у) = {ахрх + а2/?2 4 ... 4 апрп) 4 (btfi +
4- b2q2 4 ... 4 bmqm)f или в силу равенства (7.5)
М {х 4 у) = Л! (*) + Ж (у). (7.6)
Получили правило.
Математическое ожидание суммы случайных величин равняется
сумме математических ожиданий этих величин.
Условимся называть случайные величины х и у взаимно
независимыми, если они являются численными характеристиками
независимых случайных событий. Если величины х и у взаимно
независимы, то Pij = ptqp где pij — вероятность совместного появления
событий х = х{ и у = ур pi — вероятность события х = л^, <fy —
вероятность появления события у = у-}.
Пусть случайная величина ту1 представляет произведение двух
независимых случайных величин х и у. Величина ^ = ху примет
значения
* п — греческая буква «эта».
72
«А, axb2, .--, <hbm, афъ a2b2y ..., a2bm, >.., a^, anb2, ..,, are6m,
вследствие независимости * и у соответственно с вероятностями
Pl<7l. Р1Я2, •••> /?1<7т* />2<7i, р2?2, "м /?2<?m> •••> Ml» />й?2. •••, РпЧт'
Поэтому по формуле (7.3)
М (ху) = aAptfi + axb2pxq2 + ... + axbmpxqm + a2bxp2qx +
+ a2b2p2q2 + ... + a2bmp2qm + ... + a A /^ +
+ anb2pnq2 rb ... + anbmpnqm = a^ (^ + b2</2 + ... +
+ «2/?2 (Ml + ^2^2 + ... + ^т?т) + ... + £„/?„ (fcjfc + &2?2 +
+ ••• + bm<7m) = («i/?! + CL2P2 + ... + anpn) (bxqx + b2<72 + ••• +
Воспользовавшись формулой (7.3), получаем
M (ху) = М(х) • М (у),
(7.7)
иначе говоря:
математическое ожидание произведения независимых случайных
величин равняется произведению математических ожиданий этих
величин.
В силу формул (7.4) и (7.7)
М (cl) = сМ (£),
(7.8)
что означает:
постоянный множитель случайной величины можно вынести
перед знаком математического ожидания.
Примеры
1. Мишень (рис. 15) установлена так, что может вращаться
вокруг оси (О). При достаточно большой угловой скорости
вращения стрелок не в состоянии различать цифры, выписанные по одной
на секторах. Он вынужден стрелять наугад. При попадании в
сектор 1 стрелок выигрывает 1 рубль, в сектор 2 — 2 рубля, в сектор
3 — 3 рубля и т. д., в сектор 8 — 8 рублей. Стоит ли ему
участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить
5 рублей?
Поскольку мишень вращается, то
способности стрелка здесь не имеют никакого
значения: попадание — чистая случайность.
Случайная величина \ выражает возможные
выигрыши. Она может принимать значения
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Так как все сектора одинаковые, то каждое
из этих значений — случайная величина —
1
принимает с одинаковой вероятностью —.
73
Значит, по формуле (7.3)
М (6) = Ь 1+2.1 + 3.-1+4.1 + 5. {+6.1 + 7-1 +
+ 8 • 1 = 4,5 (руб.).
Итак, математическое ожидание выигрыша 4,5 рубля, а стоимость
выстрела 5 руб. Стрелять много раз явно не выгодно. На основании
подобных расчетов в капиталистических странах организуются
разнообразные азартные игры, приводящие игроков к разорению.
2. Найти математическое ожидание случайной величины,
распределенной по биномиальному закону распределения.
Непосредственное применение формулы (7.3) приводит к
большим сложностям. Поэтому задачу мы будем решать иначе.
Случайная величина £, распределенная по биномиальному
закону, определяется числом появлений события А при п испытаниях.-
Вероятность появления такого события — р, непоявления — q =
= 1-/7.
Пусть lt — число появлений события А при i испытании. Ясно,
что ^t может принять только 2 значения: 1 с вероятностью р и О
с вероятностью q. Тогда
М (У = 1 • р + 0 . <7 - р.
но ix + и + ... + in = ь
По формуле (7.6)
М (g) - М (У + Ж (Ы + ... + М (У = пр.
Упражнения
153. Закон распределения случайной величины £ представлен
таблицей:
1
р
1
, 1
6
2
1
6
3
1
6
4
1
6
5
1
6
6
1
6
Найти математическое ожидание случайной величины £.
154. У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не
попадет или пока не кончатся патроны. Найдите математическое
ожидание количества выстрелов, если вероятность попадания 0,25.
155. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в
течение часа первый станок не потребует регулировки — 0,9,
второй — 0,8, третий — 0,75, четвертый — 0,7. Найдите
математическое ожидание числа станков, которые в течение часа не
потребуют регулировки.
156. Монету подбрасываем 7 раз. Сколько раз в среднем может
появиться герб?
74
157. Игральная кость бросается 12 раз. Сколько раз в среднем
может появиться шестерка?
158. У дежурного гостиницы в кармане 8 разных ключей от
разных комнат. Вынув наугад ключ, он попробует открыть дверь
ближайшей комнаты. Сколько раз в среднем ему придется
пробовать открывать эту комнату, если:
1) проверенный ключ кладется обратно в карман;
2) проверенный ключ не кладется обратно в карман.
159. Стрельба по мишени ведется до второго попадания.
Найдите математическое ожидание числа выстрелов, если вероятность
попадания одним выстрелом 0,2.
160. Автомобиль встретит 4 светофора, каждый из которых
пропустит его с вероятностью 0,5. Найдите математическое
ожидание числа светофоров до первой остановки машины.
161. Стрельба по мишени ведется до &-го попадания. Запасы
патронов не ограничены. Вероятность попадания р. Вычислить,
сколько в среднем патронов будет израсходовано.
162. Закон распределения случайной величины х такой:
X
р
0
1
8
1
1
8
2
1
8
3
I
8
4
J
8
5
1
8.
6
1
8
7
1
8
а величины у такой:
У
р
1
1
4
2
1
8
3
1
16
4
1
16
5
1
16
6
1
16
7
1
8
8
1
4
Найти математическое ожидание случайных величин £ = х + у,
t) = х — у, А,1 = ху, где х и у — независимые случайные величины.
163. Мишень (рис. 16) установлена так, что может вращаться
вокруг оси (0). При достаточно большой угловой скорости вращения
стрелок не может различить сектора мишени. Он вынужден стрелять
Рис. 16 Рис. 17 рис. 18 .
1 К — греческая буква «ламбда». -
',75
наугад. При попадании в первый сектор стрелок выигрывает 1 руб.,
во второй — проигрывает 2 руб., в третий — выигрывает 3 руб.,
в четвертый — проигрывает 4 руб., а в пятый — выигрывает 5 руб.
Стоит ли участвовать в такой игре? Почему?
164. Мишени (рис. 17 и рис. 18) установлены так, что могут
вращаться вокруг оси (0). Стрелок вновь вынужден стрелять наугад.
При попадании в первый сектор первой мишени стрелок
выигрывает 1 руб., во второй сектор — проигрывает 2 руб., в третий —
выигрывает 3 руб., в четвертый — проигрывает 4 руб. При
попадании в первый сектор второй мишени стрелок проигрывает 1 руб.,
во второй — проигрывает 2 руб., а в третий ■— проигрывает 3 руб.,
в четвертый — выигрывает 4 руб., в пятый — не выигрывает и не
проигрывает. Стоит ли участвовать в такой игре? Почему?
165. Закон распределения случайной величины х такой:
. X
р
1
' 0
2
1
4
3
0
4
0
5
1
4
6
0
7
0
8
1
т
9
0
10
0
И
1
4
12
0
величины у —
У
р
0
1
12
1
1
12
2
0
8
0
10
1
6
11
1
6
12
1
6
13
1
3
14
0
20
0
. 30
0
40
0
величины г —
:-. г
—12
1 1
Р —
[ 24
— 11
0
— 10
1
24
—9
1
4
—8
1
24
—7
0
—6
—5
1 | 1
24 J [4J
—4
1
24
—3
0
—2
1
24
— 1
1
4
Найти математическое ожидание случайных величин \ = х +
+ у — z, 1] = х — у + z, К = ху, где хну — независимые
случайные величины.
166. Баскетболист забрасывает мяч в корзину со штрафного
с вероятностью 0,5. Сколько в среднем штрафных он может
забросить подряд?
2. ДИСПЕРСИЙ
Вычислим "математическое ожидание следующей случайной
величины £: .
1
Р
—10
1
16
—6
1
8
—2
1
4
1
1
16
3
1
4
5
1
16
8
1
8
10
1
16
76
40
-10
-6
-# -•—9 в •-
-2 0 ' 1 -3 5
М(К)
#-е
-2-
п
1
Рис. 19
в # • •
10
ft?
Здесь Af (|) =» —.
8
А теперь математическое ожидание М (ц) случайной величине
ц
р
—2
1
4
— 1
1
4
0
1
16
1
0
2
1
16
3
1
8
4
8
5
1
*
Получаем снова такое же значение М (г\) = —.
8
Любопытный результат: распределения случайных величин § и ц
разные, а математические ожидания одинаковые. Чем отличаются
распределения этих величин, если их математические ожидания
равны? Ответ получаем, рассмотрев рисунок 19, где виден разный
характер сосредоточения значений случайных величин около
математических ожиданий. При втором распределении значения
случайной величины ц компактнее сосредоточены около М (ц), чем при
первом около М (|). Как измерить степень этой сосредоточенности?
Можно было измерить средним отклонением случайной
величины 1 от ее математического ожидания М (1), но такая мера
неудобна, так как она может принимать как положительные, так и
отрицательные значения, которые при суммировании сократятся. Для
измерения сосредоточенности значений случайной величины обычв®
применяют математическое ожидание случайной величины
(1 — М (|))2. Такое математическое ожидание называется
дисперсией случайной величины | и обозначается D (I)1. Таким образом,
D (1) = М (I - М (|))2. (7.9)
о = YD (|) называется средним (рис. 19) квадратическим от-
клонен ием.
Найдем другое выражение формулы (7.9):
D&)=M(l-M (W = M(¥-~ 21M (I) + М2 (£)).
1 Известны и другие обозначения: о
буква «сигма».
М (| — Л1(|))2, где о — греческая
т
Воспользовавшись формулами (7.6), (7.7) и (7.8) и тем, что
Ж (!)— величина постоянная, находим:
D (I) = Ж (I2) - 2Ж &М (D) + Ж2 (1) =.
=Ж {%) - 2Ж (1) • Ж (1) + Ж2 (1) =
= Ж (|2) — 2Ж2 (|) + Ж2 (I) = Ж (Е2) — Ж2 (|).
Итак,
D (I) = Ж (I2) - Ж2 (1). (7.10)
По этой формуле удобнее всего вычислять значения дисперсии!
Если D (|) — сравнительно малое число, то в этом случае значе^
ния случайной величины | близки к ее математическому ожиданик?
Ж (|). Если же D (|) — большое число, то значения | сильно
рассредоточены около Ж (|).
По формуле (7.10) получаем:
D (с) = Ж (с2) — Ж2 (с) = с2 —с2 = 0, (7.11)
откуда следует, что дисперсия постоянной величины равняется
нулю.
Применяя формулу (7.10), нетрудно также найти дисперсию
случайной величины с\, где с — постоянный сомножитель.
Действительно,
D (с\) = Ж (с2!2) — Ж2 (сЪ) = с2М (I2) — с2М2 (1) = '
= с2 (Ж (|2) - Ж2 (1)) = сЮ (1), т.е. 0 (eg) = с2 D (1).
Если 1 и т) — независимые случайные величины, то по формуле
(7.7) Ж (Ы = Ж (1) • Ж (и).
0 (1 + т|) = Ж (| + л)2 ~ Ж2 (1 + п) = Ж (I2 + 2&л' +
• + Л2) - (Ж(1) + Ж ft))2 = Ж(12) + 2Ж( 1) • М ft) +
+ Ж ft2) — Ж2 (1) — 2Ж (1) • Ж (л) — Ж2 ft) = (Ж (I2) —
- Ж2 (1)) + (Ж ft2) - Ж2 fa)),
или
Д(1 + Т1) = Я($) + Я(П),'- (7-12)
что означает:
дисперсия суммы независимых случайных величин равняется
сумме их дисперсий.
Заметим также, что
Z>(6--T|) = 0(D + 0(T|). (7, 13)
ибо D {—ц) = (—l)2 D ft) = D (т|).
Примеры
1. Случайная величина | распределена по закону
1
р
2
1
—
4
4
1
—
8
6
1
4
8
1
8
10
1
—
4
78
Найти D(l). ~
Сначала находим М (£). Согласно формуле (7. 3)
^И(£) = 2.1-{-4--+6--+8. — +10-J- = 6.
къ' 4 ^ 8 ^ 4 8 4
Теперь можно выразить закон распределения случайной величины
(%-М &)У.
£-M(W
р
16
1
Т
4
1
8
0
1
4
4
1
8
16
1
4
Наконец, используй формулу (7.9),
D (I) = M(t — M(Z)f = 16 • - + 4 • - + 0 • - 4- 4 • -4 16-- = 9.
" Vb/ V!D u" 4 8 4 8^ 4
; Эту же задачу можно решать другим путем.
Используя формулу D (1) = М (£2)—Мг (|), представим
распределение случайной величины |2 с помощью следующей таблицы:
1а
р
4
1
4
16
1
~8~
36
1
4
64
1
8
100
1
4
По формуле (7. 3)
М (£2) = 4 • - 4- 16 • - + 36 • - + 64 • - + ЮО . - = 45.
V* ' 4 ^ 8 ^ 4 ^ 8 ~ 4
Тогда Z> (1) = М (|2) — Ж2 (1) = 45 — б2 = 45 — 36 = 9.
Сравните, какой способ требует меньше вычислительной работы.
2. Случайная величина | распределена так:
Б
р
1
0,01
2
0,1
3
0,2
4
0,3
5
0,08
6
0,2
7
0,1
8
0,01
Случайная величина ц распределена так:
п
р
1
0,3
2
0,2
3
0,1
4
0,1
5
0,2
6
0,01
7
0,08
8
0,01
Найти дисперсию случайной величины х — |-4- Л» гДе 1» П —
независимые случайные величины.
Согласно формуле (7.12) D (| 4- ц) = D (£) + D (т|).
Так как
79
M (1) = 1 • 0,01 + 2 • 0,1 + 3 • 0,2 + 4 • 0,3 + 5 х
X 0,08 + 6-0,2 + 7-0,1 + 8 • 0,01 = 4,39,
то распределение случайной величины (| — М (|))2 имеет вид:
(l-M(D)z
р
11,4921
0,01
5,7121
0,1.
1,9321 |о, 1521 0,3721 2,5921
1
0,2
0,3
0,08
0,2
6,8121
0,1
12,0321
0,01
Поэтому
D (1) = 11,4921 • 0,01 + 5,7121 • 0,1 + 1,9321 • 0,2 + 0,1521 х
Х0,3 + 0,3721 • 0,08 + 2,5921 • 0,2 + 6,8121 - 0,1 + 13,0321 х
X 0,01 - 2,47789.
Поскольку
М (ц) = 1 • 0,3 + 2-0,2 + 3-0,1 + 4 • 0,1 + 5 • 0,2 + 6х
X 0,01 + 7 • 0,08 + 8 • 0,01 = 3,1,
то распределение случайной величины (г\ — М (т]))2 запишется:
{1\-М(ц)У-
р
4,41
0,3
1,21
0,2
0,01
0,1
0,81
0,1
3,61
0,2
3,41' 1 15,21
0,01
0,08
24,01
0,01
Находим
D (ц) = 4,41 • 0,3 +1,21 • 0,2 + 0,01 • 0,1 +0,81 • 0,1 + 3,61 X
X 0,2 + 8,41 • 0,01 + 15,21 • 0,08 + 24,01 - 0,1 = 3,91.
Значит, D {х) = 2,47789 + 3,91 = 6,38789.
3. Найти дисперсию случайной величины, распределенной по
биномиальному закону.
Случайная величина |, распределенная по биномиальному
закону, представляет нам число событий А при п независимых
испытаниях, когда вероятность появления события А есть р, а
непоявления — q = 1 — р.
Пусть li — число событий Л при i-ом. испытании. ^ может
принять два значения: 1 с вероятностью р (А произошло) и 0 с
вероятностью q (А не произошло). Тогда М (|?) = I2 • р + О2 • q — р.
По формуле (7.10) находим:
D (I) = М (|?) - Ж2 (%) = p-p*=:p(l-p) = Pq.
Поскольку 1 = li + ia + ... + la и li — независимые
случайные величины, то D (§) = D (|4 + |2 + ... + |„) = D (|4) +
+ /) (12) + ... + /)(!„) =*npq.
3. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА И ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Пусть математическое ожидание случайной величины | равно а.
Распределение | выразится с помощью таблицы:
80
1
p
xl
Pi
4
P-2
x3
P-3
... j xn—\
1
Pn-i
xn
Pn
Дисперсия случайной величины | определяется из формулы:
О (|) = (*i - afPi + (х2 - а)2р2 + ... + (х„ - а)*рп. (7.14)
Вычислим теперь вероятность события || — а\ ^ е, где 8 > 0 —
наперед заданное число. Пусть л:^, xki, .... xk— те значения
|, для которых имеет место \xk. — а | ^ е, i = 1,2, ..., m. Тогда
ясно, что
D (I) > (**, — а)2рк + (xftl — afpk2 + ... + (xftm — a)2/?ftm,
ибо это неравенство получается путем отбрасывания из правой
части неравенства (7.14) тех слагаемых, для которых \\ — а\ < &.
Тем более
D (|) > еХ + еХ -Ь ... + e2pkm = е2 (/?fel + />Л, + ...+/>ftJ.
Но
Pkt -I Pk2 + ... + pkm = я (I I — a I > 1)> Л
поэтому
/>(|)>е2/>(||-а(>е),
(7.15)
P(|g_a|>e)<-^-
Это знаменитое неравенство Чебышева. Оно позволяет оценить
вероятность отклонения случайной величины 1 от ее
математического ожидания. С помощью неравенства Чебышева выведем закон
больших чисел, который впервые был сформулирован Я.
Берну лл и.
Допустим, что I = —, где S„ — число появления события
п
А при п независимых испытаниях. Обозначим Р (А) = р. Нами
доказано, что М (Sn) ~ пр и D {Sn) = npq. Используя эти
результаты, находим:
'SA ±.M(SJ=±np = p.
п
РЯ
М
D(S-A = \.D{Sn) = ±-npq =
Теперь в силу неравенства (7.15)
Р
РI I —
>е)<а.
При п
°о»
пеа
О, поэтому при любом е > О
§2
п
>е
■0.
81
Этому равносильно:
— —р
п
< 8
1,
(7.16)
где — — частота появления события А при п независимых испы-
п
таниях, р — вероятность события Л в отдельном испытании.
(7.16) — не что иное, как запись закона больших чисел:
С вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно
утверждать, что при достаточно большом числе независимых испытаний
частота появления наблюдаемого события как угодно мало
отличается от его вероятности при отдельном испытании.
Упражнения
167. Распределение случайной величины \ имеет вид:
1
р
1
0,15
а распределение
TJ
р
9
0,15
2
0,2
3
0,15
величины х\\
8
0,1.
7
0,15
4
0,1
6
0,1
5
0,15
5
0,15
6
0,05
4
0,1
7
0,15
3
0,15
8
0,05
2
0,1
Найдите дисперсию случайной величины § и дисперсию
случайной величины т|. .
168. Три случайные величины распределены так:
1)
1
р
—1
0,1
-^-2
0,1
—3
0,1
—10
0,09
—12
0,3
—20
0,009
—30
0,3
.—40
0,001
2)
ч
р
1
0,001
2
0,2
3
0,001
4
0,3
5
0,008
6
0
7
0,09
8
0,4
3)
%
Р
20
0,001
10
0,2
5
0,009
2
0,29
1
0,001
—2
0,009
—5
0,2
—10
0,29
Найдите Ж (|2), М(2ц), м(-
82
169. Найдите дисперсию суммы независимых случайных
величин, распределения которых даны в задаче 167.
170. Независимые случайные величины |, т] и А, распределены
так, как указывается в задаче 168. Найдите дисперсию случайной
величины
х = | + т] — Л,.
171. Производятся испытания, каждое из которых может
завершиться одним из 20 равновозможных исходов. Результаты
испытаний таковы:
Ис-
пы-
та-
ние
зультат
1
4,4
2
6,1
3
5,1
4
4,9
5
6
5,94,1
1
7
5,6
,|.
10
6,84,35,0
11
12
7,74,0
13
4,2
14
5,8
15
16
2,06,5
17
3,2
18
4,8
19
20
5,2 2,6
Найдите математическое ожидание и дисперсию этой
случайной величины.
172. Ведется стрельба по мишени. Вероятность попадания —.
О
Найдите дисперсию числа попаданий.
173. Производятся 3 выстрела по мишени. Вероятность
попадания 0,4. Случайная величина | — число попаданий. Найдите
М (1) и D (|).
174. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого
попадания. Вероятность попадания равна 0,6. Найдите математическое
ожидание и дисперсию числа бросаний.
175. Найдите дисперсию случайной величины X,
представляющей собой число появлений события Л в двух независимых
испытаниях, если вероятности появления события в этих
испытаниях одинаковы и известно, что М (X) = 1,2.
176. Из всей выпускаемой заводом продукции 95% составляют
стандартные изделия. Наугад отобраны 6 деталей. Пусть | —
число стандартных деталей среди шести отобранных. Найдите D (£).
177. Человек находится в начале системы координат. Он
подбрасывает монету. При появлении герба делает шаг направо, при
появлении цифры — шаг налево. Пусть | — абсцисса положения
человека после п бросаний. Какой вид имеет распределение
случайной величины 1? Найдите М (|) и D (£).
178. Пронумерованы п одинаковых карточек. Потом эти
карточки наугад поменяли местами. Пусть Sn — число карточек,
которые и после перестановки остались на своих местах (например,
карточка с номером 7 осталась на седьмом месте от начала).
Найдите М (Sn) и D (Sn).
179. Закон распределения случайной величины § такой:
Б
р
—1
0,2
0
0,1
1
0,3
2
0,4
83
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной
величины г) = 2^.
180. Дискретная случайная величина X имеет только два
возможных значения: Xi и Х2, причем Х2> Xt. Вероятность того, что
X примет значение Хь равна 0,6. Построить закон распределения
величины X, если Ж (X) = 1,4 и D (X) = 0,24.
181. Математическое ожидание случайной величины М (|)=а,
а дисперсия D (£) = Ь. Найдите математическое ожидание и
дисперсию случайных величин х = —|, г = | + 2х — 1, и = 3| —
— л: + 2г — 3.
182. Дискретная случайная величина X принимает только
три возможных значения: Х4 = 1, Х2 и Х3, причем Xi<X2<X8.
Вероятности того, что X примет значения XihX2, соответственно
равны 0,3 и 0,2. Постройте закон распределения величины X, зная,
что М (X) -2,2 и D (X) - 0,76.
183. Пусть событие А — появление двух гербов при бросании
трех монет. Производится /i-кратное бросание 3 монет. Найдите
математическое ожидание и дисперсию случайных величин | и ц,
£
где £ — число появления события Л при п испытаниях, г\ = -—
л
частота события Л.
184. В ящике 2 белых и 3 черных шарика. |— число белых
шариков среди двух, вынутых.наугад. Найдите М (|) и D (|).
185. В ящике а белых и Ь черных шариков. Наугад вынимают
' k шариков (k «^ а + Ь). Найдите математическое ожидание и
дисперсию числа вынутых белых шариков.
4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
В разделе VI-3 формула Пуассона (6.6) служила удобным
приближением для биномиального распределения в случае большого
■п и малого р. Существуют также и другие распределения
вероятностей, которые приводят в пределе к формуле Пуассона (6.6). Мы
сталкиваемся здесь с проявлением того факта, что существует
несколько распределений большой общности, встречающихся в
разнообразных задачах. Тремя чаще всего встречающимися
распределениями являются биномиальное (оно нами рассмотрено в главе VI),
нормальное и распределение Пуассона, которое мы теперь
рассмотрим более основательно.
Будем говорить, что случайная величина \ распределена по
закону Пуассона, если она принимает значения т (т = 0, 1, 2, 3,...)
с вероятностями
р (I = т) = — e~k. ' (7.17)
т\
Математическое ожидание такой величины может быть
представлено бесконечным рядом:
84
V ' 1! ' 2! 3! ^ ^ ш! ~
= ke*[\-\ k...+: + ..••
\ 1! 2! ^ ^ (m-1)! ^ j
Ho
1 -t- — + — 4 + — + — H ~ e*. (7.18)
^1! ^2! ^ ^.(m—1)! mM V '
Поэтому Ж (|) = £ и Z) (|) = 6.
Значит, в формуле (7.17) k представляет среднее значение
случайной величины |, распределенной по закону Пуассона.
Рассмотрим такие последовательности случайных событий,
примерами которых могут служить вызовы, поступающие на
телефонную станцию, заходы судов в порт, испускание а-частиц
радиоактивным веществом и т. д. Каждое событие можно изобразить
точкой на оси времени, тогда получаем случайное распределение точек.
Покажем, что на величину
можно смотреть как на вероятность иметь т точек (т событий)
внутри интервала определенной длины.
Пусть условия опыта остаются неизменными во времени и
неперекрывающиеся интервалы времени независимы в том смысле,
что число событий на одном интервале не зависит от числа событий
на других интервалах.
Представим единичный интервал времени, разделенный на »
интервалов (п — большое число), длина каждого из которых —.
л
Пусть любой из интервалов либо пуст, либо содержит по крайней
мере одну случайную точку, т. е. интервал не пуст. Пусть событие
А — «интервал не пуст». Поскольку длина всех' интервалов
одинакова, то для любого из интервалов вероятность события А должна
быть одной и той же. Обозначим Р (А) = рп. Пусть прп -*- k прш
неограниченном возрастании п. Тогда по формуле (6.6)
вероятность того, что среди п неперекрывающихся интервалов т непустых!
Здесь, конечно, т не означает числа случайных точек на единичной
интервале, ибо в любом из непустых интервалов мы можем иметь
несколько случайных точек. Однако естественно ввести
дополнительное допущение, что вероятностью появления двух или oo.iet
событий в течение очень короткого промежутка времени можно
в пределе пренебречь. Таким образом, вероятность иметь в
единичном интервале времени т случайных точек получается как предал
Р (Sn — т) при п -+- оо. Если эту вероятность обозначим р (т, k)9
85
то
р(щ; k) = limP(Sn = m) = —е~*. (7.19)
n-*oo m!
Если вместо единичного интервала мы возьмем произвольный
интервал длины t и снова воспользуемся разбиением на интервалы
1 '
длины —, то мы получим испытания Бернулли с той же самой ве-
п
роятностью рп, но количество испытаний будет равно уже не п,
а ближайшему к nt целому числу. Переход к пределу такой же,
только вместо k мы получим kt. Это приводит к истолкованию
величины
р(т; kt)=^^-e-kt (7.20)
m!
как вероятности иметь т случайных точек на фиксированном
интервале длины t. В частности, вероятность*того, что на интервале
длины t не будет ни одной точки, равна
р (0; kt) = е-**. (7.21)
Параметр k определяет плотность точек на оси t. Из формулы
(7.21) видно, что, чем больше k, тем меньше вероятность события,
состоящего в том, что интервал (0, /) пуст. Формула (7.20) может
быть применена при решении разных задач.
Примеры
1. Автоматическая телефонная станция получает в среднем
за час 540 вызовов. Какова вероятность того, что в данную минуту
она получит ровно 20 вызовов?
Так как вызовы независимы друг от друга, число вызовов за
промежуток времени Д£ = 1 мин распределяется по закону
Пуассона. Произведение kt мы можем рассматривать как среднее число
точек, приходящееся на интервал времени длины t. Таким образом,
по условию задачи
U = 5-i° = 9.
60
По формуле (7.20), зная, что т = 20, находим
По таблице 3
920 -э
р(20; 9) = — е
^v 20!
р (20;9) = 0,000617.
2. В аэропорту производят посадку в среднем 3 самолета в
минуту. Какова вероятность того, что в течение 2 мин произведут
посадку не меньше 4 самолетов?
Пусть событие А — «произвели посадку не меньше 4 самолетов».
Противоположное ему событие А — «произвели посадку меньше
4 самолетов». Обозначим события:
Л о — «не было ни одной посадки»,
At — «состоялась одна посадка»,
Л2 — «состоялись две посадки»,
Л3 — «состоялись три посадки».
Понятно, что
А = А0 + At + А2 + А3.
Поскольку события Л0, Ль Л2, Л3 несовместимы, то
Р (Л) = Р (Д0) + Р (ЛО + Р (Л2) + Р (Л3).
Соответственно условию задачи t — 2, k = 3, m — 0, 1, 2, 3.
Поэтому по формуле (7.20) и таблице 3
Р (Л 0) = р (0; 3 • 2) = р (0; 6) = 0,002479,
р (л4) = ^ (1; 3 • 2) = р (1; 6) = 0,014873,
р (Л2) = р (2; 3 • 2) = р (2; 6) = 0,044618,
Р (Л 8) = /? (3; 3 • 2) = р (3; 6) = 0,089235.
Получаем: Р (Л) = 0,151205. Поскольку Р (Л) = 1 — Р (Л), то
Р (Л) = 0,848795.
3. На прядильной фабрике работница обслуживает по
нескольку сотен внешне практически ничем не отличимых веретен. При
вращении веретена пряжа из-за неравномерности натяжения и
других причин рвется в случайные моменты времени. Для
производства важно знать, как часто могут происходить обрывы пряжи
в зависимости от тех или иных условий (сорт пряжи, скорость
вращения веретен и т. д.).
Пусть работница обслуживает 800 веретен и вероятность обрыва
пряжи в течение одной минуты 0,0005. Найти вероятность того,
что в течение 10 мин произойдет не более 2 обрывов.
Пусть событие Л — «произойдет не более 2 обрывов».
Обозначим события:
Л 0 — «обрывов не произошло»,
А^ — «произошел один обрыв»,
Л 2 — «произошли два обрыва».
Ясно, что Л = Л0 + Ai + Л2. Согласно условию задачи
t = Ю, k = 800 • 0,0005 = 0,4, т = 0, 1, 2.
По формуле (7.20) и таблице 3:
Р (Л0) = р (0; 0,4 ■ 10) = р (0; 4) = 0,018316,
Р (А^ = р (1; 0,4 • 10) = р (1; 4) = 0,073263,
P(AZ) = р (2; 0,4 • 10) = р (2; 4) = 0,146525.
Поскольку Р(А) = Р (Ло) + Р (А^ + Р (Ла), то
Р (Л) = 0,238104.
87
VIII. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Случайные величины, возможные значения которых
непрерывно заполняют некоторый интервал, называются непрерывными
случайными величинами.
Пусть 1 — непрерывная случайная величина, возможные
значения которой представляют точки интервала [1; 3[. Какова
вероятность того, что | = 2?
Для решения этой задачи попробуем применить формулу
(4.1). Поскольку на интервале бесконечно много точек, топ = оо.
Число 2 представляет только одна-единственная точка, поэтому
m = 1. Тогда
/>(£ = 2) = 1 = 0. (8.1)
И вообще, вероятность появления любого отдельного значения
непрерывной случайной величины равна нулю.
Но разве | — 2 — невозможное событие?! Оно все же может
состояться! Читателю следует запомнить следующее правило:
вероятность невозможного события равна нулю, но если вероятность
некоторого события равна нулю, то это не значит, что событие
невозможное: нулевую вероятность могут иметь и возможные события.
Результат (8.1) приводит к мысли, что для непрерывных
случайных величин нельзя построить закон распределения в такой
форме, какая была удобна для дискретных случайных величин.
Так и есть. К. закону распределения непрерывной случайной
величины будем подходить иначе.
Вероятность того, что \ < х, будем называть функцией
распределения непрерывной случайной величины \ и обозначать
р а < х) = f (*).
Очевидны следующие свойства F (х):
1) F (х) — неубывающая функция.
Действительно. Пусть хг < х2 (рис. 20).
Событие «| < %2» представляет собой сумму событий «£ < х{»
и «*! ^ I < х2». Поэтому, в силу несовместимости их,
Р(1 <х2) = Р(К хх) + Р (*! < I < х2).
Поскольку Р {хг ^ I < х2) !> 0, то
Р (I < *i)< P (I < х2), т. е.
F (хх) < F (х2).
2) F (х) — непрерывная слева.
Выберем какую-нибудь возрастающую последовательность
#i < х2 < х3 • ••• < хп < ..., сходящуюся к х. Пусть Ап событие
. ж «хп ^ I < х». Тогда в силу свойства 1
'*' Хг Х P(AJ=.P(l<x)-P(l<xJ =
Рис. 20 = F (х) — F (хп).
88
lim P (An) =. lim (F (x) — F (xn) = F (x) — lim F (xn) = F (jc) —
П-»ос n-voo П->оо
— F (x — 0) = 0, что и требовалось доказать.
3) F (oo) = 1.
Событие «| < оо» достоверное, поэтому
Р(1 <°°) = F (оо) = 1.
4) F(_oo) =-0.
Событие «£ < —оо» невозможное, поэтому
Р& <—oo) = F(-oo) =Q.
Примечание: когда известно, что случайная величина может
принимать только значения интервала [а; Ь[, то достоверным
событием является событие «| < b», a невозможным «£ < а». В таком
случае
P(l <b) = F(b)= 1, (8.2)
H-P(l <a)=J(a)=Q.
Когда известна функция распределения F (х), можно найти
вероятность попадания случайной величины на заданный интервал.
Именно:
Вероятность попадания случайной величины на заданный
интервал равна приращению функции распределения на этом интервале,
т. е.
P(a^l<b) = F(b)-F(a). (8.3)
Доказать это нетрудно. В результате несовместимости событий
«I < а» и w ^ £ < Ь»
Р(Ъ < Ь) - Р (I < а) + Р (а < I < Ъ), т. е.
F (b) = F (а) + Р (а < | < Ь), откуда и следует (8.3).
Примеры
1. Функция распределения случайной величины
F(x)
0 при л:^—1
__#+- при —1< *<2
\ 1 при х > 2
Найти вероятность того, что в результате испытания % примет
значение, заключенное в интервале [о; 1[.
По формуле (8.3)
2. Функция распределения случайной величины |
' п
О при х < — —
F(x) ---
(sin x -j-' 1) при
^ ^2
при х >
Найти вероятность того, что в результате испытания £ примет
значение в интервале
По формуле (8.3)
/>(0<£< —
0; i
4
— Sin L. 1
2 V 4 '
1
(sin 0+1)
4
3. Доказать, что
Р(а<Б<&) = />(А<Е<*) = Ла<Е<*)=-Я(а<8 < Ь) (8.4)
Я (а < I < Ь) = Р а = а) + Р (а < I < Ь). Но Р (I =а) = 0,
поэтому
Р (а < Б < Ь) = Р (а < I < Ь).
Также Р (| = Ь) = 0, поэтому
Р (а < I < Ь) = Р (а < К Ь) + Р (1 = Ь) =
« Р (а < g < 6).
Наконец
Р(а < g < 6) ■= Р (1 = а) + Р (а <|< 6) + Р (1 = 6) =
=Р (а < g < Ь).
Равенство вероятностей (8.4) полезно запомнить для изучения
следующих разделов книги.
1. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
У читателя, возможно, мог возникнуть такой вопрос: каким
путем, наблюдая случайные значения £, построить функцию
распределения ^(^.Оказывается, что к этой функции практически
проще подходить через другую функцию.
Пусть F (х) — непрерывная и дифференцируемая функция
распределения случайной величины £. Вычислим вероятность
попадания значений на интервал от х до х + А*. По формуле (8.3)
Р (х < £ < х + А*) = F (х + А*) — F (х).
Рассмотрим отношение этой вероятности к длине интервала,
т. е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины,
и будем Ал: приближать к нулю.
Hm Pjx^Kx + Ax) ^ Пт F(x + Ax)-F(x) ^ р,
&х-+о Ах Д*-»-0 Дх
Полученная производная Fr(x) = р {х) называется плотностью
распределения случайной величины £.
90
Оказывается, что на основании испытаний практическое
построение плотности распределения | более удобное, чем построение
самой функции распределения.
Пусть непрерывная случайная величина g принимает
значения на интервале [а; &[. Разделим интервал на п равных частей
точками хи хг, х3, ..., хп_г.
Проводим N испытаний и следим за появляющимися
значениями £. Пусть
/^значений | оказались принадлежащими интервалу [a; xt[;
т2 —»— I —»— —»— —»— [_хх; х2[;
т3 —»— I —»— —»— —»— [х2; х3[;
тп —»— I —»— —»— —»— [a'^x; b[.
Тогда мы можем делать вывод, что при испытаниях относи
тельная частота появления | на интервале [а; xt[ равна
N
—»— на —»— [^; х2[ —«— р
г г те,
—»— на —»— [л:2; х3\_ —« ,
>— на —»
[хп_г; Ь[ —«-
N
OrtHocume/ibMbie
частоты
Построим диаграмму относительных частот (рис. 21). Такая
диаграмма называется гистограммой. Она с определенной
точностью дает представление о плотности распределения значений | на
интервале [а; Ь\_. При увеличении числа делений п и числа
испытаний гистограмма все точнее отражала бы плотность
распределения, графиком которой
вырисовывалась бы кривая плотности.
Из (8.5) непосредственно
следует
X
F (х) = j p (0 dt, (8.6)
—оо
т.е., зная плотность
распределения, можно найти функцию
распределения. Из (8.6) следует
р (х) dx = F (P) — F (a) =
Рис. 21
^/>(a<g<p). (8.7)
Таким образом вероятность
попадания | на интервал [а; р[
представляется заштрихованной
площадью на рис. 22.
91
Примеры
I, Плотность распределения случайной величины £
О
при х <^0
р (х) = \ — sin х при 0 < х ^ я
при л: > я
Найти вероятность попадания £ на интервал —; —
По формуле (8.7)
1W
(— ^ ? < —) = — \ sin xdx
U ^ь , 2/ 2 J
= COS X
2
4
2. Плотность распределения
случайной величины £ •
при л: <; — —
Р (х) = — cos лг при — — < л: ^
при л: >
Найти вероятность того, что с<—.
б
По формуле (8.7)
я л
/>(§<-|) = />(~оэ<Е<у)= § p(x)dx= J 0-dx.+
+
и
cos xd# = — sin x
2
. я 1 . / я \
sin sin J
6 2 Л .2 /
1 . я , 1 . я 3
= — sin — sin — = —.
2 6 ' 2 2 4
92
. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
Пусть непрерывная случайная величина £ распределена на
интервале [а; Ь[ с плотностью р (х). Разделим интервал [а; Ь[_ на
п необязательно равных частей [я; х£; [лгг; лг2[; ... [xn-i>
Неслучайная величина £ принимает
значения из интервала [а; хг[ с вероятностью P(a^b,<Xi)',
~»— » —»~ fo Ха [ » —»— Р(^! < 1<Х2)\
—»— » —»— \.х2; х3 [ » —»— Р(х2 ^ 1<х9)\
_»__ » __»_ [хп_х\ Ь[ » —»— Р (хп_г < Ъ<Ь).
Пусть \i £ [лу, x;+1 [. Тогда по аналогии с формулой (7.3)
математическое ожидание случайной величины I приближенно равно:
Разумеется, что
' Af(D= Hm UliPix^Kx^)
max (j^ — xi)-*0i=0
при /г-> оо. Обозначим л;г+1 — л^ = Л*;, a max Ал^ = X.
Тогда
^(0 = HmI^(^<k%).
В силу формулы (8.3)
M(l) = Hm2 b(/7(^+i)-/?Ui)).
По формуле Лагранжа
F (xi+1) — F (xt) = Z7' (£*) А*, = р Ц]) kxt, где хь < £', < *,+1,
следовательно,
Af (|) = lim 2 i/P (1/) Д*< = f */> (*) <**• • (8-8)
о
В случаях, когда область распределения £ не указана,
00
М (I) = Т хр (x)dx. (8.9)
—оо
Последний интеграл представляет собой
Р
lim [xp (x)dx,
0-юо «
93
поэтому его решение не вызывает осложнений.
Примеры
1. Плотность распределения случайной величины % Р (х) =е~ах.
Найти М (I) для х > 0 и а >0.
По формуле (8.9)
М (I) = Г хе~ах dx. Рассмотрим последовательно вычисление
о
этого интеграла.
Г хе~ах dx = Г udv, где и = х, a do = £_адг dx.
Известно, что d (uv) = vdu 4- udv. Проинтегрировав последнее
равенство, находим
Г udv = uv — Г vdu.
В нашем случае du = dx, v = е-аЛ\ Поэтому
Г х<Гах dx = х [— -е~ах\ — (7— -£-а*] dx =
X \ (* У 1
= — — е~адг + — Г е~ах dx = —-е~ах —
а а ) а а
. Таким образом М (£) = Г X£~axdx = lim Г хе ах dx
О О
Нт 1 — -е-ах -е~ах
а'■= lim (— — е"*0'- -<Гла + —
О а->-ео \ а а2 а2
а-*оо \ й
2. Плотность распределения случайной величины £ /?(х)
. Найти неизвестный параметр а.
ех -}- e~x
По формуле (8.7) и в силу (3) и (4) свойств F (х)
оо
f -rr-j dx = F(co)-F(_co) = 1.
I
dx 1
ел -f- e a
(8.10)
oo P 15
\ —= lim ( —-= lim arctge* = limarctgep
J e* -\- e~x a-*—oo J ex -j- e— a-*—<» p.»oo
l-t-oo a P-»-oo (X
94
— Iim arctgea= arctg oo—arctgO = —.
a-.-— oo 2
0 я 1 2
Значит, — = —, откуда а = —.
2 a я
3. ДИСПЕРСИЯ
Согласно формулам (7.9) и (8.9) дисперсия
оо
D(l) = M(l—M (I))2 = j (x—M(l))* р (х) dx,
—00
а согласно формулам (7.10) и (8.9) —
оо / оо \^
D(l)= J х2р (x)dx — l§ xp (x) dx (8.11)
00 \ —ОО /
Пример
Плотность распределения случайной величины 1
(О при х ^ О
2а;2 при 0 < х ^ 1
О при х > 1
Найти D (I).
По формуле (8.11)
оо / оо \2 О 1
/>(!)= J х2/? (*) dx — Г xp (x) dx\ = J x2 • О • dx + j*2 X
Х2х2 dx + fx2 • 0 ♦ dx — | Г х • 0 . dx + fx-2x2dx + fx-O-dx
'i V—оо о i
= 2j*M*-(2pd*y=2.f|;-(2.^
о \ о /
l\2 - —
о ~~ 20'
4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Нормальным называют распределение непрерывной случайной
величины I с плотностью
(X—О)2
Определим вероятностный смысл параметров а и or.
Ж
(Е) =—7=- Г хе 2ог dx,
а]/2я J
PWlpw
Рис. 23
Введем новую переменную
t = -:=L-. Отсюда х = at + а,
а
dx = adt. Учитывая, что новые
пределы интегрирования равны
старым, получаем
Af(g) = ~^=. Uat+a)e
dt
Уы
ate dt -f
Уг
оо
w J
Л.
Поскольку под знаком первого интеграла нечетная функция и
пределы интегрирования симметричны относительно начала
координат, то этот интеграл равен нулю.
Так называемый интеграл Пуассона
00 —гг
Г е dt = V'2n,
поэтому
М (£) = а,
т. е. параметр а означает математическое ожидание нормально
распределенной случайной величины |. .
(х—ау
У 2.
= f (* — «)2
2я J
е 2°2 ^ = а2,
поэтому параметр а означает
среднее квадратическое
отклонение нормального распределения.
Когда а==0 и 02= 1, то
нормальное распределение с
плотностью
_х*
rv ' У 2л
называют нормированным.
График плотности нормального
распределения представляет собой
колоколообразную кривую.
Точкой максимума плотности явля-
96
ется М (£) =а, высота «колокола» равна —т='. Полезно запомнить
о у 2л
следующие зависимости:
1) Если при равных дисперсиях М (х) = а < М (у) = Ь, то
графики плотностей распределения случайных величин х и у по
форме и высоте одинаковые, но график плотности распределения
правее (рис. 23).
2) Если при равных математических ожиданиях D (x)< D(y),
то графики плотностей максимумов достигают в той же самой
точке, но график плотности распределения у ниже и шире (рис. 24).
Мы уже знаем, что если случайная величина % 'распределена
с плотностью р (х), то вероятность того, что £ примет значение,
принадлежащее интервалу [a; {J[, равна:
Э
Р (а < £ < р) = tp{x) dx.
а
Пусть случайная величина £ распределена по нормальному
закону, тогда вероятность того, что £ примет значение,
принадлежащее интервалу [а; 0[, равна
Р (*-а)»
Р(ос<£<Р) = —*(•* 2о* dx.
о у 2я J
а
Введем новую переменную f == ——-. Отсюда х = ot -f а и
о
dx — odt. Когда х = а, то t = 5LZL?; когда л: = J3, £ »■ EJZf, Под-
о а
становка новой переменной и новых пределов интегрирования дает
Р-а Ч Р-а
а _ ll a 12
Р(а<£<Р) = --4= Г ае 2 d/ = -U Г <f 2 Л =,
v ^ а /2я J -К2зх J
а—а а—а
о . . -а
О _<* а f*
/2л J ^V2n J
а—а О
а
Р—а а—а
о <2 ~ t!
1
f e 2 dt— f
в " d/— e z dt.
/2л
о
Ф (*)=-!_ Г г 2 л
/2л J
4 В. С. Лютикас 97
функция Лапласа, значения которой представлены в таблице 4.
Следовательно, для нормально распределенного £ имеет место
Р (« < I < Р) = Ф (^) - Ф (^-°). '(8.13)
Примеры
1. Случайная величина \ распределена по нормальному закону,
М (1) «= 40, D (I) = 100. Найти вероятность того, что I примет
значение, принадлежащее интервалу [20; 60[.
По формуле (8.13)
ясю<6<«)-ф(!^)-ф^)-фЯ-ф(^-
= Ф(2)+Ф(2) = 2Ф(2).
По таблице 4 Ф (2) = 0,4772.
Отсюда искомая вероятность
Р (20 < I < 60) = 2 • 0,4772 = 0,9544.
2. Случайная величина | распределена по нормальному закону.
М (£) = a; D (£) = а2. Найти вероятность того, что I примет
вначение, принадлежащее интервалу [а — За; a -f Зсг].
По формуле (8.13)
/>(а-3(т<Е<а + За) = ф(а + 3^~а)-ф(а-3^-а) =
= Ф(3) —Ф(—3) = 2Ф(3).
По таблице 4 Ф(3) = 0,49865. Отсюда Р (а — За < I < а + Зсг)=
«= 2 • 0,49865 = 0,9973, что равносильно
Р(\1 — а\ <3с) - 0,9973.
Нами доказано так называемое правило трех сигм: если
случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина
ее отклонения от математического ожидания не превосходит
утроенного среднего квадратичного отклонения. Такое событие
происходит почти наверняка.
5. ПОНЯТИЕ О ТЕОРЕМЕ ЛЯПУНОВА
Мы уже упомянули, что нормально распределенные случайные
величины широко встречаются на практике. Чем это объяснить?
Выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым была
доказана центральная предельная теорема теории вероятностей, из
которой вытекает следующее следствие: если случайная величина £
представляет собой сумму очень большого числа взаимно
независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму
ничтожно мало, то £ имеет распределение, близкое к нормальному.
98
Примеры
1. Производится измерение некоторой физической величины.
Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой
величины, так как на результат измерения оказывают влияние
многие независимые между собой факторы (влажность, слой пыли
на приборе, температура, вибрация прибора и т. д.). В результате
влияния каждого из этих факторов рождается ничтожная
случайная ошибка. Поскольку число этих факторов велико,
совокупное их действие порождает уже заметную суммарную ошибку.
Эту суммарную ошибку мы можем рассматривать как сумму
большого числа взаимно не зависимых ошибок, т. е. суммарную ошибку
| можем рассматривать как случайную величину, которая
распределена по закону, близкому к нормальному. Практически это
значит, что
^ ^ \Vd&) J \Vd® J
Примером, практического применения вышеизложенного
следствия теоремы Ляпунова может послужить такая задача:
Известно, что среднее значение случайной погрешности весов
х = 0,03 кг, дисперсия а 2 = 0,0016.
1. Какова вероятность того, что при очередном взвешивании
погрешность показания весов [ ее | ^ 0,04?
2. Найти доверительный интервал погрешности этих весов с
гарантией в 95%.
Пусть | — случайная погрешность. Можно считать, что |
распределена по закону, близкому к нормальному. Поэтому
Р( »»1^™1)~W°-°4-W8) ф/-0.04-0.03^ .
. v . \*\ . / ^ /0,0016 / \ /0,0016 )
= Ф(0,25) —Ф(—1,75) = Ф (0,25) +Ф (1,75).
По таблице 4 Ф (0,25) = 0,0987, а Ф (1,75) = 0,4599.
Поэтому
Р (—0,04 < К 0,04) « 0,5586.
На второй вопрос ответ находим так:
у ^ ^ ' v/0,0016/ \yo.ooi6/
Поскольку а и b симметричны в отношении 0,03, то а — 0,03 — е,
а 6 = 0,03 4 8. Значит, Ф/'—) —ф(—) = 2ф(—\ = 0,95. От-
. \0,04/ \0.04/ ^0,04/
сюда Ф{ — } = 0,475. Такому значению Ф(х) в таблице 4
соответствует х= 1,96. Таким образом =1,96 и е = 0,0784. Тогда
a = 0,03 — 0,0784 = — 0,0484; 6 = 0,03+ 0,0784 = 0,1084. Значит,
4*
99
с гарантией в 95% доверительный интервал случайной погрешности
весов [—0,0484; 0,1084].
Упомянутое следствие теоремы Ляпунова позволяет также
оценить вероятность события по экспериментальным данным.
Пусть исследователь при проведении п независимых испытаний
обнаружил, что его интересующий факт А имел место в т случаях.
Он фиксирует, что относительная частота появления факта А рав-
т
на —.Но исследователя интересует сама вероятность появления
т
факта А при одном испытании. Он знает, что р « — , но какая тут
п
степень приближенности.
Относительная частота — есть случайная величина |, матема-
п
тическое ожидание которой М (%)— р, а дисперсия В (|) — •
п
При достаточно большом п (п ^ 30), | распределено по закону,
близкому к нормальному, поэтому согласно формуле (8.13)
<е)&2ф(-\ (8.14)
Последняя формула может быть использована для решения
ряда практических задач. Несколько из них представляем читателю.
2. 15% продукции фабрики представляют изделия второго
сорта. Магазин получил 1000 изделий. Какова вероятность того,
что в полученной партии продукция второго сорта составит
15% ± 2%?
По условию задачи р = 0,15, г — 0,02, п = 1000. Пусть а —
ожидаемая доля продукции второго сорта. Находим а.
С2 = рО-р) = 0^5(1-0,15) = о 0001275. Следовательно,
п 1000
а = К0,0001275 = 0,0113. Тогда
Р(|а-0,15|<0,02)«2Ф(^) = 2Ф(1,77).
По таблице 4 Ф(1,77) = 0,4616, поэтому
Р (| а — 0,15 | < 0,02) « 0,9239.
Ответ можно сформулировать и так: с гарантией в 92% в
полученной партии изделия второго сорта составят 15% ± 2%.
3. Исследованиями установлено, что 20% школьников не знают
правил уличного движения. В случайной выборке 1600 учеников.
Сколько учеников знают правила уличного движения с гарантией в
95%?
По условию задачи п = 1600, р = 0,8. Пусть а — доля
учащихся этой «выборки», знающих правила уличного движения.
Тогда Р (| а — 0,8| < е) « 2 Ф (~\ - 6,95.
100
fp(\— p) /"o,8(l—0,8) лл1
G^T/ — — = Л/ -!—± l2 = o,01, поэтому
2Ф (-J-) = 0,95; Ф (—) = 0,475.
lo.oi/ [о,oiI
8
По таблице 4 значению 0,475 соответствует х = 1,96, т. е. -— =
J 0,01
= 1,96 и е = 0,0196. Значит, с вероятностью 0;95
0,8 — 0,0196 < а < 0,8 + 0,0196;
0,7804 < а < 0,8196
или приближенно 0,78 <^ а ^ 0,82. Но 0,78 от 1600 составляет
1248, а 0,82 от 1600— 1312. Значит, с гарантией в 95% число
учеников, знающих правила уличного движения, принадлежит
интервалу [1248; 1312].
4. При массовом производстве обуви брак составляет 4%
выпускаемой продукции. Сколько изделий нужно отобрать для
проверки качества продукции, чтобы с вероятностью 0,9 можно было бы
утверждать, что в случайном наборе обуви доля брака по
абсолютной величине отличается от 4% не более чем на 1%?
По условию задачи р = 0,04, е = 0,02, п неизвестно. Пусть
а — доля "брака в случайной партии изделий. Случайная величина
а распределена по закону, близкому к нормальному, поэтому
Р(\а — 0,04 | <0,01) « 2Ф №±\ = 0,9.
Отсюда
ф (9j®1\ = о,45 и по таблице 4 ^ = 1,65.
\ a J о
Но G2 = Р(1~Р) = 0.04(1-0,04) = 0,04.0,96 ц q = ,/о>04.0,96
п п п V п
п « 0,01
Подстановкой о в предыдущее уравнение находим zzzzzzzr —
-т, /"0,04.0,96
У-г-.
= 1,65, откуда п = 1045.
Упражнения
186. Математическое ожидание нормально распределенной
случайной величины | равно 10, а дисперсия 4. Найти вероятность
того, что в результате испытания случайная величина | примет
значение из интервала [12; 14].
187. Случайная величина £ распределена нормально.
М (I) - 20, D (I) - 25. Найти Р (15 < |< 25).
188. Производится измерение диаметра вала без системных
ошибок. Случайные ошибки | подчинены нормальному закону с
D (|) = 100 мм. Найти Р (j|| < 15).
101
189. Для замера напряжений используются специальные тен-
зодатчики. Определить среднюю квадратическую ошибку тензодатчи-
ка, если он систематических ошибок не имеет, а случайные
распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят
за пределы ±0,2 мк.
190. Браковка шариков для подшипников производится
следующим образом: если шарик не проходит через отверстие
диаметром du но проходит через отверстие диаметром d2 > dit то его
размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не
выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика
| есть случайная величина с такими числовыми характеристиками:
М- (£) = * "^ 2, D (Е) = * 2~ * . Определить вероятность р того,
2 16
что шарик будет забракован.
191. При массовом производстве 5% выпускаемой продукции
выходит в брак. Сколько изделий нужно отобрать для проверки
качества, чтобы с вероятностью 0,95 можно было бы утверждать,
что в случайной партии изделий брак составляет 5% ± 2%?
192. Какой величины должно быть поле допуска зубчатого
колеса, чтобы с вероятностью не более 0,003 изготовленное колесо
с контролируемым размером оказалось вне поля допуска.
Случайные отклонения размера | от середины поля допуска подчинены
закону нормального распределения с характеристиками М (|) =0
и D (1) = 25.
6. ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Показательным называют распределение вероятностей, которое
описывается плотностью распределения
\kekx при х ^ 0, '
где е = lim (1.-1 ) , a k — положительная константа.
Читатель заметит, что с возрастанием х плотность р {х) убывает
Это значит, что х можно представить как время, & р (х) — как
вероятность безотказной работы какого-нибудь устройства: со
временем эта вероятность в результате износа устройства постепенно
убывает.
Согласно формуле (8.7) вероятность того, что случайная
величина | , распределенная по показательному закону, примет
значение из интервала ~\а\ Ь[, равна
ь ь ь
[ ke~kxdx = — f e~kxd{~kx) = — e~kx I = e~ka — e~kb. (8.16)
a a a
Функция распределения такой случайной величины
102
/>(£< Х)=ар{х) = §ke-kxdx=l— e~k* (8.17)
о
означает вероятность того, что отказ наступит до момента
времени х. Поскольку
Р (|< х) + Р (1 > х) = 1,
то
Р(6>*) = 1 —/>(!<*) = *-** (8.18)
означает вероятность того, что отказ до момента х не наступит.
Логично вероятность Р (| ^ я) называть функцией надежности
устройства. Итак
#(*) =/> (| > х) = е-**. (8.19)'
Какой смысл константы k?
Вычислим математическое ожидание величины |.
М
\*J UU UU
(I) = f *р (*) dx = $xke~kxdx = — f jBT**d (—fo;).
Пусть л; = «, е~йлг d (—&#) = dv. Тогда d« = dx, v = e_ft*. По
формуле Г «do = «у — Г t>d«
ОО 00 I
f-»oo efit k t-юо
Об О
оо оо
М {%) = — xe~kx I + Г <г** dx = — lim 1- — — lim e-ft*
I J . *-oo e" fe f-voo
e—llime-ft' + l = l.
& £-+.00 k k
Таким образом — означает среднее время исправности до от-
k
каза, a k — интенсивность отказов (число отказов на единичный
интервал времени).
Примеры
1. Время безотказной работы электронной лампы |
распределено по закону р (х) = 0,03<Г"0'03Ж, где х означает время в часах.
Найти вероятность того, что лампа проработает безотказно не меньше
100 часов.
По формуле (8.19)
Р (I > 100) = R (100) = <г0>03-100 = е~3 = 0,0498.
2. 98% топливных насосов дизельных тракторов выходит из
строя после 3000 моточасов. Какова вероятность того, что насос
выйдет из строя в интервале времени от 2000 до 2500 моточасов?
Пусть \ — время безотказной работы насоса. По условию
задачи Р (| > 3000) = R (3000) = е"3000* = 0,98.
103
Из зтого уравнения находим k — 0,0000067. Значит, плотность
распределения равна р (х) = 0,0000067 е-0.0000067-*. По формуле
(8.16) Р (2000 < 1< 2500)=е-20оо.о,оооооб7 _ ^-гвоо.о.ооооов? =о,0033.
IX. НЕМНОЖКО СТРАННО, НО ИНТЕРЕСНО
1. УМНАЯ ИГЛА (ЗАДАЧА БЮФФОНА)
Читателю, конечно, известна формула длины окружности
С = 2nR, где зх — трансцендентное число, значение которого с
точностью до сотых равно 3,14. Известны многие способы
определения числа л с большей точностью. Один из этих способов
использует обыкновенную швейную иглу.
Проведем на листе бумаги ряд параллельных прямых, соблюдая
следующие правила:
1) расстояние между этими параллельными одинаковы;
2) расстояние между двумя соседними параллельными
больше длины иглы;
3) построенный чертеж (похожий на бумагу в линейку)
достаточно большой, чтобы случайно брошенная игла не упала за
пределы чертежа (рис. 25).
Пусть расстояние между параллельными прямыми равно а и
длина иглы / (/ < а). Положение случайным образом
брошенной на чертеж иглы определяется расстоянием х от ее
середины до ближайшей прямой и углом ср, который игла образует
с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на
ближайшую прямую (рис. 26).
Изобразим графически (рис. 27) функцию х = — cos <p.
Определим вероятность события А — «брошенная случайно
на чертеж игла пересекает одну из параллельных прямых»:
Р(А) = -,
т
м
«з
¥-
Рис. 25
104
ч
где т — общее «число»
возможных положений брошенной
иглы, & г — «число» тех
возможных положений, когда игла
пересекает одну из параллель*
ных прямых. Ни яг, ни г
непосредственно сосчитать не можем:
таких положений бесконечно
много. Но в случае
пересечения иглой одной из
параллелей должно иметь место
неравенство:'
^ 1
X *С — COS ф,
^2
Такому условию
удовлетворяют координаты тех точек,
которые расположены на
участке BE А. Вместе с тем
всевозможные расположения иглы
характеризуются точками,
которые расположены на участке
ABCD.
Таким образом, вспомнив, как вычисляют геометрические
вероятности, находим, что %
пл. BE А
Рис. 27
Р(А)
пл. ABCD
Но пл. ABCD = —, а пл. BE А = I — cos ф dq> =
Тогда
sin<p
пл. BE A = /
Р(А)
21
an
откуда
л —
21
аР (А)'
105
Но вероятность Р (А) можно приблизительно определить
многократным бросанием иглы. Если, например, иглу бросали на
чертеж s раз и k раз она упала, пересекая одну из параллелей, то
при достаточно большом .s
Р(А)&-,
S
откуда■
2/s
л ж —.
ak
Мы нашли формулу, позволяющую определить число я.
Известны такие опыты:
Ученый-испытатель
Вольф
Фокс
Лазаринни
Год проведения
испытаний
1850
1834
1901
Число бросаний
иглы
5000
1120
3408
Полученное
значение
3,1596
3(Н19
3,1416
Предлагаем читателю самому убедиться в «мудрости» иглы.
2. ЗАДАЧА ШЕВАЛЬЕ ДЕ МЕРЕ
В средние века среди феодальной знати были широко
распространены азартные игры. Большим любителем азартных игр был
французский шевалье де Мере, которому посчастливилось
дружить с замечательным математиком Б. Паскалем. Де Мере не
только играл в кости, но и подмечал некоторые закономерности,
объяснить которые не мог, и в таких случаях обращался к Б. Паскалю.
Де Мере предлагал партнерам следующие условия игры: он
будет бросать 2 кости 24 раза и выиграет, если хоть один раз
появятся 2 шестерки. Его соперник бросает 4 кости один раз и
выиграет, если появится хотя бы одна шестерка.
С первого взгляда кажется, что шевалье де Мере схитрил,
избрав себе более благоприятные условия: все-таки он бросает 24
раза, а его соперник только один раз. Но он чаще проигрывал, нежели
выигрывал. Удивленный де Мере обратился к Б. Паскалю.
Разберемся и мы с вами в том, что ответил Б. Паскаль.
Пусть событие А — «одновременное появление хотя бы одной
пары шестерок при 24-кратном бросании 2 костей».
Пусть событие В — «появление хотя бы одной шестерки при
однократном бросании 4 костей».
106
Событию А противоположно событие А — «ни разу не
появилась пара шестерок при 24-кратном бросании 2 костей».
Обозначим событие А{ — «не появилась пара шестерок при
i-м бросании». Ясно, что
А = А }Л 2/1 3...-Д24*
Поскольку события Аи Л2, ..., Аи независимы, то
Р(А) = Р (ЛЙ2...Л"24) = Р (А,) • Р (А,) ... Р (Л24)„
Также ясно, что
Р (I,) = Р (А2) = ...=/> (J24),
поэтому вероятность Р (А) может быть выражена так!
Р (А) = (Р ШГ.
Вычислим Р (At). При бросании двух костей может произойти
п = 36 разных событий. Событию Ai благоприятствуют т = 35
событий. Поэтому
яа)-|я(Я)-^)".
Вероятность удачи шевалье де Мере:
Р(Л) = 1-(|)24« 0,491 404.
Вычислим вероятность удачи соперника. Пусть событию В
противоположно событие В — «не появилась ни одна шестерка при
сднократном бросании 4 костей».
Пусть событие Bt — «не появилась шестерка на i-и кости». Тогда
В = Bt • В.г • В3 • В4. _ _ _ _
Поскольку события В{, Въ В3, В4 независимы, то
Р (В) = Р (В&В&) = Р (В,) Р (В2) . Р (5а) • Р (54).
Ясно, что Р (5,) = Р(Вг).= Р (В3) = /> (В4), /> (В) = (Р (В,))4.
При бросании одной кости может произойти п = 6 разных событий.
Событию В/ благоприятствуют т = Б событий. Тогда
Я (В,) = f Я (В) = (})'.
Таким образом, вероятность удачи соперника
/>(£)= 1 —Ш4^ 0,517747,
Оказывается, что Р (А) < Р (В). Действительно, наблюдение
получило научное объяснение.
107
3. ОТДАЙТЕ МОЮ ШАПКУ
В один из январских вечеров члены общества охотников
собрались обсудить итоги прошедшего сезона. В помещении было
прохладно, и они заходили в зал в пальто, а шапки оставляли в
гардеробе.
Собрание длилось до сумерек, и вдруг погас свет. Пришлось
расходиться, но в темноте трудно узнать свою шапку.
Председатель собрания предложил каждому надеть наудачу любую шапку, а
завтра каждый вернется зачсвоей шапкой. Все с этим предложением
согласились, а один охотник в утешение собравшимся сказал:
«Надеюсь одному из нас и сегодня досталась своя шапка».
Разберемся, насколько обоснованным является его предположение.
Пронумеруем участников собрания: 1, 2, 3, ..., п. Пусть
событие At — «i'-й участник собрания надел свою шапку». Тогда
событие
A =Ai+'At + A,+ ... + Ап
означает — «по крайней мере один участник надел свою шапку».
Поскольку события Аи Л2, ..., Ап не являются несовместимыми,
то вычисление Р (А) осложняется.
Пусть А{ и А2 — совместимые события, тогда по формуле (5.2)
Р (Ai + Л2) = Р (А,) + Р (А2) - Р (А,А2).
Если Ль А2 и Л3 — совместимые события, то
Р {А, + Л2 + Л а) = Р (А{) + Р (А2) + Р (А3) -
-Р (А{Аг) - Р (А{А3) ~ Р (А2А3) + Р (А{А2А3).
Сравнение Р (Ах + Л2) и Р (Ai + Л2 + As) подсказывает, что
Р (А, + Л2 + ...+Ап) = Sln -S2n + S3n-Sin + ... ± Snn, (9.1)
где Sln = Р (Ai) + Р (А2) + ... + Р (Аа),
S2n = Р (ЛИ2) + Р (ЛИз) + ••• + Р (Ап-гАп),
S3n = Р (А{А2А3) + Р (АХА2А,) + ... -|- Р (А^А^АХ
опп — Р (А\Аг...Ап).
Проверим истинность предположения методом математической
индукции. Допустим, что формула (9.1) справедлива, и определим:
Р (Ai + Л2 + ... + Ап + Ая+1).
Пусть события: В = At + Л9 + ... + Ап. Тогда
Р = (Ai + Л2 + ... + Ап + Att+1) =Р(В + Ан+1) -
= Р(В) + Р (Ля+1) - Р (ВАп+1) = Sla - S2n + ... ±
±Snn + Р (Лл+1) - Р (ВАп+1) = (Sin + Р (Ап+1)) -
- (S2n + P (AiAn+l) + Р (АгАа+1) + ... +
+ Р (АнАа+1)) + (S3n + Р (А{АгАплл) +
+ Р(А1А3Ап+1) + ... + Р(Ап_гАпАа+1)) -
-... ^ Р(АхА2...АпАп+1) ■= _
= ^1» rt+l ^2» я+1 "Г ^3» «+1 ^4? я+1 ~Г ••• -+" <->д+1» я+li
108
что и доказывает справедливость формулы (9.1).
Поскольку п шапок могут быть надеты на п голов п\ способами,
то в случае, если i-й участник надевает свою шапку, остальные
п — 1 шапки могут быть надеты на п — 1 голову (п — 1)! способ-
бами. Поэтому
(я-1)! 1
P(4i) =
я!
Если же два участника, i-й и /-й, надевают свои шапки, то
остальные шапки могут быть переставлены (п — 2)! способами.
Следовательно, Р (AtAj) = (п ~~ '' —
Соответственно
я!
л (я — и
Р(ААА)
п (л — 1)(л — 2)'
Р (А\А%... Ап) — —,
Сумма Sin имеет п членов, поэтому
1
^1я
п=1.
Сумма S2n имеет С^ членов,
Аналогично
Подставляя
S2n^
*** ~~ 3!
полученные
Я (Л) = 1 -
1
п(п-
$4г
поэтому
л (
-1)
1
значения в
1
. + !._
П 3!
ч —1) 1
2! ~~ 2!"'
5 - *
формулу (9.1),
-JL + ...±_L
4! ^ я!
Какова зависимость Р (А) от л?
л
/>(Л)
3
0,66667
4
0,62500,
5
0,63333
6
0,63196
7
0,63214
100
0,63212
Результаты неожиданные: вероятность, что свою шапку
получил хотя бы один из 3, почти такая же, как и вероятность, что свою
шапку получит хотя бы один из 100. И в том и в другом случае
2
вероятность около —. Так что надеяться, что хотя бы одному
охотнику досталась его собственная шапка, действительно можно было.
J 09
4. МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС 1 = 1,7
Одна метеорологическая станция правильно предсказывает
погоду 9 раз из 10, другая— 8 раз из 10. На ближайшее
воскресенье первая станция предсказывает событие R — «дождь»,
вторая — событие R — «ясная погода». Разберемся теперь, в чем
софизм. Поскольку R + R = V — достоверное событие,
Р (R+R) = 1. Но события R и R несовместимы, поэтому Р (/?+/?) =
= Р (R)+ Р (R). Значит, Р (R) + Р (R) = 1.
Пусть событие А — «правильно предсказывает погоду первая
станция», а событие В — «правильно предсказывает погоду вторая
станция».
Тогда Р (А) = 0,9 и Р (В) = 0,8.
Если так, то выходит, что в воскресенье надо ожидать дождя
с вероятностью Р (R) = 0,9, а ясной погоды — с вероятностью
Р (R) = 0,8.
1 =: Р (R + R) = Р (Я) + Р (R) = 0,9 + 0,8 = 1,7.
Парадокс 1 = 1,7.
Где ошибка? Приходится признать, что допустили ее не
метеорологи, а мы с вами.
Нельзя принимать, что Р (R) = Р (А), Р (R) = Р (В). Ведь
А и В не являются несовместимыми!
5. ЧТОБЫ ПОКУПАТЕЛИ БЫЛИ ДОВОЛЬНЫ
Колхоз продает огурцы в ящиках, по 100 огурцов в каждом
ящике. Выяснилось, что в каждой партии из 1000 огурцов
приблизительно 15 некачественных: гнилые, лопнувшие и т. д. Перед
правлением колхоза встал вопрос, сколько огурцов надо положить в
каждый ящик, чтобы с вероятностью 0,8 удовлетворить запросы
покупателя, иначе говоря, чтобы в ящике было не менее 100 хороших
огурцов с вероятностью 0,8.
По условию вероятность того, что купленный наудачу огурец
окажется некачественным, 0,015. Находим постоянную Пуассона
k= 100 • 0,015 = 1,5.
По формуле (6.6) вероятность, что среди 100 наугад отобранных
некачественных огурцов не встретится, равна е-1»5« 0,22313.
Допустим, что 100 + х является тем числом огурцов, при котором
покупатель с вероятностью 0,8 получит 100 хороших. Пусть
событие А — «среди 100 + х огурцов 100 качественных». Пусть
событие Ak— «среди 100 + k огурцов ни одного некачественного».
Тогда
А - А0 + Ai + Л2 + ... + Ах.
По формуле Пуассона (6.6)
Р(ЛА) = ^»5.^, /г = 0, 1, 2 х.
по
Поскольку
Р(А) = Р (А0) + Р (Л,) + Р (At) + ..;,+ ./> (Л,),
то
Р(Л)=^5(1 + ^
1,5 (1,5)2
+ ...+
(1,5)-<
2! xi
Переменная х должна удовлетворять неравенству:
>0,8
-«.l + ^+U|L+... + (W
л:!
Ясно, что левая часть неравенства возрастает с ростом х.
Испытаем некоторые конкретные значения х.
При х = 1 Р (А) = е-1»5 • 2,5 « 0,56, а это меньше 0,8.
При х = 2 А(Л) = *rWl + i^ + (-Ц^-] « е'1'5 • 3,63 « 0,809.
Поскольку 0,809 > 0,8 для х = 2, покупатели останутся
удовлетворены, если в каждый ящик упакованы 102 огурца.
Принцип решения данной задачи может широко
использоваться для расчета запасов промышленных товаров, продуктов
питания и т. д.
6. ПАРАДОКС БЕРТРАНА
Начертим окружность. Положив лист с чертежом на стол,
бросим на него достаточно длинный стержень так, чтобы дуга
окружности отсекла от стержня хорду (рис. 28).
Вычислим вероятность того, что отсеченная хорда окажется
длиннее стороны вписанного правильного треугольника. Парадокс
Бертрана проявится в том, что при разных способах решения
получим разные ответы.
Первый способ решения.
Допустим, дуга окружности отсекает от стержня хорду АВ.
Построим диаметр CD, перпендикулярный к этой хорде. Построим
также параллельно хорде сторону правильного вписанного тре-
В
м'/_
V
А\\ /
—V/
л/Хг"
к
\ 1 \
\ib
—JN
Рис. 28
С
Рис. 29
111
Рис. 31
угольника | MN | (рис. 29). Те хорды, которые пройдут через точки
отрезка диаметра К К', длиннее | MN |.
|C/C|=||CD|, a \KK'\ = ±\CD\.
Следовательно, вероятность, что случайная хорда длиннее
стороны вписанного правильного треугольника, равна —. Это пер вый ответ.
Второй способ решения.
Допустим, что один конец стержня прикреплен к точке М
окружности. Те хорды, которые дуга отсекает при попадании во
внутреннюю область угла а (рис. 30), будут длиннее стороны MN
правильного треугольника.
Можно предположить, что все хорды, которые можно провести
через точку М, одинаково «плотно» распределены по углу QMP =
= я. Поскольку а = —, то вероятность, что случайная хорда пре-
О
вышает по длине сторону вписанного правильного треугольника,
равна —.
. . 3
Как видите, второй ответ не совпадает с первым.
Третий способ решения.
Чтобы установить положение хорды, достаточно знать
положение ее середины. Понятно, что хорды, середины которых
расположены в круге, вписанном в данный треугольник, превышают
сторону по длине вписанного правильного треугольника (рис. 31).
Если случайно брошенный стержень упадет так, что середина С
хорды АВ окажется внутри меньшего круга, то хорда оказывается
больше \MN\. Таким образом множество хорд, длина которых
больше \MN\, может быть представлено площадью меньшего
круга, а множество всех хорд, пересекающих данный круг, —
площадью большего круга.
Поскольку | ОР\ .= — \ОМ\, то площадь меньшего круга состав-
112
ляет — площади большего круга. При этом способе решения нахо-
4
дим: вероятность, что случайная хорда длиннее стороны правиль-
1
ного вписанного треугольника, равна —,
4
Три разных способа решения одной задачи и три разных
ответа.
Вот вам и парадокс!
Казалось бы, во всех случаях мы рассуждали правильно, а
все-таки вероятность одного и того же события оказывалась
каждый раз иной!
Как объяснить этот парадокс?
Разные результаты мы получили потому, что по-разному
конкретизировали понятие «случайно», фактически мы решали каждый
раз новую задачу. Нам только казалось, что это прежняя задача.
В первом случае мы «катили» хорду по диаметру и, принимая
длину отрезка за меру множества точек на нем, вычисляли отношение
длины отрезков.
Во втором случае за-меру множества точек, попадающих в
определенный угол, приняли величину соответствующего угла и
вычисляли отношение двух углов.
В третьем случае за меру множества точек избрали площадь,
в которой эти точки расположены, и вычисляли отношение двух
площадей.
Постановка задач во всех трех случаях, следовательно, разная.
7. СЛУЧАЙНОСТЬ ИЛИ СИСТЕМА!
Некий рассеянный гражданин N 12 раз был оштрафован за
переход улицы в неположенном месте. Известно, что это всегда
происходит либо во вторник, либо в четверг. Объясняется ли это
случайностью или в эти дни милиция усиливает контроль уличного
движения?
Пусть событие А — «гражданин ./V был оштрафован 12 раз по
вторникам или четвергам случайно». Если событие Ak —
«гражданин N случайно оштрафован во вторник или четверг k-Pi раз» (k —
= 1, 2, 3, ..., 12), то
P(A) = P(Ai). P(At)- ... -P(Ai%).
2
Но Р (Ak) = —, ибо 2 дня из 7 для гражданина неудачные.
Поскольку
Р(Л1) = Р(Лв) = ... = Р(Л1я) = }, то
Р(А) = (-Y2 «0,0000003.
Теперь сформулируем событие В — «гражданина N 12 раз
ИЗ
случайно оштрафовали повторно в одни и те же 2 дня недели». Это
событие является суммой таких событий: «гражданин N случайно
был оштрафован 12 раз по понедельникам или по вторникам»,
«гражданин N случайно был оштрафован 12 раз по понедельникам
и по средам», ..., «гражданин N был случайно оштрафован 12 раз
по субботам или по воскресеньям».
Вероятности всех этих событий, так же как и вероятность Р (А),
равны 0,0000003. Поскольку таких событий может быть Cf = 21,
то Р (В) = 21 • 0,0000003 « 0,000006. Видно, что обе вероятности
Р (Л) = 0,0000003 и Р{В) = 0,000006 очень незначительны. Это
показывает, что как в одном случае, так и в другом случае
вероятность быть оштрафованным случайно ничтожно мала. Видимо, в
эти дни работники милиции с большей требовательностью следят
за соблюдением правил уличного движения.
8. ПРЕСТУПЛЕНИЕ РАСКРЫТО
В отдел уголовного розыска поступило сообщение о том, что
5 неизвестных лиц взломали сейф кассы колхоза и похитили
крупную сумму денег. Свидетели успели заметить, что грабители сели
в автобус, следующий по маршруту в соседний город. Об этом сразу
же была поставлена в известность милиция. Как только автобус
остановился на автовокзале, к его дверям подошел инспектор
уголовного розыска и запретил кондуктору открывать дверь
автобуса. Тот сообщил инспектору, что в автобусе 40 пассажиров.
Обыск может привести к значительной задержке автобуса.
Инспектор успокоил кондуктора: «Мне достаточно проверить человек 6
пассажиров и сможете ехать дальше!». Он предложил шестерым
наугад выбранным пассажирам зайти в кабинет начальника вокзала.
Один преступник был сразу обнаружен — в его кармане
нашли пачку денег. Он назвал сообщников, и дело было закончено.
Что руководило инспектором: риск или трезвый расчет? К этому
вопросу мы вернемся после решения следующей задачи.
Пусть в ящике имеется п шаров: т белых и п — т черных.-
Какова вероятность того, что среди г наудачу вынутых шаров
окажется k белых?
" Среди г шаров окажется k белых иг — k черных. Поскольку
белых шаров т, то k белых наугад может быть отобрано Ст
способами. Соответственно, из п — т черных г — k черных шаров может
быть отобрано Сг^т способами. Число выборок,
благоприятствующих исследуемому событию, равно Ст • CjjZm- Поскольку из п
элементов группы по г элементов могут быть образованы Сгп способами,
то по формуле (4.1)
Qk ГГ—k
Р («среди г шариков k белых») = т п~т. (9.2)
114
Это так называемое гипергеометрическое распределение.
Использование его поможет объяснить действия инспектора по раскрытию
преступления. Пусть событие Л— «среди случайно вызванных
6 пассажиров есть хотя бы один преступник». Пусть событие Л£ —-
«среди случайно вызванных 6 пассажиров есть i преступников»
(i = 1, 2, 3, 4, 5). Тогда
А = Л4 + Л2 + Л3 + Л4 + Л5.
Ясно, что
Р(А)~Р (At) + Я (Л2) + Р (Д8) + Р (Д4) + Р (А*)-
По формуле (9.2)
Р(А1) = 5' 35 «0,4192,
Р(Л2)= 5к35 — 0Д364,
г6
Р(Л3)= С5'бСз5 ■» 0,017,
С40
Я (Л4) = —^—^ « 0,0008,
г6
■рш= Сб'Сз5 «o.ooooi.
г6
Значит, Я (Л) « 0,5734. Вероятность, что среди 6 пассажиров
окажется по крайней мере один преступник, оказывается больше —
По-видимому, инспектор умел пользоваться в необходимых
случаях теорией вероятностей.
Гипергеометрическое распределение может с успехом
использоваться во многих практических ситуациях: при исследовании
распространения инфекционных заболеваний, при контроле качества
изделий и т. д.
9. «СРАЖЕНИЕ»
Два мальчика играют в «сражение». У каждого из них 40
спичек. Бросается монета. При появлении герба откладывает в сторону
спичку Толя — погиб его первый «солдат», при появлении цифры —
то же самое делает Боря — погиб его «солдат». Игра
продолжается до тех пор, пока у одного из них погибает последний «солдат».
Какова вероятность того, что при поражении одного из
мальчиков у второго еще останется 20 спичек?
115
Это так называемая конкретизированная задача Банаха,
которую для широкого круга читателей в свое время опубликовал
известный польский математик Штейнгауз. Решим эту задачу Банаха
в общем виде.
Пусть в двух коробках имеется по п спичек. Бросаем монету.
При появлении герба удаляем одну спичку из 1-й коробки, при
появлении цифры — одну спичку из 2-й коробки. Какова
вероятность того, что при полном опустошении 1-й коробки во 2-й
останется т спичек?
Пусть событие Л — «при опустошении 1-й коробки во 2-й
осталось т спичек».
Обозначим события:
Bi — «спичка удалена из 1-й коробки»,
Б2 — «спичка удалена из 2-й коробки».
Поскольку подбрасываемая монета симметричная, Р (В{) —
= Р (В%) = —. Если при опустошении 1-й коробки во 2-й
осталось т спичек, то при 2п — т бросаниях монеты я,раз появился
герб, п — т раз цифра. Значит, событие Bi произошло п раз при
2/2 — т испытаниях. По формуле (6.1)
г \/i) = С9/2—т ' — * == ^>2п т ' «'
\ / ^« т g/z 2п~т 2гп~~т
По условиям игры мальчиков
Р(Л)-СЙ.±«0,01.
Как видно, шансов выиграть сражение с меньшими, чем у противника
потерями, немного. Кстати, история не спичечных, а настоящих
войн это подтверждает.
10. В ГОСТИ К ДЕДУШКЕ
В городе имеются 24 квартала (рис. 32). Вводим буквенные
обозначения:
Рис. 32
116
S — вокзал, В — студенческое общежитие и D — дом дедушки.
Из вагона вышел выпускник средней школы,, мечтающий стать
студентом вуза. Город ему незнаком, но он знает, что следует идти
только вперед и повернуть можно только направо, тогда он попадет
либо в общежитие, либо в дом дедушки. И в том и в другом случав
ночлег обеспечен.
Какова вероятность того, что по пути к дедушке он пройдет и
мимо общежития, если с одинаковой вероятностью может пойти
прямо либо направо?
Решим задачу в общем виде.
Пусть в городе nk кварталов. Общежитие в плане города
находится на перекрестке т-й горизонтали и 1-й вертикали. Еслм
событие А — «юноша нашел общежитие», то
Я (Л) = 7-,
ь
где Ь — число всевозможных маршрутов, по которым юноша
может добраться до дедушкиного дома, а — число тех маршрутов,
которые проходят мимо общежития.
Какой бы путь ни избрал наш знакомый, все равно ему придется
пройти п + к перекрестков (включая точку S, но не включая D).
На каждом перекрестке он решает, идти ли ему прямо или
повернуть направо. Те перекрестки, от которых он идет прямо,
закодируем цифрой 1, а те, от которых — направо, цифрой 0. Тогда
любой из маршрутов будущего студента будет закодирован выборкой
из k единиц и п нулей. На рисунке 29 указанному маршруту
соответствует выборка:
0110001100.
Число маршрутов от S до D — число перестановок с повторениями
(«+*)■■
Ь = Р,
(к, п)
n\k\
Число маршрутов, проходящих мимо общежития, равно
произведению числа маршрутов от 5 до В и числа маршрутов
от В до D,
Тогда
р р _(/n + /)!(/i + 6-/-m)l
m! /! (n — /)! (k —m)!
Поэтому
Р(А)
(т + l)\{n+k — l~ m)\ л! k\
(n-i-k)l ml l\ (л — /)! (k — m)\
В нашем случае п = 4, k = 6, / = 3, т = 3.
Следовательно, искомая вероятность
6! 4! 4! 6! 8
Р{А)°
10! 3! 3! 1! 3! 21
117
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бор ель Э. Вероятность и достоверность. М., Физматгиз,
1961.
Вентцель Е. С. Теория вероятностей. 4-е изд. М., Наука,
1969.
ВиленкинН. Я. Комбинаторика. М., Наука, 1969.
Володин Б. Г. и др. Сборник задач по теории
вероятностей, математической статистике и теории случайных функций.
М., Наука, 1968.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.,
Физматгиз, 1961.
Гнеденко В. В., Хинчин А. Я. Элементарное
введение в теорию вероятностей. 6-е изд. Мм Наука, 1964.
Кордемский Б. А. Математика изучает случайности. М.,
Просвещение, 1975.
Математика в современном мире. М., Мир, 1967.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных
задач с решениями. М., Наука, 1§75.
Нейман Ю. Вводный курс теории вероятностей и
математической статистики. М., Наука, 1968.
Розанов Ю. А. Лекции по теории вероятностей. М.,
Наука, 1968.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее
приложения. В 2-х т. М., Мир, 1967.
0)СЛ4»СО(0-O<0OONO>Oli^COtOH-©
о©чсл со —
OOltO — WOCnCOO) —
ОО0)С0СЛ--)ОС000СЛОЮ(0
00©СЛОСЛООООО'-*0) —
to ——
О N Co 00 4а. Ю
ocoo.uotoooto
СЛООСОСООоЮСОСООО —
oouNoioioaoiosM
MOOOOMOOOOOSWIOU
©ocoooto-^ico-cocntocnto
OOOIOl01010000 0l"N'
ACSUtO-
OSO»-WOJCO
— 4b. >S>. A — CO — — CO
-*MSMOOmNCOS3
ою-j»waiooS:o>aou
O) — -v| — — CO — о^ЛОА-tOW
OC5>Ul0S-OO*.A00SSSt0
©ОСЛОООСЛОООСЛОТОООО»
СП0000СЛ©О1ОСЛ4ь.—
слотсососо —coo~j —to
OOCOOlNOCTKlOOtOSUM
■4(0(OMOO>-SO^S01*
Ф««со>-о*-амслтсдом
ooiuioouiutoooi»>t>atDi-i
СЛ *. — 00 СЛ CO —
СЛ СЛ cff) О) 4=>. О 4^ WtO
■-Itococo-^cn-^tocncoto-j*^
UlO)06tOWO"-CDOOSOIAOifc
tOS01tOO»-CnWONOOOJWW
ослослослослослослосл© —
со to to —
ОСЛСП — 4». 4». 0~~1 Ю
СЛ — to — C)CO — 00О)-^1 —
4*00OltO-*]UlO)00tOC0C)CO
OlOCOOtOtOOOOCOOXO —rfk
^-слослео—osoitoco^vUA
со to n to — c>~jto-^oo—отсоотсо
СЛСПСЛСЛСЛСЛСЛСЛСЛ — — СП СП СЛ — —
ОСЛ4». CO tO —
— СЛ — SOICD^OOOW
o--j4>.co^iooi©cnco©to
ootoco~-icoto —4». —c>ooco
ОЮСЛСОЮ4*ЮООООСЛО)*""СЛ4^
COMOOACOftOOOllOSOlffiCOw
00©©©0©OOC)tOO©©0)tO —
(O —OCOOONOJWrfMWtOi-^©
to ——
4». CD tOOl tO
CO 4* CO — CO С) — —
000 0)0000 0»
*■*. CO —
oo со — oo oo со
от-^ооелслооо —
<o--j ел to —
JOCnO ~-l —CO
CO СЛ CO — CI 00 CO —
Noooocoto-^icnN —i
ootoootooooco — to —
ооот to-~ico —
4*.--)СЛ-^ООСЛ4».—
^СОСОСЛ^СЛОО ——
СЛО)-~1ЮО)04».4*.©Ю
0)00004*01000 —
со toto —
елсоо —ел to
юыыолооч-
-^co^totocococoto
•-«(OOOOlAQOM'-tO
o>ooo*-cocnoo ——
NO)*. CO —
OAffli-SSM
aaiNcoo*.9isi-
4*.0)4a.--JCnO)COCOUltO
C04»-tON4=.-GO — 4^COtO
toc>oo4»-co4».mo-to —
co — oo 4* to —
Cob — CO А. О CO
K)*.NO01OW00"
OO-U^COOlOOSbO
Ncico — m*-*-cnscnto
OOCTJO^SSCOOT-»COCO —
toto ——
-J 4» CO Co -~l CO —i
OCOOiOWAW*"-
*.01-SOiO)*.MOM
— — ЬЭСЛ4».—СЛСЛОТОЬО
oi^tnosocootoMSM
0)»^0)4!ь-4*-СЭ4*О)4*.0)4*- —
СЛФ> WW"
М*ЮОО*""
OOOIAMCONOI-
O-JOOtO —O^JCOtOt©
CO 4*.-^СОСЛ^4-— CT)COCO
OOONSOOMOTOOW
ОООСЛСЛООООООСЛ"
/5
0»
CO
to
0
to
to
to
23 24
to
СЛ
о»>«ь- wto — 0 <o 00-~i 0 ел >f* со to — 0
——
— to —
►-WUM
)-*>аАм
i-tnoooi»"
— to —
►•oicsotnaii-
to со со to
— ~a — слеп — -j —
to ел-~j ел to
— 00000)00)0000 —
CO 00 tO tO 00 CO
»-ФО)АО)Ф^О)СОм
— to to to —
— ©СЛООЮООСЛО —
— CO *>■ A. CO —
*—СЯО)СОС)0)СОС)СЛ-
— — сяслоююослсл — —
to 4* --д со ~J *■ to
— 0>tOCOCOtOCDcOtOO> —
t— to ОТ© СЛ Ю4» to СЛО C)tO —
to~jto~g—ito—)to
H*COO)O)OlSO)O)SCHO)00Cd^
— to со со со to —
co©©o*.o©oco
— CDOTOOOCOOOOCDCO —
— 4». —4^.-tocotocoto —4». —4* —
—CO СЛ О) ОТ СП CO •—'
>-ф.ЫОО*'*-ООИ*--
— ОСЛО)©©СОСОООСТ>С1. О —
— СЛСЛСЛСЛСОСЛСЛСЛСПСОСЛСЛСЛСЛ —
to — 00*.—
00 Л. © CO 00 СЛ —
—lA-OOtOOCO- —
ОООООООООО)
3 /
/а:
-
«о
СО
■£>
с*
О)
-»)
со
©
о
SI j II
СО
СЛ
О)
to
СП
со
OO
to
СП
00
VJ
A.
" л.
ф-
о
ьэ
о
.
СО
^1
00
О
СП
to
00
оо
to
о
to
О
СО
to
оо
СО
со
vi
Ю
to
о
СП
со
-J
to
да
о
^J
л
о
«в
со
СП
со
ф.
СП
to
да
со
оо
о
о
да
00
со
to
со
to
да
ф.
о
_
СО
ю
00
to
ф.
о
00
ф.
о
о
ю
ф.
да
<S>
to
ел
VI
о
(о
о
о
ф.
Ф.
ст>
VI
~J
СП
СО
о
оо
о
о
о»
СО
СО
СП
V]
00
о
о
о
<35
о
да
ю
СО
СП
СО
СО
СО
CD
о
СО
СО
00
о
ю
да
00
о
о
to
о
to
ко
да
ф.
о
да
о
о
СО
СП
СО
да
со
-~|
to
о
СЛ
о
*».
■»)
ю
оо
VI
оо
ф.
со
СО
оо
о
СП
о
to
--J
00
о
00
оо
ч
со
to
со
V]
00
00
о
о
^
СЛ
сл
00
ф.
00
о
СЛ
о
tw
сл
л.
да
en
СО
to
~д
СЛ
СП
да
to
to
to
СО
со
со
VI
А.
л»
СО
о
Со
--J
-~|
to
да
о
СО
со
о
да
to
00
Сп
to
о
да
СП
о
о
со
о
VI
-~|
ф.
ф
да
•~J
о
да
_
да
да
СП
о
СО
vi
10
да
о
ю
**
СП
J-*
СП
ф-
~J
to
00
да
СЛ
да
о
to
СЛ
ф-
о
00
ф.
о
да
да
о
ф.
о
to
to
СП
СО
ф-
СП
СЛ
о
да
со
ф-
СО
to
to
^1
ф.
00
СО
да
«о
оо
да
vi
to
ю
vi
да
да
*■
со
да
да
о
СП
СП
ф.
о
о
СЛ
о
00
ф.
СП
О
СО
СО
да
to
СО
to
о
да
со
to
СО
оо
о
СО
СП
to
о
СП
to
VI
to
о
СЛ
to
оо
да
о
to
to
со
о
оо
о
со
СП
А.
А-
СО
СП
о
to
СО
да
со
to
to
ф.
to
СП
ф.
ф.
*.
to
о
со
СО
to
to
to
оо
00
о
VI
да
to
о
о
~0
да
СО
да
о
to
СЛ
СП
ОО
-J
со
ю
00
о
to
to
•~J
о
•~J
vl
СП
ф.
00
со
со
о
VI
со
V)
ф.
со
да
СП
сл
00
да
00
СП
Со
ф.
оо
о
v|
оо
CD
00
да
СП
л.
со
ю
о
о
СП
ОО
да
00
00
00
to
о
СО
со
to
to
оо
00
да
-j
да
о
СП
да
о
ф.
ф.
to
СО
00
о
ф.
о
со
СП
СО
ф.
да
со
да
оо
ф.
to
00
о
СП
да
со
VJ
да
в
4»
VI
to
*-0
со
со
VI
СЛ
да
да
со
СП
ч
ф.
СП
СО
со
да
00
ф.
•~j
да
да
о
СЛ
to
оо
п
to
о
СО
со
о
00
ф.
•~J
ф.
ф.
ю
со
*-0
со
'со
да
СО
о
да
о
to
СО
СП
со
to
to
VI
со
ф.
СО
оо
00
00
о
со
СП
о
со
ф.
со
СЛ
о
СП
ф.
ф-
СЛ
00
СО
00
о
00
00
СО
о
СО
ф.
со
ю
да
сп
to
со
--J
ф.
00
VI
да
СО
о
ф>
да
00
СП
СО
СП
СП
Ф.
00
ю
ф.
Сп
00
о
СО
да
00
СЛ
V)
to
да
ю
о
to
Ст
о
Сп
со
00
о
со
со
--J
00
да
ф.
СО
СП
да
о
to
to
ф>
оо
со
о
to
да
СО
VI
оо
СО
to
со
да
N0
VI
да
о
да
00
""■
со
to
да
to
да
to
Со
СО
00
СО
00
со
00
о
ф.
со
да
со
00
оо
СП
to
Ф.
СП
VJ
оо
да
ея
СЛ
о
СО
to
СП
-J
сл
ч
СП
~-|
да
СП
00
о
о
оо
-о
СО
со
со
оо
оо
СП
о
да
да
00
ф.
v|
СО
00
СЛ
00
ю
ю
СП
"*
со
СО
СО
о
о
to
ч
о
СО
СО
о
со
00
ф.
со
да
СО
со
со
со
00
00
о
о
да
да
о
ф>
ОО
о
to
*-0
о
СО
vl
ф.
VI
00
о
00
to
о
оо
да
to
>- в
со
оо —
со
со ■—
ф.
о —
ф.
~ —
to 1—
У
А
СО
00
о
ф.
_
оо
СО
о
vl
СЛ
со
СП
СО
о
о
VI
да
VI
to
да
СО
СО
о
о
м
-*1
to
со
СО
со
да
о
да
to
to
о
ф.
СЛ
СО
VI
СЛ
да
v|
да
Сп
о
00
СП
со
vl
ф.
со
да
да
о
о
СП
со
О
СЛ
со
да
со
ч
о
_
да
да
да
оо
о
со
о
to
to
о
со
со
да
со
о
ф-
о
СП
СО
со
to
оо
CD
СЛ
о
-~|
со
о
VI
00
-~|
о
to
00
•~J
СП
-»J
-J
да
VI
о
<— >~
сл ф.
о оо
^э "—*
VJ 00
— 00
СЛ О
оо со
со to
to о
о о
00 СО
сл со
СП •—
со со
да -~i
v| сл
сл да
to ф.
о о
со to
to со
ф. "■*
^д СО
со со
ф. СП
со со
да o
о о
СП СО
СП ~J
да со
vl о
CD to
О CD
to ч
сл to
да о
о о
о да
со —
да о
Ф. VI
— о
СО 00
со да
VI 00
да о
о о
—
СО
СЛ
VJ
СО
да
да
ф.
ф.
о
со
to
VI
со
00
со
-~1
да
о
Ф-
-~i
да
СО
СО
-»j
оо
о
о
to
СО
о
00
со
да
о
о
СО
Сп
да
to
ф.
да
ч
СО
о
о
_
(О
со
СП
ф.
со
-~1
со
ю
о
СП
ф.
00
СО
СЛ
ф.
о
ф.
о
00
СО
ф.
ф-
СП
00
о
о
to
СП
да
VI
VI
•~j
о
о
оо
Сп
to
ф.
0О
to
СО
СО
да
ta-
СО
со
СЛ
СО
да
-»j
ю
о
to
00
да
о
со
•~j
•~j
да
о
ф.
•~j
to
to
СЛ
СО
о
о
да
о
о
00
о
СП
to
СО
да
оо
Сп
ф.
СО
СО
ю
СЛ
to
о
СО
to
СЛ
да
о
ф-
о
со
to
00
ф.
о
00
СО
СП
•~J
СО
со
CD
да
ю
СП
ф.
00
да
00
СП
да
со
00
со
со
о
со
да
<о
СО
00
СП
да
VI
о
о
СЛ
to
ф.
СП
to
Сп
да
•~j
о
да
о
-~i
ф-
да
о
СО
ф.
со
to
оо
о
to
ф-
ф.
о
со
да
to
о
00
СО
00
00
ф.
СП
да
00
СП
да
ю
о
ф-
to
со
СП
со
СП
00
to
о
со
о
to
да
о
со
ф.
о
СО
оо
да
о
оо
о
ю
о
V)
Ф.
to
VJ
to
О
ф.
00
СП
со
-~1
со
да
да
да
VI
to
ф.
Сп
to
о
оо
со
ф-
~4
да
ОО
о
о
to
СО
СЛ
VI
to
да
о
VI
СЛ
да
00
СО
ф.
со
о
ф-
да
to
со
да
о
со
-~i
•~j
со
to
to
СО
to
ф.
ч
ее
ф-
сп
ю
со
VI
со
со
да
to
-j
00
to
СП
да
со
to
ф-
да
СО
to
СО
—J
да
СО
СО
«о
со
СП
00
СО
vl
ф.
ф>
о
СО
to
о
ф.
да
СО
ч
да
СП
to
со
да
о
сп
00
со
о
сл
да
да
о
ф.
СП
со to. »- е>-
СЛ
Ф. СЛ
СП tO СО
СО —
СЛ
СО СЛ
оо да со
ф. V- ф, 1—
да
Сп сп
Ф. СО СО
СЛ СП СП н-
VI
— да
ф. СО СО
о о да —
vl
v) да
«J в) СО
о да «J >—
s/
/
л
со
со
со
со
СП
СО
да
СО
—1
XI
0
l
2
з. •
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
43
1
43
903
12 341
123 410
962 598
6 096 454
32 224 114
145 008 513
563 921 995
1 917 334 783
5 752 004 349
15 338 678 264
36 576 848 168
78 378 960 360
151 532 656 696
265 182 149 218
421 171 648 758
608 359 048 206
800 472 431 850
960 566 918 220
1 052 049 481 860
44
1
44
946
13 244
135 751
1 086 008
7 059 052
38 320 568
177 232 627
708 930 508
2 481 256 778
7 669 339 132
21 090 682 613
51 915 526 432
114 955 808 528
229 911 617 056
416 7J4 805 914
686 353 797 976
1 029 530 696 964
1 408 831 480 056
1 761 039 350 070
2 012 616 400 080
2 104 098 963 720
45
1
45
990
14 190
148 995
1 221 759
8 145 060
45 379 620
215 553 195
886 163 135
3 190 187 286
10 150 595 910
28 760 021 745
73 006 209 045
166 871 334 960
344 867 425 584
646 626 422 970
1 103 068 603 890
1 715 884 494 940
2 438 362 177 020
3 169 870 830 126
3 773 655 750 150
4 116 715 363 800
46
1
46
1035
15 180
1 63 185
1 370 754
9 360 819
53 524 680
260 932 815
1 101 716 330
4 076 350 4il
13 340 733 196
38 910 617 655
101 766 230 790
239 877 544 005
511 738 760 544
991 493 848 554
1 749 695 026 860
2 818 953 098 830
4 154 246 671 960
5 608 233 007 140
6 943 526 580 276 |
7 890 371 113 950 |
8 233" 430 727 600
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1°
11
12
33
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
' 47
1
47
1 081
16 215
• 178 365
1 533 739
10 737 573
62 891 499
314 457 495
1 362 649 145
Б 178 066 751
17 417 133 617
52 251 400 851
140 676 848 445
341 643 774 795
751 616 304 549
1 503 232 609 098
2 741 188 875 414
4 568 648 125 690
6 973 199 770 790
9 762 479 679 106
12 551 759 587 422
14 833 897 694 226
16 123 801 841 550
48
1
48
1 128
17 296
194 580
1 712 304
12 271 512
73 629 072
377 348 994
1 677 106 640
6 540 715 896
22 595 200 368
69 668 534 468
192 928 249 296
482 320 623 240
1 093 260 079 344
2 254 848 913 647
4 244 421 484 512
7 309 837 001 104
11 541 847 896 480
16 735 679 449 896
22 314 239 266 528
27 385 657 281 648
30 957 699 535 776
32 247 603 683 100
49
1
49
1 176
18 424
211 876
1 906 884
13 983 816
85 900 584
450 978 066
2 054 455 634
8 217 822 536
29 135 916 264
92 263 734 836
262 596 783 764
675 248 872 536
1 575 580 702 584
3 348 108 992 991
6 499 270 398 159
11 554 258 485 616
18 851 684 897 584
28 277 527 346 376
39 049 918 716 424
49 699 896 548 176
58 343 356 817 424
63 205 303 218 876
50
1
50
1 225
19 600
230 300
2 118 760
15 890 700
99 884 400
536 878 650
2 5(Г5 433 700
10 272 278 170
37 353 738 800
121 399 651 100
354 860 518 600
937 845 656 300
2 250 829 575 120
4 923 689 695 575
9 847 379 391 150
18 053 528 883 775
30 405 943 383 200
47 129 212 243 960
67 327 446 062 800
88 749 815 264 600
108 043 253 365 600
121 548 660 036 300
126 410 606 437 752
121
Таблица 2
ха
1 _Т
V =-т=0
*
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1.7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0,0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
2
3989
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
0030
0022
0016
ООП
0008
0005
0004
0003
0002
4
3986
3951
3876
3765
3G21
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0493
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
0029
0021
0015
ООП
0008
0005
0004
0003
0002
5
, ,3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
ЗОН
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
' 1
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781.
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
8
3977 .
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
ОНО
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
122
КЗ
^1
о
о
о
о
о
О СЛ
О
О
о
о
о о
о о
о о
о о
о о
S3 G5
»и
о
о
о
со
о
о
о
о
о
о
СО S3
о
о°
о о
*"* со
о о
о о
о о
о о
о о
О N3
О О
О С
о с
о —
42. о
кз со
КЗ
"-
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
да
о
о
с:
е.
к:
ОО
42.
КЗ
о
"*
о
о
о
о
о
<_о
о
о
о
о
о
СП
о
о
о
с-
г-
оо
--J
СО СО
о
о°
о=>
оо
оо
о о
о о
•— со
о о
о о
о о
О КЗ
СО СО
СП КЗ
о о
о о
о о
о о
СО СО
со л.
~q 42.
о о
о о
о с
— к:
со ос
-J СО
О СО
•^1
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
42.
о
го
о
о
on
о
о
о
о
ел
(О
CD
о
о
ко
КЗ
42.
о
<г.
с г
да
да
о
о
о
о
о
о
*
о
о
о
о
о
42.
«3
о
о
о
о
СО
to
42.
о
о
о
42.
ОО
о
о
о
42.
СП
со
о
о
п
ее
о
СП
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
СП
о
о
о
о
СП
-^
с
о
го
го
ОО
со
о
(О
о
о
о
to
о
да
о
о
со
42.
со
•—
•ь.
о
о
о
о
СО
о
о
о
о
о
сл
СО
о
о
о
о
42.
■м
К)
о
<->
С. 5
КЗ
КЗ
к>
по
о
о
о
~)
о
<о
42.
о
о
да
to
КЗ
42.
о
о
СО
КЗ
СО
m
42.
со
о
о
о
о
со
о
с->
о
о
to
~-|
о
о
о
со
К")
о
о
о
ел
со
со
о
о
42.
00
о
КЗ
СО
сп
о
с->
Сл
о
Со
^1
ОЗ
КЗ
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
СП
СП
о
о
о
о
СП
42.
КЗ
о
Г!
о
го
42.
со
о
о
КЗ
СП
ко
о
о
КО
со
о
о
оо
ю
-~)
о
о
-J
КЗ
^1
да
СП
*~*
о
о
о
о
о
о
^1
о
о
<->
КЗ
КЗ
о
о
о
со
КЗ
СП
о
о
о
00
к->
42.
КЗ
о
о
ко
КЗ
ел
ко
со
о
<-)
42.
ел
•ч
о
о
^1
КЗ
со
о
о
о
СО
•ч
о
КЗ
о
о
о
о
о
о
о
ел
00
о
о
го
о
Оо
о
о
о
о
ел
КЗ
со
КЗ
о
о
ПО
со
Со
о
о
42.
<^
о
со
о
о
-vl
о
со
On
со
о
о
со
to
КЗ
СП
КЗ
о
_
ел
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
<-)
со
о
о
о
К)
-~|
о
о
го
со
КЗ
со
о
о
СО
сто
ко
СП
СП
о
о
оо
00
о
го
о
СП
о
_
ко
42.
о
о
~J
о
„
со
^1
ел
да
оо
о
о
о
о
о
о
СО
о
о
о
о
00
СП
СО
о
о
о
On
го
о
о
ко
со
~~|
о
о
го
оо
ел
КЗ
--.1
00
о
_
о
со
ко
ел
On
о
ео
со
ео
-•4
о
_.
ео
to
СП
00
-~|
о
„
со
->>
СП
да
•^1
о
го
о
го
го
~~1
со
о
о
о
ео
ео
-^1
о
о
ко
оо
о
42.
о
о
to
СП
42.
о
о
го
Л
42.
СП
о
„
со
-0
да
^1
м
о
4а.
со
го
о
со
о
_.
СО
СО
г»
~J
о
_
•ч
да
да
о
го
о
о
ел
„
о
о
ко
о
со
о
о
о
ел
о
42.
со
со
о
о
42.
СО
о
42.
оо
ко
ко
со
о
„_
ет>
о
да
КЗ
ео
о
42.
со
го
го
со
о
_
ко
КЗ
ео
Оо
о
о
ео
о
СО
о
СП
о
го
о
to
о
да
да
о
го
to
оо
о
00
СО
о
„
о
о
00
со
о
оо
ко
СО
о
^1
ел
оо
о
_
оо
о
СП
ко
to
о
КЗ
-J
-~|
^1
о
to
оо
со
о
с-з
да
о
-*|
ко
^1
*•
о
о
ел
СО
КЗ
ОС
о
о
СО
СО
КЗ
КЗ
42.
о
„
СП
оо
со
со
со
со
ел
ео
да
^1
о
ч
ел
42.
too
^1
о
—
С о
ео
с»
СП
ео
CD
о
со
ко
КЗ
да
о
о
СП
ко
СП
КЗ
о
со
СО
СО
-J
ео
~4
со
о
о
да
СО
со
о
_
<т>
о
42.
42.
-~|
о
ко
ко
42.
о
КЗ
о
со
ел
оо
^1
о
42.
о
со
м
42.
о
о
00
СО
КЗ
со
СП
о
о
СП
to
КЗ
со
о
о
КЗ
00
да
КЗ
да
о
о
42.
42.
о
_
Оо
to
со
42.
о
о
ко
ч
со
с»
~4
о
ко
ко
42.
го
42.
о
42.
сто
ел
ко
ел
о
О
с»
КЗ
КЗ
42.
о
го
42.
42.
CJ>
Оо
о
о
КЗ
со
о
о
о
м
со
СП
о
о
о
42.
со
00
о
СО
-J
00
СО
о
ко
^1
о
_-
to
ео
с»
о
го
^1
ео
ко
(00
СО
о
о
со
со
ПО
о
о
о
42-
оо
^1
со
о
о
о
с о
00
CP
о
о
о
КЗ
да
00
42.
о
о
о
*-*
о
CJ
да
^1
СО
со
о
_2
со
ел
со
со
СП
о
о
42.
СО
^
0О
о
о
СО
со
да
о
о
о
да
-J
со
00
о
о
о
КЗ
42.
^1
со
о
о
о
о
КЗ
о
о
о
о
СО
СО
СП
о
о
о
о
СО
V
Л,
„
КЗ
о
—
42.
о
СП
о
—
—
~J
о
—
оо
о
00 'Nl
о
о
о
о
о
о
*-*
о
о
о
о
о
о
СО
о
о
о
о
о
о
ОС.
о о
о о
о о
о о
о о
о •—
КЗ СО
о о
о о
о о
о о
о о
о со
42. СО
да
о
о
о
о
о
о
*--
о
о
о
о
о
о
42.
о
о
о
о
о
СО
о
о
о
о
о
Со
СП
о
о
о
о
о
00
*—
о
о
со
о
да
42.
о
о
о
о
СО
о
о
СП
о
о
о
о
о
о
КЗ
о
о
о
о
о
СП
о
о
о
о
о
СП
ч
о
о
о
о
СП
со
о
о
о
о
СО
СП
да
о
о
о
CD
да
СО
ел
о
о
о
КЗ
КЗ
^1
о
о
о
КЗ
о
о
—
42.
о
о
о
о
о
о
42.
о
о
о
о
о
СП
ел
о
о
о
о
КЗ
ел
CD
о
о
о
о
-V)
ел
о
о
о
ел
00
о
о
о
о
КЗ
СО
да
42.
о
о
о
4>
со
да
00
о
о
о
^]
да
да
СО
о
о
ел
СО
о
о
о
о
ел
►—
о
о
о
(3
со
*-*
о
о
о
со
СО
со
42.
о
о
о
-V)
СП
о
о
о
ю
да
со
да
о
о
<о
~1
СП
-V)
о
о
КЗ
СО
СО
СО
СО
о
о
СО
00
СО
42.
со
о
о
42.
СО
со
СО
СО
кэ
о
о
CD
42.
СП
КЗ
42.
о
о
да
со
^1
ел
о
о
СО
со
со
со
~~>
о
о
ел
СО
да
КЗ
да
о
о
~vl
ел
со
да
о
о
СО
00
^1
ОО
да
о
ь-
кэ
да
да
со
о
_
42.
W
-V)
00
Сл
о
_.
да
4».
да
да
—
*■'
о
о
СО
о
42.
со
о
"^
да
со
~~>
42.
да
о
КЗ
КЗ
КЗ
ю
42.
Сл
о
КЗ
да
со
КЗ
оо
о
СО
CD
СО
КЗ
СП
СП
о
СО
КЗ
СО
КЗ
со
-J
CD
со
42.
~J
да
о
о
со
сл
СО
42.
да
со
о
со
да
сл
со
со
о
о
со
о
00
со
^]
о
00
СО
~~>
со
*—'
о
--1
42.
о
00
Оо
о
да
~~>
о
СО
ко
о
о
да
о
да
сл
со
»—
о
сл
42.
оо
со
КЗ
о
42.
со
С»
сл
ОО
сл
о
42.
42.
со
со
КЗ
СО
о
42.
о
да
Сл
■^1
о
2/
/таг
о
о
кз
о
со
о
42.
о
ел
о
да
о
-~3
о
03
о
СО
—I .■*
С/э
_ oqGO soi
in —o-*mS2JS
fOot^rf — oO'^'OusiMoo'W (Of-fflio-' h-eoco-sfcocococNf- — *i,eo-«inco-«cooo,-. coins-en •-< со ■* о h» о о«— <м-*юс©сосода,=оа>|-"с"2:
*oo-.inac4toop>so4' ч-юоомяооохяоо — — смс^сосоео^^^люююооФЮо^г^^^ь-^еососососоюсоос^оо^о*?
'■^•tJ'lOlOlOCOCOt^t^N-COCO СЮОООООЭ<ЛСОООООС©0>О^СТ)^0^0^050ЭСЛО^СЭО^^СЛО^О^С^О^(^05<3^00>0^0<Л(7ЭО^С105С5С51?)05<750^<71С>О^С)°*
ОООООООООООО ООоООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО
t^OO0>O»-<<NCOTj4n<Ct—СО Ш00О«'1'<0«!ОМЧ'О00ОИ'*с0ИОСЧЧ'(0СС1ОИЧ'©00О«'*10«1О«Ч'Ю00О0)Ч'(000ОООООООО
COCOC04j-'«*,,3,4J",,»',43,4f'*J'^f — — С^СМСМС^СМСОСОСОСОСО-^^^^^ЮЮЮЮЮООФОеО^^^^^ФФ^^СОООООООМ^ФСООЮО
ОООООООООООО CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM NNNINOOCIMWMMMWCgNONClWMNMWNNNNINNINNCOCOcOnn^^lO
t-^CO^CO^O^lOCO—'COCO Tf(DOOO)--'(NCO'*,t»OlOiniOlfllrt^'*CON'HOlOOtOlOn--OlcO-4,»«O!)tDCOOJ0COOl(D«OO^OtO"«^WrtrtM(N-^OaO
СОМ(00^^1--ЮО)СО(00 0)0^(М"*ЮСО^(йа)0-*Мс0^1ПсО^СОО)010^МСО^,Ч,1ЙСОЦКСОО)ФО'-*>-<МСОСО^,ЮЮСОСО^ООС1>0 —WCOCO
СЛОО<-«—<—«СМСМСМСОСО'*Р m^-4"V^Tl'4l4^^^i0U3iOimnwuMfllflmWC0O(0C0(OO(0t0(D<D{0tD<0SNNNSSSNSh.SNNS00(0C00000
ОООООООООООО OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
■ см со ■•З'Юся t--. со en о см "*<о со о ем-
^ООООООХЗЭОООООО^-*—■•
oooooooooooo — — —■—.--—.—.—i»-.-^ —^-—< —._—,.-■ ___с.-1_<.-._<_ ____<___ ___»___<_,„.__ — — —.смсмсмсмсмсмеосм
NNtD010**COCO!M —O00 ~ЮСО^^^С5 — ro^OOOOC^OOOOa^OCOf-^-^CNOt^lOCNCTlOCMOlO^r^CMt^CMt^CNO
■—< Ю 05 СО t-~ •—• Ю СТ> СО t-~ —' тГ ОСООС010^СЛСМ^СОСООСМ^1^0*^СО^ОСООСМ-^ОСОО^^СОтгОСОСЛ»^СО^О^ООСМСОЮО^ОО«^С0^10Г^СО
IrtlOlOCOONNNOOCOCnoi TTriOlOlOlOWCOOtOCONNNSNOOOOXCOCOOlOaJOiaiOlOOOOOO^-H — — -н—«СМСМСМСМСМСМСМСОСОСОСОСОСОсО
OOOOOOOOOOOO COCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCO СО СО СОСОГОСО(^СОСОСО^^^^^ТГ"^т1--^^-51-^}н^-тггГ'-*-^,-^тг^'^нтР^-*ТГ**
ОООООООООООО ООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО
лч'Юео^юою — счтч' <мсо-*ю«01^.сооо — смсотгюо^-сооо — смсо-зчгаюг^оосло — смсогсшизг^ооспо—<смсотгюог^оооо—«емсотр
^.—.«-«^^-«i-t^CSICMCMCMGM 00000000^^^'«^^^rH^^W01C4M(NWWWO(C4COCOCOCOrtcOWrtCOW-*-*^'-4'^Tl'4l'-*Tt<^lOlO»OlOlO
ОООООООООООО ,-.,-1 _■-<■-< —..-«_<_1ни>нн«них.,-rt„., _ _ _,__.^_ —___...г-.—«____<_ _< _ „ _ _<__„«_»«_ _
oboooo>o>0)0)0>coi»oo слюоюсл-^сосо^о-ч-»-^ — •ч<(ч.,;псмч,ссн-оо — емсосогс^-^сосм—«ocr>f~inco—. eotocooioiNoo-^roiooinainoo
O^COCMCOCTJCOt^- — ЮСТ»СОГ^ t-~ -* Ю СО .—• 1ЛСОСми^ОС<11ЛОСЧЮ<»СМ1000'^^СО"^^Г^ОСОООСМЮСО-«СООС^СЧиОГ^ОС010аО'^сОООО«^'^0^'^СО
О О О -* ~« —' СМ СМ СО СО СО -<** ^ C0O)0>0iOOO'--^-'NINNC0rtc0^,*'4,iau5lJ0(0C0t0KNt—t^cOPOCOCTiOOOOOO —< —* — —- — CMCNCMCOCOCOCO^-^r
О О О О О О О О О О О О О •— — —> ^CMCNCMCMCMCNCNlcvieMCMCNeMCMCMCNCMCMCMCM<NCMCMeNCN«CMCMCNCMCvlC^
ООООООООООООО О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О
"смсо-ч^лю^еооо—«
ЭС7>00>00)ОС7>0)00
ООООООООООООО ООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО""—<
ОТВЕТЫ
I. В, D и Е. 2. D. 3. А —достоверное событие, D — невозможное
событие. 4. a) A cz С cz В с D; б) А cz В cz С. 5. «Попадание 2 выстрелами», 6. «По
лотерее выиграно либо 10, либо 20, либо 25 руб.». 7. «По лотерее выиграно
не больше 4 руб.», 8. «При подбрасывании двух монет появление хотя бы
одного герба». 9. «Мишень поражена не больше чем 100 выстрелами». 10. «При
бросании кости появилось не меньше 4 очков». 11. U, V, U. 12. «Попадания
первыми двумя выстрелами». 13. ABC — «появление 1 очка», АВ —
«появление либо 1, либо 5 очков», АС — «появление либо 1, либо 3 очков», ВС —
«появление либо 1, либо 2, либо 4, либо бочков». 18. А -\- В — «деталь либо
I, либо II сорта», А 4- С — «деталь I сорта», АС— V, АВ + С = С.
19. а) А — В\ б) А = V; в) А = V^ 20. Равенство (в) справедливо. 21. а) А;
б) АВ-\-ВС-\-СА; в) В. 22. а) АВС; б) АВС_ + ABC -f ABC; в) ЛВС +
+ ABC + ABC; г) ЛВС; д) Л + В + С; е) АВС. 26. Появление 3 очков.
28. а) Да; б) нет; в) да; г) да. 29. Полная группа попарно несовместимых
событий в случае (а). 30. а) Да; б) нет. 32. 303 600. 33. Cf50. 34. 60. 35. 36.
36. 1512. 38. 125. 39. 43 200. 40. Cj_ft+1. 41. 151200. 42. 151200.
43. 6006. 45. 55. 46. 6435. 47. 35. 48. 243. 49. 16. 50. Не больше 232.
51. 729.52.81. 53. 2000. 54. 31. 56. 267 148. 57. 1, 3, 11. 58.25.
59. 66 660. 60. 126. 61. 17 760. 62. 2048. 63. 231. 64. 518 184.-65. С^_2.
66. 261. 67. 283 824. 68. 5 788 889. 69. .70. Р (Л) = —, Р (В) =
120 v ; 216 ;
1 5 II
= —, Р (С) = -. 71. 4-10 • 12 500. 72. -. 73. 0,5. 74. 0,42. 75. 0,46.
36 54 27
1 1 п\ 1
76. —. 77. С\ . 78. —. 79. 0,33. 80. Неуклюжая. 81. 0,3024.
Г8 пп 55
32
602 —(60 —а)2 80 49 I
82. 0,00077. 83. * —. 84. —. 85. —■. 86. 10!)-?. 87. — X
602 153 256 ' сп
63
8. -. 89. 1 —
64
(п — т)\ In —А)! 5 609 256 864 44
_i L^ L go. 0,106. 91. —. 92. .93. —.94. , 95. —.
.n\(n — m — k)\ 36 625 715 1779 85
7
96. —. 97. a) 0,5; б) 0,333; в) 0,167. 98. a) 0,35; б) 0,4; в) 0,45; г) 0,45.
18
99.0,331. 100. 2р — р2. 101. —. 102. —. 103. 1 — (—1.104. а) 1—
7 13 \6/
— (1 — р)10; б) \0р (1 — pf; в) 45р2 (1 — р)8. 105. а) 0,5814; б) 0,06965;
19
в) 0,9942. 106. 0,302. 107. —-. 108. рир22р23 + Р21Р12Р23 + РяРггРп-
144
1 ь( 1 \kln— \\m-k
109. 3 из 4. НО. а) 0,455; б) 0,468; в) 0,181. 111. —. 112. СЦ—\ I
Ш.п^70. 114. 0,2384. 115. 0,491. 116. 8. 117. а) 0,254; б) 0,133; в) 0,167
82 83
118. 191 < п < 197. 119.-6. 120. 23. 121. — < р < —. 122. 0,00012
123. т ~ 600. 124. т ^ 80. 125. 0,0132. 126. 0,0017. 127. Возможности почти
равные. 128. 0,036. 129. 0,972. 130. 0,009. 131. 0,147. 132. 55. 133. а) 0,0101
б) 0,1089; в) 0,2541. 134. 0,09. 135. 0,9596. 136. 0,997. 137. а) 0,1353; б) 0,8572
/бО^о 60121 6010000\ „„/60° , 60
138. а) е-60 + + ... + — ; б е-«° —- -\ Ь
; \ 120! ^ 121! ^ ^10000!/' ' \ 0! 1!
125
6080 \
+ ... Н .139.86. 140. 0,26. 141. 0,985. 142. 511. 143. 0,96.144.583.
80! /
145. 576. 146.0,131.147. 0,9991. 148. 0,929. 149 := 1. 150. Нет. 151. 31618.
152.0,00217. 153. 3,5.154.2,734. 155. 3,15. 156.3—4.157. 10.158. 8; 4—5.
k
159. 10. 160. 0,938. 161. -. 162. 8, —1, 15, 75. 163. Стоит. 164. Не стоит.
Р
165. , — . 166. 2. 167. D (I) = 4,79. 168. М (£2)= 328,8. 169. 10,03.
2 5 10
170. 182,5. 171. 4,9; 1,8. 172. ~. 173. 1,2; 0,72. 174.-; —. 175. 0,48.
9 3 9
176. 0,285. 177. 0; п. 178. 1; 1. 179. 2,4; 1,99. 180. ^ = 1; х2 = 2; рх =»
= 0,6; р2 == 0,4. 181. —а; —а — 1; 2а — 5; Ь; Ъ\ 46. 182. Xi = 1; Х2 = 2;
Зп 15п 3 15 4 9
Х,= 3; pi = 0,3; р2=0.2; Р3 = 0,5. 183. —; —; ~; —. 184. -г; —•
3 F ' Н2 ' на ' 8 64 8 64п 5 25
ak abk (a 4- b — k)
185. ; —— '-. 186. 0,1359. 187. 0,6826. 188. 0,8664. 189. <т =
a + b (a+b)2(a-\-b—1) v '
= 1,0156 мк. 190. p = 0,0456. 191. n = 456. 192. 15 мк.
I
ОГЛАВЛЕНИЕ
Слово к читателю 3
I. Кое-что из прошлого теории вероятностей 4
И. Случайные события и операции над ними 10
1. Случайное событие ' —
2. Множество элементарных событий 12
3. Отношения между событиями —
4. Операции над событиями 14
5. Полная группа событий 21
III. Наука о подсчете числа комбинаций — комбинаторика 22
1. Общие правила комбинаторики 23
2. Выборки элементов , 24
3. Выборки с повторениями 28
4. Сложная комбинаторика 32
IV. Вероятность события 35
V. Операции над вероятностями 42
1. Вероятность суммы несовместимых событий —
2. Вероятность суммы совместимых событий 44
3. Условные вероятности 46
4. Вероятность произведения независимых событий . . .,.-. ... 48
5. Формула полной вероятности 50
VI. Независимые повторные испытания 55
1. Формула Я. Бернулли —
2. Формула Муавра—Лапласа 60
3. Формула Пуассона 62
4. Формула Лапласа 65
VII. Дискретные случайные величины и их характеристики 68
1. Математическое ожидание 70
2. Дисперсия 76
3. Неравенство Чебышева и закон больших чисел 80
4. Распределение Пуассона .84
VIП. Непрерывные случайные величины и их характеристики 88
1. Плотность распределения . 90
2. Математическое ожидание 93
3. Дисперсия 95
4. Нормальное распределение —
5. Понятие о теореме Ляпунова 98
6. Показательное распределение 102
IX. Немножко странно, но интересно 104
1. Умная игла (задача Бюффона) —
2. Задача шевалье де Мере 106
3. Отдайте мою шапку ♦ , 108
127
4. Метеорологический парадокс 1 =* 1, 7 НО
5. Чтобы покупатели были довольны ...»
6. Парадокс Бертрана . , , IЦ
7. Случайность или система? , . из
8. Преступление раскрыто 114
9. «Сражение» 115
10. В гости к дедушке U6
Список литературы 118
Приложение . 119
Ответы 125
Витаутас Степанович Лютикас
ШКОЛЬНИКУ О ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Спец. редактор В. Н, Березин
Редакторы Ж- П. Данилова и Л. 6. Антонова
Художник обложки В. Л. Николаев
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор И. А. Киселева
Корректоры А. А. Гусельникова, О. В. Ивашкина
ИБ-№ 7328
Сдано в набор И.08.82. Подписано к печати 07.01.83. Формат 60X90Vis- Бумага тип. № 3.
Гарнит лит. Печать высокая. Печ. л. 8,0. Усл. кр. отт. 8,25. Уч.-изд. л. 7,61. Тираж 78 5W экл.
Заказ 3286. Цена 20 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного
комитета по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й nj ос,
Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с матриц Саратовского ордена Трудового Красного Знамени "олиг1>а'^„^£сай
комбината в областной типографии управления издательств, полиграфии и кни
торговли Ивановского облисполкома, 153628, г. Иваново, ул. Типографская, ь.