С. С. Зилитинкевич
ДИНАМИКА
ПОГРАНИЧНОГО
СЛОЯ
АТМОСФЕРЫ
ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД 1970

УДК 551.511
Ответственный редактор проф. А. С. МОНИН
Монография посвящена изложению современного состояния исследований
микрометеорологических процессов, протекающих над ровной однородной
подстилающей поверхностью.
В первой части обсуждается вертикальная структура приземного слоя,
имеющего толщину порядка десятков метров. Рассматриваются теоретические
модели распределения с высотой скорости ветра, температуры, влажности и
основных характеристик турбулентности, а также результаты основанной на
теории подобия систематизации соответствующих экспериментальных данных.
Обсуждаются специфические особенности приземного слоя над морем.
Разбираются методы расчета касательного напряжения и вертикальных
турбулентных потоков тепла и влаги по данным градиентных наблюдений.
Во второй части рассматривается планетарный (экманрвский)
пограничный слой, толщина которого имеет порядок километра. Дается общее
описание турбулентного режима на основе теории подобия. В частности, выводятся
законы сопротивления, теплообмена и диффузии для автомодельного слоя
в любой стратифицированной вращающейся среде. Разбираются основные
теоретические модели стационарных и нестационарных течений. Излагаются
результаты обработки экспериментальных данных. Обсуждается вопрос
о взаимодействии процессов в пограничном слое и крупномасштабных
движений в атмосфере. Рассматривается ряд прикладных задач.
Книга представит интерес для метеорологов (в особенности для
специалистов по атмосферной турбулентности, численным методам прогноза погоды
и теории климата), океанологов и гидромехаников.
The book deals with the modern state of the studies of the micrometeoro-
logical processes taking place over a homogeneous underlying surface.
The first part discusses the vertical structure of a surface layer tens of
meters thick. Considered are the theoretical models of the vertical distribution
of wind velocity, temperature, humidity and the basic parameters of turbulence
as well as the results of the experimental data systematization based on the
similarity theory. Some specific features of the atmospheric surface layer above
the sea are discussed. As an example, of application, are analyzed methods for
computing the tangential wind stress ^nd vertlcaj\turbulent fluxes of heat and
moisture using the data of profile observations/
The second part deals with the planetary (Ekman) boundary layer the
thickness of which is of the order of 1 km. A general description of the
turbulent regime based on the similarity theory is ^presented. In particular, the
laws of resistance, heat exchange and diffusion are derived for the
self-preservation layer in any stratified rotating medium. The principal theoretical models
of stationary and nonstationary flows are described. The results of data
processing are presented. Considered is the interaction of the processes in the
boundary layer with the large-scale motions in the atmosphere. Some applied
problems are discussed.
The book is intended for meteorologists (particularly for specialists in
atmospheric turbulence, numerical methods of weather forecasts and the theory
of climate), oceanographers, specialists in fluid mechanics and for engineers
interested in the processes occurring in lower atmosphere.
2-9-7
42-70

ПРЕДИСЛОВИЕ
Изучая статистические характеристики турбулентных
движений, мы сталкиваемся с той трудностью, что описывающие
их системы уравнений — уравнения Рейнольдса и Фридмана—
Келлера — являются незамкнутыми. Поэтому при решении
конкретных задач всегда приходится привлекать дополнительную
информацию. Чаще всего эта информация получается с
помощью соображений подобия и размерности, а иногда также тех
или иных более специальных гипотез (см., например, Седов,
1965; Монин и Яглом, 1965, 1967). При этом теория
позволяет устанавливать лишь общий характер исследуемых
зависимостей; для их конкретизации приходится привлекать
экспериментальные данные. Такой подход используется при
рассмотрении большинства задач и в данной монографии.
Основной особенностью атмосферного пограничного слоя
является существенное влияние сил гидростатической
устойчивости и силы Кориолиса. Таким образом, с точки
зрения механики предмет монографии — это пограничный слой
в стратифицированной вращающейся жидкости. Поэтому
многие результаты, о которых далее пойдет речь, окажутся
справедливыми не только для земной атмосферы, но также,
например, для придонного слоя океана, атмосфер других планет и
некоторых течений, реализуемых в лабораторных условиях и
в технике.
Именно по этой причине в монографии совсем не
рассматриваются вопросы радиационного теплообмена, а также эффекты,
связанные с горизонтальной неоднородностью температурного
поля и т. п., описание которых должно быть существенно
различным не только для каждого из указанных выше
турбулентных течений, но и для различных реализаций атмосферного
пограничного слоя. Такой отбор круга вопросов может
некоторым не понравиться, но он соответствует моей точке зрения
на изучение атмосферного пограничного слоя как в первую
очередь на задачу гидромеханики. Разумеется, при этом не следует
забывать, что подавляющее большинство интересующих нас
экспериментальных данных получено по измерениям в
атмосфере, которая фактически является основной «лабораторией»
для изучения однородного пограничного слоя в
стратифицированной вращающейся жидкости.
Монография в значительной мере является обобщением
работ, автором или соавтором которых я являюсь. Однако в ней
обсуждаются не только результаты этих работ, но и общее со-

4
Предисловие
стояние рассматриваемой проблемы. Обзор исследований,
представляющих в настоящее время лишь исторический интерес,
как правило, не дается. В то же время в рамках избранной
тематики приводятся, по возможности, все основные результаты
с указанием источников. Вероятно, большое количество
библиографических ссылок несколько загромождает книгу. Тем не
менее, в связи с обилием публикаций по вопросам динамики
пограничного слоя атмосферы мне казалось полезным, помимо
обсуждения основных идей, дать по ходу изложения нечто вроде
путеводителя по литературе. В центре внимания в книге
находятся исследования микрометеорологических процессов,
протекающих над ровной однородной подстилающей поверхностью. При
этом в качестве главного приложения рассматривается задача
об определении турбулентного напряжения трения и
вертикальных турбулентных потоков тепла и влаги. Это связано с основной
направленностью монографии: я стремился отобрать и изложить
материал таким образом, чтобы, по возможности, дать ответ на
вопросы к теории атмосферного пограничного слоя,
возникающие в связи с потребностями физико-математического описания
крупномасштабных атмосферных процессов. Тесной связью
с указанными разделами динамической метеорологии предмет
данной монографии и отличается, скажем, от предмета книги
Ламли и Пановского (1964) или гл. 4 книги Монина и Яглома
(1965). Таким образом, монография имеет целью не заменить,
а дополнить упомянутые работы.
От читателя требуется знание основ механики жидкости и
газа (в объеме первой части книги Ландау и Лифшица (1953)),
а также динамической метеорологии (в объеме курсов
Белинского (1948) или Гандина и др. (1955)). Все основные понятия,
являющиеся специфическими для теории пограничного слоя
атмосферы, разъясняются в тексте книги, так что она может быть
использована и для первого знакомства с предметом.
Я благодарен Д. Л. Лайхтману, Д. В. Чаликову, Б. Г. Ва-
геру и всем сотрудникам отдела математического
моделирования циркуляции океана и атмосферы Института океанологии
им. П. П. Ширшова АН СССР, вместе с которыми работал
последние годы, в частности, и над вопросами динамики нижней
атмосферы. Особенно глубокую благодарность мне хотелось бы
выразить научному редактору книги А. С. Монину, советами
которого я неизменно пользовался с первых лет своих
занятий в области геофизической гидродинамики. Я глубоко
признателен Е. Н. Блиновой, Г. И. Марчуку и А. М. Яглому,
которые прочли рукопись монографии и высказали ряд полезных
советов, а также И. А. Кибелю, Л. Г. Лойцянскому и А. М.
Обухову за обсуждение отдельных вопросов.
Сентябрь 1969 г.
С. С. Зилитинкевич

Основные обозначения
5
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
а — концентрация произвольной скалярной
примеси.
а*=—Fa/xpw* —масштаб для измерения величины а.
А* «2,39- Ю-8 кал/эрг —тепловой эквивалент работы.
Ь2 — средняя кинетическая энергия
турбулентности.
Bo = H/LE—отношение Боуэна.
Cf — коэффициент сопротивления.
CDy Сн — коэффициенты диффузии и
теплопередачи (диффузионное и тепловое числа
Стэнтона).
сР «0,24 кал /г- град,—теплоемкости воздуха соответственно
сг«0,17 кал/г-град при постоянном давлении и постоянном
объеме.
а = Vv/ I /1 — толщина ламинарного экмановского слоя.
е(Т) — упругость насыщенного водяного пара
при температуре Т,
ео~6,1 мб—упругость насыщенного пара при Г=
= 273°.
Е — вертикальный турбулентный поток
водяного пара вблизи подстилающей
поверхности.
£,j, £т, Eix —пространственные спектральные
плотности турбулентной энергии,
температуры и потока тепла.
/ — параметр Кориолиса.
F — радиационный поток тепла.
Ра —вертикальный поток скалярной
примеси а.
Fei Eh, Fw — вертикальные потоки водяного пара,
тепла и капельной влаги.
£«981 см/сек2 —ускорение силы тяжести.
G — скорость геострофического ветра.
h — высота планетарного пограничного слоя
атмосферы.
ho — высота неровностей подстилающей
поверхности; также высота эквивалентной
песочной шероховатости.
hg = u>~Jg — масштаб для измерения типичных
размеров ветровых волн.
ha — высота приземного слоя атмосферы.
hw—средняя высота ветровых волн.
^v = v/u* — масштаб толщины вязкого подслоя.
'•y^lPwe—масштаб длины капиллярных волн.
Н — вертикальный поток тепла вблизи
подстилающей поверхности.
Ни Н2 — продольная и поперечная составляющие
горизонтального потока тепла.
I — единичный вектор, направленный вдоль
ОСИ X.
I — безразмерный параметр стратификации
влажности.
Is — значение / в насыщенной атмосфере.

Основные обозначения
j —единичный вектор, направленный вдоль
оси у.
к — единичный вектор, направленный вдоль
ОСИ Z.
kD, Ьн, км, kQ—коэффициенты турбулентного обмена
для пассивной примеси, тепла, импульса
и турбулентной энергии.
kDai* kHal —тензоры коэффициентов турбулентного
обмена для пассивной примеси и для
тепла.
kMaoij — тензор коэффициента турбулентной
вязкости.
/ — масштаб турбулентности (или путь
смешения).
L, L*t L\ L\ — различные модификации масштаба
длины Монина — Обухова.
& « 600 кал/г — скрытая теплота конденсации.
М — средняя скорость конденсации влаги
в единице массы воздуха.
N — средняя скорость выравнивания
температурных неоднородностей за' счет
молекулярной теплопроводности.
Р — давление.
А>==|000 мб _ нормальное давление.
Р =0/1 /10 — безразмерный параметр,
характеризующий динамическое взаимодействие
атмосферы и океана.
Pr=v/x// — число Прандтля (для воздуха Рг«0,72).
q — удельная влажность.
?•=— £/хри.— масштаб для измерения удельной
влажности.
<7о — эффективное значение q на уровне
шероховатости.
qh — значение q на верхней границе
планетарного пограничного слоя.
qm — максимальная (насыщающая) удельная
влажность.
q$ — среднее значение q в точках
непосредственного соприкосновения атмосферы
с подстилающей поверхностью.
qw —удельная водность.
9V* = — ^iW*Pu* — масштаб для измерения удельной
водности.
Q — средний поток турбулентной энергии,
обусловленный ее переносом
вертикальными пульсациями скорости.
QT — средний поток температурных
неоднородностей в вертикальном направлении.
г0 — относительная влажность воздуха
вблизи подстилающей поверхности.
R «2,87- 10е эрг/г -град— удельная газовая постоянная сухого
^ воздуха.
/?/, R/ — динамическое число Ричардсона.
Rw =4,615-106 эрг/г -град —удельная газовая постоянная водяного
пара.
Re=Gd/v—число Рейнольдса экмановского
пограничного слоя толщиной d.

Основные обозначения
7
Reo=tt.uo/v — число Рейнольдса для поверхности со
средней высотой неровностей /to.
Re^. = u3/gv — число Рейнольдса для водной
поверхности.
Ret=Gh/kM—эффективное число Рейнольдса среднего
течения в турбулентном экмановском
пограничном слое.
Rea = a l4lgllip w»w — число Рейнольдса капиллярных волн.
Ri, Ri* — градиентное число Ричардсона в
традиционной форме и с поправкой на
влажность.
Ro=G/\f\Zq — число Россби.
S=p68/ff|G.— внешний параметр стратификации.
S«i, 5г, Sit — временные спектры турбулентной
энергии, температуры и потока тепла.
Sc=v/x/)—число Шмидта (для воздуха Sc«0,72).
t — время.
f£.» tE — лагранжев и эйлеров временные
масштабы турбулентности.
Т — абсолютная температура.
Т* = — Я/xCppu* — масштаб для измерения температуры.
Го=273°—температура замерзания воды.
Т» — средняя температура подстилающей
поверхности.
Тл — виртуальная температура.
//1=и, «2=0| tiz=w —составляющие скорости по осям х% у% г.
и* — скорость трения.
ия — средняя скорость поверхностного
течения по оси х.
U — значение средней скорости ветра на
некотором фиксированном уровне.
Ug — составляющая скорости геострофического
ветра по оси х.
vs — средняя скорость поверхностного
течения по оси у.
V=lw+jtf — горизонтальный вектор средней скорости
ветра.
Vg — составляющая скорости
геострофического ветра по оси у.
Wh — средняя вертикальная скорость на
верхней границе планетарного пограничного
слоя.
x=xi — горизонтальная координата,
отсчитываемая, как правило, по направлению
касательного напряжения трения вблизи
подстилающей поверхности.
У=х2 — горизонтальная координата,
направленная перпендикулярно оси х влево.
z=x3 — вертикальная координата,
отсчитываемая от уровня подстилающей
поверхности.
2о — параметр шероховатости.
Zd — высота вытеснения,
a — угол между направлениями напряжения
трения у поверхности и ветра в
свободной атмосфере.

8
Основные обозначения
аю=/гю/£дг —отношение коэффициентов турбулентного
обмена для пассивной примеси и для
импульса.
ан = кн/км —отношение коэффициентов турбулентного
обмена для тепла и для импульса.
а8 — угол между направлениями
поверхностного течения и касательного
напряжения.
$ = g/T — параметр плавучести.
уа& 10-2 град/м —сухоадиабатический градиент
температуры.
Y«» Yb — влажноадиабатические градиенты
влажности и температуры.
bq=qh — q0f 69 = 9л— 90 — перепады удельной влажности и
потенциальной температуры в пограничном
слое.
6<7о=<7о — <7«» 69о=9о — 9«—«скачки» удельной влажности и
потенциальной температуры вблизи
подстилающей поверхности.
е—средняя скорость диссипации
турбулентной энергии,
ел, Bw — скорости диссипации энергии
соответственно горизонтальных и вертикальных
пульсаций скорости.
£=z/L — безразмерная высота (вприземном слое).
9 — потенциальная температура.
90 — эффективное значение 9 на уровне
шероховатости.
9л— значение 9 на высоте h.
9в — среднее значение 9 в точках
соприкосновения атмосферы с поверхностью.
Ф — температура в градусах Цельсия.
х« 9,4 — постоянная Кармана.
X = хи*/ 1/| —масштаб толщины пограничного слоя.
A=G/\f\ —масштаб длины, составленный из
внешних параметров.
\х = X/Z, — параметр стратификации Монина.
v«9,13 см2/сек — кинематический коэффициент вязкости
воздуха.
vw—кинематический коэффициент вязкости
морской воды (vtt «9,912 см2/сек при
солености 39%о и температуре 15°С).
%=z/X — безразмерная высота (в планетарном
пограничном слое).
П —поток тепла в почву,
рда 1,3-19_3 г/см3 — плотность воздуха.
pw « 1 г/см3 — плотность воды,
a «75 дин/см—поверхностное натяжение воды.
От, сги, (Ь, ow — стандартные отклонения температуры и
компонент скорости ветра.
1 =iTx + JTy — горизонтальный вектор касательного
напряжения трения.
т — значение модуля *
Ф — широта.
Xz>«9,17 см2/сек, yvti да9,17 см2/сек —коэффициенты молекулярной диффузии
и температуропроводности воздуха.
Ч* — характеристическая функция в
обобщенной формуле Кармана.
(о«7,29-19-5 сек-1 —угловая скорость вращения Земли.

ЧА СТЬ 1. Приземный слой атмосферы
1.1. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ
СВЕДЕНИЯ
1.1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИЗЕМНОГО СЛОЯ
Исследуя движение воздуха над ровной однородной
подстилающей поверхностью в условиях, когда резких изменений
погоды не происходит, естественно предположить, что поля
скорости ветра, температуры и ряда других метеорологических
элементов являются, во-первых, статистически стационарными
(для промежутков времени, в течение которых суточные
колебания не сказываются) и, во-вторых, статистически
однородными по горизонтали (разумеется, также в пределах
пространственных масштабов, определяемых размерами однородной
области подстилающей поверхности, а также масштабами
синоптических процессов). При этом все одноточечные
статистические характеристики метеорологических полей должны в
указанном смысле зависеть только от высоты над уровнем
подстилающей поверхности. Иными словами, мы можем в данном
случае использовать упрощенную модель течения в
полупространстве над однородной плоской поверхностью, характеризуемой
некоторой постоянной шероховатостью.
В первой части мы будем рассматривать приземный слой
атмосферы, т. е. слой, имеющий толщину порядка десятков
метров, в котором турбулентное напряжение трения (равное
вертикальному потоку импульса) и вертикальные турбулентные
потоки тепла и влаги допустимо считать постоянными по
высоте. *
Основной интерес для нас будет представлять вопрос о
вертикальных профилях скорости ветра, температуры, влажности
и простейших характеристик турбулентности, а также
примыкающая сюда задача об определении турбулентных потоков
1 Термин «приземный слой» будет применяться к нижнему слою
атмосферы у поверхности Земли как над сушей, так и над морем. В случае же,
когда важно подчеркнуть специфику нижнего слоя атмосферы над морем, он
будет называться приводным слоем.

10
/./. Некоторые предварительные сведения
по данным измерений средних значений метеорологических
элементов.
Конкретизируем* прежде всего определение приземного слоя
атмосферы, уточнив возможность применения указанной выше
идеализированной модели в реальных условиях.
Введем локальные декартовы координаты, поместив начало
координат на подстилающей поверхности и направив ось z
вертикально вверх, ось х — в горизонтальной плоскости в
произвольном пока направлении, а ось у — перпендикулярно этому
направлению влево. Обозначим составляющие средней скорости
по осям ху у, z буквами и, v и до, а соответствующие
указанным осям орты — буквами i, j и к. В тех случаях, когда это
окажется удобным, будем также применять обозначения хи х2,
х^ вместо х, у у z и щ, Иг, ы3 вместо и, и, w. При этом будем
пользоваться правилом суммирования по повторяющемуся
индексу, так что, например, запись UidUj/dXi будет означать
з
сумму ^SujdUjjdx^
/=i
Имея в виду крупномасштабные атмосферные процессы, при
описании которых допустимо квазистатическое приближение,
запишем уравнение среднего горизонтального движения в виде
4j:=/vxk-.fv*P + -f£. (i.i)
Здесь t — время; d/dt^d/dt+udldx+vd/dy+wd/dz и Va =
= \д/дх+}д/ду — соответственно операторы индивидуальной
производной по времени и горизонтального градиента; V=iu+}V —
горизонтальный вектор средней скорости ветра; / — параметр
Кориолиса (/=2g) sin ф, где со — угловая скорость вращения
Земли, ф — широта); р — плотность воздуха; р — атмосферное
давление; т =iT*+]ху — горизонтальный вектор касательного
напряжения трения, составляющие которого определяются по
формулам
Tr=-^V + Pv|i, Ty=_p^V + Pvg-, (1.2)
где v — кинематический коэффициент вязкости; и\ t/, w' —
компоненты флуктуационной скорости, а черта сверху означает
осреднение. Заметим, что вязкие члены в формулах (1.2)
пренебрежимо малы по сравнению с турбулентными всюду, за
исключением непосредственно прилегающего к подстилающей
поверхности слоя, толщина которого по порядку величины не
превышает 1 мм. Поэтому практически во всей толще
интересующего нас приземного слоя атмосферы величины хх и ху
можно рассматривать как турбулентные касательные
напряжения.

/././. Определение приземного слоя
И
В уравнении (1.1) главными являются первый и второй
члены правой части, обычно имеющие противоположные знаки
и в значительной мере компенсирующие друг друга.
Характерная величина каждого из них составляет 1(Н см/сек2.
Принимая это значение в качестве характерной величины членов
1 дтх 1 ^у
gj- и —gj- и условившись, что в пределах приземного
слоя допускаются изменения хх и ту, не превышающие, скажем,
20% модуля касательного напряжения у Земли т, получаем для
высоты приземного слоя h8 следующую оценку:
А,~10Ч (1.3)
где h8 измерено в см, х— в дин1см2. Поскольку т составляет
обычно 0,5—5 дин/см2 (см. рис. 1.38), мы находим, таким
образом, что h8 имеет порядок 5—50 м.
Получим теперь аналогичную оценку исходя из условия
приближенного постоянства вертикального потока тепла Н,
определением которого служит равенство
Н=ср^'-срПн(^ + 1а)~срР^Г-ср?х„£. (1.4)
Здесь ср — теплоемкость воздуха при постоянном давлении;
ХИ — коэффициент молекулярной температуропроводности; уа —
сухоадиабатический градиент температуры (уа=А^/ср, А* —
термический эквивалент работы, g — ускорение силы тяжести);
Т и V — среднее и флуктуационное значения абсолютной
температуры; 8 — потенциальная температура, выражающаяся по
формуле 6= T(p0/p)A*Rlcp, где /?0=1000 мб — нормальное
давление, R — газовая постоянная сухого воздуха. В правой
части (1.4) член, обусловленный молекулярной
теплопроводностью, снова пренебрежимо мал практически во всей
атмосфере, так что величину Н можно отождествлять с
турбулентным потоком тепла. Считая, что фазовых превращений влаги
в атмосфере не происходит, запишем осредненное уравнение
переноса тепла в виде
Л*1_ 1 d(H+F) п -.
Ь dt ~ ср? dz ' Kl-0)
где F— радиационный поток тепла. Оценивая левую часть (1.5)
как величину порядка 3 град/час, для толщины слоя, в котором
изменение суммы H+F не превышает 20%, получаем
следующее выражение:
h's^W\M + F\, (1.3а)
где ft/ измерено в см, Н и F— в кал/см2»сек. Принято считать,
что выше 1 м изменения радиационного потока с высотой не-

12
/./. Некоторые предварительные сведения
существенны (см. данные измерений над сушей в работе
Робинсона (1950), а также гл. 15 книги Халтинера и Мартина (1957)).
Таким образом, если исключить из рассмотрения нижний
метровый слой, соотношение (1.3а) можно рассматривать как
оценку толщины слоя, в котором в пределах 20-процентной
точности не меняется с высотой и вертикальный турбулентный
поток тепла. При положительных значениях этого потока
(неустойчивая стратификация, наблюдаемая обычно летом в
дневное время) его типичная величина составляет в средних
широтах 0,005 кал/см2-сек (см. рис. 1.39), что приводит к оценке
А/~50 м. При #<0 (устойчивая стратификация, характерная
для ночного времени), как видно из того же рисунка, величина
турбулентного потока тепла имеет порядок 0,0005 кал/см2-сек.
Высота As' при этом оказывается близкой к 5 м.
В связи с вопросом о толщине приземного слоя заметим, что
при устойчивой стратификации вследствие сравнительно малых
значений величины \Н\ возможность пренебрежения
вертикальными изменениями радиационного потока оказывается
в большей мере дискуссионной, чем при неустойчивой.
Иллюстрацией этого положения могут служить данные Фанка (I960),
наблюдавшего заметное изменение F с высотой за пределами
нижнего метрового слоя при очень малом отрицательном
значении Я. Таким образом, модель, предполагающая постоянство //,
в применении, скажем, к ночным условиям при слабом ветре
может оказаться неточной. В большинстве приложений это
обстоятельство не должно, впрочем, вызывать особых
осложнений, так как при малых значениях турбулентных потоков
требования к относительной точности их определения, как
правило, вполне можно ослабить. Вместе с тем следует
подчеркнуть, что исследования механизма взаимодействия
радиационного и турбулентного теплообмена (начатые в работах Таун-
сенда (1958), Ямамото и Кондо (1959), Монина (1967а))
представляют значительный интерес, в частности, для
понимания термического режима нижнего метрового слоя воздуха.
Кроме того, как заметил Монин (1967а), над океанами роль
радиационных процессов может быть существенной и на
больших высотах. Мы, однако, не будем касаться круга вопросов,
связанных с указанным пока еще мало разработанным
направлением исследований, и в дальнейшем всюду будем считать
радиационный приток тепла несущественным.
Подтверждением такой точки зрения могут служить приводимые ниже
в 1.2.4.1 экспериментальные данные, свидетельствующие о том,
что подверженный влиянию радиации профиль температуры и
не испытывающий этого влияния профиль влажности в
приземном слое атмосферы вполне допустимо считать подобными
(см. рис. 1.17). Особенно детальный анализ вопроса о подобии
профилей температуры и влажности в нижнем слое воздуха над

/././. Определение приземного слоя
13
морем выполнен Китайгородским (1968а), который, обработав
обширный материал градиентных наблюдений Такахаши (1958)
и Флигла и др. (1958), установил, в частности, что в пределах
допустимой 20-процентной погрешности отношение
турбулентных потоков тепла и влаги (точнее, приращений температуры и
удельной влажности) в 80% случаев оказывается постоянным
по высоте, включая слой у самой водной поверхности.
Нам остается еще уточнить возможность использования
предположения о постоянстве с высотой вертикального потока
водяного пара Е, определяемого равенством
£ = pW-f,XDg-, (1-6)
где %D—коэффициент молекулярной диффузии; q и q'—
среднее и пульсационное значения удельной влажности, т. е. массы
водяного пара, приходящейся на единицу массы влажного
воздуха. Так же как и в формулах (1.2) и (1.4), второй член
правой части (1.6) пренебрежимо мал, а следовательно,
величина Е практически представляет собой турбулентный поток.
Используя уравнение переноса средней удельной влажности,
имеющее вид (при условии, что фазовых переходов влаги не
происходит)
dg_ ]_дЕ_ п 7v
dt ~~ р дг ' Ki'i}
и учитывая, что при отсутствии резко выраженных локальных
zltcz
эффектов левая часть (1.7) имеет порядок 0,5 -^-, получаем
(аналогично (1.3) и (1.3а)) следующую оценку для толщины
слоя, в пределах которого изменения Е не превышают 20%:
А;~10э|£|, (1.36)
где h"s по-прежнему измерено в см, а Е — в г/см2-сек.
Поскольку характерное значение Е составляет Ю-6—Ю-5 г/см2-сек,
соотношение (1.36) дает h"s~ 10—100 Hi.
Заканчивая обсуждение применимости модели цриземного
слоя в реальных условиях, уточним, что означает осреднение
в формулах (1.2), (1.4) и (1.6). Согласно обычному
предположению эргодичности (см. гл. 2 книги Монина и Яглома (1965)),
этот вопрос можно свести к определению характерного
масштаба, скажем, временного осреднения.
Поскольку приземный слой рассматривается на фоне
синоптических процессов (описываемых уравнениями (1.1), (1.5) и
(1.7)), мы должны принять, что этот масштаб имеет порядок
часа или даже нескольких часов. Теперь возникает вопрос,
насколько существенно будут меняться правые части (1.2), (1.4)

Период ,п''чос
1
10"' 1 101
частота,п цикл/час
Ю4
WJ
Рис. 1.1. Спектр скорости ветра в приземном слое атмосферы, по Ван дер Ховену (1957)
п — частота, S„ (л) — спектральная плотность

/././. Определение приземного слоя
15
и (1.6) при изменении периода осреднения. Дать здесь
априорный ответ затруднительно. Экспериментальные данные, однако,
показывают, что в спектре атмосферных движений, как
правило, наблюдается глубокий минимум, приходящийся на
периоды порядка часа и разделяющий области мелкомасштабной
турбулентности и сравнительно крупномасштабных
квазидвумерных синоптических колебаний (рис. 1.1 и 1.2). Отсюда
естественно заключить, что величины различных статистических
характеристик метеорологических полей, в том числе и турбу-
Период, л'1 час
о W3 Ю2 W 1 №' Ю'3
Рис. 1.2. Спектр
температуры в приземном слое
атмосферы, по
Колесниковой и Монину (1965)
л — частота, Sj (л) —
спектральная плотность
лентных потоков, должны быть мало чувствительными к
выбору периода осреднения при изменении последнего от
нескольких минут до часа и более. (Напомним, что мы уже
считали допустимыми 20-процентные погрешности в определении
турбулентных потоков, когда рассматривали вопрос о высоте
приземного слоя. Поэтому и здесь при определении
зависимости потоков от периода осреднения естественно пренебрегать
изменениями того же порядка.)
Этот вывод, подтверждающийся непосредственными
измерениями дисперсий пульсаций скоростей и температуры
(Крамер, 1967), а также спектров турбулентных потоков (см. Гур-
вич и Цванг, 1960; Гурвич, 1961а, 1965 б; Монин и Обухов, 1967;
Монин и Яглом, 1967, гл. 8; Колесникова и Монин, 1968),
существенно расширяет область приложений рассматриваемой
модели и позволяет, с одной стороны, не фиксировать четко
периоды осреднения при решении целого ряда конкретных задач,
а с другой — ограничиваться, скажем, 10-минутным
осреднением при вычислении средних величин по записям пульсаций
(см. Гурвич, 1960; Чжоу Мин-юй, 1966).
Итак, мы дали определение приземного слоя атмосферы.
В основном далее будет рассматриваться случай атмосферы
над сушей. Некоторые специфические особенности приводного
слоя воздуха мы обсудим в п. 1.2.3.
ю
Ю
Ю'1 1 ю
Частота, п цикл/час
Ю'

16 1.1. Некоторые предварительные сведения
1.1.2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ТУРБУЛЕНТНОГО ОБМЕНА.
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНОЙ ЭНЕРГИИ
И ДЛЯ ДИСПЕРСИИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПУЛЬСАЦИИ
В дальнейшем нам потребуются формулы, связывающие
напряжения Рейнольдса, т. е. турбулентные потоки импульса,
а также потоки тепла и водяного пара с характеристиками
средних полей компонент скорости, температуры и влажности.
Общие выражения подобного типа, конструируемые с помощью
аналогии между турбулентным и молекулярным переносами,
имеют вид (см. Монин, 19506; Монин и Яглом, 1965, п. 6.3)
РЩ = А Р*% - *м*,[щ + 59. (1.8)
ЯГ = «**„(£, + тА,)« - pkHai £. (1.9)
^=^оЛг (1Л0)
где 8ар = {0 при а =£ Р; 1 при а = £} — символ Кронекера; 62=
= -j-aJ«J — величина, пропорциональная средней кинетической
энергии турбулентности; kM г. —тензор коэффициента турбу-
apt/
лентной вязкости (тензор четвертого ранга, симметричный по а,
р и по i, j и удовлетворяющий условиюkM^ (dui!dxJ+dUj'dxi) =
= 0); kH . и kD . — коэффициенты турбулентного обмена для
теплоты и пассивной примеси (водяного пара) — тензоры
второго ранга.
Часто используемое предположение о том, что х, у, z — главные оси
тензоров kH и kD . э оснований не имеет. По-видимому, впервые эту мысль
высказал Леттау (1952), аргументация которого обсуждалась в заметке Пристли
(1963) и комментариях к ней Сафмена, указавшего, в частности, на
некоторую нестрогость рассуждений Леттау. По этому вопросу см. также статью
Сафмена (1962) и дискуссию по ней и статью Колдера (1965). Обсуждение
роли недиагональных членов тензора kD . и иллюстрирующие эту роль
примеры расчетов диффузии пассивных примесей имеются в работах Мацуока
(1961) и Ги и Дэвиса (1963, 1964). Современное состояние вопроса изложено
в работе Яглома (1969). Экспериментальные данные о величине kH^ и
некоторые комментарии к ним приводятся также в 1.2.4.3 настоящей книги.
Учитывая, что мы рассматриваем течение, одноточечные
статистические характеристики которого не зависят от
горизонтальных координат, и принимая, кроме того, гипотезу об осевой
симметрии тензора kM гш.относительно вертикального
направления (Каменкович, 1967), согласно которой, в частности, kM =
= ^n23J3 и *in«,==*AfMI. = °» из Формул (1.8) —(1.10) получаем
для горизонтального вектора напряжения трения ^ = \хх+]ху и

1.1.2. Коэффициенты обмена. Уравнения для дисперсий 17
вертикальных потоков тепла Н и влаги Е выражения
« " с*Ьн (аг + Т.) «-«У** яг • <1Л2>
^=-p(*D + Xo)g-«-P*l)S«-, (1.13)
где kM = йЛи| = 2kMuu; £я == АЯи и kD = kDx$ — скалярные
величины, именно которые мы и будем в дальнейшем называть
коэффициентами турбулентного обмена соответственно для
импульса, теплоты и пассивной примеси.
Ориентируя ось х по направлению касательного
напряжения, получим т=к. Так как на подстилающей поверхности
имеет место условие прилипания (скорость ветра обращается
в нуль), из последней формулы вытекает, что в приземном слое
направления ветра и касательного напряжения совпадают.
Таким образом, вместо (1.11) достаточно рассмотреть соотношение
T = p(*Af + v)|r~P^fr' <1Л4)
связывающее скалярные величины хна.
Поскольку потоки т, Я и Е постоянны по высоте, мы можем
с их помощью ввести следующие также постоянные масштабы
для измерения скорости, температуры и удельной влажности:
«* = У^Р, (1Л5)
Т* = -Н/*ср9и^ (1.16)
?, = - £/хр«,. (1.17)
Здесь х — безразмерная постоянная Кармана («0,4), которая,
начиная с работ Обухова (1946) и Монина и Обухова (1953,
1954), традиционно включается в выражения для Г* и q*\
величина и* — скорость трения или динамическая скорость.
Рассмотрим теперь среднюю кинетическую энергию
турбулентных пульсаций pb2 = Pai^i/2, уравнение для которой
получается путем умножения неосредненных уравнений
движения (1.28) на ttj, последующего осреднения, суммирования по j
и пренебрежения некоторыми малыми членами, в частности,
членами с пульсациями давления (см. Монин и Яглом, 1965.
2 С. С. Зилитинкевич , л - | '_ ^ ft A f
~m . ^"ЧТ«Г-1 в А.

18
1.1. Некоторые предварительные сведения
§ 6). Применительно к крупномасштабным атмосферным
процессам рассматриваемое уравнение приближенно может быть
записано в виде
d№ 1 / ди . dv\ g —гт 1 dQ /л 10Ч
где р'— пульсация плотности; Q = pu'su'.u'./2—средний ноток
энергии, обусловленный ее переносом вертикальными
пульсациями скорости; г = v [du'jidXi) (du'jldxfi—средняя скорость
диссипации энергии под действием сил вязкости. Первый член
правой части (1.18) описывает механическую продукцию
турбулентной энергии, т. е. ее поступление за счет кинетической
энергии среднего движения, обусловленное наличием градиента
средней скорости; второй член выражает поступление или
расход турбулентной энергии, возникающие в результате работы
архимедовых ускорений (т. е. ускорений плавучести)—gp'/p-
Используя уравнение состояния, в условиях достаточно
сухой атмосферы имеющее вид
P=R?T, (1.19)
где р=р + р\ р=р + р', Т = Т+Т' — суммы средних и флукту-
ационных значений давления, плотности и температуры, в
линейном приближении получаем р'/ржр'/р+Т'/Т. Поскольку
относительные пульсации атмосферного давления пренебрежимо
малы (см. Госсар, 1960; Голицын, 1964), отсюда следует
•5-«-Т-. (1-20)
Последнее соотношение позволяет фигурирующий в
уравнении (1.18) поток массы до'р' выразить через поток тепла Я:
57*-f5T = -c^. (1.21)
В пределах приземного слоя мы можем пренебречь в
уравнении (1.18) членом db*ldty т. е., иными словами, считать
турбулентный режим стационарным и горизонтально однородным1.
В самом деле, оценивая указанный член как отношение
характерного значения турбулентной энергии Ь2 к половине
суточного периода /Сут = 2я/о)=24 час и используя для механической
продукции турбулентной энергии оценку "7"(тд"^ +ту"^П~
1 Обсуждение некоторых эффектов, обусловленных рассматриваемым
членом, имеется в работах автора (Зилитинкевич, 1963а, б).

1.1.2. Коэффициенты обмена. Уравнения для дисперсий 19
uijY.z, справедливость которой (при стратификации, близкой
к нейтральной) будет доказана в 1.2.1.2, для высоты h ms слоя,
в пределах которого отношение первого из рассматриваемых
членов ко второму не превосходит, скажем, 1%, получаем
выражение /£ — 10~2#^сут/2*£2. Полагая далее, согласно данным
рис. 1.24 и 1.38, 62/#2~5 и и*~0,3 м\сек, находим, что
типичное значение А/" составляет около 50 лс, т. е. имеет тот
же порядок, что и высота приземного слоя. Таким образом,
в приземном слое член db2/dt можно считать пренебрежимо
малым, и уравнение (1.18) принимает вид
„2£L + M__Lf2_ (1.22)
*дг ' срр р dz ' v '
где $=g/T — параметр плавучести.
Отношение второго члена (1.22) к первому, определяющее
относительный вклад конвективного и динамического факторов
продукции турбулентной энергии, как мы увидим ниже, может
служить характеристикой гидростатической устойчивости.
Взятое с обратным знаком, это отношение
R/= Щ (1.23)
J Срри.ди/дг
называется динамическим числом Ричардсона ].
Как видно из (1.22), при отрицательных значениях R/
действие гидростатических сил сообщает пульсациям скорости
дополнительную энергию, т. е. температурная стратификация
является неустойчивой. При R/ = 0 стратификация нейтральна.
Наконец, если R/ положительно, стратификация оказывается
устойчивой, так как гидростатические силы препятствуют
развитию флуктуационных движений. В последнем случае при
значениях R/, превышающих некоторую критическую величину R/ ,
существование равновесного (т. е. стационарного и однородного
по горизонтали) турбулентного режима вообще становится
невозможным — продукция турбулентной энергии оказывается
недостаточной для компенсации ее расхода.
Поскольку, как следует из самого определения диссипации,
е^О, отбрасывая в (1.22) диффузионный член Г"57 »
получаем R, =1. Как мы увидим далее, такая оценка, однако,
существенно завышена. В связи с этим диффузионный член
иногда не отбрасывают, а полагают пропорциональным
конвективному члену рЯ/срр. Тогда уравнение (1.22) принимает вид
1 Анализ уравнения для турбулентной энергии, аналогичный
приведенному ниже, впервые был выполнен Л. Ричардсоном (1920).
2*

20
/./. Некоторые предварительные сведения
где а — безразмерный параметр, подлежащий эмпирическому
определению (и связанный с критическим числом Ричардсона
соотношением а = Rr1).
Помимо R/, часто используется градиентное число
Ричардсона
Ri = T1R/, (1-25)
выражение для которого, используя формулы (1.12), (1.14),
(1.23), можно записать еще в следующем виде:
Величина Ri, так же как и R/, может служить характеристикой
гидростатической устойчивости.
Рассмотрим еще дисперсию температурных пульсаций
о? = Т'2. Отметим прежде всего, что, поскольку
относительные пульсации атмосферного давления р'/р пренебрежимо
малы, во всей нижней тропосфере с большой точностью
выполняется приближенное равенство T'zzQ', где 6' — флуктуация
потенциальной температуры. Поэтому под о2т можно понимать
также и дисперсию 0'". Уравнение для о*,, получаемое вполне
аналогично (1.18) путем умножения неосредненного уравнения
переноса тепла (типа (1.30)) на Г', последующего осреднения
и пренебрежения некоторыми малыми слагаемыми (см.
Татарский (1956), а также, например, гл. 2 книги Ламли и Панов-
ского (1964)), в атмосфере имеет вид
dt срр dz dz yv' ^-z/'
где QT = w'T'2/2—средний поток температурных неоднородно-
стей в вертикальном направлении; N=%H(dT'ldXi) (dT'/dXi) —
средняя скорость выравнивания этих неоднородностей.
Продукцию температурных неоднородностей здесь описывает первый
член правой части — ~£~1дг~' неотрицательный в силу (1.12).
Покажем, что в приземном слое членом d[o\\^\dt в
уравнении (1.27) можно пренебречь, т. е., что режим температурных
пульсаций допустимо считать стационарным и горизонтально
однородным. Аналогично тому, как это делалось в случае
уравнения для турбулентной энергии, воспользуемся оценкой
d(o2/2)/tf/~o2/rcyT,a продукцию температурных пульсаций вы-

1.2.1. Общие выводы (теория подобия Монина — Обухова) 21
разим по формуле — -—^r~71*""VL* (ая = const~ 1)э
справедливость которой при состоянии, близком к нейтральному
равновесию, будет показана в 1.2.1.2. Тогда для высоты Л!У слоя,
в пределах которого отношение лервого из рассматриваемых
членов ко второму не превосходит 1%, получим выражение
/riv—10~~ *a*7^cyT/aJ/32\ Принимая затем, согласно рис. 1.25
и 1.38, о?-/7** — 1 и и*~0,3 м/сек, находим ftiv —100 м. Таким
образом, в приземном слое член d(oT/2)jdt действительно
можно считать пренебрежимо малым.
Нетрудно заметить, что в силу (1.27) в слое, в котором
dQ/dz=Q, температурные пульсации не генерируются, и,
следовательно, при стационарном режиме о2т должно обращаться
в нуль. Подробный анализ уравнения для дисперсии
температурных пульсаций и оценки отдельных его членов см. в работе
Дирдорфа (1966).
Аналогичное (1.27) уравнение можно составить для
дисперсии пульсаций любой скалярной пассивной примеси (см.,
например, Чанади, 1967а, б), в том числе и для водяного пара.
1.2. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ
1.2.1. ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ДЛЯ ТЕМПЕРАТУРНО-
СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ АТМОСФЕРЫ
(ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ МОНИНА —ОБУХОВА)
1.2.1.1. Основной принцип подобия
Основой физического описания приземного слоя атмосферы
является предложенная Мониным и Обуховым (1953, 1954)
теория подобия для турбулентного режима в
стратифицированной среде, развернутое изложение которой дано в обзорных
статьях Монина (1958, 1962а) и в гл. 4 книги Монина и Яглома
(1965). Мы обсудим главным образом следствия этой теории,
непосредственно примыкающие к вопросу о профилях средних
значений метеорологических элементов, но при этом коснемся и
статистического описания режима пульсаций.
Рассматривая поля скорости и температуры в
стратифицированной атмосфере, можно упростить исходные уравнения
гидродинамики, линеаризировав их относительно отклонений
плотности, температуры и давления от стандартных значений
р, Т и р, зависящих только от z и удовлетворяющих уравнению
статики dpfdz=—gp и уравнению состояния p=RpT. Используя,
кроме того, формулу (1.20), а также отбрасывая радиационный
член в уравнении переноса тепла и пренебрегая
несущественным в пределах приземного слоя различием между потенциаль-

22
1.2. Теория подобия
ной и абсолютной температурами, получаем систему уравнений
приближения свободной конвекции, имеющую вид
OU: ^ OUt 1 fin' —
w + u<ik = v^T> О-30)
где и;=и;+н/ (/=1, 2, 3) и Т=Т+Т' — суммы среднего и
флуктуационного значений соответственно составляющих
скорости и температуры; А=д2/дХгдХ{ — оператор Лапласа; 6ц —
символ Кронекера. Отметим, что относительные изменения
величин р и Т на протяжении приземного слоя не превосходят
нескольких процентов. Поэтому сами эти величины (там, где они
входят в коэффициенты) можно считать постоянными.
Напомним, что в приземном слое мы условились считать
поля скорости и температуры статистически стационарными и
однородными по горизонтали. Осреднение уравнений (1.28) —
(1.30) при этом приводит к уже обсуждавшимся соотношениям
~ = _ p^v + pv ^ = const, (1.31 >
дТ
Н = ср9<и>'Т'-ср?хн^ = const, (1.32)
означающим постоянство по высоте потоков импульса и тепла.
При этом в области развитой турбулентности, т. е. всюду, за
исключением нижнего миллиметрового слоя, в выражениях (1.31) „
(1.32) члены, обусловленные молекулярным переносом,
оказываются пренебрежимо малыми и могут быть отброшены. Более
того, если не рассматривать высокочастотный участок спектра
турбулентности, на котором играют существенную роль вязкая
диссипация кинетической энергии и молекулярное рассеяние
температурных неоднородностей, то в этой области члены,
описывающие молекулярные эффекты (т. е. vAi/j и %нкТ), можно
отбросить и в уравнениях (1.28) и (1.30).
Выясним теперь, от каких параметров зависит
рассматриваемый турбулентный режим. Очевидно, к числу этих
определяющих параметров относятся константы р, р, v и %н, входящие
в уравнения (1.28) — (1.30). Кроме того, мы должны здесь
учесть величины т и Я, определяющие динамическое и тепловое
взаимодействие между атмосферой и подстилающей
поверхностью, теплоемкость воздуха ср, а также тот или иной
параметр, характеризующий геометрические свойства поверхности.
Основой для дальнейшего построения теории подобия будет

1.2.1. Общие выводы (теория подобия Монина — Обухова) 23
служить следующая гипотеза, предложенная в 1953 г. Мониным
и Обуховым: в области развитой турбулентности на всех
участках спектра, кроме интервала диссипации, турбулентный
режим не зависит от молекулярных констант v и %т кроме того,
на высотах, значительно превышающих средний размер
неровностей подстилающей поверхности, свойства последней
непосредственно не сказываются на законах изменения
статистических характеристик гидродинамических полей по вертикали.
(Последнее утверждение относится, в частности, и к средним
значениям скорости и температуры, влияние на которых
изменений характеристик подстилающей поверхности сводится
к смещению профилей на некоторую постоянную величину.)
Отсюда следует, что зависимости от высоты одноточечных
статистических характеристик полей скорости и температуры
определяются значениями параметров т/р, (J и Я/Срр1, или, что
эквивалентно, параметров и*, р и Г» (см. формулы (1.15),
(1.16)). Из указанных величин единственным образом (с
точностью до числового множителя) составляется комбинация,
имеющая размерность длины, — так называемый масштаб
длины Монина — Обухова
1 = ~ ^Hictf = ~ф; • (L33)
где х — уже фигурировавшая в формулах (1.16) и (1.17)
постоянная Кармана, традиционно включаемая также и в
выражение для L. Таким образом, согласно приведенной выше
гипотезе подобия, безразмерные одноточечные статистические
характеристики, получаемые при измерении скоростей
масштабом и*, температур масштабом Т* и длин масштабом L, должны
быть универсальными функциями безразмерного отношения
Z. = zL, (1.34)
являющегося основным локальным критерием гидростатической
устойчивости. Как видно из уравнения для турбулентной
энергии (1.22), при £<0 стратификация является неустойчивой, при
^>0 — устойчивой и, наконец, при £ = 0 — нейтральной.
Из сказанного выше непосредственно следует, что
локальный эффект устойчивости меняется совершенно одинаково при
увеличении высоты или при уменьшении абсолютного значения
масштаба длины L. В частности, это означает, что на
достаточно малых высотах турбулентный режим практически не
зависит от стратификации.
Отметим, что использованное выше пренебрежение
различием между абсолютной и потенциальной температурами не
1 Величины ср и р входят в число определяющих параметров только
в комбинациях т/р и Н/срр, поскольку рассматриваемые поля не содержат
размерностей массы и теплосодержания.

24
1.2. Теория подобия
связано с какими-либо принципиальными ограничениями. В
самом деле, как уже отмечалось, в нижнем слое атмосферы
с большой точностью выполняется приближенное равенство
Т'жЪ', где 6' — флуктуация потенциальной температуры. Таким
образом, ускорение плавучести рГ'бз; в уравнении (1.28) и
турбулентный поток тепла Cppw'V в формуле (1.32) можно
представить соответственно в виде p9'63j и cppw'B'. В то же время,
рассуждая более строго, мы должны были бы в уравнении
переноса тепла (1.30), а также во втором слагаемом правой
части формулы (1.32) заменить абсолютную температуру Т на
потенциальную 8. В совокупности эти замены не вносят
никаких новых параметров. Таким образом, сформулированный
выше закон подобия, строго говоря, относится к статистическим
характеристикам поля потенциальной, а не абсолютной
температуры.
Далее, если имеется некоторая скалярная пассивная
примесь а=а+а' (а — средняя, о!—флуктуационная компонента),
распространение которой описывается уравнением диффузии
то в случае статистической стационарности и горизонтальной
однородности поля поток рассматриваемой примеси Fa будет
постоянным по высоте, т. е. будет выполняться соотношение
Fa = 9W¥ - PXd£. = const, (1.36)
причем снова в области развитой турбулентности
молекулярная компонента потока пренебрежимо мала и может быть
отброшена. Точно так же может быть отброшен и молекулярный
член %Dha в уравнении (1.35), если исключить из рассмотрения
высокочастотный участок спектра. Далее по аналогии с
формулами (1.16) и (1.17) мы можем ввести следующий
постоянный по высоте параметр а*, имеющий ту же размерность,
что и а:
а* = —/у*?я*. (1.37)
При этом одноточечные характеристики рассматриваемого поля,
приведенные с помощью масштаба а* к безразмерному виду
(так же как и характеристики полей скорости и температуры) t
будут универсальными функциями безразмерной высоты £.
Сказанное выше справедливо, в частности, для поля удельной
влажности q=q+q' (разумеется, если считать последнюю
пассивной примесью и, кроме того, исключить из рассмотрения
фазовые переходы), масштабом для измерения которой будет
служить параметр ?* формулы (1.17).

1.2.1. Общие выводы (теория подобия Монина — Обухова) 25
1.2.1.2. Универсальные профили
метеорологических элементов
Согласно изложенному выше принципу подобия,
приведенные к безразмерному виду вертикальные градиенты средних
значений скорости ветра и, потенциальной температуры 8,
а также произвольной пассивной примеси а, могут быть
выражены следующим образом:
£ =&*.<». (1.38)
|г=т£еК)> (1.39)
Sf = t-*«<C>' 0.40)
гДе ёи> ёь Иёа—универсальные функции аргумента t,=zfL.
Наряду с этими функциями нам будет удобно пользоваться
также функциями <?а, ?е и <ра, определяемыми с помощью
тождеств
?.(C)=Cge(C), ?,(C)sCft(C), ?e(C) = C*e(C). (1.41)
Чтобы придать дальнейшим рассуждениям большую
определенность, в качестве примера пассивной примеси рассмотрим
удельную влажность. Тогда вместо формулы (1.40) получим
Й-= %-*в(С). (Ь40а)
Интегрируя приведенные выше выражения для градиентов,
находим
и (z2) - и (Zl) = &- [/„ ft) -/„ ft)], (1.42)
е (z2) - 9 (гО - Г. [/, ft) -Л ft)] • (!-43>
?(*t)-*ta) = ^/. (-£)-'/.(■£)]. (1.44)
где г! и г2 — произвольные уровни; /Л (С), /е (С) и /а (С) —
первообразные функций £и(£)э£е(^) и £*(£) (определяемые,
разумеется, с точностью до аддитивной константы).

26
1.2. Теория подобия
Далее, коэффициенты турбулентного обмена kM, kH и kD.
определяемые формулами (1.11) — (1.13), можно следующим
образом выразить через функции gu, gB и ga:
ъ — 'AU*L ъ — 7M*L h — yM*L (л лк\
•И_*«(С) ' *»- ft (О ' D~ gaC) ' (1Л0)
Введем теперь величины ан и ccd, обратные соответственно
турбулентному числу Прандтля и турбулентному числу Шмидта,
по формулам
^==ЫсГ=а»('*)' l^-ftTw3"^- (L46)
При этом мы можем выражения (1.23) и (1.26) для
динамического и градиентного чисел Ричардсона представить в
следующем виде:
k 1 1
К/=^ = ЙТ5Г' R[ = ^Wg^W' (L47)
Естественно считать, что функции R/(£) и Ri(£) монотонны,
т. е. имеют однозначные обратные функции. Тогда каждому
значению £ можно сопоставить только одно значение R/ или Ri,
т. е., иными словами, любая из величин R/ и Ri наряду с £
может играть роль локального критерия гидростатической
устойчивости (см. также п. 1.1.2).
Общие соображения, основанные на теории подобия,
позволяют сделать ряд конкретных заключений о виде введенных
выше универсальных функций при состояниях, близких к
нейтральной стратификации (2/L-»-0), а также в предельных
случаях сильной неустойчивости (z/L->—оо) и сильной
устойчивости (z/L->oo).
При нейтральной стратификации, имеющей место при
достаточно малых значениях |z/L|, ускорением плавучести в
уравнении (1.28) можно пренебречь. Система уравнений
приближения свободной конвекции (1.28) — (1.30) расщепляется, таким
образом, на две независимые подсистемы: (1.28), (1.29), с одной
стороны, и (1.30), с другой, так что температура играет роль
пассивной примеси. В результате из числа параметров,
определяющих турбулентный режим, выпадает величина |3. Из
оставшихся характеристик ы*, Н/срр и z составить
безразмерную комбинацию невозможно, т. е. рассматриваемый режим
оказывается автомодельным. В отношении формул (1.38) —
(1.40) это означает, что комбинация рН/срр, фигурирующая
в выражениях для L и £=2/L, в правых частях должна
сокращаться. Отсюда сразу следует, что при малых £ функции gUy
go и ga асимптотически ведут себя как £>~1 или, что эквива-

1.2.1. Общие выводы (теория подобия Монина — Обухова) 27
лентно, функции фи, Фе и фа стремятся к некоторым постоянным
значениям. Вспомним теперь, что выражение (1.38) содержит
постоянную Кармана к, о принципе определения которой пока
еще ничего не говорилось. Условимся выбирать ее таким
образом, чтобы выполнялось равенство
?Л0) = 1. (1.48)
При этом рассматриваемые выражения для градиентов примут
вид
ди___и*_ дЬ^ Т* дд __ д* (Л ш\
dz -xz ' dz ~ *0hZ ' dz - Jfr ' l1'**'
где ь°н и a^— безразмерные универсальные константы (того же
типа, что постоянная Кармана и), определяемые равенствами
a^a«<0) = W' "2> = в1><0> = *к- (L50)
Интегрируя соотношения (1.49), получаем обычные формулы
теории логарифмического пограничного слоя:
«(*a)-«(*i) = ^ln-j-J-,
e(^2)-e(^)=^ln^.,
f(*i)-?(*i) = -^ln-f. (1.51)
aD Zl
Коэффициенты турбулентного обмена в рассматриваемом
случае будут выражаться в виде
kM = kH!a°H = kD!a°D = ш*г. (1.52)
Пользуясь установленной выше асимптотикой функций gu(Z>) и
<хн(£) при малых £, мы можем записать следующие
асимптотические выражения для R/ и Ri:
R/==e°,RI=C. (1.53)
Наконец, разлагая функции фи(£)> Фе(£) и Фа(Е) (как мы
видели, не имеющие при £=0 особенностей) в ряды Маклорена и
ограничиваясь при малых £ первыми двумя членами, получаем
?,«= 1+р;с «р,=-V+кс *•=-тг+?& (i-54)
аН aD

28
1.2. Теория подобия
гДе Ри» Ре и Рл — безразмерные константы. Отсюда
непосредственно вытекают так называемые «логарифмические+линей-
ные» формулы для профилей
и (z2) - и (zl)=^.(\n .g.+р;-*^) ,
e(z2)-e(z1)=7-j'-L.in^- + p;i^.V
l(b)-l(*i) = 9*i-jrtof + Va^=^.\, (1.55)
указанные впервые Мониным и Обуховым (1953, 1954) и
предусматривающие учет гидростатической устойчивости при
стратификации, не слишком сильно отличающейся от нейтральной.
Отметим, что константы Р^, Ре и Ра, вообще говоря, могут быть
различными в положительной и отрицательной окрестностях
точки £=0. Общие соображения позволяют заключить только,
что все эти константы положительны. В самом деле, по мере
усиления неустойчивости турбулентный обмен
интенсифицируется, что должно приводить к выравниванию рассматриваемых
профилей. Отсюда следует, что поправки к логарифмическим
членам в скобках в правых частях формул (1.55) должны быть
отрицательными при £<0 и положительными при £>0. Это и
означает, что Р^ > 0, Ре > 0 и Ря > 0.
Заканчивая на этом обсуждение случаев нейтральной и
близкой к нейтральной стратификации, отметим, что формулы
типа (1.49), (1.51), (1.52), установленные впервые Карманом
(1930) и Прандтлем (19326) на ^основе полуэмпирической
теории пути смешения, получаются в данном случае как следствие
сформулированного выше основного принципа подобия.
Укажем еще, что вывод логарифмического закона для профиля
скорости, основанный на соображениях подобия и
автомодельное™, впервые был дан Изаксоном (1937).
Обратимся теперь к случаю очень сильной неустойчивости,
когда отношение z/L принимает большие отрицательные
значения. Воспользуемся тем, что условие z/L->—оо может быть
реализовано в результате неограниченного убывания скорости
трения и*, и будем интерпретировать рассматриваемое
состояние как режим чисто конвективной турбулентности, источником
энергии которой является потенциальная энергия неустойчиво
стратифицированной среды, освобождающаяся в форме работы
вертикальных пульсаций скорости. Это означает, что величина
и* должна выпадать из числа параметров, определяющих
рассматриваемый режим, который тем самым снова оказывается
автомодельным. Отсюда, в частности, следует, что функции

1.2.1. Общие выводы (теория подобия Монина — Обухова) 29
go (^) и ёа (С) ПРИ £-*•—°° должны иметь такую асимптотику,
чтобы величина и*, входящая в выражения для Г*, </*, L и t=
= zjL, в правых частях формул (1.39) и (1.40) сокращалась.
Очевидно, это возможно лишь при условии, что функции gB
и ga ведут себя как £~4/\ Далее, при £->■—со вследствие
автомодельное™ предельного режима отношение gu (С)/£е (С)
стремится к некоторому постоянному значению. По физическому
смыслу это значение должно быть конечным и в то же время
ненулевым *, и, следовательно, поведение функций gu (С) и gB (С)
в рассматриваемой области должно быть одинаковым. В
результате мы получаем следующие асимптотические выражения:
*. = -%-ГЧ Е.= -Ц-Г\ *. = -%Г\ (1-56)
где См, Се и Са — безразмерные константы (множитель 7з
введен здесь для удобства дальнейших записей). Соответствующие
формулы для профилей имеют вид
и (z2) - и <*) = - ^ «• (Ж)"* (г-v. _ *,-•/,),
в <*) - в <*) = ■£ Г'' (-£■)* fc* - «Г*'").
Далее, пользуясь соотношениями (1.56) или (1.57) и введя
обозначения
a— slim ая(С)=4^, а5- = Urn aD (С) = &- , (1.58)
нетрудно получить следующие выражения для коэффициентов
турбулентного обмена:
к - v«r - v«r - ч£ (*г Г** (1-59)
а также для чисел Ричардсона:
R, = a£-Rl = -7lc4 (1.60)
1 Хотя механическая продукция турбулентной энергии полагается
пренебрежимо малой, считать при этом, что средняя горизонтальная скорость
полностью отсутствует, вовсе не обязательно. Образно говоря, последняя играет
и данном случае роль как бы пассивной примеси. Напомним, что совершенно
аналогичная ситуация имела место при нейтральной стратификации, когда
мы не налагали требования изотермии, хотя и считали эффект плавучести
несущественным.

30
1.2. Теория подобия
Здесь снова следует отметить, что формулы типа (1.57),
(1.59), установленные впервые на основе специальных гипотез
Прандтлем (1932а), а затем из других соображений Обуховым
(1946), получаются как один из частных выводов теории
подобия Монина—Обухова для температурно-стратифицированной
среды.
Нам остается рассмотреть еще режим сильной устойчивости,
т. е. случай больших положительных значений z/L. Поскольку
архимедовы силы при этом препятствуют развитию пульсаций
скорости, турбулентный обмен между различными слоями
оказывается ослабленным. Более того, как уже указывалось
в п. 1.1.2, при значениях динамического числа Ричардсона,
превышающих критическое, турбулентность вообще вырождается,
т. е., иными словами, стационарный и однородный по
горизонтали турбулентный режим в приземном слое может иметь
место лишь при условии, что R/<R/ . Поскольку зависимость
кр
R/ от £ должна быть монотонной, отсюда следует, что при £->оо
величина R/ стремится к некоторому постоянному значению
R/ «< R/ (предельное и критическое значения R/, по-видимому,
можно считать совпадающими). Обозначив R7! = Pu, мы
получаем, таким образом, асимптотическое выражение
*.<0 = Р„ (1-61)
означающее, что при достаточно больших значениях £
динамическое число Ричардсона R/, градиент средней скорости ди/дг
и коэффициент турбулентной вязкости kM не зависят от
расстояния до подстилающей поверхности, а профиль средней
скорости является линейным. Далее, на первый взгляд естественно
предположить, что в условиях предельной устойчивости
турбулентность вообще носит локальный характер, т. е. что не
зависящими от 2, помимо R/ и км, являются и прочие ее
характеристики, такие, например, как коэффициент турбулентного
обмена для теплоты kH и коэффициент турбулентной диффузии kD.
Отсюда сразу получается
*.(«=Рв. *.(«=Р.. (1.61а)
где {Зе и ра — безразмерные универсальные константы,
ограниченность которых мы, правда, не можем гарантировать. Так
как ри<оо, условие ре<оо, ра<°° эквивалентно тому, что
lim <*//=£ 0, lim aD ф 0. Данные лабораторных " экспериментов,
а также измерений в море, однако, показывают, что при очень
сильной устойчивости величины ан или old (различий между

1,2.1. Общие выводы (теория подобия Монина — Обухова) 31
которыми, кстати, не обнаруживается) становятся чрезвычайно
малыми и достигают значений порядка нескольких сотых (см.
рис. 1.3, а также материалы работ Колесникова (1960), Элли-
сона (1962), Вебстера (1964) и др.). Кроме того, имеются и
физические соображения, подтверждающие, что в условиях
предельной устойчивости турбулентные движения частиц среды
способны обеспечивать вертикальный обмен импульсом, не
осуществляя в то же время переноса тепла или пассивной
примеси (см. Р. Стюарт (1959), а также гл. 4 в книге Монина и
/.5
f.OY-
0.5h
1 1
1 °
А >»
L N
Г N °
i \
° \ о
\>\°
!. о V
Ь \
I °Ч*> -О
° >^
>£
о
1 1
—1
•^•сх^^
1 "**" •"-
гп
о /
• 2
Ч
-1
—.<L.Jt ••!
10
-2

lorn Ri
Рис. 1.3. Зависимость ая=&о/£лг от Ri при устойчивой
стратификации
/ — лабораторные эксперименты Эллисона и Тэрнера (1960);
2 —измерения в море Дж. Тэйлора (обработка Праудмена (1953)).
Пунктирная кривая построена по формуле Эллисона, аналогичной
(1.158), при 0^=1,4 и о-Ю
Яглома (1965)). Таким образом, формулы (1.61а) не выводятся
строго в рамках теории подобия. Тем не менее, рассматривая
приземный слой атмосферы, эти формулы, вероятно, все же
можно использовать. Дело в том, что состояния, при которых
величины ан и а© оказываются существенно меньшими
единицы, здесь практически не реализуются (см. рис. 1.15,
а также данные Лилиеквиста (1957), соответствующие экстре*-
мальной устойчивости), тогда как режим с линейным профилем
скорости достигается уже при сравнительно небольших
значениях £. Отсюда понятно, что при надлежащем выборе констант
?о и ра выражения, вытекающие из формул (1.61а), должны
Давать неплохую аппроксимацию наблюдаемых профилей
температуры и влажности.

32
1.2. Теория подобия
Итак, используя (1.61) и (1.61а), получаем
U(zt)-u(zl) = b-^(zt-zl),
,-fi $*
q{zi)-q(zl) = $a*j-{z,-zl), (1.62)
а также
** = т-*«=-!г*1>=**•£• о-63)
?U ?U
Отметим, что формулы подобного типа были получены
впервые на основе полуэмпирической теории турбулентности
Обуховым (1946).
1.2.1.3. Подобие статистических характеристик
турбулентных пульсаций
Гипотезы автомодельности, с помощью которых были
получены асимптотические выражения для профилей средних
значений метеорологических элементов, с тем же основанием
применимы и при рассмотрении более сложных статистических
характеристик турбулентности, таких, например, как средние
квадратичные пульсации компонент скорости, температуры и
влажности ав = 1/"«Я, av = W2, ада="К^7"2, о^КР^
ж V 0'2, aq = У q'2, средняя скорость диссипации
турбулентной энергии г — v [ди'.'дх^ (ди'^дх^, средние скорости
выравнивания температурных неоднородностей N=xH{dT'/dXi) (dT'/dXi)
и неоднородностей в поле влажности Nq=%D(dq'/dXi) (dq'/dxi),
продольные составляющие горизонтальных турбулентных
потоков тепла Н\=срри'Т и влаги Ei=pu'q' и т. п. Иными словами,
универсальные функции аргумента £, определяющие, согласно
основному принципу подобия, безразмерные отношения типа
tfu/w*, Ovlu*, oju., ат/|7\>|, V|<7*|, eL/ul NL/a«7?f NqL/u.ql
#i/#, EJE, в предельных случаях нейтральной стратификации,
сильной неустойчивости, а с известным ограничением общности и
сильной устойчивости могут быть конкретизированы вполне
аналогично тому, как это делалось при выводе формул (1.51),
(1.57), (1.62) (см., например, Обухов, 1960).
Отметим, что, в отличие от- поперечных составляющих #2 =
= cppv'T' и E2 = pv'q', равных нулю вследствие очевидных

1.2.1. Общие выводы (теория подобия Монина—Обухова) 33
свойств симметрии рассматриваемого статистического режима,
продольные составляющие турбулентных потоков тепла Н\ и
влаги Е\ считать равными нулю нет оснований. В книге Монина
и Яглома (1965), в частности, было указано, что поток Н\
должен быть отрицательным (направленным против ветра) при
неустойчивой стратификации и положительным при устойчивой
(см. также п. 1.2.4.3). Иными словами, отношение Н{/Н всегда
должно быть отрицательным. То же самое можно сказать и об
отношении Е\/Е. Заметим, что сказанное выше о потоке Н\
подтверждается и экспериментальными данными, полученными
Зубковским и Цвангом (1966) и Зубковским (1967).
Рассматриваемая теория подобия применима и к описанию
локальной структуры атмосферной турбулентности. Основные
следствия автомодельности турбулентного режима в приземном
слое воздуха, касающиеся спектров в области не слишком
высоких частот или больших волновых чисел (т. е. за пределами
интервала диссипации), структурных функций на не слишком
малых расстояниях, а также распределений вероятностей для
пульсаций, указаны в работах Монина (1958, 19596, 1962а, б).
Подробное изложение этих вопросов имеется в гл. 5 книги
Ламли и Пановского (1964) и в § 23 книги Монина и Яглома
(1967). Учитывая это, мы ограничимся обсуждением в основном
временных спектров скоростей и температуры, наиболее хорошо
изученных экспериментально.
В приземном слое воздуха пульсации скоростей иь и температуры V
в фиксированной точке пространства допустимо считать стационарными слу-
чайными процессами. Тогда корреляционные функции ut (t0) Uj (t0 -f t)
T'('o)7v(*o+0 и u\ (t0) T' (t0 -f- t) будут зависеть только от t Обращения
Фурье этих функций Stj(я), ST(n) и Sir (л), определяемые формулами типа
1 +«>
<• ('о) "/'о+ *) = -£- J *£2*л%(л)<*/2,
—оо
+ оо
Sij (п) - 2 J е~12Ш и\ (tb) и] (t0 + t)dt,
— оо
представляют собой соответственно тензор спектральной плотности
турбулентной энергии, спектральную плотность температурных пульсаций- и вектор
взаимной спектральной плотности величин и/ и Т, пропорциональный
вектору спектральной плотности турбулентного потока тепла. Очевидно, что
диагональные компоненты тензора S*j (которые мы будем иногда обозначать
также буквами SttesS,b 5в=5г2, 5^«5зз) и спектральная плотность ST
являются вещественными функциями. Дисперсии скоростей о2и = а2{, о2у = аН
2 _ 2 2
Qw = °з и температуры сг выражаются через эти функции по формулам
во ОО
а2. = f Su (л) dn, o2T= f ST (п) dn.
о о

34
1.2. Теория подобия
Взаимные спектры Sa при '\.ф\ и SiTt вообще говоря, комплексны; их
вещественные части называют коспектрами (или просто взаимными
спектрами), а мнимые — квадратурными спектрами.
Поскольку рассматриваемые поля статистически однородны по
горизонтали, мы можем в фиксированный момент времени в фиксированной
горизонтальной плоскости определить пространственные корреляционные функции
и спектры так. же, как это было указано выше, заменив время / векторным
смещением r=irx+jry и соответственно частоту п волновым вектором к =
=ikx+ikv. В частности, таким образом можно ввести спектральные
плотности энергии £ij(k) и температуры £г(к) и взаимную спектральную
плотность скоростей и температуры £*т(к). В случае изотропности
рассматриваемых полей указанные корреляционные функции и спектры будут зависеть
лишь от модулей смещения и волнового вектора г и k.
Строгое изложение вопросов спектрального анализа стационарных к
однородных случайных полей имеется в работах Колмогорова (1947) и
Яглома (1952, 1957). Практические приемы определения спектров по
эмпирическим данным подробно излагаются в книге Блэкмена и Тьюки (1958).
Рассмотрим общий вид временных спектров турбулентности
в приземном слое воздуха. Используя так называемую гипотезу
замороженной турбулентности Дж. Тэйлора (1938), мы можем
переходить от частот п к волновым числам kXt считая
последние равными n/Uy где и — средняя скорость ветра. Вследствие
автомодельности режима не слишком мелкомасштабных
компонент турбулентности безразмерные комбинации, например, типа
nSij(n)/uZ, nST(n)/Tl, nSiT(ri)l(Hjcvp)y при не слишком
больших п оказываются универсальными функциями от двух
аргументов — безразмерного волнового числа nz/u и параметра
стратификации £ (разумеется, вместо £ можно использовать
числа Ричардсона R/ или Ri). Из этого, в частности, следует,
что те или иные характерные частоты /г, соответствующие
спектральным максимумам, низкочастотным границам
инерционного интервала и т. п., будучи приведены к безразмерному виду
nz/u, зависят только от £. Отметим еще, что общие выражения,
аналогичные указанным выше, справедливы, например, для
спектров пульсаций влажности и ее взаимных спектров с
компонентами скорости.
Теория подобия позволяет сделать ряд конкретных выводов
о форме спектров при различной стратификации. В качестве
примера рассмотрим спектральную плотность вертикальных
пульсаций скорости Sw=Szz- Согласно изложенному выше, она
может быть выражена через некоторую универсальную
функцию Qw в виде
*.<•>-£•«.(=■ 4
Выпишем еще следующую формулу для частоты nw,
соответствующей, скажем, спектральному максимуму:

1.2.1. Общие выводы (теория подобия Монина — Обухова) 35
где $flw— еще одна универсальная функция от • одного
аргумента. При нейтральной стратификации £=0 и 9flw=const.
Отсюда следует, что с ростом высоты (поскольку отношение u/z
убывает) спектральный максимум и другие характерные точки
спектра смещаются в область более низких частот. При сильной
неустойчивости (£->-—оо) турбулентный режим не зависит от и*.
Это означает, что асимптотически 6w~|C|a/e и ?llw~const
(вследствие чего снова спектральный максимум с ростом
высоты смещается к более низким частотам). Наконец, если
предположить, что в случае сильной устойчивости из формул теории
подобия выпадает высота z, то асимптотически получается
9}w~£;; при этом с ростом высоты максимум спектра смещается
не к низким, а к высоким частотам.
Особенно детальные выводы о форме спектров получаются
в области частот, соответствующей инерционному интервалу.
Напомним, что согласно теории локально-изотропной
турбулентности Колмогорова (1941), при очень больших числах Рей-
нольдса существует интервал волновых чисел, в котором
энергоснабжение и диссипация практически отсутствуют и
имеет место только инерционный перенос от меньших волновых
чисел к большим (т. е. от более крупных вихрей к более
мелким). В этом интервале спектр энергии изотропен и не зависит
от вязкости, а следовательно, определяется единственным
параметром — потоком энергии по спектру, как нетрудно понять,
равным скорости вязкой диссипации энергии е. При этом для
пространственного спектра любой из компонент скорости £«(£)
(в силу изотропии зависящего от модуля волнового вектора к)
из соображений размерности следует «закон пяти третей»
Переходя с помощью гипотезы замороженной турбулентности
к временному спектру, находим
5||(л)~(е«)'/'я"\ ^
Сравнивая эту формулу с выписанным выше общим
представлением спектра Sw, для универсальной функции <ZW получаем
выражение
(разумеется, такие же выражения справедливы и для
безразмерных спектров других компонент скорости).
Аналогичным образом в области пересечения инерционных
интервалов для энергии и температуры, где несущественны ни
вязкая диссипация, ни термическая, конкретизируется и вид
температурного спектра. Согласно Обухову (1949) и Корсину

36
1.2. Теория подобия
(1951), этот спектр здесь изотропен и определяется только
двумя параметрами — скоростью диссипации энергии е и
скоростью выравнивания температурных неоднородностей N,
вследствие чего выражается в виде
т. е. снова по «закону пяти третей». Переход от
пространственного спектра к временному снова может быть произведен с
помощью гипотезы замороженной турбулентности.
Что касается взаимных спектров различных компонент
скорости и компонент скорости и температуры, то в инерционном
интервале вследствие локальной изотропии они обращаются
в нули.
1.2.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТМОСФЕРЫ
С ПОВЕРХНОСТЬЮ СУШИ
До сих пор мы имели дело только с разностями средних
значений скорости, температуры и влажности на двух уровнях
в приземном слое атмосферы. Переходя к рассмотрению самих
этих значений, необходимо в той или иной форме учесть
процессы, протекающие в непосредственной близости к
подстилающей поверхности, которую будем пока считать твердой.
Специфика взаимодействия атмосферы с водной поверхностью
будет обсуждаться отдельно в п. 1.2.3.
Давая определение приземного слоя атмосферы, мы уже
говорили о том, что подстилающая поверхность считается ровной
и однородной.
Конкретизируем теперь это требование, условившись, что
максимальный масштаб в спектре имеющихся неровностей мал
по сравнению с толщиной приземного слоя. В этом случае при
описании интересующих нас процессов динамического
взаимодействия, а также тепло- и влагообмена, характеризуя
подстилающую поверхность определенной структуры, в первом
приближении допустимо ограничиться одним параметром, скажем,
средней высотой неровностей /i0.
Напомним, кроме того, что в самом нижнем слое воздуха
пренебрегать молекулярными эффектами нет оснований, и,
следовательно, при составлении критериев подобия здесь должны
учитываться параметры v, %н или %D. (Отметим попутно, что
больших различий между коэффициентами %н и %D в воздухе
не обнаруживается; поэтому в тех случаях, когда это требуется,
их можно отождествлять.) Далее, пользуясь тем, что на малых
высотах эффект гидростатической устойчивости несуществен
(отношение \zjL\ мало, так как мал числитель), стратифика-

1.2.2. Взаимодействие атмосферы с поверхностью суши 37
цию здесь всегда можно считать нейтральной. Это обстрятель-
ство позволяет, не уменьшая общности, ограничиться
рассмотрением взаимодействия атмосферы с подстилающей
поверхностью лишь для случая нейтральной стратификации.
Из сказанного выше следует, что характеристики поля
скорости вблизи подстилающей поверхности, а значит, и средние
значения скорости на любом уровне определяются
параметрами w*, v и Ао- При рассмотрении же разностей 8 — 93 или q —
—q8> где 88 и q8 — средние значения потенциальной температуры
и удельной влажности в точках непосредственного
соприкосновения воздуха с подстилающей поверхностью,1 мы должны
к числу указанных параметров добавить соответственно
величины Н/срр и X// или Е/р и %D (напомним, что речь идет о
нейтральной стратификации). Таким образом, введя обозначения
A, = v/«, (1.64)
для масштаба толщийы вязкого подслоя, а также
Re0 = A0/Av = h0ujv, Рг = v/x„, Sc = v/xD (1.65)
для числа Рейнольдса поверхности, числа Прандтля и числа
Шмидта, общие выражения для рассматриваемых профилей
можно записать в следующем виде:
* = ^4i'Re°)' ' (L66>
6-e,= r*Oe(-|-,Re0, Рг), (1.67)
q-qs= ?*Фа (^ , Re0, Sc) , (1.68)
где Фи, Фе и Фа — безразмерные универсальные функции,
причем зависимости Фе от числа Прандтля Рг, а также Фа от числа
Шмидта Sc (называемого также диффузионным числом
Прандтля), интересовать нас не будут, так как оба эти
аргумента в атмосфере фактически являются фиксированными
константами (совпадающими между собой и близкими к единице).
Отметим, что для среднего профиля любой пассивной примеси а,
поле которой статистически стационарно и однородно по
горизонтали, имеет место выражение, в точности совпадающее
с (1.68) при замене в последнем q, q8 и q* соответственно на а,
as и а*.
ш 1 Величину 9« можно считать совпадающей с температурой
подстилающей поверхности Т». Точнее, связь между ними выражается формулой
®х=Т9(р0/р) * 'Р, где Ро=1000 мб — нормальное давление и р —
наблюдаемое атмосферное давление.

38 1.2. Теория подобия
Теперь перейдем к конкретизации вида функций Фи, Фе
и Фа, имея ввиду их зависимость от безразмерной высоты z/h0
и числа Рейнольдса Reo в логарифмическом пограничном слое,
т. е. в области высот, в которой справедливы формулы (1.51).
Поведение указанных функций при очень малых z обсуждаться
далее не будет; сведения о структуре нижнего подслоя
потребуются нам только в форме некоторых интегральных
характеристик типа коэффициентов сопротивления, теплопередачи
ит. п.1 Отметим сразу, что в числе параметров, определяющих
гидродинамические поля вблизи подстилающей поверхности,
имеются два независимых масштаба длины /i0 и Ли первый из
которых характеризует высоту неровностей подстилающей
поверхности, а второй — толщину слоя, в котором существенную
роль играет молекулярный обмен (поскольку Pr«Sc«0,72,
пропорциональные hv масштабы %н/и11 и %0Ы* отдельно
учитывать не нужно). Интересующий нас автомодельный режим
с логарифмическими профилями скорости, температуры и
влажности будет иметь место на высотах, значительно
превышающих наибольший из указанных масштабов.
>
1.2.2.1. Динамическое взаимодействие
Используя первое из соотношений (1.51) и общее
выражение (1.66), профиль скорости в автомодельной области можно
лредставить формулой
и = -!^\п—, (1.69)
фигурирующий в которой так называемый параметр
шероховатости 20, имеющий размерность длины, зависит только от Reo,
т. е. выражается в виде
z0 = h0P0(Re0), (1.70)
тде Ро — безразмерная универсальная функция.
Как видно из формулы (1.69), установление величины z0
вполне эквивалентно установлению основной характеристики
динамического взаимодействия — коэффициента сопротивления
Cf = ^ = [v-J> <1J1>
1 Подробное изложение основных результатов и обзор литературы по
затрагиваемым здесь вопросам имеется, например, в книгах Лойцянского
(1941), Шлихтинга (1951), Таунсенда (1956), Левича (1959), Хинце (1959),
Монина и Яглома (1965), а также в обзорных статьях Дейслера (1959),
Шубауэра и Чена (1959), Лойцянского (1962), Ротта (1962), Кестина и
П. Ричардсона (1963). Из работ последнего времени см., например, Ханратти
<1967), Бэйквел и Ламли (1967).

1.2.2. Взаимодействие атмосферы с поверхностью суши 39
где U — значение средней скорости на некотором стандартном
уровне. В связи с этим имеются два возможных способа
экспериментального определения параметра шероховатости: по
коэффициенту сопротивления (т. е. на основе независимых
измерений и* и U) и по профилю скорости (т. е. по измерениям
средней скорости не менее чем на двух уровнях, поскольку
такие данные позволяют исключить и*). Заметим сразу, что оба
указанных способа приводят к хорошо согласующимся
результатам.
Перейдем к обсуждению вида функции Ль поведение
которой в случаях очень малых М очень больших значений аргумента
может быть установлено из общих соображений.
При Reo<s;l подстилающая поверхность может
рассматриваться как динамически гладкая, так как ее неровности
оказываются полностью погруженными в вязкий подслой. Это
означает, что величина А0 выпадает из числа определяющих
параметров. Функция А» таким образом, должна вести себя,
как Reo~\ а формула (1.70) принимает вид
z0 = m0vlu*y (1.72>
где ш0 — безразмерная константа. Этот результат прекрасна
подтверждается экспериментальными данными, хотя оценки
основных характеристических констант, получаемые в разных
опытах, несколько различаются. В качестве примера сошлемся
на выполненные Никурадзе (1933) измерения течений воды
в круглых трубах, согласно которым режим, описываемый
формулами (1.69), (1.72),имеет место при условии Re0<4 в области
высот z>30ftv, причем т0«0,1.
Отметим, что в приземном слое атмосферы рассмотренная
выше ситуация практически не реализуется. В самом деле,
значения скорости трения имеют здесь порядок от 10 до 100 см/сек
(см. рис. 1.38). Поскольку для воздуха v«0,13 см2/сек,
получаем, что Av не превосходит одного-двух миллиметров. Высота
же неровностей почвы практически всегда измеряется не менее
чем сантиметрами.
Характерным для метеорологии является другой предельный
случай (динамически^вполне шероховатой поверхности),
имеющий место при условии Reo^l. Течение вблизи поверхности
формируется здесь совокупностью турбулентных вихрей,
образующихся при обтекании отдельных неровностей. Естественно
заключить, что профиль средней скорости при этом не будет
зависеть от кинематического коэффициента вязкости v. Иными
словами, при больших значениях аргумента функция Р0 должна
стремиться к некоторому постоянному значению. Обозначив
это значение через ти таким образом, получим
z0 = rn1h0. (1.73)

40
1.2. Теория подобия
Закон, выражающийся формулами (1.69), (1.73), также
подтверждается экспериментальными данными. Сошлемся снова на
полученные Никурадзе (1933) результаты измерений течений
воды в трубах (с неровностями стенок, представляющими собой
тесно прилегающие друг к другу песчинки), согласно которым
поверхность является вполне шероховатой при Reo>60, а т\
составляет примерно 0,03, причем логарифмический закон для
профиля скорости выполняется начиная со значений г, в
несколько раз превышающих h0. Измерения дают возможность
установить вид функции PoCReo) и в промежуточной области
(рис. 1.4). Однако кривые подобного типа (за пределами
# п ''О
*,в
1,6
1*
1.2
1Л
И
/
/
с
&
т
вд
- ш
•*
р<*
»«*
2М
MQEbj
Wn!
L-UI
■—"и
• Ow
It It
^г^г
о2
—£—
>v
0,2
0,6
1fi
1.Ь
1,8
2,2 2,6
3,0lgRe0
Рис. 1.4. Вид функции z0lho=P0(Reo) по измерениям Никурадзе (1933)
в круглых трубах с однородной песочной шероховатостью
/ — по сопротивлению, 2 — по распределению скоростей
области динамической гладкости) оказываются существенно
зависящими от характера неровностей подстилающей
поверхности. Так, например, по измерениям в пограничных слоях над
пластинками значение Re<>, при котором происходит переход
к режиму вполне развитой шероховатости, в зависимости от
характера неровностей колеблется от 30 до 100. Весьма
изменчивым оказывается и коэффициент пг\. В частности, измерения
в приземном слое атмосферы над поверхностью, покрытой
травой, приводят к значению пги близкому к 0,1.
В связи со сказанным понятно, что динамические свойства
поверхности удобно характеризовать, задавая не среднюю
высоту ее неровностей, а так называемую высоту эквивалентной
песочной шероховатости, определяемую как высота неровностей
стенки, покрытой песчинками, которой при одинаковом ы*
отвечает тот же логарифмический профиль средней скорости, что и
над рассматриваемой поверхностью. Таким образом, если
понимать под Л0 именно высоту эквивалентной песочной шерохова-

12.2. Взаимодействие атмосферы с поверхностью суши 41
тости, то можно надеяться, что формулы типа (1.70) (но отнюдь
не (1.66) — (1.68)) окажутся универсальными в том смысле, что
стоящие в правых частях функции не будут зависеть от формы
и расположения неровностей. Отметим, что теория гарантирует
здесь универсальность только асимптотических
участков-функции A)(Reo), соответствующих прямым линиям на рис. 1.4.
В тех случаях, когда заранее известно, что поверхность
является вполне шероховатой (например, в атмосфере над
сушей), особенно удобной характеристикой является предельное
значение параметра шероховатости. Связь между этой
величиной и высотой эквивалентной песочной шероховатости (при
очень больших размерах неровностей являющаяся, разумеется,
формальной, поскольку опытов- с очень большими «песчинками»
не производилось), выражается формулой (1.73) при mi=0,03.
Сведения о шероховатости подстилающей поверхности для различных
типов ландшафта имеются, например, в книгах Сеттона (1953), Пристли
(1959), Лайхтмана (1961), Константинова (1963а), Ламли и Пановского
(1964), в обзорных статьях Блэкедара (1960), Леттау (1967) и т. д. Сводка
типичных значений г0 приведена в табл. 1.1, при составлении которой,
помимо указанных источников, использованы данные работ Бызовой и
Машковой (1966) и Пановского и др. (1967), а также сообщение Л. Р. Орленко
Таблица 1.1
Характерные значения параметра шероховатости
для различных естественных поверхностей
(02 — скорость ветра на высоте 2 м)
Тип поверхности
z0 см
Очень гладкая снежная или ледяная поверхность
Гладкий снег на невысокой траве
Пустыня (Пакистан)
Снежная поверхность при наличии кустарника
Скошенная трава высотой 1,5 ел*
высотой 3 см
высотой 4,5 см при U2 — 2 м\сек
при U\ = 6—8 м\сек
Высокая трава (60—70 см) при U2= 1,5 м\сек
при £/а = 3,5 м\сек
при U2 = 6,2 м\сек
Неоднородная поверхность с чередующимися участками,
покрытыми травой, кустарником, деревьями и т. п., по
измерениям на мачтах в Обнинске (Калужская область)
и в Раунд-Хилле (Южный Дартмут, Массачусетс) . . . .
Парк в Павловске (Ленинградская область)
Дубовая поросль со средней высотой деревьев около 10 м
по измерениям на мачте в Брукхевене (Нью-Йорк) . . .
Город с высокими зданиями, по измерениям на
телевизионных мачтах в Ленинграде и Новосибирске
-0,001
0,005
0,03
0,1
0,2
0,7
2,4
1,7
9,0
6,1
3,7
-10
-50
Л 00
-100

42
1.2. Теория подобия
о величинах z0, измеренных на телевизионных мачтах в Ленинграде и
Новосибирске. Из таблицы, в частности, видно, что при высокой траве параметр
шероховатости зависит от средней скорости ветра. Объясняется это
изменением формы неровностей вследствие пригибания стеблей к земле. Заметим,
впрочем, что требования к точности определения z0 обычно невелики, так что
указанный эффект, как правило, можно не принимать во внимание.
В связи с оценкой величины z0t приведенной в первой строке таблицы,
напомним, что эффективная шероховатость очень гладких поверхностей
актически должна рассчитываться по формуле (1.70) с учетом зависимости
o(Reo). Помимо приведенных выше результатов лабораторных
экспериментов, данные об этой зависимости, полученные путем микрометеорологических
измерений, имеются в работах Шеппарда (1947), Дэлримпла, Леттау и Вола-
стон (1963), Бэрри и Манна (1967).
В дополнение к таблице приведем еще эмпирическую формулу \gz0=
=—1,24+1,291 gh0, полученную Кангом (1961) по измерениям профиля ветра
над различными типами растительного покрова, в соответствии с которой
отношение zQ/hn принимает значения от 0,2 и 0,1 соответственно в случае
высоких деревьев и травяного покрова до 0,03 при песочной шероховатости.
Укажем также работу Куцбаха (1961), в которой исследовалась зависимость
z0 от расстояния между отдельными неровностями, представляющими собой
корзины примерно цилиндрической формы высотой /г0=30 см и диаметром
около 40 см, равномерно расположенные на гладкой ледяной поверхности.
Полученная Куцбахом зависимость может быть представлена в виде (см.
Леттау, 1967) z0«0,5/in/i, где л —отношение площади отдельной неровности
к общей площади участка подстилающей поверхности, приходящегося на
одну неровность.
Заканчивая обсуждение случая шероховатых поверхностей, отметим
имеющую здесь место неопределенность выбора начала отсчета высот,
которое, вообще говоря, может быть установлено более или менее произвольно
в интервале между основаниями и вершинами неровностей. Разумеется, при
2>Л0 этот произвол не играет роли, однако нижняя граница области с
логарифмическим профилем может зависеть от того, насколько удачно
фиксировано начало отсчета. В условиях атмосферы это обстоятельство иногда
оказывается существенным, поскольку здесь может представлять интерес
интерпретация данных измерений скорости на высотах, лишь незначительно
превышающих п0. В таких случаях формулу (1.69) записывают в виде
и = ^1п-1±£4_, (1.69а)
/- Zq
где Zd — так называемая высота вытеснения, причем здесь уже z
отчитывается от основания неровностей. Надлежащий выбор параметра Zd (очевидно,
так же как и z0f пропорционального высоте неровностей h0) позволяет при
этом добиться расширения области применимости формулы (1.69а) в сторону
малых z. Данные о значениях высоты вытеснения для некоторых типов
поверхности имеются в работах Пешке (1936), Колдера (1949), Константинова
(1952, 1963а, б), Леттау и Дэвидсона (1957), Леттау (1967), Эллена (1968),
согласно которым при высокой растительности Zd обычно заключено между
Л0/2 и h0.
1.2.2.2. Теплопередача и диффузия
Рассматривая процессы тепло- и влагообмена, мы будем
исходить из формул (1.67), (1.68), полученных в
предположении о стационарности, предусматривающем, в частности,
лостоянство во времени потоков Н и £, а также значений тем-

1.2.2. Взаимодействие атмосферы с поверхностью суши 4$
пературы 08 и влажности q8 на нижней границе атмосферы. Как
уже указывалось, нас будет интересовать только область
автомодельного режима. Учитывая, что в этой области профили
должны удовлетворять формулам типа (1.51), общие
выражения (1.67), (1.68) можно конкретизировать здесь, например,,
следующим образом:
g-qs = 4o + ^>\ni-> (1.74)
aD *о
где z0 — уже рассматривавшийся вадше параметр
шероховатости, а 69о и 6<7о — новые параметры, не зависящие от z и,
следовательно, выражающиеся в виде
860=7V>e(Re0, Рг),
Цо = д*Ра№<» Sc). (1.75>
Здесь Рв и Ра — безразмерные универсальные функции,
определение которых эквивалентно определению коэффициентов
теплопередачи и диффузии (т. е. теплового и диффузионного
чисел Стэнтона х) типа
где £/, 6i и <7i — значения средней скорости, температуры к
удельной влажности на некотором стандартном уровне.
Напомним, что в формулах (1.74) —(1.76) вместо
характеристик удельной влажности q, q8, 6q0i q*, E и q\ могут
фигурировать аналогичные характеристики любой другой пассивной
примеси. Отметим, кроме того, что в обсуждаемой ситуации
температура фактически тоже может рассматриваться как
пассивная примесь. Во всяком случае, для воздуха больших
различий между величинами Рг и Sc, а также и между сн и С]>
не обнаружено. Таким образом, по-видимому, можно считать^
что функции Рв и Ра совпадают.
Следует подчеркнуть, что здесь снова можно надеяться, что
функции Рв и Ра в первом приближении не будут зависеть от
формы и расположения неровностей стенки, если под Л0
понимать высоту эквивалентной песочной шероховатости или вообще
1 Когда речь идет о влагообмене, диффузионное число Стэнтона
называют также числом Дальтона.

44
1.2. Теория подобия
какую-нибудь величину, пропорциональную предельному
значению параметра шероховатости.
Рассмотрим сначала случай гладкой поверхности, когда,
Reo<l. При значениях числа Прандтля, не слишком сильно
отличающихся от единицы, это условие обеспечивает не только
наличие развитого вязкого подслоя (т. е. динамическую
гладкость), но и развитого подслоя чисто молекулярного обмена
теплом и влагой. Таким образом, величина h0 здесь выпадает
из числа определяющих параметров, в результате чего
формулы (1.75) принимают вид
890 = тьТ*, 8<7о = maq*, (1.77)
где шв и ша — безразмерные величины, зависящие
соответственно от чисел Прандтля Рг и Шмидта Sc, т. е. для
определенной среды, скажем, для воздуха, являющиеся константами.
Поскольку в атмосфере числа Прандтля и Шмидта близки
к единице, и, кроме того, как мы увидим далее, а°И ^ 1 и a°D ^ 1,
для грубой оценки те и та можно воспользоваться аналогией
Рейнольдса, т.1 е. соотношением cH=cD=Cfy в подобных случаях
удовлетворительно согласующимся с экспериментальными
данными (см. Дипри и Саберский, 1963). Отсюда сразу получаем
тпь =/яа = 0, причем формулы (1.74) принимают вид
e-e, = l£lnf-f . q-q^%\nJLm (i.74a)
*Я Z° aD 2°
Следует, однако, помнить, что использовать указанный
результат (как это обычно делается) в условиях приземного слоя
атмосферы, когда поверхность, как правило, является вполне
шероховатой, нет никаких оснований. Дело в том, что аналогия
Рейнольдса, основанная на предположении о тождественности
механизмов переноса тепла (или пассивной примеси) и
импульса, в случае вполне шероховатых поверхностей заведомо
неприменима, так как обмен импульсом, как мы видели, не
зависит здесь от вязкости, тогда как теплопередача и диффузия
всегда существенно регулируются молекулярным переносом
(в рамках нашей модели при X//=Xd=° тепло- и влагообмен
между воздухом и подстилающей поверхностью вообще не
должен иметь места). По этой же причине в случае шероховатых
поверхностей, т. е. при больших значениях Re0, конкретных
заключений о поведении функций Рв и Ра из общих
соображений сделать не удается. Разумеется, остается возможность
определения рассматриваемых характеристик эмпирическим*
путем. Примерами подобного рода оценок для атмосферы над
сушей является работа Бэрри и Манна (1967), в которой
коэффициент диффузии, аналогичный величине cD второй из фор-

1.2.2. Взаимодействие атмосферы с поверхностью суши 45
мул (1.76), рассчитывался по измерениям концентраций и
потоков радиоактивных газов над поглощающей их снежной
поверхностью и затем представлялся в виде функции от
безразмерной комбинации u*2o/v, а также аналогичные работы
Чемберлена (1966, 1968), в которых измерения проводились,
в частности, над травяным покровом. Более определенную
информацию, в том числе и в области чисел Рейнольдса Re<),
характерных для приземного слоя атмосферы, позволяют
получить данные лабораторных экспериментов (см. Оуэн и Томсон,
1.2 А-^ . . , ,
-0,2* 1 1 1 I
' 2,0 2,5 3,0 J.5 bgRt0
Рис. 1.5. Эмпирические данные о зависимости
6e0/r.=Pe(Reo)
/ — Нуннер (1956), круглая труба, элементы шероховатости —
шайбы различной формы и толщины. Рг —0,72; 2 — Пинкел
(1954), круглая труба, спиральные шайбы, Рг —0,72; 3 — Ланцет
(1969), канал, пирамидальные выступы, Рг-0,72; 4 — Дипри
(1961), круглая труба, однородная песочная шероховатость.
Рг-1,2
1963; Дипри и Саберский, 1963; и др.). Сводка полученных
разными авторами эмпирических данных о зависимости Pe(Re0)
(где в выражении Reo=w*Ao/v под h0 понимается высота
эквивалентной песочной шероховатости) при интересующих нас
значениях числа Прандтля приведена на рис. 1.5, материал для
которого взят из работы Оуэна и Томсона (1963). Принимая за
основу проведенную на графике среднюю прямую, мы можем
представить рассматриваемую эмпирическую зависимость
формулой
Pe = 0,2Reg'45. (1.78)

46
1.2. Теория подобия
За неимением других сведений эту формулу приходится
рекомендовать и для расчета теплопередачи между земной
поверхностью и атмосферой. При этом в качестве высоты
эквивалентной песочной шероховатости h0 в первом приближении,
по-видимому, можно использовать предельное значение
параметра шероховатости z0, умноженное на 30. При всей
сомнительности подобной рекомендации в условиях естественной
шероховатости использование формулы (1.78) представляется
здесь все же более обоснованным, чем пренебрежение
величиной б0о.
Следует подчеркнуть, что вопрос об определении
величины 60о с точки зрения физики атмосферы вовсе не лишен
интереса. В самом деле, во многих задачах динамической
метеорологии, в которых учитывается теплообмен между
атмосферой и почвой, используется условие теплового баланса на
подстилающей поверхности, т. е. равенство
H+£E + F + TI = 0, (1.79)
где X— скрытая теплота конденсации; Я и Е — вертикальные
потоки тепла и влаги в атмосфере; F — поток радиации; П —
поток тепла, направленный в почву. Поскольку длинноволновая
компонента восходящего радиационного потока
пропорциональна четвертой степени температуры поверхности, понятно,
что требования к точности определения последней весьма
велики. При этих условиях использование общепринятой в
метеорологической литературе первой из формул (1.74а) может
приводить к самым неожиданным погрешностям. Таким
образом, эмпирическое определение функции Ре или другой
эквивалентной характеристики теплопередачи при движении воздуха
над шероховатой поверхностью в естественных условиях
является весьма актуальной задачей (см. Монин и Зилитинкевич,
1969). Следует, однако, подчеркнуть, что получение
необходимых данных о средней температуре подстилающей поверхности
осуществить не просто из-за существенной изменчивости этой
температуры, вызываемой, в частности, наличием широкого
спектра неоднородностей альбедо. Поэтому здесь скорее всего
было бы удобно использовать дистанционные измерения,
основанные на регистрации восходящего потока длинноволновой
радиации.
Как уже отмечалось, функцию Ра, по-видимому, можно
считать совпадающей с Яе. Однако с точки зрения расчетов вла-
гообмена между атмосферой и подстилающей поверхностью
практический интерес к этой функции не так велик. Дело в том,
что над сушей среднюю удельную влажность воздуха в
непосредственной близости к подстилающей поверхности (qs) опре-

1.2.3. Специфика приводного слоя воздуха
47
делить весьма трудно. Поэтому в метеорологии вторую из
формул (1.74) в большинстве случаев используют в виде
q-rQqm(T„p)=-2±-ln-±, (1.80)
где qm(Ts, р) —максимальная удельная влажность при
температуре подстилающей поверхности Ts и атмосферном давлении р,
г Го — задаваемый параметр, интерпретируемый обычно как
относительная влажность у подстилающей поверхности, но
фактически учитывающий и наличие члена 6<7о-
Фигурирующая в формуле (1.80) функция qm(T, р) имеет вид
ЧшЪр)-£•-¥-, (1.81)
где R и Rw—удельные газовые постоянные воздуха и водяного пара;
е(Т) —парциальное давление насыщенного водяного пара при температуре Т.
Последняя зависимость определяется уравнением Клаузиуса — Клапейрона
de Ж dT /Л оОЧ
— = ;v?t?. (182)
нз которого в свою очередь следует
. т_т 8,62 (Г-П)
е(Т) = е0ехр(А*ТоТ /nj~V10 т -, (Ш)
где 70=273°; ео—е(Г0)=6,1 мб. Чаще, однако, используется эмпирическая
формула Магнуса, имеющая вид
7,45ft
е(Т) = в0.10235+*. (1.83а)
где Ъ=Т — То — температура в градусах Цельсия. Пояснения к формулам
(1.81)—(1.83а) см., например, в книгах Белинского (1948), Тверского (1962)
или подробнее в книге Ван Мигема и Дюфура (1948).
1.2.3. СПЕЦИФИКА ПРИВОДНОГО СЛОЯ ВОЗДУХА
1.2.3.1. Теория подобия для случая
полностью развитого волнения
Рассматривая атмосферу над океаном, необходимо принять
во внимание особенности процессов обмена вблизи
взволнованной и движущейся водной поверхности, динамические
характеристики которой существенно определяются внешними
условиями. Заменяя на этот раз среднюю высоту неподвижных
неровностей Л0 средней высотой волн Атг, мы снова могли бы
воспользоваться для профилей скорости ветра, температуры и

48
1.2. Теория подобия
влажности общими выражениями типа (1.65) —(1.68), однако
функции, стоящие в правых частях, теперь уже не будут
универсальными. В самом деле, помимо средней высоты волн
существенными характеристиками аэродинамических свойств
водной поверхности являются крутизна волн, а также скорость
и направление их распространения. Таким образом, механизм
взаимодействия между атмосферой и океаном определяется
большим количеством параметров, что вызывает значительные
трудности как при теоретическом анализе, так и при
систематизации экспериментальных данных.
Учитывая, что обзоры современного состояния знаний в
рассматриваемой области имеются в работах Дикона и Уэбба
(1962), Кинсмана (1965) и в особенности Ролля (1965), О. Фил-
липса (1966), Р. Стюарта (1967, 1968) и Китайгородского
(1968 а), мы ограничимся здесь рассмотрением простейшего
(и, вероятно, представляющего наибольший интерес с точки
зрения приложений к исследованию крупномасштабных
процессов) случая, когда поля ветра и волнения взаимно
приспособлены К Следуя в основном работам Монина и автора (Монин
и Зилитинкевич, 1967, 1969; Зилитинкевич, 1967а, б, 1969а),
примем, что основными параметрами, определяющими режим
ветрового волнения, являются касательное напряжение ветра
т=ры2 (характеризующее интенсивность передачи энергии
ветра волнам), а также плотность воды pWi ускорение силы
тяжести g, поверхностное натяжение воды а и кинематический
коэффициент вязкости воды vw( регулирующие структуру
гравитационных и капиллярных волн при фиксированном уровне
энергоснабжения). Таким образом, по сравнению с набором
параметров, учтенных при получении формул (1.66) — (1.68),
в рассматриваемом случае к числу определяющих
характеристик добавляются величины р, pw, g, о и vtt, но зато
исключается средняя высота неровностей А0.
Введя масштаб hg для измерения типичных размеров
ветровых волн и масштаб ка для измерения капиллярных волн по
формулам
**=!• *.-/£ <>-м)
и используя в качестве характерных скоростей в первом
случае и*, а во втором — фазовую скорость капиллярных волн,
1 Правда, неясно, возможно ли полное приспособление волнения к ветру,
т. е. установление статистического равновесия во всем спектре частот eoAh
(или же, наоборот, в области максимума спектра волны всегда растут, пока
действует ветер). Во всяком случае, мы исключаем явления типа волн зыби,
никак не согласованных с ветром в данном месте.

1.2.3. Специфика приводного слоя воздуха
49
пропорциональную Vh^g, составляем следующие два числа
Рейнольдса:
первое из которых характеризует обтекание ветровых волн
потоком воздуха, а второе есть число Рейнольдса капиллярных
волн. Учитывая эти обозначения, общие выражения для
профилей интересующих нас метеорологических элементов мы можем
теперь записать в виде
и=Т-*«(/Г-' "Г"' Т-> Re,, ReV
e-^=rA(i,77'V'Re^Re"Pr)'
Ч-Ч. = яЛа (£.■£■•-£■• R^' ^' SC) ' °-86)
* * *
где Фи, Фе и Фа — безразмерные универсальные функции.
Отметим сразу, что аргументы р/ртг, v/v?r, Reo, Рг и Sc практически
фиксированы; поэтому в дальнейшем мы их выписывать не
будем.
При полностью развитом волнении изложенная теория
подобия, вероятно, применима для описания турбулентного режима
не только в слое воздуха над волнами, но также и в верхнем
слое моря, охваченном волновым перемешиванием. Иными
словами, в слое волнового перемешивания безразмерные
статистические характеристики поля скоростей должны зависеть от
отношения глубины к масштабу hg и от параметров p/pw, v/vw-
Reg и Re0, а характеристики полей температуры и солености
соответственно еще от чисел Прандтля и Шмидта для морской
воды.
Рассуждая далее аналогично тому, как это делалось
в п. 1.2.2, мы снова получим в автомодельной области
формулы (1.69), (1.74); однако фигурирующие в них параметры г0,
660 и 6<7о будут выражаться теперь следующим образом:
z0 = hgP0(Reg)f
?А = 7**A(Ref),
tyo = q*Pa(Reg). (1.87)
* * *
Стоящие здесь в правых частях функций Р0> Рь и Ра зависят
только от одного переменного аргумента Reg=u3fgv. Выясним
асимптотический вид этих функций.
о
° С. С. Знлитинкевнч

50
1.2. Теория подобия
При очень малых значениях Re$, т. е. при слабом ветре,
гравитационные волны практически отсутствуют и, следовательно,
ускорение силы тяжести g выпадает из числа определяющих
параметров. Это означает, что при малых значениях аргумента
* * *
функция Р0 должна вести себя как Re~*, а функции Я9 и Ра
должны стремиться к постоянным значениям. Выражения (1.87)
в результате принимают вид
* *
где m0, ть и та — безразмерные коэффициенты, зависящие
только от p/pw, v/vw, Rea и соответственно от Рг и Sc, а
следовательно, для атмосферы над водной поверхностью
являющиеся константами. Полученные выражения вполне аналогичны
формулам (1.72), (1.77), относящимся к случаю динамически
гладкой твердой поверхности. Однако константы в тех и других
формулах, по-видимому, не обязаны совпадать.
Рассмотрим теперь область больших значений Re$, т. е.
случай сильного ветра и соответственно значительного волнения.
*
Асимптотический вид функции Р0 здесь снова может быть
установлен из общих соображений. В самом деле, при сильном
волнении движение воздушных частиц вблизи поверхности
существенно определяется условиями взаимодействия турбулентных
вихрей с отдельными волнами. При этом естественно ожидать,
что профиль средней скорости не будет зависеть от
кинематического коэффициента вязкости воздуха v. Отсюда сразу сле-
дует, что функция Р0 должна стремиться к постоянному
значению. Таким образом, первая из формул (1.87) принимает вид
г0 = mlhg = rkxut.g, (1,89)
где rti\ — еще один безразмерный коэффициент того же типа,
что и коэффициенты в формулах (1.88). Полученное выражение
представляет собой хорошо известную эмпирическую формулу
Чарнока (1955). Что касается функций PQ и Ра, то каких-либо
общих выводов об их поведении при больших значениях
аргумента сделать не удается. Более того, в данном случае
становится дискуссионным и предположение о совпадении
рассматриваемых функций. В самом деле, например, срывание брызг
при сильном ветре создает механизм, по-разному влияющий на
процессы теплопередачи и испарения.
Прежде чем перейти к обсуждению экспериментальных
данных, напомним еще раз, что формулы типа (1.86), а значит

1.2.3. Специфика приводного слоя воздуха
51
и (1.87) — (1.89), справедливы лишь при условии взаимной
приспособленности полей ветра и волнения, т. е. при полностью
развитом волнении. Согласно Китайгородскому (1968а, б),
приближенным критерием полного развития волнения может
служить неравенство
ЛА>Ю2, , .(1.90)
где hw — средняя высота волн. Соответствующие оценки
показывают, что в более или менее чистом виде интересующий нас
случай реализуется в естественных условиях не очень часто
(см. также примечание на стр, 48). Таким образом, имеющиеся
экспериментальные данные в значительной своей части.не
обязаны строго удовлетворять рассмотренным, выше соотношениям.
Это обстоятельство приводит к очень большому -разбросу точек
на эмпирических графиках, с которым мы сейчас столкнемся.
1.2.3.2. Коэффициент сопротивления и параметр
шероховатости водной поверхности
В пределах слоя, который допустимо считать нейтрально
стратифицированным, связь между коэффициейтом
сопротивления cf формулы (1.71) и параметром шероховатости .водной
поверхности г0 выражается в виде -
где zx —высота, на которой измеряется фигурирующая в (1.71)
средняя скорость ветра и.
Обширная сводка полученных к настоящему времени
экспериментальных данных о 20 и с/ приведена в работах
Китайгородского и Волкова (1965а, 1968) и Китайгородского (1968а).
В качестве исходного материала здесь использовались
результаты лабораторных экспериментов Куниши (1963) и Хайди и
Плейта (1966); данные градиентных наблюдений (т. е.
измерений средних профилей метеорологических элементов) и
одновременных измерений параметров волнения, опубликованные
Такахаши (1958), Дирдорфом (1962), Такеда (1963), Снопко-
вым (1965а); аналогичные данные, полученные в 35-м
и 37-м рейсах исследовательского судна «Витязь» Института
океанологии АН СССР; данные одновременных градиентных
наблюдений и измерений турбулентных потохов и параметров
волнения, полученные в совместных экспедициях Института
физики атмосферы АН СССР и Института океанологии АН
СССР в 1963—1965 гг. (см. Зубковский и Тимановский, 1965;
Зубковский и Кравченко, 1967; Зубковский, 1967; Волков, 1968),
и, наконец, результаты работ Дикона и др. (1956), Гоптарева

52
1.2. Теория подобия
(1957), Флигла и др. (1958) и Богородского (1964), основанные
на измерениях одних только профилей ветра. Большинство
указанных данных представлено на рис. 1.6, иллюстрирующем
зависимость z0 от и*. Разброс точек здесь настолько велик, что
говорить об однозначной связи между г0 и w* практически не
Рис. 1.6. Эмпирическая связь между параметром шероховатости
водной поверхности z0 и скоростью трения м*, по Китайгородскому и
Волкову 41965а).
/ — по формуле (1.89) при mi=0,035; 2—по формуле (1.91); пунктиром показаны
асимптоты, соответствующие предельным выражениям (1.88) при т0—0,1 и (1.89)'
при тх =0,048
*
приходится. Поэтому для построения функции типа P0(Re*)
необходимо предварительно произвести отбраковку
экспериментального материала, например, с помощью критерия (1.90).
Результаты такой систематизации (из работы Китайгородского,
1968а).представлены на рис. 1.7, построенном по материалам
35-го и 37-го рейсов исследовательского судна «Витязь».
Разброс точек на этом рисунке гораздо меньше, чем на
предшествующем, причем здесь уже имеет смысл говорить об
однозначной связи, характер которой к тому же не противоречат
^асимптотическим формулам (1.88) и (1.89). В самом деле,
аппроксимируя рассматриваемую зависимость изображенной

12.3. Специфика приводного слоя воздуха
53
*
на рисунке ломаной линией, мы тем самым принимаем для Р0
интерполяционную формулу
*
; = ( ОД/Re^ при 0<Re^<50,
0 I 0,048 - 2,3/Re^ при, 50 < Re^,
(1.92)
которая в области малых Re* переходит в (1.88) с т0=0,1,
*
а в области очень больших Re* — в (1.89) с mi=0,048.
Рис. 1.7. Безразмерная эмпирическая зависимость
параметра шероховатости водной поверхности zQ
от скорости трения и* при полностью развитом
волнении (hw/hg«1,2-102), по Китайгородскому
(1968а)
Аппроксимирующая эмпирические точки ломаная линия
соответствует формуле (1.91)
Комментируя эти результаты, отметим, что значение т0,
близкое к 0,1, получается также по данным лабораторных
экспериментов Куниши (1963) и Хайди и Плейта (1966) (см.
Китайгородский, 1968а, б). В то же время имеются и другие
оценки; например, Ролль (1965) приводит значение т0«0,48.

54
1.2. Теория подобия
Напомним, что, по данным Никурадзе (1933), константа т<>
в формуле (1.72) для шероховатости динамически гладкой
твердой поверхности составляет примерно 0,1. Совпадению
значений т0 по Китайгородскому и т0 по Никурадзе не следует,
впрочем, придавать особого значения, поскольку, как уже
отмечалось при обсуждении формул (1.88), убедительных
априорных соображений в пользу такого совпадения не имеется.
Эмпирических оценок коэффициента т\ опубликовано
довольно много, однако большинство из них выполнено без какой-
либо предварительной отбраковки данных. Укажем, в частности,
значения mi «0,012 по Чарноку (1955) (см. также Чарнок и
Эллисон, 1967) > mi «0,08 по Хею (1955) и mi «0,05 по Дикону
и др. (1956). По-видимому, наиболее статистически
обеспеченные результаты подобного характера получены Китайгородским
и Волковым (1965а), которые обработали весь материал,
представленный на рис. 1.6. В результате была подтверждена
допустимость использования формулы (1.89) в широком диапазоне
значений и* (показатель степени л при степенной
аппроксимации Zq~ иЦ оказался равным 1,96, т. е. очень близким к 2) и
*
найдено значение mi =0,035.
Основываясь на этих результатах, Китайгородский (1968а)
*
рекомендует формулу (1.89) при mi = 0,035 использовать для
практических расчетов. При этом определение z0 с точностью до
порядка гарантируется, грубо говоря, с вероятностью 80%.
Заметим, что выражение типа (1.92), обеспечивающее в среднем
примерно такую же точность, предпочтительнее в том
отношении, что оно имеет Правильную асимптотику при малых и*.
Обе указанные зависимости г0 от и* — по формуле (1.89) при
*
mi = 0,035 и по формуле (1.92)—изображены на рис. 1.6. Как
видно из рисунка, различие между ними, за исключением
области очень малых м*, практически несущественно.
1.2.3.3. Коэффициенты теплопередачи и испарения
Проблема изучения тепло- и влагообмена между атмосферой
и океаном в современной форме впервые была поставлена Шу-
лейкиным (1928, 1933, 1968) и Свердрупом (1936, 1937—1938).
В этих работах, в частности, на основе полуэмпирической
теории турбулентности были получены выражения для
коэффициентов теплопередачи и испарения Сн и Cd формул (1.76),
которые впоследствии сопоставлялись с экспериментальными
данными, модифицировались и использовались многими авторами
(см., например, Самойленко, 1952, 1959; Шеппард, 1958; Ролль,

1.2.3. Специфика приводного слоя воздуха
55
1963). В то же время эмпирических сведений о величинах сн
и cd в настоящее время имеется гораздо меньше, чем о
характеристиках динамического взаимодействия. Кроме того,
обработка данных относительно величин 68о и 6<7о на основе формул
типа (1.87) не производилась,
Напомним, что если уровень zu на котором измеряются
фигурирующие в (1.76) средние значения скорости ветра U,
температуры 0i и удельной влажности q\, лежит в пределах
нейтрально-стратифицированного слоя, то связь коэффициентов Сн
и cD с более наглядными характеристиками ббо и 6<7о
выражается в виде
I Т* а°н Z0 } Z0 I q* J^ Z0 J Z0
(1.93)
При экспериментальном определении величин сн и cD
возникает прежде всего необходимость измерения температуры 98
(или T8 = Qs(p/po)A*R!cP ) и влажности q8 в точках
непосредственного контакта воздуха и воды. Обычно принимают
где Tw — температура воды, a qm{Tw, р)—определяемая по
формуле (1.81) насыщающая удельная влажность при
температуре Tw и атмосферном давлении р. Поскольку стандартные
измерения дают не поверхностную, а осредненную по
некоторому слою температуру воды, необходимо прежде всего
выяснить, не вносит ли перепад температуры в верхнем слое
воды существенный вклад в измеряемые разности температур
воды и воздуха. Особенно наглядные данные по этому вопросу
получены в работе Скули (1967), который с плавающей
платформы измерял средние разности между температурой
поверхности моря Т8 и температурой воды Tw на глубине 10 см,
а также между Т8 и температурой воздуха Гю на высоте 10 см.
Результаты этих наблюдений, приведенные на рис. 1.8,
показывают, что перепад температуры в 10-сантиметровом слое воз-
Духа в среднем примерно в 20 раз превышает аналогичный
перепад в воде. Этот вывод весьма важен; он показывает, что
обычные измерения температуры воды в большинстве случаев
действительно можно использовать для определения
температуры водной поверхности.
Систематизация данных о величинах Сн и cD на основе
гипотезы подобия, согласующейся с формулами (1.87), была
выполнена в работах Китайгородского и Волкова (19656, 1968) и

56
1.2. Теория подобия
Китайгородского (1968а), в которых использовались результаты
градиентных измерений скорости ветра, температуры и
влажности. При отбраковке материала были отобраны случаи, когда
профили температуры и влажности в приводном слое воздуха
оказывались подобными и, кроме того, распределение
температуры, влажности и скорости ветра по крайней мере на трех-че-
тырех нижних горизонтах удовлетворительно описывалось
логарифмическим законом. Далее, с помощью формул типа
(1.51) (при <x0H = a°D = 1, -/. = 0,4) были определены величины а*,
Рис. 1.8. Связь между
перепадами температуры в
прилегающих к
поверхности 10-сантиметровых слоях
воздуха и воды, по Скули
(1967)
/ — утро; 2 — полдень; 3 —
вечер; 4 — ночь (зачерненные
кружки)
Яи£,а затем рассчитаны значения г0 по формуле (1.69) и
значения с/, сн и cD (для случая когда U, 8i и Щ\ относятся к
высоте zx = l м) по формулам (1.71), (1.76) с использованием
(1.94). Результаты указанной обработки представлены на
рис. 1.9 и 1.10. В связи с рис. 1.9 следует отметить, что
полученный здесь вывод о близости значений сн и cD, на первый
взгляд, может показаться тривиальным следствием
проведенной отбраковки первичных данных. Однако в действительности
при отбраковке контролировалось только подобие профилей
в автомодельной области, но отнюдь не в области
молекулярного обмена, так что с этой точки зрения обсуждаемый график
вполне содержателен. На рис. 1.10 представлены данные нецо-
средственно о коэффициентах сн и cD. По оси абсцисс здесь
отложена безразмерная величина a*z0/v. Употребление этого
2\-
-1
! *. ' /
I #ох /
I ODG*x *Х#
I о / I
• о° /
* / о * *
/ а
1 / о
Г ' / ° а i
i / * а
/ °
/l о Г
/ ' х 2 \
\ / ' о 3 \
/ ' * о ** \
I L 1 i i
0\—
-0,1
0,1
0.2(T8-lwjr

1.2.3. Специфика приводного слоя воздуха
57
аргумента при построении тех или иных эмпирических
зависимостей в условиях полностью развитого волнения в
принципиальном отношении равносильно употреблению величины Re#
(или просто и*). В цитируемых работах Китайгородского и
Волкова (19656) и Китайгородского (1968а), однако, показано,
что в общем случае использование аргумента u*z0/v имеет
преимущество, так как приводит к существенному уменьшению
разброса точек на эмпирических графиках для сн и сд.
ю'и W'3 Ю'2СЛ
Рис. 1.9. Связь между коэффициентами
теплопередачи сн и испарения cD для атмосферы над морем,
по Китайгородскому и Волкову (19656)
/ — по экспериментальным данным Такахаши (1958), 2 — Флигла
и др. (1958), 3 — Дирдорфа (1962), 4 — Снопкова (1965а)
На основании рис. 1.10 трудно сделать выводы о порядках
величин и тем более о поведении интересующих нас в первую
очередь функций Рв и Ра формул (1.87). Как уже упоминалось,
непосредственно эти функции эмпирическим путем не
определялись (попытка рассчитать функцию Рв (Re#), основанная на
некоторых полуэмпирических гипотезах, сделана в работе Борт-
ковского и Бютнер (1970)). Решетовой (1969),однако, была
выполнена обработка экспериментального материала, позволившая

сн-Ю*
СрЮ3
1
0,8
0,6
О*
0,2
10
г*
•J 9 ***
* W ** *V
• о /
д д 2
♦ 0 3
п о ^
Г0
-J
/0
-7
«-'
/0
W
W3Z0U*/v
Рис 1.10. Зависимость коэффициентов Сн и сд от безразмерного параметра z0w*/v, по
Китайгородскому и Волкову (19656)
/ — по экспериментальным данным Такахаши (1958). 2 — Флигла и др. (1958), 3 — Дирдорфа (1962),
4 — Снопкова (1965а)

1.2.3. Специфика приводного слоя воздуха
59
оценить их типичные значения при не очень сильном ветре.
В цитируемой работе по данным градиентных измерений в
приводном слое воздуха были рассчитаны по. методике,
изложенной в п. 1.4.2, параметры z0j 0о и q0. (Простейший, но не очень
точный способ определения этих трех параметров сводится
к графической экстраполяции наблюдаемых профилей ветра,
температуры и-влажности из области логарифмического
пограничного слоя вниз.) Затем по формулам (1.94), были найдены
величины 6S и q8 и составлены разности 02 —0о и 02— 0s, а также
q2 — <7о и <72 — Qsy где 02 и q2 — значения 0 и q на высоте z2=2 м.
Показанные на рис. 1.11 связи между этими разностями хорошо
аппроксимируются линейными формулами
е2 - бо = $е (°2 - в,), ?2 - Ч* - *а (Чг - 9s)-
Значения коэффициентов Ъь и |а, найденные методом
наименьших квадратов, составляют соответственно 0,99 и 0,81 (см. пря-
мые на рисунках). Через эти коэффициенты легко выразить Яе
*
и Ра. Полагая для простоты, что в автомодельной области
приводного слоя воздуха средние профили температуры и
влажности близки к логарифмическим, получаем
4 = (i-i)'"f. 'Hi-1)1""?-
В рассмотренных случаях параметр шероховатости z0 менялся
от 10~3 до 10"1 см, (согласуясь по порядку величины с любым
из выражений (1.89) или (1.87), (1.91))..Из.приведенных выше
формул при этом следует
0,08<Яе<0,12; 1,7<Рв<2э8.
Если оценить теперь вклад величин 60о и 6<7о, скажем, в
разности 02 — 0« и q2— <7«, то для типичных условий получается
адб2 ~ 0,) «0,01; bq0'(q2 - ?,)«0,2.
Поскольку точность измерения разностей температуры и
особенно влажности над морем довольно низка, погрешностями
такого порядка допустимо пренебрегать. Это означает, что при
расчете теплопередачи и испарения с водной поверхности, во
всяком случае при слабом ветре, вероятно, допустимо полагать
Ро = Ра=0, или, что эквивалентно, cH=CD=Cf, т. е. использовать
аналогию Рейнольдса.

(82-6s)° Рис. 1.11. Проверка допустимости аналогии Рейнольдса
над водной поверхностью, по Решетовой (1969).
а — связь между температурными разностями 9г — 9о и 9г — 95; б — связь между разностями удельной влажности qz — qo и <72—<7у.
/ — tib Эмпирическим данным Гоптарева (1957), 2 — Такахаши (1958), 3 — Флигла и др. (1958), 4 — Шелларда (1958), 5 — Брокса (1959),
6 — Эванса и др. (1961), 7 — Ролл я (1965), 8 — Снопкова (1965в)

1.2.3. Специфика приводного слоя воздуха
61
1.2.3.4. Эффекты поверхностного течения:
Выясним некоторые следствия того, что частицы жидкости,
находящиеся на поверхности, не только участвуют в волновых
движениях, но и перемещаются с некоторой средней скоростью.
Величина и направление этой скорости зависят от ветрового
режима атмосферы, а также от характеристик глубинных
течений. Обозначим составляющие скорости поверхностного течения
по осям х и у соответственно буквами и8 и vs и перейдем к
системе координат, движущейся вместе с течением. При этом мы
исключим перемещение подстилающей поверхности, а в качестве
горизонтальных составляющих скорости ветра получим разности
и — us и v — v8. Строго говоря, именно к этим разностям, а не
к составляющим полной скорости ветра, и относятся
приведенные выше формулы (1.86) или (1.69), (1.87).
В большинстве случаев соответствующие поправки
пренебрежимо малы, так как скорости поверхностного течения обычно
бывают на порядок меньше, чем Ц^{В самом деле, ориентируя
ось х по направлению касательного напряжения, получим (при
нейтральной стратификации) и — и5 = ^-1п —, v — vs=0. Учи-
тывая, что первая из указанных формул справедлива лишь при
г»20, т. е. при значениях и> не менее чем на порядок
превышающих и* (а тем более ws), нетрудно заметить, что член и8 в
левой части в автомодельной области практически не играет роли.
К тому же наличие этого члена в случае необходимости может
быть учтено в рамках обычного выражения (1.69) для профиля
скорости, если в качестве эффективного параметра
шероховатости использовать комбинацию z0e~XUs'u* (см. Блэкедар, 1960).
По-видимому, единственный любопытный эффект, связанный
с рассматриваемым явлением, состоит в том, что в слое, на
протяжении которого постоянно направление касательного
напряжения трения, а следовательно, и векторной разности средних
скоростей ветра и поверхностного течения, направление
суммарной скорости ветра оказывается тем самым переменным (Зили-
тинкевич, 19676). Используя приведенные, выше формулы,
получаем, в частности, что вблизи водной поверхности, где u = us
и v = vs, угол между направлением ветра и осью х составляет
as = arctg (Vs/us). С увеличением же высоты этот угол
уменьшается и на высотах, скажем, порядка метра заведомо становится
пренебрежимо малым. Следует отметить, что приведенное
рассуждение носит качественный характер, так как нижний
поворот ветра происходит в весьма тонком слое воздуха, а
логарифмическая формула для профиля скорости является
асимптотической и непосредственно вблизи поверхности неприменима.
Некоторые результаты измерений углов между направлениями
движения частиц, дрейфующих на морской поверхности, и ветра

62
1.2. Теория подобия
на высоте нескольких метров имеются в работе Фоллера (1964),
посвященной в основном другому явлению — ветровым полосам
на водной поверхности. По его оценке, полученной путем
создания в воздухе дымовых следов и последующей
аэрофотосъемки, направление дрейфа отклонялось от направления ветра
вправо примерно на 20°. Вероятно, эту величину можно
принять в качестве типичного значения угла нижнего поворота
ветра над океаном, т. е. угла между направлениями
поверхностного течения и касательного напряжения ветра, в средних
широтах северного полушария. Такая оценка хорошо согласуется
с результатами Лайхтмана (19666), предложившего
теоретическую модель рассматриваемого явления для случая, когда
поверхностное течение имеет чисто дрейфовое происхождение.
Согласно указанной модели, угол ая должен быть
отрицательным в северном и положительным в южном полушарии,
причем его величина, зависящая от внешних условий, в случае,
рассмотренном Фоллером, получается равной 18°.
1.2.3.5. Дополнительные сведения
Помимо упоминавшейся выше литературы по вопросам взаимодействия
атмосферы и океана, имеется еще значительное число публикаций,
содержащих сведений как о кбэффициентах теплопередачи и испарения сн и cD, так
и главным образом о коэффициенте сопротивления с/ (или параметре
шероховатости z0). Следует, в частности, указать обзорные материалы в работах
Манира (1962), Дикона (1962), Бентона и др. (1963), Брокса (1963), Крауса
(1966, 1967а, б), Китайгородского (1966, 1967, 1969), Радикевича (1967, 1968),
Коантика (1969). Особенно подробный обзор литературы, опубликованной
до начала шестидесятых годов, имеется в уже цитировавшейся книге Ролля
(1965). В последнее время новые эмпирические данные получены Кузнецовым
(1963, 1965). Снопковым (19656), Богородским (1966), Краусом (1967в), Дир-
дорфом (1968).
Среди экспериментальных исследований обсуждаемого направления
особенно ценными являются работы, основанные на одновременных пульсацион-
ных и градиентных измерениях. Здесь наряду с уже упоминавшимися
результатами совместных экспедиций Института физики атмосферы АН СССР и
Института океанологии АН СССР в 1963—1965 гг., следует указать работы
Мак-Илроя (1955), Виноградовой (1959, I960), Дикона (1959), Дикона и
Уэбба (1962), Хассе и др. (1966), Бортковского и др. (1967), Лэйпа и др.
(1967), С. Смита (1967), Вейлера и Берлинга (1967), Бортковского и Бютнер
(1968, 1969, 1970), Преображенского (1968, 1969), Хассе и Брокса (1969).
Большой интерес с точки зрения рассматриваемой темы представляет
выполненная за последние годы в Морском гидрофизическом институте АН УССР
обширная программа исследований мелкомасштабного взаимодействия
атмосферы и океана, включающая пульсационные измерения в воздухе и в воде,
а также измерения характеристик волнения (см. Колесников и Кононкова,
1961; Колесников и Ефимов, 1964; Ефимов, 1964, 1966а, б, в; Ефимов и др.,
1967, 1969; Ефимов и Сизов, 1969; Сизов, 1966а, б, в; Колесников и др.,
1966а, б). Укажем также детальные пульсационные измерения в приводном
слое воздуха, выполненные Пондом, Р. Стюартом и Берлингом (1963) и Ион-
дом и др. (1966).
Говоря о лабораторных измерениях характеристик воздушного потока
рад взволнованной поверхностью, помимо уже цитировавшихся результатов

1.2.4. Экспериментальные данные
63
Кунишн (1963) и Хайди и Плейта (1966), следует упомянуть еще работы
Келегана (1951), Френсиса (1951, 1954), Джонсона и Раиса (1952), Сибула
и Джонсона (1957), Вайнза (1959), Лиллелехта и Ханратти (1961), Скули
(1963), Фитцджеральда (1963), Бейнза и Кнаппа (1965), Гарриса (1966),
Плейта и Хайди (1967), Джин By (1968), Загустина и др. (1968),
Коненковой и др. (1969).
В заключение этого раздела укажем некоторые теоретические
исследования. Первые теоретические работы по вопросу о теплопередаче и испарении
уже упоминались в начале 1.2.3.3. Обзоры современного состояния знаний
в этой области опубликованы Китайгородским и Волковым (19656, 1968) и
Бортковским и Бютнер (1969). Из работ последнего времени отметим еще
статью Монина (1967в), который указал на связь коэффициентов сн и с&
с площадью поверхности волнующегося моря и дал количественные оценки
увеличения этой площади по мере развития волнения. Что касается
динамического взаимодействия, то попытка учета сопротивления, которое оказывают
ветру движущиеся волны, по-видимому, впервые была сделана Джефрисом
(1925а, б). Предложенную в этих работах простейшую модель позднее
развил и усовершенствовал Манк (1955), получивший линейную зависимость
коэффициента сопротивления от скорости ветра. При определении
эмпирических констант, фигурирующих в его формуле, Манк использовал данные
Г. Неймана (1953) о спектре волнения и выполненные Ван Дорном (1953)
тщательные измерения коэффициента сопротивления водной поверхности.
Наконец, в цикле работ Майлза и О. Филлипса (см. статьи Майлза, 1957,
1960, 1965; О. Филлипса, 1957, и в особенности книгу О. Филлипса, 1966)
была развита детальная теория взаимодействия воздушного потока с волнами
на поверхности, позволяющая, в частности, оценивать и коэффициент
сопротивления. В связи с указанной теорией и ее приложениями к расчету
сопротивления водной поверхности см. также работу Р. Стюарта (1961).
Отметим еще, что в геофизической литературе встречаются иногда
высказывания о возможности использовать при расчете турбулентных потоков
импульса, теплоты и водяного пара над океаном стандартные значения
коэффициента сопротивления (или параметра шероховатости водной поверхности),
а также коэффициентов теплопередачи и испарения (см., например, Робинсон,
1966). Имея дело с подобными рекомендациями или основанными на них
расчетами, не следует забывать, что средние относительные погрешности (как
видно из рис. 1.6 и 1.11) будут сос^г^влять при этом сотни процентов.
1.2.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
О ВЕРТИКАЛЬНОЙ структуре
ПРИЗЕМНОГО СЛОЯ
Учитывая результаты, изложенные в предыдущем параграфе,
помимо формул (1.42) — (1.44) для разностей значений
скорости ветра, температуры и влажности, мы можем написать еще
следующие выражения для профилей:
« = ^[/.<С)-/.<Со)1, 0-42а)
в = во+М/,(С)-/,(д], (1-43а)
Ч = <7о + q* Uа(С) -/.(Со)], (1.44а)
где
Чо — ^о'^*>
(1.95)

64
1.2. Теория подобия
а буквами 9о и q0 обозначены величины
в0 - в, + 8в||Э qu = qs + bq{r (1.96)
При этом, поскольку практически всегда |£0|<^1, определяя
функции /и(£),/0(С) и fa (£) при £=£о, мы можем
воспользоваться вытекающими из (1.51) соотношениями
/«Go)=4-/o(W=4-A(Co)-ln|C0| + const. (1.97)
Напомним, что общий характер поведения функций /м(£),
/е(^) и М£) нам известен как при близких к нулю, так и при
достаточно больших положительных и отрицательных
значениях аргумента. Это обстоятельство существенно облегчает
задачу систематизации соответствующих экспериментальных
данных, позволяя свести ее к установлению универсальных констант
в асимптотических формулах (1.51) (или (1.55)), (1.57) и (1.62),
определению областей их применимости и наконец выяснению
вида функций /и(£),/е (£) и fa(£>) в промежуточных областях.
При этом весьма удобно, что в каждой из областей
асимптотического режима при наличии данных измерений ы, 0 и q не
менее чем на трех уровнях имеется принципиальная возможность
вычислять интересующие нас константы, и не располагая
сведениями непосредственно о величинах н*, Н и Е.
1.2.4.1. Общие выводы о форме универсальных
профилей
Наибольшее количество имеющихся экспериментальных
данных относится к условиям нейтральной стратификации. Помимо
наблюдений в атмосфере, здесь получен обширный материал
лабораторных измерений профилей скорости, температуры и
различных пассивных примесей, иногда сопровождающихся и
измерениями соответствующих турбулентных потоков. Все эти
данные подтверждают справедливость формул типа (1.51), хотя
разные эксперименты дают несколько различающиеся значения
констант х, olqh и ol°d (см., например, Монин и Яглом, 1965, гл. 3).
В среднем, однако, можно принять х«0,4; *°н~ 1, *°D~ 1.
Отметим также, что экспериментальные данные не обнаруживают
различия между величинами а^ и ol°d. Это согласуется с
изложенными в п. 1.2.1 теоретическими представлениями, согласно
которым температура переносится в турбулентном движении
тем же механизмом, что и пассивная примесь.
При эмпирическом исследовании режима сильной
неустойчивости, описываемого формулами (1.57), основной материал для

1.2.4. Экспериментальные данные
65
определения фигурирующих в них констант Си, Сь и Са
фактически представляют данные измерений в атмосфере, хотя в
принципе здесь также возможно использование лабораторных
экспериментов.
Что же касается режима сильной устойчивости, то,
используя формулы (1.62), следует помнить, что только первая из них
является теоретически строго обоснованной, тогда как две
последние представляют собой лишь приближенные
аппроксимации, по-видимому, справедливые при типичных для атмосферы
не слишком малых, но в то же время и не слишком больших
значениях £• Это обстоятельство в известной мере ограничивает
возможности использования здесь данных лабораторных
измерений или измерений течений в естественных водоемах.
Перейдем к обсуждению эмпирических результатов,
полученных на основе измерений в атмосфере. Наибольшее количество
работ здесь относится к профилям скорости и температуры. При
этом следует отметить, что непосредственные измерения
величин т и Н в атмосфере начали производиться лишь в последние
годы. Поэтому до недавнего времени попытки эмпирического
определения тех или иных характеристик вертикальной
структуры приземного слоя воздуха по необходимости основывались
на материале одних только градиентных измерений, т. е.
измерений средних значений рассматриваемых метеорологических
элементов на нескольких уровнях.
Еще в 30-е годы было произведено большое количество наблюдений,
подтвердивших логарифмический закон для профиля ветра в приземном слое
атмосферы при нейтральной стратификации. Обзор соответствующей
литературы имеется в работах Леттау (1939), Лайхтмана и Чудновского (1949) и
Сеттона (1949, 1953). Первые попытки учета температурной стратификации
были связаны с использованием аппроксимации профиля ветра степенной
зависимостью u = U\(zlz\)m, где U\—средняя скорость ветра на высоте Z\%
m — параметр, зависящий от устойчивости. Формулы подобного типа в
применении к приземному слою воздуха изучались многими исследователями
(см., например, Шмидт, 1925; Леттау, 1939; Сеттон, 1949, 1953). При этом
обнаружилась значительная изменчивость определяемого эмпирически
параметра пг. Было принято считать, что при неустойчивой стратификации
0<т<у7, при нейтральной стратификации т«У7 и наконец при устойчивой
стратификации 77<т<1. В результате более детального анализа измерений
профилей ветра в стратифицированном приземном слое (Торнтвейт и Кейзер,
1943) было установлено, что в действительности отклонение кривой
вертикального распределения скорости от логарифмической характеризуется
следующей закономерностью. При Ri>0 график зависимости средней скорости
ветра от логарифма вертикальной координаты оказывается вогнутым
относительно оси абсцисс, при Ri<0 указанный график становится выпуклым.
Эти выводы (находящиеся в противоречии с указанной выше простейшей
степенной аппроксимацией и, напротив, согласующиеся с теоретическими
выводами, изложенными в 1.2.1.2) впоследствии были подтверждены
многочисленными измерениями.
Говоря о различных аппроксимациях наблюдаемых профилей скорости
ветра и температуры, укажем еще предложенные Лайхтманом (1944, 1947)
(н широко использовавшиеся позднее Диконом(1949) и др.) формулы вида

66
1.2. Теория подобия
У.И/Н* = а^ (0 — 60)/7*# = (1—n)(zn — zfylnz", в которых п — безразмерный
параметр, зависящий от устойчивости и принимающий значения —1/3^я<0
при Ri<0, л=0 при Ri=0, 0<л<1 при Ri>0. По сравнению с простейшим»
степенными соотношениями формулы Лайхтмана обладают тем
преимуществом, что они при Ri=0 приводят к правильным логарифмическим
выражениям и, кроме того, согласуются с отмеченной выше наблюдаемой
особенностью формы профилей ветра как при положительных, так и при
отрицательных Ri.
Рассмотрим теперь эмпирические данные,
систематизированные на основе теории подобия. Первые сведения об
универсальной функции fu{b) были получены Мониным и Обуховым (1953,
1954). Определение величин т и Н основывалось здесь на
использовании данных измерений скорости ветра и температуры в
нижнем 4-метровом слое, которые обрабатывались в
предположении, что в указанной области высот профили ветра и
температуры подобны, причем допустима их аппроксимация формулами
типа (1.55). При этом был использован обширный материал,
полученный по наблюдениям в четырех различных районах СССР.
Результаты обработки были представлены в виде графика
функции
ц(г)-;.1|£|/2) =/.(о -л (-f eigne) (1.98)
(разность значений функции /и(£) при переменном (£) и
фиксированных (±1/2) значениях аргумента составлена для того,
чтобы устранить неопределенную аддитивную константу). Была
обнаружена хорошая согласованность данных, относящихся
к различным пунктам, и наличие у рассматриваемой функции
асимптотических свойств, предсказываемых теорией подобия
(рис. 1.12). Таким образом, было получено экспериментальное
подтверждение основных следствий теории подобия,
касающихся профиля скорости. Отметим сразу, что установленные
в цитируемых работах значения функции fu(Q при £<0 неплохо
согласуются со всеми последующими оценками, тогда как цри
£>0 они оказываются несколько заниженными.
Позднее, главным образом уже после того, как получили
распространение измерения турбулентных потоков в атмосфере,
было выполнено большое количество работ, в которых в той или
иной форме строились безразмерные универсальные
зависимости, с точки зрения информации о профилях скорости и
температуры эквивалентные функциям fu(t) и/е(£). Некоторые
сведения были получены и об универсальном профиле влажности,
т. е. о функции jfa(£). Особенно значительные программы
экспериментальных исследований, включающих интересующие нас
в данном случае измерения, были осуществлены в Институте
физики атмосферы АН СССР, в Отделении метеорологической
физики Государственного комитета научных и технических ис-

1.2.4. Экспериментальные данные
67
следований Австралии, в Пенсильванском университете и других
организациях США, а также в некоторых университетах и
институтах Японии, Англии, ФРГ и Швеции.
-J
1 1 —Г"
1
L
Г
г
г*
[-
[\
Кшп>у
1 о р°и
а а ,9В
1 1 I
]
~ чзЛ Z
V?
°<лЬ
1
г
1
1 I
ш/
о/
1 1
1
о
о/
га
1
Г
▲
1
1
О
,1
I
УЪ
Л
'
J
"1—пп
/д I
ч
н
"1
-|
-J
-2 -/
2 3
Рис. 1.12. Эмпирический график функции — [u(z) — u(|L|/2)]=fu(£) —
и*
— /«(-9" sign£)»no Монину и Обухову (1953, 1954)
Одни из первых измерений пульсаций скорости ветра и температуры
н приземном слое воздуха были выполнены в СССР (Обухов, 1951; Обухов,
Пинус и Кречмер, 1952; Кречмер, 1952, 1954) и в Австралии (Суинбенк, 1951,

68
1.2. Теория подобия
1955; Дикон, 1955а) с помощью термоанемометров и микротермометров
сопротивления. В цитированной работе Суинбенка (1951) по регистрации
пульсаций влажности малоинерционным психрометром было, по-видимому,
впервые произведено также несколько прямых измерений турбулентного потока
влаги. Позднее аналогичные измерения пульсаций скорости и температуры
производились Мак-Криди (1953а, б), Пановским и Мак-Кормиком (1954),
Шиотани (1955), Эли (1958), Диконом (1959), Крамером (1959),
Робинсоном (1959), Дэвенпортом (1961) и другими учеными, а измерения
пульсаций влажности — Елагиной (1962). В последнее время получил
распространение акустический метод пульсационных измерений, важным
преимуществом которого является линейность и очень малая инерционность датчиков.
Наиболее совершенные приборы такого типа разработаны в Институте
физики атмосферы АН СССР (Гурвич, 1959; Мордухович, 1959, 1962;
Бовшеверов и Воронов, 1960; Бовшеверов и др., 1962), а также в США (см. статью
Суоми «Акустический анемометр> в томе I книги Леттау и Дэвидсона (1957)
и работы Бузингера и Суоми (1958) и Каймела и Бузингера (1963)).
Техника экспериментальных работ, выполненных в последнее время в
Австралии, вкратце описана в статье Суинбенка и Дайера (1967).
Учитывая, что подробный обзор литературы по
рассматриваемому вопросу имеется в гл. 4 книги Монина и Яглома (1965),
а описание современной техники пульсационных измерений,—
например, в работах Копрова (1966) и Зубковского (1967), мы
ограничимся здесь в основном обсуждением тех работ,
результаты которых будут далее непосредственно использоваться.
Кроме того, ниже будут приведены сведения о некоторых
материалах, опубликованных уже после выхода указанной книги.
Как уже отмечалось, одной из важных задач эмпирического
исследования универсальных профилей метеорологических
элементов является установление границ применимости
асимптотических формул (1.51), (1.57) и (1.62) и определение
фигурирующих в них универсальных констант. Удобная с этой точки
зрения форма систематизации данных о температурном профиле
при неустойчивой стратификации была указана Пристли,
который предложил рассматривать безразмерную величину
cptf>\db/dz\^z*
как функцию от числа Ричардсона Ri. Основное преимущество
здесь состоит в том, что асимптотический вид зависимости \gH
когда Й —
= *2a//|Ri| '"*)> так и при больших |Ri| (когда Н = *2 (3/Ce),2J ,
и, кроме того, в том, что для построения рассматриваемой
зависимости не требуется прямых измерений потока импульса т (или
скорости трения м*). Эмпирические данные о подобной
зависимости из работ Пристли (1955) (использовавшего измерения
Суинбенка, 1955), Р. Тэйлора (1956), Перепелкиной (1959) и
Мордуховича и Цванга (1966) приведены на рис. 1.13. Из этого
графика, в частности, видно, что переходная область, разделяю-

1.2.4. Экспериментальные данные
69
щая режим вынужденной конвекции с логарифмическим
профилем температуры и режим свободной конвекции с профилем,
подчиняющимся «закону одной трети», весьма узка. Особенно
резкой получается эта смена режимов по данным Пристли и
Р. Тейлора. Приведенные на рисунке данные Перепелкиной и
Мордуховича и Цванга, а также результаты, полученные Па-
новским, Блэкедаром и Мак-Вейлом (1960) и Гурвичем (1965а) т
и некоторые другие материалы указывают на несколько более
*
н
4.0
3,0
2,0
U5
1,0
0,75
0,5
V
-N
—Г II III I—I
о ; 1
*2 !
• 3
■\1 !
?Д Т |
bf ' '1 '.
I 1 I 1 _L .. 1 I ... 1 1
0,002 Ot005 0,01 002 0,05 0,1 0,2 0,5 -Rl 1,0
Рис. 1.13. Эмпирические данные о зависимости
величины H=H/(cpppl,*\dQldz\3'a-z2) от Ri
/ — Пристли (1955) и Р. ТэПлор (1956); 2 — Перепелкина (1959);
3 — Мордухович и Цванг (1966). Вертикальные отрезки
указывают средние квадратичные отклонения
плавный переход; однако в первом приближении указанный
вывод о резкой смене режимов подтверждается практически во
всех работах (Уэбб, 1962; Буш, 1965; Дайер, 1965, 1967).
Аналогичное заключение о резкой смене режимов
вынужденной и свободной конвекции оказывается справедливым и в
отношении функции /и(£). Неплохой иллюстрацией здесь могут
служить уже данные Монина и Обухова, приведенные на
рис. 1.12. На основе прямых измерений турбулентных потоков
указанный результат был получен Пристли (1960а, 1962),
Р. Тэйлором (1960а, б), Гурвичем (1961, 1962а). Наглядный
эмпирический график из работы Гурвича приведен на рис. 1.14.
Здесь представлена зависимость от числа Ричардсона
безразмерной величины
*-«./(«£)-*. с>.
(1.100)

70
1.2. Теория подобия
В системе координат lgV, lg|Ri| эта зависимость, так же как
и функция, изображенная на рис. 1.13, имеет линейные
асимптоты при малых |Ri| (когда V = x) и при больших |Ri| (когда
1/=зЧс17,/2Се~1'4).
Любопытно отметить, что по всем данным нижняя граница
области свободной конвекции приходится на значения —£, —Ri
или —R/, имеющие порядок нескольких сотых. Поскольку
величина R/ представляет собой отношение конвективной продукции
Z0 п—i—i—i—\—i—i—i—i—i—i—i—i—|
4s i.oY
о,<М f
о,з\-
и 1 1 I ' 1 | « ; | » t t i I
0J005 0A1 OJBOflSOJ 0,20flOJS 1 2 3 5 10
-RI
Рис. 1.14. Эмпирические данные о зависимости
V=uJ(zdu/dz) от Ri, по Гурвичу (1961)
Вертикальные отрезки указывают средние квадратичные
отклонения
турбулентной энергии к механической, это означает, что
конвективная турбулентность является по сравнению с
механической значительно более эффективным фактором вертикального
обмена.
Обратимся теперь к результатам, относящимся к
положительным значениям £. Отметим прежде • всего, что данных
измерений в атмосфере здесь имеется значительно меньше и
качество их заметно ниже, чем при неустойчивой стратификации.
Дело в том, что состояния сильной устойчивости, имеющие
место при сильном возрастании температурБ1 с высотой (т. е.
при так называемых температурных инверсиях), наблюдаются
не так часто. Кроме того, при устойчивой стратификации
турбулентность становится перемежающейся, в результате чего
разброс точек на эмпирических графиках тех или иных
универсальных зависимостей увеличивается. Тем не менее имеющиеся
данные, например, Хёгстрёма (1967а, б), а также не
систематизированные на основе теории подобия материалы работ Райдера
и Робинсона (1951), Холстида (1952), Лилиеквиста (1957)

1.2.4. Экспериментальные данные
71
в целом подтверждают линейный характер профилей скорости
и температуры при очень сильной устойчивости, что согласуется
с асимптотическими формулами (1.62). В то же время
выполненные уже сравнительно недавно Шиотани (1962), Мак-Вейлом
(1964), Уэббом (см. Ламли и Пановский, 1964, гл. 3), Гурвичем
(1965а), О'Брайеном (1965), Казанским (1965), Бушем (1965),
Чаликовым (1968а) рбработки экспериментальных данных
показывают, что резкой смены предельных режимов здесь не
наблюдается. При этом было обнаружено, что экспериментальные
данные неплохо описываются «логарифмическими+линейными>
Рис. 1.15. Проверка
применимости выражения (1.101)
для профиля скорости ветра
при устойчивой
стратификации, по Мак-Вейлу (1964)
1 I I I I г
J I I I I I I I ь
0,2 0,4 Ofi 0JB 1,0 1,2
и2-и1м/сек
формулами типа %(1.55), которые, как нетрудно заметить, имеют
правильную асимптотику как при малых £ (когда они
практически совпадают с (1.51)), так и при больших £ (когда они
с точностью до обозначения константы в линейных членах в
пределе переходят в (1.62)). Возможность использования
«логарифмического + линейного» закона во всей области положительных
значений £, по-видимому, впервые указанная Мониным (1953),
в последнее время получила новое подтверждение в
лабораторных экспериментах Сермака и др. (1966), Сермака и Чжана
(1967) и Чжана и Сермака (1967). Напомним, что в данном
случае речь идет вовсе не о разложении функций фи(£)> ?о(^)
или фа(£) в ряд Маклорена, а просто об интерполяционных
формулах, фигурирующие в которых константы должны
определяться из условия наилучшей аппроксимации эмпирических
функций на всем интервале их определения.
Наглядные иллюстрации применимости выражений
подобного типа для профилей скорости и температуры приведены на
рис. 1.15, взятом из работы Мак-Вейла (1964), и рис. 1.16, взя-

72
1.2. Теория подобия
RU,RT
1000,
WO
10
1.0
0,1
Ё1
•
••
Д оо
L
о JF
&Ёт 1
•
RU RT
• о / !
А А 2
1.0
10
L'lnzt/Zj
Zi-Zj
100
1000
Рис. 1.16. Проверка применимости «логарифмиче-
ского+линейного» закона для профилей средней скорости
и температуры при различных условиях устойчивости
в атмосфере и в аэродинамической трубе, по Чжану и
Сермаку (1967)
%// Ui — Ui
RU = L _;*..
и*
Zt - Zj
RT =
Г* *i — zj
-?e
Атмосферные данные (/) взяты из работы Бареда (1958),
лабораторные (2) получены в метеорологической аэродинамической трубе
Колорадского университета
том из работы Чжана и Сермака (1967). Здесь, правда,
проверяются несколько отличающиеся от (1.55) соотношения
u(zi)-u(z1) = u^.(ln-^ + ru^£L),
Цг2)-В(г1) = ±^(\п-^+%1±=А-у (1.101)
где rfu и $1— безразмерные константы; V — масштаб длины
вида
U
//* (dujdz)
%? (dOjdz)
°HL\
(1.102)

1.2.4. Экспериментальные данные
73
однако в рассмотренных диапазонах состояний устойчивости (во
всяком случае, на рис. 1.15, где 0<z/Z/<0,3) закономерных
изменений ая по современным данным не обнаруживается (см.
рис. 1.3 и 1.22). Таким образом, замена L на U в данном
случае, по-видимому, может не приниматься во внимание. При
построении рис. 1.15 принято ^2=2 м, Zi = l м, $'и = 7. На рис. 1.16
значения ф"и = [3J подбирались свои для каждой пары профилей
скорости и температуры.
Отметим, что с точки зрения выяснения областей
применимости асимптотических формул (1.51) и (1.62) при устойчивой
стратификации удобной основой для систематизации
экспериментальных данных могли бы служить зависимости от £ безраз-
мерных величин Н и V формул (1.99) и (1.100). В силу
указанных асимптотических соотношений обе эти зависимости в
логарифмической системе координат должны иметь линейные
асимптоты как при малых, так и при больших £. Подобные
эмпирические графики, однако, не строились. Менее наглядный в данном
*
случае график, по осям которого откладывались величины lg |Я|
и lgRi, приведен в работе Буша (1965).
До сих пор мы рассматривали универсальные профили
скорости и температуры. В отношении влажности надежных
экспериментальных данных имеется гораздо меньше. Дело в том,,
что точность измерения средних значений удельной влажности
в большинстве случаев оказывается сравнительно низкой, и
1.0
0,1
1 1
г
h
8
•
i i i i i i i
* *
&
?
t
1 . 1
П 1 Mill
i
i *
i i i i i и
1
т 1
*
i
■"■ i i i м i
h« ]
A
1 1 1 1 1 II 1
OJ01
0.1
-t=-Z/L
1.0
10
Рис. 1.17. Эмпирические данные о функциях ?е(£) и Ф«(С) ПРИ неустойчивой
стратификации, по Дайеру (1967)
к тому же измерений турбулентного потока водяного пара пока
еще выполнено очень немного. В то же время уже сейчас можно
сказать, что полученные результаты (см., например, Паскуил,
1949; Райдер, 1954; Крауфорд, 1965; Дайер, 1967; Суинбенк.

74
1.2. Теория подобия
1967; Суинбенк и Дайер, 1967) определенно свидетельствуют
о подобии профилей влажности и температуры, т. е. о
справедливости равенства
/Лг*)=/вК) (ыоз)
во всем диапазоне наблюдаемых значений £. В качестве
иллюстрации здесь может послужить рис. 1.17, на котором
представлены эмпирические данные о функциях <?0 (С) = C_1/q (С) и ъа (С) =
= C_1/fl(C) при неустойчивой стратификации. Отметим, что
заключение о совпадении функций fa (С) и /в (*) представляется
весьма правдоподобным и с теоретической точки зрения,
поскольку радиационный теплообмен в приземном слое не
учитывается, а в этом случае (так как xh=%d) уравнения переноса
для тепла (1.30) и для пассивной примеси (1.35) оказываются
вполне аналогичными.
1.2.4.2. Простейшие интерполяционные формулы.
Обсуждение результатов
Рассмотрим более детально вид функций /и(£) и /е(С).
Основываясь на изложенных выше фактах, естественно заключить,
что эти функции допускают следующую аппроксимацию
(использованную впервые в работах Монина (1953) и Казанского
и Монина (1958)):
/.(«
/•(« =
InC-f-W
inici+p;c
л. + С.Г'''
1
при
при
при С
при
0<С,
;и<;<о,
о<:,
(1.104)
0 in|ci + p;c при :0<с<о,
(1.105)
а0
CST
при
г
ч8-
Здесь ри, Р«, аи, СиУ \иаНу рв, ?о, Де, Се, Се — универсальные
константы (аддитивные постоянные в правых частях опущены).
Отметим, что величины ры, Си, а°н, f*0 и Се уже фигурировали в
первых двух строках асимптотических формул (1.51), (1.57), (1.62),
как нетрудно заметить, получающихся из (1.104), (1.105) в
соответствующих предельных случаях. Что же касается величин
?«' а"> Ре и #е» то необходимые по физическому смыслу
требования непрерывнбсти и непрерывной дифференцируемости функ-

1.2А. Экспериментальные данные
75
ций fu(£>) ИЛ(^) в точках £=£и и С = Се позволяют выразить их
следующим образом:
(1.106)
(1.107)
Таким образом, вид профилей ветра и температуры в
приземном слое полностью характеризуется значениями семи констант:
Ри, Си, £и, a^'Pe'^e'^e И постоянной Кармана и,
фигурирующей в формулах (1.16), (1.33) и (1.42) или (1.42а).
Статистическая обработка обширного экспериментального материала
с целью определения всех этих констант была осуществлена
с помощью электронной вычислительной машины «Урал-4» Зи-
литинкевичем и Чаликовым (19686). В указанной статье,
результаты которой мы изложим более подробно, использовались
данные экспедиционных работ Института физики атмосферы АН
СССР, проводившихся в открытой степи вблизи пос.
Цимлянское в дневные и ночные часы летом 1963,1964 и 1965 гг. В
комплекс наблюдений здесь входили измерения средних значений
скорости ветра и температуры на шести уровнях в слое 0,5—12 ж
(градиентные измерения) и измерения турбулентных потоков,
импульса х и тепла Н на двух уровнях, основанные на
регистрации пульсаций ветра и температуры с помощью
малоинерционной аппаратуры (описанной в работах Бовшеверова, Гурвича и
Цванга (1959) и Бовшеверова, Гурвича, Мордуховича и Цванга*
(1962)). В ряде случаев, когда наблюдалось заметное
изменение величин т и Н с высотой, при обработке использовались,
средние арифметические значения измеренных потоков на двух
уровнях (возможные причины этих изменений обсуждаются
в работе Мордуховича и Цванга (1966)). Общее число
использованных пар профилей ветра и температуры с данными
одновременных измерений турбулентных потоков составляло 240.
Опишем кратко принцип обработки экспериментального
материала. Составим разности значений скорости ветра и
температуры на уровнях z и \L\/n, где п — некоторое число. Эти
разности выражаются соответственно в виде
'"-^'*'»-/.(■{•)-/.(4 ««■*)■ (1108>

76
1.2. Теория подобия
в результате чего устраняются входящие в функции /и (£) и )\ (£)
неопределенные аддитивные константы. Если воспользоваться
выражениями (1.104), (1.106), то соотношение (1.108)
превращается в уравнение, связывающее между собой константы ($и,
CUy t>u и х, коэффициентами которого являются величины г,
u(z), и* и L. Аналогичное уравнение для ре, Се, Се и а°н
получается из (1.109). Эти уравнения линейны относительно {*, (*w, Си)
и {*» ^я)"1» Рв»'^в}* Постоянная х входит, однако, еще и в
выражение для L. Чтобы устранить связанные с этим трудности,
при обработке использовался масштаб длины
I1 = 7I (T = */0,4), (1.110)
отличающийся от масштаба L формулы (1.33) тем, что
постоянная х, подлежащая в данном случае определению, заменена ее
традиционным приближенным значением 0,4. Выражения
(1.104) — (1.109) при этом сохраняют смысл с надлежащим
образом измененными значениями числовых констант.
Итак, располагая соответствующими экспериментальными
данными, мы можем составить систему уравнений типа (1.108)
или (1.109), число которых в обоих случаях равно
произведению числа измерений на число уровней, на которых
регистрируется средняя скорость ветра или температура. Здесь возникает,
однако, ограничение, связанное с необходимостью определения
и или 0 на уровне z=\L\\/n. Для того чтобы иметь возможность
найти эти величины путем интерполяции, необходимо, чтобы
удовлетворялось неравенство
^mln ^ 1 ^у An ах /1 1 1 1 \
где Zmin и 2тах — нижний и верхний уровни наблюдений (в
нашем случае соответственно 0,5 и 12 ж).
В излагаемой работе п было выбрано равным 20, что
позволило использовать наибольшую долю общего количества
данных измерений. Помимо этого, как часто делается при
статистической обработке материала, было отбраковано несколько
десятков измеренных значений скорости ветра и свыше ста
значений температуры, отклонения которых в безразмерных
координатах от средних взвешенных кривых превышали утроенные
средние квадратичные отклонения (при нормальном законе
распределения ошибок такие отклонения реализуются с
вероятностью 0,002). В результате из общего числа данных измерений,
составляющего примерно 1400 пар значений, было использовано
85% значений скорости и 80% значений температуры; 16%
использованных данных относилось при этом к устойчивой
стратификации (£>0) и 84%—к неустойчивой (£<0).

1.2.4. Экспериментальные данные
77
Таким образом, для определения наборов констант {f ! , ри»
7— с„ч~\Л\ и |(т«1#)"1,Р1,т"1'св^"1Умы полУчаем *ве пе"
реопределенные системы уравнений (постоянная х связана с у
формулой и=0,4 у). Поясним метод решения на примере
первой из них. При любом фиксированном значении т~ ч« система
(линейная относительно остальных неизвестных) может быть
решена обычным методом наименьших квадратов. При этом
минимизируется среднее квадратичное отклонение би измеренных
безразмерных значений скорости от аппроксимирующей кривой.
Имея такие решения для различных i lUJ можно построить
зависимость 6M(£u). Абсцисса минимума этой функции и дает
искомое значение £и. График 6tt(£u) приведен на рис. 1.18. На
рис. 1.19 в виде функции от £и нанесены значения констант ($и,
Си, х, а также рассчитываемых по ним % и аи. При решении
второй системы определить более или менее надежно значение
С0 аналогичным образом не удалось. Безразмерное среднее
квадратичное отклонение температуры ое оказалось в несколько
раз большим, чем би и практически не зависящим от Се.
Поэтому при определении рв, Се, а°н было принято С8= *и.
Полученные значения искомых констант приведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Эмпирические значения безразмерных универсальных констант
в интерполяционных формулах (1.104), (1.105) для универсальных
профилей скорости ветра и температуры
Константа
7.
Си
'?'и
ои
Скорость ветра 1
значение
0,434
9,91
1,25
-0,16
1,45
0,24
доверительный
интервал
0,013
0,43
0,08
Константа
Ре
с»
Ч
?;
ае
Температура
значение
0,83
10,4
1,43
-0,16
2,03
0,11
доверительный
интервал
0,35
2,36
0,21
Для констант, вычисляемых обычным методом наименьших
квадратов, определены (по формулам, указанным, например,
в книге Линника (1962)), доверительные интервалы,
рассчитанные с надежностью 0,95.

Си -М*
-40*
Рис. 1.18. Безразмерное
среднее квадратичное
отклонение 6м измеренных
значений скорости ветра от
аппроксимирующей кривой»
рассчитанной по формуле
(1.104), как функция
варьируемой константы £и
Рис. 1.19. Вычисленные
методом наименьших квадратов
эмпирические значения
безразмерных констант х, ptt» Cu, ри',
аи в интерполяционной
формуле (1.104), представленные в
виде функций варьируемой
константы £и
(>и-0,32 -0,2Ь -0.16
0.08

1.2.4. Экспериментальные данные
79
Область состояний устойчивости, к которой относятся
использованные при обработке данные наблюдений, определяется
неравенствами
-1,2 <^-<-0,002; 0,002 <-^-< 0,4. (1.112)
Участок \z/L| ^0,002 исключен вследствие необходимости
удовлетворения неравенству (1.111). Для нас этот участок интереса
не представляет. Практически он соответствует нейтральной
стратификации с логарифмическим профилем скорости.
-IS
-7
-J
C»z
^^
/L<0
-/
-2
-J
-1
-4 -5 -5
LnlQ
2
C-z/
L>0
V
ll
1
-J -2
Рис. 1.20. Безразмерные профили ветра в приземном слое воздуха
/—по формуле (1.104) с эмпирическими значениями констант из табл. 1.2;
2 — по формулам (1.152), (1.153), (1.157). Точками нанесены средние
взвешенные эмпирические значения. Вертикальные отрезки указывают средние
квадратичные отклонения
На рис. 1.20 и 1.21 приведены графики функций /„ (С) —
--/« (-20 sign Cj и/е (С)—/е (-20 sign -)• Кривые на этих рисунках,
построенные по формулам (1.104), (1.105), практически совпадают
с указанными отдельными точками средними взвешенными
значениями, полученными путем непосредственного осреднения
эмпирических данных. Отметим, что для безразмерного
профиля температуры средние квадратичные отклонения оказались
значительно большими, чем для безразмерного профиля ветра.
В особенности это относится к малым значениям |£| (т. е. к
состояниям, близким к нейтральному равновесию). Последнее

80
1.2. Теория подобия
неудивительно, так как при малых значениях турбулентного
потока тепла относительные погрешности его измерения
увеличиваются.
Как видно из сравнения доверительных интервалов,
эмпирические константы, характеризующие универсальный профиль
температуры, определены с существенно меньшей точностью,
/
/
1
C = Z/Z,>0 1
>
1\
V \
II
II
//
// 1
•г
h
LJ
5-5 -<* -3 -2 -7
Рис. 1.21. Безразмерные профили температуры в приземном слое
воздуха
/ — по формуле (1.105) с эмпирическими значениями констант из табл. 1.2;
2—по формулам (1.152), (1.153), (1.157) при а//=0,9. Точками нанесены средние
взвешенные эмпирические значения. Вертикальные отрезки указывают средние
квадратичные отклонения
чем константы, характеризующие профиль ветра. Учитывая это
обстоятельство, мы должны сказать, что в рассматриваемом
интервале значений £ различия между функциями fu (С) и /е (С)
по существу не обнаруживается. Таким образом, для
практических целей, вероятно, можно принять (снова опуская
аддитивные константы)
In С+ 9,9; при 0<С,
1п|С|+1,45С при -0,16<С<0, (1.113)
0,24 + 1,25С",;,>ри С < - 0,16,
и положить и = 0,43.
/лс)=/е(д =

1.2.4. Экспериментальные данные
81
Отметим, что интерполяционная формула (1.113) может
быть еще несколько упрощена без существенного уменьшения
се точности. В самом деле, как видно из рис. 1.18 и 1.19, если
принять £п=—0,07, то метод наименьших квадратов дает
ри = 10,0, Си=1,20, х=0,43, откуда Ptt = 0, аи=0,25. Среднее
квадратичное отклонение увеличивается при этом всего на 0,3%.
Поэтому, практически не увеличивая погрешности (ц
рассматриваемой области значений £), можно предложить взамен (1.113)
формулу вида
| 1пС+ ЮС при о<:,
Л(С) = /.(0= 1п|С| при -0,07<л<0,
I 0>25 + 1,2;-'3 при С < — 0,07.
(1.113а)
Наибольшее расхождение между функциями (1.113) и (1.113а)
достигается при этом в точке £=—0,07, где оно составляет
всего 0,09.
Заканчивая на этом обсуждение работы Зилитинкевича и
Чаликова, отметим, что результаты других работ, в которых
в той или иной форме используются интерполяционные
формулы типа (1.104), (1.105), представить в виде сводной
таблицы соответствующих безразмерных констант практически не
удается. Дело в том, что, как правило, полный набор констант
одновременно не определялся, а при этом обычно можно найти
лишь условные значения отдельных интересующих нас констант
(например, Си), соответствующие заранее фиксированным
значениям некоторых других констант (например, х или £и).
Понятно, что. непосредственное сопоставление полученных таким
образом эмпирических результатов оказывается
затруднительным. К этому следует еще добавить, что эмпирические значения
констант, фигурирующих в любых интерполяционных
формулах, могут различаться в зависимости от того, какую область
значений аргумента охватывают исходные данные.
Несмотря на указанные трудности объективного
сопоставления результатов, в целом сложно отметить, что значения
констант, приведенные в табл. 1.2, а также принятые в
формулах (1.113) или (1.113а), не слишком сильно отличаются от
значений, полученных в предшествующих работах Гурвича
(1965а), Мордуховича и Цванга (1966) и др., в которых также
использовались материалы измерений на экспериментальной
станции Института физики атмосферы АН СССР в пос.
Цимлянское. Как мы увидим далее (см. табл. 1.3, гл. 1.3), указанные
значения по существу неплохо согласуются и с результатами
обработки данных измерений в О'Нейле (США),
опубликованными Пановским, Блэкедаром и Мак-Вейлом (1960), а также,
** С. С. Зилитинкевич

82
1.2. Теория подобия
например, с данными Хёгстрёма (19676). В то же время имеется
существенное расхождение между результатами, полученными
по измерениям в СССР и Австралии. Главным образом оно
проявляется в том, что при неустойчивой стратификации
величина <хя первой из формул (1.48), представляющая собой
отношение коэффициентов турбулентного обмена для теплоты и для
импульса, в большинстве случаев оказывается практически
зу
* г
-11_
-Ч*
-W-2,0
-1,2 -0,8
1-2/L
1 02 ХЗ
4 5
Рис. 1.22. Эмпирические данные о функции £я/&м=ан(£)
/ — Керанг, Австралия (Суинбенк, 1964); 2 — Цимлянское, СССР (Мордухович и Цванг,
1966); 3 — Раунд-Хилл, США (Пановский и др., 1967); 4 — Керанг, Австралия (Чарнок,
19676)- 5 — Цимлянское, СССР (Зубковский, 1967); 6 — Цимлянское, СССР (Зилитинке-
вич и Чаликов, 1968а). На врезке показана зависимость <*// от динамического числа
Ричардсона R* по теории Монина — Эллисона (см. п. 1.3.3)
постоянной по данным измерений в СССР и в то же время
существенно зависящей от £ по австралийским данным.
Обработка последних, особенно показательная в этом отношении,
была выполнена Чарноком (19676), получившим, что ан
монотонно возрастает примерно от единицы при £=0 до 3,5 при
£=— 4,5. Близкие результаты получаются и по данным,
опубликованным Суинбенком (1964). Наконец, измерения в Раунд-
Хилле (США), обработанные Пановским и др. (1967), также
свидетельствуют о существенном росте ан с увеличением £ при
неустойчивой стратификации. Сводка экспериментальных
данных (У рассматриваемой зависимости приведена на рис. 1.22.

1.2.4. Экспериментальные данные
83
Комментируя этот рисунок, нужно сказать, что для получения
надежных сведений о зависимости ан(£) имеющихся данных,
по-видимому, недостаточно.
В связи с обсуждением вопроса о профилях средних значений
метеорологических элементов следует упомянуть о так называемой «штилевой
конвекции», т. е. конвекции в условиях очень малой или даже равной нулю
горизонтальной скорости, при которой по некоторым данным потенциальная
температура падает с высотой быстрее чем по «закону одной трети»,
соответствующему второй из формул (1.57). Подобное явление наблюдали Томас и
Таунсенд (1957) и Таунсенд (1959) в лабораторных условиях и Уэбб (1958)
в атмосфере, получившие, что при £< — 1 величина dQ/dz меняется с
высотой пропорционально z~2 (в согласии с теорией термической конвекции Мал-
куса, 1954а, б). Впоследствии вопрос о профиле температуры при штилевой
конвекции обсуждался в работах Таунсенда (1962), Пристли (1962),
Уэбба (1962), Дирдорфа и Уиллиса (1967). В качестве возможной причины
рассматриваемого явления Монин и Яглом (1965, гл. 4) указывают
дополнительный источник ошибок наблюдений, связанный с имеющим здесь место
резким ослаблением горизонтального перемешивания и обусловленный трудно
реализуемой необходимостью значительного увеличения периода осреднения
для получения надежных статистических характеристик турбулентности.
Высказывалось также предположение, что при отсутствии горизонтального
обмена существенное влияние на турбулентный режим могут приобретать
\словия зарождения восходящих струй в пределах подслоя молекулярного
обмена; в результате, как это предусматривается в теории Малкуса,
статистические характеристики турбулентности на всех высотах окажутся
зависящими от коэффициента молекулярной температуропроводности хн.
Следует подчеркнуть, что подавляющее большинство имеющихся в
настоящее время данных измерений в атмосфере при сильной неустойчивости
подтверждает «закон одной трети» для профиля температуры. Во всяком
случае, справедливость этого закона не вызывает сомнений вплоть до
значении £, близких к —1 (см., например, Дайер, 1965).
1.2.4.3. Характеристики турбулентных пульсаций
Изложим кратко некоторые сведения о простейших
одноточечных статистических характеристиках турбулентных
пульсаций скорости и температуры, имея в виду, что обширная сводка
данных такого рода имеется в гл. 4 книги Ламли и Панов-
ского (1964). Как уже отмечалось в 1.2.1.3, при надлежащем
нормировании подобные характеристики могут быть выражены
в виде универсальных функций безразмерной высоты £ или,
скажем, числа Ричардсона Ri.
На рис. 1.23 представлены эмпирические данные о
зависимости нормированных стандартных отклонений компонент
скорости аи = У и'2, °г,= У v'2, и sw = У w" от безразмерной
высоты L Кроме того, на рис. 1.24 отдельно приведена
зависимость от £ безразмерной полной кинетической энергии
турбулентности Ь2,и2. Данные о стандартных отклонениях
компонент скорости имеются также в работах Суинбенка (1955),
Перепелкиной (1957, 1962), Гурвича (19626), Зубковского
4*

<*!//*/*
*h
1 '—
г л
г
1
1
УМ
i
hi*
1 д
1
т
«а
д
i
д
т
J
•
J
Г" 1
д J
1 1
-0,8 -0,6
-ОМ -0,2
ОД
ОЛ
0,6
-0,8 -0,6 -0,4 -0,2
1,6
'Л
1,-Ь8 -0,6 -0,Ь -0,2
0.8 КО
0,2 0,4 0,6 0,8 U0
у
1
А
1
1
•
А
1
1111 1
• .
* • j
4V; „
i " ]
• /бм
Д40м "j
А
0,2 0.4 0,5 0,8X,=z/L
Рис. 1.23. Безразмерные стандартные отклонения составляющих
скорости ветра как функции от безразмерно"! высоты £ по
измерениям Крамера (1967) в Раунд-Хилле (США):
о — продольная составляющая, ау — поперечная составляющая, <sw —
вертикальная составляющая
Ъ2/и>
Ofil-zlL
Рис. 1.24. Зависимость безразмерной средней кинетической
энергии турбулентности Ь2/и2 от безразмерной высоты £ по
измерениям Крамера (1967) в Раунд-Хилле

1.2.4. Экспериментальные данные
85
(1962), Клюга (1965), Пановското и Прасада (1965), Морду-
ховича и Цванга (1966), Пановского и др. (1967), Зубковского
(1967), причем результаты разных работ согласуются между
собой весьма посредственно. Объясняется это, по-видимому,
нерепрезентативностью наблюдений, выполненных в условиях
пересеченной местности (подробнее см. дискуссию по статье
Колдера (1966)). Вероятно, относительно более надежными
можно считать показанные на рис. 1.23 данные Крамера,
поскольку при нейтральной стратификации они сравнительно
неплохо согласуются с результатами очень тщательных
лабораторных экспериментов Клебанова (1954) и Лауфера (1954),
согласно которым аи/и*«2,4, (Xt,/w*«l,7, crw/a*«0,8. Как видно
из рис. 1.23, ви/и* в рассматриваемом диапазоне значений £ от
стратификации практически не зависит, причем типичное
значение этого отношения составляет немного больше двух.
Отношение <rr/u* имеет слабую тенденцию к росту при переходе от
нейтральной к неустойчивой, а в меньшей степени и к устойчивой
стратификации, меняясь при этом, грубо говоря, в пределах от
полутора до двух. Наконец, ow/u* составляет примерно 1,1 при
устойчивой и нейтральной стратификации и заметно растет,
приближаясь к 1,5, по мере роста неустойчивости. Если учесть,
что и* в среднем составляет около 0,3 м/сек, для типичных
значений ои, ov и aw при нейтральной стратификации получаем
соответственно 0,65, 0,55 и 0,35 м/сек.
Сводка эмпирических данных о зависимости от £ нормиро-
ванного делением на \Т*\ стандартного отклонения температуры
приведена на рис. 1.25. Информация о
зависимости От1\Т*\ от условий устойчивости имеется еще в
работах Татарского (1956), Перепелкиной (1957, 1962) и Цванга
(1960а, 1962).
Очень большой разброс точек при малых значениях |£| на
рис. 1.25 связан с тем, что при близких к нулю £, как правило,
и |Г*|, и 0т оказываются очень малыми, а следовательно,
отношение вт/\Т*\ определяется с очень большими погрешностями.
С уверенностью говорить о характере зависимости От/\Т*\ от
стратификации на основании рис. 1.25 трудно, однако некоторая
тенденция к росту этого отношения с усилением устойчивости,
возможно, здесь и намечается. При грубых оценках ат/\Т*\,
вероятно, можно считать близким к единице. Что касается
непосредственно стандартного отклонения температуры От, то его
типичные значения для неустойчивой и устойчивой
стратификации будут существенно разными. Учитывая приведенные
в п. 1.4.5 оценки величин Я и ы*, получаем, что |Г*| в среднем
составляет около 1,5° при неустойчивой стратификации и около
0,15° при устойчивой. Согласно сказанному выше, примерно
такими же будут и типичные значения вт. При нейтральной

<st/\t*\
5
3
2
/
0
-0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0.3 -0.2 -0,1
u
L_
h
I
•
1 1 r
о
с
x * ■ Ji
°xo / , <$
Jx I.. .
)
1 1 1—
■ I
0 ° I
■
о
° о о. ,
О ■ ■ s|
л °0 X ■ Ш ,
I | I
■
i
8*
i r-1 ■ 1
■
• #*■•-■•
J l i
1 Г -■ 7" "
• • • • • •
•
-J 1 J
—г г
• 2
шЗ
x5
off
^_L
A
_j
• J
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Ofi^z/L
Рис. 1.25. Эмпирические данные о стандартном отклонении температуры аг, систематизированные на основе
теории подобия.
/ —Монин (19626), Цимлянское; 2 — Крамер (1957), Раунд-Хилл; 3—6 — Пановскип и др. (1967): 3 — Раунд-Хилл;
4__0'Непл по Леттау и Дэвидсону (1957); 5 —Австралия по Суинбенку (1955); 6 — Цимлянское по Мордуховичу
И Цвангу (1966)

1.2.4. Экспериментальные данные 87
стратификации в случае стационарности и горизонтальной
однородности турбулентного режима пульсации температуры
должны вообще исчезать. В приземном слое воздуха такие
состояния в чистом виде реализуются, вероятно, редко; но во
всяком случае по мере приближения стратификации к нейтральной
пульсации температуры ослабевают.
На рис. 1.26 представлены систематизированные на основе
теории подобия эмпирические данные о горизонтальном
турбулентном потоке тепла #i = cppaV. В соответствии со сказанным
н,/н
О
-/
-2
-J
-ч
-5
-0.8 -0.7 -0.6 -Of -Ofi -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 Ri
Рис. 1.26. Универсальный профиль продольной
составляющей горизонтального турбулентного
потока тепла #i
/ — по измерениям в Цимлянском (Зубковскип и Цванг,
1966; Зубковский, 1967); 2—по теории Монина — Элли-
сона (см. п. 1.3.3)
на стр. 33, отношение HJH оказывается по наблюдениям
отрицательным. Это легко объяснить следующим образом.
Рассмотрим, например, случай неустойчивой стратификации, когда
Я>0 и температура падает с высотой. Очевидно, что при этом
в движущихся вверх турбулентных вихрях будут
преимущественно наблюдаться положительные флуктуации температуры
и в то же время отрицательные флуктуации продольной
компоненты скорости (так как средняя скорость ветра растет
с высотой). Следовательно, в поднимающихся вихрях
пульсации V и и' преимущественно будут иметь противоположные
чнаки. В случае турбулентных вихрей, движущихся вниз, из
аналогичных соображений получаем, что как правило Т'<0
и ^'>0, т. е. снова пульсации V и и! оказываются
противоположных знаков. Таким образом, горизонтальный поток тепла,
пропорциональный и'Т\ оказывается при Н>0 отрицательным.
Совершенно аналогично объясняется положительный знак Нх
при устойчивой стратификации. При свободной конвекции
отношение Н\/Н должно обращаться в нуль, так как турбулентный
—1 1
| 2
*"*!
1 1 1
1 1
1 1
т 1
"""■* *ч
1
1 F Г~
i i
н

88
1.2. Теория подобия
режим не зависит в этом случае от среднего ветра и,
следовательно, оказывается горизонтально изотропным. Приближение
Н\1Н к нулю при усилении неустойчивости хорошо видно «а
рис. 1.26. В связи с этим рисунком отметим еще, что
наблюдаемые значения горизонтального турбулентного потока тепла
(до недавнего времени вообще не принимавшегося во внимание)
значительно превосходят значения вертикального потока. При
нейтральной стратификации, например, отношение — Н\\Н
составляет около трех.
Ненулевое значение горизонтального турбулентного потока
тепла Н\ в однородном по горизонтали приземном слое воздуха
свидетельствует об отличии от нуля недиагональной
компоненты kH тензора kH . коэффициента турбулентного обмена
для теплоты. Связь между Н\ и k^ выражается в
рассматриваемом случае в соответствии с (1.9) в виде Нг = — cppkHdBjdz.
Учитывая выражение (1.12) для Я, получаем отсюда H\jH^
kH kH = kH kIf / Таким образом, рис. 1.26 можно
интерпретировать и в терминах компонент тензора kH .. Детальное
обсуждение вопроса о тензоре kH . и горизонтальном
турбулентном потоке тепла Н\ см. в работе Яглома (1969).
Что касается пульсаций влажности, то данных о них,
систематизированных на основе теории подобия, фактически не
имеется. Естественно, однако, ожидать, что профили
статистических характеристик поля влажности (а также и других
пассивных примесей) подобны профилям аналогичных
характеристик температурного поля. Иными словами, есть основания
предполагать, что для таких, например, величин, как oq= у q'2,
Ei=pu'q' и т. п., окажутся справедливыми выражения типа
°J\9.\ = °TI\T*\' Еи'Е = Н11Н.
Рассмотрим еще данные измерений отдельных членов
уравнения для турбулентной энергии (1.22). Определение
механической продукции и2ди'дг и члена р#/срр, описывающего эффект
плавучести, как нетрудно заметить, фактически сводится к
измерению турбулентных потоков импульса и тепла. Способы
экспериментального определения вязкой диссипации е будут
обсуждаться в п. 2.2.4.3. Здесь мы отметим только, что
измерений е в приземном слое воздуха выполнено довольно много,
причем уже имеются попытки систематизации соответствующих
данных на основе теории подобия. Так, например, безразмерная
эмпирическая зависимость *zelu3 от £ строилась по
наблюдениям в Раунд-Хилле (США) в работах Пановского и др. (1967)
и Буша и Пановского (1968), использовавших, помимо
собственных измерений, также данные Рекорда и Крамера (1966).

1.2.4. Экспериментальные данные
89
В первой из этих работ оценивался также и диффузионный
член —зз-, результаты измерений которого систематизирова-
лись в виде безразмерной зависимости (—7^)1\Т*~) от £•
Отметим еще работу Зубковского (1967), рассматривавшего
связь между величинами u2du^dz^ $Н1срр и е. Согласно взя-
ю ю7 ю3
е см7/сен3
Рис. 1.27. Связь между различными членами
уравнения для турбулентной энергии (1.22) по
измерениям на высотах 1 и 4 м в Цимлянском (Зуб-
ковский, 1967)
тому из этой работы рис. 1.27, указанная связь при изменении е
от 10 до 103 см2/сек? может быть аппроксимирована линейной
зависимостью вида г — (и?ди дг + ?///срр).
Укажем, наконец, работы Сермака и др. (1966), Сермака и
Чжана (1967), Чжана и Сермака (1967), Армита и Конихана
(1968), в которых сопоставляются результаты измерений
статистических характеристик турбулентности в атмосфере и в
специальных аэродинамических трубах.
Нам остается обсудить результаты измерений спектров
турбулентности в приземном слое воздуха. Особенно широко такие
измерения велись в течение последних лет над сушей в
Институте физики атмосферы АН СССР, Пенсильванском
университете США и Отделении метеорологической физики Государ-

90
1.2. Теория подобия
ственного комитета научных и технических исследований
Австралии, а над морем — в Морском гидрофизическом инстиг
туте АН УССР и Океанографическом институте Университета
Британской Колумбии в Канаде. В настоящее время накоплено
большое количество данных о временных и пространственных
спектрах компонент скорости, температуры и турбулентных
потоков количества движения и тепла в широком диапазоне
частот на различных высотах и при различной стратификации.
Отметим, что сопоставление временных спектров, измеренных
на башне или мачте, и пространственных, измеренных с
самолета, подтвердило применимость гипотезы замороженной
турбулентности, которая использовалась в 1.2.1.3 при обсуждении
следствий теории подобия, касающихся временных спектров.
Сводка основных результатов по всем этим вопросам имеется
в гл. 5 книги Ламли и Пановского (1964) и в § 23 книги Монина
и Яглома (1967).
Рассмотрим данные о спектрах, систематизированные на
основе теории подобия. Примеры безразмерных временных
спектров продольных и вертикальных пульсаций скорости,
нормированных по-разному, но в обоих случаях в соответствии
с теорией подобия, изложенной в 1.2.1.3, приведены на рис. 1.28.
На спектрах Su хорошо виден инерционный интервал
(соответствующий «закону пяти третей», показанному прямой линией),
низкочастотная граница которого смещается в сторону высоких
частот при переходе к более устойчивой стратификации. Форма
спектров Sw также закономерно меняется в зависимости от
стратификации: легко заметить, в частности, что основная доля
энергии вертикальных пульсаций скорости при устойчивой
стратификации приходится на более высокие частоты, чем при
неустойчивой. В самом деле,
оо оо
al = J Sw (") dn = J nSw ("J rf,n *•
о о
а следовательно, площадь, лежащая под некоторым участком
рассматриваемой кривой, показывает вклад соответствующего
интервала частот в полную дисперсию ow. Как видно из
рисунка, наибольший вклад в aw вносят частоты п «0,2 u/z при
неустойчивой стратификации, я «0,5 u/z при нейтральной
стратификации и пжи/z при устойчивой стратификации; вклад
инерционного интервала в ow составляет около 30%.
Безразмерные временные спектры температурных пульсаций
показаны на рис. 1.29. При нормировке здесь использован
масштаб температуры dQ/д In z, который легко определяется
эмпирически и связан с Г* очевидным соотношением
де/д1пг=7>в(С),
где ?е — универсальная функция третьей из формул (1.41).

пЗш(п)/в^
0,35
0,30\-
0,2S\-
0,20V-
0,05
Ofii 0,1 1 ю worn/и
0,15 U
0,10
ifl 10 пг/и
Рис. 1.28. Безразмерные спектральные плотности пульсаций
скоростей ветра при различной стратификации
а — продольная компонента, по Зубковскому (1962); б — вертикальная
компонента, по Гурвичу (I960). Цифры около кривых — значения Ri
Ю 712 /U
Рис. 1.29. Безразмерные
температурные спектры при различной
стратификации, по Цвангу (1960а)
Цифры около кривых значения Ri

92
1.2. Теория подобия
Отметим, что высокочастотные участки температурных
спектров, лежащие правее безразмерной частоты пг/««0,8,
подтверждают «закон пяти третей», соответствующий инерционному
интервалу.
1.2.5. ЭФФЕКТ СТРАТИФИКАЦИИ ВЛАЖНОСТИ
1.2.5.1. Модификация критериев устойчивости
До сих пор, рассматривая стратифицированный приземный
слой, мы считали, что пульсации плотности р', определяющие
ускорения плавучести — gp'/P» выражаются по формуле (1.20),
т. е. зависят только от пульсаций температуры. При наличии
значительных флуктуации влажности это утверждение, однако,
становится неточным. Рассмотрим подробнее случай влажной
атмосферы, следуя в основном работе автора (Зилитинкевичг
1966в). Уравнение состояния здесь, в отличие от (1.19),
записывается в виде
P=R?fm9 (1.114)
где fв — так называемая виртуальная температура,
определяемая по формуле
Tu=T(l + 0filq) (1.115)
(см., например, Тверской, 1962). Напомним, что волной сверху
отмечаются суммы средних и флуктуационных значений;
например, Тв означает Тв + Т'ъ.
Хотя отклонение Тв от Т заведомо не превосходит
нескольких процентов, флуктуации Т'в и V могут различаться сколь
угодно значительно. Таким образом, для относительных
пульсаций плотности р7р мы должны использовать вместо (1.20)
следующее выражение: .• ,
^«-(^■ + 0f61^)«--(-f + 0,61^). (1.116)
В результате уравнение для турбулентной энергии
принимает вид
,ди jw + o.eiggpE l^._£ = o (1.Н7)
* dz ' срр р dz
Динамическое число Ричардсона, представляющее собой
взятое с обратным знаком отношение конвективного и механи-

1.2.5. Эффект стратификации влажности
93
ческого членов в рассматриваемом уравнении, будет теперь
выражаться следующей формулой:
r; = r,(i+/), (1.И8)
где R/ — величина, определяемая формулой (1.23), а /=
= 0filcpTE/H=0fi\Tq1l/T1t — безразмерное число, являющееся
мерой относительной значимости эффектов стратификации
влажности и температуры. Это число удобно выразить через
обычно измеряемое отношение Боуэна Во=Н/£ Е следующим
образом:
/ =/гс/Во, (1.119)
где m=0filcpT/3?— безразмерный коэффициент, зависящий
только от температуры:
Температура, & °С —10 —5 0 5 10 15 20 25 30
m -0,61 -^- . . 0,064 0,0655 0,057 0,0685 0,070 0,0715 0,073 0,075 0,078
Выражая Н/Срр, Е/р и и2 = х/р по формулам (1.12) — (1.14)
и полагая, что коэффициенты турбулентного обмена для
теплоты kH и для пассивной примеси kD совпадают, формулу (1.118)
можно преобразовать к следующему виду:
Pi* — ■
Ki =-k
^R;=Ri(l + /) = p(d-g- + Ta)/(^)2, (1.120)
где Ri* — модифицированное с учетом стратификации
влажности градиентное число Ричардсона; Ri — число Ричардсона
формул (1.25) или (1.26).
Обратимся теперь к выяснению того, как должен
формулироваться основной принцип подобия Монина — Обухова для
турбулентного режима в приземном слое при наличии
стратификации влажности. Система уравнений приближения свободной
конвекции, в отличие от (1.28) — (1.32), в данном случае будет
иметь вид
Ж + ««^ = - ТЩ + ^»J-W + 0.61W) взу,
dxi и'
М , ~ М АО

94
1.2 Теория подобия
Введем линейную комбинацию потенциальной температуры и
удельной влажности
?B = e-bO,61-f J. (1-122)
При этом ускорение плавучести в первом из уравнений
системы (1.121) выразится в виде
(Рв/ + 0,61^/)»8у = Рв;»з/. (1.123)
а последние два уравнения этой системы можно заменить
следующим уравнением для 9В:
тг + "' йг = ^ + °>61 f ^А?- (1 • 124>
Осредняя (1.124), получаем
H^cp9riWK-cp?lH^- - 0,61 -f V/dS" = const (1Л25>
Осреднение же уравнений движения по-прежнему приводит
к соотношению (1.31), означающему постоянство по высоте
вертикального потока импульса т.
Вспомним теперь, что в области развитой турбулентности
молекулярные члены в выражениях (1.31), (1.125), а если
исключить высокочастотную часть спектра, то и в уравнениях
(1.121), (1.124) пренебрежимо малы и могут быть опущены.
Используя основанную на этом гипотезу Монина — Обухова
о независимости режима развитой турбулентности от
молекулярных констант и аэродинамических характеристик
подстилающей поверхности (ср. 1.2.1.1) и учитывая, что ЯВ=Я(1+/),
убеждаемся, что все изложенные выше выводы теории подобия
для температурно-стратифицированной среды сохраняют силу и
в случае влажной атмосферы, если только масштаб длины L
формулы (1.33) заменить на
I* = L(1 +/) (1.126)
и соответственно безразмерную высоту £ формулы (1.34)—на
С» = г/1*=С(1+/). (1.127)
Вид универсальных функций fu, /е» /<* и т- п-> разумеется,
остается при этом прежним.
1.2.5.2. Эмпирические оценки
Выясним, насколько существенным может быть
обсуждаемый эффект в реальных условиях. По оценкам Свердрупа
(1943-), над океаном типичные значения отношения Боуэна со-

1.2.5. Эффект стратификации влажности
95
ставляют в среднем 0,1, а для умеренных широт летом — 0,2.
Поскольку /п«0,07, для указанных случаев получаем
соответственно /«0,7 и /«—0,35. Уже эти числа свидетельствуют
о целесообразности учета стратификации влажности при
определении условий устойчивости в приводном слое воздуха над
поверхностью океана.
Следует, однако, помнить, что в отдельных случаях
значения / могут существенно превосходить указанные выше средние
величины. Проиллюстрируем этот факт, воспользовавшись
полученными в уже цитировавшейся работе автора результатами
обработки материалов экспедиции Главной геофизической
обсерватории на Цимлянское водохранилище осенью 1961 г.
В комплекс наблюдений этой экспедиции входили, в частности,
измерения температуры Т2 и влажности q2 в воздухе на высоте
2 м, температуры воды Т8, а также скорости ветра на пяти
уровнях. Считая относительную влажность воздуха вблизи
водной поверхности равной 100%, мы можем, зная температуру
воды и атмосферное давление, определить здесь удельную
влажность qs по формуле (1.81), а затем вычислить отношение
Боуэна по известной формуле
Во = -г"^£- <1Л28>
Для получения этой формулы достаточно допустить, что функ-
ции Рь и Ра формул (1.87), а также функции /е и /« формул
(1.43) и (1.44) совпадают, т. е. фактически, что механизм
вертикального переноса тепла и влаги один и тот же.
Материалы экспедиции содержали 145 случаев наблюдений,
по которым средние значения перепадов температуры и
влажности оказались равными соответственно 2,0° и —6,7 г/кг. Эти
числа дают /«—0,6, что по порядку величины приближается
к оценке Свердрупа для океана в средних широтах летом.
Частоты реализации различных значений /, рассчитанных с
помощью формул (1.119), (1.128), приведены в следующей
таблице:
Интервал значе- —оо —5 -—1 —0,5 —0,25 0,25
ний /=/я/Во —5 —1 -0,5— 0,25 + 0,25 0,5
Число наблюдений 3 1 3 5 19 58
Повторяемость, % 2,1 0,7 2,1 3,4 13,1 40,0
Отметим, что доля случаев, в которых |/|>1, т. е. влияние
стратификации влажности является преобладающим, составляет
18%.
Для иллюстрации эффекта влажности наибольший интерес
представляют случаи, когда /<—1. Подобных случаев среди
имевшегося материала оказалось всего четыре. В каждом из
0,5
1
34
23,4
1
5
21
14,5
5
оо
1
0,7

96
1.2. Теория подобия
них, несмотря на рост потенциальной температуры с высотой,
стратификацию приземного слоя, согласно критериям (1.118),
(1.120) или (1.127), следует считать неустойчивой. Этот
вывод подтверждается и формой
соответствующих профилей
ветра, графики которых
приведены на рис. 1.30. Как и
должно быть в условиях
неустойчивой стратификации, в
полулогарифмической системе
координат (скорость как функция от
логарифма высоты) все четыре
кривые оказываются
выпуклыми.
0.5 1.0
5.5 ДО 2М
Рис. 1.30. Примеры профилей ветра
над Цимлянским водохранилищем,
иллюстрирующие влияние
стратификации влажности на
гидростатическую устойчивость. Осреднение за
10 минут
/ — 10 сентября, 18 час» &s -20,6° С, 02=
-21,0° С, <72=7,3 г/кг, /=-3,6; 2—12
сентября, 14 час, Ъ8 -20,2° С, 02=20,3° С,
«72=6,7 г/кг, /=—14,7; 5—12 сентября,
15 час, Qs -20,2е С, 02-20,3° С, <72«6.8 г/кг,
/—14,5; 4—12 сентября, 16 час, &s —
=20,2° С, 02=20,2° С, «72=6,8 г/кг, I оо
Детальные сведения о повторяемости различных значений
параметра / в приводном слое воздуха получены в работе Ки-
-/ о
7=7П/ВО
Рис. 1.31. Гистограмма параметра /=т/Во в приводном слое
воздуха, по Китайгородскому (1968а)
тайгородского (1968а). Взятая из этой работы гистограмма
величины /, рассчитанной по данным градиентных наблюдений

1.3. Полу эмпирические теории
97
Такахаши (1958) и Флигла и др. (1958), приведена на рис. 1.31.
Аналогичные гистограммы построены Китайгородским также по
данным кораблей погоды С и Е. Все эти материалы
свидетельствуют о заметной роли эффекта стратификации влажности над
океаном.
Укажем в заключение основную литературу, относящуюся к
обсуждаемому здесь вопросу. Тот факт, что стратификация влажности может
оказывать влияние на гидростатическую устойчивость атмосферы, отмечался
Константиновым (1952), а впоследствии Диконом и Уэббом (1962) и др.
Количественные оценки поступления турбулентной энергии за счет работы
обусловленных флуктуациями влажности архимедовых ускорений приводились
в гл. 2 книги Ламли и Пановского (1964). В цитированной выше работе
автора были указаны модификация _ критериев Ричардсона и Монина —
Обухова и формулировка основного принципа подобия для влажной
атмосферы. Аналогичные полученным здесь формулы были указаны также
Краусом и Морисоном (1966) и Краусом (19676). Наконец, в работе Монина
(1967а), уже цитировавшейся в п. 1.1.1, был выполнен общий анализ
турбулентного режима в приземном слое с учетом как стратификации
температуры и влажности, так и радиационного теплообмена.
1.3. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
В настоящей главе мы рассмотрим теоретические модели
турбулентного режима в приземном слое воздуха, т. е. модели,
основанные на замыкании системы осредненных уравнений
движения и переноса тепла с помощью тех или иных
дополнительных уравнений и полуэмпирических гипотез. Как мы увидим
далее, подобные модели мало что добавляют к той информации,
скажем, о профилях скорости, температуры и влажности,
которую дают систематизированные на основе теории подобия
экспериментальные данные. Однако если принимаемые гипотезы
приводят к результатам, хорошо согласующимся с
эмпирическими, и в то же время носят достаточно общий характер, то
на их основе можно пытаться строить теорию
микрометеорологических процессов, выходящую за рамки описания
рассматриваемого здесь простейшего автомодельного режима. В этом,
по-видимому, и заключается основная задача, стоящая перед
полуэмпирической теорией атмосферных турбулентных
движений.
Подробный обзор теоретических моделей турбулентного
режима в приземном слое воздуха имеется в гл. 4 книги Монина
и Яглома (1965). Ряд сведений по указанному вопросу приведен
также в гл. 3 книги Ламли и Пановского (1964) и в обзорных
статьях Монина (1962а), Буша и др. (1968) и автора (Зилитин-
кевич, 1964, 1966а). Это позволяет нам ограничиться здесь
обсуждением лишь тех работ, которые представляют
наибольший интерес с точки зрения современных представлений.
Ограничивая круг рассматриваемых моделей, исключим прежде

98
1.3. Полуэмпирические теории
всего те из них, которые не согласуются со следствиями теории
подобия, изложенными в 1.2.1.2. Кроме того, не будем
рассматривать чисто умозрительные интерполяционные формулы для
универсальных профилей тех или иных характеристик, хотя бы
они и обладали требуемыми асимптотическими свойствами.
Наибольший интерес для нас будут представлять профили
скорости, температуры и влажности, т. е. функции /м, Л и fa-
При этом, поскольку эффект стратификации влажности
сводится к изменению шкалы безразмерных высот и, кроме того,
функции /е и fa (в рамках модели приземного слоя, не
учитывающей радиационного теплообмена) есть все основания считать
совпадающими, мы можем ограничиться обсуждением случая
температурно-стратифицированной атмосферы.
1.3.1. ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ
В 1.2.1.1 уже отмечалось, что осреднение уравнений
движения и переноса тепла приводит к соотношениям (1.31), (1.32),
которые в интересующей нас области развитой турбулентности
означают постоянство по высоте турбулентных потоков
импульса t и тепла Н. Выражая эти потоки по формулам (1.14)
и (1.12) и используя обозначения (1.15), (1.16), получаем
kM —- ~ul = const, кн7Г~ = Ш*Т* = const. (1.129)
Установление профилей скорости и температуры, таким
образом, эквивалентно установлению профилей коэффициентов
турбулентного обмена км и &я. Отметим, что использование
формул (1.129) само по себе не вносит каких-либо ограничений,
так как здесь мы просто выражаем одну неизвестную величину
(du/dz или dQ/dz) через другую (kM или kH).
Классическая теория пути смешения позволяет, как известно,
решить рассматриваемую задачу лишь в случае нейтральной
стратификации. Замыкание уравнений (1.129) производится при
этом следующим образом. Коэффициент турбулентного обмена,
скажем, для импульса kM, выражается по формуле
*„ = /«§■, (1.130)
где / — путь смешения (длина, характеризующая средний
размер турбулентных возмущений), причем произведение Idu/dz
интерпретируется как типичное значение пульсаций скорости.
Согласно Прандтлю (1932а), величина I зависит только от
расстояния до стенки, а следовательно, выражается в виде
/ = XZ,
(1.131)

J.3.1. Основные гипотезы
99
где к — безразмерная константа (постоянная Кармана). Из
уравнений (1.129) — (1.131) получается выражение для профиля
скорости, совпадающее с первой из формул (1.51).
Возможность определения пути смешения в более общей
форме представляет формула Кармана (1930)
(ди
)/(£). <|132>
которая получается с помощью соображений размерности, если
предположить, что / зависит только от первой и второй
производных функции u(z) в данной точке. От величины средней
скорости путь смешения зависеть не может в силу галилеев-
ского принципа инвариантности. Поэтому указанное
предположение является простейшей из возможных гипотез о связи
между величиной / в данной точке и полем средней скорости
в ее окрестности. Отметим, что формула (1.132) была получена
Карманом на основе гипотезы о локальном кинематическом
подобии поля флуктуации скорости, не согласующейся с
современными представлениями о турбулентном движении. Близкий
к изложенному выше вывод формулы Кармана впервые был
дан Лойцянским (1933). Решение системы (1.129), (1.130),
(1.132) снова приводит к первой из формул (1.51). Таким
образом, формула Прандтля (1.131) и формула Кармана (1.132)
в рассматриваемом случае оказываются эквивалентными.
Дальнейшее развитие полуэмпирической теории
турбулентности связано с работой Колмогорова (1942), предложившего
метод замыкания осредненных уравнений движения,
основанный на использовании уравнения для турбулентной энергии и
так называемой гипотезы приближенного подобия.
Применительно к рассматриваемой здесь задаче о движении
стратифицированной среды подход, о котором идет речь, был развит
Обуховым (1946) и Мониным (1951а). Путь рассуждений, принятый
в указанных работах, состоит в следующем. Система (1.129)
дополняется уравнением
■тг- + Ь з— "п ~з s = 0, (1.133)
kM срр ' dz Q dz * v /
которое получается из (1.22), если подставить в него первое из
соотношений (1.129), и, кроме того, вертикальный поток
турбулентной энергии Q выразить через вертикальный градиент
энергии db2/dz и соответствующий коэффициент обмена kQ по
формуле
3 = -р*<?-аг' (1Л34)
вполне аналогичной формулам типа (1.12) и (1.13).

100
1.3. Полуэмпирические теории
Далее, полагается, что фигурирующие в уравнениях (1.129)
и (1.133) коэффициенты обмена kM, kH и kQ и скорость
диссипации турбулентной энергии е в первом приближении можно
считать полностью определяющимся значениями двух основных
характеристик турбулентности — средней кинетической энергии
пульсаций Ь2 и среднего пространственного масштаба
пульсаций / (аналогичного пути смещения) *. При этом с помощью
соображений размерности сразу получаем
км = *Л = V*Q = *о*Л £ = сгь'л '. (1.135)
где ану oq, Со и ct — безразмерные константы. Отметим, что
один из коэффициентов с0 или сг мы можем выбрать
произвольно (внеся соответствующий множитель в определение
величины /). Для сокращения записей удобно принять сг = с* и
использовать при этом вместо каждой из указанных констант
соответствующую степень величины с, равной
c = c* = ct>. (1.136)
Заметим, что если пренебречь диффузионным членом в
уравнении для турбулентной энергии (скажем, положив (Xq=0), то при
нейтральной стратификации из (1.129), (1.133), (1.135), (1.136)
получается формула Прандтля (1.130).
Как уже упоминалось в п. 1.1.2, диффузионный член в
уравнении для турбулентной энергии иногда либо отбрасывают, либо
полагают пропорциональным конвективному, т. е. выражают
в виде
~г£-<—"£• <'-137>
где а — безразмерная константа (которая появляется теперь
взамен а<?). В результате указанное уравнение принимает вид
А + аЖ.-г=0. (1.138)
*М СР<*
Коэффициент пропорциональности а—1 в формуле (1.137),
а следовательно, и коэффициент а в уравнении (1.138) можно
считать, вообще говоря, различными при устойчивой и реустой-
1 В этом и состоит основная гипотеза, согласно которой имеет место
приближенное подобие турбулентных режимов при условии, что
характеризующие их величины Ь2 и / совпадают. Отметим, что аналогичная гипотеза
была предложена позднее Гейзенбергом (1948), который, правда, в качестве
определяющих характеристик турбулентности использовал ей/. Легко
видеть, однако, что получаемые при этом из соображений размерности
формулы для коэффициентов обмена и средней энергии пульсаций эквивалентны
формулам (1.135).

1.3.1. Основные гипотезы 101
чивой стратификациях. Такое введение двух эмпирических
констант вместо одной, разумеется, позволяет достичь лучшего
согласования с экспериментальными данными.
Отметим, что, поскольку отношение kH/kM = aH считается
постоянным, универсальные профили скорости и температуры
в рамках обсуждаемой теории оказываются связанными
следующей зависимостью:
/.<« = «*/•<*)•
Для замыкания рассматриваемой системы при любом из
двух указанных здесь вариантов определения диффузионного
члена в уравнении для турбулентной энергии теперь достаточно
так или иначе выразить масштаб турбулентности / через
другие характеристики.
В работе Обухова (1946), в которой изложенный выше
подход был применен впервые, уравнение для турбулентной
энергии использовалось в форме (1.138), а масштаб турбулентности
при любой стратификации задавался формулой (1.131) !.
Получаемое при этом уравнение для величины «и= jp-gj- может быть
записано, в частности, в виде
?« = (1-^/Г,/4> (1.139)
или
9e = (l _a'RI)-i;\ (1.140)
где a"l=R/ и (О-1 = («//-)"! = Шкр— критические значения
соответственно динамического и градиентного чисел Ричардсона.
В рамках рассматриваемой теории формулы (1.139) и (1.140)
эквивалентны, поскольку отношение kHlkM считается здесь
постоянным. В то же время, если рассматривать их
безотносительно к приведенному выше выводу, эквивалентность,
разумеется, не будет иметь места.
В зарубежной литературе первую из указанных формул
часто называют уравнением Эллисона (по фамилии автора,
который получил ее в 1957 г. независимо от Обухова и несколько
другим способом), а вторую — уравнением KEYPS (по
начальным буквам английской транскрипции фамилий следующих
авторов: Казанский (Казанский и Монин, 1956, 1958), Эллисон
(1957), Ямамото (1959), Пановский (1961а), Селлерс (1962)).
Обе эти формулы (1.139) и (1.140) рассматривались впоследствии
v Согласно общему принципу подобия (см. п. 1.2.1), отношение l/z
является универсальной функцией безразмерной высоты t,=z/L. Отсюда сразу
вытекает справедливость формулы (1.131) при нейтральной стратификации.
Возможность применения этой формулы в общем случае, разумеется,
гипотетична

102
1.3. Полуэмпирические теории
в очень многих работах. В результате было установлено,
что при надлежащем выборе констант а или а' они
удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.
Некоторые из эмпирических значений указанных констант приведены
в табл. 1.3. Бросающееся здесь в глаза расхождение между
результатами, полученными по измерениям в Австралии, с одной
стороны, и в СССР и США, с другой, имеет ту же причину, что
и обсуждавшееся выше аналогичное расхождение в определении
зависимости кн1км=а>н(£) (см. рис. 1.22). В дополнение к
таблице укажем еще значение а'=11, полученное Паульсоном
(1967) по измерениям над морем, а также оценку 5,5<а<7,
полученную Пановским (1965) по данным измерений Суинбенка
в Керанге.
Таблица 1.3
Эмпирические значения безразмерных констант а и а' в формулах
(1.139) и (1.140) для безразмерного градиента средней скорости
Авторы
"Пановский, Блэкедар и
Мак-Вейл (1960)
Чарнок (1967а)
Зилитинкевич и Чали-
ков (1968)
Источник
экспериментальных данных
Измерения Бареда (1958) в
О'Нейле (США)
Измерения Суинбенка
(1964) в Керанге
(Австралия)
Измерения в Цимлянском
(СССР) (материал
экспедиций Института физики
атмосферы АН СССР в
1963—1965 гг.)
Интервал
состояний
устойчивости
~к;<01
-4<С<0
—1,2<С<0,4
а
14
4
12
а'
18
17
И
1 В области 0<£<0,5 при приведенных значениях а и а'
рассматриваемые формулы с экспериментальными данными Баргда согласуются плохо.
В связи с обсуждаемой теорией отметим, что вытекающее
из (1.139) уравнение для функции фи(£) может быть
представлено в виде
ср4 _ а;?з _ х =0# (1.141)
Решение этого уравнения четвертой степени в радикалах и
соответствующее выражение для fu(t) выписаны и подробно
проанализированы в работах Сионо и Хамуро (1962), Окамото
(1963) и Клюга (1963).
Система уравнений (1.129), (1.133), (1.135) была
рассмотрена в работе Монина (1951а). Для определения масштаба
турбулентности здесь снова использовалась формула (1.131).
Выполненные в указанной работе расчеты показали, что при а$=1
диффузионный приток турбулентной энергии, выражаемый в

1.3.1. Основные гипотезы
103
г, д и db*
виде ^r«Q^j-> играет сколько-нибудь заметную роль лишь
в условиях сильной неустойчивости. За пределами области боль*
ших отрицательных^ полученное Мониным выражение для
функций /и (С) — ая/0 (ч) оказалось очень близким к решению
Обухова при а= 1.
В ряде работ предпринимались попытки обобщить формулу
Прандтля (1.131) путем включения в правую часть того или
иного множителя, зависящего от стратификации. Простейший
вариант такого обобщения предложен в работе Казанского и
Монина (1956), в которой отношение l/xz при устойчивой
стратификации (во всей области положительных значений £)
приравнивается комбинации (1 — oRf) или (1—a'Ri), взятой в
некоторой положительной степени. Иными словами, выражение
для / записывается в виде
Z = xz(l-oR/)'2-'\ (1.142)
где n>lU — константа, подлежащая эмпирическому
определению. Использование формулы (1.142) в сочетании с (1.129) у
(1.135), (1.138) приводит к следующему соотношению:
?w=(l-aR/)-rt. (1.143>
Основываясь на имевшихся в то время экспериментальных
данных, Казанский и Монин приняли л = 0,6 и выписали
соответствующее выражение для /и(£). Позднее формулу (1.143) при
/г = 6 использовал Борковский (1964).
Некоторые другие выражения для отношения l/xz предлагались-
Дж. Нейманом (J. Neumann — см. Наито, 1964) и Бузингером (1959).
В последующей работе Бузингера (1961) масштабы турбулентности
определялись более сложным образом, причем считались различными для
вертикальных пульсаций механического и конвективного происхождения.
Наконец, в работах Иорданова и Крыстанова (1962а, б) предлагалась
интерполяционная формула, связывающая режим вынужденной и свободной конвекции,
непосредственно для отношения &м/иы*г, т. е. для коэффициента
турбулентной вязкости. При надлежащем выборе входящих в них безразмерных
констант все эти выражения приводят к более или менее удовлетворительному
согласию теории с экспериментом.
Отметим еще не согласующиеся с тем или иным из асимптотических
требований теории подобия работы Као (1959), Матвеева (1960), Суинбенка
(1964), Пандольфо (1966), Ямамото и Шимануки (1966), которые, однако,
содержат ценные эмпирические данные об универсальных профилях
скорости и температуры.
Если иметь в виду перспективу дальнейшего расширения
сферы приложений рассматриваемой полуэмпирической теории,
то при определении масштаба турбулентности целесообразно"
принимать в качестве исходного выражения не формулу
Прандтля (1.131) (и при нейтральной стратификации применимую»
только в пристеночной области течения), а формулу Кармана

104
1.3. Полуэмпирические теории
(1.132), удобную тем, что она связывает I с локальными
характеристиками среднего движения.
Обобщение формулы Кармана на случай температурно-стра-
тифицированной среды может быть произведено следующим
образом. Прежде всего естественно предположить, что в условиях
свободной конвекции масштаб турбулентности зависит только
от характеристик среднего профиля «плавучести» р6(2).
Рассуждая далее аналогично тому, как это делалось при получении
формулы (1.132), т. е. ограничиваясь в качестве определяющих
характеристик первой и второй производными рассматриваемой
функции, получаем из соображений размерности
' — '-ЧР/ТР. <Ы44)
где х' — аналогичная постоянной Кармана положительная
безразмерная константа (изменчивостью параметра плавучести р,
разумеется, можно пренебречь, и тогда правая часть (1.144)
будет пропорциональной отношению первой и второй
производных профиля потенциальной температуры). Следуя идее Лой-
цянского (1933, 1935), предположим теперь, что в общем
случае / выражается в виде
'--"эйт. <1Л45>
где *¥ — определяемая с точностью до постоянного сомножителя
характеристическая функция (зависящая от градиентов
скорости и плавучести), для которой Iявляется масштабом
внутреннего подобия. Для того чтобы в предельных случаях формула
(1.145) переходила в (1.132) и (1.144), функция Ч* должна
обладать следующими асимптотическими свойствами:
dz
при £-*0, *"~(Pgj"J при£-> — oo.
Поскольку оба эти асимптотические выражения должны иметь
одинаковую размерность, из их сопоставления сразу получаем
х' = 2х. Учитывая это обстоятельство, простейшую
интерполяционную формулу для "ЧР можно записать в виде
*'=(£-)'-*'?£. <!-146>
где о' — безразмерная константа. Вытекающая отсюда формула
для / была предложена в работе Зилитинкевича и Лайхтмана
(1965а), в которой величина о' фактически принималась
равной так же обозначенной константе а' = ая(х, фигурирующей
в уравнении (1.140) (кроме того, в указанной работе
полагалось а=1). Если принять эту дополнительную гипотезу, то,

J.3.2. Простейшая модель приземного слоя
105
используя формулы (1.129), (1.135), (1.136), (1.138), масштаб
турбулентности I окончательно можно выразить в виде1
/ = -*та' w = b'1 (1Л47>
(точнее, при этом получается ЧГ = с ЛЬ I, однако постоянный
коэффициент с" здесь не играет роли и может быть опущен).
Любопытно, что это же самое выражение можно было бы
получить на основе уже использовавшейся выше (при выводе
формул (1.135)) гипотезы приближенного подобия. В самом деле,
вторая из формул (1.147) непосредственно вытекает из
предположения, что функция Ч1", имеющая размерность градиента
скорости, зависит только от величин Ъ2 и /.
Как мы увидим далее, подход, основанный на применении
уравнения для турбулентной энергии, гипотезы приближенного
подобия Колмогорова и обобщенной формулы Кармана, может
быть использован при построении простейших теоретических
моделей целого ряда микрометеорологических явлений. Перейдем
теперь к более подробному обсуждению интересующего нас
в первую очередь турбулентного режима в приземном слое
воздуха.
1.3.2. ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ ПРИЗЕМНОГО СЛОЯ
Примем за основу формулы (1.129), (1.135), (1.136), (1.138),
(1.147). Кроме того, учитывая выражения (1.42а) и (1.43а),
а также тот факт, что при очень малых £ масштаб
турбулентности должен асимптотически выражаться формулой Прандтля
(1.131), граничные условия для рассматриваемых неизвестных
запишем в виде
«1^=0. e|^, = e0f (1.148)
'|«,= «b. (1.149)
где <0 — параметр шероховатости; 8о — температура,
определяемая первой из формул (1.96) и первой из формул (1.75).
1 В связи с вопросом об обобщении формулы Кармана на случай
стратифицированной среды укажем еще предлагавшееся Эллиотом (I960)
выражение
, да /д2и 00 [ди д*и . „
которое, однако, не согласуется с изложенным выше общим подходом и не
может быть получено как следствие того или иного выбора интерполяционной
формулы для характеристической функции Ч?. В последнее время свою
интерполяционную формулу для ¥, отличающуюся от (1.146), предложил Куро-
саки (1969), работа которого рассматривается в 2.3.2.2.

106
1.3. Полуэмпирические теории
При нейтральной стратификации находим
b2 = с-х-Ч12, / = -/г,
« = ^in^-, e = e0 + ^in^-. (1.150)
Первая из приведенных формул может быть использована для
эмпирического определения константы с. Тщательные измерения
турбулентного напряжения трения и дисперсий флуктуации
скорости в пристеночной области турбулентных течений в трубах
(Лауфер, 1954) и над плоской пластинкой (Клебанов, 1954)
приводят к значению с=0,046. Это значение неплохо согласуется
и с данными измерений при нейтральной стратификации в
атмосфере (см. рис. 1.23 и 1.24). О величине постоянной Кармана
х (~0,4) мы уже говорили в п. 1.2.4.
Переходя к общему случаю, введем безразмерные
переменные
zz г ,9 с1йЬ* , zl
и _ якм _ zttH _ р _ у-££
~= fu(С) -/„(Со),
е;= а"(Ь 6а) =«„[/,(С)-/,(С,)]. (Ы51)
Исходные уравнения при этом принимают вид
^--1-зл = 0, (1.138а)
*. = *.'.. ;-Kl1.' 0-135»)
'• — ЫМЫ <U47a)
Подсистему (1.138а), (1.135а), (1.147а) будем решать при
условии
/л = 0 при гл = 0, (1.149а)
которое оказывается практически эквивалентным (1.149). При
вычислении же профилей скорости и температуры, т. е. при ин-

1.3.2. Простейшая модель приземного слоя
107
тегрировании уравнений (1.129а), будем использовать
непосредственно вытекающие из (1.148) соотношения
az0
ип = вп = 0 при Zn = Zm = -f = аС0.
(1.148a)
Введем новую независимую переменную т]>0 по формуле
Т''
(1.152)
Интервал 0<г|<1 будет соответствовать здесь устойчивой
стратификации, а т]>1 — неустойчивой. Решение рассматриваемой
задачи при этом запишется в следующем виде:
bl = ri\ ln =
1
1-х»
г»
£м =
(■■
TTT + 2arctgY' + T
'<=*] (Zn)
(1.153)
Комментируя формулы (1.137) и (1.138), мы уже говорили,,
что числовой коэффициент а можно считать, вообще говоря,
различным для областей £<0 и £>0. Учитывая это
обстоятельство, будем вместо а писать в дальнейшем аа при
неустойчивой стратификации и as — при устойчивой.
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи полученного
решения.
Прежде всего нетрудно заметить, что формулы (1.150),
соответствующие нейтральной стратификации, получаются из
(1.152), (1.153), если перейти к пределу при гп-^0.
В условиях свободной конвекции, когда Zn—>•—ОО, ИЗ \i.loZ)
/О \ I/
следует, что ^-> — (-у2л| '. Формулы (1.153) приводят при
этом к следующим выражениям:
Ь2 = с-1
\ 2 W I
/ = -j- хг,
кн 1 ряУ'«/Эх V/-
в<*°> ~ в<*> - (-^-Щ^-f (,;•'-^-)- (1.164)

103
1.3. Полу эмпирические теории
Аналогичным образом при сильной устойчивости, т. е. при
2п->+оо, получаем r]^2/zn. Вытекающие при этом из (1.153)
асимптотические выражения имеют вид
«(г2) - и (zx) = -~ ^ (*2 - *i).
6 (г.,) - в (гх) = -=*-^-(г, - гх). (1.155)
ан L
Сопоставим теперь решение с результатами обработки
экспериментальных данных, изложенными в 1.2.4.2. Напомним, что
эти данные относятся к области состояний устойчивости,
определяемой неравенствами —1Э2<£<—0,002 и 0,002<£<0,4.
Сравнивая (1.154) с (1.57) и (1.155) с (1.62) и используя принятые
в (1.113) эмпирические значения констант Си~Сьж 1,25, ри~
»Ре«9,9, получаем ая»1, сга«2,7, а8«9,9. Последние
значения, однако, нет оснований считать оптимальными с точки
зрения аппроксимации экспериментальных данных на всем
рассматриваемом интервале значений £. Учитывая, что функция
/и(£), задаваемая формулой (1.113), практически совпадает со
средней взвешенной эмпирической кривой на рис. 1.20,
оптимальные значения аа и а8 можно приближенно оценить из
условия минимизации средних квадратичных отклонений типа 1
-0,002
80Л1з,. (1.153) = г [f^^-f^^yd^ (1.156)
-1.2
где верхние индексы указывают номера формул, определяющих
конкретный вид fu(£>)- Такие оценки приводят к следующим
значениям:
ofl^5 при — 1,2 < С < — 0,002,
о, «12 при 0,002<С<0,4. (1.157)
В среднем при этом получается
о = 9 при — 1,2<С< 0,4. (1.157а)
1 Для получения более строгой оценки следовало бы умножить
подынтегральное выражение в минимизируемом функционале на весовую функцию,
учитывающую плотность распределения эмпирических данных по
рассматриваемому интервалу значений £.

1.3.3. Более детальные модели
109
Рассчитанные при аа=5 и а8=12 графики функций fu(£>) и
уе(С)=ая1/и(^) (ПРИ ая = 0,9) нанесены пунктиром на рис. 1.20
и 1.21. Отклонения этих кривых от эмпирических, как нетрудно
заметить, пренебрежимо малы.
Рассмотренная выше модель при <у=1 (т. е. при
пренебрежении диффузионным членом в уравнении для турбулентной
энергии) была предложена в работе Зилитинкевича и Лайхтмана
(1965в). В этой же работе обсуждался и вариант модели,
основанный на уравнении для турбулентной энергии в форме (1.133).
Решение соответствующей задачи при значении а<?, близком
к единице, получил Вагер (1966). Рассчитанные им отклонения
от записанных при сг=1 выражений (1.153) для_профилей
скорости и температуры, т. е. для функций /Ы(С) =ая/е(С), оказа-'
лись очень малыми. При этом в области отрицательных £ имело
место увеличение отклонений с ростом неустойчивости, что
качественно согласуется с результатами цитировавшейся выше
работы Монина (1951а).
1.3.3. БОЛЕЕ ДЕТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ. УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ОДНОТОЧЕЧНЫХ ВТОРЫХ МОМЕНТОВ
Рассмотренные выше теоретические модели турбулентного
режима в приземном слое не позволяют учесть возможных
различий в форме профилей скорости и температуры. В то же
время имеющиеся экспериментальные данные указывают, что
характеризующее эти различия отношение коэффициентов
турбулентного обмена для тепла и для импульса ан=кн/км,
по-видимому, не является постоянным. Во всяком случае,
предложение о постоянстве ан становится сомнительным при очень
сильной устойчивости, а по некоторым данным и при очень сильной
неустойчивости (ср. рис. 1.3 и 1.22).
Одна из первых попыток теоретического получения
зависимости ан от стратификации была предпринята Эллисоном (1957),
который использовал, помимо соотношений (1.129) и (1.138),
приближенные уравнения для вторых моментов a2w, о2т и Н\с$>
а также ряд дополнительных гипотез, позволяющих замкнуть
г, */.z ди „
систему. Б результате для ?« = — gj- было получено уже
обсуждавшееся уравнение (1.139), а для ан —следующее
выражение:
a*^(Tznvf • <1Л58)
Если принять, скажем, а°н =1,4 и а=10, то это выражение
неплохо согласуется с относящимися к устойчивой стратифика-

no
1.3. Полуэмпирические теории
ции экспериментальными данными, представленными на рис. 1.3
(см. пунктирную кривую на этом рисунке). При неустойчивой
стратификации, однако, формула (1.158) не согласуется с
требованиями теории подобия и заведомо неверна.
Попытки определения величин ая или aw/w* и От1\Т*\ на основе
полуэмпирической теории турбулентности предпринимались также в работах
Казанского и Монина (1957), Бузингера (1959), Пановского и Мак-Кормика
(1960), Прислли (19606), Манна (1961), Пановского (19616), Иорданова и
Крыстанова (1962а, б), Иокояма (1962), Пандольфо (1963, 1966), Пан-
чева (1964).
Полная система уравнений для одноточечных вторых
моментов полей скорости и температуры была рассмотрена Мониным
(1965а). Результаты этой работы мы обсудим более подробно.
Прежде всего вследствие горизонтальной симметрии
статистического режима относительно направления средней скорости
ветра, в приземном слое должны выполняться равенства wV=
= 0, v'w' = 0, v'T' = 0. Таким образом, отличными от нуля могут
быть лишь следующие моменты:
аи = и'2, Gl = v/2y al = w'2> ul = — u'w',
4-r^F, JL. = 7Fr, -£ = tfr. (1.159)
Величины и* и H/cpp являются, в силу (1.129), постоянными по
высоте, тогда как прочие моменты, будучи приведены к
безразмерному виду, выражаются универсальными функциями от £.
Уравнения Фридмана—Келлера * для перечисленных
характеристик, получаемые путем осреднения соответствующих
комбинаций уравнений (1.28) — (1.30), оказываются незамкнутыми.
В цитируемой работе они упрощаются путем использования
свойств симметрии турбулентности в приземном слое, а также
пренебрежения третьими моментами турбулентных пульсаций и
некоторыми другими малыми слагаемыми. Кроме того,
используются применявшиеся ранее Давыдовым (1959)
полуэмпирические соотношения типа
- в, (vv -4-»«). <'-|во>
где р' — пульсация давления; {X,}—единичный вектор
вертикального направления; В{ и В2 — некоторые размерные
положительные коэффициенты. В результате система уравнений для
1 Идея получения цепочки уравнений для моментов гидродинамических
полей в турбулентном потоке впервые была предложена в работе Келлера и,
Фридмана (1925).

1.3.3. Более детальные модели
111
рассматриваемых моментов (в том порядке, как они
перечислены в (1.159)) принимает вид
"*й--^+т5»(-2з«+з2,+°1)+4^=0'
-^£- + N=0,
Ср? dz '
*dz срр dz 4 ср$> '
К-^5-5з-54^—55 = 0. (1.161)
Здесь e/l = v(v^/)2==v(Vy/)2 и £w = v(v^/)2 — диссипация
кинетической энергии горизонтальных и вертикальных пульсаций
скорости (2e/l+ew? = e); N = xh(vT')2 — средняя скорость
выравнивания температурных неоднородностей; у = \д/дх+}д1ду + кд/дг—
оператор градиента, а величины В3, £4 и ^5 определяются
равенствами
(v + 7LH)v*W' = Bn, £-Ц^ = ~ BtlTJ77 - Яд, (1.162)
Далее, величины ел, ew и В3, которые вследствие гипотезы
локального подобия Колмогорова—Обухова могут зависеть
только от параметров е, N, р, v и %н, выражаются в виде
£Л = ^£. ев = (1-2<?Л)е, Д, = с3УеМ (1.163)
причем предполагается, что безразмерные коэффициенты с^ и съ
являются универсальными константами.
Наконец, принимается еще одна полуэмпирическая гипотеза
(являющаяся обобщением использовавшейся при получении
формул (1.135) гипотезы приближенного подобия
Колмогорова), согласно которой параметры ей JV, а также
коэффициенты Ви В2, В4 и В5, фигурирующие в выражениях (1.160) и
(1.162), полностью определяются средней энергией пульсаций
скорости б2, дисперсией температурных пульсаций о\ и
масштабом турбулентности /.

112
1.3. Полуэмпирические теории
При этом из соображений размерности получаются следую-]
щие соотношения:
г = сшЬ*;1, N = CNbJTl,
вх = c\b\iy в2 = с2ь*;1,
В4=сАЬ:1, Вл = сьРот11, (1.164)
где с8, с*, С\, с2, £4 и с5 — безразмерные константы, а б2
выражается через дисперсии пульсаций скорости по формуле
*2 = -г(з2« + 0* + °2.)- (Ы65)
Система (1.161), (1.163) — (1.165) содержит 18 неизвестных
функций ди/дг, dQ/dz, о2, а2, о£, б2, /, а2,, гЛ, £w„ е, N, #ь Вь
В2, Вз, 54 и В5- Поэтому, если задать, скажем, функцию
срм (С) = -L-^— (наиболее хорошо изученную экспериментально),
и% oz
то через нее можно выразить все остальные неизвестные. Ряд
формул такого типа указан Мониным в рассматриваемой
работе.
Для коэффициентов анизотропии пульсаций скорости им
получены, в частности, следующие простые выражения:
~2 -2 / гт2 \
4 <&> \**> /?а-С
где аио, (Уво» <Хюо — числовые постоянные, равные значениям
отношений aw/w*, Ov/u*, Owlu* при нейтральной стратификации (по
измерениям Клебанова (1954) в пограничном слое около
плоской пластинки и Лауфера (1954) в трубах cru0~2,4; 0«о»1,7,
а«,о~0,8, что в общем неплохо согласуется с данными
измерений в приземном слое воздуха, показанными на рис. 1.23 и
1.24). Приведенные формулы позволяют проанализировать
зависимости коэффициентов анизотропии от безразмерной
высоты £. В самом деле, сри с ростом неустойчивости убывает
асимптотически пропорционально |C|"V% а с ростом устойчивости
возрастает асимптотически пропорционально £. Следовательно,
отношение a2Jo^ при сильной неустойчивости стремится к
единице, а при увеличении устойчивости возрастает; отношение же
°w/°v по меРе увеличения неустойчивости возрастает и
приближается к пределу зУ°*0+ °«оЧо _ * ~ !>2, а при усилении
устойчивости убывает.

У.3.3. Более детальные модели
113
В цитируемой работе выписаны также более сложные
выражения для оЦи\ а2Т2, Нг'Н, а7/=^^^£ и //xz, из которых,
в частности, следует, что при £->—оо, величины ан и //xz
стремятся к некоторым константам, а Н\/Н и о2 Г2 убывают ттро-
порционально |С| \ При £-^оо (поскольку фц-^Ри£)
получается, что l/xz убывает обратно пропорционально £, а величины
щи Н\1Н и о2,/Г2 стремятся к константам.
Укажем еще одно любопытное следствие рассматриваемой
системы. Если составить разность первых двух уравнений
(1.161) и исключить du/dz из этой разности и четвертого
уравнения (1.161), то получается
(4-4)4-*(i+-«fcr)
cp?iSBx
При нейтральной стратификации #i = 0, и, следовательно,
правая часть заменяется двойкой. Таким образом, мы получаем
очень простое соотношение, которое находит хорошее
подтверждение в экспериментальных данных. Действительно,
подставляя в левую часть приведенной формулы указанные выше
эмпирические значения аио, Ovo и а^о, полученные Клебановым и
Лауфером, находим (2,42—1,72) -0,82«1,9, так что
рассматриваемое соотношение выполняется с точностью, лежащей в
пределах ошибок измерений.
Предложенная Мониным система (1.161), (1.163) —(1.165)
подробно анализировалась Эллисоном (краткое изложение его
неопубликованной работы, выполненной в 1966 г., имеется
в статье Яглома (1969)). В качестве задаваемой переменной,
через которую выражаются все остальные, здесь принималось
динамическое число Ричардсона R/ формулы (1.23). В
принципиальном отношении это эквивалентно использованию сри (обе
величины связаны очевидным соотношением R/ = £/cpu), но
использование R/ имеет то преимущество, что именно эта
величина традиционно применяется в качестве аргумента,
характеризующего стратификацию, в частности, при обработке
экспериментальных данных. Это облегчает интерпретацию
теоретических результатов и их сравнение с эмпирическими.
В работе Эллисона рассматриваемая система была решена
численно с помощью электронной вычислительной машины. При
этом задавались значения следующих безразмерных констант:
е* ~~ „2 2
awaT
Рл = ао р — 2L
1^ = 0
5 С. С. Зилитимкенич

114
1.3. Полу эмпирические теории
(в соответствии с обсуждавшейся выше формулой (0£0~0£о) °wo =
= 2, величина а2и0 не задавалась, а рассчитывалась). Вычисления
были проведены при различных значениях констант, в
результате чего выяснилось, что выбор последних не слишком сильно
влияет на общий характер рассматриваемых функций. Это
позволило автору цитируемой работы ограничиться приведением
графиков для одного набора констант, а именно: ei = 3,4; е2 =
= 1,4; ез = 0,15; 04=1,3; 05 = 3. Рассчитанная зависимость ан от
R/ изображена на врезке рис. 1.22. Кривая качественно
хорошо согласуется с данными Чарнока, причем имеет место
очень близкое совпадение предельных значений ан при
сильной неустойчивости (lim ан~3,35 по Эллисону и а//|:==44^гЗ,4
\ R*-* - со
по Чарноку). На рис. 1.26 вместе с экспериментальными
данными Зубковского и Цванга приведена рассчитанная
зависимость HJH от R/ (переход от используемого Эллисоном
аргумента R/ к аргументу Ri = R//an осуществлен с помощью
упомянутой выше теоретической зависимости ан (/?/)). Совпадение
теории и эксперимента также оказывается здесь
удовлетворительным.
Отметим в заключение, что систему (1.161), (1.163) — (1.165)
можно замкнуть, задав, например, масштаб турбулентности I
с помощью обобщенной формулы Кармана (1.147). Поскольку
суммирование первых трех уравнений (1.161) приводит к
уравнению для турбулентной энергии (1.138) при сг=1, мы получим
при таком замыкании для (pu = £/R/ выражение, эквивалентное
третьей из формул (1.153), разумеется, также при а=1.
1.3.4. ПРИБЛИЖЕННЫЙ УЧЕТ ФАЗОВЫХ
ПЕРЕХОДОВ ВЛАГИ
Рассмотрим нижний слой воздуха при наличии тумана. При
этом мы должны исходить из уравнений переноса тепла и
влаги, в отличие от (1.5) и (1.7), имеющих вид
О dt ср? $z ' ср
dt р дг
Здесь М — скорость конденсации (масса влаги,
конденсирующейся за единицу времени в единице массы воздуха); qw —
удельная водность (масса жидкой воды в единице массы
воздуха); Fw — вертикальный поток капельной влаги. Поскольку

1.3.4. Приближенный учет фазовых переходов влаги 115
водяной пар в тумане находится в насыщенном состоянии,
удельная влажность выражается здесь через температуру и
давление по формуле
я = дт(т,Р) = ^-е-^-, (1.167)
где R и Rw — газовые постоянные воздуха и водяного пара;
е(Т) —давление насыщенного водяного пара, зависящее только
от температуры и определяемое формулами (1.83) или (1.83а).
Ограничиваясь случаем статистической стационарности и
горизонтальной однородности рассматриваемых полей и
пренебрегая, кроме того, радиационным притоком тепла (что в
нижней части слоя, занятого туманом, по-видимому, вполне
допустимо), получим
£=**. Щ—№ д^г = ?м- О-168)
Выясним теперь, как следует записывать в насыщенной
влагой атмосфере полуэмпирические выражения типа (1.12),
(1.13) для потоков
H=cp?wT\ E=9w'q\ Fw=9w'q'w (1.169)
(молекулярными компонентами которых мы здесь
пренебрегаем). Будем считать, что изменения состояния
перемещающихся турбулентных вихрей являются влажноадиабатическими.
Уравнение первого начала термодинамики для единицы массы
движущейся частицы воздуха имеет при этом вид
CJ. + A*Pid[j;) = - f- dq„ (1.170)
где cv — теплоемкость воздуха при постоянном объеме, причем
индексом i отмечены индивидуальные значения
термодинамических характеристик данной частицы. Относительные отклонения
индивидуальных значений 7\-, р* и qi от соответствующих
средних значений в окружающей среде 7\ р и q (удовлетворяющих
уравнению состояния p=RpTB и уравнению статики dp/dz=^
= —gp) можно считать малыми.
Заметим теперь, что все изменения свойств движущихся
частиц связаны в нашем случае только с перемещениями по
вертикали. Иными словами, для величины dT{ и dqi справедливы
выражения
dTi = —wfodz, dqt = - Wfiqdz, (1.171)
где Wi — вертикальная скорость частицы; ув = —dTJdz и yq =
=—dqi/dz — индивидуальные изменения температуры и
удельной влажности по вертикали. Принимая далее, что давление рх
в движущейся частице совпадает с давлением в окружающей
среде р (это же предположение использовалось и при получении
5А

116
1.3. Полу эмпирические теории
формул (1.20) и (1.116)), и используя, таким образом, для
индивидуальных характеристик уравнение состояния и условие
насыщения в форме
п -__£_ Р п - R е(Т>)
Р/ ~ RTni ~ RTt (1 - 0,61 Tqi) ' 4i ~ Rw p '
для величин ув и yq получим следующие выражения:
*=т.[1+£М1+ад. (,Л72)
Т, = ^(Т«-Т.). (1-173)
где ya=At,g/cp; e'{J)—de\dT, а .5?* = %+ 0,61 ЯГ — величина,
которую практически можно заменить на if. Значения ув и у?
приведены в табл. 1.4 и 1.5.
Таблица 1.4
Значения влажноадиабатического градиента температуры
Ъ °/100 м
р Мб
1000
800
600
о с
-10
0,78
0,74
0,69
0
0,66
0,62
0,55
10
0,54
0,50
0,44
20
0,44
0,40
0,36
30
0,37
0,34
0,30
Таблица 1.5
Значения влажноадиабатического градиента удельной влажности
7<т г/кг «100 м
р Мб
1000
800
600
ь °с
-10
0,09
0,10
0,13
о
0,14
0,16
0,18
,0
0,19
0,20
0,25
20
0,23
0,25
0,26
30
0,26
0,27
0,29
Учитывая рассмотренные выше изменения индивидуальных
характеристик движущихся частиц, полуэмпирические
выражения для турбулентных потоков (1.169) следует записывать
в виде
Н = - Cfik„ {—- + Тв) ~ - cppkH ^— -V (Тв - Т«)] ,
Лг=-(**(^-ъ). (Ы74)

1.3.4 Приближенный учет фазовых переходов влаги 117
Две последние формулы, в которых учитывается наличие
индивидуального градиента влажности yqy а также выражение
для последнего (1.173) (с точностью до различия между £*
\\Х) были указаны в работах Зилитинкевича и Лайхтмана
(1964, 19656).
Напомним, что в ненасыщенной атмосфере водяной пар
является консервативной примесью, а значит, в уравнении
(1.170) следует полагать dqi = 0. Для индивидуальных
градиентов при этом получаются выражения dti/dz=—уа и dqi/dz=0,
которые и лежат в основе формул (1.12) и (1.13) (см.,
например, Белинский, 1948).
Возвращаясь к обсуждению стационарного и однородного
по горизонтали тумана, заметим, что из формул (1.168)
вытекает постоянство по высоте суммарного теплового потока
Н+3?Е и суммарного потока влаги E+Fw- Далее, пользуясь
формулами (1.167), (1.172), (1.173) и полагая kD=kH, нетрудно
показать, что в насыщенной атмосфере имеет место
приближенное равенство
К\Х> срР
Таким образом, получаем
Н— const, Е = const, Fw= const, (1.176)
откуда следует, что М=0, т. е. что конденсация или испарение
в среднем может происходить лишь на подстилающей
поверхности и вблизи верхней границы тумана. Рассматриваемый
турбулентный режим в результате оказывается автомодельным,
так что безразмерные характеристики типа
7.z ди z /дТ . \
иГ-ЬЧ = ?»> 77 (ft?+ *■) = *•
JL^:- Л = ^^'_П = С, (1 177)
<7* \dz т ч) qw^\dz ч) ?« I1-"'*
Iгде ^ц., = — Fw''-cpp), так же как и в случае ненасыщенной
влажной атмосферы, являются универсальными функциями от
безразмерной высоты £* формулы (1.127), причем величина /
выражается в данном случае по формуле
/ = /5з* 0,61^-^1, (1.178)
г. е. зависит только от температуры и давления (см. табл. 1.6).
Примеры расчета некоторых характеристик стационарного
тумана, основанные на определении профилей
метеорологических элементов по формулам, эквивалентным (1.152) и (1.153)
при <т=1, имеются в работе Мелкой (1968).

Значения безразмерного параметра Is
р Мб
1000
800
600
о °с
-10
0,0222
0,0278
0,0371
0
0,0459
0,0574
0,0765
10
0,0889
0,1111
0,1482
20
0,1634
0,2043
0,2724
30
0,2621
0,3276
0,4368
1.4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНЫХ
ПОТОКОВ ПО ДАННЫМ ГРАДИЕНТНЫХ
НАБЛЮДЕНИИ
Турбулентное напряжение трения (или вертикальный
турбулентный поток импульса) т=—рдоУ и вертикальные турбу*
лентные потоки тепла H = cppw'T' и водяного пара E = pw'q'
являются основными характеристиками взаимодействия между
атмосферой и подстилающей поверхностью, знание которых
представляет интерес для климатологии и ряда приложений.
Наиболее надежным методом определения рассматриваемых
потоков является пульсационный (или прямой) метод,
основанный на измерении величин до', и\ Т' и q' и последующем
вычислении корреляций с помощью замены осреднения по ансамблю
соответствующим временным осреднением. Подобный метод,
однако, связан с применением сложной аппаратуры, и его
массовое использование затруднительно. В связи с этим
приобретают значение возможности косвенных оценок.
В настоящей главе мы рассмотрим, следуя работе Зилитин-
кевича и Чаликова (1968г), имеющие наиболее широкую
область применения методы определения потоков по данным так
называемых градиентных измерений, т. е. измерений средних
значений скорости ветра, температуры и влажности на
нескольких уровнях в приземном или приводном слое атмосферы.
Напомним еще раз, что рассматривается случай плоской
однородной подстилающей поверхности. Пренебрегая пока
эффектом стратификации влажности, общие выражения (1.42а) —
(1.44а) запишем в следующем виде:
Ц = ^[/-(т)-/-(т)] </ = 1'2 *«>• (1-42б)
8у = во + Г. [/в ("г)-/•(■?-)] (7=1.2, ...,#,), (1-436)
Ъ = Я* + 9*[/а(%)-/.(Щ (* = 1.2, ...,ЛГ€), (1.446)

1.4. Методы расчета турбулентных потоков
119
где U» 9j и qu — измеренные значения скорости ветра,
потенциальной температуры и удельной влажности на высотах zu z$
и Zh\ Nu, Ne и Nq — числа уровней измерений. Основываясь на
результатах обработки экспериментальных данных,
изложенных в 1.2.4.2, функции fu(i), /в(С) и /a(£) будем считать
совпадающими и определяемыми по формулам (1.103), (1.113).
При интерпретации данных измерений в приземном слое
атмосферы различие между вертикальными градиентами
потенциальной и абсолютной температуры несущественно. Поэтому
разности значений 9 на различных уровнях, которые мы в
дальнейшем будем рассматривать, можно отождествлять с
соответствующими разностями значений абсолютной температуры или
температуры, измеренной в градусах Цельсия.
Располагая данными измерений средней скорости на Nu
уровнях, средней температуры на NB уровнях и средней
удельной влажности на Nq уровнях, мы получаем, согласно
формулам (1.426)—(1.446), (1.33), (1.103), (1.113), Nu + NB+Ng+\
уравнений, связывающих неизвестные величины и*, Г*, <7*, L, г0,
()о, <7о. Как видно из указанных формул, для нахождения и*, 7\
и 9* достаточно определить разности значений скорости ветра,
температуры и влажности на каких-либо двух уровнях, поскольку
при составлении таких разностей величины г0, 9о и <7о из
уравнений выпадают. Если значение параметра шероховатости г0
известно, то скорость ветра достаточно измерить на одном
уровне. В обоих этих случаях расчет потоков т, Я и Е
сравнительно прост, и в частности здесь оказывается особенно
удобным применение номограмм. Если число уровней, на которых
измеряются рассматриваемые метеорологические элементы,
больше двух, то система уравнений (1.426) — (1.446), (1.33),
(1.103), (1.113) оказывается переопределенной. При этом
появляется возможность частично скомпенсировать влияние
ошибок измерений на различных уровнях и за счет этого повысить
точность определения потоков. Расчеты, однако, становятся
*десь значительно более трудоемкими, чем в первых двух
случаях.
Отметим, что метод определения турбулентных потоков,
основанный на изложенных выше соображениях, впервые был
предложен в работах Казанского и Монина (1956, 1958, 1962),
использовавших для fu(Z>) выражение (1.104) со значениями
констант по (1.193). Аналогичные методы, основанные на
аппроксимации профиля скорости с помощью формулы (1.140)
при (/=18, использовались Пановским (1963), а с помощью
формулы (1.139) при ст=7 —Клюгом (1963, 1967).
Перейдем теперь к разбору различных вариантов расчета,
рассматривая в качестве подлежащих определению неизвестных
величины и*, Н и Е.

120
1.4. Методы расчета турбулентных потоков
1.4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТОКОВ ПО НОМОГРАММАМ
Рассмотрим сначала случай, когда в нашем распоряжении
имеются разности значений а, 8 и q на высотах z2=hm и 2i =
= nhm, где п — произвольное число, меньшее единицы. Введем
обозначения
Ьи = и2 — ии Д8 = 62 —вь Д<? = <72 —?ь (1.179)
Записывая формулы (1.426) —(1.446) для уровней z2 и zu
составляя разности вида (1.179) и пользуясь выражениями
(1.16), (1.17), (1.33), можно показать, что связь интересующих
нас величин а*, Я и Е с параметрами (1.179) описывается
соотношениями следующего вида:
и*!Ни = /7w(5A, /г),
-Я^рАиД6 = ^0(£д,/г),
где - El9\u±q = Fa (£д, /г), (1.180)
Bb = hJ№l(bu)*. (1.181)
Стоящие в правых частях (1.180) универсальные функции
FUy Fq и Fa однозначно выражаются через функции fUj /в и /а.
Таким образом, пользуясь выражениями (1.103), (1.113), можно
при любом п построить безразмерные графики для определения
левых частей (1.180) по значениям параметра ВА. Отметим, что
в силу (1.103) имеет место равенство
Я/Л? =///срДв, (1.182)
и, следовательно, функции Fa и F0 совпадают.
Построение графиков функции Fu и Fa = Fb при
различных п не представляет принципиальных трудностей. Мы
ограничимся здесь более подробным рассмотрением случая
стандартных высот сетевых гидрометеорологических измерений:
Zi=0,5 м и z2=2 м. Соответствующие этим высотам номограммы
для определения величин а* и Я представлены на рис. 1.32 и
1.33; при их построении принималось ср=0,24 кал)г-град, р =
= 1,3 • 103 г/ж3. Поскольку при известных значениях Я и и*
величины Е и L весьма просто находятся по формулам (1.182) и
(1.33), отдельных номограмм для их определения не
приводится.
Как видно из рис. 1.32, скорость трения а* монотонно
увеличивается с ростом разности скоростей ветра Да и с
убыванием разности температур Д9 (иначе говоря, с усилением
скорости ветра и гидростатической неустойчивости). Зависимость
турбулентного потока тепла Я от параметров Да и Д9,
изображенная на рис. 1.33, носит более сложный характер. При Д9<0

1АЛ. Определение потоков по номограммам
121
(неустойчивая стратификация) здесь снова имеет место
монотонное увеличение Н с ростом Аи и убыванием Д6; но при
\0>0 в случае достаточно малых значений Аи (а точнее,
достаточно больших Д0/(Ды)2) увеличение Д9 приводит не к росту,
а к уменьшению |#|. Последнее объясняется подавлением
турбулентного обмена в результате действия гидростатической
устойчивости.
Рассмотренный метод определения турбулентных потоков
по значениям перепадов скорости ветра, температуры и
влажности является простейшим и в то же время наименее точным.
Дело в том, что разности значений скорости ветра измеряются
со значительно большими относительными погрешностями, чем
сама эта скорость на определенном уровне. Преимуществом
изложенного метода является тот факт, что при его
использовании не требуется сведений о величине параметра
шероховатости подстилающей поверхности. Последнее особенно удобно
при интерпретации градиентных измерений над морем, где этот
параметр существенно зависит от внешних условий и в
большинстве случаев заранее неизвестен.
Будем теперь считать, что в нашем распоряжении имеются
значения скорости ветра U2 на высоте г2 и разности значений

\
55 ^ ^о^юса*ос**о^*о^
^ Ч> 4J? ЧК c*J cvj of о? W *С <5f

1.4.1, Определение потоков по номограммам
123
температуры 83 — 9i и удельной влажности <7з — <7i на высотах г3
и Z\. Введем для этих величин следующие обозначения:
и = и2, А,е = е3-еь *я = Яъ-Чъ (1.183)
Выражая правые части (1.183) по формулам (1.426) —(1.446)
и учитывая соотношения (1.16), (1.17), (1.33), нетрудно
показать, что безразмерные отношения uJU, —H/cppUA'Q и
—EjpUk'q должны однозначно определяться значениями
следующих четырех безразмерных параметров: z2pA'6/£/2, z0/z2,
и» /и
Рис. 1.34. Номограмма для определения безразмерной скорости
трения uJU по значениям параметров Ви и |0 формул (1.184)
Значения £о указаны около кривых
zjz2 и 23/г2. Число определяющих параметров здесь можно
сократить, если наложить ограничения на выбор уровней
измерений. Следуя Казанскому и Монину (1962), примем Zi = /im/2,
г2 = Лш, zz=2hm. В этом случае указанные выше безразмерные
отношения оказываются функциями, зависящими только от
следующих двух аргументов:
Bu = hjy^U\ S0-z0ihm. (1.184)
В силу условия /а=/б аналогично (1.182) получаем
ЕЪ'ц^НХрЫЪ. (1.182а)
Зависимости величин uJU и —H/cppUAfQ = —E/pUAfq от
параметров (1.184), построенные с помощью соотношений (1.103),
(1.113), представлены на рис. 1.34 и 1.35. Эти рисунки
представляют собой номограммы для определения ы*, Я и Е.

Рис. 1.35. Номограмма для определения приведенных к
безразмерному виду потоков тепла Н и влаги Е по значениям
Ви и go
ьд\Ви>
Рис. 1.36. Номограмма для определения отношения
абсолютного значения масштаба длины Монина — Обухова L к высоте
уровня измерений скорости ветра Лт по значениям Ви и go-
Знак L совпадает со знаком Ви

1.4.2. Произвольное число уровней измерений
125
Аналогичная номограмма для определения масштаба длины L
приведена на рис. 1.36. В качестве искомой неизвестной здесь
рассматривается безразмерное отношение \L\/hm, также
являющееся функцией от Ви и |0.
1.4.2. ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО УРОВНЕЙ ИЗМЕРЕНИИ
Перейдем к общему случаю, когда скорость ветра измерена
на Nu уровнях, температура — на NB уровнях и удельная
влажность— на Nq уровнях. Как уже указывалось, пользуясь
формулами (1.426) — (1.44*6), (1.33), (1.103), (1.113), мы получаем
при этом, вообще говоря, переопределенную систему уравнений
относительно неизвестных и», 7*, q*, L, z0, 8о и q0. Нашей
основной задачей является нахождение первых трех из этих величин,
что эквивалентно определению турбулентных потоков т, Н и Е;
однако во многих случаях известный интерес могут представить
также и величины I, г0, 0о и q0. Укажем последовательность
действий при определении всех этих неизвестных.
Рассмотрим сначала подсистему (1.426) — (1.446). Введем
обозначения
0=-^/.(т)' ® = е»-^/о(т-)' $ = *-*•/.(•?)•
(1.185)
* * *
Величины uJk, Г*, q*, (/, в и Q входят в рассматриваемую
подсистему линейно. Решая ее (при фиксированном L)
методом наименьших квадратов, получаем следующие формулы,
выражающие каждую из указанных неизвестных через
измеряемые параметры и масштаб длины L:
"a S anfA (*nlL)~ 2Л«2 /*(**"•>
я= 1 п= 1 п— 1
"а 2 fA (Z„IL)~ J) /A <*«/£>
л=1 Ln=l
2 '
(1.186)
"a
A = -lk2 Wn~a^fA{znL)\. (1.187)
a Л=1
Здесь под а*, Л, a, fA и n понимается соответственно либо
* * ♦
н*/х, (/, u, /u, i> либо Г*, в, 9 /0 у,либо <7«, Q, <7,/a,*. Подставляя
полученные выражения для ы* и Г* в формулу (1.33) и
используя (1.103), (1.113), получаем для определения L
трансцендентное уравнение. Решив это уравнение, например методом
половинного деления, и вычислив таким образом L, возвращаемся

126
1А. Методы расчета турбулентных потоков
к нашим формулам (1.186), (1.187) для и*, Г*, <7*> U, в, Q
и, снова пользуясь (1.103), (1.113), находим их значения.
Турбулентные потоки тепла Н и влаги Е теперь без труда
определяются по формулам (1.16), (1.17). Величины z0, во и q0 также
весьма просто находятся из соотношений (1.185), которые с
учетом (1.103), (1.113) преобразуются к виду
z0 = \L\e~xdlu*, е0 = в+Г:^, q0=Q + q*^-. (1.188)
Отметим, что, в отличие от обычно используемого
графического метода определения параметра шероховатости,
применимого лишь в условиях нейтральной стратификации,
изложенный здесь метод, в частности, позволяет рассчитывать эту
величину по данным измерений, полученным при любых
состояниях гидростатической устойчивости. Подобная возможность
может представить определенный интерес, в особенности при
измерениях над водной поверхностью.
Итак, мы рассмотрели схему расчета турбулентных потоков
в случае произвольного числа уровней измерений при
неизвестном значении параметра шероховатости. Если этот параметр
известен, расчеты производятся по совершенно аналогичной
схеме, с тем единственным отличием, что к числу уровней
фактических измерений скорости ветра и добавляется уровень г=г0,
на котором и полагается равным нулю.
Следует подчеркнуть, что описанные в данном разделе
расчеты весьма трудоемки, так что практически их целесообразно
осуществлять с помощью электронной вычислительной машины.
Если такая возможность отсутствует, то данные измерений на
нескольких уровнях можно использовать, например, вычислив
потоки по различным комбинациям высот с помощью
номограмм и затем осреднив результаты. Еще проще
воспользоваться данными измерений на всех уровнях для сглаживания
профилей, что позволяет несколько уточнить исходные
величины, используемые при определении потоков по номограммам.
1.4.3. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЫЕ СЛУЧАИ
Согласно изложенному в п. 1.2.5, при больших значениях Е
(или q*) в выражениях • (1.426) — (1.446) масштаб длины L
формулы (1.33) должен быть заменен масштабом L*
формулы (1.126). Учитывать это различие необходимо лишь при
условии, что величина I=0filcPTE/H не слишком мала по
сравнению с единицей и, кроме того, величина L* не слишком
велика по сравнению с высотой верхнего уровня измерений
(иначе гидростатическая устойчивость вообще не играет роли).
Оценки показывают, что для исключения ошибок в определении
турбулентных потоков, превышающих 20%, достаточно потре-

1.4.3. Некоторые особые случаи
127
бовать, чтобы масштаб длины Монина — Обухова определялся
с 10-процентной точностью. Таким образом, достаточным
критерием применимости подхода, рассмотренного в
предшествующих параграфах, может служить неравенство |/|<0,1.
Безразмерное число /, являющееся мерой относительной
значимости эффектов стратификации температуры и влажности,
весьма просто оценивается по данным градиентных измерений.
В самом деле, выражая Е/Н по формулам (1.182), (1.182а),
получаем . w
/ = 0,61 Т^= 0,61 Т±±. (1.189)
Укажем теперь, как пользоваться изложенными выше
методами расчета турбулентных потоков в случае, когда роль
стратификации влажности существенна.
Если иметь в виду графики, построенные по формулам
(1.180), то единственное необходимое изменение состоит здесь
в том, что безразмерный аргумент ВА формулы (1.181) следует
заменить на
д; = дд0+/), (1.190)
где число / определяется первым из равенств (1.189). Вид
универсальных функций Fu и Fb = Fq остается неизменным.
Соответственно этому поправки при использовании номограмм,
представленных на рис. 1.32 и 1.33, вводятся следующим образом.
Вместо значений ДЭ по оси абсцисс теперь откладываются
значения комбинации АЭ(1 +/). Кривые на рис. 1.32 по-прежнему
представляют собой линии постоянных значений «*, кривые же
на рис. 1.33 — значения произведения Я(1+7). Таким образом,
для нахождения истинного потока тепла значение, полученное
с помощью номограммы, следует разделить на (1+/). Для
нахождения потока влаги Е, как и прежде, можно
воспользоваться формулой (1,182).
Весьма прост учет эффекта влажности и при использовании
номограмм, представленных на рис. 1.34—1.36. Единственное
изменение состоит здесь в замене безразмерного аргумента Ви
первой из формул (1.184) величиной
В*и = Ви(\+1), (1Л91)
причем / определяется на этот раз вторым из равенств (1.189).
Приведенные на рисунках графики будут представлять теперь
безразмерные комбинации uJU, —H/cppU&'Q = —E/{>UA'q и
\L*\/hm как функции от В* при различных £0.
Изменения схемы расчета турбулентных потоков при
произвольном числе уровней измерений сводятся к замене
масштаба длины L в формулах (1.186) — (1.188) на L*.
Подставляя вытекающие из модифицированной таким образом
формулы (1.186) выражения для и*/х, Г* и q* в (1.126) и используя

128
1.4. Методы расчета турбулентных потоков
(1.103), (1.113), получаем трансцендентное уравнение для
определения- L*, разумеется, отличающееся от рассматривавшегося
ранее уравнения для L. Помимо этого отличия, обсуждаемый
вариант схемы вполне аналогичен первоначальному.
Поправки на стратификацию влажности как правило, не
играющие существенной роли над сушей, могут быть весьма
заметными над водной поверхностью. В последнем случае нужно
помнить еще о наличии нижнего поворота ветра и при
определении направления касательного напряжения использовать
данные о направлении ветра только на достаточно высоких
уровнях (см. п. 1.2.3).
Говоря о расчете турбулентных потоков над океаном,
следует подчеркнуть, что наибольший практический интерес здесь
представила бы методика, в которой в качестве исходных
данных фигурировали бы скорость ветра и удельная влажность
воздуха на одном уровне и разность температуры воды и
воздуха. Для построения подобной методики необходимо иметь
надежную информацию о шероховатости водной поверхности и
соответствующих числах Стэнтона и Дальтона, т. е. в простей-
* * *
шем случае установившегося волнения о функциях Р0у Рь и Ра
формул (1.87). Имеющиеся сейчас оценки значений этих
функций являются, по-видимому, слишком грубыми, однако
если принять, скажем, рекомендации, изложенные в п. 1.2.3, то
построить нужную методику в принципе нетрудно. Разумеется,
погрешности в определении потоков могут при этом оказаться
большими, чем в случае атмосферы над сушей.
Отметим, наконец, что определение турбулентных потоков
по данным градиентных наблюдений может быть осуществлено
и при наличии тумана. В этом случае, как указано B.Ln. 1.3.4,
величину 1 можно с известными ограничениями
считать,фиксированной и равной Is (см. табл. 1.8). Таким образом, поток
водяного пара Е оказывается здесь однозначно связанным
с потоком тепла Н. Располагая данными измерений средней
удельной водности qw, скажем, зная разность Aqw = qw{z2) —
—qw(z\), мы можем вычислить также и поток капельной
влаги Fw> пользуясь очевидными формулами типа
E!bq = Fwlbqw, (1.192)
где &q = q(z2)—q(z\). Учитывая, что при соприкосновении
с подстилающей поверхностью капли влаги прилипают к ней
и тем самым поглощаются, удельную водность в точках
соприкосновения можно считать равной нулю. В принципе это
позволяет определять поток Fw по данным измерений qw только
на одном уровне.
Рассмотрим еще случай, когда подстилающая поверхность,
оставаясь плоской и однородной, имеет в то же время более

1.4.3. Некоторые особые случаи
129
или менее значительный наклон. Подобная ситуация
представляет известный интерес с точки зрения гляциологии, так как
одним из основных источников информации о тепловом и
водном балансах ледников являются именно градиентные
наблюдения, которые при этом в большинстве случаев приходится
проводить над наклонной ледяной или снежной поверхностью.
Для простоты будем считать, что стратификация влажности
роли не играет. Ориентируем ось z по нормали к
подстилающей поверхности, образующей с горизонтальной плоскостью
угол г|э. Поскольку направление ускорений плавучести образует
при этом с осью z угол, равный г|э, распределение скорости
Мачта
Измерительный прибор
Подстилающая
поверхность
Горизонтальная плоскость
Рис. 1.37. Схема расположения измерительного
прибора в случае градиентных наблюдений над
наклонной подстилающей поверхностью
ветра, потенциальной температуры и удельной влажности
должно теперь описываться формулами, отличающимися от
(1.426) — (1.446) тем, что вместо масштаба длины Монина —
Обухова L в них будет фигурировать отношение L/cos\|).
Связанная с этим модификация изложенных выше конкретных,
методов определения потоков по градиентным данным очевидна.
В случае использования, скажем, формул (1.180) или
номограмм, представленных на рис. 1.34—1.36, изменения сводятся
к тому, что вместо ВЛ или Ви нужно брать соответственно
величины Вд cos\|) или Bucos\|). Рисунок 1.36 будет при этом
давать значения не |L|//im, a |L|//imcostp. При использовании
рис. 1.32 и 1.33 вместо А8 по оси абсцисс откладывается
A0cos\f, причем на рис. 1.32 кривые будут давать значения м*,
а на рис. 1.33 — значения Hcosty. Отметим еще, что если мачта
установлена вертикально и расстояние от основания мачты до
смонтированного на ней датчика равно, скажем, h'm, то
соответствующее значение z составляет Amcos\|) (рис. 1.37).

130
1.4. Методы расчета турбулентных потоков
Разумеется, следует помнить, что возможность применения
подхода, основанного на теории подобия Монина — Обухова,
над реальной наклонной поверхностью гипотетична, так что»
точность расчетов, возможно, будет здесь заметно пониженной.
1.4.4. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
При определении турбулентных потоков, по данным
градиентных наблюдений возникают погрешности, связанные,
во-первых, с ошибками измерений средних значений
метеорологических элементов, во-вторых, с возможными нарушениями
условий статистической стационарности и горизонтальной
однородности турбулентного режима и, в-третьих, с неточностью наших
сведений об универсальных функциях /u(t)» U (£) и h(С).
Представляет интерес оценить суммарные погрешности, а также
попытаться выяснить, насколько существенный вклад может
вносить в них неточность используемых выражений для
профилей. Имея ввиду последнее обстоятельство, мы сопоставим
несколько наиболее часто употребляющихся выражений, причем
во всех случаях будем считать, что fu(t>) =fe (£) = MS)-
Отметим прежде всего, что используемые разными авторами
эмпирические значения числовых констант в интерполяционных
формулах типа (1.104), (1.105) существенно различаются.
В частности, в работе Казанского и Монина (1962) на основе
имевшихся в то время экспериментальных данных принималось
х = 0,43; ft,-0,6; Св = 1; 1и = - 0,03;
Р; = 0; а. = -0,29. (1.193)
Укажем еще эмпирические значения константы рм, в верхней
строке формулы (1.104), т. е. в выражении
Л (С) = Ш С + Р«С при 0<С, (1.194)
установленные Мак-Вейлом (1964), согласно которому ри=7, и
Уэббом, получившим ри=4,5 (см. Ламли и Пановский, 1964, гл. 3).
Для сравнения будем использовать выражения для fu(£K
вытекающие из формулы Обухова (1.141) при ст=14
(Пановский, Блэкедар и Мак-Вейл, 1960), а также из формул (1.15П —
(1.153) при а=1 (Зилитинкевич и Лайхтман, 1965в) и <т=9
(Зилитинкевич и Чаликов, 19686). Напомним, что выражения
(1.151) — (1.153) при определении о по (1.157) оказываются
практически эквивалентными (1.113); поэтому отдельно их
рассматривать в данном случае нет необходимости.
В качестве исходного материала будут использованы
экспериментальные данные, полученные в летних экспедициях
Института физики атмосферы АН СССР в районе пос. Цимлянское
в 1963, 1964 и 1965 гг., данные наблюдений в О'Нейле (США),
опубликованные Леттау и Дэвидсоном (1957), и полученные

1.4.4. Оценки погрешностей
131
Суинбенком и Дайером (1968) данные наблюдений в Керанге
(Австралия)1. Во всех указанных случаях в комплекс
наблюдений входили измерения средних значений скорости ветра и
температуры на нескольких уровнях в приземном слое
атмосферы, причем влажность воздуха была очень низкой, так что
ее влияние на гидростатическую устойчивость всюду можно
было считать пренебрежимо малым. Кроме указанных
градиентных наблюдений, в Цимлянском пульсационным методом
определялись величины т = ры*2 и Я, в О'Нейле
динамометрическим методом определялась величина т (имеются в виду
измерения Университета Джона Гопкинса), и в Керанге
пульсационным методом определялась величина Н.
Величины w* и Я вычислялись по значениям скорости ветра
и температуры на шести уровнях на основе изложенной выше
расчетной схемы (см. п. 1.4.2) с помощью электронной
вычислительной машины «Урал-4». Функция fu(Z>) при этом
определялась по формуле (1.104) с различными значениями
фигурирующих в ней числовых констант, а также по формулам (1.141)
при с> = 14 и (1.151) — (1.153) при сг=1 и а = 9. Располагая
рассчитанными таким образом и измеренными значениями и*
или Я, мы можем найти систематическое, абсолютное и
относительное отклонение по формулам
А _ ] V (№ *<я> ^
^сист — ~~jy~~ 7. V*h3m *расч/»
* л=1
ч _ ] Vl^ — ?(л) I
-*абс — дг 7. | ?"зм ?расч I i
л=1
; 1 "*
Артп = \ь ;9дГ Zj I £*зм + «расч I • (1.195)
Здесь под I понимается либо и*, либо Я; п — порядковый
номер измерения рассматриваемой величины; N-. — общее число
случаев ее измерения.
Статистические характеристики отклонений рассчитанных
значений а* и Я от измеренных, вычисленные по формулам
(1.195) для различных вариантов определения функции ftt(£b
приведены в табл. 1.7, построенной на основании данных
измерений в Цимлянском. Как видно из таблицы, расхождения
между рассчитанными и измеренными величинами, которые
можно интерпретировать как погрешности соответствующих
методов расчета, являются наименьшими при использовании
формулы (1.104) со значениями числовых констант из табл. 1.2
1 Данные ИФА АН СССР уже использовались при эмпирическом
определении числовых констант, принятых в формуле (1.113).

Таблица 1.7
Статистические характеристики отклонений рассчитанных значений скорости трения и* н вертикального
турбулентного потока тепла Н от измеренных по данным наблюдений в районе пос. Цимлянское
(материал летних экспедиций Института физики атмосферы АН СССР в 1963, 1964 и 1965 гг.)
Испольэ\ смое выражени
Формула (1.104)
.Логарифмический
+ линейный"
закон (1.194)
Формула (1.141)
Выражения
(1.151)- (1.153).
е для функции /ц С)
Эмпирические
значения
констант по табл. 1.2
(формула (1.113))
Эмпирические
значения кон-
, стант по (1.193)
h = 7
?„=-4,5
s-14
а -1
а = 9
неустойчивая
\ист "1"*
0,007
0,045
—
—
0,059
-0,028
0,052
Скорость
стратификация (189 случаев)
дабс м1сек
0,069
0,073
—
—
0,107
0,096
0,097
Лоп, *
22
24
—
—
35
31
31
трения и*
устойчивая стратификация (37 случаев)
дсист "1"*
—0,017
0,139
0,024
0,049
-0,017
0,139
0,053
ьабсм1сек
0,073
0,1Г,0
0,080
0,091
0,086
0,152
0,101
дот«. ?-
25
51
28
32
29
52
36

Продолжение табл. 1.7
Используемое иыражени
Формула (1.104)
„Логарифмический
+ линейный"
закон (1.194)
Формула (1.141)
Выражения
(1.151)-(1.153)
е для функции / (;)
Эмпирические
значения
констант по табл. 1.2
(формула (1.113))
Эмпирические
значения
констант по (1.193)
Р«=7
з = 14
о = 1
з = 9
Вертикальный турбулентный поток тепла /У
неустойчивая стратификация (189 случаев)
сист
кал! см*-мин
0,027
0,085
—
0,061
-0,043
0,050
Лабс
кал1см**мин
0,055
0,101
—
0,080
0,069
0,070
отн
%
29
53
:
42
36
37
устойчивая
сист
кал! см*-мин
0,004
-0,025-
0,015
0,017
—0,004
-0,025
0,018
стратификация (37 случаев)
дабс
кал\см?>мин
0,013
0,070
0,022
0,023
0,013
0,051
0,023
дотн
%
36
194
61
64
36
142
64

134
1.4. Методы расчета турбулентных потоков
(т. е., иными словами, формулы (1.113)). Нужно сказать, что
этот результат неудивителен, так как значения числовых
констант, принятые в формуле (1.113), получены путем обработки
практически того же самого экспериментального материала,
который использовался здесь при расчете отклонений. Таким
образом, отклонения, указанные во второй строке табл. 1.7,
по-видимому, характеризуют наибольшую точность, которой
вообще можно достичь при определении величин и* и Н по
данным градиентных наблюдений.
Таблица 1.8
Статистические характеристики отклонений рассчитанных значений
скорости трения и, и вертикального турбулентного потока тепла Н
от измеренных по данным наблюдений в О'Нейле и Керанге
OS
со «
si?
w ffi X
£ s Ч
н
Сведения об используемом
экспериментальном материале
(УНейл (США), 34
случая неустойчивой и
32 случая устойчивой
стратификации,
данные Леттау и
Дэвидсона (1957)
Керанг (Австралия), 28
случаев неустойчивой
стратификации,
данные Суинбенка и Дай-
ера (1968)
Неустойчивая стратификация
с ист
0,078 Ml сек
0,17 кал /см2 -мин
лабс
0,092 Ml сек
0,20 кал!см2 -мин
отн
20%
40%
к
се се
«Si
§8*
а н £
"*
V
Сведения об используемом
экспериментальном материале
О'Нейл (США), 34
случая неустойчивой и
32 случая устойчивой
стратификации,
данные Леттау и
Дэвидсона (1957)
Устойчивая стратификация
д
сист
0,028 м1 сек
Лабс
0,056 Ml се к
отн
18%
В связи со сказанным представляет интерес выяснить,
насколько изменятся рассматриваемые отклонения, если в
качестве исходного материала для их определения
воспользоваться другими экспериментальными данными. Результаты та-

1.4.4. Оценки погрешностей
135
кого рода расчетов, выполненных для нашего основного
варианта определения функции /и(£), т. е. с помощью формулы
(1.113), по данным наблюдений в О'Нейле (США) и в Керанге
(Австралия), приведены в табл. 1.8. Тот факт, что полученные
для обоих пунктов значения отклонений не слишком сильно
"Сросч дин/см2
Рис. 1.38. Связь между рассчитанными и измеренными значениями
скорости трения и* (или касательного напряжения *) по данным
наблюдений вблизи пос. Цимлянское (материал летних экспедиций
Института физики атмосферы АН СССР 1963, 1964 и 1965 гг.)
отличаются от соответствующих данных табл. 1.7, можно
считать подтверждением удовлетворительности принятой
аппроксимации функции /и(£), а следовательно, и методов расчета
турбулентных потоков, изложенных в предшествующих
параграфах.
Помимо материала, приведенного в табл. 1.7 и 1.8,
дополнительные иллюстрации результатов сравнения рассчитанных по
основной методике и измеренных значений н* и Н для всех трех
рассматриваемых пунктов представлены на рис. 1.38—1.41.

136
1.4. Методы расчета турбулентных потоков
В заключение напомним, что принятое здесь предположение
о совпадении функций fu{£>) и /е (£), хотя и подтверждающееся
результатами систематизации данных наблюдений в
Цимлянском, является тем не менее дискуссионным. Как указывалось
Рис. 1.39. Связь между рассчитанными и измеренными значениями
вертикального турбулентного потока тепла Н по данным наблюдений вблизи
пос. Цимлянское
в 1.2.4.2, австралийские данные приводят к значениям ая,
возрастающим примерно от 1 при £=0 до 3,5 при £=—4,5. Именно
это обстоятельство, очевидно, и приводит к увеличению
отклонений рассчитанных значений потока тепла от измеренных,
получаемому при очень сильной неустойчивости, имевшей место
в период наблюдений в Керанге (Австралия) (см. табл. 1.8,
а также рис. 1.41). Следует, однако, иметь в виду, что
подобные состояния очень сильной неустойчивости являются
сравнительно редкими, в особенности в физико-географических
условиях, характерных для нашей страны. В связи с этим изложен-

• L<0
x L>0
J I 1 L
0,1 0.7 0J3 0.4 0.5 0.6 0.7
М*расч м/сек
Рис. 1.40. Связь между рассчитанными и измеренными
значениями скорости трения а* (или касательного
напряжения трения т) по данным наблюдений в О* Нейле
(США)
/,0
Нрасч кал/см сек
0 0,004 0,008 0.012
Т
п 1 1 г
0,2 ОМ 0,6
//росч кал/см2-мин
0,016
0,6
Рис. 1.41. Связь между рассчитанными и
измеренными значениями вертикального турбулентного
потока тепла Н по данным наблюдений при
неустойчивой стратификации в Керанге (Австралия)

138
1.4. Методы расчета турбулентных потоков
ную здесь методику расчета турбулентных потоков,
по-видимому, все же можно рекомендовать для практического
использования. Подобное допущение представляется тем более
обоснованным, что и минимальные достижимые погрешности
(вторая строка табл. 1.7) довольно велики. При этих условиях
некоторое уменьшение точности расчетов, имеющее место в
сравнительно редких случаях экстремальной неустойчивости,
фактически не должно играть существенной роли.
1.4.5. ТИПИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ИЗМЕНЧИВОСТЬ
ПОТОКОВ
В приземном слое воздуха интенсивность турбулентности
возрастает при переходе от слабого ветра к сильному и от
устойчивой стратификации к неустойчивой, что наглядно
проявляется в величинах турбулентных потоков количества
движения тепла и влаги. Проиллюстрируем это, пользуясь
приведенными выше номограммами и фактическими данными.
Согласно рис. 1.34 и 1.35, коэффициент трения u*/U и числа
Стэнтона —H/cppUA'Q=—ElpUk'q растут с увеличением
параметра шероховатости подстилающей поверхности и особенно
сильно с убыванием параметра Ви формулы (1.184), т. е. с
ростом гидростатической неустойчивости. Эти результаты хорошо
согласуются с оценками порядков величин турбулентных
потоков при различной стратификации, приведенными в работе Мо-
нина (1967г). Следуя этой работе, рассмотрим случай, когда
/im=l м и 20=1 см. Тогда типичные значения Ви составляют
примерно —0,05 при сильной неустойчивости и +0,3 при
сильной устойчивости (при безразличной стратификации,
разумеется, Ви=0). Как видно из рис. 1.34, uJU, таким образом,
имеет значения около 0,12 при неустойчивой, около 0,9 при
безразличной и около 0,06 при устойчивой стратификации. Числа
Стэнтона, характеризующие турбулентные потоки тепла .# и
влаги £, меняются значительно резче. Согласно рис. 1.35, при
переходе от сильной устойчивости к сильной неустойчивости
они возрастают примерно на порядок — от 0,004 до 0,05.
Типичные значения потоков Н и Е меняются еще резче, так
как между U и AT (и, вероятно, между U и k'q) имеется
корреляция: температурные инверсии (положительные Д'6)
наблюдаются преимущественно при очень слабом ветре, а сильная
неустойчивость бывает как при слабых, так и при сильных
ветрах. Пример корреляционной связи между U и Д'0 за период
июнь — сентябрь 1959 г. в районе пос. Цимлянское приведен
на рис. 1.42,-взятом из работы Монина (1963). Из этого
рисунка, в частности, видно, что произведение |£/А'6| при
неустойчивой стратификации, как правило, значительно больше,

1.4.5. Типичные значения и изменчивость потоков
139
чем при устойчивой. В результате величины потоков |Я|, а
вероятно, и \Е\ при сильной неустойчивости должны более чем
на порядок (а в экстремальных случаях и на два порядка)
превосходить их величины при сильной устойчивости. Это
подтверждается и данными прямых измерений турбулентного
потока тепла, показанными на рис. 1.39-и 1.41, согласно которым
типичные значения Н (в кал) см2-мин) составляют около —0,03
Рис. 1.42. Корреляция между скоростью ветра U и перепадом
температуры Д'6 за период июнь — сентябрь 1959 г. в Цимлянском,
по Монину (1963)
при сильной устойчивости и около 0,4 (а по данным рис. 1.4Г
около 0,6) при сильной неустойчивости. Что касается скорости
трения ы* и турбулентного потока количество движения i = ou2 у
то, согласно фактическим данным, приведенным на рис. 1.38
и 1.40, зависимость этих величин от устойчивости проявляется
сравнительно слабо. Связано это с тем, что при больших
значениях и* или т стратификация воздуха в приземном слое
практически всегда оказывается нейтральной. Типичные значения
и* и т составляют соответственно 0,25 м/сек и 0,8 дин/см2 при
устойчивой и 0,35 м/сек и 1,6 дин/см2 при неустойчивой
стратификации. Таким образом, гидростатическая устойчивость
гораздо сильнее сказывается на теплообмене и диффузии, чем
на переносе количества движения.
Зависимость чисел Стэнтона и коэффициента трения от
стратификации и наличие корреляции между U и А'6 (и,
вероятно, между U и A'q) фактически исключает возможность
применения методики, изложенной в пп. 1.4.1 и 1.4.2 (а тем более,.

80 60 40 20 0 2?
Рис. 1.43. Карта средних годовых значений турбулентного потока тепла
Н кал/см2-сутки для тропической Атлантики, по Гарстангу (1965)
Рис. 1.44. Карта средних годовых значений потока скрытой теплоты
Я?Е кал/см*-сутки для тропической Атлантики, по Гарстангу (1965)

1.4.5. Типичные значения и изменчивость потоков 141
каких-либо более простых формул) для вычисления средних
климатических значений турбулентных потоков тепла, влаги и
количества движения по средним климатическим значениям
скоростей ветра и перепадов температуры и влажности в приземном
слое воздуха. Подобные расчеты должны приводить к ошибкам,
достигающим сотен процентов. Правильный способ определения
климатических значений турбулентных потоков состоит в
вычислении индивидуальных значений этих потоков (в отдельных
пунктах и за отдельные сроки наблюдений по методике типа
изложенной выше) и последующем их осреднении. Подобное
«корректное» осреднение (правда, при использовании
сравнительно грубых формул для индивидуальных величин) было
применено Гарстангом (1965), который получил для
тропической Атлантики средние месячные значения турбулентных
потоков тепла и влаги путем осреднения их ежечасных значений.
При этом обнаружилось, что средние месячные величины
потоков, полученные при «корректном» осреднении, оказываются,
как правило, существенно больше величин, вычисленных
«некорректно», т. е. по средним месячным значениям аргументов
в используемых формулах. В цитируемой работе Гарстанга
были также построены карты средних годовых значений Н и
%Е {X—скрытая теплота испарения). Эти карты,
иллюстрирующие порядки величин рассматриваемых потоков над океаном
и характер их пространственной изменчивости, приведены на
рис. 1.43 и 1.44.

Часть 2. Планетарный пограничный слой
2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Планетарным называется пограничный слой, образующийся
в газообразной или жидкой оболочках вращающейся планеты
в результате совместного действия сил турбулентного трения
и силы Кориолиса. Мы будем рассматривать далее
пограничный слой атмосферы Земли вдали от экватора, называемый
иногда экмановским, однако многие выводы окажутся
справедливыми и для придонного слоя в океане, а также для погра-'
ничных слоев в атмосферах других планет. Вертикальный
масштаб пограничного слоя, зависящий в первую очередь от
приземной скорости трения и* и параметра Кориолиса /, можно
оценить из соображений размерности как величину,
пропорциональную отношению и*/|/|. Более точные оценки показывают,
что высота пограничного слоя h составляет несколько десятых
от указанного отношения, а значит, в земной атмосфере вне
экваториальной зоны имеет порядок 1 км. Поскольку эта
величина намного меньше эффективной толщины атмосферы
(~10 км), круг вопросов, связанный с рассматриваемыми
процессами, относится к области микрометеорологии1. Важнейшим
из микрометеорологических феноменов является
турбулентность.
2.1.1. ТРЕБОВАНИЯ К ТЕОРИИ
Информация о планетарном пограничном слое представляет
значительный интерес с точки зрения многих проблем физики
атмосферы и океана, а также ряда прикладных задач.
Турбулентные пульсации скорости играют определяющую
роль в генерации ветровых течений в океане и ветровых волн,
1 Под микрометеорологией понимается раздел физики атмосферы,
посвященный изучению метеорологических полей в масштабах, значительно
меньших, чем эффективная толщина атмосферы.

2.1.1. Требования к теории
143
в явлениях диффузии атмосферных примесей, в болтанке
самолетов, поднимающихся ракет и других летательных аппаратов,
в вибрации наземных сооружений (мостов, зданий, проводов
электропередачи и т. д.) под напором ветра.
Турбулентные неоднородности показателя преломления
приводят к возникновению флуктуации амплитуды и фазы света и
радиоволн, распространяющихся в атмосфере от наземных и
космических источников; рассеяние коротких радиоволн на
турбулентных неоднородностях определяет условия дальней
радио- и телевизионной связи.
Значительная доля диссипации кинетической энергии
атмосферных движений падает на пограничный слой. Структура
этого слоя весьма существенно влияет на динамику атмосферы
в целом: через пограничный слой осуществляется тепловое и
динамическое взаимодействие и обмен влагой между
атмосферой и подстилающей поверхностью. Поэтому знание ряда
особенностей пограничного слоя атмосферы оказывается
необходимым при разработке численных методов прогноза погоды и
в исследованиях по теории климата.
В теории краткосрочных прогнозов погоды, описывающей
крупномасштабные атмосферные процессы в адиабатическом
приближении, диссипативная роль турбулентности
пограничного слоя не учитывается (как не учитываются и притоки
энергии). Но и здесь известный интерес может представить расчет
крупномасштабных вертикальных движений воздуха,
создаваемых конвергенцией трения в пограничном слое атмосферы.
Скорость Wh таких вертикальных движений на верхней границе
пограничного слоя, как известно, выражается формулой
^ = -^rotT0, (2.1)
гдет0=1Тхо+^уо — вектор напряжения трения у земной
поверхности \ rot ъо=дтуо/дх — дххо/ду — вертикальная компонента
его ротора. Определение х0 по внешним параметрам, в число
которых обычно включается скорость геострофического ветра G,
высота шероховатости подстилающей поверхности г0 и
параметр Кориолиса / (а также должен включаться тот или иной
параметр, характеризующий стратификацию плотности),
требует сведений о структуре пограничного слоя атмосферы.
В частности, при простейших предположениях, соответствующих
излагаемой ниже модели Акерблома (1908) с постоянным по
1 В отличие от первой части книги, в которой напряжение трения у
подстилающей поверхности обозначалось через х, мы будем теперь под *: =
= iTx+JTy понимать переменный по высоте вектор тангенциального
напряжения трения. Для приземного значения этого вектора будем использовать
обозначение *с0. Величина и* будет выражаться, таким образом, формулой
[то|==т0=ры*2.

144
2.1. Основные понятия
высоте коэффициентом турбулентной вязкости км, для
определения Wh по полю давления р получается известная формула
Дюбюка (1947).
где Ah = d2/dx2+d2/dy2 — горизонтальный оператор Лапласа.
Уточнение этой формулы требует более детального описания
турбулентного обмена, чем в модели Акерблома.
В теории долгосрочных прогнозов погоды, в численных
экспериментах по общей циркуляции атмосферы и теории
климата, где адиабатическое приближение уже никак
неприменимо, кроме вертикальных токов, связанных с приземным
трением, необходимо учитывать наряду с притоками энергии как
диссипацию кинетической энергии в пограничном слое
атмосферы, так и вертикальный перенос тепла и влаги через
пограничный слой (см. работы БлиновЬй, 1965, 1967).
Интенсивность этих микрометеорологических процессов в свою очередь
определяется макрометеорологической обстановкой. Вследствие
этого взаимодействия между микро- и макрометеорологиче-
скими процессами изучение турбулентности в пограничном
слое атмосферы оказывается одним из необходимых звеньев
в создании физических основ долгосрочных прогнозов погоды
и теории климата.
2.1.2. ОГРАНИЧЕНИЯ ОБЩНОСТИ
Данные измерений показывают, что структура пограничного
слоя атмосферы, и в частности распределение ветра с высотой,
далеко не всегда имеют одинаковый характер и нередко
оказываются весьма нерегулярными. Иногда, например,
наблюдается максимум скорости на сравнительно небольших высотах
порядка 100—300 ж, в отдельных случаях приобретающий вид
так называемого струйного течения низких уровней. Нередко
наблюдаются также аномальные изменения направления ветра
с высотой. Упомянутые нерегулярности могут быть следствием
ряда осложняющих факторов — эффектов специфической
стратификации воздуха, горизонтальной неоднородности
температурного поля, нестационарности, кривизны и неравномерной
плотности изобар, орографических воздействий на воздушные
течения и т. п. Но даже и при отсутствии таких затрудняющих
исследование обстоятельств структура пограничного слоя
атмосферы оказывается весьма сложной. Разумеется, целесообразно
в первую очередь разобраться хотя бы в простейшей ситуации.
Поэтому мы будем рассматривать в основном случай
стационарных течений в пограничном слое атмосферы над плоской и

2.12. Ограничения общности
145
однородной подстилающей поверхностью при прямолинейных
и равномерно расположенных изобарах1, т. е. при поле
давления, имеющем вид
р (х, у, г) =Pl(z) +f?(Vgx-Ugy), (2.3)
где х, у, z — декартовы координаты; Ug и Vg — компоненты
геострофического ветра, определяемые равенствами
^=-if- = Gc0Sa' Кг=7гЙ—0«п«. (2-4)
в которых G — скорость геострофического ветра, а a — угол
между изобарой и осью абсцисс, которую мы будем направлять
параллельно касательному напряжению трения вблизи
подстилающей поверхности. При сформулированных ограничениях
уравнения движения (1.1) с учетом формул (1.11) могут быть
записаны в следующем виде:
-/("-£/,)+^ж|- = 0, (2.5)
где и, v — компоненты скорости ветра по осям координат х, у
(т. е. компоненты горизонтального вектора V), Что касается
уравнений переноса тепла и влаги, то при рассматриваемых
условиях они имеют в пограничном слое тот же вид, что и
в приземном слое. Иными словами, если не учитывать
радиационный теплообмен, то мы снова можем воспользоваться
формулами
Р„ = - cp9kH-g- =#=const, FE = - ?kD g- - E = const, (2.6)
означающими, что потоки тепла FH и влаги FE во всем погра:
ничном слое совпадают с соответствующими приземными
значениями Я и Я. В связи с этим следует подчеркнуть, что
наблюдаемые в атмосфере тепловые пограничные слои, а также
пограничные слои в поле влажности во многих случаях
обусловлены эффектами нестационарности или горизонтальной
неоднородности течения.
Наиболее серьезным из сформулированных ограничении
является требование стационарности. В реальных условиях оно
может часто нарушаться как из-за синоптической эволюции
поля давления (впрочем, обычно медленной), так и вследствие
суточных изменений лучистых притоков тепл<а, приводящих
к изменениям термической стратификации, через, нее — турбу:
1 Влияние криволинейности изобар на ветер в пограничном слое в
простейшей постановке рассмотрено в работе Монина (1949). • ,
0 С. С. Зилитинкевич

146
2.1. Основные понятия
лентности, и в итоге — ветра1. Тем не менее в природе могут
встречаться ситуации, к которым простейшая модель (2.5),
(2.6) приложима без существенных поправок; таковыми, в
частности, могут быть случаи с плотной высокой облачностью, резко
снижающей суточные изменения режима в пограничном слое.
Первые опытные данные о вертикальном распределении
ветра в пограничном слое атмосферы были получены,
по-видимому, в 90-х годах прошлого века, когда в практику научных
исследований вошел метод шаров-пилотов. На основании
анализа опытных материалов было выяснено, что вертикальный
профиль ветра характеризуется определенными постоянно
наблюдающимися особенностями. В частности, в нижнем слое
воздуха скорость ветра с ростом высоты всегда увеличивается,
причем таким образом, что градиенты скорости велики у
земной поверхности и с высотой убывают. Как правило, имеет
место поворот ветра с высотой, правый — в северном и левый —
в южном полушарии. Был обнаружен также суточный ход
ветра, который в слоях 0—200 и 200—500 м обычно имеет
противоположные фазы.
Вслед за эмпирическими исследованиями появился ряд
теоретических работ, представляющих собой попытки объяснить
обнаруженные закономерности. Первые теоретические работы
были довольно формальными; по существу, они заключались
в применении к атмосферным движениям уравнений динамики
ламинарных течений вязкой жидкости. Обнаружившееся при
этом расхождение с данными измерений повлекло за собой
существенный пересмотр основных физических представлений
о динамике атмосферного пограничного слоя.
Эмпирические данные о структуре метеорологических полей
в пограничном слое атмосферы наряду с многочисленными
лабораторными экспериментами по режиму турбулентных течений
явились основной опытной базой, на которой строилась и
проверялась теория турбулентности.
Выполненные до настоящего времени теоретические
исследования пограничного слоя атмосферы можно разделить на
несколько групп. Первые работы, как уже упоминалось,
посвященные режиму осредненного поля ветра, основывались на
использовании уравнений динамики ламинарных течений
вязкой жидкости, в которых вместо коэффициента молекулярной
вязкости вводился коэффициент турбулентной вязкости kMy
в более ранних исследованиях полагавшийся постоянным,
а позднее задававшийся меняющимся с высотой. В этой группе
работ вопрос о теоретическом определении самого
коэффициента kM не затрагивается. Работы другой группы представляют
собой попытки построения замкнутой системы уравнений, из
1 Попытка теоретического описания указанного механизма будет
рассмотрена в гл. 2.4.

2.2.1. Темпе ратурно-ст ратифицированная атмосфера 147
которой одновременно определялись бы и средние значения
метеорологических элементов, и коэффициенты обмена.
Наконец, в ряде работ для выявления общего вида связей между
характеристиками пограничного слоя (в том числе профилем
вектора ветра) и внешними параметрами используется теория
подобия. Обзор литературы по всем указанным вопросам
имеется в работе Зилитинкевича, Лайхтмана и Монина (1967),
которой мы в значительной мере и следуем в изложении
материала.
Обратимся в первую очередь к описанию пограничного слоя
атмосферы на основе теории подобия.
2.2. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ И
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
2.2.1. ТЕМПЕРАТУРНО-СТРАТИФИЦИРОВАННАЯ
АТМОСФЕРА
Турбулентный режим в пограничном слое атмосферы не
является универсальным и существенно зависит как от
погодных условий, так и от свойств подстилающей поверхности.
С этим сопряжена очень большая изменчивость основных
статистических характеристик турбулентности. В то же время
использование простых гипотез подобия позволяет представить
значительную долю изменчивости этих характеристик как
изменчивость масштабов для их измерения. Получаемые при
использовании таких масштабов безразмерные величины
оказываются уже сравнительно мало меняющимися от случая к случаю.
В настоящей главе, следуя работам Казанского и Монина
(1960, 1961), Зилитинкевича (19666, 19676, 1969 а), Монина
(19676), Монина и Зилитинкевича (1967, 1969), Зилитинкевича
и Чаликова (1968в), мы рассмотрим основные следствия
применения теории подобия к изучению однородного по
горизонтали и стационарного пограничного слоя.
2.2.1.1. Основные критерии подобия
(теория подобия Казанского и Монина)
При формулировке условий подобия даже в случае
горизонтально однородного воздушного потока возникают
существенные трудности вследствие нестационарности атмосферного
пограничного слоя, определяемой в первую очередь суточными
колебаниями падающего на подстилающую поверхность потока
радиации. Эти колебания резко сказываются на тепловом
режиме атмосферы и вызывают изменения термической
стратификации, а вследствие этого турбулентности и ветрового режима.
6*

148 2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
Именно нестационарность, связанная с суточными
колебаниями, и служит основной причиной возникновения теплового
пограничного слоя. Характерным проявлением этого эффекта
является изменение направления вертикального турбулентного
потока тепла в верхней части пограничного слоя, нередко
наблюдаемое в дневное время (см. рис. 2.21).
При стационарных условиях, как уже отмечалось,
пренебрегая эффектом радиационного теплообмена, мы можем считать
вертикальный турбулентный поток тепла постоянным по
высоте. Рассмотрим этот случай более подробно, считая пока
эффект стратификации влажности несущественным.
Динамические уравнения, описывающие рассматриваемый турбулентный
режим, будут тогда отличаться от (1.28) — (1.30) только тем,
что в уравнениях движения появятся члены, содержащие
параметр Кориолиса. Основываясь на этом факте и используя
основной принцип автомодельности, т. е. независимости режима
развитой турбулентности от молекулярных констант и
характеристик подстилающей поверхности, Казанский и Монин (1960)
предложили гипотезу, согласно которой статистические
характеристики турбулентности пограничного слоя полностью
определяются значениями параметров ы*, р, Я, ср, р и /. Из этих
параметров, помимо масштаба длины L формулы (1.33), можно
составить еще одну независимую комбинацию размерности-
длины —
>* = *«*/1/1, (2.Г)
имеющую смысл масштаба толщины пограничного слоя. Таким
образом, безразмерные одноточечные статистические
характеристики гидродинамических полей, получаемые при измерении
скоростей масштабом и*, температур масштабом Г* и длин
масштабом Я, оказываются универсальными функциями двух
аргументов — безразмерной высоты
5 = zil (2.8)
и параметра стратификации
[х - XX. (2.9)
В частности, общие выражения для профилей горизонтальных
компонент скорости и и v и потенциальной температуры 6
в данном случае будут иметь вид
и(г,)-и(г1) = ^-[ф.(^, [*)-*„ (-J-, ц)],
v (г,) - v (г,) = Ц- \ifv (^-, |ij - <!v (^- , jijj sign/,
6 (г2) - в (г,) = Г* рл (х • ^) - Ь (т-. I*)]. (2- Ю)

2.2J. Температурно-стратифицированная атмосфера 149
где Z\ и z2 — произвольные уровни; i|)u, tpt? и г|>8 —безразмерные
универсальные функции, определяемые с точностью до
аддитивной константы. Множитель sign/ во второй из формул (2.10)
учитывает противоположность направлений вращения ветра
в северном и южном полушариях.
2.2.1.2. Высота пограничного слоя.
Внешние параметры
Будем исходить из того, что за пределами пограничного
слоя, т. е. в свободной атмосфере, турбулентное трение
исчезает, а следовательно, согласно уравнениям (2.5), ветер
приближается к геострофическому. Таким образом, для компонент
скорости естественно поставить следующие граничные условия:
и-> G cos a, TJ-^Gsina при г->оо. (2.11)
Условимся теперь высоту пограничного слоя атмосферы h
определять по формуле
А=ТХ. (2.12)
Фигурирующий здесь числовой коэффициент y должен
выбираться таким образом, чтобы основная доля изменения
вектора средней скорости в полупространстве. г0<г<оо, т. е.
в асимптотическом пограничном слое, приходилась на интервал
высот z0<z<ft, который, таким образом, и может
интерпретироваться как пограничный слой конечной толщины. Иными
словами, задавшись допустимой погрешностью, скажем eg, мы
должны выбирать у, исходя из условия
^V(acos*-u\^)'+{asln*-v\^)*^*a. (2.13)
Как будет показано ниже (см. 2.3.2.2), положив у=Ь мы
заведомо можем гарантировать выполнение неравенства (2.13)
при ео~20%. При этом, как уже отмечалось, в умеренных
широтах получаем Л~1 км, что на порядок меньше эффективной
толщины атмосферы. Отсюда и следует, что в атмосфере Земли
имеется сравнительно тонкий планетарный пограничный слой,
т. е. что Земля с обсуждаемой точки зрения является быстро
вращающейся планетой.
Заметим, что некоторые авторы, учитывающие в основном
данные о структуре планетарного пограничного слоя при
нейтральной стратификации, предлагают использовать значения у,
существенно меньше единицы. Так, например, выражение для
высоты пограничного слоя Гилл (1967), а также Чарнок и Эл-
лисон (1967) записывают в виде /t=0,l uj\f\, а Теннекес
(1968)—в виде ft=0,2 uj\f\, не указывая, впрочем,
значений ее» которые считаются при этом допустимыми.

150 2.2. Теория подобия и экспериментальные оанные*
Итак, использование формулы (2.12) позволяет свести задачу
определения высоты h к установлению безразмерного коэффициента у, который может
быть найден, скажем, эмпирически по наблюдениям любой из реализаций
турбулентного пограничного слоя во вращающейся жидкости. Другой способ
оценки толщины планетарного пограничного слоя предложил Чарни (1969).
Его идея состоит в том, чтобы связать величину h с критическим числом'
Рейнольдса ReKp, определяемым из лабораторных экспериментов по
устойчивости ламинарного экмановского слоя.
Имея в виду случай нейтральной стратификации, Чарни рассуждает
следующим образом. Предположим, что над твердой плоскостью,
вращающейся с угловой скоростью ft мгновенно создается однородный
геострофический поток со скоростью G, и будем следить за развитием пограничного
слоя. Независимо от того, является ли плоскость гладкой или шероховатой,
будет происходить вертикальный перенос количества движения,
обусловленный молекулярной вязкостью. Толщина ламинарного пограничного слоя б
будет расти до тех пор, пока число Рейнольдса Re=G6/v не достигнет
значения, критического с точки зрения потери устойчивости. После этого
пограничный слой станет турбулентным, а его толщина будет продолжать расти.
В конце концов среднее течение под действием силы Кориолиса и
турбулентной вязкости достигнет стационарного состояния. Полагая, что суммарный
эффект мелкомасштабных вихрей можно грубо оценить, введя постоянный
по высоте эффективный коэффициент турбулентной вязкости &дг, получаем,
что в стационарном состоянии течение будет описываться экмановскими
уравнениями (2.5) (при &м=const), а следовательно, толщина пограничного
слоя будет составлять л = |/^/|/| • Является ли, однако, такое состояние
устойчивым?
Согласно лабораторным экспериментам, выполненным Фоллером (1963),
а позднее Татро и Молло-Кристенсеном (1967) и Грином (1968),
ламинарный экмановский пограничный слой, толщина которого составляет
rf = V"W|/|, становится неустойчивым при значениях числа Рейнольдса
n Gd п п
\f\d /jTF'
превышающих критическое значение, равное, грубо говоря, ReKp«100.
Обратимся теперь снова к турбулентному пограничному слою.
Напомним, что эффект мелкомасштабной турбулентности мы считаем в среднем
эквивалентным наличию эффективной вязкости kM. В силу этого
предположения поток не может быть стационарным, если высота пограничного слоя k
настолько мала, что эффективное число Рейнольдса
_Gh G _ G
Ке'-*л*- 1/1 * -УТ7Р£
превышает ReKp. В противном случае из-за неустойчивости среднего потока
образовались бы новые вихри, что повлекло бы за собой увеличение
эффективной турбулентной вязкости, а значит, и толщины пограничного слоя.
Иными словами, среднее течение может быть стационарным только при
условии Re*<ReKp. Для минимальной толщины стационарного пограничного
слоя, таким образом, получается оценка
п =
ReKp|/| '
что при ReKp~100 для земной атмосферы в средних широтах (/«Ю-4 сек~
G« 10 м/сек) приводит к значению Л« 1000 м.

2.2.1. Температурно-стратифицированная атмосфера 151
Нас будет интересовать автомодельная область течения;
поэтому условия для компонент скорости и температуры на ее
нижней границе запишем в виде
и = 0, XI = 0, б = в0 = е„ Н- 8в0 при z = z0J
где 8S — средняя потенциальная температура воздуха в точках
соприкосновения с подстилающей поверхности, а Э0 — результат
экстраполяции 6 из логарифмического пограничного слоя на
уровень шероховатости (ср. формулы (1.69), (1.74), а также
(1.43а), (1.96)).
Сформулируем теперь условия подобия для
рассматриваемого турбулентного режима, пользуясь «внешними
параметрами» пограничного слоя. К таким параметрам относятся
скорость ветра за пределами пограничного слоя (т. е. практически
скорость геострофического ветра) G, разность значений
потенциальной температуры на верхней и нижней границах
рассматриваемого слоя 69 = 8л — 0о (где 9/i=0|z=/i) и параметр
шероховатости z0. Кроме того, в число внешних параметров
входят фигурирующие в динамических уравнениях параметр
Кориолиса / и параметр плавучести р, являющиеся
практически не меняющимися от случая к случаю характеристиками
места наблюдений. Наша основная гипотеза состоит в том, что
турбулентный режим в температурно-стратифицированном
пограничном слое однозначно определяется пятью
перечисленными величинами. Из этих величин можно составить две
безразмерные комбинации — число Россби
Ro = G/|/|*0 (2.14)
и параметр температурной стратификации
S = pae/|/|G. (2.15)
Согласно принятой гипотезе, безразмерные статистические
характеристики полей скорости и температуры, получаемые
при измерении длин масштабом A=G/|/|, скоростей
масштабом G и температур масштабом 60, могут зависеть от внешних
условий только через параметры Ro и S. В частности, это
означает, что «внутренние» характеристики турбулентного режима,
например скорость трения и*, угол между изобарой и
направлением касательного напряжения трения у подстилающей
поверхности а (отрицательный в северном и положительный в
южном полушарии) и масштаб температуры 7\> (пропорциональный
вертикальному турбулентному потоку тепла Н) должны
удовлетворять следующим соотношениям:
7T = '4B(Ro,S)f a = r/a(Ro, S)sign/, ^ = Y]r(Ro, S), (2.16)

152 2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
где т)и, т)в и Лт — универсальные функции от двух аргументов;
uJG— так называемый геострофический коэффициент трения,
а отношение TJ6Q является интегральной характеристикой
теплообмена. Для высоты пограничного слоя h мы получим
теперь выражение
A = TxAf£-. (2.12а)
Наконец, профили безразмерных скоростей u/G и v/G и
безразмерной температуры (в — 8о)/б8 будут выражаться
универсальными функциями от z/Л, Ro и S.
Заметим, что в формулах рассматриваемого типа в качестве
параметра стратификации вместо S можно использовать также
и параметр ц, зависимость которого от Ro и S, очевидно,
выражается в виде
2.2.1.3. Законы сопротивления и теплообмена
Зависимости величин и*, а и 7* от внешних параметров,
общий вид которых определяется формулами (2.16), могут быть
следующим образом конкретизированы (Зилитинкевич, 1967а).
Будем рассматривать пограничный слой конечной толщины. При
этом, используя условия
«l^k-Ocosa, v\2=h = Gsina, 0\2=h = Bh (2.18)
(первые два из которых являются приближенными), формулы
(2.10) для слоя z0<z<h можно записать в виде
a(z)-Gcosa = ^H^, [х j,
v (z) — Gsin a = ^ ^Y-y-, |ij sign/,
»(*) -в^Г.Ц-f, |i). (2.19)
Аддитивные константы, входящие в функции 0Ц, tyv и фе,
фиксированы здесь таким образом, чтобы при z-+h эти функции
стремились к нулю.
Выражения (2.19) справедливы во всей автомодельной
области, т. е., в частности, и при малых z. Вспомним теперь, чта
при ориентации оси х по направлению касательного напряже-
ния у подстилающей поверхности при любой стратификации

2.2.1. Температурно-стратифицированная атмосфера 153
в области очень малых z для рассматриваемых профилей
должны иметь место асимптотические выражения
«(«) = &-m-f, *(*) = о, e(z)-e0 = -*£.in-fL. (2.20)
Поскольку при малых z формулы (2.19) и (2.20) должны
выполняться одновременно, комбинируя их, получаем следующие
соотношения:
- X xGcosa
1п7Г 5Г~
In
%(-Т> I*) sign/,
%G sin а
разумеется, справедливые лишь асимптотически в пределах
логарифмического пограничного слоя. Теперь, поскольку левые
части выписанных равенств от z не зависят, мы должны
принять, что правые части в рассматриваемой области высот также
не зависят от г, а следовательно, являются функциями только
от \х. Обозначив далее
Нт[фв(^1*)-1пЕ]=Д(р1) + 1пхэ
Urn %($,?) = А (?),
«т Кфе (6, ц) - In Ц = С (р) + In х,
где Л, 5 и С — безразмерные универсальные функции
аргумента \х, после тождественных преобразований находим
In
Ro-^rt-ln^+Zp^-^Mrt.
Sina = -^M^sign/,
Г*/Ю = c&/[ln (Ro^-) -CW] . (2.21)
Эти соотношения (первое из которых при р,=0 было получено
в 1961 г. Казанским и Мониным) представляют собой законы
сопротивления и теплообмена для планетарного пограничного
слоя, по физическому смыслу вполне аналогичные известным
законам сопротивления и теплообмена, скажем, при течениях
в трубах, установленным Прандтлем и Карманом. Отметим, что

154 2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
помимо указанной выше литературы, закон сопротивления,
определяемый первыми двумя из формул (2.21), для случая
нейтральной стратификации обсуждался в последнее время также
в работах Гилла (1967), Чанади (1967в), Чарнока и Эллисона *
(1967), Блэкедара (1967)1, Блэкедара и Теннекеса (1968).
Итак, если знать вид функций Л, В и С, то формулы (2.17).
(2.21) дают нам систему уравнений для установления связи
между величинами «*/G, а, Г*/69, с одной стороны, и Ro, S;
с другой. Заметим, что формулы (2.21) справедливы и в
случае атмосферы над океаном, поскольку вклад поверхностного
течения (впрочем, и так практически несущественный) при
комбинировании выражений (2.19) и (2.20) сокращается.
2.2.2. УЧЕТ СТРАТИФИКАЦИИ ВЛАЖНОСТИ
До этого момента мы не учитывали переноса влаги. Согласно
изложенному в п. 1.2.5, рассматривая влажную атмосферу, при
определении условий подобия по «внутренним» параметрам
.необходимо ввести масштаб q* для измерения удельной
влажности, а масштаб длины L формулы (1.33) заменить масштабом
L* формулы (1.126). Иначе говоря, в качестве параметра
стратификации вместо jlx мы должны рассматривать
I** = X//-* = I* (1 + /)- (2.22)
При этом к формулам (2.10) или (2.19), вид которых за
исключением замены |х на \х* не меняется, добавляется выражение
для профиля удельной влажности
q (*,) - (г,) = <7* \ьа (-£ , ц*) - Ьа (-£-, ц*)], (2.10а)
или
?(2)-?ft = ?A(f'4 (2Л9а^
где qh = q\z=h, а к формулам (2.21), с точностью до указанной
замены также остающимся прежними, добавляется аналогичное
соотношение
<7* *Я = я?)/[in (Ro^-) - D (<**)], (2.21а)
1 В работе Блэкедара (1967) рассматривается закон сопротивления и
в случае стратифицированного пограничного слоя, причем аргументом
функций А и В считается отношение г0/£, где z0 — параметр шероховатости, aL-
масштаб длины формулы (1.33). Дело в том, что в основу вывода здесь
подложены общие выражения для профилей компонент скорости, отличающиес^
от (2.19) тем, что именно z0/L используется вместо \i в качестве параметра
стратификации. Подобная гипотеза, однако, не согласуется с основным
принципом автомодельности, указанным в 2.2.1.1. ':

2.2.3. Экспериментальные данные
155
связывающее масштаб удельной влажности q* с перепадом
удельной влажности bq=qh— qo- В выражениях (2.10а), (2.19а),
(2.21а) о|)а и D — безразмерные универсальные функции
соответственно двух и одного аргументов. Связь между D и я|эа
выражается формулой
Нт Ша 0, !**) - In 6] ее D (ц*) + In х.
Отметим, что, поскольку радиационный теплообмен не
учитывается, естественно допустить подобие профилей температуры
и влажности, т. е. совпадение функций tye и фв. Но тогда будут
совпадать функции Си Да значит, будет выполняться
равенство Tj6Q=q*/6q. В этом случае нетрудно показать, что при
определении условий подобия по внешним параметрам к числу
последних добавляется масштаб для измерения удельной
влажности 6#, причем безразмерный параметр стратификации S
заменяется на
S* = S(l+0,6ir3?/36). (2.23)
Связь внутреннего параметра стратификации ц* с внешними
параметрами Ro и S*, как нетрудно заметить, будет при этом
иметь вид
р. .. *S* bjg-- *3S*-*^f. (2.24)
Если считать функции Л, 5, С и D известными, то
формулы (2.21) с заменой ц на \i* и формулы (2.21а), (2.24)
образуют систему уравнений, связывающую величины uJG, а, Г*/б0
и qJ6q с внешними параметрами Ro и S*.
2.2.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ
В настоящее время имеется обширный материал наблюдений
за распределением ветра и температуры, а также некоторых
простейших характеристик турбулентности в пограничном слое
атмосферы. Однако получение репрезентативных данных,
типичных для определенных внешних условий, связано со
значительными трудностями из-за большого количества переменных,
существенно влияющих на форму профилей. Безразмерные
аргументы zl% и |х* (или при другом способе систематизации
данных аргументы z/Л, Ro и S*), которыми определяются
нормированные величины, в общем случае должны быть дополнены
по крайней мере еще двумя параметрами, зависящими от
составляющих горизонтального градиента температуры, не говоря
уже о возможном влиянии эффектов неоднородности подсти-

156 2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
лающей поверхности и нестационарности.1 Практически очень
трудно подобрать хотя бы два случая, в которых все параметры,
определяющие форму профилей, были бы идентичными. Этим и
объясняется исключительное разнообразие данных наблюдений.'
В то же время представляется вероятным, что при достаточно
большом объеме исходного материала эффекты, связанные
с более или менее случайно действующими факторами, можно
отфильтровать путем соответствующего осреднения.
Применяющееся в практике аэроклиматологии простое осреднение данных
за месяц, сезон и т. д. может, однако, служить лишь
формальной характеристикой материала, иногда полезной в качестве
количественной оценки метеорологического режима
рассматриваемого пункта, но мало интересной с точки зрения физики.
Естественный путь систематизации экспериментальных данных
на основе теории подобия состоит в разбиении материала на
группы, внутри которых меняется только один безразмерный
параметр (например, z/X), тогда как каждый из остальных
(например, р,*) не выходит за пределы надлежащим образом
фиксированного интервала.
Согласно изложенной выше теории подобия, описание верти-,
кальной структуры однородного по горизонтали и
стационарного пограничного слоя атмосферы сводится к установлению
безразмерных профилей средних значений метеорологических
элементов типа (2.10), (2.10а), аналогичных профилей
характеристик турбулентности и наконец функций Л, В, С и D, являю-,
щихся универсальными характеристиками сопротивления и
обмена. Основной интерес с точки зрения приложений к
исследованию крупномасштабных процессов в атмосфере и океане
представляет именно последняя задача, поскольку, зная вид
указанных функций, как уже отмечалось, можно построить
методику расчета турбулентных потоков по внешним
параметрам.
2.2.3.1. Универсальные характеристики
сопротивления и обмена
Для эмпирического определения функций А, В, С и D нужно
иметь в распоряжении измеренные значения, с одной стороны,
1 Обработка данных, иллюстрирующая влияние горизонтального
градиента температуры и связанного с этим так называемого термического ветра,
выполнена, например, в работе Утиной (1966). Наиболее детальные расчеты
пограничного слоя с учетом термического ветра производились Блэкедаром
(1965а) и Воробьевым (1969). По вопросу о роли неоднородности
подстилающей поверхности имеется обширная литература (см. книгу Лайхтмана
(1961), а также опубликованные уже сравнительно недавно работы Панов-
ского и Таунсенда (1964), Олифанта и Пановского (1965), Таунсенда
(1965 а, б), Блэкедара, Пановского и др. (1967)). Нестационарный
пограничный слой будет обсуждаться в гл. 2.4.

2.2.3. Экспериментальные данные
157
микрометеорологических характеристик и*, а, Г*, q* и, с другой
стороны, внешних параметров G, 68, 6<7, z0. Определение
параметров /, g и р практически никаких измерений не требует.
Разумеется, для наших целей подходят только те.
экспериментальные материалы, которые относятся к случаю однородного
по горизонтали воздушного потока. Требование стационарности,
как мы увидим далее, не является столь жестким.
Перейдем к изложению результатов обработки
экспериментальных данных, полученных в работе Зилитинкевича и Чали-
кова (1968в), в которой в качестве исходного материала
использовалась обширная сводка данных измерений в О'Нейле
(США), опубликованная Леттау и Дэвидсоном (1957). Прямых
измерений турбулентных потоков здесь не производилось, за
исключением определения касательного напряжения трения
у Земли динамометрическим методом. Однако приведенные
данные градиентных наблюдений за ветром, температурой и
влажностью в приземном слое позволяют рассчитать
соответствующие потоки, а значит, и величины и*, Г* и q*. Эти же
градиентные данные дают возможность определить величину z0 и
направление касательного напряжения трения (совпадающее
над сушей с направлением приземного ветра).
Для расчета турбулентных потоков по градиентным данным
в обсуждаемой работе использовалась методика, изложенная
в п. 1.4.2. Выполненные при этом оценки показали, что во всех
рассмотренных случаях эффект стратификации влажности был
пренебрежимо малым. В частности, это означает, что в качестве
аргумента функций Л, В, С иО фактически можно было
использовать параметр [i формулы (2.9). Для единообразия
величина и* определялась расчетным способом, так же как Г* и ?*.
Данные прямых измерений касательного напряжения служили
при этом для контроля. Напомним, что полученное в п. 1.4.4
среднее относительное отклонение рассчитанных значений и* от
непосредственно измеренных для О'Нейла составляет всего
19—20%. Другие оценки, приведенные в табл. 1.7 и 1.8,
позволяют заключить, что при определении величины Г* в среднем
обеспечивается примерно 30-процентная точность. Точность
определения <7* должна быть еще ниже, как из-за больших
приборных погрешностей, так и вследствие наблюдавшихся низких
значений удельной влажности.
Полученное по градиентным данным значение параметра
шероховатости подстилающей поверхности в О'Нейле
составляет Zo=0,77 см.. Эта величина и использовалась при
определении числа Россби Ro.
Рассмотрим теперь вопрос об определении угла а и внешних
параметров G, 69 и bq. Помимо упомянутых выше градиентных
наблюдений, в программу проводившихся в О'Нейле
экспериментальных работ входили аэрологические измерения профилей

158
2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
ветра, температуры и влажности в слое от 100 до 2000 м. Кроме
того, в используемом сборнике данных приведены рассчитанные
по полю давления значения скорости и направления
геострофического ветра на пяти изобарических поверхностях от 750 до
950 мб. При этом измеренные значения скорости и направления
ветра на верхних уровнях оказались весьма близкими к
соответствующим геострофическим значениям. В излагаемой работе
для определения скорости ветра в свободной атмосфере G и
угла а между его направлением и направлением касательного
напряжения трения у Земли были использованы данные
измерений, относящиеся к уровню 1000 м. К этой же высоте
(фактически принятой в качестве верхней границы пограничного
слоя) были отнесены значения потенциальной температуры 9л и
удельной влажности <7л- Величины 90 и q0 определялись путем
экстраполяции профилей температуры и влажности вниз до
уровня шероховатости г=г0 по методике, изложенной в п. 1.4.2.
Отметим, что изменения в выборе верхней границы
пограничного слоя, скажем, смещения ее вверх или вниз на 100—200 м,
очень незначительно сказывались на скорости и направлении
ветра, а также на значениях 8л и <7л- В целом, несмотря на
погрешности измерений и известный произвол в выборе верхней
границы пограничного слоя, относительную точность
определения параметров а и G можно считать не меньшей, чем точность
определения, скажем, параметров Г* или |х. Относительная
точность определения величины 60 и в особенности 6q, вероятно,
была ниже.
А
\=S±=M
• • 1
-
te*^"~
•
9
•
* *
•
•
•
**" У
уГ •
•
/J
/2Л
* S 1
-60 -40 -20 О 20 ЬО 60 60 у.
Рис. 2.1. Универсальная функция A(\i). Эмпирические точки получены
путем обработки данных измерений в О'Нейле
/ — эмпирическая кривая; 2 — построена по первой из формул (2.65)

2.2.3. Экспериментальные данные
159
Итак, имеющиеся данные дают возможность определить
входящие в формулы (2.21), (2.21а) величины Л, В, С и D и
представить их в виде функций аргумента (л. Построенные таким
образом эмпирические зависимости представлены на рис. 2.1—2.4.
В
20
-20
-W
-60
-80
-100
-120.
Г***1
•
• 1
•#* •
"' ft llGl *tm ' 1
• ^1* —-И
••
•
•
• •••
1
• *
•
•
9
•
•
**^Ч
•
" — 2
;\
4 ]
•
-60
-1*0
-20
20
<Ю
60
80р
Рис. 2.2. Универсальная функция B(\i).
Эмпирические данные те же, что на рис. 2.1, кривая 2 построена по
второй из формул (2.65)
Комментируя полученные результаты, отметим, что данные
на рис. 2.1 и 2.2 неплохо подтверждают универсальный
характер исследуемых зависимостей. Эмпирические точки здесь явно
группируются закономерным образом. На рис. 2.3 разброс
точек значительно больше. Это связано с большими
относительными погрешностями в определении параметров Г* и 68, а также
и с тем, что гипотезы подобия, лежащие в основе формул (2.21),

160 2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
из-за эффекта суточных колебаний падающего на
подстилающую поверхность потока радиации в реальных условиях
выполняются с большей точностью для профиля ветра, чем для
профиля температуры. Что касается рис. 2.4, то здесь мы имеем
С
во
40
20
о
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
-160
'
•
•
•
• •
•
•
> •
.
•
\ А
I Г
I —
\ *
у w
\ •
• •
•1.
1
Л
1
• 1
\
L
•
*\
• • \
•
+
•
•
[ •
\ф
Л
•
• 1
-60 -40
-20
20
40
60
80у.
Рис. 2.3. Универсальная функция C(\i).
Эмпирические данные те же, что на рис. 2.1,
кривая 2 построена по формуле (2.67) при у=\
наибольший разброс данных, объясняющийся (помимо причин,
указанных в связи с рис. 2.3) еще и тем, что в период
рассматриваемых наблюдений в атмосфере имели место весьма низкие
значения удельной влажности. Естественно, что при этом
относительные погрешности в определении параметров q* и bq,

2.2.3. Экспериментальные данные
161
а следовательно, и функции D оказались очень большими.
Отметим дополнительно, что, хотя использованные здесь данные
относятся к условиям, когда метеорологические поля были
более или менее однородными по горизонтали, некоторые
нарушения однородности, разумеется, все же имели место. Наблюдав-
D
60
40
20
-20
-40
-60
-60
-too
-120
•140
1
^» •
•
<
•
i
•
»
>...
•
•
л
•
•
* *
г*
^
1 •
1
•1
i
i
\2
\
\
•
»
Ф
\
\
\
\
\
i\
11
•
-60 -40 -20
20
40
60
60у
Рис. 2.4. Универсальная функция D(\i).
Эмпирические данные те же, что на рис. 2.1, кривые
J и 2 совпадают с аналогичными кривыми на рис. 2.3
шиеся в связи с этим изменения с высотой составляющих
геострофического ветра являются дополнительным источником
разброса эмпирических точек на рис. 2.1—2.4.
Несмотря на большой разброс, на всех четырех рисунках
проведены кривые, представляющие собой попытку
аппроксимировать экспериментальные данные. При этом принято, что

162 2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
функции С и D совпадают. Более подробно возможность
использования указанных кривых будет обсуждаться ниже в п. 2.5.1.
Напомним теперь, что параметр шероховатости г0, входящий
в выражение (2.14) для числа Россби Ro, сильцо меняется от
места к месту, принимая значения от долей миллиметра над
морем до метра над лесом или над городом. Таким образом,,
различные подстилающие поверхности характеризуются своими
значениями г0 (см. табл. 1.1). В случае, когда спектр
неоднородности подстилающей поверхности достаточно широк
(например, имеются холмы, отдельные здания, кусты, деревья
и т. п.), при определении величины z0 возникают
дополнительные трудности. Дело в том, что значение параметра
шероховатости, определяемое обычным способом по измерениям
профиля ветра в нижних нескольких метрах над земной
поверхностью, может при этом сильно отличаться (вплоть до отличия
на порядок) от величины г0, которая должна фигурировать
в выражениях (2.21) и (2.21а). В подобных случаях мы должны
различать «микрошероховатость», входящую в
логарифмическую формулу для профиля скорости у подстилающей
поверхности и являющуюся локальной характеристикой, и
«макрошероховатость», входящую (через число Россби Ro) в формулы
(2.21) и (2.21а) и характеризующую данный тип ландшафта
в целом 1. Поскольку величина макрошероховатости может быть
определена именно с помощью одной из формул (2.21), (2.21а),
фактически она играет роль подгоночного параметра. Отметим,,
что при наличии горизонтальных неоднородностей
подстилающей поверхности аналогичная картина имеет место и для
величин Во и <7о, а также и*, а, Я и £, локальные значения которых
могут, вообще говоря, несколько отличаться от осредненных па
большой площади.
Задачу определения параметра макрошероховатости в
известной мере облегчает то обстоятельство, что требования
к точности здесь невелики. В самом деле, нетрудно заметить,
что формулы (2.21), (2.21а) в пределах практически
достижимой точности определения турбулентных потоков
чувствительны лишь к изменениям Ro (т. е. z0) не менее, чем на
порядок.
В связи с указанными выше трудностями определения числа
Россби приобретают особый интерес связи, в которых этот
параметр не фигурирует и которые, таким образом, могут быть
установлены эмпирически без использования сведений о
параметре макрошероховатости. В качестве примеров подобного-
1 В случае однородной плоской подстилающей поверхности
микрошероховатость и макрошероховатость должны совпадать. Такое предположение,,
в частности, было использовано выше при обработке данных градиентных и
аэрологических измерений в О'Нейле.

2.2.3. Экспериментальные данные
163
рода связей, помимо второй из формул (2.21), могут послужить
следующие очевидные соотношения:
аН % COS a D, . п . ч
(используя которые во влажной атмосфере, разумеется, нужно
заменять \х на \х*).
0,02 0,0* 0,06 0,08 0,1 0,12u»/G
Рис. 2.5. Зависимость угла а между направлениями ветра в
свободной атмосфере и касательного напряжения трения у земной
поверхности от геострофического коэффициента трения uJG при
различных значениях параметра стратификации |д
1) р. < - 30, 2) - 30 < р < - 10, 3) - 10 < ti. < 10, 4) 10 < ц < 30, 5) 30 < jx
Вторая из формул (2.21) уже использовалась при построении
рис. 2.1. Другая эмпирическая иллюстрация этой формулы
приведена на рис. 2.5, на котором значения sin | а| представлены
в виде функций геострофического коэффициента трения w*/G.
Вместе с эмпирическими точками здесь нанесены прямые,
построенные с использованием значений А(\х), снятых с графика
на рис. 2.1.
Помимо изложенной здесь обработки данных, эмпирические
оценки коэффициентов Л и В в первых двух формулах (2.21)

164 2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
при нейтральной стратификации были получены Гиллом (1967),
результаты которого приведены в нижеследующей таблице:
Пункт наблюдений и источник экспериментального материала А В
Апэвон, данные Добсона (1914) 4,2 1
Лейпциг, данные Леттау (1950) 4,7 2
Отметим также оценки 2<Л<3 и JB«2, приведенные в работе
Чарнока и Эллисона (1967),и А«4,3 из работы Чанади (1967в).
В связи с обсуждаемым вопросом укажем еще, что в ряде
работ (в том числе Леттау (1962) и Блэкедара (Ш62, 1967))
з
2\-
0.5\-
0,1
0,05
0,02
1 г
г •
•
•
г- •
р
р
г*
1 1
• '
• • 1
• • ф# • •'
•1
+
1
1
1
1
1
1
1
1
|_
•
#
•
1
•
•
• • •
•
L
1
N
Л
• Ц
«|
-0./
ЬъоЪ/Уш град-сек2/м*
0.1
„500
Рис. 2.6. Зависимость коэффициента сопротивления Cj от
параметра устойчивости, по Кларку (1966) (см. также Пристли,
1967а)
„500
,500
с* — (и*/^зоо)2; ^5оо — средняя скорость ветра на высоте 500 м; Суп —
500
значение £у при нейтральной стратификации; Aso6 — перепад
потенциальной температуры в слое, для которого основанием служит
уровень 1 м, а толщина соответствует изменению давления на 50 мб
данные о геострофическом коэффициенте трения и угле между
направлениями приземного касательного напряжения трения и
геострофического ветра систематизировались путем
непосредственного построения зависимостей uJG и а от числа Россби Ro
без применения той или иной классификации по состояниям
устойчивости. Эти данные могут служить подтверждением
применимости закона сопротивления, т. е. первых двух формул
(2.21), к реальной атмосфере при изменении числа Россби Ro
на пять порядков от 105 до 1010. Отметим также, что в работе
Бызовой и Машковой (1966) были получены эмпирические
значения uJG при ц=— 50, —10, 0, +10, +50, +100, а в работе

2.2.3. Экспериментальные данные
165
Курпаковой и Орленко (1967) —значения а при трех градациях
параметра S, соответствующих неустойчивой, нейтральной и
устойчивой стратификации. Все эти материалы приводятся ниже
на рис. 2.22 и 2.23 в гл. 2.3. (Использованные здесь сводки
данных из работ Леттау (1962) и Блэкедара (1962, 1967) включают
результаты многих исследователей, в том числе Добсона (1914),
Джефриса (1919), Леттау (1950, 1957, 1959), Шеппарда и
Омера (1952), Баумгартнера (1956), Бернштейна (1959) и др.)
Наглядная иллюстрация характера зависимости
коэффициента сопротивления с*00 (близкого к (uJG)2) от условий
устойчивости приведена на рис. 2.6, взятом из работы Пристли
(1967а). Аналогичные зависимости строились также Леттау
(1959) и Бызовой и Машковой (1965а,б).
Следует подчеркнуть, что наиболее целесообразным
способом обработки данных об универсальных характеристиках
сопротивления и обмена является построение эмпирических
функций А, В, С и Д зависящих только от одного аргумента*
а вследствие этого определяемых со значительно большей
статистической обеспеченностью, чем, скажем, зависимости типа
(2.16).
2.2.3.2. Профили скорости и температуры
Основанная на теории подобия обработка
экспериментальных данных о вертикальном распределении скорости ветра
в планетарном пограничном слое атмосферы впервые была
выполнена Казанским и Мониным (1960), использовавшими
уже описанные выше материалы наблюдений в О'Нейле,
опубликованные Леттау и Дэвидсоном (1957). Позднее аналогичные
обработки данных, полученных на 300-метровой
метеорологической мачте в Обнинске, делались Волковицкой и Машковой
(1963) и Бызовой и Машковой (1966). На рис. 2.7, взятом из.
последней работы, приведены кривые, полученные по
измерениям и в О'Нейле и в Обнинске. Комментируя этот рисунок,,
заметим, что по измерениям в О'Нейле при устойчивой
стратификации наблюдаются хорошо выраженные максимумы
скорости ветра (струйные течения) на высотах порядка двух-трех
десятых от Я, что соответствует примерно 200—300 м.1 Несов-
падение безразмерных профилей в рассматриваемых. пунктах,
вероятно, можно объяснить различием характерных значений
1 Аналогичные струйные течения низких уровней наблюдались также и
другими исследователями (см., например, Герхардт, 1962; Джен и Дьюри,.
1963; Цверава, 1967; Воронцов, 1968; Дубов, 1968), которые также
связывали tox с инверсиями температуры, т. е. устойчивой стратификацией.
Теоретическая модель, позволяющая объяснить это явление, будет изложена
в п. 2.3.2. .'

166 2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
числа Россби: lg Ro составляет примерно 6,6 для Обнинска и
7,4 для О'Нейла. Для устранения влияния числа Россби
следовало бы рассмотреть обе компоненты скорости по отдельности и
при этом составить разности типа либо (2.10), либо (2.19).
Удовлетворяющая указанным требованиям обработка данных,
Vu7+v7/uH
Рис. 2.7. Безразмерные
профили модуля
скорости ветра в
пограничном слое атмосферы при
различных состояниях
гидростатической
устойчивости:
/) — 68<1А<— 5; 2) м=4,2;
3) Ц-11,5; 4) ц=12,7;
.5) ц=29.0; 6) |л=40,4:
7) 54,5<!А<74,3; 8) 106Оа<160
а — О'Нейл (по Казанскому
и Монину, I960); б —Обнинск
(по Ёызовоп и Машковой
1966)
правда, относящихся только к нейтральной стратификации,
была выполнена Гиллом (1967), результаты которого
приведены на рис. 2.8.
Применительно к вопросу о вертикальном распределении
температуры основанная на теории подобия методика
обработки фактических данных была использована Машковой
(1965). На рис. 2.9, взятом из ее работы, представлены
зависимости безразмерного отношения (Э — 0i)/|r*| (0i —
потенциальная температура на высоте 1 м) от z/K при различных jli,
полученные по наблюдениям на мачте в Обнинске. Число
отдельных профилей, по которым построены приведенные осреднен-
ные кривые, различно и колеблется от трех (кривая /) до
сорока одного (кривая 4).
т I i г

2.2.3. Экспериментальные данные
167
Способ обработки данных, основанный на использовании
внешних параметров, т. е. масштаба длины A=G/|f| и
безразмерных чисел Ro и S формул (2.14) и (2.15), применили Кур-
пакова и Орленко (1967). В качестве исходного материала они
воспользовались данными шаропилотных и радиозондовых
наблюдений в Воейково, отобрав при этом случаи,
соответствующие примерно стационарным условиям и достаточно малым зна-
Рис. 2.8. Универсальные профили горизонтальных компонент
скорости ветра в пограничном слое атмосферы при нейтральной
стратификации, по Гиллу (1967):
Квадраты — Апэвон (данные Добсона, 1914), треугольники — Лейпциг
(данные Леттау, 1950). / — функция (G cos а — и)/ы*— к^и (£, 0),
2 — функция sign / (G sin а — tO/ы*-*^ (£, 0)
чениям термического ветра (т. е. приращения вектора ветра,
обусловленного наличием горизонтального градиента
температуры). В результате были отобраны 24 профиля ветра.
Поскольку весь материал относился к одному пункту, причем
скорость геострофического ветра от случая к случаю менялась
незначительно, оказалось возможным принять для всех профилей
одно и то же значение числа Россби Ro«10e. По градациям
параметра S материал был разбит на три группы,
соответствующие неустойчивой, нейтральной и устойчивой стратификации.

JO
0,<t ? = 2/Л
Рис. 2.9. Безразмерные профили потенциальной температуры при
различных состояниях гидростатической устойчивости по наблюдениям
Машковой (1965) в Обнинске
1) \i 287; 2) ц=—40; 3) Д-—7; 4) ц=0; 5) ц-Ю; 6) д=20; 7) ц=41; 8) ц=-148
V/G
0,2 0.3 . ОЛ 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 и/С *
Рис. 2.10. Безразмерные ветровые спирали при неустойчивой, нейтральной
и устойчивой стратификации по наблюдениям Курпаковой и Орленко
(1967) в Воейково
Цифрами на кривых указаны значения 105г/Л

2.2.3. Экспериментальные данные
169>
Безразмерные ветровые спирали, построенные по осредненным
для каждой из этих групп профилям, приведены на рис. 2.10.
Отметим, что при устойчивой стратификации наблюдаемый,
угол полного поворота ветра в пограничном слое оказывается
весьма большим (превосходит 50°).
В качестве еще одного примера систематизации фактических
данных о вертикальном распределении ветра в виде
безразмерных профилей укажем работу Туиллера и Лэйпа (1964).
Обработки данных о профилях влажности в планетарном
пограничном слое атмосферы на основе теории подобия,
по-видимому, не производилось. Имеющиеся эмпирические сведения
показывают, что в средних широтах над сушей летом, как
правило, имеет место убывание удельной влажности q с
высотой. Так, например, по наблюдениям в Московской области
(Девятова, 1957) и в Южной Англии (Зобел, 1967) типичные
значения q при этом составляют около 10 г/кг у земной
поверхности и около 4 г/кг на высоте 1,5 км. Зимой типичное
значение q снижается до 1 г/кг, причем закономерных изменений q
с высотой в пограничном слое не обнаруживается.
2.2.3.3. Характеристики турбулентности
Сравнительно подробно мы обсудим особенности
вертикального распределения лишь простейших характеристик
турбулентности— коэффициентов турбулентного обмена kM, £я и k^
и скорости диссипации турбулентной энергии в теплоту е,
знание которых представляет, в частности, интерес с точки зрения
изучения диффузии различных примесей, а также условий
распространения в атмосфере электромагнитных и акустических
волн. Кроме того, приведем данные о стандартных отклонениях,
компонент скорости <rM, oVi ow и температуры вт, оценки
величин основных членов уравнения для турбулентной энергии
и, наконец, рассмотрим вопрос о вертикальном распределении
турбулентных потоков импульса т и тепла FH-
К сожалению, имеющиеся экспериментальные материалы не
позволяют построить универсальные профили указанных
статистических характеристик турбулентности, скажем, типа
функций (2.10). Поэтому нам придется в большинстве случаев
представлять результаты, пользуясь обычными размерными
координатами. При этом мы не будем ограничиваться нижним
километровым слоем и, там где будет возможность, приведем также
сведения о турбулентности на больших высотах.
Первые попытки оценить коэффициент
турбулентной вязкости в пограничном слое атмосферы были
предприняты еще в начале века в работах Акерблома (1908), Гес-
сельберга (1914) и ДжГ Тэйлора (1915). Искомая величина
оценивалась в этих работах путем сопоставления решений урав-

170
2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
нений (2.5) при различных значениях kM —const с
наблюдаемыми профилями ветра (многочисленные оценки аналогичного
характера уже сравнительно недавно выполнялись Ткаченко
(1956)). Далее, по мере развития аэрологических наблюдений,
оценки коэффициента км, а также коэффициентов
турбулентного обмена для теплоты kH и
пассивной примеси kD выполнялись многими авторами. Был
предложен целый ряд методов, позволяющих с большей или
меньшей точностью вычислять kM или kH (величины,
непосредственно не измеряемые) по данным наблюдений. Основные
применявшиеся до настоящего времени методы можно разбить
на несколько групп.
К первой группе относятся методы определения kM>
основанные на использовании данных о вертикальном
распределении составляющих среднего ветра (Мильднер, 1932; Кашин,
1939; Леттау, 1950; Лайхтман и Чудновский, 1949; Чуринова,
1951; Рузин, Болдырева и Савельева, 1963; Леттау и Хобер,
1964) и методы определения kH по результатам измерений
профилей средней температуры в два последовательные момента
времени (Джен и Герхардт, 1950; Уонг и Брандидж, 1966).
Расчетные формулы получаются здесь путем решения
уравнений движения (или теплопроводности) относительно kM (или
соответственно относительно kH)- При таком подходе, однако,
не говоря уже о погрешностях измерений, нельзя быть
уверенным в точности расчетов, так как исходные уравнения
используются в упрощенном виде, причем отбрасываемые члены
оценить, как правило, не удается.
Ко второй группе мы будем относить методы определения
коэффициента, обычно интерпретируемого как коэффициент
турбулентной вязкости kM, по данным о пульсациях скорости
без привлечения сведений о градиентах составляющих среднего
ветра. Одна из первых формул такого типа, предложенная Гес-
сельбергом (1929), имеет вид kH=w/9tL/2y где w' — пульсация
вертикальной скорости, tL — среднее время сохранения знака
вертикальной скорости движущейся частицы (лагранжев
временной масштаб вертикальных пульсаций). Оценки
величины kH по методу Гессельберга выполнялись Леттау и
Швердтфегером (1933, 1934, 1936). Метод расчета
коэффициента kM по измеряемым эйлеровым характеристикам движения
был предложен Ляпиным (1948), согласно которому
величина tL в формуле Гессельберга может быть выражена через
эйлеров временной масштаб вертикальных пульсаций tE
следующим образом: tL/tE=u/\u'\f где и' и и — соответственно
пульсационное и среднее значения продольной составляющей
скорости ветра. Отметим, что это же соотношение между tL и
tE использовал в последнее время Корсин (1963). Формулу Ля-

2.2.3. Экспериментальные данные
171
пина для оценки величины kM в пограничном слое атмосферы
использовали Воронцов (1960, 1966), Константинов (1963),
Мушенко (1963) и др. Дубов (1959) обобщил метод Ляпина
на случай движущегося анемометра и применил его к
определению коэффициента турбулентной вязкости по записям
колебаний самолета, летящего без вмешательства летчика (с
закрепленной ручкой управления). Это позволило оценить Адг
в верхней части пограничного слоя, а также в свободной
атмосфере (Матвеев, 1958а, б; Пинус, 1965) и, в частности, в
облаках (Пинус и Литвинова, 1962; Герман, 1963; Минервин, 1966).
Следует отметить, что все формулы, связанные с обсуждаемым
методом, основаны на некоторых полуэмпирических гипотезах,
в результате чего a priori здесь также нельзя с уверенностью
отождествлять рассчитываемую величину kM с истинным
коэффициентом турбулентной вязкости (определяемым как
отношение тх/(рди/дг) или xy/(pdv/dz)). Сравнение значений kM>
рассчитанных по формуле Ляпина и оцененных прямым
методом (по непосредственным измерениям касательного
напряжения и градиента скорости), для приземного слоя атмосферы
выполнялось Константиновым (1949), по данным которого оба
метода дают практически совпадающие величины.
Говоря о работе Константинова, мы уже затронули третью
группу методов, а именно методы определения коэффициентов
&м и kH, основанные на прямых измерениях составляющих
касательного напряжения трения и потока тепла. Расчеты при
этом производятся непосредственно по формулам kM=
=rx/(pdu/dz)=Xyl(pdv/dz) и kH=—H/(cppdQ/dz), являющимся
определениями искомых величин. Подобного рода оценки
коэффициентов турбулентного обмена в планетарном пограничном
слое атмосферы были выполнены Гайгеровым и Кастровым
(1957) и Энджелом (1964). В качестве примеров получения
профилей kM и kH методом, близким к обсуждаемому, укажем
работу Эллиота (1964), в которой турбулентный поток тепла,
однако, непосредственно не измерялся, а рассчитывался по
данным измерений радиации, а также работу Иванова (19646),
использовавшего для определения т по измеренному е
упрощенное уравнение для турбулентной энергии s = |-^- --^А-
Укажем еще на возможность оценки коэффициента kD
вертикального турбулентного обмена для пассивной примеси,
обычно полагаемого близким к &я, по данным диффузионных
экспериментов (см., например, Паскуил, 1962).
Любопытно отметить в качестве своеобразной попытки
оценить эффективное значение коэффициента турбулентной
вязкости работу Душкина и Ломоносова (1963), в которой
среднее по пограничному слою значение kM подбиралось путем чис-

172
2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
ленных экспериментов по прогнозу барического поля.
Оптимальный прогноз получился при &м «20 м2/сек.
*м,*н м2/сек
Ю'1 Ю Ю2 ю3 2 м
Рис. 2.11. Сводка эмпирических данных о вертикальном распределении
коэффициентов турбулентной вязкости kM и турбулентного обмена для
теплоты Ин
/ —Мильднер (1932), 2 —Джен и Герхардт (1950), 3 — Леттау (1950), 4 — Чуринова
<1951), 5 — Дубов(1959), б —Матвеев (19586), 7 — Воронцов (1960), 8 — Мушенко
(1963), 9 — Рузин, Болдырева и Савельева (1963), 10 — Эллиот (1964), // — Леттау
и Хобер (1964). 12 — Пинус (1965), 13 — Уонг и Брандидж (1966)
На рис. 2.11, подготовленном Ключниковой для обзорной
статьи Зилитинкевича, Лайхтмана и Монина (1967) (см. также
незначительно отличающийся рисунок в работе Ключниковой

2.2.3. Экспериментальные данные
173
(1967)) дается сводка опубликованных данных о вертикальном
распределении коэффициентов kM и kH. Ввиду очень большого
количества экспериментальных материалов на сводном графике
помещены не все имеющиеся данные. Здесь отобраны работы,
представляющие различные методы определения kM и kH,
причем для каждого метода
взято лишь несколько ot
наиболее типичных
кривых. Здесь прежде всего
бросаются в глаза очень
большие различия между
отдельными профилями.
Даже на фиксированном
уровне величины kM и kH
от случая к случаю
меняются на несколько
порядков. Пожалуй, можно
указать только одну
общую особенность
вертикального распределения
рассматриваемых
коэффициентов— почти во всех
случаях они принимают
максимальные значения в
слое от 200 до 500 м и
снижаются до
относительно малых значений на
больших высотах.
Безразмерные профили
коэффициента
турбулентной вязкости (йм/хиД как
функция zj%) строились
по данным Леттау и Хо-
бера (1964) в работе
Бобылевой, Зилитинкевича
и Лайхтмана (1967). Взятый из этой работы эмпирический
график приведен на рис. 2.12.
Рассмотрим экспериментальные данные о диссипации
турбулентной энергии в теплоту е. Для оценки
этой величины применяется ряд различных методов. Один из
наиболее употребительных, предложенный Обуховым (1951),
основан на измерениях структурной функции пульсаций какой-
либо из составляющих скорости ветра в инерционной
подобласти, где она выражается по закону Колмогорова — Обухова
в виде произведения е*/»га/« (г — расстояние между точками
измерения), умноженного на известную числовую константу.
В различных модификациях (вместо измерений структурной
Рис. 2.12. Безразмерные эмпирические
профили коэффициента турбулентной
вязкости по двум сериям измерений над
Балтийским морем

174
2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
функции могут использоваться измерения автокорреляционной
функции или спектра) подобный метод применялся Мак-Криди
(19536), Боллом (1961) (использовавшим измерения Дикона
(19556)), Зубковским (1963), Ивановым и Клиновым (1961,
1963), Ивановым (1962, 1964а,б), Цвангом и др. (1963),
Гореликом, Мельничуком и Черниковым (1963), Ламли и Панов-
ским (1964) (использовавшими измерения Штейнера и Райна
(1962)), Пинусом (1964), Френзеном (1965), Дубовым и
Германом (1965), Гурвичем, Копровым, Цвангом и Ягломом (1967)
и др.
Весьма широко используются также оценки диссипации по
данным диффузионных экспериментов. Идея обычно
применяемого метода (Бэтчелор, 1950) состоит в использовании связи
между величиной е и значением момента времени tu начиная
с которого диффундирующее облако растет пропорционально
кубу времени (t} — Уб*г~*'\ где Y0—начальный размер
облака). Этот метод применил, в частности, Гиффорд (1957а, б),
использовавший измерения Келлога (1956), Френкиля и Катца
(1956), Сенеки (1955) и Тэнка (1957). Чарнок (1951)
оценивал е по измерениям начальной скорости рассеяния клубов
дыма, которая, так же как и tu однозначно выражается через е
и Yq. Оценки диссипации диффузионным методом были
выполнены также Уилкинсом (1958а,б), Гринхау (1959), Татарским
(1960), Бламоном и де Ягером (1961) и Бламоном (1963).
Косвенный метод оценки е, основанный на использовании
упрощенной формулы s = ( — --г— ], применяли Р. Тэйлор
(1952), определявший вектор касательного напряжения трения
непосредственно по пульсационным измерениям, и Леттау
(1957, 1962), рассчитывавший профиль х по профилю ветра.
Понд, Стюарт и Берлинг (1963) измеряли спектр скорости
ветра в области очень высоких частот, что дало возможность
оценить величину е путем интегрирования спектра диссипации.
Сводные графики, иллюстрирующие распределение
диссипации по высотам в атмосфере, были опубликованы Пристли
(1959), Уилкинсом (1960, 1963), Боллом (1961). График Болла
воспроизводился с добавлением собственных данных
Ивановым (1962), Ламли и Пановским (1964), Дубовым и Германом
(1965). На рис. 2.13, где также нанесены значения диссипации
в зависимости от высоты, материалы из указанных работ
собраны вместе и пополнены результатами ряда других
авторов. Учитывая, что в нижних слоях атмосферы величина
диссипации на данном уровне при прочих равных условиях
пропорциональна кубу скорости ветра, Пристли (1959), а вслед за
ним и некоторые другие исследователи при систематизации
данных пересчитывали измеряемые значения е, относя их к
скорости ветра в 5 м/сек. В частности, этой процедуре подвергнуты

2.2.3. Экспериментальные данные
175
приведенные на рис. 2.13 данные Р. Тэйлора (1952), Мак-Криди
(19536), Дикона (19556), Болла (1961), Леттау (1959),
Иванова (1962), относящиеся к высотам, не превосходящим 500 м\
прочие данные представляют непосредственно измеряемые
значения е. Как видно из графика, если отбросить результаты
измерений в конвективных облаках (Горелик, Мельничук и
Черников, 1963; Ламли и Пановский, 1964), а также в зонах
турбулентности ясного неба (Пановский, 1968, частное сообщение),
гм2/сек3
1\-
ю-'\-
10'21
Ю'^У-
10*\-
1(Г5\-
10'
X/
Г °2
+3
I А4
Г 05
I *6
X
н\
*7 L
аЗ
А/0
■ //
1
X
1
1 г
* -
••if
D\ 1 у
! •!
l-W^
I
J
I l
i
M
* У
/ L
■ v —
г 1
J д
ч^
1
GJ
A
1
j
{,0 J
к
i°
10
10'
10
Ю2
10d
104
10~5zm
Рис. 2.13. Эмпирические данные о вертикальном распределении скорости
диссипации турбулентной энергии в теплоту е
/-Мак-Криди (19536), 2 — Р. Тэйлор (1952), 3 — Дикон (19556), 4 — Леттау (1957),
5—Гимпол (см. Болл, 1961), 6 — Иванов (1962), 7 — Зубковскип (1963), 8— Горелик,
■Бламон и де Ягер (1961), L — Дубов и Герман (1965), М — Ламли и Пановский
(1964), N — Пановский (1968, частное сообщение)
дающие повышенные значения е, то в среднем можно принять,
что в пограничном слое диссипация убывает, грубо говоря,
обратно пропорционально высоте.
Зависимость вертикального профиля диссипации от условий
гидростатической устойчивости рассматривалась Зубковским
(1963), Ивановым (1964), Ивановым и Волковицкой (1965),
Гурвичем, Копровым, Цвангом и Ягломом (1967), Бызовой,
Ивановым и Морозовым (1967). Во всех этих работах было
установлено, что е уменьшается с высотой быстрее при
устойчивой и медленнее при неустойчивой стратификации, причем
в слое свободной конвекции, в согласии с теорией подобия,

176 2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
г оказывается практически постоянной по высоте. Особенно де-i
тально вопрос о форме профилей ев планетарном пограничном
слое атмосферы в зависимости от устойчивости исследован в
последнее время Ивановым и Волковицкой, использовавшими
данные измерений на 300-метровой метеорологической мачте
в Обнинске. Полученные указанными авторами безразмерные
эмпирические кривые (хХе/и*3 как функции z/X) приведены на
рис. 2.14. При нормировании значений диссипации и высот,
я
Рис. 2.14. Безразмерные
эмпирические профили
скорости диссипации
турбулентной энергии по
измерениям Иванова и
Волковицкой на 300-метровой
мачте в Обнинске:
/) » 90; 2) м- 10; 3) - ji-4;
а также при определении параметра стратификации jx
формулы (2.9), по значениям которого классифицируются кривые,
здесь использовались значения и* и Я, рассчитанные по данным
приземных градиентных наблюдений на основе методики,
близкой к предложенной Казанским и Мониным (1962).
Анализ экспериментальных данных о диссипации
турбулентной энергии на больших высотах был выполнен Уилкинсом
(1963). Согласно этой работе (см. также рис. 2.13), е убывает
приблизительно обратно пропорционально высоте до уровня
около 30 км, в стратосфере не превосходит 10~5 м2/секг, на
высоте около 90 км (мезопауза) снова увеличивается до значений
порядка 0,7-10"2 м2/сек3 и наконец резко падает практически
до нуля на уровне 102 км. По расчетам Уилкинса, полные
количества кинетической энергии, диссипируемой в теплоту в
тропосфере и в мезосфере, по порядку величин совпадают. Что
касается тропосферы, то, согласно цитируемой работе, 90%
диссипации энергии приходится здесь на нижний километр (по
ранней оценке Брента (1926), на нижний километр приходится
лишь 60% диссипации, происходящей в тропосфере).

2.2.3, Экспериментальные данные
177
Данные выполненных в последнее время измерений
характеристик атмосферной турбулентности на больших высотах
опубликованы также в работах Келлога (1964), Као и Сэндса
(1966), Циммермана (1966, 1967), Мак-Грэтена (1967) и
Джастаса (1966), причем последний оценивал в слое от 90 до
110 км основные члены уравнения для турбулентной энергии:
Первые оценки глобальных изменений кинетической энергии
атмосферы, связанных с диссинативными процессами, делались
в работах Брента (1926, 1934). Более детальйый анализ был
осуществлен позднее 'Пальменом (1959), Холопайненом (1963),
Оортом (1964), Кангом (1969) и др. Обзор современного
состояния знаний в этой области имеется в книге Лоренца (1967).
Измерений стандартных отклонений
пульсаций компонент' скорости ов= к и'2у' av = V и'2, zw —
= V w'2 и температуры aT = V V2 в атмосфере выполнено
довольно много, однако подавляющее большинство имеющихся
данных относится к нижним 15—20 м. Краткая сводка
результатов подобного характера приводилась в 1.2.4.3. Теперь мы
рассмотрим немногочисленные данные, полученные по
измерениям на высотных мачтах и башнях* а также с помощью тех
или иных летательных аппаратов. ч
Детальные сведения о продольной порывистости аи в
нижнем 300-метровом слое воздуха были получены по измерениям
на мачте в Обнинске (см., например, Иванов, 1963, 1964а).
Примеры профилей ам, опубликованные' во второй из
указанных работ, приведены на рис. 2.15: ^По'оси ординат здесь
отложена высота, а по оси абсцисс—интенсивность
турбулентности (безразмерное отношение'аи/^зоо» где £/3оо — средняя
скорость ветра на высоте 300 ж)'.Жак видно из рисунка,
интенсивность продольных пульсаций заметно увеличивается по мере
перехода от устойчивой стратификации к нейтральной и далее
к неустойчивой.
Экспериментальные данные о поперечной порывистости ас
на высоте 91 м по измерениям в Брукхевене, США, получены
Ламли и Пановским (1964). На рис. 2.16, взятом из гл. 4
указанной книги, иллюстрируется зависимость av от средней
скорости ветра и условий гидростатической устойчивости,
индикатором которой служит нисходящий поток коротковолновой
радиации. Большинство приведенных на графике данных
получено по дневным измерениям.
Хорошей иллюстрацией поведения вертикальной
порывистости ow могут служить измерения Ф. Смита (1961),
выполненные в Кардингтоне (Англия) на привязном аэростате. На
' С. С. Зилитинкевич

178 2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
рис. 2.17. взятом из цитируемой работы, показана связь
интенсивности вертикальных пульсаций скорости aw/u со средней
скоростью ветра и характером стратификации в слое между 200
и 2000 м. Измерения вертикальных пульсаций скорости с
самолета в нижнем километровом слое воздуха над морем про-
гм
300,
200
WO
О
300
200
WO
1 #
•V *
ео
* X
•°\
°в
а)
»
•
*4^
°#
• Ьаф б)\
• 4аОА
• «С
1
1
О
А«оА
АаР
Ога> ■■ ■■
A <$W »
О OflS 0,1QU/U300
1 °*#*
в#{¥0
о| 1 4<
\#^
1
~~ё)\
►
0,05
0,1 0,15ви/и300
Рис. 2.15. Профили интенсивности продольных пульсаций
скорости Ou/Uzoo по измерениям Иванова (1964а) на
мачте в Обнинске
а — слабая устойчивость; б — нейтральная стратификация; в —
слабая неустойчивость
изводились Банкером (19566, 1960), который обнаружил, что
при неустойчивой стратификации аю в нижней части
рассматриваемого слоя растет с высотой, на высотах 200—500 м
достигает максимума, а затем убывает. Типичное значение aw по
данным Банкера составляет несколько десятков см/сек. Эти
результаты хорошо согласуются с данными измерений Копрова
(1965, 1966) и Копрова и Цванга (1966), выполненных также

ом
0,2
О
т—i—i—i—г
Fs кал/см2 мин
1.2
1.0
0.8
0.6
0%52
0,31
, х&нмшь ,,,,;,,.
awfu
ом
0.3Y-
Рис. 2.16. Связь стандартного отклонения поперечной
скорости Ov на высоте 91 м со скоростью ветра U\\ на высоте 11 м
и потоком коротковолновой радиации Fs по измерениям на башне
в Брукхевене, США, по Ламли и Пановскому (1964)
На координатной плоскости указаны значения а^ м/сек и проведены
изолинии
0,2
0.1
I г
г \ф
I N
Г N
>•
Ч
L
| ,
■^
\
#\#
л
•• \
• •
•^Ч
• ^
IV
•
т г
ч
\
\
\
• *\
^ •• #N
— •
^^ -N
Х*4^*
•ч? ^*
ч#: /«
\ ш\
• хх4
1 L
#\
w \
•ч^
^v
*ч •
v*
1
_ •_
А
N*
К. • *
/
2
3 А
1
\ Н
4*N
«JH
il\
в 9и„м/сен
8 и м/сек
Рис. 2.17. Связь интенсивности вертикальных
пульсаций скорости ог«>/и со скоростью ветра и
и характером стратификации на высотах между
200 и 2000 м в Кардингтоне (Англия),
по Ф. Смиту (1961)
/ — линии, разделяющие области различной
стратификации (/ — устойчивая, // — слабо устойчивая, /// —
безразличная, IV — слабо неустойчивая, V— неустойчивая);
2 — общая тенденция изменений о^/и в зависимости
от и; 3 — кривые, ограничивающие при каждом и
типичный интервал изменчивости ow/u за счет
стратификации

180
2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
с самолета при полетах над степью летом в дневное время
(в лётной экспедиции Института физики атмосферы АН СССР
в 1965 г.). Примеры профилей aw из работы Копрова
приведены на рис. 2.18.
Результаты измерений стандартных отклонений компонент
скорости в планетарном пограничном слое атмосферы
опубликованы также в работах Томпсона (1962), Свенсона и
Крамера (1965), Воронцова (1966), Каймела и Хаугена (1967), Ду-
бова (1968) и др.
Gw см/сен
120
500 1000 1500 2000 zm
Рис. 2.18. Примеры профилей вертикальной
порывистости аю над- степью при неустойчивой
стратификации по измерениям Копрова (1966) с самолета
Кривая изображает осредненный профиль
Дисперсии температурных пульсаций измерялись с
самолета Цвангом (19606), а также Копровым (1966) в уже
упоминавшейся экспедиции Института физики атмосферы АН СССР.
Характерной особенностью профилей, полученных в обеих
указанных работах, является убывание От2 с высотой при
неустойчивой стратификации (рис. 2.19), вызванное, вероятно,
изменением по высоте характера стратификации, обусловленным
в свою очередь нестационарностью.
Оценки основных членов уравнения для
турбулентной энергии в температурно-стратифицированном
пограничном слое атмосферы, имеющем вид (ср. 1.18))

2.2.3. Экспериментальные данные
181
были выполнены в работах Пановского (1962), а также Ламли
и Пановского (1964), по наблюдениям на 125-метровой башне
в Брунхевёне (США). Изменения энергии во времени в период
наблюдений оказались незначительными. Адвекция энергии не
оценивалась. Не касаясь методики определения всех
рассматриваемых членов, отметим только, что диссипация вычислялась
о} град2
Рис. 2.19. Осредненный
по восьми случаям
профиль дисперсии
температурных пульсаций с£
над степью при
неустойчивой стратификации по
измерениям Копрова
(1966) с самолета
0.01
10 20 70100150 300 506 ЮООгм
по измерениям спектра продольной составляющей скорости
в инерционной подобласти. Результаты оценок приведены
в табл. 2.1. В графе «суммарное поступление» представлена
'(т-£)и
конвективного [—^ поступле-
сумма Механического
ния энергии. В графе «суммарный расход» дается сумма
диффузионного члена —т^- диссипативного е. Из таблицы ясно
видна существенная роль диффузионного члена при условиях,
не слишком близких к нейтральным. Интересно отметить, что
в пределах точности измерений величина этого члена близка
к величине скорости поступления энергии за счет сил
плавучести. Аналогичный вывод был получен в работе Хесса и
Пановского (1966), где также оценивались различные члены
уравнения для турбулентной энергии по измерениям в Брукхевене,
и позднее в работе Пановского и др. (1967) по измерениям
в Раунд — Хилле. Анализируя полученные результаты, Панов-
ский обратил внимание, что в рассматриваемом уравнении
№н 1 dQ
члены
(*•£)"
е, с одной стороны, и
срР
и — д7 • с ДРУГ0И>
имеют тенденцию попарно балансироваться. Этот вывод,
впрочем, является дискуссионным и, в частности, противоречит
данным измерений Института физики атмосферы. АН СССР,
согласно которым в условиях сильной неустойчивости
диссипация е пропорциональна конвективной продукции $FH/cpp (см
Гурвич, Копров, Цванг и Яглом, 1967).

182 2.2. Теория подобия и экспериментальные данные
Таблица 2.1
Бюджет турбулентной энергии в слое между Ни 125 м
по измерениям в Брукхевене (США) (Ламли и Пановский, 1964).
Все величины даны в эрг/г*сек
Градиентное
число
Ричардсона Ri
-0,03
-0,12
-0,60
—0,33
-0,52
—0,53
—0,46
0,03
0,04
/ 1 dV\
W dz)
211
291
123
177
145
43
280
612
290
V
14
3
62
62
96
26
129
—19
—12
Суммарное
поступление
225
294
185
239
241
69
409
593
278
1 £Q
Р dz
—24
50
79
119
106
29
108
37
15
е
360
188
102
185
147
87
Суммарный
расход
336
238
181
304
253
116
Нам еще остается рассмотреть вопрос о вертикальном
распределении турбулентных потоков импульса х и
тепла FH. Как уже указывалось, составляющие потока
импульса тх и % в планетарном пограничном слое закономерно
меняются по высоте и на верхней границе пограничного слоя
становятся пренебрежимо малыми. На рис. 2.20 приведены
данные о величинах т* и ху при стратификации, близкойк
нейтральной, обработанные на основе теории подобия. Исходный
материал для построения этих графиков взят из работы Леттау
и Хобера (1964), в которой профили %х и ту
рассчитывались по измеренным профилям средней скорости с помощью
соотношений, получаемых путем почленного интегрирования
уравнений движения (2.5). Что касается потока тепла FH
(а также и потока влаги РЕ), то в условиях стационарности и
горизонтальной однородности он должен быть постоянным по
высоте. В реальных условиях подобный режим наблюдается,
однако, сравнительно редко, главным образом вследствие
эффекта суточных колебаний температуры. Типичный пример
вертикального профиля потока тепла FH (измеренного прямым
методом с самолета) приведен на рис. 2.21. Измерения
турбулентных потоков на различных высотах в планетарном
пограничном слое атмосферы выполнялись также в работах Банкера
(1956а, б; 1960), Леттау и Дэвидсона (1957), Гайгерова и Ка-
строва (1957), Телфорда и Уорнера (1964), Энджела (1964),
Копрова и Цванга (1965) и др.

Рис. 2.20.
Безразмерные профили
компонент касательного
напряжения
турбулентного трения хх и Ту
в пограничном слое
атмосферы при
стратификации, близкой к
нейтральной, по двум
сериям измерений над
Балтийским морем
0,4 0,5 0.6 0.7 0,8z/\
?н кол/см2-мин
0.075^ , , г
0,05 \-
0.025U
-0.025
-0.05
50 70 100 200
500
1000 ZM
Рис. 2.21. Вертикальный
турбулентный поток
тепла FH как функция от
высоты z по измерениям Коп-
рова (1966) с самолета над
степью

184
2.3. Полу эмпирические теории
2.3. ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
СТАЦИОНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Как уже отмечалось, большинство теоретических
исследований • планетарного пограничного слоя посвящено режиму
осредненного поля скорости. В ранних работах (начиная с
теории Экмана (1905—1906)) профиль средней скорости
отыскивался путем интегрирования уравнений (2.5) при том или ином
априорном задании коэффициента kM как функции от высоты.
Следующим этапом явились исследования Россби (1932) и
Блиновой и Кибеля (1937), в которых впервые было
предложено некоторые характеристики' профиля коэффициента
турбулентной вязкости выражать /через характеристики профиля
средней скорости. Далее, Монин (1950а), рассматривавший
случай нейтрально стратифицированной атмосферы, предложил
для замыкания системы (2.5) использовать уравнение (2.26)
(при db2/dt=0 и pfff/£pp=0), вытекающие из гипотезы
приближенного подобия Колмогорова соотношения (1.135), а также
формулу Прандтля (1.131) для масштаба турбулентности. Для
температурно стратифицированного пограничного слоя анало-
гичнда^сцособ замыкания осредненных уравнений динамики
был использбвйц- „Зилитинкевичем и Лайхтманом (1965а,
1966а, б), предложившими в то же время определять масштаб
турбулентности с помощью обобщения формулы Кармана,
аналогичного (1.147). НаконеЦг-ОДонин (1965а, в) указал способ
замыкания уравнений Фридмана — Келлера для всех
одноточечных моментов полей скорости и температуры в пограничном
слое.
Перейдем к более подробному обсуждению указанных'
направлений исследований.
2.3.1. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕТРА ПО ВЫСОТЕ
2.3.1.1. Априорные модели коэффициентов
турбулентной вязкости
Первое исследование распределения скорости в
планетарном пограничном слое было выполнено Экманом (1905—1906),
который рассматривал стационарное течение в море,
возникающее под влиянием касательного напряжения на поверхности
воды и силы Кориолиса. 'Уравнения (2.5) решались здесь для
случая &M = const, Ug=Vg = 0 при следующих граничных
условиях:
*a,5F=77' W = 0 ПРИ г = 0'
и -»- 0, v -+ О при z ->-оо, (2.27)

2.3J. Простейшие модели распределения ветра по высоте 185
где z — глубина, отчитываемая от поверхности моря; pw —
плотность воды. Соответствующее решение (для северного
полушария, т. е. при />0) имеет вид
" + to = ^7fe"'-1>^p[~/*(i+1>2]
(/ = V~l). (2.28)
Скорость течения на поверхности моря оказывается равной
У^+Щ = *о1РгУ&м' (2.29)
причем течение отклоняется от направления касательного
напряжения трения вправо на угол 45°. Качественно эти
результаты согласуются с опытными данными.
На основе аналогичного подхода задача о распределении
вектора скорости ветра в атмосферном пограничном слое
впервые была рассмотрена Акербломом (1908). В этой работе при
решении системы (2.5) коэффициент вязкости kM принимался
не зависящим от высоты, а в качестве граничных условий
использовались задание ветра на некотором уровне у
поверхности Земли и требование
u->Ug, v-+Vg при z->oo. (2.30)
Для проверки полученных формул Акерблом использовал
наблюдения за ветром на Эйфелевой башне и, по-видимому,
впервые обнаружил, что эффективный коэффициент вязкости в
нижнем слое атмосферы оказывается в сотни тысяч раз больше
коэффициента молекулярной вязкости воздуха. Из модели Акер-
блома следует рост модуля скорости ветра и правое (в
северном полушарии) вращение ветра с высотой.
Близкой к двум упомянутым работам, но содержащей более
ясное представление о физической сущности турбулентного
трения является работа Дж. Тэйлора (1915). Коэффициент kM
здесь также считался постоянным во всем пограничном слое,
а в качестве граничных условий использовались соотношения
(2.30) и требование параллельности векторов касательного
напряжения и скорости ветра у поверхности Земли, записываемое
в виде
и dujdz ~
— ^-да при г^°-
Поскольку в сформулированной таким образом задаче
недостает одного условия, дополнительно задавался (по
эмпирическим данным) угол а между ветром у Земли и геострофическим

186
2.3. Полу эмпирические теории
ветром. При таких граничных условиях (и при />0) решение
имеет следующий вид:
и + iv = Gn+ ^2sinaexp — l / 2k~z +
(2.31)
Воспользовавшись эмпирическими данными Добсона (1914),
Дж. Тэйлор по полученным им формулам впервые нашел
численные значения наиболее важных параметров пограничного
слоя при разных скоростях ветра. Эти результаты приводятся
в табл. 2.2.
Табл ица 2.2
Основные динамические характеристики
планетарного пограничного слоя атмосферы, по Дж. Тэйлору (1915)
Градации
скорости
ветра
Скорость
геострофического
ветра,
м сек
4,6
9,1
15,6
Угол a
град
13
21,5
20
Высота

пограничного слоя,
м
600
800
900
Коэффициент
турбулентной
ВЯЗКОСТИ kj[f
м*1сек
2,8
5,0
6,2
Коэффициент
сопротивления
0,0023
0,0032
0,0022
Примечание. U — скорость ветра на уровне флюгера.
Теорию Дж. Тэйлора впоследствии пытались
усовершенствовать Сакакибара (1926—1928) и Мёллер (1931), заменив
условие параллельности ветра и касательного напряжения
условием прилипания (обращения скорости ветра в нуль на
поверхности Земли).
В изложенных работах была вполне удовлетворительно
сформулирована задача о вертикальном распределении
скорости в планетарном пограничном слое атмосферы и получено
качественное объяснение особенностей изменения вектора ветра
с высотой. Однако количественно результаты этих работ
определенно расходятся с опытными данными. Из последних двух
работ следует, например, что угол между приземным и
геострофическим ветром всегда равен 45°, тогда как в
действительности он весьма изменчив и в среднем составляет 15—20°,
причем большие значения угла соответствуют поверхности с
большей шероховатостью. Далее, оказалось, что рассчитанные
значения вертикальных градиентов скорости ветра у земной
поверхности резко расходятся с результатами измерений.
Логарифмический рост скорости, который был установлен в
лабораторных условиях для пристеночной области турбулентного по-

2.3.1. Простейшие модели распределения ветра по высоте 187
граничного слоя, а также и по измерениям в приземном слое
атмосферы, в упомянутых теоретических работах не
получается.
По мере накопления экспериментальных данных о
вертикальном распределении ветра появились работы, в которых по
этим данным рассчитывался профиль коэффициента
турбулентной вязкости (см. 2.2.3.4). При этом обнаруживалось, что, как
правило, имеет место близкий к линейному рост
коэффициента kM до высоты порядка сотен метров, сменяющийся затем
убыванием до сравнительно малых величин. Подобные выводы,
полученные по материалам наблюдений в нижних слоях
атмосферы, хорошо согласуются с лабораторными измерениями
коэффициента турбулентной вязкости в пристеночной области
турбулентных течений жидкости и газа.
Начиная с 30-х годов выполняется большое количество исследований,
в которых постоянный по высоте коэффициент турбулентной вязкости
заменяется той или иной функцией от высоты. Ряд таких моделей &лг(г),
включающий квадратичную и экспоненциальную зависимости, был рассмотрен
в работе Такайя (1930). Мёллер (1931) в уже цитировавшейся работе,
помимо &Af = const использовал еще линейную зависимость kM от высоты.
Кёлер (1933), а затем Фрост (1948) выписали решение для kM ~zn при
произвольном показателе степени п. Недавно Такев (1964) указал, что в послед-
2 / д- 2
нем случае при п=2 и п = 2П . Q (/=0, 1, 2,...) решение уравнений (2.5)
zj -+- о
выражается через элементарные функции. Наконец, Берлянд (1947)
рассмотрел двухслойную модель со степенным выражением для kM в нижней части
пограничного слоя и постоянным по высоте значением kM в верхней части,
а Годев и Йорданов (1967) выписали решение для целого набора различных
априорных формул для kM. Во всех этих работах нижнее граничное условие
записывается в виде
и = 0, v = 0 при z = z0t (2.32)
где z0 — параметр шероховатости, а верхнее — в форме (2.30).
Некоторые из указанных моделей приводят к результатам, значительно
лучше согласующимся с экспериментальными данными, чем выводы,
основанные на простейшей гипотезе &м =const. В частности, при линейном росте
коэффициента турбулентной вязкости с высотой из теории следует
логарифмический рост скорости ветра, что согласуется с данными измерений в
нижнем слое воздуха. В то же время перечисленные модели являются
априорными, т. е. сами по себе не содержат каких-либо рекомендаций о выборе
значений фигурирующих в них параметров и, следовательно, не дают
возможности учесть зависимость структуры пограничного слоя атмосферы от
особенностей метеорологической обстановки.
2.3.1.2. Использование дополнительных соотношений
для характеристик турбулентности
Существенный сдвиг в теоретическом изучении структуры
пограничного слоя атмосферы связан с работой Россби (1932),
в которой была предпринята попытка ввести некоторые
дополнительные соотношения с целью определения не только вектора

188
2.3. Полу эмпирические теории
скорости ветра, но и параметров, характеризующих
коэффициент турбулентной вязкости. В частности, Россби предложил
использовать обобщение формулы Кармана для «пути
перемешивания» на случай турбулентного потока, в котором наряду
с величиной скорости направление ветра также зависит от рас-'
стояния до стенки. Однако решение, предложенное в
указанной работе, носило лишь предварительный характер.
Более определенные результаты были получены в работе
Блиновой и Кибеля (1937), в которой коэффициент
турбулентной вязкости задавался формулой kM=k\Z, однако параметр k\
не считался заданным, а отыскивался в ходе решения задачи.
Для этой цели использовалось дополнительное условие, согласно
которому при малых z имеет место асимптотическое равенство
|V|«^-ln-f. (2.33)
где ы* — скорость трения, определяемая по формуле и2 =
= Нт£ж\d\!dz\. Отсюда получается £i=xh*, т. е. выраже-
ние для коэффициента турбулентной вязкости лринимает вид
kM=xu*z. Аналогичное решение позднее было дано в работах
Эллисона (1955, 1956).
Решение Блиновой и Кибеля согласуется с требованиями
теории подобия, изложенной в п. 2.1.1. Иначе говоря,
результаты этой работы допускают представление в виде
универсальных профилей типа первых двух формул (2.19), а также
универсальных зависимостей типа первых двух формул (2.16),
разумеется, без учета параметров стратификации (см. кривые 1 на
рис. 2.22—2.27).
Помимо указанных работ, логарифмическое предельное
соотношение (2.33) использовалось Россби и Монтгомери (1935), Швецом (1938,
1941а, б, 1944), Швецом и Юдиным (1941), Лейбензоном (1943) и др. Форма
профиля kM при этом в разных работах задавалась по-разному. Так, Россби
н Монтгомери (1934) рассматривали модель, согласно которой kM~z при
г<2 и kM ~ (1 — zlh)2 при z<z<h (где Л —толщина пограничного слоя,
«
z — некоторая высота порядка десятков метров, играющая роль подгоночного
параметра). В этой же работе был упомянут и другой вариант двухслойной
модели:
**-(*•; "РИ г<\ (2Л)
I kiZ при z>z,
позднее рассмотренный Швецом и Юдиным (1941), а затем X. Стюартом
(1945). В обоих указанных случаях имеются уже два параметра k\ и z,
причем соотношение (2.33) позволяет установить лишь связь между ними,
оставляя один из параметров неопределенным.
Учитывая последнее обстоятельство, Лайхтман (1959, 1960, 1961)
предложил использовать в качестве еще одного дополнительного соотношения
проинтегрированное по высоте уравнение для турбулентной энергии, предпола-

2.3.2. Замыкание уравнений
189
гая при этом, что скорость диссипации энергии пропорциональна скорости
ее поступления за счет трансформации энергии среднего движения. Такой
подход позволяет, в частности, используя модель (2.34), включить вели-
* _
чину z в число неизвестных, подлежащих определению. В цитируемых
работах, а также в работах Цейтина и Орленко (I960)» Лайхтмана и Утиной
(1961), Ключниковой, Лайхтмана и Цейтина (1965) и др. на указанной
основе был получен ряд формул для расчета характеристик температурно-стра-
тифицированного пограничного слоя.
В связи с формулой (2.34) отметим еще предложение Бызовой (1964)
определять величину z путем построения эмпирической зависимости
безразмерной комбинации \f\kiz/G2 от числа Россби и того или иного параметра
стратификации.
Среди рассматриваемых двухслойных моделей распределения ветра с
высотой при нейтральной стратификации наиболее простую и в то же время
реалистическую модель предложил Блэкедар (19656), использовавший для
определения параметра z формулы (2.34) согласующееся с теорией подобия
выражение z=yk, где К — масштаб длины формулы (2.7), у— безразмерная
константа. Для нахождения у Блэкедар воспользовался эмпирическими
значениями фигурирующих в формулах (2.21) величин Л(0) и £(0), которые
в рамках рассматриваемой теоретической модели оказываются однозначно
связанными с у (см. ниже формулы (2.67)).
2.3.2. ЗАМЫКАНИЕ УРАВНЕНИИ С ПОМОЩЬЮ
ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Коэффициент турбулентной вязкости kM, рассматриваемый
как функция от вертикальной координаты и внешних
параметров, согласно экспериментальным данным рис. 2.11,
оказывается настолько изменчивым, что его трудно считать удобным
объектом для формулировки априорных гипотез. Именно
поэтому упоминавшиеся выше модели kM(z) не позволяют
надежно описать структуру пограничного слоя атмосферы для
сколько-нибудь широкого диапазона условий. С другой стороны,
данные о характеристиках турбулентности в пограничном слое,
в первую очередь о коэффициентах турбулентного обмена kMi
kH и kD и скорости диссипации турбулентной энергии е,
представляют интерес не только для задачи о распределении
ветра по высоте, но и сами по себе. В частности, потребность
в определении профилей kH и kD возникает при построении
теории распределения температуры и при расчете процессов
вертикальной диффузии примесей в атмосфере, а профиль е
является важной характеристикой спектров температуры и
влажности на разных уровнях в атмосфере, которые в свою очередь
играют существенную роль в задачах о распространении
радиоволн. В связи с этим возникает необходимость в построении
более совершенной теории, в которой указанные функции вошли бы
в число неизвестных, подлежащих определению. Такую
возможность представляют полуэмпирические теории турбулентности.

2.3.2.1. Пограничный слой при нейтральной
стратификации
Первым исследованием, в котором был теоретически
рассчитан профиль коэффициента турбулентной вязкости в
пограничном слое атмосферы, явилась работа Монина (1950а) (см.
также п. 6.6 монографии Монина и Яглома (1965)),
посвященная условиям температурно-однородной атмосферы. Как уже
указывалось, система (2.5) пополнялась здесь уравнением для
турбулентной энергии, записываемым в виде
&M
dV I2 _l_ д h db2 ~ n /о «\
причем величины kM, kQ и e выражались по формулам (1.135),
а фигурирующий в них масштаб турбулентности — по формуле
(1.131), т. е. задавался линейно растущим с высотой.
Полученная замкнутая система уравнений решалась численно при
условиях (2.30), (2.32) для компонент скорости и при условиях
ограниченности вертикального потока турбулентной энергии
—kQdb2/dz вблизи подстилающей поверхности и затухания
энергии Ь2 на больших высотах. При переходе к безразмерным
переменным (по рецепту, указанному в 2.2.1.1) рассматриваемая
система оказывается зависящей только от одной числовой
константы уо = х2ад/с/а. Решение в цитируемой работе было
получено для двух значений этой константы: уо = 0 и уо = 0,1885, что
позволило в количественной форме оценить эффект диффузии
турбулентной энергии. Оказалось, что в пределах пограничного
слоя при нейтральной стратификации этот эффект
незначителен. Результаты расчетов при ^0 = 0,1885 в виде безразмерных
универсальных кривых приведены на рис. 2.22—2.27 (кривые 2).
Для иллюстрации характера влияния диффузии энергии на
рис. 2.24, где изображены универсальные профили
коэффициента турбулентной вязкости, наряду с кривой 2а,
соответствующей Yo = 0,1885, нанесена также и кривая 26 при vo = 0.
В цитируемой работе отмечалось, что на больших высотах
предположение о линейном росте масштаба турбулентности
становится сомнительным. Мысль о том, что подобная
пропорциональность начиная с некоторого уровня должна нарушаться,
высказывали еще Россби и Монтгомери (1935),основывавшиеся
на измерениях Мильднера (1932). В работе Россби (1932) для
определения / в случае переменного по высоте направления
ветра было предложено следующее выражение, обобщающее
формулу Кармана (1.132):
I = - х
dz \/dz
dV
dz
(2.36)

4 5 6 7 8 9 WlgHo
Рис. 2.22. Зависимости геострофического
коэффициента трения ы./G от числа Россби Ro при
различных значениях параметра стратификации \х
Теоретические кривые: / — по Блиновой и Кибелю (1937),
ц«=0; 2 — по Монину (1950а), ц=0; 3 — по Блэкедару (1962),
jm=0; 4 — по Леттау (1962), ц=0; 5 — по Эпплби и Омстеду
(1965), |х«=0; 6— по Бобылевой, Зилитинкевичу и Лайхт-
ману (1967) (а) ц= —100; б) ^=—10; в) ц=0; г) ц= + 10;
д) |1—+ 100). Экспериментальные данные: / — по Блэкедару
(1962), д«=0; // — по Блэкедару (1967), ц=0; /// — по Леттау
(1962), 11=0; IV — IX — по Бызовой и Машковой (1966):
IV) |х 50; V) Ц--Ю; VI) |i=0, VII) Ц- + 10; VIII) JI-+50;

a sign f град
4 5 6 7 д 9 Ю IgRo
Рис. 2.23. Зависимости угла а полного поворота
ветра в пограничном слое от числа Россби Ro при
различных значениях параметра стратификации |л
Обозначения теоретических кривых см. на рис. 2.22.
Экспериментальные данные: / — по Блэкедару (1962), ц-0;
// — по Блэкедару (1967), ц-0; /// — по Леттау (1962),
ц=0; IV— VI — по КурпаковоЙ и Орленко (1967), IV) jli<0,
• V) ц-0, VI) ц>0

2.3.2. Замыкание уравнений
193
Заметим, что это соотношение в свою очередь получается как
частный случай из (1.147) при использовании формул (1.135)
и уравнения для турбулентной энергии (2.35) с отброшенным
диффузионным членом (т. е. при aQ=0).
При построении теоретической модели планетарного
пограничного слоя атмосферы формула (2.36) была применена лишь
сравнительно недавно Блэкедаром (1962), использовавшим
систему уравнений, эквивалентную уравнениям работы Монина
(1950а) при ap = 0. Блэкедар, однако, ограничился расчетом
при помощи (2.36) только одного примера ветровой спирали
и, получив слишком малый по сравнению с наблюдаемым угол
поворота ветра в пограничном слое, отказался от дальнейшего
использования этой формулы. Забегая вперед, заметим, что
несоответствие здесь может быть объяснено отсутствием учета
стратификации. Универсальное решение рассматриваемой
задачи при Yo=0 дано в работе Зилитинкевича, Лайхтмана и Цей-
тина (1966), а при 7о=0,54 — в работе Бобылевой,
Зилитинкевича и Лайхтмана (1967), которая будет изложена ниже при
обсуждении вопроса о температурно-стратифицированном
пограничном слое. Сопоставление этих двух решений
подтверждает вывод Монина (1950а) о несущественности влияния
диффузии турбулентной энергии на характеристики осредненного
поля скорости при нейтральной стратификации. Кривые из
указанной выше работы Бобылевой и др. приведены на рис. 2.22—
2.27.
Вернемся, однако, к обсуждению работы Блэкедара (1962). Стремясь
получить в рамках модели, вытекающей из (2.5), (2.35), (1.135) при aQ=0,
близкие к наблюдаемым значения угла поворота ветра и основываясь на
эмпирических данных Леттау (1950), а также Пановского и Мак-Кормика
(1960), согласно которым масштаб турбулентности, как правило, растет с
высотой до уровня порядка 150—300 м, а выше этого уровня остается примерно
постоянным, Блэкедар принял в качестве окончательного варианта
следующую интерполяционную формулу для зависимости / от г:
1 = 1 4-^-1/1 -2-/0,000270 # (237)
Числовой множитель 0,00027 здесь подобран из условия, чтобы угол а для
Брукхевена (США) составлял —32°, в соответствии с измерениями Берн-
штейна (1959). Рассчитанные (численно) в цитируемой работе зависимости
геострофического коэффициента трения u*/G и угла а от числа Россби Ro
приведены на рис. 2.22 и 2.23 (кривые 3).
Близкий к описанному вариант полуэмпирической модели нейтрально
стратифицированного пограничного слоя предложил Леттау (1962). Для
определения 1гм он использовал аналогичное формуле Прандтля (1.30)
соотношение
*Af='2
dV
dz
(2.38)

194
2.3. Полуэмпирические теории
которое вытекает также из (2.35), (1.135) при ccq=0. Величина /
определялась в цитируемой работе по формуле
/ =
1Z
1+ 33,63 (*|/|/*"*)5/4
(2.39)
Найденные Леттау значения u*/G и а представлены на рис. 2.22 и 2.23
(кривые 4).
Вопрос о замыкании уравнений (2.5) для планетарного пограничного
слоя атмосферы рассматривался также в работах Рузина (1963) и Рузина,
Болдыревой и Савельевой (1963), в которых коэффициент kM выражался
по формуле (2.38), а для определения / было предложено несколько
различных выражений, в том числе
/ = /.
[1-ехр (-**//„)]
(2.40)
(где /оо — задаваемый параметр размерности длины), а также близкая
к (2.36) формула
/=у.
дУ
dz
/is
(2.41)
Однако ни с одним из предложенных выражений расчеты в указанных
работах не были доведены до конца.
В заключение этого раздела укажем работу Эпплби и Омстеда (1965),
которые получили численное решение задачи о профиле ветра на основе
системы (2.5), (2.38), (2.40), рассматривая при этом безразмерное
отношение |/|/»/С? как функцию от числа Россби. Кривые из указанной работы
также приведены на рис. 2.22 и 2.23.
Отметим еще, что все модели распределения ветра по высоте,
обеспечивающие логарифмическую асимптотику (2.20) или (2.33) для профиля
скорости и согласующиеся с теорией подобия, изложенной в п.п. 2.2.1 и 2.2.2,
должны согласоваться также и с первыми двумя формулами (2.21). Tfyn этом
разные теории будут давать различные значения коэффициентов А и В
(см. табл. 2.3).
Таблица 2.3
Теоретические значения коэффициентов А и В в формулах (2.21)
при нейтральной стратификации1
Авторы
Блинова и Кибель (1937)
Монин (1950а), при -уо = 0,1885 ,
Блэкедар (1962)
Леттау (1962) ,
Бобылева, Зилитинкевич и Лайхтман (1967),
при То = 0,54
Эпплби и Омстед (1965)
-5-^1,57
1,5
6,7
4,6
2,0
7,0
2 In -L^ 2,99
5,0
1,8
0,9
2,2
1,7
1 В выражении для В в верхней строке таблицы 7=^1,7811
...—постоянная Эйлера.

2,3.2. Замыкание уравнений
195
2.3.2.2. Стратифицированный пограничный слой
Обсудим более подробно теоретическую модель темпера-
турно-стратифицированного пограничного слоя атмосферы,
предложенную в работах Зилитинкевича и Лайхтмана (1965а,
1966) и Бобылевой, Зилитинкевича и Лайхтмана (1967).
Поскольку речь идет о стационарном режиме, а
радиационный теплообмен не учитывается, уравнение переноса тепла
принимает в рассматриваемом случае форму первого из
соотношений (2.6), т. е. турбулентный поток тепла оказывается
постоянным по высоте. Далее, система осредненных уравнений
движения (2.5) дополняется уравнением для турбулентной
энергии, имеющим вид
Ч(£Г+(£>
£ + тг *»■£-•=»• <2-42>
Фигурирующие здесь величины kM, kQ и г выражаются через
среднюю энергию турбулентности Ъ2 и масштаб
турбулентности / по формулам (1.135), а I определяется по формулам
(1.147). Ось х ориентируется по направлению приземного ветра.
Краевые условия для компонент скорости имеют вид (2.30),
(2.32).
Для получения нижнего краевого условия, которому должна
удовлетворять энергия турбулентности Ь2, воспользуемся тем,
что абсолютное значение потока энергии kQdb2/dz не может
неограниченно возрастать с уменьшением высоты. Используя
исходную систему уравнений, нетрудно показать, что отсюда
следует соотношение
Ь2-+с~хт\ при г->г0, (2.43)
где ы* — скорость трения. Напомним, что в принятой системе
координат
1,т*м5Г = а*' lim^£- = 0- (2-44)
В условиях устойчивой и нейтральной стратификации
(Я^О) величина Ь2 при z->oo должна обращаться в нуль, так
как единственной причиной возникновения турбулентности при
этом является сдвиг ветра, обусловленный прилипанием воздуха
к подстилающей поверхности. При неустойчивой стратификации
в случае постоянного по высоте потока тепла на достаточно
больших высотах турбулентный режим должен соответствовать
условиям свободной конвекции. Согласно п. 1.2.1, величина Ь2
при этом будет определяться формулой Ь2~ н— z J 3. Значение
коэффициента пропорциональности в этой формуле нетрудно

196
2.3. Полуэмпирические теории
выразить через константы с,хи aQyесли воспользоваться
асимптотическим анализом исходных уравнений. В результате верхнее
граничное условие для Ь2 получаем в следующем виде:
[О при Я<0 |
\*Шс Чт-То) \7-fz) ПРИ Я>0 j
(2.45)!
Строго говоря, при устойчивой стратификации, т. е. при ЖО;
мы должны требовать обращения Ь2 в нуль не при г-^оо, а на
некотором предельном уровне 2=2щ> (том, на котором число
Ричардсона становится равным критическому). В самом деле»
на очень больших высотах уравнение (2.42) выполняться не
может, так как все члены здесь, кроме существенно
отрицательного рЯ/срр, стремятся к нулю при 2->оо. Это обстоятельство
мы учтем далее при нахождении решения, а пока что для
краткости будем использовать запись (2.45), подразумевая при этом,
что в действительности Ь2=0 при z>2np.
Комментируя составленную таким образом замкнутую
систему, отметим, что в реальной атмосфере первое из
соотношений (2.6) выше 100 м обычно нарушается (см. рис. 2.21). Тем
не менее, по-видимому, можно считать, что связанные с
использованием этого соотношения искажения профиля ветра не так
уж велики, поскольку на высотах, где поток тепла становится
существенно переменным, ветер уже, как правило, близок к
геострофическому. Естественно также ожидать, что на нижних
уровнях невелики будут и искажения профилей таких
характеристик, как коэффициент турбулентной вязкости, скорость
диссипации турбулентной энергии в теплоту и т. п., поскольку
поток тепла здесь действительно бывает приблизительно
постоянным. Итак, задача состоит в определении профилей величины, и,
&м, е, Ъ2 и /, а также значений постоянных параметров —
скорости трения и* и угла а формул (2.4). При этом внешние
параметры G, z0, /, Р и поток тепла Н считаются заданными
постоянными.
Введем новые переменныех
^Y^fe' ° ^ "^sign/=кмё"S'gn^' (2*46)
связанные с компонентами скорости очевидными соотношениями:
и - G cos а = -щ ^-, v - О sin а = - ^ -g- sign /. (2.47)
1 Величины 1] и а не следует путать с так же обозначенными другими
величинами в гл. 1.3 части 1.

2.3.2. Замыкание уравнений
197
Дифференцируя (2.47), получаем
i!l + I/i0_o
= 0 ^ ил =
dz*
хм
/1 = 0.
(2.48)
Краевые условия для величин т) и а могут быть получены из
соотношений (2.30) и (2.32) с помощью равенств (2.47). Мы,
однако, отвлечемся на время от указанных соотношений и
запишем требуемые условия, учитывая выбранную ориентацию
координатных осей, в следующем виде:
и<
о •
а -
0 при z->z0J
т]-^ 0, а->0 при 2-^оо. (2.49)
Поскольку величины и* и а неизвестны, первые два из
соотношений (2.49) являются тривиальными тождествами. Вторые два
из этих соотношений в данной задаче оказываются
эквивалентными условиям (2.30).
Перейдем теперь к безразмерным переменным по формулам
гп = хХе/|£, Ъ\ = сЧ'Р/и? , 1п = //А, (2.50)
где X — масштаб длины формулы (2.7). Используя также
обозначения (2.8), (2.9), исходную систему приводим к виду1
т* + а» , | .. а £ i^_e _о
Б Г Т То м «я ^F гл — «»
а?
я
k„ = bnln> гп
ь ^-тту
ты = 1> ап = 0 при £ = 0; ■*)„-> 0, 0,,-э-О при $->-со,
0 при р. > 0
при ; = 0;
Л">((4-То)",(^Г/з при ix < 0
при
(2.51)
(2.52)
(2.53)
(2.54)
(2.55)
1 Нижние краевые условия для величин г\п, оп и Ь2п в формулах (2.54),
(2.55) записаны при g=0 вместо g=z0/X. Подобное упрощение впервые было
применено Мониным (1950а) для условий нейтральной стратификации. В
данной работе допустимость этого упрощения проверялась путем численных
экспериментов с варьированием величины z0A, в результате которых
выяснилось, что для представляющих реальный интерес значений параметра
шероховатости (0<2о<1 лс) его величина на решении задачи (2.51)—(2.55)
практически не отражается.

198
2.3. Полу эмпирические теории
Решение задачи (2.51) — (2.55) может быть выражено в виде,
набора зависимостей величин (2.50) от g при различных [i.
Располагая этими зависимостями, нетрудно рассчитать и
универсальные профили компонент скорости типа (2.19) по формулам
^ [«(z) - G cos а] ^-;»„ (S. (i) = % ,
£- [v (z) - G sin а] s \ (Л, ц) sign/= - -^ sign/. (2.56)
Нам остается указать еще рецепт определения параметров
и* и а по заданным G, г0, f, р и Н/срр. Обратимся для этого
к условиям (2.32). Используя (2.47), переходя к безразмерным
переменным и затем возводя в квадрат и складывая получаемые
соотношения, находим
u*/G
vm+m
(2.57)
;=(х Ro w* G)~ 1
где Ro — число Россби формулы (2.14). Разделим теперь
почленно первое из соотношений (2.47), записанных с учетом
(2.32) для уровня z=20, на второе. Представляя результат в
безразмерной форме, получаем
tga=-sign/[^pl (2.58)
Отсюда, в частности, видно, что угол а имеет противоположные
знаки в северном и южном полушариях.
Поскольку функции т]п и вп зависят как от g, так и от jx,
формулы (2.57), (2.58) устанавливают связь между
параметрами uJG и а, с одной стороны, и Ro и ц, с другой. Располагая
подобными зависимостями, нетрудно перейти к использованию
вместо \i того или иного внешнего параметра стратификации,
например
S„ = ?Hcpr,\f\G*. (2.59)
В последнем случае зависимость ji от Ro и Sh будет
определяться очевидной формулой
*2Sh = p(u*:G)\ (2.60)
Сформулированная задача решалась численно с помощью
электронной вычислительной машины М-20 для значений
параметра (х, равных —100, —10, 0, +10, +100, при уо = 0,54.
Решение строилось путем разделения всей системы на подсистемы
(2.51), (2.54) и (2.52), (2.53), (2.55) с применением итераций

2.3.2. Замыкание уравнений
199
по kn. В качестве начальной обычно задавалась линейная
зависимость &п = £. Далее, для каждой из получаемых на
предыдущем этапе зависимостей kn{%) задача (2.51), (2.54) решалась
методом матричной факторизации, а определяемые таким
образом зависимости г\п(%) и сГп(Е) подставлялись в подсистему
(2.52), (2.53), (2.55), решение которой находилось методом
прогонки (см. Марчук, 1961, 1967). Подобная процедура
повторялась до тех пор", пока максимальное отклонение получаемой
функции кп(1) от предыдущей не удовлетворит некоторому
заранее выбранному критерию точности. В ходе численных
экспериментов проверялась чувствительность решения к
перемещениям нижнего и верхнего пределов изменений переменной g.
В результате было получено подтверждение вывода о
допустимости замены первых двух из соотношений (2.48) на первые
два из (2.54), а также для неположительных |х были найдены
критические значения верхнего предела g, дальнейшее
увеличение которых уже не оказывало влияния на вид решения. Что
касается устойчивой стратификации (|i>0), то решение системы
(2.51) — (2.55) оказывается здесь определенным не в
полупространстве 0<|<оо, а в некотором конечном слое 0<£<gnP,
толщина которого монотонно убывает с увеличением \х. Как уже
упоминалось, в рассматриваемом случае уравнение для
турбулентной энергии в форме (2.52) при больших | не может
выполняться, поскольку мы принимаем jj, = const, а все члены
в (2.52), кроме |х, при |х>0 убывают с высотой до нуля.
Физический смысл этого состоит в следующем: при g>gnp влияние
гидростатической устойчивости настолько велико, что
турбулентность вообще не имеет места, а значит, не совершается и
работа по преодолению сил плавучести. Таким образом, в
области £>£пр уравнение типа (2.42) или (2.52) и не должно
удовлетворяться — течение здесь является ламинарным и чисто
геострофическим. При численном решении задачи определение
величины gnp, ограничивающей сверху область существования
турбулентного режима при |х>0, производилось путем подбора.
Полученные зависимости представлены на рис. 2.22—2.27
вместе с результатами работ, рассмотренных в предыдущих
разделах. На рис. 2.22 и 2.23 нанесены также экспериментальные
данные о величинах uJG и а из работ Блэкедара (1962), Лет-
тау (1962), Бызовой и Машковой (1966), Курпаковой и Орленко
(1967). Как видно из сопоставления результатов, рассмотренная
выше теоретическая модель во всяком случае качественно
правильно улавливает характер зависимости касательного
напряжения трения у земной поверхности от внешних параметров,
а именно рост uJG и |а| с уменьшением чисел Россби, а также
убывание uJG и рост |а| с усилением устойчивости. Отметим,
что вытекающая из теории зависимость коэффициентов
турбулентной вязкости и скорости диссипации турбулентной энергии

1д(км/-килХ)
-J lgfz/Л) -2-10 1
Рис. 2.24. Универсальные профили коэффициентов турбулентной
вязкости
Обозначения кривых см. на рис. 2.22

2.3.2. Замыкание уравнений
201
от стратификации (рис. 2.24 и 2.25) соответствует изменчивости
размерных характеристик примерно в тех же пределах, что и
разброс эмпирических данных на рис. 2.11 и 2.13. Кроме того,
lg(7ikz/ui)
-* lg(z/\) -J -2 -/ о
Рис. 2.25. Универсальные профили скорости диссипации турбулентной
энергии
Обозначения кривых см. на рис. 2.22
теоретические кривые на рис. 2.24 и 2.25 качественно неплохо
согласуются с данными рис. 2.12 и 2.14. Наконец, на рис. 2.26
и 2.27, иллюстрирующих вид профиля ветра, известный интерес

202
2.3, Полу эмпирические теории
представляет получающееся в устойчиво стратифицированном
пограничном слое струйное течение при значениях £,
соответствующих высотам порядка 100—200 м. Как видно из рисунков,
этот эффект особенно заметен при |х= + 100, когда струйное
течение оказывается локализованным в слое толщиной в не-
-2 -/
Рис. 2.26. Универсальные профили продольной
составляющей средней скорости ветра
/ — по Блиновой и Кибелю (1937), |1-0; 2 — по Монину (1950а),
ц=0; 5 — по Бобылевой, Зилитинкевичу и Лайхтману (1967):
а) ц=—100, б) ц=—10, в) ц-0, г) Ц- + 10, д) ц=» + 100
сколько десятков метров, причем максимальная скорость может
в полтора раза превосходить геострофическую (любопытно, что
аналогичные струйные течения при устойчивой стратификации
предусматриваются и формулами (2.63), соответствующими
излагаемой ниже существенно более простой модели пограничного^
слоя). Отметим еще, что выполненные на основе полученного
решения оценки толщины пограничного слоя h в общем под*]

2.3.2. Замыкание уравнений
203
твердили допустимость использования формулы h=y% при у=1
практически во всем диапазоне рассмотренных значений \х.
Система уравнений, эквивалентная (2.5), (2.42), (1.135), (1.147), если
в последней положить ocq=0, рассматривалась позднее Рузиным (1965).
Заданной постоянной здесь предлагалось считать либо поток тепла, либо гра-
5д
5г\
5!
5б\
5а\
1 ' f—
т=1
см
1 1 1
~| 1
Л
Г 5
1 5 ===:^^:
Г 5 П
Г 10
Г ю
—г
1 1
й
1 1 1
Г 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1
-1 1 1... - .1-.. .
1 1 1
-J
-2
-/
А20
-№
10
о
О £
Рис. 2.27. Универсальные профили поперечной
составляющей скорости ветра
Обозначения кривых см. на рис. 2,26; т — масштабный множитель
диент потенциальной температуры. В работе сказано о возможности
нахождения решения методом последовательных приближений, и выписаны
формулы для первого приближения. Численные расчеты планетарного
пограничного слоя атмосферы на основе системы, полностью аналогичной (2.5), (2.42),
(1.135), (1.147), при различных задаваемых профилях температуры
производились Цветковой (1969). В работе Куросаки (1969) была решена система,
отличающаяся от указанной выше, во-первых, использованием уравнения для
турбулентной энергии в форме
км\
dz
"(1 — о*/) — е = 0,

204
2.3. Полу эмпирические теории
аналогичной (1.24) или (1.138), а во-вторых, определением
характеристической функции Ч*, фигурирующей в выражении (1.147) для масштаба
турбулентности /, по формуле
¥* =
дУ
дг
(1—aR/У
'/4
Отметим еще работу Ямамото и др. (1968), в которой при расчете темпе-
ратурно-стратифицированного пограничного слоя использовалась формула
км-
,/a_L
где фм — функция от безразмерной высоты £ первой из формул (1.41),
определявшаяся с помощью довольно сложного полуэмпирического соотношения,
введенного Ямамото и Шимануки (1966). Наконец, в работе Блэкедара и
Чинга (1965), посвященной определению профилей ветра в пограничном слое
при неустойчивой стратификации, коэффициент турбулентной вязкости
определялся из уравнения
а для масштаба турбулентности /, использовалась формула (2.37).
Наряду с подробно изложенной выше-теорией известный
интерес может представить гораздо более простая модель темпе-
ратурно-ртратифицированного пограничного слоя,
-предложенная Зилитинкевичем иЧаликовым (1968а) (случай
гидростатической неустойчивости) и Чаликовым (1968в) (случай
устойчивости). В указанных работах^также рассматривается
стационарный режим, при котором уравнение переноса тепла заменяется
первой из формул (2.6). Для определения коэффициента
турбулентной вязкости здесь используются интерполяционные
формулы следующего вида:
при КО, (2.61)
kM —
&М
*u*z при z < Си£
Ы\к) z при Z>^L
im*z при z<Z,/pe|
~\*u*Lftu при г>Щи)
при L>0, (2.62)
где L — масштаб длины формулы (1.33); £u=—(Ctt/3)3;
Cu и ри — безразмерные константы, рассматривавшиеся в
1.2.4.2.
Выражение (2.61) непосредственно вытекает из (1.104),
(1.106), и поэтому в приземном слое воздуха его использование
вполне обосновано. Если \L\ не слишком велико (скажем,
£UL^:10 м), оно также оказывается обоснованным и выше
приземного слоя. В самом деле, в рассматриваемом случае
постоянного по высоте потока тепла здесь должен иметь место режим

2.3.2. Замыкание уравнений
205
свободной конвекции, при котором kM как раз и выражается
нижней строкой (2.61). Что касается формулы (2.62), то в
пределах приземного слоя воздуха ее использование допустимо
(ср. Монин, 1959а), так как она согласуется с асимптотикой
(1.52) и (1.63) и представляет собой вариант интерполяционной
формулы, вполне равноправный, скажем, с первой строкой
(1.104) и к тому же практически не слишком существенно от
нее отличающийся (см. рис. 2.28). В то же время возможность
kM/-KU*L
Рис. 2.28. Сравнение двух
интерполяционных формул
для профиля коэффициента
турбулентной вязкости в
приземном слое . воздуха
при устойчивой
стратификации
/ — по формуле (2.61); 2 — по
формуле RmIxu*L = с/ (1 4- ?/4<),
эквивалентной верхней строке
(1.104). В обоих случаях
принято Зм-ю
0.05
0,8 X>*z/L
использования (2.62) выше приземного слоя из общих
соображений обосновать не удается. Скорее наоборот, имеющиеся
экспериментальные данные (см. 2.2.3.3) свидетельствуют о том,
что при устойчивой стратификации коэффициенты kM и kH на
некотором уровне достигают максимума, а затем резко убывают
с высотой.1 Таким образом, пользуясь формулой (2.62), мы
в лучшем случае можем только надеяться, что заметного
влияния на характеристики профиля скорости ошибки в
определении kM на верхних уровнях не окажут, так как ветер там
близок к геострофическому.
Нам остается теперь рассмотреть систему (2.5), (2.30),
(2.32), (2.44) при задании kM по формулам (2.61) или (2.62).
Прежде чем переходить к решению, вспомним, что профиль
ветра, получаемый при использовании во всей атмосфере соот-
1 Исключение составляют данные Крэйга (1949), наблюдавшего профили
коэффициентов турбулентного обмена вида (2.62).

206
2.3. Полу эмпирические теории
ношения Лм=х^*2, при малых z выражается первыми двумя,
формулами (2.20). Строго говоря, эти формулы являются асимпт
тотическими, однако сравнение с точным решением (см.
Блинова и Кибель, 1937) показывает, что о#ни выполняются с очень
малой погрешностью вплоть до высот порядка нескольких
десятков метров. Следовательно, мы можем воспользоваться
указанными формулами и в нашей задаче, считая, что при не
слишком больших значениях \L\ они справедливы при |д,<0 во всем
слое Zo^z^^uL, а при |х>0 — во всем слое 20^2^L/pu. Для
определения профилей компонент скорости в областях z>t)UL
или z>L/$u нужно решать систему (2.5), (2.30), определяя
соответствующим образом kM и используя в качестве нижних
граничных условий выражения для и и и, вытекающие из (2.20)
при z=t)UL или z=L/pM. Условие непрерывности потока
импульса дает при этом следующие соотношения, позволяющие
определить и* и а:
кмдоТ = и1> кмдЪТ = ° ПРИ *~V+0 или г = 1/рв + 0.
Выполняя указанные процедуры и записывая результат
решения в безразмерной форме, получаем
^(u-Gcosa) = %(Zy [х) =
(-J) V [(in -2JJS- + я) cos Ф - Л sin ф] при 5 > С>, |i < О,
1п£ + £+1пх при ?<С>, |»<0; 6<1/рвц, ц>0,
- еф UIn ^_ + в\ cos Ф + Л sin ф] при X > 1/р„ь ? > О,
^-(v-G sin a) sign/ = <fv (5, ц) =
(■^.)V[(ln^+^)sin© + i4cos®] при 5>0, t*<0,
Л при ? < Ce/ji, ji < 0; ? < 1/p.i», I* > 0,
- <?ф [(in JL. + s) sin Ф - Л cos ф1 при 6 > 1/p.i», (i > 0,
(2.63)
где буквой Ф обозначена функция от двух аргументов:
Ф(^)={ . . . . (2.64)
"2"(Рв,1),Л("ЙГ_?) при [*>0,

2.3.2. Замыкание уравнений
207
а буквами А и В — функции одного аргумента:
A(v) =
*<!») =
In
I УЩ& при it > о,
1^Г+6У "Г"
■3^ + 1/^6^X1-^
In if. - -|/2ри1А при ц > 0.
при р.<0,
(2.65)
Проиллюстрируем с помощью полученного решения
изложенные в 2.2.1.2 соображения об определении высоты пограничного
слоя Л. Как уже указывалось, пользуясь формулой (2.12), мы
должны выбирать коэффициент у таким образом, чтобы
основная доля перепадов составляющих скорости в полупространстве
z0<z<oo приходилась на интервал высот z0<z<h. Погрешность
аппроксимации, определяемая левой частью (2.13), будет при
этом меняться в зависимости от Ro и [i. Разумеется, мы могли
бы рассуждать иначе и условиться принимать в качестве
верхней границы пограничного слоя уровень, на котором указанная
погрешность становится равной некоторому заданному
значению 8g. Определяемая подобным образом высота h'
пограничного слоя для профиля ветра может быть получена путем
решения относительно W уравнения
ITV{Gcos*-ulz=n'Y + (Gs™*-v\z==h,f -s0. (2.66)
Зависимость h! от ji, рассчитанная с помощью формул (2.63) —
(2.66) (при Ro=106), приведена на рис. 2.29. Здесь же
показана и величина h формулы (2.12). Как видно из рисунка, ее
Рис. 2.29. Сравнение
двух определений
высоты планетарного
пограничного слоя
/) ЛА —по формуле (2.12)
при Vе 1; 2) Л'А — из
уравнения (2.66) при 6 0= 0,2 на
основе выражений (2.63) —
(2.65)
10
10'
10'
^ 1
-100-80 -60 -М -20
20 ЬО 60 60 [I
использование при у=\ обеспечивает близкую к 20% точность
аппроксимации геострофического ветра на верхней границе
пограничного слоя почти во всем диапазоне представляющих прак-

208
2.3. Полу эмпирические теории
тический интерес значений ц. Именно поэтому определение
высоты пограничного слоя по формуле (2.12), обладающее
преимуществом простоты, и можно считать допустимым.
Поскольку наше решение согласуется с требованиями
изложенной в 2.2.1.1 теории подобия и удовлетворяет
асимптотическим выражениям (2.20) для компонент скорости, оно тем
самым должно удовлетворять и закону сопротивления,
выражающемуся первыми двумя формулами (2.21). Напомним, что
фигурирующие в этих формулах функции A(\i) и В(\х) зависят,
вообще говоря, от выбора высоты пограничного слоя, т. е. от
уровня 2=Л, на котором записываются граничные условия
(2.18). Рассматриваемый закон сопротивления, в частности,
имеет место и при использовании граничного условия (2.30).
В последнем случае вытекающие из обсуждаемой теории
выражения для коэффициентов закона сопротивления A(\i) и B(\i)i
как раз и даются формулами (2.65). Построенные по этим фор-i
мулам кривые нанесены пунктиром на рис. 2.1 и 2.2. При этом,
в соответствии с рекомендациями, изложенными в 1.2.4.2, при-;
нято х=0,43, Си = 1,2 и ри=10. Пользуясь найденным решением,!
нетрудно рассчитать коэффициенты A(\i) и В(|х) ив случае!
закона сопротивления, отвечающего граничному условию (2.18) J
однако соответствующие кривые, скажем, при y=1 оказываются!
мало отличающимися от приведенных на рисунках. 1
Рассмотренная простейшая модель распределения ветра с вын
сотой на случай нейтральной стратификации непосредственно!
не распространяется, так как при [а=0в соответствии с (2.61) и
(2.62) мы получаем км=ки>*г при всех г, а использование при-]
ближенных асимптотических формул (2.20) во всей области!
2о<2<оо недопустимо. Точное решение соответствующей задачи^
полученное Блиновой и Кибелем (1937), уже описывалось
в 2.3.1.2 (см. также рис. 2.22—2.27 и табл. 2.3). Другая простей^
шая модель нейтрально стратифицированного планетарного
пограничного слоя, также упомянутая в 2.3.1.2, была предложена
Блэкедаром (19656), который использовал для kM выражение
*
У.И*2 При Z < •(>*,
- * . . * !
*Чи*^ При 2>-]^.
. )
Соответствующее решение, как нетрудно, заметить, получается
из приведенного выше решения при ц>0, если во всех формуй
лах L/pu заменить на уК, т. е., иными словами, ри|х заменить на
Y"1. В частности, при этом получаются следующие очевидные
*
формулы, связывающие А (0) и В(0) с у:
Л(0) = ]/4-, Я(0)=-1пх*Т- |/4-. (2.67)
^м ~"

2.3.2. Замыкание уравнений
209
Способ, аналогичный вышеизложенному, можно применить
и для оценки функции C(\i), фигурирующей в третьей из
формул (2.21). В самом деле, используя (2.6) и полагая
> L > 0, (2.68)
За'3
с*
\ ср? J
ol°hv.u^z при г
при z
>v,
L <0;
/,<0
С
)
L
7° Ч
Ла^ при z>-£^, ^>0,
Ре
я//?е
где а^, Се, Рб и че = — (°^Се 3):{ — константы,
рассматривавшиеся в 1.2.4.2, нетрудно получить выражение для профиля
температуры, которое, разумеется, будет представлять собой не
что иное, как интерполяционную формулу, в принципиальном
отношении равноправную, скажем, с формулой (1.105).
Составив, далее, разность 69 = 0л — 0о при h=yX, мы получим
соотношение, согласующееся с законом теплообмена и приводящее
к следующему выражению:
~ 2-V - аяСе (TF0-1' - 3 при (i < 0,
с GO
In
*МА)Я
In
*H?V
v>
(2.69)
аяРеТ^ +1 при ji > 0.
В точности такое же выражение получается и для функции
D(jLi), если принять kD = kH. Графики функций С(|х) =£)(ц,),
построенные по формуле (2.69) для случая у=1 ПРИ значениях
констант х = 0,43; <*.%= 1; С0 = 1,2; ре = 10, рекомендованных
в 1.2.4.2 в связи с формулой (1.103а), нанесены пунктиром на
рис. 2.3 и 2.4. Отметим, что верхняя строка (2.69),
соответствующая неустойчивой стратификации, практически
нечувствительна к изменениям y в интервале 1<у<°°, тогда как в
нижней строке, напротив, член, содержащий у, является основным.
Любопытно, что даже элементарные соображения, лежащие
в основе формул (2.65), (2.69), позволяют по крайней мере
качественно уловить общий характер рассматриваемых
зависимостей.
2.3.2.3. Уравнения для одноточечных
вторых моментов
Более детальная, чем рассмотренные выше, полуэмпирическая
теория турбулентности в планетарном пограничном слое была
развита в работах Монина (19656, в, 1967), в которых вместо
о
С С. Зилнтинкевич

210
2.3. Полу эмпирические теории
одного уравнения энергии (2.42) используется полный набор
уравнений Фридмана — Келлера для одноточечных вторых
моментов турбулентных пульсаций скорости и температуры,
причем эффект температурной стратификации учитывается с
помощью упрощающего предположения о неизменности с высотой
турбулентного потока тепла FH. В условиях атмосферного
пограничного слоя это предположение оправдывается,
по-видимому, редко, так как обычно имеет место нестационарность,
связанная с суточными колебаниями радиации и приводящая к
изменениям Fh и со временем, и с высотой. Однако, при
пренебрежении лучистыми притоками тепла в рамках стационарной
модели предположение Fh^H—const вполне логично. Такая
постановка задачи позволяет надежно установить по крайней мере
качественные отличия турбулентного режима при устойчивой,
безразличной и неустойчивой стратификации.
В цитируемых работах, кроме средних профилей
составляющих скорости иио потенциальной температуры 9, в качестве
неизвестных функций фигурируют средние квадраты
турбулентных пульсаций о2и = а'1\ с£= v'\ z2w — w'2, z\ — T"1, компоненты
тензора турбулентного потока импульса хх = —p«V, ту = — pv'w'
и tXy = —pwV (последние два из них в приземном слое
вследствие симметрии относительно направления средней скорости
равны нулю, но выше, вообще говоря, отличны от нуля) и
наконец горизонтальные компоненты турбулентного потока тепла
Н\ = срри'Т\ H2 = CpOVfT\ которые в температурно-стратифици-
рованной среде, вообще говоря, отличны от нуля (вертикальная
составляющая H = cppw'T\ как указывалось выше,
рассматривается как заданная постоянная).
Уравнения Фридмана — Келлера для перечисленных
характеристик турбулентности упрощаются вполне аналогично тому, как
это делалось в п. 1.3.3 при рассмотрении приземного слоя
воздуха, т. е., во-первых, путем пренебрежения третьими моментами
турбулентных пульсаций, членами, описывающими влияние силы
Кориолиса на пульсации скорости, и некоторыми другими
малыми слагаемыми, во-вторых, путем привлечения
полуэмпирических соотношений типа (1.160) и, в-третьих, путем
использования гипотезы Колмогорова о приближенном подобии типа
(1.164). После этих упрощений число неизвестных функций
в уравнениях Фридмана — Келлера оказывается больше числа
уравнений лишь на единицу, и если задать, например, масштаб
турбулентности /, то система окажется замкнутой, причем из нее
можно будет определить все перечисленные выше неизвестные
функции.
Из указанных уравнений вытекает ряд интересных
следствий. Так, оказывается, что горизонтальные векторы с компонен-

2.3.2. Замыкание уравнений
211
тами (т*, Ту), (ди/dz, dv/dz) и (Ни Н2) параллельны; здесь
содержится, в частности, обоснование широко употребляемых
формул xx=pkMduldZt xv=pkMdv/dz (для гху получается формула
хХу=— c'(pkMllb) (ди/dz) (dv/dz), где с' — числовая постоянная).
Если обозначить буквой if угол между направлением приземного
ветра и горизонтальной силой трения, т. е. принять
и использовать в качестве параметра стратификации
динамическое число Ричардсона
R/ = ~~ чxduidz + zydvidz ' (2.71)
то коэффициенты анизотропии пульсаций скорости
представляются в виде
з;
.2 _2 _2 2
.. 3_,л 3, Л с_^
JL — Зу0 _1_ • Jf-° ~~ Су0 cos2^
*2 ~ *S + »J Ч-R/'
2 2 2 2
+
" b\ ' 6* ,_R/.
a.
* .2 2 _ 2
*2 - b\ b\ i-R/' (2'72)
где °ttO> °ыр °w0' ^o = c~ !*— числовые постоянные, равные
значениям отношений o2Ju2, a2Ju2, a^/и2, 62/и2 в приземном слое
воздуха при безразличной стратификации и связанные
соотношением (а20 - о2^) o2w0 = 2, а b2 = (а2 + з* + <£)/2. Уравнение для
энергии турбулентности приводится к виду
Ъ* / 1 — R/
frl vX R/
(2.73)
где L — масштаб длины формулы (1.33). Далее, отношение
коэффициентов обмена ан = кн/км оказывается алгебраической
функцией от R/, а R/ — алгебраической функцией от
комбинации (Ll2luty [(du'dz)2 + (dv'dz)2Y>\ Наконец, полагая ix + iiy =
= ргг2Г ($), получаем для коэффициента турбулентной
вязкости формулу
kM=*u*LRf\V\2, (2.74)
а для безразмерной комплексной функции Г(|) —уравнение
К/|Г|1^- = ^Г. (2.75)

212
2.4. Нестационарный пограничный слой
где |х — параметр стратификации формулы (2.9). Зависимость
решений этого уравнения от характера стратификации
качественно проанализирована во второй из обсуждаемых работ,
численное же решение при тех или иных моделях l(z) еще не
производилось.
2.4. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
(ТЕОРИЯ СУТОЧНЫХ КОЛЕБАНИИ
МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ)
Главной причиной нестационарности метеорологического
режима в пограничном слое атмосферы являются периодические
колебания потока коротковолновой солнечной радиации,
падающего на подстилающую поверхность. Под действием этих
колебаний земная поверхность в дневные часы нагревается, а ночью
вследствие потерь тепла, связанных с собственным
длинноволновым излучением, охлаждается. Таким образом создаются
периодические изменения температуры подстилающей поверхности,
которые в результате действия турбулентного обмена в
атмосфере и молекулярного в почве порождают температурные волны
в обеих средах. Помимо указанного основного эффекта имеется
и вторичный, связанный с тем, что интенсивность турбулентного
обмена в атмосфере существенно зависит от температурной
стратификации. Таким образом, изменения профиля температуры
влекут за собой изменения профилей коэффициентов
турбулентного обмена, что в свою очередь влияет на дальнейшие
изменения температурного поля и, кроме того, вызывает перестройку
полей других метеорологических элементов, например ветра. Во
влажной атмосфере картина усложняется, так как изменения
потока солнечной радиации непосредственно оказывают
влияние на условия испарения или конденсации влаги на
подстилающей поверхности. Наконец, над морской поверхностью режим
суточных колебаний нужно рассматривать совместно в
пограничных слоях воздуха и воды, причем механизм здесь
оказывается особенно сложным, так как периодическим изменениям
подвергаются в данном случае характеристики турбулентного
обмена не только в воздухе, но и в воде.
Эмпирических сведений о суточном ходе ветра, температуры
и влажности в нижней тропосфере опубликовано довольно
много. Обширная сводка таких материалов имеется, например,
в книге Девятовой (1957). В целом экспериментальные данные
показывают, что характер суточных колебаний
метеорологических элементов различен в различных пунктах и, кроме того,
существенно меняется в зависимости от времени года и условий
погоды. Типичная картина суточного хода ветра в средних
широтах летом над ровной поверхностью показана на рис. 2.30,
взятом из работы Буажитти и Блэкедара (1957). В качестве

им/сел
8
6\-
<*Ь
-2
Г '
["£:
1 i
» г~
03
Л
Л/
1 1
Г
21/
у*
Ко?
1—
^^
2lJ>
<Г"
1417м
~~~1fl /
\^9у/
~^09
I
1 1
03
1808 м 03
1112м J
Хоз J
^/оз \
1 1
10
12 и ч/сек
Рис. 2.30. Суточный ход скорости ветра на различных
высотах в средних широтах северного полушария летом,
по наблюдениям Буажитти и Блэкедара (1967)
На кривых указаны моменты суток и высоты. Стрелкой обозначен
вектор скорости ветра на высоте 2134 м, на которой суточные
колебания отсутствуют
WM
07 09 11 13 15 17 19 21 23 С1 03 05 чаем
Рис. 2.31. Примеры
суточного хода температуры (а)
и удельной влажности (б)
по наблюдениям Девято-
вой (1957) в г.
Долгопрудном Московской обл. 23—
24 августа 1954 г. Заход
солнца около 21 часа,
восход — около 05 час
J L
J I I L
07 CO и ,3 15 П 19 21 23 01 03 05 часы

214
2.4. Нестационарный пограничный слой
исходных здесь использовались материалы стандартных радио-
зондовых наблюдений, выполнявшихся четыре раза в сутки
(в 3, 9, 15 и 21 час) в течение лета 1951 г. в двух пунктах: Ви-
чита и Оклахома Сити (США). Данные на шести уровнях для
каждого срока были осреднены по' 29 избранным суткам,
причем по оси абсцисс всякий раз откладывалось направление
ветра на высоте 70Q0 футов (2134 м), на которой суточные
колебания практически, отсутствовали. В направлении этого
вектора проведена ось абсцисс, по которой откладывается
компонента скорости и (напомним, что в предыдущих главах через и
обозначалась; компонента, направленная вдоль вектора
турбулентного напряжения трения у земной поверхности). На
рис. 2.31, взятом из книги Девятовой (1957), приведены
типичные примеры суточного хоДа температуры и удельной
влажности на различных высотах- лётом в Московской области.
2.4.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. ОСНОВАННЫЕ
НА АПРИОРНОМ ЗАДАНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ОБМЕНА
Теории указанных выше явлений посвящено очень много
работ. В подавляющем большинстве из них механизм
турбулентного обмена сам по себе не исследовался, и коэффициенты
обмена рассматривались как заданные функции вертикальной
координаты, а иногда также и времени. В этом отношении
теоретические модели, о которых идет речь, близки к моделям
стационарного пограничного слоя, краткий обзор которых дан
в 2.3.1 1 и 2.3.1.2.
Постановка задачи о суточных колебаниях температуры,
послужившая затем основой для обширного цикла аналогичных
исследований, принадлежит Дородницыну (1941). В этой работе
интегрировались совместно уравнение переноса тепла для
атмосферы
ii-J-jk il (2 76)
dt ~ dz Kn dz ^'/0J
(при kH^\~e гг,где z — константа размерности длины) и
уравнение теплопроводности для почвы (при постоянном по
глубине коэффициенте теплопроводности), причем в качестве
граничных услобий на подстилающей поверхности
использовалось требование непрерывности температуры и соотношение
типа (1.79), а на бесконечном удалении от поверхности как
в атмосфере, так и в почве отклонения температуры от
среднесуточной считались стремящимися к нулю. Более детальная
модель была позднее предложена Швецом (19436), который

2АЛ. Априорное задание коэффициентов обмена 215
использовал для определения kH формулу типа (2.34) (в
принципиальном отношении равноценную предложенной
Дородницыным) и несколько усовершенствовал теорию путем учета
радиационного теплообмена в атмосфере. По-видимому, одна из
первых попыток учесть в рассматриваемой задаче эффект
временных изменений коэффициента турбулентного обмена была
предпринята Юдиным (1948), который, так же как и Швец,
использовал для kH формулу типа (2.34), считая, однако,
коэффициент k\ не константой, а заданной функцией времени.
Наконец, в работах Чудновского (1948), Колмогорова (1950), Мо-
нина (19516), Добрышмана и Белоусова (1953) и Гутмана
(1953, 1954, 1956), также посвященных тепловому режиму в
системе воздух—почва, дальнейшее усовершенствование теории
было связано с детализацией описания теплообмена в почве.
Первая попытка построить теоретическую модель суточных
колебаний ветра в пограничном слое атмосферы принадлежит
Извекову (1929), который рассматривал уравнения движения1
ди г , д и ди dv г, ^v , д и dv /0 --ч
!n=fv + -rzkM-d-z> -dF=-f(u-°)+dTkMW (2-77)
при коэффициенте турбулентной вязкости kM, постоянном по
высоте, но периодически меняющемся во времени. При этом он,
однако, использовал физически не оправданное граничное
условие, в результате чего получил максимальные амплитуды
суточного хода ветра непосредственно на подстилающей поверхности,
где в действительности скорость ветра должна обращаться
в нуль. В более правильной постановке аналогичную задачу
решил Швец (1943а). В этой работе величина kM определялась
по формуле (2.34), причем фигурирующий в последней
параметр k\ считался заданной периодической функцией от времени,
а принятые граничные условия были эквивалентны формулам
(2.30), (2.32). Позднее задача о суточном ходе ветра детально
рассматривалась Матвеевым (1963, 1965) и Буажитти и Блэке-
даром (1957).
Теоретические модели суточных колебаний влажности,
основанные на интегрировании аналогичного (2.76) уравнения
переноса водяного пара, а затем и системы уравнений переноса
водного пара и тепла, при использовании близких к
упоминавшимся выше априорных формул для коэффициентов
турбулентного обмена предлагались Лайхтманом (1950), (1961) и Бер-
ляндом (1956), (1958).
Наконец,, теория нестационарного режима в
соприкасающихся пограничных слоях атмосферы и моря, также основан-
1 В отличие от предшествующих глав, здесь ось х считается
ориентированной по направлению геострофического ветра.

216
2.4. Нестационарный пограничный слой
ная на априорных формулах для коэффициентов обмена, была
развита в работах Колесникова (1947, 1954), Колесникова и
Пивоварова (1955, 1958) и Пивоварова (1968).
Приведенные выше краткие сведения далеко не исчерпывают
всей литературы рассматриваемого направления по теории
суточных колебаний. Мы, однако, ограничимся этими сведениями
и не будем давать более подробного обзора, учитывая, что
значительная часть результатов, полученных в указанной области
к концу 60-х годов, в законченном виде изложена в книгах Ки-
беля (1957), Пристли (1959), Лайхтмана (1961), а также Бер-
лянда (1956) и Матвеева (1965). В этих книгах подведен итог
направлению исследований, основанному на решении уравнений
теории нестационарного пограничного слоя при том или ином
априорном задании коэффициентов турбулентного обмена как
функций от вертикальной координаты или от координаты и
времени. По-видимому, можно считать, что круг исследований,
связанных с такой постановкой задачи, практически завершен.
Основной результат работ этого направления состоит в том, что
в них были четко сформулированы физико-математические
модели суточных колебаний температуры, влажности и ветра, и
был получен ряд конкретных решений, позволяющих во многих
случаях объяснить основные черты наблюдаемых явлений.
2.4.2. ЗАМЫКАНИЕ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ
ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Следует отметить, что необходимость задания
коэффициентов обмена всегда воспринималась как существенный
недостаток. В самом деле, эти коэффициенты, согласно современным
представлениям, являются чрезвычайно изменчивыми
величинами, значения которых на фиксированной высоте могут
меняться в зависимости от внешних условий на несколько
порядков (ср. рис. 2.11). Поскольку изменения этих коэффициентов
тесно связаны с изменениями ветрового и температурного
режима, понятно, что необходимость считать их заранее
заданными приводит к существенному ограничению физического
содержания обсуждаемой задачи. С этой точки зрения особенно
формальной представляется традиционная постановка задачи
о суточных колебаниях ветра, причиной которых являются
временные изменения коэффициента турбулентной вязкости.
Следует еще добавить, что измерения коэффициента обмена
являются существенно более сложной задачей, чем наблюдения за
ветром или температурой. Поэтому с точки зрения возможности
получения полезной информации больший интерес представляет
обратная задача нахождения значений коэффициентов обмена
по заданному ветровому или температурному полю.

2.4.2. Замыкание уравнений
217
Все эти соображения высказывались уже давно, однако реальная
возможность построения замкнутой теории нестационарного пограничного слоя
ю последнего времени отсутствовала, поскольку закономерности
турбулентного обмена не были изучены даже в более простом случае стационарного
режима. Вероятно, именно по этой причине за последние несколько лет
новых исследований по теории суточных колебаний было опубликовано очень
немного. Лишь сравнительно недавно в нескольких работах были
предприняты попытки учесть в задачах рассматриваемого типа зависимость
коэффициентов обмена от характеристик профилей температуры и скорости ветра.
Гак, например, Эсток (1960, 1963) рассчитал суточные колебания
температуры, влажности и компонент скорости ветра, задавая коэффициенты обмена
и нижнем 50-метровом слое воздуха формулами
I о &и
*н
*D
k = _ = _ =
[az(\ -l j^Ri)]2|fL при Rl> Ri,
\CU I \ dz\
(2.78)
г- при Ri <L Ri
(где aw, aD, v., Cu% ?tf, Ri—безразмерные * эмпирические константы, из
которых константы сея, и и Си уже рассматривались в предшествующих
разделах книги), а в слое от 50 до 2000м считая все эти коэффициенты линейно
убывающими до нуля. Близкую к этой модель рассмотрел Кришна (1968).
Расчет суточных колебаний температуры и одновременно коэффициента
обмена выполнил также Шарон (1965). В этой работе использовалось
выражение
- „ / 1 dV 1 2 dd у/.
(2.79)
представляющее собой комбинацию соотношений (1.135) и уравнения для
турбулентной энергии типа (2.42) (т. е. в стационарной форме), а для
определения пути смешения была предложена формула
/ =
'AZ
1-*-мг//0
(2.80)
где /оо — параметр, имеющий размерность длины и задававшийся следующим
образом:
( 100 м при dO/dz<0,
/ =
30 м при 0 < дЫдг < 10~L град/м,
(2.81)
I 12.5 м при 10 " град\м<дЪ dz.
Результаты, полученные в упомянутых работах, неплохо согласуются
с экспериментальными данными и показывают, что используемые модели
отражают многие наблюдаемые особенности нестационарных явлений в
пограничном слое. Однако соотношения, привлекаемые здесь для определения
характеристик турбулентности, в значительной мере носят еще характер
эмпирических подгоночных формул. Они не позволяют, в частности, описать
нестационарность режима турбулентных пульсаций, так как не содержат
производных по времени.
Вспомним теперь, что задача о нестационарном режиме
в стратифицированном пограничном слое может быть
сформулирована на основе уже использовавшихся в пп. 1.3.2 и 2.3.2

218
2.4. Нестационарный пограничный слой
уравнения для турбулентной энергии, гипотезы приближенного
подобия Колмогорова и обобщенной формулы Кармана. В
самом деле, записывая уравнение энергии в виде
дЬ* , Пди \2 (dv \2-| Q 00 , д , дЬ* m /ofiov
-дГ = *м1(дГ) +(зг)]"Р*я"з?+зг*<?-дГ"-в (2'82>
и используя соотношения (1.135), (1.147), мы получаем вместе
с уравнениями (2.76), (2.77) замкнутую систему. Ниже мы рас^
смотрим теоретическую модель суточных колебаний
метеорологических полей, предложенную в работах Вагера и Зилитинке-
вича (1968) и Вагера (1968), в которой указанная система
интегрируется при простейших граничных условиях1.
2.4.2.1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТЕЙШЕЙ ПОСТАНОВКЕ
Учитывая трудности, связанные с включением
коэффициентов обмена в число неизвестных, подлежащих определению,
будем рассматривать задачу, максимально упрощенную во всех
прочих отношениях. В частности, исключим из рассмотрения
процессы теплообмена на подстилающей поверхности и в почве,
считая непосредственно заданными суточные колебания
температуры на нижней границе пограничного слоя (т. е. на уровне
шероховатости), а также пренебрежем (как и всюду в
монографии) радиационным теплообменом в атмосфере. Кроме того, не
будем принимать во внимание процессы влагообмена и
испарения. Дело в том, что методы физико-математического описания
всех указанных явлений весьма детально разработаны, и
поэтому связанное с их учетом дальнейшее развитие модели,
которая будет здесь изложена, не должно вызвать
принципиальных затруднений.
Итак, имея в виду уравнения движения (2.77) и уравнение
переноса тепла (2.76), т. е. считая воздушный поток однородным
по горизонтали, а ось х ориентированной по направлению
геострофического ветра, примем следующие граничные условия для
функций и, v и 6:
и = о, v = о, е = е00 н- em s*n ы при z = z0f (2.8З)
w->G, v->0y 0->6oo при г->ос, (2.84)
где (о — угловая скорость вращения Земли; Gm — амплитуда
суточных колебаний температуры на уровне шероховатости z = z0\
1 В последнее время эта же система была использована Вагером и
Каганом (1969) при расчете нестационарного придонного пограничного слоя
в приливном потоке. В задаче о суточном ходе ветра и температуры близкая
к рассматриваемой система решалась в работе Куросаки (1969),
использованные в которой уравнение для турбулентной энергии и выражение для
масштаба турбулентности приведены в 2.3.2.2.

2.4.2. Замыкание уравнений
219
Ооо — среднесуточное значение температуры на этом уровне,
которое мы для простоты считаем совпадающим со значением
температуры на бесконечном удалении от подстилающей
поверхности.
Нам остается указать граничные условия для Ь2 и /.
Учитывая, что вблизи от подстилающей поверхности масштаб
турбулентности должен асимптотически быть линейной функцией
высоты, и принимая отсутствие потока энергии на уровне z = z0 и
затухание энергии при г-^-оо, находим
l = vz0l -^- = 0 при z = z0; fe2->0 при z -+ оо. (2.85)
Задача, таким образом, поставлена. Начальные условия не
требуются, так как речь идет о периодическом решении с
суточным периодом 2ло).
Следует отметить, что принятая постановка задачи по
существу предусматривает нейтральную стратификацию на
больших высотах (потенциальная температура стремится здесь к
постоянному значению). В действительности для земной
атмосферы характерна несколько иная картина: за пределами
пограничного слоя в тропосфере обычно наблюдается устрйчивая
стратификация, при которой температура падает в среднем
на 6° при увеличении высоты на километр К Это обстоятельство
необходимо учитывать при сравнении приводимых ниже
результатов расчетов с данными наблюдений. В частности, заранее
можно сказать, что рассчитываемые значения высоты
пограничного слоя будут завышенными. Таким образом, следует помнить,
что рассматриваемая простейшая модель имеет целью дать
только качественно правильную картину основных механизмов
турбулентного обмена при суточных колебаниях
метеорологических полей. ^
Будем считать для определенности />0 и перейдем к
безразмерным переменным по формулам
, _ г. _ fz_ и __ ju_ л __ о —0оо
*п /*> ^п ~q~ » Un —Q , Vn —q , Ул jj ,
/ — Л h°~ с"3*2 и — ft*M р — —L- (О Rfi^
Ln ~ Q » °п ~~ С/2 » КП — Q2 ' ЕЛ ~" fQ'2 ' \4.00)
Используя далее безразмерные параметры
Ro~£-. S, = ^-, (2.87)
1 Заметим, что решение задачи с учетом этой особенности не встречает
никаких дополнительных трудностей и может быть выполнено совершенно
аналогично тому, как это указано ниже.

220
2.4. Нестационарный пограничный слой
где Ro — уже рассматривавшееся выше число Россби; Sw —
амплитуда колебаний внешнего параметра стратификации S
формулы (2.15), сформулированную задачу записываем в виде
ди« — m Л. д Ь dUn dVn — (п ^\ _1_ д Ь dl'n /OfiQ\
■5?7 = а//д^^1^' (2-89)
1 а*п _ , \1дип у ldvn у - ~ дОл1
,2
aQ д и <>Ьп
К-*г-*п* (2.90)
У с д2п п dzn
K = IJ>„ «„=-£, (2.91)
п п " 2sin? dzn 'I (2.93)
/л = x Ro-' при гл = Ro-*, j
«я->1, т>л->0, бл->0, Ал->0 при z„->oo. (2.94)
Легко видеть, что решение задачи (2.88) — (2.94)
выражается функциями от безразмерных переменных zn и tn,
зависящими от параметров Ro и Sm формул (2.87), а__также от
широты ф. Указанная задача при ая-1, с = 0,046, а$ = 0,73
решалась численно для нескольких значений внешних параметров Ro,
Sw и ф с помощью электронной вычислительной машины
БЭСМ-ЗМ.
Решение производилось следующим образом.
Дифференциальные уравнения (2.88) — (2.90), (2.92) аппроксимировались
конечно-разностными. Граничное условие (2.94) на бесконечном
удалении от подстилающей поверхности заменялось таким же
условием при некотором конечном значении безразмерной
высоты, которое мы обозначим через znoo. Вместо периодического
решения отыскивалось решение задачи с начальными данными.
Сетка по переменным zn и tn была принята прямоугольной с
количеством узлов по высоте, равным 250 и с шагом по tny
соответствующим 15 мин. Расположение узлов по беразмерной
высоте определялось следующим образом. В верхней части
рассматриваемого слоя Ro- 1 < zn <; znoo размещалось 200 узлов
с постоянным шагом Дг„. В нижнем слое размещалось 50 уз-

2.4.2. Замыкание уравнений
221
лов. Шаг здесь принимался постоянным в шкале In zn, причем
первый шаг снизу полагался равным Ro_1, а пятидесятый —
равным Дгп. На каждом шаге по времени уравнения движения
(2.88) интегрировались методом матричной факторизации (см.
Марчук, 1961, 1967), а уравнение переноса тепла (2.89) и
уравнение для турбулентной энергии (2.90) — методом прогонки
(см. Годунов и Рябенький, 1962). При этом в (2.90)
нелинейный член ew, j (/ — индекс, указывающий шаг по времени)
представлялся в виде b\ tjbnj__xlkn j_v Вся система
интегрировалась путем последовательного решения подсистем (2.88),
(2.89) и (2.90) — (2.92) (каждая со своими граничными
условиями) с применением итераций по kn. В качестве исходного
при итерациях всякий раз использовался профиль kn,
полученный на предыдущем шаге по времени.
Расчеты производились при следующих значениях
фигурирующих в системе (2.88) — (2.94) внешних параметров: lgRo =
= 6, 7, 8, 9; Sm= 100, 250, 350, 600; ср = 30, 60°.
В начальный момент времени /п = 0 профиль температуры
задавался в виде бл | / =0 = 0. Для определения начальных
значений составляющих скорости ветра иПу vn и турбулентной
энергии Ь2п использовались полученные в работе Бобылевой,
Зилитиикевича и Лайхтмана (1967) (см. 2.3.2.2)
универсальные профили этих величин, соответствующие случаю
нейтральной стратификации, представленные с учетом избранного
значения параметра Ro в переменных (2.86). Заметим, что такая
постановка задачи имеет вполне определенный физический
смысл. В самом деле, поскольку расчеты, изложенные в 2.3.2.2,
основаны на той же системе полуэмпирических гипотез, что и
данная работа, решая задачу с указанными здесь начальными
данными, мы фактически исследуем процесс приспособления
пограничного слоя при переходе от стационарного к
периодическому режиму.
Критерием установления периодического режима служило
неравенство
max
*п \zn> *п) 1
kn О*/*, in - 4г. sin с?)
<ю-
Ro-> <*„<*_,
1 tn — 2- sin 9 < tn г> К + 2~ sin ?•
В ходе расчетов было установлено, что момент времени tn ,
начиная с которого условие (2.95) оказывается выполненным,
наступал весьма быстро. Для проверки этого обстоятельства было
более чем достаточно произвести расчеты в течение трех-четы-
рех суточных периодов. Таким образом, было получено
периодическое решение.

222
2.4. Нестационарный пограничный слой
Далее был исследован вопрос о выборе параметра znoo, т. е.
уровня в шкале безразмерных высот, на котором следует
задавать граничное условие, аналогичное (2.94). Путем численных
экспериментов было установлено, что при значениях этого
параметра, не меньших 0,03, основные характеристики решения
(в качестве которых рассматривались приземные значения
вертикальных турбулентных потоков импульса и тепла) в
пределах 10-процентной точности оказываются нечувствительными
к выбору znoo. Это дает основание считать, что при
рассматриваемых значениях внешних параметров решение, получаемое
при znoo— СОЗ1, в пределах указанной точности во всяком
случае в нижней части рассматриваемого слоя эквивалентно
решению для полупространства.
Учитывая все сказанное, естественно заключить, что
приближенное решение, численная схема получения которого
здесь описана, действительно аппроксимирует точное решение
задачи (2.88) —(2.94).
Проиллюстрируем некоторые результаты расчетов для
случая lgRo=9, Sm=350 и ф=60°. Отметим, что все приводимые
ниже рисунки, за исключением тех, в описании которых вопрос
о выборе параметра znoo специально оговаривается, построены
при znoo — 0,03. Этот случай удобен в том отношении, что он
позволяет с достаточной точностью аппроксимировать
интересующее нас решение для полупространства при наиболее
экономном использовании разностной сетки, т. е. при наибольшей
разрешающей способности по вертикали.
Рассмотрим прежде всего данные, относящиеся к вопросу
об установлении периодического режима. Иллюстрация того, как
происходит это установление, приведена на рис. 2.32. На рис.
2.32 а изображена зависимость безразмерного коэффициента
турбулентного обмена kn на уровне гЛ=0,15-10"2 от времени tn.
Сплошной линией нанесена кривая, полученная при решении
задачи с начальными данными. Лежащая справа часть этой
кривой совпадает с участком периодической функции, которая
изображена пунктиром. На рис. 2.30 б изображена
зависимость от времени рассчитанной для того же уровня zn =
=0,15-10~2 нормированной разности решения задачи с
начальными данными и периодического решения, т. е. величины
\kn(zlu tn)lkn(zn, /n + 4jtmsin(p) —1|, где пг — достаточно
большое целое число (принято т = 5). Как видно из рисунка,
приспособление пограничного слоя при переходе от стационарного
режима к периодическому происходит очень быстро. Если
считать допустимой 10-процентную относительную погрешность
1 Если принять в качестве типичных значений С =10 м/сек и /—
= 10"4 сек~\ то, как видно из (2.86), zn=0,03 будет соответствовать
высоте 3 км.

2.4.2. Замыкание уравнений
523
в определении kn, то время приспособления в рассматриваемом
случае не превышает двух часов. * Замена фиксированного
уровня гп=0,15-10"2 уровнем, где рассматриваемое отклонение
максимально, практически этой оценки не меняет.
Рис. 2.32. Иллюстрации приспособления пограничного слоя при
переходе от стационарного к периодическому режиму
а — безразмерный коэффициент турбулентного обмена как функция
от времени: / — решение задачи с начальными данными; 2 —
периодическое решение
б — зависимость от времени относительного отклонения, рассчитываемого
по начальным данным коэффициента турбулентного обмена от его
значения при периодическом режиме (при /л-5). При расчетах приняты
следующие значения внешних параметров: lg Ro—9, Sm —350, ф—60е
Перейдем к обсуждению периодического режима.
Поскольку в ходе решения определяются как составляющие
1 Близкие по порядку величины оценки типичных периодов
приспособления верхнего пограничного слоя в океане к изменяющемуся полю
касательного напряжения ветра, основанные, правда, на существенно более грубой
модели, получены в работе Кагана (19686).'

224
2.4. Нестационарный пограничный слой
скорости и потенциальная температура, так и коэффициенты
турбулентного обмена, имеется возможность вычислить
составляющие турбулентного напряжения трения xx = pkMdu/dz и ху =
= pkMdv/dz и вертикальный турбулентный поток тепла FH =
=—cLHCPpkMdQ/dz. Мы не будем, однако, приводить
иллюстраций пространственно-временного распределения этих величин,
а ограничимся рассмотрением их приземных значений т*о, т^о
18 21 0 3 6 9 12 15чосыЛ,
24
20
18
12
0,026V
14 1В 18
Рис. 2.33. Суточный ход основных характеристик
трения и теплообмена
/ — геострофическиЛ коэффициент трения u*/G; 2 — угол а
между направлениями тангенциального напряжения трения
у Земли и геострофического ветра; 3 — безразмерный
вертикальный турбулентный поток тепла — Htcp?G^m. Внешние
параметры такие же, как для рис. 2.32
и Я, представляющих собой пределы правых частей
приведенных формул при 2->20. В дальнейшем вместо тл-о и туо
нам будет удобно пользоваться скоростью трения u1t =
W-
'хо Р)а + (хуо Р)2и Углом а = — arctg (туо/тхо) между
направлениями турбулентного напряжения трения у земли и
геострофического ветра. Результаты расчета зависимости от времени
безразмерных величин w*/G, а и —H/cppGQm для периодического
режима приведены на рис. 2.33. Часы суток указаны здесь
условно: принято, что точка минимума на синусоиде суточного
хода поверхностной температуры соответствует 3 час (ср.
рис. 2.31а).

2.4.2. Замыкание уравнений
225
Иллюстрация допустимости замены граничного условия на
бесконечности условием на уровне znoo — 0,03 приведена на
рис. 2.34. Здесь изображены разности
8 =4?
G
(2.96)
в которых вычитаемая функция рассчитана при различных
значениях znco. Как видно из рисунка, зависимость
рассчитываемой величины и* от znoo при znoo > 0,02 становится практически
/.5,
1.0\-
-0,5.
18
Г I
2/
L.
0
1=^^
3
J
е
'
$
i
/j?
i
j
15 часы
i |
/
2J
1
0\
14
16
18
20
22
24 U
Рис. 2.34. Иллюстрация чувствительности решения к
выбору параметра znoo
Кривые /, 2, 3 и 4 показывают суточные колебания величины oWjS.
формулы (2.9(5), рассчитанные при значениях гПоо соответственно
равных 0,002; 0,005; 0,02 и 0,04. Внешние параметры те же, что для
рис. 2.32
несущественной. В излагаемых работах аналогичные выводы
получены также для величин а и Я. Это обстоятельство и
позволяет заключить, что рассматриваемое численное решение при
znoo — 0,03 действительно приближенно аппроксимирует точное
решение для полупространства.
Результаты расчетов, изображенные на рис. 2.33, позволяют
в каждый момент времени установить связь между
микрометеорологическими характеристиками и*, а и Н и внешними
параметрами— скоростью геострофического ветра G, перепадом
потенциальной температуры в пограничном слое 68 (в нашем
случае равном 0msincoO, параметром шероховатости
подстилающей поверхности г0,параметром плавучести ри параметром

226 2.4. Нестационарный пограничный слой
Кориолиса /. В то же время, как было показано в 2.2.1.3,
в условиях стационарного режима связь такого типа описыва-.
ется формулами (2.16) или (2.21). В работе Монина и Зили-
тинкевича (1967) высказывалось предположение, что эти
формулы, выражающие законы сопротивления и теплообмена
для экмановского турбулентного пограничного слоя, могут
приближенно выполняться и в условиях суточных колебаний
метеорологических полей. Пользуясь изложенной выше
теоретической моделью, мы можем на ее основе проверить это
предположение и, если оно окажется оправданным, дать теоретические
оценки погрешностей, обусловленных нестационарностью. Путь
наших рассуждений будет следующим. По данным о суточном
ходе величин и* и Н находим значения |ы в различные моменты
времени. Тем самым мы получаем возможность каждому \i
сопоставить значения геострофического коэффициента трения
uJG, угла поворота вет^а в пограничном слое а и- безразмер-.
ного потока т^пла — #/cppG8w (пропорционального
планетарному числу Стэнтона —H/cppGbQ). При этом (в отличие от
случая квазистационарных изменений режима, когда
зависимость указанных параметров от |х при фиксированном Ro
должна быть однозначной) мы получим для всех |л, кроме
экстремальных, вообще говоря, две .различные оценки: одну для
момента времени, в окрестности которого \х с течением времени
возрастает, и другую для момента, в который \i имеет то же
значение, но с течением времени убывает. В результате при
каждом jn мы получаем по паре значений каждой из
рассматриваемых функций. Построенные таким образом кривые
приведены на рис. 2.35. Сплошными линиями здесь нанесены значения,
соответствующие моментам роста \i (т. е. типу
нестационарности, при котором в пограничном слое усиливается
устойчивость); пунктирными — моментам убывания \х (т. е. усиления
неустойчивости). Как видно из рисунка, различие между
кривыми каждой из пар не настолько велико, чтобы полностью
лишить смысла использование однозначных зависимостей. Что
касается особенностей вблизи точки ц = 0 (при sin со^ = 0) в
выражении для планетарного числа Стэнтона —H/cppG6Q,
связанных с обращением в нуль знаменателя, то они существенной
роли не играют. Дело в том, что при имеющих здесь место
малых значениях |ц| сами значения турбулентного потока тепла
очень малы, а поэтому и требования к точности его
определения можно без особого ущерба ослабить. Все это и означает,
что вызванные нестационарностью нарушения универсального,
характера законов сопротивления и теплообмена в случае суг
точных колебаний не так уже значительны и при грубых
расчетах могут не приниматься во внимание.
Нам остается обсудить результаты решения, относящиеся
к пространственно-временному распределению рассчитываемы*

-/ ?l I I I I 1 I 1 1 1 1 1 1
-60 -**0 -20 0 20 W 60\l
Рис. 2.35. Зависимости осйовных безразмерных
характеристик взаимодействия атмосферы с
подстилающей поверхностью от параметра
устойчивости ц при фиксированном числе Россби в
условиях периодического режима: uJG — геострофи-
ческнй коэффициент трения (узкая петля)» а—
угол между направлениями приземного
напряжения трения и геострофического ветра,
—H/CppGQm — нормированный поток тепла
Сплошные линии соответствуют моментам роста \i
(перехода к более устойчивой стратификации),
пунктирные—моментам убывания |х. Внешние параметры
те же, что для рис. 2.32

228
2.4. Нестационарный пограничный слой
величин. Мы не будем приводить здесь данные о
коэффициентах турбулентного обмена и диссипации турбулентной энергии *,
а ограничимся рассмотрением полей температуры и скорости
ветра. Воспользуемся для этой цели расчетами выполненными
Вагером (1968) при lgRo = 7, Sm=600 и ф = 60°. Полученные
15 часы
2<*tn
Рис. 2.36. Кривые суточного хода безразмерной температуры 6П = (9—
—90о)/втп на различных высотах, по Вагеру (1968)
Числа около кривых — значения безразмерной высоты zn . При расчетах принято
lg Ro-7. S^GOO, ф-60°
в указанной работе кривые суточного хода температуры и
модуля скорости ветра на различных высотах приведены на
рис. 2.36 и 2.37. Эти результаты качественно согласуются с
эмпирическими данными. В частности, близок к наблюдаемому
характер убывания с высотой амплитуды колебаний темпера-
1 Соответствующие иллюстрации имеются в цитированных работах
Ватера и Зилитинкевича (1968) и Вагера (1968). Качественно профили kM и е
рассчитанные для различных моментов времени, согласуются с результатами
решения стационарной задачи, изложенными в 2 3.2.2, а также и с
экспериментальными данными, приведенными в 2.2 3.3.

2.4.2. Замыкание уравнений
229
туры, а также смещений по высоте положений ее максимума
и минимума (ср. рис. 2.31). Более интересен рис. 2.37, хорошо
иллюстрирующий известный по данным многочисленных
наблюдений (см., например, Буажитти и Блэкедар, 1957; Девя-
15 часы
1<* 15 16 17 18 19 20 21 22 23 т„
Рис. 2.37. Безразмерные кривые суточного хода модуля
скорости ветра на различных высотах, по Вагеру (1968)
Числа около кривых — значения безразмерной высоты zn. Внешние
параметры те же, что для рис. 2.36
това, 1957; Долгушин и Новиков, 1963) эффект
противофазное™ суточных колебаний ветра в нижней и верхней частях
пограничного слоя.
2.4.2.2. Сравнение теоретических результатов
с экспериментальными
В цитированной работе Вагера были произведены, наряду
с описанными выше, специальные дополнительные расчеты дл<т
получения количественных оценок близости теоретических
результатов к эмпирическим. В качестве исходного материала
использовались данные измерений в О'Нейле, США,
опубликованные Леттау и Дэвидсоном (1957). При этом
интегрировалась система, несколько отличающаяся от (1.135), (1.147) г

230
2.4. Нестационарный пограничный слой
(2.76), (2.77), (2.82), (2.83) — (2.85), в частности, тем, что на
уровне z=zq задавался не синусоидальный, а фактический ход
температуры. Кроме того, на большом удалении от подстилающей
поверхности (при г=2000 м) также задавались наблюдаемые
величины. Подобная модификация системы не препятствует
использованию безразмерных, переменных и параметров формул
(2.86) и (2.87), в которых через 9т снова обозначается
амплитуда суточных колебаний .температур_ы вблизи от поверхности
Земли. Безразмерное решение системы, "Ч) которой идет речь,
Т I i I i i I Г~~7~1 I I I
;' i i I I » 1 ' I I I I I I
и 8 12 16 20 2Ь Ьчасы
Рис. 2.38. Суточный ход температуры воздуха на
различных горизонтах
Кривые — по расчетам Вагера (1968), отдельные точки — по
данным наблюдений в О'Ненле Леттау и Дэвидсона (1957)
тю-прежнему оказывается зависящим от параметров Ro, Sm и ср
и, кроме того, разумеется, от формы кривой суточного хода
температуры поверхности Земли и значений температуры на
верхнем уровне. Определив все эти характеристики для одного из
типичных наблюдавшихся случаев и получив соответствующее
решение, Вагер сравнил затем с фактическими данными
теоретические кривые суточного хода температуры на различных
горизонтах. Примеры такого сопоставления приведены на
рис. 2.38.
Расчеты были выполнены также для осредненных по
нескольким суткам наблюдавшихся значений внешних
параметров. Полученная в результате кривая суточного хода угла а
лриведена вместе с данными измерений на рис. 2.39.

2.5.1. Пограничный слой и крупномасштабные процессы 231
Отметим, что максимальное расхождение теоретических и
эмпирических значений температуры не превосходит 2°. В отно-
■пз—i г©—i 1 1 1 1 г
J i I I I i I I I i_l i I
О 2 * 6 8 10 12 14 16 18 20 22 часы
Рис. 2.39. Суточный ход угла а полного поворота ветра в пограничном слое
Кривая — по расчетам Вагера (1968), отдельные точки — по данным наблюдений
в О'Непле Леттау и Дэвидсона (I957)
шении угла поворота ветра согласование результатов также
оказывается неплохим, хотя говорить о величинах отклонений
здесь труднее из-за разброса эмпирических данных.
2.5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
2.5.1. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И ДИНАМИКА
КРУПНОМАСШТАБНЫХ АТМОСФЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ
2.5.1.1. Предварительные сведения
Как уже отмечалось, вертикальный турбулентный перенос
является основным механизмом обмена количеством движения
и влагой и одним из основных механизмов (наряду с
радиацией) теплообмена между атмосферой и Землей. Потоки
указанных «субстанций», обусловленные мелкомасштабной
турбулентностью, как правило, принимают максимальные значения
в приземном слое атмосферы (толщиной от нескольких
метров до нескольких десятков метров), выше которого они более
или менее монотонно убывают (ср. рис. 2.20 и 2.21). В верхцих
слоях атмосферы мелкомасштабная турбулентность является
перемежающейся.
Поступление субстанций в верхние слои атмосферы, т. е.
обмен между пограничным слоем и свободной атмосферой
осуществляется главным образом за счет вертикальных движений*

232
2.5. Некоторые приложения
существенно более долгопериодных, чем турбулентные
микропульсации. В основном это упорядоченные вертикальные токи,
обусловленные синоптической эволюцией метеорологических
полей и в особенности атмосферными фронтами, а также
конвергенцией трения в пограничном слое. Весьма существенным,
хотя и носящим эпизодический характер, является,
по-видимому, и обмен, вызываемый мезомасштабной конвекцией
(кучевые облака). Важно подчеркнуть, что в среднем в спектре
неоднородностей метеорологических полей области,
соответствующие мелкомасштабной турбулентности и сравнительно
долгопериодным колебаниям, разделены спектральным
минимумом, приходящимся на периоды порядка десятков минут
(ср. рис. 1.1 и 1.2).
В соответствии с изложенным взаимодействие атмосферы
с подстилающей поверхности, по-видимому, можно схематично
описать как двухступенчатый процесс, при котором субстанции
передаются на первом этапе от Земли в пограничный слой
путем мелкомасштабного турбулентного обмена, а на втором
этапе из пограничного слоя в свободную атмосферу в
результате сравнительно медленных упорядоченных вертикальных
движений (см. Пристли, 1967а,б,в). Вытекающая отсюда
взаимная обусловленность процессов в пограничных слоях и
областях свободных течений иллюстрируется на рис. 2.40,
взятом из работы автора (Зилитинкевич, 19696).
Основная информация о пограничном слое, требуемая при
описании крупномасштабных процессов, касается, таким
образом, величины и направления турбулентного потока импульса
{характеризующихся параметрами ы* и а) и турбулентных
потоков тепла Н и влаги Е вблизи подстилающей поверхности.
Возникает задача — научиться вычислять эти потоки по
синоптическим данным.
До недавнего времени в большинстве работ по динамике
крупномасштабных атмосферных процессов описание эффектов планетарного пограничного
слоя сводилось к учету фрикционных вертикальных скоростей либо на основе
тех или иных априорных моделей профиля коэффициента турбулентной
вязкости (например, Кибель, 1957, гл. 11; Булеев и Марчук, 1960), либо с по-
лющью предположения о постоянстве геострофического коэффициента
трения w*/C и угла а (например, Н. Филлипс, 1956; Минц, 1965; Элнассен, 1959).
Одна из первых попыток более детального учета динамических эффектов
пограничного слоя на основе теоретической модели, предложенной Лайхт-
л1аном (1961) (см. также 2.3.1.2), предпринималась в работе Воробьевой,
Курбаткина и Лайхтмана (1968). Совсем недавно Марчук и др. (1969) при
численных экспериментах по краткосрочному прогнозу погоды использовали
модель стратифицированного пограничного слоя Бобылевой, Зилитинкевича
и Лайхтмана (1967), изложенную в 2.3.2.2. В связи с этой моделью укажем
•еще расчеты Бернхардта (1967), который на ее основе оценивал фрикционные
вертикальные скорости на верхней границе пограничного слоя. Следует, накс*
иец, отметить цикл работ по численному моделированию общей циркуляции
атмосферы, выполненных Смагоринским и его сотрудниками, (см., например,
Смагоринский, 1963; Смагоринский и др., 1965), в которых расчет взаимодействия

СВОБОДНАЯ АТМОСФЕРА
(в первом приближении —
тропосфера)
скорость и
направление
ветра,
температура, влагосодер-
жание,
нисходящие
радиационные
потоки
турбулентные
потоки
импульса, тепла
и влаги,
восходящие
радиационные
потоки
• ПЛАНЕТАРНЫЙ
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
I
температура
водной
поверхности
турбулентные
потоки
импульса, тепла и
влаги, осадки,
нисходящие
радиационные
потоки
ВЕРХНИЙ
ТУРБУЛИЗИРОВАННЫИ
СЛОЙ

турбулентные потоки
импульса
тепла и соли
скорость и
направление
течений,
температура, соленость
ВНУТРЕННИЙ СЛОЙ
скорость и
направление
течений
турбулентные
потоки
импульса и тепла
ПРИДОННЫЙ
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
«-
потоки
тепла и
соли
(речной
сток)
рельеф,
параметр

роховатости,
альбедо,
относительная
влажность
и
температура
ПОВЕРХНОСТЬ
СУШИ
ДНО
ОКЕАНА
рельеф,
параметр

роховатости,

термический поток
Рис. 2.40. Основные связи в системе атмосфера — океан — земная поверхность

234
2.5. Некоторые приложения
с подстилающей поверхностью производился путем интегрирования
полных уравнений динамики атмосферы (в квазистатическом приближении)
на трех уровнях в пределах пограничного слоя (примерно, 70, 640 и 1700 м),
лричем профили коэффициентов вертикального турбулентного обмена
определялись по формулам типа
*
v.z при z<z,
v.z \zx—z)l\z{— z ) при z < z < z|f
\ *
0 при z>zx,
где z и z\ — задаваемые параметры размерности длины (соответственно 75
л 2500 м). Этот подход, не говоря о выборе формулы для k м. имеет
существенный недостаток, связанный с практической невозможностью достичь
лри расчете трехмерных метеорологических полей необходимого разрешения
по вертикали в пограничном слое. В самом деле, имеющийся опыт
численного интегрирования уравнений теории турбулентного пограничного слоя
(см. 2.3.2.2 и 2.4.2.1) свидетельствует о том, что для получения сколько-
нибудь надежных значений турбулентных потоков разрешение по вертикали,
которое достигается при использовании нескольких уровней, совершенно
недостаточно (в 2.4.2.1, например, используется 250 уровней, что, разумеется,
достижимо лишь в рамках локальной задачи). Существенно же увеличить
число уровней, приходящихся на пограничный слой, при расчетах общей
циркуляции атмосферы практически невозможно. К тому же и в будущем,
после появления более совершенной вычислительной техники, первоочередной
интерес в подобных задачах будет представлять детализация вертикальной
структуры основной толщи атмосферы, а вовсе не пограничного слоя,
главные свойства которого, как мы видели в предшествующих разделах книги,
не так уж существенно зависят от эффектов горизонтальной неоднородности
и даже нестационарности. Последнее обстоятельство проявляется в том, что
нелинейные члены, а также и члены, содержащие производные по времени,
в уравнениях движения и переноса тепла и влаги в пределах пограничного
слоя в среднем относительно малы (см., например, Лайхтман, 1966а, 1967;
Зилитннкевич, 19696).
2.5.1.2. Схема расчета турбулентных потоков
по синоптическим внешним параметрам
Итак, многие важные свойства пограничного слоя как звена
в механизме общей циркуляции атмосферы, по-видимому,
можно учесть в рамках простейшей схемы, предполагающей
однородность по горизонтали и стационарность воздушного
потока. Принимая это положение, мы тем самым получаем
возможность использовать изложенную в гл. 2.2 теорию подобия
и, в частности, законы сопротивления и обмена формул (2.21),
(2.21а). Учитывая эти формулы, а также выражение (2.24) для
параметра стратификации jli*, нетрудно показать, что
геострофический коэффициент трения uJG, угол между направлениями
касательного напряжения у подстилающей поверхности и ветра
в свободной атмосфере а и планетарные числа Стэнтона
—H/CppGbQ и Дальтона —E/pG6q должны зависеть только от
*ж='2
дг

2.5.1. Пограничный слой и крупномасштабные процессы 235
числа Россби Ro формулы (2.14) и параметра S*
формулы (2.23), т. е. должны выражаться в виде
% = JuSK°> S*), - a sign/ - Ja (Ro, S*)f
--^T = ^(Ro,S*), -^-^(RCS*), (2.97)
где Ju ,Ja> Jh и Je — функции, вид которых полностью
определяется видом функций А, Ву С и D.
Строго говоря, упомянутые выше безразмерные величины
оказываются зависящими, помимо числа Россби, от двух
внешних параметров стратификации S = p68/|/|G и Sq=0filg6q/\f\G,
входящих в виде комбинации STJ6Q + Sqqj6q. Однако,
учитывая, что второе слагаемое здесь обычно играет роль малой
поправки, а отношение q*6Q/T*hq есть основания считать близким
к единице и мало меняющимся (ср. п. 2.2.2, а также 2.2.3.1),
указанную комбинацию можно приближенно заменить на
S*r*/60, что и обеспечивает справедливость формул (2.97).
В работе Зилитинкевича и Чаликова (1968а) графики
зависимостей типа (2.97) были построены для случая неустойчивой
стратификации с помощью выражений для функций Л, В> С
и D, полученных на основе простейшей теоретической модели,
рассмотренной в конце 2.3.2.2. Позднее аналогичную методику
(включающую как номограммы, так и таблицы,
предназначенные для использования при расчетах потоков на электронных
вычислительных машинах), основанную на. эмпирических
кривых рис. 2.1—2.4, построил Чаликов (19686). Результаты его.
работы приведены в табл. 2.4—2.6 и на рис. 2.41—2.43.
Функции JH и Je оказались совпадающими, так как при
интерпретации экспериментальных данных, изложенной в 2.2.3.1, было
принято C=D. На рис. 2.44 приведена аналогичная
предшествующим номограмма для определения внутреннего параметра
стратификации \х* формулы (2.22). Любопытно, что зависимость,
от числа Россби Ro оказывается здесь практически несуще-,
ственной.
Та бл ица 2.4
lg(-^j как функция от Ro и S*
1g Ro
5
7
9
11
13
s*
-10»
—1,18
—1,96 .
—2,56
—2,88
-3,16
-10a
—1,96
—2,58
—3,04
—3,28
—3,40
0
—2,60
—2,94
—3,22
—3,44
—3,60
10a
—2,70
—2,99
—3,24
—3,44
—3,60
103
—3,32
—3,50
—3,66
—3,80
-3,92

Таблица 2.5
lg (— я sign У) как функция от Ro и S:
1g Ro
5
7
9
11
13
s*
~кя
-0,57
—0,97
—1,30
—1,56
-1,75
-1(H
-0,30
—0,51
-0,68
-0,80
-0,89
0
-0,23
—0,38
—0,51
-0,62
-0,71
103
-0,03
-0,13
-0,22
-0,30
-0,37
1(Я
0,14
0,07
0,01
—0,04
—0,08
Таблица 2.6
'* (- с^Ой) ="lg (" Wk) КЯК ФуНКЦИЯ 0Т R°
lg Ro
5
7
9
И
13
s*
- ия
0,12
-1,75
-2,39
—2,80
—3,11
-lo2
—1,60
—2,45
—2,88
-3,12
—4,33
0
.—2,55
-2,83
—3,05
—3,23
—3,39
10*
-3,07
-3,29
—3,48
—3,65
—3,79
10*
—3,97
-4,10
—4,21
-4,31
—4,39
При расчетах по таблицам требуемые значения \%J\ , lg^a
и lg/ff==lg/E следует определять путем линейной интерполяции
или экстраполяции приведенных значений в шкале lgRo при
всех Ro и в шкале lg|S*| при |S*|>10; при |S*|^10 можно
для всех трех величин зависимость от S* считать
несущественной и использовать значения, относящиеся к S* = 0.
Номограммы, представленные на рис. 2.41—2.43, обсудим более подробно.
Согласно первым двум из них (см. также рис. 2.22 и 2.23), при уменьшении
чисел Россби Ro (вне экваториальной зоны определяемом главным образом
увеличением шероховатости подстилающей поверхности) величины u*lG и | a |
монотонно возрастают, а при увеличении параметра S*, т. е. усилении
устойчивости, w*/G убывает, а |а| возрастает. Числа Стэнтона —#/cPpG60 и
Дальтона —E/pG6q (на рис. 2.43 совпадающие) возрастают с уменьшением Ro
и увеличением S*. Рассмотрим для наглядности конкретный пример
пограничного слоя над степью в средних широтах. В этом случае G«10 м/сек,
/«Ю-4 сек~х, Zo«10~2 м и соответственно Ro«107, а параметр
стратификации S* по порядку величины составляет —102 при сильной неустойчивости и
несколько меньше чем 103 при сильной устойчивости. Геострофический
коэффициент трения h*/G, таким образом, будет меняться за счет стратификации)
в три раза — от 0,02 при сильной устойчивости до 0,06 при сильной неустой-1
чивости, принимая значение, близкое к 0,03, при нейтральной стратификации.
Резко меняется в зависимости от стратификации и угол полного поворота
ветра в пограничном слое (точнее, угол между направлениями турбулентного
напряжения трения у поверхности и геострофического ветра). В
рассматриваемом примере |а| будет составлять около 17° при очень неустойчивой,
около 25° при нейтральной и свыше 60° при очень устойчивой стратификации.

Рис. 2.41. Номограмма для определения геострофического коэффициента
трения* w*/G по параметру стратификации S*=(Po6+0,6l gbq)l\f\u и числу
Россби Ro=G/|/|z0, по Чаликову (19686). Значения IgRo указаны
непосредственно на кривых
Рис. 2.42. Номограмма для определения угла а между направлениями
напряжения трения у земной поверхности и ветра в свободной атмосфере
по параметрам S* и Ro, по Чаликову (19686). Значения IgRo указаны
на кривых

5 4
в
7
8
9
10
11
12
13
"1
га,** '•
S*<0
^^-^,
lglS*l
Рис. 2.43. Номограмма для определения безразмерных потоков тепла
и влаги —#/cPpG69=—E/pG6<7 по параметрам S* и Ro, по Чаликову
(19686). Значения lgRo указаны на кривых
100
50
•50
-100
I
к
\1
<о
г
-
S*
>0
I
ig/s*/ /
Рис. 2.44. Номограмма для определения внутреннего
параметра стратификации \х* по внешним
параметрам S* и Ro, по Чаликову (19686). Значения
lgRo указаны на кривых

2.5.1. Пограничный слой и крупномасштабные процессы 239
Особенно сильно зависят от стратификации числа Стэнтона и Дальтона.
В нашем примере они будут меняться в 35 раз — от 0,0001 при сильной
устойчивости до 0,0035 при сильной неустойчивости. Эти оценки показывают,
что использование постоянных значений коэффициента трения, угла а и
чисел Стэнтона и Дальтона, скажем, в численных экспериментах по общей
циркуляции атмосферы должно приводить к очень большим ошибкам
(особенно при расчетах тепло- и влагообмена между Землей и атмосферой).
В цитируемой работе Чаликова были выполнены также
оценки погрешностей предлагаемой методики. Для этой цели
по данным наблюдений в О'Нейле (тем же самым, которые
использовались и в 2.2.3.1) определялись значения ы*, а и Я,
с одной стороны, с помощью номограмм 2.41—2.43, а с другой —
по методике, изложенной в п. 1.4.2. Результаты такого
сопоставления, приведенные на рис. 2.45, показывают, что
расхождения между значениями потоков, рассчитанными по внешним
параметрам и по данным приземных градиентных наблюдений,
не так уже значительно превосходят, скажем, расхождения,
показанные на рис. 1.38—1.41, которые, как уже отмечалось,
характеризуют вообще максимальную достижимую точность.
Следует, правда, отметить, что при сопоставлении не
использовались данные, относящиеся к моментам восхода и захода Солнца,
т. е. к моментам особенно резкой нестационарности. Таким
образом, рис. 2.45 иллюстрирует в общем наиболее
благоприятные условия.
Несмотря на указанное ограничение, обсуждаемую
методику, по-видимому, все же можно рекомендовать для
использования в гидродинамических прогнозах погоды и в численных
экспериментах по общей циркуляции атмосферы. При этом,
однако, следует иметь в виду, что изложенные выше
рекомендации и оценки погрешностей основаны на материалах локальных
измерений, в то время как в математических моделях
крупномасштабных атмосферных процессов мы фактически оперируем
данными, осредненными по горизонтальной области с
диаметром порядка шага разностной сетки (т. е. в глобальных
задачах порядка сотен километров). Эффекты такого осреднения
над океаном, вероятно, невелики (см. например, Флигл и др.,
1967), однако над сушей они могут быть весьма существенными.
Оценить указанные эффекты в принципе нетрудно, но для этого
нужно располагать сведениями о мезомасштабной
горизонтальной структуре полей внешних параметров, фигурирующих
в формулах (2.97).
Отметим в заключение, что во многих случаях в качестве масштабов
температуры и влажности как при нормировании потоков в левых частях
формул типа (2.97), так и при составлении внешнего параметра
стратификации типа S* формулы (2.23) удобно использовать вместо б0 = 6л = Эо и
bq = qh — qo разности 60л = 6л — 6Я и 6qh = qh — q8t где 0в и q8 — средние
значения температуры и влажности в точках непосредственного контакта
атмосферы с подстилающей поверхностью. Соответствующим образом
модифицированная методика расчета турбулентных потоков также может быть

во
60
<*о
20
| " 1 -1—г—1-
и* см /сек
-
Г •*
*
г • *
г V " s
1/, *,"«', ,
i i
•
• •
ч*
У* х
• *
х *
1 1
— Т— т "ТЛ
• / 1
J
* * J
X "1
х х
1 1
20 40 60 80
100
во
60
40
20
п
—1—1—
- -а0
-
-
~
•
•у
• у
•2v
Z л*.
I 1 1 г 1 1
X
X
"* /
к х/
yxv*
л™%^
/** \
X* X X
v х
1 1 1 1 1 1
1
жж "1
' н
1
т
1
\
1
~|
.л J
20 40 60 80 100
-0,1 V-
0,1 0,2 OJ . 0,4
Рис. 2.45. Эмпирические иллюстрации погрешностей методики
определения скорости трения «*, угла полного поворота ветра в
пограничном слое а и турбулентного потока тепла у земли Н по
номограммам (2.41) — (2.43), по Чаликову (19686)
По оси абсцисс на всех рисунках отложены величины, рассчитанные по
синоптическим внешним параметрам, по оси ординат — величины, найденные
но данным градиентных измерений. Исходным материалом служат Данные
наблюдений в О'Нейле, США, опубликованные Леттау и Дэвидсоном (1957).
/ _ устойчивая стратификация; 2 — неустойчивая

2.5.2. Оценки ветровых нагрузок
241
получена на основании законов сопротивления и обмена (2.21), (2.21а), если,
воспользовавшись формулами (1.75) или (1.87), представить фигурирующие
в этих законах величины 69 и 6*7 в виде
&еЛ-7*Ре(Л0и*Л<),
50 = 50л — о60 =
Ц = ьЯп — ъЧо ■
где верхние выражения в правых частях записаны для атмосферы над
сушей, а нижние — над океаном. Конкретизируя методику расчета
турбулентных потоков над океаном, следует еще учесть, что высота шероховатости z0
в этом случае не является фиксированной. Поэтому в качестве динамического
внешнего параметра здесь удобно вместо числа Россби Ro=G/|/|z0
использовать величину P~g/\f\Gt связанную с Ro очевидной формулой
R0= ^ / 8 Ч ' (2'")
Отметим, наконец, что изложенный выше подход может
быть использован при расчетах циркуляции не только землой
атмосферы, но также и атмосфер других быстро вращающихся
планет или циркуляции океана. Упрощенный вариант
подобного рода методики определения напряжения придонного
трения в океане рассмотрен в работе Зилитинкевича и Чали-
кова (1968д). Подробнее по вопросу о придонном пограничном
слое в море и о придонном трении см. книгу Кагана (1968а).
Сведения о пограничных слоях в атмосферах планет земной
группы имеются в работе Голицына (1969).
2.5.2. ОЦЕНКИ ВЕТРОВЫХ НАГРУЗОК НА ВЫСОТНЫЕ СООРУЖЕНИЯ
При проектировании высотных сооружений учитываются различные
воздействия, которые могут вызывать напряженные состояния или деформации
конструкций. Основным критерием при этом является степень близости к так
называемым предельным состояниям, при которых сооружение перестает
удовлетворять предъявляемым к нему эксплуатационным требованиям.
Гарантия от возникновения предельных состояний обеспечивается учетом
наибольших возможных нагрузок и воздействий, наименьшей возможной
прочности материалов, а также специфических условий работы сооружения.
При расчетах сооружений различают постоянные нагрузки (собственный
вес конструкций, усилия предварительного напряжения, вес антенных
устройств и т. п.) и временные нагрузки и воздействия. Последние учитываются
в зависимости от продолжительности действия и разделяются на длительные,
кратковременные и особые (возникающие в исключительных случаях).
Порядок учета возможных неблагоприятных сочетаний нагрузок и воздействий
как для сооружения в целом, так и для отдельных его элементов, указан
в Строительных нормах и правилах (часть II, раздел А, гл. 10—11. Госстрой-
издат, М., 1962).
" С. d Зилитинкевич

242
2.5. Некоторые приложения
В высотных сооружениях нагрузки от собственного веса в большинстве
случаев имеют второстепенное значение. Наибольшая доля усилий обычно
связана с погодными воздействиями и определяется в основном ветровыми
нагрузками и нагрузками, вызываемыми оледенением. В случае
изготовления высотных сооружений из материалов, имеющих различные коэффициенты
температурного расширения, значительной величины могут достигать также|
нагрузки, связанные с изменениями температуры.
В настоящем параграфе мы кратко рассмотрим (следуя работе Зилитин-
кевича и Остроумова, 1967) один из основных видов нагрузок на высотные
сооружения — ветровые нагрузки.
2.5.2.1. Общие сведения о ветровых нагрузках
При обтекании препятствия воздушный поток оказывает на него
давление, величина которого рп, отнесенная к единице теневой площади, может
быть выражена по формуле (см., например, Ландау й Лифшиц, 1953)
Рп = с/ри*, (2.100)
где и — скорость в невозмущенном потоке; с/ — безразмерный
аэродинамический коэффициент сопротивления, зависящий от формы тела и характеристик
потока (от числа Рейнольдса). Способы определения коэффициентов
сопротивления для различных конструкций даны в Строительных нормах.
На практике при расчете нормативной ветровой нагрузки используется
стандартное значение плотности воздуха р«1,2 /сг/ле3, соответствующее
нормальному давлению (1000 мб) и температуре +15° С, а в качестве и берется
максимальное возможное значение скорости ветра.
Поскольку скорость ветра в нижнем слое воздуха существенно зависит
от высоты, для определения ветровой нагрузки на высотное сооружение
необходимо знать вид профиля скорости.
Далее, помимо медленных колебаний скорости ветра, скажем, от часа
к часу или от суток к суткам, учитываемых путем выбора максимального
значения w, имеют место высокочастотные турбулентные флуктуации скорости.
Наличие этих флуктуации приводит к дополнительным нагрузкам.
Наконец, при обтекании воздушным потоком высоких сооружений
цилиндрической формы (дымовых труб, мачт и т. п.) могут возникать
резонансные колебания сооружения в плоскости, перпендикулярной направлению
среднего ветра. Причиной этих колебаний, по-видимому, являются образующиеся
в данном случае вихревые дорожки Кармана с шахматным расположением
вихрей, частота срыва которых определяется скоростью ветра и диаметром
препятствия. Согласно этой точке зрения, скорость ветра ип, при которой
возникают резонансные колебания, определяется по формуле
Ы
где с? —диаметр сооружения; tR — период его собственных колебаний.
Из изложенного ясно, что для оценки ветровых нагрузок на высотные
сооружения нужно иметь сведения о частотах реализации сильных ветров
в данном пункте, о вертикальном профиле среднего ветра и о статистических
свойствах продольных пульсаций скорости.
2.5.2.2. Учет распределения вероятностей высоких скоростей ветра
Согласно Строительным нормам, при оценке нормативной ветровой
нагрузки рп по формуле (2.100) в качестве и берется значение скорости ветра,
которое превышается в среднем не более одного раза в пять лет. Такой
единый рецепт вряд ли можно считать целесообразным. Более естественным

2.5.2. Оценки ветровых нагрузок
243
представляется варьирование промежутка времени, лимитирующего
максимальное вероятное значение ы, в зависимости от предполагаемой
долговечности проектируемого сооружения. При этом, разумеется, возникает
потребность в определении распределения вероятностей Fm(u) высоких скоростей
ветра. Подобный подход развит в работах Анапольской и Гандина (1958)
и Анапольской (1961), в которых, в частности, выясняется вид функции
распределения Fm(u) (для фиксированной высоты) при больших и.
Зная вид функции Fm(u), можно по заданной допустимой вероятности
Рт, с которой расчетная скорость ветра не должна превышаться, определить
максимальную скорость и из уравнения Fm(u)=Pm. При этом путем
вероятностных оценок затрат на строительство и возможных убытков при
разрушении сооружения сильным ветром в принципе нетрудно разработать
оптимальную стратегию проектирования, аналогичную, скажем, стратегии
использования ненадежных прогнозов (Монин, 19626).
Далее, будем считать, что на некоторой фиксированной высоте,
(например, 10 м) тем или иным способом определено максимальное значение
скорости U\. Выясним, каких значений и мы должны при этом ожидать на
других высотах.
2.5.2.3. Учет изменений скорости по высоте
В существующей методике по предложению Гандина (1950) учет
зависимости скорости ветра от высоты основан на логарифмической формуле
(1.69). В самом деле, поскольку нас интересуют случаи сильного ветра,
влиянием температурной стратификации на форму профиля скорости можно
пренебречь. Величина и», входящая в указанную формулу, связана линейной
зависимостью со значением скорости ветра U\ на высоте г\\
Таким образом, она легко определяется по рассматривавшейся выше
максимальной вероятной скорости ветра.
Поскольку в связи с потребностями современной техники могут
представить практический интерес значения скорости/ ветра на высотах 100 м и
более, рассмотрим весь планетарный пограничный слой атмосферы. При этом
ограничимся случаем ровной однородной подстилающей поверхности и снова
пренебрежем влиянием температурной стратификации), так как будем
обсуждать только условия сильного ветра. Согласно теории подобия, изложенной
в п. 2.2.1, профили горизонтальных составляющих скорости описываются
тогда первыми двумя формулами! (2.19) при ц=0- Для определения
фигурирующих здесь функций i|)u(£, 0 )и г|ь(£, 0) можно воспользоваться
эмпирическими графиками, приведенными на рис. 2.8, или неплохо согласующимися
с ними теоретическими, приведенными на рис. 2.26 и 2.27.
Расчет давления рп формулы (2.100) на различных высотах может быть
выполнен с помощью, скажем, рис. 2.26 и 2.27 следующим образом. Пусть
нам известна максимальная вероятная скорость U\ на высоте z\. Зная
шероховатость подстилающей поверхности z0, можно по формуле (2.102)
вычислить ы*. С учетом географической широты рассматриваемого пункта по
формуле (2.7) находится X; значение высоты z\ на которой нужно определить
и и v, а также величина г0 приводятся к безразмерному виду путем деления
на Д.; с графиков снимаются величины t|)u и \|ь при значениях аргумента,
равных zffk и г0Д, и составляются разности t|)u(z'A) —^u(zoA) и \|)г(г'А) —
—^«(zo/X) (значения i|)u и г|ь при; очень малых £ могут быть найдены
путем линейной экстраполяции графиков). Наконец, эти разности
умножаются на ы*/х, в результате чего мы и получаем и (г') и v (г'), а также
pn(z')=c/p[u2(z')+y2(z')]- Описанная процедура требует знания
аэродинамической-шероховатости z0, значения которой для различных типов
подстилающей поверхности приводятся в табл. 1.1.
9*

244
2.5. Некоторые приложения
2.5.2.4. Эффект турбулентных пульсаций
Флуктуации скорости в турбулентном потоке создают дополнительные
нагрузки на обтекаемые объекты. Практический интерес при этом
представляет, по-видимому, только продольная порывистость, так как действие
продольных флуктуации складывается с действием среднего ветра, в результате
чего и создаются наиболее высокие значения скоростного напора. При
рассмотрении объектов, перпендикулярная к потоку площадь которых велика
по сравнению с произведением типичных значений вертикального и
поперечного масштабов продольных пульсаций скорости, эффект порывистости,
вероятно, можно считать несущественным ввиду частичной взаимной
компенсации действия порывов противоположного направления. Для меньших
объектов эффект пульсаций необходимо учитывать, рассматривая величину и
в выражении (2.100) как сумму средней U и пульсационной и' скоростей,
т. е. записывая указанное выражение в виде
рп = С/Р ({/* + 2(Ju' + и'2). (2.103)
Точнее говоря, мы должны использовать формулу (2.103) в случае любого
объекта, производя в правой части осреднение по соответствующей площади.
Если эта площадь достаточно велика, второй член в скобках в правой части
исчезает, что при условии не слишком высокого уровня пульсаций (и'~ <g.U2)
и позволяет пренебречь порывистостью. Заметим, что в данном случае
определение характера порывистости встречает дополнительные трудности, так
как наличие обтекаемого объекта больших размеров существенно искажает
структуру потока.
Оценки масштабов пульсаций скорости по различным направлениям
производили Пановский (19626) по материалам измерений в О'Нейле на высоте
2 м, опубликованным Хаугеном (1959), Дэвенпорт (1961), использовавший
данные измерений вдоль моста через р. Северн (на высоте 30 м над рекой)
при сильных ветрах, опубликованные Бейли и Винсентом (1939), Зингер
(1960) и Пановский и Зингер (1965) —по измерениям на 120-метровой
метеорологической башне в Брукхевене (США) и др. (подробные сведения по
затронутому здесь вопросу имеются в гл. 5 книги Ламли и Пановского (1964),
в работе Бермана (1965) и в гл. 8 книги Монина и Яглома (1967)). Согласно
этим оценкам, характерные значения вертикального и поперечного масштабов
продольных пульсаций скорости имеют порядок десятков метров. Таким
образом, для объектов с подобными (а тем более с меньшими) линейными
размерами эффект порывистости ветра должен, вообще говоря, играть
заметную роль.
Вопрос о том, какое значение флуктуационной скорости и* следует
подставлять в формулу (2.103) при определении скоростного напора на
конкретный объект, требует некоторого пояснения. Рассмотрим сначала случай
малого объекта, на который оказывает воздействие весь спектр пульсаций.
Для практики обычно представляет интерес оценка максимального
возможного значения рп (или и'). Однако, учитывая вероятностную природу
турбулентных флуктуации скорости, нельзя говорить о максимальном зна-|
чении и' до тех пор, пока не указана допустимая вероятность, скажем, Р/, i
с которой это значение не должно превышаться. Таким образом, фактически ,
мы имеем здесь ситуацию, подобную рассмотренной выше при обсуждении .
долгопериодных изменений. Если считать известной функцию распределения
вероятностей продольных пульсаций скорости Ff(u'), то максимальная вели-^
чина пульсаций и' может быть найдена по заданной допустимой вероятности
Pf из уравнения Ff(u?)=Pf. При этом величину Я/ (так же как и Рт
в 2.5.2.2) целесообразно определять с учетом предполагаемой долговечности
if стоимости сооружения.
Если принять, что распределение вероятностей для и' приближенно явля-'

2.5.2. Оценки ветровых нагрузок
245
стся гауссовым (см., например, Монин, 1958; Крамер, 1960), т. е. выразить
функцию Ff в виде 1
и' /а
F/(U')= 1 fV"'<2rfn, (2.104)
— оо
то дисперсия пульсаций скорости ветра ои = и'~ оказывается единственным
параметром, определяющим форму распределения.
Согласно теории подобия, в приземном слое воздуха при нейтральной
стратификации, практически всегда имеющей место при высоких скоростях
ветра, ви пропорционально скорости трения и*, причем коэффициент
пропорциональности постоянен. Учитывая эмпирическое значение этого коэффициента
о»о«2,4 (ср. рис. 1.23 а), а также значение х«0,4 и используя формулу
(2.102), получаем
= 22ji£l. ~ <* . (2Л05)
и \nzilz0 \nztjZo v '
Таким образом, ои линейно связано со скоростью ветра U\ на высоте Z\.
а значит, легко определяется по максимальной вероятной скорости ветра.
В тех случаях, когда возникает потребность в определении характеристик
порывистости ветра на уровнях в несколько десятков метров и выше,
необходимо и при нейтральной стационарности учитывать зависимость ои от
высоты. Эту зависимость удобно описывать, рассматривая безразмерное
отношение сгм/ы*, согласно изложенной в п. 2.2.1 теории подобия зависящее
в интересующем нас случае только от z/k и монотонно убывающее с
увеличением аргумента. Подобного рода систематизации экспериментальных
данных, однако, не производилось. Некоторые сведения о характере изменений
ам по высоте приведены в 2.2.3.3. Возможность теоретического определения
рассматриваемой зависимости обсуждалась в 2.3.2.3.
При рассмотрении объектов, вертикальный и поперечный (по отношению
к направлению ветра), размеры которых превосходят соответствующие
масштабы пульсаций скорости, как отмечалось выше, следует производить
осреднение в формуле (2.103). Практически это приводит к ослаблению действия
высокочастотных флуктуации, которое грубо можно представить как
отсечение высокочастотной части спектра. В качестве попытки учета этого эффекта
при оценке ветрового воздействия на сооружения больших размеров можно
предложить использовать в формуле (2.104) для функции распределения
продольных пульсаций скорости вместо полной дисперсии зи некоторую ее долю,
определяемую путем интегрирования надлежащим образом усеченного
спектра.
Заканчивая параграф, отметим, что используемая в настоящее время
методика расчета нормативной ветровой нагрузки в основных чертах
базируется на сведениях о структуре приземного слоя атмосферы (толщиной
порядка десятков метров), характеризующегося при сильных ветрах логариф-
мическим^ профилем скорости и постоянным по высоте значением дисперсии
пульсаций скорости. Распространение результатов, справедливых для
приземного слоя, на высоты порядка 100 м и более приводит к заметному
искажению реальной картины. Поэтому при расчете ветровых нагрузок на больших
высотах представляется целесообразным использовать изложенные выше
уточненные рекомендации.
1 При вычислении интеграла в правой части (2.104) удобно пользоваться
таблицами, имеющимися, например, в книге Гнеденко (1961).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подводя итоги, можно сказать, что современные
физико-математические модели, основанные на теории подобия и
полуэмпирической теории турбулентности для стационарного и
однородного по горизонтали воздушного потока, в целом
удовлетворительно отражают наиболее существенные особенности
структуры пограничного слоя атмосферы. Что касается
состояния экспериментальных исследований, то, несмотря на
значительное количество данных наблюдений, полученные к
настоящему времени обобщающие результаты относятся в основном
к относительно хорошо изученному приземному подслою и лишь
к некоторым интегральным характеристикам планетарного
пограничного слоя. Измерений в приводном слое воздуха
выполнено пока еще сравнительно немного.
Укажем некоторые нерешенные вопросы механики
пограничного слоя атмосферы, разработка которых представляется
наиболее актуальной в связи с проблемой учета мелкомасштабного
взаимодействия между атмосферой и подстилающей средой
в гидродинамических прогнозах погоды и численных
экспериментах по общей циркуляции атмосферы и океана.
Следуя принятому в книге порядку изложения, отметим
прежде всего необходимость получения надежных
экспериментальных данных о зависимости от того или иного параметра
стратификации (г/L, R/ или Ri) отношения ан^кн/км
коэффициентов турбулентного обмена для тепла и для импульса или
отношения aD = kDjkM, где kD — коэффициент обмена для
пассивной примеси. Для этой цели могли бы послужить как
данные измерений в атмосферном или океанском пограничном
слое при экстремальных отклонениях от нейтральной
стратификации, так и данные лабораторных измерений течений
стратифицированной жидкости или газа.
Далее, весьма желательным является уточнение характера
зависимостей шероховатости водной поверхности, разности
температур воды и воздуха и аналогичной разности для пассивных

Заключение
247
примесей от определяющих характеристик, например путем
систематизации экспериментальных данных в соответствии с
формулами (1.87). Следовало бы также провести исследование
определяемого первой из формул (1.75) приземного скачка
температуры над сушей. Напомним в связи с этим, что обычное
в метеорологической литературе использование аналогии Рей-
нольдса, т. е. пренебрежение указанным скачком, должно
приводить к весьма существенным погрешностям.
Актуальной задачей, которая может быть решена в
ближайшее время, является систематизация на основе теории
подобия экспериментальных данных о вертикальной структуре
планетарного пограничного слоя атмосферы, а также уточнение
имеющихся данных об универсальных характеристиках
сопротивления и обмена (функциях Л, В, С и D формул (2.21),
(2.21а)).
Наконец, необходимо отметить важность исследования
выходящих за рамки темы данной работы, но тесно с ней
связанных вопросов об эффектах горизонтальной неоднородности,
а также о структуре пограничного слоя в экваториальной зоне,
где параметр Кориолиса обращается в нуль и, следовательно,
результаты, изложенные во второй части книги,- непосредственно
применить нельзя. Последняя задача представляет интерес не
только для геофизики, но и с точки зрения исследований
циркуляции атмосфер медленно вращающихся планет.

CONCLUSION
In conclusion we can say that the contemporary physical mor
dels for a stationary and horizontally homogeneous air flovi
based on the similarity theory and semiempirical theory of
turbulence are fairly adequate in describing the most essential pecu-t
liarities of the structure of the atmospheric boundary layers. As
for the modem state of experimental studies, the general results
obtained so far,, despite the numerous data available, relate
mainly to the relatively well —studied surface layer and to few
integral parameters of the planetary boundary layer.
Measurements in the atmospheric near — water layer are still rather
scanty.
Let us indicate certain unsolved problems of the atmospheric
boundary layer mechanics whose solution is highly actual in con-|
nection with the consideration of the small —scale interaction
between the atmosphere and the underlying surface for hydrody-
namic weather forecasts and^ numerical experiments on the
general atmosphere and ocean circulation.
According to the logic of our presentation let us mention,
first of all, the necessity of obtaining reliable experimental data
on the dependence upon one or another stratification parameter
(z/L, R/ or Ri) of the relationship ан=кн/км of the turbulent
exchange coefficients for heat and-momentum, or the relationship
aD=kvlkM, where kD is the exchange coefficient for a passive
constituent. To this effect can be used both measurements in the
atmosphere or ocean surface layer with the extreme deviations
from the neutral stratification and laboratory measurements of
turbulent flows of stratified liquid or gas.
Further, highly desirable is a precision of the character of the
relationships between the water surface roughness, air-water i
temperature difference and a similar difference for passive consti-1
tuens, and the governing parameters, e. g. by means of the syste-
matization of experimental data according to the Eqs (1.87).
The near-ground temperature difference above the land deter-

Conclusion
249
mined by the first of the Eqs (1.75) should also be studied.
Remind in this connexion that the commonly used Reynolds
analogy, i. e. the neglect of the above-mentioned difference,
introduces significant errors.
An important problem that can be solved in the near future
is the systematization, based on the similarity theory, of the
experimental data on the vertical structure of the planetary
boundary layer and the improvement of the available data about the
universal parameters of resistance and exchange (functions A>
S, С and D of the Eqs (2.21), (2.21a)).
Finally, it is necessary to point out the importance of
investigating the problems beyond the scope of this book, but closely
related, of the effects of horizontal nonhomogeneities and of the
structure of the boundary layer in the equatorial zone where the
Coriolis parameter reduces to zero, whereupon the results
contained in the second part of the book cannot be applied directly.
The last problem is not only of geophysical interest but
particularly important from the point of view of studies of the
circulation of the atmospheres of slowly rotating planets.

ЛИТЕРАТУРА
Акерблом (Akerblom F.)
1908. Recherches sur les courants les plus bas de Tatmosphere au-dessus
du Paris. Nova Acta Reg. Soc. Sci., Uppsala, Ser. 4, 2, No. 2, 1—45.
Анапольская Л. E.
1961. Режим скоростей ветра на территории СССР. Гидрометеоиздат, Л.
Анапольская Л. Е., Гандин Л. С.
1958. Методика определения расчетных скоростей ветра для
проектирования ветровых нагрузок на строительные сооружения.
Метеорология и гидрология, № 10, 9—17.
Армит и Конихан (Armitt J., Counihan J.)
1968. The simulation of the atmospheric boundary layer in a wind tunnel.
Atmosph. Environ., 2, No. 1, 49—71.
Б а н к e p (Bunker A. F.)
1956a. Measurements of counter-gradient heat flows in the atmosphere.
Austral. J. Phys., 9, No. 1, 133—143.
19566. Stress, turbulence, and heat flow measurements over the Gulf of
Maine and surrounding land. Woods Hole Oceanogr. Inst., Rep. No.
56—65.
1960. Heat and water-vapour fluxes in air flowing southward over the
western north Atlantic Ocean. J. Meteorol., 17, No. 1, 52—63.
Б а ре д (Barad M. L.)
1958. Project Prairie Grass, a field programm in diffusion. Vols. 1—2
Geophys. Res. Pap. No. 59.
Баумгартнер (Baumgartner A.)
1956. Untersuchungen iiber den Warme- und Wasser-haushalt eines jungen
Waldes. Berichte Deutsch. Wetterdienstes, 5, Nr. 28, 3—53.
Бе или и Винсент (Bailey A., Vincent N. D. G.)
1939. Wind-pressure experiments at the Severn Bridge. J. Inst. Civil
Engrs., 11, No. 5, 363—380.
Бейнз и Кнапп (Baines W. D., Knapp D. J.)
1965. Wind-driven water currents. J. Hydraul. Div. (Proc. Amer. Soc.
Civil Engrs.), 91, No. HY2, 205—221.
Белинский В. A.
1948. Динамическая метеорология. Гостехиздат, М.-Л.
Бентон и др. (Benton G. S., Fleagle R. G., Leipper D. F.,
Montgomery R. В., Rakestow N., Richardson W. S., Riehl H., Snodgrass J.)
1963. Interaction between the atmosphere and the oceans. Bull. Amer.
Meteorol. Soc, 44, No. 1, 4—17.
Берлянд M. E.
1947. Теория изменения ветра с высотой. Труды НИУ ГУГМС, сер. I,
№ 25, 14—67.

Литература
251
1956. Предсказание и регулирование теплового режима приземного слоя
атмосферы. Гидрометеоиздат, Л.
1958. Локальные прогнозы изменений температуры и влажности в
приземном слое воздуха. В сб. «Современные проблемы метеорологии
приземного слоя воздуха». Гидрометеоиздат, Л., 138—155.
Берман (Berman S.)
1965. Estimating the longitudinal wind spectrum near the ground. Quart.
J. Roy. Meteorol. Soc, 91, No. 389, 302—317.
Бернхардт (Bernhardt K.)
1967. The influence of friction at the earth's surface on mass balance and
vertical motions in the boundary layer. XlVth General Assembly
IUGG, IAMAP-D, Lucerne.
Бернштейн (Bernstein A. B.)
1959. The effect of a horizontal temperature gradient on the surface wind.
M. S. Dissertation. Pennsylvania State Univ.
Бламон (Blamont J. E.)
1963. Turbulence in atmospheric motions between 90 and 130 km of
altitude. Planet. Space Sci., 10, 89—101.
Бламон идеЯгер (Blamont J. E., de Jager C.)
1961. Upper atmospheric turbulence near the 100km level. Annal. Geophys.,
17, No. 1, 133—144.
Блинова E. H.
1965. Hydrodynamical long-range weather forecasting in the USSR. WMO
Tech. Note No. 66 (WMO/IUGG Symposium on Research and
Development Aspects of Long-Range Forecasting), 63—75.
1967. О гидродинамической теории долгосрочных прогнозов погоды.
В сб. «Динамика крупномасштабных атмосферных процессов»
(Труды Международного симпозиума, Москва, 23—30 июня
1965 г.). Изд-во «Наука», М., 15—21.
Блинова Е. Н., К и б е л ь И. А.
1937. Приложение теории турбулентности к вопросу о распределении
ветра с высотой. В кн. «Динамическая метеорология» (под ред.
Б. И. Извекова и Н. Е. Кочина). Част. 2. Гидрометеоиздат, Л.-М.,
28—36.
Блэкедар (Blackadar А. К.)
1960. A survey of wind characteristics below 1500 ft. Meteorol. Monogr.,
4, No. 22, 3—11.
1962. The vertical distribution of wind and turbulent exchange in a neutral
atmosphere. J. Geophys. Res., 67, No. 8, 3095—3102.
1965a. A single layer theory of the vertical distribution of wind in a
baroclinic neutral atmospheric boundary layer. Final Rep., Contract No.
AF (604)-6641, Pennsylvania State Univ., AFCRL-65-531, 1—22.
19656. A simplified two-layer model of the baroclinic neutral atmospheric
boundary layer. Final Rep., Contract No. AF (604)-6641, Pennsylvania
State Univ., AFCRL-65-531, 49—65.
1967. External parameters of the wind flow in the barotropic boundary
layer of the atmosphere. In: Global Atmospheric Research
Programme (Rep. Study Conf., Stockholm, 28 June—11 July 1967).
Stockholm, IV. 1 —IV. 11.
Блэкедар, Пановский и др. (Blackadar А. К., Panofsky Н. A., Glass
Р. Е., Boogard J. F.)
1967. Determination of roughness change on the wind profile. In:
Boundary layers and turbulence (Phys. Fluids Supplement), 209—211.
Блэкедар иТеннекес (Blackadar А. К., Tennekes H.)
1968. Asymptotic similarity in neutral barotropic boundary layers. J. At-
mosph. Sci., 25, No. 6, 1015—1020.
Блэкедар иЧинг (Blackadar A. K., Ching J. K. S.)
1965. Wind distribution in a steady state planetary boundary layer of the

252
Литература
atmosphere with upward turbulent heat flux. Final Rep., Contract
No. AF (604)-6641, Pennsylvania State Univ., AFCRL-65-531, 23—48
Блэкмен и Тьюки (Blackman R. В., Tukey J. W.)
1958. The measurement of power spectra. Dover Publ., New York.
Бобылева И. M., Зилитинкевич С. С, Лайхтман Д. Л.
1967. Турбулентный режим в термически стратифицированном планер
тарном пограничном слое атмосферы. В сб. «Атмосферная турбу-,
лентность и распространение радиоволн» (Труды международного
коллоквиума, Москва 15—22 июня 1965 г.). Изд-во «Наука», М.*1
179—190.
Бовшеверов В. М., Воронов В. П.
1960. Акустический флюгер. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 6, 882—885.
Бовшеверов В. М., Гурвич А. С, Мордухович М. И.„
Цванг Л. Р.
1962. Приборы для измерения пульсаций температуры и скорости ветра
и для статистического анализа результатов измерений. Сб.
«Атмосферная турбулентность» (Труды И ФА АН СССР, № 4), 21—29.
Бовшеверов В. М., Гурвич А. С, Цванг Л. Р.
1959. Прямые измерения потока тепла в приземном слое атмосферы.
ДАН СССР, 125, № 6, 1242—1245.
Богородский М. М.
1964. Исследование тангенциального трения, вертикального
турбулентного теплообмена и испарения в условиях открытого океана.
Океанология, 4, № 1, 19—26.
1966. Некоторые особенности шероховатости поверхности моря.
Океанология, 6, № 4, 580—592.
Бол л (Ball F. К.)
1961. Viscous dissipation in the atmosphere. J. Meteorol., 18, No. 4, 553—
557.
Борковский (Borkowski J.)
1964. The wind profile and turbulent diffusion in a stable surface layer
of the atmosphere. Acta Geophys. Polon., 12, No. 4, 199—203.
Бортковский и др. (Бортковский Р. С, Бютнер Э. К-,
Преображенский Л. 10.)
1967. Экспериментальные исследования структуры приводного слоя
воздуха над океаном. Труды ГГО, вып. 205, 122—133.
Бортковский Р. С, Бютнер Э. К.
1968. О методах определения турбулентных потоков количества
движения и тепла над морем. Труды ГГО, вып. 226, 3—17.
1969. Расчет коэффициента теплообмена над морем. Изв. АН СССР,
Физика атмосферы и океана, 5, № 5, 494—503.
1970. Проверка модели турбулентного теплообмена над морем по экспе-!
риментальным данным. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и]
океана, 6, № 1, 37—44.
Б рент (Brunt D.)
1926. Energy of the earth's atmosphere. Phil. Mag., Ser. 7, 1, No. 2;
523—532.
1934. Physical and dynamical meteorology. Cambridge Univ. Press
(pyccK. перевод: Д. Брент. Физическая и динамическая метеоролог
гия. Гидрометеоиздат, Л.-М., 1938).
Б роке (Brocks К.)
1959. Ein neues Gerat fur storungsfreie meteorologische Messungen auf
dem Meer. Archiv Meteorol. Geophys. Bioklimatol., All, Nr. 2J
227—239.
1963. Probleme der maritimen Grenzschicht der Atmosphere. Berichte
Deutsch. Wetterdienstes, 12, Nr. 91, 34—46.
Буажитти и Блэкедар (Buajitti К., Blackadar А. К.)
1957. Theoretical studies of diurnal wind-structure variations in the pli

Литература
253
netary boundary layer. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 83, No. 358,
486—500.
Бузингер (Businger J. A.)
1959. A generalization of the mixing-length concept. J. Meteorol., 16,
No. 5, 516—523.
1961. On the relation between the spectrum of turbulence and the diabatic
wind profile. J. Geophys. Res., 66, No. 8, 2405—2410.
Бузингер и Суоми (Businger J. A., Suomi V. E.)
1958. Variance spectra of the vertical wind component derived from
observation with sonic anemometer at O'Neil, Nebraska in 1953. Archiv
Meteorol. Geophys. Biocklimatol. A10, Nr. 4, 415—425.
Булеев H. И., Марчук Г. И.
1960. Влияние приземною трения на эволюцию метеорологических
элементов в свободной атмосфере. В сб. «Вопросы динамической
метеорологии».» Изд-во АН СССР, М., 55—66.
Буш (Busch N. Е.)
1965. A note on the similarity hypothesis for wind profile. Riso Report
No. 100, 1—26.
Буш и др. (Busch N. E., Frizzola J. A., Singer I. A.)
1968. The micrometeorology of the turbulent flow field in the atmospheric
surface boundary layer. Acta Polytech. Scandinav., Phys. including
Nucleon. Ser., No. 59, Copenhagen, 1—45.
Буш и Пановский (Busch N. E., Panofsky H. A.)
1968. Recent spectra of atmospheric turbulence. Quart. J. Roy. Meteorol.
Soc, 94, No. 400, 132—148.
Вызова H. Л.
1964. Схема Юдина — Швеца для пограничного слоя атмосферы с
применением методов подобия. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 8,
1273—1278.
Вызова Н. Л., Иванов В. Н., Морозов С. А.
1967. Турбулентные характеристики скорости ветра и температуры в
пограничном слое атмосферы. В сб. «Атмосферная турбулентность и
распространение радиоволн» (Труды международного коллоквиума,
Москва 15—22 июня 1965 г.). Изд-во «Наука», М., 76—92.
Вызова Н. Л., Машкова Г. Б.
1965а. Оценка зависимости геострофического коэффициента трения от
стратификации по наблюдениям в нижнем слое атмосферы. Изв.
АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № И, 1209—1211.
19656. Профили скорости ветра в пограничном слое атмосферы. В сб.
«Пограничный слой атмосферы» (Труды ИПГ, вып. 2), 35—43.
1966. Безразмерные характеристики профиля скорости ветра по
измерениям в нижнем 300-метровом слое атмосферы. Изв. АН СССР,
Физика атмосферы и океана, 2, № 7, 681—687.
Бэйквел и Ламли (Bakewell Н. P., Jr., Lumley J. L.)
1967. Viscous sublayer and adjacent wall region in turbulent pipe flow.
Phys. Fluids, 10, No. 9, 1880—1889.
Бэрри и Манн (Barry P. J., Munn R. E.)
1967. Use* of radioactive tracers in studying mass transfer in the armo
spheric boundary layer. In: Boundary layers and turbulence (Phys.
Fluids Supplement), 263—266.
Бэтчелор (Batchelor G. K.)
1950. The application of the similarity theory of turbulence to atmospheric
diffusion. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 76, No. 328, 133—146.
Вагер Б. Г.
19o6. Об учете диффузии турбулентной энергии в полуэмпирической
модели приземного слоя атмосферы. Изв. АН СССР, Физика
атмосферы и океана, 2, № 9, 920—927.

254
Литература
1968. Теоретические модели нестационарного пограничного слоя в
атмосфере и океане. Автореферат диссертации. Ин-т океанологии АН
СССР, ГТО, М.-Л.
Вагер Б. Г., Зилитинкевич С. С.
1968. Теоретическая модель суточных колебаний метеорологических
полей. Метеорология и гидрология, № 7, 3—18.
Вагер Б. Г., К а г а н Б. А.
1969. Динамика турбулентного пограничного слоя в приливном потоке.
Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 5, № 2, 168—179.
В а й н з (Vines R. G.)
1959. Wind stress on a water surface: measurements at low wind speeds
with the aid of surface films. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 85,
No. 364, 159—162.
Ван дер Ховен (Van der Hoven J.)
1957. Power spectrum of horizontal wind speed in the frequency range
from 0.0007 to 900 cycles per hour. J. Meteorol., 14, No. 2, 160—164.
Ван Дорн (Van Dorn W. G.)
1953. Wind stress on an artificial pond. J. Marine Res., 12, No. 3, 249—
276.
Ван Мигем к Д ю ф у р (Van Mieghem J., Dufour L.)
1948. Thermodynamique de Tatmosphere. Office Internat. Librairie, Bru-
xelles.
Вебстер (Webster C. A. G.)
1964. Turbulence in a density-stratified shear flow. J. Fluid Mech., 19,
No. 2, 221—245.
Вейлер и Берлинг (Weiler H. S., Burling R. W.)
1967. Direct measurements of stress and spectra of turbulence in the
boundary layer over the sea. J. Atmosph. Sci., 24, No. 6, 653—664.
Виноградова О. П.
1959. Тангенциальное напряжение ветра над взволнованной морской
поверхностью. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № И, 1646—1655.
1960. Интенсивность турбулентного обмена и параметр шероховатости
морской поверхности. Труды Морского гидрофиз. ин-та АН СССР,
20, 44—50.
Волков Ю. А.
1968. Экспериментальное исследование характеристик турбулентности
в приводном слое атмосферы и морского ветрового волнения.
Автореферат диссертации. ИФА АН СССР, М.
Волковицкая 3. И., Машкова Г. Б.
1963. О профилях ветра и характеристик турбулентного режима в
нижнем 300-метровом слое атмосферы. В сб. «Исследование нижнего
300-метрового слоя атмосферы». Изд-во АН СССР, М., 14—25.
Воробьев В. И.
1969. О влиянии нестационарности и бароклинности на турбулентный
режим пограничного слоя атмосферы. Изв. АН СССР, Физика
атмосферы и океана, 5, № 1, 111—116.
Воробьева А. Г., КурбаткинГ. П., ЛайхтманД. Л.
1968. Влияние горизонтально-неоднородного пограничного слоя на
динамику процессов большого масштаба. Изв. АН СССР, Физика
атмосферы и океана, 4, № 2, 125—140.
Воронцов П. А.
1960. Аэрологические исследования пограничного слоя атмосферы. Гид-
рометеоиздат, Л., 63—71.
1966. Турбулентность и вертикальные токи в пограничном слое
атмосферы. Гидрометеоиздат, Л.
1968. Некоторые особенности строения пограничного слоя атмосферы
при неравновесных условиях. Труды ГГО, вып. 207, 155—163.
Гайгеров С. С., Кастров В. Г.

Литература
255
1957. Опыт измерения вертикального турбулентного потока тепла
в нижней части тропосферы. Труды ЦАО, вып. 23, 16—51.
Гандин Л. С.
1950. Проблема ветровых нагрузок на строительные сооружения как
задача прикладной метеорологии. Труды ГГО, вып. 23 (85), 3—14.
Гандин и др. (Гандин Л. С, Лайхтман Д. Л., Матвеев Л. Т., Юдин М. И.)
1955. Основы динамической метеорологии. Гидрометеоиздат, Л.
Га р рис (Harris D. L.)
1966. The wave-driven wind. J. Atmosph. Sci., 23, No. 6, 688—693.
Гарстанг (Garstang M.)
1965. Distribution and mechanism of energy exchange between the
tropical oceans and atmosphere. Dept. Meteorol. Florida State Univ.
Rep. to U. S. Army Electronics Research and Development Lab.
Grant No. DA-AMC-28-043-64-G5.
Г e й з e н б e p г (Heisenberg W.)
1948. Zum statistischen Theorie der Turbulenz. Zs. Phys., 124, Nr. 7—12,
628—657.
Герман M. A.
1963. О турбулентном обмене в облаках. Метеорология и гидрология,
№ 10, 15—21.
Герхардт (Gerhardt J. R.)
1962. An example of a nocturnal low-level jet stream. J. Atmosph. Sci.,
19, No. 1, 116—118.
Гессельберг (Hesselberg Th.)
1914. Die Reibung in der Atmosphere. Meteorol. Zs., 31, Nr. 5, 220—232.
1929. Eine neuer Ausdruck fur den Austauschkoeffizienten. Annal. Hydro-
graph. Maritimen Meteorol., 57, Nr. 10, 319—326.
Ги и Дэвис (Gee J. H., Davies D. R.)
1963. A note on horizontal dispersion from an instantaneous ground
source. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 89, No. 382, 542—545.
1964. A further note on horizontal dispersion from an instantaneous
ground source. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 90, No. 386, 478—480.
Гил л (Gill A. E.)
1967. The turbulent Ekman layer. Dept. Appl. Mathem. Theoret. Phys.,
Univ. Cambridge.
Г и ф ф о р д (Gifford F.)
1957а. Relative atmospheric diffusion of smoke puffs. J. Meteorol., 14, No.
5, 410—414.
19576. Further data on relative atmospheric diffusion. J. Meteorol., 14,
No. 5, 475—476.
Гнеденко Б. В.
1961. Курс теории вероятностей. Физматгиз, М.
Годев Н., Йорданов Д.
1967. О модельном изучении изменения ветра с высотой в планетарном
пограничном слое. Докл. Болгар. Акад. наук, 20, № 9, 911—913.
Г о д у н о в С. К., Р я б е н ь к и й В. С.
1962. Введение в теорию разностных схем. Физматгиз, М.
Голицын Г. С.
1964. О временном спектре микропульсаций атмосферного давления.
Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 8, 1253—1258.
1969. Оценка параметров пограничных слоев в атмосферах планет
земной группы. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 5,
Ко 8, 775—781.
Гоптарев Н. П.
1957. Некоторые результаты градиентных исследований в районе
Нефтяных Камней. Труды ГОИН, вып. 36, 128—202.
Горелик А. Г., МельничукЮ. В., Черников А. А.
1963. Связь статистических характеристик радиолокационного сигнала

256
Литература
с динамическими процессами и микроструктурой метеообъекта.
Труды ЦАО, вып. 48, 3—55.
Г о с с а р (Gossard Е. Е.)
1960. Spectra of atmospheric scalars. J. Geophys. Res. 65, No. 10, 3339—
3351.
Грин (Green A. W., Jr.)
1968. An experimental study of the interactions between non-steady Ekman
layers and an annular vortex. Doct. Dissertation, Dept. Meteorol.,
Mass. Inst. Technol.
Г p и н x а у (Greenhow J. S.)
1959. Eddy diffusion and its effect on meteor trails. J. Geophys. Res. 64,
No. 12, 2208—2209.
Гурвич A. C.
1959. Акустический микроанемометр для исследования микроструктуры
турбулентности. Акустич. журнал, 5, № 3, 368—369.
1960. Экспериментальное исследование частотных спектров и функций
распределения вероятностей вертикальной компоненты скорости
ветра. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 7, 1042—1055.
1961а. О спектральном составе турбулентного потока количества
движения. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 10, 1578—1579.
19616. О турбулентном потоке количества движения при неустойчивой
стратификации приземного слоя атмосферы. Изв. АН СССР, сер.
геофиз., № 11, 1706—1707.
1962а. Турбулентный поток количества движения при неустойчивой
стратификации и условиях близких к безразличному равновесию. В сб.
«Атмосферная турбулентность» (Труды ИФА АН СССР, № 4),
81—100.
19626. Спектры пульсаций вертикальной компоненты скорости ветра и их
связь с микрометеорологическими условиями. В сб. «Атмосферная
турбулентность» (Труды ИФА АН СССР, № 4), 101—136.
1965а. Вертикальные профили скорости ветра и температуры в
приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и
океана, 1, № 1, 55—65.
19656. О спектрах вертикальных турбулентных потоков в приземном слое
атмосферы. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана. 1,
№ 7, 764—766.
Гурвич А. С, К о п р о в Б. М., Ц в а н г Л. Р., Я г л о м А. М.
1967. Эмпирические данные о мелкомасштабной структуре атмосферной
турбулентности. В сб. «Атмосферная турбулентность и
распространение радиоволн» (Труды международного коллоквиума, Москва
15—22 июня 1965 г.). Изд-во «Наука», М., 30—52.
Гурвич А. С, Цванг Л. Р.
1960. О спектральном составе турбулентного потока тепла. Изв. АН
СССР, сер. геофиз., № 10, 1547—1548.
Гутман Л. Н.
1953. О расчете температуры приземного слоя воздуха. Изв. АН СССР,
сер. геофиз., № 5, 451—459.
1954. К вопросу о расчете температуры почвы. Изв. АН СССР, сер.
геофиз., № 2, 114—122.
1956. К теории расчета температуры почвы. Труды Геофиз. ин-та АН
СССР, № 37 (164), 3—49.
Давыдов Б. И.
1959. К статистической динамике несжимаемой турбулентной жидкости.
ДАН СССР, 127, № 4, 768-771.
Д а й е р (Dyer A. J.)
1965. The flux-gradient relation for turbulent heat transfer in the lower
atmosphere. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 91, No. 388, 151—157;
1968: Discussion, 94, No. 399, 104—107.

Литература
257
1967. The turbulent transport of heat and water vapour in an unstable
atmosphere. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 93, No. 398, 501—508.
Девятова В. A.
1957. Микроаэрологические исследования нижнего километрового слоя
атмосферы. Гидрометеоиздат, Л.
Дейслер (Deissler R. G.)
1959. Convective heat transfer and friction in flow of liquids. In:
Turbulent flow and heat transfer (ed. by С. С. Lin). Princeton Univ.
Press, 288—338 (русск. перевод в книге «Турбулентные течения и
теплопередача». ИЛ, М., 1963, 297—353).
Д ж а с т а с (Justus С. G.)
1966. Energy balance of turbulence in the upper atmosphere. J. Geophys.
Res., 71, No. 15, 3767—3773.
Джен и Герхардт (Jehn К. H., Gerhardt J. R.)
1950. A preliminary study of the eddy transfer of heat near the earth's
surface. J. Meteorol., 7, No. 5, 343—346.
Джен и Дьюри (Jehn К. H., Durie S. J.)
1963. Boundary-layer wind maxima and associated temperature
distribution as observed on the 1400-foot television tower near Dallas,
Texas. Electr. Engng. Res. Lab., Univ. Texas, Austin.
Д ж e ф p и с (Jeffreys H.)
1919. On the relation between wind and distribution of pressure. Proc.
• Roy. Soc. London, A96, No. 676, 233—249.
1925a. On the formation of water waves by wind. Proc. Roy. Soc. London,
A107, No. 742, 189—206.
19256. On the formation of water waves by wind. II. Proc. Roy. Soc.
London, A110, No. 754, 241—247.
Джин By (Jin Wu)
1968. Laboratory studies of wind-wave interactions. J. Fluid. Mech., 34,
No. 1, 91—111.
Джонсон и Райе (Johnson J. W., Rice E. K.)
1952. A Laboratory investigation of wind-generated waves. Trans. Amer.
Geophys. Union, 33, No. 6, 845—854.
Дикон (Deacon E. L.)
1949. Vertical diffusion in the lowest layers of the atmosphere. Quart. J.
Roy. Meteorol. Soc, 75, No. 323, 89—103.
1955a. The turbulent transfer of momentum in the lowest layers of the
atmosphere. C. S. I. R. O., Div. Meteorol. Phys., Tech. Pap., No. 4.
19556. Gust variation with height up to 150 m. Quart. J. Roy. Meteorol.
Soc, 81, No. 350, 562—573.
1959. The measurement of turbulent transfer in the lower atmosphere. Adv.
Geophys., 6 (Atmospheric diffusion and air pollution), 211—228
(русск. перевод в сб. «Атмосферная диффузия и загрязнение
воздуха». ИЛ, М., 1962, 236—255).
1962. Aerodynamic roughness of the sea. J. Geophys. Res., 67, No. 8,
3167—3172.
Дикон и др. (Deacon E. L., Sheppard P. A., Webb E. K.)
1956. Wind profiles over the sea and the drag at the sea surface. Austral.
J. Phys., 9, No. 4, 511—541.
Дикон иУэбб (Deacon E. L, Webb E. K.)
1962. Interaction of properties between the sea and air. Small-scale
interactions. In: The sea. Vol. 1 — Physical oceanography (ed. by
M. G. Hill). Interscience Publ., New York —London, 43—87
(русск. перевод в кн. «Море». Гидрометеоиздат, Л., 1965, 5—57).
Д и п р и (Dipprey D. F.)
1961. An experimental investigation of heat and momentum transfer in
smooth and rough tubes at various Prandtl number. Ph. D. Thesis.
Calif. Inst. Thechnol.
4$ С С Зилитинкевич

258
Литература
Дипри иСаберский (Dipprey D. F., Sabersky R. Н.)
1963. Heat and momentum transfer in smooth and rough tubes at various
Prandtl number. Internat. J. Heat Mass Transfer, 6, No. 5, 329—353.
Д и p д о p ф (Deardorff J. W.)
1962. An experimental ocean buoy for air-sea transfer studies. Washington
Univ. Oceanogr. Rep. No. 13.
1966. The counter-gradient heat flux in the lower atmosphere and in the
laboratory. J. Atmosph. Sci., 23, No. 5, 503—506.
1968. Dependence of air-sea transfer coefficients on bulk stability. J. Geo-
phys. Res., 73, No. 8, 2549—2557.
Дирдорф и Уиллис (Deardorff J. W., Willis G. E.)
1967. The free-convection temperature profile. Quart. J. Roy. Meteorol.
Soc, 93, No. 396, 166—175.
Добрышман E. M., Белоусов С. Л.
1953. О двухслойной задаче теплопроводности воздух — почва. ДАН
СССР, 93, No 6, 1011—1014.
Д о б с о н (Dobson С. М. В.)
1914. Pilot balloon ascents at the Central Flying School, Upavon, during
the year 1913. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 40, No. 170, 123—135.
Долгушин И. П., Новиков Д. В.
1963. Результаты наблюдений над направлением и скоростью ветра на
высоте 100 м с использованием телевизионной мачты в г.
Горьком. Труды Всесоюзного научного метеорологического совещания
(ВНМС). Том 7. Гидрометеоиздат, Л., 161—169.
Дородницын А. А.
1941. К теории суточного хода температуры в слое перемешивания. ДАН
СССР, 30, № 5, 410—413.
Дубов А. С.
1959. Определение коэффициента турбулентного обмена по ускорению
самолета. Труды ГГО, вып. 98, 54—67.
1968. Variations of wind, temperature and turbulence in lowest 1 km. WMO
Commission Aeronaut. Meteorol., Sci. Tech. Conf., London.
Дубов А. С, Герман M. A.
1965. О спектральной плотности вертикальных порывов ветра в облаках.
Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 7, 670—676.
Душкин П. К., Ломоносов Е. Г.
1963. Об уточнении решения задачи суточного прогноза барического
поля в бароклинной атмосфере. Труды ВНМС. Том 2.
Гидрометеоиздат, Л., 21—26.
Дэвенпорт (Davenport A. G.)
1961. The spectrum of horizontal gustiness near the ground in high winds
Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 87, No. 372, 194—211.
Дэлримпл, Леттау и Воластон (Dalrymple P. S., Lettau H. H.,Wol-
laston S. H.) t
1963. South Pole Micrometeorology Programm. Inst. Polar Studies, Ohio
State Univ., Columbs, Ohio.
Дюбюк А. Ф.
1947. К вычислению вертикальных скоростей по полю давления. Труды
НИУ ГУГМС, сер. 2, № 24, 28-51.
Елагина Л. Г.
1962. Оптический прибор для измерения турбулентных пульсаций
влажности. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 8, 1100—1107.
Ефимов В. В.
1964. Некоторые результаты экспериментального исследования передачи
энергии ветра морским волнам. Океанология, 4, № 6, 968—977.
1966а. Результаты инструментального определения передачи энергии
ветра волнам. В сб. «Взаимодействие атмосферы и океана». Изд-во
«Наукова думка», Киев, 89—101.

Литература
259
19666. Исследование поля скоростей ветра в приводном слое. В сб.
«Исследования в юго-западной части Норвежского моря и
северо-восточной части Атлантического океана». Изд-во «Наукова думка>,
Киев, 58—64.
1966в. Экспериментальное исследование передачи энергии ветра морским
волнам. В «Сб. докл., подготовленных ко II Международному
океаногр. конгрессу». Изд-во «Наукова думка», Киев, 73—77.
Ефимов и др. (Ефимов В. В., Сизов А. А., Христофоров Г. Н.)
1967. Исследование мелкомасштабного взаимодействия атмосферы и
океана при помощи притопленной градиентной станции. В сб.
«Гидрофизические исследования Тихого и Атлантического океанов
в кругосветном плавании н. и. с. «Михаил Ломоносов». Изд.
Морского гидрофиз. ин-та АН УССР, Севастополь, 95—101.
1969. Притопленная градиентная станция для исследования структуры
пограничных слоев атмосферы и океана. В сб. «Исследования
-в области физики океана». Изд. Морского гидрофиз. ин-та АН
УССР, Севастополь, 67—78.
Е ф и м о в В. В., С и з о в А. А.
1969. Экспериментальное исследование поля скорости ветра над
волнами. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 5, № 9,
930—942.
Загустин и др. (Zagustin К., Hsu Е. Y., Street R. L.)
1968. Turbulent flow over moving boundary. J. Waterways Harbors Div.
(Proc. Amer. Soc. Civil Engrs.), 94, No. 4, 397—414.
Зилитинкевич С. С.
1963a. Строение приземного слоя атмосферы при нестационарных
условиях. Метеорология и гидрология, № 1, 31—37.
19636. Некоторые закономерности пространственно временного
распределения метеорологических элементов в приземном слое
нестационарного воздушного потока. Труды ГГО и УкрНИГМИ, вып. 144/40,
135—149.
1964. Вертикальный турбулентный обмен в приземном слое атмосферы.
Труды ГГО, вып. 150, 21—35.
1966а. Турбулентный обмен в нижних слоях атмосферы. В сб.
«Взаимодействие атмосферы и океана». Изд-во «Наукова думка», Киев,
102—113.
19666. К методике обработки результатов экспериментальных
исследований планетарного пограничного слоя атмосферы. В сб.
«Взаимодействие атмосферы и океана». Изд-во «Наукова думка», Киев,
188—192.
1966в. О влиянии стратификации влажности на гидростатическую
устойчивость. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 2, № 10,
1089—1094.
1967а. Mathematical modelling of the interaction between the amtosphere
and the ocean with regard to the processes in a viscous layer.
XlVth General Assembly IUGG, IAMAP-D, Lucerne.
19676. О динамическом и термическом взаимодействии между атмосферой
и океаном. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 3,
№ 10, 1069—1077.
1969а. On the computation of the basic parameters of the interaction
between the atmosphere and the ocean. Tellus, 21, No. 1, 17—24.
19696. О расчете глобальных явлений взаимодействия океанов и
атмосферы. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 5, № 11,
1143—1159.
Зилитинкевич С. С, Лайхтман Д. Л.
1964. Теплопроводность и влагообмен в турбулентной атмосфере при
наличии фазовых переходов влаги. ДАН СССР,156, № 5, 1079—1082

260 Литература
/ 1965а. О замыкании системы уравнений турбулентного движения для
пограничного слоя атмосферы. Труды ГГО, вып. 167, 44—48.
19656. Турбулентный перенос в многофазных средах. В сб. «Тепло- и
массоперенос». Том 2 —Тепло- и массоперенос при взаимодействии
тел с потоками жидкостей и газов. Изд-во «Наука и техника»,
Минск, 361—364.
1965в. Турбулентный режим в приземном слое атмосферы. Изв. ЛН
СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 2, 150—156.
1966. Турбулентный обмен в нижних слоях атмосферы. Докл. научн.
сессии Геофиз. ин-та Болгар. Акад. наук (12—16 октября 1964 г.),
София, 69—88.
Зилитинкевич С. С, Лайхтман Д. Л., Монин А. С.
1967. Динамика пограничного слоя атмосферы. Изв. АН СССР, Физика
атмосферы и океана, 3, № 3, 297—333.
Зилитинкевич С. С, Лайхтман Д. Л., Цейтин Г. X.
1966. Динамическая турбулентность в планетарном пограничном слое
атмосферы. В сб. «Взаимодействие атмосферы и океана». Изд-во
«Наукова думка», Киев, 154—163.
Зилитинкевич С. С, Остроумов Б. В.
1967. Об оценке ветровых нагрузок на высотные сооружения.
Метеорология и гидрология, № 6, 41—49.
Зилитинкевич С. С, Чаликов Д. В.
1968а. О вертикальной структуре планетарного пограничного слоя
атмосферы при неустойчивой стратификации. Метеорология и
гидрология, No 2, 11—26.
19686. Определение универсальных профилей скорости ветра и
температуры в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР, Физика
атмосферы и океана, 4, № 3, 294—302.
1968в. О законах сопротивления и обмена теплом и влагой при
взаимодействии атмосферы с подстилающей поверхностью. Изв. АН
СССР, Физика атмосферы и океана, 4, № 7, 765—772.
1968г. О расчете вертикальных турбулентных потоков в приземном слое
атмосферы по данным градиентных наблюдений. Изв. АН СССР,
Физика атмосферы и океана, 4, № 9, 915—929.
1968д. К расчету напряжения придонного трения в океане. В сб.
«Проблемы теории ветровых и термохалинных течений». Изд.
Морского гидрофиз. ин-та АН УССР, Севастополь, 110—113.
Зингер (Singer I. А.)
1960. A study of the wind profile in the lowest 400 feet of the atmosphere.
Nat. Lab. Rep., Brokhaven BNL 596 (T-170).
3 о б e л (Zobel R. F.)
1967. Temperature and humidity changes in the lowest few thousand feet
of atmosphere during a fine summer day in Southern England.
Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 92, No. 392, 196—209^
Зубковский С. Л.
1962. Частотные спектры пульсаций горизонтальной компоненты скорости
ветра в приземном слое воздуха. Изв. АН СССР, сер. геофиз..
№ 10, 1425—1433.
1963. Экспериментальные исследования спектров пульсаций вертикальной
компоненты скорости ветра в свободной атмосфере. Изв. АН
СССР, сер. геофиз., Кя 8, 1285—1288.
1967. Экспериментальное исследование характеристик турбулентности
в приземном и приводном слоях атмосферы. Автореферат
диссертации. ИФА АН СССР, М.
Зубковский С. Л., Кравченко Т. К.
1967. Прямые измерения некоторых характеристик турбулентности в
приводном слое. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана,
3, № 2, 127—135.

Литература 261
Зубковский С. Л., Тимановский Д. Ф.
1965. Экспериментальное исследование турбулентного режима в
приводном слое атмосферы. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и
океана, 1, № 10, 1005—1013.
Зубковский С. Л., Цванг Л. Р.
1966. О горизонтальном турбулентном потоке тепла. Изв. АН СССР,
Физика атмосферы и океана, 2, № 12, 1307—1310.
Иванов В. Н.
1962. Диссипация турбулентной энергии в атмосфере. Изв. АН СССР,
сер. геофиз., № 9, 1261—1267.
1963. О некоторых характеристиках турбулентности ветрового поля
в нижнем 300-метровом слое атмосферы. В сб. «Изучение
пограничного слоя атмосферы с 300-метровой метеорологической
башни». Изд-во АН СССР, М., 103—108.
1964а. Турбулентная энергия и ее диссипация в нижнем слое атмосферы.
Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 9, 1405—1413.
19646. Оценка характеристик турбулентного перемешивания в нижнем
слое атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 12, 1869—1877.
Иванов В. Н., Волковицкая 3. И.
1965. Некоторые характеристики структуры пограничного слоя
атмосферы. В сб. «Пограничный слой атмосферы» (Труды ИПГ, вып. 2),
5—34.
Иванов В. Н., Клинов Ф. Я-
1961. Некоторые характеристики турбулентного поля скоростей в
нижнем 300-метровом слое атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз.,
№ Ю, 1570—1577.
1963. О некоторых характеристиках ветрового поля в нижнем
300-метровом слое атмосферы. Труды ВНМС. Том 7. Гидрометеоиздат, Л.,
154—160.
Изаксон А.
1937. О формуле распределения скоростей вблизи стенки. ЖЭТФ, 7>
№ 7, 919—924.
Извеков Б. И.
1929. Zur Frage des taglichen Windganges. Meteorol. Zs., 46, Nr. 1, 1—7.
И о к о я м a (Yokoyama О.)
1962. On the thickness of smoke plume in diabatic surface layer. J.
Meteorol. Soc. Japan., Ser. II, 40, No. 2, 83—92.
Йорданов и Крыстанов (Йорданов Д., Кръстанов Л.)
1962а. Профиль ветра в приземном слое атмосферы при неустойчивом
равновесии. Докл. Болгар. Акад наук, 15, № 1, 21—24.
19626. Върху турбулентността в приземния въздушен слой. Изв. Геофиз.
ин-т Българ. Акад. наук., 3, 5—37.
Каган Б. А.
1968а. Гидродинамические модели приливных движений в море.
Гидрометеоиздат, Л.
19686. О реакции дрейфовых течений и турбулентности в верхнем слое
моря на изменение касательного напряжения ветра. Изв. АН
СССР, Физика атмосферы и океана, 4, № 9, 1004—1007.
Казанский А. Б.
1965. О критическом числе Ричардсона. Изв. АН СССР, Физика
атмосферы и океана, 1, № 8, 876—879.
Казанский А. Б., Монин А. С.
1956. Турбулентность в приземных инверсиях. Изв. АН СССР, сер.
геофиз., № 1, 79—86.
1957. О форме дымовых струй. Изв. АН СССР, сер. геофиз., N° 8, 1020—
1033.
1958. О турбулентном режиме в приземном слое воздуха при
неустойчивой стратификации. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 6, 741—751.
10 с. с. Зилитинкевич

262
Литература
1960. О турбулентном режиме выше приземного слоя воздуха. Изв. АН
СССР, сер. геофиз., № 1, 165—168.
1961. О динамическом взаимодействии между атмосферой и
поверхностью земли. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 5, 786—788.
1962. Определение турбулентных потоков количества движения, тепла и
влаги по данным градиентных наблюдений. Метеорология и
гидрология, № 12, 3—в.
Кай мел и Бузингер (Kaimal J. С, Businger J. А.)
1963. A continuous wave sonic anemometer-thermometer. J. Appl. Meteo-
rol., 2, No. 1, 156-164.
Каймел и Хауген (Kaimal J. С, Haugen D. A.)
1967. Characteristics of vertical velocity fluctuations observed on a 430m
tower. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 93, No. 397, 305—317.
Каменкович В. M.
1967. К вопросу о коэффициентах турбулентной диффузии и вязкости
при крупномасштабных движениях океана и атмосферы. Изв.
АН СССР, Физика атмосферы и океана, 3, № 12, 1326—1333.
К а н г (Kung Е. С.)
1961. Derivation of roughness parameters from wind profile data above
tall vegetation. Annual Rep., Contract DA-36-039-SC-80282, USAEPG,
Dept. Meteorol., Univ. Wisconsin, Fort Huachuca, Arisona.
1969. On kinetic energy dissipation in the atmosphere. Tech. Rep. Japan
Meteorol. Agency No. 67 (Proc. WMO/IUGG Symposium on
Numerical Weather Prediction in Tokyo, November 26 — December 4),
1.45—1.54.
К а о (Kao S.-K.)
1959. Turbulent transfer in the boundary layer of a stratified fluid. J.
Meteorol., 16, No. 5, 497—503.
Kao иСэндс (Kao S.-K., Sands E. E.)
1966. Energy spectrum, mean and eddy kinetic energies of the atmosphere
between surface and 50 kilometers. J. Geophys. Res. 71, No. 22,
5213—5220.
Карман (Karman Th. von)
1930. Mechanische Ahnlichkeit und Turbulenz. Nachr. Ges. Wiss. Gottin-
gen, Math.-Phys. Kb, 58—76.
Кашин К. H.
1939. Зависимость коэффициента турбулентности в пограничном слое от
высоты. Метеорология и гидрология, № 7—8, 36—53.
К е л е г а н (Keulegan G. Н.)
1951. Wind tides in small closed channels. J. Res. Nat. Bureau Standarts,
46, No. 5, 358—381.
Келлер Л. В., Фридман А. А.
1925. Differentialgleichungen fur die turbulente Bewegung eine/ kompres-
sibelen Flussigkeit. Proc. first Internat. Congress Appl. Mech.
(Delft, 1924). Waltman, Delft, 395—405.
К e л л о г (Kellog W. W.)
1956. Diffusion of smoke in the stratosphere. J. Meteorol., 13, No. 3, 241—
250.
1964. Pollution of the upper atmosphere by rockets. Space Sci. Rev., 3,
No. 2, 275—316.
Кестин и Ричардсон (Kestin J., Richardson P. D.)
1963. Heat transfer across turbulent, incompressible boundary layers.
Internat. J. Heat Mass Transfer, 6, No. 2, 147—189.
Кёлер (Kohler H.)
1933. Meteorologische Tu-rbulenzuntersuchungen. I. Kungl. Svenska Veten-
skapsakad. Handl., Tredje Ser., 13, No. 1, 1—54.
Кибель И. A.
1957. Введение в гидродинамические методы краткосрочного прогноза
погоды. Гостехиздат, М.

Литература
263
К и н с м а н (Kinsman В.)
1965. Wind waves: their generation and propagation on the ocean
surface. Englwood Cliffs, Prentice Hall, New Jersey.
Китайгородский С. A.
1966. Проблемы физической океанографии (по материалам II
Международного океанографического конгресса). Океанология, 6, № 6,
934—954.
1967. Мелкомасштабное взаимодействие океана и атмосферы (краткий
очерк советских исследований). Океанология, 7, № 5, 774—785.
1968а. Исследование процессов мелкомасштабного взаимодействия океана
и атмосферы (вопросы анализа наблюдений, теории и расчета).
Автореферат диссертации. Ин-т океанологии АН СССР, М.
19686. К вопросу о расчете параметра шероховатости морской
поверхности. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 4, № 8,
870-878.
1969. Мелкомасштабное взаимодействие атмосферы и океана. Изв. АН
СССР, Физика атмосферы и океана, 5, № 11, 1114—1131.
Китайгородский С. А., Волков Ю. А.
1965а. О параметре шероховатости морской поверхности и расчете
турбулентных потоков количества движения в приводном слое
атмосферы. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 9,
973—988.
19656. О расчете турбулентных потоков тепла и влаги в приводном слое
атмосферы. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1,
№ 12, 1317—1336.
1968. Некоторые вопросы физики приводного слоя атмосферы. В сб.
«Метеорологические исследования», № 16 Изд-во «Наука», М.,
301—330.
Кларк (Clarke R. Н.)
1966. The effect of thermal stratification on the surface drag coefficient,
referred to wind in the free atmosphere. Trans. Amer. Geophys.
Union, 47, No. 1, 102—103.
Клебанов (Klebanoff P. S.)
1954. Characteristics of turbulence in a boundary layer with zero pressure
gradient. Nat. Advis. Com. Aeronaut., Teh. Note, No. 3178.
К л юг (KlugW.)
1963. Zum vertikalen Windprofil. Beitr. Phys. Atmosph., 36, Nr. 3—4,
226—253.
1965. Disbatic influence on turbulent wind fluctuations. Quart. J. Roy.
Meteorol. Soc, 91, No. 388, 215—217.
1967. Determination of turbulent fluxes of heat and momentum from the
wind profile. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 93, No. 395, 101—104.
Ключникова Л. A.
1967. К вопросу о расчете коэффициента турбулентности в пограничном
слое атмосферы. Труды ГГО, вып. 205, 44—63.
Ключникова Л. А., Лайхтман Д. Л., Цейтин Г. X.
1965. К вопросу о расчете вертикального профиля ветра в пограничном
слое атмосферы. Труды ГГО, вып. 167, 3—28.
К о а н т и к (Coantic М.)
1969. Les interactions atmosphere — oceans. Les processus physiques et
les equations qui les gouvernent. Cahiers Oceanogr., 21, NN 1, 2, 3,
17 — 46, 105—143, 223—249.
Ко л дер (Calder К. L.)
1949. Eddy diffusion and evaporation in flow over aerodynamically smooth
and rough surfaces: a treatment based on laboratory laws of
turbulent flow with special reference to conditions in the lower
atmosphere. Quart. J. Mech. Appl. Math., 2, No. 2, 153—176.

264
Литература
1965. The equation of atmospheric diffusion. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc,
91, No. 390, 514—517.
1966. Concerning the similarity theory of A. S. Monin and A. M. Obukhov
for the turbulent structure of the thermally stratified surface layer
of the atmosphere. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 92, No. 391, 141—
146; 1968: Discussion, 94, No. 399, 108—113.
Колесников А. Г.
1947. Вычисление суточного хода температуры поверхности моря ДАН
СССР, 57, № 2, 149—152.
1954. Вычисление суточного хода температуры моря по тепловому
балансу на его поверхности. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 2,
190—194.
1960. Вертикальный турбулентный обмен в
устойчиво-стратифицированном море. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 11, 1614—1623.
Колесников и др. (Колесников А. Г., Исаев И. Л., Исаева Л. С, Нау-
менко М. Ф., Чиграков К- И., Шутов А. П.)
1966а. Исследование пространственной макроструктуры температурного
поля поверхности океана. В «Сб. докл., подготовленных ко II
Международному океаногр. конгрессу>. Изд-во «Наукова думка», Киев,
91-96.
Колесников и др. (Колесников А. Г., Парамонов А. Н., Иванов А. Ф.,
Забурдаев В. И.)
19666. Судовой автоматический комплекс для измерения основных
гидрофизических элементов в океане. В «Сб. докл., подготовленных
ко II Международному океаногр. конгрессу». Изд-во «Наукова
^ уС думка», Киев, 126—131.
Ко л е с, ji и к о в А. Г., Ефимов В. В.
1964. Аппаратура для измерения энергии, передаваемой нормальным
давлением ветра морским волнам. Океанология, 4, № 3, 505—512.
Колесников А. Г., Кононкова Г. Е.
1961. Инструментальное определение энергии, передаваемой нормальным
давлением ветра поверхности морских волн. Изв. АН СССР,
сер. геофиз., № 10, 1551—1559.
Колесников А. Г., Пивоваров А. А.
1955. Вычисление суточного хода температуры моря по суммарной
радиации и температуре воздуха. ДАН СССР, 102, № 2, 261—264.
1958. О соотношении между коэффициентами турбулентности и
теплообмена в приводном слое атмосферы. Труды Морского гидрофиз.
ин-та АН СССР, 13, 65—72.
Колесникова В. Н., Монин А. С.
1965. О спектрах колебаний метеорологических полей. Изв. АН СССР,
Физика атмосферы и океана, 1, № 7, 653—669.
1968. О спектрах микрометеорологических, синоптических и
климатических колебаний метеорологических полей. В сб.
«Метеорологические исследования», № 16. Изд-во «Наука», М., 30—56.
Колмогоров А. Н.
1941. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости
при очень больших числах Рейнольдса. ДАН СССР, 30, № 4,
299—303.
1942. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости. Изв.
АН СССР, сер. физ., 6, № 1—2, 56—58.
1947. Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром.
Юбилейный сб. АН СССР. Том I. Изд-во АН СССР, М.—Л.,242—252.
1950. К вопросу об определении коэффициента температуропроводности
почвы. Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 14, № 2, 97—98.
Кононкова и др. (Кононкова Г. Е., Никитина Е. А., Поборчая Л. В.,
Сперанская А. А.).
1969. Лабораторное исследование статистических характеристик началь-

Литература
265
ной стадии развивающегося волнения. Изв. АН. СССР, Физика
атмосферы и океана, 5, № 5, 504—512.
Константинов А. Р.
1949. Исследование турбулентной структуры ветра в приземном слое
атмосферы. Труды ГГО, вып. 16 (78), 10—24.
1952. Расчет испарения с сельскохозяйственных полей с учетом влияния
лесных полос. Труды ГГИ, вып. 34 (88), 15—65.
1963а. Испарение в природе. Гидрометеоиздат, Л.
19636. Вертикальные профили метеорологических элементов в
приземном слое атмосферы и понятие о слое вытеснения. Труды
УкрНИГМИ, вып. 36, 3—13.
Копров Б. М.
1965. Спектры турбулентных пульсаций вертикальной компоненты
скорости ветра в пограничном слое атмосферы в условиях развитой
конвекции. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1,
№ 11, 1151—1159.
1966. Экспериментальное исследование характеристик турбулентности
в пограничном слое атмосферы. Автореферат диссертации, ИФА
АН СССР, М.
Копров Б. М., Цванг Л. Р.
1965. Прямые измерения турбулентного потока тепла с борта самолета.
Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 6, 643—648.
1966. Характеристики мелкомасштабной турбулентности в
стратифицированном пограничном слое. Изв. АН СССР, Физика
атмосферы и океана, 2, № 11, 1142—1150.
К о р с и н (Corrsin S.)
1951. On the spectrum of isotropic temperature fluctuations in an isotropic
turbulence. J. Appl. Phys., 22, No. 4, 469—473.
1963. Estimates of the relations between Eulerian and Lagrangian scales
in large Reynolds number turbulence. J. Atmosph. Sci., 20, No. 2,
115—119.
Крамер (Cramer H. E.)
1959. Measurements of turbulent structure near the ground within the
frequency range from 0.5 to 0.01 cycles sec"1. Adv. Geophys., 6
(Atmospheric diffusion and air pollution), 75—96 (русск. перевод в сб.
«Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха». ИЛ, М., 1962,
95—119).
1960. Use of power spectra and scales of turbulence in estimating wind
loads. Meteorol. Monogr., 4, No. 22, 12—18.
1967. Turbulent transfer processes for quasi-homogeneous flows within
the atmospheric surface layer. In: Boundary layers and turbulence
(Phys. Fluids Supplement), 240—246.
Kp aye (Kraus E. B.)
1966. The aerodynamic roughness of the sea surface. J. Atmosph. Sci., 23,
No. 4, 443—445.
1967a. Sea-air interaction. Trans. Amer. Geophys. Union, 48, No. 2, 581—
584.
19676. Wind stress along the sea surface. Adv. Geophys., 12, 213—255.
1967b. What we do not know about the sea-surface wind stress? Inst.
Atmosph. Sci., Univ. Miami, Publication No. 1.
Краус и Mop и сон (Kraus E. В., Morrison R. E.)
1966. Local interaction between the sea and the air at monthly and annual
time scales. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 92, No. 391, 114—127.
Крауфорд (Crawford T. V.)
1965. Moisture transfer in free and forced convection. Quart. J. Roy.
Meteorol. Soc, 91, No. 387, 18—27; 1966. Discussion: 92, No. 394,
570—574.

266 Литература
Кречмер С. И.
1952. Исследования микропульсаций температурного поля в атмосфере.
ДАН СССР, 84, № 1, 55-58.
1954. Методика измерений микропульсаций скорости ветра и
температуры в атмосфере. Труды Геофиз. ин-та АН СССР, № 24 (151),
43—111.
Кришна (Krishna К.)
1968. A numerical study of the diurnal variation of meteorological
parameters in the planetary boundary layer. I — Diurnal variation of
winds. Mon. Wea. Rev., 96, No. 5, 269—276.
Крэйг (Craig R. A.)
1949. Vertical eddy transfer of heat and water vapour in stable air. J. Me-
teorol., 6, No. 2, 122—133.
Кузнецов О. A.
1963. К вопросу об аэродинамической шероховатости поверхности моря.
Труды Ин-та океанологии АН СССР, 72, 114—138.
1965. Формирование профиля ветра в приземном слое воздуха над
поверхностью моря. Труды Ин-та океанологии АН СССР, 78,
179-191.
Куниши (Kunishi Н.)
1963. An experimental study of the generation and growth of wind waves.
Disaster Prev. Res. Inst., Kyoto Univ., Bull. No. 61, 1—41.
Куросаки (Kurosaki A.)
1969. Numerical calculation of the structure of Ekman boundayr layer.
Tech. Rep. Japan Meteorol. Agency No. 67 (Proc. WMO/IUGG
Symposium on Numerical Weather Prediction in Tokyo, November
26 —December 4, 1968), 2.23—2.30.
Курпакова Т. А., Орленко Л. P.
1967. О закономерностях распределения температуры и ветра в
пограничном слое. Труды ГГО, вып. 205, 13—24.
Куцбах (Kutzbach J. Е.)
1961. Investigation of the modifications of wind profiles by artifically
controlled surface roughness. Annual Rep., Contract DA-36-039-SC-
80282, USAEPG, Dept. Meteorol., Univ. Wisconsin, Fort Huachuca,
Arizona.
Лайхтман Д. Л.
1944. Профиль ветра и обмен в приземном слое атмосферы. Изв.
АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 8, № 1, 1—5.
19-17. О профиле ветра в приземном слое атмосферы при стационарных
условиях. Труды НИУ ГУГМС, сер. I, № 39, 58—76.
1950. Предвычисление суточного хода влажности в приземном олое
атмосферы. Труды ЛГМИ, вып. 2, 42—54.
1959. Boundary layer turbulence and external parameters. Adv. Geophys.,
6 (Atmospheric diffusion and air pollution), 65—70 (русск.
перевод в сб. «Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха». ИЛ, М.,
1962, 85—90).
1960. Постановка задачи о стационарном строении пограничного слоя
атмосферы. Труды ГГО, вып. 94, 3—7.
1961. Физика пограничного слоя атмосферы. Гидрометеоиздат, Л.
1966а. Einfluss der makrometeorologischen Bedingungen und ortlicher Be-
sonderheiten auf die Structur der unteren Schichten der Atmosphere.
Meteorologie (Ergebn. Konf. Liblice, 13—16 Oktober 1964), Tsche-
choslowak. Akad. Wiss., 112—119.
19666. Динамика пограничных слоев атмосферы и океана с учетом
взаимодействия и нелинейных эффектов. Изв. АН СССР, Физика
атмосферы и океана, 2, № 10, 1017—1025.
1967. О влиянии планетарного пограничного слоя на процессы большого
масштаба. В сб. «Динамика крупномасштабных атмосферных про-

Литература
267
цессов» (Труды международного симпозиума, Москва 23—30 июня
1965 г.). Изд-во «Наука», М., 230—233.
Лайхтман Д. Л., Ути на 3. М.
1961. Влияние макрометеорологических условий на строение
пограничного слоя в атмосфере. Труды Г ГО, вып. 107, 14—20.
Лайхтман Д. Л., Чудновский А. Ф.
1949. Физика приземного слоя атмосферы. Гостехиздат, Л. — М.,
127—134.
Ламли и Пановский (Lumley J. L., Panofsky H. A.)
1964. The structure of atmospheric turbulence. Interscience Publ., New
York — London — Sydney (русск. перевод: Дж. Л. Ламли,
Г. А. Пановский. Структура атмосферной турбулентности. Изд-во
«Мир», М., 1966).
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.
1953. Механика сплошных сред. Гостехиздат, М.
Ланцет (Lancet R. Т.)
1959. The effect of surface roughness on the convection heat-transfer
coefficient for fully developed turbulent flow in ducts with uniform heat
flux. Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs., C81, No. 2, 168—173.
Л а у ф e p (Laufer J.)
1954. The structure of turbulence in fully developed pipe flow. Nat. Advis.
Com. Aeronaut., Tech. Rep., No. 1174.
Левич В. Г.
1959. Физико-химическая гидродинамика. Физматгиз, М.
Лейбензон Л. С.
1943. К вопросу распределения ветра по высоте. Изв. АН СССР, сер.
геогр. и геофиз., 7, № 1, 42—52; см. также Собрание трудов. Том 4,
Изд-во АН СССР, М., 1955, 379—389.
Л е т т а у (Lettau Н. Н.)
1939. Atmospharische Turbulenz. Akad. Verlag, Leipzig.
1950. A re-examination of the «Leipzig wind profile» considering some
relations between wind and turbulence in the friction layer.
2, No. 2, 125—129.
1952. On eddy diffusion in shear zones. Geophys. Res. Pap., No. 19, 437—
445.
1957. Windprofil, Innere Reibung und Energieumsatz in der unteren 500m
iiber dem Meer. Beitr. Phys. Atmosph., 30, Nr. 1, 78—96.
1959. Wind profile, surface stress and geostrophic drag coefficient in the
atmospheric surface layer. Adv. Geophys., 6 (Atmospheric diffusion
and air pollution), 241—257 (русск. перевод в сб. «Атмосферная
диффузия и загрязнение воздуха». ИЛ. М., 1962, 268—287).
1962. Theoretical wind spirals in the boundary layer of a barotropic
atmosphere. Beitr. Phys. Atmosph., 35, Nr. 3—4, 195—212.
1967. Problems of micrometeorological measurements. In: The collection
and processing of field data — A C. S. I. R. O. Symposium.
Interscience Publ., New York — London — Sydney, 3—40.
Леттау и Дэвидсон (Lettau H., Davidson В.)
1957. Exploring the atmosphere's first mile. Vols. 1—2. Pergamon Press,
London — New York — Paris.
Леттау и Хобер (Lettau H. H., Hoeber Н.)
1964. Ober die Bestimmung der Hohenverteilung von Schubspannung und
Austauschkoeffizient in der atmospharischen Reibungsschicht. Beitr.
Phys. Atmosph., 37, Nr. 2, 105—118.
Леттауи Швердтфегер (Lattau H. H., Schwerdtfeger W.)
1933. Vertikalaustausch in unmittelbarer Berechnung. Meteorol. Zs., 50,
Nr. 2, 47—51.
1934. Untersuchungen uber atmospharische Turbulenz und
Vertikalaustausch vom Freiballon aus. Meteorol. Zs., 51, Nr. 7, 249—257.

268
Литература
1936. Untersuchungen uber atmospharische Turbulenz und Vertikalaus-
tausch vom Freiballon aus. Meteorol. Zs., 53, Nr. 2, 44—53.
Лилиеквист (Liljequist G. H.)
1957. Energy exchange of an Antarctic snow-field. Norwegian-British-
Sweden Antarctic expedition 1949—1952. Norsk Polarinstitut,
Scientific Results. Vol. 2, Oslo.
Лиллелехт и Ханратти (Lilleleht L. U., Hanratty T. J.)
1961. Relation of interfacial shear stress to the wave height for
concurrent air-water flow. Amer. Inst. Chem. Engrs. J., No. 4, 548—550.
Л и н н и к Ю. В.
1962. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки
наблюдений. Физматгиз., М., 158—160.
Л о и ц я н с к и й Л. Г.
1933. Турбулентное движение жидкости и внутренняя задача. Изв. НИИ
гидротехники, 9, 1—-30.
1935. О некоторых приложениях метода подобия в теории
турбулентности. ПММ, 2, № 2, 180—206.
1941. Аэродинамика пограничного слоя. Гостехиздат, Л. — М.
1962. Полуэмпирические теории взаимодействия процессов молекулярного
и молярного обмена в турбулентном движении жидкости. Труды
Всесоюзн. съезда теорет. прикл. мех. (1960 г.).'Изд-во АН СССР,
145—166.
Лоренц (Lorenz Е. N.)
1967. The nature and theory of the general circulation of the atmosphere.
WMO.
Л э й п и др. (Lappe U. О., Kirvan A. D., Jr., Adelfang S. I.)
1967. Some aspects of boundary layer turbulence over land and ocean. In:
Boundary layers and turbulence (Phys. Fluids Supplement), 206—
208.
Л я п и н Е. С.
1948. О турбулентном перемешивании воздуха в атмосфере.
Метеорология и гидрология, № 5, 13—23.
Майлз (Miles J. W.)
1957. On the generation of surface waves by shear flows. J. Fluid Mech..
3, No. 2, 185—204.
1960. On the generation of surface waves by turbulent shear flows.
J. Fluid Mech., 7, No. 3, 469—478.
1965. A note on interaction between surface waves and wind profiles.
J. Fluid Mech, 22, No. 4, 823—827.
Мак-Вей л (McVehil G. E.)
1964. Wind and temperature profiles near the ground in stable
stratification. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 90, No. 384, 136—146. i
Мак-Грэтен (McGrattan G. J.)
1967. A suggested test of a theory of atmospheric turbulence. Planet.
Space Sci., 15, No. 4, 811—812.
Мак-Илрой (Mcllroy I. C.)
1955. The atmospheric fine structure recorder. C. S. I. R. O, Div. Meteorol.
Phys., Tech. Pap., No. 3.
Мак-Криди (McCready P. B.)
1953a. Atmospheric turbulence measurements and analysis. J. Meteorol.,
10, No. 5, 325—337.
19536. Structure of atmospheric turbulence. J. Meteorol., 10, No. 6, 434—
449.
Ma л кус (Malkus W. V. R.)
1954a. Discrete transitions in turbulent convection. Proc. Roy. Soc. London,
A225, No. 1161, 185—195.
19546. The heat transport and spectrum of thermal turbulence. Proc. Roy.
Soc. London, A225, No. 1161, 196—212.

Литература
269
М а н и р (Manier G.)
1962. Zur Berechnung der latenten und fuhlbaren Warmestrdme von der
Meeresoberflache an die Luft. Geofis. Рига Appl., 52, N 2, 189—
213.
M а н к (Munk W. H.)
1955. Wind stress on water: an hypothesis. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc,
81, No. 349, 320—332.
Манн (Munn R. E.)
1961. A theoretical expression for the root mean square vertical eddy
fluctuation (ю'У7*. J. Meteorol., 18, No. 1, 38—42.
Марчук Г. И.
1961. Методы расчета ядерных реакторов. Госатомиздат, М.
1967. Численные методы в прогнозе погоды. Гидрометеоиздат, Л.
Марчук и др. (Марчук Г. И., Воробьев В. И., Дымников В. П., Конта-
рев Г. Р.)
1969. Short-term weather prediction by splitting of the complete hydrody-
namic equations. Tech. Rep. Japan Meteorol. Agency No. 67 (Proc.
WMO/IUGG Symposium on Numerical Weather Prediction in Tokyo,
November 26 —December 4, 1968), 2.1—2.12.
M а т в e e в Л. Г.
1958a. Количественные характеристики турбулентного обмена в верхней
тропосфере и нижней стратосфере. Изв. АН СССР, сер. геофиз.,
Ко 7, 927—931.
19586. Исследование турбулентной структуры воздушного потока в районе
оз. Севан с помощью самолета. Труды ГГО, вып. 78, 84—97.
1960. К установлению зависимости коэффициента турбулентности от
высоты в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз.,
№ 1, 83—88.
1963. Теория суточного хода скорости ветра в пограничном слое
атмосферы. Труды ВНМС. Том 7. Гидрометеоиздат, Л., 37—45.
1965. Основы общей метеорологии. Физика атмосферы.
Гидрометеоиздат, Л.
Мацу ока (Matsuoka Н.)
1961. Note on two-dimensional diffusion in the atmospheric surface layer.
J. Meteorol. Soc. Japan., 39, No. 6, 324—330.
Машкова Г. Б.
1965. О профилях температуры воздуха и ветра в нижней части
пограничного слоя атмосферы. В сб. «Пограничный слой атмосферы»
(Труды ИПГ, вып. 2), 44—56.
Мелкая И. М.
1968. Стационарная модель радиационного тумана. Изв. АН СССР,
Физика атмосферы и океана, 4, № 2, 220—223.
М ё л л е р (МбИег F.)
1931. Austausch und Wind. Meteorol. Zs., 48, Nr. 2, 69—80.
Мильднер (Mildner P.)
1932. Dber die Reibung in einer speziellen Luftmasse in den untersten
Schichten der Atmosphere. Beitr. Phys. fr. Atmosph., 19, 151—158.
Минервин В. E.
1966. Турбулентность в нижнем слое атмосферы и в облаках нижнего
яруса. Труды ЦАО, вып. 71, 76—91.
М и н ц (Mintz Y.)
1965. Very long-term global integration of the primitive equation of
atmospheric motion. WMO Tech. Note No. 66 (WMO/IUGG Symposium
on Research and Development Aspects of Long-Range Forecasting,
Boulder, Colo., 1964). Geneva, 141—167 (русск. перевод в сб.
«Теория климата». Гидрометеоиздат, Л., 1967, 230—257).

270
Литература
М о н и н А. С.
1949. Стационарная модель распределения ветра по высотам в случае
криволинейных изобар. Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 14,
Ко 3, 220—237.
1950а. Динамическая турбулентность в атмосфере. Изв. АН СССР, сер.
геогр. и геофиз., 14, № 3, 232—254.
19506. О характеристиках анизотропной турбулентности. ДАН СССР,
75, N° 5, 621—624.
1951а. Турбулентный режим в приземном слое воздуха. Информ. сб.
ГУГМС, № 1, 13—27.
19516. Метод расчета температуры в почве. Информ. сб. ГУГМС, № 1,
125—131.
1953. О механизме нагревания воздуха в открытой степи. В сб.
«Микроклиматические и климатические исследования в Прикаспийской
низменности». Изд-во АН СССР, М., 100—123.
1958. Структура атмосферной турбулентности. Теория вероятностей и ее
применение, 3, № 3, 285—317.
1959а. Turbulent diffusion in the surface layer under stable stratification.
Adv. Geophys., 6 (Atmospheric diffusion and air pollution), 429—434
(русск. перевод в сб. «Атмосферная диффузия и загрязнение
воздуха», ИЛ, М., 1962, 470— 476).
19596. On the similarity of turbulence in the presence of a mean vertical
temperature gradient. J. Geophys. Res., 64, No. 12, 2196—2197.
1962a. О структуре полей скорости ветра и температуры в приземном слое
воздуха. В сб. «Атмосферная турбулентность» (Труды ИФА АН
СССР, №4), 5—20.
19626. Empirical data on turbulence in the surface layer of atmosphere.
J. Geophys. Res., 67, No. 8, 3103—3109.
1962в. Об использовании ненадежных прогнозов. Изв. АН СССР, сер.
геофиз., № 3, 218—228.
1963. О климатологии теплового баланса. Изв. АН СССР, сер. геогр.,
№ 5,98—110.
1965а. О свойствах симметрии турбулентности в приземном слое
воздуха. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 1, 45—54.
19656. О структуре пограничного слоя атмосферы. Изв. АН СССР,
Физика атмосферы и океана, 1, № 3, 258—265.
1965в. О температурно-неоднородном пограничном слое атмосферы. Изв.
АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 5, 490—500.
1967а. О турбулентном обмене над океанами. ДАН СССР, 175, №4,
819—822.
19676. Turbulence in the atmospheric boundary layer. In: Boundary layers
and turbulence (Phys. Fluids Supplement), 31—37. '
1967b. О площади поверхности волнующегося моря. Изв. АН СССР,
Физика атмосферы и океана, 3, № 6, 667—670.
1967г. О влиянии температурной стратификации среды на
турбулентность. В сб. «Атмосферная турбулентность и распространение
радиоволн» (Труды международного коллоквиума, Москва 15—
22 июня 1965 г.). Изд-во «Наука», М., 113—120.
Монин А. С, Зилитинкевич С. С.
1967. Planetary boundary layer and large-scale atmospheric dynamics. In:
Global Atmospheric Research Rrogramme (Rep. Study Conf.,
Stockholm, 28 June — 11 July 1967). Stockholm, V. 1 — V. 37.
1969. On description of micro- and meso-scale phenomena in numerical
models of the atmosphere. Tech. Rep. Japan Meteorol. Agency No. 67
(Proc. WMO/IUGG Symposium on Numerical Weather Prediction
in Tokyo, November 26 —December 4, 1968), 1.105—1.121.

Литература
271
М о н и н А. С, О б у х о в А. М.
1953. Безразмерные характеристики турбулентности в приземном слое
атмосферы. ДАН СССР, 93, № 2, 223—226.
1954. Основные закономерности турбулентного перемешивания в
приземном слое атмосферы. Труды Геофиз. ин-та АН СССР, № 24
(151), 163—187.
1967. Статистические исследования крупномасштабных атмосферных
процессов. В сб. «Динамика крупномасштабных атмосферных
процессов» (Труды международного симпозиума, Москва 23—30 июня
1965 г.). Изд-во «Наука», М., 194—200.
М о н и н А. С, Я г л о м А. М.
1965. Статистическая гидромеханика. Часть I. Изд-во «Наука», М.
1967. Статистическая гидромеханика. Часть II. Изд-во «Наука», М.
Мордухович М. И.
1959. Локальный акустический метод измерения температуры воздуха.
Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 3, 480—488.
1962. Акустический термометр. В сб. «Атмосферная турбулентность»
(Труды ИФА АН СССР, № 4), 30—80.
Мордухович М. И., Ц в а н г Л. Р.
1966. Прямые измерения турбулентных потоков на двух уровнях в
приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР, Физика атмосферы
и океана, 2, № 8, 786—803.
М у ш е н к о П. М.
1963. Сопоставление характеристик атмосферной турбулентности,
полученных с помощью автоматического интегрального пульсацио-
метра (АИП) и методом мгновенных дымопусков. Труды ЛГМИ,
вып. 15, 226—228.
И а и т о (Naito К.)
1964. Some remarks on the Monin-Obukhov function in the atmosphere
near the ground. J. Meteorol. Soc. Japan, 42, No. 1, 53—63.
Нейман Г. (Neumann G.)
1953. On ocean wave spectra and a new method of forecasting
wind-generated sea. U. S. Army, Beach Erosion Bd. Tech. Mem., No. 43.
Никурадзе (Nikuradse J.)
1933. Stromungsgesetze in rauhen Rohren, VDI-Forschungsheft, Nr. 361,
1—22.
H у н нЪ p (Nunner W.)
1956. Warmeubertragung und Druckabfall in rauhen Rohren.
VDI-Forschungsheft, B22, Nr. 455, 5—39.
О'Брайен (O'Brien J. J.)
1965. An investigation of the diabatic wind profile of the atmospheric
boundary layer. J. Geophys. Res., 70, No. 10, 2277—2290.
Обухов A. M.
1946. Турбулентность в температурно-неоднородной атмосфере. Труды
Ин-та теорет. геофиз. АН СССР, 1, 95—115.
1949. Структура температурного поля в турбулентном потоке. Изв.
АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 13, № 1, 58—69.
1951. Характеристики микроструктуры ветра в приземном слое
атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 3, 49—68.
1960. О структуре температурного поля и поля скорости в условиях
свободной конвекции. Изв. АН ССР, сер. геофиз., № 9, 1392—1396.
Обухов А. М., Пинус Н. 3., Кречмер С. И.
1952. Результаты экспериментальных исследований микротурбулентности
свободной атмосферы. Труды ЦАО, вып. 6, 174—183.
О к а м о т о (Okamoto М.)
1963. A note on the wind and temperature profiles in the diabatic
atmosphere near the ground. Geophys. Mag. (Japan),31, No. 3, 505—514.
Олифант и П а н о в с к и й (Oliphant J. Е., Panofsky Н. А.)

272
Литература
1965. The effect of a large change of roughness on wind profiles observed
at Brookhaven. Final Rep., Contract No. AF (604)-6641, Pennsylvania
State Univ., AFCRL-65-531, 77—96.
О о p т (Oort A. H.)
1964. On estimates of the atmospheric energy cycle. Mon. Wea. Rev., 92,,
No. 11, 483—493.
Оуэн и Томсон (Owen P. R., Thomson W. H.)
1963. Heat transfer across rough surfaces. J. Fluid. Mech., 15, No. 3,
321—334.
Пальмен (Palmen E.)
1959. On the maintenance of kinetic energy in the atmosphere. In: The
atmosphere and the sea in motion (Rossby Memorial Volume).
Rockefeller Inst. Press, Oxford Univ. Press, 212—224 (русск.
перевод в сб. «Атмосфера и океан в движении». ИЛ, М., 1963,
127—143).
Пандольфо (Pandolfo J. P.)
1963. A formula relating various nondimensional parameters of
turbulence fields in atmospheric surface layer under diabatic conditions.
J. Geophys. Res., 68, No. 10, 3249—3256.
1966. Wind and temperature profiles for constant-flux boundary layers
in lapse conditions with a variable eddy conductivity to eddy
viscosity ratio. J. Atmosph. Sci., 23, No. 5, 495—502.
Пановский (Panofsky H. A.)
1961a. An alternative derivation of the diabatic wind profile. Quart. J. Roy.
Meteorol. Soc, 87, No. 374, 597—601.
19616. Similarity theory and temperature structure in the lower atmosphere.
Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 87, No. 374, 597—601.
1962a. The budget of turbulent energy in the lowest 100 meters. J. Geophys.
Res., 67, No. 8, 3161—3165.
19626. Scale analysis of atmospheric turbulence at 2 meters. Quart. J.
Roy. Meteorol. Soc, 88, No. 375, 57—69.
1963. Determination of stress from wind and temperature measurements.
Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 89, No. 379, 85—94.
1965. Reanalysis of Swinbank's Kerang observations. Final Rep., Contract
No. AF (604)-6641, Pennsylvania State Univ., AFCRL-65-531, 67—76.
Пановский и др. (Panofsky H. A., Bush N., Prasad В., Hanna S.,
Peterson E., Mares E.)
1967. Properties of wind and temperature at Round Hill, South Dartmouth,
Mass. Final Rep., Pennsylvania State Univ.
Пановский, Блэкедар и Мак-Вейл (Panofsky Н. A., Blackadar
А. К. McVehilG. К.)
1960. The diabatic wind profile. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 86, No. 369,
390—398. *
Пановский и Зингер (Panofsky H. A., Singer I. A.)
1965. Vertical structure of turbulence. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 91t
No. 389, 339—344.
Пановский и Мак-Кормик (Panofsky H. A., McCormick R. A.)
1954. Properties of spectra of atmospheric turbulence at 100 meters. Quart.
J. Roy. Meteorol. Soc, 80, No. 346, 546—564.
1960. The spectrum of vertical velocity near the surface. Quart. J. Roy.
Meteorol. Soc, 86, No. 370, 495—503.
Пановский и Прасад (Panofsky H. A., Prasad В.)
1965. Similarity theories and diffusion. Internet. J. Air Water Poll., 9,
419—430.
Пановский и Таунсенд (Panofsky H. A., Townsend A. A.)
1964. Change of terrain roughness and the wind profile. Quart. J. Roy.
Meteorol. Soc, 90, No. 384, 147—155.

Литература
273
П а н ч е в Ст.
1964. Определяние на някои характеристики на атмосферната турбу-
лентност в приземния слой. Изв. Геофиз. ин-т Българ. Акад. наук., 5,
кн. 2, 23-31.
П а с к у и л (Pasquill F.)
1949. Eddy diffusion of water vapour and heat near the ground. Proc.
Roy. Soc. London, A198, No. 1052, 116—140.
1962. Atmospheric diffusion. D. Van Nostrand, London — Toronto — New
York — Princeton.
Паульсон (Paulson С. A.)
1967. Profiles of wind speed, temperature and humidity over the sea. Sci.
Rep. No. SF GP-2418, Dept. Meteorol., Univ. Washington.
Перепелкина A. B.
1957. Некоторые результаты исследования турбулентных пульсаций
температуры и вертикальной составляющей скорости ветра. Изв. АН
СССР, сер. геофиз., № 6, 765—778.
1959. Об определении турбулентного потока тепла. Изв. АН СССР,
сер. геофиз., № 7, 1026—1035.
1962. О характеристиках турбулентности приземного слоя атмосферы
в условиях свободной конвекции. Изв. АН СССР, сер. геофиз.,
№ 2, 271—274.
Пешке (Paeschke W.)
1936. Experimented Untersuchungen zum Rauhigkeits- und Stabilitats-
problem in der Bodennahen Luftschicht. Beitr. Phys. fr. Atmosph.,
24, Nr. 3, 103—189.
Пивоваров A. A.
1968. О суточном ходе температуры в поверхностном и приводном слоях
моря и атмосферы. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 4,
№ 1, 102—107.
П и н к е л (Pinkel В.)
1954. A summary of NACA research on heat transfer and friction for air
flowing through tube with large temperature difference. Trans. Amer.
Soc. Mech. Engrs., 76, No. 2, 305—317.
Пину с H. 3.
1964. Некоторые результаты исследований мезо- и микроструктуры
поля ветра на высотах 6—1Й км. Труды ЦАО, вып. 53, 21—34.
1965. Некоторые особенности развития турбулентности над равнинной
местностью. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1,
№ 3, 266—274.
Пинус Н. 3., Литвинова В. Д.
1962. Об интенсивности турбулентности в облаках. Изв. АН СССР,
сер. геофиз., № 1, 126—128.
Плейт и Хайди (Plate Е. I., Hidy G. М.)
1967. Laboratory study of air flowing over a smooth surface onto small
water waves. J. Geophys. Res., 72, No. 18, 4627—4641.
П о н д и др. (Pond S., Smith S. D., Hamblin P. F., Burling R. W.)
1966. Spectra of velocity and temperature fluctuations in the atmospheric
boundary layer over the sea. J. Atmosph. Sci., 23, No. 4* 376—386.
Понд, Стюарт и Берлинг (Pond S., Stewart R. W., Burling R. W.)
1963. Turbulence spectra in the wind over waves. J. Atmosph. Sci., 20,
No. 4, 319—324.
Прандтль (Prandtl L.)
1932a. Meteorologische Anwendungen der Stromungslehre. Beitr. Phys. fr.
Atmosph., 19, Nr. 3, 188—202.
19326. Zur turbulent stromung in Rohren und langs Platten. Ergebn. Aero-
dyn. Versuchsanst., Gottingen, 4, 18—29.

274
Литература
Праудмен (Proudman J.)
1953. Dynamical oceanography. Methuen, London (русск. перевод:
Дж. Праудмен. Динамическая океанография. ИЛ, М, 1957).
Преображенский Л. Ю.
1968. Некоторые характеристики воздушного потока в нижнем слое
атмосферы над морем. Изв. АН СССР, Физика атмосферы
и океана, 4, № 9, 994—999.
1969. Расчет коэффициента турбулентного обмена в приповерхностном
слое воздуха над морем. Изв. АН СССР, Физика атмосферы
и океана, 5, № 6, 601—607.
Пристли (Priestley С. Н. В.)
1955. Free and forced concection in the atmosphere near the ground.
Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 81, No. 348, 139—143.
1959. Turbulent transfer in the lower atmosphere. Chicago Univ. Press
(русск. перевод: С X. Б. Пристли. Турбулентный перенос в
приземном слое атмосферы. Гидрометеоиздат, Л., 1964).
1960а. A determinant hypothesis for the superadiabatic wind and
temperature profiles. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 86, No. 368, 232—236.
19606. Temperature fluctuations in the atmospheric boundary layer. J. Fluid
Mech., 7, No. 3, 375—384.
1692. Free convection in a wind. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 88, No.
375, 100—101.
1963. Eddy diffusion in shear zones. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 89,
No. 380, 287—288; Reply (by P. G. Saffman), 288—289.
1967a. On the link between micrometeorology and larger-scale dynamics.
В сб. «Динамика крупномасштабных атмосферных процессов»
(Труды международного симпозиума, Москва 23—30 июня 1965 г.).
Изд-во «Наука», М., 228—230.
19676. Handover in scale of the fluxes of momentum, heat, etc in the
atmospheric boundary layer. In: Boundary layers and turbulence
(Phys. Fluids Supplement), 38—46.
1967b. On the importance of variability in the planetary boundary layer.
In: Global Atmospheric Research Programme (Rep. Study Conf.,
Stockholm, 28 June—11 July 1967). Stockholm, VI. 1—VI. 5.
Радикевич В. M.
1967. Расчет и анализ количественных характеристик взаимодействия
океана и атмосферы. Автореферат диссертации, ЛГМИ.
1968. О методах расчета потоков тепла и влаги с поверхности моря.
Труды ЛГМИ, вып. 27, 49—80.
Рай дер (Rider N. Е.)
1954. Eddy diffusion of momentum, water vapour and heat near the
ground. Phyl. Trans. Roy. Soc. London, A246, No. 918, 481—501.
Райдер и Робинсон (Rider N. E., Robinson G. D.)
1951. A study of the transfer of heat and water vapour above a surface
of short grass. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 77, No. 333, 375—401.
Рекорд и Крамер (Record F. A., Cramer H. E.)
1966. Turbulent energy dissipation and exchange processes above a non-
homogeneous surface. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 92, No. 394,
519—532.
Решетова О. В.
1969. О теплопередаче и испарении над океаном. Изв. АН СССР,
Физика атмосферы и океана, 5, № 12, 1318—1323.
Ричардсон Л. (Richardson L. F.)
1920. The supply of energy from and to atmospheric eddies. Proc Roy.
Soc. London, A97, No. 686, 354—373.
Робинсон (Robinson G. D.)
1950. Two notes on temperature changes in the troposphere due to
radiation. Centenn. Proc. Roy. Meteorol. Soc, 26—33.

Литература
275
1959. Vertical motion and the transfer of heat and momentum near the
ground. Adv. Geophys., 6 (Atmospheric diffusion and air pollution),
259—268 (русск. перевод в сб. «Атмосферная диффузия и
загрязнение воздуха». ИЛ, М., 1962, 288—299).
1966. Another look at some problems of the air-sea interface. Quart. J.
Roy. Meteorol. Soc, 92, No. 394, 451—465.
P о л л ь (Roll H. U.)
1963. On the application of turbulent theory to the determination of
marine evaporation. Geofis. Рига Appl., 56, 150—162.
1965. Physics of the marine atmosphere. Acad. Press, New York — London
(русск. перевод: Г. У. Ролль. Физика атмосферных процессов над
морем. Гидрометеоиздат, Л., 1968).
Р о с с б и (Rossby С. G.)
1932. A generalization of the theory of the mixing length with application
to atmospheric and oceanic turbulence. Mass. Inst. Technol.,
Meteorol. Pap., 1, No. 4, 1—36.
Россби и Монтгомери (Rossby С. G., Montgomery R. B.)
1935. The layer of frictional influence in wind and ocean currents. Pap.
Phys. Oceanogr. Meteorol., Mass. Inst. Technol. and Woods Hole
Oceanogr. Inst., 3, No. 3, 1—101.
Pott a (Rotta J. C.)
1962. Turbulent boundary layers in incompressible flow. In: Progress in
aeronautical sciences. Vol. 2 — Boundary layer problems (ed. by
A. Ferri, D. Kuchemann, and L. H. G. Sterne). Pergamon Press,
Oxford — London — New York — Paris, 1—219.
P у з и н M. И.
1963. Вертикальный профиль коэффициента турбулентности в
пограничном слое атмосферы. Труды ВНМС. Том 7. Гидрометеоиздат. Л.,
63—72.
1965. Влияние •метеорологических условий на вертикальный профиль
коэффициента турбулентности в пограничном слое атмосферы.
Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 10, 1014—1021.
Рузин М. И., Болдырева Н. А., Савельева Т. А.
1963. Некоторые результаты вычисления коэффициента турбулентного
обмена в пограничном слое атмосферы. Труды ЛГМИ, вып. 15,
66-80.
Сакакибара (Sakakibara S.)
1926—1928. On the transverse eddy resistance acting on moving air in
the lower atmosphere. Geophys. Mag. (Japan), 1, 130—149.
Самойленко В. С.
1952. Современная теория океанического испарения и ее практическое
применение. Труды ГОИН, вып. 21 (33), 3—31.
1959. Формирование температурного режима моря. Гидрометеоиздат, Л.
С а ф м е н (Saffman P. S.)
1962. The effect of wind shear on horizontal spread from an instantaneous
ground source. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 88, No. 378, 382—393;
1963: Discussion, 89, No. 380, 293—295.
Свенсон и Крамер (Swanson R. H., Cramer H. E.)
1965. A study of lateral and longitudinal intensities of turbulence. J. Appl.
Meteorol., 4, No. 3, 409—417.
Свердруп (Sverdrup H. U.)
1936. Das maritime Verdunstungsproblem. Annal. Hydrograph. Maritimen
Meteorol., 54, Nr. 2, 41—47.
1937—1938. On the evaporation from the oceans. J. Marine Res., 1,
No. 1, 3—14.
1943. Oceanography for meteorologists. Prentice Hall, New York.
Седов Л. И.
1965. Методы подобия и размерности в механике. Изд-во «Наука», М.

276
Литература
Селлерс (Sellers W. D.)
1962. A simplified derivation of the diabatic wind profile. J. Atmosph.
Sci., 19, No. 2, 180—181.
Сенека (Seneca J.)
1955. Mesures de diffusivite turbulente sur des flocons de fumee. J. Sci.
Meteorol., 7, N 26—27, 221—225.
С e p м а к и др. (Cermak J. E., Sandborn V. A., Plate E J., Binder G. H.,
Chuang H., Meroney R. N.. Ito S.)
1966. Simulation of atmospheric motion by wind-tunnel flows. Tech. Rep
Fluid Dynamics and Diffusion Lab., College Engng., Colorado State
Univ., Fort Collins, Colorado.
Сермак и Чжан (Cermak J. E., Chuang H.)
1967. Пульсации вертикальной скорости в термически
стратифицированном потоке с поперечным сдвигом. В сб. «Атмосферная
турбулентность и распространение радиоволн» (Труды международного
коллоквиума, Москва 15—22 июня 1965 г.). Изд-во «Наука», М.,
93—104.
Сеттон (Sutton О. G.)
1949. Atmospheric turbulence. Methuen, London.
1953. Micrometeorology. McGraw-Hill, New York — Toronto — London
(русск. перевод: О. Г. Сеттон. Микрометеорология. Гидрометеоиз-
дат; Л., 1958).
Сибул и Джонсон (Sibul О. J., Johnson J. W.)
1957. Laboratory study of wind tides in shallow water. J. Waterways
Harbors Div. (Proc. Amer. Soc. Civil Engrs.), 83, No. WWI,
Pap. 1210, 1—32.
Сизов A. A.
1966a. Некоторые замечания об исследовании взаимодействия
воздушного потока и взволнованной поверхности в океане. В сб.
«Взаимодействие атмосферы и океана». Изд-во* «Наукова думка»,
Киев, 75—84.
19666. Результаты исследования некоторых особенностей профиля
скорости ветра вблизи поверхности моря. В «Сб. докл.,
подготовленных ко II Международному океаногр. конгрессу». Изд-во
«Наукова думка», Киев, 83.
1966в. О некоторых особенностях поля скорости ветра в приводном
слое атмосферы тропической зоны Атлантического океана. Труды
Морского гидрофиз. ин-та АН УССР, 35, 21—24.
Сионо и Хамуро (Syono S., Hamuro М.)
1962. Notes on the wind-profile in the lower layer of a diabatic
atmosphere. J. Meteorol. Soc. Japan, Ser. II, 40, No. 1, 1—12.
Скули (Schooley A. H.) ,
1963. Simple tools for measuring wind fields above wind-generated water
waves. J. Geophys. Res., 68, No. 19, 5497—5504.
1967. Temperature differences near the sea-air interface. J. Marine Res.,
25, No. 1, 60—68.
Смагоринский (Smagorinsky J.)
1963. General circulation experiments with the primitive equations. I. The
basic experiment. Mon. Wea. Rev., 91, No. 3, 99—165.
Смагоринский и др. (Smagorinsky J., Manabe S., Holloway J. L.)
1965. Numerical results from a nine-level general circulation model of the
atmosphere. Mon. Wea. Rev., 93, No. 12, 727—768 (русск. перевод
в сб. «Теория климата». Гидрометеоиздат, Л., 1967, 117—184).
Смит С. (Smith S. D.)
1967. Thrust-anemometer measurements of wind-velocity spectra and
Reynolds stress over a coastal inlet. J. Marine Res., 25, No. 3,
239—262.

Литература
277
Смит Ф. (Smith F. В.)
1961. An analysis of vertical wind-fluctuations at heights between 500 and
5000 ft. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 87, No. 372, 180—193.
Снопков В. Г.
1965a. Зависимость параметра шероховатости морской поверхности от
скорости ветра по данным натурных наблюдений. Океанология, 5,
№ 1, 32—39.
19656. Характеристики турбулентности над Тихим океаном. Труды
Ин-та океанологии АН СССР, 78, 192—202.
1965в. Турбулентный теплообмен и влагообмен между океаном и
атмосферой. Автореферат диссертации. Ин-т океанологии АН СССР, М.
Стюарт P. (Stewart R. W.)
1959. The .problem of diffusion in a stratified fluid. Adv. Geophys., 6
(Atmospheric diffusion and air pollution), 303—311 (русск. перевод
в сб. «Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха». ИЛ, М.,
1962, 337—347).
1961. The wave drag of wind over water. J. Fluid Mech., 10, No. 2,
189—194.
1967. Mechanics of the air-sea interface. In: Boundary layers and
turbulence (Phys. Fluids Supplement), 47—55.
1968. Мелкомасштабное взаимодействие атмосферы и океана. В сб.
«Основные проблемы океанологии» (Докл. на пленарных
заседаниях, II Международный океаиогр. конгресс, Москва 30 мая —
9 июня 1966 г.). Изд-во «Наука», М., 20—29.
С т ю а р т X. (Stewart Н. J.)
1945. Kinematics and dynamics of fluids flow. In: Handbook of
Meteorology (ed. by F. A. Berry, Jr., E. Bollay and N. R. Beers).
McGraw-Hill, New York —London, 412—500.
Суинбенк (Swinbank W. C.)
1951. The measurement of vertical transfer of heat and water vapour and
momentum in the lower atmosphere with some results. J. Meteorol.,
8, No. 2, 135—145.
1955. An experimental study of eddy transport in the lower atmosphere.
С S. I. R. O., Div. Meteorol. Phys., Tech. Pap., No. 2.
1964. The exponential wind profile. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 90,
No. 384, 119—135.
1967. Some aspects of the transfer of heat, water vapour, and momentum
in the lower atmosphere. In: Boundary layers and turbulence (Phys.
Fluids Supplement), 314.
Суинбек и Дайер (Swinbank W. С, Dyer A. J.)
1967. An experimental study in micrometeorology. Quart. J. Roy.
Meteorol. Soc, 93, No. 398, 494—500.
1968. Micrometeorological expeditions 1962—66. C. S. I. R. O., Div.
Meteorol. Phys., Tech. Pap., No. 16.
T а к а й я (Takaya S.)
1930. On the influence of eddy viscosity in the lower atmosphere. Mem.
Japan Marine Obs., Kobe, 4, No. 1, 1—33.
Такахаши (Takahashi T.)
1958. Micrometeorological observation and studies over the sea. Mem.
Fac Fisheries Kagoshima Univ., 6, 1—46.
Такев К.
1964. Профил на вятъра при степенен модел на закона за изменение
на кинематичния коэффициент на турбулентния вискозитет с ви-
сочината. Хидрология и метеорология, № 3, 3—9.
Та кед a (Takeda А.)
1963. Wind profiles over sea waves. J. Oceanogr. Soc. Japan, 19, No. 3,
136—142.

278
Литература
Татарский В. И.
1956. Микроструктура температурного поля в приземном слое
атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 6, 689—699.
1960. Радиофизические методы изучения атмосферной турбулентности.
Изв. ВУЗов, Радиофизика, 3, № 4, 551—583.
Татро и Молло-Кристенсен (Tatro P. R., Mollo-Christiansen Е. L.)
1967. Experiments on Ekman layer instability. J. Fluid Mech., 28, No. 3,
531-543.
Таунсенд (Townsend A. A.)
1956. The structure of turbulent shear flow. Cambridge Univ. Press
(русск. перевод: А. А. Таунсенд. Структура турбулентного потока
с поперечным сдвигом. ИЛ, М., 1959).
1958. The effect of radiative transfer on turbulent flow of a stratified
fluid. J. Fluid. Mech., 4, No. 4, 361—375.
1959. Temperature fluctuations over a heated horizontal surface. J. Fluid.
Mech., 5, No. 2, 209—241.
1962. Natural convection in the earth boundary layer. Quart. J. Roy. Me-
teorol. Soc, 88, No. 375, 51—56.
1965a. The response of a turbulent boundary layer to abrupt changes
in surface conditions. J. Fluid Mech., 22, No. 4, 799—822.
19656. Self-preserving development within turbulent boundary layers in
strong pressure gradients. J. Fluid Mech., 23, No. 4, 767—778
(русск. перевод см. «Механика», 5, 99, 1966, 80—91).
Тверской П. Н.
1962. Курс метеорологии. Гидрометеоиздат, Л.
Телфорд и Уорнер (Telford J. W., Werner J.)
1964. Fluxes of heat and vapour in the lower atmosphere derived from
aircraft observations. J. Atmosph. Sci., 21, No. 5, 539—548.
Теннекес (Tennekes H.)
1968. Free convection in the atmospheric boundary layer. Dept. Aerospace
Engineering, Pennsylvania State Univ.
Ткаченко A. B.
1956. К вопросу об определении коэффициента турбулентной вязкости
в пограничном слое атмосферы. Труды ГГО, вып. 60(122), 53—59.
Томас и Таунсенд (Thomas D. В., Townsend А. А.)
1957. Turbulent convection over a heated horizontal surface. J. Fluid.
Mech., 2, No. 5, 473—492.
Томпсон (Thompson N.)
1962. Intensities and spectra of vertical wind fluctuations at heights
between 100 and 500ft in neutral and unstable conditions. Quart. J.
Roy. Meteorol. Soc, 88, No. 377, 328—334.
Торнтвейт и Кейзер (Thornthwaite С. H., Kaser P.)
1943. Wind-gradient observations. Trans. Amer. Geophys. Union, 24, No. I1,
166—182.
Туиллер и Лэйп (Thuillier R. H., Lappe U. O.)
1964. Wind and temperature profile characteristics from observations on
a 1400ft tower. J. Appl. Meteorol., 3, No. 3, 299—306.
Тэйлор Дж. (Taylor G. I.)
1915. Eddy motion in the atmosphere. Phil. Trans. Roy. Soc. London,
A215, 1—26.
1938. The spectrum of turbulence. Proc. Roy. Soc. London, A164, No. 919,
476—490.
Тэйлор P. (Taylor R. J.)
1952. The dissipation of kinetic energy in the lowest layers of the
atmosphere. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 78, No. 336, 179—185.
1956. Some measurements of heat flux at large negative Richardson
number. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 82, No. 351, 89—91.

Литература
279
1960а. Similarity theory in the relation between fluxes and gradients in
the lower atmosphere. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 86, No. 367,
67—78.
19606. Вид профиля ветра в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР,
сер. геофиз., Я° 12, 1821—1827.
Тэнк (TankW. G.)
1957. The use of large-scale parameters in small-scale diffusion studies.
Bull. Amer. Meteorol. Soc, 38, No. 1, 6—12.
У и л к и н с (Wilkins Е. М.)
1958а. Observation on the separation of pairs of neutral balloons and
applications to atmospheric diffusion theory. J. Meteorol., 15, No. 3,
324—327.
19586. Effective coefficients of diffusivity for atomic bomb clouds at one
thousand to two thousand miles. Trans. Amer. Geophys. Union, 39,
No. X 58—59.
1960. Dissipation of energy by atmospheric turbulence. J. Meteorol., 17,
No. 1, 91—92.
1963. Decay rates for turbulent energy throughout the atmosphere. J. At-
mosph. Sci., 20, No. 5, 473—476.
Уонг и Брандидж (Wong E. Y. J., Brundidge K. C.)
1966. Vertical and temporal distributions of the heat conductivity and flux.
J. Atmosph. Sci., 23, No. 2, 167—178.
Ути на 3. M.
1966. О распределении ветра в пограничном слое атмосферы. Труды
ГГО, вып. 187, 146—148.
Уэбб (Webb Е. К.)
1958. Vanishing potential temperature gradients in strong convection.
Quart. J. Roy. Meteorol., Soc, 84, No. 360, 118—125.
1962. Thermal convection with wind shear. Nature, 193, No. 4818, 840—842.
Фанк (Funk J. P.)
1960. Measured radiative flux divergence near the ground at night. Quart.
J. Roy. Meteorol. Soc, 86, No. 369, 382—389.
Филлипс H. (Phillips N. A.)
1956. The general circulation of the atmosphere: a numerical experiment.
Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 82, No. 352, 123—164 (русск. перевод
в сб. «Теория климата». Гидрометеоиздат, Л., 1967, 6—60).
Филлипс О. (Phillips О. М.)
1957. On the generation of waves by turbulent wind. J. Fluid Mech., 2,
No. 5, 417—445.
1966. The dynamics of the upper ocean. Cambridge Univ. Press, London
(русск. перевод: О. Филлипс. Динамика верхнего слоя океана.
Изд-во «Мир», М., 1969).
Фитцджеральд (Fitzgerald L. М.)
1963. Wind-induced stresses on water surfaces. A wind-tunnel stud v.
Austral. J. Phys., 16, No. 4, 475—489.
Флигл и др. (Fleagle R. G., Deardorff J. W., Badgley F. I.)
1958. Vertical distribution of wind speed, temperature and humidity above
a water surface. J. Marine Res., 17, 141—157.
Флигл и др. (Fleagle R. G., Badgley F. I., Hsuen Y.)
1967. Calculation of turbulent fluxes by integral methods. J. Atmosph. Sci.,
24, No. 4, 356—373.
Ф о л л e p (Faller A. J.)
1963. An experimental study of the instability of the laminar Ekman
boundary layer. J. Fluid Mech., 15, No. 4, 560—576.
1964. The angle of wind-rows in the ocean. Tellus, 16, No. 3, 363—370.
Ф p e н з e н (Frenzen P.)
1965. Determination of turbulence dissipation by Eulerian variance
analysis. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 91, No. 387, 28—34.

280
Литература
Френкиль и Катц (Frenkil Е. N., Katz I.)
1956. Studies of small-scale turbulent diffusion in the atmosphere. J. Me-
teorol., 13, No. 4, 388—394.
Френсис (Francis J. R. D.)
1951. The aerodynamic drag of a free water surface. Proc. Roy. Soc.
London, A206, No. 1086, 387—406.
1954. Wind stress on a water surface. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 80,
No. 345, 438—443.
Ф p о с т (Frost R.)
1948. Atmospheric turbulence. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 74, No. 321—
322 316 338
Хайди и Плейт (Hidy G. M., Plate E. I.)
1966. Wind action on water standing in a laboratory channel. J. Fluid
Mech., 26, No. 4, 651—688.
Халтинер и Мартин (Haltiner G. J., Martin F. L.)
1957. Dynamical and physical meteorology. McGraw-Hill, New York —
Toronto — London (русск. перевод: Дж. Халтинер, Ф. Мартин.
Динамическая и физическая метеорология. ИЛ, М., 1960).
Ханратти (Hanratty Т. J.)
1967. Study of turbulence close to a solid wall. In: Boundary layers and
turbulence (Phys. Fluids Supplement), 126—133.
X а с с e и др. (Hasse L., Brocks K., Dunckel M., Gorner U.)
1966. Eddy flux measurements at sea. Beitr. Phys. Atmosph., 39, Nr. 2—4,
254—257.
Хассе и Брокс (Hasse L., Brocks K.)
1969. On the determination of vertical transports of momentum and heat
at sea. Tech. Rep. Japan Meteorol. Agency No. 67 (Proc
WMO/IUGG Symposium on Numerical Weather Prediction in Tokyo,
November 26 —December 4, 1968), 1.61—1.64.
X ay ген (Haugen D. A.)
1959. Project Prairie Grass, a field programm in diffusion. Vol. 3. Geo-
phys. Res. Pap., No. 59.
Хей (Hay J. S.) _
1955. Some observation of air flow over the sea. Quart. J. Roy. Meteorol.
Soc, 81, No. 349, 307—319.
Хесс и Пановский (Hess G. D., Panofsky H. A.)
1966. The budget of turbulent energy near the ground. Quart. J. Roy.
Meteorol. Soc, 92, No. 392, 277—280.
Хёгстрём (Hogstrom U.)
1967a. A new sensitive eddy flux instrumentation. Tellus, 19, No. 2,
230—239.
19676. Turbulent water-vapour transfer at different stability conditions.
In: Boundary layers and turbulence (Phys. Fluids Supplement),
247—254.
Хинце (Hinze J. O.)
1959. Turbulence. An introduction to its mechanism and theory. McGraw-
Hill, New York, (русск. перевод: И. О. Хинце. Турбулентность.
Физматгиз, М., 1963).
Холопайнен (Holopainen Е. О.)
1963. On the dissipation of kinetic energy in the atmosphere. Tellus, 15,
No. 1, 26—32.
Холстид (Halstead M.)
1952. The relationship between wind structure and turbulence near the
ground. Geophys. Res. Pap., No. 19, 97—126.
Цванг Л. P.
. 1960a. Измерения частотных спектров температурных пульсаций в
приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз., N° 8.
1252—1262.

Литература
281
19606. Измерение спектров температурных пульсаций в свободной
атмосфере. Изв. АН СССР, сер. геофиз., N° 11, 1674—1678.
1962. Измерения турбулентных потоков тепла и спектров температурных
пульсаций. В сб. «Атмосферная турбулентность» (Труды ИФА АН
СССР, Я° 4), 137—143.
Цванг и др. (Цванг Л. Р., Зубковский С. Л., Иванов В. Нм Клинов Ф. Я.,
Кравченко Т. К.)
1963. Некоторые измерения характеристик турбулентности в нижнем
300-метровом слое атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 5,.
769—782.
Цверава В. Г.
1967. Струйные течения в пограничном слое атмосферы. Метеорология
и гидрология, № 10, 71—75.
Цветкова Т. Н.
1969. Модель стационарного температурно-стратифицированного
пограничного слоя атмосферы (численные эксперименты). Метеорология
и гидрология, № 7, 36—43.
Цейтин Г. X., Орленко Л. Р.
1960. Стационарное распределение ветра, температуры и турбулентного-
обмена в пограничном слое при различных состояниях
устойчивости. Труды ГГО, вып. 94, 8—28.
Циммерман (Zimmerman S. Р.)
1966. Parameters of turbulent atmospheres. J. Geophys. Res., 71, No. 10r
2439—2444.
1967. Addendum and correction to Parameters of turbulent atmospheres,
J. Geophys. Res., 72, No. 20, 5153—5154.
Чаликов Д. В.
1968a. О профилях ветра и температуры в приземном слое атмосферы
при устойчивой стратификации. Труды ГГО, вып. 207, 170—173.
19686. Расчет приземных турбулентных потоков по синоптической
информации. Метеорология и гидрология, № 8, 10—19.
1968в. Методы расчета характеристик взаимодействия атмосферы с
подстилающей поверхностью. Автореферат диссертации. Ин-т
океанологии , АН СССР, М. — Л.
Чанади (Csanady G. I.)
1967а. Concentration fluctuations in turbulent diffusion. J. Atmosph. Sci.r
24, No. 1, 21—28.
19676. Variance of local concentration fluctuations. In: Boundary layers
and turbulence (Phys. Fluids Supplement), 76—78.
1967b. On the «resistance law» of a turbulent Ekman layer. J. Atmosph.
Sci., 24, No. 5, 467—471.
Ч a p н и (Charney J. G.)
1969. Что определяет толщину планетарного пограничного слоя в
нейтрально стратифицированной атмосфере? Океанология, 9, № 2Г
143—145.
Ч а р н о к (Charnock Н.)
1951. Note on eddy diffusion in the atmosphere between one and two
kilometers. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 77, No. 334, 654—658.
1955. Wind stress on a water surface. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 81,
No. 350, 639—640.
1967a. Comments on Л л examination of three wind-prof He hypotheses by
A. B. Bernstein. J. Appl. Meteorol., 6, No. 1, 211—212.
19676. Flux-gradient relation near the ground in unstable conditions. Quart
J. Roy. Meteorol. Soc, 93, No. 395. 97—100.
Чарнок и Эллисон (Charnock H., Ellison Т. H.)
1967. The boundary layer in relation to large-scale motions of the
atmosphere and ocean. In: Global Atmospheric Research Programme
(Rep. Study Conf., Stockholm, 28 June—11 July 1968). Stockholm,
III. 1—III. 16.

282
Литература
Чемберлен (Chamberlain А. С.)
1966. Transport of gases to and from grass and grass-like surfaces. Proc.
Roy. Soc. London, A290, No. 1421, 236—265.
1968. Transport of gases to and from surfaces with bluff and wave-like
roughness elements. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 94, No. 401,
318—322.
Чжан и Сермак (Chuang H., Cermak J. E.)
1967. Similarity of thermally stratified shear flows in the laboratory and
atmosphere. In: Boundary layers and turbulence (Phys. Fluids
Supplement), 255—258.
Чжоу Мин-юй
1966. Исследование статистических характеристик турбулентности в
нижнем слое атмосферы. Автореферат диссертации. ИФА АН СССР, М.
Чудновский А. Ф.
1948. Физика теплообмена в почве. Гостехиздат, М.
Чуринова М. П.
1951. Некоторые данные о коэффициенте турбулентности в свободной
атмосфере. Труды ГГО, вып. 28 (90), 44—56.
Шарон (Sharon S. Wu.)
1965. A study of heat transfer coefficients in the lowest 400 meters of
the atmosphere. J. Geophys. Res. 70, No. 8, 1801—1807.
Швец M. E.
1938. К вопросу о повороте ветра с высотой. Труды ГГО, вып. 28,
72—74.
1941а. Определение коэффициента турбулентной вязкости для
атмосферных движений. ДАН СССР, 30, № 8, 705—709.
19416. Турбулентный пограничный слой в атмосфере. Изв. АН СССР,
сер. геогр. и геофиз. 5, № 3, 361—376.
1943а. Суточный ход скорости ветра и турбулентное перемешивание.
Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., N° 2, 55—59.
19436. Суточный ход температуры и лучистый теплообмен. Изв
АН СССР, сер. геогр. и геофиз., № 4, 218—244.
1944. О пограничном слое атмосферы. ДАН СССР, 45, № 3, 119—123.
Швец М. Е., Юдин М. И.
1940. Стационарная модель распределения ветра с высотой в
турбулентной атмосфере. Труды ГГО, вып. 31, 42—52.
Шел л ар д (Shellard Н. С.)
1958. Some measurements of temperature and humidity profiles near the
sea surface. Marine Observer, 28, No. 182, 198—204.
Шеппард (Sheppard P. A.)
1947. The aerodynamic drag of the earth's surface and the value of von
Karman's constant in the lower atmosphere. Proc. Roy. Soc.
London, A188, No. 1013, 208—222.
1958. Transfer across the earth's surface and through the air above. Quart.
J. Roy. Meteorol. Soc, 84, No. 361, 205—224.
Шеппард и Омер (Sheppard P. A., Omar M. H.)
1952. The wind stress over the ocean from observations in the trades.
Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 78, No. 338, 583—589.
Ill и о т а н и (Shiotani M.)
1955. On the fluctuation of the temperature and turbulent structure near
the ground. J. Meteorol. Soc Japan, Ser. II, 33, No. 3, 117—123.
1962. The relationship between wind profiles and stabilities of the air
layer in the outskirts of the city. J. Meteorol. Soc Japan, Ser. II,
40, No. 6, 315—329.
Шлихтинг (Schlichting H.)
1951. Grenzschicht-Theorie. Verlag G. Braun, Karlsruhe (русск. перевод:
Г. Шлихтинг. Теория пограничного слоя. ИЛ, М., 1956).

Литература
283
Шмидт (Schmidt W.)
1925. Der Massenaustausch in freier Luft und verwandte Erscheinungen.
Verlag Henrni Grand, Hamburg.
Штейнер и Райн (Steiner R., Rhyne R. H.)
1962. Some measured characteristics of severe storm turbulence. Amer.
Meteorol. Soc, Severe Storms Conf., Norman, Okla., February
13—15.
Шубауэр и Чен (Schubauer G. В., Tchen С. M.)
1959. Turbulent flow. In: Turbulent flow and heat transfer (ed. by
С. C. Lin). Princeton Univ. Press, 75—195 (русск. перевод в кн.
«Турбулентные течения и теплопередача». ИЛ, М., 1963, 83—205).
Ш у л е й к и н В. В.
1928. The evaporation of sea water and the thermal intercourse between
the sea and atmosphere. Gerlands Beitr. Geophys., 20, 99—122.
1933. Физика моря (1-е издание). Гостехиздат, М. — Л.
1968. Физика моря (4-е издание). Изд-во «Наука», М.
Э в а н с и др. (Evans S. F., Dickson G. N., Kove N. A. G.)
1961. Vertical series of sea and air temperature close to the surface, taken
abroad the yacht Petula in the tropical Atlantic. Quart. J. Roy.
Meteorol. Soc, 87, No. 374, 588—591.
Э к м а н (Ekman V. W.)
1905—1906. On the influence of the earth's rotation on ocean currents.
Arkiv Mat. Astron. Fys., Uppsala — Stockholm, 2, No. 11, 1—52.
Эли (Ely R. P., Jr.)
1958. Spectral analysis of the U-component of wind velocity at three
meters. J. Meteorol., 15, No. 2, 196—201.
Элиассен (Eliassen A.)
1959. On the formation of fronts in the atmosphere. In: The atmosphere
and the sea in motion (Rossby Memorial Volume). Rockefeller Inst.
Press, Oxford Univ. Press, 277—287 (русск. перевод в сб.
«Атмосфера и океан в движении». ИЛ, М., 1963, 157—171).
Эллен (Allen L. Н., Jr.)
1968. Turbulence and wind speed spectra within a Japanese larch
plantation. J. Appl. Meteorol., 7, No. 1, 73—78.
Эллиот (Elliott W. P.)
1960. An hypothesis for the diabatic mixing-length. J. Meteorol., 17, No. 6,
680—681.
1964. The height variation of vertical heat flux near the ground. Quart. J.
Roy. Meteorol. Soc, 90, No. 385, 260—265.
Эллисон (Ellison Т. H.)
1955. The Ekman spiral. Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 81, No. 350,
637—638.
1956. 'Atmospheric turbulence. In: Surveys in mechanics (ed. by G. K. Bat-
chelor and R. M. Davies). Cambridge Univ. Press, 400—430.
1957. Turbulent transfer of heat and momentum from an infinite rough
plane. J. Fluid Mech., 2, No. 5, 456—466.
1962. Laboratory measurements of turbulent diffusion in stratified flows.
J. Geophys. Res., 67, No. 8, 3029—3031.
Эллисон и Тэрнер (Ellison Т. H., Turner J. S.)
1960. Mixing of dense fluid in a turbulent pipe flow. Parts 1—2, J. Fluid
Mech., 8, No. 4, 514—544.
Энджел (Angell J. K.)
1964. Use of tetroons to investigate the kinematics and dynamics of the
planetary boundary layer. Mon. Wea. Rev., 92, No. 10, 465—470.
Эпплби и Омстед (Appleby J. F., Ohmstede W. D.)
1965. Numerical solution of the distribution of wind and turbulence in the
planetary boundary layer. Proc Army Sci. Conf. (1964). Vol. 1.
Washington, D. C, 85—99.

284
Литература
3 с т о к (Estoque М. А.)
1960. Convective heat flux near the earth's surface. In: Cumulus
Dynamics (Proc. First Conf. on Cumulus Convection, Portsmouth, New
Hampshire, 19—22 May 1959). Pergamon Press, Oxford — London —
New York — Paris, 39—43 (русск. перевод в сб. «Динамика
кучевых облаков». Изд-во «Мир», М., 1964, 60—65).
1963. A numerical model of the atmospheric boundary layer. J. Geophys.
Res., 68, No. 4, 1103—1114.
Юдин M. И.
1948. Суточный ход температуры воздуха и конвективный теплообмен.
Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 12, № 4, 307—318.
Я г л о м А. М.
1952. Введение в теорию стационарных случайных функций. Успехи
матем. наук, 7, № 5 (51), 3—168.
1957. Некоторые классы случайных полей в я-мерном пространстве,
родственные стационарным случайным процессам. Теория
вероятностей и ее применение, 2, № 3, 292—338.
1969. Horizontal turbulent transport of heat in the atmosphere and the
form of the eddy diffusivity tensor. Fluid Dynamics Transactions.
Vol. 4 (ed. by W. Fiszdon, P. Kucharczyk, W. Proonak). Panotwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.
Ямамото (Yamamoto G.)
1959. Theory of turbulent transfer in non-neutral conditions. J. Meteorol.
Soc. Japan, 37, No. 2, 60—69.
Ямамото и др. (Yamamoto G., Yasuda N., Shimanuki A.)
1968. Effect of thermal stratification on the Ekman layer. J. Meteorol. Soc.
Japan, 46, No. 6, 442—455.
Ямамото и Кондо (Yamamoto G., Kondo J.)
1959. Effect of surface reflectivity for long-wave radiation on temperature
profiles near the bare soil surface. Sci. Rep. Tohoku Univ., Ser. V
(Geophys.), 11, No. 1, 1—9.
Ямамото и Шимануки (Yamamoto G., Shimanuki A.)
1966. Turbulent transfer in diabatic conditions. J. Meteorol. Soc. Japan.,
44, No. 6, 301—307.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Акерблом (Akerblom F.) 143, 169, 185
Анапольская Л. Е. 243
Армит (Armitt J.) 89
Банкер (Bunker A. F.) 178, 182
Баред (Barad М. L.) 72, 102
Баумгартнер (Baumgartner А.) 165
Бейли (Bailey А.) 244
Бейнз (Baines W. D.) 63
Белинский В. А. 47, 117
Белоусов С. Л. 215
Бентон (Benton G. S.) 62
Берлинг (Burling R. W.) 62, 174
Берлянд М. Е. 187, 215, 216
Берман (Berman S.) 244
Бернхардт (Bernhardt К.) 232
Бернштейн (Bernstein А. В.) 165, 193
Бламон (Blamont J. Е.) 174, 175
Блинова Е. Н. 144, 184, 188, 191, 194,
202, 206, 208
Блэкедар (Blackadar А. К.) 41, 61,
69, 81, 102,-130, 154, 156, 164, 165,
189, 191—194, 199, 204, 208, 212
Блэкмен (Blackman R. В.) 34
Бобылева И. М. 173, 191, 193, 194,
195, 202. 221, 232
Бовшеверов В. М. 68, 75
Богородский М. М. 52, 62
Болдырева Н. А. 170, 172, 194
Болл (Ball F. К.) 174, 175
Борковский (Borkowski J.) 103
Бортковский Р. С. 57, 62, 63
Брандидж (Brundidge К. С.) 170, 172
1 В указатель включены только
ссылками на конкретные работы.
Брент (Brunt D.) 176, 177
Брокс (Brocks К) 62
Буажитти (Buajitti К.) 212, 213, 215,.
229
Бузингер (Businger J. А.) 68, 103, ПО
Булеев Н. И. 232
Буш (Busch N. Е.) 69, 71, 73, 88, 97
Вызова Н. Л. 41, 164—166, 175,
189, 191, 199
Бэйквел (Bakewell Н. Р.) 38
Бэрри (Berry P. J.) 42, 44
Бэтчелор (Batchelor G. К.) 174
Бютнер Э. К. 57, 62, 63
Вагер Б. Г. 109, 218, 228—231
Вайнз (Vines R. G.) 63
Ван дер Ховен (Van der Hoven J.) 14
Ван Дорн (Van Dorn W. G.) 63
Ван Мигем (Van Mieghem J.) 47
Вебстер (Webster С A. G.) 31
Вейлер (Weiler H. S.) 62
Виноградова О. П. 62
Винсент (Vincent N. D. G.) 244
Воластон (Wollaston S. H.) 42
Волков Ю. A. 51, 52, 54, 55, 57, 6£
Волковицкая 3. И. 165, 175, 176
Воробьев В. И. 156
Воробьева А. Г. 232
Воронов В. П. 68
Воронцов П. А. 165, 171, 172, 180
Гайгеров С. С. 171, 182
Гандин Л. С. 4, 243
Гаррис (Harris D. L.) 63
случаи, когда авторы цитируются со<

286
Именной указатель
Гарстанг (Garstang М.) 140. 141
Гейзенберг (Heisenberg W.) 100
Герман М. А. 171, 174, 175
Герхардт (Gerhardt J. R.) 165, 170,
172
Гессельберг (Hesselberg Th.) 169
Ги (Gee J. H.) 16
Гилл (Gill A. E.) 154, 164, 166, 167
Гиффорд (Gifford F.) 174
Гнеденко Б. В. 245
Годев Н. 187
Годунов С. К. 221
Голицын Г. С. 18, 241
Гоптарев Н. П. 51, 60
Горелик А. Г. 174, 175
Госсар (Gossard Е. Е.) 18
Грин (Green A. W., Jr) 150
Гринхау (Greenhow J. S.) 174, 175
Гурвич А. С. 15, 68—71, 75, 81, 83,
91, 174, 175, 181
Гутман Л. Н. 215
Давыдов Б. И. ПО
Дайер (Dyer A. J.) 68, 69, 73, 74, 83,
131, 134
Девятова В. А. 169, 212—214, 229
Дейслер (Deissler R. G.) 38*
Джастас (Justus С. G.) 177
Джен (Jehn К. Н.) 165, 170, 172
Джефрис (Jeffreys Н.) 63, 165
Джин By (Jin Wu) 63
Джонсон (Johnson J. W.) 63
Дикон (Deacon E. L.) 48, 51, 54, 62,
65, 68, 97, 174, 175
Дипри (Dipprey D. F.) 44, 45
Дирдорф (Deardorff J. W.) 21, 51,
57, 58, 62, 83
Добрышман E. M. 215
Добсон (Dobson C. M. B.) 165, 167.
186
Долгушин И. П. 229
Дородницын А. А. 214
Дубов А. С. 165, 171, 172, 174, 175,
180
Душкин П. К. 171
Дьюри (Dune S. J.) 165
Дэвенпорт (Davenport A. G.) 68, 244
Дэвидсон (Davidson В.) 42, 68, 86,
130, 134, 157, 165, 182, 229—231,
240
Дэвис (Davies D. R.) 16
Дэлримпл (Dalrymple P. S.) 42
Дюбюк А. Ф. 144
Дюфур (Dufour L.) 47
Елагина Л. Г. 68
Ефимов В. В. 62
Загустин (Zagustin К.) 63
Зилитинкевич С. С. 18, 46, 48, 61, 75,
81, 82, 92, 97, 102, 104, 109, 117, 118,
130, 147, 157, 172, 173, 184, 191, 193,
194, 195, 202, 204, 218, 221, 226, 232,
234, 235, 241, 242
Зингер (Singer I. А.) 244
Зобел (Zobel R. F.) 169
Зубковский С. Л. 33, 51, 68, 82, 83,
87, 89, 91, 174, 175
Иванов В. Н. 171, 174—178
Изаксон А. 28
Извеков Б. И. 215
Иокояма (Yokoyama О.) НО
Йорданов Д. (Йорданов Д.) 103,
110, 187
Каган Б. А. 218, 223, 241
Казанский А. Б. 71, 74, 101, 103, ПО,
119, 123, 130, 147, 148, 153, 165, 166,
176
Каймел (Kaimal J. С.) 68, 180
Каменкович В. М. 16
Канг (Kung Е. С.) 42, 177
Као (Као S.-K.) ЮЗ, 177
Карман (Karman Th. von) 28, 99
Кастров В. Г. 171, 182
Катц (Katz I.) 174, 175
Кашин К. Н. 170
Кейзер (Kaser Р.) 65
Келеган (Keulegan G. Н.) 63
Келлер Л. В. 110
Келлог (Kellog W. W.) 174, 175, 177
Кестин (Kestin J.) 38
Кёлер (Kohler И.) 187

Именной указатель
287
Кибель И. А. 184, 188, 191, 194, 202,
206, 208, 216, 232
Кинсман (Kinsman В.) 48
Китайгородский С. А. 13, 48, 51—58,
62, 63, 96, 97
Кларк (Clarke R. Н.) 164
Клебанов (Klebanoff P. S.) 85, 106,
112
Клинов Ф. Я. 174
Клюг (Klug W.) 85, 102, 119
Ключникова Л. А. 172, 189
Кнапп (Knapp D. J.) 63
Коантик (Coantic М.) 62
Колдер (Calder К. L.) 16, 42, 85
Колесников А. Г. 31, 62, 216
Колесникова В. Н. 15
Колмогоров А. Н. 34, 35, 99, 215
Кондо (Kondo J.) 12
Конихаи (Counihan J.) 89
Коионкова Г. Е. 62, 63
Константинов А. Р. 41, 42, 97, 171
Копров Б. М. 68, 174, 175, 178,
180—183
Корсин (Corrsin S.) 35, 170
Кравченко Т. К. 51
Крамер (Cramer Н. Е.) 15, 68, 84—
86, 88, 180, 245
Краус (Kraus Е. В.) 62, 97
Крауфорд (Crawford Т. V.) 73
Кречмер С. И. 67
Кришна (Krishna К.) 217
Крыстанов (Кръстанов Л.) 103, 110
Крэйг (Craig R. А.) 205
Кузнецов О. А. 62
Куниши (Kunishi Н.) 51, 53, 63
Курбаткин Г. П. 232
Куросаки (Kurosaki А.) 105, 203, 218
Курпакова Т. А. 165, 167, 168, 192,
199
Куцбах (Kutzbach J. Е.) 42
Лайхтман Д. Л. 41, 62, 65, 104,
109, 117, 130, 147, 156, 170, 172, 173,
184, 188, 189, 191—195, 202, 215,
216, 221, 232, 234
Ламли (Lumley J. L.) 4, 20, 33, 38
41, 71, 83, 90, 97, 130, 174, 175, 177.
179, 181, 182, 244
Ландау Л. Д. 4, 242
Ланцет (Lancet R. Т.) 45
Лауфер (Laufer J.) 85, 106, 112
Левич В. Г. 38
Лейбензон Л. С. 188
Леттау (Lettau Н. Н.) 16, 41, 42, 65,
68, 86, 130, 134, 157, 164, 165, 167,
170, 172—175, 182, 191—194, 199,
229—231, 240
Лнлиеквист (Liljequist G. Н.) 31, 70»
Лнллелехт (Lilleleht L. U.) 63
Линник Ю. В. 77
Литвинова В. Д. 171
Лифшиц Е. М. 4, 242
Лойцянский Л. Г. 38, 99, 104
Ломоносов Е. Г. 171
Лоренц (Lorenz Е. N.) 177
Лэйп (Lappe U. О.) 62, 169
Ляпин Е. С. 170
Майлз (Miles J. W.) 63
Мак-Вейл (McVehil G E.) 69, 71, 81ь
102, 130
Мак-Грэтен (McGrattan G. J.) 177
Мак-Илрой (Mcllroy I. C.) 62
Мак-Кормик McCormick R. A.) 68
110, 193
Мак-Криди (McCready P. B.) 68, 174K
175
Малкус (Malkus W. V. R.) 83
Манир (Manier G.) 62
Манк (Munk W. H.) 63
Манн (Munn R. E.) 42, 44, 110
Мартин (Martin F. L.) 12
Марчук Г. И. 199, 221, 232
Матвеев Л. Т. 103, 171, 172, 215, 216;
Мацуока (Matsuoka Н.) 16
Машкова Г. Б. 41, 164—166, 168, 191,.
199
Мелкая И. М. 117
Мельничук Ю. В. 174, 175
Мёллер (Moller F.) 186, 187
Мильднер (Mildner Р.) 170, 172, 190»
Минервин В. Е. 171
Минц (Mintz Y.) 232

288
Именной указатель
Молло-Кристенсен (Mollo-Christian-
sen Е. L.) 150
Монин А. С. 3, 4, 12, 13, 15—17, 21,
23, 28, 31, 33, 38, 46, 48, 63, 64,
66—68, 71, 74, 82, 83, 86, 87, 90,
97, 99, 101—103, 109, 110, 119, 123,
130, 138, 139, 145, 147, 148, 153, 165,
166, 172, 176. 184, 190, 191, 193, 194,
197, 202, 205, 209, 215, 226, 243, 244,
245
Монтгомери (Montgomery R. В.) 188,
190
Мордухович М. И. 68, 69, 75, 81, 82,
85,86
Морисон (Morrison R. Е.) 97
Морозов С. А. 175
Мушенко П. М. 171, 172
Наито (Naito К.) 103
Нейман Г. (Neumann G.) 63
Нейман Дж. (Neumann J.) 103
Нккурадзе (Nikuradse J.) 39, 40, 54
Новиков Д. В. 229
Нуннер (Nunner W.) 45
ОЪрайен (O'Brien J. J.) 71
Обухов А. М. 15, 17, 21, 23, 28, 30,
32, 35, 66, 67, 99, 101, 173
Окамото (Okamoto М.) 102
Олифант (Oliphant J. Е.) 156
Омер (Omar М. Н.) 165
Омстед (Ohmstede W. D.) 191, 194
Оорт (Oort А. Н.) 177
Орленко Л. Р. 41, 165, 167, 168, 189,
192, 199
Остроумов Б. В. 242
Оуэн (Owen P. R.) 45
Пальмен (Palmen Е.) 177
Пандольфо (Pandolfo J. P.) 103, ПО
Пановский (Panofsky Н. А.) 4, 20, 33,
41, 68, 69, 71, 8i— 83, 85, 86, 88, 90,
97, 101, 102, ПО, 119, 130, 156, 174,
175, 177, 179, 181, 182, 193, 244
Панчев Ст. ПО
Паскуил (Pasquill F.) 73, 171
Паульсон (Paulson С. А.) 102
Перепелкина А. В. 68, 69, 83, 85
Пешке (Paeschke W.) 42
Пивоваров А. А. 216
Пинкел (Pinkel В.) 45
Пинус Н. 3. 67, 171, 172, 174
Плейт (Plate Е. I.) 51, 53, 63
Понд (Pond S.) 62, 174
Прандтль (Prandti L.) 28, 30, 98
Прасад (Prasad В.) 85
Праудмен (Proudman J.) 31
Преображенский Л. Ю. 62
Пристли (Priestley С. Н. В.) 16, 41,
68, 69, 83, ПО, 164, 165, 174, 216,
232
Радикевич В. М. 62
Райдер (Rider N. Е.) 70, 73
Райн (Rhyne R. Н.) 174
Райе (Rice Е. К.) 63
Рекорд (Record F. А.) 88
Решетова О. В. 57, 60
Ричардсон Л. (Richardson L. F.) 19
Ричардсон П. (Richardson P. D.) 38
Робинсон (Robinson G. D.) 12, 63, 68,
70
Ролль (Roll Н. U.) 48, 53, 54, 60, 62
Россби (Rossby С. G.) 184, 187, 188,
190
Ротта (Rotta J. С.) 38
Рузин М. И. 170, 172, 194, 203
Рябенький В. С. 221
Саберский (Sabersky R. Н.) 44, 45
Савельева Т. А. 170, 172, 194
Сакакибара (Sakakibara S.) 186
Самойленко В. С. 54
Сафмен (Saffman P. S.) 16
Свенсон (Swanson R. Н.) 180
Свердруп (Sverdrup Н. U.) 54, 94
Седов Л. И. 3
Селлерс (Sellers W. D.) 101
Сенека (Seneca J.) 174, 175
Сермак (Cermak J. Е.) 71, 72, 89
Сеттон (Sutton О. G.) 41, 65
Сибул (Sibul О. J.) 63
Сизов А. А. 62

Именной указатель
289
Сионо (Syono S.) 102
Скули (Schooley А. Н.) 55, 56, 63
Смагоринский (Smagorinsky J.) 232
Смит С. (Smith S. D.) 62
Смит Ф. (Smith F. В.) 177, 179
Снопков В. Г. 51, 57, 58, 60, 62
Стюарт P. (Stewart R. W.) 31, 48,
62,63
Стюарт X. (Stewart Н. J.) 174, 188
Суинбенк (Swinbsnk W. С.) 67, 68,
73, 74, 82, 83, 86, 102, 103, 131, 134
Суоми (Suomi V. Е.) 68
Сэндс (Sands Е. Е.) 177
Такайя (Takaya S.) 187
Такахаши (Takahashi Т.) 13, 51, 57,
58, 60, 97
Такев К. 187
Такеда (Takeda А.) 51
Татарский В. И. 20, 85, 174, 175
Татро (Tatro P. R.) 150
Таунсенд (Townsend А. А.) 12, 38,
83, 156
Тверской П. Н. 47, 92
Телфорд (Telford J. W.) 182
Теннекес (Tennekes Н.) 149, 154
Тимановский Д. Ф. 51
Ткаченко А. В. 170
Томас (Thomas D. В.) 83
Томпсон (Thompson N.) 180
Томсон (Thomson W. Н.) 45
Торнтвейт (Thornthwaite С.*Н.) 65
Туиллер (Thuillier R. Н.) 169
Тьюки (Tukey J. W.) 34
Тэйлор Дж. (Taylor G. I.) 31, 34,
169, 185, 186
Тэйлор P. (Taylor R. J.) 68, 69, 174,
175
Тэнк (Tank W. G.) 174, 175
Тэрнер (Turner J. S.) 31
Уилкинс (Wilkins E. M.) 174—176
Унллис (Willis G. E.) 83
Уонг (Wong E. Y. J.) 170, 172
Уориер (Werner J.) 182
Утина 3. M. 156, 189
Уэбб (Webb E. K.) 48, 62, 69, 71, 83,
97, 130
Фанк (Funk J. P.) 12
Филлипс H. (Phillips N. A.) 232
Филлипс О. (Phillips О. M.) 48, 63
Фитцджеральд (Fitzgerald L. M.) 63
Флигл (Fleagle R. G.) 13, 52, 57, 58,
60, 97, 239
Фоллер (Faller A. J.) 62, 150
Френзен (Frenzen P.) 174
Френкиль (Frenkil E. N.) 174, 175
Френсис (Francis J. R. D.) 63
Фридман A. A. 110
Фрост (Frost R.) 187
Хайди (Hidy G. M.) 51, 53, 63
Халтинер (Haltiner G. J.) 12
Хамуро (Hamuro M.) 102
Ханратти (Hanratty T. J.) 38, 63
Xacce (Hasse L.) 62
Хауген (Haugen D. A.) 180, 244
Хёгстрём (Hogstrom U.) 70, 82
Хей (Hay J. S.) 54
Xecc (Hess G. D.) 181
Хинце (Hinze J. O.) 38
Хобер (Hoeber H.) 170, 172, 173, 182
Холопайнен (Holopainen E. O.) 177
Холстид (Halstead M.) 70
Цваяг Л. P. 15, 33, 68, 69, 75, 81, 82,
85—87, 91, 174, 175, 178, 180—182
Цверава В. Г. 165
Цветкова Т. Н. 203
Цейтин Г. X. 189, 193
Циммерман (Zimmerman S. R.) 177
Чаликов Д. В. 71, 75, 81, 82, 102,
118, 130, 147, 157, 204, 235, 237,
238, 240, 241
Чанади (Csanady G. I.) 21, 154, 164
Чарни (Charney J.) 150
Чарнок (Charnock Н.) 50, 54, 82, 102,
149, 154, 164, 174, 175
Чемберлен (Chamberlain А. С.) 45
Чен (Tchen С. М.) 38
Черников А. А. 174, 175
Чжан (Chuang Н.) 71, 72, 89
Чжоу Мин-Юй 15
Чинг (Ching J. К- S.) 204
Чудновский А. Ф. 65, 170, 215

290
Именной указатель
Чуринова М. П. 170, 172
Шарон (Sharon S. Wu.) 217
Швердтфегер (Schwerdtfeger W.) 170
Швец М. Е. 188, 214, 215
Шеллард (Shellard Н. С.) 60
Шеппард (Sheppard Р. А.) 42, 54, 165
Шимануки (Shimanuki А.) 103, 204
Шиотани (Shiotani М.) 68, 71
Шлихтинг (Schlichting Н.) 38
Шмидт (Schmidt W.) 65
Штейнер (Steiner R). 174
Шубауэр (Schubauer G. В.) 38
Шулейкин В. В. 54
Эванс (Evans S. F.) 60
Экман (Ekman V. W.) 184
Эли (Ely R. P., Jr.) 68
Элиассен (Eliassen А.) 232
Эллен (Allen L. Н., Jr.) 42 "i
Эллиот (Elliott W. P.) 105, 171, 172
Эллисон (Ellison Т. H.) 31, 54, 82, 87,
101, 109, ИЗ, 149, 154, 164, 188 "
Энджел (Angell J. К.) 171, 182
Эпплби (Appleby J. F.) 191, 194 j
Эсток (Estoque M. A.) 217
Юдин M. И. 188, 215
Ягер де (de Jager С.) 174, 175
Яглом А. М. 3, 4, 13, 15—17, 21, 31;
33, 34, 38, 64, 68, 83, 88, 90, 97,
ИЗ, 174, 175, 181, 190, 244
Ямамото (Jamamoto G.) 12, 101, 103,
204

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Список основных обозначений 5
Часть 1. ПРИЗЕМНЫЙ СЛОЙ АТМОСФЕРЫ
1.1. Некоторые предварительные сведения 9
1.1.1. Определение приземного слоя 9
1.1.2. Коэффициенты турбулентного обмена. Уравнения для
турбулентной энергии и для дисперсии температурных пульсаций . 16
1.2. Теория подобия 21
1.2.1. Общие выводы для температурно-стратифицированной
атмосферы (теория подобия Монина—Обухова) 21
1.2.2. Взаимодействие атмосферы с поверхностью суши 36
1.2.3. Специфика приводного слоя воздуха 47
1.2.4. Экспериментальные данные о вертикальной структуре
приземного слоя 63
1.2.5. Эффект стратификации влажности 92
1.3. Полуэмпирические теории 97
1.3.1. Основные гипотезы 98
1.3.2. Простейшая модель приземного слоя 105
1.3.3. Более детальные модели. Уравнения для одноточечных
вторых моментов 109
1.3.4. Приближенный учет фазовых переходов влаги 114
1.4. Методы расчета турбулентных потоков по данным градиентных
наблюдений 118
1.4.1. Определение потоков по номограммам 120
1.4.2. Произвольное число уровней измерений 125
1.4.3. Некоторые особые случаи 126
1.4.4. Оценки погрешностей 130
1.4.5. Типичные значения и изменчивость потоков 138
Часть 2. ПЛАНЕТАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
2.1. Основные понятия 142
2.1.1. Требования к теории 142
2.1.2. Ограничения общности 144
2.2. Теория подобия и экспериментальные данные 147
2.2.1. Температурно-стратифицированная атмосфера 147
2.2.2. Учет стратификации влажности 154
2.2.3. Экспериментальные данные 155
2.3. Полуэмпирические теории стационарного пограничного слоя . . .184
2.3.1. Простейшие модели распределения ветра по высоте . . . .184
2.3.2. Замыкание уравнений с помощью полуэмпирических гипотез. 189
2.4. Нестационарный пограничный слой (теория суточных колебаний
метеорологических полей) 212
2.4.1. Теоретические модели, основанные на априорном задании
коэффициентов обмена 214
2.4.2. Замыкание уравнений на основе полуэмпирических гипотез . 216
2.5. Некоторые приложения 231
2.5.1. Пограничный слой и динамика крупномасштабных
атмосферных процессов 231
2.5.2. Оценки ветровых нагрузок на высотные сооружения .... 241
Заключение 246
Литература 250
Именной указатель 285

ЗИЛИТИНКЕВИЧ СЕРГЕЙ СЕРГЕЕВИЧ
Динамика пограничного слоя атмосферы
ОТВ. РЕДАКТОР А. С. МОНИН
РЕДАКТОР Л. Л. БЕЛЕНЬКАЯ
ХУДОЖНИК В. А. ЕВТИХИЕВ
ХУДОЖ. РЕДАКТОР И. Н. КОШАРОВСКИЙ
ТЕХН. РЕДАКТОР И. К. ПЕЛИПЕНКО
КОРРЕКТОРЫ: М. А. ГАЛЬПЕРИНА, И. А. КАСПАРОВА
Сдано в набор 17/ХН 1969 г. Подписано к
печати 18/1II 1970 г. Бумага 60x90»/ie. Бум. л. 9,125.
Печ. л. 18,25. Уч.-изд. л. 18,80. Тираж 1600 экз.
М-13178. Индекс МЛ-128.
Заказ № 2421. Цена 1 р. 70 к.
Гидрометеорологическое издательство. Ленинград, В-53,
2-я линия, д. № 23.
Ленинградская типография № 12 им. М. И. Лоханкова
Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР, Ленинград, ул. Правды, 15.