В, Серпинский
СТО ПРОСТЫХ,
НО ОДНОВРЕМЕННО
И ТРУДНЫХ ВОПРОСОВ
АРИФМЕТИКИ
* * *
НА ГРАНИЦЕ ГЕОМЕТРИИ
И АРИФМЕТИКИ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
Перевод с польского, предисловие
и примечания В. А. Голубева
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва 1961

WACLAW SIERPINSKI
О STU PROSTyCH,
ALE TRUDNyCH
ZAGADNIENIACH ARyTMETyKI
POGRANICZA GEOMETRII
I ARYTMETYKI
PRZyPISy
opracowal A, Makowski

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Настоящая книга известного математика,
вице-президента Польской Академии наук Вацлава Серпинского
состоит из двух частей. Первая часть: «Сто простых, но
одновременно и трудных вопросов арифметики» —доступна
ученикам 7—8 классов средней школы. В этой части изложены
в форме вопросов и ответов простые по формулировке, но
трудные для решения, очень интересные задачи по
арифметике; большая часть этих задач относится к высшей
арифметике, то есть к теории чисел. Многие из них
являются проблемами, не решенными до настоящего
времени. В книге они приведены в систему. Установлена связь
между ними там, где она возможна.
К первой части книги имеются примечания А. Монков-
ского (A. Makowski), в которых изложены элементарные
решения задач и доказательства теорем, опущенные В. Сер-
пинским в виду их сложности. Эти примечания отмечены
номерами в квадратных скобках, например [I]. Для
понимания примечаний иногда потребуются некоторые сведения
по элементарной теории чисел.
Вторая часть книги: «На границе геометрии и
арифметики»— вводит читателя в круг интересных вопросов так
называемой геометрии чисел (целых и рациональных). Она
также изложена интересно и популярно и требует для ее
понимания лишь небольших знаний по тригонометрии и
аналитической геометрии.
3

Ссылки на книги на польском языке при переводе, где
это возможно, заменены ссылками на соответствующие
книги на русском языке.
Даны примечания переводчика, в которых имеются
результаты, не указанные в тексте. Эти примечания
отмечены числами в круглых скобках, например (I).
Книга В. Серпинского интересна и полезна для
учителей математики средней школы при работе со школьными
кружками и для самостоятельных исследований по высшей
арифметике и геометрии чисел.

СТО ПРОСТЫХ, НО ОДНОВРЕМЕННО И ТРУДНЫХ
ВОПРОСОВ АРИФМЕТИКИ
«Jn re arithmetica ars
proponent questionem pluris facien*
da est quam solvendi»*
G eorg Cantor.
Часто в математике естественным образом возникают
простые вопросы, ответы на которые являются трудными
или даже до сих пор неизвестными. Много таких вопросов
имеется также в арифметике.
Нерешенные вопросы арифметики мы можем разбить
на два рода. К первому роду причислим вопросы, для
которых мы знаем методы решения. Эти методы
после выполнения некоторых, указанных в них- вычислений,
несомненно, привели бы нас к решению данных вопросов,
но вследствие длительности вычислений (следовательно, по
трудности чисто технической) мы не можем их выполнить
в данное время, даже при помощи самых мощных из
существующих сейчас вычислительных машин.
К вопросам второго рода отнесем все другие,
нерешенные до сих пор вопросы; для этих вопросов мы не
знаем метода, который даже после долгих и утомительных
вычислений, хотя бы и превосходящих наши современные
возможности, привел бы к их решению.
Примером вопросов первого рода является определение
всех натуральных делителей числа 2101 — 1. Для их
нахождения достаточно было бы делить последовательно наше
число на числа 1, 2, 3,..., до 2101—1 и выяснить, которые
из них делят наше число без остатка. Однако это
потребовало бы вычислений, превосходящих наши современные
*«В арифметике искусство ставить вопросы важнее умения их
разрешать». Георг Кантор. (1)
5

возможности. Очевидны два натуральных делителя нашего
числа — 1 и 2101 — 1; интересно, что доказано
существование еще других натуральных делителей нашего числа
(что, впрочем, не было легким делом), но мы не знаем до
сих пор ни одного из них.
Достойно внимания и то обстоятельство, что для
числа 2101, которое больше рассмотренного нами на единицу,
мы знаем все натуральные делители, число которых 102;
именно это первые 102 члена геометрической
прогрессии (со знаменателем 2): 1, 2, 4, 8, 16,..., 2100, 2Ш.
Итак, исследование рядом стоящих в натуральном ряде
чисел может представлять весьма различную степень
трудности.
Другим примером вопроса первого рода является
нахождение разложения числа 10 на сумму конечного числа
различных дробей с числителем 1 и натуральным
знаменателем. Известен метод определения разложения такого
рода для каждого рационального положительного числа.
Однако доказано, что в каждом разложении числа 10 на
1
сумму конечного числа различных дробей вида — (где
п — число натуральное) число слагаемых больше 12 366,
благодаря чему отыскание такого разложения практически
невыполнимо [1].
Примером вопросов второго рода является проблема,
имеет ли уравнение хд -f- yz -\- г3 = 3 другие решения в
целых числах х, у, г, кроме известных четырех:
х = y = z = 1;
х = 4, у = 4, z = —5;
х = 4, г/= —5, 2 = 4;
х= —5, у = 4, z = 4.
Случалось, что проблема, которая в свое время была
вопросом второго рода, впоследствии была решена. Так,
например, в 1845 г. Ж. Бертран высказал
предположение, что если натуральное число п > 1, то между
числами п и 2п находится по меньшей мере одно простое число.
В то время вопрос о справедливости этого предположения
являлся проблемой второго рода. Но пять лет спустя
П. Л. Чебышев доказал, что это предположение
(известное под названием постулата Бертрана) справедливо. До-
6

казательство, данное Чебышевым, не было элементарным.
Элементарные доказательства были найдены после 1930 г.*
Со времен П. Ферма (1601 — 1665) вопросом второго
рода был вопрос о справедливости предположения Ферма,
что для каждого натурального числа п число
Fn=22n + L
Так называемое п-е число Ферма простое, то есть не
имеет другого натурального делителя, кроме числа 1 и
самого себя. Только Л. Эйлер в 1732 г. доказал, что
5
предположение Ферма ошибочно, так как число Fb = 22 +
_|_ J = 232-j- 1 = 4 294 967 297 не простое, ибо оно делится
на 641 [2].
Иное дело, что в данном случае опровержение
предположения Ферма не было, вообще говоря, делом трудным.
Ферма знал, что числа Fn простые при п < 5. Число F5
содержит 10 цифр в десятичной системе счисления.
Следует удивляться, что Ферма, высказывая свое
предположение, не попробовал делить число F5 на последовательные
простые числа, меньшие тысячи; если бы он это сделал
(что во времена Ферма, когда не было машин для
вычислений, было делом обременительным, но выполнимым), то
убедился бы, что число F5 — число составное.
Теперь мы знаем уже 35 составных чисел Fn, именно
при я = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38,
39, 55, 58, 63, 73, 77, 81, 117, 125, 144, 150, 207, 226,
228, 250, 267, 268, 284, 316, 452, 1945. Наименьшим
числом Fn, о котором мы не знаем, простое ли оно или нет,
является число Fi3i имеющее 2467 цифр. В настоящее
время вопрос о том, простое ли число Fi3, является
вопросом первого рода (ибо достаточно делить Fxs на
последовательные, меньшие его, простые числа, чтобы убедиться,
простое оно или нет), но, быть может, через несколько
лет, при помощи электронных машин, он будет разрешен.
Доказательства того, что указанные выше числа Fn не
простые, не являются легкими. Пэдробности о том, как они
проводятся, находятся в моей книжке «Чем занимается
теория чисел»— «Czym sis zajmuje teorialiczb» («Wiedza
Powszechna», Warszawa, 1957, Rodzial VI).
*Cm. W. S i e r p i n s k i, Arytmetyka teoretyczna, Warszawa*
1955, стр. 72 — 78.
7

В связи с тем что мы знаем только несколько простых,
именно наименьших чисел Ферма Fm но 35 составных,
высказано недавно предположение, что все числа Fn при /г> 5
составные. Это предположение является теперь вопросом
второго рода [3].
Вопросом второго рода до недавнего времени был
вопрос о том, существуют ли натуральные числа п > 1, для
которых число п-2п-\-\ (так называемое число К аллеи а)—*
простое. Только недавно нашли наименьшее такое
число при п = 141.
После опровержения предположения Ферма о числах Fa
возникли следующие две проблемы: 1) Существует ли
среди чисел Fn (п = I, 2, . . . ) бесконечное число простых
чисел? 2) Существует ли среди чисел Fn (п = 1,2, . . . )
бесконечное число составных чисел?
Каждый из этих вопросов является сейчас вопросом
второго рода.
Проблемой второго рода в течение долгого времени был
22
вопрос о том, все ли числа ряда 2 —f- 1, 23 —f-1, 2 + 1,
222 +1» ••• являются простыми.
Только в 1953 г. при помощи электронных машин
доказано, что ответ на этот вопрос является отрицательным;
именно, оказалось, что пятый член эгого ряда, число F16 =
= 22l° + 1, имеющее 19729 цифр, есть составное число,
при этом был найден простой наименьший делитель этого
числа, которым является число 218 • 3150 -|- 1 [4].
Таким образом, некоторые трудные, давно
поставленные вопросы арифметики были решены только в недавнее
время.
Случалось также, что вопрос второго рода позднее
становится вопросом первого рода. Так было,
например, с вопросом, является ли каждое нечетное число,
большее семи, суммой трех нечетных простых чисел. Это было
вопросом второго рода до тех пор, когда И. М.
Виноградов доказал, что каждое нечетное число п > а = З3 есть
сумма трех простых нечетных чисел [5].
В связи с этим результатом проблема о том, является
ли каждое нечетное число п > 7 суммой трех нечетных
простых чисел, стал теперь вопросом первого рода, так как
достаточно было бы испытать, что каждое нечетное
число > 7, но с а есть сумма трех простых нечетных чисел
(а для каждого натурального числа отыскание всех его
8

разложений на сумму трех простых нечетных чисел или
утверждение, что таких разложений нет, является, как
легко видеть, вопросом первого рода).
Мы даем далее ряд примеров вопросов первого и второго
родов. Вопросы первого рода будем обозначать через Рк
(где к =1,2,. ¦ . ), вопросы второго рода — через Р\ ,
вопросы же, на которые известны ответы, — через Рк.
Р\. Существует ли среди чисел 2п—1, где п — число
натуральное, бесконечное множество простых чисел?
Доныне знаем 18 простых чисел этой формы, из
которых наибольшим является число 23217—1, имеющее
969 цифр. Простоту этого числа доказал Ризель (Я. Riesel)
в 1957 г. Это число является наибольшим из известных
теперь простых чисел [6].
Легко доказать, что если число 2п — 1 (так называемое
число Мерсенна) — простое, то п должно быть простым
числом, но не обратно, так как, например, 211—1 =23-89.
Р2. Существует ли бесконечное множество простых
чисел р, для которых 2Р—1—составное число?
Р3. Если число 2п — 1 простое, то будет ли и число
22П~~Х простым'*
Предполагали в течение долгого времени, что ответ на
вопрос Ря является утвердительным. Что это не так,
доказано в 1933 г., когда Уилер (D. J. Wheeler) убедился
(при помощи электронной машины), что число/я=22 ~1 —1
(имеющее 2466 цифр)-составное, хотя число 213—1=8191—
простое. Однако мы не знаем до сих пор ни одного
делителя числа т, отличного от 1 и от т. Вместо этого в
1957 г. обнаружено, что числа 22 "~1 — 1 и 22 """* — 1
составные, хотя числа 217 — 1 и 219 — 1 являются
простыми; при этом найдено, что число 22 "-1 — 1 делится
на 1763.(217—1)+1, число же 22 —1 делится на
120-(219— 1) + 1.
Р4. Существует ли бесконечное множество простых
чисел вида 2т -f 2" — 1, где т и п — натуральные числа?
Если ответ на вопрос Р\ был бы отрицательным, то
отрицательным был бы и ответ на вопрос Р\ (так как
2т+ — 1 = 2т -\- 2т — 1), а также и простых чисел Ферма
было бы тогда конечное число (ибо 2т -{-\ = 2т -j- 21 — 1).
9

Рь. Правда ли то, что если 2п—1 является
простым числом, то и число 2п— 1 -)- 100 — простое?
В течение ряда лет не умели ответить на этот вопрос;
только в 1957 г. Сельфридж (/. L. Selfridge) обнаружил,
что это предположение неверное, так как число 231— 1
—простое, но число 231 -\- 99 — составное, делящееся на 1933.
Р\ . Существует ли бесконечное множество простых
чисел вида 2т -Ъп-\-1, где т и п — натуральные числа?
Если простых чисел Ферма было бы бесконечное
множество, то ответ на вопрос Р\ был бы утвердительным.
Т. Куликовский указал несколько десятков простых
чисел вида 2т -Ъп-{-1; наибольшее из указанных им таких
чисел есть число 3-2б34-)-1, имеющее 162 цифры.
Р]. Имеется ли, кроме чисел 2=11-)-1, 5 = 22-f-1,
257 = 44 -\- 1, хотя бы еще одно простое число вида
пп ~\- 1, где п — натуральное число?
Можно доказать, что если такое простое число
существует, то оно должно иметь более 300 000 цифр [7].
Р\. Имеется ли, кроме чисел 2 и 17, хотя бы одно
простое число вида пп -f-1, где п — натуральное число?
Можно доказать, что если такое простое число
существует, то оно должно иметь более миллиарда миллиардов
цифр [8].
Р\. Существует ли хотя бы одно простое число р
такое, что число 2? — 1 имеет делителем квадрат
натурального числам 1?
Ф. Якубчик высказал предположение, что такого
простого числа р не имеется.
Р\о. Существует ли бесконечное множество
натуральных чисел п, для которых число 2п — 1 не делится на
квадрат натурального числа > 1 ?
Этот вопрос поставлен А. Шинцелем (A. Schinzel).
Если бы ответ на него был отрицательным, то ответ
на вопрос Р\ был бы утвердительным [9].
Рц. Существует ли бесконечное множество простых
чисел, которые (в десятичной системе счисления) имеют
все цифры, равные 1?
Можно доказать (хотя это и трудное дело), что, если
мы напишем два произвольных конечных ряда цифр,
разделенных незаполненным местом, причем последняя цифра
последнего ряда должна быть 1, 3, 7 или 9, можно вписать
ДО

в оставшееся незаполненное место необходимое число
соответствующих цифр так, что полученное таким способом
число будет простым. Отсюда следует, например, что
существуют простые числа, запись которых в десятичной
системе счисления содержит в начале и на конце числа
бесконечное множество цифр 1 (см. Acta Arithm, 5, str. 265).
Р?2- Существует ли бесконечное множество простых
чисел вида х2-{-1, где х — натуралоное число? (2).
Вместо этого доказано, что существует бесконечное
множество натуральных чисел х, для которых число х2 + 1
является произведением не более четырех простых чисел.
Доказательство этого предложения трудное.
Р21з. Существует ли бесконечное множество простых
чисел вида х2 -f- у2 -\-1, где х и у — натуральные числа?
Ри. Существует ли бесконечное число простых чисел
вида х2-\-y2Jr z2-\- 1, где х, у и z — натуральные числа?
Ответ на этот вопрос — утвердительный, но
доказательство этого предложения является трудным. Легче доказать,
что существует бесконечное множество простых чисел вида
х2-\-у2у где х и у числа натуральные [10J (3).
Легко также доказать, что существует только одно простое
число вида х* + 1, где х—натуральное число, так как
число лс3-)-1, как известно, делится на лг-J-l, при этом
при *> 1 оно больше я-j-l, поэтому оно — составное.
Также мы знаем простые числа вида а:4 + 1, где х —
натуральное число, например: 17 = 24 -f-1, 257 = 44 -f-1,
но не знаем, имеется ли их бесконечное число (4).
Pis. Имеется ли среди чисел п\-\-\, где п —
натуральное число, бесконечное множество простых чисел?*
Доказательство того, что число 11! -f-1 = 39 916 801 —
простое, является трудным.
Мы не знаем, является ли число 27! -f-1 простым;
этот вопрос, очевидно, первого рода. Вместо этого легко
доказать, что среди чисел п\ -(-1 имеется бесконечное
множество составных чисел [11].
Р?6. Существует ли хотя бы одно четное число > 2,
не являющееся суммою двух простых чисел}
Предположение, что ответ на этот вопрос —
отрицательный, высказал X. Гольдбах в 1742 г.; оно проверено
для четных чисел < 100 000. Высказано также более силь-
* Символ п\ (п —факториал) означает произведение 1 • 2 • 3 ....•/*.
И

ное предположение, именно, что каждое четное число > 6
есть сумма двух различных простых чисел.
Р2\7- Существует ли хотя бы одно четное число, не
являющееся разностью двух простых чисел?
В связи с «опросом Я?/ высказано предположение, что
должен быть утвердительным ответ на следующий вопрос.
Р?8- Можно ли представить каждое четное число
бесконечньш числом способов в виде разности двух простых
чисел?
Заметим еще следующее относительно вопросов Р?6 и
Р2{1\ для каждого данного натурального числа п мы можем
(не считаясь с длительностью необходимых вычислений)
решить, является ли оно или нет суммою двух простых
чисел, в то же время мы не знаем никакого способа,
позволяющего для каждого данного четного числа выяснить,
является ли оно или не является разностью двух простых
чисел. Для большинства нечетных чисел мы можем решить
это, хотя для некоторых нечетных чисел этот вопрос и
теперь еще является вопросом первого рода, например
для числа 22 — 1 [12].
О двух простых числах, разность между которыми
равна 2, мы говорим, что они составляют пару простых
чисел -близнецов.
Если бы был положительным ответ на вопрос Р2Х8, то
был бы утвердительным также ответ на вопрос:
Р\9. Существует ли бесконечное множество пар про*
стых чисел-близнецов?
Таких пар, меньших миллиона, имеется более 8 тысяч:
наибольшую из известны* такую пару составляют простые
числа р и /> + 2, где р = 1000 000 009 649(5).
Известны также четверки простых чисел > 10,
различающихся только последней цифрой, как например,
четверка 11, 13, 17, 19 или 191, 193, 197, 199. Наибольшую
из известных таких четверок простых чисел р, р + 2, р -f- 6,
р + 8 мы имеем при р = 2 863 308 731 (которую указал
в 1957 г. А. Фгррье) (6).
Мы не знаем, существует ли бесконечное множество
таких четверок. Легко доказать, что этот вопрос равносилен
вопросу: существует ли бесконечное число натуральных
12

чисел п > 4, для которых числа (п— 1)! и п(п-{-2)
(п-\-6)(п -f- 8) не имеют общего делителя, кроме единицы [13].
Р2о- Имеется ли для каждого натурального числа т
только конечное число пар простых чисел р и # > р таких,
что q — p<m?
Если бы ответ на вопрос Р219 был утвердительным,
то был бы отрицательным ответ на вопрос Р220 (уже
при т = 3).
р\х. Существует ли как угодно длинные
арифметические прогрессии, образованные только из различных
простых чисел?
Самой длинной, известной нам арифметической
прогрессией, образованной только из простых чисел, является
12-членная арифметическая прогрессия с первым членом
23143 и разностью 30 030, найденная В. А. Голубевым.
Мы не знаем, существует ли арифметическая
прогрессия, составленная из ста различных простых чисел.
Доказано, что если такая прогрессия существует, то ее члены
(кроме, может быть, первого) должны иметь по меньшей
мере по нескольку десятков цифр [14].
Р22. Существует ли бесконечное число арифметических
прогрессий, образованных из трех простых чисел}
Доказано, что ответ на этот вопрос является
утвердительным, но доказательство этого предложения трудное.
Примерами таких прогрессий будут 5, 3, 7, или 11, 17, 23,
или 47, 53, 59. В этой последней прогрессии имеется три
последовательных простых числа (то есть такие, между
которыми не лежит ни одно простое число) [15].
Возникает вопрос:
Р\$. Существует ли бесконечное множество
арифметических прогрессий, составленных из трех
последовательных простых чисел?
Мы знаем арифметические прогрессии, образованные
из четырех последовательных простых чисел, например:
251, 257, 263, 269 или 1741, 1747, 1753, 1759.
Согласно предположению А. Шинцеля, существуют
произвольно длинные арифметические прогрессии,
составленные из последовательных простых чисел. Однако мы
до сих пор не знаем ни одной арифметической прогрессии,
образованной из пяти последовательных простых чисел, и
не знаем, существует ли такая прогрессия.
13

Легко доказать, что существует бесконечное
множество арифметических прогрессий, составленных из трех
различных квадратов натуральных чисел, что вытекает
непосредственно из тождества:
(Л2 _ 2/2 — I)2 + (Я2 + 2П — I)2 = 2(/22 + I)2.
Возникает вопрос:
Р\а. Существует ли бесконечное множество
арифметических прогрессий, составленных из трех различных
квадратов простых чисел?
Мы знаем такие прогрессии, например: 72, 132, 172
или 72, 172, 232.
Несколько сот лет тому назад был поставлен вопрос:
Р25. Существуют ли арифметические прогрессии,
образованные из четырех различных квадратов натуральных
чисел?
Уже Ферма доказал, что таких прогрессий нет, но
доказательство этого предложения является трудным.
Трудны также доказательства того, что на следующие
вопросы ответы будут отрицательными.
Р26- Существуют ли арифметические прогрессии,
образованные из трех различных кубов натуральных чисел? [16].
Р27. Существуют ли арифметические прогрессии, сое-
тавленные из трех различных биквадратов
натуральных чисел?
Относительно арифметических прогрессий,
образованных из целых чисел, заметим, что еще в первой половине,
XIX в. занимались вопросом, какие из этих прогрессий
заключают бесконечное множество простых чисел.
Если у нас имеется арифметическая прогрессия с
первым членом а и разностью г, то есть прогрессия:
a, a-\-r, a-j-2ry a-\-3r,... (I)
или a-\-kr,
где k = 0, 1, 2, . . . и если натуральные числа
а и г имеют общий делитель d > 1, то все члены нашей
прогрессии делятся на d, следовательно, все члены,
кроме, может быть, первого, составные. Если
арифметическая прогрессия (I) содержит бесконечное множество
простых чисел, ее первый член а и разность г не могут иметь
общего делителя, большего единицы, то есть должны быть
взаимно простыми числами. Возникает теперь вопрос:
14

Р28. Содержит ли каждая арифметическая прогрессия
a-\-kr (А = О, 1, 2,...), где а и г —взаимно простые на-
туральные числа, бесконечное множество простых чисел?
В 1837 г. Лежен-Дирихле доказал, что ответ на этот
вопрос является положительным; но доказательство этого
предложения не элементарно. Хотя в последнее
десятилетие были найдены элементарные доказательства, но они
являются длинными. Заметим, что не было бы легче
доказательство предложения, что в каждой
арифметической прогрессии, первый член и разность которой суть
числа взаимно простые, имеется по меньшей мере одно
простое число. Из этого предложения легко было бы
вывести теорему Лежен-Дирихле [17].
Р19. Верно ли предположение А. Шинцеля о том, что
если а и г — натуральные взаимно простые числа, а<г,
то существует целое число k такое, что 0<А<г и
что a-\-kr простое число?
А. Горжелевский проверил, что это предположение
верно для всех натуральных чисел а иг, где а<г < 100.
Теорема Лежен-Дирихле дает также ответ на вопрос,
какие из многочленов первой степени с целыми
коэффициентами с одним переменным дают бесконечное
множество простых чисел, когда переменное принимает
натуральные значения. В то же время мы не знаем ни
одного многочлена с одним переменным степени выше первой,
который бы давал бесконечное множество простых чисел,
когда переменное пробегает ряд натуральных чисел (сравни
с вопросом Р?2).
Рзо- Найти простое число, имеющее 500 цифр.
Из постулата Бертрана (доказанного П. Л. Чебыше-
вьщ), о котором мы говорили выше, легко вывести, что
существует даже более одного такого числа, но до сих
пор не знаем ни одного из них. Известны простые числа,
имеющие более 500 цифр, например числа Мп = 2п — 1,
(п = 2281 и п = 3217), имеющие соответственно 687 и 969
цифр; мы знаем также и другие простые числа, имеющие
более 500 цифр, но не знаем ни одного простого числа,
имеющего 1000 или более цифр [18].
Рзь Лежит ли между п2 и (п-\- I)2 при каждом
натуральном п по меньшей мере одно простое число? [19] (7).
Рз2- Лежит ли при каждом натуральном п между п2 и
п2-\-п по меньшей мере одно простое число?
15

Очевидно, что если ответ на вопрос Р\2 был бы
положительным, то также и ответ на вопрос Р2з1 был бы
положительным [20].
Язз- Если для натурального числа /г> 1 выпишем
последовательно числа 1, 2, 3,..., п2 в п строк по п чисел
в каждой строке:
1, 2, 3, , л,
п+\, /2 + 2, , 2л,
2/2+ 1, 2/г + 2, ,3/2,
Ла#—2/г+1,' '. '. '. '. '. '. '. '. '. ! ,' (/г~#1)/г,
ft2 —/2+1, , /22,
то будет ли каждая строка содержать по меньшей
мере одно простое число?
Вот, например, для /2 = 5 наша таблица имеет
следующий вид (простые числа подчеркнуты):
1, 2, 3, 4, 5
6, 7, 8, 9, 10
П_, 12, 13, 14, 15
16, Г7, 18, И), 20
21, 22, 23, 24, 25
А. Шиниель доказал, что ответ на вопрос Р%
является утвердительным для 1 < п < 3000.
Можно легко доказать, что из утвердительного ответа
на вопрос Р23з вытекает утвердительный ответ на
вопрос Р\2. [21]
Рз4- Можно ли каждое положительное рациональное
число представить в виде ^— , где р и q — простые
<7+1
числа?
Яз5. Можно ли представить каждое положительное
рациональное число в виде 1—— , где р и q — простые
я— 1
числа?
Высказано предположение, что каждое положительное
рациональное число может быть представлено бесчислен-
16

ным числом способов как в виде *—^- , так и в виде -—- »
q+l ?—1
где р и 9— простые числа. Мы не знаем доказательства
этого предположения даже для числа 2. Предложение о том,
что число 2 можно представить бесчисленным числом
способов в виде 2 = ^Ь_, где р и q — пррстые числа, как
легко доказать, равносильно предложению о том, что
уравнение р — 2q = 1 имеет бесконечное множество решений
в простых числах р и q. Таким образом, для некоторых
очень простых уравнений первой степени с двумя
неизвестными мы не только не можем найти всех их решений
в простых числах, но даже не можем дать ответа на
вопрос, будет ли таких решений бесконечное число.
Можно легко доказать, что вопрос, имеет ли
уравнение p-\-q = г бесконечное число решений в простых
числах р, q иг, является равнозначным вопросу Р\#
Вопрос же о том, имеет ли уравнение p-\-q = 2r
бесконечное число решений в различных простых числах р, q, r>
равнозначен (решенному) вопросу Ргг.
В некоторых случаях легко найти все решения в
простых числах уравнения второй степени с двумя
неизвестными; например, легко доказать, что уравнение р2 — 2q2 =
= 1 имеет только одно решение в простых числах р и q:
р = 3, q = 2 (ибо q не может быть числом 3, а при
натуральном q, не делящемся на 3, число 2q2 +1 всегда
делится на 3).
Однако еще неизвестно, имеет ли уравнение р2 —
— 2q2 = — 1 бесконечное число решений в простых
числах р и q. Такими решениями являются, например, р = 7,
q = 5 или р = 41, q = 29.
Легко доказать, что уравнение p2-\-q2 = r2 не имеет
ни одного решения в простых числах р, q, r.
Уравнение же p2-\-q2 = r2-\-s2 имеет бесконечное множество
решений в различных простых числах р, q, r, s.
Доказательство этого утверждения, найденное П. Эрдёшем,
трудное.
Из теоремы И. М. Виноградова вытекает, что
уравнение р -\- q -\- r = s имеет бесконечное множество решений
в простых числах pt qy r и s, так как нечетное простое
число есть сумма трех простых чисел.
17

Существует доказательство, что уравнение р -\- q =
= г -)- s имеет бесконечное число решений в различных
простых числах р, q, r, s [22].
Рзб- Существует ли бесконечное множество
натуральных чисел п, для которых каждое из чисел п и п-\-\
имеет только один простой делитель?
Таких чисел мы знаем до сих пор только 24.
Наименьшими из них являются п = 2, 3, 4, 7, 8, 16, 31, 127, 256,
наибольшим из известных п = 23217 — 1. Можно доказать,
что из трех последовательных натуральных чисел > 7 по
меньшей мере одно имеет более одного делителя.
P\i. Существует ли бесконечное число натуральных
чисел п таких, что каждое из чисел п, п -j- 1, п~\-2
будет произведением двух различных простых чисел?
Легко убедиться, что такими числами будут, например,
числа п = 33, 93, 141.
Рз8- Существует ли бесконечное множество
натуральных чисел п таких, что числа п и п-\-\ имели бы
одинаковое число натуральных делителей?
Если бы был положительным ответ на вопрос Р%, то
и ответ на вопрос Pl& был бы положительным [23].
Высказано предположение, что существуют
произвольно длинные ряды последовательных натуральных чисел,
шеющих одинаковое число натуральных делителей. Если
6bi это предположение оказалось верным, то ответ на
вопрос Рз8 был бы положительным.
Рядом четырех последовательных натуральных чисел,
имеющих равное число натуральных делителей (числом 6),
будет ряд с первым членом 241; рядом из пяти
последовательных натуральных чисел, имеющих одинаковое число
натуральных делителей (именно 8), будет ряд с первым
членом 40 311.
Рзэ. Существует ли бесконечное множество простых
чисел вида х3 + у3 -f- z3, где х, у, г — целые числа?
Харди и Литтлвуд в 1923 г. высказали предположение,
что существует бесконечное множество простых чисел,
являющихся суммами трех кубов натуральных чисел. Мы
можем вместо этого доказать, что существует бесконечное
множество простых чисел вида х3 -\- у3 -\- z3 -f-13, где х,
у, г, t — целые числа. Доказательство вытекает непосред-
18

ственно из теоремы Лежен-Дирихле, о которой речь была
выше, и из тождества:
18ft + 1 =(2ft + 14)3 + (3ft + 30)3 — (2ft + 23)3 — (3ft + 26)3.
P240. Существует ли бесконечное множество простых
чисел р таких, что для всех натуральных чисел п < р—1
число 2п при делении на р давало бы остатки, отличные
от 1?
Такими являются, например, простые чисяа р = 3, 5,
И, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61,-67, 83, 101, 107, 131,
139, 149 [24].
Р\\. Существует ли бесконечное множество составных
чисел п> являющихся одновременно делителями чисел 2п—2
и Зл — 3?
Р]2- Существует ли бесконечное число составных
чисел п, являющихся делителями числа ап — а для каждого
целого числа а?
Такие числа называются числами Кармикаэля;
наименьшее из них число 561. Если бы ответ на вопрос Я42
был утвердительным, то и ответ на вопрос Pli был бы
тоже утвердительным.
Заметим, что 25 столетий тому назад китайцы
предполагали, что нет составных чисел л, являющихся
делителями числа 2п — 2. И наименьшее такое число лг = 341 =
= 11-31 было найдено только в XIX в. Позднее был
поставлен вопрос, имеется ли таких составных чисел
бесконечное множество, после же доказательства этого
предложения был поставлен вопрос, имеются ли четные
составные числа я, являющиеся делителями числа 2п —2.
Наименьшее такое число лг = 161 038 нашел Д. X. Лемер
(D. Н. Lehmer) в 1950 г., а потом было доказано, что
таких четных чисел бесконечное множество.
Р\ъ. Существует ли бесконечное множество
натуральных чисел /г, для которых число 2п — 2 делится на п2?
Такие числа п (простые) существуют, например 1093
и 3511, но мы не знаем ни одного такого составного
числа п.
Pi4. Является ли каждое натуральное число суммою
восьми или меньшего числа квадратов простых чисел
(присоединяя и 1 к простым числам)?
19

Предположение, что ответ на этот вопрос является
утвердительным, высказал Човла (/. Chowla). Оно
проверено для натуральных чисел я < 240 000.
Р\$. Существует ли хотя бы одно нечетное число п
такое, что сумма всех его натуральных делителей
равна 2п?
Натуральные числа п такие, что сумма всех
натуральных делителей числа п равна 2п, суть так называемые
совершенные числа.
До сих пор мы знаем 18 совершенных чисел, но все
они четные; именно, это числа 2п~1-Мп, где Мп —
= 2п — 1 —простое число. Мы не знаем, существуют ли
нечетные совершенные числа.
Высказано предположение, которое сильнее того, что
не имеется нэчетных совершенных чисел. Таким является
(что можно показать) предположение, что нет нечетного
числа, произведение которого на число его делителей
делилось бы на сумму его делителей. Это предположение
проверено для чисел я< 107 [25].
Р%. Существуют ли натуральные числа п, у
которых сумма всех натуральных делителей равна 2я + 1?
Это были бы натуральные числа, равные сумме всех
своих нетривиальных делителей, следовательно,
натуральные числа п, равные сумме всех своих натуральных
делителей, отличных от 1 и от п.
Вместо этого легко доказать, что существует
бесконечное множество натуральных чисел п, у которых сумма
всех их натуральных делителей равна 2п—-1; такими
числами являются все натуральные степени числа 2. Мы не
знаем, имеются ли другие такие числа.
Р 47. Существует ли бесконечное множество
натуральных чисел п таких, что числа п и п-\-1 имели бы
одинаковую сумму натуральных делителей?
Наименьшее из таких чисел я =14; другие п =206 и
п = 957; мы знаем еще несколько [26].
Натуральные числа т и п Ф т называются
дружественными, если сумма натуральных делителей каждого из
них составляет т -J- п.
Р\\. Существует ли бесконечное множество пар
дружественных чисел?
20

Мы знаем много пар дружественных чисел; парой
наименьших таких чисел будут 220 и 284; оба
числа—четные. Мы знаем также пары нечетных дружественных
чисел: З3. 5 • 7 . 13 и 3 • 5 • 7 . 139.
Р%. Существует ли хотя бы одна пара
дружественных чисел, из которых одно — четное, а другое —
нечетное?
До сих пор еще неизвестно, существует ли пара
дружественных чисел, не имеющих общего делителя,
большего единицы. Доказано, что если числа тип
составляют такую пару, то каждое из них должно быть
больше 1023, а число тп должно иметь более 20 простых
делителей.
Р|о- Может ли каждое достаточно большое
натуральное число, не являющееся квадратом натурального
числа, быть суммою простого числа и квадрата целого
числа?
Предположение, что ответ на этот вопрос будет
положительным, высказали Харди и Литтлвуд.
P§i- Является ли каждое достаточно большое
натуральное число суммою простого числа и двух
квадратов целых чисел?
Очевидно, что если ответ на вопрос Р|о будет утвер.
дительным, то и ответ на вопрос Р\\ был бы также
утвердительным.
Вместо этого доказано, что каждое достаточно большое
натуральное число есть сумма двух простых чисел и
квадрата целого числа, но доказательство является трудным.
Р%>- Существует ли хотя бы одно составное число
/г, являющееся делителем числа 1*-, + 2"~| +3"-'+...
+ (/г-1)п-'+1?
В 1950 г. Джуга (G. Giuga) высказал предположение,
что ответ на вопрос Р\2 будет отрицательным, и проверил,
что такого составного числа./г<10100а не имеется.
Однако легко доказать, что если р — простое число, то
число 1р-! +2Р~1+3Р~1+...+(/?-I)'""1 +1
Делится на р [27].
Р\ъ- Существует ли натуральное число п>7, при
котором число п/ -f-1 является квадратом натурального
числа?
21

Такие числа п < 7 имеются, именно: п = 4, 5 и 7 [28].
Я54. ?Ъш обозначить через П(х) число всех простых
чисел < х, то будет ли для всех х > 1 и у> 1
справедливым неравенство
П(х + у)<П(х) + П(у)?
Предположение, что ответ на этот вопрос будет
утвердительным, высказал А. Шинцель.
Рьъ. Обозначим через П1 (х) число всех простых чисел
< ху которые при делении на 4 дают остаток 1, а
через П3(х)—число всех простых чисел < х, дающих при
делении на 4 остаток 3. Найти натуральное х такое,
что Пн(х) < Пх(х).
Такое наименьшее число #=26 861 нашел Лич (G. Leech)
только в 1957 г. Мы имеем для него Пг(х) = 1473,
П3(х) = 1472. Но еще в 1914 г. Литтлвуд доказал, что
таких натуральных чисел бесконечное множество, что
также имеется бесконечное множество натуральных чисел
х, для которых П3(х) > Пх(х). Следовательно, несколько
десятков лет было известно, что существуют
натуральные числа, имеющие некоторое свойство, но не умели
найти ни одного из этих чисел [29].
Много простых, но трудных для разрешения вопросов
встречается при решении уравнений в целых числах.
Здесь трудности могут быть уже при решении в
целых числах уравнений второй степени с двумя
неизвестными (то есть линейных относительно каждого
неизвестного). Например, вопрос определения всех решений в
целых числах х, у уравнения ху -j- 1 = 2101 является
вопросом первого рода [30].
Трудно было найти натуральные числа х и у, сумма
которых х -j- у была бы квадратом натурального числа, а
сумма квадратов, х2-\-у2, была бы четвертой степенью
натурального числа. Ферма нашел такие числа: х— 1 061 652 393 520,
у ~ 4 565 486 027 761—и утверждал, что не имеется
таких меньших чисел, что и было позднее доказано [31].
Pie. Найти все решения уравнения Xs—у2 = 7 в целых
числах ху у.
Доказано, что таких решений конечное число, но мы
не знаем, сколько их [32].
РЬ7. Имеет ли уравнение х2 — уъ = 1 в целых числах
х и у другие решения, кроме х = 3, у = 2?
22

Доказано, что ответ на вопрос Р57 является
отрицательным, но доказательство не легкое.
Pis- Имеет ли система четырех уравнений второй
степени с семью неизвестными
2 , 2 2 2 1 2 2 2 | 2 2 2 i 2 t 2 2
Х\ + *2=*4, х\ + дгз = ЛГ5, х2 + *з = *б, ATi + л:2 + *з = х7
хотя бы одно решение в натуральных числах хи х2,...,х7?
Геометрический смысл этого вопроса читатель найдет
на странице 49.
Вместо этого мы сумеем доказать, что система из трех
первых наших уравнений имеет бесконечное множество
решений в натуральных числах. Решение хг= 117, х2 = 44,
х3 = 240, #4 = 125, хь = 257, xQ = 244 было известно уже
в начале XVIII в.
Р59. Существуют ли целые числа х, г/, z, не равные
нулю, удовлетворяющие уравнению Xs + У3 + 23 = xyz?
Можно доказать, что вопрос Я?9 равносилен каждому
из двух следующих вопросов, поставленных Мнихом.
Рбо- Существуют ли три рациональных числа, сумма
которых равна 1 и произведение которых равно 1?
Явь Существуют ли целые числа х, у, z,
удовлетворяющие уравнению —\-— -|— =1? (8).
Легко доказать, что для каждого натурального числа
s > 1 уравнение хх -f- х2 + . . . + xs = ххх2. .. xs имеет по
меньшей мере одно решение в натуральных числах хи
лг2,. .. ,xs. (Для доказательства достаточно принять хг =
—^2— • • • — xs—2= 1, x9_i = 2, xs=s.)
Но мы не знаем, будет ли для всех достаточно
больших s сколько угодно большим число решений этого
уравнения.
П. Эрдёш высказал предположение, что будет
утвердительным ответ на вопрос:
Яо2- Существует ли для каждого натурального числа
п > 1 натуральные числа х, у, z такие, что
±=± + 1 + _Ь
п х ' у ' z
Об лат и Розати показали, что предположение
Эрдёша справедливо для всех, больших 1, натуральных
чисел п < 141 648.
Автор данлой книги высказал предположение, что
будет утвердительным ответ на вопрос:
23

Рбз- Существует ли для каждого натурального числа
п > 1 натуральные числа х, у, г такие, что
±=±+±+±>
П X ' у ' 2 *
Па лама доказал в 1958 г., что ответ на этот
вопрос является утвердительным для всех, больших 1,
натуральных чисел я < 922321 [33].
Р64. Имеет ли уравнение x*-{-ys~2z3 решение в
целых числах х,у, г, где х Фу, гФО? (сравн. с Р2б)-
Р65. Существует ли натуральное число п, не равное
1 и не равное 24, для которого число I2 -\- 22 -f- • • • + п2
равно квадрату натурального числа?
Доказано, что ответы на вопросы Рб4 и Р6б являются
отрицательными, но доказательства эти трудны.
Трудно было также найти ответ на вопрос:
Р6б. Какие имеются решения в целых числах х, у
уравнения 2л:4 — у2 = 1?
Люнггрен р 1942 г. доказал, что уравнение имеет
только два решения в натуральных числах х, у: х = у =
= 1 и х= 13, у = 239.
Яб7. Справедливо ли предположение Эйлера, что нет
натуральных чисел х, у, г, t таких, что х* -{- у4 -(- z4 =
= г4? [34].
Рб8- Является ли каждое натуральное число суммою
не более четырех кубов целых чисел?
Автор данной публикации высказал предположение, что
каждое целое число может быть представлено бесконечным
числом способов в виде хъ + уъ — z3—td, где х, у, z,t —
натуральные числа.
Это предположение проверено для всех натуральных
чисел < 350, кроме 148 и 284, и для бесконечного
множества других чисел.
Вместо этого мы можем доказать, что существует
бесконечное множество натуральных чисел, которые не
являются суммами трех кубов целых чисел (например, все
числа, которые при делении на 9 дают остатки 4 или 5),
и что каждое целое число разлагается бесконечным
числом способов на сумму пяти кубов целых чисел.
Доказательство последнего предложения простое; оно получается
непосредственно из факта, что каждое целое число, деля-
24

щееся на 6, есть сумма четырех кубов целых чисел, так
как для целого k мы имеем тождество:
6 й = (fe + I)3 + (^ — I)3 + (—/е)3 + (— ^)3
и из того, что (при целых t и п) каждое из чисел
6/ — (6я)3, б* + 1 — (6и + I)3, 6* + 2 — (&i + 2)3,
6/ + 3 —(6п + 3)3, 6^ + 4 —(6/г+ 4)3, 6/+5 —(6/г + 5)3
делится на 6 [35].
Рб9. Имеет ли уравнение x3-{-y3-\-z3— t3 = 1
бесконечное число решений в натуральных числах х, у, z, t?
Например, известны такие решения: 43 -j- 43 + б3 —
— 73 = 1, 43 + 388 -j- 583 — 633 = 1. Вместо этого легко
доказать, что уравнение х3 — у3 — г3 — t3 = 1 имеет
бесконечное число решений в натуральных числах х9 у, z, t9
что вытекает из тождества (6/г3 + I)3 — (6/г3 — I)3 — (6/г2)3—
— 1 = 1 при п = 1, 2,...
Pzo- Можно ли представить каждое натуральное
число в. виде х3 -\-у3 -\- 2z3, где х, yy z — целые числа?
Наименьшее натуральное число, о котором этого не
знаем, есть 76, следующее — 99 [36].
Р?\. Будет ли каждое натуральное число, дающее при
делении на 9 остаток, не равный 4 или 5, суммою трех
кубов целых чисел?
Например, не знаем, является ли число 30 суммою
трех кубов целых чисел [37].
Числа 0, 1 и 2 разлагаются бесконечным числом
способов на сумму трех кубов целых чисел, что
непосредственно вытекает из тождеств:
0 = п3 + (— п)3 + О3, 1 = (9л4)3 + (1 — 9/г3)3 + (Зл — 9/г4)3,
2 = (1 + 6/г3)3 + (1 — 6/г3)3 + (— 6/г2)3, для п = 1, 2
Неизвестно, разлагается ли число 3 бесконечным
числом способов на сумму трех кубов целых чисел.
Мы не знаем также ни одного числа, дающего при
делении на 9 остаток, не равный 4 или 5, о котором могли
бы утверждать, что оно конечным числом способов
разлагается на сумму трех кубов целых чисел.
Р/2. Существуют ли натуральнее числа ху у, z и
п > 2 такие, что хп -)- Уп = 2я?
25

Ферма высказал без доказательства предположение,
что таких чисел нет. Эта теорема доказана теперь для
всех показателей п, где 2 < п < 4002, и для
бесконечного числа других. Уже для п = 3 доказательство является
очень трудным. Проще доказательство для п = 4
[38].
Р%. Имеет ли для натуральных чисел /г> 4
уравнение хп -\- уп = гп + tn решение в натуральных числах х9
у, г, t, где х Ф z и х Ф /?
Для я<5 мы знаем, например, такие решения: l2-f-
-}-82 = 42Н-72, 13+123 = 93+103, 1334 + 1344 = 594 +
+ 1584.
Р74. Существует ли натуральное число, которое по
меньшей мере тремя различными способами разлагается
на сумму двух биквадратов (если не обращать внимания
на порядок слагаемых)?
Pz5- Является ли каждое натуральное число суммою
19 четвертых степеней целых чисел?
Е. В а р и н г высказал предположение, что ответ на
этот вопрос является утвердительным. Доказано, что
каждое достаточно большое натуральное число есть сумма 16
четвертых степеней целых чисел. Недавно А. Качмарчик
доказала, что можно вычислить такое число а, чтобы для
/г>а натуральное число п было суммою 16 четвертых
степеней целых чисел.
Р7б. Существует ли для каждого натурального
показателя s такое натуральное число k, чтобы каждое на-
туральное число п было суммою k слагаемых, из которых
каждое является s-й степенью неотрицательного целого
числа?
Предположение, что ответ на этот вопрос является
утвердительным, высказал без доказательства Варинг в
1782 г. Найти доказательство считалось в течение более
ста лет очень трудным делом; его нашел Гильберт только
в 1909 г. Однако его доказательство было очень
трудным [39], (9).
Pj7. Имеются ли, кроме чисел 8=23w 9=32, два после-
довательных натуральных числа, из которых каждое
является степенью натурального числа с натуральным
показателем я>1?
Е. Каталан высказал предположение, что таких
чисел нет.
26

Р/8. Будет ли конечным для каоюдого натурального
числа т количество всех систем напуральных чи:ел х, у,
г, /, больших единицы, удовлетворяющих неравенству
0<xy — zf<m?
С. Пиллаи в 1945 г. высказал предположение,
равносильное тому, что ответ на вопрос Р% будет утъерди-
тельным.
Р%. Существуют ли три последовательных
натуральных числа, из которых каждое является степенью
натурального числа с натуральным показателем >1?
Если ответ на вопрос Р% будет утвердительным, то
и ответ на вопрос Р77 будет утвердительным.
Вместо этого легко доказать, что нет четырех
последовательных натуральных чисел, из которых каждое было
бы степенью натурального числа с целым показателем>1.
Так как всегда из четырех последовательных натуральных
чисел одно число при делении на четыре дает в остатке 2,
следовательно, оно не может быть степенью натурального
(очевидно, четного) числа с показателем, большим 1.
Pio- Существуют ли натуральные числа /п>1 и /г>1
такие, что 1л+2л+Зл-|- . . . + {т — 1)п = тп?
П. Эрдёш предполагает, что ответ на этот вопрос
отрицателен. Мозер доказал, что нет таких чисел т и п>1
до т<\010* [40].
Р81. Существует ли для каждых двух натуральных
чисел k и I и зависящее от них натуральное число п
такое, что если множество чисел 1, 2, 3,..., п мы
разобьем любым способом на k или менее множеств, не
имеющих общих элементов, то по меньшей мере одно из этих
множеств будет содержать арифметическую прогрессию,
составленную из I различных чисел?
Этот вопрос считался очень трудным. В 1928 г. Ван-
дер-Вардеи доказал, что ответ на этот вопрос является
утвердительным; его доказательство, хотя и элементарное,
было сложным; более простое доказательство нашла в
1945 г. М. Лукомская [41].
Ps2- Можно ли из каждого натурального числа >10
получить простое число заменою двух его цифр?
Обратим внимание на то, что не из каждого
натурального числа заменою одной его цифры можнр получить
простое число; можно доказать, что 200—наименьшее натураль-
27

ное число, из которого путем замены одной цифры
нельзя получить простого числа [42].
Р\г. Существует ли натуральное число а>41 такое,
что числа х2 -f- х -(- а при х = 0, 1, 2,... , а — 2 будут
простыми?
Доказано, что если такое число а существует, то
только одно, большее 125 • 107.
Числа вида tn = п ^п + , где п—натуральное число,
мы называем треугольными. Долгое время не могли
найти ответа на следующий вопрос:
Р84. Существует ли, кроме чисел 1 « 6, треугольное
число, квадрат которого был бы также треугольным
числом?
Только в 1946 г. Люнггрен доказал, что ответ на
вопрос Р84 является отрицательным. Его доказательство
трудное.
Вместо этого легко доказать, что существует
бесконечное множество треугольных чисел, которые в то же время
являются квадратами натуральных чисел. Для
доказательства достаточно показать, что такие числа существуют
1 • 2
(например, число 1 = = 12) и что для каждого числа,
обладающего этим свойством (то есть являющегося
треугольным и квадратным числом одновременно), можно
найти большее число с тем же свойством. Для этой цели
достаточно проверить тождество (Ъх-\-Ау-\- 1) (Зл: + 4у -f- 2) —
— 2(2лг—J—3r/-f-1 )3 = х2-\-х—2у2, из которого непосредственно
вытекает, что если число tx = д (*v+ является
квадратом: tx = у2, то и число, большее его, tsx -j- 4#-j-i является
квадратом и равно (2х-\-Ъу-}-1)2.
Отсюда, и из t± = I2 получим t8 = б2, откуда дальше
*49 = 352, потом t288 = 2042 и т. д. [43].
Р\$. Имеет ли уравнение хх • уу = zz решение в нечет-
ных числах х, у, z, больших 1?
Нелегко было также найти решения этого уравнения
в четных числах. Таким, например, является решение х=
= 212 • З6, у=28 • З8, z=2n . З7. Доказано, что таких
решений бесконечное множество.
Чжао Кэ доказал, что если натуральные числа х, у,
г, большие 1, удовлетворяют нашему уравнению, то числа
2S

хну должны иметь общий делитель d>l, а Шинцель в
работе, напечатанной в китайском математическом
журнале по-китайски, в 1958 г. на страницах 81—83 доказал,
что в каждом таком решении или каждый простой
делитель числа х является делителем числа у, или каждый
простой делитель числа у является делителем числа х, и
поставил вопрос:
Psq. Если х, yf z — натуральные числа >1 такие,
что хх уу = г2, то должны ли числа х, у-иметь
одинаковые простые делители?
Р\7. Справедливо ли предположение Кармикаэля, что
для каждого натурального числа т существует отличное
от него натуральное число п такое, что число
натуральных чисел, не больших т и взаимно простых с т,
равнялось бы числу натуральных чисел, не больших п и
взаимно простых с п? [44].
Pis. Существует ли бесконечное множество
натуральных чисел п таких, что число натуральных чисел <л и
взаимно простых с п равнялось бы числу натуральных
чисел </г+1 и взаимно простых с п-\-\? [45].
Мы знаем такие числа я, например: 1, 3, 15, 104, 164,
194, 255, 495, 584, 975.
Psg. Существует ли хотя бы одно составное чиоло п
такое, что число всех натуральных чисел <п и взаимно
простых с п было бы делителем числа п—I? [46].
Предположение, что такого составного числа п нет,
высказал в 1932 г. Л ем ер (D. H. Lehmer).
Pgo- Существует ли бесконечное число пар
натуральных чисел тип таких, что число всех натуральных
чисел <т и взаимно простых с т равнялось бы сумме всех
натуральных делителей числа п? [47].
Легко доказать, что ответ на вопрос Pgo был бы
утвердительным, если бы ответ на вопрос Р? был
утвердительным.
Pli. Существует ли бесконечное множество
натуральных чисел, которые ни для какого натурального
числа п не являются суммами всех натуральных делителей
п, меньших п?
Этот вопрос поставил Эрдёш. Мы знаем несколько
таких чисел, например 2 и 5 [48].
29

Pq2- Если для натурального числа /г> 1 мы обозначим
через f(n) сумму всех натуральных делителей п,
меньших п, то будет ли ряд п, f(n), ff(n), ///(/г),... для
всякого натурального числа /г>1 или периодическим, или
обрываться на числе 1?
Каталан высказал предположение, что ответ на этот
вопрос будет утвердительным. Мы не только не можем
доказать этого, но даже проверка для отдельных
натуральных чисел является обременительной. Например, как
вычислил Пуле, для д=936 мы получим ряд 936, 1794, 2238,
2250, ...,74, 40, 50, 43, 1, состоящий из 189 членов, из
которых наибольший имеет 15 цифр [49].
Р93. Будет ли для каждого натурального числа /г>90
число всех натуральных чисел <я и взаимно простых с п
больше числа всех простых чисел < п? [50].
Доказательство того, что ответ на этот вопрос
является утвердительным, дал в 1951 г. Мозер. Другое
доказательство нашел Эрдёш. Однако эти доказательства не
легки.
Рд4. Для каждого ли натурального числа п
существует п различных натуральных чисел таких, что сумма
каждых двух из них была бы квадратом натурального
числа?
Этот вопрос поставил Мозер [51].
Pis- Существует ли натуральное число я>3, для
которого число 2п—7 простое?
Мы не знаем, будет ли простым число 239—7; этот
вопрос—первого рода [52].
Р\ъ. Существует ли бесконечное множество
натуральных чисел, которые не могут быть представлены ни
одним из четырех видов бху ±_х ± у, где х и у —
натуральные числа?
Можно доказать, что вопрос Рдб равносилен вопросу
второго рода Р?9.
Рядом Фибоначчи мы называем бесконечный ряд,
у которого первые два члена равны 1, а каждый из
дальнейших членов является суммой двух непосредственно
предшествующих ему членов, то есть ряд
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
Pj. Существует ли в ряде Фибоначчи бесконечное
число членов, являющихся простыми числами? [53].
30

Пирамидальными (тетраэдральными) числами
называются числа вида Рп =—-——^——±, где п — нату-
6
ральное число. Название происходит от числа пуль,
установленных в пирамиде. Первыми 10 такими числами
являются 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220. В XIX в.
занимались выявлением всех пирамидальных чисел,
одновременно являющихся и квадратами. Люка предположил в
1875 г., что существуют только три таких числа: Р2 = 12;
Р2=22 и Р48 = 1402. Это доказал Ватсон в 1918 г., но его
доказательство не элементарное.
Pis. Существует ли бесконечное множество
пирамидальных чисел, являющихся одновременно треугольными
числами?
Мы знаем такие числа. По Эскотту, единственными
такими числами <5 • 10° являются числа 1, 10, 1?0, 1540
и 7140, для которых Рг = tlt Р3 = *4, Р8 = t15, Р20 = tsb,
Рм = ^119-
Возникает предположение, что за этими пятью числами
нет других пирамидальных чисел, являющихся
одновременно треугольными.
Много неразрешенных вопросов возникает при
исследовании представления десятичной дробью квадратных
корней из натуральных чисел, не являющихся квадратами.
Известны способы вычисления произвольного числа
последовательных цифр в таком представлении.
Так, если речь идет о представлении десятичной
дробью числа У2 (которое в 1950 г. вычислено более чем с
1000 цифр после запятой), то мы не знаем закона
следования цифр в таком представлении. Возникает, например,
вопрос:
Pl9. Будет ли цифра 1 в представлении числа |/"2
бесконечной десятичной дробью появляться бесконечное
число раз?
В этом вопросе цифру 1 можно заменить любой
другой цифрой.
То же происходит при десятичном представлении
многих других известных иррациональных чисел, например е
или п.
Но для представления этих чисел арифметическими
непрерывными дробями имеем несколько иную ситуацию: мы
знаем закон следования знаменателей этих представлений
31

для иррациональных корней второй степени из
натуральных чисел, а также для числа е (основание натуральных
логарифмов), но не знаем его для числа я, о котором мы
не знаем, например, повторяется ли знаменатель 1
бесконечное число раз [54].
Р2т. Появляется ли хотя бы один раз в десятичном
представлении числа я ряд из следующих друг за другом
девяти цифр 123456789?
Есть еще много других нерешенных вопросов
арифметики. С течением времени число их постоянно возрастает,
так как быстрее появляются новые, чем решаются
поставленные ранее нерешенные вопросы, многие из которых
имеют столетнюю давность*. Но нашу науку о числах
двигает вперед не только знание того, что мы знаем о
числах, но также и выяснение того, чего мы о них не знаем.
*Недавно, когда я высказывал это суждение в моем докладе в
университете города Ренн, известный местный математик профессор Ан-
туан сказал: «В таком случае некоторые проблемы никогда не будут
решены». Я ответил, что, очевидно, это может случиться, но если
человечество будет существовать бесконечно долго, то может быть то
парадоксальное положение, что, несмотря на то, что число нерешенных
проблем будет постоянно и неограниченно возрастать, однако
каждая проблема будет в свое время решена. Допустим, что ежегодно
ставится 10 новых вопросов, а решается только один из всех, до
того времени поставленных. Ясно, что число нерешенных вопросов
будет неограниченно возрастать, именно после п лет будет 9л
нерешенных вопросов Однако если поставленные вопросы мы обозначим
порядковыми номерами и каждый год будет решаться вопрос с
наименьшим номером (из поставленных до того времени), то п-й вопрос
будет решен после п лет и, таким образом, каждый из поставленных
вопросов будет решен в свое время (10).
Этот парадокс подобен тому, о котором я писал в № 4 (11)
журнала «Математика» в 1950 г.

НА ГРАНИЦЕ ГЕОМЕТРИИ И АРИФМЕТИКИ
{Популярный доклад, читанный 18.XI. 1958 г.)
Вообразим себе плоскость, разграфленную на клетки
так, как бывает разграфленной бумага. Следовательно,
плоскость разбивается на квадраты одинаковой величины.
Рис. 1
За единицу длины мы можем принять длину стороны
любого из этих квадратов. Вершины наших квадратов мы
назовем точками решетки (некоторые называют их точками
сетки; см. рис. 1).
Может показаться, что об этих точках решетки,
равномерно расположенных на плоскости, нельзя многого сказать и
труднее предположить, что здесь могут возникнуть какие-
либо интересные и даже очень сложные вопросы.
Однако уже в течение полутора веков точки решетки
являются предметом исследований различных знаменитых
33

математиков с Гауссом во главе. По этой теме поставлены
различные вопросы. На многие из них ответы давно
известны, но есть и такие вопросы, ответов на которые мы
не знаем до сих пор. Здесь есть и проблемы,
поставленные только в недавнее время. Мы начнем с одного из
таких вопросов, сформулированного недавно Штеингаузом
(Н. Sleinhaus):
Для каждого ли натурального числа (то есть целого
положительного) п существует на плоскости круг, за-
ключающий внутри себя точно п точек решетки?
Легко доказать, что не для каждого натурального числа
п существует круг с центром в точке решетки,
заключающий внутри себя точно п точек решетки. Ясно, что если
мы возьмем круг с центром в точке решетки и радиусом
г < 1, то внутри этого круга будет находиться только одна
точка решетки (центр нашего круга); если же радиус
круга > 1, но < Y 2, то внутри него будут лежать точно
5 точек решетки. Следовательно, нет ни одного круга
с центром в точке решетки, внутри которого лежали бы
в точности две, три или четыре точки решетки.
Если поместить центр круга в середине стороны какого-
нибудь из наших квадратов, то при радиусе < — внутри
круга не было бы ни одной точки решетки, но при ра-
диусе г таком, что — г < v °, внутри такого круга
лежали бы точно две точки решетки.
Если бы выбрать за центр круга центр какого-либо
из данных квадратов, то при радиусе < —х- внутри этого
круга не было бы ни одной из точек решетки, но при ра-
диусе г таком, что у—^- < г ^-^ , внутри такого круга
лежали бы точно четыре точки решетки.
Если бы мы теперь отодвинули щнтр нашего круга от
центра квадрата по его диагонали, то, взяв за радиус
круга расстояние нового центра до лежащей дальше
других вершины нашего квадрата, получили бы круг,
заключающий точно три точки решетки.
Покажем еще, что можно выбрать так центр круга на
плоскости, чтобы при соответствующем радиусе внутри
34

этого круга находилось произвольное конечное число точек
решетки.
Возьмем одну из наших точек решетки за начало
прямоугольных координат, а осями координат — выходящие
из этой точки перпендикулярные друг другу стороны
квадрата.
Покажем, что если мы возьмем за центр круга точку р
плоскости с координатами ("[/"2;—)> то Для каждого
натурального числа п будет существовать такой радиус гд,
что внутри круга с центром в р и радиусом гп будет
лежать точно п точек решетки.
Для этого сначала докажем, что каждые две
различные точки решетки находятся на различных расстояниях
от точки р.
Допустим, что две различные точки решетки Рг и Р2
имеют одно и то же расстояние от точки р. В нашей
системе координат точки решетки, как легко видеть,
являются точками плоскости, у которых обе координаты
выражаются целыми числами. Пусть (а; Ь) будут координатами
точки Рг и (с; d) — координатами точки Р2- Поскольку
расстояния точек Рх и Р2 от точки р мы предположили
одинаковыми, то и квадраты этих расстояний — одинаковые.
Отсюда, по теореме Пифагора, получим равенство:
(а-УТ>-+ (b-±y = {c-V2) + [d-±)\
откуда
2(с —a)]/"2"=c2+d2 —aa —62+ — (b — d).
Правая часть этого равенства есть, очевидно,
рациональное число, следовательно, и левая часть должна быть
рациональной, что возможно лишь в случае с=а, откуда
сразу получаем
d2 —6а+—(6 —d) = 0, или (d — b)(d + b — —) =0.
Второй множитель левой части последнего равенства не
равен нулю, так как d и Ъ — целые числа.
Следовательно, первый множитель должен быть нулем,
поэтому d — 6 = 0, откуда d = b. Итак, с = a, d = 6, что
противоречит условию, что точки-(а; Ь) и (с; d) различны.
35

Таким образом, мы доказали, что каждые две
различные точки решетки имеют различные расстояния от точки
Пусть теперь п означает данное натуральное число.
Ясно, что каждый круг с центром р и достаточно
большим радиусом заключает внутри себя более п точек
решетки. Пусть К будет одним из этих кругов. Внутри К
лежит, очевидно, конечное число точек решетки. Так как
они имеют различные расстояния от точки р, то мы можем
расположить их в конечную последовательность согласно
их растущих расстояний от точки р\ пусть
будет такой последовательностью. Пусть /Сл+1 означает
круг с центром р, проходящий через точку Рп+\. Ясно,
что единственными точками решетки, лежащими внутри
круга /Сл+1 » являются точки Ръ Р2> • .., Рп\ их будет
поэтому точно п.
Мы доказали, следовательно, что для каждого
натурального числа п существует круг с центром р,
заключающий точно п точек решетки.
Здесь возникает вопрос, имеется ли точка Р плоскости
с двумя рациональными координатами * такая, что для
каждого натурального числа п существует круг с центром Р,
внутри которого лежит точно п точек решетки. Шинцель
доказал, что это невозможно. Если мы возьмем какую-
либо точку плоскости, у которой обе координаты
рациональны, то после приведения их к общему знаменателю,
они могут быть представлены в виде — и —, где k и I—
т т
целые числа, т — натуральное число; в случае, когда по
меньшей мере одно из чисел к и / не равно нулю, точки
решетки (/; —k) и (—/; k) будут различными и будут иметь
одинаковые расстояния от точки (— ; —¦) , так как
\ т т ]
легко убедиться, что
е-тГ+н-тН-'-да*-^'
* Такую точку мы называем рациональной.
36

Если же k = / = 0, то точки решетки (1; 0) и (—1; 0)
различны и имеют одинаковое расстояние от точки (0; 0).
Если внутри круга с центром ( — ; —) , проходяще-
\ т т j
го через точку (/; —&), лежит s точек решетки, то, как
легко видеть, ни один круг с тем же центром не имеет
внутри s -j- 1. точек решетки.
Вместо этого можно доказать, что для каждого
натурального числа п существует круг с центром в
рациональной точке, заключающий внутри ровно п точек решетки.
Как мы знаем, существует круг К с центром в точке
p(l/"2; —], заключающий внутри п точек решетки. Так
как ни одна из этих п точек не лежит на окружности
круга /С, то существует положительное число d, меньшее
расстояния каждой из них до окружности круга /С. Круг
К1 с центром Р и радиусом г—d будет, следовательно,
содержать внутри ровно п точек решетки. Круги К и К1
будут концентрическими. Но легко видеть, что если мы
имеем на плоскости два различных концентрических круга,
то всегда существует круг с центром в рациональной точке*
содержащий меньший из кругов и заключенный в большем.
Такой круг (вполне определенный для кругов /С и К1)
будет, следовательно, заключать внутри себя ровно п точек
решетки.
Заметим еще, что Г. Штейнгауз доказал, что для
каждого натурального числа п существует круг с площадью п,
содержащий внутри ровно п точек решетки.
Доказательство этого предложения трудное.
Поставлен также вопрос, существует ли для каждого
натурального числа п круг, на окружности которого лежит
точно п точек решетки. В IV томе международного
журнала «rEnseignement Mathematique», выходящего в Женеве
и являющегося официальным органом Международной
комиссии обучения математики, Шинцель в 1958 г. дал
доказательство того, что ответ на этот вопрос является
утвердительным. Основываясь на некоторых элементарных
теоремах теории чисел, он доказал, что в случае п
нечетного п = 2k -j- 1, где /г>0—целое число, кругом, на
окружности которого лежит ровно п точек решетки, является
круг с центром —; 0 и радиусом , в случае чет-
37

ного п = 2kf где k—натуральное число, таким кругом будет
ft-i
/1 Л\ 5 2
круг с центром I—; 01 и радиусом — .
Занимались также вопросом: для каждого ли
натурального числа п существует на плоскости квадрат,
заключающий внутри п точек решетки? Бровкин (I. Browkin)
доказал, что ответ на этот вопрос утвердительный. Однако
доказательство здесь труднее, чем для круга.
Легче было бы доказать, что для каждого
натурального числа п в трехмерном пространстве существует шар,
заключающий внутри ровно п точек с тремя
целочисленными координатами (это значит точек, служащих
вершинами кубов с объемом 1, на которые было бы разделено
трехмерное пространство). Можно доказать, что такой шар
имеется с центром в точке [V 2; ]/3;—).
Куликовский доказал, что для каждого натурального
числа п существует в трехмерном пространстве шар, на
поверхности которого лежит точно п точек с
целочисленными координатами.
Заметим еще, что Бровкин доказал, что для каждого
натурального числа п существует в трехмерном
пространстве куб, содержащий внутри ровно п точек с
целочисленными координатами.
Возвращаясь к точкам решетки, лежащим внутри круга,
заметим, что было бы нелегко дать формулу,
позволяющую для каждого натурального числа п вычислить радиус
круга, заключающего точно п точек решетки. Нетрудно
дать приближенную формулу для такого радиуса с
ошибкой, относительно малой для больших п.
Возьмем для этой цели какую-либо точку Q плоскости
и круг К с центром Q и данным радиусом г. Каждой
точке Р решетки поставим в соответствие квадрат со
сторонами, равными 1, и параллельными осям координат,
центром которого будет точка Р. Пусть s будет частью
плоскости, занятой всеми квадратами, соответствующими
точкам решетки, лежащим внутри круга К- Если этих
точек решетки будет я, то, очевидно, и площадь s равна п.
Пусть К\ будет кругом с центром Q и радиусом
г -)- Л/ * . Так как 1/ JL является наибольшим расстоя-
38

нием точки квадрата с площадью 1 от его центра, то легко
получаем, что площадь круга Ki вместе с его окружностью
покрывает площадь s.
Так как площадь круга Кг равна л/г -j- 1/ —) ,
площадь s равна /г, то отсюда имеем неравенство:
n<n(r+hY-
Аналогично получим, что (при г>у=Л площадь s
покрывает площадь и окружность круга с центром Q и ра-
диусом г—-~, откуда имеем неравенство: я г —-= I <Х
Эти неравенства дают:
/п 1 . ^ , / п , 1
что дает приближенное значение Л/ — для радиуса круга,
заключающего внутри ровно п точек решетки.
Из наших неравенств вытекает также, что [при г > -т=\
— j- < я <
г +
Следовательно, взяв круг с достаточно большим
радиусом г и сосчитав, сколько точек решетки лежит внутри
его, мы могли бы вычислить число я с любой точностью.
Интересно, что в анализе известны более практичные
способы вычисления числа я, у которого мы теперь знаем
несколько тысяч десятичных знаков.
Много еще различных проблем возникает для
окружности и точек решетки. Например, каким должен быть
радиус с центром в точке решетки, чтобы на его
окружности лежала по меньшей мере одна точка решетки. Можно
доказать, хотя это и не легко, что для этого необходимо
и достаточно, чтобы радиус круга был равен корню
квадратному из натурального числа, которое после деления его
на его наибольший делитель, являющийся квадратом,
давало бы в частном число, не имеющее ни одного делителя,
39

дающего остаток 3 при делении на 4. Как мы видим, на
такой простой вопрос ответ оказывается сложным.
Из указанного условия следует, что кругами с центром
в точке решетки и радиусом г < 5, имеющими на своей
окружности точки решетки, будут лишь круги с радиусами:
г = иу^Л'У^ 2 J/2"; 3; j/Ш;
/13; 4; /17; 3 ]/2; 2"|/5? 5.
Еще труднее было бы дать ответ на вопрос, сколько
точек решетки лежит на окружности круга с центром
в точке решетки и с данным радиусом гъ хотя и здесь
ответ нам известен.
Проще оказывается ответ на вопрос: какое может быть
число точек решетки, лежащих на окружности круга
с центром в точке решетки? Можно доказать, что таким
числом (кроме нуля) может быть каждое натуральное число,
делящееся на 4. В частности, можно доказать, что при
натуральном числе k круг с центром в точке решетки и
радиусом г = j/5*-1 имеет на своей окружности ровно 4k
точек решетки. Доказательство этого предложения хотя
и элементарное, но не простое.
Легко доказать, что если для данного натурального
числа п из точки (0; 0), как из центра, опишем круг
радиусом Vn, то, обозначив через х я у абсциссу и
ординату некоторой точки, взятой на окружности круга, будем
иметь п = х2 -\- у2. Отсюда легко вывести заключение, что
все точки решетки, лежащие на окружности нашего круга,
означают все разложения числа п на сумму двух
квадратов целых чисел. Эта интересная интерпретация
разложений натурального числа на сумму двух квадратов
непригодна для практического определения таких разложений.
Можно доказать, что квадрат является единственным
правильным многоугольником, который можно так
расположить на плоскости, что всеми его вершинами будут точки
решетки. Кроме тривиальных положений, мы
имеем и другие, например:
Можно доказать, что каждый
параллелограмм, вершины которого являются точками
решетки и который, кроме них,не содержит
ни внутри, ни на периметре ни одной
точки решетки, имеет площадь 1. Вот примеры
Рис. 2 таких параллелограммов:
40

VZ7.
Рис. 3
Доказано также, что каждый параллелограмм с
площадью s > 4, центром симметрии которого является точка
решетки, заключает внутри по меньшей мере еще одну
точку решетки (11).
Относительно точек решетки возникает также вопрос,
сколько их может быть на прямой линии. Есть на
плоскости прямые, на которых нет ни одной точки решетки;
такими, например, являются прямые,
проходящие через середины двух
соседних или противоположных сторон
квадрата с площадью 1.
Имеются такие прямые, на
которых лежит по одной точке решетки.
Можно доказать, что если на прямой
лежит более одной точки решетки, то
на ней лежит бесконечное число
точек решетки, при этом они расположены на равных
расстояниях друг от друга. Можно также доказать, что если
на прямой лежит только одна точка решетки, то как
угодно близко от этой прямой находятся точки решетки.
На плоскости имеется бесконечное число точек
решетки, которые можно разбить на бесконечное количество
бесконечных множеств без общих точек, причисляя,
например, к одному множеству все точки решетки,
лежащие на одной прямой, параллельной оси абсцисс. Легко,
однако, все точки решетки расставить в обычный
бесконечный ряд или перенумеровать их с помощью
натуральных чисел так, чтобы различные точки решетки имели
различные номера. Это можно
сделать, например, следующим
способом (Рис. 4).
Множество всех точек решетки
можно разбить на два
подмножества, из которых первое
является конечным на каждой прямой,
параллельной оси абсцисс, а
второе — конечным на каждой прямой,
параллельной оси ординат.
Для получения такого
разложения точек достаточно на
плоскости начертить две прямые: у = х
и у=—х— и к первому множеству причислить все
точки решетки (х\ у)у где | х | < | у |, ко второму множест-
?7 26
13
п
t2 ft
и.
f?
W 19 20
Рис. 4
\2S
2Ь
23
22
21
41

ву — все остальные точки решетки, то есть такие, где \у\ <
<]*]. Доказательство того, что эти элементы имеют
заданное свойство, не встретит затруднений.
Вот еще не решенная до сих пор проблема относительно
точек решетки, поставленная Штейнгаузом: существует ли
множество {z} точек плоскости такое, чтобы каждое
подмножество точек, совпадающее со множеством (z),
включало ровно одну точку решетки?
Другой вопрос относительно точек решетки поставил
в 1951 г. Заранкевич (К. Zarankiewicz): для
натурального числа п >3 мы возьмем п2 точек решетки (х\ у), где
х> у — натуральные числа <п; пусть Rn означает
множество таких п2 точек. Речь идет об определении
наименьшего натурального числа k (n) такого, чтобы каждая часть
множества Rn, составленная из k(n) точек, имела бы 9
точек с тремя различными абсциссами и тремя различны-
ми ординатами. Можно легко доказать, что k(4) = 14,
&(5) = 21. Труднее доказательство, что k (6) = 27. Брже-
зинский доказал, что k (7) = 34. Ни одно значение k (n)
для п > 7 неизвестно.
Эту проблему исследовал также Хилтен Каваллиус
(С. Hylten-Cavallius), On a combinatorical problem (Coll,
Math, 6, 1958, str. 59—65).
Некоторые простые конструкции приводят к различным
сложным множествам точек решетки, могущим иметь
применение для решений трудных проблем арифметики.
Например, из точки (0; 0) проведено последовательно п
прямых через точки с абсциссой 1 и с натуральными
ординатами <я, то есть через точки (1; 1), (1; 2), (1; 3),...,(1; п).
Пусть {s} означает множество этих прямых и пусть {z}
будет множеством всех точек решетки, лежащих на
прямых множества {s}. Можно доказать, что для каждого
натурального числа k < n абсциссы всех точек множества
(z) с ординатою k дают все натуральные делители числа k.
Вот еще некоторая конструкция 1949 г. хорватского
математика Блануша (D. Blanus), дающая все составные
числа. На оси ординат мы поместим множество {А} для
всех точек с ординатами —, —, —, ... а на оси абсцисс
1 Z о
множество {В} всех точек с абсциссами 2, 3, 4...
(являющимися натуральными числами>1). Если теперь каждую
из точек множества {А} мы соединим прямой с каждой из
точек множества {В}, то абсциссы всех точек пересечения
42

этих прямых с прямой у — — 1 дадут множество всех
составных чисел.
В самом деле, множество {А} является множеством
точек с координатами (0; — ),где т=1, 2,..., {В\ мно-
\ т
жеством точек с координатами (я+1; О), где п= 1, 2,....
Уравнением прямой, проходящей через точки (0; —) и
(п-\- 1; 0) будет \~тУ = 1- Точкой пересечения этой
прямой с прямой у = — 1 будет точка с абсциссой х =
= (т-\- 1) (п-\- 1), являющейся составным числом. С
другой сторсны, каждое составное число, как мы знаем,
является произведением двух натуральных чисел, больших
единицы, и имеет вид х = (т-\- 1) (п-\- 1), где т и п —
натуральные числа, то есть оно будет абсциссой точки
пересечения прямой, проходящей через точку (0; —)
множества [А] и точку (л+1; 0) множества {В) с прямой
У= — *•
Конструкцию Блануша можно считать геометрической
интерпретацией известного решета Эратосфена.
Обобщением точек решетки являются рациональные
точки плоскости.
Займемся сначала вопросом, сколько рациональных
точек может быть на окружности круга.
Существуют на плоскости круги с центром в точке
решетки, на окружности которых нет ни одной
рациональной точки.
Таким кругом, например, будет х2-\- у2 = 3. В самом
деле, допустим, что точка {х\ у) этого круга будет
рациональной. Числа х и г/, следовательно, рациональны, и после
их приведения к наименьшему общему знаменателю т их
можно представить в виде х = —, у = —, где k и / —
т т
целые числа. Следовательно, получим k2-\- /2 = Зт2. Отсюда
вытекает, что если бы числа k и / делились на 3, то
правая часть нашего равенства делилась бы на 9, отсюда и
число т делилось бы на 3, и наши дроби можно было бы
сократить на 3, вопреки предположению, что т — их
наименьший общий знаменатель. Следовательно, по крайней
мере одно из чисел k и / не делится на 3. Но, как
известно, квадрат целого числа, не делящегося на 3, дает
43

при делении на 3 остаток 1. Если и другое из чисел k и /
не делится на 3, то сумма &2-|-/2 при делении на 3 дает
в остатке 2, что невозможно, так как эта сумма, равная
Зт2, делится на 3. Если же другое из чисел k и / делится
на 3, то сумма k2 -\-l2 при делении на 3 дала бы остаток 1,
что тоже невозможно. Мы доказали, следовательно, что
на окружности круга х2 -\- у2 — 3 нет ни одной
рациональной точки.
Существуют на плоскости круги, на окруоюности
которых лежит только одна рациональная точка,
например, круг (х - |/"2)2 + {у- V~2f = 4.
Если {х\ у) — рациональная точка, лежащая на
окружности этого круга, то получим х2-{-у2 = 2 (х-\-у) j/2,
что, вследствие рациональности чисел х и у, возможно
только, если х-^-у = 01 откуда и х2-\- у2 = 0, а эти два
уравнения дают а: = 0 и у = 0; с другой стороны, легко
убедиться, что рациональная точка (0; 0) лежит на
окружности нашего круга.
Существуют на плоскости круги, на которых лежат
две и только две рациональные точки.
Таким, например, является круг х2 --)-(у — У 2 )2 = 3.
Ибо если (х} у) — рациональная точка, лежащая на
окружности этого круга, то х2-\- у2— 1 = 2}/ 2 . у, что,
вследствие рациональности чисел х и у, дает х = 0, х2 -f- у2 = 1,
откуда х~ -iz 1. С другой стороны, как легко убедиться,
каждая рациональная точка (1; 0) и (—1; 0) лежит на
окружности нашего круга.
Допустим теперь, что на окружности круга К лежат
по меньшей мере три различные рациональные точки. Легко
доказать, что тогда центр круга К лежит в рациональной
точке и что квадрат радиуса г круга К является
рациональным числом. Так как вычитание рационального числа
из рациональных чисел дает рациональные числа, то, не
нарушая общности нашего вопроса, мы можем считать,
что центр круга К лежит в точке (0; 0).
Легко доказать, что если центр круга К лежит в точке
(0; 0) и на его окружности лежит по меньшей мере одна
рациональная точка, то на окружности такого круга лежит
бесконечное множество рациональных точек. Это следует из
того, что если a, b —рациональные числа такие, что a2-\-b2=r2,
то, как легко проверить, при всяком рациональном числе
44

w точка (х\ у), где х = р^ , у
2aw Ч- fr(l—ta2) _ a(l—w2)—2bw
l + w2 ' У ~ 1 + ^2
будет рациональной и будет удовлетворять х2-\-у* = г2.
Итак, на окружности круга может не быть ни одной
рациональной точки, может лежать только одна или две
рациональные точки или лежит бесконечное число таких
точек. Можно бы также доказать, что в последнем случае
рациональные точки лежат на окружности круга всюду
плотно, то есть они имеются на каждой дуге круга.
Множество всех рациональных точек плоскости можно
разбить на два множества, из которых первое является
конечным на каждой параллели оси ординат, а второе—
конечное на каждой прямой, параллельной оси абсцисс.
Для получения такого разбиения достаточно было бы
в первое множество включить все точки (— ; —), где не-
\ т s )
сократимые дроби с целыми числителями и натуральными
знаменателями такие, что \l\ -f m < \r\ +s, а во второе
множество — все остальные точки плоскости с
рациональными координатами. Можно также доказать, что
множество всех точек трехмерного пространства с
рациональными координатами есть сумма трех множеств, из
которых каждое является конечным на каждой прямой,
параллельной одной из осей координат.
Возникает вопрос, является ли множество всех точек
трехмерного пространства суммой трех множеств, из
которых каждое конечно на любой прямой, параллельной
одной из осей координат. В 1951 г. я доказал, что этот
вопрос равносилен вопросу, справедлива или нет так
называемая гипотеза континуума.
Мы не можем также разрешить вопрос, существуют
ли на плоскости три прямых Pt (i = 1, 2, 3) таких,
чтобы плоскость была суммою трех множеств st (/ = 1, 2, 3)
со свойством, что для i= 1, 2, 3 множество si было бы
конечным на каждой прямой, параллельной PL.
Займемся теперь вопросом, сколько точек может иметь
множество {г}, лежащее на окружности круга с данным
радиусом, такое, что расстояние между каждыми двумя
точками множества {г} будет рациональным.
Пусть К будет окружностью круга радиуса г, а Р —
какой-либо точкой, лежащей на /(. Если рациональное
число w < 2гь то окружность с центром Р и радиусом w
пересечет окружность К по крайней мере в одной точке.
45

Если Q является такой точкой, то расстояние Р от Q,
равное w, есть рациональное число. Следовательно, для
каждой точки Р, лежащей на окружности любого круга,
существует на той же окружности бесконечное число точек
Q таких, что расстояние PQ — рационально.
Пусть теперь К будет окружностью круга радиуса г и
допустим, что на К лежат три различные точки такие, что
расстояние между каждыми двумя из них является
рациональным числом. Окружность /С, следовательно, описака
вокруг треугольника с рациональными сторонами, длину
которых обозначим а, Ь, с. Как известно из элементарной
геометрии, мы имеем формулу г =
4s
щадь треугольника
ную ей формулу
где s есть пло-
со сторонами а, Ь, с, или равносиль-
аЪ с
У4а2 б2 — (а2 + б2—г2)2
Отсюда вытекает, что если на окружности К круга
радиуса г лежат три различные точки с рациональными
расстояниями между ними, то г2— число рациональное.
Следовательно, получим, например, что на окружности круга
радиуса У 2 не лежат никакие три различные точки с
рациональными расстояниями между ними.
Теперь докажем, что если К—окружность круга
радиуса г, где г2— рациональное число, то на К существует
бесконечное множество различных точек, из которых
каждые две имеют рациональные расстояния.
Пусть К будет окружностью круга радиуса г, где
г2 = —, /и т — натуральные числа. Следовательно,
т
mr — Vim ^ 1
поэтому
откуда 4 1т + 1 —Атг = (2тг— I)2 > 1,
0<
Атг
< 1.
41т + 1
Следовательно, существует угол а такой, что 0 < а <
и что
откуда cos a =
sin а =
4тг
4.1т + 1
О)
Aim
1
Mm + 1
46

Покажем, что
sinua^O при /s «= 1,2, 3,... . (2)
При помощи формул, известных из тригонометрии,
легко доказать, что существует тождество:
sin(?+2)a = 2sin(&+ l) a cos a — sin?a (3)
при ft = 0, 1, 2,3,... .
Пусть
tk = (4lm+l)krs'mka для k = 1, 2, 3,.... (4)
Из (4), (1) и тгг = 1 найдем:
*! «= (4/m +1) г sin a = 4/n/*2 = 4/,
^2 = (4/m-f- l^rsin 2a = 2(Alm-\- l)2rsinacosa =
= 8 mr2(4lm — 1) = 8/(4/m— 1), (5)
поэтому числа tx и t2—натуральные. Отсюда из (3) и (4)
выводим по индукции, что числа tk—целые приk= 1,2,3,... .
По (1), (3) и (4) легко найдем формулу
<Л+2 = 2(4/т— l)^+i — (4/m+l)2^ для k = 1, 2,.... (6)
Число h = 4lm-\-\—нечетное и взаимно простое с
каждым из чисел 2, / и Mm— 1; из (4) имеем tx < /г, поэтому
(*ь А) = 1- Также и (/2, А) = 1. Отсюда легко получаем
по (6) методом индукции, что числа tk(k = 1, 2, 3,...) не
делятся на А, поэтому не равны нулю. Из (4) мы имеем
неравенство (2), что и требовалось доказать.
Возьмем теперь на окружности К круга некоторую
точку Р0 и построим бесконечный ряд Ри Р2, Р3- • • точек
на К так, чтобы углы Pk_xOPk при центре О круга
с окружностью К были бы равны 2а.
Если и и v — целые числа такие, что 0 < и < v, то
угол РаОР0 будет, очевидно, равен 2 (и — v)a, а так как
г является радиусом круга с окружностью К, то
расстояние точки Ри от точки Ру будет 2г (sin (и — и)а|. Так как
числа (4), как мы знаем, целые, то по (4) число 2r \sm{v—и) а\
будет рациональным, при этом не равно нулю, по (2) и из
того, что число v — и — натуральное. Точки Р0, Рь Р2,...—
все различные, а расстояния между каждыми двумя из
них — рациональны.
Возьмем теперь для любого натурального числа п точки
Ро,Ри Pi,--, Pn-i окружности /С. Каждое из расстояний
47

PuPVi где 0<&<и</г, как мы знаем, является
рациональным числом, и таких чисел будет п^п~^ > ? пусть s
означает их общий знаменатель. Ясно, что если мы
увеличим в s раз радиус нашего круга, то на увеличенной
таким способом концентрической окружности вместо точек
Р0, Рь..., Рп-\ мы получим точки Q0, Qb... ,Qn-\ такие,
что расстояния между каждыми двумя из них будут
натуральными числами. Так как точки Q0, Qb...,Qrt-i все
лежат на окружности некоторого круга, то никакие три
из них не лежат на одной прямой линии. Следовательно,
мы доказали, что можно на плоскости определить
произвольное конечное число точек, из которых никакие три не
лежат на одной прямой, и из которых каждые две
находятся друг от друга на расстоянии, выражающимся
натуральным числом.
Это предложение (другим способом) впервые доказали
в 1945 г. Анн инг (W. H. Arming) и Эрдёш. Эти авторы
доказали также, что если на плоскости мы имеем
бесконечное множество точек, из которых каждые две
находятся друг от друга на расстоянии, выраженном
натуральным числом, то все эти точки должны лежать на одной
прямой.
На прямой, очевидно, существует бесконечно много
таких точек, что расстояние каждых двух из них друг от
друга выражается целым числом, так как достаточно
отрезок длиною 1 откладывать последовательно бесконечное
число раз на прямой и отмечать концы откладываемых
отрезков.
Эрдёш поставил вопрос, существует ли на плоскости
везде плотное множество точек, из которых каждые две
имеют рациональные расстояния друг от друга. Везде
плотным на плоскости множеством точек называется такое
множество точек, что внутри каждого круга существует
точка рассматриваемого множества.
Ответа на вопрос Эрдёша мы не знаем.
Вернемся еще раз к кругу, на окружности К которого
мы имеем бесконечный ряд точек Р0, Рь Р2,..., только
положим, что радиус нашего круга является
рациональным, например г = 1, и за точку Р0 возьмем точку
окружности круга К у лежащую на оси абсцисс в положительном
направлении. Текущие координаты точки Pk будут тогда 1
и 2 ka.
48

Пусть xk> ум будут прямоугольными координатами точки
Pk . Так как г = 1, откуда и / = т = 1, то формулы (I)
4
дают since = — и доказывают, что sina и cosa рацио-
5
нальны, откуда, как известно из тригонометрии, следует,
что при любом целом k числа sin ka и cos&a —
рациональны. Но так как текущими координатами точки Pk (Xk,yk)
являются 1 и 2 to, то найдем, что Xk = cos 2to, yk =
= sin 2to. Поэтому Pk является рациональной точкой при
к = 0, 1, 2... .
Следовательно, мы доказали, что на окружности круга
х2-\-у2=1 лежит всюду плотное множество
рациональных точек, из которых каждые две находятся на
рациональном расстоянии друг от друга. Возьмем п таких точек
Л>> ?и ^2,.--> Рп-\- Пусть s означает наименьшее общее
кратное знаменателей 2/2 чисел хи и уь {k=0, 1, 2,..., п—1).
Ясно, что, взяв s за радиус круга с центром (0; 0),
получим на его окружности вместо точек Р0, Ри Р2>---
соответствующие точки Q0, Qi, Q2,---, Qfl-i, которые будут
точками решетки такими, что расстояния между каждыми
двумя из них являются рациональными, а следовательно,
и целыми числами. Ведь легко доказать, что если
расстояние между двумя точками решетки рационально, то оно
выражается целым числом (так как оно всегда является
квадратным корнем из целого числа, а, как известно,
рациональное число, будучи квадратным корнем из целого
числа, является целым числом). Итак, доказано, что для
произвольного натурального числа п существуют п точек
решетки, лежащие на окружности некоторого круга,
такие, что расстояние между каждыми двумя из них
выражается целым числом.
Вопросом из пограничной области арифметики и
геометрии является также вопрос, существует ли
прямоугольный параллелепипед, у которого ребра, диагонали граней
и диагональ параллелепипеда выражались бы натуральными
числами. Из известных теорем элементарной геометрии
следует, что этот вопрос равносилен вопросу, существуют
ли целые числа х, у, z такие, чтобы каждое из чисел
x* + y*t x2 + z2, y2 + z\ x2 + y2 + z2
было квадратом натурального числа. Иначе это можно
выразить вопросом: имеет ли система четырех уравнений
с семью неизвестными х, у, z, t, u> v, w
49

x2 +J/2 = /2,
X2 -f- Z2 = U2,
y2 -f- z2 = v2 и
X2 + У2 + 22 = Ш2
дготл б&/ одяо решение в натуральных числах? На этот
вопрос, относящийся к системе четырех уравнений второй
степени с семью неизвестными, к сожалению, не можем
дать ответа.
Можно доказать, что существует бесконечное
множество не подобных друг другу прямоугольных
параллелепипедов, у которых ребра и диагонали всех граней
выражаются натуральными числами.
К границе арифметики и геометрии принадлежит также
вопрос: можно ли квадрат разделить на меньшие
квадраты, из которых никакие два не равнялись бы друг
другу!
Долгое время считали, что такого разложения нет.
Но более 10 лет тому назад стали известны такие
разложения. Например, можно разбить квадрат со стороной
175 на 24 неравных между собою квадрата со сторонами,
выражающимися натуральными числами, из которых
наименьший— со стороной 1, а наибольший — со стороной 81*
Мы не знаем, будет ли 24 наименьшим числом неравных
между собою квадратов, на которые можно разложить
квадрат.
В заключение напомним еще, что в 1914 г. Мазурке-
вич занимался вопросом: существует ли на плоскости
множество точек, с которыми каждая прямая, лежащая
на плоскости, имела бы ровно две общие точки? При
помощи так называемой аксиомы выбора он доказал,
что такое множество существует, но до сих пор не знаем
ни одного конкретного примера такого множества.
* См. Н. Steinhaus. Kalejdoskop malematyczny, Warszawa,
1956, стр. 14(12).

Примечания А. Мояковского
В дайных ниже примечаниях мы постараемся доказать
теоремы* доказательства которых элементарны, но
пропущены в тексте. Дадим также библиографический
указатель, по которому читатели, очень интересующиеся
указанными проблемами, могли бы познакомиться с
оригинальными работами.
Следующие книги на русском языке содержат
сведения по теории чисел:
И. В. Арнольд, Теория чисел, Учпедгиз, 1939.
И. М. Виноградов, Основы теории чисел, Гостехиздат, 1953.
А. О. Г е л ь ф о н д, Решение уравнений в целых числах,
Гостехиздат, 1957.
Д. Граве, Элементарный курс теории чисел, Киев, 1913.
Л. Е. Диксон, Введение в теорию чисел, вып, 1, Тбилиси,
1941.
П. Г. Л е ж е н - Д и р и х л е, Лекции по теории чисел, М.—Л,
1936.
Л. Я- Окуне в. Краткий курс теории чисел, Учпедгиз, 1956.
А. К- С у ш к е в и ч, Теория чисел, Харьков, 1954.
Л. Г. Шнирельман, Простые числа, Гостехиздат, 1940.
На польском языке издана обширная книга В. Сер-
пинского «Теория чисел» в двух томах с подробными
сведениями о результатах, полученных по теории чисел до
1959 г.
В Польше выходит единственный в мире журнал,
специально посвященный теории чисел: «Acta Arithmetica».
Его редактором является академик В. Серпинский, а
членами редакционного комитета и сотрудниками — наиболее
известные специалисты по теории чисел во всем мире.
Журнал помещает статьи на языках международных
конгрессов.
[1]. Доказательство можно найти в «The
Mathematical Gazelle». 24. 1940. стр. 206 — 209,
51

[2]. В том, что число 225-[-1 делится на 641, можно
убедиться, произведя деление.
Ниже мы даем (по книге Хассе «Лекции по теории
чисел», ИИЛ, М., 1953) краткое доказательство, требующее,
однако, знания свойств сравнений. О свойствах сравнений
см., например, П. Л. Чебышев, Сочинения, т. I, 1946,
или любую из книг по теории чисел.
Заметим, что 641 == 5 . 27 -f 1 = 54 + 24.
Следовательно,
5 • 27 = — 1 (mod 641).
Отсюда, возведя в четвертую степень обе части
сравнения, получим
54. 2М=1 (mod 641),
а так как
54= — 24 (mod 641),
то
232 = — 1 (mod 641),
или число 225 —{— 1 = 232-f 1 делится на 641.
Вот другое доказательство, данное цейлонским
математиком Канагасабапатхи (P. Kanagasabapathy):
232+ 1 = 15 . 228 + 228+1 = 15. 228 + (3 + 53) . 221 +
+1 = 15 . 228+3 • 221+53 • 221+1 = 3 .221(5-27+1) +
+ (5 • 27)3-Ь I3 = 3 -221(5 .27+1)Н-(5. 27 + 1) (52 • 214—
— 5 • 27 -}- 1) = (5 . 27 -{- 1) (3 • 221 + 52 • 214 —5.27+1).
Число 232 + 1 поэтому делится на 641 = 5 • 27-j- 1.
[3]. Простые числа Ферма играют известную роль в
геометрии. Как доказал Гаусс, для того, чтобы можно
было построить при помощи циркуля и линейки правильный
я-угольник, необходимо и достаточно, чтобы п было
степенью числа 2 с целым показателем > 2 или
произведением степени числа 2 с целым неотрицательным
показателем на различные простые числа Ферма. Следовательно,
единственными числами п ~< 20, для которых возможно
построить при помощи циркуля и линейки правильный
п-угольник, будут числа 3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20.
Заметим, что простых чисел бесконечное множество.
Чтобы доказать это, достаточно указать простое число,
большее произвольного натурального числа п. Им будет,
например, наименьший >1 делитель числа 1.2.3... лг —|— 1,
52

так как оно не делится ни на одно из чисел 2,3,...,
(/г—1), п, так как дает при делении на любое из этих
чисел остаток 1.
[4]. Докажем, что по десятичной нумерации число
22'° + I имеет 19 729 цифр.
Так как 216 = 65 536, то lg 2210 = 65 536 . lg 2.
Пользуясь таблицами логарифмов, составим очевидные
неравенства:
0,301029 < lg2 < 0,301031,
умножив почленно на 65 536, получим:
19728,236544 < 65536 lg 2< 19728,367616.
или
19728,236544 < lg 22* < 19728,367616.
Поэтому число 22 имеет 19 729 цифр. Последней его
цифрой является одна из цифр 2,4,6,8, следовательно,
прибавление к нему числа 1 не увеличит числа цифр.
Легко доказать, что последняя цифра чидла 221в есть 6.
Заметим, что произведение двух чисел,
оканчивающихся на 6, оканчивается также на ту же цифру:
(10? -f 6) (10/ + 6) = 10(10ft/ + 6ft + 6/ + 3) + 6.
Так как последней цифрой числа 24 является 6 и
22'6 = (24)2" = 24 . 24... 24,
214 множителей
то последней цифрой числа 22'° будет 6. Отсюда
получается, что последняя цифра числа 22* -|- 1 есть 7.
Так же можно доказать, что последней цифрой числа
Fn при п > 2 является 7.
[5]. Доказательство И..М. Виноградова не
элементарно и требует больших знаний по высшей математике.
Данные относительно доказательства читатель найдет в
книге Б. Н. Делоне «Петербургская школа теории чисел»,
изд. АН СССР,М.—Л., 1947 и в работах Виноградова.
[6]. Ризель с помощью электронной машины BESK
(Швеция) доказал, что 23217 — 1—простое число. В
десятичной нумерации это число дано в «Mathematical
Tables and Other Aids to Comput», 12, 1958, стр. 60.
53

Для составных п число 2" — 1 — составное, так как
если n — ab (1 <а <6 <п), то
2" —1 = (2а)6- 1 =(2а —1) (2Q<6-°+ 2a{b-2)+.„-\-
+ 2а+1).
Так как
1<2а — 1<2Я_1,
то 2п — 1 — составное число.
Сведения о новейшей литературе относительно
больших простых чисел читатель найдет в работе Робинзона,
напечатанной в «Proceedings of the American Math.
Society», 9, 1958, стр. 673—681.
[7]. Докажем, что простое число Р = пп-\- 1 > 257
содержит более 300 000 цифр (см. W. Sierpinski, l'Enseign.
Math, 4, 1958, стр. 211-212).
Положим, что п > 2. Если бы п было нечетным
числом, то Р было бы простым четным числом > 2, что
невозможно; следовательно, п — четное число.
Если k является нечетным делителем числа п и &> 1,
то п = Ik и
Пп-\-1 = («0Л + 1 =Ф'+ 1)(/2'<к-1>— Л'<к-2>_|___
-я'+1),
следовательно, пп -f~ 1 будет составным числом; поэтому п
не может иметь ни одного нечетного делителя й> 1, то
есть
п = 2т и Р = (2т?т + 1 при /и = 1,2,3, ... .
Подобным же образом молено показать, что т не
может иметь нечетного делителя, большего 1.
Следовательно,
/11 = 2' (г = 0,1,2,...);
Р = (22022Г+ 1 = 22Г + *Г+ 1 = F г
Поэтому мы должны испытать числа Ферма:
/4 = 5, ^-257, F6, Л1 и F.2Q
Числа Fe и F„ — составные (см» стр. 7V
54

Таким образом, мы доказали, что следующим после
257 простым числом вида пп -\- 1 может быть лишь число
F20=2220 + l
или число, большее F20.
Так как 210 > 103, то
F2l) > 2*° > 210в > (103)105 = Ю300000,
то есть число F20 содержит более 300 000 цифр.
[8J. Доказательство того, что простое число вида
ппП-\- 1 > 17 имеет более миллиарда миллиардов цифр,
потребовало бы исследования чисел Fn, где
[9]. Если бы ответ на этот вопрос был
отрицательным, то существовало бы только конечное число чисел п
таких, что 2п—1 не делилось бы ни на один квадрат
натурального числа т > 1. Если мы обозначим через Л/
наибольшее из тех чисел п, а через q — простое число,
большее N (такое число существует, как мы доказали
раньше), то число 2?—1 делилось бы на квадрат
натурального числа > 1. Ответ на вопрос Р*9 был бы
утвердительным.
[10]. Известна следующая теорема Гаусса: каждое
натуральное число, не имеющее вида 4а(8Ь-{-7) (а, Ь —
числа целые, неотрицательные), есть сумма трех
квадратов целых чисел.
Доказательство этой теоремы трудное. Из этой
теоремы вытекает, что каждое натуральное число вида 8 k -f- 6
является суммою трех квадратов целых чисел:
8А +6 = 4 + у1 + *1.
Следовательно, 8k -f- 7 = х% + у\ + г% + 1, а так как
простых чисел вида 8А -(- 7 бесконечное множество (см. Р28),
то и простых чисел вида х2 -\- у2 -(- z2 + 1 бесконечное
множество.
flij. С помощью теории сравнений доказывается
следующая теорема Вильсона* если р — простое число, то
число (р— 1)! -j- 1 делится на р.
Справедлива и обратная теорема: если число (п — 1)! -f-
4-1 делится на п(п > 2), то п —простое число.
55

Доказательство обратной теоремы очень просто: число
(п— 1)! -f-1 не делится ни на одно из чисел 2,3,... ,/г— 1
(так как при делении на каждое из этих чисел дает
остаток 1), но делится на п, следовательно, /г>
1—наименьший делитель числа (п—1)!-(-1, то есть /г —число
простое (13).
Из теоремы Вильсона вытекает, что если число /г —(— 1—
простое, большее 3, то число п\-\-I является составным
числом.
[12]. Проблема ЯД, очевидно, равносильна вопросу,
существует ли для каждого натурального числа т
бесконечное множество простых чисел р таких, что р-\-2т
также простое число.
Для каждого нечетного числа k мы можем решить
вопрос, будет ли оно разностью простых чисел k = p — q
(pyq — простые числа). Если р и q оба нечетные простые
числа, то разность их четна, следовательно, не равна k.
Поэтому одно из чисел р или q должно быть четным
числом. Существует только одно простое число, именно 2.
Если р = 2, то /г = 2 — q < О (так как q — простое число,
следовательно, <7 > 2). Поэтому q = 2, откуда получается,
что k = р — 2 или k -\- 2 = р.
Следовательно, нечетное число k будет разностью двух
простых чисел тогда и только тогда, когда k-{-2 —
простое число. Так, число 22'3—1 будет разностью простых
чисел, если только
22И —1 + 2 = ^3 —
простое число; а это, как известно, вопрос первого рода.
[13]. Докажем, что вопрос, существует ли бесконечное
число четверок натуральных чисел р, p-f 2, p-f-б, р + {$,
являющихся простыми числами, равнозначен вопросу,
существует ли бесконечное множество натуральных чисел
п > 4, для которых числа (я—1)! и п(п-\-2) (п-\-6)
(п + 8) — взаимно простые.
Если р, р + 2, р + 6, р + 8 — простые числа, то ни
один делитель произведения Р(р -\- 2) (р -\- 6) (р + 8) не
делит числа (р — 1)!, следовательно, числа (р—1)! и р(р -f 2)
(р + 6) (р -(- 8) — взаимно просты.
Пусть теперь числа (п — 1)! и п (л+2) (/г -{- 6) (/г -f-8)
будут взаимно простыми и п > 4. Ни одно из чисел 2,3,...,
(п — 1) не является делителем числа п (п + 2) (п + 6) (п -\- 8),
следовательно, не будет делить числа л-f-A {k = 0,2,6,8).
56

Если бы число n-\-k было составным, то оно имело
бы делитель dk такой, что
1 < rfk < l/zz-f *•
Но dk не является, как мы доказали выше, ни одним из
чисел 2,3,..., (п—1). Поэтому должно быть
п < dk < Vn-\-k < ]/я + 8,
откуда п < Yn 4-8 и п2 — п — 8 < 0, что при л > 4
невозможно. Следовательно, ни одно из чисел n-\-k (k =
= 0,2,6,8) не может быть составным, то есть числа /г, /г+-2,
/г 4~ 6 и п 4- 8 — простые.
[14]. Докажем, что разность d возрастающей
арифметической прогрессии, составленной из k простых чисел,
делится на произведение всех простых чисел р < k.
Пусть членами этой прогрессии будут числа a, a-\~d ,...,
aJ\-(k—Y)d и пусть р будет произвольное простое число,
такое, что р < /г.
Рассмотрим остатки от деления на р каждого из р
первых членов данной прогрессии. Обозначим их через
/'!, /'2,..., гр (0 < гj < р — 1). Все г?. (2 < i < р) не равны
нулю, иначе при некотором s(l<s<p—1) число а-\-
-j-sd^> p делилось бы на р, поэтому оно было бы
составным. Если бы гг = 0, то р было бы делителем (р 4- 1)"го
члена этой прогрессии, то есть числа a-\-pd.
Среди чисел гь г2, ..., гр по меньшей мере два числа
должны быть равными, так как имеется всего р—1
различных остатков, не равных нулю, от деления на р.
Пусть г j = rt (I < i < / < р). Это значит, что
а + (/ — l)d = Ар-\-г\
а + (/-1) d = Bp+r7
отсюда, вычитая по частям, получим
(j-i)d = (B-A)p.
Правая часть этого равенства делится на р;
натуральное число / — /<р, следовательно, не делится на р.
Поэтому d должно делиться на р.
Так как р — произвольное простое число, меньщее k,
то d делится на каждое простое число р<?, а
следовательно, и на их произведение.
57

Если бы существовала возрастающая арифметическая
прогрессия, образованная из 100 простых чисел, то ее
разность d делилась бы на произведение всех простых
чисел, меньших 100, то есть на число р = 2 . 3 • 5 • 7 • 11-
. 13 • ... .89.97 = 210- 11 • 13. ... .89- 97.
Так как простых чисел, удовлетворяющих неравенству
10 <р < 100, имеется 21, то
р > 210 . 1021> 1023.
Поэтому число d делилось бы на число, имеющее по
крайней мере 24 цифры; оно само имело бы по меньшей мере
24 цифры, следовательно, и каждый член прогрессии
(кроме, может быть, первого) должен бы иметь по меньшей
мере 24 цифры.
[15]. Доказательство, что существует бесконечное
число арифметических прогрессий, составленных из трех
простых чисел, дал Чсвла.
[16|. Недавно Вакулич доказал элементарным, но
очень сложным способом, что не существует
арифметической прогрессии, составленной из кубов трех различных
натуральных чисел.
[17]. Элементарное доказательство теоремы Лежен-Ди-
рихле можно найти в книге Треста «Простые числа», М.,
1959.
Докажем, что из теоремы (А):
в каоюдой арифметической прогрессии, первый член и
разность которой — взаимно простые числа, существует
(по меньшей мере) одно простое число,
вытекает теорема Лежен-Дирихле:
в каждой арифметической прогрессии, первый член и
разность которой — взаимно простые числа, существует
бесконечное множество простых чисел.
Пусть
а,а + г, а + 2г,... (1)
будет арифметической прогрессией, удовлетворяющей
условиям каждой из названных теорем.
Каждая из прогрессий
а + kr, (a + kr) -j-r, (a-j- kr) + 2г, ... (2)
или (а-\- kr)-\-mr, где т = 0,1,2,... и k — фиксированное
натуральное число, удовлетворяющее условию каждой из
этих теорем. В каждой из арифметических прогрессий (2)
58

на основании теоремы (А) имеется простое число, большее
k, так как первый член каждой из этих прогрессий
больше k.
Прогрессию (2) мы получим из прогрессии (1), опуская
k первых ее членов. Следовательно, в прогрессии (1)
имеется простое число, большее &, где k — произвольное
натуральное число; следовательно, простых чисел в ней
бесконечное множество.
[18]. Существуют по меньшей мере три простых
числа, имеющих по 500 цифр. Из постулата Бертрана (см.
стр. 6) вытекает, что существуют простые числа р, q и г
такие, что
10499 < р < 2 • 10ш < q < 4 . 10499 < г < 8 • 10499.
[19]. Меле (Е. Mail let) доказал, что ответ на этот
вопрос является утвердительным для натуральных чисел
п < 2999.
Доказано также, что существует число N такое, что
при п>Л/ между п? и (лг —|— 1 )3 имеется по меньшей мере
одно простое число.
[20]. Если существует простое число р такое, что
п2 < р < п2 + я, то тем более будет п2 < р < /г2 -(- п -|-
я-(- 1 = (/2-f-1)2, следовательно, из утвердительного
ответа на вопрос Pf вытекает утвердительный ответ на
вопрос Рзь
[21]. Положим, что ответ на вопрос Р3з —
утвердителен. В предпоследней строке данной там таблицы,
следовательно, найдется простое число р, удовлетворяющее
неравенству:
(п — I)2 = п2 — 2п + 1< р < п (п — 1).
Примем п — 1 = т, тогда существует простое число р
такое, что т2 < р < m (т -|- 1) = т2-\-т. Поэтому ответ
на вопрос Яз2 будет утвердительным.
[22J. а) Доказательство того, что вопрос, имеет ли
уравнение р -|- q = г бесконечное число решений в
простых числах р, <7, /\ равносилен вопросу Р^, мало
отличалось бы от доказательства, данного в примечании [12]
к проблеме Р2 .
б) Так как целое число qy которое не делится на 3,
имеет вид 3 / -)- 1 или 31 — 1, то получаем тождество
(31 ± I)2 = 3 t (31 ± 2) -)- 1, следовательно, квадрат этого
59

числа дает при делении на 3 остаток 1, число 2q2 дает
остаток 2, поэтому число 2q2-{- 1 делится на 3.
Теорема Виноградова дана на странице 8.
[23J. Если натуральное число является произведением
двух различных простых чисел р и q, то его
натуральными делителями будут только числа 1, р, q и pqy
следовательно, оно имеет 4 натуральных делителя. Если бы
ответ на вопрос Р2 был утвердительным, то существовало
бы бесконечное множество натуральных чисел к таких,
что каждое из чисел k и k -f 1 было бы произведением
двух простых чисел. Каждое из чисел k w k-\-\ имело
бы поэтому одинаковое число натуральных делителей,
именно 4.
[24]. Читатель, уже имеющий основные сведения из
теории чисел (например, в объеме книги Виноградова),
легко заметит, что эту проблему можно сформулировать
следующим образом:
является ли число 2 первообразным корнем для бес-
конечного множества простых чисел?
Докажем тецерь так называемую малую теорему
Ферма: если р — простое, то число пр — п делится на р.
Доказательство проведем математической индукцией
относительно п.
Для п= 1 теорема справедлива, так как 1р — 1=0, а
0 делится на р. Предположим, что при п = k теорема
справедлива, то есть что kp—k делится на р.
Из формулы бинома Ньютона (см., например,
Киселев, Алгебра, ч. 2) имеем:
^ + 1)^-^ + 1) = ^ + сУ~Ч^/~2+...+с;"^ +
+ 1_Л_1 = (**_*) +cV",+ - +сРр~\
где с, п
Известно, что все сомножители С}р (/ = 1,2,..., р — 1)
натуральные числа.
Если р — простое число, то число С (/ = 1,2,3, ...,р—
— 1) делится на р, так как в числителе имеется
множитель р, а в знаменателе же его нет.
60

Число (k-j-iy — (Л —J— 1) является суммой чисел,
делящихся на р, так как kP ~~ k делится на р по
предположению, а выше мы доказали, что С! kP~i делится на р.
Следовательно, число (k-\-iy — (k-\-l) делится на р.
Так как мы установили справедливость малой теоремы
Ферма для й»1, а из предположения, что теорема
Ферма верна для числа k мы вывели, что она справедлива и
для числа /г+1, то на основании принципа
математической индукции мы заключаем, что для каждого
натурального числа п число пр — п делится на р.
Если п не делится на р, так как
пР — п = п{пР~ 1— 1),
то число /гр ~ * — 1 делится на р.
Поэтому, если р>2—простое число, то, полагая п=2,
получим, как следствие, что 2Р"""1 — 1 делится на р или
2Р~1 при делении на р дает остаток 1.
[25]. Пусть т = ра{\ р% . . . p*s, где рхрз, . . . , ps —
различные простые числа. Обозначим через а(т) сумму
всех натуральных делителей числа т. Каждый такой
делитель имеет вид
tf./?•¦•#. (*)
где р; — целое число, причем 0 < $t < а,-. Поэтому о(пг) =
-(l+Pi + pl + ...+p:i)X(l+p2 + ...+P?)...(l+P,+
--}-...-fp^s); выполнив умножение в правой части, получим
сумму всех выражений вида (*).
Применяя для каждого множителя формулу суммы
членов геометрической прогрессии, мы получим формулу:
а(т) = — . — ... —- .
Pi — l P2—l Ps—l
Подставляя в эту формулу т = 2П ~ !(2/г — 1), где 2п —
— 1 — простое число, получим:
сг (го) = ^j • 2п = 2 • г*-1^* — 1) =» 2го,
следовательно, г*1-1^— 1) — совершенное число»
[23]. Всех натуральных чисел п < 10 000 таких, что
а(п) = а(л+ 1), имеется 9, именно: п = 14, 206, 957, 1334,
1364, 2685, 2974 и 4364.
61

[27]. Если р— простое число, то каждое из р чисел
1*-\ 2^_1,...,(р—\)р~1< 1 при делении на р дает 1 в
остатке (см. примеч. [24]). Этих чисел имеется р,
следовательно, их сумма делится на р.
[28]. Кр айчик (М. Kraitchik) в книге «Recherches sur
la theorie des ncmbres», Gauthier— Viilars, Paris, 1924,
т. I, стр. 38 — 41, доказал, что если чгсло/г! -\- 1 (п>7)
является квадратом натурального числа то /г> 1020.
[29]. Из теоремы Лежен-Дирихле(Р28) следует, что
простых чисел вида 4т-\- 1 также и вида 4т~\-3 имеется
бесконечное множество.
[30]. Очевидно мы знаем два решения уравнения
ху\ 1 =2101, именно: х = 2101 — 1, у = 1 и*/ = 2101 —1,
х=\. Мы знаем, однако, что имеются другие решения,
ибо 2101 — 1 —составное число (см. стр. 6).
[31]. Это доказательство читатель найдет в книге Сер-
пинского «Пифагоровы треугольники», Учпедгиз, 1959, § 12.
[32]. Мор дел л (L. I. Mordell) доказал, что
уравнение хд — у2 = &, где кфО — целое число, не может
иметь бесконечного числа решений в целых числах х, у.
Мы знаем четыре решения уравнений х3 — у2 = 7 в
целых числах х, уу именно: х = 2, у — ± 1; х — 32,
#= + 181.
[33]. Сведения относительно проблем Р%—Pei
читатель найдет в польском журнале для учителей «Matematy-
ka» (№ 1 (45), задание 495; № 3 (47), стр. 11 — 13; № 1
(51), стр. 57 — 58).
Сведения относительно проблем Яб2 — Р1з читатель
найдет в книге Серпинского «О разложении
рациональных чисел на ал/иквоты» («О rozkladach liczb wymiernych
па ufamki proste», PWN, Warszawa, 1957, стр. 16—23).
[34]. Эйлер высказал более общее предположение:
Если 2 < k < п, то уравнение хп\ + х^ +...-)-хпк =уп
не имеет решений в натуральных числах хи лг2,...,лгк, у.
Для k = я<г5 это уравнение имеет решения,
например: 32 + 42 = 52, 33-f 43 + 53=63, 304+1204 + 2724 +
+ 3154 = 3534, 75-f436 + 575-f 80б + ЮО5 = 107б.
Уорд (М. Ward) доказал, что уравнение *4 -f- r/4 + z4=
= /4 не имеет решений в натуральных числах х, уу z, ty
где / < 10 000.
[35]. Доказательство упомянутой гипотезы
Серпинского для натуральных чисел, не превышающих 350 (кроме
62

148 и 284), читатель найдет в «Acta Arithm.», 4, 1958,
стр. 20 — 30 и 5, 1959, стр. 121 — 123.
Докажем, что куб целого числа при делении на 9
дает остатки 0,1 и 8. Если /2 = 3/, то л?3 = 9(3/н); если
п = 3/ -+-1, то я3 = 9(3/* -f З/2 -f t) -f- 1, если п = 3/ + 2,
то я3 = 9(3/3 -(- б/2 -|- 4/) -)- 8. Следовательно, складывая
три куба, мы никогда не получим в результате числа,
дающего при делении на 9 остатки 4 или 5.
[36]. Доказано (I. London Milh. Soc, 11, 1936,
стр. 218 — 219, «Acta Arithm., 5,1959, стр 121—123), что
каждое натуральное число п < 220, кроме, может быть,
п = 76, 99, 113, 148, 183, 190 и 195, может быть
представлено в виде хг -f- ys -\- 2г3.
[37]. Миллер (I.C.P. Miller) и Вуллет (I.London
Math. Soc, 30 1955, стр. 101—ПО) показали при
помощи электронной машины, что уравнение 30 = xs -f- У* +23
не имеет решений в целых числах х,у,г таких, что|*| ^
< \у\ < | z\ ^ 3164. Они указали все
удовлетворяющие этому условию решения уравнений k = х6 + у6 + г3
для натуральных чисел к < 100.
[38]. Доказательство теоремы о том, что уравнение
*4-f-#4 = z4 не имеет решений в натуральных числах,
читатель найдет в § 10 книги Серпинского «Пифагоровы
треугольники» (14).
[39]. Для s=2 можно взять k = 4. Это значит, что
каждое натуральное число является суммой четырех
квадратов неотрицательных целых чисел, например: 6 = 22-f-
+ I2 + I2 + О2, 28 = 32 + З2 + З2 + I2.
Нельзя вместо этого принять k = 3, так как уже число?
не является суммой трех квадратов неотрицательных целых
чисел. Дляя = 3, как доказал в 1909 г. Виферих (A. Wiefe-
rich), можно взять &=9 (доказательство Вифериха имело,
однако, некоторые пробелы, его исправил в 1912 г. Кемпнер).
Нельзя взять здесь k = 8, так как легко проверить, что
числа 23 и 239 не могут быть суммами восьми кубов
неотрицательных, целых чисел.
При доказательстве Гильберт использовал сложные
понятия высшей математики. Элементарное доказательство
Ю. В. Линника, хотя и довольно длинное, дано в книге
А. Я. Хинчина «Три жемчужины теории чисел», Гостех-
издат, М.— Л., 1948, стр. 34—63.
[40]. Доказательство Мозера дано в «Scripta Mathem.»,
19, 1953, стр. 84--88.
63

[41]. Доказательство Лукомской дано в цитированной
выше книге Хинчина на страницах 7—13.
[42] Из числа 200 заменой одной его цифры нельзя
получить простого числа. Изменяемой цифрой должна
быть его последняя цифра — нуль. Если бы она осталась
без изменения, то число делилось бы на 10, то есть не
было бы простым числом.
Заменяя нуль последовательно цифрами 1, 2, . . . , 9,
мы получим числа 201, 202, . . . , 209, из которых
каждое число — составное.
[43]. Можно доказать, что принимая хх = ух = 1 ,
Хп-\ = Ъхп-\~^Уп-\- 1, #ц-1 = 2хп-\-Ъуч+ 1 при п = 1, 2,...
мы получим хт, Ут (т=1, 2,...) — все решения
уравнения х2 -\- х — 2у2 в натуральных числах х, у. Это
доказательство дано в книге Серпинского «О решении
уравнений в целых числах», Warszawa, 1956, § 5.
[44]. Обозначая через ф (а) число натуральных чисел,
не превышающих п и взаимно простых с /г, эту проблему
можно сформулировать так:
если уравнение у(х) — т (фиксированное) разреши-
мо, то имеет ли оно по меньшей мере два решения?
[45]. Эту проблему можно сформулировать следующим
образом: имеет ли уравнение ср(п) = ф(7г-|- I)
бесконечное число решений?
[46]. Эту проблему можно сформулировать так:
существует ли составное число п такое, что число
п—1 делится на ц>(п)?
Если п — простое число, то (р(п) = п—1 и п—1
делится на ф(/?) = п — 1.
[47]. Эту проблему можно сформулировать так:
имеет ли уравнение <р(т) = о(п) бесконечное
множество решений в натуральных числах т, п?
(о(т) означает, как обычно, сумму всех натуральных
делителей числа т.)
Заметим, что если р — простое число, то
Ф(Р) = Р—1, а(р) = р + 1.
Справедливы также равенства:
ф(2«)==2^-1 (т=* 1,2,...),
так как взаимно простыми относительно 2т и не
превышающими 2т числами являются только нечетные числа п < 2ОТ,
64

которых имеется 2m-]; имеют место также равенства:
я (2т) * 2w-f 2^-l + -.- + 1 = г^-Ь1 — 1.
Если бы ответ на вопрос Р] был утвердительным, то
есть, если бы существовало бесконечнее множество
простых чисел вида 2k— 1, то, принимая n=2*+l, m •=.
= 2/:"*"1 (т—простое число), мы получили бы
Ф (2* + *) = 2« = а (2*— 1).
То же самое, если имеется бесконечное множество
пар чисел близнецов р, р -j- 2 то уравнение ф(я) = сг(т)
имело бы бесконечное множество решений, так как для
каждой такой пары справедливы равенства:
Ф(р + 2) = р+1=а(р).
[48]. Эту проблему можно сформулировать следующим
образом:
существует ли бесконечное множество натуральных
чисел, которые нельзя представить в виде о (п) — п?
Если бы 2 = а(п) — /г, то, очевидно, п > 1 и о(п) = п -f 1 -f-1.
Натуральное число п > 1 делится на 1 и на п. Число
о (п) было бы суммой двух делителей числа п, именно
чисел 1 и /2, и числа 1, что невозможно, так как 1 уже была
включена в сумму делителей числа п.
[49]. Последовательность /г, /(я), //(/г),... периодическая
для совершенных чисел п (см. Pijs); период состоит из
одного члена п. Обратно, если для какого-либо числа
п последовательность п f(n) ff(n), ... имеет период 1,
то п — совершенное число.
Имеем равенство / (п) = о (п) — п. Поэтому если
положим, что последовательность n,f(n), //(/г),... имеет период
1, то п = о{п) — /г, или о(п) — 2/г, а это значит, что п —
совершенное число.
Для п =¦¦ 220 получим последовательность, период
которой состоит из двух членов: 220, 284, 220, 234,... .
То же будет для каждого натурального числа /г,
являющегося одним из пары дружественных чисел.
[50]. Используя обозначение данное в вопросе Р64,
можно вопрос РГЛ сформулировать следующим образом:
для каждого ли натурального числа я-> 90 справедливо
неравенство q(n) > тс (/г)?
]51]. При п = 2 такими числами будут, например, 9 и
16; при л«3 — 442, П72, 2402 (см. Р 1).
65

[52]. Для натуральных чисел п таких, что 3<я<39,
числа 2Л — 7 составные.
[53] Ряду Фибоначчи посвящена книга Н. Н.
Воробьева «Числа Фибоначчи», Гостехиздат, 1951.
Простые числ-а в ряде Фибоначчи могут быть только
на месте с номером, выражающимся нечетным простым
числом или числом 4 Однако 19-й член ряда Фибоначчи—
составное число 4181 =37 113.
]54| Сведения относительно непрерывных дробей
читатель найает в книге Хинчина «Цепные дроби», Гостехиздат,
М.—Л., 1935.
Число е определяется как предел последовательности
{ал} при п -» оо, где
<-(' + v)"'
Десятичное выражение числа е с точностью до
0,0000001 следующее: е = 2,7182818.

Примечания В. А. Голубева
(1). Очевидно, Кантор здесь имеет в виду то
обстоятельство, что поставленная, но не скоро решенная по
своей сложности проблема вызывает много плодотворных
исследований, развивающих науку. Если бы, например,
Ферма дал доказательство своей Великой теоремы, то не
была бы создана (может быть, до сих пор) теория идеалов,
возникшая благодаря попыткам Куммера доказать Великую
теорему Ферма.
Даже ошибочное предположение Ферма о простоте всеч
чисел вида 22 -(-1, обратившее на себя внимание Гаусса,
способствовало созданию теории построения циркулем и
линейкой правильных вписанных многоугольников.
(2). В 1923 г. Харди и Литтлвуд высказали
предположение, что ответ на вопрос Р] 2 является утвердительным.
Мною составлена таблица простых чисел вида х2 -f-1
до х = 100 000. В № 5 за 196Э г. журнала «Математика
в школе» я описал способ выделения из ряда натуральных
чисел простых чисел вида л:2+1 и поставил три
гипотезы относительно этих чисел (см. «Обзор № 2 по
элементарной теории чисел», стр. 71 —76). Мною выведена и
точная формула функции л(х2-\- 1) — числа простых чисел
вида х2 -\- 1 от 1 до х. (Статья об этом будет
опубликована в журнале «Математика», «Известия высших учебных
заведений», Казань.)
(3). Бесконечность множества простых чисел вида х2-\- у2
непосредственно вытекает из теоремы о том, что всякое
простое число вида Am -f-1 выражается единственным
способом в виде суммы двух квадратов взаимно простых
чисел, и из теоремы Лежен-Дирихле (см. Р28), из которой
следует, что простых чисел вида 4т + 1 бесконечное
множество»
67

(4). Мы предполагаем, что простых чисел вида х*-{-1
бесконечное множество. По таблице Крайчика до х ¦¦ 100,
продолженной мною до х =*= 300, простые числа хА -{- \
имеются при *¦= 1, 2, 4, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54,
56, 74, 80, 82, 88, 90, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164,
174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, 238, 242, 248,
254, 266, 272, 276, 278, 288, 296.
Если мы обозначим через п(х*-\-\) число простых
чисел вида x4-f-l с основанием от 1 до х, через п(х)
-—число всех простых чисел до х, то отношение k = - "*" }
при 10 < х < 300 будет 0,60 < k < 0,68, наименьшее k =
= 0; 60 будет при х = 150.
Таблицу оснований х для простых чисел х* -f-1 я
получил из таблицы оснований простых чисел х2 -j- 1 путем
отбора чисел х — а2, так как (а2)2-\- 1 = a4 -j- 1, Но
можно основания л: простых чисел вида л:4 -j- 1 выделить
непосредственно из натурального ряда чисел х= 1, 2, 3, ....
Для этого заметим, что нечетными простыми делителями
чисел х* -\- 1 являются числа двух видов: рх = 16т -\-1 и
р2=16т-|-9. Согласно теореме Лежен-Дирихле число
этих делителей от 1 до л: составит около — числа всех
4
простых чисел от 1 до х. Таблицу оснований х простых
чисел можно получить по видоизмененному методу «эра-
тосфенова решета». По каждому нечетному простому
делителю р < х2 приходится «просеивать» основания х
чисел х*-(-1 четыре раза. Так, например, числа *4-f-l
делятся на 17 при х = Пт ± 2 и х = 17/П + 8, поэтому
«просеивание» по делителю 17 нужно начинать: 1) х =
= 2; 2) х = 8; 3) х = 9; 4) х = 15.
Предполагаем: 1) что основания х простых чисел
формы лг + 1 распределяются равномерно по всем возможным
арифметическим прогрессиям a-\-kr и число оснований х
в каждой такой прогрессии — бесконечно; 2) что между ys
и (у 4- I)8 простых чисел х*-\- 1 не менее одного при у>
>3. Так от х = 1 до л: = 300 число оснований х в
прогрессии З/л-f-l равно 14, в прогрессии Зш -\-2 будет 15,
в прогрессии 3/п их 13. Между */8 и {у + l)s при у = 1,
2,... , 16 имеется простыч чисел вида #4-f-1:
2, 1, 0, 3, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 3, 4, 5, 5,
68

Подобные предположения относятся и к основаниям х
простых чисел, получающихся при подстановке х = 1, 2-,
в неразлагающийся на множители многочлен
axn + bxn-l-j-...-}-kx + l,
где a, b, ...r k, I — целые числа.
(5). По предположению Харди и Литтлвуда число пар
простых чисел-«близнецов» бесконечно. В 1952 г. я нашел
способ непосредственного получения близнецов из ряда
натуральных чисел и вывел точную формулу для функции
л2(х) — числа пар близнецов от 1 до х.
Число близнецов в каждом миллионе до х = 8 000 000
с распределением их по арифметическим прогрессиям
210/п + а дано мною в «Изв. М. И.» Болгарской АН,
т. III, кн. 1, 1958, стр. 109. Обозначим пару близнецов
через р и р -f-2. Способ получения чисел р близнецов от 1
до х (р < х) состоит в исключении четных чисел и
единицы, затем в двукратном «просеивании оставшихся чисел
по нечетным простым делителям d < ]/ х -\- 2; мы
исключаем первый раз числа т >d, делящиеся на d, второй раз —
числа, имеющие вид dn — 2 (n = 2, 3, ...).
В 1959 г. Д. X. Лемер при помощи электронной
машины вычислил значения л2(х) для каждого миллиона до
*=37 . 10б.
Таблица значений ъ2(х)
(Миллионы — сверху и слева).
X
0
10
20
30
! I
8169
64040
112103
157355
I 2
14871
69011
116685
161810
3
20932
73897
121301
166157
1 «
26860
78784
125920
170577
1 5
32463
83660
130512
174945
| 6
37916
88534
135050
179257
1 7
43259
93302
139526
183728
1 • 1 •
48618
98106
143978
53867
102408
148454
10
58980
107407
152892
Изучение таблицы близнецов и метода их получения
приводит к следующим предположениям:
1) простые числа р близнецов равномерно
распределены по арифметическим прогрессиям a -\-kr, где а и г, а
также г и a-f-2 — взаимно простые числа;
2) между а3 и (а-f 1)3 (а — натуральное) имеется по
меньшей мере одна пара близнецов;
69

3) всякое натуральное число можно представить в
виде суммы конечного числа (т < 5) близнецов и единицы.
Так от 1 до л: = 2 000 000 в арифметической
прогрессии 10/г —|— 1 имеется 4944 простых числа р
близнецов, в прогрессии \Qk-\-7 имеется 5006, в прогрессии
ЮЛ+ 9 имеется 4-919.
Таблица чисел пар близнецов между а6 и (а + 1)3.
а
0
10
20
30
1
2
9
24
39
*
2
12
23
45
з
3
И
17
36
4
3
12
22
36
5
5
9
26
38
6
5
17
32
52
^
4
16
36
42
8
6
19
34
51
9
5
16
25
40
10
11
18
35
59
Как видно из таблицы значений л2(х), квадраты целых
чисел возрастают быстрее близнецов. При х = 1000 000
число квадратов равно 10Э0, а число близнецов — 8169;
при х = 36 . 106 число квадратов — 6000, число
близнецов—179 257. Однако при значениях а < 122 между а2 и
(а+ О2 может не оказаться ни одной пары близнецов. Это
произойдет при а = 9, 19, 26, 27, 30, 34, 39, 49, 53, 77,
122. Далее, до а = 380 нет ни одного такого значения а.
Может быть справедливо следующее предположение:
Между а2 и (а -)- 1 )2 при а > 122 и целом имеется по
меньшей мере одна пара близнецов.
Методом «эратосфенова решета» с соответствующими
изменениями можно получить таблицу пар простых чисел
р и р-\-2т (т — натуральное). При этом наблюдается
следующая зависимость: 1) число пар простых чисел
рир + 4, рир + 8,,„, р и р + 2п
от 1 до л; асимптотически равно числу п2{х) пар близнецов;
2) число пар р и р + 6, р и р-\- 12,... , р и р-\-3 • 2п от
1 до х в 2 раза больше числа п2(х) и т. п.
(6). Существует, вероятно, бесконечное число «троек»
простых чисел с малыми разностями (2 и 4) между ними:
«тройки» первого рода (р, р + 2, р-(-6) и «тройки»
второго рода (р, р + 4, р + 6). Таблицу простых чисел любых
«троек» (р, р + 2/п, р + 2/г) можно получить методом
«эратосфенова решета» — троекратным «просеиванием» чисел по
делителям d.
7U

Число «троек» первого рода от 1 до 10GOOOO равно
1392, до 2 000 000 их — 2378. Почти те же значения
получаются для чисел «троек» второго рода.
Число «четверок» ру р -\- 2, р +- 6, р -\- 8 от 1 до х =
= 1000 000 равно 166, до х = 2 003 000 их — 295.
Таблица количества простых чисел от х2 до (х -j- I)2.
.Y
0
10
20
30
40
50
60
70
1
2
4
7
10
11
15
13
> 15
2
2
5
7
9
9
16
17
15
3
2
5
6
10
14
12
15
17
4
3
4
9
9
9
13
14
I 17
5
2
6
8
10
13
11
!6
1 17
» J
4
7
7
9
10
12
15
1 22
7
3
5
8
9
13
17
15
14
8
4
6
9
12
15
13
17
1 18
9
3
6
8
11
10
16
13
| 23
10
5
7
8
12
11
16
21
13
Из таблитты видно, что количество простых чисел от
х2 до (х-\- I)2 немонотонно возрастает с возрастанием х.
При 1 < х ^ 5 простых чисел от х2 до (х + I)2 не менее
двух, при 6 < х 4, 9 — не менее трех, при 10 < х < 14 —
не менее четырех и т. д.
Возникает следующее предположение:
Как бы велико ни было произвольно взятое нами
натуральное число а, можно указать такое число Л/, что при
х> N число простых чисел между х2 и (х-\- I)2 будет не
менее а.
(7). Докажем, что положительный ответ на вопрос Р2з1
вытекает из следующего предположения (А):
При д = 2 имеется одна разность, а при /г>2 две и
только две максимальные разности, равные 2рп-\ между
двумя последовательными целыми числами, взаимно
простыми с Рп = р} • р2- ... • рп и меньшими РПУ где рл = 2,
р2 = 3,...,р„ — последовательные простые числа,
расположенные в возрастающем порядке.
Если возьмем простое число р^, такое, что pk < п -\- 1 <
<p*+i, то разность (п -\- \)2— п2 = 2п-\- I > 2pk— 1.
Следовательно, между (п + 1 )2 и п2 имеется отрезок не
менее, чем из 2pk — 2 целых чисел. По нашему
предложению, наибольшая разность между двумя
последовательными числами, не делящимися на 2, 3, .., pk, равна 2р^_и
что меньше 2{pk—-1) при А> 1. Поэтому среди чисел на
71

отрезке из 2р/г—2 чисел имеется по меньшей мере одно
число т, не делящееся на 2, 3,...,р^, а так как рА+1 >
> гс+ 1 > pk, то есть pft+i > I (/2-f- l)2 , то число т —
простое.
Предположение (А) проверено мною до рп = 17.
(8). Как сссбщил мне академик В. Серпикский, вопрос
Я260, следовательно, и Р25и, Я26Ь решен отрицательно (см.
J. W. S. Cass els, «Cn a diophanline equation», «Acta
Aritbm», 6, 1E60, стр. 47 — 52).
(9) По предположению Эйлера, число слагаемых,
необходимых для выражения любого натурального числа в
виде суммы /г-х степеней натуральных чисел, выражается
формулой:
Т = Рл4- Г?Л _9
1 1 + L2"J '
где \пг] — целая часть числа пг. Эта формула доказана
для многих п.
Не трудно доказать, что предположение Эйлера
равносильно предположению, что справедливо тождество при
целом п > 2;
Г3""!--Г 3" 1
L2''J 12я- U
Это тождество проверено мною до п = 150.
(10). Нужно принять во внимание и все
возрастающий прогресс науки и техники. Особенно этот прогресс
усилится в будущем при совершенной социальной
организации человечества, при отсутствии войн и гонки
вооружений, при равноправии всех людей и народов,
(11). См., например, А. М. Яглом и И. М. Яглом,
Неэлементарные задачи в элементарном изложении,
Гостехиздат, М., 1954, стр. 55 — 56.
(12). В русском издании книги (Г. Ште йнга уз,
Математический калейдоскоп, Гостехиздат, М.—Л., 1949) это
разложение отсутствует. В 1949 г. Штейнгауз
сомневался в возможности такого разложения.
Разложение квадрата со стороной 608 на 26 неравных
друг другу квадратов, а также разложение
прямоугольников на квадраты имеется в книге: Б. А. Кордем-
с к ил, Н. В. Руса лев, Удивительный квадрат,
Гостехиздат, М.—Л, 1952.
72

(13). В книге Троста «Простые числа», стр. 30, имеется
доказательство, найденное Клементом, следующего
обобщения теоремы Вильсона:
Числа а и /г + 2 тогда и только тогда являются
простыми числами-близнечами, когда при п > 1 число 4[(п —
— 1)! -j- 1J + п делится на я{/2 + 2).
Аналогично можно доказать следующие обобщения
теоремы Вильсона, найденные О. М. Фоменко:
1) Числа п и /г + 2й тогда и только тогда
одновременно простые, когда (2k)\ 2k[(n — 1)1 + 1] + [(2&)! — lj/i
делится на n(n-\-2k).
2) Для того чтобы числа п, я+ 2, я+ 6 составляли
«тройку» простых чисел, необходимо и достаточно, при
пф7% чтобы 6.6! {4 [(я— 1)! + 1]+/г) + 192/г(л + 2)
делилось на п (п + 2) (п + 6).
(14). Популярное изложение теории, относящейся к
вопросу Р/2, имеется в книге А. И. Хинчина «Великая
теорема Ферма», Госиздат, 1927.

АЛФАВИТ ФАМИЛИЙ АВТОРОВ
Русские и советские математики
Арнольд И. В . • 51
Виноградов И. М. 8, 17,51,53,60
Воробьев Н. Н 65
Гельфонд А. 0 51
Голубев В. А. 13
Гольдбах X. 11
Граве Д 51
Делоне Б. Н. 53
Кордемский Б. А 72
Киселев А. П 60
Линник Ю. В 63
Окунев Л. Я. 51
Руса лев Н. В 72
Сушкевич А. К 51
Фоменко О. М 73
Хинчин А. Я . .
Чебышев П. Л .
Шнирельмап Л. Г.
Эйлер Л. ...
Яглом А. М. и И.
. . 63, 65, 73
. . 6, 15, 52
51
7. 24, 62, 72
М. .... 72
Иностранные математики
Arming W. Н 48
Bertrand J 6, 15, 58
Blanus D 42
Browkin J. 38
Brzezifiski J 42
Cantor G 5, 67
Carmichae! R. D 19 29
Catalan E 26, 30
ChowlaJ 20
Chowla S 58
Cullen J 8
Eratostenes 43
Erdos P. .17, 23, 27, 29. 30, 48
Escott E. В 31
Ferrnat P. 7, 14, 26, 52, 60, 67
Ferrier A 12
Fibonacci L. 30, 65
Gauss C. F 52, 55, 67
Giuga G. 21
Gorzelewski A 15
Hardy G. H. . . 18, 21, 67, 69
Hasse H 52
Hilbert D 26
Hylten-Cavallius C. 42
Jakobczyk F 10
Trost E 58, 72
Kaczmarczyk A 26
Kanagasabapathy P 52
Kempner A J. 63
Ко Chao 28
Kraichik M 62, 67
Kulikowski T 10. 38
Leech J 22
Lehmer D. H .... 19, 29, 69
Lejeune Dirichiet P. G. 15, 19,
58, 67
Littlewood J. E. 18,21,22 67,68.
Ljunggren W. 24, 28.
74

Lucas E 31
Lukomska MA 27, 63
Maillet E. 59
Mazurkiewicz S 50
Mersenne M 9
Miller J. С P. 63
Mnich W 23
Mordell L. J 62
Moser L 27, 30, 63
Newton J 60
Oblath R 23
Palama G. 24
Pillai S 27
Pitagoras 35
Poulet P 30
Rlesel H 9, 54
Robinson R. M 54
Rosati S. A 23
Schinzel A 10, 13, 15, 16, 22, 29,36
Selfridge J. L 10
Steinhaus H. 34, 37, 41, 50, 72
Trost E 58, 72
Van der Waerden В L. ... 27
Wakulicz A 58
Ward M 62
Waring E 26
Watson G N 31
Wheeler D J 9
Wieferich A 63
Wilson J 72
Woollett M F\ С 63
Zarankiewicz К 42
АЛФАВИТ НАЗВАНИЙ
Постулат Бертрана 6
Ряд Фибоначчи 30, 65
Точки рациональные 36
» решетки 33
Числа близнецов . . . . 12, 69
» дружественные .... 20
» Каллена 8
Числа Кармикаэля 19
» квадратные 28
» Мерсенна 9
» пирамидальные .... 31
» совершенные 20
» треугольные 28
» Ферма ... 7, 8, 9, 52

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика 3
Сто простых, но одновременно и трудных вопросов
арифметики « 5
На границе геометрии и арифметики 33
Примечания А Монковского 51
Примечания В. А. Голубева 67
Алфавит фамилий авторов 74
Алфавит названий 75
Вацлав Серпинский
СТО ПРОСТЫХ, НО ОДНОВРЕМЕННО И ТРУДНЫХ
ВОПРОСОВ АРИФМЕТИКИ
На границе геометрии и арифметики
Редактор В. Г. Долгополое
Художник Л. М. Чернышев
Художественны i редактор Б. Л. Николаев
Технический редактор И. Ф. Макарова
Кор, ектор //. М. Загудаева
Сдано в набор 12/1V 1961 г. Подписано к печати 15/VIII
1961 г. 84> 108!/й Печ л-4'75 ^'89> Уч-йзд. л, 3,41
Тираж 55 тыс. экз Заказ N? 2353.
Учпедгиз Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Полигра'комбинат Саратовского совнархоза,
Саратов ул Чернышевского 59.
Цена без переплета 9 коп., переплет 5 коп.