А.А. Гусак Г. M. Гусак
СПРАВОЧНИК
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
A. A. Гусак Г. M. Гусак
СПРАВОЧНИК
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
МИНСК
«НАВУКА I ТЭХН1КА»
1991
ББК 22.11я2
Г 96
УДК 51(035.5)
Редактор
д-р физ.-мат. наук П. И. Монастырный
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук М. Д. Мартыненко,
канд. физ.-мат. наук А. А. Дадаян
Гусак А. А., Гусак Г. М.
Г 96 Справочник по высшей математике: Справ.— Мн.:
Навука i тэхн!ка, 1991.—480 с.
ISBN 5-343-00702-3.
Справочник содержит теоретические сведения по многим разделам
математики: аналитической геометрии, алгебре, математическому анализу,
дифференциальным уравнениям, численным методам, теории вероятностей
и ее приложениям. Включает примеры применения теории к решению
задач, иллюстрации, соответствующие исторические сведения.
Рассчитан на инженерно-технических работников и других лиц, исполь-
зующих математические методы в своей научной и практической деятель-
ности, а также на студентов и аспирантов высших учебных заведений.
Г »М2(Н0000-145_9)	ББК 22.11я2
М316(03)—91
ISBN 5-343-00702-3
© А. А. Гусак, Г. М. Гусак,
1991
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Глава 1
КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ,
НА ПЛОСКОСТИ, В ПРОСТРАНСТВЕ
1.1. Координаты на прямой
На прямой зафиксируем одно из двух определяемых ею направлений
и назовем его положительным, другое — отрицательным. Прямую, на которой
указано положительное направление, называют осью.
Отрезок, ограниченный точками А и В, называют направленным отрезком
или вектором, если указано, какая из данных точек является началом, какая —
концом. Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В
обозначают АВ.
Величиной направленного отрезка АВ некоторой оси называют его длину,
взятую со знаком плюс, когда направление этого отрезка совпадает с поло-
жительным направлением данной оси, и со знаком минус, когда оно совпадает
с отрицательным направлением оси. Величину направленного отрезка АВ обо-
значают АВ.
Координатной осью называют прямую, на которой зафиксированы начало
отсчета, положительное направление и выбран масштаб для измерения длин.
Координатой точки М координатной оси (рис. 1.1) называют величину ОМ
направленного отрезка ОМ, где О — начало координат. Если обозначить коор-
динату точки М через х, то по определению х=ОМ.
Запись М (х) означает, что точка М имеет координату х.
Если даны две точки Mi (х,) и Л42(х2), то величина направленного отрезка
М,М2 вычисляется по формуле
А4 |М2 = Х2 —Х|,	(1.1)
а расстояние между ними — по формуле
p(M,,M2) = |M,Af2| = |x2-xl|.	(1.2)
Простым отношением трех различных точек М,, Ms, М, лежащих на одной
прямой и взятых в указанном порядке, называют число
где MiM и ММ2 — величины направленных отрезков М,М и ММ2.
Если точка М принадлежит отрезку М,М2, простое отношение положительно
(/>0), так как числитель и знаменатель в последней формуле одного знака.
В этом случае говорят, что точка М делит отрезок М,М2 внутренним образом.
Если точка М лежит вне отрезка MiM2, то /<0 (числитель и знаменатель
в формуле имеют противоположные знаки); точка М делит отрезок М,М2 внешним
образом. Если точки А41 и М совпадают, то / = 0.
« » « »
OEM х
Рис. 1.1
4
Пусть Mi (xt), Л12(хг), Л4(х) —точки координатной оси Ох, тогда
I  MiM   х — Xi
ММ2	хг — х
откуда
Эта формула определяет координату точки М, делящей направленный
отрезок М1М2 в данном отношении I.
Если точка М совпадает с серединой отрезка М1М2, то
координата определяется формулой
Х1 +*2
х 2	'
Пример 1.1. Даны две точки Л11(4), A42( —3). Найти
ленного отрезка М1М2 и расстояние между точками.
В данном случае х,=4, х2= — 3; по формулам (1.1)
М,М2 = -3-4= -7, р(М1,Л42) = 1-3-41 =7.
/ = 1, поэтому ее
(1.6)
величину направ-
и (1.2) находим
1.2.	Координаты на плоскости
Прямоугольными декартовыми координатами точки М называют числа,
определяемые формулами
х = ОЛ4х, у = ОМу,
где ОМ„ — величина отрезка ОМХ оси Ох, ОМУ — величина направленного
отрезка ОМ;, оси Оу (рис. 1.2).
Полярная система координат на плоскости определяется точкой О. (полюс),
исходящим из нее лучом ОР (полярная ось), масштабным отрезком е и на-
правлением отсчета углов (рис. 1.3).
Полярными координатами точки М, не совпадающей с полюсом, называют
расстояние р=|ОЛ4| (полярный радиус) от точки М до полюса О и величину
угла <р (полярный угол) между полярной осью ОР и лучом ОМ. Для полюса
считают р = 0 (<р не определен). Полярный угол имеет бесконечное множество
значений, главным значением его называют значение, удовлетворяющее условию
0^ <р<2л.
При соответствующем выборе прямоугольной декартовой и полярной систем
координат (рис. 1.4) связь между декартовыми координатами х и у точки М
и ее полярными координатами р и ф выражается формулами
5
Р= Ф*2 + у\ cos <р= Х , sin <р= У .	(1.8)
V* + у	-фг + у2
Пример 1.2. Найти прямоугольные декартовы координаты точек
Л (2, л/4), В (4, л/4) в системе, для которой полюс совпадает с началом коор-
динат, полярная ось — с положительной полуосью Ох.
Применяя формулы (1.7), находим координаты точки А:
x = 2cos -j- =2	= д/2, у = 2sin	= 2 —= -\/2, А (д/2, л/2).
Аналогично находим координаты точки В: х — 2^/2, у = 2^]2.
1.3.	Расстояние между двумя точками
на плоскости
В прямоугольной декартовой системе координат расстояние между
двумя точками М। (х,, yt), М2(х2, уг) определяется формулой
р(Л41, М2) = VTx2 —Х|)2+ (у2 — уА2 	(1-9)
В частном случае, когда одна из точек, например Mi, совпадает с началом
координат, формула (1.9) принимает вид
р(О, М2) = д/х2 + г/2 •	(1-Ю)
Пример 1.3. Вычислить расстояние между точками Л1| (6,—3),Л42(9,—7)
и расстояние от точки М2 до начала координат.
По формулам (1.9) и (1.10) получаем
р(Л4,, ЛЬ) = V(9-6)2+ ((-7) - (-3))2 =5, р(О, ЛЬ) = д/92+(-7)2 = \Тзб.
Пример 1.4. Вычислить периметр треугольника с вершинами в точках
Д(— 1, -3), В(2, -3), С(2, 1).
По формуле (1.9) находим
а = р(В, С) = д/(2-2)2+ (I — ( —3))а = 4,
b = p(A, С) =V(2-(-l))2+(l-(-3))2 = 5,
с = р(А, В) =л/(2-(-ТУГТГ-3-(-3)Т = 3.
Следовательно, P = a-j-bA-c= 12.
1.4.	Деление отрезка в данном отношении
Отношением, в котором точка М, лежащая на прямой, проходящей
через точки М। и М2, делит отрезок М|М2, называют число /, определяемое
формулой (1.3).
Если даны точки М।(х,, у\), М2(х2,у2), то координаты точки М(х,у),
делящей отрезок М|М2 в отношении /, определяются формулами
(Н1)
Когда точка М является серединой отрезка М,М2, то ее координаты
вычисляют по формулам
х= (Xi-|-х2)/2, у= (t/i +у2) /2.	(1-12)
Пример 1.5. Даны две точки Mi (— 1, — 2), Л42(3, 4). На прямой Л1|Л42
найти точку М, которая в три раза ближе к Alt, чем к Л42, и находится вне
отрезка М|М2. Найти середину этого отрезка.
6
Искомая точка М делит отрезок М|М2 в отношении 1= —1/3. По формулам
(1.11), считая в них Xi = — 1, t/i = — 2, х2 = 3, t/2 = 4, находим
— 1 + ( — 1/3)3
1 + (—1/3)
— 2+ ( —1/3)4
1 + (-1/3)
= —5; М(-3, -5).
С помощью формул (1.12) находим точку Л^(1, 1) — середину отрезка Л4|Л42.
Пример 1.6. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника
с вершинами в точках А (хь </,), S(x2,i/2), С(х3,у3).
Пусть S(x,y) — точка пересечения медиан АК, BL, СМ треугольника АВС
(рис. 1.5, а). Так как точка L — середина отрезка АС, то она имеет координаты
xL = (xi +х3)/2, у l= (у>А~Уз)/2. Отрезок BL точкой S делится в отношении
/=2/1=2. Считая точку В первой, точку L второй, по формулам (1.11) находим
_ х2 + 2(х,+хз)/2 _ Xi+хг + хз	у2 + 2(у, + Уз)/2 _ yi+yz + уз
Х	1+2	3	’ У	1+2	3
Следовательно, координаты точки" пересечения медиан треугольника по
координатам его вершин определяются формулами
х= (xi+*г + хз)/3, у= (yt +//г + //з)/3.	(1-13)
1.5.	Центр тяжести системы масс
Дана система масс mi, m2, ... , т„, помещенных соответственно в точках
М|(Х|,1/|), Л12(х2, у2), ... ,Мп(х„,уп) некоторой плоскости. Формулы, выражающие
координаты центра тяжести этой системы масс, имеют вид
х= Хут.' +x2m2H------]-х„т„	__ yimt + у2т2-\----}-у„т„
mi+m2^-------\-тп ’ У mi+m2H--------------[-т„
или
п	п
У Xktnk У Уьтк
У, тк	У ntk
k=\	А=1
где знаком £ обозначена сумма однотипных слагаемых.
Пример 1.7. В вершинах А (л,, yi), В (х2, у2), С(х2, уз) треугольника АВС
сосредоточены равные массы т. Найти центр тяжести этой материальной системы.
Формулы (1.14) при п = 3 принимают вид
_ Х|/И1 + х2т2 + х3т3	_ t/im, + у2т2 + Узт3
Х М1+т2 + шз 'У mi + ms + ms
Используя условие mi = т2 = тз = т, получаем
х_ xtm + x2m + x3m _ zn(xi +*г + хз) _ xt + х2 + х3
mF т -\-т	Зт	3
yim + y2m + y3m = mjyi+Уг + Уз) _ У>+Уз + Уз
У	т + т + т	Зт	3	'
Замечание. Из последнего примера, и формул (1.13) следует, что центр
тяжести данной системы находится в точке пересечения медиан треугольника.
1.6.	Площадь треугольника
Каковы бы ни были три точки Л(Х|,У1), В(х2, у2), С(х3,у3), площадь S
треугольника АВС вычисляется по формуле
±S= Ц- [(*2—Х1) (Уз-УА — (Хз — Xi) (у2 — у,)].	(1.15)
Правая часть формулы равна +S в том случае, когда кратчайший поворот
отрезка АВ к отрезку АС положителен (рис. 1.5, а), и —5, когда указанный
поворот отрицателен (рис. 1.5, б).
В формуле (1.15) берут знак плюс, когда выражение в квадратных скобках
положительно, и минус, когда оно отрицательно.
Пример 1.8. Даны две точки А (3, 5), В(6, — 2). На оси Оу найти такую
точку С, чтобы площадь треугольника АВС равнялась 15 квадратным единицам.
Пусть С(0, у) — искомая точка (х=0, так как точка лежит на оси Оу).
В формулу (1.15) подставим значения S = 15, Xi=3, yi=5, Х2 = 6, у2= — 2,
Хз = 0, уз = у и найдем у.
± 15= -±- [(6-3) (у—5) - (0-3) (-2-5)] = Ц- [3(у—5) -21],
±15=-i-(Зу —36), ±30 = 3y-36, yi = 2, у2 = 22.
Итак, условию задачи удовлетворяют координаты точек С, (0,2), Сг(0, 22).
1.7.	Уравнение линии в декартовых координатах
Уравнением линии относительно фиксированной системы координат
называют такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют коор-
динаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной
точки, не лежащей на данной линии.
Уравнение линии в декартовых координатах в общем виде записывается
так:
F(x, у) =0,
где F(x, у) — функция переменных х и у.
Пример 1.9. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от
двух данных точек Af,(—4, 3) и Л42(2, 5).
Пусть М(х,у) —произвольная точка данного геометрического места. По
условию |Л4|Л4| = |Л42Л1|. По формуле (1.9) получаем
8
IМ1М | = л/(х + 4)2+(у-3)2, IM2M | = V(i — 2)2+(y — 5)2.
Подставляя эти выражения в равенство |Л4]Л1| ~ lAbAll, нахсдии уравнение
данного множества точек:
V(*+4)r+ (у —З)2 = VU —2)2+ (У -5р .
Упростим это уравнение. Возведем в квадрат обе части уравнения и раскроем
скобки в подкоренных выражениях:
х2 + 8х + 16 + у2 —6у + 9 = х2 —4х + 4+у2 — 10у + 25.
Произведя преобразования, получим Зх+у—1=0. Это уравнение прямой линии.
Пример 1.10. Составить уравнение окружности радиуса R с центром
в точке С (а, Ь).	'
Пусть М(х,у) —произвольная точка данной окружности. По определению
окружности (как множества точек, равноудаленных от данной точки) для любой
ее точки имеем |AfC|=/?. Выражая расстояние между точками М и С по
формуле |Л4С| = -\/(х — а)2 + (у—Ь)2 и подставляя его в левую часть данного
равенства, получим уравнение д/(х—а)2 + (у—Ь^=К, которое можно запи-
сать так:
(x-a)2+(y-b)2 = R2.	(1.16)
Уравнение (1.16) является уравнением окружности радиуса R с центром
в точке С(а, б).
Если точка С совпадает с началом координат, то уравнение (1.16) прини-
мает вид
x2-\-y2 — R2-	(1.17)
Замечание. Если точка W (х, у) лежит внутри круга радиуса R с центром
в начале координат, то ее координаты удовлетворяют неравенству х2+у2</?2;
если вне указанного круга, то неравенству х2 + у2> R2.
Пример 1.11. Точка М движется так, что в любой момент времени
ее расстояние до точки А (4,0) вдвое больше расстояния до точки 5(1,0).
Найти уравнение траектории движения точки М.
Текущие координаты точки М в прямоугольной декартовой системе координат
обозначим через х, у. По условию |Л4Л| =2|Л4В|. Выразим длины отрезков
МА и МВ через координаты соответствующих точек с помощью формулы (1.9):
! МА | = V(x —4)2 + г/2, |МВ| = д/(х—>)2 + у2 •
Подставляя эти выражения в равенство |ЛЫ|=2|Л4В|, получаем уравнение
траектории движения точки М: д/~(х — 4)2 + у2 =2 -\/(х — I)2 + У2 • Упростим это
уравнение, для чего возведем в квадрат обе части и приведем подобные члены
(х-4)2+у2 = 4((х- 1)2-(-у2), х2 — 8х+16 + у2 = 4(х2 — 2х+ 1+у2), 12 = 3х2+3у2,
х2 + у2 = 4.
Итак, траекторией движения точки М является окружность радиуса R = 2
с центром в начале координат.
1.8.	Пересечение линий
Координаты точек пересечения двух линий, заданных уравнениями
F(x, у)—0, Ф(х, у)=0, находят из системы этих уравнений
5(х, у)=0, Ф(х,у)=0.	(1.18)
Число действительных решений равно числу точек пересечения. Если система
(1.18) не имеет действительных решений, то данные линии не пересекаются.
Пример 1.12. Найти точки пересечения линий х2 + у2 = 10, х+у —4 = 0.
Из последнего уравнения выражаем у= —х + 4 и подставляем в первое
9
уравнение: х2+( —х + 4)2= 10, 2х2 — 8х 4-6 = 0, х2 — 4х 4-3 = 0, откуда х, = 1,
х2 = 3. Подставим эти значения в уравнение у—— х + 4 и найдем у\ =3, уг = 1.
Следовательно, получены две точки пересечения Л4(1,3), N (3, 1).
Пример 1.13. Найти точки пересечения двух окружностей, заданных
уравнениями (х — 5)2+ (у — 6)2 = 25, (х-|-2)2 4- (у — 6)2 = 32.
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем систему уравнений
х2 + у2- 10х- 121/4- 36 = 0,
x2 + j/2 + 4x— 121/4-8 = 0.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем —14х-|-28 = 0, откуда х = 2.
Второе уравнение системы при х = 2 сводится к квадратному относительно у.
у2—121/4-20 = 0. Решив его, найдем yi = 2, 1/2=10. Следовательно, данные
окружности пересекаются в точках Л4>(2, 2), Мг(2, 10).
1.9.	Уравнение линии в полярных координатах
Уравнение линии на плоскости в полярных координатах в общем виде
можно записать так:
А(р, <р) =0,
где F(p, <р) —функция переменных р и ф (р, ф—полярные координаты). Если
это уравнение разрешимо относительно р, то его можно представить в виде
р = р(ф).
Пример 1.14. Составить уравнение прямой, перпендикулярной полярной
оси и отсекающей от нее отрезок, длина которого равна а.
Обозначим буквой А точку пересечения данной прямой с полярной осью ОР
(рис. 1.6). Пусть М (р, ф) — произвольная точка данной прямой. Из прямоуголь-
ного треугольника ОАМ находим, что р cos ф = а. Полученное уравнение является
искомым; ему удовлетворяют координаты любой точки данной прямой и не
удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей этой прямой.
Пример 1.15. Составить уравнение окружности радиуса а, касающейся
полярной оси в полюсе, центр которой расположен выше полярной оси (рис. 1.7).
Пусть М (р, ф) — произвольная точка окружности, ОА — диаметр окруж-
ности, равный 2а. Так как в треугольнике ОАМ угол при вершине М прямой,
угол при вершине О равен л/2 —ф, то 2а cos (л/2 —ф) =р, или р = 2а sin ф.
Это искомое уравнение данной окружности.
10
1.10.	Параметрические уравнения линии
Уравнения вида
x = y = tp(t)	(1.19)
называют параметрическими уравнениями линии, если при изменении t в не-
котором промежутке формулы (1.19) дают координаты любой точки данной
линии и только таких точек.
Если линия задана уравнением р = р(<р) в полярных координатах, то ее
параметрические уравнения можно записать так:
х = р (<р) cos <р, £/=р (<p) sin ср.	(1.20)
В уравнениях (1.20) роль параметра играет полярный угол <р.
Пример 1.16. Составить параметрические уравнения окружности радиуса
R с центром в начале координат.
Пусть М (х, у) произвольная точка данной окружности, t — величина угла,
образуемого отрезком ОМ и осью абсцисс, Р и Q — основания перпендикуляров,
опущенных из точки М на координатные оси (рис. 1.8). Так как по определению
х—ОР, y = OQ и OP=R cos /, OQ — R sin t, то x = R cos t, y = R sin t.
Следовательно, параметрические уравнения данной окружности имеют вид
x=R cos t, y=R sin t, где 0<i<2it.
Исключив из этих уравнений параметр I (для чего возведем в квадрат
оба равенства и почленно сложим), получим уравнение x2-\-y2 = R2 (см. уравнение
(1-17)).
Пример 1.17. Составить параметрические уравнения циклоиды. Циклои-
дой называют линию, являющуюся траекторией фиксированной точки окружности
радиуса R, катящейся по прямой.
Указанную прямую примек за ось Ох декартовой прямоугольной системы
координат (рис. 1.9). Предположим, что фиксированная точка при начальном
положении окружности находилась в начале координат, а после того как окруж-
ность повернулась на угол /, заняла положение М.
Поскольку х=ОР = ОК — РК, y=MP~CK—CN и OR = MK = Rt, РК =
= MN—R sin t, CK = R, CN = Rcost, то x = Rt — R sin t, y — R — R cos t, или
x = R(t — sin t), y = R(l —cos /).	(1-21)
Уравнения (1.21) называются параметрическими уравнениями циклоиды.
11
1.11.	Преобразования декартовых прямоугольных
координат на плоскости
Одна и та же точка имеет различные координаты в разных системах
декартовых координат. Существует связь между координатами точки в разных
системах координат.
Параллельный перенос. Пусть даны две системы декартовых прямоугольных
координат с общим масштабным отрезком: Оху (старая) и О,ХУ (новая),
соответствующие оси которых параллельны (рис. 1.10). Положительные полуоси
имеют одинаковые направления, начало новой системы находится в точке Oi(a, b),
старые координаты которой х = а, у — Ь (новые координаты ее равны нулю).
Относительно таких систем говорят, что одна получена из другой путем парал-
лельного переноса.
Старые координаты х, у точки М через ее новые координаты X, У и старые
координаты а, Ь нового начала О, выражаются формулами
х=Л + а, y=Y+b,	(1.22)
откуда
Х = х — а, Y—y — b.	(1.23)
Поворот координатных осей. Новая система Ох'у' получена путем поворота
старой на угол а вокруг точки О (рис. 1.11). Старые декартовы прямоугольные
координаты х, у точки М через ее новые координаты х', у' выражаются формулами
х = х' cos а — у' sin а,
(1 -24)
У = х' sin а + у' cos а.
Чтобы выразить х', у' через х, у,
необходимо разрешить систему (1.24)
относительно х', у'. Можно сделать
проще: считать систему Ох'у' старой,
тогда переход к новой системе Оху
совершается поворотом на угол (— а),
поэтому в формулах (1.24) достаточно
поменять местами х и х', у и у', записать
( — а) вместо а.
В общем случае, когда даны две
системы Оху и О'х'у' (рис. 1.12), вводя
промежуточную систему О'х"у" и при-
меняя последовательно формулы (1.22)
и (1.24), получаем
12
x = x' cos а — у' sin а + а,
(1.25)
у = х' sin а + у' c°s a + b.
Замечание. Система координат Оху, в которой кратчайший поворот
положительной полуоси Ох до совпадения с положительной полуосью Оу совер-
шается против часовой стрелки, называется правой; если указанный поворот
совершается по часовой стрелке, система называется левой. Формулы (1.25)
остаются прежними, если обе системы координат являются левыми. Если одна
система правая, другая левая, то в формулах (1.25) изменится знак перед у',
так как в случае простейшего преобразования координат разноименцрх систем
формулы имеют вид х = х', у=—у'.
1.12.	Прямоугольные декартовы координаты
в пространстве
Прямоугольная декартова система координат в пространстве опреде-
ляется заданием масштаба (отрезка для измерения длин) и трех пересекающихся
в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в определенном
порядке.
Точка пересечения осей называется началом координат, сами оси — коорди-
натными осями, первая из них — осью абсцисс, вторая — осью ординат, третья —
осью аппликат. Обозначим начало координат буквой О; координатные оси будем
обозначать соответственно через Ох, Оу, Ог (рис. 1.13).
Пусть М — произвольная точка пространства; проведем через нее три
плоскости, перпендикулярные координатным осям, и точки пересечения с осями
оиозначим соответственно через Мх, Му, Мг. Прямоугольными декартовыми
координатами точки М называются числа, определяемые формулами
х = ОМх, у=ОМу, г = ОМг,
где ОМХ, ОМУ, ОМХ — величины направленных отрезков ОМХ, ОМ,,, ОМг соот-
ветствующих координатных осей. Число х называется первой координатой или
абсциссой, число у — второй координатой или ординатой, число г — третьей
координатой или аппликатой точки М.
Координатные плоскости Оху, Oxz, Oyz делят все точки пространства,
не принадлежащие этим плоскостям, на восемь частей, называемых октантами.
13
Т а б л и ц а 1.1
Координата	Октант							
	1	11	III	IV	V	VI	VII	VIII
X	+	—	—	+	+					+
У	+	+	—	—	+	+	—	—
Z	+	+	+	+	—	—	—	—
Начиная с I октанта, в котором все координаты положительны, пронумеруем
октанты I, II, III, IV верхнего полупространства (z> 0) против часовой стрелки
(для наблюдателя со стороны положительной оси Oz). В нижнем полупро-
странстве (z<0) проведем соответствующую нумерацию октантов V, VI, VII, VIII
так, чтобы V находился под I, VI — под II, VII — под III, VIII — под IV.
Знаки координат точек в различных октантах приведены в табл. 1.1.
Очевидно, знаки координат однозначно определяют октант пространства.
1.13.	Расстояние между двумя точками
в пространстве
Если М। (*i, yt, Z,), Мг(хг, у2, Z2) —две любые точки пространства,
то расстояние между ними определяется формулой
р(Л4|, М2) = V(*2 —Х|)2+ (4/2 —J/i)2 + (г2 —Zip .	(1.26)
В частном случае, когда точка М। совпадает с началом координат (х, =yt =zi =0),
то формула (1.26) принимает вид
р (О, М2) = лЙ+И+(1-27)
Пример 1.18. Вычислить расстояние между точками Л4|(1, —2,2)
и Л42(3, —1,4), а также расстояние от точки М2 до начала координат.
По формулам (1.26) и (1.27) соответственно получаем
, р (м,, М2) = V (з — 1)2 + (— 1 — (’"	= з,
р(О, Мг) = л/32+ (- 1) 2 + 42 = л/26 .
Замечание. Формулы (1.26) и (1.27) упрощаются, когда точки М, и Л12
лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей, или в самой
этой плоскости. В этом случае получаем формулы (1.9) и (1.10).
1.14.	Цилиндрические и сферические координаты
В плоскости П фиксируем точку О и исходящий из нее луч ОР
(рис. 1.14). Через точку О проведем прямую, перпендикулярную плоскости II,
и укажем на ней положительное направление; полученную ось обозначим Oz.
Выберем масштаб для измерения длин. Пусть М — произвольная точка про-
странства, N — ее проекция на плоскость П, Mz — проекция на ось Oz. Обозначим
через р и <р полярные координаты точки N в плоскости II относительно полюса О
и полярной оси ОР. Цилиндрическими координатами точки М называются числа
р, <р, z, где р, <р — полярные координаты точки V(p^0, 0<<р<2л), z=OM, —
величина направленного отрезка ОМг оси Oz. Запись Л4(р, q., z) обозначает,
что точка М имеет цилиндрические координаты р, <р, г. Наименование «цилиндри-
ческие координаты» объясняется тем, что координатная поверхность p--=const
(т. е. множество точек, имеющих одну и ту же первую координату р) является
цилиндром (на рис. 1.14 он изображен штрихами).
14
Если выбрать систему прямоугольных декартовых координат так, как пока-
зано на рис. 1.14, то декартовы координаты х, у, z точки М будут связаны с ее
цилиндрическими координатами р, <р, г формулами
x = pcosq>, у — р sin ф, z=z.	(1.28)
Сферические координаты вводят следующим образом. Выберем масштаб
для измерения длин отрезков, фиксируем плоскость II с точкой О и полуосью Ох,
ось Oz, перпендикулярную плоскости 11 (рис. 1.15). Пусть М—произвольная
точка пространства (отличная от О), N—проекция ее на плоскость II, г —
расстояние точки М до начала координат, 0 — угол, образуемый отрезком ОМ
с осью Ог, ф—угол, на который нужно повернуть ось Ох против часовой
стрелки (если смотреть со стороны положительного направления оси Oz), чтобы
она совпала с лучом ОМ; 0 называется широтой, <р — долготой.
Сферическими координатами точки М называются три числа г, 0, ф, опреде-
ленные выше. Если точка М имеет сферические координаты г, 0, ф, то пишут
М(г, 0, <(>).
Наименование «сферические координаты» связано с тем, что координатная
поверхность г = const (т. е. множество точек, имеющих одну и ту же коор-
динату г) является сферой (на рис. 1.15 одна из таких сфер изображена
штрихами); фиксировав другое значение г, получим другую сферу.
Для того чтобы соответствие между точками пространства и тройками
сферических координат г, 0, ф было взаимно однозначным, обычно считают, что
г, 0, ф изменяются в следующих границах: 0^г< + °°. О^О^л, 0^ф<2л.
Если выбрать оси прямоугольной декартовой системы координат так, как указано
на рис. 1.15, то декартовы координаты х, у, г точки М связаны с ее сферическими
координатами г, 0, ф формулами
х = гзт0сО5ф, y = r sin 0 sin ф, z = rcosO.	(1.29)
Глава 2
ЛИНИИ НА плоскости
Алгебраической линией (кривой) n-го порядка называют линию,
определяемую алгебраическим уравнением п-й степени относительно декартовых
координат. Линии первого порядка определяются уравнением Ax4-Bt/ + C = 0
(A2 + S2#=0), а линии второго порядка — уравнением Ах2А~Вху + Cy2-\-Dx +
+ Ey+F = 0 (A2 + B2 + C2^0).
Линии первого порядка — прямые. К линиям второго порядка относятся
окружность, эллипс, гипербола, парабола.
2.1.	Прямая на плоскости
Прямую линию на плоскости относительно системы декартовых прямо-
угольных координат можно задать различными способами. Прямая однозначно
определяется углом, образуемым ею с осью Ох, и величиной направленного
отрезка, отсекаемого на осн Оу, координатами двух точек и т. п.
Различные виды уравнения прямой на плоскости. Прямая, параллельная
оси Оу прямоугольной декартовой системы координат (рис. 2.1), пересекающая
ось Ох в точке А (а, 0), имеет уравнение
х=а.
(2.1)
Угловым коэффициентом прямой называют тангенс угла а наклона ее к по-
ложительной полуоси Ох прямоугольной декартовой системы координат
A: = tga (О^аСл).
Угловой коэффициент прямой через координаты ее двух различных точек
Mi (х।, t/i), Л1г(х2, yi) определяется формулой
Рис. 2.1
16
(2.2)’
x2 —Xi
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид
y = kx-\-b,	(2.3)
где k — угловой коэффициент, Ь = ОВ — величина направленного отрезка ОВ,
отсекаемого на оси Оу (рис. 2.2).
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей через
данную точку Л4о(х», уо), записывается так:
У — yo = k(x — х0).	(2.4)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М। (xi, yi), Mi(x2, Уч):
У — У> x — xt
----— =  -----— (x2#=xi, У2 + У1).	(2.5)
Уч — У1 Х2— Х1
Параметрические уравнения прямой, проходящей через эти точки:
Х = Х1 + (х2 — Xt)t, у = У\ + (Уч — yi)t,	(2.6)
где t принимает все действительные значения.
Уравнением прямой в отрезках называют уравнение
х/а + у/Ь=\,	(2.7)
где а = ОА, Ь = ОВ — величины направленных отрезков, отсекаемых соот-
ветственно на оси Ох и оси Оу.
Общим уравнением прямой называют уравнение
Ах + Ву-\-С = О,	(2.8)
в котором А и В одновременно в нуль не обращаются, т. е. Л2 + В2+=0.
Пример 2.1. Составить параметрические уравнения сторон треугольника,
вершины которого находятся в точках А (2, 3), В (4, 7), С (6, 9).
Составим сначала уравнения прямых, на которых лежат стороны АВ, ВС
и АС соответственно. Используя уравнение (2.5), получаем
у — 3	х — 2	у —3 х — 2 у —3 х —2
7-3 - 4-2 ’ —4	2 ’ ~2	1	;
у — 3 х— 2 у — 3 х—2 у — 3 х — 2
9 — 3	= 6 — 2 ’ ~6	=	4	’	3	= ~2	'
Обозначим буквой t равные отношения, получим параметрические уравнения
этих прямых: х = 2 + /, у = 3 + 2/ (АВ); х = 4 + /, у = 7 + /(ВС); х = 2 + 2/,
у = 3 + 3/ (ЛС).
Введя ограничения на изменение параметра t, получим уравнения соот-
ветствующих сторон треугольника АВ, ВС, AC: x = 2-\-t, у = 3 + 2/(0^/^ 1);
х = 4 + /, у = 7-Н (0</< 1); х = 2 + 2/, у = 3 + 3/ (0<1).
Пример 2.2. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат
прямой, заданной уравнением 7х — Зу — 21=0.
Разделив это уравнение почленно на 21, получим
х/3 —у/7—1=0, или х/3 + у/(-7) = 1.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.7), заключаем, что а = 3,
Ь=—7.
17
Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикуляр-
ности двух прямых. Тангенс угла между двумя прямыми (рис. 2.3)
y — kixA-bi, y — k2x-{-b2
(2.9)
вычисляется по формуле
k2~~k\
tg4,= -r+MT-
(2.Ю)
Необходимое и достаточное условие параллельности прямых, заданных урав-
нениями вида (2.9), выражается равенством ki = k2, а условие их перпенди-
кулярности — равенством
Й1=- —.
к2
Если прямые заданы общими уравнениями
A ix + Bit/ + Ci =0,
Д 2х + В21/ + С2 = 0,
то тангенс угла между ними определяется формулой
,	_ AiB2 — Д2В,
g4>~ Д,Д2 + В,В2 '
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(214)
Необходимое и достаточное условие параллельности прямых, заданных
уравнениями (2.12) и (2.13), выражается равенством
И |/Д2 = В|/Я2,
(2.15)
ИЛИ
Д 1 = 442, Bi = lB?,
(2.16)
а условие их перпендикулярности — равенством
— А\/В। = В2/А2, или Д|Д2 + В|В2 = 0.
(2.17)
Отметим, что прямые Дх + Ву + С = 0, Вх — Ay-j-C = O перпендикулярны
в силу условия (2.17).
Пример 2.3. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями
5х + 3(/+15 = 0, х + 41/ —7 = 0.
Применяем формулу (2.14). Так как в данном случае Д,=5. Bi=3, Д2=1,
В2 = 4, то
5-4-1-3	.
5-i+3-4- =1’ Ф = 45'
tg <р=
Замечание. При другой нумерации
прямых (Д|=1, Bi = 4, Д2 = 5, В2 = 3) полу-
чаем tg <р' = — !,<₽' = 135°. Очевидно, (р + <р' =
= 180°.
Пример 2.4. Составить уравнение пря-
мой, проходящей через точку М(4, —5) и па-
раллельной прямой Зх + 4у+12 = 0.
Искомое уравнение имеет вид Зх + 4у +
+ С = 0, где С пока не определено. Вид урав-
нения следует из условия (2.16) при (=1
(считаем соответствующие коэффициенты рав-
ными). Чтобы найти значение С, необходимо
подставить координаты точки М в искомое
18
уравнение (точка М лежит на прямой, поэтому ее координаты должны удовлет-
ворять уравнению этой прямой). Подставляя координаты х=4, у = — 5 в уравнение
Зх + 4у+С = 0, получаем 3-4-|-4-( — 5) + С = 0, откуда С = 8. Таким образом,
уравнение прямой имеет вид Зх + 4у + 8 = 0.
Пример 2.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
Af( —3, 2) и перпендикулярной прямой 4х + 5у —7 = 0.
Искомое уравнение имеет вид 5х — 4у+С = 0. Действительно, для прямых
выполнено условие (2.17): 4-5 + 5-(—4) =0. Точка М( — 3, 2) лежит на прямой
5х— 4у + С = 0, поэтому ее координаты должны удовлетворять этому уравнению:
5(—3) —4-2 + С = 0. Отсюда находим, что С = 23. Итак, уравнение прямой
принимает вид 5х — 4у + 23 = 0.
Пример 2.6. Вершины треугольника находятся в точках Л(3,4),
В( — 2, 1), С(—3, —5). Составить уравнение прямой, на которой лежит высота,
опущенная из вершины В на сторону АС.
Найдем сначала угловой коэффициент прямой, проходящей через точки
Л и С. Считая точку Л первой, точку С второй, т. е. полагая xi=3, у, = 4,
х2=—3, у2= — 5, по формуле (2.2) получаем А, = (—5 —4)/( — 3 —3) =3/2.
Прямая, на которой лежит высота, опущенная из точки В на сторону АС,
будет перпендикулярна прямой, проходящей через точки Л и С. Угловой коэф-
фициент этой прямой обозначим через /г2. Используя условие перпендикулярности
двух прямых, заданное формулой (2.11), находим fe2= —1/fei, k2= — 2/3.
Составим уравнение прямой, проходящей через точку В( —2, 1) и имеющей
заданный угловой коэффициент k2. Подставляя значения х0= —2, у0= 1, k = —2/3
в уравнение (2.4), получаем у — 1 = (— 2/3) (х— (— 2)), 3(у—1)+2(х + 2) =0,
2х + 31/+1=0.
Расстояние от точки до прямой. Уравнения биссектрис углов между двумя
прямыми. Расстояние от точки Л1о(хо, уо) до прямой Лх + Ву + С = 0 вычисляют
по формуле
j  I Лхо + Bi/о + С|
Уравнения биссектрис углов между прямыми Л|Х + В11/ + С| =0, А2х + В2у +
+ С2=0 имеют вид
Л|х + В,1/ + С|__A2x-j-B2yA~C2
фХ+в2, -л/а22+в22
Пример 2.7. Найти расстояние от точки УИо(—7, 4) до прямой, заданной
уравнением 4х — Зу—15 = 0.
Воспользуемся формулой (2.18). Так как в данном случае х0=—7, у0 = 4,
Л=4, В= — 3, С= —15, то
= |4.(-7)-3-4-15| _
л/4Ч(-3)2
Пример 2.8. Дан треугольнике вершинами Р(2, — 1), Q(6, —4),/?(10, 3).
Найти длину высоты, опущенной из точки R.
Задача сводится к вычислению расстояния от точки R до прямой PQ.
Запишем уравнение этой прямой. На основании уравнения (2.5) имеем
у-\- 1 х—2
~++ । =	, или Зх + 4у —2 = 0. Расстояние точки R (10,3) до этой пря-
мой вычислим по формуле (2.18)
13-10 + 4-3-21	.
U — -----_____~—  = О.
Следовательно, длина высоты равна 8.
Замечание. Эту задачу можно решить и другими способами. Например,
длину искомой высоты можно вычислить, зная площадь треугольника PQR
19
и длину основания PQ. Эта же длина равна расстоянию между двумя точками
R и М (М — основание высоты, опущенной из точки R на PQ). В свою очередь
координаты точки М находятся в результате решения системы уравнений стороны
PQ и высоты RM.
Пример 2.9. Составить уравнения биссектрис углов, образованных пря-
мыми Зх— 4i/— 7 = 0, 8x + 6i/—1=0.
В соответствии с формулой (2.19) получаем
Зх —41/ —7 _ 8x + 6i/—1
л/32+(-4)2 “ *	'
Преобразуя эти уравнения, находим
_± . 2№_4„_7)_±№+6„_1ь
Отсюда получаем уравнения биссектрис 2х+14у+13 = 0, 14х — 2у —15 = 0.
Задачи, относящиеся к прямым. Рассмотрим примеры решения задач, в
условиях которых даны уравнения прямых.
Пример 2.10. Даны уравнения двух сторон параллелограмма x+2i/ + 2 = 0
и х А-у— 4 = 0 и уравнение одной из диагоналей х — 2 = 0. Найти координаты
вершин параллелограмма.
Решая систему уравнений хА-2у + 2 = 0, х-\-у — 4 = 0, находим точку
,4(10, —6) —одну из вершин параллелограмма. Две другие вершины найдем
как точки пересечения данной диагонали со сторонами, т. е. определим их
координаты из систем уравнений х + 2// + 2 = 0, х—2 = 0; хА-у — 4 = 0, х — 2 = 0.
Это будут точки В(2, 2) и 0(2, —2). Середина диагонали BD находится
в точке S(2, 0). Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения
делятся пополам, то четвертая вершина С(х, у) может быть найдена как конец
отрезка АС по известному концу А и середине S: (х+10)/2 = 2, (у+ ( — 6) )/2 = 0.
Отсюда получаем х=—6, у = 6, т. е. точку С( — 6, 6) —четвертую вершину
параллелограмма ABCD.
Пример 2.11. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки
которой до точки А (2, 0) относится к ее расстоянию до прямой 5х + 8 = 0 как 5:4.
Пусть М(х, у) —произвольная точка данной линии, N—основание перпен-
дикуляра, проведенного через точку М к прямой 5х + 8 = 0, или х=—8/5.
Расстояния точки М до точки 4 и до прямой х= —8/5 определяются соответ-
ственно формулами |Л14| =V(x — 2)2 + //2, |Af/V| = |х—( —8/5) | = |х + 8/5| (по-
следнее равенство следует также из формулы (2.18)). По условию задачи
уЦх — 2)2 + у2: |х + 8/5| =5:4, откуда 4у(х — 2)2 + i/2 = 5|x + 8/5|. Преобразуем
это уравнение:
16(х2 —4х + 4 + у2) =25(х2+ (16/5)х + 64/25),
16х2 — 64х + 64+ 16i/2 = 25x2 + 80x + 64, 9х2 — 1 бу2 + 144х = 0.
Выделим полные квадраты в левой части полученного уравнения:
9(x2+16x + 64) — 16i/2 —9-64 = 0, 9 (х + 8)2 - 16у2 = 9-64.
Последнее уравнение примет вид 9Х2—16К2 = 9-64, или +/64—+/36 = 1, если
перейти к новым координатам Х=х + 8, Y=y.
Полученное уравнение определяет гиперболу с полуосями а = 8, 6=6 (см.
уравнение (2.25)).
2.2.	Окружность
Каноническим уравнением окружности радиуса R с центром в точке
С(а,Ь) называют уравнение
(х-а)2+(г/-6)2 = Я2.	(2.20)
20
Когда центр окружности находится в начале координат, уравнение прини-
мает ВИД X2 + j/2=/?2.
Если уравнение второй степени, не содержащее члена с произведением
координат и имеющее равные коэффициенты при х2 и у2, т. е. уравнение
Ax2 + Ay2 + Dx+Ey + f = 0, определяет некоторую линию, то эта линия —
окружность.
Пример 2.12. Найти координаты центра и радиус окружности, опре-
деляемой уравнением 4х2 + 41/2 —8х+12у —3 = 0.
Разделив обе части уравнения на 4 и выделив полные квадраты, получим
Q	Q	Q	Q
(х2_2х+1)+ ^ + 2.^-у+Л. -1--------------------— =о,
или (х—1 )2+(</ + 3/2)2 = 4.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.20), заключаем, что
а=1, 6=—3/2, Р = 2.
Пример 2.13. Какое множество точек плоскости определяет уравнение
х2 + у2 — 4х + 1 Оу + 29 = 0?
Так как это уравнение сводится к уравнению (х —2)2+(у + 5)2 = 0, кото-
рому удовлетворяют лишь координаты х = 2, у——5, то оно определяет един-
ственную точку С(2, —5).
2.3.	Эллипс
Эллипсом называют геометрическое место точек плоскости, для каждой
из которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости
есть постоянная величина.
Каноническое уравнение эллипса
x2/a2+f/2/62= 1,
(2.21)
где а = ОА— большая, Ь = ОВ—малая полуоси (рис. 2.4).
Координаты фокусов эллипса, определяемого уравнением (2.21): Х| = — с,
У\ =0; х2 = с, 4/2 = 0, т. е. F, ( — с, 0), А2(с, 0), где
с = Л/а2-Л2	(2.22)
Эксцентриситетом эллипса е называют отношение фокусного расстояния
2с к длине большой оси 2a:
е = с/а,	е =-^1 — (Ь/а)2.
(2.23)
Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых,
соединяющих эту точку с фокусами F'\ и F?. Их длины и и г2 можно вычислить
по формулам
Г|=а + ех, r2=a —ех.
Директрисами эллипса (2.21) называют
прямые, определяемые уравнениями х= —а/е,
х = а/е.
Пример 2.14. Какую линию определяет
уравнение Зх2+4у2=12?
Разделим это уравнение почленно на 12:
х2/4 +1/2/3 = 1. Сравнивая полученное урав-
нение с уравнением (2.21), заключаем, что оно
определяет эллипс с полуосями a = 2, 6= л/3.
Найдем фокусы этого эллипса. Из формулы
(2.22) следует, что с2 = а2 — Ь2; поскольку в
данном случае а2 = 4, 62 = 3, с2 = 4 —3=1,
с=1. Следовательно, фокусы эллипса нахо-
дятся в точках Л ( — 1,0), /^(1,0).
(2.24)
21
Пример 2.15. В прямоугольной декартовой системе координат построить
линию, определяемую уравнением у=(—2/3)д/9 —х2.
Преобразуем это уравнение, возводя в квадрат обе его части:
f/2=^- (9-х2),
9-х2 х2 , у2
4
Последнее уравнение определяет эллипс с полуосями а —3. Ь = 2. Если решить
это уравнение относительно у, получим
о _____ 9	_____
У=— V9 —X2, у =----g-V9 —X2.
В условии задачи дано второе из этих уравнений. Оно определяет не весь
эллипс, а только ту его часть, для точек которой у^О, т. е. половину эллипса,
расположенную ниже оси Ох.
Пример 2.16. Записать каноническое уравнение эллипса, проходящего
через точки Л4(3, 2), ЛЦЗд/3/2, д/2).
Каноническое уравнение эллипса имеет вид х2/а2 + </2/62= I. Так как точки
М и N лежат на эллипсе, то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса:
З2 22	(Зл/372)2	(у/2)2 =
а2 Ь2 ' а2	Ь2
Решая полученную систему уравнений, находим, что а2=18, 52 = 8.
Таким образом, получено каноническое уравнение эллипса х2/18 + </2/8= 1.
2.4.	Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для
каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек (фокусов)
той же плоскости есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы
х2/а2-у2/Ь2=\,	(2.25)
где а = ОА — действительная, Ь = ОВ — мнимая полуоси (рис. 2.5).
Координаты фокусов гиперболы (2.25): xi = —с, t/,=0, х2 = с, </2 = 0, т. е.
Ft(—c, 0), F2(c, 0), где
(2.26)
Эксцентриситетом гиперболы (2.25) назы-
вается отношение фокусного расстояния 2с
к длине действительной оси 2а:
г=с!а.	(2.27)
Асимптотами гиперболы называют прямые,
определяемые уравнениями
6	Ь
У~~х'	У=~—х.	(2.28)
Директрисами гиперболы называются пря-
мые, определяемые уравнениями
х=—а/е, х = а/е. (2.29)
22
Гипербола с равными полуосями (Ь — а) называется равносторонней, ее
каноническое уравнение имеет вид
х2 —г/2 = а2.	(2.30)
Фокальные радиусы точки правой ветви гиперболы вычисляются по формулам
Г|=ех4-о, г2 — гх — а;	(2.31)
фокальные радиусы точки левой ветви — по формулам
fi= — ех — а,	г2=—ех + а.	(2.32)
Пример 2.17. Какую линию определяет уравнение 9х2 — 4</2 = 36?
Разделив обе части уравнения на 36, получим х2/4—у2/9=1. Сравнивая
это уравнение с уравнением (2.25), заключаем, что оно определяет гиперболу с
действительной полуосью а = 2 и мнимой полуосью 6 = 3.
Пример 2.18. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет
гиперболы, заданной уравнением 5х2 —4у2 = 20. Вычислить длины фокальных
радиусов точки Л4(— 4, л'15).
Разделив обе части уравнения на 20, получим х2/4— z/2/5=l. Сравнивая
это уравнение с уравнением (2.25), заключаем, что а2 —4, Ь2 = 5, т. е. а = 2,
6=\'5. Из формулы (2.26) следует, что c2 — a2-\-b2, с2 = 9, с = 3, Fj( — 3, 0),
F2(3, 0). По формуле (2.27) находим е = с/а = 3/2. Поскольку точка М лежит
на левой ветви гиперболы, то при вычислении г, и г2 необходимо пользоваться
формулами (2.32) г, = (— 3/2) ( —4) —2 = 4, г2= (— 3/2) (—4)+2 = 8. Отметим,
что г2 — г, =8 —4 = 4 = 2а.
Пример 2.19. Записать уравнения асимптот и директрис гиперболы
4х2 —9</2 = 36.
Приводя уравнение гиперболы к каноническому виду (2.25), заключаем,
что а2 = 9, 62 = 4, т. е. а = 3, 6 = 2. В соответствии с (2.28) записываем уравнения
асимптот i/=(2/3)x, у= — (2/3)х. По формуле (2.26) находим с = -\/9 + 4 =
= уТЗ, а по формуле (2.27) —эксцентриситет е=\/Тз/3. Согласно (2.29), по-
лучаем уравнения директрис х=—9/у13, х = 9/-у!3
2.5.	Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равно-
удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы), лежащих
в 1 ой же плоскости.
Уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и проходящей
через начало координат (рис. 2.6), имеет вид
у2 = 2рх,	(2.33)
уравнение ее директрисы
х=—р/2.	(2.34)
Парабола, определяемая уравнением (2.33), имеет фокус F(p/2, 0), фо-
кальный радиус ее точки Л4(х, у) вычисляется по формуле
г = х + р/2.	(2.35)
Парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через начало
координат (рис. 2.7), определяется уравнением
x2 = 2qy.	(2.36)
Фокус этой параболы находится в точке F(0, q/2), уравнение ее директрисы
имеет вид у=— q/2. Фокальный радиус ее точки Л4(х, у) выражается формулой
r = t/ + <7/2.
23
Замечание. Каждое из уравнений у2=—2рх, x2=—2qy определяет
параболу.
Пример 2.20. Найт» координаты фокуса и уравнение директрисы пара-
болы у2 = 8х. Вычислить расстояние точки М(2, 4) до фокуса.
Сравнивая уравнение у2 = 8х с уравнением (2.33), находим, что 2р = 8,
откуда р = 4, р/2 = 2. В соответствии с формулой (2.34) получаем уравнение
х= — 2 директрисы параболы, фокус параболы находится в точке F(2, 0).
Точка М(2, 4) лежит на параболе, так как ее координаты удовлетворяют
уравнению у2 = 8х. По формуле (2.35) находим фокальный радиус точки
М:г = 2 + 2 = 4.
Пример 2.21. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы пара-
болы х2=4у. Вычислить расстояние точки М(6, 9) до фокуса.
Сравнивая уравнение х2 = 4</ с уравнением (2.36), получаем 2</ = 4, откуда
q = 2, <7/2=1. Следовательно, фокус параболы находится в точке F(0, 1),
уравнение директрисы имеет вид у= — 1, а фокальный радиус точки Л4:г =
= 9+1 = 10.
Пример 2.22. Составить уравнение параболы, симметричной относительно
оси Ох и проходящей через точки Л4(5, 4), N( 15, —6).
Так как парабола симметрична относительно оси Ох, то в ее уравнение
у входит только во второй степени. Уравнение этой параболы имеет вид
у2 = 2рх-\-с, где р и с — некоторые постоянные. Найдем рис, использовав
условия задачи. Поскольку точки М я N лежат на параболе, то их координаты
должны удовлетворять ее уравнению 42 = 2р-5 + с, (—6)2 = 2р-15 + с. Из
уравнений 16= Юр+ с, 36 = 30р + с находим р — 1, с = 6.
Таким образом, данная парабола определяется уравнением </2 = 2% + 6.
2.6.	Полярное уравнение эллипса,
гиперболы, параболы
Пусть у — дуга эллипса, гиперболы или параболы (рис. 2.8). Проведем
через фокус F прямую, перпендикулярную директрисе Л, точку их пересечения
обозначим через А, проекцию точки Л4 на эту прямую — буквой N. В точке F
проведем перпендикуляр к прямой AN (оси линии у), обозначим буквой Р
точку ее пересечения с дугой у, а длину отрезка FP—буквой р, т. е. \FP\=p,
и назовем ее фокальным параметром линии у.
Пусть р и <р — полярные координаты точки М в системе координат с
полюсом в точке F и полярной осью FN, тогда
24
(2.37)
Уравнение (2.37) называется полярным уравнением эллипса, гиперболы,
параболы (это уравнение определяет одну из двух ветвей гиперболы).
Отметим, что для параболы фокальный параметр совпадает с параметром
р, входящим в уравнение (2.33), для эллипса и гипер-
болы, заданных соответственно уравнениями (2.21) и
(2.25), он выражается формулой	Q
р = Ь2/а.	(2.38)
Пример 2.23. Какую линию определяет уравнение 8
16
р= ——з	— в полярных координатах?
Разделим на 5 числитель и знаменатель правой части
уравнения:
р=_______>6/5______	-д
1 — (3/5) cos <р
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.37)
и учитывая формулу (2.38), получаем р = й2/а=16/5,
е = с/а = 3/5, откуда а = 5, Ь=4, с = 3. Поскольку 0<
<е< 1, то данное уравнение определяет эллипс с полу-
осями а = 5, 5 = 4.	д
Пример 2.24. Какую линию определяет уравнение
9
р= -j'L.'s’cos <р В ПОЛЯРНЫХ координатах.'
Рис. 2.8
Разделив числитель и знаменатель правой части на 4, приведем это уравне-
ние к виду (2.37):
_________9/4
4	Р 1 — (5/4) cos <р
Следовательно, р = Ь2/а = 9/4, е — с/а = 5/4> 1. Данное уравнение определяет
гиперболу с полуосями а —4, Ь = 3.
2.7.	Некоторые другие виды уравнений
линий второго порядка
Уравнение у = ах2-\-Ьх-]-с приводится к BHfly%2=2?y и определяет
параболу с осью, параллельной оси Oi Y.
Уравнение х = Ay2ByС приводится к виду Y2 = 2pX и определяет пара-
болу с осью, параллельной оси OiX.
Равносторонняя гипербола имеет уравнение (2.30), а в системе координат,
осями которой являются ее асимптоты, определяется уравнением
ХУ=С(С=#0).	(2.39)
Уравнение
5=	(ad — bc^=0,c^=0)
приводится к виду (2.39) и определяет гиперболу.
Параметрические уравнения эллипса х2/а2-\-у2/Ь2=1 имеют вид
x = acos t, y = b sin t.
Параметрические уравнения гиперболы х2/а2 — y2/b2 =1:
x = a(t+(\/4t)), y = b(t—(\/4t)),
25
а также
x = a ch t, y = b sh /,
где ch t, sh t — гиперболические функции аргумента t (см. п. 13.11).
Параметрические уравнения параболы х2=2qy можно записать так:
x = t,	y = t2/2q.
Уравнение
у2 = 2рх+(е2—1)х2	(2.40)
определяет эллипс при 0<е<1, гиперболу при е> 1, параболу при е = 1.
В случае 0<е<1 это уравнение принимает вид
y2 = 2px — qx2,
где p — b2/a, q = b2/a2, а в случае е> 1 y2 = 2px+qx2, где р и q имеют те же
выражения.
Уравнение (2.40) называют уравнением эллипса, гиперболы, параболы,
отнесенных к вершине; начало декартовой прямоугольной системы координат
находится в вершине линии — точке ее пересечения с координатной осью (рис. 2.9).
Эллипс, гиперболу, параболу называют коническими сечениями. В сечении
конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 2.10), получаются
эти линии, а именно эллипс (сечение одной полости конуса плоскостью, не перпен-
дикулярной его оси и не параллельной образующей), парабола (сечение плос-
костью, параллельной его образующей), гипербола (сечение плоскостью обеих
полостей конуса).
Пример 2.25. Построить линию, определяемую уравнением Зу=х2 —
— 6х+15.
Преобразуя это уравнение, получаем у= (1/3) ((х2 — 6х-|-9) +6), у —
= (1/3)(х-3)2 + 2, I/ —2= (1/3) (х —З)2.
Перейдем к новым координатам по формулам Х = х — 3, Y=у — 2. В новых
координатах уравнение принимает вид У=(1/3)Х2, или Х2 = ЗУ; оно определяет
параболу. Строим системы координат Оху и О|ХУ, последнюю с началом в
точке Oi (3, 2), и саму параболу — в новой системе координат по ее каноническому
уравнению (рис. 2.11).
2x4-12
Пример 2.26. Построить линию, определяемую уравнением 1/=------—т— .
26
Преобразуем данное уравнение: у(х + 3) — 2х — 12 = 0, у(х-]-3) — 2х —6 —6=
=0, i/(x4-3)-2(x+3)-6=0, (х+3) (у-2) =6.
Переходя к новым координатам по формулам Х=х-|-3, Y = y — 2, получаем
уравнение XY = 6, определяющее гиперболу. Строим линию в системе координат
О|ХУ (рис. 2.12), начало которой находится в точке О,( —3, 2).
Пример 2.27. Какую линию определяет уравнение хуА-х — 2у — 14 = 0?
Преобразуем это уравнение: (ху А~х) — (2у А~2)— 12 = 0, x(i/4-l)—2(у +
+ 1) - 12 = 0, (у+ 1) (х-2) - 12 = 0, (х —2) (</+!) = 12.
Переходя к новым координатам по формулам Х = х — 2, Y = yA~ 1, получаем
уравнение XY= 12, которое определяет гиперболу.
2.8.	Упрощение уравнения второй степени,
не содержащего члена с произведением координат
Рассмотрим уравнение второй степени относительно прямоугольных
декартовых координат, не содержащее члена с произведением ху:
Ax2 + Cy2+Dx + Ey + F = 0.	(2.41)
Перейдем к новой системе координат О,ХУ, полученной из исходной путем
параллельного переноса (см. рис. 1.10) начала в точку О, (а, Ь), при котором
старые координаты (х, у) точки М выражаются через ее новые координаты
(X, У) формулами (1.22).
Уравнение (2.41) путем выделения полных квадратов может быть приве-
дено к одному из следующих канонических уравнений:
X2/a2+Y2/b2=\,	(2.42)
Х2/а2+У2/&2 = 0,	(2.43)
X2/a2+Y2/b2=-\	(2.44)
в случае АС>0 (линии эллиптического типа);
X2/d2 — Y2/b2 =1,	—X2/a2+Y2/b2=l,	(2.45)
X2/a2—Y2/b2 = 0	(2.46)
в случае АС<0 (линии гиперболического типа);
У2 = 2рХ,	(2.47)
У2 = &2,	(2.48)
27
r2=o,
У2=—ft2
(2.49)
(2.50)
в случае 4C = 0, Л = 0 (линии параболического типа).
Если С = 0, Л=#0, то уравнение (2.41) приводится к виду X2 = 2qY, если
Е=/=0, и к одному из уравнений Х2 = а2, Х2=—а2. Х2 = 0, когда Е = 0.
Уравнение (2.42) определяет эллипс, уравнения (2.45) — гиперболы (с
действительной осью О\Х или Oi У), уравнение (2.47) —параболу (с осью 0,%),
уравнения (2.46) — пару пересекающихся прямых ЬХ — аУ = 0, й% + аУ = 0, урав-
нение (2.48) —пару параллельных прямых Y — b, Y=—b, уравнение (2.49) —
пару совпавших прямых У = 0, У=0, уравнению (2.43) удовлетворяют коорди-
наты единственной точки Х = 0, У = 0, уравнениям (2.44) и (2.50) не удовлетво-
ряют координаты ни одной точки.
Пример 2.28. Построить линию, определяемую уравнением 9х2—16t/2 —
— 36х —32у — 124 = 0.
Преобразуем это уравнение: 9(х2 —4% + 4) — 16(у2 + 2у + 1) —36+ 16— 124 =
= 0, 9(х — 2)2—16(r/+I)2—144 = 0, (х —2)2/16—(|/+1)2/9=1.
Перейдя к новым координатам по формулам Х = х — 2, У = у+1, получим
уравнение №/16—У2/9=1, определяющее гиперболу с полуосями а = 4, Ь = 3
(рис. 2.13). Центр гиперболы находится в точке, для которой Х = 0, У = 0,
откуда х = 2, у= — \. Получена точка 0,(2, —1), в которой находится начало
новой системы координат.
Пример 2.29. Построить линию, определяемую уравнением 9х2 + 161/2 +
+ 36х — 64у— 44=0.
Выделяя полные квадраты в левой части уравнения, получаем
9(х2 + 4х + 4) + 16 (г/2 — 4у + 4) — 36 — 64 — 44 = 0,
9 (х + 2)2+ 16(1/ — 2)2 = 144, (х + 2)2/16+ (у-2)2/9= 1.
Переходя к новым координатам по формулам Х = % + 2, Y = y — 2, последнему
уравнению придадим вид №/16+У2/9=1. Это уравнение определяет эллипс
с полуосями а = 4, Ь=3 (рис. 2.14). Центр эллипса находится в точке, для которой
Х = 0, У = 0, или % +2 = 0, у — 2 = 0, откуда х= — 2, у = 2, т. е. в точке О, (— 2, 2).
28
2.9.	Упрощение общего уравнения
второй степени
Общее уравнение второй степени относительно прямоугольных декар-
товых координат х и у
Ax'2 + 2Bxy-{-Cy'2 + Dx + Ey-\-F = Q	(2.51)
при повороте координатных осей на угол а, для которого
ctg 2а= (Л —С)/2В,	(2.52)
преобразуется в уравнение Л|Х,2 + С\у’2-\~ D\x'Е\у'F=0, являющееся
уравнением вида (2.41).
Формулы преобразования координат имеют вид
х = х’ cos а — у' sin a, у = х' sin а+у' cos a,	(2.53)
причем
sina = ±V(l— cos2a)/2. cos a = ±VU + cos 2a)/2,	(2.54)
cos 2a =-----С1Ц 2a ,	(2.55)
+ctg22a
где ctg 2a определяется формулой (2.52).
Уравнение (2.51) определяет или пустое множество, или точку, или пару
прямых (пересекающихся, параллельных, совпавших), или одну из линий
(окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Пару прямых называют распадающей-
ся линией второго порядка.
Пример 2.30. Построить линию, определяемую уравнением 5х2 —6xi/ +
+ 5у2 — 24х + 8у + 24 = 0.
Это частный случай уравнения (2.51), для которого Л=5, 2В=—6, С = 5,
D=—24, Е — 8, F = 24. По формуле (2.52) имеем ctg2a=(5 — 5)/( — 6) =0.
Возьмем 2а = л/2, т. е. а = л/4, тогда sin a = cos а=-\/2/2. Формулы (2.53)
принимают вид
х= (д/2/2) (х' —/),	у=Ь/2/2)(х' + у').	(I)
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем
(5/2)(х'-у')2-(&/2)(х'-у’)(х' + у') + (5/2)(х'+у')2-
- 12^2 (х' - у') + 4 /2’ (х' + у') + 24 = 0,
(5/2) (х'2-2х’у'+у’2)— 3(х,2 — у'2) + (5/2) (х'2 + 2х'у'+ у'2) -
-\2-^2(х'-у') +4<2(х'+у') +24 = 0,
2х'2 + 8у'2 - 8д/2х' + 16 72/ + 24 = 0,
х'2 + 4/2 - 4 д/2х' + 8^2у' +12 = 0.
Преобразуем левую часть последнего уравнения, выделив в ней полные
квадраты: (х'2-4 -/2х' + 8) +4 (/2 + 2 ^2у' + 2) — 8 — 8+ 12 = 0, (х'~2д/2)2 +
+ 4(/ + 72)2 = 4.
Переходя к новым координатам по формулам
X — x' — 2^[2,	Y = y' + ^2,	(11)
последнее уравнение записываем так:
№ + 4У2 = 4, или №/4+ У2/1 = 1.	(Ш)
29
Каноническое уравнение (III) определяет эллипс с полуосями а = 2, Ь=1.
Построим этот эллипс относительно новой системы декартовых прямоугольных
координат O\XY. Угол наклона оси OtX к оси Ох уже известен (а = 45°),
осталось определить старые координаты точки О,. В системе О,ХУ эта точка
(центр эллипса) имеет координаты X =0, У = 0. По формулам (II) имеем
х'— 2 ^/2 = 0, у' -\-^2 = 0, откуда х’ = 2^2, у' =—д/2. С помощью формул (I)
находим координаты точки О, в старой системе координат Оху: х=
= (з/2/2)(2 ^2-(-д/2)) =3, y=(V2/2)(2V2-y/2) = l, 0,(3, I).
Строим новую систему координат OtXY и сам эллипс по его каноническому
уравнению (III) (рис. 2.15).
Пример 2.31. Построить линию, определяемую уравнением Зх2 + 4ху—
— 4х — 8у = 0.
В данном случае 4 = 3, 2В = 4, С = 0. По формуле (2.52) находим ctg2a =
= (3 — 0)/4 = 3/4. В формулы (2.53) входят since и cos а. Найдем их значения
с помощью формул (2.54) и (2.55), в которых знак можно выбрать по своему
усмотрению. Выбрав везде знак плюс, получим
cos 2<х =
3/4
л/14- (3/4)2
1—3/5 _ 1
2	-у5
3
, sin а —
о
2 '
2
cos a = —- , tg a =
-y'5
Формулы (2.53) принимают вид
x=(1/V5)(2x'-<7'),	у=(\/^)(х' + 2у').	(IV)
Подставим эти выражения в исходное уравнение и преобразуем его:
-Е- (2х' — у')2+	(2х' — у') (х' + 2у')-(2х' — у')-(х' + 2у') =0,
00	у5	V5
3	4	16	12
— (4х'2 — 4х'у' + у'2)+ —	(2х'2 + 4х'у' — х'у' — 2у'2)------—	х'--— у’ = 0,
5	5	/5	д/5
4
. ,г ,1	16 ,	12
4х — у------------ х-----— у =0,
д/5 V5
12 , , 36	16 , 36
4 ,
~5~ ’
30
Перейдем к новым координатам по формулам
Х = х' — 2/V5,	Г = / + 6/у/5.
(V)
Последнее уравнение в новых координатах примет вид
4Х2-У2=-4, или -Х71 + Гг/4 = 1.
Это каноническое уравнение определяет гиперболу с полуосями а=1, Ь = 2,
причем действительной осью будет ось О, Y. Построим гиперболу в новой системе
координат OiXY. Найдем сначала старые координаты точки О>, в которой нахо-
дится центр гиперболы. Для этой точки Л = 0, У = 0. По формулам (V) получаем
х' = 2/д/5, У'——6/^/5. С помощью формул (IV) находим х =
=-U(-V +=2, У =-!=-(	---5^-1 =—2, 0,(2.—2). Через точку
V5 ' д/5	д/5 '	V5V д/5	<5'
О| проводим ось О\Х, для которой tga = l/2, и ось О, У, перпендикулярную
оси О\Х. В системе координат OtXY строим гиперболу по ее каноническому
уравнению (рис. 2.16).
Пример 2.32. Построить линию, определяемую уравнением х2—2ху +
+ у2 + 4х — 9>у + 7 = 0.
Поскольку Д = 1, 2В=—2, С=1, то по формуле (2.52) ctg2a=(l—
— 1)/( — 2)=0, 2а = л/2, а = л/4. Формулы (2.53) принимают вид
х= (д/2/2) (х'~у'),	у=(д/2/2)(х' + /).	(VI)
Подставим эти выражения в исходное уравнение и преобразуем его:
(1/2) (х'-/)2-(х'-/)(х' + /) + (1/2) (х' + у')2 + 2^2(х'-у')-
-4л/2(х' + </')+7 = 0,
2у'2-2 V2x'-6y/2y' + 7 = 0, (у' —3 д/2/2)2 —v'2(x' +1/д/2) =0.
Перейдем к новым координатам по формулам
31
В новых координатах последнее уравнение принимает вид
У2-л/2А- = 0, или y2 = V2X.
Это уравнение определяет параболу. Вершина параболы находится в точке,
для которой Х = 0, Y=0. Найдем старые координаты этой точки. По формулам
(VII) находим х'= —1/у/2, у' = 3/^2. С помощью формул (VI) получаем
Строим систему координат OiXY и параболу по ее каноническому уравнению
(рис. 2.17).
2.10.	Некоторые алгебраические линии
высших порядков
Декартов лист — линия, определяемая в прямоугольной декартовой
системе координат алгебраическим уравнением
x3 + i/3 — 3axy = 0 (a = const=/=0).
В полярных координатах уравнение принимает вид
За cos <р sin и>
р=-----з—г—з— •
COS’<p4-Sin ф
Декартов лист можно задать и параметрическими уравнениями
x = 3a//(l +/3), y = 3at2/(\ +<3).
Линия эта изображена на рис. 2.18.
Циссоида. Рассмотрим окружность с диаметром ОА = 2а и касательную
к ней в точке А (рис. 2.19). Из точки О проведем луч ОВ, точку его пересечения
с окружностью обозначим буквой С. На этом луче отложим отрезок I ОА4| =
= I ВС|. Проведя другой луч и выполнив аналогичное построение, получим
точку Afi. Таким способом можно построить сколько угодно точек. Множество
точек М, Mi,... называют циссоидой. Построив достаточное число указанных
точек и соединив их плавной линией, получим циссоиду (см. рис. 2.19).
Уравнение циссоиды в декартовых прямоугольных координатах имеет вид
32
в полярных координатах
р = 2а sin2<p/cos <р.
Параметрические уравнения циссоиды
2а _ 2а
Х~ /2+1 ’ У~ Н'2 + 1) ’
или
x = 2asin2<p, у = 2а sin3<p/cos <р,
где <р — полярный, угол.
Строфоида. Рассмотрим точку А и прямую А, не проходящую через данную
точку (рис. 2.20). Обозначим буквой С точку пересечения перпендикуляра к
прямой А, проведенной в точке А, а длину отрезка АС — а, т. е. \АС\=а.
Вокруг точки А вращается луч, на котором откладываются отрезки BMi и
ВМ2 от точки В пересечения с данной прямой так, что | BMt | = | ВМ2| = I ВС|.
Каждому положению луча соответствует пара точек Afi, М2, построенных ука-
занным способом. Множество пар точек Afi, М2 называют строфоидой. Точки
Mi и М2 при этом называют сопряженными. Построив достаточное число точек
и соединив их плавной линией, получим строфоиду (см. рис. 2.20). Название
«строфоида» происходит от греческого слова атросрт]— поворот.
Уравнение строфоиды в полярных координатах
р=а(1 ±sin <p)/cos <р,
в декартовых координатах
, (х — а)2х	, ч / х
у~=—7\--------• или у= + х — а)~\----------.
3 2а —х	3	'	' \ 2а —х
Параметрические уравнения строфоиды
х = а(1 ±sin <р),	у = а(\ + sin <р) sin <p/cos <р.
Версьера. Рассмотрим окружность с диаметром |ОС| =а и отрезок ВМ,
построенный так, что | ОВ|: I ВО = | ОС| : | ВМ[ (рис. 2.21). Множество точек
М называют версьерой.
В прямоугольных декартовых координатах уравнение версьеры имеет вид
у = а3/(х2 + а2).
Параметрические уравнения версьеры
x = t,	у = а2/ (/2 + а2),
где роль параметра играет первая координата.
33
Рассматриваемую линию называют также «локоном Аньези» в честь первой
в Европе женщины, получившей известность благодаря заслугам на поприще
математики.
Лемниската Бернулли — множество всех точек плоскости, для каждой из
которых произведение расстояний до двух данных точек той же плоскости есть
постоянная величина, равная квадрату половины расстояния между данными
точками.
В декартовых прямоугольных координатах лемниската Бернулли (рис. 2.22)
имеет уравнение
(х2+у2)2 = 2а2(х2-у2),
в полярных
р2 — 2а2 cos 2<р.
При другом выборе системы координат (рис. 2.23) эта линия определяется
соответственно уравнениями
(№ + у2)2 = 4а2ху,	р2 = 2а2 sin 2<р.
Название линии происходит от греческого слова Xppviaxo£ — повязка, бант.
Линия названа по имени ученого, открывшего ее. Уравнение лемнискаты впервые
встречается в статье Я. Бернулли, опубликованной в 1694 г. в журнале «Acta
eru<lгогит» («Труды ученых»).
Овал Кассини — множество всех точек плоскости, для каждой из которых
произведение расстояний до двух данных точек той же плоскости есть постоян-
ная величина.
Уравнения овала Кассини в декартовых координатах
(x2-j-y2) —2а2(х2—у2) = Ь4 — а4,
34
в полярных
р = <Л cos 2<р±т/cos22<р ((64/а4) — 1)
Вид овала Кассини зависит от соотношения между постоянными а и Ь.
В случае 6> а овал имеет форму замкнутой линии, симметричной относительно
осей координат (рис. 2.24). При Ь = а получаем лемнискату Бернулли. В случае
6<а овал состоит из двух замкнутых линий.
Рис. 2.25
Овалы Кассини названы в честь французского ученого, впервые рассмот-
ревшего их. Жан Доминик Кассини (1625—1712) открыл эти линии при попытке
определить орбиту Земли.
Конхоида. В плоскости фиксируем прямую LL\ и точку О, отстоящую от
этой прямой на расстоянии \ОЕ\=а (рис. 2.25, а). Проведем луч ОК, пересе-
кающий прямую LLi в точке К. На луче от точки К, по обе стороны от нее,
отложены два отрезка КМ и КМ, таких, что | КМ| = | КМ< | =/, где I — заданное
число. Вращая луч вокруг точки О (от 0 до 180°) и проводя аналогичные
построения (при одном и том же значении /), получим линию, описываемую
точками М и Л4|, которую называют конхоидой. Точку О при этом называют
полюсом конхоиды, а прямую LL: — ее базисом. Линия эта состоит из двух
ветвей: одну ветвь описывает точка М, другую — точка Л1,.
Уравнение конхоиды в полярных координатах
р= (a/sin q>) +/,
знак плюс — для верхней ветви, минус — для нижней. Форма конхоиды зависит
от соотношения между параметрами / и а. При 1 = а и /> а линия имеет вид,
изображенный соответственно на рис. 2.25, б, в.
В прямоугольных декартовых координатах конхоида имеет уравнение
(х2 + у2) (у— а)2 — 12у2 = 0.
Линию эту называют конхоидой Никомеда, по имени древнегреческого
геометра, впервые открывшего ее.
Улитка Паскаля. Рассмотрим окружность радиуса г с центром в точке С
(рис. 2.26). Выберем на данной окружности точку О. Представим себе, что
вокруг точки О вращается луч ОМ. В каждом его положении от точки N
пересечения луча и окружности откладываем отрезок \NM\=l, где / — задан-
ное положительное число. При повороте луча от 0 до 180° получим множество
точек М. При дальнейшем повороте луча от 180 до 360°, откладывая отрезок
длины I по направлению луча, мы фактически будем откладывать его в сторону,
противоположную прежней, т. е. |Л0И|| =/, и получим точки 44,. Множество
точек М и М\ называют улиткой Паскаля.
Уравнения улитки Паскаля:
р = 2г cos <р±/,
(x2 + V2 — 2гх)2 — 12(х2+у2) =0.
35
Форма улитки Паскаля зависит от соотношения между параметрами г и /:
/<2г (рис. 2.26), / = 2г (рис. 2.27), /> 2г (рис. 2.28).
Линия названа в честь Этьена Паскаля — французского математика-лю-
бителя, отца знаменитого Блеза Паскаля.
Кардиода — линия, описываемая точкой М окружности радиуса г, катящейся
Рис. 2.26
по окружности с таким же радиусом (рис. 2.29). Параметрические уравнения
кардиоды
x = 2r cos t — г cos 2/, y = 2r sin t — r sin 2/,
в полярных координатах
p = 2r (1 —cos <p),
в декартовых координатах
(x2 + y2 + 2rx)2 = 4r2(x2 + </2)-
Уравнение р = 2г (I-|-cos <р) также определяет кардиоду в полярной системе
координат с полюсом в той же точке и противоположно направленной полярной
осью.
Каппа — линия, представляющая собой множество точек касания касатель-
ных, проведенных из данной точки к окружности заданного радиуса, центр
которой перемещается по фиксированной прямой, проходящей через эту точку
(рис. 2.30).
Линия эта напоминает греческую букву х (каппа), откуда и происходит
ее название.
36
Параметрические уравнения каппы
х = а cos2<p/sin ср, у = а cos <р,
в полярных координатах
р=а ctg <р,
в декартовых координатах
(x2+{/2)V = a2x2.
Роза — линия, заданная полярным уравнением р = а sin k<p или уравнением
p = acos/E<p, где а и k — положительные числа. Роза целиком расположена
в круге радиуса а (р^а), так как |sin Л<р| 1. Роза состоит из конгруэнтных
лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых
равен а. Количество этих лепестков зависит от числа k. Если k — целое число,
то роза состоит из k лепестков при нечетном k и из 1k лепестков при четном k
(рис. 2.31,а,б). Если k — рациональное число, причем k = m/n (п> 1), то
роза состоит из т лепестков в случае, когда тип — нечетные числа, или из 2т
лепестков, если одно из чисел будет четным. При этом в отличие от предыду-
щего случая каждый следующий лепесток будет частично покрывать преды-
дущий (рис. 2.31,в—е).
Если число k является иррациональным, то роза состоит из бесконечного
множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.
Четырехлепестковой розой (см. рис. 2.31,6) называют линию, определяемую
полярным уравнением
р = а sin 2<р.
В декартовых координатах линия имеет уравнение
(х2+у2)3 — 4а2х2у2 = 0.
Четырехлепестковая роза образуется множеством оснований перпендикуля-
ров, опущенных из вершины О прямого угла на отрезок постоянной длины,
концы которого скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым, пере-
секающимся в точке О.
37
Трехлепестковой розой (см. рис. 2.31, а) называют линию, определяемую
уравнением
р = а sin Зср.
В декартовых координатах линия имеет уравнение
(х2+у2)2 = а(?>х2у-у2).
Астроида. Прямоугольник, две стороны которого лежат на двух взаимно
перпендикулярных прямых, деформируется так, что его диагональ сохраняет
постоянную длину а. Множество точек — оснований перпендикуляров, опущен-
ных из вершины прямоугольника на его диагональ, называют астроидой (рис.
2.32, а).
Астроида имеет параметрические уравнения
x = acos3/, у = а sin3/.
Исключив из этих уравнений параметр /, получим уравнение астроиды
в прямоугольных координатах:
х2/3 + 4(2/3 = а2/3
Освобождаясь от дробных показателей, находим
(х2 + у2 — а2)3 + 27х2у2а2 = 0.
Астроиду можно рассматривать как траекторию точки окружности радиуса
г (рис. 2.32,6), катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус
R которой в четыре раза больше г (R = 4r).
Параметрические уравнения астроиды в этом случае
3 п /	,	1 п 3/
Х= __ R cos — + — R cos — ,
3 D . I 13/
y= — «sin —--------_«sln — .
Гипоциклоида—плоская линия, описанная фиксированной точкой окруж-
ности радиуса г, катящейся без скольжения по другой неподвижной окруж-
ности радиуса R внутри ее (рис. 2.33, где М — вычерчивающая точка, А —
ее исходное положение, t — угол поворота окружности, AM — дуга линии).
38
Параметрические уравнения гипоциклоиды
х= (R— mR) cos mt-\-mR cos (/ — mt),
z/= (R — mR) sin mt — mR sin (/ — mt),
где m = r/R. Форма кривой зависит от значения т. Если m = p/q (р и q —
взаимно простые числа), тогда М после q полных оборотов окружности возвра-
щается в исходное положение и гипоциклоида — замкнутая линия, состоящая
из q ветвей с q точками возврата при
т<1/2 (рис. 2.34); при т> 1/2 вместо
q точек возврата линия имеет q других
точек (рис. 2.35). При т=1/2 линия вы-
рождается в диаметр неподвижной окруж-
ности, при т= 1/4 является астроидой
(см. рис. 2.32). При иррациональном т
число ветвей бесконечно, точка М в
исходное положение не возвращается.
Обобщением гипоциклоиды является ги-
потрохоида.
Гипотрохоида — плоская линия — тра-
ектория точки, жестко связанной с
окружностью радиуса г, катящейся без
скольжения по другой неподвижной окруж-
ности радиуса R внутри ее, причем вы-
черчивающая точка М находится на рас-
стоянии h от центра окружности радиуса
г. При Л > г кривая называется удли-
ненной гипоциклоидой (рис. 2.36, т =
= 1/4), при h<Zr — укороченной (рис.
2.37, щ=1/4). Параметрические уравне-
Рис. 2.33
ния гипотрохоиды
х= {R — mR)cos mt-)-h cos (t — mt),
y= (R — mR)sinmt — fisin(t — mt),
где m=r/R. При R = 2r линия является эллипсом, при h = R-)-r — розой
(см. рис. 2.31).
Эпициклоида — плоская линия — траектория фиксированной точки окруж-
ности радиуса г, катящейся без скольжения по другой неподвижной окруж-
ности радиуса R вне ее (рис. 2.38, где М — вычерчивающая точка, А — ее исход-
ное положение, t — угол поворота окружности, AM — дуга кривой).
Параметрические уравнения эпициклоиды
х = (RA-mR)cos mt — mR cos (1 + mt),
y—(R-\-mR)bmmt — mRsm(t-\-mt),
39
где m — r/R. Форма кривой зависит от значения т (рис. 2.39, а; т = 1/3,
рис. 2.39, б; щ = 2/3). Если m=p/q (р и q—взаимно простые числа), точка
М после q полных оборотов окружности возвращается в исходное положение
и эпициклоида — замкнутая линия, состоящая из q ветвей с q точками возврата.
При т=1 кривая является кардиодой (см. рис. 2.29). При иррациональном
т число ветвей бесконечно, точка М в исходное положение не возвращается.
Обобщением эпициклоиды является эпитрохоида.
Эпитрохоида — плоская кривая — траектория точки, жестко связанной
с производящей окружностью радиуса г, катящейся без скольжения по другой
40
неподвижной окружности радиуса R вне ее, причем вычерчивающая точка М
находится на расстоянии h от центра производящей окружности. При h > г
линия называется удлиненной эпициклоидой (рис. 2.40, а; т=1/4), при h<r —
укороченной эпициклоидой (рис. 2.40,6; т=1/4). Параметрические уравнения
эпитрохоиды
х= (P-f-m/?)cos mt — h cos (/-|-mt),
У — (/?+zn/?)sin mt — h sin (t-R mt),
где m=r/R. При r = R линия является улиткой Паскаля (см. рис. 2.27, 2.28),
при Л = /? + / — розой (см. рис. 2.31).
2.11. Некоторые трансцендентные линии
Трансцендентной называется линия, уравнение которой в прямоуголь-
ных декартовых координатах не является алгебраическим. Простейшими приме-
рами трансцендентных линий могут служить графики функций у = ах, t/ = lgx,
у = sin х и других тригонометрических функций.
Спираль Архимеда — траектория точки М, равномерно движущейся по пря-
мой, которая равномерно вращается вокруг фиксированной точки О (рис. 2.41).
Уравнение спирали Архимеда в полярных координатах
р = а<р,
в декартовых координатах
у/х2+у'2=а arctg(i//x).
Циклоида — траектория фиксированной точки окружности, которая без
скольжения катится по прямой (см. пример 1.17, уравнения (1.21)).
Рассмотрим траекторию точки, жестко связанной с окружностью, катящейся
по прямой, но находящуюся не на самой окружности, а на расстоянии d от ее цен-
41
М ц>-»- + 0
42
тра. При d<R вычерчивающая точка находится внутри окружности, ее траек-
торию называют укороченной циклоидой (рис. 2.42, а). Если d > R, то вычерчи-
вающая точка находится вне окружности; ее траекторию называют удлиненной
циклоидой (рис. 2.42, б). Эти линии определяются параметрическими уравнениями
x—Rt — d sin t, y^R—d cos t.
Алгебраическая спираль — линия, определяемая алгебраическим уравнением
/(р, <р)=0 относительно полярных координат. К алгебраическим спиралям отно-
Рис. 2.50
сится спираль Архимеда, так как ее уравнение р=а<р является алгебраическим
уравнением первой степени относительно р и <р, Другими простейшими алгебра-
ическими спиралями являются линии, определяемые уравнениями:
р=а/<р	(гиперболическая спираль, рис. 2.43);
р= (а/<р)-+-Z, где ?>0 (конхоида гиперболической спирали, рис. 2.44);
р=аф'	(спираль Галилея, рис. 2.45);
р’=а’<р	(спираль Ферма, рис. 2.46);
Р=“л/ф+Л где />0 (параболическая спираль, рис. 2.47);
P=a/V<p	(жезл, рис. 2.48).
Логарифмическая спираль (рис. 2.49) линия, определяемая уравнением
p-a’ (а > 0,	I).
Логарифмическая спираль пересекает полярные радиусы всех своих точек
под одним и тем же углом. На этом свойстве основано ее применение в технике.
Так, в различных режущих инструментах и машинах вращающиеся ножи имеют
43
профиль, очерченный по дуге логарифмической спирали. В силу этого угол реза-
ния остается постоянным. Логарифмическая спираль применяется в теории меха-
низмов при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом
(т. е. отношением их угловых скоростей). В природе некоторые раковины очерчены
по логарифмической спирали (рис. 2.50, а). Семечки подсолнуха расположены
по дугам, близким к дугам логарифмической спирали (рис. 2.50, б).
Логарифмическая спираль впервые упоминается в письме Декарта к Мер-
сенну от 12 сентября 1638 г. (опубликовано в 1657 г.). Независимо от Декарта
логарифмическая спираль была открыта Торричелли, который выполнил ее спрям-
ление и квадратуру. Название «логарифмическая спираль» для данной линии
предложил Лопиталь, автор первого печатного учебника по дифференциальному
исчислению.
Квадратриса. Дан отрезок AD длины 2а, середина которого находится
в точке О (рис. 2.51, а). Отрезок ОА равномерно вращается вокруг точки О с угло-
вой скоростью ы = л/2Г, а прямая КС, перпендикулярная AD, одновременно
начинает равномерно двигаться от точки А к точке D со скоростью v—a/T, оста-
ваясь параллельной исходному направлению. Точка Л1 пересечения вращаю-
щегося отрезка и движущейся прямой описывает линию, которую называют
квадратр^сой.
Уравнения квадратрисы в декартовых координатах
у = х ctg(nx/2a),
в полярных координатах
р = а(л— 2ф)/л cos <р.
Линия имеет бесконечное множество точек пересечения с осью ординат,
так ctg(nx/2a)=0 при х= ±а, х=±3а, х=+5а, ... Квадратриса изображена
44
на рис. 2.51,6, а на рис. 2.51, а указана та часть линии, которая соответствует
значениям аргумента х: —а^х^а. Название линии дал Лейбниц.
Квадратрису впервые открыл Гиппий из Эллиды (древнегреческий софист,
живший в V в. до н. э.) в поисках решения задачи о трисекции угла. К задаче
о квадратуре круга эту линию применил древнегреческий геометр Динострат
IV в. до н. э. В связи с этим линию называют квадратрисой Динострата.
Трактриса — линия, у которой длина касательной является постоянной
величиной. Под длиной касательной понимают длину отрезка МТ, касательной
между точкой касания М и точкой Т пересечения с осью Ох (рис. 2.52). Трактриса
имеет параметрические уравнения
х = а In tg(//2) +а cos t, у = а sin t;
ее уравнение в прямоугольных декартовых координатах
х= ± (а 1п( (а + д/а^у5)/!/) + д/а2 —г/2).
Трактриса применяется в одной из частей механизма карусельного токар-
ного станка (рис. 2.53). Линия вертикального профиля антифрикционной пяты
этого механизма обладает тем свойством, что длина ее касательной постоянна.
Трактриса сыграла выдающуюся роль в истории математики в связи
с открытием Н. И. Лобачевским новой геометрии и последующим развитием
учения о неевклидовых геометриях. Геометрия Лобачевского реализуется на
псевдосфере, полученной вращением трактрисы вокруг ее асимптоты.
Трактриса была открыта в XVII в. Ее название происходит от латинского
слова trade — тащу, влеку.
Цепная линия — кривая, форму которой принимает под действием силы
тяжести нить с закрепленными концами (рис. 2.54). В прямоугольных декарто-
вых координатах цепная линия имеет уравнение
у= (а/2)
Длина дуги цепной линии от ее вершины до заданной точки равна проекции
ординаты этой точки на касательную, проведенную в этой точке (рис. 2.55,
s = MN). Проекция ординаты произвольной точки цепной линии на нормаль в этой
точке является величиной постоянной, равной параметру а цепной линии (a = ML).
Свойства цепной линии применяются в строительстве и технике. Они исполь-
зуются в расчетах, связанных с провисанием нитей-проводов, тросов и т. д. В строи-
тельной технике применяется также линия свода, определяемая уравнением
у = е(ех/а + е~‘/а).
Вопрос о форме линии провисания впервые рассмотрел Галилей (1638).
Он полагал, что линия провисания является параболой. Против этого позже
возражал Гюйгенс. Окончательное теоретическое решение вопроса о форме ли-
нии провисания дали Лейбниц, Гюйгенс, Я. Бернулли.
Глава 3
ВЕКТОРЫ
Понятие вектора возникло как математическая абстракция объектов,
характеризующихся величиной и направлением, например таких, как перемещение,
скорость и т. п. Термин «вектор» ввел У. Гамильтон (около 1845 г.), обозначения:
а —Ж. Арган (1806), АВ — А. Мёбиус, г — Коши (1853), а — О. Хевисайд
(1891)
3.1.	Основные понятия
Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора
находится в точке А, конец — в точке В, то вектор обозначается символом АВ
или АВ. Начало вектора называют также точкой его приложения. Вектор иногда
обозначается одной строчной буквой жир-
С	О	ного шрифта а, Ь и т. д., или такой же
*	ж	буквой светлого шрифта с черточкой на-
верху а, Ь и т. д.
К L N	И	Модулем вектора а называется его
•	* *----*	---- длина, он обозначается через I а| или
Рис. 3.1	просто а. Модуль вектора — скалярная
неотрицательная величина.
Нуль-вектором (или нулевым вектором) называется вектор, начало и конец
которого совпадают. Нуль-вектор обозначается символом 0. Его модуль равен
нулю, а направление не определено.
Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.
Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, называ-
ются коллинеарными (рис. 3.1, векторы CD и MN , KL и MN , CD и KL).
Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и равные дли-
ны, называются равными (рис. 3.2, a, BC = AD). Так как векторы АВ и CD имеют
противоположные направления, то AB#=CD, хотя | АВ I =|CD|.
Отметим, что OMi #=ОМг, где М| и М?— две различные точки окружности
радиуса R с центром в точке О (рис. 3.2, б), поскольку векторы ОМ, и ОМа имеют
разные направления.
Векторы, противоположно направленные и имеющие равные длины, назы-
пВАпЮоТ^иТТ.ИВ0П0Л0ЖН5ми (вект°РЬ1 АВ и CD на рис. 3.2, а). Вектор, противо-
положный вектору а, обозначается через —а.
Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости),
называются компланарными.
Вектор, точка приложения которого может быть выбрана произвольно,
называется свободным.
46
3.2.	Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами называют сложение, вычита-
ние, умножение вектора на число.
Суммой векторов а и Ь называется третий вектор с, начало которого совпа-
дает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ь при условии, что вектор
b отложен из конца вектора а. Вектор с получается по правилу треугольника
(рис. 3.3, а) или параллелограмма (рис. 3.3, б).
Аналогично определяется сумма трех и более векторов. Суммой п векторов
ai, аг, ... , а„ называется вектор, начало которого совпадает с началом первого
вектора а,, конец — с концом последнего ап при условии, что каждый последую-
щий вектор at+i отложен из конца предыдущего at (k = 1, 2, ... , п— 1). Указан-
ный способ построения суммы называется правилом замыкающей.
Сумма векторов обладает свойством переместительности (коммутативности,
рис. 3.4):
a+b=b+a
и свойством сочетательности (ассоциативности)
(а + b) Н-с = а+ (Ь+с).
Сумма трех некомпланарных векторов а, Ь, с наряду с правилом замыкающей
получается и по правилу параллелепипеда: сумма а+Ы-с равна вектору OD,
где OD — диагональ параллелепипеда, построенного на векторах ОА=а, ОВ=Ь,
ОС=с, отложенных из одной точки (рис. 3.5).
Из определения суммы следует, что
а-|-0 = а, а+( —а)=0.
Разностью а — b двух векторов а и b называется такой вектор d, который
в сумме с вектором Ь дает вектор а:
а — b=d, если b-|-d = a.
Чтобы получить разность а—b двух векторов а и Ь, необходимо отложить
их из одной точки и соединить конец второго вектора с концом первого (рис. 3.6, а).
Разность а —b равна сумме двух векторов а и (—Ь), где (—Ь) —вектор,
противоположный вектору b (рис. 3.6, б), т. е.
а —Ь=а-|- ( —Ь).
47
Векторы — диагонали параллелограмма ОАСВ (рис. 3.6, в), построенного
на векторах ОА = а, ОВ=Ь, являются соответственно суммой и разностью этих
векторов.
Произведением вектора а на число а называется вектор
Ь = аа,
удовлетворяющий условиям: 1) |Ь| = |а| |а|; 2) b и а одинаково направлены
при а > 0; 3) Ь и а имеют противоположные направления при а<0 (рис. 3.7).
а
-За
Рис. 3.7
Очевидно, Ь = 0, если а = 0 или а = 0.
Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:
а(ра) = (а0)а, a(a + b) =<xa-|-ab, (а + Р)а = аа + Ра;
а(а, Ч-аг-р • • • + а») =ctai Ч-аагЧ- • • • 4-®а„;
(<xi + <Х2 + • • • + ап) а = а,а + <Х2а+ • • • +
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов а и b выра-
жается равенством
Ь = аа.	(3.1)
48
3.3.	Проекция вектора на ось
В пространстве заданы вектор АВ и ось
ция точки А на ось и, В, — проекция точки В, т.
опущенных из данных точек на эту ось.
Проекцией вектора на ось и называется
величина направленного отрезка (вектора)
AiBi оси и. Проекция вектора АВ на ось и
обозначается через приАВ, т. е. А,В| =
= приАВ, вычисляется по формуле
пр«АВ = I АВ I cos <р,	(3.2)
где <р — угол между вектором АВ и осью и.
Из равенства (3.2) следует, что если
а = Ь, то
npua = npub,
и (рис. 3.8). Пусть А: — проек-
е. основания перпендикуляров,
(3.3)
т. е. равные векторы имеют равные проекции (на одну и ту же ось).
Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами:
пр„ (a + b) =npua + npub,	(3.4)
пр„(аа) = априа,	(3.5)
npo(ai -J-azH- • • • “Fan) =npuai -j-npuaz-J- • * • -|-npuan.	(3.6)
Если ai,az, ... , a„ — произвольная конечная система векторов; ai, az, ... ,	—
произвольная система действительных чисел, то вектор
а = aiai -|-<x2az-)“••• И-апа,г
называется линейной комбинацией векторов этой системы.
Из равенств (3.4) — (3.6) следует, что
np„(aiai +a2az+ • •  +anan) =
— ainpoai -|-агпр^аг-|- • • • -|-ccnnpMan.
(3.7)
3.4.	Декартовы прямоугольные координаты
вектора в пространстве. Длина вектора.
Направляющие косинусы вектора
Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему коор-
динат. Радиусом-вектором точки М называется вектор г = ОМ, точка приложе-
ния которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке М
(рис. 3.9).
Декартовыми прямоугольными координатами X, Y, Z вектора г называются
его проекции на координатные оси
Х = пр2г, У = пр;,г, Z = np2r.	(3.8)
Каждая из записей
г = (X, Y, Z), г(Х, Г, Z), г= (X, Y, Z)	(3.9)
означает, что вектор г имеет координаты X, Y, Z.
Если х, у, г— декартовы прямоугольные координаты точки М, то
Х = х, Y=y, Z = z,
т. е. координаты радиуса-вектора ОМ равны координатам точки М.
49
Введем в рассмотрение единичные векторы 1, j, к координатных осей (их
называют ортами) и векторы OA=Xi, OB = Zj, OC = Zk, где А, В, С — вершины
прямоугольного параллелепипеда, для которого ОМ является диагональю (А, В,
С—проекции точки М на координатные оси; ОА = Х, OB=Y, OC = Z—проек-
ции вектора на координатные оси). По опре-
делению суммы ОМ=ОА 4-OB-f-OC, поэтому
r = Xi+rj + Zk.
(3.10)
Формула (3.10) выражает разложение век-
тора г по базисным векторам i, j, к. Век-
торы, стоящие в правой части формулы
(3.10), называются составляющими или ком-
понентами вектора г.
На основании теоремы о квадрате диа-
гонали прямоугольного параллелепипеда по-
лучаем формулу, выражающую
тора (3.9) или (3.10) через его
длину век-
координаты:
I г | =Vx2+y2 + Z2.
(3.11)
Из равенства (3.3) следует, что равные векторы имеют равные координаты,
поэтому координаты вектора не зависят от точки его приложения. Координатами
любого вектора называются его проекции на координатные оси.
Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов <х,0,у,
образуемых им с координатными осями.
Принимая во внимание формулу (3.2), для вектора (3.9) получаем
Z=|r|cosa, У = |г|cos 0, Z=|r|cosy.
(3.12)
Из равенств (3.11) и (3.12) следуют формулы для направляющих косинусов
вектора г:
X	Y	Z
cos а = —	, cos 6 = —======-, cos у = —	_ „ .—— ,
Vx2+r2+z2	+Z2	s/x2+y2+z2
(3.13)
откуда
cos2a + cos20 + cos2y = 1.
Из формул (3.12) следует, что координаты единичного вектора равны его
направляющим косинусам; т. е.
e=(cosa, cos 0, cosy).
Пример 3.1. Дан вектор а= (2, — 1,— 2). Найти его длину и единич-
ный вектор а0 направления вектора а.	_______________
По формуле (3.11) находим длину вектора |а| = V22+ (— 1)2+( — 2)2 = 3,
2
а по формулам (3.13) —его направляющие косинусы cosa= -у-, cos 0 =
1 а 2 /2 1
=	, cos0=—— , а„=( -3-,
т)-
50
3.5.	Переход от векторных соотношений
к координатным
Если даны векторы (т. е. известны их координаты) и указаны опреде-
ленные соотношения между ними, то они равносильны аналогичным числовым
соотношениям между координатами.
Координаты произведения вектора на число. Пусть дан вектор а = (Aj, У,, Zi)
и число а#=0. Координаты А2, Y2, Z2 вектора Ь = аа:
А2=аАь У2= ah, Z2 = aZ,.	(3.14)
Отметим, что равенства (3.14) выражают необходимое и достаточное условие
коллинеарности двух векторов: a=(Aj, У।, Zi), Ь=(Х2, У2, Z2). Если ни одно из
чисел Л1, У1, Z\ не равно нулю, то эти равенства можно записать так:
X2/X\ = Y2/Y\=Z2/Z\.
Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда пропорциональны их одно-
именные координаты.
Координаты суммы (разности) двух векторов. Пусть даны два вектора а =
= (Xi, У|, Zi), b = (Х2, У2, Z2), тогда X, Y, Z — координаты вектора суммы а-(-Ь:
A = Xi4~X2, У=У14"Е2, Z = Z\-\-Z2\
Х' = Х,-Х2, У' = У,-У2, Z' = Z,-Z2,
где X', Y', Z' — координаты разности a — b.
Координаты вектора, заданного двумя точками. Начало вектора MiM2 нахо-
дится в точке Л4| (xi, i/i, 21), конец — в точке М2(х2, у2, г2). Выражения для его
координат X, Y, Z через координаты точек A4i и Л12:
Х=х2 — Х\, Y=y2~y\, Z = z2 — 2i.	(3.15)
Координаты линейной комбинации векторов. Заданы п векторов а< =
= (А,, У|, Zi), а2= (Х2, Y2, Z2), ... , а„= (А„, Y„, Z„) и их линейная комбинация
а = aiai 4~<х2а24- • • • 4-сх^а,,.
Координаты X, Y, Z вектора а определяются формулами
А = aiXi 4-а2Х24" • * • + ctnXn,
У = <Х1У|-|-сс2К2-|- * • • ccnYn,
Z = at 1 Zi -|-cc2Z24~ * * * 4~ctnZn.
Деление отрезка в данном отношении. Даны две точки в пространстве
Л41 (xi, i/i, г,), М2(х2, у2, г2). Координаты точки Л4, делящей отрезок М|М2 в отно-
шении /:
Х14_^2	4- tyz ____ Z\~Yiz2
х~ 1+/ ’ у~ 14-/ ’ г~ 14-/ '
В частности, координаты середины отрезка
определяются формулами
Преобразование декартовых прямоугольных
координат при параллельном переносе. Рас-
смотрим две декартовы прямоугольные системы
51
координат с одним и тем же масштабным отрезком и одинаковыми направлениями
одноименных координатных осей (рис. 3.10). Начало новой системы находится
в точке 01 (а, Ь, с). Пусть М — произвольная точка пространства, х, у, г — ее коор-
динаты в старой системе, X, Y, Z — в новой, тогда
х = Х-|-а, y=Y-\-b, z = Z-{-c,
или
Х — х— a, Y=у— b, Z = z — с.	(.3.17)
Пример 3.2. Даны две точки Л(3, — 4, 7), Д(5, — 6, 8). Найти коорди-
наты вектора АВ и координаты точки Е — середины отрезка АВ.
По формулам (3.15) и (3.16) соответственно получаем
Х = 5-3 = 2, Г=—6—(—4) = —2, Z = 8 —7=1, АВ= (2, -2, 1);
х=(5 + 3)/2 = 4, у= (-6+ ( —4))/2 = -5, z= (8+ 7)/2 = 7,5, £(4; -5; 7,5).
Пример 3.3. Даны четыре точки А(5, 6, —8), В(8, 10, —3), С(1, —2, 4),
0(7,6, 14). Коллинеарны ли векторы АВ и CD?
Так как АВ=(8 —5, 10 — 6, —3—(-8)) = (3, 4, 5), CD=(7—1, 6—(—2),
14 — 4) =(6,8, 10) и CD = 2AB, т. е. выполнено равенство (3.1), то векторы АВ
и CD коллинеарны.
3.6.	Скалярное произведение двух векторов
Скалярным произведением двух векторов а и Ь называется число, рав-
ное произведению их длин на косинус угла между ними. Если обозначить скаляр-
ное произведение через ab, то
fl	ab= |а| IЫ cos <р.	(3.18)
Так как [bfcos <р = праЬ и |a|cos <р = прьа (рис.
У' \ ।	3.11), то равенство (3.18) можно представить
в У'	в двух других видах:
] \	ab = |а|праЬ, аЬ=|Ь|прьа.
ц । \	Понятие скалярного произведения возникло в
Q * I---------------механике. Если вектор а изображает силу, точка
°? А приложения которой перемещается из начала в
Рис. 3.11	конец вектора Ь, то работа w указанной силы
определяется равенством w = |а| |b|cos <р.
Скалярным квадратом вектора а называется скалярное произведение вектора
а на себя:
а2 = аа=|а| jа)cos 0 = Iа)2,
т. е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Векторы а и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда
ab = O.	(3.19)
Скалярное произведение обладает свойствами:
1)	переместительности (коммутативности)
ab = Ьа,
2)	сочетательности (ассоциативности) относительного числового множителя
(aa)b = a(ab),
3)	распределительности (дистрибутивности) относительно суммы векторов
а(Ы-с) =ab + ac.
Скалярное произведение двух векторов
a=(Xi, Ki.Z,), b=(X2, y2,Z2)	(3.20)
52
ныражается формулой
аЬ = Х1Х2+Г|У2+7172,	(3.21)
т. е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноимен-
ных координат.
Замечание. Если Ь = а, то формула (3.21) принимает вид aa=Xi +
-|-y? + Z?. Поскольку аа = а2=|а|2, то |а| = л/Х? + Ef + Zf.
Косинус угла между векторами (3.20) определяется формулой
XtX2+YlY2 + ZlZ2
cos <р= —.	—	-	.	(3.22)
л/хГ+уГ+zT л/хГ+Л+21
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов
(3.20) выражается равенством
XiX2+YiY2 + ZiZ2 = 0,	(3.23)
оно следует из формул (3.19) и (3.21).
Если ось и образует с координатными осями углы а, 3, у соответственна, то
проекция вектора s= (X, Y, Z) на эту ось определяется равенством
npus = X cos а4- Y cos p + Z cos у.
Пример 3.4. Даны два вектора а= (8, —7, —2), b= (7, — 11, 8). Найти
угол между ними.
По формуле (3.22) получаем
cos Ф =8-7 + (— 7) (— 11) + (— 2)  8=
д/82+(-7)2+(-2)2 л/75+(-И)5 + 82
Пример 3.5. Доказать, что векторы а=(2, — 4, 6), Ь= (3,3,1) перпен-
дикулярны.
По формуле (3.21) находим: ab = 2-3+ (— 4) • 3 + 6-1 = 0. Так как выполнено
условие (3.19), то векторы а и b перпендикулярны.
3.7.	Правые и левые тройки векторов.
Правые и левые системы координат
Три некомпланарных вектора ОА = а, ОВ=Ь, ОС = с, взятых в указан-
ном порядке (а — первый вектор, b — второй, с — третий) и приложенных в одной
точке (рис. 3.12, а, б), называют тройкой векторов а, Ь, с. Будем смотреть с конца
53
вектора с на плоскость, определяемую векторами а и Ь. Если кратчайший поворот
от вектора а к вектору b совершается против часовой стрелки, то тройка векто-
ров а, Ь, с называется правой'5 (рис. 3.12, а), если указанный поворот совершается
по часовой стрелке, тройка а, Ь, с называется левой (рис. 3.12, б).
Две тройки, обе правые или обе левые, называются тройками одной ориен-
тации; если одна тройка является правой, а другая — левой, то они называются
тройками различной ориентации.
При круговой перестановке векторов (первый заменяется вторым, второй —
третьим, третий — первым, рис. 3.12, в) ориентация тройки не меняется
(см. рис. 3.12, а, б).
Если поменять местами два вектора, то ориентация тройки меняется, напри-
мер если а, Ь, с — правая тройка, то тройка Ь, а, с (тех же векторов, взятых в по-
рядке Ь, а, с) будет левой.
Прямоугольная декартова система координат называется правой, если трой-
ка базисных векторов i, j, к правая; если эта тройка левая, то система координат
называется левой.
3.8.	Векторное произведение двух векторов
Векторным произведением вектора а на вектор b называется третий
вектор, обозначаемый символом [а, Ь] и удовлетворяющий условиям
1)	I [a, b] I = |а| Ы sin ср, где <р — угол между векторами а и Ь;
2)	вектор [а, Ь] перпендикулярен каждому из векторов а и Ь;
3)	тройка векторов а, Ь, [а, Ь] имеет ту же ориентацию, что и i, j, k.
Для векторного произведения применяют и другие обозначения, например
аХЬ.
Замечание. Если пользоваться только правыми системами координат,
то условие 3) можно заменить другим — тройка а, Ь, [а, Ь] является правой.
Понятие векторного произведения возникло в механике. Если вектор b изобра-
жает силу, приложенную в точке М, а = ОМ, то [а, Ь] выражает момент силы
b относительно точки О.
Из условия 1) следует, что модуль векторного произведения [а, Ь] равен
площади S параллелограмма, построенного на векторах а и b (рис. 3.13), т. е.
поэтому
I [a, b] I =S,
[a, b] = Se,
(3.24)
где е — единичный вектор направления вектора
[а, Ь].
Равенство [а, Ь] = 0 . выражает необходимое
и достаточное условие коллинеарности двух векторов
а и Ь; в частности, для любого вектора а [а, а] =0.
Векторное произведение двух векторов обладает
свойствами:
1)	антиперестановочности множителей
[а, Ь] = — [Ь, а];
2)	сочетательности относительно скалярного множителя
[(<ха), Ь) =а[а,Ь], [а, (₽Ь)) =р[а, Ь];
3)	распределительности относительно сложения
'5 В случае правой тройки а, Ь, с векторы а, Ь, с располагаются так, как
большой, указательный и средний пальцы правой руки; если тройка а, Ь, с является
левой, то векторы а, Ь, с располагаются так, как указанные пальцы левой руки.
54
[(a + b), с] = [а, с] + [b, c], [a, (b+c)J = [a, b] + [a, c].
Векторное произведение [a, b] двух векторов
a=(X,, Г,,/.), b=(X2, K2,Z2)	(3.25)
выражается формулой
zJ'+IJ	,зда
Эту формулу можно представить через символический определитель третьего
порядка
[а. Ь] =
i j k
Х1 К। Z,
X2 y2 z2
(3.27)
Замечание. Составим матрицу из координат векторов а и b
Г Х> У,
L Х2 Y2
Z,
Z2
Координаты векторного произведения [а, Ь] равны минорам второго порядка
этой матрицы, полученным путем поочередного вычеркивания первого, второго
и третьего столбцов, причем второй минор нужно взять со знаком минус.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах (3.25), вычисляется
по формуле
которая следует из (3.11) и (3.24).
Площадь треугольника АВС определяется формулой
S =-i-1 [АВ, AC] I.	(3.29)
Формула (3.29) следует из (3.24), так как площадь треугольника АВС состав-
ляет половину площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС.
Пример 3.6. Даны два вектора а= (5, 3, — 4), Ь=(6, 7, —8). Найти
координаты векторного произведения [а, Ь].
По формуле (3.27) получаем
| i j k I
[a, b] = 15 3 -41 =
|6 7 — 8]
7 :8р-|б =8P+ |б 7 | k = 4>+16j + 17k,
[a, b] = (4, 16, 17).
Пример 3.7. Вершины треугольника находятся в точках А (1, 1, 3),
В(3, —1,6), С(5, 1, —3). Вычислить его площадь.
С помощью формул (3.15) находим координаты векторов АВ и АС:АВ =
= (2, —2,3), АС= (4, 0, —6). Так как
55
'-ЧП	J | ,| 5- | } = (12.24.S).
TO
S= -1- | [AB, ACJI = -L д/122 + 242 + 82= -±- -д/42(32 + 62 + 22 ) =
= -l-4-7=14.
3.9.	Смешанное произведение трех векторов
Пусть даны три вектора а, Ь, с. Вектор а умножим векторно на Ь,
векторное произведение [а, Ь] умножим скалярно на с, в результате получаем
число, которое называют векторно-скалярным произведением или смешанным
произведением [а, Ь] с трех векторов а, Ь, с.
Смешанное произведение [а, Ь]с трех некомпланарных векторов равно
объему параллелепипеда, построенного на векторах ОА = а, ОВ=Ь, ОС = с
(рис. 3.14), взятому со знаком плюс, если тройка (а, Ь, с) —правая, со знаком
минус, когда эта тройка — левая:
r=mod([a, bjc).	(3.30)
Векторы а, Ь, с компланарны тогда и только
тогда, когда их смешанное произведение равно
нулю, т. е.
[а, Ь] с = 0.
(3.31)
Смешанное произведение [а, Ь] с и а[Ь, с] обоз-
начают через abc:
abc= [а, Ь] с = а[Ь, с].
Если поменять местами два вектора, то смешанное произведение изменит
лишь знак. Для трех векторов а, Ь, с:
abc = bca = cab= —bac= —cba= —acb.
Смешанное произведение трех векторов
а= (X,, У,, Zi), Ь= (Х2, Г2, Z2), с= (Х3, Г3, Z3)	(3.32)
определяется формулой
	X(	Г|	Zi	
abc =	X2	y2	z2	(3.33)
	X3	Y3	Z3	
Из формул (3.30) и (3.33) следует, что объем параллелепипеда, построен-
ного на векторах (3.32), вычисляется по формуле
	X,	Ki	Zi	
V = mod	X2	y2	Z2	(3.34)
	X3	Y3	Z3	
Объем треугольной пирамиды с вершинами в точках Mi (xi, yi, zi),
M2 (x2, {/г, z2), M3(x3, y3, z3), M4(x4,y4,z4) определяется формулой
V = mod
о
X2 — Xi
Хз —X|
х< —Х|
У2—У1
Уз —У'
У4—У1
z2 — Z|
z3 — Z1
Z4 — Z|
(3.35)
56
Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов (3.32)
выражается равенством
X, У, Zi
Х2 У2 z2
Хз Уз 2.3
(3.36)
которое следует из равенств (3.31), (3.33).
Пример 3.8. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
а=(1,3, 1), Ь=(2, 1,3), с= (3, 1,2).
По формуле (3.34) получаем
1
2
3
V = mod
3 1	1
1 3 =mod 2
1 2	3
О
-5
— 8
= 13.
О
Пример 3.9. Доказать,
с= (5, —7,9) компланарны.
Так как
что векторы а=(1,—2, 3), Ь = (4, — 5, 6),
1 — 2 3
4-5 6
5-7 9
1 —2
О	3
О	3
3
-6
-6
= 0,
т. е. выполнено условие (3.36), то данные векторы компланарны.
Пример 3.10. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой
находятся в точках М।(6, 1,4), Л12(1, —3,7), Af3(7, 1,3), ЛЬ(2, —2, —5).
В соответствии с формулой (3.35) находим
„	j 1
V = mod -т-
6
1—6 —3—1	7—4
2-6 -2-1 -5-4
7-6	1-1	3-4
= mod -т-
6
-5 —4	3
-4 -3 -9
1	0	-1
23
3
3.10.	Линейная зависимость векторов
Векторы а,, а2, ... , ал называются линейно зависимыми, если суще-
ствуют действительные числа а>, а2, ... , а«, из которых по меньшей мере одно
отлично от нуля, такие, что
aiai+ а2а2++ “ла„ = 0.	(3.37)
В противном случае (т. е. когда таких чисел не существует) векторы назы-
ваются линейно независимыми; другими словами, векторы линейно независимы,
если равенство (3.37) выполняется лишь при
«1 =сх2= ••• = ал = 0.
(3.38)
Если один из векторов, например а,, является нулевым, то система аь
а2, ... , ал окажется линейно зависимой, так как равенство (3.37) будет вы-
полнено при ai = l, <х2 = <хз= = ал = 0. Если часть векторов ai,a2,...,as ли-
нейно зависима, то и вся система а,, а2, ... , а„ линейно зависима, поскольку
из равенства a,aiЧ-агагН-...+ а»а4 = 0 следует равенство (3.37), в котором
<х*+1 = а4 + 2 =... = ап = 0.
Теорема 3.1. Векторы а,, а2, ... , а„(п > 1) линейно зависимы тогда
57
и только тогда, когда по меньшей мере один из них является линейной комбина-
цией остальных.
Теорема 3.2. Два вектора а и b линейно зависимы тогда и только тогда,
когда они коллинеарны.
Теорема 3.3. Если ei и е2 — два неколлинеарных вектора некоторой
плоскости, то любой третий вектор а той же плоскости можно единственным обра-
зом разложить по ним, т. е. представить в виде а. = хе\-\-уег.
Теорема 3.4. Три вектора а, Ь, с линейно зависимы тогда и только
тогда, когда они компланарны.
Теорема 3.5. Если векторы еь е2, ез некомпланарны, то любой вектор а
можно единственным образом разложить по ним, т. е.
a=xei +уе2 + ге3.
Теорема 3.6. Всякие четыре вектора линейно зависимы.
Любая упорядоченная система трех линейно независимых (т. е. некомпла-
нарных) векторов а, Ь, с называется базисом. Согласно теореме 3.5, всякий вектор
d можно разложить по базису, т. е. представить в виде
d = xa+t/b + zc.	(3.39)
Числа х, у, г называют координатами вектора d в базисе а, Ь, с.
Пример 3.11. Образуют ли базис векторы а=(8,2,3), b = (4,6, 10),
с=(3, — 2, 1)?
Так как
	8	2	3		— 1	8	3
abc=	4	6	10	=	-26	26	10
	3	— 2	1		0	0	1
-26 26	0 26
т. е. смешанное произведение векторов отлично от нуля, то векторы некомпланарны.
Значит, они линейно независимы и образуют базис.
Пример 3.12. Даны векторы а = (1, 1, — 1), b = (2, — 1,3), с = (1, — 2, 1),
d= (12, —9, 11). Доказать, что векторы а, Ь, с образуют базис и найти коорди-
наты вектора d в этом базисе.
Поскольку
abc =
1 1-1
2-1	3
1 —2	1
О 0-1
5 2	3
2-1	1
2
— 1
= 9#=0,
то векторы а, Ь, с линейно независимы (некомпланарны) и образуют базис.
Вектор d можно представить в виде d =ха +j/b + гс (см. формулу (3.39)). Это
равенство равносильно следующим равенствам:
12 = x + 2i/ + z, — 9 = х—у — 2z, 11 = — x + 3y + z,
так как равные векторы имеют равные координаты и координаты линейной коор-
динации векторов равны соответствующим линейным комбинациям одноименных
координат (см. п. 3.5). Решив полученную систему уравнений, найдем х = 2, у =
= 3, г = 4. Итак, d = 2a-f-3b + 4c, вектор d в данном базисе имеет координаты
х = 2, у = 3, г = 4.
58
3.11.	Аффинные координаты
Фиксируем некоторую точку О заданной плоскости и выберем два
неколлинеарных вектора е,, ег, назовем эту точку началом координат, векторы
еь е2 — базисными. От точки О отложим векторы OEi=e, и ОЕг = е2, проведем
прямые, которым принадлежат векторы OEi и ОЕг, фиксируем на них положитель-
ные направления, совпадающие с направлениями ОЕ\ и О£г соответственно,
получим две координатные оси Ох и Оу (рис. 3.15). Будем говорить, что построена
общая декартова или аффинная система коор-
динат (О; ei, е2). Пусть а — любой вектор данной
плоскости, отложим из точки О вектор ОА = а,
тогда по теореме 3.3
ai=xei + i/e2.	(3.40)
Числа х и у формулы (3.40) называются
общими декартовыми или аффинными координа-
тами вектора а в системе (О; ei, е2), они называ-
ются также аффинными координатами точки А
в той же системе, т. е. а= (х, у), А(х,у).
Так как OAi=xei, OA2 = f/e2, то х и у—величины направленных отрезков
ОА| и ОА2 координатных осей, |х| — длина отрезка ОА\, измеренная с помощью
масштабного отрезка ОЕ\, lyl — длина отрезка ОАг, измеренная с помощью
масштабного отрезка ОЕ2. Другими словами, аффинными координатами точки
А (и вектора а = ОА) называются числа х и у, определяемые формулами
х = ОА|, у = ОА2,
где ОА|, ОА2 — величины направленных отрезков OAi и ОА2 координатных осей
(Л, — проекция точки А на ось Ох, взятая параллельно оси Оу, А2 — проекция
точки А на ось Оу, взятая параллельно оси Ох; длины отрезков на каждой оси
измеряются с помощью своего масштабного отрезка).
Аналогично вводится аффинная система координат в пространстве. Фикси-
руем начало координат — точку О, базис — три некомпланарных вектора ei,
С2, ез, отложим из точки О векторы OEi =ei, ОЕ2 = е2, ОЕз = ез, координатные оси
Ох, Оу, Oz. Если а — любой вектор, то, отложив из точки О вектор ОА = а, по
теореме 3.5 получим
a=xe! + i/e2 + ze3.	(3.41)
Общими декартовыми или аффинными координатами вектора а (и точки А)
называются числа х, у, г в разложении (3.41).
Пусть А, — проекция точки А на ось Ох, взятая параллельно координатной
плоскости Оуг (определяемой векторами ег, ез), т. е. точка пересечения оси Ох
и плоскости, проходящей через точку А и параллельной плоскости Оуг; А2 —
проекция точки А на ось Оу, взятая параллельно плоскости Охг; Аэ — проекция
точки А на ось Ог, взятая параллельно плоскости Оху, тогда OAi=xei, ОАг =
=уе2, ОА3 = ге3.
Следовательно, х, у, г — проекции вектора ОА на координатные оси, т. е.
величины направленных отрезков ОА|, ОАг, ОАз, длины отрезков на каждой коор-
динатной оси измеряются с помощью своего масштабного отрезка (е, — на оси
Ох, е2 — на Оу, е3 — на Ог).
В частном случае, когда векторы ei, е2, е3 попарно перпендикулярны и имеют
равные длины |в|| = |е2| = |е3| = 1, их называют ортами и обозначают через
i, j, к, система координат называется прямоугольной.
Термин «орт» ввел О. Хевисайд (1892), обозначения ei,e2, е3— Г. Грассман
(1844), i, j, к — У. Гамильтон (1853).
Глава 4
ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
4.1.	Уравнение поверхности. Уравнения линии
в пространстве
Уравнением поверхности в фиксированной системе координат называется
такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты
любой точки данной поверхности и только они.
Из этого определения вытекает способ решения следующей простой задачи:
выяснить, лежит ли данная точка на поверхности, определяемой заданным
уравнением. Для решения задачи необходимо подставить ее координаты в данное
уравнение, если получается числовое равенство, то точка лежит на поверхности,
в противном случае точка поверхности не принадлежит.
Всякое уравнение с тремя переменными х, у, г можно записать так:
f(x,j/,z)=0,	(4.1)
где F (х, у, г) — функция переменных х, у, г.
Из определения прямоугольных декартовых координат точки в пространстве
(см. п. 1.12) следует, что координатные плоскости Oyz, Oxz, Оху определяются
соответственно уравнениями: х = 0, у = 0, z = 0 (х — 0 — уравнение плоскости
Oyz и т. д.).
Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверх-
ностей, поэтому она определяется двумя уравнениями. Пусть / — линия,
по которой пересекаются поверхности, определяемые уравнениями F(x, у, z)=0
и Ф(х, у, z)=0, т. е. множество общих точек этих поверхностей, тогда коорди-
наты любой точки линии / одновременно удовлетворяют обоим уравнениям:
F(x, у, z)=0, Ф(х, у, z)=0.	(4.2)
Пример 4.1. Составить уравнение сферы радиуса R с центром в точке
С(а, Ь, с).
Исходя из определения сферы как множества точек пространства, равно-
удаленных от данной точки (центра), для произвольной ее точки М(х,у,г)
получаем р(С, M)=R. Так как
р(С, М) = V(х—а)2+(</ — *) 2 + (z —с)2, то V(х —а)2+ ({/ —й)2+ (z—с)2 = R,
ИЛИ
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2.	(4.3)
Для точки У, не лежащей на данной сфере, равенотво р(С, N) =R не будет
выполнено, поэтому ее координаты не удовлетворяют уравнению (4.3). Следо-
вательно, уравнение (4.3) является уравнением сферы радиуса R с центром
в точке С (а, Ь, с).
В частном случае, когда центр сферы находится в начале координат
(а = 6 = с = 0), уравнение (4.3) принимает вид
х2 + У2 + z2 = R2.	(4.4)
Уравнение (4.4) называется каноническим уравнением сферы.
60
Пример 4.2. Уравнения
x2 + y2 + z2 = 25, z = 0
определяют окружность радиуса R = 5, лежащую в плоскости Оху. Действи-
тельно, первое уравнение определяет сферу радиуса /? = 5 с центром в начале
координат, второе уравнение — координатную плоскость Оху.
Пример 4.3. Ось Ох прямоугольной декартовой системы координат в прост-
ранстве определяется уравнениями у = 0, 2 = 0.
Действительно, уравнение у — 0 определяет координатную плоскость Oxz,
а уравнение z = 0— координатную плоскость Оху. Ось Ох является линией
пересечения координатных плоскостей Oxz и Оху (см. рис. 1.13).
Отметим, что ось Оу имеет уравнения х = 0, 2 = 0, а ось Ог— уравнения
х = 0, у = 0.
Поверхность, определяемая алгебраическим уравнением n-й степени относи-
тельно декартовых координат, называется поверхностью n-го порядка. Сфера —
поверхность второго порядка, так как ее уравнение (см. (4.3) и (4.4)) является
уравнением второй степени относительно декартовых координат.
4.2.	Параметрические уравнения линии
и поверхности
Параметрическими уравнениями линии в пространстве называются
уравнения вида
x = <pi(/), г/ = Ч>2(0, 2=фз(0,	(4.5)
где <pi(0, ф2(0, ч>з(О—функции некоторой переменной t (параметра), если
при каждом значении t из конечного или бесконечного промежутка они дают
координаты всех точек данной линии « только таких точек.
Параметрические уравнения часто применяются в механике для описания
траектории движущейся точки, роль параметра t в таких случаях играет время.
Параметрическими уравнениями поверхности называются уравнения вида
x=fi(u,v), y = f2(u,v), z — f3(u,v),	(4.6)
где fi(u, v), f2(u, v), f3(u, v) — функции двух переменных и и v (параметров), если
при любых значениях и и v (меняющихся в некоторой области) они дают
координаты всех точек данной поверхности и только таких точек.
Правые части уравнений (4.6) содержат два параметра, а уравнения (4.5) —
только один параметр.
Пример 4.4. Составить параметрические уравнения винтовой линии.
Винтовой называется линия, описываемая точкой, равномерно движущейся
по образующей кругового цилиндра, который при этом вращается вокруг своей
оси с постоянной угловой скоростью.
Выберем ось вращения цилиндра в качестве оси Ог декартовой прямо-
угольной системы координат в пространстве (рис. 4.1). Обозначим через v
постоянную скорость прямолинейного движения точки вдоль образующей,
w — скорость вращательного движения, R — радиус цилиндра. Пусть в началь-
ный момент точка находилась на оси Ох (совпадала с точкой Д), а в момент
времени / — в положении М. Обозначим буквой W проекцию точки М на
плоскость Оху, буквой Р — проекцию точки N на ось Ох, буквой Q — проекцию
точки N на ось Оу. Обозначая через <р угол между ОР и ON, получаем
x=OP = R cos q>, у = OQ = R sin <p, z = NM = vt. Поскольку (р = <о/, то
x = /?cosa>/, y = R sin wt, z = vt.	(4.7)
Уравнения (4.7) являются параметрическими уравнениями винтовой линии.
Пример 4.5. Составить параметрические уравнения сферы радиуса R.
Введем в рассмотрение систему декартовых прямоугольных координат
с .началом в центре сферы и систему сферических координат с началом в той же
61
точке (рис. 4.2). Пусть Л1— произвольная точка сферы, N — ее проекция на
плоскость Оху. Обозначим угол, образуемый вектором ОМ с осью Oz, через и
(широта); угол, образуемый вектором ON с осью Ох, через v (долгота).
Принимая во внимание определение декартовых координат (или связь между
декартовыми и сферическими координатами, см. 1.13, формулы (1.29)),
получаем параметрические уравнения сферы
x=R sin и cos v, у —К sin и sin v, z = R cos и,	(4.8)
где О^и^л, 0^а<2л.
Исключив из этих уравнений параметры и и v (для чего нужно возвести
в квадрат обе части каждого уравнения и почленно сложить), получим уравнение
сферы (4.4).
4.3.	Различные виды уравнения
плоскости
Плоскость в пространстве можно задать различными способами
(точкой и вектором, перпендикуляром плоскости, тремя точками и т. д),
в зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнения.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной
данному вектору. Ненулевой вектор п, перпендикулярный плоскости, называют
ее нормальным вектором. Если дана точка Мо(хо, Уо, ?о) и нормальный вектор
п= (Л, В, С) плоскости, то ее уравнение имеет вид
Л(х — хо)+В(г/ — у0)+С(г — zo)=O.	(4.9)
В этом уравнении коэффициенты А, В, С являются координатами нормального
вектора.
Равенство (4.9) выражает необходимое и достаточное условие перпенди-
кулярности двух векторов: п=(Л,В, С), М0М= (х — х0, у — Уо, z — Zo), где
М(х, у, г) —любая точка плоскости (рис. 4.3).
62
Общее уравнение плоскости. Уравнение первой степени- относительно декар-
товых координат
Ах -|- By С z D = О,
где А, В, С одновременно в нуль не обращаются, т. е.
л2+в2+с2*о,
(4-10)
(4.Н)
определяет плоскость в пространстве. Уравнение (4.10) называется общим
уравнением плоскости. Отметим частные случаи этого уравнения.
Если D = 0, то уравнение (4.10) принимает
вид
АхА-ВуА- Сг = 0
и определяет плоскость, проходящую через
начало координат (рис. 4.4, а; координаты
х = у = г = 0 удовлетворяют данному уравне-
нию) .
Если 0 = 0, то уравнение (4.10) принимает
вид
AxA-ByA~D = 0
и определяет плоскость, параллельную оси
Oz (рис. 4.4, б); нормальный вектор п =
= (Л, В, 0) перпендикулярен оси Ог, ибо
С=0.
Если С = 0, D = 0, то уравнение (4.10) принимает вид
АхА-Ву = 0
и определяет плоскость, проходящую через ось Ог (рис. 4.4, в; плоскость
параллельна оси Ог и проходит через начало координат; в этом случае А2 А~ В2 =£0
в силу условия (4.11)).
Если С = 0, В = 0, то уравнение (4.10) принимает вид
Лх + О = 0, или х = а (а= — D/A)
и определяет плоскость, параллельную плоскости Oyz или перпендикулярную
оси Ох (рис. 4.4, г; нормальный вектор п=(Л,0,0) перпендикулярен
плоскости Oyz).
Если С = 0, S = 0, 0 = 0, то уравнение (4.10) принимает вид
Лх = 0, или х = 0 (так как Л у= 0)
и определяет координатную плоскость Oyz.
63
Замечание. Если в уравнении (4.10) свободный член равен нулю
(D = 0), то плоскость проходит через начало координат; если коэффициент
при одной из текущих координат равен нулю, то плоскость параллельна
соответствующей координатной оси (например, если В = 0, то плоскость парал-
лельна оси Оу); если в нуль обращаются свободный член и один из коэффи-
циентов при текущей координате, то плоскость проходит через соответствующую
ось (если 0=0 и С = 0, то плоскость проходит через ось Oz); если равны
нулю два коэффициента при текущих координатах, то плоскость параллельна
соответствующей координатной плоскости (когда Л=0, В = 0, плоскость парал-
лельна плоскости Оху); если обращаются в нуль свободный член и два коэффици-
ента при текущих координатах, то плоскость совпадает с соответствующей
координатной плоскостью (когда D=0, Л=0, 0 = 0, плоскость совпадает
с плоскостью Охг).
Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на осях координат. Если все
коэффициенты уравнения (4.10) и его свободный член отличны от нуля, то
уравнение можно привести к виду
x/a + y/b+z/c=l,	(4.12)
где а=—D/А, Ь=—D/В, с=—D/С. Числа а, b и с означают величины
направленных отрезков, отсекаемых на осях координат. Этим объясняется
название данного вида уравнения плоскости.
Нормальное уравнение плоскости. Уравнение
х cos а -)-у cos р + г cos у — р = 0,	(4 13)
где а, р, -у — углы, образованные нормальным вектором плоскости с коорди-
натными осями Ох, Оу, Ог соответственно, р — длина перпендикуляра, опущен-
ного из . начала координат на плоскость, называется нормальным (или
нормированным) уравнением плоскости. Чтобы привести общее уравнение
плоскости к виду (4.13), необходимо умножить его на нормирующий множитель
__________1_________
и ±V»2+s2+c2 ’
где знак выбирается противоположным знаку D. После умножения уравнения
(4.10) на число р получаем нормированное уравнение плоскости
Ах-)- By-)- Сг-)-Р _q
±лМ2+в2+с2 ~ '
Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Если даны три точки
Mi (xi, yt, Zi), Мг(х2, у2, Zi), Мз(х3, уз, гз), не лежащие на одной прямой, то
уравнение плоскости, проходящей через эти точки, имеет вид
х—xi y—yi
Xi—Xi yi—yi
X3 — X1 Уз — yi
Z — Z|
Zi — Z|
Z3 — Zi
= 0.
(4.14)
Равенство (4.14) выражает необходимое и достаточное условие (см. (3.36))
компланарности трех векторов М,М=(х— xi, у— у\, г — г>), М,М2=(х2— Xi,
yi — yi,Zi — zi), М|М3(хз — xlt уз — yi, гз — Zi), где M(x,y,z)—любая точка
данной плоскости (рис. 4.5).
Уравнение плоскости, проходящей через, две точки и параллельной
данному вектору. Если задан вектор a=(ai,a2, аз) и две точки Mi (хь yi, z\),
М 2 (х2, уз, Zi), причем векторы а и М|М2 неколлинеарны (рис. 4.6), то уравнение
плоскости, проходящей через эту точку параллельно вектору а, имеет вид
х — xi y — yi Z — Zi
Х2 — Х1	У2 — У1	Zi— Zi
Q,\	U2	a3
=0.
(4.15)
64
Равенство (4.15) выражает необходимое и достаточное условие компланар-
ности трех векторов М>М = (х—хь y—yi, z — zt)t MiM2= (х2—хь у2—yt, z2—zi),
a= (a,, a2, a3), где M(x, y, z) — любая точка данной плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум
неколлинеарным векторам. Если даны два неколлинеарных вектора (рис. 4.7)
а= (а,, а2, аз), b= (bi, b2, Ь3) и точка Mi(xj, yi,zi), то уравнение плоскости,
проходящей через данную точку параллельно векторам а и Ь, имеет вид
X —X|	y — yi
О|	о2
bi	b2
Z — Zl
а3
Ь3
(4-16)
Равенство (4.16) выражает необходимое и достаточное условие компланар-
ности трех векторов: а, Ь, М,М, где М — произвольная точка данной плоскости.
Параметрические уравнения плоскости. Если даны два неколлннеарных
вектора а= (ai, а2, a3), b= (bi, b2, Ь3) и точка Mi (Xi, yt, zi), то параметрические
уравнения плоскости, проходящей через эту точку параллельно данным
векторам, имеют вид
x=xi + uai + o6i, у — у^иаг+иЬг, z=zt+ ua3-(-vb3.	(4.17)
Уравнения (4.17) следуют из равенства М,М=иа-|-оЬ, где М(х, у, z)—
любая точка плоскости (равенство MiM=ua-|-ub означает, что любой вектор
М|М можно разложить по векторам а и Ь).
Пример 4.6. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку
Мо(2, —3,4) и имеющей нормальный вектор п = (5, 6, — 7).
Так как в данном случае х0 = 2, уо= — 3, z0 = 4, А=5, В =6, С——7, то
уравнение (4.9) принимает вид
5(х—2)+6(у + 3) —7(z —4) =0, или 5х4-6у—7z + 36=0.
Пример 4.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М|(1, —3,2) параллельно векторам а=(5, —4,8), Ь=(6, —1,7).
Данные векторы неколлинеарны, так как их координаты не пропорциональны-
В соответствии с уравнением (4.16) получаем
65
— 20(х — 1) + 13({/ + 3) + 19(г — 2) =0, 20х-I3i/— 19z —21 =0.
Пример 4.8. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат
плоскостью Зх—4t/+5z—60=0.
Разделив обе части уравнения на 60 и преобразовав его, получим
х у z	х и г
20 ~ТГ + ТГ = 1’ или 10 +-Лб +'12’==1'
Сравнивая последнее уравнение с уравнением
а = 20, Ь= —15, с =12. Таковы величины отрезков,
соответственно на осях Ох, Оу, Oz.
Пример 4.9. Составить уравнение плоскости,
точки 51,(9, —11, 5), Af2(7, 4, —2), 513(—7, 13, —3).
(4.12), заключаем, что
отсекаемых плоскостью
проходящей через три
В соответствии с уравнением (4.14) получаем
х—9	{/+11	г —5	х —9	{/+11	г —5
7-9	4+11	-2-5 =0,	—2	15	-7
7 — 9 13+11	— 3 — 5	—16	24	— 8
х —9	{/+11 z —5	х —9	{/ + 11	г —5
= 8 —2	15	-7 =0,	—2	15	—7
-2	3	-1	—2	3	-1
з ~7, |-<«+">| -22	|+ь-5>|+
= 0,
6(х —9) + 12({/+11)+24(z —5) =0, (х-9) + 2(t/ +11) + 4(z-5) =0,
х + 2у + 4г — 7 = 0.
4.4.	Различные виды уравнений прямой
в пространстве
Прямую в пространстве можно задать различными способами
(точкой и вектором, параллельным ей; двумя точками и т.п.), в связи с чем
рассматривают различные виды ее уравнений.
Векторно-параметрическое уравнение прямой. Направляющим вектором
прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный ей. Если даны точка
Л4о(хо, Уо, Zo) и направляющий вектор а= (а,, а2, а3) прямой (рис. 4.8), то
г = Го + а/,
(4.18)
где г = ОМ — радиус-вектор
Мо(хо, Уо, Zo), / — переменная
точки М(х, у, z), го = ОМо — радиус-вектор точки
величина (параметр). Уравнение (4.18) называ-
ется векторно-параметрическим уравнением пря-
мой, проходящей через точку Л4о и имеющей
направляющий вектор а. Равенство (4.18) следует
из определения суммы векторов и необходимого
и достаточного условия коллинеарности двух
векторов.
Параметрические уравнения прямой. Перехо-
дя от векторного соотношения (4.18) к коорди-
натным, получаем
x = xo + ait, y = y0 + a2t, z = z0 + a3t. (4.19)
Эти уравнения называются параметрическими
уравнениями прямой, проходящей через точку
Mo(xo,yo,Zo) и имеющей направляющий вектор
а= (а,, аг, а3).
66
Канонические уравнения прямой. Выражая параметр t из уравнений (4.19)
и приравнивая полученные выражения, находим, что
х — ха = У~Уо = г —г0
А|	Аг	A3
Уравнения (4.20) называются каноническими уравнениями прямой, прохо-
дящей через точку Л1о(хо, уо, г0) и имеющей направляющий вектор а= (аь а2, Яз).
Уравнения прямой, проходящей через две точки. Если даны две точки
Л1| (xi, yt, zt), Л11(х2, У2, z«), то в качестве ее направляющего вектора можно
взять вектор М,Мг = (х2— Xi, У2 — у>, z2 — Zi), поэтому уравнения (4.20) примут вид
х~х' = У-У' =	(4 21)
Х2 —Х|	У2 — yi z2 —Z1
Пример 4.10. Записать параметрические и канонические уравнения пря-
мой, проходящей через точку Л4о(7, —9,8) параллельно вектору а=(4, 3, —2).
Так как в данном случае Хо = 7, уо=—9, Zo = 8, а, =4, а2 = 3, аз=—2,
параметрические уравнения (4.19) принимают вид
х = 7 + 4/, У= — 9+31, z = 8 —21,
а канонические уравнения (4.20) запишутся так:
х — 7	t/-|-9	z —8
~4	3	^2~'
Прим ер 4.11. Составить уравнения прямой, проходящей через точки
Л41 (6, —5,4), Л12(8, —7,9). Привести эти уравнения к параметрическому виду.
Поскольку xi=6, У\ = — 5, zi = 4, х2 = 8, </2= — 7, z2 = 9, то уравнения (4.21)
примут вид
х — 6	t/H-5 z —4	.. х — 6 у + 5	z —4
“8^+Г — -7 + 5 —	’ ИЛИ	~ ~—2	~5~ ’
Обозначая равные отношения буквой 1, получаем параметрические уравнения
данной прямой:
х = 6 + 21, у-——5 — 21, z = 4 + 51.
4.5. Задачи, относящиеся к плоскостям
Взаимное расположение двух плоскостей. Даны две плоскости
4lx+BIJ/+C1z + D,=0,	(4.22)
А 2х+ В2У + C2z + D2 = 0.	(4-23)
Необходимое и достаточное условие параллельности этих плоскостей
выражается равенствами
Al = A. =	(4.24)
л, В, С. ’
а их совпадения — равенствами
Al = Al = Al = Al	(4 25)
л, В, Cl £>, •
Другими словами, плоскости параллельны тогда и только тогда, когда
пропорциональны их коэффициенты при текущих координатах; например,
плоскости x + 2t/ — 3z —1=0, Зх + 61/— 9z + 7 = 0 параллельны. Плоскости
67
совпадают тогда и только тогда, когда пропорциональна коэффициенты при
текущих координатах и свободные члены; например, плоскости 2х—3y-|-z—4 = 0,
4х—6y-f-2z—8=0 совпадают.
. Если условие (4.24) не выполняется, то плоскости (4.22) и (4.23)
пересекаются.
Угол между двумя плоскостями. Косинус угла между плоскостями (4.22)
и (4.23) определяется формулой
cos <f> = —	-—-—	 ——.	(4.26)
т/л-'+в’+с?
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей (4.22)
и (4.23) выражается равенством
AiA2 + B,B2 + C,C2=0.	(4.27)
Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки Afo(xo, уо, z<>) до
плоскости Ax-t-By + Cz-}-D = 0 вычисляется по формуле
d	Mxo + flyo + Czo+OI	(4 28)
л/Л2+В2+С4
Пример 4.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
Л40(2, 3, —5) и параллельной плоскости х—2y + 4z— 1=0.
Это уравнение будем искать в виде х — 2y-|-4z 4-0 = 0, где О — неизвестный
свободный член (в формуле (4.24) полагаем отношение равным единице).
Так как плоскость проходит через точку Мо, то ее координаты должны удовлетво-
рять последнему уравнению: 2 — 2-34-4-( —5)4~О = 0, 2—6-204-0=0, 0 = 24.
Следовательно, х—2y4-4z-|-24=0— искомое уравнение.
Пример 4.13. Найти угол между двумя плоскостями Их — 8у — 7z4-6 = 0;
4х— 10</-|-z—5=0.
Косинус угла найдем по формуле (4.26), подставив в нее значения Л1 = 11,
В| = — 8, С,= — 7, Л2 = 4, В2= — 10, С2=1:
cos ф 11.44-(-8)(-10)4-(-7)-1	= 444-80-7
л/Ч84-(—8)24-(— 7)2д/424- (—10)24-12	V234VH7
Пример 4.14. Вычислить расстояние от точки Af0(4,3,6) до плоскости
2х—у—2z—8=0.
Подставив в формулу (4.28) значения х0 = 4, у0=3, z0=6, 4 = 2, В= — 1,
С=—2, О = —8, получим
12-4-3-2-6-81	|-15|
“= ---- 	—   = ----5-- = 5.
т/24 4-(-1)2-|-(-2)2	3
Пример 4.15. Найти расстояние между параллельными плоскостями
х-|-2у—2z—1=0, х-|-2у — 2z4-5 = 0.
Это расстояние равно расстоянию любой точки одной плоскости до другой.
Выберем на первой плоскости произвольную точку. Приняв, например, что
Уо=1, Zo = l, из уравнения х-)-2у—2z —1=0 найдем х0=1. По формуле (4.28)
находим расстояние от точки Af0(l, 1, 1) до плоскости х-|-2у—2z-|-5=0:
d= 114-2-24-51	= 6 =2
т/124-224-(—2)2	3
68
4.6. Задачи, относящиеся к прямым
в пространстве
Угол между двумя прямыми — угол между направляющими векторами
этих прямых. Косинус угла между двумя прямыми
x=xi+ait, y=yi + a2t, z=zi+ait;	(4-29)
x=x2-f-bif, y=y2+b2t, z = z2 + b3t	(4.30)
определяется формулой
cos ф =	•	(4-31)
lallbl . ^+а1 + аШ + Ы+Ы
Равенство a,6i+а2/>24-азйз = 0 выражает необходимое и достаточное условие
перпендикулярности прямых (4.29), (4.30).
Необходимое и достаточное условие параллельности этих прямых выражается
равенствами bi = aai, b2 = aa2, Ьз = ааз, или .
b\/a\=b2/a2 = b3/a3.	(4-32)
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Для исследования
взаимного расположения прямых (4.29) и (4.30) рассматривается смешанное
произведение трех векторов а= (а,, а2, ав), b= (bi, bi, Ьз), М,М2 = (х2—х\, y2—yi,
z2—zt). Если abM|M2^0, т. е.
О1	а2	а3
ь.	Ь2	6з
х2 — Х|	У1-У1	Z2 — Zl
=54=0,
(4.33)
то прямые являются скрещивающимися. Неравенство (4.33) означает, что
векторы а, Ь, М|М2 некомпланарны.
Прямые (4.29) и (4.30) лежат в одной плоскости тогда и только тогда,
когда аЬМ1М2=0, т.е.
ai	а2	аз	
b,	b2	Ьз	= 0.
Х2 — Х1 у2 — у, z2 — z.
(4.34)
Эти прямые пересекаются, если первые две строки определителя не пропор-
циональны, т.е. не выполнено условие (4.32). Прямые параллельны, когда
Рис. 4.10
69
первые две строки определителя пропорциональны. Прямые совпадают, если
пропорциональны все строки определителя (4.34).
Замечание. Чтобы найти точку пересечения прямых (4.29) и (4.30),
необходимо решить систему их уравнений; при этом целесообразно параметры
обозначить различными буквами (так как одна и та же точка пересечения
прямых получается, как правило, при различных значениях параметра в урав-
нениях данных прямых).
Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки Л1о(*о, Уо, £о) до
прямой (4.29) вычисляется по формуле
._ I [(Г1—го), а] I	..
где го и г,—радиусы-векторы точек Мо и Afi, а — направляющий вектор
прямой (рис. 4.9).
Расстояние между двумя прямыми. Кратчайшее расстояние между двумя
прямыми (4.29) и (4.30) определяется формулой
I (г2 — г,)аЫ
I [a, b] I
(4.36)
где Г1, Гз — радиусы-векторы точек М\, Мг\ а, Ь — направляющие векторы
данных прямых (рис. 4.10).
Пример 4.16. Найти угол между двумя прямыми х=3 + 2/, z/ = 44-7/,
z=-54 8/; x = 24-8/, у = 6- 11/, z=—8-7/.
Первая прямая имеет направляющий вектор а= (2,7,8), вторая —
Ь=(8, — И, —7). По формуле (4.31) находим
2.8+7-(-11)+8-(-7)	_	-117________1
V224-754-8s л/82+(-Н)2+(-7)2	7Й7л/234	у/2 '
Следовательно, <р= 135°.
Пример 4.17. Доказать, что прямые х = 74-5/, у— — 5 — 7/, z=—2 —3/
и х = /, y = t, z ——34-2/ пересекаются. Найти точку их пересечения.
Рассмотрим векторы М1М2= (0 —7, 0—(— 5), — 3—(— 2)) = (—7, 5, — 1),
а= (5, —7, —3), Ь=(1, 1,2) и их смешанное произведение
abMiM2 =
5 —7
1 1
— 7	5
-3
2
— 1
5-12 -13
1	0	0
7	12	13
Поскольку смешанное произведение трех векторов равно нулю, то векторы
компланарны; значит, данные прямые лежат в одной плоскости. Так как
направляющие векторы а и Ь этих прямых неколлинеарны (их координаты
не пропорциональны), то прямые пересекаются.
Чтобы найти точку пересечения, приравняем выражения для координат,
предварительно обозначив параметр буквой s в уравнениях второй прямой:
74-5/ = s, — 5 — 7t=s, —2 —3/=—34-2s.
Из первых двух уравнений следует, что 7-|-5/= — 5 — 7/, откуда /= — 1; следо-
вательно, s = 2. При этих значениях /из третье уравнение обращается
в тождество. Подставляя значение /= — 1 в уравнения первой прямой (или s=2
в уравнения второй прямой x = s, y = s, z=—34-2s), находим x = 2, у—2, z=l.
Итак, Л! (2, 2, 1) — точка пересечения данных прямых.
Пример 4.18. Найти расстояние от точки Л40(2, — 3, 5) до прямой:
^=54-2/, у=—4 —/, z = 6 —2/.
Найдем сначала векторное произведение, входящее в формулу (4.35):
г,— го = МоМ| = (5 — 2, —4—( —3), 6 —5) = (3, —1, 1), а= (2, —1, —2),
70
[(Г|-Го), а] =
-1	1113	11 13-1
-1 —2 | ’ | 2 -2 | ’ | 2 -1
— (3, 8, -1).
По формуле (4.35) получаем
d= л/зЧ82+(-1)2
-\/22+(— 1 )24-(— 2)2
/74
3
4.7. Задачи на прямую и плоскость
Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Рассмотрим две
плоскости, заданные общими уравнениями (4.22) и (4.23). Если условие (4.24)
не выполнено (т. е. коэффициенты А>, Bi, С, не пропорциональны коэффициен-
там As, Bs, Cs), то плоскости пересекаются по прямой, определяемой уравнениями
A iX-f-Вiy + CiZ *4“ Di = 0, AsX-|-Вгу-|- CsZ-|-Ds—0.	(4.37)
Эти уравнения приводятся к параметрическому виду
х = хо +
В, Ci I
Bs Cs |
t,y = yo —
IЛ, c,
| As Cs
t, Z = Zo +
A, B,
As Bs
t.
(4.38)
Данная прямая имеет направляющий вектор
a=[n,,n2l = qB2
С, ] _ I A, C,
Cs I I As Cs
I M, Bl
Г I As Bs
(4.39)
где П| = (Л1, Bi, Ci), п2=(Л2, Bs, Cs) — нормальные векторы данных плоскостей.
Точка Мо(хо, уо, zr>) на прямой может быть выбрана произвольно; для этого
необходимо в системе (4.37) зафиксировать значение одной переменной
(например, z = z0), из полученной системы уравнений найти значения двух
других переменных (х=Хо, у=у0).
Пучок плоскостей — множество всех плоскостей, проходящих через одну
и ту же прямую. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую (4.37),
имеет вид
а(Л1Х-|-В|//4"С|г-|-В1) -|-р (Л2х + Bsy-\~ Csz~j~Ds) — О,
где аир — любые действительные числа, причем хотя бы одно из них отлично
от нуля. Это уравнение можно привести к виду
>lix4-S|i/4-Ciz4-D + %(42x-|-B2i/+C2z4-£>2)=0,	(4.40)
где Х = р/а, а=#0. Уравнение (4.40) определяет все плоскости пучка, за
исключением той, которой соответствует а = 0, т.е. за исключением плоскости
Л2% + Bsy-\- Csz + О2 = 0.
Угол между прямой и плоскостью. Синус угла между прямой
x = Xo + ait, y=yo + dst, z = Zo + ast	(4.41)
и плоскостью
Ax + By+Cz + D = 0
(4.42)
определяется формулой
I Aai + Ва2 + Саз |
sin <р = —	---- —.	(4.43)
д/Л2 + В2+ С* у/а2 + а2 + аз
71
Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая (4.41) и плоскость
(4.42) пересекаются, если
Aui -|- В02Сиз =5^ 0;	(4.44)
перпендикулярны, когда
Л В С	/44Е\
----=------=------;	(4.45)
а\
параллельны, если
AU] -|-Ви? -р Сиз = 0,
02 U3
Axo~\-Byo~^Czo^D^=0‘,	(4.46)
совпадают, когда
Aui -j-Ви? 4“ Сиз= 0, Ахо4~ Byo4~ Czo4~ D—0.
(4.47)
Координаты точки пересечения прямой (4.41) и плоскости (4.42) находятся
из системы их уравнений.
Неравенство (4.44) означает, что нормальный вектор п= (4, В, С) плоскости
(4.42) и направляющий вектор а=(а|,аг, аз) прямой (4.41) не перпендику-
лярны, т. е. прямая и плоскость не параллельны.
Равенства (4.45) означают, что векторы п и а коллинеарны, т. е. прямая
(4.41) и плоскость (4.42) перпендикулярны.
Соотношения (4.46) показывают, что векторы п и а перпендикулярны,
т. е. прямая и плоскость параллельны, но точка Мо(хо, Уо, го) прямой (4.41)
не принадлежит плоскости (4.42).
Равенства (4.47) означают, что векторы п и а перпендикулярны и точка
Мо (%о, уо, г0) прямой принадлежит плоскости (прямая лежит в плоскости) .
Пример 4.19. Уравнения прямой x-f-2y+4z — 7=0, 2х+у—z — 5 = 0 при-
вести к параметрическому виду.
Поскольку в этих уравнениях коэффициенты при текущих координатах
непропорциональны, то плоскости, определяемые данными уравнениями, пере-
секаются. Данные уравнения определяют прямую. Выберем на прямой точку.
Полагая в этих уравнениях, например, го = 2, получаем
x+2i/= — 1, 2x + i/=7,
откуда %о = 5, уо = — 3. На прямой зафиксирована точка Л+(5, —3, 2). По формуле
(4.39) найдем направляющий вектор прямой. Так как П| = (1, 2, 4), п2 = (2, 1, — 1),
то
г 1 /I2 41	11 4 I I 1 2 |\	. . .	..
а=[п1,п2]=^|1 _1|,- |2 -J-lg j |) =(-6,9, -3).
Параметрические уравнения (4.38) данной прямой принимают вид х = 5 —61,
у= —3 + 91, z = 2 —31.
Замечание. В качестве направляющего вектора можно взять
1
-д-а= ( — 2, 3, — 1), тогда х = 5 —21, у — — 3 + 31, z = 2 —1.
Пример 4.20. Найти угол между прямой х— — 3 — t, y = 5 — t, z= — 4+21
и плоскостью 2х — 4i/ + 2z — 9 = 0
Применяя формулу (4.43) для случая а, = — 1, а2= —1, а3=2, А =2,
В=—4, С = 2, находим
sin <р =______-- = _Л_ = 1 , <^30°.
л/22+(-4)2 + 22 V(- 1)2+ (-1)2 + 22	^24	2
Пример 4.21. Найти проекцию точки Л4(1,—2,4) на плоскость
5х —3i/+6z + 35 = 0.
Этой проекцией является точка пересечения перпендикуляра к плоскости,
72
проходящей через точку М. Для прямой, перпендикулярной плоскости, направ-
ляющим вектором будет п=(5, — 3,6). Параметрические уравнения прямой,
перпендикулярной плоскости и проходящей через точку М, примут вид х = 1 +5/,
у= — 2—3t, г = 4+6/.
Подставляя эти выражения в уравнение плоскости, находим:
5(1+5/)—3( — 2-3/)+6(4 + 6/)+35 = 0, 70/+70 = 0, /=-1.
При этом значении / из уравнений прямой получаем: х=1—5=—4,
(/=—2 + 3=1, 2 = 4 —6=—2. Следовательно, точка А( — 4, 1, —2) —искомая
проекция.
Пример 4.22. Вершины пирамиды находятся в точках 4,(4,6,5),
Д2(6,9,4), А3(2, 10, 10), А4(7,5,9). Найти: 1) длину ребра AiA2; 2) угол
между ребрами A,A2 и A|A3; 3) площадь грани А1А2Аз; 4) объем пирамиды
А|А2АзА4; 5) уравнение плоскости A|A2A3; 6) уравнения прямой AtA3;
7) угол между ребром -4i+ и гранью AiAzA3; 8) уравнения высоты, опущенной
из вершины Д4 на грань А|А2Аз.
Найдем сначала координаты векторов AiA2, А,Аз, AiA4 и координаты
векторного произведения [AiA2, А1А3]. По формуле (3.15) получаем
А,А2=(6 — 4, 9 — 6, 4 — 5) = (2, 3, - 1); A,A3= (2 —4, 10-6, 10-5) = (-2, 4, 5);
А,А4=(7 — 4,5-6, 9 —5) = (3, —1,4).
С помощью формулы (3.26) находим

|  I -г 4 I) -<>’ -’ |4>
1.	Длина ребра A,A2 равна расстоянию между точками А, и Д2, которое
вычислим по формуле (1.26):
Р(Д1,А2)=л/(6-4)2+(9-6)2+ (4 —5)2 =V14«3,74.
Тот же результат можно получить, найдя модуль вектора А|А2 по формуле (3.11).
2.	Угол между ребрами AiA2 и А|А3 равен углу <р между векторами А,А2 = а,
А1А3 = Ь. В соответствии с формулой (3.22) получаем
ab_____________2(-2) +3-4- 1 -5____________ 3	_ 1
l||b|	V22 + 32+ (- 1 )2 д/(-2)5 + 42 + 52	Зд/70	^70 '
cos <р«0,1195, ф«83°ЗГ.
3.	Площадь грани А|А2Аз равна площади треугольника A|A2A3, которую
вычислим по формуле (3.29), использовав формулу (3.11) для модуля вектора
и координаты вектора [А,А2, А|Аз]:
S= 4-1 [А(А2, А.Аз] I = 4"л/192+(— 8)2+ 142 =^~ , S* 12,46.
4.	Объем пирамиды А|А2АзА4 найдем по формуле (3.35):
„ 1
V= -г-mod
о
6-4
2-4
7-4
9-6
10-6
5-6
4-5
10-5
9-5
= -г— mod
о
3
4
-1
121
6
-«т-
2
— 2
3
5
4
5.	Уравнение плоскости А,А3А3 как плоскости, проходящей через три точки
(см. (4.14)), принимает вид
х — 4 6-4	У —6 9-6	2 — 5 4-5	= 0,	х —4 2	У —6 3	2-5 — 1	= 0,
2-4	10-6	10-5		— 2	4	5	
73
19(х —4) —8(t/ —6) + 14(z —5) =0, 19х — Ъу+ 14г — 98 = 0.	(1)
6.	Уравнения прямой AtAt как прямой, проходящей через две точки
(см. (4.21)), запишутся так:
х— 4 у — 6 г— 5 х— 4 у —6 г —5
7 — 4 = 5-6 = 9—5 ’ “’3	— -1 ~	4 ’
или
х=4+3/, у = 6 — /, г = 5 + 4/.	(11)
7.	Угол между ребром AtAt и гранью Л|Л2Лз равен углу <₽ между плоскос-
стью (I) и прямой (II). По формуле (4.43) находим
119-3 —8-(—1) + 14-41	121
sin <р= —	 — --- _	— —-------,
x/TW ( -8)2 + 147 х/32+(-1)2 + 42	л/621 д/26
sin <р яг 0,9522, <р«72°13'.
8.	Уравнения высоты, опущенной из вершины At на грань А1А3А3, можно
записать как уравнения прямой, проходящей через точку At и перпендикулярной
плоскости (I), имеющей нормальный вектор п= (19, — 8, 14), который для
этой прямой будет направляющим вектором. Уравнения (4.19) в данном случае
принимают вид х = 7+ 19/, у = 5 — 8/, 2 = 9+14/.
4.8.	Цилиндрические поверхности. Поверхности
вращения
Цилиндрической называется поверхность, описываемая прямой (обра-
зующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся
параллельной исходному направлению (рис. 4.11). Уравнение цилиндрической
поверхности, образующие которой параллельны оси Ог, имеет вид
F(x, у} =0.
(4.48)
Особенность уравнения (4.48) состоит в том, что оно не содержит переменной г.
Если уравнение F(y, z)=0 определяет некоторую поверхность, то ею является
цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Ох. Если
уравнение F(x,z)=0 определяет некоторую поверхность, то ею является
цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Оу.
Поверхность, образованная вращением линии /
74
вокруг оси Ог (рис. 4.12), определяется уравнением
х^ЧШчМ	(4.50)
Поверхность, образованная вращением линии x=fi[y], z = f2(y) вокруг оси Оу,
имеет уравнение x2-j-г2 — f2(y) + f%(y).
Поверхность, образованная вращением линии p==qpi(jc;, z = ip2(x) вокруг
оси Ох, определяется уравнением г/2 + z2 = (х) ср2 (х)-
Поверхностью вращения второго порядка называется поверхность, полу-
ченная вращением линии второго порядка вокруг ее оси.
Эллипсоидом вращения называется поверхность, полученная вращением
эллипса вокруг опной из его осей. Уравнение эллипсоида вращения, полученного
вращением эллипса у2/Ь2 -\-г2 ] с2 = 1, х = 0 вокруг оси Ог, имеет вид х2/62 +
+ y2/*2 + z2/c2=l.
Однополостным гиперболоидом вращения называется поверхность, полученная
вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Однополостный гиперболоид
вращения, полученный вращением гиперболы у21b2 — г2/с2 — 1, х=0 вокруг оси Ог,
имеет уравнение
^2/62+i/762-z7c2=i.
Двуполостным гиперболоидом вращения называется поверхность, получен-
ная вращением гиперболы вокруг ее действительной оси. Двуполостный
гиперболоид, полученный вращением гиперболы z2/c2—у21Ь2=\, х=0 вокруг
оси Ог, определяется уравнением
х21Ь2^у21Ь2-г21с2=-\.
Параболоидом вращения называется поверхность, полученная вращением
параболы вокруг ее оси. Уравнение параболоида вращения, полученного
вращением параболы i/2 = 2pz, х = 0 вокруг оси Ог, имеет уравнение
Пример 4.23. Составить уравнение поверхности, полученной вращением
линии х2/а2 —z2/c2 = 0, у = 0 вокруг оси Ог.
Данные уравнения определяют пару пересекающихся прямых в плоскости
Охг, проходящих через начало координат (являющихся пересечением плос-
костей x/a — z/c — Q, х/а-\-г/с — 0 с плоскостью Oxz). Приведем эти уравнения
к виду (4.49):
х= ± (а/с)г, у=О.
В соответствии с уравнением (4.50) получаем
Последнее уравнение является уравнением конуса вращения, получающегося
при вращении указанных прямых вокруг оси Ог.
4.9.	Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая
алгебраическим уравнением второй степени относительно текущих координат
х, у, г.
Канонические уравнения поверхностей второго порядка:
х2/а2-\-у2/Ь2-\-г2/с2 — 1	(эллипсоид, рис. 4.13);	(4.51)
х2/а2 + {/2/62 —z2/c2= 1	(однополостный гиперболоид, рис. 4.14); (4.52)
75
х2/а2 + у2/62 —z2/c2 = — 1	(двуполостный гиперболоид, рис. 4.15);	(4.53)
x2/a2 + (/2/ft2-z2/c2 = 0	(конус, рис. 4.16);	(4.54)
x2/a2 + z/2/62 = 2z	(эллиптический параболоид, рис. 4.17);	(4.55)
х2/а2 —y2/Z>2 = 2z	(гиперболический параболоид, рис. 4.18);	(4.56)
x2/a2 + {/2/62=l	(эллиптический цилиндр, рис. 4.19);	(4.57)
х2/а2-У7б2=1	(гиперболический цилиндр, рис. 4.20);	(.4.58)
x2 = 2W	(параболический цилиндр, рис. 4.21);	(4.59)
х2/а2 —iy2/ft2 = 0	(пара пересекающихся плоскостей);	(4.60)
х2/а2=1	(пара параллельных плоскостей);	(4.61)
х2 = 0	(пара совпадающих плоскостей);	(4.62)
Рис. 4.14
Рис. 4.15
76
77
Замечание 1. Уравнение (4.51) при a=b=c—R принимает вид
x2 + t/2 + z2 = /?2	(4.63)
и определяет сферу радиуса R с центром в начале координат.
Общее уравнение второй степени относительно х, у, г может быть приведено
к одному из уравнений (4.51) — (4.63) или к одному из следующих уравнений:
x2/a2 + i/7ft2 + z2/c2=-l;	(4.64)
x7a2 + j/7&2 + z7c2 = 0;	(4.65)
x2/a2 + (/2/62= — 1;	(4.66)
x2/a2 + {/2/fe2 = O;	(4.67)
x2/a2= —1.	(4.68)
Уравнениям (4.64), (4.66) и (4.68) не удовлетворяют координаты ни одной
точки пространства; уравнению (4.65) удовлетворяют координаты единст-
венной точки 0(0,0,0); уравнению (4.67) удовлетворяют координаты точек,
лежащих на прямой х=0, 1/ = 0.
Замечание 2. Если уравнение
4х2 + Л</2 + Лг2 + Вх + С^ + Ог + Е = 0	(4.69)
(т. е. уравнение, у которого коэффициенты при квадратах координат равны
между собой, а коэффициенты при произведениях координат равны нулю)
определяет некоторую поверхность, то этой поверхностью является сфера.
Уравнение (4.69) в этом случае может быть приведено к виду
(x-a)2+(t/-5)2+(z-c)2 = /c.	(4.70)
Уравнение (4.70) является уравнением сферы радиуса R с центром в точке С (а. Л. с).
Прямые, целиком лежащие на некоторой поверхности, называются прямо-
линейными образующими данной поверхности.
Однополостный гиперболоид (4.52) имеет два семейства прямолинейных
образующих:
OfH'O ’(07)4'0)-
Гиперболический параболоид (4.56) также имеет два семейства прямо-
линейных образующих:
“OfO “OfO
’(f + fO ’Of) —
Пример 4.24. Определить вид и параметры поверхности второго порядка,
заданной уравнением 3x24-4i/24-6z2 — 6х-|- 16у — 36z 4-49 = 0.
Преобразуем это уравнение, выделив в левой части полные квадраты:
3(х2 — 2x4-1) 4-4(у24-4г/4-4) 4-6(г2 — 6z4-9) — 3— 16-54 4-49 = 0,
3(x-1)24-4(i/4-2)24-6(z-3)2 = 24.
Введем новые координаты по формулам (3.17):
Х=х-1, Г = {/4-2, Z = z —3,	(I)
78
тогда уравнение примет вид
3X2 + 4r2 + 6Z2 = 24, или Х2/8+K2/6 + Z2/4 = 1.
Полученное уравнение определяет эллипсоид (см. (4.51)), для которого
а = 2-\/2, Ь — с = 2. Центр эллипсоида находится в точке О|(1, —2,3);
в новой системе координат центром является точка с координатами Л = 0,
У=0, Z = 0. Из этих равенств и формул (I) находим х=1, у=—2, z = 3,
т. е. координаты точки О|.
Пример 4.25. Определить вид и параметры поверхности 2х2 + 3«/2— 6г2 —
— 8x + 6y+l2z— 1=0.
Преобразуем это уравнение:
2(х2-4х + 4)+3(г/2 + 21/+1)-6(г2-2г+1)-8-3 + 6-1=0,
2(х —2)2 + 3(i/+1 )2 —6(z—1 )2 = 6.
Переходя к новым координатам по .формулам Л=х — 2, Y—y-f-1, Z = z—1,
получаем
2Z2 + 3y2-6Z2 = 6, или Х2/3+У2/2 —Z2/l = 1.
Это уравнение определяет однополостный гиперболоид (см. (4.52)), для
которого а = -\/3, Ь = ^/2, с=1, с центром в точке Oi(2, —1, 1).
Пример 4.26. Доказать, что уравнение г=ху определяет гиперболический
параболоид.
Введем новые координаты по формулам х = Х—У, y = X~i~Y, z = Z, тогда
уравнение примет вид
г=(Х-У)(Х+У), Z = X2—Y2.
Полученное уравнение является уравнением вида (4.56), для которого
2а2=1, 2б2=1; оно определяет гиперболический параболоид.
Пример 4.27. Доказать, что уравнение х2 = уг определяет конус.
Переходя к новым координатам по формулам х = Х, y = Z—Y, z = Z+Y,
получаем Л2= (Z-У) (Z+У), X2 = Z2-Y2, или X2 + Y2-Z2 = 0.
Полученное уравнение является уравнением вида (4.54), для которого
a = b = c= I, оно определяет конус.
4.10.	Некоторые другие поверхности
В плоскости Oxz (у = 0) задана линия Л своими параметрическими
уравнениями
x = f(u), z = <p(u),	(4.71)
не пересекающая ось Ог. Рассмотрим поверхность, полученную вращением
этой линии вокруг оси Ог.
Параметрические уравнения рассматриваемой поверхности вращения имеют
вид
x = /(u) cos v, y = f(u) sin v, z = <p(u).	(4.72)
Top — поверхность, полученная вращением окружности вокруг оси, лежащей
в плоскости данной окружности и не пересекающей ее. Эта поверхность
напоминает спасательный круг, камеру автомобильной шины (рис. 4.22).
Рассмотрим тор, полученный вращением вокруг оси Oz окружности,
заданной параметрическими уравнениями
x = a~t-b cos и, у = 0, z = b sin и	(b<a).
Эта окружность лежит в плоскости Oxz (у = 0) и определяется уравнениями
вида (4.71), .где Ци) —а + Ь cos и, <p(u)=ftsinu.
79
В соответствии с (4.72) получаем параметрические уравнении тора
х— (a-\-b cos u) cos v, у= (a-{-b cos и) sin v, г — b sin и.	(4.73)
Катеноид — поверхность, полученная вращением цепной линии вокруг ее
оси (рис. 4.23). Рассмотрим катеноид, полученный вращением вокруг оси Ог
цепной линии, заданной параметрическими уравнениями
x=ach(u/a), у = 0, г = и.
Эта линия расположена в плоскости Охг (у = 0). Она определена уравнениями
вида (4.71), где f (и) =а ch (и/a), <р(и)=и. В соответствии с (4.72) находят
параметрические уравнения катеноида
x=ach(u/a) cos v, у=а ch(u/a) sin v, г —и.
Исключая из этих уравнений параметры и, v, получаем
^+^=(а/2)(ег/‘1 + е-^).	(4.74)
Катеноид является единственной минимальной поверхностью среди поверх-
ностей вращения. Минимальные поверхности возникли при решении следующей
задачи: среди всех поверхностей, проходящих через данную замкнутую
пространственную линию, найти ту, которая имеет минимальную площадь
поверхности, ограниченной данной линией. Отсюда происходит и название
такой поверхности. Бельгийский физик Плато предложил простой эксперимен-
тальный способ получения минимальных поверхностей посредством мыльных
пленок, натянутых на проволочный каркас.
Катеноид обладает следующим свойством. Рассмотрим две окружности,
полученные пересечением катеноида (4.74) соответственно плоскостями z =—с,
г = с. Любая поверхность, края которой совпадают с этими окружностями,
имеет площадь большую, чем часть катеноида, расположенная между указан-
ными окружностями. Мыльная пленка, соединяющая данные окружности под
действием сил внутреннего натяжения, принимает форму катеноида.
Геликоид — поверхность, описанная прямой, которая вращается с постоянной
угловой скоростью вокруг неподвижной оси, пересекает ось под постоянным
углом а и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью
вдоль этой оси. При а = 90° геликоид называют прямым (рис. 4.24, а), при
а=#=90° геликоид называют косым (рис. 4.24,6).
Рассмотрим прямой геликоид, описанный прямой, перпендикулярной оси Ог
(см. рис. 4.24). Пусть М (х, у, г)—произвольная точка поверхности, Р— ее
проекция на плоскость Oxy, Q, L — проекции точки Р соответственно на
оси Ох, Оу. Обозначим через и расстояние точки М до оси Ог
(IMAM = IОР\ =и), а через и —угол, образуемый отрезком ОР с осью Ох.
Параметрические уравнения геликоида имеют вид
80
x=u cos v, у = и sin v, z — av,
где a — некоторая постоянная.
Наглядное представление о положении отдельных прямых (лучей) при
v = const дают ступени винтовой лестницы.
Представление о геликоиде можно составить, например, наблюдая движенце
винта вертолета при его вертикальном взлете. Отметим, что первоначально
Рис. 4.24
Рис. 4.25
вертолеты называли геликоптерами, винтокрылыми. Первый эскиз геликоида
был нарисован еще Леонардо да Винчи
Разнообразные геликоиды широко применяются на практике. Это объясня-
ется следующим: геликоид образован сложением двух самых распространенных
видов равномерного движения — прямолинейного и вращательного. Вследствие
этого геликоид можно применить там, где необходимо перейти от одного
из указанных видов движения к другому, что имеет место практически в любой
машине.
Псевдосфера — поверхность, полученная вращением трактрисы вокруг ее
асимптоты (рис. 4.25). Рассмотрим псевдосферу, полученную вращением вокруг
оси Ог трактрисы
х = а sin и, у = 0, г = а(1п tg(u/2) +cos и).
Эта трактриса лежит в плоскости Охг (у = 0), ось Ог служит ее асимптотой.
Линия задана параметрическими уравнениями вида (4.71), где f(u)=a sin и,
<p(u) =a(lntg(u/2) + cos и). В соответствии с (4.72) получены параметрические
уравнения псевдосферы
х=а sin и cos v, у=и sin и sin v, z = a(ln tg(u/2) + cos u).
Важность псевдосферы состоит в том, что на ней частично реализуется
плоская неевклидова геометрия Лобачевского. Этот удивительный факт установил
итальянский математик Эудженио Бельтрами в 1868 г., уже после смерти
Н. И. Лобачевского.
АЛГЕБРА
Глава 5
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
5.1.	Матрицы. Основные определения
Матрицей называется система т-п чисел, расположенных в прямо-
угольной таблице из т строк и п столбцов. Числа этой таблицы называются
элементами матрицы. Обозначения матрицы:
' ан	(3|2 .	. Gin	/flu	G12 	• d\n \	d\i	G|2 •	 d | n
^21	<*22 •	• d2n	,	G21	a22 -	d2n I i	G2I	Й22 •	• d2n
. dm 1	С1т2 •	• dmn .	\O,„|	dm2 .	• dmn/	dm 1	dm2 •	• dmn
Элементы a,i, а<2, ... , ain составляют г-ю строку (» = 1, 2..т),	элементы
ait, a-2k, ... , amk составляют k-й столбец (k= 1,2, ... , п); ац, — элемент, принадле-
жащий <-й строке и k-му столбцу матрицы, числа i, k называют индексами эле-
мента. Матрицу, имеющую т строк и п столбцов, называют матрицей размеров
тХп (читается т на п). Употребляются и более краткие обозначения матрицы
размеров тХп:
[Щй] таг (Пц) тп, ||Яд||*пл*
Матрицу обозначают также одной заглавной буквой, например
Если необходимо отметить, что матрица А имеет т строк и п столбцов, т. е.
необходимо указать ее размеры, то пишут А тХ„ или Ат„.
Две матрицы Аип=(О;*)т„, Вм= (Ьц,)ря называются равными, если р = т,
ц = п и a.ik = btk (i = 1, 2, ... , щ; k= 1, 2, ... , n); другими словами, если они одина-
ковых размеров и их соответствующие элементы равны.
Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной матрицей, или
матрицей-строкой. Строчная матрица имеет вид
(а, а2 ... а„].
Матрица
02	,
. а,„.
имеющая один столбец, называется столбцовой матрицей, или матрицей-
столбцом.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Нулевую
матрицу обозначают буквой О:
83
 о о ... о
0= о о ... о
to 0 ... QJ
Квадратной называется матрица, у которой число строк равно числу столб-
цов (m = n), т. е. матрица вида
ан	а,2	...	а<п
021	022	...	О2п
ОЛ1	О„2	•••	Опп
Порядком квадратной матрицы называется число ее строк.
Будем говорить, что элементы ап, агг, ... , о„„ квадратной матрицы образуют
ее главную диагональ, а элементы а,„, a2„_i, ,o„i — вторую диагональ.
Квадратная матрица называется симметрической, если а,* = оь, т. е. равны ее
элементы, симметричные относительно главной диагонали.
Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы,
не принадлежащие главной диагонали, равны нулю, т. е. матрица
diag(aH, а22, ... , а„„) =
ап
О
О ... О ’
022 ••• О
О ... Опп -
Скалярной называется диагональная матрица, у которой о„ = с (c = const)
при ( = 1,2,... , п.
Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы
главной диагонали равны единице. Единичную матрицу обозначают буквой Е:
’ 1	0	...	О '
Е=	О	1	...	О
.0	0	...	1 -
Треугольной называется квадратная матрица, все элементы которой,
расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают
соответственно верхнюю и нижнюю треугольные матрицы:
"а,.	Д12	0|3 •	. а]п -	On		0	0 .	. 0 
0	О22	Й23 •	• 0-2П		021	022	0 ..	. 0
0	0	азз •	 а3п		031	032	033 -	. 0
. о	0	0 .	• @пп .		. 0л 1	0«2	0л3 •	• 0ЛЛ _
Матрица произвольных	размеров		вида			
	 ан	Ц|2	а,з ..	0), .	. а,„-	
	0	О22	о2з ..	а2г .	 о2п	
А =	0	0	033 	Озг .	 Озп	(5.1)
	0	0	0 ..	а„ .	 а,п	
	0	0	0 ..	. 0 .	.. о .	
где а„=/=0 ((= 1, 2, ... , г), называется квазитреугольной (ступенчатой или тра-
пециевидной) .
84
Матрица Ат, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки
столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно А.
Если А — матрица размеров тХп, то Дт имеет размеры п\т:
	ап а,2 ... а,„		й||	021 ••• Ami
д =	Ог] O22 ... O2n	, Дт=	Д12 fl22 ••• flm2
	. Om| Om2 ••• Omn .		.А|л fl2rt • • • fl/nn .
		r i	8-i
Например, если Д =	_Г 1 3 4 ]	дт= 3	6 ‘
	L 8 6 7 J ’		
		L 4	7 J
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобра-
зования: 1) умножение строки (или столбца) матрицы на число, отличное
от нуля; 2) прибавление к элементам строки (столбца) соответственных эле-
ментов другой строки (столбца), умноженных на любое число; 3) перестановка
местами двух строк (столбцов).
Термин <матрица> был введен Д. Сильвестром в 1851 г.
5.2.	Линейные действия над матрицами
Линейными действиями над матрицами называются сложение и вычи-
тание матриц, умножение матрицы на число. Сложение и вычитание определя-
ются только для матриц одинаковых размеров.
Суммой двух матриц Д = (а«)т„, В=(5,*)т„ называется такая матрица
С= (сц)тп, что
Cik = a.ik + btk (<=1,2.т\ k — \ ,2, ... , п),	(5.2)
т. е. матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов
матриц слагаемых. Сумма двух матриц А и В обозначается А + В.
Разностью двух матриц Д=(а,4)т„, В=(Ь^)„„ называется матрица D =
= (du,)mn, для которой
dik = aik — Ьц, (i= 1, 2, ... , m; 1, 2.n).	(5.3)
Произведением матрицы Д=(а,»)т„ на число а (или числа а на матрицу Д)
называется матрица В = а(Ьи,)для которой
Ьц — аац (i= 1, 2,... , т; /г = 1, 2,..., п),	(5.4)
т. е. матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число а.
Произведение матрицы А на число а обозначается Аа (или аД).
Матрицу ( — 1)Д называют матрицей, противоположной матрице Д, и обозна-
чают — А.
Замечание. Разность А — В двух матриц можно определить так:
Д-В=Д+(-В).	(5.5)
Линейные действия над матрицами обладают следующими свойствами:
1) Д + В=В + Д; 2) (ДД-В)+С = ДД-(В + С); 3) ДД-О=Д; 4) ДД-(-Д)=О;
5) 1-Д = Д; 6) а(М) = («₽)Д;-7) а(Д +В) =аД Д- аВ; 8) (аД- ₽)А = <хД Д- ₽Д,
где Д, В, С — матрицы одних и тех же размеров; О — нулевая, матрица;
( —Д) матрица, противоположная матрице Д; а, 0 — любые действитель-
ные числа.
Пример 5.1. Найти сумму и разность двух матриц
	' 1 3		8 2
д =	2 5	, B =	6 3
	.6 4 .		. 1 5.
85
В соответствии с формулами (5.2) и (5.3) получаем
л + в=
П
1+8 3+2
2+6 5+3
.6+1 4 + 5
ример 5.2.
1-8
2-6
6—1
9
8
7
5
8
9
Л-В =
5.3.	Произведение матриц. Многочлены
от матриц
Произведение определяется для квадратных матриц одного и того же
порядка, а также для прямоугольных матриц, у которых число столбцов мат-
рицы множимого равно числу строк матрицы множителя.
Произведением матрицы Лт„= (ajt.)m„ на матрицу Bni=(bn,)„i называется
такая матрица Cm/=(c,»)ml, для которой
п
Clh — О1|5|« + й12б2*+ +П/п&п4= X a‘iblh'	(5.6)
/=1
т. е. элемент Си матрицы Ст1 равен сумме произведений элементов i-й строки
матрицы А на соответствующие элементы k-ro столбца матрицы B„i. Матрица
Ст/ имеет т строк (как и матрица 4) и / столбцов (как и матрица В„(). Произ-
ведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.
Замечание. Из того, что матрицу А можно умножить на В, не следует,
что матрицу В можно умножать на А. В общем случае ЛВу=ВЛ. Если АВ — ВА,
то матрицы Л и В называются перестановочными или коммутативными.
При умножении матриц единичная матрица Е играет роль единицы, а нуле-
вая матрица О — роль нуля, так как АЕ=ЕА=А, АО = ОА =0.
Умножение матриц обладает следующими свойствами. Если имеют смысл
соответствующие действия, то выполняются равенства: 1) (ЛВ)С=Л(ВС);
2) а(ЛВ) = («Л)В; 3) (Л + В)С = ЛС + ВС; 4) С(Л+ В) =СЛ+ СВ, где а —
любое действительное число.
Отметим, что (ЛВ)'=В'Л', где штрихом обозначена матрица, транспони-
рованная данной.
Целой положительной степенью Л* (k> 1) квадратной матрицы Л назы-
вается произведение k матриц, каждая из которых равна Л, т. е. Л‘=Л ХЛ X... X А.
k раз
Матрица Л‘ имеет тот же порядок, что и матрица Л. Нулевой степенью квадрат-
ной матрицы Л(Л=#0) называется единичная матрица того же порядка, что
и Л, т. е. AQ — E. Первой степенью Л1 матрицы Л называется сама матрица Л,
т. е. Л'=Л. Многочленом (или полиномом) степени k (k—целое неотрицатель-
ное число) от квадратной матрицы Л называется выражение вида
а&Л+ я* -1 Л* 1 + ...+<12Л2 + <2|4 +
где a, (i = 0, 1,2, ... , k)—любые числа, причем а4#=0. Обозначим многочлен
86
от матрицы А через P(A), тогда по определению
Р (А) — UhAkQu — iA* *+... + о2А2+о1А +ОоА°,
или
P(A)=aMHafe-i4‘-l + ... + a242 + a14 + ao£.	(5.7)
Из определения следует, что многочлен от матрицы можно получить, если
в обычный многочлен Р(х) = aftxk + at_|Xfe" 1 -b--- + aix + ao вместо х подставить
квадратную матрицу (и учесть, что А°=Е).
Пусть дан многочлен Р(х). Если Р(А) является нулевой матрицей,
т.е. Р(А) — О, то матрица А называется корнем многочлена Р(х), а многочлен
Р(х) — аннулирующим многочленом для матрицы А.
Пример 5.3. Найти произведения АВ и ВА матриц
Обе матрицы являются квадратными матрицами одного и того же порядка
(второго), поэтому можно получить произведения АВ и ВА. Применяя формулу
(5.6) для случая т — п = 2, п = 1 = 2, получаем
Г 1	21	Г -5	71	Г	1 ( —5)+2( —6) 1-7 + 2-81 =Г	-17	231	.
L3	41’1—6	8 J — L	3( —5)-Ь4( — 6)	3-7 + 4-81	L	-39	53J	’
Г	-5	71 Г	1 21	Г (-5)1+7-3.	(-5)2 + 7-41	=Г 16	181
L	-6	eJ "1з 4 J	~	L ( —6) 1+8-3	(-6)2 + 8-4j	L 18	20J
Отметим, что АВ=/=ВА, т.е. результат умножения зависит от порядка мно-
жител ей.
Пример 5.4. Даны две матрицы
Найти произведение АВ. Можно ли получить произведение ВА?
Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В (ширина матрицы
А равна высоте матрицы В), поэтому произведение АВ определено. Умножая
строку матрицы А на столбец матрицы В, по формуле (5.6) получаем
3-4+ 1 -5 + 2-6+ (-4)8
АВ= 6-4 + 5-5 + 7-6+(-8)8
3(-1) + 1(-2)+2(-3) + (-4)(-7)
6(-1)+5(-2)+7(-3) + (-8)(-7)
9.4 + 0-5+ 1 -6+ (-2)8
' 12 + 5+12-32
9(-1)+0(-2) + 1(-3) + (-2)(-7)
— 3 — 2 — 6 + 28 I [—3 17
= 24 + 25 + 42 — 64
36 + 0 + 6- 16
— 6-10-21+56 =	27 19
— 9 + 0—3+14	26	2
Произведение ВА не определено, так как число столбцов матрицы В не равно
числу строк матрицы А.
Пример 5.5. Найти многочлен Р(А), если Р(х)=х2—Зх + 5 и А =
Г 1 -11
L 2 -31 '
В соответствии с определением многочлена от матрицы (см. формулу (5.7))
получаем Р(А) = А2 — ЗА + 5Е или
Р(А)—-Г 1
L 2
87
1 "‘Н1
2 -3j L 2
— 1 21 Г
— 4 7 J L
5.4.	Определители и их свойства
Определителем квадратной матрицы второго порядка
Л =
Oil
021
012
022
называется число, равное 0^022 — 012021 и обозначаемое символом
Oil 0|2
021	022
т. е.
Он
021
О|2
022
= О||П22 — 012021.
(5-8)
Числа оц, Oi2, Ог,, 022 называются элементами определителя матрицы второго
порядка. Каждый элемент определителя обозначен буквой о с двумя индексами;
первый (1) обозначает номер строки, второй (2)—номер столбца, на пересе-
чении которых находится соответствующий элемент (например, элемент 021
принадлежит второй строке и первому столбцу определителя).
Определитель матрицы называют также детерминантом. Для определителя
матрицы употребляются следующие обозначения:
|Л|, det Л, det (а,*), А.
Определителем квадратной матрицы третьего порядка
	а.	012	Я|3
А =	021	022	023
	O31	О32	Пзз
называют число
011	О|2	013
021	022	023
031	Оз2	Озз
о 11 ОггОзз + а 12O23O31 + Ог । ОзгО, з —
— а|3а220з1 — O12O21O33 — ОгзОзгОп.
(5.9)
Заметим, что каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части
этой формулы представляет собой произведение элементов определителя, взя-
тых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца. Этому
произведению приписывается соответствующий знак. Чтобы запомнить, какие
произведения следует брать со знаком плюс, какие со знаком минус, полезно
правило, схематически изображенное на рис. 5.1.
Минором какого-либо элемента определителя называется определитель,
Рис. 5.1
88
полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым
принадлежит данный элемент. Минор элемента а» обозначим Ми,.
Алгебраическим дополнением элемента а,* определителя называется его
минор, взятый со знаком ( — 1)'+‘. Алгебраическое дополнение элемента oit будем
обозначать через A,s. В соответствии с определением А,*= (—I)‘+*Af,».
Определители матриц второго и третьего порядка короче называют опре-
делителями второго и третьего порядка.
Свойства определителей:
1)	определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими
столбцами;
2)	при перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет
лишь знак;
3)	определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю;
4)	множитель, общий для элементов некоторой строки (столбца), можно
вынести за знак определителя;
5)	определитель равен нулю, если все элементы некоторой строки (столбца)
равны нулю;
6)	определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца)
прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), предварительно
умножив их на один и тот же множитель;
7)	определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столб-
ца) на их алгебраические дополнения._
Например, det А = ацА||-|-а12А|2 + а1.зА|з, т. е.
аи Oi2 о,3
__„	| 022	023 |	| 021	023 I	. I а21	«22 |	. /сщч
021	022 023 —вН	—O|2	I +013	(5.10)
| 032	Озз |	| 0з1	Озз [	| Оз|	032 |
Оз| 032 Озз
Эта формула выражает разложение определителя третьего порядка по элемен-
там первой строки.
По аналогии с формулой (5.10) вводятся определители четвертого порядка:
Он 0|2 ... 01л п
Я21 022 ... а2п — £ ( —1)1 + *аиЛ1|*,	(5.11)
............. fc=l
Ont Оя2  Опп
ИЛИ
п
detA = £ auAit,
* = i
где А и — алгебраическое дополнение элемента он, п=4; определители пятого
порядка и т. д.
Теорема 5.1 (теорема замещения). Суммы произведений произвольных
чисел bi, Ьг,...,Ь„ соответственно на алгебраические дополнения элементов
некоторого столбца (строки) матрицы порядка п равны определителю матрицы,
которая получается из данной заменой элементов этого столбца (строки)
числами Ь\, Ь?...Ь„.
Теорема 5.2 (теорема аннулирования). Сумма произведений элементов
одного из столбцов (строк) матрицы на соответствующие алгебраические допол-
нения элементов другого столбца (строки) равна нулю.
Теорема 5.3. Определитель произведения двух квадратных матриц
А и В одного порядка равен произведению определителей перемножаемых
матриц:
det (А В) = det A-det В.
Название «детерминант:» ввел Гаусс. Современное изложение теории опре-
делителей дал Коши. Обозначение определителя в виде квадратной таблицы
чисел с двумя вертикальными чертами ввел Кэли в 1841 г.
89
к:
Пример 5.7. Вычислить определитель Д =
В соответствии с формулой (5.8) получаем Д = 7-8— 6-1=50.
I4273 3273
Пример 5.8. Вычислить определитель
4274 3274
Умножая первую строку на — 1 и прибавляя ко второй, находим
I 4273
| 4274
3273 I _ | 4273
3274 | ~ |	1
3273 I
I =4273 — 3273 = 1000.
Пример 5.9. Вычислить определитель третьего порядка
Д =
1
2
3
2
6
5
— 4
-1
-8
тремя способами: 1) по определению; 2) по формуле (5.10); 3) преобразованием
его с помощью свойств.
1) Д=Ь6(-8)+2(-1)3+2-5(-4)- (-4)6-3 —2-2( — 8)-1-5(-1) =
= 15.
2)4-'|s	-в| -4 |з ®|
х ( —8) = 15.
3) Умножая первую строку на (—2) и прибавляя ко второй, затем умножая
первую строку на (—3) и прибавляя к третьей, получаем
Д =
1	2 —4
0	2	7
0-1	4
Разлагая этот определитель по элементам первого столбца, находим
4- 1-1 II
Пример 5.10. Вычислить определитель матрицы
Г 1 1
1 1 
8 3	. * .
, т. е. det Л=
1 2
4 1 -
Применяя формулу (5.11), получаем
	1	8	3
det А =	2	1	2
	2	4	1
1111
2 18 3
3 2 12
4 2 4 1
2	8	3	2	1	3	2	1	8
312 +	322	— 321
4	4	1	4	2	1	4	2	4
Вычисляя определители третьего порядка, находим det ,4=27 — 50+(— 5) —
— ( — 12) = —16.
Замечание. Этот определитель можно вычислить путем его преобразо-
ваний па основании свойств:
90
1111
2 18 3
3 2 12
4 2 4 1
10	0	0
2-161
3 -1 -2 -1
4—2	0—3
-1	6	1
-1 —2 -1
— 2	0	-3
-1	6	1
О -8 —2
О -12 -5
= (-1)
-8
— 12
—2
— 5
= -16.
5.5.	Обратная матрица
Матрицей, обратной квадратной матрице
матрица А~', удовлетворяющая равенствам
АА~'=А~'А—Е,
А, называется квадратная
(5.12)
где Е — единичная матрица.
Квадратная матрица называется невырожденной или неособенной, если
ее определитель отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю,
то матрица называется вырожденной или особенной.
Всякая невырожденная квадратная матрица
	"Оц	О|2 •	• О| п
А =	021	022 .	• О2л
	Ол|	Оп2 •	. О пл
(5.13)
имеет единственную обратную матрицу
’ ^4ii Я21 •••	“
А~ '=_____!___ Я,2 Агг ... Ап?
det Я....................
.Л in А 2п ... Апл J
(5.14)
где Ат — алгебраическое дополнение элемента а,* матрицы А. Отметим, что
алгебраические дополнения элементов каждой строки матрицы А в формуле
(5.14) записаны в столбец с тем же номером.
В случаях п—2 и п = 3 формулы (5.13) и (5.14) принимают соответствен-
но вид
	я =	Он 021	О|21 022 J	, А~	1 Г	4)1 /412	^21 1 ^22 J	
					det А [			
	О| 1	012	013 .'			411	421	Я31
я=	021	022	023	, А~	I	4(2	422	Я 32
	031	аз2	ОзЗ			А । з	Ац	Язз
(5.15)
(5.16)
Теорема 5.4. Произвольную невырожденную матрицу А с помощью
элементарных преобразований можно привести к единичной матрице Е:
А-+Е.
(5.17)
Т е о р е м а 5.5. Если к единичной матрице порядка п применить те же
элементарные преобразования только над строками и в том же порядке,
с помощью которых невырожденная квадратная матрица А порядка п приво-
дится к единичной, то полученная при этом матрица будет обратной матрице А.
Эта теорема дает способ нахождения матрицы, обратной данной, с помощью
91
элементарных преобразований. При этом удобно записывать матрицы Л и £
рядом, отделяя их вертикальной чертой (рассматривать расширенную матрицу
(Л | £)), и одновременно производить элементарные преобразования над строками
матриц Л и £. В результате преобразования строк матрица (Л|£) преобра-
зуется в матрицу (£|Л”’):
(Л|£) — (£|Л~').	(5.18)
Этот метод вычисления обратной матрицы называют методом Жордана.
Замечание 1. Теорема 5.5. верна применительно к элементарным
преобразованиям над столбцами. Когда преобразования проводятся над столб-
цами, то матрицу £ располагают под матрицей Л, рассматривают расширенную
Г А 1
матрицу -р- , тогда
(5.19)
Замечание 2. Если в соотношении (5.18) на место единичной матрицы
справа от вертикальной черты поставить матрицу В, то в результате соответст-
вующих преобразований получим матрицу А~'В:
[Л|В][£|Л-‘В].	(5.20)
Замечание 3. Если в соотношении (5.19) на место единичной матрицы
под горизонтальной чертой поставить матрицу В, то в результате соответствую-
щих преобразований получим матрицу ВЛ-1:
Г Л 1 Г £
L В J "*1 ВЛ'1
Обратная матрица используется при решении матричных уравнений вида
АХ=В, YA = B,	(5.22)
где Л, В — невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка.
Эти уравнения имеют соответственно решения
Х=Л~'В, У=ВЛ“'.	(5.23)
Матрицы А~'В и ВЛ-1 можно найти с помощью элементарных преобразо-
ваний в соответствии с соотношениями (5.20) и (5.21).
Пример 5.11. Найти матрицу, обратную матрице
(5.21)
A
Так как det Л = 2, т. е. det Л=#=0, то матрица Л имеет обратную. Поскольку
Лц=3, Л,2=—2, Л2) = —5, Л22 = 4, то по второй из формул (5.15) находим
л-'=-!-Г 3 ~5
2 I —2	4
1,5
-1
— 2,5
2
П p и м e.p 5.12. Найти матрицу, обратную матрице
2
7
15
1
3
6
Л =
3
10
20
Вычислим
определитель данной матрицы:
2
7
15
3
10
20
— (2—3) = 1.
1
3
6
0
1
3
1
3
6
о
1
2
92
Так как det А #=0, то матрица А имеет обратную матрицу. Найдем алгебраи-
ческие дополнения элементов матрицы А:
Ч М“-лМ.е M.S tl-’-
Л2, = _ |б 201 =~2' Ли= | 15 201 =-5> Л23=~ । 15 б| =3’
Лз,= |з io| =1> Лз2=_ I? io! =’’ Лзз= |? з| =-1'
По второй из формул (5.16) находим
10 — 2	1
10 -5	1
-3	3	—1
0-2	1 '
10 -5	1
— 3	3—1
Пример 5.13. С помощью элементарных преобразований найти матрицу
А~', обратную матрице
111-
1 2 2
2 2 1
Вторая матрица получена из первой в результате следующих элементарных
преобразований: элементы первой строки умножены на ( — 1) к сложены с эле-
ментами второй строки, элементы первой строки умножены на (— 2) и сложены
с элементами третьей строки.
Умножив последнюю строку второй матрицы на (— 1), получим третью
матрицу (матрица А приведена к верхней треугольной форме).
Умножая третью строку на ( — 1) и прибавляя ее ко второй, а затем
к первой строке, получаем четвертую матрицу. Умножая ее вторую строку на (— 1)
и прибавляя к первой строке, получаем пятую матрицу: слева от черты — еди-
ничная матрица, справа — матрица А~‘, обратная исходной матрице А.
Замечание. Элементарные преобразования производятся в два этапа:
1) матрица А преобразуется к верхней треугольной форме с единичными
диагональными элементами (путем преобразования строк «сверху вниз»); 2) по-
лученная матрица преобразуется к единичной (путем преобразования строк
«снизу вверх»).
93
Пример 5.14. Даны две матрицы
А =
3
2
. 1
1
2
1
2
3
В =
6
6
8
2
1
4
Найти матрицу X, удовлетворяющую уравнению
Это уравнение разрешимо, так как det Л#=0, его решение Х = А~'В (см. пер-
вую из формул (5.23)). Матрицу А~'В найдем с помощью элементарных пре-
”	"	Составляем
АХ —В.
образований в соответствии с соотношением (5.20).
преобразуем ее,
приводя матрицу А к единичной:
матрицу
MISJ,
2
— 3
-5
3
—4
— 8
-5
8
-10
-18
2
3
5
-1
4
3
I
2
3
4
-8
3
2
-8
2 ;
8
4
18
— 13
8
8
— 18
8 -
4 -
2
4
6
-13
Отсюда следует, что
-1
О
А~'В = Х =
-1
О
-1
1
3
2
2
2
3
6
6
8
4
О
О
2
— 2
5
О
О
О
О
О
5
О
О
2
1
О
3
2
2
О
4
3
2
3
2
8
4
4
3
О
О
2
О
О
О
О
5
2
— 1
О
О
О
О
о
1
2
О
О
1
2
Называя шагом переход от одной
пояснения к вы-
и третью строки
матрицы к другой, дадим
полненным преобразованиям. I шаг — поменяли местами первую
(чтобы оц = 1). II шаг — первую строку умножили на —2 и прибавили ко второй;
первую строку умножили на —3 и прибавили к третьей. III шаг — третью строку
умножили на —1 и прибавили ко второй. IV шаг — вторую строку умножили
на 1/2. V шаг — вторую строку умножили на 5 и прибавили к третьей. VI шаг —
третью строку умножили на 1/2. VII шаг — третью строку умножили на —3
и прибавили к первой; третью строку умножили на —2 и прибавили ко второй.
VIII шаг — вторую строку умножили на —2 и прибавили к первой.
5.6.	Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу размеров тХл
Оц ai2 ... ащ
Д =	021	022 ... О2л
, Urn I О/п2 ••• Отл -
94
Выберем в ней произвольно s различных строк и s различных столбцов, при-
чем 1 <s^min(m, п), где min(m,n)—меньшее из чисел тип. Элементы,
стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу по-
рядка s. Определитель этой матрицы называется минором порядка s матрицы
А. Например, если дана матрица
[“7—3 16 5]
2 —6 3 8 О',
4 —5 9 I 2 i
-1
то, взяв первую и третью строку, третий и пятый столбец, получим матрицу
второго порядка и ее определитель
Г 1 5] , | 1 5 | = —43.
I 9 2 J ' I 9 2 |
Этот определитель является минором второго порядка для исходной матрицы.
Аналогично можно получить другие миноры второго порядка, а также миноры
третьего порядка. Некоторые из миноров могут оказаться равными нулю.
Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отлич-
ных от нуля. Ранг матрицы А обозначают одним из символов: rA, rang А, г.
Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг ее считается равным нулю.
Из определения ранга матрицы получаем следующие утверждения.
1.	Ранг матрицы выражается целым числом, заключенным между 0 и
меньшим из чисел т, п, т. е. 0^ rtC min (m, п).
2.	Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица нулевая.
3.	Для квадратной матрицы n-го порядка г = п тогда и только тогда,
когда матрица невырожденная.
При нахождении ранга матрицы можно пользоваться свойствами миноров.
Если все миноры порядка k данной матрицы равны нулю, то все миноры бо-
лее высокого порядка также равны нулю. Таким образом, если среди миноров
порядка k данной матрицы есть отличные от нуля, а все миноры порядка
^-|-1 равны нулю или не существуют, то r = k.
Отметим некоторые очевидные свойства ранга матрицы.
1. Ранг матрицы, полученной из данной транспонированием, равен рангу
исходной матрицы.
2. Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть или приписать нулевую
строку (т. е. строку, все элементы которой равны нулю) или нулевой столбец.
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью
элементарных преобразований матрицу можно привести к квазитреугольной
форме. Ранг квазитреугольной матрицы (5.1) равен г, поскольку ее минор
с главной диагональю ац,аи,>... ,а„ равен произведению аиа22...а,г#=0, а все
миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).
Пример 5.15. Найти ранг матрицы
2 5 0 0
А= 3700.
0 0 0 0
Среди миноров второго порядка этой матрицы имеется один, отличный
от нуля:
2
3
5
7
= -1=^0.
Все миноры третьего порядка равны нулю. Следовательно, ранг данной
матрицы равен двум (г = 2).
Пример 5.16. Найти ранг матрицы
1
2
1
8
А =
-1	-1
3	4
6	5
1	1 .
— 1
95
Применяя элементарные
квазитреугольной форме:
преобразования, приводим данную матрицу
к
 1	1	-1	— 1 '		•1 1	-1	-1 ‘		 1	1	— 1	-1 ’
1	2	3	4		0	1	4	5		0	1	4	5
8	7	6	5	—►	0 —1	14	13	—►	0	0	18	18
.-1	— 1	1	1		.0	0	0	0 .		. 0	0	0	0 .
(Вторая матрица получена из первой путем поочередного умножения пер-
вой строки на (—1), (—8), 1 и прибавления ко второй, третьей и четвертой
строкам; третья матрица получена из второй путем прибавления второй
строки к третьей.)
Ранг последней матрицы равен трем, так как имеется отличный от нуля
минор третьего порядка этой матрицы
11 -1
О 1	4
0 0 18
= 1 • 1 • 18= 18=#=0,
а определитель самой матрицы (определитель четвертого порядка) равен ну-
лю (как содержащий нулевую строку). Следовательно, ранг исходной матри-
цы равен трем (г = 3).
Глава 6
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
6.1.	Линейные системы. Основные
определения
Системой уравнений называют множество уравнений с п неизвест-
ными (п ^2), для которых требуется найти значения неизвестных, удовлет-
воряющих одновременно всем уравнениям системы.
Системой т линейных уравнений с п неизвестными Х|,Хг,... ,хп или
линейной системой, называется система вида
Ди Х| + а|2Хг + ...-\-а\пхп = Ь\,
#21 X} 4- (122х2 4" ••• 4” (12пХп = />2,
(6-1)
От[Х\ 4'ат2*г4- ••• 4“ ^тпХп — Ь т->
где аи,, Ь,— числа. Числа a,* (z= 1,2,... , m; k = 1, 2,... , п) называются коэф-
фициентами, 6,(i — 1,2, ... , т) —свободными членами. Коэффициенты обозна-
чены буквой а с двумя индексами i и k: первый (/) указывает номер уравне-
ния, второй (k) — номер неизвестной, к которой относится данный коэффи-
циент. Число уравнений т может быть больше, равно или меньше числа
неизвестных п.
Линейная система называется неоднородной, если среди свободных членов
имеются отличные от нуля. Если все свободные члены равны нулю, то линей-
ная система называется однородной. Однородная линейная система имеет вид
On x,-|-ai2X2 + ... + ainx„ = 0,
Ц21 Х| -|- а >2 Х2 + •• • -Е а2пХп = 0,
(6.2)
а ml Х| -|- ат2Х2-{- ... -|- dmnXn —~ О-
Решением линейной системы (6.1) называется упорядоченная совокупность
п чисел
СI, Z-2, •.. , Сл,
(6.3)
подстановка которых вместо xit х2, ... , х„ соответственно (xi=ci, х2 = с2, ...
... , х„ = с„) обращает в тождество каждое из уравнений этой системы.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а си-
стема, не имеющая ни одного решения, — несовместной. Отметим, что одно-
родная система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение: х,=0,
х2 = 0, ... , х„ = 0.
Совместная система, имеющая единственное решение, называется опреде-
ленной. Совместная система называется неопределенной, если она имеет более
одного решения.
Две системы называются эквивалентными или равносильными, если любое
решение одной из них является также решением другой и обратно, т. е. если
они имеют одно и то же множество решений. Любые две несовместные си-
стемы считаются эквивалентными.
Элементарными преобразованиями линейной системы называются следу-
97
ющие преобразования: 1) умножение уравнения системы на число, отличное
от нуля; 2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного
на любое число; 3) перестановка местами двух уравнений системы.
При элементарных преобразованиях линейной системы получают систему,
равносильную данной.
Выражение «решить линейную систему» означает выяснить, совместна
она или несовместна; в случае совместности — найти все ее решения.
6.2.	Матричная запись линейной
системы
Линейную систему (6.1) можно записать в матричном виде. Матрица
(6.4)
Clm 1	&т2 ••• @тп .
составленная из коэффициентов линейных уравнений системы (6.1), называет-
ся основной матрицей системы (или матрицей системы). Матрица
А— 021	П22 ••• bi
(6.5)
полученная из основной присоединением столбца свободных членов, называ-
ется расширенной матрицей системы (6.1).
Рассмотрим столбцовые матрицы, составленные из неизвестных и свобод-
ных членов:
(6.6)
Поскольку матрица А согласована с матрицей X (число столбцов матрицы
А равно числу строк матрицы X), то можно найти произведение

Ц| । xi А~а>^х2А~...
Оц Х| -f~a22x2 + ... + Я2пхп
А'агп2х2 “1“ - 4“ втпхп
Элементами этой столбцовой матрицы являются левые части уравнений систе-
мы (6.1), поэтому на основании определения равенства матриц
АХ = В.
(6.7)
Таким образом, система линейных уравнений (6.1) записана в виде одного
матричного уравнения (6.7), где А, X, В определяются формулами (6.4) и
(6.6); эта запись системы называется матричной.
Каждой линейной системе (6.1) соответствует единственная пара матриц
А, В и обратно: каждой паре матриц — единственная линейная система.
Система (6.1) может быть записана и в таком виде
98
Если (с,, Ci, ... , c„) — решение системы (6.1), то матрица
(6.9)
называется вектор-решением этой системы. Матрица (6.9) удовлетворяет
уравнению (6.7).
Пример 6.1. Представить в матричной форме линейную систему
уравнений
2xi +3х2 = 8,
5xi+ х2 = 7.
В данном случае формулы (6.4) и (6.6) запишутся так:
поэтому уравнение (6.7) принимает вид
Эта система имеет вектор-решение С =
Замечание. В соответствии с формулой (6.8) данная система пред-
ставима в виде
6.3.	Невырожденные линейные системы
Определителем системы п линейных уравнений с п неизвестными
Х|, х2,... , х„
Oi 1X1 + 012X2 +... + О|*х^ +... + ai„x„ = di,
О21Х1 + 022X2 +... + a2*x* +... + 02пХп = 62,	(6.10)
OniXi + опгХ2 +... + o„ftXft +... +a„„x„ = bn
называется определитель матрицы из коэффициентов уравнений этой системы:
	Он	012 •		• Ojn	
д=	<*21	022 •	• O2t .	- О2л	(6.11)
	a„i	Ол2 •		• опп	
Обозначим через А* определитель, полученный заменой в определителе
А столбца из коэффициентов при неизвестной х4 столбцом свободных членов
системы (6.10):
99

<211	<212	...	Ь\	...	<2|„
<221	<222	bs	...	asn
<2„1	<2/i2	bn	...	<2nn
(6.12)
где k = 1, 2, ... , n.
Линейная система (6.10) называется невырожденной, если ее определи-
тель отличен от нуля (Д=/=0).
Теорема 6.1. Невырожденная линейная система (6.10) имеет един-
ственное решение
Х!=Д|/Д, Х2 = Д2/Д, .... х„ = Д„/Д,
(6.13)
где Д и Д* (k= 1, 2, ... , п) определены соответственно формулами (6.11)
и (6.12).
Эта теорема называется теоремой Крамера, а формулы (6.13)—форму-
лами Крамера.
Следствие из теоремы Крамера. Если однородная линейная система
<2| |%1 +<2,2X2 + ... + <2|„Х„ = 0,
<22|Х1 +<222X2+ • • • +<22«Xrt=O,
<2п1 X । + <2л2Х2 + • • • + <2„„Х„ — 0
имеет ненулевое решение, то ее определитель Д равен нулю.
Систему (6.10) п линейных уравнений с п неизвестными можно записать
в матричном виде
АХ = В,	(6.14)
где
Если система является невырожденной, т.е. det>4=#0, то она имеет един-
ственное решение
Х = А~'В,	(6.16)
где А~' — матрица, обратная матрице А, а В определяется третьей из формул
(6.15).
Пример 6.2. Решить систему уравнений
Х1+ х2 —4х3=1,
Xi + 2х2-Зхз = 5,
Эх, —2х2 + 4хз = 4.
Составим определитель системы Д и определители Д*(й = 1, 2, 3):
д= Дг =	1 1 3	1 — 4 2 -3 — 2	4 1 1 -4 1 5 -3 3 4	4		д> = , Дз =		1	1	— 4 5	2—3 4—2	4 1	1 1 1	2 5 3-2 4	
100
Определитель системы Д = 21#=0, т. е. данная система является невыро-
жденной, поэтому применимы теорема 6.1 и формулы (6.13). Вычислим опре-
делители Д1, Д2, Дз; пользуемся формулами (6.13), полагая в них п = 3. Так как
Д1=42, Д2 = 63, Д$ = 21, то
до	со	21
Х|=Д|/Д=	=2, х2 = Д2/Д = -хт- =3, хз = Дз/Д= -кт
1	Z 1	~ X
Пример 6.3. Решить систему уравнений
4xi — Зх2 + 2х3 = 9,
2xi + 5х2 — Зх3 = 4,
5xi + 6х2 — 2х3 = 18.
в матричном виде (6.14), где
2
-3
— 2
Данную систему запишем
4
2-
5
-3
5
6
Вычисляем определитель матрицы А, находим
det А =
-3
5
6
Xl
Х2
Хз
матрицу А~':
= 39’Л~ - «Г
-13
6
-18
-39
9
4
18
16
26
А =
Х =
В =
4
2
5
2
— 3
— 2
8
По формуле (6.16) получаем решение системы
т. е. Х|=2, х2 = 3, х3 = 5.
6.4.	Произвольные линейные системы
Рассмотрим линейную систему (6.1), ее основную матрицу А и рас-
ширенную А, определяемую формулой (6.5).
Теорема 6.2 (Кронекера—Капелли). Для совместности системы (6.1
необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расии
ренной матрицы.
Теорема 6.3. Если ранг матрицы совместной системы равен числу
неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема 6.4. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа
неизвестных, то множество ее решений является бесконечным.
Базисным минором матрицы называется отличный от нуля ее минор, по-
рядок которого равен рангу этой матрицы. Базисными неизвестными совмест-
ной системы, ранг матрицы которой равен г, назовем г неизвестных, коэффи-
циенты при которых образуют базисный минор. Остальные неизвестные на-
зовем свободными.
Из теорем 6.2—6.4 следует, что решение системы линейных уравнений
можно проводить следующим образом.
101
1.	Находят ранг г матрицы А системы и ранг г расширенной матрицы
А. Если г=#=г, то система несовместна.
2.	Если г = г, то выделяют базисный минор и базисные неизвестные.
Исходную систему уравнений заменяют эквивалентной ей системой, состоящей
из тех г уравнений, в которые вошли элементы базисного минора.
Отметим, что в случае, когда число базисных неизвестных равно числу
неизвестных системы, система имеет единственное решение, которое можно
найти по формулам Крамера. Если число базисных неизвестных меньше числа
всех неизвестных, то из соответствующей системы находят выражения базис-
ных неизвестных через свободные, используя, например, формулы Крамера.
Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получают беско-
нечное множество решений исходной системы.
Пример 6.4. Решить систему уравнений
х, — Зхг + 2х3 = 1,
2х,+ х2 —4*з = 5,
Поскольку
5*1 —8хг + 2хз = 8.
то система совместна. В матрице А минор | %	। | отличен от нуля, ему со-
ответствует система уравнений Х|—3*2=1—2*з, 2*,+*2 = 54-4*з, в которой
*i,*2 — базисные неизвестные, *з — свободная неизвестная. Решая эту систе-
му по формулам Крамера, находим
х1=(10*з+16)/7, *г= (8*з+ 3)/7,
где х3 может принимать любые действительные значения.
6.5.	Метод Гаусса
Пусть дана система (6.1) т линейных алгебраических уравнений
с п неизвестными хь х2, ... , х„.
Метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса, при-
меняемый для решения системы (6.1), состоит в следующем.
Предполагая, что ац#=0 (это всегда можно сделать сменой нумерации
уравнений), умножая первое уравнение системы (6.1) на —а2|/ац и прибав-
ляя ко второму, получаем уравнение, в котором коэффициент при х, обра-
щается в нуль. Умножая первое уравнение на — а31/ац и прибавляя к треть-
ему, получаем уравнение, также не содержащее члена с х,. Аналогичным
путем преобразуем все остальные уравнения, в результате чего придем к
системе, эквивалентной исходной системе уравнений:
102
Of |X| -|- Л12 X2~l~ • •  + П|„ХЛ = bl ,
a22X2+ ’ ‘ ' -f-O'2r!Xn = b'2,
a'32X2-i------------l-a'3„x„=b'3,	(6.17)
am2%2+ ’ ‘ ‘
где a-t(i = 2, 3,..., m; k = 2,3,..., n) — некоторые новые коэффициенты.
Полагая а22=^=0 и оставляя неизменными первые два уравнения системы
(6.17), преобразуем ее так, чтобы в каждом из остальных уравнений коэффи-
циент при х2 обратился в нуль. Продолжая этот процесс, систему (6.17)
можно привести к одной из следующих систем:
Cl |Xi + <r|2*2 И- С13X3 + • • • -\-CinX„ = di,
C22X2 + С23Х3+ • • • ~i~c2nxn = d2,	(6.18)
с33х3-{- • • • C3nXn — d3,
СппХп = d„,
где с,,=#0 (»= 1, 2, ... , п), Си — некоторые коэффициенты, di — свободные члены;
С| 1*1 + С12X2 4" •  • 4-С1Л + • • • + CinXn—di,
С22Х2+ • • • 4“^2йХ*4' • • • -}-C2nXn = d2,	(6.19)
CkkXk + • • • + CknXn =dk.
где k<n;
Ci 1X1 + Cl2X24* ’'' 4~ Cinxn — di,
C22X2 4~ • • * 4" CsnXn = d2,	(6.20)
0 Хц — dkt
где
Система (6.18) имеет единственное решение, значение хл находится из
последнего уравнения, хп_, — из предпоследнего, х, — из первого.
Система (6.19) имеет бесконечное множество решений. Из последнего
уравнения можно выразить одно из неизвестных (например, хк) через осталь-
ные п — k неизвестных (xt + i, х4+2,... . х„), входящих в это уравнение. Из пред-
последнего уравнения можно выразить х^_, через эти неизвестные и т. д.
В полученных формулах, выражающих xi,x2...........xft_|,xt через x* + i,х* + 2, ...
... , х„, последние неизвестные могут принимать любые значения.
Система (6.20) несовместна, так как никакие значения неизвестных не
могут удовлетворять ее последнему уравнению.
Итак, метод последовательного исключения неизвестных применим к ль
бой системе линейных уравнений. Решая систему этим методом, преобразован)!
совершают не над уравнениями, а над матрицами, составленными из коэф
фициентов при неизвестных и свободных членах.
Пример 6.5. Решить систему уравнений
Xi — 2х2 —Зхз —х4 = 2,
Х| 4” х2 4" 6x3 4- Зх4 = — 3,
2х। 4” Зхг 4“ 5хз 4~ 2х4 = 1,
х24-Хз4-х4 = 3,
5х24-7хз4-4х4 = 5.
103
Составляем матрицу и преобразуем ее:
1 — 2 -3 -1	2
1	16	3-3
2	3	5	2	1
0	1113
0	5	7	4	5
1	—	2	-3	-1	2
0	3	9	4	-5
0	7	11	4-3
0	1113
0	'	5	7	4	5
1 —2 -3 -1
О
О
О
О
1 1 1
О 2-1
О 4—3
О 6	1
-3-1	2
1	1	3
2	—1 —10
0-1 -4
О 4	16
1 —2 -3 —1	2
0	111	3
0	0	2	—1	—10
0	0	0	-1	—4
0	0	0	0	О
Последней матрице соответствует совместная система четырех уравнений
с четырьмя неизвестными:
х, — 2х2 — Зх3 — х4 = 2,
Хг + Хз+Х4 = 3,
2х3 — х4 = —10,
— х4 = —4.
Решая эту систему, находим х4 = 4, 2хз =— 10 + х4 =— 10 + 4 = —6, х3 =
= —3, хг —3— х3— х4 = 3—(— 3)—4 = 2, Х| = 2х2 + Зхз+ х4 + 2 = 2• 2 + 3(— 3) +
+ 4 + 2=1.
Следовательно, исходная система имеет решение xi = l, Хг = 2, х3=—3,
х4 = 4.
Пример 6.6. Решить систему уравнений
Х| + х2 + Хз + х4 = 4,
2xi —хг + Зхз —2х4=2,
Зх । + 2х2 + 4х3 — 6х4 = 3,
4xi + Зх2 + 5х3 — 5х4 = 6.
104
Записывая соответствующую матрицу и совершая преобразования, получаем
	г 1	1	1	1	4 1			 1	1	1 1		4		
	2	-I	3	— 2	2		—►	' 0	-3	1 —4		-6		—►
	3	2	4	— 6	3			0	— 1	1 -9		— 9		
	4	3	5	— 5	6 -			0	-1	1 -9		-10		
	1	1	1	1			4		 1	1	1	1		4 '
	0	— 1	1	— 9			9	—>	0	-1	1	— 9		-9
	0	- 1	1	— 9		—	10		0	0	0	0		— 1.
	0	-3	1	— 4			-6 .		. 0	0 -	2	23		21
Третья матрица получена из предыдущей переменой местами последних
трех строк. Последней матрице соответствует система уравнений
Х| 4-Х2-|-ХзН_Х4=4,
— Х2 + Х3 — 9хч= —9,
О х4 = — 1,
— 2х3 + 23х4 = 21.
Эта система несовместна, так как никакие значения неизвестных не мо
гут удовлетворить ее третьем
Следовательно, исходная
Пример 6.7. Решить i
Преобразуя	матрицу, п
г 1	1-1	1
2-1	3—4
4	1	1—2
 5	2	0 -1
у уравнению,
система также несовместна,
шстему уравнений
Xi + x2 —Хз + х4 = 2,
2xi — Х2 + 3хз — 4х4 =0,
4х|+х2 + хз —2х4=4,
5х, + 2х2 —х4 = 6.
1учаем
2	г 1	1-1	1
0	—	0-3	5-6
4	0—35—6
6	J	0 —3	5-6
2-]
— 4
— 4
— 4-
Таким образом, данная
носительно четырех неизвесп
1 0	1 — 3	-1 1 5 -6	2 — 4	
0 0	0 0	0	0 0	0	0 0 -	
система		сводится к системе		
двух уравнений от-
Х| 4" -С2 — Хз +х< = 2,
— Зх2 + 5х3 — 6х4 = — 4,
общее решение которой определяется формулами
2	2	4	5
Х| ~ — -у *з + х4, хг= —I—уХз — 2x4,
где х3, х4 могут принимать любые действительные значения.
105
Пример 6.8. Решить систему уравнений
Х\ —х2 + 7х3— 2x4 = 2,
2xi — 3%2 + 8х3 — 4х< = 1,
4х 1 -|- 2хг 19х3 4“ х4 = 8,
6xi — 5хг+ 11х3— Зх4 = —3.
Составляем матрицу и преобразуем ее:
1 2	— 1 — 3	7 8	— 2 — 4	2 п 1		Г 1 — 1	7 0 —1	—6	— 2 0	2 -3	
4	2	19	1	8		0	6—9	9	0	
6	-5	11	-3	-3 -		0	1 —31	9	-15 	
	1 -	1	7	— 2	2	Г 1 —1	7	— 2	2 ’
	0 -	1	-6	0	-3	0-1	-6	0	-3
	0	0	-45	9	- 18	0	0	— 45	9	-	-18
	0	0	-37	9	-18 •	- 0	0	8	0	0 J
Последняя матрица получена в результате сложения третьей, умноженной
на (— 1), и четвертой строк. Этой матрице соответствует система уравнений
х, —х2 + 7х3 —2х4 = 2,
— х2 — бхз = — 3,
— 45х3 + 9х4 = — 18,
8х3 = О,
имеющая решение х3 = 0, х4=—2, х2 = 3, х, = 1.
Глава 7
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
7.1. Упорядоченные пары действительных чисел
и операции над ними
Пару (а, 6) действительных чисел а и b называют упорядоченной,
если указано, какое из них считается первым, какое — вторым. Примеры упо-
рядоченных пар: (0,1); (2,3); (3,2). Отметим, что последние две пары раз-
личны, хотя и образованы одними и теми же числами.
Каждую упорядоченную пару чисел обозначим одной буквой, введем по-
нятие равенства двух пар, определим действия над ними. Рассмотрим две
упорядоченные пары
а= (a, b), Р=(с, d).	(7.1)
Эти пары называют равными, если а = с, b=d, т. е.
((а, 6) = (с, d)) -о (а = с, b = d).	(7.2)
Суммой двух пар (7.1) называют упорядоченную пару
а + Р=(а, 6) + (с, d) = (a + c, b + d),	(7.3)
а их произведением — упорядоченную пару
aP=(a, b) (с, d) = (ac — bd, bc-\-ad).	(7.4)
Из соотношения (7.3) видно, что пара
0=(0, 0)	(7.5)
обладает тем свойством, что сложение ее с любой другой упорядоченной
парой не меняет исходной пары: (а, Ь) + (0, 0) = (а, Ь). Пара (7.5) играет
роль нуля при сложении упорядоченных пар; назовем ее нуль-парой.
Разностью a — 0 двух упорядоченных пар (7.1) называют такую упоря-
доченную пару г= (х, у), что z + 0^=a.
Вычитание упорядоченных пар (7.1) определяется следующим образом:
a —р=(а, 6) —(с, d) = (a—c, b — d).	(7.6)
Частным а/0, где 0#= 0, двух упорядоченных пар (7.1) называют такую
упорядоченную пару z=(x, у), что z0 = a.
Если а=#0, т. е. c2 + d2#=0, то частное а/0 двух упорядоченных пар
(7.1) определяется формулой
“ _ ( ac + bd	bc — ad\	/7 7А
“Г V c2 + d2 ’ c2 + d2/ '
Из этой формулы следует, что если а = р, т. е. а = с, b = d, то
107
Значит, роль единицы при делении двух упорядоченных пар выполняет упо-
рядоченная пара
1 = (1, 0).	(7.8)
Рассмотрим упорядоченные пары
а= (а, 0), b =(6,0).	(7.9)
Арифметические действия над упорядоченными парами вида (7.9) про-
изводятся так, как и над действительными числами. Действительные числа
отождествляются с парами вида (7.9).
7.2.	Понятие комплексного числа.
Арифметическая форма комплексного числа
Комплексным числом называют упорядоченную пару (а, 6) действи-
тельных чисел а и 6. Рассмотрим упорядоченную пару
i=(0, 1).	(7.10)
Применяя формулу (7.4), получаем i2=i-i=(0, 1)  (0, 1) = (0— 1, 0 + 0) =
= (—1, 0). Поскольку ( — 1, 0) = — 1(см. формулу (7.9)), то
i2=-l, i = V^T.	(7.11)
Упорядоченную пару (7.10), удовлетворяющую соотношению (7.11), на-
зывают мнимой единицей. С помощью мнимой единицы можно выразить лю-
бое комплексное число а= (а, 6), т.е. упорядоченную пару действительных
чисел. В самом деле, так как Ы=(Ь, 0) (0, 1) = (0, 6), то (а, 6) = (а, 0) +
+ (0, 6) =a + 6i, т. е.
(а, b)=a-f-bi.	(7.12)
Поскольку (а, 6) = a + 6i, (а, 6) = (0, 6) + (а, 0)=6! + а, то a + bi = bi-f-a.
Значит, в правой части формулы (7.12) можно менять местами слагаемые.
Выражение а + 61 называют алгебраической формой комплексного числа.
Число а называют действительной частью, число 6 — мнимой частью комплек-
сного числа а+ 61. Обозначая комплексное число a + 6i одной буквой а, запи-
сывают a = Rea, 6 = Ima, где Re — начальные буквы латинского слова realis
(действительный), Im — начальные буквы латинского слова imaginarius (мни-
мый). Кроме этих обозначений, употребляют и другие, например: a = R(a),
6 = /(а), где а = а + 61.
Отметим частные случаи формулы (7.12). Если 6=0, то (а, 0)=а — дей-
ствительное число; если а = 0, то
(0, 6)=6i.	(7.13)
Число Ы называют чисто мнимым числом или просто мнимым.
Два комплексных числа а + Ы, c-\-di называют равными, когда а = с, b=d:
(a+bi = c + di) о (а = с, b=d).
Комплексное число равно нулю, когда равны нулю его действительная
и мнимая части:
(a + 6i = 0) о (а = 0, 6=0).
Если дано комплексное число a=a + 6i, то число а — Ы, отличающееся
от а только знаком при мнимой части, называют числом, сопряженным числу
а, и обозначают а. Числом, сопряженным а, будет, очевидно, число а, по-
этому говорят о паре сопряженных чисел. Действительные числа, и только
они, сопряжены сами себе.
Обозначение i для мнимой единицы (i = V— 1) ввел Эйлер в 1777 г.
108
7.3.	Геометрическое изображение
комплексных чисел
На плоскости выберем систему прямоугольных декартовых координат
(рис. 7.1). Комплексному числу (а, Ь) —а-\-Ы сопоставим точку М(а, Ь) этой
плоскости с координатами (а, Ь). Если Ь = 0, то получим действительное число
(а, 0)=а, которое изображается точкой на оси Ох. Вследствие этого ось Ох
называют действительной осью (точками оси абсцисс изображаются действи-
тельные числа). Если а = 0, то получаем чисто мнимое
число Ы, которое изображается точкой а (О, Ь), лежа-
щей на оси у. По этой причине ось ординат назы-
вают мнимой осью (точками этой оси изображаются
чисто мнимые числа). Отметим, что мнимая единица
i изображается точкой (0, 1), расположенной на по-
ложительной полуоси ординат и отстоящей от нача-
ла координат на расстояние, равное единице. Число
( — 0 изображается на оси ординат точкой (0, —1),
симметричной точке (0, 1). Любое комплексное число
а= (а, Ь), где а=#=0, 6=#=0, изображается точкой, не
лежащей на осях координат. Обратно, любой точке
М (а, Ь) плоскости соответствует комплексное число
(а,Ь)=а-\-Ы. Таким образом, между множеством комплексных чисел и множе-
ством точек плоскости установлено взаимно однозначное соответствие. Плоскость,
точки которой отождествлены с комплексными числами, называют комплексной
плоскостью.
Рассматривают также комплексную переменную г = х-}-1у, ^где х, у Деи-
ствительные переменные, i — мнимая единица. Значения этой переменной
комплексные числа, изображаемые точками комплексной плоскости. Вследствие
этого комплексную плоскость называют также плоскостью комплексной пе-
ременной.
7.4.	Действия над комплексными числами
Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары дей-
ствительных чисел) и определения арифметических действий над упорядочен-
ными парами (см. формулы (7.3), (7.4), (7.6), (7.7)) следует, что
(а + bi) + (с + di) = (а + с) + (b +d)i,	(7.14)
(а-)-Ы) —'(c + di) = (а —с) + (b — d)i,	(7.15)
(а + Ы) (c+di) = (ac — bd) + (bc-\-ad)i,	(7.16)
(c2 + d2^0).	(7.17)
c + dt c +d" c -)-d
Формула (7.14) определяет правило сложения двух комплексных чисел:
чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их дей-
ствительные и мнимые части. Формула (7.15) означает, что при вычитании
одного комплексного числа из другого необходимо вычесть отдельно их
действительные и мнимые части.
; Отметим, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженных чисел
а = а-)-Ы, а. = а — Ы являются действительными числами: а-)- а = 2а, аа = а2 -)-Ь2.
Арифметические действия над комплексными числами подчиняются тем
же законам, что и действия над действительными числами. Если a = a-f-bi,
fi = c-)-di, y = e + ji — любые комплексные числа, то верны следующие равенства:
1) а + р = ₽ + а; 2) (<х + ₽) +у = <х+ (Р + у); 3) ар = ра; 4) (ар)у = а(Ру);
5) (<х + Р)у = <ху + Ру.
Полагая а — 1, 6 = 0 в формуле (7.17), получаем
109
= + (7J8)
Формулой (7.18) определяется число 0 обратное комплексному числу 0 =
= c-\-di (0#=О, т. е. с2 + <72¥=0).
Натуральные степени мнимой единицы i принимают лишь четыре значе-
ния: — 1, — i, 1, i, определяемые формулами
i4*=l, Z<*+I=z; (4*+2=_1> Z4*+3=_Zj	(7.19)
где k = 0, 1, 2, ...
При возведении комплексного числа а = а-{-Ы в степень п(п — натуральное
число) пользуются формулой бинома Ньютона:
(a+bi)"=a"-^-na"~l (Ы) +	а-2 (602 +
+ л (п - 1 И” - 2) о-3 (6f} 3 + + (bi} П	(7.20)
В правой части этого равенства заменяют степени мнимой единицы по фор-
мулам (7.19) и приводят подобные члены, в результате получают некоторое
комплексное число c + di.
Квадратным корнем из комплексного числа называют комплексное число,
квадрат которого равен данному комплексному числу:
^a-\-bi — u-{-iv, если (и +iv)2 = а + Ы.	(7.21)
Числа и и v определяются из равенств
и2=(а + Л/Ит+^)/2, y2=(-a+Va2 + ft2)/2,	(7.22)
причем и и v будут действительными, так как при любых а и Ь выражения
а + д/а2 + 62 и — а4-д/а2 + 62 являются положительными. Знаки и и и выбирают
так, чтобы выполнялось равенство 2uv = b. Извлечение квадратного корня из
комплексного числа а + Ы всегда возможно и дает два значения Ui+iv\,
Ui + iv2, различающихся лишь знаком.
Пример 7.1. Даны два комплексных числа 5 + < и 2 + 3i. Найти их
сумму, разность, произведение и частное.
В соответствии с формулами (7.14) — (7.17) получаем
(5 + 0 + (2 + 31) = (5 + 2) + (l+3)Z = 7 + 4i,
(5 +<) - (2 + 3Z) = (5-2) + (1 -3)1 = 3-21,
(5 +1) (2 + 31) = 10 + 151 + 2i + 3i2 = 7+17i,
5 + t _ (5 + 0(2-30	10- 151 + 21-3i2	13- 13i
2 + 3i	(2 + 30(2 — 30 -	4 —9i2	-	13	~ L
Пример 7.2. Возвести в указанные степени данные комплексные числа:
(3 + 402, (1 +21)я, (2 + 04-
Применяя формулы (7.19) и (7.20) при п = 2, п = 3, п=4, получаем
(3 + 40 2 = 32 + 2- 12i'+ (4i)2 = 9 + 24i'+16i2=—7 + 24i,
(1 +2z)3 = 1 +&’+ 12i2 + 8i3 = 1 +61— 12 — 81= — 11 — 2Z,
(2 + i)4 = 24+ 4-23i’ +6-412 + 4 • 2i3 + i4= 16 + 321 —24 —8i + 1 = — 7 + 241.
Пример 7.3. Извлечь корень квадратный из числа a = 9 + 40i.
Обозначим -\/9 +40i = и + io. Поскольку в данном случае а = 9, 6 = 40, то
формулы (7.22) примут вид
и2= (9+ у/92 + 402)/2= (9 + 41) /2 = 25;
110
и2= (-9 + л/97+402)/2= (-9 + 41)/2= 16.
Так как u2 = 25, o2=16, то zz,=—5, u2 = 5, Vi = —4, vi = 4. Получено два
значения корня: zzi+ r>iz'= —5 —4z и U2-f-V2i=5-f-4i.
Пример 7.4. Найти значение выражения z3 — 2z2 + 5z при z=l— i.
Поскольку (1 —z)2= 1 —2z' + z2 = 1 —2z—1 = —2z, (1 —z)3= (1 —z)2(l —z) =
= -2t(l-«) = -2z + 2z2 = — 2 — 2z, to z3-2z2 + 5z=-2 — 2z-2(-2z)+5(l-
— z)=3 —3z.
Пример 7.5. Показать, что комплексное число z=l— z является корнем
уравнения z3 + 2z2— 6z + 8 = 0.
Так как z2 = (1 — z)2 = — 2z, z3= (1 —z)3= —2 —2z, to z3 + 2z2 —6z + 8 =
= —2 —2z' + 2( —2z) —6(1 —z)+8 = 0, t. e. (1 —z) — корень уравнения.
7.5.	Модуль и аргумент комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Комплексное число а. = а-\-Ы, заданное в алгебраической форме, можно
представить и в другом виде. Изобразим число а точкой М(а, Ь) комплексной
плоскости. Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рис. 7.2). Модулем комплексно-
го числа а = а + Ы называют длину г радиуса-вектора ОМ точки М(а, Ь), изобра-
жающей данное число. Модуль комплексного числа а обозначают символом | а |.
Следовательно, по определению
г=|ОМ|, г=|а|, |<х| >0.	(7.23)
Так как |ОМ| = -у/а2 + 62 (см. рис. 7.2), то
[ос| = -\/а2 + &2, |а + М| = д/а2 + &2, г= д/а2 + 62,	(7.24)
т. е. модуль комплексного числа равен арифметическому значению корня квадрат-
ного из суммы квадратов его действительной и мнимой частей. Если 6 = 0, т. е.
число а является действительным, причем а = а, то формула (7.24) принимает
вид |а | = у/а^.
Аргументом комплексного числа а = а-\-Ы называют величину угла ф наклона
радиуса-вектора г = ОМ точки М(а, Ь) к положительной полуоси Ох. Аргумент
комплексного числа а обозначают символом Arg а. Угол <р может принимать
любые действительные значения. Аргумент комплексного числа а имеет бес-
конечное множество значений, отличающихся одно от другого на число, кратное
2л. Аргумент не определен лишь для числа 0, модуль которого равен нулю.
Среди значений аргумента комплексного числа а#=0 существует одно и только
одно, заключенное между —лил, включая последнее значение. Его называют
главным значением и обозначают arg а. Итак, аргумент комплексного числа
удовлетворяет соотношениям
Arg a = arg а + 2л6 (6 = 0, ± 1, ±2, ... ), — nCarga^n.
С помощью модуля и аргумента комплексное число <х = а-\-Ы можно пред
ставить в другой форме. Поскольку
a = rcosq>, 6=rsin<p,
то
a + Ы = r(cos <f> + z sin <p) (r^0),
где
r= -y]d2 + b‘2, cos <p = a/-\/a2 + &2,
sin <p = 6/-yP+62..
Ill
Выражение, стоящее в правой части формулы (7.26), называют тригонометри-
ческой формой комплексного числа. Отметим особенности тригонометрической
формы: 1) первый множитель—неотрицательное число, rJsrO; 2) записаны
косинус и синус одного и того же аргумента; 3) мнимая единица умножена
на sin <р.
Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны
тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на
величину, кратную 2л. Следовательно, если
Г| (cos <р। +» sin <pi) =f2(cos Ф2 + 1 sin <рг), (7.28)
то
г, =<2, <f>2 = 4>i +2Ал (£ = 0, ± 1, ±2, ... ); (7.29)
и наоборот, из равенств (7.29) следуют формулы
(7.28).
Если комплексное число а = а-\-Ы задано в три-
гонометрической форме a = r(cos <p + r sin <р), то
комплексно-сопряженное число а —а — Ы записыва-
ется в форме a = r(cos( — <p) + i sin(—<р)); поэтому
|<х| = I а|, arg а= —arg а (рис. 7.3).
Пример 7.6. Комплексное число а = 2 л/2/(1 — I) записать в алгебраи-
ческой и тригонометрической форме.
Умножая числитель и знаменатель данной дроби на число, сопряженное
знаменателю, получаем
2 v'2 _	2V2(l+i)
1-/ (1 _1)(1+(-)
2л/2(1+<)
1-<2
2д/2 + /2< = ^+.^
Это— алгебраическая форма данного числа: а= -\/2 + <-\/2-
Применяя формулы (7.27), находим г = д/(д/2)2 + (д/2)2 =2, sin q = b/r =
= д/2/ 2, cos<p = a/r= л/2/2, откуда главное значение <р = л/4. Следовательно,
тригонометрическая форма данного числа имеет вид a = 2(cos(n/4) +« sin(n/4)).
7.6. Действия над комплексными числами,
заданными в тригонометрической форме
Произведение двух комплексных чисел
Zi = r(cos <p + r sin <p), Z2 = p(cos ф + i sin ф),	(7.30)
где r= |zi I, <p = Arg 2i, p = I z21, ф = Arg z2 находится по формуле
2122 = rp(cos (<₽ + ф) +» sin (срН-Тр) ) -	(7-31)
Из этой формулы следует, что
IZ1Z2I = IZ| 11г21, ф + Ф = Arg(z,z2),
т. е. модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма
аргументов множителей является аргументом их произведения.
Если 22=#0, т. е. р=#0, то
(cos(cp — ф) +< sin(cp — ф)),	(7.32)
22 Р
откуда
I21/22I =|Z||/Iz2|, ф— ф = Arg(z 1/22).
112
Эти формулы означают, что модуль частного равен модулю делимого,
деленному на модуль делителя, а разность аргументов делимого и делителя
является аргументом частного двух комплексных чисел.
Если z = r(cos ф + t sin <р) и г=/=0, то
z~' = l/z=r_| (cos( — <p) +< sin(— <р)),	(7.33)
откуда
|z~‘| = lz|_1, arg z~1 = — arg z,
т. e. модуль комплексного числа z_|, обратного числу z, равен обратной вели-
чине модуля числа г, а его главное значение аргумента отличается от главного
значения аргумента г лишь знаком.
Если п — натуральное число и z = г (cos q> + z sin <р), то
z"= (г (cos <р +1 sin <р) )" = r" (cos п<р-Н sin nq>),	(7.34)
откуда lz"\ = \zl", ^ = Argz'1.
Формула (7.34) называется формулой Муавра. При г=1 она принимает вид
(cos фr.sin ф)" = со5 Иф+г sin пф.
Корнем п-й степени из комплексного числа z называется такое комплексное
число а, что а" = г.
Извлечение корня п-й степени из комплексного числа z = r (cos ф-Н sin ф)
всегда возможно и дает п различных значений:
а0= cos — +i sin —) '• “i = cos СР~*~2Л +' sin	’
\ n	nJ	\ n	n /
a2= ^cosJP±±L+l-sin^±±L)
q„_,= V7(cos ^±2-<n-1-hL +zsin ф+2("-121),	(7.35)
\	n	П/
---------r-=----г	ф + 2/m , . . ф + 2£л\--------„с.
y/r(cos ф + г sin ф). = Vr( cos —-------------------------H sm —-1 ,	(7.36)
\ n	n /
где k = 0, 1, 2,... , n — 1.
Из формул видно, что все п значений корня п-й степени из комплексного
числа z расположены на окружности радиуса '\J\z\ с центром в точке нуль
и делят эту окружность на п равных частей.
Отметим, что корень п-й степени из действительного числа также имеет
п различных значений. Среди этих значений действительных будет два, одно или
ни одного в зависимости от знака а и четности п. Корень п-й степени из нуля
имеет только одно значение, равное нулю (\/0 = 0).
Корни п-й степени из единицы .определяются формулой
4/l=cos--------Н sin-------,	(7.37)
п	п
где k = 0, 1, 2, ... , п— 1.
' Пример 7.7. Найти значения квадратного корня из числа z = i.
Представим сначала это число; в тригонометрической форме: i = cos(n/2) +
+ i sin (л/2). В соответствии с формулой (7.36) имеем
r I л ... л	л/2 + 26л . . . л/2 + 2/гл ,	_ .
v1 = Д/ COS — +< sin -у- =cos ——£-------hl Sin-----2---, й = 0, 1.
Следовател ьно,
____„„< л I   л -J2 , . л/2	5л , . . 5л
“°-cos _ +t sin — =	+(-у-. a>=cos — H-i sin = — <х0.
113
Пример 7.8. Найти все значения корня 6-й степени из числа —64.
Представим данное число в тригонометрической форме: —64 = 64(созл-р
-pi sin л). Формула (7.36) принимает вид
cos л+б2*я +i sin ” + 2fejt) , * = 0, 1, ... , 5.
Замечая, что ^64 = 2 и придавая k указанные значения, находим шесть искомых
значений:
ао = 2( cos	—pi sin
\	6
а2
аз
а4
а5
значения
изображаются
л ...
COS -£--pl Sin
5л , . .
COS —7--pl Sin
6
7л ..
cos —j--pi sin
6
,/ Зл , . .
4 cos ——pi sin
11л	. .
COS —7--pl Sin -
6
— 2»,
вершинами правильного шестиугольника,
Эти
вписанного в окружность радиуса /? = 2 (рис. 7.4).
Пример 7.9. Решить уравнение г3 —2 у/2/(1—i) =0.
Так как 2 у2/( 1 — I) =2(cos(л/4) +» sin (л/4)), то
z= ^2 (cos (л/4) -pi sin (л/4)) .
Применяя формулу (7.36), получаем
д /о Л । • • л is/ (л/4)+2£л	. .	(л/4)-р2йл\
Л/ 2 cos — +i sin -у = V2I cos ——у-----------Pi sin ' ' у----\ , k = 0, 1,2.
Полагая в этой формуле k = 0, k=l, k = 2, находим
з/х/ л ।	• л\ злт/ (л/4)+2л	. .	(л/4)-р2л\
2о= д/2^ cos — +l sin -у) , 2| = V2( cos - -	------pi sin ---3-----J =
Зг</ Зл .. Зл\ 3/~/	17л , . .	17л\
= V2(^cos— -Pl sin—, 22= V2^cos-yy -pisin-yy-) .
Глава 8
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
8.1.	Алгебраические многочлены
Алгебраическим многочленом степени п называется сумма целых не-
отрицательных степеней переменной х, взятых с некоторыми числовыми коэф-
фициентами, т. е. выражение вида
aox" + aix"- 1 Н-t-an-tx + a„, ао=/=О.
Для сокращенной записи многочленов употребляют обозначения f(x),
<f(x), g(x) и т- п-
Два многочлена f(x) и g(x) считают равными и пишут f(x)=g(x) в том
и только в том случае, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
Теорема 8.1. Для любых двух многочленов j(х) и <р(х) можно найти
такие многочлены q(x) и г(х), что
f(x)=<f(x)q(x)+r(x),	(8.1)
причем степень г(х) меньше степени <р(х) или же г(х)=0. Многочлены q(x)
и г(х) определяются однозначно.
Многочлен q(x) называется частным от деления f(x) на <р(х), а г(х) —
остатком от этого деления.
Замечание. Формулу (8.1) можно записать так:
4ёг=9(х) + ^г (ф(х)*0)-
Если остаток от деления f(x) на <р(х) равен нулю, то многочлен <р(х)
называется делителем многочлена Дх); в этом случае говорят, что f (х) делится
на ф(х) (или нацело делится на <р(х)).
Многочлен <р(х) тогда и только тогда является делителем многочлена Дх),
когда существует многочлен ф(х), удовлетворяющий равенству
Дх) =<р(х)ф(х).
Многочлен Л(х) называется общим делителем для многочленов Д1) и g(x),
если он является делителем каждого их этих многочленов.
-Два многочлена называются взаимно простыми, если они не имеют других
общих делителей, кроме многочленов нулевой степени (т. е. постоянных).
Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов f(x) и g(x)
называется общий делитель d(x), который делится на любой другой общий
делитель этих многочленов. Наибольший общий делитель многочленов Дх)
и g(x) обозначается так: (Дх),£(х)).
Наибольший общий делитель многочленов Дх) и g(x) можно найти с по-
мощью алгоритма Евклида. Если
f(x) =g(x)ql(x) +ri(x),
g(x)=n (x)q2(x) + r2(x),
Г1 (x) = r2 (x)q3 (x)4-r3(x),
rt_2(x) = rt-i(x)qt(x) 4-гДх),
r-t-i(x) =r*(x)<7t + i(x),
(8.2)
то г*(х) = (Дх),й(х)).
115
Замечание. Наибольший общий делитель многочленов определен
с точностью до постоянного множителя: если d(x) — наибольший общий делитель
многочленов f(x) и g(x), то cd(x), где с — любое число, отличное от нуля, также
является их наибольшим общим делителем.
Пример 8.1. Найти частное q(x) и остаток г(х) при делении многочлена
f(x) = х4 — х2 — 2 на многочлен <р(х) =х3 —2х2 + х —2. Выразить f(x) через.
<р(х) и г(х).
Выполняя деление, находим
_ х4 — х2 — 2	I х3 —2хг + х —2
±х4 + 2х3±х2 + 2х I х + 2
2х3 —2х2 + 2х —2
+ 2х3 + 4х2 ± 2х Т 4
2х2 + 2
Итак, </(х)=х + 2, г(х)=2х2 + 2, х4 —х2 —2= (х3 —2х2 + х —2) (х + 2) +
+ 2х2 + 2.
Пример 8.2. Найти общий наибольший делитель двух многочленов
f(x) =х4 + 2х2 — 3 и <р(х) =х3 —х2 + 2х —2.
Произведя деление f(x) на <р(х), получим первое из равенств (8.2):
х4 + 2х2 —3= (х3 —х2 + 2х —2) (х—1) + (х2—1), так как </i(x)=x—1 и л (х) =
= х2—1. Разделив <р(х) на л(х), найдем второе из указанных равенств: х3 —
— х2 + 2х —2= (х2—1) (х—1)+3х —3, поскольку q2(x)=x—l и г2(х)=3х —3.
Остаток Г|(х) нацело делится на остаток г2(х): х2—1 = (Зх — 3) X
х(-^-х+ -у-) ’	= 4“x+ “У'
Следовательно, г2(х) =3х — 3 = 3(х—1) и является общим наибольшим
делителем данных многочленов. В соответствии с замечанием общим наибольшим
делителем будет также </(х)=х—1.
8.2.	Корни многочлена. Теорема Безу
Значением многочлена
f(x) = аохл +aix"“1-|-\-ап-}х + а„	(8.3)
при х = с называется число
f(c) =aocn + aicn~'+    +а„-,с+а„.
Число с называется корнем многочлена f(x) или корнем уравнения /(х)=0,
если [(c) =0, т. е.
aoc" + aic"~'-\-ha„_lc+a„ = 0.
Теорема 8.2 (Безу). Остаток г от деления многочлена f(x) на линейный
многочлен х — с равен значению [(c) многочлена f(x) при х—с, т. е.
r=f(c).	(8.4)
Следствие. Число с тогда и только тогда будет корнем многочлена
f(x), когда f(x) делится на х—с.
Если многочлен f(x) задан формулой (8.3) и
f (х) = (х — c)q(x) +г,
q(x) =Ьох"~' +&|Х',“2 + б2х"-3Ч----------i-b„-2x+b„-i,
то коэффициенты многочлена q(x) определяются формулами
fto = ao, bk = cbt-1 +aii, й = 1, 2, ... , n — 1,	(8-5)
а остаток г-—по формуле r = cbn_ i
116
Коэффициенты частного и остаток вычисляют по следующей схеме:
<3о	<21	<32	<3з	On— I	<2«
60 cb<,-|“Qi = b।	— Ь? cb?-(-a3 — b3 ... cbn—2-{-an— i — bn— i cbn— iН_Пп = г
Эту схему, называемую схемой Горнера, используют также для вычисления
значений многочлена, поскольку f(c)=r (см. формулу (8.4))..
Если с — корень многочлена f(x), т. е. Цс) =0, то многочлен Цх) делится
на х — с. Может оказаться, что Цх) делится и на более высокие степени х— с.
Пусть существует такое натуральное число k, что f(x) нацело делится на
(х —с)‘, но уже не делится на (х —с)4+1. В этом случае Цх) = (х — с)‘<р(х),
причем число с не является корнем многочлена ср(х). Число k называется
кратностью корня с многочлена Цх), а число с — й-кратцым корнем этого много-
члена. Если k=\, то говорят, что число с—простой корень многочлена Цх).
Теорема 8.3. Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы,
имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).
Эту теорему раньше называли «основной теоремой высшей алгебры».
Следствие 1. Всякий многочлен п-й степени единственным образом,
с точностью до порядка сомножителей, разлагается в произведение п линейных
множителей: если <Х|, аг, ... , а„ — корни многочлена (8.3), то
Цх) =а0(х — cti) (х— а2) ... (х — а„).	(8.6)
Следствие 2. Всякий многочлен f(х) степени п^1 имеет п корней,
считая равные и комплексные.
Следствие 3. Если многочлены Цх) и <р(х), степени которых не пре-
вышают п, имеют равные значения более чем при п различных значениях
переменной, то Цх) = <р (х).
Если многочлен
Цх) =x’' + alx"~l +а2Хп~2+  —|-а„_ ,х-|-а„,	(8.7)
для которого ао=1, имеет корни а,, а2, ... , <хп, то его коэффициенты выражаются
формулами Виета:
а> — — (ai + а2-|- • • • + ап);
а2 = а|а2 + <Х1«з + * * * Н- aiart -|-а2аз	• 4~ссл — iа„;
а3= — (а|а2аз + а|а2а4+ • • • +a„_2a„_ian;
.......................................................... (8.8)
a„_i= (~ I)"-1 (а,а2 ... a„-i + ai<x2 а„_2а„+ • • • +а2аз ... а„);
а„= ( — l)"a,a2 ... а„.
Эти формулы означают следующее: в правой части k-ro равенства (А = 1,
2, ... , п) находится сумма всевозможных произведений по k корней, взятая со
знаком плюс или минус в зависимости от четности или нечетности k.
Последняя из формул (8.8) свидетельствует о том, что корни многочлена
(8.7) являются делителями его свободного члена.
Формулы Виета дают возможность найти многочлен по корням.
Теорема 8.4. Если комплексное число а является корнем многочлена
с действительными коэффициентами, то его корнем будет также и сопряженное
число а.
Следствие 1. Многочлен Цх) в этом случае делится на квадратный
трехчлен <р(х) = (х — а) (х — а) = х2 + рх + </ с действительными коэффициентами
р= — (а + а), р = аа.	„
Следствие 2. Комплексные корни всякого многочлена с действитель-
ными коэффициентами попарно сопряжены.
Следствие 3. Многочлен нечетной степени с действительными коэффи-
циентами имеет хотя бы один действительный корень. Если же действительных
корней больше одного, то их будет нечетное число -(так как комплексные корни
попарно сопряжены).
117
Следствие 4. Всякий многочлен с действительными коэффициентами
можно представить, причем единственным способом (с точностью до порядка
множителей), в виде произведения его старшего коэффициента и нескольких
многочленов с действительными коэффициентами, линейных вида х — с, соот-
ветствующих его действительным корням, и квадратных вида x2-[-px-\-q, соот-
ветствующих парам его сопряженных комплексных корней.
Пример 8.3. Разделить многочлен f (х) =х5 —2х3 + 2х2 —Зх + 5 на х—1.
Коэффициенты многочлена: а0=1, ai=0, а^=—2, а3=2, о4=—3, а3 = 5.
Коэффициенты частного q(x) = b3x*b{X3-\-bix2-\-b3x-)-bi и остаток г находим
по схеме Горнера, считая с= 1:
с 1	О	— 2	2	-3	5
1 1	1-1+0=1 Ы-2= — 1 1-( — 1)+2=1 1 • 1 —3= —2 1 • ( —2)+5=3
Следовательно, частное q(x) = х4+х3 — х2 + х — 2, а остаток г = 3.
Пример 8.4. Вычислить значение многочлена f(x) = 2х5 — 4х4 + 5х3 —
— 26х2—17х + 9 при х = 3.
По схеме Горнера находим:
с 2	—4	5	-26	— 17	9
3	2	3-2 —4 = 2	3-2 + 5=11	3-11—26 = 7 3-7 — 17 = 4 3-4 + 9 = 21
Итак, г = 21; поскольку/(с) = г, то f(3)=2\.
Пример 8.5. Показать, что число х = 4 является корнем многочлена
Их) = Зх4 - 2х3 - 47х2 + ЗОх - 8.
С помощью схемы Горнера покажем, что г=/(4)=0:
с	3	—2	-47	30	-8
4	3	4-3 — 2=10 4• 10 —47= — 7 4( — 7)+30 = 2	4-2-8 = 0
Так как г = 0, то [(4) =0, х = 4 — корень многочлена.
Пример 8.6. Найти многочлен третьей степени, корни которого он = 1,
а2 = —2, <хз = 3.
Воспользуемся формулами Виета. При п=3 многочлен (8.7) и формулы
(8.8) принимают соответственно вид
/(х) =х3 + а|Х2 + а2х + а3, Qi = — (ai + <х2 + аз),
а2 = а|а2 + <Х1<хз + а2аз, а3=—aic^as.
Подставляя в последние три формулы значения корней, получаем а,=
= -(1-2 + 3) = -2, a2= 1 • ( —2) + 1-3+( —2)3= —5, а3= - 1 (-2)3 = 6.
Следовательно, /(х) =х3 —2х2 —5х + 6.
Пример 8.7. Найти многочлен четвертой степени, имеющий корни
<Х|= — 1, а2 = 2, <х3 = 4, а4 = 5.
При п — 4 многочлен (8.7) и формулы (8.8) запишутся так:
f (х) =x4 + aix3 + a2x2 + a3x + a4,
а> = — (а । + аг + ссз + сс4),
ц2 = <Х|0с2 + <Х|аз + <Х|<х4 + <х2аз + агсс4 + а3сс4,
а3= — (а1а2аз + <Х|<Х2а4 + а|аза4 + а2аз<Х4),
а4 = а|<Х2<хза4.
По этим формулам находим а, = — 10, аг = 27, а3=—2, а4=—40. Итак, f(x) =
= х4 — 1 Ох3 + 27 х2 — 2х — 40.
118
8.3.	Квадратные уравнения
Алгебраическим уравнением n-й степени с одной переменной х назы-
вается уравнение вида
aoxn + alx"~i --)-a„-ix+a„ = 0,	(8.9)
где а0, а..— заданные числа, называемые коэффициентами.
Корнем алгебраического уравнения (8.9) называется такое значение пере-
менной х==с, при котором оно обращается в тождество, т. е. а^с"+ • • •
• • * +ап-|С + оя = 0.
Выражение <решить уравнение» означает найти все его корни.
Квадратным называется уравнение вида
ax2-f-bx-f-c = 0 (а#=0).	(8.10)
Корий уравнения (8.10) вычисляются по формуле
Выражен ие
D = b!—4ac
называется дискриминантом квадратного уравнения (8.10).
Если а, Ь, с — действительные числа, то квадратное уравнение (8.10) при
D> 0 имеет два различных действительных корня, при D=0 — два равных
действительных корня, при D<0 — два комплексно-сопряженных корня.
Отметим, что коэффициенты квадратного уравнения (8.10) могут быть
и комплексными числами. Его корни также вычисляются по формулам (8.11).
В этом случае дискриминант будет комплексным числом.
Уравнение (8.10) можно привести к виду
х2 + px-f-q = O.	(8.12)
Корни этого уравнения вычисляются по формуле
(8.13)
которая является частным случаем формулы (8.11).
Пример 8.8. Решить уравнение х2— 4х-|-13 = 0.
По формуле (8.13) получаем Х],2 = 2± д/4 —13 = 2± д/ —9. Это уравнение
имеет корни xi=24-3i, х2 = 2 — 31, где / = д/— 1 .
Пример 8.9. Решить уравнение х2—(4-|-6i)x— 5+10i = 0 с комплексными
коэффициентами.
По формуле (8.13) находим Х|, 2= (2 + 31) ± д/(24- 3»)2 — ( — 5+ 101) =
= (24-31) ±д/4+ 12i + 9i2 + 5- 10/ = (24-31) =Е = (24-31) ± (1 +1); xt=3 +
4-4i, х2= 14-2/.
8.4.	Кубические уравнения
Кубическим называется уравнение
х3 4- ах2 4- Ьх+ с = 0.	(8.14)
Это уравнение с помощью формулы x = z— а/3 можно привести к виду
z34-pz4-? = 0.	(8.15)
Корни кубического уравнения (8.15) вычисляются по формуле z = u-\-v, где
119
или
Все три корня уравнения (8.15) определяются следующими формулами:
Z|b=u!-|-oi, z2 = uie + oie2, z3 = «ie2 + nie,	(8.18)
где ul—любое из трех значений и, определяемых первой из формул (8.16),
vi — то из трех значений v, которое соответствует Ui на основании равенства
Зиг>+р = 0,	(8.19)
— кубические корни из единицы.
Дискриминантом уравнения (8.15) называется выражение
-4р3-27<?2 = - 108(-f- +	.
Уравнение (8.15) при D<zO имеет один действительный и два комплексно-
сопряженных корня: при 0=0 — три действительных корня, причем два равных;
при D> 0 — три различных действительных корня.
Замечание. Третий случай (D> 0) называется неприводимым. В этом
случае все корни уравнения (8.15) с действительными коэффициентами
являются действительными, однако для нахождения их по формуле (8.17)
следует извлекать кубические корни из комплексных чисел.
Формула (8.17) называется формулой Кардано. Правило, соответствующее
этой формуле, впервые опубликовано в книге итальянского ученого Д. Кардано
«Великое искусство или о правилах алгебры» (1545). Это правило решения
кубического уравнения было получено ранее (1535) другим итальянским
математиком Н. Тартальей.
Пример 8.10. Решить уравнение z3— 6z + 9 = 0. Это уравнение вида
(8.15), для которого р=—6, р = 9. Составим выражение
<?2 , Р3 = 92	(-6)3 _ 81	49
4	27	4	3 З3 4	°	4 '
По формулам (8.16) находим и и v:
Следовательно, «, = —1, vi = —2, равенство (8.19) выполняется. По фор-
мулам (8.18) с учетом формул (8.20) находим
2| = U1 4-О|= —3,
z2 =u,e + v,e2= ( - 1) (-+ (-2)(-----------------J----[2^ =
120
2 ।	3 л/З .
Z3 = «|82 4-0,8 = ~2------I-
Замечание. Корни zj и z3 можно найти и другим способом. Так как
z,= —3— корень уравнения, то многочлен z3 — 6z + 9 делится на (z-4-З). Про-
изведя это деление, получим z3 — 6z-|-9 = (z-f-3) (z2 — 3z + 3). Данное уравнение
примет вид (z + 3) (z2 —3z + 3) =0, откуда z4-3 = 0, z2 —3z-|-3 = 0. Последнее
уравнение имеет корни
3 , л/3 . з	т/З .
г2— 2 + 2	2з~ 2	2 '
Пример 8.11. Решить уравнение х3 — 5х24-8х —6 = 0.
Разложим на множители многочлен в левой части уравнения: х3— 5х2 +
4-8х —6 = х3 —Зх2 —2х24-6х4-2х —6 = х2(х —3) -2х(х-3) 4-2(х-3) = (х-3) X
Х(х2 —2x4-2). Данное уравнение примет вид (х —3) (х2 —2х-|-2) =0 и распа-
дается на два уравнения: х—3 = 0, х2 — 2х4-2 = 0, которые имеют корни xi = 3,
Х2= 1 44 Х3 = 1 —
8.5.	Уравнения четвертой степени
Алгебраическое уравнение четвертой степени
х4 4- ах3 4- Ьх2 4- сх 4- d = 0
с помощью подстановки x = z — а/4 можно привести к уравнению
z44-pz24-<7z4-r = O,	(8.21)
в котором коэффициент при z3 равен нулю.
Это уравнение можно записать так:
(z24-p/2 4-a)2— (2az2 — qz + (а2 + pa —r +р2/4)) =0,	(8.22)
где a — вспомогательный параметр. Значение параметра выберем так, чтобы
вычитаемый многочлен был полным квадратом. В этом случае многочлен имеет
два равных корня, так как его дискриминант равен нулю, т. е.
q2— 4-2a(a24-pa — r-^-p2/4)=0.	(8.23)
Уравнение (8.22) принимает вид
(/ + -f- +ao)2 -2a0(z- -£-) =0,	(8.24)
где a» — отличный от нуля корень уравнения (8.23).
Уравнение (8.24) распадается на два квадратных уравнения:
г2 —	4- ( —к—F «о 4----= 0’
\ 2	2д/ао2
(8.25)
z2 4- -\j2a0z -)- f -Н ао--= 0-
\ 2	2-уао2
Корни этих уравнений будут корнями уравнения (8.21).
Пример 8.12. Решить уравнение z4 — 5z2-f-4 = 0.
Это уравнение вида (8.21), для которого р=—5, р = 0, г = 4. Уравнение
(8.23) в данном случае сводится к квадратному уравнению относительно пара-
121
метра а:а2 —5а —4 + 25/4 = 0, или а2 —5а+ 9/4 = 0, которое имеет корни
а, =9/2, аг=1/2. При а0=1/2 уравнения (8.25) запишутся так: г2 —г —2 = 0,
z2 + z —2 = 0. Первое из них имеет корни z1 = —1, гг = 2, а второе — zi = l,
Z2=—2. Эти числа являются и корнями исходного уравнения.
Пример 8.13. Решить уравнение х4 + 4х3 + 7х2— 4х— 8 = 0. Разложим
на множители многочлен в левой части уравнения: х4+4х3 + 7х2 — 4х—8 =
= (х4 —х2) + (4х3 —4х) + (8х2 —8) = х2(х2 — 1) +4х(х2— 1) +8(х2-1) = (х2— 1 > X
X (х2 + 4х + 8).
Следовательно, уравнение примет вид (х2—1) (х2 + 4х + 8) =0, откуда
х2— 1 =0, х2 + 4х + 8 = 0; х, = — 1, х2= 1, х3= —2 + 27, х4 = — 2 — 21.
8.6.	Решение алгебраических уравнений
способом разложения многочлена на множители
Если ai,a2.....a„ — корни многочлена f(x) =aox" + aix"_'+...+
+ a„_ix + a„, то уравнение (8.9) можно записать так:
а0(х —а,) (х —аг) ... (х—а„)=0.
Если а и а — сопряженные комплексные корни, то (х —а)(х —а) =
= х2 + рх + (?, где р и q— действительные числа (р = —(а + а), <? = аа).
Предположим, что левая часть уравнения (8.9) разложена на множители
вида х — с и х2 + рх+р. Приравнивая нулю каждый множитель, получаем урав-
нения, каждое из которых является линейным или квадратным. Корни этих
уравнений будут корнями уравнения (8.9).
Пример 8.14. Решить уравнение х3 — 5х2 + 8х —6=0.
Разложим на множители многочлен в левой части уравнения:
х3 —5х2 + 8х —6 = х3 —Зх2 —2х2 + 6х + 2х —6 = х2(х — 3) — 2х(х-3) +
+ 2(х — 3) = (х —3) (х2 —2х + 2).
Данное уравнение принимает вид (х —3) (х2 —2х + 2) =0 и распадается
на два уравнения: х —3 = 0, х2 —2х + 2 = 0, которые имеют корни Xi=3, х2= 1 — i,
Хз= 1 +«.
Пример 8.15. Решить уравнение х4 — 5х3+5х2 + 5х —6 = 0.
Так как х4 —5х3 + 5х2 + 5х —6 = х4—5х3+5х2 + 5х—5—1 = (х4—1) + ( —5х3 +
+ 5х2) + (5х —5) = (х2—1) (х2+1) —5х2(х—1) + 5(х - 1) = (х2—1)(х2+1) —
— 5(х—1)(х2— 1) = (х2 — 1)(х2+1— 5(х— 1)) = (х2— 1)(х2-5х + 6), то (х2 —
— 1) (х2 —5х + 6) =0, откуда х2 —1=0, х2 — 5х + 6 = 0, Xi = — 1, х2 = 1, х3 = 2,
х4 = 3.
Пример 8.16. Решить уравнение х4 + 4х3 + 7х2 — 4х—8=0.
Поскольку х4 + 4х3 + 7х2 —4х —8 = х4 + 4х3 + 8х2 —х2 —4х —8 = (х4 — х2) +
+ (4х3 —4х) + (8х2 —8) = х2[х2-1)+4х(х2-1)+8(х2—1) = (х2—1)(х2 + 4х +
+ 8), то (х2 — 1) (х2 + 4х + 8) =0, х2 — 1 =0, х2+4х + 8 = 0, xi = — 1, х2 = 1, х3 =
= — 2 + 2i, ,х4 = — 2 — 21.
Пример 8.17. Решить уравнение х5 —х4 —81х + 81 =0. Так как х5—х4 —
-81х + 81=х4(х—1)—81(х-1)= (х— 1) (х4 — 81) = (х—1) (х2 —9) (х2+9), то
(х — 1) (х2 —9) (х2 + 9) =0, откуда х — 1 =0, х2 —9 = 0, х2 + 9 = 0; Xi = 1, х2= — 3,
х3 = 3; х4=—3i, x5 = 3i.
Замечание. Алгебраические уравнения п-й степени (п^5) в общем
случае в радикалах не решаются, т. е. не существует формул, которые давали бы
возможность вычислить корни уравнения по его коэффициентам. Это впервые
доказал норвежский математик Н. X. Абель. Однако имеются частные виды
уравнений любой степени, разрешимые в радикалах (например, х" = а). Вопрос
о том, каково необходимое и достаточное условие для того, чтобы алгебраи-
ческое уравнение решалось в радикалах, исследовал французский математик
Э. Галуа.
122
8.7.	Разложение дробной рациональной функции
в сумму элементарных дробей
Целой рациональной функцией называют алгебраический многочлен.
Дробной рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение
двух многочленов:
о (м =	= 00^ + 01^""'+---+Ол~1Х4-Оп	,8 26)
Qm(x) ЬоХ" Ь\Х" 1 4“ ... 4" Ьп— lX-f- bm
Если m> n, то рациональная дробь называется правильной.
Элементарными дробями называются рациональные дроби вида
А	Вх -|- С
(х-с)я ' (x2+px+q)" '
где п, т — натуральные числа; с, р, q, А, В, С — действительные числа; (р2/4) —
— q<zO (корни трехчлена x2 + px + q являются комплексными).
Всякую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму эле-
ментарных дробей на основании следующей теоремы.
Теорема 8.5. Если дана правильная рациональная дробь (8.26) и
Q(x) = (x—ct)n' ... (х— d)n'(x2+pix + pi)m' ... (x2 + psx + <7s)ms,
где ci(i—1,2,..., г) — попарно различные действительные корни многочлена
Q(x) кратности nr, х2 + р4х + <7*= (х —аЦ (х —а*), где а» и а* (й = 1,2, ... , s) —
попарно различные при разных k корни многочлена (?(х) крайности mt, то
существуют действительные числа
A"(j = I, 2.г; п=1,2....щ), ВТ, СТ (k = 1,2, ... , s; m=l,2.mk)
такие, что
Р{х) _ Д|	Д2	Д"1
Q(x) х — с\ + (х —cj2	(х—Ci)"1
Bjx+C;	В\х+С\	В™'х + С?'
+	-- +	+ - + -т^т—+-
X +Р1Х + Р1	(х2 + р,х + р1)2	(x2 + pix + <?i)
В'х+С‘ Bfx + C2	ДГ-х + СГ’
x2 + psx+ps	(х2 + psx + qs)2	"	(x2 + psx + qs)m'
Отметим, что каждому действительному корню с кратности / соответствует
сумма I элементарных дробей вида Д/(х—с)":
Д| . Дг .	. Ai
х — с	(х —с)2	(х—-с)1 ’
а каждой паре комплексно-сопряженных корней а и а (таких, что
(х —а) (х —а) =х2 + рх + р) кратности m — сумма элементарных дробей вида
(Bx + C)/(x2 + px + q)-.
B]X-\-Ci	В?Х-\-С2	.	. BmX-[-Cm
x2 + px + q (x2+px + q)2	(x24-px + <7)m
123
Пример 8.18. Разложить в сумму элементарных дробей рациональную
дробь (7х2 — х + 1) / (х3 + 1).
Так как х3 + 1 = (х + 1) (х2 — х + 1), то искомое разложение имеет вид
7х2—х+1 _	7х2- х+1	_ А Вх+С
х34-1	~ (х+1) (х2 —х+1)	х + 1 X2 —х+1
где коэффициенты А, В, С пока не определены.
Приводя к общему знаменателю правую часть и сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях х, получаем
7х2 —х+1 _ (Д + В)х2+ (В + С —4)х + Л + С
х3 +1	“	х3 +1
7х2 —х+1 = (Л + В)х2+ (В + С — Л)х+ (Л+С),
Л + В = 7, В + С — Л= —1, Л + С=1.
Из этой системы уравнений находим Л=3, В = 4, С=—2. Следовательно,
7х2 —х+1 _	3	4х —2
х3+1	~ *+1 + х2 —х+1
Пример 8.19. Разложить в сумму элементарных дробей рациональную
дробь (х2 + х+1)/(х3 — Зх + 2).
Разлагая знаменатель на множители, получаем х3— Зх + 2=х3—х — 2х —
— 2 = х(х2—1) — 2(х—1) = (х—1) (х(х+1) — 2) = (х—1) (х2—1) + (х—1) = (х —
-1)2(х + 2).
Данную рациональную дробь представим в виде суммы элементарных дробей
х2 + %+1	_В_	__С__
х2 —Зх + 2 х + 2 х—1	(х-1)2	' ’
откуда
х2 + х+1=Л(х-1)2 + В(х-1)(х + 2)+С(х-Н2)(	(II)
или
х2 + х+1 = (Л + В)х2+(В + С —2Л)х+(Л—2В + 2С).
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем уравнения
Л + В = 1, В + С —2Л = 1, Л —2В + 2С=1, из которых находим Л = 1/3, В = 2/3,
С=1.
Следовательно, разложение (I) примет вид
х2 + х+1	12	1
Х3-Зх + 2	3(х+2) ' 3(х—1) + (х-1)2'
Замечание. Коэффициенты Л, В, С разложения (I) можно получить
и другим способом. Полагая в тождестве (II) х=1, получаем 3 = С-3, С=1.
Положив в этом тождестве х=—2, получим 3 = Л( — З)2, откуда Л = 1/3. Ана-
логично при х = 0 находим 1 =Л — 2В + 2С, В = 2/3.
Г л а в a 9
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
9.1.	Линейное пространство. Подпространство
Линейным действительным пространством или векторным действитель-
ным пространством называется множество V элементов х, у, z, ... , для которых
определены операции сложения элементов и умножения элемента на действи-
тельное число, удовлетворяющие следующим аксиомам: I. х4-у=у 4-х, II. (х-|-у)4-
+ z=x-|- (y-f-z), III. Существует нулевой элемент 0 такой, что х4-0 = х,
IV. Для каждого xelz существует противоположный элемент —х такой, что
х4~( — х)=0, V. 1-х = х, VI. <z((Jx) = (а(5)х, VII. а(х4-у) =ах4-ау, VIII. (а-Ь
4-₽)х = ах4-0х.
Эти аксиомы выполняются соответственно для всех х, у, zel', а,[1ек.
Элементы действительного линейного пространства называются векторами.
Замечание. Аналогично определяется комплексное линейное простран-
ство: вместо множества R действительных чисел рассматривается множество
С комплексных чисел.
Из определения линейного пространства вытекают следующие утвержде-
ния.
1.	В линейном пространстве имеется единственный нулевой элемент.
2.	Для любого элемента х линейного пространства существует единственный
элемент —х.
3.	Для элемента —х противоположным будет элемент х.
4.	Для любого элемента х произведение 0х = 0, где 0 — нуль, 0 — нулевой
элемент.
5.	Для любого элемента х ( —1)х=—х, где ( — х) —элемент, противо-
положный х.
6.	Для любого числа а произведение а0 = 0, где 0 — нулевой элемент.
7.	Если ах = 0 и а=/=0, то х = 0.
8.	Если ах = 0 и х=#=0, то а = 0.
Равенство ах = 0 выполняется тогда и только тогда, когда а = 0 или х = 0.
Замечание. Сумму х-р(—у) обозначают х—у и называют разностью
элементов х и у.
Примеры линейных пространств.
1.	Множество V3 всех свободных векторов a(ai,a2, аз), для которых опре-
делены сложение и умножение вектора на число так, как в п. 3.2, является
линейным пространством. Отметим, что роль нулевого элемента здесь играет
нуль-вектор; для любого вектора а противоположным является —а. Аксиомы
I —VIII выполняются, о чем свидетельствуют формулы п. 3.2.
2.	Множество всех матриц размеров тХп, для которых определены сло-
жение матриц и умножение матрицы на число соответственно формулами (5.2),
(5.4). Роль нулевого элемента здесь играет нулевая матрица; для матрицы
противоположной является матрица (—а^)„п. Аксиомы I — V1III вы-
полняются (см. п. 5.2, свойства 1—8 линейных операций над матрицами).
3.	Множество {Р„(х)| всех алгебраических многочленов степени, не пре-
вышающей натурального числа п, для которых операции сложения многочле-
нов и умножения многочлена на действительное число определены обычными
правилами. Нулевой элемент — многочлен, все коэффициенты которого равны
нулю; для многочлена Р„(х) = aox"4-aix',_ 1 4- • • • + arl_lx-)-a„ противоположным
будет —Р,(х) = —аох"—a,*"-1 — • • • —a„-ix — а„.
125
Замечание. Множество всех многочленов степени, точно равной на-
туральному числу п, не является линейным пространством, так как сумма двух
таких многочленов может оказаться многочленом степени ниже п (т. е. не при-
надлежать рассматриваемому множеству).
4.	Множество Ап, элементами которого являются упорядоченные совокуп-
ности п действительных чисел (х,, х2, ... , х„). Каждый элемент этого множества
будем обозначать одним символом, например х, у, ... , и писать х=(х,,х2, ...
... ,хл), у= (i/i, 1/2.Уп),... Действительные числа xi,x2.х„ называют ко-
ординатами элемента х. Линейные операции над элементами А„ определяются
формулами х + у= ((xi +t/i), (Х2 + 1/2).(х„4-1/„)), ах= (ахь ах2...ах„).
Отметим, что элемент 0= (0,0, ... , 0) является нулевым, элемент —х =
= ( — Xi, —х2,... , —хп) —противоположным элементу x=(xi,x2, ... ,х„).
5.	Множество С[а, 6] всех функций х=х(/), определенных и непрерывных
на отрезке [а,/>]. Операции сложения этих функций и умножения функции на
число определяются обычными правилами. Нулевым элементом является функ-
ция х(1)з0 для всех /е [а, 6]. Элементом, противоположным элементу х(/),
будет — x(t).
Множество IVczV называется подпространством линейного пространства К,
если выполняются следующие условия: 1. В множестве W определены те же
операции, что и в множестве V. 2. Если х, ye W, то х + уе W. 3. Если хе IV, то
axelV. Очевидно, всякое подпространство IV линейного пространства V явля-
ется линейным пространством, т. е. в IV выполняются аксиомы I — VIII. Прежде
всего, в IV имеется нулевой элемент 0: если хе IV, то 0x = 0e IV. Для любого
элемента хе IV имеется противоположный элемент —х: если хе IV, то (— 1)х =
= - хе IV.
Отметим, что нулевой элемент 0 линейного пространства V образует под-
пространство этого пространства, которое называют нулевым подпространством.
Само линейное пространство V можно рассматривать как подпространство
этого пространства. Эти подпространства называют тривиальными, а все другие,
если они имеются, — нетривиальными. Приведем примеры нетривиальных под-
пространств. 1. Множество V2 всех свободных векторов a(ai,a2), параллель-
ных некоторой плоскости, для которых обычным образом определены опера-
ции сложения векторов и умножения вектора на число, представляет подпрост-
ранство линейного пространства V3. 2. Множество Vi всех свободных векторов
а (а,), параллельных некоторой прямой, также является подпространством ли-
нейного пространства V3. 3. Множество (Рп_,(х)) всех алгебраических мно-
гочленов степени, не превышающей натурального числа п — 1, является под-
пространством линейного пространства { Рп(х) ).
9.2.	Линейная зависимость и линейная независимость
векторов линейного пространства
Рассмотрим векторы (элементы) Х|, х2..хп линейного пространства.
Вектор у= <xiXi + tz2x2+ • • • -)-а„х„, где си, а2,..., «„ — некоторые числа, назы-
вается линейной комбинацией векторов х>, х2,... , х„, а числа ai, а2,..., ая—
коэффициентами этой линейной комбинации. Если все числа a,- (i = 1,2, ... , п)
равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной. Если хотя бы
одно из чисел а, отлично от нуля, линейная комбинация называется нетривиальной.
Система векторов
xi,x2..х„	(9.1)
называется линейно зависимой, если существуют числа
ai.az..а.п,	(9.2)
не все равные нулю, такие, что
a,Xi + а2х2-|---|-а„х„=0.	(9.3)
126
Если таких чисел не существует, т. е. равенство (9.3) выполняется только
в случае
<xi = а2 = • • • =ал — 0,	(9.4)
то система векторов (9.1) называется линейно независимой.
Другими словами, векторы (9.1) называются линейно зависимыми, если
существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нуль-вектору, и
линейно независимыми, если только их тривиальная линейная комбинация явля-
ется нуль-вектором.
Из определения линейной зависимости и линейной независимости векторов
вытекают следующие утверждения.
1.	Всякая система векторов, содержащая нуль-вектор, является линейно
зависимой.
2.	Если k(k<.n) векторов системы (9.1) линейно зависимы, то и вся сис-
тема линейно зависима.
3.	Если из системы линейно независимых векторов Xi, х2, ... , х„ отбросить
г(г<.п) векторов, то оставшиеся векторы образуют также линейно незави-
симую систему.
4.	Если среди векторов системы (9.1) имеются такие векторы xj и хт, что
Х4 = Хх„, где А. — некоторое число, то система (9.1) линейно зависима.
Теорема 9.1. Векторы хь х2........х„ линейно зависимы тогда и только
тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех остальных.
Эта теорема выражает необходимое и достаточное условие линейной за-
висимости п векторов Xi, х2, ... , х„.
Два вектора линейного пространства называются коллинеарными, если они
линейно зависимы, и неколлинеарными, если они линейно независимы. Три век-
тора линейного пространства называются компланарными, если они линейно
зависимы, и некомпланарными, если они линейно независимы. Введенные по-
нятия коллинеарности и компланарности векторов линейного пространства
совпадают с известными из аналитической геометрии понятиями коллинеарности
и компланарности обычных векторов.
9.3.	Размерность и базис линейного пространства.
Изоморфизм линейных пространств
Число п называется размерностью линейного пространства У, если
выполняются следующие условия: 1) в V существует п линейно независимых
векторов; 2) любая система « + 1 векторов из У линейно зависима. Размер-
ность линейного пространства V обозначают dim У (от французского слова
dimension — размерность). Если пространство состоит из одного нулевого эле-
мента, то его размерность считают равной нулю. Размерность линейного про-
странства — это наибольшее возможное количество линейно независимых эле-
ментов в нем. Понятие размерности согласуется с наглядным представлением
о ней; так, пространство Уз всех свободных векторов является трехмерным
(dim Уз = 3), пространство У2— двумерным, пространство У:—одномерным.
Базисом n-мерного линейного пространства V„ называется любая упоря-
доченная система п линейно независимых векторов этого пространства. При-
ведем примеры базисов некоторых линейных пространств. Базис пространства
Уз образует любая тройка некомпланарных векторов, так как эти векторы ли-
нейно независимы (см. теорему 3.4), и любая четверка векторов линейно зави-
сима (см. теорему 3.6). Базис пространства Уг образуют два любых некол-
линеарных вектора, поскольку они линейно независимы (см. теорему 3.2), и
любой вектор плоскости, определяемой этими двумя векторами, можно разложить
по ним (см. теоремуЗ.З). Базисом линейного пространства У> является любой
ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой.
Линейное пространство, в котором имеется базис, состоящий из конечного
числа векторов, называется конечномерным. Примерами конечномерных прост-
ранств являются пространства Vt, У2, Уз, Ап.
127
Линейное пространство Ап является n-мерным, а его базис образует система
векторов е, = (1,0, ... , 0), е2= (0, 1, 0, ... , 0), е„ = (0, 0, ... , 0, 1).
Линейное пространство называется бесконечномерным, если при любом на-
туральном числе т в нем найдется т линейно независимых векторов. При-
мером бесконечномерного пространства может служить линейное пространство
С[а, ft] всех функций x = x(t), определенных и непрерывных на отрезке [а, 6].
Два линейных пространства И и U называются изоморфными, когда между
их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что
если Х1++у,, х2-<-<-у2, где хь x2el'’, yi,y2et/, то (xi +х2)**(У1 + уг), axi-way,,
где а — действительное число.
Теорема 9.2. Два линейных пространства изоморфны тогда и только
тогда, когда они имеют одинаковую размерность.
В частности, пространство V3 (всех свободных векторов) и пространство
Аз (всех упорядоченных троек действительных чисел) изоморфны. Отметим также,
что каждое конечномерное линейное пространство размерности п изоморфно
линейному пространству Л„.
9.4.	Координаты вектора линейного пространства
Теорема 8.3. Если ei, е2,..., еп— базис линейного п-мерного про-
странства Vn, то любой вектор х этого пространства линейно выражается через
базисные векторы ei, е2,... , е„, т. е.
x = atei+а2е2-|----(-але„.	(9.5)
Коэффициенты а,, а2, ... , ап этого разложения определяются однозначно.
Выражение (9.5) называется разложением вектора х по базису еье2..е„.
Координатами вектора х в базисе ei, е2, ... , е„ называются коэффициенты
ои, а2, ... , <хп в разложении этого вектора по данному базису, т. е. в формуле
(9.5). Если вектор х в некотором базисе имеет координаты ои, а2, ... , то пишут
х= (оы, а2...а«), или х(си, а2..аД.
Операции над векторами сводятся к операциям над их координатами на
основании следующих свойств.
1.	Вектор является нулевым вектором линейного пространства тогда и только
тогда, когда все его координаты в любом базисе равны нулю.
2.	Координаты суммы двух векторов в некотором базисе равны сумме со-
ответствующих координат данных векторов в том же базисе.
3.	Координаты произведения вектора на число равны произведению со-
ответствующих координат на это число (в одном и том же базисе).
4.	Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствую-
щие координаты в одном и том же базисе.
5.	Вектор у является линейной комбинацией векторов xi,x2,... ,х„ тогда
и только тогда, когда каждая координата вектора у является такой же линейной
комбинацией соответствующих координат этих векторов в одном и том же базисе.
Пример 9.1. Пусть Л4— четырехмерное линейное пространство с бази-
сом ei,e2, ез, е4. Найти координаты векторов ез и х = 3е,—5ез + 7е4 в этом базисе.
Представим каждый из векторов ез и х в виде (9.5). Так как ез = 0е| +
+ 0е2-|-1ез + 0е4, то вектор ез имеет координаты (0, 0, 1, 0). Поскольку х =
= 3е> +0е2 — 5ез + 7е4, то вектор х имеет координаты (3, 0, —5, 7).
Пример 9.2. В некотором базисе даны векторы х(1, 2, —2, —1, 3),
у (4, —3, —2, 1, —1). Найти координаты вектора 5х —Зу.
Так как 5х=(5, 10, —10, —5, 15), —Зу = (—12, 9, 6, —3, 3), то вектор
5х — Зу = 5х+ ( — Зу) имеет координаты ( — 7, 19, —4, —8, 18).
128
9.5.	Ранг системы векторов линейного
пространства
Рассмотрим систему т векторов
ai = (ai 1, 021, ••• ,	1)
a2=(ai2, Я22......а„2)
(9.6)
Вт = (О|т. «2т,	, Опт)
линейного «-мерного пространства, координаты которых заданы в одном и том
же базисе. Системе векторов (9.6) поставим в соответствие матрицу
Дц Д12 ••• d\m
А= Д21	а22 ••• &2т
(9.7)
_ @nl Дд2 ••• Clnm .
в k-м столбце которой записаны координаты вектора а*(£=1,2.....т). Мат-
рицу (9.7) называют матрицей системы векторов (9.6) в данном базисе, а ранг
этой матрицы — рангом системы векторов а,, а2,... , ат. Обратно, если дана
матрица (9.7), то ей можно поставить в соответствие систему (9.6) т векторов
линейного «-мерного пространства. Согласно свойству 5 п. 9.4, будем говорить,
что столбцы матрицы (9.7) линейно зависимы, если векторы (9.6) линейно
зависимы и обратно.
Теорема 9.4. Для того чтобы m векторов п-мерного линейного простран-
ства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
этой системы был равен т.
Следствие 1. Система п векторов п-мерного линейного пространства
линейно независима тогда и только тогда, когда матрица этой системы векторов
является невырожденной.
Следствие 2. Если ранг матрицы системы m векторов линейного простран-
ства равен г, то максимальное число линейно независимых векторов этой системы
равно г.
Пример 9.3. Найти максимальное число линейно независимых векторов
в системе а> (1, 1, —1, —1), а2(1, 2, 3, 4), аз(8, 7, 6, 5), а4(— 1, —1, 1, 1).
Матрица данной системы векторов имеет вид
’	1	1-1 -II
!	2	3	4
А~ 8	7	6	5	'
.-1	-1	1	1.
Так как ранг этой матрицы равен 3 (см. пример 5.16), то максимальное
число линейно независимых векторов этой системы равно 3.
Теорема 9.5. Максимальное число линейно независимых строк всякой
матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, т. е.
равно рангу этой матрицы.
9.6.	Преобразование координат вектора
при изменении базиса
В линейном «-мерном пространстве Vn фиксируем два базиса
ei, е2,... ,е„,	(9.8)
е(, е$,... ,е;.	(9.9)
Матрицей перехода от базиса (9.8) к базису (9.9) называется матрица системы
129
векторов (9.9) в базисе (9.8). Каждый вектор системы (9.9) можно разложить
по базису (9.8). Пусть
(9.10)
е' =/це| +/2162+ ... + 6пел,
63 = ^1261 -(-/2262+ ... Н“^п2в«,
еп = Л«С1 Н-/2Лег+ ... -|-/ллел,
тогда матрица перехода от базиса (9.8) к базису (9.9) имеет вид				
	-tlt	Л2	... t In	
Т=	61	<22	... Gn	(9.11)
		1п2	... inn	
Матрица перехода от одного базиса к другому невырожденная (так как
базисные векторы линейно независимы). Всякую невырожденную матрицу п-го
порядка можно рассматривать как матрицу перехода от одного базиса п-мерного
линейного пространства к другому базису этого пространства. Очевидно, матри-
ца Т~', обратная матрице (9.11), является матрицей перехода от базиса (9.9)
к базису (9.8).
Теорема 9.6. Если хь х2....хп — координаты вектора х в базисе ei, е2,...
... ел; xj, Хз.х' —координаты того же вектора в базисе е(, е'2,..., е', го
где
Х=ТХ',
(9.12)
(9.13)
Т — матрица, определяемая формулой (9.11).
Замечание. Теорема 9.6 выражает старые координаты Х1,Хг,... ,хя
вектора х через его новые координаты. Чтобы получить формулы, выражающие
новые координаты через старые, умножим слева равенство (9.12) на матрицу
Г-1, обратную матрице Т, получим Т~ 1Х— Т~1ТХ', Т~'Х = Х' или Х’=1 'X.
Пример 9.4. В пространстве V2 рассмотрим базис ei=i, e2=j, где i, j —
орты, и базис e(=i', e2=j', где i', j' — орты, причем 1' образует с i угол <р (рис.
9.1). В данном случае i' = i cos q> + j sin ср, j' =—i sin <p + j cos <p. Матрица пере-
хода от базиса i, j к базису i', j' имеет вид
[cos <р
sin ср
— sin ср
cos <р
Если вектор а имеет координаты х, у'в базисе i, j; х', у' — в базисе i', j', то
x=x'cos ср — c/'sin ср, c/ = x'sin <p-f-t/'cos ср.
9.7.	Евклидово пространство
Определение евклидова пространства. В линейном действительном
пространстве V, кроме операций сложения векторов и умножения вектора на
действительное число, введем еще одну операцию, которую назовем скалярным
умножением векторов. Каждой упорядоченной паре векторов х, yeV поставим
в соответствие действительное число, которое назовем их скалярным произведе-
но
нием и обозначим (х, у). Потребуем, чтобы для любых х, у.ге/ и любого
числа aeR выполнялись следующие аксиомы: I. (х, у) = (у, х), II. (х + у, z) —
= (х, z)-|-(у, z), III. (ах, у) = а(х, у), IV. (х, х)>0 для всех х=#=0, (х, х)=0
для х = 0
Очевидно, скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векто-
ров нулевой: (0, у) = (Ох, у) =0(х, у) =0.
Скалярное произведение (х, х) вектора х на себя называется скалярным
квадратом этого вектора и обозначается х5, т. е.
(х, х)=х2.	(9.14)
Евклидовым пространством называется линейное действительное пространст-
во, в котором задана операция скалярного умножения векторов, удовлетворяющая
аксиомам I — IV. Если n-мерное линейное пространство является евклидовым,
то будем называть его евклидовым n-мерным пространством, а базис этого
линейного пространства — базисом евклидова пространства.
Примеры евклидовых пространств. 1. В линейном пространстве V3 скалярное
произведение двух векторов а и b определим так, как в п. 3.6; аксиомы I — IV
для него будут выполнены (см. свойства скалярного произведения и определение
скалярного квадрата вектора).
Следовательно, линейное пространство V3 всех свободных векторов с обычным
определением скалярного произведения является евклидовым пространством.
2.	Рассмотрим n-мерное линейное пространство А,, упорядоченных совокуп-
ностей п действительных чисел. Скалярное произведение двух его элементов
х= (xi, %2, ... , х„), у= (yi, t)2,... , уп) по аналогии с формулой (3.21) определим
соотношением
(X, у) =Х1у1+ХгУ2 + -+ХпУп-	(9.15)
Легко видеть, что все аксиомы I — IV скалярного произведения при этом
выполняются. Таким образом, рассматриваемое линейное пространство со ска-
лярным произведением (9.15) является евклидовым пространством, его обозна-
чают Е„.
3.	В бесконечномерном линейном пространстве С [а, 6] всех функций, непре-
рывных на отрезке [a, ft], скалярное произведение двух его функций x(t), y(t)
определим формулой
ь
(х,у)=\ x(t)y(t)dt.	(9.16)
а
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что аксиомы I — IV ска-
ь
лярного произведения будут выполнены, в частности (х, х) = J x2(t)dt>0 при
а
х(1)=/=0, (х, х)=0 при x(/)s0.
Следовательно, линейное пространство С [a, ft] с указанным определением
скалярного произведения любых двух его элементов является евклидовым
пространством.
Норма вектора евклидова пространства. Нормой вектора евклидова про-
странства называется арифметическое значение корня из скалярного квадрата
этого вектора. Норму вектора х обозначим ||х||, тогда по определению
1|Х|| =V(x, X) =т/х7.	(9.17)
Норма вектора обладает следующими свойствами: 1) ||х|| =0 тогда и только
тогда, когда х = 0; 2) ||ах|| = |а| • ||х||, где а — действительное число;
3) |(х,у)|<||х||-||у||; 4) ||х + у|К||х|| + ||у||.
Неравенством Коши — Буняковского называют неравенство
I (х, у) | < ||х|| • ||у||,	(9.18)
а неравенством треугольника — неравенство
Цх + у11 «S 1|Х||+ ||у||.	(9.19)
131
Запишем норму и неравенства (9.18), (9.19) для векторов (элементов) каж-
дого из рассмотренных выше евклидовых пространств.
В евклидовом пространстве У3 с обычным определением скалярного произ-
ведения норма вектора совпадает с его длиной, т. е.  ||а|| = |а|; это следует из
формул а2=|а|2 и (9.17). Неравенства (9.18) и (9.19) принимают соответ-
ственно вид | (а, Ь) |	|а| • |Ь|, |а + Ь| |а| + |Ь|. Отметим, что неравенство
I (a, b) | < |а|  |Ь| следует из формулы (3.18). Неравенство Ia-J-b] < |а| 4* |Ь|
следует из определений суммы векторов jh длины вектора; оно имеет простой
геометрический смысл (в треугольнике сумма длин двух сторон больше длины
третьей стороны).
В евклидовом пространстве С[а, Ь] норма элемента x(t) определяется
формулой
1|Х(О11 = д/ 5 x2(t)dt,
а
неравенства (9.18) и (9.19) принимают вид
*	/1	/"5--------
5	j x2(t)dt~yl j y2(t)dt,
a	* a	’. a
$ (x(t)+y(t))2dt^-^ j x2(t)dt+~\J j y2(t)dt.
В евклидовом пространстве En co скалярным произведением (9.15) норма
элемента х= (х,, х2,... , х„) определяется формулой
IIXII = ^x'f + xl+...+x2„.
а неравенства (9.18) и (9.19) принимают вид
I Xiy, + х2у2 + „. +х„уп\^х21+х22 + ...+х2п^у21+у22 + ...+у2,
л/(Х1 +1/1 ) 2 + (^г +j/2)2 + -.. + (Xn+j/л)2
< Vх? + х2 + --- +хл + Vl/l +1/2 + ---+1/2-
Угол между двумя векторами евклидова пространства. Углом между двумя
векторами хну евклидова пространства называется угол <р, для которого
C0S<P= 11ХЫУ11	(0^<Р<2л).	(9.20)
Отметим, что в пространстве V3 всех свободных векторов введенное понятие
угла совпадает с понятием yrJia, рассматриваемого в векторной алгебре.
Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их
скалярное произведение равно нулю. Очевидно, нулевой вектор ортогонален
любому другому вектору. В пространстве Уз ортогональность векторов означает
их перпендикулярность.
Из определений следует, что ненулевые векторы х и у ортогональны тогда
и только тогда, когда cos ip = 0.
Равенство
I (X, у) I = ||х||. ||у||	(9.21)
выполняется тогда и только тогда, когда х и у коллинеарны (у = ах). Дру-
гими словами, в формуле (9.18) равенство достигается лишь в случае кол-
линеарности векторов хну.
132
Ортонормированный базис. Система векторов a[,a2,... , а„ называется орто-
гональной, если эти векторы попарно ортогональны, т. е. (а,, а*)=0 при i^i=k.
Теорема 9.7. Ортогональная система ненулевых векторов линейно
независима.
Вектор а называется нормированным или единичным, если ||а|| = 1. Если
а — ненулевой вектор, то каждый из векторов
яо____	я°_____________Z—
1 Hall ’	2	||а||
(9.22)
будет нормированным. Нахождение для данного вектора нормированного вектора
по формулам (9.22) называется нормированием данного вектора, а множитель
ц= 1/± || а || — нормирующим множителем.
Система векторов ei.ea,... ,еп называется ортонормированной, если она
ортогональна и каждый вектор является нормированным, т. е.
О, при i=t=k,
4, при i = k,
(е<,еЛ) = |
(9.23)
где г, k = 1,2, ... , п.
Базис n-мерного евклидова пространства называется ортонормированным,
если базисные векторы образуют ортонормированную систему.
Теорема 9.8. Во всяком евклидовом п-мерном пространстве (п^2)
существует ортонормированный базис.
Выражение скалярного произведения через координаты векторов в орто-
нормированном базисе. Пусть в n-мерном евклидовом пространстве фиксиро-
ван ортонормированный базис ei,e2,... ,ел и даны векторы этого пространства
х=Х|е1+х2е2 + ...+хлел, y=i/,ei +t/2e2 + ... + </„e„.	(9.24)
Скалярное произведение этих векторов выражается формулой
(х, у) =xiyi+x2y2 + ... +х„уп.	(9.25)
Отсюда следует, что
|| х || =л/(»-х) =-7*?+*г + -+4
9.8.	Унитарное пространство
Комплексное линейное пространство U называется унитарным прост-
ранством, если каждой паре векторов х,уе(/ поставлено в соответствие
комплексное число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведе-
нием векторов х и у, причем выполняются следующие аксиомы: I. (х, у) —
= (у,х), II. (х + у, г) = (х, z) + (у, г), III. (ах, у) = а(х, у), IV. (х,х)>0,
если х^=0 для всех х, у,zeU и всех аеС(С — множество комплексных чисел).
Замечание. Черта означает комплексную сопряженность: (у, х) —
комплексное число, сопряженное комплексному числу (х, у).
Из аксиом скалярного произведения в унитарном пространстве вытекают
следующие свойства:
1)	(х, у-j-z) = (х, у) + (х, z) для любых x,y,ze(7;
2)	(х, ау) =а(х, у) для любых х.уеЬ' и любого аеС;
3)	(0, х) = (х, 0) =0 для любого хе 77;
kt	kt
4)	( X а‘х" X Р^/) = X X а/Р/(хь 1/у).
<=1 /=1 /=1 /=1
Примером унитарного пространства является множество Сл упорядоченных
систем п комплексных чисел
x=(ai,a2......a„),	y=(p,,p2....р„)....
для которых скалярное произведение определено формулой
133
(х, у) =aiPi +а2₽2 + ... + алрл,
где (J* — комплексное число, сопряженное числу 0* (k= 1,2,... , п).
Унитарным преобразованием комплексного линейного пространства назы-
вается линейное преобразование, сохраняющее положительно определенную
эрмитову форму xtxi-\-x2X2-\-...+х„х„, где xi, х2,... , х„— координаты вектора
пространства. В ортонормированном базисе относительно эрмитова произведения,
задаваемого этой формой, унитарное преобразование записывается унитарной
матрицей. Унитарной матрицей называется квадратная невырожденная матрица
А, удовлетворяющая условию А~'=АТ, где Д_| — обратная матрица, Ат —
транспонированная и комплексно-сопряженная матрица. Определитель унитарной
матрицы по модулю равен единице. Все характеристические корни унитарной
матрицы по модулю равны единице. Всякая (действительная) ортогональная
матрица есть в то же время унитарная матрица.
Глава 10
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
(ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ)
10.1.	Линейное преобразование и его матрица
Если указано правило f, по которому каждому вектору х линейного
пространства V ставится в соответствие единственный вектор у этого простран-
ства, то будем говорить, что в нем задано преобразование (отображение, опе-
ратор) f или задано преобразование пространства V в себя, и писать
Говорят также, что преобразование f переводит вектор х в вектор у, и пишут
у=/(х). Вектор у называют образом вектора х, а х—прообразом вектора у.
Преобразование, при котором каждый вектор имеет единственный прообраз,
называется взаимно однозначным (или биективным).
Преобразование f линейного пространства V называется линейным пре-
образованием (линейным оператором), если для любых векторов этого простран-
ства Х|,х2,х и любого действительного числа Л выполняются условия
1)	Hx>+X2)=f(*l)+f(X2);	2) /(Лх)=А/(х).
(Если рассматривается комплексное пространство, то X — любое комплексное
число.)
Из этих условий следует, что
f(ax1+₽x2)=af(x1)+pf(x2),	(10.1)
где а, 0— любые числа (действительные или комплексные). Обратно, из ра-
венства (10.1) следуют условия 1) и 2). Итак, линейное преобразование (ли-
нейный оператор) определяется равенством (10.1).
Отметим, что линейное преобразование переводит нулевой вектор в нулевой,
так как, согласно условию 2), f (0) = f(Ox) =0/'(х) =0.
Простейшим примером линейного преобразования является тождественное
преобразование или преобразование f(x)=x, т. е. преобразование, которое каж-
дому вектору линейного пространства ставит в соответствие тот же вектор.
Линейное преобразование будет вполне определено, если заданы образы ба-
зисных векторов рассматриваемого пространства.
Пусть f — линейное преобразование «-мерного линейного пространства,
переводящее базисные векторы е,, е2,... , еп
последних векторов разложим по базису:
е( =Oi i*i +021*2 + ... +а„|*л,
е2 =fli2ei +022*2 + ••• +<1п2*л.
е'=01,1*1 +а2п*2 +... +аПл*п-
Матрица
Он	012	...	а;,
д__ O21	а22	...	а2я
оЯ1	а„2	...	Опл
в векторы е;,е2,... ,*'. Каждый из
135
в которой k-й столбец состоит из координат вектора e£(fc = l,2....п),	назы-
вается матрицей линейного преобразования f в базисе ei,e2,... , еп; ранг г мат-
рицы А называется рангом преобразования f, а число (п—г) —дефектом этого
преобразования. Итак, каждому линейному преобразованию п-мерного линейного
пространства соответствует матрица порядка п в данном базисе; и наоборот,
каждой матрице порядка п соответствует линейное преобразование п-мерного
пространства.
Отметим, что матрица тождественного преобразования в любом базисе будет
единичной; обратно, любой единичной матрице n-го порядка соответствует
тождественное преобразование линейного п-мерного пространства.
Пример 10.1. В пространстве Vi всех свободных векторов на плоскости
определим преобразование поворота всех векторов вокруг начала координат
на угол ф. Каждому вектору х (рис. 10.1) этой плоскости ставим в соответствие
вектор y=f(x), полученный вращением вектора х на один и тот же угол <р. Это
преобразование является линейным, поскольку условия 1) и 2), определяющие
линейное преобразование, будут выполнены. Найдем матрицу этого линейного
преобразования в базисе i, j (рис. 10.2, a, б). Так как f(l)=OA + OB =
= i cos <р +j sin tp, f (j) =OC + OD= — i sin ф + j cos ф, то
__Г cos ф — sin ф
L sin ф cos ф
10.2.	Линейное преобразование в координатах
Рассмотрим линейное преобразование f п-мерного линейного простран-
ства, заданное в некотором базисе е,, е2.е„ матрицей
Qll	Д12 ... fljn
021	fl22 •••
О’ПП
(Ю.2)
Координаты вектора х и его образа y=f(x) известны:
х=Х1в| +х2е2 + ...+х„е„, {(х)=ухе\+у^ + --+у^.	(10.3)
Зависимость между координатами векторов х и у выражается формулами
i/i = ai ,xi + ai2x2 +... +ainXn,
yi=anXi +а22х2 -(-... +a2nXn,	(10.4)
y„—anlx: +an2Xi + -+annX„.
136
Формулы (10.4) можно записать в матричном виде
У=АХ,	(10.5)
где А определяется формулой (10.2), а X и У—формулами
Если переменные у\, уг,... , у„ связаны с переменными jei,jc2.хп форму-
лами (10.4), то будем говорить, что задано линейное однородное преобразо-
вание переменных с матрицей А, переводящее переменные xt, х2,..., ха в перемен-
ные У1,уг, ... ,Уп. Оно обладает теми же свойствами, что и линейное преобразова-
ние n-мерного линейного пространства. Линейное однородное преобразование
переменных (10.4) или (10.5) называется невырожденным, если det Л=/=0.
Замечание. При рассмотрении линейных преобразований (линейных опе-
раторов) пользуются и другими обозначениями. Если у=)(х), где f — линейное
преобразование (линейный оператор) с матрицей А в некотором базисе, то
пишут у=Лх. Условия 1) и 2), определяющие линейное преобразование, можно
записать в виде A (xi + х2) =Лх| + Лх2, Л (Хх) =Мх.
10.3.	Зависимость между матрицами одного и того же
преобразования в различных базисах.
Подобные матрицы
В n-мерном линейном пространстве фиксируем два базиса: ei, е2,... , е„
и е(, е2..ei; первый из них назовем старым, второй — новым. Предположим,
что известно преобразование, переводящее старый базис в новый.
Теорема 10.1. Если ei, е2.......e„,u ef, е2,	—два базиса линейного
пространства, А—матрица линейного преобразования в старом базисе, еь
е2...е„, то матрица В этого преобразования в новом базисе е', е2.ei имеет вид
В — Т~'АТ.	(10.6)
где Т — матрица перехода от старого базиса к новому.
Следствие. Если линейное преобразование имеет невырожденную
матрицу в некотором базисе, то матрица этого преобразования будет невырож-
денной в любом другом базисе.
Матрица В называется подобной матрице Л, если существует невырож-
денная квадратная матрица С, удовлетворяющая равенству В = С~'АС.
Две квадратные матрицы Л и В порядка п тогда и только тогда являются
матрицами одного и того же линейного преобразования пространства У„ в соот-
ветствующих базисах, когда матрица В подобна матрице Л.
Пример 10.2. В базисе е,, е2 преобразование f имеет матрицу
4 1
2 J '
8
5
Л =
Найти матрицу преобразования f в базисе
Так как
e(=2ei+e2, e2=6ei-|-4е2.
2 6] г->=_кГ 4 -6] =г 2 -з1
1 4J ’	2 L -1 2J L —0,5	1J ’
то по формуле (10.6) получаем
2
-0,5
-3] Г 8 41 Г 2
1J L 5 2-1’11
В =
6] [ 1 21 Г2 6 ] Г 4 14 1
4.1 L 1 0 J ’ L 1 4 J [2 б]'
137
10.4.	Характеристическое уравнение линейного
преобразования
Теорема 10.2. Если линейное преобразование f в базисе е,,
е2, ... , е„ имеет матрицу Айв базисе е(, е2.е'п — матрицу В, то
det(4 — X£)=det(B — ХЕ),	(10.7)
где Л — любое действительное число, Е — единичная матрица п-го порядка.
Отметим, что det (А—Х£) является многочленом степени п относительно X
и называется характеристическим многочленом матрицы А или характеристи-
ческим многочленом линейного преобразования f.
Замечание. Равенство (10.7) означает, что характеристический много-
член линейного преобразования остается неизменным при переходе к новому
базису; матрица линейного преобразования меняется.
Характеристическим уравнением линейного преобразования называется
уравнение
det(/4 —Х£)=0,	(10.8)
где А — матрица этого преобразования в некотором базисе. Очевидно, харак-
теристическое уравнение не зависит от выбора базиса. Уравнение (10.8)
называют также характеристическим уравнением матрицы А, а корни уравне-
ния — характеристическими числами линейного преобразования f или характе-
ристическими числами матрицы А.
Если линейное преобразование f в некотором базисе ei, е2,... , ел имеет
квадратную матрицу n-го порядка А= (а,л), то характеристическое уравнение
(10.8) запишется так:
ац — X ai2 ... ain
а2|	а22 — X ... а2л
(10.9)
ani ал2 ... олл X
Левая часть равенства (10.9) является характеристическим многочленом
матрицы А; обозначим его £Л(Х), тогда характеристическое уравнение (10.9)
примет вид £Л(Х) =0.
Пример 10.3. Найти характеристический многочлен и характеристи-
ческие числа матрицы
4-1	-2
2	1' — 2
1-1 1
В соответствии с определением
характеристического многочлена получаем
РЛ(Х) =
4—X	—1	—2
2	1-Х	—2
1	-1	1-Х
Рл(X) = (4 — X) (1 — X)2 + 4 + 2 + 2 (1 — X) + 2 (1 — X) — 2(4 — X) = — X3 + 6Х2 —
-11Х + 6.
Приравнивая этот многочлен нулю, находим характеристическое уравнение
— Х3+6Х2—11Х + 6=0 или X3 —6Х2+1IX —6 = 0. Разлагая левую часть этого
уравнения на множители X3 —6Х2+1IX —6 = Х3 —X2 —5Х2 + 5Х+6Х —6 = Х2(Х —
— 1) — 5Х(Х— 1) +6(Х— 1) = (X— 1) (X2 — 5Х + 6), приводим данное уравнение
к виду (X—1) (X2 —5Х+6) =0, откуда Xi = 1, Х2 = 2, Х3 = 3. Эти корни — харак-
теристические числа данной матрицы.
!38
10.5.	Собственные векторы линейного
преобразования
Ненулевой вектор х линейного пространства называется собственным
вектором линейного преобразования f этого пространства, если существует
число k такое, что
Дх)=Лх,	(10.10)
причем k — действительное число для действительного линейного пространства
и комплексное число в случае комплексного пространства. Число k называется
собственным значением вектора х относительно преобразования f. Равенство
(10.10) можно записать в матричном виде
АХ = кх,	(10.11)
где А — матрица преобразования f в некотором базисе, X — матрица-столбец
из координат собственного вектора х в том же базисе. Ненулевая матрица-
столбец X, удовлетворяющая уравнению (10.11), называется собственным
вектором-столбцом матрицы А с собственным значением к.
Собственные векторы и собственные значения обладают следующими свой-
ствами.
1.	Собственный вектор линейного преобразования имеет единственное
собственное значение k.
2.	Если х — собственный вектор линейного преобразования / с собственным
числом k и Л — любое, отличное от нуля число, то >.х — также собственный
вектор преобразования f с собственным значением k.
3.	Если х и у — линейно независимые собственные векторы линейного пре-
образования f с одним и тем же собственным значением k, то х + у — также
собственный вектор этого преобразования с собственным значением k.
4.	Если х и у—собственные векторы линейного преобразования f с собст-
венными числами к и т, причем k=£m, то х и у линейно независимы.
Следствие. Если х>, х2,... ,хя— линейно независимые собственные
векторы линейного преобразования f с одним и тем же собственным значением k,
то любая нетривиальная линейная комбинация этих векторов является собствен-
ным вектором этого преобразования с собственным значением k.
Теорема 10.3. В комплексном линейном пространстве все корни характе-
ристического уравнения и только они являются собственными значениями линей-
ного преобразования.
Координаты собственного вектора x=(x,,x2.....хп) находятся из системы
уравнений
(a, j — к)Xi 4~ oi2x2 4-... 4~ ainXn — 0,
a^iXi 4” (022 — к) x-г 4“	4* а2«хп = 0,
(10.12)
а„ 1 Xi 4"а „2X2 4-	4-(а«-'	— 0.
Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее опреде-
литель равен нулю (см. следствие из теоремы Крамера), т.е.
Oil — к <212	П| п
О21	<122— к ... в2п
О„1 Оп2 Они к
(10.13)
Это означает, что число k является корнем характеристического уравнения.
Замечания. 1. Уравнение (10.13) является алгебраическим уравнением
n-й степени относительно k. Такое уравнение имеет ровно п корней, считая равные
и комплексные. Среди корней этого уравнения может не оказаться действи-
тельных.
139
2.	Собственными значениями линейного преобразования действительного
пространства являются только действительные корни характеристического
уравнения.
Собственные значения линейного преобразования называются также
собственными значениями матрицы этого преобразования. Собственное значение
называется m-кратным, если оно является /n-кратным корнем характеристи-
ческого уравнения.
Теорема 10.4. Корни характеристического уравнения действительной
симметрической матрицы являются действительными числами.
Следствие. Действительная симметрическая матрица имеет только
действительные собственные векторы.
Система (10.12) для определения координат собственного вектора в этом
случае имеет только действительные решения, так как ац и k — действительные
числа.
Теорема 10.5. Собственные векторы действительной симметрической
матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Пример 10.4. Найти действительные собственные значения и собствен-
ные векторы линейного преобразования с матрицей
— 5 7
—4 9
0 5
Составляем характеристическое уравнение матрицы А
4-Х	— 5	7	
1	-4-Х	9	= 0 или X3 —5Х2+17Х—13=0.
— 4	0	5—X	
Разложим на множители многочлен в левой части уравнения: X3 — 5Х2 +
+ 17Х- 13 = Х3 —X2-4Х2 + 4Х+ 131— 13 = Х2(Х- 1) - 4Х(Х -1) + 13(Х—1) =
= (X—1) (X2 —4Х+13). Уравнение принимает вид (X—1) (X2 —4Х+13) =0,
откуда Xi = l, Х2 = 2 —3/, Хз=2 + 3г. Следовательно, линейное преобразование
с данной матрицей имеет только одно действительное собственное значение Х=1.
Для отыскания соответствующего собственного вектора используем систему
уравнений (10.12), которая принимает вид
(4 —X)xi — 5х2 + 7хз = 0,
Xi — (4 + Х)х2 + 9хз = 0,
— 4xi + (5 —Х)х3 = 0
Зх, — 5х2 + 7х3 = 0,
и *1— 5х2+9х3 = 0,
— 4xi +4хз = 0
при Х=1. Решая полученную систему, находим Х|=х3, х2—2*з. Полагая
х3=1, получаем собственный вектор х= (1, 2, 1).
Замечание. Собственный вектор линейного преобразования определяется
с точностью до произвольного множителя (см. свойство 2 собственного вектора).
10.6.	Приведение матрицы линейного преобразования
к диагональному виду
Теорема 10.6. Матрица линейного преобразования имеет диаго-
нальный вид
ап 0 ... 0
0	а22 ... 0
(10.14)
. 0	0 ... а„п -
140
тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным
вектором этого преобразования.
Матрица А называется приводимой к диагональному виду, если существует
невырожденная матрица Т такая, что матрица Т~'АТ = В является диагональ-
ной. Следовательно, если матрица А приводима к диагональному виду, то
О
В =
О ... О'
Л2 ... о
о о ... л„.
где Л,, %2, ... , Л„— характеристические числа матрицы А.
Теорема 10.7. Матрица А линейного преобразования f п-мерного
линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда,
когда существует базис этого пространства, состоящий из собственных векторов
данного преобразования.
Если все собственные числа матрицы А попарно различны, то матрица
приводится к диагональному виду.
10.7.	Действия над линейными преобразованиями
Произведение преобразований. Рассмотрим преобразование f, перево-
дящее вектор х в вектор у, т. е. y=f(x). К вектору у применим преобразование g,
переводящее вектор у в вектор г, т. е. z=g(y). Так как у = ((х), то'имеем
преобразование z = g(/(x)), переводящее вектор х в вектор z, причем вектор z
получен в результате последовательного применения преобразований fug. Преоб-
разование, заключающееся в последовательном применении преобразований fug,
называется произведением преобразования f на преобразование g или компози-
цией этих преобразований и обозначается g°f (или просто gf); отметим, что
справа записывается первое преобразование. Таким образом,
g°f(x)=g(f(x)).	(10.15)
Произведение линейных преобразований является линейным преобразованием.
Теорема 10.8. Если в некотором базисе линейные преобразования fug
имеют соответственно матрицы А и В, то их произведение gf в том же базисе
имеет матрицу ВА.
Сумма преобразований. Суммой преобразований fug некоторого простран-
ства называется преобразование h такое, что для любого вектора х этого про-
странства
/г(х)=/(х)+й(х).	(10.16)
Сумму преобразований fag будем обозначать f+g- Очевидно, f + g = g + f-
Теорема 10.9. Если линейные преобразования f и g в некотором
базисе имеют соответственно матрицы А и В, то преобразование fAge том же
базисе имеет матрицу А А-В.
Пример 10.5. Даны два линейных преобразования
x'l = 1Х\ + 4*3,	х'{=Х2 — бх'з,
х2 = 4хг — 9х3,	х'{ = Зх( + 7хз,
Хз = ЗХ|+х2,	Хз=Х14-Х2—Хз.
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее
Х[', х'{, х'з через xi, х2, х3.
Первое преобразование задано матрицей А, второе — матрицей В, где
7 0	4	Го 1 —6
А =	0 4—9 3 1	0.	Св II	3 0	7 1 1 -1 .
141
Искомое преобразование в соответствии с Умножив матрицу В на матрицу А, получим							теоремой	10.8	имеет матрицу В А	
	0 1 -6		7	0	4		-18 -	-2	— 9	
	3 0	7		0	4	—9	=	42	7	12	
	11 — 1		3	1	0		4	3	— 5	
Следовательно, искомое преобразование определяется формулами х" =— 18х,—
— 2х2 —9х3, х2 = 42х, + 7х2+ 12х3, х" = 4х, 4-3x2 — 5х3.
10.8.	Невырожденные линейные преобразования.
Преобразование, обратное данному
Линейное преобразование называется невырожденным, если его
матрица является невырожденной; в противном случае линейное преобразо-
вание называется вырожденным.
Теорема 10.10. Линейное преобразование является невырожденным тогда
и только тогда, когда оно взаимно однозначно.
Следствие. Линейное невырожденное преобразование ненулевой вектор
переводит в ненулевой; обратное также верно: если линейное преобразование
ненулевой вектор переводит в ненулевой, то оно будет невырожденным.
Теорема 10.11. Произведение двух линейных невырожденных преобра-
зований есть невырожденное линейное преобразование. Преобразование (р назы-
вается обратным преобразованию f, если для любого вектора х
f<p(x)=<rf(x)=x.	(10.17)
т. е. произведение этих преобразований является тождественным преобразованием.
Из определения следует, что если <р—преобразование, обратное преобразова-
нию f, то f — преобразование, обратное <р. Преобразования f и <р, удовлетворяющие
условию (10.17), называют взаимно обратными.
Линейное преобразование имеет обратное преобразование тогда и только
тогда, когда оно является невырожденным.
Для любого невырожденного линейного преобразования с матрицей А в не-
котором базисе существует единственное обратное преобразование с матрицей
А~' в том же базисе.
Пример 10.6. Найти линейное преобразование, обратное преобразо-
ванию i/i =2X1—Хз, 1/2= — Эх, 4-х2-|-Хз, 1/з = 2х|—х2.
Это преобразование имеет матрицу А, определитель которой отличен от нуля,
поэтому для него существует обратное преобразование с матрицей А~'. Так как
А =	2	0-1 — 3	1	1 2—1	0	. л-’ =	'111 2 2 1 1 2 2
то обратное преобразование выражается формулами xt—yi+yz+ys, x2 = 2i/i4-
+ 2//2-ТУз, Хз = {/|+21/2 + 21/з.
10.9.	Ортогональные матрицы
Матрица
	' All	«12 •	flirt
А =	<221	«22 •	. «2д
	«п!	«л2 •	«ля
(10.18)
называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов
142
ai (а 11, 02i, ..., a„i), 82(012, 022,	, о„г),..., a„(oi„, аг„, .... o„n) (10.19)
является ортонормированной.
Векторы (10.19) будут ортонормированными (см. п. 9.7), если
п
I	<*»>
k= I
для любых i, j (j, /= 1, 2,	, п).
Примеры ортогональных матриц:
cos a —sin а! Г 0,8 — 0,61 Г 1 0]
sin а cosaj ’ [ —0,6 — 0,8J ’ |_ 0 1J
Отметим, что единичная матрица любого порядка является ортогональной.
Теорема 10.12. Необходимое и достаточное условие ортогональности
матрицы А выражается равенством
АТА=Е,
(10.21)
где Ат — матрица, полученная из матрицы А транспонированием, Е — единич-
ная матрица того же порядка, что и А.
Следствие 1. Модуль определителя ортогональной матрицы равен
единице.
Следствие 2. Ортогональная матрица является невырожденной матри-
цей.
Следствие 3. Произведение двух ортогональных матриц есть ортого-
нальная матрица.
Следствие 4. Равенство АТ = А~1 выражает необходимое и достаточное
условие ортогональности матрицы А.
Следствие 5. Матрица, полученная транспонированием ортогональной
матрицы, является ортогональной.
Следствие 6. Матрица, обратная ортогональной матрице, является
ортогональной.
Замечания. 1. Из условия det А = ± 1 не следует, что А — ортогональ-
[2 31
। 2 , для которой det Л = 1, не явля-
ется ортогональной, так как А'А^=Е.
2. Сумма ортогональных матриц не является ортогональной матрицей.
3. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы А можно
выразить равенством ААГ = Е.
Теорема 10.13. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса
к другому является ортогональной.
10.10.	Ортогональные преобразования
Линейное преобразование евклидова пространства называется орто-
гональным, если в некотором ортонормированном базисе его матрица ортого-
нальна.
Теорема 10.14. Линейное преобразование евклидова пространства явля-
ется ортогональным тогда и только тогда, когда оно ортонормированный
базис переводит в ортонормированный.
Теорема 10.15. Ортогональное преобразование не меняет скалярного
произведения векторов.
Следствие 1. При ортогональном преобразовании f остается неиз-
менной норма вектора, т. е. ||х|| =||/(х) ||.
Следствие 2. При ортогональном преобразовании f остается неизмен-
ным угол между векторами, т. е.
143
(X. У) =	(f(x) J(У))
11*11 • llyll llf(x) || • ||f (у) II '
Ортогональные преобразования обладают следующими свойствами.
1.	Ортогональное преобразование является невырожденным.
2.	Для любого ортогонального преобразования существует обратное преоб-
разование, являющееся ортогональным.
3.	Если ортогональное преобразование имеет матрицу А, то обратное ему
преобразование имеет матрицу Ат.
4.	Произведение двух ортогональных преобразований является ортогональ-
ным преобразованием.
Глава 11
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
11.1. Квадратичная форма и ее матрица
Квадратичной формой f(xi,x2,...,х„) п действительных переменных
х,, Х2,..., х„ называется сумма вида
f (xi, х2, ..., х„) =at>xi +<112X1X2+ ...-4-ai„Xixn+
+ a2ix2x, +а22Х2 +... + а2пХ2х„+	(11 • 1)
+ а„ ix„x । + а„2Х„х2 4-... + а„„х2п,
ИЛИ	л л
f(xi,x2, ... , х„) = £ £ ai/XiXj,	(11.2)
<=1/=1
где а,, — некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общно-
сти, можно считать, что aii=aii.
Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зави-
симости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными
или комплексными числами. Будем рассматривать действительные квадратич-
ные формы.
Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее
коэффициентов. Квадратичной форме (11.1) соответствует единственная симмет-
рическая матрица
’flu 012 ... О|Л
4=	012 а22 ... а2„
(11.3)
_ ^1п	^2л &пп
И наоборот, всякой симметрической матрице (11.3) соответствует единственная
квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.
Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная
форма п переменных называется невырожденной, если ее матрица невырож-
денная, т. е. г~п, и вырожденной, если г<п.
Квадратичную форму (11.1) п переменных x,,x2......х„ можно записать
в матричном виде. Действительно, если X — матрица-столбец из переменных
%,, х2,..., хп, Хт — матрица, полученная транспонированием матрицы X, т. е. мат-
рица-строка из тех же переменных, то
f (xi, х2, ... , х„)—ХтАХ,
(11.4)
где Л определяется формулой (11.3).
Пример 11.1. Записать матрицу квадратичной формы f(xi,x2,x3) =
=Xi —6xix2 —8Х1Хз + 7х2 4-4х2х3 — 5%з и найти ее ранг.
В данном случае = 1, fli2 = n2i =—3, О|3=аз1 =—4, о22 = 7, о23 = <132 = 2,
а33=—5, поэтому
1 -3 —4
А = —3	7	2
-4	2 —5
145
Вычислим определитель этой матрицы
1 -3 -4
det А =
= —35 + 24 + 24—112 + 45 — 4=—58.
Так как де1Л=/=0, то ранг матрицы равен трем (г = 3). Эта квадратичная
форма является невырожденной, поскольку г = п.
11.2.	Преобразование квадратичной формы
при линейном однородном преобразовании
переменных
Рассмотрим квадратичную форму (11.1). Перейдем к новым перемен-
ным i/i, </2.уп по формулам
Х| — ЬиУ\ + 6,21/2 + ... + 6,л1/п,
Хг = 62,1/1 + 622I/2 + ... +6гл1/п, '	(11.5)
	Хп — bniyi -^-ЬП2У2~^- 	• + ЬппУп,
или в матричном виде		
	X = BY,	(11.6)
где		
х.	bit bi2 ...	6,„1	Г1/,
Х =	5.2	В= ^2| &22	?2п	у=У2	(Ц7|
Хп	Ьп\ Ьп2 ...	Ьпп	Уп
В квадратичной форме (11.1) вместо х,,		Х2,...,хп подставим их выражения
через t/i, У2, ... , Уп, определяемые формулами (11.5), получим квадратичную		
форму 4>(l/l, 1/2, ... , Уп	) п переменных с некоторой матрицей С. В этом случае	
говорят, что квадратичная форма f(X\,X2,....		, хп) переводится в квадратичную
форму	yi, ..., уп) линейным однородным		преобразованием (11.5). Линейное
однородное преобразование (11.6) называется невырожденным, если detZj=/=O.		
Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует
невырожденное линейное однородное преобразование, переводящее одну форму
в другую. Если f(xh хг, ... , х„) и tp(yt, у2, ... , у„) конгруэнтны, то будем писать
f(x\,x2...х„)	~<p(t/,, 1/2, ... ,Уп).
Свойства конгруэнтности квадратичных форм.
1.	f(xt, х2, ... , х„) ~/(х,, х2.х„).
2.	Если f(x,. Х2,... ,х„) ~<p(t/,, 1/2, ... , Уп), (f>{yi, У2, ... , Уп) ~Ф(г,, z2.г„),
то f(xi, х2, ... , х„) ~ф(г,, z2,.z„).
Теорема 11.1. Квадратичная форма f(x\,xi, ... ,хп) с матрицей А линей-
ным однородным преобразованием X=BY переводится в квадратичную форму
ц>(у\, у2, ... , уп) с матрицей С = ВТАВ.
Следствие 1. Определители матриц конгруэнтных невырожденных
действительных квадратичных форм имеют одинаковые знаки.
Следствие 2. Конгруэнтные квадратичные формы имеют одинаковые
ранги.
146
11.3.	Приведение действительной квадратичной формы
к нормальному виду
Квадратичная форма f(xit хз, .  , х„) называется канонической, если
она не содержит произведений различных переменных, т. е.
/ (х,, х2.х„) = £ а«х?	(11.8)
«•= I
Каноническая квадратичная форма называется нормальной (или имеет
нормальный вид), если |а„| = 1 («=1,2...г), т.е. отличные от нуля коэффи-
циенты при квадратах переменных равны +1 или —1. Например, квадратичная
форма f(xi, хг, хз, х«) = 6х? + 4хз— 3x1, для которой ап =6, а22 = 0, азз = 4,
аз4=—3, имеет канонический вид; квадратичная форма f (xi, х2, хз, х<) =xf—
— хз + хч является нормальной, так как ац = 1, а22 = 0, азз= — 1, а«=1.
Теорема 11.2. Любая квадратичная форма некоторым невырожденным
линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду
ф(</|.</2, ... , у«) =Ьиу^ + Ьгзуз + ... -\-Ь„пу2п,
где yt, уг, ... , у„ — новые переменные.
Некоторые из коэффициентов Ьи могут оказаться равными нулю; число
отличных от нуля коэффициентов в этой формуле равно рангу г матрицы
квадратичной формы <р.
Теорема 11.3. Любую действительную квадратичную форму линейным
невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду
ф(?1, z2, ... , г„) =г? + гг + ... + z*_i — zl —... —г’.
Число входящих сюда квадратов равно рангу формы.
11.4.	Закон инерции квадратичных форм
Закон инерции квадратичных форм выражает
Теорема 11.4. Число положительных и число отрицательных квадратов
в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратич-
ная форма невырожденным действительным линейным преобразованием, не зави-
сит от выбора преобразования.
Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приво-
дится данная действительная квадратичная форма, называют положительным
индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов — отрицатель-
ным индексом инерции, разность между положительным и отрицательным
индексами инерции — сигнатурой формы /. Если известен ранг формы, то зада-
ние любого из трех указанных выше чисел определяет два других.
Т е о р е м а 11.5. Две действительные квадратичные формы от п переменных
тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и оди-
наковые сигнатуры.
11.5.	Знакоопределенные квадратичные формы
Действительная квадратичная форма f (xi, х2,	, х„) называется поло-
жительно-определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему
из п положительных квадратов: f(xi, х2, ... , хл) ~<p(z/i, уз, ... , уд, где
Ч>(Уь 1/2, ... , уд =у1+У2 + -.-+Уп,	(11.9)
т. е. если ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.
Систему значений Х|,хг,... ,хл назовем нулевой, если х\ =х2=... =х„=0,
и ненулевой, если хотя бы одно из них отлично от нуля.
Теорема 11.6. Действительная квадратичная форма f(xl,x?,...,xd
является положительно-определенной тогда и только тогда, когда она прини-
147
мает положительные значения при любой ненулевой системе значений пере-
менных xi, хг,... , х„.
Пусть дана квадратичная форма f(xi,X2,...,x„) с матрицей Л = (а,,).
Главными минорами квадратичной формы f называются миноры
			ан	ai2 •			ан	О|2 •	• О|л
ап,	I Он	О|2 I	fl2l	022 -	. ащ		a2i	О22 •	• О2п
	| О2|	022 |	0*1	а*2 .	 аы		аЯ|	Ол2 •	• Одд
									
т. е. миноры порядка 1,2....п матрицы А, расположенные в левом верхнем
углу; последний из них совпадает с определителем матрицы.
Теорема 11.7. Квадратичная форма f (xi, х2, ... , xn) с действительной
матрицей является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все
ее главные миноры положительны.
Действительная квадратичная форма называется отрицательно-определенной,
если она является невырожденной и приводится к нормальному виду, содержащему
только отрицательные квадраты всех переменных; эту форму можно привести
к виду
Ч>(У1,У2..Уп) =— У2\—1/2 — ...—//».	(11.10)
Теорема 11.8. Квадратичная форма является отрицательно-определен-
ной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положи-
тельны, а нечетного — отрицательны.
Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные
формы называются знакоопределенными квадратичными формами.
Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит
из квадратов одного знака, называют полуопределенными.
Неопределенными называются квадратичные формы, нормальный вид которых
содержит как положительные, так и отрицательные квадраты переменных.
Пример 11.2. Доказать, что квадратичная форма /(х,,Х2, хз) =
=6х? + 5х2 +7хз — 4xix2-|-4xiX3 положительно-определенная.
Запишем матрицу А этой квадратичной формы и определитель матрицы А:
	6—22'		6—2 2	
А =	— 2	5 0	, det Л =	— 2	5 0	
	2	0 7		2	0 7	
			6 ~2 I _	
Так как главные миноры матрицы 011 = 6,			— 2	5 =	26 и det А = 162,
т. е. все положительны, то данная квадратичная форма является положительно-				
определенной.				
11.6. Приведение квадратичной формы
к каноническому виду ортогональным преобразованием
переменных
Теорема 11.9. Если существует ортогональное преобразование
с матрицей С, приводящее действительную квадратичную форму f = f(xi, х2, ... , х„)
к каноническому виду
Ч>(У1, У2, ... ,Уп)=^У2 + *-2У2 + ---+КУп,	(11.11)
то Xi, Х2,...	— характеристические числа матрицы А квадратичной формы f.
Теорема 11.10. Для любой действительной квадратичной формы суще-
ствует ортогональное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.
Теорема 11.11. Для любой действительной симметрической матрицы А
существует такая ортогональная матрица Т, что 1 1АТ — диагональная матрица.
148
Следствие. Любая действительная симметрическая матрица может быть
приведена к диагональному виду.
Теорема 11.12. Если линейное преобразование действительного линей-
ного пространства имеет действительную симметрическую матрицу в некотором
ортонормированном базисе, то существует ортонормированный базис, состоящий
из собственных векторов этого преобразования.
Из этих теорем следует правило нахождения ортогонального преобразо-
вания, приводящего квадратичную форму п переменных к каноническому виду.
Это правило состоит в следующем: 1) записать матрицу данной квадратичной
формы, найти ее собственные значения и п попарно ортогональных собственных
векторов, пронормировать их; 2) составить матрицу из ортонормированных
собственных вектор-столбцов; 3) записать искомое ортогональное преобразование
с помощью последней матрицы.
Пример 11.3. Найти ортогональное преобразование, приводящее к кано-
ническому виду квадратичную форму двух переменных xi,x2,
f(xt, x2)=5xi +4д/6х1Х2 +7X2-
Поскольку в данном случае ац=5, ац=ац=2^/б, а22 = 7, то матрица А
этой квадратичной формы и ее характеристическое уравнение det(4 — ХЕ)=0
запишутся так:
5	2^6	5-Х 2д/б
4= г-	, ГТ	=0.
2д/б 7	2 л/6 7 —X
Характеристическое уравнение (5 —X) (7 —X)—24=0, или X2 —12Х+11 =0j
имеет корни Xi = l, Ха = 11, которые являются собственными значениями
матрицы А.
Найдем собственные векторы, соответствующие полученным собственным
значениям. Координаты (s, t) этих векторов определяются из системы уравнений
(10.12), которая в данном случае имеет вид
(5 —X)s-|-2 д/б/ = 0,
2 д/бэ-Н7-Х)/=0.
При Х] = 1, Ха= 11 имеем две системы
4з+2д/б/=0, —6s4-2-V6/=0,
2^6s + 6t=0,	2->/6s-4Z=0.
Из этих систем находим собственные векторы и= (— (д/б/2)1, t), v= ((д/б/З)/, t),
где Z=/=0. Положив /, = —2. t2=3, получим и=(д/б, —2), ц=(д/б, 3). Норми-
ровав эти векторы, запишем их координаты в столбцы, составим матрицу В:
С помощью матрицы В записываем искомое ортогональное преобразование
*i= -U (-А/1 + т/2уг),
-м 5
Х2 =
-L (-V2J/.+V3//2).
-у5
Это преобразование приводит данную квадратичную форму к каноническому
виду <f(y\,y2)=y*+llyl-
US
11.7. Упрощение уравнений фигур второго порядка
на плоскости
Фигурой второго порядка на плоскости называется множество точек
этой плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению второй
степени
aiix2+2ai2xy+a22y2 + aI3x+a23y+a33 — 0,	(П-12)
где ан, Oi2, а22 одновременно в нуль не обращаются. Отметим, что это множество,
в частности, может состоять из единственной точки или оказаться пустым.
Первые три члена левой части уравнения (11.12) образуют квадратичную
форму двух переменных х\=х, хг—у.
f(x, у)—ацх2+2а{2ху + а22у2	(11.13)
с симметрической матрицей
Л = Г а“ а'2].	*	(11.14)
L «21	<122 J
По. теореме 11.10 эту квадратичную форму ортогональным преобразованием
можно привести к каноническому виду
Л«</')=Х1х'2 + Х2</'2	(11.15)
с матрицей
С=ГХ| °1	(11.16)
L о ’
где Х|, Хг — характеристические числа матрицы А, т. е. корни характеристиче-
ского уравнения матрицы А:
<1| I — К «12
<212	<122 — А
= 0.
(П-17)
При этом ортогональном преобразовании уравнение (11.12) примет вид
Xix' +А.2«/'2 + <1|зх' А-а'2зу'А~а'зз—®-	(11.18)
Это уравнение можно привести к каноническому виду путем выделения в левой
части полных квадратов.
Фигуру второго порядка, определяемую уравнением (11.12), называют
центральной, если det А 0, и нецентральной, когда 8е1Л = 0.
Отметим, что при ортогональном преобразовании переменных определитель
матрицы квадратичной формы не меняется, т. е. detC = det4. Так как detC =
= Х|Лг (см. (11.16)), то
deM = M,2.	(11.19)
Пусть уравнение (11.18) определяет центральную фигуру, т. е. det Л =/-0.
Здесь возможны два случая: 1) А,Д2> 0 (числа М и Л2 одного знака), фигура
называется фигурой эллиптического типа; 2) Х|Х2<0 (числа X, и Х2 имеют разные
знаки), фигура называется фигурой гиперболического типа.
Если ХДг^О, то уравнение (11.18), выделив в его левой части полные
квадраты, можно привести к виду
к] (%' —/iip + M/ —Л2)2 = <7
или
Х1Х24-Л2У2 = <7,	(11.20)
где
Х=х'-Л|, Г=/-/г2.	(11.21)
150
Формулы (11.21) выражают зависимость между координатами (х', у1) и (х, у)
при параллельном переносе координатных осей в точку О|(й|,Л2).
В случае Xil2> О уравнение (11.20) приводится к одному из канонических
видов
Х2/а2+У2/62= 1,	(11.22)
Л7а2+У2/й2=-1,	(11.23)
Х2/а2+У2/й2=0	(11.24)
в зависимости от знаков М и q: 1) k\q> 0, 2) A.i<7<0, 3) q = 0.
Уравнение (11.22) определяет эллипс, уравнению (11.23) не удовлетворяют
координаты ни одной точки плоскости, уравнению (11.24) удовлетворяют коор-
динаты одной точки (Х=0, У=0).
В случае ЛД2<0 уравнение (11.20) приводится к одному из канонических
видов
X2/a2—Y2/b2=i,	(11.25)
X2/a2-Y2/b2=-l,	(11.26)
Х2/а2- Y2/b2 = 0	(11.27)
в зависимости от знаков 1| и ?: 1) kiq> 0, 2) Xi<7<0, 3) <7 = 0.
Уравнение (11.25) определяет гиперболу с действительной осью О\Х, урав-
нение (11.26) — гиперболу с действительной осью O>Y, уравнение (11.27) —
пару пересекающихся прямых, так как оно распадается на два уравнения
— - 4- =0,	+ 4- =0, или Г= ±х, У= - -±Х.
a b а b	а	а
Обратимся к нецентральным фигурам, т. е. к случаю, когда det Л=0. В силу
(11.19) из равенства det А = 0 следует, что Х,Л2 = 0. Последнее равенство означает,
что одно из чисел XiX2 равно нулю (оба числа М, Л2 в нуль обратиться не могут,
так как это означало бы, что квадратичная форма (11.15) является вырожденной,
чего быть не может, поскольку а,, Ц-а^+а^^О). Если а23^0, то уравнение
(11.18) можно привести к виду ki(x' — /ii)2~t-a23y'A-‘} = 0 и записать так:
Ki(x' — hi)2=—a23(y' — h2).	(11.28)
Осуществим параллельный перенос репера (О<, е,, е2) на вектор ОО< =
—hiet 4-й2е2, получим новую систему координат OiXY, причем X и Y определяются
формулами (11.21). Уравнение (11.28) приведем к виду
X2=2pY.
Уравнение (11.29) определяет параболу с осью OtY.
Если в уравнении (11.18) 0^ = 0 (и Z2 = 0), то, выделив полный квадрат,
его можно записать так:
(11.29)
X1(x/-fti)2 + <? = 0.	(11.30)
Осуществив параллельный перенос репера (Oi.e^ej) на вектор ОО1=/геь
т. е. выполнив преобразование Х = х'—hi, Y—y’, получим новую систему коор-
динат O\XY, в которой уравнение (11.30) принимает один из видов:
Х2 = а2, Х2=-а2, Х2=0	(11.31)
в зависимости от соотношения знаков чисел X, и <?:Xi<7<0, Х,<7> 0, q = 0.
Первое из уравнений (11.31) определяет пару параллельных прямых Х = а,
X— —а, второму уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки
плоскости, третье уравнение определяет пару совпавших прямых Х=0, Л = 0.
Операция перехода от уравнения (11.12) к уравнению (11.18) называется
151
отнесением фигуры к главным осям. Новые оси координат параллельны осям
симметрии фигуры. Главными направлениями фигуры, заданной уравнением (11.12),
называют направления ортогональных собственных векторов матрицы квадра-
тичной формы, соответствующей этому уравнению.
Из теорем п. 11.6 следует, что существует декартова прямоугольная система
координат, в которой уравнение (11.12) принимает канонический вид. Чтобы
выбрать эту систему координат, необходимо сделать следующее.
1.	Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому
виду квадратичную форму, соответствующую данному уравнению.
2.	С помощью этого преобразования определить главные направления
фигуры, т. е. векторы е{, е2 — ортонормированные собственные векторы матрицы
указанной квадратичной формы.
3.	Найти уравнение фигуры в репере (О, е{,е2).
4.	Выделить полные квадраты в полученном уравнении.
5.	Совершить параллельный перенос системы (О, е{, е2) на соответствующий
вектор OOi и составить каноническое уравнение фигуры в репере (О,, е{, е2).
Пример 11.4. Какую линию на плоскости определяет уравнение 5х2 +
+4 -\/6х(/+71/2 = 22?
С помощью теории квадратичных форм приведем это уравнение к кано-
ническому виду. Левая часть уравнения — квадратичная форма f(x,i/)—5x24-
+4 ^6ху+7 у2, которая с точностью до обозначений переменных (xi=x, х2=у,
у\—х', у2=у'\ (см. п. 11.6, пример 11.3) приведена к каноническому виду
<р(х', у') = х'2 + Ну'2 посредством ортогонального преобразования х =
= —^-(л/3х'+W). У=-7=~ (-л/2х'+л/3/)-
у5	V5
Это преобразование данное уравнение переводит в уравнение
б(-|- ( V3x'+ у/2/)2} + -Ц/L ( V3x'+ л/2</') (- л/2х'+ у/3/) +
+ 4- (- у/2х' + у/3и')2 = 22, или х/2+11/2 = 22.
о
Полученное уравнение определяет эллипс с полуосями а= у/22, Ь = у/2.
11.8. Упрощение уравнений фигур второго порядка
в пространстве
Фигурой второго порядка в пространстве называется множество точек
пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению
a, ix2 + а22у2 + a33z2 + 2а12ху + 2а ।Зхг + 2а23уг+a1+а24у+a34z+а44=0, (11.32)
где а1| + а22 + азз + а22 + а1з4"а2з=^=0-
Сумма первых шести членов левой части уравнения (11.32) представляет
собой квадратичную форму трех переменных, х, у, г:
f(x, у, z) =aiix2 + a22y2 + a33z2 + 2al2xy + 2ai3xz + 2a23yz	(11.33)
с симметрической матрицей
	Он	О|2	013
А =	а,2	022	023
	013	023	033
(11.34)
Фигура второго порядка называется центральной, если det4=/=O, и не-
центральной, если det .4=0.
152
С помощью ортогонального преобразования квадратичную форму (41.33)
можно привести к каноническому виду <р(х', у', г') =11х/2-|-12</'2+^зг/ , где
11, 1г, 1з— корни характеристического уравнения det(4 —1£)=0. Матрица
квадратичной формы <р=<р(х', у', г') принимает вид
	‘11 0 0	
с=	0 12 0	(11.35)
	0 0 13	
Указанное ортогональное преобразование приводит уравнение (11.32) к виду		
Мх'2 + W'2 + l3z'2 + а^х7 +	+«з4г' + “44 = °-	(11 -36)
Центральные фигуры. Если det4#=0, то det С = МЫ.з¥=0, так как det 4 =
= det С. Выделяя полные квадраты в левой части уравнения (11.36), можно
привести его к виду
X1№t4-A,2r2d-X3Z2==H.	(11.37)
где Х = х' —й|, Y = y' — hi, Z = z' — h3.
Поскольку Х|А,2^з¥=0, то ни одно из чисел не равно нулю, все эти числа
могут иметь один знак (А.|Л2Л.з>- 0) или только два из них одного знака.
1. Если все числа 1|, 12, 1з одного знака, то уравнение (11.37) можно
привести к одному из следующих канонических видов:
X2/a2+Y2/b2 + Z2/c2 = l,	(11.38)
X2/a2+Y2/b2 + Z2/c2 = -l,	(11.39)
X2/a2+Y2/b2+Z2/c2=0	(11.40)
в зависимости от 1| и p:lip> 0, 1|Ц<0, ц = 0.
Уравнение (11.38) определяет эллипсоид, уравнению (11.39) не удовлетво-
ряют координаты ни одной точки пространства, уравнению (11.40) удовлетво-
ряют координаты единственной точки (Х=0, У=0, Z = 0).
2. Пусть знак одного из этих чисел противоположен знаку двух других:
предположим, что 1112> 0. Уравнение (11.37) можно привести к одному из
канонических видов
X2/a2+Y2/b2-Z2/c2 = l,	(11.41)
X2/a2+Y2/b2-Z2/c2=-l,	(11.42)
X2/a2+Y2/b2-Z2/c2=0	(11.43)
в зависимости от М и ц:1|Ц> 0, 1|Ц<0, р = 0.
Уравнения (11.41) — (11.43) определяют соответственно однополостный
гиперболоид, Двуполостный гиперболоид и конус второго порядка.
Нецентральные фигуры. Если det 4 = 0, или Х|Л2А.з = 0, то одно или два из
этих чисел равны нулю.
1.	Пусть 13 = 0, аз4#;0, тогда уравнение (11.36) приводится к виду
liX2 + l2r2 + pZ = 0.	(11.44)
Если 111г> 0 и А,. ц<0, то имеем
X2/a2+Y2/b2 = 2Z;	(11.45)
в случае 1,1г <0, li|i<0 получаем
X2/a2—Y2/b2 = 2Z.	(11.46)
Уравнения (11.45) и (11.46) определяют соответственно эллиптический и гипер-
болический параболоиды.
153
2.	Пусть 1з = 0 и аз4 = 0, тогда имеем уравнение
Х(Х2 + Х2У24-т = 0,.
(11-47)
которое приводится к одному из следующих канонических видов:
Х2/а2+У2/&2=1, Х2/а2+У2/й2=-1, Х2/а2-У2/62=1, Х2/а2-У2/62=-1, Х2/а2-У7б2 = 0.	(11.48) (11.49) (11.50) (11.51) (11.52)
Уравнение (11.48) определяет эллиптический цилиндр, каждое из уравнений
(11.51), (11.50)—гиперболический цилиндр, уравнение (11.52)—пару пере-
секающихся плоскостей; уравнению (11.49) не удовлетворяют координаты ни
одной точки.
3.	Если Хг=Х3 = 0 и а'24=/=0, то уравнение (11.36) приводится к виду Х,Х2 +
+ |1У = 0 или
Х2 = 2рУ
(11.53)
и определяет параболический цилиндр.
4.	Если Х2 = Хз=0 и <224 = 0, то имеем уравнение XiX2 + v=0, которое при-
водится к одному из канонических видов
Х2 = а2, Х2=—а2, Х2 = 0.	(11.54)
Первое из уравнений (11.54) определяет пару параллельных плоскостей (Х = а,
Х=—а), третье уравнение—пару совпавших плоскостей; второму уравнению
не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства.
Пример 11.5. Какую поверхность определяет уравнение 6x2 + 5i/2 + 7z2 —
— 4ху 4- 4xz = 18?
Это уравнение вида (11.32), для которого ац = 6, а22 = 5, азз = 7, a,2=—2,
<213 = 2, а2з = 0, <2|4 = а2ч = аз4 = 0, 044= —18. Левая часть данного уравнения
является квадратичной формой f(x, у, z) =6х2+5</2 + 7г2 — 4ху+4хг трех пере-
менных х, у, z (х=Х(, у=х2, г=хз). Составим матрицу А этой квадратичной
формы и характеристическое уравнение матрицы А:
— 2 2Т
5 О
О 7-
6
— 2
2
А =
6-Х	— 2	2
—2	5—X	О
2	0	7 —X
= 0.
Характеристическое уравнение (6—X) (5 —X) (7 —X) —4(5 —X) —4(7 —X) =0,
или X3—18Х2 + 99Х—162 = 0 имеет корни X, = 3, Х2=6, Хз=9 (так как X3 —
— 18Х2 + 99Х— 162 = Х3 — ЗХ2— 15Х2 + 45Х + 54Х— 162 = Х2(Х — 3) — 15Х(Х — 3) -I
+ 54(Х —3) = (Х-3) (X2-15Х + 54)).
Следовательно, квадратичную форму f(x,y,z) можно привести к виду
<р(Х, Y, Z) =ЗХ2+6У2 + 972. В новых координатах X, У, Z данное уравнение
имеет вид 3X2 + 6y2 + 9Z2= 18, или
х7б+У2/з+г2/2=1,
оно определяет эллипсоид с полуосями <2 = -^6, Ь= -^3, с— л/2.
Глава 12
ГРУППЫ
12.1.	Понятие группы. Основные определения
Группой называется множество G элементов а, Ь, с, ... , для которых
определена операция (сложения или умножения), которая каждой упорядоченной
паре (а, Ь) элементов G ставит в соответствие единственный элемент с — а°Ь
данного множества, причем операция обладает следующими свойствами:
1)	операция ассоциативна, т. е. для любых a,b,c<sG
ao(boc) = (а°Ь)°с;	(12.1)
2)	в G существует нейтральный элемент е такой, что для любого элемента
аеб
а°е = е°а = а;	(12.2)
3)	для каждого элемента аеб существует обратный ему элемент а~‘
такой, что
а°а~' = е, а~'<>а = е.	(12.3)
Если, кроме того, для любых а.беб выполняется условие
a°b = b°a,	(12.4)
то группа называется коммутативной или абелевой группой.
В любой группе нейтральный элемент определен однозначно; для каждого
элемента существут единственный обратный элемент.
Группа, состоящая из конечного числа элементов, называется конечной.
Число элементов группы называют ее порядком. Группа, не являющаяся конечной,
называется бесконечной.
Группа называется аддитивной или группой по сложению, когда групповая
операция, ставящая в соответствие упорядоченной паре элементов (а, 6) элемент
с = а«Ь, является сложением. В этом случае символ операции ° заменяется
знаком +; с = а + Ь, нейтральный элемент называют нулем и обозначают сим-
волом 0; a-f-0 = 0 + a = a. Элемент, обратный к элементу а, называют проти-
воположным и обозначают — а:а+( — а) = (— а)+а = 0.
Группа называется мультипликативной или группой по умножению, когда
групповая операция, ставящая в соответствие упорядоченной паре (а, 6) элемент
с = а°Ь, является умножением. В данном случае произведение а°Ь обозначается
а-b или ab; нейтральный элемент называется единицей и обозначается символом 1:
а-1 = 1 -а —а.
Произведение п элементов, равных а, называют п-й степенью элемента а
и обозначают а". Отрицательные степени элемента а можно определить или как
элементы группы G, обратные положительным степеням этого элемента, или
как произведения соответствующего числа множителей, равных элементу а-1.
Эти определения совпадают, так как верно равенство
(а") _| = (а-')" (п>0).
В любой группе G для степеней каждого элемента а при любых показателях
т и п (положительных, отрицательных или нулевых) выполняются равенства
а"а’" = а'”а" = а" + ’", (а")= а'"".
155
Если операция в группе называется сложением, то вместо степеней элемента а
говорят о кратных этого элемента и пишут па.
В каждой мультипликативной группе однозначно разрешимы уравнения
ах = Ь, уа = Ь, первое из них имеет решение х=а~'Ь, второе — у = Ьа.
Если группа является коммутативной, то эти уравнения не различаются,
они имеют одинаковые решения х = у = а~1Ь.
12.2.	Примеры групп
1.	Множество всех целых чисел с операцией сложения образует адди-
тивную группу. Действительно, сумма а + b двух целых чисел а и b также является
целым числом. В этом случае говорят, что множество целых чисел замкнуто
относительно операции сложения. Сложение целых чисел коммутативно: (а + Ь) +
+ с = а+ (& + с). В данном множестве имеется нейтральный элемент, т. е. число О
такое, что а + 0=а при любом целом числе а. Для каждого элемента целого
числа а существует обратный элемент (противоположное число), т. е. такое
число —а, что а+( — а)=0. Рассматриваемая группа является коммутативной,
так как а-\-Ь = Ь-\-а.
Замечание 1. Множество всех целых чисел не образует группу по
умножению, так как обратные для целых чисел (отличных от —1 и 1) не явля-
ются целыми числами. Например, для числа 2 обратное число 2-1 не принад-
лежит множеству целых чисел.
2.	Множество всех действительных чисел, отличных от нуля, с операцией
умножения образует мультипликативную группу. Эта группа является комму-
тативной, так как ab = ba.
Замечание 2. Множество всех действительных чисел не образует группу
по умножению, поскольку для числа 0 нет обратного.
3.	Множество всех векторов трехмерного пространства образует группу по
сложению. Эта группа является коммутативной (а + 6 = 6 + а).
4.	Множество матриц размеров mXn образует коммутативную группу по
сложению (A -j-B — B-f-A).Для матрицы Л обратным элементом является матрица
(—Л); нейтральный элемент — нулевая матрица О.
5.	Множество всех невырожденных квадратных матриц порядка п образует
мультипликативную группу. Эта группа, которую называют полной линейной
группой, не является коммутативной (в общем случае АВ=£ВА).
Замечание 3. Множество всех квадратных матриц порядка п не обра-
зует группу по умножению, так как для некоторых его элементов нет обратных
(вырожденная матрица не имеет обратной).
6.	Множество всех невырожденных линейных преобразований линейного
пространства образует мультипликативную группу.
7.	Множество, состоящее только из двух чисел +1, —1, образует группу по
умножению. Действительно, каждое из произведений ( + 1)( —1) = —1, (-|-1)Х
Х( + 1) = + 1, ( — 1)( — 1) = + 1 принадлежит данному множеству. Умножение
ассоциативно. Существует единица — число +1, которое удовлетворяет условию
( — 1) (+ 1) = — 1, (+1)(+1) = Л-1. Для каждого элемента существует обрат-
ный: каждое их этих двух чисел совпадает со своим обратным.
Замечание 4. Множество, состоящее из двух чисел +1, — 1, не образует
группу по сложению, так как сумма (+!) + (— 1) = О, а число 0 не принадлежит
данному множеству. (В таком случае говорят, что данное множество не является
замкнутым относительно операции сложения).
8.	Множество, состоящее из одного элемента 0, образует аддитивную
группу. Действительно, 0 + 0 = 0, сумма принадлежит данному множеству.
Свойства операции сложения очевидны.
9.	Множество, состоящее из одного элемента 1, образует мультипликативную
группу.
Группа, образованная одним элементом, называется единичной.
156
12.3.	Подгруппа
Подгруппой группы G называется подмножество Н ее элементов,
образующее группу относительно операции, определенной в G. Чтобы убедиться
в том, что подмножество Н группы G является ее подгруппой, необходимо
проверить, что: 1) произведение (сумма) любых двух элементов а,Ь^Н принад-
лежит /7; 2) для любого элемента а^Н обратный элемент принадлежит Н.
Этого будет достаточно, так как ассоциативный закон выполняется для любых
трех элементов G, в том числе и для элементов Н, а нейтральный элемент е
(1 или 0) будет принадлежать Н (как произведение аа~' или сумма а+(—а))-
Примеры подгрупп некоторых групп.
I.	Множество всех действительных чисел является аддитивной группой.
Подгруппами аддитивной группы всех действительных чисел являются,
в частности, следующие: 1) аддитивная группа рациональных чисел; 2) адди-
тивная группа целых чисел; 3) аддитивная группа целых чисел, кратных числу k,
например аддитивная группа четных чисел.
Группа целых чисел является подгруппой группы рациональных чисел.
Замечание 1. Множество нечетных чисел не образует группу по сло-
жению, так как сумма двух нечетных чисел является четным числом (и не при-
надлежит данному множеству).
П. Мультипликативная группа всех действительных чисел, отличных от нуля,
имеет, в частности, следующие подгруппы: 1) мультипликативную группу поло-
жительных действительных чисел; 2) мультипликативную группу рациональных
чисел, отличных от нуля; 3) множество, состоящее из двух чисел +1, —1
с операцией умножения.
Замечание 2. Мультипликативная группа положительных действитель-
ных чисел не является подгруппой аддитивной группы всех действительных
чисел, так как групповые операции в рассматриваемых множествах — разные
(соответственно умножение, сложение).
Ш. Мультипликативная группа невырожденных матриц порядка п имеет,
в частности, подгруппы: 1) группу ортогональных матриц; 2) группу диагональных
матриц; 3) группу матриц с положительным определителем; 4) группу матриц
с определителем, равным единице (эта группа называется унимодулярной).
Пересечение двух подгрупп группы G является подгруппой в G. Например,
в аддитивной группе целых чисел пересечение подгруппы четных чисел и подгруппы
чисел, кратных трем, будет подгруппой чисел, кратных шести.
Каждая группа является своей подгруппой. Далее, каждая группа имеет
единичную подгруппу, состоящую из одного нейтрального элемента (единицы
или нуля). Эти две подгруппы называются несобственными (или тривиальными)
подгруппами. Остальные подгруппы называются собственными (или истинными)
подгруппами. В любой группе все подгруппы каждой группы являются в то же
время подгруппами исходной группы. Например, аддитивная группа целых чисел
является подгруппой аддитивной группы рациональных чисел, которая в свою
очередь есть подгруппа аддитивной группы всех действительных чисел; аддитив-
ная группа целых чисел — подгруппа аддитивной группы всех действительных
чисел.
12.4.	Группы преобразований.
Симметрическая группа n-й степени
Преобразованием множества X называется взаимно однозначное ото-
бражение этого множества на себя. Преобразование множества X обозначим
буквой Р. Определение преобразования Р множества X означает следующее:
любому элементу хеХ ставится в соответствие единственный элемент х' = Рх
того же множества; х' называют образом элемента х, а х—прообразом х'.
Каждый элемент /е.? имеет единственный прообраз хе/.
Умножением преобразований называется последовательное их выполнение.
Произведение двух преобразований Р, Q обозначается QP (справа записано
то преобразование, которое выполняется пер вы иг; по определению (QP)x=Q(Px)).
157
Очевидно, произведение двух преобразований данного множества является пре-
образованием этого множества. Отметим, что в общем случае умножение не
является коммутативным, т. е. QPy=PQ. Можно показать, что произведение
преобразований подчиняется ассоциативному закону. Роль единицы при умно-
жении преобразований выполняет тождественное преобразование Е, ставящее
в соответствие каждому элементу множества его самого. Для каждого пре-
образования Р существует обратное преобразование Р~', которое каждому
элементу х'еХ ставит в соответствие его единственный прообраз хеХ, причем
РР~' = Р~'Р = Е. Следовательно, множество преобразований Р данного мно-
жества X образует группу.
Если множество X конечно и состоит из п элементов, то всевозможные
взаимно однозначные отображения этого множества на себя называются под-
становками. Подстановку из п элементов можно обозначить’так:
/ 1	2	3	п 4
\ ai	а2	аз	а„/
где а,, а2, ... , ап—те	же	числа	1,2, 3, ...	,	л,	обозначающие данные элементы
и записанные в другом порядке.
Примеры подстановок	при п = 5:
/	1	2	3	4	5	X	/12	3	4	5	4
\	3	1	5	2	4	/	\	1	2	3	4	5	/
/12	3 4	54	/2	14534
3	4	5	2	1	J	4	3	2	1	5	)
Первая подстановка означает такое взаимно однозначное отображение множества
(1, 2, 3, 4, 5) на себя, при котором 1 переходит в 3, 2 — в 1 и т. д. Вторая под-
становка называется тождественной, каждый элемент соответствует сам себе.
Равенство двух других подстановок показывает, что расположение столбцов
в записи подстановки не играет роли. Подстановки, отличающиеся только по-
рядком следования столбцов, не считаются различными.
Умножением подстановок называют последовательное их выполнение (сначала
правого сомножителя, затем левого). Умножение подстановок ассоциативно, но
не коммутативно. Например, если
/12344	/12344
\ 2 4 1 3 / ’ У\2 3 4 1 / ’
то
Единицей при умножении подстановок из п элементов служит тождественная
подстановка
/1 2 3 ... п 4
\ 1 2 3 ... п ) ’
Каждая подстановка из и элементов имеет обратную:
Чтобы получить подстановку, обратную данной, необходимо поменять местами
строки.
Множество подстановок из п элементов относительно введенной операции
умножения образует группу. Группа подстановок из п элементов называется
симметрической группой п-й степени и обозначается S„. Число подстановок
из п элементов равно п!, поэтому группа S„ имеет порядок nl.
Рассмотрим группу подстановок из трех элементов а, Ь, с. Поскольку из трех
158
элементов можно составить шесть различных перестановок abc, acb, bac, bca, cab,
cba, то и число различных подстановок для них равно шести (/г = 3, 3! = 1 - 2 - 3 — б).
Обозначим эти подстановки следующим образом:
fab
\ а b
с). ма ь с„), Рз=(а ь с\
с )	\ а с b )	\ с Ь а /
а b с \
Ь а с )
Р5
ah b cv Pt=( ° b chv
bca/ \ c a b /
Отметим, что P\—тождественная подстановка; для каждой подстановки
существует обратная:
Pf' = Pi, Pf' = Pi, Р>'=Р>, РГ' = Р^, Pi' = Ps> Pt' = Pt>-
Группа 5з (симметрическая группа подстановок из 3 элементов) некоммута-
тивна, поскольку, например, Р^Р^ = Р2, Р^Рк = Р3, т. е. Р^Рз =/= Р$Р4.
Таблица 12.1
Р,	Pi	Р‘2	Рл	р,	Рб	р„
р.	Р:	Р>	Рл	Ра	Ря	р.
Pt	р>	р.	р.	р.	Р3	Ра
р,	Ра	Р,	р,	Ръ	р4	Рг
Рл	Ра	Рь	р»	р,	Рл	Ра
Рь	р„	р,	Рг	Ра	р<л	р.
Рь	р„	Ра	р4	р>	Pl	р>
Группу можно представить следующей таблицей умножения, в которой
слева стоят левые множители Л, сверху — правые Р„ а на пересечении соот-
ветствующих строки и столбца — их произведение. Таблицы такого рода называют
таблицами Кэли (табл. 12.1).
12.5.	Группа вращений правильного многоугольника.
Циклические группы. Группа симметрий
правильного треугольника
Пусть дан правильный н-угольник А>А2 ... А„ с центром в точке О
(рис. 12.1, п = 6). Рассмотрим всевозможные повороты плоскости вокруг точки О,
при которых этот правильный n-угольник совмещается сам с собой. Таких
поворотов будет п:а»— поворот на угол <ро = О (тождественное преобразование);
ai — поворот на угол <р|=2л/п, а2— поворот на угол <р2= (2л/п)2,... ,	। —
поворот на угол <pn-1 = (2л/п) (п—1). Под ум-
ножением поворотов будем понимать последо-
вательное их выполнение: akoai — aii + i, причем
акз.п = ак при любом k (k = 0, 1, 2, .... п), в част-
ности а„ = ап. Умножение поворотов является
ассоциативным (и коммутативным). Множество
указанных поворотов правильного многоуголь-
ника образует группу по умножению, роль еди-
ницы играет тождественное преобразование —
поворот ан. Для каждого элемента ак сущест-
вует обратный элемент ак 1 = a„_|.(fe = 0, 1, 2, ...
... , п — 1), так как а*оа„_* = а„ = ап, т. е.
аь°а„.. k = aH, где а0—единичный элемент.
159
Рис. 12.2
Положим ai=a, тогда а2 = в2, аз = а3,, an-1 =ап-а„ — а" = ао. В этом
случае говорят, что группа образована степенями одного из своих элементов
(или что она порождается одним их своих элементов); таким элементом
здесь является элемент a = ai. Группы, образованные степенями одного из своих
элементов, называются циклическими. Таким образом, группа вращений пра-
вильного n-угольника является циклической группой порядка п, эта группа
обозначается С„. Отметим, что аддитивная груп-
па целых чисел также будет циклической, она
порождается одним из своих элементов — чи-
слом 1: 2=1 + 1, 3= (1 + 1) + 1 и т. д. Эта
группа является бесконечной циклической груп-
пой, ее обозначают С
Пусть дан правильный треугольник АВС
с центром в точке О (рис. 12.2). Рассмотрим
все симметрии данной фигуры, т. е. те преоб-
разования плоскости, при которых этот тре-
угольник переходит в себя (или самосовмеща-
ется). К ним относятся: три поворота ф<>, фь фг
плоскости вокруг точки О соответственно на
углы 0, 2л/3, 4л/3 (частный случай рассмот-
ренных выше вращений правильного л-угольни-
ка при п = 3); три осевых симметрии <р3, ф4, <р5,
определяемых соответственно осями симметрии /, т, п, проходящими через
вершину правильного треугольника и середину его противоположной стороны
(см. рис. 12.2).
Будем характеризовать каждое самосовмещение ф подстановкой на мно-
жестве вершин А, В, С правильного треугольника
/Л В С \
\ а, а2 аз /
где а,, аг, а3 — те же буквы А, В, С, взятые в некотором порядке. Принятое
нами соответствие между самосовмещениями треугольника и подстановками
множества его вершин дает
/ А	В	С\	/ А	В	С\	j А	В	С \
<₽0=(. А	В	С)'	В	С	А )' Ч’2=(ч С	А	В)'
/ А	В	С\	/ А	В	С \	( А	В	С\
Ч”=( А	С	В)'	С	В	А)' ф5=( В	А	С)'
Множество самосовмещений фо, фь фг, фз, ф4, фз образует группу относи-
тельно умножения (последовательного выполнения двух самосовмещений). Роль
единицы играет тождественное преобразование, каждый элемент данного мно-
жества имеет обратный. Эта группа называется группой симметрий треугольника.
12.6.	Изоморфизм групп
Группы G, и G2 называются изоморфным, если между их элементами
можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее групповую
операцию, т. е. такое, что если лс1т i/ieGi, х2, у^СС и xi<->-x2, yi <-> у<2, то
Xt°yt -и- Х2оу2.
Симметрическая группа Sa трех элементов а, Ь, с и групп i симметрий
правильного треугольника с вершинами А, В, С изоморфны. Эти группы от-
личаются только обозначениями элементов и названиями соответствующих
преобразований. Циклическая группа порядка п изоморфна группе вращений
правильного n-угольника; бесконечная циклическая группа изоморфна адди-
тивной группе целых чисел.
Если f—изоморфное отображение группы Gi на G2, то )(ei)=e2, где
ei, е2 — единичные элементы групп Gi и G2 соответственно, и для любого
XieGi, /(хГ')= (/(xi))-'.
160
12.7.	Разложение группы по подгруппе
Пусть дана группа G и некоторая ее подгруппа Н. Фиксировав
любой элемент хеб, рассмотрим множество элементов x°h, где h — любой
элемент Н. Это множество х°Н называется левым смежным классом группы
G по подгруппе Н, порожденным элементом х. Два любых смежных класса
группы G по подгруппе Н или совпадают, или не имеют ни одного общего
элемента.
Вся группа G распадается на непересекающиеся левые смежные классы
по подгруппе Н. Это разложение называется левосторонним разложением
группы G по подгруппе И. Очевидно, одним из левых смежных классов этого
разложения будет сама подгруппа Н, этот смежный класс порождается эле-
ментом е (или любым элементом he,H, поскольку —
Аналогично вводится понятие правого смежного класса группы G по под-
группе Н, порожденного элементом х; это множество Н°х, т. е. множество всех
элементов вида й°х, где х—фиксированный элемент G, h — любой элемент
из Н. Аналогичным образом получается правостороннее разложение группы
G по подгруппе Н. Если группа G абелева, то оба ее разложения по любой
подгруппе (левостороннее и правостороннее) совпадают. В этом случае гово-
рят просто о разложении группы по подгруппе. Приведем пример такого
разложения.
Пусть G — аддитивная группа целых чисел и Н — ее подгруппа, состо-
ящая из всех чисел, кратных k. Разобьем группу G на классы, относя к одному
классу все те числа, которые при делении на k дают одинаковые остатки.
Разложение данной группы G по указанной подгруппе И состоит из k раз-
личных смежных классов, порождаемых соответственно числами 0, 1, 2, ...
... , k—1. В классе, порождаемом числом I, где	собраны все те
числа, которые при делении на число k дают остаток /.
Полученное разложение группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных
k, при k = 3 можно представить следующим образом:
Н ... —9 -6-3036 9 ...
1+Н ... — 8 —5 -2 1 4 7 10 ...
2 + Н ... —7 — 4 -1 2 5 8 И ...
Замечание. В некоммутативной группе левостороннее и правосторон-
нее разложения могут оказаться различными. Обратимся к симметрической
группе S3(cm. п. 12.4). Из таблицы Кэли для этой группы видно, что множество
элементов Pt, Р? образует подгруппу, обозначим ее В= {Pi, Р?}. Левосторон-
нее разложение группы S3 по подгруппе В состоит из классов В, Р3В = PtB =
= (Р4, Р5), Р3В = РьВ= {Р3, Ре, ), а правостороннее — из классов В, ВРе —
= ВР4=(Р4, Р6), ВР5 = ВР3 = (Рз, Ръ}, т. е. эти разложения различны.
Отметим, что левостороннее и правостороннее разложения этой группы по ее
подгруппе третьего порядка А= (Pi, Рз, Ре} совпадают; каждое из них состоит
из двух классов: А = { Pi, Р$, Ре,), АР-2=Р?А = { Р2, Рз, Р4}.
Теорема 12.1 (Лагранжа). Порядок подгруппы конечной группы явля-
ется делителем порядка группы.
Следствие 1. Порядок любого элемента конечной группы является
делителем порядка группы.
Следствие 2. Всякая конечная группа, порядок которой есть простое
число, является циклической.
12.8.	Нормальный делитель
Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем этой
группы (или инвариантной подгруппой), если левосторонние и правосторонние
разложения этой группы по указанной подгруппе совпадают.
Из определения следует, что любая подгруппа коммутативной группы
является в ней нормальным делителем. Далее, в любой группе G сама группа
161
и ее единичная подгруппа будут нормальными делителями: разложение группы
G по самой этой группе состоит из одного элемента G, разложения группы
G по единичной подгруппе совпадают с разложением группы на отдельные
элементы. Приведем примеры нормальных делителей в некоммутативных
группах.
1.	В симметрической группе 5з(см. п. 12.4) подгруппа H—{Pt, Р$, Pt,}
является нормальным делителем, так как левостороннее и правостороннее раз-
ложения совпадают, они состоят из двух классов: H={Pi, Р$, Pt,), НР2 =
= Р2Н={Р2, Р3, Р<].
2.	В мультипликативной группе невырожденных квадратных матриц по-
рядка п подгруппа матриц с определителем, равным единице, будет нормальным
делителем. Действительно, левый и правый смежные классы по этой подгруппе,
порождаемые матрицей М, совпадают с классом всех матриц, определитель
которых равен определителю матрицы М (как известно, определитель произ-
ведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц).
Можно дать и другие определения нормального делителя, равносильные
исходному. Приведем одно из них.
Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем этой группы,
если х°Н = Н<>х для любого хеб, т. е. для любого хеб и элемента heli
существуют hi, h2^H такие, что х°/г = й|°х, h°x = x°h2.
12.9.	Классы сопряженных элементов
Элементы а и Ь группы G называют сопряженными, если в G су-
ществует хотя бы один такой элемент х, что
Ь = х~'ах.	(12.5)
В этом случае говорят, что элемент b получается из элемента а трансформи-
рованием с помощью элемента х. Из равенства (12.5) находим
a = x6x-'= (х~‘) 'йх ',
т. е. элемент а при этом получается из элемента b трансформированием эле-
мента х_|.
Теорема 12.2. Подгруппа Н группы G тогда и только тогда будет
нормальным делителем в G, если вместе с любым своим элементом h она
содержит все элементы, сопряженные с ним в G.
Замечание. Нормальный делитель называют также инвариантной
подгруппой. Из теоремы 12.2 следует происхождение этого названия. Если
Н — нормальный делитель группы G, то трансформирование любого элемента
подгруппы Н с помощью элемента группы G дает снова элемент подгруппы
Н (подгруппа Н остается неизменяемой по отношению к операции трансфор-
мирования элементов Н).
Теорема 12.3. Пересечение двух нормальных делителей группы явля-
ется нормальным делителем этой группы.
12.10.	Фактор-группа
Фактор-группой группы G по нормальному делителю // называется
группа всех смежных классов этой группы G по подгруппе Н.
Таким образом, с группой G можно связать некоторый набор новых
групп — ее фактор-групп по различным нормальным делителям.
Отметим, что фактор-группа абелевой группы является абелевой, фактор-
группа циклической группы.— циклической группой.
Примеры фактор групп. 1. Пусть G - аддитивная группа целых чисел,
Н—подгруппа чисел, делящихся на 3. Найдем фактор-группу G///. Групповой
операцией в данном случ’аё является сложение. Число смежных классов
равно трем (см. пример в п. 12.7): множество чисел, делящихся на 3, два
множества чисел, дающих при делении на 3 соответственно остатки 1 и 2.
162
Обозначим эти смежные классы [0], [1], [2]. В этом множестве введем опера-
цию сложения следующим образом: сложив соответствующие числа в квад-
ратных скобках, определим, какой остаток при делении на 3 дает их сумма,
и будем считать суммой смежных классов тот, которому принадлежит полу-
ченный остаток. Таблица умножения для фактор-группы имеет вид [01 + [0] =
= [1] + [2J = [2] + [1] = (0J, [0J + [1] = [1] + [0J = [2] + [2] = [1], |oj + [2] =
— [21 + [0] = [ 1 j + [ 1 ] = [2]. Отсюда видно, что фактор-группа абелева. Кро-
ме того, все смежные классы порождаются классом [1], они совпадают со
степенями этого класса: |1|, [1] + [1) = [2], [1] + [1] + [1] = [0]. Поскольку
фактор-группа порождена одним элементом, то она циклическая.
2.	Пусть G — аддитивная группа целых чисел, Н—подгруппа целых
чисел, кратных натуральному числу k. Фактор-группой G/Н является конечная
группа порядка k, состоящая из классов [0], [I], [2], ..., [Л—1]. Эта фактор-
группа циклическая, как и сама группа G.
3.	Пусть G — мультипликативная группа всех невырожденных матриц
порядка п, Н — подгруппа матриц с определителем, равным единице. Фактор-
группа G/Н изоморфна мультипликативной группе отличных от нуля действи-
тельных чисел.
12.11.	Гомоморфизм групп
Если G и G’ — труппы и /: G G' — такое отображение, при ко-
тором для любых элементов л, у группы G
/<лу) /(*)/(//).	.	(12.6)
то j называется гомоморфным отображением или гомоморфизмом группы G
в группу G'. Отметим, что в определении гомоморфизма имеется в виду, что
каждый элемент группы G поставлен в соответствие хотя бы одному элементу
группы G', но разным элементам из G может соответствовать один и тот же
элемент из G'. Другими словами, отображение группы G в группу G' не пред-
полагается взаимно однозначным, как в случае изоморфизма.
Очевидно, каждая группа гомоморфна себе самой, так как можно поло-
жить f(x)—x для всех хеО. Далее, каждая группа гомоморфна единичной
Iруппе (состоящей нз одного нейтрального элемента е). Примером гомоморф-
ного отображения групп может служить циклическая группа Се шестого
порядка с элементами <*, а, а’. а\ а}. <Г, которая гомоморфна циклической
группе С_> второго порядка с элементами Е, А:
f(е) =f(a’) - f(a’) f(a) = f (a3) =f (a5) =A.
Равенство (12.6) означает, что образ произведения двух элементов равен
произведению образов этих элементов (которые, впрочем, могут называться
по-разному в группах G и G'), поэтому говорят, что гомоморфизм «сохраняет
групповую операцию». Гомоморфизм групп сохраняет не только групповую
операцию, но также нейтральный и обратный элементы: если f — гомоморфное
отображение группы G в группу G', то Це)=е', где е, е'— нейтральные эле-
менты групп G и G' соответственно.
Теорема 12.4. Каждая группа гомоморфна любой своей фактор-группе.
Обратно, если группа G гомоморфна группе G', то G' изоморфна фактор-
группе группы G по некоторому нормальному делителю Н.
12.12.	Представления групп
С точки зрения алгебры изоморфные группы не считаются различ-
ными. О группе, изоморфной некоторой подгруппе группы подстановок, говорят,
что она представлена подстановками.
Теорема 12.5. (Кэли). Каждая конечная группа изоморфна некоторой
группе подстановок (т. е. всякую конечную группу можно представить под-
становками).
163
Следовательно, при описании любой конечной группы можно воспользо-
ваться преимуществами группы подстановок.
Для теории и приложений наиболее интересны линейные представления
конечных групп. Говоря о линейном представлении конечной группы G, пред-
полагают, что дано векторное пространство V„, в котором действуют линейные
невырожденные преобразования. Эти преобразования образуют группу G',
которой гомоморфна исходная группа G; при этом говорят, что группа G'
представляет-группу G.
Гомоморфное отображение Г группы G в группу G' невырожденных
линейных преобразований л-мерного векторного пространства Vn называется
линейным представлением группы G.
Следовательно, если Г — линейное представление группы G группой G',
то кажному элементу aeG поставлено в соответствие невырожденное линей-
ное преобразование Ца)еС' пространства V„ так, что для любых a, b^G
справедливо соотношение Г(аЬ) =Г(а)Г(Ь). Как известно, при этом Г(е)=£,
где е, Е — нейтральные элементы групп G, G' соответственно, и Г(а~') =
= (Г(а))_| для любого neG.
Пространство V„, в котором действуют преобразования из группы G',
называется пространством представления группы G. Размерность пространства
V„ называют размерностью (или степенью) рассматриваемого представления.
Вместо линейных преобразований часто рассматривают соответствующие
им матрицы.
Ill
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Глава 13
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ
13.1. Понятие функции. Основные
определения
Рассмотрим множество X элементов х и множество Y элементов у.
Если каждому элементу хеХ по определенному правилу f поставлен в соот-
ветствие единственный элемент ye У, то говорят, что на множестве X задана
функция y — f(x) со значениями в множестве У. Элементы хеХ называются
значениями аргумента, а элементы уе.У—значениями функции. Множество
X называется областью определения функции, множество всех значений
функции — областью значений этой функции.
Замечание. Функцию, заданную на множестве X со значениями
в множестве У, называют также отображением множества X в множество У.
Если множество У является множеством значений функции, то рассматривае-
мую функцию называют отображением множества X на множество У.
Функцию, заданную на множестве X, называют также оператором,
заданным на множестве X, и обозначают символом f.
В случае, когда X и У — числовые множества, соответствующие функции
называют числовыми функциями. Если рассматриваются действительные числа,
то функции называют действительными (вещественными) функциями одной
действительной (вещественной) переменной.
Употребляются следующие обозначения функции: y = f(x), y — F(x),
у = Ф(х), у = ц>(х), у = у(х) и т.п. Значение, которое функция y = f(x) при-
нимает при х = а, обозначается через f(a).
Функция и аргумент могут обо (начаться также другими буквами, напри-
мер s = u = f(v), r = r(f), x = xt/) и т. д.
К простейшим областям определения функции относятся отрезок, интервал,
полуинтервалы или совокупность указанных промежутков. Например, для фун-
кции у— — областью определения является отрезок [ — 3,3], а областью
ее значений отрезок [ — 3,0]; для функции у = хя область определения
и область значений совпадают с ингервалом (— оо, +<»)•
Графиком функции у — f(х) напивается множество точек плоскости, коор-
динаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, т. е. точек
М(х, ](х)). Например, графиком функции у— — -у/16 — х5 является полуокруж-
ность радиуса /? = 4 с центром в начале координат, расположенная ниже оси Ох.
К традиционным основным способам задания функции относятся: анали-
тический (с помощью одной или нескольких формул); графический (с помощью
графика); табличный (с помощью таблицы значений).
Функция, заданная формулой
</=/(х),	(13.1)
правая часть которой не содержит у, называется явной функцией.
Функция у—у(х), определяемая уравнениями
Е(х, у)=0,	(13.2)
называется функцией, заданной неявно, или неявной функцией.
Отметим, что одно уравнение вида (13.2) может определять несколько
функций. Например, уравнение х'2у2— /? =0 определяет две функции yi =
— fiM = —д/Л7—х2, У2 = Ых) =л/)?г —х2.
166
Обратимся к функции (13.1). Каждому хеХ по определенному закону
ставится в соответствие единственное значение 1/еК. С другой стороны, каж-
дому уе У соответствует одно или несколько значений хеХ
В случае, когда каждому i/еУ по некоторому закону <р соответствует
только одно значение хеХ, получаем функцию
X=<f(y),	(13.3)
заданную на множестве У со значениями в множестве X. Функцию (13.3)
называют обратной функцией по отношению к функции (13.1). Функции (13.1)
и (13.3) в этом случае называются взаимно обратными. Для взаимно обрат-
ных функций выполняются тождества:
хеХ;	цеУ.
Примеры взаимно обратных функций: у = У, x = loga</; у = 2х — 3, х = (у + 3) /2.
Если придерживаться стандартных обозначений (у — функция, х — аргу-
мент), то обратную функцию (13.3) следует писать в виде у=<р(х). Напри-
мер, можно говорить, что функции у=У, y = log3x взаимно обратные.
Функцию, обратную к функции y = f(x), удобно обозначать символом
x=t~\y)-
Если y = f(u), u = <p(x)—функции своих аргументов, причем область оп-
ределения функции f содержит область значений <р, то каждому х из области
определения функции <р соответствует у такое, что y=f(u), где u=<j>(x).
Эта функция, определяемая соответствием
у=Кч> (*)).
называется функцией от функции или сложной функцией. (Применяются также
и другие названия: композиция функций <р и f, суперпозиция функций <р и /.)
Например, если у = и3, u = cosx, то у= (cos x)3=cos3 х.
Рассматривают также функции, являющиеся композициями более чем
двух функций. Так, функция tt> = sin lg(l +х2) представляет собой композицию
следующих функций: = sin и, u = lgu, v=l+z, z=x2.
Функция y=f(x) называется четной, если для любых х и —х из области
ее определения выполняется равенство /(— х)=/(х). Функция у = <р(х) назы-
вается нечетной, если для любых х и —х из области ее определения выпол-
няется равенство <р( —х) = —<р(х). Например, у=х2, y=cosx — четные фун-
кции, у=х3, y = sin х — нечетные функции.
Функция y=f(x) называется периодической, если существует число Т=Х=О
такое, что при всех х и х+Г из области ее определения выполняется равенство
f(x+T)=f(x). Число Т в этом случае называется периодом функции. Всякая
периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. Говоря о пе-
риоде функции y = f (х) (f(x) const), обычно имеют в виду наименьший по-
ложительный период: так, периодом функции y=sinx является число 2л,
периодом функции y = tgx— число л.
Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве X, если суще-
ствует такое число С > 0, что для всех хеХ выполняется неравенство (х) I С.
Тригонометрические и обратные тригонометрические функции, функции
y=x“(a = const), у = ах(а> 0, а#=1), y = logax(a > О, а=#1) называются ос-
новными элементарными функциями.
Элементарными функциями называются все функции, которые можно
получить из основных элементарных функций с помощью алгебраических
действий и образования сложных функций. Например, функции y=lgcosx,
y = x3 + sin х, y = 2’8Sln*+COSjr H т. д. являются элементарными.
Термин «функция» впервые появился в 1673 г. в одной из работ Лейбница.
Под функциями Лейбниц понимал некоторые отрезки прямых. И. Бернулли
дал определение функции как аналитического выражения, состоящего из пе-
ременной и постоянных величин (1718), он же применял обозначение <рх (без
скобок). Обозначение f(x) впервые предложил Эйлер в 1734 г.
167
13.2. Предел последовательности
Числовой последовательностью (или последовательностью) называется
функция
х„ = ф(л), п=1, 2, 3, ....
определенная на множестве натуральных чисел. Каждое значение х„(п =
= 1, 2, 3,...) называется элементом последовательности, а число л — его номером.
Числовую последовательность с элементом х„ обозначают либо хп, п =
= 1,2, 3, ... , либо (л,, х2,... , х„, ...), либо (хп).
Примеры числовых последрвательностей: 1)	(с) = (с, с, с, ...);
21 ( '	-Т-Т-	31 <«»»>-<->• I.
1,...).
Числовая последовательность всегда содержит бесконечное множество
элементов; среди них могут быть равные (см. примеры 1) и 3)).
Число а называется пределом последовательности (х„), если для любого
числа е > 0 найдется такое натуральное число N, что при всех п> N выпол-
няется неравенство |хл— а|<е.
Предел последовательности (х„) обозначают lim х„=а; х„-+а при л-*-оо
п-*-»
(читается: х„ стремится к а, когда п стремится к бесконечности).
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последо-
вательность, у которой нет предела, называется расходящейся.
Интервал (а —е, а + е) называется е-окрестностью точки а и обозначается
О(а, е).
Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число а
является пределом последовательности (хл), если в любой его е-окрестности
содержатся почти все члены (хл), или вне этой окрестности находится лишь
конечное число членов данной последовательности.
Из определения предела последовательности следует, что предел постоян-
ной равен этой постоянной lim c=c(c=const), поскольку в данном случае
оо
хл = с, а = с, |х„ — а|=0<е для любого е>0. Из определения следует также,
что последовательность может иметь только один предел.
Последовательность (х„) называется ограниченной сверху (снизу), если
существует такое число А, что хл^А (соответственно хл ^А) для всех
номеров л.
Последовательность (х„), ограниченная сверху и снизу, называется просто
ограниченной.
Очевидно, последовательность (хл) ограничена тогда и только тогда,
когда существует такое число С > 0, что |х„| для всех номеров п.
Например, последовательности (1/л), (1/л2), (сов(лл/2)) ограничены,
последовательность (л2) ограничена снизу, но не ограничена сверху, последо-
вательность (п cos лп) не является ограниченной ни сверху, ни снизу.
Теорема 13.1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Число а называется верхней гранью последовательности (хл), если: 1)
х„^а при всех п; 2) для любого е > 0 существует такой номер N, что х«>
>а —е. Верхняя грань последовательности (хл) обозначается sup(x„) или sup х„.
Аналогично определяется нижняя грань последовательности (хл) и обозна-
чается inf (х„) или inf х„.
_	/ п—1 \	.	. ,/ л—1 \	„
В качестве примеров отметим, что sup!—-—j =1, infl—-—j =0,
inf(n2) = l, sup(n2) = oo.
Последовательность (x„) называется монотонно возрастающей (монотонно
убывающей), если хл^хл+1 (соответственно хп >хл+,) при всех л. Монотонно
возрастающие и монотонно убывающие последовательности называются просто
монотонными.
Теорема 13.2. Всякая ограниченная сверху (снизу) монотонно возрас-
168
тающая (монотонно убывающая) последовательность (х„) имеет предел, при-
чем lim x„ = sup(x„) (соответственно lim x„ = inf(xn)).
Если последовательности (а„) и (Ьп) имеют пределы, то пределы их суммы,
разности, произведения, частного существуют и находятся по формулам
lim (а„ + &„)	= lim а„+ lim b„,	(13.4)
п—>ао	п—+оо	п-*-<зо
lim (а„ — bn) = lim ап— lim Ьп,	(13.5)
П—►оо	д—>-<ю	п-*-оо
lim	(anb„)	= lim ап lim ba,	(13.6)
П—►ас	л—*-оо п—>оо
.	.	lim ап
lim(-^-) =	-  (Ишб.^О).	(13.7)
rt-*-oo\ Dn /	lim On	/!-»-<»
n~*-oo
Пример 13.1. Последовательность (8-j-l/n) сходится и имеет предел
а = 8.
Действительно, каково бы ни было число е > О, найдется такое натураль-
ное число #, что |х„ —а| = | (8+1/п) —8| = 1/п<е, 1/п<е для п > #; нера-
венство (1/п) Се будет выполнено для всех n>N, если #> 1/е, т. е. в ка-
честве # можно взять большее из двух последовательных натуральных чисел,
между которыми заключено число 1/е. Например, если в|=0,1, то #| = 10;
если 62 = 0,01, то #2=100 и т/д.
Замечание. Одновременно показано, что последовательность (1/п)
имеет пределом нуль, т. е.
lim—=0.	(13.8)
л—► оо П
Пример 13.2. Последовательность (cosnn) является расходящейся.
В самом деле, каково бы ни было число а, вне его е-окрестности, напри-
мер при 0<е<1, заведомо лежит бесконечное множество элементов данной
последовательности (хотя среди них и много равных между собой); это озна-
чает, что а не является ее пределом.
П	а и .	|.	2п2 —Зп + 5
Пример 13.3. Найти lim---------s----------.
r	« 6n2+4n —9
Разделив числитель и знаменатель дроби на п2 и применив формулы
(13.4) — (13.8), получим
2п2-Зп + 5	..	2-3/п+5/п2 Д» (2 — З/п + 5/n2) j
"-»» 6n2 + 4n—9	«-»“ 6 + 4/n—9/n2 lim (6-f-4/n — 9/n2)	3
n—► OO
13.3.	Предел функции
Постоянная b называется пределом функции y=f(x) при х->-а
(или в точке а), если для любого числа е>0 существует такое число б > 0,
что при всех х, удовлетворяющих условию
0< |х—а| <6,
выполняется неравенство
Щх) -5| <е.
Предел функции f(x) при х, стремящемся к а, обозначают:
limf(x)=6; f(x)-*b при х-»-а.
х-ь-а
169
Рассматривают также односторонние пределы функции: предел слева
lim f(x)=bi (х стремится к а, оставаясь меньше а; х<а) и предел справа
х-*-а—О
lim f(x)=b2 (х стремится к а, оставаясь больше а; х>а). Если односторон-
х—О
ние пределы равны: lim f(x)= lim f(x)=b, то предел функции f(x) в точке
х->а — 0	х-»-й-|-0
а существует и равен b: limf(x)=Z>. Если односторонние пределы различны
х~+а
или хотя бы один из них не существует, то не существует и предел функции
в соответствующей точке.
Если с—постоянная величина, то lim с = с.
х~*-а
Если функции f(x) и <р(х) имеют пределы при х->-а, то
lim (f(x)±<p(x))= lim/(x)± lim <p(x), x-*-a	x-*a	x-*-a	(13.9)
lim (f(x)«p(x))= lim f(x) lim <p(x),	(13.10)
f,,4	limf(x) lim -Ц4- =	( lim <p(x) #=0). x-a <p(x)	lim<p(x)	z-a x—	(13.11)
Из (13.10) следует, что
lim (cf(x)) =с lim f(x) (c=const),
lim (f (x))m= (lim f(x))m,
x-*-a	x->e
lim x"=ara,
где m — натуральное число.
(13.12)
(13.13)
(13.14)
Если л) lim f(x) существует, то
x-*a
lim 5У/(x) =5/lim f(x).	(13.15)
x-*d	x-*a
Число А называется пределом функции y=f(x) при x, стремящемся к
— оо или + оо, если для любого числа е > 0 можно указать положительное
число N, такое, что при всех значениях х, удовлетворяющих условию |х| > jV,
выполнялось неравенство |f(x)— Л|<е.
Пример 13.4. Найти lim (2х2 —5х-|-4).
Применяя формулы (13.9), (13.12), (13.14), получаем
lim (2х2-5х+4)= lim (2х2)— lim (5х) + lim 4=2-32—5-34-4 = 7.
х-*-3	х-*3	х-*3	х-»-3
П	IO С U я 1-	бх2—9x4-7
Пример 13.5. Найти lim-------5------.
Е н	*-2 Зх2—8x4-5
С помощью формулы (13.11) и формул, указанных в примере 13.4, находим
бх2-9x4-4	Jjm (6х2 —9x4-4) _ 6.22_9.2 + 4
Зх2 —8x4-6	lim (Зх2—8x4-6)	3-22-8-24-6
х->2
— х3 -4- х% — 1
Пример 13.6. Найти lim —-——-=-----------.
2-1 х4—2х34-2х2—1
170
При х=1 числитель и знаменатель дроби равны нулю, имеем неопреде-
ленность вида -у-. Чтобы раскрыть ее, предварительно преобразуем данную
дробь, разложив многочлены на множители:
х4—x’-f-x2—1	х3(х— 1) + (х— 1)(х-Н)
х4 —2х34-2х2—1 “ (х2 — 1)(х24-1) — 2х2(х— 1) ~
_	(х—1) (х34-х4-1)________ х3+х+1
" (х-1)((х+1) (х2+1)—2х2) ~ X3—х2+х+1
Переходя к пределу, получаем
..	х4 — х3 + х2— 1	х3+х+1	3
X4 —2х3 + 2х2— 1	х3 —х2 + х+1	2
16 — х2
Пример 13.7. Найти lim —.	--.
~4 V5+*-3
При х=4 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, имеем не-
0	„ „
определенность вида Чтобы раскрыть эту неопределенность, предваритель-
но преобразуем дробь:
16-х2	(16—х2)(-у/5+^+3)	(16-х2) (у/54-х-(-3) _
д/54-х-З “ (д/54-х—3)(V5+x4-3) “	“
_ <4-x>«+x)(<S+7+3> _ _ (i+4)(i/5T7+31
5-f-x —9
Переходя к пределу с использованием формулы (13.15), находим
lim
х-»-4
16-х2
у/54-х-З
lim (х4-4) (л/54-х-|-3) = -8-6= —48.
Х-»-4
13.4.	Бесконечно малые функции и их
свойства
Функция а = а(х) называется бесконечно малой при х->а (или при
х->оо), если ее предел равен нулю:
lima(x)=0 (lima(x)=0).
х-*-а	х->оо
Например, Функция а(х) = (х—5)2 есть бесконечно малая при х->5, так
как lim а(х)= lim (х—5)2 = 0; функция а(х) = 1/х является бесконечно малой
х-»-5	х-»-5
при х —оо, поскольку
lim а(х) = lim-----=0.
х->-оо	х->оо X
Принимая во внимание определение предела функции, определение беско-
нечно малой функции можно сформулировать следующим образом.
Функция а = а(х) называется бесконечно малой при х->а, если, задав
любое число е > 0, можно указать такое число б > 0, что для всех х, удовлетво-
ряющих условию 0<|х—а|<б, выполняется неравенство |а(х)|<е.
Свойства бесконечно малых выражаются следующими теоремами.
Теорема 13.3. Если функция у=у(х) имеет предел b при х-»-а, то
у(х)=Ь + а(х), у=Ь\а,
(13.16)
171
где а = а(х)—бесконечно малая при х-»-а. Обратное также верно: если вы-
полнено равенство (13.16), то lim у (х) =6.
х-*а
Теорема 13.4. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно ма-
лых функций при х->- а есть бесконечно малая функция при х->- а.
Теорема 13.5. Произведение бесконечно малой на ограниченную фун-
кцию есть бесконечно малая функция.
Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых функций есть бес-
конечно малая функция.
Следствие 2. Произведение бесконечно малой функции на постоян-
ную есть бесконечно малая функция.
13.5.	Сравнение бесконечно малых функций
Бесконечно малые а(х) и р(х) при х-*а называются величинами
одного порядка, если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, т. е.
lim -777^7- = с, или lim -^-7-7— = —— (сч^О).
х^а 0(х)	х^а а(х) С '	’
В этом случае пишут: а(х)=О(Р(х)) при х-»-а (читается: а(х) есть
О большое от р(х) при х->-а).
Например, a(x)=sinx и р(х)=3х при х-<-0 являются бесконечно малыми
одного порядка, так как lim a(x)/p(x) = 1/3, sinx=O(3x) при х->0.
Если предел отношения а(х)/Р(х) при х->-а равен нулю (с = 0), то
величина а(х) называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению
с 0(х) (величина Р(х)—бесконечно малая низшего порядка по сравнению
с а(х)). В данном случае применяется обозначение <х(х) =о(Р(х)) при х-»-а
(читается: а(х) есть о малое от р(х) при х->а]. Например, x1 2 * = o(sinx)
при х —> О, поскольку
lim
х-<-0
sin х
lim х lim —Д— =0-1 =0.
х-.о	х—о sm
Функция р(х) называется бесконечно малой k-ro порядка относительно
функции а(х), если р(х) и (а(х))4 — бесконечно малые одного порядка, т. е.
lim =zC (с=#0)-
(а(х))‘
Например, если а(х)=х, Р(х)=х4, то при х-*0 р(х) — бесконечно
малая четвертого порядка относительно бесконечно малой <х(х) (но бесконечно
малая второго порядка по сравнению с у(х)=х2).
Две бесконечно малые функции а(х)
(или равносильными) бесконечно малыми
ния равен единице, т. е.
и р(х) называются эквивалентными
при х-»-а, если предел их отноше-
1- «(*) ।
нт т- = 1, или
**» р(х)
Ит#> =1.
х-а а (х)
Эквивалентность бесконечно малых а(х) и р(х) обозначается символом
а(х)~Р(х) при х-*а.
Из формул (13.17) и (13.22) (см. п. 13.8) следует, что при х->0
x~sinx~tgx, 1п(14-х)~х.
Теорема 13.6. Бесконечно малые функции а(х) и Р(х) эквивалентны
тогда и только тогда, когда их разность есть бесконечно малая высшего
порядка по сравнению с каждой из них.
172
Теорема 13.7. Если а(х)~а,(х), 0(х)~0,(х) при х->-а и существует
..	аДх)	..	а(х)
Inn - ;	, то существует lim , причем.
х^а 0i(x)	х~а 0(х)
lim
а(х)
0(х)
lim
х-*-а
<Х1 (х)
Pl W
Следствие. Если <xi(x)~0(x), а2(х)~0(х) при х—-а, то аДх)~
~а2(х) при ха.
При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каж-
дую из них (или только одну) можно заменить другой бесконечно малой, ей экви-
валентной: если а(х) ~а,(х), 0(х) ~0, (х), то
1™
х->а 0(Х)
= lim
<xi(x)
0(Х)
= lim
х->а
а(х)
01 (х)
= lim
х->а
«|(х)
01 (X)
Замечание. Если отношение а(х)/0(х) двух бесконечно малых функ-
ций при х-*-а не имеет предела и не стремится к бесконечности, то бесконечно
малые функции а(х) и 0(х) несравнимы между собой. Например, несравнимы
при х->0 бесконечно малые функции а (х) =х sin (1/х), 0(х)=х, так как
а(х) х sin (1/х)	1
--7 -г  = ----—------— = SIH ---
0 X	X	X
и sin (1/х) не имеет предела при х->0.
Пример 13.8. Доказать, что функции а(х) =6х2/(1 —х) и 0(х)=х2
при х-»-0 являются бесконечно малыми одного порядка.
Найдем предел отношения двух данных функций:
г 6х2	..	1
lim —т----------=6 lim -------------=6.
г->-0 х2 (1 — х)	х—о 1 —х
Поскольку полученный предел отличен от нуля, то данные функции являются
бесконечно малыми одного порядка.
Пример 13.9. Доказать, что порядок функции а(х) =х5/(2 + х2) выше,
чем порядок функции 0(х)=х4 при х->-0.
Так как
lim —;—-—т— = lim ——г =0,
х-,0 х4(2+х2) х+о 24-х2
то функция а(х) =х5/(2+х2) есть бесконечно малая высшего порядка, чем
функция 0(х)=х4.
Пример 13.10. Найти lim S*n——.
х—з х2 — 5х-|-6
При х->-3 функции х — 3, sin(x — 3) являются эквивалентными бесконечно
малыми. Поскольку при замене бесконечно малой функции sin(x —3) эквивалент-
ной ей функцией х—3 предел отношения не изменится, то
,. sin(x —3)	sin(x —3)
hm „-----— — lim -г-.——4т-
x—3 x2 —5x-(-6	x->3 (x —3)(x—2)
..	x —3	..	1
= llm	--5Г = llm---<T =
х^з (x—3)(x —2)	x->3 x — 2
e	, 0111 Л —I— A  A
Пример 13.11. Наити hm----------5--
H K	x-o	2x—x3
Так как (sin x4-x2 — x4) ~sin x, (2x —x3)~2x при x-»-0, to
lim
x->0
sin x-|-x2— x4
2x —x3
= lim
x-*0
sin x
~2x~
1 ,. sin X
= -7— lim-------
2 x—n x
1
2 ’
173
13.6.	Бесконечно большие функции
Функция y=f(x) называется бесконечно большой при х->-а, если для
любого положительного числа /V можно найти такое число 6 > 0, что при всех
значениях х, удовлетворяющих условию 0<|х—а| <6, выполняется неравенство
\f(x)| > N.
Бесконечно большая функция не имеет предела при х->-а, но иногда условно
говорят, что ее предел равен бесконечности, и пишут: limf(x) = oo, или /(*)->
х-*а
~>-оо, при х->-а.
Если f(x} стремится к бесконечности при х-*а, принимая только положи-
тельные или только отрицательные значения, то соответственно пишут:
lim f (х) = + °°, Um f(x) — — оо.
х-*а	х-*а
Если функция f (х) стремится к бесконечности при х->-оо, то пишут lim f (х) =
х-> оо
2= ОО .
Примером бесконечно большой функции является функция f(x) = l/x при
х->-0. В самом деле, при любом 7V > 0 неравенство 11/х| > W будет выполнено,
если |х| = |х—0| < 1/W=6. Эта функция принимает положительные значения
при х>0( lim f(х) = + оо) и отрицательные — при х<0 ( lim f(x) = —
х->- + 0	х—-0
— оо).
Функция f(x) = 1/(х—2)2— бесконечно большая при х->-2. Действительно,
при любом Л^>0 неравенство 1/(х —2)2> N будет выполнено, если (х —2)2<
<l/N или |х—2| <l/ViV=6. Данная функция принимает только положитель-
ные значения.
Если функция а = а(х) стремится к нулю при х-»-а (или х-»-оо) и не обра-
щается в нуль, то функция у(х) = 1/а(х) стремится к бесконечности.
13.7.	Основные теоремы о пределах
функций
Теорема 13.8. Функция у=у(х) не может иметь более одного пре-
дела при х-^-а.
Теорема 13.9. Пусть функция y=f(x) определена в некотором проме-
жутке, содержащем точку а. Если при х-*-а функция y=f(x) имеет положитель-
ный (отрицательный) предел, то найдется 6-окрестность точки а такая, что для
всех хеО(а,6) функция положительна (отрицательна).
Эта теорема называется теоремой о сохранении знака функции, имеющей
предел.
Теорема 13.10. Если функции и(х), о(х) определены в некоторой 6-
окрестности точки а, для всех хе0(а,6), х#=а выполняется неравенство и(х) <
<и(х) и функции имеют пределы при х-»-а, то lim u(x)^ lim w(x).
х-»-а	x-*a
Замечание. Теорему 13.10 кратко можно сформулировать так: в нера-
венстве, обе части которого имеют пределы, можно перейти к пределу, присоеди-
нив знак равенства. Например, 7 +х2 >7—х2, х=/=0; lim (7-f-x2) = lim (7 —
— х2)=7.
Теорема 13.11. Пусть три функции и — и(х),у = у(х), v = v(x) опреде-
лены в некотором промежутке, содержащем точку а.
Если для любого х из этого промежутка выполняются неравенства и(х)С
<{/(х)<ц(х) и функции и=и(х), о = о(х) имеют одинаковые пределы при
х->-а, то функция у = у(х) имеет тот же предел при х-*а.
174
13.8.	Некоторые важные пределы
Если угол а выражен в радианах, то
.. sin а , tgа ,
lim------=1, lim —— = 1.	(13.17)
а-0 а	а—О а
Числом е называется предел
limf 14——) —е или lim (1+<х) |'/°=е.	(13.18)
*->со\ X /	а—►О
При нахожденйи многих пределов применяются следующие пределы:
lim	= logae,	(13.19)
х->о х
lim	=lna,	(13.20)
x-*-0 X
lim —1	=a.	(13.21)
x-o x
Частными случаями формул (13.19) и (13.20) являются соответственно
формулы:
lim	(13.22)
х-^0 X
lim—-----L = i.	(13.23)
Х-.0 х
При нахождении пределов вида lim (<р(х))*(<>=С необходимо иметь в виду
х-+а
е пределы 1ш1<р(х)=Л, 1ппф(х)=В, то
х-.а	х-.а
ф(х) = оо, то С находится с помощью формул
( 0, если 0<Л<1,
I + оо, если Л> 1,
4-ос, если 0<Л<1,
О, если Л > 1;
= оо, то, положив q> (х) = 1 4- а (х), где а (х) -»
—>0 при х->а, получим	, , , ,	.. , , ,	.
r	J	lim а(х)i|>(x)	lim [<р(х) — 1Ji|>(х)
С= lim {[1 4-а(х)] '/“<')	=ex-*a
х-*а
Пример 13.12. Найти lim^ 1-----------.
При х-^оо выражение (1 — (б/х))->1, получаем неопределенность вида 1“ .
Чтобы раскрыть ее, введем новую переменную по формуле ( —6/х)=а, откуда
х=—b/a.\ a-*-0, когда х->оо. Переходя к пределу с использованием формул
(13.13) и (13.18), находим
limf 1- —Y= lim (l-|-a)-6/“= lim [(1+a)l/a] ~‘ =
x-.oo\	X /	a-. 0	a-*0
следующее:
1)	если существуют конечны
С=Лв;
2)	если lim <р(х) =Л =#= 1 и lim
x-*a	x-.a
lim Лх =
X-> -J- oo
lim A’—t
— co	I
3)	если lim<p(x) = l, lim ф(х)
x-^a	x-^a
175
= [ lim (1+ <z) l/“]-* = <»-*; lim ( 1-—
a—*-0	x—*• оо \	X /
В частности, при Ь—— 2 получаем lim ( 14---1 =e2, при 6=3 имеем
X-*-oo\ x /
lim ( 1--1Л=е-з
x^oo\ x )
n	1-	( 3x—-2V
Пример 13.13. Наити lim I -j  . . I 
x-*- oo \ Зх + 4/
Разделив числитель и знаменатель на Зх и воспользовавшись результатом
примера 13.12, получим
1 - (2/3)/х\ *
1 + (4/3)/х/
= Нт ( 1 _ -2/LY ; lim f l + -^-Y=e-2/3:e4/3 = e-2.
х-оо\	X /	X—оо\	X /
П, „ 1 j ! °	,.	sin 7х
ример 13.14. Наити hm ----------.
х-»0 X
Преобразуя эту дробь и применяя первую из формул (13.17), находим
.. sin 7х	7sin 7х _ sin 7х _ ,	_
hm -------= hm —  =7 hm —= =7-1 =7.
х->о х х-*о 7х	х_^о 7х
Пример 13.15. Найти lim * * ~f~2y—1_
у-0 У
Преобразуя данную функцию, вводя новую переменную х—2у и применяя
формулу (13.21), находим
,™	_ „т , (1+2,>''--1 _
у-0 У	(/-о	21/
= 2lim<l±.^'/2-J =2. ‘
х—о х	2
Пример 13.16. Найти lim	.
у-+0 У
Преобразуя эту функцию, вводя новую переменную х = 5у и применяя форму-
лу (13.22), получаем
lim ln<1+5^ = lim 5 >П(1+5^ =
у-0 У	«—О оу
.. In (1 +х)	,	_
= 5 hm —-—I—— =5-1 =5.
x^O X
еу/3 — 1
Пример 13.17. Найти lim-----------.
у^о У
После соответствующих преобразований по формуле (13.23) находим
еУ/3 _ 1	еи/3 — 1
Нт ------5- = lim о =
1/->0 У у-*0 оу/3
1 ех-1	1	,	1
= “V 11П1 --Z-- = “О- • 1 = Т- '
о х—► О X	и	о
176
13.9.	Непрерывность функции
Функция y=f(x), определенная на интервале (а, 6), называется непре-
рывной в точке хое(а,й), если
lim f (х) =f (х0)	(13.24)
Х-+Хо
(т. е. предел функции равен ее значению при предельном значении аргумента).
Согласно определению предела функции, условие (13.24) равносильно сле-
дующему: для любого числа в > 0 существует такое число 6 > О, что при всех
х, удовлетворяющих условию 0< |х — а| <6, вы-
полняется неравенство lf(x) — f(xo) I <е.
Если х»е (а, Ь) и хе(а, Ь), то разность
Дх = х—Хо называется приращением аргумента
в точке х0, а разность &y=f (х) — f (х0), или Ду=
=f(xo+Дх) — f (хо), —приращением функции
в той же точке (рис. 13.1); Ду— функция Дх.
Необходимое и достаточное условие непре-
рывности функции y = f(x) в точке х0 выража-
ется равенством
lim Ду = 0, или lim [/(хо + Дх) — f(x0)] =0.
Дх—о	Дх—о
(13.25)
Итак, функция непрерывна в точке, если бесконечно малому приращению
аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.
Замечание. Поскольку хо= lim х, то формулу (13.24) можно перепи-
X—Хо
сать так: lim f(x) =f( lim x), т. e. для непрерывной функции символы предела
X—Хо	X—Хо
и функции перестановочны.
Теорема 13.12. Если функции f(x) и <р(х) непрерывны в точке х0, то
также непрерывны в этой точке их сумма f(x) +q>(x), разность f (х) —<р(х), про-
изведение Цх)<р(х), а также частное f(x)/q>(x) при условии, что <р(х)=#=О.
Следствие 1. Целая рациональная функция Р„(х) =ao-j-aix+a2X2 +
+... + апх" непрерывна при всех х.
Следствие 2. Дробная рациональная функция
ц (%) =	— ao + aix + °2-y2 +-..+ОпХ"
Qm (х)	-|- Ь lX~(- ЬгХ2 •• • И” ЬтХП
непрерывна при всех х, для которых знаменатель не обращается в нуль.
Теорема 13.13. Если функция «р(х) непрерывна в точке хо, а функция
f (у) непрерывна в точке уо = ф(хо), то сложная функция F(x) =f [<p(x)J непре-
рывна в точке хо.
Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каж-
дой точке этого интервала.
Если функция определена при х=а и при этом lim f(x)—f(a), то гово-
х—а + 0
рят, что f (х) в точке а непрерывна справа. Аналогично, если lim f(x)=f(b),
х—*-0
то говорят, что в точке b эта функция непрерывна слева.
Функция называется непрерывной на отрезке [а, 6], если она непрерывна
в каждой его точке (в точке а — непрерывна справа, в точке b — непрерывна
слева).
Отметим, что основные элементарные функции непрерывны в соответствую-
щей области определения.
Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом важных свойств, которые
выражаются следующими теоремами.
177
Теорема 13.14. Функция, непрерывная на отрезке 1а, Ь], достигает
в нем своего наименьшего значения m и наибольшего значения М, т. е. существуют
такие точки xt, х2 этого отрезка, что f(xi) = m, f(x2)=M.
Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис. 13.2).
Замечание. Функция, непрерывная на
интервале, этим свойством не обладает. Напри-
мер, функция у—6х2 на интервале (0, 1) не до-
стигает значений т = 0 и М = 6, так как эти
значения функция принимает в точках х=0 и
х—1, а последние данному интервалу не при-
надлежат.
Теорема 13.15. Если функция y=f(x)
непрерывна на отрезке [а, 6] и на его концах
принимает неравные значения f(a)=A, f(b) = B,
А=£ В, то каково бы ни было число С, за-,
ключенное между А и В, найдется точка се=
е[а, Ь] такая, что f(c) = C.
Геометрический смысл теоремы иллюстриру-
ется на рис. 13.3, а, б. Всякая прямая у—С,
где АсСсВ (или А> С~> В), пересекает гра-
фик функции y=f(x).
Следствие. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах прини-
мает значения разных знаков, то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка,
в которой функция обращается в нуль.
Это частный случай теоремы: ЛВ<0, С=0; геометрический смысл: график
непрерывной функции у=/(х), соединяющий точки Р(а, f(a)), Q(b, f(b)), для
которых f(a)f(b)<0, пересекает Ьсь Ох (рис. 13.4, а, б).
Отметим, что сумма конечного числа функций, непрерывных на некотором
отрезке, непрерывна на этом отрезке.
178
13.10.	Точки разрыва функции
Рассмотрим функцию y=f(x), определенную на интервале (а, Ь), кроме,
быть может, точки хое (а, Ь). Значение аргумента х0 называется точкой разрыва
данной функции, если при х=х0 функция определена, но не является непрерывной
или не определена при этом значении х.
Если хо — точка разрыва f(x) и существу-
ют конечные пределы Цхо — 0) = lim f(x),
Х-*Х0 —О
f(xo + O) — lim f(x), f(xo — 0) #=f(xo + O), to
x—►.to 0
она называется точкой разрыва первого рода.
Величина /(хо + О) — Цхо — 0) называется
скачком функции f(x) в точке х0.
Если хо — точка разрыва и f(x0 — 0) =
= f(Xo + O), то хо называется точкой устра-
Рис. 13.5
нимого разрыва.
Если хотя бы один из односторонних пределов /(хо— 0), f(xo-)-O) не суще-
ствует или является бесконечным, то х0 называется точкой разрыва второго рода.
Пример 13.18. Функция /(х) = —х/|х| в точке хо=О имеет разрыв
первого рода.
Действительно, f(x) = 1 при х<0 и f(x) = — 1 при х=0, в точке хо=0 функ-
ция не определена; lim f(x) = l, lim f(x) = — 1. Скачок функции в точке
х-.—О	х-<-+0
х0 = 0 равен —2 (рис. 13.5).
Пример 13.19. Для функции f(x) = (sin х)/х значение аргумента х0 —0
является точкой устранимого разрыва.
В самом деле, при хо = О данная функция не определена, но имеет равные
односторонние пределы:
lim (sinx)/x=l, lim (sinx)/x=l.
- 0	x— -f- 0
График функции изображен на рис. 13.6.
Пример 13.20. Функция f(x) = l/x в точке х0 = 0 имеет разрыв второго
рода, так как
lim 1/х= — оо, lim 1/х=-|-оо.
х-»—о	х->-+0
179
Пример 13.21. Для функции f(x) =3|/ж значение хо = О является точкой
разрыва второго рода, так как lim f(x) = -|-oo. Второй односторонний предел
х—> + О
конечен: lim f(x)~0 (рис. 13.7).
х-* —О
13.11.	Показательная функция. Гиперболические
функции
Показательной (или экспоненциальной) называется функция у—ах(а >
> 0, а=/=1). Пусть а = е (см. формулу 13.18), в этом случае показательная (экс-
поненциальная) функция обозначается у = е*=ехр х.
Показательную функцию с другим основанием можно привести к показатель-
ной функции с основанием е. Действительно, по определению логарифма а =
= е'"“, поэтому ах = (е1п“)х — еЬх, где k = lna.
Гиперболическим синусом называется функция, определяемая формулой
shx=	,	(13.26)
гиперболическим косинусом — функция
180
Гиперболический тангенс и гиперболический котангенс определяются соот-
ветственно формулами
th х=
sh х
ch х
,, ch х
cth x = —;—
sh x
e* — e *
ex + e~‘ ’
ex + e-‘
ex—e~‘
(13.28)
(13.29)
Функции, определяемые формулами (13.26) — (13.29), называют гиперболи-
ческими.
Гиперболические функции имеют вполне определенные значения при всех
значениях х, кроме функции у = cth х, которая в точке х=0 обращается в беско-
нечность. Отметим, что sh 0 = 0, ch 0=1, как и для обычных синуса и косинуса.
Гиперболические функции не обладают важнейшим свойством тригономет-
рических функций — свойством периодичности. Кроме того, множество значений
каждой гиперболической функции существенно отличается от множества значе-
ний соответствующей тригонометрической функции. Функция y=shx принимает
все действительные значения, т. е. множество ее значений совпадает с бесконеч-
ным интервалом (—оо, -|-оо); i/ = ch х — значения, не меньшие единицы (1<
<chx< + oo); значения функции </ = th х по модулю не превышают единицы
( — Icthxcl); значения у=cth х по модулю больше единицы (cthx>l при
х>0, cth х < — 1 при х<0).
Графики гиперболических функций представлены на рис. 13.8 и 13.9, а, б.
Прямые у= +1, у= — 1 являются асимптотами графиков функций z/ = th х,
i;=cthx. Кроме того, ось Оу служит асимптотой графика функции </=cthx.
Глава 14
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
14.1. Понятие производной, ее геометрический и
физический смысл
Касательной к линии / в точке Af0 называется прямая МоТ — предель-
ное положение (рис. 14.1) секущей А4ОЛ4, когда точка М стремится к Мо вдоль
данной линии (т. е. угол у стремится к нулю) произвольным образом.
Производной функции y = f(x) в точке хо называется предел отношения
приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится
к нулю.
Производную функции y=f(x) в точке Xg обозначают символом Г (*о) (чита-
ется: «эф штрих от хо») или у'(хо). Следовательно, по определению
Г(х0)= Нт	, или — цт	(14.1)
Дх—О	Дх	дх—о Дх
,,	,	,	dy	txy •	.. Дх
Употребляются и другие обозначения: —-р- = lim , х= lim ——.если
dx	дх—о Дх д/-о Д<
*=/(<)•
Термин «производная» (а также «вторая производная») ввел Ж. Лагранж
(1797), он же предложил обозначения у', f'(х), f"(х) (1770, 1779). Обозначение
iy/dx впервые встречается у Лейбница (1675).
Геометрический смысл производной. Производная функции y=f(x) при х =
=х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке
Мо(хо, f(x0)), т. е.
f'(x0)=tga,	(14.2)
где а — угол наклона касательной к оси Ох прямоугольной декартовой системы
координат (рис. 14.2).
Уравнение касательной к линии y—f(x) в точке А4о(хо, уо) принимает вид
У—Уо=['(хв)(х—хо).	(14.3)
Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к каса-
тельной в той же точке. Если f'(xo)=/=O, то уравнение нормали к линии y=f(x)
182
в точке Мо(хо,уо) запишется так:
У-|/о= - - (хо—Хо).	(14.4)
Физический смысл производной. Если x=f(t)—закон прямолинейного
в момент времени /.
движения точки, то x'=f (/) — скорость этого движе
Быстрота протекания физических, химических
и других процессов выражается с помощью произ-
водной.
Если отношение \у/\х при х->-хо имеет предел
справа (или слева), то он называется производной
справа (соответственно производной слева)". Такие
пределы называются односторонними производными.
Односторонние производные функции f(x) в точке
Хо обозначаются соответственно символами f'_ (х<>)
Г+(*о):	'
Г- (х0) - lim
f(xo + Ax)—f(xo)
-------т----------производная слева;
1._ f(xo + Ax)—f(xo)
I + (хо) = д 1 im_о---——!---------производная справа.
Очевидно, функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х0,
имеет производную f'(x<>) тогда и только тогда, когда односторонние производ-
ные f'-(xt>), f+(x0) существуют и равны между собой, причем (х0) =f'+(xo) =
=f'(x0).
Если для некоторого значения х выполняется одно из условий
Л{/	,	,. Д{/
lim -Т-2-= + оо, lim -2-= — оо,
Дх-*0 Дх	Дх-*-0 Дх.
то говорят, что в точке х существует бесконечная производная, равная соответ-
ственно + оо, — оо.
Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента
касательной к графику распространяется и на этот случай: касательная в данном
случае параллельна оси Оу (рис. 14.3, а — Ь).
Функция, имеющая производную в Данной точке, называется дифференци-
руемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного
промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке. Если промежу-
ток является замкнутым, то на концах его имеются в виду односторонние произ-
водные.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции выра-
жается следующей теоремой.
Теорема 14.1. Если функция у=f(х) дифференцируема в данной точке,
то она и непрерывна~6 ней.
183
Замечание. Обратное утверждение не всегда верно. Например, функ-
ция у = |х— II непрерывна в точке х = 1, но не является дифференцируемой в ней.
Пример 14.1. Записать уравнение касательной к линии f(x)=x —
— 4х + 7 в точке х = 3.	.
Так как f'(x) = 2х-4, х0 = 3, f'(xQ) = 2, yo=f (х0) =f (3) = 4i, то> в соот-
ветствии с уравнением (14.3) получаем у — 4 = 2(х—3), или 2х — у — 2 — О.
Пример 14.2. В какой точке касательная к линии f(x)=x Их 5
параллельна прямой 2х —2</4-3 = 0.	2
Данная прямая имеет угловой коэффициент k— 1. Поскольку j (х) —Зх 11,
то в силу равенства (14.2) имеем Зх2— 11 = 1, или Зх2 = 12, откуда х, = 2, х2=2.
Находим y1=f(x1)=f(-2)=9, j/2=f(x2) =f(2) = +19. Следовательно, полу-
чили две точки:ЛЬ ( — 2, 9), Л4г(2, — 19).
Пример 14.3. Записать уравнение нормали к линии f(х) =х24-5х — 7
Так как /'(х) =2x4-5, х0=—4, f'(x«) =Г( — 4) = — 3, J/o=f(xo) =f(—4) =
= — 11, то уравнение (14.4) принимает вид j/4~ 11 = — 1/ —3(х4-4), или х —
— Зу—29 = 0.
14.2.	Основные правила дифференцирования
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей
теоремой.
Теорема 14.2. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых
функций равна сумме (разности) производных этих функций:
(u±o)' = u'± v'.
(14.5)
Следствие. Производная конечной алгебраической суммы дифферен-
цируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слага-
емых. Например, (u-v-\-w)' — и’ — v' -\-w’.
Производную произведения функций определяет
Теорема 14.3. Производная произведения двух дифференцируемых
функций равна произведению первой функции на производную второй плюс
произведение второй функции на производную первой, т. е.
(uv)' = u'v + uv'.	(14.6)
• Следствие 1, Постоянный множитель можно выносить за знак производ-
ной (cv)'-cv' (c=const).
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференциру-
емых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все
остальные. Например, (uvw)'= u'vw-f-uv'w-i-uvw'.
Производная частного двух функций выражается следующей теоремой.
Теорема 14.4. Производная частного двух дифференцируемых функций
определяется формулой
(и \ ' и'и —uv'
—(Ц^О).	(14.7)
Производную сложной функции выражает
Теорема 14.5. Если у = ((и) и « = <р(х)—дифференцируемые функции
своих аргументов, то производная сложной функции y=f(<f>(x)) существует
и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу
на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.
у'х—уМ,
dy _ dy du
dx du dx
(14.8)
184
Производная обратной функции. Если y=f(x) и х=<р(у) — взаимно обратные
дифференцируемые функции и у£#=0, то
4=^г-	(14.9)
14.3.	Основные формулы дифференцирования
Производные степенных и тригонометрических функций выражаются
следующими формулами:
(x^^)' = ax’^-,, х', = 1< (т/х)' =	1  , (-Ц
2 ух \ х / х
(sin х)' = cos х, (cos х)' — — sin х,
(tg*)'=----. (ctgx)' =-------Д—•
cos2x	sin'x
Если u = u(x) —дифференцируемая функция, то
(иа)' = аи°~1и',	(14.10)
(sin «)' = cos и-и', (cos u)'= — sin u-u',	(14.11)
(tgU)'=.^—, (ctgU)'=-_^_.	(14.12)
cos и	sin и
Пример 14.4. Найти производную функции y=^Ji —х5.
Считая 1— х2 — и и применяя формулу (14.10), получаем
</=(1-х2)1/2,
2	2-^1—?	д/1—х2
Пример 14.5. Найти производную функции y=sin+cos
Применяя формулы (14.11), находим
, X / X V X / х\'
y=cos— Ы.)	=
1 X	1.x
" Тcos “з	6'sin-6~-
Пример 14.6. Найти производную функции y = ctg23x.
Так как y = v2, где n = ctgu, и = 3х, то формулу (14.8) применяем дважды.
На основании формулы (14.10) и второй из формул (14.12) получаем
У' = ~ 2ctg Зх -1- - (Зх)' = - 6ct-^ — .
sm Зх	sin Зх
Пример 14.7. Найти производную функции у= l/tg22x.
Так как y—\/w, w = v'2, o = tgu, u = 2x, то y'z = y'w-w't,-v'u-u'x. Применяя
формулу (14.10) и первую из формул (14.12), находим
,	1 о* „	1	4	1	4cos 2х
tg42x	cos22x	tg32x cos 2х	sin32x
Производные показательных и логарифмических функций выражаются
185
формулами
(ах)' = ах1па, (ех)'=ех,
(logox)'=-^logae=—J—,
(lnx)'=	(х>0), (In |х|)'=-j-(х^=0).
Если и — и(х) —дифференцируемая функция, то
(а“)' = а“ In a-и', (е“)' = е“и',	(14.13)
СП“)'=4-	(14Л4)
Пример 14.8. Найти производную функции y=esln Зх
Применяя вторую из формул (14.13), находим
/ = esin 3x(sin 3x)' = esin3xcos 3x(3x)' = 3esin 3xcos 3x.
Пример 14.9. Найти производную функции i/ = ln(l+x2). На основании
второй из формул (14.14) получаем
(1+х2)' 2х
У 1+х2	1+х2
Пример 14.10. Найти производную функции i/ = ln -0г2 + 4х+5 . Так как
У= -£-1п(х24-4х + 5), то
'= (*2 + 4х + 5)' = х + 2
У	2(х2 + 4х4-5)	х2 + 4х + 5
Производные обратных тригонометрических функций находят по формулам
,	 w	1	,	W	1
(arcsin х) —-------, (arccos х) =---------,
(arctgx)' = -y-j!—j-, (arcctgx)' =-.
Если u = u(x) —дифференцируемая функция от x, то
(arcsin u)'=-------, (arccos u)' =--------,	(14.15)
(arctg u)'= — “	, (arcctg «)' =—r .	(14.16)
l+u2	1 + u
Пример 14.10. Найти производную функции у = arcsin -\/1 — Зх+
+arccos ->/1— 2х.
Применяя формулы (14.15), находим
(л/1-Зх )'	(Vl-2x)'	-3	1
У =	—------------------=-------------—— —
д/1-(1-Зх) -VI - (1—2х)	2д/1 —Зх д/Зх
_	-2	1 =3	1
2д/1 — 2х -\/2х	2д/3х —9х2	~^Чх — \хг
186 •
Пример
14.11.
Найти производную функции y = arctg
1— х
1+х '
С помощью первой из формул (14.16) и формулы (14.7) получаем
________1_______( 1-х\' _	(1+х)2
1 + ((1-х)/(1+х))Л 1+х/	(1 +х)2+ (1 - х)2
/ - 1 (1 + х) - 1 (1 -X) \ =	— 2	= _	1
\	(1+х)2	/	2 + 2х2	1 +х2
Производные гиперболических функций находят по формулам
(sh x)' = ch х, (ch x)' = sh x,
(thx)'=—(cthx)' =-------Jj-.
ctrx	sh x
Если u = u(x) —дифференцируемая функция, то
(sh u)' = ch u-u', (ch u)' = sh u-u',	(14.17)
(th «)'=-£-, (cth «)'=--£-.	(14.18)
ch и	sh и
Пример 14.12. Найти производную функции у = sh 2х + ch Зх.
Применяя формулы (14.17), находим y' = ch 2x(2x)' + sh 3x(3x)' = 2ch 2х-(-
+3sh Зх.
Пример 14.13. Найти производную функции y = th-|—|-cth-^-.
В соответствии с формулами (14.18) получаем
= (х/5)' _ (х/7)' =	1____________1
ch2(x/5)	sh2(x/7)	5ch2(x/5)	7sh2(x/7)
Производные неявных функций и функций, заданных параметрически. Произ-
водная функции у —и". Если дифференцируемая функция у = у(х) задана урав-
нением Ё(х, у)=0, то производная у' = у'(х) этой неявной функции может быть
найдена из уравнения F', — 0, где F = F(x, у) рассматривается как сложная функ-
ция переменной х.
Если функция у=у(х) задана параметрически:
х = х(/), y = y(t) (а</<0),	(14.19)
..где х(/), y(t) —дифференцируемые функции и х'(/)=#0, то ее производная
у'и определяется формулой
y'^tf/x't.	(14.20)
Производная степенно-показательной функции и", где и, v—дифферен-
цируемые функции от х, находится с помощью предварительного логарифмиро-
вания, которое приводит к формуле
(u’)'=u^v'lnu+-^.	(14.21)
Пример 14.15. Найти производную функции, заданной уравнением
у sin x = cos(x — у).
Это уравнение определяет у = у(х) —функцию от х. Подставляя функцию
у=у(х) в данное уравнение, получаем тождество y(x)sin x = cos(x—у(х)).
Дифференцируем это тождество и из полученного уравнения находим у'=у'(х):
у' sinx+ycosx = — sin(x—у) (1 —у'), y'sin х+у cosx= — sin(x—у) +/ sin(x—у).
187
. . ,	.	,, . .	.	.	,	у cos x + sin (x —y)
i/cosx+sin(x —«/)=</ (sm (x-j/J-smx), y'= sin (x_y) _~sin ~ •
Пример 14.16. Найти производную функции, заданной уравнениями
x=t — sin t, j/=l—cos/.
Эта функция задана параметрически (см. (14.19)). Так как х(=1—cos/,
,	. .	,	, y't sin /
i/i = sin/, то по формуле (14.20) получаем у'х=	.
Пример 14.17. Найти производную функции y = xs,nx.
Логарифмируя это равенство по основанию е, получаем In i/ = sin х In х.
Дифференцируя, находим у’/y=cos х In x + sin х- (1/х), откуда y'=y(cos х In х+
+ sin х- (1/х)), (/' = xsln x(cos х In x + sin x/x).
Пример 14.18. Найти производную функции у = хх.
Это также функция вида у=и°, где и = х, и = х. По формуле (14.21) полу-
чаем у' =х*(1п х +1)•
Производные высших порядков. Производной второго порядка, или второй
производной, функции y = f(x) называется производная от ее производной у' =
=('(х) (которую называют первой производной).
Обозначения второй производной:
y"=(y'Y, f"W = (f'MY,
dx dx
Механический смысл второй производной. Еслих=/(/)—
закон прямолинейного движения точки, то x" = f"(t) — ускорение этого движения
в момент времени /.
Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвер-
того и более высоких порядков:
/"=(//")'= (Г W)'. У,v =(/")',- , УМ =(</"“')'
Производная n-го порядка обозначается и так:
dxn
Если функция задана параметрически: х=х(/), y=y(t), то ее вторая про-
изводная определяется формулой
=	(14.22)
dx2	х
Пример 14.19. Найти вторую производную функции у=х3 In х.
Так как и'= (х3)' In x-f-x3(ln х)' = 3х2 in х+х3(1/х) = 3х2 In х+х2, то у" =
= 6х In х + 3х2(1/х) + 2х, у" = §х In х + 5х.
Пример 14.20. Найти вторую производную функции, заданной парамет-
рически: х=/ — sin/, У=1—cos/.
Поскольку х' = 1 —cos /, у' = sin /, x" = sin /, у" = cos /, то по формуле (14.22)
d2y	(1 — cos /)cos / — sin t sin t cos/—1	1
получаем —	(1—cos/)3	(1—cos/)3	(1—cos/)2
Пример 14.21. Найти f'"(l) для функции f(x) = x4 — 5x3 + 6x2 — 7x + 9.
Так как f (x) = 4x3- 15x2+ 12x-7, f"(x) = 12x2-30x+ 12, to f"'(x)=24x —
— 30. Следовательно, /'"(!) = — 6.
14.4. Дифференциал функции
Понятие дифференциала. Применение дифференциала в приближенных
вычислениях. Рассмотрим функцию y=f(x), определенную в некотором про-
межутке (а,Ь), и ее приращение &y — f(х + Дх)—f(x) в точке Хо, где Хо, (хо +
+Дх) е (а, Ь).
188
Если приращение функции представимо в виде
Д1/ = ЛДх+о(Дх),	(14.23)
где А — постоянная, о(Дх) — бесконечно малая высшего порядка по сравнению
с Дх, то слагаемое ЛДх называют дифференциалом функции f(x) в точке х0
и обозначают dy или df(x0) :dy = ЛДх; функцию y = f(x) в этом случае называют
дифференцируемой в точке х0.
Если приращение функции y = f(x) представимо формулой (14.23), то
A = f'(x0): следовательно, dy = f'(x(1)Ax. Так как
</х = Дх,	(14.24)
т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, то
dy = f' (xo)dx, dy=y'xdx,	(14.25)
откуда f' (хо) = dy/dx, т. e. производная равна отношению дифференциала
функции к дифференциалу независимой переменной.
Формулу (14.23) можно записать так:
Ay = dy-\-o(Ax).	(14.26)
Дифференциал функции называют также главной линейной частью ее приращения.
Теорема 14.6. Бесконечно малое приращение функции эквивалентно ее
дифференциалу при всех значениях независимой переменной, для которых
производная функции конечна и отлична от нуля.
Из равенства (14.26) при достаточно малых Дх получаем
byaidy, или f (хо + Дх) — f (х) «/'(х0)Дх,	(14.27)
откуда
f(xo +Дх) як/(х0)+/'(х0)Дх.	(14.28)
Формулы (14.27) и (14.28) применяются в приближенных вычислениях.
Пример 14.22. Вычислить значение, дифференциала функции f(x)=x4 —
— 5х2 + 7, когда аргумент х меняется от х = 2 до х = 2, 1.
Найдем сначала выражение для дифференциала данной функции по фор-
муле (14.25): dy= (xi — 5x„ + 7)'dx= (4х„— 1Охо)</х. Так как ^х=Дх=х,—х0 =
= 2, 1—2 = 0, 1, х0 = 2, то dy=(4-23— 10-2)0,1 = 1,2.
Пример 14.23. Вычислить приближенно значение функции f(x) =^/1 + 7х2
при х= 1,1.
Значение аргумента х=х0 + Дх представим в виде х=1+0,1, где х0=
= 1, Дх=0,1. При х0= 1 легко вычисляются значения функции и ее производной
Эти значения входят в формулу д/1 + 7(1,1)	д/1 + 7 • 12 + ~з----0,1,
3 V(l+7-12)2
полученную из формулы (14.28). Следовательно, f (1, 1) =2-|-7/60®2,117.
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал
функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в со-
ответствующей точке, когда аргумент получает приращение Дх (рис. 14.4).
Отметим, что dy<ky (рис. 14.4, а) или dy> Ау (рис. 14.4,6); если функция
равна постоянной, то dy = Ay = 0.
Физический смысл дифференциала. Рассмотрим прямоли-
нейное движение точки по закону s=f(t), где s — длина пути, t — время, f(t) —
дифференцируемая функция; тогда ds = f'(t)dt = v(t)dt, где v(t) —скорость дви-
жения. Следовательно, дифференциал пути равен приращению пути, получен-
ному в предположении, что, начиная с данного момента t, точка движется
равномерно, сохраняя приобретенную скорость.
189
Свойства дифференциала. Дифференциал функции обладает свойствами,
аналогичными свойствам производной.
1.	Дифференциал постоянной равен нулю:
2.	Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифферен-
циалов слагаемых:
d(u + и) = du + du.	(14.30)
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоян-
ным слагаемым, то их дифференциалы равны
d[u-[-c)—du (c = const).	(1431)
3.	Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций ранен
произведению первой функции на дифференциал второй плюс прои (ведение
второй на дифференциал первой:
d(uu) =udv+ udu.	(14.32)
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за вник диф-
ференциала
d(cu}=cdu (c = const).	(14.33)
4.	Дифференциал частного и/v (г.’^#=0) двух дифференцируемых функций
и — и(х) и ц = ц(л) определяется формулой
") = vdu~udv .	(14.34)
\ и /	и2
5.	Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой
переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции
равен произведению производной на дифференциал аргумента независимо от
того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой
независимой переменной.
Осн	овные дифференци	алы:	
1.	dxa = ax'1~'dx.	II.	d (ax) =a" In adx.
III.	dx rf(ln|je| ) = -у-,	IV.	J (sin x) =cos xdx.
V.	d (cos x) = — sin xdx,	VI.	d(tg x) =dx/co&2x,
190
VII. d(ctg x) = — dx/sin2x, VIII. d(arcsin x) = dx/-\/l —x2,
IX.	d(arccos x) = — dx/^j\	— x2,	X.	d(arctg x) = dx/(\ +x2),
XI.	d(arcctgx) = — dx/(l+x2),	XII.	d(sh x) =ch xdx,
XIII.	d(ch x) =sh xdx,	XIV.	d(th x) = dx/ch2x,
XV.	d(cth x) = — dx/sh2x,	XVI.	df(u)=f'(u)du.
Дифференциалы высших порядков. Если х — независимая переменная и
y=f(x)—дифференцируемая функция, то dx=f'(x)dx, т. е. дифференциал
функции есть функция, зависящая от двух аргументов х и dx. Этот дифферен-
циал будем называть также дифференциалом первого порядка (или первым
дифференциалом). Считая dx постоянной, получаем, что df(x) —функция одной
переменной. Предположим, что функция y=f(x) имеет не только первую произ-
водную, но и п последовательных производных y" = f"(x), y'" = f"'(x), ..., у<п> =
=f(rl)(x).
Дифференциал от дифференциала функции y—f(x) называется вторым диф-
ференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозна-
чается d2y.d2y = d(dy), причем
d2y = f"(x)dx2.	(14.35)
Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала
(п — 1)-го порядка: d"y = d(d"~'y):
dny = f'",(x)dxn.	(14.36)
Замечание. Формулы (14.35) и (14.36) при n> 1 справедливы, когда
х является независимой переменной.
14.5.	Основные теоремы дифференциального
исчисления
Теорема 14.6 (Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на
отрезке [а, 6] и дифференцируема в интервале (а, Ь), то существует такая
точка с^. (а, Ь), что
f(b)—f(a)=f'(c)(b — a) (а<с<Ь).
Следствие 1. Если производная функции равна нулю в каждой точке
некоторого промежутка, то функция есть тождественная постоянная в этом
промежутке.
Следствие 2. Если две функции имеют равные производные в некотором
промежутке, то они отличаются в этом промежутке лишь постоянным слагаемым.
Корнем (или нулем) функции y = f(x) называется такое значение х = х0
ее аргумента, при котором эта функция обращается в нуль. Геометрически
корень функции означает абсциссу точки, в которой график функции пере-
секает ось Ох или касается ее.
Т е о р е м а 14.7 (Ролля). Между двумя различными корнями дифференци-
руемой функции содержится по меньшей мере один корень ее производной.
Замечание 1. Теорема имеет простую
геометрическую интерпретацию: между значе-
ниями а и b имеется по меньшей мере одно
значение с такое, что в точке С(с, f(c)) гра-
фика функции, касательная к графику парал-
лельна оси Ох (рис. 14.5).
Замечание 2. Теорему можно сформу-
лировать в более общем виде. Если y = f(x) —
функция, дифференцируемая на отрезке [a, Z>]
191
и f(a)=f(b), то между а и Ь найдется точка с, в которой производная равна
нулю, т. е. У (с) =0.
Теорема 14.8 (Коши). Если y = f(x) и y=<f(x) —две функции, непре-
рывные на отрезке [а, &] и дифференцируемые в интервале (а, Ь), причем
<р'(х)#=0 для любого х<^(а,Ь), то между а и Ь найдется такая точка с, что
f(b)-f(a)	['(с)
<р(й) — <р(а) <р'(с)
14.6.	Формула Тейлора
Формула
f(x)=f(a) + -Ш- (х—а) +	(х--а)2+...+	(х-а)" +
+ /("+1)7Де1(Га)) (*-а)"+1	(14.37)
называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
/?,(*) =	^+1)(Е)-	(U-38)
(Л “Г" V •
Если а=0, то формула принимает вид
/<«> _т + £gL,+ ^+.+
(14.39)
где О<0<1, и называется формулой Маклорена.
Формулу (14.37) можно записать в виде
f(x)=f(a) +	- а) + ...+ J^L (х-аГ + оЦх-а)"), (14.40)
где о((х— а)") —бесконечно малая порядка выше n-го по сравнению с х — а;
эта форма остаточного члена была указана Пеано.
Замечание. Если в формулах (14.37) и (14.40) перенести в левые
части f(a) и обозначить х — а = Ах, тогда
2!	П1	(П -|- 1) ’
А/(а) = /'(а)Ах+ -l-f"(a)Ax2 + ...+ -l-f(',)(a)Ax" + o(Ax").
f
Если в этих формулах Ах заменить на dx и принять во внимание формулы
(14.35), (14.36), то получим соответственно
Af(a) =df(a) + 4- <О(а) +.•+	d"+1 f{В),
Af(a)=df(a) + -l-d7(a)+...+ -l-d7(a)+O(Ax").
Следовательно, если предположить, что Ах—>-0, то по этим формулам из
бесконечно малого приращения функции Af(a) можно выделить не только его
главный член — первый дифференциал, но и члены более высоких порядков
малости, совпадающие (с точностью до факториалов в знаменателях) с после-
довательными дифференциалами d2f(a), d3f(a), ..., dnf (a).
192
14.7.	Формула Тейлора для некоторых
функций
Формула (14.39) для функции f(x)=ex принимает вид
1 + тг + 4 +-+^- + Trwе" (О<0<*’• (,441)
Отметим, что при любом х остаточный член формулы (14.41) стремится
к нулю при неограниченном возрастании п, т. е.
lim R„(x) = lim i i'i" = °-
n —► oo	n~► oo (М-1-1)!
Разложение функции /'(x)=sinx по формуле (14.39):
X3 , Xs x7 ,	, Xn . П.Л ,
sln x = x~ -ЗГ + "бГ - 7Г +-+ ^TSln — +
+ -етж»"(в'+тЯ;-)-	<14-42'
Остаточный член
« = 7^Т)Т Sin ( 6х + (П+21)Л)
формулы (14.42) также стремится к нулю при п-^-оо.
Формула (14.39) для функции f(x)=cosx имеет вид
. X1 , X4 X6 ,	, х" пл ,
cosx=i__ + _ __+... + г_с05—+
+ т5тгЧ’'+-Ч!22-)-	"4-43>
Каково бы ни было х, остаточный член формулы (14.43) стремится к нулю
При П-+ОО.
Для функции f(x) = (а + х)п, где а — действительное число, п — натураль-
ное число, получаем
(а + х)"= а" + па"~'х +	а"~2х2 +
, п(п— 1)(л — 2) „ , . ,	, п(п—1)...2	.	... ...
+ —1-----------— а 3х3 + ...Н---jyj—ах" '+х".	(14.44)
о!	у IT 11!
Это равенство называется формулой бинома Ньютона.
14.8.	Приближенные формулы
Если в формуле (14.39) отбросить остаточный член, то получится
приближенная формула
f{x) +	^Lx4...+	(14.45)
заменяющая данную функцию многочленом п-й степени. Качество этой формулы
оценивается двояко: указываются границы погрешности Rn(x) с помощью вы-
ражения (14.38) для остаточного члена либо порядок малости этой погреш-
ности при х->0 /?„(х) =о(х").
13. Зак. 1699
193
В случае функции f(x) =е“ получаем приближенную формулу
е^1 + тт + 4 + зг+-+-5-	(14-46)
Поскольку /?„(х) =ев'х"+'/(n + 1)!, то, например, при х> 0 погрешность
оценивается неравенствами
0<К„(х)<
(п+1)!
(14.47)
В частности, при х= 1 получаем exil-j—— + ——0</?„(х)<
3
< (п+1)! '
Если взять п = 8 и произвести вычисления с пятью десятичными знаками,
то получим е = 2,71827. Здесь верны первые четыре знака, так как ошибка не
превосходит 3/9! или 0,00001.
Взяв f(x)=sinx и положив в равенстве (14.42) n = 2m, получим прибли-
женную формулу
X3 X5
sinx«x_ —+
। j т— 1^2т— I
(2m- 1)!
(14.48)
остаточный член которой
/?2т(х) =
sin (0х+ (2т + 1)л/2)
(2m+ 1)!
х2т+ 1
х2т+1 = (— 1) mcos Ох
оценивается соотношением
1Я2т(х)К
|х|2т+1
(2ш+1)! '
Для функции /(x)=cosx аналогично получаем
у2 „4	у2т
cosx~l-- + ^--... + (-ir —.	(14.49)
Погрешность приближенной формулы (14.49) выражается остаточным членом
*-+>« = (-l)m+lcos Ox
и оценивается неравенством
|х|2т + 2
|/?2т+|(х)|< (2т + 2)! •
Например, для формулы созхя:	х2	х*  1	——погрешность
1Я5(х)|<	, |х|6 _ X6 = 6! — 720 '
Пример 14.24. Вычислить е0,75 с точностью до 0,001.
Применяем формулу (14.46), полагая в ней х = 0,75 = 3/4. Поскольку
х< 1 и е<3, то из формулы (14.47) следует, что
е9х	3
194
W’ или
з
Требование |/?л(х) I <0,001 будет выполнено, если —-
("т
(п + 1) !> 3000.
Это неравенство выполняется при п = 6 (тогда (га1)! = 7! = 5040).
Значит, для вычисления е0,75 с заданной точностью в формуле (14.46) нужно
075 , , 3 ,	1 З2 ,	1 З3 , 1 З4 , 1 v
взять шесть слагаемых: е°'75ж 1+ — + __+—. — + — — + — X
+ 0,7500 + 0,2813 + 0,0703 + 0,0132 + 0,0019 ж 2,1167, е"75 ж 2,117.
Глава 15
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
15.1. Правило Лопиталя — Бернулли
При исследовании функций может появиться необходимость нахожде-
ния предела дроби Цх) /ср(х), числитель и знаменатель которой при х-»-а стремятся
к нулю или к бесконечности. Нахождение Таких пределов называют раскрытием
неопределенностей соответствующего вида. Основой его является правило Лопи-
таля — Бернулли, выражаемое следующей теоремой.
Теорема 15.1. Если функции Цх) и ср(х) дифференцируемы в окрестности
точки х = а, обращаются в нуль в этой точке и существует предел отношения
f'(x)/<p'(x) при х->-а, тогда существует предел отношения самих функций,
равный пределу отношения производных
lim
х^а <Р(Х)
Замечание 1. Теорема верна
<р(х) не определены в точке х = а, но
Замечание 2. Теорема верна и в случае а=оо, т. е. когда
limf(x)=0, limq>(x)=0.
X—*-оо	Х--*-оо
Замечание 3. Если f'(а) = 0, <р'(а) = 0, функции /'(х), ср'(х) дифферен-
цируемы в окрестности точки х=а и существует предел отношения f" (х) /гр" (х)
при х->-а, то
(15.1)
х^а ф (х)
и в том случае, когда функции Цх) и
limf(x)=0, lim <р(х) =0.
lim-^ = lim
х^а ф'(х)	х—а ф"(х)
Другими словами, правило Лопиталя — Бернулли
ствующих условий можно применять несколько раз.
Правило Лопиталя — Бернулли применимо и при
ОО
ностеи вида ——, поскольку ее можно привести к
0
-g-, представив рассматриваемую дробь так:
(15.2)
при выполнении соответ-
раскрытии неопределен-
неопределенности вида
1(х) =__________ ________
<р(х)	<р(х)  Цх)
г-	-	0	ОО
С помощью тождественных преобразовании к основному виду — или ------------
можно свести неопределенности других видов, таких, какО- оо, оо — оо, 1	0°, оо°.
Неопределенность вида 0-оо, т. е. произведение /(х)ср(х), где /'(х)->-0,
, ,	0 оо
<р(х)-»-оо при х->-а, приводится к виду — или -----по формулам
О оо
Цх)<р(х)==Цх): —I—
а затем применяется правило Лопиталя — Бернулли.
196
Аналогично раскрывается неопределенность вида оо — оо, т. е. находится
предел lim (/(х)—<р(х)) при условии, что limf(x) = oo, lim <р(х) = оо. С по-
мощью преобразования f(x)—q>(x) = l —------------е. ч	—т—-
\ <р(х)	f(x)/	)(х)<р(х)
х->а	х-*-а	х-*а
эта неопре-
0
деленность сводится к неопределенности вида —.
Раскрыть неопределенность вида 1” — значит найти предел lim (f(x))<₽(’)
х-+а
при условии, что limf(x) = l, lim <р(х) = оо.
х-*а	х-*-а
Раскрыть неопределенности вида 0°, оо° — значит найти предел lim (/(х))^'
х-*-а
при соответствующем условии: 1) lim f(x) =0, limcp(x)=0; 2) limf(x) = oo,
x-*-a	x-*-a	x-*-a
lim tp(x) =0.
X-*a	CO
Неопределенности 1 ,0°, oo° раскрываются способом, в котором исполь-
зуется тождество (/(x))'pW = e<p(') |п/(дг).
При раскрытии этих неопределенностей данное выражение предварительно
логарифмируют и находят предел его логарифма.
Правило, выражаемое теоремой 15.1, сформулировано швейцарским мате-
матиком И. Бернулли (1667—1748) и опубликовано в 1696 г. в первом печатном
учебнике анализа бесконечно малых, написанном французским математиком
Г. Лопиталем (1661 —1704).
0х__е~х
Пример 15.1. Найти lim—;—-г-—:—.
*-о In (1+х)
При х = 0 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, имеем неопре-
деленность вида -5-. Чтобы раскрыть ее, применяем правило Лопиталя — Бер-
нулли:
lim “i—л \ = ,im 1 //Tj_ \ = 2-
x-o ln(l+x) x-o 1/(1 +x)
n	xx " i-	cosx — cos 7x
Пример 15.2. Наити lim--------------—.
x-»0 cos X — cos 3x
Для раскрытия этой неопределенности вида — правило Лопиталя — Бер-
нулли необходимо применить дважды:
,. cosx—cos 7х
lim---------—
х-хО cos х—cos Зх
= lim
х-»-0
— sinx+3sin3x	—cosx+9cos3x
-1+49
^т+т=6-
Пример 15.3.
Здесь имеем неопределенность вида оо — со. Преобразуем данную разность
1___1	_ е*— 1 —х
х	е*—1	х(е*— 1)
0 При х = 0 в правой части этого равенства имеем неопределенность вида
—— Применяя дважды правило Лопиталя — Бернулли, находим:
( 1	1 \	,.	ех—1—х	,.	е*-1
lim (-------—-1 = lim —------= lim---———— =
х->о\ х е — \/	х-»-о хе?—х х->о хе -\-е — 1
гс	е*	1
о хех + е' + ех 2
197
хп
Пример 15.4. Найти lim —, где п—натуральное число.
х-<- + оо е“
Применяя правило Лопиталя — Бернулли п раз, получаем
.. х"	пх"~‘
lim — == lim -----------=
х—► + оо е“ х-> + оо ех
п(п — 1)х"~2	п(п—1)...2-1	_
= hm —5 ----------------=...= lim —1---------т------=0.
х->- + оо ег	х— + оо	ег
Следовательно, при неограниченном возрастании аргумента степенная функ-
ция растет медленнее показательной функции.
Пример 15.5. Найти lim xl'Z|n<e*~l).
При х = 0 получаем неопределенность вида 0°. Обозначим у—х^1п(е'~ *>
и прологарифмируем это равенство по основанию е:
,	1	1пх
1п у=-------------1п х —---------.
1п(е'—1)	1п(е*-1)
ОО
В правой части этого равенства при х = 0 имеем неопределенность вида--------
Применяя дважды правило Лопиталя — Бернулли, находим	00
.. .	.. 1пх ..	1/х	..	е‘— 1
lim In у= lim----------= lim--------------= lim------------
x^o x->o In (ex — 1) x->o	1) x--o xe
г
= lim---------= 1.
x->o e’‘+xex
Следовательно, limlny=l, limy=e’=e, lim x|/|n(e*-1)=e.
x-xO	x-»0	x-fO
15.2.	Признаки постоянства, возрастания и убывания
функции
Необходимое и достаточное условие постоянства функции y=f(x) вы-
ражается равенством у' = 0, т. е.
у' = 0о у=с.	(15.3)
Функция y = f(x) называется возрастающей в промежутке (а, 6), если
для любых двух значений xi и х2е (а, Ь) из неравенства х,<х2 следует нера-
венство f(xi) <f(xs) (рис. 15.1,а).
Функция y = f(x) называется убывающей в некотором промежутке, если
198
для любых двух значений, принадлежащих этому промежутку, из неравенства
х><х2 следует неравенство f(xi)> f(x2) (рис. 15.1,6).
Достаточное условие возрастания (убывания) функции выражается сле-
дующей теоремой.
Теорема 15.2. Если в данном промежутке производная функции поло-
жительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная отри-
цательна, то функция убывает в соответствующем промежутке.
Замечание. Теорема имеет простой геометрический смысл. Если в не-
котором промежутке касательная к графику функции y=f(x) образует с осью
Ох острый угол a(tga>0), то функция возрастает в этом промежутке (рис.
15.1, а). Если касательная к графику образует с осью Ох тупой угол a(tg а<0),
то функция убывает (рис. 15.1,6).
Пример 15.6. Найти промежутки возрастания и убывания функции f (х) =
= х3 —6х2 + 9х —2.
Находим производную функции и разлагаем на множители соответствующий
квадратный трехчлен: f'(x) = 3х2 — 12х + 9 = 3(х2 —4х + 3), f' (х) = 3(х—1) (х—3).
Если х< 1 и х> 3, то f'(x)> 0; функция возрастает в интервалах (— оо, 1),
(3, +оо). Если 1<х<3, то f'(x)<zO; функция убывает в интервале (1,3).
15.3.	Экстремум функции
Рассмотрим функцию у = f(х), областью определения которой явля-
ется промежуток (а, Ь).
Если можно указать такую 6-окрестность точки х>, принадлежащую про-
межутку (а, Ь), что для всех xs0(xi,6), x=/=xi, выполняется неравенство
f(xi)>f(x),	(15.4)
то yi=ft(xi) называют максимумом функции y = f(x) (рис. 15.2).
Максимум функции y = f(x) обозначим через гпах/^х).
Если молено указать такую 6-окрестность точки х2, принадлежащую про-
межутку (а, 6), что для всех хеО(х2, 6), х=/=х2, выполняется неравенство
f(x2)<f(x),	(15.5)
то </2 = f(x2) называют минимумом функции y = f(x) (см. рис. 15.2).
Минимум функции y=f(x) обозначим через minf(x).
Другими словами, максимумом (минимумом) функции y=f(x) называют
такое ее значение, которое больше (меньше) всех других значений, принимаемых
в точках, достаточно близких к данной и отличных от нее.
Замечание 1. Максимум функции, определяемый неравенством (15.4),
называется строгим максимумом; нестрогий максимум определяется неравенством
f(X^f(x).
Замечание 2. Максимум и минимум функции имеют локальный характер
(это наибольшее и наименьшее значения функции в достаточно малой окрестности
соответствующей точки); отдельные минимумы некоторой функции могут ока-
заться больше максимумов той же функции (рис. 15.3). Вследствие этого мак-
симум (минимум) функции называют локальным максимумом (локальным ми-
нимумом) в отличие от абсолютного максимума (минимума) — наибольшего
(наименьшего) значения в области определения функции.
Максимум и минимум функции называются экстремумом. Латинское extremum
означает «крайнее» значение. Значение аргумента, при котором достигается
экстремум, называется точкой экстремума. Необходимое условие экстремума
выражается следующей теоремой.
Теорема 15.3. В точке экстремума дифференцируемой функции производ-
ная ее равна нулю.
Теорема имеет простой геометрический смысл: касательная к графику
дифференцируемой функции в соответствующей точке параллельна оси Ох
(см. рис. 15.2).
Замечание 3. Если f'(x0) =0, то отсюда еще не следует, что х0 — точка
экстремума. Например, для функции f(x)—x3 f'(x)=3x2, f'(0) = 0, но Хо = О
не является точкой экстремума, так как f(x)>0 при х> 0 и f(x) <0 при
х<0 (неравенство (15.4) или (15.5) здесь не выполняется).
Замечание 4. Функция может достигать экстремума также в точке,
в которой производная не существует. Например, функция у= — |х+41 не имеет
производной в точке х=—4, но достигает в ней максимума: z/=0 при х=—4,
а для всякой другой точки у<0 (рис. 15.4, а). Функция у— — (1 — х2/3)3/2
не имеет конечной производной в точке х = 0, поскольку у’ = (1 — х2/3) |/2х“1/3 при
х=0 обращается в бесконечность, но в этой точке функция имеет минимум:
f (0) = — 1, f(x)> — 1 при х=/=0 (рис. 15.4, б).
Говорят, что функция у = f (х) меняет знак при переходе через точку х=х0,
если f(xt)F(хг) <0 для любых х, и х2 из некоторой окрестности этой точки,
удовлетворяющих неравенствам Х|<хо<х2; знак меняется с плюса на минус,
если f(xi)>0, a f(x2)<0; знак меняется с минуса на плюс, если f(xi)<0,
/(х2)>0.
Формулируя теоремы 15.4 и 15.5, будем предполагать, что функция y=f(x)
дифференцируема в некоторой окрестности точки хо.
Т е о р е м а 15.4. Если при х = хо производная функции y==f(x) равна нулю
и меняет знак при переходе через эти значения, то Хо является точкой экстре-
мума, причем: 1) х0— точка максимума, если знак меняется с плюса на минус;
2) хо — точка минимума, если знак меняется с минуса на плюс.
Теорема имеет следующий геометрический смысл: если в точке Afo(xo, f (х0))
графика дифференцируемой функции касательная параллельна оси Ох, в точках
слева от Мо образует тупой угол с осью Ох, в точках справа — острый, то
хо — точка минимума (рис. 15.5, а); если в точках слева от Мо касательная
образует с осью Ох острый угол, а в точках справа — тупой, то Хо — точка
максимума (рис. 15.5,6).
Замечание. Теорема верна и в случае, если х0 — точка непрерывности
функции fix), производная в ней не существует и меняет знак при переходе
через эту точку.
Достаточное условие экстремума можно выразить также с помощью вто-
рой производной.
Теорема 15.5. Если в точке х=х0 первая производная функции y=f(x)
равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то х0 является точкой
200
экстремума, причем: 1) х0— точка минимума, если f"(xo)>O; 2) х0 — точка
максимума, если f"(x0) <0.
Теорема 15.6. Пусть в точке х0 первые п производные равны нулю,
а (п+ 1)-я отлична от нуля и непрерывна в этой точке, тогда: I) если (л+ 1) —
четное число, то х0— точка экстремума: точка максимума при /(л+1’(хо) <0
и точка минимума при f(n+l)(xo)> 0; 2) если (п+1) —нечетное число, то х0
не является точкой экстремума.
Пример 15.7. Найти экстремумы функции f(х) =х4— 10х24- 15.
Поскольку f'(x) = 4х3 — 20х = 4х(х2 — 5), то точками, для которых f'(x)=O,
являются xi= — у/5, х2 = 0, хз=-^5. Исследуем знак второй производной f"(x) =
= 12х2 — 20 в этих точках: f"(— -75) = 12-5—20> 0, /(л/б) = 12-5 —20> 0,
f (0) = — 20<0.
Следовательно, х, = —д/5, х2 =-75 —точки минимума, х2 = 0— точка мак-
симума; min f (х) =f( — V5) =f (зД) =25— 10-5+ 15= — 10, max f(x) —f(0) — 15.
Пример 15.8. Вычислить значения экстремумов функции f(x)=x5 —
— 5х4 -f- 5х3 + 9.
Первая производная f'(x) = 5х4 — 20х3+ 15х2 = 5х2(х2 — 4x4-3) обращается
в нуль при xi=0, х2= 1, Хз = 3. Вторая производная f"(x) =20х3 — 60х2 + 30х
в этих точках принимает соответственно значения f"(0)=0, f"(l) = —10<0,
Г(3) =90> 0.
Следовательно, х2=1 — точка максимума, хз=3 — точка минимума, причем
max f(x) = f(l) = 10, min f (x) —f (3) = - 18. Чтобы исследовать точку xi=0,
обратимся к третьей производной f"'(x) =60х2— 120x4-30. Поскольку f'"(0) =
= 30=#=0, п-|-1=3, то xt=O не является точкой экстремума.
Пример 15.9. Найти точки экстремума функции f(x) =х44-4х34~6х24-
4-4x4-3.
Первая производная f'(x) = 4х34- 12х24- 12х4-4=4(х34-Зх24-Зх-|- 1) равна
нулю в единственной точке х= — 1. Находим выражения последующих производ-
ных и их значения в критической точке х= — 1: f"(x) = 12х24-24х-|- 12, f"( — 1) =0,
/'"(х) =24x 4-24, Г'(—1)=0, fv(x)=24. Поскольку /!V( —1)>0 и л-|-1=4
(четное число), то х —— 1—точка минимума, причем min f(x) =f(—1)=2.
15.4.	Направления выпуклости, точки перегиба
График функции y = f(x) называется выпуклым вниз (вогнутым вверх)
в данном промежутке, если он целиком расположен выше касательной в его
произвольной точке (рис. 15.6, а).
График функции у = /(х) называется выпуклым вверх (вогнутым вниз) в
данном промежутке, если он целиком расположен ниже касательной в его про-
извольной точке (рис. 15.6,6).
Теорема 15.7. Если вторая производная функции y=f(x) в данном
промежутке положительна, то график ее является выпуклым вниз в этом проме-
жутке; если f"(x)<0, то график функции является выпуклым вверх в соответ-
ствующем промежутке.
201
Точкой перегиба графика функции y=f(x) называется такая его точка
Л1о (рис. 15.7), в которой выпуклость меняется на вогнутость (по отношению
к одному и тому же направлению: вверх или вниз).
Теорема 15.8. Если вторая производная функции y = f(x) при х=х0
обращается в нуль и меняет знак при переходе через х0, то Мо(хо, f(xu)) —
точка перегиба графика этой функции.
Пример 15.10. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика
функции f (х) = х3 — 6х2 + 9х + 1.
Поскольку вторая производная /"(х) =6х—12 = 6(х —2) обращается в нуль
при х = 2 и меняет знак при переходе через это значение, то х=2 — абсцисса
точки перегиба, ордината этой точки y = f(2) =3, т. е. М(2, 3) —точка перегиба.
Так как f" (х) <0 при х<2 и f"(x)>0 при х> 2, то график функции
является выпуклым вверх в интервале ( —оо,2) и выпуклым вниз в интервале
(2, +оо)
15.5.	Асимптоты
Асимптотой линии называется прямая, к которой неограниченно при-
ближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала
координат.
По виду уравнений относительно выбранной декартовой системы координат
различают асимптоты вертикальные (параллельные оси Оу) и наклонные (пересе-
кающие ось Оу).
Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции
y = f(x), если хотя бы одно
из предельных значений lim f(x), lim f(x)
x-^a — Q x-~a+0
является бесконечным. Например, прямая х—-2
является вертикальной асимптотой графика
функции г/ = 8/(х —2), так как lim 8/(х —2) =
х—2-0
= —оо, lim 8/(х — 2) = + оо.
х-2 + 0
Предположим, что функция y = f(x) опре-
делена при сколь угодно больших (по модулю)
значениях аргумента; для определенности будем
рассматривать положительные значения аргу-
мента.
Прямая
y = kx+b	(15.6)
называется наклонной асимптотой графика
функции у — f(х), если эта функция предста-
вима в виде
f(x)=kx+b + a(x),	(15.7)
где lim <х(х)=0.
X-*- + ОО
202
График функции y = f(x) имеет при х-»--|-оо наклонную асимптоту (15.6)
тогда и только тогда, когда существуют два конечных предела:
lim ~k, lim (f(x) — kx)=b.	(15.8)
X	x—*-f-oo
Пример 15.11. Найти асимптоты графика функции f(x) =	.
Прямая х=1 является вертикальной асимптотой (рис. 15.8), так как
-I-	х*	2
lim f(x) = оо. Поскольку f (х) = ——— =х4-2Н----------и lim 2/ (х — 1) = 0, то
х-l	X— 1	X— 1
график функции имеет и наклонную асимптоту у—x-j-2.
15.6.	Исследование функций
и построение их графиков
Под исследованием функций понимают изучение их изменения в зави-
симости от изменения аргумента. На основании исследования функции строят
ее график, предварительно изображая характерные точки.
Исследование функций и построение их графиков можно проводить по сле-
дующей схеме.
1.	Найти область определения функции, ее точки разрыва.
2.	Изучить изменение функции при стремлении аргумента к концам про-
межутков области определения.
3.	Найти точки экстремумов, промежутки возрастания и убывания функции.
4.	Вычислить значения экстремумов, построить соответствующие точки.
5.	Определить промежутки выпуклости и вогнутости графика, найти точки
перегиба.
6.	Найти точки пересечения графика с координатными осями.
7.	Найти асимптоты графика функции.
Порядок исследования иногда целесообразно выбирать исходя из конкретных
особенностей данной функции.
Если рассматриваемая функция четная или нечетная, то ее достаточно
исследовать при положительных значениях аргумента из области ее определения
и принять во внимание, что график четной функции симметричен относительно
оси ординат, а график нечетной — относительно начала координат.
Отметим также, что графики взаимно обратных функций симметричны отно-
сительно прямой, на которой лежит биссектриса первого координатного угла.
х* -|- 1
Пример 15.12. Исследовать функцию f(x)——т-— и построить ее гра-
фик.	Х~1
1. Функция не определена лишь при х= —1 и х=1. Следовательно, область
определения состоит из трех интервалов: (—оо,—1), (—1,1), (1,-(-оо), два
из которых являются бесконечными.
2. При стремлении аргумента к концам промежутков области определения
соответственно получаем
lim
lim
lim
lim
— — оо, lim
lim
3. Находим производные данной функции:
f' (х) = ~~4х f" (х) = 4(3* + 1)
(х2— 1)2 ' 1 { ’	(х2-1)3
203
Поскольку f'(x)> 0 при x<Z — 1 и —1<х<0, то функция возрастает
в интервалах (— оо, — 1) и ( — 1,0). Так как f'(x) <0 при 0<х< 1 и х> 1,
то функция убывает в интервалах (0, 1) и (1, 4-оо).
Поскольку f'(x)=O при хо = О и f"(xo) =f"(0) <0, то Хо = О —точка мак-
симума.
Других критических точек нет, ибо f'(x) не определена только при х=— 1
и х = 1, но в этих точках не определена и сама функция.
4.	Вычисляем значение максимума функции max f (х) =f (0) = — 1.
5.	Поскольку f"(x)> 0 при х< — 1 их>1,
то график функции является выпуклым вниз
в интервалах (—оо,—1) и (1, + оо). Так как
f" (х) <0 при — 1<х<1, то график функции
является выпуклым вверх в интервале (— 1, 1).
Точек перегиба график данной функции
не имеет, ибо вторая производная в нуль ни-
где не обращается и не определена в тех же
точках, в которых не определена и сама
функция.
6.	График функции не пересекает ось Ох,
так как уравнение (х2+1)/(х2—1) =0 не имеет
действительных корней. Если х = 0 (уравнение
оси Оу), то у= — 1, в точке В(0, —1) график
пересекает ось Оу.
7.	Из п. 2 следует, что график функции име-
ет две вертикальные асимптоты х=—1 и х=1
у=\. Последнее вытекает также из того, что
и горизонтальную асимптоту
х2+1	. .	2
Заметив еще, что f(x)>0 при х< —1 и х> 1, f(x)<0 при — 1<х<1,
строим график функции (рис. 15.9).
15.7.	Задачи на наибольшие и наименьшие
значения
Наибольшим значением (абсолютным максимумом) функции y—f(x)
на отрезке [а, 6] называют такое ее значение, которое больше всех других
значений, принимаемых функцией на данном отрезке. Чтобы найти наибольшее
значение функции на отрезке, необходимо вычислить значения максимумов
на этом отрезке, значения функции на концах отрезка, а также во всех точках
отрезка, в которых производная не определена; из полученных чисел выбрать
самое большое. Аналогично определяется и разыскивается наименьшее значение
функции (абсолютный минимум).
В математике, физике, химии, технических и других науках, а также в повсед-
невной жизни часто встречаются задачи на отыскание наибольших и наимень-
ших значений некоторых функций.
Общая схема решения таких задач состоит в следующем. Сначала устанав-
ливается зависимость рассматриваемой величины у от некоторой независимой
переменной величины х (обозначения, разумеется, могут быть другими). Из усло-
вия задачи определяется промежуток, в котором может изменяться аргумент
функции. Функция y = f(x) исследуется с помощью теории, рассмотренной
в предыдущих главах.
Пример 15.13. Найти наименьшее значение суммы двух положительных
чисел, произведение которых постоянно и равно а.
Обозначим искомые числа через х и у. По условию ху — а, где а> 0, поэтому
у=а/х. Сумма этих чисел s = x + i/, s(x)=x4-a/x является функцией перемен-
ной х; в соответствии с условием х> 0.
Находим производные функции s(x): s'(x) = 1 — a/x2, s"(x) =2a/x3.
Приравнивая нулю первую производную, получаем уравнение 1—а/х2 = 0,
204
из которого находим критические точки х, = — -у/a, х2=у/а; первое значение
не принадлежит области изменения аргумента данной функции.
Поскольку s"(y/a)>0, то х = у[а — точка минимума, причем min s(x) =
= s(y/a) = 2 у/a.
Пример 15.14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) =х3— 12х + 7 на отрезке [0,3].
Найдем сначала экстремумы данной функции: f'(x) = 3х2 —12, /"(х)=6х,
/'(х)=0, Зх2—12 = 0, Х| = —2, Х2 = 2. Точка
Х|=—2 не принадлежит данному отрезку. Так
как /"(2)> 0, то х = 2—точка минимума, при-
чем min /(х) —f (2) = —9. Находим значения
функции на концах отрезка: /(0) =7, /(3) = —2.
Сравнивая эти три числа, заключаем, что на-
ибольшее значение данной функции на задан-
ном отрезке равно 7, а наименьшее —9.
Пример 15.15. Прямоугольник вписан
в эллипс с осями 2a и 2Ь. Каковы должны
быть стороны прямоугольника, чтобы его пло-
щадь была наибольшей?
Рассмотрим прямоугольник ABCD, вписанный в данный эллипс (рис. 15.10),
с основанием 2a и высотой 2v. Площадь прямоугольника определяется формулой
s=2u-2v = 4uv, где v = (b/a) у] а2— и2 (получено из уравнения эллипса). Сле-
довательно, х = (46/а) и -у/а2 — и?— функция переменной и. Так как s' =
= (46/a) (a2 —2u2)/у/a2 —u2, то s' = 0 при u = a/y/2. Поскольку s'> 0 при
u<a/y/2 и s'<0 при u>a/y/2, то u = a/y/2 — точка максимума функции
s=s(u). Если и = а/у/2, то v = (Ь/а) у/a2 —и2 = 6/у/2. Следовательно, площадь
прямоугольника будет наибольшей, когда его стороны равны 2а/у/2, 26/у/2
(тогда площадь равна 2аЬ).
15.8.	Дифференциал длины дуги кривой
Пусть на отрезке [а, Ь] задана дифференцируемая функция y = f(x),
графиком которой является дуга АВ (рис. 15.11). Отрезок [а, 6] разобьем на п
частей точками Х|, х2,... , х„_|. Этим точкам будут соответствовать точки Mi,
Л42, ... , М„-1 дуги АВ. Соединим их отрезками прямых. Ломаную AM 1М2 ...М„-iB
называют вписанной в дугу АВ. Периметр этой ломаной обозначим через 1п, т. е.
/„= £ \Mk-iMA (Мо = А, М„ = В).
k= 1
205
Длиной дуги называется предел периметра вписанной в нее ломаной, когда
число звеньев Mk~ 1Л4* неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них
стремится к нулю:
п
1= lim У |Af*_uW*|,
’-° *=1
где % — длина наибольшего звена.
Будем отсчитывать длину дуги от некоторой ее точки, например от точки Д;
пусть в точке М(х, у) длина дуги AM равна /, а в точке М' (х-|-Дх, уА-Ау) длина
дуги AM' равна /Д-Д/, где Д/ — длина дуги ММ' (рис. 15.12). Очевидно, / = /(х),
бесконечно малая дуга линии и стягивающая ее хорда эквивалентны:
AM'
lim -----
м-^.м I ММ' |
Дифференциал длины дуги
выражается формулой
,	.. Д/
= 1, ,1т —,-„	= 1 •
Лл*° 7Д*+Ду
плоской кривой, заданной уравнением у = [(х),
dl=^dx2A-dy2
Эта формула имеет простой геометрический смысл: она выражает теорему Пифа-
гора для бесконечно малого треугольника MTN (рис. 15.12, dl = MT, Al —ММ').
Дифференциал дуги пространственной кривой выражается формулой
dl= -^dx2 А~ dy‘ A- dz1.
15.9.	Кривизна плоской кривой
Рассмотрим плоскую линию, определяемую уравнением y — f(x).
Проведем касательную к этой линии в ее точке Мо(хо, уо); обозначим через а
угол, образованный касательной с осью Ох (рис. 15.13). Пусть касательная
в точке М образует с осью Ох угол а-|-Да.
Угол Да между касательными в указанных точках называют углом смеж-
ности. Можно сказать, что при переходе из точки Мо в точку М данной линии
касательная к ней повернулась на угол Да, которому будем приписывать
соответствующий знак в зависимости от направления поворота.
Средней кривизной дуги МоМ данной линии называется абсолютное значение
отношения угла смежности Да к длине Д/ дуги МоМ:
feci,_|4r|’
Кривизной линии в данной точке Мо назы-
вается предел средней кривизны дуги МоМ
при М -> Мо:
k = lim |~~L k= lim |^-| .	(15.9)
Отметин, что для прямой k = 0, а для
окружности радиуса R кривизна k=l/R.
Кривизна линии, заданной уравнением у =
=f(x), в точке Мо(хо, Уо) вычисляется по
формулам
ь_________.................. ь	\У"А
(1 + (У'(хо))2)3/2 ’	(1+^)3/2 '
(15.10)
206
Если линия задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t),
то с учетом (14.20) и (14.22) формула (15.10) принимает вид
= \Х'У"~Х"У'\	(151i)
(х'2 + </')3/2
Кривизна линии, заданной уравнением р = р(<р) в полярных координатах,
вычисляется по формуле
Пример 15.16. Найти кривизну косинусоиды y = cos х в точке Мо(О, 1).
Поскольку у'——sin х, у" =—cos х, кривизна косинусоиды в ее произволь-
ной точке определяется формулой
, _ I — cos х|
(1 4-sin2x)3/2
При х=0 получаем k= 1 /(1 +0)3/2 = 1.
15.10.	Окружность кривизны.
Центр и радиус кривизны.
Эволюта и эвольвента
Радиусом кривизны данной линии в данной ее точке называется
величина R, обратная кривизне k этой линии в рассматриваемой точке:
п 1.	„	(1+<4)3/2
R~^' R~
(15.13)
На нормали к кривой в точке Л4 отложим отрезок MC = R в сторону вогнутости
кривой (рис. 15.14). Точка С называется центром кривизны данной линии
в точке Л1. Окружность радиуса R с центром в точке С называется окружностью
кривизны этой линии в точке Л1. Очевидно, в данной точке М кривизна кривой
и кривизна окружности равны между собой.
Координаты центра кривизны определяются формулами
Х = х-	Y = y + _<L±£±.	(15.14)
у"	У"
Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(1), y = y(t), то
формулы (15.14) с учетом равенств (14.20) и (14.22) примут вид
Х==х_	у= Х'(Х'2 + У'1.	(15.15)
х'у" — х"у'	х'у" — х"у'
Множество всех центров кривизны данной линии называется ее эволютой.
По отношению к своей эволюте исходная линия называется эвольвентой
(или разверткой).
Если линия задана уравнением y = f(x),
то уравнения (15.14) можно рассматривать как
параметрические уравнения ее эволюты (с па-
раметром х).
В случае параметрического задания кривой
уравнения (15.15) являются параметрическими
уравнениями эволюты (входящие в правые ча-
сти этих уравнений величины зависят от па-
раметра t).
207
15.11.	Переменная векторная величина.
Вектор-функция скалярного аргумента
Рассмотрим точку М(х, у, г), движущуюся по некоторой линии у в про-
странстве (рис. 15.15). Радиус-вектор г = ОМ точки М будет иметь определенное
направление и длину в фиксированный момент времени t. С течением времени
направление и длина вектора ОМ будут изменяться.
Таким образом, здесь имеем дело с перемен-
zl	ным вектором ОМ или с переменной векторной
величиной
\	г = г(/),	(15.16)
\чМ	зависящей от времени t. Равенство (15.16) назы-
Р	„ вается векторным уравнением движения точки М.
/	'	Координаты переменного вектора ОМ = г(/) =
q/	= {x(t), y(t), z(t)) являются также переменными
величинами (скалярными), зависящими от вре-
'	мени t. x=x(t), y = y(t), z=z(t).	(15.17)
Рис. 15.15	Уравнения (15.17) являются параметрическими
уравнениями рассматриваемой линии у.
Переменная векторная величина и называется вектор-функцией (или вектор-
ной функцией) скалярного аргумента /, если каждому значению где Т —
некоторое множество действительных чисел, соответствует определенный вектор
и(/о); в этом случае пишут u = u(Z).
Если u = u(Z), то и проекции их, uv, иг переменного вектора и на оси декар-
товой системы координат будут (скалярными) функциями аргумента /: их = их(1),
u^u^t), u2 = u2(t).
Пример вектор-функции скалярного аргумента дает рассмотренный выше
случай радиуса-вектора г = г(/) точки, движущейся по некоторой линии в про-
странстве.
Годографом переменной векторной величины называется геометрическое
место концов векторов всех ее отдельных значений при условии, что они
отложены из одной точки. Годографом постоянного вектора является точка
(конец вектора). Годограф вектор-функции u = u(Z) представляет собой неко-
торую линию. Если вектор сохраняет постоянную длину, то его годограф —
линия, лежащая на сфере. Годографом радиуса-вектора г = ОМ движущейся
точки М является траектория этой точки.
Пусть а — некоторый вектор (постоянный) и г = г(/) — вектор-функция,
определенная в некоторой окрестности точки /о, кроме, быть может, самой точки to.
Вектор а называется пределом вектор-функции г = г(1) при t-f-to, если для
любого е> 0 существует такое 6 = 6(е)>0, что |г(/)—а| <е для всех Z, удов-
летворяющих неравенству |/—/о! <6, (рис. 15.16).
вектор-функции:
limr(/)=a,'	(15.18)
г(/)->-а при
Очевидно, равенство (15.18) эквивалентно равенству
lim |г(/)—а| =0.	(15.19)
Если г (/) = {*(/), y(t), z (Z) | и а— (а,, а,, аз), то ра-
венство (15.18) выполняется тогда и только тогда, когда
lim х(/) =Oi, limy(/)=a2, Iim2(/)=a3.
I—/„	1^1
Если вектор-функции гД/) и г2(Д определены в
некоторой окрестности точки to и существуют пределы
lim гД/)=а, lim г2(/)=Ь,
I -► /л	I *!.,
208
lim г, (Z) lim r2(Z) = a - b, [ lim r, (Z), lim Г2(Z) ] = [a, b),
t —► 11)	/—>/11	/—»/,I
скалярная функция f(t) имеет предел при Z-»-Zo, то существуют также пределы
lim (г, (Z) 4-г2(/) ) =а + Ь,
/-♦/в
lim (f(i)i-i(t)) = lim f(t) lim г 1 (/),
lim г, (Z)r2(Z) = a-b,
t */.,
lim [1-1 (Z), r2(Z)] = [a, b].
Вектор-функция r = r(Z), определенная в точке t0 и некоторой ее окрест-
ности, называется непрерывной в этой точке, если lim r(Z) =r(Zo).
Из эквивалентности условий (15.18) и (15.19) следует, что вектор-функция
r(Z) = (х(/),</(/), г(/)) непрерывна в точке /о тогда и только тогда, когда непре-
рывны в ней функции x(Z), </(/), z(Z).
15.12.	Дифференцирование вектор-функций
Предел отношения приращения вектор-функции к приращению аргу-
мента, когда последнее стремится к нулю, называется производной вектор-функции
u = u (ц) в точке v:
,, , d.u	и(и + Ац) — u(v)
и (ц) =--- = lim —5—I------—— .
dv u--o ' Ап
Необходимым и достаточным условием существования производной вектор-
функции
u(u) = {x(d), y(v). г(и))
(15.20)
в некоторой точке является дифференцируемость функций х(е), </(п), г(и) в этой
точке; причем в данном случае
и'(ц) = {х'(к), y'(v), z'(v)).
Правила дифференцирования вектор-функции аналогичны правилам обыч-
ного дифференциального исчисления. Если u, = u, (ц), u2 = u2(n) —дифференци-
руемые вектор-функции скалярного аргумента v, с —постоянный вектор, f(v) —
дифференцируемая скалярная функция, k — постоянная скалярная величина,
w — скалярный аргумент, связанный с v формулой ш = и>(ц), где ш(п) —
дифференцируемая функция, то эти правила дифференцирования выражаются
следующими формулами:
. de	d(u,±u2) __ du, du2
dv ’	dv	dv dv
d(/u,) df du,
3)
d(ku})	du,
3a) —-z------= k —— , 36)
dv	dv
d(fc) df
dv
dv
d(u,u2) _ du2
dv Ul dv
c. d[ub u2]
5)	"dv -
du,
dv
4a)
dv
Ju 1
dv
6) rfU1 _ dU|
dv dw
dw
dv
209
ли
Мо
Ц.(У<-ЛУ)
u W
о
Рис. 15.17
Геометрический смысл производной и'(о) #=0: производная вектрр-функции
в данной точке есть вектор, направленный по касательной к годографу данной
вектор-функции в соответствующей точке (рис. 15.17).
Отметим, что при другом значении v получим новое значение и((о), т. е. про-
,,	изводная вектор-функции также Является век-
4 4 	тор-функцией. Вектор-функция, имеющая про-
/	Р	изводную, называется дифференцируемой.
/	Дифференциалом вектор-функции u = u(u)
/ Мs' Mi/av называется произведение ее производной на диф-
ференциал аргумента du. = и' (t>) dv, где dv = &v;
отсюда и' — du/dv.
Пусть
r=r(/),r = x(/)i + i/(/)j + z(/)k —
векторное уравнение движения точки М в про-
странстве. Приращению Д/ времени t соответ-
ствует приращение Дг = Л4оЛ4 вектор-функции
г = г(/). Отношение Дг/Д1 называется вектором
средней скорости, этот вектор направлен по
прямой МоМ. Предел указанного отношения
при Д/—>0 называется вектором скорости в мо-
мент to (или вектором мгновенной скорости),
обозначим его через v, т. е.
v = r' (0-4г-	(15.21)
dt
мгновенной скорости (или вектор скорости) движу-
щейся точки направлен по касательной к ее траектории. Вектор г'(1) характери-
зует направление и быстроту движения точки.
Если для вектор-функции г = г (7) в качестве параметра t выбрать длину дуги s,
отсчитываемой от некоторой точки Мо, то производная вектор-функции будет
равна единичному вектору, направленному по касательной. Обозначив этот
вектор через т, получим
4^=?, Й = 1.	(15.22)
ds
Второй производной вектор-функции и = и(ц) называется производная
от ее производной u'(v): u"(y) = (u'(ti))'.
Для функции (15.20) имеем
u"(v) = {x"(v),y"(v),z"(v)],
если существуют вторые производные функций л(о), y(v), z(v).
Аналогично определяются производные более высокого порядка для вектор-
функции u = u(o).
15.13.	Уравнения касательной к пространственной линии.
Кривизна пространственной линии
Рассмотрим пространственную линию у (рис. 15.18), заданную векторно-
параметрическим уравнением
r = r(/), г(/) =x(/)i + i/(/)j + z(/)k	(15.23)
или параметрическими уравнениями
x=x(t), y=y(t), z = z(t},	(15.24)
где х(0, y(t), z(t)—дифференцируемые функции переменной t. Зафиксируем
210
значение /о параметра t, ему соответствует точка Л4о(хо, уо, z0), где xo = x(to),
yo—y(to)\zo=z(to).
Уравнения касательной к пространственной линии (15.24) в точке Л4о(хо, уо, zo)
имеют вид
X — Хо   у—Уо   Z-
x'(to)	у'W	z'(
Нормальной плоскостью к пространственной
называется плоскость, проходящая через точку
М и перпендикулярная касательной к данной
кривой в той же точке.
Нормальная плоскость к линии (15.24) в
точке Mo(xo,yo,zo) имеет уравнение
х' (to) (х — хо) 4-у' (to) (у—уо) +
+ z'(to)(z-zo)=0.	(15.26)
Если s длина дуги, то единичный вектор
касательной т к линии у определяется форму-
лой (15.22). Придав аргументу t приращение
Л/, получим точку М линии у и соответствующий
вектор касательной т-(-Лт. Степень изогнутости
кривой можно характеризовать скоростью поворота вектора т.
Кривизной k линии у в точке Л4о называется модуль производной вектор-
функции т = т(з) в данной точке, т. е.
k= |-£-|.	(15.27)
I “s I
Это определение равносильно определению кривизны плоской кривой.
Кривизна линии, заданной уравнениями (15.24), выражается формулой
Кривизну линии можно выразить в координатах. Поскольку г(/) =
= (х(t),y(t), z(t)}, r'(t) = (x'(t),y'(t),z'(t)}, r"(t)={x"(t),y"(t),z"(t)}, то
Отметим, что формула (15.11) является частным случаем формулы (15.30).
Пример 15.17. Записать уравнения касательной, уравнение нормальной
плоскости и вычислить кривизну линии r(/) = 2sin2/i-(-2cos2/j + sin2/l< в точке,
для которой /о = л/4.
Перейдем к параметрическим уравнениям данной линии
x = 2sin2/, </ = 2cos2/, z = sin2/.	(I)
Найдем координаты точки Мо(хо, уо, z0): xo = x(h,) =2sin2 (л/4) =2(^2/2)2= 1,
yo = y(to) = 2cos2 (л/4) =1, zo — z(to) — sin2(л/4) = 1; M,(l, 1, 1).
Найдем производные функций (I) и их значения при /0 = л/4:
х’ = 2-2sin t cos/ = 2sin2/, у' =—2sin2/, z' = 2cos2Z;	(II)
x' (to) =2sin2(n/4)=2,y' (to)= — 2sin2(n/4) = —2, z' (to) =0.
211
В соответствии с равенствами (15.25) получаем уравнения касательной к дан-
ной линии
(х—1)/2= (у—1)/( —2) = (г—1)/0, или (х—1)/2= (</—1)/( —2), г-1=0.
Подставляя соответствующие значения в формулу (15.26), находим урав-
нение нормальной плоскости: 1 (х—1) — 1 (у—1) + 0(z—1)=0, или х — </ = 0.
Для вычисления кривизны линии в точке Mo (1, 1,1) нужны значения вторых
производных функций (I) при /о = л/4. Так как x" = 4cos2/, у" = —4cos2Z,
z"=—4sin2/, х"(/о)=О, у" =0, z"(t0)=4, то по формуле (15.30) находим
_ V(( —2) (-4) -0-0)2+ (2(-4)-0-0)2+(2-0-'0(-2))5	у/128~ _ 1
—	(22+ (-2)Ч 02)3/2	~ 83/2 ~ 2 '
Глава 16
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
16.1.	Неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица основных неопределенных интегралов
Функция F(x), определенная в промежутке (а, &), называется перво-
образной данной функции f(x) в этом промежутке, если для любого значения
хе(а,/>) выполняется равенство
F'(x)=f(x).	(16.1)
Например, функция F(x)=x5— первообразная функции f(x) = 5х4 в проме-
жутке (—оо,4-оо), поскольку (х5)' = 5х4 для всех х; функция Е(х)=1пх—
первообразная функции f(x)=l/x в промежутке (0, +°o), так как (In х)' =
= 1/х; функция F(x) =arccos х — первообразная функции f(x) = — 1/V1 —х
в интервале ( — 1, 1), ибо (arccos х)'= — 1/у/1 ~х2.
Если F(x) —первообразная функции f(x), то
Ф(х)=Е(х)-|-С,	*(16.2)
где С — произвольная постоянная, также является ее первообразной.
Выражение (16.2), в котором функция F(x) удовлетворяет условию (16.1),
определяет множество всех первообразных данной функции f(x) в заданном
промежутке (а, Ь).
Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется множе-
ство всех ее первообразных:
$ f(x)dx=F(x)+C,	(16.3)
где F'(x)=f(x). Знак J называется знаком неопределенного интеграла, функция
f(x) —подынтегральной функцией, выражение f(x)dx— подынтегральным вы-
ражением.
Операция нахождения первообразной данной функции называется интег-
рированием.
Неопределенный интеграл обладает следующими основными свойствами.
1.	Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функ-
ции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению:
(5 f(x)dx) ’=f(x),	(16.4)
d\f (x)dx=f(x)dx.	(16.5)
2.	Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен
сумме этой функции и произвольной постоянной:
$ dtp(x) = <р(х) +С.	(16.6)
3.	Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного
интеграла:
5 kf(x)dx=k\f(x)dx (£=const, А#=0).	(16.7)
4.	Если функции fi (х) и fi(x) имеют первообразные, то функция fi (х) +Мх)
также имеет первообразную, причем
213
S (fi(x) +f2(x))dx= \ fr (x)dx+ $ f2(x)dx.
(16.8)
Таблицу простейших неопределенных интегралов нетрудно получить, вос-
пользовавшись тем, что интегрирование является операцией, обратной дифферен-
цированию. Будем исходить из формулы (16.6), которую запишем следующим
образом: если dF(x) =f (x)dx, то J f (x)dx — F(x) + C. Например, поскольку
d(sin x) — cos xdx, to J cos xdx = sin x + C.
Применяя аналогичное рассуждение к каждой из формул основных диф-
ференциалов (см. п. 14.4), получаем следующие простейшие неопределенные
интегралы:
1. \ 1-dx=\dx — x + C,
3.	dx = \ — = ln|xl+C,
J X	J X
4-	^aXdx= 1K7+C (a>0)’
5.	J exdx = e* C,
6.	S cos xdx—sin x + C,
7.	$ sin xdx= —cos x + C,
8.
dx
cos2x
= tgx + C,
9.
dx
sin2x
= —ctgx + C,
dx
- =arcsin x-\-C= — arccos * + Ci,
-y 1 —*
dx
T—— =arctgx+C=— arcctgx + Ci,
12.	$ sh xdx=ch x + C,
13.	S ch x = sh x + C,
14.	5—§-=thx + C,
ctrx
. $—=-cthx + C.
slrx
Отметим, что все указанные формулы справедливы в тех промежутках,
в которых определены соответствующие функции. Например, формула 3 спра-
ведлива для любого промежутка, не содержащего точку х = 0; формула 10 —
для интервала (—1, 1) и т. п.
Замечание. В таблице основных интегралов вместо х везде можно
записать и = и(х), где и(х) —любая дифференцируемая функция независимой
переменной х: $ du = u + C, j =1п| и\ +С и т. д.
При использовании формул этой таблицы для преобразования подынтег-
рального выражения к виду f(x)dx=g(u)du применяются простейшие преоб-
разования дифференциалов: 1) dx = d(x+b), где 6=const, 2) dx= — d(ax),
214
а#=0, 3) dx—(l/a)d(ax + b), а=/=0, 4) xdx= (l/2)d(x2 + d), 5) sinxdx =
= d(— cosx), 6) cos xdx = d(sin x), 7) q>' (x)dx = d<p(x).
Например,
f . _ . f . ,	1	.	1 f . - ,,c , cos 5x
\ sin5xdx=\ sin5x-=-a(5x) = —=-\ sin5xa(5x) =-=--|-c-,
J	J । D	О J	О
( xdx f 2	1 f d(x2+l)	1 । / 2,|\ I (j
-------V5 x2+l - 2 ln^+»+C-
К наиболее важным методам интегрирования относятся следующие: 1) не-
посредственное интегрирование; 2) метод замены переменной; 3) метод интегри-
рования по частям.
16.2. Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование основано на свойстве 4 неопреде-
ленного интеграла.
Если функции fi(x), /г(х).fn(x) имеют первообразные в некотором
промежутке, то функция f (х) = f> (х) +1г(х) +|з(х) + ... + МХ) также имеет
первообразную в том же промежутке, причем
$ (fl (х) +fi(x) + ...+f„(x))dx= \ ft(x)dx+ S f2(x)dx+.„+ j f„(x)dx,
(16.9)
т. e. неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функ-
ций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от сла-
гаемых,	.
Пример 16.1. Найти неопределенный интеграл ) (х3 — 6х2 + 4х— 5)dx.
Пользуясь свойствами неопределенного интеграла, формулой (16.9) и первыми
двумя формулами простейших неопределенных интегралов, находим
J (х3 — 6х2+4х — 5)dx= $ x3dx-»$ 6x2dx+ $ 4xdx— $ 5dx =
= J x3dx — 6$ x2dx + 4^ xdx — 5$ dx= -6^—|-4-^----5xH~C =
4 о 2
X4
= -----2x3 + 2x2-5x + C.
Замечание. Постоянное слагаемое не записано при нахождении каждого
интеграла алгебраической суммы, а лишь один раз, так как сумма произвольных
постоянных величин есть величина постоянная.
Пример 16.2. Найти интеграл $ 1 dx.
Преобразуя подынтегральную функцию и пользуясь первыми тремя форму-
лами неопределенных интегралов, получаем
s(i+4-)’‘"-s(i+4+v+-?-)‘"-S‘"+3Sjf+
+з) -$+s -S л+з) 4г +з1 s
XX	л
х—2+1	г-2	3	1
=х + 31n | х | 3 —  l -— -|- С = х + 31n | х |-—   ——g—|-С.
— х +1	— 2	х	2х
Пример 16.3. Найти неопределенный интеграл J !—|- —---dx.
215
С помощью формул 2 и 3 простейших интегралов
= —2) получаем
, 1
(при а=-------
и
а =
+	----l/2 — х 2) dx = ln|x|+2V*+—+с.
\ х ух х /	\ х	/	х
Пример 16.4. Найти интеграл tg2xdx.
Преобразуя подынтегральную функцию и пользуясь формулами интегралов
1 и 8, находим
f , 2 . f sin2x . f 1—cos2x , f
\ tg xdx = \---- dx = \--------dx - \
cos2x	cos x J
dx
cos2x
— J dx = tgx—x+C.
Пример 16.5. Найти интеграл —cos2xdx—
cos x sin2 x
Преобразуя подынтегральную функцию и пользуясь формулами 9, 8, получаем
[ cos2xdx f (cos2x—sin2x)dx f dx f dx k x „
J-----2---— = J-------5 -------= J ~r-5----J------Г" = — ctg x — tg x + C.
cos xsin2x	cos2x sin2x 2 sm2x 2 COS2X
Пример 16.6. Найти интеграл $ cos2(x/2)dx.
Поскольку cos2(x/2) = (1/2) (1 4-cosx), то j cos2(x/2)dx= (1 -j-cos x)dx =
1 f . ,	1 r J 1	1
=	dx-j——J cos xdx— ~2~x-|—g- sin x-|-C.
г x2dx
Пример 16.7. Найти интеграл ) —j—p-
x 1
Преобразуя подынтегральную функцию, с помощью формул 1 и 11 простей-
ших интегралов, находим
x2dx
х2+1
f (х +1) — 1 ,	( ,	[ dx	,	'. „
\ -Т 1--------dx=^ dx-}  =х — arctgx + C.
2 X -f-1	X + 1
16.3. Метод подстановки
Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки)
основано на формуле
) f(x)dx= J f(<p(/) )<f'(t)dt,	(16.10)
где x = ip(/) —дифференцируемая функция переменной I.
„	f x3dx
Пример 16.8. Наити интеграл \,__________.
1/1— х8
Введем новую переменную t по формуле х4 = /, откуда 4x3dx = dl, x3dx =
= _2— rfz, Xs = (х2)2=/2.
Переходя к новой переменной и используя формулу 10 простейших интегра-
лов, получаем
x3dx
1/1
_1_
4
—- - = —— arcsin 1 + С.
1/1^	4
216
Возвращаясь к переменной х, находим
f x3dx	1	 4 , п
\ ——	= —— arcsin х +С.
J V)—?	4
Замечание. Результат можно проверить дифференцированием. Так как
7 1	. Д '	1	1	,	4х3	х3
—г- arcsin х' I = —---—  —- (х ) =-------,	 а- = , —,
\ 4	/4	^/1 _ (ЛЛ)2	4 х8
то на основании формулы (16.4) заключаем, что пример решен верно.
Пример 16.9. Найти интеграл	.
д/“ —X2
В случае, когда подынтегральное выражение содержит у/а2— х7, целесообразно
применить тригонометрическую подстановку х=а sin t или х=а cos t.
Положим х = а sin t, тогда dx = a cos tdt, поэтому
r x3dx _с a3 sin3 i-a cos tdt _r a3 sin3 t-a cos tdt _
-yja^ — x2	у/a2 —a2 sin21	a cos *
= a3 J sin3 tdt = a‘ J sin21 sin tdt= — a3 J (1 — cos2 /)d(cos t) =
г	i
= a3 $ (cos2t — l)d(cos /) =---г------a3 cos Г + С.
О
Заметив, -что sin t = x/a, cos t= t/1 — sin2 t = -^l—x2/a2 = ~yl(a2— x2)/a ,
получим
Пример 16.10. Найти интеграл \-----------.
л/^+a
Применим так называемую подстановку Эйлера д/х2 a = / — х, где t —
новая переменная. Переписав это равенство в виде t = x-\- \/х2 + а и взяв диффе-
ренциалы от его обеих частей, получим
dx _ dt
V*2 + “	1
откуда
J —~— = J =ln|/| +C = ln|x+ д/F+al +c.
-yx + a. ‘
Итак,
$—,	=ln|x+ y/x^+al +C.	(16.11)
\x2 + a
16.4. Метод интегрирования по частям
Если u = «(x), v = v(x) — дифференцируемые функции от х, то из фор-
мулы для дифференциала произведения двух функций d(uv) =udv + vdu полу-
чается формула интегрирования по частям
j udv = uv— j vdu.
(16.12)
217
Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция пред-
ставляет собой произведение алгебраической и трансцендентной функций.
В качестве и обычно выбирается функция, которая упрощается дифференциро-
ванием, в качестве dv — оставшаяся часть подынтегрального выражения, содер-
жащая dx, из которой можно определить v путем интегрирования.
В некоторых случаях для сведения данного интеграла к одной из формул
простейших интегралов формула (16.12) применяется несколько раз. Иногда
искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося
с помощью интегрирования по частям.
Пример 16.11. Найти интеграл jx-3xdx.
Полагаем х — и, ydx—dv, откуда dx = du, ц = Зх/1п 3 (по формуле 4 про-
стейших интегралов). Подставляя эти выражения в формулу (16.12), получаем
г	3х	t У . хУ У
\х-3dx = x------\-------dx=---------------- +С.
3	1пЗ	3 In 3 In 3	(1пЗ)2
Замечание. Результат можно проверить дифференцированием:
/ х-Зх 3х +CV_ 3х , х-Зх(1п 3)	3х In 3 _
\ In 3	(1пЗ)2 ' / -1пЗ+ (In 3)	(1пЗ)2	*'
Пример 16.12. Найти интеграл J arctg xdx.
Полагая u = arctg х, dv = dx, находим du = dx/ (1 +х2), v = x.
По формуле (16.12) получаем
[	.	,	.	( xdx	1 г d(x2+l)
J arctg xdx = x arctg x- } ——5- =x arctg x- — \-------j——
1 I л	&	Л [ 1
— x arctg х--|-ln(x2 + 1) +С.
Пример 16.13. Найти интеграл $х2 sin xdx.
Полагая и = х2, dn = sin xdx = d( — cos х), получаем du = 2xdx, v—— cosx.
Следовательно,
J x2 sin xdx=x2( —cos x) — J (— cos x)2xdx= —x2 cos x+2 J x cos xdx. (I)
Полученный интеграл снова находится интегрированием по частям. Его
можно найти и не вводя явно функции и и v:
\х cos xdx= Jxd(sin x)=xsinx— J sin xdx = x sin x+cos x + Ci.
Подставляя это выражение для интеграла в формулу (I), находим
J х2 sin xdx= —х2 cos x + 2 J х cos xdx= — x2 cos x + 2(x sin x+cos x+Ci) =
= —x2 cos x +2(x sin x + cos x) +C (C = 2Ci).
Пример 16.14. Найти интеграл J (arccos x)2dx.
Полагая u= (arccos x)2, dx = dv, получаем v = x, du = —2arccos xdx/ д/1 — x2.
По формуле (16.12) имеем
j (arccos x) 2dx = x(arccos x)2 + 2 $ x arccos xdx/ i/l —x2.
Этот интеграл также находим методом интегрирования по частям:
u = arccosx, dv = xdx/ д/1 —х2, du=—dx/ +1 —х2, v=—д/1 — х2 ,
x arccos x , к------------г -\/I— x6
— 	— dx= — -JI — x* arccos x— \	_ - dx—
------\/l — x2 arccos x—x+ Ci.
218
Следовательно,
J (arccos x)2dx=x(arccos x)2—2 -\/l — arccos x—2x-|-C.
Пример 16.15. Найти интеграл cos pxdx.
Полагая u = eax, dv — cos flxdx, находим du=aeax, v= (1/p) sinpx; следо-
вательно,
1	r 1
cos fixdx = eax —— sin f5x — \ —- sin px a.eaxdx,
P	J P
(I)
sin pxdx.
t e" cos pxdx = eax sin px----
P	P
Интеграл в правой части равенства (I) также находим методом интегриро-
вания по частям:
sin pxdx — еах d (— cos 6х) =----е°-х cos fix + cos рх • ae^dx =
J Р	р	J Р
= еах cos рх-|—еах cos pxdx.	(II)
р	р J
Подставив выражение (II) в равенство (I), получим
J еах cos Рх = еах sin рх-cos	cos =
= -i- sin рх-е" cos рх-—J еах cos pxdx.
Перенося интеграл в левую часть, получаем уравнение
е" cos pxdx=---еах sin рх+ —е" cos рх,
Р	₽
из которого находим
j елх cos pxdx= —т-!—^«“'(a cos Px+P sin px) -|-C.
a +p
Пример 16.16. Найти интеграл	adx.
Положим u = Vx2-)-a, dx = dv, отсюда —X^X =du, v = x. По формуле
-\/x2 + a
(16.12)	получаем
-\/x2+ a dx — x -^x2-|-a — x — X-X .
-Jx2 + a
Преобразуем интеграл в правой части
$ --$1- = $ -^-2±^Ьа dx= $ (x2 + a) dx-a\ - -fX-
+ “	-\/x2-|-a	y'x2-|-a	-\/x2-|-a
= j dx-a\	.
Чх + a-
Следовательно,
219
откуда
2 \ д/х2 + a dx = х д/х2 + а + а —* — , л/х2 + а dx =
Л'х2 + а
Так как последний интеграл определяется формулой (16.11), то
j -у/х2 + а <7х = (х д/х2 + а + а In |х + д/х2 + а |) + С.	(16.13)
Пример 16.17. Найти интеграл J-^а2 — х2 dx.
Применяя метод интегрирования по частям, получаем
2

dx
Поскольку
2	2
а —х
dx	х
„	= arcsin---,
а
то
'а2—х2 dx=х д/а2—х2
1а2—х2 dx-\-a2 arcsin ,
а
откуда
'а2 — х2 dx = у/а2 —х2	arcsin С.
(16.14)
Замечание. Этот интеграл можно найти с помощью подстановки
х = а sin t.
16.5. Интегрирование рациональных дробей
с квадратным трехчленом в знаменателе
Интеграл вида 11 = \ dx/(рх2qx +г) путем дополнения квадратного
трехчлена до полного квадрата по формуле рх*+ qx-\-r = p( (х + &)2±а2) сводится
к одному из двух интегралов:
du	1	, и , „
;=----------arctg------h С,
+а2 а & а
(16.15)
где u=x + fe.
Интеграл
du 1,1 и — а
и2-а2 ~ ~2а~ “й+а
(16.16)
тх-\-п
—5---------dx
px2 + gx + r
(16.17)
220
сводится к интегралу (16.15) или (16.16) и интегралу
f udu	1 , , ,	,	„
) —j-----=-x-lnl^ + al+C.	(16.18
и +a	2
При нахождении неопределенного интеграла от рациональной функции
с квадратным трехчленом в знаменателе, т. е.
jP/vj__ ^«(*) ___ а„хп-f-an—ixn 1 + ...+агх2+ oix+ ао
Р?(х)	ах2 -j-bx-j-c
сначала производят деление; в результате получают R(x) = Qm(x) +
+ (kx-\-Г) / (ах2-\-bx-\-c), где Qm(x)—многочлен, степень которого ниже сте-
пени многочлена Р„(х).
Первообразная от многочлена Qn(x) находится непосредственно, а от остатка
(kx + l)/(ax2 + tx + c) —как интеграл вида (16.17).
г	(j X
Пример 16.18. Найти интеграл ) —5------------.
х | 4х 12
Дополняя квадратный трехчлен до полного квадрата и интегрируя на
основании формулы (16.16) для случая, когда и=х-(-2, а=4, находим
( dx _ f	dx	f dx _
3 x2 + 4x — 12 — J (x2 + 4x + 4)—4—12	(x + 2)2 — 16 —
_г d(x + 2)	_ _1_ I (x + 2)—4 I
J (x + 2)2-42	2-4	I (x+2) +4 p
-T'-ferp-
r dx
Пример 16.19. Найти интеграл \ —=--------.
x —6x + 34
Выделяя полный квадрат и применяя формулу (16.15) для случая, когда
и=х — 3, а = 5, находим
f dx	(•	dx	г dx	_
'	x2-6x + 34	“J	(x2-6x4-9) -9 + 34	~J	(x - 3)2 + 25	“
f	d(x — 3) 1	i	( x —3\
.	( (x+8)dx
Пример 16.20. Наити j —j——	- .
K r	J	x2+4x+20
Преобразуя подынтегральное выражение, получаем
f	* + 8	dx- 1 t	2* + 16	<2x + 4)+-1j-rfx =
J x2 + 4x + 20	2 J x2 + 4x + 20	2 J x2 + 4x + 20
If (2x + 4)dx , я( dx_____	1 ( (x2 + 4x + 20)'dx |
X2_|_4X_|_2O + 5 x2 + 4x + 20	2 J x2 + 4x + 20
+6$ тгйтст = 4-1п^+4х+20) +6- 4-arctg +c=
= _l-ln(x2 + 4x + 20) + -|-arctg-^^- +C.
221
П	U •	( x4 + 5x3 —3x2 + 7x + 3
Пример 16.21. Наити \;-------------------dx.
x 4- 1
„	x44-5x3-3x24-7x4-3	2 , -	. . 2x4-7
Так как --—----r——I---——= x2 + 5x —44----5-7-7-, to
x24-1	x24-1
x4 -|“ 5x3 — 3x2 -j-7x-|-3 , x	5 2 t I 1 / 2 1 <, 1 •?	1 /-*
---—----5———— dx =	4- -5- x2 — 4x 4- In (x2 4- 1) 4- 7 arctg x 4- C.
x2 4- 1	3	2
16.6. Интегрирование рациональных функций
Рассмотрим неопределенные интегралы вида \R(x)dx, где /? (х)—
правильная рациональная дробь, т. е.
Р„(х)	ao4-aix4-a2X24-...4-a„._1x',-'4-a„x'!
i\ IX J ~~ ™	Л — ——I Г1 ГП I •
Qm(x) bo-^-biX-^bsX 4"	4~bm~ lXm -f-bmX”1
Нахождение указанных интегралов основано на разложении рациональной
дроби в сумму элементарных дробей, т. е. дробей вида
А	Вх + С
(х-a)" ’ (x2+px+q)f
где а, р — натуральные числа; а, р, q, А, В, С — действительные числа; р2/4 —д<0
(корни трехчлена являются комплексными).
Это разложение определяется теоремой 8.5 (см. п. 8.7).
г 7х2
Пример 16.22. Найти )---------5
dx..
Так как
7х2 —х4-1
х34-1
4х —2
X2 — х +1
(см. пример 8.18), то
= 3 1п|х4-11 4-2 Inlx2—Х-l-11 4-С.
Пример 16.23. Найти —Х.	У— dx.
J х3-Зх-|-2
Поскольку
х2+х4-1 =	1	,	2	1
х3 —3x4-2	3(х4-2) "Г 3(х— 1) ’’’ (х-1)2
(см. пример 8.19), то
х2 + *4-1 rfx= Jf d(x + 2)	2 г of (х— 1) г d(x— 1)
х3 —3x4-2	3 2 x-l-2 "Г 3 2 x—1 ‘1’2 (x—I)2
1	2	1
= -2- ln|x4-2| 4- ln|x-II-----------Ц- 4-C =
tj	О	X — 1
= -A-lnl (x + 2) (x-l)2|-—-У— +C.
0	x — 1
Пример 16.24. Найти интеграл \ —;------.-=----5-------.
и	J x5-x4 + 2x3-2x2+x- 1
Разлагая знаменатель на множители, получаем х5—х4 + 2х3—2х2+х—1 =
=х4(х- 1) +2х2(х- 1) + (х- 1) = (х- 1) (х4 + 2х2+ 1) = (х- 1) (х2+1)2. В дан-
222
ном случае разложение в сумму элементарных дробей должно иметь вид
______1__________________ А Вх + С Рх+Е
(х — 1) (х2 + 1)2_х — 1 х2 + 1	(х2 + 1)2
1 =Л (х2+ 1 )2+ (Вх + С) (х- 1) (х2+ 1) + (Dx + E)(x- 1).
Полагая в этом тождестве х=1, находим 1=Л-4, т. е. Л = 1/4. Придавая
х соответственно значения х = 0, х= — 1, х=1 — -у/ — 1 , получаем уравнения
1=Л —С —£; 1 =4Л+4В —4C + 2D — 2£; 1 = (£< + £) (j- 1), или \ = -D — Di +
+ Ei — E, т. е. 1 = —£> — £+ (E — D)i, откуда 1 = —D — E, E — D=0.
Решив полученные уравнения, найдем В =— 1/4, С= — 1/4, 0 = — 1/2,
£= — 1/2.
Таким образом,
f	dx
J х5 — х4 + 2х3 — 2х2 + х + 1 '
_ 1 с d(x— 1)
4~	(х—1)
1 f xdx	1
“TJ (х2+1)2	Г
1
----4-arctg х —
4(х— 1)
х+1
4(х2+1)
2(х2+1)2
1 г	xdx	1
7”' х2+1	4~
с dx	1
1---5----= —г~ 1п х —
J (х2+1)2	4
1 f d(х2+ I)______1_ г
4 J (х2+1)2	2 '
j dx
11 - 4- ln(x2+l) -
о
dx
(x2+l)2 “
= _L- ln|x— 11 — _1_ ln (x2+ 1) _ arctg X+ 4~ .Д-,
1 , 1
__ arctg X- —
---4 arctg xH-------------HC.
2 B 4(x2+l)
1 +cos 2t
dt =
о	,,	f dx	, ,
Замечание. Интеграл 1 —--------------- найден с помощью подстановки x=tg t.
J (x^+l)2
Так как dx = d//cos21, то
r dx	г d//cos21 r 2 ,j,	f
J(x2+1)2	J (tg2/+l)2 ~ JC°S М	J'
1 , , 1 . 1 i ,1
= ~2~ t+ ~ S‘n 2Z= ~2~ arctg X+ ~2~
2
2 sin t cos t = 2 Sln t cos21 = 2 tg t cos21 = 2x
cos t
16.7. Интегрирование простейших иррациональных
функций
л	.	г dx
Неопределенный интеграл \-- — выделением полного квад-
у/Ах2 + Вх+С
рата в подкоренном выражении и введением новой переменной и=х + Ь в зависи-
мости от знака А приводится к одному из интегралов:
223
—, „ “ „ = arcsin ——(-С,	(16.19)
=ln|o+V^+«l+С.	(16.20)
д/u + a
Неопределенный интеграл j-\/1Ах'г+ Вх + Cdx в зависимости от знака А
приводится к одному из интегралов:
д/иг+<х du = д/ц2 + а -|---1п |и + д/й^+а! + С, (16.21)
J	2	2
J -у/а2 — и2 du =	д/a2 — и2 4—arcsin —|-С	(16.22)
(см. формулы (16.13) и (16.14)).
,,	и	f ax-t-b
Неопределенный интеграл \—	— dx приводится к интегралам
J дМх2 + Вх+С
вида
^(Нх}Х ==^^-=|п|/(х)1+с'	<16-23)
I\л f	I\л /
\^dx = J (f(x))~''2df(x) =	+с = 2 y/fTx) +С. (16.24)
д//(х)	I/2
Интеграл вида
где R — рациональная функция и pi<?i, ... , рь, qk — целые числа, с помощью
подстановки
где п — наименьшее общее кратное чисел q\, qi, ... , qi,, приводится к интегралу
от рациональной функции.
Интеграл от дифференциального бинома
/= \x"‘(a + bx")”dx,	(16.27)
где /п, п, р — рациональные числа; а, b — постоянные, отличные от нуля, сводится
к интегралу от рациональной функции в трех случаях:
1)	когда р — целое число, — разложением на слагаемые по формуле бинома
Ньютона при р> 0; подстановкой x = tN, где N — общий знаменатель дробей тип;
2)	когда (т+1)/л — целое число, —подстановкой a + bx" = ts, где s —
знаменатель дроби р;
3)	когда (т-\-Г)/п-\~ Р— целое число, —подстановкой ах '’ + & = /'.
Пример 16.25. Найти 5 — д -----------.
д'Зх2 + 6х + 4
Так как Зх2 + 6х + 4 = 3 (х2 + 2х + 1) — 34-4 = 3(х4- 1)2 + 1 = 3((х + 1)2+1 /3),
то, положив х4-1 = и, по формуле (16.20) получим
dx
д/3? + 6х 4- 4
1 С d(*4-l)
д/3 J д/(х+1)2+1/3
—InI (х4-1) 4- у/(-’сН_ *)1/31+ С.
224
Пример 16.26. Найти j-\/x24-6x4- 13dx.
Поскольку х2 + 6%+ 13= (х24-6х4-9) +4= (х + 3)2 + 4, то, полагая и=х-)-3,
по формуле (16.21) находим
$ V? + 6x+13 dx=	V(x+3)2 + 4 + Ini (х + 3) + д/(^ + 3)2 + 4| +С =
=	^х2 + 6х+13 +2 1п|х + 3+ д/х2 + 6х + 131 +С.
Пример 16.27. Найти — 33	—— dx.
3 л/5 + 8х-4х2
Поскольку (5 + 8х —4х2)' = 8 —8х= —8(х—1), 9 —4х= —4х 4-4 4-5 =
= -4(х—1)4-5, 54-8х-4х2=-4((х2-2х4-1)-1) + 5 = - 4(х - 1)2-|-9 =
= 4(9/4—(х—I)2), то на основании формул (16.19) и (16.24) получаем
(	9~4х dx = ( ~4(х-1)4-5 dx = г -4(x-l)dx +
3 д/5-|-8х-4х2	3 д/54-8х- 4х2	3 V5 + 8x —4х2
. с_____5dx_______ 1 с — 8(х — l)dx г	d(x — 1)_______
3 -V5 + 8x-4x2 ~ 2 3 V54-8x-^P~	3 2 д/9/4—(х—I)2 “
= -\/5 + 8х — 4х2 4—arcsin -^—5——-|-С.
Z	О
f dx
Пример 16.28. Найти интеграл \----------,
3 (х- 1) V^2
Перейдем к новой переменной t по формуле х—1 = 1//, откуда dx=—dt/t ,
х2-2=(14-2/-/2)//2.
Следовательно,
dx
(х—1) л/х2-2
dt
V14-2/—/5
d(t-\)
л/(л/2)2-(/-1)2
. /— 1
= — arcsin ——
л/2
Возвращаясь к переменной х, находим
dx
(х—1)
= arcsin
V2(x-2)
2(x-l)
Пример 16.29. Найти —-  —:—	.
л/^ + З 4- V(x+3)
Это интеграл вида (16.25), причем а=1, 6 = 3, с = 0, d=l, pi/<?i = l/2,
P2/</2 = 2/3, п = 6. Подстановка (16.26) принимает вид х-|-3 = /6. Отсюда следует,
что х = /6 —3, dx = 6t5dt, V(x4-3) =(х4-3)1/2=(/6)|/2 = /3, V(x + 3p=/4, / =
= (х-|-3)|/6, /2= (х-|-3)|/3. Таким образом,
_______dx______
Vх+3 4- V(x+з)2
(	6/5d/ г t5dt c	t2dt
i	Z3 + z<	-4	Z3(1+/)	~ )	]+/

225
= 6-j----6/H-6 In | 1 +/| +C = 3(x + 3)1/3-6(x + 3)l/6 +
+ 6 ln| 1 + (x-f-3),/6| -f-C.
Пример 16.30. Найти + V*
№
Переписав интеграл в виде Jx-2/3(l + х'/3) l/2dx и сравнив с интегралом
(16.27), заключаем, что т= — 2/3, п=1/3, р=1/2. Так как (m+l)/n =
= (— 2/3 + 1) / (1 /3) = 1 есть целое число, то имеем второй случай интегрируемости
дифференциального бинома. Подстановка а-\- bx" = ts в данном случае примет
вид (1 + х'/3) = Г2, откуда х|/3=/2—1, (1 /3)x~2/3dx = 2tdt, x~2/3dx = 6tdt. Под-
ставив эти выражения в интеграл, получим
$x~2/3(l+xl/3),/2dx= j (1+х|/3) 1/2x~2/3dx=	\t2dt =
= 6-^-.+ C = 2 (1 +x,/3)3/2 + C.
16.8. Интегрирование некоторых тригонометрических
выражений
Неопределенные интегралы вида
J sin ах sin bxdx, $ cos ах cos bxdx, $ sin ax cos bxdx (16.28)
с помощью тригонометрических формул
sin a sin 0= -i- (cos(a —0) —cos(a + 0)),
cos a cos 0= -i- (cos(a —0) + cos (a+0)),
sin a cos 0= -i- (sin (a — 0) -)- sin (a + 0))
приводятся к интегралам
с . , sin fcr , _ ( . . , cos kx
\ cos kxdx—---------|-C; I sin kxdx=----?-----|-C.
J	k	J	я
Неопределенные интегралы вида Im,n= $ sin"1 x cos" xdx, где m и n — нату-
ральные числа, находятся с помощью тригонометрических формул sin х =
= (1 — cos 2х) /2, cos2 х= (1 +cos 2х) /2, sin х cos х= (sin 2х) /2, если тип четные.
Если хотя бы одно из чисел тип — нечетное, то от нечетной степени
отделяется множитель и вводится новая переменная. В частности, если n=2k + 1,
то
/m.n=Jsin”’ х cos2‘+'xdx= jsinmxcos2‘ х cos xdx =
= jsinmx(l — sin2 x)‘d(sin x) = \um (I —u2)kdu.
Последний интеграл находится непосредственно (как интеграл от алгебраи-
ческого многочлена).
Неопределенный интеграл J/?(sin х, cos x)dx, где R(sin х, cos х) — рациональ-
ная функция от sin х и cos х, путем введения новой переменной по формуле
tg^-=/	(16.29)
226
приводится к интегралу
2/
+£)^-+(,>Л.
где Rt(t) —рациональная функция переменной /.
Пример 16.31. Найти интеграл $ sin 14х sin 6xdx.
Это первый из интегралов типа (16.28), в данном случае а=14, 6 = 6.
Применяя первую из приведенных выше тригонометрических формул, пре-
образуем подынтегральную функцию и интегрируем: '
j sin 14х sin 6xdx — -i-j (cos 8x —cos 20x)dx =
= -4- cos 8xdx----cos 20xdx = —Дг- sin 8x---------4— sin 20x + C.
2 J	2 1	16	40
Пример 16.32. Найти интеграл $cos Юх cos 7xdx.
Преобразуя подынтегральное выражение, находим
cos lOxcos 7xdx = —(cos Зх + cos 17x)dx =
j	2 j
If „ . ,	1 f , _ , sin 3x , sin 17x , _
= -h-\ cos 3xdx+ \ cos 17xdx =----------1------------|-C.
2 J	2 J	6	34
Пример 16.33. Найти j sin6 x cos5 xdx.
Поскольку одна из степеней является/нечетной (п = 5), то интеграл можно
найти следующим образом:
J sin6 х cos5 xdx = J sin6 х cos4 x cos xdx= j sin6 x (1 — sin2 x) 2d(sin x) =
= sin6 x(l — 2 sin2 x + sin4 x)d(sin x) = J (sin6 x— 2 sin6 x + sin10 x)d(sin x) =
sin7 x 2 sin9 x , sin" x , n
~	7	9	1 П
n	1C	u .	(	5 — sin	x+3 cosx	.
Пример	16.34.	Наити \	:--------dx.
J 3 + sinx — 3 cos x
Преобразуя подынтегральное выражение, получаем
г 5 — sin x + 3 cosx дх_ f 8—(3 + sin х —3'cos х)
' 34-sin x —3 cos x- — J 3 + sinx —3cosx
= 8$-^ . d\---------\dx.
J 3 + sin x — 3 cos x J
Чтобы* найти первый интеграл, применим подстановку (16.29):
f_______dx_____= г_______	2/(1+<2)________dt= с dt
J З + sinx-3 cos х J 3-|_ 2//(1 +12)+3(Z2—1)/(1+/2)	7 312 + /
-5(т-5пт) ‘"-|"|'|-'"|3'+11+с-|"|з1Жтг|+с"
Следовательно,
( 5-sin x + 3 cosx	I tg(x/2)	|
' 3+sinx —3 cosx	|3tg(x/2) + l j
Глава 17
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
17.1. Определенный интеграл,
его геометрический смысл и свойства
Понятие определенного интеграла. Пусть дана функция y = f(x),
определенная на отрезке [а, Ь], где а<6. Отрезок [а, Ь] точками а=х0<
<Xi <x?<Z ... <х„-i< х„ = b разобьем на п элементарных отрезков [a, Xi ],
[xi,xz|,..., [x„_|, 6], длины которых обозначим через Axt, т. е. Дхк = хк — xk~ i
(k= 1, 2, ... , п, х0 = а, хп — Ь). В каждом из элементарных отрезков i, х*]
выберем произвольно одну точку значение функции в этой точке f(£k) умножим
на длину отрезка Дх*, получим произведение Ц£к)Лхк. Составим сумму всех
таких произведений
«„= £ Ш»)Дх*.	(17.1)
h= I
Сумма (17.1) называется интегральной суммой для функции у = f(х) на
отрезке [а, &].
Обозначим через к длину наибольшего из элементарных отрезков [х*_,, Xs]
(k= 1, 2...п), т. е. Х = тах Дхк (k= 1, 2, ... , п).
Число 5 называется пределом интегральной суммы (17.1), если для любого
числа е> 0 можно указать такое число б> 0, что при выполняется нера-
венство |S„ — S|<e независимо от выбора точек на отрезках х*].
Определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [а, 6] называется
конечный предел ее интегральной суммы, когда число элементарных отрезков
неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю. Опре-
ь
деленный интеграл обозначается символом J f(x)dx (читается: определенный
а
интеграл от а до b); f(x) называется подынтегральной функцией, х — переменной
интегрирования, а — нижним, b — верхним пределами интегрирования.
Следовательно, по определению
Ь	п
J f(x)dx = lim У /(^)Дх».	(17.2)
а	^0 * = 1
Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит
от обозначения переменной интегрирования, т. е.
ь	ь	ъ
$ f(x)dx= $	Н0^ = -.==	$ f(u)du.	(17.3)
а	а	а
Функция, для которой существует предел (17.1), называется интегрируемой
на отрезке [а, &].
Очевидно, если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6], то она и огра-
ничена на этом отрезке. Обратное утверждение неверно: существуют ограниченные
функции, не являющиеся интегрируемыми. К ним относится функция Дирихле,
равная единице в рациональных точках и нулю — в иррациональных. На лк5бом
отрезке [а, Ь] эта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем.
228
Соответственно по определению
$ f(x)dx=0,	(17.4)
а
где f(x) — любая функция;
Ь	а
\ f(x)dx=— \ f(x)dx,	(17.5)
а	b
где /(х) —функция, интегрируемая на отрезке [ft, a](ft<a).
Справедливы следующие утверждения.
1.	Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, Ь], то она интегрируема
на любом отрезке [с, d], содержащемся в [a, ft],
2.	Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, ft], то она и интегрируема
на этом отрезке.
3.	Если функция f(x) имеет на отрезке [a, ft] конечное число точек разрыва
первого рода, то она интегрируема на [а, 6].
Геометрический смысл определенного интеграла. Если a<b, Цх) >0, то
ь
j f(x)dx = S,
а
т. е. определенный интеграл от функции y = f(x) по отрезку [а, Ь] равен площади
криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), слева
и справа — отрезками прямых х=а, х—Ь, снизу— отрезком оси Ох (рис. 17.1).
Если a<ft и /(х)^0, то
ь
j f(x)dx=— S,
а
т. е. определенный интеграл от функции, принимающей неположительные зна-
чения, равен площади соответствующей криволинейной трапеции, взятой со
знаком минус (рис. 17.2).
Если a<ft и Цх) меняют знак на отрезке [a, ft], то определенный интеграл
равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций
(рис. 17.3):
ь
J f(x)dx=Si —S2+S3.
а
Основные свойства определенного интеграла. Определенный интеграл
обладает следующими свойствами.
1.	Если функция f(x) интегрируема на наибольшем из отрезков [a, ft],
[а, с], [с, 6], то она интегрируема на двух других отрезках, причем
229
b	c	b
f(x)dx== j f(x)dx+ j f(x)dx
a	a	c
при любом расположении точек а, Ь, с.
2.	Если функция f (х) интегрируема на отрезке [а, ft], то функция kf(x),
где k = const, также интегрируема на этом отрезке, причем
ь	ь
5 kf(x)dx = k f(x)dx.
а	а
Рис. 17.3
3.	Если функции f(x) и <р(х) интегрируемы на отрезке [а, 6], то их сумма
и разность также интегрируемы на этом отрезке, причем
ь	ь	ь
$	(f(x) ±<p(x))dx=	J	f(x)dx±	J	(p(x)dx.
a	a	a
4.	Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, ft], где а<Ь, и /(х)>0
для всех хе [а, ft], то
ь
J f(x)dx^0.
ч	а
5.	Если функции f(x), <р(х) интегрируемы на отрезке [а, ft], где а<Ь, и
f(x)^<p(x) для всех хе [а, ft], то
ь	ь
5 f(x)dx< j <p(x)dx.
а	а
6. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, ft], где a<ft, то функция
|f(x) | также интегрируема на [a, ft], причем
ь	ь
| $ f(x)dx\ < $ \f(x)\dx.
а	а
230
17.2.	Определенный интеграл с переменным
верхним пределом. Формула Ньютона — Лейбница
Рассмотрим функцию У — Цх), интегрируемую на отрезке [а, 6].
Если хе[а, 6], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х].
Предположим, что х меняется на отрезке [а, 6], тогда на этом отрезке опре-
делена функция
ф(х)=$И0<Д-	(17.6)
а
(Переменную интегрирования обозначили буквой t, переменный верхний предел —
буквой х).
Теорема 17.1. Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [а, Ь], то
функция (17.6) непрерывна на этом отрезке.
Теорем а 17.2. Если подынтегральная функция непрерывна, то производ-
ная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и
равна значению подынтегральной функции для этого предела, т. е.
Ф'(х) =f(x), или ( j f(Z)d/)'=f(x).
а
Следствие 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то при
любом х
ь	, ь
(\f(t)dt)'=-f(x), или
Следствие 2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции.
Другими словами, для любой непрерывной функции существует первообраз-
ная.
Замечание. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования
используется при определении многих других функций. К таким функциям отно-
сятся, например:
1)	Si(x)=	—-—dt (интегральный синус);
о
2)	Ci(x) =—	—-—dt (интегральный косинус);
X
3)	li(x) = j (интегральный логарифм);
-о
Г €1
4)	Ei(x)= \ -j-dt (интегральная показательная функция);
5)	S(x) = J sin t2dt, С(х)= J cos t^dt (интегралы Френеля);
о	о
231
6)	Ф(х)= —— \ е ,2dt (интеграл вероятностей).
-Jn. J
о
Эти функции не являются элементарными; первообразные указанных подын-
тегральных функций не выражаются через элементарные функции.
Все приведенные функции хорошо изучены, для них составлены таблицы
значений, эти функции находят широкое применение.
Связь между определенным и неопределенным интегралами выражает
следующая теорема Ньютона — Лейбница, называемая основной теоремой
интегрального исчисления.
Теорема 17.3. Определенный интеграл ат непрерывной функции равен
разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела
интегрирования:
ь
\f(x)=F(b)-F(a),	(17.7)
а
где F'(x)
Формула (17.7) называется формулой Ньютона — Лейбница; ее можно
переписать в виде
ь
$ f(x)dx = F(x)\ba,	F (х)\ba = F (b) — F (а),
а
левая часть второй формулы читается так: «двойная подстановка от а до b для
функции F(x)t.
4
Пример 17.1. Вычислить интеграл J (324-28х — 9x2)dx.
2
Принимая во внимание свойства определенного интеграла, получаем
4	444
j (324-28% — 9x2)dx = j 32dx4- J 28xdx- j 9x2</x =
2	2	2	2
4	4	4
= 32 j dx-{-28 j xdx —9 J x2dx~32x| J4“
2	2	2
4-28 4-1 — 9 4-1 =32(4 — 2) 4" 14(42 —22) —З(43 —23) =64.
2 |2 j |2
л/2
Пример 17.2. Вычислить интеграл J cos4<pd<p.
-л/2
Переменная интегрирования обозначена буквой <р. Преобразуя подынтег-
ральную функцию, получаем
cos4<p = ( ' ~^C°S	= 4“ (Ч" 2 cos	+c°s22<p).
Следовательно,
л/2	л/2
j cos4<pd<jp=-^-	(1 +2 cos 2<p4-cos22<p)d<p =
-л/2	-л/2
232
= j d(p+ -J- j COS 2<pd(2q>) + j (1+cos 4<p)dq> =
-n/2	— л/2	-л/2
= ~5“ ф 1 ~"/2 +	sin 2ф 1	+ ПГ ф 1 -"/2 + 12 sin 4ф 1 -"/2 = ПГ я-
*	о	ox	о
17.3. Замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям
Теорема 17.4. Если выполнены условия: 1) функция f(x) непре-
рывна на отрезке [а, Ь]; 2) отрезок [а, 6] является множеством значений функции
х=ф(/), определенной на отрезке	и имеющей на нем непрерывную
производную; 3) ф(а)=а, ф(Р)=&, то справедлива формула
ь	§
$ f(x)dx = $ f(q(t))<v'(t)dt.
а	а
(17.8)
Теорема 17.5. Если функции и = и(х), v = v(x) имеют непрерывные
производные на отрезке [а, Ь], то справедлива формула
ь	ь
J u(x)v'(x)dx — u(x)v(x) I’— J v(x)u' (x)dx.
а	а
(17.9)
2	____
Пример 17.3. Вычислить интеграл J x^l2—xdx.
1
Введем новую переменную по формуле t=^j2 — х , из которой получим
/2 = 2 — х, x=2 — t2, dx= —2tdt.
Вычислим новые пределы интегрирования с помощью формулы t=^]2—x .
Поскольку при х=1 /=->/2— 1=1, то а=1; далее, при х — 2 t—О, поэтому 0 = 0.
Формула (17.8) принимает вид
2	0	0
J x^/2 — xdx = $ (2 — t2)t( — 2tdt) = $ (2t4-4t2)dt.
11	I
Вычисляя последний интеграл, находим
с	г	г	/5 10	/3 1°
) (2/4 —412)d/ = 2 \t4dt-4 \t3dt = 2 -L-| -4-^-|, =
_______2 , 4	14
~	5 + 3 ~ 15 '
2
Следовательно, хд/2 —xdx= 14/15.
1
2
Пример 17.4. Вычислить интеграл х2д/8 — 2x2dx.
г,	
Введем новую переменную по формуле x = 2sinl. Поскольку dx—2 cos tdt,
t= arcsin(x/2), /| = л/4 при x = -/2, /2 = л/2 при x = 2, то
233
2	л/2	_________________
x\]8 — 2x2dx = J (2 sin /)2у/8 —2(2 sin t)22 cos tdt =
д/2	л/4
л/2	л/2
= } 4 sin2/-\/8 —8 sin2/2 cos tdt= j 16д/2 sin2/cos2/<// =
л/4	л/4
л/2	л/2	/	’ л/\ Iя/2 /о
= \ 4^/2 sin22/d/ = 2-^2 \ (1 -cos 4t)dt = 2y/2{ t— 81П. Ч =ЛД-
л/4	я/4	'	4 / (я/4	2
2л
Пример 17.5. Вычислить интеграл J х sin (x/2)dx.
о
Интегрируя по частям, находим
2л	2л .	v	12л
f	X	{	(	X \	X	кя
\ х sin dx— — 2 \ xdl COS-;;-) = — 2х COS -5-	+
о	2	о	'	2 '	2	1°
г	X 12я	X 12я
+ 2 \ cos -д- dx= — 2х cos-^-	+ 4sin—I =4л.
О 2	2 |о 2 |о
л/2
Пример 17.6. Вычислить \ in sin xdx.
о
Полагая x=2t, получаем
л/2	л/4
/= \ in sin xdx=2 \ in sin 2tdt.
о	0
Так как in sin 2/ = ln(2 sin / cos /) =ln 2 +In sin t + in cos /, to
In 2 + 2 ( in sin tdt + 2 ( in cos tdt.
2	о	0
Последний интеграл подстановкой /= (л/2)—и приводится к виду
л/2
2 j In sin udu, поэтому 1= (л/2) In 2 + 2/, или /= — (л/2) in 2. Итак,
л/4
л/2
\ In sin xdx— — (л/2) In 2.
О
17.4. Оценка определенного интеграла.
Теорема о среднем
Теорема 17.6. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [о, ft],
где acb, и для всех хе [a, ft] выполняется неравенство m^f(x)^M, то
ь
m(b-a)^. J f(x)dx^.M(b — a).
а
(17.10)
С помощью неравенств (17.10) можно оценить определенный интеграл, т. е.
указать границы, между которыми заключено его значение. Неравенства (17.10)
выражают оценку определенного интеграла.
Теорема 17.7. Если функция f (х) интегрируема на отрезке [a, ft] и для
234
всех хе [а, Ь] выполняются неравенства	то
ь
J f(x)dx = p(b — а),
а
(17.11)
где
Эта теорема называется теоремой о среднем.
Замечание. В случае, когда функция /(х) непрерывна на отрезке [a, ft],
равенство (17.11) принимает вид
ь
j f(x)dx—f(c) (b — a),	(17.12)
а
где се [а, Ь].
Число p=f(c), определяемое формулой (17.12),
называется средним значением фуйкции f(x) на от-
резке [а, 6].
Равенство (17.12) имеет следующий геомет-
рический смысл: площадь криволинейной трапеции,
ограниченной непрерывной линией y—f(x) (f(x)^
>0), равна площади прямоугольника с тем же
основанием и высотой, равной ординате некоторой
точки этой линии (рис. 17.4).
Пример 17.6. Оценить интеграл \.
о V1 + (9/16) sin2/
Поскольку подынтегральная функция f(t) = 1/д/1 + (9/16) sin2/ в данном
промежутке [0, л] имеет наименьшее значение zn = 4/5 и наибольшее Л4 = 1,
то в соответствии с формулой (17.10) получаем
4_л< f dt
5 Л о л/1 + (9/16) sin2/
17.5. Несобственные интегралы
При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что
выполняются условия: 1) пределы интегрирования а и b являются конечными;
2) подынтегральная функция /(х) ограничена на отрезке [а, Ь]. В этом случае
определенный интеграл называют собственным. Если хотя бы одно из указанных
условий не выполняется, то интеграл называют несобственным.
Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция у = f (х) непрерывна
при любом х~^а. Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом:
ь
ЦЬ) = $ f(x)dx.
а
(17.13)
Предположим, что при &-»-4-оо функция (17.13) имеет конечный предел;
этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от функции
)(х) по промежутку [а, +<ю) и обозначается так:
+г°°
\ f(x)dx— lim
ь
$ f(x:)dx.
a
(17.14)
Если предел (17.14) не существует или равен бесконечности, то несоб-
ственный интеграл называется расходящимся.
235
Геометрически несобственный интеграл от неотрицательной функции выра-
жает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху гра-
фиком функции y=f(x), слева — отрезком прямой х—а, снизу — осью Ох (рис.
17.5); в случае сходящегося интеграла эта площадь является конечной, в случае
расходящегося — бесконечной.
Если F(x) — первообразная для f(x), то
оо	b
t f(x)dx= lim \ f(x)dx= lim (F(b) — F(a)) =A(+ oo) — F(a),
a	*—+°o a	/>->- + <»
(17,15)
где/?(+оо)== lim F(b).
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним
пределом
ь	ь
f(x)dx= lim 5 f(x)dx
и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами
4- со	с	4" оо
$ f(x)dx = j f(x)dx+ $ f(x)dx,
где с — любая точка из интервала (— оо, + оо).
Теорема 17.8. Если при х>а выполнены неравенства Ocjq>(x) Cf (х) u
4-00	4- 00	4-00	+°°
J f(x)dx сходится, то сходится и J <f(x)dx, причем J <p(x)dx^ J f(x)dx\
J <p(x)dx расходится, то расходится и j f(x)dx.
а	а	
Геометрическое значение этой теоремы иллюстрируется на рис. 17.6.
У	У
Рис. 17.5
Рис. 17.6
Т е орем а 17.9. Если в промежутке (а, -|-оо) функция f(x) меняет знак и
+ 0°	+ оо
J l/(x) \dx сходится, то сходится также j f(x)dx.
Интегралы от неограниченных функций. Если функция y = f(x) не ограни-
чена в окрестности точки с отрезка [а, Ь] и непрерывна при а<х<с и c<zx^b,
то несобственный интеграл от этой функции определяется формулой
5 f(x)dx= lim f(x)dx-F lim \ f(x)dx,
а	e—° а	Л—Ос + л
где e> 0, r|> 0. В случае c = b или c=a получаем
J f(x)dx= lim 5 f(x)dx,
a	e-*-0 a
(17.16)
(17.17)
236
b	b
5 f(x)dx = I ini' f(x)dx.	(17.18)
а	Л-^Оа + л
Несобственные интегралы (17.17) и (17.18) называются сходящимися,
если существует конечный предел соответствующего определенного интеграла;
в противном случае интегралы называются расходящимися.
Несобственный интеграл (17.16) называется сходящимся, если существуют
оба предела в правой части.
Для интегралов от неограниченных функций справедливы теоремы, ана-
логичные теоремам 17.8 и 17.9. Они применяются для исследования вопроса
о сходимости несобственных интегралов и оценки их значений.
Пример 17.7. Исследовать, сходится ли несобственный интеграл
I х2 + *+1 '
Преобразуем подынтегральную функцию, выделив в знаменателе полный
квадрат:
1 =__________________1__________= 1
*2 + *+1 х2 + 2.^ + |_|+1	(х+1/2)ЧЗ/4-
Применяя формулы (16.15) и (17.15), находим
V dx = +(°°	rf(x+l/2)	1 arete Л+1/2 I +'
2, х2 + х+1	2, (х +1/2)2+ (д/З/2)2	д/З/2	д/З/2 1-1
2 /	. . .	,	. -1 +1/2 \	2 / л л \ 4л
= —( arctg + оо — arctg-------- I = — ( -л-+ ~f~) =	
д/3 \	д/З/2 )	д/3 V 2	6 / Зд/З
Итак, несобственный интеграл сходится и его значение равно 4л/3v3
(«2,4184).
Пример 17.8. ь Исследовать, при каких значениях а> 0 сходится несоб-
.	С dx
ственныи интеграл ) —--------
Бели сс = 1, то
(Ь> а).
ь
а
dx
х—а
lim (	—— = lim In(х—а) |‘+е=
'-°а + е Х~Я	«—0
= lim (In(6 — a) — In(а-|-е—а)) =1п(Л—а) — lim In е= + оо.
е—>0	е->0
Следовательно, при а = 1 несобственный интеграл расходится. Если
а#= 1, то
7	- - lim $ (х — а) М(х—а) = lim —(х—а)1 *|‘+,=
2 (х-а)а е-0 а4е	е->0 1 — ct
= Пт—2— ((/,_a)i-’_ei-«)..
е—► 0, 1	а
Этот предел будет бесконечным при 1—а<0, или а> 1; он будет равен
постоянной (& — а) '“’/(I — а) при 1— а> 0, или а<1. Итак, данный интеграл
сходится при а<1.
237
Пример 17.9. Исследовать, сходится ли несобственный интеграл
с°° dx
1 <+3? ’
Так как
1 = 1 _ 1 < 1
д/Т+х® Vx®(l + l/x8)	х\'1 + 1/х' х*
и
+(°°— — — 1 I + °°	1
। х4	Зх3 11	3
то сходится и данный интеграл.
Пример 17.10. Исследовать, при каких а сходится несобственный интеграл
'Г dx
] ~х*~'
Если a=# 1, то
lim
„-а+l it	।
lim ---—r = lim -j—— (ft'-’-l).
b->- + oo —(,_>4-oo 1—a
Следовательно,
при a> 1,
В случае a = 1
dx I I с
— =1пх|'
Итак, несобственный интеграл схо-
дится при a> 1.
17.6. Интегралы Эйлера
Гамма-функция, или эйлеров интеграл второго рода, определяется
формулой
ОО	•
Г(р) = j e-^-'dx.
о
(17.19)
Этот интеграл является несобственным, так как верхний предел бесконечен;
кроме того, при р — 1<0 подынтегральная функция не ограничена в окрестности
точки х=0. Интеграл (17.19) сходится при р> 0. Каждому положительному
значению р соответствует вполне определенное значение Г(р). Функция Г(р)
не является элементарной.
С помощью метода интегрирования по частям можно доказать, что
Г(р+1) =рГ(р).	(17.20)
При р=1 интеграл находится непосредственно:
ОО
Г(1)= j e-xdx=-e-"|“ = l.
о
Подставляя в формулу (17.20) значения р = 1,2.п, получаем Г (2) =
= 1Г(1) = 1 = П, Г(3) =2Г(2) =2-1 =21, Г(4) =ЗГ(3) =3-2-1 =3!,
238
Г(п+1)=п(п — 1) ... 2-1 — п!.
(17.21)
Итак, при натуральных значениях аргумента гамма-функция совпадает с
факториалом, т. е. с функцией f(n) =п!. Но гамма-функция определена не только
при натуральных п, но и при любых положительных значениях аргумента. Из
формулы (17.21) следует, что можно считать 0! = Г(1) = 1. График гамма-
функции изображен на рис. 17.7.
Гамма-функция определяется и при отрицательных значениях р. В этом
случае необходимо применить формулу (17.21), переписав ее в виде
Г(р) = Г(-Р+1), .	(17.22)
Если — 1<р<0, то 0<р + 1 < 1, поэтому правая часть формулы (17.22)
имеет смысл, ею и определяется Г (р) при этих значениях р; отметим, что в
таком случае Г(р) <0. Продолжая аналогичные рассуждения, убеждаемся в том,
что гамма-функция определена для всех отрицательных значений р, кроме
р= —k, где k— 1, 2, 3, ... , и кроме р = 0.
График гамма-функции при отрицательных значениях р изображен на рис.
17.8.
Гамма-функция определена и для комплексных значений аргумента, кроме
р= — k, * = 0, 1, 2, ...
Бета-функция, или эйлеров интеграл первого рода, определяется формулой
।
В(р, q) = $^-'(1-х)’-'</х.	(17.23)
о
Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки х = 0 при
р—1<0 и в окрестности точки х — 1 при q—1<0.
Интеграл (17.23) сходится при р> 0, q> 0.
Значения бета-функции при различных значениях параметров р и q связаны
между собой следующими соотношениями:
239
В (Р, <7)=В(<7, р); В(р,р) =	1, В(р,р—1), р>1;
справедлива формула В(р, 1—р) = л/sin рл, 0<р<1.
В случае комплексных р и q интеграл (17.23) сходится, когда Re р> О,
Re q> 0.
Между бета- и гамма-функциями существует связь, выражаемая формулой

(17.24)
Пример 17.11. Вычислить Г(1/2) с помощью формулы (17.24).
Полагая в формуле (17.24) р = р=1/2, получаем
——— =	<~х — *------= arcsin (2х — 1) Ц = л, Г2
о	о <( 1/4) - (х-1/2)2
Так как Г (р) > 0 при р> 0, то Г (1/2) = \/л« 1,772.
+ °°
Пример 1V. 12. Вычислить J е~1 dx.
о
При вычислении этого интеграла используем результаты примера 17.11.
Полагая x — ^jt, находим
0°	ОО	ОО
(	( e-4-^2dt=4-\ e-7"'»-'d/=-^-r
о	2 о	2 о	2
Следовательно,
(17.25)
17.7. Площадь криволинейной фигуры
Площадь криволинейной трапеции аАВЬ, ограниченной сверху гра-
фиком функции y = f(x), слева и справа — прямыми х = а и х = Ь соответственно,
снизу — осью Ох (рис. 17.9), вычисляется по формуле
240
Площадь криволинейной трапеции cCDd (рис. 17.10), ограниченной справа
графиком функции х=<р(</), сверху и снизу — соответственно прямыми y = d,
у—с, слева — осью Оу, определяется формулой
а
S= j q(y)dy.
(17,27)
Площадь криволинейной фигуры	ограниченной сверху графиком
функции y? = f2(x), снизу—графиком функции y\=fi(x), слева и справа —
прямыми х=а, х=Ь (рис. 17.11), вычисляется по формуле
ь
S = $ (Ь(х) —f,(x))dx.
а
(17.28)
Площадь фигуры C1D1D2C2, ограниченной слева и справа соответственно
графиками функций хт = <р, ({/), Jt2 = <p2(«/), снизу и сверху — прямыми у=с, y = d
(рис. 17.12), определяется формулой
d
•$ = 5 (<Р2 (1/) — ф| (1/) )</1/.
С
(17.29)
Если линия, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана па-
раметрическими уравнениями х=<р,(/), y — <f2(t), где а^/^Р, <jpi(a)=a,
<pi (₽) =b, то
(17.30)
Площадь сектора ОАВ (рис. 17.13), ограниченного дугой линии, заданной
уравнением в полярных координатах р = р(<р), и двумя полярными радиусами
ОА и ОВ, соответствующими значениям <pi = a, (p2 = P, определяется формулой
s=4" j р2£,<р'
а
(17.31)
Пример 17.13. Найти площадь фигуры, ограниченной линией у — 2х—
— х2+8 и осью Ох.
Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения
линии (параболы) с осью Ох (рис. 17.14). Решая систему уравнений у = 2х— х2 +
+ 8, у = 0, получаем xt=—2, *2 = 4; следовательно, а=—2, 6 = 4.
S =
] <₽2(0ф1(t)dt.
a
241
По формуле (17.26) находим
4	4	4	4
S= J (2х — х2-f-8) dx = 2 J xdx— J x2dx-\-8 j =
— 2	—2	— 2	-2
= x2|4_2- 4Г +8x|4_2= (16-4)--I-(64 + 8)+8(4 + 2) =36.
О I -2	O
Пример 17.14. Найти площадь фигуры, ограниченной линией х=у— </2 + 6
и осью Оу.
Данная фигура представляет собой криволинейную трапецию, прилежащую
к оси Оу (рис. 17.15). Найдем точки пересечения линии с осью Оу, для чего
решим систему уравнений х = у — z/2 + 6, х = 0. Из этой системы получаем
у>=—2, 1/2 = 3; это означает, что в формуле (17.27), которой здесь необходимо
пользоваться, нужно положитьс=—2, d = 3.
Следовательно,
S= $ (y_y’ + 6)dy=ja3 -4|3 +6г,|3_2 =
_Г2	2 I-2	3 1“2
= 4" (9-4)- -1- (27 + 8) +6(3 + 2) =20-|" •
Пример 17.15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
x2 + 4i/2 = 8, х2 — 4//= 0.
Данная фигура ограничена сверху дугой эллипса х2 + 4у2 = 8, снизу — дугой
параболы х2 = 41/ (рис. 17.16).
Площадь вычислим по формуле (17.28). Решая систему уравнений х2 + 4//2 = 8,
x2 = 4i/, находим х,= —2, хг = 2 — абсциссы точек пересечения заданных линий;
242
следовательно, а=—2, b = 2. Каждое из уравнений разрешаем относительно у:
у|==х2/4, t/2 = V8 —
(В формуле (17.28) через y2 = f2(x) обозначена функция, график которой
ограничивает фигуру сверху.)
Таким образом, искомая площадь
s= 12(^¥г - 4) dx= 4-1	4 l/dx-
Для вычисления первого интеграла применим подстановку x = 2-\/2sin/,
тогда dx = 2-^2 cos tdt, а=—л/4, 0 = л/4,
I	2	л/4	_______
S|= -у- J y/8 — xidx= 1 д/8-8 sin2/ 2 д/2 cos tdt =
2	-2	2	-л/4
Л/4	/	)	\ | л/4
= 2 \	(1 +cos 2t)dt = 2\ Н—;r—sin2/)l	=л + 2.
-л/4	\	2	/ | _„/4
Поскольку
то S = S| —52 = л + 2 —4/3 = л + 2/3.
Пример 17.16. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом
х = а cos t, у = Ь sin t.
В силу симметрии эллипса относительно координатных осей достаточно вы-
числить площадь части области, лежащей в первой четверти, и результат умно-
жить на 4. Заметим, что в этом случае х меняется от 0 до а, поэтому t будет
меняться от л/2 до 0. По формуле (17.30) находим
0	л/2
S = 4 j (6 sin t) (— a sin t)dt = 4ab I sin2/d/ =
л/2	0
V2 1—cos 2/	,/,	sin2/\l"/2
= 4a6 \ -----------dt = 2ab[ t----—)	=nab, S = nab.
0	2	\	2 / |o
Замечание. В частном случае, когда a = b = R, получаем 6 = nR2—
площадь круга радиуса R.
Пример 17.17. Вычислить площадь области, ограниченной лемнискатой
р2 = а2 sin 2<р.
Принимая во внимание симметрию линии относительно ее оси (см. п. 2.10),
по формуле (17.31) получаем
।	я/4 1	]	л/4
——5= \ —jt— a2 sin 2a>d<p= —— а2 \ sin 2<pd (2<р) =
4 о	2	4	о
„2	л2
п I л/4	« о 2
=------^-cos2q>|0 =—, S=a2.
243
17.8. Длина дуги кривой
Если линия задана параметрическими уравнениями
х = ф,(/), У = Ч>1(0, з = Фз(0	(17.32)
где ф,(/) (/ = 1,2,3) —дифференцируемые функции аргумента t, то дифферен-
циал длины ее дуги выражается формулой
ds = ^x'2-\-y'24-z'2dt.	(17.33)
Интегрируя равенство (17.33) по промежутку [a, fl], получаем формулу
для вычисления длины дуги линии (17.32):
s= ^x'2 + y,2 + z'2dt.	(17.34)
а
Если линия (17.32) лежит в плоскости Оху, то 2 = 0 при всех /е [а, р],
поэтому
s = ^x'2+y'2dt.	(17.35)
а
В случае, когда плоская линия задана уравнением y—f(x) (а^х^б),
где f(x) —дифференцируемая функция, последняя формула принимает вид
ь
s = $ уг+7^х.	(17.36)
а
Если плоская линия задана уравнением р=р(ф) (а^ф^р) в полярных
координатах, то
s = f V^+Т^ф.	(17.37)
а
Пример 17.18. Вычислить длину дуги линии p = lnsinx между точками,
для которых Х1=л/3, *2=л/2.
Искомую длину вычисляем по формуле (17.36).
Поскольку y = ln sin х, y' = cos x/sin х, то
л/2	л/2	г/
s= ] д/1 + (cos x/sin x)2dx = J —— =
n/3	n/3	%
_ V2 sin xdx _ л/2 d(cosx) _ 1	I 1—cosxl’,/2_
п/з sin2x n/3 cos2x—1	2	I l+cosx|„/3
= “ “Г ln 4" = 4“ ln 3~ 0'5493-
Пример 17.19. Найти длину дуги линии x = 4(cos/-]-/ sin t), y =
= 4(sin t — t cos /) (0^/^л/2).
Применяем формулу (17.35), полагая в ней <х = 0, р = л/2.
Так как х'=4( — sin t + sin t+t cos /) —4t cos t, </' = 4(cos / — cos / + / sin /) =
=4/ sin /, -/x,J+{/'2 = д/16/2 cos2/+ 16/2 sin2/ = 4/, to
n/2
s= $ 4/<// = 2/21о/2 = л2/2.
0
244
Пример 17.20. Вычислить длину дуги винтовой линии x = acost, у =
=а sin t, z — bt между точками, для которых t=0, /=0.
Поскольку х'= — a sin t, у' = a cost, z' — b, -\/x'2 + y/2-|-z'2 =д/а2+ ft2. .то по
формуле (17.34) находим
s= | -^ai + b2dt=^/as + bltl^—-^a2+b2p.
о
Пример 17.21. Найти длину кардиоды р = 2а(1—cos <р).
Так как p' = 2asin<p, р2+р'2 = 4а2 sin2<p+4a2(l — cos <p)2 = 8a2(l — cos <p) =
= I6a2sin2-2~, то по формуле (17.37) получаем
s=2 J 4a sin -2- dq>= 16a sin -2- df-2-^ = — 16a cos -2-1 "= 16a.
о	о	'	•‘Io
17.9. Объем тела. Площадь поверхности
вращения
Если задана функция S = S(x) (a^x^ft), определяющая площадь
поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, то его объем
вычисляется по формуле
ь
V=\S(x)dx.	(17.38)
а
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной тра-
пеции АаЬВ (рис. 17.17), где АВ — дуга кривой y = f(x), вычисляется по формуле
ь	ь
Vx = n^y2dx, или Кс = л J f2(x)dx.	(17.39)
а	а
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной тра-
пеции CcdD (рис. 17.18), где CD — дуга кривой х=<p(t/), определяется формулой
d	d
Vf = n^x2dy, или ¥/, = я <р2(у) dy.	(17.40)
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой
y=f(x) (a^x<6), определяется формулой
b
S = 2n J 4/л/1 + y'2dx.
a
(17.41)
Пример 17.22. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох дуги линии i/ = chx, где 0^х<1 (поверхность эта называется
катеноидом).
Так как / = shx, то по формуле (17.41) с учетом равенства ch2x—sh2x=l
получаем
5=2л $ ch х-\/1 + sh2xdx = 2л j chxchxdx = 2n J (ch2x+l)dx=
о	о	о 2
( , п . . f . л sh 2х 11 , ,i л sh 2 . о о.
= л J ch 2х</х + л ) dx =--- -|-лх|0= —~-|-л«8,84.
о	о^1°
Пример 17.23. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг
оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной параболой t/2=6x, прямой х=2
и осью Ох.
В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования а = 0,
* = 2 (рис. 17.19).
По формуле (17.39) получаем
2	2
V = n J y2dx = n J 6xdx =3лх2| 0= 12л.
о	о
Пример 17.24. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси
Оу криволинейной трапеции, ограниченной параболой х2 = 4</, прямой </ = 4 и
осью Оу.
Замечая, что пределы интегрирования с=0, d=4, по формуле (17.40)
находим
4	4
У = л J x2dy = n J 4ydy = 2ny2\J = 32n.
о	0
Пример 17.25. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу
криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой ху = 6, прямыми у = 1, у=6
и осью Оу (рис. 17.20).
Из уравнения кривой ху = 6 находим х=6/«/, х2=36/у2.
Принимая во внимание, что с=1, d = f>, по формуле (17.40) получаем
Рис. 17.19
1	6 X
Рис. 17.20
246
V = n \-^-dy = 36n $	= - J®ir=-36«(4--1) = 30л.
1 У2	i У2	У b	К 6	/
Пример 17.26. Вычислить объем тела, полученного вращением эллипса
й2х2 + а21/2 = а262 вокруг оси Ох (это тело ограничено эллипсоидом вращения).
Из уравнения эллипса находим выражение для у2,.у2=Ь2 — Ь2х2/а2. По фор-
муле (17.39) получаем ,
1/	((bV\ л «,2 L «б2 (	2 j
И = лН62-—j dx = nb ] dx-— J xdx =
—o'	a '	—a	a —a
, 2 < a	Л&	X |	.о /	,	, ,	JtZ)2 ,3 z .3.	4 ,o
= л62х| _o------5-=n62(a—	( —a))--—5- (a3— ( — a)3)	= —	лай2.
а о I-a	3a
Следовательно, V= (4/3) nab2. При a = b=R получаем V= (4/3)л#3 (объем
шара).
Глава 18
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
18.1.	Множества в «-мерном пространстве
Упорядоченную совокупность п действительных чисел Х|,х2, ... ,хл
называют точкой, а сами эти числа — ее координатами. Запись Л4(Х1, х2, ..., х„)
означает, что точка М имеет координаты xi, х2,... ,х„. Множество всевозможных
точек называется арифметическим (координатным) л-мерным пространством
и обозначается символом А" или А„.
Арифметическое л-мерное пространство А" называется л-мерным евклидо-
вым пространством, если для любых двух точек М'(х(, xi, ...,xi), М"(х",
xi', ... , xX), принадлежащих Аа, определено расстояние по формуле
р(АГ, М") = V(xf- х()2 + (xi-xi)2 +... + (х?-х')2.
Евклидово л-мерное пространство обозначается через Еп или Еп.
Примеры множеств в л-мерном евклидовом пространстве Е".
1.	Если для координат всех точек множества (А4) выполняется неравенство
р(Л1, Л40) </?, или
(х, — х°)2+ (х2 —х“)2 + ...-+- (х„ —xS)2</?2,
то (Af) называется открытым л-мерным шаром.
2.	Множество {А4} точек М (xi, х2, ... , х„), координаты которых удовлетво-
ряют неравенству p(Af, M0)^R, или
(Х|—Х|)2+ (х2 — Х°) 2-Ь--- + (х„ —ХЙ)2</?2,
называется замкнутым л-мерным шаром радиуса R с центром в точке
Мо(х>, х2, ... , xj).
3.	Множество (М) точек М(х,, х2, ... , х„), для которых р(М, Мо) =3, или
(Х1 — Х|)2+ (х2 —Х°) 2-)-.•• + (х„ —xS)2 = /?2,
называется (л —1)-мерной сферой радиуса /? с центром в точке Мо(х,, х2.х°).
4.	Множество точек М (xi, х2, ..., х„), координаты которых заданы как
непрерывные функции х, = х,(/) (i = 1, 2..л), определенные на некотором
отрезке [а, 6], называется непрерывной кривой в пространстве Еп. Аргумент t
называется параметром кривой. Точка А (х, (а), х2(а), ... , х„(а)) называется
началом, точка 3(xt(6), x2(b), ... , х„(6)) — концом данной кривой.
Множество точек М л-мерного евклидова пространства Е", для каждой
из которых расстояние до фиксированной точки Мо меньше е> 0, называется
е-окрестностью точки Мо. Другими словами, е-окрестностью точки Мо называется
л-мерный открытый шар радиуса е с центром в точке Л)о.
Пусть [М)— некоторое множество точек л-мерного евклидова пространства
Е". Точка А называется предельной точкой (или точкой сгущения) множества
(М), если любая ее окрестность содержит по крайней мере одну точку этого
множества, отличную от А. Предельная точка может принадлежать или не при-
надлежать ему. Например, точки Х| = 3, х2 = 7 являются предельными для отрезка
[3, 7] и интервала (3, 7), но первому они принадлежат, а второму не принадлежат.
248
Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым.
Если существует окрестность точки В множества (М), не содержащая никаких
других точек этого множества, кроме самой точки В, то эта точка называется
изолированной точкой множества (Af).
Точка М множества {Af) называется внутренней точкой этого множества, если
существует такая ее е-окрестность, все точки которой принадлежат множеству
[Af). Открытым множеством называется множество, все точки которого внутренние.
Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить
в нем непрерывной кривой. Областью называется открытое связное множество.
Точка М называется граничной точкой множества (Af}, если любая ее е-окрестность
содержит как точки множества (М), так и точки, не принадлежащие ему.
Совокупность всех граничных точек множества (Af) называется его границей.
Если к области присоединить его границу, то полученное множество называется
замкнутой областью. Например, множество точек М(х, у) плоскости Оху, для
которых х2 + «/2^1, является замкнутой областью; к области определяемой
неравенством х2 + у2< 1, присоединены все ее граничные точки, т. е. точки окруж-
ности x24-i/2= 1.
Множество называется ограниченным, если все его точки находятся внутри
некоторого п-мерного шара.
Диаметром ограниченного множества (Af) называется верхняя грань рас-
стояний между его любыми двумя точками.
Число А называется верхней гранью числового множества {%), если:
1) х^А для всех хеХ; 2) для любого числа е> О существует такое х,еХ,
что xi> А — е. Верхняя грань множества X обозначается через sup X или sup х.
хеХ
Например, для сегмента X— [1,8] supx=8; для интервала Х=(2, 9) supX=9.
Число а называется нижней гранью числового множества X, если: 1) хХ^а для
всех хеХ; 2) для любого числа е> 0 существует такое х,е/, что хе<а-(-е.
Нижняя грань множества X обозначается через inf X или inf х. Например, если
Х= (4, 5), то inf Х = 4; если Х = [6, 7], то inf Х = 6.
Всякое непустое множество действительных чисел, ограниченное сверху,
имеет конечную верхнюю грань, а ограниченное снизу — конечную нижнюю
грань. У всякого множества действительных чисел верхняя (нижняя) грань
единственна.
18.2.	Понятие функции нескольких переменных
Функция, определенная на некотором множестве X арифметического
п-мерного пространства, называется функцией п аргументов
y = f(Xi, х2, ... , х„),
где Хь х2, ... , х„ — координаты точки М (хь х2, ... , х„) данного множества. В этом
случае говорят, что задана функция точки М, и пишут y=f(M), или y=f(x),
где х= (xi, х2..х„).
Рассмотрим случаи, когда и = 2 и п = 3. Предположим, что X — некоторое
множество точек плоскости, Y — подмножество множества всех действительных
чисел. Так как в фиксированной декартовой прямоугольной системе координат
Ох|Х2 каждой точке Af соответствует упорядоченная пара действительных чисел
Xi, х2 — ее координаты, то функция, заданная на указанном множестве X,
является функцией двух аргументов, т.е. </ = f(xi,x2), где x,,x2 — координаты
точки М (xi, х2). Если координаты точки М обозначить буквами х и у, а функцию —
буквой г, то z = f(x, у). Переменные х и у при этом называются аргументами
функции z или независимыми переменными. Значение функции z=f(x,y),
которое она принимает при х = а, у=Ь, обозначается через f(a, b).
Область определения функции двух переменных представляет собой некото-
рое множество точек плоскости.
Графиком функции z = f(x, у) называется множество точек N (х, у, f(x, у)),
т. е. некоторое множество точек пространства. Например, график функции z=x—у
представляет собой плоскость в пространстве, проходящую через начало коорди-
249
нат и пересекающую координатную плоскость Оху по прямой, образующей рав-
ные углы с’осями Ох и Оу, геометрическим изображением функции г=х2+у2
является поверхность параболоида вращения, а функции 2=л/9 —х2 —у2 — полу-
сфера радиуса /? = 3 с центром в начале координат, расположенная выше пло-
скости Оху. Отметим, что первые две функции определены на всей плоскости
Оху, третья — в круге радиуса /? = 3 с центром в начале координат, т. е. в области,
заданной неравенством х2 + у2^.Э.
Функцию
z=f(x,y)	(18.1)
можно представить так: z—f(x, у) =0, или в более общем виде
F(x,y,z)=O.	(18.2)
Функция, заданная формулой (18.1), называется явной, функция, опреде-
ляемая уравнением (18.2), называется неявной.
Действительная функция, определенная на некотором множестве (X)
точек пространства, т. е. точек М (х, у, г), где х, у, z — декартовы координаты,
называется функцией трех переменных х, у, г. Функцию трех переменных х, у, z
обозначим буквой и, тогда u=f(x, у, г). Значение функции u=f(x,y,z) при
х—а, y = b, г = с обозначается через f(a, Ь, с). Областью определения функции
трех переменных является некоторое множество точек пространства. Например,
область определения функции и = yl — х2—у2 — г2 представляет собой шар
радиуса /?=1 с центром в начале координат, областью определения функции
и= 1/V1 — х2 — у2— z2 является множество точек, лежащих внутри указанного
шара (граничные точки, т. е. точки сферы x2-f-y2-j-z2= I, исключаются).
18.3.	Предел и непрерывность функции
нескольких переменных
Полное приращение функции двух переменных z=f (х, у) в точке М(х, у)
определяется формулой
hz=f(x + bx, у+Ьу) — f(x, у),	(18.3)
а ее частные приращения (по х и у соответственно) в той же точке — формулами
Дх2 = /(х-)-Дх, у) — f(x, у),	(18.4)
^z = f(x,y + Xy)—f(x,y),	(18.5)
х, у, х+Дх, у+Дх принадлежат области определения функции.
Аналогично определяются полное и частные приращения функции большего
числа переменных.
Замечание. Частное приращение функции по одному из аргументов
есть разность между двумя ее значениями, когда приращение получает только
данный аргумент; полное приращение функции — разность между двумя значе-
ниями, когда приращения получают все ее аргументы.
Число А называется пределом функции u=f(M) при М, стремящемся к Мо,
если для любого е> 0 существует такое 6> 0, что при всех М, расстояние
которых до точки Л4о меньше 6, т. е.
0<р(М,Ма)<6,	(18.6)
выполняется неравенство
|/(Л4)-А|<е.	(18.7)
Функция	называется непрерывной в точке Мо, если выполняется
условие
lim	(18.8)
М-»-Мп
250
Необходимое и достаточное условие непрерывности функции u=f(M)
в точке Мо выражается равенством
limAu = 0, или lim (f(M) — f(Mo)) =0,
dp-*-0	Др—*-0
где Ap = p(M, Mo), Au=f(M) —f(Mo).
T eop ем a 18.1 (об устойчивости знака непрерывной функции).
Если функция u = f(M) непрерывна в гонке X и f(Mo) #=0, то существует
6-окрестность точки Мо, в которой f(M) не обращается в нуль и имеет знак,
совпадающий со знаком f(Mfl).
Теорема 18.2. Если функция z—f(x,y) непрерывна в ограниченной
замкнутой области, то она ограничена в этой области и достигает в ней своего
наименьшего и наибольшего значения.
Если в некоторой точке Мо не выполнено условие (18.8), то эта точка назы-
вается точкой разрыва функции u = f(M).
Точки разрыва функции двух переменных могут заполнять отдельные линии
(линии разрыва). Например, для функции u = l/(x2-j-y2 — 1) линией разрыва
является окружность х2 + у2 — 1 =0 в плоскости Оху. Точки разрыва функции трех
переменных могут заполнять отдельные поверхности (поверхность разрыва).
Так, для функции и= 1/(г — х2—у2) поверхностью разрыва является параболоид
вращения z=x2 + y2.
18.4.	Частные производные функции
нескольких переменных
Частной производной функции нескольких переменных по одной из них
в фиксированной точке называется предел отношения соответствующего частного
приращения этой функции к приращению данной переменной, когда последнее
стремится к нулю.
Для функции z=f(x,y) частные производные в точке М0(хо, Уо) по х и у
соответственно определяются формулами:
/ dz\ = f(x0 + Ax, у0)—f(x0, у0)
\ дх/ Ма Лх-0	Ах
/	= )im f(*o, Уо + Ау)—f(x0, у0)
\ ду/ Mo 's-o	Ау
Употребляются и другие обозначения: гЦхо, уо), f'x(xo, уо), z'y(xo, уо) fy(x0, уо).
Частная производная функции z = f(x,y) по переменной х выражает ско-
рость изменения функции в данном направлении (у=Уо) или скорость изменения
функции f(x, уо) одной переменной.
Частные производные функции z=f(x, у) имеют следующую геометриче-
скую интерпретацию:
f'x(xo, Уо) =tga, f'y(x0, у0) = tgр,
где а — угол между осью Ох и касательной в точке N (х0, уо, f (хо, Уо)) к линии
пересечения поверхности z = f(x,y) и плоскости у=уо, Р — угол между осью Оу
и касательной в той же точке к линии пересечения данной поверхности с пло-
скостью х=хо (рис. 18.1).
Очевидно,
их х = ха	иу У = Уа
т. е. частная производная в данной точке равна производной функции одной
переменной, вычисленной при соответствующем значении аргумента, поэтому при
нахождении частных производных пользуются обычными правилами диффе^
ренцирования.
251
При переходе от точки Л4о(хо, Уо) к точке М(х, у) получим новые значения
частных производных. Следовательно, частные производные функции f(x,y)
также являются некоторыми функциями двух переменных:
3Z С, , X dZ i, !	>
Пример 18.1. Найти значения частных производных функции z=f(x, у) =
= 2х3 + Зх2у + 6ху — у3 в точке Мо( — 1,2).
Считая у постоянной и дифференцируя z, как функцию х, находим частную
производную по х, вычисляем ее значение в точке Л40:г( = (2x3)i + (3x2t/)£ +
+ (6ху)'х — (у3)'х = 6х2 + бху + бу — 0 = 6(х2 + ху + у); f'x( — 1, 2) = 6((— 1 )2 +
+ (- 1)2 + 2) =6.
Считая х постоянной и дифференцируя г, как функцию у, находим частную
производную по у и ее значение в точке Л1о: г'у = (2х3)£+ (3x2t/)J + (6xy)j — (у3)'у =
=0+3x2+6x — 3у2 = 3(х2 + 2х-у2)-,	2) = 3((— 1)2 + 2(- 1) -22) = — 15.
18.5.	Полный дифференциал функции
нескольких переменных
Если полное приращение функции z — f(x, у) в точке Afo(xo{/o) предста-
вимо в виде
Аг = РДх + Q \у + еДр,
где Р, Q — постоянные, Др = л/Дх2 +Ду2 и е-»-0 при Др->0, то PAx-pQ&y назы-
вают полным дифференциалом данной функции в этой точке и обозначают через
dz: dz = РАх + Q\y. Следовательно,
Az = dz + eAp, е->-0 при Ар->0.	(18.9)
Полный дифференциал функции двух переменных равен приращению
аппликаты z касательной плоскости в точке Мо (х0, Уо, Zo) к поверхности, являю-
щейся графиком этой функции, когда аргументы х и у получают приращения
Ах и Ду (рис. 18.2, \z=KM, dz = KN).
Функция, обладающая непрерывными частными производными, имеет пол-
ный дифференциал, причем
dz = f'x(x0, y0)Ax+f'y(x0, Уо)&У-	(18.10)
252
Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями,
т. е. dx=Ax, dy-—\y.
Полный дифференциал функции z=f(x, у) является функцией х, у при фик-
сированных dx и dy:
dz— dx+ dy, или dz = f'x(x, y)dx-}-f'y(x, y)dy.
ox ay
Функция, имеющая полный дифференциал, называется дифференцируемой.
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в. ней.
Рис. 18.2
Из формулы (18.9) следует, чтоДг®«/г, или
/(х0+Дх, 1/о + Дг/) —f(x0, Уо) »f'x(Xo, Уо)^х + 1'у(хо, Уо)Лу, (18.11)
откуда
/(хо+Дх, Уо + &У) Bsf(xQ, Уо) +fx(xo, уо)&х + f'y(xo, Уо)&У- (18.12)
Если все первые частные производные функции u = f(xi, хг,... , х„) непре-
рывны, то полный дифференциал выражается формулой
du= -—dx,+ -—dx2+...+ -r—dx„.	(18.13)
<9xi dx2	dx„
Каждое слагаемое правой части этой формулы называется частным диффе-
ренциалом.
В частности, полный дифференциал функции трех переменных вычисляется
(по формуле
du=-^dx+^-dy+~lrdz- (18Л4)
Пример 18.2. Дана функция z=f(x, у) =x2-|-3xj/—6х и две точки Л(4; 1),
25(3,96; 1,03). Требуется: 1) вычислить значение z функции в точке В; 2) вычислить
приближенное значение Z\ функции в точке В исходя из значения г0 функции
в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В диф-,
ференциалом.
, Вычисляем значения данной функции в точках Л и В: z0 = f(A) =f(x0, уа) =
253
=f(4, 1) =42+3-1-4 —6-4 = 4,	z = /(B) = /(x,. (/>) =/(3,96; 1,03) = (3,96)2 +
+ 3-3,96-1,03 — 6-3,96 = 4,158.
Находим приращения аргументов: Дх = х,—Xo = 3,96— 4,00=—0,04, Ду =
=l/i—l/o=l,O3—l,OO = O,O3; значения частных производных f'x(x, у) = 2x + 3</ — 6,
/J = 3x в точке A: /Дх0, i/o) =/i(4, 1) =2-4 + 3-1—6 = 5, f'y(xo, yQ) =f'y(4, ]) =
= 3-4=12; значение дифференциала в точке А по формуле (18.10): dz =
= 5(—0,04) + 12-0,03 = 0,16; значение функции в точке В по формуле (18.12):
zi = /(xi, у,) =/(3,96; 1,03) «4 + 0,16 = 4,16.
Пример 18.3. Вычислить приближенно е(|1) — 10,9) .
Рассмотрим функцию z = ex ~у . Искомое число можно считать приращенным
значением этой функции при х= 1, у= 1, Дх = 0,1, Д(/ = —0,1. Поскольку /(х, у) =
=ex2 — u2=e°—l, Azasdz = 2ex2 — y\xdx — ydy) = 2е°(0,1 +0,1) =2-0,2 = 0,4, то
е(1,|)!-(о.9)’дае1-1 + Д2=1+О4 = 1>4
Пример 18.4. Вычислить полный дифференциал функции и=хуг при
переходе от точки Л1 (6; 4; 2) к точке ЛЦ5,92; 3,95; 2,07).
Так как u'x = yz, uy = xz, и'г = ху, то в соответствии с формулой (18.14)
du—yzdx-\~xzdy-\-xydz. Подставив в эту формулу значения х = 6, у = 4, z = 2,
dx = Дх = 5,92 —6 = 0,08, dy = Ay = 3,95 — 4 = — 0,05, dz = Az = 2,07 —2 = 0,07,
получим du = 4-2( — 0,08) + 6-2( — 0,05) +6-4-0,07= —0,64 — 0,6+ 1,68 = 0,44.
Пример 18.5. Как изменится диагональ прямоугольника со сторонами
а = 8 см, 6 = 6 см, если сторону а уменьшить на 3 мм, а сторону 6 увеличить на 7 мм?
Диагональ прямоугольника / через его стороны а и 6 выражается формулой
1=~\/а2 + 62. Введем в рассмотрение функцию z = Vx2 + 1/2. Поскольку х = 8, {/ = 6,
л Ао л а -7 j xdx + ydy ,	8(—0,3)+6-0,7
Дх= — 0,3, Дц = 0,7, dz=—	_ , то dz =—5'	-----=0,18.
л/ё’+б7
Следовательно, диагональ увеличится на 0,18 см.
18.6.	Частные производные и дифференциалы
высших порядков. Формула Тейлора
Частные производные функции нескольких переменных называют также
частными производными первого порядка или первыми частными производными.
Частными производными второго порядка (или вторыми частными произ-
водными) данной функции называются соответствующие частные производные
от ее первых частных производных.
Для функции z = f(x,y) по определению имеем
=	=^(х.1/))^ = /^(х,1/),
~дуд^ = ~д7	=^(Х’У>)УХ = ^Х’У'>-
Вторые частные производные обозначаются также символами zxx, zxy, zyx, zyy.
Производные zxy, zyx называются смешанными частными производными.
Частные производные появились в трудах И. Ньютона, Г. Лейбница,
254
Я. Бернулли и И. Бернулли. Обозначения ~ввел Лежандр (1786), f'x,
z'x — Ж. Лагранж (1797, 1801),	----К. Якоби (1837).
дх2 дхду
Т еорема 18.3. Если функция z=f(x,y) и ее смешанные производные
z"y, z'yx определены в некоторой окрестности точки Мо(хо, уо) и непрерывны
в этой точке, то f"y(x0, уо) = fyx(x0, у0) .
Дифференцируя частные производные второго порядка как по х, так и по у,
получаем частные производные третьего порядка или третьи частные про-
изводные:
d3z d3z d3z d3z д3г d3z d3z d3z
дх3	’ дх2ду	’ дхдудх	’ дхду2	’ дудх2	’ дудхду	’ ду2дх ’ ду3
Вообще, частная производная п-то порядка функции z = f(x, у) есть первая
частная производная от ее частной производной (п — 1) -го порядка.
Аналогично определяются и вычисляются частные производные второго
и высших порядков от функции трех и большего числа переменных.
Полным дифференциалом второго порядка некоторой функции называется
полный дифференциал от ее полного дифференциала.
Полным дифференциалом n-го порядка называется полный дифференциал
от полного дифференциала (n — 1) -го порядка. Если z = f(x, у), dz = z'xdx-\-z'ydy, то
d2z = d (dz) = z'Adx2 + 2z'x'ydxdy + z'yydy2,
d3z = d(d2z) = -^4-dx3+3 -dx2dy + ‘i -2- dxdy2 + 3 4У dy3, ... ,
дх	дх2ду	дхду	ду
дх ‘ду	\	/
k = 0
Эту формулу записывают и в следующем символическом виде:
/ д	а	\ (“>
d"z=\-^-dx+ -%-dy) z.
\ дх	ду /
Формула Тейлора для функции двух переменных
f{x,y}=f(a,b}+ У ^-+	+	+	,	(18.15)
Z-J к\	(л-Н)!
fe=l
ИЛИ	п
f(M)=f(Mo)+ у	(1816)
С-, к!	(п+1)!
* = 1
где М' (а + 0Ах, b + 0Ау) —точка области S.
Формула Тейлора для функции большего числа переменных u=f(M),
M(xi, Х2, ...,хп), аналогична формуле (18.16).
Замечание. При п=1 формула (18.15) принимает вид
f(x,y) =f(a, b) + (f'x(a, b)bx+f'y(a, b)by) +
+ 4" n)Ax2 + 2^(g, r])AxAy + ^(L r])Ay2),
где £ = а + 0Дх, т] = & + 0Ду, O<0<1.
Пример 18.6. Дана функция z=x3 + 2x2y —8ху2 + у3. Найти ее частные^
255
производные второго порядка. Находим сначала первые производные: zi =
= 3x2 + 4xi/ — 8у2, zj = 2x2—16xt/-|-3t/2.
Пользуясь определениями и правилами дифференцирования, получаем
2?х = 6х + 41/, г"у = 4х—161/, z", = 4x—16i/, zJ'!/= — 16x + 6i/.
g3y d4u
Пример 18.7. Дана функция и = х2у cos3/ + i/2z5. Найти ------, —5—г,
dxdydt dy dz
d3u
dzs
Дифференцируя по одной из переменных, считаем все другие постоянными: ,
du	п. d2u „	д3и п
—— = 2xu cos3Z,  - „ =2х созЗ/, „ „  = — 6х sin3/;
dx а dxdy	dxdydt
ди 1	„ 5 d2u „ 5 d3u ,„ 4 d4u з
	=x2cos3< + 2i/z5, -- =2z5, —г— = 10z4, —;—г = 40z ,
dy----------------------* dy2 dy2dz	dy2dz2
dU „24	on 2 3 d3U „„2 2 d'u inn 2 d5U ion 2
----= 5i/2z , -7- =201/ z3, ------------ =60y z , -г- =120у z, -Г- =120y.
dz	dz	dz3	dz	dz
Пример 18.8. Дана функция z = ln(x2 + i/2 + 2x+1). Показать, что
z'x'x + z'yy^O.
Найдем частные производные первого и второго порядка:
dz = (х2 + у2+2х+\)'х _	2x4-2
дх ~ х^ + у^ + 2х+1	~ х2 + у2+2х+1 ’
dz = (х2 + у2+2х+1)» =	21/
ду х2 + у2 + 2х+1	х2 + //2Ч-2х+1 ’
д2г = /	2х + 2	\ '_ 2(х2 + у2 + 2х+1) - (2х + 2) (2х + 2) =
дх2 \ х2+ у2+ 2х+1/ х	(x24-i/2 + 2x+I)2
_	2у2 — 2х2 — 4х — 2
(х2 + 1/2 + 2х + 1)2 ’
d2z _ д / 2у \ _ 2(х2+1/2 + 2х+1) —2у2у _ 2х2 — 2t/2 + 4х + 2
dy2 dy \ х2 + у2 + 2х+1/	(x2 + t/2 + 2x+1)2	(x2 + i/24-2x+1)2
Составим сумму z'xx-\-z’yy вторых частных производных и убедимся, что она
тождественно равна нулю:
d2z	d2z _ 2у2—2х2 — 4х — 2	2х2 —2t/2 + 4x + 2
dx2	dy2 (х2 + у2+2х-{-1)2	(х2 + у2 + 2х+1)2
18.7.	Дифференцирование неявных
и сложных функций
Функция п переменных xi, хг, ..., хп называется неявной, если она
задана уравнением
F(x,,x2...х„, u)=0,	(18.17)
не разрешенным относительно и.
Частные производные неявной функции, заданной уравнением (18.17),
находятся по формулам
256
ди _ _ F'Xl ди _ F'x, ди _ F'x„
dxi F'u ’ dx2 F'u ’ ’ dx„ F'u
В частности, если у — функция одной переменной х, заданная уравнением
F(x, у) =0, то	г,
(18.18)
Гу
если г — функция двух переменных х, у, заданная уравнением F(x, у, г) = 0, то
дг _ F'x дг _ F'u
дх F[’ ~ду F['
Если u = F(vt, v2,... ,v„), где Vi=fi(xl,xt,...,xn), v2 = f2(xt, x2, ... , x„), ...
... , v„—f„(xi, x2, ... , x„), то функция и называется сложной функцией неза-
висимых переменных х,, х2, ... , х„. Переменные о,, v2, ..., v„ называются проме-
жуточными аргументами.
Частная производная сложной функции по одной из независимых пере-
менных равна сумме произведений ее частных производных по промежуточным
аргументам на частные производные этих аргументов по данной независимой
переменной:
ди		dvi	ди		dv2	+ ^L	dv„
dxi	dvi	дх, '	dv2	dxt	dv„	dx\
ди		dvi	du	dv2 dx2	+ —	(18-19)
дх2	dv\	dx2 *	dv2		dv„	
ди		dvi	du			+ —	dvn
дх„	dvi	dx„ n	dv2	dx„	dv„	dx„
Если все промежуточные аргументы являются функциями одной независи-
мой переменной t, то функция будет сложной функцией от /. Полная производная
этой функции находится по формуле
du	_ ди	dvi	ди	dv2	ди	dvn
dt dvi	dt	dv2	dt	dvn	dt
18.8.	Экстремум функции нескольких переменных
Максимумом (минимумом) функции z = f(x, у) в точке Л1о(хо, Уо) на-
зывается такое ее значение f(xo,yo), которое больше (меньше) всех других
ее значений, принимаемых в точках М(х, у), достаточно близких к точке Мо
и отличных от нее.
Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка, в которой
достигается экстремум, называется точкой экстремума.
Экстремум функции трех и большего числа переменных определяется
аналогично.
Необходимые условия экстремума. В точке экстремума дифференцируемой
функции нескольких переменных частные производные ее равны нулю.
Если Afo(Xo, Уо) — точка экстремума дифференцируемой функций z = f(x, у),то
f'x(xo, уо) =0, Мхо, уо) =0.	(18.20)
Из этой системы уравнений находятся стационарные точки. Система (18.20)
эквивалентна одному уравнению
df(xo,yo)=0.	(18.21)
В общем случае в точке экстремума М0(х0, уо) функции z = f(x,y) выполня-
ется равенство (18.21) или df(x0,y0) не существует.
257
Достаточные условия экстремума. Пусть Л1о(хо, Уо) — стационарная точ-
ка, т.е. точка, для которой выполняется равенство (18.21):
1)	если
</2)(х0, Уо) <0 (при dx2 + dy2> 0),	(18.22)
то f(x0, уо) — максимум функции z = f(x, у);
2)	если
d2f(x0, Уо)> 0 (при dx2 + dy2> 0),	(18.23)
то f(xQ, уо) — минимум функции z = f(x,y).
Эти условия эквивалентны следующим: пусть f'x(xo, уо)=О, fy(xo, Уо) =0 и
A = fl'x(x0, уо), B = f'xy(xo, уо), С=КУ(хо,уо),
(18.24)
А = АС — В2,	(18.25)
тогда:
1)	если Д> 0, то функция f(x, у) имеет экстремум в точке Мо: максимум
при 4<0 (или С<0), минимум при А> 0 (или С>0);
2)	если Д<0, то экстремума в точке Мо нет.
Для функции трех и большего числа переменных необходимые условия
экстремума аналогичны условиям (18.20), а достаточные условия аналогичны
условиям (18.22), (18.23).
Пример 18.9. Найти экстремум функции f (х, у) =х2 + у2 —	17.
Поскольку f'x=2x — 4, )J = 2{/ + 6, fxx = 2, f"y = 0, fyg = 2, fx=0, fi=0 при
x=2, y=—3, Д = 2-2 —0=4>0, 4=2>0, то в точке Л4о(2, —3) функция
имеет минимум, причем min f(x, у) =f (2, —3) =4.
Пример 18.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = f{x, у) =3— 2х2— ху — у2 в замкнутой области, заданной системой неравенств:
xsg 1, 1/>0, у^х.
Область представляет собой треугольник ОАВ (рис. 18.3), причем 0(0,0),
.4(1,0), В(1, 1). Находим экстремум функции: Д= — 4х — у, f'y= —х — 2у, f'x = 0,
fi=0 при х = 0, у=0; fxx——4, f^=f"x=-\, f'g'g = -2, Д = 4С-В2 =
= (— 4) ( — 2) — (— 1)2 = 7> 0, А—— 4<0, в точке (0,0) функция достигает
максимума: max )(х, у) =f(0, 0) =3. Найдем экстремумы на границе области:
на стороне О4(у = 0) функция z = f(x, 0) =3 — 2х2=<р(х) зависит от одной пере-
менной х; <р'(х) = — 4х, <р"(х) = — 4, ср'(х) =0 при х = 0; <р"(0) — — 4<0, х = 0 —
точка максимума: <р(0) =f(0, 0) =3. На прямой АВ (х=1) функция z=/(l, у) =
= 3 — 2 — у — у2 = 1 —у — у2 = ^[у) зависит только от у; ф'(!/) = — 1 —2у, ф'(у) =0
при у = — 1/2, но эта точка не принадлежит отрезку АВ. На стороне ОВ (у=х)
функция зависит только от х: z = f(x, х) =3 — 2х2—х2 — х2 = 3 — 4х2 = <р(х), <р'(х) =
= —8х, <р"(х) = —8, <р'(х) =0 при х = 0, <р"(0) = — 8<0, /(0, 0) =3. Вычисляем
значения функции в точках А и В: f(A) =Ц1, 0) = 1, f(B) =) (1, 1) = — 1.
Следовательно, в заданной области наименьшее значение данной функции
равно —1, а наибольшее равно 3.
Пример 18.11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
г = х2 + у2—2х —2у + 4 в круге х2 + у2<4.
Данная функция имеет минимум в точке
Л4(1, 1), лежащей в заданной области, причем
min(x, y)=f(\, 1)=2.
Исследуем изменение функции на границе об-
ласти, т.е. на окружности x2+i/2=4. Воспользу-
емся параметрическими уравнениями этой окруж-
ности x=2cos/, у = 2 sin <(0^/<2л). На данной
окружности функция становится функцией одной
переменной t:z=z(t) =4 cos2<+4 sin2t—4 cos t—
— 4 sin t + 4 = 8 — 4 cos t — 4 sin t. Поскольку
z/(/)=4sin/—4 cos t, 4 sin t—4cos/=0, tgZ=l,
258
Zi=n/4, ti= (5/4)n,_ z"(t) =4cos Z + 4sin t, z"(Zi)> 0, z"(/2)<0, то Л — точка
минимума, /2 — точка максимума, причем min z(t) = г(л/4) =8 — 4 -у5~2,344,
max z(t) =г((5/4)л) =84-4 л/2~ 13,656.
Рассматривая полученные экстремальные значения функции, заключаем,
что в указанном круге наибольшее значение функции равно 84-4-\Z2« 13,656,
достигается оно в точке А(— 2, —2), лежащей на границе окружности; наимень-
шее значение функции равно 2, достигается в точке минимума М (1, 1).
18.9.	Условный экстремум
Если разыскивается экстремум функции многих переменных, которые
связаны между собой одним или несколькими уравнениями (число уравнений
должно быть меньше числа переменных), то говорят об условном экстремуме.
При решении задачи можно пользоваться методом неопределенных множителей
Лагранжа.
Чтобы найти условный экстремум функции z = f(x,y) при наличии уравне-
ния связи <р(х, у) =0, составляют функцию Лагранжа
f(x,y)=f(x, y)+Ktf(x, у),	(18.26)
где X — неопределенный постоянный множитель, и ищут ее экстремум. Необ-
ходимые условия экстремума функции (18.26) выражаются системой трех урав-
нений с тремя неизвестными х, у, А:
_^ = ^+Х-^=0, -^- = А+А-^=0, ф(х, i/)=0.	(18.27)
дх дх дх ду ду ду т	’
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на
основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа d,2F =
= F"xdx2-\-2F"ydxdy +Fyydy2 для испытуемой системы значений х, у, А, получен-
ной из системы (18.27) при условии, что dx и dy связаны уравнением
~l^dy = 0 (dx2 + dy2^0).
Функция f(x,y) имеет условный максимум, если d2F<0, и условный ми-
нимум, если d2F> 0.
Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего
числа переменных при наличии уравнений связи.
Если, например, требуется найти экстремум функции f(x, у, г) при условиях
ср (х, у, г) = 0, ф(х, у, z)=0,	(18.28)
то вводят функцию
F(x, у, z) = f(x, у, z) 4-А<р(лс, у, z) 4-рф(х, у, г)
и к уравнениям (18.28) присоединяют еще три уравнения: F'x — 0, F'y = 0, Fx = 0.
Пример 18.12. Найти экстремум функции z = 9 — 8х— Gy при условии,
что ее аргументы удовлетворяют уравнению х2+у2 = 25.
Геометрически задача сводится к нахождению экстремальных значений
аппликаты z точек пересечения плоскости z = 9 — 8х— Gy с круговым цилиндром
х24- у2= 25.
Составляем функцию Лагранжа, определяемую формулой (18.26): Е(х, у) =
= 9 — 8х— 6у-)-А(х24-у2 — 25), находим ее частные производные: F'x= — 84-2Ах,
F'y= — 64-2Ay. Система уравнений (18.27) принимает вид
-84-2Ах = 0, -64-2Ау = 0, х24гу2 = 25,
259
или
Хх —4 = 0, Ку — 3 = 0, х2 + р2 = 25.
Решив эту систему, получим: 1) Xl = l, Xi=4, у> =3; 2) Х2= —1, х2= — 4,
Уг= —3. Находим вторые частные производные: FXX = 2K, Fxy = 0, Fyy = 2K и второй
дифференциал d2F = K(dx2-)-dy2). Так как d2F> 0 при Xi = l, xt=4, yi=3,
то функция f(x,y) в точке (4,3) имеет условный минимум, причем min f(x, у) =
—f(4, 3) = — 41. Поскольку d2F<0 при Х2= — 1, х2—— 4, у2= — 3, то в точке
( — 4, —3) функция имеет условный максимум f(—4, —3)=59.
18.10.	Касательная плоскость и нормаль
к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности в данной точке Л4 (точке
касания) называется плоскость, в которой лежат касательные в этой точке
к всевозможным кривым, проведенным на данной поверхности через указанную
точку.
Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости
в точке касания. Координаты вектора нормали п= (а, Ь, с) к поверхности
F(x, у, г)=0	(18.29)
в точке Л4о(хо, уо, го) пропорциональны значениям соответствующих частных
производных функции F(x, у, г) в этой точке: a — K{Fx)o, b = K(F'y)o, c = K(F'x)o,
где (F'x)o=F'x(xo, уо, го), (F'y) 0= F'y(x0, Уо, z0), (F'x)o = F'x(x0, yo, z0).
Координаты вектора п входят в уравнение касательной плоскости к поверх-
ности в точке Л4о(хо, Уо, zo):
(F'x)o(x — хо) + (F'y)o(y — Уо) + (F'x)o(z — го) =0,	(18.30)
а также в уравнение нормали к данной поверхности в той же точке:
х —Хр
(«)о
У—Уо _ z —Zo
(Fy)o (F’x)o
(18.31)
Пример 18.13. Записать уравнения нормали и касательной плоскости
к поверхности г = х2-)-у2 в точке Л40(1, — 2, 5).
Поскольку F(x,y,z)=x2 + y2 — z, F'x=2x, Fy — 2y, Fx= — l, x0=l, yo= — 2,
zo = 5, F'x(xo, Уо, zo) = 2, F'y(x0, уо, zo) = —4, то на основании уравнений (18.30),
(18.31) получаем 2(х—1) —4(р + 2) — (z —5) =0, 2х — 4у — г — 5 = 0 (уравнение
. х—1 р + 2 г —5
касательной плоскости), —%— =	=
(уравнения нормали).
— 1
18.11.	Семейства линий и их огибающие.
Семейства поверхностей и их огибающие
Однопараметрическим семейством линий, лежащих в плоскости Оху,
называется множество линий, определяемое уравнением
F (х, у, С)=0,	(18.32)
в котором параметр С может принимать различные действительные значения
(при каждом фиксированном значении С получаем определенную линию семей-
ства).
Огибающей семейства линий называется такая линия, которая в каждой
точке касается некоторой линии семейства.
260
Множество всех точек, удовлетворяющих системе уравнений
F(x, у, С) =0, F'c(x, у, С)=0,
(18.33)
называется дискриминантной линией семейства (18.32).
Если в точках дискриминантной линии частные производные F, и F’y
одновременно в нуль не обращаются, то дискриминантная линия совпадает с оги-
бающей семейства.
Множество линий, определяемое уравнением
F(x, у, Ci, Ci, ..., Сп) =0,
где Ci, С г,..., Сп— независимые параметры, назы-
вается п-параметрическим семейством линий (пара-
метры называются независимыми или существен-
ными, если их число нельзя уменьшить путем
введения новых параметров).
Однопараметрическим семействам поверхностей
называется множество поверхностей, определяемое
уравнением
F(x,y,z,C)=0.	(18.34)
Огибающей семейства поверхностей называет-
ся поверхность, которая в каждой своей точке ка-
сается некоторой поверхности семейства.
Огибающая семейства поверхностей (18.34)
удовлетворяет системе уравнений
F(x,y, г, С)=0, Fb(x,y, z, С)=0. (18.35)
Пример 18.14. Найти огибающую однопа-
раметрического семейства линий х2+ (у — c)2 = R2.
Система уравнений (18.33) запишется так:
х2+ (у—с)2 — R2=0, 2(у—с) =0. 
Из этой системы находим, что х2 — /?2 = 0, или
х= — R, x=R.
Рис. 18.4
Прямые х=—R, x = R являются огибающей данного однопараметрического
семейства линий — множества окружностей радиуса R с центрами на оси Оу
(рис. 18.4).
, Пример 18.15. Найти огибающую однопараметрического семейства
поверхностей х2+у2+ (г — C)2 = R2.
Система уравнений (18.35) принимает вид
х2+у2 + (г-С)2-Л2 = 0, 2(г-С)=0,
откуда следует, что x2 + y2 = R2.
Круговой цилиндр радиуса R, ось которого совпадает с осью Ог, является
огибающей данного однопараметрического семейства сфер радиуса R, центр
каждой из которых находится на оси Ог.
Глава 19
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
19.1. Понятие двойного интеграла,
его геометрический и механический смысл
На плоскости Оху рассмотрим область S площади S, ограниченную
замкнутой кривой у (рис. 19.1). Пусть в области S определена функция z=f(x, у).
Разобьем область S сетью линий на конечное число областей (AS,), (AS2), ...
... , (AS„), площади которых AS,, AS2.AS„. В каждой t-й элементарной области
(AS,) выберем произвольно одну точку A4<(xi, у,), значение функции в этой точке
f(xi, у,) умножим на площадь AS, соответствующей области и все произведения
сложим. Полученная сумма
1п= £ f(xit yi)&S,
< = 1
называется интегральной суммой функции f(x, у) в области S.
Двойным интегралом от функции f(x,y) по области S называется конечный
предел / интегральной суммы /„ при Х->-0, где А, — наибольший из диаметров
элементарных областей (AS,):
1= lim У f(Xi, yi)ASi. .	(19.1)
i=i
Обозначения двойного интеграла: /= j J f (x, y)dS, l=^f(x, y)dxdy.
s	s
Функция z = f(x,y), для которой предел (19.1) существует и конечен, назы-
вается интегрируемой.
Если функция z = f(x,y) непрерывна в области S, то она интегрируема
в этой области.
Геометрический смысл двойного интеграла. Если f(x,y)>0, то двойной
интеграл от функции z = f(x, у) по области S равен объему тела, ограниченного
сверху поверхностью z = f(x,y), с боков — цилиндрической поверхностью, обра-
Рис. 19.1
262
зующие которой параллельны оси Ог, а направляющей служит контур у фигуры S,
снизу — плоскостью z = 0 (рис. 19.2).
Механический смысл двойного интеграла. Двойной интеграл от функции
z=f(x, у)> 0 по области S представляет собой массу фигуры S, если подынтег-
ральную функцию f (х, у) считать плотностью этой фигуры в точке М(х, у).
Свойства двойного интеграла.
1.	J j cf(x, y)dS = c j j fix, y)dS (c=const).
s	S
2-	$$ (f(x, y) ±q(x, y))dS = f(x,y)dS± <p(x,y)dS.
s	s	s
3.	Если f(x, y)<<p(x, у), to f(x,y)dS^ J J <p(x, y)dS.
s	s
4.	| J J i/)dS | C $5 IfU, y)\dS.
s	s
5.	\\f(x,y)dS = \\f(x,y)dS+ \\f(x,y)dS,
S	S i	S;
где Si и Ss — области, на которые разбита область S.
6.	Если в области S m^.f(x, у) ^М, то
mS< 5$ f(x,y)dS^MS,	(19.2)
s
откуда
}\f(x,y)dS = yS (/nCpCM).
s
Пример 19.1. Оценить двойные интегралы
L = (( dxdy !,= ( (__________________dxdy_________
' s, -^25 —x2 —у2 ’ 2 У 25 + sin2(x + </) 4-cos2 г/ ’
где S2 — квадрат Iх| + |j/| С5, S, — круг х2 + у2< 16.
Оценим первый интеграл. Областью интегрирования является круг радиуса
/? = 4, площадь которого S=16n. Так как в данной области функция f(x, у) =
= \/ -^25 —х2 —у2 удовлетворяет соотношениям 1/ ->/25 —0< 1/ ->/25—х2 — у2 <
<1/^25-16, т. е. 1/5< 1//25-х2-1/3, то в соответствии с неравенства-
ми (19.2) получаем (16/5)л<Л^ (16/3)л.
Переходим к оценке второго интеграла. Областью интегрирования является
квадрат с вершинами Д( — 5, 0), В(0,5), С(5, 0), 0(0, —5). Длина его стороны
а=5^/2, а площадь S = 50. Поскольку 1/27< 1/(25sin2(х-|-г/) +cos2у) С 1/25,
то 1,85</2С2.
19.2. Вычисление двойного интеграла
в декартовых прямоугольных координатах
Различают два основных вида области интегрирования:
1) область первого вида Si, т. е. область AtAzBsBi, ограниченную слева
и справа прямыми х = а, x = b (a<zb) соответственно, снизу — кривой </ = <pi(x),
сверху — кривой У = ц>г(х) (cpi (х) ^<р2(х)), каждая из которых пересекается
с вертикалью х=а (а^а<5) только в одной точке (рис. 19.3);
2) область второго вида S2, т. е. область CiDi£)2C2, ограниченную снизу
и сверху прямыми у = с, y = d соответственно, слева — кривой х = ф1 (у), справа —
кривой х=г|>2([/) (ф| (у) ^ф2(</)), каждая из которых пересекается с горизон-
талью i/=P (сСd) только в одной точке (рис. 19.4).
Замечание. В некоторых случаях точки Д, и Д2, В, и В2, С, и С2, D\ и О2
могут сливаться в одну.
263
Если для функции f(x, у), определенной в области Si, существует двойной
интеграл, а при каждом постоянном значении х из [а, 6] простой интеграл
/(*) = $ f(x,y)dy,
Ф1 <-*)
то сущестует также и повторный интеграл
(>	<р2(х)	b <ра(х)
\ dx J f(x,y)dy=\{ $ f(x,y)dy}dx
а	ф|(х)	а ф|(х)
и выполняется равенство
Ь ф2(х)
\\ f(x, y)dS= \ dx J f(x,y)dy.	(19.3)
Si	а Ф1 (x)
В случае области второго вида S2
d 4’i (У)
\\f(x,y)dS= \ dy $ f(x, y)dx	(19.4)
S2	c x|>i(y)
в предположении, что наряду с двойным интегралом существует определенный
интеграл по х при постоянном у.
Если область S можно рассматривать как область первого вида Si и как
область второго вида S2, то при выполнении указанных условий применимы
обе формулы (19.3) и (19.4), поэтому
*	ф2<х)	d	Тг((/)
\dx $ f(x, y)dy= J dy $ f(x,y)dx.
а	ф|(х)	c	Tpi (JZ)
По этой формуле осуществляется изменение порядка интегрирования при вычис-
лении соответствующего двойного интеграла.
Пусть область S является прямоугольником со сторонами, параллельными
осям координат, причем	(рис. 19.5), обозначим его так:
S= [а, Ь\ с, d].
Если функция f(x,y) удовлетворяет в этом прямоугольнике условиям,
о которых говорилось выше, то
Ь d
\\f(x,y)dS=\dx\f(x,y)dy,	(19.5)
S	ас
d b
\\f(x,y)dS=\ dy\ f(x,y)dx.	(19.6)
S	c a.
264
Если функция f(x, у), интегрируемая в прямоугольнике S= [а, с, </],
может быть представлена в виде произведения функции только от х на функцию
только от у: f(x,y)—<f(x)^(y), то
Ь	d
\\ц>(х)^(у)ахйу= J <p(x)dx j ty(y)dy.	(19.7)
S	ас
Пример 19.2. Вычислить J J xydxdy, где область S является прямоуголь-
S
ником [4,8; 1,2].
Задача сводится к вычислению повторного интеграла с помощью формулы
Рис. 19.5
(19.5). По этой формуле интегрирование выполняется сначала по у, в пределах
от с до d, при произвольном постоянном х, а потом — по х, в пределах от а до Ь.
Формула (19.5) в данном случае примет вид
8	2
J [xydxdy— j dx j xydy.
s	4 i
Так как
^xydy=x-^-l = -L (4-l)=-Lx,
I	X I 1 X	X
TO
г r	r	3	3	c	3 x2 18	3
J dx j xydy — J 4-xdx= 4- $ xdx = 4- 4- = 4- (64-16) =36.
41	4	2	Z	4	zz|4	4
Следовательно, J j xydxdy = 36.
S
Замечание. Тот же результат можно получить и по формуле (19.6).
Действительно,
8	2 18
J xydx = (/4- = 4“ (64—16) = 24(/,
4	X |4 X
поэтому
2	8	2
J dy J xydx = J 24ydy = 12i/2|f = 12(4 — 1) — 36.
14	1
Пример 19.3. Вычислить j x2ydxdy, где S — область, ограниченная ли-
s
ниями y=—x2, х — у2.
Данные линии пересекаются в двух точках 0(0,0), М (1, —1) (рис. 19.6).
Область S можно рассматривать как область первого вида S, и как область
265
второго вида S2. Рассматривая ее как область первого вида, получаем следующие
пределы интегрирования: а = 0, b=l, у=ф,(х) = — д/х, t/ = <p2(x) = — х2. По
формуле (19.3) имеем
Следовательно, \ \ x2ydxdy =---— .
s	56
Замечание. Рассматривая данную область как область второго вида,
находим следующие пределы интегрирования: с= —1, d=0, х=фч(у) =у2, х =
= Ч'г(У) — Ч~У> поэтому
.	о	V-?
\\x2ydxdy = J dy J x2ydx.
s	-i	/
Вычислив повторный интеграл, получим тот же результат.
Пример 19.4. Вычислить двойной интеграл J j x2y3dxdy, где S — прямо-
S
угольник [1, 3; 2, 4].
Подынтегральная функция представляет собой произведение функции только
от х на функцию только от у, т. е. х2у3 = <р(х)ф(у), где <j>(x)=x2, ty(y)=y3,
поэтому при вычислении двойного интеграла можно пользоваться формулой (19.7):
X3 3 у4 s I
3.4
3	4	3	4
J J x2y3dxdy= J dx x2y3dy = $ x2dx y3dy —
S	12	12
4 = 4- (27-1) (64-4) =520.
2 u
Пример 19.5. Вычислить j J e—y2dxdy, где S — треугольник с вершинами
s
0(0, 0), 4(0, 1), B(l, 1).
Данная область ограничена прямыми у = х, х=0, у=1 (рис. 19.7). Рас-
сматривая ее как область первого вида, находим
1 1
j J e~yldxdy= j dx J e~v*dy.
s	0x
Интеграл \e~y‘dy является «неберущимся» интегралом. Мы не можем
выразить его через элементарные функции.
266
Поменяв порядок интегрирования, получим
1 ?
j J e~y,dxdy— J dy J e~y‘dx.
s	oo
Так как J e yldx=xe y'\“~-ye~y\ то
о
1	1	11
j J e~y2dxdy—	j ye~yldy—----^-e~y"l
s	о	2 |o
±. +4 =0,3,61.
19.3. Замена переменных в двойном интеграле.
Двойной интеграл в полярных координатах
Криволинейные координаты на плоскости. Рассмотрим непрерывно
дифференцируемые функции и и v прямоугольных декартовых координат хну.
и = <р(х, у), v = ^(x, у).	(19.8)
Предположим, что уравнения (19.8) однозначно разрешимы относительно
х и у.
Х = ф1 (и, у), 1/ = ф1(и, о),	(19.9)
где ср,(и, у), ф1(и, у) — непрерывно дифференцируемые функции и и у.
Придавая поочередно и и о различные (возможные для них) постоянные
значения, получаем два семейства линий на плоскости (рис. 19.8, а); эти линии
называют координатными линиями. Положение точки М на плоскости опреде-
ляется парой чисел (х, у) или парой чисел и, v, где и н v выражены формулами
(19.8). Числа и, и называются криволинейными координатами точки М на плос-
кости. Примером криволинейных координат являются полярные координаты,
в этом случае и = р, у = <р; координатные линии — концентрические окружности
и полупрямые, исходящие из начала координат (рис. 19.8, б). Прямоугольные
'координаты — также частный случай криволинейных и=х, v=y, координатные
линии — прямые, параллельные осям координат (рис. 19.8, а).
Замена переменных в двойных интегралах. Если непрерывно дифферен-
цируемые функции (19.9) осуществляют взаимно однозначное отображение
области S плоскости Оху на область G плоскости Ouv (рис. 19.9), то
f (х, y)dxdy= j j f (tp, (и, у), ф2(ц, у)) \J\dudv,	(19.10)
S	о
267
где 1 (и, v) — функциональный определитель (якобиан):
дх дх
...	ди	dv	дх	ду	ду	дх
'	7	ду	ду	ди	dv	ди	dv
ди dv
(19.11)
В случае перехода к полярным координатам р, q>(x = pcos<p, i/=psin<p)
формула (19.10) принимает вид
j j f (х> y)dxdy— J f (p cos <p, p sin <p)pdpd<p,	(19.12)
s	a
так как |/| =p.
Если область G (рис. 19.10) ограничена лучами, образующими с полярной
ОСЬЮ углы <pi = <x, ф2=Р, И кривыми р = р|(ф) и Р = Р2(Ч>) (РI (ф) < р2 (ф)), ТО
er	F
j J f(p cos ф, р sin q>)pc(pd<p= J dtp j f(p cos <p, p sin <p)pdp. (19.13)
G	a	pi(tp)
Если область G охватывает начало координат, то
]р(рсо8ф, р sin ф)рйр<^ф= </ф J /(рсозф, р sin ф)рб(р. (19.14)
О	0	0
Пример 19.6. Вычислить (х2+у2)dxdy, где область S ограничена
s
линиями у=х, y = y .ix и дугой окружности x24-i/2 = 8, лежащей в первой четверти
(рис. 19.11).
268
Применим формулы (19.12), (19.13), предварительно выразив уравнения
границ области и подынтегральную функцию в полярных координатах. Так как
х=р cos <₽, у=р sin ф, то уравнения границ области принимают вид рсовф=
—р sin ф, tg ф= 1, ф, = л/4; р sin ф= т/Зр cos ф, tg ф= т/З, ф2 = л/3; р2 cos2 ф +
+ р2 sin2 ф = 8, р= т/8, а подынтегральная функция х2 + у2=р2 cos2 ф+р2 sin2 ф =
=р2. Следовательно,
л/3	+’8	л/3 J8
j) (*2+y2)dxdy= J <ftpjp2pdp= j d(f> j p3dp =
s	л/4	0	л/4 О
л/3	4 .	л/3
"	-4»-
Пример 19.7. Вычислить J j -/А2—х2/а2—у2/Ъ2 dxdy, где S — область, ог-
s
раниченная линиями х2/а2-\-у2/Ь2= 1, х2/к2а2+у2/b2k2= 1, А> 1.
Для вычисления данного двойного интеграла введем так называемые обоб-
щенные полярные координаты:
х/а = рсо8ф, y/b = р sin ф, или х = арсо5ф, 1/ = 6р5!пф.	(I)
Найдем якобиан данного преобразования (считая р = и, ф=о). Так как х'р =
—a cos ф, хф= ар sin ф, yP — b sin ф, у’ч—др cos ф, то, по формуле (19.11)
получим
Лр. Ч>) =
дх
<?Р
ду
Зр
дх
д<р _1асо5ф
ду ~ |б5И1ф
дф
-арзтф|
bp cos ф |
Подынтегральная функция и уравнения границ области S примут вид
^k2 — x2/a2 — if/b2 = i/fc2 —p2(cos2 ф+sin2 ф) — т/*2 —Р2 •
x2/a2H-i/2/62=p2 cos2 ф+р2 sin2 Ф = р2, р2 = 1> pi = L
x2/k2a2+y2/k2b2 = l. x2/a2+y2/b2 = k2, p2=fe2. p., = fe.
Итак, область S, ограниченную эллипсами, преобразование (I) переводит
в другое кольцо, ограниченное окружностями радиусов р=1 и p—k с центром
в точке 0, угол ф меняется от 0 до 2л. По формуле (19.14) находим
2л k
^-^k2—x^/a^—y2/b2dxdy —	dpdy=ab\ d<p $	pdp =
2л k
-о» J( J
О 1
-i-d(*2—P2)] | d<p=
2
(^-p^lh
3/2 j J V
= _ _L [0- (k2-1 )3/2)а6ф|2" =	(fe2-1)3/2.
269
19.4. Вычисление площадей плоских областей
Площадь S плоской области S выражается формулой
S= ds, или S= dxdy.	(19.15)
S	S
В криволинейных координатах этот интеграл имеет вид
S= $$ |/(u, v)\dudv,	(19.16)
СТ
в полярных координатах
S=^pdpd<p.	(19.17)
СТ
Пример 19.8. Вычислить площадь области, ограниченной линиями
х=у2 + 1, х = 5.
Данная область ограничена параболой х=у2-\-1 и прямой х = 5 (рис. 19.12).
Решая систему уравнений х = у2 + 1, у=0, находим точку Л (1,0) пересечения
параболы с осью Ох. Из системы уравнений х—у2+ 1, х = 5 находим две точки
пересечения параболы с прямой х = 5: В (5,2), С (5, —2). Область АВС можно
рассматривать как область первого вида и как область второго вида.
Применяя формулу (19.15) и рассматривая область АВС как область первого
вида, находим
5	5	___
5= 5$ dxdy= $ dx j dy= $ z/| _ ~^~idx =
i -	।	1
? .______	_____ F ,__________	(x—d3/2 5
= J b]x—l 4- Vx—1 )dx = 2] ^x—ldx = 2------------ =
1	1 1
= 4- [(5—1)3/2—(1 - 1)3/2] =10-2
О	о
Замечание. Рассматривая область АВС как область второго вида,
получаем
2	5	2	2
5= J	dy $	dx= $	(5 — у2— \)dy=	J	(4—y2)dy =
270
Пфимер 19.9. Вычислить площадь области, ограниченной линиями
у = 2 — х\ у3 = х2.
По формуле (19.15) получаем
'	1	2-х2	1
' S= $ dx $ dy= j (2—х2—x2/3)dx=
— 1	х2/3	~ 1
Ч.-Ч-ЯЯ.Ч-
Пример 19.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
Бернулли (х2+у2)2 = 2а2(х2 — у2).
В силу симметрии кривой относительно осей координат достаточно вычислить
площадь одной четверти данной фигуры. Переходим к полярным координатам,
полагая x = pcosq>, i/=psin<p, Полярное уравнение лемнискаты имеет вид
р2 = 2а2 cos 2<р, или р = а д/2 cos 2<р. Для части фигуры, расположенной в первом
координатном углу, имеем <р, =0, <р2 = л/4, р, =0, р2 = а л/2 cos 2q>.
Обозначая площадь этой части через Si, по формуле (19.17) получаем:
л/4 аЛ/2соз 2ф	я/4	2 iaA/2cos 2ф
Si= J dtp J pdp= )	dq> =
о 0	0 Z 1°
n/4	a2	| л/4	a2
— a2 \ cos 2<jpda> = —5—sin 2q>	= —— , S=4Si=2a2.
0	2	|o	2
Пример 19.11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у2=рх,
y2 = qx, у = ах, у — Ьх (0<p<q, 0<a<Z>).
Фигура представляет собой криволинейный четырехугольник, ограниченный
двумя параболами и двумя прямыми, проходящими через начало координат
(рис. 19.13). Введем новые криволинейные координаты и, о, связанные с коорди-
натами х и у формулами
и=у2/х, v=y/x (рО<(<7, а^о^б).
(1)
Эта замена переменных подсказана видом области интегрирования
(в качестве новых переменных взяты параметры, входящие в уравнения линий,
ограничивающих данную фигуру). Из уравнений (1) выражаем х и у через
и и v:
x = u/v2, y = u/v.	(2)
Находим якобиан преобразования (2):
дх	дх	1
ди	dv ______ vs
ду	ду	1
ди	dv	v
По формуле (19.16) получав^ q	ь
S = {\-^-dudv= \ dv {-^-du~	4  dv =
J J S*	J Jo4 J 2o
a	a P	a
(q2-p2) (b3 — a3)
&a3b3
271
19.5.	Вычисление объемов тел
Объем цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью
z=f (х, у), снизу плоскостью z=0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью,
вырезающей из плоскости Оху область S (см. рис. 19.2), вычисляется по формуле
У= $$ f(x,y)dxdy.	(19.18)
s
Пример 19.12. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями
х + 2(/ — 2 = 0, 2х + 31/ —18 = 0, х — 2у— 2 = 0, х = 3, г — 0.
Данное тело ограничено сверху плоскостью х-\-2у—г=0, или
z=x+2y,	(1)
с боков плоскостями
2х-|-31/—18 = 0, x — 2z/ —2 = 0, х = 3,	(2)
параллельными оси Ог (уравнения не содержат координаты г), и снизу —
плоскостью 2=0 (плоскостью Оху).
В плоскости Оху (2=0) уравнения (2) являются уравнениями прямых,
по которым плоскости (2) пересекают плоскость Оху. Решая каждые два из них,
находим три точки пересечения: Л(3,4), В(6,2), С(3, 1/2). Следовательно,
плоскости (2) вырезают в плоскости Оху область S, которая является треуголь-
ником АВС (рис. 19.14). На плоскости (1) точкам А, В, С будут соответствовать
точки Р(3, 4, 11), Q(6, 2, 10), В (3, 1/2, 4) — вершины данного тела.
Так как в данном случае z — f(x, у) —х-)-2у, пределы интегрирования по
x:xi =3, %2=6, пределы интегрирования по y:yt =6— 2х/3, уг=х/2— 1 (получено
из уравнений прямых АВ и ВС), то по формуле (19.18) находим
6	6-2х/3	6	.
V== У (x + 2y)dxdy= j dx $ (x + 2y)dy = $ (xy + y2) Г6^/3^ =
У .	3 * *	4-x-l	3
О	“
3
6	6
+	$(э5->«’) к-35 ((,-4)*-
3	3
/ х3 \ I6
=35(*--#Т-) =43,75.
\	Зо•3 / Iз
Пример 19.13. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
х24-1/2 —2 = 0, координатными плоскостями и плоскостями х = а, у = Ь(а>0,
272
Данная поверхность является параболоидом вращения с вершиной в начале
координат и осью, совпадающей с осью Ог. Тело, ограниченное этой поверх-
ностью и указанными плоскостями, изображено на рис. 19.15. Область S, выре-
заемая плоскостями х=0, х—а, у=0, у=Ь, является прямоугольником ОАСВ.
Так как г=х2-\-у\ то по формуле (19.18) имеем
а b
(x2+y2)dxdy = $ dx\ (x2+y2)dy =
S	0	0
= J (xW4-) ILodx= 5 (Л+4-)dx=
о	0
Ь-Ц^а_=^_(а^Ь2}.
О	о
Пример 19.14. Найти объем тела, ограниченного поверхностью z=c2 —
—х2—у2 и плоскостями х=±а, у=±Ь (а2 + 62<с2).
Поверхность, ограничивающая цилиндрическое тело сверху, является
параболоидом вращения с вершиной в точке А (0, 0, с), область интегрирования —
прямоугольник BCDE со сторонами 2а, 2Ь и центром в начале координат
(рис. 19.16).
Объем тела
Замечание. Исходя из соображений симметрии, данный объем можно
вычислить по формуле
273
V=4 dx	(c2 —x2 — y2)dy=4 ^(c2b — x2b-^-^dx =
оо	о
^-{3c2-(a2 + b2)).
О
Пример 19.15.
x2+y2 + z—4 = 0 и плоскостью z=0.
Разрешая первое
уравнение определяет
-1
Рис. 19.18
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
уравнение относительно г, получаем г=4 — х2 —у2. Это
параболоид вращения с вершиной в точке А (0, 0, 4),
являющейся высшей точкой поверхности (рис. 19.17).
Параболоид г=4 —х2 —у2 и плоскость г_=0 пересе-
каются по окружности, уравнение которой в плоско-
сти Оху имеет вид х2+у=4.
Формула (19.18) в данном случае запишется так:
(4—х2 — y2)dxdy,
S
где область X ограничена окружностью х2+у2 = 4.
Чтобы вычислить интеграл, перейдем к полярным
координатам по формулам x=pcos<p, у = р sin <р. Так
как 4 —х2 —у2 = 4 —р2, / (р, ф) =Р, pi=0, рг = 2,
ф|=0, ф2 = 2л, то
2л 2
№ (4 — X2—y2)dxdy= $ dtp J (4 — p2)pdp =
s	oo
2л
= 5 (2р2~ Л-) |/ч>=8л-
о
Пример 19.16. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
х2+у2—z + 1 =0, х2-j-у2-t~ Зг — 7=0.
Данное тело ограничено двумя параболоидами (рис. 19.18). Линии пересече-
ния параболоидов определяются системой уравнений z= 1 -4-х2+у2, 3z = 7 —
—х2 — у2. Исключая из этих уравнений z, получаем х2-\-у =1. Из первого
уравнения при х2+у2=1 имеем z=2. Итак, линией пересечения является окруж-
ность x24-i/2=1, z = 2 (пересечение прямого кругового цилиндра х2+у^ = 1
и плоскости z=2). Проекция этой линии на плоскость Оху также является
окружностью х2+у2 = 1, z = 0. Искомый объем равен разности объемов двух
цилиндрических тел с одним основанием и ограниченных сверху и снизу соот-
ветственно поверхностям: z= (7—х2 —у2)/3, z=l +х2+у2, т. е.
И=1Л = 1/2=	Ц- (7 — х2 — y2)dxdy— $$ (l+x2+y2)dxdy,
s °	,	s
где область X есть круг х2+у2^1
Переходя к полярным координатам, находим
2л	1 1	2л 1
V= $	(7р —p3)dp— $ d<p $ (p + p3)dp= —- л.
о	о °	оо	d
274
19.6. Вычисление площадей поверхностей
Случай явного задания поверхности. Площадь 3 гладкой поверхности
г — г(х,у) выражается формулой
S=	VI+zi2+z;2dxdy,	(19.19)
р
где Р — проекция данной поверхности на плоскость Оху.
Если поверхность имеет уравнение вида у=у(х, г), то
S = $$	dxdz,	(19.20)
Pi
где Pi — проекция поверхности на плоскость Охг.
Если поверхность задана уравнением х = х(у, г), то
S = $$ -уД+х'^+х;2 dydz,	(19.21)
Р2
где Р2 — проекция поверхности на плоскость Оуг.
Случай неявного задания поверхности. Площадь S поверхности, заданной
уравнением F(х, у, г) =0, выражается интегралом
ГС
5 =
(19.22)
где Р — проекция поверхности на плоскость Оху.
Случай параметрического задания поверхности. Если поверхность задана
параметрическими уравнениями
х=х(и, v), y = y(u,v), z—z(u,v),	(19.23)
где (и.ц) еР и Р — ограниченная замкнутая квадрируемая область, в которой
функции х, у, г непрерывно дифференцируемы, то
3= $$ VEG —F2 dudv.
(19.24)
р
где
E=x’2 + if2+z'u, G=x'„2+y'„2+z'v2, F—xM+y^ + z'^.	(19.25)
Пример 19.17. Найти площадь ча- '
сти поверхности цилиндра x2-}-y2 — Rx =
=0, заключенной внутри сферы х*+у2 +
г2 = R2 (боковая поверхность «тела
Вивиани>, рис. 19.19).
Применим формулу (19.20). Посколь-
ку плоскостью Охг цилиндр разделяется
на две равные части, то можно вычис-
лить половину искомой площади повер-
хности. Вычислим площадь той части по-
верхности, уравнение которой y=^Rx—x2.
Для определения области интегрирования
Р следует спроецировать на плоскость
Охг линию пересечения поверхностей,
уравнение которой находится исключени-
ем у из данных уравнений. Вычитая одно
уравнение из другого, пблучаем г2 = 7? —
2А
Рис. 19.19
275
— Rx. Это уравнение параболы, лежащей в плоскости Охг, с вершиной на
оси Ох на расстоянии R от начала координат и пересекающей ось Ог в точ-
ках z = R, z= — R. Дуга указанной параболы вместе с соответствующим от-
резком оси Ог составляют границу области.
Так как
ду = R — 2x ду 11 \ ( ду\2 \ ( ду Y =
дх 2 ^Rx—x2 ’ дг N^\dxJ~'\dzJ
Д	(R — 2x)2~	R
V 4(Rx~ х2)	2^Rx—x2
ТО
Л -y/fF—Rx	R
1	„ f с R а u R f 1	\^~Rx ,
S = \	\	--dxdz = —\ —.	г _______dx =
2	J J 2-JRx—x2	2 J -jRx—x2 I — ^R2—Rx
0 -^iP^Rx	°
ff	___
=R ( ^R2~R* dx = R \^-dx=2R^R^x\K=2R2-, S=4R2.
J -JRx-x2	J V*	I»
о’	0
Пример 19.18. Вычислить площадь поверхности конуса х2+у2—z2=0,
заключенной внутри цилиндра х2+у2—2ах=0.
Цилиндр отсекает на поверхности конуса две части, симметричные относи-
тельно плоскости Оху. На рис. 19.20 изображена только верхняя часть (z^O).
Вычислим площадь S этой части, проекция которой на плоскость Оху есть круг
х2+у2<,2ах.
Так как для рассматриваемой части конуса z= -\[х2+у2 и
дг _ х	У
V*2+У2	ду V*2+У2
по формуле {19.19) получаем St = \\^/2dxdy, где Р — окружность х2+у2 —
— 2ах=0.	р
Переходя к полярным координатам, находим
276
= л/2
"Г
о
п/2
4a2cos2q>d<p=2a2-\/2 )
о
(1 +cos 2<p)d<p =
=2a2-\/2^q>4--i-sin 2<р) I =2a2—I—^-sinn) — па2 ^2.
Следовательно, вся искомая площадь S=2Si=2na2-у/2.
Пример 19.19. Найти площадь поверхности, вырезанной цилиндром
х2+у2==г2 из сферы х2 + (/2+г2=Л2 (г<Л).
Цилиндр вырезает из сферы две части, верхняя из них изображена на
рис. 19.21. Вычислим площадь Si поверхности этой сферы. Для верхней полусферы
z= -y/R2—x2—y2,	dz _	—x	dz _	—y dx	^R2 — x2—y^ ’ дУ	->jR2 — x2—y2
	\ dx) Л dy)
Следовательно, S,= Ц	dxdy, Р — круг х2+</2<г2.
р -jR2—x2—y2
Переходя к полярным координатам, находим
2л г -	2л г	у
s.= j	-г pdp=R} dv\ (>?2-p2)-‘/2d( - —d(R2-p2)) =
о о \R —р оо	\ z	/
2л
= -Я$ (Я2-р2)'/2| ^<р=-2лЯ((Д2-г2),/2-Я)=2л/?(Я- V^T5).
о
Итак, $=2$1=4лЯ(Я- ^R2-r2).
Пример 19.20. Вычислить площадь частей сферы x2+y2+z2=R2,
вырезанных из нее цилиндром x2+y2 = Rx, воспользовавшись параметрическими
уравнениями сферической поверхности: х=R sin и cos v, y=R sin и sin v, z =
=/? cos u (O^u^n, 0^v^2n).
Здесь идет речь о вычислении площади верхнего и нижнего оснований
«тела Вивиани> (см. рис. 19.19). Воспользуемся формулой (19.24), для чего
предварительно найдем коэффициенты £, F, G. Так как х'и—R cos и cos и,
y'u=R cos и sin v, z'u—— R sin и, x( = — R sin и sin v, y'v—R sin и cos v, zi—0,
то по формулам (19.25) находим E—R2, F=0, G=R2 sin2 и. Следовательно,
V£G-£2 =Я2 sin u.
Ограничимся рассмотрением четверти изучаемой поверхности, лежащей
в первом октанте. Для точек «кривой Вивиани», т. е. кривой пересечения сферы
и цилиндра (в пределах первого октанта), и + о=л/2. Действительно, подставляя
выражения у и х через и и о в уравнение цилиндра x2-\-y2=Rx, получаем
sinu=cosv, и поскольку для рассматриваемых точек, очевидно, 0<«^л/2,
О^о^л/2, то отсюда следует, что и + о=л/2.
Установив на основании сказанного пределы изменения и и и, по формуле
(19.24) получим
л/2	л/2 — v	п/2
S=4R2 J dv J sin и du =4/?2 ) (—cosu)|q/2 Vdv =
0	0	0
л/2
=4Я2 ) (1 — sin v)dv = 4R2(n/2 — 1).
о
277
19.7. Приложения двойных интегралов в механике
Масса и статические моменты пластинки. Если S — область плоскости
Оху, занятая пластинкой, а р(х,у) —поверхностная плотность в точке Р(х, у),
то масса пластинки т выражается формулой
/П= П P(xty)dxdy,	(19.26)
s
а статические моменты Мх и относительно осей Ох и Оу определяется
двойными интегралами
Мх= $$ ур (х, у) dxdy, Му= $$ хр(х, у) dxdy.	(19.27)
3	3
Если пластинка однородна, то р(х, у)— const; эту постоянную часто полагают
равной 1.
Координаты центра тяжести пластинки. Если С (хо, уо)—центр тяжести
пластинки, то
х0=Му/т, уо=М„/т,	(19.28)
где т — масса пластинки, Мх, Му — ее статические моменты относительно осей
координат, определяемые соответственно формулами (19.26) и (19.27).
В случае однородной пластинки формулы (19.28) с учетом формул (19.26),
(19.27) принимают вид
Хо= $$ xdxdy/ dxdy, у0= ydxdy/ dxdy.	(19.29)
ss	ss
(В формулах (19.29) знаменатель дроби — площадь пластинки, центр тяжести
которой отыскивается.)
Момент инерции пластинки. Моменты инерции пластинки относительно осей
Ох и Оу соответственно определяются формулами:
Л = $$ У2р(х, у) dxdy,	х2р(х, y)dxdy,	(19.30)
s	з
момент инерции пластинки относительно начала координат
/о=5$ (х2+у2)р (х,у) dxdy=Ix + Iy,	(19.31)
s
Полагая р(х, у) = 1 в формулах (19.30) и (19.31), получаем геометрические
моменты инерции плоской фигуры.
Координаты центра тяжести тела. Если С(хо,уо,го) —центр тяжести одно-
родного вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основанием
область S на плоскости Оху и ограниченного поверхностью z=f(x, у), то
х0=Муг/т, уо—Мхх/т, zQ=Mxy/m,	(19.32)
где т — масса тела, а Мух, Мхг, Мху — статические моменты тела относи-
тельно плоскостей Оуг, Охг, Оху, определяемые формулами:
Мух = И xzdxdy, Мхг= $$ yzdxdy, Мху = z2(ixdy- (19.33)
s	s	s
Моменты инерции цилиндрического тела. Моменты инерции цилиндрического
тела, ограниченного поверхностью z=f(x, у), ее проекцией S на плоскость Оху
и проецирующим цилиндром с образующими, параллельными оси Ог, относитель-
но этой оси и относительно плоскостей Огх, Оуг выражаются формулами
1г=	(х2-\-y2)zdxdy,	(19.34)
з
278
[гк= J J y2zdxdy, 1уг = J J x2zdxdy.	(19.35)
s	s
При вычислении двойных интегралов в формулах (19.26) — (19.35) во
многих случаях целесообразно перейти к полярным координатам.
Пример 19.21. Найти массу круглой пластинки радиуса R, если поверх-
ностная плотность р(х,у) материала пластинки в каждой точке Р(х, у) про-
порциональна расстоянию точки Р от центра круга.
Начало прямоугольной декартовой системы координат поместим в центре
круга, тогда координаты любой его точки удовлетворяют соотношению х2 -\-y2^.R2.
Расстояние от точки Р(х,у) до начала координат определяется формулой d =
=^х2+у2, поэтому в соответствии с условием будем иметь р(х, у) =k -ф^+у2,
где k — коэффициент пропорциональности.
По формуле (19.26) имеем	k -jx2 + у2 dxdy, где S — круг x2+y2^R2.
s
Переходя к полярным координатам, находим
.=W ^Р=/Ш^== Г=4^3
00	о 11 1° о|оЗ
Пример 19.22. Найти статические моменты М„н Му фигуры, лежащей
в первой четверти, ограниченной эллипсом х2/а2-\-у2/Ь2=\ и координатными
осями, если в каждой точке фигуры плотность пропорциональна произведению
координат этой точки.
По условию имеем р(х, у) =kxy, где k — коэффициент пропорциональности,
поэтому формулы (19.27) для данного случая примут вид
Мх = j j kxyydxdy, Му = J j kxyxdxdy,
s	s
где S —область, ограниченная дугой эллипса y=(b/a) ^d2—x2 (x^O, r/>0)
и координатными осями.
Найдем сначала статический момент данной фигуры относительно оси Ох:
kxy2dxdy= dx	kxy2dy.
S	0	0
Так как
/а! —х’	—	,
kxy2dy=kx^r-	= Л- (л/а4-х2)3, то
J	о о	• о а
о
М.= \ 4 4	= -g- J х(а2—x2)3/2dx =
J О (J	Of* "
0	0
0
(a2—x2)3/2 a
5/2 о
kb3a2
~15“
Аналогично находим статический момент фигуры относительно оси Оу.
Му =
kx2ydxdy —
279
kx2 b2 2	, kb2 C
__(a2-x2)dx=-y- }
2 . kb2 f 4
x2dx------5- \ x'dx=
2a2 J
0
kb2 x3 kb2 x5 “	kb2 a3
2	3 0	2a2 5 0	15
Пример 19.23. Найти центр тяжести фигуры, указанной в примере 19.22.
Координаты центра тяжести плоской фигуры определяются формулами
(19.28). Статические моменты Мх, Му найдены в примере 19.22, осталось вы-
числить массу данной фигуры.
По формуле (19.26) находим
т =
а
kxydxdy = j
Sr Ц
kxydy = \ kx-^-
С kx b2 2 2ч J C kb2
= J “2“ <a ~* )dx= J ~2~xdx —
о	0
f kb2 з
J
0
fe&2	X2 kb2	x4	•	kb2a2
2	2	0	2a2	4	0	8
Так как Mx—kb3a2/\5, My—kb2a3/15, то по формулам (19.28) имеем
xo=A4s//n = 8a/15, t/o=Afx/m = 86/15.
Пример 19.24. Найти центр тяжести однородной фигуры, ограниченной
параболой </2 = 4ах4-4а2 и прямой у = 2а —х.
Воспользуемся формулами (19.29), для чего вычислим предварительно
входящие в них двойные интегралы.
Найдем сначала интеграл, стоящий в знаменателе; он выражает площадь
данной фигуры. Решая совместно уравнения у2=4ах-)-4а2, у = 2а—х, находим
точки Л(0,2а), В(8а,—6а) пересечения параболы и прямой (рис. 19.22).
В области АВС при фиксированном ух меняется от {у2 — 4а2) /4а (абсцисса
точки М) до 2а—у (абсцисса точки 7V; выражения для абсцисс точек М и N
получены из уравнений линий решением относительно х), а у меняется от
— 6а (ордината точки В) до 2а (ордината точки Л). Следовательно,
2а
2а—у
2а
(у2 — 4а2) /4а
— 6а
0	//2-4а2
2а—у-----------
*	4а
3
— 6а
Вычисляем интегралы, стоящие в числителях фор-
мул (19.29):
s
2а
— 6а
2а — у
j xdxdy
— ба (у2 —4а2)/4а
2а
.2
2а —у
dy=
(у2 — 4а2)/4а
2а	4
5(за2-4ау+4</2-7|?
_1_
2
— 6а
256 з
5
2
280
2а
JJ</dxd</= J
S	— 6a
2a — у	2a
f . . С /„	2 У3 \ u 128 3
J	ydydx =	[3ay —y2— dy=-----------------g-a3.
(y3 — 4as)/4a	—6a
По формулам (19.29) находим координаты центра тяжести:
(256/5) а3 12а	-(128/3) а3
Х°~ (64/3)а5	5~' Уо~ (64/3)а2	“ -2“'
19.8. Несобственные двойные интегралы
Интегралы, распространенные на неограниченную область. Рассмот-
рим функцию fix, у), определенную в неограниченной области 5. Предположим,
что функция f(x, у) интегрируема в любой конечной части S' области S,
т. е. существует двойной интеграл
/= $$ f(x,y)dxdy.	(19.36)
S'
Кривую у, отсекающую область S', всеми ее точками станем удалять в бес-
конечность так, чтобы наименьшее расстояние R от ее точек до начала ко-
ординат неограниченно возрастало, а отсекаемая ею переменная область S'
постепенно охватывала все точки области S.
Несобственным интегралом от функции f(x,y) в неограниченной области
S называется предел (конечный или бесконечный) интеграла (19.36) при /?->-оо:
\\f(x,y)dxdy= lim J j f (x, y)dxdy.	(19.37)
s	R-*oo s,
В случае существования конечного предела интеграл (19.37) называется
сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Функция, для которой интеграл (19.37) сходится, называется интегри-
руемой (в несобственном смысле) в области S.
Приведение двойного интеграла к повторному. Пусть функция f(x,y)
задана в неограниченной области любого вида. Полагая ее равной нулю вне
этой области, всегда можно свести дело к случаю неограниченной прямоуголь-
ной области — одному из прямоугольников: Pi = [a, Ь; с, оо], Р2 = [a, оо; с, d],
Р== [а, оо; Ь, оо].
Если в каждом конечном прямоугольнике (a, b; с, d] (при любых Ь > а,
d > с) существует в собственном смысле двойной интеграл от данной неот-
рицательной функции f(x,y) и простой интеграл по у, то
f(x, y)dxdy= J dx $ f (x, y)dy, (P — [a, oo; c, oo]),	(19.38)
P	a c
где
$ f(x,y)dy= lim J dx\ f(x,y)dy	(19.39)
a с	a c
a~+<x>
в предположении, что повторный интеграл сходится.
Если функция f (х, у) меняет знак в бесконечной области S, то формула
(19.28) верна при дополнительном условии сходимости повторного интеграла
от абсолютной величины данной функции:
ОО оо
$ dx\ \f(x,y)\dy.	(19.40)
a b
Двойные интегралы от неограниченных функций. Пусть функция f (х, у)
задана в ограниченной области S, но оказывается неограниченной в окрест-
281
ности некоторой точки Мо(хо, t/o), а в любой части области S, не содержащей
этой точки, она является интегрируемой в собственном смысле.
Выделим особую точку Л4о, окружив ее кривой у о. Если удалить из обла-
сти S окрестность, ограниченную кривой уо, получим область S', для которой
существует двойной интеграл
/= f(x,y)dxdy.	(19.41)
S'
Станем «стягивать» кривую уо в точку Л1о так, чтобы диаметр d области,
ограниченной уо, стремился к нулю.
Несобственным интегралом от неограниченной функции f (х, у) по области
S называется предел интеграла (19.41) при d -► 0:
И f (х, у)dxdy= lim \\ f (х, y)dxdy.	(19.42)
S	rf-*0 S'
Если указанный предел существует и конечен, то интеграл (19.42) назы-
вается сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Аналогично определяется несобственный интеграл в случае, когда имеется
несколько отдельных особых точек или указанные точки заполняют особую
линию.
Замена переменных в несобственных двойных интегралах. В плоскости
Оху и Ouv рассмотрим ограниченные области S н а, связанные формулами
преобразования: x = <pi(u, п), у = ф|(и, v) или обратными им: и = <р(х, у),
п=ф(х, у) с соблюдением условий, о которых шла речь в п. 19.3 (см. фор-
мулы (19.8) и (19.9)).
Пусть в области S задана функция f(x, у), непрерывная всюду, за исклю-
чением конечного числа отдельных точек или даже кривых, где она обраща-
ется в бесконечность.
В этом случае выполняется равенство
f (х, у) dxdy = $ f (q>i (и, п), Ф1 (и, к)) |7(и, о) \dudv, (19.43)
S	ст
если сходится один из этих интегралов (сходимость другого следует отсюда).
Формула (19.43) верна и для случая неограниченных областей. Замена
переменных наряду с переходом к повторному интегралу — удобное средство
для установления сходимости несобственных двойных интегралов.
Пример 19.25. Исследовать, сходится ли двойной интеграл j	.
s Х У
где область S определена неравенствами х 1, ху 1.
Данный двойной интеграл является несобственным, так как область инте-
грирования — бесконечная часть первого квадранта, ограниченная слева пря-
мой х= 1 и снизу гиперболой ху=1 (рис. 19.23, а). Рассмотрим конечную
часть области S— область S', ограниченную линиями х=1, х=Ь, у—1/х,
y=d (рис. 19.23, б, область MDAB). В области S' двойной интеграл суще-
ствует в собственном смысле (при любых b > 1, d > 1):
282
Поскольку подынтегральная функция положительна во всей области S,
то в соответствии с формулами (19.38) и (19.39) имеем
dy
х3у2
dx
х3у2
b d
lim \ dx \
Ь—► оо J J
d-*- оо 1	1 /х
Следовательно, данный несобственный двойной интеграл сходится и равен
единице.
f f dxdy
Пример 19.26. Исследовать, сходится ли \\	—, где 3 —
J \R — х — у
круг x2+y2^R2.
Данный двойной интеграл является несобственным, так как подынтеграль-
ная функция не ограничена в данной области (на границе области, т. е. на
окружности x2-\-y2 = R2, она обращается в бесконечность). Для решения во-
проса о сходимости интеграла перейдем к полярным координатам по формулам
x=pcos<p, i/ = psin<p. Имеем I /^1R2 — х2 — у2 = 1 R2 — р2, /(р, <р)=р, пределы
интегрирования: а = 0, 0 = 2п, pi(<p) =0, p2(tp)—R.
Формула (19.43) в данном случае примет вид
f Г dxdy f С pdpdtf
S	' а
Так как
2я R
i i	( М (^-р2)-,/2(-4-^(₽2-р2)) =
1	Г* (/?2_p2)'/2	f"
---4- \ J’ d<p = \ Rd<p = 2nR,
2	. j 1/z	p = o	J
о	0
TO
СC dxdy
t. e. двойной несобственный интеграл сходится и равен 2nR.
283
Пример 19.27. Установить условия сходимости интеграла j dxdy
S X’t/1
(a > 0, p > 0), где область S определена неравенствами у 1, ху J* 1.
Областью интегрирования является бесконечная часть первого квадранта,
ограниченная прямой у=1 и гиперболой ху—1.
Рассмотрим конечную часть S' данной области, ограниченную линиями
х=\/у, x—b, y=l, y — d(b>l, d>l); двойной интеграл по области S'
существует. Действительно,
х = Ь
dy =
d
d
»~а+1-(1/У)
>~a+l ____________ci
1—a y «-“+'(1
d
У

1—a
(a-l)(a-p)
a —1
ft—+1
1 —a
-P+1 i
___________(a-»+'-1)+ <rP+a7-_ll_.
(1—a)(l—P)	(a-l)(a-P)
Предел этого интеграла при 6->-оо, d~+oo существует, когда — a + l<0,
— p + <z<0, т.е. о > 1, Р > а. При выполнении этих условий (Р>а>1)
J $ x~ay~^dxdy=\ / ($ — а) (а—1).
s
+ 00	р
П ример 19.28. Доказать, что e~J'dx— .
о
Рассмотрим квадрат этого интеграла, для чего воспользуемся формулами
(17.3), (19.7) и перейдем к полярным координатам при вычислении получен-
ного двойного интеграла:
ОО	ОО	ОО	оо	оо
( J e~x2dx)	=	j e~x*dx	J e~*2dx=	j e~*2dx J e~y*dy =
0	0	0	0	0
= J J	e {x* + yl}dxdy=	j J e	₽pdpd(p*=--у J	dq^ d(e	pJ) =
oo	oo	2 о о
л/2	л/2
1 f	1 f . Л
) e о d<₽=~r ) d(₽= —•
о	0
oo	oo
Следовательно, ( \ e~x'dx\2= —	( e-‘‘dx=^-.
x J /	4 J	2
о	о
Глава 20
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
20.1. Понятие тройного интеграла.
Оценка тройного интеграла
Рассмотрим замкнутую пространственную область (Г) и функцию
f(x,y,z), определенную в этой области. Область (V) разобьем произвольным
способом на п элементарных областей (AVi), (ДЕг).......(ДЕЛ) с диаметрами
di, di, ... , dn и объемами AVi, АЕг, ... , АУ„. Наибольший из диаметров обозна-
чим буквой d. В каждой элементарной области (ДР*) выберем произвольно
одну точку Mk(Xk, уь, г*) и образуем произведение f(xk, ук, г*)ДГ*.
Интегральной суммой для функции f(x, у, z) по области V называется
сумма вида £ f(xk, ук, г*)ДИ*.
*=|
Тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области V называется ко-
нечный предел ее интегральной суммы при d —0:
f(x, у, z)dV= lim £ f(x*, у*, z*)АИ*.
V	d^O k=|
Если функция f(x, у, z) непрерывна в ограниченной области И, то ука-
занный предел существует и конечен (он не зависит от сгГособа разбиения
области И на элементарные и от выбора точек Л4*).
В прямоугольных декартовых координатах тройной интеграл обычно запи-
сывают в виде $$$ f(x, у, z)dxdydz.
V
Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных
интегралов.
Если в области V m^J(x, у, г) ^.М, то
mV^ \\\ f(x,Ci, z)dV^MV,	(20.1)
г
где V — объем области И. Эти неравенства выражают оценку тройного
интеграла.
г-i	, f f Г dxdydz
Пример 20.1. Оценить тройной интеграл J = \ \ \ —	- -	- ,
J J J д/25 — х — у — z2
где область V определена неравенствами x2-j-y2-j-z2 J&9, х2у2 + г2	16.
В данном случае область V ограничена двумя сферами: x2-)-y2 + z2 = 9,
х2-j-у2-j-г2 = 16, ее объем равен разности объемов двух шаров радиусов Л,=3
и /?г = 4 с центрами в начале координат
4	4	4	148
I/ = у2_ (/, = — л/?3 -	лЛ>? = — л (43- З3) = — л.
Подынтегральная функция принимает наибольшее значение на сфере х2 +
+y2 + z2=16, причем Л4 = 1/д/25—16= 1/3, а наименьшее — на сфере х2 +
+/ + z = 9 m=l/V25 —9 = 1/4.
285
Следовательно, в соответствии с соотношениями (20.1) имеем
1	148	^,^,1	148	37	148
—----—	—----— л, или — л</< —д— л.
4	3	3	3	3	9
20.2. Вычисление тройного интеграла
в декартовых прямоугольных координатах
Если область интегрирования V определяется неравенствами xt
z,(x, у)^г^г2(х, у), где yi(x), у2(х), г,(х, у),
г2(х, У) — непрерывные функции своих аргументов, то тройной интеграл вы-
числяется по формуле
Хг J/2(x)
$ J J f(x< У-. z)dxdydz = j dx J
V	X| l/i(x)
гг(х. 1/)
dy J f(x, y, z)dz-,
Zi(x. y)
(20.2)
область V ограничена сверху поверхностью z = z2(x, у), снизу—поверхностью
z=zi(x, у), а с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, парал-
лельными оси Ог (рис. 20.1), вырезающей на плоскости Оху область Sxj,
определенную неравенствами xi^x<x2, yt(x) ^.у^.у2(х).
Отметим, что порядок интегрирования может быть изменен; тройной
интеграл можно вычислить шестью различными способами (в формуле (20.2)
первое интегрирование совершается по z, второе — по у, третье — по х; оста-
вив первое интегрирование по г, можно поменять местами второе и третье;
далее, можно совершить первым интегрирование по х, а также по у).
В частном случае, если функции yi (x), 1/2(х), г, (х, у) и г2(х,у) являются
постоянными yi, у2, Zi, z2, область интегрирования представляет собой прямо-
угольный параллелепипед, и формула (20.2) принимает вид
Х2 У2 Zj
f(x,y,z)dxdydz= \ dxjj dy J f(x, у, z)dz.	(20.3)
V	Xi 1/1 Zi
Пример 20.2. Вычислить тройной интеграл
13	2	13	2
j dx $ dy $	(x+y + z)dz=	\ { $	[$	(x+y + z)dz] dy} dx.
0	0	0	0	0	0
Это интеграл вида (20.3). Пределы интегрирования в каждом из интег-
Рис. 20.1
ралов постоянные. Область интегрирования —
прямой прямоугольный параллелепипед с из-
мерениями а=1, Ь = 3, с=2, одна из вер-
шин которого находится в начале коорди-
нат. Вычисляем сначала внутренний интег-
рал, заключенный в квадратные скобки,
считая х и у постоянными:
$ (x + (/ + z)</z=(xz + t/z+ -у-
0
г=2
2=0
= 2х + 2у + 2 = 2(х + у+1).
Второй интеграл, находящийся в фигурных
скобках, принимает вид
3	2
$ [ $ (x+y + z)dz}dy =
о о
286
3	3
= J 2(x + i/+1 )dy = 2 $ (x + y+l)dy;
о	0
находим этот интеграл, считая х постоянным:
2 j (x+y+})dy=2(xy+-^-+y^
= 2(3x4-9/24-3) = 6x4- 15.
Вычислим, наконец, внешний интеграл:
13 2	1
S { 5 [$ (*+y + z)dz] dy} dx = J (6x+15)dx= (Зх2 + 15x) Ц=18.
ООО	о
Замечание. Интегрирование можно производить и в другом порядке.
В частности,
2	3	1	2	3	2
j dz dy	(x + y-)-z)dx =	dz	^i/4-z4—dy= (64-3z)dz= 18.
0	0	0	0	0	0
Пример 20.3. Вычислить интеграл )) ] ydxdydz, где V — треугольная
v
пирамида, ограниченная плоскостью 2x-j-y + z — 4 = 0 и плоскостями координат
(рис. 20.2, а).
Прежде всего расставим пределы интегрирования в данном тройном ин-
теграле. Плоскость 2x+y+z— 4=0 пересекает плоскость Оху по прямой
2%+// + 2 — 4=0, z = 0, или 2x4-1/ — 4 = 0, z = 0. В плоскости Оху эта прямая,
проходящая через точки А и В (рис. 20.2, б), определяется уравнением
2x4-1/ — 4 = 0. Треугольник ОАВ и его внутренние точки являются областью
Sxy изменения переменных х и у (в эту область проецируется данная пирамида
на плоскость Оху). Очевидно, х изменяется в промежутке [0,2], т.е. 04^х^2,
при фиксированном х из этого промежутка (абсцисса точки М) у будет изме-
няться от 0 (ордината точки Л4) до 4 — 2х (ордината точки /V; получена из
уравнения прямой 2х4-у — 4 = 0). При фиксированных х и у из области Sxy
z будет изменяться от 0 до 4—у — 2х (получено из уравнения плоскости
2x4-«/4-z-4 = 0).
Рис. 20.2
287
Таким образом,
2	4 — 2х	4 — у — 2х
Щ ydxdydz — j dx J dy j	ydz.
V	0	0	0
Поскольку
J ydz = yz\’=„ y 2‘=y(4 —y — 2x) =4y — y2— 2xy,
0
4 _ 2x
j (4y — y2 — 2xy)dy= ^2y2—	—xy2} =уг(%	|	х)^=^“2Х =
= (4 —2x)2^2 —	--x) = -L(4-2x)3,
TO
2	4 —2x	4— y — 2x	2	.2
\ dx \ dy $ ydz— $	(4 — 2x)3dx=— -^-5-$ (4 — 2x)3d(4 — 2x) =
00 о	0 °	°'2 0
1	(4 —2x)4 |2	1	44	16
12	4	|o— 12	4 — 3
Замечание. Тот же результат можно получить, меняя порядок инте-
грирования. В частности, проецируя пирамиду на плоскость Оуг, сводим
данный тройной интеграл к следующему:
4	4 —z	<4 —у —2г)/2
\\\ ydxdydz=\ dz $ dy= j ydx= —.
v	000	J
20.3. Замена переменных в тройном
интеграле
Если ограниченная замкнутая область V пространства Охуг взаимно
однозначно отображается на область Vi пространства Oiuvw с помощью
непрерывно дифференцируемых функций
	x = x(u, v, w), y = y(u		V,	w), z =	= z(u, v, w)	(20.4)
и якобиан		dx	dx	dx		
		du	dv	dw_		
	J =	dy _ du	dy dv	dy dw		(20.5)
		dz	dz	dz		
		du	dv	dw		
в области Vi не обращается в нуль, т. е. J=#=0, то замена переменных в трой-
ном интеграле осуществляется по формуле
$$$ f(x, у, z)dxdydz =
v
= $ И f (* (“’ v' ’ У(и> v< z (и, v, w)) IJI dudvdw.	(20.6)
v.
288
В частности, при переходе от декартовых координат х, у, г к цилиндри-
ческим координатам р, <р, z (см. п. 1.14), связанным с х, у, г формулами
x=pcosq>, у=р sin <р, z = z (0^р<4-оо, 0^J<p<2n, —оо <z< + оо),
,	к	1	(20.7)
якобиан преобразования J = р, поэтому	'	’
/(*• У’ z)dxdydz= J j J f(pcos <j>, p sin <p, z)pdpd<p</z. (20.8)
V	V,
При переходе от декартовых координат х, у, z к сферическим р, <р, О,
связанным с х, у, г соотношениями.
х = р sin 0 cos <jp, у = р sin 0 sin q>, z = pcos0	(20.9)
(0^p< + °°. 0^<р<2л, О^О^л),
якобиан преобразования / = p2sin0 и формула (20.6) принимает вид
$$$ f(x, y,z)dxdydz =
v
= $ $ $ f (p sin 0 cos <p, p sin 0 sin <p, p cos 0)p2 sin Qdpdtpdf). (20.10)
Пример 20.4. Вычислить тройной интеграл (х2 +у2-j-z2)dxdydz, где
v
область V есть шар х2 + у2 + г2.
Перейдем к сферическим координатам по формулам (20.9). В области Vi,
являющейся образом области V, при -преобразовании (20.9) переменные р, <р
и 0 меняются в следующих пределах: р от 0 до /?, <р от 0 до 2л, 0 от 0 до л.
Так как подынтегральная функция xs + t/2 + z2 = p2sin20cos2q>-|-p2sin20sin2<p-|-
4-р2 cos2 0 = р2 sin2 0 + p2 cos2 0 = р2, а якобиан преобразования (20.9) равен
р2 sin 0, то по формуле (20.10) получим
/? л 2л
J J J (x2 + y2 + z2)dxdydz— J dp $ d0 J p2p2 sin 0rf<jp=-
V	0	0	0
Пример 20.5.
R	л	2л
= J p4dp	J	sin	0d0 j d<p =
°	0	0	°f f f
Вычислить	тройной	интеграл	j j j zdxdydz, где V — об-
.5
5“
4л/?1
v
ласть, ограниченная верхней частью конуса (х2 + {/2) //?2 = z2/ft2 и плоскостью
z = /i (Л>0).
Введем цилиндрические координаты по формулам (20.7). Уравнение кону-
са принимает вид p2/R2=z2/h2, или z= ±(h/R)p.
Новые переменные в области V, изменяются в следующих пределах: р от
д
0 до R, <р от 0 до 2л, г от -=-р до Л.
Л
По формуле (20.8) получаем
Р	Я	2л	Л	R
J j zdxdydz=	J dp	J	rf<p	(	pzdz=	t {
v	0	о	Лр/й	0	1
2л h
J [ $ pzdz pq>}dp =
0 hp/R
p-£— I d<p}dp =
P 2 I z=hp/R 1
289
Пример
20.6. Вычислить
J Vl — x2la2—y2lb2—z2/c2dxdydz, где область
V ограничена эллипсоидом х2/а2 + у2//>2 + г2/с2= 1.
Введем так называемые обобщенные сферические координаты по формулам
х = ар sin 0 cos <р, y = bp sin 0 sin ср, z = cp cos 9.
(20.11)
Якобиан преобразования (20.11), определяемый формулой
х' xi х';
У'„ У'е У’„
z; г'в z;
a sin 9 cos <р ар cos О cos <р —ар sin 0 sin q>
b sin 0 sin <p bp cos 9 sin <p bp sin 0 cos <p
c cos 0	—cp sin 0	0
равен abcp2 sin 0. Подынтегральная функция по формулам (20.11) преобразу-
ется к виду д/1 —x2ldi — y2lb2 — z2lci = ^\ — р2, а уравнение эллипсоида запи-
шется так: р2= 1, или р=1.
В области Vi переменные р, 0, <р изменяются в следующих пределах: р от
0 до 1, 0 от 0 до и, <р от 0 до 2л.
По формуле (20.6) получаем
2л
J J J -\/1 —x2ld2 — y1lb2 — z2lc2 dxdydz= J dip J df) J л/1 — p2 abcp2 sin 0Jp =
V	0	0	0
2л	л	I
= abc J dip J sin 0d0 т/l — p2 p2dp.
0	0	0
С помощью подстановки p = sin t находим первый интеграл:
1	л/2	л/2
J д/1 —р2 p2dp= J cos t sin21 cos tdt= -j— j sin22/d/ =
о	о	4 о
\ (1—cos 4Z)<7/ = JI’ .
о	16
Далее, J sin 0dO = 2, поэтому
о	2л
J /1 — x2/a2 — y2!b2 — z2lc2 dxdydz = abc " 2 J dip— ——t— 
j/	о	4
Пример 20.7. Вычислить тройной интеграл x2dxdydz, где область
v
V ограничена поверхностями z = 4y2, z = 9y2(y > 0), z —2х, z = 3x, z = 9.
Введем новые (криволинейные) координаты по формулами z = иу2
(4^u^9), z=vx (2^ц^3), z = w (0 С w С 9).
Разрешив эти уравнения относительно х, у, z, получим
Найдем частные производные функций (1) и
преобразования. Так как
вычислим якобиан данного
дх ____Q дх w дх _____________________ 1
ди ’ди v2 ’ dw v
290
то
ду   1 / w ду
ди	2 ~у и3 ' dv
По формуле (20.6), с учетом пределов изменения и, v, w, находим:
а з	я о	, I--j—
J 5 J x2dxdydz = \ du\ dv	\	-й-д/	™ dw^=
J у	4	2	о	v	2 V	«
.9	3	9
= -у j du j dv	j	u~3,2v~Aw1/2dw =
2 4	2	о
1	u~'/2	I9	v~3	I3	w9/2	I9
-	2	—1/2	|4	-3	|2	9/2	|0~
=	_______LWJ________1Д9«.3=
27 \ 3	2 / \ 27	8 /	8 -
Пример 20.8. Исследовать, сходится ли несобственный тройной интеграл
М	F’ где (Ю ~ шар *2+^2<*2
и ук —X —у —Z
Данный интеграл является несобственным, так как подынтегральная фун-
кция не ограничена в рассматриваемой области (она обращается в бесконеч-
ность на границе области, т. е. на сфере x2 + i/2 + z — У?2).
Выражаем этот интеграл в сферических координатах. Так как в данном
случае О^р^У?, 0^0^ л, 0^<р^2л, то по формуле (20.10) получаем
ш
и
dxdydz	f f f р2 sin QdpdtfdQ
R2 —х2 — у2 — z~ =
f P2rfP
о ~^R2 — p2
2л	R 2 ,
sin 9d0 dtp = 4л	**
0
Последний интеграл (несобственный)
p = /? sin t:
вычислим с помощью подстановки
f P2dp
л/2
0
R2 sin21
yjR2 — R2 sin2 t
л/2
R cos tdt= J /?2sin2/d/ =
о
Я2 V2..	„.... R2l |"/2 R2 . 0.1л/2 Я2л
= — J (l-^2/)d/=—|o	sm2/|o = —
291
Итак,
f f dxdydz
о -VF-P 4
Следовательно, данный несобственный интеграл сходится и равен л2/?2.
20.4. Приложения тройных интегралов
Объем V области V выражается формулой
V=\\\ dxdydz.	(20.12)
• v
В сферических координатах этот интеграл имеет вид
р2 sin Bdpdedcp,	(20.13)
v,
а в цилиндрических координатах
К= pdpdtpdz.	(20.14)
г.
Если тело занимает объем V и р = р(х, у, г)—плотность его в точке
М(х, у, г), то масса тела равна
т= \\\Р(х, у, z)dxdydz.	(20.15)
'v
Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам
ХО= $ 5 j р(х, у, z)xdxdydz, у0= — \\ \ р(х, у, z)ydxdydz,
т у	т у
(20.16)
Zo=------\ \ \ р(х, у, z)zdxdydz.
где т — масса тела.
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей определя-
ются интегралами
Лч,= pz2dxdydz, 1хг= py2dxdydz, Л/г = ‘$	px'2dxdydz.
v	v	v
Момент инерции тела относительно оси Ои определяется интегралом
/и = pr2dxdydz,
v
где г — расстояние точки N(х, у, z) тела от оси Ои. В частности, моменты
инерции тела относительно координатных осей Ох, Оу, Oz определяются
формулами
’Л= Р (У2+ z2) dxdydz, 1У = И Р(х2 + ?2) dxdydz,
V	V
(20.17)
/2=	Р(*2+У2) dxdydz.
v
292
Момент инерции тела относительно начала координат определяется фор-
мулой	r . г
lo = J J J р{х2 + у2 + z2)dxdydz.
v
Очевидно, верны следующие соотношения : Л—	ly— Iух	h—
Ньютоновым потенциалом тела в точке Р(£, т], £) называется интеграл
zt	fff ,	, dxdydz
«(£, т].С) = ))) P(x,y,z)-----
v	r
где V—объем тела, р = р(х, у, г)— плотность тела, г=у/(х—5)2+(</—n)2+(2-5)2 •
Материальная точка массы т притягивается телом с силой, проекции
которой Fx, Fy, Fi на оси координат Ох, Оу, Ог равны:
Х dxdydz,
(20.18)
Р
Р
Р
, dxdydz,
Z , dxdydz.
(20.19)
ограниченного поверхностями х2 +
Fx = km =km J J J
dt J
Fi = km -4y- =km J J J
Пример 20.9. Найти объем тела,
+y2 + z2 =а2, x2+y2 + z2=b2 (0<a<b), >
Данное тело ограничено сферами радиусов а и b с центрами в начале коор-
динат и конусом с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью 0.
Оно расположено над плоскостью Оху. Сечение этого тела плоскостью Оуг изобра-
жено на рис. 20.3.
Для вычисления объема тела перейдем к сферическим координатам по фор-
мулам (20.9). Уравнение сферы х2+у24-г2 = а2 примет вид р — а, так как х2 +
+ i/2-|-z2=p2sin2 9 cos2<p+p2 sin2 9 sin2 <p + p2cos2 9 = p2 sin2 9(cos2 <p + sin2q>) +
+ p2 cos2 9 = p2(sin2 9 4-cos2 9) =p2. Аналогично преобразуется уравнение второй
сферы р = 6. Уравнение конуса x2+y2=z2 примет вид 9=л/4, потому что х2 +
+ «/2 = р2 sin2 9, z2 = p2cos29, р2 sin2 9=p2cos2 9, откуда tg29=l.
По формуле (22.13) находим
2л	«з '
sin 9d9 J d<f=----5-^-
0	3
(2—Т2)л.
293
Пример 20.10. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
x24~i/2 + z2 = 4, x2 + i/2 = 3z.
Данное тело ограничено сферой х2+у24-z2 — 4 и параболоидом вращения
x2-|~i/2 = 3z; сечение тела плоскостью Oyz изображено на рис. 20.4. Для вычисле-
ния объема тела перейдем к цилиндрическим координатам по формулам (20.7).
В цилиндрических координатах получаем p2 + z2=4 (уравнение сферы), p2 = 3z
(уравнение параболоида). Отметим, что при постоянных значениях риф внутри
тела z изменяется от р2/3 (для точки N пересечения с поверхностью параболоида)
до	(для точки М пересечения с верхней частью поверхности сферы).
При постоянном ф р изменяется от 0 (для точек, лежащих на оси Ог) до наиболь-
шего значения в точках линии пересечения данных поверхностей, так как с возрас-
танием z р для поверхности параболоида возрастает, а для шара убывает (что
видно из уравнений поверхностей). Для линии пересечения поверхностей х2 +
-|-i/24-z2 = 4 и х2+у2 — 3г имеем z2 + 3z —4 = 0, откуда Zi = l, z2=—4 (второй
корень дает мнимые значения для р). Следовательно, для точек линии пересечения
z=l, р=-\/3; внутри тела р изменяется от 0 до -\/3. Заметив еще, что ф изменяется
от 0 до 2л, по формуле (20.14) получим
2 л	f	-/4 —р2	2л . /З	з .
V= J dtp Jj pdp J dz = J dtp j (p V4 —P2-------------) dp =
о о p73	oo	6 '
Пример 20.11. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом
х2/а2+у2/Ь2 + г2/с2 = 1.
При наличии выражения х2/а2+у2/Ь2 + г2/с2 в уравнении поверхности поле-
зен переход к обобщенным сферическим координатам по формулам (20.11).
Якобиан в этом случае равен abcp2 sin 0.
Уравнение данной поверхности в новых координатах примет вид р=1 (ибо
x2/a2+p2/&24-z2/c2 = p2 sin2 0 cos2 ф-j-p2 sin2 0 sin2 ф + р2 cos2 0 = p2), поэтому
для данного тела р изменяется от 0 до 1. Заметив, что 0<0<л, 0<ф<2л,
по формуле (20.6) получим
2 л	л ]
V= J ) } dxdydz = ) dtp j t/0 j abcp2 sin Qdp —
V	0	0	0
2л я j	2 л
= aftcj —sin0d0= (-cos0)|Mv= -4-nabc.
о о °	d о
Итак, V= (4/3)nabc\ в частном случае, при a = b=c = R, получаем объем
шара x2 + y2 + z2 = R2, У=(4/З)л7?3.
3 а м е ч а.н и е. Поскольку эллипсоид симметричен относительно координат-
ных плоскостей, то можно найти объем 1/8 части данного тела. При вычислении
интеграла нужно иметь в виду, что в этом случае Osjp< 1, О<0<л/2, 0<ф<
^л/2, т. е. верхние пределы интегрирования по 0 и ф отличны от предыдущих.
Пример 20.12. Найти массу шара x2+{/2-(-z2<2/?z, если плотность
в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию ее до начала координат.
Пусть N(х, у, z) — произвольная точка данного шара, тогда ее расстояние
d до начала координат выражается формулой d=Vx2+{/2 + z2, поэтому плотность
р в соответствии с условием задачи определяется формулой р(х, у, г) =
= k/^jx2+y2+z2, где k — коэффициент пропорциональности. По формуле (20.15)
294
имеем
т— ( Ц---------------dxdydz,
г д/хЧг/Чг2
где область V ограничена сферой x2-|-t/2+z2=2Rz. Для вычисления данного
интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам (20.9). Подынте-
гральная функция fe/-\/x2 + i/2 + z2 = fe/p, а уравнение сферы х2+у2 + z2 = 2Rz
примет вид p — 2R cos 0.
По формуле (20.10) находим
v V* +*/ +* v, Р
2л л/2	2/?cos0	2л л/2
= dtp J d0 J psin0dp = fej dtp J 2/?2 cos20 sin 0dO =
ooo	oo
2ГЛ /	cos3 0 \ I ”/2	2	2cl	4
= 2kR2\ ( -	„ )	dtp=-^-kR2\ dtp=-^-nkR2.
0 \	3 / I о	3	'	3
Пример 20.13. Найти центр тяжести шара x2+j/2 + z2< 2#z, если плот-
ность в каждой точке его обратно пропорциональна расстоянию до начала коор-
динат.
Воспользуемся формулами (20.16). Массса т была определена в предыду-
щей задаче (см. пример 20.12). Из соображений симметрии следует, что хо=О,
i/o=O. Найдем го:
Н( k^xd.y^z—.
Вычислим этот интеграл, перейдя к сферическим координатам!
. . , ,	2л	л/2	2R cos	0 t
j $	kzdxdydz	_k	\	j	M	J —1— p2sin	0pcos 0dp =
V	~\/x1 + y‘2-\-Z2	0	0	0	P
2л л/2	2R cos 0
dtp ] sin 0 cos Odd J p2dp =
0	0	0
u f j T 8Я3 cos3 0 . n „ Jn
= й ) dtp J -x---sin0cos0a0 =
oo	3
cos40d(cos 0) = —
8kR3 2f" cos5 0
3 Й 5
| ”/2
dtp= nkR3.
1 о 15
Следовательно,
_ 1 f r f kzdxdydz
^+у2+г2
-----!----5- 4т- nkR3 = -i- R-
(4/3) л*Я2 15	5
Замечание. Координаты xo = O .и yo = O можно получить с помощью
первых двух формул (20.16).
295
Пример 20.14. Вычислить момент инерции однородного куба относитель-
но одного из его ребер.
Начало прямоугольной декартовой системы координат поместим в одной
из вершин куба, а оси направим вдоль трех взаимно перпендикулярных ребер.
Обозначим через а ребро куба и найдем его момент инерции относительно оси
Ог, воспользовавшись третьей из формул (20.17). Так как куб является одно-
родным, то в указанных формулах можно положить р = 1:
а а а
А== И j (х2 +у2) dxdydz = $ $ $ (х2 +у2) dxdydz =
V	000
а а	а	а	а
==$ dx\	dy\	(x2+y2)dz=a )	dx}	(x2+у2)dy =
0	0	0	0	0
Глава 21
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
21.1.	Криволинейные интегралы первого рода
Рассмотрим пространственную кусочно-гладкую кривую, ограниченную
точками Л и В (рис. 21.1), и определенную на ней непрерывную функцию/(х, у, г) =
= f(M), где М(х, у, г) —точка кривой. Дугу АВ разобьем точками Afi, М2, ...
..., Мп-1 на п элементарных дуг	1,2...п;
Мо=А, Мп=В), длины которых обозначим соответ-
ственно через Д/i, Д/г,... , Д/л, а наибольшую из этих
длин — через X. На каждой из элементарных дуг
Mi-iMi выберем произвольно одну точку Л1'(х[, у',, г')
и составим сумму
п
In=E	(21.1)
/=1
называемую интегральной суммой для функции /(х, у, г)
по длине дуги кривой АВ.
Криволинейным интегралом первого рода или
криволинейным интегралом по дуге кривой АВ от
функции f(x,y,z) называется предел интегральной
суммы (21.1) при Х->0:
п
$ f(x,y,z)dl = lim X f(x'i,y'i'Zi)bl‘-
АВ	0 1=1
На кривой АВ, целиком лежащей на плоскости Оху, функция ( от координаты
г не зависит, поэтому по определению имеем
j f(x, y)dl = lim X fix', у,')Mi.
AB	X-n-Oi = x
Если подынтегральную функцию f(x,y,z) >0 рассматривать как линейную
плотность кривой АВ, то криволинейный интеграл первого рода представляет
собой массу этой кривой.
Основные свойства криволинейного интеграла первого рода следующие.
1.	Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления пути
интегрирования:
j(M)dl= $ f(M)dl.
АВ	ВА
2-	j (fi(Af)±f2(Af))d/= $ h(M)dl± j h(M)dl.
AB	AB	AB
3.	j cf(M)dl = c j f(M)dl (c=const).
AB	AB
4.	Если путь интегрирования L разбит на части L\, L2, ... , Ln, то
[f(M)dl = j f(M)dl+ $ f(M)dl+„.+ $ f(M)dl.
L	Li	L,	Ln
297
Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению
определенного интеграла.
Если пространственная кривая L задана параметрическими уравнениями
x=x(t), y=y(t), z = z(t) (а</<р), то
j f(x,y,z)dl= [ f(x(t), y(t), z(/)) sjx^ + y^ + z'^dt. (21.2)
L	a
Если кривая L лежит в плоскости Оху, то
$ f(x,y)dl= [ f(x(t), y(t})^x'2+y'2dt.	(21.3)
L	a
В частности, для плоской кривой, заданной уравнением у = у(х) (а^х^ Ь),
имеем
ь
$ f(x,y)dl= J f(x, y(x))^T+y^dx.	(21.4)
La
Если плоская кривая задана уравнением р=р(<р) (aejtp^P) в полярных
координатах, то
J /(*, у)dl= f(p cos <р, р sin <р) Vp2-|-p'2d<p.	(21.5)
L	a
Если кривая задана уравнением x=q(y) (c^y^d), то криволинейный интеграл
вычисляется по формуле
d
$ l(x,y)dl= j f(<f>(y), y)^i+x'2dy.	(21.6)
L	c
Пример 21.1. Вычислить криволинейный интеграл j (x?+8xy)dl, где
L
L — дуга кривой 4p = x4 между точками, для которых х=0, х=1.
Поскольку у' = х3, dl = -yjl +x6dx и на дуге кривой 4у=х* функция f(x,y) =
= (х54-8хр) =х54-4у-2х = х54-х4-2х = 3х5, то по формуле (21.4) находим
$ (x5 + 8xi/)d/= J Зх5 Vr+x®dx=3 $ (1 4-х6)1/2-i-d(l +х6) =
/	Л	П	Ь
x'=l/y, dl =
1	(1-1- Х6)3/2 I 1	1 г-
=	-^,7	=4-(2д/2-1).
2	0/2	। о □
Пример 21.2. Вычислить J у ~^у2^- Idl, где L — дуга кривой х = 1п у
L
между точками, для которых у=1, у = 4.
Применяем формулу (21.6). В данном случае с=1, d — 4, х = <р(у) =1п у,
14------\rdy- —!— -\1у2+ Ыу, поэтому
У У
$ У^+ J </Vl/2+> —лЛ/2+ ^У =
L	I	У
4
3
+y)l,=(4-+4) -(4-+1)
= 24.
298
Пример 21.3. Вычислить криволинейный интеграл j (2x+y)dl, где
i.
контур треугольника АВО (рис. 21.2) с вершинами 4(1,0), В(0, 2), 0(0,0).
В соответствии со свойством 4) криволинейного интеграла первого ро,..а имеем
\(2x+y)dl = J (2x + y)dl+ J (2x+y)dl+ \ (2x+y)dl.
L	AB	BO	04
На отрезке AB y— —2x (-2, поэтому y'=—2, dl=/l +y'?dx— -\l5dx. Ha
отрезке BO x = 0, x' = 0, dl— -y'l + x’2dy — dy, на отрезке OA y — 0, y' = 0, dl =
= ~\ll+y'2dx=dx. Принимая во внимание свойство 1) криволинейного инте-
грала, используя формулы (21.4) и (21.6), получаем
1 ?
j (2x + y)dl= J 2д/5</х + jj ydy +
L	oo
1	2
+ 2xdx = 2 x/5 x| J-)—y~— | o + x2| o = 3 + 2 -/5.
о	2
Пример 21.4. Вычислить \ (x-f-y)dl, где L —
l	Рис. 21.2
сток лемнискаты p = aysin2<p, расположенный в первом коор-
динатном углу.
Линия L задана уравнением в полярных координатах, поэтому здесь целе-
сообразно воспользоваться формулой (21.5).
Так как р'=а cos 2<p/Vsin 2ц>, то х/р2 + р'1 = -у/a2 sin 2ф + (a2 cos22<p) /sin 2<p -=
=a/-Vsin 2<p = a2/p.
Заметив еще, что*0^ф< л/2, т. е. а = 0, р = л/2, по формуле (21.5) получим
л/2	2 j
г	с	а аф
\ (x + y)dl= (р cos ф + р sin ф) =
L	0	р
п/1
= а2 j (cos ф + sin ф)йф = а2(в1п ф —cos ф) |о/2 = 2а2-
о
Пример 21.5. Вычислить J (2x+4i/ —4z + 7)d/, где L — отрезок прямой
L
между точками М।(8, 9, 3), Л12(6, 10, 5).
Составим сначала уравнения прямой, проходящей через точки и Л12:
х—8 у — 9 г —3 х—8	у — 9	z —3 '
CT =-10=9- =-5=3 ’ «ли—^ = — = — =/•
Таким образом, получаем параметрические уравнения прямой:
х = 8— 2/, </=9 + Л г = 3 + 2Л
Точка М пробегает отрезок М\Мг, когда t изменяется от 0 до 1, т. е. =0,
<2= 1. Так как х'= — 2, у' = 1, г'= 2, то dl= л/*,2+‘/'2 + 2':!сг< = л/4 + 1 + 4d/ =
= 3dt.
По формуле (21.2) находим
1
( (2x + 4i/-4z + 7)d/= $ (2(8-2/)+4(9 + 0-4(3 + 2/)+7)3d<=
L	0
299
-3 j (47-8/)d/ = 3(47/-4/2) |J = 3(47-4) = 129.
0
Пример 21.6. Вычислить J xydl, где L — дуга винтовой линии x —
I
=acost, y — a sin t, z — bt, ограниченной точками, для которых / = 0, t=n/2.
Применяем формулу (21.2). Поскольку х'= — a sin Л и'= a cost, z' = b, то
д/х'2+/2+z'2= д/а2 + Ь2 и
я/2
j xydl= acos /-/>sin t -^d2 + b2dt=
l о
л/2	л/2
= ab V“2+(>2 j cos t sin tdt = ab -\]a2-(-b2 J sin td(sin t) —
о	0
, гт д-. 2 sin2/ I "/2 . ab гг-т-гг
= ab л1а2 + Ь2—5—	=-—-/a2 + b2.
Z 1 o	z
21.2. Криволинейные интегралы второго рода
Пусть дана дуга пространственной кусочно-гладкой кривой, ограни-
ченная точками А и В (см. рис. 21.1), и определенная на ней непрерывная вектор-
функция
F(х, у, г) = Р (х, у, г) 1 + Q (х, у, г) j + R (х, у, г) к.	(21.7)
Дугу АВ разобьем на п элементарных дуг Д,_|Д, (/= 1, 2, ... , п; Ао—Д,Ял=В)
точками Hi (xi, г/,, Z]), А2(хц, у2, г2), ... , A„-i (х„_ь </„_], Zn-t). На каждой дуге
Л,_|Д, выберем произвольно точку М(х', y't, г'), значения функций в точке
Р(х', </-, z-)	Q(x-, у-, z') = Q (М,), R(x'i, y't, z'i) =R(Mi) умножим на проек-
ции этой дуги соответственно на оси Ох, Оу, Ог, которые обозначим через Дх,,
Ду,, Az„ причем Дх, = х, —х,_|, dyi=yi — yi-i, &zi=Zi—Zi-i. Из полученных про-
изведений составим сумму
Л= У (P(Ml)Axl+Q(Mi)Ayl + R(Mi)^Zi),	(21.8)
i= 1
называемую интегральной суммой по координатам для вектор-функции (21.7).
Обозначим через X длину наибольшей из проекций Дх/, Д</,, Дг,.
Криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом
по координатам х, у, г называется предел интегральной суммы (21.8) при X—»-0:
$ Р(х, у, z)dx + Q(x, у, z)dy + R(x, у, z)dz =
АВ
= lim У (Р(Л4,)Дх, + (?(Л1,)Д1/, + Л(Л1,)Дг,).
Х-0
На кривой L, целиком лежащей в плоскости Оху, функции Р, Q, R не зависят
от z, Дг,= 0, dz — О, поэтому
\ Р(х, у)dx+Q(x, у)dy= \im У (P(Mi)bxi+Q(Mi)byi).
L	’•-О /= 1
Если функции P,'Q, R рассматривать как проекции некоторой переменной
силы F на координатные оси, то криволинейный интеграл второго рода выражает
300
работу силы F=(P,Q,R), точка приложения которой описывает кривую L.
Криволинейный интеграл второго рода зависит от выбора направления обхо-
да кривой; если изменить направление обхода, то интеграл меняет знак:
$ Pdx-\- Qdy + Rdz= — J Pdx-\- Qdy-\-Rdz.
AB	BA
Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны формулой
J Pdx+Qdy-^-Rdz— j (В cos a + Q cos р +7? cos у) d/,
AB	AB
где a, p, у — углы между осями координат и направлением касательной к линии
АВ, отвечающим направлению интегрирования для интеграла в левой части.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода также сводится к вычис-
лению определенного интеграла.
Если линия L задана параметрическими уравнениями x=x(t), y = y(t),
z = z(t) (a^/^P) и значению а соответствует точка А, значению р — точка
В, то
J Р(х, у, z)dx+Q{x, у, z)dy + R(x, у, z)dz =
АВ
= [ (Р[х(/),//(/),z(/)]x'(/)+Q[x(/), y(t), Z(t)]y'(t) +
а
+ R[x(t),y(t),z(t)]z'(t)ldt.	(21.9)
В частности, для кривой L, лежащей в плоскости Оху, получаем
j P(x,y)dx+Q(x\y)dy = ( (P[x(/),i/(/)]x'(/) + Q[%(/), y,(t)]y'(t)]dt.'
AB	a
(21.10)
Если плоская кривая L задана уравнением у=у(х)	то
ь
$ Р(х, y)dx+Q(x, y)dy = J |Р[х, i/(x)] + Q [x, y(x} ]/(x) }dx. (21.11)
AB	a
Пример 21.7. Вычислить криволинейный интеграл второго рода J x2dx-|-
.	L
+xy2dy, где L — отрезок прямой от точки Л(0, 1) до точки В(1, 2).
Уравнение прямой, проходящей через точки Л и В, имеет вид у=х+ 1> поэтому
на отрезке АВ dy = dx. Подставляя в подынтегральную функцию вместо у его
выражение через х (у = х-\- 1) и замечая, что при перемещении от А к В х меняется
от 0 до 1, по формуле (21.11) получаем
1	1
J x2dx + xy2dy = J x2dxA-x(xA-l)2dx= J (х2 + х(х2 + 2% + 1))dx =
L	0	0
= $ (x3 + 3x2 + x)dx= (-А- +*3+	|0=-J--
Пример 21.8. Вычислить J (х3+</)^+ (x-\-y3)dy, где L — ломаная ЛВС
L
(рис. 21.3), причем Л(1, 1), В(3, 1), С(3, 5).
301
Так как контур интегрирования L состоит из двух отрезков АВ и ВС,/то
j (x3 + y)dx+(x + y3)dy = $ (x3+y)dx+ (x+y3)dy+
L	AB
+ $ (*3 + y) dx + (% 4- y3) dy.
вс
На отрезке AB, уравнение которого y = 1, имеем dy~0; на отрезке ВС, урав-
нение которого х = 3, имеем <Ух = 0, поэтому
з
$ (x3 + y)dx+ (x + y:>')dy= j (х3+ l)dx+ (х2 + 1)0 +
L	1
5	3	5
+ ) (33 + {/)0+ (3 + y3)dy= j (++l)dx+ ( (3 + p3)dp =
'	1	1
Пример 21.9. Вычислить криволинейный интеграл вто-
рого рода j y2dxA- (x2 + z)di/+ (х + y + z2)dz, где L —
L
отрезок прямой в пространстве от точки Л(1, 0, 2) до точки В(3, 1, 4).
Составим сначала уравнения прямой, проходящей через точки А и В:
х— 1 у —0	г —2
ТП- Т^О" ~ 4-2 ’
Из параметрических уравнений прямой х— 1 + 2/, y = t, z — 2A~2t получаем dx =
=2dt, dy=dt, dz = 2dt.
Из этих же уравнений видно, что при перемещении от точки А к точке В
параметр t меняется от 0 до 1, т. е. пределы интегрирования в формуле (21.10),
которой воспользуемся, равны соответственно а = 0, ₽=1.
По формуле (21.10) находим
* 1
$ y2dx+(x2 + 2)dy+(xA-y + z2)dz= j t22dt+((l+2t)2 +
L	0
+ (2 + 2/))d/+ ((1 +2/) +/+ (2+2t)2)2dt =
i
= j [2/2+(l+4/ + 4/2 + 2 + 2Z)+2(l+3/ + 4 + 8/ + 4/2)]d/ =
0
r	/ 1473	Xi1	QR
= \ (14/2 + 28/+13M/=(	+14/2+13/1	=	.
0	X 3	/ 1 о	3
Пример 21.10. Вычислить J (y2-f-z2)dx — yzdyA-xdz, где L—дуга вин-
L
товой линии х = /, y = 2cos/, z = 2sin/ (0^/^л/2).
Поскольку dx = dt, dy= —2 sin tdt, dz = 2 cos tdt, to
л/2
j (y2 + z2)dx — yzdy + xdz= j (4 cos2/+ 4 sin2Z)<B —
l	о
— 4 sin / cos /( —2 sin tdt) +2/ cos tdt =
302
п/2	п/2
= J (2/ cos /4-8 sin2/ cos / + 4)d/ = 2 J /cos/dZ-J-
0	0
л/2	л/2
+ 8 J sin2/d(sin 0 +4 J dt = 2t sin Z|£/2-|-2 cos tl o/2 +
0	0
+ _Lsin3Zi^+4Zi^=3„+ _L.
Замечание. Интеграл t cos tdt вычислен с помощью метода инте-
o
грирования по частям:
л/2	л/2
) lcos/d/ = J ld(sin t) = t sin /| J/2 —
. о	0
л/2
— J sin tdt = t sin /|o/2 + cos /|o/2= -5-1.
0	2
21.3. Формула Грина. Условия независимости
криволинейного интеграла от пути
интегрирования
Если L — кусочно гладкий контур, ограничивающий на плоскости Оху
область 5, а Р(х, у), Q(x, у) — функции, заданные в замкнутой области S и имею-
щие в ней непрерывные частные производные, то справедлива формула Грина
ф.Р(х, y)dx+Q(x, y}dy= J ----------------------dxdy, (21.12)
где обход контура выбирается так, чтобы область S оставалась слева.
Криволинейный интеграл \ Р(х, y)dx-\-Q(x, y)dy, где контур L целиком
L
лежит внутри односвязной области S, в которой функции Р(х, у) и Q(x, у) непре-
рывны вместе со своими частными производными, не зависит от пути интегрирова-
ния тогда и только тогда, когда
В этом случае подынтегральное выражение представляет собой полный диф-
ференциал некоторой функции Р(х, y)dx+ Q(x, y)dy=dU(х, у) и
$ Р(х, y)dx+Q(x, y)dy=U (х2, у?) —U (х>, у,),	(21.14)
L
где A4i(xi, уО —начальная, Л42(х2, у?) —конечная точки пути интегрирования.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру в этом случае равен нулю:
ф Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0.
L
Криволинейный интеграл
/= J P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz,	(21.15)
L
303
где L — контур, целиком лежащий в односвязной области (V), в которой функ-
ции Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) непрерывны вместе со своими частными про-
изводными, не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда выпол-
няются равенства
dQ _ dP dR_ = J)Q_ дР _ дР	(2116)
дх ду ’ ду	дг ' дг дх '
В этом случае подынтегральное выражение представляет собой полный диффе-
ренциал некоторой функции:
Р(х, у, z)dx-\-Q(x, у, z)dy + R(x, у, z)dz — dU(х, у, г)
и
(х2, уг. гг)
j Pdx+ Qdy + Rdz= U (х2, y2, z2) — U (xt, yt, zi). (21.17)
(*i. У<-Zi)
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру в таком случае равен нулю:
ф Pdx-\-Qdy + Rdz = O.
L
Пример 21.11. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный
интеграл второго рода 1 = ф л/Р + ^х+у (In (х + V*2+F) + ху) dy, где L —
L
контур прямоугольника с вершинами Л(3, 2), В(6, 2), С(6, 4)/)(3, 4).
Преобразуем этот интеграл по формуле Грина. Поскольку
3Q = д ([хр + In (х + д/?+р2) ]р) = Рл/х2 + р2 + 1
дх	дх	-yix^ + y1
ЭР = д(^х2 + у2) = р
дУ	ду	^+УГ '
то по формуле (21.12) имеем
/= »(р^^+К±1 -	У--\ dxdy= J J y2dxdy,
где S — область, ограниченная контуром L, в данном случае прямоугольник
ABCD (рис 21.4).
Вычисляем полученный двойной интеграл по прямоугольнику ABCD:
О	4	О з .	-л	с
j j y2dxdy~ J dx J y2dy — j dx = -^-x =56.
JCJ	Q о	4 3 I 2	3 I 3
Рис. 21.4
Пример 21.12. Вычислить криволинейный
интеграл второго рода /= j (12хр + 4z2)dx -f-
L
+ (6х2— 15p2z)dp-(- (8xz — 5y3)dz по пути L c
началом в точке 0(0,0,0) и концом в точке
В(1,1,1), предварительно установив, что он
не зависит от пути интегрирования.
Это интеграл вида (21.15), для которого
P=12xp + 4z2, Q = 6x2— 15p2z, R = 8xz — 5p3.
Так как P£=12x, Q' = 12x, Р'г = 8г, R'x =
= 8z, Q'= —15p2, R'y= — 15p2, to 7* = Q',
P'X = R'X, Qx = R'y, т. e. выполнены условия (21.16)
304
Следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования. Вычислим его
по отрезку прямой, проходящей через точки О и В. Параметрические уравнения
прямой имеют вид х = /, y = t, z = t, поэтому dx = dt, dy = dt, dz = dt. Так как на
отрезке OB 1, то
1	1
/ = 5 (12/2 + 4/2 + 6/2-15/3 + 8/2—5/3)d/= $ (30f2 —20£3)d/= (10/3 —5/4) Ц = 5.
о	о
Замечание. Этот пример можно решить и с помощью формулы (21.17).
Действительно, так как выполнены условия (21.16), то подынтегральное выра-
жение является полным дифференциалом некоторой функции
dU = (12xi/ + 4z2)dx-j- (6х2— l5y2z)dy-}~ (8xz— 5y3)dz.
С другой стороны.
... dU J , dU . , dU .
dU= ——dx-\- ——dy+ ——dz.
dx dy dz
Сравнивая два выражения для dU, получаем
1О , . 2 dU с 2 i= 2 dU о к з
—— — 12xu + 4z2, —— = 6х2 — 15w2z, —— =8xz —5u .
dx	dy	я dz
Из первого равенства, считая у и z постоянными, находим’ U = 6x2(/ + 4z2x +
+ С,; постоянная интегрирования С, является постоянной по отношению к х,
но она зависит от у и z, т. е. Ci=<p(i/, z).
Итак, (7 = 6x2i/4-4z2x4-q>(i/, г). Находя частную производную по у от функ-
ции L/:(J'y=6x2A-<(>'y(y, г) и сравнивая с выражением Uy—f>x2— 15у2г, получаем
6x2 + <pJ(i/, г) =6х2—15i/2z, откуда tp'y(y, z) — — 15(/2z, т. е. q>(y, z) = — 5y3z-\-
+ ф(г), поэтому U(х, у, z) =6x2i/ + 4z2x — 5у3г + ф(г).
Поскольку (7( = 8хг — 5у3 + ф'(z) и (Д = 8хг— 5у3, то ф'(г) =0, т. е. ф(г) —С.
Следовательно, 4/(х, у, z) =6x2i/-|-4z2x — 5y3z + С. По формуле (21.17)
находим
$ (12xy + 4z2)dx+ (6х2- 15y2z)dy+ (8xz-5y3)dz= U(l, 1, 1) -(7(0, 0, 0) =5.
L
21.4. Приложения криволинейных интегралов
Длина / дуги АВ плоской или пространственной линии вычисляется
по формуле
1= $ dl.
АВ
Если пространственная линия задана параметрическими уравнениями х =
=x(t), y = y(t), z = z(t) (a</<p),TO
/= ( ^x'2 + y'2+z’2dt.	(21.18)
а
Площадь S фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замк-
нутой линией L, находится по формуле
5= ф xdy — ydx.	(21.19)
2 L
305
Масса т' материальной дуги L определяется формулой
т = J р(х, у, z)dl,	£21-20)
L
где р(х, у, z) — линейная плотность вещества в точке М(х, у, г) этой дуги.
Прямоугольные координаты центра тяжести материальной дуги находятся
по формулам
Хо= — хр(х, у, z)dl, у0 =
т £
= —— $ УР(х> У, z)dl, z0= —— j zp(x, у, z)dl,	(21.21)
m l	'm i
где tn определяется формулой (21.20).
Если F(x, у, z)—X(x, у, z)i-j-Y(x, у, z)j-{-Z(x, у, z)k— переменная сила,
совершающая работу W вдоль пути Д, и функции Х = Х(х, у, z), Y=Y(x, у, z),
Z — Z(x, у, z) непрерывны, то
W= \ Xdx + Ydy + Zdz.	(21.22)
L
Пусть сила F имеет потенциал, т. е. существует функция U (х, у, г) такая, что
выражение Xdx-^Ydy-^-Zdz является ее полным дифференциалом dU=Xdx-\-
-f-Ydy-f- Zdz, тогда работа независимо от пути L равна
Мг	Mi
№= $ Xdx+Ydy + Zdz= J dU= U(x2, у2, z2) - U(x}, y>, z>),
M,	Mi
где M। (xi, уi, zi) — начальная, A42(x2, y2, z2) — конечная точки пути.
Замечание. Если линия L лежит в плоскости Оху, то формулы (21.18),
(21.20) — (21.22) упрощаются.
Пример 21.13. Найти массу материальной- дуги кривой 2у = х2 между
точками Л(0, 0) В(1,1/2), если линейная плотность вещества в точке М(х,у)
пропорциональна абсциссе этой точки.
Найдем выражения линейной плотности р(х, у) и дифференциала дуги.
Из условия следует, что линейная плотность выражается формулой р(х, у) = kx,
где k — коэффициент пропорциональности. Из уравнения линии у=1/2х2 находим
у' = х, поэтому dZ = y/l -\-y'2dx =	-\-x^dx. Согласно формуле (21.20), имеем
I
т= J p(x,y)dl = J kx д/1	=
L	0
= k (l+x^'^-Ldti+x2)^
о	2
k_
2
Fx2}3/2 I '	k
tJ— = — (2д/2-1).
о/Z 1 0	□ .
Пример 21.14. Найти центр тяжести дуги винтовой линии x = acos/,
y = asin t, z = bt (0 C.Z л/-), если линейная плотность в точке М (х, у, г) про-
порциональна произведению первых двух координат.
Так как х' =—a sin t, у'= a cost, z' = b, то tZZ = ~\!х'Г+у'2-\-г'2 dt =
—д/a2 sin2/ + a2 cos5/ + TPdt = д/а2 +
Согласно условию, линейная плотность выражается формулой р(х, у, г) =
= kxy, где k — коэффициент пропорциональности.
306
По формуле (21.20) находим массу данной дуги
т= J р(х, у, z)dl — J kxydl= $ ka2 cos t sin t^a2 -\-b2dt —
L	l	L
л/2
= ka2 -\/a2 + ds = $ sin fd(sin /) =
о
= ka2^+&^L\ ”/2= ka2^+^ .
2 I о	2
Итак, m = ka2 -^a2-\-b2/2.
Вычислим интегралы каждой из формул (21.21), обозначив их через Л, 1г, /з
соответственно:
Л = J хр(х, у, z)dl= J xkxydl = k J x2ydl =
L	L	L
л/2	л/2
= k ) a2 cos2ta sin / ^Ja2 + b2dt =—ka3 -^d2+b2 j cos2/d(cos/) =
0	<	0
, 3 / 2 1 <.3 cos31 I n/2 a3k -yja2-\-b2
= -ka3 -yja2 + b2 —5—	=----Ь—X------,
О 1 о	о
12— J yp(x, yyz)dl~ J ykxydl = k J xy2dl =
L	L	L
л/2	л/2
= k J a cos ta2 sin2/ ->jai-[-b‘idt=a3k -^c?-\-b2 j sin2/d(sin t) —
о	0
3, / 2 . 1.2 sin3/ I "/2	a3£ л]а2-\-Ь2
= a3k \ia-Fb	----,
«3 1 0	<5
/з=5 zp(x, y, z)dl= J zkxydl = k J xyzdl —
L	L	L
= k J a cos t-a sin t-bt ^ja2b2dt =	b-у/а2+/sin2/d/ =
0	2	0
_ ka2b -\la2-\-b2 / /cos 2/ | "/2 sin 2/ 1 ”/2\ ka2b -yja^+b2 л
2	\	2 I 0 4	4 I 0 /	2	4 '
По формулам (21.21) находим координаты центра тяжести:
__ /1 ___ a3k ~^а2 + Ь2 ' a2k ~^a2-\-b2 _ 2а
Х° т	3’2	3
/2 a3k ^/а2+ b2 ' a2k yja2-{-b2 2а
Уо~ ~т ’	3	:	2	~~ ~:
/з nka2b x/a2 + b2 . a2k -^а2-\-Ь2 яЬ
Zo~ ~т	8	:	2	~'
Таким образом, искомый центр тяжести находится в точке С(2а/3, 2а/3, лб/4).
Пример 21.15. Найти работу, производимую силой F=4x6i +xyj вдоль
дуги кривой у = х3 от точки 0(0,0) до точки В(1, 1).
307
Проекции силы X и У на координатные оси соответственно равны Х(х, у) =
= 4х6, У(х, у)=ху. Чтобы найти работу, необходимо воспользоваться частным
случаем формулы (21.22):
$ X(x,y)dx+Y(x,y)dy.
L
По этой формуле получаем
1	I
U7= J 4x&dx-^xydy — J (4x6 + xx33x2)dx — j 7x&dx = x7\l0=\.
to	о
Г л а в a 22
ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
22.1.	Поверхностные интегралы
первого рода
Интегралы первого рода. Пусть дана функция f(x,y,z), непрерывная
на некоторой гладкой поверхности (о). Разобьем поверхность (о) сетью произ-
вольно проведенных кривых (рис. 22.1) на ряд частей (Ao,), (Дог)....(Доп).
В каждой из этих частей (До,) выберем произвольно одну точку Mi(xi, yit zi),
вычислим значение данной функции в этой
точке и, умножив его на площадь соответ-
ствующей части поверхности, составим сумму
всех таких произведений
п
1п= X НК’Уь	(22.1)
/=1
называемую интегральной суммой. Обозначим
через di диаметр элементарной части по-
верхности (Да/), d — наибольший из ука-
занных диаметров.
Интегралом первого рода от функции
f(x,y,z) по поверхности (а) называется
предел интегральной суммы (22.1) при
d —*-0, где d — наибольший из диаметров
области Да,:
п
\\f(x,y,z)da= lim £ f(х„ yi, z,)Да,,
a	1=1
(22.2)
Интеграл первого рода обладает свойствами, аналогичными свойствам кри-
волинейных интегралов первого рода.
Если Цх, у, z)> 0 и функцию f рассматривать как поверхностную плотность
массы материальной поверхности (а), то интеграл (22.2) определяет массу
этой поверхности.
Когда поверхность задана уравнением z = z(x, у), интеграл (22.2) вычисля-
ется по формуле
5 $ f(x,y,z)d<j= f (х, у, z (х, у)) д/1 -J-z(2 + z'2<ixdt/.	(22.3)
a	S
Если (а) —кусочно-гладкая двусторонняя поверхность х = х(и, ц), у =
=у(и, v), z = z(u, v) ((и, v) ей), а функция f(x, у, z) определена и непрерывна
в точках поверхности (о), то
j )(х, у, z]da — f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))^/EG — F'2dudv, (22.4)
О	Й
где
E = x'u -f-у'ц -\-z'u , G =x'^-\-y0 + z„, F=x'u x(y'u y' + z'z'.	(22.5)
309
Формула (22.3) является частным случаем формулы (22.4) при z = z(x,y).
Пример 22.1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода
J^л/1 +4x2 + 4</2do, где о—конечная часть поверхности z—1 — х2 — у2, отсечен-
а
ная плоскостью z = 0 (рис. 22.2).
Проекцией рассматриваемой части данного параболоида вращения z =
= 1—х2—у2 на плоскость Оху является область, ограниченная окружностью
х2 + у2=1 (получено из уравнений поверхности и плоскости). Следовательно,
областью S в формуле (22.3) является круг х2-\-у2^.1. Так как z' =—2х,
z'y=—2у, то в соответствии с формулой (22.3) получаем
д/1 +4x2 + 4y2do=	д/1 +4х2 + 4у2 д/1 + 4х2 + 4y2dxdy =
a	s
=	(l+4x2 + 4t/2)dxdy.
5
Для вычисления полученного двойного интеграла перейдем к полярным
координатам x = pcos<p, у = р sin <р. Замечая, что в области S <р меняется от
О до 2л и р — от 0 до 1, находим
2л	1	2л	1
$$	(1 ±4x! + 4y2)dxdy =	J dtp	J	(l+4p2)pdp=	j dtp J	(p + 4p3)dp =
5	0	0	0	0
= 5 (4-+p4) |od<p=4 5d4,=3"-
о	0
Пример 22.2. Вычислить J J (3x2-f-5y2 + 3z — 2)da, где a — часть поверх-
о
ности y = ~\ix2-\-z2, отсеченной плоскостями i/ = 0, y = b.
Поверхность задана уравнением, разрешенным относительно у. Для вычис-
ления интеграла по поверхности первого рода воспользуемся формулой
$$ f(x,y,z)da = f(x, у(х, г), z)-\/l +y’2 + y'2dxdz,
a	S2
где S2 — проекция поверхности о на плоскость Охг.
Поскольку у'х = х/д/х2 + z2, I/' = z/-\/x2 + z2, то
л/Ч-«/х2+</'2 = ^l\+x2/(x2 + z2)+z2/{x2 + z2) = л/2.
Проекцией si данной поверхности на плоскость Oxz является круг x'+z2^
С*2 (рис. 22.3), поэтому при переходе к полярным координатам x=pcos<p,
у~р sin <р будем иметь 0^<р^2л, ОСр^^-
Рис. 22.2
310
По указанной формуле находим
jj (Зх2 + 5у2 + 3г2 — 2)da =	[3(х2 + г2) + 5(х2 + г2)-2]-fidxdz =
<3	S-i
2п	b	2л	b
= л/2 J <Лр j (8р2 —2)р</р = д/2 $ rf<p j (8р3 —2p)Jp =
0	0	0	0
2л	ь
=V2 j (2р4 —р2)| rf<p=
О	0
2л
= V2 J (264 —62)d<p = 2-\/2n(2Z>4 —Z?2).
О
Пример 22.3. Вычислить	x(y + z)da, где
СТ
а — часть цилиндрической поверхности х=^Ь2—у2,
отсеченной плоскостями z = 0, z = c.
Так как поверхность задана уравнением, раз-
решенным относительно х, то необходимо восполь-
зоваться формулой
$$ f(x,y,z)da= \\}(х(у, г), у, z)~>J\+x'2+x'2dydz,
G	$1
где Si — проекция поверхности о на плоскость Оуг.
Поскольку х'в= — у/^Ь2 — у2, х' = 0, то д/1 +х;2 + х/2 =д/1 +г/7(62 —!/2) =
= Ь/-^Ь2 — у2 =Ь/х.
Заметив еще, что в данном случае область S1 представляет собой прямо-
угольник ABCD (рис. 22.4), определяемый неравенствами —	0<z<c,
по указанной формуле найдем:
x(y + z)da= $$ x(t/ + z)— dydz = b (y-\-z)dydz =
a	S,	X	S,
= 6^ dy (y + z)dz = b	yz+ -y)| _dy = b	cy + -y) dy =
— b 0	— b	—b
b	b
, f , , be2 C , be 2lb .be2 I6 ,22
= bc\ ydy+ — \ dy=^y2\_+—y\_rbc-
— b	-b
22.2.	Поверхностные интегралы второго рода
Пусть в точках двусторонней поверхности а задана непрерывная
функция f(x,y,z). Выберем на поверхности определенную сторону. Разобьем
поверхность а сетью произвольно проведенных кривых на части Да,, Да2, ...
... , Ла„.
В каждой части (Да,) выберем по произвольной точке Л4,(х>, у,, zi}, вычислим
в ней значение данной функции. Это значение f (х„ у„ zi) умножим на проекцию
AS, части (Да,) на плоскости Оху (а не на площадь Да,, как это было в случае
интеграла первого рода). При этом числу AS, приписывается определенный
знак, а именно если в точках (Да,) нормаль, отвечающая выбранной стороне
поверхности, составляет с осью Oz острый угол, то через AS, обозначаем площадь
проекции Да,, взятую со знаком плюс, если упомянутая нормаль составляет
311
с осью Oz тупой угол, то под AS, будем понимать площадь этой проекции,
взятую со знаком минус. Составим сумму всех таких произведений:
п
In= £ f(Xi, У„ г,) AS,-.	(22.6)
i= 1
Интегралом второго рода от функции f(x, у, г) по поверхности о называется
предел суммы (22.6) при d->-0, где d — наибольший из диаметров элементар-
ных' областей Аа,:
\\ f(x, у, z)dxdy — lim £ f(x„ у,-, z,) ASi.	(22.7)
a	i=l
Аналогично определяются интегралы
\\ f(x, у, z)dxdz, \\f(x,y,z)dydz,
a	a
причем для выбора знака проекции элемента служит угол между нормалью,
отвечающей выбранной стороне, и осью Оу или Ох.
Наиболее общим видом интеграла второго рода служит интеграл
1 = j $ Р (х, у, г) dydz + Q (х, у, z) dxdz + R (х, у, z)dxdy,
а	*
где Р, Q, R — функции от х, у, z, определенные и непрерывные в точках дву-
сторонней поверхности о.
Интеграл второго рода обладает всеми свойствами интеграла первого рода
за исключением одного: при изменении стороны поверхности интеграл (22.7)
меняет знак.
Интегралы первого и второго рода связаны формулой
Pdydz-\- Qdxdz-\-Rdxdy= (Р cos a + Q cos 0 + У? cos y)dc,
о	a
где cos a, cos 0, cos у — направляющие косинусы нормали, направленной в ту
сторону поверхности, по которой берется интеграл второго рода.
Интегралы второго рода вычисляются следующим образом. Если поверхность
о однозначно проецируется в область S плоскости Оху и z=f(x,y) —ее уравне-
ние, то
j J R(x, у, г) dxdy — ± j $ R'(x, у, f(x, y))dxdy,	(22.8)
a	S ।
где знак плюс берется в том случае, когда на выбранной стороне поверхности
cos у> 0, и знак минус, когда cos у<0. Аналогично, если о бднозначно проеци-
руется в область $2 (или S3) на плоскости Охг (или Oyz), т. е. может быть
задана уравнением y = <f(x, г) (или x = ty(y, z), то
J J Q(x, у, z)dxdz— ± J J Q(x, <f(x, z), z)dxdz,	(22.9)
a
J J P(x, y, z)dydz= ± j j Р(ф({/, г), у, z)dydz,	(22.10)
ст	-St
где в случае (22.9) берется знак cos 0, а в случае (22.10) — знак cos а.
Пример 22.4. Вычислить поверхностный интеграл второго рода
$$ (у2 + г2) dxdy, где a — верхняя сторона поверхности г = -^а2 — х2, отсеченной
a
плоскостями у = 0, у = Ь (рис. 22.5, а).
312
Нормаль п в точке М, соответствующая указанной стороне поверхности,
составляет с осью Ог острый угол (точнее 0^а^л/2), поэтому в формуле
(22.8), которой следует воспользоваться, нужно взять знак плюс. Проекцией
5| данной поверхности на плоскость Оху является прямоугольник ABCD (рис.
22.5,6), определяемый неравенствами — а^х^а, О^у^б.
По формуле (22.8) находим
5$ (y24-z2)dxdy =	(у2 4- (^/а2 —x2)2)dxdy = J dx \ (у2 4-а2 — x2)dy =
о	S(	—а О
= $ (4+а2у-х2у) 1^4= S (4 +л-л)
— а	— а
/ h3	r3\ 1а 9
= (-т-х + а26х —6 —)	- — ab(b2 + 2a2).
\ о	j / | —a	О
Пример 22.5. Вычислить \ \ (x24-z2 -\-ay2)dxdz, где а — внешняя сторона
а
поверхности у=д/х24-г2. отсеченной плоскостями у = 0, у = Ь (см. рис. 22.3).
Нормаль к поверхности в точке А1 образует с осью Оу тупой угол, поэтому
в формуле (22.9) следует взять знак минус.
Проекцией S? данной поверхности на плоскость Oxz является круг x2-J-z2^62.
По формуле (22.9) получаем
(x2 + z24-ay2)dxdz= —	(х2 4- z2 4~ a	+ z2)2) dxdz =
a	So
= — jjj (x24-z2)(a4-l)dxdz= —(a4-l) $$ (x2-\-z2)dxdz.
Si	S2
Переходя к полярным координатам x = pcos<p, y = psin<p, находим
2л Ь	2л
(x24-z2)dxdz= jj d<p p2pdp= (j dy =
Si	„	0	u
Следовательно,
(x2+z2+ay2)dxdz= — (a+l)\\ (x2+y2)dxdz= — JLlHzLIlL..
a	St
313
Пример 22.6. Вычислить (ах2by2 + bz2) dydz, где а — внутренняя
а
сторона части полусферы x = -^R2 — у2 — z2, вырезанная конусом х=^у1-\-г1.
В формуле (22.10), которой воспользуемся, следует взять знак минус, так
как нормаль, соответствующая выбранной стороне поверхности, составляет с
положительным направлением оси Ох тупой угол:
(ax2 + by2+bz2)dydz= —	(a(R2—y2 — z2)+by2 + bz2}dydz=
a	Ss
= — $$ (a/?2+(6 — a) (y2-\-z1))dydz.
S3
Так как S3 есть круг y2 + z2^R2/2 (получено из уравнений x = ^R2— у2 — г2,
х = д/у2 + г2), то, переходя к полярным координатам, находим
2л /?/у5
$$ (а/?2+ (b — a) (y2 + z2))dydz= J d<p $ (aR2+(b—a)p2)pdp=
s3	oo
f"	f7 p2 '	p4\ |«/V2
= 1^) (aR2p+(b-a)p3)dp= )(a^-V + (ft-a)-T?|o
0	0	0
О ( aR* 1 /(.	1 Я4\ nR4 . , .
==2л(ч—г- + (6—a) Лё? = “8~ (6+3a)-
Итак, Ц (ax2 + by2+bz2)dydz=------(b + 3a).
J J	о
22.3.	Формула Стокса. Формула
Остроградского
Если функции Р = Р(х, у, z), Q = Q(x, у, z), R = R(x, у, г) непрерывно
дифференцируемы и L — замкнутый кусочно-гладкий контур, ограничивающий
конечную кусочно-гладкую двустороннюю поверхность о, то справедлива формула
Стокса
ф Р(х, у, z)dx + Q(x, у, z)dy + R(x, у, z)dz =
L	(22.11)
a
где cos a, cos 0, cos у — направляющие косинусы нормали к поверхности а,
причем направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали обход
контура L совершался против часовой стрелки (в правой системе координат).
Формула Стокса может быть записана в следующем символическом виде:
ф Pdx+Qdy+Rdz=
L	• a
cos a cos 0 cos у
d	d	d
dx	dy	dz
P	Q	R
Если a — кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая объем V, и
Р = Р(х, у, z), Q = Q (х, у, г), R=R(x, у, г) — функции, непрерывные вместе
314
со своими частными производными первого порядка в области И-|-а, то спра-
ведлива формула Остроградского
(Р cos a + Q cos 0 + Я cos y)do=^	+ "ТТ") ^Х11У^г'
а	V
(22.12)
где cos а, cos 0, cos у — направляющие косинусы внешней нормали к поверх-
ности о.
Пример 22.7. С помощью формулы Стокса вычислить криволинейный
интеграл /= ф ydx-\-zdy-\-xdz, где L — окружность х2 + y2 + z2=a2, х-\-у-\-г =
L
= 0, пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть с положительной сто-
роны оси Qx.
В данном примере Р(х, у, г) —у, Q(x,y,z)=z, R(x,y,z)=x, поэтому
R'y = 0, Q'=l, Р' = 0, R'x—\, Q' = 0, P'y=l.
По формуле (22.11) имеем
ф ydx + zdy + xdz= ( — cos a — cos 0 — cos y)da,
L	a
где a — часть плоскости x +1/+ z = 0, ограниченная данной окружностью.
Приводя уравнение плоскости x-)-y-)-z = 0 к нормальному виду, находим cos а =
= cos 0 = cos у = 1/V3.
Таким образом, ф ydx-\-zdy + xdz= —	do=— ла2 у/З, где а —
L	а
радиус круга, ограниченного указанной окружностью.
Пример 22.8. С помощью формулы Остроградского вычислить
J J (х2 cos а +г/2 cos 0 + z2 cos y)da, где a — часть конической поверхности х2 +
a
+y2 = z2 (OsgzsgA), cos a, cos 0, cosy — направляющие косинусы внешней
нормали к этой поверхности.
Формула Остроградского применима в случае замкнутой поверхности. Чтобы
получить замкнутую поверхность, присоединим к поверхности конуса соответ-
ствующую часть плоскости г = й, х2 + z/2<z2. Обозначив эту часть плоскости
через Ст1, по формуле Остроградского получим
J J (х2 cos a+у2 cos 0 + z2 cos у) da + J J (x2 cos a+y2 cos 0 4- z2 cos y)da =
a	<Ji
=	(2x-\-2y-\-2z)dxdydz.
v
Чтобы решить задачу, достаточно вычислить второй и третий интегралы.
В случае области ai cos a, cos 0, cos у — косинусы углов с осями координат
нормали к плоскости z = h, а именно: cos a = 0, cos 0 = 0, cosy=l, поэтому
j J (x2 cos a + 1/2 cos 0 + z2 cos y)da= J j z2 cos yda= J j /Л/а=Л2лй2 = nft4,
Gl	Ol	0|
так как на плоскости ai z = h и двойной интеграл равен площади круга радиуса h,
получающегося при пересечении конуса плоскостью.
Вычисляем третий интеграл, производя в нем сначала интегрирование по z
от z = тД2 + У2 до z = A, а затем двойной интеграл по области S в плоскости
Оху (эта область является кругом х2-\-у2^.h2, z = 0; она получается проеци-
рованием объема V на плоскость Оху).
315
Таким образом,
й
$$ J (2x + 2y + 2z}dxdydz = 2	[ j (x + y + z)dz]dxdy=
v	s
= 2^Г(х + {/)г+^-1Г“Й	dxdy=
st	2J|z=V^T+?lr
— 2 $5 [ (*+«/) (Л —Vx2+f/5) + -±- (h2 — x2 — y2)] dxdy.
Обозначая последний интеграл через / и переходя к полярным коорди-
натам по формулам x = pcos<p, у = р sin <р, находим
2л Л -	111
/ = 2 J J p(cos <р + sin <р) (й — р) + -5-й2-о-Р2 pdpd<P=
О 0L	Z	Z J
2(-ЛГ й4	Й4	Й4	Й41
= 2 J [~з“ (cos <Р + sin <р)-— (cos q> + sin <р) + —-g-J d<f =
2f"r й4	й41
=2 ' [77 <cos 4’+sin + 1г| d<₽ =
Г й4 .	, , й4о>] 12я лй4
= [-g- (sin «р-cos Ф) + —] |о = — .
Итак, (х2 cos а + //2 cos Р4-г2 cos y)da=--------лй4=-
„	2	2
22.4.	Приложения интегралов по поверхности
Площадь а поверхности (о) вычисляется по формуле
a=jjda.	(22.13)
a
Если р = р(х, у, г)—поверхностная плотность массы материальной поверх-
ности (о), то масса всей этой поверхности определяется интегралом
J j р(х, у, z)do.	(22.14)
a
Координаты центра тяжести Со(*о, Уо, zo) поверхности о вычисляются по
формулам
хо= Ц хр(х, у, z)d<j, i/o=-^-^ ур(х, у, z)da,
°	°	(22.15)
z0=	zp(x, у, z) da,
a
где т определяется формулой (22.14).
Моменты инерции /х, 1У, 1г относительно координатных осей Ох, Оу, Ог
316
находятся соответственно по формулам
$$ (z2 + p2)p(x, у, z)da, 1У=	(x2 + z2)p(x, у, z)da,
°	ff	°	(22.16)
Л = J) (х2 + у2)р(х, у, z)do.
- Моменты инерции Л, /», Л относительно координатных плоскостей Оху,
Охг, Оуг вычисляются соответственно по формулам
/»» = \\z2p(x,y, z)do, 1хг = \ \ у2р(х, у, z)do, 1уг= х2р(х, у, z)do.
0	0	п
(22.17)
Пример 22.9. Вычислить массу части поверхности г = ху (х>0, у^О),
вырезанной цилиндром (х2+у2)2=8хр, если поверхностная плотность р(х, у, г) =
= д/1 +хг + у2.
Так как zx — y, z'y = x, do = ^ji -\-x‘ + y2dxdy, то
т= j $ у/1 +x2 + y2do= J J V1 +xijr-yi л/l +x2-\-y2dxdy =
0	s
= 55 (1 +x2 + y2)dxdy,
s
где S — лепесток лемнискаты (x2-f-y2)2 = 8xy, для которого x>0, y^O.
В полярных координатах x = pcosq>, у = р sin <р уравнение границы области
имеет вид p = 2-\/sin 2<р (0^<р< л/2), поэтому
л/2 2\'sin 2ф	л/2	2 Vsin 2<р
j $ (1 +x2 + y2)dxdy= ) dtp J (l+p2)pdp= J dtp $	(p + p3)dp=
S	0	0	0	0
л/2	л/2
. 16 sin22q>\ ,	„ f . „	1— cos 4<p
H-----*——J dtp = 2 \ sin 2<p- -^-d(2tp)+4 I ------------d<P =
о	0
= — cos 2<pIo/24-2<p| J/2-—I =2 + л; т = л + 2.
2 |o
Пример 22.10. Найти массу части цилиндрической поверхности у =
= -\/9 —г2, отсеченной плоскостями х = 0, х = 2, если поверхностная плотность
p(x,y,z)=ky(x + z).
По формуле (22.14) находим
3	3	2
т= ky (хг) do = k y(x + z)----------dxdz = 8k J dz J (x-{-z)dx =
a	s	У _	-30
3	3
= 3k 5 (x2/2 + xz)i;z02dz = 3fe 5 (24-2z)dz = 3£(2z + z2)|3_3 = 36fe.
-3	-3
Пример 22.11. Вычислить момент инерции относительно оси Oz части
однородной поверхности сферы x2 + j/2 + z2 = /?2, для которой х^0, у^0, z^0.
317
Так как поверхность однородная, т. е. р(х, у, z) = const, то в формулах
(22.16) можно положить р=1.
Третья из формул (22.16) принимает вид
Л= $$ (x2+y2)do.
а
Поскольку в данном случае F(x,y, z) =х2-\-у2 + г2 — R2,
dxdy	^F'x2 + F'* + F'?
da=------— = —'---------------dxdy,
cos у	F'z
TO
dn_ V4xj + 4y2 + 4z2 _ Rdxdy
2г	~	'
Следовательно,
i,» jj
о	s	x У
где S — четверть круга x2-\-y2^.R2 при x >0,t/^0.
Переходя к полярным координатам,получаем
л/2 R
С С (x2 + y2)dxdy _ С , С	p3dp _ xR3
J J	“J ф J	~ 3 ' '
S	0	0
(Последний интеграл вычислен с помощью подстановки p = /?sin t.) Итак,
Л = /?л/?73 = л/?73.
Глава 23
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
23.1. Основные понятия. Необходимый
признак сходимости
Рядом называется выражение вида
ОО
Uk = III + U2 + U3 + ••• ,
k= I
где ui, и?, u3, ... , ut, ... — последовательность чисел или функций. Слагаемые
Ui, U2, и3, ... , ик, ... называются членами ряда. Если все члены ряда являются
числами, то ряд называется числовым, если члены ряда — функции, то ряд
называется функциональным.
Рассмотрим числовой ряд
X 9* = в|+вг + вз + ...	(23.1)
k= 1
Ряд (23.1) задан, если известен его общий член ak = <f(k), т.е. известно пра-
вило, по которому каждому номеру k (k = 1, 2, 3, ...) ставится в соответствие
вполне определенный член ряда.
Сумма конечного числа п первых членов ряда называется его га-й частич-
ной суммой:
S» = £ll +O2 + O3+ • + On-
Конечный или бесконечный предел частичной суммы при п->оо называется
суммой ряда:
S= lim Sn.
Л—*-ОО
Ряд, имеющий конечную сумму, называется сходящимся. Если ряд (23.1)
сходится и его сумма равна S, то используют запись
ОО
at=S.
lt=l
Если предел частичной суммы не существует или бесконечен, то ряд назы-
вается расходящимся.
Ряд, члены которого неотрицательны, называется положительным. Поло-
жительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следова-
тельно, ряд — сходящимся), если его частичные суммы ограничены сверху, и
бесконечной (а ряд — расходящимся), если суммы сверху не ограничены.
Если в ряде (23.1) отбросить первые т членов, то получится ряд
ОО
X	+ A =	I -|-От + 2-|-Gm + 3 “F ••• ,	(23.2)
Й = 1
называемый остатком ряда (23.1) после m-го члена.
319
Теорема 23.1. Если сходится ряд (23.1), то сходится и Любой из его
остатков (23.2); обратно, из сходимости остатка (23.2) вытекают сходимость
исходного ряда (23.1).
Теорема 23.2. Если ряд (23.1) сходится, то сумма rm его остатка (23.2)
после m-го члена с возрастанием m стремится к нулю: lim rm = 0.
m-^co
Теорема 23.3 (необходимый признак сходимости). Если ряд (23.1)
сходится, то его общий член стремится к нулю, т. g.
lim а* = 0.	(23.3)
t-oo
Следствие. Если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд
расходится.
Примеры числовых рядов: геометрический ряд
£ aqk~x=a-\-aq-\-aq2-[-aqz-\-... ,	(23.4)
Й=|
гармонический ряд
ОО .
1т-' + -г + т+	,23S>
Ь=1
Отметим, что геометрический ряд сходится тогда и только тогда, когда
IqI < 1; его сумма определяется формулой S=a/(1— q); гармонический ряд
расходится.
Замечание. Условие (23.3) не является достаточным для сходимости
ряда (23.1).
Пример 23.1. Найти сумму ряда
У________!_____= __!________+_______!____+_______!____+ ..
L (c + k)(c + k+l) (с+1) (с + 2)	(с + 2) (С + З)	(с + 3) (с + 4)	’
k=l
где с — постоянная (с=+—k, k— 1,2, 3, ...).
Составим n-ю частную сумму данного ряда:
Sn= (с+1) (с + 2) + (с+2) (с + 3) + (с+3) (с+4) + "+ (с + п)(с + п+1) '
Чтобы упростить выражение для S„, преобразуем формулу общего члена
ряда, разлагая at на элементарные дроби. Положим
1	А	В
(c + k)(c + k+l) ~ c + k + с + *+1 ’
отсюда
1	(Л + В)Л + (4+В)с+Л
(с + *)(с + Л+1) “ (c + fe) (с+*+1)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях k в числителях обеих
частей равенства, получаем Л+В=0, (Л + В)С + Л = 1, откуда Л = 1, В= — 1,
поэтому
1 1.1
(с + Л) (с + * + 1) — c + k ~ с + ^ + 1 '
320

Выражение для S« принимает вид
s _(_1____________L_\ +f_J___________L_\ +
" Vc+l С4-2/	с+2 с+з)
4- (	1	- _1Д + ( 1 _	1	\
' \ с + п— 1	с + п)	С4-П c + ^+l /
Приводя подобные члены и переходя к пределу, получаем
S„= —i-:-------J—-,	lim Sn= —{-г •
c 4-1	c 4- n 4-1	л-,, oo c +1
oo
Следовательно, )	——r—;— / — = ——r.
l_i (c-|-fc) (<?4-Л4-1) c4-l
* = 1
Замечание. В частных случаях при с = 0, с = л, с=1, с=д/2 по этой
формуле получаем соответственно:
ОО	оо
у______!__= 1 у_______________!_______=
L, *(Л4-1)	’ L, (я4-1)(л4-*4-1)	«4-1 ’
А —1	А = 1
оо	оо
у_______1___________ 1 у______________1______________ 1
L (Л-1-1) (*4-2)	2 ’ L (л/2+1)(л/2 + /г+1) “ ^/2-1-1 ’
я — 1	k = I
Пример 23.2. Найти сумму ряда
ОО
(с+Л) (с4-й-|-2)	(с4-1)(с + 3)	(с+2)(с+4) +
t=i
4--------------------h 4-------------h
-Г (c + 3) (c + 5)	(c + k) (c + k + 2)
где c=const (c=#= — k, k = 1, 2, 3, ...).
Разложив общий член а* на элементарные дроби, получим
________!____________________ _!_( _!_LJ
(с4-fe) (с4-Л4-2)________________2 \ c + k c + k+2)
Составим n-частичную сумму данного ряда и преобразуем ее:
е .	1	।	1	।	1	।
°”	(с4-1)(с4-3)	(с + 2)(с + 4)	(с + 3) (с + 5)
+________!______= -Ч7-!_______________М +(-!________Ь_
(с + «)(с + п + 2)	2 [\ с+1	с + 3/	\ с + 2	с + 4
+ (с+3	с + б) +•• + ( С4-п —2	с + п)	с + п — 1
_______)+(_»	!\1
с + п+1/ ’ \с+л	с+п + 2)]
s = _Lf _J_ + _J_ _ _!________________
2 \ с+1	с + 2	с + л+1	с + п + 2) ’
321
Следовательно,
о	о 1 /	1	,	1	\ с	2с + 3
Л™ 2 U+1 + с + 2) ’	2(с+1)(с+2)-
В частном случае при с = 0 находим
ОО
у 1 = _L.
L k(k+2)	4
* = 1
Пример 23.3. Найти сумму ряда
□о
У —7-г—,—, , , ,, (c=const; с#=—fe, Л=1,2, 3,
Z_> (с + /г—1) (c + k) (с + /г + 1)
4=1
Разлагая общий член ряда на элементарные дроби, получаем
__________!_____________ _L( _!________2_ + --L Л
(c + k — 1) (с + Л) (с+*4-1)	2 Vc + fe— 1	c + k^ c + k+y
Составляя n-ю частную сумму и преобразуя ее, находим
°’ с(с+1)(с+2)	(с+1) (с+2) (с + 3)	(с+« —1) (с+п) (с+«+1)
= -L/fJ________2- + -1_} +(-J________2- +
2 (\ с с + 1	с + 2) ^\с+'	с + 2
+ -±_\+(-_____________?- + -Ч+ +(_________!_________2-_+
т с + 3/ '\<+2 с + 3 с + 4/	с + п — 3	с + п — 2
+_____!__)+(______!_______________2_+ —}+(______?________2—
~ с + п— 1 / ' \ с + п —2	с + п—1 ' с + п/	с + п—1	с + п
+___________________________!____L- +______о
~ с + п + 1 / J	2 \ с с+1	с + п ~ с + п + 1 /
Переходя к пределу, получаем
S= lim	---------!—A, S=g -Д-р:-.
„_оо 2 \ с с+1/	2с(с+1)
Следовательно,
оо	।	I
Е (с+* —1) (с+Л) (с+Л+1) = 2с(с+1) '
Л = 1
В частности, при с=1 из последней формулы находим
у_________!_____= _L.
L k(k + l)(k+2)	4
4=1
Пример 23.4. Выяснить, сходится или расходится ряд
1 . 2 , 3 , 4 , 5 , , *
-Т + — + — + “Г + “Г +-+ т+г
322
/
Общий член этого ряда выражается формулой а* =
Так как
lim а» = lim = lim —,,— = 1, т. е. общий член к нулю не стре-
k—► оо	k—► оо ft+1	k—► оо 1 + 1/й
мится, то на основании следствия из необходимого признака заключаем, что
данный ряд расходится.
Пример 23.5. Исследовать, сходится или расходится ряд arccos (1/2ft).
k= 1
Общий член ряда определяется формулой at = arccos (1 /2ft). Так как
lim а»= lim arccos(l/2ft) =arccos 0=л/2, т. e. предел общего члена не равен
k—► оо	k—► оо
нулю, то на основании следствия из необходимого признака сходимости заклю-
чаем, что данный ряд расходится.
23.2. Ряды с положительными членами.
Признаки сходимости. Признаки сравнения.
Интегральный признак Коши
Рассмотрим числовые ряды с положительными членами:
a* = ai +а2 + аз + --.,	(23.6)
4=1
bk = bi	(23.7)
*= 1
Теорема 23.4 (первый признак сравнения). Если для всех kZ^ko
at^bk	(23.8)
и ряд (23.7) сходится, то сходится также и ряд (23.6).
Если для всех ft^fto
ak^bi	(23.9)
и ряд (23.7) расходится, то расходится и ряд (23.6).
Теорема 23.5 (второй признак сравнения). Если существует конечный
и отличный от нуля предел
lim =/=/=0,	(23.10)
4-»оо bk
то ряды (23.6). и (23.7) сходятся или расходятся одновременно.
Теорема 23.6 (интегральный признак Коши). Если f(x) — неотрицатель-
ная невозрастающая функция при х> 0, то ряд
X ak = ai -j-аг Н-озН-... , ak = f(k)	(23.11)
k= 1
сходится или расходится одновременно с интегралом
+ °°
/= ) f(x)dx.	(23.12)
1
323
Замечание. Нижним пределом интегрирования в интеграле (23.12)
может быть любое другое положительное число из области определения функ-
ции f(x).
Пример 23.1. Выяснить, сходится или расходится ряд
2	,	22	,	23	2‘
' + 1 +22 + 1 +24 + 1 +26 +’"+ 1+22‘ +"'
Все члены данного ряда положительны, общий член определяется форму-
лой а* = 2‘/(1 +2*). Сравним данный ряд с геометрическим рядом
1 + ~Z~ + ТГ +	+-+	+••• -	~5Г-
&	&	±4	&
Так как
2*	2*	1
=	^ = 0, 1,2,3,...),
ОО
т. е. выполнено условие (23.8) и ряд £ 1/2* сходится (геометрический ряд,
* = 1
для которого <7 = 1/2•< 1), то на основании первого признака сравнения заклю-
чаем, что исходный ряд также сходится.
Пример 23.7. Выяснить, сходится или расходится ряд
ОО
2	= 1 + + Ж+ +"'
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом (23.5).
Поскольку
lim -j— = lim
k-^<X> bk	k—>oo
1
k\[k
k ..	1
= lim —j-— = lim . _ = 1,
k-4<x> -JU
т. e. выполнено условие (23.10), то из расходимости гармонического ряда сле-
дует расходимость данного ряда.
Пример 23.8. С помощью интегрального признака Коши доказать схо-
димость ряда
ОО
у _L_ = _^ + _^ + —L_ + _L_ +
L Л2+1	1 + 1	г2+ 1	32+ 1	42+1
4=1
Рассмотрим функцию f (х) == 1 /(х2 + 1). Эта функция удовлетворяет условиям
интегрального признака Коши: она принимает положительные значения и убывает
с возрастанием х, причем f(k) = l/(fe2+ 1) =а*. Исследуем сходимость интеграла
(23.12) для данного случая:
ОО
f dx	, I оо	,	, л л л
\	———	=arctgx| = lim arctg x—arctgl=	—-----—	= —- .
J	++1	X—	2	4	4
Так как интеграл сходится, то сходится и данный ряд.
Пример 23.9. С помощью интегрального признака Коши исследовать,
ОО
V /г + 2
сходится или расходится ряд ) --------— .
k= 1
324
Функция f(x) = (x-f-2)/x2 удовлетворяет условиям теоремы 23.6.
Поскольку
т. е. интеграл вида (23.12) расходится, то расходится и данный ряд.
Пример 23.10. Исследовать, сходится или расходится ряд V .'—г-
R 1П fv
k = 2
Применим интегральный признак, рассмотрим функцию f(x) = l/xlnx
(х^З). Так как
ОО
( —— = In In X I ” = оо ,
J X In x	13
3
т. e. интеграл расходится, то расходится и данный ряд.
Пример 23.11. Исследовать, при каких р сходится ряд Дирихле
У — = —+—+—+ J-+ —+...	(23.13)
L, k” 1" 2Р 3”	4₽ 5Р
k= 1
Если р^О, то общий член ряда не стремится к нулю, ак—\ /kp = k~p~^\,
поэтому ряд расходится (на основании следствия из необходимого признака
сходимости). В случае р> 0 применим интегральный признак Коши. Функция
f(x) — l/xp положительна и не возрастает при х>1. Пусть р> 1. Положив
р=1 + й (Л>0), получим
f dx _ Г dx _	1 I” /	1 \	/	1 \ _ Г
J V J 7т+г-__л7_ । ~п!Л_’л7/ \~~h~) ~~h’
I	I
Поскольку интеграл вида (23.12) сходится, то сходится и ряд Дирихле. Если
р= 1, то
ОО
Sdx	। оо
---=lnx . =limlnx=oo.
X	11	Х~<Х>
I
Интеграл расходится, поэтому расходится и ряд Дирихле (при р= 1 получаем
гармонический ряд).
Итак, ряд Дирихле сходится при р> 1 и расходится при р^1.
Замечание. Сходимость многих рядов может быть исследована срав-
нением с соответствующим рядом Дирихле. Вопрос о сходимости ряда
V Pm(fe)
L Qn(k) '
* = i
(23.14)
где Pm(k) и Qn(k) —многочлены от k степени пг и п
СО*
сравнением с рядом Дирихле £ \/kpy где р = т — п.
k = i
соответственно, решается
При этом целесообразно
применять второй признак сравнения.
Пример23.12. Доказать сходимость ряда
*=1
1
(3k — 1)3* '
Преобразуем формулу для общего члена данного ряда:
325
— 1 _ 1 _ 1 _ 1 1
ak~ (3* —1)3* ~ (3fe)2( 1 — l/3fe) - 9fe2(l — 1/3*) ~ 9*2	(1 — 1/3*)
Рассмотрим ряд с общим членом 6*= 1/9*2. Ряд
ОО	00
У — = — У —
L 9*2	9 L *2
4=1	4=1
сходится, ибо это ряд вида (23.13), где р=2. Так как
Нш — — lim( —т- ——,	: —т-J = Игл ---------г-ттг = 1>
А-. оо Ьк 4-+оо\ 9*2	(1----1/3*)	9*2 Z k-roo 1 ------ 1/3*
т. е. выполнено условие (23.10), то данный ряд также сходится.
Zfc2-|_ 2*____3
———т-------,  .
* -|- 5*	4* + 7
4= I
Это ряд вида (23.14), причем Pm(k) = *2 + 2* — 3, т = 2, Q„(*) =*4 + 5*3 +
+ 4*2 + 7, п = 4. Так как р = т — п = 2 — 4= — 2, сравним данный ряд с рядом
ОО
—— , который является рядом Дирихле и сходится, ибо 1.
Аг
k=\
Поскольку
г а> = Г с	*г + 2*-3	. 1 \ _	*4 + 2*3-З*2
4™ ьк А™ \ fe«-|-5*3 + 4*2 + 7 • ki)	А1^ *4-|-5fe3 + 4*2 + 7
т. е. выполнено условие (23.10), то данный ряд сходится.
23.3.	Признак Д’Аламбера. Признак Коши.
Другие признаки
Рассмотрим числовой ряд с положительными членами
У о» = 01 + 02 + ОзН-•••	(23.15)
4=1
Теорема 23.7 (признак Д’Аламбера). Пусть для ряда (23.15) суще-
Если <?<1, то ряд (23.15) сходится; если q> 1, то ряд расходится.
Замечание. Если <7=1, вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Теорема 23.8 (признак Коши). Пусть для ряда (23.15)
lim Vo4 = <7-
k~* оо
Если <7 < 1, то ряд сходится; если q> 1, то ряд расходится.
Теорема 23.9 (признак Раабе). Пусть для ряда (23.15)
lim k( ——-----------------------------А =р.
4-- \ О4+|	/
Если р> 1, то ряд сходится; если р < 1, то ряд расходится.
Теорема 23.10 (признак Гаусса). Пусть для ряда (23.15)
04+ I _ *'”4~*1*'П
Ofc *'" + С1*'"	-|-Cm
существует
(23.17)
существует
(23.18)
(23.19)
326
Если c\ — b\> 1, то ряд сходится; если ci — bi^i, то ряд расходится.
Пример 23.14. Доказать сходимость ряда
Общий член ряда определяется формулой ai,= ^[k/2k. Заменяя в этой фор-
муле k на й+1, получаем последующий член aJ+i = -jk-\-1/2‘+'. Составим
отношение последующего члена к предыдущему:
0ц. = Vfe+1 . л/fe = -y'fe+1 2* = д/fe+l
о» 2*+1 ’ 2‘	^2*+1 2Vfe
Найдем предел (23.16):
.. а*+1	.. Vfe+T 1 ..	/~ Г 1 ,	1
lim-----= lim ——-— = lim / 1 + -г- =	1 == -=- •
л— оо Ok	ш °° 2	2 оо у k 2	2
Так как 9=1/2<1, то на основании признака Д’Аламбера заключаем, что
ряд сходится.
Пример 23.15. Доказать сходимость ряда
□О
Применяем признак Коши. Поскольку а* = /г4з1п‘(1/2^),	=Л sin(l/2£),
г */— г , • ли., г sin( 1 /2Л)	1 .. sin (1/2А)	1
lim Vos = l«ni k sin (1 /2k) = lim-----------= -5- lim------— = -75- , t. e. q=
k-*-oo	k-* 00	k—- 00	l/Л	1 /zfe	2.
= 1 /2 < 1, то ряд сходится.
Замечание. Сходимость данного ряда также можно установить с помощью
признака Д’Аламбера.
Пример 23.16. Исследовать, сходится или расходится ряд
1,1-	31, 1-3-5 1 , 1-3-5-7 1	(2k —1)1! _1_ 1
2 + 2-4 2 ' 2-4-6 3 + 2-4-6-в 4 "+'"'	(2*)!! k ’г"’
Общий член данного ряда определяется формулой
(2k —1)1!	1
.	(2k)!! k '
Заменяя в этой формуле k на /г+1, получаем формулу
(2(*+1) — 1)1!	_	(2*+l)J!____
°‘+’- (*+ 1) (2(/г + 1))!! (fe + 1) (2fe + 2) tt ’
Составляем отношение последующего члена к предыдущему:
вН1 (26+1)1!	. (2* —1)1! _	(26 + l)!!(2fe)!!fe	_
~k (*+l) (2fe + 2)!l ’ fe(2fe)l! (2fe-l)!!(2fe+2)!!(fe+l)
(2fe+l)fe	2k2+ k
“ (2k + 2)(k+l)	2k2 + 4k + 2
Находим предел (23.16):
г а*+»	=- 2fe2 + fe - 2 -i
Д™ а» ц-«. 2k2 + 4fc + 2	2
Поскольку <7=1, то признак Д’Аламбера не дает ответа на вопрос о сходи-
мости ряда. Обратимся к признаку Раабе. Найдем предел (23.18):
327
lim k( —
\ at+1
262 + 46 + 2
262 + 6
-1) = iim?(
-l) = limfe(2fe2+^+2-1) =
/	»— \	262 + 6	/
lim 61 1 +
oo \
36+ 2
2k2 +2
lim k
k-*- 00
36 + 2
262 + 2
lim
k—f 00
362 + 26	3
262 + 2 ~ 2
Так как в данном случае р = 3/2> 1, то на основании признака Раабе заклю-
чаем, что ряд сходится.
Пример 23.17. Исследовать условия сходимости гипергеометрического ряда
°Ф . а(а+1)р(р+1) ,
1-Y	1-2-у(у+1)
, а(а+1) (а +2)Р(Р+1) (Р +2) ,	«(«+1)...(«+fe — 1) (сх+*) Р-(Р+6)
+	Ь2-3-у(у+1)(у + 2)	+•••+	(ft+i)!T(v+i)...(T + fe)
где а> 0, р> 0, у> 0.
Общий член данного ряда определяется формулой
_ а(а+1)-(а + 6-1)Р(Р+1)... (р + 6-1)
°*	1)... (V4-fe—1)
Поскольку
_ ct(a+l)...(« + 6-l)(« + 6)P(P+l)... (Р + 6-1) (р + 6)
а‘+'~	(6+ 1)!Y(V+1)...(y + 6—1) (т+6)
ТО
о*-ц _ (а + 6)(р + 6) , 62+(а + Р)6 + аР
о* (6+1)(у + 6)	62+ (у + l)6+v
Из последнего выражения видно, что применение к данному ряду признака
Д’Аламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ( lim *+-- = 1) •
Применим признак Гаусса. Так как в одном случае 6i=a + p, Ci=y+1,
то при С| — 6, = у+ 1 — а — р> 1 ряд сходится, при Ci — 6i =у +1 — a — р=С1
ряд расходится. Преобразуя полученные неравенства, заключаем, что ряд сходится
при у — а — р> 0 и расходится при у — а — Р<0.
23.4.	Знакопеременные ряды
Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены,
называется знакопеременным. Знакопеременный ряд
ОО
У, bk— b\ + />2~Ь+ ---	(23.20)
* = I
сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т. е. ряд
оо
I 1^1 = 16|1 + 16г1 + 16з1+...	(23.21)
*= I
Ряд (23.20) в этом случае называется абсолютно сходящимся. Сумма абсо-
лютно сходящегося ряда не зависит от порядка слагаемых.
Если ряд (23.20) сходится, а ряд (23.21) расходится, то ряд (23.20)
называется условно (неабсолютно) сходящимся. Сумму условно сходящегося
ряда путем перестановки его членов можно сделать равной любому данному
числу, конечному или равному + оо.
Ряд (23.21) является рядом с положительными членами, поэтому для иссле-
дования вопроса о его сходимости можно применять ранее рассмотренные
признаки (признаки сравнения, интегральный признак, признаки Коши, Д’Алам-
бера и др.).
328
Замечание 1. Из расходимости ряда (23.21) в общем случае не сле-
дует расходимость ряда (23.20).
Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, называется
знакочередующимся.
Теорема 23.12 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд
90
£ (— 1 )*"*" la* = Oi — а?-|-аз — ал + аз — 4-... Н- (— 1)*"*’1о»+... (пл^> 0)
*=1
сходится, если выполнены условия:
ац^а/,+ 1 (k = 1, 2, 3, ..., а|>а2>а3>...),	(23.22)
limat = 0.	(23.23)
k—► ОС
При замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой п его
первых членов ошибка не превышает абсолютного значения первого из отбро-
шенных членов, т. е.
|г„1<ал + 1.	(23.24)
Теорема 23.13 (признак Дирихле). Знакопеременный ряд
£ а.Ь,	(23.25)
*= 1
п
сходится, если: 1) частные суммы В„= У bk ограничены, т.е. IBJsgC
k= ।
(п— 1, 2, 3, ...); 2) числа ak (k= 1, 2, 3, ...) образуют монотонную последователь-
ность, стремящуюся к нулю.
Замечание 2. Признак Лейбница является частным случаем признака
Дирихле. В самом деле, если at, монотонно убывая, стремится к нулю, a Ьь =
ОО
= ( —1)*— ’, то ряд (23.25) принимает вид £ ( —1)‘-1аА, для которого вы-
k~ ।
полнены условия признака Лейбница.
Теорема 23.14 (признак Абеля). Ряд (23.25) сходится, если: 1) сходится
ряд £ be, 2) числа a* (k= 1, 2, 3, ...) образуют монотонную и ограниченную
/1 = 1
последовательность.
Пример 23.18. Исследовать сходимость знакопеременного ряда
i+l_l_± + _L + _L._ J___________________L+ + (-п**-11 +
3 З2 З3 .З4 З5 З6 З7 +	3‘
Составляем ряд из модулей членов данного ряда:
'+ 4" +	+••
Последний ряд сходится, как геометрический ряд со знаменателем q — 1/3< 1.
Следовательно, данный ряд также сходится; он является абсолютно сходящимся
рядом (в соответствии с определением абсолютной сходимости ряда).
°° i k
Пример 23.19. Исследовать сходимость ряда У  ;—.
k= I k
Составим ряд из модулей членов данного ряда:
у I sin fe| _ | sinl |	| sin2 j | sin.3|
k=i k3	P	23	33-
(1)
329
Так как | sin Л| <1, то каждый член не превосходит соответствующего члена
сходящегося ряда
(2)
(ряд (2) является рядом Дирихле, т. е. рядом вида (23.13), где р = 3> 1).
Согласно первому признаку сравнения ряд (1) сходится, поэтому сходится
и данный ряд, причем абсолютно.
Пример 23.20. Исследовать характер сходимости знакочередующе-
гося ряда
Поскольку ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е. ряд
У —!—, расходится (ряд Дирихле; р= 1/2< 1), то о сходимости ряда пока
t=i V*
ничего нельзя сказать (см. замечание 1). Применим к данному знакочередующе-
муся ряду признак Лейбница. Условия признака Лейбница здесь выполнены:
lim —Д =0.
Следовательно, этот ряд сходится. Так как ряд из модулей расходится,
то данный ряд сходится условно (неабсолютно).
Пример 23.21. Сколько нужно взять членов ряда
чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001?
Данный ряд является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим условиям
признака Лейбница
lim —Д =0.
»— “ k3
Следовательно, данный ряд сходится, причем
абсолютно, так как ряд
Z (-•y-'v-
k=\	«
00
*=i
1
k3
является сходящимся (ряд Дирихле; р> 1).
Чтобы вычислить сумму ряда с указанной точностью, необходимо найти такой
член, абсолютная величина которого меньше 0,001, т. е.
Д- <0,001, ИЛИ Д- <
k3	k3
1
1000 '
Последнее неравенство выполняется, когда k3> 1000, или k> 10. Следова-
тельно, нужно взять 10 членов данного ряда. Так как ан = 1/113< 1/103 = 0,001,
то по формуле (23.24) получаем следующую оценку для остатка ряда:
<ац<0,001.
Пример 23.22. Исследовать характер сходимости ряда
1111111	,  1)(*-1)(*-2)/2
'2	3	4'5'6	7	8	k
330
Ряд, составленный из модулей членов данного ряда, является гармоническим
рядом, который расходится. Сравнение данного ряда с гармоническим не решает
вопрос о его сходимости (см. замечание 1).
Применим признак Дирихле. Данный ряд можно представить в виде
£ akbk, где at= \/k («==1,2, 3 .	b„= ( — 1)“~ 'Х*-2>/2 (*=1,2,3,...), т. е.
6=1
6|=1, ^2=1, Ь‘А = — 1, £>4= — 1, ^5=1, Z)g=l. Ьт— — 1, Ьц= — 1, ...
П	/ ,	1	1
Поскольку аь монотонно стремится к нулю 1> -тг> -я-> •••, нгп ак =
\	2 О	/г -* о©
п
= 0), частные суммы В„ — У Ьк ограничены (В„<2 (л= 1, 2, 3,...), ибо В\ = 1,
k = 1
В2 = 2, Вз=1, В4 = 0, В5=1, Ве = 2, В7=1, В8 = 0...... В4б-з=1, B4i_2 = 2,
B4t~i = l, B4t = 0, ...), то, согласно признаку Дирихле, ряд сходится. Так как ряд
из модулей его членов расходится, то данный ряд сходится условно (неабсолютно).
Пример 23.23. Доказать сходимость ряда
Применим признак Абеля. Этот ряд можно записать в виде
“	/	I	(*-1X6-2) ,	\
> akbt ( ак —------г, Ь„=( — 1)	2 -V (* = 1,2,3,...)).
^!	\	(14-3/*)*	'	3‘ '	/
Поскольку ряд У bk сходится ( ибо сходится ряд У —j-) , а числа а&
образуют монотонную ограниченную последовательность^—а&>
/	3\*	/	3 \‘ +1	1
> а4+1, так как ( 1 Н—) <11+ ,	 )	, lim а8 =------------г = —г) ,
+	\	\	*+М	6-™ lim (14-3/*)*.	е3/
то, согласно признаку Абеля, данный ряд сходится. к~*°°
23.5. Действия над рядами
Суммой двух рядов
У а> = а,+о2 + Пз +... ,	(23.26)
6=1
У bh = bt + 62+ 6з +	(23.27)
6=1
называется ряд
У (оь + bk) = (а, + Ь\) + (а-2 + Ь2) + (аз + 6з) +	(23.28)
6= 1
Аналогично определяется разность этих рядов:
У (о* — bk) — (ai — b\) + (аг — bi) + (аз — 6з)+...	(23.29)
6= 1
331
Ряды (23.28) и (23.29) сходятся, если сходятся оба ряда (23.26), (23.27).
ОО	оо
Если У ал — А, У bk — B, то
6=1	6=1
У (ak+bk} =Л -pfi, У (ak — bk) — А —В.
6=1	6=1
Произведением ряда (23.26) на число с называется ряд
У ca,k cdi 4- cci2-*h созЧ-	(23.30)
6= 1
00	00
Если У щ = то У сак~сА.
6=1	6=1
Произведением рядов (23.26) и (23.27) называется ряд
У Сь — С1 + С2 + сз+ ... -|-с*+ ••• ,	(23.31)
6= 1
где
Ck~aibk +	14-...-\-Okbj (fe= 1, 2, 3, ...).	(23.32)
Если ряды (23.26) и (23.27) сходятся абсолютно, то ряд (23.31) также схо-
дится абсолютно и его сумма равна произведению сумм данных рядов.
Замечание. Если из двух сходящихся рядов (23.26) и (23.27) хоть
один сходится абсолютно, то их произведение — сходящийся ряд.
Глава 24
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
24.1.	Сходимость функциональных рядов
Пусть дан функциональный ряд
£ uk(x) =ut (х) +и2(х) +«з(х)	(24.1)
*= 1
т. е. ряд, члены которого ик(х) — некоторые функции от х.
При каждом фиксированном значении х — ха функциональный ряд (24.1) ста-
новится числовым рядом
ОО
Uk(Хо) = Ц|(Хо) + аз(хо) + Из(хо) +...	(24.2)
k=i
Если ряд (24.2) сходится, то значение аргумента х = хо называется
точкой сходимости ряда (24.1). Множество всех точек сходимости х функцио-
нального ряда (24.1) называется его областью сходимости, а функция
п
S(x) = lim S„(x) = lim У u„(x)
п—* oo	л—► oo   ।
— суммой данного ряда. Функция
₽„(x)=S(x)-S„(x)	(24.3)
называется остатком ряда (24.1).
Если ряд (24.2) расходится, то значение х=хо называется точкой расходи-
мости ряда (24.1).
В простейших случаях для определения области сходимости ряда (24.1)
можно применять к нему известные признаки сходимости, считая х фиксирован-
ным. В частности, при применении признака Д’Аламбера или Коши случай,
когда <7=1, исследуется особо, с помощью других признаков сходимости.
Функциональный ряд (24.1) называется абсолютно сходящимся на множе-
стве X, если при всех хеХ сходится ряд из модулей его членов:
ОО
£ |Wjt(x) I = |U| (%) I + |u2(x) I + |u3(*) I +•••
k= 1
Пример 24.1. Найти область сходимости ряда
Данный ряд является геометрическим рядом со знаменателем </ =
= (х—1)/(х+1). Геометрический ряд сходится тогда и только тогда, когда
|</| < 1. Следовательно, данный ряд сходится лишь в случае | (х— 1)/(х+1) I < 1.
Последнему неравенству равносильны неравенства —1 < (х—1)/(х+ 1) < 1.
Если (х-)-1)>0, то —х—1<х—Kx-f-l, т.е. —х—1<х—1 и х—1<х+1.
333
Второе из этих равенств выполняется для всех х, первое верно только для х> 0.
Если (х + 1) <0, то — х— 1> х— 1> х + 1, т. е. x-j-l<x —1 и х — 1<— х— 1.
Первое из полученных равенств противоречиво, второе выполняется при х<0.
Но при х<0 | q\ > 1.
Таким образом, ряд сходится при х> 0, т. е. областью его сходимости
является открытый промежуток (0, + оо). (При х=0, как и следовало ожидать,
получаем расходящийся ряд —1 + 1 — 1 + ...)
Пример 24.2. Найти область сходимости ряда
2 + х2 + 2 + х4 + "’ + 2 + х“
Общий член данного ряда определяется формулой ut(x) = х/(2 + х2‘). Так
ОО
как | х*/(2-|-х2*) | — |х*|/(24-х2*) sg |х|* при |х|<1 и ряд £ |х|‘сходится при
4 = 1
|х| <1, то и данный ряд сходится для
|х|<1. Поскольку
|Х*|
1х2‘|
1	V”1	t
-—г- при |х|> 1 и ряд > |х|
1-*1*	4=1
сходится при |х|> 1, то данный ряд
сходится и для |х|> 1. Если х=±1, то |u*(l) I = 1/3; ряд расходится. Итак,
данный ряд сходится при всех х, кроме х=±1.
Пример 24.3. При каких х сходится ряд £ (1 + 1 /А)‘2‘х?
4 = I
Применим к данному ряду признак Коши, для чего сначала найдем предел
lim Vi<ol =<7- Так как ut= (1 + 1Д)‘2*Х,	= (• +1/Л)2х, то lim VTutl =
k—* со	fr~* оо
= lim (1 + 1/Л) 2Х = 2Х.
Найдем значения х, при которых этот предел меньше 1, для чего решим
неравенство 2Х<1. Последнее неравенство выполняется для х<0. При х=0
V /	1
данный ряд принимает вид / I 1 -|—— I . Этот ряд расходится, так как для
4=Л	k'
него не выполнен необходимый признак сходимости (общий член к нулю не стре-
мится: limo4 = lim (1 + l/k)k = e). Итак, ряд сходится при х<0.
k -*- ОО	оо
24.2. Равномерная сходимость функциональных рядов
Функциональный ряд (24.1) называется равномерно сходящимся в не-
котором промежутке, если, каково бы ни было е> 0, существует такое /V, не зави-
сящее от х, что при п> N для всех х из данного промежутка выполняется нера-
венство
|/?„(х)1<е,
где R„(x) —остаток ряда, определяемый формулой (24.3).
Теорема 24.1 (признак Вейерштрасса). Функциональный ряд (24.1)
сходится абсолютно и равномерно в некотором промежутке, если существует
сходящийся числовой ряд с положительными членами
04 = 0,+ 02 + 03+...	(24.4)
4 = I
такой, что
(fe= 1,2,3, ...)	(24.5)
для всех х из данного промежутка.
334
Ряд (24.4) в этом случае называется мажорантным рядом для ряда (24.1).
Свойства функциональных рядов выражаются следующими теоремами.
Т е о р е м а 24.2. Сумма равномерно сходящегося ряда функций, непре-
рывных в замкнутом промежутке [а, />], есть функция, непрерывная в данном
промежутке.
Теорема 24.3. Если члены сходящегося ряда (24.1) имеют непрерывные
ОО
производные при а^.х^.Ь и ряд У иЦх) сходится равномерно в замкнутом
k= 1
промежутке [а, /?], то ряд (24.1) в этом промежутке можно дифференцировать
почленно:
оо	оо	п	П
( У uft(x))' =	У ик(х),	или	( lim У	u*(x)Y =	lim	У	uk(x).	(24.6)
*=1	»=|	'*“«=1	*=1
Теорема	24.4.	Если	члены	ряда (24.1)	непрерывны	при	а^.х^Ь	и ряд
этот сходится равномерно в замкнутом промежутке [а, й], го его можно интегри-
ровать почленно в данном промежутке:
& ОО	оо Ь
J ( £ uk(x))dx = £ J uk(x)dx.
a k—I	k—I a
T e о p e м a 24.5. Если ряд (24.1) сходится равномерно в некоторой области,
и каждый член ряда имеет конечный предел lim ик(х) = ск, где а — точка сгуще-
ния данной области, то к пределу можно перейти почленно, т. е.
оо	ОО	оо
lim У и*(х)= У limwft(x) = £ ck.
х^а k = I	fe = i x^a	k= i
Пример 24.4. Исследовать, равномерно ли сходится ряд У	•
k=\	3
Так как |cos kx\ < 1 для всех х, то |cos kx/3kI 1 /3fe (k= 1, 2, 3, ...), т. e. каж-
дый член данного ряда не превышает соответствующего члена сходящегося
оо
числового ряда £ (1/3*) (геометрический ряд, q = 1/3). Последний ряд явля-
*= 1
ется мажорантным для данного ряда. В соответствии с признаком Вейерштрасса
заключаем, что данный ряд сходится абсолютно и равномерно для всех х, т. е.
на всей действительной оси.
ОО
Пример 24.5. Доказать, что сумма ряда У sin kx/k2 является непре-
*= I
рывной функцией при всех х.
Прежде всего каждый член данного ряда ик(х) =sin kx/k2 (£ = 1,2,3,...)
есть функция, непрерывная при всех х. Ряд сходится равномерно при всех х,
поскольку | sin kx/k2\ 1/£2 и для данного ряда существует мажорантный ряд
ОО
У (1 /£2) —сходящийся числовой ряд с положительными членами (ряд Дирихле;
* = |
р = 2> 1). Согласно теореме 24.2, сумма данного ряда есть функция, непрерыв-
ная при всех х (как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций).
ОО
Пример 24.6. Можно ли почленно дифференцировать ряд У sin kx/k4
*=i
в области его сходимости?
Каждый член данного ряда есть функция ик(х) =sin kx/k4, дифференци-
руемая при всех х, причем ик = cos kx/k3.
335
Составим ряд производных £ cos kx/k3. Каждый член нового ряда —
k = t
непрерывная функция ut(x) =cos kx/k3. Так как |u*(x) | = |cos kx\/k3^\/k3
□О
(k = 1,2,3, ...), то для него существует мажорантный ряд У (1/й3).
6=1
Следовательно, ряд производных равномерно сходится при всех х, поэтому,
согласно теореме 24.3, исходный ряд можно дифференцировать почленно. По фор-
муле (24.6) получаем
у sin ях у	у [	sin kx у	У	cos kx
Lj М /	А» \	х,4 )	£_.	дЗ
/? = 1 * '	*=Л	Л 7	*=1	*
Пример 24.7. Можно ли почленно дифференцировать ряд У sin2^x ?
6=1	2
Этот ряд сходится равномерно при всех х, ибо для него существует мажорант-
ОО
ный ряд У (1/2*) (так как | sin2‘лх/2*| < 1/2‘). Каждый член ряда ик(х) =
6 = 1
= sin 2‘лх/2* есть функция дифференцируемая, причем и'к(х) = л cos 2*лх. Ряд
ОО
производных л У cos 2*лх расходится в каждой точке, ибо ни в одной точке
h= I
не выполняется необходимый признак сходимости (общий член к нулю не стре-
мится). Следовательно, исходный ряд почленно дифференцировать нельзя.
ОО
Пример 24.8. Можно ли почленно интегрировать ряд У 1/(х2+й2)?
6 = 1
Каждый член данного ряда ик (х) = 1 / (х2 + /г2) есть функция, непрерывная для
всех х, ряд сходится равномерно на всей числовой оси. Действительно, так как для
всех х выполняется неравенство 1 / (х2 -|-/г2) < 1 /fe2, то для данного ряда сущест-
ОО
вует мажорантный ряд Z (1/*2).
6=1
Таким образом, согласно теореме 24.4, данный ряд можно интегрировать
по любому промежутку из его области сходимости, в частности по промежутку
[О, х]. Интегрируя, получаем
X оо ,	ОО X ,	оо
о 6 = 1* +*	6=1 о х +«	6 = 1 я К
24.3. Степенные ряды.
Действия над степенными рядами
Степенным называется функциональный ряд вида
Z u&(x)=Z Дб(х—a)*=ao-)-ai(х — а) +а2(х — а)2 + ...,	(24.7)
6=0	6=0
где ак (fe = 0, 1,2,3, ...) — постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.
При а = 0 ряд принимает вид
У akx* = ao + atx + a2X2+...	(24.8)
6 = 0
Теорема 24.6 (теорема Абеля). Если степенной ряд (24.8) сходится при
336
х=хо (хо=#О), то он сходится абсолютно и равномерно при любом х, для
которого |х| <|хо|.
Радиусом сходимости ряда (24.8) называется число R такое, что при |х| </?
ряд сходится, а при |х|> R расходится. Интервал ( — R, R) в этом случае назы-
вается интервалом сходимости указанного ряда. На концах промежутка [ — R, Л]
ряд может или сходиться или расходиться.
Если степенной ряд (24.8) сходится на всей числовой оси, то полагают
R = <x>, если он сходится только при х = 0, полагают R=0. Степенной ряд схо-
дится абсолютно и равномерно на любом отрезке, принадлежащем интервалу
сходимости.
Аналогично определяется радиус и интервал сходимости для ряда (24.7): если
при |х— а| <R этот ряд сходится, а при |х— а\> R расходится, то Л — радиус
его сходимости, (а — R, a+R) — интервал сходимости.
Радиус сходимости степенного ряда находится с помощью признака
Д’Аламбера или признака Коши.
Радиус сходимости можно вычислить по одной из формул:
-i- = lim Vlat|, R= lim I———I ,	(24.9)
R	| a*+i |
если соответствующий предел существует.
Простейшим примером степенного ряда является геометрический ряд 1 -f-x-f-
-f-x2+x3-f-... +х* +... Этот ряд сходится при <7=|х| <1. Следовательно, для
данного ряда радиус сходимости R=l, а интервал сходимости ( — 1, 1). Сумма
этого ряда равна S(x) = l/(1—х) (в соответствии с формулой S = a/(1—<?),
a=l, q=x), поэтому для функции f(x) = 1/(1 — х) имеем следующее разложение
в степенной ряд:
1/(1-х) = 1+х + х2 + х3 + х4+х5+...+х4 + ... (|х|<1).	(24.10)
Действия над степенными рядами. Рассмотрим степенные ряды
У аДх — a)‘ = ao + ai (х — а) -( а2(х — а)2 + ...,	(24.11)
4 = 0
У />Дх —а)‘ = />о + *1(х —а)+&2(х —а)2+...	(24.12)
4=0
с общим интервалом сходимости (а — R, а + Л).
Сумма (разность) рядов (24.11) и (24.12) определяется соответственно
формулами
£ о*(х —о)‘-|- £ bk(x — а)*= У (аь + bk) (х — а)к, (24.13)
4=0	4 = 0	4 = 0
У а4(х —а)* — У bk(x—а)к= У (а* — Ьь) (х— а)‘,	(24.14)
4=0	4 = 0	4 = 0
а их произведение — формулой
У ак(х~ а)‘ У Ьк(х — а)‘= У ск(х — а)*,	(24.15)
4 = 0	4 = 0	4 = 0
где
Ck=aobk-^-aibb— । -j-asb/i —2+... -4-0460.	(24.16)
Ряды (24.13) — (24.15) имеют тот же радиус сходимости R, что и ряды (24.11)
и (24.12).
В частном случае, если ряды (24.11) и (24.12) совпадают, формула (24.15)
обращается в формулу для возведения ряда в квадрат:
337
( X Oi(x—а)*У= X (00O4+ O1O4—i + 0204—2 + ... -j-anaojx11.
4=0	4=0
Степенной ряд в пределах промежутка сходимости можно возводить в сте-
пень с любым натуральным показателем т.
Степенной ряд (24.11) внутри его интервала сходимости можно почленно
дифференцировать и интегрировать:
ОО	оо
( X а*(х-а)‘)'= X (Л+1)а»+,(х-а)‘,	(24.17)
k = 0	k = 0
00	00
$ ( X о*(х-о)‘) dx= X	а>‘+ ' + С (24.18)
4 = 0	4 = 0	1
Ряды (24.17) и (24.18) имеют тот же радиус сходимости, что И ряд (24.11).
Теорема 24.7. Если ряды (24.11) и (24.12) в окрестности точки х = а
имеют одну и ту же сумму, то они тождественны, т.е. ak = bk (k = 0, 1,2,...).
Эта теорема устанавливает единственность разложения функции в степен-
ной ряд.
Пример 24.9. Найти радиус сходимости степенного ряда 1+3х + 9х2 +
+ 27х3 + 81х4+... +3‘х* +...
Это степенной ряд вида (24.8), все коэффициенты его отличны от нуля.
Воспользуемся первой из формул (24.9). Так как О4 = 3‘, Пт^3‘=3 1/R = 3,
то радиус сходимости данного ряда R = 1 /3, а интервал сходимости (— 1 /3, 1 /3).
Замечание. Данный ряд является геометрическим рядом со знамена-
телем q = 3x. Геометрический ряд сходится при I q I < 1, т.е. при |3х| < 1, или
при —1/3<х<1/3.
Пример 24.10. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
£ (йх)й = х + 4х2 + 27х3 + 256х4 + ... + (Л!х)л-|-...
Применим вторую из формул (24.9). Поскольку
04 _ k* _ / k \ *	1
04 + 1 ~ (*+!)*+’	\ /г + 1/ *+1 ’
k-, 00 а/, _|_ j	4-* «.у 1 +1 / k
то радиус сходимости ряда равен нулю. Ряд сходится в единственной точке х=0.
Замечание. Тот же результат можно получить и по первой формуле
(24.9):	lim = lim k = oo, 1/R=oo, R = 0.
k-*-oc	k—* 00
Пример 24.11. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда
-г |- I “4 I I 1	1 I ,.	(* + 1)!	.. ,, . ..
Так как lim -------- = lim —— : ............ =	lim ——.	= lim (k+ 1) —
4-» | 04+1 I 4 —oo I kl (fe+l)!|	4—oo At! 4—oo
— 00, to R=oo. Ряд сходится при всех х, т.е. в интервале (— оо, -|-оо).
Пример 24.12. Нацти область сходимости степенного ряда
у (х-2)2*-' _ х-2 (х —2)3	(х-2)5
/г3	1	8	27
338
Применим признак Д’Аламбера, для чего найдем предел lim ц*+1 =
В данном случае
(х —2)““'	(х —2)2(‘+1)_| (х —2)“+'
*3	•	(Л+1)3 ’’
ui+l	(х —2)“+1 . (х —2)“~' _ (х —2)2‘+lJfe3	оч2 k3
(* + 1)3 " k3	(х-2)2‘"'(/г+1)3 {Х (*+1)3
lim I “*+l I = lim (х —2)2f= (х—2)2.
Так как при (х —2)2<1, или |х—2|<1, ряд сходится, а при (х —2)2> 1,
или |х—2|> 1, ряд расходится, то в соответствии с определением радиус сходи-
мости данного ряда /?=1. Неравенство |х—2|<1 равносильно неравенствам
— 1<х — 2<1 или 1<х<3; интервалом сходимости является интервал (1,3).
Этот интервал можно найти, полагая а—2, /? = 1 в общем выражении (a—R,
a + R). Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала. При х=3 полу-
чаем ряд
у (3 —2)“~' у
Д k3	k3 '
Этот ряд сходится (ряд Дирихле; р = 3> 1). При х=1 имеем
у (1—2)“-' у (-!)“-'	у _1_
L ьз	L ь3	ъ3 '
*=| к	k=l к	k = \ к
Этот ряд также сходится. Следовательно, данный ряд сходится при 1^х^3,
т. е. областью его сходимости является отрезок [1,3].
V (* + 3)“
Пример 24.13. Найти область сходимости степенного ряда / -------г---•
* = 1 к
Применяем признак Д’Аламбера. В данном случае
(х + 3)2<‘+1)	(х + 3)“
“‘+,=------Гн------ “‘=-------k---’
Ю+. = (х + 3)“ + 2 . (x + 3)2t fe(x + 3)“ + 2	= k	2
Uk	fe+1 ’ k	(k +1) (x+ 3)“	*4-1
lim I “>+1 I = lim I
k-*- oo I Uk	| A-*-oo | «“Ь 1
(x + 3)2 = (x + 3)2.
Поскольку при (x-f-3)2< 1, т. e. при |x + 3| < 1, ряд сходится, а при (x+3)2> 1,
т. e. при Ix + 31 > 1, ряд расходится, то радиус сходимости данного ряда /?=1,
а интервал сходимости (— 4, —2). Исследуем сходимость ряда на концах про-
межутка [ — 4, —2]. При х=—4 получаем ряд
<-4 + 3)“ у (-1)“	£ J_
k k k
Этот ряд расходится (гармонический ряд). При х= -2 также получаем расходя
339
щийся гармонический ряд. Следовательно, областью сходимости данного ряда
является интервал (—4, — 2).
“	(х_р2)*
Пример 24.14. Найти область сходимости ряда / —.—-к---------.
* = 1 *(5+1)
Применяем признак Д’Аламбера, считая х фиксированным. Поскольку
I u„+l I = 1 (х + 2)*+1	.	(х + 2)* | = |х + 2|*(5*+Р
I uk I I (* +1) (5*+'+1) ’ *(5‘+1) | (й + 1) (5*+1 + 1) ’
ТО
lim p±2_l = lim	=
fe , ОС | Uk I k~* oo (k + 1) (5	+1)
= iim 1	(l+5-*)|x + 2| = |x + 2|
k-ool + l/fe (54-5-*)	5
Ряд сходится, когда полученный предел меньше единицы, т. е. |х + 2|/5< 1,
или Jjc4~21 <5. Так как при |х + 2| <5 ряд сходится, а при |х + 2|>5 ряд
расходится, то радиус сходимости /? = 5; интервал (— 7,3) является интервалом
сходимости. Исследуем поведение ряда на концах промежутка [ — 7,3]. При
х=—7 получаем знакочередующийся ряд
у (—7 + 2)*	у	( — 5)*	у __(-1)*
Д fe(5*+l)	*(5‘+1)	*(l+5-‘)
Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, поэтому он сходится.
При х = 3 получаем ряд
у (3 + 2)* у 5*	у 1
Д *(5‘+1) Л1 *(5*+1)	*(1+5-*)
Полученный ряд расходится, так как каждый его член больше соответствующего
ОО
члена расходящегося гармонического ряда £ !/(*+!), т. е. 1/*(1+5 *)>
* = I
>!/(*+!), ибо *(1 +5“*) <*+ I.
Следовательно, областью сходимости данного ряда является полуоткрытый
промежуток [ — 7,3).
24.4. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
Если функция /(х) разлагается в степенной ряд
/(х) =Со + С1(х —Я) + с2(х —а)2 + ...+о(х —ц)* + ...
в некоторой окрестности точки а, т. е. в интервале (a — h, а+*), то коэффи-
циенты этого ряда определяются по формулам
f(*’(a)
co = /(a), ct= ! fc\ ' (*=1,2,3,...).	(24.19)
Следовательно,
f(x) =f(a] + -~\у- (x-a) + --2°— (x-a)2+---+ Z (x-a)*+...
(24.20)
Ряд, стоящий в правой части формулы (24.20), называется рядом Тейлора
для функции Дх).
340
Равенство (24.20) выполняется (ряд Тейлора сходится к f(x) в интервале
(a — h, а + й)), если остаток ряда Тейлора
Гп(х) = (f(x) —f(a) - £ ~Цт~- (х-а)^
стремится к нулю при неограниченном возрастании п:
lim гп(х) =0
П-*- оо
при всех х из интервала (а — Л, а + Л).
Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Если функция
f(x) бесконечно дифференцируема в интервале (а — h,a-\-h.) и ее производные
равномерно ограничены в этом интервале, т. е. существует такое положительное
число С (не зависящее от п), что
|/л(х)|<С (л = 1,2,3,...)
при всех х из (a — h, а-f-й), то верно равенство (24.20) во всем интервале
(a — h, a-\-h).
Формула (24.20) в частном случае при а = 0 определяет разложение функции
в ряд Маклорена:
Нх) =И0) + J^-x+ -ф-х2 +	(24.21)
При разложении функций в степенные ряды часто используются формула
(24.10) и разложения в ряд Маклорена следующих функций:
00	Ь	2	3	Ь
х I , V х , , х , X2	, х3	,	, х* ,	, | .	.
е -1+	— + -2Г + -зГ+-+-£Г+- <|х|<оо>’
v	х^ ~ *	х^ х$
sinx= £' (-1) --^_1), =^--зг + —— (1*1<оо),
S	х2‘	X2	Г4	X6
C0SX=1 + Z, (-1>‘-(2й)Г=1--2Г + ^---------------6Г+- (И<~).
00	k	2	4	4
,	, V / ni-i х	х4 х‘ х’	.	. _
1п(Ц-х) =	(-1)	—	-------2~ + 1----4-+’”
£	х24-1	х3 х5
ShX== j, (2Й-1)! =Л'+~ + -5Г+- (W <00)’
00	24	24
chx=I+	= 1 + 1Г + ^-+- (W<oo),
(i+x)‘=i+ f	+	x+^_z2Lx4...
*=i	*	2
( - 1 <X< 1).
Пример 24.15. Разложить в ряд по степеням х функцию/(х) = 1/(1 +х).
Воспользуемся разложением (24.10). В формуле 1/(1—x)-xl-l~x-l~x2-f-
-|-х34-х44-х5-|- ... +х‘+ ... Запишем (—х) вместо х:
1/(1 - (-X)) = 1+ (-X) + (-Х)2+ (-X3) + (-х)< + ... + ( -х)‘ + ...
341
Таким образом, получено следующее разложение данной функции в степен-
ной ряд:	•
1/(1+х) = 1-х + х2 — х3 + х4-... + (-1)*х* + ...	(24.22)
Этот ряд сходится при |х|<1.
Замечание. Формулу (24.22) можно получить и другим путем. Ряд
1 —х+х2 —х3 + .„+(—1)‘х*+... является геометрическим рядом со знаме-
нателем <?=— х; он сходится при |х| <1, его сумма S(х) = 1 /(1 + х) (получено
по формуле S = a/(1 — q), а— 1, q=—x).
Пример 24.16. Разложить в ряд по степеням х функцию Цх) = 1/( 1—х2).
В формуле (24.22) вместо х запишем —х2:
1/(1 — X2) = 1+х2+х4 + х6+...+х2* +...
Полученный ряд сходится при |х| < 1.
Замечание. Этот пример можно решить и другим способом. Так как
_L_ = _L L_ . L_\
1-x2 2U+x r l-x/’
то в соответствии с разложениями (24.10) и (24.22) по определению суммы
степенных рядов (формула (24.13)) получаем
-  2 = 4- 1(1—х+х2 —Х34-Х4—...) + (1+х + х2+х3+х4+...)1 =
1 — X ~
= 4“ [(1 + 1) + (-х+х) + (х2+х2) + (—х3+х3) + (х4+х4) +...] =
= -1- (2+2х2+2х4 +...) = 1 +х2+х4+ ... +х2‘+ ...
Пример 24.17. Разложить в ряд по степеням (х+2) функцию Цх) =
= 1/(1—х).
Преобразуем данную функцию следующим образом:
1 1 1
1-х ~ 1-(х+2)+2 “ 3—(х + 2) ~
1 1 1
3(1-(х + 2)/3) - 3	1- (х+2)/3 '
Введем новую переменную t, полагая х+2 = 1; воспользуемся разложением
(24.10), записывая в нем 1/3 вместо х:
111 11
НХ) 1-х	3	(1 —(х+2)/3)	3	(1-1/3)
’4-Н4-+(4-)’+(<+1
ИЛИ
1_____L _ц х + 2 . (х + 2)2 , (х + 2)3 , (х + 2)*
i-х з з2 з3 "Г з4	з‘+'	1 ’
Ряд (1) сходится при |1/3| < 1, т. е. при 111 <3, или — 3< 1 <3, а ряд (2)
сходится при —3<х + 2<3, или при —5<х<1.
342
Пример 24.18. Разложить в ряд по степеням х функцию f(x) =
4
(1Ц-х)(1—Зх) '
Разлагая данную функцию в сумму элементарных дробей, получаем
(1+х)(1- Зх) 1 +х 1—Зх
Так как
1/(1+х) = 1-х+х2-Х3+х4-х5+... + (- 1)‘+'х*+...,	(3)
1/( 1 -Зх) = 1 +3х+ (Зх)2+ (Зх)3+ (Зх)5+... + (Зх)‘ + ... ,	(4)
то по формуле (24.13) находим
.	ОО	оо	оо
= Z (-1)‘х‘ + 3 X (Зх)‘= X [(- 1)‘ + 3‘+,]х‘. (5)
ox) А==о	t=0	А=о
Ряд (3) сходится при |х| < 1, ряд (4) сходится при |х| < 1/3, поэтому ряд (5)
также сходится при |х| <1/3, т. е. в интервале ( — 1/3, 1/3).
Пример 24.19. Найти разложение в степенной ряд функции f(x) =arctg х
с помощью степенного ряда для <р(х) = 1/(1 +х2).
Прежде всего напишем степенной ряд для функции <р(х), записывая в фор-
муле (24.10) х2 вместо (—х), получаем
1/(1 +х2) = 1-х2+х4—х6+х8-..-+( — 1)‘х2* + ...
Этот ряд сходится при |х| < 1, т. е. в интервале (— 1, 1); следовательно,
его можно интегрировать почленно по любому промежутку, содержащемуся
в указанном интервале. Интегрируя ряд по промежутку [0, х], где 0<х<1,
находим
$	= J (i_x»+x4-x6+x’ + ... + (-1)‘x2‘ + ...)dx=
о 1 +* о
п	[ах	,
Поскольку ) -----— = arctg х, то
О 1 + х
Г3	Г5	Y7	у 2* 4-1
arctg х=х j- + -д —+... + (—1)* 2Д;+1 +...
Этот ряд имеет радиус сходимости /? = 1. На концах промежутка [—1, 1]
ряд также сходится. В частности, при х=1 получаем ряд
24.5. Применения рядов в приближенных вычислениях
С помощью рядов можно вычислить значения тригонометрических
функций, логарифмов чисел, корней, определенных интегралов.
Значения тригонометрических функций (синуса и косинуса) можно вычислить
с помощью их разложений в степенные ряды.
343
Для вычисления натуральных логарифмов чисел применяется формула
In =In(Af4-1) — In
= 2( 2tf+l + “Г (2Af + 1)3 + “Г 12V+TT" + -) ’	(2423)
которая получается из формулы
.	1 +х / X X3 X5	х2*-1	\	1ч
,П-ПГГ=2(—+ — + — +•••+1FZT+-) <w<1>
при х= 1 / (2JV -|-1).
Погрешность при замене суммы ряда (24.23) суммой его п первых членов
определяется формулой
„ =2/____!__________1 , 1_________________1 ,
"	\ 2«+1	(2У+1)2“+1	2«+3 (2tf+l)2,1 + 3
+ —I____________!_____+
" 2n + 5	(2#+1)2,,+5
Очевидно,
а„<р„	2п+1	(2лГн72'‘+г( * + (22V+1 )2 + (2W+1)4 +") ’
или
1	1	I
ап< 2(2п+1)	(2Л?4-1)2"-'	W+1) '
Для вычисления корней применяют биномиальный ряд, т. е. степенной ряд
для функции f(х) = (1 + х)а. Предположим, что нужно вычислить !у/А, причем
уже известно приближенное значение а этого корня, но требуется улучшить его.
Если А/ат= 1 -f-x, гдех — небольшая правильная дробь, то можно преобразовать
корень следующим образом:
^==ал/5'=а(1+х)|/т	(24'24)
и применить биномиальный ряд при а = 1/т.
Если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а пределы
интегрирования принадлежат области сходимости этого ряда, соответствующий
определенный интеграл можно вычислить приближенно.
Пример 24.20. Вычислить 717 с точностью до 0,0001.
Преобразование (23.24) в данном случае принимает вид
717 = 716+ 1 = 716(1 + 1/16) =4( 1 + 1 /16)1/2
Воспользуемся биномиальным рядом. Полагая в нем х=1/16, а=1/2,
получаем
1 +J_)'/2=i + _LJ_+ ‘/w2~‘) /j_V.
16/	2 16^	1-2	16/ +
1/2(1/2-1) (1/2-2) ( 1 V
1-2-3	\ 16/ +
1/2(1/2-1) (1/2-2) (1/2-3)
1 -2-3-4
344
т. е.
/ 1 \,/2 1
( 1 + Тб") =1 + “2Й6
23-162 + 24-163
27-164
Полученный ряд (если не принимать во внимание первый член) является
знакочередующимся рядом, удовлетворяющим условиям признака Лейбница.
Погрешность при вычислении его суммы не превышает первого отброшенного
члена. Так как
24.163 = 66536	10 000	0,0001 ’
то достаточно взять сумму первых трех членов ряда, чтобы получить искомое
значение корня с заданной точностью:
<Т7«4(1+^ТГ--2^-)»*’12^
24.6. Ряды Фурье
Рядом. Фурье функции f(x) называется тригонометрический ряд
—h £ (а„ cos nx-\-b„ sin пх),	(24.25)
коэффициенты которого определяются формулами
а„ = —J— f (х) cos nxdx (n = 0, 1,2, 3,... ),	(24.26)
л J
—Я
bn= —f(x)sinnxdx (л = 1, 2, 3,... ).	(24.27)
Л J
— л
Ряды Фурье периода 2л. Если функция f(x) с периодом 2л кусочно-диффе-
ренцируема в промежутке [ — л, л], то ее ряд Фурье сходится в любой точке х0
и имеет сумму
5 (хо) =	+	.	(24.28)
В частности, в точке непрерывности функции f(x) сумма ее ряда Фурье
равна значению самой функции f(x). На концах промежутка [ — л, л] имеем
S( —л)=/( —л), 5(л)=/'(л), если функция /(х) непрерывна в точках х=±л,
и 5(±л) =f( — л+0)/24-/(—л-|-0)/2, если она разрывна в этих точках.
Ряд Фурье четной функции содержит только члены с косинусами; ряд
Фурье нечетной функции содержит только члены с синусами.
Кусочно-дифференцируемая функция, заданная на полупериоде [0, л),
может быть продолжена в промежуток [ — л, 0) либо как четная, либо как
нечетная, в соответствии с чем ее можно разложить в ряд Фурье или только
по косинусам, или только по синусам кратных дуг.
Ряды Фурье периода 21. Если функция f(x) и ее производная f'(x) в про-
межутке [ —1,1] либо непрерывны, либо имеют лишь конечное число точек
разрыва первого рода, то во всех точках непрерывности этого промежутка
справедливо разложение
С1 . До , V ( пях । >. • пях \
fW = ~2-+ L ^o„cos—J--------\-b„sm——) ’	(24.29)
345
где
I	*
а„=-у- $ f(x)cos-^-dx (n=0, 1,2,3,... ),	(24.30)
1 -t	1
b„ = -J- j f(x^in-^-dx (n= 1, 2, 3, ... ).	(24.31)
' -l	1
В точках разрыва функции Дх) и на концах х=±/ промежутка [ — /,/]
сумма ряда Фурье определяется формулой (24.28).
В случае разложения функции f(x) в ряд Фурье в произвольном про-
межутке [а, а + 2/] длины 2/ пределы интегрирования в формулах (24.30), (24.31)
следует заменить соответственно через а и а-\-21.
Ряд Фурье (24.25) можно представить в комплексной форме
—|-	(а» cos nx + b„ sin пх) =	£ c„e'"x,
n — 1	n = — oo
где
Аналогично представляется в комплексной форме и ряд Фурье в правой
части формулы (24.29).
Пример 24.21. В промежутке ( — л, л) разложить в ряд Фурье функцию
= -i-x+5.
По формулам (24.26), (24.27) находим коэффициенты
= — (~ +5л-+ 5л) =10,
л \ 4	4	/
1 г / 1	,	.	1 Г/ sin пх >
а„=----- \ ( -г- х + 5) cos nxdx— -г— х-------
л J \ 2	/	2 л (\ п у
sin пх 1	5 (	.
--------dx\ ------\ cos nxdx =
	(л sin/гл + л sin ( — пл)) Н	rcosnx +
2лп--------------------------------2лп----л
Н-----sin пх -------г- (cos пл — cos( —пл))--(sin пл — sin (—пл)) =0,
лп |_П 2лп	ли
Ь„=---- \ ( -т— х+5) sin nxdx= -у— \ х sin nxdxН-\ sin nxdx =
л J \ 2	/	2л J	л J
— л	— л	— л
346
5 .	.	2л cos пл
— — [c°s пл - cos (- пл) ] =----------5—--------
лп	2лп
( — 1)"+'
п
Следовательно,
-U+5-S+ j (-,>« JS1SL
Z	п = I	П
Пример 24.22. Разложить в ряд Фурье функцию
,	_ ( — х при — л^х^О;
' Х I 0 при 0<х<л.
С помощью полученного разложения показать, что
_11= У _______!____=1 + J- + J_ + _L+...
8	(2*-1)2	,32	52 + 72
По формулам (24.26) и (24.27) находим коэффициенты ряда Фурье:
I Л	1 0	1 л
аа=---- f(x)dx =------ (— x)dx-\-----\odx =
Л J	Л J	Ял
— л	—л	О
___	1 х2 1° 	 л2 __ л
л 2 | _ я_______________2 л_2
1 л 1	°	1 л
а„—--- \ f(х)cos nxdx=---- \ ( — x)cos nxdx-\----\0dx =
31	л J	п о
— \ xd{ ------) =------х sin nx Н-----\ sin nxdx=
л J \ n / лп	ЛП J
1 cos nx 1°	1 .	.	.
:----------------=------------Г (cos 0 — cos пл) =
лп п	лп2
= —Ц- (cos пл —cos 0) = —Ц- [(— 1)"— 1],
лп ,	лп
2
т. е. ап—-------т- при п нечетном, а„ = 0 при п четном;
лп2
1 л 1	°	1 "
Ь„=------ \ /(x)sin nxdx —-- \ (— x)sin nxdx-|------\0-sinnxdx =
л	Л _	Л Q
cos nx J 1	л	z Ч1 1 sin их
	ах==	 0«cos 0— (—л)со5 п(~л)	
п--------------------------------------------лп-лп п
__ л cos пл __ (— 1 )п
лп____________п
Таким образом,
____________2_ у cos(2fe—1)х , у , sinnx
/<J	4 л {2k~i)2 +„е,(	’	«
( — л^х< л).
347
При х = 0 получаем
„ ОО	л	00
л л 2 у- 1	л V 1
0=-------------) ----------г-, или ----= ) ------------
4 л (2/г —1)2	8	(2* —I)2
Пример 24.23. Функцию f(x) — х в промежутке [0, л] разложить по
косинусам.
В данном случае требуется получить разложение функции в промежутке
[О, л] длины л (а не 2л). Продолжая функцию в промежуток [ —л, 0] четным
образом, заключаем, что ее разложение в ряд Фурье содержит только косинусы,
т. е. все Ьп = 0. Коэффициенты ап находим по формулам, получающимся из
формул (24.26) для этого случая:
2 г .	1	гГ	"2
ао=-----\ xdx =------х =-------= л,
п q	л	|о	л
2	х sin пх Iя
Л	П О
---\ sin nxdx =
пп о
=-----(л sin пл —0 sin 0) 4--------------=
яп	яп	п	|о
2	2
= ----5- (cos ПЛ —COS 0) = -----5- [( — 1)я— 1] ,
ЯП	ЯП
т. е. а2» = 0, а24_| = — 4/л(2*— 1)2 (А = 1, 2, 3, ... ).
Следовательно,
л 4	cos(2£—1)х
2	(2Л—I)2
(О^х^ л).
Пример 24.24. Разложить в ряд Фурье функцию Дх) =х3 в промежутке
(-1, 1).
Данная функция является нечетной, поэтому разложение (24.29) будет
содержать только члены с синусами, все an = 0 (n = 0, 1, 2, 3, ... ). Коэффи-
циенты Ьп в этом случае можно определять по формуле
2 1	пях	'
Ьп= -г- J f(x)sin~^—dx, или b„ = 2 х3 sin nnxdx (n — 1, 2, 3, ... ).
1 о	о
Найдем эти коэффициенты:
, п (	3 j ( ~C0S Пл* \	„ 3 C0S плх	6 f 2	.
6„ = 2 \ x3dl -------- = —2х----------- 4----\ х2 cos плх1/х =
5	\ пл /	пл |0 пл Jo
2	6 г
------(1 • cos пл — 0 • cos 0) 4-\
пл	пл 3
sin плх
пл
(— 1)"2 ,	6	2 . Г 12	.	.
	1	=—z- х sin плх-— \ х sin nяxdx =
пя--------------------------------------п Я	|0 (пл) Q
= (_1)'-н2_ +
6	)	12
пл	п л q
cos плх
пл
348
(	|П+> 2	.	12
= ( — 1)------------г- X COS ПИХ
ПЛ П3Я3
1
12 г cos ппх
п2л2 '0 ил
,	л+1 2	12	12	sin ппх I'
( — 1) + — Ч--------т-х- cos пл-----—--------------
«л п3л3	П3Л3 пл |о
Следовательно, при —1<х<1 получаем
(- 1)"6
sin плх =
(- 1)л61 .
---5—5--- SIH ППХ.
П3Л2 J
24.7. Степенные ряды с комплексной переменной
Рассмотрим две комплексные переменные величины z — x-\-iy и w = u-^
-{-iv, где х, у, и, v—действительные переменные, i= -\j— 1 — мнимая единица.
Если каждому значению переменной г из некоторого множества соответствует
единственное значение переменной w, то Говорят, что ш есть функция от г:
w=f(z) =и(х, у) +iv(x, у).
Здесь и(х, у) и v(x, у) —действительные функции от х и у, задание одной
функции от одной комплексной переменной означает задание двух действительных
функций от двух действительных переменных.
Комплексным функциональным рядом называется ряд
ОО
£ un(z) =и,(г) + u2(z) + -.. + ««(г) +	(24.32)
п= 1
члены которого являются функциями комплексной переменной.
Значения г, при которых ряд (24.32) сходится, называются точками сходи-
мости. Множество всех точек сходимости называется областью сходимости этого
ряда. Для каждого числа z из области сходимости
lim S„(z) = S(z),
«-► оо
где S„(z) — частная сумма ряда (24.32), a S(z) —его сумма.
Ряд (24.32) сходится, если сходится ряд из модулей его членов.
Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида
ОО
£ a„(z —zo)" = ao + ai (z —zo) Ч-сМг —z0)2+ - ,	(24.33)
n = 0
где z — комплексная переменная, z0 — данное комплексное число, коэффициенты
а„ (п —О, 1, 2, ... ) — данные комлексные числа.
В частном случае, при го=О, получаем комплексный степенной ряд, располо-
женный по степеням г:
У anz" = ao + aiz + a2Z2+...	(24.34)
п = 0
349
Для каждого степенного ряда (24.33) существует круг радиуса R с центром
в точке Мо (т. е. |z— zol </?), внутри которого данный ряд сходится, а вне его
расходится (т. е. при |z —z0|>/?). Этот круг называется кругом сходимости.
Его радиус называется радиусом сходимости степенного ряда ()?=оо, если
степенной ряд сходится во всей плоскости, /? = 0, если он сходится лишь
в центре круга, в точке Л1о). Во всех точках внутри круга сходимости степенной
ряд абсолютно сходится.
При отыскании радиуса сходимости степенного ряда могут применяться
признаки сходимости Д’Аламбера и Коши. В частности, радиус сходимости
степенного ряда (24.33) можно вычислить по формуле
R= lim
я->оо
ап
Un+ I
(24.35)
Показательная и тригонометрические функции комплексной переменной
определяются формулами
V 2”	z z2 z3
^=1+ Z — =1 + -г + -2Г + — +-’	(2436)
п = 1
оо
sinz= Z
п =
г2п~'	г3 г3	г1
( — 1 \п---------= 2 —--------4------- — _____ -4~
'	’ (2л —1)!	3! т 5!	7!
(24.37)
00	2л	2	4	fi
Zz	Z	Z	Z
п = 1	(— ”“(2Й)Т	= 1 2Г	~4!	бГ	<24-38)
Ряды в правых частях формул (24.36) — (24.38) сходятся при всех комплексных
г(Л=оо).
Связь между этими функциями устанавливают формулы Эйлера:
е'г = соз z-f-z sin z, e_,z=cos z — i sin z;
(24.39)
cos z= (e“ -f-e ,г)/2, sinz — (е‘г — e ,z) /2z.
Отметим, что
e'ег =/' + г\ ег+2” = ег, ez = ex(cos у — i sin у),	(24.40)
z = rA	(24.41)
где z=x+iy.
Вторая из формул (24.40) означает, что функция ег имеет период 2л/.
Формула (24.41) представляет комплексное число z=x-\-iy в показательной
форме (г — модуль, ф — аргумент).
ОО
Пример 24.25. Найти область сходимости ряда У z" и его сумму.
л = 0
Составим ряд из модулей членов данного ряда:
£ |z|"=l + |zl + lz|2= ...
п = 0
Полученный ряд является рядом с действительными членами, он представляет
собой геометрический ряд. Следовательно, этот ряд сходится, когда | г I < 1,
т. е. в круге радиуса К = 1 с центром в начале координат. Таким образом, данный
ряд также сходится в круге |z| < 1, который и является его областью сходимости.
Так как частная сумма ряда выражается формулой
П  1	«	»
у /=Це?-
Л=0	1 Z
350
и z"->-0 при n-f-oo (|z| < 1, z"= |z| "(cos n<p+< sin n<p)), то сумма ряда
S(z) = lim S„(z) = ------.
n—► oo	1 —Z
Итак, получено следующее разложение:
-/-= £ z" (|z|<l).
1 Z	л = 0
Пример 24.26. Найти область сходимости ряда- ) ——.
п = 0 2
Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда
У _L_ = i + _1_ + _2_ + _!_+
„ = 0 И".	121 + |z|2 + |z|3
Этот ряд является геометрическим. Так как q=l/\z\, то ряд сходится при
I<71 < 1, т. е. при (l/|z|) < 1, или при Iz| > 1.
Итак, областью сходимости является множество точек, лежащих вне круга
радиуса /?=1 с центром в начале координат.
Пример 25.27. Найти радиус сходимости
степенного ряда
Поскольку а„ =1/2", a„+i = 1/2"+1, то
Z —
4—1 Г)П
л = 0 2
R =
Итак, радиус сходимости данного ряда R =2.
Пример 24.28. Найти область сходимости ряда 1 + £ г .
Поскольку а„=1/п!, а„ + , = 1 /(п +1) 1, то
а» = 1 .	1	=
ал-н п! ‘ (п + 1)! П
И
R — lim I ——— I = lim (п +1) = оо.
«-►ОО	1	I	«-►оо
Данный ряд сходится на всей комплексной плоскости.
Пример 24.29. Найти сумму cos * + cos 2х +...+ cos пх.
Используя третью из формул (24.39), получаем cos kx = (eitx+е~‘кх)/2,
поэтому
S(x)= У cos kx= ( У е‘кх + У е~‘кх) .
4=1	2	4=1	4=1
Суммируя геометрические прогрессии, находим
е‘х — е‘
g-ix_е~^п+ О*
1—е~‘х
351
Разделив почленно первую дробь на е'х/2, вторую на е и/2, получим
1 Г е/х/2_е<(2п+1)х/2 е—х/2_е-.(2Л+1)х/2-|
S (Х) = 2 [ g-ix/2______Jix/г I е>х/2______е->х/2 J
1	(e(2n+l)x/2_e-(2n+l)x/2)/2l-_ (e«/2_e-.x/2)/2l- _ sin (П + 1/2)X____1_
= -2_	(е'*/2_ е-'<2)/2/	“	2sin(x/2)	2
„ v	sin(n + l/2)x	1
Итак, > cosfex =—_ . . ...-------------z-.
2sin(x/2)	2
1 °°
Пример 24.30. С помощью разложения -т---------------= £ гп (г = ге'’’ =
z п—о
= r(cos <p + i sin <р), |г| <1) получить следующие:
1 — г cos ф
1 —2г cos <р + г2
ОО
£ г" cos п<р;
п = 0
г sin ф
1 — 2r cos <р + г2
ОО
£ г" sin Пф.
п=0
Первое разложение получено в примере 24.25. Подставив в него выражение
z=r(cos q>+» sin <р), найдем
J	оо	оо
—Г,---------;----:-:-- = ) r''cosnq>4-< ) г" sin n<f.
(1-rcos <p)-trsin <р л^0 т п^0
Преобразуем левую часть данного равенства: * 1
1	_ (1—г cos ф) -f-ir sin ф	_
(1 — г cos ф) —ir sin ф [ (1 — г cos ф) —ir sin ф] [ (1 — г cos ф) -{-ir sin ф]
_ (1 — г cos ф) +»г sin ф _	1— г cos ф	г sin ф
(1 — Г COS ф)2 —<2Г25Ш2ф	1— 2г COS ф+г2 1— 2r cos ф + г2
Следовательно,
1 — г cos ф	г sin ф
1—2r cos ф + г2	1—2r cos ф + г2
откуда
ОО	оо
£ г" cos Мф + i £ г" sin «ф,
п=0	п=0
1 — Г COS ф
1 — 2r cos ф + г2
ОО
£ rn COS Пф,
п =0
г sin ф
1 — 2г cos ф + г2
ОО
= £ rn sin Лф.
п = 0
IV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно не-
известной функции и ее производных различных порядков. Порядком дифферен-
циального уравнения называется порядок старшей производной, входящей
в это уравнение.
Если искомая функция зависит от одной переменной, то соответствующее
дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если искомая функция
зависит от нескольких переменных, то соответствующее дифференциальное
уравнение называется уравнением с частными производными. В главах 25 и 27
рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.
Обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка в общем виде
можно записать так:
F(x, У, У', У", ••• , У(п>) =0,
ГДе zХ ~7, независимая переменная; У~У(х)—искомая функция переменной
х’ У< У > •• > Уп ее производные; F(x, у, у', у", ... , у1"»') —заданная функция
своих аргументов. Отметим, что функция F может не содержать некоторых своих
аргументов, но непременно должна зависеть от (когда речь идет об уравнении
n-го порядка).
Если данное уравнение разрешимо относительно производной n-го порядка,
его можно представить в виде
yM = f(x, у, у', у", ... ,уп~'}).
Функция у=у(х), определенная и непрерывно дифференцируемая п раз
в интервале (а, Ь), называется решением дифференциального уравнения в этом
интервале, если она обращает данное уравнение в тождество, т. е.
F(x, у(х), у'(х), у"(х), ... .упЧх)}=(}
для всех хе (а, Ь).
График решения дифференциального уравнения n-го порядка называется
интегральной линией (или интегральной кривой).
Термин «дифференциальное уравнение» принадлежит Лейбницу (1676, опуб-
ликовано в 1684 г.). Начало исследований по дифференциальным уравнениям
восходит ко временам Лейбница, Ньютона, в работах которых исследовались
первые задачи, приводящие к таким уравнениям. Лейбниц, Ньютон, братья Я.
и И. Бернулли разрабатывали методы интегрирования обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. В качестве универсального способа использовались разло-
жения интегралов дифференциальных уравнений в степенные ряды. Некоторые
классы уравнений были приведены к уравнению с разделяющимися переменными.
Возникновение теории дифференциальных уравнений в частных производ-
ных было связано с расширением в XVIII в. области приложений математиче-
ского анализа. Оно стимулировалось теми задачами естествознания, механики,
физики, в которых появилась необходимость в функциях нескольких переменных.
Первые примеры интегрирования уравнений с частными производными даны
в работах Эйлера (1734). Теорию уравнений с частными производными интен-
сивно развивали Эйлер, Д’Аламбер, Д. Бернулли. Новые идеи в этой области
в конце XVIII в. предложены в сочинениях Лагранжа, Лапласа, Монжа.
В 1807 г. Фурье вывел уравнение теплопроводности и для его решения разра-
ботал метод разделения переменных, названный его именем. Решением задач,
возникавших в теории теплопроводности занимались многие математики, в том
числе Гаусс, Пуассон, Грин, М. В. Остроградский и др.
354
Глава 25
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение,
связывающее независимую переменную, искомую функцию этой переменной и ее
производную. Если у ~у(х) —функция независимой переменной х, то в общем
виде уравнение.записывается так:
Е(х, у, у') =0.
Если это уравнение разрешимо относительно у', то
У'=((х,у),
откуда dy — f(x, y)dx = 0, или в более общем виде
Р(х, y)dx+Q(x, у) =0.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция
y = q>(x), обращающая уравнение в тождество. В случае, если эта функция
задана в неявном виде, решение называют интегралом. График решения диф-
ференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется
функция y = tp(x, С), где С — произвольная постоянная, обращающая данное
уравнение в тождество.
Общее решение Ф(х,у, С)=0, заданное в неявном виде, называется общим
интегралом этого уравнения.
Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой
семейство интегральных кривых на плоскости, зависящее от одного параметра С.
Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего
решения при фиксированном значении С:у = <р(х, Со), где Со — число. Аналогично
определяется частный интеграл Ф(х, у, Со) =0.
Задача Коши. Найти решение y—f(x) дифференциального уравнения
первого порядка, удовлетворяющее начальному условию у=уо при х — хо. Дру-
гими словами, найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую через
точку Мо(хо, уо)-
25.1.	Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися
переменными называется уравнение вида
Х(х) Y(y)dx + Xt (х) Г, (y)dy = 0,	(25.1)
где Х(х), А, (х) —функции только от х, Y(y), Y। (у) —функции только от у.
Предположив, что Xi (х) Y(у) =/=0, и разделив обе части уравнения (25.1)
на это произведение, получим уравнение
Х(х) . , Г. (у) .	.
Х,(х)	+ Y(y) dy~0’
355
которое называют уравнением с разделенными переменными; оно имеет общий
интеграл
L Х.М dx+\Ji^dy=c.
J Х,(х)	Y (у) у
Замечание. Корни уравнений Xi (х) =0, Y(y) =0 являются решениями
уравнения (25.1).
Пример 25.1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение «/' =
= (1 — x)/(2-i-y). Найти решение, удовлетворяющее условию у=\ при х = 5.
Это уравнение можно записать в виде
dy/dx = (1 — x)/(2-Yy), или (x—\)dx+(y + 2)dy==0;
Интегрируя, получаем
(х-1)2/2+(у + 2)г/2 = С1, или (х- 1)2+ (у + 2)2 = С2 (С2=2С,).
Общий интеграл данного уравнения геометрически представляет собой мно-
жество концентрических окружностей с центром в точке 5(1, —2). Найдем
решение, удовлетворяющее указанному условию. Подставив в выражение для
общего интеграла значения х=5, у=1, определим С: (5— 1 )2 + (1 -)~2)2 = С2,
С2 = 25. Следовательно, искомый частный интеграл имеет вид (х— 1)2+ (1/-|-2)2 =
= 25; он определяет окружность, проходящую через точку Л4(5, 1).
25.2.	Однородные уравнения
Функция F (х, у) называется однородной измерения т, если для любых
t выполняется тождество
F(tx, ty) =tmF (х, у).	(25.2)
Дифференциальное уравнение первого порядка
P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0	(25.3)
называется однородным, если Р(х, у) и Q(x, у) —однородные функции одного
и того же измерения.
С помощью новой переменной и, вводимой по формуле
у = их,	(25.4)
однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Уравнение
,J_^±by+^\
у '\ щх+Ь^у+а )
(25.5)
также можно привести к однородному уравнению с помощью преобразования
x — u-\-h, y = v-j-k, где h и k определяются системой уравнений
ah-Fbk-\-c=0, adi-\-bik-Y-ci =0,
в случае, когда
Д =
Уравнение (25.5) сводится к уравнению с разделяющимися переменными
с помощью преобразования ax-\-by=z в случае, когда
д=
= 0.
356
П р и м е р 25.2. Найти общее решение дифференциального уравнения
ХУ'—У 1п(у/х).
Это уравнение приводится к виду (25.3), где Р(х, у) —у ln(y/x), Q(x,y) =
= —х — однородные функции первого измерения; они удовлетворяют условию
(25.2) при т = 1. Полагая у/х = и, или у = их (см. (25.4)), находим у' = и'х + их'.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем х(и'х-\-их') =
,	,	.	du	du	dx
— их In и, их=и In U — и, X—— =u(ln и — 1), -г.-----— =------.
dx	м(In и— 1) х
Вводя новую переменную t по формуле In u = t и интегрируя, находим
=in (In и— 1),
du
и (In и— 1)
— =ln x-f-ln C, ln(lnu—1)=1пх + 1пС,
откуда Cx=ln и— 1, Cx = In (y/x) — 1, Cx+ 1 -- In (y/x), у/х = еСх+|, y=xeCx+i.
Следовательно, y=xeCx'>rX — общее решение.
25.3.	Линейные уравнения. Уравнение
Бернулли
Уравнение
ф: (х)У, + ф2(х)1/ + <рз(х) =0,
или
У' + p(x)y = q(x),	(25.6)
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Решение линейного уравнения ищут в виде произведения двух функций:
У(х) =u(x)v(x).	(25.7)
Подстановка выражений для у и у' в уравнение (25.6) приводит его к виду
*£+(+р(х)р)=q{x}-
В качестве v выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению
У(х) +р(х)ц = 0, тогда функция и определяется уравнением ии'(х) — q(x).
Для решения уравнения (25.6) можно применить метод вариации произ-
вольной постоянной, состоящий в следующем: сначала находят общее решение
соответствующего неоднородного уравнения (т. е. уравнения, для которого
<?(х) =0); величину С, входящую в это общее решение, полагают функцией х
и находят ее.
Уравнением Бернулли называется уравнение
/+ Р(х)У = Ч(х)у*,
где а — действительное число. Это уравнение является линейным в случае
<х=0, а=1. В других случаях оно сводится к линейному с помощью подста-
новки u = i/|_a.
Пример 25.3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение
, 2х	2,1
^-^+Гг/=Х+1-
Данное уравнение является линейным. Решение этого уравнения ищем
в виде (25.7). Поскольку y = uv, y' = u'v-\-uv', то
357
du , dv 2х	, , ,
У —;-"Г----------Т UV = X2+ 1,
dx dx xl 4-1
du • ,	( dv 2x
v------1- и-----------------V
dx \ dx	x2 +1
(1)
В качестве v выберем одну из функций, обращающих в нуль коэффициент
при и в уравнении (1), т. е. решение уравнения
dv 2х п
------------------------------------5--v — 0.
dx х2 + 1
(2)
Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными v и х.
Разделив переменные, получим
dv __ 2xdx
V ~ х2+1
откуда 1по = 1п(х2+ 1) + 1п С, а = С(х2+1).
Полагая С=1, получаем у = х2-|-1. Уравнение (1) с учетом (2) сводится
к уравнению
ц—=х2+!, или — (х2+1) = (х2+1), — =1,
из которого определяется и=х-{-С. По формуле (25.7) находим общее решение
y — uv = (х + С) (х2—f— 1).
25.4.	Уравнения в полных дифференциалах
Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = 0,	(25.8)
левая часть которого является полным дифференциалом некоторой функции, т. е.	
Р(х, y)dx+Q(x,y)dy=dU(x, у).	(25.9)
Общий интеграл уравнения (25.8) определяется формулой	
U(x, у)=С.	(25.10)
Поскольку	
... ди , , ди , dU = ——dx+ ——dy, дх	ду	(25.11)
то из равенств (25.9) и (25.11) следуют уравнения	
= Р(х, у), -^-=Q(x,y),	(25.12)
которыми определяется функция U=U(x, у), входящая в формулу .(25.10).
Необходимое и достаточное условие того, что уравнение (25.8) является
уравнением в полных дифференциалах, выражается равенством
4^ = 4^--	(25.13)
ду дх
Если левая часть уравнения (25.8) не является полным дифференциалом,
но становится таковым при умножении на некоторую функцию р = ц(х, у)
358
(|x(Pd%+ Qdy) = dU), то р = ц(х, у) называется интегрирующим множителем.
Интегрирующий множитель зависит только от х, т. е. р = р(х), если
1 ( дР dQ\ .
Q\ ду	дх)	f(x)’
и зависит только от у, если
1 ( дР	dQ\ . .
Пример 25.4. , Проинтегрировать дифференциальное уравнение
(2х — 3y)dx + (2y — 3x)dy—0.
Для данного уравнения
Р(х, у)=2х-3у, Q(x, у) =2у — 3х; Р'у= -3, Q'=-3.
Так как выполнено условие (25.13), то данное уравнение является урав-
нением в полных дифференциалах; следовательно, равенства (25.12) принимают
вид
U'x = 2x — Зу, U'y = 2y — 3x.	(1)
Интегрируя первое из этих уравнений (у при этом считается постоянным),
находим
U (х, у) = х2 — Зху + <р ((/),	(2)
где ф(//) —функция, подлежащая определению.
Дифференцируя по у функцию U = U(x,y) и принимая во внимание
второе из равенств (1), получаем — Зх + <р'(у) =2у — Зх, откуда
<р'(|/)=2«/,	=2у, d(f=2ydy, <₽(у)=у2 + С.
Подставив выражение для <р(у) в равенство (2), найдем
U (х, у) =х2 —Зху + ^ + Сь
В соответствии с формулой (25.10) получаем
х2 — 3xy + y2-{-Ci — Ci, или х2 — Зху + у2 = С, где С — С2 — С\.
Итак, х2 — Зху-\-у2=С— общий интеграл данного уравнения.
Замечание. Это уравнение является также однородным; его можно
проинтегрировать с помощью формулы (25.4).
25.5.	Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям
Решение многих научных и технических задач приводит к интегриро-
ванию дифференциальных уравнений. В этих задачах требуется установить
зависимость между переменными величинами некоторого физического, хими-
ческого или другого процесса, найти уравнение линии или поверхности и т. п.
При решении таких задач можно руководствоваться следующим.
1.	Необходимо сначала составить дифференциальное уравнение из условия
задачи.
2.	Определить тип полученного уравнения и выбрать метод решения.
3.	Найти общее решение уравнения.
4.	Получить частное решение, удовлетворяющее данным начальным
условиям.
5.	В случае необходимости вычислить значения вспомогательных параметров
(коэффициент пропорциональности и др.).
359
6.	Если это требуется, найти численные значения искомых величин.
Составление дифференциального уравнения по условию научной или
технической задачи состоит в определении математической зависимости между
переменными величинами и их приращениями, в нахождении выражения для
производной.
В некоторых случаях приращения целесообразно сразу заменить соответ-
ствующими дифференциалами.
При составлении дифференциальных уравнений используются соответственно
геометрический или механический смысл про-
изводной; кроме того, в зависимости от условия
задачи применяются соответствующие законы
физики, механики, химии и других наук.
Пример 25.5. Найти линию, у которой
отрезок нормали в любой ее точке, заключен-
ный между осями координат, делится пополам
в этой точке. Составить уравнение такой ли-
нии, проходящей через точку Л! (5, 4).
Пусть Л4о(хо, уо)—произвольная точка
(рис. 25.1) искомой линии у=у(х), где у(х)—
пока неизвестная функция аргумента х. Урав-
нение нормали к линии у=у(х) в точке Мо
1
«/-</<>=-	 (Х-Хо).
У (*о)
Обозначим через А
осями. Положив в этом
и В точки пересечения нормали с координатными
уравнении у = 0, найдем х = хо+УоУ'(хо)—абсциссу
X
точки А; при х = 0 из того же уравнения найдем y=yo-f-------г,—г
У (-^о)
точки В.
Поскольку Л40 — середина отрезка АВ, то
ординату
Хо + УоУ'(хо)	Уо + хо/у'(хо)
------2----= *°> --------2------
Каждое из этих уравнений приводится к уравнению
у'(х0)уо — хо = 0.	(1)
Уравнению (1) удовлетворяют координаты любой точки М(х, у) искомой
линии, поэтому
/(х)у-х = 0.	(2)
Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем общий интеграл
У2 — х2—С.
(3)
Общий интеграл (3) определяет множество равносторонних гипербол с действи-
тельной осью Оу при С> 0; множество равносторонних гипербол с действительной
осью Ох при С<0; пару прямых у — х, у——х при С=0. Найдем ту линию,
которая проходит через точку Л4(5, 4). Подставив в уравнение (3) координаты
точки М, определим значение параметра С: 42 —52 = С, С—— 9. При С=—9
уравнение (3) принимает вид у2 — х2= — 9, или х2—у2 = 9.
Глава 26
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение
относительно независимой переменной, искомой функции, ее первой и второй
производной. В общем виде это уравнение можно записать так:
F(x, у, у',у")=0,
где F(х, у, у', у") —заданная функция указанных аргументов.
Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется
функция у—<р (х, Ci, С г) от х и двух независимых произвольных постоянных С,
и Сг, обращающая данное уравнение в тождество. Общее решение, заданное
в неявном виде Ф(х, у, Сь Сг)=0, называют общим интегралом.
Частным решением уравнения F(x, у, у', у") =0 называется решение
у = д>(х, С°, Cj), получающееся из общего путем фиксирования значений произ-
вольных постоянных: С,=С^, Сг = С°.
Задача Коши. Найти решение у=у(х) дифференциального уравнения
второго порядка, удовлетворяющее условиям: у=уи, у’=у'о при х=х0. Числа
С°, Cj, определяющие искомое частное решение, находятся из системы уравнений:
</о = ф(хо, Ci, Сг),Уо = <р'х(хо, Ci, С2).
26.1.	Простейшие дифференциальные уравнения
второго порядка. Случаи понижения порядка
Если уравнение F(x, у, у', у") =0 разрешимо относительно старшей
производной, то его можно представить в виде
y"=f(x, у, у').	(26.1)
К простейшим интегрируемым дифференциальным уравнениям второго
порядка относятся уравнения, для которых функция, стоящая в правой части
равенства (26.1), зависит только от одного из трех аргументов:
y" = f(x),	(26.2)
У"=КУ),	(26.3)
y"=f(y').	(26.4)
Общее решение уравнения (26.2) находится двукратным интегрированием.
Уравнения (26.3) и (26.4) интегрируются подстановкой
/=Р.	(26.5)
которая дает возможность свести их к уравнениям с разделяющимися пере-
менными:
у dx dy dx dy y dy y' P dy !y)'
361
dx dx ’ dx
Уравнение
y" = f(x, tf)	(26.6)
подстановкой (26.5) приводится к уравнению первого порядка
с неизвестной функцией р.
Уравнение
У" = 1(У, У')
той же подстановкой сводится к уравнению первого порядка
р|н(глр)’
в котором роль независимой переменной играет у.
Пример 26.1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение у" =
= cos х—sin х.
Это уравнение вида (26.2). Преобразуя исходное уравнение, получаем
у" = (у')'=-2- , =cos x — sm x, dy = (cos x—sin x)dx.
Интегрируя последнее уравнение, находим производную искомой функции
y' = sin x + cosx + Ci. Так как
y'=-^j-,	=sin x + cos x + Ci, dy= (sin x+cos x+ C\)dx,
то в результате интегрирования полученного уравнения находим общее решение
у = sin х — cos х+С1Х +Сз.
Пример 26.2. Найти частное решение дифференциального уравнения
2у"у=1, удовлетворяющее условиям: у —0, у' = 1 при х=1.
Данное уравнение можно разрешить относительно у", правая часть его
будет зависеть только от у, это уравнение вида (26.4).
Применяем подстановку (26.5), т. е. полагаем tf —р, тогда
у"=-^- = -^~, 2-^-р = 1, 2pdp=dx,
3 dx dx dx
откуда p2=x + Ci, p= ±-\/x + Ci. Из начального условия p=y'=l при х=1
определяем С, =0, поэтому у'=р=д/х, y'=-/x, dy=^xdx,
о
</=—*3/2 + С2.	(1)
Используя начальное условие у=0 при х=1, определяем С2=—2/3. Функ-
ция (1) принимает вид у= (2/3) (х3/2—1), она определяет искомое частное
решение.
Пример 26.3. Найти общее решение дифференциального уравнения
</"+l/tg*=sin 2х.
Это уравнение вида (26.6). Применяем подстановку (26.5). Так как
/=Р	(1)
и у"=р', то исходное уравнение можно записать так:
Р'+Р tgx = sin 2х.	(2)
362
Уравнение (2) является линейным дифференциальным уравнением первою
порядка относительно неизвестной функции р. Полагая
р = uv,
находим p' — u'v + uv' и подставляем выражения для р и
u'v + uv' + uv tgx=sin 2х,
uv' -rv(u' +и tgx) =sin 2х.
В качестве и = и(х) возьмем функцию, для которой
и' и tg jc = 0,
тогда уравнение (4) примет вид
zzo' = sin 2х.
(3)
р' в уравнение (2):
(4)
(5)
(6)
Из уравнения (5) находим и = и(х):
, , sin х	„ du , sin х	_ du
u' + u----=0,	------------=0, -----
cos x dx cos x и
sin х .
------ах,
COS X
du _ d (cos x)
и cos x
u=cos x.
Подставив это выражение в уравнение (6), получим
cos х —;—=sin 2х, dv = 2sinxdx, v= — 2cosx+Ci.
dx
По формуле (3) найдем р: р — uv =cos х( — 2cos x-f-Ci), Р = Cicos х — 2cos2x.
Уравнение (1) примет вид
у' = С1 cosх — 2cos2x, dy = (С icos х—2cos2x)dx,
откуда
с „	,	„ f 1 + cos 2x .	„ .	1	. „ , r,
y= J Cicos xdx—2) ——g-----dx, y=Cism x—x----^-sm2x + C2.
26.2.	Линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Уравнение вида
ay" + 6y' + cy=f(x),	(26.7)
где а, Ь, с — постоянные (а#=0), называется дифференциальным уравнением
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Если f(x)^0, то уравнение (26.7) называется линейным однородным
дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами или уравнением
без правой части: ау"-{-Ьу'-1-су — 0.
Последнее уравнение можно привести к виду
у"+ру' + уу = О.	(26.8)
363
Уравнение
k2 -|- pk 4- q = 0	(26.9)
называется характеристическим уравнением для уравнения (26.8). В зависимости от корней kt и k2 характеристического уравнения получаем общее решение уравнения (26.8) в виде у=с^,х+с2^х, если корни действительны и различны; у— (Ctx + C2)/'X, если корни действительны и равны; t/=e“x(CiCos px-f-Czsin рх),	(26.9) (26.10) (26.11) (26.12)
если k\ = a — zp, Л2 = а4-<р— комплексные числа.
Пример 26.4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение у" -\-2у' —
— Зу = 0; найти частное решение, удовлетворяющее условиям: у = 2, у' = 2 при
х = 0.
Характеристическое уравнение (26.9) для данного уравнения принимает
вид k2-{-2k— 3=0. Так как £, = 1, k2 =—3, то общее решение в соответствии
с (26.10) определяется формулой
y = Ciex + C2e~3x.	(1)
Чтобы найти указанное частное решение, подставим начальные данные
х = 0, у = 2, у'= 2 в выражения для у и у' = С\ех — ЗС2е~3х ’.2 — Ci + Сг, 2 = С\ — ЗСг.
Из этой системы находим С, =2, С2 = 0.
При этих значениях Ci и С2 функция (1) принимает вид у = 2е*. Итак,
у = 2ех — искомое частное решение.
Пример 26.5. Проинтегрировать уравнение 16t/"4-8(/' + i/=0.
Характеристическое уравнение 16/г2 + 8^+1 =0 имеет два равных корня
kt = k2= —1/4. Общее решение данного дифференциального уравнения в соот-
ветствии с (26.11) определяется формулой у— (C\-\-C2x)e~x/i.
Пример 26.6. Найти общее решение уравнения у" — 2у'-^-5у=0.
Характеристическое уравнение k2— 2й + 5=0 имеет комплексные корни
/г, — 1 4-2/, fe2=l— 2i. Общее решение определяется формулой (26.12), в которой
нужно положить а = 1, 0 = 2:i/ = ex(Cicos 2х-(-Casin 2х).
Пример 26.7. Решить уравнение 16i/"4-i/=0. Характеристическое уравнение 16Л2-|-1=0 имеет чисто мнимые fei=	k2 =	—i. Пользуясь формулой (26.12), полагая в ней р = 1/4, получаем общее решение y=Cicos(x/4) 4-C2sin(x/4).	корни а = 0,
26.3.	Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Если в уравнении (26.7) f(x)^0, то оно называется неоднородным
дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами;
это уравнение может быть приведено к виду
y" + py' + gy = <fW-	(26.13)
Общее решение уравнения (26.13) определяется формулой
1/ = 1/o4-!/i,	(26.14)
364
где у о — общее решен ие соответствующего однородного ур авнен ня у" + ру + qy = О,
а у\ —частное решение уравнения (26.13).
В простейших случаях, когда функция <р(х), входящая в уравнение (26.13),
является показательной или многочленом, указанное частное решение находится
с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Если
<р(х)=ае*х,	(26.15)
где a, k — постоянные, то частное решение уравнения (26.13) ищут в виде
1/1=Ле‘х,	(26.16)
когда k не является корнем характеристического уравнения или в виде
У\—Ах^х, когда k— простой корень характеристического уравнения, или
у> =Ах2екх, когда k — кратный корень указанного уравнения.
Если <f(x)=a cos kx-)~b sin kx, где a, b, k — постоянные, то частное решение
уравнения (26.13) ищут в виде у\ =А cos kx + B sin kx, когда p2+(? —/г2)2=/=0,
и в виде yi=x(A cos kx4-В sin kx), когда p = 0, q = k2.
Если <р(х) =7>„(x), где Pn(x) —многочлен степени п, то частное решение
уравнения (26.13) ищут в виде y\ = Qn(x) в случае, когда </=/=0, и в виде
У\ = xQ„(x), когда q = 0, р=#0, где Q,(x) —многочлен степени п.
Пусть дано неоднородное уравнение
У" + ру' + ду = Ч1(х)+<1>2(х),	(26.17)
правая часть которого есть сумма двух функций <р> (х) и <р2(х). Если yi является
частным решением уравнения у" + ру'-\-qy = q>t (х), а у 2— частным решением
уравнения у" + РУ'+ уу = <№(х), то i/iH-t/a — частное решение уравнения (26.17).
Пример 26.8. Проинтегрировать уравнение у" + 4у' + 20у = 34е-х.
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
у" + 4у'4-20у = 0. Характеристическое уравнение fe2 + 4& + 20 = 0 имеет корни
ki= —2 + 41, /г2 = —2 — 4i. Следовательно, общее решение однородного уравнения
определяется формулой уо = е~2'(Geos 4x + C2sin 4х).
Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения. Так как
в данном случае <р(х)=34е-х (т. е. имеет вид (26.15): f(x)=aemx, где а = 34,
— 1) и т =— 1 не является корнем характеристического уравнения, то
в соответствии с формулой (26.16) ищем частное решение в виде у\—Ае~х.
Находя производные этой функции y't= — Ае~х, у" = Ае~‘ и подставляя
выражения для yi, у\, у" в исходное уравнение, получаем Ае~х—4Ае~х -\-20Ае~х =
= 34е~х. Так как yt — решение уравнения, то последнее равенство выполняется
для всех х, т. е. является тождеством: 17Ае~х = 34е~х, откуда 17Л=34, А = 2.
Следовательно, частное решение имеет вид у = 2е~х. На основании формулы
(26.14) получаем общее решение
y = e_2x(C,cos 4x+C2sin 4х) + 2е~х.
Пример 26.9. Найти общее решение уравнения у" + 5у'+4у = 8х2 — 4х—14.
Правая часть данного уравнения является полиномом второй степени
f(x) =ax2 + bx+c, где а = 8, Ь=—4, с= —14.
Так как у=/=0, то частное решение ищем в виде yi=Ax2A-Bx-)-C. Подставляя
выражения для yt, у'[=2Ах-)-В, у" = 2А в данное уравнение, получаем
24 + 5(2Лх + В)+4(Лх2 + Вх + О=8х2 —4х-14, или 4Лх2+(ЮЛ+4В)х +
+ (2Л +5В + 4С) =8х2 — 4х - 14.
Поскольку yt — решение дифференциального уравнения, то последнее
равенство должно выполняться для всех х, т. е. являться тождеством, поэтому
коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие в разных частях, равны
между собой: 4Л = 8, 10Л-|-4В=— 4, 2Л 4-5В+ 4С= — 14.
365
Из полученной системы уравнений находим, что А—-2, В=—6, С = 3,
поэтому у, = 2х2— 6х + 3. Общее решение соответствующего однородного урав-
нения у" + 5у' + 4у = 0 определяется формулой y = Ciex-}~ С^е-4*, так как
характеристическое уравнение £2 + 5й + 4 = 0 имеет корни ki= — 1, fe——4. /
На основании формулы (26.14) получаем общее решение
z/ = Cie-'t+C2e“4' + 2x2 —6x4-3.
Пример 26.10. Проинтегрировать уравнение у” — 2у' + 2у= — 85 cos Зх.
Это уравнение вида (26.13), где <р(х) =а cos Зх + й sin Зх, причем а = — 85,
6 = 0. Частное решение данного уравнения ищем в виде yi=A cos Зх + В sin Зх,
тогда y'i = — ЗЛ sin Зх + ЗВ cos Зх, у’{= — 9 Л cos Зх — 9В sin Зх. Подставив эти
выражения в исходное уравнение, получим тождество —9Л cos Зх — ЭВ sin Зх —
— 2( — ЗЛ sin Зх-|-ЗВ cos Зх) +2(Л cos Зх + В sin Зх) = — 85 cos Зх, или — (7Л +
-|-6B)cos Зх-|- (6Л —7B)sin Зх= —85 cos Зх, откуда — (7Л + 6В) = — 85, 6Л —
— 7В=0. Решив последнюю систему уравнений, найдем, что Л =7, В =6. Следо-
вательно, i/i=7 cos Зх + 6 sin Зх.
Общее решение соответствующего однородного уравнения у" — 2у' + 2у=0
определяется формулой у0 = (С1 cos x-f-Сг sin х)е* (см. (26.12)), так как характе-
ристическое уравнение k2 — 2й + 2 = 0 имеет комплексные корни ki = i—i, k? =
= 1-Н'. На основании формулы (26.14) получаем общее решение у= (С[ cos х +
+ е2 sin x)e*-|-7cos Зх + 6 sin Зх.
Пример 26.11. Проинтегрировать уравнение у" — 6у' + 8у — 14е2л.
Соответствующее однородное уравнение у"—6</'+8«/=0 имеет общее реше-
ние yo = Cte2x + С2е4* (получено по формуле (26.10), ибо fei=2, /г2 = 4— различ-
ные действительные корни характеристического уравнения k2— 6А+8 = 0. Исход-
ное уравнение является уравнением вида (26.13), где функция <р(х) определяется
формулой (26.15), причем а = 14, k=2 и k=2— корень характеристического
уравнения.
Частное решение данного неоднородного уравнения в этом случае следует
искать в виде yi=Axe2‘. Так как y't =Ае2х-\~2Ахе2х, у(,= 4Ле2л + 4Лхе2х, то под-
становка выражения для yi, y'i, у" в исходное уравнение приводит к тождеству
4Ае2хА-4Ахе2х — 0(Ае2хА-2Ахе2х)+8Ахе2х=14е2х, или — 2Ае2х = 14е2', откуда
— 2Л = 14, Л = —7. Таким образом, yt = —7хе2х, у=уоА~У\ = Cie2x + C2e4x— 7хе2х.
Глава 27
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
27.1. Основные понятия
Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение,
связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее произ-
водные до порядка п включительно:
F {х, у, у', у", у'",	=0.	(27.1)
Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функ-
ция у = у(х), подстановка которой и ее производных в это уравнение обращает
его в тождество. График решения называется интёгральной кривой.
Задача Коши. Найти решение у = у(х) уравнения (27.1), удовлетворяющее
условиям:
У — Уь, у'=у'о, У" = Уо, ... , у"~'=уТ' при х = х0,	(27.2)
где Хо, уо, у'о, ... ,	— заданные числа, называемые начальными данными
решения.
Теорема 27.1. Если в уравнении yM = f(x, у, у', ... ,у{п~'}) функция
}(х, у, у', ..., у'"'''1) и ее частные производные по у, , ... , у'-"^1’ непрерывны
в некоторой замкнутой области G, определяемой неравенствами:
|х —х0|<а, |</— у0| С*.	—i/ol sC6,... , I/1-1’ —t/0',“l)K& (а> 0, *>0),
и, следовательно, ограничены в ней, т. е.
\f(x,y,y'...у(л-’>|<с, | д/(х,у,у'.	° |сс,
| ду I
(k = 0, 1, ... , n —1, у° = у),
где С> 0, СТ> 0, -М (х, у, у', ... , tfn~ ’>) <= G, Л4о(хо, У в, у'а, ... , Уо"~'’) Е G, то
существует единственное решение у = у(х) данного уравнения, удовлетворяющее
условиям:
У — Уь, у' =у'о,..., </"_') = у(о',_|) при х = х0.
Это решение определено и непрерывно вместе с производными до порядка п
включительно в промежутке |х —х0| ^/г, где
.	 (	b	\
й = гп1п а, ------------------—— .
\ тах(С, |у'|.........'))/
О
Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка (27.1)
называется функция
У = <р(х, Сь С2, ... , С„),	(27.3)
обладающая следующими свойствами: 1) при любых значениях произвольных
постоянных Ci, Ci, ... , Сп она обращает уравнение (27.1) в тождество; 2) значе-
367
ния постоянных Ci, Сг, ... , С„ можно подобрать так, чтобы она удовлетворяла
условиям (27.2).
Частным решением дифференциального уравнения n-го порядка называется
решение, получающееся из общего решения (27.3) при фиксированных значе-
ниях произвольных постоянных, т.е. функция y = <f(x, С'(, Cj, ... , С°), гду'
С?, С%, ... , CQ„ — некоторые числа.	/
Решение дифференциального уравнения n-го порядка, в каждой тоцке
которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особом.
Общим интегралом дифференциального уравнения л-го порядка называется
соотношение вида
Ф(х,»,С|,С2.....С„)=0,	(27.4)
неявно определяющее общее решение у — <р(х, Ci, С2, ... , С„) этого уравнения.
Частным интегралом дифференциального уравнения л-го порядка называется
соотношение Ф(х, у, С>, Сц, ... , С„) =0, полученное из общего интеграла путем
фиксирования значений С°, С°, ... , С° произвольных постоянных.
27.2. Простейшие интегрируемые дифференциальные
уравнения высших порядков
Если дифференциальное уравнение п-го порядка (27.1) разрешимо
относительно старшей производной, то его можно представить в виде
yw = f(x, у, у'.j/-1’).	(27.5)
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнений (27.1) и (27.5). Пусть
уравнение (27.1) не содержит k—1 первых последовательных производных,
т. е. имеет вид
F (х, yw, у<к+1}.i/n>)=0.	(27.6)
Это уравнение подстановкой у,к' = г приводится к уравнению F(x, z, z', г", ...
... ,	=0, порядок которого равен n — k.
Если правая часть уравнения (27.5) зависит только от х, тогда
yw = f(x).	(27.7)
Общее решение уравнения (27.7) находится л-кратным интегрированием.
Пример 27.1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение у"' =
= sh х-(-х.
Это уравнение вида (27.7), его общее решение находится трехкратным
интегрированием:
du" du"
у"' = (у")' =	, j =sh х4-х, dy" = (sh x + x)dx,
ил ил
у"— 5 (sh x-(-x)dx = ch х + х2/2 + Ci, dy'= (ch x-j-x2/2 + Ci)dx,
y'= J (ch x-|-x2/2 + Ci)dx = sh x4-x3/6 + Cix + C2,
y= J (sh x-j-x3/6 +Cix-f-Ci)dx, i/ = ch x4-x4/24+(С|/2)х2 + С2х+Сз.
Пример 27.2. Найти решение уравнения xy(lv'—у'" = 0, удовлетворяющее
условиям: у0 = 4, Уо = 3, Уо = — 4, у'" = 24 при х0=1.
Найдем сначала общее решение данного уравнения, являющееся уравнением
вида (27.6). Введем новую переменную z по формуле y"' — z, тогда
y<IV>=z'. Исходное уравнение примет вид xz'— z = 0. Интегрируя это диффе-
ренциальное уравнение первого порядка, находим
dz „ dz dx ,	,	, , _	„
X—:----Z=0, ---- = —— , In Z=ln X-Нп C|, Z=C|X.
dx	z x
368
Так как y"' = z, то у"' — С\Х. Находим общее решение этого уравнения:
riy" = Ctxdx, /'= (Ci/2)x2+C2, dy'= ((Ci/2)x2 + C2)dx,
у' = —g- |~С2х+Сз, dy=( —g-------|-С2х+Сз^ dx,
У =	----1—x1 + Сзх + C\.	(1)
Подставляя в выражения для у, у', у", у'" значение х0=1 и учитывая
начальные данные, получаем систему уравнений
С1/24 + С2/2 + Сз + С4 = 4 С|/6 + С2 + Сз=3, С,/2 + С2=-4г С,=24.
С
Из этой системы определяем значения произвольных постоянных: С, =24,
С2= —16, Сз=15, С^= — 4. Подставив эти значения в формулу (1), найдем
искомое частное решение у = х4—>8х2 + 15х—4.
27.3. Линейные однородные уравнения
n-го порядка с постоянными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется
уравнение
+ а	+a„y = f (X),
где коэффициенты он, а2.а„ — функции от х или постоянные.
Если /(х)^0, то уравнение называется неоднородным; если f(x)=O,
уравнение называют однородным, последнее имеет вид
(/W + a,//(—1)+ ... +а„у = 0.	(27.8)
Если функции У1=У1(х), у2 = у2(х), ... , Уп—у„(х) являются линейно
независимыми решениями уравнения (27.8), то его общее решение определяется
формулой
У~ С\У\С2у2-}- ... -\-Спуп,	(27.9)
где Ci, С2, ... , С„ — произвольные постоянные.
В случае, когда коэффициенты уравнения (27.8) — постоянные величины,
уравнение называется линейным однородным уравнением n-го порядка с посто-
янными коэффициентами. Общее решение его находится так же, как и в случае
уравнения второго порядка: 1) составляется соответствующее характеристическое
уравнение k" Ч-а^"- ' + ... +a„_1fe + a„ = 0;
2) находятся корни характеристического уравнения k\, k2, ... , k„;
3) выписываются частные линейно независимые решения, причем принима-
ется во внимание, что:
а)	каждому действительному простому корню k соответствует частное
решение екх\
б)	каждой паре комплексно-сопряженных корней £(1) = a+i₽, 6(2) = a —(0
соответствуют два частных решения: eaIcos 0х, e“xsin 0х;
в)	каждому действительному корню k кратности ц соответствуют ц
линейно независимых частных решений: екх, хекх, х2екх, ... ,х1‘~,екх;
Г)	каждой паре комплексно-сопряженных корней Л(|) = а-Н₽, /г(2) = а —*₽
кратности ц соответствует 2ц частных решений: e“cos 0х, xe“xcos рх, ...
..., x^-'e^cos 0х; e“sin 0х, xe“xsin 0х, ... , х1*-'e“sin 0х, число частных решений
равно степени характеристического уравнения (или порядку данного линейного
дифференциального уравнения);
4)	общее решение получается по формуле (27.9), в которой у\,у2.уп —
линейно независимые решения.
369
Замечание. Функции
l/i(x), у2(х)...Уп(х)	(27.10)
называются линейно зависимыми на отрезке [а, Ь], если существуют действи-
тельные числа а,, аг, ... , а„, не все равные нулю, такие, что для всех ле [а, А]
выполняется тождество
ocif/i (х) +а2{/2(х) + -..+а„у„(х) =0.	(27.11)
Функции (27.10) называются линейно независимыми, если тождество (27.11)
выполняется лишь в случае, когда ai = аг =... = а„ = 0.
Если функции yi=yi(x), у2 = у2(х), ... , у„ = у„(х) линейно зависимы на
отрезке [а, 6], то определитель Вронского W(х) = W (yt, у2,	, у„) тождественно
равен нулю на этом отрезке, где
Г(х) =
 yi	у2	Уп
У\	у!1	Уп
У1	Уг	Уп
,,(“~0	„(я-0
У\ у? ... Уп
Для линейно независимых функций определитель Вронского не равен нулю ни
в одной точке этого отрезка.
Пример 27.3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение у"' —
-Зу"-4у'+12у = 0.
Характеристическое уравнение k3 — 3k2 — 4А-|- 12 = 0 имеет корни ki =—2,
Аг = 2, кл = 3 (так как А3 — 3fe2 — 4* + 12 = Jfe2(Аг — 3) — 4(А: — 3) = (Л2 — 4) (/г — 3)).
Этим корням соответствуют линейно независимые решения у\=е~2х, y2 = eix,
уз — е3*. В соответствии с формулой (27.9) получаем общее решение y = Cie~2x-\-
+ С2е2х + С3е3\	.
Пример 27.4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение +
+ у'" - Зу" - 5/ - 2у = 0.
Составляем характеристическое уравнение А4 + А3— 3k2 — 5k — 2 = 0. По-
скольку k4 + k3-3k2 — 5k-2 = k4 + k3-3k2-3k-2k — 2 = k3(k+\)-3k(k+l)-
-2(А-)-1) = (А-|-1)(А3-ЗА-2) = (А+1)(А3-А-2А-2) = (А+1) [А(А2-1)-
— 2(A-f-1)] = (A+1)2(A(A-1)-2) = (A+D2(A2-A — 2) = (A+1) 3(A —2), то
(A + 1)3(A — 2) =0, откуда AI = A2 = A3= —1, A4 = 2. Корень k= — 1 является
трехкратным, ему соответствуют линейно независимые решения у\—е~х, у2 =
=хе~х, уз — х2е~х, простому корню А4 = 2 соответствует решение yt = e2x. Общее
решение определяется формулой y — Cte~x + С2хе~х+ Сзх2е-х + С4е2х, или
у = (С, + С2х + С3х2) е ~х + С<е2х.
Пример 27.5. Проинтегрировать дифференциальное уравнение у'” —
—у"+у'—у=о.
Характеристическое уравнение A3 — А2+А — 1=0 имеет корни А, = 1, k2= — i,
ki = i (поскольку А3 —А2 +А—1 =А2(А—1) + (А—1) = (А—1) (А2+1)). Общее
решение имеет вид у — Ctex+ С2 cos х-ЬСз sin х.
Пример 27.6. Проинтегрировать дифференциальное уравнение ylV1 —
-	81/ + 81у = 0.
Характеристическое уравнение А5 — А4 — 81А + 81=0 имеет корни А, = 1,
Аг = 3, Аз=—3, А4 = 3г, Аз=—3i (так как А5 — А4 — 81А-f-81 = А4(А—1)—81 (А —
— 1) = (А—1) (А4 —81) = (А—1) (А2 —9) (А24-9)). Следовательно, уравнение
имеет общее решение у — С1ех-|- С2е3х+ Сзе~3х + С4 cos3x4-C5 sin Зх.
370
27.4.	Линейные неоднородные уравнения
н-го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n-го порядка с постоян-
ными коэффициентами
yM + aly("-,) + a2y("~2)+...+a„.-iy' + a,,y==f(x)	(27.12)
и соответствующее ему однородное уравнение
ум + а,у(п~ ° + агу(п“2) +... + а„_ \у' + а„у = 0,	(27.13)
у которого коэффициенты те же, что и в уравнении (27.12).
Общее решение уравнения (27.12) определяется формулой
У = УоА-У1,	(27.14)
где уо — общее решение уравнения (27.13), yi — частное решение уравнения
(27.12).
Частное решение уравнения (27.12) можно находить способом вариации
произвольных постоянных. В простейших случаях, когда правая часть этого
уравнения —алгебраический или тригонометрический многочлен и др., частные
решения находят с помощью метода неопределенных коэффициентов:
1.	Пусть
f(x)=P„(x)eax,	(27.15)
где Рп(х)— многочлен степени я, число а не является корнем характеристи-
ческого уравнения, тогда
yi = Q„(x)e^,	(27.16)
где Q„(x) — многочлен той же степени п с неопределенными коэффициентами;
если а — корень кратности k названного уравнения, тогда
y\ — xkQn(x)e'xx.
2.	Пусть f(x) =а cos + & sin рх, где а, Ь, р — постоянные, и pi не является
корнем характеристического уравнения, тогда у\=А cos рх-|-В sin рх, где А и В —
постоянные неопределенные коэффициенты, и yt =хх(Л cos Рх4-В sin рх), если
pi — корень кратности X характеристического уравнения.
3.	Пусть
f(x) — Р„(х)еах cos px + Qm(x)e'“ sin рх,
где Р„(х) и Qm(x) — многочлены от х, тогда
у, = (Д(х)еа’ cos рх+ Uv(x)ea* sin рх, v = max(m, п)
в случае, когда число а + ip не является корнем характеристического уравнения, и
у, =хх(1Л,(х)еах cos рхф- 1С(х)е“л sin рх)
в случае, когда a-|-ip— корень кратности X указанного уравнения.
Пример 27.7. Проинтегрировать линейное неоднородное уравнение у"' —
— 2у" — у'-)-2у = 4х3 — 4х2 — 20x4-15.
Соответствующее однородное уравнение у"' — 2у"— у'4-2у = 0 имеет общее
решение уо = Cte~x + С2е' + С3е2'.
Найдем частное решение исходного уравнения, правая часть которого явля-
ется многочленом третьей степени (функция (27.15) в случае п = 3, а = 0; Р3(х) =
= 4х3 — 4х*~20x4- 15). В соответствии с формулой (27.16) полагаем yt=Ax3-}-
+ Вх2 + Сх+ D. Поскольку / = ЗАх2-\-2Вх + С, /' = 64x4-2В, у'" = 6А, то
64—2(64x4-2В) - (34х2 + 2Вх + С) + 2(4х3 + Вх24-Сх + £>) =
= 4х3 — 4х2 — 20х-Н5,
371
или
2Лх3 + (2В —ЗЛ)х2 + (2С — 2В-12А)х + (6Л —4B-3C + 2D) =
= 4х3 —4х2 —20х+15.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему
уравнений
2Л = 4, 2В —ЗЛ=—4, 2С — 2В — 12Л = -20, 6Л-4В-С + 2Д= 15,
из которой находим Л = 2, B=l, С = 3, D = 5. Следовательно, i/i = 2x3 + x2 +
+ Зх + 5. По формуле (27.14) получаем общее решение у = С1е~хА~С2ехА-Сзе2х +
+ -’.v’ + x2 + 3x + 5.
27.5.	Системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
Системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами называется совокупность п уравнений вида
— al 1</1 + O12I/2 +	+ O|n{/n + f 1 (x),
1/2 = 0211/1 +0221/2 +... + О2я1/п + f 2 (x),	(27. 17)
y'n — O„1I/| +o„2l/2+	+onnI/n + fn(x) ,
где yt=yi(x), y2 = 1/2(x), ... ,ул = Уп(x) — неизвестные функции переменной x,
o« (i, k= 1, 2, ... , n) — постоянные величины, ft(x) (k= 1, 2, ... , n) — заданные
функции. Если (t(x)=0 (fe=l, 2.....n), то система называется однородной,
в противном случае — неоднородной.
Решением системы называется совокупность п функций
i/i=<Pi(x), i/2 = q>2(x), ... , у„ = <р„(х),
обращающих каждое из уравнений этой системы в тождество.
Задача Коши. Найти решение системы (27.17), удовлетворяющее условиям:
yi = bi, y2 = b2, ... , у„=Ь„ при х = х0.
Методом исключения (п — 1) неизвестных функций систему (27.17) в некото-
рых случаях можно привести к линейному дифференциальному уравнению п-го
порядка с постоянными коэффициентами относительно одной из функций.
Замечание. Если аргумент функций обозначать через t, систему (27.17)
можно записать так:
п
yk= £ akiyi~\-fk(t) (k= 1, 2, ... , n),	(27.18)
i= 1
где yi, — производная функции Уь = Уь([) по этому аргументу.
Пример 27.8. Найти общее решение системы дифференциальных уравне-
.	л. a	dx „ , dy „ ,
ний с постоянными коэффициентами —— —Зх-\-у, -f- — 8х-\-у.
dt	dt
Данную систему запишем в виде
х = 3х + у, у = 8х + у-
Дифференцируя по t первое уравнение системы и используя данные уравне-
ния, находим х’=Зх + 1/ = Зх+(8х + //) =3х + 8х+(х —Зх) =4х + 5х, х —4х —
— 5х = 0. Полученное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
372
имеет общее решение x=Cie ‘-\-C2est. Поскольку у = х—Зх и х=—С\е ' +
+ 5С2е5', то i/=-Cle-'4-5C2e5' —3(Cie-' + C2e5')=2C2e5' —4С,е-'.
Следовательно, общее решение данной системы определяется формулами
х=С|« ' + С2е5', 1/ = 2С2е5'— 4Cie—/.
Пример 27.9. Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений
х = 12х— 11// + /, у— 13х— 12// — /.
Эта система является неоднородной. Дифференцируя первое уравнение
и учитывая данные уравнения, получаем х=12х— 11//-f-1 = 12(12х—1I//H-Z) —
— 11 (13х— 12у—t) + 1 = х + 23/ + 1. Интегрируя неоднородное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами х— х = 23/-|- 1, нахо-
дим его общее решение x=Cie_' + C2e' — 23/— 1. Поскольку х= — Cie+ + C2e' —
— 23, то из первого уравнения системы можно найти у:
у= -1_ (12х-х+/)= -1- [12(С1е-' + С2е'-23/- 1) -
-(-(?!<?-' + С2е' -23) + /] = -Jy- С,е-‘ + С2е‘- 25/ + 1.
Следовательно, данная система имеет общее решение
х = С1е-' + С2е' —23/—1, у= (13/11)С1в-' + С2е' — 25/+11.
27.6. Нормальные системы дифференциальных
уравнений
Нормальной система вида	системой дифференциальных уравнений называется -^-=Fi(x, уьу2	у„), -^-=F2(x,yl,y2,...,y„),	(27.19)
dy„ _ ,	.
-T^=Fn(x, yi,y2, ... ,уп),.
где Ук = Ук(х) (k= 1, 2, ... , п) —искомые функции независимой переменной х,
Fk(x, у,. у2, ... ,у„) — заданные функции указанных аргументов. Порядком нор-
мальной системы называется число входящих в нее уравнений. Решением систе-
мы (27.19) в интервале (а, Ь) называется совокупность п функций у\=у\(х),
у2—у2(х), ... , Уп=Уп(х), определенных и непрерывно дифференцируемых в этом
интервале, если она обращает в тождество каждое из уравнений данной системы:
y'i,(x) =Fk(x, j/,(x), у2(х), ... ,у„(х))	(6=1,2.п) для всех хе (a, ft).
Задачи Коши для системы (27.19). Найти решение
У1 = У1(х), у2 = у2(х), ... ,Уп = Уп(х),	(27.20)
удовлетворяющее условиям:
У>(хо)=уЧ, у2(х0)=у2, ... ,у„(х0)=у°„,	(27.21)
где Хо, yt, у2..у!, — заданные числа.
373
Совокупность п функций
yi = fi(x, Ci, Ci, ... , Сп),
У2 = (г(х, Ci, С2, ... , Сп),
(27.22)
Уп — fn(x, Ci, С2, ... , Сп)
называется общим решением системы (27.19), если: 1) система (27.22) разрешима
относительно произвольных постоянных
Ф1(х, У1, у2, ... ,у„)=С1,
<f2(x, yi, у2, ... ,yn)=Ci,	(27.23)
У1, у2, ... , Уп)=Сп,
2)	совокупность функций (27.22) является решением системы (27.19) при
всех значениях постоянных С|, С2, ... , Сп, определяемых формулами (27.23).
Решение, получающееся из общего решения при фиксированных значениях
произвольных постоянных, называется частным.
Каждое из равенств (27.23), т. е. qk(x, yi, у2, ... , уп) =Сь (k = 1, 2.п),
называется первым интегралом системы (27.19), а каждая из функций <р*=
=Ф*(х, yi, у2, ... , уп)—интегралом этой системы. Совокупность первых инте-
гралов называется общим интегралом системы (27.19).
Первые интегралы (27.23), образующие общий интеграл системы (27.19),
обладают тем свойством, что интегралы <pi, <f2, ... , <р„ независимы, т. е. между
функциями <рь <р2, ... , Ф» не существует соотношения вида Ф(фьф2..ф„)=0
ни при каком выборе функции Ф.
При некоторых условиях, наложенных на правые части уравнений системы
(27.19), эта система имеет п независимых интегралов.
Перепишем систему (27.19) так:
=	=	.	(27.24)
1	Г1	Г2	Гп
где Л=Л(х, yi, у2, ... , у„) (1=1, 2, 3, ... , п).
Система (27.24) дифференциальных уравнений первого порядка называется
системой в симметрической форме, соответствующей нормальной системе (27.19).
Это частный случай системы в симметрической форме общего вида:
dxi	_	dx2	_	____dx„+i_______
Xi(xi, Х2, ... , X„+l)	Xi (Xi, X2, ... , Хп+l)	Xn+l(Xi, X2, ... , Xn+ 1)
Если дана система дифференциальных уравнений в симметрической форме
dxi _ dx2 _________________________________dx„_______
Х1(Х1, Х2, ... , Хп) ~~ Xi(xi, Xi, ... , Xn) ~	~ Xn(Xi,X2, ... , xn)
(27.25)
то, принимая xn за независимую переменную, ее можно привести к следующей
нормальной системе (п— 1)-го порядка:
dxi   Xi dx2   Х2 dxn-1   Xn-i
dxn ~ Хп ' dxn ~ Хп ’ ’ dxn — Хп
Решение, интеграл, первый интеграл, общее решение и общий интеграл
системы (27.26) называют соответственно решением, интегралом, первым инте-
гралом, общим решением и общим интегралом системы (27.25).
374
Пример 27.10. Найти общий интеграл системы —Д- =---------—Д- =
ах х ах
2z
х
Интегрируем эту нормальную систему дифференциальных уравнений:
dy __ dx dz
У ~	х ’ г
1п|£/| = — 1п|х|+1п|С||,
ln|z| = — 21п|х| +1п|С2|,
у=С\/х, г = Сг/х\
ху = С\, хгг = Съ
(D
(П)
Формулы (I) определяют общее решение системы. Каждое из равенств (II)
является первым интегралом системы, а их левые части — интегралы системы.
Поскольку интегралы = и <p2 = x2z независимы, то общий интеграл системы
определяется равенствами (II).
Замечание. Данную систему можно записать и в симметрической форме:
dx ___ dy _ dz dx _ dy _ dz
1	— у/х — 4z/x ' x ~~ —y ~ — 2z
Из последней системы следует, что имеется еще один первый интеграл y2/z =
= Сз. Соответствующий интеграл <$з=у2/г выражается через независимые
интегралы cpi =ху и <p2=x2z, а именно <р3=<р?/<р2.
27.7. Применение матриц к решению систем
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
Производная от матрицы. (Рассмотрим матрицу	элементами
которой являются дифференцируемые функции a,n(t) аргумента t: 
г an (/) ai2(I) ... ai„(t) -
[a(I)l = [a,t(01 = a2i(Z) a22(Z) ... a2n(t)
L a„i(0 am2(Z) ... Iffin (0J •
Производной матрицы [a(Z) ] называется матрица, элементы которой явля-
ются производными соответствующих элементов матрицы [a(/)j:
		r dan	dai2	da^„ ,
		dt	dt ’	' dt
da		dO2l	da22	da2n
~dT	= -^[a(t)] =	dt	~~dt~ '	 dt
dami	dam2	da,nn
~di~ ~dt~	di
375
Употребляют следующие символические записи этого равенства:
4- 1«<0] =	- D[a] = [DaJ.
Матричная запись системы дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами и ее решений. Рассмотрим систему п линейных дифференциаль-
ных уравнений с искомыми функциями Xi=Xi(/), х2=х2(/), ... , x„=x„(t):
Xi=aiiXi + ai2x2+ ... +ainxn,
x2 = a2iXi-|-a22x2-|- ... -f-a2„x„,	(27.27)
xn — OniXi a„2x2 -|-... 4-ОллХп,
где Xi=dxi/dt (/=1,2.....n),	a,* — постоянные.
Если
то систему (27.27) в матричной форме можно записать так:
d . ,,,,	, , , , dx
-jj- к(0] = [в] • И, или =ах,
где’х= [х] = [х(0], а= [а] = [а«]л„.
Решение X [Се*'], или	системы	(27.27)		в	матричной			форме	имеет вид [х] = [a] X
		‘ Х| '		1 ai	2 0С| ..	п . Л[		‘ C,ek‘r	
		х2	=	«2	2 ®2 •	п . а2		С2еы	(27.28)
		х„ ‘		1	2 ап .	п		_ С„ек"‘_	
где ki, k2, ... , k„ — корни характеристического
уравнения матрицы [a,«]nn:
а,, —k	<112	&1п	
a2i	^22 — & •	О-2п	= 0,
fl/11	а«2	• 0>ПП Л	
(27.29)
376
числа а{(/=1, 2, ...,л), соответствующие каждому значению k, определяются
из системы уравнений [a — kE] • [а] =0, или
a,, —й	Д12	a,„		‘а/	
a2.	022 — k -	П2п		a 2	
					= 0
O„i	Од2	• Лдл Й			
(27.30)
Пример 27.11. Записать в матричной форме систему и решение системы
линейных дифференциальных уравнений х,=4х, —5х2, х2=3х,—4х2.
Так как
получена матричная форма данной системы уравнений.
Составляем характеристическое уравнение (по формуле (27.29)) и систему
(27.30) для определения значений ai и а2:
I 4 — й— 5 I	(4 — й)а, — 5a2 = 0,
I 3 — 4— k I ~	’ 3ai — (4 + *)a2 = 0.
Характеристическое уравнение — (4 — k) (4 + й) + 15 = 0, й2—1=0 имеет корни
й|= — 1, й2= 1. Системы уравнений для определения чисел а, и а2 принимают вид
5<xi— 5а2 = 0,	За,— 5а2 = 0,
За, —За2 = 0,	За,- 5а2 = 0. ' '
Из системы (I) следует, что а2=а,. Полагая a| = 1, получаем а2=1. Из системы
(II) находим a2=(3/5)a,. Полагая a? = 1, вычисляем а2=0,6. В соответствии
с (27.28) получаем общее решение системы в матричной форме
Г х, ] =Г 1	1 1 Г С,е~'1
L х2 J [ 1 0,6 J ‘ L С2е‘ ] ’
или в обычном виде x, = Cie-'-\-С2е‘, x2=Cie~‘ + 0,6C2e‘.
Глава 28
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
28.1. Основные определения
Дифференциальным уравнением с частными производными называется урав-
нение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов
и частных производных различных порядков. Если искомая функция и зависит
от п переменных Xi, х2, , хп, т. е. и = и(х1, х2, ... , х„); то дифференциальное
уравнение с частными производными имеет вид
„/	ди ди ди	д"и \
Е Xi, х2, ...	, хп, ——	, ——	, ... ,—— , ... -г-—г-)	=0,
\	dxi дх2 дх„	дхГ	... дх“’/
где	...-f-kn — m, F — заданная функция.
Порядком дифференциального уравнения с частными производными назы-
вается порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением диф-
ференциального уравнения с частными производными называется функция,
имеющая соответствующие частные производные и обращающая это уравнение
в тождество. Проинтегрировать дифференциальное уравнение с частными произ-
водными — значит найти все его решения.
Пример 28.1. Проинтегрировать уравнение и'„(х, у) =0.
Этому уравнению удовлетворяет любая дифференцируемая функция и =f(y),
зависящая только от у, так как =0.
Пример 28.2. Проинтегрировать уравнение и'у'х(х, у) =0.
Обозначим u'y = v, тогда и'у'х— (u'y)'x = v'x и v'x=0, v=f(y), где f(y) — произ-
вольная функция переменной у. Поскольку u'y=v = f(y), то и(х,у) = \f(y)dy+
+Ф(х), где ф(х) — произвольная функция аргумента х. Первое слагаемое послед-
ней формулы представляет собой произвольную функцию от у; обозначим ее через
q(y), тогда и(х, у) =ф(х) +<p(t/). Полученное решение содержит две произволь-
ные функции.
28.2. Линейные дифференциальные уравнения
с частными производными первого порядка
Дифференциальное уравнение с частными производными первого
порядка от функции и = и(х>, х2, ... , х„) в общем виде можно записать так:
F(xt, х2, .... х„, и'х„ и'Хг.и'х.) =0,	(28.1)
где F — заданная функция своих аргументов.
Линейным однородным дифференциальным уравнением с частными произ-
водными первого порядка называется уравнение вида
+ <282>
где
Xi=X,(xt, х2, ... ,х„), Х2 = Х2(х,,х2.хп), Xn = X„(xhx2, ... ,х„) (28.3)
— заданные функции п аргументов Xi, х2, ... , х„, u = u(xt< х2, ... , х„) — неиз-
вестная функция.
378
Наряду с уравнением (28.2) рассматривают соответствующую ему систему
дифференциальных уравнений в симметрической форме:
-^- = -^=...=4^.	(28.4)
л, л2	лп
в которой функции Х|, Х2, ... , Хп определяются формулами (28.3). Систему (28.4)
можно записать и в нормальной форме:
dxi	X, dx2	Х2 dx„_\	_ Xn-i	/OQ
dxn	Х„ ' dx„	Хп	1 •• ’ dxn Х„		'	’
Теорема 28.1 Если ф(Х1, х2, ... , х„)—интеграл системы (28.4) или
(28.5), то u = tf(x\, х2, ... , х„) — решение уравнения (28.2).
Теорема 28.2. Если u=q>(xi, х2, ... , хп) —решение уравнения (28.2),
то <p(xi, х2.хп) —интеграл системы (28.4) или (28.5).
Теорема 28.3. Если <р,(хь х2, ... , х„), <p2(xi, х2, ... , х„), ... , ф„_ । (xi, х2, ...
... , хп) —независимые интегралы системы (28.4), то
tf = F(q>i, <р2, ... , <р„_|),	(28.6)
где F — произвольная функция, имеющая непрерывные частные производные
по аргументам <pi, <р2, ... , <рл, является решением уравнения (28.2).
Линейным неоднородным (или квазилинейным) уравнением с частными произ-
водными первого порядка называется уравнение вида
X'^+X^+-+X^-U> <28-7)
где заданные функции п+1 аргументов х(, х2, ... , х„, и выражаются формулами
Х| = Х)(Х1, х2, ... , х„, и), X2=X2(xi, х2, ... , хп, и) , ... ,
X„ = X„(xt,x2.х„,и), U = U(x>, х2, ... ,х„, и),	(28.8)
u = u(xi, х2, .... х„) — неизвестная функция. Не исключается случай, когда
t/(xi, х2, ... , х„, и) ^0, но хотя бы одна из функций Xk(k= 1, 2.п) зависит от и.
Наряду с уравнением (28.7) рассматривают систему дифференциальных
уравнений
dx> __ dx2 __	___ dx„ __ du	(28
~ХГ ~ ~Хг ~ X„ ~ U ’	’
Если <р,,ф2, ...,ф„ (ф»=ф»(х>,х2, ..., хп,и), * = 1,2.п) - независимые
интегралы системы (28.9), то
Е(ф|, ф2, ... , фл) =0,	(28.10)
где Е(ф1, ф2, ... , фЛ — произвольная дифференцируемая функция своих аргу-
ментов, будет решением.
дг	дг п
Пример 28.3. Проинтегрировать уравнение —-------— =0.
Это уравнение вида (28.2), в котором и —z, xi=x, х2=у, Xi = 1, Х2= —1.
Записываем систему (28.4) и интегрируем ее:
dx du
— = — ’ dx~\-dy — 0, d(x+y)=0, x+y = C, ф(х, у) =x+y.
Формула (28.6) принимает вид х = Е(ф) =Е(ф(х,у)) =F (х+у), z = F(x-)-y),
где F — произвольная дифференцируемая функция.
379
Пример 28.4. Проинтегрировать уравнение	= 22-
Это уравнение вида (28.7), в котором z = u, xi=x, х2 = у, Xi=x, Х2 = у, U —
= 2z. Записываем систему (28.9) и интегрируем ее:
dx	_ dy	_ dz dx	_ dy
x у 2z	’ x у	'
dx	dz	у	z
	 = -JT— , - = L|, —=- =C2,
x-----------------2z	x-x2
,	> У ,	, г
4>i (x, y,z)=-^~, <f2(x, y,z) = —^~.
В соответствии с формулой (28.10) получаем решение F(y/x\ z/x2)=0, где
F — произвольная дифференцируемая функция.
28.3. Линейные дифференциальные уравнения
с частными производными второго порядка
Уравнение с частными производными второго порядка называется
линейным относительно старших производных, если оно содержит эти производ-
ные лишь в первой степени.
Линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго
порядка относительно функции и — и(х, у) двух переменных х и у можно записать
так:
д2и	д2и	д2и
А(х,у) —- +2в(х, у) —— +С(х,у) —т +
дх2	дхду	ду2
+ f( х, у, -4^-) =0,	(28.11)
\ а дх ду /
где А = А(х, у), В = В(х, у), С = С(х, у), F — F(x, у, и, и,, и'у)—заданные функ-
ции своих аргументов. Уравнение (28.11) называется уравнением гиперболи-
ческого типа в данной области, если В2—АС>0 в этой области; уравнением
параболического типа, если В2—АС=0; уравнением эллиптического типа, если
В2—АС<0. Если выражение В2—АС в данной области меняет знак, то уравнение
(28.11) называется уравнением смешанного типа.
Уравнение (28.11) можно привести к каноническому виду переходом к новым
переменным g и т] по формулам
Ъ = 1(х,у), Г\ = ц(х,у),	(28.12)
где Цх, у), г[(х,у) —дважды непрерывно дифференцируемые функции аргумен-
тов х, у. Чтобы найти эти функции, рассматривают характеристическое уравнение
Ady2 — ZBdxdy + Cdx2 = 0,
которое равносильно системе двух уравнений
dx	dy	dx _ dy
A	BA- ^B2 — AC ’ A	B— ^B2 — AC ’
(28.13)
(28.14)
где А, В, С те же, что и в уравнении (28.11).
Интегральные кривые уравнения (28.13), или, что то же самое, уравнений
(28.14), называются характеристиками уравнения (28.11). Если уравнение (28.11)
гиперболического типа, то первые интегралы <pi (х, у) =С\ и q>2(x, у) = С2 действи-
тельны и различны. Они определяют два различных семейства действительных
380
характеристик уравнения (28.11). С помощью замены переменных £ = <pi (х, у),
т] = ф2(х, у), где <pi (х, у), ф2(х, у) — интегралы системы (28.14), уравнение (28.11)
приводят к каноническому виду уравнения гиперболического типа:
d2u	./ . ди	ди\
д^дг)	\	5g	дг\/
Замечание. Уравнение гиперболического типа с помощью замены пере-
менных g==p-f-v, л —И —v можно привести к другому каноническому виду:
д2и
ду2
ди	ди 'I
р, v, и,—— , -т—
с?р.	dv /
Если уравнение (28.11) параболического типа, то уравнения (28.14) совпа-
дают; в этом случае получают один первый интеграл системы (28.14) <р(х, у) = С.
Формулы (28.12) принимают вид £ = ф(х,у), т]=ф(х,у), где ф(х, у) — интеграл
системы (28.14), a ф(х, у)—любая функция, удовлетворяющая условию —
якобиан функций ф и ф отличен от нуля:
5ф йф
дх ду
5ф <Эф
дх ду
(28.15)
УраЬнение (28.11) приводят к каноническому виду параболического уравнения:
ди ди\
т]> и, -тт- , -х—I .
д£ дт\/
Если уравнение (28.11) эллиптического типа, то первые интегралы системы
(28.14) будут комплексно-сопряженными: ф(х, у) -|-£ф(х, у) = Ci, ф(х, у) —
—/ф(х, у) = Сг. С помощью замены переменных по формулам £=ф(х, у), т) =
= ф(х, у) уравнение (28.11) приводят к виду
д2и , д2и
7F + ’5?-®‘1
ди
,и,~д1'
называемому каноническим видом уравнения эллиптического вида.
Пример 28.5. Привести к каноническому виду уравнение
и проинтегрировать его.
Это уравнение гиперболического типа во всех точках плоскости, кроме точек,
не лежащих на осях координат, поскольку для него А=х2, В=0, С=—у2, В2 —
—АС= — х2(—у2) =х2у2 > 0, если х=#=0, у^А=О. Уравнение характеристик (28.13)
принимает вид x2dy2—y2dx2 = 0, или y2dx2 — x2dy2=0; оно равносильно двум урав-
нениям: ydx+xdy=0, ydx—xdy—0. Интегрируя эти уравнения, получаем xy=Ci,
у/х=С?. Введем новые переменные g и т] по формулам (28.12): g=xy, т\=у/х.
Находим частные производные:
ди _ ди у ди
~дТ ~У~дГ~^~~д^'
ди _ ди	1 ди
ду Х д£	х дг\ ’
д2и 2 д2и . о д2и , 1 д2и
ду2 5g2	х2 5ц2 '
381
д2и 2 д2и „ у2 д2и
дх2 ~У д? х2
4- у2 д2“ I 2 У ди
х' дт)2 х3 дт]
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем
д2и______1 ди д2и_____________1 ди
' ху <Эт| ’	5 di|
Проинтегрируем уравнение + (1/|)и^=0. Обозначим u'ri = w, тогда
“'(+ (1/5) 10 = 0, w’ /w+ l/g = 0, In | го | + In 11| = In 14>1 (tj) I, Z0? = q>i (ц), и^ = ф| (n),
gu= J tpifu) rfri + ф, (I) =<p(n) +M>i (5). Следовательно, iz= (1/|)ф(т])+Ф(£), где
Ф и ф — произвольные дважды дифференцируемые функции своих аргументов.
Возвращаясь к переменным х, у, получаем и= (1/ху)<р(у/х) -)-ф(х(/).
Пример 28.6. Найти общее решение уравнения
2 д2и „ д2и , 2 д2и , ди , ди .
х --;---2хи——-----\-у2----- +х—---\-y-r— =0.
дх2 * дхду ду2 дх ' ” ду
Это уравнение параболического типа на всей плоскости Оху, так как для
него А=х2, В=—ху, С = у2, В2 — АС=(—ху)2 — х2у2=0. Уравнение характе-
ристик (28.13) принимает вид x2dy2 + 2xydxdy + y2dx2 — О, (xdy + ydx)2 = 0, xdy-\~
A-ydx = Q. Поскольку xdy-\-ydx = d(xy), то d(xy)—0, откуда xi/=C, <p(x, y) =xy.
В формулах (28.12) положим | = xy, а в качестве функции т] возьмем любую
функцию, удовлетворяющую условию (28.15), в частности т\=у. Преобразуем
данное уравнение, введя новые переменные | и г) по формулам | = ху, г\=у. Нахо-
дим выражения для частных производных по х и у через частные производные
по |, т):
ди _ ди ди _ ди ди
~дх ~У~д1 ’ ~ду ~Х~д1 + "drj~
д2и ,, д2и
дх2 дЪ,
д2и ди д2и д2и
дхду ~ ~д$ +ХУ~д^ +У д^дц ’
д2и , д2и , д2и . п д2и
~х ~д? + ~д^~
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем
д2и	ди	. д2и	ди	_
У	;—I—я— =0’ Ч л ;——3— =0-
ду2	dr]	5т)2	дт]
Введем новую функцию w по формуле w = u^, тогда
dw д2и dw _	,	1 п
_ — ----5” * Т) —z— "j- W — 0, - -|- " —О,
ОТ] 51]2 ОТ)	W Т]
1п|аи|+1п|т11 =1п|<р(|) |, aur] = <p(g), и|т]=ф(|),
“п= (1Л1)ф(5). Ц = ф(|)1п|т]| +ф(|).
Следовательно, общее решение уравнения определяется формулой и =
= ф(х1/)1п|i/i +Ф(х1/), где ф(ху), ф(хг/)—произвольные дважды дифференци-
руемые функции от произведения ху аргументов х и у.
382
Пример 28.7. Найти решение уравнения «"« + ^ = 0 в полосе О^х^а,
0^1/^ + оо, удовлетворяющее условиям и(0, у) =0, и (а, у} =0, и(х, 0) = Л (1 —
— х/а), и(х, -f-oo)=0.
Это каноническое уравнение эллиптического типа. Решение будем искать
с помощью метода Фурье (метода разделения переменных). Искомую функцию
и(х,у) представим в виде произведения
u(x,y)=X(x)Y(y),	(I)
где Х(х) —функция только от х, Y(y) —функция только от у. Так как и"к =
= Х" (x)Y(у), uyy = X(x)Y" (у), то уравнение принимает вид X" (х) Y(у)X (х) X
XY"(y)=0, откуда X" (х) /X (х) + Y" (y)/Y(y) =0, или Y"(y)/Y(y) = -Х"Х
Х(х)/Х(х). Поскольку функция (I) — решение уравнения, то последнее равен-
ство должно выполняться для всех х и у, что возможно лишь тогда, когда обе части
не зависят ни от х, ни от у, т. е. являются постоянными. Обозначив эту постоянную
буквой с, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения с постоян-
ными коэффициентами:
У"(</)-сХ(у)=0, Х"(х)+сХ(х)=0.	(II)
Считая с = Х2>0, находим решения этих уравнений:
У (у) = Ае~>у Be''y, Х{х)=С cos Хх+ D sin Хх
(характеристические уравнения для уравнений (II): k2— Х2 = 0, fe2 + ^.2 = 0).
Следовательно, формула (I) примет вид
и(х, у) = (Ae^Ве''у) (С cos Хх + £> sin Хх).
Так как и(0, у) =0, т. е. С cos 0 4-0 sin 0 = 0, то С = 0. Условие и(а, у) =0 приво-
дит к равенству (Ле+ Beiy)D sin Ха = 0, откуда sin Ха = 0, Ха = пл (п=1,2,
3, ...), Х = лл/а. Поскольку а(х, -|~о°)=0, или (Ле_,,“ + Bel“ )DsinXx=0,
то В = 0. Таким образом, и (х, у) = Ae~XyD sin Хх, где Х = лл/а, т. е. решением
является любая функция
и„(х, у) =Ane~t'",'/a^yD„ sin (ггл/а)х = 6„е_(,‘л/<')!' sin (лл/а)х,
где b„ = A„D„, и ряд из этих функций
и(х, у) = У b„e~(m/a)y sin(nn/a)x.
п — 1
Постоянные Ь„ определим так, чтобы выполнялось условие и(х, 0) =Л(1 — х/а):
Значит, числа Ь„ являются коэффициентами ряда Фурье для функции Л (1 — х/а).
Эти коэффициенты находим по формуле
‘-тИ
, X \ ПЛХ .
1------) sin-----ах.
а / а
Вычислив интеграл, получим 6„ = 2Л/лп.
Следовательно, искомое решение определяется формулой
.	2Л v 1	_(„„/□)„ • ппх
и (х, у) = -------- > --------е sin---------------.
л	п	а
383
28.4. Основные дифференциальные уравнения
математической физики
(28.16)
области
неодно-
Волновое уравнение — уравнение вида
= a2bu + g(M, t), -^-=a2txu,
где Ди — оператор Лапласа, g(M, t) — функция точки М из данной
(одномерной, двумерной, трехмерной) и времени /; первое называют
родным, второе — однородным. Волновыми уравнениями описываются различные
колебательные процессы. Каждое волновое уравнение имеет бесконечное мно-
жество решений. Чтобы найти решение, описывающее соответствующий физи-
ческий процесс, необходимо задать дополнительные условия.
Одномерное волновое уравнение, или уравнение колебаний струны, имеет вид
d2u , д2и , д2и , д2и
=а —г +g(x, П; -^2-=а ~ГТ'
dt дх2	dt dx2
где и (х, t) — отклонение от положения равновесия точки струны с абсциссой х
в момент времени /; а — постоянная; g(x, t) —заданная функция. Первое из
этих уравнений называется уравнением вынужденных колебаний, второе —
уравнением свободных колебаний. Дополнительные условия состоят из началь-
ных и краевых. Предположим, что струна имеет длину /, левый конец ее закреп-
лен в точке х = 0, правый — в точке х=1. Если за начальный момент времени
принять t = 0, то начальные условия запишутся так: u(x,0) —f(x), и,(х, 0)—
= F(x), где f(x), F(x)—известные функции, определенные на отрезке [0,1].
Так как концы струны закреплены, то краевые условия имеют вид д(0,/)=0,
u(l,t)=O (t>0). Задача, содержащая только начальные условия, называется
задачей Коши; задача, содержащая начальные и краевые условия,—смешан-
ной задачей.
Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
Найти решение и = и(х, t) линейного однородного уравнения
d2u 2 d2u
~di2~ ~а "fa2
(а#=0),
(28.17)
удовлетворяющее начальным условиям
и(х, 1) |,=o = f(x),
du I
зГЬ
= F(x),
о
(28.18)
где f(x), F(x)—заданные функции, определенные в бесконечном промежутке
(- 00,4-00).
Для решения задачи о свободных колебаниях бесконечной струны исполь-
зуют метод характеристик, или метод Д’Аламбера.
Уравнение (28.17) является уравнением гиперболического типа (в чем можно
убедиться, положив t=y и сравнив его с уравнением (28.11)). Уравнение ха-
рактеристик (28.13) принимает вид a2dt2 — dx2 = G, или dx2 — a2dt2=0. Оно
распадается на два уравнения: dx—adt = O, dx+adt=O, откуда получаем
х — at—C\, x-\-at=Ci. Введя новые переменные £ и г] формулами 5=х — at,
0 = уравнение (28.17) преобразуем к виду п"=о, откуда (см. пример
28.2) и = ср(£) +ф(п), или
u = <p(x — at) 4-ф(х-|-а/),	(28.19)
где <р и ф — произвольные дважды дифференцируемые функции. Если эти функ-
ции выбрать так, чтобы удовлетворить условиям (28.18), то
х + а/
+ '<» + “'> +4- J £ИЛг
х —at
(28.20)
384
Эта формула, называемая формулой Д’Аламбера, дает решение задачи
Коши для уравнения колебаний неограниченной струны.
Уравнения теплопроводности — уравнения вида
ди 9л	ди о
= а2Ди или =a2\u+g(M, t\,	(28.21)
где Au — оператор Лапласа, а — постоянная,	—заданная функция
точки М данной области (одномерной, двумерной, трехмерной). Первое урав-
нение называют однородным, второе — неоднородным.
Запишем соответственно трехмерное, двумерное и одномерное однородные
уравнения вида (28.21):
ди	д2и , д2и д2и\
~дГ~а \~^ + ~д^ + ~д?) '
ди д2и д2и\ ди , д2и
dt к дх2 ду2) ’ dt дх2 ’
Первое из этих уравнений описывает распространение тепла в пространстве,
второе — в пластинке, третье — в стержне.
Уравнением вида (28.21) описываются различные процессы: диффузия,
движение вязкой жидкости и др.
Начальное условие для уравнения теплопроводности в пространстве опре-
деляется равенством
и(х, у, z, 0 |,_o = f(x, у, z);	(28.22)
оно задает температуру каждой точки тела в начальный момент времени /о = О
(f(x, у, z) — известная функция).
Краевое условие имеет вид
ди I
дп I
= h(u\r—й),
г
(28.23)
где и — температура окружающей среды на границе Г, и — температура тела,
й — коэффициент теплообмена, k — коэффициент теплопроводности, и' — произ-
водная функции и = и(х, у, z, /) по направлению внешней нормали к поверхности Г
Краевое условие (28.23) принимает вид и'| г=0 при й = 0 (на границе тела
нет теплообмена с окружающей средой) или и\г=й при й-»-оо (на границе
поддерживается постоянная температура).
Уравнение Лапласа имеет вид
Ди=О,	(28.24)
где Au — оператор Лапласа. Уравнению (28.24) удовлетворяет стационарное
(не зависящее от времени) распределение температуры в теле, потенциал стацио-
нарного электрического поля в области, где отсутствуют заряды. К уравнению
Лапласа приводят и другие задачи. Функция, удовлетворяющая уравнению Лапла-
са, называется гармонической.
Краевая задача для уравнения Лапласа. Найти функцию
и = и(х, у, г), гармоническую внутри области, ограниченной замкнутой поверх-
ностью Г, и удовлетворяющую граничному условию
и ди .
Л—— =и\г—и,
дп
(28.25)
где Нии — функции, заданные на границе Г.
Важный частный случай краевой задачи получается при Н = 0: u|r=u.
Эта краевая задача называется задачей Дирихле.
Задача Дирихле для круга: найти функцию и = и(г, ср), удовлет-
385
воряющую уравнению Лапласа (в цилиндрических координатах)
1	д / du\	1 д2и
г дг\дг)	г2 дц>2 ~
и условию и (г, ф) |	где /(<р) —заданная функция, R— радиус круга.
Решение данной задачи выражается формулой
2л
О

(R2 — r2)f(t)dt
R2 — 2Rr cos(t — q>) +r2
Этот интеграл называется интегралом Пуассона.
П р и м е р 28.8. Найти решение и = и(х, t) уравнения u;;=a2u"x, удовлет-
воряющее условиям: и(х, 0) =е", u't(x, 0)—ых.
Это частный случай задачи Коши для уравнения (28.17) при /(х)=е\
/?(х)=шх. В соответствии с формулой (28.20) получаем искомое решение
u(x,t) =-------±
tozdz=
Г л а в a 29
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО
АНАЛИЗА
29.1.	Скалярное поле. Поверхности
и линии уровня скалярного поля
Пусть V — область в пространстве или на плоскости. Говорят, что
в области V задано скалярное поле, если каждой точке М из V поставлено
в соответствие некоторое число и(М). Если введены декартовы координаты,
то скалярное поле можно представить в виде функции координат точки М:
u — u(x,y,z), и = и(х,у). В этом случае понятие скалярного поля совпадает
с понятием функции трех или двух переменных.
Поверхностью уровня скалярного поля u(Af) называется геометрическое
место точек, в которых поле имеет данное фиксированное значение С.
Уравнение поверхности уровня имеет вид
и(х,у,г)=С.	(29.1)
Поверхности уровня называют еще эквипотенциальными поверхностями
(поверхностями одинакового потенциала) или изоповерхностями.
Если поле задано в плоской области, то равенство
и(х,у)=С	(29.2)
определяет некоторую линию. Эти линии называют линиями уровня или изо-
линиями.
Скалярные поля иногда обладают специальными свойствами симметрии.
Если значения и(М) зависят лишь от расстояния точки М от некоторой фикси-
рованной точки Л4о, то поле называют сферическим. Поверхности уровня сфе-
рического поля — концентрические сферы.
Если в пространстве существует направление, при сдвигах вдоль которого
поле и(М) переходит само в себя, т. е. существует такая декартова система
координат, в которой поле можно задать функцией двух переменных и=и(х, у),
то это поле называют плоскопараллельным или двумерным. Поверхности уровня
таких полей цилиндрические.
Если поле и (М) переходит само в себя при повороте пространства на
произвольный угол вокруг некоторой оси, иначе, если существует цилиндри-
ческая система координат, в которой поле может быть задано функцией, за-
висящей лишь от р = -\/х2+1/2 и то такое поле называют осесимметрическим.
Поверхности уровня этого поля — поверхности вращения. Если поверхностя-
ми уровня являются круговые цилиндры, то и(М) называют цилиндрическим.
•Пример 29.1. Найти поверхность уровня скалярного поля и = 2х2 — Зг/2-|-
+ 16х — 18м/— 12z + 43, проходящую через точку М(— 1, 1, 1). Совокупность по-
верхностей уровня данного поля определяется уравнением 2х2 — Зм/2-(- 16х —
— 18м/—12z + 43 = С. Среди этих поверхностей выберем ту, которая проходит
через точку М, для чего нужно определить значение С. Подставляя координаты
точки М в левую часть уравнения, находим 2( —I)2 —3-12+16( —1) —
—18 -1 — 12-1 + 43 = С, или 2 — 3—16—18—12 + 43= С, С = — 4. Следовательно,
уравнение искомой поверхности имеет вид 2х2 — Зм/2 + 16х — 18м/— 12z + 43= — 4,
или 2х2 — 3</2+ 16х— 18м/— 12z + 47 = 0. Выделяя полные квадраты в левой части
этого уравнения, получаем 2(х + 4)2 — 3(м/+3)2= 12(z+ 1), или Л2/3—У2/2 =
=2Z, где Х = х + 4, Г = м/ + 3, Z = z + 1.
387
Итак, поверхностью уровня является гиперболический параболоид.
Пример 29.2. Найти линии уровня плоского скалярного поля, задан-
ного функцией и=х2— у2.
В соответствии с формулой (29.2) линии уровня данного поля определяют-
ся уравнением х2 — у2=С. При С> 0 получаем равносторонние гиперболы с
действительной осью Ох, при С<0 имеем сопряженные им гиперболы (с дейст-
вительной осью Оу), при С = 0 получаем асимптоты всех указанных гипербол.
29.2.	Градиент скалярного поля.
Производная по направлению
Линейной формой <р(Дг) относительно вектора Дг называют скалярное
произведение вектора Дг на некоторый вектор g, не зависящий от Дг, г =
= г (х, у, г) — радиус-вектор точки М, Дг — вектор, соединяющий точки М и Мо.
Скалярное поле и(М) называется дифференцируемым в точке Мо из области
V, если приращение поля Ди в этой точке можно представить в виде
Ды = £-Дг + о(р),	(29.3)
где р = р(Л1о,Л4) —расстояние между точками Л1о и М, \и = и(М)—и(Мо).
Градиентом дифференцируемого в точке Л1о скалярногр поля называют век-
тор g(Af0) из (29.3). Обозначение: grad и(Мо) = g(Mo)-
Если поле дифференцируемо в каждой точке области V, то оно дифферен-
цируемо в V. В этом случае grad u(A4) =g(Al).
При заданной декартовой системе координат
, ди ' ди . ди .	..
. gradu=—l+—j+—к.	(29.4)
Величина grad и определяется формулой
Igrad «( = -\Z(4r)2+ (4г)2+ (4г)2-	(29-5)
Свойства градиента:
1)	grad с = 0, c = const;
2)	grad (u + u) =grad и + grad v, и, v — дифференцируемые скалярные поля;
3)	grad (uv) = и grad v + v grad u;
4)	grad(cu) —c grad u, c = const;
5)	grad(u/u) = (u grad u — u grad v)/v2 (s=#0);
6)	grad f (u) =f'(u)grad u, f — дифференцируемая функция;
7)	grad |r| =r/|r|.
Если в|,е2,ез — базис в ортогональной криволинейной системе координат
gi, gi, go, то
,	1 ди 1 ди .	1 ди
grad и--jt- ei + -ту- -д— ег + -ту- -т— е3,
п\ dgi Пг dgz Из dgo
где Н\, Н2, Н3 — параметры Ламе, определенные формулой
И,-^(^У+(<)’+(<)’	(29-б)
в цилиндрической системе координат
. ди ,	1 ди , ди
6	dp р р <Э<р ф дг
в сферической системе координат
, ди .	1 ди	1 ди
grad и = —— е,Ч----— ееН------z— еф.
дг г 50 г sin 0 <5<р
388
Дифференциалом скалярного поля и(М) называют скалярное произведение
grad й-Лг:
du = grad й-Дг.
Пусть е — единичный вектор, указывающий направление / в точке Мо облас-
ти V, М — произвольная точка V, отличная от Мо и такая, что вектор М0М
коллинеарен вектору е.
Предел lim txu/p (Ды = и(М) — u(M0)), (р = р(Мо, М)—расстояние между
р-*-0
точками Мо и М), если он существует, называют производной поля и.(М) в точке
Мо по направлению е и обозначают символом
В декартовой системе координат
ди	, ди „ , ди
— = —cos а+—cos ₽+—cosy,	(29.7)
где
е= (cos a, cos 0, cos у),
или
ди , .	,
= grad u-e = npe grad и.
Если е имеет направление grad и, то
ди I .	, .
—	= |grad«|.
|тах
Пример 29.3. Найти величину и направление градиента скалярного поля
и — х3 + у34- z3 — Зхуг в точке Af0(2, 1,- —1).
Находим частные производные функции и:
ди о 2 о ди „ 2	„ ди о 2 о
-z— = 3х — 3uz, —— = 3u— 3xz, —— = 3z- — 3xu,
дх	я ду	дг
их значения в точке Мо:
211 =15,211 =9,211 =_3.
дх Im,, ду |м0 дг |м„
По формуле (29.4) получаем grad u(Afo) = 15i-|-9j —3k.
Величину градиента находим по формуле (29.5):
• I grad u(Af0)l =л/152 + 92+(-3)2 = Зл/35.
Пример 29.4. Найти производную поля и = х2у — Зхуг+хг2у2 в точке
Л10(1,2;—1) по направлению вектора е, образующего с координатными осями
острые углы а, 0 = л/4, у = л/3. Установить характер изменения поля в данном
направлении.
: Частные производные функции и в точке Мо имеют значения:
(-^2) =(2ху-Зуг + у2г2)\Ма=14, (22) = (х?-Зхг+2хуг2) 1м„ = 8,
\ ОХ /0	\оу /о
(4г)о= {— Зху + 2хУ2^ I Afо = —14.
По условию задачи cos 0 = cos л/4 =-/2/2, cos у=cos л/3 = 1/2. Поскольку
389
cos2a + cos2p + cos2y= 1, а угол a — острый, то cos a=-\/l — 1/2— 1/4 = 1/2. По
формуле (29.7) находим
-g-= 14•-L + 8	- Ж 4" =4л/2.
Таккак-^->0, скалярное поле u(M) возрастает в данном направлении.
29.3.	Векторное поле. Векторные линии
Если каждой точке М области V поставлен в соответствие некоторый
вектор F(Af), то говорят, что в V задано векторное поле.
В декартовой системе координат F(Af) можно представить совокупностью
трех скалярных функций, являющихся координатами вектора F(Af). Обозначим
их Р(х, у, z), Q(x,y,z), R(x,y,z), тогда
F(Af) = Р (х, у, z)i + Q (х, у, z) j + R (х, у, г) к.
Иногда векторные поля обладают специальными свойствами симметрии.
Векторное поле F (Л1) называют одномерным, если существует декартова
система координат такая, что координаты F (М) имеют вид Р(х), 0, 0.
Если существует такая цилиндрическая система координат, что F(A4) за-
висит от р и г, но не зависит от <р, то поле F(M) называют осесимметрическим.
Если F(A1) зависит лишь от р, то поле называют цилиндрическим.
Векторное поле F(A1) называют плоскопараллельным, если существует де-
картова система координат такая, что кординаты F (М) можно задать функциями
двух переменных Р(х, у), Q(x,y), R(x,y).
Векторной линией (силовой линией, линией тока) векторного поля F(A4)
называется линия L, лежащая в V, если р каждой точке L направление касатель-
ной к ней совпадает с направлением F (М) в этой точке.
Параметрическое дифференциальное уравнение векторной линии, проходящей
через точку Мо, выражается формулами
r'(/)=XF, г(/о)=го,
где Го — радиус-вектор начальной точки Ма, X — произвольное число, /о — началь-
ное значение параметра, г = г(/) —уравнение векторной линии.
Система дифференциальных уравнений векторных линий
При непрерывно дифференцируемых функциях Р, Q, R, ни в одной точке
V не обращающихся одновременно в нуль, через каждую точку V пройдет
единственная векторная линия.
Часть пространства, в котором задано векторное поле F(Af), ограничен-
ное некоторой поверхностью а, называется векторной трубкой, если в каждой
точке поверхности о нормаль к ней ортогональна F(M) в этой же точке, т. е.
векторная трубка — часть пространства, состоящая из целых векторных линий,
каждая из которых или целиком лежит внутри векторной трубки или целиком
находится вне ее.
Пример 29.5. Найти векторные линии векторного поля F==—yi + xj.
Система (29.8), из которой находятся векторные линии, в данном случае
dx dy dz _	.
имеет вид —- =	= -у. Эту систему уравнений можно записать так:
= -у-, dz = 0. Из этих уравнений находим x2-|-i/2 = C2, z = Ci. Эти урав-
нения определяют векторные линии — окружности в плоскости г = С|.
390
29.4.	Поток векторного поля через поверхность.
Дивергенция. Соленоидальное поле.
Теорема Остроградского
Потоком векторного поля F(M) через поверхность о в сторону, опре-
деляемую единичным вектором п нормали к поверхности о, называют интеграл:
11=^ F-nda=J$ Fnda=\\ F-do.
a	a	a
В декартовой системе координат, если п= (cos a, cos р, cos у), то
(Р cos a + Q cos р4-/? cos v)da =
a
= J j P(x, y, z)dydz-VQ(x, y, z)dxdz-{-R(x, y, z)dxdy.
a
Способы вычисления этого поверхностного интеграла указаны в п. 22.2.
Пусть К(о)—объем области V, ограниченной замкнутой поверхностью о.
В этом случае поток через внешнюю сторону поверхности а записывают в виде
$.P„da.
а
Дивергенцией (расходимостью) векторного поля F (М) в точке М области V
§Fnda
называют lim	> если такой предел существует. Следовательно,
$ F„da	(F-n)da
div F(Af) = lim ”... /- = lim °	.----.
a-~M V(a) a-м V(a)
Теорема 29.1. Если P,Q,R непрерывны вместе co своими частными
производными в области V, то дивергенция поля F, заданного координатами
Р, Q, R, существует во всех точках области Vue любой декартовой системе
координат выражается формулой
divF(A,)-=4r+4r+4z-	(29-9)
дх оу Oz
Если div F(A4)> 0, то точка М — источник векторных линий, если div F(Af) <
<0, то точка М — сток силовых линий.
Свойства дивергенции:
1)	div с = 0, с — постоянный вектор;
2)	div(Fi+ Fj) =div Fi+ div Fj;
3)	div(uF) = u div F + F-grad и, и — скалярное поле.
В криволинейных ортогональных координатах
с_ 1	( d(AiH2H3) , d(A2HiH3) , <?(4з//1//2)\
Н,Н2Нз\ dg, + dg2 + dg3 ) ’
где Ai, А2, Аз — координаты F в базисе е,, е2, ез; Н\, Н2, Н3 — параметры Ламе,
определенные формулой (29.6); в цилиндрических координатах
div F= 1 д(рЛр)	1	дАг .
р Зр	р	6<f т йг ’
в сферических координатах
,. _	1 д(т2Аг) ,	1 d(sine^9) ,	1	<54<p
г2 dr r sin 0	50	r sin 0
391
(x=r cos <p sin 0, y = r sin <p sin 0, z = r cos 0).
Векторное поле, дивергенция в каждой точке которого равна нулю, назы-
вается соленоидальным или трубчатым.
Теорема 29.2 (теорема Остроградского). Формула (22.12) для векторного
поля F(M) имеет вид
§Fnda = div FdV.	(29.10)
а	V
Пример 29.6. Найти поток векторного поля F=x3i + t/3j + z3k через внеш-
нюю сторону поверхности x2 + y2-j-z2 = R2.
Воспользуемся формулой (29.10), выражающей поток векторного поля через
тройной интеграл. Так как div F=	= Зх2 + Зу2 + 3z2 = Зг2, то
по формуле (29.10) имеем F„da = 3 J r2dV. Введя сферические координаты
а	V
x = r cos <р sin 0, y = r sin ф sin 0, z = r cos 0, вычислим тройной интеграл:
2л л	R
r2dV= J йф^ sinOdoJ r*dr= (4/5)л/?5.
V	0	0 о
Следовательно,^ /•'„da = (12/5) л/?5,
a
Пример 29.7. Найти дивергенцию векторного поля
F (Л1) = (2х2у — 3xz3 + 5x3yz)i+ (4xy3 + xyz + 8z2) j+ (6xy2z3 — 7xz2 + 9yz)k
в точке М(1, 1, 1).
Вычислим Р'х, Q'y, R'x в точке М (1, 1, 1):
(р«)о= (4ху — 3z3+ I5x2yz) | м= 16, (Q'y)o= (I2xy2 + yz) |м= 13,
(/?')о = (18ху2г2- 14хг + 9) | м= 13.
Подставляя полученные значения в формулу (29.9), получаем div F|M=42.
29.5.	Циркуляция векторного поля
Циркуляцией векторного поля F (Л4) вдоль линии L называется кри-
волинейный интеграл
$ Fxdl = $ F-rdl,
L	L
где L — гладкая или кусочно-гладкая линия, F-, — тангенциальная составляющая
поля F (Л4) на L, т — единичный вектор касательной к линии L в точке М.
В декартовой системе координат
j F,dl=\ Pdx + Qdy+Rdz,
L	L
P, Q, R — непрерывные составляющие поля F. Вычисление полученного криволи-
нейного интеграла второго рода описано в п. 21.2.
Если F(M) = Р(М), Q(M), R(M)—силовое поле, то его циркуляция
вдоль линии L представляет собой работу этого поля вдоль линии L.
Пример 29.8. Найти работу, производимую силой F(Af) = yzi + xzj-l-xyk
вдоль линии /., описываемой уравнениями x=t2, y = t4, z = te (ОС^СО-
По формуле, выражающей циркуляцию в декартовой системе координат,
392
находим
i
$ F.dl=\ Pdx+Qdy + Rdz= \ (2t"+4t"+6t")dt =
L	L	0
1
= $ 12/' !d/ = /l2li= 1.
о
29.6.	Ротор векторного поля.
Теорема Стокса
Ротором (вихрем) поля F (Л1) в точке М называется
$$ (nXF)da
rot F(Af) = lim —---------,
a— M	V
если этот предел существует. Здесь V — область, ограниченная замкнутой глад-
кой или кусочно-гладкой поверхностью a, V — объем области V, п — нормаль
к поверхности о в точке М.
Для декартовой системы координат с непрерывными вместе со своими част-
ными производными Р, Q, R
rot F=(	- 49 k. (29.11)
\ ду дг/ \ дг дх/ \ дх ду/
В символической форме
I	j	к
д	д	д
rot F= —--------—
дх	ду	дг
Р	Q	R
Свойства ротора: rot с = 0, c = const; rotr = 0, г = xi + i/j + zk; rot(Fi + F2) =
= rot F, -f- rot F2; rot(uF) —u rot F-|-grad uXF.
В ортогональных криволинейных координатах
. _	1 ( д(А3Н3)	д(А2Н2)\
rotF=“№^7-----------------дК~) е,+
1	( d(AiHi) д(А3Н3)\	,
+ HtH3 V dg3	dg, ) С2 +
1 / d(A2H2) d(A,Ht)\
+ НуН2 k dgi	dg2 ) ез’
где Ai, А2, А3 — координаты F в базисе еь е2, ез, Hi, Н2, Н3 — параметры Ламе
(см. формулы (29.6));
в цилиндрических координатах
. _ / 1 дАг дАЛ , / дА„	МД
rotF=(--------------5-^-1 еР+( -z-S-----—) еФ+
\ р 5<р дг /	\ дг др /
/	1	<?(ЛфР)	1	МЛ	.
+ \	р	«Эр	р	ду)
в сферических координатах
rot F= 1	( dCM'nO)	_	дМ	е <(	1'	_
р sin 0	\	50	5Ч>/	” \	р	sin 0 dtp
393
_ i d (Рлу)\ / i а(рЛ9) 1 алл
р <5р / 8 \ р ар р ае)
(х = р cos ф sin 0, j/ = p sin ф sin 0, z = pcos0).
Формула Стокса. Формула (22.11) в векторной форме имеет вид
ф FTdZ=JJ (rot F)nda,
L	a
т. e. циркуляция векторного поля F вдоль некоторого замкнутого контура L
равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность, ограниченную
этим контуром. Из последней формулы
ф ла/
(rotF(Af))„= lim-Ц—,
a—М
S — площадь поверхности a, (rotF(Af))„ — проекция ротора на нормаль.
Пример 29.9. Найти вихрь векторного поля F=y2z2i + x2z2j+x2y2k в про-
извольной точке.
Находим частные производные: Р'=0, P' = 2i/z2, Р'г±=2у2г, Q'x = 2xz2, Q'=0,
Qx = 2x2z, R’x = 2xy2, R’y = 2x2y, R' = 0. По формуле (29.11) имеем rot F(Af) =
= 2х2 (у — z) i + 2у2 (z — х) j + 2z2 (х — у) к.
29.7. Потенциальное поле
Пусть V — односвязная область, в которой задано поле F(M).
Векторное поле F (Л1) называется потенциальным, если его можно предста-
вить в виде градиента некоторого скалярного поля и(М):
F(Af) =grad и(М).
Поле F потенциально в V тогда и только тогда, когда rotF(Af)=0, т. е.
jSP_ = £Q_	dQ _ dP dR _ дР
ду дх ’	dz ~ ду ’ дх дг
Это условия (21.15). При Непрерывных Р, Q, R со своими частными
производными задача о нахождении потенциала свелась к задаче восстановле-
ния функции по ее полному дифференциалу (см. п. 21.3).
Пример 29.10. Найти потенциал поля
F= (4ху+ 12x2z)i+ (2х2 —3z3) j-f- (4x3-9i/z2)k,
если он существует.
Исследуем потенциальность поля:
rot F= (R'y-Q')i+ (P’x-R'x)}+ (Q'x — P'y)k =
= (— 9z2+9z2)1-|- (12x2— 12x2)j+ (4x—4x)k=0.
Поле F потенциально. Так как ux = P, uy=Q, u' = R, то получаем
u(x, у, z)=\ (4xy+12x2z)dx+(p(y, z) = 2x2y + 4x3z + q>(y, z),
u(x,y,z) =	(2x2 —3z3)dy-|-^(x, z)=2x2y —Зуг3 + ф(х, z),
u(x, y, z)=	(4x3 — 9(/z2)dz + /(x, y)=4x3z — 3yz3+f(x, y).
Следовательно, u(x, y, z) —2x2y — 3yz3-f-4x3z-{-C.
394
29.8. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка
в векторном анализе. Оператор Лапласа
Оператор Гамильтона (оператор набла)—линейный дифференциаль-
ный оператор по определению записывают в виде
_ д д а
V. = —— I + —— j + -т— к-
дх ду dz
С учетом этого оператора основные операции теории поля можно записать так:
gradu=Vu, divF=V-F, rotF=VXF.
С помощью оператора набла удобно получать и записывать различные
формулы векторного анализа, причем эти формулы приобретают в такой записи
большую наглядность и выразительность. При выполнении действий с оператором
V следует учитывать, что это оператор дифференциальный и векторный, т. е. поль-
зоваться правилами дифференциального исчисления и векторной алгебры. При
этом следует помнить, что, если V действует на какое-либо произведение, то в
первую очередь учитывают его дифференциальные свойства, а затем векторные.
Входящие в состав формулы величины, которые подвергаются воздействию опе-
ратора набла, обозначают стрелкой, в окончательном результате они должны
стоять слева от него. Рассмотрим операцию взятия дивергенции от векторного
произведения полей Fi и Fa:
div(F, XF2) = V • (Fi XF2) = V • (F, XF2) + V • (F, XF2) =
= F2- (V XFi) - Fi - (V XF2)=F2-rot Ft—Fi-rot F2,
t	-I
rot(F,XF2) = V XF(XF2== V XF,XF2+V XF,XF2 =
I
= — VXF2XFi + VXFiXF2=-F2(V-Fi) + (F2-V)Fi +
+ F! (V • F2) - (F, • V ) F2 = F, div F2 - F2 div F, + (F2 • V ) F, - (F,  V ) F2.
Здесь была использована формула aXbXc=b(a-c) — c(a-b). С использова-
нием этой формулы получим grad(Fi • F2) = V (Fi -F2) = V (Fi -F2) -f- V (Fi -F2) =
= F2 X (V X Fi) + Fi X (V X F2) + (F2 • V ) F] + (Fi • V ) F2 = F2 X rot Fi 4-F, X
Xrot F2+(F2. v)F1+(F1. V)F2.
Если F/= (Р/, Q/, /?/), /= 1, 2, to
(F1.v)p,_(pl«+Q,«+sl№)1+(^+ .
Эту операцию можно рассматривать как результат применения операции(Р, • V )
к каждой составляющей вектора F.
Попарные комбинации операций градиента дивергенции и ротора называют
операциями второго порядка. Применительно к скалярному полю имеют смысл
две операции rot grad и и div grad и:
rot grad u = V X Vu=0,
,.	,	„ „	d2u d2u d2u
div grad u=V-V«=(V-V)u= —— + —— +	
дхг ду дг2
395
Символ V  V называют оператором Лапласа и обозначают Д:
*	<э2 . а2 , а2
a=v-v = —г + —- + -гг-
ах2 djr дг2
Применительно к векторной величине F= (Р, Q, R)
AF = ДР14-Д(2Л-ДЯк.
В криволинейных ортогональных координатах
4	1	( д ( Н2Н3 ди\ ,
. Н\Н2Н3 \agA Я,	dgj
а / H3fil ди\	а / я,//; аи\ \
dg2 \ Н2 dgj	dg3 \ Нз	dg3) ) '
в цилиндрических координатах
1 ' а / аи 1 а2«	а2«\
л“= Т + 7" V- +	:
в сферических координатах
.	1 а / 2 ди\ ,	1 а / . . ди\ .
д“= — ~£\г -дГ) + >SinV Жsm 0'аё/ +
1 д2и
г2 sin2fl а<р2
x = r cos <р sin 0, y = r sin <р sin 0, г = г cos 0, Hi, Н2, Н3 — параметры Ламе (см.
формулу (29.6)).
Операции второго порядка для векторного поля:
div rot F, rot rot F, grad div F;
div rot F= v • V XF=0 — поле, являющееся ротором некоторого поля F, со-
леноидально;
rot rot F= V X V XF= V (V - F) — (V • V )F = grad div F — AF;
grad div F= V (V - F)=f	« +
\ дх2 д*ду дхдг)
' \ дхду дуг ’ dydz) J \ дхдг дудг дг2 /
(F=(P,
29.9. Полилинейные функции векторного аргумента.
Понятие тензора
Если каждому вектору х из V„ поставлено в соответствие число <р=
= <р(х) так, что для любых векторов Х| и х2 из V„ <р(х, +х2) =ф(Х|) +<р(хг)
и для любого числа а (а=#=0) <р(ах) =а<р(х), то <р(х) называют линейной
функцией или линейной формой.
Обозначая х',х2....х" координаты вектора х в базисе ei,e2.е„, получаем
п	п	п	п	п
Х= £ х^е* и ф(х)=ф( £ х‘е*) = £ cp(x*et)= £ х*<р(е*) = x‘(pt.
Ь = 1	/г=1	* = 1	*=1	*=1
Числа <pi =<p(ei), <р2==<р(е2).<рл = <р(е„) называют коэффициентами линейной
396
формы. Линейную форму считают заданной, если в некотором базисе заданы
ее коэффициенты?
Если любым Векторам Xi, Х2,... , хр из V„ поставлено в соответствие число
<р=<р(Х|,Х2...Хр) Так, что <jp(xi, Х2,... , хр)—функция линейная относительно
всех своих аргументов, то <р(х,, X2,... , хр) называют полилинейной функцией
или полилинейной формой.
В этом случае при
п	п	п
Х|= £ х*‘е»„х2= £ x*!e*2.........хр = £ х%ъ,
*1 = 1	*2=1	*р=1
<р(хь*2...... Хр)=<р(	£	xk‘ek„	£ х*’е*....... £	xkpek)	=
*! = 1	*2=| *,= 1
п п п
= Е Е •• Е ^‘х*2... х%(еА|,е*2, ...,е*р) =
*|=1 *г=1 *„=1
= Е Е ••• Е
*,=i *2=i	*,==1
Числа q>il*2...ip = q>(eJfer,е*2.e^j называют коэффициентами полилинейной
формы. Всего их пр. При р = 2 форму называют билинейной.
В тензорном исчислении принято соглашение о суммировании: если в неко-
тором одночленном выражении одинаковый буквенный индекс встречается
дважды — один раз вверху и один раз внизу, то это означает сумму выражений
этого родз для значений индекса 1,2,..., п. Например,
п	п	п п
/ V	/	1.2.	, п ik	V «*	«* V	V ik
«/== L	ai = a\+a2+ -+aH’ akil=	L	аЫ1’аШ=Ь	L	a*l-
i=l	h=l	i=l *=1
Обозначение индексов суммирования не играет роли: a',=al‘ll=ai, j=k=i —
= 1,2.....п.
Если в V„ выбраны два базиса
ei,e2,... ,е„	(29.12)
и
е„ е2, ... , еп,,	(29.13)
то каждый вектор системы (29.13) можно разложить по базису (29.12):
е г=/| е,-|-/^ег+	+ /"©,. = ?,е/,
®2'= ^2*1 4*	4“^2®л = ^2®/>	(29.14)
е„—^«1 + ^*2+ ••• +/"«n=/'„ej.
Матрица перехода от базиса (29.12) к базису (29.13) имеет вид'
t\, е2. ...
Т= t\, ?2,...
С 	(29.15)
4 - С-
397
Матрица перехода от базиса (29.13) к базису (29.12) является обратной
матрице (29.15):	г	-]
tl' t'i ... tn
tl' tl' ... t2n
tl' t2 ... tn
(29.16)
Учитывая соглашение о суммировании, формулы (29.14) можно записать
в виде
е^^е, (j=l, 2, .... п; j' = Г, 2'............п').	(29.17)
Аналогично, учитывая матрицу (29.16) и соглашение о суммировании,
получаем
е,=1/е,.,.	(29.18)
Преобразования, в которых участвуют элементы матрицы (29.15), назы-
вают ковариантными (сопреобразующимися, изменяющимися так же). Преоб-
разования, с участием элементов матрицы (29.16), называют контравариантными
(противопреобразующимися).
Ковариантным тензором ранга q тензором типа (0, q) или ( назы-
вается величина, которая в каждом базисе векторного пространства Vn зада-
ется п’ упорядоченными системами чисел (а(] ,-2в базисе (29.12) и
в базисе (29.13)), которые при переходе от базиса (29.12) к базису (29.13)
преобразуются по закону
(29.19)
— элементы матрицы (29.15). Ранг тензора называют также валентностью.
Пусть <p(xi, х2, .... х,) —линейная форма порядка q с коэффициентами
<pi|l2 в базисе (29.12) и <р,-	; , в базисе (29.13). Учитывая определение
коэффициентов полилинейной формы, соотношение (29.17) и свойства линей-
ности, можно получить
-- е-<)=	^Л) =
Таким образом, линейная форма порядка q является ковариантным тен-
зором типа (0, q). Удобно считать, что и тензор типа (0, q) является линейной
формой порядка q.
Контравариантным тензором ранга р тензором типа (р, 0) или о))
называется величина, которая в каждом базисе векторного пространства V„
задается пр упорядоченными системами чисел (а1'1'"1’ в базисе (29.12) и
ah'i2'ip' в базисе (29.13)), которые при переходе от базиса (29.12) к ба-
зису (29.13) преобразуются по закону
aivi2' -ip'=tivti2' tip'ahl,-b	(29.20)
t- — элементы матрицы (29.16).
Если х1, х2, .... Xя координаты вектора х в базисе (29.12), х1, х2’, ...
..., х" —в базисе (29.13), то x=x'ej, и х(,= х'е,. Следовательно, х'е/,=х'еу=
=хН-ег Приравнивая координаты при е,,, получаем
х' = t-x’.
398
Таким образом, вектор — это контравариантный тензор, т. е. тензор типа (1. 0).
Наоборот, тензор типа (1,0) можно рассматривать как вектор. Числа х', х, ...
..., У называют контравариантными координатами вектора.
Тензором типа (р, q) (q раз ковариантным и р раз контравариантным)
называется величина, которая в каждом базисе векторного пространства У„
задается np+l> упорядоченными системами чисел (а!’£ ' в базисе (29.12) и
в базисе (29.13)), которые при переходе от базиса (29.12) к базису
(29.13) преобразуются по закону

/'—элементы матриц (29.15) и (29.16). Числа а'£ называют координатами
тензора в базисе (29.12), ^1'^'' "1Р'—координатами тензора в базисе (29.13).
29.10. Действия над тензорами
Пусть заданы два тензора одинакового строения (р, q), т.е. заданы
координаты а'^:‘	b!'!2 Их суммой будет тензор того же строения с ко-
ординатами
_ //» - /»___ „1'11 1р , <,/!/! -- il
С iti2 -i,	Ui\ii ...iqf uh‘i..• *
Сказанное остается в силе и при сложении нескольких тензоров одина-
кового строения.
Если —координаты тензора типа (р, q) и Ь*1,*1.’.’/*'—координаты
тензора типа (г, s), то произведением этих тензоров будет тензор, коорди-
наты которого выражаются следующим образом:
i'ii ... ipk,ki ... h,_ iiji ... j, . kiki ... k,
ii<i ... iqhh  Is hit Ц hit Is ’
t. e. в каждом базисе каждую координату первого тензора умножают на каж-
дую координату второго тензора и полученные произведения принимают за
координаты нового тензора типа (p + r, q + s). Указанным способом можно
перемножать любое число тензоров. Результат умножения зависит не только
от типа сомножителей, но и от их порядка.
Операция свертывания тензора имеет специфически тензорный характер,
и применяется к тензорам смешанного типа. Пусть дан произвольный тензор,
имеющий хотя бы один верхний и хотя бы один нижний индексы. Индексы
выбирают произвольно и отбирают те координаты тензора, для которых вы-
бранные индексы имеют одинаковые значения 1, 2, ..., п. Это означает, что
производится суммирование всех выбранных координат при фиксированных
значениях остальных индексов. Получаем тензор, утративший по сравнению
с исходным по одному нижнему и верхнему индексу. Если тип исходного тен-
зора (р, q), то полученный тензор имеет тип (р—1, q — 1). Пусть al'l’’"/',
убираем, например, индексы ]\ и i> и рассматриваем ii=/i, т.е.
ip_„Ч> ip I n2i‘  ip_i	__a!2 i”
aidi ...	... i, +a2<2 ... i, + - +°ni2 ... i,~ai2 ...
В связи с тем что валентность тензора при свертывании понижается на
две единицы, эта операция является весьма важным источником получения
инвариантов — величин, не зависящих от выбора базиса. Если у тензора оди-
наковое число верхних и нижних индексов, то, применяя операцию свертывания
столько раз, сколько верхних или нижних индексов, получают число. При
сворачивании тензора типа (1,1) получаем ai = a\ + al + al +...+а* = а — след
399
соответствующей матрицы. Особенно часто применяется свертывание к тензо-
рам, полученным как произведение. Так, запись линейной формы <р(х) =лЛр,
можно рассматривать как получение инварианта <р(х) путем свертывания про-
изведения тензоров х? и <р,.
Транспонирование тензоров (операция подстановки индексов) по двум
ковариантным или двум контравариантным индексам — преобразование рас-
сматриваемого тензора в тензор того же типа, координаты которого отлича-
ются от координат исходного тензора порядком транспонируемых индексов.
Например,
д/1/2 ip_^ Lhh  ip—nphh ip
*1*2 iq flit •••	*2*1*3 ••• fq
Операция симметрирования по группе р ковариантных или контравари-
антных индексов заключается в следующем: транспонируют тензор, совершая
всевозможные перестановки индексов выбранной группы. Полученные таким
образом р! тензоров складывают и делят эту сумму на р!. Полученный тензор
обозначается заключением выбранной группы индексов в круглые скобки. Так,
тензор а/'ш, симметрированный по индексам i2, 13, it, имеет вид
a'i> ((2(3(4) ~ *зГ
-L-ni'. . . -4-д/1. . . Л-nii . . -f-fl/1. . )
т “(143(2(4 । “(|4з(4(2 ' ЦЦЫН '	‘ 1(4*243 * 
Операция альтернирования (альтернации) по группе р ковариантных или
контравариантных индексов производится следующим образом: транспонируем
тензор, совершая всевозможные перестановки индексов выбранной группы.
Получаем р! тензоров. Далее складываем тензоры, полученные четными пере-
становками и из этого результата вычитаем тензоры, полученные нечетными
перестановками, окончательный результат делим на р!. Полученный тензор
обозначается заключением выбранной группы индексов в квадратные скобки.
В результате альтернирования тензора a.j получаем Орд =	(а,,—а,,). Альтер-
нирование тензора по индексам Л, <2, 6:
а,|з|<г'з)|4== “зГ ^a‘'i«2‘3‘«"t_aWi<2(4 +
। pji1	__piii ___n i1	__ffi1	\
T “<26(1(4	424143(4	“4342(1'4	'I'S'*"''
Тензор называют кососимметрическим по нескольким одноименным индек-
сам, если он умножается на — 1 при транспонировании любых двух из этих
индексов. Примером кососимметрического тензора может быть тензор типа
(О, 2), координаты которого образуют кососимметрическую матрицу а,,= —а(«,
[О	— О12 "1
Л , или тензор типа (О, 3), координаты которого
**21 О J
обладают свойством
&ijk О jki== CLftij == Cl fik == &kji == Qikj-
В результате альтернирования получают кососимметрический тензор по индек-
сам, участвующим в альтернации.
29.11. Тензоры в евклидовом пространстве
В евклидовом пространстве Е„ введено скалярное произведение двух
векторов — билинейная форма. Иначе говоря, евклидово пространство — это
линейное пространство, в котором определен тензор типа (0, 2). Если х =
= х'е„ у = (/,е,1 то х у== (x'e.-j/'e,) =x‘i/'(e,-e,) ==§.,?(/', где gf/= (е,.е() = (еге,) =
=g/,. Симметричный тензор g4 называют метрическим. В результате сверты-
400
вания .тензоров g,, и х‘ получают числа — ковариантные координаты вектора
х: giix‘ = Xi. Ковариантные координаты — это проекции вектора х на базисные
векторы, так как x, = g,;X' = (е,-е,)х' = (егХ^С/), т. е. х, = хе,. Дважды контрава-
риантный тензор g1' с матрицей, обратной матрице тензора g,,, называют
контравариантным метрическим тензором. Любой одновалентный ковариантный
тензор X/ путем свертывания с тензором g'' можно преобразовать в контрава-
риантный g‘,Xi=x‘. Операцию перехода от контравариантных координат вектора
к его ковариантным координатам называют операцией «опускания индекса»,
а операцию перехода от ковариантных координат к контравариантным — опе-
рацией «поднятия индекса». Операцию опускания или поднятия индекса в
евклидовом пространстве применяют к тензорам любой структуры.
Если базис ортонормирован, то нет необходимости различать ковариантные
и контравариантные тензоры, так как матрица (29.16) получена в этом случае
транспонированием матрицы (29.15) и во всех преобразованиях участвуют
лишь элементы матрицы (29.15). В этом базисе х,=х'.
Примером двухвалентного тензора является тензор деформации, который
определяет положение точек тела после деформации по отношению к их по-
ложению до деформации. Если Xi, Хг, Хз — декартовы прямоугольные координа-
ты точки тела до деформации, ui, иг, из — координаты вектора перемещения
и деформация мала, то координаты тензора деформации имеют вид и1(=
1 / ди, ди\
— --4 ——- -|- Ч и матрица этого тензора
dui
dxi
29.12. Тензорное
поле
Если каждой точке
зор одного и того же типа, ________,
поле. При переходе от одной системы координат (х1,
(х , х , ... , х" ) базисные векторы преобразуются еле!
М области Vc:E„ поставлен в соответствие тен-
то говорят, что в области V задано тензорное
1 системы иппппимат /к1. X2, ... , Xя) К Другой
• ‘	’ Х базисные векторы преобразуются следующим образом: е;,=
—— е,. Поле тензора валентности р + а
дх‘
определяется в каждой
системе
координат np+<' функциями точки аЧ' " которые при переходе к другой
системе координат преобразуются по закону
а'г'2- -!р= дх’' дх'Г дх'Р’а’,!' •
‘Иг	dxh	gxi, - dxif
Чтобы определить изменение тензора при переходе от одной точки к дру-
гой, надо учитывать не только изменение компонент тензора, но и изменение
локального базиса. Например, для контравариантного векторного поля «' при-
ращение векторного поля (с точностью до бесконечно малых высшего поряд-
ка) равно
Du' — du' + r'itu‘dx*,
(29.21)
rj4 — символы Кристоффеля:
I gjmf dgim | dgkm____________dgilX
2	\ <Jx‘ dx'	dxm)
401
Слагаемое du' в (29.21) учитывает зависимость координат приращения тензора
от приращения его координат, а слагаемое ritku‘dxl‘ учитывает зависимость ком-
понент приращения тензора от изменения системы координат при переходе
от точки к точке.
Вектор Du' называют ковариантным или абсолютным дифференциалом
векторного поля. Ковариантной или абсолютной производной этого поля на-
зывают совокупность величин
Аналогично вводят ковариантную производную ковариантного векторного
поля
----—j----Ij/U,.
дх1
Для тензорного поля и! ковариантная производная вычисляется по
формуле
44- +Г!/«'-г>.
дх1
Так же определяется ковариантная производная для тензорного поля
любой структуры. Ковариантная производная тензорного поля — тензорное
поле, ковариантная валентность которого на единицу выше исходного поля.
Абсолютный дифференциал любого тензорного поля Т:£)Т= V/Tdx'.
В прямоугольных системах координат 1^ = 0 и ковариантное дифферен-
цирование переходит в обычное.
Ковариантное дифференцирование перестановочно со свертыванием. Пра-
вила ковариантного дифференцирования для суммы и произведения тензоров
совпадают с правилами обычного дифференцирования.
ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ
Глава 30
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
30.1.	Отделение корней уравнения
Корнем уравнения
f(x)=0	(30.1)
называется такое значение х = £ аргумента функции f(x), при котором это
уравнение обращается в тождество: f(£)=0. Корень уравнения (30.1) геомет-
рически представляет собой абсциссу точки пересечения, касания или другой
общей точки графика функции u = f(x) и оси Ох (рис. 30.1, а—в)
Отделить корень уравнения — значит найти такой конечный промежуток,
внутри которого имеется единственный корень данного уравнения. Отделение
корней уравнения (30.1) можно выполнить графически, построив график
функции y = f(x), по которому можно судить о том, в каких промежутках
находятся точки пересечения его с осью Ох. В некоторых случаях целесооб-
разно представить уравнение (30.1) в эквивалентном виде:
f>(x)=f2(x)	(30.2)
с таким расчетом, чтобы графики функций y=h(x) и p=f2(x)строились по
возможности проще. Корень уравнения (30.2) представляет собой абсциссу
точки пересечения графиков y = ft(x) и y = f?(x). Таким способом можно,
например, найти корни уравнения х3 + рх-|-9 = 0; это будут абсциссы точек
пересечений прямой у~—рх — q и линии у=х3.
Для отделения корней уравнения (30.1) применяют следующий критерий:
если на отрезке [а, 6] функция f(x) непрерывна и монотонна, а ее значения
на концах отрезка имеют разные знаки, то на этом отрезке имеется один
и только один корень уравнения. Достаточным признаком монотонности фун-
кции f(x) на отрезке является сохранение знака ее первой производной (если
f'(x)>0, то функция возрастает; если f(x) <0, функция убывает).
404
Пример 30.1. Отделить корни уравнения х3 4-х — 4=0.
В данном случае f(х) =х3-|-х—4, f'(х) = Зх24-1. Так как /'(х)>0 при
всех х, то функция /(х) возрастает в промежутке (— оо,4-°°)- Корень
считается отделенным, если указан конечный промежуток (а, Ь), на котором
он находится. Методом проб находим отрезок
[a, ft], для которого f(a)/(ft)<0. Для этого вы-
числим значения функции при некоторых значени-
ях аргумента: /(0) = — 4<0, /(!) = 14-1—4 =
= —2<0; f(2) = 23 4- 2 — 4 = 6 > 0. Поскольку
f(O)f(l)> 0, то на отрезке [0,1] корня нет; так
как /(1)/(2)<0, то корень уравнения находится
на отрезке [1,2].
Замечание 1. Можно указать отрезок
меньшей длины, которому принадлежит корень.
Взяв середину отрезка [1,2], т.е. положив х=
= 1,5, получим /(1,5) = 1,5’-|-1,5—4=0,875 > 0;
значит, корень находится на отрезке [1; 1,5].
Этот процесс можно продолжать.
Замечание 2. Корень данного уравнения
можно отделить и графически. Придадим уравне-
нию вид х3 = — х4-4, т.е. вид (30.2), и построим
графики функций х/ = ха, у—— х-|-4 (рис. 30.2).
Эти графики пересекаются
в точке М, абсцисса которой принадлежит интервалу (1,2).
30.2.	Метод хорд.
Метод хорд, или метод секущих, приближенного решения уравнения
(30.1) имеет следующую геометрическую иллюстрацию: вместо точки пересе-
чения оси Ох и графика функции f(x), входящей в это уравнение, рассмат-
ривается точка пересечения данной оси и отрезка прямой, соединяющей
концы дуги графика (рис. 30.3).
Если известно (л—1)-е приближение, то n-е вычисляется по формуле
ft/(x„|) — x„J(ft)
/(ха_.) —/(ft)
(л=1, 2, 3, ...)
(30.3)
405
в случае (рис. 30.3, а, б), когда
или по формуле
(30.4)
(30.5)
f(b)f"(x)>0.
f(Xn-i)—f(a)
в случае (рис. 30.3, в, г), когда
f(a)f"(x)>0.
(30.6)
В первом случае за начальное приближение принимается а, т. е. Хо=а,
во втором — Ь, хо=Ь (см. рис. 30.3).
Последовательность чисел х„ (п = 1, 2, 3, ...) сходится к корню 5,
lim xn = Z- Вычисления приближений х,, хг, хз, ... следует производить до тех
п—► оо
пор, пока два последовательных приближения хп, х„+1 не совпадут на задан-
ное число знаков. Для промежуточных выкладок надлежит брать один-два
запасных знака.
Оценка абсолютной погрешности определяется формулой
IE-x„|< ^(*я)| ,	(30.7)
где ц = max \f'(x) |, f'(x) =/=0.
х^ Ь
Пример 30.2. Методом хорд найти действительный корень уравнения
х3 + х— 1 — 0.
В данном случае f(x)=x3 + x— 1, f'(х) =3х2 +1. Поскольку f(0,5)<0,
f(l)> 0, f'(х)> 0 для всех х, то на отрезке [0,5; 1] находится единственный
действительный корень уравнения. Так как f"(х) =6х и f(l)f"(x)> 0, т. е.
выполнено неравенство (30.4), то пользуемся формулой (30.3), положив в ней
5=1, хо=О,5. Вычислим сначала f(x0), f(b), входящие в эту формулу; при
п = 0 получаем f(х0) =f(0,5) = (0,5)3-|-0,5— 1 = -0,375; f(6) =f(l) =Р+1 -
— 1 = 1. По формуле (30.3), полагая п = 1, 2, вычисляем
х2 =
_ bf(xo)— xof(b) _ 1(—0,375)—0,5-1
Х'~ f(x0)-f(b)
bfjx!) —xif(b)
f(x,)-f(b)
0,636364;
— 0,375-1
1(-0,105935)-0,636364 nc,1lnc
---------л	~0,0/11 Уо.
— 0,105935
Аналогично вычисляем последующие приближения: х3 = 0,679662, х4 =
=0,681691, х5 = 0,682176, х6 = 0,682292, х7 = 0,682319, хв=0,682326, х9 = 0,682327.
Следовательно, с точностью до 0,0001 получено значение корня 5 = 0,6823.
30.3.	Метод касательных
Метод касательных (или метод Ньютона) отличается от метода хорд
тем, что здесь рассматривается не секущая, соединяющая концы дуги графика,
а касательная к графику. Точка пересечения ка-
сательной с осью Ох дает приближенное значение
корня (рис. 30.4).
В методе касательных (п4-1)-е приближение
вычисляется по формуле
хл+1=х„--ЯЦ- (п=0, 1, 2, ...), (30.8)
I \*я)
в которой за нулевое приближение хо принимается
такое значение из отрезка [а, 5], для которого
выполняется условие
406
f (x0)f"(x)> 0.	(30.9)
Оценка погрешности, как и в методе хорд, определяется формулой (30.7).
Пример 30.3. Методом касательных найти действительный корень
уравнения х3 + х— 3 = 0.
В данном случае f(х) =х3-[-х — 3, f'(x)=3x2+l. Отделив корень уравне-
ния, видим, что он принадлежит отрезку [1,2; 1,3]. В качестве начального
приближения возьмем х0=1,25 (середину этого отрезка); в точке хо=1,25
выполняется условие (30.9), так как f'(x)>0 и f (х0) = f(l,25)> 0. Результаты
вычислений, выполненных по формуле (30.8), заносим в табл. 30.1, из которой
видно, что |=1,21341.
Таблица 30.1
п	Х„	Хп	f(x„)	('(*«)		*л+1
0	1,250000	1,953125	0,203125	5,687500	0,0357140	1,214286
1	1,214286	1,790452	0,004738	5,423470	0,0008740	1,213412
2	1,213412	1,786590	0,000002	5,417107	0,0000004	1,213412
30.4.	Метод итераций
Если каким-либо способом получено приближенное значение х0 кор-
ня уравнения (30.1), то уточнение корня можно осуществить методом после-
довательных приближений или методом итераций. Для этого уравнение (30.1)
представляют в виде
х=<р(х),	(30.10)
что всегда можно сделать и притом многими способами, например
x=x+cf(x),	ч (30.11)
где с — произвольная постоянная.
Пусть число Х| есть результат подстановки хо в правую часть уравнения
(30.10): xi = <p(xo), х2=<р(Х1), х3=ф(х2).
х„=ф(х„_ 1).	(30.12)
Процесс последовательного вычисления чисел х„(л = 1, 2, 3, ...) по форму-
ле (30.12) называется методом последовательных приближений или методом
итераций. Процесс итераций сходится ( lim x„=g), если выполнено условие
П-* оо
|ф'(х)|<<7<1	(30.13)
на отрезке [а, 6], содержащем корень £.
Пример 30.4. Методом итераций найти действительный корень уравне-
ния х3 + х —3 = 0.
Корень этого уравнения принадлежит отрезку [1,2; 1,3]. Данное уравне-
ние можно записать так: х = ф(х), где ф(х)=-3 —х3; однако этим представле-
нием пользоваться нельзя, поскольку max | <p'(x) | =max| —Зх2| =5,07 > 1,
1,2<х< 1,3
е. не выполнено условие (30.13).
В соответствии с формулой (30.11) получаем ф(х) —x + cf(х) =х + с(х3 +
+х — 3). Условие (30.13) будет выполнено, например при £=—0,2 ф(х) =
=х —0,2(х3+х—3), ф'(х) = 1—0,2(Зх2+1),
407
max | <p'(x) | =max| 1 — 0,2(3x2 +1) | =0,214< 1.
xe [1.2; 1,3]
Взяв в качестве x0 любое значение х из отрезка [1,2; 1,3], например
хо=1,21, проведем вычисления по формуле x„+i = q>(*»), где <р(х„) =х„ —
—0,2(х3+х„—3), <р(х„) —хп — 0,2/(х„), и представим их в табл. 30.2, из ко-
торой видно, что ^=1,21341 — корень уравнения.
Т а б л и ц а 30.2.
п	*л		/+.)	ф(х.)
0	1,210000	1,771561	— 0,018439	1,213688
1	1,213688	1,787810	+ 0,001498	1,213388
2	1,213388	1,786483	— 0,000129	1,213414
3	1,213414	1,786599	+ 0,000013	1,213411
4	1,213411	1,786585	-0,000004	1,213412
30.5.	Метод Чебышева
Если а — приближенное значение корня уравнения f(x)=O, то уточ-
нение этого значения можно осуществить по формуле Чебышева:
f(«) _ ( Л«) \2 Г(«) _ ( f(°) \3 / Г (°)	_ Г («) \
Г(а) \ Г(а) 7 2Г(а)	\ f'(a) ) \ 2(Г(а))2	6f(a)/
_ ( А4( 5 (Г (а))3 _ 5Г(«)Г(а) , f(1V)(»)\ _	(3,
\ f (а) / \ 8(f'(a))3	12(Г(а))2 На) /
Замечание. Если в этом разложении ограничиться двумя членами,
то получим формулу (30.8), т.е. метод Ньютона является частным случаем
метода Чебышева.
Пример 30.5. Методом Чебышева найти действительный корень урав-
нения х3 + 8х —6=0.
Корень уравнения принадлежит интервалу (0, 1). Взяв а=хо=О,5, по
формуле (30.14) вычислим х, =0,705868. Применив эту формулу снова, при
X, = 0,705868 получим х2 = 0,706011. Аналогично находим Хз=0,706011. Следо-
вательно, 5=0.706011 —корень уравнения.
Глава 31
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
31.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Интерполяционным многочленом Лагранжа называется многочлен
р , . у	(х—Хр) (х—xi)...(x—х4-,)(х—x4+i)...(x—х„)
(х* —х0)(х* —xi)...(x* —х*_|)(х*—x*+i)...(x» —х„)
Этот многочлен удовлетворяет условиям Рп(хк)=ук, k = 0, 1, 2... п, где
х* — узлы (или полюсы) интерполяции, ук — заданные числа.
- Интерполяционной формулой Лагранжа называется формула
У	(х —х0)(х —х,)...(х —х4_,)(х —х4+,)...(х —х„)
'	,^0 (хк—Хо) (Хк — Х|)...(х*—Х4_|) (Х4 —Х*+|)...(х* — х„)
Формулы (31.1) и (31.2) можно записать так:
Р„(х)=<о(х) У	f(x)«o>(x) У --------yt-- ,, ч ,
(x-Xk)^(Xk)	k = 0 (X—**)“ (**)
где
ш(х) = (x—xo) (x—xi)...(x —x„),	(31.3)
<>'(x*) = (x4 — Xo) (x4 —X|) ... (x4 —X4_ |) (x4 — x4+1)...(x4 — x„).
Производя интерполирование функции f(x) по формуле Лагранжа (31.2),
заменяют эту функцию полиномом Рп(х), совпадающим с ней в «4-1 данных
точках отрезка [а, й]. В остальных точках этого отрезка разность R„ = f(x) —
—Рп(х) отлична от нуля и представляет собой погрешность метода. Эта
разность, называемая остаточным членом интерполяции, определяется формулой
^W=^+l)(5) (ff), 
в которой ш(х) выражается равенством (31.3), g — точка промежутка [а, 6],
зависящая от х.
Пример 31.1. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа, который
в точках хо=—3, Х\ =— 1, Хг = 2 принимает соответственно значения </о =—5,
1/1 = — 11, 1/2=10.
При п = 2 формула (31.1) имеет вид
„ / ч	(X —Х1)(Х —Х2)	(Х-Хр) (Х-Х2)	(Х —Хр) (X —Х|)
2	(Хо—Х|) (Хо —х2) У> (Х|— Хо) (х,— х2)	yi (х2 —Хо) (х2 —Х0
Подставляя в' эту формулу заданные значения, находим
р	= _-	(х-Ц)(х-2)	_	(х+3) (х—2)	(х+3) (х+1)
>	(_3+1)(_3_2)	(_1+з)(_1_2) l’*1' (2 + 3)(24-1) ’
₽2(х) = - 4- (х2-х-2) ч- -4 (*2 + х-6) + 4- (х2 + 4х+3) =
4	О	<5
= 4- [ — 3(х2 — х — 2) 4-11 (х24-х — 6) 4-4(х24-4x4-3)] = -4 (12х24-30х-48).
О	’ о
409
Итак, Р2(х) = 2х2 + 5х-8.
Пример 31.2. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа Рз(х),
для которого Рз( — 1) = — 11, Рз(1)i = — 3, Рз(2) = 1, Рз(3) = 13.
В данном случае х0= —1, Xi = l, х2 = 2, хз=3, уо= —11, yi= — 3, 1/г=1>
Уз=13. При л = 3 формула (31.1) принимает вид
р ,и= (x-xi) (х —Хг) (х —Хз)	(х —хо) (х —х2) (х —х3)
31 ' У° (Хо — Xi) (Хо — Хг) (х0 — Хз)	У> (xi — х0) (xi — х2) (xi — х3)
(х —Хо) (х —Х1) (х—Хз)	(х —Хо) (х —Х|) (х —Хг)
~гу2 (х2 —Хо) (х2 —X]) (х2 —хз)	Уз (х3 — х0) (х3 — х,) (х3 — Хг)
Подставляя в эту формулу данные значения, получаем
р ,и .	(х-1)(х-2)(х-3)	_	(х+1)(х-2) (х —3)
3W (-1-1)(-1-2)(-1-3)	° (1 +1) (1 -2) (1 - 3)
(х+1)(х—1)(х —3)	(х+1) (х—1) (х —2) =
(24-D (2—1) (2 — 3)	(34-1) (3—1) (3 — 2)
(х2-Зх + 2) (х-3)	Q (х2 —х —2) (х —3) , (х2—1) (х —3) ,
_ - 11	__	з	-	+------—-------+
+ 13-<х2г..!.Нх-2) = 21 (х3 —6x2+11х —6) — А (х3-4х2 + х + 6)-
—Г (х3 —Зх2 — х + 3) +^- (х3 — 2х2 — х + 2)=х3(21-1----Jj- +-^) +
Следовательно, Рз (х) = х3 — 2х2 + Зх — 5.
Термин «интерполяция» впервые употребил Д. Валлис (1656) при состав-
лении астрономических и математических таблиц.
31.2.	Разности различных порядков.
Разделенные разности
Рассмотрим значения yi = fi(x) функции y = f(x) в точках х;(1 =
=0, 1,2, ...) :i/o = f(xo), t/i=f(xi), y2=f(x2), ... Выделим всевозможные пары
соседних значений: (уо, i/i),(i/i, 1/2), (Уз, Уз), ... и в каждом случае вычтем
предыдущее значение из последующего, получим разности: yi—yo, У2—У1,
Уз—у2, ..., yn — yn_i, ... Эти разности называют конечными разностями пер-
вого порядка или просто первыми разностями. Обозначения первых разностей:
Д1/о = 1/| — Уо, .........  ^у„-\=Уп	— Уп-1,	(31.4)
или
Д{/,= 1/;+1 — yi (i = 0, 1, 2,-..).
Разностями второго порядка или вторыми разностями называют разности
первых разностей At/о, А«/ь &Уз, , &Уп, ••• Обозначают вторые разности через
^2yi = ^yi+l — ^yl:
b2yo = byi — &yo, b2yi = by2 — Ayi, Д21/2 = А1/з —Aj/2,	с.
(□1.D)
Д Уп-1 = куп — Ьуп-1, Д21/„=Д(/л+1 — &Уп-
410
Разности третьего порядка (или третьи разности) определяются и обо-
значаются следующим образом:
л3</о=д2г/1—д2</о, д3!/|=д2г/2'—а2!/...... д3</„=д21/л+1—д2«/п„.
Аналогично определяются последующие разности. Разности (п + 1)-го
порядка получаются из разностей л-го порядка по формулам
Д"+'|/о = Д"г/1-Д',{/о, Ь’,+ 1у1 = Ьпу2-Ьпу1, ...	(31.6)
Таблица разностей различных порядков строится согласно схеме (табл. 31.1).
					Табл	и ц а 31.1
X	У	Л»	д!(/	Л3(/		Д5у
Хо Х1 Х2 Хз Х4 Хз	Уо 1/1 Уг Уз Уз Уъ	Д*Л> Д1/1 Д</2 Д1/з Д«/4	д> Д у\ Уз	Д3!/о Д £/1 Д31/2	Д4«/о Д4«/1	Д5Х/О
Каждое число этой таблицы (начиная с третьего столбца) является раз-
ностью двух смежных чисел столбца слева (из нижнего числа вычитается верх-
нее; разность записывается в следующем столбце между этими числами). Тре-‘
тий столбец содержит первые разности, четвертый — вторые и т. д.
Для контроля вычислений при составлении таблицы разностей пользуются
следующим утверждением: сумма чисел в каждом столбце разностей равна
разности крайних чисел предыдущего столбца.
Разделенные разности первого порядка определяются формулами
/(х,,х0) =	/(x2.x,) = -^ZZgZ,... j(x„.x„_,) =	 (31.7)
X1“Xq	Х%— Х\	Хп Хп—|
Разделенные разности второго порядка получаются из разделенных раз-
ностей первого порядка по формулам
f(x2, х„ х0) = И*», *)-/<*,. х0) , f (Хз> Х21 Х|) = Мхз.х2)-/(х2,х,)
Х2 — Х0	Хз — XI
(31.8)
Аналогично определяются разделенные разности третьего порядка:
f (хз, Х2, х„ Хо) =	,
Хз Х°	(31.9)
f/v r r r\— f(X4, Хз, Х2)—f(x3, Х2, Xt)
I (х4, Хз, Х2, XJ =---------------------.
Х4 —Х|
Разделенные разности n-го порядка получаются из разностей (п — 1)-го
порядка по формулам
flr _	„ r,_ f(x„, Х„_|, ... ,х,)— /(Х„_|,Х„_2, ... ,х0)
[{Хп, Хп- ... , Х|, Хо) = - -	-----. (31.1U)
Хл — Xq
В случае равноотстоящих узлов с шагом h (x*=x04-fe/i)
f(x„ хо) =	, f (Х2, X.) =, -%- , ..., f (х„, х„_,) =	;	(31.11)
411
Цхг,х,,хо) =	(31.11)
Zin	Zin
...x0) = _^_.	(31.12)
л!Ля
Пример 31.3. Составить таблицу разностей различных порядков при
следующих значениях х и y—f(x):
х0= — 3, х,= —2, х2= —1, Хз=1. х4 = 2,
i/o = 62, у, = 12, 1/2 = 2, 1/з = 6, 1/4 = 32.
По формулам (31.4) находим первые разности: Ayo=yi — Уо= 12 — 62 =
= —50, Ai/i = i/2 — i/i = 2—12= — 10, Д(/2 = </з —1/2 = 6 —2 = 4, Ду3 = </4 —Уз = 32 —
—6=26. В соответствии с формулами (31.3) получаем разности второго по-
рядка: Д2(/о = Д</1 —Д«/о= —Ю—(—50) =40, Д21/1=Д|/2 —Д</1=4—( —10) =14,
А2У2 = Д(/зДуг = 26 — 4 = 22. Аналогично находим разности третьего порядка:
Д3Уо = Д2У1 —Д2уо= 14 — 40= — 26, Д3у, =Д2уг —Д2у, = 22—14=8 и разность
четвертого порядка Д*«/о = Д3i/1 — Д3у0 = 8 — (— 26) = 34.
Полученные разности можно представить в виде табл. 31.2.
Таблица 31.2
X	У	Ду	 Д?у	‘ 43у	Д'у
-3 — 2 -1 1 2 2 S	62 12 2 6 32 -30	-50 — 10 4 26 -30 76	40 14 22 76 -18	•	—*26 8 -18	34
Замечание. Последние две строки служат для контроля вычислений:
в строке S числа равны суммам всех чисел, расположенных в соответству-
ющем столбце, в строке S — разности последнего и первого числа соответ-
ствующего столбца. Совпадение этих чисел (Si=Si, 22=5г, 2э = $з; в табли-
це — по диагонали) означает, что вычисления таблицы верны.
31.3.	Интерполяционный многочлен Ньютона
Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен
Рп(х) = уо + (х — хо)/(хо, Х() + (х —х0) (х — xi)f(xo, хь х2) +...
•• •+ (X —Хо) (X —Х|)...(Х —Х„_|)/(Х0, Х1.х„),	(31.13)
в котором f(xo, Х|).f(xo, хI, , х„) — разделенные разности различных по-
рядков. Этот многочлен удовлетворяет условиям у* = /(х») =Р„(х») (Л =
=0, 1, 2, ... , п).
Интерполяционной формулой Ньютона называется формула
f(x) «Уо + (х —xo)f(xo, Xi) + (х—Хо) (х —Х1)/(х0, Xi, х2) +...
...+ (х — Хо) (х — Х|)...(х — х„_|)/(хо, Х|, х2, ... , х„).	(31.14)
Замечание 1. Поскольку любой fe-й член многочлена Ньютона зави-
сит только от k первых узлов интерполяции и от значений функции в этих
узлах, добавление новых узлов вызывает в формуле (31.13) лишь добавление
412
новых членов без изменения первоначальных. Это является существенным пре-
имуществом многочлена Ньютона по сравнению с многочленом Лагранжа.
Замечание 2. В силу единственности интерполяционного многочлена
n-й степени интерполяционный многочлен Ньютона перегруппировкой членов
можно преобразовать в интерполяционный многочлен Лагранжа и обратно.
В случае равноотстоящих узлов интерполяции (xi=xo+/i, x2=x0+2h,...
..., x„=xr,-f-nh) из формулы (31.14) с учетом (31.12) получается, интерполя-
ционная формула Ньютона для «интерполирования вперед»:
f(x) яау0-\-(х — х0)	-	(х—Хо) (х —Х|) +
Л	Zlfl
+ tifc°	(* —*0 (* —*г) + -+	(х—Хо) (х—Х1)...(х — х„_|).
3!Л	л!Л	(31.15)
Формула (31.15) удобна при интерполировании функций для значений х,
близких к наименьшему узлу хо.
Интерполяционная формула Ньютона для «интерполирования назад»:
/(х) « У„+ Ау"-‘- (х-х„) + А^"гг (Х-Х„) (Х-Х„_.) +
Л	21Л
Ч---з— (Х,— Хп) (х — Хл—1) (X — Хя—г) +...Ч-(* — Хп) (X Хл—|)...(Х Х|).
3!ft	n.\hn
(31.16)
Формула (31.16) удобна при интерполировании функций для значений х,
близких к наибольшему узлу х„.
Замечание 4. В формуле (31.15) в коэффициенты многочлена входят
конечные разности различных порядков, принадлежащие верхней (нисходя-
щей) строке таблицы разностей (см. табл. 31.1). В формуле (31.16) в коэф-
фициенты многочлена входят разности различных порядков, принадлежащие
нижней (восходящей) строке таблицы разностей.
Пример 31.4. Найти интерполяционный многочлен Ньютона для функ-
ции у=/(х), если известны ее значения: f(l) =6, f(3) =24, f(4)=45.
В данном случае х0=1, х, = 3, х2=4, i/o = 6, i/i = 24, 1/2 = 45. Отметим,
что узлы не являются равноотстоящими (так как х,—хо=#=хг—xi). Интерпо-
ляционный многочлен (31.13) при л = 2 с учетом равенств (31.11) прини-
мает вид
Р2(Х) =Уо+ (х —Хо)/(Х|, Хо) + (х —Хо) (X — X|)f(x2, Х|, Хо).
Вычисляем,разделенные разности
,(х„ ,.) -	-9. (<«,.	-21.
X]—Xq	О—1	Х2 — Х\	Я —о
f(x2, х„ х0) = ((***)-/(**>) = 21-9 =4
х2—Хо	4—1
Подставляя в выражение для Р2(х) соответствующие значения, находим
интерполяционный многочлен Ньютона Р2(х) =6+9(х— 1) -|-4(х— 1) (х—3).
Замечание 5. Раскрывая скобки и группируя члены, получаем
Р2(х)=4х2 —7х+9.
Пример 31.5. Найти интерполяционный многочлен Ньютона для функ-
ции f(x)=2“ по ее значениям в точках хо= —1, х,=0, х2=1, х3 = 2, х< = 3
и вычислить f (— 0,5) и f(2,5).
Вычислим сначала значения функции в данных равноотстоящих узлах:
{/„=f(xo)=f(-l)=2-1 = O,5, t/i = f (xi) =f(0) =2°= 1, y2=f(x2)=f(\)=2, у3 =
=f(x3) =f(2) =4, yt = f(x4) = f(3) =8. Составим таблицу разностей различ-
ных порядков (табл. 31.3).
413
Т а б л и ц а 31.3
X	У	Ау		Дэу	А4у
— 1 0	0,5 1	0,5 1	0,5	0.5	
1 2 3	2 4 8	2 4	1 2	| -II	0,5
Числа, подчеркнутые одной чертой, входят в интерполяционную формулу
Ньютона для «интерполирования вперед». Многочлен в правой части формулы
(31.15) в данном случае (й=1) принимает вид ,ж
Р.(х) =0,5 + 0,5(х + 1) + pjp(x +1 )* +
+ pjp (х+1)х(х— 1)+ ^р (х+1 )х(х—1) (х —2),
Р.(х) = 4" + 4"(Х+ 1) + “Г (%+ 1 )% +
+ ту (х+1)х(х—1)+ 4-(x+1)x(Jt— OU—2)- (О
С помощью этого многочлена вычислим значение функции f (х) = 2Х при х= —0,5
(значение аргумента ближе к х0 = — 1). Подставляя значение х= —0,5 в формулу
(I), находим
~ 2 + 4	16 + 32	48-16	°’700’
Числа табл. 31.3, подчеркнутые двумя чертами (и число 0,5 в столбце А4!/),
входят в интерполяционную формулу Ньютона для «интерполирования назад».
Многочлен в правой части формулы (31.16) в данном случае принимает вид
Ри(х) =8 + 4(х —3) + 4“ —3) (х —2) +	(х —3) (х —2) (х-1) +
+ 4р(-^-3) (х—2)(х—1)х,
р„(х)=8 + 4(х-3) + (х-3)(х-2)+ 4“ (х-3)(х-2)(х-1) +
+ -4 (х —3) (х —2) (х—1 )х.	(11)
414
С помощью многочлена (II) вычислим значение данной функции f(x)=2x при
х = 2,5 (это значение аргумента ближе к х< —3). Подставляя значение х = 2,5
в формулу (II), получаем
/’к(2,5) =8 + 4(-0,5) + (-0,5) (0,5) +	(-0,5)0,5-1,5 +
О
+ 4- (-0,5)0,5-1,5-2,5=8-2-0,25- 4- -0,375-
48	6
—	-0,9375 = 5,658;
/(2,5) =22-5»5,658. Следовательно, /(—0,5) =0,700, /(2,5) =5,658.
Замечание 6. Многочлены (I) и (II) различаются лишь формой записи.
Действительно, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем
Рг(х)=Рн(х) = =jj-x4-|—nj- х3+ -тй-х2-|—'•
*тО	iO
Глава 32
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
32.1.	Формулы прямоугольников
Формулы прямоугольников имеют вид
Ь	п — 1
$ f(x)dx^h £	=	+	+	(32. )
а	* = 0
b	п
J f(x)dxxh £ yk = h(yt+yi+ +Уп),	(32.2)
д	k = 1
h= (b — а)/п, yk = f(xii), xt = a-\-kh (ft = 0, 1, 2,..., л).	(32.3)
Формула (32.1) называется формулой левых прямоугольников (рис. 32.1, о),
формула (32.2) —формулой правых прямоугольников (рис. 32.1,6).
Абсолютная погрешность метода прямоугольников определяется неравенством
,	(32.4)
где М= max lf'(x) |.
Пример 32.1. По формулам прямоугольников, приняв л = 4, вычислить
г dx
\^+2"
В данном случае f(x) = 1/(х4-2), а = 1, 6 = 9. С помощью формул (32.3)
находим
6 = 2, Хо=1, Х| = 3, х2 = 5, х3 = 7, х4 = 9 (х0 = а=1, х4 = 6 = 9);
yo=f{Xo}=7ЛТ = ТТ2 = 4- у'=} {х' >=-от = 4- ’
416
y2^f(x2) =	, t/3 = Z(JC3) = —i- , y4 = f(Xi) = Jp.
По формулам (32.1) и (32.2) получаем
L = h(y0 + yi+y2 + y3)=2(-L- + _1_ + J_ + _В =1,57046,
Л1 = й(1Л+ </2 + </з + «/4) = 2^-jj—I—у—I—g—И ~п^ =1,0753.
Пример 32.2. На сколько частей следует разбить промежуток интегри-
7 j
Г
рованйя, чтобы с точностью до 0,1 вычислить \ —--?
2 л/х+2
Абсолютная погрешность при вычислении определенного интеграла по методу
прямоугольников определяется формулой (32.4). Если ставится задача, чтобы
1Л«(/)1<«, т. е. (b — a)2M/2nsge, то п>(6 —а)2М/2е. В данном случае а = 2,
Ь = 7, е = 0,1. Так как f (х)= 1/у/х + 2, f'(x) = — 1/2- 1/д/(х + 2)3, М =
— max |f'(x) | = 1/16, то n^(7— 2)2 (1/16)/2-0,1 « 7,8. Поскольку п — целое
2<х<7
число, можно принять п = 8 (для удобства вычислений можно взять п= 10, так как
Ь — а = 5).
32.2.	Формула трапеций
Формула трапеций имеет вид
$ f(x)dx»	+У1+У2+--+yn-i+	,
(32.5)
где h— (b — a)/n, хк = а + kh, yb=f(Xk) (fc = 0, 1, 2.n).
Правая часть этой формулы выражает' площадь фигуры, состоящей из
трапеций, высота каждой из которых равна h (рис. 32.2). Если — остаточный
член приближенной формулы (32.5), то
|/?„|<(/>-а)3Л1/12п2,
(32.6)
где М= max | f" (х) |.
1
г dx
Пример 32.3. Вычислить приближенно интеграл J —j—-— по формуле
о 1
трапеций, приняв п = 5.
В данном случае по расчетной формуле xk = x0-\-kh (k= 1, 2, ... , 5), где
Л=(1—0)/5 = 0,2, получаем xi =0+ 1 -0,2 = 0,2, хг = 0,4, %з = 0,6, х« = 0,8, Х5=1.
Так как у= 1/(1 + х), то yt= I/(1+xt) (fe = 0, 1, ... , 5). Находим значения ук'.
1/0= 1/(1+х0) = 1, yi = 1/(1 +xi) = 1/1,2 = 0,833, у2= 1/(1 + х2) = 1/1,4 = 0,714,
1/з = 0,625, 1/4 = 0,556, 1/5 = 0,500.
По формуле (32.5) получаем
$ -~х «0,2(0,500 + 0,833 +
+ 0,714 +0,625 + 0,556 + 0,250) =0,696.
Пример 32.4. На сколько частей нужно
разбить промежуток интегрирования, чтобы по
417
4
формуле трапеций вычислить интеграл J х(1п х—l)dx с точностью	ei=0,1,
1
£2 = 0,01?
Для определения числа п отрезков, на которые нужно разбить промежуток
интегрирования, воспользуемся формулой (32.6). Неравенство |Л„|<е будет
выполнено, если (Ь — а)3М/12п2^.е, откуда	y(b — а)3М/12е. Поскольку
f(x) = х(1п х — 1), f'(x) = lnx, f"(x) = l/x, М= max (1/х) = 1, то п\~^
I)3-1/12-0,1 = д/22,5 , П|=5. Аналогично находим п2=15.
32.3.	Формула парабол
Формула парабол (или формула Симпсона) имеет вид
?	h
J f(x)dxxi -g- (I/O+ 4 (1/| +t/3-|-...-)-l/2n-l ) +2(l/2 + l/4 + -.- + l/2n-2) +//2n),
(32.7)
где
h=(b — а)|2л, xk = a-\-kh,
Уь = Цхк) (A = 0, 1...2л).	(32.8)
Правая часть формулы (32.7) выражает
площадь фигуры, составленной из параболи-
ческих трапеций X0M0AI2.X2, x2M2Mixi и т. д.
(рис. 32.3). Дуга AfoAfiAla графика подынтег-
ральной функции здесь заменена дугой па-
раболы, проходящей через точки Мо, ЛЛ, М2.
Аналогичная замена произведена и для
остальных дуг.
Для остаточного члена формулы (32.7) выполняется неравенство
|/?„|< (Ь — а)5М/180(2л)4,	(32.9)
гдеЛ1 = max |f,IV|(x)|.
f dx
Пример 32.5. По формуле парабол вычислить ( —--------------, приняв 2л = 8.
о х + 1
По первой из формул (32.8) находим й = (6 — а)/2л = (1 — 0)/8 = 0,125.
Составляем таблицу значений t/4 = f(xj) — l/(xj+ 1) (табл. 32.1). В последней
строке этой таблицы стоят числа, равные суммам чисел, находящихся в соответ-
ствующих столбцах.
Таблица 32.1
k	Xk	1	00. У2П	g* (k нечетное)	yk {k четное)
0	0	1,00000	1,0		
1	0,125	1,01563		ух =0,98461	
2	0,250	1,06250			i/2 = 0,941 18
3	0,375	1,14063		i/3 = 0,87670	
4	0,500	1,25000			у, = 0,80000
5	0,625	1,39063		1/5 = 0,71910	
6	0,750	1,56250			1/6 = 0,64000
7	0,875	1,76563		1/7 = 0,56637	
8	1,000	2,00000	0,5		
2			1,5	3,14678	2,38118
418
По формуле (32.7) получаем
г dx	h	,
'	2 , < ~ —Т" D/o + 4(z/i + </з +i/s + i/?) +2(i/2 + l/4 + </б) + 1/в] =
о х + 1	°
=	(1+4-3,14678 + 2-2,38118 + 0,5) =	(1 + 12,58712 +
+ 4,76236 + 0,5) = 0,785395.
32.4.	Приближенное вычисление
определенных интегралов с помощью рядов
Если подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а пре-
делы интегрирования принадлежат области сходимости этого ряда, то соответ-
ствующий определенный интеграл можно вычислить с заданной точностью.
1/4 .
Пример 32.6. Вычислить интеграл J ---------dx с точностью до 0,00001.
о х
Разделив почленно ряд для sin х на х, получим
sin х , х2 , х* Xs
= “ "ЗГ + *5! 7Г
Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегриро-
вания принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем
I /4 .	1 /4 .
5(1_
0 '
о
х2 , х4	х6 , \ , _
3! + 5!	7! +"7 dX
I 1/4 х3 I 1/4 X5 I 1/4 X7 11/4
=*|о _ ТзГIо + "ЁГбГIо _7/тГ|о + ' =
= -L + —!_ J___________________L_ _L+...
4	3-3! 43	5-5! „45	7-7! 47
Ограничиваясь первыми двумя членами этого ряда, находим
1/4 .
г дшх_ dxj-----------1	~0	0()_0	87 = 0 24g]3
J0. х	4	3-3143
Погрешность не превзойдет первого отброшенного члена:
11 1 „ 1
5.51.45 - 5-120-1024 ~ 614400 < 100000 '
1/2
Пример 32.7. Вычислить интеграл \ Vl +x3dx с точностью до 0,001.
о
Подынтегральная функция разлагается в степенной ряд
л/1+х3=(1+х3)|Ч/2=1+ ~Х3-----1- X6 + _Lx9--A-x12 + ... (|х| <1)
Z	о	10	IZo
Интегрируя этот ряд почленно в промежутке [0, 1/2], находим
419
72 ,__ /	и	Y7 „10	к/з	\ I'/2
J л/1 + Лх = (х+	-g	5g	+ -j60	1664~ +	") 10 =
111	1111	5	1,
2 + 8 24	56 27 + 160 2'°	1664 2'3 +"
Поскольку 1 /56 -27 = 1/56-128= 1/7168 <0,001, то для вычисления данного
интеграла с указанной точностью достаточно взять два первых члена получен-
ного ряда, т. е.
V2 .__	1	1
JVf+Ai~^- + -sr-0.508.
Глава 33
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
33.1.	Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью рядов
Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в эле-
ментарных функциях. В этих случаях пользуются приближенными методами
интегрирования дифференциальных уравнений. Одним из таких методов является
представление решения уравнения в виде степенного ряда; сумма конечного числа
членов этого ряда будет приближенно равна искомому решению. Указанный степен-
ной ряд находят способом неопределенных коэффициентов или способом, основан-
ным на применении ряда Тейлора (Маклорена).
Способ неопределенных коэффициентов особенно удобен в применении
к линейным уравнениям, т. е. уравнениям вида
и состоит в следующем. Если все коэффициенты рь(х) (k= 1, 2, ..., п) этого
уравнения и свободный член f(x) разлагаются в ряды по степеням (х—а),
сходящиеся в интервале (а — й, a + h), то искомое решение у=у(х) также
представляется степенным рядом
у(х) = Со+ С, (х — а) -|- С г (х — о) 2 +... + Сп (х—а)"+... ,
сходящимся в том же интервале. Подставляя в уравнение функцию у(х) и ее
производные, приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях (х — а).
Из полученных при этом уравнений и заданных начальных условий находят
коэффициенты Со, С>, С2, ...
Способ, основанный на применении ряда Тейлора (Маклорена), заключается
в последовательном дифференцировании данного уравнения. Это дает возмож-
ность найти значения производных, входящих в выражения для коэффициентов
ряда
у(х) =у(а) +у'(а) (х—а) + (х-а)г + ...+ ^а) (х-а)’ + ...,
являющегося решением уравнения.
Пример 33.1. Найти первые пять членов разложения в ряд решения
уравнения у'=х2 + у2, удовлетворяющего условию у= 1/2 при х=0.
Искомое решение запишем в виде ряда Маклорена:
^)=,(0) + ^х+^1хЧ^’х’+^>хЧ...	(1)
Найдем выражения для трех последующих производных, дифференцируя данное
уравнение у' = хг + у2:
у" = 2х-\-2уу', у'" = 2 + 2у'г + 2уу", y"V} = 4y'y" + 2y'y"+2yyr".
421
Вычислим значения этих производных при х = 0, принимая во внимание началь-
ное условие t/(0) = 1/2:
/(0)=0+-^ = -^, у"(0) =2-0+2 4"4-= ’Г’
у"'(0) =2+2-1- +2 * 4- = -Г-> ‘/(,V,(0) = l!-.
Подставляя эти значения в формулу (1), получаем
/ч 1	,	1	,	1	2 , 19 з . П 4 ,
у(х) = — + — х+^х’+^х + ^-х +...
Пример 33.2. С помощью степенного ряда проинтегрировать уравнение
(1 — х) у" + ху' — у = х2 — 2х + 2.
Пусть i/= Со + CiX + С2Х2 + СзХ3 + С4Х4 + CgX3 +... , тогда
у' = Ci + 2Сгх + ЗСзх2 + 4С4х3 + 5С5х4 +... ,
/' = 2С2 + 2.3Сзх+3-4С4Х2+4-5С6х3 + ...
Подставляя выражения для у, у', у" в данное уравнение, получаем
(1 — х) (2Сг + 2- ЗСзх + 3-4С4Х2 + 4• 5СзХ3 +...) +х(Ci + 2С2х + ЗС3Х2 + 4С4Х3 +
+ 5Сзх4 + -..) — (Со + Cix + С2Х2 + С3Х3 + С4Х4 + Сдх5 +...) =х2 — 2х+2
или
(2С2 —Со) + (2-ЗСз-2С2+С, -Ci)x + (3-4С4 — 2-ЗСз + 2С2 — С2)х2 +
+ (4-5С5 —3-4С4 + ЗС3-Сз)х3+ (5-6С6-4-5С6 + 4С4-С4)х4 + „.=х2-2х + 2.
Так как у — решение уравнения, то последнее равенство выполняется тож-
дественно; коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства
равны между собой:
.о
2С2 — Со = 2,
2-ЗСз —2С2= —2,
3-4С4-2-ЗСз + С2=1,
4-5Cs —3-4С4 + 2С3 = 0,
5-6С6-4-5С5 + ЗС4 = 0,
Xя (п + 1) (п + 2) С,+ 2 — п(п + 1) Сл+1 + (п — 1)Сл = 0,
Решая эту систему, находим
2 +Со , , Со	Со	Со г. Со	Со
Со-----g---=1+-2-- Сз=-3!~’ С4=-4Г’ С5=-5Г’ Сб==’бГ’"
Таким образом, все коэффициенты, начиная с С2, выражены через коэф-
фициент Со, который остается произвольным; остается произвольным и С, (этот
коэффициент не входит в полученную систему). Следовательно, искомое реше-
ние представляется рядом
i/o = Co+Cix+ ( 1 Н—х1 + ~зрхЭ+ ~4рх4+	’
422
сходящимся при всех х. Это решение является общим:
/	V	„3	\
у = Сц( 1 Н—j-j—|—jyj 1— !-•••) +(Ci — Co)x-\-x2, y = Coe‘-}-C'x + x2,
\	11	£> I	о I	/
где Ci — Co=C' — произвольная постоянная.
Пример 33.3. Найти первые пять членов разложения в ряд частного
решения уравнения у" — 2у' + у = ех, удовлетворяющего начальным условиям:
1/(0) =0. /(0) = 1.
Пусть искомое решение представляется сходящимся степенным рядом
1/(х) =Со + С1х + С2х2 + Сзх3 + С4х4 + С5х5 + ... Дважды дифференцируя этот ряд
в его интервале сходимости, получаем
у'(х) =С, + 2С2х + ЗСзх2 + 4С4Х3 + 5С5х4 + ... ,
у" (х) = 2С2 + 2 • ЗС3х + 3 • 4С4х2 + 4 • 5Сцх3 +...
При х = 0 имеем у(0) =С0, у'(0) = Ci; принимая во внимание начальные условия
1/(0) =0, /(0)'=1, находим два первых коэффициента разложения для у(х):
Со=О, С| = 1. Подставив в данное дифференциальное уравнение выражения
для у(х), у'(х), у"(х) и разложение в ряд функции ех, получим
2С2 + 2.3С3х+3-4С4Х2 + 4-5С5Хэ+--2(1+2С2х+ЗСзХ2 + 4С4х3 + 5С5х4 + ...) +
+х + С2х2 + СзХ3 + С4х4 + СзХ6 + ... = 1 —j-j—|—— 1——-1—— H—rj----!-•••.
11	м!	4:	□!
ИЛИ
(2C2 —2) + (2-ЗСз-4С2+ l)x+ (3-4С4-2-ЗСз + С2)х2+ (4-5C5-2.4C4 + C3) X
x3+ (5-6Ce —2-5C6-|-C4)x4-|- ...= 1 -]—j-—|—— 1——--1—-j 
II x! o'
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях этого
равенства, получаем систему уравнений для определения коэффициентов С2, Сз,
С4, ... :
2С2 —2=1, 2-ЗСз — 4С2+1 = 1, 3-4С4-2-ЗСз + С2 = 1/2,
4-5Сз — 2-4С4-|-С3= 1/3!, 5-6С6-2-5С5-|-С4 = 1/4!, ...
Решая эту систему, находим С2 = 3/2, С3=1, С4 = 5/12, С5=1/8, ... Таким
образом, частное решение выражается формулой
У=х+ -^-х2 + х3+ -j^-x4+ -^-х5.
33.2.	Метод Эйлера
Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференци-
ального уравнения
y' = f(x, у),	(33.1)
удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0.
При численном решении уравнения (33.1) задача ставится так: в точках
хо, Xi, х2, ... ,х„ найти приближения у/, (А = 0, 1,2.п) для значений точного
решения у(хк). Разность Дх* = х*_,—х* называется шагом сетки. Во многих
случаях величину Дх* принимают постоянной Л, тогда
x* = xo + feft (Л = 0, 1, 2, ..., п).	(33.2)
423
Метод Эйлера основан на непосредственной замене производной разностным
отношением по приближенной формуле &y/hx=f(x, у), где by=y(x-\-h) — у(х),
Д* = (* + й) — x = h.
Приближенное значение Ук в точке Хк=х<>-{-kh вычисляется по формуле
yk+>=yk + hf(xh, Ук) (*=0,1,2..п).	(33.3)
Пример 33.4. Методом Эйлера найти значения решения дифференциаль-
ного уравнения у' = 2х —у, для которого у(1) =1, в пяти точках отрезка [1; 1,5],
приняв й=0,1.
По формулам (33.2) находим точки *о=1, Xi = l,l, *2=1,2, *з=1,3, *4=1,4,
*5=1,5. Значения искомой функции у=у(х), удовлетворяющей условию данной
задачи Коши, вычисляем по формуле (33.3). Результаты вычислений занесены
в табл. 33.1.
Таблица 33.1
е		Хц	2xt	!(*». »») = = 2х, — у к	= 0,1 (2х,-у,)	у*+1 = =hf (Хл. ул)+ул
0	1,0000	1,0	2,0	1,0000	0,1000	1,1000
1	1,1000	1,1	2,2	1,1000	0,1100	1,2100
2	1,2100	1,2	2,4	1,1900	0,1190	1,3290
3	1,3290	1,3	2,6	1,2710	0,1271	1,4561
4	1,4561	1,4	2,8	1,3439	0,1344	1,5905
5	1,5905	1,5	3,0	1,4095	0,1410	1,7315
33.3.	Метод Рунге — Кутта
Пусть требуется найти численное решение уравнения y'=f(x,y),
удовлетворяющее условию у(х0)=у0.
Идея метода Рунге — Кутта состоит в представлении разности
Др(х) =р(*+й) —р(х)	(33.4)
в виде суммы поправок й, с коэффициентамир;:Др=р1й1+р2Й2 + ...+ргй,, где
ki=hf(x, у), k2 = hf (х + a2h, р—|—Р21Й1),	, kr = hf(x-j-arh, 1/—|—prifei + Рг2Йг +
••• + Ргг-|Йг-1).
Коэффициенты р;, а,, р,-, находят сравнением разложений Д{/ и й/ по сте-
пеням й. В случае г = 4 получаем
kt==hf(x, у), k2 = hf(x + h/2,y+kt/2),
k3 = hf(x+h/2,y+k2/2), kk=hf(x+h,y+k3),
&У = (1/6) (й, +2Й2 + 2Й3 + Л4)•	(33.6)
При *=*0 с помощью формул (33.4) — (33.6) находим
г//+1=Р<+Др.- (1 = 0, 1,2, ...),	(33.7)
где
Др- = (1/6) (k‘, + 2k2+2k3 + /i‘4j,	(33.8)
й‘,=й/(*„ р,), k2 = hf(xt + h/2, yt + k\/2),
(33.9)
йз— й/(*< + й/2, р(4-йг/2), Й4 = й/(х/-|-й, р/-|-й3).
Метод Рунге,— Кутта — один из наиболее употребительных методов повы-
шенной точности.
Пример 33.5. Методом Рунге — Кутта найти решение задачи Коши для
уравнения р'=р —*2, р(1)=0, *е [1, 2] в первых пяти точках, взяв й —0,1.
Поскольку в данном случае f(x, у)=у—х2 и в силу условия *о=1, Ро = О,
424
Т а б л и ц а 33.2
/	Xi	yi	х?	Нх/.у,)7 = У/ — Xf	*/= = Л/(Л, (Л)	Pi	Pfii	
0	1,00	0	1,0000	— 1,0000	— 0,1000	1	— 0,1000	
	1,05	-0,0500	1,1025	-1,1525	-0,1152	2	-0,2304	
	1,05	-0,0576	1,1025	-1,1601	-0,1160	2	— 0,2320	
	1,10	-0,1160	1,2100	- 1,3260	-0,1326	1	-0,1326 — 0,6950	— 0,1158
1	1,10	-0,1158	1,2100	— 1,3258	— 0,1326	1	— 0,1326	
	1,15	-0,1821	1,3225	- 1,5046	-0,1505	2	-0,3010	
	1,15	-0,1910	1,3225	-1,5135	— 0,1514	2	— 0,3028	
	1,20	— 0,2672	1,4400	-1,7072	-0,1707	1	-0,1707 -0,9071	— 0,1501
2	1,20	— 0,2659	1,4400	-1,7059	-0,1706	1	-0,1706	
	1,25	-0,3512	1,5625	-1,9137	— 0,1914	2	— 0,3828	
	1,25	— 0,3616	1,5625	- 1,9241	-0,1924	2	— 0,3848	
	1,30	-0,4583	1,6900	-2,1483	-0,2148	1	-0,2148 -1,1530	— 0,1925
3	1,30	— 0,4584	1,6900	— 2,1484	— 0,2148	1	— 0,2148	
	1,35	— 0,5858	1,8225	-2,3883	-0,2388	2	— 0,4776	
	1,35	-0,5778	1,8225	-2,4003	— 0,2400	2	— 0,4800	
	1,40	-0,6984	1,9600	-2,6584	— 0,2658	1	— 0,2658 — 1,4382	-0,2397
4	1,40	-0,6981	1,9600	-2,6581	-0,2658	1	-0,2658	
	1,45	-0,8310	2,1025	— 2,9335	-0,2934	2	-0,5868	
	1,45	— 0,8448	2,1025	— 2,9473	— 0,2947	2	— 0,5894	
	1,50	-0,9928	2,2500	- 3,2428	-0,3243	1	— 0,3243 -1,7663	—0,2944
то f (х0, уо) = уо~хо = О — 1 = — 1. По формулам (33.9) находим: k{ — hf (х0, уо) =
=0,1 (- 1) = -0,1; /(2 = 0,1/(1,05; -0,05) =0,1 [(—0,5) — (1,05)2] = —0,1152;
Лз = 0,1/(1, 0,5; — 0,576) =0,1 [( — 0,0576) — (1,О5)2] =—0,1160; fc[ = 0,lf(l,l;
— 0,1160) =0,1 [ (— 0,1160—(1,1)2] =—0,1326. По формуле (33.8) вычислим
W»=(l/6) [(-0,1) +2( —0,1152)+2( —0,1160) + (-0,1326)] =0,1158. Зна-
чение у, вычислим по формуле у\=уо + ^уо (см. формулу (33.7) при /=0):
у, = 0+(—0,1158) =—0,1158. Таким образом, получено приближенное значение
решения у, = —0,1158 при xi = l,l.
С помощью формул (33.9) при / = 1 найдем приближенное значение у2
при х2=1,2, решив новую задачу Коши для того же уравнения у'=у—х2,
у(1, 1) =-0,1158.
Аналогично находим значения уз, Уь, Уо- Результаты решения исходной за-
дачи представлены в табл. 33.2, из которой следует, что у5=у4 + Ду4 = —0,6981 +
+ (-0,2944) = -0,9925.
VI
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Глава 34
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ
34.1.	Классификация событий
Опытом или испытанием называют всякое осуществление комплекса
условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление.
Возможный результат опыта называют событием. Событие называется достовер-
ным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте. Событие
называется невозможным в данном опыте, если оно в этом опыте произойти
не может. Случайным называется событие, которое в данном опыте может
произойти, а может и не произойти. Два события называются совместными
в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого
в этом опыте, и несовместными, если они не могут произойти вместе при одном
и том же испытании. Два события называются противоположными, если появ-
ление одного из них равносильно непоявлению другого. События считают
равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие является более
возможным, чем другие. Множество событий At, А2, ... , А„ называют полной
группой, если они попарно несовместны, появление одного и только одного из них
является достоверным событием. Например, полную группу образуют события Ai,
А2, ... , Ав,где A* (fe= 1, 2.6) — событие, «верхней гранью оказалась грань с
цифрой k» (при подбрасывании игрального кубика).
34.2.	Действия над событиями.
Соотношения между событиями
Суммой или объединением двух событий называется событие, состоя-
щее в появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий А и В обозначается
через A (J ZJ или А + В. Аналогично определяется и обозначается сумма п событий:
U A(=A|(JAjj•.U-Ап,	А,=А|Н-Аг +... +А„.
/=1	/=1
Эта сумма означает событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них.
Произведением или пересечением двух событий называется событие, состоя-
щее в одновременном их появлении. Произведение двух событий А и В обознача-
ется через А()В или АВ. Произведение п событий
п	п
П А(=А1А2...А„, f| А(=А|Г)А2П... па„
1=1	;=1
означает событие, состоящее в появлении всех событий Аь А2, ... , А„.
Понятия суммы и произведения событий распространяются на бесконечные
последовательности событий, в этих случаях соответственно применяют,
например, обозначения
ОО	оо
и A,= A11JA2 и - UA„U ..., fl А(=А!ЛА2П ... ПЛП ...
(=1	/=1
427
Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что
наступает событие Л и не происходит событие В. Разность событий Л и В обозна-
чается так: Л\В или Л — В.
Если при каждом осуществлении комплекса условий, при котором происходит
событие Л, происходит и событие В, то говорят, что Л влечет за собой В, или Л
является частным случаем В, и обозначают так: ЛсзВ. Если ЛсВ и ВсЛ,
то говорят, то Л и В равносильны: А—В.
34.3.	Различные определения вероятности события
Классическое определение вероятности. Вероятность события Л опре-
деляется формулой
Р(Л)=т/п,	(34.1)
где п — число всех равновозможных, образующих полную группу элементарных
исходов опыта, т — число элементарных исходов, благоприятствующих событию
А. Свойства вероятности события: 1) вероятность достоверного события равна
единице; 2) вероятность невозможного события равна нулю; 3) вероятность слу-
чайного события выражается положительным числом, меньшим единицы; 4)
вероятность любого события удовлетворяет неравенствам О^Р(Л) 1.
Геометрическое определение вероятности. Если событие Л — попадание
в область g точки, брошенной в область G, то его вероятность определяется
формулой
Р (Л) =mes g/mes G,	(34.2)
где mes g—мера области g (длина, площадь, объем). Для одномерной,
двумерной и трехмерной области эта формула соответственно принимает вид
P(A)=/g//0, P(A)=St/S0, P(A) = VS/Va
где / — длина, S — площадь, V — объем соответствующей области.
Статистическое определение вероятности. Относительная частота события Л
(или просто частота) определяется формулой
W(A)=m/n,	(34.3)
где т — число опытов, в которых появилось событие Л, п — число всех проведен-
ных опытов. Условной называется частота одного события, вычисленная при
условии, что другое событие наступило. Частота события обладает теми же
простейшими свойствами, что и вероятность, а также следующими свойствами:
а) частота суммы двух несовместных событий равна сумме частот этих событий:
W (A + В) = К7(Л) + W'(B); .6) частота произведения двух событий равна произ-
ведению частоты одного на условную частоту другого: Ц7(ЛВ) =Ц7(Л) 1Г(В/Л),
1Г(ЛВ) = 1Г(В)1Г(Л/В).
Вероятностью события называется число, около которого группируются
значения относительной частоты данного события в различных сериях большого
числа испытаний.
Аксиоматическое определение вероятности. Пространством элементарных
событий называют произвольное множество Q, а его элементы <о — элементарными
событиями. Эти понятия являются первоначальными. В реальных опытах эле-
ментарным событиям соответствуют взаимноисключающие итоги опыта. Подмно-
жества множества Q называют событиями и обозначают заглавными латинскими
буквами 4, В, С и т. п. Пустое множество 0 называют невозможным собы-
тием, а множество Q — достоверным событием. Случайным событием называют
любое собственное (т. е. отличное от 0 и Q) подмножество £2. Событие
А = £2—А называют противоположным событию А; событие А означает, что А
не произошло. События А и В называют несовместными, если АВ=0.
Пусть £2 — пространство элементарных событий, L — некоторая система
случайных событий. Система L случайных событий называется алгеброй собы-
тий, если выполнены условия: 1) £2е£; 2) если Л е£, Ве£, то ЛВе£, (А-(-В)е
428
sL, (A-B)eL. Из этих условий следует, что 0eL. Алгебра событий L
называется о-алгеброй или борелевской алгеброй, если из того, что А„е£,
ОО	оо
/1= 1, 2, ..., следует J 4„eL, f) A,eL.
п = 1	п=	1
Числовая функция Р(А), определенная на алгебре событий L, называется
вероятностью, если выполнены следующие аксиомы.
1.	Каждому событию Ле/, ставится в соответствие неотрицательное число
Р(А) — его вероятность, т. е. Р(А) ^0 для любого 4eL
2.	Вероятность достоверного события равна единице: Р(й) = 1.
3.	Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей
этих событий, т. е. Р(А4~В) =Р(А) 4-Р(В), если АВ=0.
4.	Для любой убывающей последовательности A। =>А2о ...	... событий
ОО
из L такой, что Q А„=0, справедливо равенство lim Р(А„) =0.
Тройка (Q, L, Р), в которой L является о-алгеброй и функция Р(А) удов-
летворяет аксиомам 1—4, называется вероятностным пространством.
Простейшие следствия из аксиом вероятности.
1.	Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Р(А) +
+ Р(А) = 1. Если Р(А) — р, Р(А) =q, то P-\-q= 1, или Р= 1 — q.
2.	Вероятность невозможного события равна нулю: Р(0)=О.
3.	Для любых событий А и В верны соотношения
Р(А + В) =Р(А) +Р(В) — Р(АВ),
Р(А + В)^Р(А)+Р(В).
4.	Если события Ai, Аг, ... , А„ попарно несовместны (т. е. А,А,= 0 при
любых i=£j, i, j= 1, 2, ... , п), то
Р(А1 + А2+... + А„) =P(Ai) +Р(Аг) +... + Р(А„).
5.	Для любых событий Аь Аг, ..., А„ выполняется неравенство
Р(А1+А2 + ... + А„)<Р(А1)+Р(А2)+... + Р(А).
6.	Если событие А влечет событие В МсВ), то
Р(А)<Р(В).
7.	Вероятность любого события выражается неотрицательным числом,
не превосходящим единицы: O^P(A)^f; другими словами, область значений
функции Р(А) принадлежит отрезку [0, 1].
ОО
8.	Если события Ai, Аг, ... , А„— попарно несовместны и А= |J А„еР, то
П =e 1
ОО
Р(А)= £ Р(А„).
п= 1
ОО
9.	Если А|ЗэА2=> ... =>А„=> ... и 4= Г| А„,
п = 1
то Р(А) = lim Р(А„).
И-«-со
10. Если AiCzA2cz ... cA„cz
то Р(А) = lim Р(А„).
П-> ОО
оо
и А= J А„,
п = 1
429
Пример 34.1. Найти вероятность появления верхней грани с числом
очков, кратным 3, при бросании игрального кубика.
.Поскольку всего элементарных исходов шесть, а благоприятных исходов два:
Аз (появилось 3 очка), Л6 (появилось 6 очков), то Р(Л) =2/6= 1/3.
Пример 34.2. Производится стрельба по мишени, имеющей форму круга
и равномерно вращающейся вокруг центра О (рис. 34.1). Пападание в круг —
событие достоверное. Сектор ОАВ, площадь которого равна одной шестой части
площади всего круга, окрашен в черный цвет. Найти вероятность попадания
в сектор ОАВ.
В данном случае Sq = S, Sg — (1/6)5, где 5 — площадь рассматриваемого
круга, поэтому Р(Л) =Ss/Sa= (1/6)S/S= 1/6.
Пример 34.3. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попа-
даний. Какова относительная частота попаданий?
Так как т=15, п = 20, то по формуле (34.3) получаем IE(Л) =15/20=3/4.
34.4. Условная вероятность.
Теорема умножения вероятностей.
Независимость событий
Вероятность события В при условии, что произошло событие Л, назы-
вается условной вероятностью события В и обозначается так: Р(В/А) или
Рл(В).
Условные вероятности определяются формулами
Р(В/А) = -Р(ЛЙ) , Р(Л/В) = Р(ЛЙ) ,
Р(Л)	Р(В)
где Р(Л)> 0, Р(В)> 0.
Теорема 34.1. Вероятность произведения двух событий равна произ-
ведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии,
что первое событие произошло:
Р(АВ) = Р(Л)Р(В/Л), Р(АВ) =Р(В)Р(А/В).	(34.4)
По определению, событие В не зависит от события Л, если
Р(В/Л)=Р(В).	(34.5)
В этом случае также Р(Л/В) = Р(Л), т. е. событие Л не зависит от события В.
Свойство независимости событий является взаимным. Если события Л и В неза-
висимы, то независимы события Л и В, Л и В, Л и В. Если события Л и В независимы,
то формулы (34.4) с учетом равенства (34.5) принимают вид
Р(ЛВ) =Р(Л)Р(В),
т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению их
вероятностей.
Теорема 34.2. Вероятность произведения п событий равна произведению
вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных в предполо-
жении, что все предыдущие события наступили:
Р(А,Аз ...Л„)=Р(Л1)Р(Л2/Л1)Р(Л3/Л1Л2) ...Р(Л/Л,Л2...Л„).	(34.6)
В частности, для трех событий Л, В, С эта формула имеет вид
Р(АВС) = Р(А)Р(В/А)Р(С/АВ).	(34.7)
События At, Л2....А„ называются независимыми в совокупности (или
просто независимыми), если каждое из них и произведение любого числа k
остальных, (k = 1, 2, .... п— 1) являются независимыми.
430
Замечание. Из попарной независимости событий не следует их неза-
висим.ость в совокупности.
Если события Л,, Д2, ... , А„ независимы, то
Р(А,А2...А„) = P(At)Р(А2) ...Р(А„).	(34.8)
Если А — появление хотя бы одного из независимых событий Ai, А2, ... , А„, то
P(A) = \ — qiq2...q„,	(34.9)
где qk = Р(Ак), А= 1, 2, ... , п; (Л4 — событие, противоположное At).
Если все независимые события Ль Л2, 4.. , Л„ имеют одну и ту же вероятность
р, то вероятность появления хотя бы одного из них определяется формулой Р(Л) =
 = 1 — qn.
Пример 34.4. В урне имеется 6 красных, 8 синих и 4 белых шара. Каждое
испытание состоит в том, что из урны берут наудачу один шар и не возвращают
обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании будет вынут красный
шар (событие Л), при втором — синий (событие В), при третьем — белый (со-
бытие С).
Поскольку Р(А) =6/18= 1/3, Р(В/А) =8/17, Р(С/АВ) =4/16= 1/4, то по
формуле (34.7) получаем Р(ЛВС)= 1/3-8/17-1 /4=2/51.
Пример 34.5. В каждом из трех ящиков имеется по 24 детали; при этом
в первом ящике 18, во втором 20, в третьем 22 стандартные детали. Из каждого
ящика берут по одной детали. Найти вероятность того, что все три извлеченные
детали окажутся стандартными.
Введем обозначения: извлечение стандартной детали из первого ящика —
событие Л1, из второго—событие Л2, из третьего — событие Л3, тогда Р(Л|) =
= 18/24 = 3/4, Р(Л2) =20/24 = 5/6, Р(Л3) =22/24= 11/12, по формуле (34.8)
при п = 3 получаем P(AtA2A3) =3/4-5/6-11/12 = 55/96.
Пример 34.6. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произ-
вели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели
первым стрелком равна 0,9, вторым — 0,8, третьим — 0,7. Найти вероятность
того, что: а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка
попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.
Введем обозначения: поражение цели первым стрелком — Л,, вторым — Л2,
третьим — Л3; попадание в цель только первым стрелком — Bi, только вторым
стрелком — В2, только третьим — В3. Пусть Р(Л>) =рь Р(Л2) =р2, Р(Л3) =р3,
тогда Р(Л1)=<71, P(A2)=q2, Р(Л3)=р3. Поскольку Bi = AiA2A3, В2=Л2Л|Л3,
В3 = Л3Л1Л2 и события Bi, В2, В3 несовместны, то вероятность того, что только
один стрелок попадет в цель, выражается формулой P(Bi + B2 + B3)=/’(Bi) +
-\-Р(В2) + Р(В3). Так как P(Bi) =Р(А,Л2Л3) =p\q2q3, Р(В2) —Р(А2А ,Л3) =
=Р2<?1<?з, Р(В3) =P(A3AlA2) =p3qtq2, то
Р(В, + В2 + В3) =pi<72<73 + p29i<?3 + p3<7i<72-	(I)
Пусть Ci — попадание в цель только вторым и третьим стрелками, С2 —
только первым и третьим, С3 — только первым и вторым, т. е. С1=Л2Л3Л|,
С2 = Л1Л3Л2, С3 = Л[Л2Л3, тогда вероятность того, что только два стрелка попадут
в цель, выразится формулой
Р(С| + Сг+ С3) =p2p3pi + Р1Рз<7г + Р1Рг<?3.	(Н)
Вероятность того, что три стрелка попадут в цель, определяется формулой
Р(А |Л2Л3) =pip2p3.	(HI)
По условию задачи р, = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7. Следовательно, р, = 1—р, = 0,1, q2 =
= 1—Рг = 0,2, q3= 1 — р3=0,3. Подставляя эти значения в формулы (I) —(III),
431
находим искомые вероятности:
Л^Р^ + Ва + Вз) =0,9-0,2-0,3 + 0,8-0,1-0,34-0,7-0,1-0,2 = 0,092;
Р2 = Р (С, + С2 + С3) = 0,8 • 0,7 • 0,1 + 0,9 • 0,7 • 0,2 + 0,9 • 0,8 • 0,3 = 0,398;
Рз = Р (А 1А 2А з) = 0,9 • 0,8 • 0,7 = 0,504.
34.5. Формула полной вероятности.
Теорема Бейеса
Если события Н\, Н2, ..., Нп попарно несовместны, их объединение
есть достоверное событие, то для любого события А его вероятность выражает-
ся формулой
Р(А) = £ Р(А/Я4)Р(Я*).	(34.10)
*=1
Теорема 34.7. Если Н\, Н2,...,Нп—попарно несовместные события, из
которых хотя бы одно наступает, и А—событие с Р(А)>0, то условная
вероятность события Нь при условии, что наступило А, определяется формулой
P(Hk/A)=P(A/Ht)P(Hlt)/ £ P(A/Hi)Pl(Hi). (34.11)
i=l	'
Формула (34.10) называется формулой полной вероятности, а формула
(34.11) —формулой Бейеса.
В применениях теоремы Бейеса события Hk называют гипотезами, Р(Е/д —
априорными вероятностями гипотез, Р(Н>,/А) — апостериорными вероятностями
этих гипотез.
Пример 34.7. Имеется 5 урн с белыми и черными шарами: 2 урны —
по 2 белых и 3 черных шара (состав Щ), 2 урны — по 1 белому и 4 черных шара
(состав Н2), 1 урна — 4 белых и 1 черный шар (состав Нз). Из одной наудачу
выбранной урны вынут шар, который оказался черным (событие Л). Чему равна
апостериорная вероятность того, что шар вынут из урны второго состава?
Полагая в (34.11) k = 2, п — 3, получаем формулу, которой надлежит
пользоваться в данном случае:
Р<н /А} =_________________Р(Н2)Р(А/Н2)_________________
Р(Н,)Р(А/Н1)+Р(Н2)Р(А/Н2)+Р(Нз)Р(А/Нз) '
Найдем соответствующие вероятности: Р(Я|)=2/5, P(H2)=2/i>, Р(/7з) = 1/5,
P(A/Hi) =3/5, Р(А/Н2) =4/5, Р(А/Нз) = 1/5 и подставим их в данную формулу
Р(Н ... =	2/5-4/5_________ 8/25 = 8
2/5-3/5 + 2/5-4/5+1/5-1/5	15/25	15 '
Аналогично можно найти Р(Н>/А) =6/15, Р(Нз/А) = 1/15.
Г л а в a 35
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
35.1. Дискретные случайные величины
Для вероятностного пространства (Q, L, Р) случайной величиной на-
зывается действительная функция А (со), определенная для щей и такая, что
при всех действительных значениях х множество (со:Х(со) ) принадлежит
о-алгебре L.
Случайная величина — это переменная величина, принимающая в зависи-
мости от случая те или иные значения с определенными вероятностями. Важ-
нейшей характеристикой случайной величины служит ее распределение вероят-
ностей.
Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечную
или бесконечную последовательность значений.
Законом дискретной случайной величины X называется соответствие между
ее значениями Xi, х2, х3, ... и их вероятностями pi, р2, рз, ...
Закон распределения дискретной случайной величины X, принимающей ко-
нечное множество значений Х|,хг, ... , х„ соответственно с вероятностями р\, р2, ...
..., р„, можно задать схемой
X	Xi	х2	х3	х„
Р	Pi	р2	Рз	Рп
или формулами
п
P(X = xk) = pk, k= 1, 2, ... , п; £ Pk=i-	(35.1)
k = i
Аналогично задается закон распределения дискретной случайной величины
X, принимающей бесконечную последовательность значений jct, х2, хз, ... соответ-
ственно с вероятностями pi, р2, рз,
ОО
P(X=xk)=pk, *=1,2,3. ... ;	£ рм=1.	(35.2)
<г = 1
35.2. Функция распределения.
Плотность распределения
Функцией распределения случайной величины X
F(x) действительной переменной, определяемая равенством
F(x) = Р(Х<х),
называется функция
(35.3)
где P(X<ix) —вероятность того, что случайная величина X примет значение,
меньшее х. Вероятность того, что случайная величина X примет значение из
полуинтервала (а, 0), равна разности значений ее функции распределения в
433
концах этого промежутка
P(a<X<₽)=F(₽)-F(a).
Свойства функции распределения F(x).
1.	Все значения функции распределения
0<F(x)<l.
2.	Функция F{x) является неубывающей:
3.	F(x) непрерывна слева при любом х.
4.	lim F(x)=0, lim F(x) = l.
X-*- — oo	x-* -|- оо
принадлежат отрезку [0, 1 ], т. е.
F(xi) ^F(x2), если xi<x2.
График функции распределения целиком расположен в полосе между пря-
мыми у—0, у— 1 (рис. 35.1).
Функция распределения дискретной случай-
ной величины имеет вид
F(x)= £ P(X = xk),
Xk<X
(35.4)
где символы Xk<.x означают, что суммируются
вероятности тех значений, которые меньше х.
Функция F(x) для дискретной случайной величи-
ны является разрывной.
Случайная величина X называется непрерывной, если существует неотри-
цательная функция р(х) такая, что
f(x)= j p(u)du.
(35.5)
— оо
Функция р(х), входящая в это равенство, называется плотностью распре-
деления вероятностей случайной величины X. График функции р(х) называется
кривой распределения. Вероятность попадания значений случайной величины X
в полуинтервал [а, Ь) равна определенному интегралу от плотности распре-
деления р(х) по отрезку [а, 6]:
ь
P(a^.X<b) = j p(x)dx.
а
(35.6)
Свойства функции р(х) — плотности распределения.
1.	Функция р(х) является неотрицательной: р(х)>0.
2.	В точках дифференцируемости F(х) производная функции распределения
равна плотности распределения вероятностей:
F'(x)=p(x).	(35.7)
3.	Интеграл по бесконечному промежутку (—оо,-|-оо) от плотности рас-
пределения вероятностей р(х) равен единице:
+ оо
j p(x)dx=l.
(35.8)
Пример 35.1. Случайная величина X задана функцией распределения
Г(х) =
О при х^О;
х3 при 0<х< 1;
1 при х> 1.
Найти плотность распределения р(х), построить графики функций Г(х) и р(х).
434
В соответствии с равенством (35.7) находим
р(х) =
О при х^О;
Зх2 при 0<х<; 1;
О при х> 1.
Графики функций Е(х) и р(х) изображены на рис. 35.2 и 35.3.
П р и мер 35.2. Найти функцию Р(х) для дискретной случайной величины,
закон распределения которой задан схемой
X	0	12	3
Р(Х = хк) 0,2	0,4	0,3	0,1
Функцию Е(х) строим с помощью формулы (35.4). При х^0 Е(х) =
= £ Р(Х = х*)=0. Если 0<х< 1, то F(х) = £ P(X = xk) =Р(Х = 0) =0,2.
х»<0	х*<1
При 1<х<2 F(x) = Р(х = 0) -)-Р(х= 1) = 0,2-|-0,4 = 0,6. Если 2<х<3, то
Г(х) = Р(х = 0) +Р(х= 1) +Р(х = 2) =0,9. При х> 3 F(х) =Р(х = 0) +Р(х =
= 1)+Р(х = 2)+Р(х = 3) = 1. График функции F(x) изображен на рис. 35.4.
35.3.	Математическое ожидание случайной
величины
Математическое ожидание случайной величины X с законом распре-
деления (35.1) определяется формулой
Л4(%)= £ x„pk.	(35.9)
k = 1
Если случайная величина X задана законом распределения (35.2), то
М(Х) = f xkpt	(35.10)
Л = 1
при условии, что ряд сходится.
435
Математическое ожидание называется средним значением, а также центром
распределения. Для математического ожидания употребляются и другие обозна-
чения: ЕХ, тх, т, а.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, все значения
которой принадлежат отрезку [a, fj], определяется формулой
М(Х) =
\ xp(x)dx.
а
(35.11)
Если случайная величина может принимать любые значения из промежутка
(— оо , + оо), то
+ °°
М(Х) = J xp(x)dx
— со
(35.12)
при условии, что интеграл сходится.
Математическое ожидание случайной величины обладает следующими
свойствами.
1.	Математическое ожидание случайной величины заключено между ее
наименьшим и наибольшим значениями.
2.	Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: М(С)=С.
3.	Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожи-
дания, т. е. М(СХ) = СЛ1(Х).
4.	Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме
их математических ожиданий: М(Х4- У) =Л4(Л') +М(У).
5.	Математическое ожидание произведения двух независимых величин равно
произведению их математических ожиданий: Л4(ХУ) =М(Х)М(У).
Пример 35.3. Найти математическое ожидание дискретной случайной ве-
личины по ее закону распределения, заданному схемой
X 3	4	5	6
Р	0,1	0,2	0,3	0,4
По формуле (35.9) находим: Л1(Х) =3-0,1 4-4-0,24-5-0,34-6-0,4 = 5.
Пример 35.4. Найти математическое ожидание непрерывной случайной
величины, указанной в примере 35.1.
По формуле (35.12) получаем
+ ОО	о	1	-|-оо
М(Х)= J xp(x)dx= j xp(x)dx+ J xp(x)dx-\- J xp(x)dx=
— co	— oo	0	1
9	1	+.”	J	x4 11	з
J xOdx-|- J x3x2rf%4- ) xOdx— ) 3x3dx = 3--l =-j-.
-OO	0	I	0	4 |o	4
Название «математическое ожидание» происходит от понятия «ожидаемое
значение выигрыша» (математическое ожидание выигрыша), впервые появив-
шегося в теории азартных игр в трудах Б. Паскаля и X. Гюйгенса в XVIIb.
Термин «математическое ожидание» ввел П. Лаплас (1795). В полной мере это
понятие впервые оценено и использовано П. Л. Чебышевым.
35.4.	Дисперсия случайной величины
Дисперсией (или рассеянием) случайной величины X называется ма-
тематическое ожидание квадрата ее отклонения X — М(Х):
D(X) =М((Х —М(Х))2),	(35.13)
436
D(X)=M(X2)-(M(X))2.	(35.14)
Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами.
1.	Дисперсия постоянной величины равна нулю: £)(С)=0.
2.	Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя
его в квадрат: D(CX) = C2D(X).
3.	Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их
дисперсий: £)(% + У) = D(X) + D(Y).
4.	Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме
их дисперсий: D(X— У) =D(X) + D (У).
Дисперсия дискретной случайной величины с законом распределения (35.1)
определяется формулой
D(X)= £ (хк—М(Х))2рк.	(35.15)
А=1
Если дискретная случайная величина имеет закон распределения (35.2), то
D(X)= £ (хк — М(Х))2рк	(35.16)
* = 1
при условии, что этот ряд сходится.
Дисперсия непрерывной случайной величины X с плотностью распределения
р(х) определяется формулой
+
D(X) = J (x — M(X))2p(x)dx,	(35.17)
— ОС
если этот интеграл сходится, или
+ оо
D(X) = J x2p(x)dx — (М(Х))2.
— оо
Средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением)
о(Х) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии:
a(X)=^D(X).	(35.18)
Пример 35.5. Найти дисперсию случайной величины, указанной в примере
35.1.
В примере 35.4 было показано, что для данной случайной величины М (X) =
=3/4. По формуле (35.17) находим
+ оо	О	I
£>(%) = $ (х —3/4)2p(x)dx = $ (x-3/4)20dx+ $ (x-3/4)23x2dx +
— оо	— оо	О
+ $ (х —3/4)20dx = 3 j (х2---|-х+ -A) x2dx =
„ г / 4	3	3 , 9 Л ,	х5	3	х4 ,
-3 $Дх	2	* + 16 х) dx-3{	5	2	4 +
+ _L2^r=3fJ____________L +	= А
16 3/ |о \ 5	8	16 7	80'
437
Пример 35.6. Дискретная случайная величина X может принимать только
два значения х, и х2, причем х,<х2. Известны вероятность pi=0,5, математи-
ческое ожидание Л1(Х) =3,5 и дисперсия D(X) =0,25. Найти закон распределе-
ния X.
Поскольку pi + p?=l (см. вторую формулу (35.1)) и Р2—1—pi = l—0,5 =
= 0,5, то М (X) =Xipi -*-х2р2 = 0,5х1 + 0,5х2 = 3,5, откуда Xi+x2 = 7. По формуле
(35.15) находим D(X) = (х, — 3,5)2р, + (х2 — 3,5)2р2 = 0,25; х^4~*2=25. Решая
систему уравнений xi + x2=7, x2 + xj=25 и учитывая условие Х[<х2, получаем
xi = 3, х2 = 4. Следовательно, Р(х=3)=0,5, Р(х=4)=0,5.
35.5.	Некоторые другие числовые
характеристики
Ковариацией двух случайных величин X и У называется математи-
ческое ожидание произведения их отклонений от соответствующих математи-
ческих ожиданий:
cov(X, У) =Л4((Х —Л1(Х)) (У —Л4(У))).
Для ковариации верны равенства:
cov(X, У)=Л4(ХУ)-Л4(Х)М(У), cov (X, X)=D(X),
cov(X, K)=cov(y, X), £)(Х+У)=О(Х)+П(У)+2 cov (X, У).
Если случайные величины X, У независимы, то их ковариация равна нулю:
cov(X, У) =0. Если cov (X, У)=/=0, то случайные величины зависимы.
Коэффициентом корреляции р(Х, У) случайных величин X, У называется
отношение их ковариации к произйедению средних квадратических отклонений
этих величин:
соу(Х, У)
Р(Л,У>_ а(Х)а(У) '
Свойства коэффициента корреляции: 1) |р(Х, У)|< 1; 2) если величины X, У
независимы, то р(Х, У)=0; 3) если У=ЛХ-|-В, то |р(Х, У) 1=1.
' Начальным моментом Л-го порядка случайной величины X называется ма-
тематическое ожидание fe-й степени этой величины: v* = Af (Xs). Центральным
моментом й-го порядка случайной величины X называется математическое ожи-
дание k-й степени отклонения этой величины от ее математического ожидания
а:щ = Л1((Х — а)*). Математическое ожидание и дисперсия случайной величи-
ны— частные случаи моментов, а именно: vi=M(X), ц2 = £)(Х).
35.6.	Некоторые законы распределения
случайных величин
Пусть производятся испытания, в каждом из которых может появиться
событие А. Если вероятность события А в одном испытании не зависит от
появления его в любом другом, то испытания называют независимыми отно-
сительно события А. Будем считать, что испытания происходят в одинаковых
условиях и вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же;
обозначим эту вероятность через р, а через q — вероятность появления события
А, противоположного событию А (<? = 1—р).
Вероятность того, что в серии из п независимых испытаний событие А
появится ровно k раз (и не появится п— k раз), выражается формулой Бернулли
PM = c!>V-‘,	'	(35.19)
438
где
r‘_ «(n — 1)... (я — (fe— 1))
k\
k л!
или С"~ k\(n-k)\
р — вероятность события А в каждом испытании, q — вероятность события
A (q=l—p).	.
Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый фор-
мулой Бернулли, называется биномиальным. Биномиальный закон распределения
дискретной случайной величины можно представить в виде схемы
X 0	1	k	п
Р qn nq"~'p ...	сУ<7"-‘	... р"
Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону с пара-
метрами пир;
Al(X)=np, D(X)=npq, a(X)=y'npq.
Геометрическим распределением называется распределение дискретной слу-
чайной величины X, определяемое формулой
P(X = m) = (1 —р)т-|р (0<р<1), т=1,2,...
Это название связано с тем, что ряд вероятностей Р(Х = т) представляет собой
бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=l—р;
сумма этого ряда равна единице. Для геометрически распределенной случайной
величины М(Х) = 1/р, D(X) = (1—р)/р2.
Распределением Пуассона называется распределение дискретной случайной
величины, определяемое формулой
Для случайной величины, распределенной по закону Пуассона, М(Х)=а,
D(X)=a, где а=пр.
Случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке
[а, Р], если плотность распределения вероятностей этой величины постоянна
на данном отрезке и равна нулю вне его:
1/(Р —а) при а^Х^Р;
О при х<а и х> р.
Для случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке [ос, р],
вероятность попадания в интервал (у, 6), принадлежащий этому отрезку, про-
порциональна длине интервала:
Р(х) = j
Р(у<Х<6) = j p(x)dx =
V	р СС
Функция распределения F(x) этой величины имеет вид
F(x) =
О при х^а;
(х— а)/(р — а) при а<х<Р;
1 при ,х>р.
Для этой случайной величины Л1(Х) = (р-|-а)/2, D(X) = (Р — а)2/12.
Показательное распределение определяется формулой
{О при х^О;
при х> 0 (а> 0).
439
Кривая распределения вероятностей этой величины представлена на рис. 35.5.
Функция распределения F(x) в этом случае имеет вид
FW = {
График функции F(x) изображен
Л4(Х) = 1/а, О(Х) = 1/а2.
О при х^О;
1 — е~аж при х> 0.
на рис. 35.6. Для этой случайной величины
Рис. 35.5
Рис. 35.6
Нормальным распределением (или распределением Гаусса)
распределение случайной величины, определяемое формулой
р(х) =------L e-(^-a)’/(20!) (a>0).
а\2л
называется
(35.20)
Параметры распределения а и о нормальной случайной величины X имеют
следующие значения: а = М(Х), e2 = D(X). График функции р(х) называют
нормальной кривой или кривой Гаусса. На рис. 35.7 представлены три кривые при
одном а и различных о.
Вероятность попадания значений нормально распределенной случайной ве-
личины X в интервал (а, 0) определяется формулой
Р(а<Х<0)=ф(£—'	(35.21)
где Ф(х) — функция Лапласа:
Ф(х) = —e~‘2l2dt.
-fin. о
(35.22)
С помощью этой функции выражается вероятность неравенства |Х—а| <6 для
нормальной случайной величины X:
Р(\Х — а\ <6)=2Ф(^
Р(|Х-а\ <а0=2Ф(0-
При /=3, т. е. et — Зв последнее равенство принимает вид
Р(\Х-а\ < За) =0,9973
Рис. 35.7
и выражает правило трех сигм: если случай-
ная величина распределена по нормальному
закону, то модуль ее отклонения от матема-
тического ожидания не превосходит утроенного
среднего квадратического отклонения.
Пример 35.7. Найти вероятность по-
падания в интервал (4, 9) значений нормаль-
ной случайной величины X, для которой ма-
тематическое ожидание а=8, среднее квадра-
тическое отклонение a = 1.
Применяем формулу (35.21), которая в
данном случае примет вид
440
/>(4<Х<9)=ф(-ЦА) -ф(А__1) =ф(1)_ф(_4).
Поскольку функция Лапласа (35.22) является нечетной, то Р(4<Х<9) =
= ф(1)—ф( —4) =Ф(1)+Ф(4) =0,3413 + 0,499968 = 0,841268. (Значения Ф(1)
и Ф(4) найдены по таблице значений функции Лапласа.)
35.7.	Основные теоремы теории вероятностей
Теорема 35.1 (теорема Чебышева). Если случайные величины Х\,
Хг, ... , Х„ попарно независимы, имеют математические ожидания и дисперсии, каж-
дая из которых ограничена одним и тем же числом С, то для любого числа
г> 0 выполняется неравенство
откуда
^(|4-	1 А4(Х*)|<е) >1-4?’
х I " k = 1	= i I 7	пе
lim t Х*~~7Г t M(Xk) |<е) =1.
и— оо\|Л4 = 1	П k = 1	| /
(35.23)
В частном случае, когда все случайные величины имеют одно и то же
математическое ожидание a: М(Хь) = а, k= 1, 2,- , и,равенство (35.23) принимает
вид
lim р( IJ_ V Х*-а|<е) =1.
Теорема 35.2 (теорема Бернулли). Если m — число наступлений собы-
тия А в п независимых испытаниях up — вероятность наступления события А
в каждом из испытаний, то при любом е> 0
lim =L
л—► оо \ I Я I /
Т е о р е м а 35.3 (теорема Ляпунова). Если Xi, Xs.Х„ — независимые слу-
чайные величины, имеющие одно и то же распределение с математическим
ожиданием а и дисперсией ^а2, то при неограниченном возрастании п закон
распределения суммы X = Хь неограниченно приближается к нормальному.
Т еорема 35.4 (локальная теорема Лапласа). Если вероятность наступле-
ния события А в каждом из п независимых испытаний равна одной и той же
постоянной р(0<р<1), то вероятность Pn(k) того, что во всех этих испыта-
ниях событие А наступит ровно k раз, приближенно выражается формулой
pn(k)=—L=--------------------------х e-<k-nppninpq)	(35.24)
ynpq -ffic
Вероятность (35.24) можно вычислить так:
Pn(k) = —L^q>(x), <р(х) = —^е-х2/2
-\lnpq	д/2л
при х= (k — np)/^npq\ для функции <р(х) составлены таблицы.
Т еорема 35.5 (интегральная теорема Лапласа). Если вероятность наступ-
ления события А в каждом из п независимых испытаний равна одной и той же
441
постоянной р (0<р<1), то вероятность Pn(ki, кг) того, что в этих испытаниях
событие Л наступит не менее k\ раз и не более кг раз, приближенно выра-
жается формулой
D ,,	, ,	1	( —х2/2,	к[ пр	кг пр /ок ос\
P„(ki, кг) =—\ е 1 dx; х,=----------------- , Хг=— 	. (35.25)
-\/2л х,	yjnpq	УпРЧ
Вероятность Рп(к\, кг) можно подсчитать по формуле
Pn(ki, кг)—Ф(хг)—Ф(х\),	(35.26)
где Ф(х) —функция Лапласа (см. формулу (35.22)).
Пример 35.8. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстре-
ле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет
поражена не менее 70 и не более 80 раз.
По условию n=100, fci = 70, А2 = 80, р = 0,75, поэтому р = 0,25. Восполь-
зуемся формулой (35.26), предварительно вычислив xi и х? по второй и третьей
формуле (35.25):
70-100-0,75	,	80-100-0,75
х, = —- —----------= — 1,15, x2= —,----------------= 1,15;
V100-0.75-0.25	д/ЮО-0,75-0,25
Рюо(7О,8О) =Ф( 1,15) — Ф(— 1,15) = 2Ф( 1,15) =2-0,3749 = 0,7498.
Г л а в a 36
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ
ИЗМЕРЕНИЙ
36.1. Основные понятия математической
статистики
Выборочным методом называют метод исследования общих свойств
совокупности каких-либо объектов на основе изучения свойств лишь части этих
объектов, взятых на выборку. Генеральной совокупностью называется множество
однородных объектов, из которого выделяется некоторое подмножество, назы-
ваемое выборочной совокупностью или выборкой. Объемом совокупности (ге-
неральной или выборочной) называется число ее объектов. При изучении не-
которого признака выборочной совокупности проводят испытания (наблюдения).
Пусть посредством независимых испытаний, проведенных в одинаковых усло-
виях, получены числовые значения х^, х(2), ..., х(л), где п — объем выборки. Распо-
лагают эти значения в порядке их возрастания:
Х|, х2, ... , хп
(xi<x2<...^x„)
и называют полученную последовательность дискретным вариационным рядом,
а сами значения х,- — вариантами. Среди вариант могут оказаться равные, тогда
дискретный вариационный ряд можно записать так:
Х| х2 хк,
п, п2 ... nk,
где п, — частота появления значения х,, причем
к
I «'=«•
/ = 1
(36.1)
(36.2)
Относительной частотой варианты х, называется отношение ее частоты к
объему выборки:
П1
п ’
к .
£ И», = 1.
1=1
Статистическим распределением выборки называется соответствие между
вариантами и их частотами (или относительными частотами). Статистическое
распределение может быть задано, например, с помощью таблицы.
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки)
называется функция, определяющая для каждого значения х относительную
частоту события %<х:
Г*(х) =Лж/л,
где пх — число вариант, меньших х; п — объем выборки. Функция F'(x)
обладает следующими свойствами: 1) 0^Г*(х)^1; 2) Г*(х) —неубывающая
функция; 3) если а — наименьшая, b — наибольшая варианты, то /7*(х)=0
при х^а; Г‘(х) = 1 при х^Ь.
443
Пусть случайная величина X имеет распределение F(x, а), содержащее
неизвестный параметр а. Оценить параметр а — значит приближенно определить
его значение по некоторой выборке х,, х?, ..., х„. Оценку параметра а обозначим
через а:а = а(хь х2, ... , хп). Оценка а параметра а называется несмещенной,
если М(а)=а, и смещенной, если Af(a)=#a. Оценка а параметра а называется
состоятельной, если lim Р(|а — а| <е) = 1 при любом е> 0. Оценка а назы-
п—► со
вается эффективной, если при заданном п она имеет наименьшую дисперсию, т. е.
Z) (а) = Z?min-
Генеральной средней хг называется среднее арифметическое значений
1 N
X], х2, ... , ху генеральной совокупности объема А:хг = У xi.
Выборочной средней хв называется среднее арифметическое выборки Xi, х2, ...
1 "
..., х„ объема п:хв —--) х,, или
1
хв=-----У tijXi,	(36.3)
п /=1
если выборка имеет вид (36.1).
Выборочную среднюю принимают в качестве оценки генеральной средней.
Эта оценка является несмещенной и состоятельной, так как
М(Ав)=хг, lim Р(|ХВ —хг| <е) = 1.
п-> оо
Генеральной дисперсией Dr называется среднее арифметическое квадратов
отклонения значений генеральной совокупности Хь х2, ... , x/у от их среднего зна-
чения хг:
Ог= -Ь у (х,-хг)2.
Генеральным средним квадратическим отклонением аг называется корень
квадратный из генеральной дисперсии: ar = ^]Dr.
Выборочной дисперсией DB называется среднее арифметическое квадратов
отклонения значений выборки хь х2, ... , х„ от их среднего значения х„:
1 1
DB= У (х, —х,)2 или £>в=-^~У Л1(Х1 —хв)2,	(36.4)
если выборка имеет вид (36.1).
Выборочное среднее квадратическое отклонение ав определяется формулой
ob = ^/Db.	(36.5)
Для вычисления выборочной дисперсии можно пользоваться формулой
О. = хв— (хв)2, где
, к	k
1 V	2	1 V 2
x‘= — L n‘Xi’ x‘=~z~L niX‘
n 1 = 1	" 1=1
(ni—частота x„ «i+n2 +...-|-n* = n). Аналогичная формула верна и для ге-
неральной дисперсии.
Так как Л1 (£)„) = (п — 1)/п£>г, т.е. M(DB) =J=Dr, то выборочная дисперсия
является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Чтобы получить несме-
444
Таблица 36.1
i	Xi	п,-	Ui	rtiUi	2 riiUf
1	10,2	8	— 2	-16	32
2	10,9	10	— 1	— 10	10
3	11,6	60	0	0	0
4	12,3	12	1	12	12
5	13,0	5	2	10	20
6	13,7	3	3	9	27
7	14,4	2	4	8	32
S		100		13	133
щенную оценку, генеральной дисперсии DT, вводят понятие эмпирической (или
исправленной) дисперсии s2:
< k
s2 = —DB, s2 =-------------j- £ n‘(x- — *“)2-
n— 1	” —1 ;=i
Для оценки генерального среднего квадратического отклонения служит
исправленное среднее квадратическое отклонение, или эмпирический стандарт s:
s=\nLi £ ni(xi — x,)2.	(36.6)
В случае, когда все значения выборки Х|, х2, ... , х„ различны, т. е. п,= 1,
k = n, формулы для s2 и s принимают вид
S2= -L_£ (x,-X.)2, S=^/_L_^(x;-X.)2.
Если выборка задана в виде распределения равноотстоящих вариант, то
выборочное среднее хв и выборочную дисперсию D„ удобно находить методом
произведений по формулам
хв = М*Л + С, Оа=(М2—(М\)2)Ь2,	(36.7)
где С — варианта, имеющая наибольшую частоту (ложный нуль), h — шаг,
М, — условный момент первого порядка, М2— условный момент второго поряд-
ка; Л, ui, At,, М2 определяются соответственно формулами:
ft = x,+ i-x, (1=1,2, ...,n—1), и,= (х, —С)/й;	(36.8)
. к	। к
М\ = — £	М2= -L- £ щи-;	(36.9)
Hi — условная варианта, п — объем выборки, л,- — частота варианты
х, ( £ ni = n) .
I
Пример 36.1. Методом произведений найти выборочную среднюю, вы-
борочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение по дан-
ному статистическому распределению выборки:
х,	10,2	10,9	11,6	12,3	13,0	13,7	14,4
п,	8	10	60	12	5	3	2
445
Данная выборка является равноотстоящей, так как разности между
двумя последующими вариантами постоянны: х, +1 —х, = Л при i = 1, 2, ... ,6, причем
й = 0,7. По формуле (36.2) находим п=100. Наибольшую частоту имеет варианта
%з = 11,6, т. е. С = 11,6. С помощью второй из формул (36.8) находим условные
варианты и, и составляем таблицу (табл. 36.1) значений величин, входящих
в формулы (36.7). По формулам (36.9) находим Л1"= 13/100 = 0,13, М2 =
= 133/100=1,33. С помощью формул (36.7) получаем х, = 0,13-0,74-11,6 =
= 11,691 «11,7, D,= (1,33 — 0,132)-0,72 = 0,643419 «0,64. В соответствии с фор-
мулой (36.5) находим а„ = д/0,64 =0,8.
36.2.	Доверительный интервал. Доверительная
вероятность
Оценка, определяемая одним числом, называется точечной. Оценка,
определяемая двумя числами — концами интервалов, называется интервальной.
Доверительной вероятностью (надежностью) оценки а параметра а назы-
вается вероятность у, с которой осуществляется неравенство |а — а| <6, т. е.
Р(|а —а|<6)=у или Р(а— б<а<а-4-6) =?.
Эта формула означает следующее: вероятность того, что интервал (а — 6, а-|-6)
заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр а, равна у. Интервал
(а — 6, а4-6), который покрывает неизвестный параметр а с заданной надеж-
ностью у, называется доверительным интервалом. Концы доверительного интер-
вала называют доверительными границами.
Если случайная величина X имеет нормальное распределение с заданным
средним квадратическим отклонением о и неизвестным математическим ожи-
данием а, то
р(х.-<а<х,4-	=У,	(36.10)
X уп	^П'
где
6=-^L, 2Ф(/)=у,	(36.11)
уп
т. е. доверительный интервал
/= (хв —о//д/п, хв4-о//-\/л)	(36.12)
покрывает неизвестный параметр а с надежностью у. Значение у задано заранее;
число t определяется второй из формул (36.11); значение t находится с помощью
таблиц значений функции Лапласа; точность оценки б выражается первой из
формул (36.11).
Пример 36.2. Найти доверительный интервал для оценки математического
ожидания а нормальной случайной величины с надежностью у = 0,95, зная вы-
борочную среднюю хв = 75,15, объем выборки п = 64, среднее квадратическое
отклонение а = 8.
Доверительный интервал определяется формулой (36.12). Чтобы найти концы
доверительного интервала, необходимо знать значение t (значения х„, п, а зада-
ны). Второе из равенств (36.11) примет вид 2Ф(/)=0,95, откуда Ф(/) =0,475.
По таблице значений функции Лапласа находим /=1,96. Подставляя значения
хв, а, I, п в выражения для концов доверительного интервала, получаем
хв- =75,15- -8-Ь9-- =75,15—1,96 = 73,19; х„4-	=77,11.
у/n	у/64
Следовательно, 73,19<а< 77,11, т. е. (73,19; 77,11) —искомый доверительный
интервал.
446
36.3.	Оценка точного значения
измеряемой величины
Пусть в итоге п независимых измерений некоторой величины X полу-
чены следующие результаты:
xh х2, ..., х„.	(36.13)
Будем предполагать, что эти результаты свободны от грубых и систематических
ошибок (неверные результаты отброшены, на систематические ошибки введены
поправки).
Оценить точное значение а измеряемой величины — значит:
а)	определить функцию а = а(хь х2, ... , х„), которая обеспечивает достаточно
близкое приближение к значению а;
б)	указать границы интервала (а — б|,а + 62), который с заданной вероят-
ностью у покрывает истинное значение а.
Среднее арифметическое значение (среднее значение) х результатов (36.13),
среднее квадратическое отклонение s* этих результатов от' их среднего значения
х и эмпирический стандарт s определяются соответственно формулами:
1 v
х= д х,; j	(36.14)
«*=л/4_Ё to-*)2;	(36.15)
п (=1
S = ~\/-—(X| — х)2.	(36.16)
Если все измерения проведены с одинаковой точностью, то в качестве оценки
точного значения а измеряемой величины принимают среднее арифметическое
значение результатов (36.13):
1 п
аж — £ х„	(36.17)
п 1=1
Эта оценка является несмещенной и состоятельной. Введенная оценка оказывается
и эффективной при дополнительном предположении о том, что случайные ошиб-
ки измерений подчинены нормальному закону распределения. Это предположе-
ние имеется в виду и в дальнейшем. Оценка (36.17) относится к числу точечных
оценок.
Симметрические доверительные оценки имеют вид
|а —х|<б, или х—б<а<х+б (6> 0),	(36.18)
где х — среднее значение, определяемое формулой (36.14). Величина б (точность
оценки) определяется по заданной доверительной вероятности у (надежности
оценки).
Если известно среднее квадратическое отклонение о, то доверительная
оценка (36.18) имеет вид
|а—х| <_ot/^[n,	(36.19)
где п — число измерений, а значение t = t(y) определяется по заданной довери-
тельной вероятности у из условия 2Ф(/)=у и находится с помощью таблиц.
Точность оценки б в этом случае выражается формулой
6 = at/^ln.	(36.20)
447
Если средняя квадратическая погрешность а заранее неизвестна, то вместо
нее применяют эмпирический стандарт s, который- служит оценкой параметра
а. Доверительная оценка (36.18) принимает вид
la-x\<st/^n	(36.21)
ИЛИ
\a—x\<s't/^k (k = n — 1),	(36.22)
где s' и s определяются соответственно формулами (36.15) и (36.16), а множи-
тель t=t(y, k) зависит не только от доверительной вероятности у, но и от числа
измерений п (k — n — 1). Значения этого множителя определяются по таблицам.
Правило трех сигм представляет собой доверительную оценку
la — x|<3a/Vn	(36.23)
при известной величине о или доверительную оценку
\a — x\<3s/^Jn	(36.24)
при неизвестной величине а. Оценка (36.23) имеет надежность 2Ф(3) =0,9973
независимо от числа измерений. Оценка (36.24) зависит от числа измерений п
(зависимость эта указывается с помощью соответствующих таблиц).
36.4. Оценки точности измерений
Предполагается, что измерения являются независимыми и равноточ-
ными (с одной и той же дисперсией), а их погрешности — случайными, причем
распределены они по нормальному закону. В качестве показателя точности изме-
рений оценивается дисперсия этого закона а2 или средняя квадратическая погреш-
ность а=т/o'5
Точечные оценки дисперсии. 1. Если измеряют известную величину а, то в ка-
честве эффективной оценки дисперсии о2 применяют квадрат среднего квадра-
тического отклонения s' результатов измерений (36.13) от значения а:
o2^s'2=-^-Z (xi-a)2-	(36.25)
2. При измерениях неизвестной величины в качестве оценки дисперсии о2
применяют эмпирическую дисперсию s2:
a2«s2=-lT J (х,-х)2,	(36.26)
где х — среднее арифметическое значений х>, х?,..., хп. Оценка (36.26) является
несмещенной и состоятельной, но не является эффективной (она асимптоти-
чески эффективна, т. е. ее дисперсия стремится к наименьшему значению при
неограниченном увеличении числа измерений п).
3. Если проводится т серий измерений некоторой величины и известны
количества измерений щ, П2,	, пт, а также средние арифметические резуль-
таты xi, Х2................хт в каждой серии, то в качестве оценки дисперсии применяют
эмпирическую дисперсию s2 из средних:
т
a2«s-2 =-----ГУ ni(Xi — х)2,	(36.27)
т-> £1
где
1 т
n.iXi, N=nt + -.. + nm.	(36.28)
448
Эта оценка является несмещенной, состоятельной (и асимптотически эффектив-
ной при т->оо).
Доверительные оценки средней квадратической погрешности. При большом
числе измерений доверительную оценку средней квадратической погрешности
о записывают в виде оценки относительного отклонения оцениваемого значения
а от эмпирического стандарта s (или s’, или з). Эта оценка имеет вид
I (а —з)/з| <q, или
s(l—q) <o<s(l +?),	(36.29)
коэффициент q — q(y, k) находится с помощью соответствующих таблиц в зави-
симости от доверительной вероятности у (надежности оценки) и от числа степе-
ней свободы k (А=1 в случае 1, k — n— 1 в случае 2, k = m — 1 в случае 3).
При малом числе измерений симметричная оценка (36.29) приводит к
неоправданно большим доверительным интервалам; в этом случае применяют
асимметричные доверительные оценки вида szi<o<sz2, где з — эмпирический
стандарт; значения коэффициентов zi = zi(y,/г), Z2 = z2(y, £) находятся по таб-
лицам.
36.5. Эмпирические формулы
Во многих науках (физика, химия, технические науки и др.) прихо-
дится пользоваться эмпирическими формулами, составленными на основании
результатов наблюдений. Параметры эмпирических формул определяются по
способу наименьших квадратов. Сначала устанавливается вид зависимости между
двумя величинами. Это можно выполнить разными способами, например гра-
фически. Пусть результаты измерений представлены схемой
X	Xi	Х2	Х3	Х„
У	//I	У?	уз	Уп
Упорядоченные пары чисел (х„у,), 1=1,2,..., п, рассматривают как пря-
моугольные декартовы координаты точек на плоскости: Mi (%ь yi), M(x2, уг), ...
..., Мп(хп, Уп). В выбранной системе координат строят точки М(х„«/,), 1=
= 1,2,..., п.
Если Построенные точки Af,(x„j/,) незначительно уклоняются от некоторой
прямой, то полагают, что между величинами х и у существует линейная за-
висимость, т. е.
у = ах + Ь.	(36.30)
Параметры а и Ь эмпирической формулы (36.30) определяются из системы
уравнений
х*+Ь £ х,= £ х,1/„ Xi + bn= £ у,.	(36.31)
1=1	4=1	4=1	4=1	4=1
Если точки М, (Z=l,2....п) незначительно уклоняются от дуги некоторой
параболы, то естественно предположить, что между величинами х и у существует
квадратичная засвисимость, т. е.
I/=ах2Ьх-\-с.	(36.32)
Параметры а, Ь, с эмпирической формулы (36.32) определяются из системы
уравнений
*.4 + 6£	+	х*= £ yiX-,
4=1	4 = 1	4 = 1	4=1
449
п	п	п	п
*<3+дЕ х.2+сЕ х<=Ех&>	(зб.зз)
i=l 1 = 1	/=1	i=\
п	п	п
аЕ Х<2+6£ Xi-\-Cn= £ у,.
i=l	i=l	/=1
Пример 36.3. Экспериментально получены пять значений искомой функции
y = f(x) при пяти значениях аргумента:
х	1	2	3	4	5
у	4,7	5,7	4,2	2,2	2,7
Методом наименьших квадратов найти функцию y=f(x) в виде у=ах-\-Ь.
Результаты измерений и их обработки запишем в табл. 36.2.
Таблица 36.2
1	X.	yi	Xiy,	*2
1	1	4,7	4,7	1
2	2	5,7	11,4	4
3	3	4,2	12,6	9
4	4	2,2	8,8	16
5	5	2,7	13,5	25
2	15	19,5	51,0	55
Система уравнений (36.31) принимает вид
55а156 = 51,0, 15а-|-56= 19,5.
Решая эту систему, находим а=—0,75, 6 = 6,15. Следовательно, получена эмпи-
рическая формула (/=—0,75х+6,15.
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ
И ДАТЫ ИХ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
Обозначение	Значение	Автор	Дата
Л	Отношение длины окружное	У. Джонс	1706
	ти к диаметру	Л. Эйлер	1736
е	Основание натуральных	Л. Эйлер	1736
	логарифмов		
i	Корень квадратный из — 1	Л. Эйлер	1777
оо	Бесконечность	Дж. Валлис	1655
1 1	Целая часть числа, антье	К. Гаусс	1808
L j, к	Единичные векторы	У. Гамильтон	1853
Г	Вектор	О. Коши	1853
а, Ь, с	Постоянные	Р. Декарт	1637
х, у, Z	Неизвестные или переменные	Р. Декарт	1637
	величины		
+, -	Сложение, вычитание	Я. Видман	1489
X	Умножение	У. Оутред	1631
	Умножение	Г. Лейбниц	1698
	Деление	Г. Лейбниц	1684
		Р. Декарт	1637
а\ а3	а"	Степени	И. Ньютон	1676
Г~ 3 /	н 1 V . V 	V	Корни	К. Рудольф	1525
Log	Логарифм	И. Кеплер	1624
log		Б. Кавальери	1632
In	Натуральный логарифм	А. Принсхейм	1893
sin, cos	Синус, косинус	Л. Эйлер	1748
tg	Тангенс	Л. Эйлер	1753
arcsin	Арксинус	Ж. Лагранж	1772
sh	Гиперболический синус	В. Риккати	1757
ch	Гиперболический косинус	В. Риккати	1757
dx, ddx, d2x,	Дифференциалы различных	Г. Лейбниц	1675
d3x,. . .	порядков		
d dx	Производная	Г. Лейбниц	1675
f'W, y'	Производная	Ж. Лагранж	1770
д' dx	Частная производная	А. Лежандр	1786
5 ydx	Интеграл	Г. Лейбниц	1675
b			
\f(x)dx	Определенный интеграл	Ж. Фурье	1819
Ax	Разность, приращение	Л. Эйлер	1755
1	Сумма	Д. Эйлер	1755
451
П родолжение табл.
Обозначение	Значение	Автор	Дата
п	Произведение	К. Гаусс	1812
!	Факториал	К. Крамп	1808
i X |	Модуль	К. Вейерщтрасс	1841
11*11	Норма	Э. Шмидт	1908
lim	Предел	С. Люилье	1786
lim		У. Гамильтон	1853
n— oo			
lim		Многие мате-	нач.
n~>oo		матики	XX в.
г	Гамма-функция	А. Лежандр	1808
в	Бета-функция	Ж.Бине	1839
л	Дельта(оператор Лапласа)	Р. Мёрфи	1833
V	Набла (оператор Гамильтона)	У. Гамильтон	1853
CpX	Функция	И. Бернулли	1718
f(x)	Функция	Л. Эйлер	1734
=	Равенство	Р. Рекорд	1557
	Приближенное равенство	А. Гюнтер	1882
	Больше, меньше	Т. Гарриот	1631
	Тождество	Б. Риман	1857
II	Параллельность	У. Оутред	1677
1	Перпендикулярность	П. Эригон	1634
п, и	Пересечение, объединение	Дж. Пеано	1888
С2. ZD	Содержится, включается	Э. Шредер	1890
е	Принадлежность	Дж. Пеано	1895
БИОГРАФИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ
Абель Нильс Хенрик (1802—1829) —норвежский математик. С 16 лет
проявил исключительные математические способности. Окончил университет в Осло
(1825). В 1825—1827 гг. был в Берлине, Париже, где встречался со многими
известными математиками. Доказал, что алгебраические уравнения степени выше
4-й неразрешимы в радикалах (1824). Развил теорию сходимости степенных рядов,
впервые полностью исследовал проблему сходимости биномиального ряда для
комплексных значений переменных (1826). Изучал интегралы от алгебраических
функций — абелевы интегралы (1827). Заложил основы теории интегральных
уравнений (1823). За создание теории эллиптических функций ему (посмертно),
совместно с Якоби, присуждена премия Парижской академии наук (1830). Работы
Абеля оказали большое влияние на развитие математики, привели к возникнове-
нию новых математических дисциплин. На родине при жизни Абель не был при-
знан, жил в нужде. В 1908 г. в Осло ему воздвигнут памятник.
Аньези Мария Гаэтана (1718—1799) — итальянский математик, профессор
университета в Болонье (1750). Сочинение «Основания анализа...» (1748) принесло
ей известность за пределами Италии. В этом сочинении, в частности, доказано,
что любое кубическое уравнение имеет три корня; рассмотрена линия, которую
в ее честь назвали «локоном Аньези».
Безу Этьенн (1730—1783) — французский математик, член Парижской ака-
демии наук (1758). Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763)
и в Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся
к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней,
исключение неизвестных в таких системах и др.). Автор шеститомного «Курса
математики» (1764— 1769), неоднократно переиздававшегося.
Бернулли — семейство швейцарских математиков, родоначальник которого
Якоб Бернулли (умер в 1583 г.) —выходец из Голландии. В различных поколе-
ниях Бернулли математиками были: Якоб (1654—1705), Иоганн (1667—1748),
Николай (1687—1759), Николай (1695—1726), Даниил (1700—1782), Иоганн
(1744—1807), Якоб (1759—1789).
Даниил в 1725—1733 гг. работал в Петербургской академии наук, затем был
избран ее почетным членом. В Петербурге он написал сочинение «Гидро-
динамика» (опубликовано в 1738 г.), в котором вывел основное уравнение стацио-
нарного движения идеальной жидкости, носящее его имя. Ему принадлежат
важные работы по алгебре, теории вероятностей, исчислению бесконечно малых,
теории рядов, дифференциальным уравнениям и другим разделам математики.
Профессором математики (1725) в Петербургской Академиибыл Николай (1695—
1726), который занимался дифференциальными уравнениями (уравнение Риккати,
метод интегрирующего множителя). Якоб (1759—1789) также работал в Петер-
бургской Академии наук (адъюнкт— 1786, академик— 1787). Основные труды
его относятся к дифференциальным уравнениям, механике, музыкальной акустике.
Многие члены семейства Бернулли являлись видными деятелями, занимали выс-
шие государственные должности. Среди них были профессора красноречия, юрис-
ты, медики, живописец, аптекарь.
Бернулли Иоганн (1667—1748) — швейцарский математик, профессор мате-
матики Гронингенского (1695) и Базельского (1705) университетов, почетный
член Петербургской Академии наук (1725). Ему принадлежит первое системати-
ческое изложение дифференциального интегрального исчисления. Конспект лек-
ций, прочитанных им Лопиталю, был положен в основу составленного Лопиталем
«Анализа бесконечно малых для исследования кривых линий» (1696). Он является
автором «Курса интегрального исчисления» (1742).
453
И. Бернулли разработал методы интегрирования дифференциальных уравне-
ний (однородное и линейное уравнения первого порядка, линейные уравнения
с постоянными коэффициентами, уравнения Бернулли). Дал определение поня-
тия функции как аналитического выражения, составленного из переменных
и постоянных, исследовал показательные функции. Вел исследования по механике
и математической физике.
Бернулли Якоб (1654—1705) — швейцарский математик, профессор Базель-
ского университета (1687). Ему принадлежат важные заслуги в развитии анализа
бесконечно малых. Я. Бернулли применил новые идеи к изучению свойств ряда
кривых: открытой им лемнискаты, логарифмической спирали, цепной линии и др.
Он вычислил площади многих плоских фигур, площади поверхностей и длины
линий. Известны работы Я. Бернулли по алгебре, арифметике, геометрии, теории
рядов, теории вероятностей, а также физике. Его книга «Арифметические прило-
жения о бесконечных рядах и их конечных суммах» явилась первым руковод-
ством по теории рядов. В книге «Искусство предположений» доказана теорема
(названная позже его именем), имеющая важное значение в теории вероятностей
и ее приложениях к статистике.
Буняковский Виктор Яковлевич (1804—1889)—русский математик, член
Петербургской Академии наук (1830, адъюнкт — с 1828 г.) и ее вице-президент
(1864—1889). Математическое образование получил за границей, в Париже
защитил диссертацию и получил степень доктора математики (1825). С 1826 г.
начинается его педагогическая и научная деятельность в Петербурге. Преподавал
сначала в Первом кадетском корпусе, затем в Морском корпусе (1827—1862),
в Институте инженеров путей сообщения (1830—1846).Читал курсы аналити-
ческой механики, теории вероятностей и математического анализа в Петербург-
ском университете (1846—1859). Составил обширный «Лексикон чистой и при-
кладной математики» (вышел только I том в 1839г.), написал учебник арифме-
тики для средней школы (1844, 1849). Опубликовал 128 научных работ, около
половины из них относится к теории вероятностей, остальные — к проблемам
анализа, геометрии, алгебры. «Основания математической теории вероятностей»
(1846) включали оригинальное изложение теоретических вопросов и приложения
к страхованию, демографии и т. п. С 1858 г. был главным экспертом правитель-
ства по вопросам статистики и страхования.
Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815—1897) —немецкий математик.
В 1842—1855 гг. преподавал математику в средних учебных заведениях г. Дейч-
Кронса и Броунберга, с 1856 г.— профессор Берлинского университета, член
Берлинской академии наук. Исследования его посвящены математическому ана-
лизу, теории функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии и
линейной алгебре. Ввел во всеобщее употребление понятие и признак равномер-
ной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса), построил пример
непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, доказал воз-
можность сколь угодно точного приближения многочленами произвольной функ-
ции, непрерывной на отрезке (теорема Вейерштрасса). Учениками Вейерштрасса
были многие математики, в том числе и С. В. Ковалевская. Вейерштрасс был
иностранным членом-корреспондентом (1864) и иностранным почетным членом
Петербургской Академии наук (1895).
Вивиани Винченцо (1622—1703)—итальянский математик и физик, член
Итальянской и других академий. Ученик Г. Галилея. Основные работы посвя-
щены геометрии. Построил касательную к циклоиде, исследовал конические сече-
ния, решил проблему трисекции угла с помощью равносторонней гиперболы. Пере-
водил математические сочинения древних авторов. Его именем названа одна из
пространственных кривых.
Виет Франсуа (1540—1603) — французский математик, юрист по профессии.
Заинтересовавшись астрономией, начал изучать тригонометрию и алгебру. Алгебра
в его трудах стала общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной
на буквенном исчислении. Впервые ввел буквенные обозначения для коэффи-
циентов уравнений (1591). Предложил новые методы решения алгебраических
уравнений (до четвертой степени включительно). Установил связь между корнями
и коэффициентами уравнений (формулы Виета). Дал полное решение задачи
об определении всех элементов плоского или сферического треугольника по трем
454
данным, нашел разложения sin nx. cos пх по степеням sin х, cosx. Впервые рас-
смотрел бесконечное произведение, впервые употребил фигурные скобки.
Вроньский Юзеф Мария (1776—1853) —польский математик и философ.
(Настоящая фимилия Хёне, известен также как Гёне-Вронский.) Окончил Вар-
шавский кадетский корпус. Был артиллерийским офицером в армии Костюшко,
затем служил в штабе А. В. Суворова, с 1797 г. в отставке. В 1800 г. уехал во
Францию, где вел математические исследования потеорииалгебраических и диф-
ференциальных уравнений. Его именем назван введенный им в 1812 г. функцио-
нальный определитель, имеющий важное значение в теории линейных дифферен-
циальных уравнений.
Галуа Эварист (1811 —1832) —французский математик, основоположник
современной алгебры. Независимо от Руффини и Абеля доказал невозможность
решения в радикалах произвольных алгебраических уравнений выше 4-й степени.
Нашел необходимое и достаточное условие, которому удовлетворяют уравнения
данной степени, разрешимые в радикалах. Ввел такие фундаментальные понятия,
как группа, подгруппа и др. Созданная им общая теория оказала существенное
влияние на развитие не только алгебры, но и всей математики XIX в. Идеи и методы
теории групп нашли применение в естествознании; в современной квантовой
механике, кристаллографии. В возрасте 21 года Галуа был убит на дуэли.
В письме к другу, написанном накануне дуэли, он сформулировал основные
теоремы об интегралах от алгебраических функций, вновь открытые значительно
позже в работах Б. Римана. Математическое наследие Галуа составляет небольшое
число кратко написанных работ, не понятых его современниками.
Галилей Галилео (1564—1642) — итальянский физик, механик, астроном
и математик, член Национальной академии деи Линчеи в Риме (1611). В 1589 г.
получил кафедру математики в Пизе, а в 1592 — в Падуе. Основные работы
относятся к механике: открыл закон инерции, закон падения тел и др. В сочинении
«Диалог о двух главнейших системах мира, птолемеевой и коперниковой» (1632)
Галилей развивал учение Коперника о движении Земли. Это сочинение вызвало
гнев инквизиции и было запрещено. После допросов в июне 1633 г. отрекся
от учения Коперника. Галилей является одним из предшественников основателей
теории вероятностей. В частности, он первый явно сформулировал вероятностные
свойства случайных погрешностей.
Гамильтон Уильям Роуан (1805—1865) —ирландский математик, член
Королевской ирландской академии (1837), в 1837—1845 гг. ее президент; член-
корреспондент Петербургской Академии наук (1837). Способности Гамильтона
проявились рано: в три года умел читать, неплохо знал арифметику и географию,
к 13 годам овладел 12 языками, изучил на латинском языке «Начала» Евклида.
С 13 до 17 лет изучал сочинения И. Ньютона и П. Лапласа. В 22 года окончил
Дублинский университет и работал там же, с 1827 г. — профессор астрономии
и директор университетской астрономической обсерватории. Почти одновременно
с Г. Грассманом дал точное формальное изложение теории комплексных чисел.
Гамильтон построил теорию кватернионов, впервые ввел термины: вектор, ассо-
циативный закон. Основные работы относятся к механике и теории дифферен-
циальных уравнений.
Гаусс Карл Фридрих (1777—1855) — немецкий математик, астроном,
физик и геодезист, член Лондонского королевского общества (1804), Парижской
академии (1820), Петербургской Академии наук (1824). Родился в Брауншвейге
в семье водопроводчика. В раннем детстве обнаружил выдающиеся математи-
ческие способности. Учился в Гёттингенском университете (1795—1798). После
защиты диссертации получил право на приват-доцентуру в Брауншвейге (1799).
С 1807 г. — профессор математики и астрономии в Гёттингенском университете,
директор астрономической обсерватории. Работы Гаусса оказали большое влияние
на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории вероят-
ностей, геодезии, небесной механики, астрономии, теории электричества и магне-
тизма. Гаусс предложил несколько вариантов доказательства основной теоремы
алгебры (любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный
корень), построил теорию комплексных чисел. Он исследовал уравнения л"— 1 =0,
установил связь между методами решения этих уравнений и построением пра-
вильных многоугольников. Нашел все те значения п, для которых правильный
455
n-угольник можно построить циркулем и линейкой. В частности, решив уравнение
х"—1=0, Гаусс дал построение правильного 17-угольника с помощью циркуля
и линейки. В 1818 г. Гаусс пришел к мысли о возможности построения неевкли-
довой геометрии. Опасаясь, что его идеи не будут поняты, он далее не раз-
рабатывал их и не публиковал. К публикациям Н. И. Лобачевского по неевкли-
довой геометрии Гаусс отнесся с большим вниманием. По инициативе Гаусса
Н. И. Лобачевский был избран членом-корреспондентом Гёттингенского ученого
общества. Ряд работ по физике Гаусс выполнил совместно с В. Вебером
(1804—1891). Вместе с ним он создал абсолютную систему электромагнитных
единиц (1832), сконструировал первый в Германии электромагнитный телеграф
(1833).
Горнер Уильям Джордж (1786—1837)—английский математик. Основные
исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал способ
приближенного решения уравнений любой степени. В 1819 г. ввел важный для
алгебры способ деления многочлена на двучлен х—а (схема Горнера).
Грин Джордж (1793—1841) —английский математик и физик. Математику
изучал самостоятельно. В сочинении «Опыт применения математического анализа
к теориям электричества и магнетизма» (1828) ввел понятие потенциала и развил
соответствующую теорию, опираясь на найденное им соотношение между интег-
ралами по объему и по поверхности, ограничивающей объем. В том же году
независимо от Грина эту формулу получил М. В. Остроградский (формула
Остроградского; именем Грина названа другая формула). Грин вывел основные
уравнения теории упругости (1839).
Гюйгенс Христиан (1629—1695) — голландский механик, физик, математик.
Учился в университетах Лейдена (1645—1647) и Бреды (1647—1640). В 1665—
1681 гг. жил в Париже, с 1681 г. — в Гааге. Первый иностранный член Лондонского
королевского общества (1663), член Французской академии наук (1666) и ее
первый президент (1666—1681). Создал волновую теорию света, развил ряд
важнейших понятий механики, заложил основы теории удара, построил первые
часы с маятником. Гюйгенс совместно с Р. Гуком установил постоянные точки
термометра — точку таяния льда и точку кипения воды. В 22 года он опубликовал
первую математическую работу об определении длин дуг окружности, эллипса
и гиперболы. В последующих математических трактатах им исследованы циклоида,
логарифмическая спираль, цепная линия (он ввел этот термин) и другие линии.
Написал одно из первых сочинений по теории вероятностей.
Д’Аламбер Жан Лерон (1717—1783)—французский математик, механик,
философ, член Парижской (1741), Французской (1754) и других академий;
почетный член Петербургской Академии наук (1764). Впервые сформулировал
общие правила составления дифференциальных уравнений движения любых
материальных систем, сведя задачи динамики к статике — так называемый
принцип Д’Аламбера (1743). Этот принцип был применен им для обоснования
гидродинамики (1774), основания которой заложил в «Трактате о равновесии
и движении жидкостей» (1744). Д’Аламбер является одним из основоположников
методов прикладной механики. Основные математические исследования его
относятся к теории дифференциальных уравнений, обоснованию исчисления
бесконечно малых и теории рядов. Впервые высказал идею о времени как четвертом
измерении. Занимался также литературной деятельностью и был избран членом
Французской академии «Сорока бессмертных».
Декарт Рене, латинизированное имя Картезий (отсюда картезианство)
(1596—1650) — французский философ, математик, физик, физиолог. Образование
получил в иезуитском колледже Да-Флеш в Анжу (1604—1612), затем само-
стоятельно усиленно изучал математику и другие науки. В 1617—1621 гг. служил
в армии и несколько лет путешествовал по Европе. В 1629 г. переехал в Нидер-
ланды, где провел двадцать лет в уединении, занимаясь наукой. В 1649 г. по
приглашению шведской королевы переехал в Стокгольм, где вскоре и умер.
В сочинении «Геометрия» (1637) Декарт заложил основы аналитической геомет-
рии. Ввел общепринятые теперь обозначения переменных и искомых величин
(х, у, г, ... ), буквенных коэффициентов (а, Ь, с, ... ), а также степеней (а3, х5, ... ).
Декарт положил начало исследованиям свойств алгебраических уравнений, сфор-
мулировал положение о том, что число действительных и комплексных корней
456
уравнения равно его степени, привел правило знаков для определения числа
положительных и отрицательных корней уравнения, поставил вопрос о границах
действительных корней.
Дирихле Петер Густав Лежен (1805—1859) — немецкий математик, член
Берлинской, иностранный член-корреспондент Петербургской (1837) и член
других академий. Учился в Берлине, Гёттингене и Париже. Работал в универси-
тетах Германии — Берлинском (1831 —1855), Гёттингенском (1855—1859).
Основные исследования относятся к теории чисел, математическому анализу,
ряд работ посвящен механике и математической физике. Ввел функциональные
ряды особого вида (ряды Дирихле), сформулировал понятие условной сходимости
ряда, установил признак сходимости знакопеременного ряда (признак Дирихле).
Дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функции,
имеющей конечное число максимумов и минимумов.
Капелли Альфредо (1855—1910) — итальянский математик, член Нацио-
нальной академии деи Линчеи в Риме (1901). Родился в Милане, учился в универ-
ситетах Рима и Павии. В Берлинском университете слушал лекции Вейерштрасса
и Кронекера. Был профессором математики университета в Палермо (1881)
и Неаполитанского университета (1886). Его лекции по алгебре (1895) при
жизни автора выдержали четыре издания.
Кардано Джероламо (1501 —1576) итальянский математик, философ,
врач. Родился в Павии, где затем окончил университет (1521). Доктор меди-
цины (1526), был практикующим врачом. С 1534 г. читал лекции по математике
и медицине в Миланском университете. Профессор Павийского университета
(1539), Болонского университета (около 1560 г.). Его математические работы
сыграли большую роль в развитии алгебры. Именем Кардано названа формула
решения в радикалах неполного кубического уравнения, которая им позаимство-
вана у Н. Тартальи. Одним из первых в Европе рассматривал отрицательные
и мнимые корни уравнений. В механике занимался вопросами передачи движения,
теорией рычагов (карданная передача, карданов подвес).
Ковалевская Софья Васильевна (1850—1891) —русский математик, механик,
писатель и публицист; первая в мире женщина — профессор математики и пер-
вая женщина, избранная в Петербургскую Академию наук (1889). Детство
ее прошло в селе Палибино Витебской губернии в имении отца генерал-лейте-
нанта В. В. Корвин-Круковского. Получила всестороннее образование и рано
обнаружила незаурядные математические способности. Доступ женщинам в
университеты России в то время был закрыт. Вступив в фиктивный брак (став-
ший позднее фактическим) с В. О. Ковалевским, она в 1869 г. уехала в Гейдель-
берг, где изучала математику и другие науки. В 1874 г. переехала в Берлин, где
четыре года занималась под руководством К. Вейерштрасса, согласившегося
давать ей частные уроки (в Берлинский университет женщины также не допуска-
лись). За три её работы, представленные К. Вейерштрассом Гёттингенскому
университету, в 1874 г. С. В. Ковалевской заочно присуждена степень доктора
философии с высшей похвалой. Поиски работы по специальности в России и во
Франции оказались безуспешными. В ноябре 1883 г. выехала в Швецию, получив
приглашение занять должность приват-доцента в Стокгольмском университете
(с 1884 г. — профессор). За работы о вращении твердого тела Ковалевская
получила удвоенную премию Парижской (1888) и премию Королевской шведской
академий (1889). Один из основных полученных ею математических резуль-
татов — теорема о существовании решений нормальной системы уравнений с
частными производными (теорема Коши — Ковалевской). Является автором
повести «Нигилистка» (1884), «Воспоминаний детства» (1890) и др.
Коши Огюстен Луи (1789—1857) — французский математик, член Парижской
(1816), почетный член Петербургской (1831) и многих других академий. Родился
в Париже, где окончил Политехническую школу (1807), Школу мостов и дорог
(1810). Работал инженером на сооружении военного порта в Шербуре (1810—
1813), преподавал в Политехнической школе и в Коллеж де Франс (1816—1830),
в Парижском университете и в Коллеж де Франс (1848—1857). Труды Коши
относятся к математическому анализу, дифференциальным уравнениям, математи-
457
ческой физике, теории функций комплексной переменной, алгебре, геометрии,
теории чисел, теории упругости, оптике и др.
Крамер Габриель (1704—1752) швейцарский математик. Родился и получил
образование в Женеве. С 1724 г. преподавал математику в Женевской каль-
винистской академии (с 1734 г. — профессор). Основные направления исследо-
ваний — высшая алгебра и аналитическая геометрия. Заложил основы теории
определителей, установил правило решения систем п линейных уравнений с п
неизвестными, исследовал алгебраические линии высших порядков (особые точки,
кривизну и т. п.).
Кронекер Леопольд (1823—1891) -немецкий математик, член Берлинской
(1861), член-корреспондент Петербургской Академий (1872). Окончил Берлин-
ский университет (1845), там же преподавал (1861, профессор — с 1883 г.).
Основные работы относятся к алгебре, теории чисел. Был сторонником «арифме-
тизации» математики, которая, по его мнению, должна быть сведена к арифме-
тике целых чисел.
Кутта Мартин Вильгельм (1867 -1944) —немецкий математик и физик.
Преподавал в Высшей технической школе в Штутгарте. В 1901 г. развил метод
К. Рунге численного решения задачи Коши для системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (метод Рунге — Кутта).
Кэли Артур (1821- 1895) — английский математик, член Лондонского ко-
ролевского общества (1852), член-корреспондент Петербургской Академии наук
(1870). Родился в Ричмонде, детство и юность провел в Петербурге. В 1841 г.
окончил Кембриджский университет. В течение двадцати лет занимался адвока-
турой. В этот период появились почти все его основные математические работы,
относящиеся к алгебре, алгебраической геометрии, дифференциальным уравне-
ниям. С 1863 г. -- профессор Кембриджского университета. Кэли ввел общепри-
нятое теперь обозначение для определителя (1841).
Лагранж Жозеф Луи (1736 1813) --французский математик и механик,
член Берлинской академии (1759) и директор ее физико-математического класса
(1766—1787), почетный член Парижской (1772), почетный член Петербургской
академий (1776). Родился в Турине (Италия), где окончил университет и с 17 лет
начал преподавать математику в Артиллерийской школе. В 1759— 1787 гг. работал
в Берлине, а с 1787 г. — в Париже: профессор Нормальной школы (1795),
Политехнической школы (1797). Латранж вместе с Эйлером заложили основы
вариационного исчисления. Ему ирнпадлежат выдающиеся исследования по ма-
тематическому анализу (его именем названы: форма остаточного члена ряда
Тейлора, формула конечных приращений, функция и множители для определения
условного экстремума, интерполяционная формула), по различным вопросам диф-
ференциальных уравнений (теория особых решений, метод вариации произволь-
ных постоянных и др.), по алгебре и теории чисел, механике, астрономии, ма-
тематической картографии и др. Лшринж впервые ввел в рассмотрение тройные
интегралы, предложил обозначения для производной (р',/'(л)) и для Функции
арксинус (arcsin). Парижская академия наук дважды присуждала премии
Лагранжу за его научные работы.
Ламе Габриель (1795—1870) французский математик, физик и инженер,
член-корреспондент Петербургской (1829), член Парижской академий (1843),
профессор Политехнической школы (1832— 1863), Парижского университета
(1818- 1863). Родился в Туре, окончил в Париже Политехническую (1817)
и Горную школы (1826). В 1820 1831гг. работал в Институте корпуса инже-
неров путей сообщения (Петербурт ), где читал высшую математику, физику,
прикладную механику, разрабатывал проекты мостов, консультировал строителей
Исаакиевского собора. Основные научные исследования относятся к математи-
ческой физике и теории упругости. Ламе (совместно с Клапейроном) впервые
ввел цилиндрические координаты (1828). Разработал общую теорию криволи-
нейных координат (1833), ввел специальный класс функций (функции Ламе,
1839) и ныне называемые коэффициенты Ламе (1859).
Лаплас Пьер Симон (1749 1827) — французский математик, физик и
астроном, член Парижской (1785, а.|ыоикг- с 1773 г.), Французской (1816),
почетный член Петербургской (180:.') академий. Родился в крестьянской семье
: провшщин Нормандия, учился в школе бенедиктинцев В 1766 г. приехал в
Париж, где с помощью Д’Аламбера получил должность профессора математики
в Военной школе. Активно участвовал в реорганизации системы высшего обра-
зования во Франции, в создании Нормальной и Политехнической школ. В 1790 г.
он назначен председателем Палаты мер и весов, руководил введением в прак-
тику новой метрической системы мер. Во времена Наполеона был министром
внутренних дел (1799). Лаплас развил методы небесной механики и завершил
почти все то, что не удалось его предшественникам в объяснении движения
тел Солнечной системы на основе закона всемирного тяготения Ньютона. В
области математики ему принадлежат фундаментальные исследования по диф-
ференциальным уравнениям, теории вероятностей, алгебре.
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646—1716) —немецкий математик, физик
и изобретатель, философ, юрист, историк, языковед, член Лондонского коро-
левского общества (1673), член Парижской академии (1700). Изучал право
и философию в Лейпцигском и Йенском университетах, затем был на службе у
курфюрста Майнца. В 1672—1676 гг. с дипломатической миссией находился в
Париже. Здесь познакомился с основными достижениями математики. Возвра-
тившись в Германию, он в последующие 40 лет состоял на службе у ганновер-
ских герцогов, сначала в качестве придворного библиотекаря, затем герцогского
историографа и тайного советника юстиции. С целью сбора материала для
«Истории Брауншвейга» совершил поездку по Южной Германии, Австрии и Ита-
лии (1687—1690). Лейбниц трижды (1711, 1712, 1716) встречался с Петром I,
по просьбе которого разработал ряд проектов развития образования и государ-
ственного управления в России. Важнейшая заслуга Лейбница в математике —
разработка им (наряду с И. Ньютоном) дифференциального и интегрального
исчисления, имевшая огромное значение для дальнейшего развития математики
и естествознания. Лейбниц сделал важные открытия в других областях матема-
тики: алгебре, геометрии, комбинаторике. Он ввел ряд математических терминов:
функция, дифференциал, дифференциальное исчисление, дифференциальное урав-
нение, абсцисса, ордината, координата, алгоритм, предложил знаки дифферен-
циала, интеграла, логическую символику и др.
Лобачевский Николай Иванович (1792—1856) — русский математик. Родился
в Нижнем Новгороде, почти всю жизнь провел в Казани; учился в гимназии
(1802—1807), в университете (1807—1811), работал в нем (1811 — 1846, с 1816 г. —
профессор). Он был ректором Казанского университета (1827—1846), помощни-
ком попечителя Казанского учебного округа (1846—1856) . Важнейшим научным
достижением Лобачевского, поставившим его в первые ряды математиков мира,
явилось создание неевклидовой геометрии. С первым сообщением о новой геомет-
рии Лобачевский выступил 23 февраля 1826 г., первый мемуар «О началах
геометрии» появился в 1829 г. в «Казанском вестнике». Изложение нового учения
дано в ряде статей, опубликованных в «Ученых записках Казанского универси-
тета» (1835—1838). Эти работы были встречены современниками крайне недобро-
желательно. Ученые других стран познакомились с неевклидовой геометрией
по брошюре, изданной в Берлине на немецком языке (1840). К. Ф. Гаусс высоко
оценил открытие Лобачевского. По предложению Гаусса Лобачевский был избран
членом-корреспондентом Гёттингенского научного общества. Лобачевскому при-
надлежат также работы по алгебре, математическиму анализу, численным методам.
Лопиталь Гийом Франсуа Антуан (1661 —1704) —фрацузский математик.
Автор первого учебника по дифференциальному исчислению (1696), в основу
которого положены лекции И. Бернулли. Этот учебник неоднократно переизда-
вался во Франции и других странах. Уже после смерти Лопиталя было опубли-
ковано другое его сочинение, посвященное теории линий второго порядка.
Лопиталь исследовал ряд трудных задач математического анализа, в частности
дал одно из решений знаменитой задачи о брахистохроне (кривой скорейшего
спуска).
Ляпунов Александр Михайлович (1857—1918) — русский математик и меха-
ник, академик Петербургской (1901, член-корреспондент — с 1900 г.), иностранный
член-корреспондент Парижской (1916) академий. Окончил Пеюроургский
университет (1880). Ученик П. Л. Чебышева. Преподавал в Харьковском уни-
верситете (доцент — с 1885 г., профессор — с 1892 г). Работал в Петербурге (1902)
и в Одессе (1917). Создал современную теорию устойчивости равновесия и дви-
459
жения механических систем, определяемых конечным числом параметров.
Выдающейся заслугой Ляпунова является построение общего метода решения
задач об устойчивости. На его идеях й методах основаны все работы отечественных
и зарубежных ученых по теории устойчивости, выполненные после исследований
Ляпунова. Впервые строго поставил вопрос й посредством тонкого математи-
ческого анализа исследовал устойчивость фигур равновесия равномерно вращаю-
щейся жидкости. Ему принадлежат также работы по математической физике
и теории вероятностей.
Маклорен Колин (1698—1746) — шотландский математик, член Лондонского
королевского общества (1719). В 12 лет поступил в университет вГлазго, в 20 лет
получил кафедру математики в Абердине. С 1722 по 1726 г. работал во Франции.
Возвратившись на родину, занял кафедру в Эдинбургском университете. Основ-
ные научные труды относятся к теории рядов, исчислению конечных разностей,
теории плоских кривых высших порядков, механике. Парижская академия наук
дважды присуждала ему премии: за работу о падении тел (1724) и работу по
приливам и отливам (1740), последняя была разделена между Маклореном,
Л. Эйлером и Д. Бернулли.
Монж Гаспар (1746—1818) — французский математик, механик и обществен-
ный деятель, член Парижской академии (1780), профессор Мезьерской военно-
инженерной школы (1768), один из создателей и профессор Политехнической
школы в Париже (1794). Творец начертательной геометрии. Решил ряд задач
аналитической геометрии в пространстве. Дал обстоятельное изложение диффе-
ренциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей. Предложил
геометрическое истолкование уравнений с частными производными и, с другой
стороны, изложение геометрических фактов на языке этих уравнений. В период
Великой французской революции входил в состав Палаты мер и весов, был
морским министром (1792—1793), заведовал пороховыми и пушечными заво-
дами республики. Во времена Первой империи Монж стал сенатором, получил
титул графа. В период Реставрации был лишен всех прав, изгнан из Политехни-
ческой школы и академии наук (1816).
Ньютон Исаак (1643—1727) — английский физик и математик, член Лон-
донского королевского общества (1672) и его президент (1703), иностранный член
Парижской академии (1699). Родился в семье фермера в Вулсторпе (около
Грантема). Окончил Кембриджский университет (1665). В 1668 г. Ньютон получил
степень магистра, а в следующем году его учитель И. Барроу передал ему
почетную люкасовскую физико-математическую кафедру Кембриджского универ-
ситета, которую он занимал до 1701 г. В 1695 г. назначен на должность смотри-
теля Монетного двора. Ньютону удалось привести в порядок расстроенное
монетное дело Англии, за что он получил в 1699 г. пожизненное высокооплачи-
ваемое звание директора Монетного двора. В 1705 г. за научные труды возведен
в дворянское звание. Похоронен в английском национальном пантеоне—Вест-
минстерском аббатстве. С именем Ньютона связаны открытие закона всемирного
тяготения, создание теоретических основ механики и астрономии, разработка
дифференциального и интегрального исчисления (одновременно с Г. Лейбницем
и независимо от него), работы по теоретической и экспериментальной оптике,
алгебре, геометрии, интерполированию, теории рядов, численным методам.
Разработка дифференциального и интегрального исчисления явилась важной
вехой в развитии математики. В основу нового исчисления Ньютон положил поня-
тия флюксии (производной) и флюенты (интеграла). Флюентой он называл непре-
рывную переменную величину, а флюксией - скорость изменения флюешы
Остроградский Михаил Васильевич (1801—1862) —русский математик, ака-
демик Петербургской (1830, адъюнкт — с 1828 г.), иностранный член Парижской
(1856) и многих других академий. Учился в Харьковском университете (1816—
1820), слушал лекции в Париже знаменитых французских математиков О. Коши,
П. Лапласа, Ж. Фурье и др. (1822—1828). По возвращении на родину преподавал
в учебных заведениях Петербурга. Основные труды относятся к математическому
анализу, теоретической механике, математической физике. Известен работами
по алгебре, теории чисел, теории вероятностей. Его именем названы теорема
о связи тройного интеграла по объему с интегралом по поверхности, ограничи-
вающей этот объем, метод выделения рациональной части интеграла. Первым
460
установил правила замены переменных в двойном и тройном интегралах. Ему
принадлежит ряд популярных статей, педагогических исследований, а также
превосходных учебников. Остроградский создал русскую школу прикладной
механики. Его учеником был и уроженец Речицкого уезда (ныне Гомельской
области) Н. Ф. Ястржембский (1808—1874), профессор Института корпуса путей
сообщения (Петербург), лауреат Демидовской премии, инженер, по проектам
и под руководством которого на территории Белоруссии построен ряд участков
дорог, мостов и других сооружений.
Паскаль Блез (1623—1662)—французский математик, физик, философ
и писатель. В 16-летнем возрасте написал первую научную работу, в которой
содержалась одна из важных теорем проективной геометрии, позже названная
его именем. Через два года сконструировал счетную машину, окончательный
вариант которой построил в 1844 г. Опубликовал ряд работ по арифметике,
алгебре, теории чисел и теории вероятностей. Первым предложил метод матема-
тической индукции и применил его для доказательства теорем. Паскаль — один
из предшественников Ньютона и Лейбница, создавших дифференциальное
и интегральное исчисление.
Пеано Джузеппе (1858—1932) —итальянский математик, работал в Турин-
ском университете (с 1890 г. — профессор). Исследовал основные понятия и мето-
ды анализа (вопросы об условиях существования решений дифференциальных
уравнений, о понятии кривой и др.). Занимался формально-логическим обосно-
ванием математики, предложил аксиоматику натуральных чисел (аксиоматика
Пеано). Построил пример непрерывной кривой, целиком заполняющей некоторый
квадрат.
Понселе Жан Виктор (1788—1867) — французский математик, механик
и инженер, основоположник проективной геометрии, член Парижской академии
(1834), ее вице-президент (1841) и президент (1840, 1842; избирался на годичный
срок), иностранный член-корреспондент Петербургской Академии наук (1857).
Учился в Политехнической школе в Париже (1807—1810), в Школе приложений
(Инженерной и артиллерийской школе) в Меце (1810—1812). Лейтенант инже-
нерных войск наполеоновской армии, Понселе участвовал в войне с Россией, попал
в плен в бою под Красным (1812). Находясь в плену в Саратове (1813—1814),
написал трактат о проективных свойствах фигур (опубликован во Франции
в 1822 г., переиздан в 1865 г.). По возвращении на родину несколько лет работал
инженером на строительстве военных объектов, потом преподавал в школе прило-
жений в Меце (профессор прикладной механики в 1824—1835 гг.) и в Парижском
университете (1837—1848). Экзаменатор Политехнической школы (1835—1848),
начальник Политехнической школы, бригадный генерал (1848—1850). Основные
работы относятся к проективной геометрии, теории машин, индустриальной
механике, экспериментальной механике. Понселе — один из предшественников
П. Л. Чебышева в создании теории приближения функций.
Пуассон Симеон Дени (1781 — 1840)—французский математик, механик,
физик, член Парижской (1812), иностранный почетный член Петербургской
академий (1826). Окончил Политехническую школу в Париже (1800), работал
в Парижском университете (с 1806 г. — профессор). Основные труды относятся
к теоретической и небесной механике, математической физике. Ему принадлежат
работы по интегральному исчислению (интеграл Пуассона), теории вероятностей,
где он впервые ввел термин «закон больших чисел», доказал одну из предель-
ных теорем (теорема Пуассона), предложил названное его именем распределение
вероятностей случайных величин. В теории потенциала ввел так называемое
уравнение Пуассона и применил его к решению задач по гравитации и элект-
ростатике. Решил ряд задач теории упругости. Исследовал вопросы теплопро-
водности, магнетизма, капиллярности и др.
Раабе Иозеф Людвиг (1801 —1859) —швейцарский математик, профессор
университета в Цюрихе (1843). Вел научные исследования по анализу, алгебре,
геометрии, теории функций, теории рядов (признак Раабе сходимости числового
ряда).
Ролль Мишель (1652—1719) — французский математик, член Парижской
АН (1685). Разработал метод отделения действительных корней алгебраических
уравнений, основанный на частном случае теоремы, позже названной его
461
именем. Исследовал решения в целых числах неопределенных лиш-щЦх
уравнений с двумя неизвестными. Выступал с критикой исчисления диффсреп
циалов Г. Лейбница, вызвавшей оживленную дискуссии'
Рунге Карл Давид Тольме (1856 1927) немецкий математик и фи4ик.
Учился в университетах Мюнхена (1876-1877) и Берлина (1878 — 1880).
Работал в Берлине, Ганновере, Гёттин! сне. Основные математические работы
относятся к численному решению дифференциал .шых уравнений (метод
Рунге—Кутта).
Сильвестр Джеймс Джозеф (1811 -1897) английский математик, член
Лондонского королевского общества (1839), иностранный член-корреспондент
Петербургской Академии наук (1872). Окончил Кембриджский университет
(1837). Одно время был адвокатом. Профессор Виргинского университета
(1841 —1845), математик в страховой компании (1845 1855), профессор
Королевской академии в Вулидже (1855 -1870). В 1876-1883 гг. - профессор
университета Джона Гопкинса в Балтиморе (США). Основатель и первый
редактор первого американского математическою журнала (1878—1883). По
возвращении в Англию получил кафедру в Оксфордском университете (1883-
1897). Основные работы но алгебре, теории чисел, механике и математи-
ческой физике.
Симпсон Томас (1710—1761) - английский математик, член Лондонского
королевского общества (1746). Математику изучал самостоятельно. Был
ткачом шелковых тканей, школьным учителем, а затем профессором математики
Вулиджской военной академии (1743). Основные работы по геометрии, триго-
нометрии, математическому анализу и его приложениям к механике. В 1743 г.
вывел формулу приближенного интегрирования (формула Симпсона).
Стокс Джордж Габриэль (1819—1903) английский физик и математик,
член Лондонского королевского общества (1851), его секретарь (1854- 1885)
и президент (1885-1890). Окончил Кембриджский университет (1841), там же
работал (с 1849 г. — профессор). Основные работы по физике. Математические
труды по анализу. Одновременно с немецким астрономом и математиком
Ф. Л. Зейделем (1821 —1896) и независимо от него ввел понятие равномерной
сходимости последовательности и ряда (1848). В 1854 г. предложил формулу,
устанавливающую связь между интегралом по поверхности и криволинейным
интегралом по контуру, ограничивающему эту поверхность (формула Стокса).
Тарталья Николо (ок. 1499 - 1557) — итальянский математик. Самостоя-
тельно изучал латинский и греческий языки, математику. В 1535 г. прославило)!
блестящей победой на публичном математическом диспуте с математиком
Фиоре. Темой диспута был вопрос о решении кубического уравнения, не известного
до того времени в науке. Открытый им метод решения уравнения третьей
степени был опубликован Д. Кардано в книге (154о). Основные труды относятся
к арифметике, алгебре,i еометрии. механике, баллистике, геодезии, фортификации.
В сочинении «Новая наука» (1557) Тарталья показал, что траекторией полета
снаряда является парабола и что наибольшая дальность полета снаряда
соответствует наклону орудия под углом в 45е.
Тейлор Брук (1685—1731) — английский математик, член Лондонскою
королевского общества (1712) и его непременный секретарь (1714 -1718).
Основные исследования относятся к математическому анализу, механике
и баллистике. В 1712 г. нашел формулу для разложения функции в степенные
ряды, позже названные его именем. Эта формула опубликована в сочинении
«Прямой и обратный метод приращений» (1715), в котором положено начало
изучению задачи о колебаниях струны. Предложил правило дифференцирования
функции, обратной данной. Занимался также вопросами оптики, астрономии
и философии.
Ферма Пьер (1601 —1665) французский математы' По профессии юрист,
с 1631 г. работал советником Кассационной палаты парламент а в Тулузе.
Математикой занимался в свободное время, при жизни почти ничею не
опубликовал. Полученные им математические результаты становились известными
ученым благодаря переписке и личному общению. Ферма — один из создателей
теории чисел, в которой с его именем связаны две теоремы: великая теорема
Ферма (для любого натурального п> 2 уравнение х"-{ у"-----z" не имеет решений
162
в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р —
простое число и а — целое число, не делящееся на р, то ар~1 — 1 делится
на р). Ферма наряду с Декартом является основоположником аналитической
геометрии. Предложил правило нахождения экстремумов, а также общие правила
дифференцирования и интегрирования степенной функции, которые затем рас-
пространил на случаи дробных и отрицательных показателей. Занимался
и вопросами физики.
Фурье Жан Батист Жозеф (1768—1830) — французский математик, член
Парижской (1817), иностранный почетный член Петербургской (1829) академий.
Окончил военную школу в Осере, где затем был преподавателем. Преподавал
в Политехнической школе в Париже (1796—1798). Вместе с дугими учеными
принимал участие в Египетской экспедиции Наполеона Бонапарта (1798—1801),
был секретарем Каирского института. По возвращении во Францию Фурье —
префект департамента Изер (1802—1815). В 1817 г. переехал в Париж.
Основные работы относятся к теории тепла и теории уравнений с частными
производными. Фурье вывел уравнение теплопроводности и развил методы его
интегрирования при различных граничных условиях, чем заложил основы
математической физики. Разработал учение о представлении функции в виде
тригонометрических рядов (ряды Фурье). Его первые научные работы относились
к алгебре; он доказал теорему о числе действительных корней алгебраического
уравнения, расположенных в заданном интервале.
Чебышев Пафнутий Львович (1821 —1894) —русский математик и механик,
академик Петербургской (1856, адъюнкт — с 1853 г.), иностранный член Берлин-
ской (1871) и многих других академий. Окончил Московский университет (1841),
здесь защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории
вероятностей» (М., 1845). Работал в Петербургском университете, где защитил
докторскую диссертацию «Теория сравнений» (СПб, 1849), за которую ему
присуждена Демидовская премия (1849). Длительное время принимал активное
участие в работах артиллерийского отделения военно-ученого комитета и ученого
комитета Министерства народного образования. Прекратив чтение лекций
в университете, целиком отдался научной работе, продолжавшейся до последних
дней его жизни. Основатель Петербургской математической школы, наиболее
крупными представителями которой были А. М. Ляпунов, А. А. Марков,
В. А. Стеклов и др. Характерной особенностью его творчества была тесная
связь теории и практики, что он сам неоднократно подчеркивал. Основные
труды относятся к интегральному исчислению, теории чисел, теории вероятностей,
теории механизмов, другим областям математики и смежных наук. Чебышев
является основоположником теории приближения функций.
Эйлер Леонард (1707—1783) —математик, физик, механик, астроном.
Родился в Базеле (Швейцария). Окончил Базельский университет (1724). По
приглашению Петербургской Академии приехал в Россию (1727). В Петербурге
работал с 1727 по 1741 г. и с 1766 г. до конца своей жизни. За 14 лет первого
петербургского периода жизни подготовил около 80 и опубликовал свыше 50
работ. С 1741 по 1766 г. Эйлер жил и работал в Берлине, не переставая
интенсивно трудиться для Петербургской Академии наук, сохраняя звание
ее почетного члена и получая пенсию. Участвовал в подготовке русских матема-
тиков, командированных на учебу в Берлин, приобретал литературу и оборудо-
вание для Петербургской Академии наук и т. п. За 17 лет второго петербургского
периода им было подготовлено около 400 работ, среди которых несколько
больших книг (всего написано свыше 800 работ). Круг научных занятий
Эйлера охватывал все разделы современной ему математики и механики, теорию
упругости, математическую физику, оптику, теорию машин, картографию,
баллистику, морскую науку, страховое дело, теорию музыки и др. Свои резуль-
таты и результаты, полученные другими учеными, Эйлер систематизировал в ряде
классических монографий, большая часть которых вошла затем в учебные пособия
для высшей и отчасти средней школ. Трудно перечислить все теоремы и методы
Эйлера, только немногие фигурируют в учебной литературе под его именем:
теоремы Эйлера, тождества Эйлера, эйлеровские постоянные, функции, углы,
интегралы, формулы, уравнения, подстановки и т. д. В трудах Эйлера многие
математические формулы ц символика получили современный вид. Ему при-
463
надлежат обозначения: е, л (постоянные), i (мнимая единица), sin х, cosx, tg х
(тригонометрические функции), Дх (разность, приращение), £ (знак суммы),
f(x) — обозначение функции и др.
Якоби Карл Густав Якоб (1804—1851)—немецкий математик, член
Берлинской (1836), иностранный почетный член Петербургской (1833) и других
академий. Бра? физика и электротехника Б. С. Якоби (1801 —1874), с 1835 г.
работавшего в России. Окончил Берлинский университет (1825), работал там же
(1825—1829), а также в Кенигсбергском университете (1829—1835). С 1836 г.
жил в Берлине, занимался научной работой. Сделал важные открытия в области
линейной Алгебры, теории чисел, вариационного исчисления, теории дифф«рен-
циальных уравнений, в особенности в теории уравнений с частными производ-
ными первого порядка. Исследовал дифференциальные уравнения динамики,
предложив новые методы их решения. Ввел в употребление функциональные
определители, указал на их роль при замене переменных в кратных интегралах
и при решении уравнений с частными производными. Эти определители по
предложению Дж. Сильвестра названы якобианами.
ПРЕДМЕТНЫЙ
УКАЗАТЕЛЬ
А
Абсцисса 13
Алгебра событий 428
—	— борелевская (а-алгебра) 429
Алгебраическая линия n-го порядка 16
—	форма комплексного числа 108
Алгебраический многочлен 115
Алгебраическое дополнение 89
—	уравнение п-степени 119
Альтернирование тензоров 400
Аппликата 13
Аргумент комплексного числа 111
—	функции y = f(x) 166
----промежуточный 184, 257
Аргументы функции z = f(x,y) 249
—	— u = f(xt, х2, ... , х„) 249
Асимптота (ы) 202
—	вертикальная 202
—	гиперболы 22
—	графика функции 203
—	наклонная 202
Астроида 38
Аффинные координаты 59
Б
Базис 58
—	евклидова пространства 131
—	линейного пространства 127
—	ортогональный 132
—	ортонормированный 133
Бесконечно малые функции 171
— — высшего порядка 172
---fe-ro порядка 172
---несравнимые 173
--- одного порядка 172
---равносильные (эквивалентные)
172
Бета-функция (эйлеров интеграл пер-
вого рода) 239
Бином Ньютона 193
В
Валентность тензора (ранг) 398
Варианта 443
Вариантный ряд дискретный 443
Вектор 4, 46, 125
— единичный 46, 50
— касательной к линии 210
— нормали к поверхности 260
— нормированный 133
—: нулевой 46
—	переменный 208
'Векторная линия (силовая линия)
390
—	трубка 390
Векторное поле 390
—	— одномерное 390
---осесимметрическое 390
—	— плоскопараллельное 390
—	— потенциальное 394
—	— соленоидальное (трубчатое) 392
—	— цилиндрическое 390
Векторное произведение двух векто-
ров 54
Вектор-функция 208
—	— дифференцируемая 210
----непрерывная 209
Векторы базисные 50, 127
—	коллинеарные 46
—	— линейного пространства 127
—	компланарные 46
—	— линейного пространства 127
—	линейного пространства 125
465
—	ортогональные 132
—	противоположные 46
—	равные 46
—	составляющие (компоненты) 50
Величина направленного отрезка 4
Вероятность события 428
—	— аксиоматическая 429
—	— геометрическая 428
—	— классическая 428
—	— статистическая 428
—	— условная 430
Версьера (локон Аньези) 33
Взаимное расположение двух плоско-
стей 67
---— прямых 69
—	— прямой и плоскости 72
Винтовая линия 61
Выборка (выборочная совокупность)
443
Выборочная дисперсия 444
—	средняя 444
Выборочный метод 443
Выпуклость графика функции 201
Вычисление объемов тел 245
—	площадей плоских областей 240,
270
----поверхностей 245, 275
Г
Гамма-функция (эйлеров интеграл
второго рода) 238
Геликоид 80
Генеральная дисперсия 444
—	совокупность 443
—	средняя 444
Генеральное среднее квадратическое
отклонение 444
Геометрический смысл дифференциала
189
—	— интеграла двойного 262
—	— — определенного 229
—	— полного дифференциала функции
двух переменных 253
—	— производной 182
—	— частной производной 251
Гипербола 22
—	вершины 26
—	параметрические уравнения 25, 26
—	уравнение, отнесенное к вершине 26
—	уравнение относительно асимптот 25
—	равносторонняя 23
Гиперболический косинус 180
—	котангенс 181
—	синус 180
—	тангенс 181
Гиперболоид вращения двуполост-
ный 75
—	— однополосный 75
—	двуполостный 76
466
—	однополостный 75
Гипотрохоида 39
Гипоциклоида 38	/
Годограф вектор-функции 280
Гомоморфизм групп 163	/
Градиент скалярного поля 388
Грань последовательности верхняя 168
—	— нижняя 168
—	числового множества верхняя 249
—	— — нижняя 249
График функции y = f(x) 166
-----z = f(x,y) 249
Группа 155
—	абелева (коммутативная) 155
—	аддитивная 155
—	бесконечная 155
— вращений правильного многоуголь-
ника 159
—	единичная 156
—	конечная 155
—	мультипликативная 155
— полная линейная 156
—	преобразований множества 158
—	— линейных 164
— симметрий треугольника 160
—	симметрическая п-н степени 158
—	событий полная 427
—	унимодулярная 157
—	циклическая порядка п 160
д
Двойной интеграл 262
—	— в декартовых координатах 263
—	— в полярных координатах 268
—	— несобственный 281
Действия над линейными преобразо-
ваниями 141
Декартов лист 32
Декартовы прямоугольные координаты
вектора 49
—	— — точки 5, 13
Деление отрезка в данном отношении
16, 51
Дефект линейного преобразования 136
Дивергенция векторного поля (рас-
ходимость) 391
Директриса параболы 23
—	эллипса 21
Директрисы гиперболы 22
Дискриминант уравнения квадратного
119
—	— кубического 120
Дискриминантная линия 261
Дисперсия случайной величины 436
—	— — выборочная 444
—	— — генеральная 444
— — — эмпирическая (исправлен-
ная) 445
Дифференциал вектор-функции 210
V длины дуги кривой плоской 206
-	V — — — пространственной 206
—	> функции 189
—	— второго порядка 191
—	— л-го порядка 191
—	— нескольких переменных полный
252
—	— — — частный 253
Дифференциалы высших порядков 191,
254
Дифференциальные уравнения 353
—	— Бернулли 357
—	— обыкновенные 354
—	— — второго порядка 361
—	— — — — линейные неоднород-
ные с постоянными коэффициен-
тами 364
—	— — — — — однородные с посто-
янными коэффициентами 363
—	— — первого порядка 355
—	— — — — в полных дифферен-
циалах 358
—	— — — — яииайныр 357
---— — — однородные 356
— — — — — с разделяющимися пе-
ременными 355
— — — n-го порядка 367
— — — — линейные 369
— — — — — неоднородные с посто-
янными коэффициентами 371
— — — — — однородные с постоян-
ными коэффициентами 369
— — с частными производными 378
— — — — первого порядка 378
----------второго порядка 380
— — — — — — гиперболического ти-
па 380
— — — — — — параболического ти-
па 380
— — — — — — эллиптического ти-
па 380
—	— математической физики 384
Дифференцирование 183
—	неявной функции 256
—	сложной функции 257
—	степенных рядов 335
Длина вектора в координатах 50
—	дуги линии плоской 244
—	— — пространственной 244
Доверительная вероятность (надеж-
ность) 446
Доверительные границы 446
Доверительный интервал 446
Е
Евклидово пространство 131
Единица мнимая 108
3
Зависимость между матрицами одного
и того же преобразования в различ-
ных базисах 137
— между непрерывностью и дифферен-
цируемостью функции 183
Задача Дирихле 385
— Коши 361, 367, 384
— — для системы 372, 373
— смешанная 384
Задачи на наибольшие и наимень-
шие значения 204
—, приводящие к дифференциальным
уравнениям 359
Закон распределения случайной вели-
чины 433, 438
Замена переменной в определенном
интеграле 288
Замена переменных в двойном инте-
грале 267
— — — — — несобственном 282
--- в тройном интеграле 288
Значение аргумента 166
— собственное вектора линейного пре-
образования 39
—	— матрицы 140
—	— т-кратное 140
—	функции 166
— — наибольшее (абсолютный мак-
симум) 204
— — наименьшее (абсолютный мини-
мум) 204
--- среднее 235
И
Изменение порядка интегрирования
в двойном интеграле 264
Изоморфизм групп 160
— линейных пространств 128
Инвариантность формы первого диф-
ференциала 190
Интеграл вероятностей 232
—	дифференциального уравнения 355
—	— — общий 355, 361, 368
—	— — частный 368
—	неопределенный 213
—	несобственный 235
—	определенный 228
— — с переменным верхним преде-
лом 231
—	поверхностный 309
--- второго рода 311
--- первого рода 309
—	повторный 264
—	Пуассона 386
—	собственный 235
Интегралы Френеля 23b
487
Интегральный косинус 231
—	логарифм 231
—	синус 231
Интегрирование дифференциальных би-
номов 224
—	— уравнений с помощью рядов 421
—	иррациональных функций 223
—	непосредственное 215
—	по частям 217, 233
—	рациональных дробей с квадрат-
ным трехчленом в знаменателе 220
---функций 222
—	тригонометрических выражений 226
Интерполяционная формула Лагранжа
409
—	— Ньютона 412
Интерполяционный многочлен Лагран-
жа 409
—	— Ньютона 412
Исследование функций 203
К
Каноническое уравнение гиперболы 22
---окружности 20
—	— параболы 23
Канонические уравнения прямой 67
---сферы 60
—	— эллипса 21
Каппа 36
Кардиода 36
Касательная плоскость 260
—	прямая 182
Катеноид 80
Квадратичная форма 145
--- действительная 145
---вырожденная 145
--- знакоопределенная 148
--- каноническая 147
—	— — нормальная 147
—	— комплексная 145
---невырожденная 145
--- неопределенная 148
---отрицательно-определенная	148
---положительно-определенная	147
--- полуопределенная 148
Квадратриса 44
Классы сопряженных элементов 162
Ковариация случайных величин 438
Комплексная плоскость 109
Комплексные числа 108
—	— сопряженные 104
Композиция функций 167
Конические сечения 26
Конус вращения 75
—	второго порядка 76
Конхоида 35
—	гиперболической спирали 43
Координата точки на прямой 4
Координаты вектора единичного 59
468
----- заданного двумя точками 51
----- линейного пространства 128
— линейной комбинации векторов 51
— полярные 5
— — обобщенные 269
—	произведения вектора на число 51
— разности двух векторов 52
— середина отрезка 5, 6, 51
— суммы^двух векторов 52
—	сферические 15
— — обобщенные 290
— на плоскости 5
—	в пространстве 13
— точки пересечения медиан треуголь-
ника 7
—	— n-мерного пространства 248
— — криволинейные в простанстве 290
— — — на плоскости 267
—	цилиндрические 14
Корень алгебраического многочлена
И6	. ,,,
-------кратный 117, 404
------- простой 117
—уравнения 116
—квадратного уравнения 119
— кубического уравнения 120
— квадратный из комплексного числа
ПО
—многочлена характеристического 138
— функции 191
Корни п-й степени из единицы ИЗ
— — —из комплексного числа ИЗ
Косинус угла между векторами евкли-
дова простанства 132
Косинусы направляющие 50
Коэффициент корреляции 438
Коэффициенты ряда степенного 336
— — Фурье 345
Кривая Вивиани 277
— Гаусса (нормальная кривая) 440
— непрерывная в Е„ 248
Кривизна линии плоской 206
----- пространственной 271
Криволинейный интеграл второго рода
300
----- первого рода 297
— —, условия независимости от пути
интегрирования 303
Круг сходимости степенного ряда 350
Л
Лемниската Бернулли 34
Линейная зависимость векторов 57
— — — линейного пространства 126
— комбинация векторов 49, 126
— — — нетривиальная 126
— — — тривиальная 126
— независимость векторов 57
— — — линейного пространства 127
Линии координатные 267
Линии уровня 387
Линии свода 45
М
Максимум функции 199
— — абсолютный 204
---локальный 200
—	— нескольких переменных 257
—	— нестрогий 199
--- строгий 199
Математическое ожидание случайной
величины 435
Матрица 83
—	диагональная 84
—	единичная 84
—	квадратная 84
---вырожденная (особенная) 91
—	— невырожденная (неособенная) 91
—	— обратная 91
—	— симметрическая 84
—	квадратичной формы 145
—	квазитреугольная (ступенчатая, тра-
пециевидная) 84
—	линейного преобразования 136
—	линейной системы основная 98
—	— — расширенная 98
—	нулевая 83
—1^приводимая к диагональному виду
—	ортогональная 142
—	противоположная 85
—	системы векторов 129
—	скалярная 84
—	-столбец (столбцевая) 83
—	-строка (строчная) 83
—	транспонированная 85
—	треугольная 84
— унитарная 134
Матрицы равные 83
— перестановочные (коммутативные)
86
— подобные 137
Метод Гаусса 102
— Д’Аламбера (метод характеристик)
384
—	Жордана 92
— интегрирования по частям 217, 233
—	итераций 407
— касательных (метод Ньютона) 406
—	подстановки (замены переменной)
216
—	Рунге—Кутта 424
—	Фурье (разделения переменных) 383
—	хорд 405
Чебышева 408
—	Эйлера 423
Минимум функции 199
—	— абсолютный 204
—	— локальный 200
— — нескольких переменных 257
Минор базисный 101
—	главный квадратичной формы 148
—	матрицы 95
— элемента определителя 88
Многочлен от квадратной матрицы 86
—	аннулирующий 87
—	характеристический 138
Множество замкнутое 249
—	ограниченное 249
—	открытое 249
—	связное 249
—	точек п-мерного пространства 248
Множитель Лагранжа 259’
Модуль вектора 46
— комплексного числа 111
Моменты инерции материальной по-
верхности 316
---пластинки 278
— — тела 278, 292
— статические 278
—	случайной величины начальные 438
-------центральные 438
Н
Наибольший общий делитель много-
членов 115
Направляющий вектор прямой 66
Непрерывность вектор-функции 209
—	функции y = f(x) W7
—	— нескольких переменных 220
Неравенство Коши—Буняковского 131
—	треугольника 131
Норма вектора евклидова простран-
ства 131
---— — в координатах 133
Нормаль к линии 182
Нормаль к поверхности 260
Нормальный делитель 161
О
Область замкнутая 249
— значений функции 166
— интегрирования 263
— определения функции 249, 250
— сходимости функционального ряда
333
Объем совокупности 443
--- выборочной 443
—	— генеральной 443
—	тела вращения 245
—	параллелепипеда 56
—	треугольной пирамиды 56
Овалы Кассини 34
Однопараметрическое семейство линий,
огибающая 260
---поверхностей, огибающая 261
Окрестность точки 168
469
Окружность 20
— кривизны 207
Октант 13
Оператор 166
—	Гамильтона (оператор набла) 395
—	Лапласа 396
—	линейный 135
Определитель (детерминант) — второ-
го порядка 88
—	Вронского 370
—	линейной системы уравнений 99
—	n-го порядка 89
—	произведения матриц 89
—	третьего порядка 88
Опыт (испытание) 427
Ордината 13
Орты 50
Остаток ряда 319
Остаточный член в форме Лагранжа
192
—	— — Пеано 192
Ось абсцисс 13
—	аппликат 13
—	координатная 4
—	полярная 5
—	ординат 13
Отображение множества в множе-
ство 166
—	— на множество 166
Отрезок направленный 4
Оценка доверительная 447
—	интеграла двойного 263
—	— определенного 234
—	— тройного 285
—	интервальная 446
—	несмещенная 444
—	параметра 444
—	смещенная 444
—	состоятельная 444
—	средней квадратической погреш-
ности 449
—	точечная 446
—	— дисперсии 448
—	точного значения измеряемой вели-
чины 447
—	точности измерений 448
—	эффективная 444
П
Парабола 23
Параболоид вращения 75
—	гиперболический 76
—	эллиптический 76
Параллельный перенос 12
Параметры Ламэ 388
Первообразная 213
—	для непрерывной функции 231
Пересечение линий 9
Период функции 167
Плотность распределения 434
470
Площадь криволинейной фигуры 240
—	параллелограмма 55
—	поверхности вращения 245
—	треугольника 8, 55
Поверхности второго порядка 75
—	вращения 74
—	— второго порядка 75
— уровня (эквипотенциальные поверх-
ности) 387
— цилиндрические 74
Поворот координатных осей 12
Подгруппа 157
— инвариантная (нормальный дели-
тель) 161
—	несобственная (тривиальная) 157
—	собственная (истинная) 157
Подпространство линейного простран-
ства 126
Подстановка 158
—	Эйлера 217
Подынтегральное выражение 213
Полюс 5
Последовательность 168
—	монотонная 168
—	ограниченная 168
--- сверху 168
—	— снизу 168
—	расходящаяся 168
—	сходящаяся 164
—	числовая 168
Поток векторного поля 391
Правила дифференцирования 184
Правило замыкающей 47
—	Лопиталя—Бернулли 196
—	параллелепипеда 47
—	параллелограмма 47
—	треугольника 47
—	трех сигм 440, 448
Предел вектор-функции 208
—	интегральной суммы 228
—	интегрирования верхний 228
—	— нижний 228
—	последовательности 168
—	функции 169
---нескольких переменных 250
—	— при х->-оо 170
—	— одностронний 170
—	— слева 170
—	— справа 170
---f(x) = (sin х) /х при х->0 175
Представления групп 163
—	— линейные 164
Преобразование взаимно однозначное
(биективное) 135
—	квадратичной формы 146
—	линейного пространства 135
—	линейное (линейный оператор) 135
— — в координатах 136
---вырожденное 142
---невырожденное 142
—	— обратное 142
—	— ортогональное 143
—	— переменных 157
—	— унитарное 134
—	множества 157
Преобразования декартовых координат
12, 51
—	координат вектора 129
Приближенное вычисление корней
уравнения 404
—	— определенных интегралов 416
Приведение двойного интеграла к пов-
торному 264
Признак Абеля 329
—	Вейерштрасса 334
—	возрастания функций 199
—	Гаусса 326
—	Д’Аламбера 326
—	Дирихле 329
—	Интегральный 323
—	Коши 326
—	Лейбница 329
—	полного дифференциала 304
—	постоянства функции 198
—	Раабе 326
—	сравнения рядов второй 323
—	----- первый 323
—	сходимости ряда необходимый 320
—	убывания функций 199
Приложения двойных интегралов 270,
278
—	интегралов по поверхности 316
—	криволинейных интегралов 305
—	тройных интегралов 292
Приращение аргумента 177
—	функции 177
—	— полное 250
—	— частное 250
Проекция вектора на ось 49
—	точки на плоскость 72
Произведение вектора на число 48, 51
—	двух пар упорядоченных чисел 107
—	комплексных чисел 109
—	матриц 86
—	матрицы на число 85
—	преобразований 141
—	ряда на число 332
—	рядов 332
—	событий (пересечение) 427
—	тензоров 399
Производная 182
—	бесконечная 183
—	вектор-функции 209
—	логарифмической функции 185
—	неявной функции 187
—	обратной функции 185
—	одностронняя 183
—	от матрицы 375
—	показательной функции 185
—	произведения функций 184
—	слева 183
—	сложной функции 184
—	справа 183
— суммы (разности) функций 184
— функции, заданной параметрически
187
—	функции и" 187
—	частная второго порядка 254
—	— — — смешанная 254
—	— n-го порядка 255
—	— первого порядка 251
—	частного двух функций 184
Производные высших порядков 188
—	гиперболических функций 187
—	обратных тригонометрических функ-
ций 186
—	степенных функций 185
—	тригонометрических функций 185
Пространство (а)
—	арифметическое л-мерное 248
—	вероятностное 429
—	линейное (векторное) 125
—	— бесконечное 128
—	— действительное 125
—	— изоморфные 128
—	— комплексное 125
—	— конечномерное 127
—	представления группы 164
—	унитарное 133
—	элементарных событий 428
Простое отношение трех точек 4
Прямая как пересечение двух плоско-
стей 71
Прямая на плоскости 16
—	в пространстве 66
Прямолинейные образующие поверх-
ности 78
---гиперболического параболоида 78
— — однополостного гиперболоида 78
Пучок плоскостей 71
Псевдосфера 81
Р
Работа переменной силы 306
Радиус-вектор 49
Радиус кривизны 207
— полярный 5
— сходимости степенного ряда 337,
350
Разложение вектора по двум неколли-
неарным векторам 58
— — по трем некомпланарным векто-
рам 50, 58 
— группы по подгруппе 161
— определителя по элементам строки
(столбца) 89
— элемента линейного пространства
по базису 128
Размерность линейного пространства
127
471
Разности разделенные 411
—	различных порядков 410
Разность векторов 47
—	двух матриц 85
		пар упорядоченных чисел 107
		рядов 331
—	— событий 427
Ранг квадратичной формы 145
—	линейного преобразования 136
—	матрицы 95
—	системы векторов линейного про-
странства 129
Раскрытие неопределенностей 196
Распределение вероятностей случайной
величины 433
—	биномиальное 439
—	геометрическое 439
—	нормальное (Гаусса) 240
—	показательное 439
—	Пуассона 439
—	равномерное 439
Расстояние между двумя точками
в пространстве 14
—	— — — n-мерном пространстве 248
—	— — — на плоскости 6
—	от точки до прямой 19, 70
---— до плоскости 68
—	между двумя прямыми 70
Решение дифференциального уравне-
ния обыкновенного 355
—	— — — общее 355, 361, 367
—	— — — особое 368
---— —частное 355, 361, 367
---— с частными производными 378
Роза 37
—	трехлепестковая 38
—	четырехлепестковая 37
Ротор векторного поля (вихрь)
393
Ряд числовой 319
—	— абсолютно сходящийся 228
—	— гармонический 320
		геометрический 320
—	— гипергеометрический 328
—	— Дирихле 325
—	— знакопеременный 328
—	— знакочередующийся 329
---мажорантный 335
— — неабсолютно (условно) сходя-
щийся 330
---расходящийся 319
---сходящийся 319
— функциональный 319
---биномиальный 341, 344
--- степенной 336
--- — в комплексной области 349
— — — Маклорена 341
— — — Тейлора 340
---сходящийся абсолютно 333
------ равномерно 334
---Фурье 345
472
---— для функций, заданных на •
отрезке ( —/, /) 345
—-------в комплексной форме 346
С
Свертывание тензора 399
Семейства линий 260
— поверхностей 261
Сигнатура квадратичной формы 147
Симметрирование тензоров 400
Система векторов ортогональная 133
—	— ортонормированная 133
—	координат полярная 5
—	— левая и правая 13, 54
—	линейных алгебраических уравне-
ний 97
---дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами 372
Скалярное поле 387
---дифференцируемое 388
—	— осесимметрическое 387
—	— плоскопараллельное 687
---сферическое 387
—	произведение двух векторов 52, 131
		— — в координатах 53
—	— — — — — в ортонормирован-
ием базисе 133
Скалярный квадрат вектора 52, 131
Случайная величина 433
—	— дискретная 433
--- непрерывная 434
Смешанное произведение трех векто-
ров 56
		— — в координатах 56
Собственные векторы линейного пре-
образования 139
Событие 427, 428
—	достоверное 427, 428
—	невозможное 427, 428
—	случайное 427, 428
—	элементарное 428
События независимые 430
—	несовместные 427, 428
—	противоположные 427, 428
—	равновозможные 427
—	совместные 427
Совокупность выборочная (выборка)
443
—	генеральная 443
Спираль алгебраическая 43
—	— сжезл» 43
—	Архимеда 41
—	Галилея 43
—	логарифмическая 43
—	параболическая 43
—	Ферма 43
Способ неопределенных коэффициен-
тов 365
Среднее квадратическое отклонение
437
—	— — выборочное 444
— — — генеральное 444
— — — исправленное (эмпирический
стандарт) 445
Статистическое распределение выбор-
ки 443
Строфоида 33
Сумма векторов 47
— двух пар упорядоченных чисел 107
— — рядов 331
— интегральная 262, 285, 297, 300, 309
—	комплексных чисел 109
—	матриц 85
—	преобразований 141
—	ряда 319
--- частичная 319
—	событий (объединение) 427
—	тензоров 399
Суперпозиция функций 167
Сфера 60
—	(n—1)-мерная 248
Схема Горнера 117
Т
Таблица Кэли 159
—	неопределенных интегралов 214
—	основных дифференциалов 190
Тензор 398
—	ковариантный 398
—	контравариантный 398
—	кососимметрический 400
Тензорное поле 401
Теорема Абеля 336
—	аннулирования 89
—	Безу 116
—	Бейеса 432
—	Бернулли 441
—	Вейрштрасса 453
—	замещения 89
—	Коши 192
—	Крамера 100
—	Кронекера—Капелли 101
—	Кэли 163
—	Лагранжа 161, 191
—	Ляпунова 441
—	об устойчивости знака непрерывной
функции 174, 251
—	о переходе к пределу в неравенстве
174
—	о среднем 234
—	Остроградского 392
—	Стокса 394
—	Ролля 191
—	умножения вероятностей 430
—	Чебышева 441
Теоремы Лапласа 441
—	о пределах 174
Тор 79
Точка внутренняя 249
—	граничная 249
—	изолированная 249
—	касания 260
—	п-мерного пространства 248
—	перегиба 202
—	предельная 248
—	разрыва функции 179
—	— — второго рода 179
—	— — первого рода 179
—	— устранимого 179
—	расходимости функционального ряда
333
—	сходимости функционального ряда
333
— экстремума 257
Точность оценки 446
Трактриса 45
Транспонирование тензоров 400
Трансцендентная линия 41
Тригонометрическая форма комплекс-
ного числа 112
Тройка векторов 53
--- левая 54
--- правая 54
Тройки одной ориентации 54
— различной ориентаци 54
Тройной интеграл 285
---в сферических координатах 289
---в • цилиндрических координатах
289
У
Угловой коэффициент прямой 16
Угол между векторами евклидова
пространства 132
—	— двумя плоскостями 68
---— прямыми 18, 69
—	— прямой и плоскостью 71
—	полярный 5
—	смежности 206
У	литка Паскаля 35
Умножение поворотов 159
—	подстановок 158
Упорядоченная пара чисел 107
Уравнение(я)
—	алгебраическое второй степени отно-
сительно х и у 16
—	— первой степени относительно х
и у 16
— биссектрис углов между прямыми
19
—	векторное движения точки 208
—	касательной прямой 182, 211
—	— плоскости 260
—	квадратное 119
—	координатных осей 61
--- плоскостей 60
—	кубическое 119
—	линии на плоскости 8
---— — в декартовых координа-
тах 8
—	— — — в полярных координатах 10
• 473
—	— — — параметрические 11
—	— в пространстве 60
—	— — — параметрические 61
—	нормали к линии 182
—	— к поверхности 261
— нормальной плоскости 211
—	окружности 20
—	плоскости (различные виды) 62—65
—	поверхности 60
—	— вращения 75
—	— — параметрические 79
—	— параметрические 61
— полярное гиперболы, параболы, эл-
липса 24
— прямой в пространстве (различные
виды) 66, 67
— — на плоскости (различные ви-
ды) 16
— четвертой степени 121
Условия коллинеарности двух векторов
48, 51, 54
— компланарности трех векторов 56, 57
— линейной зависимости векторов
57, 58
—ортогональности двух векторов 132
— параллельности двух прямых 18, 69
— перпендикулярности двух векторов
52, 53
—	— — прямых 18, 69
—	экстремума достаточное 200
—	— необходимое 200
Ф
Фактор-группа 162
Фигура второго порядка гиперболи-
ческого типа на плоскости 150
—	— — в пространстве 152
—	— — на плоскости 150
—	— — нецентральная в пространстве
152
—	— — — на плоскости 150
—	— — центральная в пространстве
152
—	— — — на плоскости 150
—	— — эллиптического типа на'
плоскости 150
Фокальный параметр 24
Формула Бейеса 432
— Бернулли 438
—	Грина 303
—	Д’Аламбера 385
—	Кардано 120
—	Маклорена 192
—	Муавра 113
—	Ньютона—Лейбница 232
—	Остроградского 315
—	парабол (формула Симпсона) 418
—	полной вероятности 432
—	Стокса 314
—	Тейлора 192, 255
—	трапеций 417
Формулы Виета 117
—	дифференцирования 185
—	Крамера 100
— преобразование координат 12, 51, 129
—	приближенные 193
—	прямоугольников 416
—	Эйлера 350
Функция 166
—	бесконечно большая 174
—	— малая 171
—	возрастающая 198
—	гармоническая 385
—	двух переменных 249
— дифференцируемая 183,	189, 253
—	дробная рациональная 123
—	интегральная показательная 231
—	интегрируемая 228, 262
—	Лагранжа 259
—	Лапласа 440
—	непрерывная в точке 177
—	— на интервале 177
--- на отрезке 177
—	нескольких переменных 249
—	нечетная 167
— неявная 166, 250, 256
—	обратная 167
—	ограниченная 167
—	однородная 356
— сложная (от функции) 167 257,
—	первообразна^ 213
—	периодическая 167
—	подынтегральная 213
—	показательная (экспоненциальная)
180
— полилинейная 397
— распределения случайной величины
433
--- эмпирическая 443
—	трех переменных 250
—	убывающая 198
—	целая рациональная 123
—	четная 167
—	числовая 166
—	явная 166, 250
Функции гиперболические 181
—	линейно-зависимые 370
—	линейно-независимые 370
—	нескольких переменных 249
X
Характеристики уравнения с частными
производными 380
Характеристический многочлен линей-
ного преобразования 138
Характеристическое уравнение линей-
ного преобразования 138
474
—	— для дифференциального уравне-
ния 364, 369, 380
Характеристические числа линейного
преобразования 138
ц
Целая положительная степень матри-
цы 86
Центр кривизны 207
—	тяжести материальной дуги 306
—	— — поверхности 316
—	— пластинки 278
—	— системы масс 7
—	— тела 278, 292
—	распределения 436
Цепная линия 45
Циклоида 11
—	удлиненная 43
—	укороченная 43
Цилиндр гиперболический 76
—	параболический 76
—	эллиптический 76
Циркуляция векторного поля 392
Циссоида 32
Ч
Частная производная функции несколь-
ких переменных 251
Частное двух пар упорядоченных чи-
сел 107
Частные производные высших поряд-
ков 254
Частота события 428
—	— относительная 428
—	— условная 428
—	варианты 443
—	— относительная 443
Числовые характеристики случайных
величин 438
Число е 175
—	мнимое 108
Ш
Шарп-мерный замкнутый 248
—	— открытый 248
Э
Эвольвента 207
Эволюта 207
Экстремум функции у = [(х) 200
—	— нескольких переменных 257
—	условный 259
Эксцентриситет гиперболы 22
—	эллипса 21
Элемент(ы) группы 155
—	— нейтральный 155
—	— обратный 155
—	— сопряженные 162
—	линейного пространства (вектор)
125
—	— — нормированный 133
—	— — нулевой 125
—	— — противоположный 125
—	матрицы 83
—	определителя 88
—	последовательности 168
Элементарные дроби 123
—	преобразования матриц 85
—	— линейной системы уравнений 97
—	функции 167
—	— основные 167
Эллипс 21
—	вершины 26
—	параметрические уравнения 25
—	уравнение, отнесенное к вершине 26
Эллипсоид 75
—	вращения 75
Эмпирические формулы 449
Эпитрохоида 40
Эпициклоида 39
Я
Якобиан (функциональный определи-
тель) 268, 288
47Л
содержание
I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ	3
Глава 1. Координаты на прямой, на плоскости, в пространстве . .	4
1.1. Координаты на прямой (4). 1.2. Координаты на плоскости (5). 1.3. Расстояние между двумя
точками на плоскости (6). 1.4. Деление отрезка в данном отношении (6). 1.5. Центр тяжести
системы масс (7). 1.6. Площадь треугольника (8). 1.7. Уравнение линии в декартовых коор-
динатах (8). 1л. Пересечение линий (9). 1.9. Уравнение линии в'полярных координатах (10).
1.10. Параметрические уравнения линии (И). 1.11. Преобразования декартовых прямоугольных
координат на плоскости (12). 1.12. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве (13).
1.13. Расстояние между двумя точками в пространстве (14). 1.14 Цилиндрические и сферические
координаты (14).
Г.л а в а 2. Линии на плоскости............................................ 16
2.1. Прямая на плоскости (16). 2.2. Окружность (20). 2.3. Эллипс (21). 2.4. Гипербола (22).
2.5. Парабола (23). 2.6. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы (24). 2.7. Некоторые
другие виды уравнений линий второго порядка (25). 2.8. Упрощение уравнения второй степени,
не содержащего члена с произведением координат (27). 2.9. Упрощение общего уравнения второй
степени (29). 2.10. Некоторые алгебраические линии высших порядков (32). 2.11. Некоторые
трансцендентные линии (41).
Глава 3. Векторы........................................................ 46
3.1. Основные понятия (46). 3.2. Линейные операции над векторами (47). 3.3. Проекция вектора
на ось (49). 3.4. Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора.
Направляющие косинусы вектора (49). 3.5. Переход от векторных соотношений к координатным
(51). 3.6. Скалярное произведение двух векторов (52). 3.7. Правые и левые тройки векторов.
Правые и левые системы координат (53). 3.8. Векторное произведение двух векторов (54). 3.9.
Смешанное произведение трех векторов (5$). 3.10. Линейная зависимость векторов (57). 3.11.
Аффинные координаты (59).
Глава 4. Поверхности и линии в пространстве .	............. 60
4.1. Уравнение поверхности. Уравнения линии в пространстве (60). 4.2. Параметрические урав-
нения линии и поверхности (61). 4.3. Различные виды уравнения плоскости (62). 4.4. Различ-
ные виды уравнений прямой в пространстве (66). 4.5. Задачи, относящиеся к плоскостям (67).
4.6. Задачи, относящиеся к прямым в пространстве (69). 4.7. Задачи на прямую и плоскость (71).
4.8. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения (74). 4.9. Поверхности второго по-
рядка (75). 4.10. Некоторые другие поверхности (79).
II. АЛГЕБРА	02
Глава 5. Матрицы и определители....................................... 83
5.1. Матрицы. Основные определения (83). 5.2. Линейные действия над матрицами (85).
5.3. Произведение матриц. Многочлены от матриц (86). 5.4. Определители и их свойства (88).
5.5. Обратная матрица (91). 5.6. Ранг матрицы (94)
Глава 6. Системы линейных уравнений....................................... 97
6.1. Линейные системы. Основные определения (97). 6.2. Матричная запись линейной системы
(98). 6.3. Невырожденные линейные системы (99). 6.4. Произвольные линейные системы (101).
6.5. Метод Гаусса (102).
Глава 7. Комплексные числа................................................107
7.1. Упорядоченные пары действительных чисел и операции над ними (107). 7.2. Понятие комплек-
сного числа. Арифметическая форма комплексного числа (108). 7.3. Геометрическое изображе-
ние комплексных чисел (109). 7.4. Действия над комплексными числами (109). 7.5. Модуль
и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа (111).
7.6. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме (112).
476
Глава 8. Алгебраические уравнения......................................  115
8.1. Алгебраические многочлены (115). 8.2. Корни многочлена. Теорема Безу (116). 8.3. Квад-
ратные уравнения (119). 8.4. Кубические уравнения (119). 8.5. Уравнения четвертой степени
(121). 8.6. Решение алгебраических уравнений способом разложения многочлена на множи-
тели (122) 8 7. Разложение дробной рациональной функции в сумму элементарных дробей
(123).
Глава 9. Линейные пространства.......................................... 125
9.1. Линейное пространство. Подпространство (125). 9.2. Линейная зависимость и линейная
независимость векторов линейного пространства (126). 9.3. Размерность и базис линейного
пространства. Изоморфизм линейных пространств (127). 9.4. Координаты вектора линейного
пространства (128). 9.5. Ранг системы векторов линейного пространства (129). 9.6 Преобразо-
вание координат вектора при изменении базиса (129). 9.7. Евклидово пространство (130).
9.8. Унитарное пространство (133).
Глава 10. Линейные преобразования (линейные операторы) . . . 135
10.1. Линейное преобразование и его матрица (135). 10.2. Линейное преобразование в коорди-
натах (136). 10.3. Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различ-
ных базисах. Подобные матрицы (137). 10.4. Характеристическое уравнение линейного преобра-
зования (138). 10.5. Собственные векторы линейного преобразования (139). 10.6. Приведение
матрицы линейного преобразования к диагональному виду (140). 10.7. Действия над линейными
преобразованиями (141). 10.8. Невырожденные линейные преобразования. Преобразование,
обратное данному (142). 10.9. Ортогональные матрицы (142). 10.10. Ортогональные преобра-
зования (143).
Глава 11. Квадратичные формы............................................ 145
11.1. Квадратичная форма и ее матрица (145). 11.2. Преобразование квадратичной формы при
линейном однородном преобразовании переменных (146). 11.3. Приведение действительной
квадратичной формы к нормальному виду (147). 11.4. Закон инерции квадратичных форм
(147). 11.5. Знакоопределенные квадратичные формы (147). 11.6. Приведение квадратичной
формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных (148). 11.7. Уп-
рощение уравнений фигур второго порядка на плоскости (150). 11.8. Упрощение уравне-
ний фигур второго порядка в простанстве (152).
Глава 12. Группы.......................................................  155
12.1.Понятие группы. Основные определения (155). 12.2. Примеры групп (156). 12.3. Подгруп-
па (157). 12.4. Группа преобразований. Симметрическая группа п-й степени (157). 12.5. Группа
вращений правильного многоугольника. Циклические группы. Группа симметрий правильного
треугольника (159). 12 6. Изоморфизм групп (160). 12.7. Разложение группы по подгруппе (161).
12.8.Нормальный делитель (161). 12.9. Классы сопряженных элементов (162). 12.10. Фактор-
группа (162). 12.11. Гомоморфизм групп (163). 12.12. Представления групп (163).
III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ	165
Глава 13. Функции и пределы ....	166
13.1. Понятие функции. Основные определения (166). 13.2. Предел последовательности (168)
13.3. Предел функции (169). 13.4. Бесконечно малые функции и их свойства (171). 13.5 Сравне-
ние бесконечно малых функций (172). 13.6. Бесконечно большие функции (174). 13.7. Основ-
ные теоремы о пределах функций (174). 13.8. Некоторые важные пределы (175). 13.9. Непре-
рывность функции (177). 13.10. Точки разрыва функции (179). 13.1 1. Показательная функция.
Гиперболические функции (180).	*
Глава 14. Производные и дифференциалы............................... 182
14.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл (182). 14.2. Основные пра-
вила дифференцирования (184). 14.3. Основные формулы дифференцирования (185). 14.4. Диф-
ференциал функции (188). 14.5. Основные теоремы дифференциального исчисления (191).
14.6. Формула Тейлора (192). 14.7. Формула Тейлора для некоторых функций (193). 14.8. При-
ближенные формулы (193).
Глава 15. Приложения производной.................................... 196
15.1. Правило Лопиталя—Бернулли (196). 15.2. Признаки постоянства, возрастания и убыва-
ния функции (198). 15.3. Экстремум функции (199). 15.4. Направления выпуклости, точки пере-
гиба (201). 15.5. Асимптоты (202). 15.6. Исследование функций и построение их графиков (203).
15.7. Задачи на наибольшие и наименьшие значения (204). 15.8. Дифференциал длины дуги
кривой (205). 15.9. Кривизна плоской кривой (206). 15.10. Окружность кривизны. Центр и радиус
кривизны. Эволюта и эвольвента (207). 15.11. Переменная векторная величина. Вектор-функ-
ция скалярного аргумента (208). 15.12. Дифференцирование вектор-функцкй (209). 15.13. Урав-
нения касательной к пространственной линии. Кривизна пространственной линии (210).
477
Глава 16. Неопределенный интеграл.......................................213
16.1. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегра-
лов (213). 16.2. Непосредственное интегрирование (215). 16.3. Метод подстановки (216). 16.4.
Метод интегрирования по частям (217). 16.5. Интегрирование рациональных дробей с квадрат-
ным трехчленом в знаменателе (220). 16.6. Интегрирование рациональных функций (222).
16.7. Интегрирование простейших иррациональных функций (223). 16.8. Интегрирование некото-
рых тригонометрических выражений (226).
Глава 17. Определенный интеграл.........................................228
17.1. Определенный интеграл, ргп геометрический смысл и свойства (228). 17.2. Определенный
интеграл с переменным верхним пределом.Формула Ньютона— Лейбница (231). 17.3. Замена
переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям (233). 17.4. Оценка определен-
ного интеграла. Теорема о среднем (234). 17.5. Несобственные интегралы (235). 17.6. Интегралы
Эйлера (238). 17.7. Площадь криволинейной фигуры (240). 17.8. Длина дуги кривой (244).
17.9. Объем тела. Площадь поверхности вращения (245).
Глава 18. Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных..............................................................248
18.1. Множества в п-мерном пространстве (248). 18.2. Понятие функции нескольких перемен-
ных (249). 18.3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных (250). 18.4. Частные
производные функции нескольких переменных (251). 18.5. Полный дифференциал функции не-
скольких переменных (252). 18.6. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Фор-
мула Тейлора (254). 18.7. Дифференцирование неявных и сложных функций (256). 18.8. Экстре-
мум функции нескольких переменных (257). 18.9. Условный экстремум (259). 18.10. Касатель-
ная плоскость и нормаль к поверхности (260). 18.11. Семейства линий и их огибающие. Семей-
ства поверхностей и их огибающие (260).
Глава 19. Двойной интеграл..............................................262
19.1. Понятие двойного интеграла, его геометрический и механический смысл (262). 19.2 . Вычис-
ление двойного интеграла в декартовых прямоугольных координатах (263). 19.3. Замена пере-
менных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах (267). 19.4. Вычисле-
ние площадей плоских областей (270). 19.5. Вычисление объемов тел (272). 19.6. Вычисле-
ние площадей поверхностей (275). 19.7. Приложения двойных интегралов в механике (278).
19.8. Несобственные двойные интегралы (281).
Глава 20. Тройной интеграл..............................................265
20.1. Понятие тройного интеграла. Оценка тройного интеграла (285). 20.2. Вычисление тройного
интеграла в декартовых прямоугольных координатах (286). 20.3. Замена переменных в тройном
интеграле (288). 20.4. Приложения тройных интегралов (292).
Глава 21. Криволинейные интегралы.......................................297
21.1. Криволинейные интегралы первого рода (297). 21.2. Криволинейные интегралы второго
рода (300). 21.3. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути
интегрирования (303). 21.4. Приложения криволинейных интегралов (305).
Глава 22. Интегралы по поверхности......................................309
22.1. Поверхностные интегралы первого рода (309). 22.2. Поверхностные интегралы второго
рода (311). 22.3. Формула Стокса. Формула Остроградского (314). 22.4. Приложения интегра-
лов по поверхности (316).
Глава 23. Числовые ряды................................................ 319
23.1. Основные понятия. Необходимый признак сходимости (319). 23.2. Ряды с положительными
членами. Признаки сходимости. Признаки сравнения. Интегральный признак Коши (323).
23.3. Признак Д’Аламбера. Признак Коши. Другие признаки (326). 23.4. Знакопеременные
ряды (328). 23.5. Действия над рядами (331).
Глава 24. Функциональные ряды...........................................333
24.1. Сходимость функциональных рядов (333). 24.2. Равномерная сходимость функциональных
рядов (334). 24.3. Степенные ряды. Действия над степенными рядами (336). 24.4. Ряд Тейлора.
Ряд Маклорена (340). 24.5. Применения рядов в приближенных вычислениях (343). 24.6. Ряды
Фурье (345). 24.7. Степенные ряды с комплексной переменно'! (349).
IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	353
Глава 25. Дифференциальные уравнения первого порядка . . .	355
25.1. Уравнение с разделяющимися переменными (355). 25.2. Однородные уравнения (356).
25.3. Линейные уравнения Уравнение Бернулли (357). 25.4. Уравнения в полных дифференциа-
лах (358). 25.5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (359).
478
Глава 26. Дифференциальные уравнения второго порядка . .	361
26.1. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случаи понижения поряд-
ка (361). 26.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоян-
ными коэффициентами (363). 26.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения вто-
рого порядка с постоянными коэффициентами (364).
Глава 27. Дифференциальные уравнения высших порядков. Сис-
темы дифференциальных уравнений....................................367
27.1. Основные понятия (367). 27.2. Простейшие интегрируемые дифференциальные уравнения
высших порядков (368). 27.3. Линейные однородные уравнения л-го порядка с постоянными
коэффициентами (369). 27.4. Линейные неоднородные уравнения л-го порядка с постоянными
коэффициентами (371). 27.5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами (372). 27.6. Нормальные системы дифференциальных уравнений (373).
27.7. Применение матриц к решению систем дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
фициентами (375).
Глава 28. Дифференциальные уравнения с частными производ-
ными ..............................................................378
28.1. Основные определения (378). 28.2. Линейные дифференциальные уравнения с частными
производными первого порядка (378). 28.3. Линейные дифференциальные уравнения с частными
производными второго порядка (380). 28.4. Основные дифференциальные уравнения математи-
ческой физики (384).
Глава 29. Элементы векторного и тензорного анализа......................... 387
29.1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля (387). 29.2. Градиент ска-
лярного поля. Производная по направлению (388). 29.3. Векторное поле. Векторные линии (390).
29.4. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция. Соленоидальное поле. Теорема
Остро!радского (391). 29.5. Циркуляция векторного поля (392). 29.6. Ротор векторного поля.
Теорема Стокса (393). 29.7. Потенциальное поле (394). 29.8. Оператор Гамильтона. Операции
второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа (395). 29.9. Полилинейные функции
векторного аргумента. Понятие тензора (396). 29.10. Действия над тензорами (399). 29.11. Тен-
зоры в евклидовом пространстве (400). 29.12. Тензорное поле (401).
V. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ	403
Глава 30. Приближенное решение уравнений........................404
30.1. Отделение корней уравнения (404). 30.2. Метод хорд (405). 30.3. Метод касательных (406).
30.4. Метод итераций (407). 30.5. Метод Чебышева (408).
Глава 31. Интерполирование функций..............................409
31.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа (409). 31.2. Разности различных порядков. Разде-
ленные разности (410). 31.3. Интерполяционный многочлен Ньютона (412).
Глава 32. Приближенное вычисление определенных интегралов 416
32.1. Формулы прямоугольников (416). 32.2. Формула трапеций (417). 32.3. Формула па-
рабол (418). 32.4. Приближенное вычисление определенных интегралов с помощью рядов
(419).
Глава 33. Приближенное решение дифференциальных уравнений 421
33.1.	Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов (421). 33.2. Метод
Эйлера (423). 33.3. Метод Рунге — Кутта (424).
VI. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ	426
Глава 34. Случайные события и их вероятности.............427
34.1.	Классификация событий (427). 34.2. Действия нал событиями Соотношения между собы-
тиями (427). 34.3. Различные определения вероятности события (428). 34.4. Услонння веронт
ность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий (430). 34.5 Формула полной
вероятности. Теорема Бейеса (432).
174
Глава 35. Случайные величины, их распределения и числовые
характеристики ........................................................... 433
35.1. Дискретные случайные величины (433). 35.2. Функция распределения. Плотность распреде-
ления (433). 35.3. Математическое ожидание случайной величины (435). 35.4. Дисперсия слу-
чайной величины (436). 35.5. Некоторые другие числовые характеристики (438). 35.6. Не-
которые законы распределения случайных величин (438). 35.7. Основные теоремы теории
вероятностей (441).
Глава 36. Элементы математической статистики и математической
обработки результатов измерений .................................... 443
36.1. Основные понятия математической статистики (443). 36.2. Доверительный интервал. Дове-
рительная вероятность (446). 36.3. Оценка точного значения измеряемой величины (447).
36.4. Оценки точности измерений (448). 36.5. Эмпирические формулы (449).
Некоторые математические знаки и даты их возникновения .	451
Биографический словарь .	453
Предметный указатель .	465
Справочное издание
Гусак Алексей Адамович, Гусак Галина Максимовна
СПРАВОЧНИК ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Заведующая редакцией Л. Ю. Б е л ь з я
нарев. Художественный редактор А.
Корректор А. А. Баранова
пк л я Редактор T. Г. Г е р а с и м о в а. Художник А. Г. 3 в о-
А. Шуплецов. Технический редактор Л. А. Корнеева.
ИБ № 3865
Сдано в набор 28.11.90. Подписано в печать 17.09.91. Формат 60X90 '/16. Бум. офс. № 1.
Гарнитура литературная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 30,0. Усл. кр.-отт. 30,5. Уч.-изд. л. 32,55.
Тираж 20000 экэ. Зак. № 1699. Цена 4 р.
Издательство «Навука i тэхнЬса» Академии наук Беларуси и Государственного комитета по печати
Республики Беларусь. 220067. Минск, Жодинская, 18. Типография им. Франциска Скорины изда-
тельства «Навука i тэхнжа». 220067. Минск, Жодинская, 18.