Author: Моденов П.С.
Tags: геометрия алгебра тригонометрия решение задач элементарная математика издательство советская наука
Year: 1959
Text
Сборник задач
ПО МАТЕМАТИКЕ
С АНАЛИЗОМ РЕШЕНИЙ
СОВЕТСКАЯ НАУКА
Москва —1959
П. С. МОДЕНОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
НАЛИЗОМ РЕШЕНИЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
«СОВЕТСКАЯ НАУКА.
Москва — 1959
Петр Сергеевич Моденм
Сборник задач по математике
с анализом ошибок
Редактор С. И, Новоселов
Редактор издательства К, И. Аношина
Технический редактор С. С. Горохова
Корректоры Л, С. Касаткина и А. В. Корот/4
Сдано в набор 4/IV-59 г. Подписано к печати I8/V1H-59
Бумага 84 X Ю81/м» 30,0 печ. л., 24,6 усл. печ. л., 24,15 уч.-1
Тираж 194 000. Т06354. Издательство «Советская наук.
Заказ 64. Цена 7 р. 25 к.
Набрано в 1-й типографии МПС. Отпечатано в Первой Образцов'
имени А. А. Жданова Московского городского Совнарх
Москва, Ж-54, Валовая, 28. Заказ № 3478. •
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник задач по элементарной математи-
ке содержит задачи по всем разделам (алгебра, геомет-
рия и тригонометрия) этой дисциплины; кроме того,
в книге проведен анализ решений, методов решений и
наиболее часто допускающихся ошибок при решении за-
дач.
Этот сборник может быть использован читателями,
уже хорошо усвоившими программу по элементарной ма-
тематике полной средней школы: студентами физико-ма-
тематических факультетов пединститутов, преподавате-
лями средних школ, поступающими в высшие учебные
заведения и др.
В сборнике уделено много внимания разнообразным
методам решения задач, вопросам исследования решений,
синтезу различных разделов элементарной математики,
вопросам построения рассуждений в геометрии, не зави-
сящих от чертежа (с использованием теорем Шаля и без
аналитических методов). В сборник включено большое
количество задач, предлагавшихся на конкурсных испы-
таниях в вузах различного профиля за 1954—1958 гг.,
и значительное количество задач повышенной трудности.
Часть задач заимствована из иностранных журналов.
Москва, 1959 г.
Глава I
ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА КОНКУРСНЫХ
ЭКЗАМЕНАХ В ВЫСШИЕ УЧБВНЫС
ЗАВЕДЕНИЯ
Вариант 1
1. Найти четырехзначное число по следующим условиям
сумма квадратов крайних цифр равна 13, сумма квад
ратов средних цифр равна 85; если же из искомого числа
вычесть 1089, то получится число, записываемое теми
же цифрами, что искомое, но в обратном порядке,
2. Показать, что единственным решением системы
2 х + у + z = 0, yz + zx + ху — у2 = 0, ху + г2 = 0
является решение
х = у = z = 0.
3. Решить уравнение
х-1 X + -L
4Ж —3 2 = 3 2 — 22*-'.
4. Найти коэффициент при хт в разложении по степеням
выражения
(1 + ху + (1 + Х)^1 + • . . + (1 + X)*.
Разобрать при этом случаи:
m<Zkt m>k.
Вариант 2
5. Сочинение по русскому языку писало 106 человек
4
Им было роздано 480 листов бумаги, причем каждая
девочка получила на два листа больше мальчика,
а все мальчики получили столько же листов, сколько
все девочки. Сколько было мальчиков и сколько девочек?
6. Решить систему
х Ч- у + г — а, х2 + у2 + z2 = а2, х8 + у8 + z8 = а8.
Указание: полезно использовать тождество
(•* + У + 2) (уг + гх + ху) = 3 хуг + х2у +
-|-х2г-|-у2х-|-у8г-|-г2х4-22у.
7. Решить систему
Igy*—1ёхУ = 5-’ 7 = 16-
° У
( ' 1 \П
---1) коэффициент третьего
члена на 44 больше абсолютной величины коэффици-
ента второго члена. Найти свободный член.
Вариант 3
9. Некоторое количество равных шаров расположено
в виде правильной четырехугольной пирамиды. Дока-
зать, что из всех этих шаров можно составить фи-
гуру, имеющую вид двух правильных тетраэдров, при-
ставленных друг к другу своими основаниями. Любое
ребро этой фигуры будет содержать столько же шаров,
сколько содержит их ребро первоначальной пирамиды.
Указание: на плоскости аналогичным свойством обладают
квадрат и ромб.
10. Пусть Xi, х2, х8 — корни уравнения х8 — 2 х2+*+1=0.
Составить новое уравнение, корнями которого были
бы. числа
У1 = Х2 Х3, уа = Х3 Х1, Уз = Х1 х2.
Указание:- полезно найти зависимость между корнями урав-
нения и его коэффициентами.
П. Решить систему
а2х + а2у = 2Ь, ах+у с.
Каким условиям должны удовлетворять а, Ь, с, чтобы
решение было возможно?
5
х + у + у ху + -у=
т/ху
12. Решить неравенство
ЫаХ + 1ёа(х + l)<lga(2x -г 6), О>1.
Вариант 4
13. Бак объемом 425 л/3 наполнился водой из двух кранов,
причем первый кран был открыт на 5 час. дольше
второго. Сколько времени был открыт второй кран,
если известно: 1) что, если первый кран был бы открыт
столько времени, сколько на самом деле был открыт
второй, а второй кран был бы открыт столько времени,
сколько был открыт первый, то из первого крана выте-
кло бы вдвое меньше воды, чем из второго; 2) что,
если одновременно открыть сба крана, то бак напол-
нится через 17 час.
14. Показать, что сумма решений х-\-у системы
= a, х2 + у2-]-ху — Jp — 2 = Ь
всегда вещественна, при любых вещественных а и Ь.
15. Решить систему
lg5 * + 3^= 7, ху = 512.
16. Ряд чисел 1, 4, 10, 19, ... обладает тем свойством,
что разности двух соседних чисел образуют арифме-
тическую прогрессию. Найти n-ый член и сумму п
членов этой последовательности чисел.
Указание: воспользоваться формулой
! + g. + 3. + М«+!>№+) .
Вариант 5
17. В двух одинаковых сосудах объемом по 30 л каждый1
содержится всего 30 л спирта. Первый сосуд доли-
вают доверху водой и полученной смесью дополняют
второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в пер-
вый 12 л новой смеси. Сколько спирта было перво-
начально в каждом сосуде, если во втором сосуде
оказалось на 2 л спирта меньше, чем в первом?
18. Пусть хъ х2, Хз —корни уравнения х3 —х2 —1 =
6
Составить новое уравнение, корнями которого были бы
У1 — %2 + х3, у2 = х3 + Хь Уз — Х1 + *2-
Указание: полезно найти зависимость между коэффициентами
уравнения и его корнями.
19. Решить систему
х*у=-\.
20. Доказать, что можно найти такую бесконечно убы-
вающую геометрическую прогрессию, первый член
которой равен 1 и каждый член которой в k раз
больше суммы всех следующих за ним членов. При
каких k задача возможна?
Вариант 6
21. Шестизначное число начинается цифрой 1. Если эту
цифру перенести с первого места на последнее, сохра-
нив порядок остальных пяти цифр, то вновь получен-
ное число будет втрое больше первоначального. Найти
первоначальное число.
22. Найти вещественные решения системы
(х + у) (х2 — у2) = 9, (х — у) (х2 + у2) = 5.
23. Решить уравнение
lg2(9—1 +7) - 2 + lg2(3—1 + 1).
24. Решить неравенство
Xlgax+i а2 х,
Вариант 7
25. Плоты шли из пункта А до устья реки вниз по тече-
нию. У устья реки их взял на буксир пароход и через
17г/з суток после выхода плотов из Л доставил их по
озеру в пункт В. Сколько времени пароход вел плоты
от устья реки по озеру до В, если известно, что
пароход тратит на рейс (без буксировки) от Л до В
61 час и от В до Л — 79 час., а его скорость во время
буксировки уменьшается вдвое?
26. Найти все решения уравнения
(|/х —4,5)4 + (|/х — 5,б)4 = 1.
27. Решить уравнение
!g.i 2‘lg_x 2 = lg^ 2.
J6 64
7
28. При каком значении k член ТЛ+1 разложения по
формуле бинома Ньютона
(1 +/3)’00
будет одновременно больше как предшествующего, так
и последующего членов этого разложения?
Вариант 8
29. От пристани А одновременно отправились вниз по
течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению
на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А
через 14 час. Найти скорость катера в стоячей воде
и скорость течения, если известно, что катер встретил
плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.
30. Решить систему
х — У = -^^^у — frx— 1/У = 3.
31. Решить систему
„ * , х 1g.х
Ха — V, lgc — = .
32. В вещевой лотерее разыгрываются 8 предметов. Пер-
вый подошедший к урне вынимает из нее 5 билетов.
Каким числом способов он может их вынуть, чтобы:
1) ровно два из них оказались выигрышными? 2) чтобы
по крайней мере два из них оказались выигрышными?
Всего в урне 50 билетов.
Вариант 9
33. Через точку, взятую произвольно на основании тре-
угольника АВС, провести прямую, делящую площадь
треугольника на две равновеликие части.
34. Доказать, что из равенства cos z — cos х cos у выте-
кает равенство
, г + х , г — х , , у
ig —tg—= tg’f .
35- Доказать, что любой плоский угол произвольного
Четырехгранного угла меньше суммы трех других
Плоских углов.
8
Вариант 10
36. Найти отношение площади треугольника к площади
другого треугольника, стороны которого равны медиа-
нам данного треугольника.
37. Показать, что если х удовлетворяет уравнению
cosx — cosa _ sin2 a cos р
cos x — cos p ~ sin2 p cos a ’
TO
. x . . a . p
tg2- = ±tg2 tgg-.
38. Найти отношение объема конуса к объему вписанного
в него шара, если известно, что плоскость, касаю-
щаяся шара и перпендикулярная к одной из образую-
щих конуса, отсекает на этой образующей, считая от
вершины, отрезок в k раз больший радиуса шара.
Вариант 11
39. В треугольник со сторонами а, &, с вписан полукруг
с диаметром, лежащим на стороне с. Найти радиус
полукруга.
40. Доказать тождество
tg 2a tg (30° — a) + tg 2a tg (60° -a)-f-
+ tg (60° — a) tg (30° — a) — 1.
41. На одной и той же образующей конуса взяты две
точки Л и В на расстоянии а друг от друга. На по-
верхности конуса взяты еще две точки С и D такие,
что ABCD — правильный тетраэдр. Найти расстояние
от вершины конуса до ребра CD этого тетраэдра, если
известно, что угол при вершине осевого сечения
конуса определяется условиями:
sin a = 2^2 , a < 90°.
Вариант 12
42. Доказать, что сумма квадратов расстояний какой-
нибудь точки окружности до вершин правильного
вписанного треугольнйка есть величина постоянная,
не зависящая от положения точки на окружности.
9
43. Доказать, что из равенств
cos (у — z) — cos (х — у) _ cos (г — х) — cos (у — г) _
cos (у + г) — cos (х 4- у) — cos (z + х) — cos (у + z) —
—cos (х—у)—cos (г х)
— cos (х -}- у) — cos (z -j~ х)
вытекают равенства
tgx _ tgy tgz
, y + z . z + x , x + y'
— ‘s”tF '8T
44. Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды,
если известно, что объем описанного вокруг пирамиды
шара равен v, а перпендикуляр, опущенный из центра
шара на ее боковую грань, образует с высотой пира-
миды угол а.
Вариант 13
45. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника,
проведены три прямые, соответственно параллельные
сторонам треугольника. Эти прямые разделяют пло-
щадь треугольника на шесть частей, из которых три —
треугольники с площадями равными, Si, s2, s3. Найти
площадь данного треугольника.
46. Доказать, что при п целом и а + р + у = тг имеет
место тождество
sin 2 па + sin 2 пр + sin 2 пу =
= (— l)rt+I 4 sin па sin nfi sin ny.
47. Все 4 стороны равнобочной трапеции касаются ци-
линдра, ось которого перпендикулярна к параллель-
ным сторонам трапеции. Найти угол, образуемый
плоскостью трапеции с осью цилиндра, если длины
оснований трапеции равны а и Ь, а высота трапеции
равна /г.
Вариант 14
48. Из всех треугольников с одинаковым основанием
и одним и тем же углом при вершине найти треуголь-
ник с наибольшим периметром.
10
49. Доказать, что
2г 4тс , бтс 1
COS у + СО S — + cos у =-- — £- .
50. Площади параллельных сечений шара, расположенных
по одну сторону от его центра, равны Si и s2, а рас-
стояние между этими сечениями равно d, Найти пло-
щадь сечения шара, параллельного сечениям Si и s2
и делящего пополам расстояние между ними.
Вариант 15
51. Через точку Л, лежащую внутри угла, проведена
прямая, отсекающая от этого угла наименьший по
площади треугольник. Доказать, что отрезок этой
прямой, заключенный между сторонами угла, делится
в точке А пополам.
52. Решить уравнение
Z1 . cosxcos(2x — а)
(1 + k)----------г—~ = 1 + k cos 2х.
v ’ cos(x —а)
53. В правильной треугольной пирамиде плоский угол
при вершине равен а, а кратчайшее расстояние между
боковым ребром и противоположной стороной осно-
вания равно d. Найти объем этой пирамиды.
Вариант 16
54. Через точку М, лежащую на основании АС треуголь-
ника, провести прямую A1/V, отсекающую от треуголь-
ника /г-ую часть его площади. Сколько решений имеет
задача?
55. Решить уравнение
cos Зх cos3 х + sin Зх sin3 х = 0.
56. Шар вписан в прямую призму, в основании которой
лежит прямоугольный треугольник. В этом треуголь-
нике перпендикуляр й, опущенный из вершины пря-
мого угла на гипотенузу, составляет с одним из
катетов угол а. Найти объем призмы.
11
Вариант 17
57. Может ли выражение
г = х2 + 2 ху + Зу2 + 2х + бу + 4
принимать отрицательные значения при вещественных
х и у?
>g (Igo)
58. Упростить выражение а 1^а .
Все логарифмы взяты по одному и тому же основанию.
59. Доказать, что если все двугранные углы некоторой
пирамиды равны, то н все ребра этой пирамиды также
равны.
60. Доказать неравенство:
ctg|-> 1 + ctg?
при 0 <Ф < .
Вариант 18
61. Упростить выражения:
а) (х 4- а) (х2 + а2)... (х2"-' + а2"-1);
б) (х2 — ах+ а2) (х4 — а'- х2+а4)... (х2" — а2"-1 х2П~' + а2").
62. Решить неравенство:
*2-lg| х-lg2 z2_ 1 . q
63. В равнобедренном треугольнике с основанием а
и боковой стороной b угол при вершине равен 20°.
Доказать, что
а3 4- Ь3 = Заб2.
64. Решить уравнение
ctgx — 2sin2x = 1.
Вариант 19
65. Доказать неравенство:
1 , 1 1 > 9
а b ~г с а + 6
(а, Ь, с — положительны).
12
66. Показать, что уравнение
2
lg2x — lg2 X + lg2 X = 1
имеет лишь один корень, удовлетворяющий неравен-
ству х>1 и найти этот корень.
67. На двух параллельных плоскостях расположены от-
резки АВ и CD. Концы этих отрезков являются вер-
шинами некоторой треугольной пирамиды. Доказать,
что объем пирамиды сохраняется, если отрезки пере-
мещать в этих плоскостях параллельно самим себе.
68. Решить уравнение:
2 sec х cosec х + 2 (cosec х — sec х) — 5 = 0.
Вариант 20
69. Две железные дороги АА' и ВВ' перпендикулярны
друг другу и пересекаются в пункте С, причем рас-
стояния АС и ВС равны соответственно а и Ь. Из
пунктов Я и В по направлению к С одновременно
выходят два поезда со скоростями соответственно Vi
и у2. Через сколько времени после отправления рас-
стояние между поездами будет наименьшим? Чему
равно это наименьшее расстояние?
70. Найти все значения X, при которых два уравнения:
Хх8— х2— х—(>. + 1) — 0,
Хх2 —х —(X-|- 1) = 0
имеют общий корень и найти этот корень.
71. Доказать, что прямая, пересекающая две грани дву-
гранного угла, образует с ними равные углы тогда
и только тогда, когда точки пересечения одинаково
удалены от ребра.
72. Рассматривается функция
f (х) = A cos х + В sin х,
где А и В некоторые постоянные.
Доказать, что если /(х) обращается в нуль при двух
значениях аргумента Xi и х2 таких, что Xi — х2 =£ kt
(k— целое число), то f(x) тождественно равна нулю.
Вариант 21
73. В треугольнике АВС из вершины А проведена высота
ft> 1, пересекающая основание ВС треугольника
и делящая его на отрезки длиной а и Ь.
13
Выяснить, можно ли по величине суммы
__L + _L
сделать заключение о том, является ли угол А ост-
рым, прямым или тупым.
74. Найти все вещественные решения уравнения
х2 4- 4х cos (ху) + 4 = 0.
75. Дана прямая CD и две точки Л и В, не лежащие на
ней. Найти на прямой точку М такую, что
АМС = 2 BMD.
76. Решить уравнение
2 Х
sec2-g-
1 + 2 cosec х =---п— •
Вариант 22
77. В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы
х 1
в пробирку отливают — -ую часть раствора и выпа-
ривают до тех пор, пока процентное содержание соли
в пробирке не повысится вдвое. После этого выпарен-
ный раствор выливают обратно в колбу. В результате
содержание соли в колбе повышается на р процентов.
Определить исходное процентное содержание соли.
78. Показать, что при любом натуральном
79. В треугольнике АВС проведены высоты, основания
которых соединены между собой. Определить отноше-
ние площади получившегося треугольника к площади
треугольника АВС, если углы треугольника АВС из-
вестны. Рассмотреть случаи остроугольного, тупо-
угольного и прямоугольного треугольников.
80. Доказать, что при 0 < ср <
cos sin ср > sin cos <р.
Остается ли справедливым это неравенство при всех ср?
14
Вариант 23
81. На участке реки от А до В течение так слабо, что
им можно пренебречь; на участке от В до С течение
уже достаточно сильное.
Лодка покрывает расстояние вниз по течению от А
до С за 6 час., а от С до А вверх против течения за
7 час. Если бы на участке от Л до В течение было
таким же, как на участке от В до С, то весь путь от
А до С занял бы 5,5 час.
Сколько времени в этом случае понадобилось бы на
то, чтобы подняться вверх от С до А?
82. Решить систему:
х + у + ху =9.
83. На плоскости даны два отрезка АВ и CD. Найти
геометрическое место точек М, обладающих тем свой-
ством, что сумма площадей треугольника АМВ и CMD
равна некоторой постоянной а.
Указание: йодобрать сперва такой частный случай располо-
жения отрезков, при котором задача решается легко; затем
решение распространить на общий случай.
84. Решить уравнение
(cos 4 х — cos 2х)2 = sin Зя + 5.
Вариант 24
85. Трое Л, В и С переправляются через водохранилище
шириною в s км, А — вплавь, со средней скоростью
. v км/час, В п С пользуются для этой цели моторной
лодкой, скорость которой Vi км/час.
Через некоторое время после начала переправы С
решает оставшийся участок пути преодолеть вплавь (но
плывет с той же скоростью, что и Л). В тем временем
поворачивает назад, чтобы взять с собою Л; Л садится
в лодку и продолжает путь вместе с В. На противопо-
ложном берегу все трое оказываются одновременно.
Определить продолжительность переправы.
86. Решить уравнение
lg3x у + lg3 х = 1.
15
87. В пространстве рассматриваются два отрезка АВ
и CD, не лежащие в одной плоскости. Пусть MN—
отрезок, соединяющий их середины.
Доказать, что
AC+BD>Mfl.
&
88. Доказать, что
к 2п 1
cos -=--cos -=- = jy
5 5 2
Вариант 25
89. Решить систему
х2х3...хп
*i *з • • • х„
Х1%2 . .. хп_\ __
~—— — ап9
лп
предполагая, что
а2>0,..ая>0 и Xi>0, х2>0,..., хл>0.
90. Доказать, что при п>2
(п!)2>п«.
91. Одна из двух треугольных пирамид с общим основа-
нием расположена внутри другой. Доказать, что сумма
плоских углов при вершине внутренней пирамиды
больше, чем сумма плоских углов при вершине
внешней.
92. Решить уравнение
cos7x— sin5x = ]/3(cos5x— sin7x).
Вариант 26
93. Рассматривается дробь (отношение двух целых чисел),
знаменатель которой меньше квадрата числителя на
единицу. Если к числителю и знаменателю прибавить
по 2, то значение дроби будет больше, чем j, если
же от числителя и знаменателя отнять по 3, то дробь
16
останется положительной, но будет меньше 0,1. Найти
эту дробь. _
94. Доказать, что функция cos К* не является периоди-
ческой (т. е. не существует такого постоянного числа
Т Ф 0, чтобы при всех х было cos]/х + 7' = cos]/x).
95. Через середины двух параллельных ребер куба, не
лежащих на одной грани, проведена прямая. Куб
повернут вокруг нее на 90°. Определить объем общей
части исходного куба и повернутого.
96. Найти соотношение между
arc sin cos arc sin x
и
arc cos sin arc cos x.
Вариант 27
97. Найти все вещественные решения системы
х3 + у3 = 1, х2 у + 2 ху2 + у3 = 2.
98. Найти наименьшее значение функции
<р (х) = | х — а | + | х — & | + | х — с | + | х — d\,
где a<b<c<d — фиксированные вещественные чис-
ла, а х принимает произвольные вещественные зна-
чения.
Указание: рассуждения удобно проводить на числовой оси.
99. В правильной четырехугольной призме проведены два
параллельных сечения: одно проходит через середины
двух смежных сторон' основания и середину оси, дру-
гое делит ось в отношении 1 :3. Зная, что площадь
первого сечения равна $, найти площадь второго.
100. В равнобедренном треугольнике АВС угол при вер-
шине В равен 20°. На боковых сторонах АВ и СВ
взяты соответственно точки Q и Р так, что QCA =
= 60°, а ^РАС = 50°. Доказать, что </QPA = 80°.
Вариант 28
101. Выразить свободный член с кубического уравнения
х3 + ах2 + Ьх + с = 0 через коэффициенты а и b,
если известно, что корни уравнения образуют ариф-
метическую прогрессию.
Указание: можно воспользоваться выражениями коэффициен-
тов многочлена через его корни.
17
102. Среди комплексных чисел г, удовлетворяющих
условию
|z —25/|< 15
найти число, имеющее наименьший аргумент. Сделать
чертеж.
103. Данный выпуклый четырехгранный угол пересечь
плоскостью так, чтобы в сечении получился паралле-
лограмм.
104. Доказать справедливость неравенства:
(ctg2 х — 1) (3 ctg2 х — 1) (ctg Зх tg 2х — 1) < — 1
для всех значений х, при которых левая часть имеет
смысл.
Вариант 29
105. При каких значениях а система неравенств
х2 + ах —2
х2 —х+ 1
удовлетворяется при всех значениях х?
106. Пусть р], р2, ...,р*— различные простые числа.
Сколько делителей имеет число q — pi р2... pk, вклю-
чая 1 и q?
107. Показать, что площадь любого треугольного сечения
произвольной треугольной пирамиды не превосходит
площади хотя бы одной из ее граней.
108. Решить систему:
tgx = tg3y,
sin X = cos ay.
Вариант 30
109. Решить уравнение
V у —2 + 1/2у^5 + /у + 2 + 3/2у —5 = 7 /2.
(берутся арифметические значения корней).
ПО. Пусть Р(х)— многочлен, дающий при делении на
х — а остаток А, при делении на х — Ь— остаток В,
при делении на х — с — остаток С. Найти многочлен,
получающийся в остатке при делении Р (х) на
(х — а) (х — Ь) (х — с). Предполагается, что среди чисел
a, b vl с нет равных.
18
ц1. На одной из сторон острого угла взяты две точки
А и S. Найти на другой стороне угла точку С такую,
чтобы угол АСВ был наибольшим. Построить точку С
с помощью циркуля и линейки.
112. Решить уравнение
asin%+& _acosx+&
&cosx + a &sin% + a
(а и b — вещественные числа, отличные от нуля).
Вариант 31
113. Решить уравнение
114. Доказать, что
У Ш ..J^—222...2 - 333... 3.
2п цифр п цифр п цифр
115. В треугольной пирамиде проводятся сечения, парал-
лельные двум ее непересекающимся ребрам. Найти се-
чение с наибольшей площадью.
116. Определить, в каких пределах можно изменять пара-
метр К так, чтобы уравнение
sec х + cosec х == X
имело корень х, удовлетворяющий неравенству
0<x<J.
Вариант 32
117. Доказать, что многочлен
X8 — X5 + X2 — X + 1
положителен при всех вещественных х.
118. Найти все вещественные корни уравнения
з ----- 3 -------- з^—
ух-1+/х+1=х 1/2.
119. В данный треугольник вписать с помощью, циркуля
и линейки прямоугольник, имеющий заданную диа-
гональ.
120. Решить уравнение
6 tg х + 5 ctg Зх = tg 2х.
19
Вариант 33
121. Пусть при любом положительном к все корни урав-
нения
ах2 + Ьх + с 4- X = О
вещественны и положительны. Доказать, что тогда
а = 0 (коэффициенты а, Ь и с предполагаются веще-
ственными).
122. Упростить выражение
(lg, а - lge 6)2 + (Igft + • • • + № 2ка-’б«2
123. Из двух точек прямой проведены по две касатель-
ные к окружности. В образованные углы с вершинами
в этих точках вписаны окружности равного радиуса.
Доказать, что их линия центров параллельна данной
прямой.
124. Доказать, что уравнение
(sin х + j/3 cos х) sin 4х = 2
не имеет решений.
Вариант 34
125. Найти наибольшее значение выражения
lg2X+ 12 Igl X lg2 >
Л
если х изменяется между 1 и 64.
124. Доказать, что
2 + 3 4 + "• + 199 200 =
“ 101 + 102 + *'• + 200 •
127. Трехгранный угол пересекается плоскостью по тре-
угольнику АВС. Найти геометрическое место центров
тяжести треугольников АВС, если:
а) вершины А и В закреплены;
б) вершина А закреплена.
128. Решить систему
sin х + sin у — sin (х -|- у), |х| 4-|у| == 1.
20
Вариант 35
129. Найти комплексное число г, если
z — 12 _5 2 — 4
2 — 8/ 3 И 2 — 8
130. Найти значения а, при которых смешанная система
*2 + У2 + 2х< 1,
х— у + а=0
имеет единственное решение. Найти соответствующие
решения.
131. Рассматриваются два треугольника АВС и Л1 Вх Съ
которые лежат в непараллельных плоскостях и имеют
попарно непараллельные стороны. При этом прямые,
соединяющие соответственные вершины, пересекаются
в одной точке О.
Доказать, что соответствующие стороны треуголь-
ника попарно пересекаются и точки их пересечения
лежат на одной прямой.
132. В точке А плоскости Р расположен источник света.
Над плоскостью помещено полусферическое зеркало
радиуса 1, обращенное внутренней зеркальной поверх-
ностью к плоскости, причем так, что ось симметрии
зеркала перпендикулярна к плоскости Р в точке Л.
Зная, что наименьший угол между лучами, отражен-
ными зеркалом и плоскостью Р равен 15°, определить
расстояние от зеркала до плоскости и радиус осве-
щенного на плоскости Р круга.
Вариант 36
133. Решить систему
х + у + z = 9,
ху + хг 4- уг = 27.
134. Пункты Л и В расположены на прямолинейной
магистрали, идущей с запада на восток. Пункт В
в 9 км восточнее Л. Из пункта Л на восток выходит
автомашина, движущаяся равномерно со скоростью
40 км/час. Одновременно из В в тоМ же направлении
21
с постоянным ускорениехМ 32 км/час2 выходит мото-
цикл. Определить наибольшее расстояние между авто-
машиной и мотоциклом в течение первых двух часов
движения.
Указание: полезно начертить график зависимости расстояния
между автомашиной и мотоциклом от времени.
135. Показать, что отрезки, соединяющие вершины не-
которой трехгранной пирамиды с центрами тяжести
противолежащих граней, пересекаются в одной точке.
136. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
<р (х) = sin6 х + cos6 х.
Вариант 37
137. Велосипедист выехал из пункта А в пункт В и ехал
с постоянной скоростью 20 км/час. Когда он проехал
8 ~ км, его догнал автомобиль, вышедший из А на
15 мин. позднее и шедший тоже с постоянной скоро-
стью. После того, как велосипедист проехал еще
25 км, он встретил автомобиль уже возвращавшийся
из В, где он простоял полчаса. Найти расстояние
между А н В.
138. Найти все решения системы:
3
sin2x + sin2 у = ,
х + у = 75°.
139. Доказать, что если то
140. Из концов данной дуги окружности проведены каса-
тельные до взаимного пересечения и в полученную
фигуру вписан круг. Найти радиус вписанного круга,
если заданная дуга равна а и ее хорда равна а.
141. Два шара радиуса п и два шара радиуса г2 лежат
на плоскости так, что каждый шар касается трех
других. Найти отношение Г1.т2-
22
Вариант 38
142. Два пешехода направились одновременно из пункта
А в пункт В. Первый шел половину времени со ско-
ростью а км/час, а вторую половину со скоростью
b км/час, второй шел первую половину пути со
скоростью b км/час, а вторую — со скоростью а км/чая.
Который из них пришел скорее к месту назначения?
143. Найти действительные корни уравнения:
Ух ~Уа— х-\~У Ь — х,
где а b 0.
144. Найти все значения х, для которых
lgx+2 X2 > 1.
145. Найти сторону квадрата, вписанного в сегмент, дуга
которого равна а, а хорда равна а.
146. Найти радиус шара, описанного около треугольной
пирамиды, в основании которой лежит треугольник со
сторонами 13, 14 и 15, а боковые ребра наклонены
к плоскости основания под углом 15°.
Вариант 39
147. Отец предполагал распределить некоторую сумму
денег между своими тремя сыновьями в отношении
7:6:5. Затем он изменил свое решение и эту же сумму
разделил в отношении 6:5:4. Кто из сыновей полу-
чит больше в результате второго деления? Кто меньше?
Известно, что один из сыновей в результате второго
деления получил на 12 руб. больше другого. Сколько
получил каждый?
148. Решить уравнение
sec Af + cosec х = 2 У 2 а.
149. Найти сумму всех четырехзначных чисел, которые
можно написать данными цифрами a, b, с, d, ни одна
из которых не есть нуль, причем все четыре цифры
различны.
150. Найти сторону а треугольника и его площадь $, если
даны его углы Л и В и полупериметр р.
151. Ребро кубд равно а. Найти радиус цилиндрической
поверхности, осью которой служит диагональ куба,
если известно, что эта цилиндрическая поверхность
касается ребра куба.
23
Вариант 40
152. Из пункта А на берегу озера в пункт В, располо-
женный на берегу реки, впадающей в это озеро, вы-
шел катер; он прибыл к месту назначения через t час.,
пройдя по озеру а км, а по реке половину этого рас-
стояния. Скорость течения реки b км/час. Найти соб-
ственную скорость катера.
153. Составляется таблица умножения целых чисел, в пер-
вой колонне которой произведения числа 1 на числа
1, 2, 3,... п, во второй — произведения числа 2 на те
же числа 1,2, 3,..., и, в последней — произведения
числа ина числа 1,2, 3,.... п. Найти сумму всех чисел
таблицы. Найти сумму всех печатных чисел таблицы.
154. Найти все значения kt при которых корни уравнения
йх2 — (k+ 1)х-Ь2 = 0
будут действительны и оба по абсолютной величине
меньше 1.
155. Найти угол А треугольника, если заданы длины его
сторон & и с и длина I биссектрисы внутреннего угла А.
156. На плоскости Р стоит равносторонний конус (осевое
сечение — равносторонний треугольник), высота кото-
рого 10 см. Каждый из трех равных между собою
шаров, лежащих на плоскости Р внутри конуса, ка-
сается двух других шаров и боковой поверхности ко-
нуса. Найти радиус шаров.
Вариант 41
157. В два сосуда А и В одинакового веса налита вода,
л о 4
причем вес сосуда А с водой составляет веса со-
о
суда В с водой. Если содержимое сосуда В перелить
в сосуд А, то вес последнего с водой превзойдет вес
сосуда В в 8 раз. Найти вес каждого сосуда и коли-
чество воды в каждом из них, зная, что в сосуде В
содержится на 50 г больше воды, чем в сосуде А.
158. При каких значениях k корни уравнения
kx2 4- kx — 2 = 0
будут действительны и один корень по абсолютной
величине будет больше 1, а другой по абсолютной
величине будет меньше 1?
24
159. Решить уравнение
(tgX)sin«= (ctgx)cos *.
160. Из внешней точки А проведены две взаимно перпен-
дикулярные секущие ABD и АСЕ круга. Площади
треугольников АВС и ADE относятся как т : п. Опре-
делить величину дуг ВС и DE.
161. Каждый плоский угол при вершине трехгранного
угла равен 60°. В этот трехгранный угол вписаны два
касательных друг к другу шара. Найти отношение их
радиусов.
Вариант 42
162. Велосипедист совершил поездку из А в Ви обратно.
Путь состоял из горизонтальных участков, подъемов
и спусков. На горизонтальных участках он ехал со
скоростью 12 км/час, на подъемах — 8 км/час., а на
спусках —15 км/час. Из А в В велосипедист ехал 5 час.,
а из В в Л — 4 час. 39 мин. Определить общую длину,
подъемов и общую длину спусков, если горизонталь-
ная часть пути составляет 28 км.
163. Найти все значения х, для которых
Igs lgl_(X2 —X — 1)
2
есть действительное число.
164. Решить уравнение
tg2x =
165. В треугольнике АВС
угол А. Найти стороны b и с, если известно, что
а =2Ь. Исследовать, при каких а и Л задача имеет
решение.
166. В пирамиде SABC дано: АВ = АС — 5, ВС = 6; вы-
сота пирамиды проходит через середину ВС и равна 1.
Найти радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
Вариант 43
167. Перевозка одной тонны груза от пункта М до пункта У
по железной дороге обходится на b коп. дороже, чем
водным путем. Сколько тонн груза можно перевезти
по железной дороге из М в N на сумму s руб., если
25
1 — cos х
1 + cos х
дана длина а стороны ВС и
водным путем на ту же сумму можно перевезти на
k Т больше, чем по железной доррге.
168. Выразить х, через z, если
1 1
у = z = lO1"1^.
169. Найти все значения х, для которых
arc tg ]/х > arc cos (1 — х).
170. Вычислить длину / биссектрисы внешнего угла А
треугольника, если даны его стороны & и с и угол А
между ними.
171. На плоскости Р стоит равносторонний конус (осевое
сечение — равносторонний треугольник), высота кото-
рого 10 см. Каждый из трех равных между собою
шаров, лежащих на плоскости Р вне конуса, касается
двух других шаров и боковой поверхности конуса.
Найти радиусы шаров.
Вариант 44
172. Букинистический магазин продал книгу со скид-
кой 10% с назначенной цены и получил при этом 8%
прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально
полагал получить магазин?
173. Упростить выражение:
где а>2. '
174. Найти все значения а, при которых уравнение
sin2 х — (а2 2а) sin х + а3 + а2 = 0
имеет решения.
175. Внутри окружности пересекаются в точке Е хорды
АВ и CD. Площади треугольников АЕС и BED отно-
сятся, как т: п, а угол между этими хордами ра-
вен 30°. Определить дуги АС и BD.
176. В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих
из общей вершины, равны а, b и с. Ребра а и b вза-
имно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым
из них угол а. Определить объем параллелепипеда и
угол <р между ребром с и плоскостью прямоугольника.
26
Вариант 45
177. Из А в В и из В в А одновременно вышли два
пешехода. Когда первый прошел половину пути, вто-
рому осталось пройти 24 км, а когда второй прошел
половину пути, первому осталось пройти 15 км. Сколько
километров останется пройти второму пешеходу после
того, как первый закончит переход?
178. Решить систему уравнений
cos2 х + cos2 у = а,
х + у = Ь.
179. Найти 1g 2 и 1g 5, если lg676 = 6Z и 1g 104 = 6.
180. В данный треугольник вписана окружность, и точки
касания соединены между собой. Определить стороны
полученного треугольника, зная стороны а, Ь, с дан-
ного треугольника.
181. Цилиндрическая поверхность, ось которой перпенди-
кулярна к диагонали квадрата и образует с его пло-
скостью угол а, касается всех сторон квадрата; зная,
что сторона квадрата равна а, найти радиус дилинд-
рической поверхности.
Вариант 46
182. Из города А в город В отправляются одновременно
две автомашины, причем скорость первой на а км
в час больше скорости второй. Первая автомашина
приходит в город В на t час. раньше второй. Опре-
делить скорости автомашин, если расстояние между А
и В равно s км.
183. Дан квадратный трехчлен
ах2 + Ьх + с
с действительными коэффициентами, причем а #= 0 и
Ь #= О. Доказать, что существует такое действительное
значение для k, при котором
ах2 + Ьх + с + k (х2 + 1)
будет полным квадратом некоторого выражения пер-
вой степени относительно х.
184. Решить уравнение
sin3 х — cos3 х = sin2 х — cos2 х.
27
185. Даны стороны а, Ь, с треугольника АВС. Найти
длины та и mh его медиан, проведенных к сторонам
а и Ь. При каком условии возможно равенство
та = ть?
186. Все двугранные углы между боковыми гранями пра-
вильной треугольной пирамиды равны а. Найти дву-
гранный угол, образуемый боковой гранью с осно-
ванием.
Вариант 47
187. Найти знаменатель геометрической прогрессии, зная,
что сумма первых пяти членов прогрессии равна ее
первому члену.
188. Найти все значения а, при которых корни уравнения
х2 + 4ах + 2а2 + За — 1 =0
будут действительны.
189. Решить уравнение
sinx + sin9x = 2.
190. Даны стороны а, Ь, с треугольника АВС. Пусть
О — центр окружности, описанной около этого тре-
угольника. Выразить через стороны треугольника рас-
стояние от точки О до стороны ВС.
191. ABCD — квадрат. Через стороны АВ, ВС, С А и DA
этого квадрата проведены четыре плоскости, перпен-
дикулярные к плоскости квадрата, которые образуют
призматическую поверхность. Проводится плоскость,
пересекающая указанную поверхность по ромбу с ост-
рым углом а. Найти угол наклона этой плоскости
к плоскости квадрата ABCD.
Вариант 48
192. Расстояние от точки А до точки В равно $. Точка М
проходит это расстояние (двигаясь равномерно) за
некоторое время. Если бы расстояние s было на 1 ле
больше, а скорость на 1 м/сек меньше, то затрачен-
ное время было бы в два раза больше, а если бы рас-
стояние s было на 1 м меньше, а скорость на 1 м/сек
больше, то путь был бы пройден в два раза скорее.
Найти расстояние $ и скорость движения точки AL
193. При каких значениях а оба корня уравнения
х2+ (1 — а)х + а = 0
будут положительны?
28
194. Решить систему уравнений
&
tgx + tgy = 2.
195. Даны стороны а, b и с треугольника АВС, Пусть О
центр окружности, вписанной в этот треугольник.
Выразить длину отрезка АО через стороны треуголь-
ника.
196. В треугольной пирамиде все боковые ребра и две
стороны основания равны Ь, Угол между указанными
сторонами основания равен а. Вычислить объем пира-
миды.
Вариант 49
197. Один сплав металлов А и В содержит эти металлы
в отношении 2:3, другой сплав содержит те же ме-
таллы в отношении 4 : 3. Сколько килограммов второго
сплава надо взять на 1 кг первого сплава, чтобы после
сплавления этих сплавов в один, содержания метал-
лов А и В были бы равны между собой?
198. Доказать, что
X2 + у2 + — yz — zx — ху > О
при всех действительных значениях х, у и z, При
каком условии имеет место знак равенства?
199. Решить систему уравнений
1
sin х cos у = sin у COS X = -у .
200. Даны стороны а, 6, с треугольника АВС, Пусть Н —
точка пересечения его высот. Выразить через а, Ь, с
длину отрезка АН,
201. Углы треугольника равны А, В и С, Определить,
как относятся между собой объемы тел вращения,
полученных при вращении этого треугольника последо-
вательна вокруг его сторон.
Вариант 50
202. Двое рабочих затрачивают на выполнение некоторой
работы 25 час., причем первую половину работы сна-
чала выполняет первый рабочий, а затем вторую поло-
вину работы выполняет второй рабочий. Если же они
29
будут работать вместе, то они затратят на эту же
работу 12 час. Найти за сколько часов каждый из них
в отдельности может выполнить всю работу.
203. Найти все значения р и q, при которых xi + 1 де-
лится на х2 + рх + q.
204. Решить систему уравнений
tgx + tgy = 2tgz, tgxtgy = tgz, х + у + z =
205. ABC — равносторонний треугольник со стороной,
равной Найти радиус окружности, проходящей
через точки А и В и делящей пополам окружность,
вписанную в треугольник АВС.
206. В треугольной пирамиде два плоских угла при вер-
шине равны а, а третий плоский угол при той же
вершине равен р. Боковое ребро, служащее боковой
стороной равных плоских углов, перпендикулярно
плоскости основания и длина его равна а. Определить
объем пирамиды.
Вариант 51
207. Два крана, работая одновременно, наполняют сосуд
за 18 час. В какое время наполняет сосуд каждый
кран в отдельности, если известно, что один первый
кран наполняет сосуд на 27 час. дольше, чем один
второй?
208. Доказать, что если pLp2 =2 (qi + q2), то по крайней
мере одно из уравнений:
+ pi х + = 0, х2 + р2 х + ?2 = 0
имеет действительные корни (рх, qlf р2, q2 — действи-
тельные числа).
209. Вычислить без таблиц: cos 55° • cos 65° • cos 175°.
210. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник, равен г, а радиус окружности, касаю-
щейся гипотенузы и продолжений катетов, равен /?.
Вычислить площадь этого прямоугольного треуголь-
ника.
211. В шар радиуса 7? вписана правильная треугольная
пирамида, у которой двугранный угол при основании
равен а. Найти сторону основания и боковое ребро
этой пирамиды.
30
Вариант 52
212. Сумма т первых членов арифметической прогрессии
равна и, а сумма п первых членов той же прогрессии
равна т. Найти сумму т + п первых членов.
213. Доказать, что если х + у -j- z = 3, то %2 4- У2 + 22>-3.
214. Решить уравнение
sin х + cos х sin 2х = 1.
215. В треугольнике АВС дано: а = 14, ha = 12, Ь 4- с =
= 28. Вычислить b и с.
216. На плоскости лежат вокруг общей вершины п рав-
ных последовательно касающихся друг друга конусов.
Определить угол а при вершине в их осевом сечении.
Вариант 53
217. Сколько различных четырехзначных чисел, деля-
щихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
218. При каком условии уравнение х3 + рх + q = 0 имеет
два равных корня? Предполагая это условие выполнен-
ным, найти этот корень.
219. Решить уравнение:
sin4 х + cos4 х + sin 2х + а = 0.
220. В треугольнике АВС проведены высоты CCi и ААЪ
Вычислить площадь треугольника BCiAlt если АВ = 13,
ВС= 14, СД- 15.
221. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный
угол при основании равен а. Через ребро основания
проведена внутри пирамиды плоскость, составляющая
с основанием угол £. В каком отношении она делит
площади тех боковых граней, которые она рассекает
на два треугольника?
Вариант 54
222. Найти три числа, образующие геометрическую про-
грессию, зная, что их сумма равна 7, а сумма их
квадратов равна 21.
223. При каком состоянии между а, Ь9 с корни уравне-
ния х3 + ах2 + Ьх + с — 0 образуют геометрическую
прогрессию?
224. Вычислить без таблиц: cos Yjjcosjg-
31
225. По двум сторонам b и с треугольника АВС и бис-
сектрисе I внутреннего угла А вычислить третью сто-
рону а.
226. Из точки S сферы радиуса R проведены равные
между собою хорды: SA = SB — SC — SD так, что
DSB = /BSC = ^/.CSA = ^DSA = а. Вычислить
длину S.4.
Вариант 55
227. Двое рабочих заработали — один 80 руб., другой
45 руб.; первый работал на 5 час. больше второго.
Если бы первый работал столько часов, сколько вто-
рой, а второй столько часов, сколько первый, то они
заработали бы поровну. Сколько часов работал каждый
и сколько он получал в час?
228. Найти коэффициент при х* в выражении:
1 + (1 + х) + (1 + х? + . . . + (1 + Х)л.
Вычислить значение этого коэффициента также при
k = 9, п = 14.
229. Доказать, что
2arctg
arc cos х.
230. По данным двум сторонам а и b треугольника найти
третью сторону, зная что медианы та и ть пересе-
каются под прямым углом.
231. Прямоугольник вращается вокруг оси, которая про-
ходит через его вершину параллельно диагонали. Вы-
числить объем тела вращения, если площадь прямо-
угольника равна s, а острый угол между диагона-
лями равен а.
Вариант 56
232. Через два крана бассейн наполняется при совмест-
ном действии за р час. Если бы половину бассейна
наполнить сначала через один кран, а вторую поло-
вину через второй, то для наполнения бассейна по-
требуется q час. Во сколько часов наполняется бассейн
через каждый кран в отдельности. При каком условии
задача имеет решение?
233. Вычислить
х +2|/х— 1 + j/x— 2рл—1.
1) при 1 < х < 2; 2) при х>2.
32
234. Решить уравнение:
cos (к ]Лх) cos (ir j/x— 4) = 1.
235. Стороны треугольника связаны соотношением: а2 =
= с (Ь + с). Доказать, что угол А вдвое больше угла С.
236. Основанием пирамиды служит прямоугольный тре-
угольник, площадь которого равна $; боковые ребра
равны между собой; двугранные углы при катетах
основания равны аир. Вычислить объем пирамиды.
Вариант 57
237. Из города А в город В выезжают одновременно два
велосипедиста, а навстречу им в тот же момент из
города В в город А выезжает третий велосипедист.
Через /1 час. от начала движения первый велосипе-
дист находится посередине расстояния между двумя
другими. Через /2 час. от начала движения третий вело-
сипедист находится посередине расстояния между двумя
другими. Через сколько часов от начала движения
второй велосипедист будет находиться посередине рас-
стояния между первым и третьим? При каком условии
задача имеет решение?
238. Дана последовательность чисел а2, а3,..., ап,...,
таких, что
найти 01 + а5 + а9 + ai3 + ап + a2i + 025, считая ai
данным (причем а± 0, =# 1, ах=£ — 1).
239. Решить уравнение cosx + cos-^ + cos -^- = 3. Сколько
корней имеет это уравнение в промежутке
0<х< 10000?
240. В треугольнике АВС угол А вдвое более угла С.
Найти зависимость между сторонами.
241. Вычислить объем треугольной пирамиды, у которой
два скрещивающиеся ребра, длины которых равны а
и 6, образуют угол а, а кратчайшее расстояние между
ними равно с.
2 Зак. 3478 33
Вариант 58
242. Сколько понадобится цифр, чтобы выписать все целые
числа от 1 до 10я включительно (м — целое положи-
тельное число)?
243. Найти все значения х, для которых
. х 4- 3 . , x-f- 5
7+2-
244. Дано, что углы А, В и С треугольника АВС связаны
соотношением ctg А = 2 (ctgB + ctgC). Вычислить сто-
роны бис этого треугольника, если задан угол А и
сторона ВС — а.
245. Доказать, что если |х| <1, то
. , , / 1 + х „
4 arc tg I / -----2 arcsin х = к.
6 у 1 — х
246. В правильную четырехугольную пирамиду вписан
цилиндр, осевое сечение которого квадрат, причем ось
цилиндра параллельна диагонали основания пирамиды.
Найти радиус цилиндра, если боковое ребро пирамиды
равно 5, а высота пирамиды равна 3.
Вариант 59
247. Две материальные частицы Л и В, находящиеся друг
от друга на расстоянии 1 м, движутся с постоянной
скоростью 1 м!сек по одной и той же прямой, накло-
ненной к упругой стенке под углом 45° и после отра-
жения от стенки (по закону оптики) продолжают дви-
жение с той же скоростью. Частица В движется
впереди частицы А. Через какой промежуток времени,
считая от того момента, когда от стенки отражается
частица В, расстояние между Л и В будет наименьшим?
Чему будет равно это наименьшее расстояние?
248. Решить систему уравнений: cos (я ху) = lg5 (х2 + у2) =
= 1.
249. В треугольнике ЛВС три угла, расположенные в по-
рядке возрастания Л<В<С, образуют арифметиче-
скую прогрессию с разностью <р. Найти углы а сто-
роны треугольника ЛВС, зная его периметр 2р и вели-
чину ср. При каком условии задача возможна?
250. Найти радиус сферы, описанной около пирами-
ды SABC, если АВ — АС = 30, ВС = 48, ВЛ — перпен-
дикулярно плоскости основания и равно 120.
34
251. Решить уравнение
1 + 2х + Зх2 + ... + пхп~'
ПХп +1
= 0.
Вариант 60
252. По окружности радиуса В в одном направлении из
одной и той же точки выходят три точки со скоро-
стями Vi, v2, v3. При каком условии эти точки через
некоторый промежуток времени совпадут все три
с одной и той же точкой окружности? Предполагая
это условие выполненным, найти промежутки времени,
через которые будут происходить совпадения всех трех
точек.
253. Найти все значения х, при которых
________________! + _<i.
5 — IgioX________________________1-j-lgioX
254. Решить систему уравнений
Sin X + cos у = 1, siny + cosx= у.
255. В вершинах треугольника АВС проведены касатель-
ные к его описанной окружности. Зная углы А, В, С
треугольника АВС, вычислить углы треугольника,
образованного этими касательными.
256. Параллелограмм, имеющий стороны а и b и острый
угол а, вращается около перпендикуляра к большей
диагонали, проведенного через ее конец (в плоскости
параллелограмма). Определить объем тела вращения.
Вариант 61
257. Из города А в город В и из города В в город А
одновременно вышли два пешехода. Когда первый
прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км,
а когда второй прошел половину пути, первому оста-
лось пройти 15 км. Сколько километров останется
пройти второму пешеходу после того, как первый
закончит переход?
258. Исходя из равенств
(х + 1)" = Xя +Х?‘хя-' 4- СЬ"-2 + .. • + с* X + 1,
(х — 1)я = х" — С\ хя-‘ 4- Сп хп~2 -...4-
+ (-1)я-1^х4-(-1)п
2*
35
вычислить
Р - (Ci)2 + (Ci)2 - (Ci)2+...+(-1)» (Ci)2.
259. Выразить cos5x через cosx, а затем, исходя из
равенства cos (5 • 18°) = 0, вычислить cos 18°.
260. Треугольник АВС вписан в окружность с центром О.
Сторона ВС проходит через середину D радиуса ОА.
Угол ADB равен Вычислить углы треугольника АВС.
261. Ребро куба равно 1. Вычислить радиус круглой ци-
линдрической поверхности, проходящей через 6 вер-
шин куба, если ось цилиндра параллельна диагонали
грани куба.
Вариант 62
262. Две суммы денег, всего 50 000 руб. положены в сбер-
кассу по 3% годовых. Каждая из них дала 600 руб.
дохода, причем первая сумма находилась в сберкассе
на 4 месяца дольше, чем вторая. Как велика каждая
сумма и за какие сроки получены указанные доходы
(по 600 руб.), если известно, что ни один из этих сро-
ков не превышает одного года?
263. Разложить на множители первой степени относи-
тельно х, у, г следующее выражение
№ + уг + z2 — у г — гх — ху
(употребление комплексных коэффициентов допу-
скается).
264. Для треугольника АВС задан периметр 2р, радиус г
вписанной окружности и высота ha (опущенная на сто-
рону ВС). Найти стороны.
265. Найти радиус круглой цилиндрической поверхности,
проходящей через одно ребро и через все вершины
правильного тетраэдра. Ребро тетраэдра равно а.
266. Доказать, что если
0<А<^, 0<В< ", 0<С<^и
А + В-\-С~^,
то
tg2 Л + tg* В-f-tg2C > 1.
При каком условии имеет место знак равенства?
36
Вариант 63
267. Типографский шрифт готовится из сплава трех метал-
лов А, В и С с процентным содержанием р%, q%9
г % (р + q + г = 100). После износа шрифта его пере-
плавляют и при этом после переплавки процентное
содержание металлов Л, В, С меняется и становится
р'%, q'%, г'%, (р' + q' + г' = 100). Доказать, что
для восстановления начального процентного содержа-
ния металлов в сплаве достаточно к переплавленному
сплаву добавить только два металла из трех. В каких
количествах это следует сделать и каких металлов
нужно добавить на s кг переплавленного сплава,
содержащего металлы Л, В, С в количествах р'%,
г'% для восстановления начального процентного
содержания этих металлов.
268. Найти все действительные значения х, при которых
существует дуга
arc sin (2х2 + 5х + 1)-
269. На прямой, проходящей через вершину Л параллело-
грамма, перпендикулярно к его диагонали, выходящей
из этой вершины, взята произвольная точка М. Найти
отношение проекций отрезка AM на стороны паралле-
лограмма, если стороны параллелограмма равны а и 6.
270. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды
равно 6, и оно образует с плоскостью основания угол а.
В эту пирамиду вписан цилиндр с квадратным осевым
сечением так, что основание цилиндра лежит в пло-
скости основания пирамиды. Определить высоту ци-
линдра.
271. Решить уравнение
х _ 35
х± /^Т~Т2-
Вариант. 64
272. Производительности машин Ль Л2,..., Ап таковы,
что машины Ль Л2,..., Ar-i (г — произвольно и
меньше n + 1) выполняют вместе в один день такую
работу, которую машина Аг выполняет в р дней. Ма-
шина Ап выполняет некоторую работу в 1 день. Сколько
времени нужно для выполнения этой работы маши-
ной Ль сколько времени нужно для выполнения этой
работы машиной Аг, где г>1?
37
273. Решить систему уравнений:
it , 1 + /3
arc sin х 4- arc cos у — -5-, х 4- у = ——
274. Даны два луча, выходящие из одной и той же точки О
и образующие между собой угол а. На первом луче
отложены отрезки ОА = а и ОА' — а', на втором ОВ =
= b, ОВ' = Ь'\ на отрезках О А и ОВ построен парал-
лелограмм ОАСВ, на отрезках ОА' и ОВ' также по-
строен параллелограмм ОА'С'В'. Вычислить косинус
угла СОС' между их диагоналями.
275. Круговой сегмент, стягиваемый хордой длины а,
вращается вокруг диаметра, параллельного этой хорде.
Вычислить объем тела вращения.
276. Доказать, что если то
а 4- b
~2~ _± (....4--.А \ <0
1,/а + 6\2 2\1+аг^1 + 6а/
1 + \ 2 /
Вариант 65
277. Найти все значения х, для которых
lgx(2x)>lg2xX.
278. Велосипедист и пешеход отправляются из одного и
того же пункта А в пункт В. Велосипедист, прибыв
в В на 50 мин. раньше пешехода, тотчас же отправ-
ляется обратно в Л и встречается с пешеходом на
расстоянии 2 км от В. На весь путь от А до В и об-
ратно велосипедист тратит 1 час. 40 мин. Найти рас-
стояние АВ и скорости (в м!мин) велосипедиста и
пешехода.
279. Найти все значения а из интервала О<а<2гс, для
которых корни уравнения
sec2 х — 2ctg a tg х = 0
действительны и все лежат в пределах
kn < х < 4- kit.
38
280. Внутри треугольника АВС берется точка О такая,
что ./С АО = АВО = ВСО = а. Зная углы А, В,
С треугольника АВС, найти угол а.
281. В пространстве дана точка М, равноудаленная от
всех трех вершин некоторого прямоугольного треуголь-
ника на расстояние Ь. Гипотенуза этого треугольника
равна а. Найти расстояние от точки М до плоскости
треугольника.
Вариант 66
282. Дано квадратное уравнение:
х2 — 2(fe — 1) х + 2fe + 1 = 0, где £<0.
Доказать, что корни этого уравнения действительны,
и исследовать их знак в зависимости от значений k < 0.
283. Расстояние между городами А и В равно 900 км.
Два поезда отправляются одновременно один из А
в В, другой — из В в А. Они встречаются в пункте Л4.
Первый прибывает в В через 4 час. после встречи,
второй прибывает в А через 16 час. после встречи.
Найти расстояние AM и скорости поездов.
284. Найти все положительные корни уравнения:
3
sin2 ах — cos2 ах — cos-% ах
(а>0, а =£1).
285. Вне окружности радиуса г = 5 взята точка О и через
нее проведена секущая ОАВ, причем ОА = 2, ОВ = 8.
Вычислить угол, который образует эта секущая с ка-
сательной, проведенной из точки О к данной окруж-
ности; берется та касательная ОС, для которой центр
окружности лежит внутри угла СОА.
286. В одной из вершин прямоугольника восставлен перпен-
дикуляр к плоскости этого прямоугольника. Конец
этого перпендикуляра отстоит от трех других вершин
прямоугольника на расстоянии а, b и с. Найти длину
этого перпендикуляра.
Вариант 67
287. Найти все значения х от О до 2к, для которых
Igio sin х —• 2 Igio 2 Igio sin x — 31 gf 0 2 > 0.
39
288. Пешеход и велосипедист отправляются одновремен-
но — первый из Л в В, второй — из В в Л. Через
3 час. после отправления они встречаются в пункте М,
отстоящем от Л на четверть расстояния АВ. Зная, что
велосипедист делает в час на 10 км больше пешехода,
определить скорости пешехода и велосипедиста и длину
пути АВ.
289. Доказать, что если Xi и х2 суть корни уравнения
tg2 х — 2 sec a tg х + 1 = 0
и tgxj ч8* tgx2, то сумма xi + x2 кратна При каких a
оба эти корня лежат в первой, либо в третьей чет-
верти?
290. Даны углы Л, В, С треугольника ЛВС; AD — меди-
ана, проведенная к стороне ВС. Вычислить угол CAD.
291. ЛВС — прямоугольный треугольник с прямым углом
при вершине Л. Около него описана окружность,
радиус которой 7?. Вычислить катеты АВ и АС, зная,
что при вращении этого треугольника вокруг каса-
тельной, проведенной к описанной окружности в точ-
2
ке Л, получается тело, объем которого равен -х- я/?3.
О
Вариант 68
292. Найти все значения х, для которых
Igx. (х2- 4х + 3)> 1.
293. Два лица, находящиеся друг от друга на расстоя-
нии 27 км, отправляются одновременно из пунктов А
и В, двигаясь по прямой АВ. Они встретятся через
3 час., если будут идти навстречу друг другу и через
9 час., если будут идти в одном направлении. Найти
скорость каждого.
294. Найти значение т, при котором для корней Xi и х2
тригонометрического уравнения
3/ntg2x— 2/ntgx 4- т— 1 =0,
удовлетворяющих условиям
0<Х1<к, 0<х2<«, Xi =# х2,
40
выполняется равенство
7к
Xi + Х2 — -g- •
295. Острый угол между касательными, проведенными
к двум окружностям радиусов Гх и г2 в точке их пере-
сечения, равен а. Определить радиус окружности,
касающейся обеих данных окружностей и их общей
касательной.
296. На расстоянии а от вершины трехгранного угла и
на равных расстояниях от его граней взята точка /И.
Все плоские углы трехгранного угла равны а. Найти
радиус сферы с центром в точке /И, которая касается
всех ребер этого трехгранного угла.
Вариант 69
297. Найти все значения Л, для которых один из корней
уравнения
2kx2 — 2х — 3k — 2 = 0
будет больше 1, а другой—меньше 1.
298. Грузовик должен был пройти из А в В со скоро-
стью 64 км!час. В течение 3 час. он шел с этой
скоростью. После 3 час. пути снежный занос заставил
его простоять 50 мин. и затем отправиться по другой
дороге, в результате чего путь удлинился на 31 км,
С другой стороны, скорость его на этом участке была
увеличена на 6 км!час. Опоздание составило 1 час 5 мин.
Найти расстояние ЛВ.
299. Решить систему уравнений
sinx + sin у = У 2, 2 cos х cos у = 1.
300. Вычислить углы треугольника, зная, что А == 60° и
Ь = с (2 + ]ЛЗ) (Л — угол, заключенный между сто-
ронами Ь и с),
301. Все плоские угл>1 трехгранного угла равны а. Точка М9
находящаяся внутри этого трехгранного угла, отстоит
от его граней на расстояниях равных а. Найти рас-
стояние от точки М до вершины трехгранного угла.
41
Вариант 70
302. Найти все значения х от 0 до 2тг, для которых вы-
ражение
VIgio lg?0 tg х
есть действительное число.
303. Пешеход и велосипедист отправляются из Л в В.
Скорость пешехода v км/час. После того, как он про-
шел расстояние АС = а км,- его догоняет велосипедист,
выехавший через час. после него. Новая встреча
происходит тогда, когда пешеход прошел расстояние
CD — b, а велосипедист, доехав до В, после получасо-
вой остановки возвращается из В в А. Требуется
узнать скорость а' велосипедиста и расстояние АВ == х.
304. 1) Найти все значения а из промежутка 0<а<2тг,
для которых уравнение
х2 — 2х (cos а + sin а) + 1 = 0
имеет действительные и различные корни. 2) При
каких а один из корней этого уравнения равен 2 У sin 2а?
Найти при этом условии оба корня.
305. Две окружности радиусов и /?2 с центрами
и О2 касаются друг друга внешним образом. На от-
резке О]О2, как на диаметре, строится, окружность.
Найти радиус окружности, которая касается внешним
образом данных окружностей и внутренним образом
окружности, построенной на OiO2, как на диаметре.
306. Из некоторой точки Л4 опущен на плоскость Р пер-
пендикуляр h и проведены две наклонные, углы которых
с перпендикуляром равны 30°. Угол же между нак-
лонными равен 60°. Найти расстояние между основа-
ниями наклонных.
Вариант 71
307. Доказать, что
sin4 х — б sin2 х + 8 > 0
при всех х.
308. Велосипедист отправляется с некоторой скоростью
из города А в город В, отстоящий от А на 60 км.
Затем он выезжает обратно из В в Л с той же ско-
ростью, но через час после выезда делает остановку
42
на 20 мин. После этого он продолжает путь, увеличив
скорость на 4 км/час. Какова была первоначальная
скорость велосипедиста, если известно, что на обрат-
ный путь от В до А он употребил столько же времени,
сколько на путь от А до В.
309. Пусть Xi и х2 — острые положительные углы, удов-
летворяющие уравнению:
Найти Xi + х2.
310. На плоскости заданы две точки В и С на расстоянии
6 см друг от друга. Переменная точка А перемещается
по плоскости так, что все время АВ + АС = 10 см.
Доказать, что произведение
. В . С
*2*2
тангенсов половин углов В и С треугольника АВС
остается постоянным, и найти величину этой посто-
янной.
311. Плоские углы трехгранного угла соответственно
равны 45°; 45° и 60°. Найти величину двугранного
угла между гранями плоских углов по 45°.
Вариант 72
312. Найти все значения а из промежутка от 0 до 2тс,
для которых уравнение
5* J. 5-*
— ------= sec а
2
имеет решение, и найти эти решения.
313. Пешеход отправляется из города А в город В; рас-
стояние АВ = 13 км 200 м. В тоже время из В в А
выезжает велосипедист. Встреча происходит через
44 мин., после чего велосипедист прибывает в 4 на
1 час. 45 мин. раньше, чем пешеход прибывает в В.
Каковы скорости пешехода и велосипедиста (в метрах
в минуту).
314. Доказать,
При каком
что если tgx — atgy и а>0, то
tSfCx— Г) <
условии имеет место знак равенства?
43
315- ABC — треугольник, M — середина его стороны ВС.
Пусть прямая, проходящая через точку М, перпенди-
кулярна ВС, пересекает сторону АС или ее продолже-
ние в точке О, а сторону АВ или ее продолжение —
в точке Л\ Пусть О — середина отрезка MN. Доказать,
что углы В и С треугольника — острые, и найти соот-
ношение между ними.
316. SABC — тетраэдрг в котором основание АВС — прямо-
угольный треугольник с гипотенузой ВС = 2а. Ребро SB
перпендикулярно плоскости основания и его длина
также равна 2а. Доказать, что все грани этого тетра-
эдра — прямоугольные треугольники. Определить поло-
жение центра и радиус сферы, описанной около SABC.
Вариант 73
317. При каких положительных х выражение
,а>0,п/1
представляет собой действительное число.
318. В начале в поселке было 15000 человек. В течение
некоторого количества лет прирост населения соста-
вил 4% в год по отношению к этому первоначальному
количеству. После этого прирост населения стал рав-
ным 5% в год по отношению к числу жителей, имев-
шихся в городе в результате первого прироста. Узнать
продолжительность первого периода, если известно,
что второй промежуток времени, когда прирост состав-
лял 5%, длился на полгода дольше первого и за это
время прирост населения составил 2475 человек.
319. Доказать, что корни уравнения
х2*—2xcos<p + (2 — /3) (1 — 4sin2q> =0
всегда действительны. Исследовать знаки корней,
Л к
когда изменяется от 0 до
320. Полуокружность ограничена диаметром АВ = 27?.
К этой полуокружности проведены в точках А и В две
касательные и еще третья касательная, пересекающая
эти две касательные соответственно в точках С и D,
и наклоненная к АВ под углом а. Вычислить длины
отрезков АС и BD.
44
321. Шаровой слой имеет основаниями окружности радиу-
сов а и Ь. Поверхность пояса, ограничивающего слой,
равна сумме площадей его оснований. Вычислить
высоту пояса и радиус шара.
Вариант 74
322. При каких значениях k корни квадратного трехчлена
(2 —6) №-36x4-26
действительны и оба больше у ?
323. Тело, взвешенное на неравноплечных весах, уравно-
вешивается при взвешивании на одной чашке грузом р г,
на другой — грузом q г. Каков истинный вес тела?
324. Найти все значения х из промежутка
для которых
1gCOS X sin Х> Igsin X cosx.
325. Даны две концентрические окружности радиусов г
и /?, причем r<Z.R- Определить сторону квадрата,
две вершины которого лежат на одной окружности,
а две — на другой. При каких условиях решение воз-
можно?
326. Пирамида с равными боковыми ребрами имеет в осно-
вании прямоугольник, стороны которого а и Ь. Соот-
ветствующие этим сторонам плоские углы при вер-
шине пирамиды относятся как 3:1. Определить объем
пирамиды.
Вариант 75
327. Решить неравенство
lgoX—1 lgaX2—
(а>0, а =!= 1).
328. Два автомобиля выезжают одновременно из Л в В.
Первый проходит на т км в час больше, чем второй,
а потому приходит в В на п час. раньше. Расстоя-
ние АВ равно а км. Определить скорости автомобилей.
329. Решить уравнение:
1/Т 1
•J-g— sin ах 4- ~2 cos а* = sln 5 а*.
45
Исследовать знак корней в зависимости от а (а>0, а^О).
330. Две окружности касаются друг друга внутренним
образом. Радиус меньшей окружности равен г. Хорда
большей окружности, касающаяся меньшей, делится
в точке касания на части а и 6. Найти радиус боль-
шей окружности.
331. SABC — тетраэдр, ребро которого перпендику-
лярно плоскости ЛВС. Грани SBC и SB А взаимно-
перпендикулярны. Доказать, что центр сферы, описан-
ной вокруг этого тетраэдра, является серединой от-
резка SC.
Вариант 76
332. При каких значениях k корни квадратного трех-
члена
4х8 —х + з^ — З
действительны и сба меньше 2.
333. Несколько человек должны были уплатить поровну
сумму 10800 руб. Но эту сумму уплатили не все,
а на два человека меньше и потому доля каждого уве-
личилась на 900 руб. Сколько человек участвовало
в платеже фактически.
334. Решить уравнение:
logsin х COS X • logsin* х (sin X COS x) = 1.
335. Из точки вне окружности радиуса г проведены под
углом а две секущие, отстоящие от центра на одина-
ковом расстоянии а. Определить площадь трапеции,
боковыми сторонами которой служат внутренние части
секущих.
336. Определить радиус шара, описанного около правиль-
ной треугольной пирамиды, у которой каждое боковое
ребро равно Ь, а сторона основания — а.
Вариант 77
337. Решить неравенство
о 5
2ах_ 1 >а2л~ 2-аЖ —2 (а>0, а * 1).
338. Двое рабочих, работая равномерно, но с разной про-
изводительностью, окончили работу за 20 час. Если бы
46
сначала первый сделал ~ часть работы, а потом один
второй остальную часть, то общее затраченное ими
время было бы 50 час. Во сколько времени каждый
из них в отдельности мог бы окончить работу?
339. Решить уравнение:
sin4 х + cos4 х = a sin 2х + (а>0).
£
При каких (больших нуля) а решение существует?
340. Даны стороны а, 6, с треугольника АВС. Вычислить
угол ASB, где S— точка пересечения медиан.
341. Найти радиус сферы, касающейся всех ребер пра-
вильной пирамиды, у которой в основании треугольник
со стороной а, а боковое ребро равно 6. Сколько ре-
шений имеет задача?
Вариант, 78
342. При каких значениях р корни квадратного трехчлена
(2 + log^p) х2 + 5х log^ Р — 6 log± р
2 2 2
действительны и оба больше единицы?
343. Поезд был задержан на 16 мин. и нагнал опоздание
на перегоне 80 км, увеличив скорость на 10 км!час
по сравнению с обычной. Найти обычную скорость
поезда, считая, что она всегда постоянна.
344. Решить уравнение
1-1 1
*Ogsin х cos х SIH X • lOgsin x cos x COS X — .
345. Даны две концентрические окружности радиусов г
и /?, причем Определить сторону равносторон-
него треугольника, у которого вершина А лежит на
окружности радиуса г, а В и С — на окружности
радиуса /?.
346. Из точки S выходят три луча S4, SB, SC, причем
ziBSC — ^CSA = ASB = а. Луч SM образует со
всеми тремя лучами S.4, SB и SC равные углы. Опре-
делить этот угол.
47
Вариант 79
347. Решить неравенство
т-------------;-------г > — 1 (а > 0, а #= 1).
logc х3 4- 1 loga х — 1
348. Некто, проезжая на равномерно движущемся трам-
вае, заметил своего знакомого, идущего в противо-
положную сторону. Через 8 сек. он сошел на оста-
новке* и пошел пешком за знакомым. Через сколько
времени он его догнал, если скорость его вдвое больше
скорости знакомого и в 5 раз меньше скорости трам-
вая?
349. Найти все значения х в промежутке 0 < х < 2л, для
которых
2 cos2 х — 7 cos х 4- 3 > 0.
350. Вычислить острые углы прямоугольного треугольни-
ка, зная острый угол а между медианами, проведен-
ными к катетам.
351. Даны две концентрические сферы радиусов г и R,
причем г</?. Определить ребро правильного тетраэдра,
у которого одна вершина лежит на большей сфере,
а три других — на меньшей.
Вариант 80
352. При каких значениях а корни квадратного трехчле-
на 2х2— Зах 4- 2 — а действительны и оба < 1.
353. Лодка спускается вниз по течению на расстояние
281/2 км, затем поднимается на 221/а км. Вся поездка
продолжается 8 час. Какова собственная скорость
лодки, если известно, что скорость течения равна
2Ч2 км!час.
354. Найти все значения х, для которых справедливо
неравенство
logo (cos х 4- sin x i < 0.
Рассмотреть два случая: 1) 0<а<1; 2) а>1.
* Считать, что трамвай остановился мгновенно (без замедле-
ния).
48
355. Внутри угла а с вершиной О взята точка М на рас-
стояниях МР = а и MQ = Ь от сторон угла. Вычислить
отрезки ОР9 OQ, ОМ.
356. В пространстве даны две скрещивающиеся взаимно-
перпендикулярные прямые р и q; АВ — их общий пер-
пендикуляр, причем А лежит на р9 В — на q. На
прямой р перемещается точка Л4, на прямой q — точ-
ка N. Доказать, что сфера с диаметром MN проходит
через точки А и В. Доказать, что если AM = BN, то
геометрическое место центров этих сфер есть две бис-
сектрисы углов между проекциями р и q на плоскость,
им параллельную и равноудаленную от них.
Вариант 81
357. Решить неравенство
Q 4- 7 Ал
ь>0' ”*'
358. Две прямолинейные железные дороги пересекаются
в пункте С. Из пункта А на одной железной дороге
и из пункта В на другой — одновременно в сторону С
отправляются два поезда, движущихся равномерно,
первый со скоростью 20 км)час, второй 30 км!час.
АС = 50 км, ВС = 40 км, / АСВ = 60°. Через сколь-
ко времени расстояние между поездами (по прямой)
будет равно длине отрезка АВ?
359. Найти все t в промежутке 0 < t <. 2к, для которых
2 cos21 + 9 sin t + 3 > 0.
360. Найти геометрическое место точек пересечения высот
остроугольных треугольников, имеющих постоянную
и неподвижную сторону а и заданный противолежащий
угол А.
361. Даны две концентрические сферы радиусов г и R,
причем г <ZR- Четыре вершины куба лежат на сфере
радиуса R, а противоположная грань касается сферы
радиуса г. Определить ребро куба.
Вариант 82
362. i----V^-г'+т---------гг>1. 6>0, b ¥= 1.
logftx2+l logfix —2
При каких значениях х имеет место это неравенство?
49
363. Число свободных нейтронов в реакторе, увеличив-
шись на некоторое число процентов, стало равным
31,25-10". Найти первоначальное число нейтронов,
если известно, что его отношение к 10" равно указан-
ному выше числу процентов.
364. Решить уравнение sin2 сх 4- sin2 2с* — sin2 ЗсЛ'. Иссле-
довать знак его корней в зависимости от с(с > 0, с #= 1).
365. В треугольнике угол А равен 60°. В каких границах
Ь + с
может меняться отношение.-------.
а
366. Ребро S4 пирамиды SABC перпендикулярно к плос-
кости основания АВС;
5.4 = 1, ЛВ=^, ДС = ||, ВС = ^-.
16 16 8
Вычислить площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через А перпендикулярно ребру ВС.
Вариант 83
367. Температура воздуха за день поднялась на 10%,
а за ночь упала на 10% (считая от последнего, более
высокого показания температуры). Каков процент из-
менения температуры в целом?
368. Найти все действительные значения k, при которых
корни уравнения
xs + 2х + k + 0
будут действительны и различны и оба будут заклю-
чены между —1 и +1?
369. Решить уравнение log sin х + log sin 5х — log sec 4x.
370. Дана длина а гипотенузы прямоугольного треуголь-
ника АВС (/ А = 90°) и произведение /2 длин биссек-
трис углов В и С. Найти эти углы В и С.
371. Определить радиус сферы, касающейся трех каких-
нибудь ребер правильного тетраэдра (все ребра кото-
рого равны а) и продолжений трех других его ребер.
Вариант 84
372. Найти все значения k, при которых корни уравне-
ния (2 + k) х2 — 2kx + 3k — 0 действительны и поло-
жительны.
50
373. Найти все корни уравнения
sin 2bx + sin 3bx = sin 5bx (6>0, 6 #= 1).
Исследовать знак корней в зависимости от Ь.
374. В каком отношении делит площадь правильного тре-
угольника прямая, пересекающая продолжение его
основания под углом £ и делящая высоту от вершины
к основанию в отношении 3: 5?
375. Плоский угол при вершине правильной и-угольной
пирамиды равен 9. Определить двугранный угол между
двумя смежными боковыми гранями пирамиды.
376. В одном из 2 растворов отношение веса растворен-
ного вещества к весу растворителя равно р, в дру-
гом q. При смешивании некоторых количеств этих
растворов в одном сосуде отношение веса растворен-
ного вещества к весу растворителя оказывается рав-
ным г.
В каком отношении взяты веса смешанных частей
растворов? При каких условиях решение возможно?
Вариант 85
377. Найти все значения х, при которых
1 2
Е---1---+ ГТП------< о <а< 1.
5—logax l + logax^
378. Решить уравнение sin* х cos* х = а. При каких а
решение существует?
379. Через точку М, лежащую внутри круга радиуса г,
проведены диаметр АВ и хорда CD, составляющая
угол а с диаметром и угол £ с хордой BD. Найти
площадь треугольника MBD.
380. Доказать, что отношение объемов 2 трехгранных
пирамид, из которых одна отсекается от другой плос-
костью, пересекающей ребра и не проходящей через
вершины, равно отношению произведений их ребер,
выходящих из общей вершины. Найти это отношение,
если большая пирамида является правильным тетраэд-
ром, а секущая плоскость перпендикулярна к одному
из ребер и проходит через середину высоты противо-
положной грани.
381. .Два сплава серебра и меди имеют одинаковую пробу
(пробой называется отношение веса серебра к весу
51
всего сплава). Если сплавить каждый из них с таким
количеством меди, которое содержится в другом, то
отношение проб новых сплавов будет равно т. Какова
первоначальная проба, если соответствующее отноше-
ние весов вновь полученных сплавов равно п. При
каких условиях задача разрешима.
Вариант 86
382. Найти все значения р, при которых корни уравне-
ния (р — 3) х2 — 2рх 4- 5р = 0 действительны и поло-
жительны.
383. Найти все корни уравнения sin a* sin 8а* —
— sin 4а* sin 5а* = 0. Исследовать знак корней в зави-
симости от а.
384. Угол при основании равнобедренного треугольника
равен а. В каком отношении делит площадь этого тре-
угольника прямая, делящая его основание в отношении
2:3 и составляющая с большим отрезком основания
угол
385. Определить плоский угол при вершине правильной
n-угольной пирамиды, если боковые ребра наклонены
к плоскости ее основания под углом а.
386. Имеется 4 сосуда. В одном сосуде находится р кг
водного раствора соли, в другом q кг. 3-й и 4-й со-
суды пусты. В первом сосуде весовое отношение соли
к воде равно а, во втором р. Из первого сосуда отли-
вают в третий, а из второго — в четвертый равные по
весу количества раствора. Затем содержимое 3-го со-
суда выливают во второй, а содержимое 4-го — в пер-
вый. После этого весовое отношение соли к воде
оказывается одинаковым в обоих сосудах. Сколько
раствора было отлито из каждого сосуда?
Вариант 87
387. Найти все значения х, при которых
1^1 1 п .
log„x "logax — 1 2’
388. Решить уравнение 2sin*x + cos4x = b. При каких Ь
решение существует?
52
389; Из точки Л, лежащей вне круга радиуса г, прове-
дены к окружности касательная АВ и секущая АС,
составляющая угол а с касательной и угол р—с хордой
ВС. Определить площадь треугольника АВС (С—бли-
жайшая к А точка пересечения секущей с окруж-
ностью).
390. В пирамиде ABCD грани BCD и АВС — равнобед-
ренные треугольники (АВ = AC, DB = DC). Плоскость,
проходящая через AD перпендикулярно ВС, образует
треугольник с углами аир (при вершинах А и D —
соответственно). Какую часть объема пирамиды отсе-
кает плоскость, параллельная ВС и пересекающая AD
под углом 7, отсекая отрезок DE — 4-ЛО?
о
391. В одной’руде отношение веса железа к весу породы
равно р. Каково весовое отношение железа к породе
в другой руде, если смесь первой руды со второй
в отношении а (а — отношение веса первой руды к весу
второй) имеет весовое отношение железа к породе
равное г? Какому условию должно удовлетворять р,
чтобы задача была разрешима при а= 1, г < 1?
Вариант 88
392. Расстояние между городами А и В пароход прохо-
дит по течению реки на 1 час быстрее, чем против
течения; катер проходит то же расстояние по течению
на 1-i час. быстрее, чем против течения. Катер про-
ходит от Л до В за то же время, за которое пароход
проходит от В до А. Найти отношение собственной
скорости парохода к собственной скорости катера.
393. На поверхности земли взяты два пункта А и В,
лежащие на одной широте 6 и имеющие долготы
и ф2* На сколько расстояние между пунктами Ли В,
измеряемое по параллели, превышает кратчайшее рас-
стояние между этими пунктами, измеряемое по дуге
большого круга. Землю считать шарообразной, длину
окружности ее большого круга равной 40000 км. Рас-
смотреть частный случай Л (45° с. ш., 10° в. д.),
В (45° с. ш., 100° в. д.).
394. В произвольном выпуклом шестиугольнике соединены
через одну середины сторон. Доказать, что точки пере-
53
сечения медиан двух образовавшихся треугольников
совпадают.
395. Решить систему
х2 у 4- 2у — у2 — 2ху = О,
logxy + 21ogyx = 3.
Вариант 89
396. Из Л в В одновременно выехали 2 автомобиля
с одинаковой скоростью. Первый повернул обратно,
как только он встретился с пешеходом, вышедшим из
В в 8 час. утра, а второй, доехав до В в 9 час. утра,
вернулся в .4 через 10 мин. после возвращения в А
первого автомобиля. Во сколько раз скорость автомо-
биля больше скорости пешехода?
397. В треугольной пирамиде ОАВС все плоские углы
при вершине О—прямые, а перпендикуляр, опущенный
из вершины на грань АВС образует с ребрами ОА,
ОВ и ОС углы а, р, т и по длине равен й.
Определить радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
398**. На касательной к окружности дащя две точки В
и С, симметрично расположенные относительно точки
касания А (В А = С А). Через точки В и С проводятся
две произвольные секущие ВВ2 и СС2, пересекающие
окружность соответственно в точках Вг и Ci. Через
В2 и Ci и С2, Вг проводятся прямые, пересекающие
касательную в точках D и В. Доказать, что DA = АЕ.
399. Решить систему
у2(х2 — 3)4-ух 4-1 =0,
у2 (Зх2 — 6) 4- ух 4-2 = 0.
Вариант 90
400. Трое рабочих должны выкопать канаву определенной
длины. Если канаву разделить на 3 равные части, то
первый кончит свою часть работы на час раньше вВ'Ь-
рого и на два часа раньше третьего. Если же первый,
закончив свою треть работы, станет помогать третьему,
то третий (вместе с первым) закончит свою часть
работы на 12 мин. раньше, чем второй закончит свою
треть. За сколько часов все трое закончат работу,
работая вместе?
64
401. В треугольной пирамиде О АВС все плоские углы
при вершине О—прямые, а перпендикуляр, опущенный
из вершины О на грань АВС, образует с ребрами ОА,
ОВ и ОС углы а, р, у и по длине равен h. Опреде-
лить радиус шара, описанного около этой пирамиды.
402. Доказать, что если у выпуклого шестиугольника
противоположные стороны параллельны и три диаго-
нали, соединяющие противоположные вершины, равны
между собой, то вокруг этого шестиугольника можно
описать окружность.
403. Решить систему
2 х2 у2 — 4 у2 — ху + 2 = 0,
Зх2у2 — 8у2 + 3ху — 2 = 0.
Вариант 91
404. Три трактора разной производительности вспахивают
два поля разной величины. Один третий трактор мо-
жет вспахать второе поле на 3 час. быстрее, чем
первый вспашет первое поле, но на 2 час. медленнее,
чем второй может вспахать первое поле. Первый и
второй тракторы вместе могут вспахать первое поле
на 6 час. быстрее, чем третий вспашет второе поле.
За сколько часов третий трактор вспашет второе поле?
405. В треугольной пирамиде ОАВС все плоские углы при
вершине О — прямые. Через центр М сферы, описан-
ной около этой пирамиды, проведена плоскость, парал-
лельная грани АВС и пересекающая ребра ОА, ОВ
и ОС соответственно в точках А', В', С'. Найти отно-
шение объема пирамиды ОА'В'С' к объему пирами-
ды ОАВС.
406. В прямоугольном треугольнике один из углов 60°.
Доказать, что три точки пересечения биссектрис внеш-
них углов с противоположными сторонами лежат на
одной прямой.
407. Решить систему
х2 (4 — Зу2) — 2 ху + 1 — 0,
х2 (2у2 — 2) — ху + 1 = 0.
Вариант 92
408. Со станции А в направлении к станции В в 8 час.
вышел скорый поезд, а в 9 час. — товарный. Со стан-
55
ции В в 9 час. вышел в направлении к А третий поезд,
который в 10 час. встретился со скорым, а в 11 час.—
с товарным. Товарный поезд прибыл в В на 4 час.
позже скорого. Когда третий поезд прибыл в Л?
(Каждый поезд двигался равномерно).
409. Дана пирамида ABCD. Строим новую пирамиду
А'В'CD' следующим образом: точки А', В' опреде-
ляем как симметричные точкам Л, В относительно
произвольной точки О’, лежащей на прямой АВ,
и точки С, D' определяем как симметричные точкам С,
D относительно произвольной точки О", лежащей на
прямой CD. Доказать, что объемы пирамид равны.
410. Доказать, что если #-ый, /-ый, m-ый и n-ый члены
арифметической прогрессии составляют геометрическую
прогрессию, то разности / — k, т — I, п — т состав-
ляют геометрическую прогрессию.
411. Через вершину В прямого угла прямоугольного
треугольника АВС проведена прямая I, не пересекаю-
щая гипотенузы. Из вершин Л, С опущены перпенди-
куляры ЛЛх, CCi на прямую /; точки Лх и Ci лежат
на прямой I. При каком значении угла <р — CBCi пло-
щадь трапеции А^АСС будет наибольшей?
Вариант 93
412. Два трактора разной мощности начали пахать поле
в 14 га в 7 час и кончили пахать одновременно.
Если бы первый трактор вспахивал в час на 0,1 га
больше, а второй начал бы работу на час раньше, то
работа была бы окончена на 1 час 12 мин. раньше.
Если бы второй трактор вспахивал в час на 0,1 га
больше, а первый начал бы работу на час раньше, то
работа была бы окончена на 1 час 4 мин. раньше.
В котором часу тракторы закончили работу?
413. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD, в которой
даны ребра АВ и CD и кратчайшее расстояние между
ними. При каком значении угла <р (между ребрами АВ
и CD) объем пирамиды будет наибольшим?
414. Дано: аи а2,..., ап — арифметическая прогрессия,
bi, b2,..., Ь„ — возрастающая геометрическая про-
грессия, bi > 0, п>20. Известно, что 620 = 020»
621 = «21- Доказать, что все остальные члены геометри-
ческой прогрессии больше соответствующих членов
арифметической прогрессии, т. е. Ьк>ак при любом k
(£#=20, £#=21).
415. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник
АВС, катет которого равен 1. Прямая I проходит
через вершину прямого угла АВС и не пересекает
гипотенузу треугольника. Из точек А и С опущены
перпендикуляры AAi и CCi на прямую I. Фигура
Л1ЛСС1 вращается вокруг прямой I. При каком зна-
чении угла f = CBCi объем тела вращения будет наи-
большим?
Вариант 94
416. 1-я и 2-я трубы наполняют бассейн в 260 л, 3-я и
4-я — бассейн в 370 л. 3-я труба подает на 45 л в ми-
нуту больше, чем первая, а четвертая вдвое больше,
чем вторая. Все 4 трубы открываются одновременно;
1-я, 2-я, 4-я закрываются одновременно, но позже
третьей, которая действует 2 мин. При этом оба бас-
сейна оказываются наполненными. Все 4 трубы вместе
подают 200 л в минуту. Сколько времени действовала
1-я труба?
417. В треугольной пирамиде ABCD даны два ребра
АВ = 8 см, CD =12 см, кратчайшее расстояние
d = 6 см т/мкру прямыми АВ и CD и объем пирамиды
и = 48 см3. Определить угол между АВ и CD.
418. При каких а уравнение
ах3 + 2 а (а — 1)х + а— 1=0
имеет вещественные решения?
419. Построить равносторонний треугольник АВС, если
дана его сторона а и известно, что две стороны АВ,
АС и биссектриса AD проходят соответственно через
три данные точки М, N, Р, лежащие на одной прямой.
Вариант 95
420. На складе было некоторое количество угля. Один
завод начал вывозить уголь со склада с 1/1X по а Т
в день, 2-й завод—начал с 10/IX и вывозил по b т
в день. К концу^дня 25/IX на складе осталась поло-
вина первоначального количества угля. Какого числа
весь уголь был вывезен, если оба завода получили
угля поровну?
57
421. В треугольной пирамиде ABCD даны два ребра
АВ — 6 см, CD = 8 см, угол между ними <р = 60° и
кратчайшее расстояние между ними 5 см. Определить
объем пирамиды.
422. Решить неравенство
423. Построить равнобедренный треугольник АВС(45 =
= ЛС), если две его вершины В, С находятся на дан-
ной прямой I, вершина А находится на данной пря-
мой т, параллельной /, и стороны АВ, АС проходят че-
рез данные точки М и N.
Вариант 96
424. Расстояние между городами Л и В пароход прохо-
дит по течению реки на час быстрее, чем он проходит
такое же расстояние в стоячей воде, и на 2г/2 час.
быстрее, чем против течения. За какое время пароход
проходит от Л до В по течению?
425. На диаметре круга радиуса К построены два круг?',
радиусов и /?2 (/?! Кг — К), касающиеся друг
друга внешним образом и данного круга изнутри.
Определить радиус круга, касающегося всех трех дан-
ных кругов.
426. Доказать, что если все двугранные углы треуголь-
ной пирамиды равны между собой, то все ее ребра
также равны между собой.
427. Решить систему
10!+ig <2х+у) — 2(5г
У2х + у + 2 ]/ 4х2 — у2 = 4 + 2у.
Вариант 97
428. В 9 час. утра велосипедист выехал из пункта А
в пункт В. Проехав 1/8 пути, он встретил другого
велосипедиста, выехавшего из В в 8 час. 24 мин.
Доехав до В, 1-й велосипедист повернул обратно,
а 2-й, доехав до А, повернул обратно и встретился
с 1-м на полпути между Л и В. Оба ехали без оста-
новок, каждый со своей скоростью. Когда 1-й вер-
нулся в Л?
58
429. Дана окружность 7 и точка А вне ее. Построить
окружность с центром в точке А, пересекающую
окружность 7 под углом ЗСГ.
430. Через вершину А куба, вписанного в шар, радиуса /?,
проведена плоскость, линии пересечения которой с гра-
нями куба, проходящими через ребро его АВ, состав-
ляют с этим ребром углы, равные а (а <45°). Найти
площадь поверхности наименьшего шарового сегмента,
отсекаемого данной плоскостью.
431. Решить систему:
х + 2у = 2,
(2х + 4у) 3* = 72.
Вариант 98
432. Из пункта А по реке вышла лодка в сторону пунк-
та В, а через полчаса — катер. Через 10 мин. катер
догнал лодку и перегнал ее. Как только катер прибыл
в В, оттуда вышел пароход, который встретился с лод-
кой на полпути между А и В. Лодка прибыла в В
через 2 час. после прибытия парохода в А. Сколько
часов шла лодка из А в В?
433. Доказать, что отрезки прямых, соединяющие сере-
дины противоположных ребер треугольной пирамиды,
пересекаются в одной точке.
434. Двугранный угол между боковыми гранями правиль-
ной четырехугольной пирамиды равен у. Найти отно-
шение полной поверхности пирамиды к поверхности
равновеликого ей шара.
435. Решить систему:
(х — у)1« <'+'-5) = 0,2; 1г<х-т/2х + 3 = 0,1.
Вариант 99
436. Три печатные машины различной производительности
должны отпечатать некоторое количество книг; 2-я ма-
шина, работая одна, могла бы выполнить весь заказ
на несколько часов быстрее, чем 1-я, а 3-я — на столь-
ко же часов быстрее, чем 2-я. 1-я и 2-я машины
вместе выполнили бы заказ за 24 час., а 1-я и 3-я
вместе — за 15 час. За сколько часов выполнят заказ
все три машины, работая вместе?
437. Правильный треугольник, площадь которого равна s,
59
повернут вокруг центра на угол а (0 < а< 120°).
Определить площадь общей части начального и конеч-
ного положений треугольника.
438. Доказать, что если противоположные ребра треуголь-
ной пирамиды попарно перпендикулярны, то все высо-
ты ее пересекаются в одной точке.
439. Решить систему
]/% + у + ]/2х + 4у = j/T + 4,
У % + 2у — У 2х + 2у = 2 У 2“ — 2.
Вариант 100
440. За 2,4 м ткани 1-го сорта, 3,6 м 2-го сорта и 4,8 м
3-го сорта заплатили 103 руб. 20 коп.; за 3,2 м
1-го сорта, 4,8 м 2-го сорта и 2,4 м 3-го сорта за-
платили 105 руб. 60 коп. Сколько надо заплатить за
1,8 м 1-го сорта, 2,7 м 2-го сорта и 7 м 3-го сорта?
441. Найти длину приводного ремня, натянутого без
перекрещивания на шкивы радиусов г и /?, лежащие
в одной плоскости, расстояние между центрами кото-
рых равно d(d>r-|-/?).
442. Дана плоскость Р и вне ее отрезок АВ. Каково
геометрическое место точек плоскости Р, из которых
отрезок АВ виден под прямым углом?
443. Решить систему
(Х2_ y2)lg(x-y) = ОД,
(х2 + 2ху + = 10 000.
Вариант 101
444. Два поезда отправляются одновременно навстречу
ДРУГ другу из Москвы и Тулы и каждый едет с по-
стоянной скоростью. Первый поезд в х час. проезжает
все расстояние от Москвы до Тулы, а второй поезд
за у час. — расстояние от Тулы до Москвы. В пути
они встречаются за т час. до приезда первого поезда
в Тулу и за п час. до приезда второго поезда в Москву.
Доказать, что х : у = У7п: У п .
445. Решить систему уравнений
arccos (3-4- ЗЛ =0, tg (Уху ] = 1.
^2х 2yj 9 s\4r zy
60
446. Найти коэффициент при Xs в разложении
(1 + X + х2 + х®)‘.
447. В треугольнике АВС дано отношение
tgЛ:tgB:tgC = 1:2:3.
Найти синусы этих углов.
448. Центры четырех шаров находятся в вершинах квад*
„ _ а
рата со стороной а. Радиус каждого шара равен .
Найти радиус круглого цилиндра, ось которого пер-
пендикулярна к паре параллельных сторон квадрата
и образует с плоскостью квадрата угол а, если из-
вестно, что этот цилиндр касается всех четырех шаров
и проходит между шарами.
Указание: рассмотреть проекцию в плоскость, перпендикуляр-
ную оси цилиндра.
Вариант 102
449. Некоторая сумма денег была положена в банк. По
истечение 8 месяцев за счет начисления процентов
сумма увеличилась на 240 руб., а через 15 месяцев
от начала вклада общий процентный прирост суммы
составил 471 руб. 60 коп. Сколько было положено
денег в банк и сколько процентов платит банк в ме-
сяц, если в течение года проценты начисляются на
вклад, а в следующем году на вклад, увеличенный за
счет процентов, начисленных в конце предыдущего
года?
450. Решить уравнение
sin х 4- cos х -f-sin 2х — 1 + V 2 .
451. При каких значениях а и а многочлен х34-ах-|-1
делится на (х — я)2 нацело?
452. В треугольнике АВС медианы, проведенные из вер-
шин А И' В, пересекаются в точке О под прямым
углом. Найти отношение площади треугольника АОВ
к площади треугольника АВС.
453. Центры трех шаров расположены в вершинах пра-
вильного треугольника со стороной а. Радиус каждого
а „ _
шара равен -% . Найти радиус круглого цилиндра, ось
61
которого перпендикулярна к одной из сторон треуголь-
ника и образует с его плоскостью угол а, если
известно, что этот цилиндр касается всех трех шаров
и проходит между ними.
Указание: рассмотреть проекцию в плоскость, перпендикуляр-
ную оси цилиндра.
Вариант 103
454. По окружности в одном направлении едут три вело-
сипедиста, каждый со своей скоростью. Они выехали
одновременно из точек А, В, С этой окружности. За
один час первый из них проехал дугу АВС, второй—
дугу ВС А и третий — дугу С АВ. Продолжая движение,
первый достиг В через 56 мин., второй достиг С через
50 мин., а третий через час не доехал 8 км др А.
Найти длины дуг АВ, ВС и СА.
455. Внутри треугольника АВС взята произвольная точ-
ка О. Через точку О проведены прямые, параллельные
сторонам треугольника: ЕК параллельна ВС, РМ
параллельна АС, ТХ параллельна АВ. Точки Е и Р
лежат на стороне АВ, точки К и Т — на стороне АС,
точки М. и X— на стороне ВС. Доказать, что
АР ВХ СК __
АВ'ВС'СА~ Ь
456. Стороны основания треугольной пирамиды равны
10,4 см, 11,2 см, 12 см‘, все боковые ребра равны
7,5 см. Найти высоту пирамиды.
457. Найти все решения системы
sin (2х + у) = 0,
sin(x 4- 2у) = 0,
заключенные между (F и 180°.
Вариант 104
458. Два охотника идут навстречу друг другу с одинако-
вой скоростью. От первого охотника ко второму бежит
собака. Добежав до второго охотника, она поворачи-
вает обратно и бежит к первому, затем опять ко вто-
рому и опять обратно к первому (без остановок и
с постоянной скоростью). Первый раз собака пробежала
62
туда и обратно за 9 мин., второй раз — за 4 мин.
Во сколько раз скорость собаки больше скорости
охотника?
459. Найти радиус шара, описанного около треугольной
пирамиды, одно из ребер которой равно с, а каждое
из пяти остальных равно 2с.
460. Доказать, что проекция куба на плоскость, перпен-
дикулярную одной из его диагоналей, является пра-
вильным шестиугольником.
461. Решить^ систему уравнений
х-}-у = 4, х1 +у* —
О
Вариант 105
462. От деревни А до станции В—10 км. Два человека
должны попасть из Л в В. Их вызвался подвезти
третий человек, имеющий мотоцикл. Но он может
взять лишь одного пассажира. Ради экономии времени
поступили так: мотоциклист с одним пассажиром
выехал из Л и одновременно с ними пешком отпра-
вился второй человек. Не доезжая станции В, первый
человек слез с мотоцикла и отправился дальше пешком,
а мотоциклист поехал обратно, встретил второго,
посадил его на мотоцикл и поехал с ним на станцию.
Туда он прибыл одновременно с первым. Оба человека
шли с одинаковой скоростью. Скорость мотоцикла
в 10 раз больше скорости человека. Найти, на каком
расстоянии от В мотоциклист высадил первого чело-
века.
463. В основании треугольной пирамиды с высотой Н
лежит равнобедренный треугольник со сторонами, рав-
ными а, а и с. Основание высоты пирамиды лежит
внутри основания пирамиды. В пирамиду вписан ци-
линдр так, что одно его основание лежит на основа-
нии пирамиды, а окружность другого касается всех
трех боковых граней. Диаметр основания цилиндра
равен его высоте. Найти высоту цилиндра.
464. Правильный тетраэдр спроектирован на плоскость,
параллельную дв^м его несмежным ребрам. Доказать,
что в проекции получится квадрат.
465. Доказать, что 3 sin х 4-4 cos х ни при каких х не
бывает больше 5.
63
Вариант 106
466. На железной дороге станция В расположена между
станциями А и С. Со станции В одновременно выхо-
дят два поезда. Первый поезд направляется в С,
а второй — в А. По прибытии в А второй поезд стоит
5 мин., затем отправляется обратно и без остановок
приходит в С. Скорости обоих поездов одинаковы.
Из пункта К, находящегося между станциями А и В,
выходит пассажир, которому нужно попасть в С. Он
может дойти пешком до В и сесть в первый поезд
или дойти до станции А и сесть во второй поезд. Во
втором случае он может выйти на полчаса позже, но
при этом попадет в С на 12 мин. позднее (считается,
что пассажир приходит на станцию к моменту отхода
поезда). От К до А—10 мин. ходьбы. Определить,
сколько времени нужно потратить на ходьбу от К
до В.
467. В треугольнике АВС сторона ВС равна 48 см, радиус
описанного круга равен 30 см. На сторонах АВ и АС
взяты точки К и Е, расстояние между которыми равно
28 см. Найти радиус круга, описанного вокруг тре-
угольника ARE.
468. Дана треугольная пирамида КАВС, в которой ребра
КА, КВ и КС попарно перпендикулярны,
АВ = ВС = х, ВК = у.
Найти радиус вписанного в пирамиду шара.
469. Доказать, что
^7+ /50 — —7 = 2.
Вариант 107
470. Два конькобежца выбегают одновременно: первый
из Л в В, второй из В в А, и встречаются на рас-
стоянии 300 м от А. Пробежав дорожку АВ до кон-
ца, каждый из них поворачивает назад и встречает
другого на расстоянии 400 м от В. Найти длину
дорожки АВ.
471. Решить систему уравнений
1§ах+ = С,
— 1g 1 У
х2 + а =2ас.
64
472. В треугольной пирамиде SABC ребро SA, равное а,
перпендикулярно к основанию АВС; АВ — АС; дву-
гранный угол при ребре SA равен а, а при ребре ВС
равен р. Найти радиус вписанного шара.
473. Решить уравнение
2sin3x — cos3x= 3cosx.
Вариант 108
474. Автобус курсирует между городами А и В, расстоя-
ние между которыми равно 40 км. Велосипедист,
выехав из А в В одновременно с автобусом, встретил
этот автобус, возвращающийся из В в А, через
2
10 х км после встречи автобус
и
1 час. 36 мин., а через
обогнал велосипедиста по пути от А к В. Найти ско-
рости велосипедиста и автобуса, пренебрегая временем
стоянок последнего.
475. Решить систему уравнений
Ыах1&>У= ЫаЬ,
а'еа,у = У~Х.
476. В треугольной пирамиде SABC ребро ВС равно а;
АВ = АС; ребро SA перпендикулярно к основанию
АВС; двугранный угол при ребре. SA равен а, а при
ребре ВС равен (3. Найти радиус описанного шара.
477. Решить уравнение
tgx—sinx = tg2x.
Вариант 109
478. Из города А в город В, отстоящий от А на 300 км,
выезжает автомобиль. Одновременно из В в А выез-
жает второй автомобиль, который встречается с пер-
вым на расстоянии 120 км от А. Первый, доехав до В,
сразу выезжает обратно в А, а второй остается в А
один час .и затем, выехав в В, встречается с первым
через 3 час. 36 мин. после выезда из А. Найти ско-
рость каждого автомобиля.
479. Решить систему уравнений
lgo** + lgj-a = 1,
lg У J
a v а = х*.
3 Зак. 3478
65
480. В треугольной пирамиде SABC ребро SC равное I
наклонено к основанию АВС под углом а; двугранный
угол при этом ребре равен ₽, а при ребре АВ — пря-
мой; ЗЛ = SB; AG = ВС. Найти радиус вписанного
шара.
481. Решить уравнение:
sin3 х sin Зх -J- cos3 х cos Зх = 0.
Вариант 110
482. Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии
105 км от А, выходит автобус. Через 1/2 час. вслед
за ним из А выходит автомобиль, который, догнав
автобус, поворачивает обратно и возвращается в А
в тот момент, когда автобус приходит в В. Скорость
автомобиля равна 40 км/час. Найти скорость автобуса
и расстояние от А до места нагона.
483. Решить систему уравнений
lga* + lga*y = 1.
ь х2 = 2а.
484. В треугольной пирамиде SABC высота, опущенная
из вершины 3 на основание АВС, равна h; SA = SB;
AC = ВС; ребро SC наклонено к грани Л ЗВ под уг-
лом а; двугранный угол при ребре ЗС’ равен р, а при
ребре АВ—прямой. Найти радиус описанного шара.
485. Решить уравнение
cos 4х -|- sin2 Зх = 1.
Вариант 111
486. Два тела Л и В, находясь первоначально друг от
друга на расстоянии 20 м, начали одновременно дви-
гаться в одну и ту же сторону. Скорость тела Л
в первую секунду равна 25 м, а в каждую следующую
секунду возрастаёт на */з м; скорость тела В в пер-
вую секунду равна 30 м, а в каждую из следующих
секунд на х/а * меньше. В начале движения тело А
находилось позади тела В. Через сколько секунй
тело Л догонит тело В?
487. В треугольной пирамиде ОАВС все плоские углы
при вершине О — прямые и длины ребер, выходящие из
этой вершины, ОА — а, ОВ = Ь, ОС = с. Определить
66
высоту h пирамиды, опущенную из вершины О на
грань АВС.
488. Из точки А к окружности с центром О радиуса г
проведены касательные АВ и АС, образующие угол а.
Определить площадь фигуры, ограниченной этими ка-
сательными и большей из двух дуг, на которые окруж-
ность разбивается точками касания.
489. Решить систему уравнений
1/Fy + Ky3x = 78,
х > 0, у>0.
Вариант 112
490. Смешали некоторое количество руды, содержащей
72% железа, с некоторым количеством руды, содер-
жащей 58% железа, и получили руду, содержащую
62% железа. Если бы для смеси взяли каждой руды
на 15 кг больше, то получили бы руду, содержащую
63,25% железа. Определить вес каждой из взятых
для смеси руд.
491. В треугольной пирамиде ОАВС все плоские углы
при вершине О — прямые и длины ребер, выходящих
из этой вершины, суть ОА = а, ОВ = Ь, ОС — с. Опре-
делить радиус шара, описанного около этой пирамиды.
492. Из точки А, лежащей на окружности с центром О
радиуса г, проведены две. равные хорды АВ и АС,
образующие угол а. Определить площадь фигуры,
ограниченной хордами АВ и АС, и той из двух дуг,
определяемых точками В и С на окружности, которая
не содержит точки А.
493. Найти действительные решения системы уравнений
_2 _ I 2 _ - 1.
/х + у У3+7у —у«
16____________10 1
/х+у /61 —(2у—7)а =
3» 67
Вариант ИЗ
494. Пешеход отправляется из пункта А по направлению
к пункту В. В то же время из пункта В в пункт А
выезжает велосипедист. Через 50 мин. они встрети-
лись, после чего пешеход прибыл в пункт В на 4 час.
позже, чем велосипедист в пункт А. Какова скорость
пешехода и велосипедиста (в км/час), если расстояние
между пунктами А и В равно 15 км?
495. В правильной треугольной пирамиде ОАВС все пло-
ские углы при вершине О—прямые и длины боковых
ребер ОА = ОВ — ОС — а. Определить радиус шара,
вписанного в эту пирамиду.
496. Середины смежных сторон правильного п-угольника
соединены отрезками. Найти отношение площади по-
лученного n-угольника к площади первоначального.
497. Решить уравнение
2х — 1g (52* + 4х —16) = 1g 4*.
Логарифмы считаются десятичными.
Вариант 114
498. Курьер, выезжающий из города А, должен успеть
в город В через 5 час. В то же время другой курьер
выезжает из города С и, чтобы успеть в город В
в одно время с первым курьером, должен проезжать
каждый километр на Р/4 мин. скорее, чем первый.
Расстояние от С до В на 20 км больше расстояния
от А до В. Определить последнее.
499. В правильной трехугольной пирамиде ОАВС все
плоские углы при вершине О — прямые, а длины боко-
вых ребер О А — ОВ = ОС = а. Определить ребро куба,
вписанного в эту пирамиду так, чтобы одна из вер-
шин куба совпадала с вершиной О пирамиды, три
ребра куба, выходящие из вершины О, шли по реб-
рам пирамиды, а вершина М куба, противоположная
вершине О, находилась на грани АВС пирамиды.
500. Круг радиуса г обложен снаружи п равными круга-
ми, каждый из которых касается данного круга и
двух соседних с ним кругов. Определить отношение
радиусов этих Кругов к радиусу данного круга.
501. Решить уравнение
(|/2 + /з)Х + (J/2-/3)' = 4.
68
Вариант 115
502. Водоем А наполняется через трубу 1, водоем В — через
трубу 2. Кроме того, по трубе 3 вода может перетекать
из А в В. Пропускная способность труб 1 и 2 одина-
кова. Водоем В наполняется одной трубой 2 за 30 мин.,
водоем А наполняется за 2 час., если открыть трубы
1 и 3. Если начать наполнять водоем А трубой 1 при
закрытых трубах 2 и 3, а, когда водоем А заполнится
наполовину, открыть все
трубы, то водоем В запол-
нится через 50 мин. после
начала наполнения водоема
А. За сколько времени на-
полнится водоем А трубой
1 при закрытой трубе 3?
503. Найти отношение площади
поверхности куба к площа-
ди поверхности прямого
кругового конуса, вписан-
ного в этот куб таким обра-
зом, что его вершина совпадает с вершиной куба,
центр основания совпадает с центром куба, а окруж-
ность основания касается граней куба.
504. Дана прямоугольная трапеция ABCD, у которой
= ^.В = 90°, АВ — 2CD. На отрезке CD, как на
основании, построена прямоугольная трапеция DCFE,
расположенная вне первой трапеции и подобная ей,
причем ^.EDC = ^FED = 90° и DC>EF. Точка Е
соединена с точками Л и В (черт. 1). При условии,
что треугольник АВЕ — правильный, найти отношение
площади четырехугольника EBCF к площади трапе-
ции ABCD.
505. Решить уравнение
sin х~sin х — 1 = ctg2 х.
Вариант 116
506. Имеется 3 сосуда. В первом сосуде находится 5 л
20 %-ного раствора кислоты, во втором—9 л воды и в
третьем — некоторое количество раствора этой же ки-
слоты. Из первого сосуда взяли один литр раствора,
69
перелили во второй сосуд и размешали. Затем взяли
1 л получившегося во втором сосуде раствора и пере-
лили в третий сосуд. После размешивания из треть-
его сосуда взяли 1 л и перелили во второй сосуд.
Наконец после размешивания перелили 1 л из второ-
го сосуда снова в первый. После этого
ie первом сосуде оказался 18 % -ный раствор.
Затем содержимое всех трех сосудов
слили вместе и размешали. При этом
получился 412/з%-ный раствор. Какова
была концентрация в третьем сосуде?
607. Четыре шара с одинаковыми радиуса-
ми равными R расположены так, что
каждый касается трех остальных. Найти
радиус шара, касающегося всех четырех
шаров.
608**. В равнобедренный треугольник с
основанием равным а и высотой равной
h вписаны две окружности так, что одна
касается всех сторон треугольника, а
другая касается боковых сторон и пер-
Черт. 2 вой окружности. Центр малой окруж-
ности и точки касания большой окруж-
ности с боковыми сторонами треугольника соединены
между собой отрезками. Получается треугольник
(черт. 2). При каком отношении а к h этот треуголь-
ник будет правильным?
Вариант 117
509. Имеются 2 чана, расположенных один над другим.
В первый чан, расположенный выше, поступает вода
через трубу А; из первого во второй вода может пере-
ливаться по трубе В; наконец, из второго чана вода
выливается через трубу С. Известно, что через трубу
А при закрытой трубе В первый чан наполняется
за 3 час. и через трубу В при закрытой трубе А он
опорожняется за 5 час. Если при пустых обоих ча-
нах открыть все три трубы, то за 7 час. наполнится
один из чанов. Если наполнить первый чан, а второй
оставить пустым и после этого открыть трубы В и С
(при закрытой трубе Л), то полностью оба чана опо-
рожнятся за 6 час. Какой из чанов больше и во
сколько раз?
70
glO. В правильный октаэдр с ребром- равным а вписан
шар. В этот шар вписан правильный октаэдр, в ко-
торый снова вписан шар, затем в последний снова
вписан октаэдр и
т. д. Найти сумму
объемов первых де-
сяти шаров, постро-
енных таким образом.
511. В правильном тре-
угольнике АВС каж-
дая из сторон разде-
лена на три равные
части: сторона ЛВ
— точками D и Е,
сторона ВС — точка-
ми В и G, сторона С А
— точками Н и I. Че-
рез!, М иМобозна-
Черт. 3
чены соответственно
точки пересечения пар прямых BI и CD, AF и СЕ,
AG и ВН (черт. 3). Найти отношение площади
&LM.N к площадй ДЛВС.
512. Решить уравнение
(tg x)COi'x
= (ctg x)?in x.
Вариант 118
513. Пешеход движется по шоссе со скоростью 5 км
в час. По шоссе в обе стороны с одинаковой скоро-
стью4 движутся автобусы, выходящие из конечных
пунктов через равные промежутки времени. Пешеход
подсчитал, что.за 2 час. число автобусов, попавших-
ся ему навстречу, оказалось на 4 больше, чем число
обогнавших его автобусов. При этом, когда пешеход
начал отсчитывать эти 2 час,, около него как раз
встретились 2 автобуса, идущие в противоположных
направлениях (их он еще не ^учитывал), а когда кон-
чил, то около него также встретились 2 автобуса
(эти автобусы были последними, которые он посчи-
тал). Пассажир, едущий в автобусе, замечает, что
встречные автобусы попадаются каждые 5 мин. Како-
ва скорость автобуса?
71
Б14. Найти площадь поверхности шара, описанного около
треугольной пирамиды со сторонами, соответственно
равными 1 см, 2 см, 10 см, 10 см, 10 см, 10 см.
515. В круг радиуса R вписана трапеция так, что рас-
стояние от центра круга до одного из ее оснований
вдвое меньше соответствующего расстояния до друго-
го основания. Найти периметр трапеции, если изве-
стно, что один из ее углов равен 60°.
516. Найти решения уравнения
4 cos (log, х) — 4cos* (log, V"x) _ o,
меньшие 1000.
Вариант 119
517. Два самолета одновременно вылетают навстречу
друг другу из городов Л и В, расстояние между ко-
торыми равно I км. Через час после вылета они встре-
тились и, не останавливаясь, продолжали свой путь,
причем первый прибыл в город В на t мин. рань-
ше, чем второй в город А. Найти скорости самоле-
тов.
518. Из вершины О куба выходят два луча, образующие
с ребрами куба, выходящими из этой вершины, уг-
лы «1, Pi, Ti и, соответственно, а2, р2, Тг- Опреде-
лить косинус угла между ними.
519. Решить систему
2х* = у* 4- г4, хуг = 8,
зная, что логарифмы lgyx, lgzy, lgxz образуют гео-
метрическую прогрессию.
520. Решить уравнение
ctg® х 4* 6 cosec 2х — 8 cosec3 2х — 0.
Вариант 120
521. В приемные устройства двух автоматов по расточке
поршневых колец (разной конструкции) было засы-
пано одинаковое количество, а именно, по N колец.
Через час после включения второго автомата выяс-
нилось, что первый выдал на р колец больше второ-
го. Автоматы, не останавливаясь, продолжали работу
до тех пор, пока у каждого из них не истощился^за-
пас колец, причем было установлено, что первый ра-
ботал на Т мин. меньше второго. Сколько колец в ми-
нуту вырабатывал каждый из них?
72
522. Зная длины а, Ь, с проекций трех ребер куба, вы-
ходящих из одной вершины на произвольную пло-
скость, определить углы между этими проекциями.
523. Найти сумму х5 + x-s, зная, что х + х~ 1 = k.
524. Решить систему
, 2
X + У =-д К,
sinx
sin у
Вариант 121
525. Из двух точек А я В окружности радиуса R, на-
ходящихся друг от друга на расстоянии р (вдоль
кратчайшей дуги АВ), одновременно в одну и ту же
сторону-вылетели два тела так, что двигались по окруж-
ности с постоянной (для каждого тела своей) ско-
ростью. Через t мин. после вылета одно из них на-
гнало другое и, не останавливаясь, оба продолжали
свой путь пока не закончили его в исходных точках,
одно на k мин. раньше другого. Найти скорости
этих тел.
526. Из вершины О куба выходят два луча, образующие
с ребрами куба, выходящими из этой вершины, уг-
лы a.i, ₽i, ух, и, соответственно, а2, ₽2, 7г- Определить
косинус угла между проекциями этих лучей на ка-
кую-нибудь грань куба.
527. Найти положительные корни системы уравнений
х2 -|- у2 = Зхуг, у2 4- z2 = 4хуг, z2 -|- х2 = 5xyz.
528. Решить уравнение
&|ПХ = ЛТ+_1_
COS X sin X
Вариант 122
529. На эскалатор метро длиной в L м спешили два
пассажира. Один взошел первым. Он стоял на эска-
латоре и спустился на т м вниз (считая вдоль эскала-
тора) пока на эскалатор не взошел второй пассажир.
Этот шел (с постоянной скоростью) и через t мин. после
вступления на эскалатор нагнал первого. Не останав-
ливаясь, он прошел дальше и пробыл на эскалаторе
на s мин. меньше первого. Найти скорости обоих пас-
сажиров относительно туннеля.
73
530. Диагональ прямоугольного параллелепипеда обра-
зует с двумя его ребрами, выходящими из конца диа-
гонали, углы аир. Определить косинус двугранного
угла между плоскостями, каждая из которых прохо-
дит через диагональ и одно из указанных ребер па-
раллелепипеда.
531. Решить уравнение
ii 1 1
IgaflxlgxOX = Iga* — ,
где а > 0.
532. Решить уравнение
5 sin 2х— 12 (sin х — cosx) + 12 = 0.
Вариант 123
533. ** Для перелета по прямой из города А в город В
и обратно в безветренную погоду самолету потребо-
валось в а раз меньше времени, чем для такого же
перелета при наличии ветра, дувшего под углом 45°
к прямой АВ. Во сколько раз скорость самолета от-
носительно воздуха больше скорости ветра?
534. Решить уравнение
cos3 х sin Зх 4- sin3 xcos Зх = 4-.
4
535. Даны три одинаковых окружности, каждая из ко-
торых касается двух остальных. В часть плоскости,
расположенную между этими окружностями, вложен
равносторонний треугольник так, что каждая его сто-
рона касается некоторой окружности, причем точками
касания являются вершины треугольника. Вычислить
отношение радиуса каждой из данных окружностей
к стороне треугольника.
536. Известно, что для арифметической прогрессии «1,
Sm i
а2).. .,ah,... имеет место равенство = — (sft — сум-
ма первых k членов прогрессии). Доказать, что — =
2т—I
~ 2п — 1 *
74
Вариант 124
537. Карманные часы идут быстрее, чем будильник. При
проверке в некоторый момент времени выяснилось,
что карманные часы отстают на а мин. от будильни-
ка. Если бы будильник шел на одну минуту в сутки
быстрее, чем он идет на самом деле, то первое сов-
падение показаний обоих часов (считая с момента
проверки) наступило бы на Т час. раньше, чем это
случилось на самом деле. Найти время, прошедшее от
момента проверки до первого совпадения показаний
обоих часов.
538. Решить уравнение
sin2x— sinx— cosx = 1.
539. Даны шесть шаров одного и того же радиуса, каж-
дый из которых касается четырех остальных так, что,
соединив их центры отрезками, мы получим октаэдр.
В часть пространства, расположенную между этими
шарами, вложен куб таким образом, что каждая его
грань касается некоторого шара своим центром. Вы-
числить отношение стороны куба к радиусу данных
шаров.
540. Даны арифметическая и геометрическая прогрессии
с положительными членами. Первые члены этих про-
грессий совпадают и вторые — тоже. Доказать, что
всякий другой член арифметической прогрессии не
больше соответствующего члена геометрической про-
грессии.
Вариант 125
541. На разных берегах канала с постоянным течением
воды имеется две пристани. А и В, расстояние между
которыми в два раза больше ширины канала. Для
поездки напрямик из Л в В и обратно катеру потре-
бовалось в k раз больше времени, чем для такой же
поездки по неподвижной воде. Найти отношение ско-
рости течения к скорости катера в неподвижной воде.
542. Решить уравнение
2cos2xcosx— 8cos*x4-7cosx= 1.
543. Вершины правильного шестиугольника являются
центрами одинаковых окружностей, каждая из кото-
рых касается двух соседних. В части плоскости, рас-
75
положенной между этими окружностями, лежит пра-
вильный шестиугольник так, что каждая его сторона
касается некоторой окружности, причем точками ка-
сания являются вершины шестиугольника. Вычислить
отношение стороны шестиугольника к радиусу окруж-
ностей.
544. Пусть числа ai, а2,. •., ак,... составляют геометри-
ческую прогрессию. Зная суммы 3 = ai 4- аг+ • •. +а„
и Т=—4* — + ..•+— найти произведение
Oi а» ап
Р = aia9... ап.
Вариант 126
545. Лодка по реке прошла йуть от пункта А до пунк-
та В с помощью мотора. Обратный путь был пройден
по течению на веслах, причем скорость на веслах от-
носительно неподвижной воды в р раз больше скоро-
сти течения воды в реке. Лодка находилась в пути
из Л в В и обратно k час. Если бы она из А в В
шла на веслах, а из В в А — с помощью мотора, то
на весь путь было бы затрачено Т час. За какое
время течение могло бы пригнать лодку из В в Л?
546. Решить уравнение
sinх 4- sin 2х 4- sin Зх = 14- cosx 4- cos2х.
547. Даны четыре шара одного и того же радиуса, каждый
из которых касается трех остальных. В части про-
странства между этими шарами лежит правильный
тетраэдр так, что каждая его грань касается некото-
рого шара своим центром (точка пересечения медиан).
Вычислить отношение радиуса данных шаров к ребру
тетраэдра.
548. Доказать, что для членов аг, а2,..., ап арифме-
тической прогрессии всегда выполняется равенство
С1 Од О2 On—I Оз On—2 Un Oi
2 / 1 1 _1_\
ai 4- о„ I oi т аа т " a J '
76
Вариант 127
549. По окружности длиною 720 см движутся равномер-
но с одинаковой скоростью и в одном направлении
несколько точек, находящихся на одинаковом рассто-
янии одна от другой. Наблюдатель, стоящий у окруж-
ности, отмечает, что промежуток времени между про-
хождением мимо наблюдателя двух соседних точек
равен 10 сек. Если бы точек было двумя больше, а
скорость каждой из них на 6 см меньше, то мимо
наблюдателя они проходили бы через тот же проме-
жуток времени. Сколько точек находится в движении
и какова их скорость?
550. В правильной пирамиде с квадратным основанием
через сторону основания проведено сечение перпенди-
кулярно к противоположной боковой грани. Найти
площадь сечения, зная длину бокового ребра равную
b и угол а наклона боковой грани к основанию.
Выяснить условие возможности построения сечения.
551. Отношение двух углов треугольника равно 2, а раз-
ность противоположных им сторон равна 2 м‘, третья
сторона равна 5 м. Найти длины сторон треугольника.
552. Решить систему уравнений
Ю2-ig (х-я _ 2,5,
1g (х —у)—21g2= 1—lg(x + y).
Логарифмы считаются десятичными.
Вариант 128
553. Два поезда отправляются одновременно из А и В
навстречу друг другу. Скорость первого поезда на
10 км/час больше скорости второго. Оба поезда встре-
чаются на расстояний 28 км от середины АВ. Если
бы первый поезд отправился из А на 45 мин. позже
второго, то оба поезда встретились бы на середине АВ.
Найти расстояние АВ и скорости обоих поездов.
554. В правильной треугольной пирамиде сторона осно-
вания равна а, а плоские углы при вершине равны а.
Найти радиус, шара, вписанного в пирамиду.
555. Около окружности с R = 10 см описана равнобоч-
ная трапеция. Расстояние между точками касания
77
боковых сторон равно 16 cjw. Найти площадь трапеции.
556. Решить систему уравнений
У ху (Ух 4- У у) = 6,
х + у = 9.
Вариант 129
557. Поезд через два часа после отправления со станции А
останавливается на один час, а затем продолжает
путь со скоростью, меньшей на 1/8 первоначальной
скорости, и вследствие этого прибывает на станцию В
с опозданием на Зх/г час. Если бы остановка про-
изошла на 180 км далее, то поезд прибыл бы в В
с опозданием лишь на Р/2 час. Определить расстоя-
ние АВ.
558. В правильной четырехугольной пирамиде даны бо-
ковое ребро b и угол а между противоположными
боковыми ребрами. Найти площадь сечения, проведен-
ного через, вершину основания перпендикулярно к про-
тивоположному боковому ребру. Выяснить условие
возможности построения сечения.
559. Два круга данных радиусов R и г касаются в точ-
ке С. К ним проведена общая внешняя касатель-
ная АВ, где А и В — точки касания. Вычислить пло-
щадь треугольника АВС.
560. Решить систему уравнений
4 ____4 -------
у х + у — у х — у = а (а > 0),
Vx + y + V*—y =-- &2
(b — действительное число).
Вариант 130
561. По окружности длиною 540 см движутся в одном
направлении равномерно две точки. Определить ско-
рости движения точек, если известно, что одна из них
пробегает окружность на 9 сек. скорее другой и что
через каждые 108 сек. положения точек совпадают.
562. В треугольной пирамиде боковые грани составляют
с плоскостью основания равные углы а. Определить
площадь основания, если полная поверхность пира-
миды равна Q.
78
563. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого
угла отсекает на гипотенузе отрезки р и q. Найти
длину этой биссектрисы.
564. Решить систему уравнений
gsin х + cos у _ |
25sto8 х + cos*y = 5.
Вариант 131
565. Известно, что 'число А в т раз меньше разности
чисел В й С, число В в п раз меньше разности чи-
сел Л и С, а число С в три раза больше разности
чисел А и В. Найти зависимость между тип.
566. Высота правильной треугольной пирамиды равна 1г,
а угол между боковыми гранями равен ср. Определить
объем пирамиды.
567. Решить уравнение
logCOS X sin х + logSin x cos x 4- 2 = 0.
Вариант 132
568. Артель рабочих прорывает канаву в 14 дней. Если
бы в артели было на 4 человека больше и каждый
работал бы на 1 час в день больше, то та же работа
была бы выполнена в 10 дней. При увеличении же
артели еще на 6 человек и рабочего дня еще на 1 час
вся работа была бы закончена в 7 дней. Сколько
человек было в артели и сколько часов в день они
работали?
569. Грани правильной усеченной треугольной пирамиды
касаются шара. Определить, отношение поверхности
шара к полной поверхности пирамиды, если боковые
грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания
под углом а.
570. Решить уравнение
1_______1_____1_______1_______1________1 3
sin2x cos2x tg2x ctg2x sec2x cosec2*
Вариант 133
571. Три числа, образующие арифметическую прогрессию,
в сумме составляют 24. Если большее из чисел уве-
79
личить на 4, то эти числа будут составлять геометри-
ческую прогрессию. Определить эти прогрессии.
Б72. Стороны равнобедренной трапеции касаются кругло-
го цилиндра, ось которого перпендикулярна парал-
лельным сторонам трапеции. Найти угол, который
образует ось цилиндра с плоскостью трапеции, если
длины оснований трапеции равны а и Ь, а высота
трапеции равна h.
573**. Решить уравнение
1 —ах - Г 1 + Ьх
14-ах V 1 — Ьх
(а>0, 6>0).
Вариант 134
574. Найти четыре числа, из которых первые три со-
ставляют геометрическую прогрессию, а последние
три — арифметическую; сумма крайних чисел равна 14,
а сумма средних — равна 12.
575. Шар радиуса R вписан в пирамиду, имеющую своим
основанием ромб с острым углом а. Двугранный угол
при основании пирамиды равен р. Определить объем
пирамиды.
576. Решить уравнение
Х2 _|_______ = 7
+ (3 + *)а
Вариант 135
577. Найти первый член и знаменатель бесконечно убы-
вающей геометрической прогрессии, если известно,
что сумма ее членов равна 3, а сумма квадратов ее
членов равна 10.
578. От правильной четырехугольной призмы с полной
поверхностью 8 плоскостью, проходящей через диаго-
наль нижнего основания и одну из вершин верхнего
основания, отсечена пирамида. Найти ее поверхность,
если угол при вершине треугольника, получающегося
в сечении призмы плоскостью, равен а.
579. Решить уравнение
Iog212х— 51 + Iog2| х + 20| = .
80
Вариант 136
580. Число членов геометрической прогрессии четно. Сум-
ма всех ее членов в три раза больше суммы членов,
стоящих на нечетных местах. Определить знаменатель
прогрессии.
581. Квадрат ABCD расположен в плоскости Q, накло-
ненной к плоскости Р под углом <р. Сторона АВ обра-
зует с плоскостью Р угол а. Какой угол 0 образует
с этой плоскостью сторона AD.
582. Решить уравнение
х —2 +2 + 2 = 0.
Вариант 137
583. Два самолета вылетают одновременно из пункта Л,
летят с разными, но постоянными скоростями в пункт В
и, достигнув его, немедленно поворачивают обратно.
Первый самолет, обогнав второй, встречает его на
обратном пути на расстоянии а км от В, затем, до-
стигнув А и снова повернув обратно -к В, он встре-
чает второй самолет, пролетев расстояние, составляю-
щее -i- расстояния от А до В. Найти расстояние от А
585.
до В.
584. В конус вписан шар радиуса г. Найти объем
если известно, что плоскость, касающаяся
перпендикулярная к одной из образующих
отстоит от вершины конуса на расстоянии d.
Решить уравнение
. . ч log, (1 + х) —log, X—у log, (х« + 2х + 2)
Т =8'
конуса,
шара и
конуса,
Вариант 138
586. Два поезда выезжают одновременно из пунктов А
и В навстречу друг другу и встречаются на расстоя-
нии р км от В. Через t час. после встречи второй
поезд, миновав пункт А, находился в q км от него,
а первый в это время, миновав пункт В, находился
от второго поезда на расстоянии в два раза большем,
чем расстояние между пунктами А и В. Найти ско-
рости поездов и расстояние между А я В.
81
587. Через одно из ребер основания правильной треуголь-
ной пирамиды со стороны основания а проведена
плоскость перпендикулярно к противолежащему боко-
вому ребру, делящая это ребро в отношении т: а.
Определить полную поверхность пирамиды.
588. При каком значении т уравнения
2x2 — (Зт + 2)х+ 12 = 0,
4х2 — (9/п — 2) х + 36 = 0
имеют общий корень?
Вариант 139
589. Имеются три слитка золота, пробы которых соответ-
ственно таковы: 0,800; 0,720 и 0,450. Если сплавить
вместе первый и третий слитки, то получим слиток
с пробой 0,695; если же сплавить два последних слитка
и прибавить 24 г чистого золота, то получим слиток
с пробой 0,600. Наконец, если сплавить все 3 слитка,
то получим слиток пробы 0,700. Каков вес каждого
слитка?
590. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды,
сторона основания которой равна d, а плоский угол
при вершине равен углу наклона бокового ребра
к плоскости основания.
591. Решить уравнение
/Г' = (^7)'.
Вариант 140
592. Найти арифметическую прогрессию, у которой сумма
любого числа членов, начиная с первого, в два раза
меньше квадрата числа взятых членов.
593. На высоте конуса, как на диаметре, описан шар.
Определить объем части шара, заключенной внутри
конуса, если известны высота конуса h и угол ф между
образующей конуса и плоскостью его основания.
594. Решить уравнение
V 3 log2 (— х) = log2 YX2.
82
Вариант 141
595. Две бригады школьников сажали «друктовые деревья.
В первой бригаде было на 3 человека меньше, чем
во второй, но каждый посадил на 2 дерева больше,
чем во второй бригаде. В результате обе бригады по-
садили по 180 деревьев. Сколько школьников было
в каждой бригаде?
596. Плоскость, проходящая через центр шара, вписан-
ного в прямой круговой конус и параллельная осно-
ванию его, делит объем конуса пополам. Под каким
углом наклонены образующие этого конуса к плоскости
основания?
597. Решить систему уравнений
logs (log2 х) 4- log^ /log_i_ у\ = 1,
3 \ 2 )
ху2 = 4.
Вариант 142
598. На протяжении 36 м переднее колесо экипажа де-
лает на 20 оборотов больше заднего. Если окружность
переднего колеса увеличить на 6 дм, а окружность
заднего уменьшить на 6 дм, то на том же протяже-
нии переднее колесо сделает на 8 оборотов больше
заднего. Найти длины окружностей обоих колес.
599. Боковые ребра правильной четырехугольной пира-
миды наклонены к основанию под углом а; апофема
пирамиды равна т. Найти объем конуса, описанного
около пирамиды, и его полную поверхность.
600. Решить систему уравнений
х + У + х2 + у2 = 8,
ху 4* х2 + у2 = 7.
Вариант 143
6Д1. Полная поверхность прямоугольного параллелепипе-
да равна 192 ел2; если уменьшить каждое из ребер
на 1 см, то полная поверхность уменьшится на 70 см2.
Найти длину диагонали параллелепипеда.
602. Основанием конусов, вписанных в сферу радиуса /?,
служит круг, площадь которого равна одной двенад-
83
цатой площади поверхности этой сферы. Найти объемы
обоих конусов.
803. Решить систему уравнений
20х1о8» у + 7y,ogi* = 81 уЗ,
ху = 9 9.
Вариант 144
604. Из пункта М в пункт N вышел товарный поезд.
Спустя 5 час. 5 мин. из N в /И вышел пассажирский
поезд. Оба поезда встретились в пункте А. От А до N
товарный поезд шел 12 час. 55 мин., а пассажир-
ский от А до М шел 4 час. 6 мин. Сколько времени
употребил каждый поезд на прохождение всего пути
между М и JV?
605. Через ребро основания правильной четырехугольной
пирамиды проведена плоскость, отсекающая от противо-
положной грани треугольник с площадью Si. Найти
боковую поверхность пирамиды, отсеченной плоско-
стью от данной пирамиды, если боковая поверхность
данной пирамиды равна 4s.
606. Решить уравнение
___i_ _j_ __1_
4 «4-6 « =9 х.
Вариант 145
607. Определить бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию, в которой второй член равен 6, а сумма
членов равна 1/8 суммы квадратов ее членов.
608. Правильная шестиугольная пирамида пересечена
плоскостью, параллельной боковой грани и проходя-
щей через центр основания; сторона основания равна а;
апофема пирамиды равна к. Найти площадь сечения.
609. Решить уравнение
1
—/-
2 (2^« + з) 2 — Г = 0.
Вариант 146
610. Самолет летит из А в С по ломаной АВС; угол В
прямой. Остановка в В длится столько же, сколько
путь от В до С. Одновременно с первым из А. вылетел
84
второй самолет, скорость которого вдвое меньше. Он
летел по прямой АС без остановок и прибыл в С
одновременно с первым. Какую часть пути АС проле-
тел второй за время остановки первого в В?
611. В треугольной пирамиде ОАВС все плоские углы
при вершине О прямые, а перпендикуляр, опущенный
из вершины О на грань АВС, образует с ребрами ОА,
ОВ и ОС углы соответственно равные а, р, у и имеет
длину h. В эту пирамиду вписан куб так, что одна
из вершин куба совпадает с вершиной пирамиды О,
три ребра куба, выводящие из этой вершины, идут
по ребрам пирамиды, а вершина М куба противопо-
ложная О лежит на грани АВС. Вычислить длину
ребра куба.
612. Решить систему уравнений
fa + 2y = 2, (2х + 4у) 3* = 72.
Вариант 147
613. По окружности длиной 384 м равномерно движутся
в одном направлении две точки. Одна из них обходит
окружность на 16 мин. скорее другой, и при этом
движущиеся точки совпадают между собой каждые
32 мин. Найти скорости движения точек.
614. Решить неравенство
+ !)•(•* + 3)> 1.
615. Пусть в треугольнике АВС угол А прямой, а угол В
меньше 45°. Найти угол В, если известна длина с ка-
тета АВ и расстояние т между центром О описанной
окружности и основанием Н высоты, опущенной на
гипотенузу. При каком условии задача разрешима?
616. В тетраэдре (треугольной пирамиде) ОАВС ребра
ОА, ОВ, ОС попарно перпендикулярны. Найти длины
ребер ОВ и ОС, если известна длина а ребра ОА,
площадь s треугольника АВС и объем v рассматри-
ваемого тетраэдра. При каком условии задача разре-
шима?
617. Решить систему уравнений:
sin-£-=l, |х| + |у| = 3.
85
Вариант 148
618. Сосуд объемом 30 л наполнен спиртом. Из него
отливают некоторое количество спирта в другой сосуд
такого же объема и, дополнив остальную часть вто-
рого сосуда водой, дополняют этой смесью первый
сосуд. Затем из первого сосуда отливают 12 л полу-
чившейся там смеси во второй, после чего в первом со-
суде оказывается на 2 л спирта меньше, чем во втором.
Сколько отлито первоначально спирта из первого
сосуда во второй?
619. Найти сумму всех различных чисел, которые можно
получить из числа 22 731, переставляя в нем цифры
всевозможными способами.
620. В треугольнике АВС разность углов В и С равна
Найти угол С этого треугольника, зная, что
сумма сторон Ь и с равна k, а высота, опущенная из
вершины А, равна h. При каких условиях решение
возможно?
621. ACD и BCD — два. равнобедренных треугольника
с общим основанием CD = 2а. Вычислить радиус сферы,
описанной около тетраэдра ABCD, если известно, что
грани треугольников ACD и BCD взаимно-перпенди-
кулярны, а ребра AC, AD, ВС, BD равны между
собой и имеют длину равную Ь.
622. Найти все значения т, при которых уравнение
sin2x + 4 sin х + т = 0
имеет решение. Найти эти решения.
Вариант 149
623. Катер переплывает реку, двигаясь по прямой, перпен-
дикулярной к берегу. Если собственную скорость
катера уменьшить вдвое, то время переправы увели-
чится в т раз. Во сколько раз собственная скорость
катера больше скорости течения реки. При каких т
решение возможно?
624. Найти все действительные значения х, при кото-
рых выполнено неравенство
1 —/1—8х2
2х <
86
625. В треугольнике АВС даны радиус R описанной
окружности, угол А и известно, что высота АА'
равна R. Вычислить углы В и С. При каком условии-
решение возможно?
626. В тетраэдре (треугольной пирамиде) ОАВС ребра
предполагаются неограниченно продолженными во всех
направлениях. Пусть р — плоскость, параллельная гра-
ни ABC; Р, Q и R середины ребер ВС, СА и АВ; А',
В', С' — точки пересечения плоскости р с ребрами О А,
ОВ, ОС или с их продолжениями. При каком поло-
жении плоскости р прямые А'Р, B'Q, C'R параллель-
ны между собой?
627. Найти все значения т, при которых уравнение
cos4x — 6 cos2x /и2 = О
имеет решения. Найти эти решения.
Вариант 150
628. Три трактора разной производительности вспахивают
два поля разной величины. Один третий трактор мо-
жет вспахать второе поле на 3 час. быстрее, чем первый
вспашет первое поле, нр на 2 час. медленнее, чем
второй может вспахать первое поле. Первый и второй
тракторы вместе могут вспахать первое поле на 6 час.
быстрее, чем третий вспашет второе поле. За сколько
часов третий трактор вспашет второе поле?
629. Доказать, что если действительные числа х, у,
z (х ф 0, у ф 0, 2^0) удовлетворяют соотношениям
x + y + z=xyz и х2 = yz, то х2 3.
630. Вычислить углы В и С треугольника, если даны
длина а стороны ВС, угол Л и высота h, опущенная
из А на ВС. При каком условии решение возможно?
631. Ребро 5Л тетраэдра (треугольной пирамиды) SABC
перпендикулярно плоскости грани АВС; треуголь-
ник АВС прямоугольный (угол В равен 90°) и 5Л =
= АВ в ВС. Вычислить внутренний двугранный угол
с ребром SC.
632. Доказать, что, если | sin х | = | k sin у |, где | k | < 1, то
произведение sin (х + у) sin (х — у) не меняет знака.
Вариант 151
633. Два сосуда Л и В содержат одинаковое количество
воды. В сосуд Л вливается литр спирта, после чего
87
литр смеси выливается в сосуд В; затем из сосуда В
выливается рдин литр смеси, после чего в сосуде В
остается 0,16 л спирта. Определить, сколько воды
было в сосуде А вначале.
634. Доказать, что если х, у, z действительные числа,
удовлетворяющие равенствам
х + У + == 5, yz + zx + ху = 8,
то
635. Даны длины Ь и с сторон треугольника АВС и
известно, что разность углов В я С равна 90°. Вы-
числить длину стороны ВС.
636. В пространстве даны 5 точек А, В, С, D, Е, из
которых никакие 4 не лежат в одной плоскости.
Пусть Р — середина АЕ", Р'—середина CD", Q — точ-
ка пересечения медиан треугольника BCD, a Q' —
точка пересечения медиан треугольника АВЕ. Дока-
зать, что отрезки PQ и P'Q' пересекаются. В каком
отношении делит их точка пересечения?
637. Доказать, что
a • 2*4- b • Зу + 1 У"4^4-9>-4-1 }/as + ^+l,
где а^>0, Ь>0. При каких значениях х и у имеет
место знак равенства?
Вариант 152
638. Пусть аъ а* а3,...,ап— некоторая перестановка
из чисел 1, 2, 3,..., п. Рассмотрим всевозможные
пары чисел:
(Я1, а2); (С1, Яз): • • •; (аи а„у,
(а2, а3); • • •; (я2, а„)",
(Оп— 1» Яд)-
Числом инверсий в перестановке аи а2, а3,... ,ап на*
зывается число тех из указанных пар, в которых боль-
шее число предшествует меньшему. Подсчйтать сумму
чисел инверсий во всех перестановках из чисел 1, 2,
3,..., п.
639. Решить неравенство
У х 4-6>Ух+ 1 4- у2х — 5.
88
640. В треугольнике АВС даны угол А, противополож-
ная ему сторона а и опущенная на нее из вершины А
высота равная . Вычислить углы В и С. При каком
условии задача разрешима?
641. Ох и Ог — две данные точки пространства. Найти
геометрическое место окружностей, по которым пере-
секаются сферы с центрами в этих точках, при условии,
что сумма поверхностей этих сфер равна данному
числу k.
642. Найти все значения т, при которых система
sinxcos2y = m2+ 1, cosxsin2y=3m
разрешима, и решить эту систему.
Вариант. 153
643. В бассейн проведены 4 трубы. Когда открыты 1-я,
2-я и 3-я трубы, бассейн наполняется за 12 мин.; когда
открыты 2-я, 3-я и ,4'Я трубы — за 15 мин.; когда
открыты только 1-я и 4-я трубы — за 20 мин. За .какое
время наполнится бассейн, если открыть все 4 трубы?
644. Доказать,, что при любом целом п>0 число 4я+
+ 15п — 1: а) делится на 3, б) делится на 9.
645. Внутри угла А дана точка М. Провести через Л1
прямую I так, чтобы она отсекала от заданного угла
треугольник наименьшей площади. Указать способ
построения прямой I.
646. В правильную треугольную усеченную пирамиду
вписан шар радиуса г, касающийся всех 5 граней
пирамиды; боковое ее ребро равно стороне меньшего
основания. Найти объем этой усеченной пирамиды.
Вариант 154
647. Пять человек выполняют некоторую работу. Первый,
второй и третий, работая вместе, могут выполнить
эту работу за 7х/г час»; 1-й, 3-й и 5-й — за 5 час.; 1-й,
3-й и 4-й — за 6 чГас.; 2-й, 4-й и 5-й — за 4 час. За
какое время выполнят эту работу все 5 человек,
работая вместе?
89
648. Дано, что — + Д- 4- — = —тД—;—. Доказать, что
а b с а+Ь+с
тогда сумма некоторых двух чисел из а, b и с обя-
зательно равна нулю.
649. Точки А, В,. С и £> лежат на некоторой окружности
(в порядке обхода против часовой стрелки). Найти
геометрическое место точек касания окружностей,
проходящих через А, В и соответственно, С, D.
6S0. Найти сторону куба, вписанного в правильную тре-
угольную пирамиду, сторона основания которой рав-
на а, а боковое ребро Ь. Четыре вершины куба лежат
на основании пирамиды, четыре другие — на боковых
гранях.
Вариант 155
651. Сосуд снабжен 4 кранами. Если открыты все 4 кра-
на, сосуд заполняется жидкостью за 4 час.; 1-й, 2-й,
и 4-й краны заполняют его за 5 час., а 2-й, 3-й и 4-й —
за 6 час. За какое время заполнят сосуд Ии 3-й
краны?
652. Найти такое трехзначное число abc, чтобы четырех-
значные числа abcl и 2abc удовлетворяли равенству
abcl = 3 • 2abc.
653. Дана прямоугольная трапеция с высотой Н. На
наклонной боковой стороне, как на диаметре, строится
полуокружность и оказывается, что она касается верти-
кальной боковой стороны. Вычислить площадь прямо-
угольного треугольника с катетами, равными основа-
ниям трапеции.
654. От правильной треугольной призмы АВС А’В'С плос-
костью А’ВС отрезана пирамида. В оставшееся тело
вписан шар, касающийся всех, его пяти граней. Радиус
шара равен г. Найти объем призмы.
Вариант 156
655. Первый раствор содержит 6% (по весу) вещества А,
16% вещества В и 4% вещества С, второй раствор
соответственно IS?^, 9%, 10%, третий 3%, 5%
и 2%. В каком отношении надо смешать эти раство-
ры, чтобы получить раствор, содержащий 12% ве-
щества А, 10% вещества В и 8% вещества С?
90
656. Решить уравнение
sin2x + sin 2х sin 4х + ... + sin пх sin TPx = I.
657. Сторбны a, b и с треугольника лежат, соответствен-
но, против угов А, В и С. Доказать, что биссектриса
угла А
2bc cos у
Ьа= Ь-\-с *
Пользуясь этой формулой, доказать, что треугольник
с двумя равными биссектрисами равнобедренный.
658. В треугольной пирамиде боковые ребра равны а, b
и с, а все плоские углы йри вершине прямые. Найти
сторону куба, вписанного в пирамиду так, что одна
из его вершин совпадает с вершиной пирамиды, а
противоположная вершина лежит на основании.
Глава II
УПРАЖНЕНИЯ, ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ К ПРОГРАММЕ
ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ
В ВЫСШИЕ УЧЕБНЫЕ ЗАВЕДЕНИЯ
§ 1. Действительные и комплексные числа
1, Сформулировать и доказать правило обращения перио-
дической десятичной дроби в обыкновенную.
2. Дать определение функции у = ах.
3. Сформулировать определение абсолютной величины
(или модуля) действительного числа.
4. Построить графики линий, заданных следующими
уравнениями:
1) | х | + |х— а| + |у| = а, а>0;
2) |х| + |у| = 1;
3) |2у — 1 | + |2у+ 1| +^=|х|= 4;
И
4) |х| + |у|-|-р={|х—у|4- |х + у|} =/2 + 1;
5) ||xl-|у|| = 1;
6) ||х| + 1|у|-3|-3|= 1;
7) |yl = ^(|х| — х);
8) || х—11—-11 = 11| |у | —-3| — 11 —1;
9) Доказать, что 2| у — z|+|2x— у — z — |у—z||-|-
+ |2х — у — z 4-1 у — г 11 = 4 (max (х, у, г) —
— min(x, у, z)},
92
где max [х, у, г} означает наибольшее из чисел
х, у, z, a min {х, у, г} наименьшее из этих чисел.
5. Что называется арифметическим значением У а, где а—
действительное положительное число? _
Доказать, что арифметическое значение j/a2, где а
действительное число равно |а |.
6. Введем следующее обозначение
sgna =
1, если а>0;
— 1, если а<0;
О, если а = О
(sgna читается так: «сигнатура а»).
Доказать, что
| а | = a-sgna,
у/а2 = a-sgna,
•ly!- = j-щ- = s gn а (если а #= 0).
7. Доказать, ,что:
1) (cos a + i sin a) (cos P + i sin P) = cos (a + P) +
-f- i sin (a + P),
cosa-f-isina . o. . . . . D.
2) --o~ ' • o' = cos (a — P) + i sin (a — P),
' COS P + I Sin P v r/ ' r/
3) (cos a + i sin a)n = cos na + i sin no.
(n — целое число; применить метод полной ин-
дукции для п — целого положительного).
8. Найти все л значений
у' cos a +/ sin a ;
как располагаются на плоскости точки, соответствую-
щие этим значениям корня?
9. На плоскости построены две точки Mi(xi,yi) и ЛМ-^.У-г),
соответствующие комплексным числам zx = Xi + iyi и
z2 = х2 + iy2. Где находится точка, соответствующая
числам:
1) 21 4"
2) 2" (21 "Ь 2г)’
3) pZi + qz2, где р + q = 1;
93
typzi+qzi, где p +<7 = 1; P>0, ?>0;
5) ргг + qz2 + rz3,
где p + q + r= 1, p>0, <7>0, r>0;
7) Zi (zi — комплексное число, сопряженное zx).
10. Выполнить указанные действия:
n 1 + t tg а ,
1 — i tg a
ox Q + bi .
’ a —bi ’
(1 — О*— 1
(1 + {)5 + 1
(1 + O9
(1-
5)(-v +
' JU
//З\3.
2 ) ’
i /3 V,
2 / ’
7) {a + be 4- ce2)3 + (a + &e2 4- ce)3,
1 , iV3
где e = --4--2-
11. Вычислить:
1) ]/27; 2) /=78/;
4) /—15 4-8Z; 5) /—3 —4z;
3) /3 —4i;
6) /—11 4- 66Z;
9) 2—t/T2.
7)]A — Z/3; 8)^—1;
12. Представить в тригонометрической форме следующие
комплексные числа:
1)1; 2) —1; 3) i;
5) 1 4- i; 6) — 1 4- i; 7) — 1 —«;
9)—3; 10)3 4-4<; 11) 3 — 4i;
13) — 3 —4i.
4)-«;
8) 1 4-^/3;
12) -34-47;
94
13. Найти геометрическое место точек, соответствующих
числам г, удовлетворяющих соотношениям:
1) 1*1 = 2;
2) |z|<2;
3) | z — Zi | = 3 (zx — данное число);
4) |z — i|<l;
5) | z — Zi | = | z — z21 (zi и z2 — данные числа);
6)
z — Zi
z — z2
7) |z — Zi|2 — |z — z2|2 = k.
14. Вычислить
= k (k — данное положительное
число);
15. Вычислить суммы:
3) Уз + 4i.
А = cosx + 2cos2x + 3cos 3x -f- ... + ftcosnx;
В — sin x + 2 sin 2x + 3 sin 3x + ••• + n sinn x.
Указание: составить выражение A + Bi\ заметить, что для
вычисления сумм вида 1 + 2а + За2 +... + па"-1 полезно это
выражение умножить на 1 — а.
Просуммировав таким образом А + В/, отделить действительную
часть (это будет А) от мнимой (коэффициент при i будет В).
16. Известно, что при 0<^х<^^ имеют место сле-
дующие неравенства
х3 х5
x-r<sinx<x-T + -i25,
1 -2-<cos*<l '2'^24
(х выражен в радианах). Как надо вести вычисления
для того, чтобы быть абсолютно уверенным в размерах
допущенной погрешности? Провести такие вычисления
Для
* = Г0<= 1П
17. Известно, что величины х и у изменяются в пределах:
2,311 <х< 2,312,
3,501 <у< 3,502.
95
В каких пределах будет изменяться выражение
ху — 2х + У
х2 — У + х
(см. предыдущую задачу).
18. Совершенным числом называется целое положитель-
ное число, равное сумме всех своих делителей (само
число исключается), например:
6=1+24-3,
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, ...
— числа совершенные. Доказать, что если 2ra+I — 1 —
число простое (т. е. делящееся только на 1 и на само
себя, то 2Л (2й+‘ — 1) — число совершенное. Следует ли
отсюда, что множество совершенных чисел бесконечно?
19. Является ли соотношение
а' = а
определением или его можно доказать?
20. Какой принципиальный дефект имеет геометрическая
теория исследования системы двух линейных уравне-
ний с двумя неизвестными?
21. Дано: а>0, &>0. Построить с помощью операций
сложения, вычитания, умножения и деления над чис-
лами а и b число с>0 такое, что с<а и с<Ь.
22. Пусть точка г описывает окружность. Какую линию
при этом описывает точка
, az + b
г ~ —г*7 »
cz + а
где а, Ь, с, d — данные комплексные числа, причем
ad — be #= 0.
23**. 1°. Доказать, что всякое простое число не равное 2
может быть представлено, и притом только одним
способом, в виде разности квадратов двух нату-
ральных чисел.
2°. Доказать, что всякое нечетное число, не являю-
щееся простым, может быть, вообще говоря, пред-
ставлено двумя способами в виде разности двух
квадратов натуральных чисел. В каких случаях
96
мы будем иметь исключение? Приложить к числам
25, 125, 225.
3°. Каково необходимое и достаточное условие, при
котором четное число может быть представлено,
по крайней мере, одним способом, в виде разности
двух квадратов натуральных чисел?
П р и л о ж е н и е. Представить всеми возможными
способами каждое из чисел 672 и 1344 в виде разности
квадратов двух натуральных чисел.
4°. Сколькими способами можно представить число
N = 2npaif^ ... р“« (pi, р2, .... Рп~простые числа,
отличные от 2; т, аи а2......а„ — целые неотрица-
тельные числа) в виде разности квадратов двух
натуральных чисел?
§ 2. Преобразование алгебраических выражений
Будем называть формой однородный многочлен отно-
сительно входящих в него букв (например, 2х-|-Зу, х24-
4-5ху-|-У2» Xs — Зх2у—формы, х2 + у — не форма).
Формы первой степени (2х-|-Зу, х — 5у,...) будем назы-
вать линейными, формы второй степени (х2 + 2ху4-3у2, ...)
квадратичными и т. д.
1. Разложить в произведение линейных форм относи-
тельно хну следующие формы:
1) х8 + у3;
2) х8 —у3;
3) х4—у4;
4) х44-у4;
5) х4 4-х2у2 +у4.
Упростить следующие выражения:
2 1 х24-1 2х(х2+ 1) — 2х(ха— 1) 1 2х
8 х2—1 (х2-Ы)2 4 14-х4 ’
3 1 (4x4-l-/5)[2xa4-(14-/5)j4-2]-(4x+I+/5)]2x»4-(l-/5jx+2]
’ /5 5)х4-2]1 2х2+(1+/5)х4-21
4 Зак. 3473 97
86
(^+м+9л}^^Аг
_____г( *-*? +г/t-9/) ' ..
, . 4 г*—*г + гЛг
(г*-*г + г4-9/).~ ~ z7
_ л6 6
х гу —уг + г/ + .9Л 9/1
•гх—yg + z4—94 I
______________g(y — i) г___________
, . . . . . . zX — xz + zAZ
гХ — xz+zA ^4 + ZA (X — I) - ---
8r—rg + 14
XZ — Z
zXz+xg+61 ——yg-+-T^ Xf + s 9
_____________z(x + I)
/ гг — x — J 4___________________\
(gX—X— I 4 3+x+£) —(x+1) -у"ц: -I j
4
gX —X—14 z + X + £ Axg + i/ l/ *• 9/
*+l + I z
(\~zxjj+x)z
lad+1
X 1 1
1—zXj.z
zx
\ — zX/[^—x
Г 1 z — 1 z— 1 — (z+ 1) 1 ]
8-[Tz+l (Z— I)2 2(l + z2)Jx
i _3 j ____
-^(1+x4) 4-4x« —/1+x4
9. Исключить иррациональность в знаменателе:
1 + /2 —УЗ ’
3)-----47=----
1 — У2+ У2
10. При каком условии x3+px+q делится на хя+тх — 1.
11. При каком условии х4+рх2+д делится на х2+/пх-М.
12. Выполнить деление (с остатком):
1) 4х3 + х2 на х + 1 + I.
2) х8 — х2 — х на х — 1 + 21.
13. Разложить следующие выражения на линейные отно-
сительно х множители:
1) Xs —6х2+ Их —6;
2) х4 + 4;
3) х4 + 4х8 + 4х2 + 1;
4) х4 — 10х2+ 1.
14. Доказать, что один из корней уравнения
36х3 — 12х2 — 5х+ 1 =0
равен сумме двух других и решить это уравнение.
15. Определить соотношение между р и q, при котором
корни уравнения х3 + рх -f- q = 0 связаны соотноше-
1 < 1
нием х3 =--------.
Xi ха
§ 3. Уравнения. Неравенства. Функции и их графики
1. Доказать теорему. Если aj&2— a2fci#=0, то система
Qiх + bi у = ci, а2х + Ьзу = сз
4*
99
имеет, и притом только одно, решение. Найти это ре-
шение.
2. Доказать теорему. Если atb2 — a2bi — 0, но хотя бы
одно из чисел Ci62— c2&i или ai<?2— a2ci не равно
нулю, то система
«их-|-61у = ci, а2х+Ь2у = с2
несовместна.
3. Доказать, что если aib2— azbi = ci b2 — c2bi — a\c2—
— a2ci = 0, но хотя бы одно из чисел aj, bi, а2, b2
не равно нулю, то система
aix+biy = си
а2х -У Ь2у — с2
неопределенная, т. е. имеет бесконечное множество
решений. Найти все эти решения.
4. Доказать, что если афЬ, Ь.фс, с фа, то существует
и притом только одна совокупность чисел А, В, С та-
ких, что имеет место тождество:
рх2 дх У г _ А В С
(х — а)(х — Ь)(х — с) ~ х — а''х — b х— с
(требуется выразить А, В, С через a, b, с, р, q и г),
5. Доказать, что если трехчлены х24~рх4~<7 и x24-rx4-s
с действительными коэффициентами имеют попарно раз-
личные мнимые корни, то существует, и притом только
одна, совокупность действительных чисел А, В, С, D
таких, что
х3 + йх2 + ex yd _ Ах у В
(х2 + рх + ?)(ха + гх + s) ~ х2 + рх + 7 +
. Сх + D
х2 + rjc + s
(требуется выразить А, В, С, D через р, q, г, s, b, с, d;
b, с, d — также действительны).
6. Подобрать числа А, В, С, D так, чтобы имело место
тождество
(Лх + В)(х2 — хУ 2 4-1)4-
4- (Cx4-D)(x24- xyT-h 1) = 1.
Доказать, что такая совокупность чисел А, В, С, D
единственна.
100
7. Доказать теорему. Если a, b, с, d — числа действитель-
ные, х — мнимое и
ах + b = сх 4- d,
то а —с и b — d. Верна ли эта теорема, если среди
чисел a, b, с, d есть мнимые?
8. Доказать, что дробь
__________________________2х—1__________
X (х + I)8 (Х8 + X + 1)2
может быть представлена в виде:
Л В с 4- Ex + F -U
X *" X + 1 "Г (х + I)8 X8 + X + 1 **
г(х8 + х+1)8
(требуется найти А, В, С, Е, F, G, Н). Доказать, что
система чисел, при которых данная дробь представима
в виде (1) — единственна.
9. Пусть Xi и х2 — корни уравнения
х8 +-рх + q = 0.
Выразить через р, q и х следующие суммы:
1) —----1-----—;
X— XI X — х2
х2 .
Ч v v < Y ____ Y '
X ~Х1 X х2
3) 1 I 1
’ (Х-Х!)8^(Х-Х2)8-
10. Доказать, что если р, q, г действительн ее числа и
трехчлены х2 4- рх 4- q и х8 4- рх 4- г имеют действи-
тельные корни, то и трехчлен х8 4- рх 4- s, где s за-
ключено между q и г, также имеют действительные
корни.
11. Дано, что сумма двух корней уравнения
х4 + ах3 + bxs + сх + d = 0
равна сумме двух-других его корней. Доказать, что
тогда подстановкой х = у 4- а это уравнение при над-
лежащем выборе а приводится к биквадратному.
101
12. Составить формулу для решения биквадратного урав-
нения х4 + pxz + q = 0 (р и q — действительны), удоб-
ную для случая
р2
Т-<7<0.
13. Решить уравнения:
1) х2 —(2 + i)x + (— 1 + 7i) = 0;
2) (2 + z)x2 —(5—i)х + 2 —2« = 0;
3) x4 + бх3 + 9x2 + 100 = 0;
4) x4 —30x2 + 289 = 0.
14. Исследовать расположение действительного числа К
относительно корней Xi и х2 уравнения
ах2 + Ьх + с = 0
(предполагается, что Xi и х2 действительны и различны,
а, Ь, с — действительны).
15. Пусть уравнение
х3 + рх -f- q = 0 (р и q — действительны)
имеет действительные и попарно различные корни
Xi, х2, х3. Исследовать расположение действительного
числа к относительно корней Хх, х2, Хз.
16. При каком условии оба корня уравнения х2 + рх +
4- <7 = 0 (р и — действительны) будут действительны
и по абсолютной величине меньше 1.
17. При каком условии модули обоих корней уравнения
х2 + рх + q = 0
(р и q — действительны, но корни могут быть и мни-
мыми) будут меньше 1.
18. Доказать, что в области х< — функция
у = ах2 + Ьх + с
(а, Ь, с — действительны и а>0) — убывающая, а
х ь
в области х>— возрастающая, т. ел
1) еСЛИ Х1 < Х2 < — ;г-
2а
axt + bxi + с > ахг + Ьх2 Ц- с;
, то
102
2) если — х- < хх < х2, то
' 2а
axi 4“ bxi -|-с ах % 4“ ^х2 с,
19. Доказать, что при а> О функция f (х) = ах2 + Ьх + с
выпукла вниз, т. е.
f / Xi + х2 \ f (xi) + f (х2)
Ц 2 2
а при а<0 — вверх, т. е. имеет место обратное
неравенство. Дать геометрическую интерпретацию ре-
зультату.
20. Доказать, что функция
y = logaX
при а>1 выпукла вверх, т. е.
1 Х1 + Х2 lga*i+ lgax2
Какой теореме арифметики соответствует это нера-
венство? Каков его геометрический смысл?
21. Исследовать на возрастание и убывание, на выпук-
лость вверх и вниз функции:
1) f (*) = х3 + Зрх +q, р^О,
2) f (х) = ах3 + bx2 + сх + d.
(во втором случае сделать предварительно замену
х = z + а и а выбрать так, чтобы выражение ах3 +
+ Ьх2 + сх + d перешло в выражение, не содер-
жащее z2).
22. Решить неравенства:
1) х2 — 5х + б>0;
2) — х2 — х + 2<0;
х<х+2)
(х-1)(х + 3)
4) х4>1;
5) х6<64;
6) 4>27;
Л
7)
8)
х2 — 2х — 2
х+2
х — 1
3.
103
23. При построении графика параболы у = х2 мы рисуем
эту кривую выпуклостью вниз. Обосновать это ана-
литически, т. е. доказать, что для любых двух значе-
ний Xi и х2 хорда AfiMs, соединяющая точки Afi(xi, yi)
и М> (х2, у2), будет выше стягивающей ее дуги
(Ух = Xi, Уг = хг)-
24. Доказать выпуклость вниз дуги гиперболы у = -у
при х>0 в соответствии с определением выпуклости
вниз, данном в предыдущей задаче.
25. Доказать, что график функции
У = х2 + —
х
при х>0 будет иметь выпуклость вниз, т. е. любая
хорда этой линии будет выше стягивающей ее дуги.
26. Доказать, что при х > О
х
27.
Построить графики функций:
1) у= 2х;
2)
3)
4)
5)
у = — Зх;
у = —х-Ь!
у — 2х + 5;
2
у = —;
7 х
1
у =-----;
х
у = 2х2;
У = —
9) у — 2х
Ю)
П)
12)
13)
14)
6)
7)
8)
х2;
— х2;
у = 2х + х2;
у = (х — З)2 -J- 2;
У = х2 + х + 1;
у = 1 —х2;
2х+3
y=vr-r;
104
15>’’=г^:
17) у = 1 + ** .
,у 1 —х2
§ 4. Прогрессии. Суммирование
1. Найти сумму рядов:
a) cosх 4- cos 2х 4- -i-cos Зх 4- ... 4-
, 1
+ 2^rcosnx+ •••;
б) sin х 4- -i-sin 2х 4- 4-sin 3x4- ••• 4-
A Q
+ 2^1 sin nx 4- ...
2. Верны ли формулы для суммы п членов арифметиче-
ской и геометрической прогрессйй, если допускать
мнимые значения для разности и для знаменателя
прогрессии?
3. При каком условии существует сумма бесконечной гео-
метрической прогрессии
ai 4-ai <7 4-«1 <72 4-— 4-ai <7П 4-•••»
если для q допускать и комплексные значения.
4. Вычислить сумму ряда
1 4-2g 4-3g2 4- ... 4- (п 4-1) qn 4-
где q комплексное число по модулю меньшее 1.
5. Доказать, что члены ях, я2, я8...ап, ... арифмети-
ческой прогрессии равны значениям линейной функции
у = kx 4- b' для целых х; найти эту функцию.
6. Доказать, что члены Ях, я2, я8, .... я„, ... геометриче-
ской прогрессии равны значениям показательной функ-
ции у = а • Ьх для целых положительных значений х;
найти эту функцию.
7. Последовательность
Ях, я2, Яз, ...» ап, ...
105
такова, что начиная с си имеет место соотношение:
„ 1 + 0п—2 + 3
=---------------------
« .4
Найти эту последовательность, считая, чТо аи аг, 0з
заданы.
8. Доказать, что последовательность, общий член которой
ап = sinnx
удовлетворяет соотношению вида
Gn+1 ~ рвп О-п— 1,
где р — функция только от х; найти эту функцию.
Исходя из последнего равенства, вычислить
sin х + sin 2х + ... + sin пх.
9. Вычислить следующие суммы:
п < 1*3.. 2 • 4 , 3 • 5 , . . п (и + 2) ф
1) ё~22 2 32 + 42 "Ь •“ "t” 8 1)2 ’
1 i X , 1 . X , 1 . X , .
2) y tg- + -tg-+ -g-tg g-+ ... +
COS-|- • COS-i- COS 1. cos 1
1 1
SI П x T SI n Г—ГГ-
. 3 -4 n(«+ 1) .
-r 1 j T ••• т ! j >
COS -7- COS— COS — COS --r-T
3 4 n n+ 1
4)----=-1------J_____=3----
1 /2 + 2/1 2/3 + 3/2
+—J___________+ .+_____!________________
3/4 + 4/3 n/n+ !+(»+ l)Vn
106
§ 5. Логарифмы
1. При каких значениях а а b выражение lgab опреде-
лено?
2. Прологарифмировать 1g (а2 &4).
3. Найти область определения функций (т. е. все значе-
ния х, при которых следующие выражения являются
действительными числами):
1) 1g [х (1-х3)];
/ (х+ 1)(х + 2) .
2) ]/ 1^(х + 3)(х + 4) ’
3) lg(x2—1);
4) 1g (х 4-1) -4- lg(x — 1);
5) lg(l — х2);
6) feu-^ + igu + x);
7) VIgio Igio x.
4. Решить неравенства:
1) 2х 4- 22x>3;
2) lgje+i (х 4-3)>.l;
3) lg«»+ix2>2.
5. Решить уравнение
. (x 4- 2) (x 4~ 3) .
,g4(x-l)(x4-4) b
6. Доказать, что если а>1, то
2
Каков геометрический смысл этого неравенства?
7. Построить график функции
y = lglgx
(логарифмы десятичные).
8. Построить график функции
X
>'=\г+^
(предварительно построить график функции У=т~г~^ I •
\ 1“ГЯ /
107
§ 6. Тригонометрические уравнения,
неравенства и тождества
1. Доказать, что необходимым и достаточным условием
равенства sin х = sin у является или равенство х =
= у + 2&« или х = (2£ + 1) к — у, где k — целое число.
2. Доказать, что необходимым и достаточным условием
равенства cos* = cosy является одно из равенств
* = 2ktt ± у, где k — число целое.
3. Доказать, что необходимым (но недостаточным!) усло-
вием равенства tg * = tg у является равенство * — у Ч-
+ kn, где k — целое число. При каком дополнительном
условии это равенство * = у + kn будет и достаточным
для выполнения равенства tg* = tgy.
4. Доказать, что все решения уравнения
sin2* = a, где 0<а<1,
могут быть записаны в виде:
х = kn ± arc sin j/a,
где k — любое целое число.
5. Доказать, что все решения уравнения
cos2* = a, где 0<а<1,
могут быть записаны в виде:
х = for ± arccosj/a,
где k — любое целое число.
6. Доказать, что все решения уравнения
tg2 х = а, где а > О,
могут быть записаны в виде:
х = kn ± arc tg \/ а,
где k — любое целое число.
7. Доказать, что все решения уравнения
ctg2 х = а, где а > О,
могут быть записаны в виде:
* = ktc ± arcetgj/a,
где k — любое целое число.
8. Доказать, что при всех значениях х
— 1 < sin8* + cos8* С 1.
108
9. Будем говорить, что функция у = f(x) на сегменте [а, 6]
имеет выпуклость вниз, если
£ / Xi %2 \ (Xi) + f (х2)
2 2
для двух любых значений Xi и х2 (xi=#x2) из этого
сегмента.В случае
г Mi + х2\ f (xi) + f (x2)
' \ 2 j > 2
будем говорить, что функция y—f(x) на сегменте [а, Ь]
имеет выпуклость вверх. Геометрический смысл этих
неравенств усматривается из чертежей 4 и 5. Дока-
,п +
ч — 2
РQ < PR.
Черт. 4
зать, что функция у — sin х на сегменте [0, я] выпукла
вверх, а на сегменте [я, 2я] — выпукла вниз. Доказать,
что функция у = tg х на полуинтервале | — -х-»О
[л Я \
О, уг-) — вниз.
Доказать, что функция у — cosec х в интервале (0, я)
выпукла вниз, а в интервале (я, 2я) — вверх. Доказать,
что функция y=ctgx в полуинтервале ^0, выпукла
[я \
-я-, я | — вверх.
/
10. При каких ограничениях имеет место формула
*<-₽>-т¥^Ш-
109
11. Какие из функций arc sin х, arc cos х, arc tgx, arc ctg х
возрастающие, а какие убывающие? Исследовать их
на выпуклость вверх и вниз. Построить графики этих
функций.
12. Будем говорить, что функция у = /(х) возрастает
в точке х = а, если существует такое число Л > 0, что
при всех х, удовлетворяющих неравенствам а — h<
<^х<^а, мы будем иметь /(x)<f(a), а при всех х,
удовлетворяющих неравенствам а < х < a-f-Л, мы будем
иметь f(a)<^f(x).
1) tgx возрастает в каждой точке своей области опре-
деления; 2) etgx убывает в каждой точке своей области
определения.
13. Верно ли положение: tgx возрастает в любом интер-
вале (а, Ь) (т. е., если Xi и х2—две точки этого ин-
тервала, в которых tgx определен, то следует ли из
неравенства xi<x2 неравенство tgxi<tgx2?).
14. В каких точках. функция y = sinx не возрастает и
не убывает?
15. Доказать, что если 0<х<-^-, то
]/tgх + sinх + |/tgx — sinx = 2]/tgx cos
16. Доказать тождества:
sin 3x + cos x = (sin x + cos x) (sin 2x + cos 2x);
cos 3x + sin x = (cos x — sin x) (cos 2x -J- sin 2x);
110
sin Зх — cos x — (cos x — sin x) (sin 2x — cos 2x);
cos 3x — sin x = (cos x + sin x) (cos 2x — sin 2x).
17. Доказать, что:
я 2я 1 я . Зя 1
1) cos-=-cos-=- — -г; 2) cos-=- + cos.
' R R CL 1 ' R ' .R CL
18. Доказать, что
19. Решить уравнения:
2) | sin (x2) | = 1.
29. Доказать методом полной индукции неравенство
sin пх ~
причем х kr., где’ k — любое целое число.
21. Доказать, что при всех х:
Asin* <гз.
г 2 -|- cos х
22. Построить график функции
у = 2cos*x — 3cos2x + 1.
§ 7. Трансцендентные уравнения и неравенства
*
Решить следующие уравнения:
1. lge (sin х 4- cos х) = 2,
где а — положительное число не равное 1, причем
'а2 < V2.
2. arc sin (Igiox) — 0.
3. Igio (arc sin x) = 0.
4. arc cos(rcjgs tg x) = 0.
4
5» lgsin.r-3 = 2.
e. (/iW=6r+(/rrTjz?)"“=^.
7. igsfnjc 2 • igsln'x 3=1.
8. sin (5 arc tg 3x) = 1.
9. sin(itlgx)4-cos(itlgx) = 1.
10. tg (3 arc tgx) = ctg (Загс ctgx).
11- V^Jgtgx-b 1 4-^1—igtgx = 2.
12. lg2x 4-lg3x4-lg4x = 1.
13. arc sin f x2 + x-l—LA = arc cos (x24- x 4- -L |.
\ J/2/ \ И/
14. igio (arc tg x) + Igio (arc ctgx) = a.
Исследовать решения в зависимости от значений:
15. Зх — ctg^arctg-L — arctg^-pjj = 0.
16. 4arctg(x2 — Зх 4-3) = it.
17. arcsin (lg(x2)]-J-arcsin Igx =-£.
О
/ X \ TC
18. arc tg(24-cosx) — arc tgI 2cos2-9 =7.
3 1
л ' sin»x—- sin x + —-
19. (cosx) 2 2 = 1.
20. arc tg (2 + sin x) — arc tg (1 + sin x) — .
21. arcsin2*+2 + arc sin (4^3 • 2r) ==
22. arc tg 3*— arctg 3-x = -g-.
23. sin (it arc tg x) = cos (it arc tg x).
24. sin [it (arc tg x)2] = -1-.
£
Решить следующие неравенства:
25. 1ga>6,gxa— 1» гДе 0<а<1-
26. ~ где a > 1.
lga(5 —*)
112
27‘ 2х — 1 > 1 —2х-1 '
1 , 1 >1
28, Igiox"*' 1 — lgio*
29. 21g^a +IgaXa +31ga.xa>0, где а>1.
30. lg,(x + 2)>2.
31- lg8(x2-4x + 3)< 1.
32. ** lgx+₽2<lgx4, 0<p<-^.
34.
33.
sin — ">O.
X
tgx—2
tgx+ 2'
35. tg 1.
6 4(x+
36. sin (2ir cos x) > 0.
Глава III
АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
И НАИБОЛЕЕ РАСПРОСТРАНЕННЫХ ОШИБОК
Настоящая глава ставит своей целью помочь устране-
нию все еще повторяющихся типичных ошибок, погреш-
ностей и недочетов в знаниях по математике окончив-
ших среднюю школу и готовящихся к конкурсным экзаме-
нам в высшие учебные заведения (в первую очередь, на
механико-математические факультеты университетов и пе-
дагогических институтов). Для повышения общей мате-
матической культуры лиц,интересующихся математикой и
желающих поступить в высшие учебные заведения, в ко-
торых требуются значительно более глубокие знания по
математике, чем для поступающих, скажем, на гуманитар-
ные факультеты, весьма желательны самостоятельные
дополнительные занятия по математике. Необходимо
ознакомиться с разнообразными по постановке вопроса
задачами и методами их решения. Эти дополнительные
занятия по математике можно построить например, по
такому плану:
1°. Прочитать настоящую главу.
2Э. Прочитать решения всех задач, помещенных в гла-
ве IV, §§ 1—6, а затем решить все задачи из этой
главы, к которым не дано решений.
3°. Решить задачи из главы II.
4°. Проконтролировать себя решением вариантов из
главы I; полезно измерить время, которое будет
затрачено на решение всех задач одного варианта;
нормой здесь будет являться срок 4 час. (перерыв
114
в решении задач делать не рекомендуется, чтобы
приблизить обстановку самоконтроля к условиям,
в которых проводятся конкурсные экзамены). Этот
самоконтроль можно периодически повторять.
5°. Параллельно с выработкой методики решения за-
дач следует заниматься теорией. Хорошими допол-
нительными теоретическими курсами, в дополнение
к учебникам средней школы, можно рекомендовать
следующие:
а) Новоселов С. И., Специальный курс
элементарной алгебры, изд. Советская наука, 1958.
б) Новоселов С. И., Специальный курс
тригонометрии, изд. Советская наука, 1957.
в) Перепелкин Д. И., Курс элементарной
геометрии, т. 1—геометрия на плоскости, Гостех-
издат, 1948, т. II — геометрия в пространстве,
Гостехиздат, 1949.
Замечание. Мы рекомендуем после просмотра анализа
ошибок и анализа решений прочитать решения за-
дач из главы IV; наряду с самостоятельным решением
задач совершенно необходимо ознакомиться с готовыми
решениями, так как они являются образцами задач самых
разнообразных по постановке вопроса и- методам их ре-
шения; прежде, чем самому приступать к решению за-
дач нужно познакомиться с методами и приемами их
решения. Конечно^ ценою больших усилий многие из
указанных задач могут быть решены самостоятельно, но
почти наверное эти решения будут, так сказать, «ку-
старны» и не будет достигнута основная цель — знаком-
ство с методикой.
Чтение и разбор готовых решений на систематически
подобранных образцах, является одним из важнейших
элементов в выработке глубоких навыков в решении за-
дач. Таким образом, порядок работы над главой IV
рекомендуется следующий: после прочтения условия
задачи и небольшого срока, в течение которого следует
продумать это условие и возможные пути решения,
следует обратиться к готовому решению, прочитать
его, а затем попытаться на память повторить решение для
себя.
Переходя к анализу ошибок, я начну с наиболее
общих, а вместе с тем и с наиболее принципиальных заме-
чаний, относящихся к недочетам в решениях задач.
115
§ 1. Вопросы исследования
Основным дефектом поступавших в высшие учебные
заведения является недостаточная тщательность в про-
ведении исследований решения задач. Этот дефект
особенно ярко был представлен при решении задач по
геометрии и по геометрии с тригонометрией; в меньшей
степени при решении задач по алгебре. В школе алгеб-
раические задачи решаются часто с исследованием, по
геометрии же исследования проводятся реже и уже
совсем редко они проводятся при решении задач по три-
гонометрии и по геометрии с приложением тригономет-
рии. При чтении готовых решений задач, помещенных
в главе IV, §§ 3—6, читатель познакомится как следует
исследовать решения задач в геометрии, в тригонометрии
и как следует ставить вопросы таких исследований. Во-
просы исследования в геометрии и в геометрии с прило-
жением тригонометрии бывают очень трудны из-за обилия
параметров, из-за обилия рассмотрения различных част-
ных случаев, поэтому в этих случаях при постановке
задач на исследование мы часто фиксируем часть пара-
метров, чтобы исследование можно было довести до исчер-
пывающего результата.
§ 2. О методах решения задач по геометрии
Другим общим дефектом поступавших в вузы является
неумение проводить рассуждения в геометрии так, чтобы
они не зависели от конкретного чертежа,
а потому были вполне общими. Но даже, и пользуясь
конкретным чертежом, поступающие в вузы проводят
часто рассуждения не достаточно полно и ссы-
лаются на геометрическую «очевидность» там, где соот-
ветствующие положения должны быть доказаны. Так,
например, хотя и «очевидно», что противоположные ребра
правильного тетраэдра взаимно-перпендикулярны, это
должно быть доказано, хотя и «очевидно», что сущест-
вует кратчайшее расстояние между двумя скрещивающи-
мися прямыми в пространстве, — это должно быть дока-
зано и т. д.
Для того чтобы научиться проводить рассуждения
в геометрии без чертежа, нужно научиться строить рас-
суждения, опираясь лишь на аксиомы геометрии и на
116
доказанные теоремы. Следует отметить, что овладеть
подобным методом в геометрии очень трудно и зна-
комство с последующим материалом по этому вопросу
можно рекомендовать лишь тем, кто готовится поступать
на механико-математические и физические факультеты
университетов и педагогических институтов.
Трудность проводить рассуждения в геометрии в общем
виде, кроется в специфичности этой дисциплины. В то
время, как в алгебре мы имеем хорошо развитый алго-
рифм действий, в геометрии правильно построенные , ре-
шения задач слагаются из ссылок на многочислен-
ные положения — теоремы (которые предварительно
сами должны быть установлены в общем виде).
Таким образом, желательно решения задач в геомет-
рии и рассуждения строить, опираясь лишь на аксиомы
и факты, доказанные в общем виде, т. е. строить
рассуждения на грани оснований геомет-
рии.
Для того чтобы научиться в геометрии строить рас-
суждения подобным образом, нужно уметь расчленить
данную задачу на части и вести расоуждения
так, чтобы каждый раз выделять какой-
нибудь сравнительно простой геометри-
ческий факт, для установления которого
не требуется сложных рассуждений и по-
строений; следует производить как бы «анатомирова-
ние» фигуры с помощью набора готовых теорем, с после-
дующим синтезом результатов.
Приводимые ниже примеры в подавляющем большин-
стве, помимо иллюстрации этой мысли, познакомят чи-
тателя с теми понятиями, которые необходимо знать для
чтения решений задач главы IV, §§ 3—6 и которые явля-
ются хорошей основой для самостоятельного решения
многих задач по геометрии.
Одним из мощных средств достижения
общности рассуждений в геометрии являет-
ся приписывание знаков длинам отрезков
и величинам углов. При этом общность дости-
гается в несколько ином плане, а именно: задачи по
геометрии приобретает аналитический характер и появ-
ляется возможность использования в полной мере аппа-
рата алгебры.
При решении ряда задач по геометрии весьма полез-
117
ним является понятие длины ориентированного (т. е. на-
правленного) отрезка и величины ориентированного угла.
Отрезки, лежащие на прямой I, могут иметь или одина-
ковое (как например, АВ и CD на черт. 6) или проти-
воположное (как например, АВ и DC) направления. Усло-
вимся длине отрезка АВ приписывать знак, считая ее
положительной для отрезков одного (безразлично какого)
направления и отрицательной для отрезков противопо-
ложного направления. Длину отрезка АВ, которой при-
писан знак, будем обозначать так: АВ. Таким образом,
ЛВС J)
I .. I .. I ' 1 .. " ' I
Черт. 6
если, например, на черт. 6, ЛВ>0, то CD > О, ОС<0,
Ь’Л<0, ВС>0, СВ<^0 и т. д. Но, если на том же
чертеже считать АВ<0, то знаки всех предыдущих
неравенств надо будет изменить на противоположные.
Отметим, что соглашение о выборе направления, для
которого длины считаются положительными, становится
несущественным, если идет речь, например, о произведе-
(дв \
-=j,
или о равенстве, связывающем такие длины I например,
CD /
Перейдем к углам. Будем называть углом (а, ₽) от
прямой а до прямой р угол, на который надо повернуть
прямую а, чтобы она или совпала или стала параллель-
ной прямой р. Этот поворот можно совершать в одном
из двух противоположных направлений; условимся счи-
тать для некоторого направления отсчета, что (а, Р)>0,
если поворот совершен в каком-либо из двух возможных
направлений. Тогда величины углов, отсчитанных в про-
тивоположном направлении, будем считать отрица-
тельными. Отметим еще, что существует бесконечное
множество поворотов, совмещающих прямую а с прямой
Р; на черт. 7 указано несколько таких поворотов (именно
3 поворота); если (а, р) величина угла, соответствующая
118
одному такому повороту, то величины углов, соответст-
вующих всем таким поворотам, будут заключены в фор-
муле (а, Р) + fere, где k — любое целое число. Пусть (а, р)
одно из значений угла от прямой а до прямой Р, а (7, 8)
одно из значений угла от прямой 7 до прямой 8; если
(а, Р) — (у, 8) = fere, где fe — число целое, т. е.
(а, Р) = (у, 8) + fere,
то мы будем писать
(а, Р) = (у, 8) (mod • re)
(читается: «угол (а, Р) равен углу (у, 8) по модулю ге»).
Приписывая длинам отрезков и величинам углов знаки,
мы добиваемся в геомет-
рии, как уже было ука-
зано выше, следующего:
1) целый ряд опре- &
делений получают есте- s“'х
ственную форму;
2) целый ряд теорем ( I
получают естественное
обобщение;
3) в геометрию вво- /
дится аналитический
метод, который, с одной
стороны, не лишает
решений и доказа- Черт. 7
тельств геометричности,
с' другой стороны, позволяет решать геометрические
задачи и доказывать геометрические теоремы общим рас-
суждением, не опирающимся на конкретный чертеж.
Основными соотношениями являются теоремы Шаля
для отрезков и углов:
ЛВ + ВС = ЛС, (1)
(а, ₽) + (Р> Y) = («» 7) (mod ге). (2)
Для доказательства равенства (1) читателю надо рас-
смотреть 6 взаимных расположений на прямой точек
А, В и С друг относительно друга. Соотношение (2) до-
казывается так: рассмотрим три прямые а, £ и у, про-
ходящие через одну точку; повороты всегда можно
производить так, что поворот от а до р в каком-то на-
правлении, а затем поворот от р до у будет совершен
в том же направлении, и в том же направлении можно
совершить поворот от а до у, притом так, что (а, р) 4-
119
ф, 7) = (а, 7). Так как каждый угол (а, (3), (₽, 7), (а, у)
определяется «с точностью до kit», то формула (2) до-
казана.
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 1. Пусть А'— проекция вершины А треуголь-
ника АВС на сторону ВС\ тогда теорему о квадрате
стороны треугольника можно, не различая случаев, когда
угол С — острый, прямой или тупой,—записать так:
АВ2 = С А2 + СВ2 — 2СВ • СА'.
Доказательство предоставляется читателю.
Черт. 8
Пример 2. Будем обоз-
начать через (АВ, АС)
ориентированный угол от
прямой АВ до прямой
АС. Пусть точки В и
С — фиксированы. Тогда
геометрическое место то-
чек, для которых
(АВ, АС) = a (mod я), (1)
где а — данный угол, есть
окружность, проходящая
через точки В и, С и каса-
ющаяся в точке С прямой
СТ такой, что (ВС,
СТ) = a (mod «) (черт. 8).
Отметим, что соотноше-
ние (1) имеет место для всех точек указанной окруж-
ности (за исключением точек В и С), т. е. как для всех
тех, которые расположены по одну сторону от прямой
ВС, так и для всех тех, которые расположены по дру-
гую сторону от ВС.
Полезно сравнить это геометрическое место с геомет-
рическим местом точек, из которых данный отрезок ВС
виден под данным углом' а (острым или тупым); это
геометрическое место состоит из двух равных дуг двух
окружностей с концами В и С, симметричных относи-
тельно прямой ВС (черт. 9). Заметим еще, что если для
окружности (Г), о которой мы говорили выше (АВ, АС) =
= a (mod я), то для окружности (Г'), симметричной (Г)
относительно ВС мы будем иметь (АВ, АС) = — а (mod it)
(черт. 10).
120
Пример 3. Ангармоническим отношением (ABCD) че-
тырех точек, лежащих на одной прямой, называется
число:
(ABCD) =
АС
СВ
АР
DB *
Говорят, что А, В, С, D — гармоническая четверка, если
(ABCD) = —1
Докажем, что если А, В, С, D — гармоническая 'четверка,
то середина О отрезка CD лежит вне отрезка АВ.
Доказательство.
АС .АР
СВ ’ DB
В + ^=0,
СВ DB
АО + ОС AO+OD = 0
сд + ов'Грд+ов
121
Так как О середина CD, то ОС — — OD, и значит
— ОА+ОС —OA—OC q
— дс+ов+ ос+ов~
или __ ____ ___ __ ___
— ОА -ОС + ОС2—ОА-ОВ + ОС'ОВ + ОА'ОС +
+ OC2 — OA<OB — OC-OB = Q,
или
ОС2 = ОА-ОВ,
Но ОС2 > 0, значит О А • ОВ > 0, а это возможно тогда и
только тогда, когда точка О лежит вне отрезка АВ. До-
казательство проведено лишь на основании теоремы
Шаля (для отрезков).
Пример 4. Пусть А, В, С, D — гармоническая четверка;
доказать, что тогда
АВ AC AD
Доказ ател ьство.
ЛС , ЛР
СВ ' DB
-£+-S = 0,
СВ DB
AC AD
СА + АВ + РЛ + ЛВ “ ’
— ЛС • ЛР + ЛС • АВ — ЛР • ЛС + Л В • ЛР = 0,
2 АС • AD = АС • АВ + АВ• ЛР,
АВ АС ЛР
— опять чисто аналитическое доказательство.
Пример 5. На прямой даны две точки Л и В. Пусть
k — данное число положительное, отрицательное или нуль.
Доказать, что на прямой АВ существует одна и только
одна точка С такая, что
АС2 — ВС2 = k.
Как построить эту точку?
122
Доказательство. Пусть такая точка С суще-
ствует:
ДС2 — BC2 = k,
AC2—BC2=k,
Atf—CB^k,
(Аё + СВ) (AC — CB) — k,
АВ [АС — (СА + ЛВ)] =
АВ (2 АС — АВ) =k,
де- fe+jB2
2ДВ *
Этим доказана единственность такой точки; в са-
мом деле: предполагая, что существует еще одна такая
точка, получим
2АВ
откуда АС = ACi, т. е. С и Ci совпадают.
Существование точки С устанавливается про-
веркой (или тем соображением, что любые два соседних
равенства в написанной выше цепи равенств — эквива-
лентны). Произведем проверку:
AC=k+ZB\
2АВ
ВС = ВД4-Ж = 5Д + ,
2ДВ 2АВ ’
ДС2—ВС2 = ДС2—ВС2 = +ЛВ^ ^^ЛДТ = k.
4/1 о2
Пример 6. Найти геометрическое место точек М пло-
скости, обладающих следующим свойством:
ДЖ2 — ВМ2 = k,
где Д и В — данные точки, a k — данное число.
Решение. Пусть С — проекция точки М на АВ,
тогда ДЖ2 —ВЖ2 = ДС2— BC* = k. Но на прямой АВ
существует только одна точка С, для которой ДС2 —
123
— СВ2 = k, значит геометрическое место точек М есть
прямая, перпендикулярная к АВ в точке С.
Пример 7. Если точка М не лежит на окружности (С)
(С — центр), то степенью точки М относительно окруж-
ности (С) называется число а = МА‘.МВ, где А и В —
точки пересечения с окружностью (С) произвольной се-
кущей, проходящей через М. Если же точка М лежит
на окружности (С), то по определению а = 0. Доказать,
что степень точки М относительно окружности (С) мо-
жет быть всегда вычислена по формуле:
а = СМ2 — R*,
где R— радиус окружности (С).
Доказательство. Пусть прямая СМ пересекает
окружность (С) в точках Р и Q; тогда МА • МВ = МР х
х Л/Q = ц
или
(Л/С-|-СР) (7ЙС + CQ) = а,
(МС + СР) {МС — СР) = а,
Л/С2 —СР2 = а,
а=Л1С2 — Я2.
Если точка М лежит на окружности (С), то МС = R и
о = 0 в соответствии с определением.
пример 8. Радикальной осью двух окружностей назы-
вается геометрическое место точек М, степени каждой
из которых относительно этих окружностей равны между
собой. Доказать, что радикальная ось двух неконцентри-
ческих окружностей есть прямая линия.
Решение. Пусть Ci и С2— центры окружностей
(Ci) и (С2), a Pi и Рг их радиусы. Из равенства
Л/С? — rf = MC22 — Rl
находим
Л/С? —Л/С2 = Я? —я!
и значит геометрическое место точек М есть прямая, пер-
пендикулярна и линия СХС2.
Замечание 1. Если окружности (Сх) и (С2) пересекаются
в точках А и В, то прямая АВ есть их радикальная ось,
если они касаются, то радикальной осью является их
общая касательная.
124
Замечание 2. Если центры Ci, С2, С8 окружностей (СД,
(С2), (С3) не лежат на одной прямой, то радикальные оси
их взятых попарно, проходят через одну точку (ради-
кальный центр). В самом деле: если 2 — точка пересече-
ния радикальной оси окружностей (Сх) и (С3) с радикаль-
ной осью окружностей (С2) и (С3), то ее степени относи-
тельно (Ci) и (С2) также будут равны между собой, а
потому 2 лежит и на радикальной оси окружностей (Сх)
и (С2).
Замечание 3. Если радикальный центр трех окружно-
стей лежит вне одной из них, то он лежит и вне других
(почему?); в этом случае он служит центром окружности,
пересекающих данные окружности под прямым углом
[степень точки М, лежащей вне окружности (С) равная
СМ2 — R2, равна также МТ2, где Т — точка прикоснове-
ния любой касательной, проведенной из М к (С) (ДСЛ4Т—
прямоугольный, ^.СМТ = 90°)].
пример 9. Доказать, что если А, В, С, D — гармони-
ческая четверка, то окружность построена на CD, как
на диаметре, пересекает ортогонально любую окружность,
проходящую через А и В.
Решение. Пусть О — центр окружности, построен-
ной на CD, как на диаметре,__иначе середина CD. На
основании предыдущего, О А • ОВ = ОС2, т. е. степень
точки О относительно любой окружности, проходящей
через А и В, равна квадрату радиуса окружности, по-
строенной на CD, как на диаметре. Но точка О лежит
вне окружности, проходящей через А и В, значит ОС =
= ОТ, где Т — точка прикосновения касательной, прове-
денной из О к окружности, проходящей через А и В.
Пример to. Обратно. Если окружности (Сх) и (С2) орто-
гональны, то диаметр любой из них, например (СД, де-
лится гармонически точками пересечения его со второй
окружностью.
Доказательство. Пусть CD — диаметр (СД пере-
секает (С2) в точках А и В. Так как окружности (СД и
(С2) ортогональны, то ОС — ОТ-, где О — середина CD, а
Т — точка прикосновения касательной из О к (С2). Зна-
чит ОА • ОВ = ОС2, а отсюда следует, что
АС , АР _ 1
СВ ’ DB
125
Пример и. (С) данная окружность (С — ее центр,
R — радиус), Л —данная точка. Найти геометрическое
место точек таких, что степень точки М относительно
(Q равна AM2.
Решение.
МС2 — R2 = AM2,
MC2 — MA2 = R*
— геометрическое место точек М есть прямая, перпенди-
кулярная АС. Эту прямую называют радикальной осью
окружности (С) и точки А (или окружности (С) и окруж-
ности-точки Л).
Пример 12. Пусть (01) и (02) — две неконцентрические
окружности, М—произвольная точка плоскости. Доказать,
что разность «п—о2 степеней точки М относительно окруж-
ностей (01) и (02) определяется формулой
01 — о2 = 2 МР • 02 01,
где Р — основание перпендикуляра, опущенного из точ-
ки М на радикальную ось окружностей (Ох) и (02).
Доказательство.
si — о2 = МО2 — г2 — М02 -|- г2>
0 = РО? — г? — Р01 + г%.
Обозначим через Л/i и Pi проекции точек М и Р на
0102; тогда
MOl — М022 ^М^2 — Mr О22,
Р01 — Р022 = Pi О? — Pi 02
и значит
01--(Т2 Л/101 -Г?--2И1О2 "4"
О = PiOi — — Р1О2 4*
следовательно,
ах — о2 = Жо? — O^Pi — Л^О22 + O^Pi =
= (Ж01+0?1) (Ж01=0А) + (Л4А+ ОА) х
X (O2Pi — Л4ХО2) = (7ИХО1 — OiPi +О2Р1 — Ш =
= М1Р1 (O2Mi + AfiOi O2Pi -}- P1Q1) =
= lA (Oi + o^Oi) =
Но М1Р1 = МР, значит
ох—— о2 = 2Л4Р • 020х«
126
Пример 13. Периметр треугольника можно обходить
в двух противоположных направлениях. Одно из таких
направлений (безразлично какое) будем считать положи-
тельным, тогда противоположное — отрицательным. Будем
называть треугольник ориентированным, если его пери-
метр обходится в определенном направлении. Площадью
(ЛВС) ориентированного треугольника АВС (ориентация
определяется порядком записи вершин) называется число,
модуль которого равен площади треугольника АВС и
которое положительно, если ориентация треугольника
положительная и отрицательно в противном случае.
Доказать, что
(ABCD) =
[ВЛС] . [ВЛД]
[ВСВ] : [ВДВ]’
где В — любая точка, не лежащая на прямой ABCD.
Доказательство.
[ВЛС] АС
ТЗСвТ св
ибо если отрезки АС и СВ имеют одинаковое направле-
ние
ние, т. е. -=->0, то треугольники ВЛС и ВСВ имеют
СВ
[ВЛС] лс
одинаковую ориентацию, т. е. ,п>>р, >0. Если же-=-<0,
[•ЬСо] св
[ВЛС] v
то и Yscb]’ < Кроме того ясно, что
АС _ [ВЛС]
СВ [ВСВ]
так как треугольники ВЛС и ВСВ имеют одинаковую вы-
соту (основания АС и СВ). Отсюда и следует доказывае-
мое равенство.
Пример 14. ПустЬ а, р, у, 8 — четыре прямых, прохо-
дящие через одну точку В, а I и /'— две секущие, не
проходящие через точку В, пересекающие эти прямые
соответственно в точках Л, В, С, Д (секущая Г) и А',
В', С', D’ (секущая Г). Доказать, что
(ABCD) = (A'B'C'D').
127
Доказательство.
!дпт\ - [5ЛС] • [SXZ)1 - f^blSDB]
уло^и) [SCBj • [SDB], [SAD]-[SCB] '
Сдвинем лишь одну точку А в положение А' (по пря-
мой а). Тогда изменяется лишь [SAC] и [SAD], но при
этом
[SAC] [SA'C]
]SAD] [SA'D] •
В самом деле:
[SAC] _ [CSA] SA
[SA'C] [CSA'] §A' ’
[SAD] _ [DSA] SA
[SA'D] [DSA'] -sA''
Таким образом
[SAC] . [SAD] _ [SA'C]., [SA'D]
[SCB] • [SDB] ~ [SCB] ' [SDB]'
Аналогично доказывается, что
[SAC], [SAD]
[SCB] • [SDB]
не меняется, если сдвинуть (соответственно по прямым
р, 7 и 8) лишь одну точку В или С, или D. Значит, ес-
ли сдвинуть все 4 точки А, В, С, D в положение А',
В', С', D', то это выражение не изменится.
Замечание. Указанное значение
]SAC] . [SAD]
[SCB] : [SDB]
определяется, таким образом, лишь прямыми а, р, у, 8
(в том смысле, что значение этого выражения не зави-
сит от секущей); оно называется ангармоническим отно-
шением прямых а, Р, у, 8 и обозначается так: (ару8).
Отметим, что точки А, В, С, D могут быть выбраны на
прямых а, р, у, 8 совершенно произвольно (не обязатель-
но одной прямой), лишь бы ни одна из них не совпадала
с S. Если (®Рт8) = — 1, то говорят, что 4 прямые а, р, 7,8
образуют гармоническую четверку.
Пример 15. Доказать, что если М—середина стороны
ВС треугольника АВС, а АК—прямая, параллельная
128
ВС, то четверка прямых АВ, AC, AM, —гармони-
ческая.
Решение.
(АВ, AC, AM, AJO = =
_ вм . [АВ/<] = [АКС]
МС * [АКС] [АВК] ’
ВМ , „
так как = 1. Но
МС
[АКС] [САК] .
[АВК] [ВАК] ~
Пример 16. Пусть АВС — произвольный треугольник, а
D и D'— основания на стороне ВС биссектрис внутрен-
него и внешнего угла А. Доказать, что В, С, D, D' —
гармоническая четверка.
Решение.
Ж) b_ БР'__________Ь_
DC ~ с ’ гус ~
BD .Bly _ t
DC ’ WC ~
Пример 17. а, р, у, 8 — четыре произвольные прямые.
Доказать, что А, В, С, D — гармоническая четверка
(черт. 11).
Решение. Проведем через прямую ABCD две про-
извольные плоскости (р) и (р) и проведем еще плоскость
(р') II (Р)- Данную конфигурацию расположим в плоско-
сти (q) (черт. 12.). Возьмем в плоскости (р) произвольную
точку S, не лежащую на прямой ABCD, и спроектиру-
ем из точки S данную конфигурацию, которую мы по-
местили в плоскость (р), в плоскость (р'). Плоскости
SAT? SAQ, проектирующие прямые А/? и AQ в плоскость
(р'), проходят обе через прямую SA || (р'), значит в про-
екции мы получим две параллельные прямые (обе они
будут, параллельны SA). Аналогично — прямые ВР и BQ
спроектируются в прямые, параллельные SB. Таким об-
разом проекцией четырехугольника PSPQ в плоскость
(р') будет параллелограмм P'T'R'Q', а проекцией точ-
5 Зак. 3478 129
ки О,будет точка О' пересечения диагоналей этого па-
раллелограмма. Прямые ОА, ОВ, ОС, OD спроектиру-
ются в прямые tn, п, s, t, проходящие через центр О'
этого параллелограмма; ОА и ОВ спроектируются в пря-
мые s, t, проходящие через его центр О' параллельно
его сторонам, а ОС и OD спроектируются в диагонали
параллелограмма (черт. 12). На основании примера 15
четыре прямые tn, п, s, t образуют гармоническую чет-
Черт. 11
верку. Пересечем эти 4 прямые произвольной секущей
V, не проходящей через точку О' и пересекающей их со-
ответственно в точках X', Y', Z', U'. Четверка точек
у', У', Z', U' — гармоническая. Пусть прямые SX', SY',
SZ', SU' пересекают плоскость (q) в точках X, Y, Z, U.
Эти точки лежат на прямой, по которой плоскость (S к')
пересекает (q) и соответственно на прямых О А, ОВ, ОС,
OD. На основании примера 14 точки X, У, Z, U так же,
как и X', Y', Z', U' образуют гармоническую четверку.
Поэтому и прямые О А, ОВ, ОС, OD — образуют гармо-
ническую четверку, значит и (A.BCD) = — 1.
Замечание. Из доказанного следует (черт. 11 и 12):
(QTOD) = — 1, (ММЭЛ) = —1 т. д.
130
Черт. 12
5*
131
Пример 18. В плоскости треугольника АВС взята про-
извольная точка О. Пусть прямые АО, ВО и СО пере-
секают- ВС, С А и АВ соответственно в точках Р, Q и Р.
Доказать, что
ДР BP CQ j
~RB ‘ PC ’ QA ~
и обратно, если на прямых ВС, СА и АВ выбраны точ-
ки Р, Q и Р так, что выполнено это соотношение, то
прямые АР, BQ и СР проходят через одну точку (теоре-
ма Чевы и ей обратная).
АР . п _
-=- > 0; тогда точка Р
РВ^
Доказательство. Пусть
лежит между точками А и В, а значит точки А и В
лежат по разные стороны, от прямой СОР. В таком слу-
чае треугольники АОС и ВОС имеют противоположный
обход и значит [ДОС] и [ВОС] — разных знаков. Что ка-
сается абсолютной величины отношения этих величин,
то она равна
[ДОС] _ AAt
[ВОС] BBi
где Д1 и
перпендикуляров, опущенных из точек
AAi AR
мую ОС. Очевидно, что -кн- — = (черт.
DD1 1\D
Bi — основания
А и В на пря-
13), а значит
АР _ [ДОС]
РВ [ВОС] ’
АР
Если -==<0, то точка Р лежит на продолжении
отрезка АВ либо за-точку А, либо за точку В. Теперь
[ДОС] и [ВОС] — числа одного знака и
[ДОС] _ AAi
[ВОС] ~ BBi ’
так что опять
АР [ДОС]
РВ [ВОС] ’
132
Аналогично
BP______[BOA]
PC ~ [COA] *
CQ______[COB]
QA ~ [ЛОВ1 *
Перемножая эти равенства и учитывая, что треуголь-
ники АОС и СОА имеют противоположный обход, тре-
угольники ВОС и СОВ имеют противоположный обход,
треугольники ВОА и АОВ имеют противоположный об-
ход, получим
AR 35. ^.= 1
RB ’ PC ’ QA
Обратно. Пусть выполнено это соотношение. Обозна-
чим через О точку пересечения АР и BQ, а через R' —
точку пересечения СО с АВ.
133
Тогда
AR' BP CQ
1VB ‘ PC ’ QA~ ’
Отсюда и из данного отношения
AR AR’
RB~ Rb'
Прибавляя по 1 и используя теорему Шаля, полу,
чим:
41 = 4^-’ = w ^в + в^ = о, ^ = 0,
Rd R о
т. е. точки R и R' совпадают.
Черт. 14
Пример 19. Прямая I пересекает стороны ВС, С А и АВ
треугольника АВС в точках Р, Q, R. Доказать, что
2..S-.S=-i. о
PC ОЛ RB
Обратно, если на сторонах ВС, СА и АВ треугольника
АВС выбраны точки Р, Q и R такие, что выполнено это
соотношение, то точки Р, Q и R лежат на одной пря-
мой (теорема Менелая и ей обратная).
Доказательство. Пусть Ait Вг и Ci — основания
перпендикуляров, опущенных из точек Л, В и С на пря-
мую I. Тогда, вводя на прямой, перпендикулярной к I,
положительное направление, будем иметь (черт. 14)
AR _ AAj В? ВВ[ CQ СС1
RB ВВ[’ PC ~ СС1 ’ QA ~ ДА/
134
Перемножая, получим требуемое.
Обратно. Пусть Р, Q и R таковы, что выполнено со-
отношение (а). Обозначим через точку, в которой пря-
мая PQ пересекает АВ. Тогда
g . CQ . ARi __ ,
PC QA РгВ
Отсюда из данного соотношения получим
g Ж
RB R^B
и как в предыдущем примере докажем, что точки R uRi
совпадают.
Пример 20. Пусть А — произвольная точка, не лежа-
щая на данной окружности (О). Проведем через точку А
произвольную секущую, пересекающую окружность (О)
в точках С и D. Пусть В — точка, гармонически сопря-
женная с точкой А относительно точек С и D, т. е.
(ABCD) = — 1. Доказать, что точки В при вращении се-
кущей вокруг А располагаются на одной прямой [назы-
ваемой полярой точки А относительно окружности (О)[.
Доказательство. Пусть Н — середина АВ. Тог-
да из соотношения (ABCD) — — 1 следует НС HD = НА2,
значит степени точки Н относительно точки А и окруж-
ности (О) равны между собой и точка Н лежит на ра-
дикальной оси окружности (О) и точки А. Но так как
АВ = 2АН, то точка В лежит на прямой, полученной из
указанной радикальной оси гомотетией (Л,2).
Пример 21. Доказать, что если точка А лежит вне ок-
ружности (О), то ее поляра пересекает окружность, а ес-
ли—внутри, то не пересекает.
Решение. На основании предыдущего примера по-
ляра а точки А относительно окружности (О) перпенди-
кулярна диаметру окружности, проходящему через точ-
ку А. Пусть этот диаметр пересекает окружность в точ-
ках С и D. Тогда, если точка А лежит на отрезке CD,
то гармонически сопряженная с ней точка В лежит вне
этого отрезка и обратно.
Пример 22. Доказать следующий геометрический, спо-
соб построения поляры точки А относительно окружно-
135
сти (О): 1) если точка А лежит вне (О), то из нее про-
ходят две касательные АТ и АТ'; прямая ТТ’, прохо-
дящая через точки касания, и есть поляра точки А
относительно окружности (О); 2) если точка А лежит внут-
ри окружности (О), то проводим через нее диаметр и хор-
ду ТАТ' к нему перпендикулярную; пусть касательные
к окружности в точках Т и Т’ пересекаютя в точке В;
прямая, проходящая через точку В перпендикулярно АВ,
есть поляра точки А относительно окружности (О).
Доказательство. 1) Середины Н и Н’ отрезков АТ
и АТ' лежат на радикальной оси окружности (О) и точ-
ки А, ибо НА2 — НТ2, Н'А2 = Н'Т’2; 2) из указанного
построения следует, что (BACD) — — 1, где С и D — точ-
ки пересечения АВ с (О), значит и (ABCD) = — 1.
Пример 23. Доказать, что если поляра точки А отно-
сительно окружности (О) проходит через точку В, то и
поляра точки В проходит через точку А (две такие точ-
ки называются полярносопряженными относительно ок-
ружности (О)].
Доказательство. 1) Пусть А лежит вне (О),
а В — внутри; тогда АВ пересекает окружность (О) в точ-
ках С и D. Пусть поляра точки А проходит через В, тог-
да (ABCD) = — 1, но тогда и (BACD) — — 1, т. е. по-
ляра точки В проходит через А.
2) Пусть А и В лежат вне окружности. Обозначим
через а точку, гармонически сопряженную с точкой А
относительно точек пересечения с окружностью (О) пря-
мой ОА (полярой точки А будет прямая, проходящая
через а перпендикулярно ОА); в таком случае Оа ОА =
= R2. Точка В по предположению лежит на поляре
точки А.
Опустим на ОВ перпендикуляр из Л и пусть b его
основание. Так как АЬВ = 90°, АаВ = 90°, то 4 точ-
ки А, В, а, b лежат на одной окружности (с диаметром АВ).
Поэтому Оа О А — Ob • О В = /?2 и поэтому А b — поля-
ра точки В (это доказательство годится для всех слу-
чаев; оно только упрощается, если одна из точек Л или
В лежит внутри окружности — см. выше первый слу-
чай).
Пример 24. Доказать способ построения поляры точ-
ки Л относительно окружности при помощи одной ли-
нейки, указанной на черт. 15:
136
АВС и ADE — две произвольные секущие; К— точка пе-
ресечения DC и BE, Н— точка пересечения BD и С£;
НК — поляра точки А относительно окружности (О).
Доказательство. Точки А и Р гармонически
сопряжены относительно точек Е и D; точки А и Q
гармонически сопряжены относительно В и С (см. вы-
ше— пример 17).
Пример 25. Пусть на плоскости фиксирована точка О
и задано число k 0 (положительное или отрицатель-
ное). Поставим в
соответствие точке М
плоскости, отличной V"' —
от О, точку М', ле- \\ s'
жащую на прямой \\\ / / 'к
ОМ и такую, что \\ \ / / у
= k. Это пре- / ।
образование множе- К \ж\. /
ства точек плоскости IxAvX /
называется гомоте- / Л\\ /
тией (прямой, в слу- I/ У
чае k > 0 и обратной, '
в случае £<0). Го- т \г\
мотетию будем обоз- ' \
начать так: (О,k). В .
случае прямой гомо- и ’
тетии точки М и
М' лежат на одном луче, выходящим из центра гомо-
тетии, в случае обратной гомотетии точки М и М' ле-
жат на лучах, имеющих противоположное направление.
При гомотетии всякая фигура переходит в фигуру ей
подобную (черт. 16); прямая I переходит в прямую Г,
параллельную /, окружность переходит в окружность
и т. д.
Пример 26. Фиксируем на плоскости точку О и фик-
сируем число k =# 0 (положительное или отрицательное).
Поставим в соответствие точке М плоскости, отличной
от О, точку М’, лежащую на прямой ОМ и такую, что
ОМ • ОМ' = k.
Это преобразование множества точек плоскости назы-
вается инверсией. Инверсию будем обозначать так же,
137
как и гомотетию (O9k). Докажем, что если над точками
плоскости выполнить последовательно две инверсии от-
носительно одного и того же полюса, то результирующее
преобразование будет гомотетией.
Доказательство. Рассмотрим две инверсии I =
= (O9k) и Ii = (P9kx). Пусть точке М в инверсии / соот-
ветствует точка М'9 а точке ЛГ в инверсии /ь соответ-
ствует точка ЛГ. Тогда
ОМ • ОМ' = k9
ОМ7 - OAT=k19
следовательно,
Пример 27. Доказать, что если полюс инверсии О не
лежит на данной окружности (С), то ее образ в инвер-
сии (Otk) есть снова окружность (С').
Доказательство. Пусть kr — степень точки О
относительно окружности (С), тогда инверсия (О, k±) пе-
реводит окружность (С) в себя (оставляет ее инвариант-
ной); если затем произвести инверсию (O9k)9 то резуль-
тат будет гомотетией с коэффициентом и значит при
инверсии (O9k) окружность (С) перейдет в окружность
(С'), гомотетичную (С) с коэффициентом гомотетии -т-,
где ki — степень точки О относительно (С).
Пример 28. Доказать, что
А ОА ОВ 9
где А и В — две произвольные точки плоскости, а Д'
и В'— их образы в инверсии (О,й).
138
Доказательство. Точки А' и В' лежат либо на
тех же лучах, что и точки А и В (если &>0) или на
лучах, противоположных лучам О А и ОВ (если Л<0).
Значит всегда
^АОВ= ^А'ОВ' = ср.
Поэтому
А'В'2 = О А'2 + ОВ'2 — 20 А' • OB' cos <р =
fe2 fe2 2fe2
ОА2± ОВ2 О А • ОВ cos<p
k2 k2 • АВ2
- ол^ов^ + ов‘ - 204 ов?> = '
Отсюда
А'В' =
|А| • АВ
ОА • ОВ ‘
Замечание. Соотношение (1) верно в том случае, если
точки А и В лежат на одной прямой, проходящей через
О (в этом случае ср = 0 или <р = к). Доказать отсюда, что
при инверсии сохраняется гармоническое отношение 4 то-
чек луча, проходящего через полюс инверсии.
Пример 29. Доказать, что если прямая I не проходит
через полюс О инверсии, то ее образ в инверсии (O,k)
есть окружность, проходящая через О; диаметр этой
окружности, проходящий через О, будет перпендикуля-
рен /.
Доказательство. Опустим из точки О перпен-
дикуляр ОН на прямую I. Пусть Н'— образ точки Н
в инверсии (O,k). Возьмем на прямой / произвольную
точку М, отличную от Я и пусть М' ее образ в той же
инверсии. Так как ОНМ = 90°, то
ОД2 + ЯЛ12 = ОМ2.
Далее имеем
о fe2 9 k2
он O"'!=w
а на основании предыдущего примера
2 _ fe2 • НМ2
т ОН2-ОМ2'
Мы видим, что
ОН'2 = ОМ'2 + М’Н'2,
139
ибо
ОМ’2 А- М’Н'2 — ** 4- ** * —
им +МГГ ~ 0М2± ОН2-ОМ2 ~
k2 ОН2 + НМ2 _ k2 _ nw/2
“ ОМ2 ОН2 ~ ОН2 ~ п ’
значит точка М’ лежит на окружности с диаметром ОН'.
Обратно. Пусть М'— любая точка этой окружности.
Тогда
ОМ'2 + М'Н,2 = ОН’2
или
k2 k2HM2 _ k2
ОМ2^ ОН2 • 0М2~ ОН2'
откуда
ОМ2 + НМ2 = ОМ2,
значит ^0/744 = 90° и точка М, являющаяся прообра-
зом точки М', лежит на прямой I.
Замечание. Из доказанного следует, что образом в ин-
версии (O,k) окружности, проходящей через точку О,
является прямая (перпендикулярная к диаметру этой ок-
ружности, проходящему через точку О).
Пример зо. Пусть АВ — хорда окружности (С), причем
ни окружность (С), ни хорда АВ не проходят через по-
люс О инверсии (О,&); пусть А’ и В'—образы точек А
и В в инверсии (O,k), а окружность (С') — образ окруж-
ности (С) в рассматриваемой инверсии. Тогда- АВ и А’В'
пересекаются в точке, лежащей на радикальной оси ок-
ружностей (С) и (С').
Доказательство.
ОА -ОА7 = ~ОВ- ОВ'(= k),
следовательно, точки А, А', В, В’ лежат на одной
окружности; АВ — радикальная ось этой окружности
и окружности (С), А’В’ — радикальная ось этой окруж-
ности и окружности (С'), следовательно, точка пересече-
ния АВ и А’В' есть радикальный центр трех указанных
окружностей и значит лежит на радикальной оси окруж-
ности (С) и (С').
Пример 31. При инверсии углы между окружностями
и прямыми сохраняются (это значит, что если, напри-
140
мер, две окружности пересекаются, то угол между ка-
сательными к ним в точке пересечения будет равен
углу между касательными к их образам в точке их пере-
сечения или если, например, две прямые пересекаются
и после инверсии они переходят в две окружности, то
эти две окружности также пересекаются и угол между
касательными к ним в точке пересечения будет равен
углу между исходными прямыми).
Доказательство. Прежде всего заметим, что если
две окружности (Ci) и (С2) касаются в точке М и если
после инверсии они перейдут в две окружности (С\) и (С2),
то эти две окружности будут иметь лишь одну общую
точку М' и, следовательно, будут касаться в этой точ-
ке. Если окружность (Ci) перейдет в окружность (Ci),
а окружность (С2) в прямую (С2), то окружность (Ci)
и прямая (С2) будут иметь лишь одну общую точку ЛГ
(образ М) и значит прямая (С2) будет касаться (С>)
в точке М'. Наконец, если и (Ci) и (С2) перейдут в пря-
мые (Ci) и (С2), то это значит, что М — полюс инвер-
сии; в таком случае (Ci) и (С2) — параллельные пря-
мые. Если (Ci) — окружность, а (С?) — прямая, касающаяся
(Ci) в точке М, то аналогичными рассуждениями уста-
новим, что (Ci) и (С2) перейдут либо в две окружности,
касающиеся в точке М' (образ Л1), либо в окружность
(Ci) и прямую (С2), либо в прямую (С|) и окруж-
ность (С2), касающиеся в точке М', либо в две парал-
лельные прямые (Ci) и (С2). Таким образом, при ин-
версии касание окружностей и прямых
с окружностями сохраняются. Пусть теперь
(Cj) и (С2)— две пересекающиеся окружности или пере-
секающиеся окружность (Ci) и прямая (С2) или две пе-
ресекающиеся прямые. Пусть М — точка их пересечения.
В первом случае угол между окружностями (Ci) и (С2)
будет равен углу между касательными к ним в точке М
их пересечения; во втором—углу между касательной
к окружности (Ci) в точке М и прямой (С2), в третьем —
углу между (Сх) и (С2). Таким образом, в силу сохране-
ния при инверсии касания вопрос о сохранении углов
между окружностями и между окружностью и прямой
сводится к вопросу о сохранении угла при инверсии
между двумя пересекающимися прямыми (Ci) и (С2).
141
Предположим, что эти прямые (Ci) и (С2) не проходят
через полюс инверсии. Построим две окружности (Si)
и (S2), проходящие через полюс О инверсии и касаю-
щиеся (Ci) и (С2) в точке М. В силу сохранения каса-
ния при инверсии угол между окружностями, в которые
перейдут (Ci) и (С2), будет равен углу между прямыми,
в которые перейдут окружности (Si) и (S2); но эти окруж-
ности перейдут в прямые, параллельные касательным
(<si) и (<т2) в точке О
у*"^ч. к окружности (Si) и
.(S2) и таким образом
у /!\ \ угол между прямы-
/ и \ \ \ ми, в которые перей-
4---------Ц—)__________I ] дут (S1) и (S2), бу-
\ Ц I 1j дет равен углу меж-
\ Ч/ / 1 ДУ (С1) и (С2). Если
у,_____/ у одна из прямых (Сх)
\. j' или (С2), например,
-----------(Ci) проходит через
ц----------полюс инверсии, а
ерт’ другая не проходит,
то строим лишь
окружность (S2), касающуюся С2 в точке М. Угол меж-
ду (Ci) и (С2) после инверсии будет равен углу между
образами (Ci) и (S2), т. е. углу между (Ci) и касатель-
ной (о2) к (S2) в точек О.
Наконец, если обе прямые (Ci) и (С2) проходят через
полюс инверсии, то в силу их инвариантности при ин-
версии, угол между ними сохранится. Отметим также,
что если рассматривать ориентированные углы, то
[(Ci), (С2)] = — [(°i)> (^г)] »
так что при инверсии углы сохраняются, но их ориен-
тация меняется на противоположную.
Пример 32. Пучком окружностей называется множе»
ство всех окружностей с общей радикальной осью. Пучок
окружностей определен, если задана радикальная ось
пучка и одна из окружностей пучка (или если заданы
две окружности пучка). Исследовать типы пучков окруж-
ностей в зависимости от взаимного расположения ради-
кальной оси с одной из окружностей пучка.
Решение. Если радикальная ось пересекает данную
окружность пучка, то все окружности пучка должны
142
проходить через точки А и В пересечения данной ради-
кальной оси (Д) с данной окружностью пучка (эллипти-
ческий пучок, черт 17). Если радикальная ось (Д) ка-
сается в точке А данной окружности пучка (черт. 18),
то пучок состоит из всех окружностей, касающихся в точ-
ке А прямой (Д) (параболический пучок).
Если, наконец, радикальная ось не пересекает данной
окружности (С), то пучок состоит из окружностей, не
пересекающихся друг с другом и с прямой, (Д) (гипербо-
лический пучок, черт. 19). Центры всех этих окружно-
стей расположены на прямой /, проходящей через центр
143
(С) перпендикулярно (Д). Если на радикальной оси (Д)
взять произвольную точку В и провести из точки S
касательную ST к данной окружности (С) и затем по-
строить окружность с центром S и радиусом ST, то эта
окружность пересечет прямую I в точках А и В, кото-
рые диаметр CD окружности (С) разделят гармонически
(см. выше пример 10). Любая окружность с центром на
прямой (Д), проходящая через точки А и В будет пере-
секать окружность (С) ортогонально и значит степень
любой точки S относительно (С) будет равна степени S
относительно точек А и В (ВЛ2 и SB2), поэтому точки
А и В, как точки окружности нулевого радиуса, вклю-
чаются в гиперболический пучок; они называются пре-
дельными точками гиперболического пучка (в отличие
от точек Л и В эллиптического пучка, называемых там
базисными). Отметим, что предельные точки гиперболи-
ческого пучка служат базисными для эллиптического,
окружности которого ортогональны окружностям гипер-
болического пучка и обратно.
Пример зз. Связкой окружностей называется множе-
ство всех окружностей с общим радикальным центром.
Исследовать типы связок окружностей.
Исследование предлагается провести читателю само-
стоятельно; три полученные при этом типа связок зави-
сят от взаимного расположения заданного радикального
центра и окружности связки.
Пример 34. Пусть Л', В', С' — проекции произвольной
точки В окружности (Г), описанной около треугольника
ЛВС, на его стороны ВС, СА и АВ. Доказать, что точ-
ки А', В', С' лежат на одной прямой (прямая Симп-
сона).
Доказательство. Точки S, Л, В, С лежат на окруж-
ности (Г), значит (см. выше пример 2) (ВС, ВЛ) = (ВС,ВЛ)
(mod л). Прямые SA' и SC' соответственно перпендику-
лярны ВС и ВЛ, значит (ВЛ', ВС') = (ВС, ВЛ) (mod it).
Из полученных равенств следует, что (SC, ВЛ) =
= (ВЛ', SC'); прибавляя к обеим частям этого равенства
по (ВЛ, ВЛ') и используя теорему Шаля, получим
(ВС, ВЛ') = (ВЛ, SC') (mod it). Так как четыре точки
S, С, Л', В' лежат на одной окружности с диаметром SC,
то (SC, ВЛ') = (В'С, В'Л') (mod it).
Аналогично. Четыре точки В, В', Л, С' лежат на одной
окружности с диаметром ВЛ, значит (ВЛ, ВС') =
144
= (В'A, В’С) (mod к). Итак, (В'С, В'Л') = (В'А, В'С)
(mod л) или (В'С, В'А') — (В'С, В'С') (mod it), а потому
точки А', В', С' лежат на одной прямой*.
Пример 35. Дана окружность (С) и хорда АВ этой
окружности; пусть (Д)— медиатриса отрезка АВ. Дока-
зать, что кроме точки В на окружности (С) существуют
три точки М такие, что если Н— проекция М на (Д),
то МА — 2 МН. Какую особенность представляет тре-
угольник, образованный этими тремя точками. Можно
ли построить эти точки с помощью циркуля и линейки?
Решение. Примем точку А за начало отсчета дуг
на данной окружности (С) и установим произвольно по-
ложительное направление отсчета дуг на окружности (С).
Пусть М — произвольная точка окружности (С), а Н —
ее проекция на (Д). Обозначим через Р точку, симмет-
ричную точке М дтносительно (Д); тогда 2МН = МР.
Для того, чтобы точка М удовлетворяла условию зада-
чи, необходимо и достаточно, чтобы МА = МР, а значит
AM — ± МР. Если AM — —МР, то AM + МР = О
(mod 2к) или АР — 0, т. е. точки А и Р совпадают,
а значит точка М совпадает с точкой В. Пусть AM =
= МР. Обозначим через / одну из точек пересечения (Д)
и (С). Так как (Д) — медиатриса АВ, следовательно, и МР,
то / есть середина дуги МР.
Значит 2AI = AM + АР (mod 2я). Но АР=АМ 4-
+ МР = 2/Ш (mod 2те), значит 2 А1 = ЗАМ (mod 2п)
или
3/Ш = 2AI + 2kn,
откуда
„V, 2 V, , 2k к
AMSА,+~з-
Этим доказано, что на окружности (С) существуют
три и только три точки Mi9 М2, Мь удовлетворяющие
* Этим и следующим примером иллюстрируется применение
теоремы Шаля для углов.
145
условию задачи; положения этих точек определяются ду-
гами:
<j 9 и и 9 и о_ kj 9 kJ л-
AM^-^AI, АМ3=^-А1 +~, АМ3 = ^А1 +-£.
о о о о о
Построить эти точки с помощью циркуля и линейки
невозможно, так как вопрос сводится к трисекции угла.
В заключение этого пункта покажем как можно ис-
пользовать установленные выше положения для «анато-
мирования» геометрической задачи, т. е. для расчленения
ее на более простые факты, установленные в общем виде.
Пример 36. Доказать, что во всяком неравнобедренном
треугольнике АВС точка G пересечения медиан лежит
на одной прямой с центром О описанной окружности
(АВС) и с точкой Н пересечения высот (ортоцентр). До-
казать также, что точка G лежит всегда между точка-
ми О и Я, причем OG : GH =1:2. Доказать, что окруж-
ность (Оа), проходящая через середины А', В', С сторон
ВС, СА и АВ, пройдет также через основания А", В”,
С" высот АА", ВВ” и СС", а также через середины А"',
В'", С"' отрезков НА, НВ и НС.
Доказательство. Рассмотрим гомотетию: ( G, —± ].
При этой гомотетии точка А перейдет в А' (так как
точка G всегда лежит на медиане А А' и AG: GA! = 2:1).
Так как при гомотетии каждая прямая переходит в пря-
мую ей параллельную или с ней совпадающую и так.как
данный треугольник не равнобедренный, то при гомоте-
тии ^G, —4^ высота АА” перейдет в прямую, прохо-
дящую через точку А’ (ибо А перейдет в А') и парал-
лельную АА", т. е. в медиатрису отрезка ВС (медиат-
рисой отрезка называется прямая, проходящая через
середину этого отрезка перпендикулярно к нему). Итак,
в гомотетии I G, —1 каждая высота перейдет в ме-
диатрису той стороны, на которую эта высота опущена.
Значит в той же гомотетии точка Н пересечения высот
треугольника Перейдет в точку О пересечения медиат-
рис его сторон, т. е. в центр окружности, описанной около
146
треугольника. Этим доказано, что точка G лежит всегда
между О а Н и что OG : GH =1:2.
Далее, в указанной гомотетии ^<7,—окруж-
ность (АВС), описанная около -треугольника АВС, перей-
дет в окружность (А'В'С), проходящую через середины
А', В', С' сторон ВС, С А и АВ радиус окружности
р
(А’В’С) равен -%, где R— радиус окружности, описан-
ной около треугольника АВС, ибо абсолютная величина
коэффициента гомотетии /в,----равна Л].
Центр со окружности (А'В'С) есть точка, полученная
из О гомотетией ^G,—; это, следовательно,— сере-
дина отрезка ОН. Так как середина со отрезка ОН рав-
ноудалена от высоты АА” и от медиатрисы отрезка ВС,
то точка со равноудалена и от точек А’ и А”; значит
окружность (А'В'С) пройдет и через точку А" (анало-
гично и через В" и через С).
Далее окружность (А’В’С) имеет с высотой ЛЛ" об-
щую точку Л", значит она имеет с этой высотой еще
одну общую точку; пусть А'"'—эта точка. Так как
/А' А” А = 90°, а точка А'" лежит на АА”, то X А'А"А’"
также равен 90°; но точки А’ и А” лежат на окружности
(А'В'С), значит точки А’ и А'"—диаметрально проти-
воположные точки окружности (А'В'С). В гомотетии
(а>,—1) точка А' поэтому перейдет в А’", а точка О
естественно — в точку Н (ибо ш — середина ОН)', отсюда
следует, что ОА'=—НА'". С другой стороны, в гомоте-
тии (G, —2) точки 0 и А’ перейдут соответственно в Н
и Л, значит ОА'з=---Значит НА = 2НА"’Х т. е,
А'" — середина НА. Аналогично доказывается, что ок-
ружность (А'В'С) проходит через середины В'" и С"
отрезков ВН и СН.
§ 3. Обобщение задач
Умение обобщить задачу, дать для нее общее решение
и применить затем результат к данной конкретной зада-
147
’че, является признаком очень высокой подготовки по
математике. Для большинства поступающих это замеча-
ние нужно использовать в том смысле, чтобы учесть
нельзя ли при решении данной задачи свести ее к извест-
ной задаче общего вида. Умение отыскать объединяю-
щую идею в примерах казалось бы различного вида,
является делом очень трудным, но развивать в себе этс
необходимо. Приведу несколько примеров из алгебры.
Пример 1. Задачи №№ 154, 158, 174, 219, 282, 297,
319, 322, 332, 339, 342, 352, 372, 382, 388 и некоторые
другие задачи главы 1 могут быть сравнительно легко
решены, если предварительно решить такую задачу:
определить в форме рациональных нера-
венств между параметрами расположение
данного действительного числа т относи-
тельно корней Xi и х2 квадратного уравне-
ния ах24-6х-|-с = 0, считая их действитель-
ными и различными (т. е. считая, что а^=0
и Ь2— 4ас>0).
Решение. Получим сначала необходимые признаки:
1) Пусть т < Xi < х2; тогда а (ат* 4- Ьт 4- с) > 0 *,
т < Ха = —и значит а(2ат 4- &)<0.
2) Если Хх < т < х2, то a (am* 4- Ьт 4- с) < 0.
3) Наконец, если Xi < х2 < т, то а (ат*+ Ьт+с) > 0,
а (2ат 4- Ь) > 0.
Методом от противного доказывается и достаточность
этих признаков.
Замечание. Если а>0 (в частности а = 1), то полу-
ченные необходимые и достаточные признаки расположе-
ния числа т относительно действительных корней квад-
ратного уравнения могут быть записаны в виде:
1) m<xi<x2, ат* 4- Ьт 4- с>0, 2ат-(-Ь<^0;
2) xi</n<x2, ат* + Ьт + с<^0,)
3) xi<x2<m, am* 4- Ьт + с>0, 2am 4- 6>0.
Рассмотрим теперь решение какой-либо из перечислен-
ных выше задач, например, решение задачи № 154; найти
все значения k, при которых корни уравнения kx* —
— (k 4-1) х4-2 = 0 будут действительны и оба по абсо-
лютной величине меньше 1 (т. е. — 1 < х2 < х2 < 1).
В самом деле: а (ат* 4- Ьт 4- с) = а* (т — xj (т — хг).
148
На основании решенной общей задачи вопрос сводится
к решению следующей системы неравенств:
k 4= 0 1 условие того, что корни
(k + I)2 — 8k > О J действительны и различны;
&(& + й+1+2)>0 | условие того, что
k(— 2k — k— 1)<0 f -lOi<«
k(k — k — 1 4- 2) > О ) условие того, что
k(2k — k —1)>0 J xi<x2<l.
Все эти неравенства будут иметь место тогда, и толь-
ко тогда, когда &>3-|-2 |/2. Отметим, что при й=3+
4- 2]/2 корни данного уравнения равны между собой и
также заключены между — 1 и 4-1.
Итак, k >• 3 4- 2 у/ 2.
Рекомендуется этим методом решить задачу № 2,
гл. V.
В качестве второго примера рассмотрим общий метод
исследования элементарных функций элементарными сред-
ствами, связанный с задачами на построение графиков
функций, отыскания их наибольших и наименьших зна-
чений и т. д.
Для исследования функции у = /(х) на возрастание
или убывание в том или ином интервале (а, Ь) или на
сегменте [а, Ь] полезно составить разность 8 = f (х2)—
—f(%i) (считая x2>xi) и исследовать ее знак.
Если на данном сегменте [а, 6] из условия a<^xi<C
< хз < Ь следует, что 8 = f (х2) — f (xi) > 0, то на этом
сегменте функция f(x) возрастает; в противном случае
(8 < 0) — убывает.
Для исследования выпуклости графика вверх или вниз
{на данном интервале или сегменте) полезно исследовать
знак выражения
( Xi 4- х2 \ f(Xi) +f (х2)
\ 2 / 2
Если на данном интервале или сегменте [а, Ь] из
условий а < b, а<. х2С b, Xi =# х2 следует, что
л х / Xi 4- х2 \ f (xi) 4- f (х2) Л
А = f I ——- ) — >0, то. на этом сегменте
\ Л J
149
график функции имеет выпуклость вверх (см. выше черт.
4 и 5); в противном случае (Д < 0) — вниз. Рассмот-
рим конкретный пример.
Исследовать функцию
у = /:(х) = х34-рх4-д
и убывание, на выпуклость вверх и вниз
на возрастание
ее графика.
Решение.
f (*2) — f (xi) = *2 + рх2 + q — (xi + pxi + q) “
= (X2 — Xi) (%1 + Xi X2 + X2“h p) =
= (x2 — *1) [(Xi + x2)2 — Xi x2 + p] > *
(x2 — Xi) I (Xi + X2)2-—~
Полагая x2>xi, составим разность:
VP =
Г 3
= (х2 — Xi) -у (xi + х2)24- р .
Отсюда видно, что при р>0 данная функция — воз-
растающая. Если же р<0 и xi^>x2^>j/ —у или
Р ТО -|(xi 4-х2)2-|-р>у-4 f— +
Xi
+ р — 0, т, е. функция в полуинтервалах I — оо, —
и
_Р
oo — возрастающая.
Если же —
о
, ТО Х[ +
О _ п р р 2
4-XiX24-x2< — у — у —-у = —р и значит х(-Ь
+ Xi х2-}-*2 + р < 0, т. е. /(х2)-f(xi)<0 —данная
функция на сегменте
ющая.
— убыва-
* Так как xt x2 <------------4-----(*i =# Хг)>
150
Отсюда следует, что при х = — 1 / — данная функ-
If *3
ция принимает наибольшее значение, равное
А == f (^4^) -41/ + f =
__(xi + Х2)3 . Xi 4- %2 . Р-^зЧ- Я_
““ 8 2 2 ““
Jxx + .rfl Л? + 4 ,= _ з (Xt _
о Z о
Отсюда видно, что при Xi<0, х2 < 0(хх =# х2), дан-
ное выражение положительно — линия выпукла вверх,
а при %1 >• 0, х2 >• О (xi ¥= х2), Д < О — линия выпукла
вниз. График функции дан ра черт. 20.
В качестве третьего примера, обобщающего целый
цикл задач, приведем без доказательства две теоремы
Гюльдена.
Первая теорема Гюльдена. Поверхность тела
вращения, полученного вращением плоской
ломаной вокруг оси, лежащей в плоскости
агой ломаной, но не пересекающей ее, рав-
на длине ломаной, умноженной на длину
окружности, описанной ее центром тяже-
сти.
Вторая теорема Гюльдена. Объем тела враще-
ния, полученного вращением плоской замк-
нутой ломаной (не пересекающей себя)
вокруг оси, лежащей в плоскости этой
ломаной и не пересекающей ее, равен про-
изведению площади, ограниченной этой
151
ломаной на длину окружности, описанной
ее центром тяжести.
Предоставляя читателю доказательство этих теорем,
рассмотрим ряд приложений этих теорем.
1) Пусть вокруг оси (Z) вращается треугольник АВС;
ось (Z) не пересекает его контура; требуется вычислить
поверхность тела вращения.
Решение. Пусть Л', В',
С — середины сторон ВС,
С А и АВ; это — центры тя-
жести сторон ВС, СА и АВ.
Обозначим через а, Ь, с
длины сторон ВС, СА и АВ.
Вопрос сводится к отысканию центра тяжести системы
трех материальных точек А', В', С', в которых сосредо-
точены массы, соответственно равные а, Ь, с. Центр тя-
жести системы из двух материальных точек А' и В’,
в которых сосредоточены массы, соответственно равные
а и Ь, расположен в точке С отрезка А'В' такой, что
А'С : С"В' = Ь:а. Но так как b: а = АС: СВ — А'С'.СВ',
то А'С : СВ' = А'С : СВ' и значит точка С лежит на
биссектрисе С С внутреннего угла С треугольника А' В'С.
На этой биссектрисе лежит и центр тяжести системы
трех материальных точек А', В', С', в которых сосредо-
точены массы, соответственно равные а, Ь, с. Аналогично
доказывается, что центр тяжести указанной системы
трех материальных точек А', В', С, в которых сосредо-
точены массы а, Ь, с, лежит на биссектрисах внутренних
углов А' и В' треугольника А'В'С. Итак, искомый
центр тяжести есть центр О окружности, вписанной
152
в треугольник А'В'С', вершинами которого служат сере-
дины сторон ВС, СА и АВ данного треугольника. По-
верхность тела вращения, полученного вращение^ вокруг
оси (/) контура треугольника АВС равна 2p2vd (2р —
периметр треугольника ABC, ad — расстояние от точки О
до оси вращения /).
2) Параллелограмм ABCD со сторонами АВ — а и
AD = Ь и острым углом BAD = а вращается вокруг
оси (Z), проходящей через вершину А параллельно диа-
гонали BD (черт. 21). Определить поверхность тела вра-
щения.
Решение. Вопрос сводится к определению расстоя-
ния d от точки О пересечения диагоналей BD и АС до
оси (/) вращения; это расстояние равно расстоянию
между прямыми BD и (/), иначе — высоте ha треуголь-
ника DAB.
Имеем:
BD — Y а2 4- Ь2 — 2ab cos а,
пл. Д ABD = -1- d Ya2 + b2 — 2ab cos а,
&
пл. Д ABD = ab sin а;
отсюда
_________ab sin я_____
И а2 + Ь2 — 2ab cos а
и, следовательно, поверхность тела вращения:
/о , пм n j 4mb(a + &)sina
a = (2a 4- 2b) • 2itd — v 7 —.
Y^2 + b2 — 2ab cos a
3) Параллелограмм ABCD co сторонами AB — а и
AD = b и острым углом a вращается вокруг оси (Z),
проходящей через вершину А, параллельно диагонали BD.
Определить объ^м тела вращения.
Решение. Искомый объем равен (см. предыдущий
пример):
, . „ . 2~а2 b2 sin2 a
v = ab sin a- 2 те a = .
Ya2 + b2 — 2ab cos a
Уже на этих трех примерах видно, что определение
поверхностей и объемов многих тел вращения есть воб-
153
щем однообразная задача, сводящаяся к применению
только двух теорем Гюльдена. Подобная типизация задач
возможна, как мы показали, и в алгебре, и в геометрии,
и в тригонометрии.
Существует, например, формула Симпсона
° = (Qo + 4Qi 4- Q2X
где h — «высота» тела, Qo и Q2 — площади его основа-
ний, Qi — площадь «среднего» сечения, по которой можно
совершенно точно вычислять объемы тел, площадь сече-
ния Q которых плоскостью, параллельной основанию и
отстоящей от основания на расстоянии х, выражается
функцией вида: Q = ах3 + Ьх2 + сх 4- d (сюда относятся,
например, следующие тела: сфера, сферический слой,
сферический сегмент, конус, усеченный конус, цилиндр
и даже такие тела как клин, параболоид вращения и
т. д.). Формула Симпсона также является хорошим при-
мером формулы, типизирующей решение огромного числа
задач на вычисление объемов тел*.
В заключение этого пункта рассмотрим еще одну
«обобщающую» идею, лежащую в основе решения нера-
венств, содержащих элементарные функции. Имеет место
следующая теорема:
если элементарная функция** f(x) опреде-
лена при всех значениях х в интервале (а, Ь)
и если она в этом интервале (а, Ь) не имеет
корней, то она в этом интервале сохраняет
знак.
* В курсе высшей математики такая типизация находит прак-
тически свое завершение в интегральном исчислении, где Дается
формула для вычисления объема тела при «любом» законе распре-
деления площади сечения тела в зависимости от расстояния х
секущей плоскости от основания.
** Функции Xя (п — рациональное число), sinx, cosx, tgx,
ctg x, ax (a > 0, a qb 1), lgax(a>0, aqbl), arc sin x, arc cos x,
arctgx, arcctgx—называются основными элементарными функ-
циями. Функции, полученные из них в результате действий сло-
жения, вычитания, умножения и деления и повторного примене-
ния знаков основных элементарных функций, называются элемен-
тарными. Например,
______sin (3xtg х + 5ха— 3)___
1g (2х + 1g х + 5 arc sin (1 — Vx )
— элементарная функция.
154
Доказательства этой теоремы мы приводить не будем,
но приложение ее дадим.
Пусть, например, надо решить, неравенство
2 sinx 4- cos2x> 1.
Переписывая это неравенство в виде:
2 sinx 4- 1 —2sin2x'J> 1
или
sinx(l —sinx)>0,
положим
sinx(l — sinx) = О
и найдем корни этого уравнения на «сегменте [0, 2я]:
Xi = 0, х2 = ^-, х3 = я, х4 = 2я.
При х = -^-, 2sinx + cos2x = 2sin — 4-cos-^- = ]/2>1,
значит неравенство 2sinx4~cos2x> 1 выполнено и при
всех х таких, что 0<^х<^-^-, ибо в этом интервале
уравнение 2sinx + cos2x = 1 не имеет корней.
Далее, например, при х=~ имеем 2sinх4-cos2х=
= 2sin^-4-cos-|p = ]/2> 1, значит, 2sinx + cos2x>l
(я \ „
-=-, я ). Далее, если я <
/
< х < 2я, например, х = , то 2 sin х 4- cos 2х =
= 2 sin^p- + cos Зя < 0 < 1, значит 2 sin х 4- cos 2х < 1 и
при всех х таких, что я<х<2я.
Итак, все решения данного неравенства:
2£я < х < 4-
и
4- 2/гя < х < я 4- 2£я,
где k — любое целое число.
155
Общий метод применения указанной теоремы заклю-
чается, следовательно, в следующем: если надо решить
неравенство /(х)>0 (или /(х)<0), где f(x)— элемен-
тарная функция, то решаем сначала уравнение f (х) = 0.
Пусть xi, Xz, Хз, ... — корни этого уравнения, располо-
женные в порядке возрастания, или значения х,
при которых функция f(x) не определена.
Для определения знака f (х) в каком-нибудь интервале
(хк, хк+1) берем любое значение х = х0 из этого ин-
тервала: xk<xo<Xk+i; если /(хо)>0, то f(x)>0 при
всех х из интервала (хк, хк+|), а если f(xo)<O, то
/(х)<0 при всех х из этого интервала [предполагается,
конечно, что f(x) определена на всем интервале (хЛ,
Як + 1)].
Изложенный прием сводит таким образом решение
неравенств, содержащих элементарные функции к урав-
нениям того же типа (т. е. уравнениям, содержащим
элементарные функции).
Подобных обобщающих приемов решения задач имеет-
ся много в геометрии и алгебре и в тригонометрии. Оты-
скание и классификация этих приемов играет весьма
важную роль в развитии элементарной математики.
Не развивая далее конкретно и подробно этой идеи,
отметим лишь еще несколько принципов и методов, поз-
воляющих обобщить способы решения многих задач:
принцип Кавальери в геометрии, метод перспективы,
теорема Безу, как инструмент доказательства многих
тождеств в алгебре и многое другое.
Подводя итог настоящему пункту, следует сказать,
что в школах еще мало внимания уделяют изучению
методов, позволяющих классифицировать задачи по спо-
собу их решения. Отыскание таких обобщающих задач
и стандартных методов их решения составляет важную
задачу в методике решения задач элементарной матема-
тики.
§. 4. Синтез разделов элементарной математики
Серьезным недостатком является неумение синтезиро-
вать знания, полученные в результате изучения разных
разделов школьного курса элементарной математики
(например, исследовать знак квадратного трехчлена от-
носительно какой-нибудь тригонометрической функции,
156
если к тому же коэффициенты трехчлена — функции
какого-нибудь параметра или решение задач на построе-
ние с применением тригонометрии, или исследование
одного вопроса различными методами: алгебраически,
геометрически и, тригонометрически; сопоставление ре-
зультатов этого исследования и установление их экви-
валентности и т. д.).
В главах IV—IX дано много задач, при решении каж-
дой из которых приходится применять различные разде-
лы школьного курса.
Приведем здесь лишь один пример.
Доказать, что если 0<Xi<a> 0<^x2<^a, Xi =£ х2, то
у(К«2 — х2 -f- V а2—х2)<|/ а2 — j •
Алгебраическое решение. Данное неравен-
ство эквивалентно следующему
_|_ /^=^2 < 2 а2 -
или (так как для всех радикалов берется арифметиче-
ское значение) это неравенство эквивалентно сл едую-
щему:
а2 — х2+ 2 /(а2 — х2) (а2 — х2) + а2 — х2 <
<4а2 — (xi + х2)2,
или
V(а2 — х2^ (а* — х2) < а2 — хх х2
и так как а2 — Х1Х2>0, то это неравенство эквивалент-
но следующему:
(а2 — х2) (а2 — х|) < а4 — 2а2 Xi х2 + х2 х|
или
—1 а2 xf — а2 х2 + 2а2 хх х2 < О,
или
— а2 (х2 — xi)2 <0 —
— это неравенство верно, значит верно и начальное не-
равенство, так как в процессе преобразования мы не
нарушали эквивалентности.
157
Тригонометрическое решение. Так как 0<^
< Xi < а, 0 < х2 < а, а > 0, Xi #= х2, то найдутся нерав-
ные углы ?! и <р2 такие, что , 0<<р2<-д-
и
-----= COS <Р 1, — = cos <р2-
О----о
Но тогда
Xi = a cos <pi, х2 — a cos <р2
и
]/а2— х| = У а2 — а2 cos2 = а sjn
У а2 — х| = У а2 — a2 cos2 <р2 = а sin <р2,
У ai~ (~'"S “ ]/ — ^(C0STi + c0Sf!)«-
= £_l/^4eos.^cos.^>
>“ 1/ 4-4coS-’l + Sl = <lsin’i+^>
Л у £ Л
> a sin cos -т q т = -и- (sin <pi + sin <р2) =
= (а sin <pi + a sin <р2) = ~(Уа2— xj + У а2 — х$.
Геометрическое решение. Построим два пря-
моугольных треугольника АВС и ADE таких, что АВ =»
= Xi, AD = х2, АС = АЕ = а (черт. 22). Тогда ВС =
— Уа2 — xl,DE—ya2—х^ и значит -у(]/а2 — xf 4-
+ ]/а2 — х^) — средняя линия трапеции BCED.
Далее:
BD = x2— xi, БР =-х-2~Х1-, ЛР = хх +
! Х2 — Xi Xi -р х2
+ 2 2 ’
158
значит
j/" а2 — = /а2 — ЛР2.
Построим окружность радиуса а с центром А. Эта
окружность пройдет через точки С и Е. Продолжим PQ
до пересечения с окружностью в точке Р. Тогда
У а2 — АР2 — PR и, так как PR PQ, то все доказано.
§ 5. Техническая подготовка
У некоторой части поступавших следует отметить
недостаточную техническую подготовку (умение быстро,
а главное верно, провести довольно сложные преобразо-
вания). Ошибки технического порядка резко возрастают,
если технически трудный пример осложнен еще какой-
либо трудностью принципиального характера. С этим
дефектом надо решительно бороться. Поступающий
в высшее учебное заведение должен абсолютно точно и
свободно производить элементарные преобразования в ал-
гебре и тригонометрии даже и достаточно технически
сложные.
§ 6. Задачи с параметрами
Очень плохо обстоит дело с решением задач, содер-
жащих параметры. В подобного рода вопросах поступаю-
159
щие часто решают задачу формально, не заботясь о том,
имеет ли смысл полученная формула.
Пример ь На конкурсном экзамене в одном из мос-
ковских вузов было предложено решить следующее ура-
внение
4 — х
1 |Q = OglO IglO П- 1) lgx 10.
Приведем формальное решение без учета области изме-
нения параметра п:
4___х
Ig.v X + lg.r -JQ- = Igio Igio П • lgx 10 — lg.v 10,
Ig.r --(4~X) = n ~ te* 10’
ь *<4—*) _ io- IgioZb
g* 10 - *gx 10 ,
X (4 — x) Igio n
10 10 ’
x2 — 4x + Igio n = 0,
X = 2 ± /4 —lg|on.
Такое решение нельзя признать удовлетворительным,
так как не указано, при каких значениях п
значения
X = 2 ± / 4 — lg10 п
будут корнями данного уравнения.
Приведем исчерпывающее решение данного уравнения.
Прежде всего ясно, что если и<1, то Igio Igio п не су-
ществует и значит при п < 1 уравнение не имеет реше-
ний.
Далее, так как х является основанием логарифмов
(4______________________________х \
например, в выражении lgx —— j, то корнями дан-
ного уравнения могут быть только положительные зна-
чения х, отличные от 1.
160
Кроме того, так как в данное уравнение входит
4___X
1g*—jq—, то х < 4. Итак, предполагая, что п>1 и,
что уравнение имеет корень х такой, что 0<х<4 и
х =£ 1, произведем все указанные выше преобразования.
Результат, который мы получили:
х = 2 ±}/4 —Igio/i
дает прежде всего следующее ограничение на п: п< 10000,
так как при п > 10 000 оба корня мнимые; итак, если
1<пС 10000 и если этой формулой определяются зна-
чения х такие, что 0<Xi<4, 0<х2<;4 и Xi=/=1, х2=^1,
то оба эти значения будут корнями данного уравнения,
так как проведенные выкладки будут обратимы. Если
же не выполнены эти условия, хотя бы для одного х =
— 2 ± j/4 — Igwn, то это значение х не будет корнем
данного уравнения.
Прежде всего заметим, что если 1<и<^ 10000, то
оба корня будут в интервале (0,4), так что при выпол-
нении неравенств 1 < п < 10 000 оба корня удовлетво-
ряют неравенствам 0<xi<4 и 0<х2<4.
Остается установить, не будет ли среди корней ж», х2
равных 1. ________
Ясно, что 2 + }/4 — Igio «>1(1 < п Ю 000). Зна-
чит единице может быть равен лишь корень
Полагая
2 —/4 —lgl0«.
2—/4 —lg10« = 1,
находим
V 4 — Igio п = 1,
4 —lgio« = 1,
Igio n= 3, n = 1 000.
Окончательно, если «<1 или «>10000, уравнение
не имеет корней; если п — 1000, уравнение имеет один
корень х = 3. Если же 1 <« < 10000, то уравнение име-
ет два корня х=2±)/4 — lg10«.
Пример 2. Решить уравнение
sin4x-f-cos4x+sin2x-{-a = 0. (1)
161
6 Зак. 3478
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
(sin2 х + cos2 х)2 — 2 sin2 х cos2 х -f- sin 2х 4- а = О
или
1---sin2 2х + sin 2х 4- а = G,
и
ИЛИ
sin22x — 2sin2x — 2(а 4- 1) = 0.
Положим sin 2х = z. Получим
z2 — 2z — 2(а+ 1) = 0. (2)
Прежде всего, это уравнение должно иметь действи-
тельные корни, т. е.
О
1 4- 2а 4- 2 > 0 или а >• —.
з
Если а — —> то уравнение принимает вид; г2 —
— 2г 4- 1 = 0, т. е. г = 1, sin2x = 1, х= 4- Лте (k —
любое целое число). Пусть а > —. Тогда корни
уравнения (2) действительны и различны; обозначим их
через Zi и z2 и будем считать, что Zi < z2.
Данное уравнение (1) имеет решение в одном из сле-
дующих случаев:
1) zi < — 1 <z2< 1;
2) — 1 <zj<z2< 1;
3) 1 < Zi < 1 < z2.
В случае 1) годится лишь больший корень z2; в слу-
чае 2) — оба корня Zi и z2; в случае 3) — меньший ко-
рень Zi.
Случай 1) будет иметь место, если —1 заключен ме-
жду корнями уравнения (2), а 1 больше обоих корней,
т. е. (см. стр. 148)
14-2 — 2(а4- 1)<0} условие zx< — 1 <z2,
условие zi < z2 < 1 —
1 —2 —2(а4- 1)>0
2— 2>0
— что невозможно.
162
Случай 2) будет иметь место, если
1+2 — 2 (а + 1) > 0 } условие — 1 < zi < z2,
—2 — 2<0
условие zi < z2 < 1, •
что опять невозможно.
Случай 3) будет иметь место, если
условие — 1 < Zi < z2;
1 — 2 — 2 (а + 1) < О } условие zi < 1 <z2.
Последние неравенства имеют место, если
— 2 —2(a+ 1)>
2 — 2>0
1 +2 —2(a+ 1)> 0
— 2 —2<0
Итак, при этом условии
sin 2х = 1 — }^3+ 2а
и
х = -у- + у (— 1)к arc sin (1— /3 + 2а)
(k — любое целое число).
л 1
Остается рассмотреть граничные случаи: а= -=иа=
3 3
= —к-. Случай а = —мы уже рассмотрели. Если
& &
же а = ~, то z2 — 2г — 3 = 0, z = 1 ± 2, z = — 1,
sin 2x = — 1, 2x = + 2&я, x = + fa. Итак,
если
TO
X = -^ + v(- arcsin(1-/3+^).
A
6*
1*3
с 3
Если а -----2", то
х — -4' + kn,
2 ’
Зтс ,
а если а = , то х — -z—к йк
2 4
(во всех трех формулах k — любое целое число).
Пример з. Рассмотрим прямоугольный треугольник
ЛВС (А = 90°). Дана длина с катета АВ. Обозначим че-
рез О центр окружности, описанной около этого тре-
угольника, а через Н — основание высоты, опущенной на
гипотенузу ВС из вершины А. Дана длина т отрезка ОН.
Составить уравнение, определяющее угол В. Исследовать
в зависимости от значения т возможность решения за-
дачи и число решений.
Решение. Исключим случай /и = 0 ^в случае т= 0
точки О и Н совпадают и треугольник ЛВС — равнобед-
ренный прямоугольный, Предположим /п>0.
Заметим, что если то точка Н лежит между
О и С и АОН = 2Ё; если же В > , то точка Н лежит
4
между О и В и АОН = п — 2В. Рассмотрим отдельно
оба случая.
тс ВС
1-й случай. &<i~r • В этом случае ОЛ=-у
и ОН — О A cos 'АОН = • По условию
2 cos В 1
с
2cosB
c-cos2B __
2 cos В —
— т или
Полагая
систему;
2с cos2 В — 2т cos В — с = 0.
cos В = х, получаем следующую
смешанную
f(x) s 2сх? — 2тх—с = 0,
/2 . ..
-y<x<L
164
Уравнение/(х) — О имеет действительные корни проти-
воположных знаков. Отрицательный корень не дает ре-
шения задачи. Положительный же корень будет давать
решение тогда и только тогда, когда
2
1,
т. е.
откуда —т]/~2(с— 2/п)<0, т. е.
£
Итак, если то существует и
только один треугольник, удовлетворяющий условию
задачи. Угол В этого треугольника определится из со-
отношения:
cos В =
т + Y т* + 2с2
2с
2-й случай. В>-^-. В этом случае ОЛ= 2CosB * но
ОН » О A cos АОН = О A cos (тс — 2В) = — C-Cos2f-.
' 2cosB
Получаем уравнение
с cos 2В
---s---в- = т,
2cosB
или
2с cos2 В + 2т cos В —с = О,
или, полагая cos В — х (и замечая, что теперь В > -£•
<р (х) == 2сх2 -|- 2тх—с = О,
0<«^.
Уравнение (х) = 0 имеет корни противоположных
знаков. Отрицательный корень не дает решения задачи;
165
положительный же дает тогда и только тогда, когда
f >°» т> е- /nVr2>0, т. е. т>0.
Условие ,*и^>0 выполнено по предположению, значит
положительный корень
D —т + |/ т2 4- 2с2
х = COS В = ----:-----------
2с
всегда дает решение задачи.
Подводя итоги, можно сказать, что
1) если 0 < т < то задача имеет два решения; имеем
один треугольник с углом В другой—с углом В >
> ; косинусы этих углов В определяются соотноше-
нием ___________________________
D ]/m2+2c2±/n
2с
с
2) если т > то задача имеет одно решение с углом
£
A Tt
В, большим -Т-,
4
л ]/т2 + 2с2 — т
cos В = —---4;-------;
2с
3) если т=-^, имеем одно решение, В= 4;
Л о
4) если т = 0, имеем одно решение, В = .
Задачи с параметрами являются пожалуй наиболее
интересными задачами по элементарной математике. Задач
подобного типа очень много среди задач, помещенных
в главах IV—IX.
§ 7. Логическая сторона вопросов решения уравнений
и систем уравнений
Не все поступавшие в высшие учебные заведения по-
нимают основную логическую сторону теории решения
уравнений и систем уравнений, вопросы появления «по-
сторонних» решений и причины «утери» решений. В по-
давляющем большинстве случаев при решении уравнений
166
и систем уравнений мы получаем необходимые при-
знаки решения системы, а потому решения как правило
следует проверять подстановкой в начальные
уравнения системы. Если производится цепь эквивалент-
ных преобразований, то такая проверка не нужна; при
эквивалентных преобразованиях уравнений мы никогда
и не потеряем и не приобретем «посторонних» корней.
Наконец, абсолютно недопустимым является произ-
водство выкладок, при которых из данного уравнения
получается уравнение, не являющееся следствием началь-
ного, так как при этом могут быть потеряны корни на-
чального уравнения.
Наконец, следует иметь в виду возможность приме-
нения смешанных систем; при этом достигается эквива-
лентность всей цепи промежуточных результатов.
пример 1. Решить уравнение
lg(x-l) + lg(x-5)=l.
Решение. 1-й способ.,
lg(x-l) + lg(x-5) = 1, (1)
lg[(x-l)(x-5)] = lglO, (2)
(х — 1)(х — 5) = 10, (3)
х2 — 6х — 5 = 0, (4)
х = 3 ± (5)
Проверка: х = 3—f/14 — не корень данного уравне-
ния, так как при х = 3 — ]/14 мы будем иметь х—1<0,
х — 5<0, так что 1g(х—1)_и 1g(х — 5) не существуют.
Значение же х = 3 + у/14 является корнем данного
уравнения; в самом деле, если х = 3 + J/T4, то х — 1 = 2 +
+ VT4>0, х — 5 + У14 — 2>0, оба логарифма lg(x—1)
и 1g (х — 5) существуют и при х = 3 + 1^14
lg(x—l) + lg(x —5) = lg(yi4 + 2) + lg(/l4 —2) =
= lg(14 —4) = lg 10 = 1.
Проанализируем логическую сторону приведенного
выше решения; предположим, что х есть корень
данного уравнения, так что соотношение (1) есть тожде-
ство; тогда будут выполнены равенства (2), (3), (4) и (5),
каждое из которых есть следствие предыдущего. Таким
образом, логический вывод, который следует сделать,
167
таков: если х есть корень данного уравнения, то х
равен или 3 4-J/T4 или 3— 14; проверка устанавли-
вает, что только х — 3 4- 14—корень данного уравне-
ния, так что данное уравнение имеет и притом только
один корень. Подобным образом и решаются обычно
уравнения и системы и как мы видим, проверка уста-
навливает наличие посторонних решений и устанавливает,
какие из найденных значений х являются корнями дан-
ного уравнения. При этом, т. е. при условии, что из
данного соотношения получаются следствия, корни
никогда не теряются. Трудно и даже невозможно пере-
числить все причины, по которым появляются посторон-
ние корни при указанном методе решений уравнений и
систем. Можно сказать лишь то, что происходит это
в результате какого-то неэквивалентного преобразования
уравнения, хотя бы в одной цепи промежуточных вы-
кладок.
В данном примере такое нарушение эквивалентности
произошло при переходе от уравнения (1) к уравнению (2).
В самом деле, из соотношения (1) следует соотношение (2),
но не наоборот; из соотношения (2) следует
lg|x— l|4-lg|x — 5| = 1,
а это — не уравнение (1) (заметим, что если а^О и
6^=0, то igab = 1g| а| 4- lg| b |, при условии, что а и b
одного знака).
Все дальнейшие преобразования уже эквивалентны,
так что уравнения (2), (3), (4) имеют по два корня
х = 3 ± V 14. Покажем теперь как решить то же урав-
нение, применяя метод смешанных систем*.
Данное уравнение
lg(x—1)4- ig(x —5) = 1
эквивалентно следующей смешанной системе
lg[(x—1)(х —2)] = 1g 10, (6)
х> 5.
В самом деле, если выполнено соотношение (1), то
х — 1 > 0, х — 5 > 0, т. е. х > 5 и кроме того, потенцируя
Метод введен С. И. Новоселовым в 1952 году.
168
получим lg[(x-l)(x-5)] = lgl0, так что будут выпол-
нены оба соотношения (6). Обратно. Если выполнены
соотношения (6), то х — 1 > 0, х — 5 > 0, поэтому
Ig[(x— 1)(* — 5)]=lg(x— l)+lg(x—5) изначит lg(x—1)+
4-lg(x — 5) = 1, т. е. будет выполнено соотношение (1).
Решая уравнение, входящее в смешанную систему (6)
(путем производства цепи эквивалентных преобразований)
мы получим х = 3 ± У14, так что смешанная система (6)
эквивалентна такой х = 3±У14, х>5, но х = 3—
— /14 <5, а х = 34-/14 >5, значит данное уравне-
ние имеет и притом только один корень х = З-f- /14; про-
верка не нужна.
Пример 2. Решить уравнение:
tg(*tgx) = ctg(irctgx).
Решение:
tg (тс tgx) = ctg(icctgx), (1)
tg(*tgx) = tg/^- —«ctgxj, (2)
1Г
«tgX=-=-—icctgx 4-fet, (3)
tg*4-ctgx= Л + , (4)
5|П2'=ГТ2Р <5>
4
2x = 2nn + arc sin ,
1 + 2k
4
2x = 2nn -J- к — arc sin j ,
1 + 2k
(6)
Jt“"’+4arcsinrT2ft-
, я 1 4
„=в,+_—_arcs,nr—,
163
Это решение проведено в плане, указанном выше,
т. е. каждое из соотношений (2), (3), (4), (5), (6), (7)
является следствием предыдущего, а потому потерять
корней мы не могли; «посторонние» же решения появить-
ся могли. Поэтому необходима проверка найденных зна-
чений для х. Прежде всего заметим, что функция
arc sin
4
1 + 2k
определена, если
k исключаются значения: k = О,
4 I
v , Ли < L поэтому для
1 -f- ЛК I
1, k = — 1, k = — 2.
Далее, уравнения (1) и (2) эквивалентны; начиная с урав-
нения (3) и до (7) эквивалентность нигде не могла быть
нарушена [следует только учесть, что уже в уравне-
нии (3), как выясняется ниже для k, надо исключить
значения & = О, k—1, k = — 1 и k — — 2]. Эквивалент-
ность могла быть нарушена при переходе от уравнения (2)
к уравнению (3); уравнение (3) есть следствие уравне-
ния (2), но не наоборот. Поэтому при переходе от урав-
нения (2) к уравнению (3) могли появиться лишние кор-
ни и это потому, что среди найденных значений х, опреде-
ленных формулами (7), могут быть такие, для которых
4 2s+1 , ч
tgx есть число вида —А— (где $ — число целое); в таком
случае tg (те tg х) не существует, ибо те tg х — —~— те.
Кроме того, из значений х, определяемых формула-
ми (7), должны быть исключены и такие значения х, для
которых ctgx есть целое число, ибо тогда не существует
ctg(icctgx). Итак, из значений х, определяемых форму-
лами (7), где k — любое целое число, кроме 0,1, — 1 и
— 2, следует исключить еще те и только те значения k,
для которых
. 2s +1
tg* = ---£--- и ctgx = s
(s — число целое); все же остальные значения х, опреде-
ляемые формулами (7), будут корнями и исходного урав-
нения (1).
Беря первую из формул (7), находим:
4 4 / , 1 .4
tg* = tg I пте + у arc sin
170
4
sin arc sin. , O7
\ 1 +
= tg (4 arc sin = —--------------------T —---------v
\ ' 1 + cos arc sin t—-
\ 1 “l
4
1 + 2fe
T-
U+2£)2
Полагая
4
1 + 2k _ 2s + 1
rt 16 “ 2
и вводя обозначения lj+2£=p, 1 4-2s = q, получим
А_ , ,/; 1б\
7~2Д1 + 1/ 1 7М’
!_1в,
16
Р2 ’
W--16 + 1 = 1-
Р2 q* pq
4__J_ = _2_
pq2 q p '
4 — pq — — q\
q{p — q) = 4.
Так как q — нечетное число, то это равенство воз-
можно только при q — 1 и при q — — 1; q =\, р = 5,
а при q = — 1, р = —5. При р = 5, k = 2, а при
р = — 5, k — — 3. Подставляя для проверки k = 2 и
k = — Зв выражение
4
1+ 2k
1 +
171
получим: при k — 2 это выражение обращается в а
при k — — Зв — (в °боих случаях в половину нечет-
ного числа). Значит для первой из формул (7) для k
должны быть еще исключены значения k = 2 и k = —3.
Теперь посмотрим, не может ли для первой из фор-
мул (7) ctgx обратиться в целое число
4 \
arcsnii + 2/ \ -
ctgx
sin I arc sin , ,
\ 1 + zfe
4arc sin nM = ;---------------1—:—4—
' 1 — cos I arc sin , o-r
\ 1 + 2A
4
________1 + 2/г_
i-1/i___________1L2’
V (1 + 2*)’
Приравнивая это выражение целому числу s и полагая
2s — q, 1 + 2k = р, будем иметь
4
Р =
-/ЧТ"
16
p2’
16
P2
8
РЯ’
р2 pq^~ p*q* ’
_1 = __L+A.
р q pq*
— q2 — — pq
q(p—q} = 4,
а так как q — четное, a p — нечетное, то #=4; p = 5,
значит x = 2 или q = —4, p=—5, значит к— —3,
Итак для первой из формул (7) надо исключить лишь
172
следующие значения 6:0,1,2—1, —2, —3. Переходим
ко второй из формул (7).
Находим
. . / « 1 . 4 \
tgx = tg I пл + —2 агс sin t + 2k =
( /1 . 4 4 sin(arcslnrT2-J
= “81-2агс«"г+й “ ;---------1—. 4 \ =
4 ' 1—cos fare sin * _|_~26/
Полагая
4
1 + 2k
4
1 + 26
G- 16 '
(1 + 26)»
= ^+_L, l+26=p, 1+2s = <7,
16 2
(1 + 26)»
находим
8
РЧ
и
4
—-— = 2;
'-I
4 (p — q) = 4.
Так как q — нечетное, то q = 1 или q = — 1, тогда
= 5 или р = — 5, значит 6 = 2 или 6 = — 3.
При 6 = 2:
4
1 + 26______
1 — т/1______
V (1+26)»
при k = — 3:
4
l + 2fe_______
______IL-
У (1 + 26)»
__4
__5___2
-4
173
В обоих случаях получается четное число. Значит
пока нет оснований исключать значения k — 2 и k — —3
из значений k для второй из формул (7).
Находим наконец
ctgx =ctg(zn + 4
1 4 \
~ у 2 2 аГСSin“
. / 4 \
4 \ Sln(arCSinl + 2fe)
arcslni + 2^)“ / . 4
' 1 + cos arc sin , ,
I 1 + 2k
4
1 + 2fe
(1 + 2Й)2
Приравнивая это целому числу s и полагая 2s = q,
1 + 2k = p, получим
откуда
Ч(Р — Я} = 4,
откуда, q = 4, р=5 или q— — ^,.р— —5, т. е. к — 2 или
fc = —3.
Итак, корни данного уравнения
, 1 .4
x==„z+_arcSinri-^,
, п 1 .4
x = zw + ___arcsIn—_
где k — любое целое число, кроме 0, 1, 2,—1, —2, —3, а
п — любое целое число.
Пример з. В качестве третьего примера отметим теоре-
тические вопросы, связанные с исследованием линейной
системы двух уравнений с двумя неизвестными.
За последние годы на приемных испытаниях здесь
часто выяснялось непонимание ряда общих принципов
в математических рассуждениях (необходимости и доста-
174
точность, существование и единственность). Поступающие
не могли даже четко сформулировать соответствующие
теоремы.
Теорема 1. Если ai&2— a26i ф 0, то система
aix + biy = ci,
а2х-ф Ь2у = с2 (1)
имеет, и притом только одно, решение
СхЬ2—c2Z>i ai с2 — 6Z2ci
Х ~ aib2—a2bi ~ aib2—a2bi'
Теорема 2. Если «i&2— a2&i=e0, но хотя бы одно из
чисел cib2 — c2bi или агс2 — а2Сх не равно нулю, то си-
стема (1) несовместна.
Теорема 3. Если axb2— a2bi = cib2—c2bx — axc2—
— а2с\ = 0, но хотя бы одно из четырех чисел ai, bi, а2, b2
не равно нулю, то система (1) имеет бесконечное множе-
ство решений. Если, например, «14=0, то все решения
системы (1):
Ci—biy л
х = —-----у — любое число.
«1
Я приведу подробные доказательства этих теорем,
так как тогда учащимся легче будет понять допускаемые
здесь ошибки логического порядка.
Доказательство теоремы 1. Докажем снача-
ла единственность решения системы (1) при вы-
полнении неравенства ах Ь2— а2 Ьх ф 0. Предположим,
что система (1) имеет решение х = х0, У = Уо- Тогда
будем иметь тождества:
«1*0 + Мо « | ^2)
«2Хо 4* ЬаУо = с2. J
Умножая первое из этих тождеств на Ь2, второе
на — bt. и складывая, получим новое тождество
(«162 — a2&i)xo — c2bi
и так как
aib2 — a2bi 4= О,
то
v Ci С2 Ьх
0 — aLb2— a2bx' ''
173
Умножая теперь первое из тождеств (2) на — а2,
второе на и складывая, получим новое тождество
(GiZ>2 — йг ^1) Уо = GiCa —
и так как
aib2—a2bi ф О»
то
O1C2 #2^1 / л\
у‘=а1Ьг-а^- <4>
Предположим теперь, что система (1) имеет еще какое-
нибудь решение х = хь у = ух. Тогдй, повторяя в точности
те же выкладки, что и выше, получим:
__ ^Х bz Czbj ____ djCj djCi
dibz— Ozbi’ dibz — dzbi
Из тождеств (3), (4), (5) находим
xo = xi и yosyx.
Этим доказано, что система (1) имеет только одно
решение.
Доказана единственность решения.
Отмечу, что многие из поступавших, повторяя по су-
ществу то, что было сейчас указано, считают, что этим
процессом они «находят» решение. Это является глубо-
кой логической ошибкой. Выше доказана пока лишь
единственность решения, но не существова-
ние решения. При этом абитуриенты «возражают»
так: ведь мы производили операции, при которых не
могут появиться посторонние решения и раз мы
«нашли»
___ C\bz — Czbi __ OiCz — dzCl
X~dibz — dzbif У ~~ dibz — a^ bi
то этими соотношениями и определяется решение данной
системы. Несостоятельность этого утверждения заклю-
чается в том, что общие теоремы об эквивалентности
уравнений с одним неизвестным не применимы к системам.
В самом деле, рассмотрим в качестве примера систему,
х +2у + 3z = 8;
х + у + 2z = 5;
2х + у 4- z — 5.
178
Эта система имеет единственное решение х = 1, у = 2,
2 = 1.
Получим теперь из данной системы новую, также
состоящую из трех уравнений, которые получим так:
1) обе части первого уравнения умножим на 1, обе
части второго — на 2, обе части третьего — на 2 и сложим
полученные уравнения почленно;
2) обе части первого уравнения умножим на 2, обе
части второго — на 3, обе части третьего — на 1 и сложим
полученные уравнения почленно;
3) обе части первого уравнения умножим на 4, обе
части второго — на 7, обе части третьего — на 5 и сложим
полученные уравнения почленно.
В результате мы получим следующую систему урав-
нений:
7x4- бу 4- 9г = 28,
7х + 8у + 13г = 36,
21х +20у 4- 31г =92.
Эта система уравнений вовсе не эквивалентна начальной.
Она имеет, например, решение:
4
х =у, у = 4, г = О,
в то время как эта тройка чисел не есть решение на-
чальной сиетемы.
Можно доказать, что последняя система имеет даже
бесконечное множество решений.
А ведь мы не производили ни возвышения в квадрат,
ни извлечения корней, не умножали и не сокращали на
неизвестные. Мы умножали левые части данных уравне-
ний на числа, отличные от нуля, и складывали их по-
членно и все же пришли к системе, неэквивалентной
начальной. Таким образом приводимое выше «возражение»
логически порочно; повторяем: приведенным выше рас-
суждением доказана лишь единственность реше-
ния, а не его существование.
Существование решения устанавливается про-
веркой того, что числа
Й1С2- С1%С\
X , , , У — , ,
' Й2 01 G1&2"-^2^1
177
удовлетворяют каждому из уравнений (1); произведем эту
проверку: подставляя в левую часть первого из уравне-
ний (1)
С162 — gg&i aic8 — a2Ci
Oib2— a2bi Gi&2 — o2bi
вместо x и у, получим
Cib2, aiC2—~a2Ci
dl---7-----7---Г -----7------7~ ==
6Z1&2-d%bl di U2------d2 bl
__d±cib% — dic2bi -}~ bidiC2 — bid^Ci_
6Zi ^2 — ^2 bi
aiCibz — bia2Ci _ Ci(aib2— a^bi) _
ai62 — a.2bi Oib2 — a2bi
Аналогично доказывается, что и второе уравнение си-
стемы (1) при указанной замене обращается в тождество.
Вот теперь доказано и существование решения, теоре-
ма 1 доказана полностью. Отмечу, что почти никто не мог
ответить на вопрос: почему исследование линейной
системы не хорошо проводить геометрически? Ответ. Все
три сформулированные теоремы верны и в том случае,
если под ar, bi, Ci, а2, b2, с2 подразумевать любые ком-
плексные числа, а в геометрической интерпретации урав-
нений aix-j-biy — ci и а2х-Ь-Ь2у — с2 предполагается,
что ai, bi, Ci, аг, Ь2, с2 — действительные числа, и притом,
что или ai, или bi не равно нулю, а также, что или а2,
или Ь2 не равно нулю (а это не входит в условие тео-
рем).
Вопрос об исследовании линейных систем есть вопрос
чисто алгебраический и его не следует излагать геомет-
рически. К тому же аккуратное доказательство того, что
уравнение первой системы aix -|- biy = ct с действитель-
ными коэффициентами определяет прямую линию — не
простое дело.
Переходим к доказательству теоремы 2. Будем эту
теорему доказывать методом от противного. Предположим,
что система (1) имеет решение х = х0, У = Уо- Тогда будем
иметь тождества:
Я1Х0 + bi у о = Ci,
а2х0 Ь2у0 =
178
Умножая первое из этих тождеств на &2, второе —
на — bi и складывая, получим новое тождество:
(aib2 — a2bi) х0 ~cib2 — c2 bi.
Ho aib2 — a2.6i = 0, значит Ci&2— c2&i = 0- Умножая
первое из указанных выше тождеств на — а2, второе —
на ai и складывая, получим:
(aib2 — a2bi) yQ^a!C2 — а2сх
и так как
aib2 — a2bi = О,
то
01^2--^2^1 = 0.
Итак
£1^2 — с2Ь1 = 0 и aic2 — a2Ci—0,
а это противоречит условию теоремы. Теорема доказана
методом от противного.
Отмечу, что некоторые давали такой ответ: «если
знаменатель (?!) aib2 — a2bi равен нулю, а один из чис-
лителей С1&2 — c2&i или — 02^1 не равен нулю, то
одну из формул
__ £1^2 — c2bi _____ aiC2 — a2Ci
aib2 — a2bi ’ у ~~ a1b2—a2bl ' ’
нельзя писать, ибо на нуль делить нельзя». В этом от-
вете грубейшие логические промахи: эти формулы нельзя
писать и в условиях теоремы 3, а между тем в условиях
теоремы 3 система (1) совместна и даже имеет бесконеч-
ное множество решений. Основным логическим промахом
такого ответа является недопустимость написания самих
формул (Л); эти формулы выведены в условиях теоре-
мы 1; условия*теоремы 2 другие и потому применять
выводы теоремы 1 при доказательстве теоремы 2 недо-
пустимо логически.
Перейдем, наконец, к доказательству теоремы 3. Пусть,
например, ai#0. Пусть хо, Уо — любое решение одного
только первого уравнения системы (1), т. е.
Я1*о + ^1Уо == Сь
179
Докажем, что тогда это решение х0> Уо будет реше-
нием и второго уравнения системы (1). Из написанного
выше тождества находим
__ ci — &1 у0
Хо = ---------
ai
и, значит,
а2х0 + Mo «г —~~&1Уо + 62у0 =
= + (Д1^2--#2^1) Уо
6^2
Но так как
0x^2 — а2&1 = О,
то
। * #2 &1
ОгХц + &2У0 = —— •
О1
По условию
Oic2 — a2Ci = О,
значит
a2Ci
и последнее тождество принимает вид:
а2х0 + &2у0 = с2,
а это и означает, что х0, Уо — решение и второго уравне-
ния системы (1).
Итак — любое решение первого уравнения систе-
мы (1) есть и решение второго уравнения системы (1),
т. е. решение самой системы (1). Значит мы найдем все
решения системы (1)» если найдем все решения только
одного первого уравнения ai* + йху = ci этой системы.
Для отыскания всех решений уравнения
ai* + biy = ci
будем рассуждать так (напоминаем, что мы предполагаем
ах ¥= 0). Пусть хь, Уо какое-нибудь решение этого
уравнения, т. е.
aiXo 4- 61У0 = ci,
180
тогда
С1_»1Уо
х°- а1 •
Обратно. Если'yQ — любое число, то два числа
01 — b 1 Уо
Х0 = ----~~ И Уо
01
образуют решение уравнения а±х + Ь±у сг, ибо
1 -—— Ь1Уо — Ci — Ь1Уо + &1У0 = 01.
01
Отсюда следует, что все решения уравнения а^х-^
•i-bjy^Ci, а значит и все решения данной системы
будут:
01—&1Уо
Хо = -------Уо — любое число.
01
§ 8. О задачах на геометрические места точек
При решении задачи на отыскание того или иного
геометрического места часто ограничиваются выводом лишь
необходимого признака, а именно, устанавливается, на-
пример, лишь то, что точки данного геометрического
места лежат, скажем, на некоторой прямой, или на окруж-
ности, но не исследуется какое множество точек этой
прямой, или окружности удовлетворяют данному свой-
ству.
Пример 1. Пусть, например, надо найти геометрическое
место точек, для каждой из которых длины отрезков
касательных, проведенных к двум данным окружностям,
равны между собой. Будем рассуждать так: если длины
отрезков МТ\ и МТ2 касательных^ проведенных из точ-
ки М к данным окружностям (Oi) и (О2), равны между
собой, то равны степени точки М относительно данных
окружностей (MTl — МТ%) и значит точка М. лежит на
радикальной оси данных окружностей. Мы, однако, не
можем утверждать, что данное геометрическое место
точек есть вся радикальная ось данных окружностей.
В самом деле: если данные окружности (Ох) и (О2) пере-
секаются в точках Л и В, то их радикальной осью
181
является прямая АВ; для любой точки М прямой АВ,
лежащей между А и В, степени ее относительно данных
окружностей будут равны, но будут отрицательны; все
эти точки лежат внутри окружностей (Ох) и (О2) и из
таких точек к окружностям (Ох) и.(О2) нельзя провести
касательные.
Если же М — любая точка прямой АВ, лежащая на
продолжении отрезка АВ (либо за точку А, либо за
точку В), то степени ее относительно окружностей (Ох) и
(02) будут равны между собой и будут положительны,
из такой точки М можно провести к данным окружно-
стям (Ох) и (О2) касательные, и их отрезки МТ\ и Л4Г2
будут равны между собой. Итак, если окружности (Ох)
и (О2) пересекаются в точках Л и В, то геометрическое
место точек М, для каждой из которых отрезки каса-
тельных, проведенных к окружностям (Ох) и (О2), равны
между собой, есть прямая АВ за исключением отрезка
АВ. Если же окружности (Ох) и (О2) не пересекаются
(и не концентричны), то данное геометрическое место то-
чек есть их радикальная ось в целом. Иногда при опре-
делении характера данного геометрического места точек
строится линия, все точки которой удовлетворяют
условию задачи, а затем доказывается, что никакие
другие точки данному условию не удовлетворяют. Таким
образом устанавливается, что данное геометрическое место
точек состоит из точек построенной линии и только из
этих точек. Рассмотрим пример.
Пример 2. На плоскости фиксированы две различные
точки А и В. Пусть k — данное положительное число, не
равное 1. Требуется найти геометрическое место точек At,
для каждой из которых выполнено условие
dZH = k (1)
ВМ ' '
Решение. Докажем, что на отрезке АВ существует
точка С, для которой
св
В самом деле. Пусть С — точка, лежащая на отрезке
АВ и удовлетворяющая условию (2),
тогда св 1
‘Ж-!’’
(2)
182
b+i=4+i
яс &
яс + св _ & +1
AC k
АВ fe+1
AC k ’
Так как точки А и В заданы, число k^>0 — также
задано, то полученным соотношением доказана един-
ственность точки С, удовлетворяющей равенст-
ву (2)*.
То, что точка С, определяемая последним равенством,
удовлетворяет соотношению (2), можно доказать или
повторив все выкладки в обратном порядке (что воз-
можно, так как записанная выше цепь равенств обрати-
ма в любом своем звене), или производя проверку не-
посредственно:
__ __ ____ ь _________ ____ 1 _______
СВ = СА + АВ = — -г~АВ А-АВ = -j-H АВ’,
k+1 k+1
откуда
— = -A-j АВ : т-^-r АВ = k.
СВ К + 1 k 4- 1
* В самом деле, предполагая, что на прямой АВ существует
еще одна точка С*, для которой
и повторяя те же выкладки, получим:
— k __________________________________
АС* = Г+Т АВ;
значит 4С = ЛС*. т. е. точки С и С* — совпадают.
183
Аналогично доказывается, что на прямой АВ суще-
ствует, и притом только одна, точка Р такая, что
АР =_
РВ
(3)
/ _______________________________________ ------------
Эта точка Р определяется соотношением АР = ----г АВ;
\ k— 1
здесь используется условие k Ф 1; точка Р лежит вне
отрезка АВ.)
Построив таким образом на прямой АВ точки С и Р
(черт. 23), рассмотрим окружность с диаметром СР и до-
кажем, что для любой точки М этой окружности бу-
дет, выполнено соотношение (1). Соединим произвольную
-точку М окружности (отличную от точек С и Р) с точ-
ками А, В, С, Р и из точки В опустим перпендикуляр на
прямую МС; пусть этот перпендикуляр пересечет пря-
мые МС и МА соответственно в точках Р и Q.
Наконец, пусть К — Проекция точки А на СМ;
тогда
АС АК
СВ ВР ’
АР АМ АК
РВ 'MQ QP '
184
и так как
AC AD
СВ~ DB ’
то
BP = PQ,
т. е. Р— середина BQ. Значит МР — биссектриса угла
АМВ и потому AM _ АС _ ь МВ СВ ~ k'
Теперь докажем, что никакие другие точки, кроме
точек построенной окружности, не удовлетворяют соотно-
шению (1). Для этого перепишем соотношения
и
__ ь _____
AD = АВ
к — 1
в виде
ДС= —Ц- АВ,
AD ——-р АВ
и будем считать, как k возрастает от 1 до 4- ©о.
______________________ _________________________________
В таком случае АС будет возрастать от до АВ,
т. е. точка С будет описывать отрезок ОВ (где О — сере-
дина АВ), двигаясь от точки О к точке В; AD будет
убывать от +оо до АВ, т. е. при изменении k от 1 до
+оо точка D будет описывать тот луч прямой АВ, ог-
раниченный точкой В, который не содержит точки А,
причем точка D будет двигаться по этому лучу в направ-
лении к точке В. Для каждого значения k, 1 < k <
185
мы будем получать окружность, построенную на
CD, как на диаметре, для всех точек которой, по дока-
занному, будет выполнено соотношение (1). В силу толь-
ко что сказанного эти окружности будут вложены друг
в друга (точки С и D при изменении k от 1 до со
движутся навстречу друг другу) и значит не будут иметь
общих точек. Для всех точек каждой из этих окружно-
стей будет выполнено соотношение (1) со своим значе-
нием k. На черт. 24 изображено несколько таких окруж-
ностей.
Если k = 1, т. е. AM = МВ, то геометрическим ме-
стом точек М является медиатриса отрезка АВ. Наконец,
если k изменяется от 0 до 1, то мы получаем окружно-
сти, симметричные уже рассмотренным относительно ме-
диатрисы отрезка АВ ибо (1) можно переписать в виде
ВМ_ 1 1
AM k J’
Все построенные окружности, включая и медиатрису
отрезка, целиком заполняют всю плоскость* и ни одна
* В самом деле, пусть Мй— произвольная точка плоскости,
не лежащая на прямой АВ и на медиатрисе отрезка АВ; пусть
С и D — точки пересечения с АВ биссектрис угла Л1о треуголь-
ника АМ0В. Тогда для всех точек М окружности с диаметром СГ
(эта окружность проходит через точку Л40) мы будем иметь
AM АМ„
ВМ~ ВМь *
186
внутри этой
для всех то-
1, то
пара окружностей не имеет общих точек. Значит, если
для некоторого фиксированного значения k > 1 построена
соответствующая окружность, для всех точек которой
AM и
= k, то для всех точек М, лежащих
, AM.
окружности, мы будем иметь а
AM
чек, лежащих вне ее
Если же окружность построена для
AM
для всех точек, лежащих внутри ее, а для всех
от
AM. и D
точек, лежащих вне, > k. Вот теперь можно утверж-
дать, что геометрическое место точек М, для каждой из
которых где А и В — две различные фиксиро-
ЬМ
ванные точки плоскости, a k — фиксированное положи-
тельное число, не равное 1, есть окружность с диамет-
ром CD, где С и D — две точки прямой АВ, определяе-
мые соотношениями
АС = АР
СВ ~ DB
или АС =
ь k
Т~АВ, AD^y^AB
k+1 h—1
Окружность, определяемая указанным свойством, на-
зывается окружностью Аполлония. Множество всех ок-
ружностей Аполлония с фиксированными точками А и В
(и k, изменяющемся от 0 до + оо) образует гиперболиче-
ский пучок окружностей с предельными точками Л и В.
Медиатриса отрезка АВ есть радикальная ось этого пуч-
ка.
§ 9. Анализ решения трудной задачи, в которой
синтезируются методы алгебры, геометрии
и тригонометрии
В настоящем пункте я рассмотрю одну очень интерес-
ную задачу, которая была помещена в журнале по эле-
187
ментарной математике, издаваемом во Франции (Journal
de mathematique elemental re). Задача предложена
M. V. Thebault, была напечатана в этом журнале 1 ок-
тября 1950 г. и обсуждалась на страницах этого жур-
нала периодически более года. Содержание задачи, в ее
первоначальной редакции, таково.
«Доказать, что если окружность, прохо-
дящая через основания биссектрис внут-
ренних у г л ов треу гол ьника, касается одной
из его сторон, то треугольник равнобед-
ренный, и обратно». Через несколько недель
в указанном журнале было напечатано следующее решение
этой задачи.
Рассмотрим треугольник со сторонами ВС — а, СА =
= Ь, АВ = с (черт. 25) и “Пусть биссектрисы его внутрен-
них углов А, В, С пересекают противоположные сторо-
ны ВС, СА и АВ в точках А', В', С'. Проведем окруж-
ность (Г) через точки Д', В', С'; пусть эта окружность
пересекает вторично ВС, СА и АВ соответственно в точ-
ках X, Y, Z.
188
Выражая степень каждой вершины треугольника АВС
[относительно (Г)] двумя способами, будем иметь:
АВ' • ЛУ = АС' • AZ,
ВС'-BZ = BA'-ВХ, (1)
СА' • СХ = СВ' • CY.
Легко получить, что
ВЛ'=ь?-’ сл'=ь^-’ о 4- с b 4-с СВ' = , а 4- с
АВ' = -^~, С'А = -^-т, а-]-с а + Ь СВ = . а 4- b
Ориентируем теперь периметр треугольника АВС
в направлении от А к В и С и положим
WX = x, &Y-y, C'Z = z.
Тогда соотношения (1) примут вид:
be I de , \ be / be \
д4-с\ а 4- с = а А-b \а + 6 ' ] ’
са ( са \ са / са ( \
а+бу а +6 'Z у в b + с + с Х) ’
ab / ab , \ ab / ab , \
— 7— I — -J—;---F X I = ; | ;--k V .
& + су b + c ) а + с1а + с //
Умножим эти равенства соответственно на д2, 62, с2 и
сложим полученные равенства почленно, будем иметь:
abc (х + у 4- г) = 0.
Так как а, Ь, с отличны от нуля, то
х 4- у 4- z = 0.
Если окружность {А'В'С) касается ВС (в точке А'),
то х=0, а потому у 4- г = 0(и обратно).
Хорды ВТ и CZ имеют одинаковую длину и значит
центр окружности (А'В'С') отстоит на равных расстоя-
ниях от АВ и АС. Отсюда следует, что центр окружно-
сти (А'В'С) находится' на биссектрисе угла А. Поэтому
прямая АА'— высота треугольника АВС, а потому этот
треугольник равнобедренный (АВ = АС).
189
Сбратное положение очевидно [т. е. если в треуголь-
нике АВС стороны АВ и АС равны .между собой, то ок-
ружность (А'В'С'), проходящая через основания А', В', С
биссектрис ёго внутренних углов, касается етороны ВС].
Еще через некоторое время один из читателей жур-
нала (Андерсен, Швеция) прислал в редакцию журнала
письмо, в котором утверждал, что приведенное выше ре-
шение является ошибочным. Редакция журнала в ответ
на это письмо поместила заметку, которую мы приводим
ниже, однако не было указано, где ошибка, а главное
не было проанализировано решение, которое приводит
к интересному результату.
Ошибка решения—логическая: автор решения считает,
что из того, что центр окружности равноудален от сто-
рон АВ и АС следует, что он лежит на биссектрисе
внутреннего угла А треугольника АВС. Если это
так, то действительно треугольник АВС равнобедренный.
Но ведь и точки биссектрисы внешнего угла А треуголь-
ника АВС равноудалены от сторон АВ и АС и вот (как
выяснится позже), существуют неравнобед-
ренные треугольники АВС (АВ Ф АС), для которых
окружность (А'В'С'), проходящая через основания Л', В'
и С' биссектрис'внутренних углов А, Ви С треугольника
АВС, касается стороны ВС‘, центр окружности (А' В'С')
при этом лежит на биссектрисе внешнего угла А тре-
угольника АВС.
Перед тем как изложить решение этого вопроса, ос-
тановимся еще на том решении, которое дано выше. Мы
видим, что ошибка была допущена в самом конце рас-
суждений; соотношение х + у + z — 0 или А'Х + B'Y +
4- C'Z = 0 — верно и выражает достаточно интересный
факт. Именно, так как А'Х + B'Y + CZ — 0, то среди
чисел А'Х, B'Y и C’Z есть как положительные, так и от-
рицательные_(если только не все они равны 0). Пусть,
например, A'X>0, a B'Y<0 и C'Z<0; тогда из соот-
ношения .А'Х + B'Y + CZ = 0 следует, что A'X=B'YA-
+ CZ.
Итак, мы получаем следующую теорему: если окруж-
ность (Г), проходящая через основания биссектрис внут-
ренних углов любого треугольника АВС пересекает его
стороны ВС, СА й АВ соответственно в точках А' и X,
В* и У, С' и Z, то сумма двух из трех отрезков А'Х,
190
B'Y, C'Z равна третьему. Теперь вернемся к заметке,
напечатанной 15 июля 1951 г. (автор заметки A. Monjal-
lon). Заметка была озаглавлена так: Об окружности,
проходящей через основания биссектрис
внутреннихуглов треугольника, касающей-
ся одной из его сторон.
Пусть АВС — какой-нибудь треугольник. Проведем
биссектрисы АА', ВВ' и СС внутренних его углов А, В*
и С. Пусть окружность (Г), проходящая через точки А',
В' и С' пересекает стороны ВС, С А и АВ вторично в точ-
ках X, Y и Z.
Ориентируя контур треугольника АВС как и выше от
А к В и к С, находим:
ВА' = -Л—, = СВ7=-$-,
b + с b + с а + с
ВМ = -^. AC^-te,
а + с а А- о а^-Ь
Теперь из соотношений:
АВ' • AY = AC7- AZ, ВС7 - BZ — ВА'- ВХ.,
СА' -СХ = CBr -CY,
мы имеем:
_dL+2L = 0 JL+_^.=0
’ aA-b'bA-c
Если мы предположим, что А' и X совпадают, то
ВХ = -^_, ХС = _^_.
b + с b А-с
и, следовательно, из соотношений (1) находим:
7^_аЬ(аА-с) ______ас(а + Ь)
~ (Ь + с)» ’ (6 4-е)2 ’
191
откуда
AY = AC+CY = — b
ab (a + c)
(*+c)2
b[a (а + с)—(Ь + с)*]
и
лг = лв + вг = с~^±А>-
_c[(b + c)^—a(a + b)]
(b+c)*
Теперь из первого из соотношений (1) имеем:
Z>ta(a+c)-(& + c)2l , cK& + c)a-g(Z> + a)lL Q
а + с а+ b
или
(Ь-с)
(&+с)2(а + &+с)
(а + 6)(а + с)
= 0.
(2)
а
Отсюда следует, что или b—с = 0, т. е. треугольник
равнобедренный, или
а (а 4- Ь)(а 4- с) — (Ь 4- с)2(а 4- b 4- с) = 0. (3)
Остается установить, что существуют неравнобедрен-
ные треугольники, длины сторон которых удовлетворяют
соотношению (3). Перепишем соотношение (3) в виде:
abc = (Ь + с)3 + а (Ь + с)2 — аг (Ь 4- с) — а3. (4)
Если мы положим b 4- с = ak (k^> 1), то получим:
bc—a?(k3A-k2~ k — 4).
Очевидно, что если Л>1, то be >0. Стороны b и с,
следовательно, корни следующего квадратного уравнения:
X2 — akX + a2(k3 + k3 — k —1) = 0. (5)
Дискриминант этого уравнения
Д = а2 А2 — 4а2 (ft» 4- й2 — А — 1) = а2 (4 4- 4А — ЗА2 — 4А3).
192
В области 6>1 эта функция убывает. В самом деле, если
6г>61> 1» то
/(6a)-f(6i) =
= 4 + 462 — 36f — 4*1 — (4 + 46А — 3k2i — 46?) =
= (62 — £i) (4 — 36i — 362 — 46? — 46i 6a — 46f) < 0.
Но при 6= 1 значение этой функции от 6 равно 1, зна-
чит, существует и притом только один действительный
корень 6 = 6о > 1 функции 4 + 46 — 362— 46s. В интер-
вале (1,60) дискриминант положителен, уравнение (5)
имеет два различных действительных положительных
корня.
Замечание. В случае, если треугольник равнобедрен-
ный, центр окружности, проходящей через точки Л', В',
С, лежит на биссектрисе АА' внутреннего угла А. В
случае, если этот треугольник неравнобедренный, этот
центр лежит на биссектрисе внешнего угла А (см; ниже
черт. 26). Отсюда следует, что точки У и Z симметричны
точкам С' и В' по отношению к биссектрисе внешнего
угла А. Выражая двумя способами степень точки А от-
носительно окружности, мы получим:
АБ' • AY = ЛТ2 — IA'2.
Угол AJA' прямой, поэтому Л/2— /Л'’«=—АА'‘и значит
АВ' • АС' = АЛ'2-
Это соотношение показывает, что неравнобедренный тре-
угольник, обладающий указанным выше свойством, может
быть охарактеризован следующим геометрическим
свойством: биссектриса АА' внутреннего угла
А есть средняя геометр ическая между рас-
стояниями от точки Л до оснований В' и С'
биссектрис двух дру г их erfyтренних у глов
В и С.
Проанализируем это решение. Некоторая неполнота
решения заключается в том, что следовало еще показать,
что и обратно — из соотношения (3)', т. е. из соотноше-
ния
а (а + Ь) {а + с) — (Ь + с)2 (а + b — с) == 0
следует, что точки А' и X совпадают, т. е. что окруж-
ность (Л' В' С) касается стороны ВС в точке А'. Сделать
7 Зак, 3478 193
это можно, например, так: из соотношения (3) следует
конечно соотношение (2), а значит и соотношение
, , ab (а + с) ас(а-\- Ь)
(6 + с)2 С (b + cyt
а+-с а+Ь ’
или
_4 + г±£^с С-^ВЛ'
----- + ь±£ _ 0. («)
а + с----------------------------а + b-'
Первое из соотношений (1), которое имеет место для
любого треугольника АВС, можно переписать так:
AC+CY AB + BZ а + с + a'+b ~U'
или -ь-1+Scx С-^ВХ — + —L+E „о, ® а+с 1 аb w
Вычитая почленно из равенства (|3) равенство (а), получим
____ 2 ____
А’Х • z-т—— 0, откуда Д'Х=0, т. е. точки А' и X совпа-
о + с
дают.
Далее, в заметке доказано, что уравнение (5) в слу-
чае, если 1 < k < k0 имеет два действительных и поло-
жительных корня Ь и с, а значит уравнение (4) имеет
действительные различные положительные решения а, Ь, с
такие, что Ь+с<а. Но ведь этого еще не достаточ-
но для того, чтобы можно было утверждать существо-
вание треугольника, длины сторон которого а, Ь, с. Нуж-
но еще установить, что | Ь— с | < а. Это имеет место
и доказывается так:
(Ь с)2 _! _ (fc.+ с)а—=3 + 4й — 3^2_4йз =
а2 а2
= (3 + 4^) (1 — Л2) < 0,
ибо а потому
а2
194
откуда
| b — c]<^a.
Итак, уравнение (4) имеет положительные решения а,
Ь, с такие, что b ф с и | b —с’| <^а <Ь + с, и значит су-
ществуют неравнобедренные треугольники АВС, для ко-
торых окружность (Г), проходящая через основания А',
В' и С' биссектрис внутренних углов касается стороны
ВС [ибо нами было установлено, что из соотношения (4)
следует совпадение точек А' и X].
Наконец, утверждение, высказанное в замечании
относительно характеристического свойства та-
ких треугольников, недостаточно обосновано, ибо не до-
казано обратное положение, а именно, что из соотноше-
ния
АВ' • АС' — — АА'2,
следует, что треугольник АВС неравнобедренный, а ок-
ружность (А' В' С') касается его стороны ВС. Доказатель-
ство этого положения мы предоставляем читателю.
Еще по прошествии некоторого времени (15 октября
1951 г.) появляется заметка A. Monjallon’a, поставивше-
го и решившего аналогичный вопрос: если окруж-
ность, проходящая через основание А' бис-
сектрисы внутреннего угла А треугольника
АВС и основания В” и С" биссектрис внеш-
них углов В и С, касается стороны ВС, то
АВ = АС (и обратно).
Решение этой задачи предоставляется читателю (суть
дела здесь заключается в том, что уравнение, аналогич-
ное уравнению (4), не имеет даже положительных реше-
ний).
Наконец, еще через месяц (15 ноября 1951 г.) в том
же журнале появляется следующая статья, в которой
дается исчерпывающее решения все той же задачи, до-
казывается, что неравнобедренные треугольники, обла-
дающие указанным свойством, могут быть построены
с помощью циркуля и линейки и указано как это сде-
лать. Ниже дан перевод этой статьи (с небольшими до-
полнениями). Автор статьи М. Rene Blanchar — Ancien
eleve de 1, ficole normal superieure de Saint-Cloud).
Пусть ABC—неравнобедренный треугольник, в кото-
ром окружность, проходящая через основания биссектрис
внутренних углов, касается стороны ВС, (О, R) — опи-
7» 195
санная около него окружность, s — площадь; a, Ь, с —
длины сторон ВС, С А и АВ; р— полупериметр; г, ra, гь,
гс—радиусы окружностей вписанной и вневписанных
в этот треугольник. Стороны треугольника удовлетво-
ряют соотношению
abc = (Ь + с)8 + а (Ь -|- с)2 — а2 (Ь + с) — а3.
Это соотношение можно преобразовать к виду
abc = (Ь + с) [(& + с)2 — а2] -}- а [(6 + с)2 — а2],
или
abc = (а -f- b -f- с)3(Ь -\-с — а) = 8р2(р— а),
а так как
abc = 4/?s, s = pr = (p — a) ra = V rra rb rc,
то наше соотношение принимает вид:
Rr = 2rb rc (1), 2Rra = 4p2.
Заметим, что 2Rra есть степень центра 1а окружности,
вневписанной в угол А относительно окружности (О),
так как Ola — R(R + 2гя)*, или квадрат длины каса-
тельных, которые можно провести из /а к окружности
(О). Следовательно, если дан неравнобедренный
треугольник ЛВС, для которого окружность,
проходящая через основания биссектрис
внутренних его углов, касается стороны ВС,
то произведение радиусов окружностей,
описанной около треугольника, на радиус
окружности и вписанной, равно двойному
произведению радиусов окружностей, вне-
вписанных в углы В и С и длина касатель-
ных, которые можно провести из центра
окружности, вневписанной в угол А к опи-
санной окружности, равна периметру.
Имеют место и обратные положения.
* Соотношение О I2 = R(R +2re), пожалуй, проще всего уста-
новить при помощи инверсии. Рассмотрим инверсию (/в, г8) ; в
этой инверсии все точки окружности (1а), вневписанной в угол А,
неподвижны. Пусть окружность (1а) касается ВС, СА и АВ в
точках А1г Bi, Ci. В инверсии (/0, г2) точки А, В и С перейдут
в точки А', В', С' пересечения 1аА и В, С1г 1аВ и Cj Дь 1аС
и At Вг. Эти точки А', В', С — середины сторон Вх Ci, Сг Ах и
196
Известно, что
.п .А . В . С
4/? sin у sin sin у,
АО А . В С
ь— 4/? cos у sin у cos у
лп А В . С
’с** 4/<COSy COS у Sin у
Внося эти значения г, гь, гс в соотношение (1), полу-
чим
. А о 9А В С
Sin -у = 8 COS8 у COS у COS у
а так как
В С 1 / ВА-С , В —С
cos у cos у = у I cos —-cos ——
1 / . А , В — С\
e_ sin_+cOs-y- ,
Ai Окружность (АВС) перейдет поэтому в окружность
(А'В'С'), являющуюся окружностью Эйлера для треугольника
г
HiBjCi и потому радиус окружности (А'В'С') будет
R'
С другой стороны, отношение радиусов окружностей (А'В'С')
k
и (АВС) равно где а — степень центраинвёрсии 1аотноситель-
но окружности (ABC), a k — степень инверсии; в самом деле,
пусть М и ЛГ—точки окружностей (АВС) и (А'В'С'), соответст-
вующие друг другу в инверсии тогда* 1аМ' • 1аМ *= г*
(== 6); пусть Mi — вторая, точка пересечения IaM' с (АВС).
___ ___ / М' fa Rr
Тогда Ia М • 1„М,^ с. Отсюда = — » —. Соотношение
Ia Mi a R
2
k _ R' га 2
д можно переписать так: = > откуда
= J?(/? + 2ro). °
197
то
cos
в-в sln4(i-4c°s*4
4 cos2
&
(2)
Заметим, между прочим, что угол А больше так как
О
д
1 — 4 cos2 -g- должно быть числом положительным, а по-
А 1
ТОМУ COS-ту <.
£ £»
Соотношение (2) позволяет построить треугольник
ЛВС, для которого известна сторона ВС и угол А. В са-
мом деле, тогда можно построить окружность (О), опи-
санную около треугольника ЛВС. Обозначим через D и
D' середины большой и малой дуг ВС окружности (О),
а через М—середину ВС. Примем за единицу длину ди-
аметра окружности (О).
Имеем:
г. л В — С . Л
DA = cos —5—, DB = sin -у,
A A A
D'B = cos 44 , D'M = D'В cos 4y = cos2 v.
Z II
Возьмем на прямой D'D в направлении от D' к D точку
N такую, что
л
D'N = 4D'Af « 4 cos2 44.
Тогда
л
DN = DD' — ND' = 1 —4 cos'2.
£
С другой стороны, обозначая через АГ' точку, симметрич-
ную точке N относительно О, будем иметь;
л
DN' = DW = 4cos2-^-,
и соотношение (2) принимает вид:
пЛ DB'DN
DA ~ DN' ’
198
Длина DA и точка А таким образом будут определены.
В самом деле, прямая, проведенная через точку N па-
О
Черт. 26
раллельно N'В; пересечет прямую DB в точке Аг такой,
что
DN'DB
DA1 “ DN' e DA>
и точка А есть одна из точек пересечения окружности
(О) и окружности с центром D и радиусом DAi (черт. 26).
199
Исследование. Для того чтобы построение было воз-
можным, необходимо и достаточно, чтобы
откуда
л Sin
. А .
Sin-s-C---
(, л . Л ’
1—4 cos2-у
~ 7~А
4cos2 -у-
4М
1.
Первое
неравенство дает
. А , 1
А 7
или sin2-^->-g-,
откуда
Это условие перекрывает указанное выше ограничение
на угол а / .. 2я\
Второе неравенство эквивалентно такому
А А А
у = 4 sin3 -у- + 4sin2 -х-3sin -5— 4 < 0.
& А £
Полагая
. А
sin = х,
будем иметь:
у = 4х3 + 4х2 — Зх — 4 О,
причем
1.
4
На этом полуинтервале функция у возрастает; в самом
деле, пусть
/14
4
200
тогда
У(хг)~ y(xi) =
= (ха — Х1) [4 (xi 4" Xi ха 4“ х|) + 4 (Х1 4- ха) — 3] >•
>(Ха-Ха)^ . 3 . И + 4 • ЦИ-з) > О,
а так как
у(1ф)_Ц=±<0. у(1)=1>0,
ун ,
то на полуинтервале -L-^—, 1 имеется лишь один дей-
ствительный корень функции
у — 4х3 4- 4х2 — Зх — 4.
Этот корень можно выразить в радикалах*. В самом де-
ле, полагая
1
X —Z 3 ,
получим
y = 4^2’-224-4z-i) + 4(za-’4z + y)’‘
о/ 1 \ л л / a I3 73
\ ~ 3/ 4~4(/ 122 108
Положим далее
. 13
2 = “+36^
тогда уравнение
а 13 73 Л
2 122 108 — °'
примет вид
ив
73 а , 133 п
108 “ + 363 ~ °’
* Приводимое ниже мною дополнение к решению Rene Blan-
char’a дает точные границы для угла Л. По существу здесь при-
меняется метод Картана решения уравнения 3-й степени.
201
откуда
_ 73 ± /3132
216 ’
и значит (ограничиваясь лишь действительными значени*
ями для и):
V 73+ /3132 1Ъ — УЫ32
и1=1------, «2 =-----±,
значит
2 . —. -----> 13 л
У 73+ /ЗТ32 36 _
г = ' з/------- —. --
У 73 + VЗЬ32
= 73+ )/зШ~ 73 —/зТ^Г 113
6 732 — 3132 6
73 + /ЗТ32 +V/" 73 —/3132
6
Полагая и = ^73~Д^
О
чение для г.
Таким образом,
получим то же самое зна-
/14 . А 73 +/3132 +У73—/3132 —2
-j-<sin2^ 6
„ . А /14 Л
Если sin -g- = , точка А совпадает с одной из точек
Вили С — случай, не представляющий никакого интереса,
. А 73 4-/31^ + 1^73 —/3132—2
если же sin -тг =------,
2 6
треугольник АВС—равнобедренный. Приближенные зна-
чения и 73 +/3132 +У73 —/3132—2)
„ . А
для граничных значении sin -н- соответственно таковы:
202
0,935 и 0,942 — очень близки друг к другу, что требует
очень деликатного построения треугольника—чертеж дол-
жен быть выполнен чрезвычайно тщательно!
Именно, из приближенных боотношений
д
0,935 < sin 4 <0,942
Л
следует
л
0,113 <cos24-<0,125.
Таким образом, значение
д
cos2 -х- = D'M,
£
немного меньше -!• (=0,125), т. е. D'M несколько мень-
О
ше одной четвертой радиуса окружности, описанной око-
ло треугольника АВС. Именно в соответствии с этими
соображениями и выполнено построение треугольника
АВС на черт. 26 (точка N берется отстоящей от центра
окружности на 2 мм при диаметре окружности равном
155 мм, что обеспечивает границы для cosa-g-j.
В главах IV—IX мною подобраны задачи, для реше-
ния которых применяются разнообразные методы, а са-
ма постановка вопроса приводит к использованию алгебры,
геометрии и тригонометрии при решении одной задачи.
§ 10. Вопросы определений
Основные дефекты в ответах на подобного рода во-
просы происходят в основном по двум причинам:
1) часто то или иное понятие ,в курсе элементарной
математики возникает постепенно, иногда даже в течение
более чем одного года обучения, и учащемуся трудно
бывает дать синтезирующее определение такого понятия;
2) над вводимыми определениями мало работают, они
не вводятся в задачи, а потому не закрепляются прочно
в сознании учащегося.
Приведу примеры.
Пример 1. Вопрос: дать определение функции
у — ах, где а > 0 и a ¥= 1.
203
Ответ на этот вопрос слагается из нескольких форму-
лировок:
Г. Если х— целое положительное число большее 1,
то
а* = а • а • а... а
х раз
2°. Если х = 0, то (по определению)
ах = а» = 1.
3°. Если Х = 1, то (по определению)
ах — а1 = а.
4°. Если х = £•, где р и q — целые положительные
числа, то ах определяется как такое- положитель-
ное число у, что
у® — ар
(это определение должно быть еще обосновано, а
именно—надо доказать, что такое положительное
число у существуети притом только одн о*).
5°. Если х — целое отрицательное число или х =
р
— —где ри q— целые положительные числа, то
ах по определению считается равным .
6°. Если х—иррациональное число, то ах определяет-
ся как такое число, что ат <ах <aR, где г и R—
любые рациональные числа такие, что г<х<
<R (и это определение должно быть обосновано,
а именно:—надо доказать, что число ах, обладаю-
щее указанным свойством, существует и притом
только одно**).
Пример 2. Вопрос. Что называется абсолютной величи-
ной или модулем действительного числа?
* Считаем а > 0, а 1.
** Обоснование определений 4° и 6° сделано в рекомендован-
ном выше специальном курсе элементарной алгебры — С. И. Но-
воселов.
204
Ответ. Модулем числа х называется само это число,
если х>Ои число — х, если х<0. Итак,
| х | — х, если х > О,
| х | “ — х, если х 0.
Это определение многие хотя и знают, но применяя
его, допускают ошибки и это потому, что учащиеся ре-
шают мало задач, связанных со знаком абсолютной ве-
личины.
Здесь нетрудно было бы дать много вопросов и при-
меров: _
1) доказать, что у/х2 = | х| (имеется в виду арифмети-
ческое значение корня);
2) построить графики функций:
у «» | х |, у —|х — If, у = |х2— 2х|, y = |sinx|,
y«|logx|, у= log|x| и т. д.;
8) построить графики линий, заданных уравнениями:
у = | х—1| +1 х — 21,
У=“= |х — 1| + |х — 2| + |х — 4| и т. д.,
4) доказать, что неравенства
| х — а | < Ь, где b > 0,
и
а — b <х <а + b
— эквивалентны [т. е. из | х — а | < b следует, что а —
— Ь <х<а + Ь, и обратно: если а — b <х<а + Ь, то
|х — а\ < &].
Пример з. Вопрос. Что называется возрастающей функ-
цией?
Ответ. Функция у =*/(х) называется возрастающей
в интервале (а, Ь), если большему значению аргумента
из этого интервала соответствует большее значение функ-
ции, т. е., если из неравенств
а < Xi < х2 < Ь,
следует, что
/(xi)<f(x2).
Основные ошибки, которые здесь допускаются, заклю-
чаются в том, что в формулировке ответа забывают ука-
205
зать, что определение следует относить к определенному
интервалу (или сегменту). Возьмем совершенно конкрет-
ный пример: у=tgx. Эта функция возрастает в интервале
(я я \ /я Зя\ -
---я-, -я-) и в интервале {-д-, -5-1 и, вообще, в лю-
(7Г
---О
а
, где k — лю-
бое целое число.
Однако сказать про функцию У = tgx, что она воз-
растающая будет просто неверно, так как,-например,
я Зя , я , Зя
-4 < -у. в то время как tg > tg — (1 > — 1).
Все определения, с которыми приходится сталкивать-
ся в курсе элементарной математики, должны быть тща-
тельно сформулированы, заучены и применены при реше-
нии достаточно большого числа задач,
§ 11. Обратные тригонометрические функции
В программах для поступающих в вузы и в програм-
мах по математике для средних школ предусматривается
лишь понятие об обратных тригонометрических функци-
ях. Обстоятельная книга по этом вопросу G. И. Новосе-
лова—Обратные тригонометрические функции—далеко вы-
ходит за рамки программы и может быгь рекомендована
лишь для дополнительных занятий.
Вместе с тем я считаю целесообразным дать здесь
сжатый перечень основных формул по этому вопросу,
наметить Идею вывода этих формул (подробные выводы
можно рекомендовать прризвести читателю; это—хорошие
упражнения), а также привести небольшое число упраж-
нений.
Определение 1, у» arc sinx, если х = sin у и —<
те
Определение 2. у *= arc cos х, если х = cos у и 0< у <«.
Определение 3. у « arc tgx, если x = tgy и —-х-€"
Л
ТС
206
Определение 4. у = arc etg х, если x = ctgy и0<
<У <к.
Основные формулы я разделю на шесть групп:
I группа формул
arc sin (— х)» — arc sin х 1 —эти формулы верны при всех
arccos(— х) =л—arccosxj х таких, что— 1 < «С 1;
arc tg (— х) = — arc tg х 1 — эти формулы верны при
arcctg(—х) =п—arcctgxj всех значениях х.
II группа формул
arc sin х + arc cos х —
&
arc tg х'+ arc etg x
— эта формула верна при всех
х таких, что — 1 < х < 1;
— эта формула верна при всех
значениях х;
III группа формул
arc sin х = arc cos V 1 — x2 =
. x . j/b^x2
= arc tg > т — = arcctg -
Vl—x2 x
arc cos x = arc sin У1 — x2 =
у i x2 x
-arctg^-— =arcctgp=-
— эти формулы верны
при всех значениях х
таких,что 0<х< 1;
х х 1
arc tg х = arc etg —. =
. х 1
m «= arc cos „
]Л1+х2 /1+х2
X x 1
arc etg x = arc tg — =*
X
. 1 x
>in ,.....--r- xx arc cos -лд
j/l+x2 /Ц-Х2
— эти формулы
верны при
всех х>0.
207
IV группа формул
arc sin х + arc sin у =
== arc cos (]Л1 — x2 /1 — y2 — xy)
arc sin x — arc sin у =
= arc sin (x 1 — y2—у У1 — x2)
arc cos x 4- arc cosy =
= arc cos (xy — VI —x2 — y2)
arc cos x — arc cos у =
=arc sin (у У1 — xa — x УI —y2 )
arc tg x 4- arc tg у = arc ctg
1 — xy
х4-У
A A ♦ Х — У
arc tg x — arc tg у = arc tg - <-
1 -j- лу
arc ctg x 4- arc ctg у = arc ctg
xy — 1
х4-У
arc ctg x — arc ctg у = arc tg
У-x
1 4-xy
— эти формулы
верны при всех
х и у таких;
что 0<х<1,
0<У<1
— эти формулы вер-
ны при всех х > О,
У>0,
V группа формул
2 arc sin х = arc cos (1 — 2х2)
2 arc cos x = arc cos (2x2 — 1)
—эти формулы верны при
всех значениях х таких, что
0< х> 1;
1 —
2 arc tg х = a rc ctg -
у2___ |
2 arc ctg х=a rc ctg
— эти формулы верны при
всех х>0.
VI группа формул
1 . рТ+х 4- yi^x
«У arc sin х = arc cos - !----
-к- arc cos x== arc cos
£
— эти формулы
верны при всех
значениях х та-
ких, что 0 < х <
<1;
1 ягс Ь v - arc eta У 1 + *2~1 I “эта Ф°РмУла верна при
у die ig л —div 4g J всех значениях х.
208
При применении этих формул не следует забывать
об ограничениях, наложенных на х. Если эти ограниче-
ния не выполнены, то обычно следует воспользоваться
(3 \
-----------------------------------------------57
через другие обратные тригонометрические функции.
/ 3 \ 3
Решение. arccos 1— '5/=те—arccos-^-= « —
. 4 х 4 .3 . / 3\
— arc sin-g- = — arctgy =«— arcctg^ = arc ctg I — I.
Приведем выводы некоторых из этих формул.
Вывод формулы
arcsjnx + arccosx = -2 , — 1<х<.1.
Так как
—к < ага sinx <-75- , то 0 — arc sinx О.
Далее
cos (arc cos х) = х,
(« \ . , . .
-п — arc sin х) = sin (arc sin x) = x.
Мы видим, что оба числа: arc cos х и — arc sinx ле-
жат на сегменте [0, и] и имеют равные косинусы; значит,
эти числа равны:
w
arc cos х = -у — arc sin х,
откуда и следует доказываемая формула.
Вывод формулы
arc sin х + arc sin у= arc cos (У 1 — x2 /1— у2 — ху).
где
0<х< 1, 0<у<1.
Так как
0<х< 1, 0<У<1,
209
то
O^arcsinxC-^-,
0<arc siny<-7p
следовательно,
О < arc sin х + arc sin у •< «.
Далее,
cos (arc sin x + arc sin y) =
» cos (arc sin x) cos (arc sin y) — sin (arc sin x) sin (arc siny)=
= У" 1 — x2 У 1—у2 — ху
и*
cos [arc cos (У 1 — x2 У 1 —у2 — ху)] **
= У 1—х2 У 1—у2 — ху.
Окончание рассуждений, как в предыдущем выводе.
Вывод формулы
* arc sin х = arc cos х ,
Т 2
где
О < х < 1.
Так как
О < х < 1, то 0 < -£• arc sin х < и,
значит,
. arc sin х , arc sin х\2 , , . . . . , ,
sm —о-----1- cos—о—) == 1 + sin (arc sin x) = 1 + x,
л/ £ j
( arc sin x . arc sin x\2 ,
I cos —g-----sin —л----I = 1 — x.
2
.. / n .arc sin x
Извлекая корень I и замечая, что, в силу 0<—%
к £ arc sin х^ . arc sin х\
<-£-, мы будем иметь cos—---------> sin
лучим:
по-
arc sin x , . arc sin x
cos —--------1- sm —2—
210
arc sin x . arc sin x ------------
cos —g--------sin —2— = И 1
откуда
cos arcs*nx e V1 + * +1^ 1 —x
и, значит,
1 . 1/Г+1 +
-к- arc sin x a® arc cos ~51.
£ i
Аналогично выводятся все формулы, приведенные вы-
ше. Приведу небольшой список вопросов.
1. Доказать, что,
. .1 X
если х >• О, то arc sin — » — arc cos —?=== = о.
У14-х« У14-*
а если х<0, то
arc sin -7==-— arc cos
/1 + х2
2. Доказать, что
- = те — 2 arc cos
|<1+X2
X
Vl+x*‘
arcsinx«=
у J_____х2
arc, ctg —----------, если 0 < х < 1,
arc ctg —---------те, если — 1 < х С 0.
8. Доказать, что
arc tgx =
arc ctg ~ , если х > О,
arc ctg ----те, если х<0.
4. Доказать, что
arc sin х 4-
+ arc sin у =
arc$in(x|Zl—у2 + у 1^1— х2), если
xy С 0 или х2 4- у2 1;
те — arc sin (х У1 —у2 + у У1 —х2),
если х > 0, у > 0 и х2 + у2 > 1;
— те — arc sin (х У1 —у2 + у У1 —х2),
если х<0, у<0, х2 у2> 1.
211
Б. Доказать, что
arc tg х +
+ aretgy =
А х + У
arctg если ху
х 4- у
Tt + aretg-j—если
ь 1 — ху
— к + arctg _ если *<0. *У> >•
6. Доказать, что
3k
"2“
arc sin х +
4- 3 arc cos x +
4- arc sin (Zx'y I—x2) =
4- 4 arocos x, если
Зк , .
-5- 4- 4 arc cos x, если
7. Доказать, что если х>1, то
2 arc tgx 4- arc sin
14-х2
=s* Ж
8. Доказать, что
2x — 1 1 . /. 2x — 1 \
—§——arc fg (tg $ « 1 “
где [x] — есть наибольшее целое число меньшее или рав-
ное х.
9. Доказать, что если < х < , то
. sinx4-cosx Зк
arc sin----7=----= —г-
1/2 4
212
arc cos х + arc cos
10. Доказать, что если -4--<^-<1, то
£
тс
Т’
11. Доказать, что
larctg-L-arctg-^--^-.
В указанной выше книге С. И. Новоселова читатель
найдет много вопросов, задач и графиков, связанных
с обратными тригонометрическими функциями.
§. 12. Логические ошибки
Логические дшибки, которые допускают учащиеся,
связаны обычно с непониманием таких логических кате-
горий как необходимость и достаточность,
существование и единственность. Выше мы
уже приводили примеры неверных ответов, относящихся
к этим понятиям (см. например, п. 7).
Я приведу здесь лишь несколько простых вопросов;
читателю предлагается установить, верны или нет приво-
димые утверждения.
Следует еще отметить, что ошибки логического по-
рядка часто возникают в связи с нечеткими знаниями
^основных определений.
1. Стороны а, Ь, с треугольника связаны соотноше-
нием а2 = Ь2 + с2. Правильно ли утверждение: «этот
треугольник прямоугольный на основании теоремы Пи-
фагора»?
2. Найти ошибку следующего «доказательства» того,
что а° = 1. «Доказательство» — если aqfcO, то — = 1;
а
. а
с другой стороны, вычитая показатели, находим — «
= а1-1 = а®, значит, а® = 1.
3. и! определяется как произведение 1 • 2 • 3... п.
Следует ли из этого определения, что 1! =» 1.
4. Необходимым признаком делимости целого числа
на 4 является четность последней цифры. Верно ли это
утверждение?
213
5. Достаточным признаком делимости целого числа на 4
является четность последней цифры. Верно ли это утвер-
ждение?
6. Для того чтобы целая рациональная функция (от х)
aoxn+aixn~l + ... +ап делилась на (х — а)8 необходимо,
чтобы а был ее корнем. Верно ли это утверждение?
7. Для того чтобы числа а > b > с > 0 могли служить
длинами сторон треугольника, необходимо и достаточно,
чтобы было выполнено неравенство а>Ь + с. Верно ли
это утверждение?
§ 13. Об оформлении письменных работ по ^тематике
Решения задач в письменных работах по математике
часто подаются неряшливо оформленными.
Все пояснения к работе должны быть ясными, четки-
ми и краткими. Формулы более или менее значительные
по размеру следует помещать посредине страницы (при
перечислении формул их следует располагать посредине
страницы в один столбец и отделять одну от другой —
запятой); при этом дальнейшие словесные пояснения
следует начинать всегда с новой строки от левого края
страницы, несколько ниже последней выделенной между
строк формулы.
Чертежи к работе должны быть выполнены аккуратно
(допустимо в карандаше); все построения, проводимые на
чертеже и все буквенные обозначения должны быть опи-
саны в работе. Не следует приводить в работе совершенно
элементарных промежуточных выкладок непосредственно
следующих друг за другом. Например, не следует писать
так:
«Решая квадратное уравнение
х8—4x-f-3 = О,
получим
X'l.z = 2 ± У4—3 и т. д.»
Надо писать так:
«Решая квадратное уравнение
X8 — 4х 4- 3 = О,
получим
Xi = 1, х2 = 3».
214
Или еще. Не следует писать так:
«Решая систему уравнений
2х + Зу — 1 =0,
х 4- 4у— 3 = 0,
получим
_ 2х + Зу — 1 =0,
2х 8у — 6 = 0
— 5у4-5 = 0
и т. д.».
Надо писать так:
«Решая систему уравнений
2х4-3у—1 = 0,
х 4- 4у — 3 = 0,
получим
х = — 1, у = 1».
Образцами правильного оформления письменных работ
по математике, образцами правильного расположения
формул относительно текста пояснений и т. д. могут
служить учебники по математике. Излагать решения задач
и оформлять решения задач в письменных работах сле-
дует примерно так, как это делается в учебниках, статьях
и различных методических пособиях по математике. Не-
достаточно найти верные решения задач; нужно еще эти
решения математически грамотно изложить. Четкое изло-
жение часто помогает и по существу получить более
хорошее решение задачи. Неряшливость изложения
решений задач поступавшими в вузы иногда принимала
такие размеры, что экзаменатору трудно (а иногда и не-
возможно) было разобраться в существе решения. При
самоконтроле степени своей подготовки по математике,
который мы советуем проводить, решая варианты, при-
веденные в главе I, следует для себя оформлять работу
(в срок 4 час.) в соответствии с высказанными здесь
требованиями. Разумеется при разборе готовых решений
задач, и при решении задач «для себя», помещенных в
главах I, II и-IV—IX, оформлять решения так, как
это указано, не нужно. Не нужно заботиться о хоро-
шем оформлении работы и в процессе отыскания реше-
ния задачи (черновики). Оформление работы ведется в
чистовике, при переписываний начисто предварительно
найденного решения. Черновики к работе также всегда
прилагаются.
215
Глава IV
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
§ 1. Алгебра
1. Доказать, чтресли— — 1<у<1, — 1<г<1 и
х + у + z = xyz,
то
2х 2у 2z _
1 — х2 + 1 — у2 + 1 — г2 “
_ 2х 2у 2г
1 — X2 ’ 1 —у2 ’ 1 — Z2 *
2. Рассмотрим функцию
_ ах2 4- 6х + 1
V ~ х2 + Ьх + а ’
где а и b—действительные параметры.
Г. При каком условии у принимает одно и то же
значение (при всех значениях х)?
2°. При каком условии у сохраняет знак?
3°. При каком условии у имеет одно наибольшее и
одно наименьшее значение?
4°. Определить а и b так, чтобы при х — с функция у
принимала бы наименьшее значение т. При ка-
ких т задача имеет решение?
3. Дана функция
Xs— 10х2
1—х '
Г. Исследовать эту функцию на возрастание и убы-
вание. Построить график (Г) этой функции.
216
2°. Исследовать число действительных решений си-
стемы
У== —j----У = Лх-Н0 (1)
в зависимости от значений k.
У. Пусть (х', у') и (х*. у")— два решения системы (1).
Вычислить в функции k следующие выражения
х' + Xя _ у' + У
х - , у _ _ ,
затем найти (исключая k) зависимость между эти-
ми х и у. Какую кривую определяет эта зависи-
мость F (х, у) = 0. Обозначим через (Р) эту кривую.
Решить систему уравнений (1) и F(x, у) = 0.
4°. Найти все целые решения уравнения
х8— 10х2
у = -г- х .
4. Дана функция
— 2х2 — 5х + 3
х + а
1°. Изучить изменение этой функции в зависимости
от значений а. Доказать, что графики всех таких
функций (для различных значений а) проходят через
одну и ту же точку. Какую?
2°. Начертить график функции у, если а = — 1.
3°. Доказать, что если У =—2х — 7, то разность
У— устремится к нулю, когда х увеличивается
неограниченно (по модулю).
4°. Сколько действительных корней имеет уравнение
— 2х2 — 5x4-3
-----------------------:-•-- = Ш
X— 1
(решить графически и аналитически).
5. Кривая (Д„,) задана уравнением:
у = (т — 1) х2 4- 2/пх 4- 4.
Построить кривые (/71), (П3), (П—i). Доказать, что
кривая (Пт) проходит через две фиксированные точки А
и В. В какой точке (отличной от Д) кривая (Пт) пере-
217
секает ось Ox 1)? Для каких значенийт кривая (Ят)
касается оси Ох? Для каких значений т кривая (Пт)
имеет вершиной точку В (В не лежит на оси Ох). Дока-
зать, что кривые (Яо) и (П2) симметричны относительно
середины АВ.
6. Исследовать функцию
О
у = х2 + 4х + 8 + ---J
Л 1
на возрастание и убывание, на выпуклость вверх и
вниз и построить ее график.
Каково взаимное расположение этой линии с парабо-
лой у = х2 + 4х + 8 и с гиперболой у = j ? По-
строить все три графика на одном чертеже.
7. Дано уравнение
х2 — (т — 1)х4-т + 2 = 0
(т — параметр).
1°. При каком условии корни этого уравнения будут
действительны?
2°. Пусть параметр т удовлетворяет этому условию;
отметим на оси Ох точки М' и М" с координата-
ми х' и х", где х' и х" — корни уравнения (1).
Построим окружности (О') и (С*) на ОМ' и ОМ",
как на диаметрах. При каком условии эти окруж-
ности касаются внешне? Могут ли эти окружности
быть равны, не совпадая?
3°. Предположим, что параметр т имеет такое зна-
чение, при котором окружности (С’) и (С") касаются
внешне. Найти в функции т длину отрезка Т'Т",
где Т' и Т"— точки прикосновения общей внешней
касательной к окружностям (С') и (С*), а также
поверхность, полученную вращением отрезка Т'Т"
вокруг оси Ох.
8. Рассмотрим уравнение относительно г
z2 — 2 (1 4- х) г + у + х2 + 3 = О
и будем считать, что х и у—координаты какой-либо
точки плоскости. Всякому соотношению между х и у
соответствует линия на плоскости.
1°. При каком соотношении между х и у — корни
данного уравнения будут равны между собой?
218
Построить график (Ct) соответствующей зависи-
мости между х и у.
2°. Каково геометрическое место (С2) точек М (х, у),
для которых уравнение (1) имеет корень г = 0.
3°. Каково геометрическое место (Сз) точек Af, для
которого корни уравнения действительны и противо-
положны по знаку?
4°. Вычертить линии (Ci), (С2), (С8) на одном и том
же графике. Исследовать в зависимости от поло-
жения точки Л! (х, у) относительно этих кривых
характер корней данного уравнения (действитель-
ные, мнимые, положительные, отрицательные, крат-
ные).
5°. Каким соотношением связаны х и у, если корни
уравнения (1) связаны соотношением z" =—2z'?
9. Рассмотрим две последовательности:
«о = О, «1 = 1, «а, «з, «4, «з,... (последовательность «),
(/0 = a, Ui = b, U2, Us, U 6,... (последовательность U),
в каждой из которых каждый член, начиная с треть-
его, равен сумме двух предыдущих.
1°. Написать 10 первых членов последовательности и
и 10 первых членов последовательности U. Найти
формулу, выражающую U„ через «п-ь «л, а и Ь.
2°. Обозначим через s„ сумму «о 4- Ui + «2 + ... + ип
(последовательность s). Написать 10 первых членов
этой последовательности. Доказать, что
Зл — «п+2 ’ !•
Доказать, что «п+i «п-1 —«п = (— 1)п.
3°. Положим гп = Ыя (последовательность г). Вычис-
«п+1
1
лить с точностью до iQQQQ десять первых членов
этой последовательности. Каким свойством обла-
дают подпоследовательности Го, Га, rit..., г2п. • • •
И Г1, Гз, Г6...Г2П+1» • • •?
Доказать, что
(— 1)"
Гп + 1—гл= ? - '
UnUn+l
219
Вывести отсюда, когда эта разность положи-
тельна и когда отрицательна и что
lim (r„+1—rn)«=0..
п-* + 00
Можно ли на основании предыдущего сделать
вывод о существовании предела Итгя.
п-* + 00
4°. Доказать, что
Выразить |/n-i—гп\ через гп. Составить, исходя
из этого выражения, уравнение второй степени,
которому удовлетворяет lim rn == z и вычислить
п -> 4- оо
1
этот предел с точностью до •
10. Вычислить корни квадратного уравнения
х2—17,81x4-22,563 = О
с точностью до 0,001 (с недостатком и с избытком).
11. Дано уравнение (£) второй степени относительно .г:
(т 4- 1) х2 — m2 (т — 1) х 4- (т— I)3 = О,
где т — действительный параметр.
1°. Для каких значений т это уравнение имеет действи-
тельные и различные корни? Равные корни?
2°. Вычислить эти корни а и р в функции th. Дока-
зать, что один из них, который мы обозначим
через а, сохраняет знак. Изучить в зависимости
от значений т знак другого корня р.
3°. Начертить на одном и том же чертеже графики (Л)
и (В) функций а = а (/и) и р = р (т) (т — абсцисса,
а и р — ординаты).
4е. Вычислить координаты точек пересечения графи-
ков (Л) и (В).
Показать, как из рассмотрения этих графиков
можно определить (без новых вычислений) значе-
ния т, при которых существуют действительные
корни данного уравнения (£).
12. Г. Решить следующую систему двух уравнений
с двумя неизвестными и и о:
5 (и + v) = 4 (uv -J- 1),
(и— 1) (и— 1) = т.
220
2°. При каких значениях т значения неизвестных и и
v будут действительны и будут заключены между
— 1 и 1.
13. Обозначим через fm(x) следующую функцию
fm (*) = X» + (m— 1) х —2 (m + 1),
где х— переменное, т — параметр.
Г. Доказать, что для каждого значения т эта функ-
ция имеет наименьшее значение g (т); вычислить
это наименьшее значение в функции т. Какому
условию должно удовлетворять т, чтобы уравне-
ние (х) = 0 имело бы два равных корня?
2°. Начертить график функции g(m). При каких зна-
чениях т функция g (т) имеет наибольшее значе-
ние? Каково при этом значении т наименьшее зна-
чение fm (х)?
3°. Даны два числа а и Ь. Доказать, что линии fa (х)
и fb (х) получаются одна из другой — переносом.
Доказать, что если а&Ь, то эти кривые имеют и
притом только одну общую точку. Найти коорди-
наты этой точки.
14. 1°. Изучить изменение функции у = х2(1—х) при
условии, что х изменяется от 0 до 1. Построить
график (<$) этой функции (считая 0<дС1).
2°. Проведем прямую (£>), параллельную оси Ох, и
пусть она пересекает дугу (S) в двух точках А
и В (4 — та точка, которая ближе к оси Оу).
Пусть а и b—абсциссы точек А и В. Найти со-
отношение между а и Ь (для любой прямой D, пере-
секающей S в двух различных точках А и В) и
представить это соотношение в виде уравнения,
куда входят лишь а + b и ab.
Изучить возможность выбора прямой (D) так,
чтобы абсцисса середины С отрезка АВ имела бы
данное положительное значение Л. Получить отсю-
да экстремальные значения для a -f- b.
3°. Выразить Ь, затем s = а + b только через а и
показать, что s — возрастающая Функция от а.
4°. Пусть (А) прямая, параллельная оси Оу и прохо-
дящая через наивысшую точку дуги (S); обозначим
через М точку пересечения прямых (D) и (А). До-
казать, что МА^МВ.
221
15. 1°. Исследовать функцию
У =
(х—2)’
X2 — 1
на возрастание и убывание, на выпуклость вверх
и вниз и построить ее график.
2°. Найти геометрическое место середин М хорд АВ
этой линии, параллельных оси Ох,
16. Исследовать функцию
у_____L.
7 х®—I
на возрастание и убывание, на выпуклость вверх и
вниз и построить ее график.
17. Изучить функцию
_ (2m + 1) * + 5m + 7
? ~ х + т + 3
на возрастание и убывание в зависимости от зна-
чений т.
18. Рассмотрим следующую функцию от xi
х® 4“ 2х 4“ X
~ х2 — 2х 4- 2 ’
1°. Определить X так, чтобы при х = J/ 2 эта функция
принимала или наибольшее или наименьшее зна-
чение; найти затем при найденном значении X
наибольшее и наименьшее значения данной функции.
2°. Построить при найденном значении X график функ-
ции (исследовав его лишь на возрастание и убы-
вание).
8°. Составить уравнение, из которого находятся зна-
чения х, для которых у = т. В каких границах
должно изменяться т для того, чтобы корни этого
уравнения были действительными. Если т нахо-
дится в указанных границах, то прямая у = m
пересекает график данной функции в двух точ-
ках М' и М."', найти геометрическое место середин
отрезков М'М", когда т меняется в своих грани-
цах.
19. Дано соотношение
32у — Зх (х« 4- 9х 4- 15) = 53. (1)
Г. Будем рассматривать у как функцию от х.
222
Построить график этой функции, найти точки
максимума и минимума.
2°. Пусть в соотношении (1) задано значение у. Опи-
раюсь на построенный график, установить число
действительных корней уравнения (1) (уравнения
относительно х при заданном у) и их знаки, если у
изменяется от —ео до + оо.
20. Г. Решить систему:
(т2+1)х — т(т+\)у = —(m2+l), (1)
(т? + 1) х — (т + 1) у = m2 + 1 (2)
(х и у — неизвестные, т— действительный пара-
метр).
2°. Пусть х и у -1 координаты точки относительно
прямоугольной системы координат хОу. Тогда урав-
нения (1) и (2) как уравнения первой степени опре-
деляют две прямые (Дх) и (Д2). Доказать, что при
изменении т каждая из них проходит через фикси-
рованную .точку: прямая (Дх)—через фиксирован-
ную точку Дх, прямая (Д2)— через фиксированную
точку Д2. Каковы координаты -этих точек? Пря-
мые (Дх) и (Д2), вообще, говоря, пересекаются в не-
которой точке Р. Каковы координаты точки Р?
3°. Найти соотношение между координатами точки Р,
не зависящее от т. Вывести отсюда геометрическое
место точек Р, когда т изменяется от —со до
+ <5о. Построить линию.
21. Пусть РВС не прямоугольный треугольник, причем
РВ>РС. Перпендикуляр в точке В к -прямой РВ
пересекает прямую PC в точке Q и перпендикуляр
в точке С к PC пересекает прямую РВ в точке R.
Обозначим через В' точку, гармонически сопряжен-
ную с точкой В относительно пары точек Р и R, и
через С—точку, гармонически сопряженную с точ-
кой С относительно пары точек Р и Q (в случае, если
эти точки В' и С' существуют). Ориентируем прямую РВ
от точки Р к точке В и прямую PC от точки Р
к точке С,-Положим,
pS = d, Р(?=/nd,^BPC«B(O<e<w)
223
(углы измерим в радианах). На основании сделанных
выше допущений мы имеем:
d>0, 0<т<1, 0^-5-, m^cosO.
£
I. Вычислить в функции т и cos6 отношения ——
СС7 / 2 11
и —т— I напомним, что соотношение ==• = =- 4- -= ,
d \ IJ1K1L
в котором /, J, К, L — четыре различные точки, ле-
жащие на одной прямой, выражает необходимое и
достаточное условие того, что точки I и J гармони-
чески разделяют точки К и .
Если мы положим cos 0 = X, то эти два отноше-
ния можно представить как томографические функции
от X, коэффициенты которых зависят от т.
II. 1°. Пусть имеет место соотношение
SW^CC'. (1)
а) Доказать, что необходимое и достаточное
условие того, что будет выполнено соотношение (1)
может быть записано в виде:
m + ± = 2X + i+1. (Г)
Р) Предположим, что X дано (X = cos 6). Опре-
делить значения /п (0 1), для которых вы-
полнено соотношение (1); исследовать в зависи-
мости от значений X', установить расположение
решений относительно чисел X и (в случае,
если эти решения существуют).
у) Предположим, что дано /п(0<т<1)- Опре-
делить значения X (X = cosO), для которых выпол-
нено соотношение (1)? исследовать в зависимости
от значений т; установить расположение решений
(в случае их существования) относительно чисел О,
224
2°. Пусть имеет место соотношение
ВВ7 + СС7 = 0. (2)
а) Доказать, что необходимое и достаточное
условие того, что будет выполнено соотношение (2)
может быть записано в виде:
т + 1- = 2Х + 4-1. (2')
т л>
Р) Предположим, что X дано (X = cos 6). Опре-
делить значения m(0<m<;i), для которых будет
выполнено соотношение (2); исследовать в зависи-
мости от значений X, Установить расположение
решений в случае их существования относительно
числа X.
у) Предположим, что дано т (0 < т < 1). Опре-
делить значения X (X — cos 6), для которых выпол-
нено соотношение (2). Исследовать в зависимости
от значений т; установить расположение решений
относительно чисел 0, и т.
£
III. Рассмотрим томографические функции от X,
полученные в части I, представляющие собою отно-
5В7 СС7 v
шения —j— и —V-, и заменим в них X независимой
d d
переменной х, которой можно придавать какие угодно
действительные значения (число т предполагается
данным, 0<m< 1). Таким путем мы получим две томо-
графические функции у и z от х.
1°. Изучить эти функции и построить их графики.
2°. Пусть (Г) и (Д) эти две линии, которые мы от-
несем к одной и той же системе координат х'Ох,
у'Оу (значения х будем откладывать на оси абсцисс,
значения у и z— на оси ординат). Пусть (Д') —
линия, симметричная линии (Д) относительно
оси х'Ох.
Имеют ли линии (Г) и (А) общие точки? Имеют
ли линии (Г) и (Д') общие точки? Исследовать
в зависимости от'значений т. Построить линии (Г),
(Д) и (Д') для т = .
8 Зак, 3478
223
IV. Геометрическая интерпретация. Возвращаясь
к фигуре, описанной в части I, обозначим через BU
прямую, гармонически сопряженную прямой ВС отно-
сительно прямых ВР и BQ, и через CV — прямую,
гармонически сопряженную прямой СВ относительно
прямых СР и CR (BU и CV проходят соответственно
через С' и В', если эти последние точки существуют).
Прямые BU и CV пересекаются в точке А. На осно-
вании хорошо известного факта, прямые ВР и BQ,.
перпендикулярные и гармонически сопряженные по
отношению к ВС. и BU, являются биссектрисами угла В
треугольника ЛВС; точно также прямые СР и CR —>
биссектрисы угла С; отрезки ВВ' и СС' являютсй
частями одной или другой биссектрис, внутренней
или внешней, углов В и С треугольника ЛВС, огра-
ниченные вершиной (В или С) и противоположной
стороной (ЛС или АВ). Показать, что точки Р, Q, R
являются центрами трех из четырех окружностей,
касающихся сторон треугольника ЛВС и что центр
четвертой такой окружности есть точка S пересече-
ния прямых BQ и CR; прямые QR и PS проходят),
следовательно, через точку Л (они являются биссектри-
сами угла Л треугольника ЛВС).
1°. Уточнить в зависимости от значений cos О и т,
на какой из биссектрис (внутренней или внешней)
угла В (или угла С) лежит отрезок ВВ' (соответ-
ственно отрезок СС'). Следует рассмотреть три
случая в зависимости от расположения значе-
ния cos в относительно чисел 0 и т.
2°. Доказать, что треугольники PQR, РВС, AQC и
ABR подобны.
Обозначая через а, Ь, с длины сторон ВС, СЛ
и АВ треугольника ЛВС, вычислить в функции т и
cos 0 отношения
a2 ab гас
d2 ’ d2 ’ d2 ’
которые можно рассматривать как величины сторон
треугольника, подобного треугольнику ЛВС.
3°. Если т и cos 0 (cos 9 = X) удовлетворяют или со-
отношению (1') или соотношению (2'), изученных
в части П, то соответствующий треугольник ЛВС
таков, что отрезки ВВ' и СС' биссектрис его
226
углов В и С имеют одинаковую длину. Указать
в этих двух случаях, о которых идет речь, отрез-
ками каких биссектрис, внешних или внутренних,
являются отрезки ВВ' и СС. Пусть в одном из
рассматриваемых случаев {ВВ' — СС' или ВВ' 4-
4- СС = 0) соответствующий треугольник АВС та-
ков, что АВ = АС; построить треугольник, подоб-
ный этому равнобедренному треугольнику.
4°. Пусть т = Определить значение cos 0, для
которого будет выполнено соотношение (2) и вы-
числить для соответствующего треугольника АВС
отношения
a* ab ас ВВ’ QC'
~d? * "d*’ ~сГ И ~d~t
Можно ли построить с помощью циркуля и линей-
ки треугольник, подобный этому треугольнику АВС?
8*
§ 2. Алгебра с тригонометрией
1. Рассмотрим функцию
= (х —а)(ах + 1)
у х* + 1
где а — параметр. Пусть (Г) — график этой функции.
Г. Каково взаимное расположение графиков (Л) и (Г2),
соответствующих значениям а = и а = — ai?
2°. Будем во всем дальнейшем считать а>0. Изучить
функции, соответствующие следующим значениям
параметра:
а = 0, a=-i-, а = 1, а = 2
А
и построить их графики.
3&. Обозначим через а угол такой, что tga = a, а че-
рез <р — угол такой, что tg <? = х. Доказать, что
у = A sin 2 (<р — а),
где А зависит только от а.
4°. Пусть <p=<pi данное значение ф, Xi— соответствую-
щее значение х и Mi — соответствующая точка
линии (Г); пусть Mi и Мг— точки графика (Г),
которые соответствуют следующим значениям <р:
те те
Фа = ф1 + "д' » фз == ф1-д' *
Доказать, что центр тяжести треугольника М,М2Ма
не зависит от фь вычислить в функции абсциссу
228
! Xl + «2 + x3\
этого центра тяжести I т. е. -——1—) и изучить
\ /
ее изменение, когда <pi изменяется от 0 до л.
2. Г. Исследовать, при каких значениях т корни урав-
нения
f (х) » 4х2 (2 — rrf) х — 2m2 + 2т = О
будут действительны и определить их расположе-
ние относительно — 1 и 1.
2°. Приложить результаты предыдущего исследования
к решению неравенства
4 cos2 и + (2 — т) cost/ — 2/п2 + 2/п < О,
5
3°. Решить это неравенство в случае т = .
3. Решить неравенства
cos <р — sin<p + 1 > О,
cos — sin <f -J-1 < О,
полагая cos <? = х, sin <р = у я рассматривая наряду
с тригонометрическим кругом график линии х — у +
+ 1=0.
§ 3. Планиметрия
1. Дана сторона а треугольника АВС и разность b — с—
== 21 двух других его сторон (Ь > с).
1°. Найти положение точки S, в которой окружность,
вписанная в треугольник АВС, касается стороны
ВС, найти положение точки S', в которой окруж-
ность, вневписанная в угол А треугольника АВС,
касается стороны ВС.
2°. Найти геометрическое место центров указанных
окружностей. В каких границах изменяются их
радиусы г и г’. Вычислить гг'.
3°. Вычислить стороны b и с, зная а, b — с(>-0) и
— = k2. Исследовать.
4°. Построить геометрически треугольник, если за-
даны а, b — с (> 0) и у- = /г2.
2. На оси х'Ох фиксированы точки А', А, В; ОА' =
— —а, ОА = а, ОВ = Ь {а — данное положительное
число, b—данное число, 6#=±а). Пусть М — про-
извольная точка окружности (О), построенной на АА',
как на диаметре, (<о) и («') — окружности, описанные
около треугольников МАВ и МА'В.
1°. Построить центры ш и а/ окружностей (<о) и («/).
Доказать, что 0<oJ_Ou>'. Каково геометрическое
место точек <о и w' [если Л1 описывает окруж-
ность (О)]. Пусть Н и Н' — проекции w и о>' на АА'.
Доказать, что произведение • Н'и>' остается
постоянным.
2°. Какова огибающая поляры « относительно окруж-
ности (О), когда (о описывает свое геометрическое
230
место? Определить геометрическое место точки
пересечения поляр шиш' относительно окруж-
ности (О), если М. описывает эту окружность.
3°. Доказать, что окружности (хо) и («>') — ортого-
нальны. Определить положения точки М, при
которых эти окружности будут равны друг другу.
3. Рассмотрим на плоскости две фиксированные точки А
и В. В настоящей задаче требуется изучить преобра-
зование, которое определяется следующим образом:
точке М ставится в соответствие точка М' такая,
что ИМ J_ ЛЛГ, а точки М, В и М' лежат на одной
прямой.
Г. Доказать, что для того чтобы точка М. не имела
образа, необходимо и достаточно, чтобы она нахо-
дилась на некоторой окружности (Со) (какой?).
2°. Пусть М описывает окружность (С), проходящую
через Л и В и отличную от (Со). Доказать, что
точка М' описывает также окружность (С') и что
окружность (С') проходит через точки А и В.
Изучить расположение окружностей (С) и (С) и
доказать, что точки М и М', описывающие их,
соответствуют друг другу в простом преобразова-
нии (каком?).
3°. Пусть точка М описывает окружность (Г), про-
ходящую через А, с центром па прямой АВ и ко-
торая (окружность) отлична от (Со). Доказать, что
точка М' описывает окружность (Г'), проходящую
через А, с центром на прямой Ав и что точки М
и М', описывающие эти окружности, соответствуют
одна другой в простом преобразовании (каком?).
4е. Пусть О — центр окружности (Г), О' — центр
окружности (Г'). Положим АВ = а > О, АО — х,
АО' = х'. Вычислить у = 00' в функции х и по-
строить ее график, когда О описывает АВ. Получить
отсюда график функции z = 00'.
4. Рассмотрим прямую (D) и две точки F и Н, имеющие
одну и ту же проекцию I на (D) {IF<IH) и распо-
ложенные по одну сторону от (О). Пусть О—какая-
нибудь точка (D). Построить окружность (С), проходя-
щую через F и касающуюся в точке Н прямой ОН.
Пусть окружность (С) вторично пересекает прямую OF
в точке G; найти геометрическое место точек О, когда О
описывает прямую (D).
231
5. На оси Ох фиксированы две точки В и С такие, что
ОВ = а, ОС = —а, где а—данное число. Пусть OL—
полупрямая выходящая из О и образующая с осю Ох
> — •">
угол а, (Ox, OL) = а, причем О < а < к.
1°. Точка М лежит на луче ОЬ на расстоянии х от О;
вычислить в функции,х отношение:
МВ2
у = =-»
Л4С2
•°
изучить изменение этой функции и построить ее
график, считая, что М описывает всю полупря-
мую OL.
Дано положительное число k-, построить точку А
АВ
полупрямой OL такую, что
= k.
В каких пределах может изменяться k, если а дано
для того, чтобы построение было возможным? Про-
контролировать результаты этого исследования,
используя результаты, полученные в 1°.
3°. Для подходящим образом выбранных k и а по-
строение 2° позволит получить две точки А и А',
удовлетворяющие вопросу. Рассмотрим два тре-
угольника АВА' и АСА' и обозначим через (Г) и
(Г') окружности, описанные около этих треуголь-
ников.
а) Доказать, что О А • О А' = а2.
Ь) Найти геометрическое место центров (Г) и
(Г'), когда один из параметров а или k остается
постоянным, а другой меняется.
4°. Обозначим через В' и С вторые точки пересечения
окружностей (Г) и (Г') с окружностью, построенной
на ВС, как на диаметре. Обозначим через Р точку
пересечения В В' и СС', через Q — точку пересече-
ния ВС и В'С', через Р— точку пересечения ВС
и СВ’. Доказать, что точка Р лежит на АА', и
что Q и Р— центры гомотетий окружностей (Г)
и (Г').
6. (С) — окружность радиуса Р с центром О; (С') — окруж-
р
ность радиуса -д- с центром А, лежащим на окруж-
ности (С); М и АГ — точки пересечения окружностей
(С) и (С'). Выразить приближенно в радианах угол MON.
232
7. На прямой (D) от точки А в одну сторону отложены
отрезки Л5 = а и АВ' = а' (а' >а) и по одну сторону
от (D) на отрезках АВ и АВ', как на диаметрах,
построены полуокружности. Пусть Н — произвольная
точка отрезка АВ. Прямая, проходящая через точку Н,
пересекает указанные полуокружности в точках М
и М’.
1°. Доказать, что отношение AM к AM не зависит
от положения точки Н на отрезке АВ.
2°. Пусть Р — точка пересечения ВМ и ВМ'. Дока-
зать, что треугольники АРВ и АРВ’ подобны.
Каково геометрическое место точек Р, если точка Н
описывает отрезок АВ?
8. Построить треугольник, зная на плоскости положение
центров /, 1а и О вписанной окружности (/), вне-
вписанной (/а) (в угол Л) и описанной (О). При каком
взаимном расположении точек I, 1а и О построение
возможно?
9. Дан прямоугольный треугольник АВС (Л — прямой
угол), вершины которого В и С фиксированы, причем
ВС — а.
Г. Найти длины х и у сторон АВ и АС этого тре-
угольника, зная его периметр 2р. Исследовать.
2°. Вычислить в функции р высоту АН треугольника
АВС, радиус г вписанной в него окружности и
площадь s. Изучить изменение s, когда р изме-
няется в пределах, установленных в Г. Построить
соответствующую кривую.
3°. Вычислить периметр треугольника АВС и его сто-
роны АВ и АС в каждом из следующих случаев:
а) один из его острых углов в два раза более
другого;
Р) один из катетов в два раза более другого;
6а2
у) площадь s = 25
10. Дана полупрямая Ах и две фиксированные окруж-
ности (О) и (О'), касающиеся внутренним образом
в точке А и радиусы которых соответственно Р и
Р' (Р> Р’)‘, центры этих окружностей лежат на полу-
прямой Ах. Обозначим через (С) переменную окруж-
ность с центром С, касающуюся окружностей (О) и (О')
в переменных точках Е и Е\
233
1°. Доказать, что геометрическое место точек С та-
ково, что ОС + О'С — const. Найти значение этой
постоянной.
2°. Найти геометрическое место точек Р пересечения
касательных к окружности (С) в точках Е и Е'.
3°. Построить окружность (С), проходящую через
данную точку М. Исследовать.
4°. Обозначим через Т точку прикосновения двух
окружностей (С), касающихся между собой. Найти
геометрическое место точек Т. Под каким углом это
геометрическое место пересекает окружности (С)?
Доказать, что существует точка Н, степени кото-
рой относительно окружностей (С) равны между
собой. Вычислить АН. Найти геометрическое место
оснований поляр точки А относительно окруж-
ностей (С).
11. На фиксированной прямой (Д) заданы три точки А,
F, А', причем точка F лежит между точками Ап А'
и A'F>FA. Пусть D' и D"—прямые, перпендику-
лярные прямой АА' и проходящие соответственно через
точки А и А'. Рассмотрим две переменные взаимно-
перпендикулярные прямые d и d’, проходящие через
точку F. Обозначим точки пересечения прямой d
с прямыми D' и D", соответственно, через М и М',
а прямой d' с прямыми D’ и D", соответственно Р и
Р'. Пусть, наконец, прямые РМ' и МР' пересекаются
в точке /?.
1°. Доказать, что геометрическое место точек 7? есть
прямая (D); требуется также определить точку /,
в которой прямая (D) пересекает (Д) (показать, что
геометрическое место точек R есть вся прямая D).
2°. Доказать, что геометрическое место проекций
точки F на МР’ и М'Р есть окружность.
12. А. а) Построить окружность, проходящую через две
данные точки и[касающуюся данной окружности (без
исследования).
Ь) Построить окружность, касающуюся данной
прямой в данной точке и касающуюся другой дан-
ной окружности.
В. А, А' и F — три различные точки, лежащие на
одной прямой (порядок безразличен). Обозначим
через (С) окружность с диаметром А А' через О —
центр этой окружности, через D — поляру точки F
234
относительно окружности (С) и через I — точку
пересечения АА' с (D).
Пусть Р— какая-нибудь точка прямой (D).
Построить окружности (fi) и (у2), касающиеся
в точке F прямой PF й касающиеся кроме того
окружности (С) в точках Ki и К.2.
а) Доказать, что окружность, с диаметром PF
проходит через точки Ki и К2.
б) Пусть PKi и PKz пересекают (fi) и (у2)
вторично в точках Mi и Л12. Доказать, что отрезки
РМ1 и РМ2 видны из точки / под прямым углом.
в) Пусть УИ1Л12 пересекает (D) в точке Q; дока-
зать, что окружрость с диаметром М1М2 ортого-
нальна окружности с диаметром FQ (можно исполь-
зовать инверсию с полюсом Р и модулем PF9).
Получить отсюда, что IF — биссектриса угла Ali/Af2.
С. Рассмотрим произвольную прямую (D) и фиксиро-
ванную точку F. Обозначим проекцию точки F на
прямую (D) через /. Пусть М — какая-нибудь точка
плоскости. В инверсии с полюсом F и произволь-
ным модулем X окружность с диаметром MF пере-
ходит в прямую (у'). Пусть /' и М'— образы I и
М в этой инверсии, Н — проекция точки М на (D),
К'—проекция точки /' на у'. Доказать, что тре-
угольники FIM и FM'I подобны. Доказать, что
треугольники HIM и К'М’Г также подобны.
rr MF
Получить отсюда, что если отношение,со-
храняет постоянную величину (и при переменной
точке Л4), то прямая у' остается касательной к не-
которой фиксированной окружности.
D. Обратно. Пусть дана фиксированная окружность (С)
с центром О и фиксированная точка F. Пусть (D)—
поляра F относительно (С), I — проекция F на (D).
Рассмотрим переменную окружность (у), проходя-
щую через F и касающуюся (С) в точке К.
Рассмотрим инверсию с полюсом F, которая
сохраняет окружность (С). Во что переходит окруж-
ность (у)? Доказать, что / переходит в О. Обозна-
чим через Н проекцию на (D) точки М, диамет-
рально противоположной точке F окружности (у),
а через К' и М' —образы точек К и М в указанной
выше инверсии. Доказать, что треугольники FMI
235
и FOM' подобны и что треугольники MIH и ОМ'К'
также подобны. Получить отсюда, что отношение
МН * . .
не зависит от выбора окружности (у).
Замечание. Разделы С и D решать независимо от А
й В.
13. Пусть BCAiAi, CABiB2, ABCiC2 — три квадрата, по-
строенные во' внешнюю сторону треугольника АВС
на его сторонах. Пусть А', В', С' — их центры, (а),
(?) и (г) — окружности, построенные на AiA2, BiB2,
CiC2, как на диаметрах. Доказать, что степени точек
А, В я С соответственно относительно окружностей
(а), (?) и (у), равны между собой и каждая из них
равна учетверенной площади треугольника А'В'С.
14. Пусть (О) — окружность с центром О и радиусом г,
АВ — фиксированный диаметр этой окружности, (D) —
касательная к окружности в точке А, а (Д)— каса-
тельная к окружности (О) в точке В. Пусть пере-
менная секущая, проходящая через точку В, пересе-
кает (D) в точке Р, а (О) — в точке /?. Пусть прямая
AR пересекает (Д) в точке Q. Обозначим через М
середину отрезка АР.
1°. Доказать, что MR — касательная к окружности (О)
в точке R. Построить поляры точек М и Q отно-
сительно (О). Доказать, что окружность (Г) с диа-
метром MQ ортогональна (О).
2°. Обозначим через F и F' поляры диаметра окруж-
ности (О), перпендикулярного к АВ. Доказать,
что (Г) ортогональна всякой окружности, прохо-
дящей через F и F'. Что будет являться касатель-
ной в точке М к окружности, описанной около
треугольника MFF'?
3°. пусть MQ пересекает ВР в точке S, а АВ—в точ-
ке Р. Доказать, что точки М и Q гармонически
сопряжены с точками S и Т и что окружность,
описанная около треугольника SFF', проходит
через Т.
15. Пусть I — центр окружности, вписанной в треуголь-
ник АВС, г — радиус этой окружности, a D, Е, F —
точки прикосновения ее к сторонам ВС, СА и АВ.
1°. Рассмотрим инверсию (J) с центром (/) и степенью
инверсии г2. Обозначим через А', В', С образы
точек А, В, С в этой инверсии. Обозначим через
236
(a), (P) и (у) окружности, в которые инвертируются
прямые ВС, С А и АВ. Найти радиусы этих окруж-
ностей и углы, под которыми они пересекаются.
2°. Доказать, что точки F, А', Е лежат на одной
прямой (аналогично F, В’, D w.D,C Е). Вычислить
углы, стороны и радиус окружности, описанной
около треугольника А'В'С', зная углы Л’ В, С и
радиус г окружности, вписанной в данный тре-
угольник.
3°. Доказать, что окружности {A'lD), {В’IE), (C'lF)
принадлежат одному пучку.
4°. Доказать, что центр О окружности, описанной
около треугольника АВС, имеет одну и ту же
степень относительно окружностей {AID), {EIB),
(CIF).
16. В плоскости дан отрезок АВ прямой и две прямые
(da) и (d₽), не параллельные прямой АВ, не проходящие
ни через точку А, ни через точку В и пересекаю-
щиеся в точке О, не лежащей на АВ. Пусть (Д)—
переменная прямая, параллельная АВ. Если она не
проходит через О и не совпадает с АВ, то она пере-
секает (da) и (dp) в точках С и D. Рассмотрим выпук-
лую трапецию ABCD. Найти геометрическое место
точек пересечения ее диагоналей. Найти также гео-
метрическое место середин отрезка, концы которого—
середины этих диагоналей.
17. В плоскости даны две пересекающиеся в точке О
прямые (Di) и (Dz) и дана фиксированная точка А.
Найти геометрическое место точек М плоскости таких,
что точки Mi и Mz, симметричные с точкой М отно-
сительно (Di) и {Dz), лежат на одной прямой с точ-
кой А.
18. Две параллельные прямые (Д) и (Д') проходят соот-
ветственно через вершину А и ортоцентр Н треуголь-
ника АВС. Пусть М и N — проекции точек В и С
на (Д), a Q и Т — проекции точек В и С на (Д');
наконец, пусть А', В' и С — основания высот тре-
угольника АВС.
1°. Найти при условии, что прямая (Д) вращается
вокруг А, геометрическое место центров <о прямо-
угольника MNPQ. Доказать, что окружность,
описанная около этого прямоугольника, проходит
через точку А'.
237
2°. Доказать, что диагонали МР и MQ прямоуголь-
ника MNPQ проходят соответственно через точки
В’ и С’.
19. Рассмотрим окружность (О, 7?) и точку А такую, что
ОА = 2Р. Пусть (D) перпендикуляр к ОА и пере-
секает этот отрезок в точке Н, отстоящий от О на
5
расстоянии Р. На прямой (D) берется произвольная
точка М, из которой проводятся касательные МТ
и МТ' к окружности (О).
Г. Доказать, что МТ = МТ' = МА.
2°. Полагая, что М описывает прямую (D), доказать,
что ТТ' проходит через фиксированную точку, и
определить положение этой точки.
3°. Найти геометрическое место ортоцентров треуголь-
ников МТТ'.
4°. Найти геометрическое место центров окружностей,
вписанных в треугольник МТТ'.
5°. Пусть (С) и (С') — окружности, проходящие через
I и касающиеся (О) —одна в точке Т, другая
в точке Т'. Доказать, что вторая точка S пере-
сечения окружностей (С) и (С') лежит на окруж-
ности с диаметром 01.
20. Пусть (С) и (С') — две окружности радиуса Р с цент-
рами С и С'; СС — 2а (а > Р).
Отрезок ММ’ длиной 2k перемещается по плоскости
так, что точка М лежит все время на окружности (С),
а точка М' — на окружности (С').
Г. Каким условиям должно удовлетворять число k?
Построить дуги, которые описывают точки М
и М'. Для каких значений k точки М и М' описы-
вают окружности (С) и (С') целиком?
2°. Полагая -2а= 14 см, Р—4см, 2k= 15 см, построить
с помощью циркуля и линейки отрезок ММ', если
соблюдено еще одно из следующих условий:
а) середина 7 отрезка ММ' совпадает с середи-
ной О отрезка СС;
б) отрезок ММ' наклонен к СС' под углом 30°;
в) точка М занимает граничное положение дуги,
определенной, в Г;
г) точка 7 не совпадает с О, но находится на
равных расстояниях от С и от С';
238
д) точка I не совпадает с О, но находится на
прямой СС.
3°. Определить условия возможности построений, ука-
занных , в пунктах б) и д), считая /?, a, k и и
произвольными.
21. Точка М притягивается к двум точкам Л нВ (АВ = а)
силами, пропорциональными расстояниям от точки М
до точек А и В. Коэффициенты пропорциональности
равны соответственно и>а и шь (ша и — две постоян-
ные положительные константы).
1°. Доказать, что равнодействующая притягивающих
сил проходит через точку О, расположенную на
прямой АВ и такую, что • АО = % • ОВ и что
ее величина _равна _(в>а + ш6) ОМ [разложить для
этого силы Fa и Fb по Двум направлениям: по
направлению МО (составляющие MD и ME) и по
направлению, параллельному АВ (составляющие
DC и EF). Затем доказать, что DC и EF противо-
положно направлены и равны по модулю].
2°. Рассмотрим теперь материальную точку М, масса
которой равна tn й которая притягивается к двум
точкам А и В (АВ = а) силами, пропорциональными
расстояниям от этой точки М до точек А и В
с коэффициентами пропорциональности, соответ-
ственно равными 2т— и 2km — (g — ускорение
силы тяжести, k — положительная константа или
нуль).
а) Предположим, что АВ — горизонтальна.
Найти положение равновесия точки М геометри-
чески (можно использовать свойство, установлен-
ное в 1°) и алгебраически (вычисляя проекции сил
притяжения на две взаимно-перпендикулярные оси,
соответствующим образом выбранные). Каково гео-
метрическое место положений равновесия точки М,
если k— меняется?
б) Обобщить результаты исследования, если АВ
не горизонтальна.
3°. Рассмотрим окружность (Г) и две точки А и В
в плоскости этой окружности. Точка М (не мате-
риальная) остается на окружности (Г) и скользит
по ней без трения. Она притягивается двумя силами,
239
определенными в 1°. Найти геометрически положе-
ния равновесия.
4°. Окружность (Г) имеет коэффициент трения /=tgcp.
Найти геометрически положения равновесия. Ис-
следовать.
22. Дан треугольник АВС. Переменная точка М описы-
вает прямую ВС. Пусть (О) — окружность, проходящая
через точку М и касающаяся АВ в точке В; (О')—
окружность, проходящая через точку М и касающаяся
АС в точке С. Вторую точку пересечения окружностей
(О) и (О') обозначим через Р.
1°. а) Вычислить углы, образованные прямыми РВ,
PC и РМ, взятыми попарно.
б) Найти геометрическое место точек Р, когда М
описывает прямую ВС.
в) Доказать, что прямая РМ проходит через
фиксированную точку; определить положение этой
точки относительно точек А, В и С.
2°. Пусть точка М фиксирована. Рассмотрим инверсию
с полюсом М и степенью инверсии равной k =
= МВ-МС.
а) Во что переходит окружность (О) в этой
инверсии; под каким углом ее образ пересекает ВС?
Тот же вопрос по отношению к (О').
б) Получить отсюда новые решения вопросов 1°,
в), затем Г, б).
3°. а) Найти геометрическое место центров О и О'
окружностей (О) и (О'), когда М описывает пря-
мую ВС.
Вычислить угол, образованный прямыми шО и
<оО', где ш— центр окружности, описанной около
треугольника ЛВС; вывести отсюда, что окруж-
ность, проходящая через точки <о, О и <»' проходит
через фиксированную точку, отличную от ш.
б) Каким простым преобразованием можно
перейти от точки О к О'?
23. На окружности (S) радиуса R с центром О взяты
две точки Л и В такие, что У АОВ (0 < 2а < к).
Рассмотрим всевозможные пары окружностей (D) и
(£>'), касающиеся между собой и касающиеся окруж-
ности (S)—первая в точке Л, вторая — в точке В.
Пусть С и С' — центры этих окружностей, ахну —
их радиусы.
240
Часть первая
1°. Пусть х задан. Вычислить у. Исследовать в зави-
симости от положения центра С окружности (£>)
характер касания окружностей (S), (D) и (D').
Установить в различных случаях соотношение,
существующее между х, у, R и а.
2°. Пусть а = /? = 1. Выразить в этом случае
через х функцию z = х2 4- у2. Построить соответ-
ствующую кривую. Вычислить х и у, зная, что
sx -J- sa = ms, где si, s2, s — поверхности сфер,
полученных при вращении вокруг их диаметров
соответственно окружностей (£)), (D') и (S). Иссле-
довать. Можно ли получить результаты этого
исследования, если исходить из графика линии
г —х3 4- у2?
Часть вторая
3°. Найти геометрическое место точек Л4 прикоснове-
ния окружностей (D) и (£>')• Найти огибающую
прямых СС. Найти геометрическое место (Г) точек
пересечения общих внешних касательных к окруж-
ностям (£>) и (О').
4°. Пусть дана точка М на (Г) такая, что ей соответ-
ствуют две пары окружностей (О), (D'); точка
прикосновения первой пары — М, точка прикосно-
вения второй пары — Mi- Найти геометрическое
место центров, вписанных окружностей, центров
описанных окружностей и ортоцентров треуголь-
ника NMMi.
24. На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD
наружу построены квадраты. Пусть ®i, <о2, <о8, «и —
их центры. Обозначим через I и J середины АС и BD,
через Н и К — середины u>i«3 и ш2 ш4.
1°. Доказать, что отрезки <i>i(o8 и u)2<i>< равны и взаимно-
перпендикулярны; к какому типу четырехуголь-
ников относится четырехугольник IKJH?
2°. При каком необходимом и достаточном условии,
наложенном на четырехугольник ABCD, четырех-
угольник их ш2 (u3 ш4 будет квадратом?
25. Даны две окружности (С) и (С), точка А на окруж-
ности (С) и точка Д' на окружности (С').
241
Найти на радикальной оси этих окружностей точку Р
такую, что прямая ММ', проходящая через вторые точки
М и М' пересечения секущих РА и РА' с окружностями
(С) и (С'), была бы перпендикулярна к этой радикаль-
ной оси.
26. Дана окружность (С), АВ — ее диаметр, (Д) — каса-
тельная к (С) в точке В.
Переменная прямая (D), проходящая через А, пересе-
кает (С) в Р, а (Д) — в Q. Обозначим через М точку этой
прямой, определенную условием Л7И == PQ..
1°. Пусть Р’, Q', и М' — точки, соответствующие
аналогичным образом секущей (£>')> проходящей
через А. Обозначим через S и Т точки пересе-
чения (Д) с прямыми РР' и ММ'. Доказать, что
отрезки QQ' и ST имеют общую середину.
2°. Вывести на основании предыдущего спосрб пост-
роения касательной в точке М к геометрическому
месту точек М (при этом само геометрическое место
точек М определять не требуется).
27. АВС — равнобедренный треугольник, в котором АВ »
=ЛС=Ь, ВС=а,^. ВАС=*2л и /—середина стороны ВС.
На продолжении сторон АВ и АС за точки В и С бе-
рутся две точки М и N такие, что ВМ • CN = IC* =
~ IB* =
4
Г. Найти геометрическое место центров окружностей,
описанных около треугольника MIN.
2°. Найти геометрическое место основания Н высоты IH
и основания D биссектрисы ID внутреннего угла I
треугольника MIN.
3°. Применим к треугольнику MIN инверсию с цент-
ром I и степенью инверсии, равной IC*. Пусть при
этой инверсии точки М и N перейдут в М' и N'.
Найти геометрическое место середин J отрезка M'N’.
4°. Ограничиваясь случаем, когда равнобедренный
треугольник АВС и прямоугольный (X А = 90°),
определить геометрическое место середин L отрез-
ка MN. Для решения этого последнего вопроса
обозначить длину отрезка ВМ через х. Для всех
геометрических мест надо указать точно их поло-
жение, размеры и границы.
28. Пусть (О) и (О') — две параллельные прямые, О и А —
242
две фиксированные точки на первой из них. Рассмот-
рим на прямой (D) переменную пару точек М и ЛГ,
которые симметричны относительно точки А.
1°. Построить окружности (С) и (С'), касающиеся (D'),
проходящие через О и соответственно через точки М
и М'. Обозначим, через N и ЛГ точки прикосно-
вения (С) и (С') с (£>')• Доказать, что прямые MN
и М' N' пересекаются в фиксированной точке I.
Доказать, что вторая точка В пересечения окруж-
ностей (С) и (С') располагается на фиксированной
прямой; уточнить геометрическое место точек В.
2°. Пусть касательная в точке М к (С) и касательная
в точке М' к (С') пересекаются в точке Р. Дока-
зать, что прямые РМ и РМ' имеют в качестве
одной из биссектрис прямую PI и что прямые РМ
и РМ' огибают некоторую фиксированную окруж-
ность (Г). Доказать, что точка Р располагается на
фиксированной прямой /'Л', где /' — точка, сим-
метричная точке О относительно I, а А' — точка,
симметричная точке (^относительно А. Уточнить гео-
метрическое место точек Р. Доказать, что угол
между касательными к (С) и (С) в точке О равен
углу, образованному прямыми РМ и РМ'. Как
построит^ пару точек М и М', симметричных отно-
сительно-Л, и таких, чтобы соответствующие окруж-
ности (С) и (С') были ортогональны? Сколько решений
имеет эта задача?
3°. Подвергнем окружности (С) и (С') инверсии (О, О/2);
сравнить полученную при этом фигуру с фигурой,
образованной касательными МР и М'Р'; где на-
ходится образ Q точки В в указанной инверсии?
Применяя эту инверсию, дать новое построение
пары точек М и М', симметричных относительно Л
и таких, что соответствующие им окружности (С)
и (С') будут ортогональны.
29. На биссектрисе угла хАу = 2и берется точка М такая,
что AM = a cos и, где а—данное положительное число.
Переменная прямая, проходящая через точку М, пе-
ресекает луч Ах в точке Р, а луч Ау — в точке Q.
Положим АР — х, AQ, = у. Пусть Р’ и Q' — проекции
Р и Q на AM.
Г. Доказать, что Л, М, Р', Q' — гармоническая чет-
верка точек и что, следовательно,
243
1,1 2
V+ Ж“ S'
Вывести отсюда соотношение а (х + у) “ 2ху.
2°. В каких пределах изменяются х и у, если пря-
мая PQ вращается вокруг М так, что точки Р и Q
остаются все время на лучах Ах и Лу? Выразить у
как функцию от х (исходя из ~Г) и построить
график полученной функции, считая, что х изме-
няется от — оо до + оо. Выделить на этой кривой
ту часть, которая соответствует значениям х в соот-
ветствии с условием задачи.
3°. Вычислить х и у, зная, что х2 + у2 = та2. Иссле-
45
довать. Рассмотреть случай т — .
Пусть хну определены в соответствии с усло-
45
вием т = yg
Каков должен быть при этом угол и
для того, чтобы треугольник был прямоуголь-
ным.
30. В плоскости (Р) дана точка О. Каждой точке М пло-
скости, отличной от О, ставятся в соответствие две
точки М' и М" прямой ОМ, определяемые соотно-
шениями
ОМ' = ОМ + а, ОМ" = Ъм — а,
где а — данное число. Если точка М описывает
линию (С), то точка М' описывает линию (С'), а точ-
ка М" описывает линию (С").
1°. Пусть Mj. и М2— две точки линии (С); М\ и М'2—
соответствующие им точки линии (С').
Доказать, что точка I пересечения медиатрис
отрезков MiM2 и M’iM'2 расположена на одной
из биссектрис углов, образованных прямыми ОДД
и ОЛ4а. Вывести отсюда свойства нормалей в точ-
ке Mi к линии (С) и в точке М2— к линии (С').
Показать, как, используя это свойство, пост-
роить касательную к линии (С') в точке Mi, зная
касательную к линии (С) в точке Afi. Установить,
что из предыдущего справедливо и по отношению
к линиям (С) и (С*).
2°. Предположим, что линия (С) есть прямая (D), рас-
положенная на расстоянии ОН = а от точки О.
244
Взять на этой прямой точки А, В, С, расположен-
ные с одной стороны от точки Н и такие, что
Зд
О А = -g-, ОВ ж 2а, ОСж —. Построить соответ-
ствующие точки линий (С') и (С") так же, как и
касательные к линиям (С') и (С") в этих точках.
Вычертить линии (С') и (С") и доказать, что линия (£))
является для них асимптотой.
31. Рассмотрим параллелограмм ABCD\ АС — его диаго-
наль. Пусть (О, /?)—окружность, вневписанная в угол А
треугольника ABC, (О', R')— окружность, вневписан-
ная в угол А треугольника ADC.
Г. Доказать, что окружности (О) и (О') касаются
прямой АС в одной и той же точке /.
2°. Доказать, что С — ортоцентр треугольника А00'
и что IA - IC = RR.'.
3°. Пусть окружность (О) касается прямой АВ в точ-
ке Т, а окружность (О') касается прямой AD в точ-
ке Т'; обозначим через М точку пересечения пря-
мых ОТ и О'Т'. Доказать, что произведение рас-
стояний от точек О и О' до прямой AM равно RR'-
32. Рассмотрим полуокружность с диаметром AB — 2R;
пусть О — середина АВ и ОС — радиур этой полуок-
ружности, перпендикулярный к АВ. Возьмем на дуге АС
точку М и положим AM == х. Пусть Н — проекция точ-
ки М на ВС.
Г. Выразить в функции /? и х величину у = AM +
+ МН.
2®. Определить х при условии, что у имеет данную
величину I.
3°. Построить график функции у — у (х).
4°. Получить по графику результаты предыдущего
исследования, полученные в 2°.
33. Рассмотрим угол XOY и окружность (Го) с центром 10,
вписанную в этот угол.
1°. Всякая окружность (Г), вписанная в угол XOY,
может быть получена из (Л,) гомотетией с цент-
ром О. Исходя из этого, построить окружности (Г),
проходящие через данную точку А, лежащую вну-
три угла, и Вписанные в этот угол.
2°. Пусть Н — проекция /0 на ОХ, С — точка отрез-
ка 10л (концы исключаются) и (С) — окружность
с центром С, целиком лежащая внутри (Го). Дока-
245
зать, что центры гомотетии окружности (С) и
переменной окружности (Г), вписанной в угол XOY,
располагаются каждый на фиксированной прямой.
Приложить этот вывод к построению окружно-
стей (Г), вписанных в угол XOY и касающихся
окружности (С). Существуют всегда четыре окруж-
ности, удовлетворяющие условию задачи; доказать,
используя инверсию с полюсом О, что произведе-
ние радиусов двух из этих окружностей равно
произведению радиусов двух других окружностей.
3°. Доказать, что отыскание окружностей (Г), вписан-
ных в угол XOY и касающихся (С), может быть
сведено к отысканию окружностей, проходящих
через точку С и касающихся сторон некоторого
угла. Установить на этом пути существование
четырех окружностей, удовлетворяющих условию
задачи.
4s; Исследовать случай, когда С совпадает с /о.
§ 4. Планиметрия с тригонометрией
1. Для треугольника АВС выполнено соотношение а =*
= ЬУ2.
1°. Доказать, что тогда cos2 А » cos2 2В. Найти наи-
большее значение для В (при выполнении условия
а ~ b ]/~2) и соответствующие значения А и С.
2°. Выразить стороны а и b через с и В. Исследовать,
считая с фиксированным, В переменным.
8°. Построить геометрически треугольник, зная с и В
и зная, что а «= b 2. Найти средствами этого
построения наибольшее значение В и наибольшее
значение площади s треугольника АВС.
4°. Выразить s через с и С; считая с — постоянным,
начертить график функции s = s (С).
2. Внутри прямого угла XOY проведен луч OZ. Поло-
жим XOZ *= х. На луче ОХ берется точка А такая,
что О А = За. На луче OY берется точка В такая, что
ОВ » 4а. Пусть А' и В' — проекции точек Л и В на
луч OZ. Обозначим через Af середину А' В'.
1°. Вычислить в функции а и х длины отрезков ОА',
ОВ', ОМ и площадь s треугольника ОМВ.
2°. Составить уравнение, которому должен удовлетво-
рять угол х в случае
s = ma2. (1)
Преобразовать это уравнение в рациональное
относительно ^ = tgx. Исследовать в зависимости
от значений т возможность решения и число
решений.
3°. При каком х площадь s будет максимальной?
Обозначим через ti соответствующее значение t, а
247
соответствующее положение точки М— через Л4Х.
Доказать, что если задача допускает два различных
решения М' а М" (таких, что условие (1) будет
выполнено), то биссектрисой угла М' ОМ* будет OMj.
3. На прямой фиксированы две точки А и В на рас-
стоянии 2а друг от друга. На перпендикуляре к этой
прямой в точке А отложен отрезок АА', длина кото-
рого также равна 2а. На отрезке АА', как на диаметре,
строится окружность (С). Пусть М—произвольная точка
окружности (С). Обозначим угол ВАМ через х.
Г- Вычислить в функции а и х длины отрезков МА
и МВ.
2°. Определить положение точки М на окружности (С),
для которого
МВ = k • МА, (1)
где k— данное положительное число.
Составить уравнение, которому удовлетворяет х.
Преобразовать это уравнение к рациональному отно-
сительно tg х. Изучить в зависимости от значений k
возможность решения задачи и число решений.
Изучить также, в зависимости от значений k, с какой
стороны от прямой АА' расположены точки М,
удовлетворяющие условию (1).
3°. Указать, как можно геометрически построить точ-
ки М, удовлетворяющие соотношению (1). Провести
исследование геометрически и установить совпаде-
ние результатов этого исследования с исследованием
(алгебраическим), выполненным в п. 2°.
4. В треугольнике ABC, tg А = -i-.
О
Г. Вычислить sin Л, cos Л, sin (В-f-С), cos (В -|- С).
2°. Зная еще, что sin В sinC = —1=, вычислить
1/10
tg В tg С. Получить отсюда ответ на вопрос: будет ли
наибольший из углов В и С острым или тупым?
3°. Составить квадратное уравнение, корни которого
tgB и tgC. Вычислить tgB и tgC.
4°. Дан еще радиус Д окружности, описанной около
треугольника ЛВС. Вычислить в функции R сто-
роны а, Ь, с этого треугольника, его высоты и
248
радиус г окружности, вписанной в этот тре-
угольник.
5. Построить треугольник, зная его вершину А, орто-
центр Н и середину т стороны ВС. Доказать, что
необходимое и достаточное условие возможности по-
строения состоит в том, что точка т лежит вне
окружности с диаметром АН (середину АН обозначим
через F).
А. Будем обозначать через (7) такие треугольники АВС,
для которых высота АА' равна радиусу /? описан-
ной окружности.
Г. Доказать, что треугольники (7) характеризуются
условием
sin В • sin С — -i-. (1)
2°. Дан угол А треугольника (Т), вычислить углы В
и С (В>С). Исследовать. Рассмотреть случай
А = 60°.
3°. Треугольник (7) — переменный, вершина А и его
ортоцентр Н — фиксированы; найти огибающую
окружностей, описанных около (Т).
В. Обозначим через (К) треугольники, для которых
АА' = kR.
1°. Найти соотношение, аналогичное (1), показать, что
k < 2 двумя способами: аналитически,, геометри-
чески.
2°. В треугольнике (К) вершина А и ортоцентр Н фик-
сированы. Найти огибающую окружностей, описан-
ных около этого треугольника.
6. Пусть АВС—прямоугольный треугольник (А — прямой
угол), ВС = a; AI — биссектриса прямого угла А.
Определить угол В так, чтобы
А! = тВС.
Г. Решить тригонометрическое уравнение, определяю-
щее угол В.
2°. Исследовать, в зависимости от значений т воз-
можность решения.
3°. Изучить частный случай /п = -i-.
249
7. Найти угол В треугольника АВС, зная его сторону а,
сумму s == b + с и угол А = 90°,
Исследовать.
В
Указание: a (cos В -|- sin В) = $. Полагая tg = х, находим
/ (*) = (а + s) — 2а* + s — а = 0.
Так как 0<х< 1, то вопрос сводится к нахождению усло-
вия, при котором это уравнение имеет корни, заключенные
между 0 и 1. Имеем:
f (0) = s — a, f(l) = 2 (s — a) и т. д.
8. Рассмотрим окружность с центром О и диаметром
АВ = 27?. Пусть М какая-нибудь точка этой окруж-
ности, а М' точка, симметричная точке М относи-
тельна АВ.
1°. Вычислить площадь и периметр треугольника АММ'.
2°. Вычислить радиус г окружности, вписанной в тре-
угольник АММ’. Найти наибольшее значение г.
8*. Пусть I — центр окружности, вписанной в тре-
угольник АМ.М’. Ориентируем диаметр АВ от А
к В. Вычислить у — 01. Изучить изменение у, если а
Л я
изменяется от 0 до у и изучить, как изменяет
свое положение на АВ точка 7, когда а изменяется
Л к
от 0 до у.
4°. Построить точку М, (определить а), зная, что ра-
диус окружности, вписанной в треугольник АММ.’
имеет данную длину I. Исследовать.
В0, Доказать, что О/2—7?2 =— 2/?г. Построить точ-
ку М геометрически, зная, что г *=1. Исследовать.
9. В плоскости фиксирован отрезок ОА длиной 2а. Отре-
зок же ОВ длиной а может вращаться вокруг точки О.
Обозначим угол от О А до ОВ через х (0 С х < к).
Построим равносторонний треугольник АВС так, чтобы
точки С и О лежали по разные стороны от прямой АВ.
Обозначим четырехугольник ОАСВО через (Р).
1°. Вычислить площадь s четырехугольника (Р). Опре-
делить х, зная, что s — ka?. В каких пределах может
изменяться kt Найти наибольшее значение s.
2°. Каково геометрическое место точек С. Какова ма-
ксимальная величина для угла ОАО Построить (Р),
зная, что точки О, В и С лежат на одной прямой
и в случае, если (Р) — трапеция.
£60
3°. Доказать, что s можно выразить через а и через
расстояние h от точки С до прямой О А. Изучить
отсюда условие, при котором площадь s принимает
наибольшее значение.
10. Найти углы треугольника, зная, что угол А равен 60°
и зная, что высота, опущенная из вершины А на сто*
рону ВС, равна радиусу окружности, описанной Около
этого треугольника.
11. 1°. Пусть D а Е точки, в которых биссектрисы внут-
реннего и внешнего угла А пересекают сторону ВС.
Вычислить длины отрезков AD и АЕ в функции Ь,
с и Л (6 > с).
2°. Предполагая, что AD = АЕ, найти соотношение
между углами В и С треугольника АВС.
3°. Ниже рассматриваются треугольники АВС, для
которых
в-с=|.
а) Установить геометрически свойства биссект-
рис внутреннего и внешнего угла А.
б) Доказать, что высота, опущенная из вер-
шины А, касается окружности, описанной около
треугольника АВС.
в) Зная b и с, найти а.
12. В плоскости даны две параллельные полупрямые Ах
и By, имеющие одно и то же направление. В той же
плоскости фиксирована точка S по ту же сторону от
АВ, что и данные полупрямые Ах и By; точка В не
лежит между Ах и By и не лежит ни на одной из
этих полупрямых. Проведем через точку В прямую Sz,
пересекающую Ах и By соответственно в точках А' и В'.
Г. Провести прямую Sz так, чтобы около трапеции
АВВ'А' можно было описать окружность.
2°. Построить Sz так, чтобы площадь той же трапеции
имела данную величину та.
3°. Теперь предположим, что точка S лежит на про-
должении отрезка АВ за точку В. Положим ВЛ =
= a, SB = b (а> 6). Какое соотношение существует
между углом а луча Ах с АВ и углом х луча SA'B'
с лучом В А, если площадь трапеции АВВ'А' рав-
на т2. Рассмотреть частный случай: а = 4, 6 = 2,
т2 = ]/3; определить х, зная, что х — л.
251
4°. Точка S снова лежит на прямой АВ. Доказать, что
прямая, параллельная Ахи Ау и проходящая через
точку пересечения диагоналей трапеции АВ В'А',
проходит через фиксированную точку, если углы а
и х меняются.
13. В треугольнике АВС стороны ВС = а, С А — Ь, АВ ~ с,
углы А, В, С, причем В>С; г — радиус вписанной
окружности, г' — радиус окружности, вневписанной
в угол А. Положим
d » г' — г, $ ™ г' -J- л
1°. Вычислить в функции a, d, s следующие выражения:
Ь + с, b—с, tg4, sin Л, sinB + sinC, cos & Q — .
2°. В следующих трех вопросах (независимых друг от
друга) следует решить треугольник, зная a, d и s
(и предполагая, что В>-С).
а) Вычисление сторон. Выразить b и с через а,
d, s и исследовать, при каком условии возможно
решение. Вычислить также площадь s треугольника.
б) Вычисление углов. Вычислить углы В и С.
Исследовать.
в) Построить треугольник АВС, зная a, d, g и
получить снова результаты предыдущего исследо-
вания, анализируя возможность построения.
14. Рассмотрим треугольник АВС со сторонами ВС = а,
СА=*Ь, АВ^с, 2р — его периметр, s — площадь; обо-
значим через h высоту, опущенную из вершины А на
сторону ВС, через радиус описанной окружности.
Г. Выразить через углы В и С отношение ~. До-
казать, что cos (В — С) == 2и sin В — cos А. Опреде-
лить углы В и С, зная угол А и величину и. Ис-
следовать, считая, что угол А фиксирован, а и —
параметр.
2°. Вычислить углы В и С, зная, что В — С «»= <2- и
1
«= 2 .
862
3°. Используя соотношения
s = у ah и s = Ур(р — а) (р—Ь)(р—с),
найти соотношение между а, Ь, с, и (которое пред-
лагается записать в виде биквадратного уравнения
относительно а). Пусть даны b ней и > 0. Дока-
зать, что тогда можно определить а, если
|62_С2|-
Положим
янно, а с
v = • Предположим, что Ь посто-
меняется. Изучить изменение v в функ-
ции с, предполагая, что с изменяется от 0 до + ею.
Построить график этой функции.
4°. Предположим, что треугольник АВС таков, что
и = v. Пусть О — середина ВС. Доказать, что тогда
АВ • АС = 2АН ОН. Вывести отсюда, что ОН » R.
а) Используя это последнее соотношение, уста-
новить, что высота АН касается в точке А- окруж-
ности, описанной около треугольника АВС.
б) Рассмотрим окружность (К) с диаметром ВС
и окружность (Г) с центром А, которая делит ок-
ружность (К) пополам. Что является радикальной
осью окружности (Г) и окружности, описанной
около треугольника АВС?
15. Дан прямоугольный треугольник АВС:
АВС — 90°, причем ВАС = а.
Рассмотрим полуокружность с диаметром АВ; эта
полуокружность и треугольник АВС расположены по
разные стороны от прямой АВ. Через точку Р полу-
окружности проводится прямая, параллельная ВС;
пусть эта прямая пересекает АС в точке Q; пусть
k — данное положительное число; требуется на полу-
окружности найти точку Р такую, что
AQ + QP~k‘ АВ.
Исследовать. Дать решение алгебраическое и геомет-
рическое. Рассмотреть частные случаи.
1°. АС = 2ВС. 2°. АС = 2АВ. 3°. АВ = ВС.
253
16. Предполагается изучить треугольники АВС такие, что
медианы В В' и СС' одинаково наклонены к стороне,
к которой они проведены, т. е. </ВВ'С равен одному
из углов СС'В и СС'А. Положим ВС = а, СА — Ь,
АВ = с, ВВ' = р, СС' = у.
1°. Доказать, что треугольник АВС будет обладать
указанным свойством тогда и только тогда, когда
будет выполнено одно из соотношений:
=
(& — с)(&2 4-с2 — 2а2) = 0.
Предполагая, что вершины В и С такого треуголь-
ника АВС фиксированы, найти геометрическое место
вершин А. Может ли треугольник указанного типа
быть прямоугольным?
2°. Пусть теперь АВС неравнобедренный треугольник,
обладающий указанным свойством. Доказать, что
углы такого треугольника связаны соотношением
2 cos 2 Д = cos2B 4-cos2C, где В =# С, и обратно.
Вычислить В и С, зная А. Исследовать. Рассмот-
реть случай Д = .
3е. Обозначим через 9 острый угол, который прямая ВВ'
образует с АС, для неравнобедренного треуголь-
ника, обладающего указанным свойством, через х —
величину проекции медианы АА' на сторону ВС.
Вычислить cos 0 только в функции b и с, затем
только в функции а и х. Как изменяется 6, если а
фиксировано, а х изменяется в возможных пре-
делах?
4е. Построить треугольник АВС, обладающий указан-
ным вначале свойством, зная а и 0.
17. Рассмотрим треугольник АВС, внутренний угол А ко-
те
торого равен
Г. Решить этот треугольник, зная длину а стороны ВС
и зная, что b + c—ka, где ^—положительное
число. Исследовать, при каких значениях k задача
имеет решений.
2°. Построить по тем же данным треугольник АВС.
Получить снова результаты предыдущего исследо-
вания.
254
3°. Выразить сумму y^b-^-с в функции а и С. По-
строить график кривой у у (с) и получить отсюда
снова результаты предыдущего исследования.
18. Треугольник АВС вписан в фиксированную окруж-
ность с центром О и радиусом 7?. Обозначим через 0D
радиус, перпендикулярный к ВС, который не пересе-
кает ВС, через и — угол DO А. Пусть В >• С. Положим
а = 27? sin v, где v — острый угол. Вычислить в функ-
ции v, и и 7? следующие величины: В— С, затем углы
Л, В, затем b, с, s (площадь), 2р = а + & + си г
(радиус вписанной окружности). Следует рассмотреть
два случая:
— v и — V.
Показать, что эти случаи равносильны случаям: А —
острый угол, А — тупой угол. Исследовать изменение
s и г как функций от и.
19. В плоскости фиксирована точка О и прямая (О), не
проходящая через точку О. Расстояние ОН от О до (О)
равно 1. Прямой угол с вершиной О обращен все
время к прямой (D) и его стороны пересекают пря-
мую (D) в точках А и В. Положим ^_НОА = х.
Г. а) Вычислить периметр треугольника О АВ в функции
s = sin х + cos х.
б) Найти, при каких значениях х периметр тре-
угольника ОАВ имеет данное значение 2р. Иссле-
довать.
2°. а) Доказать, что окружность, описанная около
треугольника ОАВ, проходит через фиксированную
точку О', отличную от О. б) Как можно установить
это свойство, используя инверсию (!) с полюсом О
и степенью инверсии равной 1?
3°. Постоянный угол и с вершиной О, меньший или
равный 90°, постоянно обращен к прямой (D). Его
стороны пересекают (D) в точках М и N. Исполь-
зуя инверсию (t), показать, что окружность, опи-
санная около треугольника 0MN, остается касатель-
ной к фиксированной окружности (С) с центром С.
Вычислить в функции и расстояние ОС=у и радиус г
окружности (С).
255
4°. Изучить изменение у и г, если и изменяется от О
тг
до -g" > и начертить на одном чертеже графики этих
функций. Получить отсюда (графически) резуль-
таты 2°, а).
20. В прямоугольной системе координат строится ломаная
ABCD... KL с «звеньями: АВ, ВС, CD,..., uKL. Точка А
расположена на оси Ох, причем О А = 1. Точка В оп-
ределяется углами (0<^k< a<it), ^хОВ == К, ^хАВ =
— а. Точки С, D,..., К, В строятся так, что тре-
угольники ОВС, OCD,,..., OK.L подобны треуголь-
нику ОАВ и имеют с ним одинаковую ориентацию.
1°. Выразить длину отрезка OL через X, а, п, считая,
что для X надо найти, в каких границах может
изменяться а для того, чтобы длина отрезка OL
убывала с возрастанием п.
2°. Даны X, п, OL = qn (q>0). Решить уравнение,
полученное в пункте Г относительно а.
3°. Обозначим через Р алгебраическую величину про-
екции лектора AL на вектор АВ. Применяя обозна-
чения, введенные в пункте 2°, вычислить вели-
чину Р: а) в виде суммы п членов; б) в виде суммы
двух членов. Найти limP в случае 0< q<Z 1.
п—>оо
4°. Просуммировать ряд:
. cos9° cos 18° cos 27°
+ '^10 + '^7оо+ 'J/Гооб +"‘
21. ABCD— квадрат со стороной а. На стороне ВС этого
квадрата берется переменная точка М, определяемая
углом х = 2.ВАМ. Точке М на стороне CD ставится
в соответствие точка N, что У MAN = 45°. Положим
tgx = t.
1°. Выразить в функции а и t длины СМ и CN, затем
длину MN.
2°. Определить t так, чтобы отрезок MN имел бы
данную длину I. Исследовать.
Доказать, что если задача имеет два решения,
то сумма соответствующих значений х равна 45°.
3°. Вычислить в функции а и t площадь треуголь-
ника MAN и доказать отсюда, что если М изме-
256
няется, прямая MN остается на постоянном рас-
стоянии от точки А.
22. 1°. На оси х'Ох фиксированы две точки А и В.
Положим О А = а, ОВ == b и предположим, что
0<Za<^b. Пусть М переменная точки оси х'Ох,
ОМ = х, причем а < х < Ь (т. е. точка М распо-
ложена между точками Л и В). Выразить через х
функцию
'МА-'МВ,
У М& ’
исследовать ее изменение и начертить ее график.
Доказать, что если М’ положение точки М, при
котором у принимает максимум, то
ЛГЛ , ОА
^'В +W
Дать этим вопросам аналитическое и геометрическое
решения.
2°. На перпендикуляре к х'Ох в точке О фиксируется
точка С; положив ОС = Л. Выразить через х функцию
МА-~МВ
z =-------——.
М&
Исследовать ее изменение и начертить график
этой функции.
Доказать, что если М".— положение точки М,
при котором Функция г принимает максимальное
значение, то прямая СМ" является биссектрисой
угла АСВ.
Дать этим вопросам аналитическое и геометри-
ческое решения.
3°. На тригонометрическом круге фиксируется точка S,
служащая началом отсчета дуг, а также фикси-
руются две точки Л и В. Положим
ВЛ = a, SB = ₽, SM = х
и предположим, что
0<a<x<p<2ir.
9 Зак. 3478
257
Выразить через х функцию
МА • МВ
и ” М&~
Выразить и через / = ctg Изучить измене-
ние и при изменении t от ctg у до ctg-^-. Обоз-
начим через М'" положение точки М, соответствую-
щее максимуму и. Доказать, что прямые ЗЛ, SB
и SM'" высекают на прямой, параллельной каса-
тельной к тригонометрической окружности в точке S,
два равных отрезка. Дать аналитическое и геоме-
трическое решения.
23. Дана длина а гипотенузы и произведение /2 длин бис-
сектрис углов В и С прямоугольного треугольника
АВС В АС 90°).
1°. Доказать, что
. В . С
sm2s,n2=®-
2°. Вычислить В и С. Исследовать, считая а — фикси-
рованным, а I — параметром.
3°. Доказать, что если / — центр окружности, вписан-
ной в треугольник, то
/2
В/ • CZ = .
4°. Опираясь на это соотношение, дать построение тре-
угольника АВС. Провести исследование, считая
а — фиксированным, а I — параметром.
24. В треугольнике АВС дана длина г радиуса вписан-
ной окружности, высота h, опущенная из вершины А
на сторону ВС, и угол А. Предположим h>2r и что
В>С.
Г. Вычислить углы В и С. Исследовать.
2°. Вычислить а (длина стороны ВС) в функции г и
углов В. и С, затем в функции данных величин.
3°. Получить отсюда величину В радиуса описанной
окружности и величину полупериметра р. Вычи-
258
слить радиус г окружности, вневписанной в угол
112
А, в функции г, а и р; показать, что —-.
4°. Доказать, что если h = Зг, то длины сторон тре-
угольника образуют арифметическую прогрессию.
Доказать, что если R = г', то угол А заключен
в определенных границах. Найти эти границы.
Могут ли быть выполнены условия /? = г' = 3л?
Вычислить в этбм случае угол А; как выражается
при этом а в функции г?
25. В настоящей задаче рассматривается переменный тре-
угольник OMN\ вершина О фиксирована, а вершина
N остается на фиксированной полупрямой Ох\ дано,
что МО = MN и что окружность, вписанная в тре-
угольник OMN, касается фиксированной прямой (£>),
Параллельной Ох. Обозначим через 2а расстояние меж-
ду прямыми (D) и Ох, через / — центр окружности,
вписанной в треугольник OMN и через <р — угол
хО/.
Г. Построить треугольник OMN, зная угол <р. Иссле-
довать. В каких пределах может изменяться <р?
Найти геометрическое место точек /.
2°. Доказать, что биссектриса внутреннего угла М
треугольника OMN проходит через фиксированную
точку,
8°. Вычислить в функции а и <р радиус R окружно-
сти, описанной около треугольника OMN. Пока-
зать, что R выражается только через а и cos2<p.
Определить <р так, чтобы R имел данную длину /.
Исследовать.
26. Дана сторона а и противолежащий ей угол А в тре-
угольнике АВС. Известно, что АВ АС и что ме-
дианы, проведенные из вершин В и С к сторонам АС
и АВ, обратно пропорциональны этим сторонам.
Iе. Доказать, что для этого треугольника:
“ + е‘’2“* и =
Какое заключение можно сделать отсюда о вели-
чине угла Л?
2° Вычислить Ь и о. Исследовать в зависимости от
значений А.
9*
259
3°. Вычислить высоту АН = h. Дать построение тре-
угольника АВС, используя полученные формулы.
Исследовать в зависимости от значений А.
4°. Дать другое построение треугольника, исходя из
формул, полученных в Г. Исследовать в зависи-
мости от значений А.
27. Обозначим через А' основание высоты, опущенной из
вершины А на сторону ВС треугольника АВС, а че-
рез h длину этой высоты (АА' = Л).
Г. Доказать, что ctg В + ctg С == .
2°. Даны А, а и h. Вычислить произведение ctgBx
XctgC (в функции А, а и Л), затем ctg В и ctg С.
Исследовать. Доказать, что условие возможности
решения задачи
ctg Л >
4/г2 — аа
4ah
эквивалентно следующему
, А . a
2h'
3°. Построить треугольник, зная А, а и Ли получить
геометрически результаты предыдущего исследова-
ния (2°).
4°. Сторона ВС переменного треугольника АВС фик-
сирована; угол А задан. Пусть В' a С' — проекции
точек В и С на стороны С А и АВ; Н — точка пе-
ресечения высот ВВ' и СС'. Найти геометрическое
место точек В' и С. Доказать, что В'С остается
касательной к некоторой фиксированной окружно-
сти. Найти геометрическое место середин I отрез-
ка АН.
28. Дана окружность (О) с центром О и диаметром АВ—
= 2R. Проведем через точку А какую-нибудь хорду
AM. Пусть касательная к окружности (О) в точке М
пересекает АВ в точке Т. Пусть перпендикуляр к АВ
в точке пересекает ВМ в точке N. Соединим А
с N.
Г. Доказать, что четырехугольник АМТЫ — вписан-
ный; получить отсюда, что AN симметрична AM
относительно АВ и что ТМ — ТЫ.
260
2°. Выразить в функции угла ВОМ = а и радиуса 7?
площадь s треугольника АМТ. Построить график
этой функции s = s(a).
29. В треугольнике АВС дана сторона ВС = а и высота
h = ka, выходящая из A (k — данное положительное
число).
1°. Доказать следующие соотношения
sin В • sin С = &sin А,
etgВ 4- etgС = -р‘
2°. Вычислить углы В и С, зная угол Л(0<Л'<180°)
и зная k = -g- . Исследовать. Установить резуль-
таты предыдущего исследования геометрически.
30. Пусть а, Ь, с — длины сторон ВС, С А и АВ тре-
угольника АВС; а, (3, у — длины отрезков AAU BBlt ССХ
биссектрис внутренних углов, ограниченные вершина-
ми и точками, лежащими на противоположных сто-
ронах. Будем предполагать, что В>-С.
1°. Доказать, что длина высоты, выходящей из вер-
Л В —С _
шины А, равна a cos——• Вывести отсюда,
используя два различных выражения для площади
треугольника АВС, следующую формулу
a sin В sin С ...
— В—С . „ (1)
cos —х—sin А
&
Решить треугольник АВС, считая, что даны А
(0< А < 180°), а (>0) и а(>0). Исследовать, счи-
тая а параметром, а А и а фиксированными.
2°. Доказать, что если <г — точка, в которой продол-
жение AAi за точку Ai встречает окружность,
описанную около треугольника АВС, то
<оА • = шВ2.
Предполагая, как и в пункте 1°, что Л, а и a
даны, построить окружность, описанную около
треугольника ЛВС, затем точку о>, затем отрезок
®Л1 и затем сам треугольник ЛВС. Выяснить на
261
этом пути возможность построения треугольника
и получить отсюда снова результаты предыдущего
исследования.
3°. Доказать, используя формулу (1), следующую
формулу
„ a2sin В sin С
‘‘° -С^Л-----------В=^-
COS ---5--COS----р---
£» и
Предполагая, что А и а даны и дано отношение
Вт
— k (А >- 0), решить треугольник АВС. Иссле-
довать, считая k параметром, а А и а фиксиро-
ванными.
31. а, Ь, с — длины сторон треугольника АВС; А, В, С —
его углы. Будем предполагать, что
I. 1°. Биссектрисы внутреннего и внешнего угла А
треугольника АВС пересекают его сторону ВС в точках
D и D'. Вычислить в функции Ь, с и А длины отрез-
ков AD и AD'.
2°. Какое существует соотношение между углами В и
С, если
AD = AD'.
II. Будем обозначать через (Т) треугольник АВС,
в котором В — С = .
Г Выразить углы А и В треугольника (Г) в функ-
ции угла С. В каких границах может изменяться
угол С?
2°. Вывести соотношение между сторонами а, Ь, с
треугольника (Т).
3°. Вычислить углы треугольника (Т), зная его вы-
соту АН = h и сумму Ь + с — k двух его сторон.
§ 5. Стереометрия
1. 1°. Угол хОу=*-^. Окружность (7) с центром I и
и
радиуса R касается сторон Ох и Оу этого угла
в точках А и В. Положим (Ox, IM) — а(—л<а<
< w), где М — произвольная точка окружности (7).
В каких пределах должен изменяться угол а для
того, чтобы касательная в точке М к окружности
(7) пересекала бы обе стороны данного угла хОу\
пусть Р и Q — точки, в которых эта касательная
пересекает Ох и Оу.
2°. На перпендикуляре в точке 7 к плоскости круга
(7) откладывается отрезок 77С такой, что все пло-
ские углы трехгранного угла, образованного лу-
чами Ох, Оу и ОК, равны -5-» Вычислить 77С
О
в функции R.
3°» Полагая а = , выразить через R длины сле-
дующих отрезков OP, OQ, а также площадь в тре-
угольника OPQ и объем и тетраэдра KOPQ.
2. Будем обозначать через So симметрию относительно
точки О, через Sd— симметрию относительно прямой
(Р), через Sp — симметрию относительно плоскости
(Р). Настоящая задача заключается в доказательстве
различных представлений произведений* SdSq и S₽ Sd
* Если над точками плоскости производится сначала преобра-
зование А. а затем над преобразованными точками — преобразо-
вание В, то результирующее преобразование называется произ-
ведением преобразования В на преобразование А и обозначается
так: ВА,
263
(на втором месте мы ставим то преобразование, ко-
торое производится первым). В каждом из указанных
выше случаев требуются установить, будет ли произ-
ведение коммутативным или нет.
А. Изучение произведения SdSo-
Г. Доказать, что если точка О расположена на (£>),
то произведение So So есть симметрия относитель-
но плоскости (какой?).
2°. Доказать, что если точка О не расположена на
(D), то SdSo можно представить в виде произве-
дения переноса (какого?) на симметрию в плоско-
сти (какой?).
В. Изучение произведения Sp So-
Г. Доказать, что если прямая (О) перпендикулярна
плоскости (Р), то это произведение есть симметрия
So, где О —точка пересечения (£>) и (Р).
2°. Доказать, что если прямая (О) лежит на плоско-
сти (Р), то это произведение есть симметрия отно-
сительно плоскости (какой?).
3°. Доказать, что если (D) || (Р), то это произведение
можно представить в виде произведения переноса
(какого?) на симметрию относительно плоскости
(какой?).
4°. Доказать, что если прямая (£)) наклонна к пло-
скости (Р), то это произведение может быть пред-
ставлено в виде произведения поворота вокруг оси
(какой и на какой угол?) на симметрию относи-
тельно плоскости (какой?).
3. SABC тетраэдр, ребро SA которого перпендикулярно
плоскости грани АВС; двугранный угол A (SB) С—
прямой; угол BSC равен 45°, наконец, длина ребра
SC и величина угла ASB даны;
SC — 2а, </ASB = a.
Г. Доказать, что ребро ВС перпендикулярно плоско-
сти ASB. Вычислить длины ребер тетраэдра. При
каком значении а угол ASC будет равен 60°?
2°. Вычислить объем v пирамиды SABC. При каком
значении а этот объем будет иметь наибольшую
величину?
3°. Вычислить в функции а и cos2a (положить cos2a=x)
сумму квадратов площадей граней SBC, SCA и
264
SAB. Построить график этой функции у = у(х),
считая а фиксированным.
4°. Определить х так, чтобы у = /4. Исследовать алгеб-
раически и проконтролировать результаты иссле-
дования при помощи кривой, построенной в пункте
13
3°. Определить в частности х, если у = а4.
О
4. В основании (Л) наклонного параллелепипеда лежит ромб
ABCD со стороной а, причем У BAD = -5-. Боковое
ребро АА' расположено в плоскости, проходящей
через АС перпендикулярно к плоскости (Л); длина
А А' также равна а, а угол С АС равен -у. Три дру-
гие боковые ребра, наклонные к основанию (Л), обоз-
начим через ВВ', СС и DD’.
Переменная плоскость (Р), параллельная плоскости
(Л), пересекает АВ' в точке М, ВС в точке N, CD' —
в точке Р и DA' — в точке Q. Положим AM = х.
Г. Каков тип четырехугольника MNPQ? Найти геомет-
рическое место середины МР, когда М описывает
АВ'.
2°. Положим y=MPz; выразить у через х. Построить
график полученной функции у = у(х). Изучить
геометрически изменение у = у (х) и найти геомет-
рически минимальное значение для у (следовательно
и для МР).
3°. Определить х так, чтобы МР = I.
Исследовать. Что можно сказать про две точки
М, если последняя задача имеет два решения.
5. В плоскости (Р) задан ромб, составленный из двух
равносторонних треугольников ABD и BCD со сторо-
ной а (А и С — противоположные его вершины). Через
точку А проводится луч, перпендикулярный плоскости
(Р), и на нем от точки А откладывается отрезок
AS = а. Рассмотрим пирамиду с вершиной S и осно-
ванием ABCD. Через точку М диагонали АС ромба
проводится плоскость (Q), перпендикулярная этой
диагонали. Плоскость (Q) пересекает пирамиду по ло-
маной (F). Пусть СМ = х Ху- •
265
Г. Вычислить углы треугольников SAB, SAD и ЗЛО
и длины их сторон.
2°. Изучить в зависимости от значений х форму ло-
маной (F). Вычислить длины звеньев этой ломаной,
углы между звеньями и площадь, ограниченную (F).
3°. Дляжакого значения х эта площадь будет макси-
мальна? Чему равна эта максимальная площадь?
6. Основанием пирамиды SABC служит равносторонний
треугольник АВС со стороной а. Ребро ЗЛ перпенди-
кулярно к плоскости АВС и длина ЗЛ равна .
1°. Вычислить расстояние SK от точки 5 до ребра
ВС и полную поверхность пирамиды SABC.
2°. Пусть В'— середина АВ. На отрезке АВ' возь-
мем точку М на расстоянии х ох А. Пусть пло-
скость, перпендикулярная к АВ и проходящая
через точку М, пересекает АС в точке Q, SB —
в точке N, SC — в точке Р. Каков характер че-
тырехугольника MNPQ? Вычислить в функции а и
х длины сторон этого четырехугольника.
3°. Составить уравнение, которому будет удовлетво-
рять х, если диагональ МР указанного четырех-
угольника имеет данную длину т. Сколько, в за-
висимости от значения т, существует положений
для точки М, при котором МР — т. Для какого
значения т отрезок МР имеет минимальную длину?
Доказать, что тогда MP_]_SC.
4°. Проведем через точку А плоскость, перпендикуляр-
ную SB; пусть она пересекает ребро SB в точке Н,
а прямую ВС—в точке I. Доказать, что треуголь-
ник HAI прямоугольный и вычислить его стороны.
7. В плоскости (Р) задана окружность (О) с центром О
и радиусом а. В точке А плоскости (Р), отстоящей от
О на расстоянии 2а, восставлен перпендикуляр (Д)
[к плоскости (Р)] по одну сторону от плоскости
(Р). Обозначим через М произвольную точку диамет-
ра окружности (О), лежащего на прямой ОА. Ориен-
тируем прямую О А от Л к 0(0— начало координат)
и положим ОМ = ха (а > 0).
1°. В каких пределах изменяется х.
2°. Рассмотрим хорду ВС окружности (О), перпенди-
кулярную в точке М к AM. Найти геометрическое
место точек пересечения медиан треугольника NBC,
266
где N — произвольная точка полупрямой (Д) в каж-
дом из следующих случаев:
а) М— фиксировано, N — меняется;
Р) N — фиксировано, М— меняется;
у) М и N — меняются.
3°. Для каждого положения точки М на прямой (Д)
берется отрезок AN равный ВС. Выразить через
М№
а и х выражение у = и изучить, как изменяет-
ся у, когда х изменяется в своих пределах (1°).
Для каких-значений х существует два положения
точки М, для которых MN имеет одно и то же
значение?
4°. Найти геометрическое место точек пересечения
медиан треугольника NBC, если точки М и N пе-
ременные, но всегда AN = ВС.
8. 1°. Пусть А и В — две точки, находящиеся на равных
расстояниях от прямой (Д), но не лежащие в одной
плоскости с этой прямой. Пусть С и D — точки,
симметричные точкам Аи В относительно прямой
(Д). Доказать, что грани тетраэдра ABCD — рав-
ные между собой треугольники. Чему равна сумма
плоских углов любого из трехгранных углов этого
тетраэдра?
2°. Пусть I, К, М— середины ВС, С А и АВ; Г, К',
М' — соответственно середины противоположных ре-
бер. Доказать, что четыре точки I, Г, К, К' — верши-
ны параллелограмма; каков характер этого парал-
лелограмма? Каковы аналогичные четырехугольни-
ки? Как пересекаются между собой 1Г, К К’ и
ММ’?
3°. Доказать, что 1Г, КК' и ММ'—суть общие пер-
пендикуляры противоположных ребер тетраэдра
ABCD. Полагая //' = d, КК' = d', ММ' = d", вы-
числить d, d' и d" в функции а, Ь,с— длин ребер
ВС, С А и АВ.
4°. Вычислить в функции d, d' и d" объем пирамиды
с основанием КМК'М' и вершиной I. Каковы объе-
мы аналогичных пирамид?
9. SABC — тетраэдр, ребро которого перпендикулярно
плоскости АВС и двугранный угол A (SB) С—прямой.
Дано: SB = 2, ^.BSC = 45°. Положим ASB = а.
267
1°. Доказать, что треугольник SBC прямоугольный
(В — прямой угол). Определить центр и радиус R
сферы, описанной около тетраэдра ВЛВС.
2°. Вычислить в функции а объем тетраэдра SABC.
При каком значении а этот объем будет макси-
мальным? Чему равен этот максимальный объем?
3°. Вычислить сумму у квадратов площадей граней
SAB, SAC и ВСЛ. Полагая cos2a = х, построить
график функции у = у (х).
13
4°. Определить х, затем а, если у = -q*.
О
10. (Р) и (Q) — две фиксированные параллельные плоско-
сти; А — фиксированная точка, лежащая на плоскости
(Р), а В — фиксированная точка, лежащая на плоско-
сти (Q); при этом прямая АВ не перпендикулярна
плоскостям (Р) и (Q). Обозначим через А' проекцию
точки А на плоскость (Q), через В' проекцию точки В
на плоскость (Р). Положим АВ = I, АА' = В В' = d.
Две переменные прямые (D) и (Д) лежат соответст-
венно в плоскостях (Р) и (Q); первая из них прохо-
дит через точку А, вторая — через точку В и они орто-
гональны.
1°. Найти геометрическое место точек М и N пересе-
чения прямых (£)) и (Д) с их общим перпендику-
ляром. Найти геометрическое место прямых MN.
2°. Доказать, что сумма квадратов длин ребер тет-
раэдра ABMN постоянна.
3°. Выразить объем тетраэдра ABMN через I, d и
острый угол в, который образует прямая (О) с пря-
мой АВ'. Для какого значения 0 этот объем будет
максимальным? Чему равен этот максимальный
объем?
11. Даны три точки А, В, В, не лежащие на одной пря-
мой. В пространстве рассматривается переменная пря-
мая (Д), проходящая через В; пусть А' и В’ —
проекции точек Л и В на (Д), / — середина АВ,
Г — середина А'В'.
Требуется найти геометрическое место прямых (Д),
для которых АА' = ВВ'. Для этой цели требуется
доказать, что:
а) если точки Л и В находятся на равных расстоя-
ниях от прямой (Д), то ДЛЛ'В' = ДВВ'Л' и ДЛЛ'В =
=ДВВ'Л и что 1Г — общий перпендикуляр к ЛВ и (Д);
268
б) если 1Г I АВ, то точки А и В находятся на рав-
ных расстояниях от (Д) и 1Г — общий перпендикуляр
к АВ и (Д).
После этого рассмотреть два случая:
1°. S лежит в плоскости, являющейся медиатрисой
АВ.
2°. S не лежит в этой плоскости.
12. В фиксированной плоскости (Р) дана полуокружность
с диаметром АВ=27?. Пусть М— произвольная точка
этой полуокружности и пусть х = МН — расстояние
от точки М до АВ. На перпендикуляре к плоскости
(Р) в точке М откладывается отрезок SM — MN = х.
Рассмотрим тетраэдр SAMB.
1°. Вычислить в функции R и х длины его ребер.
2°. Доказать, что сумма квадратов длин двух проти-
воположных ребер одна и та же для любой из
трех пар таких ребер. Назовем эту сумму буквой
у. Построить график функции у = у(х).
3°. Где находится центр сферы, описанной около тет-
раэдра SAMB. Пусть d — ее диаметр. Доказать,
что у = d2.
4°. Точка S находится одновременно на двух простых
поверхностях. Каких?
13. Рассмотрим тетраэдр Oxyz такой, что У хОу = 60°.
У yOz = У zOx = 90°. На луче Оу фиксируется точка
А такая, что ОА=а. На осях Ох и Oz берутся соот-
ветственно точки В и С такие, что ОВ + ОС = 2а.
Пусть OD = х.
1°. Вычислить в функции а и х объем тетраэдра
ОАВС.
2°. Вычислить сумму s квадратов сторон треугольни-
ка АВС.
3°. В каких границах изменяется х? Построить график
функции s = s (х). Сколько решений (действитель-
ных) имеет уравнение $ = Ь2. Исследование про-
вести: а) алгебраически; б) геометрически.
4°. Найти геометрическое место середин ВС. Найти
геометрическое место центров сфер, описанных
около тетраэдра ОАВС.
14. Пусть х'хиу'у— две ориентированные прямые, орто-
гональные, но не лежащие в одной плоскости. Пусть
АА'— их общий перпендикуляр (Д на х'х и Д' на
у'у) и О — середина АА'. Положим АА' — 2а. Пусть
269
Р — какая-нибудь точка оси х'х, а Р'— точка оси
у'у. Обозначим через М проекцию точки О на прямую
РР' и через Н— проекцию О на А'Р.
а) Предполагается, что Р фиксирована, а точка Р’ —
переменная точка оси у'у.
1°. Чтр можно сказать про направление прямой А'Р'
относительно плоскости АА’Р? Относительно рас-
положения двух плоскостей АА'Р и А'Р'Р? Что
можно сказать относительно направления прямой
ОН относительно плоскости А'Р'Р?
2°. Чему равна величина угла НМР? Вывести отсюда
геометрическое место точек М, когда Р’ описы-
вает ось у'у.
3°. Вычислить в функции а степень точки А’ относи-
тельно окружности, расположенной в плоскости
А'РР' и построенной на HP, как на диаметре.
Доказать, что эта степень не зависит от положе-
ния точки Р на оси х’х.
Р) Предполагается, что Р и Р' меняются соответст-
венно на осях х’х и у'у, но так, что АР = А'Р'.
1°. Доказать, что ОР — ОР'.
2°. Каково положение точки М на отрезке РР'?
3°. Каково геометрическое место точек М? (Провести
через О прямые, параллельные х'х и у'у).
у) В этой части у предполагается, что Р и Р’ изме-
няются соответственно на лучах Ах и А'у и так, что
если АР — х, то А'Р' — 2а — х.
1°. В каких пределах может изменяться х?
2°. Вычислить объем у тетраэдра АА'РР’', построить
график полученной функции у. =» у (х).
15. В плоскости (Р) задан треугольник АВС и прямая (L)
пространства, пересекающая плоскость (Р). Пусть
D какая-нибудь точка, лежащая на прямой (L). Рас-
смотрим ломаную DBACD (не обязательно плоскую).
1°. Доказать, что четырехугольник, вершины которо-
го Е, F, G, Н находятся в серединах звеньев DB,
В А, АС и CD — параллелограмм. Как изменяется
площадь этого параллелограмма, если точка D
описывает прямую (£).
2°. При каком положение точки D на прямой (В)
этот параллелограмм будет прямоугольником или
ромбом.
270
3°. Может ли этот параллелограмм быть квадратом?
16. 1°- Доказать, что объем v сферического слоя может
быть вычислен по формуле:
и = 4<В + 4В' + 5')’
где Л — высота слоя, В и В" — площади его осно-
ваний, В' — площадь среднего сечения.
2°. Выразить объем и сферического слоя только через
его высоту h и радиус г' среднего сечения В'.
Эта формула не содержит /?; какое замечательное
заключение можно отсюда сделать? Задано г';
в каких пределах может изменяться Л? Заданы h
и г'; в каких пределах может изменяться Р?
3°. Обозначим через $ сумму боковой поверхности
сферического слоя и площади наименьшего из осно-
2/*z
ваний (В или В"). Заданы г' и Вычис-
лить R, при котором s будет иметь наименьшее
значение. Вычислить острый угол <р, под которым
эта сфера пересекает плоскость среднего сечения.
17. В пространстве даны две ортогональные, но не пе-
ресекающиеся прямые (Д) и (Д'); АА'— их общий
перпендикуляр [Д — на (Д), А'— на (Д')]. На прямых
(Д) и (Д') перемещаются две точки М и ЛГ; первая,
по прямой (Д), вторая, по прямой (Д').
Г. Доказать, что сфера с диаметром ММ' ^проходит
через точки А и А'.
2°. Найти геометрическое место центров этой сферы,
если AM = AM'.
18. В плоскости (Р) задана окружность (С) с центром С.
Прямая (О), не лежащая в плоскости (Р), пересекает
эту плоскость в точке А, лежащей на окружности (С)
и образует с плоскостью (Р) угол и (углом прямой
с плоскостью мы называем острый угол между прямой
и ее проекцией на эту плоскость).
1°, а) На прямой (D) фиксируется точка В, отличная
от А; построить точку Е на окружности (С) так,
чтобы прямая BE образовывала бы с плоскостью
(Р) тот же угол и. Исследовать.
б) На окружности (С) фиксируется точка Е, от-
личная от А. Построить на прямой (D) точку В
271
такую, чтй прямая BE образует с плоскостью (Р)
угол и. Исследовать.
2°. Точка В — фиксирована. Требуется найти геомет-
рическое место центров окружностей, описанных
около треугольника АВЕ, если Е описывает окруж-
ность (С) [для этого полезно установить, что на
перпендикуляре в точке С к плоскости (Р) суще-
ствует фиксированная точка К, равноудаленная от
точек Л, В и Е]. Это геометрическое место есть
окружность (At). Найти геометрическое место цент-
ров М окружности (Л1), если точка В описывает
прямую (В).
19. Через вершину С прямоугольного треугольника АВС
(^Л = 90°) проводится луч CS перпендикулярный
к плоскости этого треугольника. Пусть плоскость,
проходящая через точку С перпендикулярно ВЛ, пе-
ресекает ВЛ в точке D, a SB — в точке Е.
Г. Доказать, что О£||ЛВ и что &DEC— прямо-
угольный.
2°. Доказать, что сечение тетраэдра SABC плоскостью
(Р), перпендикулярной ВЛ и проходящей через
точку М отрезка ВЛ, есть или прямоугольный
треугольник или прямоугольная трапеция в за-
висимости от того, — будет ли точка М лежать
на отрезке SD или на отрезке DA.
3°. В этом пункте предполагается, что AB = SC = a,
</.СВА = . Положим AM = х. Вычислить значе-
ние х = х0 (т. е. AD), для которого сечение тет-
раэдра плоскостью (Р), перпендикулярной к ребру
ВЛ тетраэдра, переходит от треугольника к тра-
пеции. Выразить через х площадь у сечения тет-
раэдра произвольной плоскостью, параллельной (Р),
и построить график этой функции.
20. В плоскости (Р) задан отрезок АВ. Отрезок CD па-
раллелен плоскости (Р) и проектируется на нее в отре-
зок C'D' так, что AC'BD' — квадрат (АВ — диагональ).
Положим АС = а, СС = Ь. На отрезке АВ берется
точка М, на отрезке CD берется точка N такие, что
прямая MN параллельна плоскости ВСС.
1°. Обозначим через N' проекцию N на плоскость (Р).
Доказать, что MN' остается параллельной фикси-
272
2°.
рованному направлению в то время как точка М
описывает отрезок АВ.
Плоскость (Q), параллельная плоскости (Р), пере-
секает отрезок СС в точке 7, а отрезок NM —
в точке К. Пусть К' проекция К на плоскость (Р).
Положим C'l = mb. В каких пределах изменяется
т? Пусть точка 7 фиксирована; вычислить отноше-
МК’ D
ние . Вывести отсюда геометрическое место
точек К', затем геометрическое место точек К, если
7И описывает отрезок АВ.
3°. Геометрическое место точек К ограничено точка-
ми U и V (U на AD, V на ВС); пусть U' и V
проекции U и V на плоскость (Р). Положим у —
— UV2. Вычислить у в функции т и а и построить
график этой функции.
21. В основании конуса вращения с вершиной S лежит
окружность (С) радиуса Р; высота конуса также рав-
на 7?. В плоскости основания конуса берется точка Р
на расстоянии 2Р от центра О окружности (С). Пусть
ОА радиус окружности (С), перпендикулярный ОР.
Обозначим через В вторую точку пересечения прямой
РА с окружностью (С).
Г. Пусть М переменная точка ВЛ. Каково геометри-
ческое место вторых точек Q пересечения РМ с по-
верхностью конуса? Доказать, что геометрическое
место проекций Н точки О на прямую РМ есть
дуга окружности, проходящая через ортоцентр
треугольника PSA.
2°. Определить положение точки М так, чтобы крат-
чайшее расстояние между OS и РМ было равно
данной величине I. Исследовать.
РО
3°. Определить положение точки М так, чтобы
имело бы данную величину к. Исследовать.
4°. В каких пределах может изменяться угол а пря-
мой РМ с плоскостью основания конуса?
22. В плоскости (Р) фиксирована точка О. Пусть О АВ
равносторонний треугольник, длина стороны которого
постоянна; стороны О А и ОВ расположены по одну
сторону от плоскости (Р); А' и В' — ортогональные
проекции точек Л и В на плоскость (Р). Положим
ОА = а, АА' = х, ВВ' = у.
273
Iе. Вычислить Л'5' в функции а, х и у. Доказать,
что необходимое и достаточное условие того, что
^А'ОВ' == 90° может быть записано в виде
2ху = а2.
Будем предполагать во всех последующих вопро-
сах, что это условие выполнено.
2°. Найти OB' и ВВ', зная О А = а и АА' = х. В ка-
ких пределах может изменяться х для того, чтобы
эта задача имела решение? Пусть сторона ОА пе-
ремещается в плоскости (Q), перпендикулярной (Р).
Каково геометрическое место точек В и В'?
3°. Определить х и у, зная х + у = и. Исследовать.
Определить х и у, зная А'В' — I. Исследовать.
4°. Пусть треугольник ОА'В', кроме того, равнобедрен-
ный. Вычислить тогда х и у, объем пирамиды
ОАВВ'А' и косинус угла о плоскости ОАВ с пло-
скостью (Р).
23. На прямой задан отрезок АВ, длина которого равна
4d. Пусть О — точка, лежащая на отрезке АВ на рас-
стоянии d от точки А. Обозначим через (Р) и (Q)
плоскости, перпендикулярные АВ и проходящие соот-
ветственно через точки А и В. Пусть и N — пере-
менные точки, лежащие соответственно в плоскостях
(Р) и (Q) и такие, что AMN = 90°.
1°. Найти геометрическое место точек N, считая, что
точка М. на плоскости (Р) фиксирована. Доказать,
что это геометрическое место есть прямая и найти
расстояние х от точки В до этой прямой, если
AM —а.
2°. Доказать, что если фиксирована точка N, то геомет-
рическое место точек М есть, вообще говоря,
окружность. Указать положение центра этой окруж-
ности и ее радиус, если BN — Ь. . Исследовать
в зависимости от положения точки N в плоскости
(Q) существование геометрического места точек М.
3°. Пусть О' — точка, симметричная точка О относи-
тельно точки А, и пусть (/7) — плоскость, прохо-
дящая через точку О' перпендикулярно АВ. Фик-
сируем на плоскости (П) точку S. Найти геометри-
ческое место точек М и N, считая, что перемен-
ная прямая MN проходит постоянно через точку S.
274
24. В настоящей задаче предлагается установить некото-
рые общие свойства параллелепипедов, а затем изучить
некоторые частные виды параллелепипедов. Обозначе-
ния: А, В, С, D—последовательные вершины паралле-
лограмма, образующие одну из граней параллелепи-
педа (U). Через Д', В', С, D' обозначим вершины,
соответственно противоположные вершинам А, В, С, D
(две вершины называются противоположными, если
они не принадлежат к общей грани). Диагоналями
(t/) будут тогда отрезки АА', ВВ', СС, DD'. Они
имеют общую середину S, являющуюся центром сим-
метрии (U). Рассмотрим три ребра (U), выходящие из
одной и той же вершины, например DA, DB' и DC,
выходящие из D; А, В', С — их граничные точки,
отличные от D, образуют треугольник, который мы
будем называть треугольником «семидиагональным»,
ассоциированным с верцшной D (стороны этого тре-
угольника суть диагонали граней, сходящихся в Ь).
I. Пусть (U) какой-нибудь параллелепипед.
Г. Доказать, что диагональ DD' пересекает плоско-
сти АВ'С и А'ВС треугольников «семидиагональ-
ных», ассоциированных с вершинами D и D’ соот-
ветственно в точках G и G', являющихся точками
пересечения медиан этих треугольников и что
точки G и G' делят DD' на три равные части.
2°. Доказать, что сумма квадратов двенадцати ребер
(U) равна сумме квадратов четырех его диагоналей.
3°. Будем говорить, что параллелепипед (U) — описан-
ный, если существует сфера, касающаяся всех его
граней (вписанная сфера). Доказать, что описан-
ный параллелепипед может быть охарактеризован
равенством площадей всех его граней.
II. В плоскости (V) дан треугольник с вершинами
А, В', С. Обозначим через I, J, К соответственно сере-
дины сторон В'С, С А, АВ' и через а, Ь, с — их длины;
через G обозначим точку пересечения медиан этого тре-
угольника, через И— его ортоцентр, через О — центр
описанной окружности, через ОХ — ось этой окружности
(т. е. прямую, проходящую через ее центр перпендику-
лярно к ее плоскости! и через R— радиус описанной
окружности. Будем ооозначать через (IF) всякий парал-
лелепипед, для .которого вершине D соответствует тре-
угольник АВ'С как «семидиагональный».
275
1°. Доказать, что параллелепипед (17) определен, если
выбрать как угодно его вершину D, лишь бы она
не лежала в плоскости (V). Доказать, что парал-
лелепипед (W) определяется также выбором его
центра S (в не (V)]. Как перейти от одной из точек
S и D к другой? Как связаны направления и длины
ребер (17) с направлениями и длинами отрезков
SI, SI и SK?
2°. Обозначим соответственно через р, q, г длины ре-
бер DA, DB', DC и через а, Р, у, 8 — длины полу-
диагоналей 5Л, SB', SC, SD параллелепипеда (17).
Вычислить р2, <?2, г2 и 82 в функции a, b, с, а, р, у
и а2, Р2, 72, 82 и функции a, b, с, р, q, г.
III. Данные и обозначения те же, что и в разделе II.
Назовем через (170) параллелепипед (17), все шесть
граней которого — ромбы.
1°. Доказать, что параллелепипед (170) может быть оха-
рактеризован тем, что его вершина D лежит на
оси ОХ. Каковы геометрические места их центров
S и их вершин D' противоположных D? Могут ли
быть охарактеризованы параллелепипеды (170) свой-
ством противоположных ребер тетраэдра D1 и JK
(или тетраэдра D'AB'C)? Обозначая через р длину
ребра параллелепипеда (170) [все ребра (170) оче-
видно равны между собой] вычислить в функции
р, а, Ь, с квадраты длин полудиагоналей и квад-
раты площадей граней.
2°. Доказать, что параллелепипед (170) может быть
описанным тогда и только тогда, когда треуголь-
ник АВ'С равнобедренный или равносторонний.
Предположим, что треугольник АВ'С — равно-
бедренный, но не равносторонний, и пусть В'А =
= В’С = а, АС = Ь(Ь Фа), У АВ'С = в. Опреде-
лить, принимая за неизвестное OD = х положение
точки D на оси ОХ, для которых (170) будет
описанным; вычислить х в функции а и Ь, а также
в функции /? и cos в. В каких пределах должен
изменяться угол 0 или отношение — для того,
чтобы существовал описанный параллелепипед (170)?
Пусть Do — положение точки D, при котором
(170) описанный параллелепипед. Какое соотноше-
ние должно существовать между углами AD0C,
276
AD0B', CDqB’? Положим ADq С = Вычислить
в функции а и 6 косинус угла ?, общую длину р
ребер этого параллелепипеда и радиус р вписанной
сферы. Вычислить также cos? в функции cos6.
IV. Снова данные и обозначения раздела II. Назовем
через (1171) всякий параллелепипед (U7), для которого три
диагонали, выходящие из А, В' и С, равны между собой.
1°. Каковы геометрические места центров S и вершин
D параллелепипедов (IFi)? Доказать, что эти па-
раллелепипеды могут быть охарактеризованы свой-
ством противоположных ребер тетраэдра DAB'C.
Пусть a — общая длина полудиагоналей 5Л, SB', SC
параллелепипеда (F1); вычислить в функции а, Ь, с, а
квадраты р2, q2, г2 и S2 длин его ребер и полудиаго-
нали SD. Обозначив через oi, a2, a8 площади тре-
угольников DB'C, DCA и DAB', рассмотрим два
какие-нибудь из этих треугольников, например DB'C
и DCA с общей стороной DC; установить, что
4 (a? - af) = г2 (р2 - 72) = г2 (а2 - Ь2).
Доказать, что не существует описанных парал-
лелепипедов (W i), если треугольник АВ' С не равно-
сторонний.
2°. Доказать, что параллелепипед будет прямоуголь-
ным, если все его диагонали равны между собой.
Доказать, что необходимое и достаточное усло-
вие того, что существует параллелепипед (Ц7), все
четыре диагонали которого равнй между собой,
заключается в том, что все углы треугольника
АВ'С острые (или что ортоцентр Н треугольника
АВ’С лежит внутри этого треугольника). Вычис-
лить для такого параллелепипеда квадраты р2, q2,
г2, а2 в функции а, Ь, с.
3°. Предположим теперь, что треугольник АВ' С равно-
сторонний (а = b = с). Если точка D (или S) описы-
вает ОХ,- получаем параллелепипед (W), который
одновременно является параллелепипедом типа (Wo)
и типа (Ш1); все получаемые параллелепипеды (W)
будут описанные. Положим OD = х и / ADC = ?;
вычислить в функции х и а (или R) для паралле-
лепипеда (1F) с вершиной D длины р, а, 8 ребер
и полу диагоналей, радиус р вписанной сферы
277
и cosq>. В каких пределах изменяется о и <р, если D
описывает ОХ?
25. Назовем бимедианой тетраэдра (Т) — ABCD прямые
AiA'i, BiB\, CiC’i, соединяющие середины ребер
ВС = а и DA = а'; СА = Ь и DB = 6'; АВ = с и ВС —
= с'. Назовем бивысотами тетраэдра ABCD прямые
iMM', NN', РР', являющиеся общими перпендикуля-
рами к ребрам ВС и DA; С А и DB; АВ и DC. Пред-
метом настоящей задачи является изучение некоторых
свойств бимедиан и бивысот тетраэдра ABCD.
1°. Доказать, что прямые, проведенные через произ-
вольную точку пространства параллельно его биме-
дианам и бивысотам, образуют два дополнительных
триэдра, т. е. каждая бивысота перпендикулярна
двум бимедианам и обратно: именно, ММ' ±
Д_Я1В'ь ММ'.LCiC'i; NN' NN^AiA'a
PP'jAA'i, PP'j-BxB',.
2°. Доказать, что если бимедианы (или бивысоты)
попарно ортогональны, то они совпадают с бивы-
сотами (соответственно с бимедианами), а тетраэдр
является правильным, и обратно.
3е. Доказать, что геометрические места точек Q, для
которых
QB2 + QC2 + £>Д2 = QD2 + QA* + ВО, (1)
QC2 + Q А2 + £)В2 = QD2 + QB2 + СД2, (2)
QA* + QB2 + DO « QD2 + QC2 + ДВ2 (3)
являются плоскостями («О, (ir2), (к3) перпендику-
лярными соответственно бимедианам AtA’t, B1B'l,
CiC'i. Эти три плоскости пересекаются попарно
по прямым (di), (d2), (d8), проходящим через точку Q
Монжа тетраэдра (Т) [т. е. через точку, симметрич-
ную центру О, сферы (ABCD) относительно центра
тяжести GJ. Вывести отсюда, что прямые (di), (d2)
и (d8) проходят через точку 2 Монжа и параллельны
бивысотам.
26. Предметом исследования настоящей задачи будет
установление существования тетраэдров ABCD таких,
длины ребер которых удовлетворяют соотношениям:
АВ • CD = АС • BD = AD • ВС
278
и изучение некоторых свойств таких тетраэдров. Та-
кие тетраэдры будем обозначать так: (Т).
В настоящей задаче мы будем обозначать через (АВС)
окружность, проходящую через точки А, В и С, через
(ABCD) сферу, проходящую через точки А, В, С, D.
Часть первая
Г. Пусть А, В, С — вершины треугольника, причем
АВ =# АС. Доказать, что геометрическое место
точек М пространства таких, что
МВ • АС = МС АВ,
есть сфера, диаметром ЕЕ' которой служит отрезок
прямой ВС, где Е и Е’ — точки пересечения с ВС
внутренней и внешней биссектрис угла ВАС; до-
казать, что центр этой сферы лежит на касательной
в точке А к окружности (АВС).
2°. Дан треугольник АВС — неравнобедренный; пусть
(V) его плоскость. Доказать, что геометрическое
место точек М пространства таких, что
МА • ВС = МВ . АС = МС • АВ,
есть окружность (Д), плоскость которой перпенди-
кулярна плоскости (V), а центр лежит на плоско-
сти (V). Обозначая через Р и Q точки пересечения
окружности (Д) с плоскостью (V), установить
соотношения:
АР BP _Cf\
AQ~BQ~CQ’
доказать, что прямая PQ есть диаметр окружно-
сти (АВС) и что точки Р и Q делят гармонически
этот диаметр. Во что вырождается указанное выше
геометрическое место точек М, если треугольник
АВС — равносторонний? Эти результаты позволяют
установить существование бесконечного множества
тетраэдров (Т), одна из граней которого — произ-
вольный треугольник АВС.
279
Часть вторая
1°. Рассмотрим треугольник АВС. Обозначим через Лх
точку, диаметрально противоположную точке А на
окружности (АВС), через Bi и Ci — точки пересе-
чения прямых АВ и АС с касательной к окружно-
сти (АВС) в точке Ль
Установить соотношения
ЛЛ? = АВ • ЛВх = АС • ЛСь
Пусть теперь (s) — окружность, лежащая в пло-
скости АВС, проходящая через В и С, но не про-
ходящая через Л; пусть прямые АВ и АС пересе-
кают окружность (s) соответственно в точках В
и В' и в точках С, С. Доказать, что В'С' || BiCi
и что обе эти прямые параллельны касательной
в точке Л к окружности (АВС) и что
В' С' АВ' _ АВ . ЛВ'
ВС АС ~ АВ- АС
2°. Рассмотрим какой-нибудь тетраэдр ABCD и сферу
(S), проходящую через точки В, С, D, но не про-
ходящую через А; пусть прямые ЛВ, AC, AD
пересекают (S) соответственно в точках В и В',
С и С', D и D’. Доказать, что плоскость треуголь-
ника B'CD’ параллельна касательной в точке Л
к сфере (ABCD). Установить соотношения:
В'С' C'D' B'D'
AD • ВС ~ АВ- CD AC - BD
(2)
3°. Предположим теперь, сохраняя предыдущие обо-
значения, что ABCD есть тетраэдр (Т). Какова
тогда форма треугольника В' С D'. Какая фигура
образуется прямыми пересечения плоскости каса-
тельной в точке Л к сфере (ABCD) с плоскостями
граней ЛВС, ACD, ADB? Будут ли полученные
свойства характеристическими для тетраэдров (Т)?
Вывести отсюда способ построения тетраэдра (Т),
для которого задана грань ЛВС и который вписан
в сферу CS)> проходящую через точки Л, В, С.
Сколько решений имеет эта задача?
280
Часть третья
1°. Соотношения (2), установленные во второй части
пункта 2° имеют место и в том случае, если четыре
точки А, В, С, D лежат в одной плоскости, но не
на одной окружности; сфера (S) в этом случае
вырождается в окружность, проходящую через
точки В, С, D (которые мы предполагаем не лежа-
щими на одной прямой). Возвращаясь тогда к фигу-
ре, изученной в первой части, (пункт 2°) и употребляя
введенные там обозначения, соединим одну из точек
Р или Q, например, точку Р с точками Ai, Blt С;
пусть РА, РВ, PC пересекают окружность (АВС)
в точках А и А', В и В', С и С'. Какова форма
треугольника А'В'С'? Будет ли полученное свой-
ство характеристическим для точек Р и Q, которые
были определены для неравнобедренного треуголь-
ника АВС в первой части, пункт 2°?
2°. В пространстве задана окружность (Д) и точка А,
которая не расположена ни на окружности (Д),
ни на прямой, проходящей через ее центр перпен-
дикулярно к ее плоскости; ищутся две точки В
и С такие, что всякий тетраэдр с вершинами А,
В, С и вершиной D, произвольно выбранной
на (Д), есть тетраэдр (Г). Доказать, прежде всего,
что точки В и С, если они существуют, совпадают
с точками, которые можно определить и построить
с помощью уже установленных свойств; уточнить
это построение; вывести отсюда существование
точек В и С. Сколько' решений имеет эта задача?
Часть четвертая
1°. Пусть А, В, С, D — вершины тетраэдра (Т). Дока-
зать, что если взять какое-нибудь его ребро, на-
пример ВС,, то биссектрисы внутренних углов ВАС
и BDC пересекут это ребро в одной и той же
точке Е. Пусть F — точка, аналогичным образом
определенная для противоположного ребра AD.
Пусть Ао, Во, Со, Ро — центры окружностей, впи-
санных в треугольники BCD, CDA, DAB, ABC.
Доказать, что четыре прямые АА0) ВВ0, СС0, DD0
имеют одну общую точку, которая лежит также
291
на каждой из трех прямых, определенных так, как
определена прямая EF. Будут ли эти свойства
характеристическими для тетраэдра (Г)?
2*. Распространяется ли свойство, установленное для
четырех прямых АА0, ВВ0, СС0, DD0 на другие
группы из четырех прямых, которые мы получим,
соединяя А, В, С, D с одним из центров окруж-
ностей, касающихся трех ребер противоположных
граней (окружности, вписанные и вневписанные)?
(Точки Е и F в случае, если подобное обобщение
имеет место, заменяются при этом точками, под-
ходящим образом определенными). Обозначить для
грани BCD (и аналогично для других граней)
через Ав, Ас, Ad центры вневписанных окружно-
стей в углы В, С, D треугольника BCD.
Замечание. Четвертая часть может быть решена не-
зависимо от второй и третьей части.
27. Пусть (С) — большой круг, ограничивающий полу-
сферу ($})• Обозначим через О центр (2)> через Р —
ее радиус. Пусть АВ фиксированный диаметр окруж-
ности (С), Пересечем полусферу (j) плоскостью,
параллельной плоскости, в которой лежит (С) и пусть
(С') окружность сечения, М— ее центр, г — радиус.
1*. Построить точку Р окружности (С') при условии,
что X АРМ = 90°. Сначала определить, где нахо-
дится проекция Р' точки Р на плоскость (С).
Сколько решений имеет задача?
2’, Доказать, что если точка Р такова, что АРМ ™
« 90°, то АР’ = РР',
Вывести отсюда, что если плоскость сучения (С')
перемещается параллельно плоскости (С), то отре-
зок АР остается на поверхности вращения. Каково
геометрическое место точек Р'?
8°. Пусть Q — точка, диаметрально противоположная
точке Р на ((?')• Доказать, что BQM » 90°, что
АР = BQ и что АР и 5Q ортогональны.
4е. Найти в функции R и г длину АР (== BQ) и дли-
ну ВР,
б°. Найти г, еслц PQ «= АР. Каков в этом случае
объем тетраэдра ABpQ?
28. Рассмотрим полуокружность с диаметром АВ, цент- £
ром О и радиусом р. Обозначим через М какую-нибудь
точку этой полуокружности и через А' и В’ — точки
282
пересечения касательной к полуокружности в точке М
с касательными к ней в точках А и В. Пусть Р—
проекция М на АВ. Положим
Г. Доказать, что ДЛ' О В' — прямоугольный. Вычис-
лить в функции R и х длины отрезков МА', МВ',
АА' и ВВ'.
2°. Вычислить в функции R и х объем щ, полученный
вращением трапеции АА' В' В вокруг АВ и объем v2,
полученный вращением вокруг АВ треугольника
A’ OB', наконец, объем vs, полученный вращением
треугольника АВВ' вокруг АВ.
3°. Изучить изменение отношения если М описы-
вает полуокружность от Л к В. Построить график
этого отношения как функции х.
4°. Определить х так, чтобы отношение —былоравно
данному числу т. Исследовать. Каково наибольшее
значение этого отношения? Каково при этом поло-
жение соответствующей точки М?
29. ABCD и BEFG — два равных квадрата со стороной а,
расположенные во взаимно-перпендикулярных плоско-
стях; В — их общая вершина, а стороны АВ й BE
расположены на пересечении указанных плоскостей
(точки Л и £ расположены по разные стороны от
точки В). На диагоналях АС и EG берут точки М
и Ы такие, что AM = ЕЫ = х.
1°. Вычислить у = МЫ2 в функции а и х. Определить х,
если MN — 21 (I — данное число). Исследовать.
2°. Начертить кривую у = у (х) и получить с помощью
этого графика результаты предыдущего исследо-
вания.
3°. Показать геометрически, что если точки М и Ы
выбраны так-, что отрезок МЫ имеет наименьшую
длину, то прямая МЫ перпендикулярна АС и EG
и параллельна плоскости BCF. Каково геометриче-
ское место середин О отрезка МЫ, когда точка М
описывает диагональ АС?
4°. Доказать, что тело CEFDBG — призма; вычислить
объем этой призмы.
283
30. Дан прямой двугранный угол. На его гранях выбраны
точки А и В; Н и К их ортогональные проекции на
ребро; точки А и В выбраны так, что ЯК == НА —
— КВ = а. Рассмотрим две прямые (О) и (Д) перпен-
дикулярные соответственно плоскостям АНК и ВНК
и проходящие через Л и В. За положительные на-
правления этих прямых примем направления внутрь
двугранного угла. Рассмотрим на осях (D) и (Д) точ-
ки М и N. Положим AM = х, BN = у.
1°. Выразить MN через а, х и у. Каков минимум MN;
каковы положения I и J точек М и N, соответ-
ствующие этому минимуму.
2°. Доказать, что сфера (2) с диаметром MN проходит
постоянно через точки /1 и J, если М и N про-
извольно изменяются на (£>) и (Д).
Выразить в функции а, х и у расстояние от
центра ш сферы (2) до середины О отрезка НК.
Какое соотношение должно существовать между х
и у для того, чтобы сфера (2) касалась НК и ка-
ково в этом случае геометрическое место центров
сфер (2) и наименьший радиус.
3°. Каково геометрическое место центров <о сфер (2),
если задан радиус К этих сфер?
4°. Будем считать теперь, что х = у. Доказать, что
прямая MN остается параллельной плоскости (В),
проведенной через АВ параллельно НК и что орто-
гональная проекция MN на плоскость (Р) вращается
вокруг фиксированной точки. Каково в этом случае
геометрическое место точек ® — середин MN?
31. Рассмотрим тетраэдр SABC, в котором грань АВС—
прямоугольный равнобедренный треугольник с гипо-
тенузой ВС = 2а', ребро SB перпендикулярно плоско-
сти АВС и имеет длину равную 2а.
1°. Доказать, что все другие грани тетраэдра — прямо-
угольные треугольники.
2°. Определить центр и радиус сферы (2). описанной
около тетраэдра. Каковы пересечения с плоскостью
АВС плоскостей касательных к (2) в точках В и С?
3°. Пусть М — произвольная точка отрезка ВС; поло-
жим ВМ = х (0 < х < 2а). Пересечем тетраэдр
плоскостью, перпендикулярной к ВС в точке М.
Выразить через х площадь сечения s (рассмотреть
284
два случая) в функции х и построить график
функции
S = S (х).
32. 1°. О АВС —тетраэдр; О А, ОВ, ОС — три его по-
парно-перпендикулярные ребра, длины этих ребер
обозначим так: ОА — а, ОВ = Ь, ОС = с. Пусть
К — основание перпендикуляра, опущенного из О
на АВ. Доказать, что СК I АВ. Вычислить ОК,
СК и площадь, s треугольника АВС в функции а,
Ь и с.
2°. Вычислить b и с, если даны a, s и объем о тет-
раэдра ОАВС. При каком условии задача имеет
решение?
9 v*
Рассмотреть частный случай, когда s2 = +
4-Зао. Что можно сказать в этом случае про тре-
угольник ОВС?
3°. Пусть а0 — данное положительное число. Положим
ао г>
v0 = -г-. Вычислить положительное число So, опре-
о
О 9 V П Л
деляемое равенством so = + 3 а0 «о- Выразить
ао
разность
2
D = ^ + 3ao0-sg
в функции а и а0. Показать, что D обращается
в нуль при а = а0 и что D может быть представ-
лено в виде произведения (а — а0)2 на некоторую
положительную функцию от а и ао. Вывести отсюда,
что площадь s треугольника АВС при условии,
что дан объем v = о0 тетраэдра ОАВС, не может
быть меньше числа So.
33. Пусть А, В, С, D — вершины тетраэдра, А', В', С',
D' — проекции вершин А, В, С, D в плоскости про-
тиволежащих граней.
Г. Пусть АА' и ВВ' пересекаются; доказать, что
АВ j_ CD.
2°. Пусть ЛВ_1_С£), доказать, что АА' и В В' пере-
секаются.
3°. Предположим, что АС = AD = ВС = BD. Доказать,
что АА' и ВВ' пересекаются; СС' и DD' также
285
пересекаются. Пусть И — точка пересечения А А'
и ВВ', а К — точка пересечения СС' и DD'.
4е. Будем опять, как в п. 3°, предполагать, что ЛС««
= AD = ВС = BD. Доказать, что плоскость АВИ
пересекает CD в середине I этого отрезка. Вывести
отсюда, что точка И расположена на прямой IJ,
соединяющей середины I и / отрезков CD и АВ.
Что можно сказать о положении точки Л?
34. Основанием пирамиды SABC служит равносторонний
треугольник АВС со стороной а. Ребро ЗЛ перпенди-
кулярно плоскости основания АВС и его длина
а
равна -к-.
&
1°. Вычислить расстояние SO от S до ВС и полную
поверхность пирамиды.
2°. На отрезке АВ от точки А отложим отрезок AM
длиной х, 0 < х <: Пусть плоскость, перпенди-
кулярная к АВ в точке М пересекает SB в точке N,
SC — в точке Р, а АС — в точке Q. Вычислить
в функции а и х стороны четырехугольника MNPQ
и его диагональ МР.
3е. Построить график функции у « МР2 (функция от х).
При каком значении х величина МР будет мини-
мальна? Что можно сказать в этом случае про
прямые МР и SC?
4°. Проведем через точку Л плоскость, перпендикуляр-
ную SB; пусть эта плоскость пересечет SB в точ-
ке Я, а ВС — в точке I. Доказать, что треугольник
IAH — прямоугольный, вычислить стороны тре-
угольника HAI. Вычислить косинус двугранного
угла <? — A(SB)C.
35. Пусть SABCD — пирамида с вершиной 3 и высо-
той ЗЛ =« а. Основанием этой пирамиды служит
половина правильного шестиугольника ABCD,
вписанного в полуокружность с диаметром ЛО=2а
(поэтому ЗЛ “ АВ = ВС = CD ™ а).
Iе. Доказать, что BDX.SАВ, SC^_CD и что пять
точек 3, Л, В, С, D лежат на одной сфере; вычис-
лить ее радиус.
2е. Через точку М отрезка АВ проводится пло-
скость (/?), параллельная плоскости SAD. Она
пересекает ЗВ в точке N, SC — в точке Р и CD —
286
в точке Q. Доказать, что MNPQ.— прямоугольная
трапеция.
36. Рассмотрим тетраэдр ОАВС, ребра которого будем пред*
полагать неограниченно продолжены в обоих направле-
ниях и пусть(Р)—плоскость, параллельная грани АВС.
Обозначим через А', В' и С точки пересечения пло-
скости (Р) с ребрами ОА, ОВ и ОС (или с их про-
должениями). Обозначим через а, £, 7 соответственно
середины ребер ВС, СА и АВ.
1°. Для какого положения плоскости (Р) прямые А' а,
В' й, С 7 будут параллельны. Такую плоскость
обозначим через (Р).
2°. Доказать, что для всякого другого положения
плоскости (Р) прямые А' а, В' р, С 7 пересекаются
в одной точке М.
8°. Найти геометрическое место точек Л1 при условии,
что плоскость (Р) меняется.
37. Пусть ACD и BCD — два равных равнобедренных
треугольника с общим основанием CD = 2х, но не
лежащие в одной плоскости; АС — AD — ВС = BD*=a.
Г. Обозначим через / и J соответственно середины
АВ и CD. Доказать, что IJ I АВ и IJ I CD.
2°. Плоскость (Р) треугольника ACD фиксирована.
Найти геометрическое место точек I, если пло-
скость (Q) треугольника BCD вращать вокруг CD.
8°. Пусть плоскости (Р) и (Q) взаимно-перпендикуляр-
ны. Вычислить в функции х и а длины АВ и IJ
и определить центр сферы, описанной около тетра-
эдра ABCD. При каком значении х двугранный
угол C(AB)D будет прямым?
38. Дан отрезок ОО' длиной а и полупрямая OU, пер-
пендикулярная ОО'; пусть О' U* полупрямая, перпен-
дикулярная в точке О’ к плоскости, определяемой ОО'
и ОО. Рассмотрим на лучах ОН и О' О' соответственно
две переменные точки М и ЛГ такие, что ОМ-{-О' M'—l
(l — данное число, />-0). Положим ОМ = х и обозна-
чим через АГ проекцию точки М' на плоскость, про-
ходящую через О перпендикулярно ОО'.
1°. Вычислить у = ММ'2 в функции а, I, х. Опреде-
лить х, если задано у = т. Исследовать.
2°. Построить график функции у = у(х) (взять а = 1,
/ = 2).
287
3®. Пусть Af0 и JWo — положения точек М и М', соот-
ветствующие наименьшему значению у. Доказать,
что MoMq образует равные углы с OU и О' U’.
4°. Обозначим через (Рх) пирамиду с вершиной М,
основанием 00' М' N' и высотой х^а. Обозначимг
через р периметр сечения (Рх) плоскостью, парал-
лельной основанию на расстоянии а от вершины;
вычислить р в функции а, I, х и построить график
этой функции (взять а = 1, 1 = 2).
39. 1° О и О' — две фиксированные точки плоскости.
Найти геометрическое место точек М таких,
что сумма площадей окружностей с центрами О я О'
и радиусами ОМ и О' М равна данной величине А2.
Исследовать.
2°. О и О'—две фиксированные точки пространства;
00' = 2а. Рассмотрим две переменные сферы (S)
и (S') радиусов Р и R' с центрами О и О', причем
сумма поверхностей этих сфер равна А2. Каково
геометрическое место окружности, по которой пере-
секаются сферы (S) и (S')? Исследовать.
3®. Доказать, что если А = 16 паъ, то геометрическое
место, рассмотренное в п. 2°, есть сфера (2) с диа-
метром 00' и что сферы (S) и (S') в этом случае
ортогональны.
4е. Пусть, по-прежнему, А= 16 то2 и М—какая-нибудь
точка сферы (2)- Доказать, что плоскость, каса-
тельная к (2) в точке М, пересекает сферы (S)
и (S') по равным окружностям (С) и (С'). Для
какого положения точки М на сфере (2) радиу-
сы (С) [и (С')] будут максимальны? Доказать, что
все сферы, диаметром которых служит отрезок,
граничными точками которого являются центры
окружностей (С) и (С)— касаются фиксированной
прямой.
40. В пространстве дано 5 точек: А, В, С, D, Е, из
которых никакие четыре не лежат в одной плоскости.
Обозначим буквой / середину отрезка, соединяющего
две какие-нибудь точки, а буквой G— центр тяжести
треугольника, образованного тремя остальными точ-
ками. Рассмотрим отрезок IG. Оперируя подобным
образом всеми способами, мы получим некоторое
число п отрезков, аналогичных IG.
288
1°. Чему- равно и?.
2°. Доказать, что два каких-нибудь отрезка IQ и Г G'
из числа п указанных, пересекаются в точке О;'
определить расположение этой точки О относитель-
но точек / и G.
3°. Доказать, что все п отрезков таких, как IG, про-
ходят через точку О.
41. РебрЬ ЗЛ тетраэдра SABC перпендикулярно плоско-
сти грани АВС; треугольник АВС — прямоугольный
& = 90° и ЗЛ = АВ~=^ ВС = а.
Г. Вычислить длины ребер и величины внутренних
двугранных углов этого тетраэдра.
2°. Пусть I и J—соответственно середины ребер SC
и АВ. Доказать, что IJ J_SC и IJ I АВ и что,
следовательно, IJ—ось симметрии тетраэдра SABC.
Найти кратчайшее расстояние между ЗЛ и ВС
и кратчайшее расстояние между SC и АВ.
3°. На отрезке АВ берется точка М. Положим АМ=х.
Через точку М проводится плоскость (Р), парал-
лельная прямым ЗЛ и ВС; она пересекает ребра
SB, SC и АС соответственно в точках D, Е, F.
Вычислить площадь у четырехугольника MDEF
в функции а и х. Изучить изменение этой функции,
если точка М описывает отрезок АВ, и построить
ее график. При каком положении точки М пло-
щадь у будет иметь наибольшее значение?
42. В плоскости (Р) даны две параллельные прямые (d)
и (d') на расстоянии а и две точки А и В, располо-
женные соответственно на (d) и (d'), на расстоянии
АВ = 2а. Две не параллельные прямые (D) и (£>'),
выходящие соответственно -из точек Л и В, проекти-
руются ортогонально на плоскость (Р) соответственно
в прямые (d) и (d') и образуют с плоскостью (Р) один
ц тот же 1 угол 45°. На прямых (D) и (D') выбрано
положительное направление по одну сторону от пло-
скости (Р). На этих прямых выбираются соответственно
точки М и N такие, что AM =s BN = х.
1°. Доказать, что если х изменяется, прямая MN
остается постоянно параллельной плоскости (Р).
Вывести, изучая расположение проекций тип
точек М и N на плоскость (Р), геометрическое
место середин отрезков MN.
10 Зак. 3478 289
2°. Рассмотрим тетраэдр ABMN. Выразить его объем
в функции а и х. Этот тетраэдр имеет (каково
бы ни было х) две пары противоположных ребер,
равных между собой;'' при каком значении х ребра
третьей пары также будут равны между собой.
Доказать, что в этом последнем случае четыре
высоты тетраэдра ЛВЛ4У будут равны между собой
и выразить их величину через а.
3°. Для какого значения х, AB^_MN. Доказать, что
если АВ I MN, то и AN I ВМ.
§ 6. Стереометрия с тригонометрией
1. Рассмотрим на сфере большой круг (Г); пусть Р и Р'—
его диаметрально противоположные точки (назовем их
полюсами). Пусть (С) — какая-нибудь окружность,
пересекающая окружность (Г) в точках Л. и В. Обо-
значим через аир полярные «расстояния» от точки Р
до точек Ли В (т. е. углы РрА и РрВ). Доказать,
. а , р
что произведение tg tg jy- остается постоянным,
Л л
если окружность (С) фиксирована, а окружность (Г)
меняется.
2. В плоскости (Р) дан квадрат ABCD со стороной а.
Проведем через точки Л, В, С, D прямые, перпенди-
кулярные плоскости (Р). По одну и ту же сторону
от плоскости (Р) на перпендикулярах, проходящих
через точки В и С, откладываем отрезки ВВ' и DD'
равные а. Через прямую ВВ' проводится переменная
плоскость (Q) не параллельная (Р). Пусть плоскость (Q)
пересекает перпендикуляры к плоскости (Р), проходя-
щие через точки Л и С в точках А' и С.
Г. Доказать, что А' В' С D'— ромб.
2°. Выразить через а объем тела ABCD А'В'CD'
(можно использовать сечение построенной призма-
тической поверхности плоскостью, перпендикуляр-
ной к ее ребрам). Доказать, что полная поверхность
этого тела остается неизменной, если плоскость (Q)
вращается вокруг В' D'.
3°. Обозначим через 0 острый угол между плоскостя-
ми (Р) и (Q), а через 2 а — угол В' Л', D'. Выразить
А' С через а и cos 9, затем через а и tga. Доказать,
что tg a = cos 9.
10*
291
4°. Выразить tg2a через cos 9 и найти а в случае
cosO = j/2— 1.
3. Рассмотрим три луча, выходящие из точки О: Оа, 0$,
Оу. Внутренние двугранные углы триэдра Оару с реб-
рами Оа, 03, Of обозначим соответственно через
Ai, Bi, С. Далее положим X [ЗОу — а, X fOa = b,
^.аОЬ = с. На луче Of берется точка М на расстоянии
от точки О равном 1. Пусть Р— проекция точки М
на плоскость, перпендикулярную к лучу Оа и прохо-
дящую через точку О. Пусть Q — проекция точки М
на плоскость аО$ и N — проекция М на, 0$. Проекция
вектора ON на ось Ор равна сумме проекций векто-
—> ——>
ров 0Q, ОР и РМ на ту же ось. Таким путем может
быть получено некоторое соотношение между а, Ь, с
и А.
I. Написать это соотношение.
II. С помощью этого соотношения выразить А через
а, b и с.
(sin 4 \
—----1 через а, b и с.
sin a j г
Написать это выражение в симметрической форме от-
носительно а, b и с. Какой отсюда можно сделать вывод?
IV. Выразить sin а через Ь, А и В.
4. Рассмотрим четверть (К) окружности с центром О
и радиусом Р, ограниченную взаимно-перпендикуляр-
ными прямыми Ох и Оу. Пусть М — переменная точка,
лежащая на этой четверти окружности; положим
X хОМ = а | 0 < а ). Касательная к (К) в точке М
\ " /
пересекает Ох и Оу соответственно, в точках А и В.
Обозначим через Ог полупрямую, проходящую через О
и перпендикулярную плоскости хОу.
1°. Вычислить ОА, ОВ и АВ в функции а. При каком
значении а длина отрезка АВ будет минимальной?
2°. На лучах, перпендикулярных в точках А и В
к плоскости хОу и идущих в ту же сторону, что
и Ог, берутся точки А' и В' такие, что АА'—ОА,
ВВ' = ОВ. Найти геометрическое место точек Д'
и В'. Найти величину угла A' OB't
292
3°. Прямая А' В' пересекает, вообще говоря, плоскость
Л г тт IA ОА
хОу в некоторой точке I. Доказать, что
На какой линии располагаются точки /? Рассмо-
треть обратное положение. Доказать, что линейный
угол, построенный в точке О для двугранного
угла с ребром 01, грани которого проходят через
точки А и А’, образован биссектрисами 0D и OD'
углов АОВ и А' ОВ',
4°. Требуется вычислить величину угла А’ ОВ' так:
вычислить А' В' в функции О А = и и ОВ = v и,
рассмотрев ДД' ОВ', найти cos А' ОВ’, затем и сам
угол А'ОВ',
ОТВЕТЫ
Глава /
ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА КОНКУРСНЫХ
ЭКЗАМЕНАХ В ВЫСЩИЕ УЧЕБНЫЕ ЗАВЕДЕНИЯ
з
1. 3762. 3. -g- . 4. Если т < kt то J { — С™+1; если п > т>
> k, то С™*}. 5. 60 мальчиков, 40 девочек. 6. (а, 0, 0), (0, а,
0), (0, 0, а). 7. (64,4), (—64, —4), ^2, •§-) , (—2, — jj. 8. 165.
10. х8 -~ха — 2х — 1 == 0. 11. а> 0, а ф 1, b > с > 0,
Л V b-^c-^Vb — c . — У*6 —с\
------------/f-------• 10g« /f ) •
/ b c — 'fb — c +-— c\
(log*---------------• 10g°----------------) •
i / *\
13. 15 час. 14. x + y = 15. (125,4), (625,3), 16- an =
3.3 n(n24-l)
= 1 -f- у na — ~2 n, sn —--§--. 17. В первом сосуде или 20 л
или 10 л. 18. Xs—2х»+х+1=0.19. (±1,1), ♦
(jTp. у^)2, j^)3 ♦ или 6>0> или к < — 2. 21. 142857.
22. (2,1), (—1, —2). 23. *1= 1, xs = 2. 24. 0 < х < а~^ ,
294
b*
X> a^. 25. 20 чао. 26. x2 = 27. xr = 4, x2=8.
О о
28. k»36. 29. Скорость течения 2 км/час, скорость катера
__________________________________________________ ъ
14 кж/час. 30. (—27, —216), (216, 27). 31. х=с0(а~6>, у=сь~а .
32. 1) 321440; 2) 372612. 33. Если данная точка М совпадает с се-
рединой D стороны АС, то искомая прямая МВ. Пусть М лежит на
DC. Тогда искомая прямая должна пересекать ДВ. Построение.
Строим Q на АС так, чтобы AQ^MC\ перпендикуляр к АС в точке Q
пересекает АВ в точке К; искомая прямая MS, где S—середина КВ.
35. Для трехгранного угла луч ЗЛ можно рассматривать как образу-
4 (* + 1)2
41.
ющую, по которой пересекаются конусы с вершиной S,осями SB и SC
и углами при вершине 2а и 2р. Если бы было а + £ < то эти конусы
не пересекались бы (черт. 27). 36. А . 38. 2^ +„2 L.
.0. ~h.l2Lь 39. —, где S—площадь треугольни-
4 (*—1)2 а + Ь
ка. 40. Заметить, что 2а + 30° — а + 60° — а =90° и что ctg 90°=0.
—. Указание: отрезок, соединяющий середины ребер АВ
а
и CD, перпендикулярен к ним обоим и его длина равнд ~= •
У 2
Расстояние от О до CD есть ОМ, где М — середина CD и т. д,
44. {ЛЕ , 45> (|^+/^+/Г.)2. 47. sina==£«E .
у те 1 + cos2 а П
48. Равнобедренный. 50. 2sx -j- 2sa+ . 51. Проведем через се-
редину А отрезка ВС произвольную прямую и через С — прямую
SC || LB (черт. 28). Тогда AL = Л5, значит АР > AL и значит
пл. &АРС> пл. ALB (у них высоты из В и С на AL и АР
295
„ a
9 cos -
равны, a AP > AL). 52. kit, a + kn, kit + — . 53. d3------
2 3 За
Sin -у
54. Если M лежит в середине ВС и k = 1, то решение единствен-
ное (МВ). Если ^=1, ноМ не совпадает с серединой ДС, то
обозначим через D середину ДС, а вершины треугольника так,
чтобы точка М лежала между D и С (исключая С и включая £>;
если М совпадает с А или с С и & = 1, то решением будут ме-
дианы ДД' и СС'). Положим пл. дМВС = 5г, пл. дДВС = 5;
s j
тогда — < 1. Если &== 1, то решение опять единственное. Стро-
им на АВ точку К такую, что пл. дД/СМ = пл. &NBC (т. е.
hb • МС — h • ДМ, где h — высота треугольника ДКМ). Решением
будет прямая MS, где S — середина КВ. Пусть k > 1. Если М
совпадает с С или Д, например с С, то имеем два решения.
— ~ (Р и Q лежат на ДВ); искомые прямые СР и CQ.
Пусть М не совпадает ни с Д, ни с С и k > 1. Заметим, что
$! СМ т СМ 1 Л СМ
— = "сд" • Рассмотрим три случая: I. == ; II. 0< <
1 тт 1 CM t т СМ 1
< ~k и IIL Т < СА < * L Ь Если СА=Т’ то
ДМ'
два решения: ВМ и ВМ', где М'—точка АС такая, что -^7q =
1 т т. л СМ I
= —j^. II. Если ° < "C/T < Т" ’ то задача имеет два решения:
на прямой ДВ существуют две точки Р и Q такие, что
пл. СВРМ. 1 пл. ДОМ 1
----------= -у-, ---------= . Для построения точки Р
296
пл. А АРМ k—1 k—i
заметим, что-------------= , -j^AC' = ~k~ :
отсюда
построим Hp (высоту изР
..., А пл-
на AM). Аналогично из ------------
1 Hq-AM 1
= — находим —р——- = —, строим
k * AC k
имеет два решения. III. Если, наконец,
HQt значит и Q; задача
1 СМ ,
-g- < £-д- <1, имеем два
решения МР и MQ, причем Р лежит на ВС, a Q — на АВ. Ана-
„ , , kn , тс
логично исследуется случаи k < 1. 55. "уЧ- у •
А3
Eg ------------------------------
sin a COS а (1 + sin а + cos а) ’
57. Нет. 58. 1gа. 59. Из равенства двугранных углов при осно-
вании следует О А = ОВ = ОС = где А, В, С, ... — основания
перпендикуляров, опущенных из О на стороны (О — основание
высоты). Значит в многоугольник основания можно впи-
сать окружность (С), а грани тетраэдра касаются конуса
по образующим SA, SB, SC, ... Двугранный угол между
касательными плоскостями к этому конусу увеличится, если
точку А приблизить к точке В, значит и3 равенства двугранных
углов при боковых ребрах следует, что АВ— ВС ==..., т. е. мно-
гоугольник в основании правильный; он не может иметь более
трех сторон, так как двугранные углы при боковых ребрах в слу-
чае п = 4, п = 5, ... будут тупыми, а при основании — острыми.
Значите основании — правильный треугольник. Теперь можно
взять за основание любую другую боковую грань и повторить
рассуждения.
61. а) х2”—a8fl . б) x*n+l — aafl х*п + а*п^х
х — а ’ х2 + ах + а2
л „ 1 Атс тс тс
62. 1 х 2, х g • 64. q Ч~ g1 , Ал •
66. х = 2. 67. Пусть ABQP — параллелограмм, плоскость которого
параллельна CD; тогда надо из тела CDABQ отнять равные объ-
емы пирамид CABQP и DABQP. Другое решение: объем ABCD—
1
= у • АВ • CD • d • sin а, где d — кратчайшее расстояние между
АВ и CD. 68. 2Л« + у , 2fejc + 2 arc tg у, 2fcit — 2 arc tg 2. 69. Че-
avx + bu% „ lAyj-f-ayal
рез ?= —2~,—2~» наименьшее расстояние будет равно ~ --—.
У — vl
297
70. При X«gfc0 уравнения имеют общий корень х = —у—. При
Х = 0 уравнения общих корней не имеют. 73. Если эта сумма
равна 2, то угол А — прямой, если она <2, то — острый, а если
те
> 2, то — тупой. 74. х = —2, у = kit; х = 2, у=^тс + “2~ .
75. Пусть В'—точка, симметричная точке В относительно CD.
Окружность (В', В', Л) пересекает CD в точке Е; перпендикуляр
тс
из В' на ЕА пересекает CD в искомой точке Л4. 76. 2kn — •
77. р говорят, что раствор р-процентный,
если в 100 г раствора содержится р г соли (а значит 100 — р г
11 11
воды). 78. L_ j) = Zl~ ~ Т и т- д- 79‘ Для 0СТР°-
угольного 1—cos2 А — cos2 В — cos2 С, для тупоугольного
(угол Л—тупой): 1+cos2 Л—-cos2 В—cos2 С, для прямоугольного—-0.
80. Да. 81. 7 час. 24 мин. 82. (4,1) и I — 9,--у I . 83. Если
прямые АВ и CD пересекаются в точке О, то искомое геометри-
ческое место есть контур параллелограмма SQRP с центром О,
для которого прямые АВ и CD служат диагоналями, причем рас-
стояния от вершин S и R до диагонали PQ, не проходящей через
2а
вершину, равны SB' = RR' = ^-д-, а расстояния от вершин Р и
2а тс
Q до диагонали SP равны . 84. -%- + 2fac. Указанием
4 sin2 Зх sin2 х — sin Зх = 5 возможно лишь при sin2 Зх sin2 х = 1,
2d2 4- УУ1 + у?
sin Зх=—1. 85_____________г— s. 86. = 1, *2 = 3. 87. Постро-
iwi (у1 Ф Зу)
ить отрезок равный и параллельный CD, середина которого сов-
падает с серединой АВ и отрезок равный и параллельный АВ,
середина которого совпадает с серединой CD. Соединив вершины
полученных параллелограммов, построим параллелепипед и т. д.
п^/ V а^а* ... а„ тс тс
89. хк = у ........ 92. (12& + 1), (4т + 1).
4 / _ 2\
93. -jg*. 95. а3 1у 2 — -g 1. 96. Сумма данных выражений рав-
на-яг. 97. (4-f/T, 4-^4), (4-^3, 4-^з). 98. d-\-c-
— b — а; это значение (наименьшее) функция принимает при всех
11 2 1
х таких, что Ъ < х < с. 99. -угуs- Ю1- С = — "27* 0,3 ~3~
102. 12+16Z. ЮЗ. Пусть плоскости BSC и ASD пересекаются по
298
прямой /i, а ДВВ и Ds С — по прямой /2; тогда любая плоскость,
параллельная и /2, пересечет угол по параллелограмму.
105. — l<fl<2. 106. 2*. 108. tgх = tg3у = ± 109. у =15.
(х — 6)(х — с) (X —fl) (х—с) (X—fl)(X—6)
ПО. * (a—b)(a — c) -t- D (b_a)(b~c) (с_.
112. — + 2kn. 113. [( A V 5 j”*—11 : [( --Ф Y”+ 1
4 ц\ 2 / I |_ \ 2 J
115. Сечение с наибольшей площадью проходит через середины
не параллельных ему ребер. 116. Х>2у<2. 118. О, 1, —1,
± у 1+ЦХ 120. Ь±-|-arccos(-X).
122. X ( 4П+1 - 1) (lg62 «Н- ТП^-) - 2 (« + 1). 125.
81 (при
х —8). 127. а) Пусть D —середина АВ, С—-подвижная точка,
Q— центр тяжести дДВС, Qo—центр тяжести треугольника ASB.
Так как точка Q делит отрезок DC в отношении 1:2, то геомет-
рическое место этих точек есть луч, параллельный ребру SE и
проходящий через точку Qo. б) Если теперь и точка В переме-
щается по ребру SB, то центры тяжести Qo треугольников ASB
расположатся на луче, параллельном ребру и проходящем через
точку Qo, которая делит отрезок ДВ в отношении 2:1. А соот-
ветствующие каждому фиксированному положению точки В лучи
[рассматриваемые в пункте a)J заполнят сечение трехгранного
угла плоскостью, проходящей через точку QQj параллельно реб-
рам SG и SE. 128. (у, “4")’ (--------Г’ 4")’(1, 0)> (—1’ 0)>
(О, 1), (0, — 1). 129. z1 = 6+17g z2 = 6 + 8«. 130. При а=_3,
х = — 2, 1; при а = — 1, х = О, у = — 1. 132. г = —-~Ь^.,
h= * . 133. (3, 3, 3). 134. 16 км (при 1 час. 15 мин. от на-
чала движения). 136. Наибольшее значение равно 1, наимень-
475 w т?
шее—1/4). 137. -pg км. 138. х = kit + -j- , у = — kit + ;
а
к к х atg’-y-
х= у = —fc!c + -y . Ш. -------141. 2±/3.
2 sin -у
142. Первый. 143. Действительные корни данного уравнения
должны удовлетворять неравенствам: 0 < х < Ь. Данное уравне-
ние эквивалентно при этом следующему:
х == а — х + д — х+ 2/ (а — х) — (Ь — х)
299
или
Зх — (а + Ь) = 2 yf (а — х) (Ь — х).
Действительные корни этого уравнения удовлетворяют условию
а+Ь „ а + Ь
х>—£—. Поэтому, если —g—> 6, т. е. а >2Ь, то уравнение
а + Ь
не имеет корней. Если —g— = 6, т. е. а = 2 Ь> то уравнение
а + Ь
имеет один корень х = Ь. Если а < 2Ь, т. е. —g— < &, то нера-
«+ Ь
венства —g—возможны. Уравнение (1) эквивалентно
следующей смешанной системе:
9х2 — 6х(а + Ь) + {а + Ь)2 = 4 {аЬ — (а + Ь) х + х2],
а + Ь
3
< х < Ь
или
f (х) = 5х2 — 2 (а + Ь) х + (а — Ь)2 = О,
а+Ь
3
(1)
Дискриминант этого уравнения
Д = (а + Ь)г — 5 (а — 6)2 = (а — &)2 / + уТX
fa + Ъ
Х ( а — 6'
ибо два первых множителя положительны, а последний ( Ь > -g-
а
а+Ь , a~h г— ,—
/5 = з- ^5>0-
а~~Т
Значит корни уравнения (1) действительны. Находим:
/а + Ь \ 8
f I ~) = -у (а - Ь) (а - 2Ь) < 0, f (b) = (а- 2Ь)2 > О,
а + Ь
значит между —g— и Ь имеется корень уравнения (1). Но так
а+Ь
как один из корней уравнения (1) явно меньше, чем —g— , то
300
система (1), следовательно, и начальное уравнение имеют только
один корень (действительный)
а+& + / (а+6)2—5(а—6)2
144. х > 2.
145.
* Г а а
у 4 + sin2 -у —2 cos 2
5 sin -у
а. 146. ~
4
147. Первый — больше, второй — столько же, третий — меньше.
На последний вопрос задачи два ответа: или 72 руб., 60 руб.;
48 руб. или 36 руб., 30 руб., 24 руб.
148. х 4- у = г. Ответ. Если а = 0, то х = kit — ; если а = 1,
то х — 2kn + "^f, х = kit + (— 1 )Л — -j- . Если | а ] > 1, то
х = kit + (— 1)* arc sin —— JL. Если | а | <1 (иа^О),
4а 4
то х kit + (— 1 )к arc sin L-----------------------— .
4а 4
149. 6666 (я 4“ 4’ £ 4“’ ^)«
А А —В
2р Sin “n“ cos---Q—
150. а = --------, s = 2р2
В
cos “2" sin (Л 4- В)
Д В А—В
tg ~2" tg - j- cos2
_______________2
sin(i4 4- #)
а 1 / ,________________
151. -^=. 152. -^-(3<г+26/+/9а2 —4с6/+ 462/2).
Указание*. подкоренное выражение всегда положительно. При ис-
следовании квадратного уравнения заметить^ что Ъ лежит между
корнями [f (Ь) <0], а потому надо в качестве и взять больший
корень (ясно, что должно быть v > b). 153. Сумма всех чисел
таблицы —^~п2 (п 4- 1)а. Если п Нечетно, то сумма всех нечетных
/п 4- 1 \4 и \4
чисел таблицы —2—у » а если четно, то \J~2j • 154. & > 3 4~
Л ЦЬ + с)
+2/2. 155. cos ~2“==—. 156. 2 сл<. 157. В сосуде А
п
150 г воды, в сосуде В 200 г воды. 158. k > 1. 159. kit 4- -j- .
160. BC = 2arctgl/r_, D£=Tt +2arctg 1/161. 9± .
r n у n 7
301
162. Подъемы KJ км, спуски 10 км (считая из Я в В).
163 — 1 < х < , L+ /T < X < 2. 164. 2йя, 2kn ±^- .
А л о
а 2а 3
*“• ? 5-4 cos Л ’ У 5-4 cos Л •“>»»< * < « ~
167. ^ki b* +246°?..fefts —kb.. 168. x = 101—lg’. 169. Реше-
yj
2bc cos -s- Гп. ,
ний нет. 170. I = ———— . 171. 10 ел. 172. 20%. 173. У 2(а+2>.
Ь + С 4,—
у а
174. ~ 1 ~ < а < 1. 175. + 2arc tg [m~n (24-/У) 1 ,
2 6 L.m п r J *
5я л , [т — п , а—
~-2arctg[^+^(2+/3)l-
176. cos<p = /Усова, о = abc /—cos2а. 177. 8 км. 178. x=kit +
, b 1 а—1 ..bl а — 1
+ •2"±Tarccos ’ У = -^+ -2“ Т-2-arc cos .
179. 1g 2 = 26 ~ a ,lg5= 1+-2.T-j?. 180. 9(p —(P—6)(P— c)
4 4 r be
и т. Д. 181. _asina 182. /<2aa + 4sa< ± ta .
j/2 1+sin2 а 2t.
183. (a + k)x* + bx + c+kf 4(a + Zz)(c + ^)—62 = 0; это квад-
ратное уравнение относительно k имеет действительные корни
А- [_ (Я + С) ± /(а_С)2+62}.
Ни один из них неравен — а, ибо тогда из 4 (а + k) (^+ k) — b* = 0
следовало бы 6 = 0. Таким образом, прн любом из двух найден-
ных значения k, a + k 0 и
(a 4- &) x2 + бх -[- с -[- & = (a -[- &) (* — Xj)2 =
= [-^а 4- k (х — Xi)]2
yfit + k может быть и мнимым числом). 184. 2k it, 2kit +^-> •
185. та = -g’|/2624-2c2~a2. Из равенства та = следует а = Ь, и
ЗГ
COS-K-
— --------- Ф 187. — 1, I, — L
Seos -g-
302
188. Или а > 1, или a < у. 189. 2Лте+ у. Указание: из дан-
, a(6a4-ca — aa)
ного уравнения сразу следует, что sinx = l. 190. ------------
8s
a
(s —площадь). 191. coscp = tgy. 192. 3 м, 3 м]сек. 193. a> 3 4~
+ 2 у^2. 194. х = kn + у ,
у = —Аж+^-. 195. j/ 6с ^-=-2-
196. 1/ sin-4- sin?£. 197. L 4 кг. 198. Знак равенства имеет
3 F £ 2
, , Stc те , 8те тс
место при х = у = г. 199. х = Ля + у + "4" » у— kit — у + у
. , „ a(62 + c2 —a2)
где ft и s — любые целые числа. 200. -------tz-------.
20b И :1Бв“ :'Ийс‘- 202- 20 час> и 30 час- 203- ₽= /2-
q = 1; р = — >^2 , q = 1; р = i ^2 , q = — 1; р;= — i -^2, q —
= — 1; р = 0, q—i", р — 0, q = — i- Указание', или разложить
х‘4-1=(х2+ I)2 —(х/2)2 = (х2 + х/2 4-1)(х2— х/2+1)=...
на линейные множители и затем перемножать их попарно или
те
выполнить деление х4 +1 на х2 + рх -|- q. 204. х = кк + -j-, у =
= $п + —, я = — (£ + S) те + у; х = /гте у , у = stc +
1 1 13
+ аге tg у » г « те — (k + s) те — аге tg у. 205. -у .
206. у coSa~Gt у sin у j sin (a~“ у) • 207« 27 час и 54 час.
209. ^^72 211. Сторона основания ;
Io 4-f- tga a
2/? sin ос те
боковое ребро j ^ 3 coS'g a * 212. —m — n. 214. 2kiz + у , £те-{~
+ (— 1)* аге sin . 215. 13 и 15. 216. tg у = sin у .
217. 24. 218. Или при p » q =s 0 (тогда = x2 = -^з = 0), или
/ q* p9
(если q qfe 0), то при условии -j-----27 = 9; двойной корень
3^ 3 1
в этом случае равен — . 219. При условии—у < а < у
303
230. у^±
уравнение имеет решение sin 2х = 1 —/3 + 2а. 220. ~'1б9 *
sin (а — 8)
221. 222. Ь 2» 4 или 4> 2, 1- 223. 63 + са3 = 0.
& cos a sill р
224. . 225. (6 + с) ]/"1 — . 226. 2R /cos7. 227. Пер-
4 т со
бый работал 20 час. и зарабатывал по 4 руб. в час, второй —
15 час. и зарабатывал 3 руб. в час. 228. , 3003.
. 231. 2ns j/ 232. q ± / 92 — 2pq ,
q > 2p. 233. 1) 2; 2) 2 x— 1. 234. x = 4. 235. Указание1, про-
должить BA за А на расстояние AD = АС. Тогда в силу — =
а
= “утру ’ треугольники АВС и CBD — подобны.
236. -у s j/'-y s tg а tgft. 237. 2i{—\ • 238. lai- 239. х =
= 170 kiz\ 18 корней. 240. а2 — с (с + b). 241. Ц- abc sin а.
242. п . 10" — .10”~ !°- . 243. х < - 5. 244. 6= —fl/ 5+-^4-
9 2 \ Г cos А 1
+1/5—±А с = « (|/5+ * -/б —4 ). 246. г=1.
г cos Л/ 2 \ Г cos А г cos А)
1 1
247. Через t == сек.; минимальное расстояние будет равно —7— .
z у 2
248. (2у 1), (1, 2), (— 1, — 2), £—2, -1),_(2, — 1), (—2, 1),
(1, -2) (-1. 2), (/б, 0), (-/5. 0), (0, /б), (0. -/5).
л тете
249. А = -у — <р. В = -у , С= -у + <р,
4р sin
а = 13____J , 6= - 2р.... .
/3(1 +2cos<?) 1-4-2COS?
4р sin
с—
3
250. 65. 251. —----. 252. Решение. Получим сначала необхо-
Л + 1
димое условие. Если все три точки совпадут с одной и той же
точкой окружности, то t — v% t = 2/ик, v-l t — vzt = 2az, где m
t>i — m
и n — целые числа, и значит, — ----- = —- — число рациональ-
vi — п
ное. Докажем, что это условие и достаточное условие. Будем
304
считать, что — наибольшая скорость, так что тип — целые
положительные числа. Будем искать целые числа р и q такие, что
Vi I — v2t = 2рл, v1t — v3t = 2qnt
m m
Vi — v2 = — (0г — V3), Vi t — P8 t = — (У1 t — vt t),
~ m m
— 2qr., P= — q-
Отсюда наименьшее значение для q, q = n, а тогда p — m,
2тк
Промежутки, разделяющие совпадения, будут t = ’ ’ ‘ .
253. О <х < , 100 < х < 1 000, х > 100 000.
1 , /73 1/7
254. sin у = ft + -у , cosy = y--
1 , /73 1 /73
sinx— 2+ 70 , cosx—14 10
а , . ( 1 , /73 \
х = 2stc + тс — arc sin I у + 7q I,
У = 2кп + arc sin д + -уу J.
255. тс — 2А, п — 2В, г.— 2С.
256. тс ab sin а /а2 + &2 + 2а b cos а.
п п
257. 8 км. 258. 0, если п — нечетное, (— 1) 2 С 2 , если п —четное.
259. -£/10+ 2/5". 260. А = у + arc sin , В == ^—
Ф 1 . /sin ср\ Л ср 1 /sin <р\ 1 /з"
2 2 arc sin у 2 у ’ "2” arc sin у J . 261. / 2* •
262. 30 000 руб. на 8 месяцев и 20 000 руб. на 12ч месяцев.
г
267. Пусть у —наибольшее из трех отношений
30S
"q и 7”* Тогда достаточно добавить лишь металлов А и В
s(pr'-rp') s(r'q-rq') f г' q'
в количествах х = ---, у=------------------- (в силу у>у
г' р’ „ \ 5
и у > — количества к и у будут положительны 1 . 268. — у <
Л 1 Л а ляфл b sin a cos а
<х<-2, - 2<*<0. 269. у. 270. —Ts.na. 271. ж»-
5 5
= §"» *2 = “4 • Указание: возвести обе части уравнения^ квадрат
(можно также сделать подстановку x = sec<p). 272. Машина At за
1 у 3
= у> У==~2^* 274. Указание: спроектировать ломаную О АС
и ее замыкающую ОС, затем ломаную ОА'С' и ее замыкающую
ОС' на ОС' на ОА' и на ОВ'.
Ответ.
да’ {ab' + a'b) cos а ЪЪ’
cos6 = г ... — •
у/ а2 + d2 + 2ab cos а У а'2 + д'2 + 2а'b' cos а
тса3
275. -у. 276. Указание: выделить из числителя дроби левой
части (после приведения к общему знаменателю) множители а±Ь
и (а—$)а* Замечание: Условие
+ 1
[/(*)+/(*)] <0
означает геометрически выпуклость функции /(х) вниз. Геомет-
х
рически данная задача означает, что график функции у = y^jgi
на интервале (j/T, + оо) имеет выпуклость » вниз (черт. 29).
277. ~2 < х < и * > !• 278. АВ = 6 км. = 120 м[мин9
306
<J2 = 60 м/мин. 279. 0 <а < у, |<«</. 280- ctg а = ctg Л-{*
1 Г а2 1
4- ctg В + ctg С. 281. у Ь2 — . 282. Если — у < k < 0, оба
корня отрицательны; если £ = —-у, один корень равен О,
другой —3; если k<— у, корни разных знаков. 283. AM. =
= 600 км, Oi = 37,5 км/час. о2 = 75 км/час, 284. Если а> 1,
/2гс 48&\
то х = lga (2гс + 4&гс), fc = 0, 1, 2,... и х = lgfl(y + ~у) »
k = 1, 2, 3, ... Если 0<а< 1, единственный положительный ко-
2 гс ____________гс
рень x = lgay . 285.90°. 286. /с2 + а2 — Ь2 . 287. 0<x<g-,
5гс
g-< х < гс. 288. vn = 5 км/час, = 15 км/час, ЛВ = 60 км.
289. — у + 2кп < а < у + 2&гс. 290. ctg < С A D = ctg Л +
sin С т/^б ± т/'2 3
+ sin Л sin В • 29Ь 2 R' 292.-j<x<1 или х< — 1.
293. 6 км/час
и 3 км/час.
1+Z3
294. т = —.
295.
/j rg
(/71 +/Г,)*
о а
cos*T.
296.
1 а
/^arcsinT
297. к > 0 или к < — 4. 298. 336 км. 299. х = у = fcrc-f- (—1)* .
у— а 1
300. 15°, 105°. 301. а уЗ ctg у. 302. 0 < х < arc tgjQ ,
rc < х < rc + arc tg |Q . 303. a' = > AB =
3a(a+b) — с(Да-\-Ь) л л л гс. Згс
= 2 (4а _ V) * • 304. 1) 0 < а < 2 , гс<а<2;
2) а = — у arc sin-g-; при этом второй корень равен
Х2 = cos а + sin а
аг2 2h
3°5. "2 (7~ 4- г2~У *' jTj' 307* Указание1
sin4 х — 6 sin2 х + 8 = (sin2 х — 4) (sin2 x — 2).
307
308. 20 км)час. 309. + х2 = у . 310. tg у tg у = -у. 311. 30°.
я Зя . 1 ± sin а
312. 0 < а < , у < а < 2я, х = lg5 ——-— . 313. 80 м/мин
& ы VUS Сл
и 220 м/мин. 314. Знак равенства имеет место при tg2y = y .
315. tgB = 2tgC. 316. Центр —середина SC, радиус а -/"2?
317. Если а > 1, то х < lga и lga kn < х < lga + knj . Если
я
0<а<1, то ^>lgay. 318. 4 1/2 года. 319. Если 0 < <р <
я я я
< у — оба корня положительны. Если у < ср < у —корни
разных знаков, причем большую абсолютную величину t имеет
я
положительный корень. Если <р = у , то один из корней равен 0,
._ 1 ± sin а а2 4- Ь2
другой /У. 320. R —--g а— . 321. —,
h = //(аа + 62)2 + 4а2 Ь3 — (а2 4- 62).
16 г— ГС
322. у? < k < 2. 323. / pq. 324. 0 < х < -% .
. f R3 4- г3 ± /6Я2г2—Я4 —г4
’* |/ 2
ab -\Г а624-68 —За2&4-6»
326, 6 Г ЗЬ — а
2-УТ 2+/Г
327. Если а>1, то х<а 2 , j<a<r<at х> а 2
2—/Г 2+ V1
Если 0 < а < 1, то х > а 2 , у/"а> х > at х<а 2
— тп + У/п2п2 + 4атп „ (k я t я \
328. — --------------• 329. х = 1g а
(kn 5я\ „ Л «
"з +зб)’ Л = 0» 1, 2, ...
а2Ь2 4- г2 (а 4- 6)2
330. =. 331. SA Jl АВС, следовательно,
ABSjlABC, но BCSA.ABS по условию, значит, линия пере-
сечения BCA.ABS и, значит, BCA.SB, Пусть О —середина SC.
308
Возьмем сферу с центром О и радиусом ОС; В и А будут лежать
10 '
на ней, так как углы при А и В прямые. 332. A>lg3yg .
333. 4. 334. х = + 26тс. 335. 4а /г2 — a2 cos2 .
62 1/3 /-Х
336. --337. Если а>1, то lga v <*<Iga Го + У 3 .
1 / ст * \ *• I
2У
1 (3 \
Если 0<а<1, то или x<lga._, или х > lga ( — 1 .
338. Первый за 100 час., второй за 25 час. или первый за 30 час.
второй за 60 час. 339. Если а > -д , то sin 2х = — а + /"а2 — а 4- 2;
1
если 0 < а < -д-, решений нет.
vUo /1О x-J 1 z у- ।
2 V 2с2 + 2а2 — 62 /2с2 + 262 — а2
48
a (2b ± a) ts
341. —----------v . 342. 249 < р < 4. 343. 50 км/час.
2 у Зо2 — а*
ТС х 2УЗ± -/4Д2 —г2
344. 2^ + т. 345. —......... ... g...........
„ /1 + 2 cos а
346. arc cos--------д-------
1
□--< х < а,
yV
2+ УТз
, 3
2—У13
З47.у Если а>1, то х<а 3
2—УГз
Если 0<а<1, то х>а 3
, 2 + УГз
1 ----о— Л тс 5тс
7—Z > х> а, х <а ° . 348. 88 сек. 349. -к- < х < т- .
/а 6 3
1 /4 \ тс 1 /4 X
350. ~2 arc sin I -у tg a J , arc sin I-д tg а I.
35L ₽/2 ±/^-^2 -4 + 4/10
/3 9
a < —-—g- ^0—, 353. 7 км/час. ^54. 1) 2Лл + arc sin —
2
— arc tg 2 < x < 2&tc+tc — arc sin -7= — arc tg 2;
У 5
309
2 2
2) 2kn + тс — arc sin — arc tg 2 < x < 2fot + arc sin —
, л _ a cos a + b л b cos a 4- a
~arctg2. 355. OP =-, 0Q-------------------—±_,
л.. a2 + 62 + 2ab cos a
0M~--------ж—2"’
357. Если 6>1, то 1 < x < 1g* (1 + V2). Если0<д<1, то
1 > x > 1g* (1 + )• 358. Через 3 час. 359. О < t < ,
Цг</<2гс. 360. Дуга ВС окружности, из точек которой отре-
зок ВС виден под углом тс — А (и еще дуга, ей симметрич-
ная относительно BG при другом расположении треугольника).
1 3 + ГП
861. у (/ 6/?2 — 2г2 ± 2г). 362. Если b > 1, то b2 < х < b 2 ,
л*
Если 0 < b < 1, то Ьа > х >
8— У"Ц
х > b 2 . 363. 25 • 10я.
3 + V11
b 2
864. х = lgc (у + knj , /г«0, 1, 2, ...j
х = lgc ^kiz + , k « 0, 1, 2, ...;
x = ] 9 & =® 1, 2» 3, ...
Из всех этих корней для х = lgc у под знаком логарифма
стоит положительное число меньшее 1. Если с> 1, то этот корень
b 4- с
< 0, остальные >0; при 0<с<1 — наоборот. 365. 1 <—-—<2.
866. -Q-. 367. Понизилась на 1%. 368. Таких значений нет.
о
369. 2kiz -f- g •
тс а2 /2
870. Если В > С, то В = -^ + arc cos-------------»
я I2 4- а2 1/2* За у/^2
S^arccos-^/-. 371. 372. -3 <fe<-2.
. . . 2kn , л
373. х « 1g* kn. х = 1g* -g-, x « lg*“3“ 9 W k — любое целое
310
_______________________ 27cos»p ___ x 2cos n
положительное число. 374. p • 375. sin-g =-g-
cos 2
~ (r — q)(p + r)
376. ^-~)(7+7p р<г<я или
377. x > — , a3 < x < a2, x
kn 1 I/ 1 — a 1
378. ~2 ± ~2 arc sin 2 у —3"~ > 4- < a < 1*
„a л sin2(a —p)cos(a —P)sing (1 —n)(ffln+l)
379< r sin a * 8W’ 16* 38Ь 1— urn*
15 . kit , , kjt
382. 3 <p<^-. 383. x* = lga-4", xK = lgay,
где kf—любое целое положительное число. Если а> 1, то хг <0,
х*>0 (£>1), *k>®- Если 0<а<1, то Xi > 0, х^СО
18 tff В х it
x'k < 0. 384. 25"tg а —* 43 tg ft * sin 2 = sin 7 cos a*
nq 1 2
386. p + q ' 387‘ * < a*» a2 <x <a. *388. При у < b < 1,
. , 1 1± 2/36^2
№ kit ± 2" arc cos-----£--------;
при 1 < b < 2,
u , 1 1—21^36^1
x = kit ± -Д- arc cos--3-
2г» sin’(а+ Р) sin 0
------. 390. Если y — острый угол и если про-
389.
веденная плоскость пересекает &BCD, а высоту DK этого тре-
угольника в точке S, причем SEA = у, то искомое отношение
sin2 a sin2 (у — Р) а (г — р) + г (р+1) 2г
paBH0 5sin2-f sin2(a + p) • 39Е а(р —г)4-р+1 • °<Р<1—,•
392. -у (если течение от А' к В). 393. г(^ — fi)sinO —
л f . Ф2 — Ф1 \ 10 000 .
— 2r arc sin ( sin 6 sin —g-1» —3— 71 w r 2 — 4) km.
394. Центр тяжести G треугольника ABC обладает тем свойством,
> ' > —' >
что сумма трех сил GA, GB и GC равна нулю. Обратно. Если
GA + GB + GC = 0, то G — центр тяжести треугольника ABCf
ибо тогда отрезки GA и GM, где М — середина ВС противо*
положно направлены, т. е. точка G лежит между А и М и
311
GA =2GM. Пусть G — центр тяжести треугольника с вершинами
в серединах сторон Дх Д2, Д3 Д4, Д5 Дв. Тогда сумма сил
GA2, GA3t GAlt GA6, GA6 равна нулю. Если G'—центр тяжести
треугольника с вершинами в серединах сторон А2А3, Л4Д5 и AtA3,
то сумма сил G'Дх, G'A2i G'Д3, G'Д4, О'Дб, б'Д6 также равна
нулю. Отсюда GAt — G'Ai + GA2 — G'A2 + ... =0 или
+ д1бГ+СД2+Д2‘б' + ...==0, илибО'+О6'4- ...==0, 6- GG' =0,
GG' = 0, т. е. точки G и G’ совпадают. 395. х = 2, у = 2.
396. В И раз. 397. t + C0S * + cos р + со?? ‘ 398’
ВР
sin В2
Черт. 30
_ ВВ2 ЕС _ СС2
~ sin D ’ sin С2 ~ sin Е ’
ч ССХ sin Е
= СС, • СС2) = ВВ1 sin D,
BD ВВг sin Е
ЕС ~ ССг sin D ~ ^иб° ВВ‘ ' ВВ* ~
CCt DC BBt BE BD _
sin D"” sin a* sin E ~~ sin a ’ EC ~
= aS, BD • BE = EC - DC, (a 4- AD)(a —AE) == (a+4£)(a — AD)
DC.
(черт. 30). Раскрывая скобки, получим AE = AD.
399. (°, (o, — (1, 1), (-1,-1). 400. 37 час.
40‘- 4 /с-зк+съЬ+iir 403- ~
( 6 /17 \ / 6 /17 \ ,л, 27
\/l7’ 2 )’ \ /17’ ~ 2 / 404‘ 12 ЧаС’ *** 8 ’
407. (1, I), (2/T. /=). (-2/2. -/j).
312
408. В 12 час. 409. Указание: см. задачу № 67 этой главы.
411. 45°. 412. В 17 час. 413. 90°. 415. 45°. 416. 4 мин. 417. 30°.
1—/5 1+/5
418. а< --g---» а>-----2---* 420’ К концу 20/Х.
421. 20/3. 422. х< — 2, — 1 < х < 0, х>^. 424. 5 час.
.9Ч 3/?! Ri Rt_______
' 4(R21 + RiRa + R22) ‘
427.
428. В 11 час. 430. 25 R2 ( 1 —
(т.-з). (4
2 —tgg \
/3 /2 + tg2 а / ’
431. (2, 1).
432. 6 час.
434.
1 + / — cos 7
— 4теа cos4 -g-cosy
/7 17\ / 7 32\
4351 (г ’ 5 ) ’ 5 * ~25/-
„ 120
436. -ц- час.
2s
437. —------- . 439. (—4,6). 440. 104 руб. 60 коп.
1 + COS а + У 3 sin а
/? ~ г
441. 2yrd2 — (R — г)2 +л (Я + г) +(# — г) arc sin—j— .
442. Окружность, или точка, или пустое множество.
443. (5,005; —4,995), (50,05; 49,95).
445. х = (1 + 4k)(1 4- 4k — /(1 +4k)*— 1),
у = (1 + 4k) (1 + 4k + /(1 +4й)2— 1;
x = (1 + 4k) (1 + 4k + /(1 +4й)2 — 1,
у = (1 + 4k) (1 + 4k — /(I + 4й)2 — 1), k = 1, 2. 3. ...
446. 35. 447. sin Д : sin В : sin C = /5 : 2 /2 : 3.
448. (/1 + cos2 а — 1). 449., 1 509 руб. 24%. 450. x = 2йя + j .
3ea s
Указание: sin 2x = (sin x + cos x)2— 1. 451. a= — 3“^» a==^/T’
. — 1±г/3 1 (/3cosa-1)2а
где e = 1, или e =-----s——. 452. v 453. —7~Z=------------•
<5 4 у 3 COS а
454. ЛВ=11, ВС = 19, СЛ= 17. 456. /14. 457. (Л"),
\ о <3 /
/2к 2тЛ -/П /5 3\ /3 5\
I-g- 9 •g' ]. 458. В 5 раз. 459. ——с. 461. I-g" > ~2] » (“2 ’ ЗГ/ •
313
Л J/97 о Л */97
\2+ 2 ’ 2 /’ V~ 2 ’ 2 /*
110 /72 т/2а + с
462. Tq 4вз* 466. 1 час. 3 мин.
4 13 Ну2а + с + су2а — е
35 у / х2 — у2
467. 468‘ <•> . /У=^т । 7ТГ1/* 47°- 500 м-
w 2 2у + у х2 -- у2 + у х2 + у2
а Й
1 а2 sin уetg рsin у
471. х = «, x~af>. 472. ----------g---------
sin у cos у 4-sin у
п
473. х= kn + у , х=* kn— arc tg2. 474. 10 км/час и 40 км/час.
/1 1 \ а 1Г а
475. (6, Ь), (у, уj . 476. |/ 1 + cos‘ у tg2 ₽.
477. x~kn. 478. v± = 40 км/час, v2 = 60 км/час. 479. х=а, у=а2.
I sin а cos а sin kn п
480. ------р--------------• 481. у + р 482. 30 км/час, 60 км.
1 + sin ~2 (sin а + cos а)
483. х = уГа , у » а. 484. *|/ 1 + sin2 а cos2 а tg4 .
485. kn, kn ± 486.
г2 / а \
^S. “j (л + а + 2etg у 1.
aba
16 сек. 487. г о <> . л •
62с2 + с2 а2 + а2 Ь2
489. (4,9), (9,4). 490. 12 кг и 30 кг.
491. у/а2 4-&2 4-е2. 492. г2 (а 4-sin а). 493. (30,6), (35,1).
/ 2 \ те
494. 3 км/час, 15 км/час. 495. а I — 1). 496. sin2-— .
\ у 3 / п
sin —
а п
497. х = 4. 498. 40 км. 499. . 500. --------
о . те
i-siny
801. хх=1, х8 = —1. 502,
тс i/*3 б
1 час. 503. IQ • 504. jg
314
g05. 2Лк + *2“. 506. 90%. 507. R(j' Y ± l) • 508. Решение.
Пусть a — половина угла при вершине; тогда радиус R окруж-
ности, вписанной в треугольник, будет равен
Л а к (тс a al —sin a
К= 2 ^4 ‘~2j='2 cos a ’
Половина отрезка, высекаемого боковыми сторонами треугольника
на касательной, проведенной в верхней точке вписанной окруж-
ности будет равна:
/тс a\ а (1 — sin а)8
«1 = Я tg 4 — 2 J = Т cos® а ’
Радиус второй окружности:
(тс а \ а (1 — sin а)8
Т— ~2 cos®a •
Расстояние от центра этой окружности до хорды, соединяющей
точки касания вписанной окружности, будет
а (1 — sin д)8 а 1 —sin a а 1 — sin a
2 cos8 a ‘ 2 COS a “"T COS a S*n a
_ a . . V
и отношение этого расстояния к Rcosa=^-(1—sin а) должно
быть равно tg 6ОЭ =это дает:
(1 — sin a)2 + (1 — sin a) cos2 a = j/”3 cos8 a,
1 — sin a + cos2 a = у^З COS a (1 + sin a),
(1 — Sin a)2 (2 4~ Sin a)2 = 3(1 — sin2 a) (1 + sin g)2,
(1 — sin g) (2 + sin a)2 = 3(1 + sin g)3
или
(1 — x) (2 + x)2 = 3(1+ x)8, где x = sin g,
или
4x8+ 12x2 + 9x —1 =0.
Полагая x=z—1, получим
4г8 — Зг — 2 = 0-
Пусть г = и + о; тогда
4 (и8 + о8) + (12ио — 3) (и + о) — 2 = 0.
Выберем и и v такими, чтобы 12ut> — 3=0, т. е. uv = , тогда
a® + P* = j, =
315
откуда
1 3Z---— 1 3,--—
u=2^2 + /3, t>=2-]/2 —/3,
значит
^2 +УЗ + V2 — / 3~— 2 •
sin а =------------Q-------,
а потому
а
J = 2tga =
_2__________________|/2 + /з' + У/~2—/3-2______
V4 (У2+ /3 + 1^2 —/з) - (>^2+ /3 + V2-/32)
509. Если vr — объем верхнего чана, и2 — объем нижнего чана,
*/2(315 —1) 1 г.
то t>1:v, = 30:7. 5,°- • 5,ь Тб1 5‘2- k* + ~4 ’
1—/5 км 395л г—
Ь +(— l)fe arc sin-513. 30 — . 514. -^г-. 515. 3R /3 .
2^± V
516. х = 2 2, k= 1, 0, — 1, — 2, — 3, ...
/ 60 1 1 1/ 120/
517. = у+ у + Т V 1 + ~г)>
/60 1 1 1/ 1202 \
Vi=l\t + 2 ~ У г 1 + ~W ) •
518. COS 7 = COS 04 COS «2 + COS px COS p2 + COS Yi COS 72*
519. (2, 2, 2). 520. Уравнение не имеет корней.
N + Р + (N — p)2 4- ~ • 240 pN
521. 1-й, ----------2 (60~~T)--------- колец в мин.;
N — p+j/'fN — p)*+7 -240pV
П-й, --------------|2Q--------------- колец в мин.
•/ a2 + b2 + c2 /— a2 + b2 + c2
522. arc sin............/
i/ a2 + d2 + c2 Ya2 + b2 — c2
arc sin -----------s-v-----------t
316
/ar+b2+c2 ya2 — t>2+c2
arc sin --------------------------*
523. k3 — 5k3 + 5k. 524. x = /гя + “2" , у = — &я + -g-.
/к2р2 + 8ntkpR ± kp
525. вi,2 ~ 2tk
526. cos (fi — cos px cos Pa + cos cos 72 и т. д.
1
/3 . 1
~2“ sin x + у cos x
528. Решение. 4 sin x =----g. - ~ v----
sin Л COS Л
4 sin2x cosx = cos lx
(те
X — y
cos x — cos 3x = cos f x — -g-1,
cos x— cos ( x — y ) ~ cos
2 sin (x —
(те \ /те 1
sin ( -g- — x I = sin I "2 —• 3x
и т. д.
те
Ответ, x = «те + ~g*,
kn те
x=='2~ 12
m2 mL
4^ + ~ts
m , .
± 27 • 530. cos 0 = — ctg a ctg
1
531. Xi — a2 ,
*2 =
532. &те -f- л
a z
Указание: sin 2x = 1 —• (sin x — cos x)2.
533. Пусть vr — скорость самолета, a — скорость ветра, s —
расстояние между А и В. Скорость самолета должна быть
317
направлена так, чтобы суммы равные, v и и' (черт. 31), бы
ли бы направлены по АВ.
Имеем
S3 + ^2 — C0S 45°»
Vj = у2 — 2d fV2 COS 135°.
Отсюда (считаем > v2):
s , s 2s
— 4- “7 =₽ a • — .
v ' v' Vi 9
v + v' 2a
vv' ““ Vi ’
(u2 \
°>-“r]==a4Vl-t’2)2
»1
и полагая — = x, находим:
xa (2x2 — 1) = 2«2 (x2 — I)2
или
I (x) = 2 (a» — l)x* 4- (1 — 4a2) x2 + 2a2 = 0.
318
Так как jF(l) = — 1 <0, то (считаем а> 1) один из корней этого
уравнения < 1, другой > 1, а так как х> 1, то
, / 4а2 — 1 + K8fl2 + 1
У 4(а2 —1)
534. 535. 537. 30 Г4- /900 Т2 4- 60аТ .
538. 2Ая + у, 2Air + я. 539. 2 (/2 — 1).
, / 10 А2—1 — У 80 А2 + 1 ~ к У”15—/I
541.1/ 10 А2 • 542.2Аге, 2Aiti д. 543. 2 .
/S\y 2АТ(р2 —1) л
544. / • 545. ра _ Г) + 2р (Г 4-А) + А — У 546. Ак+2,
,я , 2я 1 1
Ая + ( — 1)’ -g-, 2Ait±-g-. 547. 2" + ^=. 549. 4 точки, 18 см/сек.
2b2 sin a cos2 а (1 4- 2 sin2 а)
550. --------1 4-cos2 а----* а = 4- b - 6- S52- (7’3>-
553. АВ = 840 км, рх = 80 км/час, va —70 км/час,
555. 500 см2. 556. (8,1), (1,8).
Ь2 sin а cos а sin о'2 /₽?
557. 270 км. 558. ---------------------. 559. -"рл-' . 560. Если
« а А “Г Г
cos2 у
|6| > а, то
х = [(/262 —а2 4- а)4 4- (/26 2—а2 — а)4],
У = i К/25» - а2 - а)4 - (/262 - а2 4- а)4].
Если | b [ < а, то система не имеет решений.
661. 15 см/сек, 20 см/сек.
Q cos а ра у2
319
it 2к 7C
664. + (—l)ft ~g~, у = 2stc ± -g-; x=kit— (—l)k -jr,
Л®|/~34sin2-g-—
y = 2src ± -g-. 565. 3mn—m+n — 3 = 0. 566. ---------
4 cos2 g-
567. Уравнение не имеет корней. 568. 20 рабочих, 6 час. в день.
569. 2”/3sin2.a. 570. kn ±-£-. 571. 4. 8, *12 и 12,8,4.
20 —9sin2a 4
572.
у^а2 + Ь2
= й/2 '
573. Если данное уравнение имеет корни,
то Г~1 откуда (а > 0), — — < х < — . Считая, что
1 -1 их и и
1 1
— “ < х < ~, получаем, что данное уравнение эквивалентно сле-
дующей смешанной системе:
а2Ьх2 — 2ах + Ьх — 0, — < х < ~ ,
1 ’а, а
Отсюда = 0. Далее,
f (л) = а2Ьх2 — 2а + 6 = 0, — < х < у .
Это квадратное уравнение имеет корни, лежащие в интервале
— 77» 77 1» если 2° — и /(— ) > 0(ибо коэффициент при
х2 положителен1). Условие f > 0 дает b > а. Итак, если
а < b < 2а, то уравнение имеет корни
л , 1 /" 2а — 6
Xi = 0, х2 3 = ± у ерь *
(в случае Ь = 2а — один корень х = 0). Если же а > b или 6>2а,
уравнение имеет только один корень х = 0.
25 15 9 3 2 (2+cos 3)з
574. 2, 4,8,10 и-2» -у, у. у. 575. Т •
„ , 9ха . / Зх \2 бх2
576. Указание-, + (3 + ^2 = х2 + ) = х* ~ Т+^ +
I / Зх \2 , 6х2 / ЗХ \8 ( 6х2 / X2 \2 , „ X2
+ \34-х) +з + х-^ 3+х) +з+х - \34-x) +6 3 + х-
320
1±/ТЗ — 7±1/35 60
Ответ. --g---» ----2-----* 577’ G1 = "19 * q
a a
s sin-g-+ cos ту-/ 2 cos a
C78. --------------— __
Sin -g + / 2 У COS a
— 35 ± /"2105 — 35 ± /345
------Г--------- . ----4^------• 580. 2. 581. sinO
'—s------5— „ 5k + /25Л2 + 8k
у cos2 a — cos2 <p. 682. x = 2. 583. a-----j-------.
2 *'8(' + /'8 + (r + d)2)8 1 кг2 (r + /r2 + (r - d)2)3
o84- 3 (r + d)2 или 3 (r — d)2
t_ 2 (2p— a) 2p
585. x = 1 + /3. 586. t>i = , vt=~j , AB = 3p—q.
cA /~3 , 3a2 _ f 3m + 2n . , „
587. —j + -4- у -2----. 588. m=3. 589. 448г, 160г, 192г.
590. -у1Л + /5- 591. Xi = l, xi = nn~t. 592. -у, -у»
5 7 ~h3
y, — 593. -g-cos2<p. 594. x1 = — 1, x, = — 8. 595.48 и 51.
596. arc cos (j^~2 — 1) . 597. x » 64, у = -j-. 598. 12 дм и 36 дм.
n . 2 cos a (1 4-cos a) 2 j/-2 cos2 a sin a
599. S = rm2--------r-, v «= —----------075—.
1 + sm2 a 3 (1 + sin2 a)3^2
и 9 час. 16 мин.
600. (2,1), (1,2), (1, —3), (—3,1). 601. 13. 602.
603. (э, |/эО, 9). 604. 23 час. 10 мин.
Ig3-lg2
607. et = 12;
605. (/s + /S1)2. 606. ^+lg(/g_0_lg2.
1 3 a t____
qi = —; a2= — 4, q2 = — y. 608. (4k + a) y/ 4k^^. 609. x=9.
3 h
6,0- To- en- cosa+cosp+cSsr 612- * = 2, y=l.
И Зак. 3478
321
Глава II
УПРАЖНЕНИЯ, ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ К ПРОГРАММЕ
ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВЫСШИЕ
УЧЕБНЫЕ ЗАВЕДЕНИЯ
§ 1. Действительные и комплексные числа
1. По определению периодическая дробь (смешанная) k = О,
а^аг . ak (bt b2... bs) есть сумма
О, as • • • л* + 0, 00 . .. О bx b2 ... bs +
k нулей
0, 000 ... 0 000 ... 0 b2 . . . bs 4“. • •
k нулей s нулей
Это — сумма числа 0, аг а2 ... ak с суммой бесконечно убывающей
прогрессии. Знаменатель прогрессии равен
Значит,
k нулей
л , 0, Ь1 Ь2 . . . bs
— 0, ага2 ... а^ + - цо$______i —
10* 10*~
л _ , Ь2 . . . bs
— и, а±а2 . .. -f- 10*5 —
аха2 .. . ал(1(Н —1) + bxb2 . . .bs
“ ' 99 ... 9 000 ... 0 ~
«знаков & нулей
«нулей
fli<22 • . • а^ 00.. . 0+ 61&2 • • bs— ага2 • • • а^
~ - 99 ... 9 00 ... 0 ~
«знаков £ нулей
а2 . .. ak Ь2.. . Ь$ —- аг а2 . .. а^
“ 99’:.. 9 00 ... о
«знаков £ нулей
« лап 23751 —23 23728 „ Л
Пример. 0,23(751) = —ддддо— =’99900 * 2* ПУСТЬ а>0 и а^х-
Тогда, если х — целое положительное число большее 1, то
ах = а*а... а (х раз). Если х= 1, то ах = а. Если х=0, то ах=1.
Если л —целое отрицательное число, то ах = Если х—pa-
fl х
322
р
циональное число: х == —, где р и q — целые числа (будем счи-
р
тать q > 1, р —любое целое число, дробь — будем считать не-
сократимой), тоа* = |/аР. Наконец, если х — иррациональное
число и а> 1, то ах определяется как число, заключенное между
аг и а#, где г и Р любые рациональные числа такие, что
г < х < /?. В подробных курсах алгебры (см. например. С. И. Но-
воселов, Специальный курс элементарной алгебры) доказывается
существование и единственность такого числа. 3. Если х > О,
то | х | = х, если х < 0, то | х | = — х; 101= 0. 4. См. черт. 32.
Черт. 32
5. Такое число х > 0, что х2 = а. 8. cos—-— + i sin—-—,
k = Qt 1, 2, ..., n—1. 9. 1) Вершина параллелограмма, противо-
лежащая О, стороны которого ОМ± и ОМ2. 2) Середина отрез-
ка МХМ2- 3) Любая точка прямой MiM2. 4) Любая точка, отрез-
ка MiM2, лежащая между точками и М2. 5) Любая точка,
лежащая внутри треугольника МЛМ2М3. 6) Проводим из точки
Mi касательные МГР и MiQ к окружности радиуса 1 с центром
в начале координат; пусть S — точка пересечения МГО и PQ;
точка, соответствующая числу —, симметрична S относительно
*•1
оси Ох. 7) точка симметричная относительно оси Ох.
а2 _ 2аЬ
10. 1) cos 2а + i sin 2а; 2)
11*
323
3) ~1~ 32/; 4) 2; 5)- 2 - I 6) 1;
ZD x Z
7) 2 (a* 4- 6» 4-с») *- 3(aat4-a8c4-fc»a4-6!c4-c8a4-c«h)4-12a6c.
11. l)±(14-0; 2) ±2(1 — 1); 3) ±(2-/); 4) ±(14-41);
s> ±(1—2/); 6) ± <5 4- 60: T) ± (]/?-' kT) ;
» ±J±Z; 9) ,.(1+Д+±=ДД „„.,.2.3.
у 2 \ * ~ /
IT It
12. 1) cos 0 4-1 sin 0; 2) eqs л 4- i sin it; 3) cosy + t"sin у ;
3л ~ 3л /— /те л \
4) cos у 4- i sin y; 5) у 21 cos у 4- i sin у 1 ;
__/Зл 3л \ y— f 5л 5л \
6) у 2I cos у 4- i sin у I; 7) у 2 ( cos у 4- i sin у j ;
8) 2 (cos у 4- i-'sin у ; 9) 3 (cos ,л 4- i sin it);
Г / 3 \ ( 3 \1
10) 5 cos I arc cos у I + i sin ( arc cos *5') p
f/ 3\ ( 3\1
cos I— arc cos-5 j 4- i sin [— arc cos -g-j ;
12) 5 cos I те — arc cos
3\ l_ - / 3
-g-1 4~ i sin I те — arc cos -g-
13) 5 cos 1л 4- arc cos у j 4- i sin I те 4-
arc cos
13. 1) Окружность радиуса 2 с центром в начале координат.
2) Все точки, лежащие внутри указанной окружности. 3) Окруж-
ность радиуса 3 с центром в точке Ml(x19 yl)(z1 = хг +1уг).
4) Все точки, лежащие внутри и на окружности радиуса 1 с цент-
ром в точке (10,1). 5) Перпендикуляр к отрезку Mj/Hg в его
середине. 6) Окружность Апполония (если k Ф 1). 7) Прямая.
14. 1) -i, =Z3+2 ;
2) 1, — 1. —j ± i . 4 ± ‘ :
324
7 | 2 kn + arc cos -g- 2 kn 4- arc cos -g-1
3) / "5 \cos -------7--------+ * siH----------7---— I >
# = 0, 1, 2, 3, 4; 5, 6 (для j/ 5 берется действительное значение)-
15 A = (д + О cos nx— n cos (n + 1) x— 1
x
4 sin2-^
В = (n + 1)Sin n x — nsin(n + l)x
4 sin2 у
16. Вычисления надо вести так: при вычислении левой части
неравенства
X2 X® X®
х-g- < sin х < х — у + 120»
следует левую часть вычислять с недостатком, а правую — с из-
бытком. Подставляя вместо х его приближенное значение, на-
пример,
х = = 0,314159,
следует поэтому в выражение
х3 х5
+120
(в первое и последнее слагаемое) подставить, например, 0,31416,
а в среднее 0,31415; при производстве вычислений следует сумму
X® X3
х + считать с избытком, a -g- — с недостатком, так, что вся
сумма х — ”б” + 12б буДет вычислена с избытком.
тс
Итак, полагая х = 18° = -jg* = 0,314159..., имеем:
0,314163 0,31415s 0,31416®
0,31415— --< sin 18° <0,31416--Hi--+ ~ ion
о о ии
Далее находим: 0,31 416’ = 0,098 695 056 < 0,098 696, 0,31 416* <
< 0,31 416 • 0,098 696 = 0,031 006 523 856, и поделив это число на 6,
взяв частное с избытком, получим: 0,00517- Таким образом
0,31415—0,00517=0,30898<sin 18°. Далее: 0,31 415’=0,0 986 902 225>
325
> 0,09 869; 0,31 415’ > 0,09 869 • 0,31 415 = 0,0 310 034 635. Поделив
это на 6 и взяв частное с недостатком, получим: 0,00516, так что
0,31 415*
0,31 416 — -3—г------<0,31 416 — 0,00 516 = 0,3090.
О
0,31 4165
Вычислим с избытком -----I2Q—. Имеем:
0,31 4165 0,325 1024 • 1024-32 1 048 576 • 32 1049 • 32
120 < 120 ~ 120 • 10»° “ 12 • 10й < 12 • 10» -
33 568 3000 ____
12. io* < 108 — 0’00 003"
Итак
0 31 4153 0 31 416б
0,31 416 — * а -- + -Чол— < 0.3090 + 0,00 003 = 0,30 903.
О ’ 1ZU
Значит,
0,30 898 < sin 18° < 0,30 903.
Ошибка вычисления меньше, чем 0,30903 — 0,30898 = 0,00025.
Остается еще решить вопрос со сколькими знаками следует
вести приближенное вычисление и где производить округления.
Без достаточного теоретического обоснования можно указать, что
X6 7С
так как ошибка не превосходит и пРи х = 18° = jg эта ошиб-
ка меньше, чем 0,00003, то вычисления можно вести с 5-ю зна-
ками. Поэтому для того, чтобы определить с какой точностью
надо вести вычисления, надо предварительно приблизительно
вычислить ошибку, на которую указывают теоретические сообра-
жения.
17.
2,311 -3,501 —2.2,312 + 3,501 ху — 2х + у
2,3122— 3,501 + 2,312 < х2 — у±х <
2,312 • 3,502 — 2 - 2,311 + 3,502
< 2,311а — 3,502 + 2,311
или
6,967 811 ху — 2х + у 6,976624
4,154344 < х2 — у + х <4,149 721
или
1.682;
ошибка не превосходит 0,005. 18. Воспользоваться формулой для.
суммы геометрической прогрессии. Бесконечность множества
совершенных чисел из высказанного положение не следует, так
как не ясно, будет ли бесконечным множество простых чисел
326
вида 2n+I— L Ifc Определение. 20. Алгебраическая теория
ab
строится над полем комплексных чисел. 21. т •,
22.
аг+Ь а
2 ~ сг + d~ с
bc — ad
d tv be—ad
каждое из преобразований: г" = г + —» z"'=c2z*, z = ~тгтг
и г
a tv
[см. задачу Kg 9, 6)], z' = —+ г v окружность переводит в
окружность. 23., Предварительное замечание. Во всем последую-
щем мы будем говорить, что число представлено в виде разности
двух квадратов, если оно равно разности квадратов двух нату-
ральных чисел. 1°. N — простое. Пусть простое число N пред-
ставлено в виде разности двух квадратов:
N = х2 — у2 = (х — у) (х + у).
Так как N делится лишь на 1 и К, то
х — у=1, х + у —
откуда
Эти числа х и у —целые, так как М нечетно. Только одно про-
стое число четно — это 2. Поэтому, всякое простое число, не рав-
ное 2, может быть представлено и притом только одним способом
в виде разности квадратов двух натуральных чисел. 2°. К—нечет-
ное и непростое. В этом случае имеется несколько способов пред-
ставить такое число в виде произведения ДЬух натуральных чисел;
будем называть два таких множителя ассоциированными
делителями числа К. Заметим, кроме того, что так как N
нечетно, то оба ассоциированных делителя N нечетны. Пусть а и
р— ассоциированные делители N, т. е. N = ар. Пусть х и у—нату-
ральные числа такие, что W = х2— у2 « (х — у) (х + у) и значит,
а —р
если а > р, то х •— у = а, х + у = р, откуда х == —— »
Р — а
у =—-—. Таким образом, если а и р — нечетные и не равны
между собой, то х и у — натуральные числа, разность квадратов
которых равна N. Таким образом всякой паре делителей, ассоци-
ированных с W и не равных друг другу, соответствует представ-
ление N в виде разности квадратов двух натуральных чисел.
Итак существует столько способов представления нечетного
непростого числа в виде разности квадратов двух натуральных
чисел, сколько существует пар не равных друг другу делителей,
ассоциированных с W.
Значит существует, по крайней мере, два представления чис-
ла N в виде разности квадратов двух натуральных чисел (одно из
327
них соответствует паре 1, N) за исключением того случая, когда N
есть квадрат простого числа; в последнем случае число Л/ может
быть представлено только одним способом в виде разности квад-
ратов двух натуральных чисел.
Приложение I. N = 25- Число 25 есть квадрат простого нечет-
ного числа, значит, N может быть представлено только одним
способом в виде разности квадратов двух натуральных чисел:
(25 4- 1 \а /25_1 Л
—2—\ —I—2—) = 132 — 122. .II N— 125. Имеется толь-
ко два способа представления числа 125 в виде произведения двух
различных множителей:
125= Ь125 = 5-25,
и значит существует два, и только два, способа представления
числа 125 в виде разности квадратов двух натуральных чисел:
1252=(225_hiy_^!^=±y=63?_62S,
И
III. ЛГ-225. Число'225 может быть представлено в виде произве-
дения двух различных множителей четырьмя способами:
225= 1-225 = 3.75 = 5-45 = 9-25
и значит число 225 может быть представлено четырьмя и только
четырьмя способами в виде разности квадратов двух натураль-
ных чисел:
/45 4-5 Л /45 —5\а
225 = (-f-) 2“) = 252“ 202’
/25 4-9\2 /25 —9 2
225==( 2 ") = 172 —82.
3°. N — четное. Заметим, что если х и у натуральные, отлич-
ные друг от друга числа, то числа х 4- у и х — у имеют одина-
ковую четность и значит из равенства N = (х-^ у) (х — у) следует,
что оба эти числа х + у и х — у — четные (ибо /V— четное), а
значит число W делится на 4. Отсюда заключаем, что если W делится
на 2, но не делится на 4, то такое число 7V не может быть пред-
ставлено в виде разности квадратов двух натуральных чисел.Пред-
положим поэтому, что N делится на 4. В таком случае число N
328
может быть, по крайней мере одним способом, представлено в виде
произведения двух четных натуральных множителей:
У = 2а-2р, где а > р.
Если х и у такие целые числа, что
х + у = 2а и х — у = 2р,
т. е.
*’ = « + ?. У = а —Р,
ТО
N = (х + у) (х — у) = Xs — у*,
и число У представлено в виде разности квадратов двух нату-
ральных чисел, если а не равно р.
Итак, для того, чтобы четное число У можно было предста-
вить в виде разности квадратов двух натуральных чисел, необхо-
димо и достаточно,Ччтобы: Г. Число У делилось на 4; 2°. Число У
можно представить в виде произведения двух четных, не равных
Друг другу множителей.
Четное число, не удовлетворяющее второму из этих условий,
имеет вид произведения 2я*2а, причем это единственное его пред-
ставление в виде произведения двух четных множителей, отсюда
а = 1 и значит У = 4.
Окончательно. Среди всех четных чисел те могут быть пред-
ставлены в виде разности квадратов двух натуральных чисел,
которые делятся на 4 и отличны от числа 4.
Приложение. ЛГ== 672. Число 672 можно представить в виде
произведения двух четных, отличных друг от друга, множителей
следующими способами:
672 = 2-336 = 4-168 = 6-112.= 8-84 = 12-56 =
= 14-48= 16-42 = 24-28,
и значит число 672 можно представить в виде разности квадра-
тов натуральных чисел следующими и только следующими спо-
собами:
1692 — 1672, 862 — 822, 592 —532, 462 —382,
342 —222, 312 — 172, 292 — 132, 262 — 22.
у = 1344 — это число равное 2 * 672 может быть представлено
в виде произведения двух четных, не равных друг другу множи-
телей следующими десятью способами:
2 • 672 = 4-336 = 6 • 224 = 8 - 168 = 12 • 112 = 14 • 96 = 16 - 84 =
= 24 • 56 = 28 • 48 = 32 • 42,
и значит число 1344 можно представить следующими, и только
следующими, способами в виде разности квадратов, натуральных
чисел:
3372 _ 3352 > 1702 — 1662, 1152 — Ю92 882 — 802,
62а —502, 552 — 412, 502 — 342, 402 — 162, 382 — Ю2, 372 — 52.
329
4°. Заметим, прежде всего, что число делителей числа N
= 2тр\гра2*... включая 1 и само число #, равно
i—ti
D = (/n + l)(a1+l)(a2+l)...(a„ + l) = (m+l) П (<Ч + 1).
1 = 1
Теперь рассмотрим случай четного и нечетного AL I. N нечетно:
JV г» р*1р$ ••• Рпп- На основании предыдущего число представле-
ния числа W в виде разности квадратов натуральных чисел равно
числу пар неравных делителей /V, ассоциированных с W, так
как две различные пары делителей N, ассоциированные с N,
дают два различных представления N в виде разности квадратов
двух натуральных чисел, а каждое такое представление N соот-
ветствует некоторой паре делителей, ассоциированных с N.
Рассмотрим два случая. 1 случай. По крайней мере одно из
чисел — нечетное (N — не есть точный квадрат). Число делите-
i=n
лей числа W равно D = П (<*/ + 1) причем в рассматриваемом слу-
i= 1
чае два делителя, ассоциированные с jV, не могут быть равны
между собой, поэтому число различных пар делителей (не равных
между собой), ассоциированных с N, равно
1 i=n
3=2-П(«<+1). (1)
|/=П
2 случай. Все числа а/ четные (N точный квадрат). Делитель у4#
должен быть исключен, он равен ассоциированному с ним, и зна-
1—п
чит, остается — 1+jn («/+ 1) подходящих делителей, поэтому
/=» 1
в этом случае:
1Г 1
3 = у -1+П(«|+1) . (2)
L /= 1 J
П. АГ—четное: W = 2тр\'р*£ ... (т > 2 и все а/ не равны
нулю, если т = 2). Всякая пара четных делителей, ассоциирован-
ных с N, соответствует некоторому представлению 7V в виде раз-
ности квадратов двух натуральных чисел. Две различные пары
таких делителей соответствуют двум различным представлениям
числа N з. виде разности квадратов двух натуральных чисел. Та-
ким образом, число представлений числа W в виде разности квад-
ратов двух натуральных чисел равно числу пар четных делителей,
ассоциированных с N и различных между собой. Рассмотрим
опять два случая. 1 случай. По крайней мере, одно из чисел т
или а/ нечетное (N не есть точный квадрат).
Точное число всех делителей числа N равно
D == (уп + 1) П («/ 4“ 0»
/=1
330
цзначит число всех пар делителей, ассоциированных с /V, равно
. Однако среди этих пар делителей надо исключить те, среди
которых есть хотя бы один нечетный; число таких делителей равно
Z—Л
П («/ + !) (число делителей числа р*£р*£ ... р^п ) . Таким обра-
Z-1
i=n
зом из числа всех пар надо исключить П («/ + 1) пар и значит
Z— 1
t Z=n i=n
S=_(m+1) П (а/ + 1)- П (а/ + 1)
z-1 Z=1
или
j Z-n
s = у(m— 1) П (а/+ I).
Z—1
(3)
2 случай, т и все числа а/ — четные (N— точный квадрат). Де-
литель у/’N в этом случае следует исключить. Число всех пар
различных делителей, ассоциированных с AZ, равно А(— 1 + D),
z—п
но из этого числа надо исключить число пар П (<х/+1), ассоци-
Z-1
ированных с и имеющих хотя бы один множитель нечетным.
Окончательно: в этом случае:
5 =
или
3 = 1
— l+(m —1) п"(а/ + 1)
(4)
Замечание, Обозначим через Е (х) наибольшее целое число,
меньшее или равное х. Тогда формулы (1), (2), (3), (4) можно
объединить в виде одной формулы:
S = Е
। z=n
-у (m —1) н (а/ + 1)
2 Z=1
(5)
эта формула годится для любого числа jV = 2mp*lp2’ Если
т = 1 или если т = 2, а все а/ равны 0 (т. е если N равно 2
или 4), формула (5) дает 5 = 0, что также соответствует случаю,
исключенному из рассмотрения задачи.
331
Пусть, например, N = 225 = З2 • 52,
тогда
S=£ (| — у (2+1)(2+i) |) = £ (yj =4.
Если ДО =125 = 5s, то S = Е (| — у • J) = 2.
Если N = 1344 = 2« 3 • 7, то S= Е • 5 • 2 • 2^ = 10.
Если N = 672 = 2s • 3 • 7, то S = £
-1.4(1 4-1)(14-1)П=8.
§ 2. Преобразование алгебраических выражений
/ 1 + i /3 \( 1 — I /3 \
1. 1) (Х-ЬуЦх--^/—УДх--Т—У}-
„ч I —1+//3 V — 1-«уТ \
2) (х —уЦх-§----У//----2---У]'
3) (х + у)(х — У)(Х +/у)(х—(у). 4) х*4-у4 = х44-
4- 2х2у2 + у4 — 2х2у2 = (х2 -|- у2)2 — (ху 2)2 =
= (х2 + ху у/~2 + у2) (х2 — ху /2 4- у2) =
_!+<
/2
х
\
/2 У)-
( l + z/3 V 1— / Т< 3 \( -1+г/З \
5) (х — g yj 2 У' \ 2 У х
( — 1 _ i /3 \
X Vs--------2-У)'
X _______X2 — 1____ у/х 4- 1 — X — 1
2' х’-1 • 3- X44-X»4-X24-X4- 1 • 4- /ГП4-‘
5. --------х ------- в.
(1 4-х)/1 —х—х2 /14-2х —х2
7. ----------х* 8. -—?-----
(4 — 2х + х2) -|/~2 + 2х — х2 1 + л4
— 3 3
0 п 2 + /2 + /б . -34-7/2-/4 .
»• 1J 4 » х; 23
332
3) 14-3^2 + 2/2 — 10. р + <7* + 1 =0, m =q.
11. 1)<7 = р —1, /п = 0; 2) <7=1, m = ± / 2 — р.
12. 1) (х + 1 + i) [4х8 - (3 + 4<) х + (- 1 + 71)] + 8 - 6<;
2) (х — 1 + 2i) (х* — 2ix — 5 — 2») — 9 4- 8/.
13. 1) (х-1)(х —2)(х —3); 2) (x-l-z)(x—14-z)(x4-l —
- /) (х 4-1 4- i); 3) х4 + 4xs + 4х8 + 1 = Д /2 f„ ft,
где
//24-1 _ //2 — 1
2 ~' J/ 2 ’
+/ф+у^',
//2+1 /'/2'-1
2 11/ 2 ’
4) (х-/3’-/2)(х—/3’+/2)(х + /3-
-/2)(х + /3 + /2).
14. хх = у . х8 = , х8 = — у . 15. q3 + pq + q = 0.
§ 3. Уравнения. Неравенства. Функции и их графики.
4. Для того чтобы имело место предложенное тождество, не-
обходимо и достаточно, чтобы имело место следующее тождество
рх2 + qx + г == А (х — Ь) (х — с) + В (х — а) (х — с) +
+ С(х — а) (х — Ь),
Слева и справа находятся целые рациональные функции вто-
рой степени. Можно доказать, что необходимым и достаточным
признаком равенства двух целых рациональных функций степени
п является равенство их значений для п + 1 различных значений
аргумента (эта теорема вытекает сразу из следующей: уравнение
га0 хп + х"”-1 + ... + ап~ 0 имеет не более п различных между
собою корней). Подставляя в последнее равенство х = a, х—Ь,
х == ct найдем
_ pa3 + qa+r _ pb3 + <76 + г рсг + + г
л~ (а — Ь)(а — с)’ а~ (Ь — с)(Ь — а)' с “ (с —а)(с — Ь)'
На основании указанной теоремы при этих значениях Д, В и С
указанное равенство будет тождеством. Можно было решать эту
задачу и иначе; для того чтобы были равны две целые рациональ-
ные функции, необходимо и достаточно, чтобы были равны их соот-
333
ветствующие коэффициенты. Поэтому можно было раскрыть скобки
в правой части предполагаемого тождества и приравнять соответ-
ствующие коэффициенты при х2, х и хО слева и справа. Из по-
лученных трех уравнений для А, В и С эти последние и будут
определены. 5. Эту задачу можно было решать методом, указан-
ным в конце решения предыдущей задачи. Однако лучше следо-
вать первому способу:
х3 + Ьх2 + сх + d = (Ах + В) (х2 + гх + $>+
+ (Сх + D) (х2 + рх + q). (А)
Подставим в это равенство вместо х любой из корней уравнения
х2 + гх + s = 0. Тогда получим
х3 + Ьх2 + сх + d » (Сх + D) (х2 + рх + q).
Далее
ха = —- гх — s, х3 = — гх2 — sx,
значит
х3 + Ьх2 + сх + d = — гх2 — sx + Ьх2 + сх -{- d =
= (b — г) х2 + (с — s)x-\-d
и То/ х2 = — гх — s, так как
(Ь — г) х2 + (с — $) х + d = — г (Ь — r)x — s(b — r)^
4- (с — $) х + d =“ [с — s — г (Ь — г)] х + d — s (Ь — г).
Далее
(Сх 4- D) (х3 + px + q) = (Сх + D)(—rx—s + px + q) =
= (Cx + D)[(p — r)x+q — s] = C(p — r)x3 + [D(p — r) +
+ C(q — s)]x+D(q — s) = C(p — r)(~rx—s) + [D(p — r) +
+ C(q — s)]x + D(q — s) = [D(p — r)+C(q — s) — rC(p — r)]x +
+ D(q — s) — sC(p — r).
Докажем теперь лемму: если ах + £ = ух + &, числа а, р, 6 —
действительны, а х = « + —мнимое (и и и— действительны),
то а = 7 и р = 8. В самом деле а (и + iv) + р == у (и 4» iv) + &,
аи + £ -J- iva = 7U +& + ivy, значит, оа = иу и так как о =А 0, то
а = y, но тогда из равенства ах 4- р ® ух + S следует £ = &. На ос-
новании этой леммы:
с — s — r(b — r) = D(p — r) + C[q — s — г(р — г)], # (1)
d — s (b — r) «8 D (q — s) -7- Cs (p — r).
Определитель этой системы (относительно С и D) равен Д =
= (q — s)2— r(p — r)(q — s)^s(p — г)2. Так как корни трех-
члена х2 + гх + $ мнимые, то Д^О, причем Д = 0 только при
p = r, q = s, что исключается. Итак, Д ф 0.
Отметим, что мы получим ту же самую систему (1), если
вместо х подставим корень, сопряженный тому корню трех-
члена ха + гх + $, который мы подставили сначала. Таким
образом система (1) имеет и притом только одно решение
относительно С и Dt и при этих С и D соотношение (А)
334
будет обращаться в равенства при * = *t и я = х2,где Xi и *8
корни трехчлена *2 + r* + s. Аналогично составляется система
для А и В и находятся их значения, при которых (и только при
которых) соотношение (А) обратится в равенство при х = х3 и
* = *4, где *8 и *4 — корни трехчлена х2 рх-}- у. Таким обра-
зом существует единственная система чисел А, В, С, D, при ко-
торых соотношение (А) обращается в равенство при x = xlf х =*
= х2, * = *3, х = х4. Но так как xlt *2, *8, х4 попарно различ-
ны, то прй найденных А, В, С, D соотношение (А) будет тожде-
ством. Вычисление С и D, а также А и В рекомендуется произ-
вести читателю.
6. х2 4-х/2 4-1 = 0, (Ах + В) (х2—х/24-1)=1,
но х2 = — х/2 — 1, значит, (4x-f-B)(—2х/2)=1,
— 2/7Лх2 —2/2Вх= 1, — 2/2(—х/7—1)Д —
— 2/2Вх= 1, (44-2/2В)х4-2/7Л = 1, А = ....1 ,
2/7
В = — А /2 — -g- ‘> далее: х2 — х /2 4-1 = 0,
(Cx4-Z»(x24-x/74-l)= 1, (Сх 4-D)2/2x= 1,
2/2Cx24-2/2Dx= 1, 2/7с(х/7—1)4-2/7Dx= 1,
(4С4-2/2 D)x —2/ГС= 1, С = — ~г= ,
„ 4С I
D 2/2 “ ~^2С== 2 *
Итак,
л = 1/7’ в=г> C“_F/F’ о = т-
17 3 6*4-2 3*4-2
* + *4-1 +(*4-1)а х24-*4-1 ““(*2 + *4-1)2’
Решение. Положим
2*—1 АВ С
х (* 4-1)2 (*24- * 4-1)2 “ * + * 4-1 "^ (* 4-1)2
Ex + F Gx + H
+ х2 4- * 4- 1 + (*2 4- * 4- 1)2 ’
2* - 1 = А (* 4-1)2 (*2,4- * 4-1)2 + Вх(х 4- 1) (*2 4- * 4-1 )2 4-
4-C(*24-*4-l)2* + (E*4-F)*(*+i)2(X2 4-*4-i)4-
+ (6*4-Я) *(*4-1)2. (1)
335
Полагая х== О, найдем Л=—1; полагая х =— 1, найдем
С = 3. Подставляя Л= — 1 и С = 3 в (1) получим
2х — 1 + (х + I)2 (х2 + х + 1 )а — Зх (х2 + х + 1 )2 =
= Вх(х + 1)(х* + х+ l)2 + (Ex + F)x(x+ I)2 (х2+х + 1) +
+ (Gx + H)x(x+W
или
х6 + хъ + 2х4 + х3 + 2х2 + Зх = Вх (х + 1)(ха + х+1)2 +
4» (Ex + F) х (х + I)2 (х2 + х + 1) + (Gx-|-Я) х(х + I)2.
Сокращая на х(х4-1), получим
X4 + 2x2 — x4-3 = B(x24-x4-l)24-(Ex4-F)(x4-l)(x24-
4-x4-D4-(Gx + /7)(x4-1).
Если тождеством будет это равенство, то тождеством будет и ра-
венство (1).
Полагая х = — 1, найдем В =7, и значит,
+ 2х2 — х 4- 3 — 7 (х2 4- х 4-1 )2 = (Ех 4- F) (х + 1) +
= (Ех4-Е)(х4-1)(х2 + ^4-1)4-(Сх + Я)(х4-1)
или
— бх4 — 14х3 — 19х2 — 15х — 4 =
= (Ех4-Е)(х4- 1)(х24-х4-1) 4-(0x4-Я) (х 4-1).
Сокращая на х4-1» получим:
— 6х3 - 8х2 ~ Их — 4 = (Ех 4- F) (х2 4- х 4- 1) 4- Gx 4- Я.
Если при известном выборе Е, F, G, Я — это равенство будет
тождеством, то п равенство (1) будет тождеством.
Теперь подставим сюда корень уравнения
х2 4- х 4- 1 s 0; тогда х3 = — ха — х,
— 6х3 —8х2 — Их —4 = — 6(—х2 — х) —8х2 — Их —4 =
6х2 4- бх — 8х2 — 11х — 4 = — 2х2 — 5х — 4 =
= — 2 (— х — 1) — 5х — 4 = 2х 4- 2 — 5х — 4 = —Зх — 2,
и мы получим
— Зх —2= Сх4-Я,
откуда
G = —3, Я = — 2.
Тогда
— 6х3 — 8х2 — Их —4 4-3x4-2 = (Ex + F) (х2 4-х 4- 1),
— 6х3 — 8х2 — 8х — 2 = (Ех 4- F) (х2 4- х 4- 1).
Сокращая на х24-*4"Ь получим:
336
— 6х — 2 = Ex + F,
Если при известном выборе Е и Г, это равенство будет тож-
деством, то будут тождествами и все предыдущие равенства. Но
последнее равенство будет тождеством тогда и только тогда, когда
₽-_6 F = -2 А 1) 2Х + Р - 21 ~РХ~^
£ _ о, г . 9. 1) рх q > ' х2 + рх + q *
_______2х2 + 2рх + р8 -- 2?__
' х* + 2рх3 + (р2 — 2д) х + 2pqx + q2 '
13. 1) Х1 = 3 — 7; х2 =
3)1 ±2/, -4 ±27;
4) ± 4 ± i. 14. Перепишем данное уравнение в виде:
а (ах2 4- Ьх + с) = 0.
Если а (аХ2 + ЬХ + с) < 0, то X лежит между корнями хх и х2.
Если а(аХ2 + ЬХ +с) > 0 и а (2аХ + Ь) < 0, то X меньше меньшего
корня, а если а (аХ2 + ЬХ + с) > 0 и а(2аХ~[- Ь) < 0, то X больше
большего корня. 15. Пусть q > 0; тогда хг < 0 < х2 < х3. 1) В этом
случае X < хг тогда и только тогда, когда X < 0 и X3 + рХ + q < 0;
2) условие Хх < X < х2 будет выполнено тогда и только тогда,
когда или Х<0 и X3 + рХ + q > 0, или, если X > 0, Х3 + рХ-|-
+ q > 0 и ЗХ2 + р < 0; 3) условие х2 < X < х3 будет выполнено
в случае X > 0, X3 + рХ + q < 0 и наконец 4) условие X > х3 будет
выполнено, если X > 0, X3 + рХ + q > 0, ЗХ4 + р > 0. 16. p2^>4qt
1±р + q> 0,| р | < 2. 17. Если корни мнимые, то | q | < 1. 21. 1) Если
р > 0, то функция x3-\-3px-\-q возрастающая на всей числовой
оси; если р <0, то в полуинтервале (— оо, —— р] эта функ-
ция возрастает, на сегменте J—У — pt У — р] — убывает, на
полуинтервале [у/" — р, +ос) — возрастает. В полуинтервале
(—оо, 0] функция имеет выпуклость вверх, а в полуинтервале
[0, + оо) — вниз; 22. 1) х<2 и х > 3; 2) х < — 2, х>1;
3) — 3 < х < — 2, 0<х<1;4)х< —1 и х > 1; 5) — 2 < х < 2;
1 _ _ 1 5
,6) 0 < х <у ; 7) — 1 < х < 1 — /2, 1 + уЛ2<х<3; 8)~^<х<~2 »
х # 1.
§ 4. Прогрессии. Суммирование
л 2 (2 cos х— 1) 4sinx
’• a) 5_4cosx . б) -5—4cosi- 2- ВеРны Х 1’1<Ь
4- (Т— q)i • 5- У = (а2 ~ а1) х + а1> х — 0,1,2,...
337
в. у = a, , х = 0, 1, 2, 3, ... , п, ...
- г Л.Г f-l + «V2\" Г"1 “Z/2?
7. ап = Сх + С2 g j т ь3 --------------------j »
где Сх, С2, С3 определяются из системы уравнений:
- 1 + i V 2
3
Cj + С2
£3
Ci + С2
+ С3
- 1 — i /2
3 — «1,
/-l + Z/2 V /- 1 - / /2 \
, з / -г сз I з / — «3
п 4~ 2
8. а„+1 =2cosx. «„-«„_!• 9. 1) 2(n + D >
• 1 х 1 1
2) gn-ctg 2Й — ctgx,3)/gl — tgjjqpi; 4) 1— т-.—__
§ 5." Логарифмы
1. 6>0, а>0, аф\. 2. 21g | а | + 4 1g | 6 |. 3. 1) 0 < х < 1;
5
2) — т>-<х< —2, х>— 1; 3) х > 1, х< —1; 4) х> 1;
5) — 1 < х < 1; 6) — 1 < х < 1; 7) х < jq , х > 10.
4. 1) x>lg2 2) х> О причем xs£-—3; 3) неравенство
решений не имеет, т. е. lgA.,+1x2<2 при всех (действительных)
значениях х. 5. Корней нет. 6. Геометрический смысл неравен-
ства: график имеет выпуклость вниз.
§ 6. Тригонометрические уравнения,
неравенства и тождества
к тс
1 (X а ф (2k + 1) ~2 , где к — любое целое число, р (2s + 1) ,
где s — любое целое число, а — р^(2р + 1) , где р— любое
целое число. При выполнении этих условий tga, tg Р, tg(a — 3)
существуют, 1 + tg a tg p ф 0 и формула имеет место. Если же не
выполнено хотя бы одно из указанных выше условий, то формула,
указанная в условии задачи, не имеет места. 11. 1) Функ-
ция у—arcsin* определена на сегменте [—1,1]; на этом сег-
338
менте она возрастающая; на сегменте [—1,0] она выпукла
вверх, а на сегменте [0,1] —вниз. 2) Функция y==arccosx
определена на сегменте [—1,1] и убывает на нем; она выпукла
вниз на сегменте [—1,0] и вверх на сегменте [0,1]. 3) Функция
y=arctgx определена на всей числовой оси, и эта функция воз-
растающая; на полуинтервале (—оо, 0] она выпукла вниз, на
полуинтервале [0, +оо) — вверх. 4) Функция у = arc etgх опре-
делена на всей числовой оси, и она убывающая, на полуинтервале
(— оо, 0] она выпукла вверх, а на полуинтервале [0, + °°)— вниз.
те
12. Оба положения верны. 13. Неверно. 14. -g- + где k — лю-
бое целое число. 22. Достаточно исследовать данную функцию на
сегменте [0, те], т. е. в пределах одного периода те данной функ-
ции. Можно даже ограничиться исследованием функции на сег-
[те 1
0, у| , так как значения функции для значений х, еим-
те
метричных относительно х = *2‘, равны между собой. Полагая
те
cos2 х = г и считая 0 < х < 9 получим у = 2г2 — 3z + 1, где
0 < 2 < 1. Эта функция на сегменте 0 < 2 < убывает от 1 до
1 3 1 Л я,
—-g , а на сегменте -у < 2 < 1 возрастает от —-g- до 0. Учи-
тывая, что z = cos2x и что при возрастании х от 0 до , z убы-
вает от 1 до 0, заключаем, что данная функция на сегменте
3
2 = — следует cos х =
4
убывает от 0 до
1 Г 1 1 1 TI
— -g , а на сегменте “§“> *2 возрастает от —-g- до 1. На сег-
[Л те*] Л те
0, "2 имеются два корня данной функции х = 0 и х = ^-«
Отсюда легко построить график.
§ 7. Трансцендентные уравнения и неравенства
те а2 ...
1. х = + 2kit ± arccos 2. х = 1. 3. х = sin 1. 4. х==
== kit + arctg -g*. 5. Если считать основание логарифма всегда
те 2тс
положительным, то х = 2kr. + j, х = 2Ля + у. 6- х,— kn ±
lg3
± lS(/2 + /T)-
7. sin х == 2 ' 2 .8.
*1, 2 —
339
1 тс + -т-
t= ± у ctg уд, x8 = 0, 9. x = 10 , где k — любое целое чис-
/”3
ло. 10. Корнем является любое число, кроме х = -^~ и х =
_________ 2
= _1С1. 11. x=fe«4--^. 12. х = 23 + 2 18« 2 .13. Х1=0, xs=—1.
тс ± угтс2 — 160 а л тса тс2
14. *i 2=tg---------, если lOacyg; если1Оа>-|0,
уравнение не имеет корней. 15. 1. 16. хх ® 1, х2 = 2. 17. х =
±±1/1
= 10 2 г 7. 18. х = (г^ + 1)тс, где k — любое целое число,
тс
19. х = 2йтс, х = kn + (— 1)“ g-, где k — любое целое число.
тс
20. х = 2£тс — ~2 , где k — любое целое число. 21. х — — 3.
1 тс
22. х = ~2 lg6 3. 23. Решение, tg (тс arctgy) = 1, тс arctg х ==+
1 тс
+/гг, arctg х = + kt fc —целое число. Так как —^ < arctgx <
< , то k может принимать лишь следующие значения: k = — 1,
3 1 5
Л=0, №= 1; отсюда хх= — tg-j-, х2 = tg у , х3 = tg -j . 24. Данное
уравнение имеет 10 корней:, *! = ctg j/"-g-, х3 = ctg
. 1/25 , 1/37
*з = ctg у -g-, х4 = ctg у -g-,
. i/49
X6 = Ctg у -g-,
i l/41
X9 = ctg у -g-
x10 —
25. 0 < x < а2 или 1 < x < J3 . 26. 2 < x < 3. ' 27. Q<x <2 — lg2 3
и x > 1.
28. l<x<10. 29. (|. ^L), (i. <>.+«)
30. 1 < x < 2. 31. — 1 < x < 1 или 3 < x < 5. 32. 2< lgx 4,
340
X 1 2 2 1
О < Р < 4 > ig2 (Х -|- р) < lga х • lg2 x lga (x + p) > ’
lg<x+p)*
2 lg2 (X + p) — lg2 X _________X______
lg2 X lg2 (X + p) ’ igiXlgztx + p)-* •
Прежде всего должно быть х > 0. Далее: 1) lg2x>0, если
х> 1 и lg2 х < 0, если 0 < х < 1; 2) lg2 (х-|- р) > 0, если х+р>1,
т. е. х> 1 — Р и lg2 (х+р) < 0, если 0<х+р<1, т. е. 0<х<1— р-
(х + р)3 (X + р)2
3) 1g'—J---> 0, если —------> 1, и так как х> 0, то это не-
равенство эквивалентно следующему: (х + р)2 > х, х2 + (2р—1) х+
+ р2 > 0. Корни этого трехчлена х} 2 ® -у — р ± Р дей-
ствительны и различны ^0 < р < . Далее Xi х2 — р2, Хг4-х2 =
= 1—2р. Так как хг + х2 > 0 и XiX2>0, то оба корня поло-
жительны. Докажем, что оба они меньше, чем 1 — р.
В самом деле: Xi + х2 = 1 — 2р = 1 — р — р < 1 — р.
Значит оба корня меньше, чем 1 — р. Пусть хг —
(х 4- р )2
меньший корень, а х2 —больший. Тогда lg2 —~—> 0, если
(х I р)2
0 < х < х, или х > х2; lg2 -—т—< 0, если х1<х<х2. Та-
гС
ким образом данное неравенство будет выполнено, если 1) 0 < х <
<у —Р —или 2) ^ — Р+]/^- — Р<х<1—Р,
или 3) х > 1.
Глава IV
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
§ 1. Алгебра
2. 1°. у = const, если а = 1 или, ^сли 6 = 0, а = — 1. 2°. у не
меняет знака в двух случаях: или если числитель и знаменатель
имеют мнимые корни, или если числитель и знаменатель обраща-
ются в нуль при одних и тех же значениях х. В последнем слу-
чае у = const, что совпадает с исследованным уже случаем Г.
В первом случае' должно быть выполнено условие 62<4а.
3°. (а 4-1)2— 62 >0.' 4°. а = Ь = —; ограни-
чения на т таковы: тф—с2 и — 1<т<1. 3. Г. На полу-
интервале (— оо, 0] у возрастает от — од до 0; на полуинтервале
Ю, 1) у убывает от 0 до — оо; на полуинтервале (1, yl у убы-
341
. 125 Г 5 1 125
вает от + оо до -j-; на сегменте I -ту, 4 У возрастает от до
32; на полуинтервале [4, +оо) у убывает от 32 до —оо.
2°. хг = 10, Vi = 0; система имеет еще два действительных реше-
ния, если т? 4- 4т > 0. Если т — — 4 или т = 0 система имеет
два действительных решения. 3°. Линия (Р) есть парабола У
== — 2Х(Х —10). Вершина этой параболы (5,50). 4°. Указание:
// = — X2+ 9x4-9 — *
Отсюда целые решения: (0, 0), (2, 32), (4, 32), (10, 0), (—2,
—10) и (—8, —128). 4. Г. Если —< а < 3, то на интервале
(—оо, —а) функция убывает, на интервале а, + оо) — тоже.
Если или а < —g или а > 3, то
/ /2а2 —5а —31
в полуинтервале I — оо, —а — у ——----------|У убывает,
Г 1/2а2 — 5а — 3 \
в полуинтервале — а — у --------s-----> а1 ~ возрастает,
( /2а2 —5а —31
в полуинтервале 1а, — а-}-у -----н----- —возрастает,
,/2а2 — 5а — 3 \
в полуинтервале | — а + у -----------, + оо I — убывает.
_ 1/2а2 — 5а — 3 л
При х = — а— у--------g----функция имеет минимум равный 0,
_ /2а2 — 5а — 3 1
при х =— « +1/ -------g----—максимум равный 0. При а ——
или а = 3, у =— 2 при всех х. Фиксированные точки, через кото-
рые проходят все кривые (—3, 0) и 0j. 2°. Если а = — 1,
то в полуинтервале (—оо, 1 — /2] у убывает от + оо до
— 9 + 4/5; в полуинтервале [1—/5, 1) у возрастает от
— 9 + 4/2 до +оо; в_полуинтервале (1, 1+/2] у возрастает
от — оо до — 9 — 4 / 2; в полуинтервале П+/Т, +<Х>) у убы-
_____________________ 4
вает от — 9—4/2 до — оо. 3°. У — У = jZT’j-► 0 при
] х | -> + оо. 4°. Два корня, если т < — 9 — 4/ 2; двойной ко-
рень (х = 1 + / 2), если т = — 9 — 4/2"; действительных кор-
ней нет, если — 9 — 4 /2" < т < -9 + 4 /2 ; двойной корень.
(х=1—/2), если /и = —9 + 4/ 2^ два различных действи-
тельных корня, если /п>—9 + 4/2 (для графического реше-
342
ния предварительно построить график функции у= — 2х—7—
5- (^i)—прямая у = 2х + 4, проходящая через точки А (—2, 0),
В(0, 4); (П3) — парабола у = 2х2 + 6х + 4 с вершиной
' 3 1 \
—-gj; она проходит через точки А и В; (#_i) — парабола
' / 1 9\
у== — 2х2—2х + 4 с вершиной I — , “^)» она также прохо-
дит через точки А и В, как и вообще все кривые (Пт).
Если т ф 1, то (Пт)— парабола и она пересекает ось Ох
I 2 \
в точке I » 01 и в точке (—2, 0).
Кривая (772) касается оси Ох в точке А (ее вершине).
Парабола (Пт) с вершиной в В есть (77О).
Параболы (77О) и (/72) имеют уравнения
*/=-х2 + 4, (По)
у = х2 + 4х + 4 « (х + 2)2. (Л2)
Их вершины В и Л, а так как они равны и направлены вы-
пуклостью одна вверх, другая вниз, то они симметричны относи-
тельно середины ЛВ. 7. Г. Или т < — 1, или щ > 7. 2°. т< — 2.
Если (С') = (С"), то они совпадают. 3°. Окружности (С') и (С")
касаются внешне тогда и только тогда, когда т < — 2. Сумма
корней s—m—1 тогда отрицательна, значит, если х' —положи-
тельный корень, а х" — отрицательный, то | х” | > | х’ |. Значит
ОМ" > ОМ'. _______
Ответ: Т' Т" — 2 yf— m — 2 . Поверхность, полученная вра-
щением Т'Т" вокруг оси Ох, равна лД, где Д—дискриминант
данного уравнения. 8. 1°. Дискриминант уравнения Д' = 2х — у—2.
Он равен нулю для точек прямой 2х — у — 2=0; эта прямая (Сх)
проходит, например, через точки Л(—1,4) и В(1,0). Прямая (CJ
делит плоскость на две части; для полуплоскости, в которой ле-
жит начало координат Д' < 0 и значит Д' < 0 для всех точек той
полуплоскости (/) от прямой (CJ, где лежит начало координат;
для точек другой полуплоскости (II), Д' > 0 и оба корня действи-
тельны. 2°. у + х2 + 3 = 0 — парабола. Вершина В(0, —3); вы-
пуклость вверх; проходит через точку А. Так как для точек
данной параболы (С2) уравнение (1) имеет действительный корень
(г =0), то вся парабола (С2) расположена в области (II), а так
как она проходит через Л, то прямая (Сх) касается параболы (С2)
в точке А 3°. 2х — у — 2 >0, 1 + х = 0. Линия (С3) есть луч пря-
мой х +1 = 0, граничной точкой которого является точка А и
который лежит в области (II). 4°. Вопрос сводится к исследованию
знака дискриминанта Д' = 2х — у — 2, произведения р==у + х2-|-3
корней и их суммы $ = 2(1+х). Знак Д' уже изучен. Далее:
Р>0 для точек М, расположенных в той области относительно
параболы (С2), где лежит начало координат; р<0 —для внутрен-
них точек параболы. Далее, s>0 для точек М, расположенных
по ту сторону от прямой = 0, где лежит начало координат.
Линии (С2) и (С3) делят область II на 4 части, которые мы
занумеруем (слева направо) так: 1, 2, 3, 4. а) Если точка М лежит
343
в области 1— корни мнимые. Ь) Если точка М лежит на части >
прямой (Ci), ограничивающей область 1, то Д' = О, р > 0, s < О—
уравнение имеет двойной отрицательный корень, с) Если М лежит
в области 1, то Д' > 0, р > 0, s < 0 — уравнение имеет два отри-
цательных корня, d) Если М лежит на части параболы (С2),
отделяющей области 1 и 2, то Д' > 0, р = 0, s<0— уравнение
имеет один корень равный нулю и один отрицательный корень.;
е) Если точка М лежит в области 2, то Д'> 0, р<0, s < 0;
уравнение имеет корни разных знаков, причем больший по абсо;-
лютной величине — отрицательный корень, f) Если М лежит на
(С3), то Д'> 0, р < 0, s = 0. Уравнение имеет действительные^
корни противоположных знаков, g) Если М лежит в области Зг
то Д'> 0, р < 0, s > 0. Уравнение имеет действительные корни
разйых знаков. Бдльшую абсолютную величину имеет положи-'
тельный корень, h) Если М лежит на части линии (С2), отделяю-
щей области 3 и 4, то Д' > 0, р = 0, s > 0. Уравнение имеет один
корень равный нулю и один положительный корень, i) Если М
лежит в области 4, то Д' > 0, р > 0, s > 0. Уравнение имеет два;
положительных корня, j) Если М лежит на части линии (СД4
являющейся границей области 4, то Д'= 0, р > 0, s > 0. Уравне-^
ние имеет двойной положительный корень, к) Если М совпадает
с Л, то z' = zzr=0. 5°. Условие z" =—2z' приводит к уравнению:,
у = — 9х2 — 16х — И.
Обратно. Если у— -&9х2 — 16х—11, то данное уравнение имеет
корни z'— — 2(1-f-х) и г" == 4(1 4-•*)• Линия (С4) есть парабола
/ 8 35\
с вершиной EI — -д-, —-д-1, проходящая через А. Для точек
этой параболы корни действительны, поэтому парабола (С4) так
же, как и (С2), касается прямой (CJ в точке Л. 9. Г. Последо-
вательность и: 1
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,. ..
(«ряд» Фибоначчи).
Последовательность U:
и, bt а + b, и 4“ 26, 2а 4~ 36, За 4~ 56, 5а 4“ 86, 8а 4“ 136»
13а 4- 216, 21а 4-346,. ..
Для выражения Un через ип, а и 6 составим рекуррентное
соотношение:
</„+2 = l/n+I + t/„ (« = 0,1,2,...)
и соответствующее ему характеристическое уравнение:
< 1 ± /"5
х2 — х — 1 = 0, ----g---•
Отсюда общее решение:
„ Z1+/TV „ /1—-/TV
Un e 2 / -1" Сг V 2 / •
344
Так как С/о ~ а» то
Ci 4" Сг —
С1-1+^+с.-Ц^ = ».
следовательно,
и значит,
В частности, при q = 0, 5=1:
1 /1+/Т\п 1 Л1—/5\"
Ил“<5\ 2 / “/5Л 2 )’
и следовательно, Un = bun + аип_j. 2Э. Последовательность s:
О, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, ...
Из соотношения
“п+2=“п+1 + “л
имеем:
«2 == ui + н0,
«з = «2 + «1,
= и3 4” м2>
“п + 2=“п+, + “п-
Складывая, получим:
s— н0 ““и1 + ип+1 + ип+2 = s~ + ип + \ + s>
отсюда
s = “n+2 —!•
Соотношение н„+1 —“« = (— 0“ следует из
1 1 Л—/бЛ" „
ип = -f== ----j — ---2---j .3°. Последовательность г:
°’ 2 ’ 3 ’ 5 » 8 ’ 13 * 21 ’ 34 ’ 55” ••
345
или приблизительно:
0,0000;
1,0000;
0,5000;
0,6667;
0,6000;
0,6250;
0,6254;
0,6190;
0,6176;
0,6182;
un+iun-t~un (—1)"
Так как г„_,-гя----------------------то разность
Гп^.1—г„ для четного п положительна, а для нечетного — отри-
цательна.
Отсюда — последовательность г0, гз, — возрастающая
(начиная с.го = О), непоследовательность ги г3, гб,—убываю-
щая (начиная с гг= 1). С другой стороны, гг — г0 > 0, г9 — г2 > О,
гв — г4 > 0,.. . и так как lim (rn_i — гл) ® 0, то обе последова-
тельности, следовательно, и последовательность г стремится
к одному и тому же пределу. 4°. Из гп. = —— и и .4-wns=
fl A U ц ** *
= н„+1 находим
1 —
«п+1-“« "п+1 1-Г„
?п-1 - и„ - ип - гп •
ип+\
Переходя к пределу (п -► + оо), получим
1 — г
где z = lim гп (> 0). Решая это уравнение (беря только положи-
тельный корень), найдем
— 1 +1/~5
г ~0,6180.
10. х = 8,905 ± / 56,736025;
так как
7,532 < /56,736025 < 7,533,
то
1,372 <jq< 1,373,
16,437 < х2 < 16,438.
346
11. 1°. Существование действительных корней уравнения. Если
/я == —1, то данное уравнение имеет один корень х = 4. Для всех
остальных значений т уравнение имеет два различных действи-
тельных корня, если т #=_1, т ф V 2 и т cjfe —2. При т=1,
Xj == х2 — 0; ПРИ т = V 2, хх = х2 = 3— -/~2; при т =— уГ~2'»
= х2 = 3 + >/~2 . 2°. Значения корней а и р. Если т — 1, то
а = (m — I)2, Р = m j > а>0 (=0 лишь при m=l); Р > 0,
если т > 1 или т < — 1; £ < 0,если — 1<т < 1;р = 0, если т=1.
3°. График а = (т — I)2 — парабола с вершиной (1, 0); выпуклость
вниз. График р = — равносторонняя гипербола с асимпто-
тами т »—1 и р=1. 4Э. Использование графика. Точки, общие
графикам (А) и. (В), С (—/~2, 3 + 2/У), Р(1, 0),
2, 3 — 2j/"2) (они находятся из условия а «В, т. е. факти-
чески уже были найдены в Г). ____
Возьмем на оси От точку М такую, что ОМ = т и обозна-
чим через А и В точки пересечения (если они существуют) кри-
вых (4) и (В) с прямой, проходящей через М, параллельно оси
ординат. Тогда а = МА, $=МВ, и из графика легко усматрива-
ются знаки аир для различных значений т. 12. 1°. и + v = 4 т,
uv — 5т — 1 и т. д. Если т < -у или т > 1, то система имеет
два решения:
«i — 2т — / (4m-l)(m-l) ,
Vi = 2 т + •/" (4m-l)(m-l) ,
«2 = 2 т + / (4m- l)(m — 1) ,
v2 = 2 т — / (4 m — 1) (m — 1) .
Если m =-j-, то одно решение u = t> = -^-. Если m = 1, то —
одно решение и = v ='2. Если m < 1, то система имеет два
мнимых решения. 2°. Решения данной системы будут заключены
между —1 и 1, если оба корня уравнения х2— 4mx + 5m—1=0
будут действительны и будут заключены между — 1 и 1. Это будет
при 0<m<“Y* 13- Функция fm(x) принимает наименьшее
z . (m + З)2 т — 1 _
значение g(m) =—--------- при х =——g—• Этот минимум
< 0 и значит при т ф — 3 парабола fm (х) пересекает ось qx
в двух различных точках, т. е. уравнение fm (х) = 0 при тф—3
имеет два действительных корня. Уравнение fm(x) = Q имеет два
равных корня тогда и только тогда,когда т=—3; при этом£ (т)=0;
при т = — 3 уравнение (х) = 0 имеет двойной корень х = 2.
2°. Графиком функции g(m) является также парабола с вершиной
в точке (—3, 0); выпуклость вверх. 3°. Линии fa00 и fb(x) полу-
чаются переносом одна другой, так как если в уравнении
347
у zs рх2 + qx-f-г менять q и г и фиксировать р, то все получен-
ные при этом параболы будут равны параболе у = рх2.
Точка, общая параболам у = fa(x) и у = fb (х) находится так:
решаем уравнение fa (х) = fo (х), находим х — 2, а тогда у= 0.
Это можно получить сразу, переписав fm (х) в виде
т (х — 2) + х2 — х — 2.
Отсюда видно, что при любом т и Х\= 2 будем иметь у == 0.
4
от 0 до 27 ;
2
14. 1°. При возрастании х от 0 до -д*‘, у возрастает
2 4
при возрастании х от -д- до 1, у убывает от до 0.
Г И Г 1
10, -g-J дуга (S) выпукла вниз, а на сегменте ,
На сегменте
4 — вверх.
4
2°. Если у — h уравнение прямой (£>), то должно быть 0 < h <^j
Предполагая это условие выполненным, заключаем, что а и &
суть корни уравнения х2— х3 = А, заключенные между 0 и 1.
Значит а2 — а3 = h, b2 — Ь3 = Л, откуда а 4- b == а2 + ab + Ь2 или
a -j- b
а + Ь = (а + Ь)2 — ab. Далее, полагая —g— = найдем а + b ==
= 2Х, и значит, ab = 4\2 — 2Х, значит, а и b — корни уравнения
х2 — 2Хх + 4Х2 — 2Х = 0. Из условий 0 < а < 1, 0 < d < 1 находим
12 4
2“<Х<д-. Экстремальные значения для а-^b суть 1 и -д-.
1 —«4-^(1 —а) (1 4- За) 1 + а + / (1 - а) (1 + За)
6 • ° “ 2 ’ 2
Для доказательства того, что s — возрастающая функция от а,
♦ 2 --- 2
следует заметить, что 0<а<-д-. 4°. МА = AM = д-— а и
_________ 2 4
МВ = ВМ = Ъ—-д-, откуда МА — МВ = -д- — (а 4-^) > 0, зна-
чит МА >МВ.
Замечание. При доказательстве того, что s возрастающая функ-
2
пия а, следует, считая 0<а1<а2<-д-, представить s (а2)—
— s (ах) в виде
,2 — 3 (#2 Ч- ai)
(а2 ах) I 1 4“ 7—о ~ г п 1
у У 3^2 4~ 2а2 4“ 1 “F г — За । 4* 2а^ 4~ 1 у
= k —За|+2а2+ 1 4- ]/— 3af + 2^4-1 4- 2 —
— 3 (а2 4- °i)] > 2& —За, 4-2а,4-1 4-2 —€а,) и т. д. (£>0);
рассмотреть два случая: а < -д- и а > -д . 15. Решение. Данная
348
функция не определена при х = — I их=1. Составим разность
у (х») — У (-*1). считая х, < Xi < — 1.
Получим:
, ч (хг — 2)а (Xi—2)’
У (Xi)-у (Xl) = —— ----2---— =
л 2 — 1 х । — 1
(х, —xj HxtX, —5 (х, + хг)4-4]
(х|-1)(х?-1) >0'
значит, в интервале (—оо, —1) данная функция возрастает
от 1 до +оо.
Она возрастает и в полуинтервале (—1, 0], ибо при
— 1 < хг < х2 < 0 следует, что у (х2) — у (хх) > 0.
Исследуем теперь полуинтервал [0,1].
Множитель >
_____________>0
(«1-1) («?->)
значит, знак у(х2)— у(хх) определяется знаком выражения
4Xi х2 — 5(х1 + х2) + 4.
Если в выражении z = 4хх х2 — 5 (jq + х2) + 4 положить
= х2, то оно обратится в нуль при х\ == и х”2 = 2. Исследу-
/ 11 Л 1
ем полуинтервал 10, -g- и докажем, что при 0<*i<x2<-g-,
z>0. В самом деле, очевидно z>0 при = 0 и х2, изменяю-
щемся на отрезке [о, -g-j *» 2>0 при х2 = 0 и х19 изменяющемся
. Далее при хг = -g-, z
на отрезке
> 0, если
и аналогично z>0—при
х2 изменяется на полуинтервале
х2 == ~2 и *1» изменяющемся в полуинтервале 0, ) • Оконча-
тельно: z > 0 на сторонах квадрата в плоскости хх Ох2 с верши-
нами О (0, 0), А , 0^ , В ^2 » У)» С (о, у) (за исключе-
нием лишь вершины В, где z=0). Докажем, что г>0в любой
внутренней точке М квадрата ОАВС. Пусть хг и х2 — координа-
ты М. Проведем через точку М равностороннюю гиперболу и
пусть Р — точка, в которой она пересечет АВ. В точке Р, z > 0,
но в точке М сумма хг 4- х2 меньше, чем эта сумма в точке Р,
произведение же х2 одинаково для точек М и Р, значит z>0
и в точке ДО. Итак, на сегменте £о, данная функция возра-
стает.
349
Исследуем полуинтервал , 1J • Имеем:
4*1 *2 — 5 (хг + х2) + 4 < (xt + Хъ)1 — 5 (Xi + *2) + 4 =
= (Xi + xt — 4) (Xi + х2 — 1) < О,
ибо i- < Xi < х2 < 1, так что 1 < xt + х2 < 2.
А
На полуинтервале jj-g-, данная функция убывает от —3
до —оо. Остается исследовать интервал (1, +оо). Из предыду-
щего неравенства следует, что в полуинтервале (1,2] данная функ-
ция убывает от + оо до 0, для полуинтервала [2, + °°) проводим
рассуждения, аналогичные случаю 0 < xt < х2 < ~ • Данная
функция на полуинтервале [2, + с/>) возрастает от 0 до + 1.
Исследуем функцию на выпуклость вверх и вниз.
Во-первых, заметим, что данную функцию при исследовании
ее на выпуклость вверх и вниз можно заменить функцией
Составляя выражение
и —2 j — у (г (Х1У + г (х2)] =
5___4 *i + *2
__________2______________ Г / 5—4х2 5 — 4хг \
(*г + *2)* | 2 у х| — 1 + X? — 1 у
полагая затем х2 = xt + h, производя упрощения и заменяя
затем h на х2— xit получим:
4xiX2(Xi+x2)—20XiX2-f-12(Xi + x2)—5 (х?+ *|)—10 v »
2 [(*1 + х2)2«- 4] (х| — 1) (х| — 1)
Отсюда видно, что при хг < — 1 и х2 < — 1 числитель отрицателен,
знаменатель — положителен и и<0 — выпуклость вниз.
Дальнейшее исследование выпуклости графика предоставляет-
ся читателю: в интервале (— 1, 1) график имеет выпуклость вверх,
в интервале (1, 4-со) — сначала вниз (до точки перегиба), затем —
вверх.
Заметим еще, что при х-+— оо, у->1, оставаясь больше 1,
а при х -> + оо, у-> 1, оставаясь меньше 1; при х->—1 слева,
у->4»оо, а при х->—1 справа, у->— оо; при х->1 слева,
у->— оо и при х—>1 справа у->4-оо. Все это дает возможность
построить график.
2°. Полагая у = т, получим уравнение:
(т — 1) х2 — 4х — т — 4 = 0.
350
Это уравнение имеет действительные корни, если /«>0 или
т < — 3 (это ясно и из графика). Если т = 1, то х = ~; мы по-
/5 \
лучаем точку , 1 I пересечения графика с его асимптотой
у == 1 (вторая точка пересечения в бесконечности). Полагая
т < — 3 или (т =£ 1) для координаты середины М хорды АВ,
параллельной оси Ох, находим:
1 . 2
* = У (*л + хв) = - ’ у = от!
отсюда
х — 2
У-—Г-
— это равносторонняя гипербола. Геометрическим местом точек М
будет часть этой гиперболы, лежащая вне полосы, ограниченной
_ Л Л . та + /п — 2
прямыми у = О и у = — 3. 17. у = 2т + 1 —-.2 •
Отсюда видно, что изменение у определяется знаком трех-
члена т2 + т — 2.
Если т = 1, у = 3 — функция постоянна (если xqfc-4); не-
определена при х==— 4.
Если т =— 2, у — — 3 — функция постоянна (если х ф 1 и
неопределена при х= — 1).
Если т <—'2 или т>1, то у — возрастающая функция
в интервалах (—-оо, — tn—-3) и (— т—3, +со). Если —2<т<1,
то в тех же интервалах функция у — убывающая., 18. 1°. Рас-
смотрим разность у(х) — Ее можно преобразовать к виду:
у(х) —у(/2) =
_ (2 —4/2 —X) х2 4-(124-2Х) х 4-2Х —2/2~Х — 4 —4/2
х2 — 2х + 2
Знаменатель положителен при всех (действительных) значениях х;
числитель имеет, очевидно, корень х«=|Л2, значит оба корня
числителя всегда действительны (при Х = 2 — 4у^2— только один
корень!) и значит числитель может сохранять знак тогда и только
тогда, когда и второй корень равен Значит данная функция
при х = будет иметь наибольшее значение тогда и только
тогда, когда хг = х2<= У2 ; это дает
/2 + /2 = - --12+1Х ,
2 —4/2—X’
откуда X = 2. При этом значении X:
ха 4- 2х + 2
у~ х3 — 2х + 2
351
(1
х2 — 2х + 2
и разность у(х)— у (ул2) принимает вид
— 4/2х2 +16х —8/2_ — 4/2 (х2 —2/2x4-2) =
х2 — 2х 4- 2 х2 — 2х + 2
_-4/2 (х—/2? 0
х2 — 2х + 2
причем^ знак равенства имеет место тогда и только тогда, когд.
х = /2. Итак, данная функция имеет лишь при X. = 2 наиболь
шее значение при х = V2. Ни при каком другом значении
данная функция при х = у/~2 не имеет наибольшего значения
Вместе с ^гем не существует значений А, при которых данная
функция имеет наименьшее значение. 2°. Исследуем функцию
х2 + 2х + 2
у ~ X2 — 2х + 2 •
Заметим, что у> 0 при всех х. Далее, при замене х на — х
величина у заменяется на -1 . Значит при х =—/2~ функция у
принимает наименьшее значение.
К этому результату можно прийти и другим путем: будек
придавать х лишь действительные значения; тогда у будет такж
действительным; обозначим через х0 какое-нибудь действительное
значение х и соответствующее значение у обозначим через у0.
Составим разность
х2 + 2х + 2 _ (1 - у0) х2 + 2(1 +ус) * + 2(1 -у0)
х2 —2х + 2 —Уо-
Квадратный трехчлен
(1-Уо)*2 + 2(1+уо)х + 2(1-уо)
(будем считать пока, что у0¥= 1) имеет один действительный ко-
рень х = х0, значит и второй его корень действителен и разность,
у — у0 не будет менять, следовательно, знака тогда и только
тогда, когда и второй корень равен х0, т. е.
-8 = 2-т£^=2. «.-±/2.
Мы уже знаем, что при х = /2 функция у имеет максимум. При
х = — /2 будем иметь
4- 2х + 2 4 — 2/2
У~ Уо== X2 — 2x4-2 _ 4 4-2/2 ~
4/2х24-8x4-4/2 _ 4/2 (х4-/2? Q
“ (44-2/2)(х2 —2x4-2) = (44-2 V 2) (х2 — 2x4-2)
и при х=—/2” функция у имеет наименьшее значение.
352
Теперь нетрудно установить, что в полуинтервале (—со,—>/2]
функция у убывает от 1 до (/2—1)\ на сегменте [—>/2, ^2]
возрастает от (у^2—1)2 до 1)2 и на полуинтервале
[^2, 4-оо) убывает от (>^2 +1)2 до 1 (при неограниченном воз-
растании | xj, у стремится к 1). Отсюда легко построить график.
Возможно элементарное исследование выпуклости вверх и вниз.
С этой целью рассмотрим разность
/ Xi + XiX 1 ,
У 2------J~2[y (*i) + У (х2)].
На сегментах, где эта разность отрицательна, график имеет выпук-
лость вниз, а на сегментах, где она положительна — вверх.
Для исследования выпуклости функции
__ + 2
У ~~ х2 — 2х + 2
заметим, что
1________4х
у ~ х2 —2x4-2 ’
у — 1 X
4 в х2 — 2х + 2 ’
и таким образом вместо исследования выпуклости данной функции
можно исследовать выпуклость функции
X
f (X) = х2 — 2х + 2 •
Составим разность
f [f (Хх) + f (X2)J =
Xj -f~ *2
(±±^_(Xi + xt)+2 2 (x?-2x1+2 + x2-2x, + 2
4 (xx -f- x2) (x| — 2xj 4" 2) (x| — 2xj 4" 2) _
2l(x14-x,)2-4 (Xi4-x2) + 8J (x? —2xx + 2) (x| —2x,4-2)
[ (Xi 4- x2)2 — 4 (Xi-4- x2) 4- 8] [ Xi x2 (xx + x2) 4- 2 (xt 4- x2)—4Xi x2]
2 ((xi4-x2)2—4 (xx4-x2)4-8] (x? —2xx4-2) (xf-2x,4-2)
Знаменатель положителен при всех xxji х2. Полагая х2 = Xj 4- h9
представим (после ряда преобразований) числитель в виде:
Л2 [— хх /I2 4- (— Зхх 4- 6) h — 2х$ 4- 12хх — 8]
12 Зак. 3478 3&3
(при преобразованиях располагать выражения в скобках по сте-
пеням А); так как А2 > О (хг Ф х2), то вопрос сводится к исследо-
ванию знака выражения
z = — Xj йа + (—Зд;2 + б) Л — Зх® + 12хх —8
или, заменяя А на х^-х^х
z = (6 — х: х2) (Xi + х2) — 8.
Заметим, что при равных друг другу хг и х2 — это выражение
обращается в следующее:
г = (6-х|) . 2xj— 8 = —2х® + 12X1—8;
корни этой функции: —1 — ^3, —1+т^З.и 2; естественно по-
этому рассмотреть 4 случая:
I. Xi < — 1—У^З, х2 < — 1—у^З;
II. — 1 — /3<Xi< — 1+/3, — 1 —/3<х2 < —1+/£
III. — 1 х2 -С 2, — 1 “I* 3 х, 2;
IV. Х!>2, х2>2.
Докажем, что в каждом из этих случаев z сохраняет знак,
точнее: в случае I z > 0; в случае II z < 0; в случае III г > 0;
в случае IV £<J). Отсюда следует, что в полуинтервале
(—оо, — 1—3] . кривая выпукла вверх, н£ сегменте
[— 1 — /3, — 1 + У~3] — вниз, на сегменте [— 1 + у^З, 2] — вверх,
а на полусегменте [2, 4-оо)— вниз. I. Если хг < — 1 — у^З,
х2 < — 1 — УТ, то полагая
Xi == — х, х2 = — у,
будем иметь
z = (ху —6) (х + у) —8,
причем х>1 + УТ£ у>1+у^3 (за исключением №=у=1 + -/*3).
Но х + у>2уЛху, значит,
z>(xy—6)2уЛху—8=2(уЛху+2) (/ху— 1— /з) (/ху—1+/3).
Так как х>1+/У и у>1+/1Г (за исключением х = у=1+/3),
то /ху> 1 + /3, и значит, z>0. II. Пусть
— 1 —/3^ < Xi < — 1 -h /3, — 1 — /3<х2< — 1 + /S'
(исключаются значения хх = х2 = —1 —/3 и == я2 == — 1 +/§)•
Имеем: z == — х2 х| + (б — х|) xi + — 8. Если х2 < 0 (и разу-
354
меется >— 1—/§) то квадратный _трехчлен ? относительно xt
приХ1=— 1—/3 и хх =— 1+/3 имеет значения:
г(_1—/3)= (/3+1) х| +(2 — 2/з)’х2—14-6/3^=
_2 [х| — 2(2— /3) х» — 2 — 4/3] _
/3—1
_ 2 (х2 + 1 +/~3) (х2 — 5 +/~3) п
/3-1 <и
при всех xt, Xi < 0 (и конечно х2 > — 1 — / 3),
z(-l+/3) = -(/3-l) х| + 2(/34-1) Ха+6/3- 14 =
_ —2х| +2(4 + 2/~3)х2 +4 — 8/3 _
/3 + 1
2 (х2 - /3 + 1) (х2 - 5 - / 3)
/5 + 1 <0’
если х2 < 0 (и х2 — 1 — У"з).
Но при х2 < 0 коэффициент при х% в выражении
z = —- х2 xf + (б — х|) хг + 6x2'— 8
будет > 0, и значит — 1 — Уз" и — 1 лежат между корня-
ми функции z = z(x1) и потому г будет <0 при всех х19 заклю-
ченных между — 1 — уТТ и__ —• 1 + Уз? Итак, г < 0, если
— 1 — У3 х2 0 и — 1 — У3 Xj -“С — 1 У3»
Аналогично доказывается,*_что г<0 в «прямоугольнике»
— 1—Уз<Хх<0 и — 1 —УЗ < х2 <1 + УТ (впрочем это
следует и из того, что z есть симметричная функция от хх и х2).
Остается рассмотреть «квадрат»
0 х^ 1 -j- У^ 3, 0 х2 — 1 -j- У3»
Заметим сначала, что г<0на сторонах этого квадрата. В самом
деле, если например хх = 0, то z=6x2—8<0 при 0<х2< — 1+/3
(аналогично г < 0, если х^ = 0, а 0 < хх < — 1 + /”3)>
Далее, если хх = /З”— 1, то
2=[б —(/3—1)х2] [/3—1 + х2]-8 =
- 2 [х2 - (/3~- 1)] [х2 - (/3~+ 5)1 , п
~ _ /з + 1 <0’
если 0 < х2 < /3 — 1.
12* 355
Аналогично доказывается, что если х2 = — 1, а 0 < хг <
< уЛз"— 1, то z < 0.
Докажем, наконец, что z<0 в квадрате
о < Xt < у^з—*1, о<х2<угз — 1.
Возьмем внутри квадрата т
нее равнобочную гиперболу Хх х2
В таком случае
ку М (хх, х2). Проведем через
С и пусть эта гипербола пере-
секает стороны АВ и АС в
точках Р и Q (черт. 33). В
точках Р и Q по доказанному
г < 0; при движении же точки
Р по гиперболе в направлении
к Q сумма х^ + х2 сначала убы-
вает до точки S, затем воз-
растает, значит, при перехо-
де от точки Р к точке М
произведение хгх2 не изме-
нится, а хг + х2 в точке М
будет меньше, чем в точке Р,
значит значение z в точке М
будет меньше значения z в
точке Р9 т. е. z в точке М
будет отрицательно. III. Пусть
1 4~ у^3 2,
1 + у^З <х2 <2.
Z=(6 — X1X2)(Xi + х2) — 8 > (6-—хх х2) • 2у<х1х2 ~8 =
= — 2 (у/х1х2 — 2) (у/ Ху х2 + 1 4- у/" 3) (уЛхх х2 + 1 — у/~3) > 0,
ибо —: 1 + уЛ3 < у/ Xi х2 < 2. IV. Пусть, наконец, хх > 2 и х2 > 2.
На лучах Xi^>2, х2 = 2 и х2^2, хх = 2 сразу легко показать,
чтог < 0, а далее в области хх^>2, х2^>2 надо взять любую
точку (хх, х2), провести через нее равностороннюю гиперболу,
ввести в рассмотрение точки пересечения гиперболы с прямыми
Xj = 2 и х2 = 2 и т. д. (как в случае II).
Таким образом произведено исследование линии на выпуклость
и вогнутость, а вместе с тем находим и точки перегиба (при х =
= — 1 — /3, х = — 1 + /3 и х = 2):
Mi (— 1 — /3, 2 — / 3), М2 (— 1 + /3, 2 + / 3), М3 (2, 5).
3°. Уравнение у = /и имеет вид:
х2 + 2х 4- 2
х2 — 2х 4- 2 т
или
(т — 1) х2 — 2 (tn + 1) х 4- 2 (т —-1) = 0.
356
Легко установить аналитически, что корни этого уравнения
будут действительны тогда и только тогда, когда
(}/2 — 1)2 < т < (><2’+ 1)2.
Впрочем это легко видеть и из графика [(j/2— 1)2 и
(j/2^4" О2 — наименьшее и наибольшее значения функции у].
Пусть М' (х', т) и М” (х", т) — точки, в которых прямая
у = т пересекает график; координаты середины отрезка М'М'
будут
х’+х"
х = —2—» У = т
или
т 4-1
Х=-^ГГ, У=т,
откуда
[при т = 1 прямая у = т будет асимптотой графика данной функ-
ции; эта асимптота пересекает график в одной только точке (0, 1)].
Линия у = у—-р есть равносторонняя гипербола.
Так как параметр т изменяется в пределах (у/2—1)2, до
то геометрическое место точек / есть две дуги гипер-
болы, заключенные между прямыми
у = (/2 —1)2 и у =(/2 +1)2.
Гипербола у = —проходит естественно через точки максимума
х2 -4- 2х -I- 2
и минимума графика функции у = - 2—19. Ответ.
Г. В цолуинтервале (— оо, —5] у возрастает от —оо до 4; на
сегменте [—5,—1] у убывает от 4 до 1 и в полуинтервале
[—1, 4“°о) У возрастает от 1 до 4" оо. В полуинтервале [—оо,—3]
выпуклость вверх, в полуинтервале (—3, 4-со) выпуклость вниз.
2°. Число значений и знаки х при заданном у.
Если у< 1, то имеется одно значение х < 0.
Если у=1, то имеется два значения х\ одно<0 другое
равно — 1.
Если
м
1 < у < _гг_— три отрицательных значения х.
32
со
у== —-- — два отрицательных значения х и одно я = 0.
о2
со
< у < 4 — три значения для х, два отрицательных
о2
и одно положительное.
Если у — 4—два значения для х, одно отрицательное ж = —5
(двойной корень) и одно положительное.
Если
Если
357
Если у > 4 — одно положительное значение для х. 20. 1°. Ре-
шение и исследование системы. Складывая и вычитая почленно
данные уравнения, получим систему, эквивалентную данной:
2(/п2+1) х —(/n +I)2 у = 0,
(zn2 —1)у = 2 (m2 + 1).
Если т2 = 1, т. е. т = ± 1, то система йесовместна.
Если т2 ф 1, т. е. т 1 и т — 1, то
/п-4-1 2(/п2+1)
х~ т — 1* У ~ т2 — 1 '
2Э. Прямые (AJ и (Д2). Переписывая данные уравнения в виде:
(/л2 + 1) (х 4- 1) — т (т 4-1) у «= 0, (Г)
(tn2 4- 1) (х — 1) — (/тг 4- 1) у = 0, (2')
видим, что все прямые (Дх) проходят через точку Лт (-— 1, 0), а все
прямые (Д2)— через точку Л2 (Ь 0)- При т = —• 1 уравнения пря-
мых (Д1) и (Д2) будут х = —1 и х = 1—это прямые, проходящие
через точки Лх и Л2 параллельно оси Оу, а при т = 1 уравне-
ния прямых (Д1) и (Д2) будут х — у = —1 и х — у=1—-это
прямые, также проходящие соответственно через At и Л2 парал-
лельно биссектрисе координатного угла хОу. 3°. Соотношение
между координатами точки Р, не зависящее от т.
Из соотношений х = 2?i-L, у — ^та находим т =
т — 1 т2 — 1
х । I 1
= ,.Т—, и затем, у = х4~—• Эту линию точка Р описывает
X — 1 X
в целом, ибо каждому значению х (кроме х = 0 и х= 1) соответ-
х 4- 1 ш +1 /
ствует значение т — > откуда х = т_р I т Ф 1, ибо при
х1 | 1 \
т = 1 получаем 1 = j- , х — 1 = х 4- 1 ); это значение х #= 0
(по предположению), поэтому
_ m + * т~1 2 .(/п2 4- 1)
У “ /п—1 + т4-1 ~ т2 — 1 ’
т. е. выбранная на линии у = х 4- ~ точка, есть точка Р. Далее,
при х = 0, у = х + X — не определен, а при х=1, у = 2; эта
точка также является точкой пересечения прямых (Дх) и (Д2),
а именно следующих: х = 1 и х — у + 1 = 0.
Построение графика у = х4- X. График симметричен относи-
тельно начала координат. В полуинтервале (0, 1 ] у убывает от 4- оо
до 2, в полуинтервале [1, 4-°°) возрастает от 2 до 4“°°i в ин*
тервале (0, + °°) график имеет выпуклость вниз.
358
Df»i f'Ct
21. 1°. Значение отношений» —-L и » Заметим, прежде
а а
всего, что точка В' не существует тогда и только тогда, когда В
является серединой PR, а значит тогда и только тогда, когда 6 —
острый угол и ВС = РВ. В этом случае имеем:
PC = 2РВ cos 6, следовательно, т = 2 cos 0.
Так как 0 < т < 1, то это равенство возможно тогда и только
К к
тогда, когда Аналогично. Точка С' не существует
тогда и только тогда, когда угол 6 острый и ВС = PC. В этом
случае: РВ = 2РС cos 6 или l = 2/ncos0 или m = 2 c6s 0"
те
Отсюда 0 <"з“«
Предположим, что точки В' и С' существуют. Тогда
ВВ’ ВР Г BR
i = -i- . _±-
СС' СР 'Г CQ ’
Отсюда —- ~B? • BR ВВ’ = 2 =—= , BP+BR9 'СР- CQ СС' = 2 =—== . СР + CQ
Замечая, что BP = — d, CP = —md,
— — md
br — bp -f- PR — a 4- cos q ,
, d CQ = CP + PQ = -md+ cos6 ,
находим
d m —2cos0’ d 1—2mcos0*
Эти выражения имеют смысл, если, как это было у казано, т отлично
1
от 2 соз6и2^9-
Полагая cos 6 = X, имеем:
~ВВ7 п Х — т СС7 „ тХ—1 „ 1О ч,
~<Г=2 И^2Х> —^2т\-2тХ - И. 1’. а) (условие, при
359
котором ВВ' = СС') Предположим, что
BF"=CC77
тогда
(X — т) (1 — 2тХ) = ю (m —2Х) (mX —1)
или
2mXa (т — 1) + X (1 + 2/па — т3 — 2т) + т (т — 1) = 0.
Сокращая на т — 1 У* 0, получим:
2тХ2 — Х (1— т + т3) + т = 0
или
т (2Х2 + X + 1) = X (1 + т3),
и так как т 0 и X =# 0, то
т+^ = 2Х+ у + 1. (Г)
Производя выкладки в обратном порядке, получим ВВ' = СС.
Значит условие (lz) — необходимый и достаточный признак равен-
ства ВВ' == СС.
Замечание. Так как т > 0, то
1 / 1 \2
М = т + — = у т-----7=) + 2>2,
т \ у mJ
Г- 1
причем знак равенства имеет место лишь при ут — -т=г = 0»
у т
т. е. при тя1. Отсюда и из равенства (1') следует, что X > 0,
и значит 6 — острый угол.
1 / ___ J \2 __
Далее: У = 2Х + = ^/2X— + 2/5>2/2, при-
чем знак равенства имеет место лишь при •/ 2Х — —= = 0, т. е.
V X
ирвХ»^.
Для упрощения последующих исследований изучим функции
М и У.
Изучение функции М. Пусть Л1о и Afx — значения М, соответ-
ствующие значениям т = mQ и т = т19 заключенным между 0 и 1.
Тогда
К Ml 1
значит
ЛЛ —Mo — l
/Пх — та тхт^ < и
860
и значит функция М (т) на полуинтервале (0,1] — убывающая.
Далее:
М(т)0+ Mjrnr) /m0 + mt \ _ (mt — т„)г
2 2 j ’
и значит график функции
М = гп + ~~
‘ т
в полуинтервале (0,1] имеет выпуклость вниз. Заметим еще (это
понадобится в дальнейшем), что если т изменяется от 0 до -к , то
£
5 1
М убывает от + оо до у, а если т возрастает от у до 1, то М
5
убывает от до 2.
Изучение функции У. Пусть Уо и Уг— значения функции У,
соответствующие значениям Хо и Х\ переменной X таких, что или
0<Хв<7Т’ 0<Х1</р
или
^<Х0<1, ^<Хх<1.
Тогда
У1-Ур 2X^0-1
Хх-Хр- XjXp *
Если Хо и Xi лежат в полуинтервале (0, , то это отноше-
ние отрицательно, и значит У на полуинтервале ^0, — убы-
вающая функция. Если же Хо и Xi находятся в полуинтервале
Г I \ у- __ у
1у , то > 0, и значит в этом полуинтервале функ-
ция У — возрастающая.
Заметим, что если X возрастает от 0 до то У убывает от
, то У убывает от 3
+ оо до 3; если X возрастает от -^до
361
до 2 У2 и, наконец, если X возрастает от -4= до 1» то У воз-
растает от 2 2 до 3. Далее,
У (Х1) + У(Х0) v /*1 + ХоА _
2 \ 2 /
2Х1 + ^-+2Х2+А
-
о Хо+Х1
2
2
Хо + Хх
(Хр-Хх?
-Х0Х1(Х0+Хх)>и’
и значит функция У (X) в интервале (0,1) выпукла вниз.
Все это дает возможность построить графики функций М (т)
и У (X) (выполнить графики на одном чертеже, совмещая оси От
и ОХ, а также ОМ и ОУ).
Заметим, что линия У (X) лежит целиком выше линии М (т),
так как при а > 0 мы имеем: 2а + “ > а + ~ • ч) Определение т9
если X дано. Если X дано, то известен У и значит т — корень
уравнения: /i(m) = ma— т (У 4-1)+ 1 = 0. Исследование.
Построим на одном графике функции М, Y19 У3 = У +1.
Кривая (Ух) будет целиком выше (М). Возьмем на линии (У^
точку с координатами (X, УО и пусть (DO—прямая, параллель-
ная оси ОХ, проведенная через эту точку. Решить уравнение
^(т) = 0—это значит, найти абсциссу точки пересечения (DJ и
(М); Из графика видно (впрочем, это можно установить и чисто
аналитически!), что каково бы ни было X такое, что 0<Х<1,
существует и притом только одна точка Мг пересечения (D0 и
(М) расположенная к оси ординат ближе, чем выбранная точка
(X, УО; ее абсцисса mlt следовательно, меньше X. Далее, орди-
ната Ух больше или равна 2 j/^2 +1, а так как 2 у^ 2 + 1 > у,
/1 5\
то точка Mi ближе к оси ОУ, чем точка ”2 ) лИНИИ (М)* По-
этому тг < . Окончательно. Для всякого значения X, заклю-
ченного между 0 и 1, имеется и притом только одно значение
т (0< т < 1), удовлетворяющее уравнению (1'). Это значение тх
меньше и X и .
Так как произведение корней уравнения (т) = 0 равно 1, то
У + 1 — /Уа + 2У^-3 У + 1 — /(У —1) (У+3)
wi ~ . 2 — • 2 •
Р) Определение X, если т дано. Если т дано, то М = т + ~
известно и X, есть корень уравнения (Х)= 2Х2 — (М — 1) X +
362
_}_ 1 = 0. Исследование. Воспользуемся предыдущим графиком.
Пусть Mi точка линии (М), абсцисса которой равна т и проведем
через точку Мг прямую (Dt), параллельную ОХ. Решить уравне-
ние gi (X) = 0—это значит, найти абсциссы точек, общих (Di) и
(У1)« Пусть т0 и тд —абсциссы точек линии (М), ординаты ко-
торых равны соответственно 4 и 2 ^2 + 1. Из графиков получаем
следующие выводы: если т < т0, прямая (DJ пересекает (У\)
только в одной точке 7ИЬ и значит уравнение gi (X) = 0 имеет
только одно решение; оно больше т и меньше у. Значит это
меньший корень уравнения gx (X) = 0, и так как произведение
корней этого уравнения равно 1, то
М — 1 — /М2 —2М —7
Л - j ,
1 1
причем т < X'
Если т = т0, уравнение имеет два решения X' =-g и X" — 1.
Только одно решение X' = у удовлетворяет условию задачи и из
1
графика ясно, что т0 < X' = у • Если то < т < то> имеется два
решения X' и X"; при этом,
т<у <Х' <^-<Х\
Если т = , имеется двойное решение X' = X" «= , причем
т'0<Х' = Х".
Наконец, если mQ < т — решений нет.
Значения т0 и mQ — это наименьшие корни уравнений:
_ 4zn + 1 = 0 и т» — (2 /2 + 1) m 4- 1 = 0,
т. е.
т <> 2/2 4-1—1^5 4-4/2
то = 2 — у 3, т0 = —Е—J---3----!—I------
2°. а) Условие, при котором ВВ' -|- СС' == 0.
Пусть условие
ВВ7 + СС7 = 0 (2)
выполнено. Тогда
(X — т) (1 —2mX) + m (m —2Х) (mX —1) = 0
или
— 2тХ2 (т + 1) + X (1 + 2m2 + т» + 2т) — т (1 + т) = 0
363
и сокращая на m+1:
2mX2 — (tn* + т + 1) X + т = О
или
X (tn* + 1) = т (2Ха — X + 1),
и, так как т О и X Ф О, то
m + -~ = 2X + (2)
Так как все проведенные выкладки обратимы, то полученное ус-
ловие (2') не только является необходимым условием соотношения
ВВ'+СС' = 0, но и достаточным. Заметим между прочим, что
если т>0, то и X > 0, и значит, 0 —острый угол. |3). Опреде-
ление т, если X дано. Если X дано, то дано У = 2Х + и т есть
корень уравнения f2 (т) = т* — т (У—1) + 1 == 0. Исследо-
вание. Построим на одном и том же графике линию (7И) и ли-
нию (Уг)» полученную из линии (У) переносом У2= У — 1:
у2=у —1 = 2Х+-^ — 1.
Эта линия целиком выше линии (М), так как если 0<а < 1, то
1 1 1
2а + 1 = а + “— (1 — а) < а + у .
Мы можем провести все исследования на соответствующем гра-
фике вполне аналогично тому, как это было сделано в (п., 1°,».
Таким образом можно получить, что если X < , то
w. У-»-/(У-3)(У + 1)
причем X < m2t а если < X, то решений нет.
7) Определение X, если т задано. В этом случае X — корень
уравнения
g2 (X) = 2Х2 — (М + 1) X + 1 = 0.
Оперируя так же, как и в (п., 1°, 7) с помощью соответствую-
щего графика, приходим к выводам: если 0</п<1, то
у, Л1 + 1 —+ 2Л1^7' .
причем X' <т и X' <~2> III. 1°. Изучение функций
х — т тх—\
364
Изучение этих функций не представляет никакого труда и с точки
зрения их возрастания и убывания, ни с точки зрения выпуклости
и вогнутости их графиков. Отметим лишь следующее: если х изме-
няется от — оо до 0, то у убывает от — 1 до — 2; если х возра-
Л т
стает от 0 до , то у убывает от — 2 до — оо. Если х возрас-
ти
тает от до т, то у убывает от + оо до О, и если х возрастает
от tn до + оо, то у убывает от 0 до — 1.
Далее, если х возрастает от — оо до 0, то г убывает от — т
до — 2m. Если х возрастает от 0 до , то г убывает от — 2m
1 1
до — оо. Если х возрастает от т^до то г убывает от -f- оо до О
и, наконец, если х возрастает от ~ до + оо, то г убывает от О
до — m. j
Постройте соответствующие кривые (Г) и (Д) длят =4-.
2Э. Точки, общие линиям (Г) и (Д). Если эти две линии имеют
общие точки, их абсциссы являются решением уравнения у — г.
На основании (II, Г, 7) это уравнение можно записать в виде:
gl (х) s 2х2 - (М - 1) х + 1 = О,
где
1 ml
м = т+т’ Х*Ъ>Х*2^'
Дискриминант этого уравнения:
81= (М- 1)а—8 = (М-1—2/2) (М— 1 + 2/2).
Второй множитель положителен, значит, уравнение gx (х) = О
имеет действительные корни тогда и только тогда, когда
Л4> 1 + 2/2
или
т2 —(1 + 2/2)т + 1>0.
Корни этого трехчлена:
т e 2/2+1-/5 + 4/2 1
2 то
причем 0 < mjj < 1 < —г. Если 0 < m < m^, уравнение gi (х) =
то
= 0 имеет два различных действительных корня, т. е. линии (Г)
zax Г ml
и (Д) имеют две общие точки! эти корни отличны от-^ и так
365
f tn \ /И + 1 л I 1 \ + 1 _ 1 „
как £i ^|=“>0Hgl (2^) = ~2^Г>° ]• Если m=mo »
M — i
уравнение gx (x) s= 0 имеет двойной корень x = —4— = -у и
линии (Г) и (Д) касаются в соответствующей точке. Если т0 <
<т<1, уравнение не имеет корней, а линии не имеют общих
точек.
Точки, общие линиями (Г) и (Д'). Линия (Д') есть график
функции — г. Линии (Г) и (Д') имеют следовательно, общие точки
тогда и только тогда, когда уравнение у =—г имеет действитель-
ные корни. На основании (II, 2°, 7)— это уравнение можно пере-
писать в виде:
g2 (х) s 2ха — (М + 1) х + 1 = О,
них заключено
больше 1, ибо
копни отличны
где М==т+~, причем х^-^ и x^^f. Мы видели, что
при 0 < tn < 1 это уравнение имеет всегда два решения. Одно из
между 0 и -£ (см. II, 2°, 7). Другое, следовательно,
1 v
произведение корней равно • Кроме того, эти
m 1
от 2и 2^’ иб°
(tn\ 1 —m л I I \ т — 1
*Ц2/“ 2 > °’ £а\2т) = 2т <0,
Значит рассматриваемые линии имеют всегда две общие точки.
Рекомендуется построить на одном чертеже графики (Г), (Д)
и (Д'). IV. Г. Тип биссектрис ВВ' и СС’.
Известно, что в треугольнике АВС сторона ВС видна из
центра окружности, вписанной в этот треугольник под тупым
л А
углом равным у» и эта же сторона видна из центров вне-
вписанных окружностей под острыми углами у-‘•у или .
Значит, если cos0<O, т. е. 0 — тупой угол, Р есть центр ок-
ружности, вписанной в треугольник АВС. В этом случае ВВ' и
СС'— биссектрисы внутренних углов треугольника АВС.
Предположим теперь, что cos 0 > 0, т. е. что 0 — острый угол.
Точка Р в таком случае — центр окружности, вневписанной в тре-
угольник АВС. Далее, угол РВС~ острый (РВ > РС)\ так как
те л
PBQ^-^, то точка С лежит между Р и Q и, следовательно,
Q — также центр окружности, вневписанной в треугольник АВС.
Поэтому прямая СС', которая проходит через Р и Q — также бис-
сектриса внешнего угла.
366
Наконец, точка R— также центр вневписанной окружности,
если Р и R лежат по разные стороны от В, т. е. если PR > РВ9
значит > d или (cos 0 > 0), cos 0 < т.
Окончательно: если cos9<0, ВВ' и СС' биссектрисы внутрен-
них углов; если 0 < cos 9 < m, то ВВ' и СС' биссектрисы внешних
углов; если m<cos9<l, ВВ'— биссектриса внутреннего угла,
а СС' — внешнего. 2°. Треугольники PQR, РВС, AQC, ABR по-
добны.
Четырехугольник QRBC, вписанный в окружность с диамет-
ром Точка Р есть точка пересечения двух секущих PQC и
PRB, а значит А РВС Л PQR, причем вершины этих треуголь-
ников записаны в порядке их соответствия.
Аналогично, используя вписанные четырехугольники PRAC
и PQAB, докажем, что ДЛфС ~ &PQR и Л ABR ~ Л PQR, при-
чем вершины записаны в порядке их соответствия. Из треуголь-
ника РВС находим:
ВСI 2 = РВ2 + PC2 — 2РВ • PC*cosO
или
а2 = d2 + m2d2 — 2md2 cos 9,
откуда
a2
= m2 — 2m cos 0 + 1.
Так как
/\AQC~&PBC, to AC • BC = PC • QC.
Выше (см. I) было доказано, что
I 1 ~ m CQS в
I cos 0
значит
ab = md2
1 — m cos 9
cos 9
откуда
ab 11 — m cos 91
d«' = m| cose I’
Аналогично из подобия треугольников РВС и ABR находим:
# \т — cos 9
АВ • ВС = BR • РВ, где BR = d ——
и значит
откуда
ос т — cos 9
da ~ cos 9
367
л a2 ab ас , а
Выражения -р, З2”’ П0ЛУчаются умножением a, Ь, с на и
потому эти числа можно рассматривать как длины сторон тре-
угольника, подобного треугольнику АВС. 3°. Характер ВВ' и СС',
если выполнено одно из соотношений (Г) или (2').
Мы видели в части И, что если выполнено одно из соотно-
шений (Г) или (2'), то 0 — острый угол. Отсюда следует, (см. IV,
Г), что СС' в этих случаях всегда биссектриса внешнего угла.
Кроме того, соотношение (Г) может быть выполнено лишь в слу-
чае m<cos0, а соотношение (2') лишь в случае (см. II, Г и 2°)
т > cos 0.
Отсюда следует, что если выполнено соотношение (Г), то ВВ'
есть биссектриса внутреннего угла, а если выполнено соотношение
(2'), то ВВ'—биссектриса внешнего угла (см. IV, 1°).
Случай АВ = АС. Треугольник АВС в этом случае равнобед-
ренный и так как РВ > PC, то точка Р лежит на биссектрисе
внешнего угла А. Следовательно, ВВ' и СС' биссектрисы разных
типов. Только соотношение (1') может быть выполнено и т <
<cos0<l. Стороны АВ и АС соответственно пропорциональны
cos0 — т и т (1 — mcosO) и раз они равны, то
cos 0 — т = т (1 — т cos 0)
или
(1 +т2) cos 0 = 2m.
Это соотношение можно записать и так
у = 7И,
А
где
X = cos 0, М = т + -- .
Вопрос сводится к решению системы:
1 2
2Х + + i = М, = М
или
2Х» + X — 1 = 0, = М.
Корни первого уравнения:— (эторешение не годится) и-^-. Значит
1 к
cos 0 = X = и 0 = "з ,
значит 7И = 4 и потому т = /п0 = 2— у^З (см. II,1°, 7)—меньший
корень уравнения /и2 — 4/и + 1 == 0.
Построение треугольника, подобного треугольнику АВС. На
основании IV, 2° стороны а и b = с треугольника АВС пропор-
циональны числам
т% — 2/770 COS 0 + 1 = 77/q — /77О + 1 = 3 (2 — /3)
368
и
— w0+ 2-
-----j-----= 1 — 2/и0 = 2 |<3 — 3,
2"
следовательно, числам у^З и 1. Поэтому в треугольнике АВС мы
имеем: В = С = 30° и А = 120°. 4°. Случай т = при условии вы-
полнения соотношения (2).
В этом случае (см. П, 2°, 7) X = cos0— меньший корень
уравнения
7
2Х2 — X + 1 = 0
или
4Х2 — 7Х + 2 = 0,
т. е.
cos0 = X = 7~/17 .
8
Результаты, полученные выше (см. IV, 2°), позволяют написать
[заметим, что cosO<m(lV, 3°)]:
7 —/17 . . _ 3 + /Т7
- 4 g--+ 1--------g--,
ab _ £ / 8 £\ _ 5 + /17
2 \7 —/17 2/ 1 ’
££ _ 4 _ 1 _ /17— I
& 7 — /17 8
и кроме того:
7 — /17 _ 1 _
ВВ7 = — СС7_ 2 8_____2 _ 1 +/17 .
d d' 1 7 — /17 4
2 “---4--
Построение треугольника, подобного треугольнику АВС.
Стороны такого треугольника пропорциональны числам
3 + /Т7, 5+/I7 и /17—1.
Достаточно построить Поэтому треугольник со сторонами с =»
= ] 17—1, а = е + 4, 6 = с + 6, что, конечно, легко сделать
с помощью циркуля и линейки.
369
§ 2. Алгебра с тригонометрией
начала
1. Решение. Г Линии (Гх) и (Г2) симметричны относительно
координат. ~
а— Г
2Э. Если
то в полуинтервале
функция у убывает
от а до
на сегменте
— оо,
2
с-1 1 + al а2 +1 а2 + 1
jrpj» 1 д I она возрастает от ——— до ——» в полуин-
Г1 +а , \ * а2 + 1
тервале I » +00 ) — убывает от —— до а. Если а > 1, то
/ 1 .
в полуинтервале I — °°, I Функция у возрастает от а да
а2 + 1 Г1+а а—11 а2 + 1
—2—, на сегменте j—I функция у убывает от ——
а2 + 1 Га — i .
до ——2— и в полуинтервале gTjrp + 00
а2 + 1 , х2 — 1 '
— —2— Д° й- Если а==1> то У = ^2 ^,"1 >
у возрастает от
в полуинтервале
(— оо, 0] функция у убывает от 1 до—1; в полуинтервале [0, +оо)
функция у возрастает от —1 до 1. Замечание. Каково бы ни было
а^хО функция обращается в нуль при х = а и х = ——; при х=
= 0, у =— а*9 наконец, она принимает значение у = а, при
2а
х= \~а2 и при х °°’
Частные случаи: 1) а = 0, у = ~2 > в полуинтервале
(— оо, — 1] у убывает от 0 до на сегменте [—1,1] у возра-
стает от—^-до^-; в полуинтервале [1,+°о)у убывает от
до 0.
Случаи 0=2", а = 2 следуют из общих рассмотрений.
3°- У= 2cos*a'sin2<?-~a)- 4°- * = 2cia'sin2to“e)’
^ = 2^Tsin 2 G*+£““)’
Уз = 2ЕБ^ sm 2^1-3
Отсюда У1+у2 + Уз = 0, т- е- точка пересечения медиан тре-
угольника М% М3 всегда лежит на <оси Ох.
370
Абсцисса центра тяжести (х — абсцисса AfJ:
*1 + *2 + *з 1 / , /3 , /з
3 “3 I +1_--+IL — -
I /з- 1+/з
1/ , „Зх* + Ц
— 3 ^* + 2 3—*» / •
Отсюда и из соотношения x = tg? заключаем, что в полуин-
([ тс \
О» gjy возрастает от 0 до + оо, в интервале
те те \ /тс 5те\
6* 2 )У В03Растает от — оо до + оо; в интервале l^, "q J У воз<
/5те "1
растает от —оо до + оо и в полуинтервале l-g, те [у возрастает
от — оо до 0. 2. А == 33 т2 — 36 т + 4, f (— 1) == — (2 m2 — 3 m—2),
f (1) = — (2 m2 — tn — 6); А обращается в нуль при m' =
18 — 8/3 18 + 8/3" д л
=------23--- и m* ==-----23---» A < 0>если
18 — 8/3 18 + 8/3"
33 <т < 33
Далее /(—!)== О прит = —и т = 2; /(—!)> О при
1 3
— 2~<т<2; /(1) = 0 при т = — и т = 2; /(1)> 0 при
— |- < т < 2.
Очевидно
33
Таким образом надо рассмотреть последовательные интервалы
/ 3\ / 3 1\ / 1 18 —8/з\
\ — оо>“ 2/’ \~"2’ ""2/’ \~2’ 33
/18 — 8/3 18 + 8/Т\ /18 + 8/3 А о , v
\ 33 9 33 ) 9 \ 33 ’ 2/ <2’ +оо)
3
и их граничные точки: а) если т< — КОРНИ уравнения дей-
ствительны и различны, а числа —1 и 1 заключены между ними;
371
ч 3 1
в) для —у <т<—-корни уравнения действительны и различны;
* 2
число
—1 заключено между ними, число 1 не заключено между
1 18-8/3
с) для — g- < т <----gg---- корни уравнения действитель-
различны; ни одно из чисел —1 и 1 не заключено между
ними;
ны и
ними. Для того чтобы узнать буду^ ли оба корня меньше —1 или
оба корня заключены между —1 и 1, или оба корня больше 1,
s т — 2
рассмотрим их полусумму 2"=—g—; она < — 1 для /л< —6,
заключена между —4 и 1 для —6 < т < 10 и больше 1, если
т > 10. Так как рассматриваемые сейчас значения для т заклю-
s
чены в интервале (—6, 10), то — 1 < -% < 1, и значит, оба корня
2
также заключены между —1 и 1; d) для -----------33—
18 + 8/3' х 18 + 8/3
<-----------корни уравнения мнимые; е) для------gg----
1 18 — 8/3 ,ч
те же выводы, что и для — < т <----------33-----1 О Для т > 2
3 3
те же выводы, что и для tn< — g) для m =j один из кор-
ней равен 1; другой, поэтому, равен произведению корней р =
= — у; h) для т = —один из корней равен —1, следова-
тельно, другой равен произведению корней, взятому с обратным
3 ,х 18 —8/3" 18+8/3"
знаком, т. е. — p = g-; 1) для т =-----gg--- и т =-----------
уравнение имеет двойной корень, j) для т = 2 корни уравнения
—1 и 1. 2J. Если заменить cos и буквой х, то получим уже
3
изученный квадратный трехчлен f (х): а) для т < — уравне-
ние (1) имеет корни х' и xWz такие, что х' < —• 1 < 1 < х", значит
/(х)<0 для всех значений х таких, что — 1 < х < 1 и значит
неравенство удовлетворяется при всех и, 0 < и < к; Ь) для
4<И<-1 уравнение (1) имеет действительные корни такие,
что х' < — 1 < х" < 1. Значения х, при которых f (х) < 0, будут
— 1<х<х" и значит неравенство удовлетворяется, если
1 18 — 8/3"
arccos хп < и < тс; с) для — ту <т<------33----- уравнение (1)
имеет действительные корни х' и х" такие, что — 1 < х’ < х" < Г
и значит f(x) < 0 при х' < х < х", т. е. неравенство выполняется,
18—8/3'
если arccos х'> х > arccos х"; d) для ----------------< т <
372
18 + 8/3
<-----33------корни уравнения мнимые и значит неравенство не
. х 18-j-8/3
имеет решении; е) для ----------< /га < 2 те же заключения, что
1 18 — 8/3
и для — 2 < т <------зз---1 О Для т > 2 те же заключения, что
3
и для т < — неравенство (2) выполняется при всех значе-
3 5тс
ниях и. Зэ. arccos Уб < u <-g-. 3. у = х+1 прямая линия; эта
прямая пересекает тригонометрический круг (круг радиуса 1
с центром в начале координат) в точках В (0, 1) и А'(—1,0);
х— у 1 > о или у < х + 1 для точек дуги А' В, расположенной
под прямой В А' и х —у + 1 <0 для точек дуги Л'В, располо-
женных над этой прямой. Таким образом, cos ср — sin ср + 1 > 0,
ТС
если2ятс— тс < ср < 2 Лтс + g-, cos<p — sin ср + 1 < 0, если 2 6тс +
+ 5 < ? < 2 к* +
§ 3. Планиметрия
1. Очевидно, прежде всего, должно быть 21 < а, что мы и будем пред-
fl!
полагать выполненным. 1° BS == CS' — — I* 2Э. Геометриче-
ское место центров I вписанных окружностей есть хорда JK ок-
ружности, построенной на ВС, как на диаметре, перпендикуляр-
ная к ВС (за исключением ее концов); это следует из того, что
угол BIS изменяется от тс до~^. Геометрическое место центров Г
окружностей, вневписанных в угол Л, есть часть прямой, проходя-
щей через 7очку S' перпендикулярно ВС за вычетом хорды/'К',
которую эта прямая высекает в окружности, построенной на ВС,
on г а к* + 1 . , а № + 1
как на диаметре. 3°. Ъ = к2 + /, c = ~" I* так как
Ь + с>0, то к > 1. Обратно. Если k> 1, то b > 0, с>0 и
t 11 Га*
о — с <а < b + с. 4°. /• = —|/ -j—/2; строим окружность на
ВС, как на диаметре. Зная b — с—21иа можно построить точку
В; полухорда SJ этой окружности, перпендикулярная ВС, есть
/а*
4——Z2; затем, зная г, построим окружность, вписанную
треугольник (ее радиус SI). Условие возможности построения:
r < S/ или к> 1. 2. 1°. Геометрическое место точек <о и <*>'— ме-
Диатрисы (Д) и (Д') отрезков АВ и Л'В. Пусть К—точка пере-
373
сечения Оо> с (Д); тогда Н^-НК = —ОН2. С другой стороны, тре-
угольники ОЯ'со' и ОНК гомотетичны, значит
ТГ^ ОН1
~НК “ ОНГ :
отсюда Н<о • //'о/ = —ОН • ОН' = const. 2°. Поляра точки «
относительно (О) вращается вокруг полюса Р прямой (Д) относи-
тельно (О); аналогично поляра точки <»' относительно (О) вра-
щается вокруг полюса Р' прямой (Д) относительно (О); огибакн
щие вырождаются в точки Р и Р'. Точка / пересечения поляр точек
<о и со' относительно (О) описывает целиком окружность постро-
енную па РР', как на диаметре. 3°. В инверсии (В, ВА • ВА')
окружности (w) и (<о') переходят в AM и А'М.
Окружности (ш) и (ш') равны тогда, когда точка М лежит на
перпендикуляре к АА' в его середине. 3. Г. (Со) — окружность,
построенная на АВ, как на диаметре. 2°. Окружность (С) можно
определить как геометрическое место точек М таких, что (ЛМ,
МВ) == 0 (mod л), где 0 — какой-нибудь угол, который можно счи-
тать заключенным между Онли который, в силу того, что (С)
х Я
не совпадает с (С°) отличен от .
Если М'—образ М в указанном преобразовании, то
(М’А, М'В)=*(М'А, МА)±МА, M'B)(modz)
= (М'Л, М4)-Ь(М4, MB) (шобл) =у + 6.
Значит точка М' также находится на некоторой окружности (С'),
проходящей через А и В; точка М' описывает целиком (С') в то
время, как М описывает целиком (С). Окружности (С) и (С')
соответственно касаются в точке В лучей Вг и Вг', определен-
—► —► —> —> л
ных условием: (ВА, Bz) = Q, (ВА, Bzf) + так как
эти лучи Вг и Вг' перпендикулярны, то (С) и (С') — ортогональ-
ны. Окружность (С') можно получить из окружности (С) при по-
мощи подобия, полученного в результате поворота вокруг точки А
л
на угол y» ПРИ котором центр О окружности (С) перейдет в Ш
и последующей гомотетии, которая Q переведет в центр О' ок-
ружности (С). Точка М окружности (С) при этом перейдет
в точку М' окружности (С') такую, что МА ± МА', значит, если
М описывает (С), то соответствующая точка М' в данном преоб-
разовании получается из М указанным подобием, она описывает
(С'). 3°. Пусть Е —точка (Г), диаметрально противоположная А.
Точка Е может лежать и на отрезке АВ и вне его (причем на про-
должениях за точку А или за точку В).
Во всех этих случаях МЕЦАМ' и значит
ВЛГ ВА
ВМ BE ’
Значит точка М' получится из М гомотетией (В, . Если М
BE /
374
описывает (Г), то ЛР описывает (Г'), полученную из (Г) указан-
ной гомотетией. Очевидно (Г') проходит через А (А есть образ Е
в указанной гомотетии). 4°. Так как А и В — центры гомотетий
(Г) и (Г'), то их центры О и О' делят гармонически пару точек
А и В. Значит
1 1_____2
АО + АО' ~ АВ ’
откуда
ах
х = 2л —а
и значит
---------------------- ~ х(а — х)
У = ОО' = х'-х=2-^_--.
а [а
Эта функция убывает в интервале (—оо, ив интервале
4~ooj. На первом интервале она выпукла вверх, на втором —
вниз;
Ппц/==— ос. lim// — + оо.
а а
х—— 0 х—^~2 + 0
График z — OO* получится отражением частей графика у ~ О О'",
расположенных ниже оси Ох в этой оси. 4. Построение (С) всегда
возможно и единственно. Исключением является случай, когда
точка (О) совпадает с /. В этом случае окружность (С) вырож-
дается в прямую FH. Для определения геометрического места
точек G заметим, что
(GH, GO) = (HO, HF)(mo&n).
Обозначим через Н' точку, симметричную точке относительно (£)•
Тогда
(НО, HF) = —(H'O, H’F) = —(H'O, Н'Н)~(Н'Н, И'О).
Значит (GH, GO) = (H'H, Н'О) и потому точки G, И, О, Н’
лежат на одной окружности. Отсюда следует, что
FO -Tg^Th -fh^-f^,
где S — одна из точек встречи прямой, проходящей через F пер-
пендикулярно FH в окружностью, построенной на НН', как на
диаметре.
Таким образом, точки О и G соответствуют друг другу в ин-
версии (F, — FS2) и значит точка G лежит на окружности (Г),
в которую переходит прямая (D) при этой инверсии. Пусть I —ос-
нование поляры прямой FS относительно окружности, построен-
ной на НН’, как на диаметре. Тогда FT• F/=—FS2 и значит
(Г)—это окружность, построенная на FJ, как на диаметре. Если
375
точка О описывает (О), за исключением 7, то точка G описывает
окружность (Г) за исключением J. 5. Г.
у х2 + cos а + а2 *
тс
Если 0 <а< 2~>то на сегменте [0, aj «/убывает, на полуинтер-
7С
вале [а, 4-оо) возрастает; если -% < а < тс, то наоборот. В пер-
а а
вом случае «/min = tg’-g, во втором #max = fga-2 • 2°. Указание:
л Ав
геометрическое место точек А таких, что ~д£ = к есть окруж-
ность (у) пучка с предельными точками В и С. Степень точки О
относительно любой окружности (у) равна а2. Поэтому, если (7)
касается OL в точке Т, то ОТ ~ а. Если а острый угол, значе-
ТВ
ние к, при котором происходит касание, таково: к в
а а а
— tgy. Если к < tg ~2 — решений нет; если к = tg-g, то OL и (7)
а
касаются (одно решение). Если tg-g* < к < 1, то OL и (7) пере-
секаются в двух точках (два решения). Если к > 1, то (7) и ОД
расположены по разные стороны от перпендикуляра к Ох в точке
О — решений снова нет. Если а тупой угол, то задача имеет два
а
решения, при 1 <к< tg Графики, построенные выше, под-
7С
твердят это. Замечание. Случай а=~2" не представляет инте-
реса. 3°. Указание. Так как степень О относительно (7) равна аа,
то в случае существования двух точек А и А' имеем: О А • О А' =*
= а2 = ОВ2 = ОС2, значит окружности (АВА') и (АСА') каса-
ются Ох в точках В и С и их центры лежат на перпендикулярах
(Д) и (Д') к Ох в точках В и С. 1-й случай: а дано, к—пе-
ременное. В этом случае А и А' меняются на фиксированном
луче OL, оставаясь гармонически сопряженными сточкой Т и Т',
симметричной Т относительно О (следует из ОТ = а, О А • О А' =
==а2). Поэтому середина m хорды АА' описывает продолжение
отрезка ОТ за точку Г, а центры / и Г окружностей (Г) и (Г')
описывают полупрямые, отсекаемые от прямых (Д) и (Д')прямой,
проходящей через Т перпендикулярно OL. 2-й случай: к — дано,
а — переменное. Пусть, например, к<1. Тогда центр ю фикси-
рованной окружности (7) лежит на луче Вх. В этом случае гео-
метрическое место точек tn есть полуокружность, построенная
на О», как на диаметре, а геометрическое место центров (Г) и
(Г') — полупрямые, отсекаемые от (Д) прямой ОТ [Т — точка при-
косновения касательной из О к (7)]. 4°. АА', ВВ', СС' — ради-
кальные оси пар соответствующих окружностей.
В инверсии (Q,QB' • QC') окружность (Г) переходит в (Г'), зна-
чит Q — их центр гомотетии. Для решения последнего вопроса по*
376
лезно заметить, что ВС' и СВ' проходят через точки Сг и Ви
диаметрально противоположные точкам С и В на окружностях
(Г') и (Г). 6. 1,011 радиан (приблизительно 1 радиан) 7. 1°.
Л М -в Г q п
----= I/ — • Геометрическое место точек Р есть дуга полу-
ЛМ' г а'
окружности радиуса ЛВ' с центром А, одна из граничных точек
которой лежит на прямой (D) по другую сторону от Л, чем точки
В и В', а другая является точкой пересечения этой полуокруж-
ности с перпендикуляром (D) в точке В. 8. Если М —точка пересе-
чения (Па) с (О), то М — середина отрезка На. Отсюда построе-
ние: строим окружность (Г) с центром М и радиусом MI = Ml а и
окружность (О) с центром О и радиусом ОМ. Точки пересечения
окружностей (Г) и (О) суть В и С. Вторая же точка пересечения
(Па) с (О) есть А. Исследование. Пусть О, /, 1а не лежат
на одной прямой. Точка А должна лежать на прямой Па с той
же стороны от точки М, что и точка /, значит точка О должна
лежать по ту же сторону от медиатрисы отрезка /М, где лежит
точка /. Отметим, что при этом окружности (Г) и (О), наверное,
пересекутся, так как условие их пересечения
I Па I Па
| 0М|< 0М < 0М + Т
будет при этом выполнено (доказать). Аналогично исследуется
случай расположения точек /, /о, О на одной прямой. 9. Г.
х и у — корни уравнения г2 — (2р — a)z + 2р(р — а) = 0.
т/о" 1_ 1
Условие возможности решения а<р <а ——.
2р(р — а)
2\ АВ =—, s=p(p — а); при изменении р от а до
т/*2~ 4-1
а ~~— точка (р, s) описывает дугу параболы s = р (р—а),
ограниченную точками:
(а, 0) и (а .ZZ+-L,
\ 2 4/
з».а)х=|, y = р = аз±У£;
„_2аТТ 5 + 3/5.
--—, у-р = а---io—•
ч 3 4 6а
Т)*=-а, У=~ а, р=—.
ООО
10. 2°. Геометрическое место точек Р есть касательная к окруж-
ностям (О) и (О') в точке Л [ибо эта точка есть радикальный центр
окружностей (О), (О') и (С) ]. 3°. Задача возможна, если точка
М лежит внутри серпа/ ограниченного окружностями (О) и (О'),
или на одной из этих окружностей. Точка Я, в которой ЕЕ'
пересекает Лх, есть центр отрицательной гомотетии, окружностей
377
(О) и (О') (из подобия треугольников). Отсюда следует, что, если
В и В'—точки, в которых луч Ах пересекает вторично окруж-
ности (О) и (О'), то НА2 = НВ • НВ'. Далее выводим отсюда:
НЕ • НЕ' = НА2.
___Значит точки £ и В' друг другу соответствуют^ инверсии (Я,
АН2). (Эта инверсия (О) переводит в (О') и обратно). Обозначая
вторую точку пересечения НМ с (С) через М', имеем НМ х
X НМ' —~НЕ • ЯВ' = НА2 и таким образом точка М' будет по-
строена. Вопрос сводится к известной задаче: построить окруж-
ность (С), проходящую через две точки М и М' и касающуюся
одной из окружностей (О) [или (О')]. Эта задача имеет или одно,
илй два решения, или совсем не имеет решений; построение,
например, таково: точку М' можно определить как вторую
точку пересечения НМ с окружностью (Г), проходящей через
А и касающейся Ах в точке А. Пусть / точка пересечения
радикальной оси окружностей (Г) и (О) с НМ. Пусть
1Е[ и /Е'2 — касательные из / к (О'). Точки в/ и В^ — точки
прикосновений искомой окружности (С) к (О'). Исследование*.
так как окружность (О) переходит в (О') (и обратно) в инверсии
(Я, ЛЯ2)» то точка М, лежащая внутри указанного выше серпая
остается внутри него и значит в этом случае задача имеет два
решения; в случае же, если точка М лежит на (О) или (О') —
одно решение. Замечание. Задача может быть решена также рас-
смотрением или инверсии (Л, АВ • ЛВ')или (М, МА2). 4°. На ос-
новании предыдущего, общая касательная в точке касания к двум
касающимся окружностям (С) проходит через Я, значит НА—НТ
и геометрическое место точек Т есть окружность с центром Я
и радиусом НА. Из НЕ • НЕ' = НТ2 следует, что указанная
окружность ортогональна всем окружностям (С).
Вычислить АН проще всего из того, что Я есть центр отри-
цательной гомотетии окружностей (О) и (О'), т. е. (Л, Я, О' ,0)—
гармоническая четверка,
откуда
=L==L=+=1=,
АН АО т АО'
2RR'
AH = R + R’
Наконец, геометрическое место оснований поляр точки Л относи-
тельно (С) совпадает с геометрическим местом точек Т (окруж-
ность). И. 1°. Точка R расположена на поляре (D) точки F относи-
тельно параллельных прямых (D') й (D”). Точка 1 гармонически
сопряжена с точкой F относительно Л и Л'. Отсюда следует, что
точка Q, в которой прямая (d') пересекает (О), гармонически со-
пряжена с точкой F относительно Р и Р'. Отсюда следует, что
прямые RP', RP, RF, PQ — образуют гармоническую четверку.,
Отсюда следует, что прямая RF пересекает (£>') в точке J такой,
что J — середина МР. Точка J на прямой (D') может занимать
любое положение; в самом деле: возьмем на прямой (D') произ-
378
вольную точку Л и построим окружность с центром проходя-
щую через F. Пусть эта окружность пересечет (D') в точках
и Pi, тогда FMi Л FPi\ эти прямые можно принять за (rf) и (df)
и тогда точка J совпадает с JY. Отсюда следует, что точка J опи-
сывает всю прямую (£>'), и значит R — всю прямую (D). 2Э.
Пусть Н — проекция F на МР'. Четырехугольники FAMH и
FA'P'H могут быть вписаны в окружность, значит t_FAH 4-
4- \_FA’H — \_FMH-\- LFP’H = 90°. Значит AHA' — прямо-
угольный треугольник и значит точка Н расположена на окружно-
сти с диаметром АА‘. На той же окружности расположена проекция
И' точки F на М'Р. Так как направления прямых (d) и (d') произ-
вольны, то Я и Я' описывают всю эту окружность. 12. А. а) По-
строим какую-нибудь окружность, проходящую через точки А и В и
пересекающую (Г), затем их радикальную ось; пусть J точка пе-
ресечения этой радикальной оси с прямой АВ; из точки J проводим
касательные JC' и JC* к (Г); окружности (АВС') и (АВС*) касаются
(Г) в точках С' и С*, б) Построим какую-нибудь окружность,
касающуюся прямой (D) в точке А и пересекающей (Г), затем их
радикальную ось. Пусть J —точка пересечения этой радикальной t
оси и прямой (D). Проводим из точки J касательные /С' и JC*'
к (Г); С' и С* — точки прикосновения этих касательных к (Г)
суть также точки прикосновения искомых окружностей с (Г).
В. Обозначим через А точку, ближайшую к F (следует сделать
два чертежа — один, когда точка / лежит между точками А и А',
другой, когда точка F лежит вне отрезка АА'; случай AF-A'F
исключаем, ибо тогда прямой (D) не существует), а) Окружность
с диаметром FP ортогональна (С), ибо F и Р гармонически со-
пряжены относительно (С), следовательно, окружность, построен-
ная на FP, как на диаметре, будет ортогональна и (Yi), так как
окружность (yj касается FP в точке В; на окружности (Yi) и
(С) касаются в точке а окружность, построенная на FP9
как на диаметре, их пересекает ортогонально, значит сте-
пени центра J окружности, построенной на FP, как на диа-
метре, относительно окружностей (yi) и (С), равны между собой,
а потому J лежит на радикальной оси этих окружностей, т. е.
на их общей касательной в точке Так как JKi = JF, то ок-
ружность, построенная на FP, как на диаметре, проходит через
Ki (аналогично и через К2). б) Из PF* = РКХ • РМГ следует
PF PKi
j==- = -рр- и значит д PFRi ~ д PMtF. Отсюда и из того, что
L FKiP = 90° следует, что L MrFP == 90° (аналогично и L M2FP~
= 90°). Отсюда точки Мг и М2 диаметрально противоположны F
на окружностях (y^) и (Ya), в) В инверсии {P,PF*) окружности
(Yi) и (\2) инвариантны; окружность с диаметром МхМъ касается
(ц) в точке Mi, и (y2) в точке Л12 переходит в окружность, каса-
ющуюся (Yi) в точке Ki и (Ya) — в точке К2, т. е. ib окруж-
ность (С). Наконец, окружность с диаметром FQ также переходит
* себя. Но окружности с диаметром FQ ортогональны (С) значит
и окружности с диаметром Mi М2. С. Четыре точки Mi, М2,
f, Q образуют гармоническую четверку, значит четыре луча
1МЪ !Мг, IF, IQ также образуют гармоническую четверку, но
IF j. IQ, значит IF — биссектриса угла MrIM2 (для построения
379
удобно взять X < 0). Так как FM-FM' = FI-FI' ( = | X |), то
FM-FI = F Г *FM' и значит д FIM ~ д FM' Г. Угол I первого
д равен углу ЛГ — второго, угол М треугольника HIM. равен
углу Г треугольника К'М'/', значит и эти треугольники подобны.
Из подобия треугольников FIM и FMT следует FM : FT »
= MI: /' М'; из подобия треугольников HIM ц К'М'Г следует
MI; ГМ' = МН : Г К', значит MF : МН = F I' : Г К'. Если
MF : МН— const, то и FI' : ГК* == const, и поскольку точки F й
/' фиксированы Г К'— const, т. е.прямая (7') касается фикси-
рованной окружности с центром Отсюда следует, что окруж-
ность (7) остается касательной к фиксированной окружности,
полученной в результате указанной инверсии (F, X) из предыду-
щей. Так как в результате инверсии (Г, X) точка г пере-
ходит в /,-а с другой стороны, точка Г переходит в основание
поляры точки F относительно окружности с центром Г [касаю-
щейся (7')], то (В) — поляра F относительно указанной фикси,
рованной окружности, которой касаются все окружности (7). £>.
Образ (7) в инверсии с центром F и сохраняющей (С) есть пря-
мая, касающаяся (С) в точке К' окружности (С), лежащей на
прямой KF. Точка I гармонически сопряжена точке F относи-
тельно точек А и Д', в которых IF пересекает (С); ее образ /',
следовательно, гармонически сопряжен относительно точек А и
Д' с бесконечно удаленной точкой АА' и значит /' совпадает
с О. Далее &FMI~&FrM' (шил. FОМ'). Пусть К' проекция
/' на прямую (7); тогда Д MIH ~ д ОМ*К' и значитFM : FI' =
= MI : I'M' = МН : /К', откуда MF : МН = FI' : ГК*.
Так как точки F и I фиксированы так же как ГК', ю FI':
il'K' — const и значит FM : МН — const (при изменении 7).
14. 1°. Указание: MR — медиана прямоугольного треугольника*
ARP. Поляра М — прямая AR, поляра Q — прямая ВМ. Так
как точки М и Q гармонически сопряжены относительно (О), то
окружность с диаметром MQ ортогональна (О). 2°. Центр О ок-
ружности (Г) лежит на прямой FF'. Так как окружность (Г) ор-
тогональна (О), то она делит этот диаметр FF' гармонически.
Значит окружность (Г) принадлежит пучку окружностей с пре-
дельными точками F и F' и значит она ортогональна любой ок-
ружности, проходящей через F и F'.
Окружность (MFF') ортогональна (Г), значит касательная к
(MFF') в точке М есть М О. 3°. Прямые BQ, ВМ, ВР, ВА —
образуют гармоническую четверку, ибо прямая (D) 11 (А) и МР —
= МА; значит (MQST) — — 1. Наконец, окружность (SFF') орто-
гональна (Г) и значит делит гармонически MQ, поэтому проходит
через Т. 15. 1° (а), (£), (7) — окружности, построенные на ID,
IE и IF, как на диаметрах, их радиусы равны . Углы; под
которыми они пересекаются, равны углам данного треугольника.
2°. ^zIA'E — IA'F = 90°, значит их сумма равна 180° и значит
FA'E — прямая. Далее, д 1А'В' подобен треугольнику IAB.
В С В + С
Отсюда 1А'В' = *2“» ^lA'C'—-^, значит Д'= —2— ; анало-
С + Д А+В „ А
гично В — —2— » С =—2— ’ Далее» ВС = г cos » С А »
380
rcos *2~, Д'В'== r cos-g*. Радиус окружности, описанной око-
ло треугольника А'В'С1 равен у (окружность Эйлера!). 3°. (Д'/D),
(В'IE), (СIF) получаются инверсией AD, BE и CF, но эти пря-
мые имеют общую точку Л', значит указанные окружности имеют
общую точку К, полученную из К' инверсией (J). 4*. (AID), (BIE),
(СIF) в инверсии переходят в медианы A'D, В'Е, C'F треуголь-
ника DEF\ пусть g' — их общая точка, тогда указанные окруж-
ности имеют общую точку g, полученную из g' инверсией (J).
В треугольнике DEF точка g', точка I и центр ш окружности
(А'В'С') лежат на одной прямой, значит, на одной прямой лежат
точки <о, g g' и I . Но ш получается из О инверсией I, значит О,
/ и о» лежат на одной прямой. Так как окружности (AID), (BIE),
(CIF) проходят через точки I и g, и точка О лежит на прямой Ig,
то точка О имеет одну и ту же степень относительно этих окруж-
ностей. 16. Пусть аир — точки пересечения прямой АВ с дан-
ными прямыми (da) и (da); обозначения введем так, чтобы век-
торы сф и ДВ имели бы одинаковое направление. Обозначим
через (До) прямую, проходящую через О параллельно ДВ. Рас-
смотрим два случая: 1) (Д) лежит в той же полуплоскости от
(До), где ДВ; 2) (Д) лежит в другой полуплоскости от (До). В
первом случае [прямую (Д) обозначим тогда через (Д1)] точку С
надо выбрать на (dp), а точку D на (da) (чтобы получить выпук-
лую трапецию ABCD). Во втором случае [прямую (Д) обозначим
тогда через (Да)] точку С надо выбрать на (da), а точку D H&(d$).
И в том и в другом случае АВ и CD противоположно направлены.
Рассмотрим 1-й случай. Пусть М — точка пересечения АС
и BD и пусть ОМ пересекает ДВ в точке I, a CD — в точке J.
Al CJ CJ 87 ___ — — —
Тогда —=— и zz:== — * откуда IA • la = IB • /£. Значит I
IB ID ID la
лежит на радикальной оси двух окружностей, одна из которых
проходит через Д и а, другая — через В и Значит I — фик-
сированная точка. Если С описывает луч О р, точка М описывает
отрезок ОР, где Р — точка пересечения 01 с прямой, проходя-
щей через А параллельно (dp). Аналогично рассматривается вто-
рой случай. Геометрическое место точек М есть совокупность
двух отрезков ОР и OQ.
Для решения второго вопроса заметим, что середина отрезка,
соединяющего середины диагоналей, совпадает с серединой отрезка,
соединяющего середины непараллельных сторон, н совпадает с
серединой отрезка, соединяющего середины оснований. Пусть В—
середина ДВ, S' ~ середина CD, Т — середина SB'. Геометри-
ческое место точек В' есть прямая О 7, где у — середина <х₽, а
геометрическое место точек Т получается из прямой О у гомоте-
тией (В, у). 17. Решение. Положим (Dr D2) = а, — < а < -j.
Пусть М — какая-нибудь точка плоскости, а М1 и М2 — точки,
симметричные с М относительно (DJ и (D2). От точки М± к точке
М2 можно перейти, производя поворот вокруг точки О на угол 2а.
381
Если / — середина Мх М2, то 01 ± Afx М2,следовательно Of л. ОА,
и значит точка 1 лежит на окружности с диаметром О А. Обрат-
но. Если MiOM2 = 2 а и середина МгМ2 лежит на этой окруж-
ности, то точки Мх и JW2 являются симметричными некоторой
одной и той же точки М (относительно (Dx) и (D2). От точки Г
к точке Мх можно перейти при помощи поворота на угол — а
(1 \
О, " Og~ 1 > точка же М из полу-
чается симметрией в (£>j); в результате этих преобразований ок-
ружность, построенная на ОА, как на» диаметре, перейдет в не-
которую окружность, являющуюся геометрическим местом точек Л4.
18. 1°. Пусть I — середина ВС, a J — середина АН. Тогда ю I\\NC
и аналогично J11 МН. Отсюда следует, что I ш J = 90° и зна-
чит со лежит на окружности, построенной на IJ, как на диаметре,
(окружность Эйлера). Если прямая (Д) делает полный оборот во-
круг А, то прямая которая параллельна (Д), также делает
полный поворот вокруг J и значит со описывает окружность
Эйлера целиком. Далее, четырехугольник АА'СН — вписанный,
значит (A 'Н, А'А) = (СН, С A) (mod тс). Аналогично, четырех-
угольник A'BQJH также вписанный, значит
(А'А, A'Q) = (ВН, BQ) = (ВН, CH) (mod тс).
Следовательно,
(А'Н, А'А) + (А'А,А 'Q) = (CH, С А) + (ВН, СН) = (ВН,СА),
тс
т. е. (А'Н, A'Q)="2 , т. е. точка Д' лежит на окружности с диа-
метром HQ. 2°. Четырехугольник АМВВ'—вписанный, значит
(В'М, В'В) — (АМ,АВ) (mod тс). Четырехугольник СРВ'Н также
вписанный, значит
(В'Р, В'В) == (В'Р, В'Я) = (СР, СН) (mod тс).
Но AM ± СР и АВ _1_ СН, значит
(AM, АВ) = (СР, CH) (mod тс).
Следовательно,,
(В'М, В'В) —(В'Р, В'В),
а это и значит, что точки М, Р и В' лежат на одной прямой.
19, 1°. Степень точки Н относительно окружности (О) равна
9 ЗР 9
ОН* — R* а так как АН =* -j-, то АН* ® jg R*. Зна-
чит (D) есть радикальная ось (О) и А и потому МТ МТ' =.
= МА. 2°. Точка I [полюс (D)] находится на отрезке ОН, причем
4
О! R. 3°. ОТМ = ОТ'М == 90° и окружность, описанная
около треугольника ТМТ', есть окружность с диаметром ОМ
(эта окружность проходит еще и через Н). Прямая ОМ—медиат-
риса ТТ\, поэтому ортоцентр К треугольника МТТ' лежит на.,
ОМ. Точка, симметричная К относительно ТТ', лежит на окруж-£
ности (МТТ') и значит совпадает с О. Поэтому ОК = 2 OJ (J —
середина ТТ'). Далее, L 0«// = 90°, значит точка J лежит на ок*
382
ружности с диаметром 01 и точка J описывает эту окружность
целиком в то время, как точка М описывает целиком (D). Соот-
ношение ОК = 2 OJ-позволяет утверждать, что геометрическое
место точек К есть окружность, полученная из геометрического
места точек J гомотетией (О, 2); это—окружности с центром I и
4/?
радиусом JO = -g~. 4°. Точка <о, пересеченная ОМ и (О), и есть
центр окружности, вписанной в д МТТ'* Если М описывает (D),
то а> описывает полуокружность, ограниченную диаметром (О),
>параллельным (D) и расположенным по ту же сторону от этого
диаметра, что и (D). Легко доказать, что вторую полуокружность
описывает центр окружности, вневписанной в угол М треуголь-
ника МТТ'. 5°. Точка М имеет одну и ту же степень относи-
тельно (С) и (С') (так как МТ = МТ'); прямая Ml есть, следо-
вательно, их радикальная ось и проходит через вторую точку S
их пересечения. Имеем
ЛТ7 • MS == Л4Т2.
Треугольник ОТМ — прямоугольный (в Т), значит
7Й7 • МО = МТ2
и значит ___ ____ _____ _____
Ml - MS= MJ • МО,
т. е. точки 7, S, J, О лежат на окружности с диаметром 01. Эта
окружность описывается точкой S целиком, так как прямая ISM
делает полный поворот вокруг I. Замечание. OSl = ^OSM =
= 90э и значит точка S лежит также и на окружности с диамет-
ром ОМ. 20. Г. Пусть Д, В, В', А — точки встречи (в указанном
порядке) окружностей (С) и (С') с линией центров СС'. Каковы
бы ни были точки М и М', лежащие соответственно на окруж-
ностях (С) и (С'), будем иметь ВВ' < ММ' < АА' или а — R <
< k < a-}-R— таково необходимое условие, наложенное на k.
Далее, н е о б х о д и м о е и д о с т а т о ч н о е условие сущест-
вования треугольника С'ММ' таково: | 2£ — R | < С'М < 2&Ц- Л.
Искомые точки М лежат между двумя окружностями (Г) и (Г')
радиусов 2k + R и | 2k — R | с центром С'. Следует рассмотреть
два случая: a) 2k R. В этом случае разность радиусов окруж-
ностей (Г) и (Г') равна 27? и значит только одна из них пересекает
(Г), [или же обе эти окружности касаются (С)]. Это будет ок-
ружность, если С'В < 2k + R < С'А или a — R < k < а; соответ-
ствующая дуга (С) та, которая содержит В. Это будет (Г'), если
С'В < 2k — R < С'А или а < к < а + R; соответствующая дуга
(С) та, которая содержит А. Если, наконец, k = а, то геометри-
ческое место точек М — вся окружность (С). $)2k<R. В этом
случае разность радиусов окружностей (Г) и (Г') равна 4Zs<2R.
Окружность (Г') не пересекает (С), так как для этого необходимо,
чтобы R — 2k>2a—R, откуда k<R — а < 0, что не имеет ме-
ста. Окружность же (Г) пересекает (С), если a— R<fe<a
( 2а\
I этот случай может представиться лишь в случае R < . Из
всего этого анализа следует, что условия а — R < к < a + R не-
обходимы и достаточны для существования хотя бы одного отрез-
383
ка ММ'. В частности, если Л==а—то ММ' совладает с ВВ',
а если k = a+R, то ЛШ' совпадает с АА'. Если а—/?<£<
<«+₽, каждой точке Af соответствуют две точки М' и они сов-
падают с А' или В', если М занимает на соответствующем
своем геометрическом месте граничное положение. Из предыду-
щего также следует, что (С) и (С') описываются точками М и М'
15
в целом, если к =» а. 2°. а — /? = 3, а + /? = 11; k — , значит
а < k < а+ R и соответствующее геометрическое место точек М —
дуга (С), содержащая точку А. Границы этой дуги — точки i*x
и окружности (С) пересечения с окружностью радиуса 2/с —
— R = 11см с центром С'. Геометрическое место точек М' — дуга
ji'i A' p/2f симметричная дуге Л р2 относительно О: а) два ре-
шения; б) пусть ММ' = 15 см н <о — точка такая, что С' ©= М'М.
Фигура С'М'М ш ~ параллелограмм, <о М = R = 4 см. Точка М
лежит, следовательно, на окружности' с центром со и радиусом
4 см. Отсюда построение. Строим СС' <»== 90°, С' <о 15 см
и окружность (со, 4 см.). Эта окружность пересекает геометриче-
ское место точек М в двух искомых точках Мх и М2. Всего —
4 решения; в) два решения; г) медиатриса хх' отрезка СС' есть
ось симметрии окружностей (С) и (С'). Поэтому если точки М и
М' этих окружностей симметричны относительно точки /, лежа-
щей на медиатрисе хх', то они сами симметричны относительно
этой медиатрисы. Искомые отрезки AjM' параллельны СС'. По-
строение просто (два решения), д) пусть ММ' — искомый отре-
зок, М — точка, симметричная М' относительно О. Тогда MN 11 СС'.
Если J — середина МЫ, то 07 = 7,5 см. Отсюда построение:
строим окружность с центром*О и радиусом 7,5 см, находим точ-
ки Ji и /2 пересечения этой окружности с медиатрисой отрезка
АВ и т. д. Всего получаем 4 решения. 3°. Случай б) пусть
СС' ш = и, С'<0 = 2к н (П) окружность с центром С' и радну-~
сом 2R (А№ и В* точки пересечения (П) и (С')). Здесь мы не бу-
дем считать, что а > R. Рассмотрим два случая: а) окружности
(С) и (С') имеют общие точки, т. е. а < R. Единственное усло-
вие существования ММ' тогда таково: k<a-^R. Точка С', рас-
положена внутри (Q). Значит, если С' <о < С'В", т. е. k < R — а,
окружность (<о, R) пересекает всегда (С) и построение возможно
при любом и. Если же С'В" < С' <0 < С'А" или R — a<k <R+a,
построение возможно тогда и только тогда, если ш лежит на.
хорде <0'<0* окружности Q высекаемой из нее прямой С' <0, иначе,
если степень точки ш относительно (2) отрицательна; т. е.
шС* — 4R* = ее'» + С'«>2 — 2Сб' • C'<»cosw —4Я« = 4(Л» —
— 2ак cos и + а3 — R2) < 0;
так как а < R, то это будет выполнено, если ^<acosu +
+1^^3 — a3 sin3 и. ₽) (С) и (С') не имеют общих точек» т. е.
а> R. Пусть С'Т — касательная из С' к (П), проведенная с той
же стороны от СС', что и С'ю. Для того чтобы окружность (<0, R
пересекала (С) необходимо, чтобы полупрямая С'<0 прошла внутри
угла СС'Т, т- е. и < СС'Т и так как СС'Т — острый [ибо
384
С' — вне (Q)], то sina<—. Кроме того необходимо еще, что-
бы точка <о лежала на отрезке со'со", т. е. как и выше
k2 — 2ak cos и + а2 — R2 < О,
т. е.
a cos и — — a2 sin2 и < k < a cos и + VR2 — a2 sin2 и.
Замечание. Следует еще изучить, в скольких точках окружность
(<о, R) пересечет геометрическое место точек М.
Случай д). Пусть Е и F—точки пересечения окружности (С)
с медиатрисой ее диаметра АВ. Необходимое и достаточное усло-
вие существования решения
ОС < k < ОЕ или а < к < У а2 + R2. 21. (черт. 34). Г. Fa «
= МС + MD, Fe^MF + MEt MD+ME =Ёа+7вл DC+ EF ==&
Черт. 34
Далее, д МАО ~ д MCD и МВО - дМГЕ;
отсюда
МС "DC МР
МА~Ша~ 0А~ МО’
MF _Ц__ МА.
МВ~<°в ~ 0В~ М&
отсюда легко получить, что <&аА0 » . ОВ и Fa 4- Fe = MD 4*
+ ME == MO^a + ^e)- 2°- a) На точку M действуют две силы
F6 и еще сила тяжести mg. Значит МО также вертикальна и
так как
соа = 2т —, coe = k С0а, то
2m (1 4- Л) МО = mg,
13 Зак. 3478
385
откуда
а
MOsa 2(1 4-*) •
Имеется, следовательно, лишь одно положение равновесия для
М — на вертикали, проходящей через точку о, которая делит АВ
в отношении k.
Если k меняется, то точка О перемещается по АВ и МО так-
же меняется. Построим д Л1Л5 ~ д MF^R (черт. 35).
Тогда
О А ОВ ОА + ОВ а
OS~ ОМ~ OS + ОМ “ а = 2’
2
откуда MBA = const и значит точка М описывает отрезок
BMR полупрямой, выходящей из В.
Алгебраическое решение. Проекции вектора МВ
_ s “*
пусть будут—х и —z/, проекции силы Fe== 2km МВ суть
О 0
—2 km—х и — 2km—у.
Проекции вектора МА суть а — хи—у, проекции Fat следова-
g £
тельно, 2т —(а — х) и —2m — у.
386
Проекции же силы тяжести О и mg. Условие равновесия дает
а а
х= *4-1 2(Л4-1)
— единственное положение равновесия, в) Если АВ не горизон-
тальна— выводы аналогичны. 3°. Для того чтобы точка М оста-
валась в равновесии на окружности (Г) (без трения) необходимо
и достаточно, чтобы равнодействующая сил Fa и Fe была нор-
мальна к окружности (Г). Прямая, на которой лежит эта равно-
действующая, должнг проходить через О и через О [центр (Г)].
Если О и Q различны, то положения равновесия М суть две диа-
метрально противоположные точки (Г), в которых (Г) пересекает-
ся с прямой О П. Если же О и О совпадают, то точка М будет
находиться в равновесии в любом положении на (Г). 4°. Если
есть трение, то условие равновесия заключается в том, что угол
между МО и нормалью к окружности (Г) не превосходил ср. Гео-
метрическое место точек М, из которых отрезок QO виден под
углом ср, есть дуги двух окружностей (С) и (С'), проходящих че-
рез О и 2 и симметричных относительно 02. Геометрическое ме-
сто точек М, для которых угол <р между прямыми МО и ЛЮ бу-
дет меньше ср, состоит из точек, внешних по отношению к обеим
окружностям, (С) и (О') и из точек области, покрываемой одно-
временно этими окружностями. Положения равновесия точки М
суть дуги окружности (Г), проходящие в этой области. Если ра-
диус R окружности (Г) больше диаметра (С) [ и(С')]> то С и (С')
лежат внутри (Г) —все точки (Г) суть точки равновесия Л1. Ус-
OQ 0Q
ловием этого будет Если • еттг > Я > ОМ, то (Г) пе-
sin ср sin ф
ресекает (С) в точках Р и Q, а (С')*—в точках Р' и Q'. Поло-
жения равновесия суть дуги РР' и QQ' окружности (Г) (середи-
ны этих дуг Mj и М2 — суть положения равновесия М и без тре-
ния). Если R == 0Q, дуга РР' стягивается в точку О; положения
равновесия состоят из дуги QQ' и точки О. Если R < ОП—по-
ложения равновесия состоят снова из дуг РР' и QQ'. 22. 1°.
а) (РВ, РМ)~(ВА, ВМ) *= (АВ, АС) и аналогично (РМ, РС)=*
= (СМ, СА)~(ВС, С А).
Отсюда (РВ, РС)~(РВ, РМ) + (РМ, РС)~(АВ, ВС) + (ВС,
С А)** (АВ, СА) (АВ, АС). б) Из равенства (РВ, РС)~(АВ,
АС) следует, что точка Р лежит на окружности (Г), описанной
около треугольника АВС. То, что Р описывает ее целиком, будет
показано ниже, в) Пусть РМ пересекает (Г) в точке А'. Так как
В, С, Р, А' лежат на одной окружности, то
(РВ, РА')^(СВ, СА'). (1)
Но [см. а)] (РВ, РМ)=(АВ, АС) или (РВ, РМ) == — (ВС, В А). (2)
Из равенств (1) и (2) следует, что углы (СВ, СА') и (ВС, ВА)
равны по модулю,- но отличаются знаком, следовательно, прямые
С А' и В А одинаково наклонены к ВС, но в противоположных
направлениях; они образуют с ВС поэтому равнобедренный тре-
угольник (ВС — основание) или иначе: С А' и В А симметричны
относительно медиатрисы (А) отрезка ВС, значит относительно
этой медиатрисы симметричны точки А и А'. Прямая РМ прохо-
дит через фиксированную точку А' окружности (Г). 2°. а) В ин-
версии (М, МВ, МС") точки В и С переходят друг в друга.
13* 387
Известно, что если линии К и /С соответствуют друг другу в ин-
версии, то касательные к ним в соответствующих точках будут
симметричны относительно медиатрисы отрезка, соединяющего эти
точки. Отсюда следует, что окружность (О) перейдет в прямую,
симметричную С А относительно (Д), а окружность (О') — в пря-
мую, симметричную ВА относительно (Д). Отсюда следует, что
точка Р пересечения окружностей (О) и (О') перейдет в точку А',
симметричную точке А относительно (Д). Кроме того, так как
образом точки Р является Д', то Р, М и Д' лежат на одной пря-
мой [см. 1°, в)].
Далее, так как точки Р и Д' соответствуют друг другу в ука-
занной инверсии, то _ _ _
МР • МА' = МВ • МС.
Отсюда следует, что Р, Д', 5 и С лежат на одной окружности,
описанной около треугольника АВС. Точка Р пересечения пря-
мой А'Мс(Г) описывает (Г) в целом, когда М описывает всю пря-
мую, значит геометрическое место точек Р есть вся окружность (Г).
3°. а) Точка О лежит на перпендикуляре (D) к АВ в точке В;
точка О является точкой пересечения (D) с медиатрисой ВМ.
Когда точка М описывает ВС, середина ВМ также описывает ВС
в целом и значит точка О описывает (D) целиком. Аналогично —
геометрическим местом точек О' является прямая (О'), проходя-
щая через С перпендикулярно СА. Для определения угла, обра-
зованного прямыми шО ишО', заметим, что они перпендикулярны
РВ и PC, а потому:
(шО, ц>О') = (РВ, РС) = (ДВ, ДС),
откуда, обозначая через / точку пересечения (D) и (D') [Z лежит
на (Г)]:
(шО, шО') = (ДВ, ДС) = (/В, /С) = (Z0, 10').
Отсюда следует, что окружность, описанная около треугольника
О^О', проходит через фиксированную точку Z, диаметрально про-
тивоположную точке А на окружности (Г), б) (шО, шО') =
= (РВ, РС) = (АВ, АС); так как Ош | РВ, ОО' ± РМ, то
(Ош, ОО') == (РВ, РМ) = (ВА, ВС). Значит А ОшО' подобен и
одинаково ориентирован с треугольником ВАС. Точка О' может
быть получена из точки О подобием с центром ш и с таким же
углом поворота и коэффициентом гомотетии Г которая при выборе
за центр А переводит С в В. 23. Часть первая. 1°. Если задан*,
то вычисление у зависит от характера касания окружностей (S),
(D) и (D'). Пусть (Д) и (Д') — касательные к (S) в точках Д и В.
Пусть Со — центр окружности (Do), касающейся (S) в точке А и
касающейся (Д'); С* — центр окружности (D'q), касающейся (S)
в точке В и касающейся (Д) (эти две окружности симметричны
-относительно биссектрисы угла АОВ). Треугольник ОшСо— прямо-
угольный (ш — прямой угол), значит АСо = BC'Q ~Rtg2a. Заметим,
наконец, что ш — радикальный центр окружностей (S), (D) и (D')
и значит точка М прикосновения (D) и (D') ни что иное как
точка прикосновения второй касательной с (D), проведенной
к (D) из ш. Обозначим прямые ОА и ОВ так: х'ОАх, у'ОВу, и
рассмотрим четыре случая положения точки С на прямой х'х.
388
а) С на луче Сох. Окружность (D) лежит вне (S) и пересекает
прямую (Д'). Точка М прикосновения (D)_h (D') лежит, следо-
вательно, по отношению к (Д') в той полуплоскости, которая не
содержит А. Значит (D') внешне касается и с (D), и с (S).
В этом случае С' лежит на луче С у. б) С на отрезке ACQ. Ок-
ружность (D) по-прежнему лежит вне (S), но по отношению
к (Д') с той же стороны, что и (S). Окружность (£>'), следова-
тельно, касается (S) и (D) внутренне. В этом случае С' лежит
на луче Оу', в) С на отрезке ОА. (Р)-—внутри (S), следователь-
но, и (D') —внутри (S), но вне (D). В этом случае С' лежит на
отрезке ОВ. г) С на луче Ox'. (S) — внутри (и) и, следователь-
но, (D') касается (S) внешне, a (D) и (D') — внутренне. В этом
случае С' лежит на отрезке ВС^.
В частном случае, если С совпадает с Со, окружность (D')
вырождается в прямую (Д'^ Если С совпадает с О —все окруж-
ности, касающиеся (S) в точке В суть окружности (С'). Резуль-
таты исследования даны в таблице:
а) С на Cq х (D) и (S) каса- ются внешне (D') и (S) — касаются внешне (D) и (D') касаются внешне
b) С на ЛС0 (£>) и (S) каса- ются внешне (S) внутри (D') (D) внутри (O')
с) С на ОА (D) внутри (S) (D') внутри (S) (D) и (D') ка- саются внешне
d) С на Ох' Из д СОС в) у = — R (S) внутри (D) находим: । а X + R te “ X— Rtg« (D') касается (S) внешне a) R tg2 „ . C) y = — Rtg*< (D') внутри (£» x+R a X — R tga a 9 x—R 1 x+Rtg«e •
%__Р
d)i/ = /?tg»a-rjr7jtgie-.
►
Если ввести оси ОА и ОВ п считать х и у соответственно
координатами центров окружностей (D) и (D') на этих осях (так
что радиусы будут |х| и |#|), то эти четыре формулы можно объ-
единить в одну
х | ~ R
J/ = Rtg’a-~ ^ tg2a'.
Ниже мы будем под х и у подразумевать именно координаты
центров окружностей (D) и (D'). 2°. г = х2 + . Эта ли-
ния имеет параболическую асимптоту г = ха4-1; линия состоит
из двух ветвей (сделать чертеж!). Условие Si-\-Si — tns приво-
389
дит к система х2 + у2 == т, %у — (х + у) = 1. Результат исследова-
ния таков: если 2(1—У* )8 < т< 2(1 +уг2~)8 — задача имеет
два решения^ если т > 2(1 + j/2 )2 — четыре решения, если
т=*2(1—|Л2 )а— одно решение, если т = 2 (1 + у/~2 )2 — три
решения; это все можно было получить и по построенному гра-
фику z = xa-|-t/2. Число решений можно также «установить,
исследуя точки пересечения окружности х2 + у2 = т с гиперболой
X 1
у — х__Часть вторая 3°. Точка М принадлежит окруж-
ности (Q) с центром <о (и радиусом а> А) пересечения касательных
к (S) в точках А и В. Окружность (Q) ортогональна (S), (D) и
(£>'). Прямая СС' касается (О) в точке ЛЕ Обратно. Пусть М —
какая-нибудь точка (О), но отличная от точек Л, В и от точек
А' и В', им диаметрально противоположных на окружности (2).
Пусть С и С'—точки встречи с ОА и ОВ касательных к (О)
в точке Л1. Тогда СМ = С А, С'М = С'В и окружности с центра-
ми С и С', которые проходят через М, касаются друг друга в
этой точке и касаются окружности (S)—первая в точке Д, вто-
рая— в точке В. Таким образом, все точки (D), за исключением
пока точек А, Д', В, В', суть точки М. Если М совпадает с Д',
точка С'— бесконечно удаленная, а точка С совпадает с Со; ок-
ружность (С') вырождается в прямую (Д'). Если М совпадает с
В' — картина аналогичная. Если М совпадает с Д, окружность
(D') совпадает с (S) и окружность (£>) есть любая окружность,
касающаяся (S) в точке (Д). Аналогично—если М совпадает с В.
Окончательно: если не исключать 4 частных случая, то геомет-
рическое место точек М есть вся окружность (Q), эта окружность
есть и огибающая СС'. Уточним результаты этого исследования:
а) Л1 — на дуге АВ, лежащей внутри (S). Касательная в М к (О)
пересекает тогда оба радиуса О А и ОВ, имеем случай в). 0) М —
на дуге А'В', симметричной АВ относительно <о. В этом случае
касательная к (Q) в М пересекает лучи Сох, Су, имеем случай
а). 7) М на дуге АВ'. Касательная в М к (Q) пересекает ДС0 и
Оу'—это случай б). 5) М на дуге В А'. Касательная в М к (О)
пересекает ВС* и Ох' — случай г).
Окружности (D) и (D') имеют общие внешние касательные
лишь в случаях а) и (3), т. е. если М лежит на АВ.или А'В'.
Эти касательные пересекаются в точке 7, лежащей на СС';
7 — центр положительной гомотетии (D) и (D'); так как А — центр
гомотетии (8) и (D), а В — центр гомотетии (S) и (D'), то АВ
проходит через 7 [ ДВ — ось гомотетии окружностей (S), (D) и (D') J.
Таким образом, 7 — это точка пересечения прямой ДВ с касатель-
ной к (Q) в точке М. Если М описывает дугу ДВ, точка 7 опи-
сывает прямую ДВ за вычетом из нее отрезка ДВ. Если точка М
описывает дугу А'В', то точка 7 описывает часть прямой ДВ за
вычетом из нее отрезка 7О7*, где 70 и 7*—точки пересечения ДВ
с касательными к (О) в точках Д' и В'.
Наконец, если М совпадает с Д, 7 — произвольная точка лу-
ча, полученного продолжением ОА за точку Д. Аналогично, если
М совпадает с В. Окончательно: геометрическое место точек 7
состоит из: 1) точек (Г) прямой АВ, внешних по отношению к
390
отрезку АВ и 2) точек (Г') лучей, полученных продолжением ОА
и ОВ за точки А и В. Замечание. Для каждой точки 7, взятой
на (Г), но вне отрезка т0 7', соответствуют две пары окружно-
стей, обладающих точкой 7 пересечения общих внешних к ним ка-
сательных. Для одной пары точка касания М лежит на дуге АВ,
для другой —на дуге А'В'. Но для всякой точки 7, лежащей на
любом из отрезкоя А у0 или В 7 , соответствует только одна пара
окружностей (D), (D') и точка их касания лежит на дуге АВ.
4°. Возьмем точку Я на прямой АВ такую, что точки М и Мг
прикосновения касательных, проведенных из нее к (Q), лежат на
дугах АВ и Л'В'. Центр / окружности, вписанной в треугольник
Я ЛШь есть точка пересечения (О) и &N. Если точка N описы-
вает всю прямую АВ, за вычетом только отрезка АВ, то геомет-
рическое место точек I состоит из двух дуг (Q), заключенных
между прямой АВ и прямой Со параллельной АВ и
проходящей через Замечание. Точка N при этом не обязатель-
но будет точкой пересечения общих внешних касательных к ок-
ружностям (D) и (D') (но всегда центром гомотетии, может быть
и отрицательным, для этих окружностей). Если мы хотим зада-
вать для точки Я положения лишь центра положительной гомо-
тетии окружностей (D) и (D')> то N должна описывать прямую
АВ, за вычетом отрезка 7О7\ В этом случае геометрическое место
точек / состоит из двух дуг (2), заключенных между диаметром
этой окружности, параллельным АВ, и хорды, соединяющей точки
пересечения (О) с прямыми <0 70 и <07*.
Для определения геометрического места центров окружностей,
описанных около треугольника N MMlt заметим, что описанная
окружность проходит через <0. Ее центр К, следовательно, сере-
дина шЯ и значит геометрическое место точек К получается из
геометрического места точек Я в результате гомотетии j-
Если /(' и К* середины <d А и «В, то К описывает часть прямой
К’К”, внешнюю по отношению к отрезку К'К"* Замечание. Если
точка Я должна быть центром положительной гомотетии (D) и
(D'), то К описывает часть прямой /('ЛЛ внешнюю по отноше-
нию к отрезку КК”, где /(* и К —середины ю у0 и <07 .
Далее, пусть Н — ортоцентр треугольника AfMAli. Точки <0 и
Н симметричны относительно MMf, так как (S) и (И) — ортого-
нальны, то MMi—поляра Я относительно (О) и значит проходит
^ерез О. Значит ММг — медиатриса <0 Я и ОН—Оы\ точка Н
*лежит поэтому на окружности (Я) с центром О и радиусом О <0.
Если N описывает (Г) в целом, то точка Я, которая | расположе-
на на прямой шЯ, описывает дугу Н'Н" окружности (Я), содер-
жащую о> и ограниченную прямыми w А и wB. Замечание. Если
Я — центр положительной гомотетии (D) и (D')> то геометричес-
кое место точек Я является дугой Н' И* окружности (Я), содер-
жащей <0 и ограниченной прямыми <0?о и <07 . Замечание. Мы не
Даем исследования последних вопросов для того случая, когда
точка Я лежит на продолжении радиусов ш А и <0 В за точки А
391
и В. 24. Предварительное замечание. Пусть АВС — какой-нибудь
треугольник. Построим во внешнюю сторону этого треугольника
равнобедренные прямоугольные треугольники BABt и САСг
(-сВЛВ1 = 90°, ^САС1 =90°). При повороте вокруг точки А на
л
угол-g- точки и С перейдут соответственно в точки В и Съ
—>• —>
значит вектор BtC перейдет в вектор ВСг и потому ВСг = Z^C,
к тс
(BiC, = у или (ВСь CBJ == g-. 4 Пусть £ и 7 —середины
отрезков CCi и BBt (Р и у—центры квадратов, построенных во
внешнюю сторону треугольника АВС на его сторонах АС и АВ)
и О — середина ВС. Тогда
О ^£*1, О у ~ "^СВ\
и потому
О & « О Ъ
Точка y получается из точки р при повороте вокруг точки О
на угол Г. Отрезки и о>2 о>4. Предположим, что обход
четырехугольника ABCD совершается в положительном направле-
нии. Применяя предыдущие результаты, с одной стороны, к тре-
угольнику АВС и точкам и о>2, с другой стороны, к треуголь-
нику ACD и точкам ю3 и ю4, будем иметь:
/«J = / WJ / О)8 ss I Ю4
* ТС тс
(/ top / О)а) = g- И (/ (О3, 1 (О4) = -g .
Отсюда следует, что вектор а?2 <*>« получается из вектора
/ тс
поворотом вокруг / на угол у, т. е.
<о1со3 = а>2<04,
тс
((ojcog, (о2ш4) я J Замечание. Аналогично доказывается, что век-
тор получается из вектора <оаш4 поворотом вокруг точки J на
тс
угол-g .
Четырехугольник IKJH. Точки Н и К —середины отрезков
тс
wja>3 и ш2а)4. Поэтому при повороте вокруг точки 1 на уголуточ-
ка Н переходит в К. Значит /К = Di и (///, /Л) . Аналогич-
392
Ho JK — JH и («//(, = Поэтому IKJH — квадрат. 3\ Не-
обходимое и дос/Паточное условие, при котором <«>! о>2 ш3 — квад-
рат*
Диагонали ш8 и о>2 <о4 четырехугольника о»! <о2со3 <о4 равны
и взаимно-перпендикулярны» поэтому этот четырехугольник будет
квадратом тогда и только тогда, когда середины Н и К этих диа-
гоналей совпадают, иначе говоря (поскольку IKJH квадрат) —
тогда и только тогда, когда совпадают I и J, т. е. ABCD— па-
раллелограмм. 25. Пусть Р — какая-нибудь точка радикальной
оси окружностей (С) и (С')» а Л! и М'— вторые точки_пересече-
ния с (С) и (С') секущих РА и РД'; в инверсии (Р, РА • РМ —
= РМ' • РА') прямая ММ', перейдет, вообще говоря, в окруж-
ность (Г), описанную около треугольника РАА' [исключением
является тот случай, когда прямая АА' перпендикулярна к (Д),
а точка Р совпадает с точкой Н пересечения А А' и (Д). В этом
случае прямая ММ' совпадает с прямой А А' и сохраняется в
рассматриваемой инверсии]. Во всех случаях точка Р удовлетво-
ряет условию вопроса тогда и только тогда, когда окружность,
описанная около треугольника РАА' (или прямая РАА') орто-
гональна (Д). Значит искомыми точками Р будут точки пересече-
ния с (Д) окружности (Г), имеющей центр на (Д) и проходящей
через точки А и Д'. Исследование. Если прямая АА' не
перпендикулярна (Д), существует только одна такая окружность;
задача имеет два решения. Если прямая А А' перпендикулярна
(Д), но точки Д и Д' не симметричны относительно (Д), окруж-
ности (Г) не существует и лишь одна точка Р пересечения А А'
с (Д) дает решение вопроса.
Если, наконец, точки Д и Д' симметричны относительно (Д),
откуда, между прочим, следует, что окружности (С) и (С')
равны, то всякая окружность с центром на (Д), проходящая че-
рез Д, пройдет и через Д'; точка Р в этом случае — любая точка
прямой (Д). 26- 1°. QQ' и ST имеют общую середину. Применяя
теорему Менелая к треугольнику AQQ' и секущим SPP' и ТММ',
имеем:
Ж.Ж.В = 1, (1)
SQ' Р'А PQ '
TQ Wq' 1ЛА ,
PQ' * М'А’ MQ }
Но так как AM = PQ и AM' — P'Q', то PQ — — МА,
-> —> —> —> —>
РА —— MQ, Р'А—.— M'Q, P'Q' — М'А и из соотношения (1)
следует:
SQ МУТ MQ
SQ' ’ M'Q' МД ( 7
Отсюда и из соотношения (2) получаем:
SQ : SQ7 = TQ7 : TQ,
893
а это и означает, что QQ' и ST имеют общую середину 7. 2°. По-
строение касательной к линии (Г) в точке М.
По определению эта касательная есть предельное положение,
к которому стремится секущая ММ', когда точка М' по линии
(Г) неограниченно приближается к точке Л4, иначе, если точка
Р' по окружности (С) неограниченно приближается к точке А
Если то Q'-+Q и / (середина QQ')-><?; точка S Пересе»
чения (А) и РР' стремится к точке $, в которой (Д) пересекается
с касательной, проведенной к окружности в точке Р.
На основании 1° точки Т стремится к точке t, симметричной
Б относительно Q. Искомая касательная к линии (Г) в точке М
есть Mt. 27. 1°. Геометрическое место центров окружностей, опи-
санных около треугольника MIN.
Пусть о> — центр окружности, описанной около треугольника
MIN, и Л4г — точка, симметричная точке N относительно биссект-
рисы 1А угла ВАС (точка лежит на продолжении стороны
АВ за точку В). Очевидно BMj =» CN и соотношение /В8 = BM-CN,
которое можно переписать так: BI2=» ВМ • BMlt показывает,,
что окружность, описанная около треугольника 1ММЪ касается
ВС в точке 7. Эта окружность будет, следовательно, симметрична
относительно биссектрисы А/ угла ВАС, значит она проходит
через N и поэтому является окружностью, описанной и около
треугольника MIN. Таким образом, центр со окружности, описан-
ной около треугольника MIN, лежит на луче Iz— являющемся
биссектрисой угла ВАС. Точнее, пусть Т — проекция со на Вх и
<о0—центр окружности, вневписанной в угол А треугольника
АВС. Тогда <о Г < <о / и значит со лежит на луче cooz.
Обратное положение. Пусть со — какая-нибудь точка луча шог,
М и Mi — точки пересечения с лучем Вх окружности (D) с цент-
ром со и радиусом со / (эти точки существуют в силу того, что со
лежит на луче со0г). Обозначим через N точку, симметричную
тдчке Mi относительно прямой А1. Точка Я лежит на окружно-
сти (П), а так как ВМг ® CN, то из соотношения В12 = ВМ • ВЛ?7
следует 7В2 = ВМ • CN; точка со, следовательно, центр окружно-
сти, описанной около треугольника MIN, удовлетворяющего ус-
ловию задачи.
Окончательно. Геометрическое место точек со есть луч <о0з
в целом. 2°. Геометрическое место точек Н, Точка 7 есть середина
дуги MiIN окружности (О), поэтому MI — биссектриса внутрен-
него угла AMN и значит I—центр окружности (Я), вписанной
в треугольник AMN. Точка И лежит на окружности (это точка
касания с прямой MN). Пусть Яо и Hi — точки прикосновения
окружности (Я) с касательными, проведенными к ней из точек В
и С (отличные от В А и С А). Если точка М описывает в целом
луч Вх, то точка Я —точка касания окружности (Я) с касатель-
ной, проведенной к ней из точки М (касательной, отличной от
МА), описывает меньшую дугу HQHi окружности (Я). Эта дуга
и составляет геометрическое место точек Я (она также—огибаю-
щая прямых MN). Замечание. Так как 7 — центр окружности,
’те
вписанной в треугольник MIN, то МIN = -я- -Ь «. Геометриче-
ское место точек D. Пусть ш — центр окружности, описанной
около треугольника IMN, и К — точка пересечения (Я) с лучем Iz.
394
Прямые IH и /<о—соответственно высота треугольника IMN и диа-
метр окружности, описанной около этого треугольника, поэтому
/р —биссектрису угла MIN будет и биссектрисой внутреннего
угла /(/Я. Значит, треугольники IDH и IDK симметричны отно-
сительно ID и значит точка D лежит на касательной к (Я) веточ-
ке К. Если точка Я описывает в целом дугу HQKHX окружности
(Я), то точка D описывает в целом отрезок £>ОР1Г концами кото-
рого являются точки пересечения касательной к (Я) в точке /(
с касательными BHQ и СНг к (Я) в точках Я® и Ни
Этот отрезок D0Di и есть геометрическое место точек D.
Замечание. Результаты пунктов 1° и 2Э можно было бы получить,
доказав предварительно, что треугольники BIM, CN1 и INM
подобны. 3°. Геометрическое место точек J. Заметим прежде
всего, что точка ЛГ принадлежит окружности (^) с центром ₽»
являющейся образом прямой АВ в рассмотренной инверсии. Эта
окружность проходит через точки / и В и касается в точке I
полупрямой /X, параллельной Вх. Точно также: точка N' при-
надлежит окружности (7) с центром 7, проходящей через 1 и С
и касающейся в точке I полупрямой /У, параллельной Су. Более
точно: геометрические места точек М' и N'—образы в указан-
ной инверсии лучей Вх и Су, т. е. дуги BI и С/этих окружно-
стей (?) и (7), расположенные относительно ВС в той же полу-
плоскости от прямой ВС, где лежит луч 1г. Эти дуги симметрич-
ны относительно AI. Далее, прямая M'N' есть образ в указанной
инверсии окружности (О), описанной около треугольника MIN,
а потому M'N' || ВС. Точки Л!' и N' не симметричны относительно
>• —
AI (за*исключением случая ВМ = CN), а потому ЛГЯ'= £7=В/,
1 —1 —•>
и, следовательно, М 'J ==“2“ ?7 1=8 *2 Геометрическое место то-
чек I есть дуга окружности, полученная из дуги В/ (геомет-
рического места точек М') переносом определенным вектором
*2“р7. Центр этой дуги — середина отрезка Р7; граничные точки
этой дуги — середины и отрезков/В и IC. Замечание. Можно
было также довольно просто установить параллелизм прямых
ВМ' и IN' и если присоединить сюда, что М'N' || ВС, то получим,
что IB M'N'—параллелограмм. Теперь геометрическое место точек I
легко выводится из геометрического места точек М‘. 4°. Гео-
метрическое место середин L отрезков MN. Пусть IX и IY — по-
лупрямые, выходящие из / параллельно Вх и Су, Mi — точка,
симметричная Я относительно Я/, Г—середина NM и S' —сере-
дина BN. Отрезок S' Г гомотетичен отрезку ВМХ, в гомотетии
-yj и значит на этом отрезке лежит середина L отрезка MN,
так что
S7Z=-|fiAf
или, обозначая через S ортогональную проекцию L на /X:
7s = 4 ВМ.
395
С другой стороны,
— 1___
7Л' = ^СЛ\
поэтому
Ts .is' =-Lbm.cn = =
4 4 16
Это соотношение показывает, что точка L лежит на ветви
равносторонней гиперболы (Г) с асимптотами IX и /У. Эта ветвь
гиперболы имеет вершину в точке £0 оси Za, определенную соот-
ношением IL*——— (эта точка есть ни что иное, как точка
2/2
пересечения с 1г хорды касания M^N^ с прямыми АВ и АС ок-
ружности, вневписанной в угол А треугольника АВС). Если точ-
ка N описывает полупрямую Су в целом, то точка S' описывает
в целом полупрямую /У и точка L описывает всю указанную
ветвь гиперболы (Г). Эта ветвь гиперболы (Г) и будет, таким Об-
разом, геометрическим местом точек L. Замечание. В условии
задачи в п. 3° предполагалось, что ВАС = 90°. Для решения
вопроса п. 3° это несущественно. Приведенное рассуждение
в принципе сохранится (только ортогональное проектирование
заменится наклонным — см. выше построение точки S). 28. 1°.
Построение окружностей (С) и (С'). Хорда ОМ окружности (С)
параллельна касательной (D') к (С), поэтому точка N касания (С)
и (D') лежит на медиатрисе (Д) отрезка ОМ\ центр С окружности
(С) есть точка, в которой медиа?риса отрезка ON пересекает (Д).
Аналогично строится центр С' окружности (С').
Пересечение прямых MN и M'N'. Прямая (Д) есть биссектриса
внутреннего угла 0NM, прямая (D')—биссектриса угла смежно-
го с углом 0NM. Прямая MN, будучи симметричной прямой ON
относительно (D')t проходит через точку Z, симметричную О Отно-
сительно (D'). Аналогично устанавливаем, что и прямая M’N’
проходит через указанную фиксированную точку Z.
Геометрическое место точек В. Точка А — середина ММ',
значит точка J, в которой прямая IA пересекает (D')— середина
NN’\ она имеет, следовательно, одну и ту же степень по отноше-
нию к окружностям (С) и (С') и значит лежит на их радикаль-
ной оси ОВ. Итак, переменная точка В расположена на фиксиро-
ванной прямой OJ. Выражая двумя способами степень точки Z
относительно окружности (С), получим:
JO • ТВ = Л/5,
которое показывает, что точка В расположена по одну сторону
с точкой J по отношению к О; с другой стороны, JN может изме-
няться от 0 до оо, значит JB также изменяется от 0 до ос. Таким
образом точка В описывает полностью полупрямую, выходящую
из Z и проходящую через О. 2°. Свойство касательных в М иМ'
к (С) и (С'). Точка JV —середина дуги,ОМ окружности (С), зна-
чит прямая MN есть одна из биссектрис углов между прямыми
(£>) и МР; но точка 1 лежит на прямой MNt а потому она рав-
ноудалена от (D) и МР. Аналогично устанавливаем, что точка
396
равноудалена от (D) и М'Р. Значит точка / равноудалена от
МР и М'Р и эти две прямые касаются постоянно окружности (Г)
с центром / и касающейся в точке О прямой (D).
Геометрическое место точек Р. Точка О есть точка касания
окружности (Г) с тремя прямыми: (D), МР и М’Р, поэтому точ-
ка Д', симметричная точке О относительно середины А отрезка
ММ', есть точка касания с (D) другой окружности, также касаю-
щейся этих трех прямых. Эта окружность (Г') имеет центром
точку Q, в которой прямая IP пересекает перпендикуляр к (D)
в точке Д'.
Если сделать чертеж, в котором АМ<АО, то (Г) и (Г')будут
двумя вневписанными окружностями для треугольника МРМ',
первая —в угол М', вторая—в угол М Если же взять АМ>АО, то
окружность (Г) будет вписана в треугольник МРМ', а (Г') вне-
виисана в угол Р этого треугольника.
Во всех случаях окружности (Г) и (Г') соответствуют друг
другу в гомотетии с центром Р, в этой гомотетии точке А' каса-
ния (Г') с (D) соответствует точка (Г), в которой касательная
параллельна (D); значит точке А' соответствует в указанной
гомотетии точка Г, диаметрально противоположная точке О на
окружности (Г); эти три точки: А' Р и /' лежат, следовательно,
на одной прямой. Но точки Д' и Г фиксированы, значит точка Р
лежит на фиксированной прямой А'/'.
Точку Р можно рассматривать, как точку пересечения фикси-
рованной прямой А'/' с касательной к (С) в точке Л4,— прямой,
которая вместе с тем является касательной к фиксированной
окружности (Г). Отсюда следует, что геометрическое место точек Р
есть часть прямой А'/', за исключением отрезка IE этой прямой,
лежащего внутри окружности (Г).
Угол между касательными в точке Ок окружностям (С)и((У).
Касательная в точке О к (С) симметрична МР относительно (Д),
а касательная в точке О к (С') симметрична М'Р относительно
(Д'); эти две касательные симметричны относительно 01 [а также
и относительно (D)] двум прямым, проходящим через О, соответ-
ственно параллельно МР и М'Р. Угол, который они образуют,
следовательно, равен углу между прямыми МР и М'Р.
Окружности (С) и (С') ортогональны. Для того чтобы окруж-
ности (С) и (С') были ортогональны, необходимо и достаточно,
чтобы прямая РМ была перпендикулярна прямой РМ'. Значит
точка Р должна лежать на геометрическом месте точек, из кото-
рых окружность (Г) видна под прямым углом; это—окружность
с центром / и радиусом 10 • у/’ 2 . Эта окружность пересекает
геометрическое место точек Р в двух точках. Касательные к (Г),
проведенные из любой этой точки пересекают (D) в двух точ-
ках М и М' таких, что соответствующие окружности (С) и (С')
будут ортогональны. 3°. Преобразование фигуры инверсией (О,
О/2). В этой инверсии прямая (JO') перейдет в окружность (Г),
а окружности (С) и (С') перейдут в две прямые, касающие-
ся (Г) и-соответственно параллельные касательным к (С)
|И (С') в точке О. Направления этих касательных (см. 2°) соот-
ветственно симметричны направлениям МР и М'Р относительно
направления прямой (D) и значит точки прикосновения касатель-
ных к (Г), в которые перейдут (С) и (С'), будут симметричны
397
точкам Т и Т' прикосновения Л4Р и М'Р к (Г) относительно
прямой Х'Х, проведенной через центр / окружности (Г) парал-
лельно (D), а сами касательные к (Г), в которые перейдут (С)
и (С'), будут симметричны МР и М'Р относительноХ'Х. Точка Q,
в которой они пересекаются (которая и будет образом В в рас-
сматриваемой инверсии), поэтому симметрична точке Р относи-
тельно Х'Х.
Приложение к определению ортогональных окружностей (С)
и (С').
Определив, как это было указано в п. 2°, положения точки Р,
при которых соответствующие окружности (С) и (С') будут орто-
гональны, можно получить симметрией в Х'Х соответствующие
положения точки Q. Далее, точки и W касания, проведенные
из Q к (Г), являются образами точек N и N' касания (С) и (С')
с (D). Таким образом, для того чтобы получить пару ортогональ-
ных окружностей (С) и (С') соответственно любой из найденных
точек Q, достаточно провести из точки Q касательные к (Г) и со-
единить точки касания с О; таким образом на прямой (D') будут
определены точки прикосновения искомых окружностей (С/и (С').
29. 1°. A,M,P't Q' — гармоническая четверка, Д АРР* - A\4QQ',
РР* АР' РР' МР'
Д МРР' ~ Д MQQ', следовательно, qq7 и QQz= MQ'h т- д*
(если PQ±Ax, то Р' и Q' совпадают с М). 2°. Проведем „через
точку М прямые, параллельные Ау и Ах. Пусть эти прямые пере-
секают лучи Ах и Ау соответственно в точках Рг и Qx. Точка Р
будет описывать луч PjX, а точка Q — луч С^у; х и у изменяется
а ( а \
от у до + оо ( АРХ » A Qi = "2 ).
ах
Далее, у = -— равносторонняя гипербола с центром
(а а \
~2 9 у)» Решение задачи дает лишь одна ветвь этой
(а а \
х> , У > "2 / * Полагая s=x + y и р == ху,
соотношения а(х + у) = 2ху и x24-y2=waa перепишем так: s2— 2р =
=та2, as —2р. При этом надо найти лишь положительные значе-
ния для s и р.
Находим
q ________ *__
S= (1+/l+4m), р =-4 (l+/i+4/n).
Вычисление х и у. Исследование, х и у—корни уравнения
X2 - sX + р = 0.
Должны быть выполнены* следующие условия
Д == s2 — 4р>0,
398
a s
2< T*
Последнее условие выполнено, так как
а а ~-------------------------------
s== ~2 + 2" У 14-4/и > а.
Кроме того, выполнено и предпоследнее условие
I а \ а2 as а2
Остается условие Д>0. Оно приводится к виду:
s2 — 2аэ > О
и так как s > 0, то s > 2а.
Но так как s есть корень уравнения
g(s) == s2 — as — ma2 = О,
то это условие (s > 2a) можно записать в виде:
g (2а) < О
или 4a2 — 2a2 — ma2 < 0, откуда т 2.
Таким образом, решение существует тогда и только тогда, когда
т> 2.
45
Случай tn = -jg-. В этом случае tn > 2; решение существует:
За За За За
или х = -у~, у = ~4~, или х = —, у = ~2~.
Значение а, при котором Д APQ — прямоугольный.
За За
1°. Если а = 45°. 2°. Если а ф 45°; тогда —4—= —g—cos 2а,
а = 30°. 30. Г. Свойства нормалей к (С) и (С') в соответствующих
точках. Положительное направление на прямой ОМ возьмем от
О к М; будем считать а>0 (так что точка М' лежит на продол-
жении отрезка ОМ за точку М). Пусть / — точка, общая меди-
атрисам отрезков Mi М2 и М^М2, тогда ZMi =/Ма и /М^ =/М2,
а» так как, с другой стороны, Мх М\ = МаМ2, то A7MiMt =
==Д/М2М2. Высоты этих треугольников, выходящие из /, следо-
вательно, равны. Таким образом, точка I равноудалена от прямых
MiMj и М2М2 (которые и есть прямые OMi и ОМ2) и потому
расположена на одной из биссектрис углов, образованных этими
прямыми. Если точка М2 стремится по линии (С) к точке М19 то
прямая MiM2 стремится к касательной к линии (С) в точке Mlt а
медиатриса отрезка MjM2 — к нормали к линии (С) в точке МР
Точка М2 при этом стремится к точке М[, прямая М[ М2 стре-
399
мится к касательной к линии (С') в точке М\. Так как биссек-
трисы углов, образованных прямыми 0Л41 и О/Иа, стремятся со-
ответственно к прямой 0Мг и к перпендикуляру (At) в точке О
к прямой 0Мъ то нормаль в точке к линии (С) пересекается
с нормалью в точке М} к линии (С') в точке лежащей на
прямой (Д^. Если поэтому дана касательная в точке М, к линии
(С), то для построения касательной к линии (С') в точке Мх
проводим в точке Мл нормаль к (С) и соединяем точку J, в ко-
торой эта нормаль пересекает (Aj), с точкой М'у в точке М[ к
последней прямой проводим перпендикуляр.
Это правило остается в силе, если точка Д совпадает с О
или является бесконечно удаленной. Первый из этих случаев
имеет место тогда, когда касательная в точке Мг к линии (С)
перпендикулярна ОМ^ тогда и касательная в точке Af* к линии
(О') также перпендикулярна ОМу Второй из этих случаев имеет
место, если касательная в точке Мх к линии (С) совпадает с 0М19
тогда и касательная в точке М[ к линии (О') тоже совпадает с
ОМу
. Свойство нормалей к линиям (С) и (С") в соответствующих
точках. Все, что мы . говорили о нормалях в точках и М\ к ли-
ниям (С) и (С'), справедливо и по отношению к нормалям в точ-
ках Mi и Мг к линиям (С) и (С*)- Здесь, однако, может случить-
ся, что точка совпадает с О. В этом случае, если точка не
совпадает с О, касательная в точке М[ к (С*) совпадает с ОМу
Еслй же точка совпадает с О, то прямая JXM\ становится не-
определенной и предыдущие рассуждения дефектны. Но если мы
заметим, что в этом случае предельным положением MjTWj ПРИ
условии* что точка М*2 по линии (С*)стремится к Му есть ОТИр
мы придем к выводу, что в этом случае касательной к (С*) в
точке Мг будет ОМу 2®. Случай, когда (С) есть прямая (D),
не проходящая через О.
В этом случае эта прямая (D) играет роль и касательной к
(С) в какой-нибудь из ее точек. Построение точек А, В, С, А',
В', С', Д\ В*, С", касательных в точках Д', В', С' к (С') и
касательных в точках Д*, В*. С* к (С*) — предоставляется чита-
телю. Рекомендуется «по точкам» вычертить линии (С') и (С"),
(образующие вместе конхоиду прямой). Линия (С*) в точке О
имеет «точку возврата» (точка Н” совпадает с О).
Пусть М— какая-нибудь точка прямой (D), а а—угол НОМ,
Проекции отрезков ММ' и ММ" на ОН обе равны ocosa. Если
точка М неограниченно удаляется по прямой (D) от точки Н, то
cosa стремится к нулю; это означает, что точки М' и М", неог-
раниченно удаляющиеся по линиям (С') и (С*), неограниченно
приближаются к прямой (D), т. е. что прямая (D) асимптота
линий (С) и (С'). 31. 1® Окружности (О) и (О') касаются АС
в одной и той же точке. Так как дДВС=® лДРС, то окруж-
ности (О) и (О') касаются прямой АС в точке /, лежащей на
400
продолжении АС за точку С на расстояние Al = (АВ+ВСЧ
4-СЛ). 2е. С есть ортоцентр треугольника АОО'. Стороны уг-
лов ВАС и DC/ соответственно параллельны, две из них (АВ и
DC) имеют противоположное направление, а две (АС и CI)—
одинаковое. Значит их биссектрисы АО и О'С перпендикулярны.
Точка С принадлежит, следовательно, двум высотам А! и О'С
треугольника АОО' и потому является его ортоцентром.
Соотношение 1А-1С — RR'. Точка С', симметричная точке С
относительно OO't лежит на окружности, описанной око^ло __тре-
угольника АОО'. Значит /Л7/С'==/0-70' и значит IA* IC =
= —10'10’ =* RR' или 1A-IC — RR'. 3°. Произведение расстоя-
ний от точек О и О' до прямой AM равно RR'.
Заметим сначала, что из равенств АТ — АТ' — А1 следует,
что AM— биссектриса угла ТАТ'. Так как, кроме того, отрезок
AM есть диаметр окружности, описанной около четырехуголь-
ника АТ МТ', то ОЛ/ = 4- ТА/ = 4г{ТАТ' — /АТ')=Т'АМ —
— Т'АО' — О'АМ и значит две прямые AI и AM — изогонали
относительно АО и АО' (и так как Л/ —высота треугольника
АОО', то AM проходит через центр окружности, описанной около
этого треугольника). Пусть Н и Н' — проекции О и О' на AM.
Из предыдущей изогональности следует, что д ЛО/ лАО'Н' и
01 АО ОН АО
&АОН дЛО'/, значит — -др/ и откуда
q/^г — или Я#'* Замечание. Из рассмотрения
вписанных четырехугольников можно было бы установить сразу
подобие треугольников ЮН и Н'ОЧ', откуда сразу следует, что
ОНЮ'Н' = RR'. 32. Ответ. Iе. 4/=эд" + х + Я. 2°. f(х) s
= х3 — 2Rx 4- 2R (I — R) = 0, 0 < х < R₽T. _
Надо исследовать расположение чисел О и RV2 относитель-
но корней этого уравнения (при условии, что они действительны):
а) если I < /?, то х' < 0 < RV2 <х"— решений нет; б) если
I = R, то одно решение х == 0 (точка М совпадает с точкой Л);
в) если R<1 < RV^2 , то 0 < х' < RY2 <х*. Одно решение:
X' = R —KR(3R-2/); г) если I = R/2 , то два решения х' —
= Ryf 2 и х" == 2R — RV2 ; д) если RV^< I <~тр, то 0 < х' <
< х" < — два решения х = R R (3R — 21) ; е) если
. 3/? , , D ч ЗЯ
~ ~~2—* то х = х ~ R — одно Решение’ ж) если — реше-
ний нет.
Итак, если R < l<R1^2 , то одно решение, если R}^2 <
3R
< I <—g-----два Решения. 3°. График функции у == у(х) — дуга
401
параболы;
1 3J?
У e 2R ~2 ’
3R
вершина параболы (R, выпуклость вниз; граничные точки
дуги: (О, R) и (R^2 , rV^2"). 4°. Исходя из графика, легко по-
лучить результаты, указанные в 2°. 33. 1°. Окружности, впи-
санные в угол XOY и проходящие через данную точку.
Всякая окружность, вписанная в угол XOY и проходящая
через данную точку Д, может быть получена из (Го) гомотетией
с центром О. Точка А должна быть гомологична одной из двух
точек Bi и В2, в которых прямая ОА пересекает окружность (Го).
Радиус искомой окружности, проведенный в тбчку Л, должен
быть гомологичен одному из радиусов l^Bi и /0В2 окружности
(Го). Имеются, следовательно, две окружности, удовлетворяющие
условию: их центры /х и /а являются точками пересечения бис-
сектрисы угла XOY с прямыми, проходящими через А парал-
лельно /0В1 и IqB^. 2°. Окружности, вписанные в угол XOY и
касающиеся данной окружности (С).
Пусть (С) —данная окружность с центром С, расположенным
на отрезке /0Я, перпендикулярном ОХ, и расположенная внутри
(Го); пусть а и р— соответственно центры положительной и отри-
цательной гомотетии окружностей (С) и (Го) и пусть (Г) — какая-
нибудь окружность, вписанная в угол XOY. Точка О есть центр
положительной гомотетии окружности (Г) и (Го). На основании
свойств центров гомотетии трех окружностей, взятых по две,
заключаем, что центр гомотетии окружностей (Г) и (С) располо-
жен на прямой О а, которая проходит через центр О положитель-
ной гомотетии окружностей (Г) и (Гв) и через центр а положи-
тельной гомотетии окружностей (С) и (Го).
Центр отрицательной гомотетии окружностей (Г) и (С) лежит
на прямой ор, проходящей через центр О положительной гомо-
тетии окружностей (Г) и (Го) и через центр р отрицательной' го-
мотетии окружностей (С) и (Го).
Итак, центры положительной и отрицательной гомотетии ок-
ружности (С) и переменной окружности (Г) располагаются на
фиксированных прямых О а и Ор. Центры гомотетий двух* окруж-
ностей, из которых одна лежит внутри другой, оба расположены
внутри обеих окружностей и потому прямые О а и ОР обе пере-
секают (С). Если окружность (Г) касается внутренне (С), то точ-
ка касания есть центр положительной гомотетии этих двух ок-
ружностей: эта точка касания, следовательно, есть одна из двух
точек 7\ и Т2, в которых О а пересекает (С). Существует, следо-
вательно, две окружности (1\) и (Г2), вписанные в угол XOY и
касающиеся внутренне (С); их центры /г и /2 суть точки, в ко-
торых прямые С1\ и СТ2 пересекают биссектрису угла XOY.
Если окружность (Г) касается окружности (С) внешне, то точка
касания есть центр отрицательной гомотетии этих окружностей:
это значит, одна из точек Т[ и т'2, в которых Ор пересекает (С).
Существует, следовательно, две окружности (Г[) и (Г2)» впи-
санные в угол XOY и касающиеся внешне (С); их центры 1[ и /2 —
402
точки пересечения прямых СТ* и СТя с биссектрисой угла ХОУ.
Существует, следовательно, всего четыре окружности, вписанные
в угол ХОУ и касающиеся (С).
Соотношение между радиусами этих окружностей. В инвер-
сии с полюсом О и со степенью инверсии р равной степени точки
О относительно окружности (С), окружность (С) инвариантна.
Окружность (Л), вписанная в угол ХОУ и касающаяся окруж-
ности (С) в точке Тг, переходит в окружность, вписанную в угол
ХОУ и касающуюся (С) в точке Т2, т. е. в окружность (Га).
Так как окружности (Гх) и (Г2) соответствуют друг другу в ука-
занной инверсии, то их точки Нх и Я2 касания с осью ОУ также
соответствуют друг другу в этой инверсии, т. е.
ОЙ" ОН2 = Р-
Аналогично устанавливается, что и окружности (Г^ и (Г2) пере-
ходят друг в друга в той же инверсии и значит, обозначая через
Н[ и Н'2 точки их прикосновения с осью ОУ, будем иметь
Значит,
ОНг-ОН^ОН'г-ОНр
Обозначая через Я2, R2 радиусы окружностей (Гг), (Га),
(Г[) и (Г2), а через 0 —половину угла ХОУ, будем иметь
. R^OH^b, R2*=OH2tgQ, R'^OHfati, R2^OH2^.
Отсюда и из предыдущего соотношения находим:
RiR2 =₽ R&.
3°. Другой способ отыскания окружностей, вписанных в угол
XOY и касающихся (С). Если окружность с центром J вписана
в угол ХОУ и касается внутренне (С), то окружность с центром
J, проходящая через точку С, вписана в угол Х1О1У1, который
лежит внутри угла ХОУ, стороны которого ОхХх и ОхУх соответ-
ственно параллельны ОХ и ОУ и отстоят от них на расстоянии
равном радиусу р окружности (С). Обратно. Всякой окружности,
вписанной в угол Х1О1У1 и проходящей через С, соответствует
окружность с тем же центром, вписанная в угол ХОУ и касаю-
щаяся (С). Имеется, следовательно, столько окружностей, впи-
санных в угол ХОУ и касающихся внутренне (0), сколько имеет-
ся окружностей, вписанных в угол ХхОхУх и проходящих через
точку С, а так как точка С лежит внутри угла ХхОхУх, то на
^основании 1° имеется две таких окружности. Аналогично уста-
навливаем, что имеется столько окружностей, вписанных в угол
ХОУ и касающихся внешне (С), сколько имеется окружностей,
проходящих через С и вписанных в угол Х^О^Ур охватывающий
угол ХОУ, стороны 0[х\ иО^У^ которого параллельны соответ-
ственно ОХ и ОУ и отстоят от ОХ и ОУ на расстоянии, рав-
ном радиусу р окружности (С); таких окружностей имеется две.
Мы снова получаем, что существует четыре окружности,
вписанные в угол ХОУ и касающиеся (С) (две внутренние и две
внешние). 4°. Случай, когда С совпадает с /0.
403
В этом случае точки касания (С) с окружностью, вписанной в
угол XOY и касающейся (С), могут быть только точками пересе-
чения (С) с биссектрисой угла XOY [заметим, что в этом частном
случае точки аир совпадают с точкой /0, полупрямые О а и Ор
совпадают с прямой О/0, точки Т[ и Т2 совпадают с одной из
точек, в которой О/о пересекает (С), а точки и Т’ъ— со вто-
рой точкой пересечения О/о и (С)]. Пусть теперь А1ОВ1и А2ОВ2—
треугольники, отсекаемые от угла XOY касательными в точках
7\ и Т2 к (С). Существуют две окружности, вписанные в угол
XOY и касающиеся (С) в точке 7\— это окружность, вписанная
в треугольник Л1ОВ1 и окружность, вневписанная в угол О
этого треугольника. Аналогично существуют две окружности,
вписанные в угол XOY и касающиеся (С) в точке Г2 — это ок-
ружность, вписанная в треугольник АъОВъ, и окружность, вне-
вписанная в угол О этого треугольника.
Мы видим, что и в рассматриваемом частном случае имеется
четыре окружности, удовлетворяющие условию задачи.
§ 4. Планиметрия с тригонометрией
1. Г. Из соотношения cos2 A=cos2B следует, что 0<cos2 В<1,
к
т е. В<^р Если В удовлетворяет этому условию, то соотноше-
ние cos2 Л = cos2 В даст для А два значения (между 0 и к), в
те
сумме составляющие те; если Л!—то из них, которое <-у, то
В + Ai <тс и значит существует, по крайней мере, один треуголь-
ник, для которого cos2 А = cos2 В (или а—Отсюда также
те тс
следует, что наибольшее значение для В есть тогда Л — ~2~
и С =^-. 2°. Получаем уравнение д2 — (2у/~2с cos В) Ъ + с2 ® 0.
те
(а). Его дискриминант: Д = с2 cos 2 В и если В< Если
те
В < у, то уравнение (а) имеет два положительных корня и по
каждому из них найдем а из соотношения а = bV 2 ((B). Обратно:
тс
если дано с>0 и 0 < В <-j-, то указанным образом определен-
ные а и b будут удовлетворять соотношениям (а) и (р), значит, и
такому соотношению
Ь2 — 2ас cos В -J- с2 = 0
или
b2 = а2 + с2 — cos В,
откуда
(а — с)2 < Ъ2 < (а + с)8,
404
т. е. 1а — с| < b < |а -1- с| и значит для каждой пары значений а и
Ъ соответствует треугольник, удовлетворяющий условию задачи.
те /
Итак, если задача имеет два решения ( совпадаю-
щие приВ==-^У 3°. Откладываем на прямой отрезок ЛВ = с,
строим точку В' такую, что В АВ* « 90° и АВ' = АВ (точка В'
над прямой АВ). Вершина С должна лежать на полуокружности,
построенной на ED, как на диаметре, где Е и D точки пересече-
ния биссектрисы внутреннего и внешнего угла В' треугольника
ВДВ'.
Условие возможности построения состоит в том, чтобы луч
ВХ (^ХВА = В) пересекал бы указанную полуокружность, т. е.
проходил бы внутри угла В'В А (ибо В В'— касательная к полу-
окружности, В'—точка касания). Мы снова приходим к условию
те
В <
Отсюда также сразу следует, что площадь s будет иметь мак-
симальную величину, если точка С будет занимать наивысшее
положение на указанной полуокружности; отсюда найдем
г»
smax “
с8 sin С
^==—.— ................
3—2 j/"2 cos С
и снова
с „ 1
ПРИ SinC=-j
/ я \
(угол С при этом близок к -g- I. Построение графика s = s(C)
предоставляется читателю ^на сегменте arc sin-yj функция
s= s (С) возрастает, а на сегменте ^arcsiny, — убывает^.
2. Г. О А' ® За cos ж, ОВ' 4а sin х, ОМ = у (3 cos х + 4 sin х).
2Э. mt3— 4t 4“ т — 3 = 0; 1)если 0 <т < 3, задача имеет одно ре-
шение; 2) если т = 3, задача имеет два решения; одно из поло-
жений прямой OZ есть ОХ\ 3) если 3<т<4 — задача имеет два
решения; 4) если /и = 4— задача имеет одно решение; 5) если
т >4 — задача не имеет решений. 3°. s принимает наибольшее
значение 4а2 при т = 4; при этом 1г =-g-.
405
Обозначая угол от ОХ до биссектрисы угла М'ОМ" через и,
х' + х"
имеем и ==----—»
4
*' + v +т 4
tg2“e tgx'tgx* 1 —m—3~ 3 *
т
Отсюда находим tg и . 3. Г. МА = 2а sin х; МВ =
== 2а j/’l+sin2* — 2sin х cos х. 2°. Если к ф |/’2,то(2—к2) х
X tg2 х — 2tgx + 1 =0. Отсюда: 1) если 1 < к < /У, задача
имеет два решения, причем обе точки М расположены по одну
сторону_ от АА', именно по ту, где лежит точка В; 2) если
к >у^2, для точки М имеется два положения, но по разные сто-
роны от АА'; 3) если х=1, то х==-^- (одно решение); 4) если
/с<1, задача не имеет решений. Пусть = Тогда одно из
положений точки М есть А', другое — определяется углом
x=arctg~n" . 3°. Геометрическое решение: геометрическое место
лл МВ
точек М, для которых дуд = к есть окружность (Апполония),
пересекающая прямую АВ в точках / и J (/ — лежит на отрезке
АВ, J — вне его) таких, что точки /, J делят отрезок АВ — гар-
монически:
А/ AJ
-=- = к, -= == — к,
АВ JB
Если х<1, точки / и J расположены относительно середины О
отрезка АВ по ту же сторону, что и В и окружность (Г), пост-
роенная на IJ, как на диаметре — не пересекает (С). Если к=1,
окружность (Г) вырождается в медиатрису АВ, касающуюся (Сх-
одно решение. Если к> 1, то точки I и J расположены относи-
тельно точки О с той же стороны, что и А и по разные стороны
от А. Окружности (С) и (Г) в таком случае непременно пересе-
каются, так как окружность (С) проходит через точку А, лежа-
щую внутри (Г), и касается прямой (А), которая лежит вне (Г).
Если к изменяется от 1 до +оо, то точка / (сначала совпадав-
шая с О) и точка J (сначала находящаяся в бесконечности) дви-
жутся навстречу друг другу, приближаясь к точке А, и расстоя-
ние АР от точки А до точки Р, в которой (Г) пересекает АА',
убывает. Поэтому до тех пор, пока Р не дойдет до А' обе точки
пересечения (С) и (Г) будут по одну сторону от А А' — с той же
стороны, где и В; как только точка Р перейдет через А' и ока-
жется на отрезке АА', окружность (Г) будет пересекать (С) в
точках, расположенных по разные стороны от АА'. Но если
точки Р и А' совпадают, то
РВ А'В г-
к~ РА~ А'А ~ ’/2,
406
и отсюда легко получаются результаты предыдущего исследова-
3 1
ния. 4. 1°. cos А = “pqg, sin Л = ~~у = sin (В + С), cos (В+
3 1
_]-С)==—2°. tg В tg С =—~у или В, или С —тупой угол.
3°. 2/2 + t — 1 » 0; ==— 1, /2 =-у, один из углов
В или С ра-
Зтс ло и п /-а „ ЯУ10
вен-f-. 4’. « = fc = R/2, С=^, Лв=—g—,
R VY R/б R/TO
. *. - —. г - 5(1 + /s + Z2 • »• ПУ". »
6,0 — ортоцентр, точка пересечения медиан и центр описанной
окружности. Точки О и т получаются из Я и Л гомотетией
^6,—-у , значит тО =-^-НА. Значит можно построить О, а
затем окружность (Г), описанную около искомого треугольника;
она пересечет перпендикуляр из/и на ЛЯ в точках В и С. Пересе-
чение произойдет, если ОА > От или mF > FA. А. 1°. Восполь-
7С
зеваться формулами be = 2Rh, b = 2R sin В и т. д. 2°. В = —% —
— ~~2 + "уагс cos (1—cos Л), С —у — "у — ~2 агс cos(l—cos Л);
решение возможно, если Л — острый угол.
Если Л = у , то В = ~у » = у ‘ 3°* ^Рямая* В. 1°.
sin В sin С =у. Отсюда к < 2. Геометрически, если ha = kR, to
к < 2, так как ha < АВ <2R. 2°. Окружность. 6. 1°. sin В cos В=
/Зя \ л 1
« т sin 1у—В1. 2°. Если т <у , имеется лишь одно решение;
если т >у — решений нет. 3°. В случае m == у, В у — тре-
угольник равнобедренный и прямоугольный. 7. Если0<5<^,
решений нет; если a<s<a -/Т, два решения; если $=аУ2,
два угла В равных 45°; если s>ayr2, решений нет. 8. Г 2р =
== 4R cos а (1 + sin a), s = 4R2 sin а cos3 а. 2°. r = 2Rsina(l—sin а),
ггт;эх= У (ПРИ а = А МАМ' при ©том равносторонний.
3°. у = R (1—2sin а). Если а изменяется от 0 до-у , у убывает от R
до—R. 4°. Из 2Rsina (1 — sin а) =«= I находим условие существо-
R
вания решения I <”у* 5°. Продолжим АВ за точку В так, что-
бы ВС = /. На отрезке АС строим, как на диаметре, полуокруж-
ность; пусть перпендикуляр к ЛС в точке В пересекает эту по-
луокружность в точке Т; тогда прямая, проходящая через точку Т
407
параллельно АС, пересекает данную окружность в искомой точке
М. Решение возможно, если произойдет пересечение, т. е. если
R /
ВТ < R, откуда /<—gp. 9. 1°. s = a2lsinx — cosx-(-
+ V Если s^ka*, то в случае < k < задача
4 / 4 4
имеет одно решение, в случае < /? < 2+ — два реше-
4 4
йия; для остальных значений k — задача не имеет решений.
smax = я2 ^2 -j- (при к = 2 + • 2°. Геометрическое
место точек В — полуокружность (Р) с центром О радиуса а, че-
рез граничные точки которой проходит прямая ОД; геометриче-
ское место (у) точек С получается из геометрического места то-
чек В вращением О,—Нг) — это* слеД°вательно» полуокруж-
ность (7) с центром О' (ДОО'Д— равносторонний). Угол О АС
достигает максимума, если АС — касательная к полуокружности
те те тс
(у); max ОДС =-3-4--g~ =-g-. Точки О, В и С лежат на
_ . 2те
одной прямой, если ОВА ; отсюда легко построить О. Да-
лее, пусть (В) — трапеция; сторона ВС не может быть параллель-
на ОД, ибо в противном случае -^ВДО=-у, что не может
быть. Значит, если (В) трапеция, то основаниями ее могут быть
только ОВ и ДС; это будет тогда и только тогда, когда ^гОВД=
=-у . Соответствующее положение точки В совпадает с пересе-
чением (Р) и окружности, описанной около треугольника ОО'Д.
/ 2h зУу \
3°. s = a*l — ——1; «будет максимально, если h будет
максимально, и это будет тогда, когда С находится в точке пе-
2Ьс А
ресечения (7) и медиатрисы отрезка ОА. 11. 1°. Д О = g cos -у,
2bc А те
ДВ LT^sin^ • 2°. В —С = ~у. 3°. а) Указание: Д DAE в
те
случае В — С ==~у — прямоугольный и равнобедренный, в) а =
Ь* — с*
= .—.—=-. 12. Г. Для того чтобы около трапеции можно было
у &
описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы она была
равнобедренной. Предположим, например, что угол ВАх острый и
пусть ВН— перпендикуляр, опущенный из В на Ах. Для того
чтобы трапеция АВВ'А' была равнобедренной, необходимо, чтобы
ее сторона А'В' была параллельна прямой ВС, симметричной
прямой ВА относительно ВН, значит прямая Sz должна быть
параллельна ВС. Но так как эта прямая должна пересекать по-
408
лупрямые Ах и By, решение возможно лишь тогда, когда точка S
лежит вне угла АВС. Аналогично исследуется случай, когда угол
В Ах — тупой. Замечание. Если Ах ± АВ и Ау х АВ, то трапе-
ция будет вписанной, если только она вырождается в прямо-
угольник (Sz У АВ). Задача имеет решение при любом положении
S (по ту же сторону от АВ, что и данные лучи). 2\ Пусть О' —
середина А'В'; тогда ОО' * h — т2\ это дает возможность пост-
роить точку О'. Решение возможно, если только точка S не ле-
жит внутри угла, образованного продолжениями ВО' и АО' за
точку О', ибо прямая SO' должна пересекать лучи Ах и By. Так
как S не должна лежать по условию и между Ах, и Ау, то точка
S не должна лежать внутри двух углов (сделать чертеж). 3°.
2/na sin (х + а) = (а8 — Ь8) sin а sin х
В частном случае х -у . 4°. Прямая проходит через точку
J прямой АВ, гармонически сопряженную с точкой S относитель-
но А и В. 13. Г. Пусть / и Г— центры вписанной окружности
и вневписанной в угол А (В^С, следовательно, Ь > с), Т и Т'
точки прикосновения окружностей (/) и (/') к Стороне ВС, S и
S' точки прикосновения окружностей (/) и (/') к прямой АС.
Тогда AS «в р — a, AS' «в р, откуда SS'~ а, ВТ = СТ' — р — Ь,
ВТ' = ЕТ = р—с.
А А
Из треугольников AS'Г и AS/ : t' =р tgy , с =* (р — a) tg-y
х A d as
откуда tgy « р = j.
Далее:
те—С С С
rf = ГТ' =(р—с) tg--y-= (р—c)ctg-y , г == IT = (р —• b) tg-y*
значит
гг'~ у (аа - (b - c)*J
и значит
b — q = у/ а2 + d2 — s2 .
Далее.
„ 2ad „ л 2as
sinH=. , sin В -f- sin С = +
В —С s
2
as 1 _________________ sa 1 ____________________,
& = 27 + *2 / а* + rf2 — s2, с — 27 — t'OP + cP — s».
Исследование Условие b—c<a<b-\-c и условие действи-
тельности радикала дает
d < s < fa2 -f- d8.
ПлоЩаДЬ
a(s* — d2)
в~ 4d *
409
Углы В и Ct
„ п a s 7
В = — — arc tg — + arc cos -7^7=- (s <
z u у ai + a2
Л л d s
C = -Q- — arc tg ~ — arc cos -==
z u 1/ a2 -
Очевидно В > 0; для того чтобы было и О 0 необходимо и
достаточно, чтобы
s те d
arc cos —=== < “a — arc tg
1/ a* -4-d» 2 6 a
или
s d
===j>sinarctg— и т. д.,
s + d s — d
и в результате опять s > d. 3°. г' = —2—» r —g"*- На прямой
откладываем отрезок SS' = а. Строим окружности с радиусами г-
и г', касающиеся SS' в точках S и S', и проводим общую внут-
реннюю касательную к ним.
Исследование, г > 0, т. е. s > d. Далее, условие возможности
проведения общей внутренней касательной s < //' или s < у/а2+^а.
. sin В sin С
14. 1°. и= sin(jS + C)-
Если заданы А и ut то
тс А 1
В = — ~2~ + у агс cos (2u sin А — cos А),
C = у —• у ~ "2 arc cos (2u sin A — cos A).
Условие возможности решения: B>0 и С > 0; первое нера-
венство всегда выполнено; условие С > 0 дает
2u sin А — cos А > — cos А,
откуда
1 Л 5я 5я к
и < “2" etg ^2°. А == 12 , В = ~у2 » ^°* (^2 + 1’
— 2(Ь2 + с2) а2 + (Ь2 — с2)2 = 0;
если корни этого уравнения действительны, то они и положи-
тельны; отсюда найдем
Ьс
“ < |6«—са|-
410
Заменим для удобства букву С буквой х и рассмотрим функцию
Ьх _
и = |6г —х>0‘
Сначала следует построить график функции
y = ^z^.
а потом заметить, что у=|ц|. Функция же у = у(х) на интервале
(О, Ь) возрастает от 0* до +00» на интервале (b, +00) возрастает
АН AR•АС
от -оо ДоО. 4°.jg =^са Н0 = L
- В//2 = СНг — ВЯ2 = (СИ + ВЯ) (CH — ВН) - (НВ + НС) (ВН+
_____ __ ___ АН АВ • АС
+ НС)=2Н0»ВС и значит = 2Н0ВС* т* е’ АВ • АС
^2 АН • ОН.
Далее, АВ • АС = 2R • АН, откуда ОН = R. а) Отсюда следу-
ет, что АН касается описанной окружности (2) и что точка А
есть конец диаметра (2), параллельного ВС. Ь) Точка О имеет оди-
наковую степень относительно окружностей (Г) и (2), а так как
Л2 || ВС, то искомая радикальная ось окружностей (Г) и (2) есть
медиатриса отрезка ВС. 15. Полагая -с ВАР = х ^0 < х <
получим уравнение:
f(t) = к cos a t* — t cos a k COS a — 1 — sin a = 0, (1)
7t
где ? = tgx. Учитывая условие 0 < x < тр заключаем, что за-
дача имеет столько решений, сколько положительных корней
имеет уравнение (1).
„ t 14-sina.
Если k < —, то задача имеет одно решение.
__ . 1 + sin а 1
Пусть k > с~—.Сумма корней уравнения равна -j, их про-
k cos а — 1 — sin a
изведение ------------- положительно, поэтому если еще
Д'= cos1 a — 4&cosa(fccosa—1—sin a) > 0, то оба корня урав-
нения (1) будут действительны и положительны, и задача имеет
два решения. Условие Д' > 0 можно переписать в виде:
f(k) = k* cos a — (1 +sina)fe —~cosa<0.
Так как 0<cosa<l, то корни f (k) действительны и разных
знаков, а так как
х / 1 + sin a\ 1
1 у-coSa -4-cosa<0,TO
411
1 + sin «
COS a
лежит между корнями f (k). Таким образом,
если
1 -f- sin a
COS a
<k <k\
где k'— положительный корень уравнения /(Л)==0, т. е.
1 4“ sin в 4“ 2 (14” sin a)
2 COS a
то задача имеет два решения. Наконец, если k>k', решений
нет. Г. В частности при АС= 2ВС имеем: одно решение, если
k < 3; два решения, если КЗ < k < 1 4--1С?; нет решений,
если k > 1 4~ 2°* Если АС » 2ЛВ, то одно решение, если
k > 2 4- у^З: два решения, если
2,+ / 3 < k < 2 + /3 + 2/2+/3 ,
и нет решений, если
k > % 3°. Если ВС, то одно реше-
3
ние, если < 1 4~ y^2; два решения, если
/2+1 < k <,О+1±/2!<2 + /2..
нет решений, если
+~2 + 1 +/2/2 + /1
Л>----------------------
Геометрическое решение. Продолжим отрезок AQ
за точку Q и отложим на продолжении от точки Q отрезок QM «•
» QP. Тогда AQ + QP = AM. Соединим точки М и Р и продол-
жим прямую МР до пересечения в точке U с прямой, касатель-
ной к полуокружности в точке Л; тогда AU «= AM » AQ + QP-
Следовательно, для построения точки Р достаточно на луче AU
отложить от точки Л отрезок AU ~ kAB и провести через точку
U прямую, перпендикулярную к биссектрисе угла CAU. Точки Р,
удовлетворяющие условию — суть точки пересечения указанной
прямой с полуокружностью. Если прямая MPU пересекает АВ
между Л и В, то она пересекает в одной точке Р и полуокруж-
ность. Проведем касательную X к полуокружности, перпендику-
лярную к биссектрисе угла CAU и через точку В проведем пря-
мую fi, параллельную X. Пусть прямые р и X пересекают луч AU
в точках и Если точка U лежит на прямой AU между
и Ut, то имеются две точки пересечения прямой UPM с по-
412
луокружностью,— задача имеет два решения. Решений нет, если
прямая MPU пересекает AU в точке U, лежащей на продолже-
нии луча AUi за точку U2. Читателю предлагается вычислением
установить тождественность результатов этого вычисления с дан-
ным выше алгебраическим решением. 16. 1°. Геометрическое место
точек А находится из условий Ъ~с или 6а+са = 2а2; оно со-
стоит, следовательно, из медиатрисы отрезка ВС и окружности
(Г) с центром в середине М отрезка АВ и радиусом r = alC?.
Треугольник АВС прямоугольный в следующих трех случаях:
1) А = 90э, если точка А лежит на медиатрисе ВС на расстоя-
нии -% от 8С; 2) В = 90°, если точка А лежит в точке пере
сечения (Г) с перпендикуляром к ВС в точке В; 3) ^С == 90°,
если точка А лежит в точке пересечения (Г) с перпендикуляром
к ВС в точке С. 2°. ft8 + с2 — 2а2 = 0, b с, откуда sin2 В +
+ sin2C — 2sin84 = 0, В =£ С и т. д.
Если задан угол А, то (считаем В > С)
„ И л . 1— 2 cos8 А
В = -21К - А + arc cos---------------
* 1 / л 1 — 2 cos2 А \
с = 2 - а - arc cos---
Исследование:
/1—2 cos8 Д\8
cos Д / < **
(1 — 2 cos2 А )2 < cos2 А,
4 cos4 Д — 5 cos2 Д + 1 <0,
у < cos2 Д < 1,
значит cos2 Д > у (и только!), значит угол А не должен быть
тс 2тс
заключен между у и -у. Пусть это условие выполнено; еще
должны быть выполнены условия: В>0 и С > 0; условие В > 0,
очевидно, выполнено; условие С>0 эквивалентно следующему:
1 — 2 cos2 А
—ЕБГд—>-cos4
или
1 — cos2 А
cos А > &
Значит cos Д > 0. Итак, А не может быть тупым углом и
тс
притом А < у.
413
Если А = у, то В — у, С = у 3°. cos 0 == (пРи
вычислении использовать теорему: |аа— са| = 2Ьу, где у —про-
екция медианы ВВ' на сторону ДС);
C0S 0 =
с =
Если х изменяется от 0 до то 0 убывает от Л до 0. 4°. По-
строим лишь треугольники АВС, для которых вершина А распо-
ложена над прямой ВС. Вершина А должна быть прежде всего
расположена на окружности (Г). С другой стороны, точка В' —
середина АС, должна быть расположена на одной из дуг окруж-
ностей, расположенных над ВС, с граничными точками В и С и
вмещающими угол 0 или к — 0. Значит, точка А должна быть
расположена на одной из дуг, полученных из предыдущих гомо-
тетий (С, 2). Это дуги с концами С и В' (СВ' ® 2СВ), вмещаю-
щими те же углы 0 и л — 0. Так как точки В' и С расположены—
первая вне (Г), вторая — внутри (Г), то задача имеет всегда два
решения, т. е. существуют 2 треугольника, удовлетворяющие ус-
ловию задачи. 17. sin В + sin С ®= k sin А и т. д. Находим
Л л k п k k , к
В » у + arccos у, С = у— arccos .Исследование: < 1 и у —
k
— arccos у > 0 или k > 1. Итак, 1 < k < 2.
гч г» t a sin В а sin С „
Зная В и С, находим о « ; ’у, с= -.„у. 2°. Построим
ЫГ1 51П /1
два луча Ах и Ау, образующих угол у. Далее, 2р = а-|-£а==
= а (k-Н)* На лучах Ах и Ау откладываем отрезки AD' АЕ' «== р
и строим окружность, вписанную в угол хАу и касающуюся его
сторон в точках D' и Е’ — это окружность (/'), вневписанная в угол
А треугольника АВС. Пусть D и Е— точки прикосновения впи-
санной окружности (/) в искомый треугольник ДВС. Тогда
=« Е'Е «в а. Значит точки D и Е можно построить, затем строим
Й; ВС будет общей внутренней касательной к (/) и (/'). Иссле-
зание: точки D' и Е' должны быть расположены на отрезках
а
AD' и ДЕ', значит, должно быть а < р, а<(1 + &)у> k>\. С
другой стороны, для существования общей касательной к (/) и
(/') необходимо и достаточно, чтобы//'>г+г', где г и г'—радиусы
(/) и (/'). Но //' cos у = ЕЕ' = а и т. д. и условие //' > г + г' при-
ведет к условию k < 2. 3°. у « 2а cos — С^. Угол С может из-
Л 2п ( п ]
меняться от 0 до у. При этом на полуинтервале! 0, у| у воз-
414
растает от а до 2а, а на полуинтервале те ) убывает от 2а до
б j
а. Отсюда следует, что условие у « b + с • ka возможно тогда в
только тогда, когда а < ka < 2а или 1 < k < 2. 18. Если А —
острый угол, то точка D расположена с той же стороны от ВС,
что и А; мы имеем и < DOB и если D' — точка, диаметрально
противоположная D на окружности (О), то DOB «те — и‘ОВ~
ВОС
«тс-----«те— А и так как угол 4 — острый, то из а =
2R sin о « 2/? sin А следует v « А (я — всегда острый угол по
условию). Таким образом «<«— о. Если А—тупой угол, то
точка D расположена с точкой А по разные стороны от ВС, угол
н —тупой (сделать чертеж!) и и > DOB. Но ^.DOB равен по-
ловине центрального угла, на который опирается вписанный угол
Л, значит DOB » А и « > А. Но из равенства а « 2R sin v «
= 2/?sin А и того, что v— острый, а А —тупой угол, следует, что
4 == те — v и значит и > те — о.
Таким образом надо рассмотреть два случая: А — острый
угол; 4—тупой угол. В первом случае:
Л те V— и те v + u
В — С «и, В = у — g—, С « у — 2 ’
v — и v Ч- и
6 =2/? cos——, « = 2/? cos—,
V / о и \
s - R2 sin и (cos о + cos а), 2р = 4R cos у I siny + cosy j,
VI и v\
r = 2R sin yfcosy — sin у I.
Во втором случае:
те и —V
4 = тс — р, В — С «те — и, В «-у — —g—,
(те « + o\t и —о
у — —2— )’ b в 2 R cos—g—,
U 4-ц
с == — 2R cos —g—, s « — R* sin v (cos и -|- cos «),
v I v и \
2p = 4/?sin-y I cos у +siny L
Л V { V и \
r= — 2/<cos у I cos у—sin у j.
В первом случае при изменении «от 0 до тс —a, s убывает от
sin о cos о до 0, г убывает от 2j? sin у — sin ”yj До 0.
415
Во втором случае и может изменяться от тс — v до тс. При
этом s возрастает от 0 до Я8 sin v (1 —cos г), а г возрастает от О
v / v \ г
до 2R cos “2" 11 — cos -у . 19*1°, а)
Неизвестный угол х острый и,
Л тс тс тс Зтс
когда х изменяется от 0 до-^ , то*+ изменяется от—до -у-
6) sin
4
/ 71 \
и sin I x + I принимает по два раза каждое из значений, за-
ключенных между и L Уравнение sin х + »
1 /. 1\
« даст, следовательно, для х + -j- два значения, в
сумме дающие тс, и значит для х — два значения, в сумме дающие
тс
2-- Это будет при условии
1 1 / 1\
7?</г(1+7)<1
или р> 1^2+1. 2°. а) АВ—ось симметрии (OAB)t значит (ОАВ)
проходит через точку О', ^симметричную О относительно (£>).
6) В инверс и и (О, 1) точки А и В перейдут в точки и Вг такие,
что О А' • О А == ОВХ • ОВ «4 = ОН2. Отсюда следует, что и
Вг —основания перпендикуляров, опущенных из Н на О А и ОВ.
Окружность (ОАВ) перейдет в прямую Дх^. Но так как четырех-
угольник ОА\НВГ — прямоугольник, то ЛхВх проходит через сере-
дину О* отрезка ОН\ значит (О АН) проходит через точку О' пря-
мой ОН такую, что 00* • ’об' == 1, но 00* = значитОО'=2.
3°. В инверсии (О, 1) точки М н W перейдут в основания и
перпендикуляров, опущенных из Н на ОМ и ОМ, а образом
(0MN) будет прямая МхЛГР Если угол M0N вращается вокруг
своей вершины О, точки и перемещаются на окружности
с диаметром ОН. Так как и = const, то и хорда /ИхМх сохраняет
постоянную длину и значит касается окружности (CJc центром/
(середина ОН) и радиусом гу —/Л^ cos ы ==-?> cos и. Значит ок-
ружность (ОМН) остается касательной к окружности (С), являю-
щейся образом (Cj) в инверсии (О, 1). Пусть и Fi — точки, в ко-
торых (Ci) пересекает ОН. Тогда ОЕГ ~ 01 + lEi = -% — cos и»
__ _ । 1 __ 2 ___
OFi = 01 + ТРг = у + "2 cos “• Отсюда ОЕ = t _cost<, OF =
416
~ 1 + cosZT и ^“°бразы Ei и Fi в указанной инверсии) и
далее без труда находим
— OE + OF 2
0С~ 2 “ sin2 и •
2 2 cos а
= sin2 и и 2 = sin2 и ‘
4°. Если и возрастает от 0 до у, то у убывает от + оо до 2, а г
убывает от +оо до 0. Так как г = у cos и, то второй график рас-
положен ниже первого. Заметим, что для u = -g i/ = 2, а г = 0,
т. е. окружность (С) вырождается в точку С такую, что ОС = 2
[см. выше 2°]. 20. Решение.
л г--------------
ОА ОВ ~ ОС ~----------ОК ” V ОА' ОВ-'* ОК-
и так как
О А = 1,
0L будет убывать с возрастанием п, если
sin а
sin (а —X) < '
Отсюда
1°. < a < л. 2°. ctg а = ctg X — 3°. a) AL = АВ +
-> —> —>
+ ВС + ... +КЛ; проектируя на ЛВ, получим:
Р = А В + ВС cos (Л В, ВС) +... + KL cos (Л В, KL) = ЛВ +ЛВ X
X q cos X + АВ q2 cos 2 X + ... + АВ qn~~1 cos (n—1)X. Ho AB ==
= sinS(a-A)’ Значит P = 4iH77^~X) t1 + 9 cos X + <?2 cos 2 X +...+
+ qn “ 1 cos (n — 1) X]. б) С другой стороны, AL ~OL — О А и
значит
P =*OL cos (ЛВ, OL) — О A cos (ЛВ, О A) = qn cos (n X — a) — cos a,
lim P = — cos a.
«->oo
14 Зак. 3478 417
Замечание. Сравнивая результаты, получим:
1 + 7 cos X + 7а cos 2 Х+ ... + qn~~ 1 cos (п — 1) X =
sin (а — X)
= ~sinX— cos («* — «) —cos а]
и если п оо, a 0 < q < 1то
1 + q cosX + 72 cos 2Х +... + qn~~ 1 cos (n — 1)X+ ... =
cos a sin (g — X) cos a sin (a — 9°)
sin X * . 5 = — sin 9° 9
W a — решение уравнения
sin a
sin (a — 9°)
= То7=(°<а<те)-
V 10
21. 1°. Выражения CM, CN и MN в функции a u t:
2 at 1 + /2
СЛ4 = а(1— t)r CN ==. -j , MN = • 2°. Значение t,
соответствующее данной длине l отрезка MN. Имеется два реше-
ния:
Z + Z Z2 + 4aZ —4аа
тогда и только тогда, когда
2а (^2 — 1) < I < а.
В этом случае
2
i0fx . у X = tg^i+ tgx2 ?1 + ?2 ______а
+Х2) 1—tgxjtgxa 1 — а
а так как 0 < хх + х2 < 90э, то Xi + х2 = 45°. Этот результат мож-
но было установить и геометрически: если отрезок M\N\ имеет
данную длину /, то отрезок M2/V2, ему симметричный относитель-
но диагонали АС, имеет ту же длину, но тогда / МъАВ —
= DAN1 = 45° — / MiAB. 3°. Выражение площади треуголь-
ника MAN в функции а и Z:
a2 Z2 + 1
пл. Д MAN —-% -2(1-Р)>'
отсюда и из 1° следует, что расстояние от А до MN не зависит
от t. 22. 1°. Функция у~у(х)
(а—х) (Ь—х) х2 — (а + b) х + ab
у=— Х2 =—
2аЬ (а — Ь)2
При изменении х от а до — у — возрастает от 0 до—;
418
2я6- . * (a — b)2
при изменении х от до b, z/ —убывает от -—— до О
(сделать чертеж, полагая, например а=1, Ъ = 5).
ЛГА ОА
Соотношение 4- = 0.
ЛГВ ОВ
т, 2аЬ 20 А • ОВ
Из соотношения лг =—р-г или ОМ — —=-------=— следует
ОА + ОВ
2 11
т. е. ЛГ гармонически сопряжена с точкой О
относительно А и В\ значит,
WA ОА
мТв ОВ '
Геометрическое решение. Обозначим через (Г) одну из двух
полуокружностей, ограниченных диаметром АВ, а через Р — точ-
ку (Г), проектирующуюся в М. Так как МА • МВ = МР2, то
МР2
у = Мб)2~ = tg2 а» где а. == / АОР. Функция у изменяется в том же
направлении, что и tga, следовательно, в том же направлении,
что и a^0<a<-^J. Если Р'—точка прикосновения каса-
тельной к (Г), проведенной из О, а М'—ее проекция на х'х, то
у принимает максимальное значение равное tga а', где a' =
(а — b)2
— /.Р'ОМ', иначе у~—. Если точка М описывает отре-
(а — Ь)2
зок AM', у возрастает от 0 до —— и т. д.
2° г — — ‘ МВ = — -а
ОМ2 + ОС2 “ x2 + h2
х2 — (а + 6)лс+ ab
~ х2 + h2
Если х изменяется от а до
— h2 + / (Аа + a2) (h2 + b2)
a + b
то z возрастает от 0 до
ab + h2 — /(h2 + а2) (Л2 + b2)
ж' “ ~ 2h2 1
14*
419
если х изменяется от х' до Ь, то г убывает от г' до 0.
СМ*—биссектриса угла АСВ. Легко найти, что
М'Л _ 1/" Л2 + а2 _ С А
М'В ~ У h2 + b2 ~ СВ
(М'—точка оси х'х, имеющая на этой оси координату х’, значе-
ние которой указано выше).
Геометрическое решение. Пусть (С) — окружность,
описанная около треугольника ЛВС, М — произвольная точка от-
резка ЛВ, N — вторая точка пересечения СМ е (С) и // — проек-
ция N на х'х. Тогда
_ МЛ -MB MA-MB MC-MN MN _ HN HN
МС2 МС2 МС2 МС ОС h
и значит г меняется в том же направлении, что и ЯЯ. Обозна-
чим через Я* середину дуги ЛВ окружности, которая располо-
жена в полуплоскости, не содержащей С, через Я* — ее проек-
цию на х'х и через М*— точку пересечения CN" с х'х. Ясно,
что CN"— биссектриса угла ЛВС. Если точка М описывает от-
Я"Я*
резок ОМ", то г возрастает от 0 до ——, а если точка М опи-
Я*Я*
сывает М*В, то г убывает от —д— до 0. 3°. Вычисление и.
X — а
МА =2 sin—g— и т- Д*
х — а . р — х
sin—g— Sln —2—
и==------------х------
sin2 *2*
или
. а Р / а\ / В\ х
ц = —sin 2“ sin yU- ctg “2 I U — ctgJ, ? = ctgy;
Sin 2 1 / a p\
“max =-------a-----jT ПРИ * = T( ctS 2 + ctS 2 )*
4 sin у sin-g 4 '
P 1 / a P \
При изменении t от ctg до ( ctgу + ctg-g- ), и возрас-
тает от 0 до «тах, при изменении I от ~ ^ctgy + ctg-|^ до
а
ctg-g, «убывает от «тах до 0 [читателю рекомендуется построить
420
соответствующие графики дуги параболы для трех случаев:
1) 0 < а < я < ^ < 2я; 2) 0 < а < ₽ < и; 3) к < а < < 2 и].
Свойство прямых SA, SB и SAI'". Пусть Л!, Вг и М" —точ-
ки пересечения прямых ВЛ, SB и SM'" с прямой, проходящей
через О перпендикулярно х'х. Тогда
--- а ----------- 8
OAr = ctg у, OBi = ctgу,
_____ х'" 1 I а 8\ 1 /--- -----\
= ctg-у— = Цсtgу + ctg у) = у (ОЛХ + OBJ.
Геометрическое решение. Произведем инверсию
(S, 2). Тригонометрическая окружность перейдет в прямую z'z,
проходящую через О перпендикулярно х'х, точки Л, В, М перей-
дут в точки Лх, В19 А4Х пересечения ВЛ, SB, SM с z'z. На осно-
вании свойства инверсии:
2 2
МА = М1Аг sMi-SAi ’ МВ = M1B1 SM^SRt ’ SM'SMi — 2-
Следовательно,
4 SM2
МА • МВ = SM\SAi,SB ' MiAi-MtBt = 5В1А41Л1-Л41В1.
Следовательно,
мл * мв ... _. _ 1
“ = SM2 ~ Л4‘Л1 M1B1 SAi • SBi
Таким образом функция и лишь постоянным множителем
1
ВЛХ-SBi
отличается от А1ХЛХ • А1ХВХ. Точка М расположена на дуге АВ (от
Л к В в положительном направлении), значит луч SMMY прохо-
дит внутри угла (ВЛХ, ВВХ) и значит точка Мг лежит на отрезке
ЛХВХ. Поэтому = ЛiBj. = const, следовательно, про-
изведение А1ХЛХ • Л4ХВХ будет максимально, если точка будет
серединой М " отрезка ЛХВХ и это максимальное произведение
Л В
будет равно —_л. Произведение А11Л1 • МгВг возрастает от 0 до
у ЛхВр если точка А1х описывает отрезок А^/" и убывает от
-у ЛХВ“ до 0, если точка А1х описывает отрезок аГ*В. Если
М" — точка пересечения SM\' с дугой ЛВ> то из предыдущего
следует, что если точка М описывает дугу AM'", то и изменяет-
421
ся от 0 до J----^1—!— = ——, а если точка /И описывает
4 5Д1«5В1 43Л . SB
ДВ2
дугу Л4'"В, то и убывает от *4 До 0.
Наконец, остается получить, что
а —
Л В2 1 sin2—2~
4ВЛ • SB ~ 4 а ₽ ’
siny siny
23. Ответ 2°.
В = у+ arccos +
4 \2а2 2 /
У / /2 /Г\
С = 4 — arccos + -у у•
Единственное условие возможности решения задачи заклю-
чается в том, что
/2 тЛ2~ /------—
2^2 < 1 или / < У 2—-/2 а
(тогда очевидно В > 0 и С > 0). 24. Г. Вычисление углов В и С,
Из соотношения
(а + b + с) г = ah,
заменяя а, Ь, с на sin Д, sin В и sin С и учитывая, что А + В-}-
+С = 180°, получим
В —С А —г А
cos — = —— sin -у.
h*— г
В силу условия h > 2г имеем —— > 1 и значит положитель-
h — r . А
ное число —— sin -у может быть >1. Таким образом для ре-
шения задачи необходимо, чтобы
h — г А ,
-у—sin-g-<l.
В таком случае
В —С [h—r Д\
—у = arc cos I —-— sin -у L
В + С к А
2 “ 2 “ 2.
п значит
п -к Д , /Л —г . Д \
В « у — у- +агс cos ( —у- sin у- j,
422
* « A fh — r t A \
C = -g- — -g~ — arc cos ^—7— sin -g-J.
Этим значениям В и С будет соответствовать ” треугольник
АВС, удовлетворяющий условию задачи, если В и С получат по-
ложительные значения. Ясно, что В > 0. Мы будем иметь, что
и С > 0 тогда и только тогда, когда
(h — r А \ я А
arc cos I — sin -g-) < у--g-,
или
h — r , A A
~~r ‘ sin ~g~ > sin ~g~,
A—r
или —-—>1, т. e. h > 2r, что имеет место по условию.
ti А—г .А , _ „
Итак, задача разрешима, если —-—sin -g-<l. 2Э. Пусть/ —
центр окружности, вписанной в треугольник АВС, и К — его проек-
ция на ВС. Так как BI и CI—биссектрисы углов В и С, то
В С
углы IBC и ICB, соответственно равные -gH -g-— острые, а по-
тому точка К лежит на отрезке ВС и значит
a = BC = KB + KC = rctg^ +rctg| =
в + с в + с
sin—§— sin—2—
*=г В С~= г ~/ В=С В + С\ =
SlHg-Sin-g -g- I COS —2 — cos—g—I
= 2Л —2rctg ~2‘
Выражения для R и p:
_ a 1 r2 1
2R~~ sin 4 “ 2 h—2r A 9
Sin»^
ah rh A
p==2r==h—2r ctgT-
Вычисление г’ в функции г, a, p. Пусть T и Т' — точки при-
косновения прямой АС к окружности, вписанной в треугольник
АВС, и к окружности, вневписанной в угол А, а I и Г — цент-
ры этих окружностей. Так как д АГТ' ~ Д AIT, то
7'Т' АТ' г' р
IT - АТ или г~ р —а’
423
откуда
1—JL_
г г' ~ pr~ h
(классическое соотношение, вытекающее из того, что / и V делят
гармонически отрезок, ограниченный вершиной А треугольника
и точкой, в которой биссектриса внутреннего угла А пересекает-
ся с ВС). 2°. Случай Л=3г. В этом случае соотношение
(sin А + sin В + sin С) г = h sin А (см. Г)
примет вид
sin В + sin С = 2 sin Д,
откуда
b + с —- 2а
или
т. е. сторона а есть полусумма сторон b и с, значит стороны
треугольника образуют арифметическую прогрессию.
Условие, при котором R — r'. Так как
rh п 1 г2 1
г' - Л — 2г’ R ~ 2 h — 2r . А ’
sin’F
то условие /? = г' принимает вид:
• гА г
8ШЧ = 2Л-
, Л г 1 . А 1
По условию h > 2г, значит и следовательно sin у < -g".
К этому условию надо еще добавить условие существования тре-
угольника, найденное в 1°, которое примет вид:
д
h — 2h sin2 ~2 д
----------л---• sin -к <1
2/rsin2 -g-
или
д д
2 sin2 -g- + 2 sin 2- —1 > 0.
Отсюда
. А —1+/3’
sm 2 > 2
(ибо один из корней отрицателен).
Итак, условие, которому должен удовлетворять угол А для
того, чтобы было возможно равенство /? = г' — таково:
/3—1 . А 1
—Г- <sin 2-<-2-
424
или
2 arc sin —|< Л < у (1)
1 1 2
С л у ч а й /? = г'= 3r. Из соотношения ——прежде
А г 1 . А
всего находим h = Зг и далее sin2 2" = б7="б » 0ТКУДа sin-g =
У "б A t. _
= -g—. Это значение sin удовлетворяет неравенствам (1). Та-
ким образом равенства = = 3г возможны.
Выражение а через г:
а = 2r etg у = 2r j/" 1—: = 2rj<5~.
25. 1°. Окружность, вписанная в треугольник ОМЫ, всегда ка-
сается Ох и (D) и ее диаметр равен 2а. Центр этой окружности
расположен на прямой (Д), параллельной Ох и (D) и равноуда-
ленной от этих прямых. Если, следовательно, существует тре-
угольник OMN такой, что £хО1 = <р, где /—центр окружности,
вписанной в этот треугольник, то точка I должна быть точкой
пересечения (Д) с полупрямой Ог, образующей с Ох угол <р с той
же стороны, где находится (D). Вписанная в треугольник OMN
окружность — это окружность с центром / и радиусом а. Верши-
на М есть пересечение перпендикуляра, опущенного из I на Ох
с касательной, отличной от Ох, проведенной из О к вписанной
окружности. Так как окружность (/) вписана в треугольник OMN
(а не вневписана), то точка М расположена по ту же сторону
от Ох, что и (О), а потому окружность (/) не пересекает прямую
Оу, перпендикулярную Ох. Отсюда следует, что точка / лежит
на луче, лежащем на прямой (Д), причем граничной точкой этого
луча будет центр /0 окружности, касающейся Ox, (D) и Оу. Так
как хО10 — то 0 < tp < y* Обратно. Если 0 < то
построение /, а затем треугольника ОМЫ даст решение задачи.
Таким образом геометрическое место точек / есть луч прямой (Д),
ограниченной точкой 70. 2°. Биссектриса внутреннего угла N
треугольника ОМЫ проходит через точку Г пересечения Оуи(Р).
а
3°- R = 2 cos 2 f (1—cos 2<р) • Если то
21 cos2 2ср — 21 cos 2ср + а =0.
Это уравнение имеет действительные корни при I > 2а\ при этом
они будут различные, положительные и меньше 1 (два решения);
тс
при / = 2а, <р= у —одно решение. 26. Г. Соотношение между
425
злемечтами треугольника АВС. Обозначим через £ и f длины
медиан, выходящих из вершин В и С. По условию
В с
у = 1 ИЛИ b^ = cf. (1)
Применяя теорему о медиане сначала к сторонам с и а, затем
к сторонам b и а треугольника ЛВС, получим
Ьа о с2
с2 + а3 = 2?2 + j, 62 + а2 = 2?2 + .
Отсюда
4 Ь2 ₽2 = Ь2 (2с2 + 2а2 — Ь2),
4с212 = с2 (2Ь2 + 2а2 — с2)
так как = и Ьфс, то отсюда получаем Ь2 + с2 = 2а2.
а2
Соотношение be = 2 cos^4 п0ЛУчается из соотношения Ь2-\-с2 =
== 2а2 и теоремы косинусов.
Замечание. Из каждого соотношения
а2
6Р = СТ. 62 + с2 = 2а\ &с = 27БЛ
следует два других (Ьфс).
а2
Из соотношения bc=<z—-—-гследует, что Л — острый угол.
COS /1
2°. Вычисление b и с. Величины Ь2 и с2 — корни уравнения
а4
Если корни этого уравнения действительны, то они и поло-
жительны. Условие действительности и различности корней:
а4
4 cos2 Л >0>
л
откуда Л <-д.
Таково необходимое и достаточное условие того, что корни
уравнения (3) действительны и различны. 3°. Величина АН = h:
h = у tg А.
Построение треугольника. На прямой откладываем отрезок
ВС = а. Строим дугу (Г) с концами В и С, вмещающую угол Л,
и проводим прямую (Д), параллельную ВС [в той же полуплоско-
а
сти от ВС, где лежит (Г)] на расстоянии у tg Л от ВС. Для того
чтобы прямая (Д) пересекала дугу (Г), необходимо и достаточно,
426
п а А !а А
чтобы a tg А < y ctg I ~2 ctg ~2 есть длина отрезка 07, где О—
2 \
середина ВС, а I — точка пересечения (Г) с медиатрисой ВС).
Имеем:
2tg4 1
i_tg^ < tg л.
и так как А — острый угол, то отсюда легко получаем А <-$.
4°. Другое построение треугольника АВС. Из соотношения Ь2 + с2=
= 2а2 следует, что точка А лежит на окружности (С), которая яв-
ляется геометрическим местом точек, сумма квадратов каждой из
которых до точек В и С равна 2а2. Это окружность с центром О
и радиусом, определяемым из равенства
а2
2р2 + “2 = 2а2,
откуда
ау^ 3
р= Г”*
Таким образом точка А есть точка пересечения (Г) и (С).
а
Так как р>"2 , то точки В и С лежат внутри окружности (С);
окружность (С) будет поэтому пересекать дугу (Г), если р<07,
aV~ 3 а А я
т. е. —^2“ <~2 2“’ 0ТКУда опять Л < з. 27. 1°. Соотношение
а
ctg В + ctg С = -д . Ориентируем сторону ВС от точки В к точке С;
тогда во всех случаях будем иметь:
х „ ВТ' х ЛЧ?
ctgB = AA''c{^C = AA"
откуда
. D , t „ BA’ + A'C BC a
----------------------= AA'=~h-
2°. Вычисление произведения ctg В • ctg C.
Из формулы
. „ < R -L Г 1 - CtgB-ctgC-1
ctg(B+C)— . ctg в 4-ctg c
находим
а
zigB-cXgC = 1 — у ctg А.
427
Вычисление etg В и etg С; etg В и etg С — корни уравнения
f (х) = х2 — j х+1— etg Л =0.
Корни этого уравнения будут действительны, если
аа а
А5-4(1 ~ ~h
откуда
etg А >
4 Л2 — а2
4 ah
Это условие можно переписать так:
1 ~ *82“2* 4 Л2 — с?
А > 4 ah
2{S~2
yj
или (так как tg-g- > 0):
/ А , 2h\ ! А
(tgT~ 2л)<°
A 2h
и так как tg + >0, то
А а
tgT < 2/Г
Замечание. Мы придем сразу к этому условию, если будем
рассматривать дискриминант уравнения f(x) = O как квадратный
а
трехчлен относительно 3°. Построение треугольника и геомет-
рическое исследование не представляет трудности, его предлагаем
провести читателю самостоятельно. 4°. Будем рассматривать толь-
ко те из треугольников АВС, которые расположены по одну сто-
рону от ВС. Обозначим через (Г) дугу с концами В и С, вме-
щающую угол А. Обозначим через ВТ и СТ' лучи, расположен-
ные в полуплоскости от ВС, где лежит (Г), и касающиеся (Г)
соответственно в точках В и С.
л л
Так как ВВ'С = 90э и ВСС = 90э, то точки В' и С' лежат
на окружности диаметром ВС. Если точка А описывает (Г),
прямая АВ описывает внутренность угла СВТ и ему вертикаль-
ного, точка С' описывает целиком дугу СВС$ окружности с диа-
метром ВС, расположенную внутри угла СВТ и внутри угла с
ним вертикального (Со — точка пересечения окружности с диамет-
ром ВС с продолжением луча ВТ за точку Т). Аналогично уста-
навливаем, что геометрическое место точек В' есть дуга ВСВ9
окружности с диаметром ВС, расположенная внутри угла ВСТ’
и внутри угла, вертикального с углом ВСТ'. Эти дуги (геометри-
428
ческие места точек В* и С') симметричны относительно медиатри-
сы отрезка ВС.
Изучение отрезков В'С' и АН. Так как А ВВ'С вписан в
окружность с диаметром ВС, то
В'С' = ВС sin В'ВС' = a sin В'ВС'.
Для различных иметь: или расположений точки А на дуге (Г) будем _ А к В'ВС' = у — А,
или А тс В’ВС = А — у,
или В'ВС' = % + А.
Во всех случаях sin В'ВС' = |cos А|, так что
В'С' = a |cos А| = const
при заданных А и а.
Четырехугольник АВ'НС' вписан в окружность с диаметром
В'С'
АН, значит . х = АН, откуда
ОШ Z1
IcosAl
АН = а-.—. =g|ctgi4| = const.
□ Ш /1
Замечание. Если О —центр дуги (Г) и w— середина ВС, то
легко подсчитать, что О со =-g- |ctg А| и значит АЯ = 2Осо. Это
соотношение, верное для любого треугольника, более точно запи-
—-> —->
сывается так: АН = 20,а>. В'С' остается касательной к фикси-
рованной окружности. Хорда В'С' окружности с диаметром ВС
сохраняет постоянную длину равную a |cosA| и потому остается
а
касательной к окружности с центром со и радиусом p=*2SinA.
Геометрическое место середины I отрезка АН. Соотношение А/=
== -% АН = О показывает, что геометрическое место середины /
отрезка АН есть дуга (Г'), полученная из (Г) переносом, опре-
-*• ™ Я2 (1 + cos 2 a) sin 2 а
деляемым вектором Осо. 28. 2°. « = "2-------cos~2~ct---’ если
_ к R* (1 + cos 2 а) sin 2 а тс тс
0 < “ < Т и S ------2 --------со?2а------> если т < а < у .
29. Г. s = a»ka=7fkaz, s=-^-6с sin А и т. д. Соотношение
ctgB + ctgC = -~ вытекает сразу из sin В sin С = k sin А (и об-
ратно). 2°. Считая k=^, получим 2sin В sin С = sin А,
429
cos (В — С) — cos (В + С) = sin А, откуда
cos (В — С) = — cos ^Д j.
Вопрос сводится к решению следующей смешанной* системы
В>С, (1)
cos (В — С) = — cos ^Д + , (2)
В + С = « —Д, (3)
С>0. (4)
Следствием соотношения (2) является
— 1 < у^У cos Д + ~ ) < 1,
откуда А <~2» Если это условие выполнено, то
Условие С > О эквивалентно следующему
cos Д —- sin Д < cos Д —
условие, которое выполнено ^при 0< А <
Окончательно. Задача имеет и притом только одно решение
я / к
тогда и только тогда, когда 0 < А < -Н если А =~2» В = С =
430
Геометрически построение треугольника просто: строим отре-
зок ВС длиной а и дугу (Г) с концами В и С, вмещающую угол
'Л (по одну сторону от ВС); проводим прямую (А), параллельную
а
ВС и отстоящую от ВС на расстоянии g- (по ту же сторону, где
и указанная дуга). Пусть К— точка, в которой эта прямая пере-
секает медиатрису OS отрезка АВ (точка О — середина ЛВ, точ-
ка «S — лежит на указанной дуге). Для того чтобы эта прямая
имела с дугой (Г), хотя бы одну общую точку, необходимо и до-
fl А а А
статочно, чтобы OK<OS. Но ОК = у, OS = ОВ ctg ту = -g- ctg ”2”’
А
1 <ctg-g-,
тс
откуда Л < у.
тс
Если Л = 2", прямая (Д) касается в точке S дуги (Г), кото-
рая в этом случае есть полуокружность с диаметром ВС. Соот-
ветствующий треугольник — равнобедренный прямоугольный.
тс
Если 0 < Л <"2> то прямая (Д) пересекает (Г) в двух точках
А и Ai и при условии В > С лишь одна из них дает решение
вопроса.
Мы видим, что результаты геометрического исследования сов-
падают с результатами аналитического исследования, данного
выше. 30. 1°. Пусть М — середина стороны ВС треугольника ЛВС,
(А) — медиатриса стороны ВС, со— точка, в которой продолжение
биссектрисы AAi за точку Ai пересекает окружность (Г), опи-
санную около треугольника ЛВС, Л' —точка, симметричная точ-
ке Л относительно (А). Пусть, наконец, Н — основание высоты,
опущенной из вершины Л на сторону ВС. Имеем
л л 1 л 1 л
НА со — Л со М = 2~А<& А' =* -^-АСА' =
1 л л В —С
= -2 (ВС А' — ВС А) =—g—.
Из прямоугольного треугольника НААГ находим
НА = a cos —g—.
Далее,
1 1 А • Л
s = a a cos —g— == -g be sin Л;
отсюда легко получить формулу (1).
431
Решение треугольника АВС по данным Л, а, а. Из формулы
(1) находим:
В —С 1
а cos —g— sin А = a [cos (В — С) — cos (В + С)]
или
В —С Л 1 / 9В—С ,
а cos-2~ sin А = ~2 а (2 cos2 —— — 1 4- cos А
„ В~С
Полагая cos—“ х» получим
yj
f(x) s а х2 — a sin А • х — a sin2 = 0.
Корни этого уравнения всегда
действительны. Так как
В-\~С тс— А В — С л—А
2~= 2~’ то 2~< 2 ’
а так как мы считаем, что
В —С
В > С, то 0 < 2
А
sin трС х<1. Но так
лишь один из корней
л — А /тс А \
<—или cos < х < 1, или
(Л \ Л
sin“2“j = —a sin Л sin ”2“ < 0, то
Л
уравнения / (х) = 0 будет больше sin-тр
Однако должно еще быть Д1) > 0, что дает
а — a sin Л — a sin2-^- > 0,
откуда
1 X
а < у a cig
Если это последнее условие выполнено, то уравнение f(x) =0
Л
имеет только один корень, удовлетворяющий условию sin <
<л< 1; это, очевидно, больший корень уравнения /(х) = 0, т. е.
a sin Л + л/ аз sjn2 ^4 4 а2 sjn2
Отсюда
a2 sin2 Л + 4а2 sin2-^-
„ а81пЛ +
в — с
—= arc cos------------
и так как
В + С тт—Л
2 “ 2 ’
432
то __________________
те А «sin^+j/a»sina4 + 4a8sin2-y-
В = у — -у + ars cos---------------------------
я А “ sin А 4- j/ о» sin’ А + 4аа sina-^-
с = -2 ~ ~2----arc cos----------------25---------------•
Так как
a sin А + j/аа sina А + 4аа sin2-^- * А
О < arc cos----------------23----------------<2— ~2~>
то С > 0 и существует только один треугольник, удовлетворяю-
щий условию задачи. Зная В и С, можно вычислить b и с из
формул
а b с
sin Л “ sin В w sin С*
1 а Л
Итак, при а < у a ctg -у решение существует и только одно.
2°. Построение треугольника АВС, если даны А, а и а. д<оД1В^ДсоВД,
(О А, со В
значит откуда со А • coXj = <оВ2. Строим сторону ВС =
= а и окружность, описанную около треугольника ЛВС; для
этого проводим луч СТ такой, что <ВСТ = 4; СТ — касательная
к описанной окружности в точке А; центр описанной окружности
есть точка пересечения медиатрисы отрезка АВ с перпендикуля-
ром к СТ в точке С. Пусть со — середина дуги ВС описанной
окружности, расположенной по отношению к ВС со стороны,
противоположной А (эту вершину мы должны еще определить).
Известна разность со А — (аАг — а и средняя пропорциональная
оВ к соД и &Ai; отсюда можно построить &А19 а затем и точку
как точку пересечения с отрезком ВМ окружности с центром
со и радиусом соДг. Построение возможно тогда и только тогда,
когда
(О М < СО Д1 < <0 В.
а А
Но со/И = tg ~2~. Из соотношений <оД — <оДх = а, <оД • соД^
«соВ2 находим
и так как
433
у a2 COS2 — + а2 — a cos у
<вЛ‘ =-----------------------------
2 cos у
Неравенства <оЛ4 < wA} < &В принимают вид
1 /* А А
а А V ^cos’-g +a«-acosT а
2 tg 2 < ~ А < “ Т
2 cos у 2 cos у
или
a sin у < j/"a2 cos2y + а2 — a cos у < a,
А А т f А А
asiny + «cosy< у a2 cos2y + a2 < a + a cos у •
Возводя в квадрат (все члены неравенств положительны), по-
лучим:
/ . А А\2 о А , о , Д\2
( a sin у + a cos у 1 < a2 cos2 у + а2 < ( а + a cos у 1 .
Первое неравенство
(А Д\2 А
a sin у + a cos у j < a2 cos2 у + а2
приводится к виду
1 х А
сс g д ctg 2 •
Второе:
А / Д\2
a2 cos2 у + а2 < ( а + a cos у I
выполняется всегда. Итак, мы снова приходим к необходимому и
достаточному условию существования треугольника с данными
At a, a:
1 А
ос -С п й ctg л •
3°. Решение треугольника АВС по данным А, а и ру.
Прежде всего легко получить формулу (2). Из этой формулы
в силу Вт=£а2 находим
С — А В —А
sin В • sin С = k cos —g— cos —2—
или
Г /В + С \ С —ВЛ
cos (В — С) — cos (В + С) = k cos I —2~~ — A Y + cos ——
434
и так как В + С = к — Л, то
2cos2- 2^ — 1 + cos Л
В-С
Полагая cos —находим
' ЗЛ в — с
sin у + cos —g—
ЗЛ Л
f (х) ~ 2х2 •— kx — k sin — 2sin2y = 0.
Как и выше, устанавливаем, что решение дает лишь корень х,
А
удовлетворяющий условию sin-ту- <х < 1. Но так как
/ Л\ / Л ЗЛ\ Л
/ (sin-g-l = — k (siny + sin-y j = — 2k siiMcosy < 0,
то уравнение f(x)~0 имеет всегда два действительных корня и
только один из них
^+j/" &2 + 8£sin у + 16 sin2y
* =------------------------------------
будет больше, чем sin у. Далее, этот корень будет < 1, если /(!)>
> 0, т. е.
2 cos2 у — k I 1 + sin у 1 > 0
ЗЛ
и так как 1 + sin у > 0, то
п о А
2 cos2 у
7 ~ зл *
1+ siny
Если это условие выполнено, то В и С находят, как и выше.
31. 1°. Значения для AD и AD''.
А А
2bc cos у 2bc sin у
AD = b + c > AD' == —6™—•
А А
2°. Соотношение между С и В в случаях Л2?= AD'.
Из AD = AD' получим:
b — с
Ь + с
, А В + С
= tg^- = ctg—г-.
435
С другой стороны,
6— с , В —С ± В4-С
Ъ 4- с ~ tg 2 ctg 2 ’
В —С к
значит tg—2~~ = 1 и В —С= у (верно и обратное: если В —
— С = -^, то AD = AD'). II. 1°. Значение А и В и границы из-
КГ. "К
менения С: А=~2—2С, = у + 0 < С < -j. 2°. Соотноше-
ние между сторонами а, Ь, с треугольника (Т).
abc
Из соотношений . - т = =
sin A sin В sin С
находим
а с
cos2 С ~ cos С = sin С и т’ А*
Окончательно, а2 (62 4-с2) = (ft2— с2)2. 3°. Вычисление углов тре-
угольника (Т), если известна высота АН = h и b + с = ko
Л / те \ те
Имеем НВ А == те — ) = ~2~~ С и из прямоугольных
треугольников АСН и АВН находим
h h
АС = Ь~ --г -а , АВ = с = л"с а-,
sin С cos С
откуда
t , 2h (sin С + cos С)
ь + с = ИгГгс •
Значения С являются решениями следующей смешанной си-
стемы:
k sin 2С — 2h (cos С + sin С),
0<С<~ (1)
_ Л те
Положим С — ср, тогда
sin 2С = cos2cp,
sin С + cos С == 2 cos'<p.
Система (1) примет вид:
k cos 2ср — 2h у^~2 cos == О,
те
0<?<“4
или _
2k $ os2 ср — 2h Y 2 cos ср — k = О,
тс
о<?< 7’
436
или
COS Ср = и,
f (и) н 2ku* — 26/2 a — 6 = 0, (2)
Так как k > 0, то уравнение f(u) = 0 имеет действительные
корни разных знаков. Годится лишь положительный корень,
притом тогда и только тогда, когда
Это условие дает _
k > 26/ 2.
Если это условие выполнено, то
т mvem. - (4+
Отсюда
4“2,rc“![4?(7+/S+')]'
§ 5. Стереометрия
1. Точка Л4 должна быть расположена или на дуге АВ окруж-
ности (Z), обращенной выпуклостью к вершине О угла хОу, или
на дуге А'В', симметричной АВ относительно точки /. Границы
изменения а:
5*<а<п. 2°. 7К = 2/2Я.
3°. ОР = 7?(|/'2+/2+1). OQ= R(2 — /2+/б), «=/?’(/6+
2 i/~~2
4-3), и = —1g— (’/б + 3) R3. 2. Указание*, все эти вопросы ре-
шаются на основании следующей теоремы: если даны два равных
треугольника АВС и А'В'С' (АВ А'В', ВС = В'С, С А = С'А'),
то существует и притом только одно ортогональное преобразова-
ние первого рода, которое переводит точки А, В, С соответствен-
но в точки А', В', С', а также существует и притом только одно
437
ортогональное преобразование второго рода, которое точки А, В,
С переводит соответственно в точки А', В', С'. А. 1°. Проведем
через точку О плоскость (Р), перпендикулярную (D). Тогда каж-
дую точку М этой плоскости преобразование SdSo (второго рода!)
так же, как и симметрия относительно (Р) (это преобразование
также второго рода!) оставляет на месте. За треугольник АВС
можно выбрать любой треугольник, лежащий в плоскости (Р).
Значит SD S0=Sp> Легко видеть, что и So SD =SP, так что в
этом случае SD $о = So SD . 2Э. Проведем через точку О пло-$
скость (Р), перпендикулярную прямой (£>), и пусть эта плоскость
пересечет прямую (D) в точке Q. Если М — произвольная точка
плоскости (Р), то ее образ М' в преобразовании SD So таков, что
ММ' = 20Q (сделать чертеж). Поэтому преобразование SD So (вто-
рого рода) можно рассматривать как произведение симметрии v
—>
в плоскости (Р) на перенос 7, определяемый вектором 2OQ; это
последнее произведение коммутативно, оно второго рода и каж-
дую точку М плоскости (Р) так же, как и SD £0 переводит в
точку 7И' такую, что ММ' = 202, поэтому 7£ = S7 = SD So .
Однако SD So =# S0 SD ; преобразование So SD есть произведение
Pi S, где 2 — симметрия в указанной плоскости, а 7Х— перенос,
определяемый вектором 2Q0. В. Г. Указание: рассмотреть пре-
образование точек плоскости (Р); SD Sp = SpSD. 2Э. Рассмотреть
преобразование точек плоскости (Р); оно сводится к симметрии
относительно плоскости, проходящей через (D) перпендикулярно
(Р). В этом случае SD Sp = Sp SD . 3°. SD Sp — T^t где S — сим-
метрия в плоскости (P), a T—перенос, определяемый вектором
2BA, где А—любая точка прямой (D), а В — ее проекция на
плоскость (Р). В этом случае S7 =# 7S* Далее, SpSD = 7XS, где
-+
7Х— перенос, определяемый вектором 2АВ [для, доказательства
достаточно рассмотреть преобразование точек плоскости (р)]. 4\
Пусть О — точка пересечения (D) и (Р). Возьмем на прямой (D)
произвольную точку А отличную от О. Пусть В' — проекция точ-
ки А на плоскость (Р), а В точка, симметричная точке В' отно-
сительно (D); пусть, наконец А'—точка, симметричная точке А
относительно (Р). В преобразовании SpSD точки О, А, В перей-
дут в точки О', А', В', Этого можно достичь поворотом Р во-
круг оси, лежащей в плоскости (Р) на угол АОА'; но поворот —
преобразование первого рода; умножив его на симметрию 2 в
плоскости АОА', мы оставим все точки этой плоскости неподвиж-
ными, но в произведении SP получим уже преобразование вто-
рого рода, которое так же как и SPSDT04KH о, А, В переведет
в точки О', А', В', значит SPSD = SP (= PS)- Здесь, однако,
^p^d $d $р* 3- ВС = 5В — а|/~2, SA = аУ 2 cos а, АВ ==
«= 2 sin а, АС = а -/"2-^1 + sin2 а. Если < ASC — 60°, то
а9 а9
= 45°. 2°. а =-у=-sin 2а; vmax = —==- при а =45°. З3. у =
О у & и у 4
438
= — a4 (2xa — Зх — 1) (x = cos2 a); x изменяется от 0 до 1; при изме-
3 17
нении х от 0 до у возрастает от 0 до у а4; при изменении х
3 17
от до 1 у убывает от у а4 до 2а4.
Уравнение у — 74 = 0 имеет вид: /(х) = 2а4х2— За4х-4-/4-^
17а4
— а4 = 0; его дискриминант Д > 0, если Z4 < - у ; далее f (0) =
=/4 — а4 > 0, если Z4 > а4 и /(1) = Z4— 2а4 > 0, если Z4 > 2а4.
Результаты этого исследования и выводы даны в следующей таб*
лице:
/4 0 a4 2a4 17a4 8 +О°
А + + +
ЦО) — 0 + - - +
— — 0 +
xf < 0 < 1 < х" нет решений 0 < х' < 1 < х" одно решение 0 < х' < х" < 1 два решения корни мни- мые, реше- ний нет
Замечание. Следует учесть (при выводах, помещенных в по-
следней строке), что полусумма корней уравнения f(x) = 0 равна
3
у и она заключена между 0 и 1. Если /4— а4, то уравнение име-
3
ет два корня 0 н j и оба они должны быть отброшены. Если
Z4 = 2a4, то корни 1 (его надо отбросить) и (дает решение);
17 3
если наконец /4 = у а4, то имеем двойной корень у (дающий
одно решение).
13
Если / = -уа4, то а = 60°. 4. 1°. Пусть плоскость (Р) пере-
секает ребро АА' в точке а. Прямые, проходящие через /И, AZ,
Р‘ Q параллельно ДА', пересекают АВ, ВС, CD и DA соответ*
ственно в точках т, п, р, q. Так как плоскость (Р) параллельна
плоскости основания ABCD, то Мт = Nn = Рр = Qq = aA. Зна*
чит, перенос, определяемый вектором аД переводит MNPQ в mnpq.
Треугольник АтМ подобен треугольнику АВВ' и равнобедрен-
ный и значит Ат = тМ — Да. Аналогично Bn = Cq = Dq = Да.
Таким образом, центр симметрии О ромба4 ABCD является цент-
ром симметрии для пары точек т, р и для пары точек п, q. Че-
тырехугольник mnpq, имеющий центр симметрии, есть паралле-
лограмм. Значит MNPQ также параллелограмм. Перенос, опре-
439
деляемый вектором аЛ, ставит в соответствие середине отрезка
МР середину О отрезка тр, значит аЛ = соО и значит ао> = АО.
Точка со получается из а переносом, определяемым вектором АО,
и значит геометрическое место точек <о есть отрезок ОО', получен-
ный из Л Л' этим переносом (О' —центр A'B'C'D').2Р. у =
= 8*2 %ахУ*0 + 5а2 . х изменяется от 0 до АВ' = при
5 2
этих значениях х, у принимают значения соответственно равные
а2 и За2; ymin = ^ при х = ° ^9 (вершина параболы).
Геометрически: у == МР2 = 4/иО2. Пусть т1 — основание пер-
пендикуляра, опущенного из О на ЛВ. Если точка М описывает
/ а \2
АВ', то т описывает ЛВ; сначала у = 4/иО2 убывает от 4 I I ==
/ Ай \2
= а2 до 4 • rritO2, затем возрастает от 4/пх02 до 4 I —L_—\ = За2.
Но О/Mi = значит r/min — ——. Этот минимум достигается
4 4
тогда, когда Ат = АВ и значит АМ = ~^АВ'.
Чо _(а-/4Р-3<?)/10 (а+-/4/2-3^)/10
* -------х -
/ 3
2
Если / > а|Л 3, решений нет; если
< I < а,
ji&a реше-
ния _(х' и х")-, если а</<а/3, одно решение (х"). Если
а <1 < а, то соответствующие положения точек М' и М" сим-
метричны относительно Мг (дающей для у минимум), ибо х' +
+ х" = £/12 =. 2ДЛ4х. 5. 1°. SB = SD = а/2, АС = а/~3, SC=
= 2а. 2Э. Если точка М лежит между С и О (О — точка пересе-
чения диагоналей ромба), сечение есть треугольник EIF (Е на
ВС, I на SC, F на CD); &EIF — равнобедренный и прямоуголь-
ный (/—прямой угол). Если М между О и Л, то (F) есть лома-
ная EE'IF'F (Е на АВ,Е', на S,B,I, на SC,F', на SD и F на
AD), причем EE'F'F—прямоугольник, a E'lF'— прямоугольный
равнобедренный треугольник.
Далее, х изменяется от 0 до 2а. В сечении получается тре-
угольник, если х < а и пятиугольник, если х > а. В случае х<а,
X X2
EF = х, IE = IF = пл* А = V В случае х > a, E'F'=±
2а—х
= 2а — х, IE' — IF' = —ВЕ' = х —а, площадь (F) равна
V
440
1 4
^(2а — х)(3х — 2а). 3°. $ будет максимальна при х = ~^at
Д' О ГПал
а^
6. 1°. S/( = a; полная поверхность равна а2. 2°. MNPQ—
_ трапеция (MN || PQ), MQ = х-/ 3, NM = А. (а — х), PQ = ~ —
д л
— NP = 3°. 4х2— ах + — т2 = 0. Требуется иссле-
довать, сколько действительных корней, заключенных между 0 и
у имеет это уравнение. Обозначая левую часть этого уравнения
через f(x)t полезно составить таблицу знаков дискриминанта Д,
а также /(0) и Н yl:
а г 3
Отсюда. Если т < ———, задача не имеет решений, если
__ 4
За v
— < т < _, уравнение имеет два действительных корня и
ни 0, ни -у не заключены между ними; а так как полусумма
„ /s а\ Л а
корней ly=yj заключена между 0 и -у,
решения; если < т < уравнение
то задача имеет два
имеет два действи-
тельных корня и 0 заключен между ними, но -у не заключено
между корнями, задача имеет одно решение; если т > —,
а
уравнение имеет два действительных корня, но 0 и -у не за-
ключены между ними, задача не имеет решений. Наименьшее зна-
чение т будет m = ПРИ этом Л4Р = SC === ,
$Р = .? /2. И значит МР2 4- SP2 = MS2. 4°. Al л SB. Al ± S4,
8
441
следовательно, Al ± ASB и значит А! ± АВ, А =90°. Далее
АН = £=, 1Н = -4^-. А1 = а /3. 7. 1°. -1 < х < 1. 2°. а) По
У 5 у 5
лупрямая (Ь), полученная из (Д) гомотетий рИ, у). р) Если
IJ—диаметр окружности (О), лежащий на О А, то геометриче
ское место точек G есть отрезок IiJlt полученный из IJ гомоте
тиеи I У, у
X) Часть полосы, ограниченной полупрямыми, перпендику-
лярными плоскости (Р), проходящими через Л и Л и отрезком
соединяющим основания этих полупрямых. 3°. у =—Зл2 + 4х-f-£
Г 21 28
На сегменте —1, у , у возрастает от 1 до -у, на сегменте
Г2 il * 28 о
у, 1 > У убывает от-у до 9; у принимает два равных значе
28
ния для х из сегмента |^у, 1^|. 4°t Указание: восставить в точ-
ке М перпендикуляр к плоскости (Р) и отложить на нем отрезок
МР = ~2 ВС. Тогда точка G пересечения MN и АР будет точкой
пересечения медиан треугольника NBC. Ответ. Геометрическое
место точек G будет полуокружность, построенная на отрезке
Оо>, как на диаметре; плоскость этой полуокружности перпенди-
кулярна плоскости (Р), со и О — точки, полученные из I и J в
/ 2\
результате гомотетии ( Л,у1. 8. 1°. Указание: произвести по-
ворот на 180° вокруг (Д); тогда В перейдет в D (и наоборот),
Л в С (и наоборот), значит АВ —CD, AD—ВС: равенство же
АС — BD очевидно. Сумма плоских углов любого трехграннога
угла, тетраэдра ABCD равна 180°. 2°. IKI'K', IMI'M',
КМК'М'— ромбы. Отрезки 1Г, ММ', КК' попарно взаимно-
перпендикулярны, пересекаются и в точке пересечения делятся
пополам. 3°. КК' А-АС и КК' ± BD — по построению. Далее,
//' ± КК', II' -L ММ', следовательно II' ± пл. КМК' М' и зна-
чит IP ± КМ, II' ± КМ': но КМ || ВС, КМ' II AD, значит 1ГА.ВС
и II' _L ЛИ. Выражения d, d' и d" через а, Ь, с таковы:
=------2----’ d =--------2----’ d =--------2----’
4°. v = -^dd'd". Тот же объем имеют пирамиды К1МГМ'
K'lMI'M', MKIK'I', M'KIK'I'* 9. Г. Центр сферы лежит в се*
1/2" V2
редине отрезка SC, радиус /? = 1. 2°. v = Z_sin 2а; %ах= -у
при а = 45°. 3°. у = — 2х2 +3л -J- 1, 0 < х < 1. 4°. № у, а==бОэ
442
10. 1°. Окружности, построенные на А’В и АВ', как на диамет-
рах; прямая MN описывает круглый цилиндр. 2°. Сумма квадра-
тов ребер тетраэдра ABMN, равна 3/2 + ^2. 3°. и =-yg-c^/2—
— d2) sin 29, pmax = ПРИ 6 = 45°; этому значению 0
соответствует два тетраэдра ABMN, симметричных относительно
плоскости АА'ВВ'. 11. 1°. Если S лежит в плоскости (Р), про-
ходящей через середину АВ, перпендикулярно к этому отрезку,
то /' будет также в этой плоскости тогда и только тогда, когда
прямая (Д) проходит через S и лежит либо в плоскости (Р), ли-
бо в плоскости (Q), проходящей через S перпендикулярно IS
(в этом случае Г совпадает с S). Геометрическое место прямых
(Д) состоит из двух плоскостей (Р) и (Q). 2Э. Если точка S не
лежит на плоскости (Р), то прямая (Д) должна пересекать пло-
скость (Р) в точке окружности (а), по которой плоскость (Р) пе-
ресекается со сферой, построенной на IS, как на диаметре. Если
// — проекция S на плоскость (Р), то окружность (а) плоскости
(Р) есть окружность, построенная на IH, как на диаметре. Гео-
метрическое место прямых (Д) есть конус с вершиной S и на-
правляющей окружностью (а).
12. 1° .МА = х) + VR(R—x),
МВ = /R(R + х) — VR(R-x),
$А = + 2^2 + 7?2 — х»>
ВВ = у 3<a + 2Ri — 2RV R2 — ^-
2°. Это верно даже и тогда, когда SM НМ. В случае SM = х,
имеем у == х2 + 4Р2; 0 < х < R (дуга параболы). Зэ. Описанная
сфера пересекает (Р) по окружности с диаметром АВ. Ее центр
ш лежит на перпендикуляре к (Р) в середине АВ; d х2-)-4Р2.
4°. Точка S расположена на цилиндре с образующими, перпен-
дикулярными (Р), и направляющей — полуокружностью с диамет-
ром АВ, лежащей в плоскости (Р). Точка S расположена также
в полуплоскости SAB от прямой АВ, образующей с плоскостью
(Р) угол 45э, значит S лежит на линии пересечения указанных
поверхностей. 13. 1°. v = ~^_ax(2a — х). 2\S = 4x2— 9ах+10а2,
/ 9 1
0<х<2а; в полуинтервале [0, ~&-а , S убывает от 10а2 до
79 Г 9 \ 79
iga2; в полуинтервале -g- а, 2а I, S возрастает от jga2 до 8a2.
79 79
Если b2 < jga2 или b2 > 10a2, то решений нет; если Ь2 =-jg- a2,
443
одно решение 1х=-^а|; если у^а2 < Ь2 < 8а2, два решения:
9а — V 1662 — 79аа v, _ 9а + V 16ft2 — 79аа
8------------- 8
Если 8а2 < Ь2 < 10а2 — одно решение х = х'. 4Э. Отложим на Ох
и Ог соответственно ОВ' — ОС' = 2а и пусть Р— четвертая вер-
шина прямоугольника со сторонами ОВ = ОС. Треугольники
РВВ' и РСС' равнобедренные, так как РВ = ОС = ВВ' и PC ==
= ОВ — СС'. Значит, точка Р лежит на одной прямой В' и С' и
когда В описывает ОВ', то Р описывает В'С'. Середина N отрез-
ка ВС также и ОР описывает отрезок В" С", гомотетичный В'С' в го-
мотетии ^0, у у
Центр со сферы, описанной около тетраэдра ОАВС, лежит в
плоскости-меди атрисе (ге) отрезка О А и проектируется в точку N
(центр окружности, описанной около ОВС). Отсюда геометриче-
ское место точек <о— отрезок ojcog плоскости (ге), проектирую-
щийся на плоскость хОг в отрезок В"С" (В" — середина ОВ',
С" — середина ОС').
Замечание. Точка совпадает с В" (почему?). 14. а) 1°. АА'±
А.АА'Р; А'Р'Р' JlAA'P, но ОН лежит в плоскости АА'Р и ОНJ.
гА'Р, значит ОНlA'P'P. 2°. ОМР = 90°; одна его сторона
(МР) лежит в плоскости А'Р'Р, значит, проекция НМР этого
угла в плоскость А'Р'Р также прямой угол и значит точка М
лежит на окружности (7), построенной в плоскости А'Р'Р, на
HP, как на диаметре. Если Р' описывает у'у в целом, то М
описывает (у) в целом. 3°. ^ОАР = ^ОНР = ^ОМР = 90°, зна-
чит А, Н, М лежат на одной сфере (2) с диаметром ОР. Степень
точки А' относительно окружности (7) равна А'Н*А'Р и она
равна степени точки А' относительно сферы (Е), т. е. А'О*А'А=
— 2а2. Заметим, что (7) есть сечение (Е) плоскостью А'Р'Р.
₽) 1°. дОДР=дОД'Р', ОР^ОР'. 2°. М — середина РР'.
3°. Проведем через точку О оси ОХ и OY, соответственно
параллельные осям х'х и у'у и имеющие одинаковые с ними на-
правления. Обозначим через р и р' проекции Р и Р' соответ-
ственно на ОХ и ОУ. Очевидно Рр^р'Р' и значит середина М
отрезка РР' будет и серединой отрезка рр'. Значит, если X и У—
координаты точки М в системе ХОУ, то X = -у Ор = —^-АР,
У =» -^-Op'=-g-A'P', откуда X = У и геометрическое место то-
чек М есть биссектриса угла первой и третьей четвертей системы
ХОУ. 7) 1°. 0 < х < 2а. 2°. у =-3-ах (2а— х). При изменении х
а3
от 0 до а, у возрастает от 0 до -у; при изменении х от а до
а8
2а, у убывает от у до 0. 15. 1°. Площадь параллелограмма
444
равна произведению расстояния от точки Е до FG на длину от-
резка FG. Но FG — “2” ВС9 значит, вопрос сводится к изучению
изменения расстояния от Е до FG\ это расстояние равно поло-
вине расстояния от D до прямой (А), проходящей через А па-
раллельно ВС. Пусть a,'d и (I)— проекции Д, D и (L) на плос-
кость, перпендикулярную (А); тогда расстояния от D до (А)
спроектируются в натуральную величину ad [точка d описывает
прямую (/) в то время, как D описывает (L)]; ad будет иметь
наименьшее значение, если d совпадает с основанием d0 перпен-
дикуляра, опущенного из а на (Z); в этот момент точка D нахо-
дится в точке Do, в которой прямая (L) пересекает (Р). При
удалении D от De площадь монотонно растет; ее значения для
точек D симметричных относительно £>0, равны между собой.
2е. EFGH — прямоугольник тогда и только тогда, когда ^EFG—
= 90°, т. е. ВД±(Д). Отсюда построение точки D. Задача имеет
или одно решение, или ни одного, или бесконечное множество
[если прямая (L) лежит в плоскости, проходящей через А пер-
пендикулярно (А) ]. Далее EFGH — ромб тогда и только тогда,
когда EF — FG или AD=BC. Значит D есть точка пересечения
(L) и сферы (Д, ВС). Решений два, одно или ни одного. 3°. EFGH
может быть квадратом, если (L) пересекает (в точке D) большой
круг (а) сферы (Я,ВС), лежащий в плоскости, проходящей через
А перпендикулярно (А). В случае, если (L) и (о) имеют общие
точки, задача имеет одно или два решения. В противном случае—
ни одного. 16. 2°. v = nh(r'2— -угу). Вывод: если дана окруж-
ность (В') радиуса г' и две плоскости (Р) и (Q), симметричные
относительно плоскости, в которой лежит окружность (В'), то
объем тела, ограниченного этими плоскостями и любой сферой,
проходящей через окружность (В') и перес екающей плос-
кости (Р) и (Q), будет величиной постоянной.
Далее, необходимое и достаточное условие того, что суще-
ствует, по крайней мере, одна сфера, удовлетворяющая условию,
т. е. проходящая через окружность (В') радиуса г' и пересекаю-
щая обе плоскости окружностей (В) и (В") имеет вид h < 2г'.
Если h = 2r' сфера касается этих плоскостей и основания вырож-
даются в точки касания.
Теперь найдем границы изменения R. Прежде всего очевидно,
что R>r'. Пусть /, I" — центры окружностей (В), (В') и (В*)
и О —центр сферы, проходящей через (В'). Всегда можно ввести
обозначения так, что точка О расположена относительно /' с той
же стороны, что и I и тогда необходимое и достаточное условие
того, что сфера (£) пересекает плоскость окружности (В*) [а, сле-
довательно, и плоскость окружности (В')], имеет вид:
h
OI'<R или ОР +“2~ <
т. е.
—г'2+ -у* < R или j/р2 —г'2< R —
445
Из неравенств h < 2г' и г' следует, что и предыду
щее условие можно переписать так:
2 / h \а
Я2-г'2> (^-т)
или, упрощая
г'2 h
R< h + 4 •
Окончательно,
, г'2 t ft
r < < h. + 4 •
3°. Предположим, например, что В"<В'. Тогда
s = 2к Rh + ти г"2 = 2к Rh + к (7?2 — р2) = ти (2Rh + Я2 — ₽2)
(а и р — абсциссы точек / и /* на оси, проходящей через О и со-
держащей точки /, Г и /лг).
Но
“+ — V~,------~ “ h
~~2~ = 01 = • R* — г' и—2~=~2>
следовательно
[/ ft /-----------------\2
2/?/г + ^_/_ + yRi _ ГЛ \ «
= « р'2 — 4 + h ^2R — Vr* — г'2 ) .
, Й2
Так как г' —> 0, то s будет иметь наименьшее значение.
если наименьшее значение будет иметь выражение
ff = 2R-V R^ — r'2 ;
эта функция от R имеет наименьшее значение при
₽=-^.
/з
Остается установить, что при этом значении R сфера (2) Пересе-
чет плоскость основания (В") [следовательно, и (В')].
Имеем:
о/'2 =яа — г'2 =4’ о/ = ~г
ч < 2г'
и так как нам дано (см. условие задачи), что ft < ~ /-х-^ >
у о
446
то < ~2~f т* е* 1'1* < ”2* и сечение В* действительно суще-
ствует.
Если 2г' / 2 /?2 2hr' R то s 4 + /з_-
. / ,2 Ла
V = тс h I г — уу
Наконец,
ОГ 1 к
cos <Р— 0А, — 2 • ? ~ 3 •
17. 2°. Пусть (5) и (8') — проекции прямых (Д) и (Д') на плос-
кость, перпендикулярную к отрезку АА' в его середине. Тогда
геометрическое место центров сфер с диаметром ММ' состоит из
двух биссектрис углов, образованных прямыми (S) и (&').
18. Решение. 1°. а) Пусть В' — проекция В на (Р). Прямые
В А и BE будут образовывать равные углы с (Р) тогда и только
тогда, когда дВВ'Л == дВВ'Е, т. е. если В'А ~В'Е. Отсюда
построение: точка Е есть точка пересечения, отличная от А, ок-
ружности (С) и окружности (В') с центром В' и радиусом В'А,
Исследование. Если прямая (В) не пересекает (Д), точка
В' не лежит на АС и окружности (С) и (В') всегда пересекаются
в точках А и Е (точка Е симметрична А относительно СВ').
Если прямая (Д) пересекает (D), но В отлична от точки пересече-
ния, то окружности (С) и (В') касаются, решений нет.
Если прямые (D) и (Д) пересекаются и точка В есть точка
их пересечения, то Ё — люб,ая точка окружности (С), б) Необхо-
димое и достаточное условие дВВ'Л = ьВВ'Е здесь примет вид
В А = BE, Отсюда построение: В есть точка пересечения (D) с
плоскостью-медиатрисой отрезка АЕ. Исследование. Если
АЕ не перпендикулярна (В), то задача имеет и притом только
одно решение. 2°. Так как В не лежит в плоскости (В), то суще-
ствует сфера, проходящая через В и (С). Ее центр К есть точка
пересечения (Д) с плоскостью (/7), являющейся медиатрисой отрез-
ка АВ. Окружность, описанная около треугольника АВЕ есть сече-
ние сферы (К) плоскостью АВЕ* ее центр со расположен в плоскости
(П) и является проекцией К на плоскость АВЕ. Таким образом,
если 1 середина ЛВ, то —90° и значит точка со лежит на
окружности с диаметром /К, построенной в плоскости (Z7). Пусть
(Al) —эта окружность, М — ее центр (середина /К).
Обратно. Если со — какая-нибудь точка окружности (М), то
плоскость ЛВсо вторично пересекает (С) в точке Е. Этой точке Е
соответствует окружность (ЛBE), центр которой расположен с
одной стороны в плоскости ЛВЕ, с другой — на (М) и значит
совпадает с со. Геометрическое место точек со — вся окружность
(М).
Теперь будем считать, что В — переменная точка. Пусть (Q) —
плоскость, проходящая через (D) и ее проекцию (d) на плоскость
(Р). Обозначим через с, к, т, (&) проекции С, К, М, (Д) на
плоскость (Q). Прямая (S) параллельна (Д); прямая (8) проходит
через с и пересекает (D) в точке О. Так как /К±(£>), то и
447
проекция IK на (Q), т. е. 1к будет перпендикулярна (D). Me*'
диана от прямоугольного треугольника о/к, следовательно, фик-
сирована и в то время, как I описывает (D), точка т описывает
эту медиану, которую мы обозначим через (/). Так как т и Л1—
середины отрезков к! и KI, то
—> 1 —► 1 —>
тМ = “2" сС.
Если О — точка, определяемая условием оО=-^-сС, то отсюда
заключаем, что точка М описывает прямую (L), параллельную
За
(/) и проходящую через О. 19. 3°. х0=»—g”. Если х < х0, то
/Г i/Т
у = ~ х(12а — 7х), если х>х0, то у = ——(2а —х)2.
20. Г. MN' || ВС'. 2°. « т. Точка Я' описывает отрезок
WV' прямой OV', заключенный между параллельными прямыми
AD' и ВС' (О — точка пересечения С'D' и АВ, W—точка от-
BV'
резка ВС1 такая, что - = т). Геометрическое место точек К
есть отрезок U'V' плоскости (Р); точка U лежит на AD, точка
V на ВС. 3°. г/ = а2 (^п2 — т + 0 < m < 1. 21. 1°. Точка Q
описывает отрезок UV плоскости Q, проектирующийся в отрезок
SB. Геометрическое место точек Н есть дуга окружности, лежа-
щая в плоскости SPA, заключенная внутри угла SPA, причем
окружность построена на КР, как "на диаметре (К — проекция
точки О на плоскость SPA; К — отроцентр треугольника SPA).
2°. Если М' — проекция М на плоскость основания, то кратчайшее
расстояние между OS и РМ равно расстоянию от точки О до РМ';
2R
оно непременно меньше расстояния от О до РА, значит I <—.
У 5
PQ PQ'
3°. Пусть QQ' И S4 (Q' на РА,) тогда рду = " меняется от
1 РВ 3 3 1 А
1 до —рд- == -g- ; условие возможности < к < 1. 4 . 0 <
1 "j Г а2 а2
<<х < arctg -у. 22. 2°. OB' == ay 1 — "4х2~, у
а
Условие возможности: -у- < х < а.
Далее, точка А описывает дугу А^2 полуокружности с цент-
ром О [лежащей в плоскости (Q)], которую от нее отсекает ме-
диатриса вертикального радиуса ОМ; граничите точки этой дуги
«Уз
отстоят от плоскости (Р) на расстоянии ——» ПРИ этом точка
В' описывает отрезок В^В^, лежащий в плоскости (Р) и перпен-
448
дикулярный проекции отрезка AiA2 на плоскость (Р) [Л\
и Л2—проекции точек Лх и А2 на плоскость (Р)]; точка В опи-
сывает дугу ВХВ2 полуокружности, которую мы получим, повер-
нув дугу ЛМя на 90° вокруг вертикального радиуса ОМ. 3°. х и
о2
у — корни уравнения z2 — иг + —g- = 0* Возможность решения
а
состоит в том, чтобы оба корня были заключены между и
это будет в случае ау/~2 < и В случае А'В' = I приходим
_________________________ атЛ3
к условию х-\-у ==у За2 — I2; условие возможности: —— <!<<*•
a а2
4°. Если ОЛ' = ОВ', то х = у = -^, v0ABA,B. =
cos v = —23. Г. х = а. 2°. Если W' проекция N на плос-
V 3
кость (Р), то геометрическое место точек М есть, вообще говоря,
b
окружность с диаметром AN' радиуса Это будет так, если
JV не совпадает с В. 3° Пусть S' — проекция S в плоскость (Р).
Геометрическое место точек М — окружность (Г) с диаметром
Л S'* Геометрическое место точек N получается в результате го-
мотетии Gt (S, 5) окружности (Г).
24. 1°. Положение точек G и G' относительно диагонали DD'.
Плоскость DB'D" пересекает параллелепипед (U) по паралле-
лограмму DB'D'В, а плоскость АВ'С — по медиане В' J треуголь-
ника АВ'С, где J — центр грани ABCD. Точка G, в которой
диагональ DD' пересекает плоскость семидиагонального треуголь-
ника АВ'С; ассоциированного с точкой D в точке пересечения
DD' и B'J. Так как D'B'— — 2DJ, то вектор D'B' получается
из вектора DJ и гомотетией (G,—2), значит GB' = —2 6V и
—► —>
GD'— — 2GD. Первое из этих равенств показывает, что точка
G —точка пересечения медиан треугольника АВ'С. Второе соот-
ношение показывает, что DG составляет одну треть от DD'. Ана-
логично доказывается, что DD' пересекает плоскость А'ВС' в
центре тяжести этого треугольника и что D'G' составляет одну
треть от DD' 2°. Сумма квадратов ребер и сумма квадратов ди-
агоналей параллелепипеда (U). Пусть S — середина DD', т. е. центр
симметрии параллелепипеда (U). Из треугольника DB'D' следует
DB'2 + В' D'2 = 2SB'2 + 2SD2,
откуда
2D В'2 + 2B'D'2 « ВВ'2 + DD'2.
Так как сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов его сторон, то
2АС'2 + 2А 'С'2 = А А'2 + СС'2.
15 Зак. 3478
449
Складывая, получим:
2(DB'a + AC'2 + B'D'2 + A'C'2) = АА '2 + ВВ'2 + CC'2 + DD'2.
Так как A'C'2 + B'D'2 = 2B'C'2 + 2B'A'2 и так как, с другой
стороны, DB' = АС', В'С' = DA, В' А' = DC, то окончательно:
4(DA2 + DBf2+DC2)=AA'2 + BB'2 + CC'2+DD'2,T. е. сумма
квадратов ребер параллелепипеда равна сумме квадратов его ди-
агоналей 3°. Услозие, при котором (U)— описанный параллелепи-
пед.
Если в параллелепипед (U) можно вписать сферу, то его центр 5
будет центром этой сферы и будет равноудален от всех его гра-
ней. Высоты параллелепипеда будут равны 2р — диаметру вписан-
ной сферы; значит площадь каждой грани будет равна объему (U),
деленному на 2р. Обратно. Если все площади граней параллелепи-
педа равны между собой, то центр параллелепипеда (U) равноуда-
лен от всех его шести граней. Таким образом, для того чтобы в
параллелепипед можно было вписать сферу необходимо и достаточ-
но, чтобы площади всех его граней были равны между собой .II. 1°.
Определение параллелепипеда (W)
Пусть G— центр тяжести данного треугольника АВ'С. Вер-
шина D, ассоциированная с этим треугольником, и центр паралле-
лепипеда связаны соотношением:
GD = —2GS.
Если, следовательно, одна из точек D или S—дана, то дру-
гая определяется. Используя симметрию относительно S, можно
построить другие вершины параллелепипеда (W) и это можно
сделать всегда, лишь бы точка D (или S) не лежала в плоско-
сти треугольника АВ'С [в противном случае параллелепипед (W)
вырождается].
Связь ребер параллелепипеда с указанными в условии задачи
отрезками и их направлениями очевидно такова:
D~A = —2SI, DB' = — 2~SIt ~DC = —2SK,
где I, J, К соответственно середины В'С, СА и АВ'. 2°. Соот-
ношение между длинами ребер и полудиагоналей (U7). Из треуголь-
ника SB'С находим:
SB'2 + SC2 = 2SI2Jr2lB'2
а2
Круговой перестановкой букв а, р, 7; р, q, т получим еще два
соотношения, из которых найдем:
P2 = 2(p2 + f8)-^,
q2 == 2(8^ + а2) — Ь2, (2)
Г8 = 2(а2 + р2) — с2,
На основании I, 2°:
4(а2 +₽2 +12 + Ь2) = 4 (р2 + q2 + г2)
450
и значит
?» = рз + ?2 + ,2 _ (аз + ра + 72) = 3(аг + р2 + 72) _
_(e2+62+c2). (3)
Складывая равенство (2) и учитывая (1), найдем:
92 + г2_р2 62_|_с2_а2
02 =-----------+-------------f
р2 = 1!+^ + ^Ц^. (4)
р2 + q2 — г2 а2 + Ъ2 — с2
7а =-----5 +-------4-----•
Наконец,
£2 = рЗ + 92 + Г2 _ (а2 + р2 4. 73) = 1(р2 _|. q2 _|_ г2)__
а2 £2 I С2
—------4-----• И! 1°« Характеристические свойства параллеле-
пипеда (W%). Грани (W) будут ромбы тогда и только тогда, когда
DA ~ DB' = DC, а так как D не лежит в плоскости АВ'С, то
геометрическим местом точек D будет ось GX окружности, опи-
санной около треугольника АВ'С за исключением точки О. Центр
S параллелепипеда (ТГ0) получается из D гомотетией ^G, ——
значит геометрическое место точек S есть прямая, перпендику-
лярная плоскости треугольника АВ'С, проведенная через центр
окружности Эйлера этого треугольника, который и есть точка,
гомотетичная О в гомотетии ( G, ——).
\ 2 /
Вершина D' параллелепипеда (IF0) получается из D гомотети-
ей (G, —2), значит геометрическое место точек D' есть прямая,
перпендикулярная плоскости треугольника АВ'С и проходящая
через ортоцентр Н этого треугольника, который гомотетичен О
в гомотетии (G, —2).
Так как проекция Н точки D' на плоскость (V) треуголь-
ника АВ'С является его ортоцентром, то тетраэдр D'AB'C —
ортопентрический (и обратно). Так как образом тетраэдра D1JK
в гомотетии (G, —2) является тетраэдр D' АВ'С, то и DIJK ор-
тоцентрический, т. е. любые его противоположные ребра взаимно-
перпендикулярны.
Квадраты длин полудиагоналей Используя формулы (4)
и (5) и учитывая, что р = q = г, получим:
2 р2 t Ь2-\-с2 —а2
«А = -- + ---------.
0 4 4
«2 ра са + аа-6а
₽о = 7+ i •
15*
451
e р2 а2 + ft2 — с2
Т* = -4 +------4 ’
Квадраты площадей грани (WQ). Пл. DB' А'С = В'С -DIt следо-
вательно, (пл. DB'A'C)2 = В'С2 • DI* = В'С2 • (DB'2—/В'2) =
Аналогично находим площади двух других ромбов:
/ 62
(пл. DCBA)* =
I с*\
(пл. DAC'B')* = c* р2 — _ ].
\ 4/
2°. Условие, при котором описанный.
На основании 7, 3° параллелепипед (№%) будет описанным тогда
и только тогда, когда его грани имеют равные между собой пло-
щади, а так как эти грани являются ромбами, все стороны ко-
торых равны между собой, то эти ромбы должны быть равны.
Стороны треугольника АВ'С являются диагоналями этих ромбов,
значит две из сторон обязательно равны между собой.
Если Д АВ'С равносторонний, треугольники DAB', DB'C
и DCA будут равны и все грани (№0) будут равны, (Ц70) бу-
дут описанным.
Случай a = cj=b и ^АВ'С = 0. В этом случае грани DAC'B'
и DB'A'C будут равны, но для того чтобы они были равны
третьей грани DCBA, необходимо и достаточно, чтобы DJ ® -у- ,
так как только в этом случае ромбы DAC'B' и DCBA, имею-
щие равные стороны и равные диагонали (АВ' = DB), будут
равны. Таким образом дополнительное условие:
DA2 = A J2 + DJ2
или
Л а2 + Ъ*
Р2 = —4—
Этот результат можно было установить и из (III, 1°), записав
равенство квадратов площадей граней.
Определение OD — х в функции а и Ъ. Из треугольника DOB'
находим:
а* 4- ft2
х2 = DB'* — OB'* = р* — OB'* =—^—— OB'*.
Так как четырехугольник OICJ вписанный, то
В'С*
В'О • B'J = В'1 . В'С = -~.
452
Отсюда
п ,П2 _ D с_____с
ни- ~ 41\ = -ЕПГ£Г
V’-J
и значит
у2__ jW-ft2)
4(4а2 —62)*
В треугольнике АВ'С основание Ь меньше суммы 2а двух других
сторон. Поэтому должно быть только 62 < За2 или
b
b Г~~
Окончательно. Если — < у 3 существует два положения точ-
ки Р, симметричных относительно (V), лежащих на оси ОХ и от-
стоящих от плоскости (V) на расстоянии
_ _Ь1ЛЗа2 —62
х~ 2 V 4а» —Ь» ’
Определение 0D = х в функции /? u cos О
Воспользовавшись снова равенством
и замечая, что ОВ' = /?, а = 2R cosy, b = 2R sin О,
найдем:
R2
х2 = у (1 — cos 0)( 1 + 2 cos 6).
Для того чтобы это выражение было положительным, необходимо
и достаточно, чтобы
cos 9 > — у ,
т. е.
j 2 7С
O<0<-y;
тогда
х= у у^2(1 — cos 6)(1 + 2 cos 0);
мы приходим к результату уже полученному выше (два решения;
условие 0 < 0 < у, конечно, эквивалентно неравенству — < ).
453
Выражения для со s ср, р и ре функции а и Ь
Треугольники ДР0С, ДР0В'и CD^B' — половины равных ромбов,
причем два последних соответствуют равным диагоналям, а пер-
вый — другой диагонали. Значит,
ADqB' = CDqB' = л — ADqC — л — ср.
Из треугольника 4D0C:
ДС2 = AD\ + CDq — 2ДР0 • CD0 cos ср.
или
Ь2 = 2р2 — 2р2 cos ср,
но так как
то
а2 —62
COS ср — а2 _|_ £2 •
Пусть р — радиус сферы, вписанной в тетраэдр (ТГ0). Выразим
объем этого тетраэдра двумя способами:
объем №0 = 2р. пл. D0ABC = 6 объемам D^AB'C. Так как
диагонали ромба D$ABC имеют длины АС = 6 и D0B = АВ' = а,
то
ab
пл. DqABC = •
С другой стороны,
1 АС • B'J 1 1Г Ь2"
объем D0AB'C = -3 OD0 •--------= -^ xb у а» — ~ =
62/За» —6» .
Отсюда
Ъ ___________________________________
4а За2 — Ь2 .
Для того чтобы выразить cos ср в функции cos 0 достаточно ис-
пользовать его выражение в функции а и b и заметить, что из
треугольника АВ'С следует
Ъ2 = 2а2 — 2а2 cosO,
следовательно
Ъ2
^- = 2(1—cos 6).
Отсюда легко находим
2 cos 9 — 1
C0St? = T-2 cosa‘-
454
Замечание. Если b стремится к о, то cos 0 стремится к 0 и зна-
чит стремится ку, а потому (№0) стремится к кубу с ребром
IV. 1°. Геометрическое место центров S и вершин D паралле-
лепипедов (W^.
По предположению SA = SB'~ SC, значит, геометрическое
место точек S есть ось ОХ окружности, описанной около тре-
угольника АВ'С, за исключением точки О.
Так как точка D получается из S гомотетией (G,—2), то
геометрическое место точек D есть прямая, проходящая через
ортоцентр Н треугольника АВ'С перпендикулярно к его плоско-
сти. Отсюда следует, что тетраэдр DAB'C ортоцентрический, ибо
его противоположные ребра взаимно-перпендикулярны; обратно:
если DAB'C —- ортоцентрический, то (W) есть --параллелепи-
пед^).
Выражения для р2, q2, г2 и Ъ2 в функции a, b, с, а
Из формулы (2) и (3) раздела 1Г, 2°, заменяя £ и у на а,
получим:
= 9а2 — (а2 + Ь2 + с2),
р2 __ 4а2 — а2^
q* = 4а2 — Ь2,
г2 = 4а2 — с2.
Условие, при котором будет описанным. Ребро CD орто-
гонально АВ', значит, проекции точек А и В' на Си совпадают
с одной и той же точкой прямой CD. Площади ах и с2 тре-
угольников DB'C и DC А будут:
®х = DC • В'С19
^2 = ~2 DC • ACif
следовательно,
4 (°1 — °1) = DC*( в'с1 - Лс1)-
Разность квадратов расстояний от точек Clt D и С до А и В
равна между собой, так как CD ортогональна АВ. Значит
4 (af — а?) = г2 (q2 — р2) = г2 (а2 — Ь2).
Аналогично найдем;
4 (°2 — °з) = Ра(6’ — са)>
“ 4 (of — af) = q2 (с3 — а2).
Параллелепипед (Ц7Х) будет описанный тогда и только тогда,
когда 2зх = 2а2 = 2а3; отсюда и из предыдущих соотношений сле-
455
дует, что а = Ь — с. Значит (IFJ будет описанным тогда и только
тогда, когда ДДВ'С — равносторонний. 2°. Условие, при котором
диагонали параллелепипеда (W) равны между собой.
Если диагонали параллелепипеда (W) равны между собой, то
D проектируется в ортоцентр Н плоскости (V) треугольника АВ'С,
ибо в случае равенства всех диагоналей параллелепипед (W) являет-’
ся и параллелепипедом (№\). Кроме того, из равенства диагона-
лей следует, что ребра DA, DB' и DC попарно взаимно-перпен-
дикулярны. Следовательно, точка D расположена на сферах
с диаметрами АВ', В'С и СА и значит точка Я лежит внутри
каждой из этих сфер; углы АН В', В'НС и СНА поэтому тупые,
а их дополнения АСВ',В'АС и СВ'А—острые.
Обратно. Если углы треугольника АВ'С острые, то Н лежит
внутри этого треугольника, угол В'НС — тупой и перпендикуляр
к плоскости (V) треугольника АВ'С в точке Н пересекает сферу»
построенную на В'С, как на диаметре. Если D одна из точек пе-
ресечения, то / В'DC = 90° и так как тетраэдр DAB'С ортоцент-
рический, то триэдр (EhAB'C) триортогональный. Параллелепипед,
определенный вершинами D, А, В', С — прямоугольный и зна-
чит его диагонали равны между собой.
Выражения для р*, q*, г2, а2 в функции а, Ь, с. Используя
выражения, полученные в разделе IV, 1°, и замечая, что теперь
5 — а, получим
а2 + +
а = 8
откуда
62!с2_а2 с* + аа —as_|_-fts_ca
ра =----------, =------g----, га = -----.
3°. Выражения для р, а и & в функции а и х в случае а — b -= с.
В этом параграфе параллелепипед (W) мы будем предполагать
одновременно и типа (№0) и типа (^i)*
Из прямоугольного треугольника DO А, в котором
DA—p,
OA = R =
OD=x,
находим
Из выражений, полученных в разделе IV, 1°, имеем:
р2 + а2 4а2 + Зх2
4 ~ 12
9Х2
И Ь2 = 9а2 — За2 = -^,
следовательно,
> Зх
8 = Т
Выражение р в функции а и ж.
456
Применяя тот же метод, что и в разделе III, 2°, будем иметь:
2р пл. A BCD = 6 объемам DAB'C,
пл. ABCD = АС • DJ= а т/ хг + — = — 1/ 12x2 + а*,
F 12 2 Г 3
объем DAB'C = — х • ?2У- .
3 4
Отсюда
___________________________Зах
Р= 2/12x2 + a2 ’
Найдем отсюда р2 и представим р2 в виде:
а2 \
1—^-1
а2 Г
xi + 12j
Отсюда видно, что если х изменяется от 0 до + оо, то х2 +
а2 а2
+ 12 изменяется от до + °° и значит р2 возрастает от 0 до
За2 Л a / 3
-jg- . Значит, р изменяется от 0 до —.
Выражение для cos ср в функции а и х.
Из равнобедренного треугольника B'DC находим:
а2 =в 2р2 (1 — cos ср),
откуда
< «2 , За2
cos ? — 1 — 2ра - 1 — 2 (Зх2 + а2) *
Из этой формулы следует, что если х изменяется от 0 до
+ оо, то cos ср возрастает от —-g- до + 1, следовательно, ср убы-
вает от до 0. 25. Указание: 1° Вг Сг || ВС, В\ с\ || ВС;
Вг С\ || AD, В1 Ci || AD. Значит, плоскость Вг Сг В\ С\ пара-
ллельна ВС и AD и значит бивысота перпендикулярна к этой пло-
скости и т. д. 2°. Бимедианы Ai А\9 BiB\9 CyC\ пересекаются
и делятся пополам центром тяжести G тетраэдра (ABCD); если они
попарно перпендикулярны, то все плоские углы триэдров
GAtBiCu СД1С*1В1, CBiCM', GCiB\A' равны 90°; отсюда сле-
дует, что высоты этих четырех тетраэдров, опущенные из верши-
ны G на плоскости их оснований, совпадают с центрами окружно-
стей (BCD), (CDA), (DAB) и (ABD). Значит, на основании теоре-
мы о трех перпендикулярах прямые GAY и GA\9 GBy и СВН
GCY и GC\ перпендикулярны ребрам ВС и DA, СА и DB, АВ и
DC и значит АхАр ВгВ\9 Сх С\ — высоты.
457
Если бивысоты попарно ортогональны, то на основании 1° и
бимедианы попарно ортогональны. Бивысоты должны на основа-
нии Г или совпадать, или быть параллельными соответствующим
бимедианам; однако последнее исключено, ибо в противном слу-
чае плоскость, проходящая через бимедиану и высоту, пересек-
лась бы соответствующими ребрами в двух точках (М и Дь М'
и А} и т. д.), что невозможно. Значит, М = Дх, М' s Др...
Если указанные условия выполнены, то бимедианы Аг Др ВгВ\9
С±С\ являются диагоналями ромбов AtBr А\ B1CiB\c\^
Ci Д1 С\ А{ и значит
СА ~ ^В
2 — С1Д1 — — 2 •
Таким образом С А = DB и аналогично ВС = DA и АВ = CD;
эти равенства характеризуют правильный тетраэдр. 3°. Применяя
теорему о квадрате медианы к треугольникам QBC и QDA, по-
лучим:
QB* + QCa = 2Q4f + ^, QI^ + QA* = 2QA2l+^-,
откуда, вычитая и учитывая (1), получим:
ВС2 — DA* = 2(<ЭЛр — Q4'2) + L(а? - а'2)
и значит
<?Л?-СЛ;2 = -1(а2-а'2),
и значит Q лежит в плоскости, перпендикулярной Д! А ।.
Далее, рассматривая параллелограмм ОА{ 2Дь имеем:
2Л^-ЙЛ'1а= ол;2 — ОА^ «R1 — 2^ — =
-J-(“2—'2)-
Значит 2 лежит в плоскости (Q) и т. д. 26* Часть первая.
Г. Пусть АВС треугольник, в котором АВ =£ АС. Рассмотрим
плоскость (тс), проходящую через ВС. Если М точка этой плоско-
сти такая, что МВ • АС == МС • АВ, то
МВ АВ
МС ~ АС ;
отсюда следует, что точка М лежит на окружности, построен-
ной в плоскости (тс) на ЕЕ', как на диаметре, где Е и Е'—осно-
вания биссектрис внутреннего и внешнего угла А треугольника
ДВС. Если плоскость (тс) вращать вокруг ВС, то окружност^
с диаметром ЕЕ' опишет сферу с тем же диаметром. Эта сфер?
проходит через точку Д, (ЕДЕ') — ее большой круг. Треугольник
ЕДЕ' — прямоугольный (А — прямой угол). Пусть — середина
458
отрезка ЕЕ', т. е. центр указанной сферы; тогда шл Л = <олЕ =
-= о>л Е'; отсюда можно получить, что о>л А2 = шл В • о>л С и зна-
чит точка <»)Л лежит на касательной к окружности (АВС).
2°. Пусть ВСфСА, СА^АВ, АВ ВС. Геометрическое место
точек М таких, что МВ • АС = МС • АВ есть сфера (ЕЕ') с диа-
метром ЕЕ'; геометрическое место точек М таких, что МС*АВ =
= МА • ВС есть сфера (ЕЕ') с диаметром ЕЕ', где Е и Е' —осно-
вания внутренней и внешней биссектрис угла АВС. Если эти
сферы пересекаются, то для любой точки М окружности пересе-
чения будем иметь также МА>ВС=МВ*СА; геометрическое место
точки М, удовлетворяющее одному этому условию, есть сфера
(//'), построенная на //', как на диаметре, где / и Г — основа-
ния биссектрис угла С треугольника АВС; эта сфера таким обра-
зом проходит через окружность, по которой пересекаются сферы
(ЕЕ') и (FF'). Сферы (ЕЕ') и (FF') пересекаются; в самом деле,
пусть, например а > Ь > с; тогда сфера (ЕЕ') проходит через Л,
точка В внутри ее, а С — вне; сфера (ЕЕ') проходит через В,
точка Л — внутри ее, а С — вне, эти условия не могут иметь ме-
сто, если (ЕЕ') и (ЕЕ') не пересекаются (сделать чертеж) [в слу-
чаях a<b<c, b<a<ct... приходим к тому же заключению:
сферы (ЕЕ'), (ЕЕ'), (//') имеют общую окружность (А)]. Пло-
скость окружности (А) есть радикальная плоскость сфер (ЕЕ'),
(FF') и (//'), а так как центры о>л, <ов, этих сфер лежат на
сторонах ВС, С А и АВ треугольника ЛВС, то центр окружности
(А) лежит на прямой а>лшвшс, которая является ее осью, пло-
скость же окружности перпендикулярна плоскости (V) треуголь-
ника. Пусть Р и Q точки, в которых окружность (А) пересекает
плоскость (V). Тогда
РА • ВС = РВ • СА = PC • 'ЛВ,
QA • ВС « QB • СА = QC • ЛВ,
откуда
АР _ ВР СР
AQ ~~ BQ ~~ CQ *
Отсюда следует, что PQ проходит через центр окружности
(ЛВС), которая является для точек Р и Q окружностью Аполло-
ния и точки Р и Q делят гармонически концы диаметра окруж-
ности (ЛВС), в которых ее пересекает прямая PQ.
Отметим также, что окружности (ЛЕЕ'), (ВЕЕ'), (СП') орто-
гональны окружности (ЛВС) в точках Л, В, С; отсюда следует,
что их радикальная ось PQ проходит через центр (ЛВС). Если
треугольник ЛВС равносторонний, то сферы (ЕЕ'), (ЕЕ'), (//')
вырождаются в плоскости-медиатрисы сторон, а (А) — в прямую—
ось окружности, описанной около треугольника ЛВС.
Итак, каков бы ни был треугольник ЛВС существует беско-
нечное множество тетраэдров (Т), для которых ЛВС одна из гра-
ней. Геометрическое место четвертой вершины D есть окружность
(А) или, в частности, прямая (А) — ось (ЛВС). __ ____ _____
Часть вторая. 1°. Соотношение АА\ — АВ • АВ± —АСх
X ЛСХ может быть легко установлено элементарно или рассмот-
рением инверсии (Л, ЛЛ|).
459
Построим окружность (s), проходящую через В и С, но не
проходящую через А; пусть АВ и АС пересекают ее в точках
В, В' и С, С’\ касательные в точках А и Лх к (АВС) параллель-
ны; касательная к (АВС) в точке А^ антипараллельна ВС по от-
ношению к АВ и ЛС. Так как В, С, В', С' лежат на одной ок-
ружности (s), то ВС и В'С' также антипараллельны относительно
АВ и АС. Значит BjCiHB'C'.
Треугольники ЛВС и Л'В'С' подобны, но противоположно
ориентированы. Значит
В'С' АВ' / ЛВ-ЛВ'Х
ВС “ АС \ ~ АВ • ЛС/
2°. Рассмотрим сферу (ЛВСВ), описанную около тетраэдра ABCD.
Пусть Лг — точка, диаметрально противоположная точке Л на
(ABCD), (тс) — плоскость, касательная в Л! к (ABCD), которая
пересекает АВ, АС и AD в точках Вх, Сх, Dr. Обозначим через
Л' точку, в которой ЛЛ1 пересекает плоскость треугольника
B'C'D'. На основании предыдущего А'В' параллельна той каса-
тельной к сфере (ABCD) в точке Л, которая лежит в плоскости
ЛЛХВ. Точно так же Л'С' и A'D' параллельны касательным
в точке Л к сфере (ABCD) в плоскостях ЛЛХС и AA±D. Плоскость
B'C'D', которая содержит, по крайней мере, две пересекающиеся
прямые, соответственно параллельные двум касательным к сфере
(ABCD) в точке Л, будет таким образом параллельна этой каса-
тельной плоскости. На основании предыдущего также имеем:
В'С' АВ - АВ'
ВС - АВ - АС'
откуда
В'С' АВ -АВ'
AD- ВС~ АВ - AC-AD*
Аналогичные соотношения можно записать для C'D' и D'B’.
Знаменатель АВ • АС • AD в правой части будет один и тот же;
числители же ЛВ • АВ', АС - AC', AD-AD'— также равны между
собой, так как каждое такое произведение есть степень точки Л
относительно сферы (S). Значит
Д'С' _ С'Р’ _ в’Р'
ВС-АР~ СР - АВ~ ВР- АС w
3°. В’С’ = C'D’ == D'C'; kB’C'D' — равносторонний, грани ЛСВ,
ACD и ADB пересекают плоскость, касательную к сфере (ABCD},
по трем прямым, образующим шесть углов по 60°.
Далее, соотношения (2) выполнены для любого тетраэдра;
если кВ'C'D' — равносторонний, то из (2) следует:
AD • ВС = CD - АВ = АС • BD
Таким образом, для того, чтобы тетраэдр ABCD был тетраэдром
(Т) необходимо и достаточно, чтобы AB'C'D' был равносто-
ронним.
460
Аналогично получаем другое характеристическое свойство
тетраэдра (Т): грани ABC, ACD и ADB пересекают плоскость,
касательную к сфере (ABCD), в точке А по прямым, образую-
щим шесть углов по 6(Р.
Если заданы вершины А, В, С тетраэдра (Т) и сфера (2),
описанная около него, то сам тетраэдр (Т) строится так: пусть
(Д) прямая пересечения плоскости АВС с плоскостью (л), каса-
тельной к сфере (2) в точке А; (Д') и (Д") две другие
прямые плоскости (к), образующие с прямой (Д) угол в 60°;
тогда плоскости двух других граней тетраэдра (Т) будут Д' АВ,
АВ или Д" АВ, Д' АС; эти плоскости пересекаются по прямой,
которая в пересечении со сферой (2) Дает точку D. Имеется,
следовательно, два решения.
Часть третья. 1°. Пусть BCD—треугольник, А—точка,
лежащая в его плоскости, но не на окружности (BCD); пусть
прямые АВ, AC, AD вторично пересекают (BCD) в точках В',
С', D'. Установление соотношений
В'С' C'D' B'D'
AD-BC~ АВ-CD ~ AC-BD
легко получается рассмртрением подобных треугольников.
Вернемся к начальной конфигурации. Соединим точку Р
с точками А, В, С и пусть РА, РВ, PC пересекают (АВС) вто-
рично в точках А', В', С'. На основании предыдущего
А'В' В'С' С'А'
АВ-РС - ВС-РА “ СА-РВ ‘
Но так как точка Р (как и Q) лежит на окружности (Д), то
PC-АВ = РА-ВС = РВ-АС,
значит А'В' = В'С’ = С'А', т. е. ДА'В'С' — равносторонний.
Обратно. Если ДА' В' С' — равносторонний для некоторой точки М,
лежащей в плоскости АВС, то
МА-ВС = МВ-СА = МС-АВ
и значит М совпадает или с Р, или с Q. 2°. Так как точка D
может занимать по условию любое положение на окружности (Д),
то эта окружность и есть как раз та самая, которая выше была
определена для грани АВС тетраэдра (Г). Значит, плоскость АВС
есть плоскость, Проходящая через А и ось этой окружности; эта
плоскость вполне определена, ибо А не лежит на оси. Пусть Р
и Q — точки, в которых плоскость, проходящая через А и ось
окружности (Д), I пересекает эту окружность. Окружность (APQ)
можно построить, затем можно построить и окружность (АВС)
[ее центр на PQ и она ортогональна окружности (APQ) в точке А].
Пусть АР пересекает (АВС) вторично в А'. Строим точки В' и С'
на окружности (АВС) такие, чтобы треугольник А'В'С' был
равносторонний, затем находим В и С в пересечении РВ' и ВС'
с окружностью (АВС). Построение всегда возможно, решение
единственно.
461
Часть четвертая. Г. Пусть Е и Е' — основания на Bq
ЕВ
биссектрис углов ВАС и BDC. Тогда =.
ЕС
АВ Е' В__DB
АС’ ЁГС~ DC*
но правые части равны, значит Е и Е' совпадают. Аналогично-^
совпадают в точке F основания на AD биссектрис внутренних
углов DBA и DC А. 2°. Пусть Яо, Во, Со, DQ центры окружностей,
вписанных в грани BCD, CDA, DAB и АВС. Будем обозначать
точки Е и F, которые мы ввели в предыдущем пункте и им ана-
логичные, этими же буквами, но с индексами: 1 для ВС, 2 для
СА и 3 для АВ. И аналогичные индексы присвоим букве F для
соответственно противоположных ребер. Прямая DDQ общая для
трех плоскостей DAElt DBE2 и DCE3; эти же плоскости пере-
секаются плоскостью ABF3 по прямым АА0, ВВ0 и СС0. Анало-
гично те же плоскости пересекаются плоскостью ACF2 по прямым
АА0, E2F2 и ССо. Наконец, те же плоскости пересекаются пло-
скостью BCF по прямым Ei Fi, ВВ0 и СС0. Отсюда и следует,
что все прямые АА0, ВВ0, СС0, DD0, E1F1, E2F2, E3F3 имеют
одну общую точку М. Обратно. Если прямые АА3, ВВ0, ССв
и DDq имеют одну общую точку М, то плоскость MAD пересекает
грани АВС и DBC по биссектрисам AD$ и DA3 внутренних углов,
которые в свою очередь пересекаются в точке Ei на ВС. Отсюда
сразу получаются характеристические соотношения (1) для тетра-
эдра (Т). Таким образом наличие общей точки у прямых AA«,
ВВй, ССо и DDo есть характеристическое свойство тетраэдра (Т).
2°. Соединим каждую вершину тетраэдра (Т) с четырьмя центрами
окружностей вписанных и вневписанных в противоположную
грань (для грани BCD мы эти центры будем обозначать так: Ао,
Ав, Ас, Ad и аналогично для других граней). DB есть центр
окружности, вневписанной в угол В грани АВС есть точка
пересечения прямых ВЕ2, АЕ{, СЕ3 (две последние прямые —
биссектрисы внешних углов А и С грани АВС); Е{— также ос-
нование на ВС биссектрисы внешнего угла D грани BCD и т. д#
DDB есть прямая, по которой пересекаются плоскости DBE2,
DAE\, DCE3; эти плоскости в пересечении с плоскостью ABF3
дают прямые ВВ3, АА0 и E'3F3; эти прямые пересекаются поэто-
му в некоторой точке Jв, лежащей на прямой DDB. Указанные
три плоскости в пересечении с плоскостью ВСРГ дают прямые
BB3,E\Flt ССВ и в сечении с плоскостью ACF’2—прямые D2F^
ААВ и ССВ. Значит, шесть прямых BBQ, AAQ, ССв, DDB,
B{Fi, Е2 jF*2> £3^3 проходят через одну точку Jв. Можно также
пересечь те же три плоскости, например, такими плоскостями:
ABF3, BCF\ и ACF2, которые дадут следующие тройки прямых
(вво, ААС, e’3F'), (ВВо, ССа), (E2F2, ААС, ССА)
и значит прямые BBQ, ААС, DDB, E\f\, E2F2, E3F3 пересе-
каются также в одной точке jB.
Итак, всякая прямая, аналогичная ВВ3, которая соединяет
вершину тетраэдра (Г) с центром окружности, вписанной в про-
462
тивоположную грань, имеет две точки 7W и J в, в каждой из
которых сходится по шесть прямых (указанных выше), а всякая
прямая, аналогичная DDB, т. е. прямая, соединяющая вершину D
с центром окружности, вневписанной в противоположную грань,
имеет две точки Jв и JB,, в каждой из которых сходится по 6
прямых, указанных выше. 27. Г. Построение точки Р на (С'),
/_АРМ — 9(Г. Пусть (77) — плоскость, в которой лежит окруж-
ность (С), (С") — проекция (С') на плоскость (77); окружности
(С") и (С') равны; О — центр окружности (С"). Проекция точки Р
окружности (С') есть некоторая точка Р' окружности (С"). Угол
АРМ, одна из сторон которого параллельна плоскости (77), будет
прямым тогда и только тогда, когда угол АР' О будет прямым.
Отсюда построение точки Р': это точка пересечения (С№) с окруж-
ностью, построенной на О А, как на диаметре. Перпендикуляр
к плоскости (77) в точке Р' пересекает (£) в искомой точке Р.
Для всякого сечения (С') существует две точки Р', следовательно,
две точки Р, удовлетворяющие условию вопроса; эти точки совпа-
дают, если ОМ = 0 или ОМ = Р. 2°. Соотношение между АР'
и РР'. Положение АР. Геометрическое место точек Р'.
Прямоугольные треугольники РМО и АР' О равны, ибо их
гипотенузы ОР и О А "равны (= р), а катеты РМ и Р' О также
равны. Значит ОМ = РР' = АР'.
Пусть Az— перпендикуляр в точке А к плоскости (77);
РАР' = 45°, значит отрезок АР лежит на конусе вращения
с осью Az, образующие которого наклонены к оси под углом 45°.
Геометрическое место точек Р' есть окружность с диамет-
ром ОА. 3°. Угол БОМ — прямой: отрезки АР и BQ равны
и ортогональны. Q и Б соответственно симметричны точкам Р
и А относительно прямой ОМ. Значит z MQB = У МРА = 90°
и АР = BQ. Пусть D — точка, в которой прямая АР' вторично
пересекает (С). Так как Р'— середина AD, то DB = 2 Р' O—PQ.
Значит, четырехугольник DBQP — параллелограмм, и сторона BQ,
параллельная PD, ортогональна АР, так как в треугольнике АРР
медиана РР' равна половине стороны AD. 4°. ОМ « / Р1 2 — г2,
AP~BQ = V2(R2 — ra) , BP = + 5°. Из PQ = АР
следует г — —?=, v = —R3 * * *. 28. 1°. А А' = МА' = R Vx,
уз -6/
Р 2 х2*4~Х“4“1
ВВ’ = МВ' = -у— (предполагаем х 0). 2°. р, = - nR3 х .
1 fx I I)2 2 Р8 v-t
~, ^з = 3°. у = —= х2-j-x-}-1. При из-
менении х от 0 до -j-ооу возрастает от 1 до + оо (построить
график соответствующей дуги параболы). 4°. Уравнение ~=т
приводится к виду:
(2 т — 1) х2 + 2 (т — 1) х + 2 т — 1 = 0.
463
Годятся лишь положительные корни. Задача разрешима, если
2* < т <§» ПРИ этом
х—
2
Если т = g- — задача
1 — /и ± / /и (2 —> 3 т)
2 tn — 1
имеет одно решение; этому наибольшему
значению т соответствует точка
/ 2 \
(ибо при /n = g-, х==1|. 29. Г.
а
Далее, если I <——9 решений
V з
Л4, лежащая посредине дуги АВ
у = MN2 = 3 х2 — 4 ах ^2 4-4 а2.
а
нет; если Z==—т=, одно решение:
/3
х' = х” =
2а /2
3
а а
Если —~р= < Z < ~7=, то два решения:
у 3 у 2
2 / /-7Г
*' ~3
2 _ _______
и х"= g- (а / 2 + >/" 3I2 — а2 ).
а ау^2 _ а
Если I = -т=г, два решения: х' = —-— , х" = а у 2 . Если —7= <
у 2 3 у 2
< Z < а, одно решение; х'; если Z = а, одно решение: х'=0;
если Z > а, решений нет. 2°. График—дуга параболы
у = 3 х2 — 4 ах ^2 + 4 а2\
0<л<аУ*Г; у(0) = 4аа, ymin=^aa
при
2
/2,
у (а ^^2) == 2 а2.
3°. Из предыдущего следует, что если MN минимально, то AM —
2 2
= у АС и EN— £ EG. Опустим из точек М и Л/ перпендикуляры
2
ММ' и Л4Л/' на АЕ. Очевидно AM' = М' N' = ЛГ Е з» g а; отсюда
следует, что ДЛЛ4М'—прямоугольный (£М = 90°). Угол AMN,
проектирующийся в прямой угол AMN', следовательно, также
прямой. Аналогично доказывается, что MN ± GE. Далее, проек-
ции отрезков MN и CF на плоскость ABCD параллельны
(MN' ЦС£). Аналогично проекции MN и CF на плоскость BEFG
также параллельны (М' N || BF), следовательно, MN || CF и значит
MN Ц ВСМ.
Геометрическое место середин О отрезков MN. Точка В —
середина М* значит проекция О' точки О на плоскость ABCD—•
464
середина MN' и значит О' лежит на ВС, причем ВО'— % М' М.
> 1 >
Аналогично В0"= £-Л/'Л/, где О" — проекция О на другую пло-
скость. Так как M'M = N'N, то ОО' = ОО", значит точка О
описывает отрезок ВЯ, где Я —середина CG.
Объем CEFDCG. Это призма, так как CD = ~EB = FG; тре-
угольник CBG — сечение, перпендикулярное к боковым ребрам;
30- 1°. Расстояние MN и его минимум. Построим куб
с ребрами ЛЯ, НК и КВ и обозначим через / и J его вершины
такие, что Al = КВ, BJ = Я4; прямая (D) — это А/, прямая
(Д) — это BJ и т. д.
Находим: MN2 — (а — х)2 + а2 + (а— у)2; MNmin = а, если М
совпадает с /, a N — с J (это очевидно и геометрически). 2°. Сфе-
ра (2) проходит через I и J. Расстояние тО.^ MIN =
= z. MJN = 90°; ш — находится в плоскости (к), проходящей через
/х + я\2 (У + я\ 2
середину НК перпендикулярно ЯК; ^а>а = (_-2—1 +(—2—)
(спроектировать все на указанную только что плоскость).
Условие, при котором (£) касается НК» Геометрическое
место точек ш для этого случая.
Л MN а
Ош = -g- и т. д. Ответ, х + у = j.
Обозначим через alt b, I проекции точек А, В и / на пло-
Л4Я
скость (к); геометрическое место точек а> в случае От = -т,— есть
прямая, лежащая в плоскости (л), параллельная Ьах и пересекаю-
___________________________________ 9а
щая ось ОЪ в точке К такой, что ОК = Расстояние от О до
9 а /2
этой прямой дает минимум для радиуса (S): —jg—. 3°. Геоме-
трическое место (т), если (2) сохраняет радиус R.
а
Очевидно должно быть R > g • Геометрическое место точек со
есть окружность, лежащая в плоскости (л) с центром i и радиусом
У а2
R2—. 4°. Направление MN в случае х~ у. В этом
случае проекции тип точек М и N на плоскость (л) симметричны
относительно Oi и значит MN параллельна плоскости (Р), про-
ходящей через а19 b параллельно ЯК, т. е. плоскости, проходящей
через АВ параллельно ЯК- Геометрическое место точек ш — пря-
мая Oi; проекция прямой MN на плоскость (Р) вращается вокруг
точки пересечения прямой Oi с плоскостью (Р). 31. 2°. Центр
сферы (S) — середина SC; ее радиус a Плоскость, касатель-
ная к (21) в точке В, перпендикулярна Вт центр (£)], значит,
465
и плоскости SBC; пересечение этой касательной плоскости АВС
перпендикулярно к плоскости SBC, а значит и ВС. Аналогично
находится прямая пересечения плоскости АВС с плоскостью каса-
х (4 d__________________________________________________3 х)
тельной к (S) в точке С. 3°. Если 0 < х < а, то $=~—,
1 2
если а < х < 2а, то s = ^(2 а—х)2. При изменении х от Одо j- а, s
2 2
возрастает от 0 до у а2; при изменении х от % а до a, s убывает
2 1 1
от з* а2 до g а2; при изменении х от а до 2 а, s убывает от
до 0.
ab
32. 1о* ок===' 7-2-г=&>
у а2 + Ь2
r„ a2b2 + b2 с2 + с2а2 е __ /а2 b2+b2c2+c2 а2
СД“У ---------аЧ7*5------’---------------2---------
36о2 4 (а2 s2 — 9и2)
2*. ^2=—, 62 + с2=-^—---------------Ц
Ь2 и с2 — положительные корни уравнения
а4 х4 — 4(а2 s2 — 9г>2) х2 + 36а2 v2 = 0. (I)
Это уравнение имеет положительные корни тогда и только
тогда, когда
Д = 4 [(a2 s2 — 9о2)2 — 9а® о2] > 0, (1)
а2 s2 — 9и2 > 0; (2)
(1) можно переписать в виде:
(а2 s2 — 9и2 + За8 v) (a2 s2 — 9о2 — За *v) 0,
или в силу (2)
а2 s2 — 9а2 — За8 v > 0,
или
9а2
s2 > + Заа.
Если это условие выполнено, задача имеет 2 решения: £ =
с = с' и b = cf, c—b't где b' и с’— положительные корни ука-
занного выше биквадратного уравнения. Эти два решения дают
два тетраэдра, симметричных относительно биссекторной плоскости
двугранного угла С (АО) В.
9иа
Частный случай s2 -\-3av. В этом случае Д=0 и в этом
случае b = с = j/*~. Треугольник ВОС — прямоугольный, рав-
466
а0 9 9d0
нобедренный. 3°. Вычисление s0. При v0 = — , s$ + —-j-3aovQ=
о aQ
3(2n 42л 3
, откуда s0 = —2L---
4 2
Вычисление D в функции а и aQ
гч 9уп , о 2 Лп(а —а0)а л
D “ + Заао - so = —-4-"2 (2а + а0).
Минимум для s при данном v0. Если дано у = у0, то тетраэдр
существует тогда и только тогда, когда
Оу
S2 > + 3flf0.
На основании вычисления, проведенного для D заключаем,
что
о у» 2
,-^+3av0>s2.
^равенство имеет место тогда и только тогда, когда a=aQ~ •
Итак, s2 > Sq , откуда s > s0. Итак, s, при данном v = vQ, име-
ет минимальное значение s=s0 при а = а0 = 1/ , откуда Ь —
— с = р/6^ Зб^о = 33. 1°. Если АА' и ВВ' пересе-
каются, то AB1.CD. Ребро CD — общее для двух граней BCD и
ACD ортогонально высотам А А' и ВВ'. Если поэтому мы пред-
положим, что эти высоты пересекаются, то отсюда будет следо-
вать, что CD перпендикулярно плоскости, в которой они распо-
ложены и значит перпендикулярно ребру АВ, которое располо-
жено в этой плоскости. 2°. Обратное положение. Ребро CD орто-
гонально АА' иВВ'-, если CD±AB, то CD будет перпендикулярно
двум плоскостям В А А' и А В В'. Но эти две плоскости имеют об-
щую прямую АВ, а потому совпадают. Таким образом пря-
мые А А' и ВВ' расположены в одной и той же плоскости и
значит пересекаются (они не могут быть параллельные, так как
они перпендикулярны к двум пересекающимся плоскостям).
3°. Изучение высот в случае АС — AD= ВС — BD. Точки А и В
расположены в плоскости-медиатрисе отрезка CD, ибо АС = AD
и ВС = BD. Таким образом, ребро АВ лежит в плоскости-меди-
атрисе отрезка CD и потому АВ ± CD. Отсюда (см. 2а) следует,
что А А' и В В' пересекаются в точке Н. Аналогично устанавли-
ваем, что СС' и DD' пересекаются в некоторой точке К. 4°. Точ-
ки Н и К расположены в плоскостях-медиатрисах отрезков АВ и
CD и значит лежат на прямой IJ, соединяющей середины этих
отрезков (в самом деле, плоскость-медиатриса отрезка АВ есть
плоскость CID, а плоскость-медиатриса отрезка CD есть плоскость
467
AJB). 34. 1°. ДЗА0 = ДВ0А, SO == а. Полная поверхность пира-
миды равна а2 +1QL.^ . 2°. Плоскость MNPQ перпендикулярна
АВ и значит перпендикулярна плоскости АВС. Пересечения Л4М и
PQ этой плоскости с плоскостями SAB и SAC, перпендикулярными
к АВС, будут также перпендикулярны к АВС, значит MN и PQ
будут перпендикулярны МР. Значит, MHPQ прямоугольная тра-
пеция и т. д.
Ответ.
MQ = ,
MN = , NP = ,
2 2
PQ = , MP = J/ 4x2 _ ax + .
cP
3°. График функции у — 4x2 — ax + f — дуга параболы 0 < x <
n n
< — ; при x = 0, у = — , при х= — , у= — ; наименьшеезначе-
2 4 2 4
ние у = ^2-. принимает при х— ~ . Так как МР JL АВ, то МР
16 8
есть расстояние от Р до АВ\ минимальное значение МР соответ-
ствует кратчайшему расстоянию между АВ и SC (в этом случае
МР ± АВ и AJPj.SC). 4°. 1_Л4//=9О°),‘ AI = aVH, АН=~^=,
. г 5
4a
IH = ”7= , (заметить, что L BAI = 90°). Наконец cos L AHI =
v *
= ПЛ-^Д =1. 35.1°. L ABD = L ЛСР = 90°, BD j. АВ,
пл. &SIB 4
BD ± SA, значит BD ± SAB. Далее, SC1.CD, L_SAD'— [_SBD~
= LSCZ)=90°, значит, точки S, А, В, С, D лежат на сфере, центром
которой служит середина отрезка SD, а радиус этой сферы равен
— . 36. 1°. Положение (Р), при котором А'а, В'$, С'ч будут
параллельны. Ориентируем ребра ОА,ОВ, ОС (в направлениях от
О к Л, от О к В и от О к С) и обозначим через А' точку прямой
О А, определенную равенством ОА' = kOA, где k — данное число
не равное нулю. Пусть плоскость (Р), проходящая через А' и
параллельная плоскости АВС, пересекает ребра ОВ и ОС в точ-
ках В' и С'; тогда ОВ' = kOC, ОС'= kCC. Из приведенных
равенств следует, что В'С' — k ВС и так как, с другой стороны,
pY = —1_ВС, то ВЧ?= — Так как отрезки В'С' и ffy
параллельны, то прямые В'₽ и С'? будут параллельны тогда и
только тогда, когда четырехугольник В'С' —параллелограмм,
т. е. ВЧ? ="₽^ и значит 1.. В этом случае =—
468
легко видеть, что С А' = 7а и значит прямые А'а, В'Р, С'7 парал-
лельны. Итак, искомая плоскость (Рг) пересекает ребра О А, ОВ,
ОС в точках А\ , Bj , С\ , определенных равенствами ОА\ = —
— ~ОА, ОВ' — — — ОВ, ОС\ — — А- ОС . 2°. Если плоскость
2 2 ’ 1 2
(Р) отлична от (Рх), то прямые А'а, В'Р, С'7 пересекаются е од-
ной точке.
Поскольку прямые В'Р и С'7 расположены в одной плоскости
и не параллельны, они пересекаются в точке М такой, что
МВ' В'С'
Аналогично, А'а и В'Р пересекаются в точке М' такой, что
М'В' В'А'
лгр = {й
Поскольку точки М и М' делят вектор В'р в одном и том же от-
ношении—они совпадают и значит А'а, В'Р и С'7 пересекаются в
одной точке. 3°. Геометрическое место точек М. Пусть G—центр
тяжести треугольника АВС. Если плоскость (Р) меняется, пря-
мая А'а описывает плоскость, проходящую через точку а и ребро
ОА; эта плоскость проходит через OG и, следовательно, точка М
лежит в этой плоскости. Аналогично, точка М лежит в плоско-
сти, проходящей через р и ОВ и в плоскости, проходящей через
7 и ОС. Точка М лежит, поэтому на прямой OG пересечения этих
трех плоскостей. Обратно пусть М— какая-нибудь точка прямой
ОС; тогда прямая аМ пересекает, вообще говоря, прямую О А в
точке А'. Этой точке А' соответствует на основании прямого
утверждения точка М, поскольку она лежит и на OG и на А'а.
Точка А' становится бесконечно удаленной, если она занимает по-
___ 1 ___
ложение Л/2, определяемое равенством GM2 = •— у GO . В самом
Ga
деле равенства ==
G А
GM2 1
GO ” 2
выражают, что О А наМ2 па-
раллельны.
Итак, геометрическое место точек М есть вся прямая OG,
причем точка М2 прямой OG соответствует бесконечно удаленной
плоскости (Р). 37. 1°. Прямая IJ перпендикулярна АВ и CD. Так
как точки А и В равноудалены от С и D, то плоскость AJB есть
плоскость, перпендикулярная к отрезку АВ в его середине I,
значит IJ J. АВ; аналогично IJ j. CD (заметим, что IJ — ось сим-
метрии тетраэдра ABCD). 2°. Геометрическое место точек /.Если
плоскость (Q) изменяется, точка / все время лежит в плоскости,
перпендикулярной отрезку CD в его середине, а так как угол
AIJ «=90°, то точка / лежит на окружности (7) с диаметром JA,
Обратно. Пусть /—точка окружности (7) и В—точка, симметричч
ная точке А относительно /. Тогда АС = AD = ВС = BD, так ка$
ВС и BD соответственно симметричны AD и АС относительно /Л
469
Окончательно геометрическое место точек I есть вся окружность
(7). 3°. Тетраэдр ABCD в случае, если плоскости (Р) и (Q) вза-
имно-перпендикулярны. ЛВ = уг2(а2—л2). Для определения цен-
тра О сферы, описанной около тетраэдра ABCD, ориентируем ось
симметрии Л от J к I (на ней должна лежать точка О) и вычислим
J0. Достаточно записать, что равны длины отрезков ОС и ОА,
т. е. 0J2 + JC2 = О/2 + IA2, но 07= 07 + 77 откуда JC2= 20? х
хТф/W, JC*=20j • Tl + JА2, и значит /0~= а2 —
у 2 (а2— х2)
Отсюда видно, что J0 > 0, если а > хуГ~2, т. е. L_C4D<~ и
J0 < 0, если L CAD > ~ . Это можно было предвидеть, ибо точ-
\а О лежит на оси окружности, описанной около треугольника
CAD\ эта ось параллельна JB и пересекает IJ со стороны / от-
носительно J, если центр <о окружности, описанной около треу-
гольника С A D, лежит со стороны точки А относительно CD, т.е. если
Л ти а
CAD<~2 • Наконец, С (АВ) D— 90°, если х= 38. Г. г/ = 2х2-
=2/х+/2+а2. Если у—т, то при /n>Z2+a2 задача не имеет решения,
/2 / Z\ Z2
при /п =— + а2 — одно решение ( -%], если -g+^cmcZ^a2—
два различных решения, -L (Z ± 2/n — Z2 — 2а2 ) (если т=/2+
+ а2, то xt = 0, *2 = О- 2°. На сегменте Г0, -g-1 У убывает от
Z2 ГI 1
а2 + Z2 до а2 +~2 ; на сегменте | -g-, 11 у возрастает от а2 +
Z2
+ .L. до a2 + Z2; графиком является дуга параболы. 4°. Сечение
гомотетично основанию с коэффициентом ~ ; значит р = — • 2 X
X X
Х(а,^1—х) = 2aJLt/ —2а. На сегменте [a, Z] р убывает от 21
2а2
до ; график — дуга гиперболы. 39. 1°. Сумма $1 + $а пло-
щадей окружностей (О, ОМ) и (0',0'М)) будет равна я(0М2 +
+ О'М2). Пусть 2 —середина ОО'. Тогда
ОМ2 + О'М2= 2QM2 + 22 О2 = 2 (QM2 + а2).
и условие $i + $2 = дает
к2—-2zaa
--------•
Если k2>2va2, то геометрическое место точек Месть окруж-
ность с центром 2 и радиусом 1/. Если &2=2тш2, то
г 2тс
имеется только одна точка М — середина 2 отрезка 00'. Если
470
р<2~а2 — не существует точек М, удовлетворяющих условию
задачи. 2°. Аналогично находим: если k2 > 8яа2, то геометрическое
место точек, общих сферам (S) и (S') (или геометрическое место
окружности, общей сферам SnS'), есть сфера с центром 2(02 =
= 2О7) и радиусом
1 / /г2 — 8гса2
V 8л:
Если ^=8<та2, имеется только одна точка, удовлетворяющая усло-
вию— это точка 2. Если k < 8жг2, то сферы (S) и (S') не имеют
общих точек. 3°. Если k = 16яа2, то = а2 и значит
геометрическое место точек, общих сферам (S) и (S'), есть сфера
(2) с диаметром 00'.
Если М есть точка, общая сферам (S) и (S'), то она лежит
и на (2), значит ОМ ± ОМ' и значит сферы (S) и (S') ортогона-
льны. 4°. Рассмотрим сечение пространственной фигуры плоско-
сти ОМО' и пусть (Д) — пересечение этой плоскости с плоскостью
(/7), касательной ЬМ к (£); прямая (Д) перпендикулярна к £1М
в точке М; пусть Н и Н'—точки, отличные от М, в которых (Д)
пересекает (S) и (S'); пусть Н и Н' — проекции О и О' на (Д).
Так как 2 —середина 00', то 7И— середина НН' и значит МН=
ss МН', а потому MN = МН', но МН и МН'—диаметры (С) и
(О'). Радиус МН каждой из окружностей (С) и (С') есть проекция
на (Д) отрезка 02 и поэтому этот радиус будет максимальным,
если (Д) || 00' иначе, если 2 М ± 00'.
Л Л
Свойство сфер с диаметром НН'. 0МН~ 00'М. С другой сто-
Л л
роны, пусть К — проекция М на 00'; тогда 00'М = 07И/Си,сле-
л л
довательно, 0MK—0MH. Отсюда следует, что ЬХ)МК = &0MH
и значит МК = МН. Сфера с центром М, проходящая через Н,
будет поэтому касаться прямой 00'. 40. Г. п = Cf = 10. 2°. Два
отрезка IG и I'G' пересекаются. Рассмотрим два случая: а) I и
/'—середины отрезков, не имеющих общих граничных точек;
в) I и /'—середины отрезков, имеющих общую граничную точ-
ку. а) Пусть / — середина АЕ, I'—середина CD; тогда О—центр
тяжести треугольника BCD и G'—центр тяжести треугольника
АВЕ. Точки G и G' расположены соответственно на медианах BI'
и BI и
ВО _ В#' _ 2
вг вГ з
------------------------------------------
Эти соотношения показывают, что вектор GG' получается из век-
тора Z'Z гомотетией ^В, . Значит, отрезки IG и I'G' пере-
секаются в точке О такой, что
о^ _ о^# = _2 .
о? дг з
471
б) Пусть / — середина АЕ, /' — середина BE, G — центр тяжести
треугольника BCD, G' — центр тяжести треугольника ACD и,
наконец, пусть g и g'— середины BD и AD. Точки G и G' ле*
к -> 2 —►
жат соответственно на Cg и Cg' и GG' = ygg' . С другой сто-
роны,
—> 1 —> —> 1 —>
gg'~~2 ВА, 1'1 =-% ВА,
следовательно,
gg' =
и значит
GG'=—-j-TT7.
Отсюда следует, что отрезки IG и I'G' пересекаются в точке О'
такой, что
очГ о7^ _ ___2
0’1* ОЧ? 3
Эта точка О' совпадает с точкой О, определенной выше, так как
IXG _ 0G
О'? оТ
3°. Отсюда и следует, что все 10 отрезков типа IG пересекаются
в одной точке О такой, что
оЗ_______2
о? ~ з
(для каждого из десяти отрезков). 41. Г. Длины ребра тетраэдра
SABS : S4 = АВ = ВС — a, SB = АС = а /"2, SC == а .
Величины двугранных углов
S (АВ) C — S (AC) В = С (SB) А = 90°, В (SA) C=S (ВС) А= 45°.
Для вычисления A (SC) В заметим, что середина О отрезка
ДСесть проекция В на АС. Поэтому, полагая A(SC) В — а, будем
иметь: пл. Д50С = пл. Д SBC cos а. Но пл. Д SOC = -^-пл.ДЗВС,
значит cos а = и а = 60°. 2°. Положение IJ относительно АВ и
SC; ДЗДС=ДЗВС, следовательно медианы AI и В/ этих треуголь-
ников равны между собой и значит //— медиатриса АВ. Далее
Д5ДВ=ДСДВ, значит, медианы SJ и CJ этих треугольников так-
же равны менаду собой и значит IJ — медиатриса SC. Итак, 1J ±
± АВ и IJ ± SC, значит, // — кратчайшее расстояние между АВ
И SC; и = ~т=-.
Г *
472
Кратчайшее расстояние между SA и ВС равно а. 3°. Площадь
а? а
четырехугольника MDEF. у — ах — х2; ymax = -j- при х = ^ ;
точка Л1—-середина АВ, MDEF— квадрат. 42. Г. Прямая ММ
остается параллельной плоскости (Р). Обозначим через s и t про-
екции В и А соответственно на (d) и (d'). Существует точка S на
(D) и точка Т на (D'), которые проектируются на плоскость (Р)
соответственно в точки s и t. Поскольку прямые (D) и (D') не
параллельны, точки S и Т лежат по одну (сторону от плоскости
(Р). Ориентируем прямую (D) от А к S, (ТУ) — от В к Т, (d)—
от А к s и (d') — от В к t. Треугольники АМт и BNn— равно-
бедренные и прямоугольные; они равны, так как равны их гипо-
тенузы. Значит, Мт — Мп п четырехугольник MNmn—прямоуголь-
ник. Отсюда следует, что MN 11 тп, значит, MN 11 (Р).
Геометрическое место точек Т. В связи с выбранными ориен-
тациями имеем: AM — ВМ = х, откуда Ат = Вп — Четырех-
у 2
угольник Ат Вп, следовательно, параллелограмм и середина i его
диагонали тп совпадает с серединой фиксированного отрезка АВ.
Так как точка i есть проекция на плоскость (Р) середины I от-
резка ММ, то точка I расположена на перпендикуляре к плоско-
сти (Р), проходящем через Z. А так как И = тМ , то точка [
описывает этот перпендикуляр целиком.
2°. Объем тетраэдра ABMN. Прямая П — медиатриса АВ и
МЛ/, значит, ось симметрии тетраэдра ABMN. Значит объем тет-
раэдра ABMN равен удвоенному объему тетраэдра АВТт. Но
объем тетраэдра ABl М равен объему тетраэдра АВТт, так как
М/n || //; следовательно, Мт\\АВТ. Окончательно. Объем АВММ
равен объему пирамиды с вершиной I, в основании которой лежит
параллелограмм Ат Вп. Ответ. Объем ABMN — -g- ах2.
Определение х таким образом, что противоположные ребра
тетраэдра ABMN равны.
Так как тетраэдр ABMN симметричен относительно прямой
//, то ЛВ = Ж ,и AN — ВМ. Равенство MN = АВ, будет иметь
место тогда и только тогда, когда тп- АВ, т. е. точка т сов-
падает с s, а п — с t. Отсюда находим х = а -/К. Тетраэдр АВММ
в этом случае есть тетраэдр ABST. Длины ребер этого тетраэдра:
ЛВ — ST = 2а, AS *= ВТ = ay 6 , AT = BS — 2a. Таким образом
все четыре грани тетраэдра ABST равны между собой, значит,
равлы и все высоты. Объем тетраэдра ABST. равен а3 и т. д.
Величина каждой высоты равна 2а 1/ 3°. Значение х, при
котором ребра АВ и MN ортогональны.
Ребра АВ и MN ортогональны тогда и только тогда, когда
АВ ± тп, т. е., если точка т лежит на медиатрисе АВ. Так как
— 2 —
ASB—половина равностороннего треугольника, то Ат ® AS»
х _ 2а
2а
7?
следовательно,
откуда х = -j а V 6
473
Ребра AN и ВМ также ортогональны.
Пусть С — точка, симметричная точке В относительно т. Так
как тА=тВ= тС = тМ, то треугольник СМВ — прямоугольный
(угол М—-прямой). Из равенств nA =Вт — тС и тМ = nN сле-
дует МС = NA, следовательно, NA || МС и значит NA ± МВ.
§ 6. Стереометрия с тригонометрией
1. 1 случай. Точки Р и Р' находятся по одну сторону от пло-
скости окружности (С). Спроектируем окружность (С) из точки Р'
на плоскость экватора, т. е. в плоскость, перпендикулярную
к отрезку РР' в его середине р. В силу свойств стереографиче-
ской проекции получим в проекции снова окружность (C'J, центр
s которой есть проекция вершины S конуса, описанного около
данной сферы и касающегося ее по окружности (С). Пусть П —
точка, в которой перпендикуляр, опущенный из р на плоскость
окружности (С) пересекает данную сферу. Рассмотрим большой
круг, проходящий через Р, П и Р', и пусть он пересекает (С)
в точках М и N, а экватор —в точках Q и Тогда проекции
из точки Р' точек М и N на плоскость экватора будут точки т
и п, являющиеся диаметрально противоположными точками ок-
ружности (С'). Проекции а и Ъ точек А и В будут пересечения
прямых Р'А и Р'В с рк, где к —точка пересечения (Г> с эква-
тором.
Из треугольников bpP' и арР' имеем:
,я « Р« k- 3 Pb
tg 2 • tg 2 -
откуда
« 8 pa-pt
tg 2 tg 2 ~ ’
Ho pa • pb есть степень точки p относительно окружности (Cz) и
значит эта степень равна pt2, где pt длина касательной, прове-
денной из р к окружности (С'). Пусть далее pt пересекает эква-
тор в точке к. В силу свойств стереографической проекции ок-
ружность, проходящая через точки Р, к' и Р', касается окруж-
ности (С) (в точке Т) и так как
tgpP'f = = tg —,
то
а I РрТ
tg “2 tg = tga —= const,
так как если фиксирована окружность (С), то фиксирована и точ-
ка Т прикосновения к ней касательной окружности, проходящей
через Р и Р'.
474
Случай, когда полюсы Р и В' расположены по разные сторо-
ны от плоскости окружности (С) предоставляется рассмотреть чи-
ос Р Р ргГ
«гателю. В этом случае tg у tg-g-= — tg2 —g—; рассуждения ме-
няются принципиально ввиду того, что точка р будет теперь внутри
окружности (С'). Следует рассмотреть хорду tt' окружности, пер-
пендикулярную тп. 2. 2°. а8; полная поверхность 4а2. 3°. А'С'~
л т/" 9 /— 2 cos О
g= ~CQS-g- = ДУ 2 etgа. 4°. tg2з= 121со-2 0, в случае cosO =
______ яс
== у 2 — 1, а = -g-. 3. I. cos а = cos b cos c -f“ sin b sin c cos Д.
JI. sin A =
21/sina+ & + c sin-.a+& + c sin?Z±+ c Sjna + b~£.
V________2__________2 sin 2____________2
sin b sin c
Ш Sln = 5^П SS
sin a sin b sine
1 — cos2 a — cos2 b — cos2 c -|- 2 cos a cos b cos c , sin A
~ sin2 a sin2 b sin2 c • *V. sin a= sin BX
d p 9/?
XsInK. 4. 1°. И»-,- ДВ_ —,Лвт|„-
те ,_
= 27?, при a = j ; при этом О А ~ ОВ = R у 2 . 2°. Геометриче-
ское место точек, Д' и В'. Пусть До и Во—граничные положения
точки М, До— точка плоскости хОг, соответствующая До, BQ —
точка плоскости yOzt соответствующая Во. Геометрическое место
точек Д' есть луч с началом в точке Д^, лежащий на биссек-
трисе угла xOz. Геометрическое место точек В' есть луч с нача-
лом Bq, лежащий на биссектрисе угла уОг.
Величина угла А'ОВ'. • Д' ОВ' = A'q 0B'Q ; но ДДо OBq
, , те
равносторонний, следовательно / До 0BQ = у. 3°. Изучение то-
чек I. Прямая Д'В' может быть параллельна плоскости хОу лишь
/ те \
в случае одного положения точки ЛЦа == -gj . Исключая этот слу-
чай, и обозначая через / точку пересечения Д'В' с хОу, заметим
прежде всего, что I пъжпт на ДВ, являющейся проекцией Д'В'
на хОу. Далее,
IA АА' ОА
IB ~ ВВ'*~ ОВ ’
Таким образом точка I расположена вне отрезка ДВ на прямой
АВ и делит этот отрезок пропорционально сторонам О А и ОВ
треугольника ОДВ, а потому лежит на биссектрисе внешнего уг-
ла О треугольника ОАВ. Пусть касательные к рассматриваемой
четверти окружности пересекают эту биссектрису в точках и
475
/2. Через точку I этой биссектрисы можно провести касательную
к четверти рассматриваемой окружности тогда и только тогда
когда окружность с диаметром 01 пересекает (К), значит, точка/
должна лежать вне отрезка /х /2. В таком случае касательная /Л1
к (К) существует, пересекает Ох и Оу в точках А и В, отправь
ляясь от которых мы построим точки А' и В'; прямая А'Ве
пересечет плоскость хОу в выбранной точке К, ибо прямая А'В\
с одной стороны, должна пересечь плоскость хОу в точке биссек-
трисы внешнего угла О треугольника АОВ, с другой стороны, в
точках прямой АВ. Окончательно: геометрическое место точек /
есть биссектриса внешнего угла хОу, за исключением отрезка
/1/2.
Линейный угол двугранного угла А (01) А'. Плоскость, про-
ходящая через О перпендикулярно О/, содержит биссектрису OD
угла хОу и прямую Ог. Это, следовательно, плоскость-медиатриса
отрезка Л0В0, следовательно, и Л0В0; она проходит поэтому
через биссектрису угла А'ОВ'. 4°. Вычисление угла А' О В'.
А'В'2 = ОА’* + 0В'* — 20 А' • ОВ' cos А'ОВ' = AB2 + (AA' —
— ВВ')2 и так как О А' = ОА )/~2 , ОВ' = ОВ -^~2 , то
2и2 + 2у2 — 4wy cos А 'ОВ' —и2 + + (и — v)a; отсюда
2uv (1—2 cosA'OB*) = 0; так как u gh 0 и и Ф 0, то
1 71
cosЛ'ОВ'= g-, Л'ОВ'=-^.
ЛИТЕРАТУРА
Арифметика
1. Андронов И. К. и Б р а д и с В. М. — Арифметика. Книга
представляет собою обстоятельное изложение курса элемен-
тарной арифметики; предназначена как пособие для учителей.
Книга может быть прочитана с пользой учащимися старших
классов средней школы, готовящимся к экзаменам в высшие
учебные заведения.
2. Б рад ис В. М.— Теоретическая арифметика. Книга пред-
назначена как пособие для пединститутов.
3. Филичев С. В. и Чекмарев Я- Ф. — Сборник задач
по арифметике. Пособие для педагогических училищ.
Алгебра
1. Новоселов С. И. — Специальный курс элементарной ал-
гебры, «Советская наука*, 1958. Книга представляет собою
подробный курс элементарной алгебры, предназначенный для
студентов университетов и педагогических институтов. Изло-
жение дано на высоком научном уровне. Книгу можно реко-
мендовать, в первую очередь, для поступающих на механико-
математические, физические и физико-математические факуль-
теты университетов и педагогических институтов.
2. Новоселов С. И. — Алгебра и элементарные функции.
Учпедгиз, 1954. В книге изложены почти все принципиаль-
ные вопросы школьного курса алгебры и тригонометрии.
Книга написана на высоком научном уровне и хотя предназ-
начена как пособие для учителей, но может быть использо-
вана учащимися старших классов средней школы.
3. Моденов П. С.—Сборник задач по специальному курсу
элементарной математики, «Советская наука*, 1957. В книге
дано большое число задач и вопросов (примерно 10000) по
всем разделам элементарной математики; даны многочислен-
ные образцы методов решения.
4. Пржевальский Е. — Сборник алгебраических задач.
Учпедгиз, 1941. Книга несколько устарела, однако в ней со-
держится большой набор задач на тождественные преобразо-
вания, на решение уравнений и неравенств.
5. Барыбин К. С. и Исаков А. К*—Сборник задач по
элементарной математике. Пособие для учителей восьмых
классов. В сборнике дан хороший заданный материал» распо-
477
ложенный в последовательности, предусмотренной школьное *
программой.
6. Баранова И. В. и Ляпин С. Е.— Задачи на доказа-
тельство по алгебре. Пособие для учителей. Учпедгиз, 1954.
Книга может оказать существенную помощь при изучении
темы «Неравенства».
7. Давыдов А. К-— Сборник задач по алгебре и элементар-
ным функциям. Пособие для учительских и педагогических
институтов. Книга приспособлена к теоретическому курсу
С. И. Новоселова. Алгебра и элементарные функции.
8. Моденов П. С. — Сборник задач по математике (с анали
зом ошибок, допущенных поступавшими в высшие учебны,
заведения). «Советская наука», 1954. Книга содержит боль
шой набор примеров и задач по всем разделам элементарной
алгебры. Автор дает указания по ряду принципиально важ-
ных вопросов, связанных с решением и исследованием при-
меров и задач. Этот материал окажет существенную помощь
при самостоятельном изучении предмета.
9. Обер П. и Папелье Г. — Упражнения по элементарной
алгебре (перевод с французского). Учпедгиз, 1940. Книга со-
держит богатый заданный материал по следующим разделам'
тождественные преобразования рациональных и иррациональ-
ных выражений, решение и исследование уравнений. В сбор-
нике содержится много текстовых задач. Упражнения и за
дачи снабжены подробными решениями. Весьма тщательно
выполнены исследования решений примеров и задач с пара-
метрическими данными. Книга окажет большую помощь пр’
самостоятельном изучении элементарной алгебры.
Геометрия
1. Перепелкин Д. И.—Курс элементарной геометрии, т. J
Геометрия на плоскости. Гостехиздат, 1948; т. II — Геоме
рия в пространстве. Гостехиздат. 1949. В книге дано подро*
ное и высоконаучное изложение элементарной геометр и.
Книга предназначена для студентов педагогических инет:
тутов, но может быть рекомендована также готовящимся
экзаменам в высшие учебные заведения, в первую очередь
поступающим на механико-математические, физические и фи
зико-математические факультеты университетов и пединсти
тутов.
2. А дам ар Ж- — Элементарная геометрия, т. Г — Планимет-
рия. Учпедгиз, 1952; т. II — Стереометрия. Учпедгиз, 1952.
Книга является наиболее полным курсом элементарной гео-
метрии. Может служить для справок. Готовиться по ней к
экзаменам в высшие учебные заведения трудно, ввиду очень
большого объема. Книга содержит, помимо очень большого
фактического материала по геометрии, богатый набор инте-
ресных задач.
3. Делонэ Б. Н. и Житомирский О. К.—Задачник по
геометрии. Гостехиздат, 1949. Очень интересная книга, со-
держащая помимо большого числа удачно подобранных задач:
и решения к ним. Очень хорошо представлены задачи по
стереометрии.
478
Александров И. И. — Геометрические задачи на построе-
ние и методы их решения. Учпедгиз, 1954. В этой книге чи-
татель найдет много трудных и интересных задач на построе-
ние (на плоскости); в книге изложены и методы решения.
Книга очень полезна для развития навыков геометрии, од-
нако в ней много трудных задач, решение которых потребу-
ет большого напряжения.
Д з ы к П. Г. — Сборник геометрических задач по комбинации
геометрических тел. Учпедгиз, 1936. В книге предложены
задачи по стереометрии, в основном на вычисление. Решение
почти всех задач требует хорошего пространственного пред-
ставления, так как комбинации геометрических тел, рассмат-
риваемых автором, почти всегда сложны. Для решения мно-
гих задач нужно предварительно производить (во многих
случаях) достаточно сложные построения в пространстве.
Адлер А. — Теория геометрических построений. Учпедгиз,
1940. Классическое руководство по теории геометрических
построений.
Тригонометрия
Новоселов С. И. — Специальный курс тригонометрии,
«Советская наука», 1957. В книге дано подробное и весьма
полное изложение вопросов тригонометрии. Кинга написана
на высоком научном уровне и может быть, в первую очередь,
рекомендована, поступающим на механико-математические,
физические и физико-математические факультеты университе-
тов и пединститутов.
Новоселов С. И. — Обратные тригонометрические функ-
ции. Учпедгиз, 1947. Книга содержит подробное изложение
теории обратных тригонометрических функций, а также со-
держит много задач по этому вопросу. Ко многим задачам
даны подробные решения.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I — Задачи, предлагавшиеся на конкурсных эк-
заменах в высшие учебные заведения . . .
Глава II — Упражнения, задачи и вопросы к программе
по математике для поступающих в высшие
учебные заведения.....................................
§ 1. Действительные и комплексные числа ..........
§ 2. Преобразование алгебраических выражений . . .
§ 3. Уравнения. Неравенства. Функции и их графики .
§ 4. Прогрессии. Суммирование.....................
§ 5. Логарифмы....................................
§ 6. Тригонометрические уравнения, неравенства и
тождества .........................................
§ 7. Трансцендентные уравнения и неравенства ....
Глава III — Анализ решения задач и наиболее распро-
страненных ошибок ....................................
§ 1. Вопросы исследования.........................
§ 2. О методах решения задач в геометрии..........
§ 3. Обобщение задач .............................
§ 4. Синтез разделов элементарной математики . . .
§ 5. Техническая подготовка.......................
§ 6. Задачи с параметрами.........................
§ 7. Логическая сторона вопросов решения уравне-
ний и систем уравнений ............................
§ 8. О задачах на геометрические места точек ....
§ 9. Анализ решения трудной задачи, в которой син-
тезируются методы алгебры, геометрии и триго-
нометрии ..........................................
§ 10. Вопросы определений..........................
§ И. Обратные тригонометрические функции..........
§ 12. Логические ошибки............................
§ 13. Об оформлении письменных работ по математике
Глава IV — Задачи повышенной трудности ...............
§ 1. Алгебра ......................................
§ 2. Алгебра с тригонометрией......................
§ 3. Планиметрия...................................
§ 4. Планиметрия с тригонометрией .................
§ 5. Стереометрия .................................
§ 6. Стереометрия с тригонометрией ................
Ответы................................................
4
92
92
97
99
105
107
108
111
114
116
116
147
156
159
159
166
181
187
203
206
213
214
216
216
228
230
247
263
291
294
480
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA