Text
                    В.И. Голубев
РЕШЕНИЕ
СЛОЖНЫХ
И НЕСТАНДАРТНЫХ
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ИЛЕКСА


В.И.Голубев РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ И НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ИЛЕКСА Москва 2007
Рецензенты: Доктор физико-математических наук профессор, ведущий научный сотрудник Математического института им. В.А.Стеклова РАН Н.П. Долбилин. Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой элементарной математики МПГУ В.А. Смирнов. Голубев В.И. Г62 Решение сложных и нестандартных задач по математике.— М: ИЛЕКСА, 2007. — 252 с: ил. ISBN 978-5-89237-180-3 Пособие содержит задачи по алгебре и началам анализа повышенной сложности. Основные варианты решения задач рассматриваются с подробными комментариями. Объяснения к решениям задач подкрепляются упражнениями. Акцент сделан на технологии решения нестандартных задач, демонстрации таких эффективных методов, как метод замены множителей, и др. Описаны малоизвестные технические приемы, используемые при решении задач для обеспечения высокого темпа продвижения к ответу. Даются развернутые комментарии и указания на возможность решения очень трудных задач примитивными, а потому громоздкими методами. Цель таких материалов — снять неуверенность у учеников и абитуриентов перед попыткой овладеть методами решения нестандартных задач. Пособие рассчитано на учителей и учащихся общеобразовательных школ, студентов педагогических вузов, абитуриентов. О Голубев В.И., 2007 ISBN 978-5-89237-180-3 © ИЛЕКСА, 2007
От автора Эта книга предназначена, в первую очередь, ученикам 8-11 классов, желающим продолжить свое образование в вузах, при поступлении в которые необходимо сдавать экзамен по математике. Во вторую очередь книга предназначена учителям, и особенно тем, кто готовит абитуриентов к вступительным экзаменам по математике. Автор надеется, что любопытный материал найдут в этой книге и те, кто составляет задачи для различных математических соревнований. Текст всех глав доступен пониманию даже восьмиклассника, но нужно приложить серьезные усилия любому читателю для овладения материалом книги (под овладением информацией мы понимаем способность ее изложения с любой степенью подробности без неоправданных пауз). Это обусловлено тем, что основная часть задач, рассмотренных в книге, взята из вариантов вступительных экзаменов на различные факультеты вузов, предъявляющих высокие требования к знаниям по математике. Книга не является сборником задач и упражнений. Основной акцент в этой книге сделан на изложение малоизвестных эффективных технологий решения нестандартных задач, таких, например, как метод трех точек, метод замены множителей, информация по которым впервые представлена не в периодической печати. Естественно, что объем книги не позволяет раскрыть все нюансы и тонкости решения нестандартных задач по всем темам школьного курса математики. Главная цель книги состоит в снятии комплекса страха у абитуриентов и учителей при попытках овладения идеями и методами решения нестандартных задач. Поэтому в книге уделяется большое внимание очень подробному изложению всех аспектов решения задач. Материал книги составляет лишь незначительную часть многочисленных лекций автора для школьников и преподавателей в различных регионах страны. 3
Я очень благодарен, к сожалению, ушедшему от нас Игорю Федоровичу Шарыгину за многолетнее сотрудничество и постоянное искушение работать на благо просвещения. Особая благодарность многочисленным друзьям и коллегам, в беседах с которыми автор существенно ликвидировал собственную «безграмотность» в самых неожиданных темах элементарной математики. И, наконец, автор выражает благодарность за помощь в подготовке рукописи Л.Н. Ерганжиевой и К.К. Мосевичу — за очень тонкие и глубокие замечания по идейному содержанию книги. Дорогой читатель, книгу можно читать с любой главы, но подобное удобство, к сожалению, предопределило возможные повторы, за что заранее приношу свои извинения. Однако совет автора состоит в предложении заново потом прочитать всю книгу с самого начала. Успеха вам и удачи! В.И. Голубев 4
Глава 1 Задачи с параметром На начальной стадии знакомства с указанной темой возникает естественный вопрос о толковании термина «параметр». Мы в дальнейшем будем исходить из следующего определения: Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в данной задаче считается фиксированным. Некоторые авторы пособий для поступающих толкуют параметр как управляющую переменную. Смысл того и другого содержания термина «параметр» легко обнаруживается на следующем примере. Пример. Решить уравнение ^ =Р. (О Независимость переменной р состоит в том, что ее значение не обязано быть неотрицательным числом в силу равенства неотрицательной величине \[х . А «управляемость» уравнением переменной р состоит в том, что мы обязаны ей «подчиниться», каждый раз указывая ответ задачи в зависимости от значения этой переменной. Поэтому ответ уравнения (1) записывается, например, следующим образом: если р < О, то решений нет; еслир > 09тох=р2. Особые споры вызывает термин «допустимое значение параметра». Как и в случае толкования термина «параметр», будем исходить из следующего определения: Определение. Допустимым значением параметра называется такое его значение, при котором область определения данной задачи есть непустое множество. Например, для уравнения (1) множество допустимых значений параметра есть вся числовая ось, как и для уравнения yjp-х = р. А для уравнения yfp = Jx - p множество допустимых значений параметра есть луч [0; +оо). Основной класс задач с параметром составляют уравнения, неравенства, системы относительно одной неизвестной и с одним па- 5
раметром либо задачи, к ним сводимые (что далеко не всегда очевидно). Наша цель— познакомиться с техникой решения указанных задач, не привлекая пока геометрические интерпретации. Такая постановка цели позволяет «обобщить» стандартные процедуры курса алгебры и приобрести необходимые навыки. Например, после решения неравенства (9 - хг){1 + х) < О методом интервалов подобным образом решить неравенство (р-х2)-(р + х-2)<0. Переходим к основной части занятия. Развертка вдоль оси параметра Задача 1. Для каждого значения параметра/? решить уравнение Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений р - х2 = 0 или /? + х - 2 = О, то есть х2 = /? илил: = 2 -/?. Очевидно, что если р < О, то х = 2 - /?, а если р > О, то х = ± у[р или л: = 2-р. Ответ: х = 2 -р при/? < 0; х = ±у[р илих = 2 -р при/? > 0. Комментарий 1. Масса сборников задач и пособий для поступающих именно в подобной форме представляют ответы аналогичных задач. Формально требование об объявлении решений уравнения для каждого допустимого значения параметра соблюдено. Однако, например, при/? = 1 у]р = 2 -/?, поэтому мы при некоторых значениях параметра невольно повторяемся, что многими членами приемных комиссий большинства вузов страны считается недопустимым. Поэтому будем придерживаться следующего правила записи ответа: Правило записи ответа. В ответе для любого допустимого значения параметра все перечисляемые значения искомой переменной должны быть различны. Для соблюдения сформулированного правила и предлагается один из возможных приемов, называемый разверткой вдоль оси 6
параметра. Продемонстрируем этот прием для формирования ответа задачи 1. При р < О у нас единственное решение, что, естественно, уже обеспечивает соблюдение объявленного правила записи ответа. Прир > О х--у[р илил:= yfp ипих = 2-р. Первый шаг. Находим все значения параметра, при которых объявленные корни уравнения равны между собой: - у[р = у[р при Р = ®1~\[р =2-рпри/7 = 4и у[р = 2-/7 при/7 = 1. Второй шаг. «Разворачиваем» полученную информацию вдоль оси параметра (рис. 1). О 1 4 х- Jp 0 f г- "Л 0 1 л \Р \ Nx(p) 1—; / 1 3- / v \ / \—з- / \, X 4 \ 1 у Р -3 Рис. I Последняя строка объявлена для контроля в данной задаче и очень важна в задачах на число решений при данном значении параметра, которое и обозначается как Nx(p) (количество решений относительно х при данном значении параметра р). Выделенными точками для /7 = 0, р = 1 и/7 = 4 указываются равенства, определяющие одно и то же значение корня. 0 обозначает отсутствие соответствующего корня. Для любого допустимого значения параметра количество Nx(p) корней уравнения есть не что иное, как число пересечений вертикальной прямой с объявленными строчками корней уравнения. Эта вертикальная прямая, естественно, должна проходить через точку /? на оси параметра. Третий шаг. Объявляем ответ. Строка числа корней позволяет выявить все различные ситуации: 1) при р < 0 (Nx(p) =1) 2) при р = 0 (Nx(0) = 2) 3) х = 2 -р\ ) jc = 2 или л: = 0; 3) при 0 <р < 1, \<р < 4,р > 4 (Nx(p) = 3) X = 2-/7 ИЛИ Х = ±у[р\ 4)прир=1 (Nx(\) = : 5)прир = 4(Л^(4) = : х = -1 или х = 1; х = -2 или jc = 2. 7
Замечание. Для значений р = 0, р = 1 и р = 4, то есть для конкретных значений параметра, разумно корни вычислять по объявленным для них формулам. Комментарий 2, Многие читатели, скорее всего, пользуются своими процедурами формирования правильного ответа. Автор нисколько не настаивает на обязательной развертке полученной информации вдоль оси параметра, а советует ею пользоваться, так как она снимает напряжение при решении задачи и реализует серьезный контроль. Упражнение 1. Не используя графические представления (ради быстрого приобретения необходимых навыков), для каждого значения параметра/? найдите число различных корней уравнения х-р = 2.|2|х|-р2|. Перейдем теперь к демонстрации обобщения стандартного метода решения неравенств — метода интервалов. Метод интервалов в задачах с параметром Задача 2. Для каждого значения параметра р решить неравенство {р -х2)(р + х - 2) < 0. Решение (методом интервалов). При наличии нелинейных множителей рекомендуется, если это возможно, разложить их на множители. Поэтому если р < 0, то при всех х множитель р - х2 отрицательный. Разделив в этом случае обе части неравенства на р - х2, получаем откуда имеем первую часть ответа: х>2-/?прир<0. (2) Если р > 0, то исходное неравенство представимо в виде которое после умножения обеих частей на -1 приводит к стандартному для метода интервалов виду (x-xi)(x-x2)(x-x3)>09 (3) Далее рекомендуется расположить величины jci, *2 и х3 по возрастанию. И именно здесь появляется первая проблема, поскольку 8
в зависимости от параметра величины лгь х2 и *з различным образом располагаются по возрастанию. Первый шаг. Находим значения р, при которых указанные величины попарно равны: jci = х2 при/? = О, Х\ =;сз прир = 4, х2 = х$ при/?= 1. Второй шаг. Для остальных значений параметра (р > 0) х\, х2 ихз есть различные числа, которые надо расположить строго по возрастанию. Очевидно, что при р > 0 -у[р < у[р , то есть jci < х2 при всех р > 0. Осталось выяснить, где на оси переменной л: относительно величин х\ и х2 располагается хз. Для этой цели можно (см. ниже комментарий 3) непосредственно рассмотреть все возможные случаи (р > 0, р Ф 1, р ф 4): случай 1\х$<х\ < х2 <=> лгз < х\; случай 2: х\ < х^ < х2\ случай 3: Х\ <х2<х^<=>х2< Хз. То есть относительно р необходимо решить неравенства 2-р<-у[р (случай 1), у[р < 2 - р (случай 3) и систему нера- JVp2p, венств < (случаи 2). [2-р<у[р Все неравенства квадратные относительно >//?, что позволяет (проделайте самостоятельно) быстро установить: Хг<Х\ <л:2прир>4; jci < хз < х2 при 1 <р < 4; Х\ < Х2 < ДГз ПрИ 0 <р < 1. Комментарий 3. Поскольку jci, x2 и хз есть непрерывные функции отр при р > 0, то для каждого р из промежутков (0; 1), (1; 4), (4; +оо) устанавливается свое расположение величин х\, х2 и хъ по возрастанию. Это расположение выявляется прямым счетом для какого-нибудь значения параметра/?. Например: 1 11 Л 3 4 2 2 4 откуда хх < х2 < хз, и, следовательно, для всех р е (0; 1) х\ < х2 < x3. Последнее рассуждение достаточно трудное, и оно приводится с целью ознакомления и возможного использования всеми желающими. 9
Полученную на первом и втором шагах информацию можно свести в единую таблицу, позволяющую затем сразу объявить ответ задачи. Таблица 1 2 3 4 5 6 /> = 0^ 0<р< 1 /> = 1 =! 1<р<4 р = 4 = 4<р = >*,=JC2<*3 =>ЛГ1<ДГ2<ЛГ3 >хх<х2 = хъ => ДГ1 < JC3 < Х2 >JC,=JC3<X2 >*3<*l<*2 . Третий шаг. Для 1-6 таблицы объявляем ответ неравенства (3) согласно стандартному методу интервалов. Если р = 0, то (3) <=>(х- х\)2(х - *з) > 0 <=> х > х3; если 0<р< 1,то f3) <=> (х - jc )(х - х Ул: - х ) > 0 <=> I если/?= 1,то если 1 <р<49 то если/? = 4, то (3) о (л: - дгО2(л: - х2) > 0 <=> х > х2; если р > 4, то [X < JC < (3)' < х < Четвертый шаг. Объявляем с учетом первой части (2) и информации, полученной на третьем шаге, ответ исходной задачи. Ответ: при р < 0 х € (2 -/?; +оо); прир = 0дг е (2;+оо); при 0 </? < 1 х е («7р; Vp) и (2 -/>; 10
при /7=1 jce(-l;l)U(l;+oo); и при р = 4 х е (2; +оо); прир>4 хе {l-p\-y[p} U Теперь легко обнаружить для пар р < 0 и /? = О, 0 < р < 1 и р = 1 то, что ответ можно представить в одном варианте: прир < О х € (2 -р; +оо); при 0<р < 1 л: е (-л/р; ^/р) U (2 -р; +<*>). Естественно, это делать не обязательно. Комментарий 4. Мы специально очень подробно расписали решение задачи 2, чтобы читатель мог легко и без собственных записей осознать это решение и сам для себя принять на вооружение те или иные приведенные сведения. Задача {вступительные экзамены в МГУ им. М.В. Ломоносова, химический факультет, 1987). Найти все значения /?, при каждом из которых множество решений неравенства (р - х2)(р + х - 2) < О не содержит ни одного решения неравенства х2 < 1. Комментарий 5. Данная задача застала врасплох многих абитуриентов, прежде всего постановкой вопроса, а не наличием параметра в условии. Школьник в официальном учебнике не найдет задач, в условиях которых присутствуют предложения, содержащие отрицания. То есть в первую очередь абитуриент химического факультета столкнулся с логическими трудностями, и возник естественный вопрос: «А с чего начинать решение?». Рекомендации начинающему. 1. При решении задач с параметром в ситуации неопределенности, с чего стартовать, разберитесь с конкретным значением параметра. То есть проведите эксперимент, выбрав один-два удобных для обработки значения параметра, и ответьте на вопрос задачи (в нашем случае: искомые они или нет?). После этого попробуйте найти алгоритм решения задачи. 2. Попробуйте переформулировать задачу в привычную для себя постановку. Решение первое («прямое», или «не мудрствуя лукаво»). Решаем неравенство (р-х2)(р + х-2)<0. (4) 11
Поскольку мы уже решили задачу 2, то воспользуемся ее ответом, рассмотрев соответствующие случаи. Случай 1. р < 0. Тогда неравенство (4) равносильно тому, что х е (2 - р; +оо). Неравенство х2 < 1 равносильно требованию *€[-1;1]. Нам нужно, чтобы луч (2 - р\ +оо) не имел общих точек с отрезком [-1; 1]. Поскольку луч (2 - р\ +оо) направлен вправо, то он не имеет общих точек с отрезком [-1; 1] тогда и только тогда, когда начало луча находится не левее (так как луч открытый (!)) правого конца отрезка. Получаем, что в нашем случае (р < 0) осталось решить систему Ответ случая 1: р < 0. Совет. Поскольку решение задачи с параметром сопровождается большим объемом записей, то все промежуточные ответы для объявленных случаев выписывайте отдельной строкой, чтобы при формировании окончательного ответа не потерять из виду его отдельные фрагменты и в случае необходимости успешно апеллировать. Случай2.р = 0. (р-х2)(р + х-2)<0<=>х е (2; +оо). Как и в случае 1, устанавливаем, что значение/? = 0 есть искомое. Ответ случая 2: р = 0. Случай 3. 0 <р < 1. При данных значениях параметра (4) о х е (-^Р; 4р ) U (2 - р; +оо). И так как интервал (-у[р'9 \[р) всегда имеет общую с отрезком [-1; 1] точку х = 0, то все значения р из промежутка (0; 1] не являются искомыми. Ответ случая 3: 0. Случай 4. 1 <р < 4. В этой ситуации (4)<=>хе (-у[р;2-р) и (>/р; + оо). При указанных значениях параметра интервал у-у[р'>2-р\ содержит только отрицательные числа, а луч (vP;4*00) — только 12
положительные. Поэтому отрезок [-1; 1] при 1 <р < 4 не имеет общих точек с множеством решений неравенства (4) тогда и только тогда, когда левый конец отрезка [-1; 1] располагается не левее правого конца интервала [-у[р\2-р\ и одновременно правый конец отрезка [-1; 1] располагается не правее начала открытого луча (V/>;+ <*>). Откуда для искомых значений параметра из промежутка (1; 4) получаем систему <=>3<p<4. Ответ случая 4: 3 < р < 4. Случай 5. р = 4. (4)ох€ (2; +оо). Ответ очевиден. Ответ случая 5: /7 = 4. Случай 6. р > 4. Внимательный читатель обязан усмотреть полную аналогию данного случая случаю 4. Поэтому получаем для искомых значений параметра систему: 1<у[р, <=>/?> 4. р>4 Ответ случая 6: р>4. Объединяя (!) ответы всех рассмотренных случаев, получаем ответ задачи. Ответ: р < 0 или/? > 3. Комментарий 6. Разветвление решения задачи типично для задач с параметром. Основная проблема в этой ситуации организационная: безошибочно объявить все случаи и не запутаться в изложении на бумаге. Комментарий 7. Приведенное решение задачи, к сожалению, требует трудоемкой работы (что плохо) и мало знаний (что хоро- 13
шо (?)). Здесь уместно привести известный афоризм: «Мало знаешь — много пишешь». Поэтому приведем другое решение, по-прежнему не требующее графических представлений и очень эффективное по темпу продвижения к ответу. Решение второе. Поскольку для любого х из отрезка [-1; 1] не выполняется неравенство то это означает, что для любого jc из отрезка [-1; 1] выполняется противоположное по смыслу неравенство (p-jc2)(p + x-2)>0. (5) Неравенство (5) можно толковать как квадратное относительно переменной /?, то есть смотреть на него как на неравенство Л)>О, (6) Поскольку нас интересуют значения х из отрезка [-1; 1], то, чтобы относительно параметра решить неравенство (6), нам только при указанных значениях х необходимо определить взаимное расположение на оси параметра чисел р\ ир2. Но множество значений х2 на отрезке [-1; 1] есть отрезок [0; 1], а множество значений 2-х на [-1; 1] есть отрезок [1; 3], то есть Е(р{) = [0; 1] и Е(р2) = [1; 3]. Откуда следует, что для всех х е [-1; 1] рх < р2. Поэтому при х е [-1; 1] неравенство (6) равносильно совокупности р^р\ или р > рг. Откуда для искомых значений параметра р либо р < min х2, *€[-!: I] либо р > max(2-jt). То естьр < 0 или/? > 3. Ответ: р < 0,р > 3. Внимание! На последнем этапе мы воспользовались так называемым правилом минимакса: Правило 1. Величина р меньше (не больше) любого значения непрерывной на отрезке функции тогда и только тогда, когда эта величина меньше (не больше) минимального значения данной функции на данном отрезке: Ух е [а; Ь] р < Д) р ( 14
Правило 2. Величина р больше (не меньше) любого значения непрерывной на отрезке функции тогда и только тогда, когда эта величина больше (не меньше) максимального значения данной функции на данном отрезке: Vx e [a; b] p (> fix) <=>/? (> max fix). Советуем посвятить этим правилам отдельные занятия, на которых в виде упражнений разобрать случаи конечных наборов одноименных неравенств в системах и совокупностях. Комментарий 8. Метод, которым было получено второе решение, принято называть методом решения относительно параметра. Этот метод далеко не всегда реализуется в задачах с параметром. Но там, где удается его использовать, он работает очень эффективно. Ясно, что этот метод предъявляет более высокие требования к абитуриенту в его ориентации в школьной программе. Упражнение 2. Верно ли, что последняя задача допускает следующую равносильную формулировку: При каких значениях параметра/? система неравенств не имеет решений? Упражнение 3. Верно ли, что эту же задачу можно переформулировать и таким образом: При каких значениях параметра р система неравенств \х2>\ не имеет решений? Упражнение 4. Для любого р найдите решения системы U2>i. 15
Послесловие Еще раз обращаем внимание читателя на необходимость безусловного толкования понятий параметра, его допустимого значения, прежде чем приступать к решению задач с параметром. Только в этом случае вас не будет смущать разветвление решения, и придет полное понимание правила записи ответа в задачах общего вида. Напоминаем, что при очень серьезных затруднениях разумно в задачах с параметром зафиксировать значение параметра, выбрав наиболее удобное его значение, и найти решение полученной задачи без параметра. Несколько подобных попыток могут подсказать вам правильный путь решения исходной задачи. Также напоминаем, что самые трудные решения задач с параметром есть решения аналитические, без привлечения графических интерпретаций. Именно поэтому наибольшее время надо посвятить аналитическим решениям. Многолетняя работа автора с абитуриентами указывает на тот факт, что владение аналитическими методами решения задач с параметром предопределяет очень легкое и быстрое овладение графическими методами решения, но не наоборот. Более того, смеем утверждать, что если задача допускает решение графическими методами, то она имеет и аналитическое решение, а обратное неверно. Опровержение этого утверждения автор в своей практике не встречал. 16
Глава 2. Графические методы решения задач с параметром Вспомогательные сведения. Метод областей Метод областей — это аналог метода интервалов решения неравенств с одной переменной при решении неравенств с двумя переменными. Рассмотрим подробно все шаги решения методом областей следующей задачи. Задача. В координатной плоскости переменных х и р изобразить множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (р-х2)(р + х~2)<0. (1) Решение. В подобных ситуациях принято в начале на первом шаге изображать границы областей, то есть точки М(х\ р)9 для которых левая часть неравенства (1) равна нулю. Первый шаг. Построение границ. <=> р - х2 = 0 или р + х-2 = 0<?> <=> р = х1 или р = 2 - л;. Первое равенство в плоскости (х; /?) задает параболу, а вто-, рое — прямую. Как парабола, так и прямая разбивают координатную плоскость (х; р) на две области. Для всех точек каждой области соответствующий множитель левой части неравенства (1) (р - х2 для параболы и р + х - 2 для прямой) имеет фиксированный знак, который нам и необходимо в дальнейшем определить. Комментарий 1. Нередко ошибочно оси координат включают в границы областей. Поэтому рекомендуем: 1) оси координат изображать тонкими линиями; 2) жирными линиями — множества точек, в которых нестрогое неравенство обращается в равенство; 3) пунктирными линиями — все остальные линии (границы областей существования неравенства, если они не отмечены жирными линиями; точки, в которых строгое неравенство обращается в равенство, и т.д.). Парабола и прямая в зависимости от взаимного расположения разбивают плоскость на области в количестве от трех до пяти: три области, если прямая не пересекает параболу; четыре области, если 17
прямая либо касается параболы, либо параллельна оси параболы; пять областей, если прямая пересекает параболу в двух точках. Для выявления конкретной ситуации необходимо найти общие точки параболы и прямой или доказать, что они не существуют. То есть в данном случае решить систему уравнений Очевидно, что данная система имеет два решения, то есть определяет две точки, в которых прямая пересекает параболу, и таким образом задает пять различных областей (рис. 1). Второй шаг. Определение знака в областях. На начальной стадии изучения темы «Задачи с параметрами» советуем ради приобретения безупречных навыков аккуратно разбираться со знаком каждого множителя отдельно, поскольку, как и в спорте высших достижений, любая неточность может перечеркнуть весь труд. Существуют два основных способа определения знака множителя (или всего произведения): — способ прямого определения путем вычисления значения множителя для координат выбранной точки из данной области; — аналитический способ. Преимущество первого — в его простоте в большинстве случаев, а недостаток обнаруживается при выборе точки с удобными для расчета координатами. Преимущество второго— в обеспечении более глубокого погружения в задачу, а недостаток — в более высоком уровне требований к знаниям. Рассмотрим оба способа при решении нашей задачи. Способ I — прямой счет. Парабола задает все точки плоскости, в которых множитель р - х2 равен нулю, и разбивает плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю. Для внутренней части в точке (0; 1) множитель р - х2 = 1 > 0, а для внешней части в точке (1; 0) множитель р - х2 = = -1 < 0. Следовательно, для всех точек внутренней части р - х2 > 0, а для всех точек внешней части р - х2 < 0, что отмечаем знаками «+» и «-» на соответствующих сторонах ветвей параболы. Совершенно аналогично устанавливается знак множителя р + х - 2 в двух полуплоскостях относительно прямой, что также отмечается знаками «+» и «-» около прямой. 18
Очевидно, зная знаки множителей в каждой точке плоскости, легко определить знак произведения и быстро закончить решение всей задачи (см. заштрихованную часть на рис. 1). Рис. 1 Комментарий 2. Обращаем ваше внимание на несомненное удобство работы отдельно с каждым множителем при определении знака. Чтобы оценить это обстоятельство, попробуйте прямым счетом для каждой из пяти областей решить аналогичную задачу для неравенства Внимание! К сожалению, большинство привыкает к ситуации, когда при переходе любой границы из области в область происходит изменение знака всей левой части неравенства/х; р) v 0. Поэтому время от времени надо выполнять упражнения, в которых, например, присутствуют множители вида | х +р |. 19
Способ II — аналитический. Как и ранее, будем определять знаки в областях, задаваемых одним множителем. Точки, в которых первый множитель р - х2 равен нулю, есть парабола, разделяющая плоскость координат х и р на две части. Из точки на границе р - х2 = 0 можно двигаться в любую из областей и следить, как величина р -х2 изменяется. Согласитесь, что в любую точку каждой из двух областей можно прийти либо по вертикали, либо по горизонтали, начиная движение из соответствующей точки границы (параболы). Указанные направления «движения» выбраны с тем, чтобы не изменять значение одной из переменных х или р. Очевидно, что относительно переменной р выражение р - х2 как функция является линейной, а относительно х— квадратичной. Поэтому легче, зафиксировав переменную х, отслеживать изменение величины р - х2 в зависимости от р. Это значит, что мы будем двигаться вдоль вертикальных прямых х = xq. Если из точки параболы р - х2 = 0 мы смещаемся вверх по вертикальной прямой во внутреннюю область, то ордината р будет увеличиваться, то есть уменьшаемое в разности р-х2 будет возрастать. Следовательно, от значения, равного нулю, множитель р-х2 будет переходить к положительным значениям. Поскольку мы констатировали, что в любую точку плоскости можно прийти от соответствующей точки параболы р - х2 = 0, двигаясь по вертикальной прямой, то для всех точек внутренней области р - х2 > О (параметр р возрастает), а для всех точек внешней области р - х2 < О (параметр р убывает). Попробуйте самостоятельно провести аналогичные рассуждения для множителя р + х - 2. Комментарий 3. Как вы заметили, мы практически доказали знакопостоянство во всех точках каждой из областей. Перейдем теперь к освещению других аспектов темы «Задачи с параметром». Графическая интерпретация основных задач с параметром Ранее мы объявили, что основной класс задач с параметрами составляют уравнения, неравенства, их системы и совокупности, в которых присутствуют одна неизвестная переменная и один параметр. Будем в дальнейшем обозначать его как класс {х; р). Нали- 20
чие ровно двух переменных позволяет почти все задачи интерпретировать в координатной плоскости этих переменных. От условия задачи класса {х; p} мы переходим к множествам А\9 А2 и т.д. всех точек координатной плоскости (jc; р), для которых выполняются те или иные объявленные условия. Например, множество А\ есть точки, для которых выполняется неравенство (р-х2)(р + х-2)<0, (1) а множество А2 есть точки координатной плоскости, для которых выполняется неравенство х2<1. (2) Комментарий 4. Многие, к сожалению, толкуют множество А2 как отрезок [-1; 1] на оси Ох. Чтобы избежать подобных ошибок, рекомендуем на первых стадиях изучения переформулировать объявленные условия в терминах координат. Например, задавать вопрос: «Как в терминах координат описать множество ^2?» {Ответ: множество А2 есть все точки координатной плоскости, квадрат абсциссы которых не превосходит единицы.) Тогда практически любой школьник будет представлять множество А2 как вертикальную полосу, ограниченную прямыми jc = —1 и х = 1. Поэтому для любой задачи класса {х; р} на вопрос «Что дано?» можно отвечать, что даны множества А\9 А2 и т.д в координатной плоскости (х; р). Рассмотрим типовые задания и их геометрическую интерпретацию. Задание 1. Для всех допустимых значений параметра р найти все значения переменной х, удовлетворяющие данному условию. Пример. Для всех значений параметра/? решить неравенство (1): (р-х2)(р + х-2)<0. Решение в координатной плоскости (х;р). Этап 1. Изображение множества А. В плоскости (х\ р) изображаем все точки, для координат которых выполняется неравенство (1). Реализация этого этапа осуществлена при решении задачи 1, что представлено на рисунке 1. Этап 2. Перевод задания на язык координат. Для любой ординаты ро задание состоит в нахождении абсцисс х всех точек, принадлежащих пересечению горизонтальной прямой р = ро с заданным множеством А. Здесь же необходимо разобраться, как для Данного значения ординаты объявлять искомые абсциссы. 21
Зафиксировав значение ро ординаты, мы рассматриваем тем самым все точки горизонтальной прямой, проходящей через значение ро оси ординат. Эта прямая либо пересекает построенное множество А, либо нет. В первом случае любая общая точка М(х\ р0) такова, что для ее координат истинно неравенство (1), следовательно, значение абсциссы х этой точки является решением неравенства (1) при значении ро параметра р. Откуда получаем, что решением неравенства (1) при данном ро является «тень» пересечения прямой р = ро с построенным множеством А на ось Ох. Во втором случае очевидно, что при данном значении р0 неравенство решений не имеет. Комментарий 5 (еще раз прочитайте комментарий 4). Классической ошибкой является объявление ответом неравенства (1) в плоскости (х\р) точек пересечения прямой/? =р0 с множеством А, а не их абсцисс (!). Этап 3. Классификация пересечений прямой р = ро с множеством Л. Эта классификация необходима для формирования ответа в данном примере. Поскольку в нашем примере все значения параметра р являются допустимыми, то для любой ординаты ро нам необходимо указать абсциссы точек пересечения прямой р = р0 с множеством А либо объявить, что таковых не существует. Описание указанного множества абсцисс зависит от того, как прямая р = ро пересекает множество А. Поэтому и возникает потребность в объявленнной классификации пересечений. Будем двигаться по оси ординат снизу вверх, обеспечивая возрастание параметра. Очевидно, что для всех р < О пересечение прямой р = р\ с множеством А (с заштрихованной частью на рис. 2) есть открытый луч, направленный вправо от точки М{х\\ Р\) на границе р + х - 2 = 0. Поэтому первый класс пересечения прямых р = р0 с множеством А задается условием р<0. Замечание. На начальной стадии знакомства с графическим методом решения задач с параметром особые значения (концы числовых промежутков) параметра стоит выделять в отдельный класс (например, в нашем примере это значения р = 0,р= 1 и р = 4). Подставляя непосредственно в условие указанные значения, мы получаем задачу без параметра, которую обязаны уметь решать. В противном случае мы преждевременно приступили к изучению темы «Задачи с параметром». 22
(I) Рис.2 Второй класс, таким образом, определяем условием Легко устанавливаем, что прямая р = 0 (не что иное, как ось Ох) так же, как и в предыдущем случае, пересекает множество А по открытому лучу, направленному вправо. Дляр2 из интервала (0; 1) при движении слева направо по прямой р = р2 мы сперва встречаемся с левой ветвью параболы р - х2 = 0, затем пересекаем правую ветвь параболы и далее пересекаем прямую р + х - 2 = 0 (см. прямую (III) на рис. 2). То есть для всехр € (0; I) пересечение соответствующей горизонтальной прямой с множеством А есть интервал с концами на ветвях параболы и уже обсуждаемый ранее луч, направленный вправо и с началом на прямой р + х - 2 = 0. Поэтому третий класс пересечений задается условием 0<р< 1. 23
Как и в случае р = О, выделяем отдельный класс, определяемый условием />=1. Здесь необходимо быть внимательным и не забыть непосредственно решить исходное неравенство при р = 1 и получить, что *€(-l;l)U(l;-hx>). (3) Утверждение 7 объявляет абсциссы всех точек пересечения прямой р = 1 с множеством А (см. прямую IV на рис. 2). Пятый класс пересечений задается условием Для /?з е (1; 4) при движении слева направо по прямой р — рг (см. прямую V на рис. 2) мы сначала пересекаем левую ветвь параболы р - х2 = 0, затем прямую р + х-2 = 0и далее правую ветвь параболы. Шестой класс задается условием /7 = 4. Седьмой, и последний, класс задается условием р>4. Для любого Ра е (4; +оо) при движении слева направо по прямой р = р4 (см. прямую VII на рис. 2) мы сначала пересекаем границу р + л: - 2 = О, а затем левую и правую ветви параболы р-х2 = 0. Этап 4. Формирование ответа. Поскольку для любого значения ро параметра мы устанавливаем на этапе 3, как соответствующая прямая р =ро пересекает множество А, то для объявления ответа необходимо определить абсциссы концов промежутков (интервалов и лучей), указанных на прямых I—VII (рис. 2). Так как ординаты концов промежутков задаются значением параметра и концы промежутков лежат на границах областей, то искомые абсциссы определяются как неизвестные величины в уравнениях границ при данном значении параметра. Для точек границы р + х - 2 = 0 абсциссы равны 2 - р, а для точек параболы р - х2 = 0 абсциссы равны -у[~р (для левой ветви) и у[р (для правой ветви) (рис. 3, а и б). Разобравшись с определением абсцисс концов пересечений, мы готовы указать все абсциссы точек пересечения любого класса (см. прямые I—VII на рис. 2) и тем самым закончить решение: 24
(I): если p < О, то х б (2 -р; +оо); (II): если р = 0,тох е (2; +оо); (III): если 0 <р < 1, то х е (->//>; >//>) U (2 -р; +оо); (IV): если р = 1, то л: е (-1; 1) U (1; +оо); (V): еслиКр<4,тодс€ (-Jp-,2-p} и(,/р;+00); (VI): если р = 4, то л: е (2; +оо); (VII): еслир>4,тох е [l-p; -yjp~) U (7p; +00)- / : а) 2-/7 Заключительный комментарий. Естественно, что читатели, имеющие большой собственный опыт решения задач класса {х; р) в координатной плоскости (х; р\ могут выделить иные этапы выполнения задания (или вообще не придерживаться никакой этапно- сти). Однако мы настаиваем на начальной стадии знакомства с темой «Задачи с параметром» четко расставлять акценты на реализацию тех или иных процедур, шагов и т.д. И только после овладения материалом предоставить себе полную свободу выбора при выполнении конкретного задания. Изображение множества А, перевод задания на язык координат, классификация пересечений прямой р = ро с множеством А, формирование ответа— этапы, которых не избежать при выполнении задания 1. 25
Перейдем теперь к рассмотрению следующего типового задания и его геометрической интерпретации. Задание 2. Для каждого допустимого значения параметра р найти число различных решений данной задачи. Пример. Для любого значения параметра р найти число различных решений уравнения (р-х2)(х+р-2) = 0. (4) Этап 1. Изображение множества А. (4) <=>p-jc2 = 0 или х +р - 2 = 0. Поэтому в плоскости переменных х и р множество А есть объединение параболы, задаваемой равенством р - х2 = 0, и прямой х+р-2 = 0(рис. 4). Этап 2. Перевод задания на язык координат. Поскольку для данного значения параметра р нам необходимо найти число различных корней уравнения (4), то это означает, что для данной ординаты /?о нам необходимо установить, сколько различных точек с ординатой /?о принадлежит множеству А. То есть нам надо выяснить, сколько раз прямая р = /?о, параллельная оси Ох, пересекает изображенное множество А. В этом и состоит на языке координатной плоскости (jc; p) наше задание. Ясно, что нам надо разобраться, как прямая р = ро пересекает множество А, то есть перейти к выполнению этапа 3. Этап 3. Классификация пересечений прямой р=рос множеством А. Так как при выполнении задания 1 мы уже имели дело с множеством А (см. пунктирные границы областей на рис. 1), то для нашего случая (см. рис. 4) мы легко определяем, что: 1) при р < 0 — одно пересечение; 2) при р = 0 — два пересечения; 3) при 0 <р < 1 — три пересечения; 4) прир = 1 —два пересечения; 5) при 1 <р < 4 — три пересечения; 6) при /? = 4 — два пересечения; 7) при р > 4 — три пересечения. Поскольку задание 2 требует определения числа различных решений, то мы выделяем три следующих класса: 1-й класс: Nx{p)- 1; 2-й класс: Nx(p) = 2; 3-й класс: Nx(p) = 3. 26
ч \\ V \ V 0 о I J 4 / 1 \/ У \ N. X X X -/-., ?V , , Рис. 4 Этап 4. Формирование ответа. Согласно классификации пересечений прямой р = ро с множеством А, установленной на этапе 3, легко объявляем ответ: 1) если/? е (-оо; 0), то Nx(p) = 1; 2) еслир е {0; 1; 4}, то Nx(p) = 2; 1) если/? е (0; 1) U (1; 4) U (4; +оо), то Nx(p) = 3. Перейдем теперь к рассмотрению еще одного типового задания, которое, в некотором смысле, является обратным по отношению к заданию 2. Задание 3. Найти все значения параметра /?, при которых задача (уравнение, неравенство, их система или совокупность и т.д.) имеет заданное число различных решений. Компактно задание 3 можно представить в следующем виде: Дано: Nx(p) = п. Найти: /?. 27
Здесь, как и ранее, Nx(p) есть число различных значений переменной х, удовлетворяющих объявленному условию при данном значении параметра р. Примеры особо популярных вариантов задания 3 в практике вступительных экзаменов состоят в следующем. В-1. Nx(p) = 0. При каких значениях параметра р задача (уравнение, неравенство, система, совокупность и т.д.) не имеет решений? В-2. Nx(p) > 1. При каких значениях параметра р задача имеет хотя бы одно решение? В-3. Nx(p) = 1. При каких значениях параметра р задача имеет единственное решение? В-4. Nx(p) = оо. При каких значениях параметра р задача имеет бесконечно много различных решений? Предполагая, что читатель внимательно и аккуратно разобрался с выполнением заданий 1 и 2, можно сейчас ограничиться только графической интерпретацией задания 3, а его выполнение предоставить сделать самостоятельно для примера задания 2. Поскольку в задании 3 необходимо искать значения параметра, удовлетворяющие объявленному условию, то это означает, что при движении прямой р = ро параллельно самой себе «снизу вверх» (пробегая значения ро от -оо до +оо), мы «вылавливаем» все ординаты по оси Ор, при которых число пересечений прямой р = р0 равно заданной величине Nx(p) = п. Для контроля приведем ответы сформулированных вариантов: 0; 0. Упражнение. Выполните варианты 1-4 задания 3 для следующих условий: 2 Наконец, укажем еще одно типовое задание. Задание 4. Найти все значения параметра р, при которых соблюдаются дополнительные условия на переменную х. Пример (МГУ им. М.В. Ломоносова, химический факультет, 1987). Найти все значения параметра р, при каждом из которых 28
множество решений неравенства (р - х2)(р + х - 2) < 0 не содержит ни одного решения неравенства х2 < 1. Конечно, можно переформулировать задачу в более привычную постановку. Например: найти все значения параметра р, при каждом из которых для любого значения х из отрезка [-1; 1] выполняется неравенство (р - х2)(р + х - 2) > 0. Во-первых, это далеко не тривиально, а во-вторых, попробуем разобраться в геометрической интерпретации первоначального задания, чтобы осознать, как действовать мгновенно, не тратя усилия на переформулировку. Согласитесь, что наш пример есть частный случай такой задачи: Задача. В координатной плоскости переменных х и р даны два множества/li и А2. Найти все значенияро параметра/?, при которых пересечения прямой р = ро с данными множествами А\ и А2 не имеют общих точек. Вы скажете (и будете правы), что обобщить исходный пример тоже далеко не тривиально. Но если изначально разобраться в решениях задач общего вида, то сведение к ним далее не вызывает особых трудностей, то есть увидеть частный случай будет существенно проще. Итак, пусть А \ есть множество всех точек координатной плоскости (х; р), для которых выполняется неравенство (р - jc2)x х(р + х - 2) < 0. Это множество изображено на рисунке 1. Далее, пусть А2 — это множество всех точек, для координат которых выполняется неравенство х2 < 1, то есть множество всех точек плоскости (х; р), абсциссы которых принадлежат отрезку [-1; 1]. Очевидно, что А2 представляет собой вертикальную полосу с границами в виде прямых, задаваемых равенствами jc = -1 и х = 1 (см. комментарий 4). Множества А\ и А2 изображаем на одной координатной плоскости (рис. 5). Поскольку мы обязаны разобраться с пересечениями прямых Р = ро с обоими множествами, то предварительно выясним, как пересекаются границы множеств А\ и А2. Для этого решим систему Уравнений, задающих эти границы: U2=l. 29
(1) Рис. 5 Данная система имеет (установите самостоятельно) три решения, задающие три точки Af(-1; I), N(-\\ 3) и К{\\ 1), в которых и пересекаются границы. Как и в предыдущих заданиях, классифицируем (то есть установим все различные случаи) пересечения прямой р = ро с множествами^ пА2. Комментарий 6. Далее мы рассматриваем все различные ситуации пересечения прямойр =р0 с множествами А\иА2. Хотя ради движения к цели кратчайшим путем в нашей конкретной ситуации достаточно классифицировать виды пересечения прямой р=ро с множеством общих точек А\ и А2, то есть с множеством А\ г\ А^ Двигаясь слева направо по прямой р = /?0, констатируем следующие случаи. Случай 1. р < 0. Прямая р = ро пересекает множество А2, а затем через границу р + х - 2 = 0 попадает в А\. То есть в этом случае на прямой р = ро 30
нет общих точек множеств А\ и А2. А это и означает, что если х при р < О является решением неравенства (р - х2)(р + х - 2) < О (то есть х есть абсцисса точки пересечения прямой р = /?о с Л 0, то jc2 > 1. И следовательно, все значения/? < 0 являются искомыми. Случай 2. р = 0. Прямая /? = 0 (ось (Ох) «касается» множества А\ в точке (0; 0), которая множеству А\ не принадлежит, и, пересекая множество А2, как и в случае 1, через точку (2; 0) попадает в множество А\. Поэтому значение р = 0 также является искомым. Случай 3. 0</?<3. На прямой р =/?о (см. рис. 5; прямые (3.1)-(3.3)) находится общая точка множеств А\ и А2. Ее абсцисса удовлетворяет обоим неравенствам, задающим множества А\ иА2, что противоречит требованию для искомых значений параметра. Откуда заключаем, что все значения р из интервала (0; 3) не являются искомыми. Случай 4. р > 3. Этот случай аналогичен случаю 1 (проанализируйте это самостоятельно). Поэтому все значения/? из промежутка [3; +°о) являются искомыми. Объединяя ответы всех случаев, получаем ответ задачи. Ответ:р < 0 или/? > 3. Комментарий 7. Если внимательно разобраться в приведенном решении, то можно одной фразой объявить ответ задачи: Искомые значения параметра р есть все значения /?, кроме ординат точек пересечения множеств А\ и А2 (!). Послесловие В главе рассмотрена графическая интерпретация основных задач с одной неизвестной и с одним параметром в плоскости «неизвестная — параметр». Другой основной графический метод решения задач с параметром продемонстрирован в других главах (см., например, гл. 5). Еще раз указываем, что на начальной стадии знакомства с темой «Задачи с параметрами» необходимо четко расставлять акценты на реализацию тех или иных процедур, шагов и т.д. И только после овладения материалом предоставить себе полную свободу выбора того или иного пути решения конкретной задачи. 31
Глава 3. Нестандартная техника решения неравенств с модулем Задача 1. Для всех значений параметра р решить неравенство Ъ\х-р | + 5\х-Ър | + 4.Х + 6/7+ 12 < 0. (*) Решение. 3(х-/7) + 5(х-Зр) + 4х + 6/7 + 12<0, 3(x-/7)-5(*-3/7) + 4x + 6/7 + 12<0, -3(х - р) + 5(х - 3/7) + 4х + 6/7 +12 < 0, -3(х - р) - 5(д: - Ър) + 4л: + 6/7 +12 < 0 2ЛГ-+-18/7 + 12 < 0, лг< -9/7-6, -9/7-6 [р<06 F F ^ [6/7 + 3 <д:< /7-2 ИЛИ [jcg0. Ответ: если р< 1,то6/? + 3<л:</?-2; если /7 > -1, то решений нет. Всё сводимо к одному сравнению! Поскольку в дальнейшем в основном будет демонстрация решений нестандартных задач, то необходимо познакомиться с малоизвестными техническими приемами, активно используемыми различными авторами как при составлении задач, так и для поддержания высокого темпа продвижения к ответу. Тема «Абсолютная величина числа» (или «Модуль числа») является наиболее эксплуатируемой в практике вступительных экзаменов. Вероятно, это объясняется ощущением простоты понятия абсолютной величины числа и тем обстоятельством, что, используя 32
модуль, любую систему и совокупность уравнений и неравенств с одной и той же областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения. Посмотрите, например, как система одного неравенства и совокупности двух неравенств преобразуется к одному равносильному уравнению. -1=0, /2 < 0 или/3 < О fx f2\ + /2=Оили /з о 1 - J\ (l/2|+/2)-f^+lJ=0. В основе указанных преобразований лежат следующие легко доказываемые утверждения У 1-У8. 1. т < 0 <=> i^J т = 0. У2. т < 0 о | т \ + т = 0. УЗ. т > 0 <» | т | - т = 0. т У5.Чт \т\ + т>0. Уб.Ут | /и | - /я > 0. У7. Vw ^ 0 1^1 + 1 > 0. т 0. AW Утверждения У1-У4 объявляют переход от любого неравенства к равносильному уравнению. Утверждения У5-У8 обеспечивают аналогичный равносильный переход от систем и совокупностей. Упражнение L Напишите уравнение, задающее в плоскости (х;у) отрезок с концами в точках Mi(0; 0) и М2(1; 1). Ответ: \х-у \ + | jc • (х- 1) | +х • (х- 1) = 0. 33
Упражнение 2. Напишите уравнение, задающее в плоскости (х;у) интервал с концами в точках Mj(0; 0) и М2(1; 1). Ответ: \х-у\+ ' к Л +1=0. (!) Упражнение 3. Выполните упражнения 1 и 2 для произвольных точек М\(х\\У\) и Мг{х2\уг)- Упражнение 4. Напишите уравнение, задающее ломаную М]М2М3МА. Упражнение 5. Напишите уравнение, задающее стороны треугольника ABC. Упражнение 6. Напишите уравнение, задающее «внутренность» треугольника ABC, параллелограмма ABCD. Замечание. Не следует думать, что решение уравнений и неравенств— принципиально различные задачи, поскольку система и совокупность произвольных уравнений и неравенств сводимы к одному равносильному отношению заданного типа (то есть к уравнению или неравенству вида <, <, >, >). Для понимания этого достаточно указать, что 2=0 ; = о а также привести таблицу 1. о/ /2 -.../„ = О1, 1 Для совокупности предполагается, что каждая из функций определена для корней всех остальных. 34
Таблица 1 Вариант приведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа 1 < /<о -V=7-i<o -лЯл-ко -ч/7-i <о -/<о 2 < 1/1 1/1 <о -f<0 1/1 3 = -^-+1=0 1/1 1/1+/=о / = о 1/1-/=о -^--1=0 1/1 4 > 1/1 -/>0 -1/1 >о />о 1/1 5 > -/>0 >/=7+1>о >ЯЛ+1>о >/7+i>o />о Меньше, меньше или равно — система; больше, больше или равно — совокупность Очевидно, что подавляющее большинство школьников знает, что | т | = ±т (к сожалению, не все безупречны в выборе знака правой части). И, как ни странно, этого достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах. Рассмотрите внимательно таблицу 2 равносильных преобразований основных неравенств с модулем. Таблица 2 Равносильные преобразования основных неравенств с модулем 4/|vg. \f\<g г \-/<g, l/<g \/\<g \-/<g, \/<g \f\>g \-/>g [/>g \/\>g \-/>g [f>g "• I/I v I g I o/2 v g2 о if- g)(f+ g) v 0. (Докажите самостоятельно истинность утверждений этой таблицы.) 35
Для всех сравнений |/| заменяется на ±/ И в сравнениях типа «меньше», «меньше или равно» берется система, а в сравнениях типа «больше», «больше или равно» — совокупность получаемых неравенств. Это позволяет сформулировать два очень эффективных правила. Правило «меньше, меньше или равно — система» (<, < -> {): Если относительно данного модуля неравенство является неравенством вида «меньше», «меньше или равно», то замените модуль на плюс-минус подмодульное выражение и полученные неравенства рассматривайте одновременно, то есть в системе. Правило «больше, больше или равно — совокупность» (>, > —> [): Если относительно данного модуля неравенство является неравенством вида «больше», «больше или равно», то замените модуль на плюс-минус подмодульное выражение и полученные неравенства рассматривайте в совокупности. Пример 1. Решить неравенство | 2jc — | jc — 2 11 < 3. Решение. |/|<go ^ поэтому ,„ , ,,,., Г2х-|х-2|<3, Г2*-3- | jc —21 <0, 1 ' " [—(2jc- |jc-2|)<3 [2jc-h3- |jc-2 | >0. Первое неравенство в системе относительно | х - 2 | имеет вид |/| > g, а второе имеет вид |/| < g из-за знака «минус» перед модулем. Потому, не тратя времени на переносы из левой части в правую, получаем '~2*-3-(х-2)<0 36
х<\ *4 3 3 Ответ: —;— . Пример 2. Решить неравенство Решение. Относительно любого модуля данное неравенство имеет вид \f\<g. Поэтому перебрав все четыре комбинации знаков двух подмодульных выражений, имеем х< 6, JO-16, х>-2 12 <=> max {-16; -2} <х< min ^6; — У <=>-2 <х < 2,4. Ответ: (-2; 2,4). Естественно, читатель заметит, что примеры 1 и 2 можно решить и методом интервалов, и исходя из геометрического смысла модуля и т.д. Но наша цель — указать на примитивность переходов к системам или совокупностям, играя знаками подмодульных выражений. Тем более, что в задачах с параметрами эта техника обеспечивает явные преимущества (см. задачу 1). Пример 3. Для любого значения параметра р решить неравенство \2х + 21р\-2-\2х-2\р\<х-21р. (1) Решение. Относительно первого модуля неравенство имеет вид I/I < g, а относительно второго — вид |/| > g. Поэтому, раскрывая 37
первый модуль, перейдем к системе, а второй — к совокупности. Начинать можно с любого. Первый вариант освобождения от модулей. 2x + 2\p\ -2(2x-2lp)<x-2lp )2х + 2\р\ +2(2x-2lp)<x-2lp \(2x + 2\p)-2(2x-2lp)<x-2lp, {-(2x + 21/?)- 2(2* -2lp)<x-2lp \x> 28 p, 2(2x-2lp)<x-2\p, + 2(2х-2\р)<х-2\р или или < л:>6р [х<42р. То есть (1) или (вариант 1). или < [ >6p [х< 42р Второй вариант освобождения от модулей. |2jc + 21/?|-2- \2x-2\p\<x-2\p<^> U2x + 2\p)-2\2x-2\p\ <jc-21/?, O\ <x-2\p 2x + 2\p)-2(2x-2\p)<x-2\p 2(2;c-21p)<jc - 2(2jc ~ 2 lp) < jc - To есть \x<0 илиx> [x < 42p или х>6р (вариант 2). Комментарий 1. Обратите внимание, что мы не тратим время на промежуточные приведения подобных членов. Дальнейшие действия зависят от знака параметра р, так как только от него зависит расположение на числовой оси (Ох) точек х = 0, х = 6р, л: = 28/7, х = 42р: 38
если/? < 0, то 42р < 28р < 6р < 0; если р = 0, то 0 = 6р = 28р = 42р; если /> > 0, то 0 < 6> < 2Sp< 42р. Поэтому быстро устанавливаем, что если р < О, то х е (-оо; 42/?) U (6>; °о); если р = 0, то х е (-оо; 0) U (0; + оо); если р > 0, то jc е (-°о; 0) U (28р; + оо). Это и есть ответ неравенства (1). Рассмотренный пример 3 позволяет сформулировать интересный вопрос. Неравенство (1) есть частный случай неравенства 1/.|-|/2|+/з<0. (2) Как и при решении неравенства (1), двумя путями освободимся от модулей в неравенстве (2). Вариант 1: То есть (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) Вариант 2: 39
То есть (2.1) (2.3) (2.2) (2.4) Из вариантов 1 и 2 следует, что (2.1), (2.2) (2.4) (2.1) (2.3), "(2.2) (2.4). Естественно, последняя равносильность провоцирует вопрос: «Всегда ли допустимо подобное преобразование совокупности двух систем в систему двух совокупностей?». Задача 2. Даны четыре произвольных неравенства (1), (2), (3) и (4). Какая связь между множествами решений совокупности (А) и системы (Б) TjvO ./3vOi? 72vo e _/4v0 Эта задача может стать прекрасным примером исследования на факультативных занятиях со школьниками 5-11 классов на тему «Взаимосвязь множеств решений систем и совокупностей уравнений и неравенств». Расскажем два различных решения. Первое — наглядное, но не всегда быстро реализуемое. Второе решение более универсальное. Прежде чем приступить к решению, напомним два известных факта. Любое уравнение или неравенство определяет множество его решений. Поэтому сказать, что даны два неравенства (или уравнения, или то и другое), это то же самое, что сказать: даны два множества М\ и М2. 40
Факт 1. Решить систему — означает найти все общие элементы двух множеств, то есть найти пересечение множеств М\ и М2: М\ Факт 2. Решить совокупность — означает найти все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств М\ и Л/2, то есть найти объединение множеств М\ и М2: хеМ, х е Л/, и Л/2. хеМ, А/., <=> хе » х е (М, ^ Л/2) U (М3 ^ М4). (3) То есть решения совокупности двух систем составляют все точки, принадлежащие хотя бы одному из двух пересечений (см. заштрихованную часть на рис. 1). м, м4 Рис. 1 41
Комментарий 2. Опыт показывает, что большинство школьников не может правильно выполнить рисунок 1. Имеется в виду неполнота изображения всех шестнадцати различных ситуаций взаимного расположения элементов четырех множеств. Тем более проблематично изображение подобных ситуаций для пяти и более множеств. Теперь аналогично изобразим решения системы двух совокупностей. Имеем ■ м, jte. хеМ, хе (М{ U Х€< им4). С4) То есть решения системы совокупностей составляют все общие точки объединения множеств Мь Мз и объединения множеств М^ М4 (см. заштрихованную часть на рис. 2). Рис.2 42
Из рисунков 1 и 2 легко видеть, что: — множества решений совокупности систем и системы совокупностей неравны, то есть задачи (А) и (Б) не равносильны; — множество решений совокупности двух систем есть подмножество множества решений системы совокупностей, то есть из (А) следует (Б). Комментарий 3. Большинство школьников, к сожалению, четко не осознает связь между следованием одного утверждения из другого и взаимосвязью между множествами элементов, для которых истинны эти утверждения. Поэтому напомним: из утверждения (А) следует утверждение (Б) тогда и только тогда, когда множество МА всех элементов, для которых истинно (А), есть подмножество множества МБ всех элементов, для которых истинно (Б). То есть ((А) =» (Б)) « МА с МБ. (5) Комментарий 4. Если читателю знакома алгебра множеств, то включение МА <= Л/Б объясняется таким образом: МА = (Mi ^ M2) U (М3 ^ М4) с МБ = (Mi U M3) ^ (M2 U М4) = = (Mi гч М2) U (М, ^ М4) U (М3 ^ М2) U (М3 ^ М4) (6) (и -» е, ^ -> ®, (Mi е м3) ® (м2 в м4». Из рисунков 1 и 2 (или из (6)) получаем, что тогда и только тогда, когда множества элементов, принадлежащих одновременно только М\ и М4 и только М2 и М3, есть пустые множества. Таким образом, получаем ответ задачи: (А) => (Б). Решение второе. Любой элемент может либо принадлежать Данному множеству, либо нет. Поскольку у нас четыре множества, то возможны шестнадцать (16 = 24) различных ситуаций, которые представлены в таблице 3, где 0 означает «не принадлежит», а 1 — «принадлежит». 43
Таблица 3 Принадлежность элемента множествам М\-Мь МА и Тип элемента 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 М, 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 м2 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 м3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 м4 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 мА 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , 0 А/Б 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 — элемент принадлежит множеству; 0 — элемент не принадлежит множеству. Комментарий 5. Нумерация с 0 до 15 шестнадцати различных ситуаций введена специально, чтобы любопытный читатель увидел запись в двоичной системе счисления указанных номеров в последующих четырех столбцах (например, 7ю = 01112). Это обстоятельство позволяет быстро и легко упорядочить все 2" различных ситуаций для п множеств Mi, М2,..., М„. Последние два столбца, соответствующие множествам МА и Мб, заполняются (при отсутствии рисунков) исходя из утверждений (3) и (4). Например, под номером 0 элемент не принадлежит ни одному из множеств Mi, M2, М3, М4. Следовательно, он не принадлежит ни одному из их пересечений и ни одному из их объединений. Поэтому для него ложно как (3), так и (4), откуда следует, что этот элемент не принадлежит ни МА, ни Мб. Еще пример. Элемент под номером 3 принадлежит множествам Мз и М*. Следовательно, он принадлежит их пересечению, то есть 44
множеству М3 ^ М4, а потому и множеству МА. С другой стороны, этот же элемент принадлежит одновременно объединениям Mi U Л/з и Л^2 U М* и, следовательно, принадлежит множеству МБ. Заполнив подобным образом столбцы таблицы 3 для множеств МА и Мб, мы устанавливаем, что: — если элемент принадлежит МА, то он принадлежит и МБ; — существуют элементы (под номерами 6 и 9), принадлежащие Мб, но не принадлежащие МА. Отсюда получаем МА ^ МБ и МА <= МБ. Это означает, как уже отмечалось, Г(А)ф(Б), Для прозрачности понимания таблицы 3 представлен рисунок 3, на котором числа соответствуют номерам строк таблицы. мъ м4 0 — *■ 12 — — 0 1 2 , 10 14 6 2 Л гз\ 11 15 7 13J \/ 1\ А 9 17 5 j 7 12 \JU Рис.3 Задачи вступительных экзаменов Задача 3. При каких значениях параметра а неравенство jc2 — |jc — ^| — |jc— I | + 3>0 (7) выполняется при всех значениях xl Решение. Относительно обоих модулей неравенство (7) имеет ВИД I/I < g. Поэтому (см. пример 2) 45
(7) х2-(х-а)-(х-\) + 3 х2+(х-а)-(х-\) + 3 х2+а + 2>0, х2+2х-а + 2>0. Выполнение для всех х неравенства (7) равносильно выполнению для всех х всех неравенств последней системы. А это равносильно тому, что дискриминанты всех четырех квадратных трехчленов неположительны: <о, А А 22-4(а + 4)<С -4(о + 2)<0, -4(-о + 4)<0, 22-4(-о + 2)< Ответ: -2 < а < 1. Задача 4. Найдите все значения параметра а, для которых наименьшее значение функции больше 2. Решение. Задача равносильна тому, что для всех х выполняется неравенство х2 + |х-я| + |х-1 |>2. (8) Относительно обоих модулей неравенство (8) имеет вид |/| > g. Поэтому, согласно таблице 2, при замене модулей на плюс- минус подмодульные выражения ((+, +), (+, -), (-, +), (-, -)) получаемые четыре неравенства в совокупности будут равносильны неравенству (8). С целью повторения проделаем это более подробно. Раскрывать модули начинаем со второго. (8) л: + | jc — <ar j +{х-\ х2+ \х-а\ ~(х-] <=> 46
<=> х2+(х-а) + (х-\)>2 x2-(x-a) + (x-l)>2 'хг+{х-а)-{х-\)>2 д:2+2д:-<я-3>0 х2+а-3>0 х2-а-1>0 х2-2х + а-1>0. Неравенство (8) должно выполняться для всех х. Это равносильно тому, что для всех х выполняется хотя бы одно квадратное неравенство последней совокупности. То есть хотя бы один из четырех дискриминантов отрицательный (см. послесловие). д, <о Z>2<0 D3<0 А,<0 <=> 22-4(-а-3)<0 -4(о-3)<0 а + 4<0 а-3>0 а>2. -а + 2 < О (-2)2-4(а-1)<0 Ответ: а е (-оо; _1) и (2; +оо). Задача 5. Найти все значения параметра р, при каждом из которых число целочисленных решений неравенства 4х2-20(х-1) + 3-\4х-р\-р<0 (9) максимально. Решение. Так как |/| < g <=> ТО (9) \4х2 - 20(* -1) + 3(4* -/?)-/?< О, [4х2 - 20(х -1) - 3(4* - р) - р < 0. Поскольку оба неравенства в системе линейны (!) относительно р, попробуем этим воспользоваться. Решаем систему относительно/?: х2 - 2х + 5 < р < -2jc2 + \6х - 10. (10) Условие существования параметра р равносильно требованию х2 - 2х + 5 < -2х2 + \6х- 10 » Зх2 - 18л: + 15 < 0 » <=> х2-6х + 5 < 0<=> 1 <х< 5. (11) Комментарий 6. Очень существенно при изучении темы «Задачи с параметрами» осознавать смысл промежуточных результатов. 47
Как толковать решения неравенства (11)? Неравенство (11) объявляет все значения х, которые могут быть решениями исходного неравенства (9) хотя бы при одном значении параметра. Следовательно, целочисленными решениями неравенства (9) могут быть только целые числа из промежутка [1; 5], то есть *€= {1,2,3,4,5}. (12) Естественно, что для любого целого числа из набора (12) надо выяснить, при каких значениях параметра р это число будет решением неравенства (9). Поскольку (9) <=> (10), то, поочередно подставляя числа из набора (12) в неравенство (10), мы сразу и найдем все соответствующие значения параметра. Имеем jc= I =M<p<4, jc = 2=>5</?< 14, * = 3=>8<р<20, (13) Чтобы выявить значения параметра, при которых исходное неравенство имеет максимальное число целочисленных решений, воспользуемся разверткой полученной информации вдоль оси параметра (рис. 4). На рисунке 4 для каждого утверждения из (13) жирно выделены значения параметра р9 при которых истинно это утверждение. Последняя строка объявляет количество N^(p) целочисленных решений при данном значении параметра (равное числу пересечений с жирно выделенными точками вертикальной прямой, проходящей через соответствующую точку р на оси параметра). А (л 5) Nx(p) (i \ 1 > * 1 I 13 14 20 22 2 ( 3 ■^-, 1 Р Рис.4 48
Очевидно, что максимальное количество целочисленных решений равно трем (maxNx(p) = 3), и это достигается, когда 13<р< 14 или/? = 20. Ответ: \3<р< 14;р = 20. Комментарий 7. Мы специально рассмотрели задачу 5 и по причине демонстрации очень полезного приема— развертки промежуточной информации вдоль оси параметра. Этот прием очень часто существенно облегчает продвижение к ответу в задачах с параметрами. В заключение укажем технический прием, возможность использования которого «зевают» большинство абитуриентов. Упражнение 7. Решить неравенство |jt + 5|-8) — > 0. (14) l|H| Решение. Неравенство (14) имеет вид Чтобы «убрать» модули, мы воспользуемся тем фактом, что {\а\-\Ь\)-{\а\ + \Ъ\) = \а?-\Ъ? = (?-#. (15) Поэтому умножим обе части неравенства (14) на положительную величину Тогда на основании (15) получаем, что ((*2-4)2-4((;г + 5)2) (14) ~ V . ' ' 2, . >0<=> 0 (-2)-(2jc-4)-x2 x2(x-2) Далее методом интервалов получаем Ответ: х е (-оо; -13) U (-3; 0) U (0; 2). 49
Послесловие Материал этой главы ранее был опубликован только в периодической печати (газета «Математика» издательского дома «Первое сентября» и журнал «Квант») и сейчас впервые представлен широкой читательской аудитории. Внимательный читатель должен был насторожиться при формулировке утверждения, на которое опирается автор при решении задачи 4. Суть этого утверждения состоит в следующем: Совокупность неравенств выполняется для всех х тогда и только тогда, когда для всех х выполняется хотя бы одно неравенство этой совокупности. Естественно, что в произвольной ситуации это утверждение неверно, поскольку всю числовую ось переменной х можно «склеить из кусочков» множеств решений неравенств этой совокупности. Чтобы это осознать, попробуйте решить такую очень непростую задачу. Для каждого значения Ь найдите все значения а, при которых для всех х выполняется совокупность неравенств: x2+a-\-b>0 х2 -2x + a + \-b>0. Ясно, что если хоть одно неравенство совокупности выполняется для всех л:, то и вся совокупность выполняется для всех х, т.е. отрицательность хотя бы одного из дискриминантов квадратных трехчленов совокупности есть достаточное условие выполнения для всех х данной совокупности. Упражнение. Покажите, что при Ь< — и Ъ > 1 (в задаче значение Ъ равно двум) сформулированное достаточное условие является и необходимым. Основные трудности при выполнении этого упражнения читатель встретит, рассматривая случай, когда все дискриминанты четырех квадратных трехчленов в левых частях неравенств совокупности будут неотрицательны. 50
Глава 4. Сумма модулей Сумма модулей— самая простая конструкция, позволяющая в виде уравнения задавать любое объединение конечного числа основных промежутков (лучей, отрезков, интервалов, точек), любую систему неравенств. Это открывает перед авторами широкие возможности в компактном виде формулировать красивые нестандартные задачи вступительных экзаменов и школьных олимпиад. Посмотрите, например, следующую задачу и ее решение (без обоснования). Задача 1. При каких значениях параметра р наименьшее значение функции у(х) = | х -р2 + Юр | + | х - 2р | + | х -р2 + 2р + 32 | равно 36? Решение (без обоснования). Пусть ах =р2- 10р, а2 = 2р, аз =р2-2р-32. Тогда задача равносильна следующей совокупности систем [(*|-«2)-(*1-а*)<о, [|я2-а31 =36 N*,-flU =36 =36 |р2-4р-32| =36 f(p2-12/?).(p2>4p-32)<0, l|8p-32.| =36 [(8/>-32).(р2-4р-32)<0, \\p2-\2p\ =36 [\p2-4p-32\ =36 [-4</?<0или8<р<12, ll/>-4| =4,5 [ p < - 4 или 4 < /7 < 8, I|j92-12p| =36 Ответ: {-2;-0,5; 8,5; 6}. /7 = 2 /7 = 6. 51
Опорная информация Естественно, что в основе любого результата находятся определения тех понятий, которые используются в его формулировке. Поэтому несколько слов об определении модуля. Автору нравятся следующие варианты определения: B-L | т | = т, если т > 0; | т | = -т, если т < 0. В-2. | т | = т, если т > 0; | т | = 0, если w = 0; | т | = -/и, если т < 0. В первом варианте заключения и условия равносильны: \т\ = т<^т>0; (1) | /я | = -т <=> w < 0. (2) Во втором варианте (в отличие от первого) для любого т истинно одно и только одно утверждение, что в задачах с параметрами существенно. В этом же варианте подчеркивается особая роль значения т = 0. Для наших целей мы будем опираться на первый вариант определения модуля, поскольку в последующем изложении нам крайне важны утверждения (1) и (2), объявляющие равносильные переходы от нестрогих неравенств к уравнениям. Строгие же неравенства сводимы к нестрогим, например: /<0«-<0и/>0«~>0. / / Поэтому любое неравенство сводимо к уравнению. Соотношения (1) и (2) допускают компактную форму записи: \т\ = ±т<=> ±т>0. (У.1) В дальнейшем мы активно будем эксплуатировать известное свойство модуля \т\ = \-т\ (У.2) и знакопостоянство выражений \т\±т: Vw | т | ± т > 0, (У.З) которое непосредственно следует из определения. Утверждения У.1-У.З и являются опорной информацией для понимания всего дальнейшего материала. 52
Основные свойства суммы модулей Пусть даны п величин т\9 т2, ..., тп. Рассмотрим систему п равенств: (3) в каждом из которых выбран один из знаков независимо от остальных, определяющий в силу утверждения (У.1) знак соответствующей величины. Сложим полученные равенства: I т\ | + | т21 + ... + | т„ | = (±т\) + (±т2) + ... + (±тп). (4) В равенстве (4) в левой части находится сумма модулей, а в правой части — алгебраическая сумма величин ти т2,..., тп. Перенесем все в левую часть и сгруппируем следующим образом: (| т\ | - (+т\)) + (| т2 \ - (+т2)) + ... + (| тп \ - (±тп)) = 0. Так как для к = 1,2, ..., п выражение \тк\- (±тк) в силу (У.З) неотрицательно, то последнее равенство истинно тогда и только тогда, когда истинны все равенства системы (3), что в силу (У.1) равносильно знакопостоянству величин т\9 т2,..., тп. То есть получаем главное свойство суммы модулей: Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодулъных величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак с которым она входит в алгебраическую сумму. Пусть а* = ±1, тогда сформулированное свойство можно записать следующим образом: т2 тп \ = а2т2 а2т2: аптп 0, *0, Где akmk > 0 <=> mk > 0 при a* = 1 и akmk > 0 » mk < 0 при a* = -1. Если использовать знак суммирования, то это утверждение представимо и в таком виде: Е| тк | = 1актк » VA: a^w^ > 0 (У.4) (здесь и далее суммирование по к от 1 до п). 53
Пример 1. Решить уравнение | х2 - 1 | + | х2 - 5х + 6 | - 5х + 7 = 0. Решение. Выделяем сумму модулей: Затем попытаемся установить, можно ли (5х - 7) представить в виде алгебраической суммы подмодульных выражений. Так как (5л: - 7) = (л:2 - 1) - (х2 - 5х + 6), (5) то мы имеем равенство вида I *п\ | + | т21 = а\т\ + а2т2у где ой = 1, а2 = -1. Поэтому исходное уравнение равносильно системе f*2-l>0, U2-l>0, -\ илих>1, Ответ: 2 < jc < 3. Замечание. Читатель вправе спросить, что было бы, если нам не удалось установить равенство (5)? Тогда, увы, нам пришлось бы решать исходное уравнение, например, методом интервалов. Разница в затратах времени очевидна. Именно поэтому мы попытались поймать шанс воспользоваться свойством 1. Рассмотрим теперь систему п неравенств | >±/ир Л > ± т7, (6) каждое из которых истинно в силу (У.З). Сложив данные в (6) неравенства, получим, что сумма модулей больше или равна любой алгебраической суммы подмодульных величин: I rri\ I + I гп21 + ... + | тп \ > ахтх + а2т2 + ... + а„т„, (У.5) где а„ равно либо -1, либо 1. 54
Очевидно, что при умножении алгебраической суммы на (-1) мы опять получаем алгебраическую сумму (противоположную данной). Поэтому из (У.5), в частности, следует, что сумма модулей одновременно больше или равна любой алгебраической сумме подмодульных величин и ей противоположной. А это равносильно тому, что сумма модулей больше или равна модулю любой алгебраической суммы подмодульных выражений: I т\ | + | т21 + ... + | тп \ > \ ахтх + а2т2 + ... + аптп |. (У.6) Тем самым мы показали, что утверждения (У.5) и (У.6) равносильны. Случай равенства в (У.5) уже рассмотрен (см. (У.4)). Пусть теперь I гпх | + | т21 + ... + | т„ | = | oti/wi + а2т2 + ... + а„т„ |. (7) Так как при g > О равенство g = |/| равносильно совокупности равенств g =/и g = -/, то равенство (7) равносильно совокупности Г|т,| + \т2\ +...+ \тп\ =а,т, +а2ю2 + ... +аптп [|/wj + \т2\ +...+ \тп\ =(~a1)w1+(-a2)w2 + ...+(~aw)mw. Каждое равенство в этой совокупности в силу (У.4) равносильно системе соответствующих неравенств, что позволяет сформулировать еще одно свойство суммы модулей: Сумма модулей равна модулю алгебраической суммы подмо- дульных величин тогда и только тогда, когда одновременно все величины имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическую сумму, либо одновременно все величины имеют противоположный знак: « L. * (У-7) [ук ак - тк < 0. Например, I гп\ | + | т21 + | т31 = | т\ + т2 - т3 \ <=> \щ > 0, Гщ < 0, 1т2 > 0, или I т2 < 0, [ [тъ < 0 [т3> 0. 55
Пример 2. Решить уравнение Решение, «Загоняем» коэффициенты 2 и 5 под знак модуля и «изолируем» сумму модулей: | 2х- 8 | + | 3 -х | + | 5х- 10 | = | 1 + 2х |. Ловим шанс воспользоваться свойством (У.7). Для этого ищем комбинацию знаков подмодульных выражений (2х - 8), (3 - л) и(5х - 10), при которой алгебраическая сумма этих выражений равна подмодульному выражению правой части равенства, то есть выражению (1 + 2х). (Это проще в данном примере обнаружить по константам: -(-8) + 3 + (-10) = 1.) И если действительно такая комбинация знаков обнаруживается (что совершенно необязательно), то свойство (У.7) позволяет быстро закончить решение уравнения. Имеем -(2х- 8) + (3 -х) + (5х- 10) = 1 + 2х, то есть уравнение имеет вид Следовательно, в силу свойства (У.7) уравнение равносильно совокупности двух систем: Г-т,>0, [ т2 > 0, или Откуда |3-л:>0, или J3-jc<0, |5jc-10<0, то есть 2 < х < 3 (см. замечание к примеру 1). Ответ: 2 < х < 3. Так как а* = ±1, то в силу (У.2) | актк | = | тк |, поэтому утверждения (У.4)-(У.7) можно представить в виде: (У.4): 1| актк \ = I,ak-mk » VA: актк > 0; (У.5): £| a^rtfc \ 56
(У.6): [ifc abmk > О [V/r aA./wA < 0. Если теперь ввести обозначения щт\ = w,, a2w2 = u2,..., а„ю„ = ия, то получим: l)I|ffc| = Zifc»ii,>0, (У.8) то есть сумма модулей равна сумме подмодульных величин тогда и только тогда, когда все подмодульные величины неотрицательны; 2)1\щ\> 1иь (У.9) то есть сумма модулей не меньше суммы подмодульных величин; Ъ)1\ик\>\1ык\9 (У.10) то есть сумма модулей не меньше модуля суммы; fVA: uk > 0 * (У.11) [VA: ик < 0, то есть сумма модулей равна модулю суммы подмодульных величин тогда и только тогда, когда все величины одновременно неотрицательны либо все одновременно неположительны. Очевидно, что утверждения (У.8)-(УЛ1) есть частный случай утверждений (У.4)-(У.7), если объявить, что ai = a2 = ... = <х„= 1. Однако верно и наоборот. Полезно для полного понимания самостоятельно решить следующие упражнения. Упражнение 1. а)(У.1)« в) (У.1)» д) (У .4) <=> ж) (У .4) <=> и)(У.7)«=> Упражнение 2. а) (У.З)« в)(У.З)« Докажите: (У.4); (У.8); (У.7); (У.11); (У.11); Докажите: (У.5); (У.9); б)(У.1)« г)(У.1)« е) (У.4)» з)(У.7)« к)(У.8)« б)(У.З)« г)(У.З)« (У-7); (У.11); (У.8); (У.8); (У.11). (У .6); (У.Ю); 57
д) (У.5) «(У.6); е) (У.5) «(У .9); ж)(У.5)«(У.1О); з) (У.6) « (У.9); и) (У.6) <=> (У. 10); к) (У.9) <=> (У. 10). Все задания а)-к) в упражнениях выполнять без ссылок друг на друга. Если смущает формулировка главного свойства суммы модулей (см. (У.4)), то можно опираться на равносильную формулировку (У.8). Тогда решение неравенства примера 2 выглядело бы следующим образом. После приведения уравнения к виду и установления взаимосвязи подмодульных выражений -(2х- 8) + (3 -х) + (5х- 10) = 1+ 2х мы переписываем уравнение, умножая на (-1) первое подмодуль- ное выражение: Это уравнение уже имеет вид | Щ | + | ^2 | + | Щ | = | U\ + Щ + Щ |, что в силу (У.11) равносильно совокупности двух систем U > 0, \щ < 0, \и2 >0, или <и2 < 0, 4г >0 [щ < 0. Откуда [8-2х>0, [8-2* < 0, [ 3 — д: > 0, или j 3 - jc < 0, 0 [5jc-10 < 0 Ответ: 2 < х < 3. Наиболее изощренно авторы задач эксплуатируют модуль в соотношениях с двумя переменными, пряча очевидные условия на эти переменные. Посмотрите и самостоятельно докажите следующие утверждения: 1) wv = 0 » | и | + | v | = 11 и | -1 v 11, (У.12) 2) u-v < 0 » | и | + | v | = | и - v |, (У. 13) 58
3) u-v > О <=> | и | + | v | = | и + v |, (У.14) 4) u-v < 0 « I и + v | = 11 и | - | v 11, (У.15) 5) u-v > О « I и - v | = 11 и | - | v 11, (У.16) 6) max {u\ v} = — (u + v + | и - v |), (У. 17) 7) min {u; v} = -(w + v- | w- v|). (У.18) Следствие 1: u + v = max {w; v} + min {u\ v}. (У. 19) Следствие 2: | и - v | = max {w; v} - min {w; v}. (У.20) Самая популярная сумма модулей Кто-то, возможно, усомнится, но самой известной конструкцией с модулями в практике вступительных экзаменов является сумма модулей линейных выражений. Пример 3. При каких значениях параметра р уравнение имеет бесконечно много решений? Решение. Левая часть уравнения, имея вид |*-я| + |х-6|, есть сумма расстояний от точки х до точек а и Ъ на числовой оси Ох. Если эта сумма расстояний больше длины отрезка с концами в точках а и 6, то существуют ровно две различные точки вне отрезка, симметрично расположенные относительно середины отрезка, удовлетворяющие равенству (8). Если же сумма расстояний равна длине отрезка, то любая точка отрезка является решением уравнения (8). И если отрезок не вырождается в точку а = &, то в этом случае уравнение (8) имеет бесконечно много решений. Наконец, если сумма расстояний меньше длины отрезка, то искомых точек нет, то есть уравнение (8) не имеет решений. Поэтому искомые значения параметра р определяются из условий а ^ Ьи\а-Ь\ = 6 -р, то есть из системы р<6, <=> \р2-2р\=6-р р2-2р = 6-р 59
<=>/? =-2 ИЛИ/7 = 3. Ответ: р = -2; р = 3. Упражнение 3. Решите пример 3 методом интервалов, чтобы осознать разницу во временных затратах. Рассмотренный пример позволяет сразу объявить число Nx(a; Ъ\ с) решений относительно х при заданных значениях параметров а, Ь и с уравнения \х-а\ + \х-Ь\ = с. (9) • Если сумма с расстояний \х - а\ к \х - Ь\ меньше длины | а - Ъ | отрезка (в частности, точки), уравнение (9) решений не имеет. • Если отрезок вырождается в точку а = 6, то при с - О решение одно. • Если сумма с расстояний | х - а | и | х - Ъ \ больше длины | а - Ь | отрезка, то решений два. • Если сумма с расстояний | х - а \ и | х - Ъ \ равна длине | а - Ъ \ и отрезок не вырождается в точку (то есть а & 6), то решений бесконечно много. То есть окончательно получаем для уравнения \х-а\ + \х-Ь\ = с Nx{a\ Ъ\ с) = 0 » с < | а - Ь |, Nx(a\ b\ с) = 2 « с > | а - b |, Nx(a; b;c) = oo *=> c = \a-b\> О, где Nx{a\ b\ c) — количество решений уравнения относительно х при данных значениях параметров a, b и с. Упражнение 4. Докажите (У.21), исследуя функцию у = \ х - а \ + + |х-Л|. В силу (У.6) |jf-a| + |jf-*|^|(x-6)-(x-a)| = |flf-6|, а в силу (У. 13) \x-a\ + \x-b\ = \a-b\<=>(x-a)(x-b)<0. Поскольку неравенство (jc - а)(х - Ь) < 0 при любых an b имеет решение, то еще раз убеждаемся в том, что min (| х - а | + | х - b |) = | а - Ъ \ (У .22) и это минимальное значение достигается в точках отрезка с концами а и Ъ (то есть либо на отрезке [а; Ь]у либо на отрезке [Ь; а]). 60
Утверждение (У.22) позволяет решить следующую задачу. Пример 4. Найти минимальное значение функции у(х) = | х - ах | + | х - а2 | + | х - а3 |, где а\ < а2 < а3. Решение. Представим функцию в виде у-у\+уъ где ^i = | л: - а\ | + | л: - аз | и у2 = | х - «21. Слагаемое у\ принимает наименьшее значение на отрезке [а\\ а3], в частности в точке х = а2. Но при х = а2 слагаемое у2 принимает наименьшее значение, равное нулю. Следовательно, х = а2 является точкой минимума функции у, то есть min у =у(а2) = \ а2 - ах \ + | а2 - аъ \ = X = fe - я О + {аъ - а2) = а3-щ = 1, где / — длина отрезка [а\\ аз]- Ответ: а-*,-а\. Теперь мы можем прокомментировать решение задачи, рассмотренной в начале занятия. Поскольку величины а\ = р2 - Юр, а2 = 2р и аз= р2 -2р - 32 зависят от параметра, то мы не знаем, какая из них находится между другими. Поэтому мы рассматриваем три случая. Случай 1. а2 < а\ < яз или я3 < яi < сц, то есть а\ находится на отрезке с концами в точках a2wa^ Случай 2. а\ < а2 < аз или аз ^ а2 ^ а\. Случай 3. а\ < аз ^ а2 или а2 < аз ^ а\. Ранее мы приводили очень удобное необходимое и достаточное условие того, что число / находится между данными числами т и п (неважно (!) при этом, какое из них не меньше другого): т ^ / ^ п **(t-m)(t-n)<0. (У.23) п < / < т Именно данным фактом объясняется наличие неравенств в каждой системе совокупности в приведенном решении. А уравнение в каждой из указанных систем есть следствие утверждения (У.23). Наличие модуля в уравнениях обусловлено незнанием, какое из Двух я,-, aj не меньше другого, или смотри (У.22). Решение примеров 3 и 4 легко обобщается на произвольную сУмму модулей вида \х-ак\. 61
Пример 5. Пусть а\ < #2 < ... < ап-\ < #„. Найти минимальное значение функции у(х) = | х - #i | + | х - #21 + ... + | х - ап |. Решение. Как в примере 4, преобразуем выражение^*) к виду При этом, если п — четное число, то есть п = 2т, то получится т пар вида (| х - а | + | х - Ъ |); если же а? — нечетное число, то есть п = 2т + 1, то, помимо w пар, появится отдельно | х - ат+\ |. Как мы уже знаем, каждая пара вида (|х-#| + |;с-&|) принимает минимальное значение при а < х < Ь. Поэтому первая пара принимает минимальное значение при а\ < х < яя, вторая — при аг < х < aw_i, третья— при я3 < х < ^п-г и т.д. Но промежутки tfi < х < aw, (72 < х < aw_i, аз < х < а„_2 и т.д. являются вложенными друг в друга, так как по условию а\ < а2 < аз < ... < аЛ_1 < а„. Поэтому при « четном найдется промежуток значений х ат < х < am+i (w — половина «), а при п нечетном значение х = ат+\ такие, что для всех указанных х (например, для любого п при х = ат+\) все слагаемые вида (\х-а\ + \х-Ь\)и слагаемое |х-ат+\ \ одновременно принимают наименьшее значение. Следовательно, при этих значениях х и функция у(х) принимает наименьшее значение, равное (ап - а\) + (а„_1 - а2) + (ап-2 - ^з) + ••• (то есть сумме длин вложен-, ных промежутков). Ответ: (ап - а}) + (а^ - а2) + {ап.2 - аъ) + ... Пример 6. Найти минимальное значение функции у(х)=Щх-\ | + 9|х-2| + 5|л:-3| + 4|;с-4| + + 8|x-5| + 3|jc-6| + 4|jc-7|. Решение. Данная функция есть функция вида у = | х - ах | + | х - а2 \ + ... + | х - ап |, где«= 10+ 9 + 5+4 + 8 + 3 + 4 = 43 и а\ = а2 = ... = aw = 1, я29= язо = ... = #зб = 5, а\ 1=^12 = ... = #19 = 2, Яз7 = ^38 = #39 = 6, #20 = ^21 = — = #24 == 3, #40 = #41 = — = #43 = 7. #25 = Я26 = .- = #28 = 4, В силу примера 5 минимальное значение функции достигается в «серединной» точке, то есть при х = ат+\ = #22. Ответ: у(3) = 74. 62
Решение примера 6 можно организовать в процедуру поиска точки минимума таким образом, что она (процедура) позволит найти точку минимума функции более общего вида: /, | + | к2х + h | + ... + | к„х + /„ |. Пример 7. Найти минимальное значение функции у(х) = к\\ х - ах | + к2\ х - а2 | + ... + кп\х- ап |, если я 1 < а2 < ... < ап, а числа ки к2,..., кп — натуральные. Решение. Опуская обоснование, которое легко следует из примера 6, приводим схему поиска точки минимума (напомним, что она действует и в более общем случае). Строим последовательность чисел 5,-: 5, = *i, S2 = й + fe,..., 5Л = *i + fe + ... + К (эту последовательность можно назвать последовательностью накопления). Далее находим «половинный» уровень А/= — 5W. Теперь мы ищем такое w, что 5т < М < 5w+i. После чего объявляем точку минимума Х = Например, для функции примера 6 имеем Si = 10, S2 = 19, S3 = 24, S4 = 28, Ss = 36, 56 = 39, 57 == 43. Откуда M = 21,5. И так как S2< M< 5з, точка минимума jc = аз = 3. Поэтому Если в примере 7 коэффициенты к\9 к2, ..., /:„— рациональные положительные числа, то после умножения на общий знаменатель дробей задача сводится к новой функции с натуральными коэффициентами. Очевидно, что умножение на положительное число не влияет на результат процедуры поиска точки минимума. Поэтому в силу непрерывной зависимости ответа от параметров к\9 к2, ..., кп процедура поиска точки минимума позволяет решать задачу в самом общем случае. Пример 8. Найти минимальное значение функции у = | *, х + /, | + | к2х + /21 + ... + | кпх + /„ |. 63
Решение. На первом шаге равенство, задающее функцию, преобразуется к виду к2\- х + - На втором шаге находятся корни подмодульных выражений, то есть определяются числа и эти числа упорядочиваются по возрастанию, после чего получаем стандартную форму для записи данной функции: у= к[\х-ах\+ к'2\х-а2\ + ...+ к'„\х-а„\, где а\ < О2 < — < On- На третьем шаге строится последовательность накопления S, = k[,S2 = к[ + к[,..., Sn = к[ + к'2+ ... + к'„. На четвертом шаге определяется «половина» накопления На пятом шаге находится номер (/и + 1) точки минимума функции из двойного неравенства Sm < М< 5w+i. На шестом шаге объявляется точка минимума л: = а„^\ (она не обязана быть единственной, но она всегда существует, так как последовательность Su S2, ...> Sn строго возрастает). Наконец, минимальное значение функции определяется как Для иллюстрации рассмотрим задачу определения минимального значения функции у= Первый шаг. «Выносим» коэффициенты при х за знак модуля: •=72 JC- 1 х + 1 64
Второй шаг. Находим и упорядочиваем по возрастанию корни подмодульных выражений: х + -=— = 0 => хъ = 1 - V2 ; V2 + 1 Так как хъ < х4 < хг < х\, то имеем: а\ = *з> а2 = хА, а3 = дг2, а4 = хь , ^ = 7з, к\ = V2, Третий шаг. Последовательность накопления выглядит следующим образом: о, = v2 + 1, л2 = v3 + v2 + 2, *>з = 2v3 + v2 +2, 04 = 2>/3 +2V2 + 2. Четвертый шаг. Определяем «половинный» уровень накопления М=~54= 7з + V2 +1. 2 Пятый шаг. Находим номер (т + 1) точки минимума функции из неравенства Ош ^ 1V1 ^5 Om+i. Очевидно, что S\ < М < 52, откуда (т + 1) = 2. Шестой шаг. Объявляем точку минимума х = а2= — (1 -v3J. Откуда минимальное значение функции есть 65
то есть тту = (V2 + l)(a2-tfi)+ V3 (а3-а2) Ответ: 5 - л/3 . В заключение приводим решения четырех задач из вступительных экзаменов последних лет. Задача 2. Решить уравнение | jc — 1 | + |*+ 1 | + |*-2| + + | jc + 2 | + ... + | jc - 100 | + | х + 100 | = 200jc. Решение. Сумма всех подмодульных выражений равна 200х, то есть правой части. Поэтому уравнение имеет вид I Щ | + | U2 | + ... + | W200 | = Щ + U2 + ... + W200. А это в силу (У.8) равносильно неотрицательности всех подмодульных выражений. Откуда* > 100. Ответ: х> 100. Задача 3. Найти минимальное значение суммы Решение. В силу решения задачи примера 5 искомое значение равно (20002 - I2) + (19992 - 22) + (19982 - З2) + ... + (10012 - 10002) = = 2001-1999 + 2001-1997 + 2001-1995 + ... + 20011 = 1 + 1999 П999-1 ^ = 2001- (1 + 3 + 5 + ... + 1999) = 2001- ■ +1 = = 200110002 = 2 001 000 000. Ответ: 2 001 000 000. Задача 4. Дана функция j<x) = |x-2| + |2x-2| + 3. а) Найти наименьшее значение функции у(х). б) Решить неравенство^*) > 7. Решение (без обоснования, которое в виде упражнения предлагается читателю найти самостоятельно). 66
(;с-2) + (2;с-2) + (*-2)-(2;с- 8 Г" 4<х х<0 »л:<Оилид:> -. Ответ: а) 4; б) (-оо; 0) U | -; + оо |. Задача 5, При каких значениях параметра а система Пх + а| + \у-<*\ + |я + 1 + х| + |а + 1-^| =2, |y = 2|jc-4| -5 имеет единственное решение? Решение. Первое уравнение в системе имеет вид I Щ I + I и21 + | и31 + | щ | = -щ + и2 + w3 + и4, что равносильно системе неравенств wi < 0, w2 > 0, w3 > 0, w4 > 0. Поэтому исходная система равносильна следующей: Г-я-1 < х < -а, я < j/ < 1 Так как значение у единственным образом определяется значением х, то система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда относительно х имеет единственное решение система { 2 ' ' 2 Поскольку модуль есть величина неотрицательная и для всех а выполняются условия я+5 а+6 • < ■ 67
то рассмотрим случаи: а + 6 2 а + 6 2 а + 5 < 0 <=> а < -6; = 0 <=> а = -6; < 0 < <=> -6 < а < -5; 7-й случай. При а < -6 не имеет решений второе неравенство и, следовательно, не имеет решений и система. 2-й случай. При а = -6 система, принимая вид {5 < х < 6, также не имеет решений. 3-й случай. При -6 < а < -5 система принимает вид Г-я-1 <*<-*, Г-а-1 < . а -+- 6 то есть |х-4| < 2 I 2 " " 2 Эта система имеет единственное решение, когда либо 2-а я + 14 -а = , либо -а - 1 = , то есть когда либо а = -2, либо 2 2 а = . Условию -6 < а < -5 удовлетворяет только а = . 4-й случай. При а > -5 система (10) преобразуется к виду -а -1 < х < — а, 4 <х< 4 + 2 а+6 -а -1 < х < - а, 1 —а ^ ^ 3 —а "2-а 3-а" где отрезки I : I и 2 2' при х > -5 не имеют 68
общих точек и первый из них всегда находится левее второго на оси Ох (рис. 1). Осталось найти значение параметра а, когда отрезок [-а - 1; -а] имеет единственную общую точку с указанными двумя отрезками. Так как при а > -5 левый конец отрезка [-а - 1; -а] на- '2-а Ъ-а ходится всегда левее правого конца отрезка 1 3-а Л -а -1 < <=> а > -5 , то существует единственная искомая ситуация (рис. 1), когда правый конец отрезка [-а - 1; -а] совпадает [2-я 3-я! 2-я елевым концом отрезка ; , то есть когда -а = . Откуда а = -2. 2-е 2 г 3 - а 2 13 + а 2 14 + а 2 X ►- -а-\ -а Рис. 1 Ответ: ;-2. Упражнение 5. Найдите все значения х, при которых функция j^ = |jc — 1 | + 2-|*-2 | + 3-|jc-3| + ...+ 2005-I*-2005 | принимает наименьшее значение. Послесловие Сумма модулей обладает еще одним очень красивым свойством. Экстремальное свойство суммы модулей (ЭС) Пусть Тогда у(х)= max ( Cot,. ,а„) 69
где (cxi, аг, ..., а„) — произвольный набор чисел (-1) и 1 (то есть а, = ±1). Введем для данного набора а (ои, аг, ..., а„) функцию Тогда главное свойство (ЭС) можно записать таким образом: (ЭС) Доказательство. Для любого х \j(x)\ =J}(x) или \J{x)\ = -fix), to есть \Дх)\ = CLf{x\ где a, = -1 или a, = 1. Следовательно, для любого х существует такой набор a (ai, аг, ..., а„), что У(х) = \Мх)\ + \/2(х)\+ ...+\fn(x)\ = ^ И так как в силу (С7) для любого набора a (ai, аг,..., а„), то это и означает, что значение ^(х) в любой точке есть максимальное значение из величин уа(х), то есть а что и требовалось доказать. Замечание. Количество различных функций уп равно 2" (докажите самостоятельно) и, очевидно, равно числу всех различных алгебраических сумм выражений fx(x\ /2(x), ...,/„(х). Очевидно, что доказательство (ЭС) мгновенно следует и из утверждения, что \а\ = max {-а, а}. Из (ЭС) вытекают (докажите самостоятельно) два ранее сформулированные правила. (Правило 1. Меньше, меньше или равно — система. Правило 2. Больше, больше или равно — совокупность. 70
Глава 5. Несколько решений одной задачи Введение На примере задачи вступительных экзаменов в Московском институте радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА) мы детально разбираем шесть различных путей ее решения: решение первое — методом интервалов; решение второе — графическое в плоскости (х; я); решение третье — методом нестандартных преобразований неравенств с модулем; решение четвертое — графическое в плоскости (х; у); решение пятое — относительно параметра; решение шестое — по правилу минимакса. Графические решения (второе и четвертое) и решение пятое относительно параметра считаются общепризнанными для задач с параметром. Решение первое— методом интервалов, решение третье — методом нестандартных преобразований неравенств с модулем и решение шестое — по правилу минимакса называются аналитическими и обусловлены спецификой именно данной задачи и ей подобных. Хотелось бы предупредить читателя, чтобы он ни в коей мере после ознакомления со всеми решениями не устанавливал между методами какой-либо иерархии по эффективности их применения, поскольку, как известно, эффективность выбранного пути решения зависит от постановки задачи. И цель любого читателя, в первую очередь, состоит в овладении всеми методами решения. При этом под овладением мы понимаем способность воспроизводить демонстрируемые решения с любой степенью подробности любому желающему и без неоправданных пауз в период демонстрации. Очевидно, что владение информацией является необходимым условием для изложения ее в любой аудитории. Итак, перед вами Задача. Найти все значения параметра я, при которых неравенство 5х + 7|*-а| + 3|х + 3| + 6|х-3|>145 (1) выполняется для всех х. 71
Краткая запись этой задачи может быть представлена следующим образом. Задача. Ух 5х + 7|*-.а| + 3|х + 3| + 6|*-3| Решение первое (методом интервалов) Подмодульные выражения равны нулю прих = а, х = -3их = 3 соответственно. Поэтому выделим следующие пять вариантов взаимного расположения этих значений. Вариант 1. а < -3 < 3. Вариант 4. -3 < а = 3. Вариант 2. а = -3 < 3. Вариант 5. -3 < 3 < а. Вариант 3. -3 < а < 3. Для каждого из вариантов мы найдем значения параметра а, при котором исходное неравенство выполняется для всех значений х. И поскольку оно должно выполняться для всех значений х, то оно должно выполняться и для всех значений х из каждого интервала. Поэтому мы будем не решать исходное неравенство для каждого значения параметра, а определять каждый раз те значения параметра, при котором исходное неравенство истинно на всем промежутке. При этом мы подробно рассмотрим вариант 1, а остальные варианты — без особых комментариев. Вариант 1: а < -3. Числовую ось значений переменной х представим в виде четырех непересекающихся промежутков (рис. 1), задаваемых условиями: (ел. 1.1) х < а; (ел. 1.3) -3 <jc < 3; (ел. 1.2) а<х<-3\ (ел. 1.4) 3 <х. а -3 3 х Рис. 1 Для каждого случая при а < -3 все подмодульные выражения исходного неравенства знакоопределенны, что позволяет переписать это неравенство без модулей. Случай 1.1: х < а. Тогда 72
Полученное неравенство выполняется для всех х < а тогда и только тогда (!), когда 7а-136 а< , И то есть при Ж-34. (2) Случай 1.2: а < х < -3. Тогда (1а + \Ъ6 \ Полуинтервал (а; -3] лежит на луче ; + °° тогда и только тогда (!), когда левый конец полуинтервала находится не левее (!) начала луча, то есть когда 7я + 136 . ^ч < а » а < -34. (3) Таким образом, при а < -34 исходное неравенство выполняется для всех значений л: из промежутка (а; -3]. Случай 7.3: -3 < jc < 3. Тогда > 7flr + 118 < jc. (4) Чтобы неравенство (4) выполнялось для всех х из полуинтервала (-3; 3], необходимо и достаточно, чтобы, как и в случае 1.2, левый конец полуинтервала находился бы не левее начала луча, то есть 145 -3 <=> а < . (5) 7 < 3 а 9 7 Случай 1.4:3 <х. Тогда Неравенство выполняется на луче (3; +°о) тогда и только тогда, когда начало этого луча находится не левее начала луча 73 -; + oo I, то есть когда
<=> a ^s —13. (o) 21 . ' Неравенства (2), (3), (5) и (6) объявляют условия, при которых при а < -3 одновременно исходное неравенство выполняется на всех промежутках оси Ох. Поэтому система указанных неравенств объявляет среди значений а < -3 все те значения параметра я, при которых исходное неравенство выполняется для всех х. Имеем [(2), 1(6) Ответ варианта 1: а < -34. Вариант 2: а = -3. Тогда исходное неравенство принимает вид 5л: + 10|л:-+-3 | + 6|х-3|>145. Это неравенство можно решать, а можно указать хотя бы одно значение х (например, х = 0), при котором оно ложно, чтобы объявить, что а = -3 не удовлетворяет условию задачи. Ответ варианта 2: а & -3. Вариант 3:-3<а<3. (Сл. 3.1)х<-3^5х- 11 Последнее неравенство выполняется для всех х из промежутка (_оо; -3] тогда и только тогда, когда 11 7 что противоречит условию -3 < а < 3 данного варианта. Таким образом, при всех а ^ (-3; 3) исходное неравенство не выполняется на промежутке (-оо; -3]. Ответ варианта 3: а £ (-3; 3). 74
Вариант 4: а = 3. Тогда 5л: + 10| х + 3 | + 13| х - 3 | > 145. Это равенство ложно при х = 0, и следовательно а & 3. Ответ варианта 4: а^З. Вариант 5 (рис. 2): 3 < а. -3 3 а Рис.2 (сл. 5.1)х<-3; (сл. 5.3) 3 < х < а; (ел. 5.2) -3 < х < 3; (сл. 5.4) а<х. Случай 5.1: х < -3. Тогда ()( )() х Для любых jc < -3 выполняется последнее неравенство тогда и только тогда, когда , 1а -136 103 3<<=>> 3а И 7 Случай 5.2: -3 < л: < 3. (7) 5х1(ха) Ъ(х Ъ)6(хЪ)5 , Это неравенство выполняется для всех л: ^ (-3; 3] тогда и только тогда, когда 2£ziii«a>i9. (8) 3ai9. Случай 5.3: 3 < л: < а. 5х - 7(х - а) + 3(х + 3) + 6(х - 3) > 145 » ^ 154-7о л: > = 22 - а. Для всех л: s (3; а] последнее неравенство выполняется тогда и только тогда, когда 22-а<3«о>19. (9) Случай 5.4: а < jc. 75
Для любого х ^ [я; +оо) это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда 21 а> И. (10) Система неравенств (7)—(10), как и в варианте 1, объявляет среди значений а > 3 все значения, при которых исходное неравенство выполняется для всех х: 'п\ \ 103 (7), а> — (8), ^ (9), (Ю) Ответ варианта 5: а > 19. Объединяя ответы всех вариантов, получаем ответ задачи. Ответ: а < -34 или а > 19. Решение второе (в плоскости (х; а)) Рассмотрим в плоскости переменных хна множество всех точек таких и только таких, координаты которых удовлетворяют исходному неравенству 5* + 7|х-а| + 3|х + 3 |+ 6|х-3 | > 145. (И) Как известно, такое множество принято называть ГМТ неравенства (11) (ГМТ — геометрическое место точек). Обычно с этой целью выявляют ту из двух переменных, относительно которой неравенство легко разрешимо. В нашем случае, очевидно, таковой является переменная а. Чтобы не иметь неудобств с дробями при решении неравенства (11) относительно параметра, введем временно параметр/? = 1а. Тогда (11) » | 7jc-р | > 145 - 5jc - 3| jc + 3 | - 6| ;с - 3 | « "p<7x-(l45-5x-3|x + 3| — б| jc —3 |) \р<р,(х) /?>7;c + (145-5;c-3|jc + 3| — б|jc — 3 |) [р>Р2(х)> <=> где p,(jt)=12x + 3|;t + 3| + 6|;t-3 | — 145. р2 (х) = 2х - 31 х + 3 | - 61 х - 3 | + 14 5. 76
Далее по стандартной схеме раскрытия модуля устанавливаем, что еслих< -3, тор\(х) = 3х- 136 ир2(х) = 11л: н- 136; если -3 < х < 3, тор\(х) = 9х - 118 ир2(х) = 5х + 118; если х > 3, тор\(х) = 21jc- 154 и/?2(*) = -7jc + 154. Осталось найти точки пересечения графиков функций /?i(x) и рг(х), то есть решить совокупность трех систем для определения абсцисс общих точек: ~Г*<-з, f-З < х < 3, f-З < х < 3, \х>Ъ, Возвращаясь к переменной а, получаем, что 7 7 где 3 136 . . —х при л: < -3 7 7 Н 9 118 ^ ^-5 —х при -3 < л: < 3 7 7 F 3jc - 22 при х > 3 0 (12) (13) (14) 11 136 . , —д: + придг < -3 7 7 F 5 118 . . .. —л: + при -3 < л: < 3 7 7 F -лг + 22 придс > 3. (15) 77
Абсциссы общих точек графиков функций а\{х) и аг(х) в силу (12) есть -34 и 11. Подставляя эти значения в (14) и (15) соответственно, найдем и ординаты этих точек: а,(-34) = *2(-34) = -34; я,(11) = *2(11) = 11. Функция а\(х) в силу (14) на отрезке [-34; 11] строго монотонно возрастает, а функция ^М в силу (14) сначала возрастает на отрезке [-34; 3], достигая своего максимального значения я2(3)=19, а затем убывает. Рис.3 Графики функций а\(х) и аг(х\ очевидно, есть трехзвенные ломаные линии. В силу (13) искомое геометрическое место точек неравенства (11) есть объединение геометрического места точек неравенства а<ах(х) (16) и геометрического места точек неравенства а>а2(х). (17) Геометрическое место точек неравенства (16) есть все точки плоскости (jc; я), лежащие ниже графика функции а\{х\ а геомет- 78
рическое место точек неравенства (17) — все точки, лежащие выше графика функции а2(х). Следовательно, искомое геометрическое место точек неравенства (11) как объединение указанных двух ГМТ есть все точки плоскости (х; я), кроме точек, лежащих между графиками функций а\(х) и а2(х), включая точки графиков, и с абсциссами из отрезка [-34; 11] (рис.3). Для решения задачи нам осталось понять, как в плоскости (jc; a) найти искомые значения параметра. С этой целью рекомендуется предварительно проанализировать, что означает, что данное значение яо параметра а есть искомое. Из условия задачи следует, что а0 — искомое, если для всех х пара (х; #о) удовлетворяет неравенству (11). На языке точек плоскости (х; а) это означает, что все точки с ординатой я0 должны принадлежать ГМТ неравенства (11), то есть вся прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в точке а = а0, должна принадлежать указанному ГМТ. Получили необходимое условие того, что #о — искомое значение. Обязательно надо обосновать и достаточное условие: если прямая, параллельная оси абсцисс, принадлежит ГМТ неравенства (И), то ордината а0— точка пересечения этой прямой с осью переменной а — есть искомое значение параметра. Комментарий. Хотя все вроде бы прозрачно, однако большинство школьников крайне неуклюже проводят соответствующее обоснование. Упражнение 1. Докажите сформулированное достаточное условие. Теперь мы готовы указать искомые значения параметра, «двигая» горизонтальную прямую снизу вверх (см. рис. 3): а < -34 или я>19. Ответ: а < -34 или а > 19. Решение третье (методом нестандартных преобразований неравенств с модулем) Основная идея метода. Любое неравенство с модулем можно преобразовать в равносильную ему систему или совокупность, не устанавливая каких-либо ограничений на подмодульное и «внемо- дульное» выражения. 79
Это обусловлено широко известными преобразованиями основных неравенств с модулями, представленными в несколько необычной форме в следующей таблице. Таблица Преобразования основных неравенств с модулями (I/I v*) 1 1/1 <« с J /<*. !-/<* 2 1/1 <* {/<*, [-/<£ 3 1/1 >8 Г />* [~f>g 4 |/|>« Г />* L-/>* Упражнение. Докажите равносильность преобразований основных неравенств с модулем, представленных в таблице. Эта таблица позволяет сформулировать два удобных правила преобразования неравенств с модулем. Правило первое. Меньше, меньше или равно — система. Правило второе. Больше, больше или равно — совокупность. Если кому-то приятно руководствоваться одним правилом, то можно сформулировать общее правило. Общее правило. Если меньше, меньше или равно, то — система. Если больше, больше или равно, то — совокупность. Более подробно это означает, что: 1)если исходное неравенство относительно данного модуля имеет вид |/| < g или |/| < g, то заменяем модуль на плюс-минус подмодульное выражение и получаемые два неравенства рассматриваем в системе; 2) если исходное неравенство относительно данного модуля имеет вид |/| > g или |/| > g, то заменяем модуль на плюс-минус подмодульное выражение и получаемые неравенства рассматриваем в совокупности. Исходное неравенство 5x + 7|jc-tf| + 3|;c + 3| + 6|jc--3|>145 (18) относительно любого из трех модулей является неравенством вида |/| > g, поэтому (!) оно равносильно совокупности 80
5x-l(x-a) + 3(x + 3)-6(jc-3)> 145 (- + -) Эта совокупность получается заменой модулей на плюс-минус подмодульные выражения для всевозможных восьми (два в кубе) различных комбинаций знаков (эти комбинации знаков указаны справа). Если кого-то пугает количество неравенств в совокупности, то укажем на путь возможного исключения некоторых неравенств. Заметим только, что это потребует более глубокого погружения в происходящее, что не любому читателю желательно. Поскольку для всех х второе подмодульное выражение всегда больше третьего (х + 3 > х - 3 для всех х\ то при х + 3 < 0 всегда х - 3 < 0. Поэтому комбинации знаков (+ ~ +) и (— +) невозможны, и исходное неравенство равносильно совокупности уже шести неравенств: "Зл:-а-22>0 9х-7я-118>0 Зх-7я-136>0 л;+я-22>0 7я-118-5л:>0 7(7-136-1 1jc>0. ( ) Замечание. Любой путь решения исходной задачи потребует рассмотрения в том или ином аспекте шести неравенств последней совокупности. Решаем каждое неравенство относительно х: (18) (18) JC>- х>22-а> х< 5 7о-136 11 (19) 81
Полученная совокупность указывает на то, что множество решений исходного неравенства есть объединение шести разнонаправленных лучей (четырех в одну сторону и двух в другую). Нам необходимо найти значения параметра я, при которых множество решений неравенства (18) (и следовательно, совокупности (19)) есть вся числовая ось. — Когда это возможно? — Это возможно тогда и только тогда, когда хотя бы одна пара открытых разнонаправленных лучей покрывает всю числовую ось. — Когда хотя бы одна пара открытых разнонаправленных лучей покрывает всю числовую ось? — Когда конец одного луча из этой пары принадлежит\цруго- му лучу. Упражнение. Сформулируйте ответы на поставленный вопрос для случаев: 1) только один из двух разнонаправленных лучей является открытым; 2) оба разнонаправленных луча являются закрытыми. В совокупности (19) первые четыре неравенства задают лучи, направленные вправо, а два последних неравенства— лучи, направленные влево. Поэтому существует восемь различных пар покрытия числовой оси, которые определяют совокупность восьми неравенств (обеспечивающих для каждой пары соответствующее условие покрытия): 7<з-136 а + 22 ___________ ^ _____ 11 3 7а-136 7а + 118 7а-118 5 7о-118 5 7а-118 5 7о-118 а + 3 7о + 9 <??- 22 136 -а, 11 9 7а-136 7а + 136 < 11 3 7а-136 .. <22-а. Упражнение (утомительное, а потому и полезное). Решите последнюю совокупность. Ответ: а < 34 или а > 19. 82
Решение четвертое (в плоскости (х; у)) Преобразуем исходное неравенство к виду и введем функции Лх) = 7|*-а| иg(jt)= 145-5jc-3|jc + 3|-6|jc-3|. Нам необходимо найти все значения параметра я, при которых неравенство выполняется для всех значений х. На языке графиков у = Дх) и у = g{x) это равносильно тому, что при искомых значениях параметра а график функции у =J(x) находится выше графика функции у = g(x) (естественно, при традиционном расположении координатных осей). График функции у =Хх), как известно, представляет собой угол с вершиной на оси Ох в точке х = а и сторонами, направленными вверх, которые лежат на прямых с угловым коэффициентом ±7 (что в дальнейшем будет существенно). При изменении параметра а от -оо до +оо график функции У =ЛХ) будет перемещаться параллельно самому себе вдоль оси Ох слева направо. График функции у = g(x) есть ломаная, так как после раскрытия модулей находим, что: g(x) = 4х + 136 при jc < -3; g(x) = -2х + 118 при -3 < х < 3; g(x) = -14jc + 154 при л: > 3. То есть график функции есть трехзвенная ломаная, и при этом функция g(x) возрастает на промежутке (-°°; -3] и убывает на промежутке [-3; +оо). Угловые коэффициенты прямых, на которых лежат звенья ломаной, равны 4, -2 и -14 соответственно. Поэтому звенья ломаной не параллельны сторонам угла — графика функции Легко установить, что график функции у = g(x) пересекает ось Ох при х = -34 и х = 11, и при х < -34 или х > 11 все его точки лежат ниже оси Ох, а при -34 < х < 11 — выше (рис. 4). Поэтому график функции у =J{x) может пересекать график функции у = g(x) только в точках с абсциссами, принадлежащими отрезку [-34; 11]. Осталось констатировать, что (см. рис. 4): 1) при а < -34 график функции у = fix) всегда выше графика Функции у = g(x\ так как угловой коэффициент прямой, на которой 83
лежит «правая» сторона угла — графика функции у =Дх), равен 7, а прямой, на которой лежит первое звено ломаной— графика функции у = g(jc), равен 4; \ vw 7 " / п < 34 ^ / /fy\ = 7 Iv 4- ' с. 4 2) так как угловой коэффициент прямой у = -14* + 154 по модулю больше углового коэффициента прямой у = -1х + 7а, и они оба отрицательны, то при возрастании параметра а от значения (-34) графики функций Дх) и g(x) будут пересекаться до тех пор, пока «левая» сторона угла— графика функции у =Дх) не пройдет через точку (3; g(3)) графика функции g(x) (при этом надо указать, что левая сторона после прохождения точки С не будет пересекать звено ВС, которое лежит на прямой с угловым коэффициентом (-2)). Для определения значения параметра а, при котором имеет место указанная ситуация, надо решить систему \а>3. Откуда 1{а - 3) = 112, то есть а = 19; 3) при а > 19 график функции/*), как и при а < -34, всегда будет выше графика функции g(x). Отсюда следует ответ задачи. Ответ: а < -34 или а > 19. 84
Решение пятое (относительно параметра и от противного) Предположим, что значение а$ параметра а не искомое. Это означает, что существует хотя бы одно значение хо переменной х, при котором исходное неравенство не выполняется, то есть выполняется противоположное по смыслу неравенство 5jco + 7|jco-flfo| + 3|xo + 3| + 6|jco-3|< 145. (21) Очевидно, верно и обратное. Если существует хотя бы одна пара чисел х0 и я0, при которых истинно неравенство (21), то значение ао параметра а не является искомым. Поэтому попробуем найти все значения параметра а, при которых существует хотя бы одно решение неравенства 5jc + 7|jc-*| + 3|jc + 3| + 6|jc-3|< 145. (22) Тогда все остальные значения параметра а будут искомыми. Пусть для удобства 1а = р. Относительно р неравенство (22) имеет вид 11х - р | < g(x), что, как известно, равносильно двойному неравенству Отсюда следует, что (22) <=> 12jc + 3| jc + 3 | + 6| jc - 3 | - 145 < </><2x-3|jc + 3|-6|jc-31+145. (23) Необходимое условие существования решений последнего двойного неравенства есть выполнение неравенства |-6|x-3|>0, (24) которое можно было бы получить и из неравенства (22), используя свойство неотрицательности модуля. Неравенство (24) относительно модулей | х + 3 | и | х - 3 | имеет вид \т\ < п. Поэтому, используя нестандартную технику преобразования подобных неравенств (см. главу 4), получаем, что (24) <=> t + 3)-6(л:-3) > О, 145 - 5х + 3(л: + 3) + 6(х - 3) >0 85
14л: < 154, 2*<118' «-34<*<11. (25) 8х<172, -136 <4х Неравенство (25) объявляет те и только те значения переменной jc, которые являются решениями неравенства (23) хотя бы при одном значении параметра, которые нам и осталось найти. Для любого хо ^ [-34; 11] все значения параметра, при которых хо является решением неравенства (23), находятся из этого неравенства, если в него подставить х = jco. Поэтому (!) все искомые значения параметра р принадлежат отрезку [т; Л/], где т= min (12x + 3|jc + 3| + 6|jc-3|-145), 34<jc<1I М= max (2x-3|jc + 3|-6|jc-3 | -34<jc<11 При определении т удобно заметить, что при раскрытии модулей мы будем всегда получать выражение вида кх + /, где к > О, так как 12 ± 3 ± 6>0. ПоэтомуДх) = 12.x + 3|jc + 3| + 6|jc-3|- 145 является монотонно возрастающей функцией, и следовательно w= min Xx)=A-34) = -238. (26) Аналогично, при определении М удобно заметить, что коэффициент в выражении 6| х - 3 |, то есть 6, больше любой комбинации 2 ± 3, и следовательно л: = 3 является точкой максимума g(x), где g(x) = 2х - 31 х + 3 | - 61 х - 3 | + 14 5. Откуда М= max g(x) = g(3)=133. (27) -34<дг<11 Поэтому из (26) и (27) получаем, что -238 </? < 133<=>-238<7я < 133«-34<я< 19. (28) Таким образом, неравенство (28) объявляет все значения параметра а, при которых исходное неравенство ложно хотя бы при од- 86
ном значении переменной х. Следовательно, все остальные значения параметра а есть искомые. Ответ: а < -34 или а > 19. Решение шестое (по правилу минимакса) Основная идея. Если любое значение функции больше некоторой константы, то это равносильно тому, что минимальное значение функции больше этой константы при условии, что минимальное значение функции существует. То есть Уху(х) > Со <=> min у(х) > Со, X если min у(х) существует. X Пусть Поскольку при любом раскрытии всех модулей функция у(х) является линейной функцией, то все свои экстремальные значения она принимает в точках «излома», то есть при х = а,х = -3 их = 3. Графиком функции у(х) является ломаная линия (не более, чем четырехзвенная), «ветви» которой уходят в плюс-бесконечность. Поэтому минимальное значение функции у(х) существует и достигается в одной из точек «излома». То есть mm у(х)<={у(аУ,у(-3);у(3)}. Отсюда следует, что исходное неравенство выполняется для всех значений х тогда и только тогда, когда Ыа)> 145, Я-3)>145, » Ь>(3)>145 + 3| +6|а-3| >145, -15 + 71 -3-а| +б| —3 — 3 | >145, « 3-а| +3|3 + 3| >145 + 3| +6|а-3| > 145, 7|о + 3| >124, <=» [7|а-3| >112 87
|я + 3| +6|а-3| >145, » <!7|я + 3| >124, | ж-13 или а > 19 fa<-13, 3(а + 3)-6(д-3)>145, 1-7(а + 3)>124, >124 а < -34, 145 а<——, >Ц Гд<-34 >Ш 1а>\9. 7 Ответ: а < -34 или а > 19. Мы специально подробно приводим все преобразования, чтобы продемонстрировать тактические хитрости: чтобы не решать более трудоемкое первое неравенство системы, мы «выжимаем» ограничения на параметр из двух последних с целью получения знакопо- стоянства для подмодульных выражений первого неравенства. И наконец, критерием вашей успешной работы является время объявления ответа следующей задачи: При каких значениях параметра а неравенство выполняется для всех х? Ответ можно найти за несколько мгновений! Данное неравенство получено из исходного переменой ролей а их. Поэтому ответ следует из рисунка 3, если посмотреть на ось Ох: а < -34 или а > 11 (докажите!).
Другой вариант получения ответа, согласно шестому решению, есть решение данного неравенства, если в него подставить х = а: 5а + 3(а + 3) + 3(д-3)>145(++) г а > 11 5а + 3(а + 3) - 3(а - 3) > 145 (+ -) <=> (докажите!). -3(а-3)>145(—) La<~34 Послесловие Еще раз предупреждаем читателя, чтобы он ни в коей мере после ознакомления со всеми решениями не устанавливал между методами какой-либо иерархии по эффективности их применения, поскольку, как известно, эффективность выбранного пути решения зависит от постановки задачи. И цель любого читателя в первую очередь состоит в овладении всеми методами решения. При этом под овладением мы понимаем способность воспроизводить демонстрируемые решения с любой степенью подробности любому желающему и без неоправданных пауз в период демонстрации. Очевидно, что овладение информацией является необходимым условием для изложения ее в любой аудитории. 89
Глава 6. Метод трех точек Перед вами две знаменитые задачи, которые в свое время «потрясли» абитуриентов двух ведущих факультетов МГУ им. М.В. Ломоносова. 1 (факультет вычислительной математики и кибернетики, 1986, № 6 (из 6)). Найдите значения с и d, при которых наибольшее значение функции 3х +3-'-2 „ „,ч 3х -1 •————+ 2(с + 2</)-—- 3х + 3~х + 2 3х + на отрезке [-1; 1] является наименьшим. Ответ: с = —, d = — . 3 6 2 (механико-математический факультет, 1991, № 5 (из 6)). Найдите все пары чисел р и д, при которых неравенство (х2 +/ях + <?| > 2 не имеет решений на отрезке [1; 5]. Ответ: р = -6, # = 7. Первая естественная реакция осторожного абитуриента, впервые столкнувшегося с задачей 1, — ввести переменную и = 3* и взглянуть на функцию у(и). Посмотрим и мы. у(и) = и + — 2 U иг-2и + \ 'м2+2м + 1 ц-1 и + 1 м-1 + 2c + d 4 (и-I)2 (и + 1)2 2(c + 2d) и-\ и + 1 + 2c + d + 2c + d Дойдя до этого момента, абитуриент с удовольствием обнаруживает, что эффективнее было бы сразу ввести переменную 90
^ 3х-1 ^ / = 2 • ——. Тогда выражение для рассматриваемой функции принимает вид: Поэтому, чтобы переформулировать исходную задачу, остается выяснить, в каких пределах изменяется переменная t как функция от jc на отрезке [-1; 1 ]. Имеем: 3х+1 3х+1 откуда легко увидеть, что функция t(x) есть монотонно возрастающая. Следовательно, при х е [-1; 1] переменная / принадлежит отрезку [/(-1); /(1))], то есть отрезку [-1; 1]. Таким образом, получаем традиционную нестандартную задачу вступительных экзаменов в вузы с повышенными требованиями к знаниям, умениям и навыкам по математике. 3. Найдите все значения р и q, при которых наибольшее значение функции y(t) =\t2 + pt + q\ на отрезке [aw; п] является наименьшим. Ответ: р = -(т + п), q = —(aw2 + 6aww + п2). 8 Уважаемый читатель легко заметит, что задача 2 очень близка по содержанию к задаче 3 после ее переформулировки указанным способом. 4 (равносильная задаче 2). Найдите все пары чисел р и q, при которых неравенство | х2 + рх + q \ < 2 выполняется для всех значений х из отрезка [1; 5]. Ответ: р = -6, q = 7. Существует несколько различных способов решения сформулированных задач. Рассмотрим первоначально способ, при котором требуется минимальная ориентация в поведении квадратного трехчлена на отрезке. Минимальная ориентация заключается в понимании следующих фактов. 91
Утверждение L Все графики квадратичных функций y(t) =\t2 + pt + q\ как геометрические фигуры равны между собой и получаются друг из друга параллельным переносом (то есть вид графика от параметров pwqne зависит). Утверждение 2. Множество значений квадратичной функции y(t) -\ t2 + pt + q | на отрезке [т; п] есть отрезок, длина которого не зависит от q (так как вычисляется как разность значений функции в некоторых двух точках). Утверждение 3. Минимальная длина отрезка множества значений квадратичной функции достигается тогда и только тогда, когда ось графика этой функции (то есть ось параболы) проходит через середину отрезка [т\ п]. Первое утверждение непосредственно доказывается в школьном курсе алгебры при изучении квадратичной функции с помощью выделения полного квадрата, то есть использования равенства -£L + q = (t-tB)2-£- + q. (1) Равенство (1) позволяет более точно сформулировать утверждения 2 и 3. Из равенства (1) следует: 1) что максимальное значение трехчлена Г + pt + q на отрезке определяется максимально удаленной точкой отрезка от абсциссы р /в = — вершины параболы; 2) минимальное значение трехчлена t2 + pt + qm отрезке определяется минимально удаленной точкой отрезка от абсциссы tB = -— вершины параболы. И так как длина отрезка множества значений квадратичной функции у= t2 + pt + qna [m\ n] (будем в дальнейшем эту длину обозначать Ly(m\ n)) есть не что иное, как разница между максимальным и минимальным значениями этой функции, то получаем следующий вариант утверждения 2. Утверждение 2*. Если -— < т, то Lv (т; п) = у(п) - у(т) = (п- т)(п + т + р) = 1(т + п + р); 92
если если ,то p ^ -—<«, то 2) [т+2 если w < - —, то 2 Ly{m\ri) = ;/(w) - Я") = -(л - т)(п + w + p) = -/ где 1-п-т есть длина отрезка [w; w]. ВеличинуLy(m\ri)принято называть колебанием функции на отрезке. Утверждение 2' фактически определяет колебание квадратичной функции у = t2 + pt + qm отрезке [т\ п] в зависимости от параметра/?: -1(т + п + р), если р < - 2п, /и + — | , если - и + — , если -т-п<: р < - /(m + /? 4- р), если - 2w < р. Поскольку^ =-—, то есть /? = -2/в, то удобно взглянуть на колебание квадратичной функции в зависимости от tB: -t , если/ < т9 К 2 , если m<:tB - /B) , если < /B < «, (2) 2/| ta :— , если п < /в. —I, Из равенства (2) следует, что колебание квадратичной функции монотонно убывает при приближении абсциссы вершины парабо- 93
лы к середине отрезка и достигает своего наименьшего значения (равного квадрату половины отрезка) в этой середине. Сформулированное утверждение можно записать следующим образом: mini max(/2+£* + #)- min(/2 +pt + q)) = -^—^- . (3) p,q \m<t<>n m<t<n ) I 2 J Равенство (З) можно представить и в таком виде: /2 tmnLt2+pt+q(m;n) = —, где Ып-т. (30 Используя неформальную лексику, равенства (3) и (3*) можно интерпретировать в форме следующего свойства: Свойство квадратного трехчлена. Когда аргумент квадратного трехчлена t2 + pt + q пробегает отрезок длины /, значение квадратного трехчлена пробегает отрезок длины, не мень- - /2 шии —. 4 Отсюда очевидно решение задачи 3. Пусть М — наибольшее значение функции y(t) = \t2 + pt + q\ на отрезке [т; п]. Тогда для любого значения t из отрезка [т\ п] выполняется двойное неравенство -M<f +pt + q<M. (4) Из неравенства (4) следует, что значение квадратного трехчлена t1 + pt + q пробегает отрезок длиною не больше 2М Поэтому в силу объявленного свойства получаем оценку 2М> — =(<П~т>> , то есть М> —. (5) 4 4 8 Мы уже знаем, что равенство в (5) достигается, если абсцисса вершины параболы совпадает с серединой отрезка, значения квадратного трехчлена на концах отрезка равны М (и противоположны значению квадратного трехчлена в середине отрезка)1. 1 Это и есть три точки (концы отрезка и его середина), которые лежат в основе метода трех точек. 94
Таким образом, искомые в задаче 3 значения параметров находятся из условий: р _ т + п 2""~2"* (6) Получаем +« (n-m)2 г- » = -(/W + А?), 2 г т2 ЦJ что и есть ответ задачи 2. Для получения ответа задачи 1 осталось решить систему с + Id = -{т + и), \2с + а= , где w = —I, w = l. 8 Внимательный читатель должен обратить внимание на то, что мы доказали следующее свойство модуля квадратного трехчлена: Рис. 1 Свойство модуля квадратного трехчлена. Когда аргумент квадратного трехчлена t2 + pt + q пробегает отрезок длины /, значение модуля квадратного трехчлена пробегает отрезок длины, не меньшей —, то есть о 95
mm inL2 im\ri) = — (8) Ситуации, когда реализуются равенства (3*) и (8), прекрасно видны соответственно на рисунках 1 и 2. Рис.2 Упражнение. Докажите сформулированные ниже свойства произвольного квадратного трехчлена. Свойство 1. (п-т)2 min I max (at +bt + c)- min (or + bt + c) | = | то есть mini 2 . {m\ri)-\a\—, b.c a/2+A/+cv ' ' ' ' л ' Свойство 2. inL 2 . min Перейдем теперь к рассмотрению другого способа решения задач подобного рода. Решение (методом трех точек) задачи 2. Необходимость. Поскольку исходное неравенство не имеет решений на отрезке, то, в частности, оно неверно на концах отрезка и его середине. Поэтому 96
\32+p-3 + q\<2, \52+p- (10) Решаем полученную систему относительно одной переменной (в этом вся соль при анализе подобных линейных систем): [(-5р - 25) - 2 < q < (~5р - 25) + 2 -11<$<-Зр-7, (11) [-5р-21 <q<-5p-23. Для искомых пар чисел р и q система (11) должна иметь хотя бы одно решение относительно q. Каждая строчка системы (11) задает отрезок на числовой прямой переменной q. И так как три отрезка имеют общую точку тогда и только тогда, когда любой левый конец отрезков находится не правее любого правого конца отрезков, то разрешимость системы (11) относительно q равносильна разрешимости относительно р следующей системы неравенств: -р-3<-Зр-1, -р-3<-5р-23, -Зр-1К-р+% -Зр-П<-5р-23, -5р-27<-р + 1, -5р-2К-Зр-7. Решая систему (12), получим единственное значение р =-6. Подставляя р = -6 в систему (11), найдем, что q-1. Таким образом, три точки отрезка (два конца и его середина) «выдвинули кандидатом» в ответ единственную пару чисел р и q. Достаточность. Осталось убедиться, что при р = -6 и q = 7 неравенство |д^ + рх + q\ > 2 равносильно (проверьте это самостоятельно) совокупности неравенств х < 1 и х > 5, то есть при р = -6 и Я = 7 неравенство не имеет решений на отрезке [1; 5]. Ответ: р = -6, q = 1. (12) 97
Замечания. 1. У читателя может возникнуть вопрос: почему данные три точки (концы отрезка и его середина) были выбраны для отбора в кандидаты пары чисел р и ql Ответ следует из решения задачи 3, в котором было показано, что при минимальном колебании квадратного трехчлена на отрезке свои наибольшее и наименьшее значения он достигает как раз на концах отрезка и его середине (при этом либо max у = у{т) = у(п) и тту-у либо / ч / ч (т + п\ mm у = у{т) = у(п) и max .у = И , где у = at2 + bt + с, я * 0 ). 2. Достаточное условие, при котором метод трех точек безусловно быстро приводит к ответу, есть соблюдение равенства (см. неравенство (5)) где М — граница модуля квадратного трехчлена t2 + pt + q, / — длина отрезка, на котором рассматривается соответствующее неравенство (в задаче 2 М = 2, / = 4). Если речь идет о произвольном квадратном трехчлене at2 +bt + c, то равенство (13) принимает вид (см. равенство (9)): 3. Автор не может не обратить внимание на очень симпатичный факт, ассоциированный с условием разрешимости системы (11) относительно q. Теорема о пересекающихся отрезках. Любые к отрезков имеют хотя бы одну общую точку тогда и только тогда, когда любые два из них имеют общую точку. Предоставляем читателю получить удовольствие: самостоятельно найти доказательство этой теоремы. 98
Решение (методом трех точек) задачи 3. Необходимость. Пусть М — искомое наибольшее значение функции y(t)=\t2 + pt + q\ на отрезке [т; п]. Тогда для концов отрезка [т; п] и его середины выполняется условие у{т) <М, \т2 +pm + q\<M, (т + п)2 ( т + пЛ у(п) < М 2 М. (I) Найдем условия, при которых система (I) имеет решение относительно переменных р и q. С этой целью решим систему относительно q: —т —рт- -(т + п)2 -m2- рт + М, -р.. т + п (т + п)2 -р.. т + п М,(П) -и2 -pn- Каждая строчка системы (II) задает отрезок на числовой оси переменной q. Отрезки имеют хотя бы одну общую точку тогда и только тогда, когда любой левый конец отрезков находится не правее любого правого конца, то есть выполняется условие —т2 — рт — М ^ - (ю + и)2 -р.. т + п + М, -от2 - рт -М < - л2 - рп + М, (т + п)2 4 (т + п)2 -р.. -р- т + п т + п - М < - т2 - рт + М, -М <-п2 -рп + М, (III) 4 г 2 -и2 - пр - М < - от2 - рт + М, 2 х, ^ (т + п)2 т + п ,, -п2 -пр-М <-- —р + М. 99
Очевидно, что если система (III) имеет хотя бы одно решение относительно р9 то система (I) имеет хотя бы одно решение относительно рид,и наоборот. Поэтому решим систему (III) относительно р, введя обозначение длины отрезка / = п-т . --l(2m + n)-4M<lp<4N-- --/(m + 3w)-4M < 1р < ЛМ-- п)-2М <1р< 2М-1{т + п). (III) о Как и в случае системы (II), система (IV) задает три отрезка относительно величины 1р. Написав по аналогии с системой (III) условие пересечения отрезков системы (IV), получим, что оно (это условие) равносильно неравенству /2 < 8М, то есть М > —. (V) О Неравенство (V) «объявляет» нижнюю границу наибольшего значения модуля квадратного трехчлена на отрезке длины /. Достаточность. Для любого М, удовлетворяющего неравенству (V) существует хотя бы одно значение /?, удовлетворяющее системе (IV). Следовательно, для такого р существует хотя бы одно значение переменной q, удовлетворяющее системе (II), равносильной системе (I), то есть существует хотя бы один квадратный трехчлен х2 + +рх + <?, модуль которого на отрезке [т; п] не превосходит величины М. И так как М есть по условию наименьшее из наибольших значений, то М = —. 8 /2 Подставляя М = —, найдем, что р = -(т + п). Подставляя по- 8 лученные значения Мир в систему (II), найдем, что 1 ,.р что и требовалось. 100
Задачи для самостоятельного решения 1 (ЛГУ, 1973, № 3 (из 5)). Выбрать число Ъ так, чтобы наибольшее значение функции у(х) = |-2jc2 + х + Ь\ на промежутке О < х < 1 было наименьшим. 2 (Московский институт электронного машиностроения, 1984, № 5 (из 5)). Докажите, что при а = -12 и Ъ = 17 наибольшее значение выражения |2л:2 + ах + 6| на отрезке 2 < л: < 4 равно 1. Верно ли обратное утверждение? 3 (олимпиада факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, 1989). Докажите, что для любых р и q сумма длин отрезков, на которых выполняется неравенство \х2 + рх + q\ < 2, не превышает 4. 4 (заочная физико-техническая школа при МФТИ, вступительное задание на 1991/1992 учебный год). Какое наибольшее значение может принимать параметр а, если известно, что \ах2-ах + 1 | < 1 при 0 < л: < 1 ? 5 (обобщение задачи 3). Какое максимальное значение может принимать сумма длин отрезков, на которых для любых р и q выполняется условие \х2 + рх + q\ < №. 6 (обобщение задачи 4). Найдите все значения параметра а, при которых для всех х из промежутка т < л: < п выполняется условие \ах2 + Ъх + с\ < М хотя бы для одной пары чисел Ьис. 1 (Институт стран Азии и Африки МГУ, 2003, № 6 (из 6)). Функция у{х) = х? + 2(с - ctyc + Зс - d такова, что \с - d\> 1. Найдите значения с и d, при которых множество значений функции Дх) = \у(х)\ на отрезке [-1; 1] будет наименьшим; укажите это множество. 8. Найдите значения параметров а и Ь9 при которых максимальное значение выражения || х + а | +b\ на промежутке т < х < п будет наименьшим. 9. Найдите все значения параметра /?, при которых существует хотя бы одно значение параметра q такое, что все значения квадратного трехчлена х2 + рх + q на отрезке т < х < п принадлежат отрезку [М,;М2]. Ответы: 1. —.2. Да. 4. 8. Замечание. Задача имеет красивое 16 Решение. 5. 2у/Ш . 6. ^-^ <а< Ш 2 ■ 7.:{(-!;-2), (и - /и) (п - т) 101
(0;1)},[0;2]. 8. я = --(/и + л), b = -(m-n). 9. Если 2 4 (w - я)2 < М2 - Л/,, то ре -(/и + л)-- \2. если Af2 -Mj <(т-я)2<4(Л/2-М,),то А/,); 2(д/М2-А/,-л)]; если 4(А/2 - Мх) < (w - rif , то искомых значений параметра не существует. Послесловие Материал этой главы, как и главы 3, впервые представлен для широкой читательской аудитории. Обратите внимание на временной интервал (1973-2003) появления задач, решаемых данным методом. Это обусловлено как красотой содержания подобных задач, так и серьезным уровнем трудности овладения идеями и методами их решения. И не забывайте, что почти всегда эти задачи были самыми трудными в своих вариантах. 102
Глава 7. Задача Кати Сухановой Многие задачи с параметром, которые прекрасно решаются графически, являются очень серьезным препятствием при попытке их решения аналитическим способом. В одной из летних математических школ Юга России, в которой участвовали победители региональных и всероссийских олимпиад, автор предложил слушателям решить аналитически задачу вступительной олимпиады на механико-математический факультет Московского университета, проводившуюся в мае 1996 года. Задача 1 {механико-математический факультет МГУ, май 1996 г.). Найти все значения /г, при которых найдется такое Ь, что уравнение | jc2 — 1 | + fcc = |;c2-8jc+15| + Z> а) имеет более пяти различных корней; б) имеет ровно пять различных корней. В отведенное время ни один слушатель не справился с заданием. И лишь через двое суток предъявила решение Катя Суханова. С ее разрешения мы и назвали эту задачу задачей Кати Сухановой. Надеюсь, настоящий автор этой задачи (Сергеев Игорь Николаевич) на нас не обидится. Мы очень советуем читателю сейчас прерваться и попробовать самостоятельно решить сформулированную задачу аналитическим способом. Многовариантная постановка задачи Поскольку для работы в аудитории преподавателю желательно иметь обилие вариантов одного и того же задания, сформулируем исходную задачу следующим образом. Задача 2. Для данного уравнения |(/ + 3m)(r + w)|-|(/-3/if)(/-m)|-fe-/ = O (1) найти все значения к, при которых найдется такое /, что: а) уравнение имеет более пяти корней; б) уравнение имеет ровно пять корней (т — положительное число). Аналитическое решение задачи 2 Этап L Установление промежутков знакопостоянства под- модульных выражений. 103
Подмодульные выражения уравнения (1) являются квадратными трехчленами. Первый квадратный трехчлен имеет корни -Зт и -т, а второй — корни тиЗт(т> 0). Поэтому числовая ось переменной / разбивается на пять различных числовых промежутков (рис. 1), на каждом из которых оба квадратных трехчлена одновременно имеют фиксированный знак, что позволяет раскрыть оба модуля в уравнении (1). -Зт -т т Зт ^ (/ + Зт)(/ + т) + (f-3m)(/-m) + ел. 1 ел. 2 ел. 1 ел. 3 I ел. 1 Рис. 1 Приведенный рисунок 1 позволяет объявить три различных случая преобразования исходного уравнения (1). Случай 1 (+, +): / ^ (-оо; - Зт) U (-m; m) U (Зт; +оо). Случай 2 (-, +): / е [-Зт; -т]. Случай 3 (+, -): t ^ [т; Зт]. Этап II. Преобразование исходного уравнения для каждого случая. Рисунок 1 удобен и тем, что для каждого случая он указывает, с какими знаками надо брать подмодульные выражения при раскрытии модулей. Случай 1 (+, +): (1) <=>(/ + 3m)(t + т) - (/ - 3m)(t - т) - kt - / = 0 » 2 »(8/и-*)/ = /. (2) Случай 2 (-, +): (1) » -(' + 3m)(t + m)-{t- 3m)(t -m)-kt- / = 0 <=> <=> -Z2 - 4m/ - 3w2 - Z2 + 4/wr - 3m2 - kt -1 = 0 <=> <=> 2/2 + to + 6m2 + / = 0. (3) Случай 3 (+, -): ()( )() » 2Z2 - A:/ + 6w2 - / = 0. (4) 104
Те, кто предпочитает контролировать ситуацию во всех случаях одновременно, полученные результаты записывают обычно в следующем виде: [/<-Зт, -m<t<m,t>Зт, 1(8Л!-*)/ = / (А) (1) (-Зт < / < - /w, (Б) \m<t< Зт, (в) Замечание. Очевидно, что включение точек / = -Зт, t = -m, t = т и t = Зт в те или иные случаи есть дело вкуса. Единственное, о чем нужно беспокоиться, — не включать ни одну из указанных точек одновременно в два случая, поскольку это неудобно для подсчета числа различных (!) решений уравнения (1). Этап III. Анализ числа возможных различных решений для каждого случая. Случай 1 (+, +). В этом случае мы имеем дело с линейным уравнением (3). Как известно, линейное уравнение либо не имеет корней, либо имеет ровно один корень, либо — бесконечно много. Поэтому и система (А) может иметь только указанное количество различных корней. Пусть п{(А)(к; Г)— количество различных корней (решений) системы (А) относительно t при данных к и /. Тогда получаем, что nlA) (к; I) е= {0; 1; оо}. (5) Случай 2 (-, +) и случай 3 (+, -). Уравнения (3) и (4) являются квадратными уравнениями, которые могут иметь либо один корень, либо два, либо не иметь корней. Поэтому, вводя аналогично случаю 1 (+, +) обозначения ",(Б) (к; I), л,(В) (к; I), получаем, что и n(tB)(к; I) е {0; 1; 2}. (7) 105
Так как промежутки во всех трех случаях не имеют (!) попарно общих точек (см. замечание, сформулированное на этапе II), то число различных корней исходного уравнения (1) всегда равно сумме числа корней, полученных во всех трех случаях. Откуда л,(1) (к; I) = п{(А) (к-1) + и,(Б) (*; I) + и,(В) (*; /), (8) где л,(1) (к; /), как и ранее, есть число различных корней уравнения (1). Из (8) следует, что (|) (0;1;2;3;4;5;оо). (9) Этап IV. Определение ситуаций, удовлетворяющих вопросам задачи. а) Количество различных корней исходного уравнения больше пяти тогда и только тогда, когда оно в силу (9) равно бесконечности, то есть А это равносильно тому, что система (А) имеет бесконечно много решений. Откуда получаем, что п^(к;1)>5<=> п((А)(к;1) = оо, (Ю) б) Количество различных корней исходного уравнения (1) равно пяти тогда и только тогда, когда система (А) имеет единственное решение, а системы (Б) и (В) — по два различных решения, то есть i=5<=> <!и(Б) (£;/) = 2, (11) Этап V. Объявление алгебраических соотношений для переменных ки I, обеспечивающих условия (10) и (11). а) Из того, что система (А) должна иметь бесконечно много решений, следует существование бесконечного числа корней у линейного уравнения этой системы. Как известно, линейное уравнение ах = Ъ имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда а = Ъ = 0. Более того, при этом условии его корнями являются все (!) действительные числа. 106
Поэтому система (А) при условии Sm-k=l = (12) имеет бесконечно много решений, которые определяются неравенствами в первой строке этой системы. Из (12) следует, что (см. (10)) 5» \к = 8m, |/ = 0. (13) б) Количество решений первой системы равно одному (п{(А)(к, 1) = 1] тогда и только тогда, когда линейное уравнение этой системы имеет единственный корень (то есть когда Sm - к Ф 0) и этот корень принадлежит одному из трех промежутков, указанных в первой строчке системы. / Так как при Sm-кфО t= — ,то 24т2-Зтк + 1 Sm-k I <0 / %т-к -т <0 24m2-3mk-l Sm-k То есть i = 1 <=> 24m2-3mk + l Sm-k <0 (Sm-k)2 24m2-3mk-l Sm-k (14.1) >0 (Н.2) (14.3) Система (Б) имеет два различных решения (и,(Б)(^> /) = 2J тогда и только тогда, когда квадратное уравнение этой системы имеет Два различных корня, которые оба принадлежат отрезку [-Зт; -т]. 107
Пусть//) = It1 + kt + 6m2 + /. Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом имеет на данном отрезке два различных корня тогда и только тогда, когда 1) дискриминант больше нуля; 2) абсцисса вершины параболы (полусумма корней) принадлежит отрезку; 3) значения квадратного трехчлена на концах отрезка неотрицательны. Поэтому 1 = 2» Df>0, ^e[-3m; -m], А-З/и) > О, А-т) > О *2-8(бт2+/)>0, * ^ к . -Ът ^ — ч - т, 4 24m2-3km + l>0, k2-4Sm2-Sl>0, Am < к < 12m, 24m2-3km + l>0, To есть *2-48т2-8/>0, 4т<к<\2т, 24т2 - Ъкт +1 > 0, 8т2-кт + 1>0. (15.1) (15.2) (15.3) (15.4) Аналогично устанавливаем для системы (В), что f£>g>0, /| е [т; Зт], g(m) > 0, g(3m) > 0, где g{t) = 2?-kt + 6m2 - /. 108
После упрощений имеем: t;/) = : Теперь мы можем утверждение (11) переписать в таком виде: (14.1), или (14.2), или (14.3), (15.1), к1- 4/и« 24т 8т2 48т2 + 8/ > 0, £ к < 12т, 2-Зкт-1>0, -кт-1>0. (16.1) (16.2) (16.3) (16.4) 1 = 5 05.4), (16.1), (16.4) 24т2-Зтк + 1 8m-A: ■<0 )(Sm2-mk-l) (8m-it)2 24m2-3mk-l Sm-k £2-48m2-8/>0, 4m < к < 12m, 24m2-3*m + />0, Sm2-km + l>0, A:2-48m2+8/>0, 24m2-3km-l>0, Ы2-кт-1>0. >0 (14.1) (14.2) 04.3) (15.1) (15.2), (16.2) (15.3) (15.4) (16.1) (16.3) (16.4) (17) Напомним, что нам требуется найти все значения к, при которых существует хотя бы одно / такое, что исходное уравнение имеет заданное число решений. 109
Поэтому для ответа придется исследовать (17) на разрешимость относительно /. Откуда следует, что систему (17) стоит упрощать, одновременно решая ее относительно /. fv-w>0, \v-u>0, Так как < <=> \u\<v и < <=* и < v (докажи- [v + u>0 [v + u>0 те самостоятельно), то пары неравенств (15.1) и (16.1), (15.3) и (16.3), (15.4) и (16.4) можно представить в виде неравенств (18.1) (18.2) (18.3) /|(Л о | /1 < 24т2 - Ъкт, \1\<%т1-кт соответственно. Поскольку из неравенства | м | < v следует неравенство | и | < 3 v, то из неравенства (18.3) следует неравенство (18.2). Поэтому t; /) = 5 « 24т2-Зтк ■<0 >0 (8m-Л)2 24m2 -Ътк-l Sm-k /|<I(*2-48m2), О /| <8m2-£m, \m ^ к < 12m (не забывайте, что т > 0 (!)). Можно и далее упрощать систему (17). Из (19) следует, что (19) [Sm2-km>0 так как т > 0 по условию. ПО »8ти-*>0, (20)
Отсюда следует, что 8w2 - km > О, и поэтому в неравенстве (18.2) можно знак нестрогого неравенства заменить на строгое: f24m2-3wA: + />0, < 24т2 - Ъкт <=> 24m2-3mJt-/>0. Отсюда следует, что с учетом (20) первое и третье неравенства в совокупности системы (19) ложные. Поэтому получаем «<»> = 5« (8m2 -mk + l)(%m2 -mk + l) (Ы-ку |/|<i(*2-48m2), О \1\<%тг-кт, Ат<к< 12т [|/|<8w2-)tw. Упражнение (непростое). Докажите последний равносильный переход. Окончательно имеем, что = 5 <=> (21) |<8m2-*m. Этап VL Определение искомых значений к. а) Система (13) фактически объявляет ответ на первый вопрос задачи: к = 8/и, так как существует значение / = 0, при котором уравнение (1) имеет бесконечно много решений. Ответ: к = 8/w. б) Для определения значений к, при которых уравнение (1) имеет ровно пять различных корней при некотором /, необходимо и достаточно найти все значения к, при которых система (21) имеет хотя бы одно решение. 111
Так как | /1 > 0, то система (21) имеет хотя бы одно решение I(*2-48m2)>0, 8v 7 то I(*2-48m2)>0, (например, / = 0) тогда и только тогда, когда < 8v 7 есть тогда и только тогда, когда 4 >/з т < к < 8т. Ответ: (4>/3m; 8m J . Ответ: а) £ = 8т; б) 4>/3 т < к< 8т. Комментарий. Внимательный читатель должен был заметить, что автор его «пожалел», когда объявлял необходимое и достаточное условие того, что квадратные трехчлены ДО = 2? + kt + 6m2 + / и g(t) = 2? -kt + 6m2 - / имеют ровно два различных корня на отрезках [-Зт; -т] и [т; Зт] соответственно. Дело в том, что мы предлагали аналитическое решение, а в работе с квадратными трехчленами использовали графические представления квадратичных функций fii) и g(t). Поэтому для «чистоты картины» приводим аналитическое доказательство необходимых и достаточных условий того, что квадратное уравнение 2 ? = 0 (22) имеет ровно два различных корня на данном отрезке [а; Ь]. Заметим, что соответствующее упражнение застало врасплох многих слушателей математической школы. Итак (не опираясь на теорему Виета), [Я>0, [а < jc+ < 6, п 2 л -р~>[Б -р + у[Б (22) где D = р - 4д, х- = — , х+ = —~ , п\ — количество различных корней уравнения (22) на [а\ Ь]. Так как х- < х+ при D > 0, то \D>09 112
<=> D>0, a< -p-Jp2-4q <=> -p + yjp2-4q <b D>0, -p-2a>0 2b >0, p2-4q<,(-p-2a)2, p2-4q D>0, a <xB <b, a2 + pa + q D>0, yjp2 -4q < - p - 2a, <=> Jp2-4q < p + 2b D>0, <=> p2 -Aq < p2 p2-4q <p2+4pb + 4b2 D>0, xBe[a;b], y{a) > 0, >0 УФ) > 0, где у(х) = jc2 +px + q, что и требовалось доказать. Конспект решения задачи Задача. а)Э/| «,(|)>5Д —? 6)3 Решение (аналитическое). (1) <=> (/<-3/w, -m<t<mj>3m, (1) (A) (Б) (B) 113
«,(Б)е{0;1;2}, а) и,(">5<=> и; ' =оо <=> = 0. Ответ: а) к- 8т. б)п,(1)=5 и,(Б)=2, «;в)=2. и.(А)=1« Ы-к ■<-Зт ■<т ■>Ът <=> 24т2-Зтк 8т-А: <0 (8m -к)2 24m2-3mJfc-/ >0 8m-it (2.1) (2.2) (2.3) Df>0, t£e[-3m; -m], /(-т) > О 114
Jt2-48m2-8/>0, 4m < A: < 12m, 24m2-3*m + />0(cM. (2.1)!), 8m2 -km + l >0 (см. (3.2)!). (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) «;B) = 2 Z)g>0, g(3m) > 0, g(m) > 0 <=> < *2-48m2+8/>0, 4m < к < 12/и (см. (3.2)!), 24m2-3km-I > 0(cm. (2.3)!), Ы2-кт-1 > 0 (см. (2.2)!). [(ЗЛ)'«|/|<1(Л2-48т2). 1(4.1) ' ' 8 {(3.4), 1(4.4) <=>|/|<8m2-bi. (2.1), (2.2), (2.3), (3.1), (3.4), (4.1), (2.1), (2.2), (2.3), (5.1), (5.2), (3.2)(о(4.2)) (4.4) 1|/|<8т2-Лт. (4.1) (4.2) (4.3) (4.4) (5.1) (5.2) (6) 115
{к2 -48m2 > О, Г (3 /1 (6) истинно) <=> \ » 4 V3 m < £ < 8w. [8m2 -кт>0 Ответ: б) 4 VJ m < к < 8т. Для более глубокого понимания изложенного материала приводим авторское решение задачи 1, основанное на графической интерпретации ее постановки. Задача. Найти все значения к, при каждом из которых хотя бы для одного числа Ъ уравнение имеет: а) более 5 корней; ровно 5 корней. Ответ: а) -8; б) (-8; - 4<Л). Решение. (*) <=> -| (jc- 1)(х+ 1) | + | (*-3)(х- 5) | = кх- Ъ. Рис.2 График левой части последнего уравнения (рис. 2) состоит из двух симметричных относительно точки (2; 0) кусков параболы О = 2*2-8х+ 14при*е(-1; 1) иу =-2л:2 + 8х- 14 прих е (3; 5)) и трех участков одной прямой (у = -8х + 16 при остальных х). График правой части у = кх - 6, если только он не совпадает с прямой у = -Sx + 16, имеет с графиком левой части не более пяти общих точек (максимум по две — с каждой из парабол и одну — с прямой). Поэтому для существования у уравнения более пяти корней необходимо и достаточно выполнение равенств к = -8 и Ъ = 16. 116
Среди прямых, проходящих через точку (2; 0), ровно пять общих точек с графиком левой части имеют те прямые у = к(х - 2), для которых к > -8 и уравнение k(x-2) = 2x2-Sx + \4<=>2x2-(k+S)x + (2k + 14) = 0 имеет ровно два решения, то есть D>0»(A:+8)2-4-2-(2^+14)>0»^>48. Таким образом, все значения к ^ (-8; -4л/з) удовлетворяют требованию пункта б. Прямая у = Цх - 2) + а при к > -4 у/з имеет не более одной общей точки либо с параболой у = 2х2 - 8х + 14 (если а < 0), либо с параболой у = -2х2 + 8jc - 14 (если а > 0), то есть всего — менее пяти общих точек с графиком левой части. Аналогично, при к < -8 эта прямая также имеет не более одной общей точки хотя бы с одним из кусков парабол, то есть опять же менее пяти общих точек всего (за исключением случая бесконечного числа точек при к = -8, а = 0). Таким образом, все значения к ^ (-8; -4>/з J не удовлетворяют требованию пункта б). Послесловие Задача, рассмотренная в главе, — одна из самых трудных при ее решении аналитическим методом, несмотря на очевидные идеи ее решения. Это обусловлено очень большой трудоемкостью выполнения почти каждого этапа, что рано или поздно приводит к потере концентрации внимания и, как следствие, к появлению ошибок. Автор неоднократно этой задачей тестировал различные группы абитуриентов и готов утверждать, что безошибочное прохождение всех этапов решения является достаточным (!) условием для констатации очень высокого уровня владения аналитическими методами решения задач повышенной сложности на тему «Квадратный трехчлен». Именно по этой причине задача рассматривалась в многовариантной постановке, то есть фактически с дополнительным параметром. Одним из прекрасных заданий для желающих является требование получить обоснование конспекта решения, представленного в конце главы. 117
Глава 8. Поучительная задача на квадратный трехчлен Как показывает практика, вступительные экзамены по математике в ведущие вузы страны ежегодно пополняют число задач, которые с полным правом можно отнести к задачам-шедеврам. Рассмотрим задачу, предложенную на письменном экзамене по математике в 1991 г. на экономическом факультете МГУ. Задача. Указать все значения параметра q, при которых уравнение sin2 х + (q - 2)2sin х + q(q - 2)(q - 3) = О имеет на отрезке [0; 2тс] ровно три корня (автор — А.Н. Соко- лихин). Данная задача относится к традиционному классу конкурсных задач — «Задачи с параметрами». Как правило, такие задачи являются наиболее трудными в варианте и представляют собой последний барьер, который необходимо преодолеть абитуриенту для получения высокой оценки. Рассматриваемая задача не явилась исключением в этом плане— она была шестой из шести задач в варианте. Легко заметить, что сформулированная задача представляет не менее популярную тему конкурсной математики— «Квадратный трехчлен». Указанное обстоятельство, как показала статистика, вероятно, и позволяет абитуриентам надеяться на то, что попытка решить эту задачу окажется успешной. Однако надеждам большинства из тех, кто пытался решить данную задачу, не суждено было сбыться. Причины, приведшие к такому положению дел, во многом и предопределили разговор о настоящей задаче. Несколько слов о задачах на квадратный трехчлен с параметром Принято выделять четыре основных подхода к изучению квадратного трехчлена: — метод выделения полного квадрата; — нахождение корней квадратного трехчлена с последующей работой с полученными корнями; — использование теоремы Виета; 118
— использование графических представлений о квадратном трехчлене. Естественно, что при решении конкретных задач не исключается одновременное использование нескольких подходов. Большинство абитуриентов предпочитает работу с корнями квадратного трехчлена, несмотря на обилие технических трудностей, как правило, возникающих на этом пути. Это обусловлено тем, что большинство задач на квадратный трехчлен с параметром допускает «прямое решение», то есть решение, основанное на нахождении корней. Разумеется, далеко не всегда такое решение является наиболее рациональным. Анализ возможных попыток решения задачи В первую очередь очевидна замена / = sin x, после которой получаем квадратное уравнение с параметром: t + (q-2)2t + q(q-2)(q-3) = 0, (1) где-1 < /< 1. В этот момент абитуриент находится перед выбором дальнейшего пути решения. 1. Рассмотрим вариант «прямого решения». Дискриминант уравнения (1) равен D = ((q - 2)2)2 - 4q(q - 2){q - 3) = (<? - 2){{q - 2)3 - 4q(q - 3)) = 22 Для определения знака дискриминанта нужно решить кубическое уравнение q3-l0q2 + 24q-S = 0. (2) Возникшая ситуация провоцирует многих на попытку решения уравнения (2). Это объясняется, в частности, чрезмерной уверенностью абитуриента в преодолении любых технических трудностей при «прямом решении». К тому же такие методы решения кубических уравнений, как группировка или использование теоремы о целых корнях многочлена с целыми коэффициентами (с последующим разложением на множители по схеме Горнера или другими способами), наверняка находятся в техническом арсенале подготовленных абитуриентов. К сожалению, решение уравнения (2) известными способами невозможно — оно не имеет ни целых, ни дробных корней. Таким 119
образом, попытка исследовать квадратный трехчлен «в лоб» оказывается тупиковой. Это привело к разочарованию практически всех абитуриентов, приступивших к решению задачи. Для информации к размышлению приводим удручающую статистику: из более полутора тысяч абитуриентов с задачей справилось менее десяти человек, то есть менее половины процента! 2. Некоторые абитуриенты, хорошо знакомые с идеями решения задач с параметрами, владеют таким приемом, как решение уравнения относительно параметра. Однако и этот эффектный метод в данной задаче не приводит к успеху: уравнение (1) относительно параметра q является кубическим, и попытки его решения также обречены на неудачу. 3. В сложившейся ситуации подготовленный абитуриент вынужден изыскивать иные возможности для поиска ответа. Наиболее естественной выглядит попытка привлечения теоремы Виета и графических представлений, которая, как выясняется, и приводит к успеху. Решение (с комментариями и отступлениями). В первую очередь необходимо установить взаимосвязь между количеством и расположением корней квадратного уравнения (1) и количеством корней исходного уравнения на отрезке [0; 2п]. Для этого следует обратиться к свойствам функции синус. При изменении х от 0 до 2я переменная / = sin х принимает все значения из отрезка [-1; 1], причем значения 1 и -1 достигаются , п Зтг ч только при одном значении х (х = — их= — соответственно), значение 0 принимается в трех точках (х = 0, х = пих = 2я), а каждое из остальных значений — в двух точках: jci и дг2 (рис. 1). i 1- 0 -1- /I xi i Л Я JC, 2 Зя 2я / * / Рис. 1 Теперь можно выделить те случаи, когда исходное уравнение имеет ровно три корня на отрезке [0; 2л]. 120
Для уравнения (1) могут представиться три возможности: оно не имеет корней; имеет один корень; имеет два (различных) корня. Рассмотрим эти три случая. Случай 1. Если уравнение (1) не имеет решений, то не имеет решений и исходное уравнение. Случай 2. Если уравнение (1) имеет единственный корень / = /0, то исходное уравнение имеет ровно три решения на отрезке [0; 2л] тогда и только тогда, когда ровно три корня на этом отрезке имеет уравнение sin* = t0. Как отмечалось выше, это верно лишь при /о=О. Таким образом, в этом случае нас интересуют те значения параметра q, при которых уравнение (1) имеет единственный корень, причем равный нулю. Случай 3. Если уравнение (1) имеет два различных корня / = t\ и / = /2, то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sin jc = /i, sin x = ti. (3) Следовательно, исходное уравнение на отрезке [0; 2л] имеет ровно три решения тогда и только тогда, когда ровно три решения на указанном отрезке имеет полученная совокупность. Поскольку, в силу сказанного ранее, уравнение sin х = / на отрезке [0; 2л] может не иметь решений или иметь одно, два или три решения, то совокупность уравнений (3) будет иметь три решения на отрезке [0; 2тг] в следующих случаях. Случай 3.1. Одно из уравнений совокупности имеет на отрезке [0; 2л] три решения, а другое при этом решений не имеет, то есть одно из чисел t\ или /2 равно нулю, а другое не принадлежит отрез- КУ [-1; 1] — множеству значений функции синус. Таким образом, случай 3.1 приводит к отысканию таких значений параметра q, что уравнение (1) имеет два корня, один из которых равен нулю, а другой не принадлежит отрезку [-1; 1]. Случай 3.2. Одно из уравнений совокупности на отрезке [0; 2л] имеет одно решение, а другое— два решения. В соответствии с указанными ранее свойствами функции синус на отрезке [0; 2л] эта ситуация имеет место тогда и только тогда, когда: а) одно из чисел t\ или t2 равно -1, а другое принадлежит либо интервалу (-1; 0), либо интервалу (0; 1); б) одно из чисел t\ или ь равно 1, а другое принадлежит либо интервалу (-1; 0), либо интервалу (0; 1). 121
Таким образом, случай 3.2 сводится к отысканию таких значений параметра q, что уравнение (1) имеет два корня, один из которых равен -1 или 1, а другой принадлежит интервалу (-1; 0) или (0; 1). Поскольку все варианты различного числа решений квадратного уравнения (1) исчерпаны, можно констатировать, что исходная задача равносильна следующей. Найти все значения параметра q, для которых уравнение имеет: — или единственный корень / = 0 (случай 2); — или два корня, из которых один равен нулю, а другой не принадлежит отрезку [-1; 1] (случай 3.1); — или два корня, один из которых равен -1, а другой принадлежит одному из интервалов (-1; 0) и (0; 1) (случай 3.2а); — или два корня, один из которых равен 1, а другой принадлежит одному из интервалов (-1; 0) и (0; 1) (случай 3.26). Теперь, после полученной переформулировки задачи, можно перейти к непосредственному нахождению искомых значений параметра q. Рекомендация A.M. Гольдмана (в соответствии с советами автора известных сказок «Алиса в стране чудес» и «Сквозь зеркало и что там увидела Алиса» Льюиса Кэрролла). Если вы недостаточно уяснили то, о чем мы говорили до сих пор, вам лучше не продолжать чтения, а вернуться назад и перечитать все еще раз (или несколько раз) до тех пор, пока вы не разберетесь во всем до конца. Рассмотрим указанные ранее случаи. Случай 2. Как известно, квадратное уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю, и имеет корень 0, если свободный член равен 0. В нашем случае уравнение (1) должно иметь число 0 своим единственным корнем, и поэтому выполняются равенства D = (q- 2)(<73 - lOq2 + 24q - 8) = 0, q{q - 2)(q - 3) = 0. Из второго равенства получаем, что q равно 0, 2 или 3, и из этих значений только q = 2 удовлетворяет первому равенству. Таким образом, мы получили одно значение q = 2, удовлетворяющее условию задачи. 122
Случай 3.1. Легко видеть, что уравнение (1) имеет корень / = О при q\ = 0, q2 = 2, #з = 3, и поскольку значение q = 2 нами уже рассмотрено, то остается рассмотреть только два других значения. В этих двух случаях уравнение имеет вид соответственно z2 + At = О, t1 + t = 0. Первое из этих уравнений имеет ненулевой корень, не принадлежащий отрезку [-1; 1], тогда как ненулевой корень второго уравнения принадлежит этому отрезку. Таким образом, мы получаем еще одно решение задачи: q = 0. Замечание. Очевидно, что рассмотрение случаев 2 и 3.1 можно было объединить. Авторы намеренно не стали этого делать, стремясь разбить решение исходной задачи на наиболее естественные для абитуриентов элементарные части. Случай 3.2а. Поскольку один из корней уравнения (1) должен быть равен -1, то, подставляя / = -1 в уравнение (1), получим Очевидно, что полученное уравнение является кубическим относительно #, и если «в лоб» раскрыть все скобки, то можно будет подобрать корень q = 3 и далее применить обычную технику решения. Однако решение существенно упрощается, если заметить, что разложение разности квадратов 1 - (q - 2)2 дает множитель (3 - q). В результате для нахождения q получаем уравнение или ~ ~ 3-V5 З + л/5 Отсюда qx = 3, 42 = —-—, ?з = —-—. Осталось для каждого из них установить, соответствуют ли они рассматриваемому случаю 3.2а, то есть будет ли второй корень уравнения (1) при соответствующих значениях q принадлежать одному из интервалов (-1; 0) и (0; 1). При q = 3 уравнение (1) принимает вид t2 + / = 0 и имеет корни t\ = 0, /2 = -1, что не соответствует случаю 3.2а: корень -1 не принадлежит ни (-1; 0), ни (0; 1). тт 3±V5 ,1Л При q\z= непосредственная подстановка в уравнение (1), очевидно, приводит к техническим осложнениям: раскрытию 123
скобок, нахождению корней уравнения «с плохими» коэффициентами и исследованию второго корня уравнения на предмет принадлежности одному из интервалов: (-1; 0) или (0; 1). Укажем здесь два способа преодоления отмеченных технических трудностей, а точнее — две возможности их обхода. 1-й способ. Оба числа q\^ - —• являются корнями уравнения q2 - 3q + 1 = 0 (из него они и получены!), или q2 - 3q = -1. Поэтому для этих значений q свободный член уравнения (1) равен Поскольку при этих значениях q один из корней равен -1, то по теореме Виета второй корень равен q - 2 и принадлежит одному из интервалов (-1; 0) и (0; 1), если -1 < q - 2 < 0 или 0 < q - 2 < 1, то есть 1 < q < 2 или 2 < q < 3. 3-V5 f „ 3 + V5 о Легко видеть, что < 1, 2 < < 3, и следовательно, З + л/5 условию задачи удовлетворяет только значение q = . Замечание. Указанный прием, позволяющий понизить степень свободного члена уравнения (1), полезно применять, если возникает необходимость понизить степень многочлена относительно корня некоторого алгебраического уравнения (степень которого ниже степени многочлена). 2-й способ. Этот способ основан на идеях решения задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена относительно заданных промежутков. Мы должны выяснить, при каком из значении q = квадратный трехчлен у =j(t), стоящий в левой части уравнения (1), помимо корня t\ = -1, имеет корень /2> принадлежащий либо интервалу (-1; 0) (рис. 2, а), либо интервалу (0; 1) (рис. 2, б). /1 , . Уш Рис. 2, а 124
Поскольку абсцисса tB вершины параболы является серединой отрезка [t\\ t{\, то h принадлежит одному из этих интервалов тогда и только тогда, когда /в принадлежит интервалу (-1; 0), и при этом /. * -0,5. По теореме Виета t\ + /2 = ~(q - 2)2, то есть /в = -—- = (<7~2)2 2 Если q = , то tB = — < -1, и поэтому значение 2 8 З-л/5 q = не соответствует случаю 3.2а. 3 + V5 f) Если же q = , то /в = —. Легко показать, что 2 8 в данном случае /в ^ (-1; 0) и rB ^ -0,5. Таким образом, значение 3 + V5 q = является решением задачи. На этом рассмотрение случая 3.2а завершено. Случай 3.26. Здесь требуется найти такие значения параметра q, при которых корень t\ уравнения (1) равен 1, а другой корень лежит в одном из интервалов (-1; 0) и (0; 1). Однако таких значений параметра не существует: по теореме Виета tx + t2 = -{q - 2)2, так что t2 = -{q - 2)2 - t\ = -{q - 2)2 - 1 < -1 для любого q. Объединяя ответы всех рассмотренных случаев, получаем ответ задачи. Ответ: q = 0,q = 2,q= . Итак, решение данной задачи потребовало весьма и весьма нетривиальных рассуждений. Самое интересное, что каждое отдельное рассуждение достаточно просто, но отыскать всю их последовательность, найти ход, упрощающий решение, совсем нелегко. При подготовке к экзамену решать такие задачи или хотя бы разбирать их решение чрезвычайно полезно; при этом развивается 125
важное умение привлекать арсенал имеющихся теоретических знаний, не ограничиваясь стандартными приемами. Послесловие Прекрасная задача для любой аудитории и для подготовки к вступительным экзаменам в ведущие вузы страны. Очень полезное и трудное задание для читателя состоит в формулировке и решении многовариантной постановки задачи. 126
Глава 9. Квадратный трехчлен и иррациональность Читателя может смутить название темы. Автор честно признается, что это название вызвано красотой приводимой ниже задачи и многовариантностью ее решения, позволяющей обсудить многие технические аспекты анализа подобных задач. Несколько слов о технике решения основных иррациональных сравнений. Рассмотрим сводную таблицу 1 перехода от данных основных иррациональных сравнений к равносильным им системам и совокупностям. Таблица 1 Основные иррациональные сравнения 7/vg (i) 47<g \o<f<g2 (2) 0 (3) 47 -* 0 (4) 0 Jg>0, (5) 47>g }/>g2 Таблица 1 соответствует всем основным учебникам школьного курса. Однако в условиях цейтнота на любом экзамене хочется быстрее бежать к ответу. Поэтому возникает необходимость минимизировать объем технических действий при реализации той или иной процедуры и осознать, когда это дает ощутимый эффект. Субъективное мнение автора состоит в том, что в случае, когда /и g есть дробно-рациональные функции, можно серьезно сэкономить экзаменационное время. Пример А. Решить неравенство v 24 -1 Ох + х2 < х - 4. Решение (не согласно таблице 1 и без обоснования). 127
[jc-4>0, Jjc-4>0, \(jc-4)(jc-6)(jc-4).(-2)<0 Ответ: {4} U [6; +oo). (x-4)\x-6)>0 x>6. Пример Б. Решить неравенство 2х - 5 < 2 V*2 - х - 6 . Решение (не согласно таблице 1 и без обоснования). Г2х-5<0, 2х-5<2у1х2-х-6 \х2-х-6>0 (2х-5)2<4(х2-х-6) [х < - 2 или х > 3 49 Г>16 <=> 49 16' ('49 Ответ: (~оо; -2] U —; +оо U6 При решении неравенства примера А мы воспользовались тем, что 0 </< g2 «ЛЛ-g2) < 0. Это можно понять, если выполнить следующее упражнение. Упражнение 1. Докажите, что при т < п (!): а) т </<«<=>(/- m)(t -n)< 0; б) т < Г<п <=> *""* < (V в) w < / < п <=> -—- < 0; r)/w</<w<=*(r- w)(r ~ ri) < 0. Замечание. Обратите внимание, что во всех ситуациях мы «играем» разностями (t - т) и (/ - п) и в случаях б) и в) размещаем соответствующую разность в знаменателе, чтобы обеспечить исходное строгое неравенство. 128
При решении примера Б мы воспользовались тем фактом, что, решая неравенства типа (4) и (5), во вторых системах таблицы 1 можно снять ограничения на величину g. То есть мы исходили из следующих равносильных преобразований основных иррациональных сравнений. Таблица 2 Основные иррациональные сравнения (1) V7<g о f -о (2) V7 <g Js>o, \f(f-g2)<o (3) V7 -g Jg>o, w (4) V7>g l/>o />g2 (5) J7>g "|e<o, l/>o />r Замечание к таблицам 1 и 2. Для сравнения типа (1) можно было бы в системе нестрогое неравенство g < 0 заменить на строгое, но мы этого не сделали для удобства запоминания таблицы (в первых трех сравнениях на величину g накладывается условие g > 0, а в остальных — его отрицание g < 0). Очевидно, что необходимо уметь доказывать все объявленные равносильные переходы как аналитически, так и графически. Ради демонстрации рассмотрим доказательство для сравнения типа (4), то есть докажем, что 47 j>g2- Доказательство первое (аналитическое). Если величина g отрицательна, то неравенство Л// > g истинно, если ^[f имеет смысл, то есть если f > 0. Поэтому для всех пар (/; g), где g < 0 и одновременно f > g2, неравенство yff > g также истинно. Если g> 0, то после возведения обеих частей неравенства y]f > g в квадрат также получаем истинное неравенство f^g2 (естественно, что из неравенства/^ g2 следует условие/^ 0). 129
или Таким образом, любое решение неравенства yff > g является решением совокупности и наоборот, что и требовалось. Замечание. В большинстве учебников и пособий для поступающих приводится следующее равносильное преобразование неравенства yff > g: fg>o, [f>g2. Обратите внимание, что мы указали на возможность снятия во второй системе условия g > 0. Без снятия данного условия множества решений последних двух систем не могут иметь общих решений из-за наличия взаимоисключающих требований к величине g: g<0ng>0. Снятие условия g ^ 0 может приводить к общим решениям, что добавляет трудность анализу числа решений исходного неравенства при наличии в нем параметров. Поэтому читателю советуем самостоятельно приобрести безупречные навыки решения неравенства yff > g по обеим схемам, чтобы почувствовать эффективность использования любой из них в зависимости от конкретного вида исходного неравенства. Доказательство второе (графическое). В координатной плоскости величин/и g все точки (f\ g), для которых истинно неравенство yff > g, есть точки, лежащие не выше графика функции gs V7 (рис. 1). f Рис. I Множество точек (/; g), для координат которых истинна сово- fg<0, 2 купность системы \ и неравенства / > g , есть объединение точек IV четверти, включая «левую» границу и исключая «верх- 130
нюю» границу (включая точку (0; 0)) (рис. 2, а), и множества всех «внутренних» точек параболы/= g2 вместе с границей (рис. 2, б). f f Рис.2 Легко видеть, что указанное объединение совпадает с множеством отмеченных точек на рисунке 1, что и доказывает равносильное преобразование неравенства yff > g по схеме таблицы 1. Замечание. Общие точки множеств, изображенных на рисунках 2, а и б, есть следствие снятия условия g > 0. Упражнение 2. Докажите аналитически и графически все остальные равносильные переходы в таблицах 1 и 2. Задача. В 1990 г. в МГУ на факультете вычислительной математики и кибернетики была предложена задача: Решить неравенство V9v2-48v-21 + y}9v2-S\v-\5 < I 3v - б I (1) Стандартный способ, который используется при решении иррациональных неравенств — это способ последовательного возведения в квадрат обеих частей неравенства с целью освобождения от корней. Этот способ сопровождается большой технической работой и требует серьезных усилий и терпения. В дальнейшем решение задачи подобным образом будем называть прямым. Обычно задачу, допускающую прямое решение, относят к разряду стандартных, сложность решения которых в основном определяется затратами времени на получение ответа. Рассмотрим прямое решение неравенства (1). 131
Обе части неравенства (1) неотрицательны. Поэтому, возводя их в квадрат, переходим к равносильному неравенству 9г;2-48и-21+2л/9г;2-48г;-21 л/9г;2 -51г»-15 + + 9г;2-51г;-15<(|3г;-6|)2. (2) Комментарий. В неравенстве (2) произведение корней сознательно не преобразовано в корень из произведения, поскольку выражения \[х • у[у и фсу предъявляют различные ограничения на переменные хну. Так как | т |2 = т2, то (| 3v - 6 |)2 = (3t> - б)2, и неравенство (2) примет вид 2%/9г;2 -48v-21 -yl9v2 -51v-15 < -9v2 + 63г; + 72. (3) Левая часть неравенства (3), как произведение неотрицательных величин, неотрицательна. Отсюда следует, что для всех искомых значений переменной v и правая часть неравенства (3) также неотрицательна, то есть -9v2 + 63г> + 72 > 0. (4) Следовательно, обе части неравенства (3) можно возвести в квадрат и после очевидных, но утомительных упрощений перейти к неравенству 27v4 - 270v3 + 647v2 - 212и - 436 < 0. (5) Так как подкоренные выражения в неравенстве (3) неотрицательны и выполняется ограничение (4), то исходное неравенство (1) равносильно системе 27v4 -270г>3 +647v2 -212v-436 < 0, то есть 3v2-llv-5>0, 27v4 - 270i>3 + 647v2 - 212v - 436 < 0. (6) 132
Многочлен в левой части последнего неравенства системы (6) при v = 2 обращается в нуль. Поэтому он раскладывается на множители: 27v4 - 270г;3 + 647г>2 - 212v - 436 = = (v -2){21уъ -2\6v2-215г; + 218). (7) Второй множитель в правой части равенства (7) также обращается в нуль при v = 2, что позволяет и его разложить в произведение: 27г>3 - 216v2 - 215г» + 218 = (г; - 2)(27г>2 - 162г> - 109). (8) Используя (7) и (8), представим систему (6) в виде (9) 3v2-\6v-l>0, 3v2-\lv-5>0, (u-2)2(27i;2-162i;-109)<0. Комментарий, Переход от системы (6) к системе (9) доступен далеко не каждому. Однако если знать такой любопытный факт, что в большинстве задач повышенной сложности линейные относительно неизвестных выражения выделяются в условии не случайно (обычно авторы, запутывая «следы» простых конструкций, делают в них линейные подстановки), то, вводя вспомогательные переменные, равные линейным выражениям, зачастую удается существенно упростить вычисления и преобразования. Например, если в исходном неравенстве (1) явно выделенную в условии подмодульную величину (3v - 6) объявить за новую переменную и, то неравенство (1) переписывается в виде >/w2-4w-81 + Vw2-5м-81 < | к |. Тогда система (6) примет вид w2-9w-162<0, w2-4w-81>0, u2-5u-Sl>0, 3w4-18w3-325w2 <0. Заметим, что значение v = 2 не является решением второго неравенства, а следовательно, и решением системы (9). Поскольку 133
при v * 2 величина (и - 2)2 положительна, то, разделив обе части последнего неравенства системы (9) на (и - 2)2, получаем равносильную систему ' >_7и-8<0, 3v2-16u-7>0, (10) 27v2-162v-109<0. Наконец, решив квадратные неравенства системы (10) и расположив по возрастанию (что не очень просто!) все корни соответствующих квадратных трехчленов, находим ответ системы, то есть ответ исходного неравенства: 27-W66 8-V85 , 3 7 + 4V66 Комментарий (для учителя). Изложение прямого решения требует значительного времени. Поэтому для его экономии разумно предварять это изложение специальной серией домашних заданий. Например, в данном случае предлагается следующая серия упражнений. 1. Приведите к стандартному виду многочлен: а) (Зи2 - 16t> - 7)(3t>2 - \lv - 5); б) (и2 - lv - 8)2; в) 4(3и2 - 16v - 7)(3и2 - \lv - 5) - 9(и2 -lv- 8)2. 2. Разложите на множители многочлен: a)27v3-216u2 + 215v + 218; б) 27v4 - 270и3 + 647и2 - 212и - 436. 3. Без использования калькулятора сравните числа: а)-1и 8">/85 _. , 17-V349 NO 27 + 4V66 " б)-1и : ; в) 8 и — 134
4. Расположите в порядке возрастания числа: 8->/85 8 + У85 17-7349 17 + 7349 ; ; з ; з ; ; 27-4>/б6 27 + 4^66 9 ; 9 • 5. Решите систему неравенств: IV -7v-8 < 0, [32 fv2 -7v-8 < 0, B) i [27г;2 -162v-109 < 0; [3v2 -16v-7 > 0, д) 1 e) i [272 -162v-109 < 0; [27гг -162v-109 < 0; ж) 27v2-162v-109<0. В приведенном прямом решении легко выделить три этапа: I этап — освобождение от иррациональностей (переход от неравенства (1) к системе (6)). II этап — упрощение системы (6) (переход от системы (6) к системе (10)). III этап — решение системы (10). Очевидно, что I этап должен преодолевать любой школьник. На этапе II с работой должен справиться школьник класса с углубленным изучением математики, а при обнаружении замены и = 3v - 6 — любой. III этап, как и I этап, должен преодолеть тот, кто просто не испугается задачи сравнения корней различных квадратных трехчленов. Преодоление каждого этапа требует терпения и аккуратности при выполнении преобразований и сопровождается, как указывалось ранее, большими затратами времени. Возникает вопрос: на какой стадии решения можно сэкономить свои усилия? 135
Простейшая рекомендация: поскольку вычисления желательно производить с меньшими по модулю целыми числами, то, если имеется возможность «укрупнять» переменную, есть смысл этим воспользоваться. Например, в рассматриваемом случае можно ввести вспомогательную переменную / = 3v и неравенство (1) переписать так: V/2-16f-21 +л/;2-17/-15 <|/-6|. Тогда система (6) примет вид У-21г-72<0, З/4 - 90t3 + 647/2 - 636t - 3924 < 0. Увидев последнее неравенство полученной системы, можно подвергнуть сомнению попытку введения переменной /, поскольку «поймать» далее корень / = 6 соответствующего многочлена четвертой степени удастся очень нескоро. Тем не менее в большинстве случаев умение обходить вычислительные трудности и искусство вычислений эффективнее используется при «укрупнении» переменных. Вторая простейшая рекомендация заключается в накоплении и умелом использовании маленьких хитростей, возникающих почти во всех стандартных ситуациях, для экономии собственных сил. Например, многие опускают руки при попытке сравнить без калькулятора корни трехчленов, входящие в левые части неравенств системы (10). Рассмотрим последовательность преобразований при сравне- . 8-V85 27-4V66 нии корней и и убедимся в том, что любой способен эту последовательность воспроизвести. Итак, выполним упражнение 3(г), не приводя обоснования преобразований в силу их очевидности для грамотного читателя. Имеем: « (4л/бб)2 v (з + Зл/85)2 »16-66v9+18>/85 +9 85 136
»16-22-3-86v6V85 »16-ll-3-43v3V85» так как 3 >/85 < 3 • VlOO = 30 < 47. Отсюда получаем, что 8-V85 > 27-4V66 Обратите внимание, что никаких (!) черновых записей (типа умножения столбиком чисел) не потребовалось. Очевидно, что решающую роль в любой работе играют навыки ее выполнения, наличие которых позволяет легко и безошибочно продвигаться к конечному результату. Один из богатейших ресурсов повышения качества работы и приобретения устойчивых навыков, по мнению автора, состоит в запрете черновых записей при решении стандартных задач и выполнении любых вычислений и алгебраических преобразований. Подобный запрет, естественно, не касается экзаменов любого уровня. Большинство задач имеет многовариантные решения. К сожалению, идеи, используемые при этих решениях, зачастую неизвестны читателю. Однако пытливый читатель способен обнаружить их самостоятельно. Рассмотрим, например, ситуацию, в которую попадаем мы при решении системы (10). Быстро вычислив корни входящих в систему (10) трехчленов, сразу же осознаем сложность сравнения между собой этих корней (см. упражнение 4). Мы также сразу встаем перед следующим вопросом: Можно ли исследовать взаимное расположение корней квадратных трехчленов, не вычисляя эти корни! Очевидно, что в этом случае школьник обратится к свойствам квадратичной функции и ее графика и обнаружит, например, следующие решения упражнения 5(а, г, е). 5(а). Решить систему |3u2-16u-7>0. 137
Так как квадратный трехчлен v2 - lv - 8 имеет целочисленные корни -1 и 8, то Г-1 < v < 8, |>2-16г;-7>0. Пусть J(v) = 3v2 - \6v - 7. Тогда легко показать, что графиком функции у = j(v) является парабола, ветви которой направлены вверх и которая дважды пересекает ось абсцисс. Заметим, что ось параболы пересекает отрезок [-1; 8], посколь- о ку абсцисса вершины параболы vB = -. Кроме того, значения функции J{v) на концах отрезка [-1;8] положительны (Д-1)=12, Д8) = 57). Поэтому в плоскости координат v и у имеем картину, 8-л/85 8 + V85 изображенную на рисунке 3, где il = ии+= корни квадратного трехчлена 3v2 — 16v — 7 (индексы «-» и «+» указывают на знак перед квадратным корнем). На рисунке 3 штриховкой указаны множества решений неравенств системы (11), откуда следует ответ: то есть -1 < v < V. или v+ < v < 8, , . . 8-л/85 -1 < v < или < v < 8. Яг/с. 3 138
5(г), Решить систему (12) В этом упражнении оба трехчлена имеют «плохие» корни. Пусть fly) = 3v2 - 16t> - 7 и g(v) = 3v2 - 17 v - 5. Точка пересечения графиков функций у =fly) и у = g(y) определяется системой уравнений у = 3v2 - 16v - 7 и у = 3v2 - \7v - 5. Равенство (в этом вся соль!) старших коэффициентов у квадратных трехчленов позволяет легко решить эту систему и получить координаты единственной общей точки двух парабол: v = 2, у = -27. Так как ветви обеих парабол направлены вверх и ордината единственной общей точки отрицательна, то получаем следующую картину взаимного расположения графиков функций fly) и g(v) в координатной плоскости (рис. 4). Рис. 4 Чтобы выяснить, какая из двух парабол является графиком Функции у =flv) и какая — графиком функции у = g(v\ достаточно сравнить значения этих функций при любом значении аргумента v, отличном от абсциссы общей точки (в данном случае при v ^ 2). Так как/0) = -7 и g(0) = -5, то/0) < g(0), и поэтому парабола, изображенная на рисунке 4 жирной линией, есть график функции У ~flv), а пунктирной линией — функции у = g(v). 139
Если теперь ввести обозначения корней квадратных трехчленов 3v2 - 16i> - 7 и 3v2 - \7v - 5, например, так: v(P, v[f), v[g\ v[8), то из рисунка 4 сразу получаем, что y(_f) < y(g) < v(f) < tfg)m Отсюда следует ответ системы (12): v < v{P или v > v[g). Чтобы получить окончательную форму ответа, осталось вычислить корни v(P и v(g) и подставить в последние два неравенства: ^ 8-V85 . 17 + V349 v < или v > 3 6 5(е). Решить систему IV-17V-5X), (13) 0 В приведенной системе (13) оба квадратных трехчлена имеют «плохие» корни и уже не равные в отличие от системы (12) старшие коэффициенты. Поэтому при попытке решения системы (13) по аналогии с решением системы (12) на стадии определения координат точек пересечения двух графиков получим квадратное, а не линейное уравнение с «плохими» корнями. Чтобы этого избежать, надо обе части первого неравенства системы (13) умножить на 9 и только после этого ввести в рассмотрение функции Дь) = 27г;2 - 51v - 15 и g(v) = 27v2 - 162v - 109. Далее устанавливаем, что графики функций fijo) и g(v) пересекаются в единственной точке, лежащей во II координатной четверти, и ДО) > g(0). Отсюда сразу получаем (рис. 5), что v[8) < v[f) < v[f) < v[g\ откуда следует ответ системы (13): vig) <v< v[f) или v[f) <v< v[8\ то есть 17-V349 . ^ 27-W66 140
или 27 + W66 17 + V349 Рис.5 Рассмотрим теперь совсем иное решение неравенства (1). Как известно, одна из основных рекомендаций при решении уравнений и неравенств с несколькими радикалами состоит в определении взаимосвязей между подкоренными и «внекоренными» выражениями, так как выявленные взаимосвязи могут подсказать зачастую очень эффективные пути к ответу. В данном случае, если ввести обозначения jc = 9v2 - 4 Sv - 21 и у = 9v2 - 51 v - 15, то легко обнаружить, что 3v - 6 = х - у. Поэтому неравенство (1) можно представить в виде VI + Jy<\x-y\. (14) Повторим, например, прямое решение, используя обозначения <(x-y)2-(x+y) 141
(далее будьте особо внимательны!) х>0, у>0, ^ (х-у)2-(х + у)>0, ~ Аху < (х-у)4 -2(х-у)2(х + у)- х>0, у>0, (х-у)2-(х + у)>0, (так как (* + у)2 - 4ху = (х- у)2) х>0, У>0, (x-yf((x-yf-2(x + Очевидно, что последняя система неравенств есть система (9). Возвращаясь к переменной и, заканчиваем решение по одному из указанных ранее путей. Неравенство (14) допускает и иные варианты упрощения, которые практически нереально обнаружить, не переходя к переменным х и у. Так как то неравенство (14) можно переписать в виде (15) Если х =у9 то v = 2. При v = 2 непосредственной подстановкой убеждаемся, что х < 0 (и у < 0). Поэтому равенство х = у = 0 невозможно. Следовательно, при х> 0иу> 0 выражение у/х + ^ все- 142
гда положительно. Тогда, разделив обе части неравенства (15) на (л[х + у[у), получим равносильное ему неравенство (16) Далее возможны два варианта преобразования неравенства (16): либо возвести обе его части в квадрат, либо перейти к системе, вскрывая модуль. Рассмотрим оба варианта. В первом варианте имеем: (16) <=> I2 < (л/jc — 1<х-2у/х-у[у 1 < (>/* - л/у)' 4ху < (х + у)2 -2(х + у) + \ х>0, 18v2-99t;-37>0, Если вернуться к переменной v, то последняя система после очевидных преобразований примет вид 3t;2-16v-7>0, (17) Здесь только три неравенства (первое, второе и четвертое) совпадают с тремя неравенствами системы (10) (со вторым, третьим и четвертым соответственно). Системы (10) и (17) равносильны, поскольку они равносильны неравенству (1). С другой стороны, это объясняется тем, что в системе (10) первое неравенство есть следствие четвертого, а в системе (17) третье неравенство есть следст- 143
вие первых двух, то есть исходное неравенство (1) системы (10) и (17) равносильны системе трех неравенств: 3v2-16v-7>0f <3v2-17v-5>0, 27v2-162u-109<0. Поэтому к упражнениям 1-5 можно добавить следующее упражнение: 6. Найдите в данной системе неравенство, являющееся следствием остальных (каких?) неравенств системы: V-7v-8<0, а) б) 3u2-16v-7>0, 3u2-17v-5>0, 18и2-99и-37>0, 27v2-162u-109<0. Зи2-17и-5>0, 27и2-162и-109<0; Можно существенно усложнить это задание, запретив вычисление корней квадратных трехчленов в левых частях неравенств. Наконец, рассмотрим цепочку преобразований неравенства (16) при втором из обозначенных выше вариантов. Так как 17>ф то (16) <=э <=> <=> 2у[у < х - у -1 х-у-\>0, 144
У>09 x-y-l>09 (х-у)2-2(х + у) + \>0 х>0, у-х-\>0, (х-у)2-2(х + у) + 1>0. Возвращаясь к переменной и, находим, что исходное неравенство (1) равносильно следующей совокупности двух систем: (19) 5v-3>0, <3t>-7>0, или 27v2-162v-109<0 Первая равносильна неравенству -V349 ^ ^ 27 + 4>/б6 27v2-162i;-109<0. а вторая — неравенству 27-4>/б6 < < 8-V85 9 "^ 3 Заключение. Выше были рассмотрены различные варианты перехода от исходного неравенства (1) к равносильным ему системам линейных и квадратных неравенств и совокупностям таких систем. Очевидно, что их многообразие этим изложением не исчерпано. Важно подчеркнуть, что любой подобный переход требует серьезных усилий и навыков, чтобы осуществить его без ошибок и потери времени. Естественно, особую сложность представляет собой решение полученных систем и их совокупностей ((6), (10), (17), (18), (19)) вследствие «плохих» корней квадратных трехчленов, фигурирующих в этих системах. Поэтому крайне важную роль играет предварительная подготовка с помощью выполнения различных упражнений (см. упражнения 1-6), а также ознакомление с многочисленными эффективными приемами в подобных ситуациях, опубликованными в пособиях для поступающих в вузы. Напомним, 145
что очень перспективно отрабатывать навыки решения задач без каких-либо черновых записей и вспомогательных средств (например, калькулятора). И последнее. Одна из проблем, с которой сталкивается учитель после изложения в классе задачи, — где найти для задания на дом аналогичные задачи. Мы советуем использовать такое удобное средство, как линейная замена переменных, которое легко видоизменяет исходную задачу и не мучает при поиске ответа относительно новой переменной. Например, если в неравенстве (1) перейти к переменной х> сделав подстановку v = х + к, где к — номер варианта задания, то для любого к решение неравенства *)-15 <|3(х + Л)-6| (20) находится (для учителя) из ответа неравенства (1), если в нем сделать ту же подстановку, то есть имеет вид 27-W66 , . . 8-V§5 , к<: jc< к 9 3 или 17 + V349 ; ^ ^ 27 + W66 , 6 9 При выборе конкретного значения к в неравенстве (20) необходимо раскрыть все скобки и привести подобные члены прежде, чем выдать задание ученику. Послесловие Как и задачи предыдущих двух глав, рассмотренная задача привлекает внимание высокими требованиями к технике владения основными идеями и методами решения задач по объявленным темам. Еще раз обращаем внимание на малоизвестные равносильные преобразования основных иррациональных сравнений, представленные в табл. 2. 146
Глава 10. «Экстремальная» задача на экстремум В 1992 году на вступительном экзамене на биологический факультет Московского университета была предложена задача, не имеющая аналогов в практике экзаменов ни в прошлом, ни в настоящем. Насколько нам известно, ни один из абитуриентов не справился с проблемой поиска хотя бы идеи решения. Автор честно признается, что никогда бы не искал предлагаемое ниже решение, если бы успел познакомиться с официальным. К счастью, как говорится, не так страшен черт, как его малюют. Поэтому смело рискуйте, осознавая тот факт, что если вам очень трудно, то, скорее всего, и остальным не просто, то есть у вас есть шанс на экзамене вырваться вперед. Задача 1. Найти наименьшее значение величины О) где я, Ь, с, /, и — положительные числа, удовлетворяющие условиям t + bu<c, (2) a2+2bcu>b2+c\ (3) ,2 2 2.l_i!_ + c2 ^2bcu. (4) Комментарий 1. Эта задача застает врасплох почти любого школьника, учителя, репетитора, поскольку большинство из них впервые сталкивается с ситуацией, в которой предлагается найти экстремальное значение функции пяти (!) переменных в некоторой области допустимых значений этих переменных. Комментарий 2. Присутствие в условии задачи переменных а, Ь, с явно указывает на возможность геометрической интерпретации данных переменных как сторон треугольника. И действительно, существует решение, основанное полностью на такой интерпретации. Мы, однако, рассмотрим решение, не ориентированное на подобное толкование переменных а, Ь, с. 147
Общие соображения При обилии переменных в задаче рекомендуется предварительно разобраться с каждой переменной в отдельности, полагая значения остальных переменных фиксированными. В нашей ситуации мы обнаруживаем, что все выражения в условиях, объявляющих область изменения всех пяти переменных, либо линейные, либо квадратичные функции относительно любой переменной (в (4) — после умножения обеих частей неравенства на положительную величину 1 -11). Величина (1) явно указывает на различные роли переменных я, Ь,си переменных и и t. При этом относительно переменных а, 6, с величина (1) является дробно-рациональной функцией. Поэтому естественно стартовать с более подробного анализа задачи относительно переменных д, Ь, с. С этой целью в неравенствах (2)-(4) переносим все слагаемые в левую часть и быстро устанавливаем, что получаемые выражения, как и величина (1), являются однородными (!) функциями1 относительно переменных а> Ъ и с: \ степени нуль; at + bit-с — степени один; а2 + 2bcu -b2 -с2 — степени два; ,2 t2-и2 2 ., Ъ • —-z + с - 2Ьси — степени два. 21 При обнаружении однородности естественно переходить к новым переменным, тем более если исследуемая на экстремум величина есть однородная функция степени нуль (!). Итак, пусть а Ъ т = — и п = —. (5) с с Тогда из положительности переменных а, Ь9 с следует положительность переменных т и л, а задачу 1 можно сформулировать следующим образом: 1Л*ь*2> -->хп) есть однородная функция степени к, если в области ее определения для / Ф 0 /(/• *ь t-х2, ..., /• х„) = tk-f(xu хъ ..., хп). 148
Задача 2. Найти наименьшее значение величины *^+ " , (б) где т, n9t,u — положительные числа, удовлетворяющие условиям mt + nu-К О, (7) и2-1>0, (8) 2ш/ + 1<0. (9) Исследуемая на минимум величина (6) есть сумма двух слагаемых. Первое слагаемое содержит только (!) переменные тик, а второе — только «и/. Этот факт провоцирует искать минимальные значения каждого слагаемого отдельно. Если теперь обратить внимание на неравенства (8) и (9), то легко увидеть, что переменные т и и одновременно присутствуют только в неравенстве (8), а переменные ли/ — только в (9). Это обстоятельство еще более усиливает провокацию искать минимальное значение отдельно каждого слагаемого величины (6). Решение задачи 2 1. Из неравенства (8) сразу получаем, что т2>п2-2ип+1. (10) В неравенстве (10) справа находится квадратный трехчлен относительно я, принимающий минимальное значение, которое можно, как известно, найти либо выделяя полный квадрат, либо подставляя вместо п значение абсциссы вершины параболы — графика этого квадратного трехчлена, то есть п = и. Поэтому аи2 > 1-й2. (И) Мы уже знаем, что т > 0 и 1 - и2 > 0. Тогда, извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства (11), мы наконец получаем основное неравенство для оценки снизу первого слагаемого в (6): m>yjh^2. (12) Отсюда для первого слагаемого в (6) имеем неравенство -^= > 3. (13) 149
То есть первое слагаемое в (6) принимает наименьшее значение, не меньшее трех. Равенство в (13) достигается тогда и только тогда, когда <14) 2. Обратимся теперь к неравенству (9), чтобы оценить второе в (6) слагаемое Неравенство (9), как указывалось ранее, содержит обе переменные nut, значения которых единственным образом определяют значение дроби . . Стандартный ход при определении множества значений некоторой величины (в нашем случае — дроби , ) в области, за- /ь7 даваемой уравнениями и неравенствами (в нашем случае — неравенством (9)) — это «внедрение» данной величины в указанные уравнения и неравенства. Пусть Ясно, что неравенство (9) легче разрешимо относительно переменной /, чем п. Поэтому из равенства (15) находим Z2: х2' И подставляем в (9), умножив для удобства обе части неравенства на положительное число 1 - i2: п\и2 -t2)-2nu(l-t2) + l-t2 <0o 4]4 4 х2) х2 х2 150
Так как п > О и 1 - и2 > О, то 2 ^ п2 - 2пи +1 1-w2 Выделяя в числителе полный квадрат, получаем, что п2 -2пи + \ _(п-и)2 +1-и2 _л (n-uf ^, (16) 1-м2 (я-м)2 . . так как — > 0. 1-й2 1-м2 1-м2 Откуда и из неравенства (16) х2 > 1, то есть х > 1, то есть При этом равенство достигается, когда (17) (18) 3. Системы (14) и (18) объявляют условия, при которых величина (6) принимает наименьшее значение, равное четырем, при ограничениях (8) и (9). То есть [ Ът п \ А min . + , =4, если (19) Система (19) трех равенств с четырьмя неизвестными позволяет три из них выразить через четвертую: 09) о (20) так как /я, п, м, / — положительные числа. Осталось прямой подстановкой величин т, и, / в неравенст- ва (7Н9) убедиться (проделайте это самостоятельно) в их истинности. Ответ: 4. 151
Замечание. Как вы заметили, неравенство (7) играет пассивную роль, и его можно было бы опустить. Упражнения (1-4) 1. Найдите наименьшее значение величины г{ и yj\-v2 ) где/?, q, r,u,v — положительные числа, удовлетворяющие условиям /l-и2 <г, \-V2-U2 2. Найдите наименьшее значение величины \( 2с За 1 где о, 6, с, /, и — положительные числа, удовлетворяющие условиям ct<b-au, a2+b2-c2<2bau, Ь2-2аЬи<а2 * t2-\ 3. Найдите наименьшее значение величины Р\» yll-v2) где р, q, r,u,v — положительные числа, удовлетворяющие условиям Л-и < р -qv, + p2-q2<2rpjl-u2, , , v2+u2-l , <.2pH\-u\ v -1 Ответы: 1. 5. 2. 5. 3. 3. 152
4. Найдите наименьшее значение первого слагаемого величины (6), «внедрив» его в неравенство (8), по аналогии с определением наименьшего значения второго слагаемого величины (6). Послесловие Все надежды на то, что подобные задачи в ближайшие лет двадцать в практике вступительных экзаменов не появятся, поскольку их наличие в варианте нисколько не отражается на конкурсе среди абитуриентов. Единственное оправдание наличия подобных задач в вариантах вступительных экзаменов состоит в предоставлении права не ставить высший балл практически ни одному абитуриенту. По мнению автора, место рассмотренной задачи — на олимпиадах, предваряющих вступительную кампанию. 153
Глава 11. Семейства функций в задачах с параметрами В течение нескольких десятилетий в практике вступительных экзаменов регулярно появляются задачи, в которых из данного семейства функций требуется выделить те, чьи множества значений удовлетворяют объявленным условиям. Ниже мы укажем идеи решения наиболее популярного класса подобных задач. Пусть для заданного значения параметра а рассматривается функция yJLx)=Ax\a). (1) Будем говорить, что задано семейство {уа} функции уа. Тогда указанный наиболее популярный класс задач состоит в следующем. Первая основная задача. Найти все значения параметра а, при которых множество значений функции Дх; а) содержит данный отрезок (интервал, полуинтервал, луч и т.д.). Вторая основная задача. Найти все значения параметра я, при которых множество значений функции Дх; а) не содержит ни одного значения из отрезка (интервала, полуинтервала, луча и т.д.). Ясно, что можно сформулировать и другие регулярно встречающиеся типы основных задач. Более того, в силу взаимосвязи между основными задачами, можно иногда одну из них сформулировать в виде другой. Наш выбор основных задач предопределен практикой вступительных экзаменов, где эти задачи наиболее часто в подобном виде и присутствуют. Способы решения основных задач Принято выделять следующие способы решения. Первый способ — способ определения Е(уа) (множества значений функции Дх; а) при данном а). Суть этого способа состоит в непосредственном исследовании функции с целью нахождения множества ее значений и в установлении ответа на вопрос: является ли оно искомым или нет в данной основной задаче. Этот способ самый громоздкий по объему работы, поскольку требуются предварительная полная классификация возможных ва- 154
риантов в зависимости от параметра а типов исследуемой функции и рассмотрение каждого варианта. Второй способ — способ определения условий существования корней уравнения У=Ах\а) (2) относительно х (считая переменные у и а параметрами этого уравнения) при сформулированных требованиях к переменной у. Этот способ наиболее естественный для понимания всех действий при его использовании и наиболее часто демонстрируемый в литературе. Третий способ — решение относительно параметра а равенства (2). Это очень известный способ в задачах с параметром, требующий, однако, наиболее высокой культуры при его использовании. Для понимания излагаемого в дальнейшем текста крайне важно отдавать себе отчет, с какими функциями из семейства {уа} мы имеем дело, когда фиксируем значение какой-нибудь из трех переменных в равенстве (2). Вариант а = с: рассматривается одна функция у(х) = Дх; с) из семейства {уа}. Вариант х = с: рассматриваются все функции из семейства {уа}, для которых с принадлежит их области определения. Варианту = с: рассматриваются все функции из семейства {уа}, для которых с принадлежит множеству их значений. Рассмотрим теперь подробные решения задач всеми способами. Примеры решения задач первым способом Задача 1. Найти все значения параметра я, при каждом из которых функция х Аа-2х на промежутке [-1; 1] принимает все значения из отрезка [0; 1]. Решение. Выделим в равенстве (3) целую часть: iiiM±2+U (4) Аа-2х 4а-2х 4а-2х 155
Из (4) следует, что графиком функции j{x) является либо гипербола (а ^ 0), либо прямая без точки. При этом если а < 0, то функция J[x) монотонно убывает на лучах (-°°; 2а) и (2я; +°°), и, если а > 0, монотонно возрастает на этих лучах. Если а = 0, тоДх) = -2 на всей области определения jc * 0. Поэтому очевидно, что искомые значения параметра не равняются нулю. Поскольку нас интересуют значения функции только на отрезке [-1; 1], то классификация ситуаций определяется тем, как асимптота х = 2а гиперболы (а & 0) располагается относительно этого отрезка. Случаи 1. Все точки промежутка [-1; 1] находятся справа от вертикальной асимптоты х = 2а, то есть когда 2а < -1. Случай 2. Вертикальная асимптота пересекает промежуток [-1; 1], и функция убывает (как и в случае 1), то есть когда Г-1<2*<1, 1 < <=>— <я<0. \а<0 2 Случай 3. Вертикальная асимптота пересекает промежуток [-1; 1 ] и функция возрастает, то есть [-1 < 2а < 1, 1 [а>0 2 Случай 4. Все точки промежутка [-1; 1] находятся слева от вертикальной асимптоты, то есть 1 < 2а <=> а > —. 2 На следующем этапе для каждого из четырех случаев находим множество значений функции на отрезке [-1; 1] в точках, где она определена. Это нетрудно сделать, учитывая монотонность нашей функции. Упражнение 1. Докажите, что — для случая 1 156 E(f) = [/(i);/(-i)] = Г±Ц-;:±±£1; (5) |_4а-2 4 2J
для случая 4 Д/) = (6) Так как в задаче речь идет о значениях функции из отрезка [0; 1], то для случая 2 мы рассматриваем функцию только на полуинтервале (2а\ 1] (Дх) < -2 при х < 2а). Аналогично для случая 3 мы рассматриваем функцию только на полуинтервале [-1; 2а). Упражнение 2. Докажите, что на указанных полуинтервалах: — для случая 2 (7) (8) Осталось в каждом случае написать условия включения отрезка [0; 1] в промежуток множества значений функции Дд:), объявленные равенствами (5)-(8), и решить соответствующую систему неравенств. — для случая 3 а<-\, Случай 2: \ 2 1/(1) <0. Случай 4: Случай Г. Случай 3: •! 2' [/(-!)< 0. Ответ: а е [-2; 0) U (0; 2]. Чтобы полностью осознать трудоемкость решения способом непосредственного определения множества значений функции, решим указанным способом еще одну задачу. 0, 157
Задача 2. При каких значениях параметра а множество значений функции ^4 (9) а-х не содержит ни одного значения из отрезка [-3; -1]? Ответ: а<Ъ. Решение. Поскольку числитель дроби в равенстве (9) при любом значении параметра а обращается в нуль при jc = 2, то вся дальнейшая классификация ситуаций определяется квадратным трехчленом в знаменателе. Поэтому классификация всех ситуаций выглядит следующим образом: вариант 1: а<0; вариант 2: а = 0; вариант 3: у/а < 2 при а > 0; вариант 4: у/а = 2; вариант 5: 2 < у/а . Вариант 1 (а < 0). При а < 0 знаменатель а-х2 меньше нуля. Отсюда следует, что у > 0 при х < 2 и у < 0 при х > 2. Функция всюду непрерывна, и так как она принимает и положительные, и отрицательные значения, то значение параметра— искомое, если наименьшее значение функции будет больше наибольшего числа из отрезка [-3; -1], то есть когда тту(х)>-\. (10) Так как отрицательные значения функция принимает только прих>2, то(!) (10)» min j<jc)>-1. (11) х>2 Вычислим min у(х). Пусть х - 2 = /, t > 0 при х > 2, поэтому min y{x) = min y(t) = min (~6)~ = = (-6) -max , , ' . = (-6) -max / + 1 + 4 158
4-a i Так как 4 - а > О при а < О и t + > 2 v 4 - ц , то max <>o 1 1 ,+!z£l+4 2^+4 (11)« (/ = V4-o) -3 >-l <=>a<3. /4-a + 2 Поэтому все отрицательные значения а являются искомыми. Ответ варианта 1: а < 0. Вариант 2 (а = 0). Как и в варианте 1 (проделайте самостоятельно), находим min ;<*) =-т >-!• дг>2 4 Ответ варианта 2: а = 0. Вариант 3 (0 < а < 4). Для указанных значений параметра и у<0*=>-у[а <х< \[а илих>2. Множество значений функции на интервале 1-у[а;\[а) есть луч (-оо; щ, а на луче (2; +оо) — полуинтервал [т\ 0) (докажите самостоятельно). При этом 3 —3 () i () М= = min y(x) = Поэтому искомые значения параметра в варианте 3 определяются из системы 0 < а < 4, »0<я <3. Ответ варианта 3:0<а<3. Аналогично исследуются ситуации в оставшихся двух вариантах (проделайте самостоятельно). Для ориентации приводим эскизы графиков функции j;(x) для всех пяти вариантов (рис. 1). Ответ задачи 2: а < 3. 159
а<\ Рис. У 160
Упражнение 3. Найдите все значения параметра а, при которых множество значений функции будет содержать отрезок [0; 1]. Упражнение 4 (МГУ им. М.В. Ломоносова, геологический факультет, 1988, № 6 (6)). Найдите все значения параметра а, при которых множество значений функции содержит отрезок [1; 2]. а - cos2 х Примеры решения задач вторым способом Задача 1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых функция г^г о) 42 на промежутке [-1; 1] принимает все значения из отрезка [0; 1]. Решение. Рассмотрим равенство (1) как уравнение относительно х. Тогда исходную задачу можно сформулировать в следующем равносильном виде: найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 4х + а У ~~л Г"~ \^) 4а-2х имеет хотя бы один корень на промежутке [-1; 1] для любого значения у из отрезка [0; 1]. 2О + 2), а(4У1), [х * 2а. При х = 2а из уравнения системы (3) следует, что а = 0. Так как при а = 0 равенство (2) принимает вид у = -29 то, очевидно, значение а = 0 не является искомым. При а ** 0 равенство (2) равносильно уравнению системы (3). Так как 2(у + 2) ^ 0 при 0 < у < 1, то 161
то есть при данном у значение х определяется единственным образом. Поэтому для искомых значений параметра а для любого -Ка 4v-l У 2(7 + 2) (4) При 4у - 1 = 0 двойное неравенство (4) истинно при всех а & 0. При 4у-1 *0 (4) 4у-1 2) 4у-\ (5) для всех у € ИМИ- Поэтому | а | < min где минимум вычисляется на указанном множестве значений х. Поскольку (найдите самостоятельно) этот минимум равен 2, то (5) » -2 < а < 2. Ответ: -2 < а < О или 0 < а < 2. Задача 2. При каких значениях параметра а множество значений функции не содержит ни одного значения из отрезка [-3; -1]? Решение, Равенство (6) рассматриваем как уравнение относительно л:: {ух2+6х-ау-\2 = 09 \хг*а. Если х2 = а, то из уравнения системы следует, что х = 2, откуда При а = 4 равенство (6) принимает вид >> = (х * ±2). Так х + 2 как д> принимает все значения, кроме у = 0 и у = —, то значение параметра а = 4 не является искомым. 162
Если а ^ 4, то (6) **ух2 + 6х-ау- 12 = 0. (7) Для искомых значений параметра необходимо и достаточно, чтобы квадратное относительно х уравнение не имело корней при всех .у ^ [-3; -1]. Это равносильно отрицательности дискриминанта для всех>> ^ [-3; -1]: -12v-9 ~a< \ (8) У то есть а< min -9-I-1 -12-|-| = min (-9/2-12r) = 3, откуда а < 3. Ответ задачи 2: а<3. Мы уже упоминали, что основные задачи естественным образом взаимосвязаны между собой. Посмотрите, как изящно можно решить задачу 2 от противного. Решение. Пусть а есть не искомое значение параметра. Это равносильно тому, что найдется хотя бы одно значение х0, при котором значение функции, определяемой равенством (6), будет принадлежать отрезку [-3; -1], что, в свою очередь, равносильно существованию хотя бы одного решения двойного неравенства То есть неравенство 'блг-12 ,Y6*-12 <0<=> (х2-а)2 должно иметь хотя бы одно решение. Согласитесь, что неравенство (9) имеет хотя бы одно решение при неотрицательности хотя бы одного из дискриминантов квадратных трехчленов в числителе и соответствующем взаимном расположении корней (если они существуют) всех трех квадратных трехчленов. Упражнение 5. а) Докажите, что неравенство (х2 + р\х + q\)(x2 + ргх + q2) < 0 пРи/?1 ч* р2 имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда 163
хотя бы один из дискриминантов квадратных трехчленов х2 + р\х + q\ и х2 +р2х + q2 неотрицателен. б) Докажите то же самое и для неравенства (х2 + рхх + дх)(х2 + р2х + д2) ^ и' где/?! рър2 Ръ,Р Р Указание. Для квадратных трехчленов ах2 + Ь\Х + с\ и ах2 + Ь2х + с2 условие b\ ^ b2 равносильно тому, что графики соответствующих квадратичных функций имеют единственную общую точку. В нашей задаче р\ = -3, р2 = -2 и ръ = 0. Поэтому неотрицательность хотя бы одного из дискриминантов квадратных трехчленов в числителе дроби неравенства (9) является не только необходимым, но, в силу упражнения 3, и достаточным условием существования решений этого неравенства. Имеем 1 «я>3, [D2>0 откуда следует, что все оставшиеся значения (а < 3) параметра являются искомыми. Ответ: а<Ъ. Упражнение 6. Решите способом 2 задачи упражнений 3 и 4. Примеры решения задач третьим способом Задача 1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых функция 4х + а у= (1) на промежутке [-1; 1] принимает все значения из отрезка [0; 1]. Решение. Выражаем а из равенства (1): х 2 х Если а = —, то, подставляя в уравнение системы, получаем, что х = 0. Поэтому а = 0. 164
Случай я = 0. Тогда равенство (1) принимает вид у = -2 (при Очевидно, что функция у = -2 условиям задачи не удовлетворяет. Поэтому искомые значения параметра отличны от нуля. Случай а^О. Тогда Чтобы найти а из последнего равенства, мы должны рассмотреть вариант равенства нулю коэффициента при а. Пусть 4у - 1 = 0, тогда х = 0 при всех а ^ 0. То есть значение у = — достигается при всех а ^ 0. Осталось рассмотреть варианту ^ 0; — U —; 1 . Тогда При фиксированном значении у равенство (2) определяет функцию а(х), множество значений которой на [-1; 1] есть все значения параметра а, при которых это значение у достигается. Так как а(х) есть нечетная линейная функция, то ее множество значений на [-1; 1] задается неравенством (3) Для искомых значений параметра а неравенство (3) выполняется для всех у е 0; — U —; 1 L откуда \\а |<min ГМ<2, Ответ: а е [-2; 0) U (0; 2]. В заключение рассмотрим красивую задачу вступительных экзаменов по математике в МГУ им. М.В. Ломоносова. 165
Задача (МГУ им. М.В. Ломоносова, геологический факультет, 1988, № б (6)). Найти все значения параметра а, при которых множество значений функции _ sin*+ 2(1-а) а - cos2 х содержит отрезок [1; 2]. Решение. Пусть s = sin х, р = а - 1. Тогда задачу можно сформулировать следующим образом: Найдите все значения параметра /?, при которых множество значений функции '* (4) s + р где s ^ [-1; 1], содержит отрезок [1; 2]. Решение. Найдем из равенства (4) параметр р. Из (4) следует, что (s2 + р)у = s - 2р. (5) Полученное равенство при s2 + р * 0 равносильно равенству (4). А при 52 + р = 0 и 5 - 2/7 = 0 истинно при всех (а следовательно, возможно, и при «лишних») значениях переменной у. Поэтому те значения параметра /?, при которых одновременно s2 + р = 0 и s - 2/7 = 0, требуют отдельного анализа на принадлежность к ответу. Указанные значения находим из системы 1 = 4' 2 Так как -1 < s < 1, то оба значения/? = 0 и /7 = могут спро- 4 воцировать появление «лишних» значений переменной у. Случай /7 = 0. Равенство (4) принимает вид у = —. Очевидно, что функция s y(s) = — на отрезке [-1; 1] принимает все значения из промежутка s [1; 2] (то есть Е(у) => [1; 2]), и, следовательно, значение/? = 0 является одним из искомых. 166 <=> < или [5-2/7 = 0 U = 0
1 Случаи р = —. 4 4 1 1 Тогда у = ^- = -, где s * ± —. Множество значений *2-i ,-± 2 4 2 функции^) на отрезке [-1; 1] не содержит промежуток [1; 2]. По- 1 этому значениер = — не является искомым. 4 Преобразуем теперь равенство (5) к виду Так как нас интересуют только значения у из промежутка [1; 2], то последнее равенство равносильно следующему (у + 2 ^ 0): у + 2 При фиксированных значениях у0 и so переменных у и s равенство (6) объявляет значение параметра р, для которого существует so такое, что функция у = —г—— принимает значение уо. Поэтому s + р при фиксированном значении^ и изменении s от -1 до 1 мы получим все значения параметра р, при которых данное значение уо достигается хотя бы при одном значении s из промежутка -1 < s < 1. При фиксированном значении переменной у равенство (6) объявляет квадратичную зависимость р от s. Так как при 1 < у < 2 абсцисса вершины соответствующей параболы равна — и всегда принадлежит отрезку — ;1 <= [_i; 1], то множество указанных /?(-1); р — , то есть отрезок значений параметра р есть отрезок у + 2 Поскольку мы ищем значения параметра/», при которых достигается любое значение у из отрезка [1; 2], то искомые значения есть 167
не что иное, как общие точки всех отрезков вида (7), когда у пробегает значения от 1 до 2. То есть для всех у ^ [1; 2] должно выполняться двойное неравенство (7), что равносильно условию max —— < р < min . (8) \<<2{ у + 2) ку<2 4у(у + 2) У + \ 1 1 ( У + А 2 хл Так как = -1 + , то max ™ = —. Мини- у + 2 у + 2 к^<2^ у + 2) 3 мальное значение дроби на [1; 2] достигается при у = 2 4^ + 2) и равно —. Поэтому последнее двойное неравенство (8) принимает вид 2 1 ~7 ^Р^ 32' Учитывая ранее рассмотренные случаи /? = 0 и р = —, получаем 4 1 Возвращаясь к переменной а, получаем ответ задачи: 168
Глава 12. Сколько корней имеет квадратный трехчлен на луче? Введение Серьезная проблема заключается в том, что многие авторы учебных пособий из-за обилия материала форсируют события, предъявляя обоснование большинства получаемых результатов в графическом виде. И действительно, большинство задач на квадратный трехчлен прекрасно решаются графически. Увы, увлекаясь графическими интерпретациями, школьник запускает овладение аналитическими методами решения. Это прекрасно известно авторам задач вступительных экзаменов, которые с удовольствием «подсовывают» задачи, решение которых графическими методами существенно труднее аналитического способа. По мнению автора, читатель обязан легко использовать любые способы решения данной задачи и выбор в пользу того или иного способа делать исключительно из собственных представлений об эффективности принятого направления. Наша задача— обеспечить максимальную объективность поведения школьника в подобных ситуациях. Ниже мы рассмотрим уравнение с параметром, для которого на заданном луче придется определять число различных корней квадратного уравнения. Поэтому сформулируем несколько простых утверждений и рекомендаций. Как считать число различных корней на луче? Пусть дано квадратное уравнение ax* + bx + c = 0, (I) для которого мы хотим выяснить, например, сколько его корней находится на луче (-°°; L), то есть сколько различных решений имеет система 0, \x<L Пусть корни существуют. Обозначим их через х. и х+: -b-ylb2-4ac -b + Jb2-4ac х_= , *+= . (3) 2a 2a 169
Пусть теперь A-(L) и А +(Ь) есть отклонения от точки L корней дс_ и х+ соответственно, то есть A_(Z,)=jc--LhA+(L)=jc+-L. (4) Очевидно, что принадлежность корней х. и х+ лучу с началом в точке L определяется знаками отклонений A .(L) и А +(!). При этом: • (случай 1) корни меньше L тогда и только тогда, когда отклонения отрицательны; • (случай 2) L между корнями тогда и только тогда, когда отрицательно произведение отклонений; • (случай 3) корни больше L тогда и только тогда, когда отклонения положительны. Замечание. Случай равенства одного из корней числу L лучше рассматривать отдельно. Для случаев 1 и 3 произведение отклонений А _(1) и A +(L) всегда положительно, а знак отклонений определяется их суммой, и наоборот, то есть A_(L)<O, ^ Д_(!)Д+(1)О, Естественно, что нам не хотелось бы для решения вопроса о принадлежности корней данному лучу иметь дело с иррациональными выражениями в правых частях равенств (3). Поскольку неравенства в (5) и (6) симметричны относительно корней х. и х+, разумно разобраться со знаками отклонений от точки L от этих корней, используя теорему Виета. Теорема о разложении на множители квадратного трехчлена при D > 0 мгновенно позволяет разобраться со знаком произведения А_(1) • Д+(1). Имеем при D > О Дх) = ах? + Ъх + с = а(х -х.)(х - лг+) = = а(-А-(х)) • (-АДх)) = а • А.(*) • Д +(*). 170
Отсюда следует, что /L) = а-Д _(/,). Д+(1), (7) то есть значение квадратного трехчлена в произвольной точке при наличии корней есть не что иное, как произведение старшего коэффициента на произведение отклонений от этой точки указанных корней. Из (7) следует, что знак произведения Д_(1) • Д +(L) совпадает со знаком произведения а -J(L) (а s* 0). Комментарий. В задачах, в которых старший коэффициент зависит от параметра, удобно переходить от уравнения (1) к приведенному уравнению, разделив обе части равенства на а. Многие авторы (и в этом есть резон) советуют не церемониться и всегда переходить к приведенному квадратному уравнению. Ниже мы рассмотрим возникающие удобства работы в этой ситуации. Для определения знака суммы отклонений Д_(1) и A+(L) воспользуемся равенствами (4): Д_(1) + Д+(1) = (х. -L) + (x+-L) = (jc_ + jc+) - 21 = X ~\~ X где хв = — - есть абсцисса вершины параболы, а АВ(Ь) — отклонение от точки L этой вершины, то есть Д_(£) + Д+(1) = 2ДВ(£). (8) Очевидно, что равенство (8) можно было бы мгновенно получить из геометрических соображений: сумма отклонений от точки L корней х_ и х+ равна удвоенному отклонению этой точки от хв. Принципиальное замечание. При 1 = 0 Д _(L) + Д *(L) = х. + х+ и Д ~(L) • Д +(/,) = х_- jc+. В этой ситуации определение знаков суммы отклонений и их произведения существенно упрощается, поскольку оно непосредственно следует из теоремы Виета. Поэтому самая простая схема выявления числа корней квадратного уравнения на луче состоит в переходе к равносильной задаче 171
определения числа корней приведенного квадратного уравнения на луче с началом L = 0. Прежде чем воспользоваться сформулированным замечанием, подведем предварительные итоги. Утверждение I. Если дискриминант квадратного трехчлена ах? + Ъх + с равен нулю, то х_ = х+ = хЪ9 и расположение корня относи- Ь тельно начала луча определяется с помощью равенства хъ = . 2а Утверждение II. Если дискриминант D квадратного трехчлена больше нуля, то оба корня меньше L тогда и только тогда, когда произведение старшего коэффициента на значение квадратного трехчлена в точке L положительно и абсцисса вершины параболы меньше L, то есть <=> а •/(£)> 0, Дв(1)<0 <=> D>0, (9) Утверждение III. Число L находится между корнями квадратного трехчлена тогда и только тогда, когда произведение старшего коэффициента на значение квадратного трехчлена в точке L отрицательно, то есть Д_(1) • Д+(1) < 0 » а -XI) < 0. (10) Утверждение IV. Если дискриминант D квадратного трехчлена больше нуля, то оба корня больше L тогда и только тогда, когда произведение старшего коэффициента на значение квадратного трехчлена в точке L положительно и абсцисса вершины параболы больше I, то есть 172
р>о, « a-/(L)>0, (11) [xB(L)>L. Упражнение 1. Пусть nL_ — количество корней квадратного уравнения ах2 + Ъх + с - 0 на луче (-°°; L). Докажите, что: fa •/(£)> О, 1) nL_ =0«£><0или < [Df(L) = 0, 2) nL_ = 1 » a AL) < 0 или \ D>0, а •/(!)> О, Упражнение 2 (трудное). Найдите необходимые и достаточные условия принадлежности заданного числа корней квадратного трехчлена лучу (-°°; L]. Самая простая схема Пусть по-прежнему требуется определить число корней квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 на луче с началом в точке jc = L. На первом шаге вводим новую переменную / = х - L, то есть производим замену х = / + L: a(t + L)2 + b(t + L) + с = 0 <=> а/2 + (2а! + 6)/ + aZ,2 + 61 + с = 0. Так как aL2 + ЪЬ + с =J(L) и хъ = (то есть, например, 6 = 2а = -2шгв), то последнее уравнение можно переписать в виде at2 + 2я(L - jc.) / +/I) = 0. (12) На втором шаге переходим к приведенному квадратному уравнению, разделив обе части равенства (12) на старший коэффициент: Г2 + 2(1-хв)Г+^-.Д1) = 0. (13) а На третьем шаге определяем число корней уравнения (13) на луче с началом t = 0, что, как мы раньше установили, всегда совпа- 173
дает с числом корней уравнения ах2 + Ьх + с = 0 на луче с началом Исследование приведенного квадратного уравнения Пусть 2{L - хв) = р и — • J{L) = q. Рассмотрим ситуацию распо- а ложения корней приведенного квадратного уравнения i*+pt + q = O (14) относительно нуля. Для определения расположения корней уравнения (14) относительно нуля нам необходимо и достаточно знать информацию о знаках дискриминанта и коэффициентов р и q, которые объявляют существование корней, знак их суммы и произведения. Любая из величин Д р и q может быть меньше нуля, равна нулю или больше нуля. Поскольку при D < О корни не существуют, и, следовательно, информация о знаках суммы и произведения не имеет смысла, то констатируем, что число п((р\ q) корней уравнения (14) при р и q таких, что р2 -4q< О, равно нулю. Осталось рассмотреть варианты, когда D = О или D > О при различных комбинациях (< 0, = 0, > 0) знаков коэффициентов pnq. Опасно думать, что существование двух возможностей для D (D = 0 и D > 0) и трех возможностей для/? и q порождает 2-3-3 = 18 различных случаев. Так как D зависит отр и q, то оказывается, что реализуется ровно десять из восемнадцати указанных случаев! Это очень важно осознавать при решении задач с параметром. Установим все десять случаев. Так как D=p2 - Aq, то при D = 0 q = — > 0. Поэтому если D = 0, то при/? ^ 0 q > 0, а при/? = 0 q = 0. __ „ 4 -p-y[D -p + yJ~D На языке корней /_ = — и и = — это, естественно, легко объяснимо, так какр = -(/_ + /+), a q = /_• /+. Если Z) = 0, то число различных корней уравнения (14) равно одному (L = /+ = /в). Поэтому ^ = /_• /+ = /в2 > 0 и р = -2/в. Откуда следует, что если/? ^ 0, то /в ^ 0 и g = t] > 0. Если же/? = 0, то и q = 0. Таким образом, при D = 0 возможны только следующие случаи: 174
При этом единственный корень уравнения для случая 1) — больше нуля, для случая 2) — равен нулю и для случая 3) — меньше нуля. Осталось рассмотреть ситуацию, когда D > О, то есть когда p2-4q>0. (15) Очевидно, что при р & О q может быть больше нуля, равно нулю или меньше нуля. При р = 0 q обязано быть отрицательным. Поэтому при D > 0 возможны только следующие семь ситуаций: Как и для случаев 1)-3), установим расположение относительно нуля различных корней L и и (L < и). 175
Упражнение 3. Докажите все объявленные выше равносильные преобразования. Контрольное устное упражнение для читателя. Дан график функции у = х2 + рх + q и произвольная прямая, параллельная оси Ох и пересекающая график в двух точках А и В (рис. 1). Докажите, что если прямая, параллельная оси Оу пересекает прямую АВ и график в точках С и D соответственно, то | CD \ = \ АС | • | ВС |. Рис. 1 Пример. Для любого значения параметра а найти число различных корней уравнения 25^-28;с-8ф-2|-Ьл2~125 = 0. (16) Комментарий для учителя. Краткая запись на доске имеет вид 25х2 - 28* - 8ф - 2| + а2 - 125 = 0. пх(а) = ? (17) Здесь и далее и*(я) — количество различных решений относительно jc при данном а. Решение. Попытка выделить (jc ~ 2)2 и воспользоваться свойством модуля Н2 = т2, очевидно, невозможна. Поэтому приходится вскрывать модуль |л: - 2|, то есть сравнивать х с 2, и далее для получаемых квадратных уравнений определять число различных корней на соответствующих лучах с началом в точке х = 2. Поскольку приятнее сравнивать значение переменной с нулем, вводим новую переменную t = х - 2, откуда 25Г2 + 72/- 8а | /1 + а2 - 81 = 0. (18) 176
Так как равенство t = х - 2 единственным образом определяет значение х при данном значении /, то при любом значении параметра а количество корней уравнения (16) всегда равно количеству корней уравнения (18), то есть л«">(а)-<»(«)■ (19) Вскрывая модуль, получим, что уравнение (18) равносильно совокупности двух систем: Г/<0, ' [25 ' [25t2 +(72-Sa)t + а2 -81 = 0. Неравенства t < 0 и t > 0 предъявляют взаимоисключающие требования к переменной /. Поэтому системы (I) и (II) при любом значении параметра а не имеют общих решений. Следовательно, число корней уравнения (18) при данном значении параметра а равно сумме числа решений систем (I) и (II): H(II)(e)-nJV) + ii». (20) Для системы (I) при любом значении параметра мы должны указать число различных отрицательных корней квадратного уравнения 25Z2 + (72 + 8а)/ + а2 - 81 = 0. (21) Для этого, как нам уже известно, достаточно разобраться со знаками дискриминанта, произведения и суммы корней. Вычисляем дискриминант: = (36 + 4а)2 - 25(^ - 81) = 4 = -9(а2 - 2 • 16л - 369) = -9(* + 9)(а - 41). Откуда /Я < 0 при а < -9 и а > 41, /Я 0 9 41 р £(1)>0при-9<а<41. Поскольку при D(I)< 0 корней нет, то знаки произведения и сУммы корней мы устанавливаем только на отрезке [-9; 41]. Мы начинаем с произведения корней, а не с суммы, не случайно (!): 177
устанавливать знаки корней удобнее с определения знака их произведения, а затем суммы. По теореме Виета произведение и сумма корней уравнения (21) равны: что удобно для последующих шагов представить на рисунке (рис. 2). -9 9 41 • • ш &Х) о + + + о гГ о - о + + 2(|) 0 - - - - Рис.2 Последний рисунок есть не что иное, как так называемая развертка вдоль оси параметра информации о знакопостоянстве дискриминанта, произведения и суммы корней уравнения (21). Именно она и позволяет для любого значения параметра установить число различных отрицательных решений системы (I) (это число мы обозначим через и,(1)(а)). Если а = -9, то D(I) = П(1) = Е(1) = 0, поэтому корень единственный и равен нулю. При -9 < а < 9 дискриминант больше нуля, поэтому различных корней уравнения (21) два, и поскольку их произведение отрицательно, то один корень меньше нуля, а другой больше нуля. Отсюда следует, что п{(1)(а) = 1 и информация о знаке суммы корней нам не понадобится (в такой ситуации (при П(1) < 0) знак суммы 1(1) позволяет указать соотношение между модулями корней (см. Приложение)). При а = 9 — два корня, произведение которых равно нулю, а сумма меньше нуля. Поэтому один корень равен нулю, а другой отрицательный, то есть и,(1)(9) = 1. При 9 < а < 41 — два корня, произведение которых больше нуля, а сумма меньше нуля. Следовательно, эти два корня одного знака, и знак, очевидно, совпадает со знаком их суммы. Откуда получаем, что при 9 < а < 41 п{*\а) = 2. Наконец, при а = 41 единственный корень меньше нуля, так как Z(I) < 0. 178
Комментарий. Мы специально подробно прокомментировали ситуацию для системы (I). Все приведенные рассуждения очевидны, приводить их в письменной работе не обязательно. Достаточно сказать, что знаки дискриминанта, произведения и суммы корней позволяет сразу заполнить строчку n{t])(a) в приводимой ниже развертке (рис. 3): -9 9 41 D™ О гг0 о - о + + 2(1) 0 - - - - ri!\a) 0 0 112 10 Рис.3 Аналогично устанавливается число различных решений системы (II). Мы приводим только итоговую развертку вдоль оси параметра (рис. 4), а ее обоснование предлагаем читателю в виде упражнения. -41 -9 9 Dm 0 + + + 0 а ГГП) + + 0 - + 2(||) - - - - О пТ(а) 0 0 0 1 1 10 Рис. 4 Осталось воспользоваться равенством (20), чтобы закончить решение всей задачи. Для этого, как всегда, удобно свести полученные развертки для систем (I) и (II) в одну развертку для строк n{tl)(a) ии,(11)(я) (рис.5): пГ(а) 0 0 0 -41 0 0 0 0 0 0 -9 0 1 1 1 1 2 9 1 1 2 2 0 2 41 1 0 1 о а 0 0 Рис.5 179
Поскольку, в силу (19), количество различных корней исходного уравнения при данном значении параметра всегда равно и,(18)(я), то осталось объявить ответ: при а < -9 и а > 41 — нет корней; при а = -9 и а = 41 — один корень; при -9 < а < 41 — два различных корня. Графическое решение Приводимое решение найти практически невозможно, поскольку автор, как и обещал, специально «спрятал геометрию». Более того, сознаюсь, что исходный пример и получен из геометрических представлений. Но именно так и поступают авторы конкурсных задач. Итак, вернемся к уравнению (16): 25л:2 - 28х - 8а \х - 2| + а2 - 125 = 0. Это уравнение «уродливое» из-за наличия модуля \х - 2| относительно jc, но оно квадратное (!) относительно переменной а. В этой ситуации принято выделять полный квадрат: (а2 - 2а • 4\х - 2| + (4|х - 2|)2) - (4|х - 2|)2 + 25х2 - 28* - 125 = 0. Таккак|;с-2|2 = (;с-2)2,то <=> (а - 4 \х - 21 )2 + 9х2 + 3 6jc - 18 9 = 0 <=> <=> (л - 4|х - 2|)2 + 9(х + 2)2 = 225. Согласитесь, что перед вами «почти» уравнение окружности (и - wo)2 + (и - г^о)2 = Л2. Разделим обе части последнего уравнения на 9: 3 З1 ' И теперь вводим новую переменную jy= — — — рс —2|. (22) 3 3 Тогда получаем систему 180
Поскольку у является функцией от х (любое значение у единственным (!) образом определяется значением jc), то число различных решений исходного уравнения (16) при данном значении параметра всегда равно числу различных решений полученной системы (*). Переходим к геометрической интерпретации системы в координатной плоскости (х;у). Первое равенство при данном значении параметра задает в координатной плоскости (х; у) «уголок», биссектриса которого лежит на прямой х = 2 (рис. 6). Рис. 6 Рис. 7 Второе равенство задает в плоскости (х\ у) фиксированную окружность радиуса 5 с центром в точке О(-2; 0) (рис. 7). Как известно, число решений системы (*) равно числу пересечений фигур, задаваемых равенством системы. Поэтому для любого значения параметра мы обязаны разобраться во взаимном расположении уголка и окружности на одной и той же координатной плоскости (л:; у). Для указанной цели на первом шаге необходимо выяснить, что происходит с нашими фигурами при изменении параметра от -°° до+оо. Так как — есть ордината вершины уголка (которая однозначно фиксирует положение уголка на плоскости), то легко видеть, что при изменении параметра а от -оо до +оо уголок из нижней полуплоскости строго вертикально поднимается вверх, и вершина уголка пробегает всю прямую х = 2. Уравнение окружности не содержит параметра. Откуда следует, что при изменении значения параметра она остается неподвижной (поэтому мы ее и объявили фиксированной). 181
На втором шаге нам необходимо классифицировать все варианты взаимного расположения на плоскости (х; у) уголка и окружности, возникающие при возрастании параметра от - °о до + оо. Первая ситуация, когда уголок, находясь в нижней полуплоскости, не имеет общих точек с окружностью (рис. 8). Эта ситуация возникает при положении вершины уголка ниже точки А окружности с абсциссой х = 2 и лежащей в нижней полуплоскости. Ординату этой точки вычисляем из уравнения окружности, подставив в него х = 2: у2 + (2 + 2)2 = 52 <=> у = -3 илиу-Ъ. Рис.8 Так как точка А находится в нижней полуплоскости, то ее ордината отрицательна, поэтому у = -3. Отсюда следует, что первая ситуация (вершина уголка ниже точки А(2\ -3)) определяется неравенством - < -3 а < -9. Если читатель до сих пор считал, что вопрос с первой ситуацией исчерпан, то, к сожалению, он ошибался, так как мы не обосновали тот факт, что при движении уголка снизу вверх его вершина раньше встретится с окружностью, чем его левая сторона (без вершины), которая в этом случае сперва коснется окружности, а затем начнет пересекать ее в двух точках. Указанное обоснование, естественно, надо искать из геометрических соображений, иначе проще вернуться к первому решению. Обоснование. Угловой коэффициент прямой, на которой лежит левая сторона уголка, равен —. Найдем ординату точки касания 182
окружности прямой с этим угловым коэффициентом. Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то он лежит на прямой с угловым коэффициентом к = (рис. 9). 4 ГМ(хм\ум) Рис. 9 з Очевидно, что tg а = —, откуда sin a = 4 \ум\ = R sin а = 5 • — = 3. Но ум < 0 (докажите самостоятельно), и поэтому ум = -3. То есть точка М оказалась точкой А (повезло!), а левая сторона уголка перпендикулярна радиусу ОА. Откуда и следует, что вершина уголка раньше встретится с окружностью при движении уголка снизу вверх, чем его левая сторона. Замечание, Если бы точка Л/лежала ниже точки А (то есть если бы ум < уА), то уголок сначала коснулся бы окружности левой стороной (докажите самостоятельно). При движении вверх от точки А вершины уголка до точки 5(2; 3) уголок будет пересекаться с окружностью в двух точках. Из соображений симметрии следует, что радиус ОВ перпендикулярен правой стороне уголка. Поэтому вершина уголка одновременно с правой стороной выйдет из окружности. И при движении вверх от точки В вершины уголка его левая сторона как секущая будет пересекать окружность по-прежнему в двух различных точках до тех пор, пока эти две точки не сольются в одну точку касания С, симметричную точке В относительно вертикального диаметра окружности, то есть относительно прямой х = -2. Эта симметрия точек В и С позволяет быстро вычислить координаты точки С: 183
Для определения значения параметра я, при котором левая сторона уголка касается окружности в точке С, осталось подставить координаты точки С в уравнение уголка: Поскольку при дальнейшем (после касания левой стороной уголка окружности в точке С) движении вверх вершины уголка уголок и окружность не будут иметь общих точек, то можно объявить ответ: при а < -9 и я > 41 — решений нет; при а = -9 и я = 41 — одно решение; при -9 < а < 41 — два решения. Для удобства осознания геометрического решения приводим рисунок 10. Рис. 10 184
Упражнение 4. Для любого значения параметра а найдите число различных корней уравнения: 1) 25л2 - 8(ф| - 9л) + а2 - 81 = 0; 2) 25л:2 - 8(а|л| - 1 8л) + а2 - 324 = 0; 3) 25л2 - 8(ф| - 27*) + а2 - 729 = 0; 4) 25л2 - 6(ф| -16х) + а2- 256 = 0; 5) 25л2 - 6(а|л| - 32л) + а2 - 1024 = 0; 6) 25л2 - 6(а\х\ - 48х) + а2 - 2304 = 0; 7) 169л2 - 24(ф| - 25л:) + а2 - 625 = 0; 8) 169л:2 - 24(а(х| - 50л) + а2 - 2500 = 0; 9) 169л:2 - 24(а\х\ - 15х) + а2- 5625 = 0; 10) 169*2 - 10(а|х| - 144л) + а2 - 20 736 = 0; 11) 169л2 - 10(а|л| - 288л) + о2 - 82 944 = 0; 12) 169л2 - 10(ф| - 432л) + а2 - 186 624 = 0; 13) 289л2 - 30(а|л| - 64л) + а2 - 4096 = 0; 14) 289л2 - 30(а|л| - 128л) + а2 - 16 384 = 0; 15) 289л2 - 30(а|л| - 192л) + а2 - 36 864 = 0; 16) 289л2 - 16(а|л| - 225л) + а2 - 50 625 = 0; 17) 289л2 - 16(й|л| - 450л) + а2 - 202 500 = 0; 18) 289л2 - 16(а|л| - 675л) + а2 - 455 625 = 0. Упражнение 5. Пусть даны натуральные числа к, I, m, n такие, что т2 + п2 = /2. Докажите, что уравнение /V - 2т(а\х\ - кп2х) + а2 - Л2/»4 = 0: 1) не имеет корней при а < -кп2 и а > к(2т2 + л2); 2) имеет единственный корень при а = -кп2 и а = к(2т2 + п2); 3) имеет два различных корня при -кп2 <а< Ц2т2 + л2). Приложение Расположение относительно нуля корней приведенного квадратного уравнения в зависимости от знаков дискриминанта и коэффициентов уравнения ? +pt + q = 0 185
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 0 0 0 + + + + + + + P - 0 + - - - 0 + + + я + 0 + - 0 + - - 0 + Расположение корней 0 < /_ = /+ 0 = г. = /+ /_ < /+ < 0 /_ < 0 < /+ /_ = 0 < /+ 0 < /_ < и L < 0 < /+ L<0<u L < 0 = /+ L < t+ < 0 п&Р\ Я) всего 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 <0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 2 =0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 >0 1 0 0 1 1 2 1 1 0 0 ntip\ я) — число различных корней уравнения при данных р и q. Замечание. В случае 4 | /_ | < | /+ |, в случае 7 | /_ | = | U \ и в случае 8 | /_ | > | /+ |. Послесловие В силу сложившейся традиции и из-за цейтнота при овладении темой «Квадратный трехчлен» практически все результаты существующих многочисленных учебников и пособий для поступающих обосновываются с помощью графических представлений о квадратичной функции. Это, как указывалось во вступлении к данной главе, приводит к серьезному отставанию в овладении аналитическими методами решения и существенному ослаблению степени подготовки к вступительным экзаменам. Именно поэтому основной акцент в данной главе сделан на подробное изложение аналитических доказательств известных результатов о количестве корней квадратного трехчлена на луче. С целью сохранения интереса и интриги изложения был введен язык отклонений. Материал данной главы подготавливает читателя к восприятию главы 14. 186
Глава 13. Метод замены множителей Введение В 1992 году по инициативе Всесоюзной Ассоциации учителей математики фирмой «Квантор» была издана серия учебно-методической литературы. В одном из выпусков1 этой серии и был изложен метод замены множителей как очень эффективный способ решения целого класса неравенств. Удивительно, что этот метод оказался вне поля зрения многих авторов учебников по математике для средней школы. На очередной ежегодной конференции Ассоциации (г. Пенза, 1995 г.) для большинства присутствующих было полным откровением следующее мгновенное преобразование неравенства в дробно- рациональное: / / ч Nx2-x-\-x2\-(\2x-l\ -6) -1)499 + *) \ ).(2jc-7)-(2jc + 5) И только в последние несколько лет в массовых изданиях для учителей и абитуриентов стали появляться решения задач методом замены множителей. Цель настоящей главы состоит в том, чтобы в максимально доступной форме познакомить широкую аудиторию учителей и старшеклассников с указанным методом. Основная идея метода Популярными и легко усваиваемыми школьниками неравенствами являются рациональные неравенства, решение которых методом интервалов подробно рассматривается в школьных учебниках и пособиях для поступающих. 1 См.: Голубев В.К, Тарасов В.А. Эффективные пути решения неравенств. — Львов: «Квантор», 1992. — 94 с. 187
Поэтому естественным можно признать желание свести решение того или иного неравенства повышенной сложности к решению рациональных неравенств. Оказывается, достаточно широкий класс неравенств подобную попытку допускает. Любое неравенство приводимо к виду *'^'•"•*»• vO, (1) vrv2-...-vk где символ «v» обозначает один из четырех возможных знаков неравенства: <,<,>, >. Согласитесь, что при решении неравенства (1) нас интересует только знак любого множителя в числителе или знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если по каким-либо причинам нам неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой знакосовпадающий с ним в области определения неравенства (и имеющий в этой области те же корни). Этот бесхитростный факт и определяет основную идею метода замены множителей. Важно зафиксировать внимание читателя, что замена множителя осуществляется только (!) при условии приведения неравенства к виду (1), то есть когда требуется сравнить произведение с нулем. Монотонность — ключ к замене множителя Основная часть замен обусловлена двумя следующими равносильными утверждениями. Утверждение 1. Функция Дх) есть строго (!) возрастающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений t\ и /2 из области определения функции разность {t\ - ti) совпадает по знаку с разностью (Д/i) -Jih)\ то есть ( одз Утв. ^ (<-> означает знакосовпадение). Утверждение 2. Функция Дх) есть строго (!) убывающая тогда и только тогда, когда для любых двух значений t\ и h из области определения функции разность {t\ -12) совпадает с разностью -Л/О), * есть 188
одз Обоснование этих утверждений непосредственно следует из определения строго монотонной функции. Равносильность утверждений 1 и 2 следует из того факта, что если у =J(x) есть монотонно возрастающая функция, то у = -j{x) есть монотонно убывающая. Комментарий 1. Практически, только замена знакопостоянных множителей не вытекает из утверждений 1 и 2. Поэтому, если нет желания трогать знак неравенства, всюду положительные множители просто убираем, а всюду отрицательные заменяем на (-1). Популярный знакопостоянный множитель — квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с с отрицательным дискриминантом заменяем на старший коэффициент (или на свободный член), то есть ах2 + Ъх + с<г>а<^>с (приD< 0). (2) Функция у = ("и определяемые ею замены Поскольку функция у = f при п > 0 является строго возрастающей на множестве неотрицательных чисел (а при нечетном натуральном п— на всей числовой оси), то в силу утверждения 1 справедливы замены: t\ - h <r> t" - t\ при п > 0, t\ > 0, h > 0, (3.1) t\ - h <-> t]k~x - t\k~x при к натуральном. (3.2) Практически задачи конкурсных экзаменов содержат корни только второй или третьей степени, при этом подавляющая часть содержит корни только второй степени, работа с которыми и вызывает у школьников основные трудности. Поэтому и мы основное внимание уделяем работе с квадратными корнями, полагая, что этого достаточно для безошибочной ориентации в других случаях. Функции у = Z2 и у = \ft , рассматриваемые на множестве неотрицательных чисел, являются взаимнообратными и строго возрастающими, то есть Поэтому *1-/2<"> 'i2 ->2> С3'3) 189
-k, raetut2>0. (3.4) \2 = m2 Так как |w| > О и \m\2 = m2 для любого т, то из (3.1) получаем, что Пример 1. Решить неравенство — 2 | -4-jc2W|jc + 4| - >0. (3,5) (4) Решение (подробное). Исходное неравенство имеет вид и. *и2 V\'V2 Все множители u\,U2,V\HV2 имеют вид t\ - /2, где t\ > О и /2 > О, поэтому в силу (3.3) мы эти множители заменяем на знакосовпа- дающие с ними множители вида t\ - t\ : (4) 0. (\1-х\2 - Так как \т\2 = т2 и Nx2 -х-2) = х2 -х - 2, то с учетом неотрицательности подкоренного выражения х2 - х - 2 получаем: (4) <=* < х2-х-2>Ъ х<-\ илих > 2 9(-х2 +х-б)-(х2 +х + 2)(х + 2) 16-(-х-3)(5-х)(х-\) х < -1 или х>2 190
(знакопостоянные (D < 0) квадратные трехчлены (-х2 + х - 6) и (х2 + х + 2), согласно (2), заменяем на (-1) и 1 соответственно, остальные упрощения очевидны) — <0, [х < -1 или х > 2 [х < -1 или л: > 2 Г-3 < х < -2 или 1 < х < 5, (х < -1 или х > 2 ~[2<*<5. Ответ: -3 <х<-2; 2 < д: < 5. Две любопытные замены: ,- одз yft <* U (3.6) одз <+/+*• (3.7) Замена (3.6) очень удобна там, где приходится отслеживать область допустимых значений. Замена (3.7) суммы yff + Jg при возможном одновременном равенстве нулю подкоренных выражений на сумму/+ g позволяет учитывать эту возможность. Пример 2. Решить неравенство Решение, (х2 + х-6) -Vx2~2x~3 > 0 <=» J(x2+x-6)(x2~2x-3)>0, Гх<-3 1х < -1 илих> 3 [х>3. Ответ: (-оо; -3] U {-1} U [3; +оо). 191
Показательная и логарифмическая функции и вызываемые ими замены Показательная функция у = а\ как известно, строго убывает при 0 < а < 1 и строго возрастает при а > 1. Поэтому, в частности, для а = 10 получаем 10'' -10'2 <-Wi-/2. Для произвольного основания я, пользуясь основным логарифмическим тождеством, можно увидеть, что Откуда ah - а/2 <-> t\ • lg a - f2 • lg л, то есть ah - я/2 о (/| -12) lg a. (5) Функция у = lg х — строго возрастающая. Поэтому одз х\-х2 <-> lgxi-lgx2. Если х\ = а и Х2 = 1, то получаем, что а - 1 <-» lg а - lg 1, то есть lgtf<->a-l. (6) Откуда соотношение (5) принимает вид . а'. -а'2 oft-fcXa-l). (6.1) Таким образом, мы установили, что разность степеней с одним и тем же основанием всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на разность основания и единицы. Для логарифмической функции у = logo t аналогично устанавливаем, что lg/ Is/, 1 log* tx - log* h = -2-L - -2-2. = (lg и - lg h). lgtf lga lga Отсюда следует, что lga a-I To есть разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с отношением разности подлогарифми- ческих выражений к разности основания и единицы: 192
logo t\ - log,, h hzh. a-\ (6.2) Замечание. Утверждения (6.2) и (6.1) равносильны, поскольку показательная и логарифмическая функции взаимообратны. Утверждения (6.1) и (6.2) позволяют исключительно эффективно решать очень многие неравенства, которые принято относить к разряду задач повышенной сложности. В частности из (6.1) и (6.2) легко следуют полезные схемы решения основных показательных и логарифмических неравенств: \)cf>as' U>0; W>b, 2)\ »(/•- lofc b)- (a -l)>0; 6>0 SHogo/Mogog' g>0, 4) lo&,/> b o>0; 5)loga/+logog>0» -ah л /;- (fg-l)(a-\)>0, />0, g>0, o>0; 6) oSl - agl g, - g2 и так далее. Пример 4. Решить неравенство " |*Г)-К+2„(12- 193
Решение (подробное). Первый множитель в числителе (8 - х3) имеет вид (tfk~l - t\k~x) (к = 2), который знакосовпадает с разностью (t\ - /2). Поэтому (8 - х3) заменяем на (2 - х). Множитель (2х - 1) имеет вид а'1 - ah , где а = 2, fj = х, /2 = О, который знакосовпадает с (t\ - /2) • (л - 1). Поэтому множитель 2х- 1 заменяем на*. Множитель (>/х + 20 - v2x + 30 J имеет вид (^ - ^/П, который знакосовпадает с (t\ - /2)- Поэтому его заменяем на ((х + 20) - (2х + 30)). Множитель (|х - 2| - 4 - х2) имеет вид (ri - /2), где /i > 0 и /2 = х2 + + 4 > 0. Поэтому (/] - /2) знакосовпадает с /,2 - t\. И так как \х - 2|2 = = (х - 2)2, то указанный множитель заменяем на ((х - 2)2 - (х2 + 4)2). В знаменателе первый множитель (| х I2*"1 - | х |5"0 имеет вид ah - ah , который знакосовпадает с (t\ - t2) - (а - 1). Поэтому этот множитель знакосовпадает с произведением И так как (|х | - 1) знакосовпадает с (|х |2 - 1) = х2 - 1, то окончательно получаем, что первый множитель можно заменить на Второй множитель в знаменателе имеет вид log,, t\ - log^ /2, который знакосовпадает с произведением {t\ - /2) • (а - 1). Поэтому сначала этот множитель заменяем на И так как | х | - 8 знакосовпадает с х2 - 82, то второй множитель в знаменателе заменяем на (х-8)(х + 8)(х+19). Последний множитель logj x2 имеет вид а3, который знакосовпадает с а. И так как а = logs х2, имея вид logs t\ - logs h (h = x2, ti= 1), знакосовпадает с (х2 - 1), то последний множитель заменяем на(х2-1). Окончательно после всех замен устанавливаем, что исходное неравенство в своей области определения равносильно неравенству (2-х)-х-(-х-10)(х-2~(х2+4))(х-2-ьх2+4) (Зх-6) • (х- 1)(х + 1)(х-8)(х + 8)(х +19)(х2 -Т) 194
Q 3(x - 2)(x -1)2 (x +1)2 (jc - 8)(x + 8)(x + 19) Очевидно, что область определения левой части неравенства (7) задается системой |20-2|х| >0. То есть область одновременного существования всех множителей представляет собой два промежутка: -10<х<0и0<х< 10. В этой области множители {-х - 10) и (х + 19) знакопостоянны, и поэтому их можно заменить на (-1) и 1 соответственно. Знакопостоянны в области определения и квадратные трехчлены (-х2 + х - 6) и (х2 + х + 2). Поэтому, заменяя их на (-1) и 1, устанавливаем методом интервалов, что <0, (7) ~ 3(х - 2)(х -1)2 (х +1)2 (х - 8)(х + 8) |-10<х<0или0<х<10 :(-8;-l)U(-l;0)U(8;10). Комментарий 2. Согласитесь, что неравенство (7) по сложности значительно выше задач повышенной сложности группы «В» известного «Сборника задач по математике для поступающих во втузы» (под редакцией М.И. Сканави). Однако метод замены множителей позволяет при определенных навыках свести решение подобных неравенств к рутинной работе и тем самым произвести «переоценку ценностей». Чтобы убедиться в этом, приведем без всяких обоснований решения неравенств из указанного сборника (из группы «В», в скобках указан номер задачи). Решить неравенство (1-19). 1. (9.275) Х ~7|*[ ^10 <0. (8) Решение. М -7|*|+10 (М-2Н (*-3)2 (*-3)2 195
ту?-еу-?)<ош (x-3)2 2. (9.263) (4х2 + 2х +1)" " > 1. (9) Решение. (9) «* (х2 - х) • ((4Х2 + 2х + 1) - 1) » х2(х - 1) • (2х + 1) > 0 » <=> х <Е (-оо; _о,5) U (1; +оо). ill 3.(9.274) (л-2 + л: + l)*+2 >(х2 + х+1)\ (10) Решение. - 23) • (24дг2-' - 21) < 0 » (4х2 - 1 - ЗХ4*2 - 1 - 1) < 0 « кх+2 j х+2 «xe(-2;-l]U[-0,5;0]. 4.(9.272) 24*2ч-5 < 3. (11) Решение. <=> 5. (9.265) К 3^1 < 9. (12) Решение. (12) » 0 < | jc2 -х | < 2 <=> | х2 -х | -(Iх2 -х | - 2) < 0 <=> (х2 - xf- ((х2 - х) - 2)(х2 - х + 2) < 0 «► х2(х - 1)2(х + 1)(х - 2) < 0 «=» (-l;0)U(0;l)U(l;2). ->2|л--11 -, 6.(9.219) л <3|Jf-". (13) 4 Решенме. (13) «• (3|ж"' ')2 - 4 -3|At-'' + 3 < 0 »(3й"1' - 1) • (3й"1' - 3) < 0 » -1)2- ((х- 1)- e(0;l)U(l;2). 196
7. (9.246) logj2 Решение (14) «< 8. (9.301 (3- '{Ъ-2х)-х х2 3-2х хг*С log. loe Решение. 1 1 (35- (5- 2х)>\. 2 (х- х< - 1)(х + 3) 3 2' (14) (15) о>0, <=> 35-л:3>0, 5-дг>0, а>0,аФ\ (15д:2-75л: + 90)(4-л:)<0, х3<35, л:<5, а > 0, а * 1 0с-2)(*-3)(х-4)>0, д;<3735, »: 9.(9.253)1о&(х+1)<1оё1 (2-; 2-х <=>-3 (15) (16) 197
<=> < 1 2-х 2-*>0, 0<*<2 X — -(x + l) (jc-1)>0, x-2 i-VT 2 0<jc<2 <=> 0 < x < 1 или x-2 0<*<2 i 10.(9.266) 5°8' *-6 >25. Решение. д:-6 (8- д:-6 jc-6 jc>0 _2 3 8-12* jc-6 8-12jc, jc-6 jc>0 X^-D - —JC или2<х<6. (П) (jc-2)3(jc-1) x-6 — <x<6 198
11.(9.237) log, logz^'-l 2) <1. Решение. (18) (18) (log2(4*-12)-*)(x-l)<0, Iog2(4*-12)>0, л:>0, (4*-12-2")(;с-1)<0, 4*-12-l>0, ^ J(22*-2v-12)(;t-l)<0, |x>log413 |(2*+ЗХ2'-4Хдс-1)<0, U>log413 Г(дс-2)(лг-1)<0, <=> [*>log413 12. (9.247) log3 (4* + 1) + Iog4.+1 3 > 2,5. Решение. (19) ~ log3 (4' + 1) + -—i—- > 1 <= ^3(4^ + 1) 2 -Stog3(4' log,(4'+l) <=> >0 (19) (4*-8)(4'- 4' «=^ (Y* — <=> r~-. 199
i -1) ИЛИ X > — . 2 13. (9.248) log3 (3х - 1) • log, (Зх+2 - 9) > -3. (20) з Решение. (20) « -log3 (3* - 1) • log3 (9(3* - 1)) + 3 > 0 « <=> -log, (3*- 1) • (2 + log3 (3*- 1)) + 3 > 0 « «=> (logs (3* - I))2 + 21og3 (3* - 1) - 3 < 0 «* » (logs (У - 1) - (-3))(log3 (3* - 1) - 1) < 0 « 1 '.(3*-1_3<0) ^ ; ■3*_-|.(3*_4)<0« 27j (21) *>0 15. (9.271) log, (jc-3)- log, (jr + 3)- log^ 2>0. (22) 2 2 x-i Решение. (22) » Iog2 (дс + 3) - log2 (x - 3) !—- > 0 « l0g 200
. ЛГ + 3 ЛЛ Jt + 3 f log, —-I log,—*! lOg; X+3 x-3 x-3>0 U-3 JU-3 2 £+3 дг-3 -1 x-3 jc-3>0 л:-3>0 ((9-*)(* +9) >0, U-3>o <=>3<jc<9. 16. (9.249) log. Решение. (23) ■>0 1-log *>0 < 0. (23) 201
<=> < 0<р<\, (jc — 1) х >0, или I Р) х-р>0 Р>\, 1 {х-\)\х~\<0, х-р<0 р>\, <=> \ 1 или 1 р < х < 1 или х > — — < х < 1. р IP При р < 0,р = 1 решений нет. 17. (9.216) log,** log, £ 3 log3 x log3 x (24) <=> 0<jc< —т=- или 1<д:<3. 75 18. (9.268) !og|^| (2X2 -9х + 4) > 1. Решение. (2jc2-9jc + 4- |jc-4|)-(|* (25)<=> -2х2 \х-4\ (jc-3) jc- Ts x-\ <0, <=> лг>0 (25) 202
\(2x2 -9jc + 4)2 -(x-4)2)((x-4)2 -l)>0, 2*2- хф4 f(2x2-9x + 4-x + 4X2x2-9x + 4 + jc-4)(x-4-lXx-4 + l)>0, \х < — или х > 4 -8х)(х-5)(;с-3)>0, — илил:>4 f(x-l)-(x-4)a.jc-(jc-5Xx-3)>0, 1 I л: < — или х>4 { 2 <=>л:<0илих>5. 19. (9.273) 9 • 3Л+^ + 94>/I+1 > 9^ . Решение. (26) «* 2+ VJc - Vx >0» «*Vx - VI -2<0» « (Vx-2)(Vx + l) <0« «* VJc -2<0» «=» Vx <2» «0<jc< 16. Упражнения 1-19. Решите с полным обоснованием всех равносильных переходов рассмотренные неравенства 1-19. 203
Базовая информация по методу замены множителей I. Стандартный вид неравенств, когда применяется метод замены множителей ЦЦ-Ц" vO, (1) v vrv2-...-vk где символ «v» обозначает один из четырех возможных знаков неравенства: <, <, >, >. И. Основная идея метода замены множителей состоит в замене любого множителя в числителе или знаменателе на знакосовпа- дающий с ним и имеющий одни и те же корни. Замечание. Преобразованное таким образом неравенство всегда равносильно исходному в области существования последнего. Предупреждение. Указанная замена возможна только тогда, когда неравенство приведено к стандартному виду (1). III. Две основные замены. если ДО — строго возрастающая функция; (ft-/2) <->(/&)-//.)), еслиДО — строго убывающая функция. IV. Наиболее часто встречающиеся замены (без учета области допустимых значений): 3) а/2 + Ы + с <-> а при D = Ь2 - Лас < 0; 4) >Й" - >АГ *> ft ~ h\ 5) | ft I - 4h <"» 'i2 - h\ 6) | /1 - (a? + bt + c) <-> ? - {a? + bt + cf при D = b2 - Aac < 0; 7) a'1 -a" <->(/,-/2)(a-l); 8)a'-l<-W-(o-0; 9)/- g **/2 " 22 при/> 0 и g > 0; 10)l0go/o(/--l)(a-l); ii)ioge/-go(/--ee).(«-i); 12) 1оЬ/- lo&g о (/•-£) • (a - 1). 204
Послесловие Напоминаем, что цель настоящей главы состоит в том, чтобы в максимально доступной форме познакомить широкую аудиторию учителей и старшеклассников, ориентированных на продолжение образования в высшей школе, с методом замены множителей, поскольку овладение этим методом существенно экономит время на вступительных экзаменах, столь необходимое для решения задач повышенной сложности. 205
Глава 14. О расположении корней квадратного трехчлена Предисловие В задачах с параметром на квадратный трехчлен наиболее часто встречается ситуация, когда требуется найти условия, при которых обеспечивается то или иное расположение его корней относительно заданного числового промежутка. В многочисленной литературе для абитуриентов на эту тему сформулирована масса результатов, подкрепленных графическими материалами и изредка алгебраическими выкладками. Создалось впечатление, что аналитическое обоснование объявленных условий на коэффициенты квадратного трехчлена тривиально и нет смысла на нем останавливаться. Многочисленные лекции в разных городах для учителей математики и старшеклассников, однако, позволили обнаружить колоссальный интерес аудитории к данной тематике. Введение Для каждого из числовых промежутков (П1): (-°°; М) — открытый луч, направленный влево; (П2): (Z,; +°°) — открытый луч, направленный вправо; (ПЗ): (-°°; М] —закрытый луч, направленный влево; (П4): [L; +оо) — закрытый луч, направленный вправо; (П5): (L; М) — интервал; (П6): (Z,; М] — полуинтервал, закрытый справа; (П7): [L; М) — полуинтервал, закрытый слева; (П8): [L; М\ — отрезок ответим аналитически на следующие типовые вопросы: 81. Когда все корни квадратного трехчлена принадлежат данному числовому промежутку? 82. Когда хотя бы один корень принадлежит данному числовому промежутку? 83. Когда нет корней на данном числовом промежутке? 84. Когда ровно один корень принадлежит данному числовому промежутку? Поскольку любой из промежутков П5-П8 есть пересечение двух соответствующих разнонаправленных числовых промежутков 206
вида П1-П4, то в первую очередь необходимо разобраться с ответами на поставленные вопросы для первых четырех числовых промежутков. Пусть Дх) = ах2 + Ъх + с, где а Ф 0. Очевидно, что квадратный трехчлен g(x) = / • fix) при / Ф 0 имеет те же самые корни, что и fix), так как при умножении обеих частей уравнения ох2 + &с + с = 0 (1) на отличное от нуля число / получаем равносильное уравнение ai** + 6,x + Ci=0, (2) где а\ = at, Ь\ = Ы, с\ = с/. Легко убедиться, что дискриминанты уравнений (1) и (2) связаны соотношением D, = Ь? - 4в|С| = ^(62 - Лас) = ? ■ Д (3) а абсцисса вершины параболы g(x) всегда совпадает с абсциссой вершины параболы fix), то есть Jc. (4) 2а, 2а в Несколько иная ситуация с корнями квадратных трехчленов g(x) n fix), хотя множества корней уравнений (1) и (2) совпадают. Корни уравнения (1) определяются равенствами 2a 2a а корни уравнения (2) — равенствами Х" 2а, ' + " 2а, * W Если произвести замены aii = at, b\ = ft/ и с\ = с/, то обнаружим, что 2а/ 2а/ -bt + JTb _-bt+\t\J5 2а/ 2а/ 207
Поэтому f>0: 2а ~(2) __ (7) 2а _ vd). t<0: 2а (8) 2а Возникает любопытная ситуация. Если исходить из преобразования графика функции у =Дх) к графику функции у = -fix), то точки графика, соответствующие корням квадратного трехчлена, остаются неподвижными. Если же исходить из формул (5) и (6), то соответствующие точки графиков у =Дх) и у = -j{x) на оси абсцисс меняются местами. Игнорирование этого обстоятельства, к сожалению, иногда приводит к нелепым ошибкам. Поэтому уместно здесь напомнить, что ' X =- 2а 2а а < О => х+ = - а 2а Замечание. Мы специально ввели нетрадиционные обозначения х. и х+ для корней квадратного трехчлена общего вида, чтобы подчеркнуть зависимость сравнения между ними от знака старшего коэффициента. Очевидно также удобство этих обозначений в задачах с параметром, поскольку они несут в себе информацию о знаке перед корнем из дискриминанта. Так как приведенный квадратный трехчлен имеет положительный старший коэффициент, то для его корней естественно сохранить традиционные обозначения jci и хг, правда, оговорив, что х\ = х_ и х2 = х+9 обеспечивая неравенство Х\ ^ Х%. В чем смысл введения квадратного трехчлена g(jc)? Дело в том, что при аналитическом обосновании условий расположения корней иногда ситуация провоцирует рассмотрение от- 208
дельно случаев положительности и отрицательности старшего коэффициента. И поскольку при t = — квадратный трехчлен g(x), а принимая вид «приведенного» квадратного трехчлена (9) всегда имеет положительный старший коэффициент, то достаточно ограничиться только одним случаем. Другой вариант удобного использования многочлена g(x) состоит в выборе / = —1. ЕслиДх) = ах2 + Ьх + с имеет отрицательный старший коэффициент, то g(;t) = (-*)*2 + H>)x + (-c) (10) имеет, очевидно, уже положительный старший коэффициент. Поэтому, в частности, при обосновании условий того или иного расположения корней произвольного квадратного трехчлена достаточно ограничиваться случаем а > 0 (или а < 0), так как второй случай мгновенно реализуется одновременной заменой всех коэффициентов а, Ь и с на противоположные (-а), (-Ь) и (-с). Комментарий L Если вы знакомы с понятием однородной функции1, то можно констатировать, что левая часть равенства (1) есть однородная функция степени один (к = 1) переменных я, Ь и с. Дискриминант D есть однородная функция степени два (к = 2) тех же переменных а, Ъ и с. Если бы не приключения с раскрытием модуля (см. (7) и (8)), то можно было бы утверждать, что х_(а; Ъ\ с) и х+(а; Ъ\ с) есть однородные функции степени нуль (к = 0). Именно поэтому все левые и правые части равенств и неравенств, объявляющих те или иные свойства произвольного квадратного трехчлена, есть однородные функции (одной и той же четной степени для данного сравнения) переменных а, Ь и с. Далее мы продемонстрируем указанные возможности использования функции g(x) в виде (9) или (10). Обратите внимание, что 1 Функция ф(дгь х2\...; хп) есть однородная функция степени к, если для любо- го / Ф 0 в области ойределения функции выполняется равенство ь tx2\...; txn) = /* • ф(*,; хг\...; хп) 209
мы выделяем следующие пути аналитического доказательства сформулированных утверждений: 1) равносильные преобразования уравнений и неравенств с иррациональными выражениями вида (5) и (6); 2) использование теоремы Виета. Правила минимакса Сформулируем простые правила минимума — максимума, которыми в дальнейшем нам удобно будет воспользоваться при работе с квадратным трехчленом. Знаки < и > будут соответствовать произвольному выбору знаков строгого и нестрогого неравенств. Правило 1.1. Любое из данных чисел меньше (не больше) данной величины тогда и только тогда, когда максимальное из чисел меньше (не больше) этой величины. То есть Vjc, < М <=> max*, < М. (Пр. 1.1.) Замечание. Максимальным из данных чисел называется число, не меньшее любого другого. Такое число всегда существует (возможно и не одно!). Правило 1.2. Любое из данных чисел больше (не меньше) данной величины тогда и только тогда, когда минимальное из чисел больше (не меньше) этой величины. То есть Vx > L <=> min x, > L. (Пр. 1.2.) Замечание. Минимальным из данных чисел называется число, не большее любого другого. Такое число всегда существует (возможно и не одно!). Комментарий 2. Правила 1.1 и 1.2 объявляют равносильные преобразования систем простейших одноименных неравенств: JC, < x2< Л' max x, < М; < Х{ <М, х2 <М, ... хп<М <=>тгхх 210
• x2 > > > L, L <=> min x. x\ * x2: x»; >L, о min x, I Правило 2.1. Хотя бы одно из данных и чисел меньше (не больше) данной величины тогда и только тогда, когда минимальное из чисел меньше (не больше) этой величины. То есть 3jc, < М <=> min jc, < М. (-) KiOf '(-) (Пр. 2.1.) Правило 2.2. Хотя бы одно из данных п чисел больше (не меньше) данной величины тогда и только тогда, когда максимальное из чисел больше (не меньше) этой величины. То есть Зх, > L <=> max jc, > L. (Пр. 2.2.) Комментарий 3. Правила 2.1 и 2.2 объявляют равносильные преобразования совокупностей простейших одноименных неравенств: M, :M, :M <=> min х, < М; |<<<л min jc, \<i<n >L, omaxjc, >L\ <=> max jcf Переход от системы или совокупности неравенств к одному неравенству обычно делают мгновенно, а обратный переход — с немалыми трудностями, чем и пользуются авторы задач. 211
Сформулированные правила минимакса очень эффективно можно использовать в работе с корнями приведенного квадратного трехчлена, так как = min{x,; x2} Например, неравенство х\< М можно толковать как необходимое и достаточное условие для существования на луче (-°°; М) хотя бы одного корня квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0, если Ъ с объявить, что р = — и q = —. а а Или посмотрите, как на языке приведенного квадратного трехчлена красиво выглядит таблица ответов на первые два вопроса В1 и В2 для лучей, то есть для промежутков П1-П4. Таблица Ответы на В1 и В2 для П1-П4 в В1 В2 п Ve 3 П1 ———о Л/ х2<М х{<М П2 Lo L<xx L<x2 ПЗ ьМ х2<М jc, <М П4 /,• L<x2 Ve — все корни принадлежат ГО, 3 — хотя бы один корень принадлежит ГО. Мы специально при сравнении корней употребляем знаки < и <, чтобы мгновенно обеспечить геометрический смысл на числовой оси объявляемых соотношений. О сравнении корня квадратного трехчлена с константой При выводе аналитическим способом условий того или иного расположения корней квадратного трехчлена относительно заданного числового промежутка приходится часто сравнивать значение корня с концом этого промежутка, поэтому выясним геометрический смысл сравнения корня с константой. Первоначально рассмотрим сравнение корней приведенного квадратного уравнения х2 +рх + q = 0. 212
Поскольку впереди нас ожидают иррациональные неравенства, то ради темпа преобразований мы будем опираться на мало известный широкой аудитории следующий факт: Г \U > 0> 2 Vm>vo или и > v . (-) [v<o (-) В учебниках и многочисленной литературе для абитуриентов приводится равносильное преобразование иррациональных неравенств по схеме yJU > V О < ИЛИ (-} \v<0 Попробуйте самостоятельно доказать первое равносильное преобразование аналитически (!), а только затем убедитесь в совпадении двух геометрических мест точек плоскости координат и и v: y[u>V (1) (-) И Г и > О, или и > v . (2) или p2-4q>(-p2k)o{ -р-2к<0 " \хъ<к или g(k) < 0. То есть хе ли g(/r) <-) [хв < к (-) или g(/r) < 0. (А) Получаем, что левый корень приведенного квадратного уравнения меньше (не больше) данной константы тогда и только тогда, когда: 1) либо дискриминант не меньше нуля и абсцисса вершины параболы меньше данной константы; 213
2) либо значение приведенного квадратного трехчлена в этой константе меньше (не больше) нуля. 2. к < х <=> к < p2-4q<(-p-2k) То есть £>>0, к<хх о Геометрический смысл последнего утверждения очевиден. Случай Х2 v к (доказательство аналогично). (Б) 1. х7 < к <=>« () D>0, g(k)>0. 2. ^ < \D>09 или g(k) < 0. с) с-) (В) (Г) Как и следовало ожидать, любое сравнение корня приведенного квадратного трехчлена с константой равносильно объявлению условий на дискриминант, абсциссу вершины параболы и значение квадратного трехчлена в этой константе. Это также легко установить, если воспользоваться известным приемом сведения сравнения корней квадратного уравнения с данной константой к сравнению корней другого квадратного уравнения с нулем. Пусть и = х - к, то есть х = и + к. Тогда уравнение дг2 + рх + q = 0 принимает вид <=> и1 + (р + 2к)и + (Л2 + рк + ^) = 0. 214
Очевидно, что сравнение х-, v к равносильно сравнению г/, v 0. И так как jcb = -~, то есть р = -2гв и к1 + рк + q = g(k), то последнее уравнение принимает вид Коэффициенты этого уравнения зависят только от величин к, хв и g(A), что и подтверждает наши ожидания. Посмотрите теперь, как красиво выводятся, например, условия того, что все корни уравнения х2 +рх + q = 0 больше к. Так как jci > к и х2 > К то щ = jci - к > 0 и и2 = *2 - к > 0, то есть уравнение (*) должно иметь только положительные корни. Это, при наличии корней, равносильно положительности их суммы и произведения. Поскольку и\ + и2 = -2(£ - хв) > 0 и wi • и2 = g(&) > 0, то уравнение х2 + pjc + qr = 0 имеет корни, которые больше к, тогда и только тогда, когда D > 0, хв > к и Указание. Попробуйте в дальнейшем изложенным приемом обосновать сформулированные ниже в тексте утверждения. Упражнение. Получите утверждение вида (А), (Б), (В) и (Г) для произвольного квадратного трехчлена, не переходя от J(x) = = ах2 + Ъх + с к g(x) = — -J(x), то есть непосредственными равно- а b±ylb4ac , сильными преобразованиями сравнении вида v k. 2а В1. Когда все корни принадлежат лучу? Утверждение 1. Все корни квадратного трехчлена принадлежат данному лучу тогда и только тогда, когда одновременно: 1) дискриминант неотрицателен; 2) абсцисса вершины параболы принадлежит данному лучу; 3) произведение старшего коэффициента на значение квадратного трехчлена в конце луча положительно для открытых лучей и неотрицательно для закрытых. Используя математическую символику, утверждение У1 можно представить в виде совокупности четырех утверждений У 1.1-У 1.4. 215
У1.1: У 1.2: У1.3. У 1.4. х. < М, D>0, хв<М, a-f(M)>0. D>0, \x_ < M, к <M af(L)>Q. D>0, af(M)>0 D>0, L S xB, af(L)>0 (o^O). Комментарий 4. 1.3нак произведения а • flxo) определяет взаимное расположение ветвей параболы и точки параболы с абсциссой х0: о \Л*о) > 0 — в одной полуплоскости; о \Л*о) < 0 — в противоположных. 2. При наличии двух различных корней, то есть при D > О, неравенство а • .Дхо) > 0 равносильно расположению точки хо вне отрезка корней, а неравенство а -Лхо) < 0 равносильно расположению точки хо внутри данного отрезка: [£>>0, \хо<х_, \х_<х0, < <=>1 или < [a-f(xo)>O \хо<х+ [х+<х0 \D>0, [a-f(xo)<0 <хо<х_ Упражнение 1. Докажите, что а -Дхо) — однородная функция переменных а, Ь, с степени 2. Упражнение 2. Докажите, не прибегая к графическим представлениям, что из неравенства о Дхо) < 0 следует неравенство D > 0. Упражнение 3. Докажите все равносильные переходы, сформулированные в комментарии 2. 216
Приведем три подробных доказательства утверждения У 1.1, предлагая доказательства утверждений У 1.2-У 1.4 читателю в виде самостоятельного упражнения. Заметим, что второе доказательство, опирающееся на теорему Виета, встречается в пособиях для поступающих и, к сожалению, не распространяется на все ситуации, поскольку не всегда требования к расположению корней предъявляются одновременно в симметричной форме (например, во втором типовом вопросе). Первое доказательство У 1.1. 2а 2а Выделим иррациональность: - 2а) 2а 2а Отсюда следует*, что М + — > 0, то есть 2а хв<М. Перейдем к одному неравенству с модулем: к<л/ <=> 2а 2а (П) (12) Неотрицательность модуля и неравенство (11) позволяют обе части неравенства (12) возвести в квадрат: )'<U+aY. be <M, do 2а 2а Так как квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения и D = Ь2 - 4ас > 0, то \D>0> х.<М, с, i Ьг - Лас Ла1 217
Умножим обе части последнего неравенства на положительную величину 4а2 и раскроем скобки: \х_<М, do fZ)>0, \х+<М ° [Ь2-4ас<4а2М2+4аЬМ + Ь2. Упростим: Гдс<А/, о» fD>0, Так как я А/2 + ЪМ + с есть не что иное, как ДА/), то с учетом (9) окончательно получим Второе доказательство У 1.1. [х <М, [х -М<0, □ < ' о [х,<М [х+-М<0. Используем очень полезное утверждение: Два числа отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна и произведение положительно. Упражнение 4. Докажите это утверждение. Итак По теореме Виета при наличии корней Ъ с а а X +Х. Лп — . в 2 218
Поэтому М, D>0, хв<М, а Умножая обе части последнего неравенства на положительное число а2, окончательно получаем \ х. < М, D>0, хв<М, а-ДМ)>0. Третье доказательство У 1.1. D Пусть 1 Ах) = ах2 + Ьх + с и g(x) =--Лх) = х2 +рх + q, а Ъ с гдер= — ,q= —. а а Тогда x[f)<M, [f) <M \х™<М {хх<М\ \х[8) < М (х2 < М). По правилу 1.1 минимакса последняя система равносильна неравенству msK{x[g);x[e)}<M. Так как левая часть равна х[8), то получаем, что М) <=> -<м <=>- х\»<М р + 2М>0, p2-4q>0, p2-4q<(p p2-4q>0, 219
Возвращаясь к переменным а,Ькс, обнаруживаем, что \х[л<М, x[f) М 2а \(Ь2-4ас)>0, а ~(аМ2+ЬМ + с): а Умножим обе части последних двух неравенств на а2 и окончательно получаем, что \x[f)<M, \x\f)<M М, [a-f(M)>0.m Упражнение 5. Аналогично докажите утверждения У 1.2-У 1.4. В2. Когда хотя бы один корень принадлежит лучу? Утверждение 2. Хотя бы один корень квадратного трехчлена принадлежит данному лучу тогда и только тогда, когда: 1) либо произведение старшего коэффициента на значение квадратного трехчлена в конце луча отрицательно для открытых и неположительно для закрытых лучей; 2) либо при существовании корней ось параболы пересекает данный луч. То есть У2.1: У2.2: У2.3: У2.4: х <М \D>0, <z>a-f(M)<0 или < L<x. Кх, х_<М х+<М Кх. •/(!)< О или \D>0, [L<xB. оо-/(М)<0 или о а ■ f(L) < 0 или \D>0, [хв < М. \D>0, [L < хв. 220
Доказательство У2.1. х.<М 2а 2а <М <М 2а 2а Ъ > м 2 2а 2а 2а 2а Комментарии 5. Переход к неравенству с модулем абитуриенту практически недоступен из-за наивных навыков в подобных действиях. Ни один из школьников, с которыми автор имел дело, не смог сразу перейти от совокупности неравенств f < g и/< -g к равносильному этой совокупности неравенству/< |g|. Модуль — величина неотрицательная, поэтому 2а > М 2а \D>0, \-—-М<0 2а fZ>>0, \хв<М или 2а Ь_ 2а о или D>(-b-2aM) хв<М или Ь2- хв<М или То есть окончательно получаем, что х <М {D>0, оа-/(Л/)<0 или х+<М хв < М. i Упражнение 6. Аналогично докажите утверждения У2.2-У2.4. 221
Вопрос читателю. Существует ли доказательство утверждения У2, аналогичное второму доказательству утверждения 1.1? (Автору оно неизвестно.) Посмотрите теперь доказательство утверждения У2.1, опирающееся на замечание, сформулированное перед комментарием 1 (см. введение). Второе доказательство У2.1. D Так как хотя бы одно из чисел меньше некоторой величины тогда и только тогда, когда наименьшее (не больше любого другого!) из них меньше этой величины, то при а > О утверждение У2.1 принимает вид неравенства х\ < М. Откуда 2а или D>(b -Ь-2аМ<0 \D>0, или а(аМ2 + ЬМ+ с)<0. \-Ь-2аМ<0 То есть при а > О \х <М (°>о) \D > О, [х+<М [хв<М Окончательно получаем, что или а-ДМ)<0. х < М («>о) [D > О, - о я./(М)<0 или (13) х+ < М [хв < М. Пусть теперь в уравнении ах2 + Ъх + с = 0 а < 0. Тогда, умножая обе части уравнения на -1, получаем равносильное уравнение (-а)х2 + (-Ь)х + (-с) = 0. (14) В уравнении (14) старший коэффициент уже положителен. Поэтому для квадратного трехчлена (~а)х2 + (-Ь)х + (-с) истинно утверждение (13). Откуда или (-а) ■ (-ЛЛО) < О, < м 222
так как при одновременной замене коэффициентов а, Ъ и с на противоположные (-а), (-Ь) и (-с) (см. начало статьи): • (-а)х2 + Н>)* + (-с) = -/х); • {*_; *+} неизменно; х_ +х. • хв= сохраняет свое значение; • D, = Н>)2 - 4(-я) • (-с) = Ь2 - 4дс = £>; (-e).(-/(AO) = a-XAf). Поэтому и при отрицательном значении старшего коэффициента \х <М (««о f D > О, " <=> a.f(M)<0 или (15) |_х+ < М [хв< М. То есть в (13) и (15) можно снять ограничение на знак старшего коэффициента. Очевидно, что после этого они совпадают с утверждением У2.1, что и требовалось. ■ Упражнение 7. Докажите аналогично утверждение У 1.1. ВЗ. Когда нет корней на луче? Если на луче нет корней, то либо они не существуют, либо все находятся на дополнении луча до всей прямой. Так как дополнение открытого луча есть закрытый луч, направленный в противоположную сторону, и дополнение закрытого луча есть открытый луч, также направленный в противоположную сторону, то полученный ответ на вопрос В1 позволяет нам быстро сформулировать ответ и на вопрос ВЗ. Утверждение 3. Квадратный трехчлен не имеет корней на данном луче тогда и только тогда, когда: 1) либо корни не существуют, то есть дискриминант меньше нуля; 2) либо абсцисса вершины параболы не принадлежит данному лучу, и произведение старшего коэффициента на значение квадратного трехчлена в конце луча неотрицательно для открытых лучей и положительно для закрытых. То есть У3.1: Vtf£(-oo;M)oZ)<0 или \ ' <=> [М < х+ 223
\М<хВ9 <?>D<0 или i [a-f(M)>0. \М<х , УЗ.З: V А" «£ (-°о; М] <»£)<0 или \ ' <=> или У3.4: V£g [I;H-oo;)<=>£)<0 или все корни.) Обратите внимание, что в системах утверждений УЗ. 1-У3.4, в отличие от систем утверждений У 1.1-У 1.4, отсутствует неравенство D > 0, так как наличие или отсутствие корней на дополнениях к лучам уже не принципиально: системы неравенств в УЗ. 1-У3.4 достаточны для отсутствия корней на луче, если они существуют. Упражнение 8. Докажите аналитически утверждения У3.1-У3.4. В4. Когда ровно один корень принадлежит лучу? Утверждение 4. Квадратный трехчлен имеет ровно один корень на данном луче тогда и только тогда, когда: 1) либо произведение старшего коэффициента на значение квадратного трехчлена в конце луча отрицательно; 2) либо абсцисса вершины параболы принадлежит лучу, если дискриминант равен нулю; 3) либо значение квадратного трехчлена на конце луча равно нулю и абсцисса вершины параболы принадлежит лучу, если он открытый, и не принадлежит, если он закрытый. 224
То есть (Э!ЛГ — существует ровно один корень): 0 или Гв< ' [D-f(M) = 0. У4.2: 3\К е {L; +оо) о а -Ш < О или \ < *в' У4.3: 3!/: е (-оо; Щ о У4.4:Э!/(:е или или или [*в < М, Г /(Л/) = О, ли -^ [М<д:в. \D = или xb<L. {х_ < М, \х. < М, или < или Доказательство У4.1. { М \ М fc. = х., или < + [М<х. \в Ясно, что для первой системы выполняется неравенство х. < х+, что предопределяет условие а > 0. Аналогично, для второй системы *+<*- и а<0. Для третьей системы также очевидно равенство дг_=х+=хв, что равносильно условию £> = 0. Поэтому остается доказать, что а>0, а>0, или хв < А/, (16) Отсюда одновременной заменой (см. замечание во введении) коэффициентов а, Ъ и с на (-а), (-6) и (-с) получим, что Га<0, дс. < М < х <=> •< ' или \хп< М, ' 1 1 в (см. второе доказательство У2.1). Это и будет означать, что всегда a -j{M) < 0, и при любом знаке коэффициента а хв < М при f(M) = 0. То есть с учетом варианта х_ = х+ = хв 225
\хв<М9 или < о или < Л/, -дм)=o.i Приведем для сравнения два различных обоснования (16). Первое — непосредственными преобразованиями двойного неравенства, второе — ссылками на ранее доказанные утверждения. Первое обоснование. □ х_ < М < х+ < [а>0, 2а М 2а <=> а>0, а>0, , или <=> В первой системе последние два неравенства равносильны одному неравенству Во второй системе из последних двух условий следует (!), что Ъ + 2аМ Ф 0 и, следовательно, в силу уравнения этой системы истинно неравенство Ъ + 2аМ> 0. Поэтому х_ < М < х+ или > 0, В иррациональных соотношениях обеих систем правые части неотрицательны, что позволяет обе части возвести в квадрат. 226
Отсюда х < М < х fa>0, {D>(\b + 2aM\f или Ъ + 2дЛ/ > О, Дальнейшие преобразования ранее уже комментировались (см. первое доказательство утверждения У 1.1), поэтому х <М *+°[а-/(Л/)<0 или хв < М, или что и требовалось. ■ Второе обоснование. D х_ < Л/ < х <=> < Л/ < х+ или х_ < М = jc+ <=> или (см. комментарий 2). + X JC + X Так как хв = — < х+ = М при х_ < х+9 то л: <М <х. + или Упражнение 9. Докажите аналогично утверждение У4.2. Посмотрим теперь доказательство утверждения У4.1 с использованием теоремы Виета. Второе доказательство У4.1. о Сформулируем утверждение У4.1, максимально выделив симметричные условия относительно корней. 227
[х <М, U+<M, D = 0, Э!Л: е (-оо; М) <=> < или < или ^ [М<х, {М<х. [xQ<M ( \х_ < М, \х+ < МЛ (\х_ < М, \х+ < МЛ < или < , или < или ^ {[М<х+ [М<х_ ) {\х+=М \х_=М или ха (17) [хв < А/. Первые скобки в (17) объявляют, что число М находится между числами х- и л;+, и при этом безразлично, какое одно из чисел jc_ или х+ больше другого. В связи с этим приведем еще одно очень полезное утверждение. Число М находится между числами тип тогда и только тогда, когда (M~w)(M-w)<0. (18) Действительно, [т<М<п, \М-т>0, \М-т<0, <=> < или < [п<М<т [М-п<0 [М-п>0. То есть числа М-тиМ-п всегда противоположны по знаку, что и означает отрицательность их произведения. Поэтому \х_ < М, {х+ < М, или + [М <х+ [М< х_ о М2 -(х_ +х+)М + х_-х+< 0. b с По теореме Виета х_ + х+ = — и х_ - х+ = —. Отсюда получаем, а а что 2 2 а а <» а(аМ2+ЬМ + с) <0 о а-ДМ) < 0. (19) Вторые скобки в (17) означают, что если конец луча — корень квадратного трехчлена, то второй корень находится внутри луча. 228
Возьмем квадратный трехчлен g(x) = a -j(x) = а2х2 + (ab)x + ас, то есть g(x) = а\х2 + 6jx + cj, где я i = а2 > О, 6i = аб и ci = ас. Так как -6, -уЩ < -Ьх +«Щ и ах > 0, то 2а, 2а, Поэтому именно xig) принадлежит лучу и x^g) = Л/. То есть Преобразуем неравенство в последней системе: -Ъх - 2ахМ о или D, <{-Ъ,-2а,М)2 ' ' ' zh.<M 2а, ' или Af - 40,6, > tf + Aaxb, М + 4of Л/2 о ix{g) < М, в ' или а, • g(M) < 0. В силу (3) и (4) (то есть возвращаясь к коэффициентам a, b и с), последняя совокупность принимает вид 1*в<М' или То есть А >Ь2Л/Гв^А/' или 229
Равенство в системе (20) противоречит требованию a -J{M) < 0 и обеспечивает условие D > 0, поэтому система (20) принимает вид Отсюда с учетом (19) утверждение (17) принимает вид 3\К е (-оо; М) <=> <z> a -f(M) < 0 или { в или < <=> |/(Л/) 0 |/> 0 Упражнение 10. Докажите аналогично последнему варианту утверждения У4.2-У4.4. Заключительные замечания Мы специально продемонстрировали с подробными пояснениями рутинные преобразования, чтобы читатель максимально легко осознал все взаимосвязи между различными путями обоснования сформулированных утверждений. Если внимательно присмотреться к конечным результатам (см. Приложение), то легко установить, что любое сравнение корня с константой к равносильно некоторой совокупности сравнений, в которой фигурируют только величины a,Ak\D,xB-k. (21) При этом абсолютно во всех формулировках присутствует произведение старшего коэффициента на значение квадратного трехчлена в данной константе, то есть произведение a -J{k). Поэтому, естественно, необходимо уверенно ориентироваться в геометрическом смысле любых требований к указанным величинам. Для достижения этой цели очень эффективны упражнения, в которых необходимо найти требования к корням квадратного трехчлена по объявленным требованиям к величинам (21). Например, какие требования предъявлены к корням квадратного трехчлена Дх) = ах2 + + Ъх + с, если D>0,L<xB<M,a *j{L) > 0, a j{M) > 0? То есть научиться делать «обратные» ходы. 230
Для закрепления результатов попробуйте выполнить следующие несложные упражнения. Упражнения 11-15. Опишите словами семейство всех парабол, для которых и только для них выполняются следующие соотношения: \D>Q, \D<0, \D<0, \D<0, \D>0, П. аМ 6Н в)< г)\ д) [хв<М; [хв = М; [М<хв; [хв = М; [хв > М. 12. а) [а-ДМ)<0;~' [а-ДМ)<0; ' [а-ДМ)<0. 13. а) \ б) \ в) \ [а-ДМ)>0; \а-ДМ)>0; [а-ДМ)>0. \хв<М, (хв = М, [М<хв, 14. а) \ в б) \ в в) -^ в 1 0; [а-ДМ)<0; [а-ДМ)<0. 1хп < М, \хп = М, \М < хп, в б)\ в в)\ в а-ДМ)>0; \а-ДМ)>0; [а-ДМ)>0. Наконец, попробуйте самостоятельно аналитически получить утверждения вида У1.1-У4.4 для промежутков конечной длины, то есть для промежутков вида П5-П8 (см. введение). 231
Глава 15. Линейная комбинация As'mt + Bcosf Мы предлагаем вашему вниманию три задачи (автор Соколи- хин Александр Николаевич), в которых традиционные логические препятствия в нестандартных задачах вступительных экзаменов сконструированы на базе двух основных фактов из школьного курса тригонометрии. Утверждение 1. Множество значений функции у = Л sin/ + £cos/ есть отрезок -yJA2 + В2; у/А2 + В2 , то есть E(Asint + Boost) = Г-7Л2+Я2; ^А2+В2'\. (У 1) Утверждение 2. Для любого / из отрезка [-1; 1 ] arcsin/ + arccos/ = —. (У 2) Существует не менее десяти различных доказательств утверждения 1. Позвольте предложить вам еще одно красивое доказательство. Доказательство (У1). Функция у = A sin/ + 2?cos/ есть непрерывная и ограниченная функция. Следовательно, ее множество значений образует отрезок [т\ А/], где т и М являются минимальным и максимальным значениями соответственно. Можно это обосновать и иначе. Данная функция является непрерывной и периодической с периодом Т = 2я. Поэтому для определения множества значений такой функции достаточно рассмотреть ее на любом отрезке длины 2л. А множество значений непрерывной функции на отрезке есть отрезок. Так как y{t + я) = ->>(/), то для любого уо из [w; Щ значение -уо также принадлежит отрезку [m\ M]. Отсюда следует, что т = -М, то есть £(^sin/ + £cos/) = [-М; М], гдеМ>0. Осталось найти Л/. Имеем: у2 = (Asint + 5cos/)2 = A2sm2t + 2,45sin/cos/ + £2cos2/. 232
Как известно, lab < а2 + b2. Поэтому lABsintcost = 2(^cosO(5sin/) < A2cos2t + £2sin2/. Отсюда у2 < ^2(sin2/ + cos2/) + 52(sin2/ + cos2/) = A2 + £2. To есть ->lA2+B2 Поскольку знак равенства в неравенстве lab < а2 + б2 достигается при а = й, то у2;=А2 + В2 при Л cos/ = Bsint. Очевидно, что уравнение i4cos/ = 5sin/ имеет решение при лю- быху4 и 5 (пкпри^ = 0; — + пкпри 5 = 0; arctg— + пкпри АВфО 2 В (к g Z)). Поэтому (У 1) истинно, что и требовалось доказать. Доказательство утверждения 2 непосредственно следует из определений arcsin/ и arccos/. Перейдем теперь к обсуждению задач. Обсуждение задач Задача 1 (геологический факультет (отделение общей геологии), 1981, № б (6)). Показать, что функция у = sin2* - 14sinxcosx - 5cos2x + 3 л/33 всегда положительна. Задача 2 (факультет вычислительной математики и кибернетики, 1983, № б (6)). Найти все решения уравнения = (arcsin x)2 + (arccos xf —п2. 4 Задача 3 (экономический факультет (отделение политэкономии), 1988, № 6 (6)). При каких значениях параметра а неравенство 13sin2jc + 2asinxcos* + cos2* + a \ < 3 выполняется для любых значений х? 233
12 Ответ: < а < 0. (Обозначение № 6 (6) указывает на то, что каждая из трех задач была последней в варианте, содержащем шесть задач, то есть каждая задача была наиболее трудной для абитуриента.) Общий комментарий ко всем задачам. Каждая из задач допускает несколько различных решений, но самое эффективное решение любой из них опирается на утверждение 1. Если воспользоваться формулами понижения степени: . 2 l-cos2x ^ . . _ 2 l + cos2x sin x = , 2sinjf cosjc = sin2x, cos x = , 2 2 то получим следующие равносильные формулировки задач 1-3. Задача 1. Показать, что функция у = -7sin2x - 3cos2x -2 + 3 ^33 (1) всегда положительна. Зидача 2. Найти все решения уравнения (-3sin2x-7cos2;c-2 + 3V33) = = (arcsin x)2 + (arccos x)2 — п2. (2) 4 Задача 3. При каких значениях параметра а неравенство | asin2jc - cos2x + 2 + а \ < 3 выполняется для любых значений xl Поскольку неравенство | / | < g равносильно системе нера- венств/< g и -f< g9 то задача 3 допускает и такую формулировку. Задача 3. При каких значениях параметра а система неравенств Jasin.x-cos;t2x + a-l < 0, (3) [cos2x-asin2;c-a-5 <0 (4) выполняется для любых значений xl Так как система выполняется для всех значений х тогда и только тогда, когда для всех значений jc выполняется каждое (!) неравенство системы, то ясно, что «ключ» решения задач 1 и 3 один и тот же. Этот «ключ» еще надо найти, а затем грамотно им вос- 234
пользоваться. Нахождение «ключа» предопределяет логическую трудность задачи, а искусство пользоваться им — техническую трудность. В задаче 2 переменная х выступает как в роли аргумента тригонометрических функций, так и в роли значения этих функций. Если уравнение Дх) = 0 не удается преобразовать в равносильную систему или совокупность уравнений и их систем таких, что в каждом уравнении переменная х не играет указанную двойную роль, то исходное уравнение J{x) = О в подавляющем количестве случаев решается только с помощью исследования свойств функции J(x) (такие уравнения иногда называют качественными). Уравнение задачи 2 своим видом подсказывает, что необходимо исследовать свойства каждой части этого уравнения как функции переменной х, так как левая часть уравнения содержит переменную х только под знаком функций синус и косинус, а правая часть — только под знаком им обратных тригонометрических функций. И утверждения (У1) и (У2) позволяют выявить те свойства левой и правой частей уравнения (2) соответственно, которые мгновенно укажут на решения этого уравнения. Перейдем к непосредственному решению задач 1-3. Решение задач 1-3 Задача 1. Решение. В силу (У1), функция, задаваемая равенством (1), имеет множеством значений отрезок V(-7)2+(-3)2-2 + 3^33; то есть Е(у)= [-758-2 + 3^33; V58-2 + 3733]. Поэтому функция всегда положительна, когда ее минимальное значение -V58-2 + л/ЗЗ больше нуля (это и есть ключ к решению задачи 1). Осталось убедиться в истинности этого факта, то есть доказать неравенство -V58-2 + V33 >0. (5) Реплика. Константы в неравенстве (5) подобраны так, что никакие разумные попытки доказательства этого неравенства 235
с помощью приближенных значений корней не приведут к успеху. И в этом особая красота данной задачи. Итак, (5) <^> 3 V33 > V58 + 2 о (3 V33 )3 > (л/58 + 2)3 о <* 535 > 70 V58 » 107 > 14л/58 о (107)2 > (14л/58 )2 <=> »11449>11368. Полученное неравенство очевидно истинно, что и означает конец решения задачи 1. Задача 2. Решение. Левая часть уравнения (2) есть произведение неотрицательной величины ^2-1 у | на положительную при любом jc величину (- 3sin2x - 7cos2x -2 + 3 v33 ), знакомую нам по равенству (1), так как £(-7sin2x - 3cos2x) = £(-3sin2x - 7cos2x) = [- V58 ; л/58 ]. Множитель д/2-1 у | независимо от второго принимает все значения из отрезка [0; V2 ] , а второй множитель независимо от первого — все значения из отрезка -V58 - 2 4- Зл/ЗЗ; V58 - 2 + Зл/ЗЗ . Поэтому произведение этих множителей (один неотрицательный, а другой положительный) принимает все значения из отрезка [0; л/2 (V58 - 2 + 33л/33) ], то есть £(лев. часть (2)) = [0; V2(V58 - 2 + 3^33) ]. (6) Правая часть уравнения (2), в силу утверждения (У2), есть квадратный трехчлен либо относительно arcsinx, либо относитель- но агссо&х. Пусть, например, и = агссо&х, тогда arcsiiu = — - и, ( V s и правая часть есть квадратичная функция/w) = — и\ +и2 - —я2. \2 ) 4 Так как по определению множество значений агссо&х есть отрезок [0; я], то нам остается исследовать свойства функции j{u) = = 2и2- ки - к2 на отрезке [0; я]. Быстро устанавливаем, что минимальное значение функции J(u) достигается при и = —, а макси- 4 236
мальное при и = я. Откуда следует, что множество значений правой части уравнения (2) есть отрезок 1 Г о 1 (7) Отсюда следует, что левая часть уравнения (2) равна его правой части тогда и только тогда, когда они обе равны нулю. Поэтому уравнение (2) равносильно системе l2(arccosx) -rcarccosx-rc2 =0 о <* о < <=> < или [arccosjc=[ что и подтверждает объявленный выше ответ задачи 2. Замечание. Задачи с сравнениями видаДдг) v g(y), в которых возможно и присутствие параметров, традиционно относятся к нестандартным. В них либо изначально множества значений функций Дх) и g(y) пересекаются не более чем в одной точке, либо решение предполагает выбор значений параметров, обеспечивающих указанную ситуацию. Иногда подобные задачи называют задачами с разделяющей константой, основной метод решения которых есть метод минимакса. В задаче 2 ее автор, вероятно, исходил из уравнения л/2-1 у | = (arcsinx)2 + (агссо&х)2 я2. 4 Остроумным ходом он добавил в левую часть всюду (!) положительный не тривиальной конструкции множитель 5sin2x - 6sinxcosjc- 9cos2x-3 v33 , что и предопределило красоту данной задачи. Задача 3, Решение. Мы ранее уже указывали на то, что задача равносильна определению тех значений параметра а, при которых система неравенств (3) и (4) выполняется для любых значений х. Также было сформулировано утверждение, что это равносильно выполнению одновременно каждого неравенства для любых значений х. 237
Левая часть каждого неравенства (3) или (4) есть функция вида у = Аъххй + JScos/ + С, множество значений которой, в силу утверждения (У 1), есть отрезок Г-л/л2 + В2 + С; у1а2 + В2 + с\. Поэтому, чтобы все значения такой функции были неположительны, необходима и достаточна неположительность максимального значения v A2 +B2 + С. Поэтому все искомые значения параметра задаются следующей системой неравенств: < а < 0 5 откуда и следует ответ задачи. Упражнения: 1. Покажите, что функция у = sin2* - 12sinuccosjc + 3cos2x - 2 v66 может принимать неотрицательные значения. 2. Покажите, что функция у = 3sin2x + 16sinxcosx + cos2* + 2 V44 - может принимать неположительные значения. 3. Покажите, что функция у = 2sin2x + 12sinxcosjc + 4cos2x - 5 всегда отрицательна. 4. Найдите все решения уравнения V*2-4 • (3sin2A: + 1 Osiiucosx + 11 cos2* - = 5я2 - 4(arcsiny)2 - 4(arccosy)2. 5. Найдите все решения уравнения yj3-\y\ • (^sinV- lOsinycosy + 6cosV + 2VTT) = 8(arcsiiu)3 + 8(arccosjc)3 - 7л3. 6. Найдите все решения уравнения yjx2 -9 • (7sin2x + 4siiucosx- 3cos2x- 3\fl5 ) = = — я3 - (arcsiny)3 - (arccosy)3. 8 238
7. При каких значениях параметра а неравенство |5sin2jc + 2asiitfcosx + cos2* + а + 11 < 6 выполняется для любых значений xl 8. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство |sin2jc - 2{а - l)sinxcosjt + 3cos2x - а + 11 < 3 выполняется для любых значений х. 9 (ИСАА, 1996, № 6 (6)). При каких значениях параметра а неравенство sinx-V3cosjc~a-4 Л Т ^ выполняется для любых значений х? 10. При каких значениях параметра а неравенство > 0 5 Э выполняется для любых значений jc? Ответы 4. {(2; 1); ( 2-1)}. 5. {(-1; -3); (-1; 3)}. 6. {(-3; -1); (3; -1)}. 7. -— < а < 0. 8. 1 < а < —. 9. а е (7,5; 8) и (12; +оо). 10. а е (-оо;-И) и (-7;-6,5). Указание. При выполнении упражнений 5 и 6 воспользуйтесь формулой разложения на множители суммы кубов двух чисел. Дополнение для гурманов Задачи на сравнение чисел регулярно появляются на письменных и устных экзаменах в различные вузы страны. Среди подобных задач есть красивые по форме и содержанию и есть удивительные по трудности. Автор этой книги рискнет утверждать, что никто из читателей в течение разумного времени не решит следующую, не побоюсь сказать, блестящую задачу Александра Соколихина. Задача 11. Какое из чисел больше: V2+V3 + 3 или 2^+272? Ответ должен быть обоснован. 239
(Обратите внимание: в записи чисел присутствуют только цифры 2 и 3.) Естественно, что тот, кто коллекционирует задачи на сравнение, узнает в числах конструкции, промелькнувшие в 1988 г. на вступительном экзамене по математике на экономический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, и, вероятно, это обстоятельство позволит ему найти правильный путь к решению задачи 11. Задача 12 (экономический факультет, 1988, № 1 (6)). Какое из чисел больше: v4 + V2 или 3? Ответ должен быть обоснован. Автор этой задачи, как вы уже догадываетесь, также А.Н. Со- колихин. Попробуйте, решив задачу 12, найти указанный путь к решению задачи 11. Теперь посмотрите, как «издеваются» над абитуриентами авторы задач, реконструируя какое-нибудь легко доказываемое неравенство, например такое (автор — А.Н. Соколихин): V2+V3<3. (*) Задача 13. Какое из чисел больше: В-1. 6^Jж + \J2 или2л/3; В-2. л/3+1или ^432; В-3.2ЙГ+^108 илиЗ+л/З; В-4. V432+VT08+V3 или 2^+2^+1? Естественно, что разнообразие вариантов данными четырьмя не исчерпывается. Это легко осознать, посмотрев на то, как были получены варианты 1-4. В-1. Преобразуем неравенство (*), перенеся V3 в правую часть и вынося V3 за скобки: Умножим теперь обе части полученного неравенства на (л/3+1): V2(V3+1)< л/3(л/3-1)(л/з+1)о oV2(V3+l)< 73(л/ЗМ)(л/3+1)<=> V2-V3+V2 <2л/3. 240
И наконец, множители первого слагаемого в левой части «за- гонрем» под общий корень шестой степени: V22-33 + V2 <2л/3 о VfO8 В-2. Разделим обе части неравенства на v2 и получим: л/3+1< V4-V3. «Загоняем» в правой части оба множителя под один корень: л/3+1< ^432. В-3. Имеем: (*)» V2-K2-V3. Умножим обе части полученного неравенства на сумму чисел 2 и V3 и перенесем после раскрытия скобок слагаемые со знаком минус в другую часть неравенства. Тогда получим, что (V2-l)(2+V3)<(2~V3)(2+V3)o2V2+Vl08 <3+л/3. В-4. Преобразуем, как в В-3, неравенство (*) к виду V2-K2-V3 и умножим обе его части на неполный квадрат суммы чисел v2 и 1: (V2- 1)(V4+ V2 + 1)<(2-7з )(3л/4+ V2 + 1). Раскроем скобки, перенесем члены со знаком минус в другую часть неравенства, «загоним кое-что» под знак корня шестой степени и получим: ^432 + V1O8 + V3 <2V4+2V?+ 1. А теперь осталось вам подсказать, что ответ задачи 12 и неравенство (*) полностью предопределяют решение задачи 11, так как из них следует, что И, наконец, полюбуйтесь, какие «тонкие» неравенства V2+V3<3 и V^ + V^ >3. 241
Доказательство. о 30V3 < 52 о 15>/3 < 26 о {l5^J< 262 <» 675 < 676 (!). 2. V2+V2>3 о4>27-27>/2 о(29>/2)2 > 412 о 1682 > 1681 (!) 242
Приложение 1 Расположение корней квадратного трехчлена на луче f(x) = ax2 +bx + c, a*Q, D = b2-4ac, хв = . 2а Ve y.l.3:VA"e(-oo;A/]o y.l.4:VA"e[I;-oo)o D хв a- D L a- D *B a- D a- >0 <M, f{M)>0; >0 <xB, f(L)>0; >0 f(M)>0; >0 f(L)>0; У.2.1:ЭА"е(-оо;Л/)оо/(М)<0 или или |D>0, \xB < M; \D>0, \l<xb; У.2.3: 3K 6 (-00; M] о a ■ f(M) < 0 или или \xB<M; \D>0, \L<xB. 243
У.3.1: VA" £ (-00; M) о D < 0 или \ \хв < L, или \ [a-f(L)>0; \М<хв, У.3.3: УК й (-«; Af ] о D < 0 или \ в или Гв< ' 1 |Хв< ' [Df У.4.1:Э!/:б(-оо;М)од-/(М)<Оили| [D У.4.2:3! К е (L; + оо) о af(L)< 0 или] УАЗ :3!tfe(-oo;M] о а-ДМ) < 0 или ^ илиГ {L<xB, Г/(£) = О, в илиГ \D = 0; [xB<L. К — корень (корни), V — все, 3 — хотя бы один, g — не принадлежит, 3! — ровно один. 244
Приложение 2 = ax2+bx + c, x_ = -b-yjb2-4ac 2а 2а Вопрос\ Bl Ve B2 3 ВЗ* B4 3! Лучи Ш оА/ Lc П2 пз л/ M » П4 Утверждение 1 У1.1: \х_<М |а>0, У 1.2: \L<x+ fa>0, У1.3: \х_ <М 1 с? ^ 0 У 1.4: |«>o, Утверждение 2 У2.1: [х+<М \х_<М У2.2: [L<x_ У2.3: У2.4: Утверждение 3 У3.1: '0 \а<0, [М<х+ У3.2: "0 |а<0, i:i УЗ.З: "0 j*<0, У3.4: |a<0, is Утверждение 4 У4.1: х_ = jc+ < М х_<М<х+ х+<М <х_ У4.2: L<x_ = х+ х_ < L < х+ x+<L<x_ У4.3: v_ = jc+ < M x_ < M <x+ x+ < M < x_ У4.4: L *_ < L < jc+ r+ < L < a:. ^e — все корни принадлежат... , 3 — хотя бы один корень принадлежит... , е — нет корней на... , 3! — ровно один корень принадлежит... . 245
Приложение 3 >*. гт N. П Вопрос\ Bl Ve В2 3 взе В4 3! Л)" 2 П1 о Л/ У1.1: х2<М У2.1: х,<М У3.1: Г0 У4.1: Где, = *2 < М [л:, < М < jc2 № г\ 2 , х2 2 ,_-„ Лучи ,0 П2 ПЗ ... Утверждение 1 У1.2: У1.3: л:2<М Утверждение 2 У2.2: У2.3: Утверждение 3 У3.2: [U УЗ.З: Утверждение 4 У4.2: !"/,<*, =л:2 [х, < L < х2 У4.3: -Aq. г Г л. [ П4 У 1.4: У2.4: У3.4: '0 У4.4: <L<jc2 Ve — все корни принадлежат... , 3 — хотя бы один корень принадлежит... , & — нет корней на... ,3! — ровно один корень принадлежит... . 246
Приложение 4 ' = ax2 +bx + c, x_=- 2а -. *♦=• 2а N. ГТ N. 11 Вопрос\ Bi Vg В2 3 ВЗ* Промежутки конечной длины L L о П5 олг L о П6 .u П8 Л Ifo Л Л/ Утверждение 1 yL5:fl<^ Тх^М ' '[l<x_<x+<M У1.6: \L<X-<X+<M [L<x <x+<M У1.8: [L < х <х^М Утверждение 2 [l<x <M У2.5: [b<x+<M [Кх <М У2.7: [L < х, < М [L<x <M У2.6: [L<x+<M У2.*:\Ь<Х-<М [L<x+<M Утверждение 3 У3.5: У3.7: "0 Га<0, (а>0. U<L \x+<L [М <х+ [М< х_ x_<L<M<x+ x+<L<M<x_ "0 |а<0 Г*>0, \x_<L [x+<L \а< , \а> , [М <х, [М < jc. jc. < L < М < х+ [x.<L<M<x_ У3.6: У3.8: "0 {ГЛи|ГЛ jc_<L<M<jc+ x.<L<M<x_ "0 |а<0 |Я>0 \а<0, , , \а>0, < Ui [Л/<дс+ [Л/<д:_ jc_ < I < М < дг. jc+ < L < М < jc_ 247
Nv П Вопрос\ В4 3! Промежутки конечной длины Ю П5 ох/ L - IV! Lc П6 П8 Утверждение 4 У4.5: У4.7: L < х_ = х+ < М х. < L < дг+ < Л/ jc, <L<x_<M L<x_<M<x. L<x+<M<x_ 'L<x_=x+<M x_ < L < jc+ < M У4.6: У4.8: Z' < JC = x+ < Л/ jc. < L < x+ < A/ x+<L<x_<M L<x_<M<x+ L<x+<M<x_ X+ < L ^ Af_ ^ Лж Ve — все корни принадлежат... , 3 — хотя бы один корень принадлежит... , € — нет корней на... , Э! — ровно один корень принадлежит... . 248
Приложение 5 a *!=" \п Вопрос\ Bl V€ В2 3 вз* В4 3! Промежутки конечной длины Lo г л П5 о и Ш о и L • П6 П8 • A/ Утверждение 5 У1.5: I<jc, <jc2<M У 1.7: L<jc, <jc2<Af У 1.6: L<jc, <x2<M У 1.8: Kjc, <jc,<A/ Утверждение 6 \L<x.<M У2.5: ' [L<x2<M [L<x2<M У2.6: < *' [L < jc2 < M У2.8: | < X| < M [L < jc2 < M Утверждение 7 У3.5: У3.7: "0 jc2<L "0 x2<L jc, < L < M < jc2 У3.6: У3.8: "0 jc2<L M<jc, jc, < L < M < jc2 '0 *2<L jc, < L < M < x2 Утверждение 8 У4.5: У4.7: L < jc, = jc2 < M jc, < L < x2 < M L < jc, < M < jc2 'L<x, =jc2<M У4.6: У4.8: L < jc, = jc2 < M Xl<L<x2<M L < jc, < Л/ < x2 jc, < L < jc2 < M L < jc, < A/ < jc2 249
Ve — все корни принадлежат... , 3 — хотя бы один корень принадлежит... , ё — нет корней на... , 3! — ровно один корень принадлежит... . 250
Содержание От автора 3 Глава 1. Задачи с параметром 5 Глава 2. Графические методы решения задач с параметром 17 Глава 3. Нестандартная техника решения неравенств с модулем 32 Глава 4. Сумма модулей 51 Глава 5. Несколько решений одной задачи 71 Глава 6. Метод трех точек 90 Глава 7. Задача Кати Сухановой 103 Глава 8. Поучительная задача на квадратный трехчлен 118 Глава 9. Квадратный трехчлен и иррациональность 127 Глава 10. «Экстремальная» задача на экстремум 147 Глава 11. Семейства функций в задачах с параметрами 154 Глава 12. Сколько корней имеет квадратный трехчлен на луче? 169 Глава 13. Метод замены множителей 187 Глава 14. О расположении корней квадратного трехчлена 206 Глава 15. Линейная комбинация A sin/ + 5cos/ 232 Приложения 243 251
Голубев Виктор Иванович РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ И НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ Научный редактор В.Т. Лисичкин Редактор И.С.Алексеева Корректор Т.Я. Кокорева ИД№ 03253 от 15.11.2000 Печать офсетная. Формат 60x88/16. Уч.-изд. л. 15.75. Тираж 3000. Заказ № 244 ООО «Илекса», 105187, г. Москва, Измайловское шоссе, 48а, сайт: www.ilexa.ru, E-mail: real@ilexa.ru, факс 8(495) 365-30-55, телефон 8(495) 984-70-83 Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО "АртЭстамп" 129344, г. Москва, ул. Ленская, д. 39, корп. 1