II

MAX PLANCK
EINFUHRUNG
IN DIE THEORETISCHE PHYSIK
II
Einfuhrung in die Mechanik
deformierbarer Korper
VERLAO VON S. HIRZEL 1932
LEIPZIG

МАКС ПЛАНК
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРЕТИЧЕСКУЮ ФИЗИКУ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
Перевод с немецкого
Л. Я. ШТРУМА
под редакцией
проф. Н. П. КАСТЕРИНА
Издание второе
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО- ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1932 ЛЕНИНГРАД

TT 13-5-2
ЧИТАТЕЛЬ, сообщите отзыв об этой книге
(ваши замечания о ее недостатках и поже-
пожелания об изменениях в следующем изда-
издании) по адресу: Москва, Ильинка, проезд
Владимирова, д. 4, Государственное технико-
теоретическое издательство (в секцию орга-
организационно-массовой работы).
Редакционную работу по этой книге провел П. Н. Успенский. Издание оформила
С. Л. Д ы м а н, корректуру держала 3. В. С м и р f*o в а, наблюдал за выпуском В. П. П е т-
ров. Рукопись сдана в производство 15/1У, листы подписаны к печати гб/VHI, книга вышла
в светсентебре 1932 г. в количестве 5000 экз., на бумаге формата 02 х(М, печат. знаков в книге
М9 000, листов в книге 11'/» заказ № 3613 ГТТИ 201, уполномоченный Главлкта Б-213Ю
Книга отпечатана в Москве в 5-й типогр. «Пролетарское слово» треста «Пол играфкннга» -
Каланчевский туп» , № S*.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
„Механика деформируемых телии, представляя продолжение
курса „Общей механики" Планка в применении ее к специальным
вопросам упругого деформируемого тела, в то же время подготов-
подготовляет читателя к усвоению последующих курсов Планка по теории
электричества и магнетизма и по теории света. Автор и в этом
курсе с обычным мастерством, сжато и ясно, вводит читателя
в круг исследований по теории упругости, гидродинамике и
аэродинамике и в теорию вихревых движений в объеме, доста-
достаточном для того, чтобы можно было приступить к самостоятель-
самостоятельной научной работе.
Редактор
Второе русское издание сверено с третьим немецким, отли-
отличающимся от предыдущего лишь крайне незначительными допол-
дополнениями и немногими поправками.

6 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
О задаче, которую я поставил себе при составлении этого
курса, а также о пути, выбранном мною для разрешения ее,
можно сказать по существу то же самое, что я пытался изложить
в предисловии к „Введению в общую механику". В представлении
читателя этой книги механика деформируемых тел должна воз-
возникнуть как естественное, обусловленное внутренней необходимо-
необходимостью продолжение общей механики и прежде всего как ряд тесно
связанных, логически обоснованных понятий. Это даст читателю
возможность не только изучать с полным пониманием более под-
подробные курсы и специальную литературу, но. и производить само-
самостоятельные, более глубокие исследования.
Благодаря ссылкам на законы и уравнения, выведенные в
упомянутой моей книге, нередко удается значительно сократить
и упростить изложение. Такие ссылки обозначены цифрой 7. Так
например, 7, A55) обозначает уравнение 155 „Общей механики";
7, § 49 обозначает § 49 той же книги. Кроме того, я старался
сберечь место, пропуская те формулы или промежуточные вычис-
вычисления, которые может выполнить без особого труда всякий
читатель, обладающий математическим образованием.
В конце книги, как и в предыдущей, приложен алфавитный
указатель встречающихся определений и важнейших выведенных
теорем. Этот указатель окажется, надо думать, полезным для
справок.
Автор
Берлин-Грюневальд,
февраль 1919 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр..
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие к первому немецкому изданию 6
Вступление 9
Часть первая
Общие законы движения непрерывнопротяженного тела
Глава I. Кинематические законы 11
Глава II. Динамические законы 31
Часть вторая
Бесконечно малые деформации
Глава I. Твердые тела. Общие положения 42
Глава II. Состояние равновесия твердых тел 57
Глава III. Колебательные явления в твердых телах 66
Глава IV. Колебательные явления в жидкостях и газах 98
Часть третья
Конечные деформации
Глава I. Общие положения 114
' Глава II. Безвихревые движения 134
Глава III. Вихревые движения 160
Глава IV. Трение 170
Указатель определений и важнейших теорем 183

ВСТУПЛЕНИЕ
§ 1. Деформируемым телом, в противоположность неизменяе-
неизменяемому телу, называется такое тело, которое в состоянии подвергнуть-
подвергнуться изменению формы либо все в целом, либо в какой-либо своей
части. В природе, строго говоря, все тела деформируемы, так
как не существует вовсе таких движений, которые не сопровожда-
сопровождались бы большими или меньшими изменениями формы или де-
деформациями тел, принимающих участие в этих движениях. На
во многих случаях, например при изучении маятника, рычага,
волчка, достаточно, в качестве первого приближения к действи-
действительности, предположить, что рассматриваемые тела неизменяемы.
Движениями неизменяемых тел занимается общая механика. Здесь
же мы будем заниматься такими движениями, особенности которых,
характеризуются прежде всего деформациями тел. Поэтому нам
необходимо еще несколько уточнить наши допущения о свойствах
тел, причем мы прежде всего предположим в качестве основного
допущения, что пространство, занимаемое телами, непрерывно
заполнено материей. Конечно, и это допущение, подобно допуще-
допущению о неизменяемости, представляет собою идеальную абстрак-
абстракцию и в точности никогда не соблюдается в природе, так как,
строго говоря, все тела имеют атомистическое строение. Но
в качестве первого приближения к действительности можно и
в данном случае вполне обойтись упрощающим допущением. По-
Подобно тому как при установлении простейших законов о рычаге
было бы излишне и нецелесообразно рассматривать вместе с тем.
упругий изгиб, фактически всегда существующий, так и при изу-
изучении основных законов звуковых волн или течений жидкости
было бы очень неудачным приемом, если бы мы с самого же начала
захотели перейти к молекулам или даже к неизменным атомам
рассматриваемых тел. К тому же даже атомы представляют собою
снова лишь идеальную абстракцию. Природа вообще не может
быть абсолютно исчерпана человеческой мыслью.
Самая важная и в то же время самая трудная для физика-тео-
физика-теоретика задача при математической формулировке какой-либо
проблемы заключается в том, чтобы ввести именно те упрощаю-
упрощающие допущения, которые имеют существенное значение для инте-
интересующих его особенностей исследуемого физического явления,
и в то же время пренебречь всеми влияниями меньшего порядка

30 ВСТУПЛЕНИЕ
величин, которые ничего существенного не изменили бы в основных
результатах и вошли бы в рассуждения лишь в качестве матема-
математического балласта. Важно я необходимо лишь требование, чтобы
различные гипотезы, вводимые для различных проблем, были
совместимы между собою. Иначе физическая картина мира потеряла
'бы свое единство, и мы имели бы, в зависимости от обстоятельств,
различные противоречащие друг другу ответы на один и тот же
вопрос.
Для той задачи, которую мы поставили себе в этой книге,
целесообразнее всего разделить весь материал на т р и отдельные
части. В первой части рассматриваются общие законы движения
непрерывно заполняющих пространство тел, независимо от их
агрегатного состояния, а во второй и третьей частях будут даны
приложения этих законов к важнейшим видам движения, связан-
связанным с бесконечно малыми или же с конечными деформациями.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО
ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
ГЛАВА ПЕРВАЯ
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
§ 2. Подобно тому как мы поступали в общей механике мате-
материальных точек и неизменяемых тел, мы и в механике деформи-
деформируемых тел сначала рассмотрим свойства движений самих по себе,
не ставя вопроса о причинах движений, и прежде всего постараемся
дать для них исчерпывающее математическое представление. Дви-
Движение материального тела вполне определенно тогда и только
тогда, когда известны движения всех материальных точек, на
которые его можно мысленно разложить, или же, другими словами,
когда положение каждой такой материальной точки задано как
функция времени. Чтобы характеризовать определенную матери-
материальную точку тела, рассмотрим состояние тела в момент времени
t = 0 и в этом состоянии определим положение каждой матери-
материальной точки тела тремя координатами а, Ь, с относительно непод-
неподвижной прямоугольной правой системы координат G, § 16). Эти
три величины, а, Ь, с, должны служить для характеристики мате-
материальной точки также и в последующие моменты t, когда коорди-
координаты ее перейдут от значений а, Ь, с к значениям х, у, z. Они пред-
представляют собою как бы название точки, с помощью которого она
может быть опознана во всякий момент. Все движение материаль-
материального тела определено во всех подробностях, если для каждой
Материальной точки а, Ь, с, из которых состоит тело, координаты
% у, z заданы как функции t, т. е. если
x = f (а, Ь, с, 0, |
у = ц> (а, Ь, с, 0. A)
z = р (а, Ь, с, t), J
где /, g>, ip обозначают некоторые однозначные и конечные функ-
функции от а, Ь, с, t. Мы примем также, что они непрерывны, полагая
таким образом, что тело не распадается во время движения на
отдельные части. Согласно указанным выше положениям, при t — О
х~а; y—b; z-= с. (la)

12 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
Ввиду обилия возможностей, заключенных в выражениях A),
рекомендуется сначала рассмотреть некоторый вполне определен-
определенный момент времени <, или, другими словами, ограничиться сна-
сначала рассмотрением того изменения, которое тело претерпевает
от момента 0 до момента /, где t имеет некоторое постоянное
значение. Тогда мы можем вовсе выпустить / из выражений A)
и получим более простые формулы:
х - = / (а, Ь, с), I
у = 9 (а, Ъ, с), B)
z = ip(a, b, с).}
Эти уравнения обозначают переход тела из определенного „на-
„начального положения" в определенное „конечное положение", при-
причем материальная точка (а, Ь, с) переходит из места (а, Ь, с) в
место (х, у, г). Поэтому величины
х — с = и, у — b -- v, г — с ---=- w C)
называются компонентами „смещения" точки.
Если разрешить уравнения B) относительно а, Ь, с, то мы
получим с, Ь, с как определенные функции от х, у, г. Эти функ-
функции дают ответ на вопрос о том, в каком месте находилась до
изменения тела та материальная точка, которая после изменения
имеет координаты х, у, г. Мы полагаем, что эти функции, которые
можно толковать как изменение, обратное рассматриваемому, также
однозначны, конечны и непрерывны.
§ 3. В качестве примера рассмотрим сперва общий случай
линейного изменения:
х = 20 -!- V + кь + яаС ]
У - ."о + ."itf + ^b +ц.лс, D)
ц.лс,
>'3С. )
7- ■-■- 'О "Г -'I" + >'»Ь + >'3
Обозначения постоянных выбраны так, что буквы Я, ц, v со-
соответствуют х, у, г, а значки 1, 2, 3 соответствуют о,* Ь, с. Ве-
Величины Яо, /*0, >'(, дают смещение той материальной точки, которая
до изменения находилась в начале координат.
Уравнения D), разрешенные относительно й, Ь, с, дают-.
а = Я/ (х — Яо) + /V (у — ц„) + 1>г' (z — /■„),
b -- Я/ (х — Яо) + Из (У — /'о) I "/ (* — Л>), E)
с - Я3' (х — Ло) + fi3' (у — !@) + -».л' (z — »'в),
i Я, I /,, ч
;./ _ ■ и т.д., F)

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ 13
если обозначить для сокращения так называемый функциональ-
функциональный определитель:
Иг
D, G)
а коэфициент при элементе Лх в выражении этого определителя:
M и т. д. (8)
Так как мы полагаем, что все постоянные, со штрихами
и без штрихов, конечны, то функциональный определитель D
не может равняться нулю. На этом основании мы можем тотчас
определить знак D. Действительно: изменение происходит не вне-
внезапно, а постепенно в течение конечного времени t. Поэтому
необходимо рассматривать постоянные изменения h p, v и вместе
с тем определитель D как непрерывные функции /. Но до изме-
изменения, при / = О,
Л0 = 0, А1=1, А2 = 0, А3=0ит. д.. (9)
стало быть, 1) = 1. Далее, с течением времени, определитель D
изменяется непрерывно, начиная со значения 1 и никогда не обра-
обращаясь в нуль. Отсюда следует, что D всегда положительно:
D>0. A0)
§ 4. Частный случай линейного изменения представляет собою
поступательное перемещение G, § 102), при котором все мате-
материальные точки тела претерпевают одинаково направленные
и равные смещения любой величины. В этом случае, согласно C),
х — а = const, у — b = const, z—с — const,
т. е. частный случай уравнений D).
Другой частный случай линейного изменения есть вращение
(/, § 101) около какой-либо оси. с произвольным углом вращения.
Чтобы доказать это утверждение, составим уравнения для произ-
произвольного конечного вращения. Для этого введем, кроме непо-
неподвижной в пространстве системы координат, начало которой мы
Поместим на оси вращения, еще другую систему координат, неиз-
йенно связанную с телом и, значит, могущую двигаться и про-
пространстве. Последнюю систему иыберем так, чтобы до изменения
соответствующие оси обеих систем совпадали между собою.
В таком, случае после изменения каждые две оси обеих систем
Образуют друг с другом некоторые углы, косинусы которых мы
обозначим аъ рь ух, «2, р„, у2. а3, /53, у3, причем пусть буквы
<*> 0, У относятся к осям первой системы, а цифры 1, 2, 3 — к осям
^второй системы.
Положим, что до изменения тела какая-нибудь материальная

14 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
точка имеет координаты а, Ь, с относительно каждой из двух
систем. Зато после изменения та же материальная точка имеет
уже координаты х, у, z относительно первой системы, а относи-
относительно второй системы — прежние координаты а, Ь, с Поэтому
взаимоотношение между х, у, z и а, Ь, с такое же, как при
преобразовании координат какой-нибудь точки пространства
от одной системы координат к другой системе, характеризующейся
девятью заданными косинусами направления, или, согласно [/,C29)]:
X = ага + a2b + asc, "I
\ A1)
т. е. также частный случай уравнений D).
Если к вращению A1) присоединить еще поступательное пере-
перемещение с компонентами смещения Яо, ц0, v0, то мы получим
наиболее общее изменение, которому может подвергнуться не-
неизменяемое тело. Это изменение выражается уравнениями:
Х=Л0+а1а+а2Ь+а3с,
[ A2)
Но и это изменение также представляет собою частный случай
общего линейного изменения D), так как 12 постоянных, харак-
характеризующих его, не независимы друг от друга. Таким образом,
если поставить вопрос, при каких условиях линейное изменение D)
какого-нибудь тела не сопровождается деформациями последнего,
то ответ будет следующий: коэфициенты изменения Я, ц, v должны
удовлетворять тем соотношениям, которые существуют между
еоответствующими коэфициентами уравнений A2). На основании
[7, C31) и C32)] это всего шесть соотношений, из них три
соотношения вида:
*i2 + ^i2 + V=l и т. д., A3)
и три соотношения вида:
*ih + Hifc + v-Ръ = 0 и т. д. A4)
Б этих соотношениях содержится вместе с тем ряд других
соотношений, как например те шесть, которые можно получить
из A2) и A4) заменой букв Я, ц, v цифрами 1, 2, 3 [см. /, C33)
и C34)], далее соотношение [/, D91)]
D = 1 A5)
и девять соотношений [/, D92)] вида:
[*il = V » т. д. A6)

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
15
Поэтому в уравнениях E) для обратного изменения коэфи-
ииенты со штрихами заменяются коэфидиентами без штрихов.
§ 5.^ Возвратимся к общему случаю линейного изменений
и выведем некоторые свойства последнего. Прежде всего легко
показать, что все материальные точки, лежащие до изменения
в одной плоскости, находятся в одной плоскости также и после
изменения. Действительно, материальные точки (а, Ъ, с), лежащие
в одной плоскости, удовлетворяют линейному уравнению:
После изменения положение каждой из этих точек опреде-
определяется величинами х, у, г, которые заданы уравнениями D).
Поэтому, если а, Ь, с удовлетворяют уравнению A7), то х, у, г
удовлетворяют соотношению, которое получится, если исключить
а, Ь, с или, проще всего, подставить значения E) в A7). Полу-
Получится снова линейное уравнение. Следовательно, точки (х, у, z}
лежат также в одной плоскости.
Из закона сохранения плоскостей непосредственно следует
закон сохранения прямых, так как прямая определяется пересе-
пересечением двух плоскостей, а также закон сохранения порядка какой-
либо поверхности, так как порядок поверхности определяется
числом точек пересечения ее с прямой линией.
При линейном изменении сохраняется также параллелизм:
если бы две материальные плоскости, которые были параллельны
до изменения, сделались бы непараллельными после изменения,,
то линия пересечения их, не лежащая в бесконечности, состояла бы
из таких материальных точек (а, Ь, с), которые до изменения
лежали в бесконечности, для которых, следовательно, при конечных
величинах х, у, z, хотя бы некоторые из величин (а, Ь, с) были бы
бесконечными. Но это невозможно, на основании уравнений E).
Из сохранения плоскостей и сохранения параллелизма следует
также сохранение всех параллелепипедов. Но углы и объемы
йоследних могут изменяться. Вычислим изменение объема какого-
нибудь вырезанного из тела параллелепипеда, который может
быть задан четырьмя произвольно выбранными вершинами: аг,
Ь1г *!,..., ал, Ьл, с4. До изменения объем этого параллелепипеда:
а после изменения:
<h Ьг сг
flg 62 с2
а3 Ь3 Сз
а4 bt c4
A8)
хя
х8
A9)

16 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
где х, у, z связаны с величинами а, Ь, с, имеющими одинаковые
значки, при помощи уравнений D).
Зависимость между V и V" проще всего получить, если умно-
умножить определитель A8) на функциональный определитель G),
который можно написать в виде определителя четвертого по-
порядка:
hh
0 0 0 1
B0)
Согласно теореме умножения определителей, произведение
определителей A8) и B0) есть также определитель четвертого
порядка, отдельные члены которого получатся, если следующим
образом сопоставить между собою каждую строку первого опре-
определителя с каждой строкой второго определителя: члены обеих
строчек, стоящие на одинаковых местах, перемножаются, и произ-
произведения складываются. Таким образом первый член первой строки
произведения равен:
■второй член первой строки:
fliA«i + Va + Wz + 1 • V»,
-четвертый член первой строки:
аг • 0 + Ьг • 0 + сг ■ 0 + 1 • 1 и г. д.,
а весь определитель окажется, на основании D), тождественным
с определителем A9). Поэтому имеем:
V ■ D = V, B1)
причем все три величины V, V, D положительны.
Так как последнее соотношение не зависит от величины и
формы рассматриваемого параллелепипеда, и, значит, действи-
действительно также для бесконечно малых параллелепипедов, то уравне-
уравнение B1) можно обобщить непосредственно на всякий объем, вы-
вырезанный из тела. Мы получим такое правило: при линейном
изменении объемы всех частей тела изменяются в одинаковой
мере, причем отношение объема какой-либо части тела после изме-
изменения к объему ее до изменения равно функциональному опре-
определителю. В согласии с этим находится уравнение A5), по которому
при всяком изменении неизменяемого тела функциональный опре-
определитель равен единице.

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ 17
„Расширением" объема называется отношение изменения объе-
ма к первоначальному объему. Таким образом расширение при
линейном изменении равно:
1 L-=0 —1. B2)
V
Оно положительно или отрицательно, смотря по тому, происхо-
происходит ли растяжение или сжатие.
§ 6. Если подвергнуть какое-нибудь тело двум или нескольким
последовательным линейным изменениям, то в результате полу-
получится также линейное изменение. В этом легко убедиться, если
рассмотреть взаимоотношение между координатами какой-либо
материальной точки после совершения последнего изменения и
ее первоначальными координатами (а, Ь, с). Если точка после
первого изменения оказывается в месте (х, у, г), после второго
в месте (х', у', z') и т. д., после последнего изменения в месте (х*. y*,z*),
то соотношения между а, Ь, с и х*, у'1'. 2* получатся в результате
исключения промежуточных координат. Эти соотношения будут,
очевидно, также линейными уравнениями.
Обратно, каждое линейное изменение можно разложить на
несколько последовательно выполненных линейных изменений,
Причем порядок последних вообще, конечно, небезразличен. Вполне
естественно произвести это разложение таким обоазом, чтобы
характер отдельных изменений был возможно более простым и
физически наглядный. Тогда удалось бы свести общий случай D)
линейного изменения к некоторому числу более простых и легко
исследуемых изменений и вместе с тем выяснить физическое
значение постоянных изменения А. ц> v-
Первый шаг на этом пути состоит в том, что мы сводим изме-
измерение D) к такому изменению, при котором материальная точ-
точка а = 0, b = О, с — 0 сохраняет свое положение. Это легко сделать,
если сообщить телу поступательное перемещение с компо-
компонентами Я„, ^0, v0, и таким образом упомянутая точка придет в свое
конечное положение. Останется еще так называемое „однородное
изменение", общий вид которого:
A B3)
)
Последним мы и займемся подробнее.
Рассмотрим все те материальные точки, которые лежат до
изменения на поверхности шара, описанного из начала координат
как центра произвольным радиусом R, т. е. точки, для которых
а2 + й3 + с2 = R*. B4)
3 Введение в (соретическую физику

18 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
После изменения эти точки лежат, согласно § 5, на некоторой
поверхности второго порядка. Так как ни одна точка не смещается
в бесконечность, то эта поверхность есть эллипсоид с центром
в начале координат, в чем легко убедиться, если подставить в B4)
величины а, Ь, с, выраженные при помощи уравнений B3) через
х, у, г. Те материальные прямые, которые до изменения совпа-
совпадали с осями координат, после изменения не будут, вообще говоря,
перпендикулярными друг к другу. Однако можно утверждать, что
они и после изменения образуют тройку взаимно сопряженных
диаметров эллипса, т. е. что касательная к эллипсоиду плоскость,
проведенная через конец одного из диаметров, параллельна пло-
плоскости, проходящей через два другие диаметра: во-первых, три
координатные оси, как и всякие три взаимно перпендикулярные
прямые, представляют собою три взаимно сопряженные диаметра
шара, и, во-вторых, свойство образовать сопряженную тройку
принадлежит к тем свойствам, которые не изменяются при линей-
линейном изменении, так как при этом сохраняются и касательная
плоскость, и параллелизм.
Среди всех трех взаимно сопряженных диаметров эллипсоида
имеются три таких сопряженных диаметра, которые образуют
прямые углы: это — оси эллипсоида. Отсюда следует, что те три
материальные прямые, которые совпадают с осями эллипсоида
после изменения, перпендикулярны друг к другу также и до изме-
изменения, так как тогда они являются сопряженными диаметрами
шара. Другими словами: существуют три определенные материаль-
материальные прямые, которые перпендикулярны друг к другу как до изме-
изменения, так и после изменения.
С помощью этого правила можно всякое однородное
линейное изменение разложить на простое вращение
около начала координат, которое совершается таким образом, что
сообщает трем названным прямым новые направления, и, кроме
того, на некоторое линейное изменение, которое имеет то свойство,
что три взаимно перпендикулярные прямые сохраняют свое направ-
направление. Такое изменение мы назовем расширением по трем
взаимно перпендикулярным направлениям.
§ 7. Рассмотрим подробнее свойство расширения по трем
взаимно перпендикулярным направлениям. Поместим координат-
координатные оси по этим трем направлениям — так называемым „осям
расширения", и определим, какое упрощение получат при сделан-
сделанных допущениях общие уравнения B3) однородного линейного
изменения. Если направление оси ж остается неизменным, то
при Ь — 0 и с —0 должно быть также у = 0 и z = 0, и, стало
быть, /*!= О и vx = 0. Соответственные выражения получатся и
для двух других осей. Отсюда мы получи-м общее выражение для
расширения по трем координатным осям в виде уравнений:
2 = v8c. B5)

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ 19
Функциональный определитель, согласно G) и A0):
B6)
причем все три коэфициента положительны, так как оси коорди-
координат не изменяют своего направления на противоположное.
С другой стороны, оси координат представляют собою, по
крайней мере в общем случае, единственные направления, кото-
которые не подвергаются изменению. Дело в том, что материальные
точки, которые до изменения лежат на прямой с отношениями
между косинусами направления (угловыми коэфициентами)
а: р: у — а: b: с,
образуют после изменения прямую с отношениями косинусов
направления
x:y:z~ J^a-.nzP-.vtf.
Объемное расширение равно, на основании B2), выражению:
\. B7)
Можно получить также расширение прямой, если разделить изме-
изменение расстояния между двумя точками прямой на их первона-
первоначальное расстояние. Расширения по трем осям равны:
х~а-2 v У~Ь „ 1. z~c-■„ 1 (9я\
— Ai—I, --.—=1*я—1; — — '"а—1. (Ж)
а о с
Они называются обычно «главными расширениями". Их выраже-
выражения наглядно определяют физический смысл трех коэфициентов-
изменения.
В частном случае Ях = jua = vs все три главные расширения,
положительные или отрицательные, равны между собой, все пря-
прямые сохраняют свое направление, оси расширения становятся
неопределенными, и тело испытывает рсестороннее равномерное
растяжение или сжатие, причем все части его остаются подобными
самим себе.
§ 8. Мы вилели, что каждое линейное изменение можно раз-
разложить на поступательное перемещение, вращение и расширение
по трем взаимно перпендикулярным направлениям. В таком слу-
случае нам предстоит задача вывести в действительности эти три
отдельные операции для определенного изменения, заданного
уравнениями D), или, другими словами, по заданным коэфициен-
там A, {I, v вычислить соответственные отдельные изменения.
С этой целью убедимся прежде всего, что для вычисления всех
искомых величин имеется ровно столько же уравнений, сколько
есть неизвестных. Действительно, уравнения D) содержат 12 неза-
независимых постоянных Д, (i, v, которые мы рассматриваем как задан-
заданные. Ровно столько же нужно величин, характеризующих отдель-

20 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
ные изменения, а именно: три—для поступательного перемеще-
перемещения, три — для вращения и шесть — для расширения по трем
перпендикулярным направлениям, так как требуются три величины
для определения направления осей расширения и еще три вели-
величины для определения главных расширений.
Для компонентов поступательного перемещения получим, как
мы уже видели в § 6, просто величины Ль (л0, v0, после отделения
которых останутся уравнения B3) для однородного изменения.
Чтобы получить взаимоотношения между коэфициентами послед-
последнего и величинами, определяющими вращение и расширение,
положим, что тело сперва испытывает расширение по трем взаимно
перпендикулярным направлениям, а затем вращение около начала
координат, и вычислим полное изменение положения, которое
претерпевает при этом Ьпределеяная материальная точка (а, Ь. с).
Обозначим направления трех осей расширения, которые в общем
случае, конечно, не совпадают с осями координат, при помощи
косинусов направления аъ рх, yv а2, р2, у2, а3, /?3, у3, а постоянные
дилатации обозначим /0, т0, п0. так как буквы 1, (л, v и^еют другое
значение в уравнениях B3). Чтобы иметь возможность применить
здесь уравнение BЬ) для расширения, отнесем прежде всего мате-
материальную точку (а, Ь, с) к осям расширения как к координатным
осям. Координаты точки получат тогд-i значения:
B9)
Затем совершим расширение. Из уравнений B5) получим коор-
координаты рассматриваемой материальной точки относительно осей
расширения после изменения:
Г = he, Ч* = ЩЧ, Г = п£. C0)
Далее пусть последует вращение. Положим, что оси расшире"
ния перешли из направлений, обозначенных величинами а, /?, у,
в некоторые другие направления, которым соответствуют коси-
косинусы а/, &'. у/, а2', Д,', у8', а3', /у, у3'. Тогда координаты нашей
материальной точки относительно трех направлений (а1,Р', у') будут
после вращения равны g'. rf, £', так как положение точки относи-
относительно осей расширения не изменяется при вращении. Относи-
Относительно же первоначальной, неподвижной в пространстве системы
координат точка имеет координа i ы х, у, г, так как вместе с вра-
вращением завершается все изменение тела.
Поэтому мы имеем:
X = а/Г + а2у + а,'£ ]
C1)

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
21
Этими равенствами замыкается круг рассуждений, и коорди-
координаты х, у, г выражаются через координаты а, Ь, с. Для этого нужно
только выразить |', г/, £' через |, -ц, £ при помощи C0), а последние
величины выразить через а, Ь, с при помощи B9). Если проделать
это и полностью отождествить полученные три уравнения с
общими уравнениями B3) линейного однородного изменения, то
получим следующие девять соотношений:
Я2,
C2)
построение которых легко подметить. Из них получается при
заданных Я, ^, v девять содержащихся в них неизвестных-
§ 9. При производстве вычислений ограничимся частным слу-
случаем бесконечно малого линейного изменения. Этот
случай почти полностью осуществлен во многих явлениях, напри-
например, в твердых телах. Но он имеет известное значение и для конеч-
конечных изменений, так как конечное изменение всегда происходит
в течение конечного времени и поэтому состоит из ряда бесконечно
малых изменений, которые совершаются последовательно в те-
течение бесконечно малых промежутков времени.
Удобнее всего ввести упрощения, которые возможны при бес-
бесконечно малом изменении, если вместо* конечных координат х, у, z
материальной точки воспользоваться бесконечно малыми компо-
компонентами ее смещения C). Тогда уравнения изменения D) напи-
напишутся так:
м = Хо + U +2.2Ь
.«sc,
C3)
= г'о + vxa + vjb +
где для упрощения полагаем:
Ях— 1 = А, /га— 1 =■ /г, v,— 1 = ». C4)
Все 12 коэфициеитоз Я, ц, v в уравнениях C3) бесконечно малы.
С другой стороны, главные расширения B8), разумеется, также
бесконечно малы. Поэтому полагаем их значения:
1с—1 = 1, т0— 1 = т, п0— 1 = п. C5)

22 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
Кроме того косинусы направлений осей расширения a, /J, у,
которые, вообще говоря, конечны, претерпевают при вращении
лишь бесконечно малые изменения. Поэтому мы можем положить:
%' = «1 + <К. Pi = Pi + 4Pi и т. д.
Если Ъвести все эти подстановки в уравнения C2) и, кроме того,
принять во внимание общие соотношения {1, C33), C34)] между
косинусами направлений и соотношения [/, C35), C36)] между
их диференциалами, то девять уравнений C2) примут такой вид:
1а1уг
1ахвх
= Я,
— £ = Я2,
= Я3.
nasys — -q = vx
ly*
=v,
где g, «у, f представляют, согласно G, § 101), компоненты того
бесконечно малого вращения, которое перемещает оси расшире-
расширения из направлений (a, /S, у) в направления (а', /8', у'). Значения
их получаются непосредственно в виде:
2 ' ' 2 • 2
Величина и направление расширения выражаются шестью урав-
уравнениями:
/&2 +m{la2 +n/?s2 = /*,
+ ny3s =v,
C8)
lyxat
Воспользовавшись этими уравнениями и рассмотрев определи-
определитель D G), можно установить, состоит ли изменение, кроме посту-
поступательного перемещения, только из расширения по трем взаимно
аерпендикулярным направлениям или же сопровождается также

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ 23"
вращением. Если определитель симметричен, т. е. не изменяется
при взаимной замене строк и столбцов, то §, г\, £ все равны нулю,
и вращения нет. Следует иметь в виду, что только оси расширения
не поворачиваются. Другие же прямые, как мы видели в § 7, изме-
изменяют свое направление также и в случае чистого расширения тела.
Противоположный случай, когда изменение состоит только из
поступательного перемещения и вращения, характеризуется тем,
что главные расширения I, m, n обращаются в нуль. Тогда, по
C8) и C7):
и уравнения C3) для компонентов смещения переходят в уравнения:
C9)
= vo~
аналогичные общим выражениям [/, C48)] для смещений точек
абсолютно твердого тела.
Остается еще задача вычислить из уравнений C8) главные
расширения I, гп, п и косинусы направления (а, /9, у). Для этого
воспользуемся снова общими соотношениями между косинусами
направлений, на сей раз в форме [/, C31), C32)].
С помощью их получатся из уравнений C») следующие со-
соотношения:
D0)
Эти три уравнения линейны и однородны относительно с^, §х> ух.
Так как эти величины не могут все равняться нулю, то опреде-
определитель уравнения должен равняться нулю, т. е.
+ К
Яа
I
0.
D1)
Получилось кубическое уравнение для вычисления /. В коэфи-
цнентах этого уравнения цифра 1 ничем не выделяется по срав-

24 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
нению с другими. Отсюда следует, что этому же уравнению
удовлетворяют также другие главные расширения тип, или,
другими словами, что три корня этого уравнения представляют
собою величины /, т, п и потому всегда вещественны. Который
из корней обозначить через /, т или п, — это остается, конечно,
неопределенным. Можно, например, положить /:>т>-п, не огра-
ограничивая общности решения. Зная /, т, п, можно при помощи D0)
вычислить соответственные (а, 0, у). Знак последних, одинаковый
для всех, остается неопределенным.
Объемное расширение B2) для бесконечно малого изменения
можно вычислить, найдя функциональный огфеделнтель G) и при-
принимая во внимание C4). Если пренебречь бесконечно малыми
величинами высшего порядка, то получим величину объемного
расширения:
D—1=Я+^+^. D2)
Таким образом в выражение объемной дилатации входят только
диагональные члены определителя. Тот же результат можно,
конечно, получить, если иметь в виду, что для объемного рас-
расширения вращение не принимается во внимание, и на основа-
основании B7) и C5)
D — 1= /сто"о— 1= 1 + т + п. D3)
Эта величина представляет собою сумму корней кубического
относительно / уравнения D1), т. е. равна коэфициенту при F
в этом уравнении:
l + m + n = X+p + v, D4)
что можно получить и непосредственно, если сложить первые
три уравнения C8).
§ 10. Разложение линейного изменения на поступательное пере-
перемещение, вращение и расширение по трем перпендикулярным
направлениям не единственно возможное, но оно имеет преиму-
преимущество благодаря споему простому физическому значению. Вместо
него можно пгоизвесги также другие сравнигельно проаые раз-
разложения. Так, например, бесконечно малое однородное изменение
и ■--= Ы + 1гЪ + 1с, 1
v-^fact + fib +ц3с,/ D5;
w — v1a+ t'2b + vc j
можно рассматривать как произведенное расширением по трек
координатным осям, с главными расширениями Я, /.i, v, и кроме

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ 25
того еще шестью изменениями, которые могут быть представлены
уравнениями:
и = Л26, v = О, w — 0, и = А3с, v = 0, w = 0 и т. д.
Порядок совершения этих изменений безразличен, так как пере-
перемена этого пор 'дка вызывает только р.мзличия з величинах мень-
меньшего порядка [ср. 7,A01)]. Каждое из этих шести изменений
имеет простое значение: так, например, в перном из них смеще-
смещения ни зависят от сиси гее происходят s направлении оси х, т. е.
каждая плоскость параллельная плоскости xz. совершает простое
поступи" е.чьное перемещение, она смещается как целое, без пово-
поворота и без деформации в направлении сси х, причем только
величина смещения меняется при переходе от олн.й плоскости
к друг й. Такое изменение напоминает скользящее движение
двух половинок ножниц. Оно называется „срезом" или „сдвигом".
Отсюда следует правило, что каждое бескон< чно малое однород-
однородное изменение может быть разложено на расширение по трем
координатным осям и шесть сдвигов плоскостей, параллельных
координатным плоскост м, по направлению осей.
Несмотря на простую форму, это правило имеет вообще
довольно сложное физическое значение. Возьмем, например, бес-
бесконечно малое вращение и = — £6, v = Jg, w = 0 как частный слу-
случай общего смещении C9). Согласно последнему правилу, эю
смещение пришлось бы рассматривать как произведенное двумя
последовательными сдвигами, т. е. г.зл.енениями, которые связаны
с дефср^ащпми тела. Введение последних ссвершенно излишне,
так как они, понятно, взаим) о уничтожаются.
§ II. Рассмотренный в последних параграфах случай линейного
изменения представляет интерес не только ьак простой частный
случай, он имеет также важное значение для самого общего слу-
случая произвольного конечного изменения. К рассмотре-
рассмотрению последнего мы теперь и перейдем, возвратившись к уравне-
уравнениям B). Это значение линейного изменения основ но на том,
что всякую произвольную функцию можно рассма ривать как
линейную функцию внутри бесконечно малой области ее пере-
переменных.
Обратим внимание на некоторую материальную точку Ро с коор-
координатами а0, Ьо, с0. Под влиянием изменения точка займет поло-
положение х0, у0. z0, при".ем, по B),
*о =-• / К Ьо, с0,), У о ^ Ч' К. Ьо, с0), z0 = р (а0, Ьо, с0). D6)
Другая точка Р, лежащая в непосредственной близости от точки
Ро и имеющая координаты
а = а0 + а', Ъ- Ьо + V, с- сй + С. D7)
займет после изменения положение:
х --- х0 f х', у =■ Уп + у', z •= z0 + z'. D8 V

.i6 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА.
Полагая, что а', Ь', с'* бесконечно малы, разложением в ряд
Тейлора, по B) и D6) получим:
dc)
Q
*-■=("} a' , (dZ) b' + (dz\c.
-' \dbjo \dcjo
\да!0 \дьH \дсH
dz\
\
Давая величинам а', Ь', с' всевозможное бесконечно малые
значения, полу шм iз этих уравнений изменение той бесконечно
малой части тела, которая окружает точку Ро. Таким образом
это изменение можно рассматривать как состоящее из конечного
■посту;;гтельного перемещения с компонентами:
хо — со --=- »«. Уо — fy> ^ v0. zc — с0 --= щ,
которое переводит точку Р из положения {а, Ъ. с) в положение
а + щ = хо + a', b + v0 = у0 + b', c + w0 = z0 +c\
л из конечного линейного однородного изменения D9; с точкой Ро
в качестве неподвижного начала, причем последнее изменение
переводит точку Р с координатами (а', Ь', с') в положение (х\ У, z').
Обозначим для сокращения дев>;г> коэфицкектог. изменения D9):
dx\ . (dx\ . fdx\ . ]
i- (^)
i /d^\ /dz\
E0)
■ ii
Тогда мы формально получим уравнения B3) и можем выска-
высказать вге те следствия, которые выпели раньше из нях.
Таким образом при любом изменении тела каждая бесконечно
малая часть его или кажды i „элемент тела" изменяется линейно,
н отличие от прежде рассмотренного линей'!',го изменения тела
состоит лишь в том, что коэфициенгы изм нения (А. /и. v) при-
принимают разные значения от элемента к элементу. Из вытекаю-
вытекающих отсюда нравчл упомянем важнейшие.
Бесконечно малые параллелен не ■ и сохраняются даже при
самом общем изменении, но углы их могут получить любые дру-
другие значения. То то так«ке сохраняется порядок всякой беско-
вечно малой поверхности. Так, например, бесконечно малый шар
превращается в эллипсоид, а центр которого переходит центр
шара. Отсюда вытекает одно своеобразное на первый взгляд

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
27
E1)
(следствие: поверхность тела всегда состоит после изменения
цз тех же самых материальных точек, что и до изменения. Действи-
Действительно, каждую точку, ко гор я до изменения не лежит на поверх-
поверхности, можно рассматривать как центр шара, который весь лежит
Цнутри тела, поэтому его центр и остается внутри. То же с-мое
относится, конечно, и к обратному изменению, и таким образом
следствие является доказанным.
Объемное расширение определяется, как и в B2), при помощ"
функциоиаль ого определителя G):
dx dx dx j
da db
ay dy
~ da db
dz dz
da db
{Значок О мы будем отныне опускать для упрощения письма.)
При этом ве ;ич ;на D представ гяег собой отношение объема
содержащего материальную точку элемента тела после изменения
jcобъему того же элемента тела до изменен я.
Если разрешить ypai-.неиня D9) относительно а', Ь', с', то мы
ЙОлуч^м для последних ,;инейные выражения с коэфициен-
тами (Л', ц', v'), значения которых, на основании F), равны:
[ах 1 dy dz dy dz
_ дЛ
D
л
D
db дс
D
dcdb
и
т. д.
E2)
Однако, с другой стороны, можно сперва разрешить уравне-
уравнения B) относительно а. Ь, с, а затем уже произвести подстановки
D7) и D8) и разложение в ряд Тейлора. Таким путем получим,
Шналогично D9):
dx '
дх
да da
dyy dz
db , db ,
dy dz
дс
d: ,A dc z,
ax dy dz
Где коэфициенты должны совпадать с U', ц\ ■*'). Отсюда иолу-
Чаются следующие формулы пробразования:
дх Г dy
da да \ da
D ' dv D
да
дх
(S3)

28
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
При помощи последних можно выразить производные по не-
независимым переменным х, у, z в зависимости от производных
по независимым переменным а, Ь, с.
Аналогичные уравнения выражают, очевидно, также обратный
переход от х, у, z к независимым переменным а, Ь, с. Функцио-
Функциональный определитель такого преобразования:
D'-
да да да
дх ду dz
db db_ db
дх ду dz
дс дс дс
дх ду dz
да db дс
дх дх дх
да db дс
ду ду ду
да db д£
dz dz dz
E4)
представляет отношение, в котором изменяется объем элемента
тела, если материальная точка переходит из положения х, у, г
в положение а, Ь, с. Так как оба перехода взаимно уничтожаются, то
DD'=l. E5)
Это соотношение можно получить непосредственно, если при-
приложить теооему об умножении определителей (§ 5) к определи-
определителям E1) и E4) во второй форме и принять во внимание, что
dx da , dx db dx dc dx ,
da dx db dx ' dc dx dx
dx da , dx db , dx dc dx _
— 1- -j ■ — --= -- - 0 и т. д.
da ду db dy dc dy ду
E6)
Кроме объемного расширения £> —1 элемента тела особенно
важны его вращение и расширение. И то и другое можно полу-
получить из уравнений C2), если воспользоваться значениями E0) для
девяти коэфициентов А, ц, v.
§ 12. Мы произведем вычисление только для частного случая
произвольного бесконечно малого изменения. Пусть
это изменение характеризуется составляющими смещения C).
которые заданы в виде произвольных бесконечно малых функций
от а, Ь, с. В таком случае для элемента тела, заключающего в себе
точку (о0, Ьо, с0), действительны все правила § 9. В частности,
вращение задано уравнениями C7), расширение—уравнениями C8)

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
причем бесконечно малые коэфициенты (Я, у,, v) имеют следующие
значения, согласно E0), C) и C4):
ди^
dv\
даH'
dw\
dbH
dv
J;
E7)
Если ввести компоненты смещения и, v, w, то буквы х, у, г
в их прежнем значении становятся излишними, так как вместо
них можно писать а + и, b + v, с -f- w. Поэтому часто пишут
(х, у, z) вместо (а, Ъ, с), а йоследних букв вовсе не употребляют.
Но если даже оставить все прежние обозначения, то при беско-
бесконечно малых изменениях можно без заметной ошибки заменить
во всех производных переменные (а, Ь, с) переменными (х, у, z).
Так, например,
ди _ ди дх ди ду
да дх да ду да
или, по C)
ди ди/, , ди\ ди dv
ду да
ди duf.d
—• = —■ I I -j—
да дх \ dj
ди
dz
ди
dz '
. dz
' da
dw
Ta~
ди
дх
до бесконечно малых высшего порядка. То же самое относится
и к остальным производным.
Если опустить повсюду значок 0, то компоненты вращения
равны, по C7) и E7):
1 (ди дк>
1 (dv ди
dv\
2\ду dz)'
Для вычисления расширения введем сокращенные обозначения:
ди
— лх> I Уцу х_ — *г>
F0)
dw
-г-
ду
« *• 1~ ^~ Уу Т 2г>
dx ду dz
dv du , dw dv , ди
dz дх
дх ду
причем, очевидно,
Уе= 2у» %х %е> %у Уж-
ТОГДа объемное расширение, по D2) и E7), равно:
дх ду dz
F0а)
F1)

30 «БЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
Далее, главные расширения равны, по E7), корням уравнения
D1) третьей степени относительно I:
1
2 x
1
хк
2 *
У.-1
\у.
z, z.— j
= 0.
F2)
Направления соответствующих осей расширения можно полу-
получить яа основании DJ) и E7) при помощи двух из уравнений'.
У* а
2
У=0,
У=0,
F3)
причем общий знак косинусов направлений а, /?, у остается не-
неопределенным.
Обратно, если даны главные расширения /, т, п и направле-
направления соответствующих осей расширения (а, /5, у), то компоненты
расширения получаются однозначно из C8):
+na8
3,.
F4)
§ 18. Все эти соотношения встречаются не только в теории
деформируемых тел. В измененном значении они играют сущест-
существенную роль и для других отделов физики. В векторном исчис-
исчислении они имеют особые названия и обозначаются сокращенными
символами. Так, например, вектор, который получается из вектора
смещения q с компонентами и, v, w таким образом, что скобки
в уравнениях E9) представляют собою составляющие нового век-
вектора, носит название йротора" (rot или curl), или „вихря" вектора q,
и потому для обозначения вектора вращения о с компонен-
компонентами g, у, С пишут вместо трех уравнений E9) одно уравнение:
о = - rot q.
F5)
Формальное неизящество формулы, состоящее в том, что вра-
вращение равно не целому ротору, а половине его, приходится
принять уже заодно с принятым обозначением, но оно вообще
мало заметно, так как операция rot применяется, главным обра-

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ 31
зом, не в механике, а в электродинамике, где о вращениях шет
речи.
Далее, ту скалярную величину, которая получается из вектора
q при помощи операции F1), называют „дивергенцией" (div), илк
„расхождением", а объемное расширение обозначают
div q. F6)
В этой формуле, как и в предыдущей, исключена всякая за-
зависимость от какой-либо системы координат.
Наконец, что касается расширения по трем взаимно перпен-
перпендикулярным направлениям, то его нельзя охарактеризовать как
вектор при помощи одной направленной величины. Она предста-
представляет собой частный случай величины более высокого порядка,
называемой „тензором", в данном случае тензором второго ранга,
причем вектор рассматривается как тензор первого ранга. Тен-
Тензор обозначнется при помощи шести независимых друг от друга
величин: либо при помощи трех „главных значений" I, m, n в связи
с тремя соответственными взаимно перпендикулярными „глав-
„главными осями" (а1( . . ., 73), причем оба противоположных направле-
направления какой-либо оси совершенно равнозначны, либо же при помощк
шести „компонентов" хл, уу, г3, - уе, гх, - ху. Ввиду соотношений
£ £ £
F0а), тензор называется симметричным. Межлу главными значе-
значениями, направлениями главных осей и компонентами существуют
соотношения F2), F3) и F4). Если в частном случае три главных
значения I, га, п равны между собою (равномерное расширение), то
*;= уу= zs= i = гп = и,
и направления главных осей совершенно неопределенны.
Дальнейшие свойства симметричного тензора будут рассмот-
рассмотрены позднее (§ 20).
ГЛАВА ВТОРАЯ
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ
. § 14. Теперь, после чисто кинематических соображений,,
обратимся к динамике, т. е. к исследованию сил, которые вызы-
вызывают деформацию тела. Сперва поставим вопрос об условиях
равновесия.
Возьмем какое-нибудь тело, которое находится в деформиро-
деформированном состоянии под воздействием некоторых сил, например,

32 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
согнутый стержень, скрученную проволоку, сжатый газ. Силы
действующие на тело, мы разделим на два класса:
7. Силы, которые действуют на все, в том числе и внутренние
части тела—„массовые силы". Мы полагаем, что эти силы, подобно,
например, тяжести, пропорциональны элементам массы тела.
Если их = dx ■ dy ■ йг обозначает объем, к — плотность элемента
массы, то составляющие массовой силы, действующей на эле-
элемент, равны (ср. 1, § 31):
Xkdr, Ykdr, Zkdr. F7)
Величины X, Y, Z считаются конечными.
2. Силы, которые действуют на поверхность телт,—„поверх-
телт,—„поверхностные силы". Назовем частное,. равное результирующей силе,
действующей на участок поверхности тела о, разделенной на
площадь поверхности о, „средним давлением" на о. Если участок
поверхности сожмется в элемент поверхности do, то это частное
мы назовем просто „давлением" на da и будем рассматривать его
как конечную величину. Так как для do существенно не только
место, но и направление, то для обозначения составляющих по-
поверхностной силы, действующей на do, мы прибавим к буквам
X, Y, Z значок v, указывающий на нормаль к da, направленную
внутрь тела. Тогда составляющие поверхностной силы, действую-
действующей на элемент поверхности, равны:
X,da, Yrdo, Zvdo. F8)
Направление этой поверхностной силы может составлять лю-
любой угол с нормалью v. Если оба направления совпадают, то
поверхностная сила производит сжатие тела, подобно действию
давления на газ. Если направления противоположны, то поверх-
поверхностная сила производит растяжение, подобно силе, действующей
на натянутую проволоку. Если направления перпендикулярны, то
поверхностная сила производит сдвиг, как при кручении или
при трении.
Давление — равнодействующая трех составляющих давления
А,, К„, Z, — имеет, конечно, размерность частного от деления
силы на поверхность, т. е. [га/ /~2] (/,'§ 9).
§ 16. Все законы равновесия деформиро-
деформированного тела содержатся в одной теореме
общей механики G, § 112): если система
точек находится в равновесии, то
внешние силы уравновешиваются,
как если бы система отвердела.
Плодотворность этой теоремы выражается
Черт. 1. в том. ч'о можно любую часть тела росма-
росматривать как систему точек. Представим с-бе,
например, что тело разделено на две части — / и 2 (черт. 1) —
некоторой воображаемой поверхностью о. Остановим наше внима-

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ 33
ние на части 1. Мы можем полагать, что эта часть тела твердая
я находится в равновесии под воздействием внешних сил, при-
приложенных к ней. Но к внешним силам относятся, на основании
/, § 112, не только массовые силы и силы, действующие на дей-
действительную поверхность тела, но также и те силы, которыми
часть тела 2 действует на воображаемую поверхность а. Эти силы
определяются следующим образом: если бы совершенно была
удалена часть тела 2, то их необходимо было бы приложить для
того, чтобы не было нарушено равновесие.
На каждый элемент do поверхности части тела 1 действует
поверхностная сила с компонентами F8), согласно с принятым
нами обозначением. Таким образом можно положить, что и внутри
какого-нибудь тела в каждой точке действуют некоторые силы
давления. Однако величина их зависит не только от места, но и
от направления элемента поверхности do или, иначе, его нормали v.
Если обратить направление v, т. е. рассматривать часть тела 2 как
систему точек, то вместо F8) появится поверхностная сила, с ко-
которой часть 1 действует на часть 2 на элементе поверхности da.
На основании принципа равенства действия и противодействия
эта сила противоположна предыдущей. Поэтому имеем вообще
Л_= — Х„, У_„ =— У„, Z-r^-—Zr. F9)
Чтобы убедиться, насколько различные значения принимает
давление в одном и том же месте в зависимости от направления
</о, рассмотрим в качестве
примера цилиндрический
стер жень, растягиваемый ^
в длину двумя разными
противоположными силами
(черт. 2). Проведем мыслен- Черт. 2.
но горизонтальную плос-
плоскость через внутреннюю точку Р и будем рассматривать лежащую
над плоскостью часть стержня как систему точек. В таком случае
на элемент поверхности в точке Р действует давление нуль, так
как равновесие совершенно не было бы нарушено, если бы была
удалена вся нижняя часть стержня. Если же через ту же точку Р про-
провести вертикальную плоскость и рассматривать в качестве системы
точек часть стержня, лежащую слева от плоскости, то на элемент
плоскости в Р действует более или менее значительное давление,
так как равновесие системы точек было бы нарушено, если бы
мы удалили всю правую часть стержня, не приложив при этом
особой силы.
Общий закон, согласно которому величина и направление
Давления в определенной точке Р зависят от направления нормали
к элементу поверхности, проходящему через Р, будет выведен
в § 17 из динамических соотношений.
3 Вкдепге ■ теоретическую фвмиу
:Р

34 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
§ 16. Мы привели законы равновесия деформированного тела
к законам общей механики, а теперь проделаем то же для более
общего случая движения деформированного тела. Это можно
проще всего сделать, применив принцип д'Аламбера, согласно
которому при всяком движении системы материальных точек
внешние силы и сопротивления инерции находятся в равновесии
в каждый момент,—так, как если бы система была твердой G, § 130).
Так как сопротивление инерции элемента массы, равное
dt* dt* dt*
пропорционально массе элемента, то оно принадлежит к числу
массовых сил^ и все различие между динамикой и статикой де-
деформированного тела состоит только в том, что к компонентам
X, Y, Z сил, отнесенных к единице массы F7), прибавляются
компоненты ускорения с обратным знаком.
Применим теперь шесть уравнений [7, C06а)], выражающих
условия равновесия твердого тела, к рассматриваемому случаю
и воспользуемся введенными выше обозначениями. Тогда для
движения деформированного тела получатся следующие шесть
уравнений:
ЯХ
— \
dtzj
kdr
[
J
x, do = 0 и т. д.
G1)
и т.д., G2)
где dr обозначает элемент объема, do — элемент поверхности
любой выделенной части тела, а интегрирование распространяется
на эту часть тела. Разумеется, эти уравне-
уравнения действительны и для всего тела.
Уравнения G1) и G2) представляют со-
совершенно исчерпывающим образом взаимо-
взаимоотношения между силами и ускорениями.
В следующих параграфах мы лишь под-
подробнее исследуем их содержание.
§ 17. Сперва применим уравнения G1)
к бесконечно малому элементу тела, распо-
расположенному где-либо внутри последнего.
Форму элемента выберем следующим обра-
образом. Через произвольную точку Р проведем
ТРИ пРямые, параллельные положительным
направлениям координатных осей (черт. 3),
б бй Р Н
Черг. з.
р (р )
и пересечем их плоскостью, бесконечно близкой к Р. На чертеже
плоскость изображена впереди точки Р. Образуется тетраэдр.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ 36
в вершине которого Р пересекаются три взаимно перпендику-
перпендикулярные ребра. Обозначим площадь грани, противолежащей вер-
вершине Р, через do, нормаль к этой грани, направленную внутрь
тетраэдра, через v, и площади трех остальных граней—dox, doy, йоя
соответственно нормалям. Последние грани представляют собою
проекции da на три координатные плоскости. Поэтому имеют место
следующие соотношения:
dox = — da cos (vx), doy=—do cos (vy), do, = —- tf <r cos (vz), G3)
так как площади всех граней положительны, а нормаль v обра-
образует тупые углы с положительными направлениями всех коорди-
координатных осей.
В уравнении G1) объемный интеграл сводится для данного
случая к одному члену, который содержит объем тетраэдра it
в качестве множителя, а поверхностный интеграл равен сумме
четырех членов, каждый из которых соответствует одной из
граней тетраэдра и пропорционален площади ее. Так как йг —
бесконечно малая величина третьего порядка, а все площади do —
второго порядка, то объемный интеграл исчезает по сравнению
с каждым из членов поверхностного интеграла, и уравнение G1)
переходит в:
Xxdox+Xydoy+Xzdoa+X, da = O.
При этом нужно иметь в виду, что внутренние нормали к
граням тетраэдра суть прямые х, у, z, v. Отсюда, в связи с G3),
получим:
X, =ХХ cos (vx) +X9 cos (vy) +Xe cos (vz), )
подобным образом из двух других уравнений G1): I ,„ .
yr = yx cos (vx) + Yy cos (vy) +Ye cos (vz), I K '
ZP =ZX cos (vx) +Zy cos (vy) -fZ, cos (vz). )
Эти уравнения дают для каждой точки Р тела зависимость
величины и направления действующего в ней давления (Хр, Yr, Z,)
от направления нормали к элементу поверхности, на который
действует давление (ср. конец § 15). То обстоятельство, что йа
проходит не через самую точку Р, а лежит от нее на бесконечно
близком расстоянии, не оказывает влияния на конечные величины
составляющих давления.
Таким образом давление определенб для любого направле-
направления v, если известны девять компонентов давления X,,..., Zr .
Если v совпадает с направлением одной из координатных осей,
то уравнения выполняются тождественно. Они удовлетворяют
также всегда требованиям F9), та"к как косинусы изменяют знай,
если направление vизменяется на обратное.
Из девяти компонентов давления, соответствующих коорди-
координатным плоскостям dox, dab, do2, „диагональные" компоненты

36 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
Хх, Yy, Z., представляют такие давления, которые нормальны к
их поверхности. При этом положительный знак обозначает да-
давление сжатия, как у газа, независимо от выбранного направле-
направления координат, а отрицательный знак — натяжение, как у растя-
растянутой проволоки (ср. § 19): при обращении направления коорди-
координатных осей изменяется как знак компонента поверхностной силы,
так и знак внутренней нормали. Конечно, все три нормальные
давления не должны обязательно быть одного знака.
Остальные шесть компонентов давления суть тангенциальные
или срезывающие давления, которые называются также сдви-
сдвигающими напряжениями, подобно тем, которые имеют место при
кручении и при трении.
В заключение следует напомнить, что все вышеприведенные
соображения относятся к бесконечно малому элементу тела и
что величины компонентов давления изменяются при переходе
от одного элемента к другому. Поэтому девять компонентов
давления Хх,..., Zz нужно рассматривать вообще как функции
места (х, у, z).
§ 18. Чтобы использовать динамические уравнения G1) и G2)
для дальнейших заключений, выведем сперва одну математиче-
математическую теорему, которая еще не раз окажется нам полезной в даль-
дальнейшем. Она касается преобразования некоторого объемного инте-
интеграла в поверхностный интеграл. Пусть <р обозначает однозначную
непрерывную функцию пространственных координат х, у, z, и
требуется вычислить интеграл
1
^йг, G5)
дх
взятый по некоторому объему. На черт. 4 этот объем изображен,
ради большей общности, так, что поверхность его, глядя снаружи,
вогнута в некото-
некоторых местах. По-
Поверхность могла
бы также состоять
из нескольких со-
совсем разделенных
частей, что не по-
повлияло бы на пра-
правильность выво-
выводимых положе
НИИ.
церт 4. ПОЛОЖИМ dt
— dx- dy ■ dz и бу-
будем интегрировать сперва по х, полагая у и z, а также dy и о:
иостоянными, т. е. будем производить суммирование по элементам
объема, бесконечно тонкого цилиндра, параллельно оси х, с попе-
поперечным сечением dy • dz.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ 37
Если цилиндр пересекает наружную поверхность области
интегрирования в нескольких точках 1, 2, 3, 4, то он разделяется
на несколько отдельных цилиндров, и интеграл по всему цилин-
цилиндру равен сумме интегралов по отдельным цилиндрам, т. е.
в нашем случае
dy dz (g>2— g>i + 3>4 — 9з)- G6)
Обозначим площади элементов поверхности, которые выре-
вырезываются цилиндром из наружной поверхности области интегри-
интегрирования, через do^ doz, do3, doir их внутренние нормали—через
Vj, Vg, v3, v4. Тогда
tydz=.dox cos(vxx) =—d(r2cos(v2x)=d<r3cos(v3x)=—d<r4cos (v4x), G7)
и интеграл по цилиндру будет равняться:
—- <рг cos (VjX) dox — 9>2 cos (v2x) do2— q>3 cos (v8x) do3 — <pi cos (v4x) йал.
Соответственные выражения относятся к каждому из беско-
бесконечно многих бесконечно тонких цилиндров, параллельных оси х,
на которые можно мыслейно разбить всю область интегрирования,
и сумма всех этих выражений, т. е. искомый интеграл, может
быть написана в таком виде:
Г ^ dx = — (V cos (vx) da.
G8)
Интеграл распределен по всем элементам do наружной по-
поверхности области интегрирования.
Положим, для примера, что <p=const. Тогда получим тождество:
cos (vx)do = 0.
В том, что это тождество имеет место при всякой форме
поверхности, легко убедиться непосредственно, если уяснить себе
содержание этого уравнения с помощью соотношения G7).
Теперь выведем еще несколько общих и частных применений
выведенной формулы, которые пригодятся нам впоследствии.
Обозначим через у> другую однозначную непрерывную функ-
функцию. Возьмем равенство:
д(<р • ф) dtp д<р
а> г ф ■
дх дх дх
и проинтегрируем его по некоторому объему. Согласно G8),
в левой части получится поверхностный интеграл, а в правой
части—два объемных интеграла. Тогда можно написать:
I ор — dr -=.-: — \ <pw cos (vx) do— I w 9 дх. G9)
J дх J J их
Это соотношение выражает правило интегрирования по ча-
частям в применении к области трех измерений.

38 ОВЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
Чисто встречается такое приложение равенства G9):
Kd<j> dw d<jp dtp d<p dw\
\ -) ) ОТ -
дх дх ду ду dz dz!
-- — If P cos(rx) + * cos(vy)+ ф cos {vz)\ij>da —
J V.dx dx dz I
С
J
или, по [/, A20a)] и [1, A29)]:
С /dip dtp dp dii> dip d:p\ , Г dg> . Г
II.. j _j . j (Jf ;— - _ I yy ДП I )/• .
J \dx dx dy ду dz dz J J dv J
В частном случае, при у? - <г-, получается:
(80:,
и при ф — const:
А<р- dr -~- — \ *йа.
dv
(82)
§ 19. Возьмем теперь снова динамические уравнения G1) з
применении к произвольной части тела. В первых из этих урав-
уравнений заменим Х„, выражением G4). Поверхностный интеграл
иожно написать, согласно G8), в виде объемного интеграла, так
как, например,
Ххcos(vx) dr
Хг.
-*■ dr.
дх
Последний интеграл соединим с первым интегралом в G1) в
один объемный интеграл. Если взять бесконечно малую часть
тела, объема dr, то объемный интеграл сведется к единственном)
члену. Сократив на dr, получим:
К1
Нодобным же образом
dts,
дХ, dX,,
dx dy
dx dy
dZr dZ,t
dx dv
dz
dY:
dz
dZ.
•-0.
0,
dz
= 0.
(83.
Эти уравнения имеют место для каждой точки тели
Особенностью их является то, что в них входят не самые ком-
компоненты давления, а их пространственные производные.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ 39
Таким образом равномерное давление, как бы оно ни было
велико, никогда но может вызвать движения. Последнее обусло-
обусловливается всегда пространственной изменчивостью давления, или
„падением давления". В этом отношении физическое значение
давления напоминает значение потенциала (ср. /, § 39 и ел.).
Подобным же образом- можно превратить поверхностный
интеграл в объемный интеграл в динамических уравнениях G2;
цо образцу преобразования:
yZr cos (vx) dcr = — Г d(yZx) их,
J дх
к тем же путем получим из первого уравнения G2):
[y{z~de;""'
- * (yZ, — zYj~ d4yZ,—2К„)— d (vZ. — zK.) = О,
dx ду " dz ' '
Или, исключив массовые силы при помощи (83) и выполнив ди-
ференци рован ие:
Zv = Y:.
Подобным же образом,
XS = ZX и Y, -Хг,. (84)
Следовательно, тангенциальные компоненты давления попарно
равны друг другу, и девять компонентов давления Хх,.... Zz
сводятся в общем случае к шести.
Уравнения (83) и (84) физически совершенно эквивалентны
уравнениям G1) и G2), так как, проинтегрировав (83) и (84) по
Некоторой части тела, можно снова получить G1) и G2). В даль-
дальнейшем они послужат основой всех наших исследований над
проблемами равновесия и движения.
§ 20. Соотношениями (84) значительно упрощаются законы
Давления G4). Теперь мы подробнее изучим эти законы. Прежде
всего поставим такой вопрос: если даны любые шесть компо-
компонентов давления Хх,..., Z5, то имеются ли такие элементы по-
поверхности, к которым давление перпендикулярно, т. е. такие, для
Которых направление давления совпадает с направлением нор-
нормали? Условия для этого следующие:
Xv = pcos(vx), Y. = pcos(vy), Z, =pcos(vz),
где р обозначает величину давления. Подставив эти выражения
в G4), получим:
(Хг — р) cos (vx) 4- Ху cos (vy) 4- Хо cos (vz) = 0,
Г. cos (vx) + (Y, — p) cos (vy) 4- Ya cos (vz) = 0, (85)
Zr cos (vx) 4- Zv cos (vy) 4- (Z, — p) cos (vz) = 0.

40 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНО ПРОТЯЖЕННОГО ТЕЛА
Эти уравнения совершенно одинаковы с уравнениями D0) или
F3), кроме обозначений и того обстоятельства, что в них речь
идет только о конечных величинах. Поэтому они приводят к
одинаковым результатам, которые можно выразить в виде сле-
следующих правил.
Распределение давления в каком-либо элементе тела всегда
может быть представлено при помощи симметричного тен-
тензора,— тензора давления и натяжения. Компоненты его суть
шесть компонентов давления, а главные значения представляют
собою так называемые „главные давления" р, q, r, которые рав-
равны корням кубического уравнения вида F2). Главные оси тензора
суть нормали к тем элементам поверхности, на которые давле-
давление действует перпендикулярно. Эти оси представляют собою
вместе с тем направления соответствующих главных давлений.
Распределение давления целиком определяется величинами к
направлениями главных давлений или же шестью компонентами
давления по отношению к какой-либо системе координат, при
помощи уравнений вида F4). Если в частном случае три главные
давления равны друг другу (что всегда бывает в совершенно
упругой жидкости, § 44), то нормальные давления Хх = Yy =■
= Zz — р = q— г; тангенциальные давления Ху = Y. = Zx = 0, и на-
направления главных осей неопределенны.
Чтобы составить себе наглядное представление о взаимоотно-
взаимоотношении, в общем случае, между направлением давления (X, ,Y,,ZV)
и направлением нормали v к элементу поверхности, на который
действует давление, построим мысленно следующую идеальную
поверхность второго порядка (эллипсоид или гиперболоид):
Хд2 4- Y,f- 4- Z:Z* 4- 2Yyz+ 2Z,.zx + 2X,pcy -~- + l, (86)
где знак правой части нужно выбрать так, чтобы геометрические
операции, которые мы произведем, получились вещественными.
Относительно этой поверхности можно доказать следующую
теорему: направление нормали к поверхности в конце диаметра,
имеющего направление v, дает направление давления, действую-
действующего на элемент поверхности, перпендикулярный к v.
Именно, обозначим уравнение поверхности: /(х, у, z)^ 0.
Тогда
df : V : df (87)
дх ду dz v
суть отношения косинусов направления (угловые коэфициенты)
нормали в точке (х, у, z) поверхности. Если эта точка лежит на
диаметре, имеющем направление v, то
х: у: z cos (vx): cos (vy): cos (vz).

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ 41
С помощью этих величин отношения (87) становятся равными
если воспользоваться выражением (86) и принять во внимание
уравнения G4).
Согласно выясненному нами физическому значению поверх-
поверхности (86), форма и положение ее не зависят от выбора системы
координат. Оси поверхности суть, очевидно, главные оси давле-
давления. При p — q = r поверхность обращается в шар.
Можно вообще утверждать, что при переходе от координат
х, у, z к каким-либо другим прямоугольным прямолинейным
координатам х', /, z' выражение (86) остается инвариантным, так-
как уравнение, которое получится вместо (86), если написать
в нем %', у, z1 вместо х, у, г и в то же время Х'х-,.. ,,Z'~' вместо
XX,...,Z:, представляет ту же самую поверхность. Взаимоотно-
Взаимоотношение между компонентами давления со штрихами Хх'-,... и
компонентами давления без штрихов Ххг... должно быть та-
таково, чтобы при замене компонентов и координат со штрихами
соответственными величинами без штрихов снова получилось
уравнение (86). Это правило содержит законы преобразования
компонентов давления от одной системы координат к любой
другой.
Понятно, что все выведенные здесь соотношения годны не
только для тензора давления, но и для тензора деформации, и
вообще для каждого симметричного тензора второго ранга. Но
физическое значение их совершенно различно и неодинаково
важно в разных случаях. При помощи симметричного тензора
можно представить также момент инерции какого-нибудь тела
(Л § 142) относительно различных осей, проходящих через одну
точку. Главные значения такого тензора (главные моменты
инерции) всегда положительны. Поверхность (86) представляет
собою эллипсоид инерции. Здесь, как нередко и в других слу-
случаях, можно сделать интересное наблюдение, что природа, как
бы неимоверно разнообразны ни казались ее явления с первого
взгляда, применяет одни и те же средства в совершенно разных
областях. Если бы этого не было, то человеческому разуму, кото-
который большей частью работает с помощью уподоблений и за-
заключений по аналогии, было бы, конечно, труднее напасть на
след ее законов'.
Прежде чем перейти к плодотворным приложениям динами-
динамических уравнений (83), нам необходимо ознакомиться с соотно-
соотношениями, которые существуют между давлением и деформацией.
Вопрос об этих соотношениях с неизбежностью приводит к
вопросу о материале изучаемого тела. Вопроса этого мы пока
еще не рассматривали, и о нем будет в первую очередь итти
речь в ближайших параграфах.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
§ 81. Как мы видели в первой части, для однозначной фор-
формулировки законов движения деформируемых тел нам остается
только узнать взаимоотношения между тензором деформации и
тензором давления. Чтобы установить это взаимоотношение,
введем прежде всего гипотезу, которой мы будем все время при-
придерживаться в дальнейшем: что давление всегда и повсюду за-
зависит исключительно только от деформации в данный момент
я в данном месте, — и обратно. Это допущение вовсе не всегда
выполняется в природе: строго говоря, все твердые тела про-
проявляют в большей или меньшей степени зависимость деформа-
деформации не только от мгновенных сил, но и от той обработки, кото-
которой они подвергались ранее, а также от температуры, которая
может вообще изменяться совершенно независимо от давления
и деформации. Но если и поскольку тело удовлетворяет введен-
введенной нами гипотезе, мы называем его „совершенно упругим*.
Совершенно упругое тело должно, конечно, удовлетворять и
такому условию: тело, которое в течение некоторого времени
подвергалось каким-либо деформирующим силам, должно после
прекращения этих сил перейти в то же самое состояние равно-
равновесия, которое оно занимало до приложения этих сил. Ибо ну-
нулевому давлению должна однозначно соответствовать нулевая
деформация. Поэтому, если тело обнаруживает явление упругого
последействия, т. е. после прекращения деформирующих сил
лишь постепенно возвращается к первоначальному состоянию
равновесия, то такое тело не является совершенно упругим.
Зато самая величина деформации, вызванной определенным дав-
давлением, не играет никакой роли в вопросе о совершенной упру-
упругости. В этом отношении научная терминология несколько рас-
расходится с житейским словоупотреблением, так как в обыденной
жизни понятие о выдающейся упругости связано с понятием о
значительной деформируемости, и, например, резина считается
в этом смысле более упругой, чем стекло. Напротив в научном
иоиимании стекло более упруго, чем резина, так как далеко не
в такой степени обнаруживает свойство упругого последействия.

ТВЕРДЫЕ ТЕЛА. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 43
Опыт показывает, что всякое тело можно рассматривать как
«овершенно упругое, если деформация его не превосходит опре-
определенной величины, которая называется „пределом совершенной
упругости". Поэтому наши дальнейшие исследования относятся
ко в^ем телам, но только к таким деформациям, которые на-
настолько малы, что лежат в пределах упругости. Чтобы
упростить математическую разработку, мы допустим, что дефор-
деформации бесконечно малы.
§ 22. Тело, в котором все направления физически равно-
равнозначны, называется „изотропным", а тело, в котором какие-либо
направления физически отличаются от других, называется „ани-
„анизотропным". Для изотропных тел взаимоотношение между де-
деформацией и давлением получается сразу: так как давление пол-
полностью определено деформацией, то при всякой деформации
главные оси тензора давления должны совпадать с главными
осями тензора деформации. Для анизотропных тел этого заклю-
заключения вывести нельзя, так как здесь играют роль определенные
преимущественные направления тела. Но так как мы желаем
распространить наши дальнейшие соображения также и на кри-
кристаллы, т. е, на тела анизотропные, то мы должны выбрать более
общий путь.
Тензор деформации характеризуется шестью компонентами
хх, х„, ... (§ 12), а тензор давления — шестью компонентами
Хт, Xv, ... (§ 19). Последние величины суть определенные функ-
функции первых величин. Так как компоненты деформации бесконечно
малы, то можно при разложении в ряд Тейлора остановиться на
первых членах. В результате получится, что компоненты давле-
давления суть линейные функции компонентов деформации, и при-
притом, можно добавить, однородные функции, так как мы отсчи-
отсчитываем деформации от того состояния, которое соответствует
нулевому давлению, т. е. от „естественного" состояния тела.
Тогда компоненты давления обращаются в нуль одновременно с
компонентами деформации. Следовательно, общее выражение
для зависимости давления от деформации может быть написано
» виде шести уравнений:
В этик уравнениях 36 постоянных с. определяются материаль-
материальными свойствами тела. Значки при постоянных составляются по
такому правилу: цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 сопоставлены по порядку
е компонентами деформации х^ ут zz, уг, zx, xv и с компонен-
компонентами давления Хх, Ye, Zt, Ye, Zx, Xv. Если подставить выражения
{88) в уравнения движения (83). то получатся общие законы
Движения.

44 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Остается еще вопрос, являются ли постоянные а совершенно
независимыми друг от друга или же между ними существуют
определенные соотношения, введение которых упростило бы урав-
уравнения (88). Непосредственно очевидно, что при существовании
симметрии какого-либо рода в кристалле число постоянных
становится меньше 36 и выражения (88) сводятся к более про-
простым частным случаям. Но пока мы еще оставим общий случай
совершенно несимметричного кристалла и подчиним его условию,
которого мы до сих пор еще не вводили, но о котором мы
знаем, что оно постоянно выполняется в природе. Это условие —
закон сохранения энергии. Мы увидим, что введение этого за-
закона имеет следствием общее значительное упрощение системы
уравнений (88).
§ 23. Согласно принципу сохранения энергии [/, C93)], изме-
изменение полной энергии L + U материальной системы, происшед-
происшедшее в течение элемента времени dt, равно работе, совершенной
за это время над системой внешними силами:
A (89)
Это равенство мы применим к рассматриваемому случаю. При
этом, как и в § 15, мы выделим произвольную часть всего тела
и будем рассматривать ее как материальную систему.
Первая часть энергии, живая сила L, равна сумме живых
сил всех элементов массы кйт рассматриваемой части тела. Сле-
Следовательно,
где и, v, w—компоненты смещения материальной точки из ее
естественного положения, а интегрирование распространяется
на рассматриваемую часть тела.
О второй части энергии, потенциальной энергии U, мы знаем,
что она складывается из потенциальных энергий отдельных эле-
элементов массы и поэтому выражается в виде:
(91)
где функция F, потенциальная энергия единицы объема, зависит
ввиду совершенной упругости тел, только от состояния дефор-
деформации соответствующего элемента объема, т. е. от шести компо-
компонентов деформации хх, уи, ... Так как речь идет всегда только
об изменениях потенциальной энергии, а не об ее абсолютном
значении, то мы можем, не ограничивая общности задачи, поло-
положить для естественного, недеформированного состояния тела F— 0.
Наконец, что касается работы внешних сил, то последняя
состоит, по § 14, из работы массовых сил, которые действуют
на все элементы рассматриваемой части тела, и, кроме того, и:1

ТВЕРДЫЕ ТЕЛА. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
45
работы сил давления, которые действуют извне на точки - поверх-
поверхности рассматриваемой части тела. Стало быть:
А = \ (Xdu + Ydv + Zdw) kdx + [{Xvdu + Yvdv +Zrdw) do, (92)
где первый интеграл берется по объему, а второй интеграл — по
поверхности части тела.
Теперь, чтобы осуществить требование (89) принципа сохра-
сохранения энергии, составим прежде всего выражение для dL. Так
%&к масса kdr не зависит от времени, то мы можем непосред-
непосредственно вывести из (90):
dL
К
du+ " ' dv + "" dw )kdx,
dtz dt2 dp J
или, если подставить значения компонентов ускорения из урав-
уравнений движения (83):
dL = \ (Xdu -;- Ydv + Zdw) kdr-
- ft
V dx
0y
dz <
\ dx ' dy dz J j.
/ dZr dZ.
\ dx dy
(93)
oz j j
Если теперь воспользоваться формулой преобразования G9)
применив ее к каждому из девяти объемных интегралов, на ко-
которые распадается второй объемный интеграл, то мы получим,
принимая во внимание G4):
dL ■-■ \ (Xdu + Ydv -г Zdw) kdx f
1
+ dx
дйи
■' \
dx dy
ddw ddw
dx dy
do(Xvdu + Yvdv +
ddu „ ddu
. +A.
' dy ' dz
dz
ddw
dz
(94)
Если подставить это выражение для dL в уравнение энергии
(89), то последнее значительно упрощается, так как член, зави-

46 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
сящий от работы внешних сил А и. выражающийся формулой
(92), сокращается с равным ему членом в левой части. Тогда в
уравнении энергии останется только потенциальная энергия <Ш
и второй объемный интеграл из (94). Последний можно еще
более упростить. Прежде всего, нужно принять во внимание, что
в выражениях и т. д. знак d относится к диференцирова-
нию по пространственным координатам, а знак d—к диферен-
цированию по времени, и поэтому оба действия совершенно не-
независимы друг от друга. Отсюда имеем:
дйи , ди \дйи . ди
дх дх ду ду
Если, далее, воспользоваться соотношениями (84) и сокращен-
сокращенными обозначениями F0), то уравнение энергии представится
окончательно в таком виде:
dU + j (XJxx+ Yudyy + Zadzz + Yzdy, + Zxdzx + Zvdxy) dt = 0. («51
Здесь можно, согласно (91), написать для изменения потен-
потенциальной энергии:
dU
= Г dF ■ dr. (96)
Строго говоря, следовало бы добавить сюда еще один член,
который зависит от временного изменения величины элемента
объема dx, а именно член j Fd(dr), где первое d соответствует
диференцированию по времени, а второе d—диференцирова-
нию по объему. Но этим членом нужно пренебречь на том осно-
основании, что при бесконечно малых деформациях временные изме-
изменения элемента объема, даже для конечных промежутков времени,
бесконечно малы по сравнению с величиной элемента объема,
между тем как временные изменения потенциальной энергии F
того же порядка величины, как и величина этой энергии.
Если воспользоваться (96), то можно написать выражение (95)
в виде одного объемного интеграла, взятого по объему рассма-
рассматриваемой части тела. Если взять часть тела бесконечно малую.
в виде одного элемента объема . dr, то можно отбросить знак
интеграла, и мы получим для каждого отдельного элемента
тела:
— dF = Xxdxx + Yydyy + Zzdzz + Vzdy, + Z,dz, +X,dxr
С другой стороны, так как F зависит от шести компонентой
деформации, то мы имеем:
._. dF . , dF . , dF . , dF . , dF . dF л
dF= rfx,+ dyy+ dzs+-—dy,+ </2,-f rfx,,
dx, ду, dz, dyz dzx d.x, ^

ТВЕРДЫЕ ТЕЛА. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
и так как компоненты деформации и их изменения не завесят
друг от друга, то вообще:
х =—д~, v=-dF, z, = -dF,
7 . V
dF
дх.,
Это значит, что компоненты тензора давления равны
взятым с обратным знаком производным единствен-
единственной функции компонентов деформации по этим
компонентам, совершенно подобно тому, как при центральных
силах компоненты какой-нибудь силы равны.взятым с обратным
знаком производным единственной функции координат, — потен-
потенциала,— по этим координатам [7,A07)]. Поэтому потенциальную
энергию единицы объема F называют также упругим потен-
потенциалом (потенциалом упругих сил).
Согласно (88), упругий потенциал [есть квадратичная функ-
функция компонентов деформации и, кроме того, функция однородная,
так как, согласно сделанному нами выше допущению, не только
линейные члены, но также и абсолютный член обращаются
в нуль.
§ 24. Согласно полученным нами результатам, общее выра-
выражение упругого потенциала имеет вид:
"ее
f98>
Отсюда получаются, по (97), шесть компонентов давления
в виде линейных однородных функций от компонентов деформа-
деформации, совершенно так, как в (88), с тем лишь различием, что
теперь й12 = о21 и т. д. Другими словами: существование упру-
упругого потенциала равнозначно условию, чтобы в постоянных
Упругости a.j значки i и / можно было переставлять один на
место другого. Отсюда получается значительное упрощение об-
Щей теории, рассмотренной в § 22: упругое состояние тела эе-

48 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
висит уже не от 36, а от 21 постоянной. Об этих постоянных
можно заранее высказать еще одно определенное суждение, не
входя в рассмотрение частных свойств тела: постоянные удовле-
удовлетворяют условию, чтобы потенциал F был положительным при
всех обстоятельствах. Дело в том, что упругий потенциал есть
потенциальная энергия деформации, а последняя, при переходе
тела из деформированного состояния в естественное, т. е. при
переходе потенциала от значения F к значению нуль, обра-
обращается в кинетическую, т. е. положительную, энергию, откуда
неизбежно следует, что она сама должна быть положительной.
Это рассуждение представляет собою приложение общего закона,
что устойчивому состоянию равновесия всегда соответствует
минимум потенциальной энергии (/, § 105). Так как естественное,
недеформированное состояние тела представляет собою устойчи-
устойчивое состояние равновесия, то потенциальная энергия в каждом
деформированном состоянии больше, чем в естественном состоя-
состоянии, т. е. больше нуля.
Отсюда можно дальше заключить, что все шесть постоянных,
аи> °22> • • •» °бв) положительны. Если бы, например, аи было от-
отрицательно, то достаточно было бы положить, что хх не равно
нулю, а все остальные компоненты деформации равны нулю, и
получился бы отрицательный потенциал. Но и остальные постоян-
постоянные а должны удовлетворять некоторым неравенствам, которых
мы здесь формулировать не будем.
§ 25. На практике обычно приходится по данным внешним
силам давления определять произведенное ими изменение тела.
Тогда прежде всего возникает важный вопрос об однознач-
однозначности решения этой задачи, т. е. вопрос, соответствует ли
данным внешним силам давления вполне определенное изменение
тела, или же уравнениям задачи удовлетворяют несколько раз-
различных изменений. Исследованием этого вопроса мы и займемся.
При этом ограничимся случаем равновесия.
Положим, что нам даны давления, действующие извне на по-
поверхность тела, Ху, Yr, Zp, а также массовь:е силы X, Y, Z. До-
Допустим, кроме того, что найдены три функции и, v, w, завися-
зависящие от х, у, z, такие, которые можно рассматривать как смеще-
смещения точек тела х, у, z и которые удовлетворяют всем условиям
равновесия, т. е. уравнениям (83) внутри тела:
XkrJXx ^дХ, ^дХ^
дх ду dz '
Yk----- ' ! - •" f ;
дх ду dz
Zk - .' ь v"v |-
дх ду dz
(99)
dZt

ТВЁРДЫЕ ТЕЛА. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЙ 49
# уравнениям G4) на поверхности. Во всех этих уравнениях
нужно подставить вместо компонентов давления Хх,... те зна-
значения, которые получаются из выражений для смещений и, v, w>
если сперва составить, по F0), соответствующие им компоненты
деформации, а затем, по (97), компоненты давления.
Положим далее, что существуют еще три другие функции и', v', w'
от х, у, г, отличные от предыдущих и также удовлетворяющие
условиям равновесия. В таком случае уравнения (99) и G4) действи-
действительны также и для тех компонентов давления XJ, Ху',.... которые
получаются, если вычислить компоненты деформации xj, уу', ...,
по F0), из и', v', w' вместо и, v, w и подставить эти значения в (97).
Рассмотрим теперь функции
щ—W—и, vo = v' — v, wo=w' — w, A00)
зависящие от х, у, z, и исследуем то изменение тела, которое
они представляют собою, если рассматривать их как компоненты
смещения. Прежде всего отсюда получатся, по F0), компоненты
деформации:
хх=хх хх, ху^ = ху -Ху,..., A01)
затем, по (97), компоненты давления:
*«. = *«'-*«. ** = X'-X,,... A02)
С другой стороны, если вычесть уравнения (99) для компонентов
давления без штрихов из таких же уравнений (99) для компо-
компонентов давления со штрихами и принять во внимание, что дан-
данные массовые силы, X, Y, Z, одинаковы в обеих системах урав-
уравнений, то получится:
,At«4«s.,. A03)
дх ду dz
Наконец, для поверхности тела, вычтя уравнения G4) без
штрихов из уравнений со штрихами, получим:
0 = ХГщ cos (ух) + Ху> cos (yy) + Xr< cos (yz), ... A04)
так как заданные поверхностные давления Xv, Yv, Zv всякий раз
одинаковы.
Здесь могло бы возникнуть сомнение в том, можно ли при таком
вычислении считать одинаковыми косинусы направлений в обеих
системах уравнений, так как форма поверхности тела ведь различна
при обоих изменениях. Однако легко убедиться, что допущенная
таким образом ошибка — меньшего порядка величины. Дело
в том, что косинусы направления нормали к элементу поверхно-
поверхности конечны, поэтому их значения отклоняются при каком-нибудь
бесконечно малом изменении тела лишь на бесконечно малую
величину от тех значений, которые они имели при естественном
состоянии тела, между тем как компоненты давления Хх, ... отли-
отличаются при обоих изменениях на такие величины, которые за-
Метаы по сравнению со значениями самих компонентов давления.
* вое|»«ие » теоретическую физику

SO БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Уравнения A03) и A04) имеют очень наглядное физическое
истолкование. Они выражают условия для такого изменения
Щ, v0, w0, при котором внешние силы не действуют ни на эле-
элементы массы, ни на поверхность тела. Таким образом поста-
поставленный выше вопрос об однозначности решения для и, v, w,
при заданных внешних силах, сводится к более простому вопросу,
возможно ли при отсутствии всякого внешнего воздействия такое
изменение тела и0, v0, w0, которое было бы отлично от нуля.
Ответ на эгот вопрос можно найти при помощи следующего
рассуждения. Если умножить три уравнения A03) соответственно
на «0, v0, Wo, сложить между собой, умножить на элемент объема
их и проинтегрировать по объему всего тела, то получится урав-
уравнение с девятью объемными интегралами, каждый из которых
можно преобразовать, на основании G9), следующим образом:
Г щ дХх' dr = - Г A Xx,dx _ Г и«Хх. cos (юг) da.
J ax J ax J
Поэтому уравнение преобразуется, принимая во внимание
A04), в следующее:
Yz, y\ + ZXbzXa + Xy,xy>) dx = 0,
или же, если подставить значения составляющих давления из (97)
Fodx = 0,
I
где Fo обозначает выражение (98), если подставить значок нуль
при всех компонентах деформации. Но Fo всегда положительно
и равно нулю только в предельном случае, когда энергия дефор-
деформации обращается в нуль. Значит, из последнего уравнения сле-
следует, что Fo обращается в нуль для каждого элемента объема,
а отсюда вытекает, что каждая из составляющих деформации хх„,
xv,T... равна нулю. Другими словами: если на тело не действуют
никакие внешние силы, то деформация обязательно равна нулю.
Остается еще вопрос, обращается ли при этом в нуль также
изменение щ, v0, w0. Для ответа нужно исследовать, обязательно
ли обращаются в нуль комп'оненты смещения и0, v0, w0, ес:и
равны нулю шесть компонентов деформации:
<Ч 0 дЪL+e».eOp
дх dz ду
dvo^ 0 div0 u awo^0
йу ' ах dz
dw0 з 0 дц, , dv0 _ 0
^z dv дх
A05)

51
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЙ
Как легко видеть, это вовсе не так. Можно даже получить
uo> vo> wo как общие решения диференциальных уравнений A05)
следующим образом. Для и0 существуют три условия:
ди0= д^и0= djuo
дх dyQz dz*
из которых два последние получаются диференцироваиием
ди,у diin
уравнений, содержащих —" и —-.
ди dz
Поэтому и0 имеет вид:
и0 —-1 -j- А2у + Л3г 4- X'yz. 1
Подобным же образом 1
wo=v -{-VjX + v^y + v'xy, J
Причем двенадцать коэфициентов А, ц, v постоянны. Далее, на
рсновании A05):
Аг + A'z + /<х + ju'z =- 0.
Отсюда
/•■'-О,
Ввиду этих шести условий, выражения A06) становятся со-
совершенно одинаковыми с выражениями C9) для самого общего
бесконечно малого изменения, которому тело может подверг-
подвергнуться, не претерпевая деформации, т. е. для поступательного
перемещения и.вращения. Это очевидно, и этот результат можно
было предвидеть заранее. Мы можем поэтому высказать следующее
положение: хотя внешние силы, действующие на внутренность
и поверхность тела, не определяют однозначно компонентов сме-
смещения и, v, w, однако изменения тела, представляемые различ-
различными решениями задачи, отличаются друг от друга только по-
поступательными перемещениями и вращениями всего тела и по-
поэтому все соответствуют одинаковой деформации. В этом смысле
можно сказать, что задача равновесия однозначно разрешается
выведенными уравнениями. Впоследствии, при рассмотрении по-
подобных задач мы будем произвольно выбирать те шесть постоян-
постоянных, которые остаются неопределенными, так как они больше
не представляют для нас интереса.

52 бесконечно малые деформации
§ 26. Тела симметричной структуры. Кристаллические системы.
Чтобы удобнее обозреть 21 постоянную, от которых зависят
упругие свойства кристалла, расположим их в виде следующей
схемы:
A07)
Значения отдельных постоянных о зависят вообще не только
от состояния кристалла, но также и от выбора системы
координат, а именно от расположения координатных осей отно-
относительно направлений, которые играют особую роль в структуре
кристалла. Это следует непосредственно из того соображения,
что значение упругого потенциала F, т. е. упругой энергии, ни
в каком случае не может зависеть от выбора координат. Если
преобразовать какую-нибудь деформацию хх, ху,... к другой
координатной системе х', у', г' и обозначить новые компоненты
деформации при помощи штриха сверху, то, по (98):
«12 «13
C23 «2j
«38
«14
«24
«34
«44
«15
«25
«35
«45
«55
«16
«2в
а*в
«46
«66
«66
Далее, если выразить компоненты деформации со штрихами
через компоненты без штрихов и приравнять друг другу со-
соответственные члены в обеих частях тождества, то получатся
соотношения между постоянными со штрихами и без штрихов,
которые соответствуют соотношениям между координатами двух
систем. В общем случае постоянные со штрихами d все или
частью отличаются от постоянных без штрихов а.
Если кристалл обладает таким частным свойством, что при
определенном изменении системы координат все а' равны соот-
соответствующим а, т. е. если постоянные а инвариантны относи-
относительно преобразования координат, то говорят, что кристаллу
свойственен определенный род симметрии. Если существует не-
несколько таких изменений координат, то говорят о высшей сим-
симметрии кристалла.
Каждый род условий симметрии можно выразить не только
на основании инвариантности постоянных упругости а, но и дру-
другим способом: система координат остается первоначальная, зато
сам кристалл подвергается такому изменению, чтобы он распо-
расположился по отношению к системе координат таким же образом,
как он был бы расположен по отношению к системе координат
со значками при первом способе рассмотрения, когда он пред-
предполагался неподвижным. Существование симметрии проявляется

ТВВРДЫЕ ТВЛА. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 53
тогда в том, что кристалл и после изменения обладает теми же
свойствами по всем направлениям, как и до него, или же, как
говорят, что кристалл приведен к совмещению с самим собою.
Оба вида определения симметрии, очевидно, вполне эквивалентны
и представляют собою лишь разные формулировки одного и того же
обстоятельства. Для наших целей удобнее первая формулировка,
условие инвариантности а при преобразовании координат. Им мы
и будем пользоваться в дальнейшем.
Кристаллы разделяются соответственно степени симметрии,
проявляемой ими, на различные классы. Согласно сказанному
выше, принцип этого подразделения не является заранее устано-
установленным, однозначно определенным на основании дедукции, а по-
подобно всякому определению понятия, до известной степени произ-
произволен и выводится лишь из соображений целесообразности. Мы
воспользуемся здесь простым давно применяемым разделением на
шесть кристаллических систем. В качестве преобразования коор-
координат, удобнее всего применить вращение координатной системы.
Если все постоянные упругости а какого-нибудь кристалла
инвариантны по отношению к повороту координатной системы
вокруг одной из осей координат на угол - I или если кри-
п \
сталл приводится к совпадению с самим собою при повороте
2п\
на угол —1 , то эта ось называется „осью симметрии л-го
п I
порядка".
Очевидно, что ось симметрии не есть определенная прямая,
а лишь определенное направление, так как все параллельные
прямые совершенно равнозначны.
Существование оси симметрии первого порядка вовсе не
является действительным условием симметрии, так как позорот
координатной системы на угол 2л не изменяет ее. Кристаллы,
обладающие только осями симметрии первого порядка, образуют
последнюю, шестую, или асимметричную (триклиниче-
(триклиническую) систему. К ним принадлежит, например, сернокислая мель.
Ее упругие свойства определяются 21 постоянной, представлен-
представленными в виде схемы A07).
Если кристалл обладает только одной осью симметрии вторрго
порядка, то он принадлежит к пя < о i или м оное и м м е т р я ч-
ной (моноклинической) сист« ml-, как, например, слюда или
сода. Чтобы установить условия для vupyrnx свойств кристалла этой
системы, мы поставим, прежде всего общий вопрос о зависимости
между постоянными упругости со штрихами и постоянными упру-
упругости без штрихов а, при повороте системы координат на угол
2ж
"г-=л вокруг оси г.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
В этом случае получится:
х' =—х, у'=-—у, z'--=z.
Соответственным образом,
и' ----- — и, v' = — v, w' ~ xv,
и, по F0),
/ '
с
Y ' — у
■у у'
У z /i»
Если подставить эти значения в тождество A08), то получится,
что из 21 постоянной а' 13 постоянных равны соответствующим
постоянным а без штрихов, между тем как
Б>
Й34 С31» #35 — Й35> Й46 — °46» Й56 ~" *W
Эти соотношения верны вообще для всякого кристалла. Если же
ось z есть ось симметрии второго порядка, то все величины а
инвариантны, и поэтому те из них, которые меняют свой знак
при преобразовании, должны равняться нулю. Отсюда следует,
по A07), такая схема упругих постоянных кристаллов моносим-
моносимметрической системы:
8
«23
'hi
0
0
.0
0
0
0
aVi
к
«20
aaf.
0
а
(Д09)
Если, кроме оси z, имеется еще одна ось симметрии второго
порядка, например ось х, то мы получим четвертую или ромби-
ромбическую систему, к представителям которой относятся калийная
селитра, арагонит, топаз. Подобно вышеприведенному способу,
можно получить, что этой системе соответствует такая схема:
ап о12 с13 0 0 0
«22 ^З 0 0 0
о83 0 0 0
cS80
A10)
Из построения этой схемы видно, что в данном случае и третья
координатная ось, т. е. ось у, есть также ось симметрии-второго
порядка.
От ромбической системы мы перейдем к третьей или тетраго-
тетрагональной (квадратной) системе (например цирконий), если
введем дальнейшее условие, что одна из координатных осей,

ТВЕРДЫЕ ТЕЛА. ОБЩИЕ ПОЛОЖЯНИЯ 55
например ось г, есть ось симметрии четвертого порядка. Повороту
на угол " - вокруг оси z соответствуют формулы преобразования:
х' = у, у' = — х, / = z,
и' = v, V = — и, W = w,
у Г -. „Г у, .у * __ у
Отсюда получим на основании A08) общие соотношения для
девяти постоянных тетрагональной системы:
а ' = а а ' = а а ' = а
«41 == «55' «55 ~ '^44' ^60 ^^ «66-
Если , все постоянные а со штрихами должны при этом рав-
равняться соответственным постоянным без штрихов, то
Поэтому, согласно (98), упругий потенциал тетрагонального
кристалла равен:
2 х у апх^ «13 х у, гг ^
"^ 2 с Т2 "' ' х у ' 2 * "
Существование оси симметрии третьего, а также шестого
порядка определяет вторую или гексагональную систему,
представителями которой являются многие кристаллы, как напри-
например натровая селитра, известковый шпат, графит, турмалин, лед.
Наконец, первая или правильная система получится из тет-
тетрагональной системы, если положить, что и вторая ось, а поэтому
$акже и третья ось суть оси симметрии четвертого порядка.
Выражение для упругого потенциала правильного кристалла полу-
получится, согласно A11), в виде:
«1
A12)
f = ~и (х* + у,;-
Упругий потенциал зависит в этом случае только от трех
постоянных. К правильной системе принадлежат каменная соль,
Плавиковый шпат, алмаз.
§ 27. Изотропные тела. Для того чтобы тело было изотропно
Упругим, т. е. чтобы оно вовсе не имело преимущественных на-
направлений, необходимо и достаточно, чтобы все его постоянные
Упругости были инвариантны по отношению ко всякому измене-
вию координатной системы, или, что сводится К тому же, что бы

56 БВСКОНВЧИО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
при всяком повороте оно приводилось к совпадению с самим
собою. Чтобы установить вытекающие отсюда условия для зна-
значений постоянных упругости, проще всего отнести деформацию
к главным расширениям и к направлениям главных осей расшире-
расширения. Иначе говоря, мы выразим, при помощи уравнений F4),
шесть компонентов деформации хда y!Jt... в зависимости от трех
главных расширений, /, т, п, и девяти косинусов направле-
направлений, Oj..., ya и эти величины подставим в выражение упругого
потенциала A12). В изотропном теле последний должен полностью
определяться величинами /, т, п, каковы бы ни были значения
косинусов направления, причем он, очевидно, представляет одно-
однородную симметричную квадратичную функцию от I, т, п.
Смысл этого требования удобнее всего уяснить, если рассмо-
рассмотреть все однородные симметричные квадратичные .функции
от /, т, п. Имеются всего две такие функции, независимые друг
от друга, а именно:
/а + ш3 + л»,
1т + тп -f- гЛ.
К этим двум функциям приводятся все другие. Так, например:
(/ + т + лK = (/2 + mz + п2) + 2 (lm + mn + nl). A13)
Отсюда следует, что упругий потенциал изотропного тела
обладает только двумя независимыми друг от друга постоянными
и, значит, имеет вид:
F = 2 (I + га + пУ + ii (Р + т* + л"), A14)
причем Я и (I положительны.
Теперь, чтобы выразить F через составляющие деформации
хк, ху,..., примем во внимание, что /, га, п суть корни уравне-
уравнения третьей степени F2). Поэтому
/+m + n = x/+ys + zs, A15)
как коэфициент при Is, а
lm+mn + nl = (yyzc + % + xj,) — 1- (у,2 + г,8 + хД A16)
как коэфициент при / в упомянутом уравнении. Отсюда следует,
согласно A13):
1
т* + лг =-- х,2 + у
[в этом можно убедиться и непосредственно при помощи F4)]-
Согласно A14)
Р = -2 (*. + У, + **)г + /*U* + V + 2>2 + ^'-=Ь^±5^. A17)
Если подставить еще, для сокращения, объемное расширение
+ z,=*a, A18)

сестояния равновесия твердых тел 57
то, на основании (97), мы получим следующие выражения для
компонентов давления изотропного упругого тела в зависимости
от компонентов деформации:
Уд = —lo-2wy, Zx = ~iizx, | A19)
Zz = — Я о — 2/iZ,, Xy = — mx, J
Эти уравнения представляют собою то необходимое дополне-
дополнение к общим уравнениям движения, о котором мы говорили
в начале первой главы, в § 21.
ГЛАВА ВТОРАЯ
СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 28. Прежде всего займемся приложениями изложенной тео-
теории к статическим задачам о твердых телах. При этом мы
ограничимся для простоты изотропными телами. Так как массо-
массовые силы, вроде тяжести, играют лишь незначительную роль
в деформациях твердых тел, то мы положим их равными нулю.
Тогда условия равновесия (99), относящиеся к внутренности тела,
примут более простой вид:
dX^rdXu f dX-'=0,... A20)
dx dy dz
а условия для поверхности тела G4) останутся неизменными:
Ху = Хх cos (ух) + Ху cos (vy) + Xz cos (vz),... A21)
Каждое смещение и, v, w представляет собою возможное
в природе состояние равновесия. Соответствующие компоненты
деформации х^, x,j,... вычисляются по F0) и приводят на основа-
основании A19) к выражениям для компонентов давления Хя, Ху,...,
которые удовлетворяют уравнениям A20). При этом деформация
соответствует тем силам, действующим на поверхность тела,
которые представлены компонентами давления Xv, Yv, Zv, в урав-
уравнениях A21).
Здесь имеет важное значение доказанное в § 25 положение,
что деформация однозначно определяется внешними силами.
Поэтому, если мы нашли каким бы то ни было способом реше-
решение условий равновесия, то мы можем быть уверены, что это
единственное решение, соответствующее данным внешним силам
давления. Обычно в природе задача бывает поставлена таким
образом, что заданы внешние силы, а по ним требуется найти
произведенную ими деформацию. Но так как уравнения имеют
очень сложный вид, то задачу невозможно разрешить, отыскивая
сперва общее решение диференциальных уравнений A20), а затем

58 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
вычисляя входящие в него произвольные постоянные на основа-
основании предельных условий A21). Обычно исходят из предельных
условий A21) и пытаются подобрать такое частное решение
уравнений A20), которое удовлетворяло бы предельным условиям.
Если попытка удается, то считается, что решение задачи найдено.
Этим методом мы будем обычно пользоваться в дальнейшем.
§ 29. Рассмотрим прежде всего всестороннее равномерное,
так называемое кубическое сжатие тела произвольной фор-
формы. На поверхность тела действует, всюду в направлении нор-
нормали, данное равномерное давление р. Поэтому
Xv = pcos (vx), Yv — p cos (vy), Zv = p cos (vz). A22)
Таким образом даны компоненты внешнего давления. Оче-
Очевидно, мы удовлетворим предельным условиям A21), если поло-
положим, что на поверхности тела повсюду
J A23)
Далее, предположим, что эти шесть уравнений представляют
компоненты давления не только на поверхности., но и повсюду
внутри тела. Тогда будут удовлетворены также уравнения A20).
Затем мы получим из A19):
р ^ _ ясг— 2ух„... у, - 0,..., A24)
откуда сложением первых трех уравнений получается:
Зр = — ЗЯсг - 2,« (х. + уу + гД
и, согласно A18):
а = 3£_, Хг ----= v, - z. = °. A25)
ЗЯ +2.н '•' - 3
Поэтому, если положить
и^=^х, v=^^y, ii'=°z, A26)
то, согласно F0), будут удовлетворены уравнения A24), и мы
имеем, таким образом, решение задачи. Обобщение, получаю-
получающееся вследствие того, что в выражения для и, v, w можно
ввести еще некоторые постоянные, не изменяет, согласно § 25,
найденной деформации.
Таким образом всестороннее равномерное давление р вызы-
вызывает всестороннее равномерное сжатие объема, величины A25),
3
не зависящее от формы тела. Поэтому постоянная
ЗА+ 2/*
называется также „коэфициентом объемного сжатия", а обрат-
обратная величина
Jj-a = A+|n A27)
называется „объемным модулем упругости" вещества.

СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 59
§ 30. Вслед за объемной упругостью рассмотрим так назы-
называемую линейную упругость, т. е. исследуем равновесие
?ела, растягиваемого односторонне, например по направлению
оси х.
Чтобы не усложнять вычисления, положим, что тело имеет
внд цилиндра, параллельного оси х (проволока, стержень), длины Z
0 произвольного поперечного сечения. Положим, что начальное
сечение лежит в плоскости уг, т. е. х = 0, и неподвижно удер-
удерживается какими-либо силами. На конечное сечение х = I дей-
действует в направлении положительной оси х внешняя сила, вели-
величина которой равна F, а на боковую поверхность цилиндра
никакие внешние силы не -действуют. Требуется определить
произведенную деформацию.
Для того чтобы удовлетворить пограничным условиям на
поверхности A21), рассмотрим прежде всего боковую поверх-
поверхность цилиндра. На боковой поверхности Х„= Yv — Z,= 0; далее
cos(vx) = O, между тем как cos(vy) и cos(vz) могут принимать
любые значения. Поэтому условия на поверхности будут удо-
удовлетворены, если мы положим:
X, = У, = Z,-= О,; У, = Z, = 0. A28)
Предположим, что эти условия имеют место также повсюду
виутои тела, так что из шести компонентов давления только Хх
отлично от нуля. Тогда действительно диференциальиые урав-
ния A20) будут удовлетворены, если, кроме того, положить, что Хх
постоянно. Значение этой постоянной получится из условия на
поверхности для свободного сечения х = /, так как условие для
неподвижного сечения х = 0 дает только величину сил, которые
удерживают сечение и которые нас здесь не интересуют.
На свободном сечении
cos (vx) — •— 1, cos (vy) ~ cos (vz) = 0,
Вдетому, согласно A21) и A28):
х„ = — xx, y,^=o, z.~o.
Так как Х„ постоянно, то мы имеем для результирующей
всех параллельных сил давления, которые действуют на элементы
свободного сечения:
t
o=*—Xr-q = F, A29)
гДе q обозначает площадь поперечного сечения. Отсюда

60 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
По составляющим давления можно найти также составляющие
деформации, пользуясь уравнениями A19), следующим образоч.
Прежде всего,
у. = г, = х, = 0.
Затем получим из
0 = Ко + 2/лг,,
сложив эти равенства:
F
— ЗА а 4- 2ucr.
9
Следовательно,
<т = —- F. A31)
3A + 2.U q
Отсюда
х = - А + '^ • F у = z = ^ ^ A32)
' ^(ЗЯ+2^) 9' * '" 2(ЗЛ + 2) ?'
Эти величины дают смещения:
ц^х^-х, v^y^-y, w = z,-z, A33)
т. е. полное решение задачи.
Как и следует ожидать, найденная деформация связана с объем-
объемным расширением. Но величина этого расширения а, которая
получается из сравнения выражений A31) и A25), при линейном
растяжении равна лишь одной третьей части расширения при
объемном растяжении. Что касается расширения отдельных осей,
то оно, очевидно, положительно для оси х. Ему соответствует,
по A33), смещение свободного сечения, т. е. удлинение цилиндра
на величину:
и х./ .
ц (ЗА + 2/0 q
Таким образом удлинение пропорционально растягивающей
силе, пропорционально длине и обратно пропорционально попе-
поперечному сечению цилиндра и, наконец, пропорционально постоян-
постоянной материала, обратная величина которой обозначается как
„линейный модуль упругости" Е данного вещества:
Е==ц(Ш+2ц) A35)
Но, на основании A32), растяжение по длине цилиндра свя-
связано с сжатием по каждому направлению, перпендикулярному
к оси цилиндра. Величину сжатия удобнее всего рассмотреть

СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 61
если составить отношение поперечного сжатия к продольному
удлинению:
~-У-* = = е < 1 . A36)
хх 2(ЯМ ^2
Измерив обе постоянные Е и е, можно вычислить Я и /*
л таким образом определить все упругие свойства вещества.
Величина е очень мала для пробки, а для каучука очень
велика, близка к предельной величине Х12- Для металлов и стекла
можно принять ее в первом приближении равной ^з» н0 отдель-
отдельные материалы заметно «отличаются друг от друга.
Модуль линейной упругости Е, размерность которого одина-
одинакова, согласно A35) и A19), с размерностью давления, имеет для
металлов и стекла величину порядка:
2 i L-i-- --V--/J- -(loba)
Поэтому такой же порядок величины имеют и коэфициенты
УПРУГОСТИ Я И (I.
§ 31. Теперь рассмотрим случай кручения, также для ци-
цилиндра длины I, начальное сечение которого (основание цилиндра)
пусть закреплено неподвижно в плоскости ху (т. е. z = 0), а сво-
свободное конечное сечение (z = /) поворачивается в своей плоскости
внешними силами на некоторый угол. Положим снова, что на
боковую поверхность не действуют внешние силы.
На этот раз мы пойдем путем, обратным предыдущему: бу-
будем исходить не из внешних сил, а положим, что даны дефор-
деформации и по ним требуется найти силы, производящие эти де-
деформации. Пусть деформация состоит в том, что каждое сечение
цилиндра, параллельное плоскости ху, поворачивается в своей
плоскости без какого-либо искажения на угол, который пропор-
пропорционален расстоянию г поперечного сечения от плоскости осно-
основания. Если а) — угол поворота верхнего конечного сечения, то
угол поворота какого-нибудь сечения на высоте г равен .
Отсюда однозначно получаются величины компонентов смеще-
кия ц, v, w, причем удобнее всего ввести цилиндрические координаты:
х= qcos<p, у = gsln g>, z = z. A36b)
Действительно: согласно вышесказанному, материальная точка
*> у, 2 имеет после деформации координаты:
X + U — Q COS
у +
Z + W " Z.
sin ( + ™\

62 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Следовательно, принимая во .внимание, что со бесконечно мало:
A37)
i i
и, согласно F0):
сох coy
. - ^ , zT~ , х„ — и.
По этим компонентам деформации получаются, согласно A19\
компоненты давления:
/«ох _ /хсоу _
Так как эти выражения тождественно удовлетворяют уравне-
уравнениям A20) также и внутри тела, то отсюда следует, что предполо-
предположенная нами деформация представляет собою возможный в при-
природе случай равновесия, которое должно наступить всегда, когда
на поверхность цилиндра действуют силы, вычисляемые на
основании A21).
Рассмотрим сперва силы давления, которые действуют на
боковую поверхность цилиндра и которые, согласно сделанному
нами допущению, обращаются в нуль. Так как для боковой по-
поверхности cos (vz) = 0, между тем как cos (vx) и cos (vy) могут
принимать любые значения, то из A21), воспользовавшись A3У),
можно получить для всех точек боковой поверхности цилиндра:
Х„ = 0. К, = 0. Z. = 1Ш \у cos (vx) — х cos (vy)]. A40)
Отсюда мы видим, что допущенная нами деформация только
в том случае совместима с дальнейшим допущением, что на бо-
боковую поверхность цилиндра не действуют внешние силы, когда
во всех точках боковой поверхности:
у cos {ух) — х cos (vy)\— 0.
Это чисто геометрическое условие. Оно означает, что напра-
направление х:у, т. е. направление какого-нибудь радиуса-вектора,
проведенного из какой-либо точки на оси г под прямым углом
к 'ней совпадает с направлением cos(vx):cos(vy), т. е. с на-
направлением нормали v в конечной точке радиуса-вектора, или.
другими словами, что поперечное сечение есть круг, цилиндр
круговой.
Поэтому, если мы хотим сохранить наши допущения, то мы
вынуждены ограничиться в дальнейших умозаключениях частным

СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 63
случаем кругового цилиндра. При этом предположении
внешнее давление, действующее на элемент конечного сечения
цилиндра, равно, на основании A21) и A39), а также того обсто-
обстоятельства, что здесь cos {ух) = 0, cos (уу) = 0, cos (yz) = — 1:
Z. = 0, A41)
пли, согласно A36b):
Х. — —^ -sing>, Yv=^ s cosg>, Z, = 0.
Таким образом внешнее давление действует на каждый эле-
элемент верхнего свободного сечения цилиндра в плоскости сечения
и перпендикулярно к направлению радиуса-веткора q в сторону
отсчета угла кручения со, что нетрудно понять. Все силы дав-
давления:
Xvdo, YAo, Zvdo,
которые действуют на элементы поверхности, дают на основании
G,C06)] и так как йо — дйдйу результирующую силу:
Fx = [х-До = 0, F, = f К, do=0,F,
x = [х-До = 0, F, = f
рующую пару сил:
. = — \zY. da - 0, Ny = \ гХ. do - 0, N, = \ {xYr ~ yX,)dc,
и результирующую пару сил:
N. ,
ию Г Г яг
2 / '4 =т"N> A42)
где г обозначает радиус цилиндра.
Отсюда мы делаем обратное заключение: если на верхнее ос-
основание кругового цилиндра, нижнее основание которого по-
подвижно, действует пара сил с вращающим моментом N, лежащая
в плоскости верхнего основания, то цилиндр испытывает круче-
кручение рассмотренного вида, причем верхнее основание поворачи-
поворачивается на угол:
2 IN
w=- • .. A42а)
тс fir4 к
Следовательно, угол кручения пропорционален длине цилин-
цилиндра и вращающему моменту пары сил и обратно пропорциона-
пропорционален четвертой степени радиуса и постоянной материала, которую
Поэтому называют также „модулем кручения" вещества.
§ 32. Как же закручивается цилиндр некругового, например,
эллиптического сечения, если на верхнее основание г го действует
та же пара сил N, причем на боковую поверхность не действуют
Внешние силы? Этим вопросом мы займемся теперь подробнее.

64 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Прежде всего ясно, что в данном более общем случае при-
придется несколько изменить простые допущения относительно
деформации, сделанные в начале предыдущего параграфа, со-
согласно которым каждое сечение поворачивается в своей пло-
плоскости без какого-либо искажения, ибо эти допущения годятся,
как мы видели, только для кругового цилиндра. Какого рода
должно быть это изменение, легко найти следующим образом.
Хотя простая деформация, изображаемая уравнениями A37), и
непригодна для цилиндра с произвольным поперечным сечением.,
однако, она представляет собою возможный в природе случай
равновесия, как мы заключили из того, что уравнения A20)
удовлетворяются внутри цилиндра. Значит, она необходимо на-
наступает тогда, когда соответствующие внешние силы действуют
на поверхность цилиндра. Каковы эти внешние силы, которые
должны действовать на боковую поверхность цилиндра, можно
найти непосредственно из уравнений A40), подставив в послед-
последнее уравнение значения косинусов направления внутренней нор-
нормали, обусловленные видом сечения цилиндра. Следовательно,
внешняя сила давления на боковую поверхность всегда парал-
параллельна оси z, т. е. она действует вверх или вниз, смотря потому,
положительна или отрицательна величина Zv.
Вообще, можно написать:
ихо
Z,= у -rsintf, A43)
где б обозначает угол между внешней нормалью в какой-нибудь
точке боковой поверхности цилиндра и радиусом-вектором
г = ]/х2 + у2, лежащим в соответствующем сечении; угол этот
положителен, если внешняя нормаль представляется повернутой
вокруг оси z в положительном направлении относительно ра-
радиуса-вектора. Понятно, что для кругового сечения 6 = 0, но для
эллиптического сечения, большая и малая оси которого совпадают
с осями х и у, б и вместе с ним Zv (при положительном w) поло-
положительны в первом и третьем квадрантах и отрицательны во вто-
втором и четвертом квадрантах. Поэтому, если закручивается эллип-
эллиптический цилиндр, расположенный согласно допущению, то для
того, чтобы поперечные сечения только поворачивались в своей
плоскости, необходимо, чтобы на боковую поверхность действо-
действовали внешние сдвигающие силы, направленные в первом и
третьем квадрантах вверх, а во втором и четвертом квадрантах
вниз. Отсюда непосредственно следует, что в том случае, когда
таких внешних сил не имеется, соответствующие точки боко-
боковой поверхности претерпевают смещение в обратном направле-
направлении, вследствие чего первоначально плоские сечения зашбаются
в первом и третьем квадрантах вниз (н><0), а в двух других квад-
квадрантах вверх (iv >0). Остаются на прежней высоте (iv = 0) только
те точки боковой поверхности, в которых длина радиуса-вектора

СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 65
получает максимальное или минимальное значение при обходе
периметра сечения F = 0), т. е. для эллипса вершины, а остальные
поднимаются или опускаются.
Чтобы получить общие правила о направлении закручивания,
независимо от выбора системы координат, положения неподвиж-
неподвижного основания, знака со и направления внешнего вращающего
момента, действующего на свободное основание цилиндра, по-
полезно остановиться на различии между видами винтовых линий.
Если точка движется по винтовой линии, то оиа совершает
одновременно вращение и поступательное движение, поперек к
плоскости вращения. Если винтовая линия такова, что при дви-
движении по винту или, что одинаково по существу, при вращении
винта в неподвижной гайке положительная ось вращения G, § 83)
совпадает с направлением поступательного движения, как, на-
например, в обыкновенном штопоре, то винтовая линия называется
правым винтом, в противоположном случае —левым винтом. При
этом условии безразлично, в каком направлении точка пробегает
винтовую линию или вращается винт: вместе с направлением
вращения изменяется как направление поступательного движе-
движения, так и направление положительной оси вращения..
Вернемся теперь к нашему случаю и рассмотрим какое-нибудь
волокно цилиндра, которое первоначально было параллельно
оси кручения. После деформации оно примет форму винтовой
линии. С другой стороны, точки на периметре первоначально
плоского сечения цилиндра образуют после деформации волно-
волновую линию. В таком случае существует следующее общее пра-
правило: те части этой волновой линии, которые примыкают к ми-
минимальным значениям радиуса-вектора г, образуют отрезки того
же рода, как и ранее рассмотренные волокна цилиндра; если
последние — правые винты, то и эти части такие же. Для частей
волновой линии, соседних с максимальными значениями г,
действительно обратное.
Так, например, в рассмотренном выше примере эллиптического
сечения волокна цилиндра образуют, при принятых обозначе-
обозначениях правые винтовые линии. Поэтому крайняя волновая линия
проходит у концов малой оси как правый винт, т. е. подни-
поднимается при переходе от первого квадранта ко второму и от
третьего к четвертому, совершенно так, как- было установлено
выше.
Для количественного решения задачи требуется рассмотреть
аналитические условия. В согласии с результатами приведенных
выше рассуждений, можно следующим образом обобщить выра-
выражения A37) компонентов смещения для эллиптического цилиндра
с йолуосями а и Ь:
covz oixz
и = — - , v = —, w = —Cxy, A44)
Введена* ■ тгаретнч «скую физику

66 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
где С обозначает положительную постоянную. Это значение ц>
выражает найденное выше свойство, что и отрицательно в пер.
вом и третьем квадрантах и положи ельно во втором и четвер-
четвертом. Таким образом действительно удовлетворяются как усло-
условия A20) для внутренней части цилиндра, так и A21) для боко-
боковой поверхности,—первые тождественно, а вторые если по-
положить:
_ о» а2—б2
С
Итак, мы имеем также полное решение задачи о кручении
эллиптического цилиндра. Выражение A42) для внешнего вра-
вращающего момента при круговом цилиндре обобщается, согласно
A21), следующим образом:
., паю a3 If
N — -~ — И4Б1
I с*й8 к '
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИИ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
§ 33. В основу излагаемой нами сейчас второй части этой
книги мы положили общее допущение, что движение постоянно
связано с бесконечно малыми деформациями. Такое движение не
может, очевидно, быть односторонним, а должно попеременно
совершаться в различных направлениях, т. е. должно происходить
„колебание" тела, при котором смещения и вместе с ними дефор-
деформации постоянно изменяют свой знак. Таким образом мы имеем
здесь дело с колебательными явлениями в упругих твердых телах,
которые мы будем считать для простоты изотропными. Основные
законы такого движения установлены уже в первой главе. Они
формулированы в уравнениях движения (83), которые мы можем
написать следующим образом, опустив силы тяготения:
д2и дХ,. дХц ЬХ,
dt2 "' дх ду dz '
dV дУч dy.
dt2 ~~ дх ду dz '
dzw dZr dZ ц dZ.
L dt* " dx dy dz '
далее, в поверхностных условиях G4) и, наконец, в соотношениях
A19) между тензором давления и тензором деформации в изотроп-
изотропном веществе.
к
[147)

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 67
Наиболее интересные случаи колебательных явлений подобного
рода относятся к таким телам, которые имеют размеры не оди-
одинакового порядка величины по всем трем измерениям пространства,
а простираются преимущественно по двум или по одному измере-
измерению пространства. Это дает, понятно, значительное упрощение
законов движения, так как уменьшается число независимых про-
пространственных координат. Зато, с другой стороны, следует, имея
в виду наиболее важные в практике колебательные движения,
ввести некоторое обобщение в уравнения, выведенные выше.
Прежде, в § 22, мы отсчитывали компоненты смещения и, v, w
и вместе с ними компоненты деформации от того состояния тела,
в котором все внешние силы давления равны нулю. Тогда компо-
компоненты давления представляют собою однородные функции от
компонентов деформации, и в недеформированном состоянии все
компоненты давления равны нулю. Но в природе особый интерес
имеют часто именно такие колебания, в которых это ограничение
не имеет места. Если мы возьмем, например, колебания скрипичной
струны, то вполне естественно отсчитывать составляющие дефор-
деформации от того положения струны, в котором она находится в со-
состоянии устойчивого равновесия. Это — недеформированное со-
состояние. Однако в нем составляющие давления вовсе не равны
нулю, а в струне существует определенное и даже довольно
сильное натяжение. Это натяжение представляет собою настолько
существенную причину, определяющую характер колебаний, что
даже влияние постоянных упругости Д, //, v, свойственных мате-
материалу струны, практически отступает перед ним на задний план.
Так, например, струна из кишки вовсе не колебалась бы, если
бы не была натянута. Поэтому здесь можно в известном смысле
говорить об искусственной вынужденной упругости, которая за-
зависит не от материала, а от внешних сил. Чтобы должным образом
принять в расчет эти обстоятельства, мы введем следующее
обобщение в соотношения A19) между компонентами давления
и компонентами деформации: мы будем, как и ранее, считать компо-
компоненты давления за линейные функции от компонентов деформации,
но теперь это будут уже неоднородные функции, и абсолютные
члены в этих функциях будут соответствовать временному состоя-
состоянию устойчивого равновесия тела.
Таким путем мы введем в уравнения движения, как уже было
указано в приведенном примере, наряду с постоянными материала
еще одну постоянную. В зависимости от того, имеют ли преобла-
преобладающее влияние постоянные первого рода или последняя постоян-
постоянная, мы получим совершенно различные колебательные движения:
движения с естественной упругостью и движения с искусственной
упругостью. Эти различия практически настолько важны, что
резко выражаются также и в словоупотреблении. Так, из тел
одного измерения „стержни" колеблются с естественной, а „стру-
„струны"— с искусственной упругостью, из тел двух измерений „пла-
5*

68 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
стины" и „колокола" колеблются с естественной, а „мембраны"
и „барабаны" — с искусственной упругостью. В акустике, по-
поскольку речь идет о твердых телах, наиболее важны колебания
с искусственной упругостью. Поэтому мы займемся здесь пре-
преимущественно последними. В качестве простейшего примера рас-
рассмотрим колебания струны, которая натянута настолько сильно,
что влияние упругости материала, так называемая жесткость струны,
отступает на задний план по сравнению с влиянием натяжения.
§ 34 Сильно натянутая струна. Пусть струна, которая должна
иметь форму цилиндра с бесконечно малым сечением, совпадает
в состоянии равновесия с осью х. Тогда каждая точка струны
характеризуется определенным значением х, и движение струны
вполне известно, если компоненты смещения и, v, iv определены
как функции от х и t. Для решения этой задачи мы прежде
всего введем необходимое, согласно предыдущему параграфу,
обобщение соотношений A19). Состояние равновесия струны
одинаково с рассмотренным в § 30 равновесием односторонне
натянутого цилиндра, поэтому для него действительны уравнения
A28) и A30), где F обозначает натягивающую силу, q — площадь
поперечного сечения. Следовательно, эти уравнения дают зна-
значения компонентов давления для недеформированного состояния
струны. Отсюда однозначно следует искомое обобщение урав-
уравнений A19) для нашего случая:
р
Да— 2 iixx, К. = —
Q
Q
— Да
A48)
Предположение, что струна „сильно" натянута, выражает собою
условие, что первый член в выражении для Хх, зависящий от F,
велик по сравнению с остальными членами. С другой- стороны,,
нельзя принимать F бесконечно большим: так как о и Ьсх беско-
F
нечно малы, то Хх, и вместе с тем также —, малы по сравне-
Я
нию с величинами Д и ц. Таким образом порядок величины натяже-
натяжения F заключен в определенных пределах. Но если вспомнить,
что для металлов, например, коэфициенты А и р,, согласно A36а)t
1Г.1» Г дин 1
имеют порядок величины 101а , что соответствует давле-
L ™s .1
нию в 10 000 кг на 1 млР, то мы увидим все же, что для величины
натяжения остаются еще практически довольно широкие границы.
Теперь установим пограничные условия для боковой поверх-
поверхности цилиндра струны. Так как вся струна, кроме двух концов,
которые мы считаем прочно зажатыми, должна свободно коле-

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 69
баться, то на боковую поверхность не действуют внешние силы,
и мы имеем поэтому, согласно G4):
Хх cos (vx) + Ху cos (vy) + X, cos (vz) = 0,... A49)
Нормаль v к боковой поверхности может принимать любое
направление, но связана с условием, что должна всегда и повсюду
составлять прямой угол с той пространственной кривой, которую
образует собою струна в касой-либо момент. Эта пространствен-
пространственная кривая образуется точками с координатами х + и, v, w, поэтому
отношения косинусов направления ее (угловые коэфпцч'енгы)суть:
.. , . , . /, , да\ dv dw
d(x + u)idv:dw=[l + ]:-:--,
\ дх J дх дх
и поэтому имеет место условие:
1 + I cos (vx) -\ cos (vy) + - - - cos (vz) — 0.
дх/ дх • дх
Так как деформации бесконечно малы, то, как легко видеть,
cos(vx) бесконечно мал по сравнению с двумя другими косину-
косинусами, и можно написать проще:
cos (vx) = -cos (vy) cos (vz).
Подставим эти значения в три уравнения A49) и примем во
внимание, что отношение cos (vy): cos (vz) может принимать любое
значение. Пренебрегая малыми членами второго порядка, получим
соотношения:
dv —F dv
* дх q дх
X
A50)
Ye = 0,Z, = 0,Zt = 0. A51)
Остается еще точно выразить шестой компонент давления с
точностью до членов второго порядка. Это можно сделать при
помощи уравнений A48), которые дают сперва в связи с A51):
отсюда, на основании A18):
и, наконец, согласно первому из уравнений A48) и.A35):
X - — F —Fdu nw
а дх

70 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Теперь мы получим искомые уравнения движения из уравнений
A47), подставив значения компонентов давления A50), A51), A52):
к*»-.Е*и=0. A53а)
dt2 дх-
к - - - =0, A53Ь)
dt* q дх2
. dh'/ F d2w n ,1го ч
к - =0. A53с)
dt' q dxz
Таким образом каждый из компонентов смещения и, v, w сле-
следует своему особому закону, независимо от двух других, при-
причем вид этих законов одинаков для всех трех компонентов. Од-
Однако величина характеристической постоянной, входящей в урав-
уравнения, не всюду одинакрва: для и имеется другая величина, чем
для, v и <$>. Это зависит, конечно, от того, что направление и сов-
совпадает с направлением струны, а направления v и iv перпенди-
перпендикулярны к ней. Поэтому колебания и называются „продольными
колебаниями" струны, а колебания v и w,— наоборот, попереч-
поперечными колебаниями. Как мы видим, продольные колебания зави-
зависят только от упругости вещества струны, и в частности от
линейного модуля упругости и не зависят от натяжения, а для
поперечных колебаний действительно обратное.
Для дальнейшего исследования законов колебания достаточно
рассмотреть один только компонент. Так как в акустике попе-
поперечные колебания играют значительно большую роль, то мы
ограничимся в дальнейших рассуждениях уравнением A53Ь),
которое представляет плоские поперечные колебания в пло-
плоскости ху. Введя постоянную
fl=--F, A54;
kq
можно написать это уравнение в виде:
dtz дх*
Интегрирование последнего уравнения дает v в виде функции
двух независимых переменных х и t Если положить, что х по-
постоянно, a t изменяется, то мы получим движение определенной
точки струйы. Если же положить, что. t постоянно, а х изменя-
изменяется, то мы получим форму кривой, которую образует струна

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 71
Б определенный момент. Соответственным образом — представ-
представляет ускорение какой-нибудь точки струны, ^-кривизну кри-
кривой струны, а уравнение A55) выражает такое правило: ускоре-
ускорение какой-либо точки струны, а следовательно, и сила, действу-
действующая на нее, пропорциональны кривизне кривой, которую обра-
образует струна, в данной точке.
§ 35. Интегрирование уравнения движения. Чтобы найти
общий интеграл диференциального уравнения с частными произ-
производными A55), введем вместо независимых переменных х и t
новые независимые переменные:
r) = x — at. A56)
Тогда преобразование производных выражается следующими
соотношениями:
dtj)e \dt
Отсюда, повторив то же действие, получим:
и совершенно аналогичным образом:
в уравнении A55) заменить производные по независимым
переменным х и t производными по независимым переменным g и г),
то получится:
~ dv . dv
Это уравнение выражает, что зависит только от g, и —
зависит только от тд. Поэтому
где / и g суть какие-то две функции, каждая из которых зависит
только от одной переменной.
На основании A56), имеем:
v=f(x + at)+g{x~ at). A57)
Это и есть общий интеграл диференциального уравнения A55).
Действительно, непосредственной подстановкой можно убедиться
В том, что уравнение удовлетворяется выражением A57), каковы
Фы ни были функции / и £.

72 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
При этом нужно иметь в виду следующее обстоятельство.
Ограничение, которое налагается равенством A57) на значе-
значения v и благодаря которому v удовлетворяет диференциальному
уравнению A55), основано на том, что независимые переменные
х и t входят в функцию / только в соединении x-\-at, а в функ-
функцию g только в соединении x — at. Эти выражения называются
„аргументами" функций / и g. Каждая из ьтих 'двух функций
зависит только от своего особого аргумента. Поэтому, если ди-
ференцировать функцию по х или по t. то можно сперва дифе-
ренцировать по аргументу, а потом диференцировать аргумент
по соответствующей переменной. Тяким образом из A57) полу-
получается:
11=Г+?' д£==Га-8'а' A57а)
где /' и g' обозначают производные / и g по их аргументам. Про-
должение^операции дает:
Эти значения действительно удовлетворяют уравнению A55)
в самом общем виде.
Частный вид функции / или g никак нельзя получить из ди-
ференциального уравнения. Его можно найти только по началь-
начальным и пограничным условиям колеблющейся струны. Однако
прежде чем перейти к рассмотрению этих условий, исследуем в
общем виде тот особенный физический характер, который на-
накладывается на движение струны выражением A57) для смеще-
смещения V.
Возьмем сначала частный случай, когда одна из двух функ-
функций, например g, обращается в нуль, так, что
v = f(x+at). A58)
Тогда мы имеем движение струны, для которого характерно
то обстоятельство, что смещение v не изменяется пои таком из-
изменении хи (, когда x + at остается постоянным, т. е. когда
dx + adt — 0,
или
dx
— = — а.
dt
Но последнее уравнение обозначает движение со скоростью о
в направлении отрицательной оси. Отсюда следует, что если
передвигаться глазом или указателем вдоль струны в направле-
направлении отрицательной оси х со скоростью а, то та точка струны,
на которую попадают при этом, всегда имеет в данный момент

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 73
совершенно определенное смещение v. Это можно выразить еще
таким образом: каждое смещение v распространяется неизменным
со скоростью а в направлении отрицательной осиэс. Поэтому форма
кривой, которую образует струна в каждый момент, остается
одинаковой, кривая только постоянно смещается, как целое, ука-
указанным образом. Такое движение называется „волновым движе-
движением", скорость смещения называется „скоростью распростране-
распространения" волны. Скорость распространения нужно отличать по су-
существу от корпускулярной скорости точек струны, которая не
имеет с ней ничего общего (ср. 7, § 1). Вид волны определяется
функцией /, он может быть произвольным, и в частности не обя-
обязательно должен быть периодическим. Можно получить простой
и очень наглядный образ движения, если начертить на полоске
бумаги функцию / в виде кривой с абсциссой g и ординатой /,
а затем передвигать эту полоску вдоль струны со скоростью—а.
Тогда чертеж дает непосредственное изображение струны в каж-
каждый момент. При t = 0 аргумент f = эс-{-я< непосредственно сов-
совпадает с абсциссой х точки струны.
Соответственным образом частное решение
v = g(x—at) A59)
обозначает также волновое движение с тою же скоростью а, но
распространяющееся в сторону положительной оси х. Поэтому
общий случай колебания A57) предстагляет собою наложение
друг на друга двух волн, распространяющихся с одинаковой ско-
скоростью а в противоположных направлениях. Если начертить каж-
каждую из двух волн в виде кривой на полоске бумаги и передви-
передвигать эти полоски вдоль струны со скоростями 4; а, то алгебраи-
алгебраическая сумма двух ординат дает смещение v соответствующей
точки струны в данный момент.
Теперь исследуем, как определяется вид обеих волн / и g на
основании начальных и конечных условий колебательного про-
процесса. Для этого рассмотрим сперва идеальный случай беско-
бесконечно длинной струны.
§ 36. Струна, неограниченная с о6еих сторон. Если струна
простирается от х = — со до эс — -J- со, то для полного опреде-
определения движения достаточно рассмотреть только начальное со-
состояние и можно обойтись без пограничных условий.
Положим, что даны смещения и скорости всех точек струны
в момент f —0, т. е.
и №-\ = Ф(х), A60)
\dtjo
где F и Ф обозначают две функции, известные при всех поло

74 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
жительных и отрицательных значениях х Подставив в A57) и A57а)
получим:
f) ()
а
Проинтегрировав последнее уравнение, имеем:
Следовательно,
2a
A61)
Эти выражения для / и g полностью определяют вид обеих
волн и значит все движение. Нужно только подставить в функ-
функцию / вместо х аргумент х + at и в функцию g аргумент х — at.
Неопределенность, заключающаяся в произвольном выборе по-
постоянной интегрирования с, только кажущаяся, так как в выра-
выражение A57) для v функции fug входят только в виде суммы,
при изменении с обе функции изменяются на одинаковую величину
в противоположных направлениях. Поэтому можно, не нарушая
общногти, положить с = 0.
Рассмотрим в виде примеров несколько частных случаев. Сна-
Сначала рассмотрим такой случай, когда все начальные ско-
скорости равны нулю, как бывает, если дернуть струну, т. е.
вывести ее из состояния равновесия и затем отпустить. В этом
случае Ф(х) = 0, поэтому, согласно A61),
f(x)=g(x) = ]f(x). A62)
Следовательно, в этом случае обе волны равны между собой,
и каждая из волновых функций равна половине величины началь-
начального смещения. Отсюда непосредственно получается весь процесс
движения. На черт. 5 верхняя линия изображает вид струны в на-
начальном состоянии. Нарушение равновесия ограничено здесь опре-
определенным участком струны. Оно может быть вызвано тем, что

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 75
струна отдернута стерженьком в точке В и в то же время удер-
удерживается в точках Л и С по обе стороны В. Если теперь отпустить
струну без начальной скорости, то колебание ее совершается
описанным выше образом: на-
начерченные внизу изображения , J*
равных друг другу волновых -1,'^SlZ-Jl СТРУНЯ
функций / и g движутся в напра-,
влении стрелок вдоль струны ^
со скоростью а, причем орди- -sr._:r^= —f •*
латы, лежащие друг над дру-
другом, в каждый момент склады- ^ггг>= о ».
ваются. Таким образом перво-
первоначальное выпучивание струны ерт- •
разбивается на два одинако-
одинаковых вдвое меньших выпучивания, которые раздвигаются в обе
стороны со скоростями ± а, между • тем как посредине снова на-
наступает покой. Это изображено
СТРУНа на чертежах 5а и 56: верхняя
линия дает изображение стру-
струны по истечении некоторого
-f -*— времени, а две нижние линии
показывают способ построения
_^ изображения. Периодичности
* *" в afOM явлении не имеется
Черт. 5 а вовсе. Так, например, точка В,
которая больше всего выве-
выведена из состояния равновесия, непосредственно возвращается
к нему с постоянной скоростью и затем остается неподвижной
навсегда.
Аналогичным образом ис-
исследуется противоположный ^""^^— -»-*•—-— струна
случай, когда все началь-
начальные смещения равны нулю, ^-.^^
как бывает, если ударить молот- — f •?—
ком длинную фортепианную
струну настолько быстро, что- .. -.
бы удар был закончен раньше,
чем подвергнувшиеся удару Черт. 5б.
точки струны успели бы за-
Метно оставить положение равновесия. Тогда, согласно A60),
согласно A61),
х
f (X) = —g (X) = ^ \ Ф ух) UX.

76 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Таким образом и в этом случае обе волновые функции равны
друг другу, но противоположного знака. Дальнейшее исследова-
исследование, производимое совершенно так же, как и в предыдущем
случае, показывает, что от места удара удаляются в обе стороны
две противоположные равные волны, между тем как посредине
струна снова возвращается в неподвижное состояние.
Но не следует думать, что при всяком нарушении равно-
равновесия струны идут дне волны в обе стороны. Чтобы убедиться
в этом, поставим такой вопрос: какое условие должно быть выпол-
выполнено в начальном состоянии, чтобы от места нарушения распро-
распространялась одна волна, например волна /. Ответ на этот вопрос
дают уравнения A61), если положить в них g — О, именно:
или
dF(x)
1 ч
= _ ф х),
dx a
или, на основании A60):
г!м 1 /Ли .
A64)
dx a\dt
т. е. в начальном состоянии скорость какой-нибудь точки струны
равна тангенсу угла наклона струны к оси х, умноженному на а.
Если выполнено это соотношение между скоростью и смеще-
смещением каждой точки струны, то все возмущение передвигается
в виде одной неизменяемой волны в отрицательном направлении х.
В этом можно убедиться также при помощи простого кине-
кинематического рассуждения, так как скорость каждой точки кри-
кривой непосредственно определяется видом кривой / и скоростью
распространения а.
§ 37. Струна, ограниченная с обеих сторон. Рассмотрим теперь
колебания струны конечной длины /. Пусть струна закреплена
в точках х — 0 и х = I. Для нее, конечно, также действительны
уравнения A61), но эти уравнения имеют смысл только для тех
значений х, которые находятся между 0 и /, так как функции
F(x) иФ (х), которые представляют начальные значения смещений
и скоростей для точек струны, определены только для 0<х<^-
Однако для того чтобы представить движение для всех значений
времени, нужно, на основании A57), знать значение / и g также
и для других значений их аргументов; например,- при больших
положительных значениях t нужны значения / при больших по-
положительных значениях аргумента, а значения g — при больших
отрицательных значениях аргумента. Поэтому мы должны еше

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ 77
дополнить то определение fug, которое дается уравнениями
A61). Для этого служит условие v = 0 в пограничных точках х = О
иХ=/, или, согласно A57):
O = f(at) + g(-at)
И O=f{l + at) + g(l—at).
Эти условия действительны при любых значениях t. Если на-
написать в них х вместо at, то получится:
/()+() = 0. 065)
x) = O. A66)
Эти два уравнения, имеющие место при всех значениях х,
дают дополнительные условия, необходимые для вычисления
волновых функций fug- Действительно, если подставить в A66)
(/ + х) вместо х, то получится:
Из сравнения с A65) имеем:
fBl+x) = f() )
Подобным образом \ A67)
gBl+x) = g(x). J
Это значит, что волновые функции / и g обе периодичны
относительно х с периодом 21. Отсюда непосредственно следует,
на основании A57), что движение струны также периодично от-
21
носительно времени t с периодом - .
i О.
Теперь установим, как на самом деле определить значения
волновых функций /и g при всех положительных и отрицатель-
отрицательных значениях аргументов, на основании начальных условий A61)
и предельных условий A65) и A67).
Прежде всего,/ Kg определены для 0<х<^ / на основании A61).
Далее, уравнение A65) в виде
/W—*(-*>. A68)
П
дает также значения /(х) и g{x) при — /<х<0, так как правые
части двух уравнений известны для данной области значений х.
Но тогда /(х) и g(x) даны в пределах целого периода, от х=-=—J
до х= + 1, и таким образом полностью определены по A67).
Этот метод вычисления проведем на одном частном примере.
Для этого выберем, ради простоты, колебания струны, на которой
8 начале есть только одна волна, например волна /. Значит,
в начальном состоянии действительно соотношение A64). Пусть
первоначальное состояние струны изображено на черт. 5. Тогда
волновая функция /(х) при 0<[х</ будет представлена тем же

78
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
изображением, причем g(x) равно нулю в этом промежутке. На-
Напротив, при —/<х<0, согласно A68), /(х) повсюду 0, между
тем как g(x) имеет нарисованную на чертеже форму, которую
можно назвать „противоположным зеркальным изображением1-
/ (х) относительно точки х — 0. Эти формы повторяются периоди-
периодически, как показано на черт. 6.
Черт. б.
струна
Черт. 66.
Начертив волновые функции /|и g, мы можем уже определить
известным способом весь процесс движения. На черт. 6а и 6б
в верхней линии представлено результирующее изображение
струны по истечении некоторого времени, а на двух нижних:
линиях представлен способ, по которому это изображение со-
составлено из / и g.
Отсюда вытекает, что волна /, попадая на закрепленную точк'У
струны х —0, превращается в волну g, движущуюся в прочиво-

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 79
положном направлении, т. е. „отражается" и при этом меняет
знак. Затем волна g пробегает всю длину струны и отражается
на другом конце, х = I, в виде волны /.
21
По истечении периода времени снова достигается перво-
первоначальное состояние, и все начинается снова.
Таким же образом решается общий случай, когда вначале обе
волны, / и g, отличны от нуля.
§ 38. Аналитическое изображение периодических функций.
До сих пор мы изображали периодические волновые функции
/(х) тл g(x) в различных интервалах х при помощи различных
уравнений. Но часто бывает важно обозначить волновую функ-
функцию / (х) на всем ее протяжении, от х = — оо до х= + со при
помощи одного только аналитического выражения.
Мтобы достигнуть этого, отыщем сперва наиболее общее
аналитическое выражение функции /(х) с периодом х —2/, или,
другими словами, общее решение функционального уравнения
A67). Возьмем частное решение
/(х)=а«, A69)
которое, очевидно, удовлетворяет уравнению, если постоянная а
удовлетворяет условию:
eila — 1
с —■ j. •
Отсюда следует:
21а = 2/ш,
где п обозначает произвольное положительное или отрицательное
целое число. Если подставить получающееся отсюда значение «
в A69) и отделить вещественную от мнимой часть /(х), то мы
получим два частных решения;
гтх .ппх
cos и sinV ,
которые можно еще обобщить, если умножить их на произволь-
произвольные постоянные Ап и Вп. Если составить такие решения для
всевозможных значений п, причем для каждого п постоянные
Ап и Вп могут иметь различные значения, и сложить их между
собою, то мы также получим решение функционального уравне-
уравнения A67). Это решение — общее (на доказательстве последнего
утверждения мы не будем здесь останавливаться). Полученное
решение можно написать в таком виде:
fix) -■■ ° |- V Л„ cos + V В„ sin —. A70)
II = 1

80 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Здесь члены с отрицательными л опущены. Нетрудно видеть,
что это не нарушает общности, так как каждый член с отрица-
отрицательным л можно соединить в один с членом, содержащим по-
положительное л. Поэтому каждый член в обеих суммах представ-
представляет в сущности два члена. Особое положение занимает член
с л = 0, который встречается только один раз и поэтому обычно
содержит численный множитель х/2. Введение последнего оправ-
оправдывается также, как мы покажем ниже, тем, что постоянная
Ао получает в этом случае простое значение.
Ряд A70), который называется по имени его автора „рядом
Фурье", действительно имеет период 21 относительно х. В этом мож-
можно, конечно, непосредственно убедиться, если подставить х-\-21 вме-
вместо х, так как все углы увеличиваются на целые кратные 2л. Но по-
посредством ряда A70) можно представить любую функцию с пе-
периодом 21 относительно х. Поэтому возникает вопрос, как вычис-
вычислить коэфициенты А и В, если каким-либо образом задано тече-
течение функции внутри одного периода, например от х=0 до х—21.
Чтобы ответить на этот вопрос, положим, что нам совершенно
произвольно даны значения / (х) для 0 <[ х <С 21. Вычислим сперва
интеграл:
j /(х) • cos nnXdx A71)
при каком-либо положительном отличном от нуля целом числе п.
Допустим, что этот интеграл имеет известное вполне опре-
определенное значение.
С другой стороны, интеграл A71), если заменить в нем /(х)
рядом A70), представится в виде суммы интегралов. Вычислим
каждый из них в отдельности. Первый интеграл, умноженный
на Лв, обратится в нуль, так как
cosnnxx^Q A72)
o:cos
2 J I
В следующие интегралы входят по порядку числа 1,2, 3,...
л,..., которые вообще отличны от числа л в A71). Обозначим
их поэтому через л'. Если л' не равно п, то соответствующие
два отдельных интеграла выражаются в виде:
. Г п'лХ ПЛХ . . _ С П'ЛХ ПЯХ . „ ., 7o-i
А,- 1 cos-—cos — dx + Bn- V sin — cos dx — 0. A73)
о и

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 81
Только для двух членов, в которых п' = л, два соответству-
соответствующих интеграла дают:
31 21
. Г „лях . . „ С , лях пях . . , „,„,4
А„ \ cos2 — dx+ Bn \ sin cos dx = AJ. A74)
о •
Поэтому вся сумма интегралов, на которые распадается A71),
сводится к одному выражению A74), и мы имеем соотношение:
Совершенно так же
81
л 1 Г,,., ЛЯХ j
Д.= у l/(x)cos—dx.
о
а!
1 Г.. . пях ,
l/(x)sin dx.
l/(x)sin
о
A75)
Таким образом коэфициенты Ап и В„ полностью определены
Наконец, чтобы получить Ао, вычислим из A70):
31
1'
Отсюда мы видим, что уравнения A75) применимы также для
случая п = 0. В этом состоит преимущество обозначения по-
стоянного члена через —-. Значение Во безразлично, так как
sin — обращается в нуль при п = 0.
Из способа вычисления постоянных Ап и Вп видно», что это
определение однозначно, т. е. существует только один ряд
. Фурье с периодом 2/,- который принимает определенные задан-
заданные значения внутри периода. Действительно, если бы сущест-
существовал еще другой ряд с коэфициентами А,' и J3B', то эти коэфи-
коэфициенты также обязательно должны были бы удовлетворять
уравнениям A75), а так как выражения в правых частях уравнений
имеют, заданные значения, то эти коэфициенты должны совпа-
совпадать с' коэфициентами Ап и В„.
Чтобы еще лучше иллюстрировать значение ряда Фурье,
произведем вычисление для частного примера. Допустим, что
при 0 <х </, / (х) = х, а пои* / < х< 21, / (х) = 0. Ход этой функции
С Введение и теоретическую фнаику

82
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
изображает кривая на черт. 7. В интервалах от—/ до 0, от /
до 21 и т. д. она совпадает с осью абсцисс, а в промежуточ-
промежуточных интервалах предстмвляет отрезок прямой, равноделящей
координатный угол. Поэтому функция /(х) прерывна при х рав-
равном— /, /, 3/,..., изменяясь скачком от / доО. Совершенно такие же
свойства имеет ряд Фурье, который получается из A75) и ко-
который мы сейчас составим. Оба входящие в него интеграла
разлагаются каждый на два отдельные интеграла, из которых
первый берется от 0 до /, а второй от / до 21. В первом
интеграле / (х) = х, а во втором / (х) = 0. Поэтому
, х , плх . , Л (—1)" * ,
А,— \х ■ cos их -f- 0 = /,
В,
i
1 Г
1=О
. ПЛХ . , _ (— 1)"
х ■ sin их + 0 = -—-
I пл
а при п = 0 получается:
При этих значениях коэфициентов ряд A70) примет вид:
21 ___ лх 21 Злх 21 5лх
25л2
, i zt лх м олх zt
f(x)=- -cos- -----cos ----.cos— ....
4 лг l 9л2 / 25j
, /•, дх / , 2лх / , Зях .,_„
... + sin -sin H sin ■—..., A76)
л I 2л I Зл I
который охватывает ход кривой на черт. 7 в единственном ана-
аналитическом выражении.

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 83
Сделаем еще несколько проверок. При х = 0, /(х) = 0, по-
поэтому, согласно A76),
0 = ( __ 2/ _ 2/ _ 21 _
4 пг Злг 25л*
или
Я =1+ —+ ! +-1- + ... A77>
8 9 25 49 '
При х = , /(х) = х= . Поэтом)', согласно A76),
+ + + .
или
4 3 о 7
При х = —4 , /(х) = 0. Поэтому, согласно A76),
4 . л Зл 5л; 7я
что. также приводит к последнему ряду.
Интересно свойство ряда Фурье при1 разрыве непрерывно-
непрерывности, например при х = /. В то время как значение ряда равно х
или 0, смотря по тому, приближается ли; х к значению х = /, от
меньших или от больших значений, при самом х= l,f(x) не равно
ни I, ни 0, но, как дает подстановка в A76),
или согласно A77),
/@ = I,
т- е, равно среднему арифметическому из обоих значений. Это
чолржение можно обобщить, но здесь нам незачем на нем оста-
останавливаться.
§; 39. Если в частном случае /(х) „четная" функция, т.е. если
/(—*х) = /(х), то из A75) следует, что интегрирование от 0 до 21

84 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
можно просто заменить интегрированием от —/до -f-1'
jcx). cos1?* A.
I 0
и для первого из этих интегралов, введя переменную х! = —х:
Г о
Оба интеграла равны друг другу, и
. A79)
Соответствующим образом получается Вп = 0, так как оба
отдельных интеграла равны и противоположного знака.
Поэтому разложение четной функции в ряд Фурье с перио-
периодом 2/ имеет более простой вид:
A80)
где коэфициенты А определяются однозначно по A79) на осно-
основании хода функции внутри половины периода,, от 0 до /. Дей-
свительно, каждый член ряда, а также постоянная До, есть чет-
четная функция х.
Если же /(х) „нечетная" функция, т. е. если /(— х) = — /(х),
то таким же образом получается: Ап = 0, и
2 Г., л • ппх .
вп~ l/Wsm -dx, A81)
U I
о
так что ряд Фурье принимает вид:
tivrV
A82)
п-1
Здесь коэфициенты ряда также однозначно определяются п°
A81) на основании хода функции внутри половины периода.

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 85
§ 40. Возвратимся к задаче о колебании струны длиной /.
Воспользуемся методом, разработанным в последнем параграфе,
для того чтобы привести решение задачи, т. е. выражение для
смещения v как функции х и /, к одному виду, пригодному для
всех х и t. Согласно A57),
— at).
Здесь можно в общем случае свести функцию g к функции f
при помощи пограничных условий A65), если подставить в них.
at — х вместо х:
f(at — x) + g(x — at) = O.
Таким Образом
Но, согласно A67), /(х) периодична с периодом 21. Поэтому
для f(x + at) и J(at — x) имеют место уравнения, которые полу-
получатся, если в обе части A70) подставить один раз at + х, а дру-
другой раз' at — х, или:
inT(e/~x)- A83)
Суммирование нужно производить всякий раз от п=1 до
п= оо.
Мы получили общее выражение для поперечных колебаний
струны длины /. Его можно привести к различным более простым
формам, каждая из которых обладает особыми преимуществами.
Если подставить
Д„ = С„ cos»,,, Вв = -С„ sin*,, A84)
полагая, что С„ положительно, а &п заключается между 0 и 2я,
то можно написать:
Cncos Jn^(a/-x) + &jj . A85)
Таким образом наиболее общее колебание струны состоит иа
попарно равных противоположных чисто периодических волн.

■86
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
.пробегающих в обе стороны, так называемых „парциальных
волн", каждая из которых имеет период
21 -К A86)
относительно х и период
2/
па
A87)
относительно t. Пространственный период называется „длиной
волны", а временный период т„ называется „периодом колебания"
соответствующей волны. Наибольшая длина волны (при п = ])
равна 21, т. е. удвоенной длине струны, ей соответствует наи-
наибольший период колебания . Это колебание называется „основ-
а
ным колебанием" струны. Остальные длины волн и периоды коле-
колебаний суть и-е доли соответствующих величин основного коле-
колебания.
Величина, обратная периоду колебаний:
1
т.
V., =
па
21'
A88;
обозначает число колебаний в единицу времени и поэтому назы-
называется „числом колебаний" соответствующей волны. Длина волны,
период колебаний и число колебаний связаны между собою, на
«сновании последних трех уравнений, следующей зависимостью:
A89)
Если ввести длины волн й числа колебаний, то уравнение
A85) примет вид:
v =
-2
A90)
Весь угол, заключенный в фигурные скобки, называется
„фазой* соответствующей волны (/, § 12), а постоянная #. назы-
называется „фазовой постоянной".

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ- В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
87
Выражение для v значительно упрощается, если в A83) или
в A90) соединить в один член два члена с одинаковым поряд-
порядковым числом п. Тогда из A83) следует:
, . rrnat _ rmat\ tmx /1Л1Ч
\ sin — B,tcos sin . A91)
"I 1I
Этот вид уравнения колебания наиболее удобен для вычисле-
вычисления коэфициентов Д, и Вп по начальному состоянию струны.
Именно, при t — 0. на основании A60) и A91):
. nnx
tmx
n= 1
A92)
Таким образом задача определения А„ и В„ приводится к раз-
разложению данных функций F(x) и Ф(х) в ряды Фурье по сину-
синусам. Но, как показывают уравнения A81) и A82), это можно
сделать только единственным способом, так как разлагаемые
в ряд функции заданы внутри половины периода ряда, от х = О
до х = /. Нужно только подставить в A82) F(x) или Ф(х) вме-
вместо /(х), а также 2В„ или:
2ла ,
вместо Вя. Тогда из A81) получится:
1
-2 f F(x)-sinn7tx dx,
I J /
2na
A93)
и коэфициенты Ая и В„ определены для всех значений п.

88 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
С другой стороны, если в A85) соединить попарно по две
соответствующие парциальные волны, то получится:
> C.sinJ — - -f-i9v)-sin-—, A94)
n =l
2яа %-» „ f nnat . o \ . яях /шел
^nC_cos( — 4-^-lsin . A95)
' " \ I "J I
ft ^ 1
2] nCB
В этом виде колебание струны представляет собою совокуп-
совокупность парциальных колебаний, каждое из которых состоит из
двух парциальных волн с одинаковым порядковым числом, дви-
движущихся в противоположных направлениях. Поэтому такие коле-
колебания называются „стоячими" волнами в отличие от „проходя-
„проходящих" волн. Рассмотрим одну из этих стоячих волн с порядковым
числом я:
п„ . (nnat , „ \ . плх
v = — 2С„ sin I -f #- ) sin — --
V J I
- — 2Cn sin BnKvt + »J sin - . A96)
Она представляет сама по себе возможное колебание струны,
так как выполняются предельные условия: v = 0 при х — 0 и при
х = /, в чем легко убедиться. Особенность ее заключается в том,
что все точки струны имеют одинаковую фазу, так как фазовый
угол, содержащий время t, не зависит, как у проходящих волн,
от х. Поэтому, например, все точки струны проходят одновре-
одновременно через положение равновесия v ~ 0 и одновременно дости-
достигают наибольшего отклонения. Струна всегда изображается синусо-
синусоидальной кривой, и движение каждой точки есть синусоидальное
колебание, амплитуда которого изменяется периодически от од-
одной точки к другой. В точках
х^О, 1 , —, 3l....,n~ll, l A96а)
п п п п
амплитуда колебаний равна нулю. Поэтому эти точки называются
„узлами колебаний*. Они разделяют длину струны на п равных
отрезков длины -, каждый из которых равен, иа основании A86^
г»
половине длины волны Аг, соответствующей проходящей волне.

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 89"
Для основного колебания (п = 1) обе конечные точки струны
суть узловые точки, для второго парциального колебания (п = 2)»
один узел лежит посредине струны и т. д. Колебания происхо-
происходят между каждыми двумя узлами, в соседних отрезках—в про-
противоположном направлении. Максимумы амплитуд колебания ле-
лежат посредине между узлами и называются „пучностями" колеба-
колебания. Главное колеба-
лие имеет только од- q
ну пучность. Вообще, ^^
для всякого парциаль-
яого колебания число Черт. 8.
пучностей равно поряд-
порядковому числу колебания п. На черт. 8 изображен вид струны
я направления колебаний при п = 3.
§ 41. Изображение колебания струны в виде суммы простых
периодических колебаний A94) имеет не только формально-мате-
формально-математический, но также выдающийся физический и физиологический
интерес, ввиду его значения для акустики. Если колебания струны
воспринимаются воздухом и через его посредство передаются уху,,
в частности барабанной перепонке, то органы слуха реагируют
на каждый член суммы A96), т. е. на каждое простое периодическое
колебание, с особой чувствительностью,— с чувствительностью-
х соответствующему „парциальному тону". Число колебаний vB
определяет высоту тона, постоянная амплитуды С„—силу его,
а фазовая постоянная &„ не имеет акустического значения. Как
показали глубокие исследования Гельмгольца, тому, что в аку-
акустике называется качеством тона или окраской звука (тембру),,
не соответствует особого физического атрибута. Тембр звука ко-
колеблющейся струны скорее всего приводится к тем численным
отношениям, в которых отдельные парциальные тоны входят в
колебание и которые сильно зависят, конечно, от того, как подей-
подействовали на струну. Чем многочисленнее и сильнее высокие
парциальные тоны, тем звук вообще резче и пронзительнее, между
тем как основной тон (п=1) или же отдельный парциальный
тон звучат мягко и бесцветно.
Благодаря этим своеобразным акустическим воздействиям пар-
парциальные колебания, и вместе с тем отдельные члены ряда Фурье
Для волны, приобретают самостоятельное значение также и в фи-
зическом смысле. Поэтому некоторые склонны даже приписывать
i им самостоятельное существование уже в самом колебании струны
I и в воздушной волне, вызванной колебанием струны, независимо-
от органа слуха. Однако не следует забывать, что такое пред-
представление допустимо и даже очень целесообразно, но вовсе не
Необходимо. Пока мы рассматриваем колебание струны и воздуш-
воздушную волну, зависимость смещения материальной точки v от неза-
независимых переменных х и t и вместе с тем все особенности
физического явления полностью представлены одной единствен-

90 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
.■ной функцией, и лишь при помощи некоторого произвола можно
разложить эту функцию на отдельные составные части. Поэтому
парциальные тоны не содержатся уже как нечто реальное в ко-
колебании струны или в воздушной волне, а отделяются друг от
лруга лишь в органе слуха.
Однако орган слуха чувствителен не только по отношению
к абсолютной величине числа колебаний, но реагирует также очень
характерным образом на отношение чисел колебаний двух звуко-
звуковых волн, одновременно попадающих на него: если это отноше-
отношение простое рациональное, т. е. может быть выражено отноше-
отношением двух небольших целых чисел, то орган слуха воспринимает
созвучие как приятное, гармоническое, коисонирующее. Абсолют-
Абсолютная высота обоих тонов не играет при этом роли. Поэтому рас-
расстояние между двумя различными тонами, музыкальный „интер-
„интервал", измеряется в акустике не по разности, а по отношению
чисел колебаний, или, что одинаково по существу, по разности
их логарифмов. Чем проще это отношение, тем совершеннее со-
созвучность (консонантность). Так как, на основании A88), числа
колебаний vn парциальных тонов колеблющейся струны относятся
между собой, как ряд натуральных чисел 1:2:3:4..., то тоны
с небольшим порядковым числом консонируют с основным тоном
и между собою и поэтому носят также название „гармонических
обертонов".
Самый простой интервал, кроме „однозвучия" (унисона) 1 :1.
есть отношение 2:1, или „октава". Здесь созвучие обоих тонов
настолько совершенно, что они часто сливаются в одно ощуще-
ощущение, и тогда даже опытный слух с трудом может, а то и вовсе не
я состоянии отличить их друг от друга. Затем следует отноше-
отношение 3 : 2, или „квинта", далее 4 : 3, или „кварта". Квинта и кварта
3 4 _
дают вместе октаву, так как •• — = 2.
2 3
Вообще, интервал, который дополняет другой интервал до ок-
октавы, называется „обращением" последнего. Поэтому кварта есть
обращение квинты. Затем следует отношение 5 : 4, или „большая
терция", и ее обращение 8 : 5, или „малая секста"; потом отноше-
отношение 6:5, или „малая терция" и ее обращение 5:3,— „большая
секста". Этим исчерпывается число интервалов, которые считают-
считаются консонирующими, если ограничиться интервалами, которые ле-
лежат в пределах одной октавы, т. е. меньше 2. Большие интервалы
приводятся к интервалам большим 2 путем деления на целые
степени 2.
Для обозначения тонов вся область тонов делится сперва на окта-
вы. При этом исходят от произвольного нормального тона, установ-
установленного с общего согласия. Согласно парижскому соглашению, это
тон vo=261, или с' с одним штрихом (нота „до" первой октавы,
в русском обозначении), который легко доступен для мужского

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 91
я женского голоса, а также для важнейших инструментов. Затем
идут с одной стороны октавы вверх до с'"", с пятью штрихами,
т. е. v — 261 • 24, с другой стороны вниз до малого с, большого С,
KOHTpaCj и субконтра Сц: v = 261 • 2~4. Звуковые волны, числа коле-
баний которых лежат вне указанных пределов, уже не производят
впечатления тона на наше ухо, а оказывают лишь механическое
действие, высокие — колющее, а низкие — дергающие. Область
тонов между с' (с одним штрихом) и с" (с двумя штрихами) на-
называется октавой с одним штрихом или первой октавой. Точно
так же всякая октава носит название того с, которое ограничивает
ее снизу. Все тона, которые отличаются на целое число октав,
обозначаются одинаковыми буквами, а положение самих октав
указывается так же, как и для различных с. Так, например, струна
с основным тоном С (самая толстая струна виолончели) имеет
следующие гармонические обертоны:
«=123456789 10...
парциальный тон: Сед с'е' у' с" d" е"
Обертоны п— 7, 11, 13, 14,... не употребляются в современной
музыке и не имеют поэтому особых обозначений. Но так называ-
называемая натуральная септима 7:4, ближайшая к малой септиме
9 : 5, благозвучнее последней; в этом можно отчетливо убедиться,
если иметь возможность сравнить слухом эти два интервала. Не-
Несомненно также, >что важная роль, которую играет в музыке так
называемый доминант-септаккорд (основной тон, большая терция,
квинта, малая септима), основана на том обстоятельстве, что
интервалы этого аккорда приблизительно выражаются отношения-
отношениями 4:5:6:7.
§ 42. Консонирующие интервалы образуют основу всей прак-
практической музыки. От этого закона природы искусство не может
безнаказанно отступить. Совокупность всех тонов, которую можно
получить, исходя or одного нормального тона v0 и двигаясь
определенными консонирующими интервалами, образует нату-
натуральную систему тонов. Числа колебаний тонов, принад-
принадлежащих к определенной системе, могут быть представлены при
помощи простого математического выражения. Если ограничиться
октавами, то числа колебаний имеют вид:
v = v0 ■ 2», A97)
где п обозначает какое-либо целое положительное или отри-
отрицательное число. Эти тоны отличаются от нормального тона на
Целое число октав и поэтому образуют совокупность, еще недо-
недостаточную для практической музыки. Если же присоединить к ним
квинты, то получатся тоны с числом колебаний:
v = v0 ■ 2" • 3*. A98)
где р также обозначает целое положительное или отрицательное
число. Все тоны, числа колебаний которых могут быть выражены

92 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
в виде A98), образуют пифагорей с кую систему тонов. Послед-
Последняя обнимает практически все воспроизводимые- тоны и, значит,
все интервалы, так как всякое число можно, хотя и неточно, но
с желаемым приближением, выразить при помощи A98). Так, на-
например, большая терция 5 : 4 может быть получена с практически
достаточным приближением при помощи четырех квинт вверх и
/3\4 /1\3 81
двух октав вниз.т.е. при помощи интервала! -) •(--J =—, так на-
называемой пифагорейской терции, которая несколько больше,
чем натуральная терция. Различие между этими двумя терциями
81 4 81
составляет - = —,—так называемая „синтоническая комма".
64 5 80
Увеличив число квинт и октав, можно, конечно, получить еще
лучшее совпадение. Однако в абсолютном смысле совершенно
невозможно получить интервал натуральной терции при помощи
квинт и октав, как бы ни увеличивать число ступеней, и в этом
смысле пифагорейская система тонов является неудовлетворитель-
неудовлетворительной. Лучше удовлетворяет теоретической потребности система
тонов, обогащенная терциями:
v = vo-2»-3p-5*, A99)
которая действительно послужила основой для музыки иа долгое
время.
Однако и эта система, подобно всем натуральным системам
тонов, имеет тот практически важный недостаток, что каждая из
них обнимает, строго говоря, неограниченное множество тонов,
между тем как практическая музыка, особенно после введения
инструментов с неизменными тонами (орган, пианино), вынуждена
обходиться при помощи ограниченного, не очень многочисленного
количества тонов. Но если произвольно оборвать систему тонов
на определенных значениях чисел п, р, q, т е. после определен-
определенного числа интервалов, то этим тоны на границах будут лишены
своей роли, так как невозможно будет итти от них вперед, между
тем как неограниченная возможность модулирования образует
основную потребность новой музыки. Этот недостаток оказался
настолько невыносимым в течение долгого времени, что было
принято решение пожертвовать для устранения его абсолютной
чистотой натуральной системы тонов и несколько изменить, „тем-
„темперировать", консонирующие интервалы. Из всех искусственных
систем тонов наиболее употребительной оказалась так называе-
называемая двенадцатиступенчатяя темперированная си-
система Иоганна-Себастиана Баха. В этой системе все
октавы, в качестве важнейших консонансов, абсолютно чисты,
зато квинты темперированы, исходя из того обстоятельства, что
/3\18
двенадцать квинт, т. ел — ), приблизительно равны семи октавам,

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 93
7 74
т. е. 27. Различие составляет (8/гI2" (*/а) ——?—так назы-
/о
ваемая „пифагорейская комма". Если в равной мере уменьшить
все эти двенадцать квинт так, чтобы они образовали ровно семь
октав, то условие для интервала х темперированной квинты
представится в виде уравнения:
x».QV=l, B00)
или же
х = 2i2 = 1,498.
Таким образом различие между чистой и темперированной
квинтой составляет всего
1,5:1,498--^
885
и непосредственно не воспринимается даже самым опытным слу-
слухом. Если распределить двенадцать соседних тонов, которые
получаются при помощи двенадцати темперированных квинт
и соответствующих октав, в пределах одной октавы, например
малой о тавы, от с до с', то последняя разделится на двенадцать
равных интервалов по следующей схеме:
2° Ф Ф 2" Ф 2^ 2^ Ф Ф Ф 2" 2^ 2"
с ci's — des d dis = ea t f fis — ges g gis ~*as a ais= d h c'
Определенные таким способом тоны образуют темперирован-
темперированную систему, которая повторяется совершенно одинаковым обра-
образом в каждой октаве.
Интервал между двумя соседними тонами есть темперирован-
темперированный полутон:
2n=1,0595.
Темперированная большая терция состоит из четырех полуто-
полутонов. Она больше натуральной терции, именно на
5 125
но меньше пифагорейской терции, так как последний интервал
81
меньше синтоническои коммы —.
80
Вполне естественное нежелание сознательно отказаться от
абсолютного соответствия природе нередко выражалось в тео-
теории консонирующих интервалов в виде возражений против тем-
темперированной настройки и в требованиях возвращения к нату-
натуральной настройке. Однако нужно иметь в виду, что вопрос

94 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
о признании такой настройки в практической музыке не является
предметом научного обсуждения. В искусстве решающую роль
играют не теоретические основания, а единственно только фак-
фактическое эстетическое воздейетвие. Поэтому преимущественное
положение будет занимать всегда та система тонов, которая
обладает наиболее действительными художественными способами
выражения. Натуральная настройка также лишь тогда восста-
восстановит свое практическое значение, когда явится художник, кото-
который в состоянии будет сказать больше и выразительнее на языке
натуральной настройки, чем можно было бы выразить другими
средствами.
§ 43. После этого отступления в область искусства возвра-
возвратимся снова к общей акустике. Обратим сперва внимание на сле-
следующий замечательный факт: когда ухо выделяет из попадающей
на него волны отдельные парциальные тоны, оно совершает в
сущности то же самое, что и математик, который по данной пери-
периодической, но произвольно сложной функции вычисляет отдельные
коэфициенты соответствующего ряда Фурье, Ап и Вп, при по-
помощи интегрирования, указанного в уравнениях A75). Раздраже-
Раздражения, на которые реагирует слуховой нерв, целиком во всех подроб-
подробностях заключаются в том возбуждении, которому подвергается
барабанная перепонка под влиянием падающей на нее волны.
Они вполне исчерпывающе изображаются при помощи единствен-
единственной функции времени f(t), которая дает смещение барабанной
перепонки от положения равновесия в каждый момент, а при ра ло-
жении звука в ухе на отдельные парциальные тоны происходит
разложение функции f(t) в ряд Фурье. Об этой удивительной
• способности органа слуха можно составить себе некоторое пред-
представление, если вспомнить, что опытный слух дирижера оказывается
в состоянии выделить из звуковой массы хора, сопровождаемого
оркестром, не только тоны и тембр отдельных инструментов, но
и отдельные буквы слов, которые поются. В этом отношении ухо
бесконечно превосходит глаз, так как мы всегда воспринимаем
какой-нибудь цвет,— белый, зеленый, голубой как нечто цельное
и совершенно не можем определить, состоит ли этот цвет из
других цветов и из каких именно.
Перед нами возникает теперь такой фундаментальный вопрос:
каким образом ухо в состоянии совершать такие действия и
какие физические явления лежат в основе разложения звука на
его парциальные тона? Ответ на этот вопрос дал Гельмгольц,
исходя из допущения, что с каждым субъективным процессом — ощу-
ощущением1 определенного парциального тона с числом колебаний»' —
всякий раз связан объективный процесс — маятни'кообразное ко-
колебание некоторого элементарного материального образования
во внутреннем ухе с тем же числом колебаний v,— и обратно.
Сколько различных парциальных тонов в состоянии ощущать
наш слух, столько же имеется внутри уха таких элементарных

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 95
цаятников. расположенных рядом, подобно струнам арфы. Когда
ррабанная перепонка совершает колебания f(t) под влиянием
в2даю1щй на нее воздушной волны, то парциальный тон v ощущает-
сЯ в том случае, если тот элементарный маятник, которому свой-
доенно число колебаний v, совершает заметные колебания при
сОтрясении барабанной перепонки. Таким образом вопрос о том,
содержится ли парциальный тон v в звуковой ролне /{/), сводится
до существу к вопросу, в состоянии лисила, величина которой f(f),
привести в заметные колебания маятник с периодом колеба-
вийт — —. На этот вопрос дает точный ответ общая механика
v
следующим образом.
Маятник с определенным периодом колебаний т — - может быть
изображен, согласно 1, § 13, при помощи материальной точки,
которая совершает небольшие колебания около положения устой-
устойчивого равновесия х = 0. Если колебания вызваны одним толчком,
а затем происходят без нарушения извне, то они следуют урав-
уравнению движения:
m" a =— 4я8шЛ, B01)
которое получается из уравнения [7,A5)], если выразить в нем
постоянную с через число колебаний v, на основании зависимости:
В этом случае маятник совершает „свободные" колебания, пе-
период которых называется поэтому „собственным" периодом коле-
колебаний маятника.
Но если на маятник действует, кроме того, внешняя сила, то-
оя совершает „вынужденные" колебания, согласно уравнению
йижееия:
т *! = _ AntmvSx + f(t). B03>
dt2
Вычислим сперва вынужденные колебания для частного слу-
случая, когда внешняя сила/(О — периодическая, т. е. имеет вид:
/ @ = С cos Bnv't + &), B04)
притом допущении, что в начальном состоянии при / = 0 маятник
покоится в состоянии равновесия, т. е. х = 0 и — - =* 0.
dt
Общее решение диференциального уравнения
т ЧЛ + 4 л*тЛ = С cos Bn>/1 + $) B05)

56 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
ашеет вид:
х = a cos Bnvt + &0) +/3 cos Bnv't + &). B06)
Если подставить это выражение для х в уравнение B05), то
аз левой части останутся только члены с /?. Поэтому получится;
между тем как а и #0 остаются неопределенными и поэтому пред.
■ставляют собою постоянные интегрирования. Если определить
их значения по начальным условиям и подставить их, а также
значение j8, в B06), то получится искомое колебание маятника:
х — ] — cos#cos23w/ +
47i2m(v2—v'2) [ v
B08)
Таким образом маятник совершает движение, которое состоит
вообще из двух колебаний с двумя различными периодами, числа
колебаний которых v и v' соответствуют собственному колеба-
нию и внешнему возбуждающему колебанию.
Однако исключение составляет тот случай, когда период воз-
возбуждающего колебания совпадает с периодом собственного коле-
колебания, так что ?/ = v. Тогда выражение B08) принимает вид:
Истинное значение последнего получится, если положить / = v+
4- Av, разложить числитель и знаменатель по степеням Av и пе-
перейти к пределу Av = 0:
X = —(L— . Wnvi sin {1тЧ +&■) — sin 2nut sin *|. B09)
Конечно, можно и непосредственно убедиться в том, что вы-
выражение B09) удовлетворяет как начальным условиям, так и ди
ференциальн'ому уравнению B05) при v' — v.
Это движение маятника, ввиду того, что перед синусом стой
множитель t, совершенно отлично от движения, изображаемого
формулой B08), не только по закону движения, но даже по по-
порядку величины: оно не состоит из периодических колебаний;
а бесконечно возрастает с течением времени. Отсюда следуй
что внешняя периодическая сила с произвольно малой амплиту"
Дой С, если только период силы совпадает с собственным пер'
Дом- маятника, может с течением мремени произвести более
значительное действие, чем любая произвольно большая сила
с каким-либо другим периодом. Тогда говорят, что возбуждаю-
возбуждающая сила находится в резонансе с маятником. Резонанс дает
объяснение многих замечательных явлений природы, —разумеется,
не только в области акустики. Когда слабая звуковая волна

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 97
приводит в звучание зубцы большого камертона, или когда ребе-
ребенок приводит в сильное колебание многопудовый колокол, или
когда крепкий мост начинает совершать опасные колебания под
влиянием идущих вногулодей, то все это — явления резонанса.
Естественно допустить, что подобно тому, как бывает в акустике
и электродинамике, также и в химии и даже в биологии интен-
интенсивность некоторых реакций сводится по существу к явлению
резонанса.
Сделаем теперь более общее допущ°ние, что сила, колеблю-
колеблющая маятник, не просто периодична, а состоит из ряда простых
периодических колебаний, т. е. может быть выражена при помощи
ряда Фурье. Как нам известно, это представляет собою наибо-
наиболее общий случай. Тогда колебания маятника будут бесконечно
возрастать с течением времени в зависимости от того, содер-
содержится ли в ряде Фурье член с собственными колебаниями
маятника. Величина коэфициента этого члена по сравнению с дру-
другими членами ряда Фурье не играет при этом роли. По тому,
как маятник реагирует на возбуждающее колебание, можно опре-
определить, имеется ли соответствующий член в ряде Фурье. Таким
образом маятник служит для анализа ряда при помощи резо-
резонанса, поэтому он называется также „резонатором". Резонатор
заметно отзывается только на то колебание, которое соответ-
соответствует его собственному периоду, поэтому действие его избира-
избирательное, „селективное". Благодаря явлению резонанса, отдельные
члены ряда Фурье также получают физическое значение, между
тем как до сих пор физически опред -лена была только их сумма.
Подойдем теперь еще ближе к количественному взаимоотно-
взаимоотношению между возбуждающей силой f(t) и энерги й вызванного
ею колебания резонатора. Рассмотрим процесс в течение опре-
дел> иного промежутка времени. Допустим, что возбуждающая
сила /,f) настолько слаба, что в течение этого промежутка вре-
времени маятник колеблется почт i как свободный, т. е. периоди-
периодически. Тогда изменение колебательной энергии Е (кинетической
и потенциальной вместе) в течение элемента времени dt равно,
согласно [7, C93)]:
dE = F.-dx = f(t)-dx.
или
dE = f(t)d*dt.
dt
Поэтому изменение энергии за время от t до V равно:
ftdt. B10)
t
t
Смотря по тому, как выражаются отклонения маягника х во
время рассматриваемого промежутка времени — через cos2nvt или
' Ннеденис s теоретическую физику

98 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
через sin 2nvt, производная — пропорциональна sin vt или
dt
а интеграл B10) принимает такой же вид, как интегралы A75),
служащие для вычисления коэфициентов ряда Фурье для функ-
функции f(t), с той лишь разницей, что там переменная интегрирования
обозначена через х, а здесь через t. Представим себе длиннь й ряд
таких маятников-резонаторов с соответственно подобранными
периодами колебаний и фазами и подвергнем их одновременно
действию одной и той же возбуждающей силы/@- Тогда энергия
колебаний каждого маятника укажет величину соответствующего
коэфициента разложения f(t) в ряд Фурье. Согласно Гельм-
гольцу, этот процесс одинаков по существу с тем процессом,
который происходит в ухе, когда каждое из слуховых волокон,
отзывающееся на определенное число колебаний, воспринимает,
благодаря резонансу, свой.тон из колебаний барабанной перепонки
и передает его чувствительным нервам. Отсюда мы видим, что
слух не только производит такое разложение звуковой волны, кото-
которое, как мы видели в начале параграфа, соответствует превращению
этой волны в сумму простых периодических волн, но что природа
пользуется при этом тем же самым методом, как и математика,
ибо последнее уравнение B10) есть не что иное, как механическая ил-
иллюстрация математического определения коэфициентов рядавA75).
Благодаря этому нам становится физически совершенно понятной
способность уха разлагать звук на отдельные тоны.
Другой принципиа. ьно важный вопрос—это объяснение свое-
своеобразного созвучного действия koi сонирующих интервалов. По
этому вопросу Гельмгольц также разработал теорию, согласно
которой понятие консо анса возникло не из бессознательно
мистического удовлетворения, которое слуховой нерв испытывает
при появлении простых рациональных числовых отношений, но
что и здесь также играют решительную роль вполне определен-
определенные реальные физически определимые обстоятельства, которые
вызывают удовольствие в случае консонанса и неудовольствие
в случае диссонанса. Кратким обсуждением этой теории мы и зай-
займемся в ближайшей главе, в которой будет итти речь об акусти-
акустических звуковых волнах (§ 46).
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
§ 44. Жидкости и газы могут быть выделены как частный слу-
случай среди совершенно упругих изотропных тел (§ 21), так кяк
в них все три главные давления (§ 20) равны. Отсюда следует, что
на каждый элемент поверхности действует перпендикулярное

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ 99
к нему давление Хв = Yv=Zt = p, не зависящее от расположения
элемента поверхности и положительное, если тело подвергается
сжатию. Так как тангенциальные давления обращаются в нуль,
то постоянная упругости в уравнениях A19) также равна нулю,
и давление зависит только от объема или же от плотности:
Р = /(*)• B11)
Вид функции / зависит от природы тела. Для капельных жид-
жидкостей р чрезвычайно сильно изменяется при изменении к, поэтому
удобнее представить к в виде функции от р. Предельный случай
образуют несжимаемые жидкости, для которых к постоянно. Под-
Подробнее о виде функций / мы будем говорить позднее, при обсуж-
обсуждении конечных деформаций (§ 56).
В интересах общности мы распространим последующие иссле-
исследования как на капельные жидкости, так и на газы. Для этого мы
воспользуемся обобщением уравнений A19), которое мы уже ввели
в § 33, а именно мы положим, что в недеформированном состоя-
состоянии (о = 0) давление р не равно нулю, а равно р0, так как газ
в устойчивом равновесии всегда обладает конечным давлением.
Тогда шесть уравнений A19) обратятся в одно уравнение:
р = Ро — Ха. B12)
Коэфициент упругости X зависит от сжимаемости, так как
— а 1
Р — Ро X'
B13)
и может быть вычислен при всяком состоянии вещества, если
дана функция / в уравнении B11). Так кяк масса элемента тела
объема dV не изменяется, тб для бесконечно малого расширения
объема da существует соотношение:
dV - к = dV (I + о) • (к + dk). B13а)
Поэтому
и из <213):
Х=к% B14)
dk
Так как жидкое и газообразное состояние можно рассматри-
рассматривать как частный случай твердого состояния, то мы выведем
уравнения движения непосредственно из } равнений для твердых
тел и при этом также опустим силы тяготения. Тогда из A47)
и B12) получится:
д±д **Ь
±=х к=х к?_хда B15)
dt* дх дР ду dt* дг

100 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
или же, в векториальной форме, если еще ввести постоянную:
к dk
лолучится:
q=ds-grad<r. B16)
Произведем над этим уравнением векторное действие rot (§ 13).
Ввиду F5), следует:
Проинтегрировав это уравнение дважды по t, получим:
о = с^ + с2.
Отсюда следует, что составляющие вращения мятериальной
частицы §, г}, f суть линейные функции времени. Значит, враще-
вращение возрастает с течением времени до бесконечности, если только
вектор сх не равен нулю. Так как мы намерены заняться беско-
бесконечно малыми колебаниями около положении равновесия и поэтому
постоянное во времени вращение также не представляет для нас
интереса, то мы ограничимся рассмотрением случая, когда обе
постоянные сх и с2 обращаются в нуль и тогда
o = rotq = 0. B17)
Общее решение этого диференциального уравнения равно:
q = — gradp, B18)
где ц> обозначает некоторую скалярную функцию места и времени.
Эта функция находится в таком же соотношении к век/гору смеще-
смещения q, в киком потенциал U находится к силовому вектору F,
согласно [1, A21)]. Поэтому можно назвать д> „ потенциял> м смеще-
смещение". Таким образом существов жие потенциала смещения равно-
равнозначно с условием, чтобы при смещении не происходило вращений
Как видно из уравнения B18), ь ветичине потенциал;) смещения д>
аддитивная функция времени не имеет физического значения и
поэтому может быть определена только np^t помощи произволь-
произвольного допущения.
Если потенциал смещения д> известен как функция х, У, z, t,
то отсюда однозначно следуют «се подробно, ти движения. Прежде
всего, из уравнения B18) получим для скороаи:
q = — grad q>. B19)
Таким образом скорость также имеет потенциал: „потенциал
Скорости". Далее, для объемного расширения следует из F6):
<r=divq= — divgrady = — Дд>, B20)

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ 101
и для изменения давления следует из B12):
Р — Ро = — л<> = Д- А<р. B21)
Поэтому вся задача сводится к нахождению потенциала сме-
смещения. Для этого служит следующее диференциальное уравнение,
вытекающее из уравнений движения B16):
которое после интегрирования по трем координатным направле-
направлениям примет вид:
Ф = & Ад>. B22)
Как легко убедиться при помощи диференцирования, уравне-
уравнение B22) имеет место не только для потенциала смещения <р, но
и для каждого из компон нюв смещения и скорости, а также для
объемного расширения а и для давления р. Это уравнение пред-
представляет собою обобщение уравнения A55) для колебаний натя-
натянутой струны и поэтому называется также пространственным
„волновым уравнением". Конечно, постоянная а также играет при
этом роль скорости распространения. Однако волны, которые мы
здесь будем ра смат ривать, существенно отличаются от волны
поперечно колеблющейся струны, так как здесь упругие действия
обусловливаются не вращениями, а изменениями плотности я
давления.
Как уже было сказано при обсуждении проблем статики (§ 28),
нас всегда меньше интересует с физической точки зрения общее
решение характеристического диференциального уравнения, чем
такие частные решения, которые возможно больше соответствуют
известным важным процессам в природе. В дальнейшем мы зай-
займемся некоторыми такими решениями.
§ 45. Самое простое частное решение диференциального урав-
уравнение B2/) получается в том случае, когда функция <р зависит
только от одной пространственной переменной, например от х.
Тогда уравнение B22) приводится к простому виду A55) и по-
поэтому представляет две волны, которые распространяются со
скоростью а в направлении положительной и отрицательной оси х.
Так как физическое состояние всех материальных частиц, лежа-
лежащих в какой-либо плоскости, перпендикулярной к оси х, совер-
совершенно, одинаково, то эти волны называются плоскими волнами,
каждая плоскость х= const называется „волновой плоскостью",
а перпендикулярное к ней направление х— „волновой нормалью".
Вид волн определяется начальным состоянием и пограничными
условиями. Так как потенциал смещения зависит, кроме времени,
только от х, то из трех составляющих смещения только и не равно
нулю. Поэтому колебания происходят в направлении распростра-
распространения. Такие волны, в противоположность рассмотренным в пре-
предыдущей главе поперечным колебаниям струны, являются
продольными.

102 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Плоские волны можно приблизительно осуществить, заключив
жидкость или газ, например воздух, в длинный достаточно узкий
цилиндр. Такой цилиндр служит „трубой", нормальные сечения
суть волновые плоскости, а колебания воздуха происходят исклю-
исключительно в продольном направлении, которое мы примем за ось х,
по тем же законам, с которыми мы познакомились при и (учении
колебаний струны. Поэтому мы можем и не останавливаться на
подробностях. Только введение пограничных условий требует
особого обсуждения. Конец какой-либо трубы может быть открыт
или закрыт. В последнем случае на конце и = 0, так как воздух
не может ни войти в стенку сосуда, ни выйти из нее. Это погра-
пограничное условие соответствует струне, закрепленной на одном
конце. А в первом случае у открытого сечения, на основании
принципа равенства действия и противодействия, давление колеб-
колеблющегося в струне воздуха на внешний атмосфе ный воздух р,
равно давлению атмосферы на воздух в трубе, следовательно,
постоянно равно р0, т. е. о = 0, или плотность постоянна во вре-
времени. Отсюда однозначно получаются законы колебаний воздуха
в открытых и закрытых трубах.
Если труба закрыта с обоих концов, то мы имеем, как
в § 40, стоячие колебания вида A94), где нужно только подста-
подставить и вместо v. Колебания могу г быть вызваны сотрясением
извне или при помощи небольшого отверстия для дутья. На каждом
конце трубы находится узел смешения и и скорости й. По юже-
ние остальных узлов для п го парциального колебания дано в A96а).
Посредине между двумя соседними узлами находится пучность.
Что касается объемного расширения, то на основании A94) полу-
получается:
а = — ^ —~ V1 пСп sin ( 1- &п I • cos — . B23)
дх I Ami \ I ) I
Отсюда видно, что объемное расширение, а вместе с тем и коле-
колебание давления имеют пучность на обоих концах трубы и что
узлы объемного расширения а — О, т. е. те места, в которых плот-
плотность и давление остаются постоянными, совпадают с пучностями
смещения и скорости, посредине между узлами последних.
Представим себе, что колеблющаяся труба разрезана в таком
узле расширения а = 0, и отвер.тие сообщается со свободной
атмосферой. Это совершенно не нарушает колебаний ни в одной
из половин трубы, так как установленное выше предельное усло-
условие осуществлено в отверстии. Отсюда следует закон колебаний
в открытой или частью открытой трубе.
Если труба открыта с обоих концов, то на каждом конце
находится узел объемного расширения и пучность смещения. Ряд
парциальных тонов такой же, как у закрытой с обоих концов
трубы или у струны, закрепленной на обоих концах, только узлы

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ 103
и пучности поменялись ролями. При основном колебании а имеет
единственную пучность, и имеет единственный узел посредине
трубы.
Совершенно инойзакон парциальных тонов получается для тру-
трубы, закрытой с одного концам открытой с другого. Здесь
смещение и имеет на одном конце узел, а на другом конце пуч-
пучность. Поэтому в такой трубе главное колебание не имеет по-
посредине ни узла, ни пучности. Для главного колебания в этом
случае вся длина трубы равна расстоянию между узлом и пуч-
пучностью, т. е. равна половине расстояния между двумя соседними
узлами в более длинной трубе, которая совершает такое же стоя-
стоячее колебание. Таким образом труба, закрытая на одном конце,
обладает таким же основным колебанием, как и труба, открытая
с двух концов или, закрытая с двух концов, но двойной длины.
Для обертонов трубы, закрытой на одном конце, длина трубы
содержит нечетное кратное расстояния между узлом и пучностью.
Отсюда следует, что числа колебаний парциальных тонов отно-
относятся как нечетные целые числа 1:3:5:7.
§ 46. В открытом воздухе также могут быть приблизительно
осуществлены плоские волны, если звуковая волна занимает срав-
сравнительно небольшое пространство и точка воздействия G, § 35)
достаточно удалена от источника звука. Тогда расстояние х между
точкой воздействия и источником звука представляет собою нор-
нормаль к волне, и для простого тона с числом колебаний v = - и
длиной волны Я мы имеем, как и в A90), частное решение урав-
уравнения B22) в виде:
<р = С cos UJvt — -Vf- А B24)
где между т, v и А существуют соотношения A89). Сложив не-
несколько таких частных решений, мы получим более общее реше-
даие, которое соответствует тому случаю, когда несколько звуко-
рых волн одновременно попадает в ухо по одному направлению.
Ьсобый интерес представляет случай, когда взаимодействуют два
тона одинаковой интенсивности и с мало отличающимися числами
Колебаний v и v'. Тогда мы имеем для колебания в точке, которую
Мы примем для простоты за начало координат:
<р = С cos Bnvt + &) + С cos Bnv't + &'),
или
\ 2 2 / \ 2 2 j
Цели v' — v мало по сравнению с v, то первый косинус в B25)

104 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
медленно изменяется с течением времени, и пройдет много коле-
колебаний отдельных тонов, пока заметно изменится его величина.
Поэтому колебание B25) действует на ухо так же, как колебание
одного тона с переменной амплитудой
С, = 2С cos f,2n ?-^-1 + ^=^Л A26)
\ 2 2 J
и числом колебаний , равным среднему арифметическому из
чисел колебаний отдельных тонов. В этом случае слышится опре-
определенный тон, интенсивность которого медленно и периодически
колеблется между нулем и максимумом. Эти колебания интен-
интенсивности называются „биениями" обоих совпадающих тонов, их
максимумы называются „толчками" биений. Частота биений за-
зависит от времени между двумя последовательными нулевыми
значениями Ct, число их составляет v' — v в единицу времени.
Чем ближе друг к другу оба тона, тем • медленнее и отчетливее
становятся биения. Когда тона расходятся, биения становятся
частыми и менее заметными. Поэтому биения представляют пре-
прекрасное средство, для того чтобы испытать при помощи слуха не
только различие двух почти одинаковых тонов, но также откло-
отклонение от полного консонанса двух музыкальных тонов, близких
к консонансу, ибо при двух почти консонирующих музыкальных
тонах (звучаниях) возникают б\ ения, конечно, не основных тонов,
но отдельных пар, содержащихся в звучаниях парциальных тонов.
Так, например, при расстроенной октаве первый обертон более
низкого звука дает биения с основным тоном более высокого
звука, при расстроенной квинте второй обертон более низкого
звука дает биения с первым обертоном более высокого звука.
Поэтому значительно легче настроить инструменты в натуральной
системе тонов, чем в темперированной системе.
Эти биения по Гельмгольиу и составляют физическую основу
для противоположения консонанса и диссонанса, ибо'для всех
органов чувств установлен факт, что прерывистые раздражения,
при известной частоте, действуют назойливо, утомительно, непри-
неприятно. Достаточно вспомнить, например, чтение при мигающем
освещении или некоторые виды световой рекламы. Подобным же
образом и слуховой нерв страдает от трескучих, щелкающих,
тремолирующих звуков, если частота следования их достигает
определенной степени. Если она заметно превзойдена, то ухо
уже не в состоянии различить отдельные толчки, и неприятное
чувство ослабевает. Если, с другой стороны, биения становятся
очень медленными, то слуху легче следовать за повышением я
понижением силы звука; в тот момент, когда интервал междУ
двумя постепенно сближающимися тонами переходит в созвучие,
и биения становятся все медленнее, теряясь в бесконечности.

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ 105
слух испытывает облегчение, а иногда даже своего рода наслаж-
наслаждение.
Такие же явления, как и при созвучии двух тонов, происхо-
происходят согласно изложенному и при совпадении обертонов двух
консонирующих звучаний. Поэтому неприятное чувство при слу-
слушании диссонирующего интервала и удовольствие при слушании
консонирующего интервала могут быть также приведены в связь
с появлением и исчезновением неприятно действующих биений.
Согласно этой точке зрения, гармония, основанная на консо-
консонансе, лишается своего мистического характера, и особый харак-
характер соответствующего слухового ощущения сводится к физико-
физиологическим процессам.
§ 47. Можно получить еще одно довольно простое решение
волнового уравнения B22), если предположить, что потенциал
смещения зависит, кроме времени, только от расстояния
r = j/x2+y2 + za
между точкой воздействии (х, у, г) и началом координат. Тогда
согласно [7, A10)]:
дd дd
дд> dtp дг dtp x
дх дг дх дг
дх2 дг2 г2 дг г дг г*
- д\ d*q> „
Аналогичные выражения получаются для — - и —-. Поэтому
ду% Ьг%
Дд> преобразуется следующим образом:
д2д> 2 dtp 1 д
дг2 г дг г дг
и волновое уравнение B22) можно написать в таком виде:
-*.
dt2 дг2
Последнее уравнение имеет такой же вид, как и A55), и по-
поэтому имеет общее решение, согласно A57):
r9 = f(r + at) + g(r — af). B29)
Это — две шаровые волны (сферические волны), из кото-
которых одна распространяется внутрь, а другая — наружу, обе со
скоростью а. Но, в отличие от плоских волн, здесь распростра-
распространяется неизменным не потенциал смещения, а произведение
его иа г.

106 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим сперва шаровую волну, распространяющуюся на-
наружу, т. е. положим / = 0. Тогда
Я> = ~ • g(r—at). B30)
Для того чтобы волновая функция g была конечной, необхо-
необходимо, чтобы, при г = 0, 5» было бесконечно велико. Стало быть,
начало координат есть особенная точка этой волны. Поэтому
при реализации волны начало координат должно быть исключено
из области колеблющейся жидкости (воздуха). В действительно-
действительности, в этом месте находится источник звука. Можно представить
себе, например, что источником звука служит шар, окруженный
со всех сторон жидкостью и сделанный из какого нибудь упру-
упругого твердого вещества. Под влиянием какого нибудь внутреннего
механизма объем этого шара попеременно увеличивается и умень-
уменьшается по какому-нибудь закону, — так называемый „пульсирую-
„пульсирующий" шар. Последний передает свои колебания непосредственно
примыкающей к нему жидкости. Это пограничное условие опреде-
определяет вид волновой функции g. С другой стороны, величина
смещения q на границе получается из потенциала смещения, на
основании B18) и B30). Смещение происходит в радиальном на-
направлении, поэтому такие шаровые волны продольны. Неличина
смещения убывает с увеличением расстояния от источника звука.
Можно обобщить частное решение B30) волнового уравнения
B22), сложив несколько таких решений. Потенциал смещения
выразится в виде:
9=~-gi{r1-at)+l-g,(rt-at) + ... B31)
где fj, rt,...—расстояния точки воздействия от некоторых не-
неподвижных центров; gx, g2,...—некоторые функции одного ар-
аргумента. Это движение жидкости вызывается взаимодействием
нескольких шаров, пульсирующих в ней по любым законам,
если шары так далеки друг от друга, что можно пренебречь
возмущениями, которые претерпевают пограничные условия на
поверхности какого-либо шара под влиянием волны, исходящей
из других шаров.
Возьмем в частном случае два шара и положим gt = g2 — ё-
Тогда получится:
9 = у■ g <Гг - at) + I g (г, - at). B32)
гг га
Этот случай может быть осуществлен также другим интерес-
интересным образом. Проведем плоскость симметрии обоих центров
*! — О и г2 = 0, т. е. такую плоскость, которая перпендикулярна
к прямой, соединяющей оба центра, в ее середине. Тогда для

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ 107
каждой точки воздействия, лежащей в этой плоскости симмет-
симметрии, смещение q = qt + q2 произойдет в этой же плоскости, так
как равнодействующая обоих равных друг другу радиальных
смещений цг и q2 делит пополам угол между ними (черт. 9;-. Если
в плоскости симметрии поместить твердую стену, то это нисколько
не нарушит процесса движения, так как предельное условие для
твердой стены, чтобы компонент смещения
б
р
направлении нормали к стене обратился в
С
H
I
\
\
ч
нуль, уже осуществлено повсюду. Следова-
Следовательно, движение будет происходить совер-
совершенно одинаковым образом, если поместить ск in
твердую стену и вовсе удалить половину про- 2 I
странства с источником звука 2. Или, другими
словами: твердая плоская стена, противопо-
противопоставленная источнику звука, действует совер-
совершенно так же, как и зеркальное изображение
источника звука относительно стены.
Теперь рассмотрим шаровую волну, рас- —4
пространяющуюся внутрь и представленную
функцией f(r+at) в уравнении B29). Ее можно Черт. 9.
представить себе осуществленной при помощи
большого тонкостенного полого шара, наполненного воздухом,
который попеременно сжимается и растягивается каким-либо внеш-
внешним механизмом. Все подробности процесса однозначно определены
уравнением B29) в связи с начальными и пограничными условиями.
Особый интерес представляет здесь такой вопрос: что произойдет
с какой нибудь заданной распространяющейся внутрь шаровой
волной, когда она достигнет центра шара г = 0? Чтобы ответить
на этот вопрос, допустим, что в начальный момент, t =» 0, суще-
существует только одна идущэя внутрь волна / (г) произвольного задан-
заданного вида. Так как центр шара находится в жидкости, то для
него также имеет место уравнение B29). Так как в природе не
встречается бесконечно больших смещений, то при г = 0 потен-
потенциал смещения также конечен, и мы имеем во всякий момент:
или, если написать at— г вместо at:
Подставив это выражение в B29), получим:
r)-f(at—r). B33)
Таким образом в центре шара происходит своего рода отра-
отражение шаровой волны, подобно тому явлению, которое мы рас-
рассмотрели в § 37 в связи с уравнением A68). Волна, распростра-
вяющаяся внутрь, превращается в противоположную волну, рас-
распространяющуюся наружу, или, как можно выразиться, шаровар

108 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
волна проходит сама сквозь себя в центре шара. Уравнение B33)
не находится в противоречии со сделанным нами дспушенке:,!,
что в начале движения имеется только одна волна, распространя-
распространяющаяся внутрь, ибо функция / (г), которая изображает вид волны
при t = 0, определена только для положительных значений г,
между тем как в уравнении B33) рассматриваются также отри-
цательные значения аргумента at — г. Поэтому достаточно лишь
допустить, что функция / равна кулю при всех отрицательных
значениях аргумента, и мы можем однозначно вывести из урав-
уравнения B33) весь ход движения для данного случая.
Действительно, тогда при I = 0:
и волна, распространяющаяся наружу, также исчезает при всех
значениях << —. Это значит, что отраженная волна попадает на
точку воздействия г лишь после тою, как пройдет путь от центра
шара до точки воздействия со скоростью а.
§ 48. Теория шаровых волн дает нам еще одно решение об-
общего волнового уравнения B22) для неограниченной со всех
сторон жидкости. Проинтегрируем сперва это уравнение по не-
некоторому объему жидкости, обозначив элемент объема через dr.
Тогда получим, принимая во внимание преобразование (82):
<pdT=—a* \-T'do. B34)
Возьмем в качестве области интегрирования шар с центром
в начале координат и радиусом г и введем полярные координаты
q, #, у> U, (92)]. Тогда, согласно [7, (93)]:
dx = q4q dii, B35)
причем для сокращения мы обозначили
sin & ■ d& • dip = du, B36)
dQ.— „телесный угол" конуса, определенного диференциалами
d-& и dip Он измеряется участком поверхности, который вырезы-
вырезывается конусом из поверхности шара с центром в начале коор"
динат и радиусом, равным единице. Далее,
d6 = r~-dQ, v = — q. B37)
Следовательно,
'yQ4QdQ=a*AG)dQ. B38)
Интегрирование по Q производится в обеих частях уравнения
# = 0 до# = г1иоту> = 0 до^> = 2л, кроме того, в лево»

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ 109
части по q от 0 до г. Значок г в правой части показывает, что
после дифференцирования нужно подставить q = г.
Введем теперь среднее значение потенциала смещэния
на определенном расстоянии q or начала, т. е. сумму произведе-
произведений значений <р во всех элементах поверхности uiipa на площади
■этих элементов, разделенную на сумму всех элементов площади,
т. е. на поверхность всего шара:
Тогда можно написать предыдущее уравнение в таком виде:
Если продиференцировать его по г, то получится:
где нужно полагать, что в выражение <р подставлено г вместо Q.
Но это уравнение одинаково с волновым уравнением:
и дает нам такую теорему: при любом колебательном процессе
в жидкости законы шаровых волн имеют место для средних зна-
значений потенциала смещения, отнесенных к поверхности шара,
оаисанно'О около любой точки жидкости, принятой за начало.
В частности, для шаровых волн <р — <р, и B40) совпадает с B28).
Интересное следствие получается из B40), если применить
его к преде |ьноиу случаю несжимаемой жидкости, для которой,
Cor iacno (Л5), скорость распространения а становится равной
бесконечности. Тогда полное уравнение B22) переходит в урав-
йение Д<р — 0. т. е. в уравнение Лапласа [1, A29)], а уравнение
B40) переходит в уравнение
10
дг*
общее решение которого равно:
г<р = А + Вг,
Пли
¥=- + В. B41)

110 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Так как, при г *= 0, <р конечно, то А = 0, и
9=* В. B42)
Это значит, что функция <р, которая удовлетворяет уравнению
Лапласа, например потенциальная функция тяготеющих масс
вне этих масс, обладает таким свойством, что средние значения
ее на поверхностях ряда концентрических шаров равны между
собою, стало быть, равны значению в центре. Отсюда следует
также, что функция не может иметь абсолютного максимума или
абсолютного минимума ни в одной точке пространства, а на
основании G, § 41) вытекает, что вне системы тяготеющих масс
никогда не может существовать места абсолютно устойчивого
или абсолютно неустойчивого равнове< ия.
§ 49. Мы можем пользоваться законом, выраженным в урав-
уравнении BiO), для того чтобы вычислить по заданному начальному
состоянью потенциал смещения какой-нибудь массы жидкости,
занимающей достаточно большой объем, в любой точке жидкости,
принятой за начало координат, для любого момента времени.
Прежде всего, из B40) следует общий интеграл:
— at),
или, так как <р остается конечным при г = 0, совершенно по-
подобно B33) для шаровых волн:
ry=f(at + r)—f(at-r). B43)
Вид функции / получается однозначно из условий начального
состояния. Для характеристики его мы можем допустить, что
при < = 0 потенциал смещения д>, а также его произво шая по
времени <р даны как функции места, ибо <р определяется, кроме
несущественной аддитивной постоянной, по смещению q из B18),
• ■
а д> определяется по скорости q из B19).
Поэтому напишем:
9>0 = F(r,&,ip), д>0 = Ф(г,&,гр), B44)
полагая, что F и Ф даны. Тогда нужно считать заданными функци-
функциями г также:
¥0=F{r), 9>«=Ф(г). B45)
С другой стороны, продиференцировав B43) по /, получим:
rv = af'(at + r)~ af'{at—r). B46)
Следовательно, при t = 0, на основании B43), B46) и B45):
r_F=/(r)-/(-r). B47)
гФ=аГ(г)—аП-г). B48)

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ 111
Интегрирование последнего уравнения дает:
Отсюда, в связи с B47):
/ (± г) = — {— f гФ+йггр]. B49)
Таким образом функция / определена для всех положитель-
положительных и отрицательных значений аргумента, а вместе с тем, со-
согласно B43), <р непосредственно дано как функция г и t. Аддитив-
Аддитивная постоянная в интеграле совершенно произвольна и не ока-
оказывает влияния на значение <р.
Из выражения <р при произвольном г и произвольном /можно
вывести также значение <pt(p) при г = 0. Так как, согласно B43),
и, согласно B49),
то для всех положительных значений t следует:
9t @) = 1Ф (at) + ^
Это уравнение дает потенциал смещения <р в какой-нибудь
точке жидкости в какой-нибудь момент t, в зависимости от зна-
значений B44) для <р и <р при t = 0 на поверхности шара, описан-
описанного вокруг точки радиусом at. Например, если колебания вы-
вызываются возмущением равновесия, которое сначала ограничено
замкнутой областью жидкости, „очагом возмущения", то какая-
нибудь точка, находящаяся вне очага возмущения, подвергнется
волне возмущения лишь по истечении промежутка времени, не-
необходимого для того, чтобы расстояние до ближайшей точки
очага возмущения могло быть пройдено со скоростью а. С дру-
другой стороны, движение прекратится вполне лишь по истечении
проь'ежу^ка времени, в течение которого может быть пройдено
со скоростью а расстояние до самой отдаленной точки очага воз-
возмущения. То же самое относится и к точке, лежащей внутри
Очага возмущения. Итак, начальное возмущение распространяется
во все стороны от очага с начальной скоростью а, а внутри
Жидкости образуется непрерывно увеличивающаяся область покоя.

112 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
начиная с той точки, расстояние которой от наиболее удаленной
точки очага возмущения наименьшее.
Уравнение B50) относится не только к потенциалу смещения,
но и к каждому компоненту смещения или скорости, а также
к объемному расширению и давлению и вообще к каждой вели-
величине, которая удовлетворяет волновому уравнению B22).
§ 60. В заключение исследуем влияние, которое оказывает
движение источника звука или наблюдателя на высоту слы-
слышимого тона. Существование такого влияния следует из того, что
высота тона обусловлена числом волн, попадающих в ухо в те-
течение единицы времени, а это число зависит от того, остается
ли неизменным расстояние между наблюдателем и источником
ввука, или изменяется. Но было бы неправильно предположить,
что высота тона зависит только от относительного движения
источника звука и наблюдателя. Положим, например, что источ-
источник звука неподвижен, а наблюдатель удаляется от него со ско-
скоростью звука; тогда наблюдатель вовсе ничего не услышит, так
как звуковые волны не достигают его. Но зато звуковые волны
всегда достигнут наблюдателя, если он сам неподвижен, а источ-
источник звука удаляется от него с любой скоростью. Основание для
этого различия состоит не в том, что оно имеет какое-либо отно-
отношение к абсолютному движению,— „абсолютное" движение
вообще не имеет смысла,— а в следующем обстоятельстве: при
распространении звука играет существенную роль та среда, в
которой звук распространяется, например волдух, и поэтому
необходимо принимать со внимание движение относительно воз-
воздуха. Правила, которые определяют это явление, обычно форму-
формулируются под назва-
д д> О Я' нием „принципа Доп-
j————— ■ -£—-i »-х плера ", хотя мы имеем
5~*" ~о*" здесь дело, очевидно, не
° с принципом, а просто
Черт. 10. с элементарными пра-
правилами кинематики.
Допустим, что источник звука Q, который испускает в еди-
единицу времени vg колебаний, и наблюгатель В оба дв жутся вдоль
оси х. первый со скоростью д0, второй — со скоростью д относи-
относительно воздуха, который мы считаем неподвижным. Источник
звука находится с положительной стороны (справа) от В- Тогда
в случае q~>q0 наблюдатель приближается к источнику звука.
Каково будет число колебаний тона, слышимого теперь наблю-
наблюдателем?
Рассмотрим сперва ччстный случай, когда источник Q непод-
неподвижен, а наэчюдчтель В приб/шжлегся к нему со скоргктью Ч-
В едчнмцу времени наблюдатель проходит расстояние ВВ' = Ч-
Если бы он оставался в В, то за это время до него дошло бы
v0 волн. Но так как он двигался навстречу волнам, то, кроме

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ 113
этих v0 волн до него дошли также все те волны, которые укла-
q .-v0
дываются на расстоянии ВВ', т. е, , или, согласно A8 ?\, волн.
'•о
Следовательно, число колебаний слышимого тона равно
а -\- q
■■ , ■ B51)
Теперь сделаем более общее допущение, что источник звука Q
также движется направо со скоростью q0. Тогда источник придет
по истечении единицы времени в точку Q', причем QQ' = q0. Из
звуковых волн, которые вышли в течение этого времени от ис-
источника по направлению к В, первая волна прошла расстояние
п от Q, а последняя находится в точке Q'. Все это расстояние
fi-[-0o равномерно заполнено волнами. Так как имеется всего vo
волн, то длина волны равна ——Д. Если подставить эту длину
vo
волны I в уравнение B51) вместо Я0) то мы получим число коле-
колебаний слышимого тона:
v=a + 9.v B52)
a+q0
Полученная формула представляет собою общее выражение
принципа Допплера для рассмотренного случая. Если, например,
наблюдатель и источник звука движутся с одинаковой скоростью,
так что расстояние между ними остается постоянным, то v = v0,
и движение не оказывает влияния на высоту тона. Но если рас-
расстояние между наблюдателем и источником изменяется, то полу-
получаются различные результаты в зависимости от того, неподвижен-
ли наблюдатель или источник. Если наблюдатель удаляется от
неподвижного источника со скоростью звука, то q = — а, и
q0 — 0, следовательно, v = 0. Если же источник удаляется от не-
неподвижного наблюдателя со скоростью звука, то ?0 = й. Я — 0.
следовательно, v = ° в согласии со сказанным выше.
Только в том случае, если q a q0 малы по сравнению с а,
в первом приближении мы имеем:
B53)
Тогда уже играет роль только разность скоростей, т. е. отно-
относительное движение источника звука и наблюдателя.
Введение в теоретическую физику

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
§ 51. От частного случая движений с бесконечно малыми
деформациями перейдем к более общему случаю движений с конеч-
конечными деформациями. В вашем изложении мы будем непосред-
непосредственно исходить из того, что было сказано в § 2 о произволь-
произвольном конечном движении непрерывно протяженного материального
тела. Чтобы представить это движение, мы снова воспользуемся
уравнениями A) и Aа), при помощи которых вычисляется место
(х, у, z), занимаемое материальной точкой (с, Ь, с) в момент /,
Обратно, разрешив уравнения A) относительно а, Ь, с, полу-
получим уравнения вида:
а = /' (х, у, z, t), \
b=(p'(x,y,z,t)A ,254)
с=у'(х,у, z, /), ]
которые дают ответ на вопрос, какая материальная точка (а, Ь, с)
находится в месте (х, у, z,) в момент t.
Противопоставление уравнений A) и B54) соответствует про-
противопоставлению двух точек зрения, которое проходит через
всю гидродинамику и придает ей характер дуализма: „субстан-
„субстанциальной" (вещественной) и „локальной" (местной) точки зрения.
Согласно первой из них, рассматривают определенную матери-
материальную точку (й, Ь, с) или определенную материальную систему
и ставят вопрос об изменениях ее в пространстве. Согласно
второй точке зрения, рассматривают определенную точку про-
пространства (х, у, z) или определенную часть пространства и старят
вопрос о тех материальных точках, которые проходят через эту
точку или вступают в эту часть пространства. При субстанциаль-
лой точке зрения за независимые переменные берут а, Ь, с, U
при локальной точке зрения—х, у, z, t.
Чтобы" подчеркнуть это различие также в обозначениях, мы
будем обозначать в дальнейшем диференциалы, относящиеся
к независимым переменным а, Ь, с, t с помощью прямого d>
а диференциалы, относящиеся к независимым переменным х, у, z, t,

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 115
с помощью круглого д. Тогда, например, — -- и обозначает ком-
dt
понент по х скорости материальной точки (а, Ь, с), между тем
дх _ „ du
как — — 0. Далее,— есть компонент по х ускорения, между
dt dt
ди
тем как — относится к разнице в скоростях тех двух матери-
материальных точе.к, которые находятся в месте (х, у, z) в момент t
и в момент t -f- dt. Так, например, при стационарном (§ 62) исте-
истечении жидкости из сосуда, повсюду —0, между тем как уско-
ускорение —ф 0. Вообще, между этими двумя величинами существует
dt
соотношение:
du ди ди ди ди ,«,-,-\
-t- ■ и ;- • v л- - ■ w. Bо5)
dt dt дх ду dz
§ 52. Что касается чисто кинематической стороны рассма-
рассматриваемых движений, то понятно, что здесь сохраняют свою
годность все законы, выведенные в первой главе этой книги. Мы
воспользуемся в особенности теми из них, которые относятся
к произвольному бесконечно малому изменению и были форму-
формулированы в § 12, так как каждое движение можно привести
к бесконечно малому изменению, если рассматривать его в те-
течение бесконечно малого промежутка времени, от t до t + т.
В этом случае можно пользоваться всеми формулами § 12, с тем
лишь различием, что теперь координаты материальной точки
до изменения обозначаются не через а, Ь, с, а х, у, z, и компо-
компоненты бесконечно малого смещения суть не и, v, w, a ur, vt, wr,
где a, v, w обозначают конечные компоненты скорости. Согласно
сказанному, девять бесконечно малых коэфициентов Я, ц, v E7),
которые характеризуют вращение и деформацию материальной
частицы, также пропорциональны элементу времени.
Чтобы получить возможность производить вычисления над
конечными величинами, разделим все эти бесконечно малые ве-
величины на т, т. е. введем вместо бесконечно малых компонентов
поступательного перемещения, вращения и деформации конеч-
конечные компоненты скорости поступательного перемеще-
перемещения, скорости вращения и скорости деформации,
а для обозначения их возьмем те же буквы, как и в § 12; По-
Поэтому отныне буквы
и, v, w, t v, £; х,, Уу, 2г, у„, г„ хч B56)
будут обозначать соответствующие компоненты скоростей. Ме-
*ду ними и координатами х, у, z существуют соотношения такого
*е вида, как и прежние соотношения E9), F0), F1) и т. д.

116 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Скорость расширения объема материальной ч щ
ди dv dvv ..
— + -+ =divq
ох ду dz
определяет также изменение плотности ее, ибо мы имеем так
же, как в B13а), для изменения материальной частицы первона-
первоначального объема dV, происшедшего в течение времени dt:
Kdx dy dzj J \ dt
Отсюда:
fdu dv div\ rf*
\dx dy dt) dt '
или, в виду того, что
= и+ -V-1- ^iv 4- , B58)
df dx dy dz df
получим:
d(Au) d(kv) d(kw) ,dkQ
dx dy dz dt
Интересно вывести это равенство, которое часто называют
„уравнением непрерывности", исходя не из субстанциальной,
а из локальной точки зрения. Рассмотрим некоторый конечный
объем, ограниченный каким-либо образом. Вся масса, заключен-
г
ная в нем в момент t, равна V kdr, а изменение ее в течение
ч)
времени dt равно:
дт.
С другой стороны, это изменение равно алгебраической сумме
масс всех тех частиц тела, которые входят внутрь объема через
его поверхность в течение времени dt. Но через элемент поверх-
поверхности da с внутренней нормалью v проникает в течение dt сле-
следующая масса:
do • A (u qos (юс) + v cos (vy) + w cos (yz)) • dt. B60)
Это — масса (косого) цилиндра плотности Jc, с площадью
основания da и длиной образующей q • dt. Следовательно, имеем
уравнение:
I — . dx = \ do • к (ц cos 0'х) + v cos (vy) +
) dt J

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 117
или, согласно G8):
дк д(ки) d(kv) d(kw)\ , _
-+ - h г ст = 0.
! ox ay dz J
Это уравнение остается годным и в том случае, если мы
уменьшим объем до размеров одного элемента объема, откуда
получится уравнение B59).
Уравнение непрерывности можно отнести также, вместо бес-
бесконечно малого промежутка времени di, к конечному промежутку t,
если положить, что масса элемента тела в момент t равна массе
того же элемента тела в* момент 0, и воспользоваться выраже-
выражением E1) функционального определителя для изменения объема.
Тогда
dV0 • kQ =dV0-D-k,
причем значок 0 показывает, что нужно положить t = 0. Следо-
Следовательно:
D-k = k0, или d{-DK) = 0. B61)
dt
В дальнейшем мы будем пользоваться, смотря по надобности
той или иной формой уравнения непрерывности.
§ 53. Теперь перейдем к выводу динамических уравнений
движения. Если мы хотим сохранить введенную в § 21 гипотезу
„совершенной упругости", т. е. что давление зависит только от
деформации в данный момент, также и для произвольных ко-
конечных деформаций, то мы вынуждены будем в дальнейшем
рассматривать только жидкости и газы: при непрерывно возра-
возрастающей деформации в твердом теле будет раньше или позже
перейден предел упругости.
Поэтому настоящая" третья часть книги представляет собою
область гидродинамики "(включая аэродинамику).
Подставим, как в § 44:
Y, = Zx = Xy = 0; Хл=Ув = г, = р = Цк). B61а)
Получим из (83) основные уравнения гидродина-
'*-£)*-£-*••• <262>
Последние уравнения можно написать еще в более простом
виде, если допустить, что массовая сила имеет потенциал, т. е.
х —f. к—f. z = -f. да,
дх ду dz

118 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
и, кроме того, ввести функцию давления или плотности
, B64,
в которой остается неопределенной только аддитивная постоян-
постоянная. Тогда уравнения B62) можно написать в таком виде:
^VJV^O,... B65)
dt- дх дх '
или в векторной форме:-
q + grad (V + Р) = 0. B66)
Эти уравнения не так просты, как кажется с первого
взгляда, так как координаты х, у, z входят в них один раз
(в ускорении) в качестве зависимых переменных, а другой раз
(в падении потенциала и давления) в качестве независимых пере-
переменных. Если же производить вычисления, то обычно необхо-
необходимо провести единую точку зрения, т. е. пользоваться повсюду
либо субстанциальным, либо локальным способом рассмотрения.
В зависимости от этого получаются две различных формы урав-
уравнений движения, которые построены сложнее, чем B65) или B66).
Чтобы провести субстанциальную точку зрения, умножим три
уравнения B65) по очереди на —, , - .
da da da
Тогда получим:
dx ^ d*y dy d'zdz ,JV dP^
dt2 d dt2d ' d d
dt2 da ' dt2 da dt2da ' da da
и аналогичные уравнения для Ь и с.
Это так называемые уравнения Лагранжа. Дополнением к ним
является уравнение непрерывности в субстанциальной форме B61).
С другой стороны, при локальной точке зрения мы получим
из B65) с помощью B55):
ди ди , ди ди , dV дР г, ,осал
и {-- -V \- w t- f + =-0 B68)
дх ду dz dt дх дх
и два соответствующих уравнения для у и v и для z и п>.
Эти уравнения называются уравнениями Эйлера. К ним
относится локальная формулировка уравнения непрерывности B59).
Как мы видим, уравнения движения сделались не только
длиннее, благодаря этим преобразованиям, но также, что суще-
существенно, потеряли свой линейный характер. Это обстоятельство
и сообщает гидродинамическим проблемам свойственные и«
математические трудности.
§ 64. Первым приложением, которое мы дадим уравнениям
гидродинамики, будет применение и подтверждение принципа

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 119
сохранения энергии. При этом мы будем целиком руководиться
методом, примененным в § 23 для бесконечно малых деформаций:
будем исходить из уравнения энергии (89) и подставим входя-
входящие в него величины — кинетическую энергию L, потенциальную
энергию U, внешнюю работу А — по образцу уравнений (90),
(91,> и (92). Но нужно помнить, что компоненты смещения мате-
материальной точки, происходящего в течение времени dt, обозна-
обозначаются теперь не через du, dv, dw, а через и • dt, v • dt, w • dt.
Кроме того, теперь, когда плотность к подвергается конечным
изменениям, удобнее относить потенциальную энергию не к эле-
элементам объема, а к элементам массы. Таким путем мы получим
из (90):
L = [(и2 + v8 + №2) kdr, B69)
из .91):
U=\F- kdr, B70)
где F обозначает потенциальную энергию единицы массы, зави-
зависящую только от к (или р). Из (92) получим:
A^dt ■ [(Хи + Yv +Z\v) kdr +dt • [(Xru + Yv v + Zvw)da, B71)
причем, согласно G4),
X..^/? cos (юс), F, = pcos(vy), Z,,= pcos(vz). B72)
Составляя диференциалы dL и dU по времени, будем иметь
в виду, что произведение kdr, масса элемента тела, не зависит
от времени. В таком случае получим из B69):
\ dt dt dt
и из B70):
dF
\
J
-kdr;
dt
далее, из B71) и B72), при помощи преобразования G8):
А-Л - f (Хи + Yv+ZW)kdr^dt f (ЬШ + bW + *<*»> W B72*)
J J V дх ду dz J
Если подставить эти выражения в уравнение энергии (89),
принимая во внимание значение компонентов ускорения из B62),

120 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
то ряд членов в обеих частях уравнения сократится, и останется
соотношение:
\ kdr = —\pt + — + )dr,
)dt J \дх ду dzj
или, так как это уравнение имеет место также для одного эле-
элемента объма dx, то принимая во внимание B57), имеем:
c!F= P dk. B73)
Таким образом требования принципа сохранения энергии вы-
выполняются тогда и только тогда, когда потенциальная энергии
единицы массы равна:
где есть объем единицы массы (удельный объем). Вместо по-
следнего уравнения можно написать, произведя интегрирование
по частям к подставив функцию Р из B64):
B75)
Если потенциальная энергия известна как функция плотности
или удельного объема, то отсюда можно непосредственно вы-
вычислить зависимость давления р от плотности, ибо из B74) следует:
= —р, B76)
dv
где v временно обозначает удельный объем. Это соо"--ноше:.не
находится в очевидной аналогии с выражениями (97). Последние
являются бглее общим», поскольку обнимают также и сдвигаю-
сдвигающие силы, и в то же время более частными, поскольку относятся
лишь к бесконечно малым деформациям.
В частном случае, для несжимаемой жидкости, к ---- const,
поэтому, согласно B64):
Р = Р, B77)
к
или, согласно B75):
т. е. несжимаемая жидкость не обладает потенциальной энергией.
Этот результат находится в согласии с такого рода соображе-
соображением: несжимаемость жидкости можно рассматривать, подобно

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 121
нерастяжимости нити G, § 107), как наложенную связь между
координатами частиц тела (объемное расширение равно нулю),
независимо от величины сил давления; обусловленные таким об-
образом силы связи никогда не совершают работы [7, C14)].
Отметим еще, для позднейшего применения, частное выраже-
выражение, получающееся из B71), B72) и B72а) для работы внешнего
давления, действующего равномерно во всех точках поверх-
поверхности, при любом изменении:
А = dt ■ р \ I и cos (we) -f v cos (vy) -\- w cos (vz) ) da =
.. Cfdtt , dv , dw\ .
^ — dt-p\{ + -\ 1 dr.
J l4dx dy dz J
., fdu , dv dw\
Иначе, так как — -f- —| \dt есть расширение элемента
\dx dy dz J
объема dr, происшедшее в течение времени dt, то
А = ~р ■ dV, B78)
где dV обозначает изменение объема всей массы жидкости.
§ 55. Переходя к частным применениям законов гидродина-
гидродинамики, поставим прежде всего вопрос об условиях равновесия.
Для этого получим, проинтегрировав уравнение B65):
V + [ dp = const. B79)
Следовательно, при равновесии поверхности уровня массовых
сил G, § 40), V = const, суть в то же время поверхности по-
постоянного давления и постоянной плотности. Если две различные
жидкости соприкасаются друг с другом, то на пограничной по-
поверхности плотность к вообще претерпевает скачок; напротив,
давление р изменяется непрерывно при всех обстоятельствах,
согласно закону равенства действия и противодействия. Если на
поверхность жидкости действует равномерное внешнее давление,
то давление жидкости постоянно также на границе, и наружная
поверхность есть поверхность постоянного потенциала массовых
сил. В особенности это верно в том частном случае, когда внеш-
внешнее давление равно нулю или давлению атмосферного воздуха,
и жидкость имеет, как говорят, „свободную" поверхность. От этого
закона происходит название поверхностей уровня.
Если постоянная интегрирования в уравнении B79) определена
по условиям на поверхности, то тем самым дана величина давле-
давления повсюду внутри жидкости, совершенно независимо от того,
как ограничена жидкость в остальной части, т. е. независимо от
величины и формы сосуда, в котором она находится. Например,

122 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
если единственная массовая сила есть вес самой жидкости, дей-
действующий в направлении отрицательной оси г, то, согласно F7),
X = О, Y = 0, Zkdx = — gkdz,
и согласно B63),
V = gz + const. B80)
Поэтому B79) переходит в:
f dp + gz = const, B81.
J к
и для несжимаемой жидкости:
р = const — A:gz. B82)
Таким образом давление одинаково во всех точках, лежащих
на одинаковой высоте, и растет с уменьшением высоты пропор-
пропорционально разности высот.
В уравнении B82) содержатся законы сообщающихся сосудов,
действия ливеров, барометров и манометров с жидкостью.
Например, для ртутного барометра пусть обозначает г — 0
уровень открытой поверхности, подверженной действию внеш-
внешнего давления р0; z = h— высота столба жидкости, граничащего
с вакуумом.
При z = 0, р = р0.
Поэтому, на основании B82):
р0 = kgh. B83)
Величину р0 определяют как „давление в одну атмосферу" при:
к =■- 13,596 [г слГ*\, g = 980,6 [смсекГ\ h = 76 [см].
Отсюда
р0 = 1 013 250 [г смг1 сек]. B84)
Вместо атмосфер, давление измеряют часто также по соответ-
соответствующей величине h („миллиметры ртутного столба") в уравне-
уравнении (к83), разделив р на kg.
§ 56. Перейдем теперь к условиям равновесия для сжимае-
сжимаемой жидкости, например для столба воздуха" произвольной вы-
высоты. Тогда требуется знать функцию f(k) в уравнении B11). Если
можно считать, что температура воздуха всюду одинакова, напри-
например 0°С, то можно положить.
р = ск, B85)

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 123
где с определяется из того условия, что при давлении pQ, рав-
равном одной атмосфере, к — ко = 0,001293 [г см~3], т. е.
с = ^-. B86)
Отсюда получим, по B81), произведя интегрирование и зная, что
2 = 0 при р = р0:
Это так называемая барометрическая формула высоты для
изотермического равновесия, при помощи которой находят вы-
высоту z, соответствующую давлению воздуха р. Если подставить
числовые данные и ввести десятичные логарифмы, то формула
гласит:
z=184001gl0 Р-°-м. B88)
В отношении р0 : р удобнее всего измерять давление в милли-
миллиметрах ртутного столба.
В свободной атмосфере лишь в редких случаях осуществляется
допущение о постоянстве температуры, так как выравнивание
температур между различными слоями воздуха при помощи
теплопроводности происходит довольно медленно и постоянно
нарушается воздушными течениями. Тогда формула B85) вместе
со следствиями из нее теряет вообще свое значение, так как
давление зависит не только от плотности, но и от температуры.
Но не следует думать, что постоянство температуры есть не-
необходимое условие для применения изложенной теории, в част-
частности для применения гипотезы о совершенной упругости (§ 21),
ибо эта гипотеза не требует, чтобы температура оставалась
пос¥оянной, а только, чтобы давление р зависело только от плот-
плотности к. Температура может изменяться при этом, но, со своей
стороны, должна быть целиком определена плотностью. Важный
случай, при котором осуществлено такое условие, имеет место
тогда, когда исключена возможность теплопроводности, т. е.
когда все изменения объема происходят не „изотермически" при
постоянной температуре, а „адиабатически", при отсутствии пере-
перехода теплоты от одной частицы вещества к другой. Изотерми-
Изотермические процессы соответствуют предельному случаю бесконечно
большой теплопроводности вещества, адиабатические процессы
соответствуют бесконечно малой теплопроводности. В процессах
последнего рода давление также зависит исключительно от плот-
плотности, поэтому и для них имеет место уравнение совершенной
упругости B11), но функция f(k) уже не изотермическая B85),
а адиабатическая:
B89)

124 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
где постоянная у равна, 1,405 для воздуха, а коэфициент с' по
лучается из уравнения:
с'= Ро . B90)
V
Таким образом в адиабатических процессах давление быстрее
возрастает при сжатии и убывает при расширении, чем в изо-
изотермических процессах. Это происходит от того, что воздух на-
нагревается при адиабатическом сжатии и охлаждается при адиа-
адиабатическом расширении.
Если подставить выражение B89) в B81) и произвести соот-
соответствующие действия, то получится барометрическая формула
при адиабатическом равновесии:
B91,
или, если воспользоваться численными данными:
г = 27 700 • A — ( Р Y^ V- B92)
V W )
Такое убывание давления с высотой соответствует допущению,
что каждый слой воздуха имеет ту температуру, которая полу-
получается при адиабатическом расширении воздуха от 0°С и атмо-
атмосферного давления до плотности данного слоя.
Еще более важную роль, чем в состояниях равновесия, адиа-
адиабатические процессы играют в явлениях колебательных, так как
повышения и понижения температуры, вызванные попеременным
сжатием и расширением, следуют друг за другом с такой быстро-
быстротой, что можно совершенно пренебречь теплопроводностью, кото-
которая и без того очень незначительна у газов. Поэтому нужно при
вычислении скорости звука в газах из формулы B15) применить
формулу B89), которая в связи с формулой B90) дает для ско-
скорости звука в газе плотности к0 при давлении р0 следующее
выражение:
с2 = УРо. B93)
Для воздуха при 0° С и атмосферном давлении получится, если
подставить численные данные:
о=332
сек
в согласии с результатами измерений.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 125
Изотермическая сжимаемость B85) дает по B15):
а* = Р* B94)
и для воздуха при тех же температуре и давлении:
а = 280 Г м 1,
!. сек \
т. е. значительно меньше.
Для капельных жидкостей разница между адиабатической
и изотермической сжимаемостью незначительна.
§ 67. В качестве следующего примера применения уравнений
гидродинамики рассмотрим несжимаемую жидкость, вращаю-
вращающуюся вокруг оси с постоянной угловой скоростью©.
В этом случае движение всех материальных точек задано наперед.
Примем за ось вращения ось z. Тогда положение какой-либо
точки а, Ь, с жидкости в момент t получится из уравнений A1),
если подставить в них:
Ox = cos (at), a2 = — sin (соt), az = 0,
fix = sin (w 0, fa = cos (w 0. /S3 = 0.
B95)
Следовательно,
х = а cos (p)t) — b sin (cot),
у = a sin (со0 + b cos (cot), J B96)
z = с
Если дважды „субстанциально" продиференцировать эти урав-
уравнения по времени t, то получится:
d2x , сРу , d2z .
— — ш2х, ' = — со2у, = 0.
df2 df2 df2
Подставив в уравнения движения B65), имеем:
оЛс+ О, „V + o, 0.
dx dy dz
Проинтегрировав и приняв во внимание B77), выводим оконча-
окончательно:
р = 1 /сю2е2 — kV + const, B97)
где q — расстояние точки воздействия (х, у, z) от оси вращения.
Применим это уравнение к нескольким интересным случаям.

126 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
§ 58. Пусть несжимаемая тяжелая жидкость вращается с по-
постоянной скоростью со в полом открытом сверху круговом ци-
цилиндре с горизонтальным дном. Положим, например, что мы
сильно размешиваем ложкой воду в стеклянном стакане, а затем
сразу вынимаем ложку. Чтобы избежать тормозящего действия
трения о стенки сосуда, можно допустить, что сосуд тоже
вращается. Тогда при равномерном вращении вовсе не будет
трения, так как движение происходит без деформации.
Из уравнений B80) и B97) получится:
р 1 ксо2д2 — kgz + const. B98)
Вид свободной поверхности жидкости получится, согласно
§ 55, из условия р =■ const. Следовательно,
ю2^2 — gz = const.
Это уравнение параболоида вращения, осью которого служит
ось z. Если подставить z=zn при @ = 0, то получится:
z = zo+laJQ*. B99)
2 g
Таким образом поверхность жидкости ниже всего в середине
сосуда и повышается к краям пропорционально квадрату скорости
вращения. Величина Zq и вместе с тем абсолютное значение
понижения посредине вычисляется независимо от размеров внеш-
внешнего давления, по объему жидкости, который одинаков в состоя-
состоянии вращения и в состоянии покоя. Если неподвижная жидкость
заполняет сосуд до уровня z — h, то объем выражается соотно-
соотношением:
R 3*
о о
z • QUQd<p = Ц2я ' h,
где R обозначает радиус цилиндра.
Отсюда, при помощи формулы B99), получается:
. C00)
ч
Второй член правой части дает величину понижения уровня
на жидкости посредине.
Повышение у края равно значению z — h при q — R. Согласно
B99),
г-й-*. 01
Ч

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 127
Таким образом повышение уровня у края равно понижению
посредине.
В горизонтальном сечении (z = const) давление переменно
согласно B98): в середине наименьшее, у края наибольшее. Это
легко наблюдать, если насыпать на дно неподвижного сосуда
песок, который настолько тяжел, что не увлекается вращением
жидкости. Когда жидкость вращается, песчинки устремляются
к середине дна под влиянием падения давления.
§ 69. Положим, что несжимаемая жидкость, частицы которой
тяготеют к неподвижному центру по закону Ньютона, вращается
с постоянной угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через
центр. Требуется определить форму свободной поверхности.
Главный интерес этой задачи заключается в том, что она род-
ствена с проблемой о сжатии земли у полюсов. Поэтому мы
возьмем в качестве примера данные, относящиеся к земле.
Если обозначить через г расстояние от точки воздействия до
центра О, то гравитационный потенциал равен, согласно [7,A11)]
а сила притяжения на единицу массы (ускорение силы тяжести)
равна, согласно F7) и B63):
дг г*'
Чтобы определить постоянную с, допустим, что ускорение
силы тяжести равно g0 на расстоянии г0. Тогда имеем:
н вообще
V— — ^°r°2 . C02)
Это дает, согласно B97), следующее уравнение для формы
свободной поверхности:
la?tf+ £(Г» -const,
2 г
Или, если положить, что на поверхности г = г9 (полярный радиус)
При е = 0:
ll1 -1\ (зоз)
г, г)

128 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Введем вместо @ угол <р (географическая широта) при помощи
соотношения: q — г cos <р. Тогда уравнение C03) примет вид:
1 _ 1 _ «г ^ tog2
В частном случае, когда со — 0 (неподвижная жидкость), г по-
постоянно, т. е. поверхность есть шар. Поэтому при малых значениях
«о поверхность есть сжатый у полюсов сфероид, мало отличаю-
отличающийся по форме от шара. Уравнение сфероида можно написать
а первом приближении следующим образом:
C05)
v Чо J
Величина сжатия равна
'о 2ge
Это дает для земного шара при
lean-}, г0 = 6,356 - 10" [см], g0 =
24-60-60
величину , между тем как действительное сжатие заметно
585
больше, а именно
298
Разница легко объясняется тем, что частицы земли притяги-
притягиваются не к центру, а друг к другу, что, конечно, вызывает
отклонение от формы шара. Введение взаимного тяготения зна-
значительно усложняет задачу, так как выражение потенциала
тяготения уже не дано заранее, а само зависит от искомой формы
поверхности. Более подробное исследование показало, что задача,
формулированная таким образом, не имеет однозначного решения,
т. е. возможно несколько различных форм поверхности, в том
числе и эллипсоид вращения с определенной величиной сжатия.
Если рассматривать только небольшие значения угловой
скорости, а значит, и небольшие отклонения от формы шара,
то при взаимном тяготении можно допустить с известным при-
приближением, что сила притяжения, действующая на частицу жид-
жидкости, прямо пропорциональна расстоянию г от центра земли.
согласно [/, A02)], следовательно, потенциал пропорционален' г2
Если произвести вычисление при этом Допущении по тому, же
способу, что и выше, то получится снова выражение C06) для
величины сжатия. Это объясняется, очевидно, тем, что при малых

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 129
отклонениях от формы шара вид закона, по которому V зависит
от г, не оказывает существенного влияния на величину сжатия.
§ 60. Теперь снова возвратимся к обсуждению теории. Прежде
всего произведем важное интегрирование уравнений гидродина-
гидродинамики, которое было открыто Гельмгольцем. Оно имеет такое
же значение для гидродинамики, как принцип площадей для
общей механики.
Будем исходить из трех уравнений Лагранжа B67), которые
соответствуют буквам а, Ь, с. Функции V и Р можно исключить
из них, если продиференцировать первое уравнение по Ь, второе
уравнение по а и из одного получившегося уравнения вычесть
другое. Произведя эту операцию, мы можем снова получить три
уравнения, которые соответствуют буквам а, Ь, с. Произведем
сперва вычисление только для уравнения а. Получается:
d fd~x dx dzy dy d2zdz\ d ld2x dx d2y dy d2z dz\ _
Ib [dp dc dP dc d~P dc) ~ dc [ dp db + dp db dP db) ~
После диференцирования:
(d*x\dx d /АГ
\dPJ db dc \dr-J
с db
x,y,z
где знак суммы показывает, что к написанному члену с буквой х
нужно добавить два аналогичных члена с буквами у и z. Это
выражение можно написать в виде производной по времени t,
а именно:
^ d /dx du dx du\
2u~dt\dcdb~~db dc)
В этом можно убедиться, продиференцировав по t, так как
из получившихся четырех членов два сократятся.
Проинтегрировав, получим:
du_dxdu C07a)
c db db dc
x,y, z
где величина А зависит только от а, Ь, с, а не от t Совершенно
таким же образом получим выражение C07Ь) = В и выражение
C07с) = С, где В и С обладают таким же свойством, как и А.
Чтобы преобразовать три уравнения, соответствующие бук-
буквам а, Ь, с, в уравнения, соответствующие буквам х, у, z, умно-
,„.,. dx dx dx
жим уравнения C07) последовательно на - , -, и сложим.
da db dc
Собрав вместе по нескольку членов, часть из которых сократится,
Введение в теоретическую физику

130 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
а часть может быть написана в виде символа, аналогичного (8),
получим:
? dW \dy "I - dV\dZ 1 - A dX f BdX VCdx C08x)
—* da [da\ da Ida] da db dc
и соответствующие два уравнения C08у), C08z).
Согласно E3),
■^ч dw \dy~\ n dw
■^ da\da\ by'
где D обозначает функциональный определитель E1). Поэтому
C08х) примет вид:
dw__dv = l /Adx dx dx
ду dz D\ da db m dc,
а иринимая во внимание, с одной стороны, E9) и B56), с другой
стороны, B61), получим:
C09х)
da db dcj
и аналогичные уравнения C09у) и C09z) для rj и f.
Чтобы определить значения „постоянных интегрирования"
А, В, С, не зависящих от /, положим в трех уравнениях C09)
t = 0. Так как, согласно Aа)
(?da)rh (dflrh СЭг'1'
то получится:
е _ 1 А 1 р с-1 с
ь,- 2 А щ- 2 В, ьо- 2 С.
Следовательно, вообще
„_ к f dx dx dx\
ь - V" So .- + *?о "Г!+ =o ~ Ь
da dft dc/
da dft dc
_ к („ dz t dz >. dz\
ft0 \ da dft dc/
Из этих уравнений вытекает множество следствий, которые
основаны на том, что величины к0, £0, »?0, f0 зависят только от
а, Ь, с, а не от /.
Рассмотрим сперва частицу жидкости а, Ь, с, скорость вря-
щения которой равна нулю в момент t = 0. Тогда соответствую-
соответствующие компоненты §в, >?0, £9 обратятся в нуль, и из C10) следует:
|=0,ч = 0. 5 = 0.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 131
Таким образом частица жидкости, которая не обла-
обладает вращением в некоторый момент, сохраняет
это свойство во все времена.
Далее, рассмотрим в момент t = 0, когда а, Ь, с совпадают
с х, у, г, такие частицы жидкости а, Ь, с, для которых все или
часть компонентов скорости и вращения отличны от нуля. Мы
можем следующим образом составить себе наглядное предста-
представление о пространственном расположении этого вектора (g0, щ, £0).
Вообразим такое семейство кривых:
da:db:dc = go:rjo:So. C11)
Каждая из этих кривых обладает тем свойством, что касатель-
касательная в какой-либо точке ее совпадает с направлением оси вра-
вращения в этой точке. Поэтому такая кривая называется вихревой
линией жидкости. Проследим и в дальнейшие моменты / те из
материальных точек а, Ь, с, которые в момент t = 0 принадлежат
вихревой линии и поэтому связаны между собою уравнением C11).
Определим скорости вращения этих точек. Величину и направ-
направление скоростей можно получить из уравнений C10). Что ка-
саетея направления, то, подставив значения g0» %> £о из C11),
получим:
§:rj:^=dx:dy:dz. C12)
Это значит, что кривая, образованная в пространстве рассма-
рассматриваемыми точками, также обладает свойством вихревой линии,
или же: вихревые линии всегда состоят из одних
и тех же материальных точек.
Поэтому вихревая линия представляет собою индивидуальное
субстанциальное образование, которое может изменять свое по-
положение и форму во время движения, но никогда не изменяет
материального состава и основного свойства, характеризующегося
уравнением C12). Вихревая линия может быть замкнутой, или же
простираться в бесконечность, или же заканчиваться на поверх-
поверхности жидкости.
Уравнения C10) дают ответ также и на вопрос о скорости
вращения (или вихревой скорости) со.
Рассмотрим элемент длины вихревой линии
ds0 = yfda* + db2 +l№
в момент t ==0. Согласно C11),
&> ^ da. % ^ d b £o. .= dc
щ ds0' оH ds0' щ ds0'
Подставив в C10), имеем:
к dx к dy .. к dz
кв d$e k0 ds0 kt ds0

132 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Следовательно, скорость вращения в момент U
со = /g« + 4» + g* = A coo^s . C13)
Таким образом скорость вращения в какой-нибудь точке
вихревой линии пропорциональна плотности жидкости и длине
элемента дуги линии, если элемент дуги все время проходит
через одни и те же материальные точки. Если же, например,
элемент дуги удлиняется с течением времени, так что образую-
образующие его материальные точки удаляются друг от друга, а вели-
величина к остается неизменной, то вихревая скорость возрастает.
Это положение станет еще нагляднее, если изложить его в
другой форме. Представим себе какую-нибудь часть поверхности
внутри жидкости и проведем через каждую точку ее края вихре-
вихревую линию. Таким образом мы выделим из жидкости объем,
который называется „вихревою нитью" или „вихревой трубкой".
Боковая поверхность трубки состоит исключительно из вихревых
линий, а упомянутая часть поверхности представляет собою се-
сечение трубки. Можно представить себе, что весь объем жидко-
жидкости состоит целиком из бесконечно тонких вихревых нитей, ко-
которые либо замкнуты, либо простираются в бесконечность, либо
же оканчиваются на поверхности жидкости. Вихревые нити, по-
подобно вихревым линиям, состоят всегда из одних и тех же ма-
материальных точек.
Рассмотрим бесконечно короткий отрезок такой бесконечно
тонкой вихревой нити, проведя через две точки одной из линий
вихревой нити два произвольных сечения с площадью / на рас-
расстоянии ds друг от друга. Проследим за точками, принадлежа-
принадлежащими этому отрезку вихревой нити, в разные моменты времени.
Так как масса отрезка вихревой нити неизменна, то:
к ■ f ■ ds • cos & = к0 - /0 • ds0 ■ cos #0,
где # обозначает острый угол между нормалью к поперечному
сечению и ds, т. е. осью вихря.
Тогда C13) примет вид:
со • / • cos &■ = (оо ■ /0 - cos #0 = со • /„, C14)
где /„ обозначает площадь сечения, нормального к оси вихря.
Таким образом произведение вихревой скорости к а
площадь нормального сечения вихревой нити не
изменяется с течением времени.
Но это произведение имеет одинаковую величину также и в
различных местах определенной вихревой нити, ибо, если про-

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 133
интегрировать по произвольному объему жидкости следующее
тождество:
Ч+*!{.+ **= О, C15)
дх ду dz
вытекающее из равенств E9), и преобразовать каждый из полу-
получившихся при этом объемных интегралов по формуле G8), то мы
получим для интеграла, взятого по поверхности, ограничивающей
объем:
1 | gcos(i>x) -b»?ccs(ry) + £cos^zn da= \ со cos (v, со) ■ do=0. C16)
Если взятый объем жидкости есть отрезок вихревой нити про-
произвольной длины, то все те члены поверхностного интеграла,
которые относятся к боковой поверхности нити, обращаются
в нуль, так Kaic в каждой точке боковой поверхности нормаль v
перпендикулярна к направлению вихревой оси, лежащей на бо-
боковой поверхности. Если вихревая нить бесконечно тонка, но ко-
конечной длины, с произвольно расположенным начальным сече-
сечением / и конечным сечением /', то уравнение C16) приводится
к двум членам:
со cos (i>, а) • / + со' cos (v, со') • /' = 0.
Если снова обозначить через &■ острый угол между нормалью
к поперечному сечению и вихревой осью и, кроме того, принять
во внимание, что вихревые оси со, со' направлены в одну сторбну,
а внутренние нормали направлены в противоположные стороны,
то получится:
со/ cos 9- — co'f cos &' = 0, C17)
что в сочетании с C14) дает такое привило: для бесконечно
тонкой вихревой нити произведение вихревой ско-
скорости на площадь нормального поперечного сече-
сечения имеет одну и ту же величину во всех точках
нити и во всякий момент. Это произведение называется
также „моментом" вихревой нити.
Существование изложенных законов непосредственно связано,
очевидно, с допущениями о совершенно упругой жидкости (§ 53)
и о существовании силового потенциала B63). Но в природе
всегда встречаются более или менее значительные отступления
от этих допущений. В результате таких отступлений вихри мо-
могут, в противность выведенным законам, как появляться, так и
исчезать. Подобные отступления обусловливаются явлениями тре-
трения и теплопроводности. Под влиянием трения внутри жидкости
появляются силы давления, которые зависят не от деформации,
а от скорости деформации в данный момент (§ 78), а в резуль-
результате теплопроводности давление становится зависимым не только

134 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
от плотности, ц потому не выполняется равенство B11). Толькв
в предельных случаях бесконечно большой теплопроводности (изо-
(изотермические процессы) и бесконечно малой теплопроводности
(адиабатические процессы) можно, как мы видели в § 56, рас-
рассматривать жидкость как абсолютно упругую и принимать за-
законы вихревых движений при действии консервативных массо-
массовых сил.
ГЛАВА ВТОРАЯ
БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
§ 61. Проинтегрировав общие уравнения гидродинамики, мы
познакомились с фундаментальным значением Би*ревых движе-
движений. Поэтому естественно будет в дальнейшем, рассматривая
движения жидкости, разделить их на два рода: движения без-
безвихревые (незращательные) и вихревые. Сперва рассмотрим пер-
первый род движений. Основное условие безвихревых движений
есть
rot q = 0, C18)
или же
q= — gradg», C19)
т. е. существование такой функции <р „потенциала скорости",
частные производные которой по х, у, z равны соответствующим
компонентам скорости [ср. выше B17) и B18)]. Мы знаем из преды-
предыдущего, что если} равенство C18) или C19) имеет место для
одного момента ьремени, то оно имеет место во всякое вр^мя.
Обычно определяют потенциал скорости q> не с тем знаком, какой
мы взяли, и в уравнении C19) пишут знак +. Но, если мы желаем
сохранить аналогию с потенциалов сил и упругим потенциалом,
а также с электрическим и термодинамическим потенциалами,
то приходится и для потенциала скорости считать направленно
вектора q обратным направлению соответствующего градиента.
Тогда и скорость, подобна силе в отношении силового потен-
потенциала, направлена в сторону убывающего потенциала. В вы-
выражении потенциала скорости остается, по C19), еще аддитивная
функция времени, совершенно неопределенная и поэюму не имею-
имеющая физического значения.
Удобнее всего рассматривать состояние жидкости в отноше-
отношении скоростей ее точек в какой-либо момент t, если построит»
новерхности постоянного потенциала скорости ср = const и пер-
перпендикулярные к ним кривые:
dx:dy:dz^V-:d4> : ** . C20)
дх ду dz v

БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 135
так называемые „линии тока", которые указывают направление
скорости в каждой ее точке, совершенно аналогично поверхностям
уровня и силовым линиям G, § 40). Так как линия тока идет
всегда от более высокого к более низкому потенциалу скорости,
то она не может быть замкнутой, если погенциал скорости
однозначен и непрерывен. Позднее (§ 68) мы встретим б.езвихре-
вог движение жидкости с замкнутыми линиями тока, и тогда
вынуждены будем сделать вывод, что определенное безвихре-
безвихревое движение может обладать также многозначным или пре-
прерывным потенциалом скорости.
Из понятия о линии тока непосредственно вытекает понятие
о „нити тока" или „трубке тока", которая характеризуется тем,
что боковая поверхность ее образозана линиями тока. Нить
тока относится к линии тока совершенно так же, как вихревая
нить относится к вихревой линии. Поверхности постоянного потен-
потенциала скорости, понятно, ортогональны к нитям тока.
Если движение жидко:ти нестационарно, то система линий
и нитей тока будет неодинаковой в различные моменты, т. е.
линии тока будут изменяться с течением времени. Но следует
при этом иметь в виду, что говорить о движении какой-либо
определенной линии тока не имеет смысла, ибо точки жидкости,
которые образуют ли .ию тока в определенный момент, уже
не обладают этим свойством в другой момент. Поэтому вообще
на является возможным сопоставить с линией тока в один мо-
момент определенную линию тока в другой момент. В этом заклю-
заключается принципиальное отличие ллний тока от вихревых линий,
которые состоят всег ia из одних и тех же точек жидкости и по-
поэтому имеют индивидуальное значение.
Так как условие отсутствия вихрей удобнее всего выражается.
при помощи пространственных координат х, у, z в качестве не-
независимых переменных, то для изобра кения безвихревых дви-
движений лучше всего подходят уравнения двиясения в эйлеровой
форм? B68). Последние можно написать следующим образом,
воспользовавшись C19):
ди dv div dV dV дР _
— u+ - - v 4 w— - i f =0 и т. д.
дх дх дх dxdt дх дх
Проинтенгрировав их по х, у, г, получим:
2 dt
Как мы уже заметили, в выражении, потенциала скорости ад-
аддитивная функция времени является произвольной. Поэтому
Можно написать:
2 dt

136 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
К этому уравнению нужно присоединить условие непрерыв-
непрерывности B59) и соотношение между давлением и плотностью, за-
зависящее от природы жидкости. Тогда мы будем иметь три
уравнения, из которых можно определить три величины <р, р, к
как функции независимых переменных х, у, z, t, воспользовавшись
начальными и пограничными условиями, соответствующими дан-
данному особому случаю.
§ 62. Стационарное (установившееся) движение несжимаемой
жидкости. Если движение стационарно, то
ди = о, *=о, dw=o.
dt dt dt
Проинтегрировав эти уравнения по х, у, z, получим:
дер
= const.
dt
Если жидкость несжимаемая и тяжелая, то Р принимает зна-
значение B77), V — значение B80), и уравнение C21) переходит
в уравнение:
к ( \ —kgz + const, C22)
а уравнение непрерывности приводится к такому:
Дд> = 0. C23)
Это—известное уравнение Лапласа. Каждое решение этого
диференциального уравнения, не зависящее от t, представляет
возможное б природе безвихревое стационарное (установив-
шееся) движение несжимаемой жидкости, при котором давление
выражается формулой C22). Как мы видим, давление состоит
из двух частей, из которых первую часть часто называют гидро-
гидродинамическим давлением, а вторую, тождественную с B82),—
гидростатическим давлением. Гидростатическое давление зависит
только от величины скорости и уменьшается с возрастанием се.
Как давление, так и падение давления не имеют ничего общего
с направлением движения жидкости. В следующих параграфах
мы познакомимся с интересными примерами этого положения.
Возьмем внутри жидкости какой-нибудь определенный огра-
ограниченный со всех сторон объем и проинтегрируем уравнени"
непрерывности C23) по этому объему. Тогда получим, на осно-
основании (82):
[дтйа^0. C24)

БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Это уравнение получит наглядное истолкование, если принять
во внимание, что выражение
— к д(р dadt = kqvdodt C25)
представляет то количество жидкости, которое втекает внутрь
объема через элемент поверхности do за время dt. Уравне-
Уравнение C24) гласит, что количество жидкости, втекающей в рассма-
рассматриваемый объем через все элементы поверхности его, равно
в целом нулю, т. е. втекает ровно столько же жидкости, сколько
вытекает.
Если рассматриваемый объем представляет собою стр§зок
трубки тока произвольной длины и произвольного сечения, то
те части поверхностного интеграла C24), которые относятся
к боковой поверхности трубки, отпадают, и уравнение сводится
к правилу, что через каждое сечение трубки тока протекает
одинаковое количество жидкости. Это количество характерно
для рассматриваемой трубки тока. Отнесенное к единице времени,
оно называется „интенсивностью тока "или „силой тока" трубки:
д-^йо, C26)
dv
где интеграл берется по какому-нибудь произвольному сечению
трубки, и направление v должно быть взято в направлении те-
течения.
Если взять сечение, совпадающее с поверхностью q> = const,
то направление v совпадает с направлением скорости q, и мы по-
получим:
J=k\qda. C27)
§ 63. Для каждой трубки тока можно себе представить, что
боковая поверхность ее заменена твердой стенкой, без всякого
нарушения движения жидкости, так как предельное условие, су-
существующее для твердой стенки, что нормальная составляющая
скорости обращается в нуль, всегда осуществлено на боковой-
поверхности трубки тока. Благодаря этому трубки тока полу-
получают непосредственное практическое значение. Если сечение
трубки не слишком велико, и скорость течения распределена не
слишком неравномерно по величине и направлению в различных
точках сечения, как, например, бывает в водопрозодных трубах,
то можно с известным приближением считать плоскими поверх-
поверхности постоянного потенциала скорости и вынести q за знак-
интеграла в формуле C27). Тогда
J=-.k-q- /, C28>

138 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
где / обозначает площадь нормального сечения трубки. Так как
yj и к остаются постоянными вдоль всей трубки, то величина ско-
скорости обратно пропорциональна сечению / трубки, или
7, C29)
если обозначить значком нуль какое-нибудь определенное сече-
сечение, например начальное. Отсюда получится, согласно C22)
давление в каком-нибудь сечении / трубки:
Как мы видим, давление меньше всего в самых узких местах
трубки. Поэтому можно в принципе, при данных q0 и /0, сузив
должным образом трубку, т. е. уменьшив величину /, получить
любое уменьшение давления, соответственно увеличению ско-
скорости. Если в таком узком месте проделать в стенке трубки
узкое отверстие, установив таким образом сообщение с наруж-
наружным воздухом, находящимся при нормальном давлении р0, то
лод влиянием разности давления рв — р воздух вгонится в трубку
и будет унесен жидкостью. Это обстоятельство применяется, на-
например, в гидравлических воздушных насосах. Так называемые
распылительные аппараты также основаны на уменьшении давле-
давления при возрастании скорости.
Член равенства C30), зависящий от тяжести, также может
^ыть использован для уменьшения давления р, например, в воз-
воздушно-водяном насосе Бунзена, где вода падает в вертикальной
цилиндрической трубке (/ = /„), так что разность давлений в двух
местах прямо пропорциональна разности уровней z,, — z.
Уравнения C29) и C30) можно использовать также и для того,
чтобы по заданной разности давления р0 — р в начале и конце
трубки найти Стационарные скорости q0 и q, с которыми жид-
ясость течет в трубке. Вычислим, например, стационарную ско-
скорость истечения из трубки, широкой вверху и узкой внизу, по-
полагая, что на верхнем уровне жидкости давление р0, а у отверстия
давление равно р. Если пренебречь / по сравнению с /о и обо-
обозначить разность высот обоих уравнений через Л, то мы получим
из C30) и C29) следующее выражение для скорости истечения:
C31)
Если давление вверху и внизу Одинаково, то q- V'lgh, т. е. ско-
скорость истечения равна скорости тела, свободно падающего с высо-
высоты Л (теорема Торичелли). Введя разность давлений, можно, в за-
«зисимости от знака ее, ускорить или замедлить истечение. Но

БЕЗВИХРЕВЫК ДВИЖЕНИЯ 13»
для того чтобы q оставалось вещественным, разность давлений
не должна быть меньше величины — hkg. В предельном случае
скорость стационарного истечения равна нулю, и мы получим
для разности давлений известную барометрическую формулу B83).
В действительности количество вытекающей жидкости значи-
значительно (приблизительно на треть) меньше, чем вычисленное по
скорости истечения на основании C31) и по площади отверстия/
на основании C28). Это обусловлено, главным образом, тем об-
обстоятельством, что поверхность д> — const у отверстия не плоская,
а вогнутая, если смотреть снаружи, так как линии тока, проходя
изнутри жидкости, сдвигаются около узкого отверстия, подобно
образующим конуса у вершины. Поэтому поверхности <р = const
расположены подобно шаровым поверхностям, концентрически
окружающим вершину конуса. Вследствие этого скорость не-
неодинаково направлена в различных точках Отверстия, как мы
предполагали, применяя уравнение C28), но линии тока сходятся,
е поэтому сечение трубки тока еще несколько сжимается за от-
отверстием там, где жидкость образует свободную струю (§ 67).
Лучшее приближение к действительности получится, если под-
подставить в уравнение C28) вместо / не площадь отверстия, а мень-
меньшую площадь, которую имеет струя после сжатия, так как там
линии тока ближе к параллельному расположению.
Количество вытекающей жидкости можно значительно увели-
увеличить, присоединив к отверстию цилиндрическую или, еще лучше,
конически расширяющуюся наружу трубку. Главная задача этого
приспособления состоит в том, чтобы сделать линии тока у от-
отверстия параллельными или расходящимися и этим избегнуть
сжатия струи. Подробнее об истечении из конической трубки
мы будем говорить в следующем параграфе.
Если стенка трубки не всюду непрерывно изогнута, а обра-
образует в каком-либо месте угол, то та линия тока, которая идет
вдоль стенки и проходит через вершину угла, имеет в этом месте
особенную точку, так как направление линии здесь двузначно.
Компоненты скорости тече-
течения в таком углу равны нулю
или бесконечны. Выясним,
При каких условиях имеет
место каждый из этих слу-
случаев. Положим, что стена
образует вогнутый уголД "' _J~
(<Ся:), если смотреть со сто-
стороны жидкости, как в точке А
на черт. 11. Тогда поверх-
поверхности cp=const, перпендику-
перпендикулярные к стенке и изобра- Черт. п.
женные на чертеже линиями, расположены таким образом, что при
Приближении к А расходятся от особенной поверхности потенциала

140 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
проходящей через А. В таком случае градиент д> и вместе с тем
величина.скорости в точке А обращаются в нуль (ср. /, § 40),
вследствие чего давление р достигает 'максимума, согласно C32).
Если же стена образует выпуклый, входящий в жидкость угол (> ж),
как в точке В того же чертежа, то поверхности постоянного
потенциала скорости сходятся по направлению к особенной точке,
градиент <р и скорость равны бесконечности, следовательно, давле-
давление р = — со, и жидкость должна была бы обладать бесконечно
большим сцеплением, чтобы не разорваться.
§ 64. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых простых
частных решений уравнения потенциала C23) и соответствующих
движений жидкости. Наиболее простое решение состоит в том,
что гр зависит линейно от х, у, г'. Ему соответствует равномерное
поступательное движение жидкости, которое не представляет
для нас интереса.
Более общее решение [согласно /, A25) и A29)j:
-, C32)
где гг— расстояние точки воздействия от неподвижного центра /,
,«—постоянная, свойственная этому центру, а суммирование рас-
распространяется на произвольное число различных центров. Так
как потенциал скорости становится бесконечно большим при не-
неограниченном приближении точки воздействия к какому-нибудь
неподвижному центру, то нужно представлять себе, что сами
неподвижные центры выделены из жидкости. Это может быть
сделано посредством небольших замкнутых поверхностей, не-
непосредственно окружающих отдельные центры.
Рассмотрим сперва частный случай одного центра
' /ооо\
<р = . (обо)
Г
В этом случае поверхности постоянного потенциала скорости
представляют собою концентрические шаровые поверхности, а ли-
линии тока суть образующие прямолинейного ортогонального пуч-
пучка лучей. Если ц положительно, то жидкость течет от центра
по всем направлениям, и мы имеем так называемую „точку исток;]"
(„источник"). Если ц отрицательно, то жидкость всасывается
отовсюду в центр, и там находится „точка стока". Величина
скорости, считая в направлении от центра, равна
Она изменяется обратно пропорционально квадрату расстоя-
расстояния, и в самом центре равна4-•">-■• Вследствие этого давление р

БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 141
в центре, согласно C22), всегда равно — со, независимо от того,
находится ли в нем источник или сток. Здесь мы встречаемся
с интересной особенностью по сравнению со стационарными
гальваническими и термическими течениями, которые исходят
из точечного электрода или точечного источника тепла и также
изображаются диференциальным уравнением Лапласа. В этих
явлениях направление течения зависит от падения (градиента)
потенциала или температуры и изменяется вместе со знаком
градиента. В течениях жидкости давление всегда возрастает на-
наружу, независимо от того, течет ли жидкость наружу или внутрь.
Причина этой особенности заключается в инерции жидкости,
так как падение давления дает здесь силу, всегда направленную
внутрь. Сила эта необходима для того, чтобы в случае источ-
источника постепенно замедлять скорость жидкости, вытекающей на-
наружу, а в случае стока постепенно повышать скорость жидкости,
втекающей внутрь.
Любую коническую поверхность с вершиной в центре можно
мысленно заменить твердой стенкой. Таким образом мы получим
законы истечения из конической трубки, о которой шла речь
в предыдущем параграфе. Постоянная (i непосредственно связана
с производительностью источника. Представим себе, что в жид-
жидкости проведена некоторая поверхность произвольной формы,
которая окружает со всех сторон точку истока. Так как движе-
движение стационарно, то все количество жидкости, протекающее
в единицу времени сквозь поверхность наружу, равно коли-
количеству жидкости, которая доставляется за это время источником,
и не зависит поэтому от формы поверхности. Эту величину назо-
назовем „интенсивностью" или „силой" источника и обозначим бук-
буквой J. Ее проще всего вычислить, если предположить, что
поверхность — шаровая с источником в центре. Тогда мы полу-
получим для интенсивности источника, согласно C25) и C34):
fi. C35)
_ к Г^ da=kll-[da=,
Это равенство представляет собою вместе с тем обобщение
равенства C24), которое верно только в том случае, если объем,
ограниченный поверхностью, не заключает в себе особенных
точек.
Далее, перейдем к более общему случаю C32) произвольного
числа точек истока и стока. Здесь мы будем иметь дело с ана-
аналогичными соотношениями. Линии тока начинаются в точках
истока и заканчиваются либо в точках стока, либо простираются
а бесконечность. Производительность каждой особенной точки
определяется постоянной ц, при помощи которой определяется
интенсивность J источника или стока, ибо в непосредственной
близости от точки можно пренебречь влиянием всех других

142 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
источников, и поэтому поверхности постоянного потенциала
скорости вблизи от источника суть шаровые поверхности, его
окружающие.
Представим себе, что внутри жидкости построена замкнутая
поверхность, ограничивающая некоторый объем. Ввиду стацио-
стационарности движения все количество жидкости, протекающей в
единицу времени сквоз поверхность наружу равно алгебраиче-
алгебраической сумме количеств жидкости, доставляемых источниками и
стоками, лежащими внутри объема, или, согласно C25) и C35):
Следовательно,
&2- C3б)
где значок / обозначает внутренние особенные точки, окруженные
поверхностью о; v обозначает, как и всегда, внутреннюю нор-
нормаль. Это соотношение объединяет в один общий закон два более
частных соотношения C24 и 325) и часто называется в честь его
автора уравнением Гаусса.
Рассмотрим еще некоторые частные приложения. При двух
точечных источниках одинаковой интенсивности потенциал ско-
скорости равен:
C37)
Плоскость, которая делит пополам прямую, соединяющую оба
источника, и перпендикулярна к ней, т. е. плоскость симметрии,
состоит из линий тока. Поэтому можно мысленно заменить ее
твердой стеной. Воспользовавшись рассуждением, изложенным
в § 47, получим свойства истечения жидкости из источника по
направлению к неподвижной стене.
Если оба источника обладают одинаковой интенсивностью,
но разных знаков, то потенциал скорости равен:
•--Н-^Л. C38)
h Ч)
Тогда жидкость течет из источника 2 в сток 7, а именно, линии
тока начинаются в точке 2 и оканчиваются в точке 7. Если оба
деитра очень близки друг к другу, и точка 7 имеет координаты
S, Ч» С, а точка 2 имеет координаты | + Ли, щ -f Ащ, £ -f AS, то
выражение C38) преобразуется в такое:

БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 14$
При переходе к пределу А —0 можно представить себе, что>
ц возрастает так, что произведения /и • А§, ц- Ащ, ц • А£ остаютс»
конечными. Обозначим их через fig, щ, цс. Тогда получим для
потенциала скорости конечное выражение:
д1 д\ д\
<р — [if -f fi4 ;- ц. . C39)
д§ drj dZ
Такое образование, состоящее из двух бесконечно близких
точечных источников с противоположными и равными бесконечно-
большими интенсивностями, называется „двойным источником*.
Постоянный вектор, компоненты которого fif, щ, це, называется
„моментом", его направление (от стока к источнику) называется
„осью" двойного источника. Линии тока выходят из источника
в направл.нии оси и возвращаются к стоку, описав большую или
меньшую дугу. Замена друг другом источника и стока изменяет
только направление течения, но не положение линии тока. Так
как расстояние г между точкой воздействия и особенной точкой
зависит только от разности координат обеих точек, х—$, у — щ»
z—£, то можно написать вместо C39):
а1 а1
C40>
Из выражения <р в атой форме непосредственно видно, что <р
действительно удовлетворяет уравнению Лапласа C23).
§ 66. Рассмотрим, в качестве дальнейшего применения изло-
изложенной теории, еще один случай, который можно обосновать на
сделанных выше упрощающих допущениях: равномерное дви-
движение твердого шара в несжимаемой жидкости.
Согласно принципу относительности G, § 59), законы этого дви-
движения совершенно те же, как в случае шара покоящегося
в равномерном потоке жидкости. Последний же случай
представляет собой стационарное движение жидкости рассмотрен-
рассмотренного здесь вида. Поэтому мы заменим шар, движущийся с по-
постоянной скоростью а в направлении оси г, неподвижным шаром
с центром в начале координат, который омывается со всех
сторон потоком жидкости. В тех местах, которые настолько
удалены от шара, что-последний не оказывает на поток никакого
действия, — иначе, на бесконечно большом расстоянии от начала
координат, — поток имеет постоянную скорость—ев направлении
оси г.
Задача будет решена, если удастся составить такое выражение
потенциала скорости <р, которое удовлетворяет уравнению Лапласа
и, кроме того, удовлетворяет предельным условиям. Пределы

144 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
жидкости суть г — R (радиус шара) иг — оо. При г = оо, согласно
вышесказанному,
<P = az. C41)
При г = R компонент скорости, нормальный к поверхности
шара, равен нулю. Поэтому
Чтобы выполнить все эти условия, положим
Ф = cz + g>\ C431
Тогда функция ц> должна удовлетворять уравнению Лапласа
и, хроме того, пограничным условиям:
при г = со: <jp' =»0;
„ (W\ (Щ az
приг=/?: ~ ) "—с ="■ '•
C44)
Легко показать, что мы получим решение последней задачи,
«ели положим, что ф' равна потенциальной функции двойного
источника, т. е.
а1-
<р' = Ц—— = — ц~. C45)
dz r9
Действительно: во-первых, д>' удовлетворяет уравнению Лапласа,—
во-вторых, ф' обращается в нуль при г = оо и, в-третьих, из C44)
получается постоянное значение (л:
C46i
,, dz дг
Ьсли производные — и имеют одинаковую величину в
dr dz
уравнениях C44) и C45), а именно, обе равны , то в этом еще
г
нельзя видеть противоречия. Оно могло бы возникнуть только
в результате неправильного понимания значения этих символов.
Но можно и формально избежать противоречия, если написать
подробнее:
'drs
т. е. в левой части уравнения нужно рассматривать z как функцию
полярных координат г, i>, <р, а в первой части — г как функцию
прямолинейных координат х, у, z.

БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 145
Принимая во внимание C45) и C46), получим из C43) искомое
выражение потенциала скорости, т. е. решение всей задачи:
C48)
Так как <р зависит только от z а г, то течение симметрично
относительно оси z и линии тока лежат, естественно, в плоско-
плоскостях, проходящих через ось z.
Составляющие скорости равны, согласно C48):
_ dg> _ 3 xz
°~~дх~2- °' г6 '
„_■!* д<Р _ 3 D3 yz пло\
V — — ■ к\ и • ' , I ОтсУ I
ду 2 гь
dz { 2
Чтобы найти линии тока, которые лежат в какой-либо плоско-
плоскости, проходящей через ось г, введем вместо х и у расстояние q
от оси z:
ег = х* + у\ C50)
Следовательно,
г* = G« -f z*. C51)
В таком случае диференциальное уравнение линий тока гласит
dQ dz'
и, согласно C49),
Если заменить г через г и q при помощи соотношений
za = r2 — е2. z
то получим, после сокращений:
Г4п /'м*1 е
1» В»«д«нве ■ тсорстячегку» фпвику

146 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Отсюда, интегрируя, получим уравнение системы линий тока:
или
Ь(*)*}-const (>0). C52)
Система линий тока зависит от радиуса шара R, а не от
величины скорости а. Если подставить вместо const все значения
от 0 до оо, то получатся все линии тока. При const —oo, q—oo,
а также г = сю скорость постоянна и равна — а. Но при const = 0
либо q = 0, либо г = R, т. е. линия тока распадается на две
различные части, одна из которых совпадает с осью z (вне шара),
а другая проходит по поверхности шара. В точках перехода
при е = 0, z — ±Rt B „полюсах" шара, линия тока претерпевает
прямоугольный излом. Здесь скорость становится равной нулю,
и линия тока расщепляется на бесконечное множество ветвей,
которые непосредственно окружают шар.
Интересно исследовать, сколько времени требуется для того,
чтобы частица жидкости, находящаяся на оси г, достигла полюса
шара z=+R. Так как при движении этой точки х ~ 0, у=0,
г = z, то мы получим из C49) искомое время:
Это значит, что время которое требуется частице жидкости,
чтобы достичь шара, неограниченно возрастает по мере прибли-
приближения траектории ее к поверхности шара.
Скорость, с которой жидкость протекает непосредственно
у самой поверхности шара, получится из C49), если подставить
г = R. Она равна
3 6 а. C54)
2 R
3
Наибольшей величины а она достигает в экваториальной
плоскости шара. Вообще же скорость распределена совершенно
симметрично на двух полушариях по обе стороны от этой плос-
плоскости.
Наконец, определим давление, которое жидкость оказывает
на шар. По давлению мы вычислим равнодействующую силу, с ко-
которой поток жидкости действует на неподвижный шар, т. е. ссь
противление, которое движущийся шар испытывает в неподвижной
жидкости.

БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 147
Давление на шар р получится из C22), если пренебречь
тяжестью и подставить величину скорости из C54):
9 / о \8
р = const — ( ) fl2^'
или же, если обозначить через р„ давление в ненарушаемом по
токе жидкости, т. е. при скорости а:
"Ч8{. C55)
Давление не зависит от направления течения, оно больше
всего у полюсов шара, меньше всего в экваториальной плоско-
плоскости и симметрично по обе стороны ее. Если соединить в одну
равнодейств. ющую все силы давления pda, действующие на эле-
элементы поверхности шара, то я но без особого вычисления, на
основании симметрии этих сил для положительных и отрицатель-
отрицательных z, что равнодействующая обращается в нуль. Другими сло-
словами: поток жидкости не оказывает вовсе никакого действия на
покоящийся в нем твердый шар, или же равномерно движущийся
шар не испытывает сопротивления в неподвижной жидкости.
Этот результат находится в резком противоречии со всеми
опытами и представляет собою знаменитый парадокс гидродина-
гидродинамики. Объяснение его можно найти в том обстоятельстве, что
в уравнениях, которыми мы пользовались, не принят во внимание
член, играющий существенную роль в рассматриваемом вопросе,
а именно влияние трения, того трения, которое возникает на
поверхности соприкосновения обоих веществ. В действительности
под влиянием трения на поверхности шара равен нулю не только
нормальный компонент, но и тангенциальный компонент скорости,
т. е. жидкость держится совершенно неподвижно на поверхности
шара. Мы еще рассмотрим этот вопрос подробнее (§ 80).
§ 66. Теперь перейдем к изучению следующего класса частных
решений диференциального уравнения Лапласа для потенциала
скорости (р. Рассмотрим решения, в которых функция ц> зависит
только от двух координат х и у и не зависит от третьей г, так
что
C56)
dx2 ду*
Тогда задача сводится к двум измерениям, что гораздо проще.
Поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверх-
поверхности) суть цилиндрические поверхности, параллельные оси z, н
могут быть представлены при помощи линий в плоскости ху —
линий равного потенциала. Тогда система линий тока предста-
представится в виде линий, ортогональных к линиям равного потенциала
и лежащих в той же плоскости,
ю*

148 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Имеется очень общий метод интегрирования диференциаль-
ного уравнения C56), основанный на введении комплексных
величин. Легко показать, что всякая аналитическая функция ком-
комплексной величины x-{-iy — z приводит к решению уравнения
C56) и поэтому может быть физически истолкована как стацио-
стационарное безвихревое движение несжимаемой, жидкости. Пусть w
обозначает такую функцию, т. е.
)-/(г), C57)
причем в выражение функции / могут входить любые веществен-
вещественные или комплексные постоянные.
ЕсЛи разложить w на вещественную и мнимую часть
w = <р + ixp. C58)
то 9 и гр суть вещественные функции вещественных переменных
х и у. Из C58) следует:
dw = >df +; dip_ dw^^ d<p +. jty ^
дх dx dx ' dy dy dy
С другой стороны, из C57) следует:
dw dw dz dw
dx dz dx dz \ C59a
dw dw dz dw . ' v
dy dz dy dz
Повтому
dw _ .dw
dy dx
й, согласно C59), после отделения вещественной части от мнимой:
dip _ dg> dip _ dq>
ду дх ' дх ду
Исключение гр дает уравнение C56), а исключив q>, получим
уравнение:
d2ip d2ip _ /oei\
= U. V"Ol)
dx2 df
Кроме того, имеет место соотношение:
дф dip дф dip _ /пса\
• -+■ - ■ -- = U. (ovZ)
dx dx dy dy
Таким образом можно рассматривать g> как потенциал скорости.
Тогда кривые ф = const суть линии равного потенциала, а соот-
соответствующие линии тока выражаются уравнениями гр =■ const, так

БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 149
как, согласно C62) кривые обоих семейств перпендикулярны друг
к другу. Но функции д> и ц> могут поменяться ролями, и послед-
последнюю можно- рассматривать как потенциал скорости, а первую как
функцию тока.
Характер зависимости комплексной функции w от г можно
представить всего нагляднее, если рассматривать w и z как, такие
точки двух плоскостей — плоскости w и плоскости z, — из которых
одна точка определяется координатами д> и гр, а другая точка опре-
определяется координатами х и у. Тогда функция f(z) = w предста-
представляет определенное сопоставление обеих точек, т. е. отображе-
отображение плоскости w в плоскости z, или наоборот. Это отображение
можно также представить себе как деформацию некоторого веще-
вещества, непрерывно покрывающего плоскость, причем <р и ip обо-
обозначают координаты вещественной точки до деформации, а х и у —
координаты той же точки после деформации, или наоборот. Тогда
можно высказать такие же соображения об особенностях этой
деформации, какие были представлены в первой главе для более
общего случая вещества, занимающего некоторый объем. Рас-
Рассмотрим важнейшие результаты.
Прежде всего нетрудно видеть, что бесконечно малые участки
поверхности отображаются линейно и поэтому могут быть пре-
преобразованы друг в друга посредством прямолинейного перемеще-
перемещения, вращения и дилатации (§ 11). Из C57)" следует:
dz = ~-dw. C63)
dw
Положим, что
£ (co + ;n), C64)
dw
причем
r>Q, »>#■> — я.
Тогда получим из C63), отделив вещественную часть от мнимой
dx=* r cos &d<p — г sin# dtp,
dy = у sin & d<p + rcos&dy.
Положим, что соответствующие друг другу точки w и z не-
неподвижны, и значит, г и 9 постоянны, и будем рассматривать
диференциалы dq>, dtp, dx, dy как переменные координаты. Тогда
последние два уравнения дадут законы отображения для областей,
бесконечно близких к точкам w и z. Геометрическое значение их
получим непосредственно, если напишем:
dx
— = cos t)d(p — sin 9dip = dx',
dv
-*- = sin &dg> + cos frdy> = dy'.
r
365)

150 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Это значит: для того чтобы перевести бесконечно близкую
точку из положения (dg>, dip) в положение (dx, dy), нужно, во-
первых, произвести простой поворот на угол &, в результате
чего точка придет в положение (dx', dy'), и, во-вторых, произве-
произвести равномерное расширение по всем направлениям (конец §,7)
в отношении г:1, отчего все отрезки увеличатся в том же
отношении, между тем как все направления, а значит, и все
углы, останутся без изменения. Тем самым измененная область
останется подобной первоначальной области и только будет по-
повернута относительно нее. Поэтому ото.бражение при помощи
комплексной функции называется также „конформным" в беско-
бесконечно малых частях.
Таким образом каждому конформному отображению плоскости w
На плоскости z соответствует стационарное движение жидкости
в плоскости z. При этом каждая нить тока образует в плоскости w
полоску, параллельную оси <р, так как она ограничена двумя
линиями гр= const. Поэтому задача найти стационарное течение
жидкости между двумя неподвижными предельными линиями
(стенками) приводится к конформному отображению полоски,
ограниченной двумя параллельными прямыми в плоскости и>, на
область, лежащую между этими двумя предельными линиями
в плоскости z.
Величины г и &, характеризующие это отображение, нагляд-
наглядным образом определяют движение жидкости. Так как, ввиду
359а) и C60)
,. 1 dw 1 дп> л (дц> ,д<р
' dz ' дх \дх ду
то из C64) получится после разделения вещественной и мнимой
, части:
C66)
г* \дх) \ду)'
cos^^r^L, sin# = r-^. C67)
дх ду
Таким образом г есть величина, обратная скорости, а & (между
я и —я) есть угол, который образует градиент потенциала
скорости (противоположный линии тока) с положительным на-
направлением оси х.
В качестве простого примера рассмотрим течение жид-
жидкости в пространстве между двумя неподвижными прямыми,
которые пересекаются в точке стока О под углом а (истечение
'из бесконечно малого отверстия в О). Для этого необходимо
конформно отобразить полоску, параллельную оси <р и шириною fi,

БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
151.
лежащую в плоскости и>, на секторный вырез с углом а в плос-
скости z (черт. 12). Это отображение можно представить при.
помощи функции.
z=e'''w, C68)
или
x=e
cos(—
(И
C69)
I
Действительно, если д> убывает от + оо до — оо, соответ-
соответственно направлению линий тока (обозначенных стрелками на
черт. 12), то точка z
движется при у = О V* У
по неподвижной пря- i
мой, по оси х, от
х = оо до х=0, а при
ip = /3 точка движет-
движется по другой непод-
вижной прямой от
бесконечного удале-
ния до точки О, и
при промежуточном w
постоянном з н а че-
н-ии гр точка движется
по прямой, лежащей
между этими прямыми, от бесконечного удаления до точки Ое
Следовательно, линии тока в плоскости z суть прямые, которые
гфоходят через точку О внутри угла а. Если выразить д> и
через х и у, то из C69) получится:
f
Черт. 12.
а
а у
\р = —arctg—.
/? х
C70)
Таким образом мы имеем здесь логарифмический потенциал
в качестве частного решения диференциального уравнения C56)
(ср. 1, § 46). Постоянная ^ соответствует, очевидно, силе тече-
течения.
Для величин г и & получаются следущие значения из C66)
и C67):
а
& = arc tg
C71)

152 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
в согласии с тем. что г обозначает величину, обратную ско-'
рости, и & обозначает направление, противоположное линии
тока.
§ 67. Метод конформных отображений позволяет также раз-
разрешить задачу, которая неразрешима при более общих условиях,
а именно задачу представить движения жидкости, которые-соот-
ветствуют „свободным струям": это — токи жидкости, которые про-
. текают не между твердыми стенками, а в свободном воздухе. За-
Задача здесь значительно труднее по той причине, что границы
жидкости не даны заранее, а должны быть вычислены при помощи
поверхностных условий, характерных для свободной струи. Пре-
Предельное условие, которое существует на поверхности свободной
струи, не только ограничивается требованием, чтобы эта поверх-
поверхность состояла из линий тока, но и требует также, ввиду прин-
принципа равенства действия и противодействия, чтобы давление р
жидкости на поверхности свободной струи равнялось давлению
свободного воздуха р0, т. е. было постоянным.
Если пренебречь влиянием тяжести, то из C22) следует, что
на поверхности свободной струи величина скорости течения
постоянна. Обратно, каждая линия тока, на которой скорость
постоянна, может представлять границу свободной струи. Если
в одной части линии тока скорость изменяется, а в другой части
остается постоянной, то первая часть представляет течение вдоль
твердой стенки, а вторая часть продолжение этого течения
в виде свободной струи, что имеет место, например, при исте-
истечении жидкости из трубы произвольной формы в воздух.
Следовательно, для изображения свободной струи в рассмот-
рассмотренном здесь частном случае двухмерных течений необходимо
найти такие линии тока, на которых постоянно не только у>, но
и скорость — • Эту задачу можно решить, если принять во вни-
внимание, что линии у> = const обозначают, как уже было указано,
прямые, параллельные оси в плоскости w, а линии г = const пред-
представляют, согласно C64), концентрические круги с центром в
начале координат в плоскости £. Поэтому, если удастся конформ-
конформно отразить полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми
в плоскости w, на область, ограниченную с одной стороны дугой
круга г = const" в плоскости £, то из функциональной зависи-
зависимости между w и g = получится функциональная зависимость
dw
между z и й\ т. е. отображение полоски в плоскости w на
плоскость z. Это отображение имеет то свойство, что на опреде-
определенных пограничных линиях области плоскости z как ф = const,
так и г = const. Эти линии представляют поверхности свободных
струй движений жидкости. При помощи описанного метода Гельм-

ВЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 153
гольцу впервые удалось найти точные решения задачи об
образовании свободных струй \
§ 68. Возвратимся теперь к рассмотрению более общего слу-
случая безвихревого течения жидкости, с тем чтобы подробнее осве-
осветить вопрос, которого мы кратко коснулись в § 61, вопрос о том,
могут ли линии тока быть замкнутыми. Там мы нашли, что это не-
невозможно в том случае, если потенциал скорости есть однознач-
однозначная и непрерывная функция пространственных координат. Однако
легко показать, что в действительности существует течение
с такими линиями тока, которые замкнуты сами на себя. Например,
рассмотрим простое движение жидкости, изображенное уравне-
уравнениями C70), и примем во внимание, что функции д> и у могут поме-
поменяться друг с другом местами как уже было указано выше. Тогда
мы получим для движения жидкости:
9 = -arctg^,
х C72)
ig V'y? + у2' = J
а
v = -а ig Vy? + у2 = J- igpo-
Здесь мы имеем безвихревое стационарное течение жидкости,
заполняющей всю плоскость ху за исключением произвольно
малой области, заключающей особенную точку О. В этом движе-
движении линии тока ip = const суть концентрические круги с центром
в особенной точке О, а линии равного потенциала суть прямые,
выходящие из точки О. Если рассматривать какие-нибудь два
концентрических круга как твердые стенки, то мы имеем течение
в круговом кольце. Компоненты скорости в этом случае равны:
дх~а
C73)
)
^ _ 6g> p x
а величина скорости
? = |~. C74)
Таким образом жидкость непрерывно циркулирует по кругу,
между тем как скорость вращения повсюду постоянно равна нулю.
Эта теорема перестанет казаться стиль парадоксальной, если
принять во внимание, что жидкость не вращается подобно твер-
твердому телу, а претерпевает деформации во время движения, так
1 Н. v. Helmholtz, Wissenschaft!ic!ie"Abbandltingen, Leipzig (J. A. Barth),
S. 146. 1882

154 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
как угловая скорость циркуляции становится все меньшей с увели-
увеличением расстояния от оси вращения. Поэтому нужно отличать
угловую скорость циркуляции от угловой скорости вращения,
так как первая обусловливается радиусом кривизны траектории
частицы жидкости, а вторая — вращением самой частицы, совер-
совершенно не зависящим от радиуса кривизны. Впрочем, не следует
думать, что если скорость вращения равна нулю, то частица жид-
жидкости остается всегда параллельной самой себе, ибо компоненты
скорости вращения частицы не равны производным по времени
от углов, которые определяют положение частицы. Если бы это
было так, то пришлось бы заключить, что углы постоянны, если
скорость вращения обращается в нуль. Но на самом деле из послед-
, него обстоятельства следует лишь, что именно те прямые, которые
представляют собою главные оси расширения частицы, не изме-
изменяют направления, между тем как все остальные прямые в частице
могут поворачиваться (§ 7). И так как в каждый момент глав-
главные оси расширения изменяются, то получается такой результат,
что после конечного промежутка времени частица может совер-
совершить конечный поворот, в то время как скорость вращения в каж-
каждый момент равна нулю G, § 137).
Наряду с простым примером, выражаемым уравнением C72),
можно указать еще другие, более общие случаи безвихревых дви-
движений с замкнутыми линиями тока на плоскости и в пространстве,
например течение в какой-нибудь замкнутой трубе.
Во всех подобных случаях приходится притти к заключению,
что потенциал не может быть однозначным и непрерывным.
Действительно, это можно подтвердить при помощи выражения
для q> в уравнении C72). Либо можно предположить, что arc tg
однозначен; но тогда он не непрерывен, а претерпевает внезапный
скачок в каком-либо произвольно выбранном месте. Либо его
можно считать непрерывным, но тогда он бесконечно многозна-
многозначен. Если приходится производить вычисления с подобного рода
функцией, то в большинстве случаев удобнее выбрать первую
возможность и установить определенное место прерывности, для
того чтобы результат вычисления был вполне определенным.
Многозначность или прерывность потенциала скорости не оказы-
оказывает, конечно, никакого влияния на величину и направление
скорости.
§ 69. Так как характер безвихревого движения жидкости
существенно зависит от того, является ли потенциал скорости
однозначным и непрерывным, то возникает вопрос, можно ли
' установить такой общий критерий, который позволил бы заранее
определить, необходимо ли для данного движения жидкости,
чтобы потенциал скорости был однозначным и непрерывным.
Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны прежде всего под-
подробнее рассмотреть махематическое значение уравнений C18),
которые выражают отсутствие вихрей. Положим, что q есть

БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 155
вектор, компоненты которого ц, v, w даны в виде однозначных
и непрерывных функций пространственных координат х, у, z
внутри некоторого пространства R, так что выполняются три
уравнения C18). Тогда имеет место следующее правило. Если
взять интеграл
о
,-ds C75;
от какой-либо определенной точки 1 пространства R до какой-
либо другой определенной точки 2 того же пространства, вдоль
произвольной кривой s, которая вся проходит внутри R, то зна-
значение интеграла остается неизменным при любом бесконечно
малом изменении пути интегрирования s. Доказательство этого
полржения производится следующим образом. Из равенства
__ dx ^ dy ^ dz^
8 ds ' ds ' ds
следует:
- 2
J = f(u dx -f v dy + w dz). C76)
Следовательно, для бесконечной малой вариации кривой s.
2
[и ■ Sdx + ди ■ dx+ ...), C77)
Так как 6dx~d6x, то, интегрируя по частям и принимая во
внимание, что пределы интеграла не подвергаются вариации, по-
получим:
fo.rftfx fdu-Лс
J J
J J \W y dz
Далее,
ди*= — dx -\ &у + ~~ dz.
дх ду dz
Следовательно, подставив это преобразование и аналогичные
ему в равенство C77), имеем:
2
^) (fty) + .C78)
J \ ду dz)
и, согласно C18):
<)У = 0. C79)

156 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Но если величина J остается инвариантной при бесконечно
малом изменении пути интегрирования, то отсюда еще не сле-
следует, что J имеет одинаковую величину для всех возможных
путей интегрирования, ибо это заключение допустимо только
в том случае, если можно из одного пути интегрирования вывести
все остальные посредством последовательных бесконечно малых,
т. е. непрерывных изменений. Но осуществим ли такой переход,
это зависит от свойств пространства R, внутри которого определен
вектор q. Если, например, R имеет форму параллелепипеда или
эллипсоида, то все кривые, которые проходят между двумя опре-
определенными точками внутри R, могут быть преобразованы одна
в другую посредством непрерывных изменений. Такое простран-
пространство называется односвязным. Поэтому в нем интеграл J
совершенно не зазисит от пути интегрирования и целиком опре-
определен обеими предельными точками, а вместе с тем, и по-
потенциал скорости, который выражается через J, однозначен
вплоть до аддитивной постоянной, которая зависит от нижнего
предела.
Но если R имеет, например; кольцеобразную форму, вроде
замкнутой трубки, то уже невозможно преобразовать при помощи
непрерывных изменений одну кривую, которая соединяет две
точки в трубке, в другую кривую, которая соединяет эти точки
таким образом, что проходит через трубку в обратном напра-
направлении. Такое пространство, в котором не все линии, соединяю-
соединяющие две точки, могут быть непрерывно преобразованы одна
в другую, называется многосвязным. В таком пространстве
соединительные линии между двумя точками распадаются на не-
некоторое число групп, в каждой из которых интеграл J имеет
различную величину.
Изложенное противоположение одно- и многосвязных про-
пространств можно формулировать также другим способом, который
имеет некоторые преимущества. Очевидно, что две соединитель-
соединительные линии между двумя точками можно всегда соединить в зам-
замкнутый контур, причем одну из линий можно принять за путь
в одном направлении, а другую — за обратный путь. Если можно
эти линии перевести одну в другую при помощи непрерывных
изменений, то возможно, посредством непрерывного сужения
замкнутого контура, стянуть ею в одну точку. Если невозможно
первое, то невозможно и второе. Отсюда вытекает правило: про-
пространство односвязно или многосвязно, в зависимости от того,
можно ли посредством непрерывного сужения стянуть в одну
точку все проходящие в нем замкнутые лини»; или нельзя. В па-
параллелепипеде или эллипсоиде это возможно, а в кольцеоб-
кольцеобразной трубке невозможно, так как замкнутая линия, которая
проходит в трубке в определенном направлении, наталкивается
при непрерывном сужении на стенку, которая является препят-
препятствием для дальнейшего сужения.

БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 157
Чтобы лрцложит этот метод к интересующему нас случаю,
примем во внимание, что вопрос о том, имеет ли интеграл J
в C75) одинаковую величину для двух различных путей интег-
интегрирования, совпадает с вопросом о том, равен ли этот интеграл
нулю для замкнутого контура, составленного из этих двух путей;
ибо замкнутый интеграл равен алгебраической сумме обоих от-
отдельных интегралов, один из которых взят в обратном напра-
направлении. Согласно положению, выраженному равенством C79),
замкнутый интеграл не изменяет своей величины при всяком
непрерывном сужении пути интегрирования, причем точки 7 и 2
также могут быть смещены. Поэтому, если можно довести суже-
сужение до единственной точки, — что всегда возможно в односвяз-
ном пространстве, — то длина пути интегрирования и, вместе
с тем, величина интеграла обращается в нуль. Стало быть, инте-
интеграл равен нулю при всяком расширении пути интегрирования,
и все значения J между двумя определенными точками равны
между собой: потенциал скорости однозначен.
Но если в многосвязном пространстве сужение замкнутого
пути интегрирования наталкивается на границу, то интеграл по
такой замкнутой кривой может иметь величину, отличную от нуля.
Эта величина одинакова для всех других замкнутых кривых, ко-
которые получаются из данной посредством непрерывного измене-
изменения. Потенциал скорости многозначен, он имеет дискретное мно-
множество значений.
§ 70. Чтобы избегнуть неудобства, которое приносит с собой
многозначность какой-либо величины, можно превратить много-
многосвязное пространство в односвязное при помощи целесообразно
подобранного произвольного ограничения: в определенных местах
пространства проводятся разделяющие сечения, причем уста-
устанавливается положение, что линия, соединяющая две точки про-
пространства, не должна проходить через какое-либо сечение. Тогда,
очевидно, уменьшается число возможных видов соединительных
линий между двумя точками, непрерывно преобразуемых друг
в друга. Проводя достаточно большое число разделяющих сече-
сечений, можно добиться того, чтобы остался возможным только
один вид кривых, и пространство становится односвязным. Если
достаточно одного разделяющего сечения, чтобы достичь этого
результата, то пространство называется двусвязным. Если необ-
необходимо п разделяющих сечений, то пространство (п-Н)-связно.
Примером более чем двусвязного пространства может послу-
послужить колесо с несколькими спицами. Если колесо с четырьмя
спицами, то необходимо четыре разделяющих сечения, которые
можно мысленно провести на ободе колеса между каждыми
двумя спицами. Поэтому такое пространство пятисвязное.
Если представить себе, что вышеописанным способом прове-
проведено необходимое число разделяющих сечений, то пространство
будет односвязным. Всякая проведенная в нем замкнутая кривая

158 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
может быть стянута в одну точку посредством непрерывного су-
сужения, и потенциал скорости однозначен. Но выигрыш однознач-
однозначности искупается потерей непрерывности. Действительно, опре-
определим разность значений потенциала скорости в двух точках 1 и 2,
которые бесконечно близки друг к другу, но лежат по разные
стороны от разделяющего сечения. Интегрирование C75), служа-
служащее для вычисления этой разности, нужно произвести не по бес-
бесконечно короткому, а по единственному дозволенному конечному
соединительному пути. Так как этот интеграл даст конечную ве-
величину, то искомая разность также конечна: потенциал скорости
претерпевает скачок на разделяющей поверхности. Но так как
путь интегрирования, при помощи которого производилось это
вычисление, представляет замкнутую кривую, и так как величина
этого интеграла не изменяется, согласно C79), при любом непре-
непрерывном изменении этой кривой, то мы получаем такое правило:
скачок потенциала скорости на поверхности раз-
разрыва одинаков во всех точках этой поверхности
и равен величине интеграла C75) по любой замкну-
замкнутой линии, пересекающей поверхность разрыва.
Все эти правила могут быть наглядно иллюстрированы при
помощи простого рассмотренного в § 68 случая циркуляции жид-
жидкости в плоском круговом кольце. Здесь линии тока замкнуты,
потенциал скорости многозначен, пространство двусвязно. Дей-
Действительно, замкнутую линию тока невозможно сжать в одну
точку, так как небольшая область, содержащая особенную точку
и не принадлежащая к пространству жидкости, представляет пре-
препятствие неограниченному сужению. Но если представить себе,
что через жидкость проходит разделяющее сечение, от особенной
точки в бесконечность, — или, в случае если имеются две концен-
концентрические круговые неподвижные стенки, от одной стенки к дру-
другой,— то пространство жидкости — односвязное, и потенциал ско-
скорости однозначен, но прерывен. Скачок на поверхности разрыва
одинаков во всех точках этой поверхности и легко получается
вычислением интеграла C75) для замкнутой линии тока, т. е. со-
согласно C74):
в согласии со скачком 2я функции arc tg в выражении C72) для
потенциала скорости <р.
§ 71. Так как линия тока не может быть замкнутой в одно-
связном пространстве и так как она не может заканчиваться
у твердой стенки, то отсюда следует, что водносвязном про-
пространстве, которое ограничено со всех сторон не-
неподвижными стенками, безвихревое движение не-
несжимаемой жидкости вообще невозможно. Эголегко
доказать, рассмотрев тождества (81). Так как стенки неподвижны,

БЕЗВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 159
то поверхностный интеграл равен нулю, а так как жидкость
несжимаема, то объемный интеграл в правой части равен нулю,
и поэтому д> постоянно, т. е. жидкость неподвижна. Но для пра-
правильности тождества (81) необходимо, чтобы notенциал скорости
был однозначным и непрерывным, так как иначе интеграл
2
I
дх
не равнялся бы д>2—<рг, как было принято в выражении G6).
§ 72. В заключение этой главы рассмотрим еще простой пример
нестационарного безвихревого движения несжимаемой жидко-
жидкости. Для этого воспользуемся рассмотренным в § 63 случаем исте-
истечения тяжелой жидкости из трубки, широкой вверху и узкой внизу,
и положим, как и раньше, что верхний уровень жидкости нахо-
находится под постоянным давлением р0, а давление у отверстия тоже
постоянно и равно р. На теперь мы рассмотрим нестационарное
истечение и постараемся определить, какое возникает движение,
если в момент t = 0 жидкость повсюду неподвижна.
Прежде всего, что касается диференциальных уравнений дви-
движения, то уравнение Лапласа C23) и вытекающие из него со-
соотношения от C24) до C29) имеют место также для нестационарных
движений, ибо уравнение Лапласа вытекает из общего условия
непрерывности B59) в связи с условием несжимаемости. Зато
уравнение C22)-обобщается, согласно C21), следующим образом
р = — к (tfi+ v + и*) — kgz +k.^. C80)
Кроме того, нужно добавить пограничные условия у стенок и
у обоих отверстий, а также начальное условие, при t — 0.
Всем этим условиям можно удовлетворить, полагая
Ф =-- Т - д>', C81)
где Т — функция только времени t, а функцию дз' можно принять
за известное уже выражение потенциала скорости в рассмотрен-
рассмотренном выше частном случае стационарного истечения. Тогда вы-
выполняются как уравнение Лапласа, так и пограничные условия
у неподвижных стенок.
В диференциальном уравнении линий тока C20) множитель Т
сокращается, поэтому линии тока проходят все. время так же,
как и при стационарном истечении. С течением времени изме-
изменяется только скорость течения. Диференцированием C81) непо-
непосредственно получается:
q = T-q', C82)

160 Конечные деформаций
т. е. скорость в каком-йибудь месте пропорциональна стационар-
стационарной скорости в этом месте и множителю Т.
Обозначим, как и раньше, величины, относящиеся к верхнему
уровню жидкости, значком 0, а величины, относящиеся к отвер-
отверстию для истечения, будем писать без значка. Если пренебречь
величиной / по сравнению с /0, то из C29), CS0), C81) и (бЪ2)
получится:
d Т = С! A _ т*). C83)
dt 2('')
Проинтегрируем это диференциальное уравнение. Обозначив
для сокращения положительную постоянную:
/ /
= а
и принимая во внимание, что Т~0 при t ~ 0, получим:
Т е1C84)
Уравнения C82) и C84) определяют скорость истечения жид-
жидкости в в любой момент t. Скорость растет от нуля до своего
стационарного значения в C31), которому она точно равняется
лишь после бесконечно большого промежутка времени, но к ко-
которому подходит тем ближе, чем больше этот промежуток.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
§ 73. Рассмотрим несжимаемую жидкость, которая заполняет
односвязное пространство произвольного объема, ограниченное
со всех сторон твердыми стенками. Из § 71 известно, что в том
случае, если в жидкости нет вихрей, скорость ее всюду и всегда
равна нулю. Но допустим, что где-либо и когда-либо имеются
вихри, т. е. что в некоторый момент в некоторых местах жидко-
жидкости скорость вращения имеет данное значение, отличное от нуля.
Тогда можно доказать, что скорость всей жидкости однозначно
определена внутри и вне вихрей как в данный момент, так и
во всякое время.
Проведем доказательство сначала для данного момента t я
покажем, что компоненты скорости и, v, w повсюду однозначно

ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 161
определены одновременными значениями компонентов вращения
§, г), С в уравнениях (.59) и условием несжимаемости:
дх <)>' дг
Действительно, если бы этого не было, то существовали бы
еще другие значения компонентов скорости, например и', v1, w',
которые удовлетворяли бы этим условиям. Тогда разности
и — и = «о, V — v = v0. w1 — ш = w0, рассматриваемые как составляю-
составляющие скорости, изображали бы движение жидкости в односвязном
пространстве, ограниченном со ьсех сторон твердыми стенками.
Это движение, во-первых, удовлетворяло бы условию несжимае-
несжимаемости и, во-вторых, происходило бы совершенно без вихрей, так
как для иего компоненты |0, щ, Со повсюду равнялись бы нулю.
Но такое движение невозможно. Следовательно, и0, v0, w0 по-
повсюду равны нулю.
Так как компоненты скорости и, v, w определены повсюду,
то они определены, конечно, и внутри вихревых нитей, а вместе
с ними и пространственные производные их по х, у, z, т. е. ком-
компоненты скорости деформации. Ввиду этого вполне определен-
определенным является изменение, которому подвергается вихревая нить
в течение э-темента времени, включай ее вращение и деформацию.
Так как, согласно C17), произведение вихревой скорости <а на
площадь поперечного сечения нити не изменяется с течением
времени, то определенным становится изменение вихревой скоро-
скорости о) в течение промежутка времени dt. Вместе с тем, становятся
известными величина и направление, т. е. компоненты g, щ, £
скорости вращения в момент t + dt. Но этого достаточно, чтобы
применить к моменту t + dt такие же соображения, как раньше
к моменту t. Таким образом процесс продолжается вполне одно-
однозначно, так как от каждого момента, можно перейти к беско-
бесконечно близкому позднейшему моменту, и движение всей жид-
жидкости является определенным во всякое время.
§ 74. Установив основные положения предыдущего параграфа,
перейдем теперь к действительному вычислению компонентов
скорости и, v, w, которые соответствуют заданному вихрю, опре-
определенному величинами §, >/, £■ Допустим, что жидкость прости-
простирается в бесконечность по всем направлениям. Тогда задача
сводится к определению трех непрерывных функций и, v, w,
которые удовлетворяют, во-первых, условию несжимаемости C85)
и, во-вюрых, трем уравнениям E9) при заданных |, ц, £.
Чтобы удовлетворить условию C85), положим:
C86)
dz Ох ох оу
11 В ведение в теоретическую физику
и
d\V
Оу
dV
, i1
dz
dU
dz
—
дх '
к
dV
Ox
dU
— -
dy

162 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
где U, V, W обозначают три новые непрерывные функции с не-
непрерывными первыми производными. Тогда, очевидно, тожде-
тождественно удовлетворяется равенство C85). Не нарушая общности
задачи, можно наложить еще некоторое ограничение на функции
U, V, W: если вместо U написать U + -—, вместо V: V + -1-, вме-
дх ду
сто W : W-\——, где у — совершенно произвольная функция, то,
дг
очевидно, уравнения C86) дадут такие же значения и, v, w, как
и раньше. Таким образом можно совершенно произвольно задать
функцию %>, не предвосхищая этим вычисления и, v, w. Выбе-
Выберем у> таким образом, чтобы было:
w C87)
+ +0
дх ду дг
Это всегда можно осуществить, подобрав должным образом
величину Л^.
Сделав такое допущение, подставим выражения C86) в уравне-
уравнения E9). Получим:
ос- д/dUdV dW\
*§= - -I -- -t- r . —Л1Л (doe)
дх \ дх ду dz J
или, согласно C87):
= — 2g, AV = — 2r), AW = — 2?. C89)
Это три диференциальные уравнения Пуассона [7, A32)], инте-
интегралы которых равны, согласно 1, § 45:
2я. . • »-Ц£?- C90)
Здесь г обозначает расстояние точки воздействия х, у, г от
какой-нибудь другой точки жидкости х", у', г', в которой компо-
компоненты вихревой скорости суть g', t)', f. Интегрирование произ-
производится по всем элементам объема жидкости йт', причем, конечно,
нужно опустить все те элементы объема, в которых вихревая
скорость равна нулю. Для жидкости, в которой совершенно нет
вихрей, мы снова получим вывод § 71.
Можно непосредственно убедиться в том, что определенные
таким образом функции U, V, W действительно обладают свой-
свойством C87), если подставить выражения C90), продиференцировав

ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 163
их по х, у, г и преобразовав получившиеся интегралы интегри-
интегрированием по частям согласно G9). При этом нужно воспользо-
воспользоваться тождествами:
dt■___ дг^ дг____ дг дг__ дг „_„
дх~ дх'' ду~ ду'' dz~~ dz'
и соотношением C15).
Если подставить найденные выражения U, V, W в уравнения
C86), то отсюда получатся искомые значения составляющих
скорости в произвольной точке жидкости х, у, г, внутри или вне
вихрей:
или
гз -">У]^'ит. д., C93>
или, в векторном обозначении A, § 87):
Здась q обозначает вектор скорости в точке воздействия, г—
расстояние точки воздействия от элемента жидкости dz', в кото-
котором вихревая скорость равна о', наконец, —вектор длиной 1,
который направлен от элемента жидкости йт' к точке воздействия.
Значение уравнения C94) можно наглядно истолковать следую-
следующим образом: каждый элемент вихря, объемом dz', вносит опре-
определенную долю в общую величину, скорости жидкости q в точке
воздействия. Эта доля определяется по величине и направлению
при помощи выражения:
Л0' Я^'^^Ч. C95)
т. е. она пропорциональна вихревой скорости, обратно пропор-
пропорциональна квадрату расстояния, далее она пропорциональна си-
синусу ума между осью вихря и соединительной прямой г и пер-
пендиг, улярна к плоскости, проходящей через эти два направления.
Направления о', г, dq образуют в последовательном порядке
правую координатную систему. Другими словами: движение rfq
совершается в направлении той скорости, которую имели бы
частицы элемента вихря, ближайшие к точке воздействия, со-
совершая вращение вокруг оси вихря, если бы она была неподвижна.

184 Конечные деформаций
Зная составляющие скорости и, v, w как функции х, у, z, по-
получим диференциальные уравнения линий тока:
u:v:w=-dx:dy:dz, C96)
которые существенно отличаются от прежних уравнений C20) тем,
что в данном случае вообще не существует потенциала скорости.
§ 75. Рассмотрим для примера вихревую нить, имеющую вид
тонкого кругового кольца. Скорость вращения можно считать
настолько большой, что произведение ее на сечение кольца, или
момент вихревой нити, имеет конечную величину. Вне кольца дви-
движение жидкости происходит, конечно, без вихрей. Все те частицы
жидкости, которые лежат в плоскости кольца, текут перпендику-
перпендикулярно к этой плоскости. Частицы, лежащие внутри кольца, дви-
движутся в направлении вращательного движения внутренних частиц
вихревого кольца, а частицы, лежащие вне кольца, движутся
в направлении вращения наружных частиц кольца. Линии тока
свободной от вихрей жидкости проходят сквозь середину кольца
в соответствующем направлении, огибают его наружу, симме-
симметрично расширяясь во все стороны бесконечного пространства
совершенно так, как в „двойном источнике" (§ 64), затем, обойдя
плоскость кольца снаружи его в противоположном направлении,
возвращаются, снова сближаясь, с другой стороны к середине
кольца. Таким образом все линии тока окружают вихревую нить
в направлении ее вращения. При этом скорость течения непре-
непрерывна повсюду: внутри и снаружи вихря, а также при переходе
от жидкости в вихре к жидкости вне вихря. Величина скорости
течения больше внутри вихря, где нити тока суживаются, чем
снаружи, где они расширяются. Замкнутым линиям тока соответ-
соответствует многозначный или прерывный потенциал скорости и бес-
бесконечное двусвязное пространство жидкости. Действительно, такую
линию невозможно стянуть в одну точку путем непрерывного
сужения внутри пространства, свободного от вихрей.
Однако само вихревое кпльцо не находится в покое, а сооб-
сообщает само себе определенную скорость. Как показывает небольшое
рассуждение на основании закона C95), оно движется перпенди-
перпендикулярно своей плоскости в направлении линий тока, проходящих
через его середину.
Положим теперь, что в жидкости имеются два таких вихревых
кольца одинаковой длины, одинакового момента и параллельные
друг другу, причем линия, соединяющая оба центра, перпендику-
перпендикулярна к плоскости колец, образуя ось симметрии всего процесса.
Нетрудно видеть, каким образом будет совершаться этот процесс.
Сперва оба вихревых кольца будут двигаться со свойственной
им скоростью поступательного движения вдоль оси симметрии
в направлении проходящих через нее линий тока. Но, кроме того,
возникнут силы взаимодействия между ними. Так как уравне-
уравнение C94) не зависит от того, совершает ли жидкость вихревое

ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 165
движение в точке воздействия, то вихревые элементы одного
кольца будут, так сказать, увеличены линиями тока, произведен-
произведенными другим кольцом. Вследствие этого первое кольцо, движу-
движущееся впереди, расширяется наружу, а скорость его постепенно
уменьшается, между тем как второе кольцо, следующее позади,
суживается и движется все быстрее вперед, пока не догонит пер-
первое кольцо и не пройдет сквозь него. Как только это произой-
произойдет, процесс обращается. Теперь уже второе кольцо будет рас-
расширяться и скорость его уменьшаться, а первое кольцо будет
I суживаться, пока оба кольца не сделаются одинаковой величины,
а расстояние между ними станет таким же, как было вначале.
Затем повторится то же явление, причем кольца поменяются
ролями, и так будет продолжаться до бесконечности.
§ 76. Произведем более подробные вычисления для случая
двух измерений (как в § 66), когда движение жидкости происходит
параллельно плоскости ху и зависит только от координат хну.
Тогда условие несжимаемости C85) примет более простой вид:
ди dv
—i = и.
дх ду
Из трех компонентов вращения в уравнениях E9) § и t] обра-
обращаются в нуль, и остается только
ЦЛ C97)
2 \дх ду/
так что, согласно C89):
Л2£- C98)
ду2
и, согласно C86):
£ £ ,399,
.£, ,£.
ду дх
Таким образом все вихревые линии и вихревые нити парал-
параллельны оси г. Так как они движутся параллельно плоскости ху,
то длина каждой вихревой нити постоянна все время. Но так как
масса вихревой нити и, вследствие несжимаемости жидкости,
также объем нити не изменяются с течением времени, то отсюда
следует, что постоянным во времени остается и сечеиие каждой
нити, а вместе с тем, согласно C14), также и скорость враще-
вращения ее.
Уравнение системы линий тока, согласно C96) и C99):
W = const D00)

166 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
имеет место как внутри, так и вне вихрей. Так как линии тока
проходят параллельно плоскости ху, то для движения, изобра-
изображаемого предыдущими уравнениями, безразлично, простирается
ли жидкость в бесконечность по обоим направлениям вдоль оси,
или же она заключена между любыми двумя твердыми стенками,
параллельными плоскости.
Двухмерное уравнение Пуассона C98) можно проинтегрировать
[согласно /, A39) и A40)] посредством логарифмического потен-
потенциала:
1 Г
'\gqdo', D01)
где da' обозначгет площадь сечения бесконечно тонкой вихревой
нити, f—вихревую скорость нити, q — расстояние от точки воз-
воздействия. Интеграл берется по всем вихревым нитям. Отсюда
получаются на основании C99) следующие выражения для компо-
компонентов скорости в какой-нибудь точке х, у, лежащей вне вихрей:
D01а)
da'. I
J
1 ('_ х — х'
Эти выражения гласят, что каждый элемент вихря do' вызы-
вызывает в точке воздействия скорость, которая обратно пропорци-
пропорциональна расстоянию и имеет одинаковое направление с вращением.
Возьмем одну какую-нибудь бесконечно тонкую нить, например
в начале координат. При этом можно положить скорость враще-
вращения настолько большой, чтобы момент £' • da' = fj.. имел конечную
величину. Тогда интеграл в D01) сведется к одному члену, и мы
получим:
tge. D02)
ТЕ
Следовательно, на основании D00), линии тока суть концен-
концентрические круги. Составляющие скорости в какой-нибудь точке
вне вихря равны, согласно C99):
Эти уравнения совершенно одинаковы с уравнениями C73),
если не считать постоянного множителя. Различие только в том,
что жидкость, циркулирующая без вихрей по концентрическим
кругам, ограничена индиферентной твердой цилиндрической стен-
стенкой, а в рассматриваемом здесь случае имеется причинное со-

ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 167
отношение между моментом вихревой нити, неподвижной в центре,
и внешним течением.
Для двух таких вихревых нитей в точках х1г уи и х2, у2 имеем,
согласно D01):
и^-^-igei-^- ig е«- D04)
Скорости равны, согласно C99):
„_
л ех2 л е2а '
D05)
При помощи этих уравнений скорости всех точек жидкости,
свободной от вихрей, выражаются в зависимости от положения
обеих вихревых нитей в данный момент. Линии тока суть: W =
= const. Потенциал скорости:
ц> = — - arc tg '--j-—^arc tg /^2. D05a)
Пространство без вихрей, ввиду многозначности, трехсвязно.
Что касается движения самих вихревых нитей, т. е. измене-
изменения координат х1з уъ х.г, у2 с течением времени, то его также
можно вывести из уравнений D05). Но при этом нужно иметь
в виду, что вихревая нить не сообщает себе поступательной ско-
скорости. В этом можно убедиться также путем вычисления, если
принять во внимание соотношения внутри нити. В таком случае
в уравнениях D05) выпадает член, соответствующий воздействию
нити самой на себя, и мы получим:
/fv а Л) т. i it /fll it ^ \"
UAj f*2 Ух У% ^У\ г*2 *^1 ^^ 2
2 dt л е122 ' а - dt л е1а2 • KWI)
Отсюда получится следующая картина движения обеих вихре-
вихревых нитей.
Так как
: = 0,
то точка с координатами

168 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
которую можно назвать „центром тяжести" обеих вихревых ни-
нитей, остается все время неподвижной:
«1 (*i — *а) + Vi (У1 ~ У а) = О,
и2(хг — х2) + v» (уу —у2) --- О,
т. е. движение каждой из нитей перпендикулярно к прямой, со-
соединяющей их. Поэтому расстояние между ними, а также рас-
расстояния от центра тяжести остаются постоянными. Следовательно,
нити вращаются с сбщей угловой скоростью вокруг центра тя-
тяжести, оставаясь.на постоянном расстоянии е13. Если оба враще-
вращения имеют одинаковое направление, то центр тяжести обеих ни-
нитей лежит между ними. Если же вращения противоположны, то
центр тяжести лежит вне нитей со стороны большего момента.
,, ^i + <"а
Угловая скорость вращения равна — „ и имеет направление
большего из обоих моментов.
Если моменты равны и противоположны, то „центр тяжести"
отодвигается в бесконечность, угловая скорость вращения стано-
становится равной нулю, и обе вихревые нити совершают, согласно,
D06) и D07), общее поступательное движение со скоростью J
в направлении линий тока, проходящих между ними, подобно
одному вихреиому кольцу (§ 75). Действительно, такие две „анти-
параллельные" вихревые нити можно рассматривать как части
одного вихревого кольца, имеющего вид бесконечно длинного
прямоугольника. Положение линий тока выразится в этом част-
частном случае, на основании D00) и D04), в виде уравнения:
61 -= const. D09)
Таким образом линии тока суть круги, симметрично распо-
расположенные относительно соединительной линии обеих вихревых
нитей и делящие расстояние между ними в гармоническом от-
отношении.
§ 77. В заключение рассмотрим еще простой пример одной
вихревой нити конечного сечения. Положим, что сечение нити —
круг радиуса R, а скорость вращения повсюду равна J. Как мы
знаем, она постоянна и во времени. Интегралы с элементами
вихря do' нужно взять по всей площади круга. Выражения для
компонентов скорости в какой-нибудь точке жидкости можно
получить, произведя интегрирование в (*Ю1а) или же, что удоб-
удобнее для нас. вычислив при помощи формулы D00) логарифми-
логарифмический потенциал W массы, покрывающей круг с равномерной

ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ 169
поверхностной плотностью л D01). Обозначим расстояние точки
воздействия от центра круга через
Qo = \/
Тогда для внутренней точки (ео<#) имеем, согласно 7, A45):
С ( \
W """ 2 V^2~ е°2 ) ~^lgR' D10)
Для внешней точки (qo^> R), согласно 1, A46):
D11)
Следовательно, ликии тока представляют собою, согласно D00),
концентрические круги, q0 = const, как внутри, так и вне вихре-
вихревого цилиндра. Вне цилиндра, в пространстве без вихрей, ско-
скорость выражается следующим образом, на основании C99) и D11),
L v &?£» D12)
Qo Qo
т. е. снова в согласии с D03). Зато внутри вихря скорость
имеет такое значение на основании D10):
u = — Sy, v = £x. D13)
Значит, вся жидкость вращается здесь с угловой скоростью
без деформации, подобно твердому телу (ср. 39, стр. 23). Инте-
Интересно, что на поверхности вихревой нити, там, где жидкость
вихря граничит с жидкостью, свободной от вихрей, скорость
изменяется всюду непрерывно,- так как формулы D12) и D13)
переходят одна в другую при q0 = R. Здесь величина скорости
достигает максимального значения, £7?, и уменьшается в обе
стороны до нуля.
Давление р во внешнем пространстве жидкости, свободном от
вихрей, следует, на основании C22), закону:
р=_^^а^ + const, D14)
2 Qo2
а внутри вихревой нити давление выражается иначе, на основа-
основании B97):
Р-*SW +const. D15)
На основании принципа равенства действия и противодей-
противодействия, давление на ограничивающей поверхности должно, быть

170 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
::епрерывно. Поэтому величина его определена повсюду, если
она известна на каком-нибудь расстоянии, например в бесконеч-
бесконечности. С приближением точки воздействия из бесконечности
к вихрю и далее до его середины давление убывает. В середине
вихря давление имеет наименьшее значение.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ТРЕНДЕ
§ 78. Изложенные выше приложения основных уравнений гидро-
гидродинамики показали, что эти уравнения в форме, выведенной в § 53,
дают возможность представить значительное число различных
движений жидкости ■ в хорошем согласии с действительностью.
Но в природе существуют и такие виды гидродинамических я.ле-
ний, законы которых не удовлетворяют требованиям этих диферен-
циальных уравнений. Эго мы видели всего отчетливее на примере
парадоксальной теоремы § 65, согласно которой шар, движущийся
в покоящейся жидкости, не должен испытывать никакого сопро-
сопротивления. Если мы хотим отдать себе лучший отчет в действи-
действительном положении вещей для этого важного случая, то нам
необходимо расширить теорию должным образом. Спрашивается,
как это сделать.
Уравнения движения (83) и (84) в первой части этой книги
выведены из принципов общей механики, которых мы не можем
здесь изменить. Этих уравнений мы будем придерживаться неиз-
неизменно. Однако представляется возможность видоизменить тео-
теорию, если принять во внимание, что мы получили наши диферен-
циальные уравнения гидродинамики B62), введя гипотезу „совер-
„совершенной упругости", т. е. гипотезу, что давление зависит только
от состояния деформации (§ 21). Тогда получаются для жидкости
простые значения B61а) шести компонентов давления. Теперь же
!.а можем обобщить эту гипотезу таким образом, что давление
в каком-нибудь элементе тела должно зависеть не только от сос-
состояния ; еформации, но и от состояния скорости элемента, т. е.
ди ди _
от компонентов скорости и, v, w и их производных , ,... Соот-
дх ду
^етственно этому мы напишем равенства B61а) в обобщенном
ииде:
xx = p + xj, y^p + y;, z,-=p+z;,\
Y.= Y.\ Z,-Zz\ X^X", \
P = /(*). D17)
и допустим, что добгшочные компоненты давления XJ,YJ,...
зависят некоторым образом от упомянутых величин скорости.
Понятно, что непосредственное влияние на давление в элементе

ТРЕНИЕ 17!
тела не может оказать ни равномерная скор сть поступательного
перемещения, ни равномерная скорость вращения, а только такое
состояние скорости, которое связано с деформацией. Отсюда сле-
следует, что в выражения Хх', Xv',... могут войти из двенадцати
величин скорости B56) только шесть компонентов скорости дефор-
мац-и .xw I,,,.. Мы допустим, что они входят линейно, — что,
наверное, и'меет место при достаточно,малых скоростях дефор-
деформации, — и однородно, так как при скорости деформации, обращаю-
обращающееся в нуль, давление, вызываемое ею, также обращается
в нуль. Давление, изображаемое вновь введенным тензором, мы
назовем „трением" жидкости, е частности „внутренним" трением
или „вязкостью", в отличие от „внешнего" трения, которое воз-
возникает при скольжении жидкости по поверхности соприкосновения
ее с другим веществом и которое нужно принять в расчет при
установлении пограничны?, условий.
Если тензор трения известен в виде однородной линейной
функции тензора скорости деформации, то из общих уравнений
(83) и (84), в связи с уравнениями D16) и D17), вытекают законы
движения, а именно:
D18)
d2x -
dl2,
dh"
dV1 .
d2z\
dt2
к ---
k-
л —
dp
dx
dp
dy
dp
dz
dX/ , i
Г dx r
JY' _'
dx
dZ/ ^
dx
dX/
dy
oy;
dv
dz;
dv
л дХ'
■" dz
dYJ
' dz
dz;
dz
Y;-=ZJ, ZJ = x:, Х/-У/. D19)
Теперь нужно определить характер зависимости величин XJ,
Ху',... от хх, хг... Наиболее простой и верный способ — это тот,
который мы применили в § 23 для вывода компонентов упругого
давления в тЕердсм теле: это применение принципа сохранения
энергии, —в данном случае уже ие как механического закона,
а как всеобщего физического принципа, исо трение не относится
к числу консервативных сил (/, § 49), а во всяком процессе,
в которого участвует трение, известная часть механической энер-
энергии обращается п теплоту. Теплота, произведенная трением в каком-
нибудь бесконечно малом элементе тела, объемом dz, в течение
бесконечно ' малого времени dt, пропорциональна величинам dt
и dr. Поэтому полагаем, что она равна
W dt- dr. D20)
Величину W мы должны считать конечной и всегда положи-
положительной.

172 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Будем рассуждать таким же образом, как раньше в § 23, но
с тем различием, что вместо уравнения энергии (89) напишем:
{
D21)
и вместо уравнений движения упругого твердого тела (83) и (84)
воспользуемся уравнениями движения жидкости с трением D18)
и D19). В результате рассуждения мы получим вместо (95) такое
соотношение:
JV • dt ■ dt + j(Xr% + Х/х„ + ...) dr ■ dt = 0. D22)
Co стороны формальных обо°начений нужно при этом помнить,
что в § 23 обозначения и, v, w, xx, уу,... относятся к положе-
положениям, а здесь* согласно B56), они относятся к скоростям.
Поэтому нужно умножить эти обозначения на множитель dt, чтобы
выразить те величины, которые изображались раньше диферен-
циалами du, dv, dw, dxx, dxu,...
Так как уравнение D22) верно для произвольно малого объема,
то мы получим для любой точки пространства:
XX +■ Уу'Уу + ZX 'г Y:V> + ZX + *v\ := - W. D23)
Как мы видели, компоненты давления суть однородные линей-
линейные функции переменных хх, хру... Следовательно, W есть одно-
однородная квадратичная и всегда положительная функция этих
величин. Ввиду физического значения W и вследствие изотропии
жидкости, постоянные, входящие в эту функцию, не могут зави-
зависеть от выбора системы координат. Поэтому, согласно A17),
наиболее общий вид W:
W = 9 (x, + уг + z3J + 2^ x/ + у„г + z,2 + -"- ;• ~- " Ь D24)
где q и х обозначают две постоянные, характеризующие внутрен-
внутреннее трение жидкости.
Отсюда однозначно получаются выражения для компонентов
трения: так как компоненты скорости деформации не зависят
друг от друга, то из обоих последних уравнений вытекают ком-
компоненты трения:
+ zs) — 2ххх +..., I 5)
Подставив их в уравнения D16) и D18), получим соответ-
соответствующий результат для величины полного давления и для ура-
уравнений движения.
В этих формулах заключена теория Стокса для трения в жид-
жидкостях.

ТРЕНИЕ 173
Для несжимаемой жидкости, которую мы только и будем рас-
рассматривать в дальнейшем, уравнения значительно упрощаются,
ввиду того, что скорость объемного расширения х,. + уу + г, = О,
и поэтому, согласно D16) и D25):
Уя = — *У2> Zx= - -лгх, X, = — у.хг
Таким образом внутреннее трение несжимаемой жидкости за-
зависит только от Одной постоянной а.
Для полной формулировки законов движения жидкости, свя-
связанного с трением, нужно установить еще пограничные условия.
Если жидкость течет вдоль неподвижной твердой стенки, то
для нормального давления, действующего на поверхности, не
нужно особого условия, так как сопротивление стены может
выдержать всякое давление. Но для давления, действующего на
поиерхность жидкости тангенциально, посредством трения, бу-
будет существовать определенное соотношение. В последнем играет
роль скорость, с которой жидкость скользит вдоль стены. Обо-
Обозначим снова через v внутреннюю нормаль к поверхности жид-
жидкости, через Х„, Yv, Z,— компоненты действующего на нее
снаружи давления. Тангенциальный компонент давления, который
равен нулю при совершенно упругой жидкости, направлен в слу-
случае жидкости с трением в сторону, противоположную скорости
течения. Величину его проще всего принять пропорциональной
этой скорости q, т. е.
AT, soc (тх) + Yv soc (гу) + Z, soc (tz) = — Ц, D27)
где х обозначает направление течения, Я— некоторая положи-
положительная постоянная, зависящая как от вещества жидкости, так и
от вещества стенки,— „коэфициент внешнего трения".
В этой формулировке заключаются также крайние случаи
Л = 0иЛ = оо. В первом случае вместе с внешним трением обра-
обращается в нуль и тангенциальное давление. Во втором же слу-
случае, так как тангенциальное давление остается постоянным, то
скорость скольжения q = 0, т. е. жидкость „прилипает" к твердой
стене. Численная величина коэфициентов внутреннего и внеш-
внешнего трения может быть определена только из измерений.
§ 79. Рассмотрим сперва простое приложение выведенных
уравнений: стационарное течение несжимаемой жид-
жидкости в узкой трубке, имеющей вид кругового ци-
цилиндра. Положим, что дано давление у обоих концов трубки,
а весом жидкости можно пренебречь.
Примем ось трубки за ось г, а сечение трубки у начала —
за плоскость ху. Давление в этом месте пусть равно р0. Если I
длина трубки, для конечного сечения z = l, и давление С

174 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
то жидкость течет в направлении положительной оси г. Линии
тока параллельны оси г, следовательно,
ы=0, v = 0. D28)
Из условия стационарного состояния и условия несжимаемо-
несжимаемости C85) следует:
а из уравнений D26) получаются следующие значения компонен-
компонентов давления:
v
Y -~xdw Z - xdw X -0
ду дх
D30)
Поэтому уравнения движения (83), в которых все три компо-
компонента ускорения обращаются в нуль, принимают вид:
D31)
Так как р зависит только от z, a w зависит только от х и у
согласно D29), то последнее из уравнений D31) возможно лишь
в том случае, если
„* V«.-V; - D32>
где падение давления есть положительная постоянная, величина
которой получается из условия, что давление дано при г =* 0 и
г = /, а именно:
D33)
с
Чтобы вывести из D32) величину iv как функцию хну, вве-
введем плоские полярные координаты q и <р [/,A59)] и примем во
внимание, что, ввиду симметрии, w зависит только от Q. Тогда
получится:
а^ »+ia!ss-.ci D34)
ду? ду2 q uq у-

трений 175
Чтобы получить общий интеграл этого диференциального
уравнения, положим:
e£ = W, D35)
dQ
тогда
dw' _ d?w dw
dQ dpa dQl
и, согласно D34):
1uvf__ __ e
Q dQ X
Интегрируя, получим:
x 2
и, интегрируя второй раз, получим, согласно D35):
w = — С -б%-AlgQ-i В. D36)
х 4
Для определения обеих постоянных интегрирования служат
пограничные условия. При q — 0, w конечно; следовательно,
А--=0. D37)
Пусть на поверхности жидкости q — R (радиус трубки). Тогг.".
в уравнении D27) cos(tx) = 0, cos (ту) = 0, cos(tz) = 1, и, так
как v совпадает с — q, to, согласно G0) и D30),
„ dw х dw у
дх q ду q
Следовательно, на основании D27), при q = R,
R\ дх уду]
Здесь нужно положить, согласно D36) и D37),
х 4
/ dw dw \ I dw\
\ дх dyiR \ dQjR
" " x ' 2 "

176 КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Вместе с тем пограничное условие D38) гласит:
с Л?3 ^ с R
*" 4~' aV
и мы получим из D36) решение задачи, подставив найденные
значения постоянных с и Б; скорость течения равна:
4x1
Таким образом скорость течения убывает от середины трубки
к стенкам, что вполне естественно. Нетрудно видеть, что обе
постоянные х и Я должны отличаться от нуля, если скорость
имеет повсюду конечную величину.
Для1 проверки выведенной выше формулы D39) лучше всего
измерить объем жидкости, вытекшей за некоторое время t Этот
объем получится, если взять интеграл по сечению трубки:
R2-
Следовательно:
iW ■ t ■ QdQU(f.
о о
1 + 4k\
8-х х \ XR)
Отсюда мы видим, что закон истечения существенно зависит
от отношения постоянной внутреннего трения X к постоянной
внешнего трения А, Если это отношение мало по сравнению
с радиусом трубки R, то количество вытекающей жидкости про-
пропорционально четвертой степени радиуса и зависит только от внут-
внутреннего трения. Если же отношение велико по сравнению с R,
то количество вытекающей жидкости пропорционально третьей
степени радиуса и зависит только от внешнего трения. В проме-
промежуточных случаях закон сложнее, так как влияния обоих коэфи-
циентов трения накладываются друг на друга.
Опыты Пуазеля, которые были подтверждены впоследствии,
показали, что обычно осуществляется первый случай, т. е. в по-
последней формуле можно положить А = со, или
V £.,. D41)
Six
Отсюда следует на основании D39), что w — О при q = R,
т. е. что жидкость „прилипает" к стенке трубки.
Однако опыты показывают, что закон Пуазеля D41) верен
только для сравнительно узких трубок. Если же радиус трубки
превосходит некоторую критическую величину, то все изложен-
изложенное выше решение задачи лишается физического значения. Уже
первое допущение D28) не соответствует действительности, так

ТРВНИЕ
177
как линии тока уже не проходят параллельно оси трубки, а из-
изменяются под влиянием вихревых образований. Это явление на-
называется „турбулентностью". Согласно новейшим исследованиям
возникновение турбулентных движений не находится в проти-
противоречии с уравнениями гидродинамики. Оно объясняется тем,
что уравнения течения имеют несколько различных решений,
простейшее из которых, рассмотренное нами, изображает движе-
движение устойчивое и осуществляемое в природе только в том слу-
случае, если трубка довольно узкая. Однако точная теория турбу-
турбулентных движений представляет значительные трудности для
математической разработки.
§ 80. Изложенная теория трения позволяет нам также снова
приняться, и с большим успехом, за решение задачи, которую
мы раньше признали неразрешимой: задачи о вычислении со-
сопротивления, которое испытывает шар, движущийся в поко-
покоящейся жидкости. Определим полную величину давления, кото-
которое оказывает несжимаемая неподвижная жидкость на шар ра-
радиуса R, движущийся в ней с постоянной скоростью а в опре-
делеснсм направлении — направлении оси z. Предполагаем, что
жидкость тяжелая, плотности к. На основании принципа относи-
относительности мы можем взять, вместо движущегося шара в непод-
неподвижной жидкости, неподвижный шар с центром в начале-
координат в равномерном токе жидкости, т. е. в стации
о н а р н о м течении, скорость которого на бесконечном расстоянии.
от шара (г ~ оо) равна:
и -- 0, v — 0. w — — а. D42)
В качестве второго пограничного условия воспользуемся
обстоятельством, найденным в предыдущем параграфе, что на по-
поверхности шара, при г — R. .жидкость прилипает к шару, т. е.
и -О, г--- 0, w -0. (.443)
Диференциальнььчи уравнениями для определения и, v,'w up
в качестве функций х, у, z нам послужат уравнения движения
(83) с величинами компонентов давления D26), а также условие
несжимаемости C85). Уравнения движения вообще нелинейны,
так как для ускорения чм имеем.
iPx ди да . ди ди .....
- - - г - • if I- • v -Y w, . D44)
df2 dt дх ду dz
Поэтому мы еще упростим задачу, введя ограничивающее
допущение: скорости и, v, w настолко малы, что можно прене-
пренебречь членами второй степени в правой части D44). Поэтому
уравнения (83) преобразуются следующим образом:
dt) Ох ду dz

178
КОМЧвЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
Подставив выражение составляющих давления D26) и приняв
во внимание условие несжимаемости C85), получим:
дх
D45)
то
Далее, так как течение стационарно, и X — О, Y — О, Z=—g,
дР- = х
дх
др_^у
ду
?£ = -
dz
Исключив р из этих трех уравнений, получим:
D46)
\д d) \
дх)
=0.
D47)
Теперь задача распадается на две отдельные части: во-пер-
во-первых, определение компонентов скорости и, V, w из C85) и D47)
с пограничными условиями D42) и D43), во-вторых, определение
давления р из D46), а также общего действия на шар резуль-
результирующей компонентов давления.
Что касается скорости, то ясно, ввиду пограничных условий,
что она не может иметь потенциала. Поэтому мы, исходя из ура-
уравнений § 65, но несколько обобщив их, сделаем следующее до-
допущение:
и
дх
и\
v » _&
w
ду
д<р
дг
D48)
4-и/.
где о', v',
а, 6
— а ■ z + Ь
дг
дг
D49)
. . v' обозначают три новые функции более простого вида,
6, с— три постоянные. Тогда пограничные условия D12)

тмший.
179
выполняются, если и', v', w' обращаются в нуль ч бесконечности.
Условие несжимаемости C85) требует, чтобы
ди' dv' dw'
—I i =
dx ду dz
Если принять во внимание, что, согласно D49),
D50)
и что
то D50) примет вид:
<?х2 ' ay2
D51)
дх ду dz dz
Чтобы удовлетворить этому уравнению, положим:
и' = О, V =0, w' = 2с.
г
Тогда получим из D48):
"V ^^
w —
дд» 2с
D52)
Эти выражения удовлетворяют также всем остальным усло-
условиям. Прежде всего легко видеть, что уравнения D47) обра-
обращаются в тождества. Остаются еще пограничные условия D43),
которые дают при г — R:
e—b —-
iz2
— с
dz*
d8 l
'дхдг
дудг
'2с
dmz
tyz
- — а — i

Ш) КОНЕЧНЫЙ ДЕФОРМАЦИЙ
Отсюда
с , 3 {453)
4 4
и величины u, v, w определены полностью.
Вторая часть задачи представляет собою вычисление давле-
давления. Для этого подставим найденные значения и, v, w в уравне-
уравнения D46) и проинтегрируем. Получим:
где р0 обозначает давление тока жидкости в плоскости 2 — 0,
если бы там не было шара. Подставив выражение D49) для <р,
получим:
p^r — kgz-f 2ад • -- + ft. D54')
Вся сила давления, которое оказывает текущая жидкость на
неподвижный шар, есть результирующая всех сил давления, дей-
действующих на элементы поверхности шара da с внутренними нор-
нормалями v — — г. Так как эта результирующая должна быть напра-
направлена по оси z, то она равна-на основании G4):
.dc = С \глcosfwr) + Z9cos (vy) rf-Z; cos(vz)' W D55)
куда нужно подставить величины компонентов давления из D26).
Затем нужно проинтегрировать по всей поверхности шара, введя
для удобства полярные координаты: dc ■= Rz sin &d&dq>. Непосред-
Непосредственное вычисление довольно сложно, но его можно значительно
упростить при помощи следующих соображений.
На основании (83) внутри жидкости для данного случая:
dZ dZv dZ,
так как ускорение —- ооращается в ауль, как мы видели выше.
на основании D44).
Проинтегрируем последнее уравнение по пространству между
поверхностью твердого шара и какой-нибудь концентрической
поверхностью с радиусом r~^>R, я затем преобразуем интеграл при
помощи G8). Тогда получится следующий результат: искомый инте-
интеграл D45), взятый по поверхности шара с радиусом /?, равен тому
же интегралу, взятому по поверхности шара с радиусом г, плюс
такой член:
-V»), D56)

ТРВН1ГВ Ш
где Vt и Vr — объемы обоих шаров. Так как выбор1/* совершенно
произволен, то мы допустим, что г бесконечно велико, и этим
значительно упростим наши выражения.
Прежде всего при г —оо имеем на основании D52) и D49):
дп> да
6cyz2
76"
г дг г
Следовательно, на основании D26) и принимая во внимание
D54):
„ бхсуг*
Если подставить эти значения в D55) и проинтегрировать по
всем элементам do = rs sin &d&dg> .поверхности шара г с внутрен-
внутренней нормалью v ~—г, то мы получим выражение:
— 8яхе -f kg ■ Vr.
Прибавив член D56), получим величину искомой силы давле-
давления на шар:
или, согласно D53):
D57)
Первый член соответствует подъемной силе, обусловленной
весом вытесненной жидкости G, § 114), а второй член — сопро-
сопротивлению трения. Последнее действует, конечно, в направлении
потока жидкости D42).
Положим, что шар свободно подвижен и тяжел, веса Go, и
определим силу F, с которой нужнб действовать на него, чтобы
удержать его на месте. Считая силу положительной, если она
направлена вверх, получим:
F = Go — О -I- 6-тхЯ«. D5S)

184 КОНЖЧМЫк ДЙФОМ1АЦНЙ
Это и есть та сила, которую нужно приложить к шару снизу
вверх, для того чтобы заставить его двигаться в неподвижной
жидкости со скоростью •+• а. С другой стороны, эта формула
Стокса дает величину стационарной скорости а, с которой шар
движется, в жидкости, когда иа него действует постоянная сила F.
Если, например, шар падает под влиянием силы тяжести, то ско-
скорость равна:
И D59)

УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ВАЖНЕЙШИХ ТЕОРЕМ
Стр.
Адиабатические явления 123
Аргумент функции ........ 72
Атмосферное давление ...... 122
Барометр 122
Биения 104
Винт правый 65
Вихревое кольцо 164
Вихревая линия 131
Вихревая нить 132
Волна проходящая ....... 88
Волна стоячая 88
Волна шаровая 105
Волновая нормаль 101
Волновое движение 73
Вынужденные колебания 95
Высота звука 89
Гармонические обертоны .... 91
Гидравлический воздушный насос 138
Гидродинамика 117
Гидродинамическое давление . . 136
Главные давления 40
Главные расширения 19
Давление 32
Двойной источник 143
Дивергенция 31
Длина волны 86
Закон Пуазеля . . .• 176
Изотропия . . 43
Интенсивность тока 137
Интервалы музыкальные .... 9)
Истечение жидкости 138
Источник 140
Консонанс 9Э, 104
Конформное отображение .... 150
Кристаллические системы .... 52
Кручение 61
Кубическое сжатие 58
Стр.
Ливер 122
Линейная упругость 59
Линия тока 135
Локальная точка зрения . . . .114
Манометр. ., 122
Модуль кручения 63
Модуль упругости кубический . 58
Модуль упругости линейный . . 6Э
Многосвязное пространство ... 156
Момент вихревой нити 133
Момент двойного источника... 143
Натуральная система тонов ... 91
Нить тока 135
Нормальное давление 36
Нормальный той 91
Объемное расширение 17
Однородное изменение 18
Односвязное пространство . . . 156
Основное колебание 86
Ось симметрии 53
Отражение 78
Падение давления 39
Парциальные колебания 86
Парциальный той 89
Пифагорейская комма 93
Пифагорейская система тойон . . 92
Плоские волны 101
Поверхностные силы ....... 32
Поперечные колебания ..... 70
Потенциал скорости .... 100,134
Потенциал смещения 100
Правильные кристаллы 55
Принцип Долплера 112
Продольные колебания 70
Пучность колебаний 89
Расширение 17
Расширение по трем перпенди-
перпендикулярным направлениям.... 18
Резонанс 96

Указатель определений и важнейших теорем.
Стр..
Ромические кристаллы 54
Pomp- 30
Ряд Фурье 80
Свободная Поверхность 121
Свободная струя 152
Сдвиг 25
Сжатие земли . 128
Синтетическая комма 92
Скорость деформации .115
Скорость звук*. . 124
Сообщающиеся сосуды 122
Срез 25
Сток 140
Струна 67
Субстанциальная точка зрения. . 114
Тангенциальное давление .... 36
Тембр звука 89
Стр,
Темперированная система тонов . 92
Тензор 31'
Теорема Торичелли 138
Треиие 171,173
Труба, звучащая 102
Узел колебаний 88
Упругий потенциал . 47
Упругость совершенная 42
Уравнение волны ..101
Уравнение Гаусса 142
Уравнение непрерывности ... 116
Уравнения Лаграпжа 118
Уравнения Эйлера 118
Фаза колебания 86
Формула Стокса 182
Функциональный определитель. 13,27