Министерство Российской Федерации
по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям
и ликвидации последствий стихийных бедствий
Академия Государственной противопожарной службы
В. Н. Ильин, С. П. Грабарев

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
Часть 2
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Учебное пособие по курсу
«Прикладная механика»

Допущено Министерством Российской Федерации
по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям
и ликвидации последствий стихийных бедствий в качестве
учебного пособия для курсантов, студентов и слушателей
образовательных организаций МЧС России

Москва
2017

УДК 539.2/.6(075.8)
ББК 30.12я73
И46
Р е ц е н з е н т ы:
В. В. Воробьев, декан Механического факультета Московского
государственного технического университета гражданской авиации
доктор технических наук, профессор
С. П. Монтвила, профессор кафедры механики и инженерной графики
Академии гражданской защиты МЧС России
кандидат технических наук, доцент

И46

Прикладная механика. Ч. 2. Основы механики деформируемого твердого тела : учеб. пособие / В. Н. Ильин, С. П. Грабарев. –
М. : Академия ГПС МЧС России, 2017.  124 с.
Учебное пособие разработано в соответствии с программой курса «Прикладная механика» и предназначено для курсантов, слушателей и студентов
образовательных учреждений МЧС России.
Представлены варианты заданий контрольных расчетно-графических работ 3,
4 и методика их выполнения.
Рассмотрены вопросы расчета на прочность, жесткость и устойчивость
стержневых статически определимых и неопределимых систем, как в нормальных условиях, так и в условиях воздействия высоких температур при пожаре.

ISBN 978-5-9229-0144-4
УДК 539.2/.6(075.8)
ББК 30.12я73
Издано в авторской редакции
ISBN 978-5-9229-0144-4

© Академия Государственной противопожарной
службы МЧС России, 2017

ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Прикладная механика» федерального цикла общепрофессиональных дисциплин является основой общетехнической и профессиональной подготовки инженера пожарной безопасности.
Изучение и освоение курса прикладной механики (ПМ) формирует
инженерное мышление слушателей и курсантов Академии.
Качество знаний и полученных навыков проверяется в конце курса
на экзамене. Примерный перечень вопросов к экзамену дан в заключении.
При подготовке к сдаче экзамена необходимо самостоятельно выполнить соответствующие задания данного пособия, изучить теоретический материал по учебникам и пособиям, указанным в списке литературы
программы курса.
Особое внимание необходимо обратить на определения и физический смысл изучаемых явлений, суть проводимых расчетов и используемых в них математических соотношений и уравнений. Заучивать формулировки наизусть не следует, достаточно понять их смысл, а также уметь
изложить суть определения или смысл формулы своими словами.
«Прикладная механика» тесно связана с другими математическими,
естественнонаучными и общепрофессиональными дисциплинами: «Высшая математика», «Физика», «Информатика», «Инженерная графика»,
«Материаловедение и технология материалов», «Детали машин».
Материалы курса необходимы при изучении следующих специальных дисциплин: «Здания и сооружения и их устойчивость при пожаре»,
«Пожарная безопасность в строительстве», «Расследование и экспертиза
пожаров», «Пожарная техника», «Пожарная безопасность технологических
процессов», «Теория горения и взрыва», «Гидравлика и противопожарное
водоснабжение» и непосредственно используются в будущей профессиональной деятельности инженера пожарной безопасности.
Во втором разделе рассматриваются вопросы прочности, жесткости
и устойчивости стержневых элементов и систем при различных видах деформации, а также основы расчета надежных и экономичных несущих
конструкций (статически определимых и неопределимых) под воздействием силового и температурного нагружения.
Ц е л ь и з у ч е н и я к у р с а – дать теоретические знания о законах
статики, кинематики и динамики механических систем, методах расчета
параметров их движения и взаимодействия; методах расчета параметров
напряженно-деформированного состояния несущ их элементов
конструкций, а также выработать практические навыки по оценке их прочности, жесткости и устойчивости.

3

В результате изучения «Прикладной механики» слушатель должен
з н а т ь:
- физическую суть механических явлений и основные законы механики;
- механические принципы работы, эксплуатации и поведения объектов
машиностроения и строительства, как в нормальных, так и в экстремальных условиях;
- теоретические основы расчетов на прочность, жесткость и устойчивость
элементов конструкций, инженерных сооружений, пожароопасных объектов и пожарной техники в условиях обычных температур и при пожаре;
у м е т ь:
- составлять расчетные схемы несложных механизмов и несущих конструкций;
- проводить простейшие оценки параметров движения и взаимодействия
механических систем, а также оценки прочности, жесткости и устойчивости стержневых элементов конструкций при нормальных и повышенных
температурах;
- пользоваться справочной и учебной литературой по расчету параметров
напряженно-деформированного состояния стержневых элементов и систем
(балок, валов, колонн, ферм, рам и т.п.), работающих в условиях обычных
температур и при пожаре.
Данная рабочая программа предназначена также для слушателей института заочного и дистанционного обучения.
По второй части курса ПМ каждый слушатель должен выполнить две
контрольные расчетно-графические работы (РГР): ЗАДАНИЕ 3 «Расчет
стержневых элементов» и ЗАДАНИЕ 4 «Расчет стержневых систем», состоящие из десяти заданий.
Исходные данные к заданиям 1 – 5 приведены в табл. 3 – 7, а к заданиям 6 – 10 в табл. 10 – 17 соответственно.
Слушатели очного обучения выполняют контрольные работы (к/р)
поэтапно – каждое задание отдельно, а слушатели заочного обучения выполняют отдельно каждую к/р.
Перечень заданий, выполняемых по курсу ПМ на разных факультетах, несколько отличается и представлен в табл. 1.

4

Таблица 1
Перечень заданий
Факультет, направление
подготовки

Факультет пожарной
безопасности
Факультет техносферной
безопасности
Направление подготовки
40.05.03 Судебная экспертиза
Факультет заочного обучения

Номер к/р

Перечень выполняемых заданий

3

ЦРС, КВ, ИБ

4

СОФ, (СОБ, СНР или СОР, СНБ)

3

ЦРС, КВ, ИБ

4

СОФ, (СОБ или СОР)

3

ЦРС, КВ, ИБ

4

СОФ, СОР

3

ЦРС, КВ, ИБ, ВРС

4

СОФ, СОР, СНБ, СНР

Условные обозначения:
ЦРС – центральное растяжение, сжатие стержня;
КВ – кручение вала;
ИБ – изгиб балки;
ВРС – внецентренное растяжение, сжатие стержня;
УСС – устойчивость сжатого стержня;
СОФ – статически определимые фермы;
СОБ – статически определимые балки;
СОР – статически определимые рамы;
СНБ – статически неопределимые балки;
СНР – статически неопределимые рамы

5

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
КУРСА «ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА»
Часть 2. Основы механики деформируемого твердого тела
Тема 1. Основные понятия механики деформируемого твердого
тела
Предмет, задачи, методы механики деформируемого твердого тела.
Расчетные схемы. Кинематический анализ плоских стержневых систем.
Необходимые и достаточные условия геометрической неизменяемости
плоской системы дисков. Возможные изменения геометрии систем при
пожарах. Методы вычисления степени статической неопределимости
стержневых систем. Понятие о напряжениях и деформациях. Основные
гипотезы механики деформируемого твердого тела. Внутренние силы. Метод сечений. Классификация видов деформаций стержня.
Тема 2. Центральное растяжение и сжатие стержня
Продольная сила. Нормальные напряжения в поперечных сечениях.
Принцип Сен-Венана. Абсолютная и относительная деформация стержня.
Закон Гука. Экспериментальное изучение свойств материалов при растяжении и сжатии. Основные механические характеристики и их изменение
при пожаре. Вязкое и хрупкое разрушение. Понятие о надежности. Методы
расчета конструкций на прочность и жесткость. Три типа задач при расчете на прочность. Оценка предельной температуры нагрева стержней.
Определение усилий в стержнях простейших ферм. Частные случаи равновесия узлов фермы. Расчет выдвижных пожарных лестниц. Определение
влияния температуры на несущую способность ферм.
Тема 3. Кручение
Крутящий момент. Напряженно-деформированное состояние при
кручении стержня круглого поперечного сечения. Закон Гука при сдвиге.
Касательные напряжения. Расчет валов круглого и кольцевого поперечных
сечений на прочность и жесткость. Предельное состояние при кручении,
определение предельной температуры нагрева валов круглого поперечного
сечения.
Тема 4. Изгиб
Статически определимые однопролетные и многопролетные балки.
Геометрический анализ. Классификация видов изгиба балки. Внутренние
силы при изгибе. Дифференциальные уравнения равновесия балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Чистый изгиб, гипотезы.
Нормальные напряжения при чистом изгибе. Условия прочности. Прямой
6

поперечный изгиб. Нормальные и касательные напряжения, проверка
прочности. Предельное состояние балки при изгибе, пластический шарнир,
определение предельной температуры нагрева балки.
Тема 5. Сложные виды деформации стержня. Классификация.
Принцип независимости действия сил. Косой изгиб. Изгиб с растяжением или сжатием. Внецентренное растяжение или сжатие. Положение
нейтральной линии, ее свойства в указанных видах деформации. Изгиб с
кручением. Теории прочности. Расчёты по несущей способности.
Тема 6. Перемещения в стержневых системах
Основные понятия. Обобщенные силы и обобщенные перемещения.
Работа внешних сил. Потенциальная энергия упругой стержневой системы.
Принцип возможных перемещений. Теоремы взаимности строительной
механики. Формула Максвелла-Мора для определения перемещений. Правило Верещагина. Температурные перемещения.
Тема 7. Статически неопределимые системы
Степень статической неопределимости. Метод сил. Выбор неизвестных в методе сил. Основная система. Канонические уравнения. Расчет
простейших статически неопределимых рам и многопролетных балок методом сил. Изменение состояния балок при действии температуры.
Тема 8. Устойчивость сжатых стержней
Понятие о формах равновесия сжатого стержня. Критическая сила.
Формула Эйлера. Влияние способов крепления концов стержня на величину критической силы. Пределы применимости формулы Эйлера. Потеря
устойчивости стержня при неупругих деформациях. Формула Ясинского.
Практические расчеты на устойчивость. Влияние температуры нагрева на
устойчивость стержня. Продольно-поперечный изгиб.
Тема 9. Прочность конструкций при повышенных температурах
Температурные напряжения. Соотношения Дюамеля-Неймана. Равномерный нагрев стержней при растяжении, сжатии, изгибе, кручении.
Предельная температура равномерного нагрева стержня и стержневой системы. Неравномерный нагрев. Оценка огнестойкости элементов конструкций. Безмоментные оболочки вращения. Поведение их при пожаре.
Тема 10. Ползучесть металлических элементов в условиях пожара
Ползучесть металлов. Предел ползучести и предел длительной прочности. Простейшие теории ползучести. Установившаяся ползучесть. Температурные зависимости. Ползучесть элементов конструкций при различных видах деформации. Оценка фактических пределов огнестойкости несущих элементов конструкций.
7

Тема 11. Прочность при кинематических и динамических
нагружениях
Усталость. Понятие об усталостном разрушении. Кривая усталости и
предел выносливости. Расчеты на прочность при циклических напряжениях. Удар. Динамические расчёты на прочность.
Простые виды деформаций стержневых элементов. Центральное растяжение, сжатие стержня, элементов ферм, кручение вала. Расчеты на
прочность и жесткость. Оценка предельной температуры равномерного
нагрева при пожаре.
Сложные виды деформаций стержневых элементов. Прямой, косой,
продольно-поперечный изгиб стержня. Устойчивость сжатого стержня.
Расчеты на прочность, жесткость и устойчивость. Оценка предельной температуры.
Статически определимые системы. Многопролетные статически
определимые балки, трехшарнирные рамы. Расчеты на прочность и жесткость. Вычисление силовых и температурных перемещений сечений.
Оценка предельной температуры.
Статически неопределимые системы. Статически неопределимые
балки и рамы. Расчеты на прочность. Вычисление температурных напряжений.

Примерная тематика расчетно-графических работ
Простые виды деформаций стержневых элементов. Центральное
растяжение, сжатие стержня, элементов ферм, кручение вала. Расчеты на
прочность и жесткость. Оценка предельной температуры равномерного
нагрева при пожаре.
Сложные виды деформаций стержневых элементов. Прямой, косой, продольно-поперечный изгиб стержня. Устойчивость сжатого стержня. Расчеты на прочность, жесткость и устойчивость. Оценка предельной
температуры.
Статически определимые системы. Многопролетные статически
определимые балки, трехшарнирные рамы. Расчеты на прочность и жесткость. Вычисление силовых и температурных перемещений сечений.
Оценка предельной температуры.
Статически неопределимые системы. Статически неопределимые
балки и рамы. Расчеты на прочность. Вычисление температурных напряжений.

8

Требования к оформлению расчетно-графических работ
Контрольная работа выполняется в отдельной тетради 12–18 страниц
или на сброшюрованных листах формата А4, строго по варианту АБВ своего шифра. Все страницы должны иметь поля 20–25 мм.
Вначале необходимо записать исходные данные, в масштабе изобразить
все рисунки и графики.
Решение записывается подробно и аккуратно со всеми вычислениями, вспомогательными чертежами (если они необходимы) и пояснениями.
Рисунки выполняются крупно (лучше на отдельной странице), с помощью чертежных инструментов, с указанием всех размеров, числовых
данных и осей координат. Углы должны вычерчиваться точно с использованием транспортира.
Исправления работы после проверки преподавателем записываются
в конце на чистых листах (а не в тексте решения), или в отдельной тетради.
Пометки преподавателя не убираются. Следует иметь в виду, что
преподаватель при проверке работы отмечает, как правило, лишь место
появления ошибки и ее характер.
Разобравшись по учебнику и настоящему пособию с теоретическим
материалом, слушатель должен исправить допущенную ошибку, а затем
внести исправления во все расчеты, оказавшиеся ошибочными, начиная с
места появления ошибки и до конца решения задачи.
К работе, высылаемой на повторную проверку, в обязательном порядке должен прилагаться ее первоначальный (незачтенный) вариант.
Самостоятельное качественное выполнение данных контрольных работ играет важнейшую роль в освоении дисциплины «Прикладная механика», являющейся основой общетехнической и общепрофессиональной подготовки инженера пожарной безопасности.
Работа, не соответствующая своему варианту, или выполненная с
нарушением изложенных требований, не зачитывается и возвращается для
исправления.

Основные обозначения величин
𝑙 –
А –
ℎ –
𝑑 –
𝐻–
𝐹 –
𝑚–
𝑞 –

длина стержня, м;
площадь поперечного сечения стержня, м2 ;
высота поперечного сечения стержня, м;
диаметр стержня круглого сечения, м;
длина стойки рамы, м;
сосредоточенная внешняя сила, кН;
сосредоточенный внешний момент, кНм;
интенсивность внешней распределенной нагрузки, кН/м;
9

𝑡 – температура, ºС;
𝑡пр – предельная температура, ºС;
 – коэффициент линейного расширения материала, град−1 ;
𝐸, 𝐺 – модули упругости 1-го и 2-го рода соответственно, ГПа;
𝑥, 𝑦, 𝑧 – прямоугольные координаты, м;
𝑁𝑧 – продольная сила, кН;
𝑀𝑧 – крутящий момент, кНм;
𝑀𝑥 , 𝑀𝑦 – изгибающие моменты, кНм;
𝑄𝑥 , 𝑄𝑦 – поперечные силы, кН;
𝐼𝜌 – полярный момент инерции сечения, м4 ;
𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 – осевые моменты инерции сечения, м4 ;
𝑊𝜌 – полярный момент сопротивления сечения при кручении, м3 ;
𝑊𝜌пл  пластический момент сопротивления при кручении, м3 ;
𝑊𝑥 – осевой момент сопротивления сечения при изгибе, м3 ;
𝑊𝑥пл  пластический момент сопротивления при изгибе, м3 ;
,   нормальное и касательное напряжение соответственно, МПа;
т , т – пределы текучести по  и  соответственно, МПа;
𝑅𝑦 – расчетное сопротивление по нормальным напряжениям, МПа;
𝑅𝑆 – расчетное сопротивление по касательным напряжениям, МПа;
𝑊 – число степеней свободы;
𝑛 – степень статической неопределимости;
𝑊𝑆 , S – осевое и угловое перемещение сечения S – S, м, рад;
K𝐹 – обобщенное перемещение К-го сечения от 𝐹, м, рад;
K𝑡  обобщенное перемещение К-го сечения от 𝑡, м, рад.

Выбор варианта задания
Вариант задания определяется шифром – совокупностью трех цифр,
условно обозначаемой буквами АБВ так, что первой цифре соответствует
буква А, второй – Б, а третьей – В.
Слушатель заочного факультета из табл. 2 выбирает шифр АБВ по
трем последним цифрам номера своей зачетной книжки – НЗК. Если
НЗК> 249, то из него вычитают либо 250, либо 500, либо 750, так, чтобы
получить число, находящееся в интервале 000  249. Последнее и используют в качестве НЗК. В частности, шифр АБВ = 342 получат слушатели заочного факультета, номера зачетных книжек которых заканчиваются цифрами 037, 287, 537 и 787.
Слушателям и курсантам очного обучения шифр АБВ назначает преподаватель, ведущий практические занятия.
10

В таблицах исходных данных каждого задания в левом столбце стоят
номера строк, а остальные столбцы помечены снизу буквами А, Б и В.
Данные к задаче формируются из элементов таблицы, лежащих на пересечении каждого из столбцов со строками, номера которых соответствуют
буквам, которыми помечены столбцы.
Таблица 2
Выбор варианта задания АБВ в соответствии с НЗК (для ФЗО)
НЗК ⟶АБВ

000
001
002
003
004
005
006
007
008
009
010
011
012
013
014
015
016
017
018
019
020
021
022
023
024
025
026
027
028
029
030

861
040
603
481
788
270
625
653
722
977
919
403
063
876
884
351
745
108
387
248
697
527
787
213
775
435
594
464
739
569
369

НЗК ⟶АБВ

050
051
052
053
054
055
056
057
058
059
060
061
062
063
064
065
066
067
068
069
070
071
072
073
074
075
076
077
078
079
080

549
512
600
483
211
753
046
336
134
268
870
944
187
726
434
756
308
961
036
188
601
660
451
165
287
406
340
867
132
965
618

НЗК ⟶АБВ

100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130

077
374
725
704
015
114
094
291
317
910
757
146
186
320
938
987
008
251
170
892
836
376
314
776
550
081
548
112
686
649
470

НЗК⟶ АБВ

150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180

155
643
935
551
815
286
953
607
949
121
813
252
515
790
902
147
422
312
698
140
319
363
368
881
302
436
777
025
037
669
054

НЗК ⟶АБВ

200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230

624
205
736
916
472
946
555
552
194
020
682
236
238
563
765
372
578
925
098
499
246
689
589
402
609
566
964
277
911
331
066

11

Окончание табл. 2
НЗК ⟶АБВ

031
032
033
034
035
036
037
038
039
040
041
042
043
044
045
046
047
048
049

12

181
869
768
049
473
297
342
163
596
148
466
195
110
257
626
860
430
769
198

НЗК ⟶АБВ

081
082
083
084
085
086
087
088
089
090
091
092
093
094
095
096
097
098
099

070
189
294
232
305
991
244
895
285
831
002
532
135
924
854
882
602
346
732

НЗК ⟶АБВ

131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149

637
845
759
479
507
006
364
540
984
615
673
855
992
452
428
586
513
378
572

НЗК⟶ АБВ

181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199

419
664
712
041
936
103
208
518
280
957
234
899
980
968
116
604
443
429
665

НЗК ⟶АБВ

231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249

059
511
705
379
629
071
035
529
475
915
401
695
934
056
266
125
851
460
734

1. ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 3
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Задание 1. Центральное растяжение, сжатие стержня (ЦРС).
Для стержня (рис. 1) кусочно-постоянного сечения, заделанного одним торцом и нагруженного сосредоточенными силами, в соответствии с
данными табл. 3 требуется:
1. Построить эпюры продольных сил 𝑁𝑧 , нормальных напряжений σ и
проверить прочность.
2. Найти перемещение сечения S – S относительно заделки.
3. Определить предельную температуру равномерного нагрева при
пожаре 𝑡пр .
Таблица 3
Исходные данные к заданию 1 (ЦРС)
Номер
строки

Номер
схемы

𝒍𝟏 , м

𝒍𝟐 , м

𝒍𝟑 , м

𝑭, кН

𝑨, см𝟐

Сечение
S–S

0

10

0,4

0,5

0,3

240

25

1–1

1

1

0,3

0,2

0,4

150

12

2–2

2

2

0,2

0,3

0,5

220

23

3–3

3

3

0,5

0,4

0,2

170

14

1–1

4

4

0,4

0,3

0,5

200

21

2–2

5

5

0,3

0,4

0,2

190

16

3–3

6

6

0,2

0,5

0,3

180

19

1–1

7

7

0,5

0,2

0,4

210

18

2–2

8

8

0,4

0,3

0,2

160

17

3–3

9

9
В

0,3
А

0,4
А

0,5
А

230
Б

20
А

1В
–1

13

1

F

1

1

2

l2
3

l1

3

l1

2F

4

l3

2А
3

F

3

1

3F

2

2

2А

2

l2

l2

2F

3

А

А
2

1

1

F

3

3

А

l1

4F

l1

2
А F
F
2А

1

l3

3

F

2

2

А
3

1
2А

l3
F

2

l2

l3

2А

1

2F

5

2F

1

1

6
l1

3

2
2А

3F

2F

2

3

3

2F

2
А 3F

l3

3

l1

2А

l2

2

l2

l3

А

1

1
2F

7

8
3F

3

3

3

2

F
2

2
F

1

2
А 2F

l3

l3

3

l2

l2

А
2А

2А

l1

l1

2А

1

1

1
2F

F

3

l2

2А

3F
2F

А
2А

1

2
А 2F

1

F

Рис. 1. Расчетная схема к заданию 1 (ЦРС)

14

F

2

2

l3
1

3

3

3

l3

2

10
l1

l1

А

l2

9

1
F

Основные теоретические положения
Центральное растяжение, сжатие – такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний
силовой фактор – продольная сила 𝑁𝑧 .
Продольная сила представляет собой сумму проекций всех внутренних
сил в данном поперечном сечении на продольную ось стержня. 𝑁𝑧 определяется методом сечений и численно равна сумме проекций всех внешних сил,
приложенных к отсеченной части стержня, на продольную ось z.
Знак 𝑁𝑧 принимается положительным, если продольная сила направлена от сечения стержня (вызывает растяжение), и отрицательным, если –
к сечению (вызывает сжатие).
Нормальные напряжения σ в точках поперечного сечения вычисля𝑁
ются по формуле  = 𝑧 , где A – площадь рассматриваемого стержня
𝐴

Пример выполнения задания 1
F

1

1

l3

А
2F

l2

2
3

2
2А

3F

3

l1

А
4

4

𝑙1

м

0,3

𝑙2

м

0,2

𝑙3

м

0,4

𝐹

кН

170

𝐴

см2

12

S–S



11

Решение
1. Построение эпюр 𝑁𝑧 ,  и расчет на прочность.
а) построение эпюр.
Эпюра некоторой величины – это график ее изменения по заданной
координате. В нашем случае эпюры 𝑁𝑧 ,   графики изменения продольной силы и напряжений по длине стержня.
Величина продольной силы 𝑁𝑧 определяется методом сечений, а именно: на каждом из участков (границами которых являются места приложения
внешних сил, рис. 2) мысленно проводится сечение и одна из двух частей
стержня отбрасывается. Действие отброшенной (как правило, содержащей
опорную реакцию) части на оставшуюся заменяется неизвестной продольной
силой 𝑁𝑧 в данном сечении, взятой со знаком « + » (т.е. направленной от сечения). Из уравнения равновесия для отсеченной части (рис. 2, а, б, в) определяется внутренняя сила 𝑁𝑧 . Знак «  » в уравнении равновесия показывает,
что учитываются только силы, приложенные к отсеченной части.
15

F

1

1

z

z

z

F

F

F

2F

2F

l3

А
I

2F

3 II

2А
III

l1

l2

2

4

I
2

3F
А

II 3
III

3F

Nz
Nz

4

а)

Nz

б)

в)

Рис. 2. Метод сечений
∗

Сечение I – I на участке 1 – 2 (рис. 2, а):
𝑁𝑧₁ + 𝐹 = 0, 𝑁𝑧₁ = −𝐹,

∑ 𝐹𝑍 = 0,

σ1 = 𝑁𝑧₁ ⁄𝐴 = − 𝐹 ⁄𝐴 ≈ −142 МПа.
∗

Сечение II – II на участке 2 – 3 (рис. 2, б):
𝑁𝑧2 + 𝐹 + 2𝐹 = 0,

𝑁𝑧2 = −3𝐹,

∑ 𝐹𝑍 = 0,

σ2 = − 3𝐹 ⁄2𝐴 ≈ −212,5 МПа.

Сечение III – III на участке 3 – 4 (рис. 2, в):

∗

∑ 𝐹𝑍 = 0,

𝑁𝑧3 + 𝐹 + 2𝐹 + 3𝐹 = 0, 𝑁𝑧3 = −6𝐹, σ3 = − 6𝐹 ⁄𝐴 ≈ −850 МПа.
По результатам расчетов внутренних сил 𝑁z , и напряжений  строим
эпюры (рис. 3). Для этого перпендикулярно оси стержня в выбранном
масштабе откладываются значения соответствующих величин (положительные – вправо, отрицательные – влево).
Построенные таким образом эпюры заштриховываются линиями,
перпендикулярными оси стержня. В местах приложения внешних сил
(в примере сечения – 1, 2, 3) 𝑁𝑧 изменяется скачкообразно, а σ, кроме
этого, и в местах изменения площади сечения.
F

1

F

1

F/A

А
2F
2
3

3F

2
2А

3F

3

6F

А
4

4

Рис. 3. Эпюры 𝑁Z и 
16

3F/2A
6F/A

б) расчет на прочность.
Тип прочностного расчета в задании 1 – проверочный. Условие
прочности по нормальным напряжениям имеет вид:
max|| ≤ 𝑅𝑦 ,
где 𝑅𝑦 = 240 МПа – расчетное сопротивление по  (прил. 1).
Численное значение максимального напряжения (в точках опасных
сечений, эпюра ) равно:
6𝐹 6 · 170 · 103
max|| =
=
= 85 · 107 Па = 850 МПа > 240 МПа.
−4
𝐴
12 · 10
Условие прочности не выполняется. Площадь стержня на участке 3–4
следует увеличить, используя условие прочности:
𝐴 ≥ 6𝐹/𝑅𝑦 = 6 · 170 · 103 /240 · 106 = 4,25 · 10−3 м2 = 42,5 см2 .
Полученное значение 𝐴 округляется в большую сторону и равно 𝐴∗ = 43 см2 .
2. Определение перемещения сечения S – S.
Перемещение заданного сечения S – S (в примере 1 – 1) определяется относительно неподвижного сечения (4 – 4) заделки и численно равно
абсолютной деформации части стержня, заключенной между заделкой и
заданным сечением (рис. 4): w1 = ∆𝑙1−4 , где ∆𝑙1−4 = ∆𝑙1 + ∆𝑙2 + ∆𝑙3
F

1

l3

1

3F

l1- 4

3

2F

2
3

l1

l2

2

4

4

Рис. 4. Вычисление перемещений

Укорочение (удлинение) ∆𝑙 стержня из 𝑛 участков, на каждом из которых 𝑁𝑧 и 𝐴 построены, равно:
𝑛
𝑁𝑧𝑖 𝑙𝑖
∆𝑙 = ∑
,
𝐸𝐴𝑖
𝑖=1

где 𝑁𝑧𝑖 – продольная сила; 𝑙𝑖 – длина; 𝐸𝐴𝑖 – жесткость сечения на сжатие
(растяжение) i-го участка стержня; 𝐸 = 200 ГПа – модуль упругости 1-го
рода (модуль Юнга, прил. 1), тогда:
−𝐹𝑙3 −3𝐹𝑙2 −6𝐹𝑙1
𝐹
3𝑙2
w1 = ∆𝑙1−4 =
+
+
=
−
+
+ 6𝑙1 ) =
(𝑙
3
𝐸𝐴∗
𝐸2𝐴∗
𝐸𝐴∗
𝐸𝐴∗
2
170 · 103
3 · 0,2
=−
+
+ 6 · 0,3) = −4,94 · 10−5 м.
(0,4
9
−4
200 · 10 · 43 · 10
2
17

3. Определение предельной температуры при пожаре.
При увеличении температуры 𝑡 стержень теряет несущую способность из-за снижения предела текучести т до уровня max || на опасном участке. Условие потери несущей способности при этом имеет вид:
max|| = т (𝑡пр ).
или, так как нашем случае max|| = 6𝐹/ 𝐴∗ = 237 МПа,
237 = т (𝑡пр ).
Графическое решение полученного уравнения (прил. 1, рис.1) дает
значение предельной температуры равномерного нагрева стержня в условиях пожара 𝑡пр = 2000 C.
Задание 2. Кручение вала (КВ)
Для вала круглого сечения (рис. 5), нагруженного скручивающими
моментами, вращающегося с постоянной угловой скоростью, в соответствии с данными табл. 4 требуется:
1. Построить эпюру крутящих моментов 𝑀z и из условия прочности
подобрать диаметр.
2. Построить эпюру взаимных углов поворота сечений вала φ.
3. Определить предельную температуру равномерного нагрева при
пожаре 𝑡пр .

Таблица 4

Исходные данные к заданию 2 (КВ)
Номер строки

Номер схемы

𝒍𝟏 , м

𝒍𝟐 , м

𝒍𝟑 , м

𝒎, кНм

0

10

0,6

0,7

0,5

10

1

1

0,5

0,4

0,6

19

2

2

0,4

0,5

0,7

12

3

3

0,7

0,6

0,4

17

4

4

0,6

0,5

0,7

14

5

5

0,5

0,6

0,4

15

6

6

0,4

0,7

0,5

16

7

7

0,7

0,4

0,6

13

8

8

0,6

0,5

0,4

18

9

9

0,5

0,6

0,7

11

В

А

А

А

Б

18

19

4m

3m

5

2m

3m

4m

4

3

2

1

l1

l1

l1

l1

l1

m

m

3m

2m

m

l2

l2

l2

l2

l2

l3

l3

l3

l3

l3

m

2m

m

m

m

10

9

8

7

6

2m

2m

5m

m

2m

l1

l1

l1

l1

l1

Рис. 5. Расчетная схема к заданию 2 (КВ)

3m

m

2m

2m

2m

m

2m

3m

2m

m

l2

l2

l2

l2

l2

2m

3m

3m

2m

4m

l3

l3

l3

l3

l3

5m

m

m

5m

m

Основные теоретические положения
Кручение – такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент 𝑀𝑧 .
Крутящий момент представляет собой сумму элементарных моментов всех внутренних сил в данном поперечном сечении относительно продольной оси стержня. 𝑀𝑧 определяется методом сечений и численно равен
сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части
стержня, относительно продольной оси 𝑧.
Знак 𝑀𝑧 принимаем положительным, если, глядя на сечение, видим
крутящий момент направленным против часовой стрелки, и отрицательным, если – наоборот.
Стержень с круглым поперечным сечением при кручении называется
валом.
Пример выполнения задания 2

m

2m

I

I

l1

II

l2

II

m

2m

III

III

l3

𝑙1

𝑙2

𝑙3

𝑚

м

м

м

кНм

0,5

0,4

0,6

17

Решение
1. Построение эпюры 𝑀𝑧 и расчет на прочность.
а) Построение эпюры 𝑀𝑧 .
Величина крутящего момента 𝑀𝑧 определяется методом сечений, а
именно: на каждом из участков (границами которых являются места приложения внешних скручивающих моментов) мысленно проводится сечение
и одна из двух частей, например, левая – отбрасывается (рис. 6).
Действие отброшенной части на оставшуюся заменяется неизвестным крутящим моментом 𝑀𝑧 в данном сечении, взятым со знаком «+»
(т.е. направленным против часовой стрелки при взгляде со стороны сечения). Из уравнения равновесия для отсеченной части (рис. 6, а, б, в) определяется моментом 𝑀𝑧 .
20

z

I

z
II
2m

2m
m

б)

Mz

Mz
а)

z

2m
2m

III
m

в)

Mz

Рис. 6. Метод сечений
∗

Сечение I – I на участке 𝑙3 (рис. 6, а): ∑ 𝑚𝑍 = 0,
2𝑚 − 𝑀𝑧 = 0,

𝑀𝑧 = 2𝑚 = 34 кНм.
∗

Сечение II – II на участке 𝑙2 (рис. 6. б): ∑ 𝑚𝑍 = 0,
2𝑚 + 𝑚 − 𝑀𝑧 = 0,

𝑀𝑧 = 3𝑚 = 51 кНм.
∗

Сечение III – III на участке 𝑙1 (рис. 6, в): ∑ 𝑚𝑍 = 0,
2𝑚 + 𝑚 − 2𝑚 − 𝑀𝑧 = 0,

𝑀𝑧 = 𝑚 = 17 кНм.

Из полученного значения строится эпюра 𝑀𝑧 (рис. 7).

21

m

3

2

1

0

2m
2m

z

m
3

2

1

0

l3

l2

l1

51
34
17
Мz, кНм
25,24
14,79
4,35
φ , рад·103

Рис. 7. Эпюры 𝑀𝑧 и φ

б) Расчет на прочность.
Тип прочностного расчета в задании 2 – проектировочный. Условие
прочности по касательным напряжениям при кручении имеет вид:
max|τ| =

max|𝑀𝑧 |
≤ 𝑅𝑠 ,
𝑊𝜌

где max|τ|  максимальное касательное напряжение (в опасных точках);
max|𝑀𝑧 |  крутящий момент в опасном сечении вала (эпюра 𝑀𝑧 );
2𝐼𝑝
𝑊𝜌 =
 полярный момент сопротивления сечения при кручении;
𝑑
𝐼𝜌 – полярный момент инерции сечения;
𝑅𝑠 = 139 МПа – расчетное сопротивление по  (прил. 1).
Для круглого поперечного сечения:
π𝑑 4
π𝑑 3
4
𝐼𝜌 =
≈ 0,1𝑑 ; 𝑊𝜌 =
≈ 0,2𝑑3 .
32
16
22

Из условия прочности 𝑊𝜌 следует:
max|𝑀𝑧 |
𝑊𝜌 ≥
,
𝑅𝑠
а для 𝑑:
max|𝑀𝑧 | 3
51 · 103
√
𝑑≥ √
=
= 0,122 м.
0,2𝑅𝑠
0,2 · 139 · 106
3

Полученное значение диаметра вала округляется в большую
сторону (с точностью до 5 мм) и равно в примере: 𝑑 = 125 мм.
2. Построение эпюры взаимных углов поворота сечений.
Так как вал вращается, то речь может идти только о повороте его сечений относительно какого-либо сечения, условно принятого неподвижным, например, крайнего левого сечения 0 – 0 и S – S и равен в случае 𝑛
участков, на каждом из которых 𝑀𝑧 и 𝐼𝜌 постоянны.
Угол поворота любого сечения:
𝑛
𝑀𝑧 𝑙𝑖
φ𝑠 = ∑ 𝑖 ,
𝐺𝐼𝑝𝑖
𝑖=1

где 𝑀𝑧𝑖 – крутящий момент;
𝑙𝑖 – длина;
𝐺𝐼𝜌𝑖 – жесткость сечения на кручение i-го участка вала;
𝐺 – модуль упругости 2-го рода (прил. 1) и равен 80 ГПа, тогда с учетом:
𝐼𝜌 = 0,1𝑑 4 = 0,1 · 0,1254 = 24,41 · 10−6 м4 ,
для φ𝑠 следует:
𝑀𝑧1 𝑙1
17 · 103 · 0,5
φ1 = φ0 +
=0+
= 4,35 · 10−3 рад,
𝐺𝐼𝜌
80 · 109 · 24,41 · 10−6
𝑀𝑧2 𝑙1
51 · 103 · 0,4
−3
φ2 = φ1 +
= 4,35 · 10 +
= 14,79 · 10−3 рад,
9
−6
𝐺𝐼𝜌
80 · 10 · 24,41 · 10
𝑀𝑧3 𝑙1
34 · 103 · 0,6
−3
φ3 = φ2 +
= 14,79 · 10 +
= 25,24 · 10−3 рад.
𝐺𝐼𝜌
80 · 109 · 24,41 · 10−6
По полученным данным строим эпюру взаимных углов поворота φ (рис. 7.).
3. Определение предельной температуры при пожаре.
При пожаре вследствие нагрева снижается предел текучести стали на сдвиг τт .
При достижении некоторой температуры 𝑡1 в крайних, наиболее напряженных точках опасного поперечного сечения наступает текучесть
max|τ| = τт (𝑡1 ).
23

С дальнейшим ростом температуры 𝑡2 > 𝑡1 происходит перераспределение напряжений и распространение текучести во внутренние зоны
опасных сечений (рис. 8). Температура, при которой текучесть возникает
во всех точках опасного участка вала, называется предельной 𝑡пр и находится из условия потери несущей способности вала при равномерном
нагреве:
max|τпл | =

max|𝑀𝑧 |
= τт (𝑡пр ),
𝑊𝜌пл

где 𝑊𝜌пл ‒ пластический полярный момент сопротивления сечения при
кручении, равный для круглого сечения 𝑊𝜌пл = π𝑑 3 /12;
max|𝑀𝑧 | ‒ крутящий момент в сечениях на опасном участке вала;
𝜏т (𝑡) ‒ температурная зависимость предела текучести (прил. 1, рис.1);
max|τпл | ‒ касательные напряжения в точках опасного участка при
пластическом распределении в предельном состоянии;
𝜏т (𝑡пр ) ‒ предел текучести на сдвиг в предельном состоянии.
В нашем случае условие:
max|τ

пл |

max|𝑀𝑧 | · 12 51 · 103 ∙ 12
=
=
= 99,97 ∙ 106 Па ≈ 100 МПа
π𝑑 3
3,14 ∙ 0,1253

и условие потери несущей способности вала имеет вид:
100 = τт (𝑡пр )
Графическое решение полученного уравнения (прил. 1, рис.1) дает
значение предельной температуры равномерного нагрева вала в условиях
пожара 𝑡пр = 3400 C.
max  = Т ( t 1 )

max  = Т ( t 2 )

max пл = Т ( t 3 )

d

t1

t2

t3=tпр

Рис. 8. Перераспределение напряжений по сечению вала с ростом 𝑡 (𝑡1 < 𝑡2 < 𝑡3 )
24

Задание 3. Изгиб балки (ИБ).
Для балки двутаврового сечения (рис. 9) нагруженной сосредоточенной и распределенной нагрузками в соответствии с данными табл. 5
требуется:
1. Построить эпюры поперечных сил 𝑄𝑦 и изгибающих моментов 𝑀𝑥
2. Из условия прочности подобрать номер двутавра и построить эпюру
нормальных напряжений σ в опасном сечении.
3. Определить предельную температуру равномерного нагрева при
пожаре 𝑡пр .
Таблица 5
Исходные данные к заданию 3 (ИБ)
Номер строки

Номер схемы

𝒍, м

𝑭, кН

𝒒, кН/м

𝒎, кНм

0

10

4,0

55

10

35

1

1

3,8

60

15

40

2

2

3,6

65

20

45

3

3

3,4

70

25

50

4

4

3,2

75

30

55

5

5

3,0

80

35

60

6

6

2,8

85

40

65

7

7

2,6

90

45

70

8

8

2,4

95

50

75

9

9

2,2

100

55

80

В

А

Б

Б

Б

25

26

m

F

F

l/2

q

l/2

l/2

l/2

l/2

F

m

q

l/2

l/2

l/2

l/2

q

l

q

q

l/2

l/2

l/2

m

m

10

9

8

7

6

m

q

l/2

l/2

l/2

q

l/2

q

l/2

m

Рис. 9. Расчетная схема к заданию 3(ИБ)

F

F

l/2

m
р

5

4

3

2

1

.

F

m

m

F

l/2

l/2

l/2

l/2

l/2

m

F

F

l/2

q

l/2

l/2

l/2

q

l/2

F

Основные теоретические положения
Изгиб – такой вид деформации, при котором в поперечном сечении
стержня возникает изгибающий момент 𝑀𝑥 и (или) 𝑀𝑦 . При действии
только изгибающих моментов изгиб называется чистым, а если действуют
еще и поперечные силы 𝑄𝑥 и (или) 𝑄𝑦 – поперечным.
В случае нагружения стержня в одной из его главных плоскостей
инерции, например, 𝑧0𝑦 (где 𝑧, 𝑦 – продольная и поперечная оси соответственно), изгиб называется прямым и в поперечных сечениях возникают
внутренние силовые факторы 𝑀𝑥 и 𝑄𝑦 .
Изгибающий момент 𝑀𝑥 представляет собой сумму элементарных
моментов всех внутренних сил в данном поперечном сечении относительно поперечной оси 𝑥. 𝑀𝑥 определяется методом сечений и численно равен
сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части
стержня, относительно поперечной оси 𝑥.
Поперечная сила 𝑄𝑦 представляет собой сумму проекций всех внутренних сил в данном поперечном сечении на поперечную ось стержня 𝑦.
𝑄𝑦 определяется методом сечений и численно равна сумме проекций всех
внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, на поперечную
ось 𝑦. Величины 𝑀𝑦 и 𝑄𝑥 определяются аналогично.
Знак 𝑀𝑥 принимается положительным, если изгибающий момент
вызывает растяжение нижних волокон стержня и соответственно, сжатие –
верхних; отрицательным, если – наоборот.
Знак 𝑄𝑦 принимается положительным, если поперечная сила вызывает сдвиг вверх левого сечения отсеченной части и соответственно, вниз –
правого (поворачивает отсеченную часть по часовой стрелке); отрицательным, если – наоборот.
Прямой стержень при изгибе называется балкой.
Пример выполнения задания 3

F

q

l/2

l

m

𝒍

𝑭

𝒒

𝒎

м

кН

кН/м

кНм

3,8

20

25

50

27

Решение
1. Построение эпюр 𝑄𝑦 и 𝑀𝑥 .
Начало системы координат 𝑧0𝑦 выбираем в левой крайней точке оси
балки.
а) Определение опорных реакций.
y
II

F

I

m
q
z

0

C
I

VC

HC

B

II

l/2

VB
l

Рис. 10. Оси и опорные реакции

Опорные реакции определяются из уравнений равновесия:
∑ 𝑚𝐶 (𝐹) = 0,

𝐹 · 𝑙/2 − (𝑞 · 𝑙) · 𝑙/2 + 𝑉𝐵 · 𝑙 + 𝑚 = 0,

𝑉𝐵 = (−𝐹 · 𝑙/2 + 𝑞𝑙 2 /2 − 𝑚)/𝑙 = (‒20 ∙ 3,8/2 + 25 ∙ (3,8)2/2 ‒ 50)/3,8 = 24,3 кНм
∑ 𝑚𝐵 (𝐹) = 0,

𝐹 · 3𝑙/2 − 𝑉𝐶 · 𝑙 + (𝑞 · 𝑙) · 𝑙/2 + 𝑚 = 0,

𝑉𝐶 = (𝐹 · 3𝑙/2 + 𝑞𝑙 2 /2 + 𝑚)/𝑙 = (20 ∙ 3 ∙ 3,8/2 + 25 ∙ (3,8)2/2 + 50)/3,8 = 90,7 кНм
∑ 𝐹𝑍 = 0, 𝐻𝐶 = 0, так как горизонтальные составляющие активных
сил отсутствуют.
Правильность найденных значений реакций проверяется с помощью
дополнительного уравнения равновесия:
∑ 𝐹𝑦 = 0,
∑ 𝐹𝑦 = −𝐹 + 𝑉𝐶 − 𝑞 · 𝑙 + 𝑉𝐵 = −20 + 90,7 − 25 · 3,8 + 24,3 = 0.
Реакции найдены верно.
б) Построение эпюр 𝑄𝑦 и 𝑀𝑥
Эпюры 𝑄𝑦 и 𝑀𝑥 – это графики изменения поперечной силы и изгибающего момента по длине балки.
Величины 𝑄𝑦 и 𝑀𝑥 определяются методом сечений, а именно: на
каждом из участков (границами которых являются места приложения внешних сил и моментов, начало и конец распределенной нагрузки, рис. 10)
28

мысленно проводится сечение и одна из двух частей балки, например,
левая, отбрасывается (рис. 11).
Действие отброшенной части на оставшуюся заменяется неизвестными - поперечной силой и изгибающим моментом, взятыми со знаком «+»
(т.е. 𝑄𝑦 изображается сдвигающей правое сечение вниз, а 𝑀𝑥  растягивающим нижние волокна).
Из уравнений равновесия для отсеченной части (рис. 11) определяется 𝑄𝑦 и 𝑀𝑥 в данном поперечном сечении. Если полученные величины отрицательные, то истинные направления 𝑄𝑦 и 𝑀𝑥 противоположны предполагаемым сначала.
При составлении уравнения равновесия для моментов в качестве полюса 𝐾 следует выбирать точку пересечения оси балки с проведенным сечением.
y

y

F

I

A

F

Mx

K

C

A
I Qy

a)

z

II

q

Mx
K

VC

б)

l/2

II Qy

z-l/2
z

Рис. 11. Метод сечений

Сечение I – I на участке АС, 𝑧(0; 1,9) м (рис. 11, а):
∑∗ 𝐹𝑦 = 0,

− 𝐹 − 𝑄𝑦 = 0,

𝑄𝑦 = −𝐹 = −20 кН,

𝑄𝑦 (𝑧) − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (от 𝑧 не зависит)
∑∗ 𝑚𝐾 = 0,

𝐹𝑧 + 𝑀𝑥 = 0,

𝑀𝑥 = −𝐹𝑧 = −20𝑧 кНм,

𝑀𝑥 (𝑧)– линейная функция 𝑧, график который можно построить по двум
точкам (удобно выбирать координаты крайних сечений участка):
𝑧 = 0, 𝑀𝑥 = 0;
𝑧 = 1,9 м, 𝑀𝑥 = −20 · 1,9 = −38 кНм.
Сечение II – II на участке СВ, 𝑧(1,9; 5,7)м, (рис. 11, б):
∗

∑ 𝐹𝑦 = 0,

−𝐹 + 𝑉𝐶 − 𝑞 · (𝑧 − 𝑙/2) − 𝑄𝑦 = 0,

29

𝑄𝑦 = −𝐹 + 𝑉𝐶 − 𝑞 · (𝑧 − 𝑙/2),
𝑄𝑦 (𝑧) – линейная функция 𝑧 (график строится по двум точкам):
𝑧 = 1,9 м,

𝑄𝑦 = −20 + 90,7 − 25 · (1,9 − 3,8/2) = 70,7 кН;

𝑧 = 5,7 м,

𝑄𝑦 = −20 + 90,7 − 25 · (5,7 − 3,8/2) = −24,3 кН.

∗

∑ 𝑚𝐾 (𝐹) = 0,

𝐹𝑧 − 𝑉𝐶 · (𝑧 − 𝑙/2) + 𝑞 · (𝑧 − 𝑙/2)2 /2 + 𝑀𝑥 = 0,

𝑀𝑥 = −𝐹𝑧 + 𝑉𝐶 · (𝑧 − 𝑙/2) − 𝑞 · (𝑧 − 𝑙/2)2 /2,
𝑀𝑥 (𝑧) – квадратичная функция 𝑧 (квадратная парабола), график которой строится по трем точкам, как правило, по двум крайним
𝑧 = 1,9 м,
𝑀𝑥 = −20 · 1,9 + 90,7 · (1,9 − 3,8/2) − 25 · (1,9 − 3,8/2)2 /2 = −38,0 кНм.
𝑧 = 5,7 м,
𝑀𝑥 = −20 ∙ 5,7 + 90,7 ∙ (5,7− 3,8/2) − 25 ∙ (5,7 −3,8/2)2/2 = 50,2 ≈ 50 кНм
и точке экстремума (если он есть).
Функция 𝑀𝑥 (𝑧) имеет экстремум при 𝑧∗ , где 𝑄(𝑧∗ ) = 0, так как
существует дифференциальная зависимость 𝑑𝑀𝑥 /𝑑𝑧 = 𝑄𝑦 .
Координата точки экстремума 𝑧∗ определяется из условия 𝑄(𝑧∗ ) = 0.
В примере для участка СВ:
𝑑𝑀𝑥
𝑄𝑦 =
= − 𝐹 + 𝑉𝐶 − 𝑞(𝑧 − 𝑙/2) = 0,
𝑑𝑧
Откуда 𝑧∗ = (− 𝐹 + 𝑉𝐶 + 𝑞𝑙/2)/𝑞 = (−20 + 90,7 + 25 ∙ 3,8/2)/25 = 4,73м
Экстремальное значение изгибающего момента на участке СВ равно:
𝑀𝑒𝑥𝑡𝑟 = 𝑀𝑥 (𝑧∗ ) = − 𝐹𝑧∗ + 𝑉𝐶 (𝑧∗ − 𝑙/2) − 𝑞(𝑧∗ − 𝑙/2)2 /2 =
= ‒20 ∙ 4,73 + 90,7 ∙ (4,73 ‒ 3,8/2) ‒ 25 ∙ (4,73 ‒ 3,8/2)2/2 = 62,0 кНм
По найденным значениям строятся эпюры 𝑄𝑦 и 𝑀𝑥 (рис. 12), причем
построение начинается с 𝑄𝑦 (для выявления возможных экстремумов 𝑀𝑥 ).
Положительные ординаты эпюры поперечной силы откладываются вверх от
числовой оси, а отрицательные – вниз (т.е. так, как принято в математике).
Ординаты эпюры изгибающих моментов принято откладывать со
стороны растянутых волокон балки, т.е. положительные ординаты откладываются вниз от оси 𝑧, а отрицательные – вверх.
30

После построения эпюр 𝑄𝑦 и 𝑀𝑥 выполняется их проверка по дифференциальным зависимостям (дифференциальным уравнениям равновесия):
𝑑𝑄𝑦
𝑑𝑀𝑥
= 𝑞;
= 𝑄𝑦 ;
𝑑𝑧
𝑑𝑧
Проверка состоит в отсутствии противоречий между этими зависимостями и построенными графиками.
y
m=50кНм
q=25кН/м

F=20кН

z
А

C

B VВ=24,3кН
VC=90,7кН

l/2=1,9м

l=3,8м

70,7
Qy, кН
20

24,3
38,0
62,0

Мх, кНм

50

Рис. 12. Эпюра 𝑄𝑦 и 𝑀𝑥

На участках балки, где распределенная нагрузка отсутствует (𝑞 = 0),
поперечные силы постоянны, а изгибающие моменты изменяются по линейному закону (в примере участок АС).
Скачки на эпюре 𝑄𝑦 возникают в сечениях, где на балку действуют
вертикальные сосредоточенные силы (в примере сечения А, С, В). Величина скачка равна величине силы.
Скачки на эпюре 𝑀𝑥 возникают в сечениях, где на балку действуют
сосредоточенные моменты (в примере сечение В). Величина скачка равна
величине момента.
На участках с постоянной распределенной нагрузкой (𝑞  0) поперечные силы изменяются по линейному закону, а изгибающие моменты –
по квадратичному (в примере участок СВ). При этом парабола направлена
вогнутостью навстречу 𝑞 («правило паруса»).
31

После проверки правильности эпюр определяются опасные сечения,
что является основной целью построения эпюр.
2. Расчет на прочность и построение эпюры .
а) Расчет на прочность.
Тип прочностного расчета в задании 3 – проектировочный. Условие
прочности по нормальным напряжениям при изгибе имеет вид:
max|𝑀𝑥 |
max|| =
≤ 𝑅𝑦 ,
𝑊𝑥
где 𝑅𝑦 = 240 МПа – расчетное сопротивление по  (прил. 1);
max||  максимальные нормальные напряжения (в опасных точках);
max|𝑀x |  изгибающий момент в опасном сечении балки (эпюра 𝑀𝑥 );
𝑊𝑥 – осевой момент сопротивления сечения при изгибе.
Из условия прочности для 𝑊𝑥 следует:
max|𝑀𝑥 | 62,0 · 103
𝑊𝑥 ≥
=
= 258 · 10−6 м3 = 258 см2 .
6
𝑅𝑦
240 · 10
Из таблицы сортамента прокатных профилей для двутавра (прил. 2,
табл.1) выбираем сечение с ближайшим большим значением 𝑊𝑥 :
Двутавр № 24, 𝑊𝑥 = 289 см3 .
б) Построение эпюры .
Учитывая линейность зависимости  (𝑦) и то, что на нейтральной
линии (т.е. при 𝑦 = 0)  = 0, для построения эпюры  по высоте опасного сечения (max|𝑀𝑥 | = 62,0 кНм) достаточно вычислить напряжения в
крайних точках при 𝑦 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 = h/2:
max|𝑀𝑥 | 62,0 · 103
max|| =
=
= 215 · 106 Па = 215 МПа < 𝑅𝑦 = 240 МПа.
−6
𝑊𝑥
289 · 10

Условие прочности выполнено. Эпюра  показана на рис. 13, а.
Знак  на эпюре  определяется по знаку 𝑀𝑥 в опасном сечении. При
𝑀𝑥 > 0 верхние волокна сжаты, нижние – растянуты и  > 0 в нижней сечения,  < 0 в верхней части. При 𝑀𝑥 < 0 – наоборот.
3. Определение предельной температуры при пожаре.
При пожаре вследствие нагрева снижается предел текучести стали σТ . При
достижении некоторой температуры в крайних, наиболее напряженных
точках опасного поперечного сечения наступает текучесть, которая с дальнейшим ростом температуры распространяется по всему сечению. Текучесть приводит к возникновению пластического шарнира и к разрушению
балки (показано пунктиром на рис. 12).
32

Температура, при которой это происходит, называется предельной 𝑡пр
и находится из условия потери несущей способности балки при равномерном нагреве (условие образования пластического шарнира):

 , МПа ; tпр

 , МПа ; tн

y

215

h

x

190
190

215

а)

б)

Рис. 13. Эпюры  в опасном сечении при нормальных условиях и в предельном
состоянии при пожаре

max|σпл | =

max|𝑀𝑥 |
= т (𝑡пр ),
𝑊𝑥пл

где 𝑊𝑥пл  пластический осевой момент сопротивления сечения при изгибе, равный для симметричного относительно оси x сечения
𝐴
2

𝑊𝑥пл

𝐴
2

= 2𝑆𝑥 ;

𝑆𝑥 – статический момент половины площади сечения (для стандартных
𝐴
2

профилей берется из сортамента, в примере для двутавра № 24 𝑆𝑥 = 163
см3 , (прил. 2, табл.1);
σт (𝑡) – температурная зависимость предела текучести (прил. 1, рис.1);
max|σпл | − нормальные напряжения в точках опасного сечения при
пластическом распределении в предельном состоянии;
σт (𝑡пр ) – предел текучести на растяжение, сжатие в предельном состоянии.
В нашем случае:
max|σ

пл |

=

max|𝑀𝑥 |
𝐴
2𝑆𝑥2

62,0 · 103
=
= 190 · 106 Па = 190 МПа.
−6
2 · 163 · 10

33

и условие потери несущей способности балки имеет вид:
190 = σт (𝑡пр ).
Графическое решение полученного уравнения дает значение предельной
температуры равномерного нагрева балки в условиях пожара 𝑡пр = 3700 С.
На рис. 13, б показана эпюра нормальных напряжений  по высоте
опасного сечения в предельном состоянии при пожаре.

Задание 4. Внецентренное растяжение, сжатие стержня (ВРС).
Для стержня заданного сечения (рис. 14), нагруженного внецентренно приложенной силой F в соответствии с данными табл. 6 требуется:
1. Вычислить главные центральные, осевые моменты инерции поперечного сечения.
2. Построить нейтральную линию.
3. Из условия прочности найти допускаемое значение силы [𝐹] и построить при 𝐹 = [𝐹] эпюру нормальных напряжений σ в поперечном
сечении.
Таблица 6
Исходные данные к заданию 4 (ВРС)

z

F>0

y

YF
C

34

XF

x

Номер

Номер

строки

схемы

0

Знак 𝑭

𝑿𝑭 , см

𝒀𝑭 , см

10

6

3

+

1

1

4

7



2

2

7

6

+

3

3

5

4



4

4

8

5

+

5

5

3

7



6

6

6

8

+

7

7

4

6



8

8

5

4

+

9

9

7

5



В

А

А

Б

<>

1

№ 16

6

2

№ 22

7

№ 12

№ 16(16016010)
3

8
№8

№ 12

№ 8(80808)

4

9

№ 18

10

№ 20

№ 14

5

№ 20(20020012)

Рис. 14. Поперечное сечение стержня в задании 4 (ВРС)
35

Основные теоретические положения
Изгиб с растяжением, сжатием – такой вид деформации, при котором
в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты 𝑀𝑥 и
(или) 𝑀𝑦 и продольная сила 𝑁𝑧 .
Частным случаем этого вида деформации является внецентренное
растяжение, сжатие, когда все внешние активные силы сводятся к одной
равнодействующей, параллельной оси стержня, но не совпадающей с ней.
В этом случае нормальные напряжения  в произвольной точке поперечного сечения находятся по формуле:
1 𝑋𝐹 𝑋 𝑌𝐹 𝑌
σ=𝐹·( +
+
),
𝐴
𝐼𝑦
𝐼𝑥
где 𝐹 – равнодействующая внешних активных сил, параллельная продольной оси стержня 𝑧 (𝐹 > 0 – растяжение, 𝐹 < 0 – сжатие);
𝑋𝐹 , 𝑌𝐹 ; 𝑋, 𝑌, – соответственно координаты в главных центральных
осях инерции сечения точки приложения силы 𝐹 (𝑋𝐹 , 𝑌𝐹 одновременно не
равны нулю, если 𝑋𝐹 = 𝑌𝐹 = 0, то вид деформации стержня – ЦРС) и той
точки, в которой вычисляются напряжения;
𝐴, 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 – площадь и главные центральные осевые моменты инерции
поперечного сечения, соответственно.
Нейтральная линия при ВРС не проходит через центр тяжести сечения.
При ВРС все поперечные сечения стержня равноопасны, а опасными
точками являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.
Для пластичных материалов (например, малоуглеродистая сталь,
сплавы алюминия, меди) условие прочности по нормальным напряжениям
имеет вид: max|σ| ≤ 𝑅𝑦 .
Для хрупких материалов (например, высокоуглеродистая сталь, чугун, бетон) записывают два условия прочности – по растягивающим и
сжимающим напряжениям:
max|σp | ≤ 𝑅p ,

max|σc | ≤ 𝑅c.

Пример выполнения задания 4.
S-S
F

y

z

F
S

36

S

№ 24

𝑿𝑭

𝒀𝑭

см

см

−4

7

Знак 𝑭

YF

XF

x

<−>

Решение
1. Вычисление главных, центральных, осевых моментов инерции поперечного сечения 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 .
Сначала необходимо начертить в масштабе схему поперечного сечения и пронумеровать его составные части (в примере левый швеллер – 1,
правый – 2, рис. 15).
Далее из сортамента прокатной стали (табл. 3, прил. 2) надо выписать параметры составных частей сечения. При этом необходимо учитывать различную ориентацию фрагмента сечения в задании и в сортаменте:
Швеллер № 24: ℎ = 240 мм; 𝑏 = 90 мм; 𝐴 = 30,6 см2 ; 𝐼𝑥 = 2900 см4 ;
𝐼𝑦 = 208см4 ; 𝑧0 = 2,42см.
Y,y0
y1

y2

1

2

XK

К

YF

YK

F XF

x, x0, x1, x2
с1

с2
YL

h

С

XL
z0

d1

L

d2

Рис. 15. Схема поперечного сечения стержня

Ось симметрии сечения является главной и центральной по определению (в примере обе оси 𝑥 и 𝑦 проходят через точку C), т.к. сечения симметричны относительно обеих осей. Главные центральные моменты инерции 𝐼𝑥 и 𝐼𝑦 равны суммам моментов инерции составляющих частей сечения, относительно осей 𝑋 и 𝑌. 𝐼𝑥 и 𝐼𝑦 вычисляются по формуле ГюйгенсаШтейнера:
37

(𝑖)

(𝑖)

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝑖 + 𝐴𝑖 𝑎𝑖2 ;
(𝑖)

(𝑖)

(𝑖)

𝐼𝑦 = 𝐼𝑦𝑖 + 𝐴𝑖 𝑑𝑖2 ,

(𝑖)

где 𝐼𝑥𝑖 и 𝐼𝑦𝑖 − моменты инерции частей сечения относительно своих
центральных осей 𝑥𝑖 и 𝑦𝑖 ;
𝑎𝑖 – расстояние между осями 𝑥𝑖 и 𝑋;
𝑑𝑖 – расстояние между осями 𝑦𝑖 и 𝑌;
𝐴𝑖 – площадь сечения частей.
Для сечения на рис. 15:
𝑎1 = 𝑎2 = 0;
𝑑1 = 𝑑2 = 𝑏 − 𝑧0 = 9 − 2,42 = 6,58 см.
(1)

(1)

(1)

(1)

(2)

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥1 + 𝐴1 𝑎12 = 2900 + 30,6 · 02 = 2900 см4 = 𝐼𝑥 ;
(2)

𝐼𝑦 = 𝐼𝑦1 + 𝐴1 𝑑12 = 208 + 30,6 · 6,582 = 1532,87 см4 = 𝐼𝑦 .
И окончательно:
(1)

(2)

(1)

(2)

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑥

= 2900 · 2 = 5800 см4 = 5800 · 10−8 м4 ,

𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 + 𝐼𝑦 = 1532,87 · 2 = 3065,74 см4 = 3065,74 · 10−8 м4 .
2. Построение нейтральной линии.
Уравнение нейтральной линии 𝑛 – 𝑛 (по определению следует из
условия 𝑛 = 0) имеет вид:
1
𝑋𝐹 𝑋𝑛
𝑌𝐹 𝑌𝑛
𝑋𝑛
𝑌𝑛
+
+
= 0 или
+
= 1,
𝐴
𝐼𝑦
𝐼𝑥
𝑎𝑥
𝑎𝑦
где 𝑎𝑥 =

𝐼𝑦
𝐴𝑋𝐹

, 𝑎𝑦 =

𝐼𝑥
𝐴𝑌𝐹

- отрезки, отсекаемые прямой 𝑛 − 𝑛 от главных

центральных осей 𝑋, 𝑌.
В нашем случае:
𝑎𝑥 =

𝐼𝑦
−3065,74
=
= 12,52 см,
𝐴𝑋𝐹 (30,6 · 2 · (−4))

𝑎𝑦 =

𝐼𝑥
−5800
=
= −13,54 см.
𝐴𝑌𝐹 (30,6 · 2 · 7)

Нейтральная линия 𝑛 – 𝑛 (прямая) строится по двум точкам (𝑎𝑥 ; 0),
(0; 𝑎𝑦 ), т.е. (12,52; 0) и (0; -13,54) рис. 16.:
𝑋𝐾 = −𝑏 = −9 см = −9 · 10−2 м,
ℎ 24
𝑌𝐾 = =
= 12 см = 12 · 10−2 м,
2
2
38

𝑋𝐿 = 𝑏 = 9 см = 9 · 10−2 м,
−ℎ −24
𝑌𝐿 =
=
= −12 см = −12 · 10−2 м.
2
2
3. Расчет на прочность и построение эпюры .
а) Расчет на прочность.
Тип прочностного расчета в задании 4 – определение допускаемого
значения нагрузки. Поскольку материал стержня пластичный, расчетные
сопротивления по растягивающим и сжимающим напряжениям равны
𝑅р = 𝑅с = 𝑅у (прил. 1). В этом случае достаточно использовать одно условие прочности:
max|σ| ≤ 𝑅у .
Самой удаленной от 𝑛 – 𝑛 (опасной) точкой является точка К
(𝑋К ; 𝑌К ). Для нее:
1
𝑋𝐹 𝑋К
𝑌𝐹 𝑌К
𝜎К = −|𝐹| · ( +
+
)=
𝐴
𝐼𝑦
𝐼𝑥
(−4) · (−9) · 10−4 7 · 12 · 10−4
1
= −|𝐹| · (
+
+
)=
30,6 · 10−4 · 2
3065,74
5800
= −|𝐹| · (0,0163 + 0,0117 + 0,0145) · 104 = −|𝐹| · 0,0425 · 104 .
|σК | = |𝐹| · 0,0425 · 104 .
Из условия прочности |𝐹| · 0,0425 · 104 ≤ 𝑅𝑦 для 𝐹 имеем:
𝑅𝑦
240 · 106
|𝐹| ≤
=
= 564,7 · 103 Н = 564,7 кН.
0,0425 · 104 0,0425 · 104
Принимаем допускаемое значение силы 𝐹 (округляя в меньшую сторону с точностью до 1 кН) равным: [𝐹] = 564 кН.
б) Построение эпюры .
Напряжение в точке К получено ранее: σК = |𝐹| · 0,0425 · 104 .
Напряжение в точке L (наиболее удаленной от 𝑛 – 𝑛 по другую сторону от
нее, рис. 16) вычисляется аналогично:
1
𝑋𝐹 𝑋L
𝑌𝐹 𝑌L
σL = −|𝐹| · ( +
+
)=
𝐴
𝐼𝑦
𝐼𝑥
(−4) · 9 · 10−4 7 · (−12) · 10−4
1
= −|𝐹| · (
+
+
)=
30,6 · 10−4 · 2
3065,74
5800
= −|𝐹| · (0,0163 − 0,0117 − 0,0145) · 104 = −|𝐹| · 0,0099 · 104 .
39

|σL | = |𝐹| · 0,0099 · 104 .
При 𝐹 = [𝐹] = 902 кН напряжения в крайних точках соответственно равны:
σК = −564 · 103 · 0,0425 · 104 = 239,7 · 106 Па = 239,7 МПа;
σL = 564 · 103 · 0,0099 · 104 = 55,8 · 106 Па = 55,8 МПа;
Условие прочности выполнено: max|σ| = |σК | < 𝑅у = 240 МПа.
Для построения эпюры  из точек К, L проводим прямые, параллельные 𝑛 – 𝑛. Затем соединяем их в произвольном месте отрезком перпендикулярным 𝑛 – 𝑛.
При правильном расчете и построении нулевые напряжения  = 0
должны быть на нейтральной линии 𝑛 – 𝑛.
Y

XK

XF

σ 0
ax

X

23

9,
7

YL

ay

h

YF

YK

F

XL

L

n

55

,8

σ , МПа

Рис. 16. Нейтральная линия 𝑛 – 𝑛 и эпюра 

40

n

К

Задание 5. Устойчивость сжатого стержня (УСС)
Для стержня с поперечным сечением заданной формы (рис. 17), центрально сжатого силой F, в соответствии с данными табл. 7 требуется:
1. Начертить схему закрепления, соответствующую заданному коэффициенту приведения длины .
2. Из условия устойчивости найти размеры поперечного сечения.
3. Определить предельную температуру равномерного нагрева при
пожаре 𝑡пр .

Таблица 7
Исходные данные к заданию 5 (УСС)

Номер схемы



𝒍, м

𝑭, кН

0

10

0,5

6,5

200

1

1

0,7

6,0

220

2

2

1

5,5

240

3

3

2

5,0

260

4

4

0,5

4,5

280

5

5

0,7

4,0

300

6

6

1

3,5

320

7

7

2

3,0

340

8

8

0,5

2,5

360

9

9

0,7

2,0

380

В

А

А

Б

Fкр

l

F

Номер
строки

41

6

0,2d

d

d

1

d

d

0,5d

7

d

0,5d

2

1,5d

d

d

0,5d

8

d

3

d

d

d
9

0,2d

d

d

4

1,5d
5

1,5d
10

0,2d

d

d

Рис. 17. Поперечное сечение стержня в задании 5 (УСС)

42

Основные теоретические положения
Стержень, центрально сжатый силой 𝐹 (расчетная схема колонн,
опор, стоек, элементов ферм и т.п.), может терять устойчивость до исчерпания своих прочностных свойств.
Устойчивость сжатого стержня (устойчивостью формы его равновесия) называют способность стержня восстанавливать прямолинейную
форму после малого (вызванного каким-либо возмущением) отклонения
от нее.
Минимальное значение силы 𝐹кр , при которой равновесие становится неустойчивым (прямолинейная форма может поменяться на другую или
на движение), называется критическим.
Явление потери устойчивости приводит, как правило, к исчерпанию
несущей способности конструкции и на практике недопустимо.
Целью расчета на устойчивость является обеспечение условия
устойчивости, которое для стержня в практических расчетах записывается так же, как и условие прочности при центральном растяжении, сжатии
σ≤ φ(λ)𝑅𝑦 , но вместо расчетного сопротивления 𝑅𝑦 принимается его сниженное значение φ𝑅𝑦 [1], где φ(λ) (0, 1) – коэффициент продольного изгиба, зависящий от материала и параметров геометрии (задается нормативно); - гибкость стержня.
Пример выполнения задания 5
F

l

=1

d



𝒍

𝑭



м

кН

1

3

500

X

S

d

S

Y

h=3d

S-S

b=2d

Решение
1. Схема закрепления стержня.
Каждому способу закрепления стержня соответствует определенная
величина коэффициента приведения длины  = l1 / l, где l1 – часть длины l
стержня, на которой при потере устойчивости укладывается одна полуволна синусоиды [1].
43

Основные варианты опирания стержней представлены в табл. 8. Заданному значению  = 1 соответствует схема 1 из табл. 8 (шарнирное
опирание стержня).
Таблица 8
Основные варианты опирания стержней

l



1

4

F

l

F

F

Схема
опирания
стержня

3

0,5

F

l

2

l

1

2

0,7

2. Расчет на устойчивость.
Тип расчета на устойчивость в задании 5 – проектировочный.
Из условия прочности:
𝐹
=
≤ φ(λ)𝑅𝑦 ,
𝐴
для 𝐴 следует:
𝐹
A ≥
,
φ(λ)𝑅𝑦
где λ =

μ𝑙
𝑖min

 гибкость стержня;

𝐼min
𝑖𝑚𝑖𝑛 = √
 минимальный радиус
𝐴

инерции поперечного сечения стержня; 𝐼min = min(𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 )  минимальный
главный центральный момент инерции сечения.
Поскольку  зависит от площади сечения 𝐴 и аналитически разрешить относительно 𝐴 полученное выше неравенство не удается, проектировочный расчет на устойчивость выполняется методом последовательных
приближений.
В первом приближении, как правило, принимается среднее значение
φ1 = 0,5, тогда из условия устойчивости следует:
𝐹
500 · 103
𝐴 ≥
=
= 41,67 · 10−4 м2 = 41,67 см2 .
6
φ𝑅𝑦
0,5 · 240 · 10
44

Принимаем 𝐴 = 41,67 см2 , с другой стороны (см. рис. на стр. 43):
𝑏 · ℎ π𝑑 2 2𝑑 · 3𝑑 π · 𝑑 2
𝐴=𝐴 −𝐴 =
−
=
−
= 2,215𝑑2 ,
2
4
2
4
где индекс (1) относится к треугольнику, а (2)  к кругу, откуда:
(1)

(2)

𝐴
41,67
𝑑=√
=√
= 4,34 см.
2,215
2,215
Далее для стержня с полученным параметром размера сечения
𝑑 = 4,34 см вычисляются λ и φ1′ (λ) (поправочное значение φ1 в первом
приближении):
𝐼min = min(𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 ), значит:
𝐼𝑥 =

(1)
𝐼𝑥
(1)

−

(2)
𝐼𝑥
(2)

𝐼𝑦 = 𝐼𝑦 − 𝐼𝑦

𝑏 · ℎ3 π · 𝑑 4 2𝑑 · 3𝑑 3 π · 𝑑 4
=
−
=
−
= 1,451𝑑 4 ,
36
64
36
64
3
4
3
𝑏·ℎ
π·𝑑
3𝑑 · 2𝑑
π · 𝑑4
=
−
=
−
= 0,451𝑑4 ,
48
64
48
64

𝐼min = 𝐼𝑦 = 0,451𝑑 4 = 0,451 · 4,344 = 160 см4 ,
𝑖𝑚𝑖𝑛

𝐼𝑚𝑖𝑛
0,451𝑑4
=√
=√
= 0,415𝑑 = 0,415 · 4,34 = 1,96 см.
𝐴
2,215𝑑2

Искомая гибкость:
λ=

μ𝑙
𝑖𝑚𝑖𝑛

1 · 3 · 102
=
= 153.
1,96

По табл. 1 (прил. 1) с помощью линейной интерполяции находится
соответствующее значение φ1′ (λ) по формуле:
λ − λ1
φ′ (λ) = φ(λ1 ) − [φ(λ1 ) − φ(λ2 )] ·
,
λ2 − λ1
где λ1 , λ2 – границы табличного интервала, в который попало значение 
(λ1 < λ < λ2 ).
Поправочное значение коэффициента продольного изгиба φ1′ (λ) в
первом приближении равно:
153 − 150
φ1′ (153) = 0,276 − [0,276 − 0,244] ·
= 0,266.
160 − 150
Поскольку полученное значение φ1′ = 0,266 существенно отличается от принятого φ1 = 0,5, расчет следует повторить, приняв во втором
приближении φ2 (φ2 , φ1′ ) (обычно среднее арифметическое).
45

Примем:

(φ2 + φ1′ )
0,5 + 0,266
φ2 =
=
= 0,383.
2
2
Далее проводятся вычисления, аналогичные предыдущим. Приближения повторяются до тех пор, пока относительная погрешность между φ𝑛 и φ′𝑛 :
(φ𝑛 − φ′𝑛 )
ε = 100% ·
φ′𝑛
не станет менее 5 %.
Результаты расчетов сведены в табл. 9, из которой видно, что:
(φ3 − φ′3 )
(0,364 − 0,359)
ε = 100% ·
=
100%
·
= 1,4% < 5%.
φ′3
0,359
Размер 𝑑 округляется в большую сторону (с точностью до 0,1см) и
затем вычисляются окончательные значения 𝐴, , φ().
Таблица 9
Результаты расчетов
Номер
приближения



1

𝑨

𝒅

𝑰𝐦𝐢𝐧

𝒊𝐦𝐢𝐧





см2

см

см4

см





0,5

41,67

4,34

160

1,96

153

0,266

2

0,383

54,40

4,96

273

2,24

134

0,344

3

0,364

57,23

5,08

300

2,29

131

0,359

Принимаем 𝑑 = 5,1 см, тогда окончательно:
𝐴 = 2,215𝑑 2 = 2,215 · 5,12 = 57,6 см2 ,
𝑖min = 0,451𝑑 = 0,451 · 5,1 = 2,30 см,
λ=

μ𝑙
𝑖min

1 · 3 · 102
=
= 130,
2,3

φ(130) = 0,364.

Проверим выполнение условий устойчивости:
𝐹
500 · 103
σ= =
= 86,8 · 106 Па = 86,8 МПа
𝐴 57,6 · 10−4
φ𝑅𝑦 = 0,364 · 240 = 87,4 МПа,
Условие устойчивости выполнено.
46

σ = 86,8 < φ𝑅𝑦 = 87,4.

3. Определение предельной температуры 𝑡пр при пожаре.
При нагреве изменяются механические свойства материала, в
частности, снижаются предел текучести т (𝑡) и модуль упругости 𝐸(𝑡)
(прил. 1, рис.1.2), что может привести к потере несущей способности
стержня, рассчитанного на устойчивость при нормальной температуре.
Это может произойти в результате достижения одного из двух предельных состояний: когда возникает текучесть материала без потери
устойчивости либо, когда происходит потеря устойчивости при упругих
деформациях (по Эйлеру).
Текучесть материала возникает при 𝑡т , когда снижающийся при
нагреве предел текучести т (𝑡) достигнет уровня :
𝐹
 = = т (𝑡т ).
𝐴
Потеря устойчивости возникает при 𝑡Э , когда снижающееся при
нагреве (за счет уменьшения модуля упругости 𝐸) критическое напряжение по Эйлеру:

достигнет уровня :

π2 𝐸(𝑡)
Э =
λ2

𝐹
π2 𝐸(𝑡)
 = = Э (𝑡Э ) =
.
𝐴
λ2
За предельную температуру принимается 𝑡пр = min(𝑡Т , 𝑡Э ). В нашем
случае действующие нормальные напряжения неизменны и равны
𝐹
 = = 86,8 МПа.
𝐴
Графическое решение первого уравнения
 (𝑡т ) = 86,8 МПа.
Дает 𝑡т = 6000 C (прил. 1, рис.1).
Из второго условия следует:
λ2 86,8 · 1302
𝐸(𝑡Э ) = 2 =
= 149 · 103 МПа = 149 ГПа,
2
π
π
откуда с использованием графика Е(𝑡) находится 𝑡Э = 420° С (прил. 1, рис. 2).
Предельным состоянием стержня в примере является потеря устойчивости, так как min(𝑡Т , 𝑡Э ) = 𝑡Э = 𝑡пр = 4200 С.
47

2. ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 4
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Задание 6. Статически определимые фермы (СОФ).
Для плоской фермы (рис. 18) с поперечным сечением стержней в
виде двух равнополочных уголков в соответствии с данными табл. 10
требуется:
1. Провести кинематический анализ. Вычислить способами моментной
точки или проекции усилия в 4-х отмеченных стержнях. Проверить
равновесие узла С.
2. Из условия прочности подобрать номер уголка. Определить предельную температуру при пожаре 𝑡пр .
3. Проверить устойчивость наиболее сжатого стержня.
Таблица 10
Исходные данные к заданию 6 (СОФ)

48

Номер

Номер

строки

схемы

0

𝑳, м

𝑯, м

𝑭, кН

10

12

2,0

150

1

1

14

2,5

130

2

2

16

3,0

160

3

3

18

3,5

120

4

4

20

4,0

180

5

5

22

4,5

220

6

6

24

5,0

170

7

7

26

5,5

200

8

8

28

6,0

140

9

9

30

6,5

210

В

А

А

Б

1

F

F

6

F

F/2

F

F

C
A
l/4

2

F

l/4

7

F

H

F/2

F/2

F/2

C
A
l/4

3

F

l/4

A

F/2
l/4

4

F

F/2

B

l/4

l/4

l/4

F

F

F

l/4

l/4

H

l/6

l/6

F

F

F

F

l/6 l/6

F

F

F

l/6

l/6

l/6

l/6

l/6 l/6

F

l/6

F

l/6 l/6

F

F
F/2
B

l/6 l/6

l/6

l/6 l/6

F

F/2

B

F

A

H

H

A

F

l/6 l/6

C

l/6

C

l/6

F/2

l/4
F

F/2

F/2

10

F/2

F

B

9

5

F

C

F/2

l/6

B
l/4

F

l/6 l/6

A

C
A

F

F

F/2

F/2

F

l/6

B

8

F

H

F

l/6

C

l/6

H

H/2 H/2

F/2 C

l/4

l/6

A

B
l/4

F/2

B
l/6

l/4

F

F

A

B
l/4

F

C

H

F/2

H

H

F/2

F

F/2 C

F

F
F/2

A

B
l/4

l/4

l/4

l/4

Рис. 18. Расчетная схема к заданию 6 (СОФ)

49

Основные теоретические положения
В качестве расчетных схем многих стержневых систем, используемых на практике, принимаются шарнирно-стержневые системы (ШСС)
(все узлы которых – полные шарниры).
Расчетной схемой фермы является геометрически неизменяемая
ШСС, нагруженная только в узлах.
В каждом стержне фермы возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила 𝑁𝑧 .
Рассчитать ферму – это значит определить в каждом 𝑗 − ом стержне
усилие 𝑁𝑗 и далее провести требуемый расчет (на прочность, жесткость
или устойчивость).
Для определения усилий 𝑁𝑗 используется метод сечений, который
для ферм, в зависимости от вида сечения и используемого уравнения статики, реализуется тремя способами.
Способ моментной точки (способ Риттера) заключается в следующем. Ферма мысленно разрезается на две части сечением, проходящим через возможно меньшее число стержней, включая тот стержень, усилие 𝑁𝑗
в котором надо определить.
Моментной точкой К j для 𝑗 − го стержня называют точку пересечения направлений всех неизвестных усилий в рассеченных стержнях
фермы, кроме искомого усилия 𝑁𝑗 . Уравнение равновесия
∗

∑ 𝑚𝐾𝑗 (𝐹) = 0
для отсеченной части фермы содержит в этом случае одно неизвестное усилие 𝑁𝑗 .
Способ проекций удобно использовать, если все неизвестные усилия в сечении, кроме искомого, перпендикулярны некоторой оси 𝑦. Тогда
из них в уравнение равновесия для отсеченной части фермы
∗

∑ 𝐹𝑦 = 0
войдет только искомое неизвестное усилие.
Способ вырезания узлов заключается в последовательном вырезании узлов и составлении для каждого из них двух уравнений статики:
∑∗ 𝐹𝑥 = 0,

∑∗ 𝐹𝑦 = 0,

(сходящаяся система сил). В каждом вырезанном узле не должно сходиться более двух неизвестных усилий. Этот способ расчета носит последовательный характер (что является недостатком) и применяется в основном
для проверки уже найденных усилий.
Применять перечисленные выше способы следует так, чтобы усилия
в стержнях определялись независимо друг от друга.
50

Пример выполнения задания 6

S-S

y

l
м
14

x

F/2

H
м
2,5

F II

F

I

H

1
HA

S
S

A
VA
l/6

F
кН
120

l/6

l/6

l/6

F/2

2

4
II

F

3
C

B

I
l/6

VB
l/6

Решение
Кинематический анализ и вычисление 𝑁𝑗 .
а) Кинематический анализ (КА).
КА – проверка геометрической неизменяемости несущей конструкции. КА в задании 6 носит элементарный характер (более подробно см. задание 7).
Необходимое условие. 𝑊 ≤ 0. Число степеней свободы для ШСС
вычисляется по формуле 𝑊 = 2У − С − C0 (вместо формулы для 𝑊 плоской стержневой системы общего типа), где У – число узлов; C – число
стержней, их соединяющих; C0 – число опорных стержней.
В примере: 𝑊 = 2 · 12 − 21 − 3 = 0 необходимое условие выполняется.
Достаточное условие. Структура фермы соответствует последовательному соединению трех дисков тремя шарнирами, не лежащими на
одной прямой (правило треугольника).
К земле ферма крепится тремя опорными стержнями (два в опоре А,
один в опоре В), оси которых параллельны и не пересекаются в одной точке
(правило двух дисков), следовательно, достаточное условие выполняется.
Вывод: система геометрически неизменяема и статически определима (т.к. 𝑊 = 0).

51

б) Вычисление усилий 𝑁𝑗 в заданных стержнях.
Сначала определяем опорные реакции. Из симметрии системы следует, что:
𝐹
𝑉А = 𝑉В = (3𝐹 + 2 · ) /2 = 2𝐹 = 2 · 120 = 240 кН,
2
а с учетом вида опор и нагружения 𝐻А = 0.
Отмеченные стержни фермы нумеруются (см. стр. 51).
Для определения усилий в стержнях 2, 3 проводим сечение I – I и
рассматриваем равновесие правой части фермы (рис. 19), где 𝑁𝑗 изображаются положительными (направленными от сечения). Если это не так,
знак вычисленного усилия будет отрицательным.

F

I

F/2
K3

N5


N2
N3
K5

B
I

VB
l/6

Рис. 19. Часть фермы (сечение I–I)

Усилие 𝑁3 находим способом моментной точки, т.к. существуют соответствующие моментная точка К3 (точка пересечения линий 𝑁2 , 𝑁5 ).
∗

𝑁3 − ? , сечение I – I, ∑ 𝑚К3 (𝐹) = 0,
𝐹 𝑙
𝑙
· + 𝑉В · = 0, где 𝑟3 = 𝐻,
2 6
6
𝐹𝑙 𝑉В 𝑙
−𝑁3 𝐻 −
+
= 0,
12
6
𝑉В 𝑙 𝐹𝑙
𝑙
𝐹
14
120
𝑁3 = (
− ) /H = · (𝑉В − ) /H =
· (240 −
) /2,5 = 168 кН.
6
12
6
2
6
2
Поскольку линии действия 𝑁3 и 𝑁5 параллельны, моментной точки
для 𝑁2 не существует. Для вычисления 𝑁2 используем способ проекций
(проецируем силы на ось 𝑦, перпендикулярную линиям действия 𝑁3 и 𝑁5 ).
−𝑁3 𝑟3 −

52

∗

𝑁2 − ? , сечение I – I, ∑ 𝐹𝑦 = 0,
𝐹
−𝑁2 · 𝑟2 − 𝐹 − + 𝑉В = 0, где 𝑟2 = cos α,
2
𝑙
14
α = arctg ( ) = arctg (
) = 0,751.
6𝐻
6 · 2,5
𝑁2 =

𝐹
(𝑉В − 𝐹 − 2 )
cos α

120
(240 − 120 − 2 )
=
≈ 82 кН.
cos 0,751

Для определения усилий в стержнях 1, 4 проводим сечение II – II
(рис. 20). При вычислении 𝑁1 , 𝑁4 используем методы аналогичные
предыдущим.
II
K4

F

F/2

N5


H

N1
N4

B
II

VB
l/6

l/6

Рис. 20. Часть фермы (сечение II–II)
∗

𝑁4 − ? , сечение II – II,

∑ 𝑚К4 (𝐹) = 0,

𝑙 𝐹
𝑙
𝑙
−𝑁4 · 𝑟4 − 𝐹 · 2 − · 3 + 𝑉В · 3 = 0, где 𝑟4 = 𝐻,
6 2 6
6
𝐹𝑙 𝐹𝑙 𝑉В 𝑙
−𝑁4 · 𝐻 − − +
= 0.
3
4
2
𝑉В 𝐹 𝐹
240 120 120
𝑁4 = 𝑙 · ( − − ) /𝐻 = 14 · (
−
−
) /2,5 = 280 кН.
2 3 4
2
3
4
∗

𝑁1 − ? ,

сечение II – II, ∑ 𝐹𝑦 = 0,
𝐹
𝑁1 · 𝑟1 − 𝐹 − + 𝑉В = 0, где 𝑟1 = sin β,
2
𝐻
2,5
β = arctg ( ) = arctg (
) = 0,82.
𝑙/6
14/6
53

𝐹
(𝐹 + 2 − 𝑉В )

120
(120 + 2 − 240)
𝑁1 =
=
≈ − 82 кН.
sin β
sin 0,82
Правильность вычислений 𝑁𝑗 (𝑗 = 1,2,3,4) проверяется способом вырезания узлов. Если найденные усилия 𝑁𝑗 верны, для проверяемого узла (узел С,
рис. 21) должны выполняться уравнения равновесия (статическая проверка):
∗

∗

∑ 𝐹𝑥 = 0 ,

∑ 𝐹𝑦 = 0,

∗

∑ 𝐹𝑥 = −𝑁4 − 𝑁1 cos β + 𝑁2 cos β + 𝑁3 =
= −280 − (−82 · cos 0,82) + 82 · cos 0,82 + 168 = − 0,12 ≈ 0.
∗

∑ 𝐹𝑦 = 𝑁1 sin β + 𝑁2 sin β = − 82 · sin 0,82 + 82 · sin 0,82 = 0.
Искомые усилия определены верно:
𝑁1 = − 82 кН, 𝑁2 = 82 кН, 𝑁3 = 168 кН, 𝑁4 = 280 кН.
Знак 𝑁1 показывает, что истинное направление противоположно выбранному сначала.

N1

N2

y

x

N4





C

N3

Рис. 21. Узел С

2. Расчет на прочность и определение 𝑡пр .
а) Расчет на прочность.
Тип прочностного расчета в задании 6 – проектировочный. Из условия
прочности фермы:
max |𝑁𝑗 |
max|σ| =
≤ 𝑅𝑦 ,
𝐴
где max |𝑁𝑗 | = |𝑁4 | = 280 кН, для 𝐴 (площади двух уголков) следует:
max |𝑁𝑗 | 280 · 103
𝐴 ≥
=
= 11,7 · 10−4 м2 = 11,7 см2 .
6
𝑅𝑦
240 · 10
54

𝐴 11,7
=
= 5,85 см2 .
2
2
Из табл. 2 прил. 2 сортамента прокатных профилей для уголка подбираем сечение с ближайшим большим значением 𝐴: уголок № 6.3
(63×63×5) с 𝐴1 = 6,13 см ².
Площадь всего сечения 𝐴 = 2𝐴1 = 2 · 6,13 = 12,26 см2 .
б) Определение 𝑡пр .
Предельная температура фермы при пожаре находится из условия:
|𝑁𝑗 |
max|σ| = max
= σт (𝑡пр ).
𝐴
В нашем случае:
|𝑁2 |
280 · 103
max|σ| =
=
= 229 · 106 Пa = 229 МПа.
−4
𝐴
12,26 · 10
Для одного уголка 𝐴1 =

Графическое решение уравнения 229 = σт (𝑡пр ), с учетом зависимости σт (𝑡пр ) (прил. 1, рис.1) дает 𝑡пр = 2500 С.
3. Расчет на устойчивость.
Тип расчета на устойчивость в задании 6 – проверочный. В примере
наибольшее сжимающее усилие испытывает стержень 4, для него:
а) коэффициент приведения длины μ = 1 (шарнирное опирание);
б) длина 𝑙 = 𝑙/6 = 14/6 = 2,33 м;
в) минимальный радиус инерции сечения
𝑖min = √

2𝐼𝑥
2𝐴

=√

2∙23,1
2∙6,13

= 1,94 см

равен радиусу инерции 𝐼𝑥 выбранного уголка № 6.3;
г) гибкость
μ𝑙
1 · 2,33
λ=
=
= 120,1;
𝑖min
1,94
д) коэффициент продольного изгиба φ (прил. 1, табл. 1) вычисляется
с помощью линейной интерполяции:
0,1(0,419 − 0,364)
φ(120,1) = 0,419 −
= 0,418,
10
так как значение λ = 120,1 попало в интервал (120,130);
е) сниженное расчетное сопротивление φ𝑅𝑦 = 0,418 ∙ 240=100,3 МПа;
|𝑁2 |
ж) действующие нормальные напряжения |σ| =
= 229 МПа.
𝐴
Сравнение |σ| = 229 МПа с φ𝑅𝑦 = 100,3 МПа показывает, что
условие устойчивости |σ| ≤ φ𝑅𝑦 для стержня 4 не выполняется.
55

Это означает, что подбор поперечного сечения стержней фермы и
оценка 𝑡пр (в примере) определяются условием устойчивости (см. задание5).
Замечание: в задании 6 проектировочный расчет на устойчивость
не проводится.

Задание 7. Статически определимые балки (СОБ)
Для многопролетной разрезной балки (рис. 22) с поперечным сечением в виде двутавра в соответствии с данными табл. 11 требуется:
1. Провести кинематический анализ. Дать схему расчленения и построить эпюры 𝑄 и 𝑀.
2. Из условия прочности подобрать номер двутавра. Определить предельную температуру при пожаре 𝑡пр .
3. Определить вертикальное перемещение сечения К от силового
нагружения.
Таблица 11
Исходные данные к заданию 7 (СОБ)

56

Номер
строки

Номер
схемы

𝑭, кН

𝒒, кН/м

𝒎, кНм

0

10

10

15,0

20

1

1

11

15,5

21

2

2

12

16,0

22

3

3

13

16,5

23

4

4

14

17,0

24

5

5

15

17,5

25

6

6

16

18,0

26

7

7

17

18,5

27

8

8

18

19,0

28

9

9

19

19,5

29

В

Б

Б

Б

57

5

4

3

2

1

m

F

m

4м

3м

q

1м

К

2м

m

2м

1м 1м 1м 1м

F

1м

1м

2м

m

F

2м

4м

q

2м

К

q
К

1м

1м

3м

m

4м

4м

К

2м

2м

F

2м

F

2м

2м

10

9

8

7

6

2м

1м

1м

m

1м

q

F

2м

q

К

F

К

4м

q

К

q

2м

m

1м 1м

1м

К

3м

1м 1м 1м

2м

2м

F
1м 1м

m

2м

2м

2м

3м

К

Рис. 22. Расчетная схема к заданию 7 (СОБ)

К
1м 1м 1м 1м

q

1м

4м

q

2м

2м

2м

q

2м

F

3м

F

2м

m

q

3м

1м 1м 1м

2м

2м

m

Основные теоретические положения
Многопролетная балка является расчетной схемой многих несущих
элементов конструкций, используемых на практике для перекрытия больших пролетов.
Обязательным свойством любой несущей конструкции является геометрическая неизменяемость (ГН), т.е. невозможность взаимного перемещения частей системы без их деформации.
Если такое перемещение возможно, то система называется геометрически изменяемой (ГИ), или механизмом (например, при обрушении первоначально ГН конструкции в условиях пожара).
Для ответа на вопрос о геометрической неизменяемости системы
проводится кинематический анализ (КА), который условно разбивается на
два этапа (проверка выполнения необходимых и достаточных условий ГН).
Необходимое условие геометрической неизменяемости состоит в
выполнении неравенства 𝑊 ≤ 0, где для плоской системы:
𝑊 = 3Д − 2Ш − С − С0 − число степеней свободы; Д – число дисков в системе (диск - элемент конструкции, для которого доказана геометрическая неизменяемость); Ш – число простых шарниров; С – число
стержней, соединяющих диски; С0 – число опорных стержней, соединяющих систему с диском «земля».
Достаточное условие геометрической неизменяемости заключается в выполнении известных правил образования ГН систем (и проверяется при соблюдении необходимого условия, так как в противном случае
𝑊 > 0 – система является механизмом).
Основные правила образования ГН систем (ГНС):
а) правило треугольника – три диска, соединенные попарно тремя
простыми шарнирами, образуют ГНС, если все шарниры не лежат на одной прямой;
б) правило двух дисков – два диска, соединенных тремя стержнями
или шарниром и стержнем, образуют ГНС, если все стержни не параллельны и не пересекаются в одной точке или шарнир не лежит на линии продолжения стержня;
в) правило трех дисков – три диска, соединенные попарно двумя
стержнями, или двумя парами стержней и одним шарниром, или парой
стержней и двумя шарнирами (где каждую пару стержней в точке их пересечения можно заменить фиктивным шарниром), образуют ГНС, если все
шарниры не лежат на одной прямой.
При выполнении необходимого и достаточного условий система является ГН, причем если для нее 𝑊 = 0, то статически определимой, а при
𝑊 < 0 – статически неопределимой.
58

Рассчитать балку – это значит определить внутренние силовые факторы 𝑄, 𝑀 и провести затем требуемый расчет (на прочность или жесткость).
С помощью известного из теоретической механики метода расчленения задача расчета многопролетной статически определимой балки сводится к расчету системы однопролетных балок (см. задание 3).
Пример выполнения задания 7

y

S-S
h
m

m
А

В

Р

q

m

кН

кН/м

кНм

5

20

12

x

F q

F

F

m

q

q

q
С

Р 1мС
А 1м В1м 1м
1м 1м 1м 1м

К S
E
1м F 2м
E

D

D3м
3м

m

S
L
G S

К1м S
1м F 2м

z

z
G

L

1м

Решение
1. Кинематический анализ, схема расчленения балки и построение
эпюр 𝑄 и 𝑀.
а) Кинематический анализ.
Необходимое условие W = 3 Д ‒ 2 Ш ‒ С ‒ С 0 = 3 ∙ 4 ‒ 2 ∙ 3 ‒ 0 ‒ 6 = 0
 выполняется, где Д = 4 (диски АВ, ВС, СК, KL); Ш = 3; C = 0; С0 = 6
(заделка в А эквивалентна трем опорным стержням, шарнирно-подвижные
опоры в D, E, G – каждая одному).
Достаточное условие. Диск АВ присоединен к диску «земля» по
правилу двух дисков тремя стержнями не параллельными и не пересекающимися в одной точке. К этой ГН системе присоединен диск СК тремя связями (стержнем ВС, который на этапе проверки необходимого условия
считался диском, и опорными стержнями D и Е) по правилу двух дисков. К
вновь образованной ГНС присоединен диск КL шарниром К и опорным
стержнем G, не проходящим через шарнир (правило двух дисков).
Достаточное условие выполняется.
Вывод: система в целом геометрически неизменяема и статически
определима (так как 𝑊 = 0).
59

б) Схема расчленения балки и построение эпюр 𝑄, 𝑀.
Разрезная балка расчленяется на составные части по шарнирам В, С, К
(рис. 23, б). Связи в шарнирах заменяются реакциями. Так как заданные (активные) силы вертикальны, горизонтальные составляющие реакций отсутствуют.
Определение опорных реакций и усилий в шарнирах начинается с тех
участков, где число неизвестных не превышает двух. Эти балки называются
второстепенными (балки ВС, КL). Затем рассматриваются основные балки
(СК, АВ), рассчитать которые можно только после второстепенных.
Участок ВС:
∑ 𝑚В (𝐹) = 0,

− 𝑞 · 2 · 1 − 𝐹 · 1 + 𝑉С · 2 = 0,

𝑉С = 22,5 кН,

∑ 𝑚С (𝐹) = 0,

𝑞 · 2 · 1 + 𝐹 · 1 − 𝑉В · 2 = 0,

𝑉В = 22,5 кН,

Проверка:
∑ 𝐹𝑦 = 𝑉В − 𝑞 · 2 − 𝐹 + 𝑉С = 22,5 − 20 · 2 − 5 + 22,5 = 0.
Участок КL:
∑ 𝑚К (𝐹) = 0,

𝑉G · 2 + 𝑚 = 0,

𝑉G = −6 кН,

(знак «» показывает, что истинное направление 𝑉G′ противоположно
выбранному).
∑ 𝑚G (𝐹) = 0,

−𝑉К · 2 − 𝐹 · 2 + 𝑚 = 0,

𝑉К = 1 кН,

Проверка:
∑ 𝐹𝑦 = 𝑉К + 𝐹 + 𝑉G = 1 + 5 − 6 = 0.
Участок СК:
∑ 𝑚D (𝐹) = 0, 𝑉С · 1 − 𝑞 · 4 · 2 + 𝑉Е · 3 − 𝑉К · 4 = 0, 𝑉Е = 47,2 кН,
∑ 𝑚Е (𝐹) = 0, 𝑉С · 4 − 𝑉D · 3 + 𝑞 · 4 · 1 − 𝑉К · 1 = 0, 𝑉D = 56,3 кН,
Проверка:
∑ 𝐹𝑦 = −𝑉С + 𝑉D − 𝑞 · 4 + 𝑉Е − 𝑉К = −22,5 + 56,3 − 20 · 4 + 47,2 − 1 = 0.
На участке АВ определять опорные реакции нет необходимости, так
как для консольной балки эпюры 𝑄, 𝑀 можно строить начиная со свободного края.
Построение эпюр 𝑄, 𝑀 ведется методом сечений для каждого
участка отдельно. После этого изображаются окончательные эпюры для
всей балки (рис. 23, в, г).
60

y

m=12кНм
F=5кН

В Р

А

m=12кНм

q=20кН

С

К

E

D

L

G

а)

F=5кН
1м

1м

1м

F

VB

В
m

1м

2м

1м

3м

q

VC

С

VK

1м

F

V G

m

К

G

L

q
VK

VG

VG

б)

VB
А

С

В

D

К

E
VD

z

VE

33,8
22,5

22,5

21
6

Q, кН

6

2,5
2,5

в)

1

22,5
26,2
z*=2,69м

34,5

22,5
11

12

г)

М, кНм
12,5

6,1
12

12

Рис. 23. Схема расчленения балки и эпюры 𝑄, 𝑀

61

Правильность построения (см. задание 3) проверяется по дифференциальным зависимостям:
𝑑𝑄
𝑑𝑀
= 𝑞,
= 𝑄.
𝑑𝑧
𝑑𝑧
На участках АВ, СD, КG, GL: 𝑞 = 0. Из уравнений следует, что
здесь 𝑄 = const, 𝑀(𝑧) – линейная функция, монотонно возрастающая при
𝑄 > 0 и убывающая при 𝑄 < 0, причем на GL: 𝑄 = 0 и 𝑀(𝑧) = const.
На участках ВР, РС, DE, ЕК: 𝑞 = const < 0, следовательно, на них
𝑄(𝑧) – линейная, монотонно убывающая функция с одинаковым наклоном
к 𝑧, 𝑀(𝑧) – квадратная парабола с вогнутостью навстречу направлению 𝑞.
В сечениях, где 𝑄 = 0, функция 𝑀(𝑧) имеет экстремум.
В сечениях А, Р, D, Е, К, G, где приложены сосредоточенные силы,
на эпюре 𝑄 – скачки, а на эпюре 𝑀 – изломы.
В сечении А, В, L, где приложены сосредоточенные моменты, на
эпюре 𝑀 – скачки.
2. Расчет на прочность и определение 𝑡пр при пожаре.
а) Расчет на прочность.
Тип расчета на прочность в задании 7 – проектировочный. Из условия прочности по нормальным напряжениям
max|σ| = max|𝑀𝑥 |/ 𝑊𝑥 ≤ 𝑅𝑦
для 𝑊𝑥 в опасном сечении (max|𝑀𝑥 | = 34,5 кНм) следует:
𝑊𝑥 ≥ max|𝑀𝑥 | /𝑅𝑦 = 34,5 · 103 /240 · 106 = 143,8 · 10−6 м3 = 144 см3 .
Из табл. 1 прил. 2 сортамента прокатных профилей для двутавра выбирается сечение с ближайшим большим значением 𝑊𝑥 – двутавр № 18а, для него:
𝑊𝑥 = 159 см3 , 𝐼𝑥 = 1430 см4 , 𝑆𝑥 = 89,8 см3 .
б) Определение 𝑡пр .
При изгибе статически определимой балки 𝑡пр определяется из уравнения (см. задание 3):
max|σпл | = max|𝑀𝑥 |/𝑊𝑥пл = σТ (𝑡пр )
где 𝑊𝑥пл = 2𝑆𝑥  пластический момент сопротивления сечения при изгибе,
откуда следует
max|𝑀𝑥 |/2𝑆𝑥 = 34,5 · 103 /2 · 89,8 · 10−6 = 192 · 106 Па = 192 МПа.
Графическое решение уравнения 192 = σТ (𝑡пр ) дает 𝑡пр = 3700 С
(прил. 1, рис.1).
При этой температуре в опасном сечении А образуется пластический
шарнир, и балка теряет несущую способность, поскольку становится геометрически изменяемой системой (механизмом). Движение балки при разрушении показано на рис. 23, а пунктиром.
62

3. Определение перемещения сечения К от силового нагружения.
Любое обобщенное (линейное или угловое) перемещение сечения балки
(рамы) от силового нагружения вычисляется по формуле Максвелла – Мора
𝑀𝐹 𝑀𝐾
∆KF = ∑ ∫
𝑑𝑧,
𝐸𝐼
𝑖

𝑙𝑖

где 𝑀𝐹 – функция изгибающего момента от 𝐹 {𝑞, 𝑚, 𝐹} (она выше обозначалась 𝑀𝑥 );
𝑀𝐾  функция изгибающего момента только от единичной, обобщенной силы, соответствующей искомому обобщенному перемещению;
𝐸𝐼 – жесткость балки (рамы) на изгиб.
Для построения эпюры 𝑀𝐾 в примере необходимо к освобожденной
от всех внешних сил системе приложить в сечении К по вертикальному
направлению единичную силу 𝑄𝐾 = 1 и определить реакции (рис. 24, а).
Эпюра 𝑀𝐾 показана на рис. 24, в.
Эпюра 𝑀𝐹 была построена ранее (рис. 23, г), а для расчета ∆KF используется только часть 𝑀F – для балки СК, (рис. 24, г), так как на
остальных участках 𝑀𝐾 = 0.
Интеграл для ∆KF удобно вычислять способом Верещагина («перемножением эпюр» [3]), согласно которому интеграл от произведения двух
функций (эпюр), хотя бы одна из которых линейна, равен произведению
двух констант  и , где   площадь нелинейной эпюры,   ордината
линейной эпюры под центром тяжести нелинейной.
Произведение констант  и Ψ на каждом участке интегрирования
положительно, если знаки соответствующих эпюр одинаковы, и отрицательно, если – противоположны.
Таблица 12
Разложение сложных эпюр
1

2

3

f

f

b

b

а
а
f 

l

b

а
l

f 

f

а

а

f
b

f

а

b

а

f

4

f

b

а

f

b

b
ql 2 8

f 

l

f 

ql 2 8

l

63

QK  1

VE

VD
С

z

К

E

D

а)
1

4

3

3

1м

1

б)
3м

1м

 
Ψ 1 = Ψ  z C1
 
Ψ 1 = Ψ  z C1
 
Ψ 1= Ψ  z C1

Ψ  z  Ψ1

Ψ1

Ψ1

1

 
Ψ 2 = Ψ  z C2

Ψ2
Ψ 2

 
Ψ 2 = Ψ  z C2

в)

MK,м

22,5
φ1  z 

φ2  z 

11

г)

M F , кНм

φ2

11
22,5
Φ1

φ1 C 2
Φ 2
C1

φ 2

φ1

Φ1

Φ1

C1

C1

Φ 2
C 2
20  12 8  2,5

д)

11

20  3 2 8  22 ,5

φ1

Рис. 24. Эпюры 𝑀K и 𝑀F для вычисления ∆KF
64

Таблица 13
Площади и координаты центра тяжести некоторых видов эпюр
№
п/п

l1

1

Площадь

Некоторые виды
простых эпюр



Координаты
центра тяжести
𝒍𝟏
𝒍𝟐

l2

h

ℎ𝑙

𝑙
2

𝑙
2

ℎ𝑙
2

𝑙
3

2
𝑙
3

ℎ𝑙
3

𝑙
4

3
𝑙
4

2
ℎ𝑙
3

3
𝑙
8

5
𝑙
8

2
ℎ𝑙
3

𝑙
2

𝑙
2

l

l1

2

l2

h

l

l1

3

l2

h
extr

l

extr

4

l1

l2

h

l

l1

5

l2

h

l

65

На участках DE, ЕК, где функции 𝑀K и 𝑀F одновременно не равны нулю, необходимо разложить сложные эпюры на простые (рис. 24, д) с
использованием табл. 12.
Далее с учетом 𝐸𝐼 = const и данных из табл. 13 вычисляется искомое
перемещение
(∑𝑖 Фi Ψi ) [(Ф1′ Ψ1′ + Ф1′′ Ψ1′′ + Ф1′′′ Ψ1′′′ ) + (Ф′2 Ψ′2 + Ф′′2 Ψ′′2 + Ф′′′2 Ψ′′′2 )]
∆KF =
=
=
𝐸𝐼
𝐸𝐼
1 1
1
1
2
2
1
= [( · 22,5 · 3 · · 1 + · 11 · 3 · · 1 − · 22,5 · 3 · · 1) +
𝐸𝐼 2
3
2
3
2
2
1
2
2
1
+ ( · 11 · 1 · · 1 − · 2,5 · 1 · · 1)] =
2
3
3
2
(−0,25 + 2,84) 2,59
2,59
=
=
=
= 0,905 · 10−3 м = 0,9 мм,
3
𝐸𝐼
𝐸𝐼
2,86 · 10

где 𝐸𝐼 = 200 · 109 · 1430 · 10−8 = 2,86 · 106 Нм2 = 2,86 · 103 кНм2 .
Замечание: если перемещение Δ какого-либо сечения конструкции
от силового или температурного нагружения ограничено допускаемым
значением [], то при расчете этой конструкции необходимо обеспечить
условие жесткости Δ ≤ [Δ].
Так, например, при расчете предела огнестойкости горизонтальных
конструкций [12] максимальный прогиб max 𝑓 ограничен значением
1
1
[𝑓] = 𝑙 ( ÷ )
30 15
где 𝑙 – характерный параметр длины конструкции.
Равенство
max 𝑓 = [𝑓]
соответствует предельному состоянию конструкции при пожаре и
условие жесткости в этом случае имеет вид
max 𝑓 ≤ [𝑓]
Для вертикальной конструкции с характерным параметром высоты H
принято [f] = H/100, а условие жесткости имеет тот же вид.
Как следует из приведенных выше рассуждений, для применения
правила Верещагина необходимо знать площади и координаты центров
тяжести грузовых и единичных эпюр. В ряде случаев для вычисления интеграла Максвелла-Мора оказывается более простым и удобным использование формулы Симпсона, которая требует только знания значений
подынтегральных функций 𝑀𝐹 и 𝑀𝐾 в характерных точках.
66

Формула Симпсона для вычисления интеграла Максвелла-Мора
Интеграл Максвелла – Мора для вычисления любого обобщенного
(линейного или углового) перемещения сечения балки (рамы) от силового
нагружения представленный в виде:
∆KF = ∑ ∫
𝑖

𝑙𝑖

𝑀𝐹 𝑀𝐾
𝑑𝑧,
𝐸𝐼

может быть вычислен с помощью формулы Симпсона
∑∫
𝑖

𝑙𝑖

𝑀𝐹 𝑀𝐾
𝑙
лев
ср
пр
ср
пр
𝑑𝑧 =
(𝑀𝐹лев · 𝑀𝐾 + 4 𝑀𝐹 · 𝑀𝐾 + 𝑀𝐹 · 𝑀𝐾 )
𝐸𝐼
6𝐸𝐼
пр

ср

где 𝑀𝐹лев , 𝑀𝐹 и 𝑀𝐹 – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающего момента от 𝐹 {𝑞, 𝑚, 𝐹} ;
лев
ср
пр
𝑀𝐾 , 𝑀𝐾 и 𝑀𝐾 – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающего момента только от единичной, обобщенной силы, соответствующей искомому обобщенному перемещению (рис. 25).
M Fср

M Fпр

M Fлев

l/2

l/2
ср

MK
лев

MK

пр

MK

Рис. 25. Применение формулы Симпсона

Формула Симпсона дает точное решение для гладких функций, порядок которых не превышает трех. Функции изгибающих моментов только
от единичной, обобщенной силы всегда линейны. Функции изгибающих
моментов от 𝐹 {𝑞, 𝑚, 𝐹} при 𝑞 = const описываются кривыми второго порядка. При перемножении этих функций под интегралом Максвелла-Мора
получим кривую третьего порядка. Таким образом, для балок и рам,
нагруженных сосредоточенными силами, моментами и 𝑞 = const формула
Симпсона дает точное значение интеграла Максвелла – Мора.
67

Задание 8. Статически определимые рамы (СОР).
Для плоской трехшарнирной рамы (рис. 26) с поперечным сечением
в виде двух швеллеров в соответствии с данными табл. 14 требуется:
1. Провести кинематический анализ. Определить опорные реакции.
2. Построить эпюры 𝑀, 𝑄, 𝑁. Из условия прочности подобрать номер
швеллера и определить 𝑡пр .
3. Для схем с номерами 1-5 определить горизонтальное перемещение
сечения К, а для схем с номерами 6-10 определить угол поворота сечения К от повышения температуры внутренней поверхности при
пожаре на 𝑡 0 С.
Таблица 14
Исходные данные к заданию 8 (СОР)

68

Номер
строки

Номер
схемы

𝒍, м

𝑯, м

𝑭, кН

𝒎, кНм

𝒒, кН/м

𝒕, С

0

10

6

8

26

13

20

100

1

1

4

5

38

29

11

105

2

2

8

6

24

23

12

110

3

3

5

4

32

17

13

115

4

4

7

5

20

21

14

120

5

5

4

7

36

15

15

125

6

6

6

4

28

27

16

130

7

7

8

6

30

11

17

135

8

8

7

4

22

25

18

140

9

9

5

7

34

19

19

145

В

А

А

Б

Б

Б

В

69

6

q

A

F

1

m

l/2

C

F

C

l/2

A

K

q

l/2

B

tC

l/4

K

l/2

B

m

tC

H/2

H/2

H/2

H/2

A

7

A

F

m

2

C

l/2

m

q

l/2

C

K

q

F

A

A

F

8

3

l/2

l/2

F

K

K

q

q

l/2

B

m

tC

C

l/2

B

tC

C

m

9

4

A

F

m

A

m

K

Рис. 26. Расчетная схема к заданию 8 (СОР)

l/2

B

tC

l/2

B

tC

K
H/2
H/2

H/2
H/2

H/2
H/2

H/2
H/2

l/2

C

l/2

F

l/2

B

tC

q

l/2

B

K

tC

C

q

H/2
H/2
H/2
H/2

10

A

m

q

5

l/2

C

q

l/2

A

K
l/4

K

l/2

B

tC

F

l/2

B

F

tC

C

m
H/2
H/2
H/2
H/2

Основные теоретические положения.
Рама является расчетной схемой многих применяемых на практике
несущих элементов конструкций (в основном – в строительстве).
Рама представляет собой геометрически неизменяемую стержневую
систему с хотя бы одним жестким узлом.
В сечениях плоской, статически определимой рамы от силового
нагружения возникают изгибающие моменты 𝑀, поперечные силы 𝑄 и
продольные силы 𝑁, а от температурного воздействия внутренние силовые факторы 𝑀, 𝑄, 𝑁 не возникают.
Рассчитать раму – это значит определить функции 𝑀, 𝑄, 𝑁 (построить их эпюры) и провести затем требуемый расчет (на прочность, жесткость или устойчивость).
В строительстве вертикальные и горизонтальные элементы рамы
называют соответственно стойками и ригелями.
Пример выполнения задания 8
S

m

K C S
tC

H/2

q

S-S
y

F

H/2

h

x

𝑙

м

4

𝐻

м

5

𝐹

кН

32

𝑚

кНм

17

𝑞

кН/м

13

𝑡

С

115

B

A
l/2

l/2

Решение
1. Кинематический анализ и определение опорных реакций.
а) Кинематический анализ.
Необходимое условие 𝑊 = 3Д ‒ 2Ш ‒ С ‒ С0 = 3 ∙ 2 ‒ 2 ∙ 1 ‒ 0 ‒ 4 = 0
(выполняется), где Д = 2 (диск АС, СВ); Ш = 1 (шарнир в сечении С); С = 0
(стержней связывающих диски нет); С0 = 4 (по два опорных стержня в
шарнирно-неподвижных опорах А и В).
Достаточное условие. Три диска АС, СВ и диск «земля» соединены тремя шарнирами (в сечениях А, В, С) по правилу треугольника.
Вывод: система геометрически неизменяема и статически определима
(W = 0).
70

б) Определение опорных реакций.
Вертикальные составляющие 𝑉А , 𝑉В реакций (рис. 27) удобнее всего
определить из уравнений равновесия вида:
∑ 𝑚А (𝐹) = 0,

𝐹 · 2,5 − 𝑞 · 2 · 1 − 𝑚 + 𝑉В · 4 = 0,

𝑉В = −9,25 кН,

знак « − » показывает, что истинное направление 𝑉В противоположно выбранному сначала (рис. 27).
∑ 𝑚В (𝐹) = 0, − 𝑉А · 4 + 𝐹 · 2,5 + 𝑞 · 2 · 3 − 𝑚 = 0, 𝑉А = 35,25 кН.
Проверка:
∑ 𝐹𝑦 = 𝑉А − 𝑞 · 2 + 𝑉В = 35,25 − 13 · 2 − 9,25 = 0.
Для определения горизонтальных составляющих 𝐻А , 𝐻В реакций используется метод расчленения (по шарниру С).
Из уравнения равновесия левой части рамы следует:
лев

∑ 𝑚С (𝐹) = 0,

𝑞 · 2 · 1 − 𝐹 · 2,5 − 𝑉А · 2 + 𝐻А · 5 = 0, 𝐻А = 24,9 кН.

Аналогичное уравнение равновесия для правой части дает:
прав

∑ 𝑚С (𝐹) = 0, − 𝑚 − 𝑉В · 2 + 𝐻В · 5 = 0, 𝐻В = 7,1 кН.
Проверка:
∑ 𝐹𝑥 = 𝐻А − 𝐹 + 𝐻В = 24,9 − 32 + 7,1 = 0.
Составляющие реакций: 𝑉А , 𝑉В , 𝐻А , 𝐻В найдены верно.
2. Построение эпюр 𝑀, 𝑄, 𝑁, расчет на прочность и определение 𝑡пр .
а) Построение эпюр 𝑀, 𝑄, 𝑁
Эпюры 𝑀, 𝑄, 𝑁 строятся по значениям в крайних сечениях характерных участков рамы.
Наряду с глобальными координатами 𝑋, 𝑌 для стоек и ригелей вводим локальные координаты 𝑦, 𝑧 по аналогии с балкой (рис. 27).
Правила знаков 𝑀, 𝑄 те же, что для балок, а 𝑁 – для ферм. Внутренние силовые факторы считаются положительными, если на выделенный
элемент рамы 𝑑𝑧 они действуют, как показано на рис. 27 и отрицательными, если наоборот.
Положительные значения 𝑄, 𝑁 принято откладывать вверх по оси 𝑦,
а отрицательные – вниз. Для стоек левые волокна считаются «верхними», а
71

правые – «нижними» (т.е. смотреть на стойку следует, как при постановке
размера размера – справа на лево). Положительные значения 𝑀 откладываются вниз, отрицательные – вверх (т.е. со стороны растянутых волокон).
y
z

q=13кН/м

K

m=17кНм

M

N

L

C

dz

MQ

N
Q
N

y
M

dz
z
y

y

A

Q

5м

dz

z

G
x

F=32кН

VB=9,25 кН

HA=24,9 кН

2м

M
N

B
VA=35,25 кН

Q

HB=7,1 кН
VB

2м

Рис. 27. Опорные реакции и правила знаков для 𝑀, 𝑄, 𝑁

Участок AG.
𝑀А = 0, 𝑄А = −𝐻А = −24,9 кН, 𝑁А = −𝑉А = −35,25 кН;
𝑀G = −𝐻А · 2,5 = −24,9 · 2,5 = −62,25 кНм,
𝑄G = −𝐻А = −24,9 кН; 𝑁G = −𝑉А = −35,25 кН.
Участок GК.
𝑀G = −𝐻А · 2,5 = −24,9 · 2,5 = −62,25 кН,
𝑄G = −𝐻А + 𝐹 = −24,9 + 32 = 7,1 кН, 𝑁G = −𝑉А = −35,25 кН;
𝑀К = −𝐻А · 5 + 𝐹 · 2,5 = −24,9 · 5 + 32 · 2,5 = −44,5 кНм,
𝑄К = −𝐻А + 𝐹 = −24,9 + 32 = 7,1 кН,
𝑁К = −𝑉А = −35,25 кН.
Участок KC.
𝑀К = −𝐻А · 5 + 𝐹 · 2,5 = −24,9 · 5 + 32 · 2,5 = −44,5 кН,
𝑄К = 𝑉А = 35,25 кН , 𝑁К = −𝐻А + 𝐹 = −24,9 + 32 = 7,1 кН;
𝑀C = −𝑉А · 2 + 𝐻А · 5 − 𝐹 · 2,5 + 𝑞 · 2 · 1 = 0,
𝑄C = 𝑉А − 𝑞 · 2 = 35,25 − 13 · 2 = 9,25 кН, 𝑁C = −𝐻А + 𝐹 = 7,1 кН.
72

Участок CL.
𝑀C = −𝑉А · 2 + 𝐻А · 5 − 𝐹 · 2,5 + 𝑞 · 2 · 1 = 0,
𝑄C = 𝑉А − 𝑞 · 2 = 35,25 − 13 · 2 = 9,25 кН, 𝑁C = −𝐻А + 𝐹 = 7,1 кН.
𝑀L = 𝐻В · 5 − 𝑚 = 7,1 · 5 − 17 = 18,5 кНм,
𝑄L = 𝑉В = 9,25 кН, 𝑁L = 𝐻В = 7,1 кН.
Участок LB.
𝑀В = 0,
𝑄В = −𝐻В = −7,1 кН; 𝑁В = 𝑉В = 9,25 кН;
𝑀L = −𝐻В · 5 = −7,1 · 5 = 35,5 кНм,
𝑄L = −𝐻В = −7,1 кН, 𝑁L = 𝑉В = 9,25 кН.
По результатам вычислений строятся эпюры 𝑀, 𝑄, 𝑁 (рис. 28).
Правильность построения эпюр на каждом участке рамы проводится
так же, как и для балки, по дифференциальным зависимостям
𝑑𝑄
= 𝑞,
𝑑𝑧

𝑑𝑀
=𝑄
𝑑𝑧

(см. задания 3, 7).
13кН/м

K

G

A

17кНм

44,5

35,5

L

C

C

32кН

G

62,25

24,9кН

B

18,5

М, кНм

7,1кН

9,25кН

35,25кН

35,25

9,25

7,1

C

N, кН

Q,кН
7,1

35,25

9,25

24,9

7,1

Рис. 28. Эпюры М, 𝑄, 𝑁 от 𝐹 {𝑞, 𝑚, 𝐹}
73

Кроме того, для двух угловых узлов рамы К, L необходимо провести
статическую проверку, состоящую в выполнении для них уравнений равновесия (рис. 29)
∗

∗

∑ 𝐹𝑥 = 0,

∗

∑ 𝑚0 (𝐹) = 0.

∑ 𝐹𝑦 = 0,
7,1 кН

18,5 кНм
9,25 кН

К

y

L
35,25 кН

17 кНм

7,1 кН

44,5 кНм
x
7,1 кН

7,1 кН
44,5 кНм

35,5 кНм
9,25 кН

35,25 кН

Рис. 29. Проверка равновесия узлов К и L

Значение внутренних силовых факторов 𝑁, 𝑄, 𝑀 в сечениях вблизи
узлов К, L берутся с эпюр на рис. 28.
Узел К

Узел L

∗

∑ 𝐹𝑥 = −7,1 + 7,1 = 0,

∗

∑ 𝐹𝑥 = −7,1 + 7,1 = 0,

∗

∗

∑ 𝐹𝑦 = 35,25 − 35,25 = 0,
∗

∑ 𝐹𝑦 = 9,5 − 9,5 = 0,
∗

∑ 𝑚К (𝐹) = 44,5 − 44,5 = 0.

∑ 𝑚К (𝐹) = 18,5 + 17 − 35,5 = 0.

Уравнения равновесия узлов К, L выполнены.
После проверки правильности эпюр определяются опасные сечения
(в нашем случае G на стойке АК).
б) Расчет на прочность (проектировочный).
Из условия прочности по нормальным напряжениям от изгиба
max|σ| =
следует:

max|𝑀𝑥 |
≤ 𝑅𝑦
𝑊𝑥

max|𝑀𝑥 | 62,25 · 103
𝑊𝑥 ≥
=
= 259,4 · 10−6 м3 = 259,4 см3 ,
6
𝑅𝑦
240 · 10
где max |𝑀𝑥 | = |𝑀G | = 62,25 кНм (в опасном сечении G).
74

С учетом вида поперечного сечения 𝑊𝑥 = 2𝑊𝑥₁ (см. стр 70), откуда
доля момента сопротивления одного швеллера
𝑊𝑥₁ = 𝑊𝑥 /2 ≥ 259,4/2 = 129,7 см3 .
Из таблицы сортамента для швеллера (прил. 2, табл.3) выбираем
швеллер № 18 а, с ближайшим большим значением 𝑊𝑥 :
𝑊𝑥₁ = 132 см3 ,
А1 = 22,2 см2 ,
𝑆𝑥₁ = 76,1 см3 ,
ℎ = 0,18 м.
Для всего сечения:
𝑊𝑥 = 2𝑊𝑥₁ = 2 · 132 = 264 см3 ,
𝐴 = 2𝐴1 = 2 · 22,2 = 44,4 см2 .
Проверка условия прочности в опасном сечении с учетом нормальных напряжений от продольной силы 𝑁 (𝑁𝐺 = −35,25кН):
|𝑀G |
|𝑁G |
62,25 · 103
35,25 · 103
max|σ| =
+
=
+
=
𝑊𝑥
𝐴
264 · 10−6
44,4 · 10−4
= 235,8 · 106 + 7,94 · 106 Па = 243,8 · 106 = 243,8 МПа > 240 МПа.
Условие прочности не выполнено, т.к. сечение подбиралось без учета напряжений от 𝑁𝑧 , следовательно, необходимо выбирать следующий по
номеру швеллер в нашем случае  № 20, для которого:
𝑊𝑥₁ = 152 см3 ,
𝐴1 = 23,4 см2 ,
𝑆𝑥₁ = 87,8 см3 ,
ℎ = 0,20 м.
Для всего сечения:
𝑊𝑥 = 2𝑊𝑥₁ = 2 · 152 = 304 см3 ,
𝐴 = 2𝐴1 = 2 · 23,4 = 46,8 см2 .
и условие прочности в опасном сечении
|𝑀G |
|𝑁G |
62,25 · 103 35,25 · 103
max|σ| =
+
=
+
=
𝑊𝑥
𝐴
304 · 10−6 46,8 · 10−4
= 204,8 · 106 + 7,53 · 106 Па = 212,3 · 106 Па = 212,3 МПа < 240 МПа.
выполнено.
в) Определение 𝑡пр .
Для статически определимой рамы 𝑡пр можно приближенно (без
учета влияния 𝑁) оценить, как и при изгибе статически определимой балки, из уравнения (см. задания 3, 7)
max|𝑀x |
σТ (𝑡пр ) =
,
𝑊𝑥пл
где пластический момент сопротивления − 𝑊𝑥пл = 2𝑆𝑥 , для сечения в
примере, равен 𝑊𝑥пл = 4𝑆𝑥₁ = 4 · 87,8 = 351,2 см3 , тогда:
max|𝑀x |
62,25 · 103
σТ (𝑡пр ) =
=
= 177 · 106 Па = 177 МПа.
𝑊𝑥пл
351,2 · 10−6
75

Графическое решение уравнения
σТ (𝑡пр ) = 177 МПа
дает 𝑡пр = 4000 С (прил. 1, рис.1).
При этой температуре в опасном сечении G образуется пластический
шарнир и рама теряет несущую способность, так как становится геометрически изменяемой системой.
3. Определение перемещения сечения К от нагрева.
Здесь считаем, что внешних активных сил нет.
Любое обобщенное (линейное или угловое) перемещение сечения
рамы (балки) от температурного воздействия вычисляется по формуле
Максвелла-Мора:
Δ𝐾𝑡 = ∑ (α
𝑖

𝑡2 − 𝑡1
𝑡1 + 𝑡2
Ф𝑀К ) + ∑ (α
Ф𝑁К ) ,
ℎ
2
𝑖
𝑖
𝑖

где α – коэффициент температурного расширения материала;
h – высота поперечного сечения рамы;
𝑡1 , 𝑡2 – изменения температуры внешней и внутренней поверхности
i-го участка рамы соответственно;
Ф𝑀К и Ф𝑁К – соответственно площади 𝑖-го участка эпюр изгибающих моментов 𝑀К и продольных сил 𝑁К от единичной, обобщенной силы
𝑄К = 1, приложенной в сечении К по направлению перемещения ΔК𝑡 .
Знак каждого слагаемого в формуле Максвелла  Мора положителен,
если характер деформации участка (изменение кривизны для первой группы слагаемых и продольная деформация оси для второй) от температуры и
единичной силы одинаков, и отрицателен, если – противоположен.
В формуле для ΔК𝑡 распределение температуры по высоте сечения
считается линейным и кусочно постоянным по оси.
В примере на всех участках – 𝑡2 = 1150 С, 𝑡1 = 0.
Для определения горизонтального перемещения сечения К от
нагрева (рис. 30, а) к освобожденной от нагрузки раме в сечении К прикладывается горизонтальная единичная обобщенная сила (рис. 30, б).
Опорные реакции 𝑉А , 𝑉В , 𝐻А , 𝐻В от действия 𝑄К = 1 определяется так
5

же, как от F {𝑞, 𝑚, 𝐹}, и равны 𝑉А = 𝑉В = ,
4

1

𝐻А = 𝐻В = .
2

Далее методом сечений строим эпюры 𝑀К , 𝑁К . Эпюры 𝑀К , 𝑁К от
𝑄К = 1 показаны на рис. 30, в, г.
Результаты вычислений по участкам сведены в табл. 15.
76

В табл. 15 знаки в четвертой колонке определяются тем, что изменение кривизны оси от нагрева и от единичной силы (см. рис. 32, а и
эпюру 𝑀К ) на участках АК и КС одинаково («+», выпуклостью внутрь),
на участках CL и LB различно («»).
Знаки в последней колонке определяются тем, что продольная деформация оси от нагрева и от единичной силы (см. рис. 30, а и эпюру 𝑁К ,)
на участке АК одинаково («+», удлинение), а на участках KC, CL, LB различна («», от нагрева удлинение, а от 𝑁К , укорочение).
Искомое перемещение участка с учетом 𝛼 = 12,5 · 10−6 0 С−1 (прил. 1),
ℎ = 0,20 м и данных табл. 15 равно:
12,5 · 10−6 · 115
(6,25 + 2,5 − 2,5 − 6,25) +
ΔК𝑡 =
0,20
+12,5 · 10−6 · 57,5 · (6,25 − 1 − 1 − 6,25) = −0,0014 м.
(знак «» показывает, что направление перемещения противоположно
направлению 𝑄К = 1, выбранному сначала).
Замечание: если перемещение  какого-либо сечения рамы от силового, температурного (или совместного) нагружения ограничено допускаемым значением [], то необходимо обеспечить условие жесткости
 ≤ [] (см. задание 7, стр 66).
Таблица 15
Результаты вычислений 𝚫𝒌𝒕 по участкам
Участок

𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 , 𝟎 С

Ф 𝑴К , м 𝟐

Знак

𝒕𝟐 + 𝒕𝟏 𝟎
, С
𝟐

АК

115

5 · 2,5
= 6,25
2

+

57,5

КС

115

2 · 2,5
= 2,5
2

+

57,5

СL

115

2 · 2,5
= 2,5
2

−

57,5

LB

115

5 · 2,5
= 6,25
2

−

57,5

Ф𝑵К , м

Знак

5
= 6,25
4

+

2·

1
=1
2

−

2·

1
=1
2

−

5
= 6,25
4

−

5·

5·

77

QK=1
L

A

L

C

K

t1 = 0

C

t2 = 115oC

K

HA=1/2

B

HB=1/2

A
VA=5/4

a)

б)

B
VB=5/4

2,5

2,5

1/2

NК

МК

в)

5/4

г)

Рис. 30. Эпюры 𝑀К и 𝑁К от 𝑄К = 1

78

5/4

Задание 9. Статически неопределимые балки (СНБ)
Для многопролетной неразрезной балки (рис. 31) с поперечным сечением в виде двутавра в соответствии с данными таблицы 16 требуется:
1. Провести кинематический анализ. Выбрать основную систему. Составить и решить канонические уравнения метода сил.
2. Построить эпюры 𝑀, 𝑄 от силового нагружения. Из условия прочности подобрать номер двутавра.
3. Построить эпюры 𝑀, 𝑄 от равномерного нагрева нижней и верхней
поверхности заданного участка при пожаре на 𝑡2 и 𝑡1 0 С соответственно. Проверить условие прочности.
Таблица 16
Исходные данные к заданию 9 (СНБ)

Номер
строки

Номер
схемы

𝑭, кН

𝒎, кНм

𝒒, кН/м

𝒕𝟐 , С

𝒕𝟏 , С

Нагретый
участок

0

10

30

19

10

150

40

BD

1

1

32

21

12

145

37

BC

2

2

34

23

14

140

34

CD

3

3

36

25

16

135

31

ВC

4

4

38

27

18

130

28

AB

5

5

40

29

20

125

25

BD

6

6

42

31

22

120

22

AC

7

7

44

33

24

115

19

AD

8

8

48

35

26

110

16

AB

9

9

48

37

28

105

13

BC

В

Б

Б

Б

В

В

В

79

80

5

4

3

2

1

F
1м

А

А

А

А

А

3м

4м

t2 , С

m t , С
1

5м

q

4м

4м

q

q

B

B

В

B

q

3м

2м

m

4м

F

С

F

q

4м

t2 , С

t1 , С

2,5м

t2 , С

2м

t2 , С

t1 , С

4м

D

m

1м

D

2м

q

m

D

D
2м

C

F

4м

D

10

9

8

7

6

А
t 2 ,С

F

F

4м

1м

А

F
1м

А

А

q

4м

4м

t2 , С

B

В

B

m

t1 , С

4м

q

m

1м 1м 1м

А

t1, С

Рис. 31. Расчетная схема к заданию 9 (СНБ)

C

2м

C

F

C

2м

2,5м

t1 , С

B

2м

t2 , С

t1 , С

m

B

4м

B
2м

F
C
2м

C

С

2м

3м

t1 , С

t1, С

m

4м

q

2м

t2, С

F

F

q

4м

t2 , С

3м

4м

3м

t2, С

4м

t1, С

C

q

D

m

C

D

1м

m

D

D

Основные теоретические положения
Система, рассчитать которую с помощью только уравнений статики
нельзя, называется статически неопределимой (СН).
СН системы имеют «лишние» связи (по отношению к числу связей,
необходимому для геометрической неизменяемости).
Этим связям соответствуют «лишние» неизвестные реакции (по отношению к числу уравнений статики). Для составления недостающих
уравнений используются специальные методы: метод сил, метод перемещений, смешанный метод [3].
Число «лишних» неизвестных называется степенью статической
неопределимости (обозначение n) и вычисляется по формуле 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 ,
где 𝑛1 , 𝑛2 – число лишних внешних и внутренних связей соответственно.
Для плоской системы 𝑛1 = C0 − 3, где C0 – общее число опорных
(внешних) связей, а 𝑛2 вычисляется по-разному, в зависимости от вида
системы.
Так, например, для неразрезных балок (т.е. не имеющих полных –
«врезных» шарниров) 𝑛2 = 0; для плоских рам с К замкнутыми контурами и Ш простыми шарнирами 𝑛2 = 3К − Ш.
Для геометрически неизменяемых СН систем, не содержащих замкнутые контуры, 𝑛 можно вычислять по формуле 𝑛 = −𝑊 (𝑊 – число
степеней свободы).
Особенностью СН систем является возникновение внутренних силовых факторов при: монтаже (сборке), осадке опор и температурном воздействии (все это – недостатки СН систем).
В сечениях СН балок возникают изгибающие моменты 𝑀 и поперечные силы 𝑄 не только от силового нагружения, но и от температурного
воздействия.
Главным достоинством СН систем является их более высокая
жесткость (меньшие перемещения) и более высокая, как правило,
надежность по сравнению с соответствующими статически определимыми (СО) системами.
Так, например, при пожаре для потери несущей способности СО системы достаточно возникновения одного пластического шарнира (см. задания 7, 8), тогда как для СН системы необходимо возникновение в общем случае 𝑛 + 1 шарниров, что и говорит об их большей прочностной
надежности.
Ниже приводится расчет СН балки методом сил.

81

Пример выполнения задания 9
𝑭, кН

𝒒, кН/м

𝒎, кНм

36

16

25

m q
t1, С

В

А
4м

t2, С

2м

𝒕𝟐 ,

𝟎

С

𝒕𝟏 ,

135

𝟎

Нагретый
участок

С

31

АС

S-S
y

S

F
С
2м

D

S
4м

h

x

Решение
1. Кинематический анализ, выбор основной системы и решение
системы канонических уравнений метода сил.
а) Кинематический анализ (см. стр.67).
Необходимое условие:
𝑊 = 3Д − 2Ш − С − С0 = 3 · 1 − 2 · 0 − 0 − 5 = −2 < 0
выполняется, где Д = 1 (диск AD); Ш = 0; С = 0; С0 = 5 (скользящая заделка в D и шарнирно-неподвижная опора в В эквивалентны двум стержням каждая, шарнирно-подвижная в С – одному).
Достаточное условие. Диски АD и диск «земля» соединены
пятью стержнями, не параллельными в одной точке. Минимальное количество связей для геометрической независимости – три. Правило двух дисков выполнено с избытком.
Вывод: система геометрически неизменяема (ГН) и статически неопределима (𝑊 < 0). Степень статической неопределимости 𝑛 =  𝑊 = 2 или
𝑛 = С0  3 = 2 т.к. для неразрезной балки 𝑛 = 𝑛1 .
б) Выбор основной системы.
Основная система (ОС) получается из заданной (ЗС) отбрасыванием
𝑛 «лишних» связей и заменой их неизвестными обобщенными силами
𝑋1 … … 𝑋𝑛 . ОС должна быть геометрически неизменяемой и статически
определимой.
При выборе ОС надо исходить из соображений простоты построения эпюр и их перемножении при вычислении коэффициентов канонических уравнений метода сил (МС).
82

Для неразрезных балок самой рациональной является ОС, полученная врезанием полных шарниров в заделки и в сечения над промежуточными опорами (рис. 32, б).
В опоре D отброшена связь на угол поворота сечения в заделке. Соответствующая обобщенная сила – момент 𝑋1 .
Врезание шарнира С равносильно отбрасыванию связи на взаимный
угол поворота двух сечений слева и справа от опоры. Соответствующая
обобщенная сила – два равных противоположно направленных момента 𝑋2 .
в) Составление и решение канонических уравнений МС.
В нашем случае 𝑛 = 2 и система канонических уравнений МС
имеет вид:
δ11 𝑋1 + δ12 𝑋2 + Δ1𝐹 = 0,
δ21 𝑋1 + δ22 𝑋2 + Δ2𝐹 = 0,
где δ𝑗𝑘 (𝑗, 𝑘 = 1, 2) – перемещение в ОС по направлению силы 𝑋𝑗 от
действия единичной обобщенной силы 𝑋𝑘 → 1 (𝑋𝑘 условно заменена на 1);
Δ𝑗𝐹 – то же перемещение от внешней нагрузки 𝐹 {𝑞, 𝑚, 𝐹 … }.
Физический смысл канонических уравнений МС состоит в эквивалентности деформирования ОС (загруженной внешними силами
𝐹 {𝑞, 𝑚, 𝐹 … } и неизвестными пока силами 𝑋1 , 𝑋2 ) и ЗС, так как перемещения по направлению отброшенных связей в ОС (суммы слагаемых слева) приравнены величинам этих перемещений в ЗС (нули справа).
Коэффициенты канонических уравнений МС определяем по формуле
Максвелла – Мора (см. задание 7):
δ𝑗𝑘 = ∑ ∫
𝑖

𝑙𝑖

𝑀𝑘 𝑀𝑗
𝑑𝑧,
𝐸𝐼

Δ𝑗𝐹 = ∑ ∫
𝑖

𝑙𝑖

𝑀𝐹 𝑀𝑗
𝑑𝑧,
𝐸𝐼

Где 𝑀𝑘  функция изгибающего момента в ОС от 𝑋𝑘 → 1;
𝑀𝑗 – то же самое от 𝑋𝑗 → 1;
𝑀𝐹 – функция изгибающего момента в ОС только от 𝐹 {𝑞, 𝑚, 𝐹 … };
𝐸𝐼 – жесткость на изгиб 𝑖 − го участка.
Интегрирование ведется по всем участкам балки. В силу рациональности выбранной ОС, эпюры 𝑀1 , 𝑀2 (рис. 32, в, г) и 𝑀𝐹 (рис. 33, а) построить очень легко (без определения реакций), так как значения изгибающих моментов в характерных сечениях такой разрезной балки заведомо
известны.
83

Эпюру 𝑀𝐹 удобно представлять в виде слагаемых: отдельно от
𝑞, 𝑚 и 𝐹 (принцип независимости действия сил).
Интегралы, входящие в формулы для δ𝑗𝑘 и Δ𝑗𝐹 вычисляем способом
Верещагина («перемножением эпюр», см. задание 7, стр. 63), а также [3,4].
С учетом табл. 13, стр. 65 для коэффициентов δ𝑗𝑘 и Δ𝑗𝐹 следует:
1 1
2
1,33
,
( · 4 · 1 · · 1) =
𝐸𝐼 2
3
𝐸𝐼
1 1
1
0,67
δ12 = ( · 4 · 1 · · 1) =
,
𝐸𝐼 2
3
𝐸𝐼
1 1
2
1
2
2,67
δ22 = ( · 4 · 1 · · 1 + · 4 · 1 · · 1) =
,
𝐸𝐼 2
3
2
3
𝐸𝐼
δ11 =

1 2
1
42,67
,
( · 4 · 32 · · 1) =
𝐸𝐼 3
2
𝐸𝐼
1 2
1
1
1
= ( · 4 · 32 · · 1 + · 4 · 36 · · 1 +
𝐸𝐼 3
2
2
2

Δ1𝐹 =
Δ2𝐹

1
1
1
1
10,00
+ · 4 · 25 · · 1 − · 4 · 128 · · 1) =
.
2
3
2
3
𝐸𝐼
Найденные коэффициенты подставляем в канонические уравнения
МС (𝐸𝐼 сокращается):
1,33 · 𝑋1 + 0,67 · 𝑋2 + 42,67 = 0,
0,67 · 𝑋1 + 2,67 · 𝑋2 + 10,00 = 0,
решение которых дает корни: 𝑋1 = −34,52 кНм, 𝑋2 = 4,84 кНм (пра,
вильность решения проверяется подстановкой 𝑋1 , 𝑋2 в оба уравнения).

84

m=25кНм
q=16кН/м

ЗС

A

B
4

C
2

а)

D

2

m
q

q=16кН/м

F=36кН

4

X2

X2

F

X1
q

б)

ОС
X1

М1

1

в)
1
X2

X2

1

1

г)

М2

1
Рис. 32. ЗС, ОС и эпюры 𝑀𝑘 (𝑘 = 1,2) от 𝑋𝑘 → 1

85

m
q
A

q

F
B

C

4

2

D

2

4

q42/2=128
от q

MF,
кНм

q42/8=32

а)

от m
25
от F
*

34,52

F/2 2=36
М1, кНм

б)

М2, кНм

в)
4,84

103

34,52
13,08

М, кНм

4,84

25

г)
М = 20,19
*

44,96
22,16
Q, кН

д)
8,96
z = 2,62 м 41,84
*

64

Рис. 33. Эпюры 𝑀𝐹 от 𝐹 {𝑞, 𝑚, 𝐹} и 𝑀, 𝑄 от 𝐹 {𝑞, 𝑚, 𝐹, 𝑋1 , 𝑋2 }
86

2. Построение эпюр М, 𝑄 от силового нагружения и расчет на
прочность.
а) Построение эпюр М, 𝑄 от 𝐹 {𝑞, 𝑚, 𝐹 … }.
Окончательная эпюра изгибающих моментов М строится с использованием принципа независимости действия сил [1] (принцип суперпозиции,
который справедлив для любой линейной системы):
𝑀 = 𝑀𝐹 + 𝑀1 + 𝑀2 ,
где 𝑀1 = 𝑀1 𝑋1 , 𝑀2 = 𝑀2 𝑋2  изгибающие моменты в ОС от 𝑋1 и 𝑋2 .
Эпюры 𝑀1 и 𝑀2 показаны на рис. 33, б, в.
Эпюра 𝑀 (рис. 33, г) строится по суммарным значениям 𝑀𝐹 , 𝑀1 , 𝑀2
в характерных сечениях балки (ОС).
При построении эпюры поперечных сил 𝑄 используем метод сечений
[2]. Для этого мысленно вырезаются участки между опорами (рис. 34) и
рассматривается их равновесие.
Направления искомых сил 𝑄 в крайних сечениях предполагаются положительными, а значения и направления моментов в них берутся в соответствии с эпюрой 𝑀 (рис. 33, г).
Q'C

QD

q=16кН/м

MC=4,84 кНм
C

D
4м

MD=34,52 кНм

QD

а)
F=36кН

Q'B
B

C

2м
MB=103 кНм

A

B

2м

б)

Q''B

q=16кН/м

MC=4,84 кНм

4м
Q''C

Q''B MB=103 кНм

в)

Рис. 34. Метод сечений для построения эпюры 𝑄

Из уравнений статики для участка CD (рис. 34, а) следует:
42
− 𝑀D − 𝑀C −
·4+𝑞·
= 0,
∑ 𝑚D (𝐹) = 0,
2
42
42
′
𝑄С = (−𝑀D − 𝑀C + 𝑞 · ) /4 = (−34,52 − 4,84 + 16 · ) /4 = 22,16 кН.
2
2
∗

𝑄С′

87

∗

∑ 𝑚C (𝐹) = 0,

42
− 𝑀C − 𝑞 · − 𝑀D − 𝑄D · 4 = 0,
2

42
42
(−𝑀C − 𝑞 · 2 − 𝑀D ) (−4,84 − 16 · 2 − 34,52)
𝑄D =
=
= −41,84 кН,
4
4
(знак «» показывает, что истинное направление 𝑄D противоположно выбранному).
Проверка:
∗

∑ 𝐹𝑦 = 𝑄С′ − 𝑞 · 4 + 𝑄D = 22,16 − 16 · 4 + 41,84 = 0.
(𝑄С′ , 𝑄D определены верно).
Координата 𝑧∗ экстремума
𝑄(𝑧∗ ) = 0:

𝑀∗ на CD определяется из условия

𝑄∗ = 𝑄(𝑧∗ ) = − 𝑄D + 𝑞𝑧∗ = −41,84 + 16 𝑧∗ = 0, откуда 𝑧∗ = 2,62 м
𝑀∗ = 𝑀(𝑧∗ ) = −𝑀D + 𝑄D 𝑧∗ − 𝑞𝑧∗2 /2 =
= −34,52 + 41,84 ∙ 2,62 − 16 ∙ 2,62 2 /2 = 20,19 кНм
Из уравнений статики для участка ВС (рис. 34, б) следует:
∗

∑ 𝑚C (𝐹) = 0,

𝑀C + 𝑀B − 𝑄B′ · 4 + 𝐹 · 2 = 0,

𝑄B′ = (𝑀C + 𝑀B + 𝐹 · 2)/4 = (4,84 + 103 + 36 · 2)/4 = 44,96 кН.
∗

∑ 𝑚B (𝐹) = 0,

𝑀B − 𝐹 · 2 + 𝑀C − 𝑄С′′ · 4 = 0,

𝑄С′′ = (𝑀B − 𝐹 · 2 + 𝑀C )/4 = (103 − 36 · 2 + 4,84)/4 = 8,96 кН.
Проверка:
∗

∑ 𝐹𝑦 = 𝑄B′ − 𝐹 − 𝑄С′′ = 44,96 − 36 − 8,96 = 0.
(𝑄B , 𝑄C определены верно).
Для консольного участка АВ (рис. 34, в) 𝑄B определяется из уравнения
∗

∑ 𝐹𝑦 = 0,

− 𝑄B′′ − 𝑞 · 4 = 0,

𝑄B′′ = −𝑞 · 4 = −16 · 4 = −64 кН.
Эпюра 𝑄 для всей балки показана на рис. 33, д.
Правильность эпюр проверяется по дифференциальным зависимостям
(см. задания 3, 7).
88

Кроме этого, необходимо выполнить деформационную проверку
(должно выполняться равенство нулю перемещений по направлению отброшенных связей в ОС от 𝐹 {𝑞, 𝑚, 𝐹, 𝑋1 , 𝑋2 }, т.е. Δ𝑗 = 0, 𝑗 = 1,2).
При вычислении интегралов в Δ𝑗 удобно использовать способ Верещагина с учетом данных табл. 13 и разложения сложных эпюр на простые
(табл. 12, стр. 63, задания 7).
𝑀𝑀1
Δ1 = ∑ ∫
𝑑𝑧,
𝐸𝐼
𝑖

𝑙𝑖

1
1
2
1
1
2
1
Δ1 = (− · 4 · 34,52 · ∙ 1 + ∙ 4 · 4,84 ∙ ∙ 1 + ∙ 4 · 32 ∙ ∙ 1) =
𝐸𝐼
2
3
2
3
3
2
= (−46,03 + 45,89)/𝐸𝐼 = −0,14/𝐸𝐼 ≈ 0
Вычислим относительную погрешность:
0,14 · 100%
ε=
= 0,30 %,
45,89
что не превышает допустимое значение погрешности (5%).
Δ2 = ∑ ∫
𝑖

𝑙𝑖

𝑀𝑀2
𝑑𝑧,
𝐸𝐼

1 2
1
1
1
1
2
( · 4 · 32 · ∙ 1 − ∙ 4 · 34,52 ∙ ∙ 1 + ∙ 4 · 4,84 ∙ ∙ 1 +
𝐸𝐼 3
2
2
3
2
3
1
2
1
1
1
1
1
1
+ · 4 · 4,84 · ∙ 1 − ∙ 4 · 36 ∙ ∙ 1 − ∙ 4 · 128 ∙ ∙ 1 + ∙ 4 · 25 ∙ ∙ 1) =
2
3
2
2
2
3
2
3
= (108,24 − 108,35)/𝐸𝐼 = −0,11/𝐸𝐼 ≈ 0
Δ2 =

Вычислим относительную погрешность:
0,11 · 100%
ε=
= 0,098 %,
108,24
что не превышает допустимое значение погрешности (5%).
Примечание: относительная погрешность вычислений не должна
превышать 5 % (т.е. отношение абсолютной погрешности к сумме положительных или отрицательных слагаемых).
б) Расчет на прочность (проектировочный).
Из условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе
max|σ| =

max|𝑀|
≤ 𝑅𝑦
𝑊𝑥

для 𝑊𝑥 следует:
89

max|𝑀| 103 · 103
𝑊𝑥 ≥
=
= 429 · 10−6 м3 = 429 см3 ,
6
𝑅𝑦
240 · 10
где max|𝑀| = |𝑀В′ | = 103 кНм (опасное сечение В на АВ).
С учетом вида поперечного сечения (см. стр. 82) из сортамента прокатных профилей для двутавра (прил. 2, табл. 1) выбираем № 30 с ближайшим большим значением 𝑊𝑥 :
𝑊𝑥 = 472 см3 ,

𝐼𝑥 = 7080 см4 ,

ℎ = 300 мм = 0,30 м.

3. Построение эпюр 𝑀, 𝑄 от нагрева и проверка прочности.
а) Построение эпюр 𝑀, 𝑄 от нагрева.
При расчете СН системы методом сил от воздействия температуры 𝑡
необходимо в канонических уравнениях грузовые коэффициенты (перемещения Δ𝑗𝐹 ) заменить на температурные
δ11 𝑋1 + δ12 𝑋2 + Δ1𝑡 = 0,
δ21 𝑋1 + δ22 𝑋2 + Δ2𝑡 = 0,
где Δ1𝑡 , Δ2𝑡 – обобщенные перемещения в ОС по направлениям 𝑋1 , 𝑋2 вызываемые изменением температуры (в примере соответственно – угол поворота сечения D и взаимный угол поворота справа и слева от опоры С).
Формула для перемещений ΔК𝑡 дана в задании 8 (п. 3), где индекс К
должен быть заменен на 1 (при вычислении Δ1𝑡 ) и на 2 (при Δ2𝑡 ).
Эпюры 𝑀1 и 𝑀2 построены ранее (рис. 32, в, г), а 𝑁1 = 𝑁2 = 0, тогда:
t 2 − t1
Δ𝑗𝑡 = ∑ α
Ф𝑀𝑖
ℎ
𝑖

135 − 31
· 0 = 0,
0,30
135 − 31 1
Δ2𝑡 = 12,5 · 10−6 ·
· · 4 · 1 = 0,00867 рад.
0,30
2
В Δ𝑗𝑡 выбраны знаки ≪ +≫, так как характер деформаций (изменение
кривизны) участков от 𝑀1 и 𝑀2 и от 𝑡 одинаков.
Площади Ф𝑀𝑖 эпюр 𝑀𝑗 (𝑗 = 1, 2) вычисляются только на тех участках, где есть температурный перепад между нижней и верхней поверхностями балки 𝑡2 − 𝑡1 ≠ 0.
Грузовые коэффициенты Δ𝑗𝑡 и единичные δ𝑗𝑘 (вычисленные ранее) подставляются в канонические уравнения МС, откуда с учетом величины жесткости на изгиб
Δ1𝑡 = 12,5 · 10−6 ·

𝐸𝐼 = 200 ∙ 109 ∙ 7080 ∙ 10−9 = 1416 ∙ 103 Нм2 = 1416 кНм2
90

(изменением Е при повышении t до t  100 C пренебрегаем), следовательно:
1,33𝑋1 + 0,67𝑋2 = 0,
0,67𝑋1 + 2,67𝑋2 + 0,0087 · 1416 = 0.
Решение полученной системы уравнений дает
𝑋1 = 2,65 кНм,

𝑋2 = −5,26 кНм.

Эпюра 𝑀, как и ранее (п.2, а), строится с использованием принципа
независимости действия сил 𝑀 = 𝑀1 + 𝑀2 , где 𝑀1 = 𝑀1 𝑋1 , 𝑀2 = 𝑀2 𝑋2
и показана на рис. 35, б.
Эпюра 𝑄 строится методом сечений по участкам так же, как в п.2, а, и
показана на рис. 35, в.
Участок CD:
∑ 𝑚D (𝐹) = 0,
𝑄С′ =

𝑀D + 𝑀C − 𝑄С′ · 4 = 0,

(𝑀D + 𝑀C ) (2,65 + 5,26)
=
= 1,98 кН.
4
4

Участок BC:
∑ 𝑚B (𝐹) = 0,
𝑄С′′ =

− 𝑀C − 𝑄С′′ · 4 = 0,

−𝑀C −5,26
=
= −1,32 кН.
4
4

h=0,30м

t1 =31C

A

t2 =135C

B

4м

C

а)

D
4м

4м
5,26

№ 30

б)

М, кНм
2,65

1,98

в)

Q, кН
1,32

Рис. 35. Эпюры 𝑀, 𝑄 от нагрева
91

б) Проверка условия прочности при нагреве.
При действии только 𝑡 опасным (в примере рис. 35, б) является сечение С: max|𝑀| = 5,26 кНм.
Максимальные нормальные напряжения при этом равны
max|σ| =

max|𝑀| 5,26 ∙ 103
=
= 11,1 ∙ 106 Па = 11,1 МПа,
−6
𝑊𝑥
472 ∙ 10
max|σ| = 11,1 МПа < 𝑅𝑦 = 240 МПа.

Условие прочности выполнено.
При совместном действии 𝑡 + 𝐹 {𝑞, 𝑚, 𝐹 … } опасным является сечение B
(рис. 33, г) max|𝑀| = |0 + 103| = 103 кНм (принцип независимости действия сил).
Максимальные нормальные напряжения при этом равны
max|𝑀|
103 ∙ 103
max|σ| =
=
= 218,0 ∙ 106 Па = 218,0 МПа
−6
𝑊𝑥
472 ∙ 10
max|σ| = 218,0 МПа < 𝑅𝑦 = 240 МПа.
Условие прочности выполнено.
В случае, если условие прочности не выполнено и совместное температурное и силовое нагружение балки является расчетным, то необходимо
подобрать другое поперечное сечение (в задании 9 это не входит).
Замечание: нарушение условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе еще не означает (в отличие от СО систем) потери несущей
способности СН системы.
Для потери несущей способности СН системы необходимо возникновение в общем случае (𝑛 + 1)-го пластического шарнира (в некоторых
случаях – меньше, например, для обрушения консольной части СН балки
достаточно одного шарнира).
Пластические шарниры в предельном состоянии (равновесии) превращают геометрически неизменяемую СН систему в геометрически изменяемую (механизм) и приводят, например, при пожаре к обрушению
конструкции.
Определение условий и параметров (в том числе 𝑡пр ) потери несущей
способности СН системы требует привлечения более сложного аппарата
механики и в данном курсе не рассматривается.

92

Задание 10. Статически неопределимые рамы (СНР).
Для плоской рамы (рис. 36) с поперечным сечением в виде двутавра
в соответствии с данными табл. 17 требуется:
1. Провести кинематический анализ. Выбрать основную систему. Составить и решить канонические уравнения метода сил.
2. Построить эпюры 𝑀, 𝑄, 𝑁 от силового нагружения. Из условия
прочности подобрать номер двутавра.
3. Построить эпюры 𝑀, 𝑄, 𝑁 от равномерного нагрева внутренней и
внешней поверхностей заданного участка при пожаре на 𝑡2 и 𝑡1 0 С соответственно. Проверить условие прочности.
Таблица 17
Исходные данные к заданию 10 (СНР)
Номер
строки

Номер
схемы

𝑭, кН

𝒎, кНм

𝒒, кН/м

𝒕𝟐 , С

𝒕𝟏 , С

Нагретый
участок

0

10

54

33

28

100

10

KL

1

1

50

31

26

108

14

AK

2

2

46

29

24

116

18

AL

3

3

42

27

22

124

22

AB

4

4

38

25

20

132

26

AK

5

5

34

23

18

140

30

KB

6

6

32

21

16

148

34

AL

7

7

28

19

14

156

38

AB

8

8

24

17

12

164

42

KL

9

9

20

15

10

172

46

AB

В

Б

Б

Б

В

В

В

93

K

K

m

A

t1,C t2,C

6

A

F

t1,C t2,C

1

4м

4м

q

L

L

F

B

4м

B

4м

K

A
2м

q

4м

q

2м

B

L
F

L

B

K

A

K

8

m
A

t1,C

3

4м

q

q

4м

B

t2,C m

t1,C

q

t2,C

F

L

m
B

L

K

m

A
2м

t1,C t2,C

K

9

A

q

2м

F

m

m
4м

t1,C t2,C

4

Рис. 36. Расчетная схема к заданию 10 (СНР)

t2 ,C

t1 ,C

t1,C t2,C

7

A

K

2

2м
2м
4м

2м
2м

2м
2м

L

B

L

B

4м

2м

A

K

10

A

K

5

2м

q

t2,C

F
B

2м

q

4м

t1,C

q

t2 ,C

B

L

t1 ,C L
2м
2м
4м

94

Основные теоретические положения.
Статически неопределимые (СН) рамы широко применяются на
практике (особенно в строительстве).
Основным преимуществом СН рам перед соответствующими статически неопределимыми (СО) рамами является их повышенная надежность.
Степень статической неопределимости рамы можно вычислить по
формуле 𝑛 = −𝑊 (общая формула для геометрически неизменяемых систем, не содержащих замкнутые контуры), а для рамы с К замкнутыми контурами и Ш простыми шарнирами 𝑛 следует определять как 𝑛 = 𝑛1 + 𝑛2 ,
где 𝑛 1 = C0 − 3  число лишних внешних связей, а 𝑛2 = 3К − Ш  число
лишних внутренних связей (см. задание 9).
В сечениях плоской СН рамы от силового нагружения и температурного воздействия возникают изгибающие моменты 𝑀, поперечные силы
𝑄, и продольные силы 𝑁.
Рассчитать раму – это значит определить все внешние силы (реакции) и внутренние силовые факторы 𝑀, 𝑄, 𝑁 (построить их эпюры) и затем
провести требуемый расчет (на прочность, жесткость или устойчивость).
Для расчета СН рам применяются специальные методы, в частности,
метод сил (МС, см. задание 9).
Правильный выбор основной системы (ОС) метода сил позволяет существенно упростить решение задачи (построение эпюр, вычисление коэффициентов уравнений МС). При расчете геометрически и физически симметричной
системы выбор симметричной ОС позволяет сократить число неизвестных.
Так, например, в симметричной системе с симметричной нагрузкой
кососимметричные неизвестные равны нулю, а в той же системе с кососимметричной нагрузкой симметричные неизвестные равны нулю. При
этом порядок системы канонических уравнений понижается.
Симметричная нагрузка – внешние силы, приложенные к одной части рамы, являются зеркальным отображением сил, приложенных к другой части рамы.
Кососимметричная нагрузка – внешние силы, приложенные к одной
части рамы, также зеркальное отображение сил, приложенных к другой части, но противоположны им по знаку.
Пример №1 выполнения задания 10 методом сил.
S

q

t 2 ,C

ЗС
A
4м

F
t 1 ,C

B

2м

S

S-S
y

2м

L

K

h

x

𝐹

кН

42

𝑚

кНм

27

𝑞

кН/м

22

𝑡2

С

124

𝑡1

С

22

Нагретый участок

LB
95

Решение
1. Кинематический анализ, выбор основной системы и решение системы канонических уравнений.
а) Кинематический анализ.
Необходимое условие. W = 3Д – 2Ш – С – С0 = 3·1 – 2·0 – 0 – 4 = – 1 < 0
(выполняется), где Д = 1 (диск АKLВ); Ш = 0; С = 0; С0 = 4 (один опорный
стержень в шарнирно-подвижной опоре А и три - в жесткой заделке В).
Достаточное условие. Для соединения диска АKLВ и диска
«земля» в геометрически неизменяемую систему достаточно трех не параллельных и не пересекающихся в одной точке стержней. В нашем случае
правило двух дисков выполнено с избытком.
Вывод: система геометрически неизменяема и один раз статически
неопределима. Степень статической неопределимости 𝑛 = −𝑊 = 1.
б) Выбор основной системы ОС.
В методе сил ОС можно выбрать несколькими способами [1], [2].
В данном примере 𝑛 = 1 и врезание шарнира в сечении B позволит
удалить одну связь, также возможно отбрасывание опорной связи в сечении A.
На рис. 37 показан вариант ОС, полученный отбрасыванием связи в
левой шарнирно-подвижной опоре A.
q

F

ОС

X1

Рис. 37. Вариант основной системы МС

в) Составление и решение канонических уравнений МС.
Так как 𝑛 = 1 каноническое уравнение МС примет вид:
δ11 𝑋1 + Δ1𝐹 = 0.
Физический смысл этого уравнения состоит в эквивалентности
деформирования ОС, загруженной F{q, m, F, Х1 }, и ЗС (∆1 = 0, где
∆1 = 𝛿11 Х1 + ∆1𝐹 - линейное перемещение сечения в месте отброшенной
связи в ОС по направлению обобщенной силы Х1 ).
96

Формулы для δ11 , Δ1𝐹 даны в задании 9, стр. 83. Эпюры 𝑀1 , 𝑀𝐹
показаны на рис. 38, где функция М𝐹 для удобства вычислений представлена в виде слагаемых, отдельно от q и F.
Применение способа Верещагина (с учетом табл. 13, стр. 65) для
δ11 , Δ1𝐹 дает:
1 1
2
85,3
δ11 = ( ∙ 4 ∙ 4 ∙ ∙ 4 + 4 ∙ 4 ∙ 4) =
,
𝐸𝐼 2
3
𝐸𝐼
1
1
3
1
3856
Δ1𝐹 = (− ∙ 176 ∙ 4 ∙ ∙ 4 − 176 ∙ 4 ∙ 4 − ∙ 2 ∙ 84 ∙ 4) = −
.
𝐸𝐼
3
4
2
𝐸𝐼
Найденные коэффициенты подставляются в каноническое уравнение
МС (EI сокращается):
85, 3 𝑋1 − 3856 = 0,
корень которого равен: 𝑋1 = 45,2 кН (при этом значении 𝑋1 и 𝐹{𝑞, 𝑚, 𝐹}
ОС будет деформироваться так же, как и ЗС).
2. Построение эпюр 𝑀, 𝑄, 𝑁 от силового нагружения и расчет на
прочность.
а) Построение эпюр 𝑀, 𝑄, 𝑁 от 𝐹{𝑞, 𝑚, 𝐹 … }.
Окончательные эпюры 𝑀, 𝑄, 𝑁 от силового нагружения строятся в
ОС, загруженной заданными силами, 𝐹{𝑞, 𝑚, 𝐹 … } и найденной силой X1
(см. задание 9).
Эпюру изгибающих моментов 𝑀 удобно строить с использованием
принципа независимости действия сил [1, 3, 4]:
𝑀 = 𝑀𝐹′ + 𝑀𝐹′′ + 𝑀1 ,
по суммарным значениям 𝑀1 , 𝑀𝐹′ , 𝑀𝐹′′ , в характерных сечениях рамы (ОС),
где 𝑀𝐹′ , 𝑀𝐹′′ ,  составляющие функции 𝑀𝐹 от 𝑞, 𝐹 в ОС соответственно,
а 𝑀1 = 𝑀1 𝑋1  функция изгибающего момента в ОС только от 𝑋1 (рис. 38).
При построении эпюр поперечных 𝑄 и продольных сил 𝑁 используется метод сечений (см. задание 8), а также [1, 3, 4]. Эпюры 𝑀, 𝑄, 𝑁 от
𝐹{𝑞, 𝑚, 𝐹 … } показаны на рис. 39.
Правильность эпюр необходимо проверить, во-первых, по дифференциальным зависимостям (см. задания 3, 7); во-вторых, должно выполняться
равновесие угловых узлов К, L (статическая проверка, см. задание 8), при
симметрии достаточно рассмотреть один узел; в-третьих, перемещение в
ОС по направлению отброшенной связи должно быть равно нулю (1 = 0,
деформационная проверка, см. задание 9).
97

4м

4м

4

М 1, м

Х1
q = 22кН/м

q·4 2/2=176
4

М F , кНм

от q

2м

F=42кН

M " F , кНм

от F

F·2=84
180,8

М 1 , кНм

от X 1

Х1=45,2 кН

Рис. 38. Эпюры 𝑀1 , 𝑀𝐹′ , 𝑀𝐹′′ , 𝑀1

98

При деформационной проверке можно учесть представление функции
𝑀 в виде суммы 𝑀 = 𝑀𝐹′ + 𝑀𝐹′′ + 𝑀1 , тогда:
Δ1 = ∑ ∫
𝑖

𝑙𝑖

𝑀𝑀1
𝑑𝑧,
𝐸𝐼

1
1
3
1
1
2
Δ1 = (− · 176 · 4 ∙ 4 − 176 ∙ 4 · 4 − ∙ 842 ∙ 4 + · 180,4 · 4 ∙ ∙ 4 +
𝐸𝐼
3
4
2
2
3
+180,4 ∙ 4 ∙ 4) = (−704 − 2816 − 336 + 964,27 + 2892,8)/𝐸𝐼 =
= (−3856 + 3857,07) = −1,07/𝐸𝐼.
При вычислении относительной погрешности
ε = 1,07 ∙ 100%/3848,53 = 0,03% < 5%,
видно, что относительная погрешность вычислений не превышает допустимого значения.
q=22кН/м

z∗=2,05
4,8

К

L
46,43
F=42кН
M, кНм

4,8

МВ
A
Х1=45,2 кН

НВ

B

а)

79,2

VB

б)
z∗=2,05
45,2

42,8
N, кН

45,2

г)

Q, кН

42,8

в)

42

Рис. 39. Эпюры 𝑀, 𝑄, 𝑁 от 𝐹{𝑞, 𝑚, 𝐹, 𝑋1}
99

б) Расчет на прочность (проектировочный).
Из условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе
max|𝑀|
max|σ| =
≤ 𝑅𝑦
𝑊𝑥
для 𝑊𝑥 следует:
max|𝑀|
79,2 · 103
𝑊𝑥 ≥
=
= 3,30 · 10−4 м3 = 330 см3 ,
6
𝑅𝑦
240 · 10
где max|𝑀| = |𝑀В | = 79,6 кНм (опасное напряжение в заделке В).
С учетом вида поперечного сечения на стр. 95 из сортамента прокатных профилей для двутавра (приложение 2, табл.1) выбираем № 27 с ближайшим большим значением 𝑊𝑥 :
𝑊𝑥 = 371 см3 ,
𝐴 = 40,2 см2 ,
𝐼𝑥 = 5010 см4 ,
ℎ = 0,27 м.
Проверка условия прочности в опасном сечении с учетом нормальных напряжений от продольной силы 𝑁 (𝑁В = − 42,8 кН):
|𝑁| 79,2 ∙ 103
max|𝑀|
42,8 ∙ 103
max|σ| =
+
=
+
=
𝑊𝑥
𝐴
371 ∙ 10−6
40,2 ∙ 10−4
= 213,5 · 106 + 10,6 · 106 Па = 224,1 · 106 Па = 224,1 МПа < 240 МПа.
Условие прочности выполнено.
3. Построение эпюр 𝑀, 𝑄, 𝑁 от нагрева и проверка прочности.
а) Построение эпюр 𝑀, 𝑄, 𝑁 от нагрева.
При расчете рамы от воздействия температуры методом сил грузовые коэффициенты в канонических уравнениях МС от силового нагружения (в нашем случае – перемещение 1𝐹 ) следует заменить на соответствующие температурные грузовые коэффициенты (в нашем случае 1𝑡 ):
δ11 𝑋1 + Δ1𝑡 = 0,
где 1𝑡 – вертикальное перемещение сечения A в ОС, вызываемое изменением температуры.
Формула для перемещений К𝑡 дана в задании 8 (п.3), где индекс К
должен быть заменен на 1.
Эпюры 𝑀1 , (построена ранее, в п.2) и 𝑁1 , показаны на рис. 40, в, г, тогда:
t 2 − t1
t1 + t 2
Δ1𝑡 = ∑ (α
Ф𝑀𝑖 ) + ∑ (α
Ф𝑁𝑖 ) =
ℎ
2
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
124 − 22
12 + 124
= 12,5 ∙ 10−6 ∙
∙ 4 ∙ 4 + 12,5 ∙ 10−6 ∙
∙ 4 ∙ 1 = 0,079 м.
0,27
2
Площади Ф𝑀𝑖 и Ф𝑁𝑖 вычисляются только на тех участках, где 𝑡2 − 𝑡1 ≠ 0
и 𝑡1 + 𝑡2 ≠ 0 соответственно (в примере нагрев – на LB).
100

Знак первого слагаемого ″+″, поскольку характер деформаций (изменение кривизны стойки LB) от 𝑡 и 𝑀1 - одинаков, знак второго слагаемого ″+″, так как характер деформаций (продольная деформация стойки LB)
̅1 - одинаков (удлинение).
от 𝑡 и 𝑁
Грузовой коэффициент 1𝑡 и единичный δ11 (вычисленные ранее) подставляем в каноническое уравнение МС, откуда с учетом величины жесткости
на изгиб 𝐸𝐼 = 200 ∙ 109 ∙ 5010 ∙ 10−8 = 10020 ∙ 103 Нм2 = 10020 кНм2 ,
следует
85,3 𝑋1 + 0,079 ∙ 10020 = 0.
Решение этого уравнения дает 𝑋1 = −9,28 кН.
K

L
t 2 C t 1 C

ОС

4м

ЗС

B

A

Х1

4м

а)

б)
4

N 1, м

М 1, м

в)

1

г)

1

Рис. 40. Эпюры 𝑀1 , 𝑁1 от 𝑋1 = 1

Эпюра 𝑀 строится с использованием соотношения 𝑀1 = 𝑀1 𝑋1 и
показана на рис. 41, б.
Эпюры 𝑄, 𝑁 строятся методом сечений по участкам так же как в
п. 2, а, и показаны на рис. 41, в, г.
б) Проверка условия прочности при нагреве.
При действии только 𝑡 опасным (в примере, рис. 41, б) является
участок LВ: max|𝑀| = 37,12 кНм.
101

Максимальные нормальные напряжения при этом равны:
max|σ| = max|𝑀| /𝑊𝑥 = 37,12 ∙ 103 /371 ∙ 10−6 = 100 ∙ 106 Па.
max|σ| = 100 ∙ 106 Па = 100 МПа < 𝑅𝑦 = 240 МПа.
Условие прочности выполнено.
При совместном действии 𝑡 + 𝐹{𝑞, 𝑚, 𝐹 … } опасным является сечение В (см. рис. 39, б и рис. 41, б):
max|𝑀| = 79,2 + 37,12 = 116,32 кНм
(использован принцип независимости действия сил).
Максимальные нормальные напряжения при этом (без учета N) равны:
max|σ| = max|𝑀| /𝑊𝑥 = 116,32 ∙ 103 /371 ∙ 10−6 = 314 ∙ 106 Па.
max|σ| = 314 ∙ 106 Па = 314 МПа > 𝑅𝑦 = 240 МПа
Условие прочности не выполнено. Если совместное температурное и
силовое нагружение рамы является расчетным, то необходимо подобрать
другое поперечное сечение (в задание 10 это не входит).
37,12

S
L

S

y

t 1 C

4м

t 2 C

S-S

h

K

x

М,
кНм

B

A
4м

а)

б)
9,28

N, кН

Q, кН

в)

9,28
Рис. 41. Эпюры 𝑀, 𝑄, 𝑁 от 𝑡

102

г)

9,28

Замечание: температурные напряжения, возникающие в СН системах, должны обязательно учитываться в расчетах прочность. Однако
нарушение условия прочности по нормальным напряжениям еще не означает потери несущей способности СН системы.
Для потери несущей способности СН системы необходимо возникновение в общем случае (𝑛 + 1)-го пластического шарнира (см. замечание
в конце задания 9). Так, потеря несущей способности рамы в примере произойдет при возникновении двух (𝑛 + 1 = 1 + 1) пластических шарниров.
Следовательно, для СН систем предельная температура при пожаре
существенно выше предельной температуры для аналогичных СО систем,
что свидетельствует о более высокой прочностной надежности СН систем.
Пример № 2 выполнения задания 10

S
K

F
EI = const

С

L

m

m

q

A

3м

q

B
2,5м

2,5м

кН

24

m

кНм

16

q

кН/м

5

t2

оC

100

t1

оC

0

y

t2 оC
t1 оC

F
S-S

S

3м

ЗС

h

x

Нагретый
участок

АВ

Решение
1. Кинематический анализ, выбор основной системы и решение системы канонических уравнений метода сил.
а) Кинематический анализ.
Необходимое условие. W = 3Д – 2Ш – С – С0 = 3·2 – 2·1 – 0 – 6 = – 2 < 0
(выполняется), где Д = 2 (диски АС и СВ); Ш = 1 (в сечении С); С = 0
(стержней, связывающих диски АС и CВ, нет), С0 = 6 (по три опорных
стержня в каждой жесткой заделке А и В).
103

Достаточное условие. Для соединения дисков АС, CВ и диска
«земля» в геометрически неизменяемую систему достаточно, кроме шарнира С, иметь в опорах А и В по две связи, но в заделках А и В – по три
связи. Правило трех дисков выполнено с избытком.
Вывод: система геометрически неизменяема (ГН) статически
неопределима (W < 0). Степень статической неопределимости n = - W = 2
или n = 𝑛2 = 3К – Ш = 2 (К = 1, Ш = 1), так как для рамы в примере принято 𝑛1 = 0 (замкнутый контур).
б) Выбор основной системы ОС.
В методе сил ОС можно выбрать несколькими способами [1], [2], [3].
Врезание шарнира равносильно удалению одной связи (на взаимный
угол поворота двух сечений, примыкающих к шарниру).
Разрез по шарниру равносилен удалению двух связей (на линейные
перемещения по двум различным направлениям).
Разрез по стержню рамы равносилен удалению трех связей (на угловое и два линейных перемещения).
Возможно также отбрасывание опорных связей.
На рис. 42 показаны некоторые возможные варианты ОС в примере.
Из них самым рациональным (по простоте построения эпюр и вычислению коэффициентов уравнений МС) является симметричный вариант ОС
на рис. 42, а.
ОС1

F/2

ОС3

F

F

F/2

X1 X1

q

q

X2

X2

ОС2

m

m

m

m

m

q

q

X1

а)

m

X2
X2

б)
Рис. 42. Варианты основной системы МС

104

q

q

X1

в)

в) Составление и решение канонических уравнений МС.
Из симметрии заданной системы (ЗС) и ОС следует, что кососимметричный силовой фактор силовой фактор 𝑋2 в сечении С равен нулю
𝑋2 = 0, тогда два (n = 2) канонических уравнения МС сводятся к одному
δ11 Х1 + ∆1𝐹 = 0
Физический смысл этого уравнения состоит в эквивалентности
деформирования ОС, загруженной F{q, m, F, Х1 }, и ЗС (∆1 = 0, где
∆1 = 𝛿11 Х1 + ∆1𝐹 - взаимное линейное перемещение двух сечений в месте
отброшенного шарнира в ОС по направлению обобщенной силы Х1 ).
Формулы для δ11 , ∆1F даны в задании 9, стр. 83.
Эпюры 𝑀1 , 𝑀𝐹 , 𝑀𝐹′ , 𝑀𝐹′′ , 𝑀𝐹′′′ , 𝑀1 показаны на рис. 43, где функция М𝐹 для удобства вычислений представлена в виде слагаемых, отдельно от q, m и F.
Физический смысл коэффициентов канонического уравнения МС
в примере: δ11 , ∆1F - взаимное линейное перемещение двух сечений
вместе отброшенного шарнира в ОС по направлению обобщенной силы Х1 , отдельно от Х1 → 1 (условно замененной на 1) и от F{q, m, F}
соответственно.
Применение способа Верещагина (с учетом табл. 13, стр. 65) для
δ11 , Δ1𝐹 дает:
1 1
2
144
δ11 = ( ∙ 6 ∙ 6 ∙ ∙ 6) ∙ 2 =
,
𝐸𝐼 2
3
𝐸𝐼
1
1
3
1
1
972
Δ1𝐹 = (− ∙ 6 ∙ 90 ∙ ∙ 6 − 3 ∙ 16 ∙ ∙ (6 + 3) + 6 ∙ 30 ∙ ∙ 6) ∙ 2 = −
.
𝐸𝐼
3
4
2
2
𝐸𝐼
Найденные коэффициенты подставляются в каноническое уравнение
МС (EI сокращается):
144 𝑋1 − 972 = 0,
корень которого равен: 𝑋1 = 6,75 кН (при этом значение 𝑋1 и 𝐹{𝑞, 𝑚, 𝐹}
ОС будет деформироваться так же, как и ЗС).
2. Построение эпюр 𝑀, 𝑄, 𝑁 от силового нагружения и расчет на
прочность.
а) Построение эпюр 𝑀, 𝑄, 𝑁 от F {𝑞, 𝑚, 𝐹 … }.
Окончательные эпюры 𝑀, 𝑄 , 𝑁 от силового нагружения строятся в
ОС, загруженной заданными силами F {𝑞, 𝑚, 𝐹} и найденной силой 𝑋1
(см. задание 9).

105

Х1→1

6м

Х1→1

М1, м

6

6

22,5
q

МF, кНм
от q

3м

q=5кН/м

90
q62/2=90

m=16кН/м

m
МF, кНм
от т
16

30

F/2*2,5=30

F/2
F/2=12кН
2,5м

16

2,5м
МF, кНм
отF

Х1=6,75кН

Х1=6,75кН
М1, кНм
от Х1
40,5

̅1 𝑋1
Рис. 43 Эпюры 𝑀1 , 𝑀𝐹 и 𝑀1 = 𝑀
106

40,5

Эпюру изгибающих моментов M удобно строить с использованием
принципа независимости действия сил [3, 4]:
𝑀 = 𝑀𝐹′ + 𝑀𝐹″ + 𝑀𝐹‴ + 𝑀1
По суммарным значениям 𝑀𝐹 , 𝑀𝐹″ , 𝑀𝐹‴ , 𝑀1 в характерных сечениях
рамы (ОС), где 𝑀𝐹′ , 𝑀𝐹″ , 𝑀𝐹‴ - составляющие функции 𝑀𝐹 от q, m, F в ОС
̅1 𝑋1 - функция изгибающего момента в ОС тольсоответственно, а 𝑀1 = 𝑀
ко от 𝑋1 (рис. 43).
При построении эпюр поперечных 𝑄 и продольных сил 𝑁 используется метод сечений (см. задание 8, а также [3, 4, 5, 7]). Эпюры 𝑀, 𝑄, 𝑁 от
F{𝑞, 𝑚, 𝐹 … } показаны на рис. 44.
12кН

12кН
К

С
6,75кН

С
6,75кН

16кНм

16кНм

30

L

Z*=1,35м
М*=34,55
11,75

G

М, кНм

27,75

А

5кН/м

5кН/м

В

35,5

а)

б)

6,75

12

6,75

6,75

Z*

Q, кН

N, кН

12

12

23,25

23,25
в)

г)

44. Эпюры 𝑀, 𝑄, 𝑁 от F {q, m, F, 𝑋1}

Правильность эпюр необходимо проверить, во-первых, по дифференциальным зависимостям (см. задания 3, 7); во-вторых, должно выполняться
107

равновесие угловых узлов K, L (статическая проверка, см. задание 8), при
симметрии достаточно рассмотреть один узел; в-третьих, перемещение в
ОС по направлению отброшенной связи должно быть равно нулю (∆1 = 0,
деформационная проверка, см. задание 9).
При деформационной проверке можно учесть представление функции 𝑀 в виде суммы 𝑀 = 𝑀𝐹′ + 𝑀𝐹″ + 𝑀𝐹‴ + 𝑀1 , тогда
Δ1 = ∑ ∫
𝑖

𝑙𝑖

𝑀𝑀1
1
1
3
1
1
𝑑𝑧 = [− 6 ∙ 90 ∙ 6 − 3 ∙ 16 ∙ (6 + 3) + 6 ∙ 30 ∙ 6 +
𝐸𝐼
EI 3
4
2
2

1
2
2
+ 6 ∙ 40,5 ∙ 6] ∙ 2 = (−810 − 216 + 540 + 486) = 0
2
3
EI
б) Расчет на прочность (проектировочный).
Из условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе
max ∣ σ ∣ = max ∣ 𝑀 ∣/𝑊𝑥 ≤ 𝑅𝑦 для 𝑊𝑥 следует
𝑊𝑥 ≥ max ∣ 𝑀 ∣/𝑅𝑦 = 35,5 ∙ 103 /240 ∙ 106 = 148 ∙ 10−6 м3 = 148 см3 .
где max ∣ 𝑀 ∣= 𝑀𝐴 = 35,5 кНм (опасные сечения А, В в заделках).
С учетом вида поперечного сечения на стр. 103 из сортамента прокатных профилей для двутавра (прил. 2, табл. 1) выбирается N18a с ближайшим большим значением 𝑊𝑥 :
Wx = 159 см3 , A = 25,4 см2 , Ix = 1430 см4 , h = 0,18 м.
Проверка условия прочности в опасном сечении с учетом нормальных напряжений от продольной силы 𝑁 (𝑁𝐴 = 𝑁𝐵 = −12 𝑘𝐻):
𝑚𝑎𝑥 ∣ 𝑀 ∣
∣𝑁∣
35,5 ∙ 103
12 ∙ 103
max ∣ σ ∣ =
+
=
+
=
𝑊𝑥
𝐴
159 ∙ 10−6
25,5 ∙ 10−4
= 223,3 ∙ 106 + 4,7 ∙ 106 = 228 ∙ 106 Па = 228 МПа < 240 МПа.
Условие прочности выполнено.
3. Построение эпюр 𝑀, 𝑄, 𝑁 от нагрева и проверка прочности.
а) Построения эпюр 𝑀, 𝑄, 𝑁 от нагрева.
При расчете рамы от воздействия температуры методом сил грузовые
коэффициенты в канонических уравнениях МС от силового нагружения (в
нашем случае - перемещение ∆1F ) следует заменить на соответствующие
температурные грузовые коэффициенты (в нашем случае - перемещение ∆1t ):
𝛿11 𝑋1 + ∆1t =0
где ∆1t - взаимное горизонтальное перемещение сечений (слева и справа в
месте шарнира С ригеля рамы в ОС), вызываемое изменением температуры. Формула для перемещений ∆kt дана в задании 8 (п. 3), где индекс К
должен быть заменен на 1.
108

̅1 (построена ранее, в п.2) и ̅̅̅
Эпюры 𝑀
𝑁1 показаны на рис. 45, в, г), тогда
𝑡2 − 𝑡1
𝑡1 + 𝑡2
∆1t = ∑ (𝛼
Φ𝑀̅1 ) + ∑ (𝛼
Φ𝑁̅1 ) =
ℎ
2
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
100 − 0 1
= −12,5 ∙ 10−6
( 6 ∙ 6) 2 + 12,510−6 ∙ 50 ∙ (2,5 ∙ 1)2 =
0,18
2
= −0,25 + 0,00312 = −0,247 м.
Площади Φ𝑀̅1 и Φ𝑁̅1 вычисляются только на тех участках, где
𝑡2 - 𝑡1 ≠ 0 и 𝑡1 + 𝑡2 ≠ 0 соответственно (в примере нагрев – на АВ, т.е.
площади вычисляются на всех участках).
Знак первого слагаемого ″‒″, поскольку характер деформаций (изменение кривизны стоек AK, BL) от 𝑡 и 𝑀1 - противоположен, а знак второго слагаемого ″+″, так как характер деформаций (продольная деформа̅1 - одинаков (удлинение).
ция ригеля) от 𝑡 и 𝑁
Грузовой коэффициент ∆1t и единичный δ11 (вычисленный ранее)
подставляются в каноническое уравнение МС, откуда с учетом величины
жесткости на изгиб
EI = 200∙ 109 ∙ 1430 ∙ 10−8 = 2860 ∙ 103 Hм2 = 2860 кНм2 , следует
144 Х1 − 0, 247 ∙ 2860 = 0 .
Решение этого уравнения дает Х1 = 706,42/144 = 4,91 кН .
С
2,5м

Х1

L

Х1

2,5м

6м

K

ОС

t1оC
t2оC

ЗС
B

A

а)

б)
1

М1,м

6

1

N1

6

в)

г)

Рис. 45. Эпюра 𝑀1 , 𝑁1 от Х1 → 1
109

̅1 𝑋1 и поЭпюра М строится с использованием соотношения 𝑀1 = 𝑀
казана на рис. 46, б.
Эпюры 𝑄, 𝑁 строятся методом сечений по участкам так же, как
в п. 2, а, и показаны на рис. 46, в, г.
б) Проверка условия прочности при нагреве.
При действии только 𝑡 опасными (в примере, рис. 46, б) являются
сечения А и B: max ∣M∣ = 29,46 кНм.
Максимальные нормальные напряжения при этом равны
max ∣σ∣ = max ∣M∣/𝑊𝑥 = 29,46∙ 103 /159∙ 10−6 = 185∙ 106 Па = 185 МПа,
max ∣σ∣ = 185 МПа < 𝑅𝑦 = 240 МПа.
Условие прочности выполнено.
S

t1=0
С

S
S-S

14,73

y

A

B
2,5м

h=0,18м

G
3м

6м

t2=100 oC

М,кНм
x

N18a

2,5м

а)
4,91

29,46

29,46

б)
4,91

Q,кН

N,кН

4,91

г)

в)
Рис. 46. Эпюры 𝑀, 𝑄, 𝑁 от 𝑡

110

4,91

При совместном действии t + F {𝑞, 𝑚, 𝐹, … } опасным является сечение G (посередине стойки, см. рис. 44, б и рис. 46, б):
max ∣M∣ = ∣27,75 + 14,73∣ = 42,48 кНм
(использован принцип независимости действия сил).
Максимальные нормальные напряжения при этом (без учета N) равны
max ∣σ∣ = max ∣M∣/𝑊𝑥 = 42,48∙ 103 /159∙ 10−6 = 267∙ 106 Па = 267 МПа,
max ∣σ∣ = 267 МПа > 𝑅𝑦 = 240 МПа .
Условие прочности не выполнено.
Если совместное температурное и силовое нагружение рамы является расчетным, то необходимо подобрать другое поперечное сечение (в задание 10 это не входит).
Замечание: температурные напряжения, возникающие в СН системах, должны обязательно учитываться в прочностных расчетах. Однако
превышение максимальных упругих нормальных напряжений max|σ|
уровня 𝑅𝑦 еще не означает потери несущей способности СН системы.
Для выяснения условий, когда это произойдет, необходим более
сложный анализ пластического, предельного состояния (предельного равновесия) СН системы (см. замечание в конце задания 9). Так, потеря несущей способности рамы в примере произойдет при возникновении трех
(𝑛 + 1 = 2 + 1) пластических шарниров.
Соответственно при пожаре предельная температура СН систем
существенно выше предельной температуры аналогичных СО систем, что
характеризует более высокую прочностную надежность (основное преимущество СН систем перед СО системами).
Свойства прочности, жесткости и устойчивости СО и СН несущих
конструкций должны учитываться при их проектировании, изготовлении и
эксплуатации.
Специалистам по пожарной безопасности необходимо уметь прогнозировать поведение конструкций (зданий, сооружений, машиностроительных изделий) в экстремальных условиях при пожаре.

111

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Самостоятельное качественное выполнение расчетно-графических
работ, представленных в данном учебном пособии, играет важнейшую
роль в освоении курса прикладной механики. Изучение курса ПМ заканчивается экзаменом.
В итоге работы над курсом слушатели должны:
‒ правильно истолковать физический смысл всех используемых в
расчетах величин, формул уравнений;
‒ уметь решать задачи в объеме материала данного пособия;
‒ различать геометрически изменяемые системы (механизмы) и геометрически неизменяемые (несущие конструкции);
‒ иметь четкие понятия о внутренних силовых факторах, напряжениях и деформациях, перемещениях сечений стержней;
‒ знать виды деформации стержневых элементов и основные расчетные схемы плоских стержневых систем;
‒ знать и уверенно применять метод сечений при построении эпюр
внутренних силовых факторов в стержневых системах;
‒ уметь строить эпюры напряжений по высоте поперечных сечений
стержневых элементов;
‒ приобрести навыки простейших прочностных расчетов (проверочного, проектировочного и на определение допускаемой нагрузки);
‒ уметь вычислять перемещения сечений стержней от силового
нагружения и от температурного воздействия;
‒ иметь представление о расчетах на жесткость (на примере балки,
рамы) и устойчивость (на примере фермы);
‒ понимать различия между статически определимыми (СО) и статически неопределимыми (СН) системами;
‒ усвоить понятие о предельной температуре равномерного нагрева
при пожаре и уметь вычислять 𝑡пр для СО систем;
‒ уметь применять метод сил (МС) к расчету СН систем и понимать физический смысл уравнений МС;
‒ уметь рассчитывать на прочность СН системы (балки и рамы) как
при силовом нагружении, так и при температурном воздействии.
Освоение курса прикладной механики является необходимым условием успешного изучения специальных инженерных дисциплин и получения
квалификации инженера пожарной безопасности.

112

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ "ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА"
Предмет и задачи прикладной механики. Основные гипотезы, понятия о напряжениях и деформациях. Внутренние силовые факторы стержня,
метод сечений, классификация видов деформации стержня. Понятие о расчетной схеме сооружения, классификация расчетных схем.
Центральное растяжение и сжатие. Продольная сила, построение
эпюры 𝑁𝑧 . Нормальные напряжения в сечении. Абсолютная и относительная деформации, закон Гука. Определение перемещений сечений и удлинений стержня от действия сосредоточенных сил.
Механические характеристики материалов. Влияние температуры на
механические характеристики, определение предельной температуры равномерного нагрева при центральном растяжении и сжатии. Условия прочности и жесткости. Три типа задач расчета на прочность.
Кручение. Крутящий момент. Построение эпюры 𝑀𝑧 . Чистый сдвиг,
закон Гука, гипотезы. Формула для касательных напряжений при кручении. Угол поворота сечения. Условия жесткости и прочности при кручении. Предельная температура равномерного нагрева.
Прямой поперечный изгиб. Изгибающий момент и поперечная сила.
Дифференциальные уравнения равновесия при изгибе, правила построения
эпюр 𝑄𝑦 , 𝑀𝑥 . Формулы для нормальных и касательных напряжений. Момент сопротивления сечения, рациональные формы поперечных сечений,
предельная температура равномерного нагрева стержней при изгибе. Расчеты на прочность при прямом поперечном изгибе.
Сложные виды деформации стержней. Косой изгиб. Нормальные
напряжения, положение нейтральной линии, расчет на прочность. Внецентренное растяжение, сжатие. Нормальные напряжения, положение
нейтральной линии, понятие о ядре сечения, расчет на прочность.
Плоские фермы. Общие сведения о фермах, определение, расчетная
схема, их преимущества перед балками. Способы определения усилий в
стержнях статически определимых ферм. Поведение фермы при пожаре.
Общие теоремы механики и их приложения. Понятие об обобщенных силах и обобщенных перемещениях. Теорема Клапейрона о работе сил
при квазистатическом нагружении. Потенциальная энергия упругой деформации плоской стержневой системы. Теорема Бетти о взаимности работ, теорема Максвелла о взаимности перемещений. Вычисление перемещений в статически определимых системах с помощью интеграла Максвелла-Мора. Графоаналитический способ вычисления интеграла Максвелла-Мора (правило Верещагина). Вычисление температурных перемещений
в статически определимых системах.
113

Статически неопределимые системы. Определение, особенности их
работы. Содержание метода сил. Способы выбора основной системы. Физический смысл канонических уравнений и их коэффициентов. Неразрезные балки, определение, преимущество перед соответствующими многопролетными статически определимыми балками, выбор основной системы.
Расчет статически неопределимых рам методом сил. Построение
эпюр 𝑄𝑦 , 𝑀𝑥 , 𝑁𝑧 . Расчет статически неопределимых систем методом сил
при температурном воздействии.
Устойчивость сжатых стержней. Формула Эйлера для критической
силы. Влияние способа закрепления концов сжатого стержня на величину
критической силы. Пределы применимости формулы Эйлера. Потеря
устойчивости стержня за пределами упругости (формула Ясинского).
Практические расчеты на устойчивость.

114

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Справочные данные для стали Вст3сп5

При нормальной температуре:
Предел текучести: σТ = 250 МПа; τТ = 150 МПа.
Расчетное сопротивление: 𝑅𝑦 = 240 МПа; 𝑅𝑠 = 139 МПа.
Модуль упругости: 𝐸 = 200 ГПа; 𝐺 = 80 ГПа.
{Коэффициент линейного расширения: α = 12,5 ∙ 10−6 0 С−1 .
Т , Т ,

Е,

МПа

Г Па

200

Т

ma x 

200
ЕЭ

150
100

150
100

Т

50
200
400
tпр

600

t,  С

Рис. 1. Зависимости σТ (𝑡), τТ (𝑡)
и схема определения 𝑡пр

50
200
400
tпр

600

t,  С

Рис. 2. Зависимость 𝐸(𝑡)
и схема определения 𝑡пр
Таблица 1

Коэффициент продольного изгиба  ()


 ()



 ()

10

0,987

120

0,419

20

0,962

130

0,364

30

0,931

140

0,315

40

0,894

150

0,276

50

0,852

160

0,244

60

0,805

170

0,218

70

0,754

180

0,196

80

0,686

190

0,177

90

0,612

200

0,161

100

0,542

210

0,147

110

0,478

220

0,135
115

Приложение 2
Некоторые характеристики стандартных профилей стали

Двутавры (ГОСТ 8239-89)
y

h

x

x

b

y

Таблица 1
Некоторые характеристики двутавров
Номер

𝒉, мм

𝒃, мм

𝑨, см𝟐

𝑰𝒙 , см𝟒

𝑰𝒚 , см𝟒

𝑾𝒙 , см𝟑

𝑺𝒙 , см𝟑

10

100

55

12,0

198

17,9

39,7

23,0

12

120

64

14,7

350

27,9

58,4

33,7

14

140

73

17,4

572

41,9

81,7

46,8

16

160

81

20,2

873

58,6

109

62,3

18

180

90

23,4

1290

82,6

143

81,4

18а

180

100

25,4

1430

114

159

89,8

20

200

100

26,8

1840

115

184

104

20а

200

110

28,9

2030

155

203

114

22

220

110

30,6

2550

157

232

131

22а

220

120

32,8

2790

206

254

143

24

240

115

34,8

3460

198

289

163

24а

240

125

37,5

3800

260

317

178

27

270

125

40,2

5010

260

371

210

27а

270

135

43,2

5500

337

407

229

30

300

135

46,5

7080

337

472

268

30а

300

145

49,9

7780

436

518

292

33

330

140

53,8

9840

419

597

339

36

360

145

61,9

13380

516

743

423

40

400

155

72,6

19062

667

953

545

45

450

160

84,7

27696

808

1231

708

50

500

170

100,0

39727

1043

1589

919

55

550

180

118,0

55962

1356

2035

1181

60

600

190

138,0

76806

1725

2560

1491

116

Уголки равнополочные (ГОСТ 8509-93)

d

d
z0

b

x

b
Таблица 2
Некоторые характеристики уголков равнополочных
Номер

𝒃, мм

𝒅, мм

𝑨, см𝟐

𝑰𝒙 , см𝟒

𝒊𝒙 , см𝟒

𝒛𝟎 , см

2

20

3

1,13

0,40

0,59

0,60

2

20

4

1,46

0,50

0,58

0,84

2,5

25

3

1,43

0,81

0,75

0,73

2,5

25

4

1,86

1,03

0,74

0,76

2,8

28

3

1,62

1,16

0,85

0,80

3,2

32

3

1,86

1,77

0,97

0,89

3,2

32

4

2,43

2,26

0,96

0,94

3,6

36

3

2,10

2,56

1,10

0,99

3,6

36

4

2,75

3,29

1,09

1,04

4

40

3

2,35

3,55

1,23

1,09

4

40

4

3,08

4,58

1,22

1,13

4

40

5

3,79

5,53

1,20

1,17

4,5

45

3

2,65

5,13

1,39

1,21

4,5

45

4

3,48

6,63

1,38

1,26

4,5

45

5

4,29

8,03

1,37

1,30

117

Продолжение табл.2
Номер

𝒃, мм

𝒅, мм

𝑨, см𝟐

𝑰𝒙 , см𝟒

𝒊𝒙 , см𝟒

𝒛𝟎 , см

5

50

3

2,96

7,11

1,55

1,33

5

50

4

3,89

6,63

1,38

1,26

5

50

5

4,29

8,03

1,37

1,30

5,6

56

4

2,96

7,11

1,55

1,33

5,6

56

5

3,89

6,63

1,38

1,26

6,3

63

5

2,96

7,11

1,55

1,33

6,3

63

4

3,89

6,63

1,38

1,26

6,3

63

6

4,29

8,03

1,37

1,30

7

70

4,5

6,20

29,0

2,16

1,88

7

70

5

6,86

31,9

2,16

1,90

7

70

6

8,15

37,6

2,15

1,94

7

70

7

9,42

43,0

2,14

1,99

7

70

8

10,7

48,2

2,13

2,02

7,5

75

5

7,39

39,5

2,31

2,02

7,5

75

6

8,78

46,6

2,30

2,06

7,5

75

7

10,10

53,3

2,29

2,10

7,5

75

8

11,50

59,8

2,28

2,15

7,5

75

9

12,80

66,1

2,27

2,18

8

80

5,5

8,63

52,7

2,47

2,17

8

80

6

9,38

57,0

2,47

2,19

8

80

7

10,80

65,3

2,45

2,23

8

80

8

12,30

73,4

2,44

2,27

9

90

6

10,6

82,1

2,78

2,43

9

90

7

12,3

94,3

2,77

2,47

9

90

8

13,9

106

2,76

2,51

9

90

9

15,6

118

2,75

2,55

118

Продолжение табл.2
Номер

𝒃, мм

𝒅, мм

𝑨, см𝟐

𝑰𝒙 , см𝟒

𝒊𝒙 , см𝟒

𝒛𝟎 , см

10

100

6,5

12,8

122

3,09

2,68

10

100

7

13,8

131

3,08

2,71

10

100

8

15,6

147

3,07

2,75

10

100

10

19,2

179

3,05

2,83

10

100

12

22,8

209

3,03

2,91

10

100

14

26,3

237

3,00

2,99

10

100

16

29,8

264

2,98

3,06

11

110

7

15,2

176

3,40

2,96

11

110

8

17,2

198

3,39

3,00

12,5

125

8

19,7

294

3,87

3,36

12,5

125

9

22,0

327

3,86

3,40

12,5

125

10

24,3

360

3,85

3,45

12,5

125

12

28,9

422

3,82

3,53

12,5

125

14

33,4

482

3,80

3,61

12,5

125

16

37,8

539

3,78

3,68

14

140

9

24,7

466

4,34

3,78

14

140

10

27,3

512

4,33

3,82

14

140

12

32,5

602

4,31

3,90

16

160

10

31,4

774

4,96

4,30

16

160

11

34,4

844

4,95

4,35

16

160

12

37,4

913

4,94

4,39

16

160

14

43,3

1046

4,92

4,47

16

160

16

49,1

1175

4,89

4,55

16

160

18

54,8

1299

4,87

4,63

16

160

20

60,4

1419

4,85

4,70

119

Окончание табл.2
Номер

𝒃, мм

𝒅, мм

𝑨, см𝟐

𝑰𝒙 , см𝟒

𝒊𝒙 , см𝟒

𝒛𝟎 , см

18

180

11

38,8

1216

5,60

4,85

18

180

12

42,2

1317

5,59

4,89

20

200

12

47,1

1823

6,22

5,37

20

200

13

50,9

1961

6,21

5,42

20

200

14

54,6

2097

6,20

5,46

20

200

16

62,0

2363

6,17

5,54

20

200

20

76,5

2871

6,12

5,70

20

200

25

94,3

3466

6,06

5,89

20

200

30

111,5

4020

6,00

6,07

22

220

14

60,4

2814

6,83

5,93

22

220

16

68,6

3175

6,81

6,02

25

250

16

78,4

4717

7,76

6,75

25

250

18

87,7

5247

7,73

6,83

25

250

20

97,0

5765

7,71

6,91

25

250

22

106,1

6270

7,69

7,00

25

250

25

119,7

7006

7,65

7,11

25

250

28

133,1

7717

7,61

7,23

25

250

30

142,0

8177

7,59

7,31

120

Швеллеры (ГОСТ 8240-89)
z0

h

y

x

x

b

y
Таблица 3

Некоторые характеристики швеллеров
Номер

𝒉, мм

𝒃, мм

𝑨, см𝟐

𝑰𝒙 , см𝟒

𝑰𝒚 , см𝟒

𝑾𝒙 , см𝟑

𝑺𝒙 , см𝟑

𝒛𝟎 , см

5

50

32

6,16

22,8

5,61

9,1

5,59

1,16

6,5

65

36

7,51

48,6

8,70

15,0

9,0

1,24

8

80

40

8,98

89,4

12,8

22,4

13,3

1,31

10

100

46

10,9

174

20,4

34,8

20,4

1,44

12

120

52

13,3

304

31,2

50,6

29,6

1,54

14

140

58

15,6

491

45,4

70,2

40,8

1,67

14а

140

62

17,0

545

57,5

77,8

45,1

1,87

16

160

64

18,1

747

63,3

93,4

54,1

1,80

16а

160

68

19,5

823

78,8

103

59,4

2,00

18

180

70

20,7

1090

86,0

121

69,8

1,94

18а

180

74

22,2

1190

105,0

132

76,1

2,13

20

200

76

23,4

1520

113,0

152

87,7

2,07

20а

200

80

25,2

1670

139,0

167

95,9

2,28

22

220

82

26,7

2110

151,0

192

110,0

2,21

22а

220

87

28,8

2330

187,0

212

121,0

2,46

24

240

90

30,6

2900

208,0

242

139,0

2,42

24а

240

95

32,9

3180

254,0

265

151,0

2,67

27

270

95

35,2

4160

262,0

308

178,0

2,47

30

300

100

40,5

5810

327,0

387

224,0

2,52

33

330

105

46,5

7980

410,0

484

281,0

2,59

36

360

110

53,4

10820

513,0

901

350,0

2,68

40

400

115

62,5

15220

642,0

761

444,0

2,75

121

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. 7-е изд. – М. : Высшая школа, 2009. – 560 с.
2. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. – М. : Изд. МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. – 592 с.
3. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика : учебник. 12-е изд. –
СПб. : Изд. «Лань», 2010. – 656 с.
4. Овчинников В. В. Прикладная механика : учеб. пособие. – М. : Академия ГПС
МЧС России, 2015. – 332 с.
5. Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материалов. –
М. : Физматлит, 2005. – 544 с.
6. Костенко Н. А. и др. Сопротивление материалов. – М. : Высшая школа, 2004. – 430 с.
7. Копнов В. А., Кривошапко С. Н. Сопротивление материалов. Руководство для
решения задач и выполнения лабораторных и расчетно-графических работ. – М. : Высшая школа, 2005. – 352 с.
8. Степин П. А. Сопротивление материалов. – М. : Высшая школа, 2008. – 303 с.
9. Дубейковский Е. Н., Саввушкин Т. Е. Сопротивление материалов. – М. : Высшая школа, 2006 г. – 192 с.
10. Парцевский В. В., Ильин В. Н., Путятин Б. В., Полянин В. Д. Методические
указания к выполнению контрольных расчетно-графических работ по курсу «Прикладная механика». Часть II. Механика деформируемого твердого тела. – М. : МИПБ
МВД РФ, 1997. – 113 с.
11. Парцевский В. В., Ильин В. Н. Ползучесть металлических элементов конструкций в условиях пожара. Лекция – М. : ВИПТШ МВД СССР, 1990. – 56 с.

122

СОДЕРЖАНИЕ
Введение ............................................................................................................... 3
Рабочая программа курса «Прикладная механика». Часть 2.
Основы механики деформируемого твердого тела ........................................ .6
Требования к оформлению расчетно-графических работ............................... 9
Выбор варианта задания ................................................................................... 10
1. Задания контрольной работы № 3. Расчет стержневых элементов ......... 13
Задание 1. Центральное растяжение, сжатие стержня (ЦРС) ............... 13
Задание 2. Кручение вала (КВ) ................................................................. 18
Задание 3. Изгиб балки (ИБ) ..................................................................... 25
Задание 4. Внецентренное растяжение, сжатие стержня (ВРС) ........... 34
Задание 5. Устойчивость сжатого стержня (УСС) ................................. 41
2. Задания контрольной работы № 4. Расчет стержневых систем ............... 48
Задание 6. Статически определимые фермы (СОФ) ............................. 48
Задание 7. Статически определимые балки (СОБ) ................................ 56
Задание 8. Статически определимые рамы (СОР) ................................. 68
Задание 9. Статически неопределимые балки (СНБ) ............................ 79
Задание 10. Статически неопределимые рамы (СНР) ........................... 93
Заключение ...................................................................................................... 112
Примерный перечень вопросов к экзамену по дисциплине
«Прикладная механика» ................................................................................. 113
Приложения ..................................................................................................... 115
Приложение 1. Справочные данные для стали Вст3сп5 ..................... 115
Приложение 2. Некоторые характеристики стандартных
профилей стали ............................................................. 116
Литература ....................................................................................................... 122

Учебное издание

ИЛЬИН Виктор Николаевич,
ГРАБАРЕВ Сергей Павлович

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
Часть 2
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Учебное пособие по курсу
«Прикладная механика»

Издано в авторской редакции

Подписано в печать. Формат 6090 1/16.
Печ. л. 7,75. Уч.-изд. л. 5,6.
Бумага офсетная. Тираж 400 экз. Заказ_________

Академия ГПС МЧС России
129366, Москва, ул. Бориса Галушкина, 4