/
Author: Кловский Д.Д.
Tags: электротехника радиосвязь и радиовещание радиосвязь информация
Year: 1982
Text
• Д.Д. Кловский.
ПЕРЕДАЧА
ДИСКРЕТНЫХ
СООБЩЕНИЙ
ПО РАДИО-
КАНАJ1АМ
Издание второе,
переработанное и дополненное
МОСКВА
«РАДИО И СВЯЗЬ,.
1982
ББК: 32.884
К:50
УДК: 621.391 :621.396
К:50
Кловский Д. Д.
Передача дискретных сообщений
лам. - 2-е изд., перераб. и доп.
-
М.:
1982.
-
304 с., ил.
Впер.:1р.40к.
по радиокана
Радио и связь,
Рассматриваются IЮ11росы, связанные с передачей дискретных сооб
щений по р.~д110каналам, дJJн которых х11рактерны рассеяние cиrнaJJa во
8рсмени, 1io частоте и l!ространству, 11алич11е аддип1вн1-,1х шумов и tтоха
стнческий характер 11:1менения 11араметров пространственно-временного
канала. Определяются а.1rоритмt>1 оптималыюй и субоптимат,ной обрабо
ток сигнала при нал11чии тех или иных н1Jриорных сведе11ий, а также
соопщтстаующис хэрэктерист}llш качества. Определяется пропускная с1ю
собность разлнч11ых моделей 11рщ:транствсшю-"ременноrо к3н1сша.
Для инжеиерно-тсхническнх работников, специализирующихся в об
ласти передачи информ;щии по 1н1диокана,11ам.
141-82
РЕЦЕН3-ЕНТЛ.М.ФИНК
ББI( 32.884
6Ф1.3
Редакция литературы по радиосвязи, радиовещанию и телевидению
Даниил Давыдович Кловский
Передача дискретных сообщений
по радиоканалам
РедакторВ.А.Лазарева
Художник И. В. Печенкнн
Художсствсиныi~ редзктор Р. Л. Клочков
Тf'.'(JН!Чесю1й редахтор Г. И. Гол о с о в с ха я
Корректор 11. М. Да вы до~ а
ИБNo187
Сдано 11 набор 01.ОЗ.82 г.
Под1шс11но в печать 18.08.82 г.
1-13572
Формат 60Х90 1 / 10
Ьумаrа ти11 No 1
Г<1рнитура литератуJ)наи
Печап, пысокая
Усл. нсч. л. 19.0
Усл. кр.-отт. !9,0
Уч.-юд. л. 20,76
Тирt1ж 60()0 экз. Изд.. No 1910! За1-1. ;'\~ 4f> Цена 1 Р- 40 к.
ИздатсJ11,сrво «Радио и связь». 10!000 Москва, Глав11очтамт, а/я б9:~
Тш10графия иЗД~Тва-----;Р,щио II связь» Госкомиздата СССР
101000 Москва, у.1. Кирова, д. 40
© Издательство «Радио и связь», 1982
Введение
Посвящается светлой na.МJl?&,
npoфeccopa Стефана Хаймана,
благодаря помощи которого
автор пережил Освенцим и
Бухенвальд
Фундаментальные работы В. А. Котельникова [71] по опти
мальным методам приема в однолучевом канале с флуктуацион
ным белым шумом при точно известном сигнале, а также работы
К. Шеннона '(146] по теории оптимального кодирования в каналах
с постоянными параметрами и гауссовским шумом, выполненные
в конце 40-х годов, дали мощный толчок развитию статистической
теории связи 1. В середине 50-х годов решены задачи, изложенные
в [128, 87] и связанные с исследованием оптимальных методов;
приема и потенциальной помехоустойчивости в каналах с флук-·
туационным шумом, неопределенной фазой и рэлеевскими зами,
раниями сигнала. В работах [I 78, 180, 51, 52] аналогичные задачи
были решены применительно к обобщенной рэлеевской (райсов
ской) модели канала. Оптимальные методы приема в каналах
с флуктуационным шумом и селективными замираниями по ча
стоте и времени рассматривались впервые в конце 50-х - начале
\',()-х годов в работах \'7~.
)5:,, )bl, 1:,1, 41, 51), 5:,)_ Прлмерно в
это же время начинаются исследования по вопросам потенциаль
ной и реальной помехоустойчивости систем радиосвязи при учете
в канале как флуктуационных, так и сосредоточенных и импульс
ных помех [128, 121, 54, 16, 66, 111, 8]. Из работ, посвященных
исследованию пропускной способности непрерывных каналов с
гауссовским шумом и со случайно меняющимися параметрами,
следует прежде всего отметить работы [112, 113, 94, 140, 141, 138,
128, 120].
В конце 50-х - начале 60-х годов начинают появляться труды,
в тшторых оптимальные методы приема развиваются применитель
но к обработке стохастических простра11ственно-временнь1х сиг
налов (полей), описываемых функциями распределения и корреля-
1 В дальнейшс:ч будем касатыся аспектов этой теории, относящихся к зада
чам элс:ктр'Ическ·ой связи, хотя 1мног,ие из ~полученных рсзуJ1ыатов име~т бо
лее широкое приложение (вопросы радиолокации, рад1ю11ав~-1гации, рщщоаст•.
роншши и других областей).
•
••••
3
ционными характеристиками 1
•
Здесь прежде всего следует отме
тить работы (88, 170, 75, 126, 45, 19].
Достаточно общая модель стохастического капала, названная
автором общей гауссовской (четырехпараметрическая в рамках
одно;1ерных распределений), легла в основу исследования, осве
щенного в первом издании данной книги, вышедшем в 1969 r.
Многочисленные работы как теоретического, так и эксперимен
тального характера, выполненные в последние годы [10, 30, 38, 56,
.59, 80, 83, 86, 88, 100, 103, 114, 171], подтверждают, что общая
rауссовская модель обладает по сравнению с прежними моделями
значительно большей универсальностью и пригодна для описания
ра,JJIJканалов различных диапазонов.
К настоящему времени стала очевидной целесообразность
второго издания этой книги, позволившего внести в нее накопив
щийся навый материал и исправить ряд недостатков прежнего
ицания. К этому, в частности, стимулировали автора отзывы,
замечания и пожелания многочисленных читателей, коллег. Всем
им автор выражает большую благодарность.
Во второе издание включен новый материал по стохастическим
моделям пространственно-временных (ПВ) каналов, вопросам оп
тимальной обработки сигналов в таких каналах них пропускной
способности, анализ помехоустойчивости системы связи •С учетом
распределенных и сосредоточенных по времени, частоте и про
странству аддитивных помех. Включен новый материал по обра
ботке сигналов в каналах с межсимвольной интерференцией.
Следует отметить, что одна из первых отечественных работ по
этой тематике была выполнена с участием автора и опубликована
в 1959 г. [28]. В этой работе впервые не только предложен метод
адаптивной компенсации переходного процесса в канале на вре~
менн6й основе с использованием периодического зондирования
кана.ilа испытательным импульсом, но и намечен подход к по
строению оптимального приемного устройства с учетом как меж
символьной интерференции, так и аддитивного шума.
Книга содержит шесть глав. В гл. 1 рассматриваются систем
ные характеристики векторного ПВ канала, различные его моде
ли, характеристики сигналов и помех, а затем алгоритмы опти
мального приема в таких каналах и показатели качества (эф
фективности) систем передачи дискретных сообщений.
Глава 2 содержит описание алгоритмов и схем поэлементной
оптн~альной и субоnтимальной ПВ обработки скалярного поля
с оценкой достоверности, сравнитеJ1ыюй эффективности и надеж
ности при различных моделях однолучевого канала с учетом
фJ1уктуационного гауссовского шума и сосредоточенной помехи.
1 Методы п~емен·ных состояний (условных ·мар.ковских 1Процесоов), .раз
в·ивае~ые rв настоящее ·время п:римен·ителыю к обрабо-г,ке полей, находятся вне
ра,мок книги. Автор ,плани.рует посвятить им отделЬIНую ,моноnрафию.
4
В гл. 3 исследуются алгоритмы и схемы оптимальной и суб
оптимальной ПБ обработки скалярного поля и соответствующие
им характеристики качества при различных моделях многолуче
вого канала с учетом тех же помех. Анализируются как системы
сигналов, при которых можно пренебречь межсим'Вольной и (или)
внутрисимвольной интерференцией в месте приема, так и сигна
лы, в которых учет этой интерференции принципиально необхо
дим. Для каналов с межснмвольной интерференцией особое вни
мание уделяется последовательной двоичной системе передачи с
испытательным импульсом и предсказанием СИИП (50, 53, 58).
В гл. 4 излагается общая теория разнесенного приема (пере
дача сообщений по параллельным каналам) при различных мо
делях сигнала и помех.
Глава 5 посвящена анализу алгоритмов и схем оптимальной
н субоптимальной обработки сигналов и соответствующих им
характеристик качества при учете в канале как rауссовскоrо шу
ма, ,аки негауссовской импульсной (сосредо.оченноi\ по времени)
помехи.
В гл. 6 определяется пропускная способность различных моде
лей ПВ канала.
В книге не рассматриваются конкретные схемы аппаратуры,
однако вопросы принципиальной осуществимости различных ре
шений, оценки сложности и эффективности разных методов ее
построения не остались без внимания. Рассматриваются только
синхронные системы передачи дискретных сообщений, представ,
ляющие наибольший интерес при пос,роении современных сетей
передачи данных, в которых для передачи любого кодового сим
вола отводится вполне определенное для данной системы время Т,
а моменты смены элементов сигнала с большой точностью можно
счита,ь известными на приеме. Системы синхронизации (,аюовой,
цикловой и по высокой часто,е) при анализе считаю,ся идеаль
ными, что о.ражает уровень современной радиотехники. Эти во
просы применительно к дискретным системам радиосвязи можно
найти в [108, 116, 145].
Главное внимание в книге уделяется поэлементному приему
сигналов, поскольку он, уступая по помехоустойчивости приему
в целом 1 в каналах с памятью и при использовании источника с
памятью (избыточности), реализуется зна•щтельно проще. Сле
дует подчеркнуть, что возможнос,и поэлемен.ного приема в ра
диосвязи далеко еще не исчерпаны. В качестве помехи в основ"
ном рассматривается аддитивный гауссовский шум, содержащиА:
компоненту белого шума и сосредоточенную по спектру компонен.
ту с заданной корреляционной функцией, харак,ерный для подав.
ляющеrо большинс,ва каналов радиосвязи. Однако в гл. 5 ана
лизируются оптимальные и неоптимальные методы приема с уче-
1 В гл. З анализируется оптималы-1ый для каналов с межсим.вольной Jtlt.
:терференцией ·n•рием 1В ц,ел,о,м: и субоптимальный tП..р·ием в целом с поЭJiементны)d
принятием решения.
,·ом и импульсиой (сосредоточеиной во времени) неrауссовской
,помехи в канале.
Проблемы кодирования в книге не рассмотрены, однако неко
торые вопросы эффективности кодирования при тех или иных
моделях канала затронуты.
При изложении материала пришлось ввести ряд новых терми
нов и обозначений, которые, возможно, и спорны.
В книге отражены результаты многолетней работы автора,
часть из которых публикуется впервые. Автор выражает призна
тельность рецензенту книги проф. Л. М. Финку за ряд ценных
замечаний, способствующих улучшению книги, а также доц.
Б. И. Николаеву, В. А. Сойферу, С. М. Широкову, инженерам
В. Г. Карташевскому и А. Ю. Шерману за помощь при подготовке
рукописи.
Замечания и пожелания по книге просьба направлять по ад
vесу: 101()00, Москва, Главпочтамт, а/я No 693, издательство «Ра
дио и связь».
Глава 1
Модели систем передачи сообщений,
алгоритмы приема и оценка качества
1.1. Обобщенная модель системы передачи дискретных сообщений
Основные преобразования сигналов при передаче дискретных
сообщений от некоторого источника И к получателю П (в одном
направлении) в общем случае можно описать рассматриваемой
ниже совокупностью операторо.в 1 которой соответствует обобщен
ная структурная схема рис. 1.1. При использовании в качестве
носителя информации волновых, в частности электромагнитных,
полей опера,ор переда,чика Fтт,р: A--+S (t, r) харак,еризуе, ото
бражение множества А= {ak, kЕТ,-К} сообщений (символов)
дискретного источника И на множество реализаций излучаемого
ПВ сигнала S(I, r) = {s(I, r)}. Такой ПВ сигнал (поле) представ
ляет собой функцию (вообще говоря, векторную) 1 времени I и про
странственных координат точки наблюдения r= (r1, r2, rз). Здесь
и далее векторы выделены жирным шрифтом, а на структурных
схемах ПВ сигналы, в отличие от обычных «вре~еннЬlх», обозна
чены двойными стрелками. Векторное поле s (1, r) удобно пред
ставлять в ортогональном базисе:
J.
s(1, r)=l:s,(1, r)е,,
[= ..,J
где е, - орты разложения (1= 1, 2, ... , L); s,(I, r) - 1-я скаляр
ная компонента поля.
Заметим, ч.то обычно используемые на практике передающие
антенны, а также неоднородности канала, рассматриваемые как
1 Приведенная еnруктурная схс:ча спра.ведлива ,дл}[ -систем связи,
исполь
зующих поля .пюбой физической прир·оды, ,и с незнач,нтслr,·.ны,:'\1"И из.м,-:нениями
м-оже1' быть рао11ростране-на также нэ. системы локации, из,н_,рсю1я, ндс,нтифи
ка,ции и т. n. В случае э.г~ектrромаrнитных волн нскт0,рный характс,р магнитной
и эло.ктричсской состав.r~яющих пюля обусловлен ян;1е,нием по.ш11ризации, а так
же особе1111остями передачи ·И 1прие:v~а ,сигналов (01. гл. 4). Мапшпная и э:1скт
ричес•кая составляющие поля, как из.вестпо, несут одну и ту же и11фu,р'\.fа.цию,
поэтому для се ·из-влечения -мQжно иопользовать ка,кую-лИ'бо из этих состав
ляющих, которая в дальнейшем обозначается ка,к s(t, r) 11а 11сродаче и u(t, r)
на ,при~мс. Каж..з,ый 1из сигналов 'За,висит от пере,1а.ваем,ого сообщения ak и дру
гих 1парамеrров, однако з.дось и в дальнейшем, г1де это возможно, для у,проЩс
lНИЯ ·защюи 1в оООэначении ,сигналов это не от:ражено.
7
вторичные источники излучения волн, создают в области pacno'
ложения приемной антенны (дальней зоне) 1 такие поля, для ко
торых при надлежащем выборе системы координат можно счи
тать, что лишь одна или две компоненты s1 (t, r) отличны от нуля
(поперечное поле).
Рис. 1.1
HenpevыB
ffbliJ. лв хона
s/t,r)
Рис. 1.2
J:(s)
U{t,r)
с
n(t,r)
Оператор среды распространения (среды между пунктами
передачи и приема} F',p: S (t, r}--+Z (1, r} характеризует преобра
зование поля s(I, r) в реализацию принимаемого (анализируемого
в месте приема) поля z (1, r). Этот оператор учитывает как свой
ства среды распространения для передаваемых сигналов, так и
наличие шумов в канале и, следовательно, является стохастиче
ским. Преобразование s (t, r) в z(t, r) в большинстве задач связи,
локации, обработки полей можно представить (рис. 1.2) в виде
z(t, r)=u(I, r)+n(I, г},
(1.1}
где u (1, г) - поле полезного сигнала в месте приема, связанное
с s (t, r) посредством некоторого линейного оператора Я':
u(t, r) =2'[s(I, r}],
а n (1, r) - аддитивное -шумовое поле в месте приема, вообще
rоворя, коррелированное с u (!, r). На рис. 1.2 С - блок сумми
рования.
Оператор приемника Fnp: Z (1, r)-+A характеризует преобра
зование реализаций принимаемого поля z (1, r} в решения на вы-
ходе приемника а,,Е А (или в оценки переданных сообщений).
В целом рассматриваемая система передачи описывается опера
тором
FU= F'npF'cpF'n,p,
связывающим сообщения, поступающие получателю, с первона
чальными сообщениями, выданными источником.
В распространенных на практике системах связи и обработки
сигналов сами операторы передатчика п приемника Fпер, Fnp
обычно представляются в впде произведения более простых опе
раторов, соответствующих отдельным блокам системы (рис. 1.3).
1 В системах блиЖ1ней :JЮ'Кацип анализируемое поле может и не удовлет
~ять усло,вия1м далыней зоны IИ, в rчастности, n1риходящие ВОJl'НЫ нельзя счи
_!ать ПЛОСК:ИIМИ.
8
г------
1
1
1
1
Е
1
п,р
L... ____ _
Рис. 1.8
-
т
----г--
1.
1
1 F,p
------ -,
fiieм
1•
- ~IA
1
'иек
.___...,
1
Г,,р
1
___j
_____ _
________ _j
Аналиаuру1н,1й ЛВ я,rнал
Оператор кодирования Fиод: А-+В характеризует преобразова
ние реализаций сообщений источника а,ЕА в совокупность сим
волов кода В,= {Ь,, ,}, iEO, m-l (т - основание кода на пере
даче, В= {Вл} ).
Если элементарные кодовые символы Ь,,.., соответствующие
сообщению а" передаются по линии последовательно во времени,
модулируя соответствующими им элементарными сигналами об
щую несущую по тому или иному параметру, систему называют
последовательной или одночастотной [37, 58, 95]. Если же эле
ментарные кодовые символы, соответствющие одному сообщению,
передаютс!! по линии параллельно во времени, систему называют
параллельной или многочастотной [37, 58, 95). Разумеется, могут
быть случаи комбинированного (последовательно-параллельного)
построения системы передачи.
Оператор модуляции Fмод : В-+S (1) описывает преобразование
символов Ь,,, в соответствующие им реализации сигнала s(t);
преобразователь сигнал - поле (ПСП) осуществляет преобразо
вание сигналов s (1) в поля s (1, r), т. е. реализует некоторый опе
ратор Fппс : S(l)-+S(t, r). В ходе преобразования сигнал
-
поле
на передающей стороне можно осуществить независимую модуля
цию отдельных поляризационных компонент, которую возможно
использовать для организации многоканальной связи с разделе
нием независимых источников по поляризаци:онным свойствам или
для повышения верности передачи сообщений одного источника
[31, 99, 106].
Преобразователь поле - сигнал (ППС)
-
ему соответствует
оператор F ппс: Z (1, r)-+Z (1) - осуществляет преобразование
L
принимаемого поля z (t, r) в сигнал z (t) = ~ z, (l)e,, т. е. пpo-
I=l
,.,
странственную обработку. Оператор демодуляции Fд,м: Z (1)-+В
характеризует преобразование сигнала z (1) в совокупность оце-
но": кодовых символов {!i,, ,} , а оператор декодирования Fдек: S-+
-+А- преобразование совокупности символов {б,, ,} в оценку
кодовой комбинации (сообщения) а,. При приеме в целом [128],
9
привлекающем в последнее время много внимания не только тео
ретиков, но и практиков, последовательность операторов f:;одем,
Fдек реализуетсi/ одной схемой, соответствующей единому опера-
тору F=fд,нfд,~: Z(l)-+A.
При решении задач статистической теории связи для самых
различных диа11азонов волн под непрерывным временнЬ1м к~на
лом чаще всего понимают всю часть системы передачи информа
n;иn 01 входа aJl'Y't::RYJ.Ъ1 11'е'})'t::,:~:а:тчn:ка до выхода антенны npneмr111xa
[см. рис. 1.3, участок между точками с сигналами s(I) и z(I)].
Используемые при этом разновидности моделей каналов можно
отнести к катеrории пространственно-сосредоточенных или вре
меннЬ1х моделей. Такие модели позволяют ставить задачу поlfска
оптимальных (с точки зрения эффективности системы) методов
преобразования сообщения в передаваемый сигнал s (1) и пр1шн
маемого сигнала z(I) в сообщение при заданном временном ка
нале.
В настоящее время широко распространяются методы опти
мальной и субоптимальной обработки ПВ сигналов (полей) в
различных диа~азонах радиоволн (оптическом, УКВ, КВ, средне
и длинноволновом), а также в форме акустических и других ко
лебаний.
Можно ввес'fИ в рассмотрение ПВ модель канала (см. рис. 1. 1),
связывающую nоле на выходе антенны передатчика s (1, r) и JЗХО
де антенны приемника z (1, r), и ставить задачу оптимизации t1cex
устройств преобразования сообщения в передаваемый сигнал И егQ
обратного преобразования в сообщение в месте приема, включая
и построение оптимальных приемных и передающих антенн. Од
нако решение rакой задачи встречает значительные трудности.
Будем считать, что передающая антенна задана и включена в co-
~,:a1n n!\.a\\\\\Yj~М.G.l'Q ПВ ка\\.:'..Rа v., <.:Аед_Q~а1;е.л.ы\С\, e~Q ~х.С.д,\\С.{\ ~u .r-
нал s(I) чисто 13ременн6й (сосредоточен в пространстве), а вы)[ОД
ной z (1, r) - 11ространственно-временн6й [ см. рис. 1.3, канал
между точками S (t) и Z (1, r) ]. На базе такой модели можно
ставить задачу оптимизации устройств формирования передавае
мого сигнала и пространственно-временной обработки принимае
мого поля с цеJIЬЮ вынесения решения о содержащемся в нем со
общении.
Подчеркнем, что на базе приведенных моделей можно рассr~шт
реть и передач)' аналоговой информации по каналу дискретн~1ми
методами, если на передающей стороне до ,кодера в состав этих
моделей ввести аналого-цифровой преобразователь, а на приеме
за декодером - цифроаналоговый преобразователь [22, 93).
1.2 . Системные ,-арактеристики векторных ПВ каналов
Считая анаJJизируемый ПВ канал линейной стохастической
системой с переменными параметрми, его можно описать разJIИЧ
ными системными характеристиками [42, 47, 59, 114, 167). Исполь-
10
зуя лучевые представления принимаемого поля [17, 128],_ введем в
рассмотрение векторную системную характеристику 1 Н (!= (t, f,
r, О)), называемую передаточной функцией канала, - отклик
канала на комплексное воздействие
s(t)=el2Лft, IE(-oo, +оо),
z
(1.2)
пришедший в точку r с направле
ния О= (,8, q,), определяемого уг
лом места 8 и азимутом q, -
сфе
рическими координатами (рис. 1.4).
Здесь и далее будем использовать
общий векторный аргумент != (1,
f,r,0),гдеr=(х,у,z),а0=
= (0, q,).
Рис. 1.4
у
'f
Для дальнейшего анализа заметим, что едю-шчный вектор
ro(O), соответствующий· углу прихода 0 (см. рис. 1.4), который
13 дальнейшем считается безразмерным, в декартовой системе ко
ординат может быть представлен в виде
Гd( 0) =Хо siп 8 cos q,+y0 siп 8 siп q,+zo cos 8.
Здесь Хо, Уо, zo - орты системы координат. Имея в виду, что
t=x0 x+y,y+z0z
для разности хода лучей плоской волны, попадающих соответ
ственно в точки r=O и r, можно записать выражение
Лг= (r, ro( 0)) =х sin 8cos q,+y siп 8 sin q,+z cos 8.
(1.3)
Поскольку любая реальная приемная антенна имеет конечную раз
решающую способность по углам прихода сигнала, будем считать,
что характеристика Н (t) (как и другие системные характеристи
ки, рассматриваемые ниже) определяет передаточную функцию
канала для пучка лучей (будем их также называть подлучами),
попадающих в точку приема r с направлений, группирующихся
по углам 8, q,. Этот пучок лучей
(подлучей) будем также назы
вать лучом. Введенная характеристика - это передаточная функ
ция ПВ канала ло одному лучу. Введем также интегральную пе
редаточную функцию канала li (1, f, r) = f Н (1, f, r, 8)d0, учи-
0,ш
тывающую суммарный эффект приема по всем возможным углам
прихода. Здесь в~щ - область анализа поля по углам прихода
сигнала.
Если в точку r приходят лучи с дискретных направлений, то
будем говорить о модели с дискретной многолучевостью.
1 Комплексные всл11чины обозначаются точ:ками сверху.
11
В этом случае
H(t,f,r)= f f H(t,f,r, 0)б(0-0,)d0=
еан k=l
N.
N.
=~Н(t,f,r,в,)=~Н,(t,f,r),
k=l
k=l
(1.4)
rде N - число лучей.
Если Н (t, f, r, 6) допускает представление в виде суммы не
прерывной и решетчатых функций по аргументу 6, можно гово
рить о канале, где сочетается дискретная и непрерывная миоrо
лучевость. Комплексную функцию Н (t= (t, f, r)) можно предста
вить в виде
it(tJ=s(tJ+if}(t)= f н,(t)е,= f y,(t)e'"1 11 >e,,
(1.5)
l=l
l=l
где y,(t), q,,(t} - модуль и аргумент передаточной функции для
l-й скалярной (в частности, поляризационной) компоненты; ~ (t) =
=y(t)cosq,(t); 11(t)=y(t)siпq,(t) - квадратурные компонеf!ТЫ
передаточной функции, которые являются соответственно четной и
нечетной функциями частоты f.
Здесь и в дальнейшем, если обозначение системной характе
ристики или поля сигнала и шума набрано обычным (нежирным)
шрифтом и не имеет специального индекса, это будет означ~ть,
что речь идет о любой скалярной компоненте поля. Для большин
ства реальных радиоканалов квадратурные компоненты HI), '1 (t)
являются медленно меняющимися (по сравнению с cosrool, roo -
средняя частота спектра сигнала} функциями времени.
Вводя различные преобразования (Фурье, Френеля и другие)
по тем или иным аргументам можно кроме передаточной функ
ции канала ввести еще целый ряд системных характеристик [47,
59]. В частности,
~-
g(~. t)= JH(f, t)e12n1sdf
(1.6)
-
импульсная хара,ктеристика канала (отклик канала в точке r
в момент времени t на 6-импульс, поданный на вход канала в
момент времени 1-s);
U(v, s)= Jg(t, s)e-'
2""'dt, s=(1;; r)
(1.7)
-
характеристика, определяющая спектр отклика канала в точке
r на 6-импульс, поданный ко входу в момент 1-s (где v - ча
стота).
t.3. Модели детерминированных векторных ПВ каналов
Введенные системные характеристики позволяют установить
связь между сигналом (полем) на выходе линейного вектор11оrо
12
канала и произвольным сигналом s (t) на его входе. Приведем
несколько таких соотношений:
~-
u(t, r)=Re\"H(I, f, r)$(f)e 12пf 1 df,
(1.8)
о
где $ (f) - спектр по Фурье входного сигнала s(1);
~
u(I, r)= j"g(I, !;, r)s(l-!;)d!;;
(1.9)
о
u(t, r)=f r U(!;, v, r)s(l-!;)e12ЛV<-d!;dv.
(1.10)
Ь-~
Следует обратить внимание на то, что интегрирование в (1~8) по
f ведется от нуля, поскольку на входе канала вместо деистви
тельного сигнала s (1) предполагается комплексный (аналитиче
ский) сигнал
s(t)=s(t)+is(t)=A,(t)e'"'o',
(1.11)
где s(I) - преобразование Гильберта от s(I) [78, 128, 132]; A,(t) =
=A,(l)e;o,1 1> - комплексная огибающая сигнала; roo - средняя
круговая частота его спектра (частота несущей); интегрирование
в (1.9), (1.10) по !; ведется от нуля с учетом физической реали
зуемости канала (отклик на выходе не может появиться раньше
воздействия на входе) .
Согласно модели (1.8) канал можно рассматривать как непре
рывный набор параллельных фильтров с передаточными харак
теристиками Н (1, f, r). Модель ( 1.9) позволяет трактовать канал
как среду распространения с непрерывной многопутевостью (мно
голучевостью), причем пути различаются временны мн сдвига мн !;
н в каждом пути сигнал получает изменения, определяемые функ
цией g (1, !;, r).
Согласно модели (1.10) канал можно рассматривать как среду
распространения с непрерывной многопутевостью, причем пути
различаются временнЬlми сдвигами ~ и допплеровскими сдвигами
v. Каждый путь характеризуется коэффициентом передачи U(!;,
v, r). Разлагая системные характеристики в ряды по тому или
иному базису, можно исходя нз ( 1.8)- ( 1. 1О) построить различ
ные дискретные (а также дискретно-непрерывные) модели поля
[47, 114, 128].
Обработка принимаемого поля u (1, r) с целью извлечения из
него информации на практике осуществляется в конечной об
ласти
Л=[О,Та]Х[О,Fa]XR,
(1.12)
где Т,=Т+Лsтах - длина временного интервала анализа поля
в месте приема; Т - длительность элемента передаваемого сиг
нала; Лsmax - интервал рассеяния сигнала во времени (память
канала), обусловленного в реальных каналах неидеальностью ча-
13
стотных характеристик или отличием импульсной характеристики
от дельта-функции (например, из-за многолучевого распростра
нения волн, нелинейности фазочастотной характеристики и т. д.);
F.=F +.Лfтах - длина частотного интервала анализа поля в ме
сте приема; F - полоса частот передаваемого сигнала; Лfтах
-
интервал рассеяния сигнала по частоте, обусловленный изменени
ем параметров канала во времени или взаимным перемещением
областей формирования и приема сигнала; R - область анализа
принимаемого поля в пространстве, определяемая в декартовой
системе координат равенством 1 :
R-[ -x• х•]х[-У• Y•]x[-z• z,]
(1.13)
2'2
2'2
2'2'
Память канала Л~тах часто может существенно превышать
длительность элементарных сигналов Т (при скоростной после
довательной передаче информации короткими посылками или
использовании одночастотных (последовательных) модемов
[37, 58]), что при отсутствии защитных временньrх интервалов и
использовании сигналов с малой базой Ьс=2FсТс=2 порождает
явление межсимвольной интерференции [37, 40, 49, 53, 58, 77, 84, 90,
102, 118].
Для большинства каналов связи и локации интервал частот
ного рассеяния Лfтах« F.
Важной характеристикой канала является фактор частотно
вре,.,енвбrо рассеяния К =Л~тахЛfтах• Каналы, удовлетворяющие
условию К< 1, называются каналами первого рода, а прочие ка
налы - каналами второго рода [113, 128]. Представляющие ос
новной интерес для радиосвязи каналы относятся к каналам пер
вого рода [32, 128]. Так, для каналов дальней проводной связи
с большим числом переприемов Л~тах,;; 15• J0-3 с, Лfтах,;; l0-3
-;-
-; -l о- 4 Гц, К,;; 15. 1о- 6 -;-15 • 1О-7 . Для дека метровых радиоканалов
с многократным отражением волн от ионосферы .1Smax достигает
значений 3-10-3 с, в то время как .) .fmax, характеризующее
ско
рость замираний, в обычных условиях не превышает 5 Гц Ut~
s:o0,2 с), так что K~l5,J0-3
.
В радиоканалах с тропосферным
рассеянием К~ I0-4
,
а в каналах с ионосферным рассеянием
К s:o 1О- 3 . В условиях магнитных бурь скорость замираний в де
каметровом канале резко возрастает и фактор рассеяния К бли
зок к 1. Каналами второго рода в некоторых случаях оказываютсн
гидроакустические ультразвуковые каналы.
Согласно терминологии (128] память канала называют «корот
кой», если ..1~тах<< Т, и «длинной», если 2 Л~тах > Т.
1 Эта облает~, нс обязательно является о;:о~освязной.
Антенная система,
па:при"1ср, может состоять из двух ,и более антенн, разнесенных в пространст
lВе. На практике наибольш~е распространение в различных диапазонах волн
nо.1уч·и.1н линейные (одно:\о!ерные) и шюские (двумерные) антеппы, К·оторые ~о
rут со,.1ержать, ,в частности, дискретный .набор э.11емснтов (антенные решетки)
или ю1еть нспр~рывный ~рас.крыв [5, 11, 1261.
2 Знак > означает н книге «одного порядка или больше».
14
С уцетом (1.8) и (1.4) для многолучевой детерминированной
модели канала при передаче узкополосного сигнала 1
s(I) =Res(I) = Re[A,(l)e''"o'], D,s;;t,s;;T,
(1.14)
принимаемое поле по каж,~ой скалярной компоненте можно пред
ставить в виде
N
с:" ,
.
-i[~(r,r 0 (0h))+ЛЧJk(t,r,8k)-2nft) Х
u(t, r)= 1: Rel $(1<.u)Ho.,,(t, f)e л,
•
•
k=l Q
Xdfh (1-т,,),
где
•
(t f) - 1 1,,"u.n1.o,,J
Ho,ti=Vk
,
е
(1.15)
(1.16)
-
передаточная функция канала для сигнала k-ro луча, посту
пившего в точку r=O, имеющая модуль у,(1, 1) и начальную фазу
<pk(t, f); Т;-среднее время задержки огибающей' сигнала, при
шедшего в точку r = О;
h(t-т,)={1, IE[тk, Т+тk],
О, IЕ[т,, Т+ч],
2"
-
ин:~икаторная (срезающая) функция;
(r, г 0 (01,))
-
фа-
л,
зовый сдвиг несущей для k-ro луча в точке r по отношению к на
чалу координат при плоском волновом фронте сигнала, поступив
шего с направления 0,; ].<р,, (t, r, 0") - фазовый сдвиг, учиты
вающий кривизну фронта волны k-ro луча в точке r.
В практических приложениях в многолучевой модели ( 1.15)
можно считать, что v 1,(t, f)e- 1\f!k (t,f)=y,,(t)e- 1 Фk(tJ, т. е. нет зави
симссти от частоты. Тогда
N
u(t,г) =i:Reи,(t, r)=
k=I
N
-
j r\J)k{t)+ 2'!. (r, Го (fJk)+Л'PнU • r, Ok)]
= ~ Reyм(l)s(l-ч)e
,i,
•
k=-1
(1.17)
Если Л<р, (1, r, 0,) = Л<р, (r, 01,), т. е. фазовый сдвиг, учитываю
щий кривизну фронта волны не зависит от времени (или кривиз
ной фронта волны можно пренебречь Лq,"=O), то Uk (t, r) =
=и',,(t)и 11 ,(r),
где
"'"(1) =yk(t)s(l- ~ •)e-1<"(1J,
,;,11,,(r) =
-i -(Г, t11) i0,~) -f..~'.Pk (Г, 0,,l)
l2Л
}
=е Ао
•
1 Когда выполняется условве F -«:.,/ 0 • Этому условию
удовлетворяет боль
ш1шсrво сосгем радно-свяЗ'и, 1радиолокации и другие. В дальнейшем сЧlнгаем,
чт•о поле сигнала всегда у.:~,овлство~ряют это:11у условию.
2 Эти величины практически можно считать неизменными в пределах сеан
са ра:щосвязи.
15
В этом случае принимаемое поле по отдельным лучам факто
ризуется по временной и пространственной переменным. Это яв- •
ляется необходимым условием, при котором оптимальная обра
ботка поля (см. § 2.1) может производиться раздельно по про
странству и времени.
Если параметры канала неизменны во времени (на интервале
анализа), из (1.17) получаем
( 1.18)
Детерминированные многолучевые модели ( 1. l 5), ( 1.17), ( 1.18)
удовлетворительно описывают полезные сигналы во многих на
правляющих системах (кабелях, волноводах и т. п.), в различ
ных радиоканалах с достаточно медленными неизбирательными
замираниями, при которых можно надежно измерить и предска
зать характеристики канала. Память канала в этих моделях опре
деляется максимальным временем взаимного запаздывания лy-
ma:r 1
1
чей Лsmах=Лтmах=
Th-TI
.
Однолучевые детерминированные
k,1
модели ( l. 15), ( 1.17), ( 1.18) (N = 1) удовлетворительно описы
вают полезные сигналы в проводных линиях, а 'Также некоторых
радиоканалах.
1.4 . Паралле,1ьно-последовательные механизмы
случайного распространения волн в П В каналах
Как показывает опыт, подавляющее большинсtво реалы-1ых
волновых каналов, передающих информацию, являются случай
ными (стохастическими), т. е. представляют собой среды со слу
чайными неоднородностями. Следовательно, на системные харак
теристики, описывающие такой канал, следует смотреть как на
случайные поля [107], характеризуемые той или иной вероятност
ной моделью. Круг вопросов, связанных с решением задач рас
пространения волн при наличии статистических неоднородностей
среды, представляет собой важный для практики раздел теории
раопространения волн. Сюда относятся рассеяние радиоволн в
тропосфере и ионосфере, рассеяние оптических волн, сверхдаль
нее распространение УКВ, отражение радиоволн от морской по
верхности и неровной поверхности суши, отражение электромаг
нитных и оптических волн от искусственных объектов сложной
фор'1ы (летательных аппаратов), рассеяние акустических волн в
морс и т. д. К настоящему времени теория распространения волн
в средах со случайными неоднородностями достаточно хорошо
развита (2, 7, 1О, 35, 36, 38, 45, 65, l 00, 101, 103, 107, 117, 144,
170].
Статистика различных физических полей накапливается в ре
зультате их непосредственных измерений и различного рода моде
лирования [30, 35, 38, 45, 66-68, 80, 81, 83, 86, 109, 137, 157, 158,
16
169]. Она ,выявляется та,кже при строгом или приближенном ре
шении различных стохастических электродинамических задач
[10, 38, 65, 100, 103, 107, 117, 151, 152, 170].
При исследовании волновых каналов со случайными неодно
родностями (с рассеянием) большое распространение получил
феноменологический подход к задаче распространения волн, ос
нованный на лучевых представлениях. Последние основаны на
том опытно установленном факте, что в формировании рассеянного
поля в месте приема основную роль играют так называемые «све
тящиеся» или «горячие» пятна [17], занимающие относительно
малую часть рассеиваюшей поверхности (объема) рассеивателя
(рис. 1.5). Принимаемое поле в каждой точке приемной антенны
Рис. 1.5
может формироваться не только двумя, но и большим числом
разнесенных в пространстве областей рассеяния. В принципе
число областей (точек) формирования принимаемого поля може'!'
быть и несчетным, что соответствует модели непрерывной много~
лучевости.
С.:тедует подчер·кнуть, что в подавляющем боль·шинстве кана~
лов радиосвязи «лучи», приходящие в точку приема от «горячих:ь
пятен сильно разнесенных в пространстве рассеивателей (напри,
мер, в КВ канале это сигналы, отраженные соответственно от
слоев Е и F, или сигналы, пришедшие в место приема после одно,
и двукратного отражения от ионосферы; в УКВ канале это, на
пример, сигналы, пришедшие в точку приема соответственно после
отражения от неоднородности атмосферы и поверхности земли),
имеют взаимные запаздывания (временные задержки) Лт, соиз
меримые с 1/F или даже превосходящие эти величины. Это озна
чает, что взаимные фазовые сдвиги частотных компонент прини-
мае:мого сигнала
2itFЛт = Лq,;;; 2it,
,.. -,.
( 1.19}
17
что обусловливает селективные (избирательные по частоте) зами
рания сигнала (см. § 1.6).
Составляющие же сигнала в пределах одного «луча» (сфор
мированные «горячими» пятнами некоторой пространственно-со
средоточенной области рассеяния) имеют для большинства си
стем радиосвязи, как правило, взаимные запаздывания, удовле
творяющие условию Лт« 1/F. Это означает, что в пределах одного
«луча» взаимные фазовые сдвиги частотных компонент прини
маемого сигнала 2nFЛт-,.1<р«2п, что обусловливает неселектив
ные по частоте замирания сигнала.
Если рассеивающая поверхность (объем) несколько изменяет
но времени свою ориентацию или (и) форму, светящиеся пятна
начинают перемещаться и меняют свою интенсивность. Происхо
ждение светящихся пятен согласуется с понятиями геометрической
оптики, согласно которой падающая на тело волна представляет
собой пучок лучей. Каждый из лучей, отражаясь (,рассеиваясь)
от соответствующей точки (площади), образует пучок отражен
ных лучей. Такой пучок в дальней зоне (месте расположения
приемной антенны) может в большинстве задач радиосвязи рас
сматриваться как плоская волна.
Если .луч, прежде чем попасть в область приема, претерпе
вает более одного отражения, то имеет место _так называемое
многократное рассеяние 1 . Однако во многих случаях может счи
таться справедливым борновское приближение [107, 170], прене
брегающее эффектом многократного рассеяния. Можно говорить
о том, что при однократном рассеянии имеет место ~одель чисто
параллельного распространения волн, а при многократном -
модель параллельно-последовательного распространения.
Для обсуждения вероятностного описания поля в месте при
ема при чисто параллельном и параллельно-последовательном:
распространении радиоволн рассмотрим «однолучевой» откл:ик
канала на воздействие s (t) = coswl [это реальная часть аналиттт
ческоrо сигнала ( 1.2)]
u(t, r)-Re[H(I, f, r)e'"'']=Re[Л(l)e'"''] -s(t)s(l)-t](!)s(I)=
=s(t)coswl-t](!)sin wl={A,(t)cos[wl+<p,(t)]}, t-(t, r), (1.20)
где д·(t) -s (t) + it] (t) - комплексная огибающая принимаемого
сигнала; A,(t)-V
~ ',(t)+11',(t), <p1(t)=arctg 2!!J.I)_
-
соответ-
"' (1)
ствснно огибающая и начальная фаза для определенной скаляр-
ной компоненты принимаемого в точке r сигнала (луча). Запись
(1.20) остается справедливой и при передаче произвольного узко
полосного сигнала, когда комплексную огибающую в месте пр11-
ема можно принять А (t) -А, (1) ti (!).
1 В принщ~:пе при это1м для от1дсльноrо лу•~а в .месте Inpиe.vJa ,.vJогут выпол
няп"ся у,словия (1.19) и, следовательно, проявлять·ся сслект,ивныс Irю частоте
замирания.
18
Рассмотрим сначала модель чисто параллельного распростра
нення (однократного рассеяния). Число «светящихся» пятен об
ласти рассеяния N (1), образующих «луч» в месте приема, для
каналов, которые представляют наибольший практический инте
рес, весьма велико в самых различных диапазонах волн [47, 128].
Вклад отдельных слагаемых в суммарный процесс («луч») очень
мал, что вместе с предположением о слабой зависимости отдель
ных слагаемых при однократном рассеянии в канале позволяет
использовать центральную предельную теорему теории вероятно
стей (82) и считать поле
( 1.21)
а вместе с ним и поле (1.20) гауссовыми 1 . Гауссовскую модель
поля Н (t) с произвольными корреляционными характеристиками
и математическими ожиданиями квадратурных компонент будем
называть общей гауссовской, а в рамках одномерных распреде
лени.й амплитуд - четырехпараметрической (см. ниже).
Отметим, что если поле ti (t) является стационарным (в широ
ком смысле) во времени 2, то поле u (/, r) ( 1.20), вообще говоря,
таковым не является. Для стационарности последнего требуются
помимо некоррелированности s(t) и '1 (t) дополнительные условия:
равенство нулю математического ожидания ti (1, t) и равенство
корреляционных функций s (/, t) и '1 (1, t) по переменной t при
фиксированных параметрах t- (f, r).
Значительно сложнее, чем при чисто параллельном распр'J
странении волн, обстоит дело в случае параллельно-последова
тельного распространения. В этом направлении имеются хотя и
достq:rочно многочисленные, но пока еще неполные теоретические
исследования [45, 81, 107, 117] и не слишком обширные экспери
ментальные данные. Многократное рассеяние встречается при
передаче сигналов по мноrоскачковым декаметровым трассам
[2, 128].
Суждения о статистике Поля при чисто последовательном
распроетранении волны (М-,кратное рассеяние) можно составить,
иссле.:(уя характеристику 3
M(II
Й{!)= П fiп(t),
( 1.22)
IJ=J
т. е. трактуя отдельные рассеиватели как последовательно вклю
чаемые фильтры с переменными параметрами.
1 Гау.ссовы:v~и будут и поля, определяющие и иные систе~ные хара,ктерис
iики, в.веденные :выше [см., например, соотношения (1.6), (1.7)].
2 Скалярные компоненты стационарны и стационарно связаны.
J При последовательном объединении
.rшнсйных фильтров с переменными
nара:1⁄2ет~рами и nередато•1ными функция·ми t-f п (t) результирующая хара~ктс,ристи
ка определяется ,их произведением в предположении медленности изменений
парамеr~р-о,в фильтров, что ,11редставляет основ.пой практи·ческий интерес.
19
Модель параллельно-последовательного распространения, в
<1астности, определяется характеристикой
N(/1 Mk(/1
н(t)= ~ п н••(t).
(1.23)
k=l n=l
В более общем случае результирующая характеристика при
параллельно-последовательном распространении волн определяет
ся более сложной композицией характеристик (1.23) при различ
ных значениях N и м•.
Для общей ситуации параллельно-последовательного распро
странения предположение о том, что число рассеивателей N ве
лико, еще недостаточно для утверждения о справедливости гаус
совской модели, поскольку в этом случае характер распределе
ния не в меньшей степени зависит от корреляции отдельных сла
гаемых, вызванных многократным рассеянием.
1.5. Одномерная вероятностная модель канала
•С параллельно-последовательным распространением
Для задач оптимальной и субоптимальной обработки полей,
рассматриваемых в данной работе, требуется знание прежде все
го одномерного распределения поля (в заданном сечении t) и его
корреляционных характеристик.
Приступая к изучению одномерного распределения модуля
(амплитуды) и аргумента (фазы) скалярной компоненты 1юмп
лексного гауссовского поля ( 1.21) в заданном сечении t. запи
шем сначала выражение для совместной плотности двух гауссов
ских квадратурных компонент !; (t), 11 (t). Величины 6, 11, вообще
говоря, имеют различные дисперсии a'1=l=a', и коэффициент вза
имной корреляции r=;i= О. Однако можно поворотом системы коор-
динат (линейным преобразованием) на угол <ро= l___arctg 2r "
1
"•"
2
0"21 - 0"'2
перейти к двум некоррелированным 1 (здесь также независимым)
нормальным величинам х, у [27] с совместной плотностью вероят
ности 2
[
(х- тх)'
W (х, у)= --- ехр
-~- ~
2:л ах ау
2 а2х
(у-ту)']
2'
'
"у
.
( 1.24)
где т, (t), ту (t) - математические ожидания ортогональных
компонент Н (t) в новой системе координат, которую для опре
деленности будем обозначать (х, у); а2х (t), а2у (t) - дисперсии
1
При !Некоторых ог~раничениях, .накладываемых на а:втокорреляци,онные и
взаим.окорреляционные функции полей 6(t) и тi(t), можно поворотом системы
координат 11Iерейти к не,коррелИJрованным во всех сечениях ,(некогерс.нтны:-.1) по•
л~м x(t} ,и y(t). Эrо обобщает результат работы [55].
:i Для экономии сим,воло.в в книге везде случайные величины и. аргу~енты
их функций :распределения обозначаются одинаково.
20
ортогональных компонент й (t) в системе (х, у), определяемые·
равенством
2
2021022(1-
,
2)
оx.u = (u2
1 +cr',)[1±111- (1_:_ ~')4u2
1 сr22/(п', + cr',)' 1•
Следует подчеркнуть, что o2,=o2v, если только 0 2
1=о22 и r=O.
Поворот системы координат на произвольный угол не меняет рас
преде.ттения амплитуды у= lйl. Поправку же к распределению-•
фазы, отсчитываемой в двух системах координат, при необходи
мости всегда можно учесть.
С учетом (1.24) одномерное распределение амплитуды [модуля·
передаточной функции у (t)] можно определить формулой
'"
W4 (у)= У Jехр ll
21t0'.1;0y 0
(-уcosер-тх)2 (уsinq, - ту)')dq,, '\'>О.
2а2у
(1.25},
Это распределение за~исит от четырех парам-етров: тх, о2х, mu,
а2у - и поэтому названо автором четырехпараметрическим.
Разлагая подынтегральную функцию в (1.25) в те или иные
ряды и выполнив интегрирование, можно получить различные
представления для четырехпараметрическоrо распределения ам-·
плитуды.
Так, используя соотношения [29]
~1•
е-''+"'= 2] --Н.(х),
•-о kl
где н. (х) - полином Эрмита, а также
(!)(1)
"
!р(z)Г р+- Г
-
Je±zcos0sin2P0d0=
2
2
о
( +)"
где /Р(z)
модифицированная функция Бесселя p-ro порядка~
Г (р) - гамма-функция, и используя почленное интегрирование 'r
можно получить следующую формулу:
H,h (а)
(2k)!I 2•
ху•(0'и)•(-:---:-)•/•(У7и).
mu
ах
оу
ау
х
J Пра,оомерность такой опе,рации, часто используемой в
данной кн.нге•.
обусловлена выполнением необходимых .для этого условий, которые специ
ально ,оговарИ1ваться не будут.
21
( 1.27)
где введены обозначен,ия;
_тх+ту.
тх-ту
2_а2х+а2у. R а2у_а2х
.mr -
112'тн=Vz
"-
2
'
='+',.
ау ах,
Существуют и другие формы записи четырехпараметрического
распределения амплитуды [57, 127, 173).
Подчеркнем, что в рамках общей гауссовской модели наличие
регулярной составляющей сигнала (yv= V т'х+т'у*О) не обя
зательно связано с гипотезой о присутствии «регулярного» луча в
канале. Это понятно и физически, так как регулярная составляю
щая yp'FO может возникнуть и вследствие особенностей рассея
ния волн, в частности если элементарные подлучи группируются
по фазе около преимущественного направления [128), что имеет
место, если взаимное запаздывание между лучами
.Л-r <,; 2л/rо0 .
( 1.28)
При выполнении определенных условий из четырехпараметри•
чесRого распределения амплитуды (1.26) следует ряд частных
случаев:
1. Распределение Бекмана [151, 152) (или трехпараметриче
ское в данной терминологии распределение)
v2+v2р
-- ;-;2-
х
W,(1')= _У_е
ах ау
~(2k- l)!!(cr'y - а•х/ k/ (УУР)
L.J
klk>kk
уh
2
k=O
•211уУр
Ох
( 1.29)
следует из ( 1.26) при определенном фазировании регулярной со
ставляющей (my=O, ур= lmxl), если учесть, что [29)
н,. (О)= (-1 )k2k (2k-l) !!
2. Двухпараметрическое распределение Райса [78) (или обоб
щенное распределение Рэлея) получается из (1.26) при симмет
рии канала по дисверсиям квадратурных составляющих (а2х=
=о2у=а2)
(1.30)
3. Двухпараметрическое распределение Хайта [161] (или под-,
рэлеевское распределение) 1 следует из (1.26) при а2,,,.<,а 2у и от--·
сутствии регулярной составляющей (yp=mx=my=O):
W(r)= --ехр - ·-
-
1F1-, 1,-----
=
у(у')[1
у'(1 1)]
ах ау
2а2х
2
2 а2х о2у
=--ехр --
-+- /0- ---
1'
[у'(1 1)][у'(1 1)1
ах ау
4 О2х а2у
4 о2х
o 21l
•
(1.ЗГ)
При переходе от ( [.26) к (1.31) учтено (29], что
lim }J, (х) = -1-
х-о xk
2k kl
и использовано изJЗестное разложение в ряд вырожденной гипер.,..
геометрической фуffкции
,F,(-1- • 1, z)= 1+§ (2k- 1)!! z•.
2
•~1 (k/)2 2•
4. Трехпараметрическое распределение амплитуды сигнала, у·
которого одна из ортогональных компонент не флуктуирует.
Положив а 2х= 0, получаем распределение
2
w (у)=
1'
( ехр [- (Vr'- т'х
-
ту)2
]+
ауV2n (у' - m'x) l
2а2у
+ехр [ <Vv'-т',+my)'] 1
1
.
(1.32)
2а2у
Особенность распределения ( 1.32) состоит в том, что оно нс
существует на отрезке [О, Jmxl] и обращается в бесконечность пр!I
у= 1тх 1- Это объясняется спецификой векторного сложения орто-
гонаJJ_рных компонент, из которых одна (в данном случае по ocIJ
х) неизменна н ра,щ-а mx.
5. Однопараметрическое распределение Рэлея (78]. Оно полу
чается из ( 1.30) при отсутствии регулярной части сигнал;!
(у'р=О):
-~
W{у)= .J_е
20
'
•
{ 1.33)
а•
6. Односторонне-нормальное распределение (78]. Оно следуе-r·
из (1.31) при а2,-,..О или из (1.32) при mx=my=O:
( 1.34)
1 Оно названо автором так потому, что ~при такой модели замирания сиг-
нала более rлу,бокие, чем рэлеевские.
z Его можно получить из (1.26), но проще оно получается как распреде--
ление у=\1m2x+ (ту+~) 2, где
0
у- норrмально раопрQ;1.еленная случайная ве
личина с нулевым .:маrе:l'!атичес~ким ОЖlидание.м и дисперсией а2у.
Z'J·
В рамках четырехпараметрической модели это распределеиие
:характеризует наиболее глубокие замирания сигнала и при задан
ной его средней мощности предельно низкую помехоустой
чивость 1•
Вместо параметров т,, mv, 112
. , 112у, характеризующих четы
рехпараметрнческую модель, удобно ввести другие четыре пара
метра, имеющие наглядный физический смысл:
.,q2= m'x+т~у
У2Р
й2.х + а2у
cr2x + о1у
-
отношение средних мощностей регулярной и флуктуирую
щей частей передаточной функции (или переходной характери
стики канала);
·f\ 2 =a2,/a2y
-
коэффициент, характеризующий асимметрию канала по дис
персиям квадратурных составляющих;
-q,,,= arctg т,
тх
-
фазовый угол регулярной составляющей;
-~=("!")=у2р+ а2х + 112у
-
средний квадрат передаточной функции.
Для полного описания канала достаточно рассматривать сле
дующие диапазоны изменения введенных параметров: O,;;c;;q2 <
-<оо; O,;;c;;f\2 ,;;c;;I; O,e;;;q,p,;;c;;;; О,е;;;у2 <оо.
Легко проследить условия (согласующиеся с физическими
про!!ессами распространения волн в случайных средах), при кото
·рых интерференционная сумма (1.21) при некоррелирован!!ых
компонентах Н, (t) порождает то или иное распределение Н (t)
в рамках общей rауссовской модели [56, 59].
Нетрудно понять, что учет корреляции отдельных слагаемых
_
Н,, а также амплитуд и фаз элементарных компонент при задан
ном k в случае параллельного механизма распространения спо-
. со бствуе т
образованию четырехпараметрической модели для сум-·
марного рассеянного поля [56, 174].
.
Можно ,получить ряд полезных асимптотических представлении
для четырехпараметрическоrо распределения амплитуды:
·i+i'2
____
Р
'W4 (y)=...Le
а'у
2о2
у
1 Некоторые специалисты связи считают, что глубокие замирания со ста
тисmкой (1.34) в радиоканале (18 частности, в ,декаметров-ом) rцри сущест,вую
щих мощностях пере.дат<JИ,ков слеrдует считать «неп.рохожд-ением». Однако п1ри
соответст,в-ующей технике -перftЦачи и ,приема (тем более избы:точ~н◊м кцднроьа
нии) и в таком канале IМОЖет быть обеопечена надежная овя:зь (ом. ,paЗJt. Q.,4).
::!4
1'
е- 20
; +О(/32) +О(у\), /3'-+ О;
'f. - +O.
Многочисленные теоретические работы и экспериментальные
данные показывают, что общей rауссовской моделью и ее част
ными случаями охватывается весьма широкий класс :каналов свя
зи в самых различных диапазонах волн [2, 30, 35, 38, 66, 67, 80,.
83, 86, 100, 109, 127, 151, 152, 157, 158, 169, 170, 173, 174). Реше
ние стохастичеакоrо волнового уравнения поля: при различных
механизмах распространения волн также приводит к общей гаус
совской модели и ряду ее частных случаев [10, 103, 107, 117, 151).
Во многих работах [14, 24, 122, 128] распределение амплитуд.
сигнала на интервалах локальной стационарности при интерфе
ренционных замираниях описывается так называемым т-распре
делением Накаrами [173]
w"' (у)
(1.35)
где т - параметр, выражающий отношение квадрата среднего
квадрата модуля передаточной функции (средней мощности при•
ннмаемого сигнала) к дисперсии квадрата этого модуля (диспер
сии мгновенной мощности сигнала):
( 1.36}
Таким образом, параметр т удобен для оценки глубины за
мираний сигнала.
Распределение (1.35), выведенное теоретически как аппрокси
мация истинного, при самой широкой постановке задачи о рас
пределении неотрицательной функции многих случайиых аргумен
тов экспериментально подтверждено на различных радиотрассах.
Это можно объяснить тем, что распределение (1.35) удовлетвори
тельно аппроксимирует четырехпараметрическое распределение
амплитуд {1.26) (которое в отличие от т-распределения следует
из простой физической модели канала) в широкой области изме
нения параметров тх, ту, о2х, а2у.
Исходя из определения (1.36) нетрудно показать, что для ка
нала с заданным четырехпараметрическим распределением ампли
туд соответствующее значение
(1.37)
25
.При трехпараметрическом
из ( 1.37) следует
.m = - ~( _1+~~~•)~'~(l_+~q ~')~' --
2[1+~· +2q2
~· (1+~•)]
Для райсовского канала
(1 + q')'
q'
m=--'-~'-'--
I+---'- - -
1+2q2
1+2q'
распределении (my=<pp=O, т2х=у2р)
Для подрэлеевского канала (mx=my=q'=O) из (1.37) следует
(1 + ~')'
m=-~~
2(1 + ~•)·
Из приведенных формул следует, что различные сочетания
параметров тх, ту, а2х, <J 2 y, которые приводя~, вообще говоря, к
-различному качеству связи, могут дать одну и ту же величину т.
Лишь при трех значениях параметра т соотношение (1.35) тожде'••
.стьенно четырехпараметрическому
распределению, а нменио:
т = 0,5 - одностороннее нормальное распределение; т = I
-
рэ
леевское распределение; т~оо - канал без замираний ампли
туды.
Степень расхождения оговоренных распределений, построен
ных при фиксированном параметре r', различны для разных зна-
0чений 'V и параметров тх, ту, а2 х, а1 у. Совпадение кривых лучше
в области больших значений амплитуд и ухудшается в области
.малых амплитуд и при увеличении асимметрии канала по дис
персиям ортогональных компонент. Двухпараметрическое т-рас
nределение принципиально не может воспроизвести всю тонкую
.структуру четырехпараметрического распределения.
Однако формула (1.35) по сравнению с формулой для четы
рехп,араметрическоrо распределения амплитуд отличается боль
шей простотой и, следовательно, удоб на для проведения расчетов.
Вот почему и будем поJiьзоваться этим распределением, хотя по
по.r1ученным таким образом результатам при изменении т от 0,5
до оо можно судить лишь о тенденциях в четырехпараметриче
ском канале при его изменении от модели односторонне-нормаль
ного (q 2 =(:\2 =0) канала до модели без замираний (q 2-+=) без
выяснения более тонких особенностей канала.
Четырсхпа раметрическое распределение не обязательно связы
вать с характеристикой канала со случайно меняющимися пара
метрами. В бuлее общем случае его можнu рассматривать как
распределение длины R= V е'1+е'11 ра;щуса-вектора с некоррели
рованными {независимыми) нормально-распределенными ортого
нальными ко:-.л110не-нтами е 1 н еп, имеющими ~атематические ожи
дания m 1, m11 и }1J1:сперсии а21, а2 п. Интегральную функцию ч-гты
рехнараметрического распределения знпишем в виде
R.
'1. /
а2+о2 А
РlR<Ro]=ь"w(R)dRс~V '
2
JJ iW(х)dx~
26
(J
B=-I_ .
crll '
.. 5! _. =CVl+B2 cosD.
"rr
о.звr
т
D= arctg_rr~
mr
Область изменения параметров функции F (А, В, С, D) опре-
"
делим следующим образом: А;;;е,О; O~B ~l; С;;;е,О; O~D ~
2.
При В= 1 (<11=<1п=сr) из (1.38) следует интегральная функция
райсовского распределения, подробно табулированная в [9] 1:
1-Q(A, CV2)=F(A, 1, С)=
=Jxexp( x•~
2
C')1,(xV2C)dx.
При C=O(m,=mп=O) можно
подрэлеевского распределения
F(A В 0)=1-2Q(A(l+B)
'
'
2В'
получить интегральную
A(I-B))+
2В
+ех"" ---- / 0
(
А'1+В') ( А'(1+В2) )
"4В2
482
•
функцию
При В= 1, С=О имеет место интегральное распределение Рэлея
F(A)=l-exp(- ~• )-
При С=О, B=O(m1 =mп=cr2r=0) можно получить интегральную
функцию одностороннего нормального распределения
F(A) =Ф(А V2),
2х
где Ф(х) = v2nJe-1
'/
2 dt - функция Крампа.
Не вызывает принципиальных затруднений составление про
граммы расчета функции F (А, В, С, D) на ЭВМ для любого на
бора четырех его параметров. Имеются таблицы функций
F(A, В, С, D), вычисленных с высокой точностью [21]. Для инте-
1
В этих .таQлицах ~параметры V=C ✓ 2; и=А.
27
тральной функции райсовского распределения справедлива аппро
ксимация [15]
(1.39)
Можно показать справедливость аналогич1юй аппроксимации
и для четырехпараметрической функции, если только выполняет
ся условие
vг ~2+m2
•С= :
2
11
»1.
<11 + aII
Не следует считать, что общая гауссовская модель (одномерное
~етырехпараметрическое распределение) описывает статистику
:всевозможных ПВ каналов.
Действительно, в случае чисто мультнпликатнвной ситуации
-образования принимаемого поля (1.22) п при независимости от
дельных компонент, учитывая
1'= е• =~,1 if, 1= ехр ( ~/')
н используя центральную предельную теорему теории вероятно
стей, получаем для х нормальное распределение с параметрами
,μ и u2 , а для у=еХ - соответственно логнормальное распределе
ние (при М-+оо) 1
1
W(y)=у . е
2ла2 у
(lп y-u)i
2а'
(!.40)
Логнормальное распределение часто используется для описания
распределения амплитуд помех и медленных флуктуаций сигнала
в канале. Параметры этого распределения μ и а' удобно выразить
через моментные функции. Момент порядка s от у
(
cr
2
s
2
)
{y')=<exp(xs))=exp μs+-
2
-
.
Первые два момента определяются соотношениями
{у)=ехр( μ+~); <r')=exp(2μ+2a2 ).
\
2
(1.41)
Обычно из эксперимента определяют <r) и <r"), а по ним пара
метрыμ и а2 [155].
Распределение амплитуд и фаз в случае мультипликативно
аддитивной модели (1.23) найти значительно труднее даже при
независимости отдельных компонент [59].
Остановимся теперь на одномерном распределении <р, аргумен
та й(t, f, r) (фазы сигнала) в рамках общей гауссовской модели.
1 Результирующий аргумент ( 1.22) при этом имеет нормальное раеп;реде•
леНJИе, а на ин-тер,.вале период:ич-ности (-л, л) при болЫIIих дисnер{:ИЯХ рас
пределение фазы апmроксиынруется равномерной nлот.ностью [59].
28
В системе
= arctg.1!,
х
координат (х, у) одномерное распределение для q,=
как это следует из (1.24) после перехода к полярным
координатам и интегрирования по у, выражается формулой
где
k= тха2уcosrp+туcr'xsinrp
Охcr11 Vа211 cos2 rp + а2х sin2rp
Анализ (1.42) показывает, что распределение W4(<p) в общем
случае несимметрично на интервале [-n, л] н имеет не более
•
о
"
шести экстремальных значении в точках q,, = ; <р2, з= ±
2;<р4=
=±n; q, 5 =arctgm"; q,,=arctg'?:Y.-л (при 'l'v>O).
тх
т;х;
При q>p=my=O распределение фазы (трехпараметрическое) сим
метрично относительно оси ординат и имеет не более четырех
экстремальных значений в точках q, 1-q,4 • При этом расположение
точек максимума и минимума зависит от соотношения дисперсий
o?r, а2у.
При о2х=О2у=о2 , что соответствует райсовскому распределению
амплитуды, распределение фазы на интервале [-л, +л] имеет
максимум при q, 1 =q,p и минимум в точке <p2=q>p-1t (при q,p>O).
По аргументу q,-<pp кривая симметрична.
Подчеркнем, что в предположении нормального распределения
ортогональных компонент у распределения амплитуды W,(y) и
фазы w·,(q,) сигнала взаимно связаны, что подтверждают и мно
гочисленные экспериментальные данные для различных диапа
зонов волн.
При использовании т-распределения амплитуды сигнала воп
рос о выборе распределения фазы остается открытым. В боль
шинстве исследований при этом предполагают, что фаза <р не за
висима от у и распределена равномерно на интервале [-л, +л].
Тогда совместная плотность амплитуды и фазы W (у, q,) =
= Wm(y) W(q,). В этом случае совместная плотность ортогональ
ных компонент
W( ) Wт(r=Vx•+y')
х, у=~~~-::::::.=~~-
2лVх'+У'
тт (х2 + y2)rn-l
[т
]
= -~~~ -- ехр
-
;;, (х'+у') .
,t Г (т) (y')m
,
Интегрируя по х(у) в бесконечных пределах, получаем для без-
29
условной плотности любой из ортогональных компонент z=x, у:
m<m/2-1/4) ехр (- т~2 ) ~- 1,5
W(z)=
2r'
W
(mz')
Vn Г (m)(y')(m/2-1/41
т-,~. т-:~ у' •
где W '-'"
(х) - функцня Уиттекера. Отсюда видно, что за исклю
чением случая, когда m= 1 [рэлеевский канал, в котором W(z) =
1
-
=V
e-•'IY' •1 и \\7 (х, у)= W (х) W (у)], допущения об m-pac-
nr'
пределении амплитуды и равномерном распределении фазы пред
полагают отличными от. нормального распределения ортогональ
ных компонент вектора у и их взаимную связь.
Аналогичный вывод следует и при лоrнормальном распреде
лении амплитуды и равномерном распределении фазы сигнала.
Так, при независимых лоrнормальном распределении модуля и
равномерном распределении аргумента нетрудно получить сов
местное распределение квадратурных компонент
W(x, У)=-1- __ 1
____
ехр ( (InVx'+Y'-μ)21.
2n v2 na' (х'+у')
\
2а'
f
Очевидно, что х и у имеют одинаковые законы распределения с
одними и теми же статистическими параметрами. Например,
1~
1
( (In 11х' +У'-·μ)' l d
W(x)=-
\'
____ ехр
-~~~~ у (1.43)
2n _;., l/2ncr' (х' + у')
l
2cr'
1•
Эти распределения симметричны относительно оси ординат.
Это означает, что рассматриваемое распределение исключает воз
можность появления квадратурных компонент с ненулевыми ма
тем.атическими ожиданиями. При определенных значениях а2 рас
пределения квадратурных компонент являются бимодальными и
очень далеки от нормального закона.
Следует заметить, что не исключен случай, когда различные
законы распределения ортогональных кuмпонент плоского вектора
приведут к одному и тому же распределению его модуля. Так,
нетрудно видеть, что распределенне R= V (x+yocos0)'+ (у+
+rosin0) 2 модуля векторной суммы двух независимых векторов:
рэлеевского (с независимыми нормально-распределенными орто
гональными компонентами х и у, имеющими нулевые математиче
ские ожидания и дисперсию а2 ) и вектора постоянной амплитуды
у 0 с любым законам распределения фазы е - описывается рас•
пределением Райса W (R) = !i ехр[- (R' +у2о) /2a']l о (Ryo/a2 } не-
а'
зависимо от распределения фазы, хотя суммарные ортогональные
компоненты x+y0 cos0, y+y0 sinO могут иметь распределения, су
щественно отличные от нормальных.
30
Из сказанного следует, что более полную характеристику
можно получить, изучая не только распределение амплитуды сиг
нала (у= 1у 1), но и ортогональных компонент, отнесенных (для
удобства сравнения различных каналов между собой по единой
методике) к системе координат (х, у).
1.6 . l(орреляционные характеристики
и модели стохастических П В каналов
При описании стохастических векторных полей z(t) [простран
ственно-временнЬ1х сигналов, помех или системных характеристик
канала, например Н (t)] во многих задачах наибольший интерес
представляют корреляционные матрицы и векторы математиче
ских ожиданий <z(t)) 1.
В случае rауссовских полей такое описание является исчер
пываю_щим. В L-мериом базисе (е,, ... , eL) корреляционная мат-
Q
•
Q
рица в, (t, t')=<i(t)z*(t')), где z(t)=z(t)-(z(t)) - цеитрнро
ванное поле; * -
знак эрмитова сопряжения. Диагональные эле
менты Bii (t, t') корреляционной матрицы f:J; (t, t') представляю,
собой корреляционные функции скалярных компонент поля (в за
данном базисе), а недиагональные Bu(t, t') (j,,i=i) - взаимокор
реляционные функции этих компонент.
Заметим, что различные системные характеристики жестко
взаимосвязаны, поэтому и их корреляционные матрицы и векторы
математических ожиданий также связаны однозначно.
В зависимости от свойств корреляционных матриц и векторов
математических ожиданий (средних значений) можно ввести
разлиlrf.ные модели векторных стохастических полей (каналов).
Модели полей прежде всего полезно классифицировать в зави
симости от характера их статистической однородности [107]. Од
нородность в широком смысле 2 предполагает инвариантность сред
него значения (математического ожидания) поля относительно
сдвига аргументов и зависимость моментов второго порядка толь
ко от разности своих аргументов, т. е.
B,(t, t')=B,(Лt); (,(t))=(z,(t+Лt))=const,
где лt= (1'-1; f'-f; х'-х; у'-у; z'-z) ..
Для передаточной функции канала Н (!) та1<ан модель, к со
жалению, нс всегда приемлема [59]. Заметим, что дисперсионная
матрица статистически однороднОI'О ноля неизменна во всех точ
ках поля.
Большой интерес для практики радиоприема представляют
1 Д.1я обозначения мате:"11атичоских ожиданий будl'\.1 пою,зоваться си_\1воло:v~
<·> .
2 Применительно к времснн6му аргументу говорят обычно о стационарно
сти в широком смысле. В дальнейшем поннтня «однородность» и «стационар
ность» П(}Н•имаются только в широком смысле без специальных оговорок.
31
векторные поля с некоррелированными скалярными компонента
ми, т. е. с днагональиыми корреляционными матрицами
В;(t, t')=diag{B,1(t, t'), в~.(t, t'), ... , iз;L (t, !')},
Такими, в частности, во многих каналах можно считать поля ад
дитивного шума и полезных сигналов.
Так, многочисленные экспериментальные данные говорят о
том, что на многих радиотрассах корреляция флуктуирующих ча
стей сигналов различных поляризационных компонент выражена
очень слабо [2, 38, 41, 99, 157 и др.].
Часто вместо корреляционной матрицы В; (t, t') комплексного
поля z'(t) =X(t) +IY (t) задают корреляционную матрицу вещест
венных квадратурных компонент Х (t), У (t), определяемую в об
щем случае L-мерного векторного поля (2L) 2 элементами.
Очевидно, что
.
~
?
В,1(t, t') = (z1(t)z\(t')) = Вх1(t, t')+
+Bv1 (t, t')+i [8y1 x 1 (t, t')-Bx 1r 1 (t, t')].
Если Вх1v1(t, t') =8у1х1(t, t'), то В:,1(t, t') = В:,1(t,t') =
=Bx,(t, t')+By1 (t, t').
Теоретические и экспериментальные исследования каналов ра
диосвязи позволяют во многих случаях принять одинаковые коэф
фициен'ты корреляп,ии квадратурных компонент для всех скаляр
ных составляющих. Тогда
Вх, (t, t') = cri, R(t, t'); Ву1 (t, t') = a~,R (t, t');
B;Jf, t') = а•, R(t, t'),
( 1.44)
где cr2x
1
, о2у1
-
дисперсии квадратурных компонент; a 2z=a2x 1 +
+а2у l"
В этом случае при диагональной корреляционной матрице
В; (t, t') =diag{cr2
1, а',,
... , cr 2L}R (t, t'). Что касается коэффициен
тов корреляции квадратурных компонент R (t, t'), то их формы в
различных каналах на интервалах локальной стационарности мо~
гут быть весьма разнообразными. Однако многочисленные теоре
тические и экспериментальные данные говорят о допустимости
аппроксимации для многих каналов коэффициентов корре.1яции
по каждому из аргументов экспоненциальной функцией и кривой
Гаусса [107, 128]. Строго говоря, последняя аппроксимация опре
деляет сингулярный (полностью предсказуемый) процесс. То1 не
менее в области небольших (по сравнению с интервалом корре
ляции) значений аргумента такая аппроксимация вполне при
емлема.
Большой практический интерес представляют поля с фактори
зуемыми (разделяющимися) по отдельным аргументам корреля
ционными функциями скалярных компонент. Такая факторизация
32
часто является следствием физич-еских свойств канала и исполь
зуемых сигналов. Так если поле узкополосное (по временной ча
стоте) и его радиус пространственной корреляции 1, удовлетво
ряет условию l,F,/c«.1, где Fa - ширина полосы частот анали
зируемого поля; с - скорость света, то корреляционная функция
поля z (1, r) раскладывается в произведение двух функций, одна
из которых зависит от t, а вторая - от пространственных коор
динат 1 r [101]:
.В;(t, t', r, r')=Bl(t, t')Bi\r, r').
Корреляционную функцию поля самого общего вида в принципе
всегда можно представить в виде суммы произведений корреля
ционных функций, зависящих от отдельных аргументов поля [59].
Как будет показано в дальнейшем, факторизация корреляци
онной функции помехи существенно упрощает оптимальную про
странственно-временную обработку поля [возможна раздельная
обработка по пространственной и временной координатам при
условии факторизуемости сигналов отдельных екалярных компо
нент и, (t, r) = ,;r, (t ,;п, (r)].
Примером корреляционной матрицы однородного случайного
поля Н (t, f, х, у, z) с факторизуемыми по отдельным аргументам
элементами может служить матрица вида
В(Лt,Лf,Лх,Лу,Лz)=
Iл1I IЛII IлхI IлиI Iл,I
lt
lf
Jx
ly
lz
•
[ou],
ly,1,-
радиусы корреляции
где lt, lF, lx,
там [107].
~
по отдельным арrумен-
•
Разлагая центрированное стохастическое поле z (t) в области
анализа А в ряды по тому или иному базису, можно ввести в рас
смотрение различные дискретные модели стохэ.стического про
странственно-временного канала. В [59] это сделано для скаляр
ного поля.
Особый интерес представляет разложение в ортогональном
базисе с некоррелированиыми коордииа-rами - разложение Кару
иена - Лоэва,
-
позволяющее получить предс-rавление (модель)
принимаемого поля в виде совокупности сигналов отдельных не
коррелированных ветвей разнесения [46, 59]. В случае векторного
поля можно ввести в рассмотрение разложения Ка рунена - Лоэ
ва как по векторному базису со скалярными координатами, так
и по скалярному базису с векторными координатами [19].
Число некоррелированных координат для каждой из скаляр
ных компонент поля ti (t, f, r), флуктуирующего независимо по
отдельным аргументам,
NФ= [ 1+ Та/1,] [ 1+ Fa/11] [ 1+Xa/lx] [ 1+ Уа/1"] [ 1+Za/1,].
( 1.45)
1 I(orдa ~поле за.висит от большего числа аргументов, фа.кторизуемость воз
можна по всем или чаети из ,них [59].
2-46
33
Общее число координат векторного поля при незавнсliмости
всех его L скалярных компонент в L раз превышает правую часть
(1.45). Если все скалярные компоненты линейно (жестко) связа
ны, то общее число независимых координат определяется из
(1.45). Если замирания скалярного поля коррелированы по от
дельным аргументам, то число независимых координат, естествен
но, меньше правой части (1.45).
При выполнении условия F.«IF канал называют неселектив
иым (неиэбирательным) по частоте. В литературе для него при
меняется также термин «канал с гладкими замираниями» [128].
При т.«1, канал называют иеселективным во времени (ча
сто также каналом с медленными замираниями [128]1). Соответ
ственно при х.«1" У,«1,, z,«I, говорят о канале, неселектнв
ном по той или иной пространственной координате. Канал будем
называть неселективным, если он неселективен по частоте, вре
мени и пространству. Флуктуирующая часть передаточной функ
ции неселективноrо канала характеризуется согласно (1.45) одной
координатой разложения (NФ=l). Если же F,'> IF; Т, > l,; Ха>
> lx; Уа ~ 111 ; Za ~ lz, канал будем называть селективным по тому
или иному параметру или соответственно каналом с избиратель
ными (селективными) замираниями по частоте, во времени, по со
ответствующей пространственной координате. Канал будем на
зывать селективным, если он селективен хотя бы по одному
аргументу (частоте, времени, пространству). Селективность или
неселективность канала по отдельным аргументам часто характе
ризуют коэффициентом корреляции квадратурных ком-понеит при
нимаемого сигнала по данному аргументу. Будем обозначать ко
эффициент корреляции по аргументу t при фиксированных осталь
ных аргументах, фигурирующий в (1.44), через R,(t-t'=-r). Ана
логично вводятся коэффициенты корреляции и по другим аргу
ментам: RF (f-f'), R, (r-r') •.
Если для всех значений -r<T*, т•»т. выполняется условие
R, (1:) ""1,
(1.46)
то канал можно считать неселективным во времени {медленные
замирания). Если условие ( 1.46) не выполняется, то будем гово
рить о селективных во времени замираниях. В дальнейшем будем
часто рассматривать ситуацию, когда коэффициент корреляции
R, (,;) се О, т;;з. Т_. Это соответствует быстрым замираниям в канале,
а также случаю, когда отдельные элементы сигнала принимаются
независимо, хотя на протяжении одного элемента параметры ка
нала можно считать постоянными [128].
1 Ин.аг.да заМ!ирания, :при которых па:раме11ры ткаяала ,могут сч,итаться нс
ИЭ:менными •на нятервале Та, но юзменяЮШ~И'М·ИIСЯ от одного та1Коrо интервала к
другому, ~называют бЫIС'I!рыми, а за1ми,ра-ння, m,р-и которых •П~раметры канала ме
няются на интервале Та, - сверхбыстрыми.
* 1 Пр.и фактоl)'Изуемости кор-реляцlJfонной фуН'IЩIИИ no отдельны•м ЗIJ)rу·ме,н
та-м R (t, t') =R, (t-t ')R, (f-f')R" (r-r'), е<:ли поле однородио.
34
Аналогично канал с селективными или неселектпвными зами
раниями по частоте и пространству можно охарактеризовать с
помощью коэффициентов корреляции по этим аргументам.
Реальные стохастические каналы связи характеризуются мо
делями с различной степенью селективности. Каналы радиосвязи,
описываемые однолучевой моделью ( 1.17) при N = 1 прн флук
туации параметров канала, могут чаще всего считаться неселек
тивными по частоте. Наоборот, каналы радиосвязи, описываемые
многолучевой моделью ( 1.17) при флуктуациях параметров ка
нала, чаще всего должны считаться частотно-селективными. Селек
тивность N-лучевой модели ( 1.17) во времени и по пространству
определяется характером флуктуаций совокупности комплексных
полей {у.(1, r)=v•(l)e-'[Ф•tt>+л~,,u.,.e.,i, k=l, N} со случай
ными амплитудами и фазами.
Если пренебречь кривизной фазового фронта волн по всем лу
чам (Лq,. (1, r, 0,) =О), то анализируемое стохастическое поле при
сделанных предполжениях должно считаться fI.еселективным по
пространству 1. Если в этом случае на интервале анализа можно
считать у~ (t) =yhe~iq,", т. е. амплитуда и фаза случайны, но неиз
менны, что имеет место при достаточно медленных замираниях,
то наблюдаются неселективные замираниям по отдельным лучам.
Отдельно отметим многолучевую модель ( 1.18), в которой случай
ными являются только начальные фазы <р1-1. (многолучевой канал с
неопределенной фазой в лучах), которые обычно считаются рав
номерно распределенными на интервале [-n; +n]. Такая флук
туаuия вызывается небольшими изменениями протяженности ка
нала, свойств среды, в которой проходит сигнал, а также фазовой
нестабильностью опорных генераторов. Одиолучевая модель ка
нала с неселективными замираниями, а также многолучевая мо
дель с медленными замираниями (неселективными замираниями в
отдельных лучах) удовлетворительно описывает многие каналы
радиосвязи в различных диапазонах волн.
Одно- и многолучевые модели с селективными во времен[
замираниями приемлемы для описания некоторых низкоскорост::
ных радиоканалов, используемых и планируемых для космических.
линий связи, связи с подвижными объектами (98, 128, 131] и ряда,
других. Одно- и многолучевые стохастические модели с простран;
ственной селективностью приемлемы для каналов, в которЫJt
приходится по тем нлн иным соображениям учитывать случайные
изменения кривизны фазового фронта волны (73, 147].
Модели стохастических векторных каналов могут быть клас~
сифицированы в зависимости от степени взаимной корреляциц
скалярных компонент, значений их средних значений, а такж~
по другим признакам.
1 Не следует думать, что, если канал (для оигнала) неселскти,ве,н по п·ро~
странетву, .оптимальная ПВ обрабоТ'Ка поля неэффN<тивна. Дел.Q в -TGM·, ·чю.
аддитивное п,оле помехи ,в канале чаще всего хара•кте.ризуется -п,рОС1'ранст,вея~,
ной селектооностью и iдЛR его пQдавле~Ния оптимальная ПВ·:. обработка -сум-мар~
нога поля оказЫ1Ваетея :эффекттавной (с:м. rл. 2).
2'
%.
1.7. КорреJJяциоииые характеристики сигналов
Вид алгоритма оптимального приема, а также качественные
показатели системы передачи дискретных сообщений существенно
зависят от характеристики 1
•
-
1~.
•
e;;(,:)=e,1(,:)+ie,;(,:)=-1 J u,*(1-,:, r)uoп;(I, r)dtdr,
(1.47)
2ЬR
которую будем называть взаимокорреляционной функцией 1-и по
зиции комплексного опорного сигнала и комплексного принимае
мого поля, соответствующего i-й позиции, где 't"
-
временнбй
сдвиг между ними, обусловленный несогласованностью во вре
мени.
Функция ,;,;(,) является мерой «различия» (или «близости»)
сигналов с индексами i и j. Если в ансамбль сигналов включить и
все реализации помехи в канале, то эта функция определит так
же меру «различия» («близости») между сигналом и помехой, а
также между отдельными реализациями помехи. Такая характе
ристика различимости сигнала и помехи использована в ряде ра
бот, например (111, 121, 128].
В (1.47)
e;;(,)=R.e ~,;(,)= ffu,т(t-,, r)uoп;(t, r)dtdr;
;,;(,:)=lme,,-(,:J=ff u,т(t-,:, r)Uoп;(t, r)dtdr.
(1.48)
(1.49)
При выводе последних формул учтены соотношения, следую
щие из равенства Парсеваля:
JSu,т(t-,, r)Uon;(I, r)dtdr=
=J"Гu,т(t-,:, r)Uoп;(t, r)dtdr;
fSu,т(t-,:, r)Uoп;(t, r)dtdr=-SSu,т(t-,:, r)Uoп;(I, r)dtdr.
Функции ,,;(,) и в,;(,) будем называть соответственно функцией
взаимной корреляции принимаемых сигналов 2 и функцией взаим
ной корреляции сопряженных сигналов в месте приема. Первая
нз них определяет свойства оптимального когерентного приема,
в то время как для характеристики оптимального приема при
неопределенной фазе сигнала (некогерентный прием) требуется
знание только модуля (огибающей) комплексной функции корре
ляции
го(,>= ,~,;(,:J 1 = Vг2,,.(,:) +;2 ,;(-rJ.
(1.50)
1 В дальнейшем при и1нтеnр'ИIJ)ова~Н·И·Н по облас'DН анализа
поля Л= [О,
Та] XR. пределы интеr~рирования указываться не будут.
2 В дальней~ будем пользоваться термином «>взаимокорреляционная
фу,нкция <:иrналО1В», но необходи.мо ,помнить, чю J)ечь wет о функци,и взаи-м
иой к.орреля.ции между n·ринИJМаемы.м и опорным саrнала,ми, которая соВ~Пада
ет·: 1JH> -смыслу с фу~нкц1Jей взаНЫ1Ной к-оμрмяцин оиrнаJJов для белого шума в
,~нале.
J6
Комплексный опорный сигнал, используемый в схемах опти
мального когерентного приема (см. ниже)
uon;(t, r) = fJ 'l'(t, t', r, r')u;(t', r')dt' dr',
(1.51)
где 11' (t, t', r, r') - функция, являющаяся решением интеграль
ного уравнения
Sf B(t, t', r, r')Ч'(t', t", r', r")dt'dr'=ll'J(t-t", r-r"),
(1.52)
где В (t, t', r, r') - корреляционная функция аддитивной помехи.
Поскольку корреля,I!ионная функция В (t, s) может быть разло
жена в билинейный ряд по своим собственным функциям [19,
34, 78]
~
B(t, s)= k "-•IJ'•(t)q,kT(s),
k=l
(1.53)
где л,, - собственные числа, то решение интегрального уравнения
( 1.52) можно записать в виде
~1
'l'(t, s)= k-'l'•(t)q,•т(s), t= (t, r), s= (t', r').
(1.54)
k-1 Лk
В том случае, когда помеха является суммой двух частей -
сосредоrоченной и флуктуационной, некоррелированных между
собой, разлагая корреляционную функцию Вс (t, s) сосредоточен
ной части помехи в ряд (1.53), получаем 1
00
Bc(t, s)= k л,q,.(t)q,.T(s),
k=l
где Лk, '1'• (t) - собственные числа н собственные функции, соот
ветствующие Вс (t, s). Поскольку корреляционная функция белого
шума со спектральной плотностью N для любого ортонормирован
ного базиса представнма в виде [78]
00
INl'J(t-s) =N 1; qJk(t)q,•т(s)
k=I
(все собственные числа одинаковы и равны N), то
00
B(t, s) = k (л.+N)q,.(t)q,.т(s)
1=1
и
( 1.55)
( 1.56)
С учетом (1.51) функцию ~,;(,:) будем также называть взве
шенной [с весом Ч'(I, 1', r, r')] комплексной взаимокорреляционной
1 Со&:твео,ные ф)"IIIКЦIII! '1'• (t) НQJ>МНруются так, чтобы co6cmeflныe числа
Л11 имели размерность mект,ралыной мотности .мощности.
37
функцией двух реализаций комплексных сигналов в месте при
ема 1. Выражение ( 1.51) можно записать в виде
Uoп;(t, r)=UoпJ(I, r)+iuoп;(I, r),
где
Uoп;=Jf'Y(t, (, r, r')u;(I', r')dt', dr',
( 1.57)
Uoп;(I, r)=JJ'P'(I, t', r, r')u;(t', r')dt'dr'.
(1.58)
Предполагая весовую функцию '1' (1, 1', r, r') однородной, т. е.
'P',(f, 1', r, r') = '1' (1-1', r-r'), можно показать, что Поп .i (1, r) и
Поп ;(t, r) связаны между собой парой преобразований Гильберта.
Ансамбли сигналов, для которых
щ(,:)=0, 't/i, jE{O, 1, 2, ... , m-1}, i,,'=j,
(1.59)
будем называть ортогональными в месте приема при произволь
ных временнь1х сдвигах т. Если выполняется условие е,;(О) =О•,
то будем говорить об ортогональной системе сигналов в месте
приема.
.
Если в (1.47) i=j, то ен(т) будем называть корреляционной
функцией принимаемых комплексных сигналов 2 . Фактически мож
но говорить лишь о приближенном выполнении условия ( 1.59),
так как его строгое выполнение возможно лишь при использова
нии сш:налов, спектры которых нигде не перекрываются, что не
осуществимо. На практике условия (1.59) часто выполняются при
любых i и j лишь при значениях
( 1.60)
В этом случае будем говорить, что при несовпадении индексов
i и•у выполняется условие узости для взаимокорреляционной функ
ции, а при совпадении индексов - условие узости корреляционных
функций.
Введем нормиро1'анные корреляционные функции при т=О;
А_
•11
--
iJ- -Veн BJJ
( 1.61)
где
h',=
8
~
1
=-1⁄4JJ u[(I, r)u0п,(I, r)dtdr
(1.62)
1 Введенные здесь и Н'ИЖе фующии корреляци,и, определе,нные для всех
,реализаций с11гналов, не следует смешивать с -'Взанмо- и автокорреля:ц,ноннымн
функциями случайных щро,цессо,в (полей) общего вида.
*J В дальнейшем часто коэффициент е(О) будем обозначать просто через
е. АналогИ'Чное обозна,чение будет иrnользоваться и для нормированных коэф
фициентов корреляци,и сигнало'В.
2 Систему сигналов, для которой Вu=в •т. е. не зависит от i), будем на
зывать систем-ой с тшкu1.ествеН1Ными rкорреляционным-и ха,рахтер'НСТ1ИКЗ'МИ пр•mш
маемых сигналов. Аналоrurчное iПонятие ,можно ю~ести и для ансамбля п~рма
вае,мых сигналов.
38
-
энергетическое отношение (сигнал/помеха) для i-ro сигнала в
месте приема 1. Можно показать, что Eij~v EiiBjj. Следовательно.
нормированная корреляционная функция ( 1.61) удовлетворяет
условию IЛ,; 1,е;;; 1. Аналогично можно показать, что такому же
условию удовлетворяет и нормнрован:~ая функция корреляции
сопряженных принимаемых сигналов Л;;= e;;/V внв;;.
При неопределе11ной фазе сигнала в некоторых случаях свой
ства приемника характеризуются огибающей (1.50) и соответ
ственно нормированной огибающей
Aij= Vл20 +Л.2ij.
(1.63)
Назовем систему принимаемых сигналов, для которой
E;J(,) =;;;(,) =ё°,;(т) =0,
'r/i, je{O, 1, ... , т-1}, ia;l=j,
( 1.64)
ортогональной в усиленном смысле при произвольных временных
сдвигах т.
Очень часто мы имеем дело с системой сигналов, удовлетво
ряющих условию е,;=0, которую будем, пользуясь терминологией
[128], называть ортогональной в усиленном смысле (в месте
приема).
На практике условия ( 1.64) обычно выполняются лишь в гра
ницах ( 1.60) .
Аналогично введенным характеристикам принимаемых сигна
лов можно ввести взвешенные корреляционные и взаимокорреля
ционные характеристики передаваемых сигналов:
т.
μ,
1
. .. ,1 ~•) =J s,(1-,)'1"1 (1, t')s;(t')dtdt';
(1.65)
-
т.
μ,i',,1 (т) = 5 s,(1-,)'1"1 (1, t')s;(t')dtdt',
(1.66)
о
а также нормированные корреляционные функции при т=О:
( 1.67)
и их огибающие.
Корреляционные характеристики принимаемых сигналов в зна
чительной степени определяются корреляционными свойствамн
передаваемых сигналов. Так, для многолучевой скалярной моделн
канала (1.18), лучи которого представляют собой плоские волны
(Лq" (r, 6,) = О) прн факторизации обратной корреляционной функ
ции аддитивной помехи по пространственным и временным аргу
ментам (Ч' (1, t', r, r') = '1"1 (1, 1') чrп (r, r')), ортогональность прини
маемых сигналов 11ри любых временных сдвигах для произволь-
1 В tдальнейшем это отношение расомат1рmается более подробно.
39
ных фазовых соотношений лучей возможна в том с,1учае, если
передаваемые сигналы ортогональны в усиленном смысле при
любом временном сдвиге с весом, равным временной обратной
корреляционной функции помехи ЧГ 1 (t, 1'):
( 1.68)
Это условие обеспечивает также ортогональность принимаемых
сигналов в усиленном смысле при произвольных сдвигах во вре
мени.
При определенном фазировании в канале (q,,=q,) для обыч
ной ортогональности принимаемых сигналов достаточна ортого
нальность передаваемых сигналов (с тем же весом).
Для однолучевоrо канала ортогональность и ортогональность
в усиленном смысле принимаемых сигналов при любых времен
нЬlх сдвигах эквивалентны соответственно ортогональности и ор
тогональности в усиленном смысле при любых временных сдвигах
передаваемых сигналов с весом ЧГ 1 (t, t').
Для узкополосных передаваемых и принимаемых сигналов ор
тогональность в усиленном смысле при произвольных ненулевых
сдвигах равносильна обычной ортогональности при ,1юбых сдви
гах. Однако для таких сигналов ортгональность в усиленном смыс
ле (при ,:=0) не эквивалентна обычной ортогональности.
1.8 . Некоторые ансамбли сигналов,
используемые в технике связи
В технике связи, в частности радиосвязи, для передачи кодо
вых символов Ь, могут использоваться сигналы s, (t) самой раз
личной формы. На практике наи•более распространены сигналы,
использующие гармонические несущие, но активно обсуждаются
возможности использоваl-1:ия и иных «широкополосных» перенос
чиков, уже применяемых в радиолокации [20, 133, 135, 159].
Простые сигналы (отрезки синусоиды) с малой базой [128)
Ьс = 2FT"" 1 можно представить в виде
s,(t) =A,cos(oo,t+q,,)h(t) =ReA, е
1
"' 11 h(t),
(1.69)
где Ai, mi~ (J)i - параметры сигнала (амплитуда, частота, началь
ная фаза); неизменные на тактовом интервале Т; A,=A,elo, -
комплексная огибаю1цая; (!)i=roo+Qi(Ыo - средняя частота в
спектре или частота несущей); Qi ~ отклонение частоты от не
сущей;
h(l)=l 1,
о,
fEc (О, Т];
t ё,[О, Т].
Сигналы (1.69) имеют на интервале т•> при последовательной
во времени передаче символов Ь, (в последовательных модемах)
*1 Для систем с активной паузой и на любом .временнбм интер,вале (128].
40
минимально возможный пикфактор 1 r-,p =Pmax!Pcp (отношение
максимальной и средней мощностей), а также хорошую концент
рацию во времени. Это важное эксплуатационное преимущество,
однако достигается оно тем, что занимаемая этими сигналами
полоса частот теоретически не ограничена. Практически ширина
нх спектра (содержащая 99% мощности) р,,,,4/Т.
Большинство существующих дискретных систем связи исполь
зует простые сигналы ввиду простоты их формирования, обработ
ки и приема [например, двоичные системы АМ, ЧМ, ФМ (ОФМ),
четырехпозиционные системы ДФМ (ДОФМ), ДЧМ и др.). Иногда
двоичная система сигналов АМ, в отличие от сигналов ЧМ и ФМ,
именуется системой с пас,сивной паузой. Такая система сигналов
соответствует случаю простого обнаружения сигнала [23, 78, 128].
Желание сократить -полосу частот, занимаемую системой сиг
налов s, (1) (что диктуется, в частности, спецификой построения
скоростных систем передачи данных по реальным каналам связи
(! 3, 40, 49, 58, 77, 118]), заставляет отказаться от концентрации
энергии сигнала на тактовом интервале Т.
Так, при концентрации огибающей сигнала s, (1) в пределах
полосы частот F= 1/2Т (полосы Найквиста) необходимо при мно
гопозиционной АМ (многоуровневой модуляции) вместо прямо
угольной использовать огибающую
A,(l)=)a,sin(nFt) /, i=0, т-1,
,
nFt
что делает элементарный канальный сигнал теоретически неогра
ниченным во времени. Естественно, что на практике (вследствие
достаточно быстрого убывания отсчетной функции sinx/x) можно
и в этом случае ввести понятие эффективной длительности эле
ментаRного сигнала. База такого сигнала остается близкой к 1.
Существует множество систем сигналов и способов передачи,
nри которых достигается та или иная концентрация энергии сиг
нала во времени и по частоте [13, 74]. Как известно, наиболее
плотной такой концентрацией сигнала отличаются сигналы с га
уссовской формой огибающей, если длительность и ширина их
спектра определены по Габору (132].
В технике радиосвязи также распространены сигналы с боль
шой базой (Ь, = 2FT-;» 1). Иногда их называют сложными, «ши
рокополосными» 2 или шумоподобными. Такие сигналы можно
сформировать различными способами [18, 20, 79, 95, 128], однако
наиболее распространены составные сигналы, образуемые на так
товом интервале Т из N последовательных 3 эле~ентарных сиrна-
1 Пр,и параллельной передаче си-м,волов на раэных частотах (,в па,раллель
ных модемах) пикфа,ктор су,м,ма-рного сигнала больше и зависит от числа па
раллель-ных ~каналов.
2 Такое название неудачно, так как системы сигналов с большой базой в
ради-Оiе'вязи .н д-ру,rих областях технтш, как .правило, уд·овле-гворяют условию
F«f,.
3 Иногда составные сигналы образуются оJ,новрсменной параллельной пе
редачей на различных ;частотах о.ртогональных элементарных сиI"Налов, в част
ности типа (1.69).
лов вида (1.69) длительностью т=Т/N. В элементарных сигналах
по тому или иному закону меняется ам,плитуда, частота или фаза 1.
Элементарные сигналы в составном сигнале чаще всего явля
ются двоичными с неизменной амплитудой и манипуляцией фазы
в соответствии с последовательностями Баркера или Хаффмена
(79, 122].
Сигналы с большой базой обладают определенной избыточно
стью, что можно использовать для повышения верности связи. Од
нако такие системы (в одноканальном варианте) плохо исполь
зуют полосу частот, что исключает их применение во многих ка-
налах.
t
Отметим, что для систем радиосвязи, радиолокации и других:
характерно равенство нулю средних значений передаваемых и
принимаемых сигналов.
В технике радиосвязи широко применяются двух- и многопо
зиционные сист{:МЫ сигналов, ортогональные в усиленном смысле"
а также системы с противоположными сигналами.
Примером системы связи, в которой сигналы на передаче
ортогональны в усиленном смысле, является система типа (1.69)
с поднесущими частотами f;, кратными 1/Т. При этом сигналы
s, (1) могут быть как простыми, так и сложными. Разумеется,
что ортогональность сигналов в усиленном смысле обеспечивает
ся также в том случае, когда их спектры не перекрываются. Дру
гим примером двоичной, ортогональной в усиленном смысле си
стемы сигналов на интервале 2Т является двоичная система с от
носительной фазовой манипуляцией (ОФМ) [128].
В дальнейшем результаты расчета помехоустойчивости приво
дятся для ортогональной в усиленном смысле системы на интер
ва11е Т (например, ЧМ). Однако при m= 2 (двоичная система)
они верны и для двоичной ОФМ, если в формулах, определяющих:
отношение сигнал/шум (h2 ) интегрирование вести на интервале
{О, 2 Т].
При обсуждении проблем приема в условиях многолучевого,
распространения следует оговорить случай, когда условие (1.59}
для всех значений i и j при ограничении ( 1.60) сводится к требо
ванию ортогональности передаваемых сигналов в усиленном
смысле для всех т, удовлетворяющих условию !тl> lтm;nl- Та
кое требование будем именовать условием узости корреляционной
и взаимокорреляциониой функций передаваемых сигналов. При:
этом в многолучевом канале можно разделить сигналы лучей, со
ответствующие произвольной позиции символа, если взаимное за
паздывание между ними превышi:lет !'tmin ! *). На практике указан
ное условие удается удовлетворить лишь приближенно.
Для многочастотных систем с простыми сигналами выполнение
условия ортогональности передаваемых сигналов в усиленном
1 В прин.цише возможно генери.ровать соста,в.ные оигналы с ~одуляцией бо
.11ес одного mа,раметра.
*J В эта,м случае :можно говорить о полном разделении лучей.
42
смысле при заданном т возможно лишь при i е/= i и значениях
Лf,i=f,-fi, кратных 1/,. В случае использования некоторых клас
СIJВ сложных сигналов условие ортогональности передаваемых
сигналов в усиленном смысле можно обеспечить при всех i и j
на континиуме значений 't.
Большой практический интерес для каналов с достаточно мед
ленно меняющимися параметрами представляет двоичная система
противоположных сигналов: s 1 (1) =-So (t); u1 (1, г) =-Uo (t, r).
Последняя ·является оптимальной системой (см. гл. 2) в канале
с известными сигналом при произвольном аддитивном гауссовском
шуме. В такой системе чаще всего используют простые сигналы
(например, обычную двоичную ФМ). Однако за последние годы
привлекают внимание и двоичные системы со сложными противо
положными сигналами [98].
Для рассматриваемого типа сигналов очевидно, что условия
ортогональности и «узости» корреляционной и взаимокорреляцион
ной функций совпадают. Эти условия можно приближенно выпол
нить при использовании на передаче сигналов с полосой частот
F> 1/Лтm;n,
(1.70)
где Лtmin=minl'tk-'trl - минимальное взаимное запаздывание
•·r
лучей k, r в канале. Для простых сигналов F = 1/Т и вместо усло-
вия (1.70) можно требовать
Т <Л,min-
(1.71)
Требование (1.71) исключает перекрытие лучей, обусловленных
передачей элементарного сигнала (т. е. внутрисимвольную интер
фер'енцию).
В литературе анализировалась система связи с простыми сиг
налами, которые удовлетворяют условию (1.71), причем элемен
тарные посылки во избежание межсимвольной интерференции на
приеме в условиях многолучевости передаются с защитным ин
тервалом Тз=,Л'tтах, где .1'tmax -
максимальное запаздывание
между лучами. В гл. 3 будем подобную систему называть систе
мой с защитными интервалами на передаче. Очевидный недоста
ток ее - большой пнкфактор сигнала и недостаточно эффектив
ное использование пропускной способности канала.
Применение систем со сложными сигналами (т. е. с большой
базой), у которых интервал корреляции 11 "' 1/F <Л-r:m,n позволяет
удовлетворить условие (1.70) н при нарушении требования
(1.71), т. е. возможно эффективное разделение лучей и при их
перекрытии.
Переход к системам со сложными (шумоподобными) сигнала
ми, естественно, приводит к усложнению передающей и приемной
.аппаратуры и неэкономному использованию полосы частот ка
нала. Поэтому создание эффективных систем связи, работающих
в условиях многолучевости и использующих простые сигналы,
весьма актуально.
1.9 . Энергетические отношения
для ансамблей uринимаемых сигналов
Исследуем более подробно энергетическое отношение для от
дельных реализаций скалярного сигнала в месте приема при мно
голучевой модели (1.18) в случае факторизуемого ядра Ч', одно
родного по 1:
l
l
h2
,
=
2 в,.= 2 SJJS щ(t, r)Ч'' (1-l')Ч'" (r, r')щ(I', r')dtdrdt'dr'=
1
-
=
2 ~~r. Vm [μ" .,,., (т.m)A•m +μ,, .,,., (т.m) В•т1,
(1. 72)
kт
где А,,т= IJ'1'
11
(r, r') cos[a. (r)-am(r') ]drdr'; В•т= JJ '!' 11 (r, r') Х
RR
RR
Х sin[a,(r)-am(r')]drdr'; a•(r)=q,,,+ ~ (r, r 0 (0.)) + Лq,.(r,0•);
та
.
-
та
μ,, wI
(1:km) = J S; (l-1:,m) '1'
1
(1-1') S; (1') d/dl';
μ11
wl
('!'km) =
fS;(t-
0
О
-'!'•т)Ч'' (t-l')s,(l)dtdl'; '!'km='!'k-'!'m,
Отметим, что алгоритм оптимального приема существенно
•
упрощается, если выполняется условие
t-
h•;= h2 ,
Vi.
(1.73)
Соответствуюшую систему сигналов будем называть системой с
активной паузой [128] 1. Если
'I'(t, t', r, r')= ~ б(l-l')b(r-r') •1
,
то из ( 1. 72) следует
1
Eu-
h', = • ZNJ.ru 2,.(t, r)dtdr=
2
;,
где Еи t - энергия реализации поля в месте приема. Систему сиг
налов, удовлетворяющую условию
Еи,=Е;, Vi,
(1.74)
будем называть системой с одинаковой энергией реализаций при
ннмаемых сигналов. При чисто белом шуме в канале усло:вие
(1.74) всегда обеспечивает выполнение (1.73), если же шум в ка
нале не белый, это утверждение в общем случае неверно.
Как видно из (1.72), в многолучевой модели (1.18) условие
(1.73) выполняется, если выполняются условия тождественности
1 Правильнее было бы называть ее сж:темой принимаемых сигналов с ак
тив1юй паузой.
* ) Этот случай п:редета·вляет интерес для теории и пра1Кти~и и соотsект
вует •модели аддити,вного некоррелированного по времени и пространству шу
мового поля.
44
корреляционных функций передаваемых сигналов при любых
сдвигах:
(1.75)
Для однолучевого канала условие (1.73) выполняется при
μiiw' (О)=μwr (О), Vi.
Заметим, что если Ч'1 (1, l')=б(l-1'), то μi;=E,,, где Е,, =
= j s 2,(l)dl - энергия i-й позиции передаваемого сигнала. Систе
мы сигналов, удовлетворяющие условию Е,, = Е,, можно было бы
называть системами с активной паузой на передаче. Если сигна
лы имеют неизменную огибающую, то условие (1.75) может быть
выполнено как для сложных, так и для некоторых систем простых
сигналов. Такие системы привлекают внимание специалистов [96].
1.10. Модели аддитивных помех, нормированная функция
и функционал правдоподобия
"Пространственно-распределенная помеха п (t, r), которая, ли
неино складываясь с полем сигнала u (t, r), образует доступное
для анализа суммарное поле z (1, r) =U (1, r) +n (1, r) может иметь
самую различную природу и статистику. Различают помеху, су
ществующую всюду в пределах анализируемой частотно-времен
нбй и пространственной областей анализа поля, а также помеху,
локализованную в тех или иных участках спектра (временного и
прос~ранственного) и называемую обычно сосредоточенной или
же локализованную в тех или иных участках интервала анализа
поля (во времени и пространстве) и называемую обычно импульс
ной.
Как показывают мнnгочисленные экспериментальные данные,
поле помехи, непрерывно существующее в пределах анализируе
мой частотно-временной и пространственной областях, имеет гаус
совское или близкое к гауссовскому распределение, что теорети
чески объясняется ее образованием за счет суммирования боль
шого числа слабо коррелированных слагаемых с ограниченным11
дисперсиями. В частности, она может быть результатом суммар
ного воздействия в области анализа боJiьшого числа относительно
слабых сосредоточенных помех или большого числа перекрываю
щихся импульсных помех, к рассмотрению которых перейдем да
лее. Сосредоточенными (по спектру) будем называть такие адди
тивные помехи, которые существуют во всей области анализа
Л=[О, T]XR, но их основная часть мощности сосредоточена в от
д1::~1ьных областях частот (временнОго или пространственного
спектра) меньших величины, обратной интервалу анализа во вре
мени (J/Ta) или по пространственным координатам (1/Ха, 1/У,,
1/Z,). Они возникают в радиосвязи чаще всего в результате воз
действия на приемное устройство сигналов посторонних систем
связи или являются преднамеренными помехами.
45
В полосах полезного сигнала сосредоточенные помехи появ
ляются с той или иной вероятностью и их статистика во многих
случаях может считаться схожей со статистикой полезного сиг~
нала, в частности для них приемлема общая гауссовская модель.
Импульсными будем называть такие аддитивные помехи, ко
торые с той или иной вероятностью отличны от нуля лишь на
отдельных интервалзх времени и пространства, сушественно мень
ших соответствующих интервалов анализа (Та, Х,, У,, Z,) и раз
деленных значительно более длительными интервалами, свобод
ными от помех. Источники импульсных помех в радиоканалах
весьма разнообразны [121, 128, 155, 171]. Уровни этих помех ха
рактеризуются высокими вероятностями больших значений и пло
хо описываются гауссовски-м законом. Для них предложеиы раз
личные модели (121, 128, 143, 171].
В качестве обобщающего для распределения амплитуды им
пу,1ьсной помехи можно предложить распределение, образованное
взвешенным суммированием четырехпараметрических функций
распределения
к
к
--
W (y) = k Ck W,. (y), kc•=l,c.:;;;,O,k=l,K.
(1.76)
k=I
k=l
Частная модель распределения (1.76) в виде взвешенной сум
мы рэлеевских функций распределения была предложена для им
пульсной помехи в (171]:
W (у)= :3 c~,
2r е-v•J•' • ,
у>О.
L
k=l )'k
Следует подчеркнуть, что сосредоточенные и импульсные по
мехи наблюдаются не только в каналах радиосвязи [13, 40, 128].
Идеализированные модели сосредоточенных и импульсных по
мех часто задаются в форме случайной последовательности
/\-функций (соответственно по частоте и времени). ПоскоJ1ьку
суммарная полоса частот или интервала существования такой
помехи имеет меру нуль, то в ттринципе в системах связи такую
помеху можно было бы нолностью подавить. 1( сожалению, одна
ко, реально существующие сосредоточенные и импульсные помехи
плохо описываются такой моделью.
Будем аппроксимировать аддитивный шум тремя компонен
тами
n(I, r) =ПФ(I, r) +n0 ,(I, r) +п.(1, r),
(1.77)
где пФ (1, r) - флуктуационный гауссовский белый шум с корре
ляционной функцией
ВФ (1, 1', r, r') = NЬ (1-1', r-r');
N - матрица спектральных плотностей шума. Для каждой ска-
•
РФ"
РФ 11
лярнои компоненты N,, =
= -v-
-
это отношение
2F,2F,2Fy2F,
F
средней мощности помехи в полосе анализа сигнала (которая
всегда считается ограниченной по временнь1м и пространственным
46
частотам) к частотному объему анализируемого сигнала VF; F,, F,,
Fy,F, -
размеры спектра анализируемого сигнала по положитель
ным частотам; Пс (t, r) - сосредоточенный гауссовский шум с кор
реляционной матрицей Вс (t, t', r, r'); nи(I, r) - импульсный не
гауссовскиi! шум. Воздействие такой помехи иа связь будет ана
лизироваться в гл. 5.
Главное внимание будем уделять весьма характерному для
многих систем радиосвязи гауссовскому аддитивному шуму п (t,
r) =nФ(t, r) +n 0 (t, r) с корреляционной матрицей B(t, t', r, r').
Часто будем пользоваться моделью поля n(t, r) с факторизуе
мой по t и r корреляционной функцией
В(1, t', r, r') =В1(1, t')В11(r, r'),
в частности моделью
B(t, t', r, r') = [о2 е-а/х-х'/ +N6(x-x')]6(t-t', у-у', z-z'),
(1.78)
образованной некоррелированными компонентами пФ (t, r) и
пс (t, r). Она позволит оценить и учесть влияние коррелированной
в пространстве помехи, в данном случае представляющей собой
одномерный марковский процесс по оси х.
Модель (1.78) предполагает, что сосредоточенная часть помехи
определяется корреляционной функцией
Bc(t, t', r, r') =о2 е-а/х-х'/ 6(t-t', у-у', z-z').
Представляет интерес модель помехи пс (t, r), образованной в
точке r суперпозицией многих луч~й [см. ( 1.17) ]:
с
N
п,(t,r)=~п,,(t,r)=
k=l
N
-
i [ :п ('• ,, (0,п))+ЛФ (с, 0kп)]
=~Reti,(1,0)e
""
,
k=l
(1. 79)
где Л<р (6,п, r) - случайный фазовый сдвиг, зависящий от r и
учитывающий кривизну фазового фронта луча, пришедшего с на
с21t
прав.ления Оkп; Лиk = ----
"'u•
шедшей с направления 0kп;
средняя длина волны помехи, при-
ti,(t, О)=1'• (t)е·-• Ф; <1
>е' "'п • (<-,,)
-
луч, достигающий точку r = О с направления е,. 0 и характери
зуемый случайной амплитудой 1'• (t) и фазой <р• (t).
Функция корреляции для ( 1. 79)
NN
B,(t, t', r, r') =(~ L y,(t)y,(l')cos[-w0 ,t+q,,(I) +
r=l k=l
2n
+;--(r, Го(О,,)) +Лq,\0,,, r)]cos[-wn,t'+q,.(t') +
~иг
+,2" (r', Гo(Okn))+Лq,(0,u, r')]).
~,'
47
l
Если лучи некоррелированны, изменения nck (1, г) во времени и
пространстве, а также амплитуд Y•(t) и фаз q,,(t) независимы,
распределение разности фаз q,, (t) - 'Р• (t') симметрично, квадра•
турные компоненты У• (t) cosq,• (t) и У• (t) siпq,• (t) имеют один а ко·
вые корреляционные функции, равные В (t, t'), то для функции
корреляции помехи получаем
N
Bc(t, t', r, r')=B(t, t') ~<cos[-<ilп•(t-t')+8,(r, r')]),
k=l
где
0,(r, r') =
2
" (r-r', r0 (0,п)) +Лq,(r, 0,п)-Лq,(r', 0 ••).
лп•
Если приня-Ть ffiпн=ffin (т.
ча,стоты) и обозначить
N
~ <cos0,(r, r'))=B,(r, r');
-·
то
е. все луч,и помехи имеют одинаковые
Bc(t, t', r, r') =B(t, t') [B,(r, r')cosып(t-t') +
+ В, (r, r') sin ffiп (1-1')].
(1.80)
При симметричном распределении O,(r, r') имеем B 2 (r, r') =0
и функция корреляции помехи
Bc(I, 1', r, r')=B(t, t')cos[ю0 (t-t')]B 1,(r, r').
(1.81)
Как видим, здесь имеет место факторизуемость корреляционной
фу11кции по пространственным и временному аргументам. Если
квадратурные компоненты у (1) полагать 6-коррелированными со
спектральной плотностью а', то из ( 1.81) следует
Bc(t, t', r, r')=cr2B,(r, r')6(t-1').
Эта модель использовалась в различных работах [25, 48],
Учет 6акоррелированного слагаемого шума в модели (1.77)
гарантирует устойчивость решающей процедуры (несингулярность
решения) [17, 78].
В данной книге исследуются лишь поля, квантовые свойства
которых не учитываются. Укажем, однако, что получаемые ниже
результаты могут быть перенесены на квантовые задачи, если
только в них квантовые шумы малы по сравнению с некоррелиро·
ванным гауссовским шумом.
Большую роль в задачах оптимальной обработки сигналов ди
скретного аргумента t, играет отношение правдоподобия гипотез
о наличии сигнала u, (tk) на фоне шума п (t,) и о наличии только
шума
1
)] w,.N(z(l>)=u,(t,)+n(I>), k= 1, N)
i, N = /[ U; (fн = -':..С..::'---------_::::_::::_::::--,
W,,N(z(t>)=n(ta), k= l, N)
которые будем называть нормированной функцией правдоподобия.
48
•
,-
Для rауссовских полей непрерывного аргумента существует от- .
личный от нуля предел [3, 70, 78]
1,=l[u,(t)] = lim 11,N ,
N-oo
который назовем нормированным функционалом правдоподобия.
Обобщая результаты [126], можно записать нормированный функ
ционал правдоподобия при точно известном векторном сигнале
u, (1, r) на фоне произвольного rауссовскоrо шума в виде
1, = ехр[q;-h2
,],
где 1
l
.
.
q;= JSzт(t, r)Uoп,(t, r)dtdr=
2 Reff z*(I, r)u 0 п,(/, r)dtdr
-
корреляционный интеграл для i-й позиции;
( 1.82)
( 1.83)
l
l
•
•
h 2;=тffu,т(t, r)Uoпi(/, r)dtdr=тSJ u';(t, r)Uuпs(I, r)dtdr (1.84)
-
энергетическое отношение для i-й позиции. Здесь введены век
торные поля
tion,(1, г} = .f .[ Ч'(I, 1', r, r')u,(t',r')dt'dr',
Uciп;(t, r)=Jf Ч'(I, t', r, r')u,(I', r')dt'dr',
которые будем именовать в дальнейшем опорными сигналами
(в схеме оптимального приема на корреляционной основе).
'
1.11 . Алгоритмы оптимального приема
В системах радиосвязи, радиолокации и других системах ал
горитмы оптимального приема детерминированных сигналов 2 на
фоне аддитивного шума с целью получения оценки дискретного
параметра б; (сообщения Ь,), т. е. алгоритмы обнаружения или
различения, как правило, основаны на сравнении между собой с
заданным весом 8i значений нормированных функционалов прав
доподобия 1, •J.
arg mах{в,1,}, iE{O, !, ... , m-1},
(1.85)
'
где под arg max{A,} понимается то значение i, при котором А,
i
максимально. Веса е, зависят от априорных вероятностей симво
лов Ь,, цены ошибок и других параметров, определяя тот или иной
критерий оптимальности приема. С учетом (1.82), ( 1.83), ( 1.84)
1 Сходим•ость ст-охасrичес·ких интегралов всюду 1пон,имается в ареднеквад
ратичооком t!мы-сле.
2 В реальных системах связи, радиолокации и других ожидаемый сигнал
(поле Ui (t, r)] можно с·читать по результатам его оцеюки извесмым лишь с
тем или ,J11ным приближением, к·оrорое зав-И1Сит, ,в частности, от энергетическо
го О'Г1-ЮШ€;ИИЯ сигнал/шум.
*J Такой a.i1ropи'J\M ,резJРизует байесоос.юий критерий оптимальности [73, 89,
128].
алгоритм (1.85) в канале с произвольным гауссовскнм шумом
принимает вид 1
arg max{q,-h2,+lne,}=arg max[Sf zт(t, r)uoп,(1, r)dldr-
'
'
_..!_J·fu,т,(t, r)uoп,(I, r)dldr+lne,]=arg max[-
1
Rej\'z'(I, r)X
2
i
2
••
ХUоп,(1, r)dtdr-+fSu*,(t, r)uoп,(t, r)dtdr+ln е,].
(1.86)
На рис. 1.6 показана структурная схема реализации оптималь
ного алгоритма ( 1.86) на базе матричной корреляционной схемы.
В ней три основных блока
приемника: БИ - блок
измерения
параметров
принимаемого поля (для
получения необходимой
априорной информации),
БФ - блок формирования
необходимой априорной
информации для решаю
щего блока [сигналов
тактового
управления
СТУ, ожидаемых опорных
Рис.
1
1
1
1
1
L
Рб
СТУ
ос
пс
1.6
сигналов ОС (Uoпi (1, r)),
~ -•-r:r
пороговых сигналов ПС (h',-
- lff/ -In е,)] и решающий блок РБ,
г--------------,
содержащий т матричных
J
(векторных) ПВ перемножите-
!
а
I лей. П, и интеграторов И,, а
J
I
также т скалярных вычитаю-
!
1
щих устройств ВУ и схему
1
,
1
сравнения и выбора (ССВ) в
1
h,-zn,,
1
моменты, кратные Т, нанболь-
!
: шей из входных величин для
~ '1..,Г;,;1 определения значения позиции
"'
,L::J (символа), регистрируемого в
1
дискретном запоминающем
! устройстве ЗУ. После вынесе-
1
ния решения блоки, накапли-
1
вающие энергию, должны быть
m-1
1
1
1
приведены к нулевым иачаль-
1
1
ным условиям для приема пo-
L----- ~--- --- -. J
следующих элементов. Точные
Рис. 1.7
знания в месте приема ожида•
1
В далынсйше-м будем nользоваться зааисью алr~ИТl..'dа и отдельных его
ком:понент ка~к в ком.плексном, так и в вещественном представлении. Трактуя
коМIПлексную ог.юбающую опор~ного .сигнала как оптимальное амплитудно-фа
зовое распределение по раскры1ву ,nрнем·ной антенны [5, 11, 126], можно ввес
ти .в ра-сс·мотренне ве-кrорные v:~.иаграм•мы направле.нност,н в дальней З.Q!te оп-
11И1мальных приемных уtтрой,с11в п1рн заданных свойствах сигнала н шума в ка
нале [64],
50
емых (опорных) сигналов Uoп,(f, r), в том числе и соответствую
щих фазовых соотношений, характеризуют когерентность рассмат
риваемой схемы.
При практической реализации ПВ обработки сигналов блоки
П, и И, могут быть совмещены в одном блоке.
На рис. 1.7 дана структурная схема реализации оптимального
алгоритма (1.85) на базе схемы с матричными ПВ согласованны
ми (линейными) фильтрами СФ [59]. Реализуемые импульсные пе
реходные характеристики таких фильтров (с учетом оrраничеи
ности области анализа поля Л) определяются опорными сигнала
ми Uoпi (1, r) [59].
Некоторые аспекты различной реалиаации устройств оптималь
ной ПВ обработки поля, в том числе голографическими методами
и на цифровой основе, освещены в [7, 59, 104, 139, 148].
Алгоритм (1.86) записывается в скалярном виде как
L
\L
arg max[ ~ rrz,(t, r)Uoпil(t, r)dtdr--Iшиil(t, r)Uoпil(t, r)dtdr],
i•1=1'
2 1=1
L
где lloпil(t, r)= ~ fS 'Y,,(t, t', r, r')и;,(1', r')dt'dr', т. е. в общем
r=I
случае (при произвольной корреляционной матрице аддитивного
шума) оптимальный алгоритм требует совместной обработки сиг
налов всех скалярных компонент. Поэтому большой практич2ский
rинтерес представляет ситуация, когда помеха не коррелирована
по отдельным скалярным компонентам. Тогда корреляционная
матрица помехи является диагональной и вычасленне корреля
uнонного интеграла (соответственно и реализация оптимального
приема) существенно упрощается. В этом случае
q,= ~ JJJJz,(I, r)'l'11 (1, 1', r, r'.)u.,(t', r')dtdrdt'dr',
1=-=1
т. е. при обработке 1-й скалярной компоненты поля z1 (t, r) необ
ходим опорный сигнал, зависящий только от этой же скалярной
компоненты сигнала. Энергетическое соотношение в этом случае
h2,=+tSJ".fJ ин(t, r)'l't1(I, t', r, r')ин(I', r')dtdrdt'dr'.
l=I
Общая теория разнесенного приема (учета L компонент сигнала)
будет рассматриваться в rл. 4.
В случае использования распространенного критерия минимума
средней вероятности ошибки (критерия Котельникова или «иде
ального наблюдателя») [33, 71, 128] в, определяются априорными
вероятностями передачи символов р (Ь,) и алгоритм ( 1.85) можно
записать в виде
arg max{p(Ь,)l;}=arg max{P(b,/z(I, r)},
i
'
(1.87)
т. е. выбирается дискретный символ, для которого апостериорная
вероятность передачи максимальна.
51
В книге чаще всего будут рассматриваться алгоритмы приема,
основанные на критерии максимального правдоподобия. Они сле
дуют из (1.87) при p(b,) =const (равная вероятность передачи
символов) 1 или из (1.85) при e;=const
arg max{I,}.
(1.88)
'
В случае критерия Неймана - Пирсона, используемого при
простом обнаружении, е,/ео определяется заданной вероятностью
ложной тревоги [23, 128]. Приписав отсутствию сигнала (наличие
в канале одного шума) символ О, а наличию сигнала (на фоне
шума) символ 1, нетрудно убедиться в идентичности задач про
стого обнаружения и различения в двоичной системе связи с пас
сивной паузой (АМ).
Отметим, что в канале с аддитивным гауссовским шумом при
детерминированном входном сигнале корреляционный интеграл
q; является достаточной статистикой или определяет выходной
эффект «достаточного» приемника. Для системы сигналов с ак
тивной паузой (h',=h') оптимальный приемник в таком канале,
реализующий алгоритм ( 1.88), должен вычислять только корре
ляционные интегралы для разных i и сравнивать их между собой.
Поскольку щ (1, r) = u (1, r, Ь,), то задачу оптимального обнару
жения и различения можно свести к задаче оптимальной оценки
дискретного параметра bi (сравнению т гипотез относительно
этого параметра). Когда число гипотез очень велико, выполнение
полного их перебора встречает определенные трудности. В этой
связи встает вопрос о возможности использования методов оценки
непрерывного параметра Ь, реализуемых достаточно простыми
средствами, для оценки дискретного Ь, (см. гл. 3).
Если принимаемое поле щ (1, r), а следовательно, и нормиро
ванная функция (функционал) правдоподобия 1, зависят от не
которого набора (вектора) случайных неинформационных (несу
щественных) параметров л с распределением W (л), то оптималь
ный байесовский приемник строится по алгоритму [89, 128]
arg max{e, r /1(л) W(л)dл},
(1.89)
i
Лн,п
r,,e Лн.п - область определения неинформационных параметров
сигнала.
В каналах с селективными замираниями (во вре)Jени, по ча
стоте, в пространстве) Л приходится рассматривать как случай
ную функцию соответствующих аргументов. В этом случае часто
используемый путь для нахождения усредненной функuии правдо
подобия заключается в разложении этих функций по Карунену -
Лоэву с некоррелированными координатами (см. § 2.4).
1 В системах .передачи данных, занимающих все боль.шее место в общей
сети связи, предположение о раmювер-оя-тиости пере~да.ваемых сю.tволов (с уче
том свойств истоqников и методов кодwрования) соответсТ!Вует ,реальным усло
виям.
52
Для гауссовских каналов с селективными замираниями суще
ствует и другой путь нахождения алгоритма оптимальной обра
ботки, основанный на сравнении конкурирующих гипотез о раз
личных корреляционных функциях [25, 78]. Эти алгоритмы могут
быть обобщены на случай обработки гауссовских векторных по
лей. Однако представляется, что этот путь не имеет видимых пре
имуществ по отношению к вышеуказанному в условиях парамет
рической неопределенности сигнала.
Алгоритмы оптимального приема дискретных сообшеннй могут
строи-г.ься и на оценочно-корреляционной основе [59, 72, 115, 164].
В частности, можно показать, что при некоррелированности со
средоточенной Пс (1, r) и флуктуационной Пф (1, r) частях помехи
алгоритм оптимального приема (1.86) представим в следующем
эквивалентном виде:
arg max{-
1
ff[z (1, r)- -
1
-
(~с; (1, г) + ~co(I, r))] Tu; (1, r)dldr-
;
N•
2
_ _I_ u;т(t, r)u;,(I, r)dldr+lne;),
2N
где пс; (1, r), lico (1, r) - неупреждающие оценки по минимуму
среднего квадрата ошибки сосредоточенной помехи соответственно
при гипотезах о наличии в месте приема сигнала i-й позиции на
фоне помехи и наличии только аддитивной помехи [164].
При получении этого алгоритма учтено, что импульсная ха
рактеристика оценивающего фильтра g (1, 1', r, r') связана с обрат
•· ной корреляционной функцией '1' (1, 1', r, r') соотношением g (1, t',
r, r') = М (1-1', r-r')-N'I' (1, 1', r, r').
К:огда отсутствует достаточная априорная информация о сиг
нале и помехе, перечисленные алгоритмы не могут быть реализо
ваны. В частности, при отсутствии знания априорного распреде
ления несущественных параметров канала алгоритм ( 1.89) нереа
лизуем.
Разработаны различные пути преодоления априорной неопре
деленности, в том числе различные адаптивные и непараметриче•
с кие методы оценивания [78, 119, 142].
Заслуживают внимания алгоритмы приема, которые при при
нятии решения вместо неизвестного априорного используют апо
стериорное распределение параметров канала, а также обобщен
ный алгоритм максимального прав;щподобия [128]
arg max{max{e;l;(л)}},
(1.90}
;
i
вовсе не требующий знания параметров канала и формирующий
для каждой из гипотез функцию правдоподобия при тех значе
ниях неизвестных параметров, которые ее максимизируют.
1.12. Оценка качества систем передачи дискретных сообщений
Объективной мерой качества систем передачи дискретных со
общений по каналам связи в большинстве случаев являются до-
53
стоверность н надежность связи. При сравнении различных си
стем между собой достоверность передачи удобно оценивать экви
валентной вероятностью ошибки Ро- Она определяется Л. М. Фин
кам [128] как вероятность ошибочного приема символа в вообра
жаемом двоичном канале без памяти, в котором кодом без избы
точности передается то же количество информации, что в рассмат
риваемой системе (с заданными кодеком, модемом, моделью ка
нала), при условии, что в воображаемом канале и анализируемой
системе обеспечивается одна и та же вероятность ошибочного
приема кодовой комбинации PR *J. В условиях достаточно надеж
ной связи p,,,,,p,Jk, где k - число информационных снмзолов в
кодовой комбинации. Сравнение разл,1чных систем между собой
по эквивалентной вероятности ошибки Рэ разумно вести при по
стоянной средней мощности передатчика Рпер и неизменной ско
рости ввода информации в канал
1'
log2 т
/
=nнт- v, дв. ед. с,
где nн - число каналов параллельной передачи; т
-
позицион
ность кода; Т - длительность элементарной посылки передавае
мого сигнала; v - коэффициент замедления передачи, обуслов
ленный из6ыточностью кода.
Если фиксированы эквивалентная спектральная плотность
'1ОШности аддитивной гауссовской помехи в канале N, (см.§ 2.9),
его средний квадрат коэффициента передачи у' и объем простран
r ственной области обработки поля mes R, то инвариантом сравне
ния различных систем является величина
ii\ = _y~•-P~п~••~m_e_s_R__
1
N8 Т log2 mvn8
Введем параметр'
h2 -Pc,1T mes R/Nэ
Ту2PneP mesR
Nэп111og2т,,
( 1.91)
-
отношение энергии элемента сигнала в месте приема к эквива
.пентной спектральной плотности мощности гауссовсксго шума 2 ;
Р с - средняя мошность передаваемого сигнала в одном частот
ном канале. Для последовательного модема nн= 1, Рс=Рпср и
h2 -h2" log, mv.
(1.92)
Для параллельного модема, полагая nк=n, имеем Рс=Рпер/п.
*' В Э'l'ОЙ книге в ·большинстве случаев сред1няя вероятность ошибочного
приема символа в анаJJизируе-мой системе р=рэ.
1 В дальнейшем также будет использоваться параметр h 2о=РсТэ mes RJN,,.
2 При белом шуме в канале Na=No, где N0 - сnектральная плотность
~10щности на пол,ожительных частотах в,ременн6го с.пектфа. Равенство ( 1.91)
следует нз (1.84) для каждого луча многолучевой скалярной -модели канала
(1.18) при неизменной во времени (~на кнте;рвале анаJ1Иза) кривизне фазового
фронта волны и факторизуемой обратной 1корреляц·ионной функции помехи.
54
длительность элемента сигнала в п раз больше длительности эле
мента для последовательного модема и величина h2 снова опреде
ляется ( J.92).
При использовании двоичного (m=2) безызбыточного (v= l)
кода h2
=h'•·
Если вместо средней фиксирована пиковая мощность передат
чика Рпин, то инвариант сравнения
yi PnикmesR
1
Na-:,Iog2 mvnн
~
2РпинТmesR
N8 nнlog2 mv
:У2РпеР111ТmcsR
Nзnн Iog2 mv
где Рпин/ Рпер=ТJ' - пикфактор передаваемого сигнала.
(1.93)
Для последовательных систем с активной паузой уt 2посл = 1.
ДJIЯ параллельных (многочастотных) систем f) 2пap=nμ-J, где μ-
коэффициент эффективности использования суммарной мощности
передатчика [128], 1~μ~2. При μ>l и достаточно больших зна
чениях п имеем ТJ'пap=n"-'»l. С учетом (1.91) и (1.93) для пос
ледовательных систем справедливо ( 1.92). Для параллельных си
стем h2=h2эlog,mv/ч'пap,
Различные системы, работаюшие в заданном канале, можно
сравнивать между собой по показателю B,/j=p,,fP,; при h',=
=const, т. е. выигрышу по эквивалентной вероятности ошибки при
переходе от i-й системы к j-й или же по энергетическому выигры
шу (проигрышу) такого перехода
<
-
-
ч,1; •(дБ)= 10 lg.(h 2э,/h 2,;) при p,=const.
(1.94)
Для подавляющего числа систем связи помимо показателей
P'ci и h2эi существенной является и полоса частот Fi, требуемая
системой при заданной скорости /'_ В этой связи можно в качест
ве показателя эффективности ввести обобщенный энергетический
выигрыш ч•, 1 ; перехода от i-й к j-й системе [39, 57]:
ТJ';/j (дБ)=lOlg( ~, ;F; )=чщ (дБ)+lOlgl::L.
(1.95)
\ h'э; F;
FJ
В тех системах связи, в которых занимаемая системой полоса
частот F, пропорциональна числу позиций кода т,, вместо ( 1.95)
можно записать
ч•,/j (дБ)=ТJщ (дБ)+lOlg~.
(l.96)
т1
В каналах, в которых помимо интерференционных наблюдают
ся и медленные замирания различной физической природы [2, 46.
47, 50, 66, 128, 134], указание эквивалентной вероятности ошиб
ки Рэ (полученная усреднением на интер~але локальной стацио
нарности интерференционных замираний Т л.с) не обеспечивает
полной характеристики качества, по.скольку на интервале сеансэ
связи Те» Тл.с в разные отрезки времени будет наблюдаться раз
личная вероятность ошибок, т. е. р,=р,(а), где а - медленно ме-
55
няющаяся совокупность параметров канала, которая определяет
его состояние. Иными словами, на величину Рэ(а) следует смот
реть как на случайный процесс.
С учетом сказанного качество связи характеризуют [66, 68,
128] ее надежностью 1 , определяемой как вероятность того, что за
время Тс сеанса связи вероятность ошибки р;} не превышает задан
ной величины Ро*):
Р\l=Ф (ао)
F= f W(p3 (a))dPэ= j'W(a)da,
( 1.97)
о
л.
где W(p,(a)) - плотность вероятности Рэ(а); W(a) - плотность
вероятности системы параметров, определяющих медленные слу
чайные изменения свойств канала; Ла - область определения па·
раметров а, обеспечивающих условие Рэ~Ро; ао ~ значение а,
обеспечивающее заданное Ро-
Во многих случаях предпочтительнее рассматривать зависи
мость допустимой вероятности ошибки р 0 от усредненного отноше
ния сигнал/шум в канале h2 м (усреднение по медленным флуктуа
циям в канале) при заданных ·значениях надежности F и коэффи·
циенте, характеризующем глуби ну медленных флуктуаций пара
метров канала (см.§ 2.16).
При использовании двух указанных показателей качества (до
стоверность и надежность) можно также определить: выигрыш по
надежности перехода от i-й системы к j-й при заданных достовер
ности и отношении сигнал/шум
М;;;(дБ)=101g( ;; ) пр,и p0=coпst, h'м=const;
энергетический выигрыш перехода от i-й системы к j-й при задан
ной надежности F и требуемой достоверности р 0
М ,~м(дБ) = 10 lg ( ::: ) при F=const, p 0 =const;
выигрыш по допустимой достоверности передачи при переходе от
i-И системы к j-й при заданных отношении сигнал/шум и надеж
ности
Mf1'; = J!iu_ при h2м = const, F = const.
Pol
Выводы
1. Векrорный линейный ПВ !Канал удобно описывать различными вектор
ными системными ха1ра1ктерwстиками, 1в час-гности передатоЧiной фун1кцией.
1
Воnросы аrшаратурной на1деж~ности в этой книге не рассма11риваются,
поэтому в-место ,более строгого термпна «надежность канала (системы} по по
:\lехоуст-ойч•ив-ости» IJfСnользуется термюн «надежность». Обычно надежность из•
меряется в ПIJ)оцентах.
* ) Если. Т с сущес-r,венно меньше интервала корреляции -медленных замкра.
ний ·в ка,нале, то F нс зависит .от Т с [68, 128].
56
2. Для широкого класса стохастических волновых каналов м-0жно mринять
общую гауссовскую модель поля сигнала и 111оме~и (одномерное четырехnара
метричес:кое раопределение а,Мплитуд и фаз сиг.пала).
3. ,Вектор ,математических ожщцан1ий и 'Корреляционная матрица стохастиче
ского вект·орного поля являются во многих случаях его важнейшими хара,кте
ристнками, а в случае с..правещливости общей гауссовокой модели полностью
его описывают. Большой интерес предстыляют модели полей с диагональной
корреляционной мат,рицей и фаtктор-изуемой по отдельным аргументам корре
ляционной функцией.
4. Можно ,ввести различ;ные модели векторного стохастичоокого ПВ кана
ла в за1висимости от селекти-вности или неселектИJвности за.ми1раний шкте:мной
характ~р'И<:ти1ки по отде.л.ь·ным аргумента,м и от памяти :ка•нала.
Большой пра1Ктический инте,1рес предста:вляют одно- и многолучевые :модели
векторного ПВ канала с той или иной степенью селекгивност-и.
5. Для векторного ПВ канала с детерминированным сигнало:м и проиэ
волыным гауосовски.м шумом ко,р,реляц,ионный интеграл, реализуемый линейной
~огерентной о6ра~боткой поля, является ,достаточной статистикой а,пализируемо
го поля, а для систем сигналов с активной паузой полностью определяет оп
т~-tмальный п-риемни-к.
6. Из различных алгоритмов оптимальной обработюr вектО1рного поля в
систе-мах переща,чи диск,ретных сообщений на-иболЫ11ий интерес предета.вляют
алго,риt;мы, ос·нованные на критерии максимального правдолодобия. При от
сутс"вии достаточной априорной И'Нформации представляет интерес обобщен
ный алгоритм ма-коимального цра:вщопод.обия.
,7, Качест1в,о переда,чи дисюретных сообщеitИИ по различны:м каналам можно
объектив,но оцени:вать эквивалент.ной вероят,ностью ошибки (.достоверностью)
и надежностью связи.
Глава 2
Поэлементный прием в однолучевом
канале
В настоящей главе рассматривается ПВ обработка скалярного
поля (одной скалярной компоненты векторного поля) в предполо
жении того, что в области приема Л доступен анализу единствен
ный луч, определяемый вектором углов прихо;1а 0 (который в
дальнейшем, где не требуется, указываться не будет), а взаимные
запаздывания отдельных подлучей удовлетворяют условию
Лrтах=,ЛSтах<<Т, где Т - тактовый интервал. Следовательно.
речь идет о канале с короткой памятью и при поэлементном прие
ме интервал анализа ограничен пределами lo, Т +lo, rде lo - мо
мент отсчета, определяемый системой синхронизации. Считая си
стему тактовой и цикловой синхронизации идеальной, положи:VJ
10 =0*1 и Та=Т.
*J С учетом этого обстоятельсmа запаздывание однолучеооrо сигнала по
огибающей в 1м€сте лри~а в да,льнейшем полагаем ра,вным нулю.
57
2.1. Алгоритм оптимального приема при точно известном сигнале
и его реализация
Алгоритм оптимального приема при точно известном сигнале
11, (t, r) и гауссовском шуме в канале с корреляционной функцией
В (t, t', r, r') можно в соответствии с ( 1.116) записать в виде
qi-h2.
arg max [е,е
']=arg max[q,-h2 ,+Ine,], ie;{O, 1, ... , т-1},
i
,
q,=--1⁄2 -Re fSi(t, r)йоп,(t, r)dtdr=
= JSz (t, r) и00 , (1, r)dtdr,
h',=+Sfи,(t, r)йоп,(1, r)dtdr=
1
=
2 Sf щ(t, r)Uoп,(t, r)dtdr,
йоп,(t, r)=JS'l'(I, 1', r, r')u,(1', r')dtdr',
}
Uоп,(1, r)=SJ'l'(t, t', r, r')щ(t', r')dt'dr',
(2.1)
(2.2)
(2.3)
'1' (t, t', r, r') - функция, обратная корреляционной функции
В (t, t', r, r'). Если шум {>-коррелирован по пространству н во
времени (,белое шумовое поле), то '1' (1, t', r, r') = .Е.. ь (t-t', r-r')
No
и
q, =-
1
ffi(t, r)й,(t, r)dtdr=
No•
2
= -SJz(t, r)u,(t, r)dtdr,
No
h',=,-1-rj'lй,(t, r) /2dtdr=
2N0 J
=-
1
- Sfu',(t, r)dtdr.
No
(2.4)
Поэтому при наличии в канале только «белого» шума схема при
емника, реализующего алгоритм максимального правдоподобия
(е,=е), инвариантна к характеристике шума No.
Реализация алгоритма (2.1) при скалярном поле осуществля
ется на корреляционной основе и на основе согласованного фильт
ра соответственно согласно структурным схемам рис. 1.6 н 1.7 с
одной скалярной ветвью.
Поскольку при обработке учитываются фазовые соотношения
сигнала, то рассматриваемый алгоритм приема называют коrе·
рентным.
Подчеркнем, что оптимальная обработка поля действительно
будет иметь место, если блоки БИ и ВФ оценивают корреляцион-
58
ную функцию аддитивной помехи и ожидаемые сигналы с доста
точно малой погрешностью. Оценка отдельных реализаций сигна
лов и, (1, r) и обратной корреляционной функции помехи Ч' (1, 1',
r, r') может быть получена с высокой степенью точности при на
т1чии классифицированной выборки анализируемого поля. Такая
возможность реализуется, с одной стороны, за счет наличия пауз
при передаче сигналов (в этих паузах может изучаться аддитив
ный шум в к~нале), а с другой стороны, за счет передачи спе
циальных зондирующих сигналов [47, '58, 128] 1. Однако и в ус.sо
виях неклассифицированной выборки существуют различные спо
собы надежной оценки параметров канала [58, 59, 78], на кото
рых останавливаться не будем.
Для системы с активной паузой (h2;=h2 ) при использовании
критерия максимального правдоподобия (е;=е) алгоритм (2.1) и
соответственно его реализация упрощаются (на схемах рис. 1.6 и
1.7 отпадает необходимость в блоках вычитания опорных сигналов
и, кроме того, упрошается блок формирования БФ, так как те
перь не требуется знание величин h'i и е;).
Для двоичной системы сигналов (i=O, 1), представляющей
весьма большой интерес в технике связи, локации и других обла
стях, алгоритм оптимального приема можно записать в виде
(2.5)
где In е0/е 1 зависит от критерия оптимальности; u00.p(I, r) =
_
=
Jf Ч'(t, 1', r, r')up(I', r')dtdr' -
опорный сигнал, соответствую
щий разностному сигналу up(I, r) =и 1 (1, r)-u0 (1, r). При выпол
нении неравенства со знаком «>» регистрируется символ «!», со
знаком «<» - символ «О». Реализация алгоритма (2.5) посредст
ном корреляционной схемы рис. 1.6 требует лишь одной скалярной
ветви обработки с испол1,зованием опорного сигнала и 00.р (1, r).
В схеме рис. 1. 7 требуется также одна скалярная ветвь с фильт
ром, согласованным с сигналом Иоп.р (1, r).
Реализация алгоритма (2.1) упрощается при факторизуемости
пrинимаемого поля tii (t, г), а также обратной корреляционной
функции помехи Ч'(I, 1', r, r'). К:ак было показано в 1.3, при од
нолучевой модели канала имеет место факторизация принимаемо
го поля
й;(t, г) =й1,(1)й11;(r).
(2.6)
Интересно проследить связь между факторизуемостью корреля
ционной функции поля помехи Bn (1, t', r, r') и факторизуемостью
ее обратной функции. К: сожалению, общих теорем, устанавли
вающих такую связь, не существует. Однако если факторизуе
мость корреляционной функции помехи имеет место: В (t, t', r,
r')=B1 (1, l')В1 1 (r, r') - и функции '1'1 (1, 1') и Ч' 11 (r, r') являются
1 Так,ое изучение, в частности, реализовано в С'Истеме СИИП, расс.матри
вае,мой подробно в гл. 3.
59
решениями соответственно интегральных уравнений f В 1 (t,
i')Ч'1 (1', t")dt'=б(,t-t") и f B"(r, r')Ч'"(r', r")dr'=,б(r-r"), то
обратная корреляционная функция факторизуется по пространст
венным н временным переменным
Ч'(I, t', r, r') =Ч'',(1, t')Ч'Il(r, r').
(2.7)
С учетом (2.6) и (2.7) корреляционный интеграл в (2.2) принимает
вид
q;= +ReJ i',(t)ti'oп,(t)dt= f [z,(t)Reu'oпi(t)
-
Z2(t)Imu' 0п;(t)]dt,
где й 1 оп1(1) =fЧ''(t, t')u',(t')dt'; й"оп,(r) = f Ч'11 (r, r')u",(r')dr', а
i',(t) = Jz(I, r)ti 11 oп,(r)dr; z 1 (t) = Jz(t, r)Reй 11 uп<(r)dr,
z 2 (t)=fz(t, r)Imu" 0п;(r)dr
-
результаты пространственной обработки входного поля.
На рис. 2.1 показана структурная схема приемника, реализую
щего алгоритм (2.2) в условиях раздельной пространственной и
Рис. 2.1
временной обработки на основе корреляционной техники. Блоки,
осуществляющие пространственную обработку (перемножители и
интеграторы), помечены индексом r. Аналогично может быть по
строена схема и на основе раздельной согласованной фильтрации
по пространству и во времени. Могут быть предложены схемы, в
которых по пространству осуществляется согласованная фильтра
ция, а во времени - корреляционная обработка или наоборот
-
корреляционная обработки по пространству и согласованная филь
трация во времени.
60
1
На практике часто можно считать, что полосы пропускания
приемной аппаратуры по временным и пространственным часто
'Там достаточно малы по сравнению с полосой входного шума, что
позволяет во многих случаях считать этот шум Ь-коррелированным
во времени, по пространству, а иногда одновременно во времени
и пространстве. Выражения для q, и h', для этих случаев следуюг
из (2.2).
2.2 . Алгоритмы оптимального приема при неопределенной фазе
и не зависимых от нее флуктуациях амплитуд, их реализация
Представим анализируемое поле с учетом модели (1.18) при
N=I:
,.,, (1, r) = Re ys, (t) е-•r~+Ф<'· ,, o>J =
=y[u,o(I, r)cos,p+й,o(I, r)sin,p],
(2.8)
где ер - случайная фаза, которую считаем равномерно распреде
ленной на интервале [-:rt, :rt], а ф (t, r, 0) - детерминированная
часть фазы, определяющая фазовую структуру анализируемого
поля в отдельных точках с учетом также и кривизны фазового
фронта: й,о(t, r) =s,(,t)e-1 Ф< 1• ' ·
8> -комплексный сигнал на выходе
канала с единичным коэффициентом передачи. Определим опти
мальный байесовский алгоритм независимого приема элементов
сигнала в предположении того, что сигнал (2.8) принимается на
фоне гауссовского аддитивного шума.
При фиксированном значении <р корреляционный интеграл в
(2.2)
q,=y[X, cos <р + У, sin ,р] =yq,0 =yV, cos (,р-Ф,),
где q, 0 =X,cos,p+Y,sin,p;
Х,= Sf z(t, г)иопн~(I, r)dtdr; У,= SJ z(t, r)йоп,о(I, r)dtdr;
Иоп ;o(I, r) = JfЧ'(t, t', r, r')u,0 (1', r')dt'dr';
Йоп;о(I, r) = SJЧ'(I, 1', r, r')й;o(I', r')dt'dr'.
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Огибающая Vi и начальная фаза Фi корреляционного интеграла
q, 0 оnределяю11ся формулами:
V, = VХ2,+У2,; Ф,= arctg ;, .
(2.13)
Нетрудно показать, что огибающая V, инвариантна к сдвигам фа
зы опорного сигнала u00 ,o(I, r) на произвольный угол. Поэтому
приемное устройство, которое использует лишь огибающие сигна
лов и не требует знания фазы, называют некогерентным. С учетом
(2.9) нормированный функционал правдоподобия (1.82)
11 (<р) = е у2 h2to+'V V i СО$ (Ч"-Фi),
l
где h2,o= -rf и,о(I, r)uoп,o(I, r)dtdr
2.•
(2.14)
(2.15)
61
--
энергетическое отношение для i-й позиции принимаемого поля
при единичном коэффициенте передачи канала. Подчеркнем, что
энергетическое отношение h2io для рассматриваемой модели не за
висит от фазы <р. Усредияя (2.14) по равномерно распределенной
на интервале (-:гс, +:гс) фазе q,, получаем
11 = J't, (q,) W (q,) dq, =e -v•h•,. Iо (vV,).
(2.16)
Оптимальный байесовский алгоритм при неопределенной фазе
аналогично (2.1)
arg max{е, е -v•h•,o Iо('\'V,)} = arg max{ln /о('\'V,)-y2h2;o + ln е,}.
\
1
i
Алгоритм (2.17) имеет вид
arg max{q,(V,)},
1
(2.17)
(2.18)
rде q, ( V,) - функция от V,, реализуемая как посредством линей
ных, так и нелинейных операций. Для двоичной системы сигналов
(2.17) можно записать в виде
ln [ 10 (у V,> ]-v' (h',a-h2oa)-ln ,...!:о_ ~О.
/ 0 (yV,)
•1
Варианты схем приемников, которые реализуют алгоритм
(2.18) с использованием корреляционной техники и согласованных
,--,_-сту
ос
,
1-~пс
----~----------------1
Г "aniaft;).
о
1
1
',_
1
1
~-~ hial Lne,
1
1
1
,
1 г;;1
~~
1
1
j
rn-1
1
L _________J~-----------~
Рис. 2.2
фильтров, показаны на рис. 2.2 и 2.3. На этих рисунках приняты
следующие обозначения: СОМ - схема определения моду
.ан вектора по двум ортогональным компонентам (например,
схема В. С. Мельникова [87]); ФБ, - функциональный блок, на
нход которого поступает величина V,, а на выходе формируется
напряжение, представляющее <р ( V,); ДО, - детектор огибающей
на выходе согласованного фильтра. Схему rис. 2.2 часто называ
ют квадратурной [128].
62
·,
.
Для систем с активной паузой на приеме (h2;o=h2o) при ис
пользовании критерия максимально.-о правдоподобия (е,=в) из
алгоритма (2.17) с учетом монотонного характер_а функции
'i ( V,) следует алгоритм
arg max V,=arg max V2,.
(2.19)
i
i
Алгоритм (2.19), который очень часто будет встречаться в книге,
назовем некогерентным алгоритмом квадратичного суммирования 1 •
Его реализация не требует
,---,.__ ау
,
блоков ФБ, в схемах рис. 2.2
c__J.-_oc
и 2.3.
ПС
Поскольку (2.19) не за
висит от '1' (амплитуды сиr•
пала), то можно утверждать,
что для систем с активной
паузой некогерентный алго
ритм квадратичного сумми
рования оптимален при лю•
бых значениях амплитуд (за
мираниях в канале), если
только фаза сигнала распре
делена равномерно.
С учетом (2.4) нетрудно
Рб
Рис. 2.3
m-1
также видеть, что при /\-коррелированном шумовом поле схема,
реализующая алгоритм (2.19), инвариантна к характеристике шу
ма No.
Если величина '1' на приеме неизвестна и ее флуктуации харак
теризуются плотностью вероятности W('\'), то с учетом выраже
нпя (2.16) для нормированного функционала правдоподобия
оо -y2h2.
l,=.f е
'"Io('\'V,)W('\')d'\'=,P(V,).
(2.20)
о
Таким образом, алгоритм оптимального приема при флуктуирую
щей амплитуде и равномерно распределенной фазе можно запи
сать в виде (2.1'8) и реализовать с помошью схем рис. 2.2, 2.3,
если подобрать соответствующую характеристику функционально
го блока ФБ,.
Заметим, что в то время, как часть приемника, формирующая
величины V,, реализуется некоrерентной схемой, реализация бло
ков ФБ; может потребовать и знания фазовых соотношений в ка
нале.
Так, если у имеет четырехпараметрическое распределение
(1.27), интегрирование (2.20) приводит к результату
1 Квадратичном.у суммированию зtдесь 1подвер-гаются ортогональ~ные ком
поненты Xi и Yi, В более общем виде та,кой алгоритм под,робно рассма'!'рква
ется в гл. 4.
63
{
v2.02
(m21 + m211 ) h2.0
}
Х е 2(l+;h2i0 02)- (l+2h2i002)i
10 (Vm\+m\ 1 Vi) .
1+2h2io02
Для систем с активной паузой (h 2iO=h2
0 ) с учетом монотонного
возрастания как экспоненциальной функции, так и / 0( •) при из
менении Vi из последнего выражения следует алгоритм приема
(2.19).
Квадратурные компоненты х=у cos <р, у=у sin <р имеют при
независимых флуктуациях <р и у и равномерном распределении
фазы (при произвольном распределении амплитуды) нулевые ма
тематические ожидания. Следовательно, в этом случае принимае
мый сигнал содержит только флуктуирующую часть. Для общей
гауссовской модеJIИ канала характерно, что, вообще говоря,
(x)=mx9'=0 и (y)=my,,'=O. Для таких каналов уместно ввести как
параметры, характеризующие отношение сигнал/шум ортогональ
ных компонент флуктуирующих частей сигнала
(2.21)
так и параметры, характеризующие отношение сигнал/шум сум
марных ортогональных компонент сигнала
h2
xi=h
2
xi+m2
xh
2
io=h
2
xi ( 1+:::),
h2y;=h'.,+m
2
yh2
, 0 =h'•,(1+::: )-
(2.22)
Суммарное среднеквадратическое (усредненное по интерфереици
O11ным замираниям) значение отношения сигнал/шум для i-й по
зиции
(2.23)
Для каналов, в которых mx=my=O, получаем fi2xi=h2x-i; h2yi=
= h2yi; h2i = h2i.
Если у имеет m-распределение ( 1.35), интегрирование (2.20)
приводит к результату
l,=----
1F1 т, 1, -~~-
,
т'"
(
v
2
i'у
2
)
(т +ii"•,)'"
4(m+h2;)
где 1F 1 (а, !), х) - вырожденная гипергеометрическая функция
[29]. Для систем с активноii паузой (h2;=h
2
) с учетом монотон
ной зависимости 1 Р 1 (а, !), х) от аргумента х>О из последнего вы
ражения следует алгоритм квадратичного суммирования (2.19).
Анализ показывает, что если фаза сигнала {J) точно известна, а
амплитуда флуктуирует, то для систем с активной паузой следует
оптимальный алгоритм когерентного приема (2.1) с опорным сиг·
налом Иопi(t, r)=Иoпio(t, r)cosq,+йoп,o(I, r)sinq,.
'64
2.3. Оптимальный прием в общем гауссовском канале
с неселектнвными замираниями
Анализируемое в месте приема поле имеет вид
u,(t, r)=xи, 0 (t, r) +уй,а(t, г),
(2.24)
где х=у cos <р, у=у siп <р - случайные квад~атуриые компонен
ты передаточной функции канала; у - случаиная амплитуда, а
q,-
суммарная случайная начальная фаза, учитывающая также
кривизну фазового фронта.
Случайные величины х, у будем считать независимыми, нор
мально распределенными со средними значениями и дисперсиями
соответственно тх, ту, а2х, а2у. При фиксированных значениях
всех параметров корреляционный интеграл и энергетическое отно
шение в (2.2) можно записать в форме
q,=xX,+yY,, h2;= (x2 +y2)h210 ,
где Х, и У, определяются (2.11), а h2 ; 0 -
(2.15).
В рассматриваемом случае нормированный 'функционал прав
доподобия ( 1.82)
1,(х, у) =exp(xX,+yY1-(x2 +y2)h2, 0].
(2.25)
!!айдем математи<rеское ожидание функционала (2.25) по х и у
m2x
т2У
оо 00
-
202х - 2а1У
/,= j' \'1,(х, y)W:(x)W(y)dxdy=::-;::=•=====
-оо -'оо
V (l + 2h'x1) (1 + 2h'u1)
х
Оптимальный байесовский алгоритм независимого приема
тов сообщения (R,=0) при рассматриваемой модели
можно определить соотношением
{
( т,х +х,)'u•x
( ;: +У,)
2
u•,
rg max
"х
+ -'----"-"---'----
,
2(1 +2h'x1)
2(1 +2h',1)
1
где ro,= -
ln(l +2h2x;) (1+2h2,,)-ln е;
2
-
пороговый уровень.
элемен·
канала
(2.26)
(2.27)
Для двоичной системы сигналов алгоритм (2.26) упрощается:
Лto~ro,o,
(2.28)
где
( • ~х +Х1)2а'ж (-т-,"- +У,)'а2у
Л-
<Jх.___,__ __ + (JУ
,о- - 2(1 + 2h1x,)
2 (1 +2h2u1)
(;: +х0)2 02х (~+У0)
2
а2у
2 (1 + 2h'xo)
2(1+2h'у0)
3-46
65
-
квадратичная форма нормально ра<:пределенных величин 1;
00 = ln i __I_Jn (1+2h'xoH1+2h'uo)
10
о,. 2
(1+2h'п)(1+2h'.,J
На рис. 2.4 изображена структурная схема обработки поля,
реализующая алгоритм (2.26) на корреляционной основе•. На
г::-:::г-- СТУ
5И
б'Р
ас
г---------11L----------------,
1 Ugntoft,r)
1!!z:I~
1Ча
!
1
1
1
1
1
1
z(~r ]
~ ,..1 fз.у1
1
rL':.J
1
1
1
1
1
1
1
m·I
1
L_________ . ----~-----------~
Рис. 2.4
схеме помимо уже введенных ранее блоков показаиы квадраторы
К,, выполняющие функции квадратического преобразования вход
ного сигнала, и усилители Yi, устанавливающие различные весо
вые коэффициенты слагаемых на выходах квадраторов. Блоки ВУ
осуществляют сложение сигналов с выходов усилителей У, и У',
и вычитание пороговых уровней оо;.
Раскрыв квадратные скобки, можно привести алгоритм (2.26)
к форме, реализуемой путем сочетания квадратичной и линейной
обработки 3 :
{
х•, ~• "'v
+
У", "'•
+
argmax
_
;
(
2h't ~•
)
(
2 ii.i,
)
2\1+ (1+ ~•)(1+q')
2 1 + -(~1 --,+....,~=•)~(-'1+~q.~) -
x, тх
+
У, ту
оо',}
2 -;,,, ~•
2 ii°',
1+ (l+~')(l+q')
1+ (l+~•J(l+q')
+
оо',=-}ln[(1+ (1~~:;~;+q') ) ( 1+ (1 +t~'/1+q') )-
т'- h'-,
т2 h2
-lne1+--~·~~·~-+--~• Yf__
а•, (1 + 2h'x1)
а•у (1 + 2h2yt)
(2.29)
Поэтому будем называть оптимальный алгоритм, описываемый
(2.26) или (2.29), квадратично-линейным'. Для систем с активной
1 Эта фо:рма может п,ринтн:мать как пол.ож,ительны:е, та.к и отрицательные
эна·чения.
2 Алrор11тм (2.26) можно реализовать также на основе фильтров, согласо·
ван,ньr.х с.оотве-г<:твенн•о с с.иrч1,алами ща(t, r) 11 йio(t, r).
3 При полх:чении выражения для ro' 1 было прибавлено не зависящее от i
слагаем()е m2r./2cr 2r.+m2
11 f2cr2v, иоключенное в (2.27).
4 Иногда этот алгоритм называют кваэикоrерентным, но этот термиi1 нель
зя считать у,ца,чным.
66
паузой при Bi=B имеем Ыi=ro, и в схеме рис. 2.4 отпадает необ
ходимость в вычитании пороговых сигналов.
В канале с симметрией по дисперсиям квадратурных компо
нент (f\2 = 1), т. е. в райсовском канале, оптимальный алгоритм
(2.29) принимает вид
ar max(
yzl a•u
Х1 Рег
,}
(2 30)
g,
2(1+h'1/(l+q2))+ 1+h11/(l+q2)
"'
1
'
•
где V,= V Х2.,+ У2; [см.· (2.13)] ~ огибающая сигнала на выходе
фильтра, согласованного с сигналом (2.12);
Х, рос=Х;тх+ Y,my= .fJ' z (t, r) Uоп i ре, (t, r)dtdr
--
сигнал на выходе фильтра, согласованного с сигналом
Uonipeг(t, r) = JJ Ч'(t, ~\ r, r')Uiper-(t', r')dt'dr',
где U;pec(t, r) =и,о(t, r)v.cosq,p+й,o(t, r)v.siпq,p.
(2.31)
Алгоритм (2.30) реализуется схемой, которую назовем схемой не
коrерентно-когерентного приема 1. Вариант некогерентно-когерент
ного приемника, реализуе-
мого на основе согласован
ных с сигналами Uоп, ..,.(t, r)
ПВ фильтров, показан на
рис. 2.5.
Если в канале нет флук
туаций параметров (u'x =
=u'u=O, q
2
-+oo), то алго
ритм (2.29) сводится к ко
герентной обработке, приме
няемой при точно известном
сигнале, т. е. к чисто линей~
ной схеме обработки вход
ного по.ля z(t, г):
Рис. 2.5
arg max{Sf z(t, r)uoпipe,(t, r)dtdr-y2ph2 ,o+lпe,}.
'
(2.32)
Если квадратурные компоненты канала имеют нулевые мате
матические ожидания, т. е. сигнал не имеет регулярной частlf
(m,=my=yp=O), то алгоритм (2.29) сводится к виду2
и требует чисто квадратичной обработки.
1 Некогерентная часть схемы вычИСJJяет величины Vi, инвариантные к фа
зе входного сигнала.
2
Эту схему при Р2 Ф 1 не.льзя яазьmать некогерентноА, так как выходмоl
проду~кт зависит от фаз входноrо и опор:нщ-о сиr1,1злов.
3'
67
Очевидно, если q2-+-oo (как будет показано ниже, практически
при q2 > 10), чисто линейный (когерентный) алгоритм приема не
существенно проигрывает по качеству оптимальному (квадратич
но-линейному). Если же q2-+0 (практически при q2 <5), то квад
ратичный (некогерентный при ~•= !) алгоритм приема несущест
венно проигрывает по качеству оптимальному.
2.4 . Оптимальный прнем в общем гауссовском одиолучевом канале
с селективными во времени и по пространству замираниями
Принимаемый комплексный сигнал можно с учетом ( 1.17) при
N = 1 записать
(2.33)
где y(I, r) =;,(t)e -J[ФUJ+ЛФ(t.r. BJJ_ случайное комплексное поле,
а ф (1, r, 6) - регулярный фазовый сдвиг.
Разлагая -i, (1, r) по некоторому ортогональному базису (в ча
стности, в ряд К:арунена-Лоэва с некоррелированными комплекс
ными координатами y,=x,-iy,), комплексное поле (2.ЗЗ) можно
представить в виде совокупности сигналов отдельных ветвей и све~
сти задачу оптимального приема скалярного поля в селективном
канале к задаче оптимального приема векторного поля в канале
с неселективными замираниями, подробно рассматриваемой для
векторных процессов (в частности, для полей с дискретным про
странственным аргументом) в гл. 4.
2.5-. Обобщенный алгоритм максимального правдоподобия
При отсутствни достаточной априорной информации о приии•
маемом сигнале (в частности, знания законов распределения и:ли
первых двух моментных функций для гауссовских полей) приве
денные выше алгоритмы не могут быть реализованы. Поэтому ва
служивают внимания алгоритмы, вовсе не требующие знания слу
чайных (неизвестных) параметров канала. Разумеется, такие ал
горитмы (можно их назвать инвариантными к параметрам кана:..
~1а) проигрывают в качестве по сравнению с оптимальными, по
строенными на основе известной статистики· канала. Однако для
некоторых систем сигналов эти потери невелики. Кроме того, они
реализуются относительно просто и часто обеспечивают работо
способность систем в тех случаях, когда оптимальные алгоритмм
не могут быть построены.
Рассмотрим подробнее один из таких алгоритмов - обобщен
ный алгоритм максимального правдоподобия [1128] - для канала
с неселективными по всем аргументам замираниями. При этом бу
дем считать, что параметры х, у (или ;,, q,) в (2.25) - не случай
ные, но неизвестные постоянные величины. Из нескольких гипотез
.с неизвестными эприорными вероятностями выбирается- т.а, для
которой максимум нормированного отношения правдоподобия
68
1, (х, у) больше, чем для других гипотез, причем максимум берет
ся по всем параметрам, определяющим 1,. Согласно (2.25) прн
фиксированных значениях х, у и заданном z(t, r)
l,(x, у) =exp(xX,+yY,-(x2 +y2)h2, 0}.
Вместо максимума функции 1, (х, у) можно искать маю;имум
функции
(2.34)
Обобщенный алгоритм максимального правдоподобия, реали
зуемый при неизвестных законах распределения амплитуд и фаз
(параметров х, у), можно согласно (1.90) записать так:
arg max max{lnl,(x, у)}.
(2.35)
l
х.у
Значения параметров х, у, при которых выражение (2.34) дости
rает максимума, определяются из условий
дlnl1{х, у) -Х· 2h'· -О
_
Х;)
-
i-X
io- ==>-Х-
--
дх
2h2to '
(2.36)
дlnl,(x, у) У·-2 h'·
-0=:--
_
_Jj_
ду
'
у,о- У-2h',o ,
т. е. являются максимально правдоподобными оценками [78].
С учетом выражений (2.34) и (2.36)
V'1
х•, + У',
max ln 1, (х, у)= --'- --',- -'
х,у
•
4h io
4h210
и алгоритм (2.35) принимает вид
arg max{V2;/h2;o}.
i
(2.37)
Из выражения (2.37) следует, что для системы с активной пау
зой (h2;o=h2
0 ) при произвольной гауссовской помехе и неизвест
ных законах распределения амплитуд и фаз сигнала обобщенный
алгоритм максимального правдоподобия не отличается от опти~
мального некогерентноrо алгоритма квадратичного суммирования
(2.19), что дополнительно стимулирует особый интерес к этому
алгоритму.
2.6. Помехоустойчивость двоичной системы при оптимальной
П В обработке поля и точно известном сигнале
Исходя из алгоритма приема (2.5) можно видеть, что вероят
ность перехода р ( 1/0) символа «О» в « 1» определяется вероятно
стью выполн-ения неравенства
1
:
•
p(l/0)=P{s>A}, где A=-rf иp(t, r)uonp(I, r)dtdr+ln-
0
,
аs=
2·
Е1
= SJn(t, r)uoп.p(t, r)dtdr представляет собой гауссовскую
ную величину с нулевым средним и дисперсией
(!; 2)= Jf Ир(/, r)Иon.p(I, r)dtdr.
случай-
59
Тогда
p(l/0)= +[1-~
(2.38)
Аналогичным образом находим, что вероятность перехода р(О/1)
I[ ~ - ln : ++ни,(1, r)U0п.Р(/, r)dldr )]·
р(О/1)-- 1-
-
2
VJSи,(1, r)иоп.р(1, r)dtdr
(2.39)
Из (2.38) и (2.39) видно, что в общем случае p(0/l):;l=p(l/0), т. е.
канал не является симметричным. Однако при использовании ал
горитма максимального пра,вдоподобия (в,-во)
p(I/0)=p(0/l)=p= -
1
[1-Ф(d)],
2
где d2 =d2t, ,+JJ up(I, r)uoп.0 (1,r)dldr,
(2.40)
(2.41)
т. е. канал являет,ся оимметричным. Параметр d2 можно выразить
через коэффициенты корреляции принимаемых ,сигналов:
и-=-811 +-- -
=-
1+--10
-
,,,
1 [iе"2•10] 1h[1 h'o
2Л Vh'o ]
4
е.11
в11
2
h21
h21
и (2.40) можно записать
Р=-1 [1-Ф(Vлh',)
2
(2.42)
где л=О,5[1 +h20/h21 -2Л10 V h2,/h2,].
Для трех распространенных двоичных систем - АМ, ЧМ и ФМ
-
при неизменной пиковой мощности передатчика параметр л при
нимает значения, равные соответственно 1/2; 1; 2. Оптимальной
системой сигналов, минимизирующей (2.42) при h2 1 ,,;; h2, h'o ,;;;;,h2 ,
является система противоположных сигналов (например, ФМ),
когда Л 10 =-1. Для такой системы
р=О,5[1-Ф( V 2h2)].
(2.42')
Для случая 6-коррелированного во времени и по пространству
шума Ч' (/, 1', г, r') = !...6 (1-1', г-r'), где N - спектральная плот
N
ность шума (на всех частотах - пространственных и временных),
из (2.40) следует аналог формулы Котельникова [71]
р=О,5[1-Ф( VEи,l2No)J, d2 =Eи,f2No,
70,
(2.43)
где Еир= 11 U 2 p(I, r)dtdr - энергия разностного сигнала в месте
приема 1.
Для оценки эффективности ПВ обработки поля рассмотрим си
туацию, когда в месте приема производится оптимальная времен
ная обработка поля лишь в одной точке пространства r 1. В этом
случае при приеме по алгоритму максимального правдоподобия
вероятность ошибки определяется (2.40), в которой
d2 =d2t= +н ир(f, r,) '1' (1, t', r,) Up(I', r,)dtdt',
(2.44)
1·де '1' (/, t', r 1) является решением интегрального уравнения
1' B(t, t', r 1, r 1)'1'(1', t", r 1 )dl'=б(,t-t"). Энергетический выигрыш
оптимальной ПВ обработки принимаемого поля по сравнению с
чисто временной обработкой в одной точке r1 с учетом (2.41) и
(2.44)
d;_ ,
JJUp(1, г)"оп.Р(1, г)dldг
Т]=--
d;
SJu, (t, г1) Ч'(/, t', r1) Up (/', r1) dt dt'
(2.45)
Представляет интерес запись формулы для вероятности ошиб·
1ш (2.40) через совокупность собственных функций i;(t, г) и соб·
ственных чисел Лk + N, соответствующих корреляционной функции
аддитивного шума, который является суммой флуктуационного
шума и сосредоточенной помехи, некоррелированных между со
бой. С учетом разложения ( 1.56) для обратной корреляционной
функции (2.40) принимает вид
р=-1 [1-Ф(-1 ,ff 1 (ffиv(t,r)i;.(l,r)dldr) 2)]· (2.46)
2
2 V k-1 i..+N
'
-
Поскольку величины '-k, каждая из которых характеризует дис
персию k-й компоненты сосредоточенной помехи, неотрицательны,
из (2.46) следует, что наличие сосредоточенной помехи всегда
приводит к увеличению вероятности ошибки.
Когда сосредоточенная помеха отсутствует (1,.=0), из (2.46)
следует (2.43). По (2.46) можно выполнить анализ качества прие
ма, если располагать значенинми собственных чисел и собствен
ных функций коррелированной части аддитивного шума в канале.
Во многих случаях, однако, эти данные отсутствуют или получить
их трудно и предrю4тительнее оценивать качество непосредствен
но по (2.40) через параметры, характеризующие корреляционные
характеристики сосредоточенной помехи.
1 Эта эне.ргня, как и величина N, имеет разме,рность Вт•с•м 3 . Под срс-;1.
ней мощностью поля, измеряемой .в ваттах, понимается эне:рrия поля .в расче
те на единицу п,росt1ранствен-но-'Вре.менн6го объема. т. е. объеюшя плоrн~ть
энерnии в единицу времени. У В. А. Котельни~кова раi:с:матривала,сь только вре•
мен.ная о6рабоwа (в одн,ой ди~акретной точке пространства), соот,ветст,ве-нно
размерность Eup II N-Вт•с.
71
В общем виде для произвольной корреляционной функции ре
шение интегрального уравнения ( 1.52) даже в скалярном случае
затруднительно (19). Для случая, когда янтервалы анализа поля
z(t, r) значительно превосходят интервалы корреляции помехи по
всем своим аргументам, решение интегрального уравнения ( 1.52)
существенно упрощается, поскольку пределы интегрирования
можно считать бесконечными. При однородности поля помехи
Ч' (t, t', r, r') = Ч' (t-t', r-r') определяется тогда обратным преоб
разованием Фурье от обратного пространственно-временного
энергетического спектра помехи [ 107]. Оптимальная обработка в
рассматриваемом случае сводится к оптимальному различению
сигналов на выходе «обеляющего» ПВ фильтра ,[59].
В качестве примера определим вероятность ошибки при опти
мальной ПВ обработке поля и энергетический выигрыш такой об
работки (по сравнению с временной обработкой поля в фиксиро
ванной точке пространства) для случая, когда интервал анализа
конечен:
Л= [О, Т] Х [-Ха/2, Х./2] Х [-У./2, Уа/2] Х [-Z,/2, Z,/2], (2.4 7)
а суммарный аддитивный шум имеет корреляционную функцию
( 1.78), которой соответствует дробно-рациональный энергетиче
ский спектр
Gn(ro) =2acr2/(a2 +ro2 ) +N.
Для однолучевой модели канала (1.18) при пренебрежении
кривизной фазового фронта волны
й,(t, r)=y(s,(t)cos[:~(r, r0 (0))+q,]+s,(t)sin[:: (r, r0 (0))+q,]}
(2.48)
и параметр d21.,
(2.41) определяе1'Ся выражением (62]
d2, ,=-
1
-у•Е, Y,z.(
2
ь [e-aX•[(a2 -q2)cosqXa-
•
4
•
(а•+ q')'
-2aqsinqX.]+q2-a2+aX.(a2+q2)]+ Ха+
N
+ с ( е-ах• (-а cos qX.+q sin qX.) +а]
1
1,
(а'+ q')
V_2_a_o~, -+ ~N -a-
ао2
.
где а=
N
; Ь = -::- -:: -;-::==::=:;:==== ,
N 1/N(2ao'+Na)
2n.
0
q=-
S\П COS <р;
i.,
Е,, = S[ S1 (t)-so(t) ]2dt.
(2.49)
bN
1
с-----·
-
2о2 2N'
(2.50)
Как видно из (2.49), величина d 21., завис ит от
многих параметров
и поэтому нахождение для нее, а следовательно, и для вероятно
сти ошибки экстремальных точек в общем случае затруднено.
Если сосредоточенная помеха в канале отсутствует (cr'=O),
то согласно (2.49)
d'1., = Еи,/4N.
72
(2.51)
Если в канале отсутствует флуктуационная («белая») часть
адднтнвной помехи (N =0), то d2,., = оо и простраиствеииая обра
ботка благодаря возможности полной компенсации коррелирован
ного шума обеспечивает вероятность ошибки р=О. Это означает,
что в оговоренных условиях задача являетси сингулярной и не
представляет практического интереса. Для случая, когда аХа';:$> 1
(интервал анализа по координате х значительно превосходит ин
тервал корреляции аддитивной помехи по этой координате) 1
,
(2.52)
Поскольку с<О и Ь<О, то зависимость (2.52) является монотон
ной по q2, причем принимает минимальное значение при q2 =0,
что соответствует направлению
z
прихода волны с проекциями ,~o _ _,a,;cot'-- _,a;e:oz,___ ..... .,a;e:o=-J - -=aro,'---1- -
no осям Оу и Oz, вдоль кото
рых все точки поля некоррели
рованы. Максимальное же зна
чение (2.52) принимает при ra'
максимально возможном значе
нии q2 = (2n/ло) 2 ' что соответ
ствует приходу волны с на
правления оси О,, которое оп
ределяет направление макси
мальной корреляции сосредо
точенной части аддитивного 10'
шума.
На рис. 2.6 представлены
восемь графиков зависимости
p(q2 ), рассчитанные по (2.40) lii'
и (2.52) при различных значе
ниях параметров а, о•, N, лh•,,
указанных в табл. 2.1.
_,
10
Ход кривых при фиксиро
ванном значении лh2 , в значи-
тельной степени определяется
отношением иитеисивиостей со- Р
6
средоточеииой и флуктуациои- Рис. 2.6
ной помех в канале (02/N), а
Л-JОм
7
также интервалом корреляции сосредоточенной помехи 1,= 1/а. В
области малых значений интервала корреляции /, зависимость р
от q' выражена крайне слабо и в пределе, при 1, = О, помехоустой
чивость системы от q' не зависит.
1 Этот резу.льтат можно было n-опучить и у.помянутым выше .м:етQЦОМ
«обеляющего» ПВ фильтра.
73
Таблица 2.1
..
..
i!Ф
&. tD
..
..
"~
"~
..
а•
N
м•,
•
N
v,,,
""
а
""
а
а•
~s.
••
."
:е;
:i!;
О,1
1
О,1
484
1
1
0,1
1
10
1
5
10
1
225
2
о,1
10
0,1
4600
о,1
1
3
0,1 О,1
10
12
6
10
1
10
12
о,1 О,1
О,1
7
10
о,1
10
12
1
1
100
в
10
10
О,1
225
4
10
10
По мере увеличения интервала корреляции lx зависимость по
мехоустойчивости от q' становится все более ощутимой.
В случае оптимальной чисто временной обработки в одной точ
ке пространства r 1 для рассматриваемой модели помехи
1
у2 Евр
d", =-у (a'+N2Fx)2Fy2F, '
(2.53)
гдеFx,Fy,F, -
размеры спектра анализируемого сигнала по по
ложительным пространственным частотам. Согласно (2.45) с уче
том (2.49) и (2.53) энергетический выигрыш оптимальной ПВ
обработки по сравнению с оптимальной чисто временной обработ
кой в одной точке пространства r1 для рассматриваемой модели
помехи (62]
'1]=2FyYa2F,Za(a2 +N2Fx) (
2
Ь [e-aX,[(a2+q2) cos qX.-
•
(а'+ q')'
- 2aq sin qX,] +q•-a•+aX.(a•+q')] + Ха+
N
+ a•~q• [е-ах• (-acosqX,+qsinqX.)+a] )·
(2.54)
Выигрыш 11 :Зависит от многих параметров, и поэтому нахожде
ние его экстремальных точек в общем случае затруднено. Если
сосредоточенная помеха в канале отсутствует (а2 =0), то энерге
тический выигрыш rJФ=2FxXa2FyYa2F,F,, что является известным
результатом для когерентного накопления сигна,1а на фоне белого
аддитивного шума.
Если в канале отсутствует флуктуационная («белая~) часть
аддитивного шума (N=O), то 'J]=oo, т. е. пространственная обра
ботка обеспечивает возможность полной компенсации коррелиро
ванного шума.
При аХ.~ 1 выражение (2.54) принимает вид
'fJ =2fvYa2F,Za (a 2 +N2Fx)[a (2ЬХ, +с)/ (a 2 +q') +X,JN].
(2.55)
74
,,
Поскольку Ь<О и с<О, то (2.55) достигает минимума прн q=0,
а максимума - прн q2 = (2n/л0)2.
В табл. 2.2 представлены значения, в децибелах, дополнитель•
ного энергетического выигрыша
=~, =( a•+N2Fx [2аЬ-ас/Ха +-1 -])
f/д ••'IФ
2Fx
а•+ q•
N{.
Таблиц а 2.2
Энергетический выигрыш при раз-
Энергетический выигрЬIШ при раз-
N
личных значениях а
N
личньrх значениях о
о,1
1 1 1 10 1 Примечание
О,111
10 1 Примечание
О,1 l'l 17 18
q=0
0,1 23 24 24 lql =2n/i..
11517
17
a-0,l
1192324
а=О,1
10
9,6 15 17
10101923
0,1151717
q=0
0,1 15 17 17 lql =2n/l.o
19,61517
а=1
19,61517
a=l
10 2,9 9,6 15
10
2,9 9,6 15
о,1 9,6 15 17
q=0
0,1 9,6 15
17 lчl =2itП.,
12,99,615
a=l0
12,99,615
«=10
10
0,4 2,9 9,6
10 0,4 2,9 9,6
(относительно выигрыша при «белом» шуме в канале) оптималь
ной ПВ обработки в канале с сосредоточенной и флуктуационной
помехами относительно оптимальной обработки в одной точке про•
странства при различных значениях параметров: а=О,1; 1; 10;
о'=О1· 1· 10·N=01· 1·10·q2=0· (2~/')2 (' =30м)· аХ=
,,
,
,
,,
,
,
,
~~ ло
ло
,
а
=100; 2F,Xa=I.
Из таблицы видно, что с ростом интенсивности «белого» шума
N, уменьшением интенсивности сосредоточенной помехи а2 и умень
шением интервала корреляции сосредоточенной помехи 1.т= 1/а
обсуждаемый выигрыш уменьшается, в пределе стремясь к нулю,
и все в меньшей степени зависит от направления прихода волны
(q), поскольку в этом случае влияние сосредоточенной помехи по
сравнению с белым шумом незначительно. В противоположных
ситуациях выигрыш f/д весьма существен. Так при N=0,I; а2 =
= 10; а=О,1, дополнительный энергетический выигрыш изменяет
ся от 18 до 24 дБ в зависимости от направления прихода волны
(изменения параметра lчl от О до 2n/ло).
2.7 . Помехоустоilчивость двоичного приемника,
оптимального при белом шуме в канале
Оптимальная обработка согласно (2.1) требует предваритель
ного знания функции Ч'(t, t', r, r'), обратной по отношению к кор
реляционной функции аддитивной помехи, что связано с реше•
нием интегрального уравнения, и зачастую встречает большие вы•
числительные трудности. Кроме того, корреляционная функция
помехи ие всегда известна. Поэтому представляет интерес воз•
можность применения для различения известных сигналов по их
75
смеси с иебелым шумом z(t, r) =и;(t, r) +nc(t, r) +пФ(t, r) более
простого алгоритма
arg~ax{Sfz(I, r)u;(t, r)dtdr-+JJи2;(t, r)dtdr},
(2.56)
который при приеме на фоне белого гауссовского шума является
оптимальным (реализует алгоритм максимального правдоподо
бия). Полагаем, что компоненты шума пФ(,/, r) и nc(t, r) некор·
релированы между собой. Двоичный канал, в котором реализует·
ся алгоритм (2.56), является симметричным и характеризуется
вероятностью ошибки p=P{i;>A}, где ,1;= fS n(t, r)иp(t, r)dtdr;
А= 1⁄4ff u2p(t, r)dtdr. Случайная величина~ является гауссовской
с нулевым средним и дисперсией <~')= SJfJ Up(t, r)B(t, t', r,
r')up(t', r')dtdrdt'dr', где B(t, t', r, r') - корреляционная функция
суммарной аддитивной помехи. Вероятность ошибки двоичного
приемника, оптимального при белом шуме в канале, определяется
(2.40), в которой аргумент функции Крампа
JSи•Р(1, r)dtdr
d=-:;,c,================~
2VJJSJ'up(I, r)B(t, t', r, r')иp(t', r')dldrdt'dr'
(2.57)
Энергетический выигрыш оптимальной (по алгоритму макси
мального правдоподобия с учетом корреляционной функции шу·
ма) ПВ обработки по сравнению с обработкой, оптимальной при
белом шуме, согласно (2.41) и (2.57)
JJSJиp(I, r)B(I, t', r, r')up(I', r')dtdrdt'dr'SJup(/, r)uoп.P(I, r)dtdr
n=="-----------------" -"' - -- -'='----
(SJи'p<t, r)dtdr)
2
(2.58)
Используя разложение корреляционной функции B(t, t', r, r')
аддитивной помехи в билинейный ряд по собственным функциям
( 1.55), с учетом известных свойств отношения Рэлея [69] можно
показать, что для энергетического выигрыша (2.58) справедлива
следующая оценка: 1,;;;ч,а;;; 1+лтах!N, где лтах - максимальное
собственное число интегрального оператора, ядром которого явля·
ется корреляционная функция Вс (t, t', r, r') коррелированной со·
ставляющей помехи пс (1, r).
Вычислим энергетический выигрыш (2.58) оптимальной ПВ
обработки, учитывающей коррелированный шум в канале по срав
нению с обработкой, оптимальной при «белом» шуме для модели
аддитивного гауссовского шума с корреляционной функцией
( 1.78) и модели принимаемого поля (2.48) в области анализа
(2.47).
С учетом (2.41), (2.49), (2.51) получаем
4d2
n = ......!,г-SJSJщ(t, r)B(t, t', r, r')up(I' r')dtdrdt'dr'=
Еир
7б
= /..&. + 2Ь [e-ax•[(a'-q')cosqX. -2aqsinqX,]+q'-a'+
lN
(а'+ q')'
+аХ (a'+q')]+ с [e-ax•(-acosqX.+qsinqX,)+a] lj Х
а
a:i+q'
х(хN+ 20'
[е-ах• (a2-q2)cos qX,-2aq sin qX,] +q'-a'+
а (а'+ q')'
+ aX,(a2+q2)]) ~-
(2.59)
Ха
Здесь параметры а, Ь, с и q определяются (2.50). Если в каиа
ле отсутствует сосредоточенная помеха (а'=О), то из (2.59) сле
дvет ri = 1. Если же в канале отсутствует флуктуационный шум
(i\'=0), то ч=оо, что объясняется возможностью полной компен
сации коррелированного шума за счет пространственной обра•
ботки.
При aX,=X,flx» 1 энергетический выигрыш (2.59) близок к
1, поскольку в этом случае сосредоточенная помеха практически
н<:.~ отличается от флуктуационной.
Анализ (2.59) показывает, что по мере· возрастания мошности
сосредоточенной помехи по сравнению с флуктуационной все бо
лее ощутим выигрыш оптимального приемника по отношению к
приемнику, оптимальному при белом шуме.
2.8 . Оценка знерrетнческоrо пронrрыша приемника
нз-эа неточного знания ожидаемого сигнала
Выше была опреде,1ена вероятность ошибки при приеме по ал
горитму (2.5) для двоичной системы в предположении того, что
ожидаемый в месте приема сигнал и,(/, r) известен точно. Эта
вероятность определяется при в,=в (2.40). На практике указан
ный сигнал может быть задан с некоторой погрешностью. При
ме~, что оценка ожидаемого сигнала в месте приема ai (t, r), и
на идем вероятность ошибки и энергетический проигрыш [ относи
тс•льно оптимального алгоритма (2.5)] для алгоритма
arg m~x { jJ z (1, r) fioп, (1, r) dtdr- +па, (1, г) fioп, (1, r)dldr}, (2.60)
где Иопi(t, r)= fS 'l'(t, t', r, r')u,(t', r')dtdr'.
Вероятность перехода р(!/0) для двоичной системы (i=0,1) опре
деляется вероятностью выполнения неравенства s>A, где
s= SJn(t, r)fioпp(t, r)dtdr; А=- Sfu 0 (t, r)uoп.p(t, r)dtdr+
++ss а,(1, r)иоп1(1, r)dtdr-+ sSиo(I, r)Uoпo(I, r)dldr;
fioп.p(I, r)= fS'l'(t, t', r, r')fip,(I', r')dl'dr';
up(t, r)=и,(t, r)-u0 (t, r).
77
/
Случайная величина s расиределена по нормальному закону~ ну
левым средним II дисперсией u2
0=<s•)= SJйp(t, r)йоп.р(f, r)dtdr.
Поэтому р (1/0) = +[ 1-Ф ( :.)] · Аналогично находим р (0/1) =
=+[1-Ф( =• )].
где В= fSu, (t, r)йоп.р(/, r)dtdr++SJ йо(f, r) йoun(t, r)dtdr-
1
-
2ffй, (t, r)йоп, (t, r)dtdr.
Ясно, что алгоритм приема (2.60) является работоспособным
только для таких а, (t, r), которые при заданных и, (1, r) удовлет
воряют неравенствам
А>О, В>О.
(2.61)
В общем случае рассматриваемый канал i[вляется несимметрич
ным. Однако для системы противоположных сигналов, когда
и,(t, r)=-u0 (t, r); й 1 (t, r)=-йо(,1, r), канал становится симмет
ричным II характеризуется вероятностью ошибки
р = _I[ l-Ф( .rJ и,,(1, r)и0п 0 (1, r)dtdr )] .
2
VJSu0(1, r)Uonо(1, r)dtdr
В этом случае условия работоспособности алгоритма (2.61) при
нимают вид
SS и,(t, r)йопо(t, r)dtdr>0.
(2.62)
Формула (2.62) выражает некоторое требование «близости» меж
ду ожидаемым и0 (1, r) и опорным йопо(t, r) сигналами, как эле
ментами гильбертова пространства L2( [О, Т] X.R) (угол между
этими двумя элементами не должен по модулю превышать л/2).
Энергетический проигрыш алгоритма (2.60) по отношению к опти
мальному алгроитму (2.5)
!]= VSJи.(I, г)иопо(I. r)dtdrV_rJи,(t, Г)Uопо(/, г)dldr
,
fSu,(t, r)uoпo(I, r)dtdr
(2.63)
Нетрудно показать, что энергетический проигрыш (2.63) удовлет
воряет неравенству ч;;,, l.
Рассмотрим частный случай, когда принимаемая плоская волна
(приходящая с направления 0) задается моделью (2.48), при ко
торой
Uo(t, r)=y [so(t)cos[~:(r, ro(O))+q,J+so(t)~f
2
;,(г, r 0 (0))+q,:]},
а на п.о_иеме углы прихода в известны неточно и полагаются рав~
ными 6
78
При этом
uo(t, rJ =у {so(t)cos [:: (r, ro(O)) +q,] +
+so(l)sin 1l
2
: (r, r0 (0)) +q,]}.
Тогда энергетический проигрыш (2.63) в предположении фактори
зуемости обратной корреляционной функп,ии и узкополосности ис
пользуемых сигналов
v5Sco, [
2
i.: (г-r', г0 (6))] 'l'll (г. г')drdr' x-
n=---------------------
s- (2"
•)
.Jcos Л. [(г, г0 (0))-(r', г0 (0))] 'l'11 (r, г')dгdг'
-xyJJ"cos [:: (r-r', г0 (6))] '1 '11 (г, г') drdг'
Если аддитивная помеха в канале б-коррелирована по простран
ству, то из последней формулы
mesR
п = ----, ----- ---
2"
•
f cos- (r, r 0 (0)-r0 (0))dr
i.,
При приеме на линейную антенну, расположенную на отрезке
[-Х,/2, Ха/2], энергетический проигрыш
Ха n:
А
-- (sin8- sin8)
i.,
n=--~-------
sin[ х;,,:л(sin8- sin0)]
а условие (2.62) работоспособности
s1n[X~; (sin0-sin0).]
--''--''-"-----~'-> о
Хал
А
-- (sin6- sinО)
i..
или
(2.64)
алгоритма принимает вид
l:o._ 2k< 1sin 0-sin 01 < ь_ (2k+ 1), k=O, 1, 2, ...
Ха
Ха
Допустимые углы;;) (в градусах), при которых алгоритм_ (2.60)
явJ1яется работоспособным, приведены в табл. 2.3 для ряда значе
ний е и определенных значений отношения Х0/ло при k=O (цент
ральный лепесток области работоспособности). Здесь и далее при
построении графиков и таблиц все углы прихода плоской волны
считаются лежашими в интервале [О, :ri/2], поскольку вследствие
симметрии задачи эта область содержит решение для всевозмож
ных yrлов прихода.
7!}
,!
,,,.
10
2
1
Табл .д• 2.3
Допустимые уrлы 6 .."Е" раЭJiичных значениях. 6. Град
1
о
1151301
(-5,7; 5,7)
(-30; 30)
(-90; 90)
(9; 21)
(-14; 49)
(-48; 90)
(24; 37)
(О; 90)
(-30; 90)
q,15
9
во·
б 75°
go•
45
150
1
75
90
(38; 54) (50; 76)
(60; 90j (64; 90)
(2,1; 90) (22; 90)
(28; 90)
(30; 90)
(-17; 90) (-7 ,5; 90) (-1,7; 90) (О; 90)
Графики зависимости энерге
тического выигрыша (2.64) от уг
ла 0 при некоторых фиксирован
ных значениях углов 0 представ
лены на рис. 2.7, 2.8 при Xa/'J..o =
=!; 10*).
--~Ьv--.ьо--~20~4~~~~~:.,,,...,с:,р=-а,,-
Из указанных рисунков и табл.
2.3 видно, что по мере увели
чения размеров антенны по срав
нению с длиной. волны (сужения
диаграммы направленности) для
сохранения работоспособности
q,аб
6-lf fO
g
6
7
6
5
•J
l
Рис. 2.i
х,1~0-ю
е-,5• J0° 45• 75• 5ft
-70 о /О·
Рис. 2.8
9f!"
.)
системы допускается все меньшее отклонение устанавливаемого
·,
угла прихода (iJ) от истинного (0). Вместе с тем для заданных
значений 0 и О проигрыш растет с увеличением параметра Ха/'Ао.
Так, при Н=30° и 0=25° проигрыш меняется от 0,1 до 5 дБ при
изменении Ха/4 от ,1 до 10. Энергетический проигрыш монотонно
возрастает в каждой ветви функции с увеличением разности
10---61.
*> Прн изменении зна,ка фmсон.рованного угла О на обра·тный пост.роенные
кривые остаются опра1Ве.длквыми, ес..mи поменять наlПIJ)а,вление оси аООПIНсс на
обратное.
80
2.9 . Помехоустойчивость двоичной системы
при оптимальном когерентном приеме
и медленных флуктуациях параметров канала
Выше оценена достоверность передачи двоичных сообщений в
предположении, что поле сигнала Ui (t, r) известно точно в месте
приема и, следовательно, возможна реализация оптимального ко
герентного приема. Вероятность ошибки при этом выражается че
рез функцию !\рампа и зависит от ожидаемого в месте приема
разностного сигнала ир (t, г), а также от характеристик аддитив
ной помехи Ч' (1, ,t', r, r'), которые в свою очередь определяются
набором (вектором) параметров канала л= (,,Т и, ~т.,.) т:
p=p(ur1(t, r, ли), Ч'(t, t', r, r', л.,.)).
(2.65)
Если эти параметры не остаются постоянными, но меняются до
статочно медленно (Rt::::::; 1), так что возможны их надежная оцен
ка и предсказание в области анализа поля, то рассмотренные ал
горитмы когерентной обработки также могут быть реализованы,
однако вероятность ошибочного приема в этом случае уже зависит
от случайных функций ир (t, r, ли), Ч' (t, ,t', r, r', л,;). Если распре
деление параметров л известно, то в области их стационарности
мерой качества системы может бы_ть математическое ожидание
величины (2.65), полученное усреднением по л.
Вычислим среднюю вероятность ошибочного приема в предпо
Jюжении, что от случайных параметров Л зависит только ожидае
мый разностный сигнал up(t, r), в то время как корреляционная
функция аддитивной помехи в канале (а следовательно, и функ
ция Ч' (1, ./', r, r')) считается точяо известной в месте приема. Ве
роятность ошибки при приеме двоичных узкополосных сигналов по
алгоритму максимального правдоподобия с учетом разделимости
сигнала по пространственной и временной координатам и б-кор
релированного во времени аддитивного шума определяется исхо
дя из (2.40), (2.41):
р=+[ 1-Фх
х ( + '.·~-. -J-1i,-,p-(-t)-1'-_d -lJ~J=u=p,=,=(r=)'l'-
11-(r-,-r-')-u -p1-1 -(r-')_d _r _d _r')]. (2.66)
В соответствии с моделью (1.17) для принимаемой плоской од
нолучевой волны формула (2.66) принимает вид
р=О,5[1-Ф( V E,/2N,) ],
(2.67)
где
1
•
Е,= 2 f Iy(t) sp(I) l2dl mes R;
r
1 ~ [Л,t, (r, 0)-Л'Ф (r' 0)
]-!
N,=2mesR Не '•
Ч'" (г, r')drdr'
-
эквивалентная спектральная плотность шума 1.
1 При белом шуме 1в канале N3 =N0 =2N.
(2.68)
81
/
Предположим теперь, что случайиые параметры каиала л l\бус
Jiовлены случайным изменением во времени величины у (t)/Пола
гая, что корреляционная функция процесса у (t) известщ{, разло
жим этот процесс в ряд i(арунена-Лоэва
(2.69)
с некоррелироваиными координатами r•=x,-iy•= j' y(t)q,,(t)dt.
ОртогонаJiьные компоненты х. и У• будем считать некоррели
рованными при всех k. В общем случае онu имеют отлuчные от
нуля математические ожидания <v,>=<x,)-i(!l.)=mx,-imyk• Под
ставляя (2.69) в (2.68), учuтывая ортонормированность базиса
{q,,(t)} и медленность изменения y(I) по сравнению с s,(t), полу
чаем
(2.70)
Используя интегральное представление функции Крампа [29]
_ 1 [1-Ф(х)] =-1[ dt
2
"Ь 1+1•
и учитывая (2.67) и (2.70), можно убедиться, что
1~ dl
( 1+1•Е,mesRК
\
р(л)=-[ .--ехр --- р
~(х'.+У',) ,
n;\11+1•
2
L2Nэ 1=,
J
(2.71)
где через л обозначена •совокупность параметров {х,, У•}, k= 1, К.
Если величины х, и У• распределены нормально с параметра
ми mxh, a 2x1i, m 11 1t, a 2yk, их совместная плотность распреде.(l~НИЯ
W (л) = п ----ехр
К
1
[
k=I 2 Лахk ayh
Определим среднюю вероятность ошибки [128]
р= Jр(л) W(л)dл.
(2. 72)
(2.73)
Подставляя (2.71) и (2.72) в (2.73) и выполняя интегрирование
по х, и у,, получаем
р=_1_~1··~пх
Л() 1+!2 k=l
1
E,PmesR(I +t')т'х•
ехр -
4[Nэ+Е, mesR(1+1')a•x•I
х
р
Е,РmesR(1+12)т••• }
4 [Nэ + E,PmesR(l + 12)a'y•JJ
V Е,р
VЕ,
1 +-- mesR(l + 1') а•х•
1 +-Р- mes R(I + 12) a'yk
2N3
2N0
(2.74)
82
Энергия разности переда·ваемых сигналов может ,быть записана в
виде
Е,, (i, i) = S[s1(1)-s1(1)1' dt= Е,1 + Е,1-2 μ11 = Е,1 (1 +v•,
1 -2M1J'111J),
где
"11=Esl•М11=
μil
= Ss1(/)s1(/)dt
Е,1
VЕ,1 Е,1
VE,1 Е,1
Для двоичной системы сигналов
Е,Р =Е,Р (1,0) =2Е,, л,
(2.75)
где л=(1+-v2
10 -2M,ov 10 )/2 принимает при АМ, ЧМ, ФМ значе
ния 1/2; 1; 2 соответственно.
С учетом введенных обозначений выражение для средней ве
роятности ошибки (2.74) принимает вид
l~dtк
р=-s--п х
По 1+12 1=1
(
т'х• 1. h'x•• (1 + 12)
m•••,. h'Yt• (1 + 1') }
ехр -
Х
2<>'ж•[1 + 1.h'жik(l+ 12)]
2a
2
yk[1 + 1.h'y,k(l+ 11)]
(2 .76)
Vl+ 1.h'ж••(]+ 12)Vl+ Лh',1•(1+ 12)
где использованы введенные выше параметры:
Esla2xkmesR .
2
Esl a 1yk mesR
h2xi11.
N.a
'
h Yik=
N,
h'
-h' +h'
.
jji Е,1 mesR(и'x• +а•,• +т'х• +т'v•>
ik-
:\tk
Uik,
ik=
N
3
Е, 1 mes R (<>'ж• + а',•>
Nз
(l+q'.)=h',,(l+tf.).
Анализ формулы (2.76) показывает, что наименьшая средняя ве
роятность ошибки при прочих равных условиях обеспечивается
применением системы проти-воположных сигналов.
Полученная формула не отличается от выражения для средней
вероятности ошибки в системе К-канального разнесенного коге
рентного приема при независимых неселективных замираниях в
отдельных ветвях и будет подробно рассматриваться в гл. 4. Здесь
рассмотрим случай К= 1 (медленны·е замирания в однолучевом
канале).
Выражение (2.76) при К= 1 можно привести к виду
1~ dl
p=-r- -x
"о 1+1•
ехр{- 1 + 1' iii,,, _q'_ [
cos• "'"
+
sin• '!'Р
]}
2
1 +q•
iii,i.~•(l +1')
iii,i.(l +t')
1+ (1+ ~•)(1+q') 1+ (!+ ~•)(1+q'}
Х--~=====:;:==:::=:---'-'-;:::::'::::::::::::=:::::::=:;::===::::-~
,
/
2
h21~1л
No1л
. . V l+(l+t)(I+i!')(l+q')
1+0+1•) (l+l\')(l+q')
(2.77)
83
Формула (2.77) очень удобна для численных расчетов на ЭВМ
и позволяет получить большое число частных результатов. Напри
мер, для рэлееж:коrо канала (f:1 2 = 1, q2 =0) из (2.77)
р=
_
2
1 [l-,f лh', ]·
V 2+лii\
При медленных гладких замираниях и когерентном приеме в
области больших отношений сигнал/шум, как следует из (2.77), ве
роятность ошибки в односторонне-нормальном канале
Р"'1/nV лh21,
(2.78)
а в остальной области общего гауссовского (четырехпараметриче
ского) канала (f:1 2 >0, q2 <oo)
r ч•(l+ f:J'>
·)
1 ехр\-
2
f:J'
[cos•cpp+f:J'sin'cpp] (l+q')(l+f:J')
р:::: лh',
4/3
• (2.79)
При симметрии канала по квадратурным компонентам (райсов
ский канал)
р:::: ·:·· (1 + q').
(2.80)
2;, h'1
Сравнение помехоустойчивости двоичной системы при когерентном
приеме и медленных замираниях и при независимом приеме от
дельных элементов сигналов в общем гауссовском канале будет
ьыполнено в § 2.12.
Представляет интерес оценка средней вероятности ошибки при
11еrауссовском распределении независимых ортогональных компо
нент.
Для вычисления интеграла в (2.73) в этом случае воспользуем
ся теоремой о среднем. Если ,i, (х) и а (х) - соответственно быст
ро и медленно меняющиеся функции на интервале [А, В], то
!a(x),p(x)dx=a(~) S,p(x)dx,
А
где !; - произвольная точка интервала [А, В]. Если
,j,(x) =
= e-d'x', то ДЛЯ d2 '2> 1
fa(x)e-d'x'dx=a(O) ;'e-••x'dx=a(O) V:;..
(2.81)
-оо
-оо
Выражение (2.37) с учетом (2.71) можно представить в виде
100dt
Коо""
р = -J - - П 1· \ ·e-d'(x',+•'•>Wx•(x,) Wy•(y,)dx.dyk, (2.82)
Я О 1+t' k=l-~ _·
00
где параметр d2 определяется через отношение сигнал/шум в ка
нале, а функции W,,(x,), Wu,(Y,) определяют плотности распре
делений соответствующих координат. Отсюда в предположении,
84
что Wx,(x,) и Wy,(y,) убывают при больших аргументах медлен
нее, чем гауссовский закон, для больших отношений сигнал/шум
(d2 ;$> 1) выражение (2.82) можно заменить приближенной форму
лой
1~ dt к["
]
р~-f--П -W,,(O)Wv,(O), d'
nо1+11k=Id'
(1 + 12) Е,, mesR
-----. (2.83)
4N8
При логнормальном распределении амплитуды (и равномерном
распределении фазы) плотность вероятности квадратурной компо
ненты в нуле согласно ('1.43) Wx,(O) = Wy;(O) ='l/л и интегриро
вание (2.,83) приводит к результату
cN ( nE,,mesR )-N
Р~ 2N-1
Nэ
•
(2.84)
Поскольку с учетом (2.75)
ношений для параметров
имеем
для любого k с использованием соот
логнормального распределения ( 1.41)
mesREsp =2A.Esl mesR = 2Лh21k
Nэ
Nэ
yi&k
то (2.84) принимает вид
2Nμk+2No2k
CN
е
р= 2N-l ------
(2n)N (л h',•>N
В случае гладких замираний (N - l)
р"' е2М2"'/2ллh21.
(2.85)
Из (2.85) видно, что с увеличением cr2 (увеличением глубины за
мираний) и μ средняя вероятность ошибки увеличивается.
Сравнивая (2.85) • с асимптотикой вероятности ошибки в рэле
евском канале, следующей из (2.80), приходим к выводу, что при
значениях а'+ μ<0,5ln" канал с логнормальной амплитудой обес
печивает лучшее качество, чем рэлеевский (если возможно осу
ществить когерентный прием сигнала). При выполнении обратно
го неравенства лучшее качество обеспечивает рэлеевский канал.
2.10. Вероятность ошибки
при использовании многопозиционных сигналов
Нахождение вероятности ошибочного приема Рт для многопо
зиционных (недвоичных) систем сигналов (m>2) в общем случае
затрудняется, так как теперь, имея в виду алгоритм (2.1) (или
ему подобные), для нахождения вероятности Рт (приходятся ана
.11изировать совокупность из т-1 неравенств (число возможных
ошибочных переходов).
Можно, однако, в области малых ошибок получить достаточно
точную оценку сверху для вероятности Рт:
(2.86)
85
1
где Р• - вероятность ошибки для двоичной системы (двоичного
перехода) в том же канале. Вероятность ошибки Р• имеет место
при нспользоваиии некоторой (k-й) пары из т сигналов. Оценка
(2.86) следует из известного неравенства Буля: вероятность того,
что произойдет хотя бы одно из п событий А 1 , А2, •.. , А,.
(в общем
случае совместных и неравновероятных), меньше или равна сум-
•
-
ме вероятностей этих событий, т. е. Pn,;;;; ~ р (А•). Это неравенство
k=I
переходит в равенство, если события А• попарно несовместны.
При Рт«:.1 (в области малых ошибок) вероятность того, что
одновременно два или более неравенств, определяющих алгоритм
(2.1 ), не будут выполнены, очень мала. В этом случае Рт""'
т-1
""':ЕР•·
='
Оптимальный приемник т-позиционных ортогональных сигна-
..тrов с активной паузой обеспечивает одинаковые вероятности дво
ичных переходов р,=р2 (канал симметричный), определяемых
при е,=в формулой (2.40), а его полная вероятность ошибки
Pm""'(m-))p2.
(2.87)
Из (2.87) не следует делать вывод о том, что т-позиционная си
стема при m>2 всегда хуже двоичной. При одинаковой скорости
ввода информации /'(А)= !ogm/T в канал в обеих системах дли
тельность т-позиционного сигнала Тт= logm/1' (А) оказывается
равной Тт= T21ogm, где 12 - длительность двоичного сигнала. От
длительности зависит и энергия сигналов Ет=Р0у2 Тт, где у2 Р0 -
средняя мощность принимаемого сигнала. Соответственно при
фиксированном значении эквивалентной спектральной плотности
шума N. и параметр h2 оказывается в т-позиционной системе в
logm раз больше, чем в двоичной. Это увеличение h2 при опреде
JJенных условиях [128) с избытком компенсирует влияние множи
теля (т-1) в (2.87).
Эквивалентная вероятность ошибки для канала с постоянными
параметрами при кодировании без избыточности кодом с основа
нием т>2 определяется очень просто [128):
р~ Рт
,~--.
log,m
(2.88)
где Рт - вероятность ошибочного приема символа в рассматри
ваемом канале.
Из (2.88) следует, например, что канал с m=8 н Рт=3· 10·'
эквивалентен по достоверности двоичному каналу с вероятностью
ошибки 1о-•.
Поскольку с ростом т эквивалентная вероятность ошибок
уменьшается, может естественно возникнуть вопрос: почему боль
шинство существующих систем передачи дискретных сообщений
--
это двоичные системы, значительно реже используется m=4 и
совсем редко m>8? Это объясняется, во-первых, тем, что с уве-
86
личением т быстро возрастает сложность демодулятора - зна
чительно быстрее, чем уменьшается вероятность ошибки. Во-вто
рых, в подавляющем числе случаев рост т требует и соответст
вующего расширения занимаемой полосы частот в канале. Так,
при использовании ортогональных сигналов для образования m-
позиционной системы сигналов требуется база сигнала 2FT-;;;,.m .
Поэтому с ростом т должна пропорционально возрастать база
сигналов. Так как Т растет с ростом т пропорционально log2m,
то ширина спектра F должна увеличиваться пропорционально
m/log2m, что возможно лишь в достаточно широкополосных ка~
налах.
2.11 . Помехоустойчивость оптимального приема
при неопределенной фазе
Для двухпозиционной (i=0,1) системы с активной паузой оп
тимальный алгоритм приема (реализуемый некогерентной схемой
квадратичного суммирования) можно записать в виде V 1 §а V0.
Вероятность ошибки (одинаковая при передаче любоi\ позиции)
определяется с учетом (2.13) вероятностью выполнения неравен
ства V0 = VX2
0+У20<}1Х21 +У21 = V1 при условии, что переда
вался сигнал s0 (t) и принимаемое поле представляет собой смесь
z(t, r) =и0 (t, r) +n(,t, r).
Для вероятности ошибки следует результат [128, 136]
Р= l-F(v-f (1 + V1-Л~10), 1, VL<h:.-----,(1-V,=1=л=a~=,o-;-) )-
__
I_
-h'l'J ( Ло,оh' ) h'= •h•
2е
о
2
,
уо,
(2.89)
где Л010 = V Л201о+Л201о - огибающая нормированных взаимокор
реляционных функций сигналов на выходе канала с единичным
коэффициентом передачи:
1
Ло10= --ff uoo(t, r)uoп1o(t, r)dtdr;
2h2
0
-
1
-
Лo,o=--ss Uoo(f, Г)Uоп10(1, r)dtdr.
2h'0
Анализ (2.89) показывает, что вероятность ошибки минимальна
при Л010 =0 (ортогональная в_усиленном ~ысле система) и моно
тонно возрастает с ростом Ло,о- При Ло1о=О, учитывая, что
F ( Vh2/2, 1, О)= e-h'/2
, / 0 (О)= 1, получаем
1 -1'2 h• 0f2
1 -hl/2
р=
2е =2
е
.
В другом крайнем случае, когда
F(x, 1, x/"Jl2)=0,5[1-e-x'fo(x2)],
Л.2010=-l, учитывая,
получаем из (2.89)
(2.90)
что [78]
р= 1/2,
87
т. е. при некогерентном приеме «полностью» коррелированная си
стема сигналов (например, система противоположных сигналов)
не может быть использована.
При больших значениях h2 (1-V 1-Л2010 ), используя для ап
проксимации функции F(A, 1, С) удобную формулу (1.39), из
(2.89) получаем
Р~-1⁄2-[1-Ф(V h; (1+V1-~ 10)--V h; (1-V1 -~ 10))].
(2.91)
В случае h2 -; 'l> 1 эта формула оказывается справедливой при про
извольных значениях Л2010- При Ло,о=О из (2.91) имеем' выраже
ние
р~ +11-Ф(Vh')],
(2.92)
которое не отличается от формулы (2.42) при л= 1, определяю
щей помехоустойчивость ортогональной системы при когерентной
обработке поля. Следовательно, для такой системы учет фазы
сигналов весьма несущественно влияет на качество приема.
Можно показать, что в канале с неопределенной (равномерно
распределенной) фазой при использовании многопозиционных си
стем сигналов с активной паузой оптимальной (по минимуму ве
роятности ошибки) также оказывается система, ортогональная в
усиленном смысле (128, 136]2.
Вероятность ошибки при использовании многопозиционной си
стемы с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле, и
независимом приеме элементов сигнала по алгоритму квадратич
ного суммирования (2.19) определяется формулой (128]3
m-1
1
р = " (-1)•+1 с• -- e-h 'k/(k+l) h' =r'h'•·
т k":'1
m.-1k+l
,
Для нее нетрудно получить иерхнюю оценку
~ -h•12m-l
Рт~е
--;;;--,
более точную, чем общая оценка
р,;;;, m - 1 e-h'/2.
2
вида (2.87):
(2.93)
(2.94)
При m=2 из (2.93) следует формула (2.90), а (2.94) переходит
в равенство.
1 Заметюм, что при любых значениях а~рг.умента функции Крам.па сnравед•
лива оценка 0,5[11-Ф("Vh2 )J~0,5e-h.2f2, оп.ре,деляющая соотнООiеИ'Ие между ПО·
мехоус_т,ой,Чl}{lвостЬю двоичной ЧМ при ·когерентном и некоrерен'Nlом приемах.
2 За-метим, что ортогональность в .уоиленном смысле сИIСТемы сигналов
{ui(t, r)} эювИ'Валентна ортоrоналышсти в усилен-ном cмhlCJie системы {u4o(t,
r) }.
3 Этот результат опрЗIВедЛ'Ив при ,произsольном ,расп.ределеюи-и фазы: сиг.на•
ла.
88
2.12 . Помехоустойчивость оптимального приема двоичных сигналов
в общем гауссовском канале с неселективными замираниями
При осуществлении независимого приема символов по опти
мальному алгоритму (2.26) вероятность правильного приема i-ro
символа определяется вероятностью выполнения системы нера
венств
(х+ тж )'
~•а•,
+
i 111 а•у
2(1+
2 r;;, ~·
)
(1 + ~•)(!+q')
+(v,+ т, )'
а•,
>
a'u
2(1+
2h21
)
о+~•><1 +ч'>
(х+тж )'
111 cr'u
+
> J ~•а•у
2(1+
2No1~•
)
(1+ ~•)(1+q')
+(У+~)'
о••
+юiJ, j=O, т-1; i=;l=j,
J 0211
2(1+
2I•1
)
(1 + ~•J(l +ч•J
(2.95)
где uJ;;=uJ;-uJ; при условии, что z(t, r) =U;(I, г) +n(t, r). Когда
передается символ i-й позиции, то, обоз~ачая Хф=Х-mх, УФ=
=у-т,, имеем Х,=л,+ (хФ+!11х)2h2,о; У,=_л,+ (YФ+m,L2h2,o; Х;=
=л;+ (хФ+m,)е,;о-(УФ+m,)е,;о;
У;=л;+ (хФ+т,)е,;о+ (УФ+
+ тu)в,;о; л,= Hn(t, r)uoп1o(t, r)dtdr; i,= JSn( t, r)i7;,п,o(t, r)dtdr;
e,;o=JfИio(I, r)Uoп;o(I, r)dldr=e;,o; ;,;o=JSИio(I, r);;oп;o(I, r)dtdr=
=-EijO•
(2.96)
В рассматриваемом канале величины (2.96) имеют нормальное
распределение. Для случая приема двоичных сигналов запишем
неравенство (2.95) в следующем виде:
Aij>wн; i, j=O, 1; j=Fi,
где
(2.97)
Л,;=021 +022-0',-02
4
(2.98)
-
квадратичная форма от четырех гауссовских величин (вообще
rоворя, взаимокоррелнрованных) с неодинаковыми математически
ми ожиданиями и дисперсиями. Упомянутые гауссовские величи
ны определяются соотношениями
0-(Х·+~) flau
1
-
'
~• о•, V2(1 +2h',,)
0-(х+т,) ~а.
3
-
1 ~• а,;; V2(1+2h',j)
89
Считая rауссовские квадратурные компоненты х, у некоррели
рованными и учитывая, что случайные величины л,, л, также не
коррелированы (в силу ортогональности сигналов, сопряженных
по Гильберту) и распределены нормально с нулевыми средними и
дисперсиями 2h2ю, а у пар вел~чин л,, i;; '::!• л;; л;, i,; R:, л~ кова
риации равны соответственн~i;о; в1;0; -e1jo; BijO, получаем, что
случайные величины 11,, k= 1,4 являются совместно гауссовскими
с математическими ожиданиями
u'2
-е
g
024 =
--е
u'з
о
(О,)= ту )f1+ 2h'ut ;
u,v'2
(2.99)
(2. 100)
Для определения вероятности ошибки необходимо прежде все
rо найти плотность распределения квадратичной формы (2.98).
Как показано в (89, 178], характеристическая функция квадратич
ной формы нормально распределенных величин 0, определяется
формулой
exp(--1-мTo-1 [1-(I-ZiuDQГ']м]
F(iu)лu= \det(l-2iuDQ)]'i'
,
'
.
(2.101)
где М= (~0,), ~0 2), (03), ~0 4)) т - вектор математических ожида
ний переменных в., определяемый (2.99); D - квадратная матри
ца ковариаций, определяемая (2.100); Q - квадратная диаго
нальная матрица размером 4Х4 с элементами ± 1, учитывающими
90
знак при 62k в квадратичной форме. Для квадратичной формы
(2.98)
Q= [i !_~ ~]-
оОО-1
После определения плотности вероятности величины Л,; через
преобразование Фурье от (2. -IOI) получаем вероятность ошибки
для двоичной системы
.,
~ехр(-_]_мтD-1{1- (1- 2iиDQГ1]М- iиА}
р= JII j"
2
dudЛ.
-~
-~
2nYdet(1-i2иDQ)
(2.102)
В случае произвольных матриц М и D интегрирование (2.102)
затруднительно. Поэтому сна•чала рассмотрим решения для трех
широко распространенных в радиосвязи частных случаев двоич
ных систем: для системы с активной паузой, ортогональной в уси
ленном смысле (ЧМ, ОФМ), с противоположными сигналами
(ФМ) и системы с пассивной паузой (АМ).
Найдем сначала вероятность ошибки для системы с активной
паузой, ортогональной в усиленном смысле. В этом случае сред
ние значения слагаемых 6, в (2.99) будут следующими:
<01 /'
1'• cos ер, VI+2h2 •
(0)= 1'• sinер, VI+2h2 •
аж У2
ж,
•
а, У2
••
Матрица ковариаций случайных величин 0,
[
"~, (J~ g
D=О0•"'s
ооо
g].
о'
а•
•
В рассматриваемом случае (1);;=0, и вместо неравенства (2.97)
запишем р,>р;; i, j=0,1; i-/ -j, где p,=V02
1 +622; p;=V62s+02• .
Ортогональность системы сигналов в усиленном смысле обеспечи
вает независимость f)i и pj, и вероятность ошибки (в данном слу
чае одинаковая при передаче любого символа)
~
•1
р= j' W(p;)dp;_\" W(p,)dp,.
(2.103)
о
о
Случайная величина р, имеет четырехпараметрическое распреде
ление W,(p,) с параметрами
<01), (62;, 0
21, "'•·
(2J04)
91
Случайная велнчнна р; также распределена по четырехпара
метрическому закону W, (р;) с параметрами
(03
),
<е,), и2з, и24 .
(2.105)
При асимметрии по ортогональным компонентам вероятность
ошибки в общем случае не удается выразить через известные
функции. В области малых ошибок для общего гауссовского ка
нала при ограниченном q2 можно получить приближенную фор
мулу при ~2
,;60:
р"" (I + :~~ +ч') ехр [-ч•2~,+ ~•) (cos'q,•+ P'sin' q,.)].
(2.106)
При симметрии канала по ортогональным компонентам (и2х=U2у;
cr2,=cr2
2 =cr2,; cr2
3 =cr2,=o211) ,из (2.103) следует
р =Jхехр ( х• :а• )/0 (ах) rуехр ( _Y'tb') / 0 (Ьу) dydx,
r="п =
1 ; a=q1/2; b=qy'2' Vl+h'.
",
'Vl+h'
h
h
Это выражение приводится к виду [ 176, 178]
P=l-F(v1~,. 'l, V2(~'+r') )-
__
I_ ехр[
1+,.
Подставляя значения а, Ь, r, получаем
p=l-F
~~~~-~. 1,
~~~~- -
(v
2q'(l+q'+h')'
V q'(l+q')'
')
h'(2+ 2q•+ii•>
'iii(2+ 2q'+ h')
1+q'+ ~10[2q•~+q')(1+~+ii•>]х
2+2q2+ h'
h'(2+2q2+ h')
х ехр {-q' [(I :-q')'+ (1 +!' + No)'/) h2 = h2 + (1+q2).
h'(2+2q2+h')
.
Воспользовавшись асимптотиками ( 1.39) и
1
In(х)""у~ е•, х»l,
2nx
(2,107)
(2. 108)
при q 2-+oo (идеальный канал) из (2. 107) можно вывести (2.92).
В другом крайнем случае, когда q2 =0 (рэлеевский канал),
учтя, что F(O, 1, О) =0 и / 0 (0) = 1, из (2.107) следует результат
[128] p=l/(2+h'). При отсутствии регулярной компоненты сиг
нала (ур=О) из (2.103) получается
в~• ~
[ x'(l+~•) ] [ x'(I-~•) ]
р = 1+2h•,Jxexp _- 4(1+2h'x) 10 4(1+2h'x) Х
92
х [уехр [- ~ • (1 +e'fl')] / 0[ У: (1-e'fl')] dydx,
где e2 =i(f\2 +2h2x)/[fl2 (1 +2h2x)].
(2.109)
Если f\ 2 не близко к нулю, то в области малых вероятностей оши
бок выполняется условие
h• =h'~ "1 е•=-1
•
1+~•"''
~··
и интегрирование (2.109) дает p=(l+f12)/2h'\fl при f1 2h2/(l+f12)»
»1.
По сравнению с рэлеевским каналом (f\2 =11) энергетический
проигрыш 11 = ( 1 +f\2 ) /2fl. Значения этого проигрыша
•[ при
j,2h,/(I +f\2 ) »•!] для разных значений f\ 2 приведены в табл. 2.4 .
Таблица 2.4
0,8
0,5
0,2
0,1
0,05
'1, дБ
о
0,5
0,8
4,7
7,4
15,3
При fl'=O (одностороине-нормальный канал) (•2.109) приводит
к результату
,/
2~1
х•)
р =v n(l+2h') Jexp l-2(1+2h') [1-Ф(х)]dх=
2
=-
arc tg :--::==~: --
"
V1+2h1
В области ,малых вероятностей ошибок
1v-
p~-
2/h' при h2 »1.
"
(2.11 О)
Из (2.106) и (2.79), а также (2.110) и (2.78) при л=l видно,
что ,когерентный прием при •медленных -замираниях обеспечивает
по сравнению со случаем независимого приема отдельных элемен
тов сигнала для любых параметров четырехпараметрической мо
дели •канала энергетический выигрыш 11=2 (3 дБ).
; .Зависимости р (No) при различных значениях параметров q', f\ 2,
определяющие потенциальную помехоустойчивость двоичной Ч,\\
в: условиях, 1ю11да прием осушествляется без учета корреляцион
ных связей между посылками (R,=O), показана на рис. 2.9 .
'
Перехмим к анализу двоичной системы с противоположными
сигналами uo(I, г) =-и 1 (t, r). При использовании этой системы
вероятность ошибочного приема лрн условии, что z(t, г) =u,(t, r) +
+n(t, г), с учетом (2.97) определяется вероятностью выполнения
~;еравенства
Х cosq,, +у sinq>p <О i=Оl.
i 1+2h1x
t l+2h2y
,
'
',
93
С учетом (2.96) запишем последнее неравенство в виде
А<В,
где
А=л, cosq,, +л
sin q,,
Х 2h1
0cos q,, + 2h',sinq,,
1 +2h'x
11+2h'u+ Ф 1+2h'x
УФ 1+ 2h'u
В=-[" cos' m
2
h', + sin'm
2h',
]
rp
"PJ+2h'x
'\'р тpL1+2h'x •
Рис. 2.9
(2.111)
Легко видеть, что А является нормально распределенной слу
чайной величиной с нулевым средним и дисперсией
а2 - 2h2 [ cos2с:рр + siпz(J)p
А- о (1+2h'x)'
(1 + 2h'y)' ]+
+ а" (2h10)
1
cos• q,, + а' (2h10)' sin
1
q,,.
х (1 + 2h',)'
• (1 + 2h'y)2
Вероятность выполнения неравенства (2.111), т. е. вероятность
ошибк,и,
При симметрии канала по ортогональным компонентам
р= +[1-Ф(v 1::::;;, )].
(2.113)
т. е. в этом случае вероятность ошибки от фазы q,p не зависит.
94
Если в канале нет регулярной компоненты с заранее извест
ной фазой (q 2 =0), из (2.112) следует р= 1/2, ,что вполне очевидно,
так ,ка1к система с противоположными сигналами не может рабо
тать в таком канале. При q-+oo из (2.112) вытекает результат
(2.42') для идеального канала.
Значения <рр, обеспечивающие экстремальные зна,чения (2.112),
находятся из условия (11 2-l)sin2q,p=0, 0<11'<1. На интервале
(О, n/2] при 11'< 1 вероятность ошибки (2.112) принимает мини
мальное значение при q,p=O и максимальное при q,p=n/2. Это по
нятно, так как вероятность ошибки минимальна, если более силь
но флутуирующая ортогональная ,компонента у (при 11'< 1 всегда
<J2v><J'x) колеблется около нуля (my=q,p=O). Максимальна же
она в том случае, когда менее флуктуирующая компонента имеет
нулевое •математическое ожидание.
!(огда 11'=0, т. е. ортогональная компонента по оси х не флук
туирует,
(2.114)
При h4oo, <pp,;',(2k+l)__ .:'_(k=0, 1, ... ), q2 <oo из (2.114) следует
2
р= +[1-Ф( у1 2ч•:~;:'РР )].
(2.115)
В этих условиях по сравнению с идеальным каналом имеет место
энергетический проигрыш ТJ = (1 +q')fq' cos 2 <рр. При h2-+oo, <рр=
= (2k+ 1) ; , q'<oo из (2.114) следует р=О,5 [1-Ф(q)], т. е.
вероятность ошибки зависит толыко от свойств канала (парамет
ра q').
Если q2 и [i 2 - отличные от нуля конечные числа, а h2-'f--oo, из
(2.112) следует
(2,116)
Это предельное значение вероятности ошибки определяется толь
ко параметрами канала q2 , /3 2, <рр (не зависит от отношения сиг
нал/помеха 112).
При <рр=О предельное значение вероятности ошибки макси
мально:
Заметим, что если одна из ортогональных компонент не флук-
туирует (/3 2 =0), а <рр=О, то согласно (2.115) р=О,5 (1-
95
-Ф( V2q2h2/(l+q2 ))], q2 <oo, и, следовательно, повышая отно
шение сигнал/помеха, вероятность ошибки можно сделать доста
точно малой.
Зависи,мости p(h2) при разл•ичных значениях параметров q2 ,
~•.
<рр, характеризующие потенциальную помехоустойчивость двоич
ной ФМ в условиях, когда прием осуществляется без учета кор
рел,яциоиных связей •между посылками (R,=0), показаны на
рис. 2.10. Из кривых видно, что в каналах с достаточно болЬ!lIIИМ
IU'
10
10'
IQ'
10'
k'
,------'ё------'ё----'i'------'г------"-
t1f'
105
р
Рнс, 2.J0
q2
• J;{J"U;a1; 1,"12
f2
=5;p2
=f, v,,=011./Z
значением параметра q2 (q';;;s, IО) ( назовем такой канал почти
идеальным) даже в условиях достаточно быстрых за,мираннй
можно обеспечить вероятность ошибки, не превышающую 1о-з,
при относительно неболышом отношении сигнал/помеха (h2 <50).
Коэффициент асимметрии f12 в меньшей степени определяет
помехоустойчивость рассматриваемой системы, чем пара)метр (fp.
Уменьшение q' ведет к снижению пом"хоустойчивости. однако при
наличии сильной асим·метрии по ортогональным компонентам
(f\2-+0) все же возможен качественный прием н в каналах, где
q2 ;;;,,2. Когда q2 близко к нулю (подрэлеевский канал), рассмат
риваемая система (ФМ) при R,=O не в состоянии обеспечивать
ущовлетворительную связь.
Рассмотрим теперь двоичную систему с пассивной паузой
(АМ), полагая s1 (1) =s(I); so(I) =О. Вероятность ошибки р(О/1)
при передаче « 1» и :п,риеме по алгори11му (2.97) определяется ве
роятностью выполнения неравенства r1 <ш'12:
,.,,
_
1 /_!ln[(l+
2~• h'
\(l+
2h'
)]+-+-
.,-v 2
\
0+~•1о+ч'J) • o+~'J(l+f'J
- + + q'(~; ~•> (cos2 q,p+f\2 sin2 q,p) +lп ::
96
Случайная величина р 1 ·имеет четырехпараметрическое распре
деление W4 (p 1)' с параметрами (2.104).·Следовательно,
CD' 11
•-
•
р(О/1)= f W,,(p,)dp,=F(Jt,, В,,.С,, Р,),
о
Вероятность ошибки при передаче «О» p(l/0) определяется ве
роятностью выполнения неравенства Р2>0>'12•
'
-
Случайная величина р 2 имеет четырехпара:метрическое распре•
деление W, (р2 ) с параметрами (2.105). Следовательно, р (1/0) =
,..
= 1W,(p2)dp2= l-F(A2, В2, С2, D2),
""
-+ q'(\; Р'> {cos2 q,p + P2 sin1 q,p)+2 In ~
Jii1<1 + Р'> (I + ч'>
-+-~~~~~~
2ii•
Средняя вероятность ошибки для двоичной си,стемы с пассив-
ной паузой
р = P,_('--'0/'---l'-)+-'-'-Р_,_(1_,_/0..,_)
2
1
2
[l+F(A,, В,, С,, D,)-F(A,, В,, С,, D,)].
При е 1 =е0 и симметрии канала по ортогональным компонентам
(~'= 1)
р= _l{1+F[
2(1+q')[q•+lп( I+q'+h'1],
2 _____ h'
1+q' /
!, Vq'(l +h~•+ h') J-F [ V2(1 + ::+ h') [q•+ !п ( 1-t!~ /ji)]
I. v q•(l:.q•) JJ·
При отсутствии регулярной компоненты (q2 =0) ,из последнего
соотношения следует [128]
р = +[J + (l +Ji2)-ll+h')/h' _(l +h') -1/h'],
а при q4oo (идеальный канал) результат [71]
Р= +[1-Ф(V112;2)).
В предельном односторонне-нормальном канале (~ 2
=0)
p=-l [1+Ф(•/In(l+!h') -Ф(,f 1+2h' lп(l.J...2h'))]'
2
V 2h'
У 2h'
'
Зависимости p(h') для различных значений ,параметров q2 ,
~
2•
(JJp 11 случая е, =е0 , определяющие поте1щ11альную • помехоустойчи-
вость двоичной АМ при приеме без учета корреJ1яции соседних
элементов (R,=O), приведены на рис. 2.11 .
Значения •энергети·ческого проигрыша при переходе от двоич
ной системы с противоположными си,гнала,ми (ФМ), оптимальной
n идеальном Q<Знале 1 (q2-+oo), к двоичной ЧМ и от двоичной
ЧМ к двоичной АМ2 в зависимости от параметров канала q2, f\ 2
для случая, когда опти-
мальный прием осущест
вляется без учета корре
ляции элементов сигнала 1
приведены в табл. 2.5 .
Из таблицы видно, как
двоичная система с про~
тивоположными сигнала~
ми (ФМ) теряет свои ка
чества по мере ухудшения
канала (уменьшение q2 ),
сохраняя,однако, преиму~
щество над сравниваемы~
ми системами в почти
идеальном канале (q'»
» 1О) *).
РL_ _J__L_
Pиc. 2.11
q'
00
10
5
~·
-
1
1
11ФМ-ЧМ• дБ
3 2,8
-оо
~ЧМ-АМ• дБ
3 6,8
8
Таблица 2.5
о
о
о
Примечание
1 о,1
о
R,-o
-оо
-оо
-оо
q>p-0
10
25 25,7
р- 10-•
В отличие от двоичной ФМ, двоичные ЧМ и АМ, если отноше
ние сигнал/помеха достаточно велико, обеспечивают удовлетвори
тельную связь при любом околь угодно ,малом значении q2. Энер,
гетический проигрыш п,ри переходе от двоичной ЧМ к АМ растет
по мере у,меньшения q2 и 11' (по мере увеличения асимметрии ха
нала по ортогональным компонентам), в предельном случае одно
сторонне-нормального канала (q'=f:1 2 =0) • он примерно равен
26 дБ.
Сравнение результатов данного параграфа и § 2.9 показыва
ет, что для систем с активной паузой, ортогональных в усиленном
1 В смысле минимума вероятности ошибки при заданном отношении сиг~
нал/ломеха.
2
Gравнение выполнено при неизмен1ной пиковой ,мощности передат1ШКа.
При неизменной ~редней мощности и равной вероятности передачи сиМIВолов
этот .проигрыш уменьшается на 3 ~Б.
•
*J Бели ТОЛЬIКо (JJp ие близко .к л/2.
4•
смысле, энерrетический прОИ!'J>ЫШ при независимом и оптимальs
иом приемах элементов сиrнала (R,=0) по сравнению со случа
ем оптим~льного когерентного приема при медленных интерферен
ционных замираниях ( JR, 1 = 1) в четырехпараметрическом кана
ле (при q2 ,;;;I0) равен 2 (3 дБ). С ростом q2 этот проигрыш умень
шается, с-гремясь в пределе к нулю при q2--+oo. Аналогичная тен
денция характерна и щля двоичной системы с пассивной паузой. В
подрэлеевском канале для этой системы энергетический проигрыш
несколько выше и составляет примерно 7 дБ.
Влияние коэффициента ,корреляции сигнала R, на помехоустой
чивость двоичной системы с противоположными сигналами (ФМ)
при оптимаJ1ьном когерентном приеме и различных значениях ,тта
раметров канала q2 , f\ 2 характеризуют показанные на рис. 2.12 за
висимости p{h') для JR,I s,,J (сплошные линии) и· R,=O (пунк-
,
---
-- --
----
тирные линии). Из сравне-
10·
ю1
10'
,о5 ,1 ния кривых рисунка видно,
что в каналах с сильно вы
раженной регулярной со
ставляющей (q 2 ;;;,, 10) при
r,
2
= 1 величина коэффициен
та корреляции ( 1R, 1) мало
сказывается на значениях
вероятности ошибки, превы ·
шающих 10- 5
.
При меньших
q' величина I R, 1 существен
но влияет на помехоустойчи-
Р~-~--~--~-~---- ВОСТЬ СВЯЗИ.
Рис. 2.12
Так как радиоканалы с
сильно выраженной регу
лярной составляющей встречаются на практике довольно часто, то
двоичные системы радиосвязи с противоположными сигналами
безусловно перспективны.
Покажем, теперь что ,при q2 =0 ортогональная в уси."енно'1
смысле двоичная система сигналов в лодрэлеевском канале опти
мальна I как при равных, так и при неравных энергиях сигналов.
В таком канале (ур=О) характеристичесая функция (2.101) !Квад
ратичной ,формы Л,; для любой системы сигналов принимает вид
F (iu)лil = 1/V det (1-21 uDQ).
Рассмотри1м далее рэлеевский (f\ 2 = 1) и односторонне-нормальный
(f\ 2 =0) каналы, для которых вероятность ошибки выражается до
статочно просто.
В рэлеевском канале матрица ковариации (2.100) принимает
вид
1. Обеспечивает микИJмальную вероятность ошибки п-ри зада1нной
средней
мощности сигнала .
.180
(2.117)
где
'ij2.
а=-•-·
2'
а• 1/ 1+h',
••
•а•-1/
1+ h',
С=2811• V l+h'; ; d=28uov 1+h'J
Используя -теорему о вычетах [76] для вычисления интеграла в
(2.102), можно показать, что в рэлеевском канале при произволь
ной двоичной системе .сигналов вероятность ошибочного приема
i-ro ·символа определяется формулой
р, = 12 -V1+a,1 (~~ -V1+au) ехр(а,1~1~Ь) (1 + Vl +а,1)}, ro,;~O;
1+
a,i
ех f ro;J (1-11 1+a-)j ro->O
2y1+a,1(I-VI +а,;) р \ан(а-Ь)
'
"
'
'
1
'
rде
а,1
ii•,(I +1i•1) [1 h'J(~+h'i-J_:_A',,o) ]
2
•
h'1 (! + h21)
(2.118)
(2.119)
Исследование показывает, что обсуждаемый канал в общем слу
чае несимметричен [Р (0/1) *r (1/0)]. Средняя вероятность ошиб
ки
_ p(0/l)+p(l/0) ~f(h-,
7,2 Л~, )
р-
2
-
1, 2,
010 •
(2.120)
Как показывает анализ приведенного выражения, значение Ло10,
минимизирующее вероятность ошиб"и (2.120), определяется сово
купностью параметров h21, h2
2 . Возможны, однако, услови1<, при
которых оптимальное эначение Л2о1о не зависит от отношений сиг~
на.а/помеха.
Так, для системы с активной паузой h2,=h2 при e,=s ro,;=0,
4(!+h2)
щ;=а= -~~~- и вероятность ошибки определяется форму-
No1
( l-A'o10)
лай
VI+a-1
1
р= ~~---=-
2-V1 +а
2 [1-
1 ]=-! [1-μ]•/
VI+a
2
V
1-Л2010 ] .
-,
'
1-μ2Л 010
;;;
(2.121)
101
Из (2.121) следует, что вероятность ошибки достигает минимума,
когда а принимает максимальное возможное значение 4(1 +h2)/h2',
т. е. когда
(2.122)
иначе говоря, выполнены условия ортогональности двоичной систе•
мы в усиленном смысле. В этом случае вероятность ошибки в рас
сматриваемом канале (q2 =0, ~
2 = 1) ,принимает в соответствии с
(2.122) минимально возможное зн.ачение 1128)
р=О,5(1-μ) = l/(2+h2).
Рассмотрим ,более подробно соотношения, характеризующие
рэлеевский канал при условии, что
h2,»I (i=O, !), Л2010 <1.
В этом случае
4
а,1 =-----~ 1;
h', (1 - л•01,)
и верОЯТН()СТЬ ошибки
р~
Bj
+
Bt
2,, h'J(1- Л2010) 2ВJh'1 (1 - Л2010)
ЕслиEi=EJ, то
р~
1
[1/h', + 1i7i2,].
[2 (1- Л'010)]
(2.123)
(2.124)
Из этой формулы видно, что и для системы с неравными энер
гиями обоих сигналов в рэлеевском .канале вероятность ошибки
минимальна при выполнении условий ортогональности в усилен
ном смысле (А201о=О).
Для системы с активной паузой h',=h22=h2 из (2.124).
(2.125)
Минимально воз•можное значение (2.125) соответствует условию
ортогональности в усиленном смысле: р~ l/h2.
Следовательно, в рэлеевском канале энергетический проигрыш
перехода от оптимальной (ортогональной в усиленном смысле)
двоичной системы с активной паузой к двоичной системе с актив
ной паузой, не удовлетворяющей условию ортогональности в уси
ленном смысле,
11= 1/(1-Л2010).
(2.126}
В односторонне-нормально111. канале для произвольной двоич
ной системы с а1ктивной паузой
1t
1+л01, +1 1,;
1-л010
Р =---; агс g
(1 + 2h') (1 -Л010) ---; агс g V (1-2h') (1 + Ло:!,) •
(2.127)
102
Для системы с противоположными сигналами ( ФМ), когда
Л010 =-1, вероятность ошибки р= 1/2, т. е. прием таких сигналов
невозможен.
В области малых ошибок при выполнении условий (2.123)
р= 1 [V1+л.,.+1/ 1-л.,,j=-11/ ~-2
_
,.V2ii'
1-Л.,. JI 1+л.,,
" JI h'(I-Л'oio)
(2.128)
Анализ показывает, что величины (2.127) или (2.128) дости-
1 J/2
rают минимума, равного -
- =-- , при условии
"
h'
Ло,о=О.
(2.129)
Следовательно, в одиостороиие-иормальном канале энергетн·
ческий проигрыш перехода от оптимальной (ортогональной в уси·
.~енном амысле) двоичной системы с активной паузой к двоичной
системе с активной паузой, не удовлетворяющей условию орrото
налыюсти,
(2.130)
При за-мене Ло,о на Ло1о (2.130) не отличается от (2.126). Заметим,
что, если вместо условия (2.129) выполнено более жесткое уело·
вне ортогональности в усиленном смысле (2.122), система являет
ся оптимальной в односторонне-нормальном канале независимо от
того, ка,кая из ортогональных компонент обращается в нуль. С
учетом этого можно утверждать, что условия (2.122) обеспечи
вают оптимальность двоичной системы и в более общем подрэле
евском канале.
Значения энергетического проигрыша, выраженного в децибе
лах, перехода от оп1имальной системы с активной паузой. к неоп·
тимальной системе в односторонне-нормальном канале (q2 =~ 2
=0)
в эависимости от параметра - Ло~о или в рэлеевском канале
(q2=0, ,~
2 = 1) в зависимости от параметра Л010 приведены в табл.
2.6.
Таблица 2.li
Ло10 (-Л010)
о 0,2 0,4 0,6 0,8 0,85 0,9 0,95
1
( q'=P'=0 )
'1 q2=0; Р'=1
о 0,025 0,75 1,92 4,45 5,58 7,25 10, 15 00
'1 (ч'-оо)
3 2,23 ! ,56 0,97 0,45 0,34 0,22 о,!!
о
Из та,блицы видно, что энергетический проигрыш, связанный
с нарушением условий оптимальности системы сигиа.1ов в nодрэ·
лееве-ком ~канале, невелик, если только IЛо1о I не близ,ко к едини~
це. Так, ч<2 дБ, есл~ \Л01оl<О,6.
Анализ показывает, что в каналах с небольшим значением q' •
(почти рэлеевские каналы) ортогональная в усиленном , смысле
163
ои.:теl\!а. (Ло,о=О) • •все еще остается опТИJмальиой, однако· при
больших значениях эrого параметра (q2;;,, 10, почти идеальный rка
нал) оптимальной двоичной системой ~является система •'nротиво~
положных сигналов •Ло,0 =-1; Ло1о=О(Ло10= 1). В предельном
случае идеального канала (q2_. . .,oo) переход от опти,мальной дво~,
ичной системы (ФМ) 'к ~истеме сигналов с активной ;паузой, ха-'
рактериэуемой коэффициентом взаимной ~корреляции Ло10, ведет
к энергетическому ,проигрышу [см. (2.42)] '1ч •-оо =2/ ( 1-Ло,о).
Этот проигрыш при различных значенн·ях - Ло10, мею1ющllхся от
О (ортогональная система) до 1 (оптимальная система), таrкже
указан в табл. 2.6 . Характерно, ·что .,в то время как 1Jq• -оо в ис
следуемой области изменения Л010 не превышает 3 дБ, значения
11·•, -о изменяются в более широких пределах. Из сказанного еле-·
дует, что, если бы пришлось выбирать систему сигналов для кана
ла, параметр q2 которого может меняться от нуля в ш,ироких преде
лах, следовало бы отдать предпочтение системе, ортогональной з.
усиленном смысле. Одна.ко в реальных условиях работы многих ~ка
налов радиосвязи параметр q' с большой вероятностью принимает.
значения q2 ~ 10, а в этих условиях п,редпочтенне следует отдать
системе с противоположными сигналами (ФМ).
Вероятность ошибки оптимального приема в райсовском кана-.
ле при гладких замираниях и независимом: ,приеме символов най
дена для ,произвольных систем с активной паузой в [ 178] и опре-.
деляется выражением
p=Q(ac, Ьс)-+Ьехр(
а•с'~Ь'с' )!,(аЬс2),
(2.131)
гдеа=1 1' V1-л"о,о; Ь=I+'11 У 1-Л'о1о
У 1- 11• л•о,•
V 1- μ•л•.,.
С=, /q'{[2h'/(1+q')I(J-Л
2
010)- 2 (! -л•.,.н. 1' =h'/ (\ + q•+h2).
V
4 h' (! -Л2010)/(1 + q')
'
Исследуя (2.131), можно паказать [59], что коэффициент в.~аNoМ•·
ной ,коррел,~ции Ло1о при наличии регулярной составляющей 1З
ка-нале имеет два оптимальных значения (минимизирующих ве
роятность ошибки): Ло10=-! и Л0 ,0 =O (Л.20,а=О). При отсутствии
регулярной. составляющей имеетоя одно такое значение: л.,·о= •.
=О (Л2о,о=О). Указанная ситуация сохраняется и в qщнале с,
асим,Метрией по ортогональным составляющmм.
Проведенное исследование позволяет утверждать, что в кана
ле с гJ1адкимй замираниями при наличии регул,:ярной состам,яю
щей до определенных пороговых значений отношения сигнал/шуы
h2no~ оптимальна система с противоположными сигналами, а пр»
бол.ьших значениях, отношения сигнал/шум:, ~когда система с про
тивоположными сигналаJми характеризуется предельной вероят.•.
ностью ошибки, система ортогональных сигналов. Это ,падтв.ерж
дают и кривые вероятностей ошибок, приведенные в [59, 178}.
1~.
'2.13. Помехоустойчивость мноrоnозицио11иых систем
при приеме по алгоритму квадратичного суммирования
в канале с неселек,тивными замир~ниями
1
Ограни,шмся рассмотрением систем с активной nаузой, ·орто
гональных в ,усиленном смысле. Анализируемый алгоритм приема
'·определим системой неравенств
V,> V;; j=l=i; j=O, !, .. ,, m-1 .
(2.132)
Реализуется он относительно просто и интересен во •многих от
ношениях, В частности, этот алгоритм приема является • опти
мальным для произвольных систем с активной hаузой при неоп
ределенной ,фазе сигнала и ( поеколыку он также реализует обоб
щенный ал•rоритм максwмального правдоподобия) вовсе не требу
ет знания сrатистики ·канала. Вероятность оши•6ки рассматривае~
мой системы, когда :z(t, r) =и,(t, r) +n(t, r), определяется выраже
нием
р= 1- JW(V,) (Г W(V;)dV; )m-l dV:.
(2.133)
Имея в виду (2,13) и (2.96), видно, что для системы, ортогональ
ной в усиленном смысле,
V,= V [,.,+ (хФ+урсоs q,p)2h2o]2+ [i,+ (УФ+'\'Р sin q,p)2h'0)2,
V;= Vл2;+~2;.
Случайиая величина V; распреде.п,:,на ,но_:закону Рэлея
W(V;)=..!:Lexp(- V'J)
2h2
0
4h:ao '
(2. 134)
а случайная величина V, в общем гауссовском канале имеет че
тырехпараметрическое распределение W, ( V,) с параметрами:
mx='/pCOS,pp2h20 ; • m~=ypsinq,p2h20 ;
a 2.,=2h2o(l +2h2x); a 2y=2h2
0 (l +2h2y).
После интегрирования (2.133) получаем
1>+1~ 1kq•No[
cos• 'I>• • ••
.•
m-1 (- ) щ-l ехр - 1+q• 1+ k(I + 2h'P'l(I +P')(I +~•))• +-
р= .L
- -- - ,- - -- -' -::::==========----, -- -
•~'
,/(2h'р••)
'
V i+k i+o+P'J(t~J-q'J" х-
-+ I+k(l+2;;;;r:p•J(J +ч")) ]1
-xi/J+k(t+ (l+jl;){~+'l'J
(2J35)
105
При симметрии канала по ортогональным компонентам
следует, что
m-1(- J)k+
1
С~+!(!+ q')
{
Р= '>'
_
ехр
#=1 1+q'+k(I+q•+h')
kq' iii
j
отсюда
При q2 =0 из этого равенства получаем для вероятности ошибки в
рэлеевском канале [ 128]
р= ]l(-J)k+lc~ - 1 =i-m□-1
k
•-1 1+k(l+h')
•-
k+(l+Ы'Г
1
Для подрэлеевского канала (q2 =0) из (2.135)
р = ]:1<-1)•+
1
С~_1 /v 1+k(1 + ~~~:) if1+k( 1+ i2:•~• ).
а при IJ2 =0 (односторонне-нормальный канал)
р=]
1
(-!)•+1 c~ - I/Vl+kVl+k(l+2h').
(2. 136)
k=I
Если амплитуда сигнала не флуктуирует, то нз соотношения
(2.135) следует результат (2.93).
Для двухпоз1щионной системы, ортогональной в усиленном
смысле, при ,приеме по алгоритму квадратичного су,ммирования в
четырехпараметрическом канале вероятность ошибки
[
cos
2
q,p
sin
2
ip;:
])
1+~• ii•!(1+~'J O+q') + 1+ No/(1 + ~•> (1 + q'J
р=
2
q2fi.2
2 (1 +q')
1/
~'h'
1/
h'
Vl+(1+~•)(1+q')Vl+(1+~•)(1+q')
(2.137)
При выполнении условия IJ2h'/ [ (1+!!') ( 1+ q')] ~ 1 из (2.137) сле
дует (2.106). В односторонне-нормальнам •канале в области малых
ошибок из (2.137) слеrд1Ует
Р"'1/2Vh2, h'~ 1.
(2.138)
Из сравнения ,полученных выражений ви~но, что в каналах с
небольшими значениями q2 энерrетичеакий проигрыш, связанный
С отказом от опти;мал,ьного прнеIма в пользу приема по алгоритму
квадратичного сум,мирования, для обауждаемых систем равен
(О дБ) или 1близqк к этому значению {ер. (2.110) и (2.138)].
При q2-+oo проигрыш, связанный ·здесь с потерей информации о
фазе, максимален, но не превышает 1,5 дБ [128].
Итак, дл,я орт,огональной в усиленном смысле системы с ак
тивной паузой прием по простому алгоритму квадратичного сум
мирования (2.132) дает примерно те же результаты, что и более
трудная ,для реализации оптимал;,ная схема.
/Об
Оценим энергетический ,проигрыш, связанный с потерей опти·
мальности (условие л0-;;;=О) двоичной системы сигналов с рав
ными энергиями при приеме по алгоритму квадр,атачного сумми
рования (2.132).
Анализ, проведенный в работе [176] для обобщенного рэлеев
ского канала, показывает, ,что этот проигрыш 1моноrонно растет с
увеличением q2. В предельном случае ( q2-+oo) вероятность ошиб
ки для произвольной системы сигналов с активной паузой опреде
,1яется формулой (2.89). Обоужд~емый энергетический проигрыш
при достоверностях р= 10-4. 10-5 в зависимости от параметра
Ло10 указан в табл. 2.7 .
Таблица 2.7
Ло10
о 10,210,510,71 0,9
0,995
~
p=I0-•
о 10,1 12,8 14,5 1 9,3
12,8
00
,;.
Р= 10-•
о1о.11314,8110,5
14,8
00
Из таrблицы видно, ,что если коэффициент взаимной корреля
ции сигналов по огибающей не превышает 0,5, то энергетический
проигрыш не превышает 3 дБ.
Оценим теперь эффективность простых многопозиционных ко
дов и одноканальных (по частоте) систем, используемых в четы
рехпара1 метрическом ~канале с гладкиrм:н замираниями при неза•
висимом приеме элементов сигнала.
Для пря-мой (без канала обратной связи (97, 128]) системы
передачи информации с m-позиционным простым (~без избыточно
сти) кодом в области достаточно малых ошибок и при отсутствии
корреляции ,меж~ ними эквивалентная вероятность ошибки опре
деляется (2.88).
В односторонне-нормальном канале в области малых ошибок
с учетом (2.136).
Р,
(2.139)
Используя ( 1.94), находим энергетический выигрыш перехода от
двух- к многопозиционной сис-rеме в облас:rи малых ошибок в од•
иостороине-нормальном канале
1]21m[дБ] = 10 lg[ (m-l log•:;, k
)' ]•
2 ~ (-1) ст-1
•~•
Vk(I +k)
а также в рэлеевском канале
1121m [дБ] = 1О lg[
log', т
]
~1 ( - I)k+I С~-1
.
.
•=•
k
Значения 1]2/m, в децибелах, при различных m сведены в табл. 2.8 .
107
l
Таблица 2.S
т
2
8
16
32
,i,,.., дБ
l\'=q'=0
о
5,4
6,8
-11
-1 7,7
/3'= 1. ч•-о
о
3,3
5,4
7
8
'l'J,*z/m, дБ
~•=q'=0
о
2,4
0,8
-23,5
-- 32,7
~•= 1, ч•-о
о
0,3
- 0,6
-2
-7
Из таблицы видно, что в подрэ.леевском 1<аиале увели'lение ос
нования кода от двух до восьми привоiд.ИТ к ,монотонному росту
энергетического выигрыша, который с увеличением асимметрии
канала по ортогональным компонентам возрастает. Дальнейшее
увеличение позиционности кода выгодно не при любых значениях
коэффициента асИ"мметрии j\2 • Так, в односторонне-нормальном
канале (/3 2 =0), в отли·чие от рэлеевского канала (/3 2 = 1), переход
к 16- и 32-позиционным·-кодам уже ведет к энергетичеакому про
игрышу. Анализ показывает, что рост q2 )'Меньшает энергетичес
кий выигрыш по сравнению с рэлеевским каналом (q2 =0).
Энергетический выигрьшп, определенный выше, не учитывает
полосы частот системы. Между тем она может иметь решающее
зна•чение при выборе той или иной системы связи. Если многопо
зиционное ,кодирование осуществляетоя с использованием набора
частот, то полоса Лf будет пропорциональной числ'\<' позиJЦИЙ т.
То~да обобщенный выигрыш перехода от двух к т-позиционноir
системе с учетом' (l.95) ч*21т=1J21т+ 10 lg ( ~)
.
Рассчитанные
по эт_ой форму.1е значения обобщенного выипрыша д.1я односто
Р(!ННе-норма-:1ьного iI • рэлеевского кана.1ов также сведены в
табл. 2.8 . Если судить по определенному выше по1<азателю обоб
щен11ого выигрыша, использовать -при ЧМ 'КОД с позиционцостыi
больше' четырех нецелесообразно. В радиосвязи по соображениям
простоты чаще всего применяют двоичные. коды, реже - 1Четырех
позиционные.
Определим теперь помехоустойч-нвость мноrопоаициоННЫх си
стем с активной паузой при использовании алгоритма 1квадратич-
1юг(} сумм11рования в канале с т-распредмением амплитуд и рав
номерн.ым распределением фазы.· Для плотности вероятности V,
в этом случае ,можно получить выражение'
,т'[
m' v•,
l
(m) ехр - 4h',(m' + h2) v,
(••
,.
у'v•, )
W (V1) = ---~--"-'с=,-,,,'-;,......С~- F 1-т l •
2h'0 (m'+h')m
1
•
1
\
'
'
4(m'+h'), •
С учетом этой форму~ы и (2.134) интегрирование выражени>I
(2.133) приво,J,ит к результату
-
т-1 1k+ICk [ т'(1+k) }"':.
'i.:. ·- -
Р-
~
1
(-)
m-I m'+k(m'+h') l+k·
(2.140)
1 Па,ра:\fет,р т-,рас.пределения эдесь обозначен т', чтобы избежать путани
цЬl.· с обоз-на ч:е11ием •для позиционiюсти •.код:а ·, (т).
JJJВ
Поскольку [
т' (l+k)
т' + k(m' +h')
г
т'+k(т'+No)
kNo
то при m'-+oo (е-+оо) имеем
]т' ( 1 )-• (-:')
= 1--
.
•
[ m'(l+k) ]m'
(kNo)
m'+k(m'+h') т'-оо =ехр - l+k •
Следовательно, при m'-+oo (канал без флуктуаций амплитуд)
(2.140) переходит в (2.93).
В другом, крайнем случае, когда т'= 1/2 (односторонне-нор
мальный ,кана,1,) следует результат (2.136). Для двухпозиционно
I"О кода (т=2) из (2.140) следrует [24]
]( 2m'
)т'
р=2
2m'+h'
(2.141)
Зависимости р (h2), определяемые (2.137) при различных зна
чениях параметров q2 , •11 2 , <рр, показаны на рис. 2.13 сплошными ли-
Рис. 2.13
ниями, а зависимости по (2.141) - пунктирными линиями, причем
параметр т' определяется в соответствии с .выражением ( 1.37).
Приведенные-кривые еше раз подтверждают, что для распределе
ния амплитуд в четырехпара,метрическом ,канале т-аrnпр~има
ция не во в.сей области изменения пара,метров одинаково црием
лема. Совпадение, хорошее· в почти рэлеевских ,каналах (q2 ""0,
109
fJ'"' i), ухудшаетоя при асим,метрии канала по ортогональным
компонентам, а также в обобшениом рэлеевском канале в области
;
малых ошибок.
2.14 . Помехоустойчивость линейного двоичного приемника
в общем гауссовском канале с неселективными замираниями
Как ,уже отмечалось, в каналах радиосвязи, характеризуемых
большими значениями параметров q' (почти идеальные каналы),
можно обеспечивать помехоустойчивость, близкую ,к потенциаль
ной, если прием вести не по оптимальному, трудно реализуемому
алгоритму (2.29), а по алгоритму (2.32), который оптимален в
идеальном канале и реализуется зна•чительно проще (при нал:Ичин
достаточной априорной информации).
Приемник, работающий в соответствии с алгоритмом (2.32)
при е, = е, регистрирует первую позицию символа три выполнении
неравенства
5Sz(I, r)[Uoп1peг(I, r)-Uопорег(/, r)]dldr>(h210-h2oo)y2p, (2.142)
где Uопiрег (t, r) определяются выражениями (2.31), и нулевую
позицию прн выполнении обратного неравенства. Вероятность
ошибочного приема первой позиции символа определится вероят
ностью выполнения неравенств л+хФz1+УФZ1<-с, где л=ff n (t,
r) Uоп.р.рег(t, r)dtdr; z1= SJ'U10(/, r) Uоп.р.рег(i, r)dldr; Z1= .rJ' й1о(i,
r)Uoп.p_peг(I, r)dtdr; с= (h2oo-h21o)Y'P + fS U1peг(t, r)Uoп.p_peг(i, r) Х
Xdtdr= +fJ Up.peг(I, r) Uоп.р.рег(I, r)dtdr; Uоп.р.рсг(/, r) = Jf Ч'(t,
1' r, r')Up.peг(I', r')dt'dr'; Up_peг(-t, r)=U1peг(i, r)-Uopeг (1, r).
Случайная величина л ·распре;целена нормально с нулевым
средним значением и дисперсией
ssUp.poг(f, r)Uоп.р.рег(/, r)dldr.
Плотность вероятности случайной величины z=л+хФz 1 +уФz 1 ,
-оо <z< + оо определяется формулой
W(z) = V2n~.,
ехр( - 2~:,) •
где D21= ssUp.peг(f, r)Uoп.p,peг(I, r)dtdr+o2xZ2 1 +o2yZ21.
Вероятность ошибки при передаче символа « 1»
_,
р(О/1)= J W(z)dz=
110
-
-
___±5 i!fO,.,,, •>•••-''· •>••f ]!.
Аналогично получим вероятность ошибки при передаче символа
«О»:
}ф
,е
11.р.рег
......
[
1f
jjи,,,(/,г)и0 (1, г)dldr
2
cr_;:[f[u00 (1,г)u0 • (1,r)dldr)
2
+
1+
.
п..per
_
fJир.рег (t, r) иоп.Р.рег (i, r) dt dr
·•_
- , - •il!1'-''· ,, •....• «. ,,.,,r ]1
При отсутствии флуктуации сигнала (o2x=cr2y=O) из получен
ных соотношений следует (2.40) для вероятности ошибки в ище
альном канале. Для дJ:J.оичной систеiмы с противоположными сиг
налами вероятность ошибки (одинаковая для двух пози~ций сиг
нала)
Р = _1[' -Ф({
2 q'h'
2
2No
1+q'+1+~• (cos''I'• + ~•sin
2
q,.)
J(2.143)
Для двоичной системы с активной паузой, ортоr,ональной в уси
ленном смысле,
1[(/'
р= 2 1-ФJ/
q'h'
)]
No
.
1+q'+1+~• (cos
2
'1'• + ~• sin
2
q,,)
(2.144)
В ,случае использования двухпоэиционной си-стемы с пассивной
паузой, считая s 0 (1) =0, для средней вероятности ошибки при рав
ных вероятностях передаваемых символов имеем
р-+[1-0,БФ({. 2[l+q'+
-О,5Ф(' / q'h'
)]·
V 2(1+q'>
Сравнивая (2.143) и (2.144), видll'М, что в тех случаях, • когда
когерентный .прием по алгоритму (2.142) обеспечивает удовлетво-
111
рительиое качество при быстрых замираниях, система с протнво'
положными сигналами 1дает по сравнению с ортогональной в усн-.
ленном смысле системой ,энергетический выигрыш ,'В ~ раза
(3 дБ), ка,к в идеальном к~нале.
При симметрии ,канаJiа по ортогональным компонентам
(f\ 2 = !) из (2.143) следует (2.113). Та,ким образом, при f\ 2 . ~l
ли
_,
-, нейный приемник, работаюший
ш· 10'
101
10'
•
,,. •
·;:.-----.:.'--..;,е.--"'----:т,__.::;..с•'- в соответствии с алгоритмом
1li
lli'
,;-о
(2.142), оптимален для систе
мы с противоположными _сиг
налами. При асимметрии .кана-
ла по ор·тqrональным к'ьмпо
нентам этО утверждение не
верно.
Для сравнения оптимально
го (линейно-квадратичная схе
ма) и линейного приемников
при использовании двоичной
системы с активной паузой, ор
тогональной в усиленном смы-
,:(•1, р'• 1 еле, на рис. 2.14 показаны за-
висимости p(h') при <рр=О. и
различных значениях парамет
ров q 2 , f\ 2 для оптимального
приемника (сплошными лнния
ll(Н) и аналогичные зависимо
сти для линейного приемника
(пунктиром) . Из рисунка вид
но, что при q 2 ;;, 10 для ДВОИЧ·
-..._д_.:_:::~:.::!.~1. ной системы с активной пау
зой, ортогональной в усилен
ном смысле (ЧМ), линейный
приемник в области вероятно
стей ошибок р;;, 1О- 5 по поме-
хоустойчивости практически не
отличается от оптимального. При q'<7 удовлетворительный прием
(Р< JQ-•) линейным приемником невозможен.
На рис. 2.15 приведены зависимости p(h2 ) при q, 0 =0· для дво
ичной системы с противоположными сигналами и различных зна
чений параметров q2 , ,f\ 2 при опти~альном приеме (сплошными ли.
ниями) и приеме по алгоритму (2.142) (пунктир/!ыми). Из рисун
ка видно; что при q2> 10, ,f12 = 1 линейная схема 1приемника незна
чительно усту;пает оптимальному. По мере отклонения f\ 2 от еди
ницы различие усиливается.
На рис. 2.16 показаны зависимости p(h2 ) при q, 0 =0 для.двоич
ной системы с пассивной паузой при оптимальном приеме и раз
лнчных ·значениях q2, ,f12 (сплошными линиями) н аналогичн-ая за
висимость при. ,приеме по алгоритму .(2.142) (пунктирными).. Из
l/2
этого рисунка видно, что для системы· с пассивной паузой при
q2 ;;,,, 50 помехоустойчивост~. линейной, схемы приемника .. несущест
венно отли1t1ается от помехоустой•чивости оптwмальной схемы. '!"Iрн
ш'
р
Рис. 2.15
q'< 10 удовлетворительный
прием (Р< J0-4 ) линейной
схемой приемника невозмо
жен. Повышенная критич
ность линейного приемника 10- ,
для двухпозиционной систе-
мы с пассивной паузой (по lif
сравнению с системой с ак
тивной паузой) к отклоне
нию свойств канала от иде
альных объясняется необхо-
10
димостью изменения уровня
ограничения (для его опти- lif'
мизации) при изменении
свойств канала, в то время 1а5
как в системе с активной
паузой пороговое ограниче-
ние не требуется.
1fi
6
Рис. 2.16
ro'
r'=t;р'=1
q'·=.f; р'=О
1/1 :,:;,fJ р2=0,1
,f=IO; р 2=0
ra'
ro'
ro'
,1
.'
q'-Р..
q'=5; р' =f •
'f'=IO;p'~ -
11.з
2.15. О rруппироваиии ошибок в каналах
с медленными интерференционными замираниями
Характерная особенность радиоканала с медленными замира
ниями - ,это то, что ошибки в нем группируются [70, 128], т. е.
когда в таком канале возникают плохие 1умовия дл,я прохождения
сигнала и предшествующий элемент сигнала принят ошибочно, то
вели,ка вероятность ошибки и при приеме последующего элемента.
В этом случае говорят, что дискретный канал обладает па1мятыо
[128], величина ,которой связана с кратностью ошибки в кодовоii
комбинации.
Рассмотрим этот вопрос подробнее, для чего вычисли~ услов
ные вероятности ошибочного приема элемента сигнала ;при усло
виях, что аредшествующий элемент принят правильно или оши
бочно. Ограничимся рассмотрением двоичной, ортогональной в
усиленном смысле системы с а•ктивной паузой при приеме по ал
горитму квадратичного суммирования, полатая, что у аппроксими
руется т-iраспределением. Аналогичная задача для рэлеевс•кого
канала расс,матривалась в [128].
Если предшествующий элемент сигнала принят правильно, ус
ловная вероятность оши-бочноrо приема следующего элемента
~
Рош/прэв= SPv(oш)Wnpaв(y)dy,
(2.145)
•
где р у:ош1 - условная вероятность ошибки при некотором знасче
нии коэффициента передачи у; Wправ(у) -ус,1овная плотность ве
роятности величины у в том случае, когда предыдущий элемент
n-ринят правильно; р (0111)= -
1
-
e-·/
2
h 2012 - вероятность ошибки при
r
2
данном значении у [см. (2.90)].
Для нахождения Wправ(у) воспользуемся формулой Байеса
Wnpa,;(y) = W(у)Р,1прав1/Рпрэв,
(2.146)
где р1 1прав) = 1-
-
1
-
e--V"
1120
12 - вероятность правн~1ьноrо приема
2
при данном значении у; W(y) -- m-расnреде.~ение ,коэффициен
та у;
Рправ= 1-Ршп = 1- -
1
-
(2
m
)"'
2 2m+h'
-
безусловная (средняя) вероятность правильного приема [см.
(2.141)].
После элементарных преобразований получаем
+( 2m
2
:h2 )"' -+( m;h, )"'
Рош/нрав =
~
---
1__1 ( 2m )"'
2 2m +7i,
114
Отношение безусловной и условной вероятностей ошибки
Рош/nрав
1(2т)т1(т)т
2 2m+h'
4 т+h'
Рош
[ 1(2m )m]l(2m )m
l-2 2m+h'
2 2m+h'
(2.147)
Из (2.147) следует, что с улучшением свойств канала (,ростом
т) условная вероятность ошибки (при условии, что предшеству
ющий элемент принят правильно), все в меньшей степени отлича
ется от ·безусловной вероятности оши6очного приема.
В та,бл. 2.9 приведены значения Т]р при т= 1/2; !; 2; 10; оо.
Таблица 2.9
т
0,5
1
2
10
00
']р
0,65
0,75
0,875
0,9995
1
Pom/om
0,35
0,25
0,125
0,0005
о
h'4-oo
Если предыдущий элемент сигнала принят ошибочно, услов
ная вероятность ошибочного приема следующего элемента опре
деляется равенством
Рош/ош= JРу(ош) Wош (y)dy,
о
W ( ) W(у)Ру(ош)
где ошi' =
Рош
(2.148)
(2.149)
-условная :плотность вероятности v в случае, ~когда предыдущий
элемент принят ошибочно.
После элементарных выкладок получаем 1
Рош/ош= +[2
~ ::;,) ]m
(2.150)
Из (2.150) видно, что при малых значениях т условная веро
ятность Рош/ош не может быть уменьшена даже ценой бесконеч
ного увеличения мощности сигнала, поскольку Рош/ош = l/2m+ 1•
iiJ-r;,o
Значения Рош,ош при различных т также указаны в табл. 2.9 . В
"iii-«-
1 Представляет интерес sопрос о способности системы са.~остоятелыю. вы
ходить из области группирования ошибок. Исследование его с.вязано с рас
смотрением условных вероятностей ошибочных и правильных переходов n,ри
задан1~юй цепочке -C'И\.!·BOJJOB, принятых 1до ,11налJ.1зI-Iрус'~!оrо.
115
односторонне-нормальном. канале р owioш =0,36, в рэлеевс.ком
ii•-~
канале р ош/ош = 0,25.
iti-r:ю
Как уже о-rмечалось, с улучшением свойств канала сглажива
ется разница между безусловной и условной вероятностя,ми
ошибки. В частности, при m-+oo(q2-+oo) (2.150) принимает вид
Рош/оm=Рош=О,5 ехр (-h2/2).
Из изложенного материала следует, что в тех случаях, когда
речь идет о каналах с медленными замираниями, необходимо
вдумчиво подходить к выбору способа кодирования и построе
нию системы связи в целом [70]. Для ,каналов, где ,кратность
ошибки (память канала) не очень ве.1ика, целесообразно исполь
зоВать коды, обнаруживающие и исправляющие пакеты ошибок.
Эффективность таких ,кодов возрастает по мере декорреляции
ошибок, которая может обеспечиваться, напри~мер, за счет разне
сенного приема, расс•матриваемого в г.1. 4. Если кратность ошиб
ки велика (память канала весьма существенна), то наилучшим
инженерным вариантом является использование ,более простых
кодов, рассчитанных на обнаружение ошибок .в месте приема. Эф
фективность такого обнаружения при наличии их группирования
ошибок даже возрастает (т. е. декорреляция ошибок нецелесооб
разна). В этих ус.1овиях возможны декодирование со. стиранием
ненадежных символов [128] или же, при наличии ,канала обрат
ной связи [97, 128], запрос на повторение ошибочных комбинациi'~.
Особо широкое распространение в технике передачи данных на
ш.1и системы с каналом обратной связи [97, 128], в которых обна
ружение ошибок может осуществляться при незначительной избы
точностн исnользуе:мого кода.
Примером такой системы связ11 является :пос~1_е;щвательная си
стема СИИП, рассматриваемая подробно в гл. J. В этом системе
импу.1ьсы рабочего пакета могут передаваться кодом без избыточ
ности, а обнаружение ошибок осуществляться на основе анализа
реакции Канала на периодИчески передаваемый исттытательныi1
импульс. Та1ким образом, в системе с испытательным и1мпульсо\1
СИИП легко может быть построен детектор качества канала.
2.16. Надеж11ость связи в однолучевом канале·
• Надежность связи опреде.1яется весьма просто
для каналоэ
сЗ'мого· широкого ,класса, ес"1и известна статистн1~~ медленны.х
мультипликативных флуктуаций в канале. Эти флуктуации име;
ют неинтерференционную природу, и, следовательно, их статисти 0
ка не может быть объяснена центральной предельной теоремой
теории вероятностей. В частности, ,многочисленные эксперименты
подтверждают, что ,при мед.1енных мультип.лнкативных Шлуктуа
циях возможны замирания а~мплитуд относительно до11говремеа
ных среднеквадратИЧ/JЫХ (Медиацных).. .значений и более· глубокие,
чем те, которые следуют из четырехпараметрической модели при
Jlб
интерференционных замираниях. Другими словами, наблюдаются
3амирания более ,глубокие, чем при одиосторонне-нор,мальном рас
пределении амплитуд. По многочисленным ,данным распределение
среднеквадратичеоких (•медианных) значений амплитуд. (1коэффи-
циентов передачи Vy2 =z) при медленных мультипликативных
флуктуа,циях ,удовлетворительно аппроксюмируется логарифмиче
ски нормальным распределением (1.40) при соответствующем вы
боре параметров μ, u2 •
Этот ,факт в работе [I 73J математически объясняется усредне
нием т-распределения ,по ero параметра,м. Аналогичное доказа
тельство в принци,пе ,могло бы строиться на базе более общего че
тырехпа•раметрического распределения амплитуд.
Логнормальное распреде.1ен1<е является достаточно универ
сальным для характеристики многих медленно -меняющихся про
цессов и полей. Оно может быть объяснено не только усреднением по
медленно меняющимся параметрам, но также н тем фактом, что
для некоторых процессов, образованных суммирован1<ем -большого
чнс~,а независи:мых ,компонент, можно считать, что прирост, выз
ванный определенным слагаемым, достаточно мал и пропорциона
лен уже накопившемуся эффекту и воздействующему слагаемому
(122]. При логнормальном распределении медленно флуктуирую
щего параметра надежность связи согласно (1.97) определяется
.
'
соотношением F= J W(g)dg, где g=lпz- rауссовская cлy-
lnz0
чай·ная величина с параметрами μ, u 2. После интегрирования по
лучаем
F= +[~-Ф(
1
"';,-μ)]·
(2.151)
Параметры μ и u2 , характеризующие логнормальное распределе
ние, можно согласно (1.41) выразить через среднеквадратическое
значение V z 2 =a=exp (μ+а') и через отношение среднеквадрати'
ческого и среднего значений V! =Ь=ехр ( ~• )- Выражая а и Ь
в децибелах [155]; a=20lga; Ь=201gЬ-легко видеть, что
μ= (а-2Ь)/8,686, u 2 =b/4,343.
(2.152)
Вводя нормированный порог r=zo!Vz2 , выражение (2.15!) можно
записать в виде
F= +[I-Ф( lnr;o• )].
(2. 153)
Ест,в (2.153):, представить в децибелах; R=20lgr - то с
учетом (2.152)
F =.J.,_ [1..:..Ф(s.k+ т.k)].
2'
1/Ь/4,343
.~.
(2.154)
l17
Подчеркнем, ,что в (2.154) параметр Ь, опрЕ\деляемый диспер
сией а2 , в 1зависи~мости от типа канала, ~длительности интервала на
блюдения, времени суток н года, географии радносвяэи, частот
свяэн н полосы анализа может меняться в весьма широких пре
делах - от единиц tдо деся'I'ков децибел. Хотя параметр z при
медленных мультипликативных флуктуациях меняется в радио
связи в широких пределах его медианное значение характеризует
ся относительной стабильностью и практиqески не зависит от дли
ны, направления трассы и частоты связи [66, 68, 128, 137].
Учитывая, что порог R в (2.154) зависит от пороговой веро
ятности ошибки, можно ~получить характеристику качества сисrе
мы передачи в координатах вероятность ошибкп - надежность
при заданнО1м зна,чении параметра Ь.
Чтобы формуле (2.151) придать расчетный характер, необхо
ди~мо располагать зависимостью порогового уровня Zo (или Ро) от
конкретных параме'!'ров ,канала и характеристи,ки способов прие
ма и перЕЩачи сигналов.
Определим надежность связи для двоичной системы при коге
рентном приеме и извест_ном точно сигнале, когда
р=О,5[1-Ф(z y2h20)].
(2.155)
Вводя пара,метр h2м=z2h20 - среднестатистическое отношение
сигнал/шум, усредненное на интервале медленных флуктуаций.
из (2.155) получаем для нормированного порога
1
r=---Ф-1 (1-2р0 ),
(2.156)
V2ii•м
где Ф- 1 (,) - обратная функция Крампа.
Подставляя (2.156) в (2.153), получаем
[
(lпФ-1 (1-2р0)--1 ln2h'м+cr' )]
F=-
1 1-Ф
•
2
,
2
"
или
[
(
1-
Ь[дБ) ]
l
InФ-1 (1-2p0)- 2 In2h'м+ 40343 ) .
F=-
1-Ф
2
1/Ь дБ/4,343
(2.157)
Если зафиксировать требуемую надежность F, то из (2.157) при
заданном Ь можно получить зависимость допустимой вероятности
ошибки р0 от h2м, На самом деле,
[
1--
ь 1/"f-ь
_lпФ-1 (1-2р0)- 2 1п2h'м+ 4 , 343 J1 4 , 343 =Ф-1(1-2f),
откуда
Ро= +[l-Ф(V2ii2мexp { lf4.~
43 Ф-1 (1-2F)-4 .:43 })]. (2.158)
118
-
На рис. 2.17-2.20 аредстав.лены граtики зависимостей до
пустимой вероятности ошибки (2.158) от h2м при фиксированном
пара,метре Ь= 1; '5; 10; 20 дБ н различных значениях надежносш
F=99,9; 99; 95; 90%.
,о' ,о'
!U-
1
,uz
tDJ
.,
10
ь-1
:0;5г
Рис. 2.17
10'
!О'
,r/
р
10'
Рнс. 2.19
10'
10' 10' 10'
f •$9,93⁄4
hо /i
10' 10' 10'
,06 "i1
м
10· 101 102 !о' 10' 10' ,о' i{,.,
b-lQ
F•99%
1fi
h• !О
h•IO
р
Рис. 2.18
10' ~
1(!' 10
1
102 юJ ш~
,0
5
101 ffм
(•90"/.
ь-20
р
Рис. 2.20
В та-бл. 2.10 приведены пороговые значения параметра h'м,
обеспечивающие при эа:данных значениях надежности связи F =
=99,9; 99; 95; 90% и параметра (характеризующего нор,мирован
ную ,дисп~рсию медленных ·замираний) Ь= 1; 5; 10 дБ вероятность
ошибки не ниже р0 = 10-4
.
119
_Таблица 2.10
Ь, 115
99
195
1
Qрим!ч:ание
99,9
90
• Зн ач ен ие h 1м. ·пря заданной надежност" -с:вязи F. %
\
1
177,8
100
70,8
20
5
5,10'
· 1,12:10•
3,55,103
1,l•l'o•
Р,о = 10•&
10
7;08_, 10•
10•
1,12.10•
3,55, 10•
Из та.блицы видно, нап/)имер, что при изменении параметра
глубины мёдленных флуктrуаций от I до 10 дБ (в 8 раз) сдля под
держания надежности на rуровне 90%.-
(при достоверности 10-•)
необходимо rувеличить пар"метр h2м о/ 20 до 3,65, \04, т. е. в 1775
раз (на 32,5 дБ). В этих же rусдовиях для поддержания надеж
ности на rуровне 99,9% ,потребrуется ,уве.1ичи:~ъ h'м уже от 177,8
до 7,08·106 , т. е. в 39,820 раз (на 46 дБ). Т~ьки;м образом, с воз
растанием требований к надежности Ьдно и 'J'o же увеличение глу
бины )lfедленных замираний, в ,канале требует все более высоких
энергетических затрат.
ОпределИIМ теперь аналогичные зависимости для_ системы с
активной паузой, ортогональной в усиленном смысле (ЧМ) в ка
нале с неопределенной фазой и т-распределением амплитуд ин
терфере~,ционных за,мираний, когда вероятность ошибки опреде
ляется формулой (2.141):
р=+(2m ~:,h'
0
))т
Для этого случая нормированный порог
r=•/ 2m(
1 -!)
(2.159)
V 7i•м \ (2Po)'fm
•
Подстав.л;яя (2.159) в (2.153), получаем
F=+[i-Ф( +1п[2m( (2p,;\/m ~1)]-f 1nNoм+a' )]·
или
[
(
1[·(
1
)]1-
.
Ь [дБ]
-lп 2m
i1m -1 --lnh2м+--
F= _1_ I-Ф 2.
_
(2р,):'
2
4,343-
2
уь [дБ]/4,343
)]-(2.160)
Если зафикоировать требуемую надежность F, то из C(l60) при
задаНf\ОМ Ь по_лучаем зависимость допrустимой вероятности ошиб-
ки Ро от h2м:
,
•
,_
Ро= +[1 + ;:м ехр { 2 [ vь/::J ф-I (l ~2F)-:b/::n) ]-т.
(2.161)
120
На рис. 2.2.1'~2.2 .4 пр.едставлецы графи1<и зависимостей допусти
мой вероятности ошибки (2.161) от h2м при фиксированных эна
чениях параметров Ь= 1; 10 дБ, надежности F':"99,9; J:!9; 95; 90%
и m=l/2; 1; 2; 6;-
"
• 1. ю' 111' ю' ,о• 111•·· • ·il'I.'· •«·
111 Ni'
юю'
ю ,и' 10"'
'
'ю➔
ю
101
ю'
,ri
ю
Рис. 2.21
В табл. 2.11 приведены пороговые значения fi'iм, обеспечиваю
щие (при заданlfой надежности связи F=99,9; 99; 95; 90%, пара
метрах b=l; 10 дБ и m=I; 2; 6) заданное значение вероятности
ошибки 1.
•
Таблица211
Значение h•м при за,цаuиоА надежности F, %
1
Ь. дБ
1
f ;95
1
Примечание
99,9
99
.90
1
3,2-!08
1,6, ю•
108
7 ,1-IO'
Ро=ю·•
1О
IO•
1,6,107
l,6,IO'
6,.3, 10'
т=1
1
т,1.10•
4. 10•
2,2,10•
. 1,4..-102
'Po=IO-•
10
3 ,2-107
4,5,10''
4,0, 10'
1,3, 10•
m=2
1
1,8, 101
1,6-101 .·
7 ,9-101
1,5• 101
Ро= 10-•
10
1,1-107
1,4-10'
2 ,0-10'
6,7,10'
m=6
1 Для .плох-их каналов вероЯ'Т'НОСть оШЯitmи -на уров·не 10-• ·достиrается при
О'!Jень больших, nраlКТ'ИЧеllЖН вереап,иэуем:ых, значенюtх·· отношевия сиrн·ал~.
•
121.
ю'
tl'
llf
tJ'
,r
ri'
,t
L=I L=J L=Z
р L•I
Рис. 2.22
1ю'
о
10'
tJ' 111'
td
/О ,о
td
td
ю
ю'
п1
Рис. 2.23
10'
,,.,
т•6
10'
,,_,
,п•6
т'
ю' ю•
1'•99"!.
10'
,и' к1
b•IU
т=6
,,.,
,,,.,
т' 10'
h•IU
т-6
,l
"
,,:,
Из таблицы ВИ\!\НО, например, что при изменении napaмe'I'pa
глубин~ м~щ.qенных флуК1~уаций от I до 10 дБ (в 8 раз) для под
держания надежности на уровне 90% (при достоверности 10-2 ) в.
рэлеевском ,канале (т= 1) необходwмо увеличить параметр h2м от
7,1, 102 до 6,3· 105, т. е. в 887 раз (на 29,5 дБ).
10' lfi'
/(}
tff'
;~ 10
llf 111'
10 1li
/(}
lfi'
/(}
10'
111•
lfi
/(}~
tti'
ю'
111'
11i'
/О
ю..1
~" -•r
И L•J L•Z
Рис. 2.24
b•f
Ь= /О
m=i
rп=б
В этих же rycлoвll_'IX при m=2 при тех же параметрах р и F
требуется изменить h2м соответственно от 1,4-102 до 1,3, 105 , т. е.
в 930 раз (на 29,7 дБ).
Выводы
1. Оптималыная ПВ обработка поля на фоне rауссовского шу.ма п.ри точ
но И3вес,,иом сигнале, реализуемая, в част,ности, кор,реля:ци{)нной схемой или
ПВ соглас-ованным фильтром, существенно упрощается (осуще'СТrвляется раз
дельно по пр,ОС11J)анственной и временнЬlrм координатам) при фа1кторизации
комплеm:-сноrо представления принимаемого сигнала и корреляционной фун1Кдии
ПОМеХ'И.
2. Алrорm,м оптималыного пр,иема в. общем гау.ссовском канале с неселек
ТИ~'НЫМИ эамира,ниями -может быть реализован IНЗ основе схемы, осуществляю
щей для каж.цой позиции сигнала линейную и юза~дра'ГIИ'ЧНую обра,бо-гку вход
ного IIIOJIЯ. При сюммf'nр!ПИ канала по ортогональным iКОМIПОНента:м (~2= 1)
ква,дратИЧJНая о6,рабо1!К:а .реализуется некоrерентной схемой квад!ратичноrо сум
мирования, ,ин:в31Риант-ной к фазе оигнала.
3. АлrориТIМ опти~мальuоrо приема в общ~ гауссовско:м 0~днолуrчевом ка
нале с селективными оо времени и по пространст-ву за-м,ираниями .реализуется
схеrмой разнесепн-ого .n·p,-teмa сиmалов 011делъных ветвей с неселекwвными за
мира1Ния.ми.
4. Обобщенный ЗЛГQJ»IТМ ма~кснмаль-ного правдоподобия, не т.ребующнй
знания статнст.иrки флу~ктуюр-ующих ПЗ!раметров 'КЗ.Нала, для систе.м с ЗiКТИIВИОЙ
123
паузой не от.,111ичается от алгорн-rма квадратичного суммирования, что дополни•
тельно стимулирует особый интерес к последнему.
5. Энергетический ,выигрыш оптимальной ПВ обрабоnm поля по отношению
к чисто времен,н6й обработке в одной точке пр-и точно и~вестно\11 сиrнале за,вн
сит от свойств помехи, полезного .принимаемого сигнала и области анализа
поля по П'J)ОС.'rранству и вреМ~НIИ.
6. Неточ•1:1ое знание опорн,ого сигнала (в частности, на,п.равле\шя прихода
волны Х а/Ло) в месте nри,ема nрw.водит •К определен,.ному энергет,ич-ес.кому проиг•
рышу системы, По мере увеличения размеров антенны по сравнению с длиной
волны Х1 /Ло для сохранения работоспособности системы связи допускается все
меньшее от,клонение предJполаrаемоrо в месте приема угла прихода волны от
истинного. для за.дан,ных значений у,rлов п,роигрыш састемы растет с увеличе
нием параметра Х 1 /'А0 . При незначительных от:клонениях угла этот прои['lрыш
несущесmен.
7. П:р,и медленных замира,t11иях когерентный оптималыный ·n1pиe..\t: обеспечи
вает для дв·оИ'Чной систе.мы с активной паузой, ортоrональоной в усиленном
смысле (на11рmмер, ЧМ или ОФМ) по ~ене.нию ICO СJJучаем неза,висимоrо оп
тимального приема от дельных элементов сигнала в обще:м rауссовоко:м ка•нале
для любых пара,метров четыреХ1Парамет,рической модели кана.ла, при которых
q2 :s;;; 10- эне~ргетичеок,ий .выи-грыw 3 дБ ('В 2 раза). Аналогичная тенденция ха
рЗ1Ктерна и для двоиq,ной системы с mа,ссивной паузой, однако для этой систе•
мы в по.щр·элеевок,ом канале энергетический ,выигрыш несколыко выше и состав•
ляет пр1-1,мерно 7 дБ.
8. Для ши,рокого класса моделей стохастического однолучевого канала
двоичная система с п,ротивоположнЬlми оиrналами имеет явные преимущест,ва
перед другими двоичными сИ'Стема,ми.
9. В отличие от двоичной оистемы с противоположными сигнала.ми (ФМ),
Д1воич,ные сш::темы ЧМ и АМ п,ри соответе11Вующем откошен-ин сиI'нал/помеха
обоопечивают удовлетворительную связь пр-и неза1Эи-симом приеме элементов
сигнала в общем rаусс,овс.ком 1Канале с любым, сколь угодно малым. эначе
н,ием параметра q2 (отношения средних мощностей регулярной и флу~ктуи,рую
щей ,частей сигнала).
10. -В общем rаус-совскОм канале с неселективными за,мираниями со зна
чением па,раметра q2, меньшим двух, 3Нерrет,ический выиг_рЬIШ оптимального ли
нейно-.квад,jратичноrо незаrвиси,мого приема элементов сигнала no отношению к
приему по алгоритму юва~дратичного су~М,мирова,Н·ИЯ для системы сигналов, ор
тогональной Iв усиленном смысле, пра!К'Гичеоюи не ощутим.
11 . .В общем rауссовоком канале с неселекти.вными зам,ираниями линейный
алгоритм неэаsисИ'мого r1риема элементов сигнала (оптимальный для снст~мы
с Iпротив-оположнымти оиnналамн) при иооольювании двоичной системы: с а,ктив
ной паузой, ортогональной .в усиленном смысле, пра;ктичес.кн не уетупает по
помехоустойчивости оптимальному приему при q2 ;з:. IO.
12. Надеж,ность IСВязи пр,и лог.нормальном распределении медленных флук
туаций, за~анной достоверности и уореднеНIНом по медленным флу,ктуац,и,~:м от
ношении сигнал/помеха сильно зависит от глубины медленных замираний.
Глава 3
Прием в многолучевых каналах
(селективные по частоте замирания
и эхо-сигналы)
В настоящей главе рассматривается ПВ обработка акалярного
поля в предположении, что в области приема Л доступно ана
лизу ,множество лучей, определя.емых углам11 в,, k-т;-N (кото
рые в а11алитических выражен11ях, если нет. специалъной надобно-
124
сти, опущены). Полу,ченные результаты там, ,где это целесообраз
но, ,при,мен~,мы и ,к ,каналу: с непрерывной мноrолучевостью.
На выходе многолучевого канала с максимальным временем
запаздывания между лучами Л,.,•• и ,длительностью переходного
процесса т*пер, обусловленного неидеальностью частотных харак·
теристик канала, отклик и,(t, r) на один элемент сигнала s,(lj
длительностью Т имеет продолжительность во времени Ти= Т +
+'fпер= Т +'t*11ер+Лтmах, где тпер=т*пер+Лтmах - длительность сум•
марного переходного процесса в канале. Э11}' величину часто назы
вают памятью канала. В каналах радиосвязи чаще всего 1можно
считать, что 't*пep<:Л-rmax, т. е. 'tпеv=Л'tmах-
Подчеркнем, что сигнал на г,риеме u,(t, r) является результа
том интерференции ,многих лучей (в дальнейшем та-кую интерфе'
ренцию будем называть внутрисимвольной). По этой причине, а
также вследствие неидеальности частотных характеристик rкаАала
для каждого из лучей (при т*нер7"0) форма указанного сигнала
может быть весьма сложной, даже если на передаче задан срав
нительно простой сигнал s,(t).
В дальнейшем ·б}'lдет рассматриваться главным образом поэле·
ментный прием, представляющий основной практический интерес
в системах передачи данных. В этом случае анализируемое коле
бание z(t, r) удобно ;представить в виде
z(t, r)-u,(t, r) +gм.и(I, r) +n(t, r),
(3.1)
где gм,и(t, r) - сигнал, обусловленный посылками, следующими
до и после анализируемой. Будем называть его сигналом меж
символьной интерференции.
В ,многолучевых ,каналах с межсrnмвольной интерференцией
['когда следует учесть компоненту g,,,и(t, r)], поиск алторитмов
оптимального приема и анализ их помехоустойчивости существен
но усложняются. Между тем такие ,каналы вызывают ,большой ии'
терес, так как образуются в скоростных системах передачи дан
ных последовательными ~методами с применением простых сигна
.~ов (с малой базой) ''· Подобные сигналы привлекают в последние
годы особое внимание разработчиков (12, 37, 49, 58, 77, 90, 168).
В некоторых случаях межсимвольной интерференцией в кана
ле [ компонентной gм.и (1, r)] можно пренебречь. Во-первых, это
возможно в линейных каналах с рассеянием во времени общего
типа ( 1.8), ( 1.9) (ка,к при детер,минированиой, так и при случай
ной системных характеристи.ках канала) при выполнении условия
т*аср« Т. На практике в системах передачи данных такие усло
вия обеспечиваются в параллельных модемах. При этом интервал
анализа элемента сигнала в месте приема Та= Т11:::::: Т*>.
1 Эффект раосея.ния сиг,на.nов во времени п.ракТ~Ически приходится у•шты•
вать при скоростной пе.ре.даче дЗlнных и в ка,налах оптической с•вязи как с от
крытым, та,к и с за1Юрытым распространением [34. - 175].
•1 Пра1ктичеоки в параллельных системах передачи для исключеН'НЯ меж
сим,вольной ,интерференц,ии прих,цдится вв1адить защитные В1ременнЬlе интерва
лы, т. е. аналиэи,ровать посыпку на интервале Та<Т [95, 128, 172].
125
Необходимая сумма,рная скорость передачи в таких системах
обеспечивается за счет образования на отдельных частотных ин
терsалах соответствующего числа параллельных .каналов.
Однако если канальные сигналы параллельного модема прос
тые (с малой базой), то пренебречь внутрисимвольной интерфе
ренцией в многолучевом канале для такой системы принципиаль
но нельзя.
Во-вторых, пренебрежение как межсимвольиой, так и внутри
символьной интерференцией допусти1Мо дл1я сигналов, удовлетво
ряющих условию «полного разделения» лучей в канале, которое
при корреляционной обработке обеспечивается в слу,чае ортого
нальности принимаемых сигналов в усиленном смысле и узости
их корреляционных функций при I Tm<n 1 =Лтm;n (ЛTmin - мини
мальное запаздывание между лучами). Э1им условиям, в част
ности, удовлетворяют некоторые системы сигналов с ,большой
базой,
В этой главе вначале рассматриваются алгоритмы приема в
целом, которые для каналов и источнюков с памятью обеспечива
ют предельную помехоустойчивость, однако их реализация связа
на с большими трудностями. Затем описываются алгори11мы опти
мального и субоптимального поэлементного когерентного приема
в каналах с ,межсимвольвой интерференцией общего вида, а так
же алгоритмы оптимальной и субоптимальной некогерентной об
работки в многолучевых ,каналах в ,предщоложении того, что меж
символьной интерференцией можно пренебречь,
3.1 . Алгоритмы оптимального приема в целом в каналах
с межсимвольной интерференцией при точно известном сигнале
Пусть на интервале МТ на вход модулятора передающего ус
тройства последовательно поступают М символов, которые об
разуют некоторую k-ю цепочку (вектор) Ь,= (Ьм, Ь, 1 , ,,,, Ь,,и-,)т
и передаются по ,каналу свяэи с помощью сигнала sьh(t)=
М-1
=
i su(t-IT), где sц(t-lТ) -элементарный сигнал i-й пози-
1=0
ции, соответствующий 1-му символу цепочки; Q,,;;;t-/T~T; i=O,
!, .,,, т-1; k= l, 2, .,., тм_ Сигнал на выходе канала при переда
М=I
че k-й цепочки символов Ь,и(t, г)•= i u,,(t-/T, г), где ua(t-
t=o
- - I T, r) - отклик канала на элементарный сигнал s"(t-lT).
Пра•ктичеаки всегда можно считать, ,что 1как элементарный пе
редаваемый сигнал, та1к и память канала 'tпер ограничены во вре
мени, Но тогда сигнал u,,(t-lT, г) также финитеп и имеет дли
тельность, которую обозначим Ти•
Введем понятие относительной памяти канала Q [58], опреде
лив ее ка1к целую часть величины Tu/T(Q=[Tu/T]).
В ,месте приема анализируется аддитивная смесь сигнала и
шума
z(t, г)=и(t, r).+n,(t, r)
(3,2)
126
на временном интервале Та= (М + Q) Т и пространственной облас
ти R.
А.1горитм оптимального приема в целом цепочки символов
arg max{e.l.(z(t, г)/Ь,)},
(3.3)
k
где lk(z(I, г)/Ь,) - фуик,ция (нормированная) правдоподобия пе
редачи k-й цепочки символов; e1t - вес, определяемый критери~м
оптимальности. В частности, при использовании критерия миниму
ма средней вероятности ошибочного приема цепочки символов
величина е, ,равна априорной вероятности передачи k-й цепочки
р (Ь,).
При гауссовскам шуме оптимальный алгоритм приема в ,целом
(3.3) принимает вид'
argmax{e,exp(fJz(t, r)uon(t, r),dtdr-h2,]},
(3.4)
k
где Иоп(/, r),= J J'l'(I, t', r, r')u(I', r'),dt'dr';
xu0 ,(t, r),dtdr.
Следует подчеркнуть, что трудность реализации алгоритма
(3.4) аа,ключается не то.пько в необходимости сравнения болЬ1Шоrо
числ_а гипотез, но и в том, что для каналов с межсимвольной ин
терфеоенцией величина h2н имеет, как правило, различные зна•че
ния пои разных k. !(роме ·юго, ансамбль сигналов u(t, r),, k= 1,
2.... тм, в болЬ1Шинстве случаев не является ортогональным, что
существенно затрудняет оптимальную обработку и анализ поме
хоvrтойчивости.
Пои точно известном сигнале алгори11м (3.4) может быть ре
::tли:юван с помощью линейных ехем (~корреляционной техники илн
r-nг.тн1сованной фильтрации), рассмотренных в гл. 2, однако ясно,
что с увеличением числа символов цепочки М сложность приемно
го устройства растет по показательному закону, поскольку число
ожидаемых вариантов сигнала и сравниваемых гипотез равно
тм, где т - основание кода.
Передавая цепочки символов с защитным интервалом на пере
даче 'tзащ= QT, можно практически реализовать прием в целом
блока символов в реальном масштабе времени (рис. 3. 1), если ре
шающий блок РБ сможет выполнить все необходимые операции
для принятия решения об М символах рабочего пакета за время 2
(М + 1) Т +2т,ащ-
1 Интелр·ирования осущес11вляют.ся по области анализа Л= [О, Та] XR (см.
сноску на стр. 36).
2 Блоки БИ и БФ (измерения параметров канала и формирования нсоб
хцдимых опорных сигналов для п,риемнН1ка} могут ~В простейшем ва,риантс
к.ла-ссифкцироваН1иоА выбор.юн использовать входной оилнал лишь на интер;вале
Т+-сзащ= (Q+.l)T; т. е. иопо.льзовать сиг.мал реакщrи канала на иапытатель
~ый юм.пульс (см ..ри<:.. 3,2). В этом случае ключ .кл на рис. 3.1 . осущ-естмиет
Ком,~.-1уrацию анализир,уе-мого· колебания поочефе):(но К блокам· ВИ и РБ.
•
121'
';·с, ,., ,'
., ..
·' бЦ'
бФ ~7 Гзii1 ' Вар11ант., MQДYJJIIPJIIOЩero
г------------т- __пс _'-::J=', синхронного двоичного .сиг,-
1
11,mtt,ri
. li1,_- tnc~
1 нала1 испоr1ьзуемоr0·1в :сис-
1
1 теме связи с защ11тным ин-
1
"'
: тервалом
·и сnец11а:льным
~ 1 испытательным (зондирую-
;,
•• m"
: iцим) импульсом (соответст·
Щ{). 1
-
1
•
• вующим элемеi!Т'арному сим•
.. '---
~------- ·
____ •
__ __ J волу «!'») для изучения ка:
.
р~~- 3,\
r•.''
,
•
• нала
и предt'каза:нйя его
реакции на интервале ана-
лиза, показан на рис. 3.2 .
Защитный интервал может бы-гь как активным; когда на этом ин
тервале переда11чиком излучаются сигнальные импульсы (сооtвет
€Т~ющие символам «О») с той•,Же энергией, что и сигнал ,испы,
Рис, 3,2
aJ
\/
Реохццн xattaлa нu испытательнЬ1е импульсы
!)
t
t
t
тателъного импульса, та~к и пассивным, когда на защитном интер
вале ,передатчик ие ,изл<учает [58] . .На рис. 3.2,б показан. переда
ваемый сигнал с ,модуляцией. фазы и1мпульсов рабочего па~кета
(фаза q, 1 ооответстьует символу « 1►, в q,o - С/iмволу .:О») при 111ас
сивном защити.ом интервале, На рцсунке''Ти - период следования
1.28
испытательных импульсов, который определяется скоростью изме
нения (времени корреляции) пара,метров кана,1а. Рассматривае
мую систему связи будем именовать системой СИИП с приемом н
целом. Для надежного предсказания ожидаемых сигналов и,(1, r)
по реакции канала на испытательный Иiмпульс (т. е. на основ~
классифи·цированной выборки в месте приема) интервал Ти сле
дует выбрать таким, чтобы параметры канала изменялись на нем
незначительно. Например, в системах радиосвязи декаметрового
диапазона можно принять Ти=25-ё-100 •мс [2, 47, 58, 128].
Как видно из рис. 3.2, длина па•кета рабочих импульсов Траб=
=МТ и Ти=2Таащ+МТ+Т=(2Q+М+1)Т. Скорость манипуля
ции (мгновенная окорость) V = 1/Т = (2Q +М + 1) /Т,.. Скорость ,пе
р~дачи сообщений (информационная скорость) в системе СИИП
/'=М/Ти. Таким образом, коэффициент замедления передачи,
обусловленный зондированием канала, v =l'/V= l-(2Q + 1) / (2Q +
+М-:-1) = l-(Т+2т,ащ)/Ти.
При ограниченной памяти канала Q по мере увеличения числа
импульсов рабочего пакета v-+I.
Элементы передаваемых сигналов Si ( t) в системе с испытатель
ным импульсом могут быть как простыми, так и сложными (с
большой базой) 1.
На рис. 3.2,в показан примерный вид принимаемого сигнала
(без аддитивной помехи) в заданной точке пространства (после
входного из,бирателыюго блока приемника), соответствующего пе
редаваемому сигналу рис. 3.2,6 в •канале с намятью. Испытатель
ный радиоимiПульс соответствует одной заранее определенной по
зиции кода. Однако по анализу реа1кции канала на этот импу.~1ьс
на временном интервале (Q + 1) Т в ·месте приема можно опреде
лить (предсказать 2 ) возможные реализации принимаемого сиг
нала при пере~да~че любой из тм возможных цепочек символов.
Безусловный интерес представляет поиск таких процедур при
ема дискретных сообщений в целом, которые позволили бы уп
ростить реализацию приемного устройства. Для источников с па
пятью (избыточное кодирование) и каналов •без памяти ,предло
жено большое число таких процедур, основанных на использова
нии регулярных связей передаваемых символов [70, 128, 130].
Значительно труднее эти вопросы решаются д.ття ,каналов с памя
тью. Известен, например, рекуррентный алгоритм Р. Чанга и Дж.
Ханкока [ 156], предполагающий последовательный прием цепочек
1 Заметwм, что п,ри исполь:зовании сигналов с большой базой, удовлетво
ряющих условию разделения лучей, параметры -канала могут быть надежно из
мерены (оцен,ены) и по рабочим импульсам, как это, например, с.делано в сис
теме «Рейк» [,128, ·177]. При иапользовапии iпростых сигналов, ~когда разделе
ние лучей невозможно, оцеНJка па,рамет:ров канала и форми1рова,ние необх·оди
мых опорных оигналон ВССЕ>'Ма просто реализуются при наличии ,спсциалышх
ИIОПl,fТЭТСЛЬ'НЫХ ш,11пульсов [58].
2 В этой связи обсуждаемая система и названа нюш сокращенно СИИП -
система ·С иопытательным импульсом и предсказанием. Эта си.стема является
а,да~птивной, поокольку в условиях изменения параметров ,каIнала происходит
изменение (а1да;птация) опорных сиr;налов в месте приема.
Б-46
129
из Q+l символов (l+Q<M), вплоть до включения в анализиру
емую цепочку последнего из переданных символов с номером М.
Этот алгоритм реализуется схе,юй, содержащей как линейные,
так и нелинейные блоки; его с.ложность линейно возрастает с уве
личением числа анализируемых си•мволов М. Рассма-гриваемый
прие'.lник назван в литературе составным обнаружителем [1].
В оптимальном составном обнаружителе функция ,правдоподо
бия 11 (z (t, г) /Ьп), необходимая для принятия решения на интер
вале 1"а= (М + Q) Т, определяется путем взвешенного сум,мирова
ния функций правдоподобия д,1я всех возможных цепочек си-мво
.аов, существующих на интервалах (Q-:-1) Т внутри интервала т•.
Это требует сложных нелинейных -блоков и знания весов отдель
ных цепочек и параметров ~канала (в том числе характеристш<
шума, даже белого), что существенно затрудняет реализацию со
ставного обнаружителя.
Для реа.1изации приеIма в цеJ1ом в каналах с памятью пред
ставJiяет интерес нелинейный алгоритм Витербн, предложенный
первоначально ·как метод последовательного декодирования свер
точных кодов и затем приспособленный для -приема цепочек сим
волов в каналах с ,памятью [ 130]. Алгоритм Витерби испо,1ьаует
идеи динамического программирования и основан на представ.ле
нии состояний канала в месте приема простой марковской цепью.
Число этих состоя1шй определяется памятью канала Q. Решение
по алгоритму Витерби сводите-я к получению оценки состояния
марковекого процесса в некоррелироваином шуме. Этот алгоритм
может быть использован и д...1я поэлементного приема символов.
Очень заманчивой является такая модифи.кация алIгоритма
(3.4), при которой перебор вариантов (ги-потез) вообще не т,ребу-
л
ется а искомое решение а~ о,пределяется как некоторый вектор-
ный функционал от принятой смеси ~. =q,[z(t, r)], имеющий яв
ное аналитическое представление. РассмОТрим один из ;путей по
строения таких (субоптимальных) алгоритмов для двоичной си
стемы с противоположными сигналами в канаJ1ах со слабой меж
символьной интерференцией [63].
Полагая в (3.4) ••=е, запишем алгоритм максимального прав
доподобия при точно известном си•гнале
агg max 6 (Ь•),
(3.5)
k
где 6(Ь•)= 5Sz(I, r)uoп(I, г).dldг-+1Jи(I, г)kИоп(/, r),,dldr (3.6)
-
квадратично-линейная форма от цепочки (вектора) ь.;
М-1
и(t, r)•= ~ b,,,u(t--lT, г)
l=O
-
ожидаемый сигнал при передаче k-й цепочки символов ь., ь.,Е
Е{-1, l}; u(t, r) - сигнал, соответствующий передаче элемен
тарного символа «I».
130
Алгоритм (3.5) можно рассматривать как алгоритм оценивания
цепочки (вектора) ь. на интервале анализа Та= (M+Q)T по пра
вилу
ь. = arg max 0,(Ь•),
bke:zf
(3.7)
где z2 м - множество М-мерных векторов с компоне1Пами ь.,= ± 1.
Предъявим к иокомО1му векторному ,функционалу 'l'[z(I, r)]
следующие требования: 1) при отоутствии шума применение функ
ционала ,к сигналу z(t, r) должно давать точные значения, соответ•
ствующие переданным символам, т. е. 'l'[z(I, r)]n,,. •>=• ='Ь•; 2) при
отсутствии межсимвольной интерференции функционал должен
давать оптИ1мальное решение (оптимальную оценку набора симво-
лов), т. е. q,[z(I, r)] =Ъ•. Тогда есть основан1tя ожидать, что при
сла,бой межсимвольной интерференции алгорш1м будет близок к
оптимально1му.
Поставленным требовання,м удовлетворяет алгоритм обрабо,
ки, при котором задача ,различения дискретных величин bhlE.
Е {-1; 1} согласно (3.7) заменяется задачей оценивания их как
непрерывных параметров, а затем в 'качестве решения берется ди
скретное значение, ближайшее к непрерывной оценке ( аналого
вый демодулятор с дискретизацией решения). Это означает, что
функционал (3.6) максимизируется в вещественном векторном
пространстве Rм, а не по множеству zм2 и решение принимается
по правилу
a•=signa.=signarg max 0(а.),
a11,ER.M
где 8 ( •) - по-прежнему определено (3.6).
(3.8)
Для синтеза алгоритма, т. е. искомого функционала q,[z(t, г)]
в форме явного аналитического выражения, представим 8(а;),
проведя несложные преобразования, в матричном виде:
1
8(а.)=-та.ТЕа.+ста.,
(3.9)
где Е - матрица функций корреляции системы сигналов
{и(t-lТ, r)} с элементами
е,т= 55S5u(t-lT, r)'l'(I, 1', r, r')u(t'-mT, r')dtdrdt'dr',
!, m=O, 1, ... , М-1;
(3.10)
с - вектор ·С компонентами
с,= fSf fz(t, r)'l'(I, 1', г, r')u(t'-IT, r')dtdrdt'dr', 1=0, 1, ... , М-1.
( 3.11)
Межсимвольная интерференция проявляется в отличии матрицы
Е от диагональной.
Для определения ма,ксим}'ма функционала (3.9) в веществен
ном векторном пространстве, т. е. по непрерывным а.,, нетрудно
5*
131
получить явную формулу обычным методом поиска экстремума по
нулям ;производной. Дифференцируя (3.9) по ak, получаем урав
нение
д0
--=-Ещ+с=О,
дr.tk
~ткуда, если матрица Е обратима,
а1,=Е-1с.
(3.12)
Таким образом, искомый алгоритм
ak=signE-1 c.
(3.13)
Обозначив обратную матрицу Е- 1 = F= [f,m], можно представить
этот алгор·ИТМ в более наглядной форме:
a"1=sign5Sz(I, r)иш,1(/, r)dtdr,
(3.14)
М-1
где Uoп1(l,r) = Jl''l'(I, 1', r, r') [ 2: f,mu(t'-mT, r')]dt'dr'.
(3.15)
"
т-,о
Как видно из (3.14), при аппаратурной реализации рассмат
риваемый алгоритм сводится к вычис.1ению 1шрреляции принятой
смеси с опорным сигналом (3.15) и определению знака получен
ной величины, т. е. сравнению ее с нуJ1евым пороговым уровнем.
Покажем, что полученный аJ1горитм удов.1етворяет дву,м т,ребо
ваниям, сформулированным выше. Для этого, умножив анализ11-
руемую смесь скалярно на и'оп1(I, r) = .l'J Ч'(I, 1', r, r')u(t'-IT,
r') dtdr', nредстави:м вектор с в виде
с=ЕЬк+v,
(3.16)
где вектор v имеет ком,поненты
v,= j fn(I, r)и'un1(i, r)dtdr.
(3.17)
Непосредственно из (3.16) и (3.17) видно, что при отсутствии
шума v=O и «к=Е-'с=Ь,, т. е. требование l выполнено.
Д,1я проверки второго требования представим функционал
(3.9), соответствующий оптимальному алгоритму, с учетом (3.12)
в виде
1-
-
1
6(а,) =--(a,-ak)TE(ak-a,) +- стЕс.
(3.18)
2
2
Последнее слагаемое в (3. 18) от а, не зависит и, следовательно,
на определение максимума (т. е. решения) не влияет.
РазJ1ичающий функционал, соответствующий алгоритму (3.13),
1-
-
μ(а,) =-
2 (a,-a,)TD(a,-a,,),
(3.19)
где D - произвольная диагональная матрица с положительными
элементами. Действительно, нетрудно убедиться, что любой век-
тор~•. определяемый (3.13), одновременно удовлетворяет
(3.20)
132
При от,сутствии межсимвольной интерференции матрица Е яв
.ляется диагональной и, следовательно, оптимальное решение
ь.=arg max 0(а,),
а ezM
h2
(3.21)
где 0(а,) определено (3.18), совпадает с (3.20), т. е. Ь•=а, и тре
бование 2 выполнено. Прн этом в (3.15)
/zт=О при m=,i=l и алгоритм (3.14) принимает вид
~.,=sigпfS SJz(t, r)'l'(I, t', r, r')u(t'-IT, r')dtdt'drdr',
который соответствует оптимальному алгоритму поэJiементного
принятия решения, расамотренному в гл. 2.
Отметим, что в общем случае функционалы (3.18) и (3.19) су
щественно разлиrчны и их 1минимумы по «неzм1 могут не совпа
дать, т. е. решение (3.20) ,может отличаться от оптимального.
Возвращаясь :к оптимальному алгоритму приема в целом (3.5)
[максимизации квадратично-линейного функционала (3.6) в дис
кретном пространстве по векторам с компонентами ± 1] подчерк
нем, что его реализация возможна на основе полного перебора
всех возможных вариантов принимаемой цепочки символов. Одна
ко в ряде случаев удается получить решение, близ,кое к оптималь
ному, на основе сокращенно,го перебора. Та,кой перебор наиболее
эффективен, если он является направлением, т. е. изменения кам
монент производятся в на,прав.лении искомого экстремума.
Рассмотрим некоторые пути построения таких направленных
алгоритмов (60]. Прежде всего определим понятия локального и
глобального •экстремумов в двоичном пространстве zм2 .
Для элементов этого пространства введем операцию покомпо
нентного умножения (которая соответствует сложению по моду
лю 2 двоичных векторов с компонентами О и 1) с= аЬ, ,где с1 =
=а, Ь1.
Двоичным градиентом некоторого фуикциоиала 0 (а) в точке
aEZM2 назовем вектор
[0(ае 1 )-0(а) ]
Л(a)=grad0(a)= ~(~е,)_-~(а) ,
0(аем)-0(а)
(3.22)
где е,=(-1, 1, ..., J)Г, е2=(1, -1, 1, ..., l)т, ..., ем=(!, 1, ..., !,
-1 ) т - единичные векторы.
К,ак видно из (3.22), вектор градиента составлен из прираще
ний, которые приобретают функционал 0(а) при инверсиях (дво
ичных сдвигах) по ,разным координатам. Отметим, что его ком
поненты, .как и значения самого функционала 0(а), могут быть
произвольными вещественными (не обязательно двоичными) чис
лами.
133
Тачка глобального ,максимума функционала 8(а) в простран
стве zм2 -это такая точка а,., для которой ,0(агл);;;,,8(а) при
всех аеzм,. Точ1ка<ми локального максимума функционала 8(а)
в пространстве zм, будем называть тачки а,он, в которых
О(алон);;;,,8(алоне,), V 1=1, ... , М.
(3.23)
Как видно из сравнения (3.23) и (3.22), точку локального мак
симума можно та,кже определить как такую точку, в ,которой все
компоненты вектора градиента отрицательны или равны нулю,
Л, ( а,он)•,s;;·о. Аналогично можно дать определения глобальному и
локальному минимумам.
Известны градиентные методы поиска локального экстрему'-'1:а
функционала в вещественном векторном пространстве [91]. К
двоичному ~пространству они, к сожалению, непосредственно не
применимы, поскольку пред:уомотренные ими перемещения в на
правлении градиента в данном сл,учае приводят 1к выходу за пре
делы двои,~ного пространства.
Можно, однако, сохранив градиентный принцип ,поиска, моди
фицировать его применительно к двоичному п,ространству. Одним
нз возможных здесь алгоритмов является перемещение на каж
дом шаге в направлении наибольшей положительной ,компоненты
градиента. Поиск начинается с некоторой исходной точки (цепо,,
ки символов) bk< 0 ). В ней вычисляется градиент, выявляется наи"
большая паложительная его ,компонента - пусть она имеет номер
j, т. е. 8 (Ь<0 >,е;)-8 (Ь,< 0>) =max. Тогда компонента Ь,;< 0> комбина
ции Ь,<0> меняется на обратную (+1 на -1 или -1 на + 1), ос
тальные сохраняются прежнн,ми. Тем са,мым осуществляется пе
реход в точку b,(l>=b,< 0 >е;. В этой точке поступаем точно так же.
И так до тех пор, пока не будет ·получена некоторая тачка (цепоч•
,ка) b*R, в которой все ~Компоненты градиента неположительны.
Это и есть искомая точка локального максимума (непосредствен
но в силу введенного выще его определения).
При оп'ределении вектора градиента ,можно непосредственно
вычислять значения функционала 8 (Ь,,) в точке ь. и соседних с
ней по формуле (3.9) и затем определять приращения сог.~асно
(3.22). Однако -путем некоторых несложных матричных преобра•
зований можно вывести для вектора градиента функционала (3.9)
более простое явное выражение, которое удобнее использовать в
алгоритме поиска:
grad 0(bh) =-4А[ (E-D)b,-c],
rь,ооОI lg,o
гдеА=ОЬ"О
;D=О
.
.
..
00
bk,~ M -1
0
о
gll
о
(3.24)
,:_, .J
(3.25)
К:ак видно из (3.25), матрица Е-D-это определенная (3.10)
134
КС>рреляционная матрица, в которой диагональные элементы за
менены нулями.
Описанный выше алгоритм пои,ск'а можно построить и так, что
бы □111ерации пространственно-временной С>бработки и пои,ска эюст
ремума ,были ,совмещены. В этом случае целесообразно сам гра
диент непосредственно не вычислять: вместо вычи,сления градиен•
та на каждом шаге выч,и,слять значения самого функционала
6(Ь•) ,в исходной точке и во всех соседних непосредственно по
формуле (3.9) и в качестве следующей выбрать точку, в которой
он имеет наи1большее значение. При его реализации вычисления
функционала можно вести и непосредственно по формуле (3.6).
Анализ показывает, что градиентный метод и метод поиска,
совмещающий операuии простра.нственно-временнбй обра1ботки и
лоиска эwст,ремума, требуют при больших М число операJJ;ий, ,со
отвежтвенно в 2м;м и 2м;м2 раз меньшее, чем полный перебор
всевозможных гипотез.
Таким образом, r,радиентные методы имеют существенное пре
имущество шо числу апераций в сравнени,и с полным перебором.
Отмети"' и еще QДно преимущество рассмотренных методов: при
полно"' пер"боре заведомо необходи"'о получить все 2м значений
функционала и затем сравнить их между собой, пр,и градиентных
же методах лишь в ,самом неблагоприятном случае требую'ГСя все
М шагов, на каждом из которых вычисляется М значений функ
ционала.
Отмеченные преимущества имеют место как при реализаци,и
алгоритмов перебора в форме чисто цифровой обработки, так и в
аналоговых системах. Различие между двоичными ,и обычными
умножениями и сложениями при аналоговой обра,ботке также
существенно: первый тип операций осуществляется простеЙШIИМН
ключевыми элементами, а второй - требует ,более сложных эле
·ментов.
В заключение укажем на некоторые недостатки рас,смотренных
градиентных алгоритмов и вытекающие из них задач,и дальней
шего иоследования.
Описанные алгоритмы, так же ·как и известные градиентные
метqды, обесшеч,ивают выявление ;~ишь Jiокального, а не глобаль
ного экстремума. Детальное математическое и-сследование пока
зывает, что у нелинейного функционала вида (3.9) может быть,
вообще говоря, несколько локальных максицумов в ,сцысле опре
деления (3.23), и из них лишь один совпадает с глобальным мак
.с,имумом, дающим оnтимальное решение о переданной ко.мбшна
ции. Этот недостаток ча,стично может быть преодо.пен за счет
выбора .начальной точки (цепочки символов) поиска вблизи гло
•бального экстремума. Поскольку задача оп11имаJ1ы1ого приема
имеет стати-ст,ический смысл и любые ошибочные решения ухуд
шают качество связи лишь ,при достаточно частом их пояшлении,
было бы также важно ,ис,следовать, на,сколько ча1сто локальный
максимум будет выявляшся вместо глобального при случайном
вь(боре начальной комбинации и насколько это увеличит вероят-
135
ность ошwбки по ,сравнению ,с полным п-еребором. И, наконец,
грмиентный алгоритм будет давать точное совпаден,ие с резуль
татами по.1ного перебора, если удастся установить, что для не
которых отдельных каналов ,связи функционал (3.9) имеет един
ственный локальный максимум, который совпадает с глобальным.
Заканчивая вопрос об алгоритмах приема в целом (цепочки иа
М сим1волов), отметим, что 1помимо оговоренных есть еще одна
-проблема, затру,дняющая их использование 11ри больших значе
ниях М: величина задержюи в принятии решения (о первом сим
·ВОЛе цепочки) D=Q+M. Это обстоятельство особо сущоственно
в -системах .передачи данных, в которых для повышения качества
использует~ся канал с .обратной ,связью. Они могут нормально
функционировать лишь при оrраюиченных задержках по1ступ~1ения
,на пере.дающую сторону информации о качестве передачи в пря
мом канале [97, 128].
3.2. Алгоритмы оптимального поэлементного приема в каналах
с межсимвольной интерференцией при точно известном сигнале
Раосмотрим эдесь только алгоритмы когерентного приема,
представляющие для каналов передачи данных с межоимвольной
интерференцией наи,больший практический интерес.
П_ри рассмотрении поэлементного приема -будем полагать вре
менной интервад анализа Та к.ратным велиqине тактового интер
вала Т, т. е.
Ta=(l+D)T,
(3.26)
где D='O, 1, 2,, .. -
фиюсированная задержка выне,сения реше
ния об .элементарном символе [ 1, 58].
Величина D может в ,принципе быть как больше, так и мень
ше Q. Р11бота с задержками D< Q в каналах с межсимво.1ьной
-интер,ференщией упрощает реа.1изацию алгоритма обра·ботки снг
нала, однако вс-дет к определенной потере помехоу,стойчивости за
счет неполного использования энергии рассеянного ,сигнала.
Если задержка D>Q, то по сравнению со случаем D=Q по
мехоу,стойчивость передачи в приш.1Jине может быть улучшена, ес
ли послед.овательно пере:даваемые символы взаимокоррелированы
и (или) в канале дейсnвует коррелированный аддитивный шум.
Предельно возможная помехоу,сгойчшвосгь, естественно, досrн-га
ется при D--+-oo, если реализовать оптимальный прием в целом
всей цепочки -символов, переданных по каналу [ 1, ,8, 58, 130]. Это
при,ближает к условиям оптимального кодирования [ 146].
EcJDи корреляцией во времени 1пе.редавасмых символов ,и ад
щитивного шума в канале (па интервале Та) можно прене6речь 1 ,
1 Заметим, 1что в принципе при учете коррелнрованной во в~ремсни компо
ненты nоМ'ехи оптимальный прием и в о,днолучевом канале реализуется по ме
тоду ,приема «в целом». Однако, -когда интср;вал коррсляц!llи этой помехи на
МIИОГО меньше длительности элемента сиr;нала Т, поэлементный прне:м п:ражтн
чески не уступает iПриему в цело:м.
136
rro при D=Q и оптимальном поэлементном приеме доститае'l'Ся
помехоу,стойчивость, которая мало отличает,ся от предельно воз
можной [l, 8].
Оптимальный алгоритм поэлементного приема символов с фик
сированной задержкой ~,ад=DТ принятия решения можно за,пи
сать в виде
argmax[в;l;(z(t, r)/b;)], Л=[О, Ta]XR, T.=(D+l)T,
(3.27)
'
где z (t, r) = {z0 (t, r), z 1 (t, r), ... , Zп (t, r)} - анализ,ируемое коле
бание с элементом z,(t, r) на тактовом интервале Т, сдвинутом
на I тактов (1=0, 1, 2, ... , D) относител1,но первого анализируемо
го элемента.
Для выявления реализуемых оптимальных поэлементных байе
совских процедур принятия решения запишем (3.27) в виде
тQ+D
argmax{в;<Цz(I, r)/(Bm,eд, Ь,, Впосл)]>}=аrgmах{в,~ р(Ьk,пред,
i
i
k=I
Ь,,посл)!;[z(t, r)/(Ь;,пред, Ь,, Ь,,посл)},
(3.28)
где /;[ z (t, r) / (bk, пред, Ь;, ь., посл]
-
функция (нормированная)
правдоподобия передачи k-й (k= 1, 2, ... , тQ+n+ 1 ) цепочки симво
лов bk =,(bk пред, Ь;, Ь, посл) ( содержащей Q символов до анализи
руемого символа Ь;, •символ Ь; и D символов после Ь;); р (Ь, пред,
ь. посл) - априорная вероятность передачи символов k-й цепоч
ки, следующих до и после Ь,; суммирование (усреднение) ведется
по всевозможным сочетаниям этих символов. Рекуррентная проце
дура пр,иема, реализующая алгор·итм (3.28), рассмотрена в [!].
Исследованный там приемник назван оптимальным последователь
ным обнаружителем. Он требует взвешенного суммирования боль
шого числа функций правдоподобия t,[z(t, r)/b,], его реализация
осуществляется достаточно сложной нелинейной схемой и связана
с множеством затруднений [124).
При наличии гау·ссовского шумового поля можно записать ал
горитм приема (3.28) в виде
тQ+D
argmax[e; ~ р(Ь,пред, b1,пocл)exp{SJz(t, r)Иоп,(t, r).dldr-
t
k=1
1
- 2 SSи,(t, r),uaпi(t, r),dtdr}],
(3.29)
где и,(t, r)• -
принимаемое поле при передаче k-й цепочки сим
волов (Ь, пред, ь,, Ьkпосл), а Иопi(t, r),= Sf Ч'(t, t', r, r')u,(t',
r'),,dt'dr' -опорный -сигнал, соответствуюший u,(t, r),. Таким об
разом, в гауссовском случае нелинейная обра·ботка, реал.изую
щая алгоритм dптимального приема, требует взвешенного сумми
рования экспоненциалышх функций от корреляционных интегра
лов и знания энергетических отношений для всех вариантов це-
137
почек символов на интервале анализа Т• *). Если все цепочки пе
редаваемых символов равновероятны и е,=е, то алгоритм (3.29)
упрощается:
mQ+D
argmax[ ~ exp{S Sz(t, r)Uoпi(t, r),dtdr-
l
k=l
J
-
2 5Su,(t, r),uoп,(t, r),dtdr}],
(3.30)
но все еще -очень сложен для реализаци1и. При чисто белом шуме
тQ+D 12
в канале из (3.30) следует алгоритм arg m~x [ ,~ ехр \No
1
fJz(t, r)u,(t, r),dtdr- -SJu2,(t, r),dtdr}]. Под!черкнем, что pe-
No
ализация этого алгоритма требует знания ,спектральной плотности
шума No.
Поэлементный алгоритм приема (3.28) или (3.29) предус"ат
ривает вынесенше решения на основе сравнения усредненных нор
мированных функций правдоподо,бия 1, [z (t, r) / (Ь,)] с весами, про
порциональными априорным вероятностям ~передачи от;Де.1ьных
комбинаций цепочек си'dволов. Это соответствует ситуации, ког
да ,производится оценка параметра (здесь - номера дискретного
символа) в условиях некла,ссифицированной 'Выборки [78, 142].
Однако при вынесении решения о передаваемом символе на прие
ме при данном z (t, r) известны не только априорные, но и апос
териорные вероятности р (Ь, пред/z (1, r)) (вероятности правильного
приема цепочки ,символов ь, пред). Поэто'dу можно усовершенст-
1ювать алгоритм (3.28), и,спользуя в качестве весовых коэффици
ентов при образовании усредн-енной функции правдопюдо•бия
вместо априорных вероятностей передачи цепочек р(Ь• пред) их
ашостериорные вероятности р(Ь• поед/z(t, r)). Считая ошибки при
приеме цепочки -символов bk пред и передаче цепочек симво.1ов
Ьkпосл (следующмх после bi) независимыми событиями, запишем
новый алгоритм приема ,символов:
mQ+D
argmax{e, ~ р(Ьнпред/z(I, r))р(Ьkпосл)Х
i
k=I
Xl,[z(t, r)/(Ьkпред, ь,, ь.посл)]}.
(3.31)
*) Заметим, что некоторые авторы предлагают для каналов с межс,ю1во.1ь
ной: интерференцией прием по алrорИ"ЛМУ ,максимального праrвдопо,1,.обия, исхо
дя из допущс1шя, что анализи,руемая .на интервале Та смось z(t)=ui(t)+n~ {t)
сцдержит су,м•марный аддитивный шум nl. (t) =n(t)+gм,и(t), в:ключающий .в- се
бя как собсliвенный шум канала, так и «межсим·в,ольную помеху» gм.и (t). При
условии, что п1. (t) и ui(t) неза,висимы и расuрмеление n2; (t) извесrшо, ,кон
струируеТJСя приемное уст,ройств-о. Та,кой .подход, в частности, рас-сматривастся
в [90].
О,дна:ко СИJ'нал gм.и(t) в общем случае коррелирован с щ(t), ,и поэтому
упомянутый подХ(Щ не -может прстеадовать на аппrмальную обра,бот,ку в кана
лах с межси.м,вольной кнтерференцией. К сожалению, отсуТС'Гвует ана:1-из по
терь пом·ехоу.стойчивости при уrпомянутой обра,богке сиnнала по сраrвнению с
оптималь~ным п,ри~мом по алгоритму (3.29),
138
Алгоритм (3.31) соответствует случаю оценки параметра в ус
ловиях, коГ1да вы барка клаосифицирована 1, но, возможно, с ошиб
ками (неидеальная обратная связь по решению) [58, 78, 142). Не
обходимость учета в качестве весовых коэффиu,иентов а,постери
орных вероятностей p(bhпpeд/z(t, r)) (вероятностей п.равильного
приема символов, предшествующих анализируемому), меняющих
ся, вообще говоря, ·с течением времени, усложняет реализацию
алгоритма ,(3.31).
Однако в условиях достаточно на,дежной связ.и ( которые и
должны быть обеспечены в современных системах переда~
чи дискретных сообщений) можно ·считать, что символы,
зафиксированные до анализируемого, действительно ·переданы,
т. е. вероятность р(Ь>пред/z(t, r)) равна единице для одной опре
деленной ком~бинации сиМ'волов Ь11. пред и нулю для в·сех остальных
'ВОЗМОЖНЫХ ком1бинаций.
В этих условиях алгоритм (3.31) принимает вид
mD
.
argmax{e, ~ p(bhnocл)l;[z(f, r)/(Ь>пред, Ь,, Ь1,посл)]},
i
k=l
(3.32)
где bk пред - 1пос.i:Iедов·ательность ,символов, за1фик.сировапная при
емником до анализируемой (которые адесь 1и•грают роль оценок
дискретных параметров).
Если обозначить сигнал, о-бусловленный на интервале анали
за анализируемого информационного символа, цепочкой пред-
ше.ствова,вших оимволов ь. пред через g00т (t, r) («хвост» предшест
вующих посылок), то алгоритм (3.32) можно за,шrсать так:
mD
.argmax{e, ~ p(bhпocл)l,[z(I, r)-gocт(t, r)/(b,, bkпoc,r)]}.
i
k=1
(3.33)
При е, = в н равной априорной вероятности передачи различных
цепочек кодовых символов ( случай наиболее интересный в систе
мах передачи данных) алгоритмы (3.28) и (3.33) можно соответ
ственно записать так:
тQ+D
argmax{ ~ 1,[z(I, r)/(Ьkпр,д, Ь,, Ьппосл)]}
J.
k=J
mD
и argmax{~ 1,[z(I, r)-gocт(I, r)/(b,, Ь•посл)]}.
l k=1
(3.34)
Подчеркнем, что алгоритмы (3.32), (3.33) или (3.34) соответ
ствуют ситуации, при которой производит,ся оценка ди1скретного
параметра в условиях, когда анал,изируемая выборка клаосифи
цирована абсмютно надежно (идеальная обратная связь по ре
шению· [ 58)).
1
Отнооительн•о символов, п,редше.ствующих анзлизи,руемому.
2 Заметим, что вопреки утверждению, содержаще"Муся в L12}, о том, что
обратная связь по решению для борьбы с межсимвольной интерференцией: бы
Jiа вnервые предложена Остином, этот метод значите;1ьно раньше рассматри
вался в [50].
139
Алгоритм ,(3.34) реализуется предельно просто, если положить.
D=O, т. е. анализ во времени очередного ,символа ве-сти на ин
тервале Та=Т, что ведет естественно .к учету только части энер
ги,и си,гнала. В этом ,случае из (3.34) ,следует алгоритм приема
arg max{l,[z(t, r)-gocт(t, r)/Ь,]}.
(3.35)
'
Для гауссовского шума из (3.35) следует алгоритм приема
argm_ax{f fJJ[z(t, r)-gocт(t, r)]Ч'(I, t', r, r')g,0 (1', r')dtdrdt'dr'-
'
1
-
2 5SSSgiO(t, r)Ч'(t, t',r, r')g,0 (t', r')dtdrdt'dr'},
(3.36)
где g,т(t-mT, r), m=O, 1, ... , Q-т-й элемент длительностью Т
реакции канала ui (t, r) на элементарный передаваемый сигнал
s,(1). В случае белого гауссовского шума алгоритм (3.36) прини
мает вид
1
argm~x{SS[z(I, r)-gocт(t, r)]g,o(t, r)dtdr-
2
JSg',,(t, r)dtdr},
т. е. становится инвариантным к характери,стике шума (спект•
ральной плотности N0 ). Этот алгоритм в форме чисто 1с>ременнбй
обра,ботки реализован в одном из вариантов системы СИИП (50,
58]. Будем алгоритм (3.36) в дальнейшем называть алгор,1пмом
простейшего варианта ССИП.
На рис. 3.3 показана принципиальная схема реализации алго
ритма (3.36) на основе корреляционной техники'. В блоках БИ и
,---,_~СТУ
ос
L.__.J--пc ОСР
г------------------- -,
1 gucr(t,rJ gonLaft,r)
шr: и
[
1
1
<n
1
~1
~1
m-1
1
zl~rl i
i
L _________ Рб
___________ _J
Рис. 3.3
БФ формируются необхощимые опорные сигналы gocтU, r),
gоп ,о (t, r) = JJ Ч' (1, t', r, r') g;o (t', r') dt'dr'; опорные уровни "'' =
= +н g,,(t, r)goпio(t, r)dtdr и сигналы синхронизации. Важней
шая особенность -схемы - наличие обратной ~связи по -решению
1 Гlра.ктиче~ски в канале с мсжсимв,олыюй
интерференцией оптю1алы1ый
прием чаще в-сего реализуется с и-с.пользованием квадратурного ра-сщепмтеля
и раздельной об:ра6от,ки низкочастотных квадратурных компонент сигнала в
дискретном времени [58].
140
'
(ОСР). При изучени,и канала посредством зондирующих посылок
(по классифицированной выборке) ключ Кл поочере,дно ,подает
входной сигна.1 то на блок БИ, то на РБ. Существует воз,юж
ность (за счет использования ОСР) изучать канал (для образо
вания неGбходюшх для работы РБ опорных ·сигналов) и по рабо
чим -посылкам [58] (по некласс,ифицированной ·выборке). В этом
~случае ключ не требу~тся.
Представляет н0сомненный практический интере,с поиск при
емных устройств (,прежде всего линейного типа), обеспечиваю
щих помехоустойчивость, ,близкую к той, которая возможна при
реализаци1и алгоритмов оптимального поэ:1ементного приема
(3.28) и (3.33).
Рассмотрим этот вопрос применительно к каналу с аддитивным
гауссовским шумом. В этом случае алгоритм (3.28) можно запи
сать в виде
тQ+D
argmax{e, ~ р(Ьkпр,а, b1,пoca)exp{f5S_[z(I, r)Ч'(I, t', r, r')X
i
k=I
Х [и;(t', r') +g,,.и(t', r')•J dtdrdt'dr'-+SJJS[и,(t, г) +g"и(f, r)•J Х
ХЧ'(t, t', r, r') [u,(t', r') +g"и(I', r'),]dtdrdt'dr'}},
(3.37)
где gм.и (t, r) 1i - сиrна.1"[, обусловленный k-й цепочкой символов,
следующих до и после анализируемого, т. е. межсимвольной ин
терференцией.
Если параметры канала постоянны на интервале времени про
тяженностью ( Q + D + 1) Т, то можно записать
Q
g"и(t, r)•=gocт(f, r),+gca(I, r),= ~ u,,(t+lT, r)+
l=I
D
+ ~ u,m(t-mT, r).
(3.38)
m=I
В (3.38) первая су\lма определяет на интервале анализа ос
таточное ко.1ебание от предшествующих пGсылок gост (t, r)k
(«хвосты»), в то вре'1я как вторая сумма опреде.'1яет сигнал,
обусловленный посьи1ками, следующими за ана:шзируемой gr;;r (t,
r), («носы»).
Число реализац,ий сигнала gм_.,(t, г) 1, по информационному па
раметру равно тQ<D.
Для класса сигналов, удов~1етворяющих ус.1овию ортогона.1ь~
ности и,(t, r) и gмиU, г), т. е. [с учето'1 (3.38)] усло•вию 1
SSS3и,(t, r)ЧГ(t, t', r, r')ui(t'±IT, r')dtdrdt'dr'=O,
i,j=O,1, ..., m-1; l=1,2, ...
(3.39)
что эквивалентно равенству нулю корреляционных и взаимокорре-
1
Условие (3.39) можно назвать «условие,~ подавления межсимвольной по-
мехи».
141
ляционных функций принимаемых сигналов в сечениях, кратных Т,
алгоритм (3.37) принимает из,вестиый вид:
1
argmfx[JJz(I, r)u00 ,(I, r)dldr-
2 SJu,(I, r)иоп,(1, r)dldr+lпв,];
(3.40)
Uoп;(t, r) = JJ'l'(I, t', r, r')u,(t', r')dt'dr'
и реализуется рассмотренной в § 2.1 .1и11ейной схемой.
К. сожалению, при произвольной ои,стемной характеристике ка
нала трудно найти ограничения на ансамбль канальных сигналов
s, (1), при которых удовлетворялись бы условия (3.39). В случае
дискретной многолуqевости канала «условию по,давления меж1сим
вольнuй ПО;\,fе:юи» удовлетворяют сигналы с большой базой, для
которых выполняют1ся требования «узости» корре~1яционных и
взаимокорреляционных функций.
Заметим, что при аопользовании таких ,сигналов реализация
оптимального ал-горитма (3.40) отнюдь не требует специальной
обработки с целью рцделения лучей и последующего синфазно
го •сложен1ия (как это сделано, например, в широко известной СИ'С
теме «Рей к» [ 177]). Достаточно располагать лишь копией сум
марной (по всем лучам) реакции канала и, (1, r) на элементар
ный сигнал той или ин-ой позиции.
Однако интересны прежде в1сего ,возможности ~,инейного пр1ие
ма в каналах -с ра;ссеянием при использовании сигналов с малой
базой. Для этого рассмотрим алгоритм поэ.1ементноrо приема,
реа.лвующий обо-бщенный алгоритм макоималыrого правдС1подо
бия при анализе элемента сигнала на интервале Т,= (D+ l)T, и
покажем в дальнейшем, что в области больших отношений сиг
нал/шум он несущественно уступает по помехоустойчивости опти
мальному байесовскому алгоритму.
3.3. Обобще,шый алгоритм максимального правдоподобия
в канале с межсимвольной интерференцией
при точно известном сигнале
Считая цепочки символов bk пред, bk посл дискретными ,сопро
вож:~ающими параметрами, на основе (3.27) можно построить
обобщенный алгоритм максимального правдоподобия, соответп
вующий ( 1.90):
агg max ( max [,;/; (z(I, r)/b,, пр,д, Ъ,, Ь, пос.,)];.
i
bk !!Ред, bk посл
(3.41)
где внутренний мак,симум· определяется по всем возможным tВа
риантам указанных цепочек.
Алгоритм (3.41) можно за,rшсать в эквивалентном виде:
arg шax[e,1,(z(I. r)/b,)].
(3.42)
i blt
1'еп,1изация алгоритма (3.41) или (3.42) сводится к нахождению
142
на иитервале аиал,иза [О, (D+ 1), Т] цепочки симво,10в Ь,, макси•
мизирующей функцию правдоподобия, и выбору в качепве ре
шения ,позиции (номер i) первого э-1емента этой цепочки. Рас
смотренный алгоритм бу,дем именовать алгоритмом приема в це
лом с поэлементным прннятием решения [58].
При приеме на фоне гауссовской помехи этот алгоритм можно
записать в виде
argmax[e;exp{5 Sz(t, r)иoui(t, r).dtdr-
,..
]
-
2 Sfи,(1, r).иоп;(/, r),,dtdr}].
(3.43)
Для реализации алгоритма (3.43) в принципе пригодна структур·
ная схема приема в целом, изображенная на рис. 3.1, с тем лишь
отличием, что на интервале анализа принимае11ся решение только
об одном (первом) элементе сигнала.
При наличии обратной связи по решению анаювируемый обоб
щенный алгоритм максимальною правдоподобия (3.41) принимает
вид
argmaxfmax[e;l;(z(I, r)-gocт(I, r)(b;, Ьппосл)Jj-
(3.44)
l \bk нос.л
Если 1 при реализации алгоритма приема в це.7'Jом с -поэJ1е}IСНт•
ным принятием решення (3.44) используется ,и,:1 □ ытате,1ьный им
пульс для зондирования канала, будем говорить о системе СИИП
,с приемом в целом и поэ,1ементным принятием решения [58].
Для канала с гауссовским шумом алгоритм (3.44) можно за
писать в виде
argmfx{mfx[ffSJ[z(I, r)-gocт(I, r)]'l'(I, 1', r, r')X
D
l
D
Х [ .:S и,, (t'-IT, r')] ,dtdrdt'dr'--S SSS[ .:S и" (1-/Т, r)] • Х
l=O
2
/=()
D
X'l'(I, 1', r, r') [ .:S u"(t'-IT,r')]•dtdrdl'dr']}.
l=O
(3.45)
Если шум, кроме того, белый, то алгоритм (3.45) инвариантен к
его характеристикам и принимает вид
D
argmaxmax{JJ[z(I, r)-gocт(I, r)-[ .:S u,,(t-lT, r)],] 2dldr}.
i
k
l=I
(3.46)
Структурная схема упройства, реализующего алгоритм (3.46)
при обработке сигна,1а в дискретном времени [58] в одной точке
'Пространства, приведена на рис. 3.4 . С отводов лилиJJ задержки
ЛЗ на время DT снимаются отсчеты ,сигнала, взятые с соответ
'Ствующим ,интервалом :1.искретизации [ 139]. Для интегрирования
во времени используется сумматор с•.
143
ЧИ'Сло парал.1ельных ,ветвей обработки (вариантов перс,бора)
в схеме рис. 3.4 равно тD-1 I и быстро растет с уве.1иченисм D.
Так, при m=2, D=7 -получаем тп+ 1 =2'56. Поэтому при реализа
ции алгоритмов поэ,1ементноrо ,приема в каналах с памятью,
как и при приеме в целом, весьма актуальными являются методы,
zftJ
Рис, 3.4
г-.--сту
'--~-Я~
~---~OC~P------jJY
г-----------------------
1
,
'1
1 gac/tl
Cfoиaft-m]k
1
1
1
1
1
"'1
:::; 1
1
1
1
mD-1
1
1
1
L __________ y_o: ___________ J
позволяющие ,сократить число операций, выполняе"1ЫХ в ре-шаю
щем блоке. Некоторые из таких методов рассмотрены выше (ана
логовая дем:одуляuия с ди1Скретизац.ией решения и методы уко
роченного пере1бора).
Как видно из рассмотренных выше ,схем реализации алгорит
мов оптимального -поэлементного приема, в каналах с межсим
во.1ьной интерфс.ренцией они на1и·более просто реализуются в тех
случаях, когда анализ принимаемого сигнала осуществляет,ся на
тактовом интервале Та= Т и и1спо.1ьзует,ся обратная ,связь по ре
шенню (что соотве"Гствует простейшему варианту приемника
(;ИИП). Потеря части ,энерr,ии ,принимаемого сигнала [ на вре
менн6м интервале T<t~ (Q+l) Т] является ,платой за эту про
•стоту.
Вс.'ш бы в рассматриваемой .схе-ме интервал анализа был
,ст.рога привязан к началу ре-акции кана~н:1 на ана:шзирусмый эле
мент канае1ьного сигна,1а и,(t, г), o,:;;t,:;;(Q+I)T (к лучу, дости-
1гающему приемного устройства кратчайш;ИМ путем), то помехо
устойчивость приема существенно менялась ·бы при из\.1енении ин
тенсивности этого луча. Во из1бежание этого врсменнбй интервал
анализа целесообразно выбрать (внутри обшего интервала [О,
(D + 1) Т]) таким образом, чтобы минимизировалась вероятность
ош11-боч.ного прие:~Аа. А.:1rорит:'.t приi.:'ма с такого рода антовыбором,
в отличие от (3.36), предетавим в виде
l
t0+T t0+T
argm_ax J ,\ 5 .\ [z(I, r)-g'»cт(I, r)]Ч'(t, /', r, r')g',o(I', r')x
t
toR.foR
1 t0+T fo+T
}
х dtdrdt'dr'-т 5 s 5 Sg',o(t, r)Ч'(t, t', r, r')g',o(I', r')dtdrdt'dr' .
t,Rt,R
(3.47)
144
причем начальный момент интервала обработки Та=Т выбира
е11ея так, чтобы минимизировалась вероятность ошwбки. В (3.47)
g',0 (1, r) - элемент длительности Т реакции канала на i-ю пози
цию, который в принципе может не -совпадать ня с одн1им из эле
ментов g;h (1, r), введенных выше, ибо момент его начала (опре
деляемый 10) может быть не кратным Т. Аналогично и предска
зуемый «хвост» предшествующих посылок g'ост (1, r) не тожде,ст
'Вен предсказуемому «хвосту» gост (1, r) в (3.36), образованному
из э"1ементов, определенных на интер 1валах времени, кратных Т.
Помехоустойчивость приема по алгоритму (3.36) определяется
энергией первого элемента полной реакции канала на сигнал за
данной позиции gi0 (t, r). Остальные элементы gik(t, r), k= 1, 2,
3, ... , Q, образуют предсказуемую часть ситнала gост (1, r) и вы
читаю11ся как помеха. Элемент g 10 (t, r) лwбо состоит из сигнала
одного первого луча, либо включает в себя и -отрезки сигналов,
прошедш,их по более 11ротяженным путям. При независимых за~
мираниях ,сигналов отдельных лучей в первом случае вероятность
ошибки оказывается такой .же, как и в .системах с однолучевым
•приемом, а во втором случае ча:стично -сказывается эффект разне
сения по лучам, повышающий ~достоверность приема (см. гл. 4).
J-::сли, сщнако, непрерывно контролировать характерип,ики кана
ла, то в мом,енты, когда энергия элемента g 10 (1, r) падает до ве
личины, снижающей мгновенную верность приема, можно органи
зовать перестройку приемника: выбрать в качестве опорного сле
дующий элемент (gil (t, r)) и сместить начало отсчета времени на
вел,ичину Т. Если энергия g·, 1 (t, r) также снижена, то начало от
~счета смещаеТ~ся еще на Т и т. д. Получается своеО1бразный авто
;вы,бор по элементам. Чтобы сохранить прежний ритм выдачи вы
ходных сигналов, можно ввести переменную задержку входного
,сигна.1а. В ,принципе устройство автовыбора можно ра-ссматри-
1вать как часть -системы тактовой синхронизаuи1и, осу1цествляю
щей оперативное с.1ежсние за временем прихода мощного J1уча
на основе известных свойств канала [58].
0:-rтимальные после.:~:.овательные модемы ·реализованы в на-
стоящее время в различных вариантах, в число которых входит
и несколько образцов модемов т,ипа СИИП, предназначенных для
работы на радиотрассах дскаметрового диапазона в пол-осе кана•
ла тональной частоты со скоростями передачи информации 1200
и 2400 бит/с. В этих модемах используются двоичные противопо
ложные -сигналы с общ.и\.'\и скоростями манипуляции ,еоответст
,венно 1600 и 3200 бит/с (400 и 800 бит тратится на зондирование
кана,1а, что соответствует коэффициенту замедления v=O,75)
[43, 58, 168].
В скоростных каналах передачи данных с межсимвольной ин
терференцией 1и малыми шумами широко внедрены так называе·
мые адаптивные линейные компенсаторы (корректоры).
Комшенсация переходного процесса в канале с паrстоянными
ттара1~етра:ми «на ча,стотном языке» сводит-ся к после1довательно
му вклюqению с каналом корректирующего звена <: передаточной
145
функцией Йнор (f, r), обратной передаточной функции канала й (f,
r) •>:
fi•
0
P(f, r)=l/H(f, r).
(3.48)
Пр,и изменении 'Параметров канала во времени корректор и.1и
компенсатор (3.48) должен строиться как адаптивный (по~страи
ваемый).
Проблема построения ада1птивных компенсаторов нашла эф
фективное инженерное решение на временной основе [12, 28, 37,
47, 49, 77, 102, 118, 162, 165, 166, 167, 168, 181 и др.).
Основны,е трудности, связанные с построением таких ком•пе,н
саторов, заключаются в том, что невозможно полностью прене
бречь аддитивным шумом в канале, поэтому при •проектировании
компенсаторов прихо-дится искать компромисс между степенью
компенсаци·и переходного процесса в канал,е и фильтрации шума.
Различлые авторы пользуются различными критериями опти
мальности при построении компен,саторов [ 12).
Большое распространение получили компенсаторы, построен
ные на основе линии задержки с :множеством отводов. Снимаемые
с них сигналы подвергаются взвешенному .суммированию (транс
версальные ,фильтры) [12, 37, 77). Адаптив,ные линейные компен
саторы часто строятся на о,снове .1иний задержки с обратной
связью - рециркуляторов. С применением линейных адаптив
ных компенсаторов построен ряд пос.педовательных
систем
передачи дискретных сообщений как для проводных, так и
радиоканалов [ 12, 37, 77, 118). Хотя 'При использовании
шести-позиционного кода они обеспечивают передачу ,со ·ско
ростью до 9600 ,бит/с в полосе стандартного канала тона.1ь
ной частоты, помехоустойчивость их ниже предельно воз
можной. Это о-бъясняегся тем, что в каналах ,со .случайными
шумами в0>сстановление формы передаваемых ситналов (идС"аль
ная коррекция характеристик канала) не обеопечивает еще м.ини
мизации числа ошwбочных решений приемника 1 .
Эту мысль можно подт'верднть простым ,примером. Пусть на
некотором интервале времени импу.Тfьсный отклик канала, изме
ренный после стробирования, сосредоточен в двух отсчетах проти
воположного ,3нака .равной интенсивности (дискретная мн-ого~Тfу
чевость +1, -1). Соответствуюшая ему передаточная характе
ристика канала содержит нули на частотах, кратных величине,
обратной временн6му -сдвигу между э11ими отсчетами. Линейный
выравниватель, ,стремясь дополнить характеристику канала до
идеа"1ьной, будет стремиться о,беспечить на этих ча,стотах бс:ско
нечно •бош,шой коэффициент усиления. Шум, поступающий на
*) Корректор ПВ канала моЖ1Но та,кже описать с помощью -спектральных
характ(;)рWС1'1иК канала по п,ространственны:м и вре:меннЫ:м частота1м, а также
других оистс·м,ных ха:ра1кп·фисти,к канала [59].
1 В канале с шумом любой .корректор осуществляет необратимое преобра
зование входного сигнала, ЧТ·О, естост.венно, ведет к потере nолезной илфор:lfа•
ции [146].
146
вход выравнивателя, бу,дет уоилеи ,во столько же раз. Это приво
дит к характерным флуктуациям на выходе выравнивателя, пред
ставляющим собой «звон» гребенчатого фильтра при -приближе
нии к бесконечнасти ,пикав его частотной характери,стюои. Подоб
ных частных :примеров, характеризующихся ростом шумов, мож
но привести много.
Совершенно очевидно, что предельную ·помехоустойчивость в
каналах с межсимвольной интерфере,щией и шумами при поэле
ментном приеме можно обеспечить лишь на основе построения оп
·ги:мальных приемников, осуществляющих анализ 1 принимаемоrо
колебания на временном интервале, не меньшем nамят1и хана~1а.
При этом приходится жертвовать линейностью получающегося
1приемного устройства. Энергетичесюий выигрыш оптимального
лриема в каналах пониженного качества (например, проводных
каналах с коммутацией, каналах радиосвязи и др.) по сравнению
с корректором может '6ыть ве·сьма сушктвен [ 1, 8, 43],
Выше '6ыло обрашсно внимание на важную роль, которую иг
.рает обратная ,свя'Зь по решению при посrроен1ии оптимальных
1поэ"1ементных приемников в каналах ,с меж~сим1вольной интерфе
ренцией. Обратная свявь по решению в последнее время привле
кает широкое внимание специалистов [ 12] как метсщ ком·пен-са
ци,и ·перехоs11ного процес,са в канале и при построении различных
неоптима.льных .схем приема в каналах •С меж,символьной интер
ференцией. В частнО'сти, рассматривались различные схемы с об
,ратной связью по решению, осуществляющие поэлементный при
ем на основе анализа одного временного отсчета сигнала [12, 84].
Так,ие аыоритмы приема ,строятся чаще всего по критериям ми
ни~ума ди-опер;сии шума при полном устранении сигнала межсим
~вольной интерференции ,или миН1имума среднеквадратическоrо
значения ,суммы сигнала межсимвольной интерференции и шума
в отсчетных ТО4.'Ках. Среди них 1интер-е~ iП,редста:вляет линейный
отсчетно-о,беляюший согла,совашсый .ф11.1ьтр [ 149], который при
подаче входного колебания ( сигнал+шум) выдает последователь-
1юсть отсчетов, -определяющих достаточную ,статистику относи
тельно переданных символов. При этом шумовые составляющие
,отсчетных значений оказываются незаВ~исимым·и с.лучайными .ве
личинами. Обработка полученных отсчетов в решаюшем блоке с
использованием ОСР обеспечивает при некоторых условиях поме
хоустойчивость, близкую к потенциальной [ 149] .
.З.4. Алгоритм оптимального поэлементного приема
при неопределенной фазе лучей
(учет внутрисимвольной интерференции)
Ра-есмотрим оптимальные алгоритмы поэлементного приема u
много.1учевых каналах -с неопределенными фазами сигналов дл~
случая, когда межсимвольной интерференцией можно пренебречь
(например, для параллельных •систем связ,и), При известном точ
но сигнале и пренебрежении мсжсимвольной интерференцией нор-
147
мированный функционал правдоподобия передачи i-то символа на
анализируемом временном интервале T0 =,(D+l) Т определяется
в N-лучевом канале форму.1ой
l,=exp(q;-h2;),
N
где q,= ~ 1'• (Х,, cos 'Рн + У,, sin <рп);
k=l
lNN
-
h2,= -~
~ Ун'\',[ е,;он, cos (q,,-q,,) + е;;он, sin (<р,-<рн)];
2 k=1 r=l
X;н=Sfz(t, r)uonioн(f, r)dtdr; Y,,=ffz(t, r)йопiон(t, r)dtdr;
Uoпiok(t, r)=f JЧ'(t, t', r, r')и,,.(t', r')dt'dr'; и,,.(t, r)=
= s,(1-т•)е-;Ф('· '·
0•)
-
сшгпал k-ro луча с нулевой начальной фазой;
(3.49)
(3.50)
(3.51)
е,ю,,= JJU,Qk (1, r) Иоп ,о, (t, r) dtdr; ;,,,.,= JJи,,. (t, r) йоп ,о, (1, r) dtdr.
Далее рас-смотрим важный для практики случай, когда обеспе
чена синфазность сигналов отдельных лучей (когерентное сложе
ние) (4, 128, 134], (J)•=q, 0 •
lNN
Тогда 1,=exp{X;,:COS(J)o+Y,,:sin<po-- ~
~ 1'•1',Eiiok,}, (3.52)
2 k=l r=I
где Х,,:= Jf z(t, r)uoпi,(I, r)dtdr; У,,:= )Sz(t, r)Йопi,;(1, r)dtdr;
N
N
Иопiх(1, r) = ~У>ИопiOk(t, r); йоп,~ (1, r)= ~1'•11опiOk(1, r).
k=l
k=I
Полагая фазу q, 0 равномерно распределенной на интервале
[-:rt; л] и выполняя усреднение (3.52) по q, 0 , получаем нормиро
ванную функцию правдоподобия i-й гипотезы прн неопределенной
фазе
{
JNN
)
1,=ехр --~
2:: 1'•1',EiiOk, Io(V,,:)
2 k=I r=l
и алгоритм оптимального приема
1NN
argmax{Inlo(V,,:)--~
2:: Y•Y,-e,,,.,+Ine;},
i
2 k=--,I r=-1
где V; ,= VX 2 ,,,+ Y';z,
Для систе~ с активной паузой с сигнала.:v,:и, удовлетворяющими
условию тождественности корреляционных функций (EiiOhr= eok1·),
алгоритм nр-иема при ei = е принимает вид
argmax(V,~).
(3.53)
i
Обратим внимание на то, что :в много.,учевом канале (в от1,1и
чие от однолучевого) аJiгоритм оптимального приема даже для
148
систем с активной паузой чув-ствителен к значениям амплитуд лу
чей У• [ см. (3.50) и (3.51)]. Только n)'и ра,венстве этих амплитуд
алгоритм инвариантен к их значению.
А.,1горитм о;~тимального приема, его реализация и нахож!дение
вероятности ошибюи существенно упрощаются и не требуют сов
местной обработки .1учей при выполнении условия их разделения
E;jo,,=;,;o,,=0, V i, j, k-+r.
(3.54)
Это условие, в частности, выполняется для ,систем сигналов с
большой базой. Условие разделения лучей (3.54) для многолуче
вой модели сигнала (1.18) при плоской волне и факторизуемоir
обратной корреляционной функции помехи выполняется при усло
вии
которое при заданных направлениях прихода лучей может быть.
удов.1етворено соответствующим выбором области пространствен
ной обработки по.1я.
Для ~,игналов •С разделяющимися лучами на рис. 3.5 показана
реализация алгорит.11а (3.53) корреляционными метос1ами с ис
пользованием ~1инии задержки (ЛЗ) 1 , имеющей N отводов, на ко-
торых выделяются сигна-
.-- 1-- -cry
лы отдельных лучей. Бло·
L__,-► ~f
кн коррекции амплитуд
и фаз лучей БК:ЛФ (уп·
равляемые
сигналами
БФ) обеспечивают син
фазность всех лучей и
коррекцию по амп~1итуде
(множитель у,). Решаю
щий блок построен по
квадратурной схеме. Ал
горитм (3.53), соrласио
которому осуществляют
ся линейное (когерент
ное) сложение лучей и не
когерентное детектирова
ние, впервые реализован
при чисто временн6й об
работке и белом шуме в
системе Рсйк [ 177]2.
Рнс. 3.5
1
Сум1.\1арнос время задержки равно "t"таж, I(orдa луч с минимальным за-
паздыванне:м ,достJirает конца линии, 1к ее началу постуласт сигнал луча с мак~
симаJ1ышм залаздываписм.
2 Некоr(>рентное детектирование в системе Рейк осуществлено не по квад-
рату,рной схеме, а методом гетеродинирования (см. (128]).
149·
Так как взаимные заtдержки лучей -r ( а также их число) ме
пяют,ся ,со временем, то в оптимальном приемнике ·по схеме ри~с.
З.5 места подключения отводов линии приходится менять, что су
щественно затрудняет практическую реализацию схемы. Интерес
ное решение предложили разработчики -системы «Рейк» [ 177],
предназначенной для передачи дис·кретных l!Сообшений по каналам
:Цекаметрового диапазона с применением сложных сигналов. В
этой системе сигнал z(I) постоянно снимается со нсех отводов ли
нии, задержка между которыми соста•вляет 1/F (F - ~полоса час
тот ,сигнала) 1. Однако ,блоки БКАФ имеют иенулевые коэффици
,енты передачи л.иwь в тех отводах, в которых блоки измерения
БИ обнаружили полезный сигнал.
:З.5. Алгоритм оптимального поэлементного приема
,при неселективных общих гауссовских замираниях лучей
(учет внутрисимвольиой интерференции)
Ограничим-ся анализом двухлучевого канала ·прн использова
нии -сигналов, удовлетворяющих условию вно1~т=О. В этом слу
чае, введя в рассмотрение квадратуриые компоненты х,=
=v,cos '1'•; Y•=v•sin '1'•; k=I, 2, запишем (3.49) в виде
1
1
. /,= ехр {Х"х 1 +Х"х2+ У;,у, + Y,2Y2-2"'•eiio11-2
v',eiio22-
-X1X2ei1012-Y1Y2EнoJ2}.
(3.55)
Если еигналы лучей и их квадратурные компоненты независи
-мы, то ·их ,совместная плотность
(у, - mu,)' \
2а'у, J•
(3.56)
После усреднения (3.55) с учетом (3.56) для усредненной нор
·мированной функции правдоподобия получаем выражение
1 Лучи с меньшей задержкой .разделить нельзя.
j;50
Алгоритм оптимального приема
записать в виде
в двухлучевом канале МОЖН(})
arg max{82,, +82,, +82з; +82,,-о,,},
i
1
тх1 )
( Х11+-,- ах1
где0.-
_, -·
ах1
•
н- Jf2 (! + 2h2xli) '
+_I_]п( 1+2h'
--
(2h'x,;,_,)' б'х) +
2\
x
2
i
1+ 2h2x1i
+-1
- In(I +2h2 ,.-< 2h'y,;.,)'б'u)-1nв-.
2
y_i
l + 2h2yli
1
•
(3.57),
Для систем с активной паузой при использовании алгоритма:
максимального правдоподобия пороговый уровень (1)-i не зависит
от i, и Е этом случае в алгоритме (3.57) его можно опустить. От
метим, что реализация алго,ритма (3.57) в общем случае требует·
совместной обра,ботки обоих лучей.
151,
При выполнении условия разделения лучей (3.54) сам алго
ритм и нахождение его вероятност,и оши,бки ,существенно упро
щаются и не требуют •совместной обработки сигналов лучей. При
,;но 12 =0 (i=O, 1) также исключается совместная обработка сиг
налов обоих лучей и (3.57) ,сводится к алгоритму, который будет
:подробно анализироваться (пр.и произвольном N) в гл. 4 в рам
ках общей теории ра:знесенното приема временных сигналов.
- 3.6 . Оценка энергетического проигрыша аналогового демодулятора
-с дискретизацией решения по сравнению с оптимальным
..алгоритмом приема в целом
В § 3.1 был ра,ссмотрен алгоритм •приема в целом с аналого
твой демодуляцией и дискретизацией ·решения в каналах ,с меж
символьной .интерференцией, в ,соответствии -с которым осуществ-
ляется выбор вектора параметров а, в вещественном (непрерыв
ном) простран,стве ям, а затем их дискретное приближение по
знакам выбранных элементов.
Представляет несомненный интерес оценить энергетический
проигрыш этого алгоритма по •сравнению с оптимальным [63].
·Определение полной вероятност~и ошибки при приеме как по алго
ритму (3.13), так и •по оптимальному алгоритму (3.7) вследствие
многоальтернативноrо характера задачи различения в аналитиче·
--ском виде затруднительно. Однако неравенство Буля позволяет
получить верхнюю ,щенку указанной вероятности p,s:; (2м
-1) Р2 тах, где Р2 тах - макоимальная вероятность оши1бки при
различении некоторых двух комбинаций Ь 1 , Ь2 из nx обш,е~го числа
QM_ Таким образом, при анализе сравнительной помехоустойчиво
,стп двух рассматриваемых алтор,итмов можно ограничиться сопо
ставлением характеризующих каждый из них вероятностей оши
бочного приема ком·бинации Ь 2 при передаче некоторой комбина
,ци,и Ь1. Нетрудно 'Показать, что ,для оптима,11,ного а,1горитма (3.7)
1
эта вероятность
р2=Р(Ь,/Ь1) = ~ -[ 1-Ф ( +V (Ь,-Ь1)ТЕ(Ь,-Ь1)) ].
в то -время как алгоритм аналоговой демодуляции с дискретиза
цией решения в форме (3.8) характеризуется вероятност1,ю пере
хода
р',=р(Ь,/Ь,)=-' [1--Ф(-'- (Ь,-Ь,)r(Ь,-Ь,) )]·
2
2 уrь,- ь,J'в-1(Ь,- ь,J
.
Энергетический 11ро-игрыш алгоритма а11а.1оговой де:v1одуляции с
дискретизацией решения 1по сравнению ,с оптимальным ri =
=х(Е)х(Е- 1 ), где
·х(Е)= (Ь, - ь,)'Е(Ь,
-
Ь,)
(Ь, - Ь,)т (Ь,
-
Ь1)
:х(Е-')= (Ь, - Ь,)тв-
1
(Ь, - Ь,)
(Ь2- Ь1{\Ь,- Ь1)
.152
-
отношения •Рэлея для матриц Е и Е- 1 . Известные границы дл,r
отношения Рэлея и неравенство Канторовича [85] приводят к:
•Оценке 1 ~f)~,ЛmaxlЛmin, где Лтах, Лmin - ,соответ,ственно макси
мальное и минимальное собственные числа матрицы Е. Отноше
ние Лтахfлт1п характер,изует так называемую обусловленность
матрицы Е [ 125].
В случае стационарной аддитивной помехи на достаточно,
большом интервале анализа во времени Та из (3.10) -следует
еоо=е 11 = ... =ем-,. м-1=2h2 , и если норма недиагональной час
ти корреляционной матр,ицы сигналов, характеризующая уровень
межси:v~вольной интерференции,
М-1
IIEндll ~шах~ l•иl <2h2,
l 1=0
l=#
то в силу неравенства Гt,ршгорина (85] справедлива более прос
тая (но грубая) оценка сверху
2h'+11ЕН,Д11
113⁄4 2h'- 1Е-1-•
1н.д1
В табл. 3.1 дана зависимость верхней оценки выигрыша:
'lmax= 10 lg 1+ л от отношения Л= 11 'н-д ll
1-Л
W
Таблица 3.t
д
0,01
О,1
0,5
0,8
0,9
Чтах, дБ
0,0868
0,8716
4,772
9,М
12,788
И!з та1бли.цы можно .сделать вывод, что пр,и сравнительно сла
бой межсимвольной интерференции, характерной для передачи с
низкими удельными скоростями (например, 1200 бит/с в полосе
'Канала тональной частоты), замена оптимального различения ал
горитмом аналоговой демО1дуляции с щиск,ретизацией решения
-вполне приемлема и приводит к незначительной потере помехоус
тойчивост1и, которая может ,быть рассчитана или оценена по ~при
веденным выше ,соотношениям. Однако ,в случае исrюл:ьзования
двоичных -сигналов при -приближении удельной скорости к так на
зываемому барьеру Найкниста (2 бит/с па 1 Гц) [ 129] межсим
вольная мнтер,ференция заметно растет, увеличиваются недиаго
IIальные элем-енты матр·ицы Е, растет -раз1брос ее собственных
знач:ений (число о-бусловленности), а вместе с ни:м и энергетиче
ский проИ'rрыш. Таким образом, при скоро-стях передачи, близких
rк барьеру Найкви-ста ,или, тем более, выше сто 1 , опнсэ.нный ал-
1 ,В некоторых ,ра,ботах вообще отрицается возмо)ЮНОСrh пе-рс.J;ачи i(апных
двоичными ~сигналами при скорос-тях, .п,ревышающих барьор Наi-iкв.ис-та {2 бит/с
~ш 1 .Гц nол,осы частот). Квалифицированное обсуждение этого вопроса дано
·В [!1'29]. В настоящее зремя 1вед,утся ра:боты по созданию си,етсм переда,чи дан
ных двоичными сигналами !Пр,и .СR!оростях, превышающих ба~ръер Найоовиста.
153
,горитм непригоден и необходимы более •сложные методы обра
lботки сигнала на приеме. Тем не менее такой алгоритм может
-быть использован для по.1учения начального приближения в раз
личных методах направленного поиска оптимального решения .
.З.7. Предельная помехоустойчивость двоичной системы
при когерентном приеме в целом
.с поэлементным принятием решения
Субоnтимальный алгоритм приема в це:10~ с поэлементным
,принятием решения, в отличие от оптимального поэлементного
нелинейного алгоритма (3.28), не только легче реализуется, но и
.поз.валяет получить простые анал,итические выражения :для оцен
ки его помехоустойчи,вости. При этом оказывается (см. § 3.8), что
его помехоустойчивость близка к пр€\дельно досн1жимой в канале
.с меж-символьной интерфер,енцией, а следовате.1ьно, практически
не уступает помехоустойчивост,и оптимальноrо приема.
Будем предполагать, что -,намять» канала распространяется
.на Q посылок, а обратную -связь по решению будем считать иде
.альной, что справедливо на практике при малых вероятностях
.ошибки. Влияние 1-1еиде.:1лыrости о-братной -связи по решению 06-
,суд.им в § 3.9.
Реакцию и,,(1, r) ·считаем известной в месте приема, а анали
зируемое колебание z(t, г) =и, (1, r) +g,.,+n - «очищенным» в
,обла•сти анализа Л=·[О, T,=(l+D)T]XR от сигнала межсим
.вольной интерферен~;и.и g0ст (1, r), создаваемого посылками, по
которым уже принято решение (за счет о-братной связи по реше-
1шю). В этих условиях, когда -согласно а.1rоритму приема окон
"!ательное решение выносится только о первом из D+ 1 •принимае
мых «в целом» символов, оши·бка при ,передаче ком•бинации {!,
Ь,, ... , Ьп} происходит каждый раз, когда на вых(}де приемника
регистрируется любая из последовательностей вида {О, 61, .. . , бп } .
ЗдесьЬтЕ{О, !};бтЕ{О, !}; m=1, 2, ... , D.
Для искомой вероятности ошибки в качестве нижней границы,
которая получается пр,и условии пренебрежения меж-символьной
•(но не внутрисимвольной) интерференцией в канале, в случае га
уссовского шума можно принять выражение (2.38) при е,=е, в
·котором интегрирование выполняется по о-бласти ана.'Iиза Л, а
разностный ,сигнал ,следует опреде.1ить как
up(I, r) = и 1 (t, г)-110 (1, r).
(3.58)
Дейспштельно, верuятносгь ош,ибки в условиях меж,снмволь
ной интерференщш не менЬ'ше веронтностн любого ошибочного
перехода, в том чнсле и перехода (1, Ь 1 , ... , Ьп}
в {О, Ь1,... ,
... , Ьп}, когда все симво,1ы цепочки, кроме анализируемого, ,при
няты правильно. Вероятность такого перехода :-.-южно определить
как вероятно,сть ош1ибки в эквивалентном о].нолучевом канаJiе с
ожидаемым сигналом и', (t, r) = и, (t, r) +g,., (1, r), для которого
разностный сигнал и', (1, r )-и' 0 (1, r) опрец.1яется выражением
(3.58) и не зависит от ~игнала межсимвольной интерференции.
154
Такая нижняя гран,ица
Р= +[I-Ф(+vssиp(t, r)uoп.p(t, r)dtdr )]•
(3.59)
как показывают результаты цифрового моделирования [43], в об
ла•сти •больших отношений сигнал/шум практичесн;и не отличается
от значения вероятности ошwбки, соответствующего потенциальной
(предельно возможной) помехоустойчивости двоичной си,стемы s
·канале с межсимвольной ,интер·ференцией.
При белом шуме в канале (3.59) mриннмает вид
р= +[1-Ф(v:;:)]·
где Еир= Н u2 p(t, r)dtdr.
Для многолучевой модели (1.18) выражение (3.59) приобрета
ет вид
р= _l[t-Ф(-1 ' / ГГ[f '\'k(Upok(/, r)COSIJ)k+йpoh(t, Г)siПIJ)h)]X
2
2VJJk=I
Х [ f '\'k(UoпpOk (1, r)cos IJ)•+йопр0н(t, r)sinq,k) ]didr) J•
kaal
Для дальнейшего исследования представим последнюю формулу s
виде
р= J._[1-Ф(J_, / f f v,,r,[epo•,cos(q,,.-q,k)+;Pok,siп(q,,-q,;)] )]•
2
\2Vk=lr=l
-
-
- epo,k=Bpok,= SS Upok'(t, r)йоп.ро,(1, r)didr;
Йопро,(1, r) = SSЧ'(t, /', r, r')йр0 ,(1', r')dt'dr';
йро,(1, r) =И10,-(I, r)-йoo,(f, r).
(3.60)
(3.61)
В с,~учае двухлучевого канала (N=2), пола·гая -r 1 =0 и -r2 =,
из (3.60), имеем'
р = +[1-Ф( V"'h'"'
2
- • -[-r'-,-+ -,.-,-,+-2 -,.-,,.-,Л-р-,-,-со_s_(_8_ф_)_])] ;
8
••h
t'P012
=q,,-q,,, .,=ar-c g--.
(;РО12
(3.62 ►
Л _ Вро12
•
h2_ Врokk k=12
р12 - 2h2.Po '
ро-2'
'
•
1 Подчеркнем, что в рассматрmзаемом l}{анале е:исте:ма с противоположньr
м·и си~нала,ми является оптимальной ( обеспечивает ,минимальную вероятность
ошибки), так как она максим.изирует h2p0 ,
15&
Если лучи не ,перекрываются (,;;;,,Т), то еро 12 =Лр1 2 =O. При
:n{)лном перекрытии лучей (,=0) имеем epo12='2h21,o, Лр12= !,
Лр12=O. Случай полного перекрытия лучей характерен для парал
...лель ных
•систем передачи, в то время как для последовательных
..скоростных систем характерна ситуация, когда этим перекрытием
можно пренебречь.
Воспользовавшись интегральным представлением функции
-К.рампа, за~пишем
dl
ехр f
1+12
l
(1 + 1') h',,
4
[у2 ,+у2,+2уфЛр1200s(8-,р)] )-
(3.63)
Найдем среднюю вероятность ошибки при независимых замира
ниях лучей. В случае симметрии лучей по ортогональным компо
нентам (В2 ,=а'х,/а 2у1= 1; B',=a'x,lu'y,= 1) ,разность фаз 0=q,,-
- q,, на интервале период,ичности распределена равномерно. Учиты
вая это и усредняя (3.63) по 8, получаем
р~_1__
00
f_<!!__ехр f- h'po (] + 12) (у2,+у2,) 1Х
n01+1•
l4
(3.64)
Теперь выполним усреднение по у1, у2 исходя из совместной плот
,НО-ети
W(у,,у,)=1'11'2 ехр[_ _у'_,_ - v', -
а"'
2о2 2о2
- q\-q',]Io(V2:,1'• )io(V2:,r, ).
где 2а2 - среднеквадратическое значение коэффициента пер,,дачи
'
для флуктуирующей части луча (любого); q',,= 1' "' (k= 1,2) --
2cr2
'ОТНОшен,ие средних мощностей регулярной и флуктуирующей час
тей k-го луча.
ИспоJ1ьзуя соотношение [29]
а.2+13!
4р2
Je-o•x• xl0 (ax)lo(Bx)dx= е 2Р, Io( ;:, ).
,получаем пос.1е усреднения (3.64) по у,, у,
100 1-h
2
p q:, (1 +t') [1 + h; (1 +12)(1-Л',.,)l--
р= --;;-)ехр
h'
о
1+.2.(1+1')+-
2
156
(3.65)
лде h2p=2a2h 2po - усре;(нен11ое отношение сигнал/шум флуктуирую
щей части разностного сигнала в любом из лучей.
Для системы противоположных сигналов h2 po=4h2
0иh2
1)=4h2 =
=8a2h2
0 . Из (3.65) как частный ,случай получаем (3.64), если по
_,ожить h2p=0, у 1 =ур1 , у2 =ур2, и учесть, что q21h2
0 =y2
01h2p0;
q',h2p=y2
0 2/1 2po. С учетом обозначеннй, вве;(енных в гл. 2, запишем
h 2p=2лh 2, где h2 - отношение сигнал/шум флуктуирующей части
первой позиции сигнала.
Введем обозначения h21=h' (l+q'1); h',=h' (1 +q',) для сред
них отношений суммарный сигнал/шум по каждому из лучей и б'=
l1',!h'1 для отношен,ия ,cpt:!HIIX мощностей сигнала в лучах 1 . В
случае рэлеевских замираний (q 21 =q'1 =0) из (3.65) при б'=l
имеем
1~
dt
р=-;-S
[
(лli' )'
1·
0
(1+12) 1+лNo1(1+12)+ --f- (!+12)
2
(1-Л'ра)
(3.66)
При отсутствии полного перекрытия лучей в условиях надежной
связи
1.it21V 1-Л'р12~ 1
и из (3.66) следует результат
3
Р""' _ ___ ____
4 (1. h2,)2 (l - Л2р~,) •
(3.67)
(3.68)
Перекрыт,ие ,1учей (Лр 12 >0) приводит к энергетическому проигры
шу (по сравнению со случаем отсутствия перекрытия, Л.0 12=0) 11=
= 1/ У 1-Л20 12. При Лр 1 2<0,86 этот проигрыш не превышает 11=
=2(3дБ).
В случае полного перекрытия .1учей (Лр 12 ' 1) в условиях на
дежной связи
(3.69)
1 Всегда можно п,ринять О<6 2 < 1, присваивая ?.юпсс мощному лучу ин
декс 2.
157
и из (3.66) ,следует результат
~dl
p~~~-s ---
J..h•,,, 0 (1 +t')'
(3. 70)
Сравнивая (3.68) и (3.70), можно видеть, что возможный энер
гетическ,ий выигрыш, обусловленный отк.,1онением от полного пере
крытия лучей (Лр12 = 1), в рэ.1еевском канале (q21=q',=0, б2 = 1)
Т]= V l-Л'p12/2V 3р.
(3.71)
Зависимость ТJ(Р), опреде.1яемая (3.71) при Лр12=0, приведена
на рис. 3.6, кривая 1. Выигрыш возрастает по мере роста требуе
мого качества связи.
Если флуктуации сигналов лучей выражены очень ,слабо (q2 ,»
»1, q2
2 »I), то пр,и,ближенное интегрирование (3.65) согласно
(2.81) ·при Лр 12 =0, iz21+ii22 »1 дает результат
р~
1
ехр{-
,.~
1
(1+б')]•
V2nлh',(!+б')
В огово.ренных условиях при Лр 12 = 1
лучей (б'= 1) вероятность ошибки
Р"" 1/nV nJ..h.21.
(3.72)
и равной интенсивностп
(3.73)
В рассматриваемом случае почI,и идеального канала (q 2 ,» 1,
q',» 1, б 2 = 1) энергетический выигрыш ТJ систем передачи, в кото
рых обеспечено Лр 12 =0, по ,сравнению с системами, где Лр12= 1
связан с допустимой вероятностью ошибки р ·соотношением
(3. 74)
Зависимость ТJ(р), определяемая (3.74), также приведена на
рис. 3.6, кривая 3.
Рассмотрим теперь случай, когда q21+0, q2
2 +0, а флуктуация
ми амплитуд прен"бречь нельзя. При выполнении условия (3.67)
и Лр 12 =0 из (3.65) следует соотношение
р ~ зо+ч',)2 exp{-q' -q' }.
(3.75)
4 (л h'i)'
1
2
Пр,и ЛР1 2 ='1 и выполнении условия (3.69) из (3.65)
р~ Iо(q,q,)(1+q',) ехр[' -
q', +q', \
4 J.. h'1
2
J'
(3. 76)
В анализируемой ситуации энергетический выигрыш одних сис
тем (Лр 12 =0) над ,другими (Лр 12 = 1)
ТJ =Iо (ч1ч,) /2 V 3р.
158
(3.77)
Сравнивая (3.77) и (3.71) при Лр12=0, видим, что наличие ре
гулярных компонент пршюдит к росту энергетического выигрыша,
выраженному в децибелах, по сравнению ,со случаем чисто рэлеев
с1шх зами.раний на 11= 10 Jg fo(q,qz).
~до
911
80
70
60
J{]
Рис. 3.6
нf4 10·. <
J
2
:(5 flJ7
__,
1d8 п
12
20
t{
10' 1
1
\
\
!D~j
\
\
\
\
\
JtifJ
\
\
\
\
\
10
\
\
\
\
\
td
\
\
\
\
~.,,,
\
\
Рис. 3.7
Теперь проанализируем в ·рамках общей гауссовской модел.и
случай наиболее глубоких замираний лучей (односторонне-нор
мальное распределение амплитуд), когда коэффициенты асиммет
рии 1)21= 1) 22 =0. Поскольку лишь одна ортогональная ком·поненrа
у не равна нулю, то .из (3.62) ,при фиксированных параметрах ка-
1:ала следует
р ~ -; - [ 1-Ф( Vh';~ [у',+ у2,+2у,у,Лр12) )] .
(3.78)
Воспользова•вши,сь интегральным представлением функции
](рампа, усредним (3.78) по у 1 , у2 , полагая их независимыми нор
мальна .распределенными случайными величинам.и с нулевыми
средними: значениями и одинаковой дисперсией:
1~
dl
р- s--= -============:c~
"о о+ l')V1+21.h',(I+12)+ (1.h'i)'(I+12)'(I- A'v12)
При отсутствии -полного перекрытия "11учей и выполнении усло
вия (3.67)
р= 1/4л/!2, V 1-Л'р12-
(3.79)
В ·случае полного ·перекrытия лучей и выполнения ус.1ов11я (3.69)
р= 1/:п:V 2лh',.
(З.80)
159
Таким образом, при односторонне-нормальных замираниях лу
чей (q21=q',=0, f!' 1 = f! 2
2 =0) энергетический выигрыш с.истемы,
обусловленный неполным перекрытием лучей,
ч=2V l-А'р12/л2р.
(3.81)
Соответствующий график при Лр 12 =0 также показан на рис.
3.6, кривая 2.
3.8. Оценка вероятности ошибки двоичной системы
при когерентном приеме в целом
с поэлементным принятием решения
Оценим ~сверху вероятность ошибки для двоичной с,истемы про
тивоположных сигналов при приеме в ,целом с поэлементным nри
нятие~I решения в у,словиях межси:мвольной интерференции в ка
нале и идеальной обратной ,связи по решению.
Обозначим через A 1t ·со,бытие, заключающееся в появлении на
выходе 1п.риемн.ика k-й пос~1едовательности символов {1, бk1, .. . ,
. .. , likv} при фиксированном наборе ,символов на передаче {О, Ь 1 ,
... , Ьп}. Обшее число таких событий N=2п. Вероятность указан
ного -события p(A 1J :v~ожет -быть ло.1учена из рассмотрения tдвш1ч
ной задачи: А• - событие, соответ-ствующее рсrиетраu,ии выходной
последоват-ельности {!, lihl, ... , li•v} ,при альтсрнати-ве {О, Ь 1 , ... ,
... , bv}. При приеме по алгоритму максимального правдоподобия
на фоне тауссовского шума
р(А.)= +[1-Ф (+( JS JJ[-2и(t, r) + 'i:)b,-li.,) u(t-lT, r)] Х
х Ч' (t, t', r, r')[-2и (t', r') + t\b,-likl) и (t' -/Т, r')] dtdrdt'dг'}-1⁄2 -) J
(3.82)
где u(I, r) - поле сигнала, соответствующее переданному символу
пе.рвой позииии.
Для анализа удобно ввести ,следующие параметры:
.-1
_.!!..!..!:_.
'-""l-
'
"оо
h21
=2foo,
(3.83)
где е,п= SS55и(t-П, r)ЧГ(t, t', r, r')u(l'-nT, r')dldrdt'dr'; 1, n=
=0,1,2, ...,D.
Параметры Л1п. и а1 характеризуют -перекрытие посы"1ок на при
еме, занисящ,ее ,от ,свойств канала и сигнаJ10н. Очевидно, 1Лtп 1~ l
и O,s;;a,,s;; 1. С учетом введенных обозначений выражение (3.82)
можно записать н нпде
(3.84)
(3.85)
Вероятность ошибки ,при приеме в целом с поэлементным при•
нятием решения может •быть эффекти•вно оценt,на сверху с по
мощью неравенства Буля
(3.86)
которое переходит в равенство, если события Ak несовм-остны.
Верхняя граница вероятности ошибки при фиксированном набо
ре сим1юлов Ь, определится из (3.86) с учетом (3.84) как 1
N1
Рмрх({Ь,})= k -[1-Ф(V2h2 (1-F,))].
(3.88)
k=I 2
У·средняя (3.88) по {Ь1}, получаем выражение д.1я верхней гра•
ницы вероятности ошwбки рассматриваемого алгоритма (при уело.·
вин, что канал симметричен по вероятности оши1бки)
Рв,рх=Е{Ь 1 } {Рверх({Ь,} )},
где Е 1 ь11 - .символ усреднения по {Ь,}.
В таком виде Рверх можно определить практически для любых
чисел D и Q. Однако •при большом числе взаимно ~перекрывающих·
ся посылок .ра,счеты .целесообразно проводить с 1и,спользованием
эвм•.
Определим Рвсрх для D=-Q=I, считая символы О и I равнове
роятными на передаче. Получаем
Рверх(Ь1) = 1-+ Ф( V2h2 [ l-F(бk\ = 1)] )-
_...! ._
Ф( V 2h2 (1-F(б.,=-l)]),
2
rде сог.1асно (3.85)
V-
1
F (б" = 1) = (b1-l) Ло1 а1-4(Ь1-1 ) 2а,;
V-
1
F(б.,=-l)=(b,+l)Л01 а 1 --(Ь,+1) 2а,.
4
1 О11м:еmм, что аналитические в~рвження для Рверs., полученные по нера•
BC"HCTIBY Бул,я lll'PИ И'СIПОЛЬЗовани,и З'ПIПр~окси.мации
1
1
1/2
-
[1- Ф(х)]~ ,л;::
.-,
,
х;;, 2,
(3.87)
2
v 2nx
совпадают с 1пр,и6лиже~н-ны.м значением для ,веJ)Оятности ошибки, по"1учасмой при
исnользовэ.ннн, rр-а.н'Иц Черяова [119,, 43] на осн0;ве раwюжени.я в ряд. Эд,жворта
фунtК,цни n:.1ютности .вероятности отношенwя 1Iфа1в..допQщо6и·я,
2 Строго говоря, выражение Рверж. дает условную верхнюю границу веро
ятносm <JW·ибкн, та-к как оно попучено в rпредположении идеальной обfат-
ной овязи по .решению.
6-46
161
Усреднени€ по Ь 1 .цает
Рв,рх= 1-+Ф(V2No)-+ Ф (V 2h2 (1+2Ло1 Va,+111) )-
-+ф (V2h2 (1-2Ло, Va., +а.,)).
(3.89)
В случае, когда перекрытие посылок отсутствует, Л01 =O, а. 1 =,1 и
Рверх=l--1 Ф(V2h2)--1-Ф(V4h2), что для реально достижимых
2
2
значений h2 соответствует помехоуст<Jйчивости, практич€ски сов•
па.дающей с предельной, определяем<Jй (3.59).
К:ривые Рв,рх (/12), ,построенные •по (3.89) д.1я некоторых значе
ний Л01 и а. 1 , приведены на рис. 3.7. Эти кривые ,показывают, что в
шир~оком диапазоне изменения значений Ло1 и сс. 1 помехоу-стойчи
вость рассматриваемого алгоритма при D=Q= 1 незначительно
отличается от предельно .достижимой помехоу,стойчивости приема
в канале с памятью (см. рис. 3. 7, пунктир), причем энергетический
проигрыш на уровне Р••ох= 10-• составляет доли деци-бела.
Для D=Q=З рассмотрим случай канала связи •с двумя раз
деляющимася лучам,и (рис. 3.8). В этом случае введенные пара
метры имеют значения;
Ло1 =0; а, =а2•=а,=11: Ло2=О; Л12=Л2,=Л13=0; Лоз=Л,;,!,О;
ul~U)
2Т
Рис. 3.8
функция F• определяется равенством
F•=·(b,-b .,)AV а-~ [ (Ь2-Ь•2) 2 + (Ь,-Ь.,) 2 + (Ь,-Ь")2],
4
а точное выражение для верхней границы вероятности оши·бки
приобретает вид
Рверх=4--1 Ф (V2h2)-Ф ('J/2h2 (1 + а.)}--
1
Ф (V 2h2 (1 +2а))-
2-~- --=~-
2
- - + Ф (V 2h' ( 1- 2ЛV а+ За)) - +ф (v~2-h2-( ~l---2-л_V..,.,a~+-2-a-,))-
-+ Ф(V2h'(1-2Л Va+a) )-+Ф (V2h2(l +2Л Vа+За) )-
..... . lФ (V2h2 (1 +2л Va+2a) )--
1
Ф (V2h2 (1 +2лv2+а)).
2·
4
162
Это выраженне с достаточной для практнческих расчетов точ
ностью можно заменить приближенной формулой
Рверх~: -+Ф(V2h')-+Ф(V2h2 (1-2IAIVa+a)).
(3.90)
Кривые верхней границы вероятности ошибки в данном случае
совпадают ,с кривыми рис. 3.7 для Л=Ло,, а=а 1 , т. е. для рас
сматриваемого алгоритма при ра31деляющихся лучах увеличение
D ~практически не влечет за собой ухудшения помехоустойчи1вости.
Параметры Лнn, ан, h2 , используемые в данном рассм<Jтрении,
легко могут быть выражены через параметры модели канала свя
зи в каждом конкретном случае. Если двухлуqевая модель ка»а
ла, изображенная на рис. 3.8, описывается соотношением (1.18),
то введенные выше параметры для б-коррелированного по про
странству шума определяются выражениям,11:
у,cos[q,, -
q,1+:"(r, r0(6,)- r0(81))]
Л=-~~--:;-==~----~
- Vr•, +r',
а= У', ; h2 =h2o(y2 ,+y22);
,у:111 + у22
т
h'0 =5s(t)Ч'(t, t')s(t')dtdt'.
о
Выражение для верхней границы вероятности оши•бки (3.90)
записывается в виде
Рверх= : -+Ф(V2h2o(Y\+y',))-
- - 1⁄4- Ф (У2h'0(2y•,+y\-2y1 '\', cos [q,2-q,1 +
2
,." (г, r 0 (8,)-r0 (8J)])
Используя интегральное представление функции
считая q,=q, 1-q,2
равномерно рас,пределенной на
[-, t, +"], апределяем -среднюю вероятность ошибки
Рверs = +-+Ф V2h'0 (у21 +у22) +
Крамnа 'и
интер 1вале
1~dl
+ -5 -- exp[-h
2
o( 1+12
)
(2у2 1 +у2,)/о] [2h2 oy,y 2
(
1 +12
)].
2n 0 1+1•
В области больших отношений сигнал/шум, нсполызуя аппрок
симации (2.10В), (З.В7) и интегрируя с учетом теоремы о среднем
(2.Bl), !Получаем
(3.91)
где v'=y'2/y 21 - отношение квадратов амплитуд лучей.
Первое с,1агаемое в (3.91) определяет предельную помехоус
тойчивость приема в раосматр,иваемом канале [см. (3.64) при
6'
163
Ар12=О]. Наличие вrорого слагаемого приводит к энергетическо
му ·проигрышу относительно этого предельного ,случая, несущест
венному при любых значениях v.
У,средняя выражение для вероятности ошибки, полученное для
многолучевой модел,и, не только •по фазам лучей, но и ·по их амп
литудам, можно у-бе,дип,ся в том, что при всевозможных ва,риа
циях параметров модели верхняя граница •вероятности оши·бки
незначительно отличается от ~предельной помехоу-стойчивости.
Таким образом, можно сделать вывод, что пр,и приеме в це
лом с поэ.1ементным принятием решения в канале с произвольны
ми четырехпарамстрическими замираниями вероятность ош.и1бки и
полученные для нее верхняя ,и нижняя границы в области боль
ших отношений ,сигнал/шум незначительно отличаются друг от
друга.
3.9. О впиянии реапьной обратной связи
по решению на помехоустойчивость последовательной системы
с приемом в целом и поэлементным принятием решения
В~1ияние неидеальной обратной связи по решению на помехо
устойчивость последовательного модема при некоторых ограниче
ниях исследовалось в (12, 44], однако полученные там ,результаты
не позволяют дать кол,ичественную оценку вероятности ошибки
для конкретно и,спользуемого алгоритма п.риема при заданной
величине ,памяти канала Q. Для скоростных последовательных
систем передачи, в которых память канала, приводяшая к меж
символьной интерференции, может характеризоваться довольно
большими значениями Q (до 10 и более), особенно важным ста
новн"Гся вопрос о влиянии обратной ,связи по решению на процесс
•группирования и размножения ошибок на выходе приемного уст
рой,ства. Поэтому наряду ,с безусловной вероятностью ошибки, т. е.
средней вероятностью ошибк.и, в расчете на один символ ,сообще
ния следует считать целесообразным вычисление у<::ловных веро
ятностей ошибки, характеризующих появление на выходе 1приемни
ка цеп,очек ошибочных решений опреде,1енной длины и конфигу
рации.
Оценим условные вероятности ошибки последовательной спс
темы ,с противоположными ,сигналами и реальной обратной Связью
по решению, работаюшей в канале с аддитивным гауссовским шу
мом п (1, r), по алгоритму приема ,в целом ,с поэлементным приня
тием решения (3.45). Анал,Irзируемое в месте ,приема ко.1ебание
представим в виде
D
Q
z(t, r) =n(t, r) +Ь 0 и(t, r) + ~ b,u(t-lT, r) + 2; ати(t+тТ, r),
l=l
m=I
Л=[О, Т,= (l+D)T]XR,
(3.92)
гдэ при шередаче -символа «{)» Ь 0 =-1, при передаче ,символа «1»
Ьо= 1, а последнее слагаемое в вы-ражении (3.92) характеризует
164
сигнал межсимвольной интерференции от веех Q символов, ,пред
шествующих анализируемому. Коэффициенты ат уqитывают дей
ствие обратной связи на входной сигнал при правильных и оши
•бочных решениях приемника по предыдущим символам и прини
мают следующие знаqеиия:
e<m=O при правильном .решении на т-м шаге; ат=2, если вместо
1 регистрировался О на т-м ware;
е<т=-2, если вместо О регистраровалась 1 на т-м шаге.
Ошwбка ,при приеме в целом очередных D+ 1 символов, соот
ветствующих .передаваемой комбинации {1, Ь 1 , Ь 2, ... , Ьп } ,
прн ,вы
несении решения только о первом символе •проwсходит веякий раз,
когда на выхс;де демодулятора регистрируется решение вида {О,
б.,, бk2, ... , б•п}. Из-за наличия у канала памяти вероятность та
кого оши-бочного решения при фнкси.рованном на-боре символов
Ь= {Ь,, 1= 1, D} на 1Передаче следует считать условной вероят
ностью ошибки, где в качестве условия выступают Q предыдущих
решений, вынесенных 11а интервале времени [-QT, О]. Соглаено
нера'ВеNoству Буля для этой у,словной вероятности справедливы
оценки
Ртах(А./1, Ь, bk, {ат}) =maxp(Ak/1, Ь, bk, {am}) ~
k
'
N
'
,;;;р(ош/1, Ь, Ьн, {ат}),;;; I;p(Ak/1, Ь, Ь,, {am}), k=I, 2, ... , N, (3.93)
k=l
где под сQбытиями А• подразумевается регистрация k-ro решения
{О, бhl, бk2, ... , б•n} (k=I, 2, ... , N=2D).
Д.1я ошибоqного перехода {О-+!}, очевидно, справедлива ана
л:оrичн.ая сие.тема неравен-с:rв, однако значения условных вероят
ностей ·переходов вследствие несимметрии последовательной сис
темы по вероятности ошибк,и в канале с памятью будут нными.
В <:оответствии с вышеизложенным выражение для p(A.JI, Ь,
ь., {ат}) при ошибочном переходе {1-+О} можно записать в виде
p(l-+0/b, Ь,, {am}) =P(so<-Xo/b, Ь,,, {am} ),
где 1;о= Sf JSn(I, r)'l'(I, t', r, r') [и 1 (t', r')-u0 (1',
1
Хо= 2 в,о+Во;
r') н] dtdrdt'dr';
(3.94)
(3.95)
еаа= JJ) J[и, (1, г)-и 0 (1, r),]'l'(t, t', r, r') [и, (t', r')-
-и 0 (1', r')n]dtdrdt'dr';
Во= JJ]j[u,(t, r)-u0 (1, г).]'1'(1, 1', r, r')X
Q
Х [ !: amu(I' +mT,r') ]dtdrdt' dr';
m=l
D
uo(t, r)•=-u(t, г) + !: б.,и(I-/Т, r);
.
l=l
166
D
и~ (t, r) =и(t, r) + ~ b1u (t-lT, r).
l=l
Согласно ,(3.94) so являе-гся нормальной случай.ной величиной. с
условными нулевым средним значением и дисперсией е.,. Влия
ние решений, вынесенных о посылках, ~предшествующих анализи
руемой, можно учесть с помощью случайных, совместно нормаль
ных величин
(l+D) Т P+D-kl Т
s•= J J ] J n(t, r)Ч'(t, t', r, r')[u,,., (t', r')-и,. (1', r')]X
ОR-kT
R
Xdtdrdt'dr', k= 1, 2, ... , Q,
принимающих определенные знаqения относительно
порогов
-Х,, ... ,-XQ, определяемых аналогично (3.95), mk, J,=0,1; k, l=I,
. .. , Q. Поэтому для вероятности P(so<-Xo/s, ~-Х,, ... , GQ"=
~ -Xq, Ь) можно за·писать ,выражение
P(!;,<-X,JG,~-X,, ... , SQ~-XQ, Ь) =
-Х,
S S···S w<s,. 1;, ..... sQ>ds.ds,.-.d SQ
-оо х~ XQ
=-----"-- --- --- -- ---
~
(3.96)
] r ... s W(s,, s, ..... SQ)ds,ds, ...dSQ
-оо f1 XQ
где W(so, s,, ... , SQ)-(Q+l)-мepнaя нормальная плотность веро
ятности коррелированных случай.ных величин, а интегрирование
осуществляется по областям, определяемым видом неравенства в
левой части выражения (3.96). Коэффициенты корр-еляции слу
чайных величин sm и i;, определяю1'СЯ как
(D-1+11 Т (D-m+II Т
!, ) ] J[и11 (1,r)-u;1 (1,r)]'l'(l,l',r,
Т
R -тТ
R
Рт,= -==---"--_с:.:с'---''------==-----------
-
-
Uqrn (t', r')] dt dr dt' dr'
Vв,т в.1
Усредняя верхнюю и нижнюю границы условной вероятности
оши,бки (3.93) по Ь, получаем оценку
.
.
N
,.
Еь{Ртах(А,/1, Ь, Ь,)} ,а;;р(ош/1, Ь,) ,а;;~ Еь {р(А./1, Ь, Ь,)}:
k=l
k=I,2, ..., N.
Изложенный метод позволяет определить верхнюю и н,ижнюю
границы ·вероятности появления ошибочной последовательности
символов любой конфигурации и любой длины пр.и фиксирован
ном значении памят.и канала Q с учетом действия обратной свя
зи по решению. Так, например, увеличивая число случайных ве
личин s• в выражении (3.96), можно определить вероятностные
характеристики последовательностей, длины которых больше Q.
Изменяя вид неравенства .в условии левой части выражения
(З.96) совместно с изменением значений коэффициентов Ь,,, мож-
J.fJб
-·-
но изменять ;конфигурацию ошибочной ,последовательности. И, на
конец, -специфику различных систем обратной связи можно учесть
за ,счет выбора коэффициентов ctm.
Анализ, проведенный в [ 43] для ча-стных моделей каналов с
памятью •С использованием ,изложенной методики, показал, что
при ~приеме в целом ,с поэлементным принятием .решения реаль
ная обратная связь по решению практически не прив-одит к раз
множению ошибок на выходе ~приемного устрой.с_тва и лишь не
значительно ухудшает характеристики помехоустойчивости демо
дулятора. Это 'Подтверждают и экспериментальные исследования
си-стемы СИИП.
Вместе с тем алгоритмы, ,предусматр,ивающие решение по од
ному от-счету, характеризуются в каналах с межсимвольной ин
терференцией заметным размножением оши-бок [ 12].
3.10. Вероятность ошибки в двоичной системе
при когерентном поэлементном приеме на интервале Та= Т
(простейший вариант СИИП с обратной связью по решению)
Вероятность оши,бки раосматриваемого приемника определя
ется (3.60), если в (3.бl) ,интегрирование во времени выполнено
на интервале [О, Т].
Для двухлучевого канала при ,: 1 =0, т,=т вероятность
оши,бки
р = +[1-Ф ( v~t~ [r21+r2,!; 2+2v,r2!;Ap12 соs(0-ф)) )]. (3.97)
где ~•=ер022/ер011,
Усредняя (3.97) в предположении независимых райсовских за·
мараний лучей, получаем
1~ dl
r=-;J1+1'x
х
(3.98)
167
Для рэлеевского канала
1~
dl
р = -s ---------- --'"-- --------
"
0
(1+t')[1+1,.~
1
(1+ t•)o+6')+('-~
1
)'О+ t')'6'О -Л"щ)](3.99)
При отсутствии перекрытия лучей ·(A'p12=s
2 =0) н выполне
нии условия (3.69) из (3.99) следует результат для оптимального
приема •в однолучевом канале (2.80) при q2 =0: р= 1/2лh2 1 . При
полном перекрытии лучей (s2 =Л2р12= 1) из (3.99) в области ма
лых ошибок Р"' 1/4лh2 1 . Если же лучи частично перекрываются .и
выполняет,ся условие
лh',sV 1-л•р12~ 1,
(3.100)
то средняя вероятность оши,бки
р"' 3/[4 (лh', )2t; 2 ( 1-Л.2р12)].
(3.101)
Сравнивая (3.68) и (3.101), ви,дим, что энергетический проиг
рыш рассматриваемого варианта СИИП по сравнению •С предель
но помехоу.ст,ойчивой 1последовательной -системой при выпол»ении
условий (3. 100)
11= 1/s.
При i',=0,75; 0,5; 0,25 получаем соот-ветственно
6,02 дБ.
(3.102)
11=1,25; 3,01;
Нетрудно понять, что при реализации простейшего варианта
СИИП качество с-вя:3И определяется задвржкой между лучами т.
С одной стороны, при ·~;,,ЬО; т=рТ имеет место эффект повышения
качества за счет разнесенного по лучам приема. С другой сторо
ны, с ростом т(О<т<Т) уменьшается доля энергии второго луча,
участвующая в обработке. Оптимальное значение т~ минимизи
рующее вероятность ошибки, в общем случае определить трудно.
В случае рэлеевского канала пр-и выполнении условий (3.100),
использовании на передаче в качестве шереносчи·ка прямоугольно
го радиоимпульса и налич~Ии в канале ~белого гау,ссовского шума
имеем !;2 (1-Л 2р 12 )= (1-т/Т) (Т/т) и вероятность ошибки (1.101)
принимает миwимальное значение nр,и т= Т/2. Это означает, что
для простейшего варианта системы СИИП .при заданном т су
щесrвует оптимальное значение скорости передачи I'= 1/Т= 1/2т,
мин,имиз,ирующее вероятность оши,бки.
Так, при т=О,J; 0,2; 1; 2,5 мс оптимальное значение ,скор-ости
передачи соответственно равно 5000; 2500; 500; 200 бит/с.
Бели флуктуации лучей выражены очень слабо (q21 ~ 1, q2,~
~ 1), то интеrр-и.рование (3.98) с учетом ас.им•nтотики (2.108) и
теоремы о ,среднем (2.81) дает для аналNoзируемоrо приемника
при выполнении условия лh2 1 ~Лр12 ~ 1 (в области малых оши·бок)
ехр{- лh'1(1 +f' - 26 л.12)}
р=
4п1,.h', -V 2~012 (1+6' - 2~012)
(3.103)
168
~едует подчеркнуть, что (3.103) не справедлива при s=Лр12= 1
(1+ 62-2 6Лр12 =0). В этом случае (полное перекры-гие лучей)
справедлив результат (3.73).
,можно показать, что в области ра,бочих значений параметров
!;2 , Лр 12 вероятность ошибки (3.103) не меньше, чем вероятность
ошибки, опрмеляемая согласно (3.72) при 62 = 1 (обработка с
учетом всей энергии сагнала). Пр,и этом в каналах с незначштель
ными флуктуациями амплитуд лучей энергетический проигрыш,
связанный ,с неполным использованием 'Энергии лучей, может
быть весьма существенным. Тем не менее и в этих условиях при
равной интенсивности лучей (62 = 1) анализируемый вариант
СИИП обеспеч,ивает знач,ительный энер·rетический ,выиrрыш по
сравнению с си,стем,ой, ра1ботающей -в условиях полного перекры-
тия лучей (Ар12= 1).
•
Этот выигрыш можно рассчитать, сопоставляя (3.73) и (3.10.З).
После несложных выкладок получаем трансцендентное уравнение,
связывающее искомый выигрыш tJ с допустимой вероятностью
ошибюи р:
~,.•
=_I_ехр{I+§'- 2§л0_1!_}.
V!б,2§Лра(l+§'-2§Лш) Р
~p•n•
При s=Лр12=0,5 и р=б· l'О-3 11=,345 (25,4 дБ).
Для ,ситуации, когда q21,;,f,0; q22 ,;i=O, пренебречь флуктуациями
амплитуд нельзя и спраsедливо услоsие (3.100), а также соот
ношение ,-h21 s(I-Л2p12 ) » (l+q2 1 )q1 q
2
,
·из (3.98) следует ра<:чет
иая формула
З(I+q'i)'
р,:,:; 4(лh',)'§'(I-л•,,.) exp{-q2,-q',}.
Сопоставление ее -с •(З.75) позволяет утверждать, что в рас
сматриваемом канале энергетический проигрыш простейшего ва
рианта •приемника СИИП по сравнению с последовательной сис
темой, имеющей предельную помехоустойчивость, определяется
формулой tj= 1/sV 1-Л2р12. При !;2 =0,5; Лр12=0,25 этот проиг
рыш равен 1,46 ( 1,6 ,дБ).
При односторонне-нормальном распределении амп.,.итуд лучей
с одинаковой дисперсией средняя вероятность оши•бки
100
dt
Р = --; -J (1 +1•> p+i. ;;,,(1+1•н1 + §'> + (лli'•,>• (l+t'>" 6' (I -л•,1,н
При выполнении условия (3.1100)
Р"" l/4лii2,~ V 1-л2р12-
(3.104)
Сопоставляя (3.104) с (3.79), можно вшдеть, что потеря части
энергии второго луча обусловливает энергетический проиrрыш,
выражаемый формудой (3.102).
169
В § 3.3 ·было отмечено, что простейший вариант приемника
СИИП может быть улучшен за счет автовыбора наноолее благо
приятного ,интервала анализа сигнала. Оценим помехоустойчи
вость такого при€мноrо устройст.ва •при М€дленных рэлеевских ll
односторонне-нормальных замираниях в предположении отсутст
вия перекрытия лучей. (Как было показано, налнч,не ча·ст.нчного
перекрьiтия обусловливает высокую помехоустойчивость анализи
руемого лриемника и без схемы автовыбора.)
Поскольку при отсукт~>ии перекрытия лучей и наличии иде
альной обратной ,связи по решению приемник ра,ботает в однолу
чевом режиме, с.редняя вероятность ошибки
Р = -Т J[1-Ф(-V hi,. ,'1'2о )] W(,>o)dyo,
(3.105)
где ,>о - коэффициент передачи ;10 ра,бочему лучу. Будем считать,
что в схеме а,втовыбора он выбирается как макt,имальный по
мошностн из двух возможных с плотностью вероятности (128]:
У,
W (,>о) =2W, (,>о) f W,,(,>)dy.
о
Если W, (у) - распределение Рэлея, то
W(vo) = ~ехр(-.to._)[i -exp(-.:h,)];
02
2а2
2а2
если же W1('\') - односторонне-нормальное распределение, то
W(yo)=
2
ехр(-.У!.)ф(_l!..)·
1/2,ю1
2а'
а
Интегрируя (3.105) по ,>о с использованием интегрального
представления функцwи Крампа, получа€м следующие результа·
ты:
;При рэлеевских замираниях
2~
dt
p=-s
"•
(l+t•)[t+ "~• (1+1•)][2+"~
11
(l+t•)]
при односторонне -нормальных
2arctg[1 +1.No1(1 + l')J
1 00l-
n
р-
[---- __cc _-- -dt.
n 1/2 ({ (l+t')[1+ лNo,(1+ 1')]
В обла,;ти малых оши,бок (лk2 1 ;> l):
при рэлеевских зам•иран,иях
замираниях
P""l/2(лk2 ,) 2 ;
(3.106)
при односторонне-нормальных замираниях
Р"" 1/2лh2,.
(3.107)
170
Сравнивая (3.106) и (3.68) при Лр 12 =0, (3.107) и (3.79) при
Лр 12 =0, видим, что н рассмат!}иваемом каиJле схема с автовы
бором на•юболее сильного луча и анализом на временном интерва
ле Та=Т имеет •по ,сравнению со схемой, осуществляющей опти
мальную обработку на интервале (Q+I) Т, удвоенную вероят
ность ошюбки или энергетический проигрыш ri = V2 (1,5 дБ) в
рэлеевском канале и ri=2 (3 дБ) в односторонне-нормальном.
Другими словами, СИИП с автовыбором обеспечивает при оди
ночном приеме и отсутствии регулярной компоненты сигнала по
мехоустойчивость, близкую к предельно возможной.
По мере в-о.зрас·тания интен-сивности регулярных компонент
лучей эффективность автовыбора (разнесенного приема шо лучам)
пада,ет. Однако, в отличие от системы, работающей при полном
перекрытии лучей (параллельной юистемы), помехоустойчивость
последовательной ,системы с автовыбором ·при q21, q2z-+oo такая
же, как в однолучевом •канале ,без замираний.
3.11 . Помехоустойчивость двоичной системы
в двухлучевом канале при неоптимальиом когерентном приеме
на интервале Та= Т
Проанализируем пом,еХ'Оустойчивость двоичной системы в д,вух
лучевом канале ·при когерентном приеме, 1Пола,гая, что опорный
сигнал в месте приема формируе1'ся по сигналу лншь одного лу
ча (как в однолучевом канале) на основе анализа IП!)'Инимаемого
колебания в определенном временном интервале, предшествую
щем анализируемой посылке, а в приемном устрой,стве 011сутс1'ву
ет обратная связь по решению, т. е. анализируемое колебание
имеет вид
z(t, r) =Ui(t, r) +gост(/, r) +n(t, r).
Алгоритм П!)'Инятия решения в пользу i-ro ,символа при анали
зе ,сигнала на ,временном интервале Та=Т можно з~rписать так:
Sf f)z(t, r)Ч'(t, t', r, r'){x'1 ([uio(t', r')-u; 0 (t', r')]+
+Y'1[йio(t', r') -й;о(t', r')]}dtdrdt'dr'> (h2 io-h 2 ;o) (Х"о+У' 2 1).
j,;6i=0, !,
(3.108)
где х' 1 , у' 1 - ожидаемые значения ор1'огональных компонент
комплексного коэффип:иента передачи канала по первому
лучу, используемые •при формировании опорных сигналов.
Положим, что запаздывание между лучами ,,;;; Т, т. е. пере
крываются лишь соое.дние посыл'Ки, и параметры канала не меня
ются на интервале 2Т. Вероятность ошибки Pli при передаче сиг
нала si(i=O,I) в предположении того, что ему предшествовал
сигнал s,(1=0,1), определя~тся вероятностью невыполнения нера
венства (3.106) при условии, что
z(t, r)=n(t, r)+x1щo(t, r)+Ytйio(t, r)+x2 [ut 0 (t+T--,;, r)+
+uio(t-,,r)] +у,[й10 (1 +Т-т, r) + й;o(l--r, r)],
171
где х,, У• (k= 1,2) - действительные значения ортогональных
компонент компле1<сного коэффициента передачи канала ;по двум
лучам на интервале анализа.
Значения х.(у,) -следует считать случайными относительно
х' 1 , у' 1 . Будем полагать, что х 1 , x'i (также у1 , у',) распределены
нормально с одинаковыми параметрами. Тогда условную плот
ность х1 (у1 ) при фикоированном значении х'1 (у',) можно запасать
так (78]:
W(х1/х'1)
1
f IR(x',-mxi)-(x,-mXI)]']
:;-V,ic2n=т.(lc=_=R~''")=crii'••=• ехр \ -
"-'-'- -''- -2cr-, - -'.,=-(l---'-R-" -'-) -=-' - , '
где R - коэффициент взаимной корреляции одноименных ортого
нальных
компонент; т., =<.х' ,)=<х,); a 2xt =<. (х,-т.,) 2)=
=<.(х',-т. 1 ) 2).
Сигналы отдельных лучей ,считаем независимыми, поэтому
распределеН'ие х2 (у,) при фиксированном значении х' 1 (у' 1 )
W(x2 /x'1) =
1
ехр (- ~ -m..)• i
lf2na2:x: 1
2о2х2 J•
С учетом сказанного -при фиксированных
вероятность ошИlбки рц
параметрах х' 1 , у'1
Р1. ,. х',. у•,=+ [1-Ф(~ )] ;
(3.109)
М =[Rx', +(l-R) тх1] [х', (2h2;0-e110)-y';;,;o] + [Ry', + (1-R)my,] Х
Х (у', (2h2; 0 -Sijo) +х',;,;о] +тх;[х',А,;,-у',А,;1] +
+ту2[х'1 А;;,+У',А,;,]- (h2;o-h2;o) (х'2,+у'2 1 );
а2 =·(х' 21 +у'',) J5Upo (t, r) Uоп.ро (t, r) dtdr +а2х2 (х'2 ,А 2ц1+
+y'21A2i.il-2x' 1У' 1AijtAцt] + а2у2[х'2,А2iл + y' 2 1A 2iJt +
+ 2х',у' ,А,;,д,;,] +а2х, ( I-R2 ) [ х'', (2h2;o- е,;о) 2 + у'2 ,е2 ,;о
-2х',у', (2h210-e1;o)e1;0] +112
,, (1-R2) [у'2, (2h2;o-e";o) 2 +
+x'',;2iio + 2х',у' 1 (2h 2,o-e;;o) ;,;о];
А,;,= Н JS[и,o(I, r)-u;o(I, г) ]Ч'(I, 1', r, r') [й,о (t' +Т-т, r') +
+и,0·(1'-т, г') ]dtdrdt'dr';
А;;,= 5SSS[u,o(t, r)-u;o(I, r)]Ч'(I, t', r, r') [йю(t' + Т-,:, r') +
+й,о(l'-1:, r')]dtdrdt'dr'.
Коэффициенты А;;1, д,;, определяю11ся вкладом внутрнсимволь
ной н межснмвольной интерференцлн, вызванной мноrолуче
востью канала. В рэлеевском канале (mxн=myk=O; -о2х1=02у2=
=11
21; .а2,2=а2,2 =а22) для двоичной системы ~ активной rпаузой
(3.109) приводиr<:я к ви1ду
1
v-
PI, <.v•,=
2 (1-Ф(у', а)],
172
где
R' h', (1 - Л01)2
a=---------'---'- -'--~ '----- ----
l-Л01+01
1 h'•(I - R') [(l-Л01)1 + Л'01] + о•, h',,k',л
k',·,, = A'm +А'111 .,;;: 1;
(2h',)'
у'21 = х'2, + у'2,.
После усреднения по у' 1 получаем
р,,; =0,5( 1-V а,12 ,/ (1 +аа2 ,)].
(3.110)
Если межсимвольная и внутрисимвольная интерференции от
сутствуют (k,;1=0), то последнее выражение определяет вероят
ность ошибки в рэлеевском однолуч:евом канале при неполной
корреляции принимаемого и опорного сигналов. Если принимае
мый сигнал первого луча к тому же полностью коррелирован с
опорным сигналом (R 2 = 1), то из (3.110) следует выражение для
вероятности ошибки в однолучевом рэлеевском канале
р=О,5[1-Улh'/(2+л.h2 )], л=l-Ло,.
(3.111)
Отличие /.R / от единицы и k2;;1 от нуля может существенно по
влиять на помехоустойчивость системы. Кроме того, в этом случае
канал оказывается несимметричным.
Как следует из (3.110), даже при h20 =oo (отсутствие помехи)
существует предельное значение вероятности ошибки, зависящее
от параметров канала и сигналов,
Рпр•д=;;~~;,=+[1 _ уг---[-=R•-л•_J_]•
R'+(l-R') l +
01
+•'
(1-Л01)2
где e2=11 2k 2ij1h 2o/(1-Лo,) 2; 112 =а22/а2,~1.
Для двоичной системы, ортогональной в усиленном смысле
(Ло, =Ло, =О),
I[
/RI 1
Рпред=,,~::с,= 2 1 -
"\1'1 +е'А •
Для д~ичной системы с противоположными сигналами (Ло,=
=-1, Ло 1 =0) справедлива эта формула при e2 =0,2562k2 ;;1h2
0,
При заданном коэффициенте корреляции принимаемого и опор
ного сигналов (.R 2 ) рост параметра в' ведет к увеличению пре
дельной вероятности ошибки. При ,R 2 =1 Рnред=О,5[1-1/Уl+в2].
При R2 =0 предельная вероятность ошибки Рnред=О,5.
В однолучевом рэлеевском канале (е2 =0) предельное значение
вероятности ошибки для двоичной системы с активной паузой,
ортогональной в усиленном смысле,
Рпред=О,5(1-/R / ].
(3.112)
173
3.12. Потенциаяьная помехоустойчивость двоичных систем
при неопредеяенноii фазе сигнаяа
Будем считать, что используемые сигналы имеют тождествен•
ные корреляционные функции, межсимвольной интерференцией
можно пренебречь, а сигналы всех лучей сфазированы. Даже при
таких ограничениях найти удобную формулу для вероятности
ошибки при неопределенной фазе сигнала в многолучевом канале
затруднительно. Положим поэтому, что дополнительно выполня·
ется условие е;; 0 (,;) =0 хотя бы при дискретных взаимных запаз
дываниях лучей -т, которые встречаются в конкретных условиях.
В соответствии с (3.53) вероятность ошибки определяется ве•
роятностью выполнения неравенства Л=02 , +022-02,-024<0, где
N
01 = JJj Jn(t, r)Ч'(t, t', r, r') [ l: '\'ku, 0 ,(t'-1:,, r')]dtdrdt'dr'+
,_
NN
+ COS <ро l: l: "rh'\'rBiiOkr;
k=l r=l
N
02= JJSJn(t, r)Ч'(/, t', r, r')[l:y.й, 0,(1'--r,, r')]dtdrdt'dr'+
·-
NN
+ sin 'l'o k k 'Y•'YrEiiOkr;
k=\ r=l
N
0,= SfJSn(t, r)Ч'(I, 1', r, r')[l:y,U;o,(1'--r,, r')]dtdrdl'dr'+
k-1
NN
NN
~
+cos 'l'o k k 'Y•'Yт8ij0kr -sin 'Ро k k 'Yk'YrBi;Okr;
k= Г=l
• k=l 1'=1
N
04= fHJn(t, r)Ч'(t, 1', r, r')[l:y,й;o,(l'--r,, r')]dtdrdt'dr'+
k-1
NN
-
NN
+cos <ро k k 'Yk'YrBijOkr +sin <ро k k 'Yl,' YrBijOkr;
k=l т=I
k=l r=l
~
~
BtjOkr= Eijo(т11.-тr); EijOkr= BijO (1'k-Tr).
При ,фиксированных значениях <ро величина Л является квадра
тичной формой от нормально распределенных переменных с мат
рицей ковариации (2.117), в которой теперь
NN
а= ь = k k 'Y•'YтBiiokr,'
k=lr=l
NN
~
d= k k 'Yk'Vr8ijOkr•
k-1 r=l
NN
с= k k 'Y•'YrBijOkr;
k=l r=l
Матрица-столбец средних значений ,слагаемых 0,:
NN
<01)=cos <ро l: l: 'Y•'\'rSiiok,· ;
k=l r=l
174
NN
<е,)= sin q,, L L '\'k '\' ,Eiiok,;
k=1 r-1
NN
NN
<е,)= cos q>o L ~ "l•'l're;;o,,-sin q>o ~ ~ "l•"l•"'iio••;
k=l r=l
k=l r=l
NN
~
NN
<е,)= cos Q)o L L '\'k'\ 'rE;;o,, + sin Q)o ~ L '\'k'\'rEij□-,-
k=I r=I
k=l r=1
Для искомой вероятности ошибки можно получить формулу, ана
логичную (2.89):
р = 1-F ( v~"fac.
7
( 1-+-V~;:::1=л=-2,);--, 1,
vh: (1-V1-л•.))-+ехр( _h;• )z.(л,~• ); (3.113)
_
1NN
h2э= -
2
L ~ "/k"/rEiiOk,;
k=l r=l
(~ f '\'k Уг BIJokг)' +(ii ii '\'k 'l'rBIJokr)'
Л"1.э= k=J r=l
k=l r=I
~},
(t, i, Yk '1'г•11 •• ,)'
Аналогично рассмотренному в § 2.11 можно показать, что вероят
ность ошибки (3.ЫЗ) минимальна при условии
(3.114)
т. е. при условии ортогональности в усиленном смысле системы
сигналов u;o(t, r) при любом ,=,,,*>. При этом вероятность
ошибки
р= +ехр( _h'; )=-1⁄2-ехр{-+~1 ~1 '1',.'1',8',н,].
Если выполняется условие ено(,) =0 при 1:>О, то из последне
го выражения получаем
р= J..ехр(-J.. '2 •'1",h',) = -
1
ехр (--
1
f h',).
2
2 •-1
2
2 ,_,
Следует подчеркнуть, что отклонение от условий (3.114) несу
щественно снижает помехоустойчивость системы (см. анализ в
§ 2.13). Так, при Л.<О,5 и р= 10-5 эквивалентный энергетический
проигрыщ меньще 3 дБ, при Лэ<О,7 проигрыш все еще не превос
ходит 4,8 дБ.
*) Для IWIDКретной ситуа~m-и .можно -r,ре.бовать выполнения успавнй (3:114)
лишь np'lt дtЮКретиых значеяиях 't.
175
Так как условия (3.114) не зависят от У•• то они обеспечивают
оптимальность системы сигналов при неопределенной фазе и про
извольном законе распределения амплитуд.
3.13. Потенциальная помехоустойчивость многопозиционных систем
в двухлучевом рэлеевском канао11е
Будем считать, что межсимвольной интерференцией можно
пренебречь и рассмотрим систему сигналов, в которой выполня
ются условия тождествеииости корреляционных функций и ортого
нальности в усиленном смысле при любом 't, Как указывалось
выше, последнее условие необходимо для получения оптимальной
системы сигналов в многолучевом канале при неопределенной
фазе сигнала.
Вероятность правильного приема в рэлеевском канале опреде
ляется вероятностью выполнения системы неравенств, определяе
мой алгоритмом (3.57) при
z(t, r) =n(t, r) +х,и,0 (1, r) +у,и,0 (1, r) +x,и,o(t-'t, r) +
+y,u,o(i-'t, r).
Слагаемые н., (Н•;) в выражении (3.57) - нормально распреде
ленные случайные величины с нулевыми средними значениями и
матрицей ковариаций (2.100) с элементами
о
о
оо
cr2 ,=cr',=<02,,); а'з= сr2,=(0 2з,>; с=g=<0"0з;); d=e=0.
Воспользовавшись методом характеристических функций и тео
ремой о вычетах, для плотности вероятности квадратичной ,формы
Л,=02 1 ,+022 ,+023 ;+02" получаем
W(Л,) = _!__[ехр(-Л,В,)-ехр(-Л,С,)},
А,
А--2( 2 2) ~fl 4а',u•,-ё> .
где1- о1+uзV-(az
1
+а13)1 ,
В С u•,+u•,
[ 1 ~11 4 u•~,~u,~,---,!'-~]
(3 115)
i,
'= 4(u',u•, -
с') =F JI - (u',+u',)'
'
•
В последнем выражении знак «миНус» соотв~тс:вует Bi, а
«плюс»· - Ci , Для плотности вероятности с.пучаинои величины
Л;=02 ,;+10 22;+0 2з;+е 2,; справедливы соотношения (3.115), если
везде заменить i на j.
Вероятность ошибки рассматриваемых систем
Р= 1 -Jw (Л;) [1' W(Л;)dЛ; ]m-i dЛ,.
Используя формулу бинома Ньютона и интегрируя, получаем
р=1
1т-1 ~1 ±С~-1 С~ (-1)' ( C1-BJ )m-1 -k Х
А,AJ •~ ,~о
В1С1
Х-~ (8С1)'[
1
1
].
CJ
J
в,+kc1+l(B1-C1)
c,+kc1+l(B1-C1)
176
Для двоичной системы от,сюда следует результат
р=
(3.116)
При полном перекрытии посылок (,:=О, ~•=Л2р 12 = 1) из послед
него соотношения
при h2'$I.
(3.117)
При полном разделении лучей (Лр 12 =0) и анализе на вре
менном интервале Та= Т +i: (s2 = 1, отсутствие перекрытий посы
лок) из (3.116) получаем
р=
(2+h'J(2+ ь•h')(1+ ь•+ ь•No)
(3.118)
В области малых ошибок, когда выполнено условие ~262h2 (1-
-Л2р12) '$ l, из (3.116)
3
р~ ~~- --
(3,119)
6• h' '(l-Л2pi,) ~• •
Сравнивая формулы (3.117)-(3.119) с формулами (3.70),
(3.68) при Лр 12 =0, (3.101) при л=l и 62 =1, вндим, что, как и в
однолучевом канале, изменение коэффициента IR, 1 от 1 до О ве
дет для анализируемой системы к эн_ергетическому выигрышу,
равному 2 (3 дБ).
3.14 . Помехоустойчивость двоичных систем
в двухлучевом рэлеевском канале при использовании
алгоритма, оптим,ального в одиолучевом канале
с неопределенной фазой сигнала
Ограничимся рассмотрением систем сигналов с активной пау
зой, ортогональных в усиленном смысле. Положим, что приемное
устройство оптимально в однолучевом канале при случайной фа
зе сигнала. В соответствии с анализируемым алгоритмом приема
регистрируется i-я (i=0,1) позиция символа, если
Л=В2 ,+е2,-е 2з-6',>О,
(3.120)
rдeB,=JJz(I, r)Uoпio(I, r)dldr; 02 =jj z(t,r)йou;o(t, r)dtdr;
Вз= SJz(t, r)Uoп;o(I, r) dtdr; 6,=JSz(t, r)йои;о(I, r)dtdr. (3.121)
Положим, что запаздывание между лучами ,:~ Т, т. е. пере
крываются только соседние посылки, и что параметры канала х,н
у, (k= 1,2) не меняются на интервале 2Т. Тогда при передаче
177
сигнала s,(1) (i=O,l) н условии, что ему предшествовал сигнал
s, (1) (1=0, 1), анализируемое колебание
z(t, r) =n(t, r) + х1 и;о(t, r) +у,й,0 (t, r) +x2u; 0 (t-,, r) +
+у2 й;0 (1-т, r) +х2 ию(t+Т-т, r) +у2 йю(t+Т-т, r).
(3.122)
Вероятность ошибки р,,, при передаче символа i-й позицип
(i=O,I), которому предшествовал символ 1-й позиции (/=0,1),
определяется вероятностью невыполнения неравенства (3.120) с
учетом выражений (3.121) н (3.122).
Нормально распределенные слагаемые ,е, в неравенстве (3.120)
имеют матрицу ковариации (2.117) с учетом того, что теперь а=
=2,h
2
0
(l +h2+б2h2П21,), где h2 2h2 0 cr
2
1
;
б2 =cr22/cr2 1 - отношение
дисперсий двух лучей;
П',, = [е,. (т) + ,,, <•)1' + 1-;,, (<) + ;,, (т)J' :s;::: 1;
(2h'0 )'
~
е;;(т) = J Jи,о(t-т, r)Иоп;о(/, r)dtdr;
е;;(,)= JJи,o(I-,;, r)йou;o(/, r)dtdr;
е,,(т)= fSu,o(l+T-,;, r)иouio(t, r)dtdr;
;,,(,)= JJию(l+Т-т, r)йouio(I, r)dtdr;
b=2h2o(l +ll2h'П2;,,);
п1,,= !•11(<) + •ц(<)12 + [eu(т)+ "',,1 (<)]' ,,;;; 1;
(2h'0) 2
с=а22{(ен(т) + е:; (т)][е,;(,;) + щ (т)J +
+ [е;; (т) +~,, (,;)] (;,; (т) +;,; (т)] };
-
-
d=а2,{[ен(т) +еи(т)] [е;;(т) +е,;(т)]-
-(;;; (т) +;,, (т)] [е,; (т)-1-щ(т)]}.
Вероятность ошибки р,.; определяется (2.118) при m;;=O, т. е.
+(1- V 1-1-1.,щ).
ац1
Р1 , = ::-:--;;:::==:-;-:=::--;;:::::==-
,
2Vl+ащ(1-1-VI+ащ)
где a;;;=4(ab-c2-d2)/(a-b) 2.
После подстановки значений а, Ь, с~ d находим
н -·- 4\1 +No+62No(п•,,+П'т)+62Ch')'Н'тl
_
.. .,,,llJ-
-
•
(h2) 2 [1-!-~'(П'u-JJ';,,)]'
1[l
h2 [1-j-62 (П 2,,-П•;н)]
р, '=-
-
;-,=======:sc============s====~
•
2
V4[1+h'+6'h'(П'н+11';,,)+6•(h')'П'тl+-
-
-1- (h2 )
2
[1-1-6
2
(П'и - П'т)]' J
178
(3.123)
При б2 =0 (отсутствие второго луча) последнее соотношение
переходит в известную формулу для вероятности ошибки двоичной
ортогональной в усиленном смысле системы (ЧМ) в рэлеевском
канале
(3,124)
Если б 2 >0, запаздывание второго луча -r>O и выполняются
условия полного разделения лучей, то П2,,=П 2т=0 и вероят
ность ошибки снова определяется (3.124).
Отличие от нуля величин -б2 , ll2ti, П 2jti может существенно по
влиять на помехоустойчивость системы. Кроме того, в этом случае
канал оказывается несимметричным. Если межсимвольной интер-
ференцией можно пренебречь (еи (-r) =е,, (-r) =0),
П',, ••н (т) + ~н (т)
(2h20)'
В этом случае при использовании сигналов с тождественными
корреляционными функциями по огибающей вероятность ошибки
оказывается не зависящей от номера передаваемой позиции. Осо
бенность (3.123) состоит в том, что Pli не стремится к нулю при
h'-+oo. Другими словами, для анализируемого канала существует
предельная вероятность ошибки, не зависящая от отношения сиг
нал/помеха·:
Р11 =-!-[!--
l+б'(П'ц-II'Jli)
]
(3.125)
'
ПРеД 2
.
V4б'п•щ+[l +
6' (п•,,
-П'щ)]' •
Rероятность (3.125) обращается в нуль при П;н=О независимо
от значений П21i и 62.
Заметим, что если отсутствует межсимвольная интерференция,
но не выполнено условие ортогональности в усиленном смысле
при любом -r, то П 2 ;,,,;о,О и, следовательно, существует предельная
вероятность ошибки, не зависящая от fi.2 . Если система ортого
нальна в усиленном смысле при любом 't и, кроме того, выполнено
условие тождественности корреляционной функции сигналов по
огибающей, то
fi2·-П'· - 2 _ е•,,(т)+••,,(т)
1
'-
'"-
р-
(2h'
0
)2
В этом случае канал согласно (3.123) оказывается симметрич
ным и вероятность ошибки
р=_l[
h'
.
]
(3.126)
2 V4[l+ h'+ 6•h'2р'+h'2(l+ 46•р')]
Предельная вероятность ошибки Рпvед=О,5(1-1/ V 1+4бip2-J.
179
При б 2 =р2 = 1 предельное значение вероятности ошибки мак
симально рпрец=О,28. Зависимость p(h2 ), найденная по (3.126)
при значениях параметров б2р2 =0; 0,025; 0,125; 0,25, показана на
рис. 3.9. Из кривых следует, что выравнивание интенсивностей лу-
10'
101
101
10'
10•
,1
,,
ор •Цl5
ffj/=Ц/15
р
Рис. 3.9
чей (62-+ 1) и увеличение интервала корреляции сигналов (р 2--><1)
nедут к понижению помехоустойчивости приемника, оптимального
в однолучевом канале.
3.15. Сравнение эффективности некоторых систем,
предложенных для использования в многолучевых каналах
радиосвязи для передачи дискретных сообщений
при чисто временной обработке сигнала
Для передачи дискретных сообщений в многолучевых каналах
(в частности, декаметровоrо диапазона) в разное время было
предложено много различных систем связи. Некоторые из этих
систем не нашли широкого внедрения, однако могут служить ил
люстрацией тех принципов, которые использовали разработчики
аппаратуры передачи дискретных сообщений по стохастическим
каналам с многолучевой структурой. Представляет интерес оцен
ка сравнительной эффективности некоторых из предложенных дво
JР1ных систем при использовании простых кодов 1 и обработке сиг~
пала в одной точке пространства.
Пусть фиксированы пиковая мощность передатчика Рпер и ско
рост,, передачи информации
/'
n;
/
=-
Vi, дв. ед. с,
т,
1 Для каждой из сра.внИIВаеrмых систем существуют рекомендации rпо наи
более рациональному способу внесения ,избыточности в переда·ваемые сигналы
(в ча-стности, для последовательных онстем !Весьма эффекти-вио использование
простейших .кодов с обна•ружением ошибок и канала обратной связи для заnро
са повторения пере.дачи), однако эти ~вопросы здесь не рассма11ри·ваются.
180
где ni - число каналов частотного разделения i-й системы; Ti -
длительность посылки; v; - коэффициент замедления передачи
во времени.
Сравним между собой по эквивалентной вероятности ошибки
рё, семь типов предложенных систем связи при оптимальном коге
рентном приеме, полагая для удобства сравнения, что во всех си
стемах используются противоположные сигналы (ФМ).
l(анал будем считать двухлучевым с гауссовской помехой и
:медленными некоррелированными рэлеевскими замираниями амп
литуд 1 .
Инвариантами сравнения являются величины
-
-
...а.
1
-
μ1
--
h2э=y2 1Pпep/NJ'=y2 1Piniμi- Ti/Nэv1.=h2in i- vt; fP=y22/y21.
где μi - показатель использования пиковой мощности передат
чика в каждом частотном канале; Pi - пиковая мощность в каж
дом частотном канале; y2k - средний квадрат коэффициента пе
редачи канала для k-ro луча.
В рассматриваемых условиях р,= р - вероятности ошибочно-
го приема элемента сигнала и h2 • -
h2 - "-'-
.
Сравниваются сле-
1- э пμi-1
дующие системы:
1. Система связи с приемом по одному лучу (такой прием
обеспечивается, например, пространственной избирательностью
[ 128J или специальной схемой выделения сигнала одного луча
[162 ).
2. Система АМЕ [163] со скачкообразным изменением часто
ты сигнала от посылки к посылке, исключающая (при соответст
вующей обработке в месте приема) межсимвольную интерферен
цию.
Если все частоты, соответствующие одной позиции, передают
в таких системах одну и ту же информацию, то происходит обмен
скорости передачи информации на верность связи (за счет разне
сенного приема). Такой вариант системы здесь не рассматрива
ется.
Частоты системы АМЕ могут при манипуляции по фазе приии
·мать одно из /, значении, где l~'tma:x!T.
Минимальная полоса частот, занимаемая системой•, F=
=l/T';;i,тmaxf Т'.
3. Система с защитным интервалом 'tэaщ=-rmax между инфор
мационными посылками на передаче. Анализ принимаемого коле
бания осушествляется на интервале Та=Т+ттах- Здесь коэффи
циент замедления v3 = 1/ (1 +ттах/Т).
1 Ниже GР81ВНИтель11ая эффективность па,раллельной системы 6 и последQ
вательной системы 7 рассма-~,ривается !И в Qб.шем rаусtор-ском ка,и•nе.
2 При манипуляции по частоте, дейетвитепьно реализов_анноИ р системе
АМЕ, ЧИ'Сло l, а соответственно и полосу F следует удвоить_.
181
4. Система со сложными сигналами (большой базой) при ана
лизе на интервале Та= Т +-rтах (например, «Рейк» [177]).
5. Система 4 в многоканальном (по частоте) варианте.
б. Система укороченного интегрирования, в решающем блоке
приемника которой анализируется лишь часть сигнальной посыл
ки ( f а= Т-Ттах), Не Пораженная ЭХО-СИГНаЛ8МИ предыдущих ПО
СЫЛОК (например, система «Кинеплекс» [172], МС [95]). Заме
тим, что в таких системах существует минимальная длительность
посылки, при которой еще возможна надежная связь в каналах с
эхо-сигналами [ 128].
7. Система СИИП (с испытательным импульсом и предсказа•
нием), осуществляющая прием в целом с поэлементным приняти
е-м решения на интервале Та=Т+ттах и рассмотренная выше.
Здесь коэффициент замедления v,=1-(Т+2тmах)/Ти (Ти - пе
риод следования испытательного импульса).
Предполагается, что в сравниваемых системах (за исключе
нием систем 4 и 5) используются простые сигналы.
Кроме того, будем считать, что системы 1-4 работают при
одинаковой длительности посылки Т. Первые две являются одно
канальными по частоте, т. е. последовательными модемами и обес
печивают скорость передачи информации /' = 1/Т, дв. ед./с. Такая
же скорость обеспечивается системой 4, однако последняя исполь
зует сложные сигналы и занимает существенно более широкую
полосу частот канала. По этой причине система 4 в одноканаль
ном варианте характеризуется очень низкой удельной скоростью
передачи информации на 1 Гц полосы. В системе 4 возможно
размещение без существенных взаимных помех при почти неиз
менной общей полосе частот нескольких (r> 1) частотных кана
лов'. Таким образом получают систему 5. Заметим, что при оди
наковой скорости передачи информации длительность посылки в
системе 5 равна Tr.
Чтобы в системе 3 обеспечить такую же скорость передачи ин
формации, как в других системах, следует применять многока
нальную передачу с разделением по частоте (многочастотный или
параллельный модем), причем число каналов n=[.Z'T :, ] + 1=
=2+ [I'-rmax]. Для системы 6 будем считать, что время анализа
на приеме Т,=Т= 1//', в то время как длительность посылки на
передаче, определяющая скорость в одном частотном канале, рав
на T6 =T+-rmax=l/l'(l+l'-rma,). Чтобы при этих условиях полу
чить скорость передачи /', необходима п-канальная
система с
разделением по частоте, где n=2+{l''<max]• (параллельный мо
дем). Система 7 является одноканальной. Длительность посылки
на передаче T7 =v7/l'=0,75l'. Полагая, что
фиксированная ско
рость !'> 1/тт;п ('<min - минимальное запаздывание между луча-
1 ВелиЧ1Ииа r<Ь/2, Ь- база cиrнaJIO'S.
• ·Фа:ктнческк rакке модемы ра&тают с большой длнrельностью
посылок
на 1Передаче (большим числом канапов п}.
182
ми), учтем, что в системах 3 и 7 разделяются лучи в месте прие
ма 1.
Значения энергетического выигрыша 1];11 перехода от системы
i= ! к системе j (i=2, 3, 4, 5, 6, 7) при фиксированной средней
скорости передачи информации и вероятности ошибки приведены
в табл. 3.2.
Из таблицы видно, что наибольший энергетический выигрыш в
многолучевом канале обеспечивают система 4 с большой базой
(при небольшом числе частотных каналов r) и система 7 СИИП.
Однако более полный показатель качества должен также учиты~
вать и эффективность использования системой полосы частот ка
нала.
Поэтому проведем сравнение рассматриваемых систем по об
общенному энергетическому выигрышу 'tl• j/i перехода от системы
1 к системе j (j= 2, 3, 4, 5, 6, 7), который рассчитаем по (1.95).
При использовании в системе 2 манипуляции по фазе имеем
ТJ'2/1 =1J2n-I0 !g (2: + 1);
ь
ri',11=1J1/I; ТJ'4!1·=ТJ•n-10 lg-; 1:=1'1:тах•
2
Если считать, что в системах частотного уплотнения разность
между частотами равна минимально возможной величине 1/Та
(Та - время анализа посылки на приеме), то
т~'зп=ТJЗ/1-101g(2: +!); 1J'6/1=1Jsп-I0lg(2:+l).
Для системы с частотным разделением каналов и сложными
сигналами приближенно можно считать, что
'1'511 =risп-l0!g _1!__ =1]4!1-10 lg 2~ .. .
2r
2r~
51сно, что значение ч•s1, при заданной базе сигнала Ь макси
мально, когда r максимально, т. е. r=·Ь/2 (при μ=2 значение r
несущественно) :
•
,Р-1
'1511 = ТJ•11-I0 lg - 2
-
•
Значения обобщенного энергетического выигрыша сравниваемых
систем также приведены в табл. 3.2 .
Из таблицы видно, что из сравниваемых систем наибольший
обобщенный выигрыш обеспечивает система СИИП. Также вид
но, что для получения больших скоростей передачи информации
по радиоканаJ1ам с эхо-сигналами энергетически более выгодными
яJ;Jляются такие двоичные системы связи с простыми сигналами, в
которых эта скорость обеспечивается за счет сокращения длитель
ности посылки (последовательные системы), а не за счет увеличе
ния числа разделенных по частоте каналов (параллельные си-
1 Речь и1д·ет о реаюции ка1нала на и~апытате.льный и,м:~пульс
Коэффициент эамедпен.ня v7=0,75 учитырает ха·рактероктИIКЯ
модема СИИП [ 43].
В CИCTet.\te 7.
разработанного
183
i1
2
1
3
а= Т/Т
1
а=т/Т
о
0,25
0,5
;е1
;е1
!О lg(l+б2) !О i/•25 б
0,286
о
0,бб(l+:Е)
' 11/1' дБ
-v,;
10 lg -V,,
10lg VP
I0lg(l+б')-
0,256
0,28б -!ОlgХ
О,бб(l+:Е)v--- 1
'1•,11• дБ -!О \g(~+
ю1gVi> - 101gVii -
X(~+I)
!Olg-y'j,--
+ 1) -10 lg(~+l) -10 lg(}J+I)
Для значений p=IO-'; /
1
=2400 бит/с;
'1 1/1' дБ
3,01
13, 78
14,47
о
-0,49, V=2
4,07, V= \,5
'l'J/1' дБ
-6,13
4,84
5,33
-9,14
-9,63. V=2
- 5,07, V= J,5
стемы). Другими словам1:1, временное разделение каналов оказы
вается более эффективны·м, чем частотное. Заметим, что чем ко
роче элементы сигнала, тем с большим основанием радиоканал
может считаться локально-идеальным.
Эффективность системы со сложными сигналами при большом
'Шсле каналов разделения существенно зависит от показателя нс•
пользования пиковой мощности передатчика μ.
Энергия дополнительных лучей может быть использована в
каналах с эхо-сигналами для существенного повышения помехо
устойчивости. Предельное использование этой энергии достигает
ся, в частности, в системах со сложн-ыми сигналами. Последние,
однако, при ограниченном числе разделенных по частоте каналов
характеризуются низкой величиной обобщенного выигрыша. Ис
пользование подобных систем исключается в тех случаях, когда
важно при зада.иной помехоустойчивостп получить как мо~но
большую скорость передачи на единицу полос~• ,iacтot. !<роме то
го, требуемую для таких систем суммарную полосу частот можно
выделить'· не во всех диапазонах волн, использхемых для пере•
дачи.
дискуссия
ПОСЛ~!(ОВа
ЭТИ вопро•
Поскольку в литературе до сих пор продолжается
относительно сравни~ельных достоинств и недостат.ков
тельных и параллельных систем передачи, рассмотрим
сы несколько подробнее.
Зная зависимости р (h2) при различных методах формиро'вания
группового сигнала, способах приема, моделях каналах связи и
учитывая неидеальности элементов радиотракта, можно провести
детальное сравнение различных систем связи при фиксированной
184
ТабJtица 3.2
4
1
5
~6
1
7
Примечания
дf = 1/Tmfn
-
т, = (l + ~)//' Т,=0,75/1'
Ь»l
0,66
0,66
101 l+б' 1О lg 0,66 l'-I{T=cons
10 lg У.о
I0lgy v-l
g(l + ~>·
p3 =p=const
pr
"VP
t
О,бб
0,бб
101 l+б'
lOlg ;:; ~ = l''tmaж
10lgУ.о -
10 lgy v-t
-
g(1+ r)•
pr
61 =a1s/a11 ~ 1
ь
ь
-
lOlg -
-10 lg-
- lOlg(~+l)
2
2,
't'mаж=З мс; 1:=7,2; б 2 =1; b=IOO; r-50
17, 78
0,79, '\.' = 2
- 15,27, v=2
17,78
9,29, V = 1,5
- 10,7, •= 1,5
6,92
0,79, v=2
- 24,41, v=2
17,78
9,29, V= 1,5
-19,84, V = 1,5
общей скорости передачи информации и фиксированной средней
мощности передатчика 1• Проведем такое сравнение применитель
но к отдельным моделям каналов, характерным для связи в дека
метровом диапазоне волн.
1. Одиолучевой rауссовский канал с медленными замираниями
или без замираний. Теоретическая помехоустойчивость параллель
ных и последовательных систем при фиксированном комплексном
коэффициенте передачи такого канала одинакова, так как в па
раллельной системе средняя мощность передатчика делится поров
ну между всеми частотными подканалами, но и в последователь
ной системе во столько же раз по сравнению с одноканальным
трактом снижается энергия посылки за счет сокращения ее дли·
тельности.
В анализируемом канале отсутствуют селективные замирания
и качество всех частотных подканалов в каждый момент времени
одинаково. Ошибки в обеих системах будут иметь место тогда,
когда уровень помех приблизится к уровню сигнала.
Таким образом, в однолучевом канале теория не отдает пред
почтения параллельной или последовательной системе. Инженер
ная практика, однако, и для такого канала выявила ряд реализа
ционных преимуществ последовательных систем над параллель
ными [58], в частности в последовательных системах, работающих
с меньшими длительностями элемента сигнала Т по сравнению с
параллельными системами, легче решаются вопросы обеспечения
1 Лр,и фwюнрова,н,ной пиковой мощности передатчика прощрыw в парал
лельных .си.стемах растет.
185
необходимой стабильности частот возбудителя передатчика и ге
теродина приемника. Кроме того, в этих системах могут быть по
лучеиы меньшие значения несократимой вероятности ошибки,
возникающей при наличии выбросов скорости изменения фазы в
канале. Так согласно (3.112) для любых двоичных систем с ак-
1·ивной паузой, ортогональных в усиленном смысле (ЧМ, ОФМ и
другие), в рэлеевском канале с коэффициентом корреляции ква
дратурных компонент на интервале элемента •R (Т) несократимая
вероятность ошибки Рщ,= ( 1-;R ( Т)) /2. При экспоненциальной ап
проксимации R (Т) =е-'1 'иорр ::::, 1-T/-rRopp {при -rмрр~ Т). При
гауссовской аппроксимации <R(T) =е-Т'/'''и0•Р,:е 1-Т2/2-r2иорр (при
Тнорр~Т). Таким образом, Рпр"'='Т/2,иорр в случае экспоненциаль
ной корреляционной функции и Рпр::::, Т2/2-r2иорр в гауссовском слу
чае.
Если в последовательной системе обеспечена несократимая
вероятность ошибки Рпослед= 10-4
, то в параллельной системе,
в
которой для обеспечения одинаковой скорости передачи информа
ции /'=2400 бит/с при "tmax=3 мс требуется увеличение длитель-
11ости элемента сигнала в т.;т,= (1+I'-rmax)/0,75=t11 (см. табл.
3.2), вероятность ошибки Рпар= 1, 1 • 1О- 3 при экспоненциальной
корреляции и Рпар= 1,21 •10-2 при гауссовской корреляции.
2. Двухлучевой гауссовский канал с медленнымl! райсовскими
замираниями и равномерно распределенным фазовым сдвигом
между регулярными компонентами лучей. Если регулярные ком
поненты соизмеримы, то распределение огибающей суммарного
сигнала, определяющей достоверность приема в параллельной си
стеме, становится менее благоприятным, чем у каждого луча в
отдельности, а при больших q' порой даже хуже рэлеевского. Это
видно из сравнения формул для вероятности ошибок в двухлуче
вом канале (3.73), (3.76) и в однолучевом райсовском канале
(2.80) при когерентном приеме.
Таким образом. рассматриваемая модель канала n случае па
галлельной системы ведет к ухудшению качества приема по срав
нению с приемом по одному лучу, причем с ростом q' (улучшение
условий в каждом луче) потеря достоверности увеличивается.
В последовательной системе при поэлементном приеме на ин
тервале Та= (D+1)T или при приеме на интервале Та--:-Т с авто
выбором сказывается эффект разнесения, причем тем сильнее, чем
меньше q2 и больше (в некоторых допустимых пределах) запазды
вание эхо-сигнала. Это видно из сравнения формул для вероятно- •
сти ошибок в двухлучевом канале (3.72), (3.75) в однолучевом с
теми же замираниями (2.80).
Итак, анализируемая двухлучевая модель по сравнению с пре
дыдущей однолучевой дает ухудшение качества в случае парал
лельной системы и улучшение - в случае последовательной.
3. Двухлучевой канал с рэлеевскими замираниями в каждом
Jiyчe. Появление второго луча уменьшает вероятность ошибки в
параллельной системе в 2 раза [сравните (3.70) и (2.80)]. Одна-
186
ко выигрыш в последовательной системе и в этом случае больше,
чем в параллельной. Относительный выигрыш, определяемый
(3.71), при большом временном рассеянии (малом Л2р 12 ) всегда
больше 1 (например, при достоверности р= 10-2 и Лр 12 =0 равен
4,6дБ).
4. Двухлучевой канал с односторонне-нормальными замирания
ми в каждом луче. Появление второго луча уменьшает вероятность
ошибки в параллельной системе в 2 раза [сравните (3.107) 11
(3.79) при Лр 12 =0]. Но выигрыш в последовательной системе за
счет второго луча значительно более ощутим [ например, относи
тельный выигрыш, определяемый формулой (3.81) при Лр 12 =0 и
p=I0-', равен 40 дБ].
Статистика реального канала не укладывается в жесткие рамки
конкретного распределения (модели канала). Каналы с частотно
временнЬlм рассеянием нестационарны, и параметры, фиксирован
ные при анализе, в действительности медленно меняются, сохраняя
свои значения лишь на интервале локальной стационарности. В те
~ение суток на конкретной радиолинии изменяются глубина и ско
рость интерференционных замираний - параметры q2 и ,R (,;), сред
няя величина превышения h2 и даже число и взаимное запаздыва
ние лучей [2, 32, 3б, 47, 68, 100, 128, 137]. Именно по этой причине
практика организации радиосвязи предусматривает смену рабочих
частот на одной и той же трассе в течение суток и в течение года.
Нестационарность канала не позволяет применить формулы вы
игрыша системы связи для непосредственного экономического рас
чета эффективности внедрения последователрного способа передачи
информации. Однако ясно, что если больший или меньший выиг
рыш имеет место при любой статистике канала, а в однолучевом
режиме нет ни выигрыша, ни проигрыша, то в среднем будет обна
ружен выигрыш. На «легких» трассах этот выигрыш меньше, на
«тяжелых» (характеризующихся интенсивной многолучевостью и
r,1убокими замираниями) - больше.
Считая, например, что на некоторой трассе
канала встречаются в процентном отношении,
3.3, получаем с учетом (3.77), (3.74), (3.71) и
отдельные модели
указанном в табл.
(3.81) при Лр12=О,
Номер 1
модели
2
3
4
5
Таблица 3.3
Модель
Однолучевой канал с медленными квазирэлеевскими замира
ниями
Двухлучевой канал с медленными квазирэлеевскими замираниями
Двухлучевой канал без замираний с равномерно распределен
ным фазовым сдвигом между регулярными компонентами обоих
лучей
Двухлучевой канал с рэлеевскими замираниями в каждом луче
Двухлучевой канал с односторонне-нормальными замираниями в
лучах
1
Время,%
15
15
20
25
25
187
что средний выигрыш последовательных систем над параллельными
(3.127)
Изменение вероятностных характеристик радиоканала во време
ни и соответствующее изменение достоверности приема в принципе
можно компенсировать изменением мощности передатчика (если
JJi Параиельна.н
та'
сисl~
,r/
та'
2134
2500
ia'
286,6
5· 10'
допустимая вероятность
ошибки больше несокра
тимой вероятности) и в
целом получить соответ
ствующий экономический
эффект. Однако это мало
эффективный путь, и на
практике поступают ина
че, осуществляя смену ра
бочих частот. Если мощ
ность передатчика в те·
чение эксплуатации не
регулируется, а достовер
ность
приема должна
Пиr:лсОоОателаная поддерживаться не хуже
~~~---"- - -- -~ систf!ма
заданной, то средний вы
J5
6.9
оRб
в
Рис. 3.10
г
д
игрыш определяется по
отношению
мощностей
( или средних превыше-
1ний h2), обеспечивающих
требуемое качес-гво соот
ьатственно в параллель-
ной и последовательной
системах.
Примерный расчет иллюстрируется рис. 3.10. По оси абсцисс
откладываются отрезки, отображающие процент времени, в течение
которого имеет место тот или иной механизм распространения (см.
табл. 3.3) и справедлива соответствующая математическая модель
канала. Приведенный конкретный пример близок к практической
ситуации на трассах декаметрового диапазона средней протяжен
ности. По оси ординат отложены соответствующие значения сред
них превышений h2 для систем параллельной и последовательной
передач, обеспечивающих требуемую (при одиночном приеме) ве
роятность ошибки 10-• и определяемые (3.75) и (З.76); (3.72) и
(3.73); (3.68) и (3.70); (3.79) и (3.80), причем вероятности ошибок
для последовательных систем определяются соответствующими
формулами при Лр 12 =0. Для того чтобы одним передатчиком обес
печивать работоспособносп, каждой системы при всех рассмотрен
ных моделях канала выбираем для каждой системы максималь
ные значения лh2 . Они оказываются равными
М2партах=5000000 (67 дБ); 'Аh2послтах=2500 (34 дБ).
188
Определим условный выигрыш последовательной системы над па
раллельной' ТJrсл=h2пар тахlh'посл тах=2000 (33 дБ). Заметим, что
средний энергетический выигрыш последовательной системы над
параллельной, определяемый (3.127), в рассматриваемом случае
(р= 10-4 ) равен 94 ООО (49,7 дБ).
Как видно, условный выигрыш не зависит от соотношения вре
мени существования отдельных механизмов распространения. Ди
скретные графики, показанные на рис. 3. 1О, можно превратить в
непрерывные кривые, внося уточнения в распределение характери
стик канала во времени и уменьшая интервалы локальной стацио
нарности. Условный выигрыш в децибелах будет определен при
этом как разность максимальных значений '1.h 2uap и Лfi2посл, найден~
пых по этим плавным кривым.
Выигрыш последовательной системы может быть реализован и
без замены передатчика на менее мощный. Дело в том, что при од
ном и том же качестве и при одинаковой мощности передатчика
последовательная система работоспособна при большем факторе
рассеяния канала К =ЛfтахЛ~тах, чем параллельная (37, 58], т. е.
позволяет с большей свободой маневрировать частотами связи. Это
открывает, например, дJlя связи в декаметровом диапазоне новые
возможности совершенствования волнового расписания. На ряде
линий, где сегодня необходима периодическая смена рабочих ча
стот, последовательный модем может непрерывно работать с одной
несущей.
Выводы
1. В МН10rолуч:евых ка.налах с межсиьовольной интерференцией (1Ка.налах с
памятью) и а1ддитивным шумом оотимальный nрием дискретных сообщений тре•
бует о6ра6отюи в целом всей цепочки переданных символов. Такой прием мож
но практИ'Чеоки осущестtвить в реаль-ном времени, если пе:редавать 1-tнформа•
цию отдельными лакета1ми си-м,волов, а между юtм·и оставлять защитные п,ро•
,межу'f!КИ, которые м-ожно использовать для ,изучения состояния канала. Та,кая
система связи, .в частности, может ,быть реалкзо.ва,на в фор,ме последователь•
ной СИ-с1'емы с испытательным имnулысам и предсказанием (СИИП), осущест-в•
ляющей црием •В целом всего nЭ1Кета 1рабоЧ1ИХ •ИМ!Пульсов.
2. Для каIиала с ме.ж,символь1юй и.ят~ре.нцией. -болъnюй. интерес <Ilpe.д•
ставляет .поиск 1Простых алгор'И1'мов приема Iв целом, не требующих перебора
бол1,1шого 'ЧИела гипотез, в частности алгоритм аналоговой демодуляции сим•
волов цепо'-llки с ДJискретизацисй решения. Такой алrорит:м при сла6ой межсим•
вольной интерференци;и обоопечк-вает п,омехоустойчmюсть, близкую к потенци•
альной.
3. В ряде случаев 111ри п,риеме в целом вместо щ~ребора всех комбинаций
цепочек сим,волов на •интервале анализа моrу-т быть предложены ,реализуемые
в реальном масштабе &реме.ни алгоритмы сокращеН-НQГО юшраrвленноrо Jiepe•
бора.
4. Алгоритм оптНtмапьноrо поэлементного ~приема в канапе с межсимволь
ной интерференцией и а.ддИ1'ИIВНЫ'М шумам на вре..\fеннбм -ин-тер.зале :анализа
Та= (D+ 1) Т •(D - фИ1юси1роваНiная задержка принятия решения, Т - та,ктовый
I МЗIКDИМально воэмо~ыА IВЫИI1РЫШ отличае'l'!СЯ от условного. Так. соrлас•
но ,рие. 3.10 ма.ксимальный вьmr,рыш fJ=56,7 дБ соответствует двухлучеIОму
каналу без замюраний.
189
интервал) nрн извест,аом точно сигнале реализуется в общем сл.учае достаточ
но СJiожной нелНiнейиой схемой. Определенное упрощение насту,пает, если вое•
пользоваться обратной авязью по -решению, позволяющей аычесть «хвосты» от
символов, предшествующих анаЛIИЗируемому.
5. Линейный алгоритм приема в целом на в~ременнбм интервале анализа
Та= (D+l)T с поэлементным принятием решения (обобщенный алгоритм мак
симального пра1вдоподобия) нес,уще.ст~вен,но уступает Пiри rауссов~ском шуме по
помехоу.стойчивости оптималь·ному алrори'I'м-у поэлементного -пl})нема.
6. Пр.и :неопределенной фазе оптималыный п,рием в ·многолучевом канале
реалИ13уетtя: достаточ.но просто, есл-и обеооечены разделение •И фазированне от
дельных л•учей (моrерен11ное СJiоже-ние).
7. Опnмальный прием при неселектив.ных обЩ!Их гауссовс·ких замираниях
лучей в общем случае реа~лпз,уется линейно-«вадратичной схемой, n~редпола,rаю
щей сав-мес11ную обра1001'!ку СИ['!Налов 011дельных лучей.
8. Помехоустойq,ив·ость 1При оптиомальном поэлементном приеме двоичных
сигналов, а также nри субоптиrмаJiьном приеме .в целом с 1Поэле,мен11ным при
нятием реше111ия (СИИП) в !Канале с межсимвольной ·интерференцией и точно
известных сигналах в о6лас-ги больших огиошепий сигнал/шум несущесnJен.но
отличается 'ОТ ~предельно возмож,ной (ммеющеii ,место при отсутствии межси,м
вольной 'И•Нтерференции).
9. Оптmмальная (су~боп11И,маль'Ная) обра,ботка в м·ноrмучевых общих гаус
совоких каналах с меж-символьной интерференцией для последовательных сие•
тем .m:e-r,дa приводит .к .определенному энергетическому выи111ышу по о-nношению
к ,п,р,ием,у 'В однолучевом канале. Этот ;Выигрыш возрастает по мере ухудшения
качества канала.
10. Помехоустойчи,вость 1цросrейшего варианта СИИП (осуществляющего
анализ сиг-нала на временном интервале Та=Т) во многих случаях оказыва
ется достаточной для ero п1ра1К'ГИf'lеокого жmользования. Совмест,но со схемой
автовьrбора интервала а~налнза етат п·рием.ник обеспечИJвает помехоуС'Т'Ойчивость,
которая во мноп1х случаях пра1ктнчвсюн не отличается от поте-нцналъной.
11. При ,реализа.uми когерентноrо приема .дJвоичных сигналов уменьшение
корреляции между опорным и действительно принимаемым сиr,наламм (обус
ловленное, в частности, ненулевой с.коростью замираний в канале) •ведет к по
тере ·nо.мехоустойчивост,и которая может оказаться весьма существенной.
12. Прием, оптимальный в однолучевом рэлеевоком канале с неоп,ределен•
ной фазой, в услоонях многолучев,ого рэлеевского ка,нала с межсн-мвольной нн
те-рфереНiд'Ией обуслооливает наличие несократимой верОЯТIНОСТИ ошибки. При
отсутствии межс-имвопьной инт~ференции эта вероятность ра1вна нулю неза
висимо от ,виутрисимвольной интерференции в ,канале ,и относительной интен
СИВIНОС'I"И отдельных лучей.
13. Gреди различных систем передачи дискретных сообщений, предложен
ных в разное -время для напОJJьзовання в мноrолучевых /Каналах радиос'Вязн
(в частности, в дека-мет,ровом диаJПазоне), особый интерес предстЗ1вляст после
довательная двоичная система с испытательным импульсо~ и п.редсказан,ием
(СИИП).
Глава 4
Разнесенный прием
Разнесенный прием - эффективное средство повышения досто
верности и надежности связи в условиях замираний сигнала и на
личия аддитивных помех. Если замираний сигнала нет, помехо
устойчивость при разнесенном приеме определяется степенью кор
реляции помехи в отдельных ветвях разнесения. При замираниях
сигналов возникают дополнительные возможности повышения поме-
190
хоустойчивости за счет слабой корреляции самого сигнала в от
дельных ветвях разнесения.
В системах разнесенного приема обеспечивается параллельная
передача [4,128] одной и той же информации по нескольким кана
лам. В радиоканалах различают, по крайней мере, шесть видов раз
несения 1 : во времени, по частоте, углу прихода лучей, в простран
стве, за счет поляризации и по отдельным лучам при многолучевом
распр·остранении.
'
Разнесение во времени обычно сводится к повторению сигнала.
Если время корреляции процесса замирания невелико по сравне
нию с длительностью элемента сигнала, то такое разнесение эффек
тивно. Однако это условие во многих каналах с достаточно медлен
ными замираниями не выполняется.
Разнесение по частоте основано на селективном по частоте ха
рактере замираний. Один и тот же сигнал излучается при этом на
разных частотах одним или несколькими передатчиками. Первый
вариант проще в реализации и сводится по существу к многока
нальной передаче с частотным разделением каналов, при втором
варианте можно более выгодно использовать мощность передатчи-
1юв.
При разнесении по углам (применяется в высокочастотных диа
пазонах связи) анте1шой с соответствующей диаграммой направ
ленности селектируются сигналы, приходящие в точку приема под
различными углами [92]. При слабой корреляции между сигнала
ми такая система весьма эффективна.
Возможности непрерывной ПВ обработки поля (разнесение по
пространству) антеннами с непрерывным раскрывом для повыше
ния помехоустойчивости связи были рассмотрены в предыдущих
г.11авах. Здесь будет анализироваться лишь дискретная по простран
ству обработка поля, преимущественно применяемая на практике.
В этом случае сигнал одновременно принимается на две или более
антенны и используется то обстоятельство, что замирания одного
н того же сигнала в различных антеннах при определенном их уда
мнии друг от друга не совпадают во времени.
При поляризационном разнесении обычно работают независи
мые приемные антенны, расположенные в одном месте, но выде
ляющие и обрабатывающие отдельные, различно поляризованные,
компоненты сигнала. Системы связи с поляризационным разнесе
нием применяются там, где нельзя разместить несколько антенн.
Очень часто сигналы в антеннах, обрабатывающих различные
поляризационные компоненты, оказываются слабо коррелирован
ными, и в этом случае описанный способ разнесения так же эф
фективен, как и разнесение в пространстве [31, 41, 99, 106, 128,
157]. В дальнейшем прием на антенны, разнесенные в пространст
ве или принимающие различно поляризованные компоненты сиг
нала или же принимающие сигналы, приходящие с различных на-
1 Разнесенный прием по 1д·иокрет~ным си~налам на .выхо,де РБ приемников,
называемый дисюретным сложение.м [128], здесь не рассмаrривается.
191
правлений, будем называть приемом на разнесенные антенны. По
существу прием на разнесенные антенны реализует разнесение по
отдельным лучам в многолучевом канале, однако последний слу
чай рассматривается как самостоятельный вид разнесения, по
скольку в практике радиосвязи вполне возможен прием многолу
чевого сигнала одной антенной.
В данной главе будет рассмотрена общая теория разнесенного
приема сигнаJ}ов на фоне произвольного rауссовскоrо аддитивно
го шума с нулевым средним значением, приемлемая для любых
видов разнесения, когда можно считать, что в каждой отдельной
ветви разнесения сигнал является однолучевым. Для простоты
рассуждений будем считать, что в ветвях разнесения осуществля
ется чисто временная обработка'. Развиваемая общая теория раз
несенного приема позволяет при разнесении по пространству учи
тывать пространственные характеристики сигнала и помех (см.
§ 4.5 и 4.6).
К.роме перечисленных выше могут применяться и смешанные
виды разнесения. Отметим, что из различных видов разнесенного
приема только прием на разнесенные антенны, а также по отдель
ным лучам не влечет за собой потери в отдельной ветви разнесе
ния (канале разнесения) в энергии сигнала или скорости переда
чи информации по сравнению с одиночным приемом (прием по од
ной ветви разнесения). Для сравнения помехоустойчивости раз
личных видов разнесенного приема между собой и с одиночным
приемом при одинаковой средней или пико11ой мощности передат
чика и скорости передачи следует учесть эту потерю мощности.
В основном будем сравнивать системы разнесенного приема с
активной паузой• во всех ветвях разнесения. Обозначим h.2од сред
нее отношение энергии сигнала к эквивалентной спектральной
плотности помехи, которое имелось бы при том же передающем
устройст11е и одиночном приеме. Действительное же значение
среднего отношения энергии сигнала к эквивалентной спектраль
ной плотности помехи в отдельной ветви разнесения на приеме за
висит от вида и числа ветвей разнесения L. В общем случае мож
но СЧИТаТh [ 128]
h2 =h2
0 .JL''•, О:;;;;μр,;;;;2,
(4.1)
где μр - коэффициент эффективности использования мощности
передатчика при разнесении.
При приеме на разнесенные антенны, а также при разнесении
по отдельным лучам при любых L имеем μр=О. При временном
разнесении μр= 1, так как здесь при неизменных скоростях пере
дачи и мощности передатчика длительность элемента уменьшает-
1 Не существует п-ри.нщн,пиаль-ных затруднений 1в обобщении теории ·на слу
чай ПВ ~абот,кн оигналов в отдельных ветвях разнесения (нап~рн,мер, при
ПQJiяриэац,иооном ,разнесеuии, ,разнесеюiи по отдельным: лучам).
:i При симметрии всех вет,вей .разнесения по отдельным позициям (что бу
дем полагать в даль'Ней.шем) ~понятия системы с а1кт1JJВной паузой на пе.реда
че -и прнем-е совпадают.
192
ся в L раз и h2 =h2oд/L. Такое же значение принимает μр и при ча
стотном разнесении, если для каждой ветви используется свой пе
редатчик. Если же все частоты излучаются одним передатчиком:,
то его мощность используется хуже и в этом случае в зависимо 0
сти от линейности режима передатчика и его запаса по пиковой
мощности 1<μрА2.
При исследовании разнесенного приема в каналах с замир.аа
ниями будем часто рассматривать случай, когда сигналы в отдель
ных ветвях разнесения некоррелированы. Такое условие нередко
имеет место на практике или же, как правило, определяет ниж
нюю границу вероятности ошибки при некогерентном приеме [4].
Кроме того, практf!чески трудно реализовать оптимальную схему
приема, учитывающую действительную корреляцию сигналов в
отдельных ветвях. Для учета влияния коэффициента корреляции
сигналов в ветвях будет также анализироваться противоположныК
случай, когда сигналы в отделhНЫХ ветвях жестко связаны.
4.1. Алгоритмы оптимального приема при точно известном сигнале
Обозначив ожидаемый в месте приема сигнал в 1-й ветви раз
несения через и, (1), рассмотрим вектор сиги ало в
u(I) = (и,(t), .... u,(t), ... , UL(t)T.
(4.21
Анализируемый вектор (сигнал+ шум), соответствующий i-ii
позиции передаваемого сигнала,
z(I) =Ui(I) +n(t),
где п (1) = (п, (t), ... , nL(t)) т; п, (1) - реализация аддитивной по
мехи в 1-й (l= 1, L) ветви разнесения.
Алгоритм оптимального приема при точно известном сигнале
u, (1) и аддитивном гауссовском щуме в канале с нулевым сред
ним и корреляционной матрицей
8(1, t')=<n(t)nT(t'))
в соответствии с (1.85)
arg max{e, e•,-h''} = arg max{q,-h2, + lп е,},
{
i
(4.3)
где 1
q;=) zT(f)Uoпi(l)dl;
(4.4)
1
h2,= 2 fu,т(t)Uoп;(t)dl;
(4.5)
Uoпi(t) = fЧ'(,/, l')щ(l')dt'.
Здесь 'i"(t, 1') - матрица, являющаяся решением интегрального
уравнения
f B(t, t')'l"(t', t")dt'= 16(1-1").
(4.6)
1 Везде в дальнейшем ра,соматрИ'Вае-N:Я только :поэлементный црнем, при
котором интегрирование осуществляется на интервале анализа [О, Та] ► Т.=Т.
7-4б
)93
Если помехи в различных ветвях разнесения некоррелирова
ны, то B(I, l')=diag{B1 (1, 1'), В2(1, 1'), ... , BL(t, 1')} и матрица
'1'(1, 1') также является диагональной: Ч' (1, 1') =diag{Ч' 1 (1, 1'),
Ч', (1, t'), ... , Ч' L (1, 1') }, причем 11'1 (1, 1') удовлетворяет интеграль
ному уравнению SВ, (1, 1') Ч', (1', t") dt' = б (1-1").
JЗ этом случае выражения (4.4) и (4.5) принимают вид
'L
JL
q;= ::Е S z,(l)Uoпi!(l)dl; h2;=-::E S иu(l)uoпil(l)dl,
l=l
2 /...,1
где Uoпil(I) = SЧ',(1, l')uu(t')dl'.
На рис. 4.1 приведена структурная схема, реализующая алrо
;ритм (4.3) на основе корреляционных блоков. В соответствии с
{4.4) каждый из перемножителей п, осуществляет перемножение
,---,.-сту
соответствующих скалярных
бИ
бlР ос
компонент входного и опор-
------
пс~--------W нога сигналов, результаты
ги ft)
h1 -lпЕ O I накапливаются в сумматоре
'"'
'
',
1 ~~ :~;~~йатоfи~н:;т~~р:рр~:
B!I
~
1
П;
,
i менн6му интервалу -[О, Т].
2ft) j
I Рассмотренная схема явля-
1
т-t i ется частным случаем cxe-
•L ________ __P,l ____________J мы оптимальной обработки
Рис. 4.1
векторного поля, рассмот
ренной в§ IЛ 1.
Для двоичной системы сигналов (i=O,l) алгоритм оптималь
ного приема можно записать в виде
Jzт (l)Uoп.p(l)dt-h2, +h20-In '•• aii!:O,
(4.7)
.,
где Uoп.p(I) =Uоп1 (1)-Uoпo(I) = S'Y(t, l')up(f')df'= SV(t, 1') Х
Х [u, (l')-uo (1')] dl' -
опорный сигнал, соответствующий разно•
~::ти ожидаемых сигналов в месте приема. Сагласно алгоритму
(4.7) при выполнении знака «>» регистрируется символ «!»,
,при в,ьшолиении «<» - символ «О».
• Для двоичной системы с активной паузой алгоритм оптималь
ного приема (4.7) принимает вид
JzT(t)Uoпp(/)dt-ln~~o.
..
На практике оптимальная ПВ обработка часто реализуется с
применением дискретизации не только по пространству, но и во
времени.
В этом случае принимаемое поле представляется в виде сово
купности значений на определенном дискретном множестве точек
{(1,, rm)}, k=I, К, m=I, М, •выбранных (не обязательно равно:
мерно) в области анализа Л. Вектор отсчетов дискретного поля х
можно пред~·тавить 1В виде ;_= (Х11, Х12, ... , Х1м, Х21, Х'22, ... , iк1,
J94
хк,, ... , *км) т_ Алгоритм оптимальной дискретной по пространству
и во времени обработки имеет вид (4.3), где
1•••
1•
1
q,=
2 Rez''l'u,=zт'l'u,; h2,=
4 u','l'u,=
2 uт,Ч'u,. (4.8); (4.9)
Здесь Ч'=В- 1 , где В - корреляционная матрица дискретного, по
пространству и во времени шумового поля.
Подвергая дискретные по аргументам отсчеты поля еше и ква~r
тованию по уровням, можно реализовать алгоритмы приема с
помощью ЭЦВМ ['104]. Следует, однако, иметь в виду, что скоро
сти ввода и выдачи данных в ЭЦВМ даже третьего и четвертого
поколений не позволяют
в реальном масштабе вре
мени обрабатывать дина- ~
СТУ
ос
пс
мич;;~кие ;~;я ~li4].дана г--------------------~,
структурная схема, реа- 1
h'-i,:
i
лнзующая оптимальным 1
1.}lut
1
i.
1
алгорит::~ (4.3) при ди- 1
"1
скретнои пространствен- 1
t1
ной н временной обработ- zft,r)
i
ке. В схеме т перемно- i
т-1 1
жителей П, осуществля- 1
Рб
J
ют перемножение 1 чисел
L---------------------
на их ВJ<одах (упорядо- Рис. 4-2
ченных отсчетов анализи~
руемого поля и опорного сигнала), результаты накапливаются в
т сумматорах С, и после вычитающих устройств ВУ, поступают
на схему сравнения и выбора решения. Дискретные выборки (чис
ловые значения отсчетов) анализируемого поля получаются по
средством блока пространственно-временной дискретизации
(ПВД). Заметим, что блоки П,, С, совместно определяют скаляр
ные произведения векторов z и 'l"ui.
Алгоритмы оптимальной пространственно-временной обработ
ки, непрерывные по одной координате и дискретные по другой,
равно как и алгоритм непрерывной пространственно-временной
обработки, получаются из дискретного алгоритма (4.3), (4.8),
(4.9) путем предельного перехода по соответствующим координа
там. В частности, при разнесении по пространству (4.4) и (4.5)
следуют из (4.8) и (4.9) при устремлении к нулю шага дискретR
зации поля во времени.
В случае факторизуемой по пространственным и времеmtбй
переменным корреляционной функции помехи при ее дискретиза
ции во времени и по пространству получается корреляционная
матрица, которая допускает факторизацию '(61] в виде кронеке
ровского произведения В= В1 ®Вп, где В 1 и вп - матрицы кор-
1 Перемножение пар чисел может осуществляться последовательно с на
коплением результата или параллельно для всех па•р чисел (1м,ноrок.анальныl
перемножитель).
1•
195
'реляции шумового поля соответственно по временной и простран
овенной координатам. Тогда [85] '1'= 8-1 = (81)-1 ® (811)-', и
в
:этом случае пространственная и временная обработка принимае
'-моrо поля разделяется.
.
При разнесенном по пространству приеме для факторизуемой
·корреляционной функции помехи 8 (1, 1') = 8 11 b1(t, 1'), откуда ре
шение (4.6) можно записать в виде '1'(1, 1') ='1'11,p1(t, t'), где
т
·,i,1 (1, t') является решением уравнения f b1 (t, t'),i, 1 (1', t")dl'=
о
,=б(t-1"), а '1'11=(811)-' .
В предположении факторизуемости комплексного входного
<:иrнала можно записать u, (t) =u11,й 1 , (t). Тогда алгоритм дискрет
ной по пространству обработки также разделяется по перемен
сным и имеет вид (4.3), rде
I
Тт.
.
.q;=
2 Re 55z'(t)Ч"(I, t')йI,(t')dtdt''l'lluП.;;
оо
1 тт__
.
.
h 2 ,=- · - 5J й 1 1 (1) 'l" (1, 1') й', (t') dtdl'uII*;Ч,Пurr;.
4оо
В том случае, когда помеха б-коррелирована во времени, для
дискретной обработки по пространству имеем
1
т•
•
1
•
•
q,=
2 Re Jz* (1) й1; (1)dt'l'11 u11,; h2, =
2 Er;urr• ,чr11urr;,
о
т
где Е1,= J[и',(t)] 2dl.
о
. 4.2. Алгоритм оптимального приема при неопределенноil фазе
Представим ожидаемый сигнал в 1-й ветви разнесения в виде
. u,,(t)=y, [u,ю(t)cos q,,+йuo(t )sinq,,],
(4.10)
. где
у1 - коэффициент передачи по 1-й ветви разнесения; q,1 - слу
'lайная фаза в этой ветви; иu0 (t) - ожидаемый сигнал i-й пази-
, ции в месте приема по 1-й ветви разнесения, прошедший детерми
. пиров .анн ый
однолучевой канал с единичным коэффициентом пе
_
редачи.
Определим оптимальный байесовский алгорнтм независимого
приема элементов сигнала (4.10) на фоне rауссовскоrо аддитив
ного шума.
Предположим сначала, что шум по всем ветвям разнесения не
коррелирован и в 1-й ветви разнесения имеет корреляционную
функцию В1 {1, t'). При фиксированном значении вектора парамет
ров q,= (q, 1, q, 2, ... , QJL) т нормиров.анный функционал правдоподо
бия согласно (4.4) и (4.5) определяется равенством
L
L
l; (q,) =ехр { ~ v1 V" cos(q,1-Фil)- ~ у21h2,ю},
1=1
l=l
'196
!'де h2но=-1⁄2- 5и,ю(t)иопно(l)dt= +s йнo(t)йoпilo(t)dt - энергети
ческое отношение в 1-й ветви разнесения;
v,,= vx,,,+ У2,,; фil = arctg Уа/Х,,; Х,,= sz, (1) Uоп ilO (t) dt;
Уа= Jz,(t) Uоп ao(t)dl; Uoпi,o(/) = JЧГ,(1, l')и;,o(t')dl';
йouito(t)= J'l',(f, f')йuo(t')df'.
L
Отметим, что энергетическое отношение h2i= ~ y2lh2 ilo в этом cлy
l=I
'<ае не зависит от вектора случайных фаз q,.
Усредняя нормированный функционал правдоподобия по слу
чайным фазам <rt, l= 1:-Z, которые считаем независимыми и рав
номерно распределенными на интервале [-:rt, :rt], получаем
L
-
2 j)'l.l h2.ilu L
n
l;= Jl,(q,)W(q,)dq,=----1⁄2: е l=I
П Je•1Vi/cos(~гФ11)dq,1 =
(2,t)
1=1 -л
L
2h2
=
П [е-• 1 110 10 (у, Va)].
1=1
Оптимальный байесовский алгоритм приема при неопределенной
фазе принимает вид
L
L
argmax{~ ln/0 (y1V,,)-~ y2
1h2ilo+lne;}.
(4.11)
i
l=l
l=l
Структурная схема приемника, реализующая алгоритм (4.11),
представлена на рис. 4.3. Эта схема является обобщением схемы
рис. 2.2 одиночного приема при неопределенной фазе.
---' бИ
б~ Cj,!
пс __________J _,rJ
r Uмitaft}
•--
1
О1
1
L1z
1
1
l1ч\;lneL 1
1
1
!
~1
ct
1:..:о 1
'4
1
1
L
1
1
m-1
1
1
1
L_________ РБ
_______________J
Рис. 4.3
Для двоичной системы сигналов алгоритм (4.11) принимает
вид
{', ln _ _с_/о"-'('-'-у'---,v:...,le.,l)c.. _
{', 2 (h'
h
) 1 •о""'0
LJ
-
.i.JУt но~
2
010-n-=
.
i=I
lo (у1 Vo,)
1=1
81
197
В случае двоичной системы с активной паузой
±ln 10 (у, v,,)
ln ~ ""'О.
1-1
/о (у, V,1)
••
Рассмотрим теперь часто реализуемый на практике случай,
когда сигналы во всех ветвях разнесения согласованы по фазе
(q,1=q,, 1=1, 2, ... , L) [47, 128, 134]. Вектор принимаемых сигна-
лов в этом случае u,(/)=u'.(t)cosq,+u',(t)siпq,, где u'il(t)=
=у,и,ю(t); й'ц(t) =r,йao(t).
Тогда нормированный функционал правдоподобия для фикси
рованного значения параметра q, при приеме точно известного
сигнала на фоне гауссовской аддитивной помехи определяется ра
венством
1,(q,) =ехр{Х', oosq,+ У', sinq,-h
2,} = ехр {V', cos (q,-Ф',)-h 2,},
где Х';= fzT(t)u'oпi(t)dt; У';= S zT(t)u'oп;(t)dt;
u'оп,(1)= J'Y(I, t')u',(t')dt';
u'oп;(/)=J'l'(t, t')u',(t')dt';
У'
V',= V Х,'2 + У,'2; Ф',=arctg _. !_
X'i.
Отсюда оптимальный байесовский алгоритм приема при сог ласо
вании по фазе сигналов ветвей разнесения
arg max{lnl0 (V';)-h 2,+lnв,},
(4.12)
1
который при соответствующем определении входящих в него па
раметров полностью аналогичен алгоритму одиночного приема
при неопределенной фазе, подробно рассмотренному в гл. 2.
Отметим JIИШЬ, что для системы с активной паузой (h 2i=h2 )
при реализации алгоритма максимального правдоподобия (е,=е)
вместо (4.12) получаем эквивалентный алгоритм
arg max V'i.
i
(4. 13)
Если аддитивная помеха в канале некоррелирована по различ
ным ветвям разнесения, то V',='
1 (t Х',,)2+ (:Е.У',,)'. где
V l=J
l=I
Х'и =) j z, (1) Ч', (1, 1') и' а(/') dtdt' = у,Х,,;
У'и= Jfz,(l)ЧГ,(i, t')й'a(t')dtdi'=y,Ya
(4.14)
и алгоритм (4.13) сводится к когерентному сложению сигналов по
отдельным ветвям и некогерентному выбору знака (номера) сим
вола, регистрируемого на выходе решающей схемы.
198
4.3. Алгоритм оптимального приема
в общем гауссовском канале с иеселективиыми замираниями
в каждой ветви разнесения
Ожидаемый сигнал (4.10) в 1-й ветви разнесения представим
в виде u"(I) =х,и,ю(t) +у,й"0 (1), где x,=y1cos q,1, y,=y,sinq,1 - слу
чайные квадратурные компоненты передаточной функции канала
по /-й ветви разнесения.
Составим вектор случайных параметров
л= (хТ, уТ)Т=·(х,, ... , XL, у,, .... YL)T
(4.15)
и будем в дальнейшем считать его гауссовским с плотностью рас
пределения
W(л)= L~
ехр ll --
1
(л-m1.)ТК-1 (л-m~)}.
(4.16)
(2n) detК
2
где mл,= (тх1, ..., mxL, ту1,
. .. , myL)T - вектор математических
ожиданий; 1( - корреляционная матрица вида
К=[К1 Кз]·
к,т К2
причем
оо
К1 = [<x,x,)=a2
xlh] Lk, 1=1;
оо
К,= [<x•y,)]Lk,l=t•
о
о
К2= [<У, y,)=a2v1•JL•.1=1;
При фиксированном векторе параметров л нормированный
функционал правдоподобия
LL
1
1
I; (л) =ехр{ l: l: [XnXitn + YnYilп--2 ХtХпешпо--2 YtYnBiilno-
l=I n=l
1
-
1
-
-
2 XtYnB/ilпo+ 2 V1XnBiilno]},
( 4.17)
где Xiln = Jz, (1) Uоп ilno (1) dl; Yiln = Jz, (1) Иоп ilnO (1) df; Biilno= f Uito (1) Х
XUoпilno(t)dl= JUiio(f)йoпilno(l)dl; 8iilno= f Ui!o(t)йoпilno(t)dt=
=- f й,ю (1) Иоп ilnO (f) dl; Uоп ilnO (t) = f Ч'1п (f, 1') UinO (f') df'; Иоп ilnO (f) =
= f '1 ',n (1, 1') й,по(I') dl'; Ч'1п (1, t') - элемент «обратной» корреля
ционной матрицы '1'(1, 1') аддитивной помехи.
Выражение (4.17) с учетом (4.15) можно представить в сле
дующем виде:
1
1, (л) = ехр {х,т:,,_
2 :,,те,л},
(4. 18)
L
L
где Х,= ( l: Х,п1, l: Х,п2, ... ,
n=I
n=I
L
L
~ Yinl, ... ,
L YinL) Т;
n=
n=I
>!/= [ Bii Bi2] ;
- l::i2 Eii
L
~ XinL,
n=I
~ il = [eшno]Lt, n=1; Еi2=-[ешпо]L1, n=I•
199
i
Усредняя функционал (4.18) по вектору случайных параметров
л с распределением (4.16), получаем усредненный нормированный
функционал правдоподобия в общем гауссовском канале с неселек
тивными замираниями, коррелированными в различных ветвях
разнесения:
11 = JЦл) W(л)dл= (2n)L ;det К Jехр {Х;л-+ ,,т •; л-
__
l (л-m,Jтк- 1 (л-m,.)}dл.
(4.19)
2
Нетрудно показать, что матрица Ei, а потому И к~ 1 +ei являются
действительными и симметрическими. Поэтому после интегрирова
ния (4.19) в предположении положительной определенности мат
рицы в, получаем [4, 89]
l,= -V
_
1
_
ехр \( --1-mI•,m,.+xтm,.+
det (1+ К•1)
2
'
++ (Х,-•; m")Y (1(-
1
+ е,)- 1 (Х,-•, m,.))
и алгоритм оптимального байесовского разнесенного приема с
коррелированными по различным ветвям разнесения неселектив
ными замираниями имеет вид
1
а rgm~x{X,т m,.+
2 (Х,-в; m,Jт (К-'+ •,)-
1
(X,-s, m,.)-
1
1
-- m"т
е;m;,-- lndet(1+Ке,)+lnе,}.
2
2
В частном случае, когда замирания сигналов
(К=О), из (4.20) получается алгоритм когерентного
приема
L
\
arg max{ 1: [Х"тх,+ У"ту1]- -mт ,..,,m,. +ln ,,},
l
l=I
2
L
L
(4.20)
отсутствуют
разнесенного
где Xil= I. Xinl, Yil= ~ Yinl, который не отличается от алгоритма
n=l
n=I
когерентного приема (4.3).
Если аддитивные помехи в различных ветвях разнесения не
коррелированны, то Ч'1n (t, !') =0 при l=J=n и Хн=Хш; Yii= У,,,;
е12=0; ,,uno=O при l=J=n. Тогда алгоритм оптимального байесов
ского приема при независимых по различным ветвям разнесения
неселектинных замираниях можно представить в виде
argmax\~ [ а'х,
( тх, +х.,)'+
l
't:i 2 (1 + 2h2xil) а2х1
i
+ 2 (1 ::~'yu) ( ::: +v,,)'j-oo,),
(4.21)
1L
ffi; ~ -1: ln ( 1+2h2xil) ( 1+ 2h2ya)-ln ,,,
2 /=1
200
1
где h2xil=02xlh2нo; h2 yil=U2 yth 2ilo; h2ilo=28.iillO~ a2
x1=U2xu; 0' 2yl:::;;;;;;:
=а2у11.
Реализация алгоритма (4.21) сводится к суммированию ре
зультатов, получаемых в отдельных ветвях разнесения, и их пос
_.,едующему сравнению. В каждой ветви используется такая же
схема приемника, как при оптимальном одиночном приеме с не
селективными замираниями, - лИнейно-кв~дратичн·ая схема.
Для реализации алгоритма (4.21) прн временном разнесеннн
требуется устройство «памяти» для хранения результатов обра
ботки сигнала по (L-1) предшествуюшим ветвям разнесения.
Это является недостатком временного разнесения. Память (напри
мер, на длинной линии) требуется и при разнесении по многим
лучам.
,
Отметим, что алгоритм приема (4.21) для случая, когда L=I,
полностью совпадает с алгоритмом оптимального. одиночного
приема в однолучевом общс-м гауссовском канале с нес~лективны
ми замираниями.
При использовании теории разнесенного приема вре~еннЬlх
процессов для исследования оптимальных приемных устроиств ~
каналах с селективными замираниями (во времени, по частоте')
число ветвей разнесения L (каналов обработки) пра·ктически
всегда можно выбрать конечным исходя из допустимой точности
описания модели селективного канала. В частности, при использо~
вании разложения Карунена-Лоэва для образования сигналов
отдельных ветвей их число определяется интервалами корреляции
поля по соответствующим аргументам.
Структурная схема приемника, реализующего алгоритм приема
(4.21), представлена на рис. 4.4 . Здесь показан вариант реализа
ции, при котором в канале обработки с номером i ( i = О, т-1)
г-l~J__La:E~t _______ 'J _, J_ ~~
! uonr.o/tJ
mxll6;t
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1жi~I
'
1
1
1
1
1
L
1
[
m•f
1
L.----------
Р§ ____________ ::!
Рис. 4.4
1 Прос11раН1Ственная селективность 1Поля ,П1ри его а,нал,изе в джжретных точ
ках прост,ранства находит свое отраж~ние в корреляции времен,ьЬlх с-11rналов
QI1Делt.ных ,веmей разнес:енюr.
201
производится обработка входного сигнала z(t) в L-ветвях с опор
ным сигналом Uоп<о,(1)= JJЧ',(,t, l')u,01 (1')dl' и других L-ветвях с
опорным сигналом йоп,01(1) = JJ 'l',(t, l')й,o,(l')dl'.
т' 1+т'u1
2
2
h2 -,
Используя параметры q2,=
х
;hii=hхи+ vil;hi!=
o
1
x1+0111l
=h2,,(I +q',); ~•,=cr
2x,/cr 2v,, запишем алгоритм (4.21) в виде
L [а•,,~•,( а•"'":, +х.,)'
argmax ~
••~
1
+
1
l=I
(
2 h'н ~•1
)
2 1+(1+~•,)(J+q',)
+
а•,, ( т,, +Ун)'
2 (1 + 2h'llll)
a'ul
2 (1 _;:· ~. ,.,)
( ::·, +у01)']
___
a:._' _,,x,__l,__1_ (_m _x_l +х,,)'-
2 (1 + 2h2xo1) а•,,
-
квадратичная форма гауссовских величин:
-1 Во 1~1 (1+2h'xo,)(1+2h'yol)
ro10 -
n-
-
-
,_,
n ~~-=Се-'~--'-'=-
,,
2 l=l (1 + 2h'x1z) (J + 2h1y11)
-
пороговый уровень.
Раскрыв скобки, алгоритм (4.21) можно привести к форме, реали
зуемой квадратичной и линейной обработкой:
где
L[J
ro',=~
-ln(I +2h2xi!) (] +2h2yu) +
l=I 2
+m
2
xl h'жи
а•,1 (1 + 2h',11)
202
+
т',1 h'u11
]1
-
ne1.
а•, 1 (1 + 2h',н)
(4.22)
При снмметрии модели по ортогональным компонентам (о2,1 =
=о2,,=о21 ) алгоритм (4.22) приннмает вид
argmaxf±[ а•, V"11+тх1Хн+тu1У11]-ю',\.
(4.23)
1 l1=1 2(!+h'н)
1+h'н
В данном случае квадратичная обработка выполняется некоге
рентной схемой и. в частности, может быть реализована с по
мощью согласованных фильтров с детекторами огибающих. При
е;=е н при отсутствии регулярной компоненты оптимальный ал
горитм (4.23) сводится к некогерентному алгоритму квадратнчно-
0•1
"'.
ro суммирования величин V2il с весами
1
2(I+h'11).
argmax 1± 021
1
V'.,-] lп (1 +h•.,)}.
1 \1-1 2(!+h11)
1=1
Если квадратурные компоненты коэффициента передачи кана
ла имеют нулевые математические ожидания (mx 1=my1=0), то
алгоритм (4.22) принимает вид
arg~ax !t, [2 (! :~h'xll) Х'ц +2 (! :;~'ин) v•,,]-ю',)
(4.24)
11 требует когерентной кваl(ратичной обработки. Для каналов со
слабо выраженной регулярной компонентой алгоритм (4.24) прак
тически не отличается от оптимального (4.22). Если a2x1=a'u,=
=0(h2xil=h2,u=0), из (4.22) следует алгоритм чисто линейной
обработки (когерентного сложения)
argmax/± [ тх1Хн + ту1У11 ]-ro'-J
i
l=I 1 + 2h'xil
1+2h2yll
'•
(4.25)
Для каналов с сильно выраженной регулярной частью алгоритм
(4.25) практически не отличается от оптимального (4.22).
Для случая, когда сигналы в месте приема для заданной по
зиции i по всем ветвям разнесения образуют ортогональную в уси
ленном смысле систему {и,ю(t)} при соответствующих «весовых•
функциях, т. е. при выполнении условий
(4.26)
н при произвольной корреляции помехи в отдельных ветвях раз
несения_ из общего алгоритма (4.20) также получается алгоритм
(4.21).
Если одновременно с (4.26)
(4.27)
•> В дальнейшем алгоритм приема для систем с активной паузой
L
arg max{ ~ V2 н} будем называть алгоритмом квадратичного су,ммнрования,
i l=l
уже у,~омяну-rым в § 2.2.
203
:1
то можно говорить о выполнении условия разделения сигналов
отдельных ветвей разнесения, что на практике имеет место с тем
или иным приближением.
Для случая жесткой связи ветвей разнесения,
турные компоненты канала одинаковы во всех
у,=у), функционал (4.17) записывается в виде
когда квадра
ветвях (xl=x,
LL
LL
1
LL
l,(x, у) =ехр{х }, ~ Х"п+ у f=, f?i/п-т (х2 +у2 ) ,; , n;, Biiino}
и после усреднения его по х и у, которые здесь полагаются неза
висимыми гауссовскими величинами, получаем для этого случая
оптимальный алгоритм приема
argrnax{ (
fx L )(;,х +2J ±X"n)'+
'
2j+2"'1~
ж l=I n=l
ах ."-J ~ Biilna
l=I n=I
+(
~•L
) ( ;• + 2J ±Yan)•-(f),)•
2 1+02У~LJBiilno
У l=l n=I
l=1n=1
l
LL
LL
где (f);=-lп(l+cr2x ~ ~ Bii!no) (l+cr2y ~ ~Bii!no)-lne,.
2
J=I n=I
l=l n=l
4.4 . Обобщенный алгоритм максимального правдоподобия
Найдем теперь правило разнесенного приема при неизвестных
законах распределения фаз и амплитуд сигнала исходя из обоб
щенного алгоритма максимального правдоподобия. При фиксиро
ванных параметрах х1 , у,(л) логарифм нормированного функцио
нала правдоподобия согласно (4.18) имеет вид
1
ln 1,(л) =Х,т,, __ ,,т.,,,,.
(4.28)
2
Процедуру разнесенного приема, реализующую обобщенный ал
горитм максимального правдоподобия, можно записать так:
1
arg max {max [Х,тл--лте,л]}.
(4.29)
'
~
2
Значения параметра л, при котором достигается максимум выра
жения (4.28), определяется из условия d ln 1,(л)/dл=Х,-в,л=О,
откуда Л=E_i- 1 Xi и обобщенный алгоритм максимального правдо
подобия для разнесенного приема (4.29) представим в виде
arg max {Х,тв,- 1 Х,}.
(4.30)
i
Если помеха в канале некоррелнрована по различным ветвям
.
(1
1
1
1
1
разнесения, то e.i- 1
=d1ag --,
--, ... ,
-
2h,, --,
--,...
2h2 t10
2h2i20
iLO 2h2i10 2h2t20
... .~) и, учитывая, что Х,= (Х11, Х,,, ... , X;L, У11, У,,, . . . , Y,L)T
iLO
204
·,
и Vil= V Х2а+ Y'.i!, запишем алгоритм (4.30) так:
argmax/± v:н }·
i
f=l 2h ilo
(4.31)
Для систем с активной паузой по всем ветвям разнесения:.
(li2;z0 =h2
0 ) (4.3-1) сводится к алгоритму
L
arg max 1; V2a,
(4.32)
i 1"""1
названному алгоритмом квадратичного суммирования. Это оостоп
тельство подчеркивает особый интерес к нему в практике разне
сенного приема. Нетрудно видеть, что алгоритм (4:32) следует из
(4.21) для систем с активной паузой при е,=е в симметричном
по всем ветвям (а2,1 =,а2у1 =а2 ) рэлеевском канале (q2,=0).
В дальнейшем будет показано. что для широкого класса. кана
лов и систем сигналов алгоритм квадратичного суммирования с
весами а21/ ( 1+2h2_; ,) по помехоустойчивости мало уступает опти
мальному алгоритму (4.21). Будет показано также, что для кана
Jюв с сильно выраженной регулярной частью в каждой ветви
разнесения (q21» 1) линейный алгоритм (4.3) по помехоустойчи,
вости мало уступает оптимальному алгоритму (4.21).
4.5. Помехоустойчивость двоичной системы
при оптимальном разнесенном приеме и точно известном сигнал~
Согласно алгоритму приема (4.7) при е,=е вероятность ошиб
ки (одинаковая при передаче любого символа) определяется ве-
роятностью выполнения неравенства р=Р{!;>А}, где !;=
1
1
= sот (1) Uoп.p(t)dt; А =т su, т (1) Uuпl (t)dt-т SUот (1) Uoпo(t) dt---,
-) uот (l)Uoпl (l)dl+ Juoт (t)Uoпo(t)dl= +supт (t)Uoп.p(l)dt.
Здесь 6 является гауссовской случайной величиной с нулевым
средним и дисперсией (!;')= J upT(/)uoп.p(l)dl. Тогда вероятность.
ошибки
р= ~ [1-Ф(+V Juтp(l)u0пp(l)dl )].
Формулу (4.33) можно представить в виде
Р = +[1-Ф(Ул Ial, где Т,2 = +ен,
•оо v•oo 1_1 _ при АМ;
1 +--2Л01 -
2
Л- ен
€11 -
-
2
-
1 при ЧМ;
2 при ФМ.
(4.33)1
(4.34}
205
Для некоррелированиой по различным ветвям разнесения ад-
-
L_
-::
,!IIIIТИвной помехи h 2= :Е h2, и вероятность ошибки
1=1
![ (r
L
)
Р=2 1-Ф V). f:1,h•1
•
(4.35)
-
l
где h2,=
2еш,=у2,h2ю.
Результат (4.35) означает, что при оптимальном когерентном
приеме и некоррелированной по отдельным ветвям разнесения ад
дитивной помехе результирующее отношение сигнал/помеха равно
сумме отношений сигнал/помеха в каждой ветви.
Обозначим 1
"Ji1,
-
-
&l =-=-·
h'-h'1-y'1h'10-
'h '1
(4.36)
Тогда вместо выражения (4.35) можно записать
р= ~ [1-Ф(v лh',t, б', )J
Учитывая (4.1), имеем р = .J.. [ 1-Ф(' f 'А h';д {~ б', )] ,
2
\V
LРl=J
При μр=О энергетический выигрыш от разнесения в идеальном
канале
L
'1)- ~ 62,;;,,1.
(4.37)
1=1
Знак равенства в (4.37) выполняется при 621=0 (1;;,,2).
Если же μр=О, то энергетический выигрыш от разнесения
1L
@!= -.- :Е б21
( 4.38)
LμP 1-1
может быть и меньше единицы. Так, если б2t=l, l=l, L, то ri=
=L'-:'p и с ростом L выигрыш увеличивается при μр< 1 и умень
шается при μр> 1. В этом случае помехоустойчивость связи ухуд
шается из-за неэффективного использования мощности передат
чика в отдельной ветви разнесения в большей степени, чем улуч
шается в результате разнесенного приема. Если μр= 1, то разне
сение в симметричном канале (б 21 =1) не дает никакого выиг
рыша.
1 Подчер&Нем, что нс.пользуемый 1В дальнейшем параметр h'-, определенный
сотласно (4.36), ха,рактеризует отношение сигнал/шум в первой ветви раэнесе~
ния, в то время как фигурирующий в (4.34) пара-метр h2 обозначает отноше~
ние сиrнал/шу.м iП'С> всем ветвям ,раз.несения. В дальнейшем будем считать, что
ветrви разнесе-ния 1Пронумерованы в 111орядке убывания интенсивности сигнала.
206
Как видно из (4.37) и (4.38), разнесение может дать опреде
ленный энергетический выигрыш и за счет использования ветвей с
относительно малыми (по сравнению с h2 1) отношениями сиг
нал/помеха.
Для исследования зависимости вероятности ошибки от про
странственных характеристик сигнала и помехи рассмотрим под
робнее сдвоенный прием на разнесенные в пространстве точечные
антенны при использовании двоичной системы сигналов для двух
частных моделей аддитивного шума в канале.
А. Сосредоточенная помеха представляет собой однолучевой
сигнал типа (1.17), пришедший с направления Оп:
2,i
n0 (t, r) =y0 (t)cos[-0>пt+q,п(t) + - (r, Го(60 )) +Лq,(6п, t, r)],
лп
(4.39)
где юп, Лп - средняя частота в спектре помехи и соответствующая
ей длина волны; r 0 (Оп) - единичный безразмерный вектор, опре
деляюший направление прихода помехи.
Корреляционная функция помехи (4.39) с учетом «белой» ком
поненты пФ (t, r) определится соотношением [см. р.80)]
Bn(t, t', r, r') =В(/, 1') [В, (r, r')cos0>п(l-t') +B2 (r, r') Х
Xsiп0> 0 (/-I')] +Nб(l-1', r-r'),
где B 1 (r, r')=(cos6(r, r', 60)); B2 (r, r')=(sin6(r, r', 6.);
r', Оп)= ~ (r-r', Го (Оп)) + Лq, (r, Оп)-Лq:, (г', 60 ).
лп
(4.40)
0 (r,
Б. Корреляционная функция аддитивной помехи определяется
моделью ( 1.78)
Bn(/, t', r, r')=[o2 e-"lx-x'l+No(x-x')]б(I-I', у-у', z-z').
(4.41)
Случай А. Конкретизируем формулу (4.33) для случая прие
ма двумя точечными антеннами 1 , расположенными в точках r, и
r,=r1 +r, при использовании модели (4.39) в предположении
б-коррелированности квадратурных составляюших помехи В(!,
1') =N0 б (1-1'). Тогда корреляционная матрица аддитивной поме
хи представляется в виде
Вп(f, 1') =Nпб(l-1') [ 1 +а',
(cos 0(r1, r,, 60)>,
(cos0(r1,r,, 60 )>].
1 +а'
.
где a2 =N2Fx2Fy2F,/Nп - отношение средних мошностей кваз,r
белого шума и сосредоточенной помехи в анализируемых точках
пространства. Предполагая, что разность фаз Лq, (r, 6п)-Лq, (r', Оп),
обусловленная кривизной фазового фронта волны, имеет симмет
ричное распределение, можно записать
1 Под точеч,н<>А понимается: антенна, размеры которой намного меньше дли
ны ра,бочей &олны.
207
(!Э (r,, т,, 60)) = Рп cos
2
"
(r, r0(00))
•
лп
--
коэффициент пространственной корреляции сосредото•1енной
nомехи в точках r 1 и r2 =r,+r, где рп=Вп(I, 1, r1, r2 )/B(I, 1)=
==<соэ[Лq, (r 1, Оп)-Лq, (r2, Оп)]) - коэффициент пространственной
корреляции двух точек на фронте волны помехи, лежащих на под
.пучах, приходящих соответственно в точки r 1 и r 2 =r1 + r. Тогда
обратная корреляционная матрица определяется выражением
JJl'(t, t') =б(t-t')
1/N'п
------'---''-------х
Для сигналов, определяемых моделью (2.48), вектор ожидаемого
разностного сигнала
(4.42)
rде r 0 (Ou) - единичный безразмерный вектор, определяющий на-
11-равление прихода сигналов; Ли - длина волны, соответствующатт
,средней частоте в спектре сигналов. В рассматриваемом случае
формула (4.33) прин~uмает вид
р=+[1-Ф(+х
у• E,pi [1 + а'-Рп cos ~ (г. ::(Оп)) cos ё (r. r, (Ou))1 )J·
(! + a')'-p2
0 cos• Лп (г, r0 (0п))
х
(4.43)
Анализ (4.43) показывает, что если можно пренебречь флукту
ационным шумом (а2 =0) и pn= l (волна помехи является плос-
~
кой), то воэможна полная ~компенсация сосредоточенной пом.ехи
прн условии
Лi,m=(r, Го(0п)), лuk,;!=,(r, r 0 (0u)), т, k=O, ±1, ±2, ... ,
(4.44)
или лп(т+-1⁄2 )=(r, rо(0п)), ли(k++ )+(r, ro(0u)),
(4.45)
т. е. когда колебания помехи в точ,ках наблюдения синфазы, а
сигналы не синфазны или когда колебания помехи противофазны,
а сигналы не противофазны. При этом возможно соответственно
вычитание или сложение принимаемых в двух точках колебаний с
надлежащими весами.
Если рп = -1, полная компенсация сосредоточенной .помехи
возможна при условии
Лi,m= (r, r0 (0п)), лu(k+О,5),,Ь (г, ro(Du)), k, m=O, ±1, ±2, ... ,
(4.46)
или Лп ( m+f)= (r, ro(60) ), лuk'F (r, ro(0u) ), k, m=O, ± 1, ±2, ... ,
(4.47)
т. е. когда колебания помехи в точках наблюдения синфазны, а
сигналы не противофазны и~'ш когда колебания помехи противо 4
фазны, а сш·налы не синфазны. В этих сингулярных случаях ве
роятность ошибки равна нулю.
При приеме поля одной антенной в точке r1 согласно (2.44) ве
роятность ошибки определяется формулой
Р= +[1-Ф(+V(1 :::;N.) ]-
(4.48)
Сравнивая (4.43) и (4.48), видно, что энергетичес,кий выигрыш
ПВ обрабо11ки в ,дву,х точках по сравнению с обработкой в одной
точке
[
21t
21t
]
2(1+а2) 1+а2- Рпcos-
(r, r, (00)) cos ,- (r, r, (0u))
Лп
ди
-ri=----'- --- --- --'' --- --- --- -''-- -- -~
2n
(1+а2)2 - Р'п cos• -
(r, r0 (0п))
),_п
(4.49)
Можно .показать, что энергетический выигрыш, определяемый
(4.49), удовлетворяет неравенствам
2(1 +а')
,;::
1+а•+ IPпl·I cos ~: (r, r, (Оп))1..._,
2(l+а2)
.;;;-ri.;;; -----~~-'--------
1+a' -
lpnl •I C()S ~: (r, r,(0п))I.
209
Отсюда видно, что оптюмальная ПВ обработка по двум точкам в
,1юбом несингулярном случае дает выигрыш по сравнению с опти
мальной чисто временной обработкой в одной точке.
Из (4.49) следует, что если компонента флуктуационного шума
отсутствует (а2 =0) и волна ,помехи является плоской, то при вы
полнении одного из условий (4.44), (4.45) при р.=1 или (4.46),
(4.47) при рп=-1 энергетичеокий выигрыш ч=оо, т. е. за счет
пространственной обработки возможна полная компенсация сосре
доточенной помехи.
В случае, когда в канале отсутствует сосредоточенная поме
ха, N.=0, а 2-+оо, из (4.49) следует ч=2, что соответст~,ует коге
рентному на,коплению в двух точках. Такой же результат (ТJ=2)
получается и тогда, когда (r, rо(6п)) = 7 (2т+ 1), m=0, ± l±Z,
.. . , т. е. в этом случае эффективность сдвоенного приема такая,
как в канале с чисто белым шумом.
На ,рис. 4.5 -4.8 представлены графн-ки зависимости энергети
ческого выигрыша (4.49) от коэффициента корреляции pn при сле
дующих значени,ях параметров:
а2= N2F"x Fy 2Fz
Nn
О; 01; !; 10; 100;
Ь = (r, r0 (6u)) О; 0,25; 0,5; 0,75; 1;
с
О; О, 125; 0,375; 0,5; 0,625; 0,875; 1.
Рис. 4.5
210
/
b=O,l.5 , с~о
Ь 3 0,25,С=-0,5
ь=а1J;с 2 1
Ь=О,75,с=О
Ь=О,75, ;=0,5
Ь=О,75;с=1
Рис. 4.6
'},i!Б a' -D,I
!О Ь•О,с•Д5
8
z
Ь=О,5, с=О
ь~o,J,C=I
!гf, c~O, .J
'·
аЧ
Ь•О; С"О
ь-..о, c•I
,-а,.,-а,
ь-1; с-О
b·!i с-1
а2-.. !00
\ 1/.:JO
Ь ~ О. c-..D,:i
Ь =0.5,c •D
ь~ 0,5, с=:
Ь-!;c-D,5
2
az= 10
ь-..0;с=О
Ь=0,С"'1
b=o,J,r:=0,5
b=f,C =O
fl=1; с•f
ЦZЦIЦбtoРп
-а;: r {1,1 iJ,4 O .fi ОД fJп
Рис. 4.7
Рис. 4.8
Эти параметры эависят от параметров канала, а также фазовых
соотношений сигнала и помехи.
Можно видеть, что с ростом параметра а2 ( отношения интен
сивностей флуктуационной и сосредоточенной помех) область зна
чений энергетического выигрыша все более плотно группируется
около значения 3 дБ.
С л ,уч ай Б. Расомотрим теперь случай, когда осушествляется
временная обработка принимаемого поля двумя антеннами в точ
ках r1 и r2 =r1 +r, а корреляционная функция аддитивной помехи
задана моделью (4.41). Тогда
Вп(t, t') =l\(t-t') [ (a'+N2Fx)2Fv2F,,
o•e--«lxl Xo(Y)xo(z),
где xo(v) =
'
!!, v=O·
О, VS"'O.
Обратная корреляционная функция
а' e-xl •1 Х, (у) Хо (z)]
(a'+N2F,)2Fv2F,, '
'l'(t 1')=
6(1-1')
х
'
(a'+N2Fx)'(2Fy2F,)'-a'•-,alxl Xo(Y)Xo(z)
[
(a 2 +N2F.)2Fv2F,, -а'е-,1, ix,(y)x,(z)]
Х -a•e-alxl Xo(Y)x 0 (z), (a 2 +N2Fx)2Fy2F,, •
С учеюм (4.42) формула для вероятнос'!'и ошибки. (4.33) прини
мает вид
Р= +[1-Ф(+х
Х-.. / 2Е,, у•( (a'+N2F,) 2Fу 2F, -
о' e-al х lx0 (у) Хо (z) cos~ (r,
r
(о'+N2F х)' (2Fy 2F,)2 - о• •-'а Ixl Хо (у) Хо (z)
ro (0u))))].
(4.50)
211
Если Y"F-0 или Z"F-0, из (4.50) получаем
Р = +[l -Ф(+V (о'+ ::;:)y:F, 2f, ) J
То есть, когда значения помехи в О'Гдельных ТОЧIJ(ЭХ не коррелиро
ваны, вероятность оши,бки не зависит от частоты и на-правления
прихода принимаемой воJiны.
Ес,ш у=О и z=O, то из (4.50) следует
Х-. /2Е,Р у•[ (o'+N2fx)2f,2f,-o•e-alxlc0<: (r,
r
(~• + N2fх)' (2 fy 2f,)'- о< е-2а1,1
(4.51)
При ли(k++) =(r, r0 (0и)), k=O, ±1, ±2, ... , вероятность ошиб
ки (4.51) прини1мает минимальное значение
Pmin = 3⁄4-[l-Ф(+{-( -o _• _+_N _2_f _x)-: -: -:~•2-: -, --o -• -•- -"-l-,-1 -) J
Иначе говоря, когда поле помехи коррелировано в точках наблю
дения, вероятность ошибки будет минимальной в том случае, если
сигнал в эти точки прихмит в противофазе ( это можно объяснить
возможностью более ~полной .компенсации сосредоточенной поме
хи).
Учитывая, что при приеме поля в одной точке r, вероятность
ошибки опреде.,1яется равенством
Р = +rl-Ф( +V(o'+:::,;·2Fy2F, ) J
получаем выражение для энергетического выигрыша ПВ обработ
ки в двух точках пространства по сравнению с временнбi1 обработ
кой в одной точке
-
-
•-'"
1' 1Хо (у) Хо (z)
(4.52)
Если Y"F-0 или Z"F-0, то из (4.52) следует, что '1=2. Это соот
ветствует когерентному накопJiению сигнала в двух точках при
212
некоррелированном в этих то«ках аддитивном шуме. Если у=О н
z=O, то из (4.52)
!1 = 2 ( 1+ ~)2F,2F, \ ( 1+ ~)2Fy 2F,-e~<>Jxl cosi: (r, r0 (Ou))}
( 1+N~:x )'(2Fv F,)'- e~
2
<>Jxl
~.дб
8
7
6
5
•
Рис. 4.9
а 2=0
2
!Ja 0,/25
Ь=О
J•5
(4.53),
?,i//;
13
fl
11
fO
9
8
7
а2
= 0,t
б
6оф;JО
./
z
J • 5 б"'/х/,
Рис. 4.10
213,
Выигрыш (4.53) удовлетворяет неравенствам
,,,:::
,,,:::
2 (1 +N2F,/a1) 2F,2F,
1)min--a 'l- -a'lmax, где Т)min= (] +N2F,ta•) 2F,2F,+e--al•I
2 e----«lxJ
fl-.. =
2+
N2F )
:;;, 2
•
( 1 +т 2Fy2F,-e -cotxt
Нижняя граница 'lmin достигается, когда поле сигнала приходит
.в точки наблюдения в фазе (л.uk= (r, r0 (8,.)), k=O, +!, ±2, ... ).
Лосколыку на практике 2Fy2F,:;;,,1, то Т)m;n:;;,,I.
1j,66
6,0
S,5
5,0
4,5
о
'Рис. 4.11
1.
2
J45c</,:J
Верхняя граница достигает
ся при приходе сигнала в точ
ки наб.ТJюдения в противофазе
(л.и(k++) = (r, r0 (0,,)), k=
=0,±1,±2, ...).
Сопоставляя (4.53) и (4.49),
можно видеть, что при равен
стве коэффициентов 1,орреля
цш1 по11ех11 в .:I.Вух :\1Оде:1ях
7/,дli
4
3,5
3
2
1,5
О1
6=0,25
Ь=О, 125
Ь=О
2345«iXI
Рис. 4.12
е-•1"1 =рп cos~ (г, ro(On)) энергетический выигрыш для моде··
l.u
лей помехи А и Б выражается одной и той же формулой, если а•·
удовлетворяет условию (1 +N2F,/cr2 )2Fy2F,= 1 +а•.
Исследование выражения (4.53) показывает, что энер,гетичес
кий выигрыш Iмонотонно зависит от alxl, стремясь к значению,
3 дБ пр.и а/х/~оо, и на него оказывает влияние знак вел'ичины:
b=cos~(r, r 0 (0u)), определяющий фазовое соотношение в от-
~..
дельных точках антенны. Если параметр Ь~О, то ч;;.2 и с ростом
alxl выигрыш монотонно убывает. Если Ь>О, то зависимость энер
rетичес-коrо выигрыша от а Iх 1, вообще говоря, немонотонна н он,
стремится к асимптотическ=у значению (3 дБ) снизу.
На рис. 4.9 -4.12 приведены зависимости ТJ(alxl), определяе
мые формулой (4.53) при следуюших значениях .пара,метров:
2F 2F -1• a•-N2Fx -О• О 1· \· 10· Ь (r, ro(Ou)) =0• О 125•·
11 i-
'
-
1-
•
'
'
•
1
'1
,
•
•
0,25; 0,375; 0,5. а
"'•
Можно видеть, ,что с ростом параметра а• асимmотическое зна'Че-
ние выигрыша, равное 3 дБ, в случае заданного значения интер
вала корреляции 1,= 1/а достигается при меньших значениях рас-
стояния
между точками наблюдения х, а в случае за-
данного расстояния между точками наблюдения х - при больших.:
значениях интервала корреляции 1,.
4.6. Помехоустойчивость одной схемы
дискретноi\ П В обработки поля
Для иллюстра•ции практичеокой реализации дискретной по про-
странс-гву обра,ботки поля рассмотрим схему адаптивного 'Компен
сатора сооредоточенной ~помехи, nод которой здесь понимается уз
кополосная помеха с полосой Лfп4!:.F. Число парциальных кана
~1ов 1ком,пенсатора (число антенных входов или чисJJо анализируе
мых точек) определяется числом помех, действующих в полосе сиг
нала [123].
В случае узкополосных сигналов, ,когда наиболее вероятныw
следует считать попадание в полосу сигнала только одной сосредо
точенной помехи п0 (1, г) •, число парциона.льных каналов ,компен
саторов можно взять минимальным и равным двум, т. е. осуществ
лять сдвоенный по пространству прием в точках r1 и r2. Схема·
адащтивного компенсатора показана на рис. 4.13. Она анализиро-
валась в [6]. В )"Казан ной работе определены пара,метры схемы,.
при которых обеспечивается минимальная средняя мощность су,м
марного шума на l'!Ыходе компенсатора.
•i В зтом оа,ра~,рафе бущеы ,sп:ред.ь соорt\доточен-ную помеху нменовать.
nросто помехой.
215,
Поскольку помехоустойчивость системы определяется отноше
:нием сигнал/шум на выходе компенсатора, то представляется це
.JJесообразным выбирать параметры приемни,ка (схемы компенса
тора) именно из 1условия 1макси~мизации этого отношения. Эта за
_дача здесь и рассматривается.
z(t,lj) Ocнo!JttolJ.
,rанал
z{t,r .
Рис. 4.13
1
j
1
Схема рис. 4.13 позволяет получить о~инаковые по амплитуде
11 фазе колебания помехи, поступающеи с двух парциальных
входов 1 . Один из каналов ком.пенсатора удобно называть основ~
l!Ы1м, другой - компенсационным.
Колебания основного и компенсационного каналов поступают
на вычитающее устройство, где осуществляется ;компенсация по~
:мехи. Уровень полезного сигнала на выходе компенсатора опреде
.ляется соотношением фаз полезного сигнала н помехи в основном
и ~компенсационном трактах.
Выравнивание ,фаз помехи в указанных двух трактах осушест
вляется в ,блоке выравнивания фаз с использованием принципа
многократного преобразования частоты, при,меняемого в устрой
ствах когерентного сложения [ 47, 128, 134, l 77]. Аплитудные
·различия ,колебаний ~помехи в основном и компенсационном кана~
лах устраняются с помощью фазового детектора и регулируемого
усилителя [6].
·запишем анализируемое колебание на двух парциальных входах:
z1(1) = uil(1) +п"(1) +пФ,(1); z,(1)= и,,(1)+п,2(1)+пФ,(1),
где Иii (1) = '11 Ис cos [OJпpl +е; (t) +,Ро (1)];
и,, (1) =y,Uс cos [ OJпpl +
{
iЛq, при Ф М;
+Е;(1)+1/>о(1)+Л,Рои(1)+Л,Рс(1)]; Ei(1)=
s:J;I при ЧМ;
1 Колебания z1·(t) =z1(t, r1) ,и z2(t) =z(t, r 2) :мюгут считаться :Вы,ходrными
•сигналами УПЧ двух nриемннков с ,цдентичными ха,рактерюстпками.
·2ш
пс, (1) = Ип.о (1) COS [ ((i)пр+Л(i)) 1+ (j)o (1)]; п,2 (1) = Ипк (1) COS [ ((i)up+
+Л"') l+q, 0 (1) +Лq,о"(1) +Лq,п(I)]; nф1 (1) = Иш.о (l),cos[(i)upl+0 0 (1)] ~
пф2 (1) = Иш.>< (1) COS [ (i)пpl+0и(I)];
у,Ис, Ил.о(!), Иш.о(I), 1),o(I), <ро(/), 00 (1) -соответственно огиба
ющие и начальные фазы сигнала, помехи и флу~ктуационного шу
ма на входе основного канала; у,Ис, Ил.и(/), Иш.иU) - соответст
венно огибающие сигнала, помехи и флуктуационного шума на.
входе компенсационного канала; 8,,(1) - начальная фаза флукту
ационного шума на входе компенсационного канала; Лq,о.к (1) -
флуктуирующая составляющая разности фаз помехи, зависящая.
от степени корреляции помехи п точках r 1 и r 2 и обусловленная
кривизной фазового фронта волны помехи; t11j1 0 _к (1) - составляю
щая разности фаз сигнала, обуслов.r~енн:ая ~кривизной фазового
фронта волны сигнала; Л<рп (1), Л,Рс (/) - регулярные составляю
щие разности фаз, обусловленные разносом парциальных антенн
и направлений прихода помехи и сигнала.
Считая, что амплитуда и фаза помехи .меняются независwмо,
распределение :'.q,о.к (/) симметрично, и вводя в рассмотрение ко
эффициент корреляции помехи в каналах ком1пенсатора
(И (1)И (1)cosЛ<р0 (1))
{)= О.К
П-0
,К
Iр1<\
n
2аа
)11~)
п.о п.н
где а2п.о, а2п.н - среднеквадратичные значения помехи в основном
и ком,пенсационном каналах, получаем, следуя [6], выражения
для средних мошностей суммарного шума и полезного сигнала на
выходе компенсатора:
Рш.вы:х: = а2п.о + а2ш.о + F 2 ( а2п.к + а2ш.n)-2Fрпап.о0п.к;
Рсвых=сr2, O [1+F2( ~: )'-2F ~: cos[Л,Poк(l)+Л,Pc(l)-Лq,п(l)J]
Здесь а2ш.о, сr 2ш.к -дисперсии (средние мощности) флсУ"ктуацион
ного шума в полосе сигнала; а·2с.о="';2 1 И2с/2;
F = Кап.о<Jп.кR 2 И 2rРп,
где R - коэффициент усиления регулируемого усилителя; Иг
-
амплитуда 'КО11ебаний ·местного гетеродина; /( - постоянный коэф
фициент.
Найдем отношение сигнал/шум на выходе компенсатора:
Р2вы:х:
рС,ВЫХ
Рw.вы:х:
217
·Отношение сиrналfшум на входе компенсатора (в основном ка-
нале)
'
cr'c.o [1 + F'-2F со,, (д 'i>о.к (/) + д ,р0 (1)-Лq,0 (/)]
01
0 (1+а•)(1+F')-2FРпсr'п
где а2 =о 2ш/а 2п.
(4.54)
(4.55)
Регулируемый коэффициент усиления R (или взаимно однознач
но связанный с НИIМ параметр Р) определим из того условия, что
бы величина р 2вых (4.54) была максимат,ной. Нетрудно убедиться
в том, что (4.54) принимает максимальное значение при F= ± 1,
причем верхний знак выбирается в том случае, если
COS [Л,Ро.н (1) + Л,Рс (1)-Лq,п (1)] <рп/ (1 + а2 ),
(4.56)
а нижний - если
соs[Л,Ро.к(t) + Л,Рс (1)-Лq,п (1)] >рп/ ( 1+а').
(4.57)
При этом макс~,мальное значение отношения сигнал/шум на вы
ходе компенсатора
•
cr\.o [1 'F cos [д'i>о.к (/) + д Фе(/)- ЛЧ>п (/)]
(4.58)
,р8"'=
u•n (1 +а•'FРп)
Следовательно, если выбрать ,коэффициент усиления R.=
=il/KU2,pnl, то отношение сигнал/шум на выходе компенсатора
(на выходе решающего блока) ,принимает максимальное значение.
При одиоканальной обработке поля (прием на одну точечную
.антенну) отношение сигнал/шум на входе решающего блока оп
ределяется выражением (4.55).
Сравнивая (4.58) и (4.55), ви,ди,м, что энергетический выигрыш
ПВ обработки с иапользованием компенсатора относительно од
ноканальной обработки 1для двоичных систем с а,ктивной паузой
(ФМ, ЧМ) определяется формулой
1 'F cos [ЛФон (1) + ЛФс (/)- Лq,п (/)]
'1doмn=
р
l'F-"-
1 +а•
(4.59)
Из (4.59) легко видеть, что с учетом правила выбора знаков
ТJкомл;;;. 1. Пренебрегая ,кривизной фазового фронта сигнала, из
(4.59) имеем
(4.60)
Если в канале флуктуационный шум отсутствует (а2 =0) и сосре
доточенная помеха в дву,х точках наблюдения полностью корре
'218
лирована (p 0 =±i), то в том случае, когда соs[дф.(t) -
-Лq,п(I)] "F"±i, имеем t)номп=оо, что объясняется возможность!()
полной компенсации сосредоточенной помехи при этих значениях
параметров.
Сопоставляя результаты ПВ обра,бо-гки поля посредством объ-.
единения блоков компенсации и решающего ,устройства с резуль
татами, ,получаемыми при оптюмальной ПВ обрабо11ке поля в двух
точках пространства (см. § 4.5), можно сделать вывод, что схе
ма с компенсацией по существу реализует принципиальные воз
можности дискретной по пространству обработки поля.
tJнaмn' дff
Prrft+a.
2
=0,9
12
- 0.9
,о
д
б
i
2
о10?ОJO10
50
150
80
Рис. 4.14
На рис. 4.14 дана зависимость энергетического выигрыша,
(4.60) от 0=Лф,(/)-дф.(1) при фиксированных значениях вели
чины Рп/ ( 1+ а 2 ) = -0,9; -0,5;- О; 0,5; 0,9. Отметим, что обоуждае
мый выигрыш яв.1яется четной функцией 0 и с ростом параметра
1рп/ ( 1 + а') 1 уве.1ичивается возможный выигрыш компенсатора.
4.7. Оценка помехоустойчивости двоичной системы
при когерентном приеме и медленных флуктуациях
параметров канала
Будем считать, что в различных ветвях разнесения помехи не
коррелированы, а коэффициенты передачи флуктуируют настоль
ко медленно, что на интервале анализа их можно считать пра1Кти
чески постоянными (хотя и неизвестными).
При известных параметрах канала вероятность ошибки дл><
когерентного приема согласно (4.35)
(4.61)
219
1,j
Используя введенный согласно (4.15) вектор случайных па
раметров :.,, ,в,ероятность ошибки (4.61)
.Р=+[!-Ф(Vл:..тн:.,)]'
(4.62)
где Н = diag {h2,o, h220, ... , h2Lo, h',o, h',o, ... , h'LO}.
Усредняя вероятность (4.62) ,по случайному параметру :., с рас
пределением (4.16) н используя интегральное представление функ
ции Кра,м,па, пол,у1чаем выражение для средней вероятности ошиб
ки при медленных неселективных замираниях параметров канала
1оо
dt
J1= --;J(l+12)Vdet[1+l(Hл(1+12)] Х
хехр[-+л(1+ 12) mт, Н [1-л(1+12) (1(-1 + (1+ 12)1.Н)-1Н]m,).
(4.63)
В частном случае независимых компонент х1 , у1 (4.63) принимает
вид
1=
dl
L
,р= -5---П х
nо1+!2l=I
l
'
т'хlлh'xl(1+1')
т'ulлh2у/(1+12) \
Х ехр - 2a2x1P+лh'x10+t')]-2a'u1P+лh'u1(l+l')]f
•
1/1+ (1 + 11) лh'xl1/1+ (1+ 12) лh'ul
(4.64)
где h2xl= a 2x1h2zo; h2yl= a 2ylh 210.
Полученная форм,ула средней вероятности ошибки (4.64) ана
логична (•с точностью до определения входящих в нее параме-гров)
выражению (2.76). Формулу (4.64) можно представить в виде
1-
dt
L
-5--пх
р=
,iO 1+12 ,_,
т•1+т• ,
где Q2l= х
У
a
2
xl+a2yl
a
2xl + а2111
2
,.,_ах,
..,1-2
•
аyl
Интегрирование выражения (4.65) в общем случае затрудни
тельно. При симметрии канала по ортогональным компонентам
(~2,= 1) оно приводится ,к виду
ехр(- ~ q•,) ех [
q'i
]
= _1_-
5 е, . L р 1+(1+1')i.h•,12 dt.
,Р"
1+ t•
П
h2
О
1~1 1+(1+12)л_,
2
(4.66)
220
При L=2, q21=q22=q2 , h 21=h'2=h2 из последнего соотношения
V h2 '!,,f2
ф
после подстановки t
1+ i,, h'/2 = tg2 следует
V1 +лh'/2exp(-2q2 +
q')
Р=
_
I+лh2 /2 Х
2n ул:• (1+лh'/2)
х (лh'(l +лh'/2) f ехр( 1 ~:~;/2) d,i,-
1+ лh'/2 0
1- аcosф
1+2а f' ( q2cosф )d,i,
1
х
2а(1+ Ь) Jехр 1+ лh2/2
-
2а(1+ Ь)
Х.fехр( q' cos• Ф ) cos ,i, d ,i,},
0
1+ лh2/2
где b=(2+2q 2 +лh 2 )/лh 2 ; a=(b-1)/(b+l); h2 =h
2
(1+q2
).
Воспользовавшись соотношениями [ 136]
2._
fexp(ee1 cosф)d,j,=[l-F(A, l, С)] е~
/0~
,
л O 1-е,соsф
VI-e
2
1
2V1-e•,
тдеА=Vв(1+V1-в'.), V2C=Vв(l-Vl-в'1),a также [29]
1"
lo (1<) = -;;-J excos Ф dq,;
1"
J,(i<) =-s cosq,eXCOSФdq,,
"'о
после интегрирования получаем
[
2q'(1+q'+лNo) ]
_
2+ 2q'+лh'
2+ 2q'+лh2
ехр -
V
р-
4(2+2q2+лh2)
лh'
Х
((
2q2 (1 +q') )
1[vлh'
х
/ -~ --' -'=~
---
---~~ (2+ 2q'+лh2)'4+
•
-
0
2+2q•+лh' 2(I+ q'>
2+2q•+ м•
+4лh•(з+зq•+л7i>)]-11 ( 2q'< 1 +ч'> -) i,,,;, \+1-F(A, 1, С);
2+2q'+лh' 8(1+q')f
2q•(1 +q•+i,,11•) ( 1 ± V(2+2q•+лli')лli').
2+2q'+ л)ii
1+q'+ ).h'
,
При q',=O (рэлеевский -канал) из выражения (4.66) при h21=;1,h2h,
I=t=k, СJiедует результат
221
р=+[I- t,V2~~·~.1 ~~:h'1~~k ] •
(4.67)
При сдвоенном приеме
р= +[I - 1~ б• (V2:::.
(4.68)
где h2 =h2
1; б=h'2/h',<I.
Для систем с активной паузой
(h',=h') вместо соотношения (4.67)
по всем ветвям разнесения
справедливо выражение
Vl + 2-, (2L-1)1I
(
р-
1- .h
FII•
-
( "-h')L •
1
'
2'
2L+I 1 +-2
-
LI
L+ 1; - i.:,).
(4.69)
где 2F1(а;
имеем Р""'
~; у; х) - гипергеометрическая
(2L- 1)!1
функция. При ,N/2"Ji> l
2LI (1-. h')L •
Для сдвоенного приема из (4.59) [128)
1[
,/
'l.h' (з+,.,;, ')]
р=2 1- V 2+,.h' 2+,.h'
•
(4.70)
Заметим, что (4.70) можно также получить из (4.68),
раскрывая неопределенность при 62 = 1. В области ма
лых ошибок из (4.70) следует (3.68) при Л,12=0 (полное разделе
ние лучей). Таким образом, энергетический выигрыш сдвоенного
приема в рэлееваком канале при μ,=О rJ = 1/V Зр.
Если μ,>О, то энергетический выигрыш уменьшается в 2"• раз.
Исключая из расс~мотрения односторонне-нормальный канал.
для больших отношений сигнал/шум Ah2x1» 1, Лh 2у1» 1 из (4.64)
получаем
с
р= -----. --
(4. 71)
(2 1-. h')L П б'1
l=l
1 q',(l+B'1)
)
L ехр\
2
B't
(cos• <j)p/ + В'1 sin
2
<j)p/)
С= C!,L-1 п ------'- -'- -- --- --- ---'
-
,-,
2в,
где
(1+В'1>(1+q',>
Из полученной формулы видно, что в •пределах оговоренной моде
ли (медленные некоррелированные за,мирания сигнала в отдель
ных ветвях разнесения, при которых еще возможны надежное
предсказание и реализация когерентной обработки) увеличение
числа ветвей разнесения L ведет к уменьшению средней вероят-
222
ности ошибки. Если пар~uметры канала одина,ковы по всем ветвям
разнесения (f\ 2,=f\2, q2,=q2, q,,,=q,,), то из (4.71) следует
с
p~- -----
L
(2лh')LП611
1=1
(4.72)
Lq'(1+~•)(cos'm +"'siп'm)}•
12~,
ТР t'
ТР•
h• -h'.
-
,,
При односторонне-нормальном распределении из соотношения
(4.65) следует
1~
,, = -;;--S
L
0
(1+1')П [1 + лh'б•1(1 + 12)]11
'
dl
(4.73)
l=I
В области малых ошибок при выполнении неравенства
;fJ2,лh 2 ::P I интегрирование выражения (4.73) дает
r(L~I)
р ~ -----~--~---
LL
,Lr(.!::...)Vn(лh1)2 П б,
2
1=1
(4.74)
Представляет интерес выяснить зависимость вероятности
ошибки от числа ветвей разнесения L и коэффициента эффектив
ности использования мощности передатчика μр, Для этого, ис
:пользуя (4.72), определим отношение вероятностей ошибки при
числе ветвей разнесения L + 1 и L:
PL+,
(1 +~')(! +q')exp ( _ q'(~~~~•\cos1 cp,+~•s1n•_q,,))
К=-~- ------~-~-------~х
PL
2~лh1одб'L+I( 1+ +)-μрL
x(2L+ 1) (L + 1)μ•-•.
(4.75)
• Если μр=О, то
к=(1+~•)(1+q')
(
2~
ехр
q'(l + ~•)
(cos' q, +f\'sln'q,) / 2L + 1 х
2~•
Р
Р L+1
Х•аб'
r,,h од L+l
(4.76)
Поскольку формула (4.72) пол-учена в предположении боль
ших отношений сигнал/шум (Лh20дб 2L+ 1 :> 1) и (2L+ !)/(L+ 1),,,;;'2,
то при произвольных допустимых значениях пара~етров канала
значение К, определяемое (4.76), меньше 1, т. е. рост числа вет-
223
вей разнесения при μр=О всегда приводит к повышению помехо
устойчивости. Если μ.>О, то, как следует из а!!_ализа выражения
(4.75), при задюшых значениях па,раметров лh 2 0 дб'L+t, ~' . q2, <рр
величина К< 1 лишь в тех случаях, когда число ветвей разнесения
L ~меньше некоторого порогового числа Lnop, определяемого из
уравнения
! q'(I+~')
••
•
} (2Lп,,P+I)(I+-L-l_\μpLпoP
ехр -
20,
(cos• <рр + е sin 'Рг)
)
0
-----~--~П~О~Р_I___ = 1.
~
!-
---~--- Лh2 62
(I + Ltюl') Р
(1 +~2)(1 +q2)
од Lnov+I
Увеличение числа ветвей сверх порогового ведет из-за нерацио
нального раопределения мощности передатчика между ветвями к
потере помехоустойчивости.
На рис. 4.15 показаны зависимости Lnop как ~функции от h* 2 =
=Лh2о.цб2L
+1 при некоторых значениях параметров канала для
пор
двух значений параметра μр= 1, 2. Из рисунка видно, например,
что в рэлеевском канале (q 2 =0, ~
2= 1) Lпор=1800приμ,= 1 и
/i*2= 104 и Lпор=25 при μр=2 и h*2= 104.
ю'
ю'
·!О
ш'
р'•ав
'1',(0
101
μμ=2
ю'
q2-0
р'·'
l'f •2
q•О
!"· о,5
,о•/О/О!О/Ото!Оh"
Рис. 4.15
Определим теперь значение Lnop
для односторонне-нормального ка
нала. Для этого, используя (4.74),
определим отношение вероятностей.
ошибок при числе ветвей разнесения
L+2*> и L:
Lnop
10'
10'
to'
10'
10
10'
/О
10
Рис. 4.16
*J Отношение PL+zf PL в-мосто PL+i!PL ис:пользуеТ1СЯ .для того, чтобы уп
ростить ра1счет,ную фор.мулу. Возн,и.кающая при этом 1пог,решность псзпачитель
на .ввиду монотонности функции p(L).
224
К= Рн2 (L+1)(L+2)μ,-t
(4.71)
PL
А h2од 6L+I 6L+2
Если μ.=О, то
к
L+l
Для больших значений iJ,,h20дбL+tбL+2, ,цля которых только и сора~
ведлива (4.74), значение К, определяемое (4.78), ,меньше 1, т.. е.
рост числа цетвей разнесения при μр=О всегда приводит к повы
шению 1помехоустойчивости.
Если μр>О, то, как следует из анализа (4.77), при заданных
значениях параметров (Аh20д, бL+t, бL+2 величина /(< 1 лишь в том
случае, когда L меньше некоторого порогового значения Lnop, оп
ределяемого из уравнения
__('=L='п""о,~+_,_1_,_).,_(L__,п,,,ое.•.с+с...2)'--"-•-_'_ (1+_2_)"• _L_;o_p= 1.
А hloд 6LпоР+1 бLnoP+2
LпоР
Увеличение числа ветвей разнесения сверх порогового ведет rк ., _
тере помехоустойчивости нз-за ухудrшеиия перерасщ. . JS
111
мощности передатчика между ветвями.
На рис. 4.16 даны зависимости Lпор от h* 2 =iJ,,h 2oдl5L 00,+1/Jt,- +z
при значениях μр= 1; 2. Из рисунка видно, ·что в односторо!Wr'о-...
мальиом канале Lпор"'3500 ,при μp=l и h*'=l04 и L_ .3'11f•
μр=2 и h*2= 104•
_. <.,,,,
Опр';_делим в области больших отношений cиrнaл/ш)'iilfltdl('
ти•ческии выи-грыш разнесенного приема по сравнению ~-1
.
ным для случая, ·коnда μр=О и корреляция между 1квадра1;) yj К,
компонентами сигнала в ветвях разнесения отсутствует (R.=ct)!· -
B одно•сторонне-нормальиом канале в соответс'!'ваи с (4.74)
В общем гауссовском канале (исключая случай односторонне-'
нормального ,канала) этот выигрыш согласно (4.72).
(
fi6•1 ) 1/L
l=2
=
CL
--- ,-.
2L-I
I-у
(4.!!О)
р
При μр>О энергетичеокий выигрЬLШ уменьшается в L,.,, раз.
Значения энергетичеакого выигрыша в децибелах при р= 10-4,
μр=О и Rв=О, рассчитанные по (4.37), (4.79) и (4.80) ,цля раз
личного числа ветвей разнесения и относительных интенсивностеit
сигналов в отдельных ветвях б2 =0,1; 0,5; !, даны в табл. 4.1.
8-46
226
Таблица 4.1
Эи:ерrети•ескиА ВЬIНгрыш, дБ
1
6'-0, 1
1
4'.::::::(J ,5
1
~•=1
,t.
••➔~ 1
1
••➔~ 1
1
1•·➔~ 1
1
q'<ar;i
q'=O
q•<ao
q'=O
q•<oo
q•=O
p•.,LO
Р 1=О
р•;=о
Р•=о
~ 1;=0
Р•=О
1о
о
о
о
о
о
о
о
о
2 0,41 12,63
31,08 1,76 16, 13
34,57 3,01 17,63
36,08
8 0,80 16,81
41,48 3,01 21,5
46,14 4,77 23,51
48, 16
4 1, 14 18,74
46,19 3,98 23,87 51,43 6,02 26,13
53,69
б 1, 76 19,81
49,14 4,77 25,4
54,72 6,99 27 ,81
57 ,14
11з та-блицы видно, как •падает эффективность разнесения по
мере улучшения канала,
Рассмотрим теперь ситуацию, ,когда коэффициенты передачи
,1<анала одинаковы во всех ветвях разнесения (у,=у), т. е. сигналы
ютдельных ветвей полностью коррелированы (Rв= 1). Случайный
;параметр у считается постоянным на интервале анализа. В этом
случае средняя вероятность ошибки
1~
---
р= -J[l-Ф(Vлy2h2o)]W,(y)dy,
2о
1
1
где h~o=- BIIO=-s uт1o(l)Uoп1o(t)dl.
·~· l!t1fl:tif~~i·•
2
2
(4.81)
Выражение (4.81) совпадает с формулой для средней вероят
но~Р\,,!1ц~ц915и одиночного приема при соответствующей интерпре
,:~'!!ЩW;-.~а11<етр_:1 h20 . Таким образом, независимо от свойств ~а
на~~~/1~ лолнои .корреляции сигналов отдельных ветвей энергети
ч-й выи~рыш от разнесения
") = •8110/811011,
( 4.82)
где ;е11011 = f иш (1) Uоп 101 (t)dt.
Есл~\\помеха в канале некоррелирована по различным ветвям
разн.есения, то из (4.82) пол,учается
L
!1 = lj 621/LμP.
(4.83)
1-1
Потерю эффективности разнесения, свяэаииую с иэменением
величины I R. 1 от нуля до единицы, при заданных значениях па
раметров канала q2 , f\ 2 можно оценить коэффициентом
(10-1=Т/R,~О-Т/R8-1,
(4.84)
значения которого в децибелах при р= 10--', μр=О, 62
,= 1 приведе
иы в табл. 4.2.
Из таблицы видно, что коэффициент t10➔1 <уменьшается ,по мере
улучшения ,канала (ростом q2 ) и сокращения ·числа ветвей разне-
<:ения.
:226
Та блица 4.2
'IO-+J • АБ
L
q•<-
3,~
q• ➔oo
p•;to
1
о
о
о
2
о
14,62
33,7
3
о
18,74
43,39
4
о
20, 11
46,67
5
о
20,82
50,15
Среднюю вероятность ошибки при разнесенном приеме и нега
уссовских замираниях можно определить анаJiогично тому? как
это сделано в разд. 2.9 при нахождении средней вероятности ошиб
ки для случая медленных селективных замираний в однолучевом
канале. Остаются в силе и сделанные там выводы об относитель
ной помехоустойчивости при общих гауссовских и логнормальных
замираниях в канале.
4.8. Потенциальная помехоустойчивость многопозиционных систем
при неопределенной, но одинаковой фазе сигнала
по всем ветвям разнесения
Рассматриваемый алгоритм приема для некоррелированной по
различным ветвям разнесения а,ддиrивной помехи записывается в
виде
VLL
arg шах V',=agr шах ( ~ Х',,)"+ ( ~ У',,) 2,
t
i
l=l
1=1
(4.85)
где Х',,, У'а определяются согласно (4.14).
·~,~
Пусть система сигналов удовлетворяет условиям ортогона)i.ьно"
сти в усиленном смысле в каждой ветви разнесения:
JSи,ю(l)ЧГ1 (1, t')инo(t')dtdl'=O,
j j иuо(l)ЧГ,(1, l')й;ro(l')dtdt' =0, i=l=j.
Для такой системы сигналов при фиксированных па~'>~метрах
у, и передаче i-й позиции с111мвола случайные величины V' 1 и V',
взаимно некоррелированы н распределены соответственно. по. за
кону Рэлея н обобщенному закону Рэлея. Для вероятности ошиб
,ки ортогональной в усиленном амысле m-позиционной системы с
активной паузой
~
V'
Р=1-JW(V',) ( [1
W(V';)dV';)m-•dV',=
о
ld
=~
____
с.ст--'-, ехр ---~ h21 ,
т-1 (-t)•+tck
{kL_}
>-1
l+k
k+l1_ 1
где h21=y2
1h2,a= (x21+y21)h2,a.
8'
(4.86)
227
Из этого сооmошения следует, что IIIPИ когерентном сложении
незамирающих сигналов и некогерентном выборе знака остается
сщ,аведливым правило ·аум'-!ирования отношений. сиrнаJI/помеха
отдельных ветвей.
Среднюю вероятность оши,бки при общих гауссовских замира
ниях сигналов в отдельных ветвях можно получить путем усред
нения (4.86) по вектору случайных параметров t с распределени
ем (4.16):
т-J (- f)k+! ck
р=~
т-•
•-1
_ 1+k
(4.87)
.Б .ч11·стном случае независимых замираний ортогональных компо
нент отдельных лучей (4.87) принимает вид
m-!(_ l)k+!с•
L
р=~
т-1ПХ
•"=•
1+k
1=1
{
k
.(
cos
1(J)pl
sinS (J)pl ) }
""_ р
-
--q', h'1
+
J+k
1 + ...Е!..._ h'xl
1 + _Е1!___ h'u1
:х··.
.
.
.
I+k
1+k
(4.88)
у(1+J: kh
1
x1)( 1+I~kh'u1)
ка-
'1'1 ii•1
]'
2(1+t/'1)+h11
(4.89)
L
В.подрэлеевском канале p=l/2ПV (l+h2x1) (l+h2.,) .
l=l
Если исключить случай односторонне-нормального канала, то в
области малых ошибок h2x1-::t> 1, h 2y1-::t> 1 н (4.89) принимает вид
с
р:::, -----
-
L
h'L П 6'1
1=1
(4.90)
Исследование показывает, что и при неопределенной фазе сиг
нала, если коэффициент, определяющий эффективность использо
вания мощности передатчика в отдельных ветвях разнесения,
μ.,>О, то существует некоторое пороговое число ветвей разнесения
Lпор, которое определяется так же, как при ,когерентном приеме,
с учетом энергетического ,проигрыша, обусловленного незнанием
фазы сигнала.
Сопоставляя (4.90) и (4.71) при iл=I, находим энергетический
проигрыш некогерентного приема ,по сравнению с оптимальной
-когерентной 06рабо11кой: '1= (2 2L-1/CL2L-i) 1/L.
В односторонне-нор,мальном канале при li 21h2 1 =li2,h 2 -::t> 1 имеем
-
L
Р""' 1/2 (h2) L/2 П б,.
1-1
Сопоставляя это выражение с (4.74) при 0-= !, видим, что энер
гети,ческий прои~рыш рассматриваемой схемы по сравнению с оп
тнмальной когерентной обработкой в односторонне-нормальном
-
( LГ{L/2)У,. )'iL
канале f]- 2г{L + l)/2) •
Таблица 4.3
L
1
q•<oo
g·=•
q•-cr .
р•~о
•-о
1
ЭиерrетическиА проигрыш дБ
1
0,98
1
3,01
3,92
2
0,8
2,13
3,01
3
0,67
1
1 ,68
2,48
4
0,55
1,41
2, 12
5
0,5
1,22
1,88
В табл,. 4,3 приведе~ы значения обоуждаемого энергетического
проигрыша в децибелах при Rв=О и различных параметрах ~-
ла q2 и ~•, справедливые при любых значениях q, 0
.
Из таблицы видно, что энергетический прои,грыш уме11-
•• t ростом числа ветвей разнесения и улучшением свойст• • _
.
.. •.
-
При L-;;s,2 этот 1проигрЬ11Ш при произвольных q2 н ~• не превышает
3дБ1.
При полностью коррелированных замираниях сигналов отдель
ных ветвей средняя вероятность ошибки
m-1(_l)k+Ick 1~ [
k
L
]
р=~
т- [ехр ---y2 1]h2 10 W(y)dy,
,_,
J+k
ff
1+k 1-1
т. е. определ·яется как при одиночном приеме, если вместо h.2
-
L
брать h'oA ~ 621•
LP.p l=l
. Следовательно,
независимо от закона распределения ruмплитуд
в ,канале разнесение обеспечивает по сравнению с одиночным щ,и
емом при /Rв/ = 1 энерrетичеокий выигрыш, определяемый (4.83).
Значения f),,_ ., в децибелах, ко то ры е о пр ед ел яю тс я (4.84) и по
казывают потерю эффективности разнесения при данных парамет
рах канала q2 ,
~•,
обусловленную изменением IR. / от нуля до
единицы, для случая, когда осуществляются когерентное сложе
ние сигналов отдельных ветвей и некоrерентный выбор решения,
приведены в табл. 4.4.
Таблица 4.4
ТJо-1. дБ
L
ql<oo
q'-0
О:'-+оо
f''~O
~•=О
2
- 0,8
12,49
30,06
з
- 0,67
17,06
40,91
4
- 0,55
18,70
45,55
5
-0,5
19,60
48,27
Из таблицы видно, ,как коэффициент t],,_., падает с улучшением
свойств канала и уменьшением числа ветвей разнесения.
Определим теперь среднюю вероятность ошибки анализируе
мой многопозиционной системы при некоррелированных т-распре
делениях амплитуд сигналов (у,) в отдельных ветвях. После ус
реднения выражения (4.86) получаем
·- m-
1 (-l)•+•c~-I Г1 ( . m'1(l+k) .
р-
~1
1+k
1_ 1 \ т'1 +k(m'1 +h'1)
Для систем с а·ктивной паузой по всем ветвям (h 21 =h2) при
т'1=т'
р=':Е'(- 1/+
1
с~_, ( т'(1+k) )Lm'
•-1
1+k
т'+k(т'+h')
Для ,двухпозиционной системы (т=2) следует ,результат
1( 2m'
)Lm'
р,;::,,, 2 2m'+h'
•
(4.91)
1 Это означает, что алгоритм (4.85) для !рассмат,ри-вземых СИ'СТем 6л·изок к
оn:rимальн-ому 1и ·при наличии и-нформаци,и о фазе.
.~
•
4.9 . Помехоустойчивость оптимального приема
в общем rауссовском канале с неселективнымн замираниями
Ограии,чТhмся случаем независимых во всех ветвях разнесения
замираний при иекоррелироваиной по различным ветвям аддитив
ио/1•.''!юмехе. При использовании опти~альноrо алогаритма (4.21)
вероятность правильного приема i-ro символа определяется веро
ятностью выполнения системы неравенств
CI xl
mxl+Х+
CI Vl
L[
1
(
)'
•
~
1
2
(1 + 2h',н) <1',1
11
2
( 1 + 2h',11)
"'•'
(т,1+Х)'
2
( 1 + 2h1xJI)
cr•,1
Jl
___
a'. , vcc.1 _ _ (-т_у_/ +Уд)•]>
2
(1 + 2h',11)
cr•,1
>rou, j=O, 1, ,.,, т-1, j=l=i,
где ro,;=ro,-ro; при условии, что z,(t) =иа(t) +n,(t), 1= 1, L.
Когда передается символ i-й позиции,
Х,,=л"+ (х,Ф+т.,)ешо,
Y,,=лil+ (Y1Ф+m,,)e1ilo,
Х;,=л;,+ (х1Ф +тх1)е1;10-(У1Ф+ т,,) е,;10,
У;1=л;1+ (Х1ф+тх1)е;jю+ (YtФ+m,1)e1;to,
ла= Jn,(t)UonilO(t)dt,
ли= 5n,(t)йoпao(t)dt,
где
е;;1о=е;;,10= j u"o(t)Uoп;ю(t)dt= J й;,o(t)йoa;,o(t)dt;
-
-
е;;,о= е,;но= 5u"o(t) йоп ;,о (1) dt= -S йно(I) Uоп ;,o(t)dt;
Uoпilo(t)= JЧ'(t, t')uuo(f')dt';
йопио(/)= JЧ'(I, t')й"o(t')dt'.
(4.92)
(4.93)
Все величины, определенные , (4.93), являются rауосовокими.
Систему неравенств (4,92) запишем в виде
(4.94)
L
Л,;= :Е [6211 +0221-62,,-02. ,)
(4,95)
1-,
-
квадратичная форма от 4L гауосовских случайных величин:
011=(х,,+т.,)V "xl
и•,,
2 (1 + 2h1xll)
в., =(Ун+ т,1 )
иv1
о•,, V2(1 + 2h'y11)
231
i
0-(х+т,1) а,1
•
81
-
JI а',1 1/2 (1+2h1
,11)
'
0-(У+mr1)
а,1
·•
1-
11 а•,1 V2 (1 + 2h1,J1) •
Гауссовские ·квадратурные ком,поне~ты х,, у1 считаю~ неза
висимыми, а случайные величины "" и ""; л" и л,.; л<1 и л,.(k+I)
8заимонекоррелированиыщ1; "" и "" имеют нулевые математичес
kие ожидания и диспеЕсии, равные ен,0 . К:орреля~я случайных
sеличин Ли и Лл равна Bijlo; Лi1 и Л11 равна Bijю; Л.11 и Лн равна-вi;1ю;
л" и Лjl равна е;;,о. Тогда случайные величины е.,; k=I, 4; 1=1, L,
являются совместно 1гауссовакими с вектором математических
ожиданий
м = <<011), (021), <0,1), <0,1),
<012), <022), ,.,, (01L), <02L), (0зL), <0,L))T,
г<0)-
11
'
1
("1в +т,,)- т,, VI+2h• •
де II -1/2(1 +2h',11) xl шо а•,1 - а,-11/2
•fl•
(IJ,i)=l/2(1~12h'uн) ( т"г,т+ '::.
1
1) а,~1/2 у] +2h'm;
0
"•'
(
-
+т,,)
( ,1> = 1/2 (1 + 2h'xJI) т" E1J10-mu1 •1110 а•,1 =
т.1
(1+в а' ; т,1а•)•
O"xl V2 (1 + 2hZ::cJl)
1)1(} xl- i}lO Шхl xl '
а,1(-+
+т,1)
(0,1) 1/2 (1 + 2h',п) тх, •1110 т,1 •11,0 а•,, =
mu/
(]+
2+-
mxl2)
=
V
8iJlO О' Ul 8iJl0--а YI
IJyl 2 (1 + 2h2y11)
ту/ •
и корреляционной матрицей
D=D1 E&D,$ ... eD,e ... $DL-
Составляющими прямой суммы (4.96) являются матрицы
[
u
O
•11
Ос,d,]
D,=
u2.,
-е, g,
.
с, -ei а2зz О
d1
g1
О u•,1
(4.96)
элементы которых определяются следующими выражениями:
1
232
.
"°•'
V •+ 2ь•.,11
с, = -2- 81110
1 + 211•и1
d 11"111,, -
у 1+211•,н
1 =-2- 81/IO
h'
1+2 у/1
11.,, 11,1 - 1 / 1+211•,11
е, = --4- Bmo r 1+2h'жll
_
. ,-,,
1 / 1+2h',11
g,-
-2-81/1° r 1_+2h',11
(4.97)
Хара,ктеристическая фуик:ция квадратичной формы (4.95) опреде
ляется (2.1 Ot), 6. которой Q - диагональная матрица, элементами
которой яв~яются коэффициенты ,квадратичной формы (4.95): ·
Q = Q,ffi ... ffiQ1ffi ... ffiQL,
где Q,=[~ ! -~
~]-
ООО-1
Вероятность ошибки для двоичных систем в соответствии с (4.94)
ы11 00 ехр(-+мто-1 [1--(1-21иDQГ1]М-iиЛ)
р = J J ---~ ::,:;:::==::=:::;::;:::---- ~ d .u dA.
-оо -оо
2nVdet (1-2i.u DQ)
(4.98)
В общем виде проинтегрировать (4.98) -затруднительно. Поэто
му рассмотрим .лишь некоторые, часто встречающиеся на практи
ке и поэтому вызывающие особый интерес, системы сигналов.
Двоичная система с активной паузой, ортогональная в усилен
ном смысле. Для двоичной ортогональной в усиленном смы~е си
стемы {и,ю(t)} с активной паузой (он;=О),. удовлетворяющей ус-
ловиям е;;,а=е,;ю=О, неравенство (4.94) можно записать в виде
L
L
Л,>Л;, где Л,= i (0'н+0221); Л;= i (02з,+02 .,), причем Гjjyc-
l=l
l=I
совакие величины 811, 82t, Нзl, 84l взаимно некоррелированны.
Будем считать, что канал симметричен по всем ветвям разнесе
ния I и по дисперсиям квадратурных компонент (райсовские зами
рания). Тогда дисперсии всех компонент 0, определяющих квадра
тичную форму Л,, одинаковы и в соответствии с (4.97) равны
112, = ~• ( h2x=h2y= :•). Дисперсии всех компонент 0, определя
ющих к·ващрати1чную фор,му Л;, также оди·на,ювы и •соrлжно (4.97)
равны а2п = h2/2 (1+h2).
1 В 1кни-ге си,м,метрия по ве11вям rраз·несения цред,полаrает ,незавиолмость o:r
l IКЗ.к дисперсий ,квадратурных tКомпонент, 'Та~К и энергет,~rческих характерИ!СТИК
h2 н.
233
Плотность вероятности квадратичной формы Л, (нецентраль-
ное симметричное х'-распределение) опvеделяется выражени- •
ем [ 136)
W (Л,)= 2~,
1
( ~• )";' ехр1- л;0~51 } JL-I (V~),
L
1+h' L
L
где s,= :Е (<0'11>+(0221)) =--
:Е y2pr= (1 +h') :Е q'1.
,-1
2u1 l-=l
[l-1
Для плотности вероятности квадратичной формы Л; справедлива
аналогичная формула
~.
W(л)-
_!_( л1)(L-IJ/2
{-Л1+sп}J (~)
J-2•
ехр
2"
L-1
:il
'
ап sп
а11
оп
L
1: У',,
L
IL
гдеs - :Е (10\2+<е")
I-I
-
--
:Е q2,
п- 1-1
'
31/
411
2а•(1 +h')
1
+h' 1-1
•
Вероятность ошибочного приема с~;мвола (в данном случае кана.'1
си,мметричен по вероятности ошибочного перехода)
р= SW(A;)SW(Л1)dЛ1dЛ,.
(4.99)
о
л,
Внутренний интеграл вычислим путем разложения модифициро
ванной функции Бесселя в ряд [29] вида
/
II
~
II
J
(V X-
1,) ~
,>+<L-IJ/2 л•+и,-1J;2
L-1
.
о'п = {:;;.0 kl (L - 1 + k)I (2a'п)L+2k-\
Имеем
k
оо
SII
~
("-" )'· х
•-okl (L - 1+ k)I "°II
л,
-~L+k-l
Л~
Хе II li --~--
r=o
,1 (2of1)'
Подставляя (4.100) в (4.99), после интегрирования с
ннем та,бличного интеграла (29]
~
sxμe-ax• l,(~x) dx=
о
234
~·
~•г(•+μ+ 1)•Та
2
,
х
μ+v+I
2•+•а-2~Г(v+ 1)
(4.100)
использова-
хF(
v-μ+ 1
1
~•\
11
2
,
v+, -~)
получаем
ехрf- 2
"'
( 1: ~) 2:::,}
k
lIl
а•
оо sп
р=
- -- -( -1~+--" -, _,--"'')'"-L -- -- --'- -- -ld;o kl (2 <rii)• Х
0\1
х L1-'сЦ,-1 ( ~.
),,F,(-r· L,
,=О
1 + ____!!_
"',
(4.101)
Поскольку h2 =h2
1/(l+q21}, то, подставляя в (4.101) величины
(
h')L
1
L
S1= 1+l+~•
l} q2
,; Sп=
_
2; q',;
1 l=l
1+__!i_: _ l=l
2(l+q21)
получаем
I +ч',
}
(
L'1 )k
)
~ lJq'i (1+q',)k LH-1
+1+2
,,
/-1
~х
q 1 ;;;,,0 kl (l +q', +h'1)k
~о
_
( ±ч',О+ч',+h',)О+ч',>)
хС' (:1+ч',+h', )' F
-rL-
,-1
.
L+c-l
2+2q•1+h2
1
11
'
•
h11(2+2q2
1+h\)
(4.102)
При q2, -+oo (канал без замираний} из (4.102) следует результат
(4.35).
При L=l из (4.102) можно получить иное представление для
формулы (2.107).
При q2,=0 из этой формулы следует результат для рэлеевско
го -канала [ 128]
1
L-1
( l+h' )'
р= ____ ..,, с,
1
-
L ...J L+r-1
-
•
(2 + h21)
,-о
2+h'1
1
или P"-' -,- -,, -C2LL-I при h21~1.
(h',> L
(4,103)
235
Из (4.102) для ,больших значений,h2 =h 2 1 /(1+q2 1 ),
L
-
~ qil
(1+ч',>L CL е 1=1
р~ ~~~
(4,104)
(No',)L
2L-1
Из сопоставления (4.104) при q2,=q2 с (4.72) при л=l, ~2
=1 вид
но, что энергетический проигрыш оптимального независимого при
ема символов в райсовоком 'канале (с симметрией по ветвям раз
несения) по сравнению с оптимальным когерентным приемом ра
вен 2 (3 дБ) и не зависит от числа ветвей разнесения.
При сим,метрии каналц_ по ортогоналъным :компонент21м и
q2,=0 (рэлеевское распределение амплитуд) при наличии асим
метрии ветвей разнесения
W(Л,)= j ехр(- iиЛ1)
L
-
- ~ 2nn (l-iuh'1)
1=1
L
ехр{ ~:, (1 + h'1))
=~----~--'--
1=1
__
h'~I- Гl ( 'ii'i, (1 +h'1) )
1+h', k=I !-h't(I +h'•)
Ч,1
Интегрированuе (4,99) дает
L
J
L
р=~ L
-
)~
1=1 h't П (t- h'•
,=1
,-1
h',
le+I
При сдвоенном приеме (L=2) нз
(3.118).
ИссJJедуем теперь помехоустойчивость двоuчной системы с ак
тивной паузой, ортогональной в усиленном смысле, при незави
симом приеме элементов сигнала в односторонне•нормальном ка
нале, си,мметричном по всем ветвям разнесения (h 2x=O), ДJJя это
го случая плотности вероятностей квадратичных форм Л, и Л;
имеют вид:
L
Л1
-- 1-w- -
л2еУ
W(Л,)= -
1
---- -
L
(2h'u)
2
Г(+)
236
W(Л1)=
( J~;h'y)jг(~)
После вычисления внугреннего интеграла в (4.99} получаем выра-'
жение для вероятности ошибки
л,·
р=
1
ТМ·"'-'е- w r( ~- .
r ( ~)r(+)(2h'J,.,
20
.
где h'=h2y; Г(v, х) - неполная гамма-функция, Интегрируя [29J"
получаем
р=------- - ~-
х
Г(L)
(1+2Jii)L/2
~г(~)г(~) 1+h'
X~(l+lh')LI'
,F,(1,L, ~+1, 2 (!:h'))·
В области малых ошибок (h 2 -:> 1) следует асимптотичеокая фо~
мула
Г(L)
(4.105)
Р= ~ r(~)r(+)(2h')L/;
Сопоставляя (4.105) с (4.74) при б',= 1, находим энергетичес
кий проигрыш по отношению к оптимальному •когерентному прл
ему в односторонне-нормальном канале
= .2('
r<i+ 1J-Vit
)'IL =2
f! 2 r(~+1)г(Ltl) ,
Двоичная система с противоположными сигналами. Для двоич
ной системы с противоположными снгнала•мн U11o(t) =-uo,o(I) ве
роятность ошибочного приема по алгоритму (4.92) определяется
вероятностью выполнения неравенства
L
~ [х COS<pp/
+У
f:;1 " l+2h'x<
11
sin Ч)рl 1< О.
1+ 2h2y,
(4.106)
С учетом (4.93) запишем последнее неравенство в виде А <В~
где
(
COS(ppl
SiПCJ)pl ) 1
+ х,Ф 1+2h'xl +У~Ф 1+2h2y/ Ещо ;
В=- ~YPl Ещо[ cos' 'Ppl + sin' 'l'pl 1·
f:;; 1
1 + 2h'xl
l + 2h'ul
231
Случайная величина А является гауссовокой с нулевым средни·м н
дисперсией
L
[
•
~_ 1е
cos (Jlpl
A-L- що (l+2h' )'
.f...t
жl
+ 2h111 i sin1
'PPl l=~е [cos
1
<ppt
sin
2
<рр! ]
(1 + 2h'u1)1
{:;1 "" 1+2h'xl+l+2h'ut •
Вероятность выполнения неравенства (4. 106), т. е. вероятность
оши-бки для системы противоположных сигналов,
[
(
,f; 2h2 [ cos
1
«J)p!
sin
2
(J)pl ] )]
~1 'VPI lo 1+ 2h2xl + 1+2h2yl
Р= + 1-Ф -,f,=,=±=2h'1,=[
cos='<ro,=+=•in'=<r,1~]
'
V l~l
1 + 2h'xl
l + 2h2yl
1
где h2zo= 2eiilo-
Ecли канал одинаков по всем ветвям rазнесения 1, то
• = _1_ [·, -Ф(VL2q'h'(1+2h2y cos• <рр+2h'x sin' <рр))]=
р2
(1 + 2h'x) (1 + 2h2y)
(4. 107)
=-l[I-Фl/fL.2q•7ii[1+ (1+11~/('l+q')(cos
2
<p,+~•sin
2
<pp)]\). ]·
2
[
2i,•
][
2Ji•~•]
.
(l+q') 1+(l+~')(l+q') 1+(1+~'J(l+q')
(4.108)
Для райсовакого канала ( симметрия по ортогональным компонен-
там) вероятность ошибки р=-1-[1-Ф(\• ~)] и не зави•
2
v~
сит от 'РР· При h2-+oo получаем выражение для ,предельной (несо
кратимой) вероятности ошибки в райсовском канале
Рщ,ед=+ [1-Ф(V2Lq2)].
(4.109) ,,
Для случая, когда в канале нет регулярной компоненты
(q2,=0), из (4.107) следует p=l/2. Это означает, что в таком ка•
пале система с 1Противоположными сигналами неработоспособна.
При q2 -+oo из (4.108) следует результат для разнесенного приема
в симметричном по всем ветвям идеальном канаJiе
(4.110)
Из (4.110) видно, •что в рассматриваемом •канале энергетичес
кий выигрыш от разнесения равен числу ветвей разнесения 11 = L.
1 Это предполагает как симметрию, так и одинаковые значения парамет
ров q21 и t:pp, 1 по всем ветвям IJ)ЗЗнесения.
238
В канале, в котором одна из квадратурных компонент не флукту
ирует (1\ 2 =0), из (4.108) получаем
_
1[
({ L2q•No( 1 + 1:::, cos•cp,) )] .
р- -·
1-Ф
----'----''--'---'--
(4.1 11)
2
1+q1+w
Если '1'•= (2k+I) ~.
2
k=0, ± 1, ±2, ... , то из (4.111) имеем
_
1 [i Ф("/ L2q'h' )]
Р-2
-
V 1+q'+h'
•
(4.112)
Из (4.112) при h'-+oo получаем выражение для предельной' веро
ятности ошибки
Рnред= +[I-Ф(VLq'}].
(4.ПЗ:)
Сравнивая (4.113) и (4.109), видим, что в рассматриваемом ка
нале по сравнению с симметриrчным одна и та же предельная ве ...
роятность ошибки обеспечивается при удвоении параметра Lq2 .
"
При h 2-+oo; q,.,;o,(2k+l) 2
(k=O, ±1, ±2, ... ); q2 <oo
=~ [~-Ф(, / L2q'h'cos
2
q,0 )]·
Рnред 2
\V \+q'
Отсюда, если учесть (2.115), видно, что в -рассматриваемом <Кана
ле выигрыш от разнесения равен числу ветвей разнесения L.
Если f\ 2 ,;o,O, q2 конечно, а No-+оо, то из (4.108)
Рnоед= -} [1-Ф( VLq'
1
t, ~• (cos' CJ)p +1\2 stn• CJ)p))],
(4.114)
т. е. предельная вероятность ошибки [как это ВИJдно из (4.114) и
(2. l 16)) при разнесенном ~приеме по L одинаковым ветвям соот
ветствует в L раз меньшему, чем при одиночном приеме, значению
пара1метра q 2 .
4.10. Помехоустойчивость двухпозиционных систем
с а~пивиой паузой, ортогональных в усиленном смысле,
при приеме символов по алгоритму квадратичного суммирования,.
в общем гауссовском канале
Анализируемый алгоритм
L
приема можно записать в виде Л,>
L
L
>А;, где А;= ~ a2,V',,= ~
(02н+6221); Л;= ~ а2,V2л=
l=l
1=1
1=1
L
=~
(0 2з,+0 2.,).
l=l
Здесь 0u=a,X,,; 021 =а,Ун; 031 =а,Х;,; 641 =а,У;,. Весовые коэффици
енты а, можно выбирать по-разному. Та-к, при использовании обоб-
239
•
::о:о апгорит.ма иаксимальиоrо правдоподобия a',=o',lh',. Если
и:е реализовать алгоритм, соответствующий оптимальному приему
11 ~rес-пмметричном. по ветвям разнесения рэлеевском канале, то
,:i21=o2
1/[2 (1 +h',)]; при h',» 1 весовые коэффициенты двух рас
,с:м.атриваемых алгоритмов можно считать одинаковыми,
Для рассматриваемой системы сигналов при передаче i-ro cим
llJWa
..,.2
2
а1, 2h1 xl
u3z=041=
"'·'
При некоррелнрованной помехе в отдельных ветвях разнесения
случайная ,величина Лj является суммой квадратов 2L ~независимых
гауссовски,х величии с нулевыми средними и попарно одинаковы
ми дисперсиями 0 231. Характеристическая фу1ыщия Л;
1
L
П(l-2i иа',1)
l=J
При ,попарно различных дисперсиях ·а'з, плотность распределе
ния лj
ехр(-~)
'
L
.
201
81
~(Л1) = Li --~ -~~ --
•
l=l
.20
1
31h.(1-. а:м)
k::ol
аsl
k+I
Б случае одинаковых дисперсий
(0231=0 ',)
во всех
W(Л)
1
(Л1)L-11
•,(
Л/)
1= (L-1)1 2а'8
20'
8
ехр-2а•3•
ветвях разнесения
(4.115)
Даже при отсутствии ~корреляции сигналов в отдельных ветвях
разнесения (Rв=О) получение удобных формул для плотности
W(Л,), а затем и для вероятности ошибки в общем случае затруд
нительно, Если дисперсии всех комrпонент формы Л, считать оди
на1ковыми. (а2 н= 1а22l=а2 1 ), то
W(Л)=-1 -(~)(L-ll/2ex I л,+• 11 _ ( Vл.s ) (4.116)
,
2.
pl
2.iL1
'
'
01
s
0'1
01
L
L
( h' )' 2(h')'
L
где s= :Е (<0н)'+<021)') = :Е а'у"р1 -, -
=-,- а' :Е q',.
l=\
l=I
а
О
l=l
240
•
Вероятность ошибки
-
-
р = JW(A,)} W(A1)dA;dA,.
(4.117)
После интегрирования (4.117) с учетом (4.115) и (4.116) получаем
ехр( 2 (а',~ а',) ) L-1
Р = ---'- ---'-'--'-'----'"---'- ~ Cf.+ , -1 --- - х
(1+~)L
r=O
( 1+::: )г
х,F,(-г• L,
(-s "'•) )·
2а11 1+а:1, .
~одставляя сюда значения s, 0 2
1, 023 , получаем
L
..~
---.L.J а•,
е l+h 1=1 L-1
,
( 1+h'
р=
L
h CL+r-1
2+h'
(2+h')
r=O
(
h' ±q'1
)
x1F1 -г,L,
1
=
1
•
(1+ h')(2+h')
)'х
(4.118)
При L=I из (4.118) с учетом 1F 1(0, L, г)=l следует результат
(2.137) при ,р 2 = 1 для одиночного приема в 'Канале с неселектив
ными райсовскими эамираниюми.
Для значений h2 -;;p I и небольших q2,
L
-~ q•,
е 1=1
р~ ---L - -CfL-1 •
(h')
Сопоставляя этот результат с (4. 104), видим, что некогерентный
приемник с квадратичным суммированием практически не уступа
ет по помехоустойчивости оптимальному приемнику, работающему
в :канале с :малой регулярной частью сигнала.
При q',=0 из (4.118) следует результат для рэлеевского кана
Jlа (4.103). При q2,-+oo(h2-+0) из (4.118) имеем
где h',=h2q'1.
1L-
)
--
~ h',
,
2 l=l
(4.119)
Из (4.119) следует, что закон суммирования отношений сиг
нал/помеха для ,рассматриваемых систем в ,каналах ,без флуктуа
ций амплитуд остается сп,раведливым и IПРИ некогерентном приеме
по алгоритму ,квадратичного су,м,мирования. Можно показать
с,праведливость ,этого результата при любом основании кода т.
241
1
f
f
Для h21'5?> 1 справедлива следующая аппроксимация выраже
ния (4.119):
p,::,,exp(-+±h',)~1 1L+r (±h',)'.
.
.
l=I
r=O rl2
l=l
Очевидно, что вероятность ошибки (4.120) удовлетворяет
венству р <2-L .
Для одинаковых ветвей разнесения из (4.120)
_
_ !_ _Liii
е2
~
1
(Lh')' .
р,::,, ----LJ
2L
r=O rl 2r
(4,120)
нера-
(4,121)
Сравнивая (4.121) с формулой вероятности ошибки при когерент
ном сложении р= -
1
-
[1-Ф(VLh')], можно показать, что энер-
2
I'етический проигрыш, связанный с некогерентным сложением лу
чей и равный О дБ при одиночном приеме (L= 1), монотонно рас
тет с ростом числа ветвей разнесения, однако при L ~ 4 не превы
шает 1,1 дБ.
В подрэлеевском канале квадратичная фо,рма л, имеет плот-
ность вероятности
1
W(Л,) =~ х
~
ехр(-iиЛ1)du
ХsL [
2h'x1
j1/2 [
2h'ui
11/2 •
~П 1-2iиа•, -,- (1 +2h'xi)
1- 2iиа•1 -,- (1+2h1y1)
1=1
аxl
аyl
.,
(4.122)
При симметрии по ветвям (h 2xi=h2x, h'u,=h'u, а',=а') 1Выполне11ие
интегрирования в последнем выражении дает [29]
лf-1 ехр {-
2h' л,
}
2а' __и (1+ 2h'y)
W (Л;) = ----------"'~"-------- х
r (L) [2а' :~:" (1 + 2h'u)]f[2а• :~: (1 + 2h'x)]~
ХF('.!:._
LЛ(
а•у
"'х
))
11
2''
1
2а2 2h'u (1 + 2h'y) 2а2 2h'x (1 + 2h'x)
•
(4.123)
Интегрирование (4.117) ,с учетом (4.115) и (4.123) дает
1
p=---[-2_h _' _2_h _,__ __ __ __] _L _; _, --- -x
(2a')L ___х
__
У(1+2h'x)(1+2h2y) (L-· 1)!
а2х а2у
L-1
1
х~Г=О
(
1
____
а_•~•----)L+г Х
2а', + 2а' 2h'y (1 + 2h2y)
242
Подставляя сюда значение o23 =a22h2x/o2x=a22h2y/o2y,
(4.124)
получаем
1
L-1
р=
--------- i С1,+,-1х
(1+2h'x)L/2 ( 1+ 2h1y)L/2 ,=о
Х( 1+2h',)L+r F (_!:__ L+г· L·
2+2h111
11
2'
''
(4.125)
Для односторонне-нормального канала (h'x=O, h2 y=h2 ) из (4.125)
получаем
р =-----i CL+, -•
--' ---
х
1
L-I
,
( 1 +2h2 )L+,
(! + 2h')L/2 ,=О
2+2h'
x,F,(L
2
, L+r; L;
h')
(4.126)
1 +h'
•
4.11. Помехоустоiiчивость линейного приемника
двоичных сигналов в общем rауссовском канале
Анализируемый алгоритм приема д.пя двоичной системы запи
шем в вище1
L
i Jz,(t)Uoпplpec(t)dt"iE:w,o,
1-1
где
L
=
};
,_,
Uon.p/Peг(I) = J Ч'(I, 1') [mx,Up,o(t') + m,,йpю(l')]dl';
••
(h2 110-h2 oю)'\'2 p1+ln -
; Up1o=U1,o(l)-uo,o(I). При
•1
,че первого си1мвол а
z,(I) =n,(t) + (т,,+х1Ф)и110 (/) + (т,1+У1Ф)й110(/),
(4.127)
OJ10 =
переда-
а вероятность ошибочного перехода p(O/l)=P{s<A}, где s=
L
-
-
=
:3 [,., + Х1фтх1 (2h'110-Е1ою) + X1фmyie1010 + УtФ (-тх,е,ою+ my,2h2110-
l=I
-т,,е,ою)];
L
Е
L
-
А=~ (h2,ю-h 2o,o)y2p1+ln -
0
-
~ [т'х1(2h21ю-е1ою) + тх,т,,е~ою+
1=1
~~·
~
L
Во
+ т.,(-тх,е1ою+ту12h211о+тv1е10,о)] =- ~ y 2p1h2pю+In -
•
1=1
В1
1 Этот алгоритм оптимален в .ка,нале без флуктуаций парамет_ров, а дJIЯ
С'истемы с 1Противсmо.ложными сиrналам,и также и при флуктуации [lара,метров.
если только ~нет асимметрии по ортогональным компонентам.
243
Здесь ·введены·обозначения:
-
.
1.
).,= Jn,(t)Uoп.p/pec(l)dt; h2p10= тJ Up1o(t)Uoп.plo(l)dl;
1!1010= ju11o(l)uoпo10(t)dl; В1()!0= J Uнo(i)йoпoю(l)dl.
Случайная величина !; является гауссовской с нулевым средним и
дисперС'НеЙ:
L
-
<~')= ~ [2h2p10y2p1+O 2,,(m,12h 2 нo-m,,e,oю+ ту181О10) 2 +
l=l
•
+ о2у1 (my12h 2"o-my1B1()10-m,,e1"'0) 2].
Вероятность ошибочного перехода
р(О/1)=+[1-Ф(-у~•> )]=
L
.
[
(
~ '\'1pl h'Plo - ln ~
= _!_ 1-Ф
z-,
••
2
V~
1
(у',1 2h2plo + [m,1 (2h',zo -
•1010) + myz ;.,,,]' о•,1 + -
(4.128)
Аналогично получаем для вероятности ошибочного перехода
р (1/0) =
=-1 - 1-Ф
,-1
••
[
(
i '1'
2
>1h'pto+ln~
2
--..
f ±{1"2pt 2h 2pto + lmxt (2h 2oto - ~10/0)- myl ;1мoJ2a1\r1+-
V l=l
(4.[29)
При L= 1 из (4.128) и (4.129) следуют формулы для вероятно
стей ошибочных переходов динейноrо приемника в общем гаус
совском канале при одиночном приеме, полученные в § 2.14 .
При отсутствии флуктуаций сигнала (о2,,=о 2у1 =0) и е0 =е 1
(алгори11м ма:кснмального правдоподобия) канал становится сим
метричным с вероятностью ошибки
244
if
В рассматриваемом канале (когерентное сложение лучей.·' ·е-
·1f
различнЬ11м номером /) справедливо правило суммирования отно-
шения сигнал/шум [128]. Минимальная вероятность ошибки до-
,
стигается при исnош,зовании двоичной системы с противополож0
иыми сигналами (л,=2). Для такой системы при е0 =е 1 вероятно-.
сти (4.128) и (4.129) совпадают (сканал становится симметрич-
ным) и равны
р(0/1)= р(1/0)= РФм =
При одинаковых параметрах канала во всех ветвях
1r(f ~Li::
)]
РФм= 2 1-Ф
_
.
1+ (!+ ~;)~; +ч') (~• cos• 'l'p +sin' q,p)
Анализ показывает, -что при q2;;,, 10 линейный прием противо-
по.ложиых сигналов по помехоустойчивости ,мало уступает опти
мальному приему. При малых значениях q2 эта разница весьма су
щественна, причем она усугубляется с ростом асимметрии канала_
При q2=0 (отсутствие регулярной ,компоненты сигнала) линейный
приемник нера,ботоспособен (РФм = 1/2).
При симметрии канала по ортогональным компонентам (!!',= 1):
)] (4.131}
Подчеркнем, что (4.131) определяет потенциальную помехоустой
чивость двоичной системы с противоположными сигналами в рас-
сматриваемом канаJiе.
Если параметры ii', и q21 не зависят от 1, то
РФм=+[1-Ф(v !:~:~:, )]-
(4.132)'
При h2--+oo и ограниченном q2 из (4.132) получается выражение,
для предельной (несократимой) вероятности ошибки
РФМпред=-1 [I-Ф(V2Lq2)],
2
,которая в канале с сильно выраженной реnулярной компонентой
_может ,быть достаточно мала.
При использовании двоичной системы с активной паузой, орто
rональной в усиленном смысле, и в1 =е0 ~канал симметричен и ве
роятность ошибки
~~~+[1-Ф,
,., ='•"+""',,,,] )J
(4. 133)
Сравнивая (4.133) и (4.130), можно видеть, что в тех случаях,
:когда ,когерентный прием по алгорю1му (4.127) обеспечивает удо
влетворительное качество, система с противоположными сигнала
ми позволяет получить по сравнению с ортогональной в усилен
ном смысле системой энергетический выигрыш в 2 раза (3 дБ)
(как и в идеальном канале).
Предельная вероятность ошибки для ортоrонаJ1ьной в усилен
ном смысле системы при h.2 1=h', q2,=q2, ~
2,= 1
,Рчм .... = +[1-Ф(V2Lq•)].
Вероятность ошибки для двоичной оистемы с пассивной пау
зой в случае равновероятной передачи позиций символа при
s1=e0 определим формулой
p(O/l)+p(l/0)
.Рлм =
2
В случае симметрии канала по ортогональным компонентам
;::!:[1-О,5Ф(-'Vrf 2h',iq'i)-
2
2
I-I l+q',
)}
При условии h211 =h2
1, q2
1=q2 средняя вероятность ошибки двоич
ной системы с пассивной паузой
Рлм =+ [ 1-0,SФ ( if2~/~::) )-О,5Ф ( { 1::.•~:., ) }
(4.134 ►
Предельная вероятность ошибки рассматриваемой системы полу
чается из (4.134) при h21-+oo (q2 оnраничено) 1 :
Рлмпрод=+[I-Ф(Vlif)]= +p(O/!)h•,- ~.
4.12. Влияние взаимной корреляции ветвей разнесения
на помехоустойчивость приема
по алгоритму квадратичного суммирования
Выше была рассмотрена помехоустойчивость приема для двух:
крайних случаев: сигналы в отдельных ветвях разнесения не 'Кор
релированы и полностью коррелированы.
Опредеш,м вероятность ошибки для системы сигналов с ак
тивной ,паузой, ортогональной в усиленном омысле, при ,приеме по
алгоритму квадратичного сум,м~<роваиия, ,когда матрица коэффи
циентов ,корреляции ортогональных компонент си1гналов ветве1\
равна ~в-
В соответствии с (4.117) и (4.115) (a 2,=a2,/2h2 ,=a2 y/2h2 y),
вероятность ошибки в рассматриваемом случае
оо
А1 L-1 Ak
р = SW (Л,)е--,- ~ -1 -dЛ;,
(4.135)1
о
k-O kl 2•
L
где Л;= ~ (0'н+ 0221);
l=I
Va'xl .
811= [л1+ (Х1ф+тх1)2h
2
1О] h'xz •
0,,=[~,+ (У1Ф+т.,)2h2ю] V ;::; •
(4.136)
Проведем интегрирование в (4.135) для случая сдвоенного
приема (L=2), ,когда разноименные rквадраrурные компоненты
сигнала не ,коррелированы, а одноименные компоненты имеют ко--
1 Оч-евидно, что вероятность перехода p(l/0) (вероятность ложной трево
ги) п,ри fi\. -:,,.oo rвсегда ст,ре,мится ,к нулю.
24Т
-эффициенты корреляции, равные соответственно R., и R. 1
.
Для
этого переп111Шем (4.135) в виде
....
;р= ffW(Рх, ру)е-
(4.137)
оо
.где р2х=8'11 +0212; р2.=0 221 +&222- суммы квадратов одноименных
.гауссовских ,квадратурных компонент в двух ветвях разнесения;
W-(px, ру) - совместная плотность Рх II Р•·
Если разноименные квадратурные компонен;гы независимы, то
W (рх,' ру} = W4(Px) W4(py), где каждый самnожитель представл·я
ет !Собой четырехпараметрическую функцию распределения:
••
•
р
2n J (Pxcosq,-mx,)'
{PxSinq,-m_п)' /
W(р..}= х fехр ~---~-
,
'
/ d,p/2 n;
0 .xiaxII о
\
202xI
20 xrr
W
ру 2s"ехр1 (РиCQSq, -
т,,)2 (Ри sin q, -
ти,д'\d 12«
(р,) =~~-
2
2•
1 ,Р, ..,
OyI Оуп о
2а YI
а YII
'
причем параметры этих расп,ределений mxr, 02:к:1; тхн, 0'2х11; my1,
·0'2у1; тун, 0 2
11 11 ~получаются из исходных распределений ювадратур
ных компонент с учетом ,формул преобразования моментов при
повороте системы координат. В частности,
_.
_
(1 + 2h'xi) (1 + 2h'x,) (1 - R'x)
.
",-~J,11 -
- -- -- ~ ;-' -- -"';'::'::::::::====.=:::=;:';;::::;::;;:::==:;;;:::;:::; '
1
,
[
v ,(1+2h2
x,) (1 + 2h'x2)]
(l+hxi+h х,) 1 ±
1-(1-R х) (l+h'xi+h'x,)'
(1 + 2h'ид (1 + 2h2,a) (1 -· R'u)
2
,
[V
1 (1+2h',i>(1+2h'g,)]'
(1+hи,+h.,) 1±
1- (1- Rу) (1+h'yi+h'.,)'
(4.138)
RR·v
2h'u, 2h',,
у= • У (1 +2h'yi)(1 +2h',,)
(4. 139)
·- коэффициенты
корреляции между квадратурными компонента
-ми 011 и 0,2; 0 21 и 022 соответственно.
После интегрирования (4.137) получаем выражение для ве
роятности ошибки сдвоенного приема в общем гауссовском канале
-при :коррелированных одноименных ортогональных компонентах
-сигналов ветвей
:248
+
,п 1+
о•(
2(1 +о',п)
т',п )]
о',п (1 + о',п) •
(4.140 ►
Здесь о2х1, а2хп, а2у1, а2у11 определяются (4.138), а величины mxr,.
тхп, ту1, ту11 после поворота согласно (4.136) равнь~:
т,1= (т,, cos а,-т,, sin а,) V2h2,o;
т,п= (тх, sin а, +т,2 cos а,) V2h2,o;
т.,д= (ту1 cos а11-т112 sin а") V 2h2z0;
т,п= (тu1 sin ап +тu, cos a11)V2h2,o.
(4.141)
Углы поворота для получения независимых квадратурных ком
понент
Для симметричного по диспер-сиям квадратурных компонент
всех ветвей канала (~ 2
1=~
2
2 = 1), больших отношений сигнал/шум:
(h2 ,~l, h 2,::i,1) и Rвx=Rвu=Rв получаем Rx=Ru=Rв,
2
2
2
2h',h'1 (1-R1,)
а xl, 11 = а у1, 11 = а 1, 11 = -----;:---'' -;::::::':::=::::::::':::::=::::;:;:;::::;:;:=:,
[Vr
4h11. h
1
11
(h',+h',) 1± • 1- (1-R'в) (h',+h',)'
и вероятность ошибки (4.140) принимает вид
р=
·
ехр
1
{
(1 +o'r) (1 + о'п)
2(1+0\)
•
р pII
Х
.
}
2(1 +о'п)
Х[1+ 2(1:,"'1) (2+
рpJ
+
'
)
о\(1+о\)
+
II
2+
Ррп
о•
•
•
)]
2(1+"'п) ( "'н(1+"'п) '
(4.142)
где р2р1 = m 2x, +m2y1; р2рн = m2x11 + m2у11-
Если h21 V 1-R'в~ 1, h2
2 V I-R2в::i, 1, то вместо (4.142) имеем:
249
;Jff'
10'
11i'
~ --' 1i-o- ---' 1i-0
2
_
___.:ю;..'----'1i-o•_---'10i-'--h-1 и в рэлеевском канале
\\
\\
R:~ I
~о
-,
t;,2
Р~ б' ii''/-R',). (4.143)
Отсюда следует, что при
h2 V1-R2.~ 1 энергетиче
ский проигрыш от коррели
рованности ветвей разнесе
ния в рэлеевском канале
при сдвоенном приеме 1J =
= 1/V 1-R
2
•.
На рис. 4.17 сплошными
линиями представлены гра
фики зависимостей вероят
ности ошибки (4.142) от
h'=h
2
1=h'2(b2 =1) при не
которых значениях парамет
ров R2в, р
2
р=р2р1=р 2рп,
Рис, 4.17
Если квадратурные компоненты сигнала не ,коррелированы
(Rx=R.=0), то из (4.140)
.р=
(
m2 xt 2h1:n
m1ж1 2h1Ж11:
m2
11i 2h1
11i
т•.,1 2h1v1 }
ехр -
-
4о'1х1 (l+h'x1) 4cr1x, (l+h'x,) 4о",, (l+h•.,) 4а•у, (l+h'ys) Х
4V(l+ h1x1)(1+ h1.,) (1+ h'y1)(1+ h',,)
[
1 + 2h'xt
1 + 2h'xs
1 + 2h'y1
l+ 2h1y1
Х l + 4(1 +h'xt) +,_4(1 +h'x,) + 4(1 +h'y,\ +.4(1 +h1 u,) +
+ т2х1 2h'жi
m
1
:.:3 2h
1
x-1
+ т2111 2h 2111 +
m
2
y1 2h
2
y1]
Во'хt(1+ h'xi\' + Ва•,. (1 + h',.)' Balyt (1 + h1y1)' Во•,. (1 + h1y1)1 •
Для канала с одинаковыми ди·оперсиями квадратурных компонент
всех ветвей разнесения (о2х 1 =а2х2 = а2у1 =а2у2= о2 ; h2x, = h2x2=
=h'u1 =h2,2=h2/2) вероятность ошибки
exp(-2:h,(q',+q',))[ 2(l+h')
h'
]
р=
(2+h')'
J + 2+h' + (2+h')' (q',+q',)'
что совпадает с (4.118) при L=2.
Если одноименные квадратурные компоненты полностью корре
лированы (R 2вх=R 2ву=1), то вероятность ошибки (4.140)
1
J
т1zп + т'ип
Р= 4V(1+h'xi+h'xo)(1+h'ut+h',,) ехрl
4
. 250,
..
(4.144)
где тх,, my1, тх11, myrr определяются по (4.141), в которых
1
t
Y2h2., _2h'x•
.
1
t V2h'u1 2h'••
«,=--
2 arcg
h'
h'
,
«п=--2 arcg h'
h'
ж1- xt
111- 111
Для симметричного по дисперсиям квадратурных компонент
канала '(~2
1 =~2
2 =1) из (4.144) ,следует, что
I
fр'
р•.,
1rз
Р = ~~-~~~ехр 'l - ,4п
~=~--~ Jl-2 +
2(2+h'1 +h',)
2(2+h'1+h',)
+ J+h',+h', + Р',п+
P',r
]
2+h11+h',
8
2(2+h11+h'1)' •
При h21;> 1, h2
2;>1
I
{
p',r
р ~ "2~(h=•,-+ -h~',-) ехр -- 2 (h', + h',)
или в рэлеевском ,канале (p2pr=p2prr=O)
5
Р~ 4h'(1 +б') •
(4.145)
Сравнивая ,(4.145) и (4.143) при ~.=О, видно, что энергетичес
кий проигрыш за счет корреля,ции ветвей разнесения при сдвоен
ном приеме в ,рэлеевском канале ri=56/4 Vзр (1 +б2).
В односторонне-нормальном канале (h'xr =h2x2 =0; h 2y1=h".
h'.,=62/12 ) из (4.144)
8+9No'(1 +б')
р=-~-~~~-
16(I+h'(I+в•н•~•
или
9
Тi•»1.
Для рэлеевского канала отсюда
3а•1а'п+2(cr2
1+сr'п)+1
p=-~~~-~~~~--
(o-'r о-'п + o-'r + а'п + 1)'
(4.146)
251
Подставляя (4.147) в (4.146), получаем
3(1 + h') (1 +liiб•) (1 -R') +21t•(l + б')+5
,Р= [(1+ iia)(1+,..в•)(1-R')+h'(1+ б')+з]•
Поскольку ,согласно (4.139)
_
f h1/'б1
R.-Rв) (1 +h')(J +h•б•) ·
(4.147)
то для вероятности ошибки в рэлеевском канале с одинаковыми
,коэффициеwгами корреляции одноmменных квадратурных ,компо
нент сигнала R-в окончательно получаем
З(h')'б'(1-R'в)+ Бiii(J + б') + 8
[(h')' б• (! -R'.)+2No(1 + 61 ) + 4]'
(4.148)
При симметрии по обеим ветвям (6 2 = 1) из (4.148) следует
(128]
.Р= З(h')'(J-R',)+10No+8
(4.149)
1(No)1(1- R'в) + 4iii +4]1
В услови,ях достаточно надежной связи, когда it•~ 1, (4.148)
можно привести к виду
3liiб•(1- R'в)+5(!+б')
iP ~ ---'- -~~~~~~-
;;, [h' б• (1- R'в) + 2(1 + б')J'
зiii6•+5(J +б'>
При отсутствии корреляции р"" -------'-'-'- -'-- -
h'[h'6'+2(J +б•)]•
При полной корреляции следует результат (4.145), т. е. веро
·ятиость ошибки обратно пропорционально не (h2) 2, а только hft,
как 1При одиночном приеме.
При опти,мальиом (с учетом корреляции) сдвоенном ~приеме в
,симметри,чиом по обеим ветвям рэлеевском канале {62 = 1) веро
ятность ОIIIШбки [ 180]
,Р=
ЗNo(I-R',)+ 4
(4.150)
[(No)' (1-R'в) + 4 +4ii'J 12+7.•(1 -R'вJI
При h2 (1-R 2 в) ~ 1 (4.149) 11 (4.150) дают одинаковые аси,мп
тотические выражения 3/ [ (h2 ) 2 ( l-,R2
8 )], т. е. энер:гетичеокий про
иорыш в схем.е .квадратичного сложения по сравнению с оптималь-
'252
..
н,oji решающей схемой отсутствует. Если же .R 2...... 1, _то в области
малых ошибок этот энергетический проигрыш Т) =1 дБ.
Определим теперь вероятность ошябки в односторонне-нор
мальном канале. Учитывая, что Rвх=О, Rвu=R. и 0 2,1 ,11 = 1, из
(4.140) получаем
(1+2No)(1+2Noб')(1 -R',)
где а2у1, 11 =
•
[1+ii'(1+б')I[1± -. / 1- (1- R'u)(1+
2
~
(l+
2111
Во) ]
J/
•(1+h (1+б"))'
На рис. 4.17. пунктирными линиями представлены графики ве
роятности ошибки ,в односторонне-нормальном канале •при 62 = 1
и различн_ых ,значениях коэффициента корреляции R8 .
При h'(l-R'в) ~ 1 из (4.151) p=5/8h26 V1--aR2,.
Отсюда ви
дим, что энергетический ,проигрыш за счет корреляции ветвей
разнесения 1В односторонне-нормальном ·канале при h'('l-R'в) ~
~ 1 равен ri='1/ V I-R2. , 'т.
е. такой же, как и в рэлеевском ка
нале.
Для ,случая Rв= 1 в односторонне-нормальном канале проиг
рыш ri=816/160p(l+б 2 ) .
.•В
т~vбл. 4.'5 приведены значения энергетического проигрыша в
функции от ка~фициента корреляции ветвей разнесения Rв при
7i•~ 1 для р-элеев•с1юю и односторонне-нормального каналов.
Таблица 4.5
R.
о 1 0.1 I 0.2 0,41 0,61 0,81 0,9 1 ~•=l l~-=J
р=10-•
'1• дБ о \ 0,022 \ о,089 \о,зs \о,97 \ 2,22 \ З,61 \ 1s,57 \ 34,ОЗ б'=l
4.13. О иеоптимал1,11ых методах разнесенного приема
В практике радиосвя~и IПР'И разнесенном приеме чаще всего ис
nользуют,ся приемные устройства, отличающиеся от оптимальных
<евоей решающей схемой '[ 128]. Зная ра;:пределеиие !Вероятностей
хоэффицие,пов передачи канала, можно определить помехоуJ:тоi!
чивость таких схем. Чаще в,сего •используеt,ся схема вЬl'бора (ав·
товыбора) ветв.и по максимальной М'ОЩНости сигнала (128]. Для
:нее определим приближенно помехоустойчивость в канале с т
раапределением амплитуд, поскольку ДЛJ1 четыре:хшараметрическо
го канала получаются соотношения, не ;AOIIWwe для анализа.
В этой ,схем,е каждая ветвь имеет свою решающую .схему (та
кую же, как при одиночном приеме; ,будем ее считать опт,ималь-
253
ной), но окончательное решение принимается по той ветви, мощ
ность принима,емого сигнала которой наибольшая. Коэффициент
nередачи канала у из-за аддитивной помехи в нем точно измерять
нельзя. Однако в условиях надежной связи и достаточно медлен
ных зам·ираний, ,и,спользуя инерционное устройсmо для вы·бора
ветви, по которой ,принимается реш,енне, можно считать, что рабо
тает ве11Вь с максимальным у. Параметры распределен,ия у в от
дельных ,ветвях разнесения шолагаем одинаковыми.
При некоррелированных замираниях в 01щельных ветвях для
плотности вер•оятности у0 = max '\' получаем W(y0 ) =LW(y=
.
~
••
=уо) [j W(y)dyJL-1.
о
Схему выбора по максимуму коэффициента передачи можно
рассматривать как схему одиночного пр•иема при коэффициенте
передачи у0 . Поэтому среднюю вероятность ошwбки в ней можно
определить, уср€дняя вероятность ошибок в канале без замираний
(m'-+oo) ,по коэффициенту передачи у0 . Для ортогональной в уои
ленном смысле т-позиционной системы с акl'ивной паузой веро
ятность ошибки при некогерентном приеме
т-1 (- 1/+
1
с•_,~[kh'
•
]
р=~
1+kт Sехр 1~:• W(у,)dy••
k=l
О
(4.152)
Если коэффициент передачи у имеет т-распределение Wт' (у),
то при m'=l/2 W(yo)=LWm, (y0 )[Ф(y0/Vy2)JL- 1 .
Пр1и целых значениях т'
[
( у20т')' ]L-1
W (Уо) = L Wm' (у0) 1-ехр(-т'y20/i') mtl Т
r=O
rl
Раосм•отрим более подробно сдвоенный -прием (L=2). Вероят
ность ошибки в ,соответствии ,с i4.152) при т' = 1/2
т-1
(- 1)>+' с•
р=2~
т-1
,_,
(1+k)·• / 1+ 2kh'
V 1+k
[
2
V 2kh']
1- - arctg
1+-
,
"
l+k
)·
...
Для двухпо:шциоииой системы
р= _1
_
[1- ~ a rctgV1+h2 J,
V1+ii'
n
т' = 1/2;
(4.153)
р=
(
m'-1
-
1 - ~ с;;.,+,-'
,...,
( li• )т'+,
2+ 2m'
т' - целое число.
(4.154)
Заметим, что при т'---,.оо(q 2-+оо) (4.154) приобретает вид
р= О,5ехр (-h2/2), т. е. в этом случае :вероятность оши,бки та же,
что при одиночном приеме.
Зависпмость p(h2 ), рассчитанная по (4.153) и (4.154) при раз
личных .значениях т', показана на ри,с. 4.18. Пункт,иром на ри
сунке нанесена зависимость p(h2), которая ,соотвеrетвует формуле
106 i1
(4.91) при L=2 и характеризу
ет для рассматриваемых си
стем помехоустойчивость опти
мального сложения при неопре
деленной фазе сигнала. Срав
нение кривых показывает, что
при сдвоенном приеме схема
автовыбора обеспечивает не
сколько меньшую помехоустой
чивость, чем схема оптималь
ного сложения. Однако при
.q'-+oo максимальный энерге
тический проигрыш не превы
шает 3 дБ.
ro ""' 102 ,а~ /04 шr
,rr•;:--:.:--+ - -- -i -- --'i---,-- -
\
'
Рис. 4.18
р
4.14 . О группировании ошибок в каналах
с медленными замираниями при разнесенном приеме
В порядке обобщения материала, наложенного в § 2.15, вы
числим условные вероятности ошибочного пр1иема элементов сиг
нала юр» разнесенном приеме, предполагая, что предшес11вующий
элем,ент принят правильно или ошибочно. Ограничимся рассмот
рением \двоичной, ортогональной .в усиленном смысле, системы с
активной паузой при •приеме ,по алгоритму квадратичного сум
мирования пр,и у<:ловии, что коэффип,иенты у, в отдельных ветвях
разнесения независимы и аmпро~симируются m-распределением с
одинаковым,и параметрами во всех ветвях.
255.
Условная вероятность ошибки в предположении, что предшест
вующий элемент сигнала принят пра,1шльно, с учетом (2.145) и
(2.146)
"
Рош/прав=
Рправ
SPv (ОШ) W (r} /1--Pv (ош)] d r.
о
(4.155)
1L
1--~"Y
1
1h1 zo
гдеPv(ошJ=-е 21=1
-
вероятность ошибки при заданном
2-
значении вектора параметров v= ("11, v,, ... , VL) ";
W(r)= ( 2тт_ )L expl- ':' ±v',] Пv,2т-1
Г (m) у''"
у' 1=1
1=1
-
плотность вероятности вектора параметров у;
=l-
_1( 2m
)Lm
Рправ
2 2m +li•
-
безусловная (средняя) вероятность правильного
После интегрирования (4.155) получаем
Рош/прав=
+(~:h' У'"- ➔ (~У'"
приема_
Отношение безусловной н условной 'Вероятностей ошиб~<и
Роm/прав
1(2m)L"'1(m)Lm
2\ 2m+h'
-4
m+h'
Рощ
В области малых ошибок (h2 ~ 1)
равно
!']р= 1-1/2Lm+t.
(4.156)
Из (4.156) следует, что с улучшением свойств канала (рост
параметра т и числа ветвей ра,знесения L) условная вероя-rяость
ошwбки Рош1прав все в меньшей ,стешени отличается от безу,слов
ной.
Таблица 4.6
т
'!,
1
2
10
00
11•
0,75
0,875 0,96875 0,9999996
1
Рош/11Ш.11.ре11,
0,25
О, 125 0,03125
4.10-7
о
В та,бл. 4.6 •прнв€.дены значения l'Jp при m= 1/2; 1; 2; 10; оо и
L=2.
:156
◄
Условная вероятность ошибки в предположении, что предшест
вующий элемент сигнала ,принят ошибочно, с учетом (2.148) и
(2.149)
1~
Роw/ош= -fPv 1ош> W (r) Pv 1ow> dr,
Рощ о
ще Рош= -
1
-(
2
m )Lm - безусловная (средняя)
2 2т+h'
ошибочного приема. После элементарных выкладок
-
J...[ 2m+ii.i ]Lm
Рош/ош-
2
_
.
2(т + h2)
вероятность
(4.157)
Из формулы (4.157) ,видно, что при ограниченном значении
параметра Lm условная Iвероятн-ость ошибк,и Рош,опr не может
быть уменьшена даже ценой бесконечного увеличения мощности
сигнала, поскольку существует предельное значение условной ве·
роя'Тности ошибки
Рош/ош.rrред= l-fjp= 1/2r,m+I.
Значение Рuш;uш.nред nри различных т и L=2 также указано в
та:бл. 4.6
Анализ показывает, что рост параметра т ,и числа ветвей
разнесения L (улучшение свойств канала) ведет к уменьшению
фактора группирования оши•бок в канале (т. е. к декорреляции
ошибок). Однако ,с увеличением числа ветвей разнесения ра,стеr
различие между безусловной •и условной вероятностями ошибок.
Это обстоятельство следует учитывать ~при выборе кода в рас
сматриваемом канале.
4.15. Надежность связи при разнесенном приеме
В § 2.16 исследовалась связь между надежностью системы и
ее достовернс;стью при одиночном (L= 1) некогерентном приеме
и заданных -значениях параметров канала (т, Ь) для двоичной
системы с активной паузой, ортогональной в усиленном -смысле.
Обобщим полученные там результаты на случай, когда осуществ
ляе11ся разнесенный ~прием по схеме квадратичного сложення, а
сигналы и помеха в отдельных ветвях, которые считаются сим
метричными, некоррелированы. В этом случае вероятность ошиб
к-и PL определяется (4.91). Нетрудно установить связь между ве
роятностью PL и вероятностью ошибки при одиночном приеме
р,: PL=2L-lpL,_
•С учетом этого обстояте~1ьства и Iнвед-ены дополнительные оси
ординат на рис. 2.21 -2.24, цпределяющих зависимости между до
стоверностью (р) и h2м при фиксированных значениях надежно
С1'И (F), параметра, харак-геризующего нормированную диспер
сию медленных замираний (Ь), ,параметра интерференционных за
мираний (т) и числа ветвей разнесения L=2; 3; 4. По этим
9-46
257
r
графикам ,составлена табл. 4.7, в которой ,приведены пороговые
значения h2м, обеспе<rивающие достоверность не ниже. 10-2 при
заданной надежности связи F=99,9; 99; 95; 90%, параметрах Ь=
=1;10дБиm=1/2;1;2;L=2.
Таблица 4.7
1
Знв.11енне h 1M при эвдвнноR: надежности F, %
Ь, дБ
1
1
1
Примечание
99,9
99
95
90
1
1580
1000
708
282
р=10-•
10
4,5-107
6,6,108
108
m= 1/2
2 ,5-10'
L=2
1
398
199
100
79,4
р= 10-•
10
1,3,107
1,5• 108
2.10•
7,l•JO•
m= 11
L=2
1
200
100
56
40
р= 10-•
m=2
10
6,3-108
7,9,10'
10•
3 ,55, 10•
L=2
Из таблицы видно, например, что ,при сдвоенном приеме и из
менении параметра глу,бины медленных флуктуаций Ь от I до
10 дБ •(в 8 раз) .цля П<Jддержания на.цежности на уровне 90%
(при достоверности 10-2 ) в односторонне-нормальном канале
(m=il/2) необходимо увеличить параметр h'м от 282 до 2,5-105,
т. е. в 886,5 раза (на 29,48 дБ).
В этих же условиях при m= 1 (рэлеевский канал)
нзм,енить h'м с,оответпвенно от 79,4 до 7,1 • 104, т. е. в
(на 29,51 дБ).
требуется
894 раза
Из сравнения табл. 2.10 и 4.7 можно найти энергетический
выигрыш ,в децибелах ,сдвоенного приема (112= 10 !g h2мzfh'м 1 ) по
сравнению ,с одиночным 'ПР'И обеспечении заданнои достоверности
и надежности •при фиксированных параметрах Ь ,и т. Так, для
рэлеевского канала (m=I) и p=l0-2 ; F=90 %; Ь= 1 дБ имеем
ТJ,=9,б дБ.
Выводы
1. Общая 'rеория оптимальной обработжи 1Пiри раэн·есеяяом ,приеме можеу
6ыть пост,роена .ка1к теор,ия обработки ~векторного аюля ·в общем случае с ,кар.
релирова.нными скалярным-и 1ком1Понентами.
2. При точно И.З~вестном оиг,нале оптималыный ,разнесенный [I1рием щиокрет
вых сообщений ~реализуется схемой когерентного ~сложешия си,гналов 'Ветвей и
«огерентного выбо:ра ,номера си,м,вола.
З. Оптимальный 1ра:знесенный rприем IП·р·и ,Неопределенной фазе сигналов от
JQельных ветвей реализуется в общем <:.11учае достаточно сложной многС1Ка,наль
воА схемой, _содержащей линейные и нелинейные блоки. В 1Пра.к-мrчески ·интерес~
flOM случае, .когда сиг.НалЬI <mцеЛЬ'1IЫХ ветвей -могут быть сфа:зн,рова.н.ны:ми. оп
,rимальная обра1ботка щля он-Стем с а1ктН1вной 1ПаузQй сущесrвен,но ,)'IПрощ~е-тся.: -~
'
.
••
,
258
сиодится -к .ког~рен~:ному сложен-ню си:г.иалов отдельных вет.вей и некоr~ре-нтно
.му ,выбору номера си,мв·ола.
4. Оптимальный ~разнесенный прием в обще~ гауссовском канале реализу
ется достаточно сложной мног.оканальной схемой, в каждой ветви ,кото:рой осу
ществляется линейн,о~квад,ратичная обработ,ка.
5. Относительно ,простой 1не1когерентный алгоритм 1КВа 1дратичного сумми,рова
ния, 1который для -системы с активной паузой оптН1мален в рэлеевском ка.нале,
а та·кже ,реализует обобщенный алгор,ит-м максимального пра,вдоою.добия (при
неиз.вос'Гных за1конах ~распределения ам-плитуд и фаз еигна.пов •вет,вей), оказы
вается ,близюrм к оптнмальному для шнрокого ,класса систем, ортогональных
в усиленном смысле, •и •в более •общем 'Четырехта,раметричеоком IКа•нале.
6. Результирующее отношение сиг.нал/nомеха пр.и оптимальном ~разнесенном
приеме в 'CJJyчae, колда сигнал точно нэвестен, а помехи некор,релирова1ны по
отдель~ны,м ·ветвя,м ра-з,несения, равно сумме отношониfi cиrliaлJm,-oмexa отдель
ных 'ВеТ1ВеЙ.
7. Энергетический -выигрыш от разнесения при точ.н,о 1Jt3.8€1CNoыx оигналах
ветвей зависит ,от зна·чения коэфrhициента эффективности нопользовання мощ
ности ~передатчика μр, Этот выиг.рыш •В'Сегда увеличивается с ростом числа
,ветвей L, -если μ.р=О. Если же μр>О, то выигрыш .может и уменьшаться с ,рос
том L. Та.к, ,на~п,рнмер, •для 1юшала 1С одинаковыми отношениюы,и сигнал/помеха
во всех ·вет.вях разнесения этот .выигрыш с ,pOC1'QM L увелпчювается при μр<)
и уме,ньшается :п.ри μp>il.
8. Оптимальный ~разнесенный •по пространству ,прием сигналов ·о6еспечн
вае-г тем больший энер.гетич~ий выигрыш •П·о оrношению ·к одиночному ,прие
му и тем лучшее 1Пода,вление еоорсдоточ·еJ-Jной помехи 'В канале, чем сильнее
каррели,роваIна ,сосредоточенная помеха в точ,ках !расположения I0,р,ие:м·ных ан
тенн ·а чем бо.льше отношение .мощностей сосредоточенн-ой и флуктуационной
помех в ·канале.
9. Схема двух.канальной обра·боттки ~поля с ,ко.\tJnенсацией сосредоточенной
помехи Iпооредств-о-м ~мtюrократного преобразования ,частоты Iв пр-инuипе -может
реализовать .возм,ож,ности оптимальной \дискретной ПВ обра•бо11ки :поля.
10. При медленных нскор,релироваН'НЬIХ замираниях сигналов отдельных
ве-nвей с одина,ковой с-татистикой, п·ри ,которых воЗ!можна ~реализац·ия когерент
ной ,обработки, средняя ~вероятность ошибочного приема для .д'Воич,ной системы
сигt-1алов в области малых оши,бок обрапю проnорIО_Iональна ·величине (h2) L/2
для одност-ороннс-нормального -канала и вел,ичине ,(h 2 ) L в остальной области
изменения Iпа1ра,метров четы,рех:па,рамс11рической ,модели ,ка,нала. Та,кая же за·ви
симость сохраняется LЦЛЯ систем с а·к-тивной ,паузой, ортогональных .в усилен
ном смысле, 'Как iП.ри .неопределенной фазе сигнала, та1к и при независююм
приеме элементов .сигнала в у~словнях четыре:шараме-грнческих замираний. Если
μр = О, то вероятность ошиб.ки ·мо1ютошю уменьшается с Iр,остам числа всТ1вей
разнесения L. &ли μр>О, ro [I•ри заданных значениях Iпа,ра-меrрО'в канала ве
роятность ошиб-ки уменьшается с ,ростом L лишь до тех пор, пока L пе до
стигнет парооовог,о значения Lnop- Дальнейшее уветrчеиие L ведет к росту ве
роятности ошwбки .нз-за .нерационального распредеJ1ения мощности ,передатчика
между ,ветвями ·ра:ше,сения.
1l. При iТТолностью ~ю:).ррелирова:нных медлен·ных за.м:wраииях сигналов всех
вет:вей •энергетичоок,ий ·выиг,рыш раз-несения -такой же, ·ка-к при точно из-вест
яых -сигналах •ветвей, неЗа·виtи1мо от того, осуществляется ли 1-югf'рентный и.,и
некогерентный прием.
l2, Потеря •эффективности ,разнесения, связанная с из-м:енением ,~1одуля ко
эффициента ·корр-еля.ции ·между оигпал3·ми ,ветвей от нуля до е;~лницы, !Пада
ет с улучшением ханала и с ,уменьшением чи<:ла 'ветвей разне<::ення.
,13. Для си.стем ic а,ктивн·ой 'Паузой, ортогональных· •в усиленном:. омьrсле-,.
остается ·оправедливым п:равило сум1юrрования отношtний .оигнал/!пом:еха от
дельных ветвей л,ри когерентном и некогсрентном сложении незамирающих сиг-:
палов отдельных ,ветвей (,ка,I< ,111ри Iкогерентн-ом, та·к и Iнекогсрснтно:м выборе
СИМ·В•Ола).
14. При и-сrюльзован,И'и си.стем с а'Ктивной паузой, ортогон~а,льных в усиле:н-
1:f-ОМ смысле, энерrеl'нческий rпроиnрыш некоrерентного' ,приема ,в области. ~ЩJП;»;t:
ошюбок ло ера,внению с оптимальной •когерент.н?'Й, qбраб?:J'К9~-- ·ду1~;1аIналст, 'в'
9'
:1р9,:
!1
которых ,коэффициент а,симме11рии по ортоrональны:м ,кш.шоне,нтам fl2#:0, iltpи
любом ч,исле ве11вей ·разнесен,ия L оказывае1'Ся не зависящим от пара·ме'l"ров че
тырехпарамеТ!ри-ческ,ой ·модели ,канала q2, ~ 2, Q)p и ,нс п.ревышает 3 дБ.
15. Энергетический ,п,роигрыш оптимального независимого приема сим,во
лов в обще~1 гауссовоком канале по оравнению с оптимальным когерентным
прие:\!ОМ ,дJIЯ д·воичной систе\1ы с а,кт-иэ-ной паузой, ортогональной в усилен
ном смысле, равен 3 дБ независимо от числа ·ветвей раз·несения.
16. Для систем с актив1юй паузой, ортогональных в усиленном смысле, схе
ма некогерент.ного независимого •разнесенного прие:-.1а эJ1е,ментов сигнала при
ква,дратичном -суммирован,ни сигналов ветвей .в общс.УJ rауссовско.УJ канале
л,рактически не усту,пае-т ,оптимально\llу 1нрие.:'.1у.
17. Линейный .приемник, оптимальный в ~каналах без замираний, обсспечи
nает для системы с 1противоположными сигнала~ш пр-и любом числе ·ветвей ,раз
несения с одина,ковой статистикой при q2~ 10 ,вполне каче-ственную связь и по•
мехоу,стойчнвость, близкую к п-отснциальной. При .'1алых эначсниях q2 эта ~раз
ница 1ве<:ь·\11а ,существенна, причем она усугу~бляс'ГСЯ с росто:'.1 асим~1етрии ·кана
ла (уменьшением f3 2). При использовании так,ог-о ,приемника ортогональные в
усиленном 1с:\1ысле системы -ка1к с актив,ной, так и с пассивной паузами, а та·к•
же ~система с ,п,рот11,вополож11ы~1н сиr11ала~1и характеризуются пре.1,с.11ьны\fи (не
сократимыми) вероятностями оши,бки, зави-сящими от па,раме-'f1р-ов ,кана.11а и
числа ве-гвсй разнс,сс,ния.
18. Увеличение •коэффициента корреляции Rв Ж'жду сигна.1ами двух вет
:вей раз·нессния ведет ,к ·росту э1юргетического проигрыша приема (,по сравне
:пию со случаем отсутствия корреляции), 0.1.инаковому (при \Rв! -;f= - 1) в рэлссв
t:ком и о,1носто,ронне-нормальн0rм ~каналах.
19. Схема автовыбора незначительно уступает по помсхоу.стойчи1вости оп
тwмальной схеме -приема в t1етырl'Х.Па1ра\1стри 11С'ском .кана.']С'. Для дв-оичной сис
темы с а-ктивной паузой, орт-ог-ональ.ной •в усиленном смыс"1е, максималь-ный
энергетический проигрыш при сдвоенном приеме нс превышает 3 ,1Б.
20. Увеличение числа 1юко~ррелирован11ых ветвей разне-ссния и рост IЛЗ
раметра т (улучшение свой-:тв канала) ведут к уменын~нию фактора груп
пиро.ва[[·ия ошибок :в ,ка11ал-~ (т. е. д~кор,р·::>ляции ошибок). Однако с увеличени
ем чи.СJiа ,ветвей 1разноссния L растет различие Ж\Ж.J.У безусловной и условной
всроятностя\11,~-r ошиба.к.
21. Для ~каналов с т-замирания:-.tи при некоrерс,нпюм разн,~сенно:,..~ прие)llе
в случае ухудшения ,качества канала ,можно обеспечить неиз'1:е,нные надеж
ность и достоверность связ·и за счет соответствующего у,величения числа ветвей
разне.ссния.
Глава 5
при аддитивной
Помехоустойчивость
флуктуационной, сосредоточенной
помехах в канале
и импульсной
В г.1. 4 при рассмотрении теории разнесенного приема в кана
ле учитывались ад.'J,,итивные флуктуационная и сосредоточенная
( по ааектру) гауссов,ские помехи. З.~е-сь же при анал•изе процесса
z, (1) в 1-й •ве1'1!и разнесения на интервале [О, Т] будем учитывать
и дей,ствие одиночной импульсной (сосредоточенной во времени)
помехи, сшисываемой моделью
(!) -['\'•l[cosq,.,f.1(l)+siпq,и1fи1(/)], IE[lo,, lо,+т,];
n1.1
-
О, t с1= [101, lо1+т1],
(5.1)
260
где f., - детерм'lшированная функция, опи,сывающая форму
им
·пулысной помехи; fи, - сопряжение ,по ГильбЕ1рту от fи, (1); ~, -
детерминированная д.1ительность им:пу.1ьсной помехи; '\'и!, (J)иt,
/01 - амплитуда, начальная фаза и момент появления импульсной
помехи, которые в дальнейшем считаются .случайным1и, не завися
щими друг от друга величинами.
Вероятность появления на ,интерва.1е ана.1иза 60~1ее •Одной и:м
пудь,сной помехи считается пренебрежимо малой вел1ичиной 1по
сравнению с вероятно,стью появления на этом: интервале одиноч
ной импульсной по:мехи.
Заменив в (4.2) сигнал иа(/) в 1-й ветви разнесения
на ua(t) +п.,(t) запишем -выражение для нормированного
функционала правдоподобия при точно известных функци
ях иц и п.,(1) и некоррелированных стационарных rа
уссовских помехах в отдельных ветвях разне-сею1я
L
ITТ
/;(пи, 10,, q,.,, у.,)= [~хр JJ z,(l)Ч',(I, 1') [uil(t') +n.,(t')]dtdt'-
1тт
l
-
2 JJ [ua(I) +пи 1 (1)]Ч',(1, /') [uil(t') +n.,(t')]dtdt'/ =
L
(ТТ
= П lil(nи,=O)exp J ( (z,(1)-u;,(l)]Ч'(I, t')п.,(t')dtdt'-
l=1
Оd
тт
•
--
1
S S п.,(t)Ч'1 (t, t')п.,(t')dtdt"\j'
(5.2)
2оо
где lu(nи=O) =eq,,-h'и - нормированный функционал правдопо
добия i-й гипотезы для l-й ветви разнесения при отсутствии им
пульсной помехи, рас-смотренной в гл. 4.
Плотно-сть вероя1'ности момента появдения импульсной по~е
хи fщ при ус.1ов•ии ее на.1ичия на интервале анаJiиза [О, Т] обыч
но считают равномерной на этом интер,вале:
{
-
1
,
tE [О, Т];
W(/01) = т
О, t с;!= [О, Т].
(5.3)
Для упрощения процедуры синтеза оптимального приемника с
учетом импульсной помехи в канале положим, что t01 прин·имает
J1ишь дискретные значения, кратные т1:
10,,=k~,.
k=O, 1, ... , М,-1= [:, ]-!.
(5.4)
Вероятность попа•дания импульсной •помехи в любой (k-й) эле
ментарный отрезок времени (при у,сл-овии ее нал•ичия на ,шпер-
вале [О, Т] Риt= 1/М,= 1 /1,: /· Такая дискретная моде.1ь тем точ
нее -описывает непрерывное распределение (5.3), чем меньще дли
тельность импульсной помехи т1 .
2GI
f
Можн•о ~полагать, что энергетическое отношение импульсной ~
помехи в 1-й вет~,и разнесения
1тт
h'и,= -J J nи,(t)Ч',(1, t')nи,(l')dtdl'=i'иih 2и,o,
2оо
1 оz+т1
) f'иl (1) dt
где h2и10=Ев1 = ~••~l _ _ _ __
Nol
Nol
отношение энергии импульсной
помехи с единичной амплитудой к спектральной плотности белого
шума в канале, которое не зависит от момента появления J-IM ·
пульсной помехи io1.
Действител11но, представляя обратную коррел,я,ционную функ
цию Ч',(1, 1') в виде суммы 6-ком,понепты и регулярной ча,стн
2
Ч', (t, 1') =
-
б (1-1') + В 11 (1, 1'), полагая, что в пределах нн-
N,1
тервала длительности ,:1 по каждому аргументу функцию В 11 (1, 1')
можно -считать практически постоянной, и •принимая во внимание.
что ,среднее (во врем,ени) значение импульсной помехи равно ну-
лю:
tо1+т1
f nи,(l)dl=O,
,,,
получаем
1 101+.. 01 1о1+..1
Е
h2иl0= - )
f fи,(l)Ч',(1, l')fи,(l')dtdl'= /' .
,
2 tol
_to!
ol
При сделанных выше првдположениях относительно модели им
пу,,ьсной помехи определим т<еперь структуру ошимальиоrо при
емника с учетом суммарной (совокупной) поме,ои в канале.
5.1 . Алгоритм оптимального разнесенного приема
с учетом совокупной помехи в канале при точно известном сигнале
Используя дискретную модель (5.4) для распределения неза
ви,симых в отдельных ветвях разнесения моментов прихода lo, нм
пульсной помехи с учетом (5.1) и (5.2), получаем усредненный
(по моментам прихода) нормированный функционал 'правдоподо
бия'
+ Ун i/R sin (JЭи 1]},
(5.5)
1 Если ,допустить, что момент появления ,импульсной помехи известен т-011 4
но, в (5.Б) сумма по k содержит лишь один ненулевой член и в этом случае
алгорнп.1 и его реализация существен,но упрощаются.
262
т
l'де Xиilk= S [z,(1)-Ui!(l)]fи.oп!k(l)dl;
о
т
Yиi!k= J[z,(t)-Ui!(1)]1и.oп!k(l)dl;
(l+k) •1
fи.oп!k(I)= S Ч',(t, l')fиz(t')dl';
.,,
(k+I)-rl
fи.oп!k(t) = S Ч',(t, t')fиz(t')dt'.
_kт;l
(5.6)
Отметим, что сигналы fи.oп!k(t) н fи.oпZA(I) зав-нсят ие только
от импульсной поме~<и в канале, но и от корреляционной характе
ристики со-средоточенной помехи.
Усредняя (5.5) .по случайным независимым в O11дельных ветвях
ра,знвсення равномерно ра•спределенным на интервале [-n, n] на
чальным фазам <rиz, получаем усредненный (по to, и <риz) норми
рованный функционал ,правдоподобия
(5.7)
(5.8)
Тогда алгоритм цр-иема 1 при точно известных амплитудах импуль
сной ~помехи можно .записать .в виде
(5.9)
Структурная ,схема, реализующая ал,горитм (6.13) на корреля
ционной основе2 , 'Представлена на рис. 5.1. Блоки, осуществляю
щие обработку -сигнала ·с учетом импуль,сной помехи в 1-й ветви
разнесения, выделены на рисунке пунктир-ом. Можно отметить.
что учет импульсной •помехи существенно усложняет обработку.
Опорные ,сигналы fи.001,(/) и fи.oпzk(t) формируют,ся в блоке
БФ. Вариант реализации схемы формирования сигнала fи.оп(t)
[1~_
00 (1)] посредством сдвига функции Ч'(/-1') на интервалы вре
мени, кратные т, ,с помощью линии задержки показан на р-ис. 5.2"
Интеграторы и,,. осуществляют интегрирование входного сиг
нала на инт,ервале [k,1, (k+.1),,].
1 В данной главе ~рассмат:риваются только оптимальные алгоритмы мак:
ен-мальноrо IDра:вдоподобия.
2 Возможна та1кже реал·изацня это-го алгорит,Ма и на основе соглас.ававиых
фильтров.
263
Найдем теперь нормированный функционал правдоподобия
(5.7), усредненный по незавнс,имым в отдельных ветвях разнесе-
,;,
ння ,случайным амплитудам импульсной ~помехи
L1
Mz-1 оо
2h•
11 (nи)=П-1,,(n.=0) 2j ( W(y,,)e-Yиl "10/o(j'и1Vиi1k)dyи1,
l=I М1
k=O d
(5.10)
где W (у.,) - ·плотность вероятности амплитуды импульсной поме
хи в 1-й ветви.
(t)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,--,._СТУ
ис
1.....--г--п.с
L_______________________J
Рис. 5.1
о
QtJ
В качестве аппроксимации для э-гой нл-отности можно принять
в самом общем случае м,щель (1.76), образованную взвешенным
суммированием четырехпарам•етрических распределений ампли
ту.ц, которые с И'Сnользованием представления ( 1.27) можно за
пи.сать в виде
к 00RSzr2S
а2-;
W(у.,)=~с,,~- а lr----Х
r=l
s=D sl
дm8 llr дm
8
lllr
х{rи1ехр[-r'иl+т'н,+т'н,, ] I (r., У т' +m' ).} (5.11)
2
22
О
2
Ilr
IIlr
.
O[r
Olr
azr
Подставляя (5.11) в (5.10), после интегрирования получаем
L1
К C/r
00
Rslr 28
д2f
11(п.) = П - z,,(пи=О):r-~- ~
-
о,,---- Х
l=l Mt
r=I 1+h2и/r s=O sl
дm811, дm
8
11 1г
Мг1 (V'
cr
2
+т' +т'
"1
иilk lr
Ilr
I Ilr
Х J.J ехр
2
k-0
2(1+hиl,)
264
(5.12)
где h2иzr=2o21rh2ию - средне,стат,и,стическое отнош-ение энергии им
пульсной помехи к .спектральной плотности белого шума.
Алгоритм оптимального приема <: учетом (5.12) можно запи
сать .в ,виде
aгgmax{t [q2; 1 -h
2
,,+ln(f ci,,
i 1=1
r=l1+hиlr
~R'
' \.l
_l_r u2s Х
..: :: :,;
lr/
s=O sl
(5.13)
Структурная -схема, реал,изующая алг-оритм (5.13) на основе,
согласованных фильтров, ,представлена на рис. ·5 .3. На схеме бло
ки, осуществляющие обработ
ку с учетом импульсной помехи
в канале, очерчены пунктирной
Чf{t-t'J -----------~
линией. Фильтры СФшl, согла- 1... ,0
1_'
11-'----+ ---,
саваны с опорными сигналами
{и.опt• (1), выбираемыми в соот
ветствии с импульсной помехой
и корреляционной характери
стикой сосредоточенной пом:е~
Рис. 5.2
lноnн..1
хи. На выходах детекторов огибающих (ДО,,.), подключенных к::
фильтрам СФтt, получаются величины Vиilk· Наличие большого чи
сла параллельных блоков в этой части схемы диктуется необходи-
f]
г ---------------------------i
1 ",/11
1
1
1
-
1
1
1
1
1
1
'1
х
1
~------------------------------_J
Рис. 5.3
265-
:мостью суммирования как по индексам k (число возможных интер
валов существования импульсной помехи), так и по индексу r [чи
-сло членов в модели (1.76)].
- 1>.2. Потенциальная помехоустойчивость двоичной системы
-с учетом совокупной помехи в канале при точно известном сигнале
При пер,едаче символа «!» вероятность ошн,бки определи1Х:я с
учетом (5.13) вероятностью выполнения неравенства
,р(О/1) =Р lt, [J Jz,(t)'l',(I, t')[u,,(t')-uo,(t')]dtdt'-h2,,+h201 +
(т'Ilr + т111 ,r) h1иtol / (Vи1l1t ym•;;,:+nt\-;-; )l _
_1
1 + h2иlr
JО
1 + Ы1•иzr
J
- 1n/f. Clr
fR'i,0
,,
д" Mft ехр { V'иolh а•1,
r=l 1+h1иzr s=D sl
lr aтsн,~msJJ1r_ k:=.o
2 (l + h2и1r)
__
(т'11,+т•ш,)h'иtо }/o(Vnolh Vт'н,+т'111, \}}] <О}
(5_14)
1 + h2иlr
1 + h2иlr
при у,словт1, что
Zt (/) = U11 (/) +n1 (/) +Ли!(/),
,где п.,(t) =0, t~ [тzт,, (m,+1),:1).
(5. 15)
(5.16)
Д.1я упрощения анализа предположим, что момент прихс;да им
пульсной ломехи известен точно 1 [ то есть известны числа ml 1В моА
дели (5.16)). Тогда в (5.14) ,сумма по k содержит одно ненулевое
,сла~аемое пр,и k=m,. Кроме того,
предположим, что ам,плитуда
импулысиой пом,ехи имеет рэлеевское распределение. Тогда (5.14)
с учетом ,(5.6) и (5.8) принимает uид
,p(OJl)=P{t,[I z,(t) (иоп.р!(I)- (Pи,,Vii\1~:•~Y,~1)Vhs;,.o•, Х
Х f (1) - (j;.,, -Vii\i- ~. . - Vli3⁄4z ) у-;;,;;-;;;02
'
f- (/)1dt-h• +
и.опl
l+2h2иl
и.опl
lZ
+ h' + P'иtl h',,-P'иol h',1 h' 1< О l
01
2(1+2h'и1) " 1
J'
(5.17)
1 При таком же предположении 'В [110] опр~елена 'Вероятность ошибки
для ,д,воИч,ной системы с протквоположными детерм-инира.ванны·ми СИI'Нала,ми
при опТtи~алЪ1но-м од'нночном приеме в канале с флуктуационным белым шумом,
квазидстер~шнированными СООJ>€доточенной и импульсной nомеха:ми с рэлеевоки-
14.'И ра-оорсделения~ми а,мrплитуд.
:266
\ftl1+1) , .,
1д~ Рии= -: -; ~::::::;;=-
J u,,(l)fи.oп1(l)dl;
Vh'ah1иlo т,,,
(m 1+1) °'l
Ри11= V
J U;1(/)fи.oп1(l)dl; Ри!I= V р2811 +Р'в11
h'н h'иlo т1 ,.,
-
нормированные коэффициенты взаимной корреляп,ии между по
лезными сигналом и импульсной помехой с весом Ч',(1, 1') и их
огибающая. Здесь обозначено
fи.оп1(/) =fи.oпlml(I); fи.оп1(I) =lи.оп/m/(1).
С учетом (5.15) запишем (5.17) в виде р(О/1) =P{s<A},
где ·А=± [--
1
[ Up1(t)u00.p1(t)dt+
,_,
2б
-
-
+ (Ри1I h,1 -Рио! ho1)1 + (Ри1I h,1 -Рио! ho1)'
2(1 + 2h'и1)
h'и,] ;
(5.18)
• = ~ {JT [п (t) +п (t)][и (1)- (Ри11 h,1-P.ol ho,J hи1 u•, f
(t) -
\, L..l
l
иl
оп.р
1+2hl
и.оп l
l=l
иl
_
(;;;.,, h,1 -Рио I ho,) hи 1а21fи.оп, (1)] dt}
1+ 2 h'и1
-
нормальная -случайная величина ,с нулевым -средним и диспер
сией
а•~=<~'> =t, [J Up1(l)u0п.p1(1)dl
(rи1! ho - Рио! ho1) 2 + (~11 hu - fPиo1ho1)2
1 + 2h'иl
h'и1] .
(5.19)
При определении (5.18) и (5.19) и.спользовано условие симмет
ричности функции 11'1(t-t') по своим аргументам.
Из (5.18) и (5.19) в•идно, что рассматрива-емый канал явля
ется симметричным с вероятностью ошибки
р=+ [1-Ф(+х
х 'f±[41.1 h'11 -
V l=l
(5.20)
о~сюда следует, что при заданных параметрах л1 (характери
зующих систему сигналов), h2u (энергетическое отношение для
сигнала), h'и, (энергетическое отношение для импульсной помехи)
вероятность ошибки достигает минимального з'н~Чения, когда
Pиil=O или Pиil=;;;.,,=o, i=O, 1, т. е. если обеспечена ортогональ-
267
ность в усиленном смысле с весом Ч',(1, 1') между сигналю,,и и
имшульсной помехой.
Предподожим, что и-сподьзуется двоичная система сигналов с
актwвной паузой. Тогда при одинаковых параметрах, характеризу
ющих отдельные ветв•и разнесения, вероятность ошибки
= _1 [1-Ф(. 1 / L'J..h' (1- (rи,-Рио)'+(Ри,-0:,1• h' )] . (5.21)
р2
V
41.(l +2h2и)
и
Нетрудно показать, что в,сегда
-
-
(р,, - Рио)
2
+ (Ри1- Рио)'h' ,,с:J.
4л(l +2h2и)
и--sс
Рост параметра л ведет к уменьшению вероятности ошибки. Сле
довательно, ·оптимальной являет-ся двоичная -система с противо
положными -сигналами.
Из (5.21) видно, что нарушекие весовой ортогона.1ьности меж
ду подезным ,сигналом и импульсной помехой (ри,+О) ведет к
энергетическому проигрышу
'lи= [ 1 (Ри1 - Рио)'+ (ри 1 - Р.,0)2 h' ]-l:::;, 1.
(5.22)
4л(1+2h'и)
и ""'
Проигрыш О'!'сутствует (чи= \) тогда и только тогда, коnда подез
ные ,сигналы ортогонадьны в усиленном смысле ,с весом Ч' (1, 1') к
импульсной ,помехе (р;;-,=0).
Нетрудно видеть, что при фиксированной системе сиrна,1ов
(л) проигрыш Т]и являет-ся монотонно возрастаюшей функцией как
по (ри,-Рио) 2 + {р.,,-рио) 2, так и по h2и. Следовательно, при фик
сированном значении h2и максимальное значение Т)и достигается
П[}И (Ри1-рио) 2 +(рщ-рио) 2 =4: Т]и=[1-h2и/.л(1+2h 2и)]- 1 . У-ст
ремляя h 2и--+-оо, полуqаем верхнюю границу возм-ожного энерге
тического проигрыша (5.22) при фиксированном параметре л
2i.
supТJ=
--
•
•
hЗи 2А,-1•
•
и
Таким образом, sup ТJи уменьшается с ростом параметра л, и
р2, h2и
для •системы с противоположными сигна.1ами (л=2) равен 1,33
(1,25 дБ), а для ортогональной системы сигналов (л= 1) -2
(3 дБ), т. е. для этих двух систем сигналов нарушение условия
ортогональности между :полезными сигналами и импулЬ~Сной !По
мехой не ведет к заметному энергетическому проигрышу.
В .случае двпичной системы .<'.иrналов с пас,сивной паузой Оч=
= 1/2) при одинаковых параметрах, характеризующих различные
ветви разнесения, (5.20) принимает вид
Р=+[1-Ф(VL~•• ( 1-2~•~~
2
~2и)))] •
(5.23)
268
.,
Для этой системы ,сигналов sup 'lи= 1,33 ( 1,25 дБ).
Р1и1 • h\1
Таким образом, можно сделать вывод, что все три ра-осмотрен
ные сист,емы двоичных сигналов не критичны к форме импулысной
помехи в канале.
5.3. Помехоустойчивость двоичной системы
с учетом совокупной помехи в канале при точно известном сигнале
и использовании приемника, оптимального при отсутствии
импульсной. помехи
Рассматриваемый алторитм приема определяет,ся 1соотношени~
ем (4.7), а прин•имаемое колебание z1 (t)=uj1 (t)+n,(t)+nи1 (t).
Вероятность перехода р (0/1) определяется вероятностью выполне
ния неравен,ства р(О/1) =P{s<A},
L[ JT
]
L
где А- L,
- -s Up1(t)Uoп.p1(t)dt =
-~
2л,h2 11;
l=l
2О
1=1
LТ
s-~ ] [n,(t)+nи,(t)]uoп.pt(l)dt
l=I О
(5.24)
-
нормальная случайная величина -с нулевым средним и диспер
сией
L
~
-
о2-~
[
4л:h 2 11+h 2.,, (pи11h11-pиotho,) 2 + h 2и ,(рщ 1h11-pиothot) 2]. (5.25)
l=I
Из (5.24) и (5.25) видно, что раосматриваемый канал яв,1яется
симметричным •и характеризуется вер-оятностью ошибки
р=+[!-Фх
(5.26)
Д.1я -системы ·сигналов с активной паузой при одинаковых па
раметрах различных ветвей разнесения (5.26) принимает вид
L 1,. h'.
)]
~,
-
-
.
1+
4
: НРюl - Риоt)' + (Рюl - Рио~)']
(5.27)
Сравюrвая (5.21) •и (5.27), находим энергетический проигрыш не
оптимальной (при импульсной помехе в канале) обработки по
сравнению ,с оптимальной
1]= (1 h'и[(Pu1- Рио)'+(Ри1
-
Рио)'] ) Х
4л\1+2 h'и)
269
(5.28)
Энергетический проигрыш (5.28) принимает значение, равное О дБ,
только в том случае, когда полезные сигналы обеих 'Позиций и
импульсная помеха взаимно ортогональны в усиленном смысле с
весом '1' (1, 1'):
ри;=О (ри;=ри,=0), i=O, 1.
При фиксированных значениях h2и и л< 1 максимальное зна
чение проигрыша (5.28) т~= (1-h2и/1+2h2и) (1+h2и) достигается
пр,и (ри1-,Рио) 2 + (ри1 -ри0 ) 2 =4л. Если же л;а, 1, то максима.1ьное
значение проигрыша т~= (1-h'./л(1+2h'и)) (1+h2./л) достигает-
ся при условии 1 (р.1-Рио)'+ (Ри~-Рио) 2 =4.
Для системы -сигналов с па,ссивной паузой при одинаковых па
раметрах ветвей разнесения вероятность ошибки (5.26) принима
ет вид
р= +[1-Ф(v\h'1 у 1+~Р'и1 )] •
(5.29)
<..:равнивая (5.2,З) и (5.29), получаем выражение для энергетиче
ского ·проигрыша Т] ='(1---,Р2и 1 h2и/2 ( 1+2h2и) (1 +h2ир-2и1/2) ;а, 1.
Этот проигрыш принимает максимальное значение Т]=•(l
-h2и/2 (1 +2h2и)) (1 +h'и/2) прир2Иl = 1.
Рассматри.ваемый энергетический проигрыш для -систем как с
актнвной, так и •С ·па,ссивной паузами являет,ся монотонно воз
растающей функцией h'и (энергетического отношения для им
пульсной помехи) и стремится к бесконечности при h2и-+оо. Та
ким образом, при существенных энергетических отношениях для
импульсной помехи неоптимальный приемник может существенно
уступать оптимальному.
Таблица 5.1
Энергетический выигрыш 'l'J, ·дБ, при раэличных значениях h1 и
i
\
1
1
1
о
1
2
5
•
10
1/2
о
0,97
2,04
4,32
5,82
6,6
l
о
1,25
2,55
5, 15
6,78
7,6
2
о
0,97
2,04
4,32
5;82
6,6
В табл. 5.1 даны значения максимального энергетического про
игрыша Т] в с!lецибелах при заданных значениях параметра h'и д.1я
трех ,систем сигналов (,,= 1/2; 1; 2).
1 Это ,условие ра~вносилыно совместному выполнен ню условий. !) 2" 1 = j;:?11 0 = 1;
--
-
.
•
.
.
.•
•·.
.
Ри1Рио-Ря1Рио=----<l,
L
J
Аналогично можно определить энергетический проигрыш при
емника, оптимального при флуктуационном шуме в канале (см_
§ 2.7) по отношению к приемнику, осуществляющему оптималь
ную обработку при совокупной помехе в канале.
5.4 . Помехоустойчивость алгоритма квадратичного суммирования
при учете в канале совокупной помехи во всех ветвях разнесения
Поскольку в инженерной практике разнесенного 'Приема алго
ритм квадратичного суммирования (см. гл. 4) получил ширшюе
распространение, рассмотрим его помехоустойчивость для двоич0
ных сист,ем с активной паузой, ,ортогональных 'В усиленном смыс
ле, при наличии в канале совокупной шомехи.
Аналиэируемый алгоритм приема запишем в виде arg шах {Л;};
L
Т
Т
l
Л,= :S V2<1, гд,е V211 ='(Jz,(t)u,,.(t)dt)•+(Jz,(t)йilo(t)di) 2 • Этот
l=l
U
(1
алгоритм, как ,было показано в § 4.'4, является оптимальным для
систем с акти>вной 'паузой в симметричном по осем ветвям разне0
сения рэлеевском канале (а также при неопр,щеленной равно
мерно распределенной фазе) при наличии в канале только флук
туационного («·белого») шума.
Вероятность ошибки определяется вероятностью выполнения
неравен,ства
р=Р{Л,<Л;}, j=l=i=O, 1
(5.30)
при условии, что z1(t) =и<1(/) +пФ,(/) +пс,(/) +nи,U), причем для
в,сех I все три компоненты совокупной помех,и отличны от нуля.
Используем следующие модели для -сигнала и помехи:
U<1 (t) =х,и,,. (t) +у,й,,. (t); )
•
nc,(I) =Xc1fc,(I) +Yc,lc,(t), le[O, Т];
п.,(t)=['\'ut•Cosq,и,fи,(t) +yи,sinq,и,7и,(I); IE[t0,, 10,+-r,];
О, 1 1/с [101, 101+-r,],
где {с,(1), lc,(1) - ,детерминированные функции, определяющие
форму сосредоточенной помех,и; {х,, у,} - квадратурные компо
ненты сигнала, которые .счИтаю·т,ся н,езависимыми гау.ссов,скими.
величинами с нулевыми ~средними и одинаковой дисперсией u2 ;
{хе,, Ус1} - незави-симые гаус-совские квадратурные компоненты
сосредоточенной помехи с нулевыми средними и одинакавой дис
,персией а•,.
Парам,етры одиночной импульсной помехи были оговорены вы
ше. При анализе будем -с<rитать, что все параметры, характери
зующие импульсную помеху, фиюсированы. Далее полученное вы
ражение для вероятности ошибки будем )"среднять по флуктуи
рующим параметрам этой помехи.
Для получения простых расчетных формул найдем верхнюю
оценку 1>ероятности ошибки. Для этого:
•
А. Положим при учете ,сосредоточенной 'помехи в канале, что
ансамбль ,функций {f с, (1)}, определяющих форму сосредоточен-
2:7:t
:ной помехи, сов'падает с ансам,бл,ем функций {и,ю(I)}, определяю
.щих полезный сигнал, причем на интервале анализа элемента .сиг
нала [О, Т] всякий раз существует сосредоточенная помеха, пози
ция которой н,е со~,падает с поз·ицией передаваемого ,сигнала. Дру
гими -словами, модель -сосредоточенной помехи на интервале [О,
Т]
,nc,(I) =XctUjot(t) +Ус1й;а,(t), jc,6i.
Б. При учете импулЬ<Сной помехи в канале вероятность ошиб
ки будем определять как вероятность .выполнения нера1вен,ства
rл,."и~0 Л;l . .
.Р l EN, < EN,j, ]"Fl=O, 1,
(5.31)
где Е= J и'ио (t)dt - ,энергия сигнала на выходе канала с единич
ным коэффициентом передачи в каждой ветви разнесения; No -
.спектральная ·плотность флуктуаll!ионного шу~а. Таким образом,
импульсную помеху будем учитывать только при формировании
L
:величины Лj= L V2л, образованной для используемой модели
l=l
.сигнала и помехи суммированием квадратов райсовских случай
L
.ных величин V;,.
При формировании же величины Л,= L V211
l=l
не учитывает-ся иМ'пульсная помеха. Это означает, что суммиру
Ю1'СЯ квадраты рэлвевских случайных величин v,,. При этом
Qб
.ласть большой ,пл,отности Л, ,смещается (по сра,внению со случа
-ем, когда импу~1ьсная помеха учитывается) влево и, как следст
вие, вероятность (5.31) не меньше, чем вероятность (5.30). Нор
мировка в (5.31) введена ,для упрощения формул, определяющих
плотности вероятностей случайных величин.
Случайная величина Л*,=Л,/ЕNо представляет собой сумму
--квадратов независимых рэлеевских величин, квадратурные ком
поненты которых имеют одинаковые ди,сперсии l+h'(h2 =Ecr2 /No),
и в силу этого имеет плотность вероятност,ей [136]
л•.
'
(5.32)
,случайная велкчина Л*;=Л_;/ЕN0 как сумма квадратов неза
висимых райсов-ских величин с параметрами
(5.33)
1+ h'c
и cr2 = 1+li'c имеет плотность вероятностей
1
2(1 +h2,)
W(Л*) =
1
_
(
,272
.... ,
(5.34)
где h.2c - средн•естати1стическое отношение энергии сосредоточен
ной помехи на интервале анализа [О, Т] к спектральной плотно
сти флуктуационного шума N 0 .
При q2и1 =0 (импульсная помеха не учитывается) из (5.34)
следует распределение
Л •L-l
W(Л*1)=
1
__
е
(1+NoJL(L- 1)12'-
При фиксированных параметрах импульсной помехи вероятность
события, определяемая (5.31),
~~
р({у.,})=1- [ J W(Л*,; Л';)dЛ*,dЛ';.
d л•1
(5.35)
С учетом того, что и-сследуется сис'l'ема сигналов, ортогональная
в усиленном смысле, и в силу предположений А и Б случайные
величины Л*i и Л"' j rнезависимы.
После интегрирования (5.35) с учетом (5.32) и (5.37) получа
ется результат
(5.36)
Когда импульсная помеха в канале отсутствует, (5.36) принимает
вид
р-
~1 С'
(1+ h')'(1+ FJL-
~· С'
., (1-11)'
-
.t:::.J
L+r-1
-
. t:::.,J
L+r-1u
,
r=<J
(2 + fii + NoJL+r r=<J
(5.37)
где 11= (1 +li\)/(2+h2 +h2c), 0~11,,,;; 1. Для случая, когда сосредо-
--
--
1
точенная помеха оrеутствует {h2c=0), 11-~-. ,
О,,,;;б,,,;;О,5, и из
-
2+h
10-46
273
(5.37) следует результат для разнесенного приема при рэлеевских
замираниях и наличии в канале только флуктуационн<Jй помехи
Р= ----~
C'L+r-1
--
,h'=- .
1 L-I
(1+h')' -
Е<12
(2+7ii)L r-o
2+h•
N,
Если флуктуационная помеха отсутствует (N0 =0), то
6=1/(l+e*2), о,,,;;;11,,,;;;1,
(5.38)
где e*'=h2/h2c -
отношение средних мощностей сигнала н сосре
доточенн-ой помехи в от.дельной в-ет.ви разнесения на при,еме.
Формула (5.38) справедлива н при наличии флуктуационной
помехи в канале при условии
(5.39)
Для учета влияния вида разнесения запишем [см. (4.1)] h2
=h2 oд/LμP; h2 c h2 oд.c/Lμp.c, где μр, μр,с опр,еде.11яют,ся методом
формирования ,сигнала (,сосредот<Jченной помехи); h2од(h2од.с -·
среднее значение отношения энергии сигнала (сосредоточенной
помехи) ·к сп,ектральн-ой ·пл<Jтности флуктуаци<Jнного шума, кото
рое существовало бы, если бы ro же лередающ"е устройство ис
пользовалось для одиночного приема.
При выполнении условий (5.39) и μр=μр.с б=l/(l+e' 2)=
1
=-~~ -'- -=~-, т. е. в этом ,случае эффективность различных
ви
I+h'од/h'од.с
дав разн,есения одинакова.
При выполнении ,соотношений (5.39) и .в у,словиях качест,венной
свя,зи е'2 » 1, 62 = 1/ ( Ц-е*2 ) ~ 1 формулу (5.37) можно прибли
женно записать так:
(5.40)
К.огда выполняют,ся условия е*2 >3, б<О,25, увеличение числа
ветвей разнесения всегда ·приводит к уменьшению вероятности
ошибки, однако п<J мере его роста дополнительный выигрыш
уменьшается.
Переход от L-канальной к (L+l)-канальной системе разнесе
ния обеспечивает при отсутствии импульсной помехи в канале
энергетический выигрыш
1
(CL )1/L
2L-1
11=
_ 1 _ (cL+l )1/(L+l) '
μL<L+I)
2L+I
Зависимость 11 от L при р= 10-4 дана в табл. 5.2 .
Таблица 5.2
L\
'1,дБ118 51311,7
274
Найдем теперь средн,ее значение оценки вероятности ошибки
(5.36) при передаче сигнала i-й позиции и флуктуации амплиту
ды импульсной помехи в соответствии с плотностью W(y.,)
При одиночном приеме (L= 1) с учетом (5.33) и (5.36) полу
чаем
При равной вероятности передачи отдельных позиций среднее
значение оценки вероятности ошибки
li,;, ;;,., h'и, r•и
1+
(1 + h'c) (2+h'+h'c) J
+ехр _
сРио ио,и
dy.
(
h'----,
h' "'
))
(2+ h'+ h'J(l+ h2c)
8
(5.41)
Поскольку р монотонно возрастает с ростом взаимной корре
ляции между сигналом н импульсной помехой, найдем верхнюю
грань (5.41) при условии, что нормированные коэффициенты кор•
реляции р2и, = 1:
"'
1+iii
(
p=I- S W(y.J
__
ехр
о
2+ h'+ h'c
(5.42)
Предполагая, ·что распределение амплитуд импу/1ьсной помехи оп
ределяется (1.76) и интегрируя (5.42), получаем
p=I-
х
1
-.
/ 1+2
h2c h2иxk
-.
/ 1+2
h2c. h2иl/k
V
(1+h2c)(2+ h1+ h'c)V
(1 + h'c)(2+ li•+h'c)
х
х ехр
[
т'хk ~h2ио
(2 + h'+ h'c) (1+ h2c)+2h'ch'•••
m'uk fi2c h2ио
1
(2+h'+ h',)(1+ h'c)+ 2h',h'•••J•
(5.43)
Удерживая в ( 1.76) одно слагаемое из (5.43), получаем
1 +h'
10'
275
х
(5.44)
Если ам·плиту да им·пульсной помехи имеет подрэлеевское распре
деление, то из (5.44)
1+ h'
р=1-
- - - -- - : :: :======---;:-:===:::;::;::=;;:::::==- .
(2+h'+h' ) vr 1+
2 h'c h',.,,
'/1+
2 h'c h'вv
'
(2+h'+h•,)(l+h'J V (2+h'+h•J(l+h'J
(5.45)
При высоком качестве -связи, когда выполняются условия
h'» 1, h'fh'c» 1; h2/h'и» 1, из (5.45) следует
р "'h2ch2и/[h2 (1 + h"c)],
(5.46)
где h'и=h'яо(и'их+и'иv), т. е. оценка -сверху вероятности ош,и,бки
в оговоренных условиях не зависит от уровня сосредоточенной
помехи.
При отсутствии импульсной помехи в канале, как следует из
(5.45), при выполнении условий h2 ~ 1, lf-/h'c» 1
P"'h'c/h2,
(5.47)
а при отсутствии как импульсной, так н сосредоточенной помех
При h2» 1
Р"' 1/h2.
(5.48)
Сравнивая (5.47) с (5.48), видим, что в условиях качественной
связи учет сосредоточенной помех,и в канале ведет к энергетиче
скому проигрышу (передатчика), равному в децибелах 10 lg h 2с-
Соответс"Гвующий проигрыш при учете совокупной помехи в
ка•нале, как это следует .из (5.46) и (5.48), не превышает
!OJg iii,ii~•
1 +h',
5.5. Помехоустойчивость при сосредоточенной н импульсной
помехах, случайно появляющихся в отдельных ветвях разнесения
Будем считать, что в отдельные ветви разнесения соср,едото
ченная помеха попадает независимо с вероятностью Ре, а импудь
сная - независимо от нее ,с вероятностью Ри и, следовательно, ве·
роятностъ их совместного попадания в отдельную ветвь разнесе•
НИЯ равна РиРс•
~6
Зная эту вероятность, можно найти совместную вероятность
Р (пс, т., kс.п, μФ) попадания сосредоточенной помехи в п из L
ветвей разнесения, импульсной помехи ~ т нз L ветв,ей и совокуп
ной помехи в k ветвей из L, причем μФ+пс+ти+kс.и=L, где
μФ - чис.10 ве1'вей, в котоμых присутствует только флуктуацион
ный шум. Найдем теперь верvятность р(пс, ти, kс.и, μФ) выполне
ния неравенства (5.31) (верхнюю грань вероятности оши-бки при
фиксированных параметрах импульсной помехи) при условии, что
в п-ветвях разнесения канала ·имеется кроме флуктуационной
только -сосредоточенная помеха, в т-ветвях - только им-пульсная
помеха, в k - совокупная -помеха, в μФ·ветвях - ТОЛ!iКО флуктуа
ционный шум. Для этого представим квадратичную форму А•; (пс,
т., kс.и, μФ)=AJ/ENo в (5.31) в виде
Л•.(п mk
)_~=л1,+Л1,+Л1,+Л1,=
J с, 1['с.и,μф
-
EN0
EN0
EN0
ENo
ENo
=~
V3Jг + 'i:," V
2
Jl +~-" V
2
1v+~ФV
2
1s.
r=l EN0
l=l EN0
v=l ENo
s=l ENo
Величина Лjl определяеrея по nс-в-етвям с сосредоточенной
nом,ехой, .величина Лj 2 - по m8 -ветвям с импульсной помехой, ве•
личина Лjз - по kс.и•ветвям ,с совокупной помехой, а велич1ина
Ан - по μФ-ветвям с флуктуационным шумом.
Квадратичную форму Л*,,(пс, ти, kс.и, μФ) в (5.31) ·представим
в вид,е
A'·(nтk )- ~=л,.+л,,=
1
с, и,с.и,μФ- EN
0
EN
0
EN
0
Ве.1ичина Л" определяется по nc+kc.и ветвям с сосредоточенной
помехой, а величина Лi2 - по ти+μФ ветвям, в которых нет ни
импу.1ь,сной, ни сосредоточенной помех•и.
При фиксированных параметрах импульсной помехи вероят
ность оши!бки
~
{уи,})= JW(Л*;)
(5.49)
У,среднение по {Yu,} а,налогично изложенному выше методу позво
ляет получить выражение для p(nc, ти, kс.и, μф).
Средняя вероятность оши,бки
Рор L=
~ р (пс, ти, kс.и, μф) Р (пс, ти, kс.и, μф)
(5.50)
(nc,mи,lrc.и J.1.ф)
Исследуем (5.50) •подробнее при Ри=О (от,сутствие импульсной
помехи во &сех ветвях раз-несения). В этом случае
277
L
PepL= ~ c;ep;e(l-pe)L-•ep(ne),
nc=l
причем р(пе) определяекя из (5.49) 'ПРИ '\'и~=О.
После интегрирования (5.49) получаем для средней вероятно
сти оwи,бки пр•и одиночном приеме и рэлеев,ском распределении
амплитуд сигнала и сосредоточ,енной помехи
_
1- Ре+ Ре(1+Noе)
Pepl- 2+iii 2+iii+iiie '
а для средней вероятности ошибки при сдвоенном приеме
_
(4+Зiii)(1-ре)2 2Ре(1 - Ре) Х
Рер2 -
(2 + iii)•
iiie
хr 1_
(2 + h')'
При выполнении условий (5.39) имеем
=
1-Ре+~, = 3(1-ре)' + 2p0 (l -р0)
+
Рср1 iji
i,• , Рер2
(iii)'
.
rh' (
h',)1•
1+=-
=-
'+=-
h1c
h20
h1_
(
i,• \
Ре l+з_, )
+
hе
(1+ ~· ).
h'c
Из этих формул видно, что если вероятность наличия сосредо
точе1-1ной помехи в от~дельном канале Ре достаточно мала, мож
но обеспечить надежную •связь даже в услов•иях существенного
пр,евышения мощности сосредот~0ченной помехи над мощностью
сигнала.
На рис. 5.4 показаны зависимости Рср! (h') и p,p2(h') при раз
личных значениях ·параметра h'c и вероятности р,. Из графиков
видно, как в•елико вJ1ияние вероятности наличия сосредот:оченной
помехи в отдель'НОЙ ветви разнесения Ре ,на качество связи.
Есл•и, наприм,ер, Ре= 1, то вероятность ошибки р~ 10-4 обес
печивае1>ся при одиночном приеме для h'/h'-O;;;,, 104 и при сдвоен
ном при•еме для h'fh',-;;,-172. При Ре= 10-2 качественная связь
(р~ 10-•) обеспечивается в случае одиночного приема при h'fh'c-;;,.
-; ;,-100, h'-;;,-105, а в ,случае сдвоенного приема при h'fh',-;;,-20, h2-;;,.
-;;,. 102. Практически при наличии сосредоточенных помех в канале
следует пре,!!;почитать те виды разнесения, при которых меньше .ве-
278
роятность шопадания сосредоточенной помехи в большую часть
ветвей.
Так, при значительном разнос-е по ч~стоте можно с достаточ
ным основанием считать, что вероятность одновременного попа
дания ,сосредоrоч,енной помехи в большое число ветвей очень ма-
10·•
10·•
р
Рис. 5.4
10'
L·f
10'
105
10'
"l
-2
-Р,,~ю
-----11,=О
112/l;-10~ 1,-1
---·рс"=1
h7iii/_=172,L•2
ifiil,-100
",
i{;h',,=1500
--- -. .. ;::::: ___!:_h'!!:/h-!. ~= ~100 "'
-
"
~---,,,-,~-
"
\.
i!;h: =120
ла. В этих условиях разнесение по частоте может оказаться бо
лее эффективным, чем прием на разнесенные ан-генны или угло
вое разнесение. Прием в частотно-разнесенной -системе связи
(ЧРСС) осуществля,ется только по ветвям, свободным на данном
интервале времени от ,сосредоточенной помехи. От,сутст.вие -сосре
доточенной ·помехи в отдельных ветвях можно установ•ить на при
емной ,стороне ,с помощью •порогового устрой.ства (полагаем, что
сосредоточенная пом,еха соизмерима или даже существенно пре
вышает ,сигнал) и устройства ,слежения за огибающей сигнала.
Такой двойной контроль ,повыша-ет надежность ,выявл,ения поме
хи. Систему ЧРСС полезно проектировать с каналом обратной
овяз•и, и в том случае, когда вое ветви разнесения окажутся «за
битыми» сосредоточенной помехой, прекращать передачу инфор
мации по команде, передаваемой по каналу обратной связи.
Для упращения реализуемости си<етемы ЧРСС можно осу
ществлять прием по вс,ем каналам разне,сеиня, независимо от на
л•ичия в них •сосредоточенной помехи, как вто делает<ея при обыч
ном разнесенном приеме, и ·прекращать прием лишь при подавле
нии пом,ехой всех каналов. Систему ЧРСС, построенную таким
образом, назовем вариа·нтом Б, а систему в которой прием нн
формаци•и производится только по «иезабитым» ветвям, будем на
зывать вариантом А.
279
Неплохие результаты: при сQСредоточенной. помехе в . канале
могут дать и другие виды разнесения. Более эффективен тот вид
разиесею1я который.при данном географическом расположеюrи ме
шающих источников и оконечных пунктоJJ 'ПОJiе:шой связи обос
печю;,ае.т миtшмальную . вероятносц, поп;адания сосредоточенной
помехи в отдельные ветв•и 1 .
_
На рис. 5.5 приведена структурная схема cиcт~_l\!J,I ЧРСС, по
строенная По варианту А. Аналогично м•ожно построить .си.стему.
и при других видах разнесения. На ри-сунке ,приняты следующие
обозначения: Ф, - выходные фильтры (/= 1, 2, ... , L; L - число
ветвей разнесения): z, (t) - входное колебание ( сигнал плюс поме
ха) в 1-й ветви разнесения; БИ- блок измерения необходимых па
раметров принимаемого ~игнала; БФ - блок формирования опор
ных сигналов; БОП, - блок об
наружения помехи в 1-й ветви
разнесения; РБ - решающий
блок (работает в соответствии
с заданно1м алгоритмом, на
пример, кяадратичного сумми
рования); I<л, - ключ, отклю
чающий вход l-й ветви от РБt
если в ней обнаружена сосре
доточенная помеха; ЗУ - дис
кретное запоминающее устрой
ство; ЛУ - логическое устрой
ство (схема И), которое управ
Р•с. 5.5
ляется выходами всех БОП; Пер - передатчик команды по каналу
обратной связи. i(огда импульс на выходе ЛУ исчезает, подается
команда о возобновлении передачи информации.
При появлении импульса на выходе ЛУ (пом,еха обнаружена
во всех ветвях) подаются ,сигнал на запрещение записи информа
ции и команда запрещения ее передачи. Для реализации сипемы
ЧРСС по •варианту Б отпадает необходимость ~ ключах I<л,.
Расчет параметров си-стемы ЧРСС можно вести следующн"
образом. При ус,1овии н,езависимости попадания сосредоточенной
поме_хи в . различные ветви разнеоения с вероятностью Ре вероят
ность перерывов связи Рпер= pLc• С вероятностью 1-pL, -инфор
мация будет передаваться по линии св~зи.
Для варианта А вероятность того, что информация п,ередает
-ся и при-ем ведет,ся 1по n~L ветвям, ,свободным от сосредоточен
•ной помехи, р·(п) ={C•Lp,L-•(1-p,)•]/1-pL,.
Вероятность ошибки Pn •пр-и приеме ·по п -ветвям и по вариан
ту А всегда можно подсчитать. Так, при нспользовании а.,горит
ма квадратичною сложения вероятность оши·бки для двоичной
·си,стемы с активной паузой, ортоrональной в у,силенном смысле, в
рэлеевском канале
1 Анало~ичный ·вЬDВод сnраведлив и nрн учете импул;ьснqй "ПQ3iехн в .канал~.
Pn = ~• С'n+r-1
-·(-
2
~·:_I~_-
2
)-"
r=O
+h
1
В области малых ошибок Pn"' C",n-1 (h')" •
Средняя вероя-ность ошибки при приеме по варианту А
L
LС"
,
(1
)"
Рср= 2j р(п)Pn = l'. (h~:-• с~ Р;~•
1
~р~•. •..
(5.51)
n=l
n=l
-
Рс
Ра"чет параметров си,стемы ЧРСС по 'варианту' А можно в-~
ти в 'следующем порядке. Задаваясь величиной Ре, определяют
сначала qисло ветвей L, пр·и котор-ом в-ерояrность перерывов Puep
находится в допу-стимых ·пр·е.делах. Затем, зная Ре и L, -с учетом
(5.51) определяют необходимую мощность передатчика (значение
параметра h2), обеспечивающую допустимую вероятность ошиб
ки.
Пр им ер. Пусть Ре =0,1 и допустимое значение Рпер~ 10- •. _ Сл ед ов ат ел ьн о,
необходимо выбрать L;a, lg Pпep/lg Ре =4.
Тогда, пользуясь (5.51) и задаваясь вероятностью ошибюи рср= 104-, можно
найти h2=55. Вероятность .ошибки Р• ~при .П!JJиеме lf'IO 1вариа-нту Б и п вет.вям,
за6итым помехой, и .L-n •ветвя.м, свободным от -нее, та,кже все11да можно най-
11и, в частности, с помощью (5.49).
Сре,,:~;:няя 1ве·!)Оятность оши·5ки при приеме по варианту Б
L-1
Ре•=~ Pn p(n),
n=O
(5.52)
где p(n) = [C•Lp", (1-p,)L-•]fl-pL,.
Располагая формулой (5.52), расчет параме11J)ОВ си-стемы по 'Варианту Б
-мож,но вести та.к же, ,ка,к и расчет по варианту А.
Си,стемы ,разнесенного приема по вариа-нтам А: 'И Б ,:можно, естественно,
построить и п,ри учете импульсной 1помехи в ка·налс.
!lыводы
С Оптимальная обработка сигнала при учете в ·канале одиночн-ой им
пульсной 1по\1ехи со случайным -моме-итом прихода требует rПО сра,внению со
случаом ·отсутствия та,кой помехи существенЖ>го . усложнения прием.ни'Ка.
_
2. Нарушение условия ортогональности с .весом, определя~мым кор,реля
ционной ха,ра.ктсристикой сосредотаченной помехи, между системой дВоич-ных
nр-огИ1воположных сигналов (ФМ), 8 та1кже двоичной АМ и сигналом импулыс
ной помехи прИJводит при оп11имальной обработке 'К энергетичеокому п,роигры:
шу, не превышающему 1,25 дБ. Для двоичной ортогональнай системы lЧМ,
ОФМ) этот -проигрыш ,не превышает 3 дБ. Таюtм образом, эти Сliстемы сиг
налов не ,юритичны: к форме им1Пульсной 1юмехн в ~канале.
3. Верхняя грань вероятности ошибюи ,цля двоичной системы с активщ>й
паузой, ортогональной в усиленном смысле (пр-и использова,нии алгоритма квад
ратичного сум-мирования .п-о всем •ветВЯ'М ,разнесения и учете кроме флуктуаци
Dнной ка,к сосредоточенной, та,к 'И импульсной памех во -всех ,ветвЯх разнесе
ния)_ монотонно падает с растом числа 'Вет.вей ,разнесения L, одна1ко Теч -.~снь•
ше, чем болъше L.
.
•.,
__
4. Поме~оусгойчwвость системы связи при разнесенном: .приеме СущсСтвен
nо за•висит от вероятностей появления сосредоточенной и им·пулъ_сн_ой по-ме~. в
о:rдсльных ветвях разнесения. Предпочтительны те виды разнесе~я. При, кото
рых меньше вероятность ,попадания сосредоточеииоК и wмпульСнОй •1 ''rioмex в
281
большую часть веmей. Опредепенный Н·Нтерес rъри со.средоточенноА и ·импульс•
ноА: аrомеха.х .в .канале ,имеет разнесенный прнем -11 сочетании с нсnольэованием
ка,нала обратной свяЗ'И.
Глава 6
Пропускная способность непрерывных
ПВ каналов
Повышение тре,бований к эффек.нвнос1'и систем связи диктует
необходимость передачи сообщений не только с нужным качест
вом, но" и за возм,ожно более короткий срок. Так возникает по
нятие пропускной способности канала в ~иницу времени [ 146] 1,
которую применительно к непрерывному ПВ каналу с входным
сигналом s-(1) и выходным z(I, r) определим так:
.
м
C=max/'=max[hA(z)-hA(z/s)] -
.
(6.\)
{А}
{А}
Т
Здесь /' -
скорость передачи информации r,o каналу', М/Т - чис
ло независимых отсчетов в единицу времени (см. ниже);
hA(z)=J W(z)ln W(z)dz,
hA (z/s) = J1W (z, s) ln W (z/s)dzds
-
'Соответственно дифференциальная энтропия одного отсчета при
нимаемого поля z (1, г), определенная по всем точкам области
пространственного анализа R, и условная дифференциальная энт
ропия одного отсчета ана.1изируемоrо поля при условии •передачи
сигнала s(i) (дифференциальная энтропия шума); W(z/s) -у,с
ловная плотность распределения отсчета поля z при известном
сигнале s; {А} - множество различных передающих -систем (юrо
жество распределения в-ероятности передаваемых сигналов), сре
ди которых отыскивается система с максимальным 3 /' при задан-
ных свойствах линии (канала), связывающей пункты п-ередачи и
приема.
Учитывая модель анализируемого поля (\ .1)
z(l,r) =u(t, г) +n(t, г) =.P[s(I)] +n(I, г),
1 Пропускную способность ~:можно -определить и иначе, rнаnример на один
символ при ;Переtцаrче .дн-окретных сообщений или на один о-rсчет п,ри пере~даче
аналоговых [57, 1128, 1-WJ.
2
Для .удобства в дан.ной главе количество информации будем из·мерять в
натуральных едкницах.
3
Бо.Лсе строго С следует определять как верхнюю грань /' по {А} [146].
282
где .О' [s (1)] - оператор на множестве входных скалярных сигна
лов, следует при расчете прапускной способнос1'Н непрерывного
ПВ канала им,еть в виду два различных случая:
А. Оператор .О' полностью известен (детерминированный ка·
на.,). В этом случае информация поля u (t, r) отн,осительио s (1)
не отличает-ся от собственной информации входного сигнала и
(6.1) можно записать в виде
м
м
С= - max[hA(z)-hA(z/s, 2')] = -max(hA(z)-hA(z/u)].
Т {А!
Т (А1
(6.2)
Формулу (6.2) можно и,спользовать как исходную для вычис·
леиия пропускной ,спосабности ПВ каналов со случайными флук•
~уациями параметров, если считать, что на цередней стороне ли
нии связи имеют,ся сведення о текущем состояннн канала (напри•
м,ер, осуществляется 'Перио.дич~кое зондирование канала испы•
тат,ельным импульсом н имеется канал обратной связи). При до•
статочно медленных флуктуациях параметров канала эти сведе•
ния можно исполь-зовать для текущей оптимальной подстройки
параметров кодека и модема, реализуя на каждом этапе пропуск•
ную способность (6.2). Естественно, что величина С 'При этом яв•
л.яется: случайной, а пропускная споеобность канала в целом мо
жет быть -охарактеризована ее математическим ожиданием.
Б. Оператор канала является стоха,стическим, и о текущем со·
стоянии канала нет никакой информации, а известны лишь рас•
пределе ни я •параметров канала (характеристики .О' (s)). Тогда
кодирование и модуляцию приходится осуществлять в расчете на·
уср,едненные распределения отсчетов сигналов, т. е. вместо ус
ловного распределения W(z/s, .О') оперировать усредненным по
стохастическому оператоμу условным распределением W(z/s) =
= S W(z/s, 2') W(.P)d.P, по которому вычисляется условная диф·
ференциальная энтро,пия h(z/s) в формуле (6.1). В случае Б вы
числение пропускной способности канала сопряжено со зна<rитель
ными трудностями [ 120] и зд;,сь рассматриваться не будет. Одна
ко следует заметить, что пропускная способность канала в этом
случае не может превысить пропускную способность канала в
случае А. Между крайними ситуациями (,случаям,и А и Б) воз•
можен целый ряд промежуточных, когда передающая и (или)
приемная стороны ра,споJiаrают той или иной информацией о со
стоянии канала (например, теми или иными оценками парамет
ров канала), однако расчет пропускной способности в этих слу·
чаях крайне затруднен. В дальнейшем пропускная способность
непрерывного ПВ канала определяется только для случая А.
Значимость характерис1'!1Ки «пропускная способность канала:.
определяется рядом соображений.
1. Сравнивая реализуемую системой скорость передачи инфор·
мации ,с пропускной способностью для данного канала (макси·
мальной скоростью передачи, при которой еще обеслечивае-гся
233.
сюоль угодно малая вероятность ошибки), можно оценивать сте
пень совершенства системы, определить целесообразность затрат
на ее дальнейшее усовершенствование и т. 'П.
2. Реализация утверЖtдення основной теоремы оптима.1ьного
кодирования Шеинона [ 146] ( о возможности передачи информа
ции без потерь по каналу с шумами) упирае-гся прежде всего в
отыскание •оптимальных кодов. Для каналов с непрерывной МО•
дуJJяцией это связано с вы>бором распределения (статистики) по
.1езных сигнал,ов. Но это (оптимальное) распре.деление по,1учает
ся одноврем-енно с вычислением -пропускной способности канала.
В этой главе вычисляется •пропускная способность как детер
минированного, так и стохастического ПВ каналов при учете rа
уссовскоrо ,шумового поля.
6.1 . Пропускная способность непрерывного детерминированного
ПВ канала с rауссовским шумовым по11ем
•Для вычи-слення пропускной способности непрерывного ПВ ка
нала согласно ,(6.1) используем известный прием, который сводит
ся к •представлению сигнала s (t) и поля z(t, r) в некоторых орто
гональных базисах неза1ви-симыми скалярны~и ОТС'четами и на•
хождению максимального количества информаци·и на каждый от
счет с посл-едующим суммированием информации по всем отсче-
там в "диницу времени.
.
Бсл·и известны распределение W (z/s, .2') мгновенных значений
отсчетов вююдноr,о поля при заданном значении входного -сигнала
s и заданной J<арактеристике канала .2'[s] и распределение вход
ных oтc~eTOJi (s), то ,среднее юоличество информации в одном вы
ходном отсчете ( относите.1ьно одного входного отсч_ета)
/(s,z/Il')= ff W(s)W(z/s, .P)ln
W(z/s,Z) dsdz=
.
•
!iz
•
)W(s)W(z/s,Z)ds
~
s
•
.,---/(ц,z)= Sf W(u)W(z/u)ln .
W(z/u)
dudz.
.
zи
\W(u)W(z/u)du
.
'
и
;
Пропу-скная способнасть на один отсчет' выходного поля
Со,,,;;,,_ max/(s, z/fi},;, max/(u, i) = max.[hu(Z)-hu(z/u)]. (6.3)
seS
цеU
• иеи
Пропускная .способность ПВ канала в единицу времени
С=МС0,,,/Т,
(6.4)-
rде М -1щсло независимых .скалярных отсчетов векrор11оrо поля
z(t, r) в области ана.,иза Л=[О, Т]ХR (см. [46, 59]). Е,сли кор
реляцио.иная функщ1я щ)мехи п (1, r) факторизуется по временной
н пространственным координатам, то М/Т=М,М,, где М, - ч.исло
независимых пространств-енных отсч1тов поля ·на один временнбй
отсчет; М, - число независимых вреr,~енных отсч,етов поля в еди
ницу врещ,ни. Ес,щ ..сиi-11а.~ '11а входе' оr.ра>1ичен' полосой F, (на no-
284
ложительных частотах), а поле на выходе ограничено частотами
F,, F,, Fy, F,, ro в случае флуктуационного (квазибелого) шума
в канале M,=2F,X.2FyYa2F,,Z•.
Дифференциальная энт1юпия отсчета гауссрвского шума
hu (z/uГ в (6.3).
h,,(z/u)=lnV 2nеРш,
(6.5)
где Рш- диспер,сия (средняя мощность) отсчета адднтнв1юго шу
ма в канале, определяемая для некоррелированного по скаляр
ным компонентам квази6елоrо шума со спектральной плотностью
L
1-й скалярной компоненты на всех частотах N1: Рш= ~ N,2F,2FyX
,_,
X2F,2F1. ,С учетом (6.5) максимум в (6.3) оооспечивается при га
у,ссо1>ском распределении оr<:четов поля u (1, r) с заданной сред
ней мощностью 1
Р. =-
1
- S) uт(t, r)u(t, r)dtdr=
ТХ8 Уа Z8
1
.
.
---' --- SS u*(t, r)u(I, r)dtdr.
2TX8 ZaZa
I!ри независимости сигнала и шума пропускная способность рас
сматриваемого непрерывного ПВ канала согласно (6.4)
C=~ln(l+P")
2Т
P,u
•
Д.1я квази,белого шумового поля
•
[ +Jju*{l,r)u{l,r)dldr]
С=0,5М1М, lп 1+. _
.
L
•
М1М,Т2JN1
l=I
(6.6)
ltpи фиксированной величи,не----L-~н ~- (1, r)u (1, r) dtdr
2тм,м,~N1
1~1
пропускная способность (6.6) монотонно возрастает с ростом
М,М,. При М,М,-+оо (при ограниченности области анализа поля
л[оTIr
Х,Х,]iУ,У,][Z,z,]
·-· •
=
.,
,.Х
--
•
-
Х---Х
--.-.·
--
что означа-
.,. ,
2'2 t
2•2
2'2
'
ет, что спектральный объем по,1я VF==2F,2F,2Fy2F,-+oo) (6.6)
достиt~ет "предельного· значения·
С~=--~- JJ~'(1, r) u·(I, r)dtdr.
4Т~Nt
1=1
(6.7)
1 ;Мс,е-д.нение выполнено по одной реализации поля- в: предположении его
однородности и эргодичности,
1, "н
" ..),,.. ,,\ ,;·· : .,r
285"
При многолучевой модели (1.18) для каждой скалярной ком
поненты ·поля имеем
~--L- ss u*(t, r) u(t, r)dtdr
2тм,м,2', N,
l=I
Р,Ф
(6.8)
1т
где Р,=' 2Т JI s(1) /2dt - средняя мощность передаваемого сигна-
ла, которая в анализе считается неизменной';
L
l N 1 [ Ч>1k+ 2; (r,rо(81k))+ЛФп1: (r,81k)JI 2
Ф=2'S~'\'•• е
dr
l=l R k=I
(6.9)
-
величина, опреде.r~яемая параметрами канала (в частно-сти, уг
ла"1и ·прихода лучей в" и коэффициентами '1'1•).
С учетом (6.6) и (6.7) в·идно, что и пропускная способность
многолучевого ПВ канала с ,белым шумом, и ее предельное зна
чение зависят в общем случае от параметров канала, в частности
углов прихода лучей о,,
L
С учетом (6.8) запишем (6.7) в виде Соо=Р,Ф/2 ~ N,, откуда
l=l
для однолучевого канала и скалярного поля (L= 1) с.1едуе:
Coo=P,y2X,Y,Z,/2N. Отсюда видно, что отношение предельнои
пропускной -способности ПВ канала к предельной пропускной спо
собности чи-сто временного однолучевого канала Coo=P,y2/2N
[128] равно 2F.X,2FyY,2F,Za =M,*J. Здесь учтено, что N,=
=N,, ,2F.2Fy2F,, где N, -
временная, а N,,, -
ПВ плотности
шума.
Рассмотрим ситуацию, ~<огда выполняется условие разделения
лучей
JjИiok(t, r)u,a,(t, r)dtdr=O,
JJи,о>(/, r)й;о1 (1, r)dtdr=O,
Тогда 2
k=l=l;
Yk, 1.
(6.1 О)
1 Пропускная способность .непрерывного н;анала при управлении мощностью
передатч-ика вычИ'СЛЯJiась в [ 120].
* Для однолучевоА модели
L
(N=J)
1 rJ.
.
имеем-, u*(I, r)u(I, r)dldr=
2Т•
=P.XaYaZa ~ у 2, и прDПускная ·способность не за-внсит от углов прихtща tюл•
1-1
НЫ СdГНЗЛЗ.
2 В (6. 10) осуществляется суммирование LN слагаемых у111. Для простоты
все эти ,компоненты будем называть лучами, общее их число обозначено через
L, а текущий индекс - через l.
* ) Заметим, что последующие формулы сnраведливы и для чисто времен•
н6го канала пр.и белом шуме, если .положить Mr= 1.
286
Соотношение (6.10) отражает тот факт, что для расематриваемого
канала пропускная способность определяется некогерентным сум•
мированием сигналов отдельных лучей.
Рассм,отрнм также случай скалярного поля, когда в канале
обеспечивается фазирование сигналов отделыных лучей, число ко-
торых равно L. Тогда Ри = Р, ( jj r,)
2
,
т. е. в таком канале
Рш Рш 1-1
пропускная способность определяется когерентным суммир•овани•
ем ,си,гналов отдельных луч-ей.
Поскольку пропу,скная способность канала с фаз·ированием
больше пропу,скной способности канала с разделяюшимися луча
ми, то вмешате~1ьством в канал в принципе можно повысить ско
рость передачи информации; методы такою вмешательства (в
часпюсти, фазирование) представляют безу,словиый практический
интерес.
6.2. Пропускная способность непрерывного стохастнческого
общего rауссовскоrо многолучевого П В канала
при медленных флуктуациях параметров
Как было отмечено выше, пропускную способность канала с
медленными флуктуациями параметров можно определить усред
нением пропу,скной епособности канала с фиксированными пара
метрами по флуктуациям этих параметров.
Для многолучевого канала с гауссовским белым шумом про
пускная ,способность
ёL=M<ln(l+ Р,Ф )>.
(6.ll)
2Т
РшХаУаZ,
где Ф определяется (6.9).
Примем, что коэффициенты у,= ·v х2,+у21 при различных
.статистически незавИ'симы и подчиняются четырехпараметриче.ско
му распределению (обшая гауссовская модель канала). Тогда для
аппроксимации распределения у 1 можно принять m-распределение
(1.35).
Если у2,=у2о, то случай.на,~ ве,1ичнна р= • / jj у'1 также
V 1=1
имеет m-распределение [I 73]
W(p)= ~~~~
ехр ___
.
2 (Lm)I,m p2Lm-t
( р'Lт)
г {L m)(L r•,)Lm
L "l'o
(6.12)
отличающиеся от (1.35) тем, что у заменен на р, m заменено на
Lm, а у2=у2о- на Ly20.
Тогда пропускная способность канала с разделяющимися лу
чами ,согласно (6.11) с учетом (6.10) и (6.12)
с- _ F1 M,{Lm)Lm2
1~I(J+Р'') (
m р') 2Lm-l d
I"т-
n
-рехр--р
р.
Г {Lm) (L "l'o)Lm
Рш
"12о
(6. 13)
287
!1)1теrрированием по ча~ТJ!11М ·пол.•тчаем при целом Lm .,.,,
CL:m = -F1М, ехр(i;)Ei ( ·.!.:_ ~f) Х
: •Lm'--1 (
fl.L )•
1
: tm) Lm-,
х~--·
(--
+
..
;{;;:. 0
L т (Gm-1-k)Г
fl.L
+(-Lm)Lm-1 F М LI'(_fl.L ~•- --= --- -i
f\.L
1
'
k- '>
L т; (Lm-1 -k)I п-l Х
1 n-l (Lт)' 1
х-~
-
-
nl/-Оf\L 11'
(6. 14)
где PL = P,y2oL/ Рш - отношение средних мощностей сигнала и по·
мехи в месте приема; -Ei(-Lm)= S
-
1
ехр (-t)dt
ните·
f\.L
Lm/~L t
..
гральная показательная фующня.
Заметим, что при т..:...1 (рэ.леевский канал), Mr= 1 и L= 1
(однолучевой канал) из (6.14) следует известный результат [112]
ё,,, = -F1 ехр(--
1
)Ei(- .2 .. _·) .
(6.15)
fl.,
..
fl., :
. Возьм ем
отношение пропускной способности CL,m к проilуск
нои способности идеального канала Со с той же средней мощ
и-остью си-гнала, что в канале с замираниями: C0 =F,Mrln (1 +PL).
Зависимости μL,m =CL,m/Co от PL пр·!! Lm=0,5; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10
показаны на рис. 6.1 . Для однолучевого канала (L= 1) nри це
лых т такие кривые впер·
вые построены в [ 14] .
Кривая, соответствующая
Lm = 0,5, определена чис
ленным интегрированием
(6.13). Особенность зави
симости относительной
пропускной способности
μL,m ОТ PL СОСТОИТ В ТОМ,
что при заданном отно
шении сигнал/помеха (k
пропускная способность
0,71 ...._ .. 1. ...L .Cc..._
_, ___L ___L __
__,
зависит не отдельно от па~
0,1
o,z12
то 100 1000 f'L
раметра т и чисJiа лучей
Рис. 6.1
в канале L, а только от их
произведения, Это озна-
чает, что относительная пропускная способность в односторонне
нормальном канале (т= 1/2) при L=2 та же, что в рэлеевском ка-
нале (m= 1) пр1< L~ 1.
•
Из рис. 6.1 видно, как/ с ростом параметра Lm кана.т _по про
пускной с11особиости стремится к идеальному (Lm-+oo). По срав·
288.
L
оонию .с идеа,!JЬНЫМ. кана.1ом (m~oc,) из>1енение пр()пускноА спо
собности в канале с параметром Lm=0,5; \; 2; 3; 4; 5; 6; 10 не
превышает соответственно 30; 17; 1О; 6,6; 5, 1; 4,,2; 4; ..3,8%. _
1-
Таким образом, максимально возможное снижение пропуекной
способности канала,. обусловленное и·нтерференuнонными замира
ниями, не превышает 30% (односторонне-нормальный однолуче.-
ВQЙ канал)., ..
-
.
.
•
В та•бл. 6.1 даны значения μL,m , которые наглядно говорят о
степени повышения относительной пропускной способности кана
ла с ростом числа лучей и улучщением свойств канала (рост т).
ПриJ-1ципиа:Льно можно найти ана:литиче-ское выражение для
пропускноА способности многолучевого канала и при четырехпа
раметрическом распрес1е,1ении у,. Так, при разде.1яющихся в кана
ле лучах
Таблица 6.1
т
(', 5
JJ.t,m
0,7
0,83
μ.2,m
0,83 0,90
JJ.t,m
0,90 0,95
μ.,,т
0,93 0,96
J),8,m
0,95 0,97
2
з
0,90
0,93
0,95
0,96
0,97
6
0,96
0,98
..
1
i
(6.16)
. . Правая
часть (6.16) выражает норму 2L-мерного вектора, ко
ординаты которого являют,ся нормальными случайными величина
ми, в общем случае коррелированны"н между собой. 0.Щнако, -оо
верщая ортогональное преобразовэн·ие координатных осей, всегда
можно перейти к вектору, определяемому совокупностью 2L иеза
ви-симых нормальных величин Zr с- параметрами (тr, 0' 2r), завися
щими от двух 'первых моментов исходной совокупности.
С учет.ом этого замеча-ния представим (6.11) в виде
tL=F,M, J~·- - J ~1n(1+;:~
1
z2,)x
Х W(z,) ... W(z2L)dz 1...dz,L.
(6.17)
Используя в (6.17) одно из возможных интегральных представ-
лений логарифма [29]
•••
~
ln(l+a)= Je-1 (1-e-•')/ldl
о
и интегрируя по совокупности переменных z, получим
(6.18)
(6.19)
289
1
Производя в выражении (6.19) замену переменноit и=tр'=
=t Р,Ф
Pm Ха Уа Za , ПОЛУЧИМ
(6.20)
где m12r=m 2rPslP 2Pш; а' 2т=-а2rРв/р 2Рш.
Полагаем, что в (6.19) и (6.2()) параметры, относящиеся к
одному лучу, сгруппированы парами в порядке возрастания ин
декса r, т. е. первый луч (т1; т,; cr2
1; cr2
2 ), второй (m3 ; т,; cr2
3; cr2
4)
и т. д. В качестве параметров произвольного (для опреде.,енности
первого) луча удобно выбрать следующие: q2 1 =·(m2
1 +m' 2 )/(cr2 ,+
+а',); f121=cr2
1/cr 22; <pp1=arctgm,/m,. Формула (6.20) удобна для
численных расчетов и позволяет получить аналитические решения
во многих частных ,случаях.
С учетом соотнmnений ( 1.37) между параметрами четырехпа
раметрич-ескоrо и m-распределений можно ·показать, что кривые,
построенные согласно (6.20), практически совпадают с кривыми
рис. 6.1.
Определим теперь пропускную способность двухлучевого кана
ла с незави,симыми медленными четырехпараметрическими зами
раниями лучей при условии их фазирования в канале. Расс"отре
ние канала .с произвольным числом незавасимых лучей по изло
женной ниже (для двухлучевоrо канала) методике не вызывает
принципиальных трудностей, но дает весьма громоздкое решение.
Итак, в указанных условиях пропускная •способность опред~ляет
ся из .соотношения
Используя интегральное представление (6.18), получим
-
""'e-t
C,=F,M, J-
1
(1-/(l)]dl,
(6.21)
~~(р
'
где /(f)= J Jexpl--2_ (у,+у,)21 J' W(y1 )W(y,)dy,dy,.
оо
Рш
(6.22)
Для интегрирования (6.22) разлагае" экспоненту с показате
лем -2~
'\'1'\'2 в ряд. Тогда
Рш
•
со22n(- O:tа2t~)n 2 оо Rk
д2k
/(1)=~ ---·
Рш П~-'-a2k--- Х
11-=О
n.!
~=1 k=O k\ ~ дm1i дт1н
290
(m'н + m'ш) t Р,!Рш] Х
1 +2о';IР,!Рш
(6.23)
-
пропускная способность двухлучевого канала с разделяющими
ся лучами [она может быть определена ·из (6.14) или (6.20)].
Можно показать, что второе слагаемое в правой ча,сти (6.23)
В:-~егда положите~1ьно. ~начения относительного прироста пропуск-
ной способности б= (С2-С2 )/С2 приведены на рис. 6.2 .
Если раз,деление лучей в канале не обеспечивается, величина
Ф согласно (6.9) пр·иводится к виду
L
L
L
i.,
Ф=X.v.z.1 ~ x,+i ~ у,1 2 = XaYaZal ~ y,cosq,,+i ~ '1'1sinq,,l 2,
.
l=I
l=l
/=J
/=1
По-1прежнему полагаем, что х1 , Yt - нормальные случайные ве
личины, зависимые между -собой. Суммарные величины Х=
L
L
= ~ х,, у= ~ у, также ра,спределены нормально с параметра-
l=t
l=l
ми:
L
L
L
L
Мх= ~ fflxt; Му= ,2: ту:; 0'2
. 1:= ~ 1: UxtlJxkfxzk;
l=I
/=1
l=I k=I
LL
u
2y = ~ L, OyJUykГylk•
l=l k==I
(6.24)
Параметры Гx(y)lh имеют смысл коэффициентов корреляции между
величинами х(у) с соответствующими индексами. Величины х и у
могут считаться некоррелированными, поскольку корреляция всег•
291
да может быть устранена путем поворота координатных осей, '!ТО
вызовет соответствующее изменение параметров (моментов). Мо
дудь v= V х'+у' ·ра,спределен по четырехпараметрическому за
кону [см. ( 1.27)].
Итак, &Ли разделение лучей в канале не и•меет места, то мно
голучевой канал для аналиэа может быть заменен эквивалентным
однолучевым с параметрами, определяемыми по (6.24). Для про
пускной способности эквива,1ентного однолучевого канала ,южно
получить формулу
00 R•
а•• ,
00 (- 1)•+1
С=F,M,~ - cr•• • • [ехр(-q2)~ (!)' q'"х
k=O k!
дm1 дm11
n=O 11
Х ..!:.._[-
1
exp(μ(l:::-q'))Ei( μ(l~q'))] ) .
д11"
μ
Р'
Р'
μ~t
ИRТересно проследить тенденцию изменения пропускной опо
собности с возрастанием числа дучей.
Для многих реадьных кан_алов можно пр€.дположить, что пр~
стремдении чиеда лучей к •беско,~ечности (каналы с непрерывнои
многолучевастью) имеет место стремление к нулю регулярных час
;;-
--
6-V:,- C ,I/Cz
(О
о.а
ц8
ц
q6
4
4
ц
ц
ц
7
5
•
J
z
,
1'-
\.
\
\
Рис. 6.2
\
'
"
fl:J/0
-
-
IП'
тей результирующего сиг
нала (Мх, Му-+0, посколь
ку mxk и myk могут при
нять с равной вероятно
стью как положительные,
так и. отрицательные зна
чения); а также выравни
вание дисперсий о2х и а2у
(есди с ростом L уведичи
вается число независимых
компонент с одинаковыми
дисперсиями квадратур
ных составляющих).
Отсюда можно сде
лать вывод, что при при
еме без разделения лучей
пропускная. .сnособность
дюбого канала с ростом числа дучей стремится к пропускной спо
собности эквивалентного рэлеевского канала и может определять
ся по формуле Сифорова (6.15).
Характер изменения параметров канала с ростом числа дучей
весьма важен, поскольку именно он опредмяет изменения лро
пускной способности по мере приближения канала к преде.1ьно
му - рэлеевскому. Так. если выравнивание дисперсий ароисходит
ра!jьше, чем пропадает регулярная составляющая в суммарном
сигнал-е, то канал .становится рай-совским и, ,сле.,цоват'ельно (•при
фшкированном р2 ), имеет бо.1ее вьr-сокую пропускную способ
ность, чем предельный рэлеевский- канал. Если же·11 характере иа
менения парам,етров имеет меето обратная си1'у1щня п--:дисперс'ии
остаются различными при отеутств·ии регулярной еоставляющей,
это заставляет сделать противоположный вывод об изменении
пропускной ,способности, поск.ольку пропускная сп.особность под
рэлеевскоm канала ниже, чем рэлеевского.
Мо»<но ожидать, что в некоторых елучаях пропускная способ
ность является немонотонной функцией числа лучей L. Этот во
прос представ~,яется весьма интересным для- теори·и и практики
пе;,едачи информации II зас.1уживает бо.1ее подробного рассмот
рения.
Выводы
1. Пропускная опособность ПВ ка.нала -определяется средней :мощностью
анализируемого поля сигнала ,и, как следствие, завJЮит в общем случае от
пространствеиных парамет,ров канала (в частности, углов прихода и ко:\шлекс
ных коэффициентов пере.дачи лучей 1В мноrолуче.вом канале).
2. Пр·и фи,ксиро-ванной ср~ней ,мощности поля ,сигнала и ограниченной об
ласти а.налиэа IЛ'ОЛЯ щропускная опособность .ПВ 1Канала ·монотонно :воз,растает
с р-остом спект,ральноrо объема анализи,руемого поля VР = 2F t2F ж2F11 2F z и при
V, -..o o дости·rает п,редельноrо значения С00 ~ ff ti"(.t, r)U(t, r)dtdr. При
4ТzjN1
1=1
флуктуационном шуме отношение предельной пропу-скной спосо6ностн ПВ !Ка
нала :к предельной пропуоК"ной способности чисто ·врем:енн6rо !Канала рамо
2FxXa2FyYa2FжZa.
,,
3. Пропускная способность многолучевого ка,нала с L :раэделяющимися лу-
чами и ,т-за•мираниями ам[lлитуд моноrонно возрастает с ростом Lm, стремясь
•
при -Lm-oo 1К ПIJ)опускной способности ,канала с Iпостоян.ными Iпа,раме'DJ)ам:и. По
:
сравнению с ~каналом с постоюrными пара1метрамн (т-о:~ )' ,изменен-не -пропуск-
·1'
ной способности .в ,канале с !Пара-метром Lm=0,5; 1; 2; З; 4; 5; 6; 10 не rnревы:-
шает соответственно 30; 17; 10; 6,6; 5,1; 4,2; 4; 3,8%. Та:ким образом:, макси-
;'··
мально возможное снижение п,ропускной способности -канала, обусловленное ин-
,
терференцнонными за,мираниями, не превышает 30% (односторонне-нормальиый
однолучевой канал).
4. Канал с -фа.эированными лучмrи имеет более rвысокую ,пропускную спо-
;
со-бность, ,чем :ка;нал с разделяющJ11мися лучами. Относительный 1црирост про-
·1
пускной опосо6ности для двухлучевоrо рэлеевского канала п,ри от-
j
ношен·ии снrнал/шу.м, ра·вном 1О, соста·вляет примерно 24 %.
5. Из-м:снение пропус.киой способн.ости с ростом числа лучей определяется
изменением параметров сум11арноrо луча и может носить немонотонный харак-
•~-
'
Заuючение
В книге рассмо1'1])ены теоретические и ре~лизационные основы •постр,оения
оптимальных и субоптимальных устройств обработки си_rна-л9в ,.в сто_хастич~·~
ских векторных пространственно-.временных каналах, описыьаемых достаточно
универсальf!ой общей гауссовской моделью, с учетом как флуктуационной, так и
сосре_до"тоЧенной и импульсной 1Помех в . к_анале, а та-кже определена пропуск•
ная опособность стохастических ПВ каналов с гауссовским: шу-м:овым: • полем.
9собое Ч~~м:ание yдeJJ~!')O во,п-росам: оптим~льнQй и субоптимальной обработ_ки
сиrналО'В •в· каналах с межсимвольной интерференцией. В .книге. обсуждены
nринциrшальные возможности сущест.веннf)rо _повышения качества систем радио
связи, ,предназначенных длЯ nередачи дис1-::ретНых сообщен-ИН в каналах ~ со
СRf:д,Р1;'0-~t;.~ьrм,и помех~,ми; ,за счет ·очтд,м:алq,ной П~ неп.рерыв.ной .:r.1ts._ispeтнoй
обра~отки 111ринимаемоrо поля.
..,·
·, ....
Реэу·льтаты анализа tеа·чества различных систем передачи- ДJюкрет.ных со
общений 1110 ·радиаканалвм приведены в книге 1В виде формiул, та6тщ и ~,рафи-
1юв, iK0ropыe- можно иапользсхвать при проектировании новых. систе-м для мана
л-ов весыма общег-о кла'ССа и •расчете систем на освоенных 1Т1рассах.
Пра,ктичоокая реализация .многих из исследованных в данной ра()оте алго
ритмов приема в большой степею1 зависит от успехов интегральной технологии,
1юrорая определяет !развитие оов-ременной элект,р.онNoки.
~Следует ,по,щчер,кнуть. что встречающиеся на практике каналЬI ·ра.диоовязи
принадлежат ,к весьма широкому .классу, который не охватывается и общей га
уссовокой ·моделью. Между тем о.птимальные рекомендации по IПQIСТ:роению сrис
тс~ы с.вязи .существенно за1висят ,от -моста конкретного канала ·внутр-и этого
класса.
В частности, можно утверждать, что для большинства одно- и щ:1рrолуче
вых -каналов, отличающихся относительно ,медленны~ш изменениям-и nа,ра-мет
ров, вес.ьма ,nе~рспскти.вно DНед.рсние с.ис.-rем связи с nроти1во.положными с.иrнала
ми- ка,к .п.ростым,и, та!К и сложным,и. При этом более выrодна скоростная пе
ре,;:щча дискретных сообщений 1по таким каналам лоследовательны~и (одночас
тотны:\.JИ), а не параллельными (,многочастотными) -модемам-и.
Зэ:канчивая эту книгу, автор сознает, что многие воп~росы, интерес:ныс для
построения эффективных систем 1Передач,и ди~с-~рет,ных соо-бщепий в ра1диокана
лах (-с.тохасти·qооких ПВ каналах), оказались :вне ее ра:vюк. Gре.ци них - опти
мизация си.стем овязи в цел-ом nутем нахождения оптю,1альных ПВ операто
ров -обра,бот.ки не только на ,приеме, 1ю и на лередачс, вопросы сuнх1ронизации
дискретных ,систем 'В ПВ каналах, совместного выбора кодека и модема с уче
то:-.1 специфИr1ш ПВ ~канала и др.
Ряд 1друrих важных проблем лишь за1'ро.нут в книге и еще ждет даль
нейшей 1разра6отки. К их числу следует отнести прежде ,всеrо за~даЧIИ синтеза
оптимальных и суООптимальных ал,гQритмов ПВ обработки полей в радиокана
лах in,pи со-воку~пном дейс.твни различных помех ( флу~ктуацио1111ых, сосредоточен
ных и импульсных), ча-сть из которых оп•исывает'Ся негауссовс.ки,ми моделями;
вопросы совместного обнаружения и .различения ПВ силнало·в, включая .методы
оценки .ка•чес.11ва ,-а,ких nр~:щед)'\р~ поиск э~ктивных мето.дов ПВ о6ра-6от,ки
стохастиЧ"еских .полей в радиоканалах в условиях а,прнорной неопределенности
с соотвстс.твующими оценками помехоустойчивости.
В ПрЗ1ктическом плане особенно ·важное значение имеет дальнейшее раз
витие методов оптимального и субоптимального приемов в услов·»ях межсим
воль·ной интерференции. 1( этqму кругу ,воп,росов относятся, ·в частности, на•
хождение оптимальных и особенно еубоптимальных, сравнительно []роста реа
лизуе"\!ых проце;ду,р приема .в :та,ких условиях при действ·ии в канале совокушюi't
помехи, дальнейшее ,развитие теории приема с юспользованием обратной связи
по решению, получе,ние достаточно точных анали-т~ичееких оценок помехоустой
чивости оптимальных и. субоптимальных. алгоритмов приема в у,каэанных у,сло
виях.
Еще нс решены проблемы инженерной ,реализации оптимальных и субопти
мальных схем ПВ обработки ~полей в радиоканалах, задачи развwrия регуляр
ных :,.~е,-одов их синтеза.
Автор надеется, что книга будет стимулировать интерес широюого круга
спсциалнстов к проблемам передачи сообщений по стохастическим ПВ ка.J-1алам,
в том числе .к решению за1,роиутых в книге воn,р-ос:ов.
Список литературы
1. Абенд К,, Фритчман Д. Ф. С1атистпческое обнаружение в канаJiах связи с
взаимными помехами между символами. - ТИИЭР, 1970, т. 58, No 5, с. 189-
195.
2. А.rrьперт Я. Л. РаспростраН:ение радиоволн в ионосфере. - М.: Изд-во АН
СССР, 1960. 480 с.
3. Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. - М.: Сов.
радио, 1971. 416 с.
4. Андронов И. С., Финк Л. М. Передача дискретных сообщений по парал,1_1е~ь
ным канэ.т~ам. -М.: Сов. радио, 1971. 408 с.
294
5. Антенны (Современное состояние и проблемы)/Под ред. Л. Д. Бахраха и
Д. И. Воскресенского. -М.: Сов. радио, 1979. 208 с.
6. Арсентьев В, Г.,, Квашнин Е. Ф. Эффективность двухканального компенсато
ра активных помех в К:В радиоканале.-ТУИС, 1981, вып. l05, с. 30-36.
7. Методы обработки световых полей при наблюдении объектов через турбу
лентную среду/Бакут П. А., Устинов Н. Д., Троицкий И. Н. и др. Зарубеж•
ная радиоэлектроника, ч. 1, 1976, No 7, с. 15-42; ч. II, 1976, No 9, с. 3-30;
ч.ш,1977,No1,с.3-29Ч,IV,1977,No3,с.55-86.
8. Баранчеев В. В. Передача сообщений в каналах с памятью: Дне. на сте
пень канд. техн. наук. -МЭИС, 1977. 209 с.
9. Барк Л. С., Большев А. Н., Кузнецов П. И., Черныwов А. П. Таблицы рас
пределений Рэлея - Райса. Изд-во ВЦ АН СССР, 1964.
10. Басе Ф. Г., Фукс И. М. Рассt>яние волн на статистически неровных поверх
ностях - М.: Наука, 1972. 424 с.
11. Бахрах Л. Д., Кременецкиii С. Д. Синтез излучающих систем. -М.: Сов.
радио, 197 4. 232 с.
12. Больфиоре К. А., Парк Дж. Х. Компенсация посредством решающей обрат
ной связи. - ТИИЭР, 1979, No 8, с. 67-83,
13. Боккер П. Передача данных: Пер. с немецк./Под ред. Д. Д. Кловскоrо. -
М.: Связь, 1980, т. 1, 264 с.; 1981, т. 2, 240 с.
14. Брайнина И. С. Оценка пропускной способности некоторых радиоканалов с
переменными параметрами. - Известия вузов МВ и ССО СССР. Сер. Радио
техника, 1964, т. VII, No 6, с. 69-75.
15. Бунимович В. И. Приближенное выражение вероятности правильного об
наружения при оптимальном приеме сигнала с известной фазой. - Радио
техника и электроника, 1958, т. 3, No 4, с. 552-554.
16. Быховский М. А. О помехоустойчивости широкополосной системы связи, ра
ботающей в загруженном диапазоне частот. - Радиотехннка и электроника,
1967, т. 12, вып. 9, с. 1555-1565.
17. Вайнш-rейн Л. А., Зубаков В. д. Выделение сигналов на фоне случайных по
мех. -М.: Сов. радио, 1960. 447 с.
18. Вакман Д. Е. Сложные сигналы и принцип неопределенности в радиолока
ции. - М.: Сов. радио, 1965. 304 с.
19. Ван Трнс, Гарри Л. Теория обнаружения, оценок и модуляции. -М.: Сов.
радио. 1972, т. 1, 744 с.; 1975, т. 2, 343 с.; 1977, т. 3, 662 с.
20. Варакин Л. Е. Теория систем сигналов. - М.: Сов. радио, 1978. 304 с.
21. Введенский В. Н., Черняев Е. Н. Таблицы интегральной функции четырех
параметрического распределения. - Депонирована в ВИМИ. Шифр ДО 2903.
РИ. 77.06.3509.
22. Величкин А. И. Теория дискретной переда•ш непрерывных сообщений. - М.:
Сов. радио, 1970. 296 с.
23. Вопросы статистической теории радиолокации/Под ред. Г. П. Тартаковско
го. -М.: Сов. радио, 1964, т. 1, 424 с.: 1964, т. 2, 1079 с.
24. Воронин А. А. К вопросу о потенциальной помехоустойчивости в каналах со
случайным изменением параметров. - Электросвязь, 1961, No 10, с. 11-18.
25. Оптимальная пространственно-временная обработка многолучевых сиrна•
лов/Гаткин Н. Г., Коьаленко Л. Н., Красный Л. Г. и др. - Радиотехника 11
электроника, 1976, т. XXl, No 7, с. 1528-1532.
26. Гинзбург В. В., Каяцкас А. А. Теория синхронизации демодуляторов. -
М.: Связь, 1974. 215 с.
27. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. -М.: Наука, 1965. 490 с.
28. Гольденберг Л. М,, Кловский Д. Д. Метод приема импульсных сигналов, ос•
нованный на использовании вычислптельных машин. -Труды ЛЭИС, 1959,
ВЫП, Vll(44), с. 17-26.
29. Гра_ц,штейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произ·
ведений. Изд, 4-е. -М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.
30. Распределение вероятностей «сильных» флуктуаций интенсивности света в
атмосфере/Грачева М. Е., Гурвич А. С., Ломадзе С. О. и др. Изв. вузов.
Сер. Радиофизика, 1974, т. XVll, No 1, с. 105-112.
31. Гусев К. Г., Филатов А. О., Сополев А. П. Поляризационная модуляция. -
М.: Сов. радио, 1974. 287 с.
295
'32. Гусатин<:киА И: А., Пироrов А. А. РадJtосвяз~ и радиовещан11е:.1.!._ М.:, Сов.
радио, 1974. 175 с.
"
•
33. Гуткин Л. С. Теория оптимальных Методов ращюлриема при флук·1у:цнон
ных помехах. - М.: Сов. радио, 197-2, 447 с.
34. Гальар,u.и· Р. М., ·карп. W. Оnтическан ёвязЬ. - М.: Свнзь, 1918. · 424 с.
- 35. Дальнее-. тро~осферное распространен:не ультракоротких· ра,zjJюв~лнiЦОд ред.
Б. А.. Введенского:- М.: Сов, радио, __1 .965. 415 с.
36. Денисов Н. Г. О дифракции волн на хаотическом экране. - Известия вузов.
Сер. радиофизика, 1961, т. IV, No 3, с, 630-638.
•
37. Диторо М. Связь в средах с рассеянием во времени и по· частоте. -
ТИИЭР, 1968, т. 56, .No 10, с. 15-45.
38. Зубкович С. Г. Статистическ-ие характеристики радиосигналов, отраженных
от земной поверхности. М.: Сов. радио, 1968. 223 с.
39. Зюко А. Г. Помехоустойчивость II эффективность систем связи:..:-М.: Связь-
издат, 1963. 320 с.
_.
40. Каналы передачи данных/Под ред. В. О. Шварцмана. - М.: Связь, 1970.
304 с.
'
41. Канарейкнн Д. Б., Павлов Н. Ф., Потемкин В. А. Поляризация радиолока
ционных сигналов/Под ред. В. Е. Дулеюtча - М.: Сов. радио, 1966. 440 с.
42. Кай.пат Т. Каналы с параметрами, изменяющимися во времени: Лекции по
теории систем связи. -М.: •Мир, 1964, с. 80-78.
43. Карташевскнй В. Г. Синтез и анализ оптимальных последовательных систем
передачи дискретных сообщений в каналах с памятью: Дне. на степень канд.
техн. наук. -М.: МЭИС, 1980. 200 с.
44. Картушнн С. М., Хворостенко Н. П. О некоторых свойствах безынерционной
обратной связи по решению. - Радиотехника, 1975, т. 30, .No 3, с. 22-26.
45. Кеннеди Р. Введение в теорию передачи сообщений по оптическим каналам
с рассеянием. '-'--ТИИЭР, 1970, т. 58, No 10, с. 264-278.
46. Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассея_ниен: Пер. с англ./Под
ред. И. А. О,,сеевича. - М.: Сов. радио, 1973, 304 с.
47, Кирил.пов Н. Е. Помехоустойчивая передача сообщений по линейным кана
лам со случайно изменяющимися параметрами. -М.: Связь, 1971. 256 с.
48. Киррилов Н. Е. Об оптимальной пространственно-временной обработке сиг
налов в условиях многолучевости и сосредоточе•1ных помех. - В кн.: Пере
дача информации по радиоканалам, содержащим статистически неоднород
ные среды. - М.: Наука, 1976, с. 171-189.
49. Кис.ель В. А. Синтез гармонических корректоров для высоко~tас·тотных сие•
тем связи. -М.: Связь, 1979. 229 с.
••
50. КловскиА д. Д, Передача дискретных сообщений по радиоканалам С,. пере•
меннымн параметрами: Дне. на степень канд. техн. наук. • ЛЭИС, ··" J 960,
244 с.
• 51. Кловскиii Д. Д. Вопросы· поте_i-н{иальной помехоустойчивости при_ замирани
ях сигнала. - Радиотехника, 1960, т. 15, No 5, с. 17-25.
52. Кловский Д. Д. Потенциальная помехоустойчивость при разнесенном прие•
ме дискретной информации.-Радиотехника, 1961, т. 16, No З, с. 22-30 .
53. Кловский Д. Д. Потенцмальная помехоустойчивость ·в каналах с эхосиrна
лами. - Раднотехника, 1964, т. 19, N2 12, с. 24-34.
54. Кловскид Д. Д. Помехоустойчивость бинарных систЕ.м при флуктуационной
и сосредоточенной помехах. - Электросвязь, 1965, No 2, с. 9-1 .4.
55. Кловскиii Д. Д., Самусенко И. М. Статистические характеристики к13адра
турных ко_мпонентов снгнала на выходе канала со случайно меняющимися
параметрами.- Радиотехника, 1971, т. 26, N02 8, ~ - 29-: -: -35 .
56. Кловский Д. Д., Клыжеико 6 . А. Вопросы ф~зического обоснования обоб
щенно.гауссовской модели канала. - ТУИС, 1971, No 54, с. 54-63.
57. Кловский Д. Д. Теория передачи сигналов. - М.: Связь, 1973. 376 с.
58. К-'о■ский Д. Д., Нико.;r1аев Б. И. Инженерная реализация радиотехнцческнх
схем. - М.:. Связь, 1·975, 200 с.
59. Кловский Д. Д., СоАфер В. А. -Обработка пространственно-временных сиг
налов. - М.: Связь, 1976, 207 с.
60. Кловский Д. д .. ;1Wироков • С . . М. Алгоритмы направленного перебора для
приема днскретных сообщений в каналах с межс11мвQльиой ,интерференци~
296
"
f
1
1
ей. - XXXV Всес9юзная сессия- .t,ITO РЭС им,• А. С. Попова. Тезисы Докла-
дов. - М.: 1980, с. 100-102.
.
.
61. Кловскнi1 д. Д., Широков С. М_. Мгорктмы. обнаружения и различения
пространственно-временных сигнаJJРВ на фоне неоднородного шумового по-
ля. - ТУИС, 1981, Вып. 105, с. 10-12 .
•
.
62. Кловсh.иА Д. Д., Щерман А. Ю. Энергетический выигрыш оптимальной про
странственно-време_нной обработки векторноrо поля 110 сравнению _с, неопти
мальной. - В кн.: Пространственно-временная обработка сигна.11◊-в . .. _ В ор о
неж: изд-во ВГУ, 1982, 140 с.
63. l(ловскнА Д. Д., Широков С. М. Замеnа различения сигналов оцениванием
в условиях меж.символьной интерференции.--. Электросвязь, )98], N!2 8,
<. 58 -61.
64. КловскиА Д. Д. Об оптимальных диаграммах направленности антенн при
обработке стохастического векторного поля. - VIII всесоюзная конференция
по теории кодирования и передачи информации. - Москва
-
Куйбышев: Те
зисы докладов, ч. V, 1981, с. 78-81.
65. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных
средах. -М.: Наука, 1980, 336 с.
•
66. Комарович В. Ф., Сосунов В. Н. Случайные радиопомехи н надежность КВ
связи.-М.: Связь, 1977, 135 с.
67. Конопле1щ Е. Н. Е(ривые распределения напряженности поля коротковолно
вых сигналов и зависимость числа ошибок от отношения Ис+п!Ип. -Элект
росвязь, 1959, .No 9, с. 20-27.
68. Коноплева Е. Н. Надежность связи и необходимые отношения сигнал/поме
ха в канале радиосвязи на короiких волнах. - Электросвязь, 1964, No ~ -
с. 3-8.
69. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников н ин
женеров. -М.: Наука, 1970. 720 с.
70. Коржик В. И., Фннк Л. М. Помехоустойчивое кодирование дискретных со
общений в казалах со случайной структурQй. - М.: Связь, 1975. 271 с.
71. Котеаьников в. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.-Л.: Гщ~.
энергоиздат, 1956, 152 е.
72. КрасныА Л. Г. Оптимальное различение и обнаружение сигналов как задача
нелинейной фильтрации. - Известия АН СССР. Сер. Техническая кибериети~
ка, 1978, .No 3, с. 163-170.
73. Кремер И. Я., Петров В. М. О. потенциальных возможностях пространствен
ного разрешения при обработке сигналов со сферическими волновыми фрон
тами. - В кн.: Пространственно-временная обработка сигналов. Воронеж:
Изд-во ВГУ, 1978, с. 3-14.
74. Круазье А., Пьерре Дж. М. Цифровая эхо-модуляция.-Зарубежная: радио.
электроника, 1972, No 1, с. 25-43.
75. Курикша А. А. Об оптима:1ьном использовании пространственно-временных
сигналов. - Радиотехника и ЭJJектрmшка, 1963, No 4, с. 552-563 .
76. Лаврентьев М. А., Шабат 6. В. Методы теории функций комплексного пере
менного. -М.: Госфизматгиэ, 1958. 678 с.
77. Лакки Р. Обзор литературы по теории связи 1968-1973 r. Экспресс-инфор
мация. Раздел «Передача информации:., 1974, No 21.
78. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -М.: Сов.
радио, 1966, т. l, 728 <.; 1968, т. 2, 503 с.
79. Лезин Ю. С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов. -
М.: С<>в. ради<>, 1970. 319 с.
80. Лобкова Л. М. Флуктуации мощности лазерного излучения,
_ обусловлен.
ные турбулентностью атмосферы. - В ·кн.: Проблемы передачи информаци.и
лазерным излучением. Труды Х Всесоюзной конференции. Киев, сентябрь
1968, изд-во КГУ, 1969. 639 с.
81. Лойуренс Р., Стробен Дж. Эффекты, существенные для ортической связи,
которые возникают при распространении света в нерассеивающей атмосфе
ре (обзор).-ТИИЭР, 1970, т. 58, .No !О, с. -!30-153.
• 82- ..л оев·
М, .Теория верояirносiеА/Пер. с англ.- под оед. Ю. В. Прохоvова. -М.:
ИЛ, 1962. 719 с.
•
83. Флуктуации фазы оптических волн, распространяющихся в турбулентной
атмосфере/Лукин В. П., Миронов В. Л., Покасов В. В. и др. - Радиотех
ника и электроника, 1975, т. ХХ, No 6, с. 1164-1170.
84. Макаров С. Б., Цикин И. А. Помехоустойчивость одного алгоритма поэле
мецтного приема с обратной связью по решению при наличии межсимволь
ной интерференцни. - Радиотехника, 1976, т. 31, No 5, с. 8-13.
85. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. -
М.: Наука, 1972. 232 с.
86, Мелитицкий В. А., РадзиевскиА В. Г. Статистические характеристики не
стационарного нормального процесса и возможности его моделирования. -
Известия вузов. Сер. Радиоэлектроника, 1973, XVI, No 8, с. 82-89 .
87. Мельников В. С. Доклад «Вопросы теории помехоустойчивости телеграфных
систем». Материалы диссертации на степень доктора техн. наук.-М.: ГНИИ,
1962, 52 с.
88. Миддлтон Д. Многомерное обнаружение и выделение сигналов в случайных
средах.-ТИИЭР, 1970, т. 58, No 5, с. 100-111 .
89. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. - М.: Сов. радио,
1961, т. 1, 782 с.; 1962, т. 2, 831 с.
90. Михайлов А. В. Высокоэффективные оптимальные системы связи. - М.:
Связь, 1980. 344 с.
91. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. -
М.: Наука, 1978. 352 с.
92. Немировский А. С. О приеме со сложением сигналов. разнесенных по углу
прихода луча, при дальнем тропосферном распространении УКВ. - Электро
связь, 1960, No 8, с. 19-25.
93. Немировский М. С. Цифровая передача информации в радиосвязи. -М.:
Связь, 1980. 255 с.
94. Овсеевич И. А., Пинскер М. С. Пропускная способность каналов с общим и
селективным замиранием. -Радиотехника, 1960, т. 15, No 12, с. 3-9.
95. Окунев Ю. Б. Теория фазоразностной модуляции.-М.: Связь, 1979. 215с.
96. Пелегов Ю. Ф. Основы теории синтеза фазовых сигналов. - В кн.: Пробле
мы радиофизики и радиоэлектроники. Куйбышев.: Изд-во, КГУ, 1976. с.
106-115.
97. Передача информации с обратной связью/Под ред. 3. М. Каневского. -
М.: Связь, 1976. 350 с.
98. Петрович Н. Т., Камнев Е. Ф., Каблукова М. В. Космическая радиосвязь. -
М.: Сов. радио, 1979. 279 с.
99. Поздияк С. И., Мелитнцкий В. А. Введение в статистическую теорию поля
ризации радиоволн. -М.:Наука, 1974. 479 с.
100. Полищук Ю. М. Пространственно-временная структура случайных электро
магнитных полей при распространении в тропосфере. Томск, Изд-во ТГУ,
1975. 92 с.
1О 1. Потехин В. А., Татаринов В. Н. Теория когерентности электромагнитного
поля. - М.: Связь, 1978. 207 с.
102. Проукис Дж., Миллер Дж. Адаптивный приемник для цифровой связи через
каналы с интерференцией между символами. - Зарубежная радиоэлектрони
ка, 1970, No 2, с. 3-24.
103. Просив А. В. К теории каналов радиосвязи со статистически неровными по
верхностями. - Труды четвертого коллоквиума по УКВ связи. Будапешт,
ч. !, с. 28/1-28/9.
104. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов.
М.: Мир, 1978. 848 с.
105. Риглер Р. л., Комптон Р. Т. Адаптивная антенная решетка для подавления
помех. -ТИИЭР, 1973, т. 61, No 6, с. 75-86.
106. Проблемы построения процедур обра-ботки двухмерных случайных по
лей/Родимов А. П., Поповский В. В., Дмитриев В. И. и др. - Зарубежная
радиоэлектроника, 1981, No 5, с. 96-105.
107. Р.ытов С. М., Кравцов Ю. А,, Татарский В. И. Введение в статистическую
радиофизику/Под ред. С. М. Рытова. -М.: Наука, 1978. 464 с.
108. Свириденко С. С. Основы синхронизации при приеме дискретных скrна•
лов. - М.: Связь, 1974. 144 с.
298
109. Семенов А. А., Карпеев Г. А. Исследование характера быстрых замираний
радиосигналов на приземных трассах средней протяженности. - Радиотехни
ка и электроника, 1959, т. 4, вып. 2, с. 187-194.
110. Сикарев А. А., Сочнев А. М. Оптимальный когерентный прием дискретных
сообщений в условиях флуктуационных, сосредоточенных и импульсных по
мех. - Радиотехника, 1980, т. 35, No 7, с. 7-13.
111. Сикарев А. А., Фа.r~ько А. И. Оптимальныii прием дискретных сообщений. -
М.: Связь, 1978. 328 с.
1I 2. Сифоров В. И. О пропускной способности каналов связи со случайными нэ
менениями параметров. - Радиотехника, 1958, т. 13, No 5, с. 7-18.
113. Сифоров В. И. Об условиях получения высокой пропускной способности ка
налов связи со случайными изменениями параметров. - Электросвязь, 1958,
No 1, с. 3-8.
114. СоАфер В. А. Пространственно-временная обработка сигналов в системах
автоматических измерений.: Дне. на степень докт. техн. наук. - ЛЭТИ,
1979. 311 с.
115. Сосулин Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигна
лов. -М.: Сов. радио, 1978. 320 с.
116. Стиффлер Дж. Дж. Теория синхронной связи. -М.: Связь, 1975. 487 с.
117. ТатарскиА В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. -М.:
Наука, 1967. 548 с.
118. Тамм Ю. А. Адаптивная коррекция сигнала ПД.-М.: Связь, 1978. 144с.
119. Тарасенко Ф. П. Непараметрическая статистика. -Томск: Изд-во Томского
университета, 1976. 294 с.
120. Тарасенко Ф. П. Исследование пропускной способностн непрерывных кана
лов связи со случайными параметрами. Отчет по госбюджетной НИР. Си
бирский физико-технический институт при ТГУ. -Томск, 1969. 86 с.
121. Теплов Н. Л. Помехоустойчивость систем передачи дискретной информа
ции. - М.: Связь, 1964. 359 с.
122. Тихонов 8. И. Статистическая радиотехника.-М.: Сов. радио, 1966. 678 с.
123. Уидроу и др. Адаптивные компенсаторы помех. Принципы построения и при
менения. -ТИИЭР, 1975, т. 63, No 12, с. 69-98.
124. Yflrepбoeк Г. Нелинейное выравнивание двоичных сигналов при гауссовом
шуме. -Экспресс-информация. Передача информации, 1972, No 28, с. 12-34.
125. Фаддеев 8. Н., Фаддеева Д. К. Вычислительные методы линейной алгеб•
ры. -М. - Л.: Фнзматгиз, 1963. 735 с.
126. Фалькович С. Е. Оценка параметров сигнала. -М.: Сов. радио, 1970. 325 с.
127. Фельдман Ю. И. Распределение амплитуды случайного вектора, проекции
которого распределены нормально: (общий случай). - Вопросы радиоэлект~
роники. Серия ОТ, 1964, No 1, с. 78-98 .
128. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. - М.: Сов. радио, 1970.
727 с.
129. Финк Л. М. Сигналы, помехи, оши,бки . .. -
М.: Связь, 1978. 272 с.
130. Форни Г. Д. Алгоритм Витербн. - ТИИЭР, 1973, No 3, с. 12-25.
131. Финкельштейн Е. 3. Прием дискретных сигналов nри быстрых и скачкооб
разных изменениях параметров канала связи: Дне. на степень канд. техн.
наук. - ЛЭИС, 1967. 180 с.
132. Френксл. Теория сигналов: Пер. с англ./Под ред. Д. Е. Вакмана. - М.: Сов.
радио, 1974. 344 с.
133. Харкевич А. А. Избранные труды. Т. 111: Теория информации . .Опознаваю1е
образов. -М.: Наука, 1973. 524 с.
134. Хворостенко Н. П. Статистическая теория демодуляции дискретных сигна
лов. - М.: Связь, 1968. 335 с.
135. Хармут Х. Ф. Передача информации ортогональными функциями. - М.:
Связь, 1975. 275 с.
136. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. -М..: ИЛ, 1963,
431 с.
137. Хме.11ьницкий Е. А. Оценка реальной помехозащищенности приема сигналов
в КВ диапазоне. - М.: Связь, 1975. 232 с.
138. Хургин Я. И. Оценка пропускной способности некоторых каналов связи со
случайными параметрами. - Радиотехника, 1959, No 4, 12, с. 19-27 .
299
139. Цикнн И. А. ДиСкретно-аналоrовые методы оптималь\iоИ обработки сиrна-
лов. - Рад1t0тех1шка, 1969, т. 24, ~!! 2, с. 1-8.
140. Цыбаков Б. С. О пропускной способности двухлучевых каналов связи. -
Радиотехника и электроника, 1959, т. 4, вып. 7, с. 1116-1123.
141. Цw.баков Б. С. Пропускная способность некоторых многолучевых каналов
связи. -Раднотехннка II э.лектроннка, 1959, т. 4, вып. 10,. с. 1602-1608.
142. Цыпкин Я. 3. Основы теории обучающихся систем. - М.: Наука, 1970.
251 с.
143. Чабдаров Ш. М., Трофимов А. Т. Полигауссовы представления произволь
ных помех н прнем дискретных сигналов. - Раднотехннка н электроника,
1975, No 4, с. 734-745.
144. Чернов А. Л. Распространение вмны в среде со случайными неоднородно
стями. -М.: Изд-во АН СССР, 1958. 159 с.
J45. Wахги.льдян В. В., Ляховкин А. А. f:истемы фазовой автоподстройки час
тоты. -М.: Связь, 1972. 447 с.
146. Wеннон 1(. Работы по теории информации и кибернетике. -М.: ИЛ, 1963.
829с.
147. Wифрив Я. С. Вопросы статистической теории антенн. -М.: Сов. радио,
1970. 384 с.
148. Ярославск:иА Л. П. Введение в цифровую обработку изображений. -М.:
Сов. радио, 1978. 312 с.
149. Andersen 1. N. Sample-wbltened matched ШteJ·s. - JEEE Transactions оп
Information Theory, September v. IТ-19, 1973, N 5, р. 653-660 .
150. Alnatt 1. W ., Jones Е. О., Law Н. В. Frequency diversity in the reception of
selectively fading Ьinary modulated signals. -
Pr. IRE, March 1957, pt В,
N 14, р. 98-110.
151. Beckmann . Р. Rayleigh distribution and its generalizations. - J. Res. Nat.
Bur. Standaтds, 1964, v. D68, N 9, р. 927-932.
152. Beckmann Р. Statis.tical distribution of the amplitude and phase of а mul-
tiply scaltered field.
-
USA, Radio Propagation, 1962, N 3, Р- 231-240.
153. Bello Р. А. Characterization randomly time-variant linear channels. -
IRE
Transactions, December 1963, v. CS -11, N 4, р. 360-393.
154. Belto Р. А. Time Frequency duality. -
IEEE Transactions, January 1964,
v. IТ-10, N 1, р. 18-33.
155. Bello Р. А. Error probabllities due to atmospheric noise and flat fading on
Н. F. digital communication systems. -
1-st IEEE Annual Commun. Con-
vent, Boulder, Colo. 1965, р. 173-180.
156. Chang R. W .,
Hancock J. С. Оп receiver structш·es for channels havin~
memory. -
IEEE Transactions, October 1966, v. IТ-12, N 4, р. 463-468.
157. Grisdale G. L., Morris 1. С., Palmer D. S. Fadihg of long distance radio
signals and а comparison of space and polarization diversity reception in the
6-18 Мс range. -
Pr. !ЕЕ, 1957, pt В, N 13, р. 39-51.
158. Grosskopf 1. Statistische Untersuchungen an ](urzwellen Ubertragungswe-
gen. -
ETZ, 1953, N 8.
159. Harmuth Н. F. Nonsinusoidal waves for radar and radio communication. -
Лcademic Press, 1981. 396 р.
160. Hingorani G. О., Hancock J. С. А transmitted reference systems for commu-
nication in random or unknown channels. -
IEEE Transactions on Commu-
пication Technology, September 1965, v. СОМ-13, N 3, р. 293-301.
161. Hoyt R. S. Probabllity functions for rnodulнs and angle of the normal comp-
lex variate. -
BSТJ, 1947, v. 26, N 2, р. 318-359 .
162. Hulst R. lnverse ionosphere. -IR E
Nat. Convention Record, 1959, pt В. N.
163. Jones W. В. А comparison of frequence shift anti-multipath signaling techni-
ques for digital communication systems. -
IRE. Transactions CS, 1961, N 1.
164. l(allath Т. А genera1 likelihood ratio fonnula for random signals in Gaussi-
an noise. -
IEEE Transactions, 1969, v. IT -15, N 3, р. 350-361.
165. Kettel Е. Ein automatischer Optimisator fiir den Abgleich des Jmpulsentzer-
rers jn einer Dateniibertragung. -
Arch. Elektr. Obertr., 1964, 18; s. 271-
278.
166. К,ettel Е. Obertragungssysteme mit idealer Impulsfunctlon. -Arch. Elektr.
Obertr" 1961, 15, s. 207-214 .
300
1
·•
t
167. Кlowsky D. D . Zur Ubertragung digitaler Informationen Uber Kanale mit
zufiШig veranderlichen Parametern. - - Nachrichtentechnik, 1972, 33, N 6,
s. 173-177.
168. Кlowsky D. D ., Nlkolaev В. 1. Sequential transmission о! digital informa-
tion in the presence of intersymbol interference. Mir PuЫishers. - Moscow,
1978. 216 р.
169. Мс Nicol R. W . Е. The fading of radiowaves of medium and high frequen-
cies. -
Pr. IRE, October 1949, pt 111, N 44, ~-
517-524.
170. Middleton D. А statistical theory of reverblration and similar firstorder scat-
tered fields. -
IEEE Transactions, July 1967, v. П-13, N 3, рр. 372-392,
393-414 .
171. Middleton D. Statistical-physical models of man-made and natural radio noi-
se, Part 11: Firs order ·probabllity models of the Envelope and Phase. -
U. S.
Department of Commerce, Office of Telecommunication, О. Т. Report 76-86,
April 1976, 135 р.
172. Mosier R. R . ., Clabaugh R. G. Kineplex, а bandwith efficient blnary transmis-
sion system. -Communication and EJectтonics, J958, N 34, р. 7-23.
173. Nakagami М. The m-distribution а general formula of intensity distributi-
on of rapid fading. -
Statistical Methods in Radio Wave Propagation. New-
York, 1960, N 9, р. 3-36 .
174. Nakagami М. Оп the intersity distribution
+f)]1,(: [+--~ ]) and its application to signal statistics. -
Journal
Res. Nat. Bur. Standards, September 1964, v. D 68, N 9, р. 995-1003.
175. Ohnsorge Н. Anwendungsmбglichkeiten der optischen Nachrichtenilbetragung.
Vortrag: ATK-Plenum !m НН 1 am 1.9.1975, s. 2-18.
176. Price R. Error probabllities for adaptive multichannel reception of Ьiпаrу
signals. - IR.E Transactions оп Information Theory, September 1962, v. П-8,
N 5, р. 305-316.
177. Price R,, Green R. Е. А communication technique for multipath channels. -
Pr. IRE, March 1958, v. 46, N 3, р. 555-570.
178. Turin G. L. Error probabllities for Ыпаrу symmetrical ideal reception thro
ugh nonselective slow fading апd noise. -
PIRE, September, 1958, v. 46,
N 9, р. 1603-1619.
179. Turin G. L. Some computations of error rates for selectively fading
path channels. -
Proceedings of the National Electronics conference,
v. 15, Chicago.
mнlti-
1959_
180. Turin G. L. Оп optimal diversity r~ception.- IR E
Trans, 1960, v. IТ-7,
N 3, 1962, v. CS-10, N 1, р. 22-31.
181. Wendland 8. AЫastsysteme zur adaptiven und nicht adaptiven Entzerrung
von Kaniilen. -
NTF, 37(1969), s. 335-352.
8(1, 1', r, r')
с
с.т
Ei(x)
F
,F, (а, ~-
х)
,F,(a, ~.
у, х)
F(A, В, С, D)
g. _.(t, r)
H(I, f, r)
h',
h2=fl~x+h 2
11
Основные обозначения
корреляционная функция векторного поля
-
пропускная способность
-
число сочетаний из п по т
-
интегральная показательная функция
-
надежность связи по помехоустойчивости
-
вырожденная (конфлюэнтная) гипергеометрическая функ-
ция
-
гипергеометрическая функция
-
интегральная функция четырехпараметрического распре-
деления
-
сигнал межсимвольной интерференции
-
передаточная функция канала
-
энергетическое отношение на выходе канала с единичным
коэффициентом передачи и аддитивным гауссовским шумом
-
энергетическое отношение для флуктуирующей части сиг
нала, усредненное по быстрым флуктуациям
ЗОI
r
s, (/)
т
т.
т.
и,(/, r)
W(s)
W,(y)
z(t, r)
~•-и2,/и',,
Г(х)
у
УР
L
1,
т
т'
N
n(I, r)
п, (/, 'j
nФ(t, r
flи(t, r
Р{А}
р
q'
R,
,..
Ф(х)
ю,
(·)
Волнистая черта
сверху
Точка сверху
Черта сверху
30J\
-
скорость передачи э.лсментарных символов
-
коэффициент, определяющий критерий оптимальности
байесовского приемника
-
взаимокорреляционная функция принимаемых сигналов
-
корреляционная функция принимаемых сигналов
-
энергетический выигрыш (проигрыш)
-
обобщенный энергетический выигрыш (проигрыш)
-
углы прихода сигнала и помехи
-
область анализа принНмаемого поля
-
коэффициент эффективности использования суммарной
мощности передатчика
-
пространственная координата
-
передаваемый ~лементарный сигнал i-й позиции
длительность элемента сигнала
-
длительность временного интервала анаJJиза в месте приема
-
период следования испытательных импульсов
-
принимаемое поле полезного сигнала i-й позиции
-
плотность вероятности случайной величины ~
-
чстырехпараметрическое распределение амплитуды
-
принимаемая смесь сигнала и шума (анализируемое поле
в месте приема)
-
параметр четырехпараметрического распределения
гамма-функция
-
модуль комплексного коэффициента передачи канала
-
модуль регулярной части ко~плексного коэффициента пе-
редачи канала
-
число ветвей разнесения
-
нормированный функционал правдоподобия
-
основание кода
-
параметр распределения Накаrами (т-распрtделения)
-
число лучей
-
аддитивная помеха в канале
-
сосредотоqенная помеха
-
флуктуационный шум
-
импульсная помеха
-
вероятность события А
-
вероятность ошибочного приема элемента сигнала
-
отношение средних мощностей регулярной и флуктуирую•
щей частей сигнала
,
-
область анализа по пространственным координатам
-
коэффициент корреляции ортогональных компонент вет•
вей разнесения
-
коэффициент временной корреляции ортогональных ком•
понснт сигнала
-
коэффициент эффективности использования ~ющности пе
редатчика при разнесении
-
коэффициент замедления передачи
-
дисперсии ортогональных компонент комплексного коэф·
фициента переда [fИ канала
-
взаимное запаздывание между лучами k и п
-
функция Крампа
-
пороговый уровень в оптимальных решающих схемах
-
знак математического ожидания
-
сопряженные сигналы
комплексная величина
-
комплексное сопряжение
1
1
,
Оглавление
Веедеиие
Г л а в а 1. МоАели систем передаqн сообщений, алгоритмы nрнема и оценка
ка'lества
7
1.1 . Обобщенная модель системы передаqи дискретных сообщений
7
1.2 . Системные характеристики векторных ПВ каналов
.
.
.
10
1.3. Модели детерминированных векторных ПВ канало&
.
.
.
.
.
12
1,4 . Параллелъио-nоследовательиые t,1ехаии3мы случайиоrо распрос:rраиения воли
вПВканалах . . . .
16
1.5. Одномерная вероятност.кая модель канала с параллельно-последовательным
распространением .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
1.6. Корреляционные характеристики и модели стохастических ПВ каналов
31
l.7. К,орреляциониые характеристики сиrиалов
.
.
,
.
.
36
1.8. Некоторые ансамбли сиrиалов, используемые в технике свяэн
.
.
40
1.9. Энергетические отношения для ансамблей прини)lаемых сиrналов
.
.
.
44
1.10. Модели аддитивных помех, нормированная функция н функционал правдоподобия
45
l,tl. Алrоритмы оптимальноrо приема
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
l.12. Оценка качест&а системы передачи дискретных ~бщений
53
Выводы
56
Гл а в ;1 2. Поэлементный n)Jнем в однолучевом ка11а.11е
57
2.1 . Алrорнтм оптимальноrо приема при точно известном сиrнале и ero реализация
58
2.2 . Алrори.-rмы оn-rимальиоrо nриема 11ри иеоnред.елеииой фазе и не эа»исимых от
нее флуктуациях амплитуд, их реализация .
,
.
.
.
.
.
.
.
61
2.3. Оптимальный прием в общем гауссовском канале с иеселектв:вными замираниями
65
2.4 . Оптимальный прием в общем гауссовском однолучевом канапе с селективными
во времени и по пространству замираниям» . . .
68
2.5 . Обобщеикый алгоритм максимального правдоnо,11,Обкя
.
.
,
.
.
68
2,б, Помехоустойчивость двоичной системы при оптимальной ПВ обработке поля и
точно известном сигнале .
69
2.7 . ПомехоустоАчнвость двоичного nрнемннка, ~птиМального· пр~ бе".пом шуМе в
канале .
,
.
.
.
.
,
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
75
2.8 . Оценка энергетического проигрыша приемника из-за неточного знания ожидае-
мого сигнала
,
,
.
.
.
.
,
.
.
77
2.9 . Помехоустойчивость двоичной системы при оптимальном когерентном приеме н
медленных флуктуациях параметров канала • •
.
.
.
.
81
2.10. Вероятность ошибки при использовании многопозиционных сигналов
85
2.11. Помехоустойчивость оптимального приема при неопред.еленной фазе
.
.
.
87
2.12 . Помехоустойчивость 011тнмального приема двоичных сигналов в общем rауссов-
ском канале с неселектнвными замираниями . . . . . . . . .
89
2.13. Помехоустойчивость многопознцнониых систем при приеме по алгоритму квад-
ратичного суммирования в канале с неселектнвиыми замираниями . .
105
2.14. Помехоустойчивость линейноrо д1юичного приемника в общем гауссовском ка-
нале с несел~ктнвными замираниями . . . .
.
110
2.15. О группировании ошибок в каналах с медленными :Инте"рФеРенцНонными· за-
мираниями .
,
.
.
,
.
114
2.16, Надежность связи в однолучевом канале
116
r .11. а 1!о а 3. Прием в многолучевых каналах (с.електи.r.иые по час.1оте замира1111я
и ехо-еигиа.пы)
124
3.1 , Алгоритмы оптимального приема р целом s каналах с межсИМ);!ОЛЬНОЙ интерфе-
ренцией при точно известном сигнале
.
.
.
.
.
.
.
3.2 , Алгоритмы оптиммьного позлемемтного приема в каналах с межсимвольиоЯ ин-
терференцией 11рн точно известном сигнале . .
.
3,3. Обобщенный алгоритм максималыюrо правдоподобия в
0
Ка11~лс с меЖ:си~вол~ноit
интерференцией при точно известном сигнале . .
З.4. Алгорнrм оптимальноrо 110:элементиоrо нриема при иеОпреДелеНной· фа;е л·учеЙ
(учет внутрнснмвольной интерференции) .
.
3.5. Алгоритм оптимального nозлементного приема при не~еле;тив1;ых
0
общ·нх Гаус.'
совских замираниях лучей (учет внутрисимвольной интерференции)
.
З.6. Оценка энергетического проигрыша аналогового демодулятора с дискретизацией
решения по сраJJнению с оптимальным алrоритмом приема в целом
3.7. Предельная 110мехоустойчивость двоичной системы при когерентном приеме в
целом с поэлементным принятием решения
.
,
.
.
.
.
.
.
,
З.8. Оценка вероятности ошибки двоичной системы при коrерентном приеме в целом
с поэлементным принятием решения .
,
.
,
.
.
.
З.9. О влиянии реальной обратной связи по решению на помехоустойчивость после
довательной системы с приемом в целом и поэлементным 11ринятием решения
З.IО. Вероятность ошибки в двоичной системе при когерентном поэлементном приеме
на шпервале Та=Т (простейший щ1риант СИИП с обратной связью по решению)
З.11. Помехоустойчивость двоичной системы в двухлучевом канале при неоптималь
ном коrсренrном приеме на интервале Та-Т
3.12. По,енциалъная nомехо)'С1'ОЙ'lшюстъ »:а.оичных систем nри неоnредеп.еиной фазе
сн~нала
12u
136
142
147
150
152
154
160
164
167
171
174
303
3.13. Потенцнельиая помехоустойчивость многопозиционных систем в двухпучеаом
рэлеевском канапе
.
.
.
.
.
.
.
.
176
~ - 1 4 , ПомехоустоRчивость двоичных систем в двухлучевом рэлеевском канапе при
использовании алгоритма, .оптимальног.о в одиDJJучевом канаЛ6 с неопределен•
нойфазой·сигнала........
.
.
.
.
.
_
177
3.15. Сравнение .эффективности некоторых систем, предложенных для испОJJьзования
n многолу,;,~евых каналuх радиосвязи для передачи дискретных сообщений при
чисто временн6R обработке сигнала
180
Выводы...
·_' •
.
.
•.
189
Г .11 а в а 4. РаэнесенныА прием
4.1. Алгоритмы оr'iтим'алl.иого приема qри точно известном сН1:нале
4.2. Алгоритм оnтималi.во'i'О 11рн_ема при неопределенной фазе
4.3 . Алгоритм оптимального приема в общем гауссовском канале с неселективиыми
замира·ниями в кажд_ой ветви разнесения
.
.
4.4. Обобщенный алгоритм макСимаJJь~оrо праа,цоподобия
,
,
.
4.5 . Помехоустойчивость двоичной системы при оптимальном разнесенном: приеме
н точно и1вес1ном сигнале
.
.
.
.
.
.
.
.
,
4.6. Помехоустойчивость одной схемы ,аискретtюй ПВ обработки поля
.
4.7 Оценка помехоустойчивости двоичной системы при коrерентном приеме и мед.-
ле11ных флуктуа:~нях пара~етров канала . . . .
.
.
.
.
.
4.8. ПотенциаJiьиая ломехоустойчивость многопознЩ1онных систем при неопределен-
ноR:, но одннвковоii фазе снгнала по всем веrвям разнесении . . . . .
4.9 . Помехоустойчивость оптимального приема !1 общем rауссовском канале с не-
селективными замираниями
.
.
.
.
.
.
.
4.10. ПомехоустоАчивость двухпrоициони1~1х систем с актнвноll: паузой, ортогональ
ных в усиленном смысле, при приеме символов по а.nгорнтму квадратичного
суммирования ·в общем гаусс!)вском канале . . . . . . . . .
4.11. Помехоустойчивость линейного приемника двоичных снгна;~о~ в общем гаус-
совском канале
.
.
.
.
.'
.
.
.
.
'
.
.
.
.
.
.
4.12 . Влияи-ие взnимной корреляции ветвей разнесения на помехоустойчивость приема
по алгорн:тму квадратичиоrо суммирования
4.13. О неоnтнмальных методах разнесенного приема
4.14. О групnирова~ии ошибок в каналах с мед.11енными замнра~иям:и при разнесен-
ном nрке-ме . '
.
.
.
.
.
4. 15. Надежноеть связи при разнРсенном приеме
Выводы
'"'
193
1%
199
204
205
215
219
227
231
23!?
243
24',"
25.:J
25[,
251
25J-;
Г .11 а в а 5. Помех:Оустойчивость при ад,11,итивноilli ф.11уктуацноиноА, сосредоточеи-
110А и. импульсной. по.мехах в канале
26\)
5.1 . Алгоритм оптимального разнесенного приема с учетом совокупной помехи в ка•
на.Ле при точно известном сигнале
.
.
.
.
.
,
.
.
5.2. Потенциальная помехоустойчивость двоичной системы С учетом совокупной по-
мехи в· канале при точно известном сигнале .
.
.
.
.
•
5.3. Помехоустойчивость двоичной системы с учетом совокупной помехи в кaИlilJie
при точно известном сигнале и использовании приемника, оптимального при от
сутствии мпульсноА помехи
5.4 . ПомехоустоАчнвость алrорнтма квадратичного суммирования при учете в канале
совокупноii 11омехн во всех ветвях разнесения
.
•
5.5. Помех.Оустойчнвость nр'н сосредоточенной и импульсной помехах, случайно по
являющюс:ся в отдельных ветвЯх разнесения
Выводы
Г л а в а 6, Пропускная способность непрерывных П В хана-110•
6.1. Пропускная способность непрерывного детерминированного ПВ канаJiа с гаус-
совским wумовым полем .
.
.
.
.
.
6.2. Пропускная способность непрерывного сtuхастического общего гауссовского мно-
голучевого· ПВ кена.11а при медленных флуктуациях параметров
Выводы
Заключение .
Снисок литературы
Основные о6означення
262
266
2ti'·
27·
27'
28
28