/
Author: Кловский Д.Д.
Tags: электротехника электроника радиотехника радиостанция радиосвязь дискретная информация
Year: 1969
Text
;:;
~:
~-
·пер· епача
-~
-
~
, f--tt: .
.
r,. ~
=Пf,f"K~~YI_·..:S-~
р._- --~
_·r-~ 1. ГIDCAZ'
сООБщеjjий
·гпо ·рЩЩокана-ri~
~ ~":
-
:-;.~.:. w
-
,
*-~
-~·-
"'
"-
~
:-:~ ~
--:.,
-
§
(;Z. 1
-
jfJ/
К-9D
Д. Д. Кловский
ПЕРЕДАЧА
ДИСКРЕТНЫХ
СООБЩЕНИЙ
• ПО РАДИОКАНАЛАМ
\С
ТВО «СВ5IЗЬ», МОСКВА, 1969
~
-
~
uе июп IJ ,41•;,
...У .
УДК 621-391:621.396
УД!( 621.391:621.396
ПЕРЕДАЧА ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИЙ ПО РАДИОКАНАЛАМ
Д. Д. l(ловский
Год издания 1969
I<jнига по священа вощюсам теарии передачи дискре·тных сооб
щен ий (цифроrвой информации) по каналам радио.связи, для которых
ха:рактерны, помимо п,р·и,ау11ств•ия дддити,в:ных флуктуационных, сосре
дото ченных и импуль-сных помех, т, акже зами·ран1Ия и ра :стягивание
эле:м~нтов сигналов в месте ,приема, о.бусловленные мнотолучевым
хара,ктеро~1 раооро,стра,нения радиоволн.
В книге интерференционные замирания ра-ооматр11ваются при
обобщенной модели ка нал а, ,прив,одящей к четыреJQпа1р,аметрическому
распределению ампл1итуд и фаз сигнала. •
Опредмя~ртся оптимальные к•ритерии приема, соотве11ствующие
им приемные уст,рой.сТ'ва, а также пропуок:ная способность и потен
uиальн,ая помехоу,стойчи,в·ость для одно- и ,многолучевых каналов
радиосвязи. Вычи1сляется помехоу,стойчиво.сть схем, отличающиJсся
от оптимальных. Рассматриваю11ся оистемы передачи ди,окре11ных со
общений с каналами о,братной связи и без них . Сравни,вае11Ся эффек
тивность различных оистем между •собой в одно- и многолучевом
каналах.
Книга раосчитана на инженеров и научных 1работ,ников в облает-и
радио.связи, а также на студентов ·старших курсов соответствующих
,вузов.
Рисунков 56, таблиц 17, библиографий -162.
3-4-1
44-69
ПОСВЯЩАЕТСЯ СВЕ'I'ЛОЙ ПАМЯТИ
НЕЗАБЫВАЕМОГО ДРУГА ПРОФЕССОРА
СТЕФАНА ХАЙМАНА, БЛАГОДАРЯ ЕГО
ПОМОЩИ АВТОР ПЕРЕЖИЛ ОСВЕНЦИМ
И БУХЕНВАЛЬД
ВВЕДЕНИЕ
За по с л едн ее десят и летие появилось большое число работ по тео
рии пер едачи сообщений в каналах со случайно меняющимися па
раметра м и, ,в том чи сл е и в каналах радиосвязи. Эти работы раз
вивают т еорию статистических (вероятностных) методов приема и
.оптима л ьного 1<0дирования , начатую во второй половине сороко
вых годов работами В . А. Котельникова ,[43] и К. Шеннона i[90] .
Теория статистиче с ки х методов приема применительно к вопросам
радиосвязи рассмотрена в ра ботах Д. Миддлтона [51], Л. М. Фин
ка {74], Ж . Т у рина [1 '55-159], В . С. Мельникова 1[52], Л. Бело
{100-•105] и др . По теории же оптимального кодирования, а кон
кретн ее , проп у скной спо с обно сти каналов со случайно меняющими
ся параметрами, прежде всего, следует отметить работы В. И. Си
форова 1[68-69], И. А . О в сеевича, М. С. Пинскера 1~60 - 61], Б . С.
Цыба к ова ,[89-98].
В н а стоящей м онографии анализир у ется передача дискретных
,сообщений (цифровой информации) по каналу со случайно ме
няющи м ися пара м етрами (радиоканалу) при обобщенной матема
тическо й модели канал а с интерференционными замираниями,
которая приводит I< четырехпараметрическому распределению ам
плитуд и фаз сигнала. С помощью такой м одели можно обобщить
известны е рез ультаты т е ории потенциальной помехоустойчивости
для рэ л е е аского и обобщенно-рэлеевского кана л ов [33, 35, '52, 54,
74 , 75, 100, 101 , 126, 128, 141 - 143, 146, 153, 155-158] и исследо
вать некоторые новые интересные для радиосвязи вопросы . В ча
стности, эта м одель включ а ет обнаруженные экспериментально
интерференционные з амирания, более глубокие, чем рэлеевски е
{ «подрэлеевский» канал) [1, 137, 138], и бимодальное распределе
ние амплитуд р] .
В книге, помимо однолучевых каналов, уделяется много вни
мания многолучевы м 1<аналам радиосвязи (каналы с селективны
ми замираниями и эхо - сигналами) [ 14, 36, 37, 102, 105 и 157].
В книге, главным образом, рассмдтриваются следующие воп
росы:
1) алгоритмы и способы реализации оптимальной решающей
-схемы приемного устройства при заданных сигналах и свойствах
~<днала;
5
2) вероятность правильного приема сообщений при заданных
сигналах, свойст,вах канала и использовании оптимальной решаю
щей схемы (потенциальная помехоустойчивость системы связи при
заданных условиях);
3) вероятность правильного приема сообщений при отклонении
решающей схемы приемника от оптимальной;
4) выбор формы сигналов с максимумом помехоустойчивости
системы связи при заданных ограничениях (например, заданной
сред·ней мощности си~н1ала, 1свойст,вах канала и т. п.);
5) оценка эффективности многозначных кодов и избыточного
кодирования при заданных свойствах канала;
6) оценка эффекnивности ·разл:ичных способов построения си
стем связи при заданных условиях (разнесенный прием, исполь
зование канала обратной связи, способ уплотнения и т. п.);
7) предельная скорость передачи информации (пропускная спо
собность) разт~чных каналов со · случайно меняющимися парамет
рами при наложенных ограничениях.
Всюду, где это возможно, теоретические результаты доведены
до расчетных формул, таблиц или графиков, которые можно ис
пользовать при проектировании систем передачи цифровой инфор
мации.
В книге не рассматриваются конкретные схемы аппаратуры, од
нако нельзя было обойти принципиальную осуществимость раз
личньrх решений, оценку сложности и эффективности разных мето
дов построения аппаратуры.
В книге рассматриваются только синхронные системы передачи
дискретных сообщений, в которых для передачи любого кодо,вого
символа а; отводится вполне определенное (для данной системы)
время Т, а моменты смены элементов сигнала с большой точно
стыо можно считать известными.
Анализируется наиболее распространенный поэлементный при
ем сигналов, который, хотя и уступает по помехоустойчивости
приему в целом при избыточном кодировании [9, 53 ; 71, 75], реали
зуется значительно проще. Следует подчеркнуть, что возможности
поэлементного приема в радиосвязи далеко еще не исчерпаны.
В книге основное внимание уделяется аддитивной флуктуацион
ной помехе в канале, аппроксимируемой нормальным «белым» шу
мом*). Такая помеха весьма характерна для систем радиосвязи.
В гл. 6 определяется помехоустойчивость дискретных систем при
учете также аддитивной сосредоточенной и импульсной помех в
канале.
•
При изложении материала пришлось ввести некоторые терми
ны, которые, возможно, и спорны.
В гл . 1 дается характеристика сигналов и каналов радиосвязи,
выбирается критерий оптимального приема, вводится необходимая
*) Точнее, спектральная плотность мощности шума а2 о полагается примерно
о д инаковой в полосе частот сигнала.
6
терминология. В гл. 2 и 3 соответственно анализируется одиночный
прием в однолуче.вом и многолучевом каналах. В гл. 4 исследуют
ся системы разнесенного приема, в гл. 5- системы с каналом об
ратной связи. В гл. 6 анализируются системы одиночного и разне
сенного приема при учете в канале аддитивной флуктуационной,
сосредоточенной и импульсной помехи. ,В гл. 7 опредеJiяется про
пускная способность различных каналов со случайно меняющи
мися параметрами. В приложениях к книге включены некоторые
математические доказательства, а также сосчитанные на ЭЦВМ
таблицы интегральной функции F (А, В, С, D) четырехпарамет
рического распределения длины радиуса-вектора при широком на
боре параметров А, В, С, D. Книга написана на основе результа
тов работы автора на протяжении 10 лет, многие из которых пуб
Л'lшуются В'Первые. Хотя за последние годы и появилось несколько
работ, например, [З 1, 74], ,в которых раосмотреrны ,проблемы, об
суждаемые ,в :настоящей мо:-ю1графии, - тем ,не менее с учетом
опецифиК'И :к;ниги автор надеется на ·интерес к ней со 'Стороны
читателя.
,
Автор выражает признательность рецензенту книги проф. А . Г.
Зюк.о, а также доценту И. А. Цикину -за тщатеJiьное знаком,ство с
рукописью и целый ряд замечаний, учтенных при окончательной
доработке рукописи. Кроме того, автор выражает и-окреннюю бла
годарность проф. Л. clVl. Финку и проф. Б. rP. Левину за внимание
к е го научным работам и полезное обсуждение некоторых разде
лов книги.
Автор весыv~'а признателен Б. И. Николаеву за просмотр рукопи
си и ряд полезных замечаний, а также В. А. Сойферу за большой
о бъем выполненных им расче-гов и помощь при подготовке книги
к печати.
Замечания по книге просьба направлять по адресу: Москва
центр, Чистопрудный бульвар, 2, издательство «Связь». ·
1/
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ
РАДИОКАНАЛА, ПОМЕХ,
КРИТЕРИЙ ОПТИМАJIЬНОСТИ
ПРИЕМА
§ 1.1. СИГНАЛЫ
Элемент радио с игнала si(t) , 1-::оторый в дальнейшем будем назы
вать просто сигналом, соответствующий кодовому символу ai
(i= ,1, 2, 3, .. ., k), rn - число позиций (основание кода), можно пред
ставить в вид е
s1(t) = s1(t) cos ['Ф1 (t)J h(t),
где Si(t), 'Ф i (t) - огибающая и мгновенная фазы сигнала;
h(x) = {1'
о.
хЕ[О, Т];
хЕ[О, Т].
Представление ( 1.1) ·од·нюз-начно, если
Здесь
л
S; (t)
'Фt(t) = arc tg[s; (t) ,
л
-
1s=(t)
S1 (t) = S1(t) sin ['Ф;(t)] h(t) =
-
-
5- dт:
:rt
t -,:
(1. 1)
( 1.2)
( 1.3)
(1.4)
преобразование Гильберта [19, 47] от сигнала si(t) :,iли сигнал,
л
сопряженный si(t). Амплитудные спектры сигналов si(t) и si(t)
одинаковы, а фазовые спектры отличаются сдвигом ,всех частот
ных компонент на 1t/2 . В дальнейшем часто будем пользоваться
понятием аналитического (комплексного) сигнала 1[19, 47]:
.
л
s1(t) = S1(t)ехр[i'Ф,(t)Jh(t) = s/t)+is;(t).
( 1.5)
Действительный сигнал (1.1) определяется как Re(si(t)].
Если мгновенная круговая частота сигнала u\ (t) = d 'Ф1 (t)Jdt
колеблется около среднего значения wo, то 'Фi(t) удобно записать
в виде
( 1.6)
8
В этом случае ,Si(t) =Si(t) ехр {i8i(t) ] называют комплексной
огибающей сигнала. Часто E)i(t) записывают так:
(1. 7)
в этом случае у р-ние ( 1. 1) принимает вид
( 1.8)
где Wi='Cuo+Qi-чacтoтa сигнала.
Сигналы, которые описываются выражением (1.8) с параметра
ми S i, (J)i, (J) i, не меняющимися во времени на интервале Т, назы- ·
вают простыми. Если Jке параметры Si, Wi, (J)i меняются на этом
интервале, то сигналы ( 1.8) называют сложными.
Подавляющее большинство существующих дискретных систем
связи использует п ростые сигналы ввиду простоты }ix формирова
ния, обработки и при ема ~[например, бинарные системы АМ, ЧМ,
ФМ, (ОФJ\11.), четырехпозиционные системы ДЧМ, ДФМ (ДОФМ)
и др.].
Иногда система AN1, в от.пичие от систем ЧМ и ФМ, именует
ся системой с пассивной паузой.
Системы относительной фазовой модуляции (ОФМ, ОДФМ)
в дальнейшем отдельно не р.ассматриваются, хотя многие резуль
таты , полученные при анализе систем ФМ, приемлемы и к этим
системам . В последнее ,вре м я высказывается мнение о том, что
относительно простые методы кодирования делают обычные сис
темы ФМ вполне способными конкурировать с системам и ОФМ
f76, 85]. Кроме этого, обсуждаются системы когерентного приема
с зондированием радиокана л а, которые также могут обходиться
без относительно го кодирования (23, 1lб, 119]. Тем не менее сле
дует заметить, что в настоящее время система фазовой телегра
фии реализована в радиосвнзи только на базе методов ОФМ :[30 , ,
1.35] . Помехоустойчивости систем ОФМ в каналах со случайно
меняющимися параметрами посвящено несколько оригинальных
р·абот ,[21, 62, 74, 81-83, 100-102].
Для большинства сигналов характерно то, что ширина полосы
частот Лfi, в которой сосредоточена основная часть мощности сиг
нала si(i), удовлетворяет неравенству
Лf·«fo=~·
'
2:n:
(1. 9)
Тогда ф ункции S i (t) , 8 i (t) меняются медленно по сравнению
·с самим сигналом si(t), который в данном случае называют от
носительно узкополосным. Подчеркнем, что таковыми являются
1-1 сложные (широкополосные) си г налы в достаточно высокочастот
ном диапазоне.
В подавляющем большинстве случаев радиосвязи ширина по
.ласы частот Лf.с, в которо1' соср.едоточена основная часть мощно-
9
сти всех ,сигналов (полоса ча,стот системы), удо1вле11воряет анало
гичному неравенству
Лfc«fo·
(1. 1О)
Величины
(1.11)
называют соответственно базой (основанием) i-го сигнала и систе
мы в целом {71, 111 !]. Эти величины {24] определяют примерно чис
ло параметров (измерений), характеризующих сигнал (систему)
на интер,вале Т.
В некоторых работах [7 4] базу определяют как
(1. 12)
где Fi, F с....:.... условная полоса частот соответственно сигнала и си
стемы в целом, т. е. полоса частот, в пределах которой сосредото
чены частотные компоненты сигнала или системы сигналов.
Определения (1.11) и (1.12) не тождественны, так как
(1. 13)
Чем больше база сигнала (системы), тем с большей точностью
в выражении ( 1.13) достигается знак равенства. Для сигналов ра, .
диосвязи характерно равенство нулю их средних значений
1sт
1fл
Т s,(t)dt=Т.)S1(t)dt=О.
(1. 14)
о
о
Сигнал прежде всего характеризуется энергией Ei или сред•
ней мощностью Р(
Т
Тл
Е,=Р1Т=5s~(t)dt= 5s7(t)dt.
(1. 15)
о
о
Чтобы лучше использовать пиковую мощность передатчика, же•
лательно брать сигналы с постоянной огибающей
,
S1 (t) = const.
(1. 16)
Этому условию удовлетворяют как простые сигналы с мани
пуляцией по фазе или частоте, так и сложные сигналы с произволь
ным законом изменения мгновенной частоты или фазы на интер
вале Т: сигналы с псевдослучайной модуляцией [15, 48, 120, 122 ,
145, 159]; сигналы при многофазном кодировании ,р 12, 118, 120];
сигналы, использующие определенное временное кодирование
{46, 136]; сигналы с ЛЧМ {15, 124] и др.
Системы, в которых энергия сигналов не зависит от i(E;=E)',.
будем называть системами с активной паузой на передаче. Систе
мы же, у которых ожидаемые сигналы отдельных позиций [s; (t)]
имеют одинаковые энергии на приеме, будем называть системами_
10
с активной паузой на приеме. В таких системах существенно уп
рощается реализация алгоритмов оптимального приема:
При исследовании однолучевого -канала чаще в-сего .нет надоб
ности в разграничении понятий «система с активной паузой -на пе
редаче и приеме» (см. гл. 2 и 4). Однако иначе обстоит дело при
рассмотрении многолучевых каналов.
С учетом ф-лы ( 1.1) за,пишем ожидаемый сигнал i-й IП'Озицни
в многолучевом канале при отсутствии межсимвольной интерфе
ренции
s~(t) = f Yr[s,(t-"C',)coscp, + ~i(t-i-,)sincp,],
(1 .17)
n=l
где N - число лучей; у,., ер,.,
'tr - соответст.венно коэффициент пе
редачи канала, фазовый сдвиг ,по высокой ча,стоте и задержка огн
бающей по г- му лучу. На интервале анализа Та энергия сигнала
(1.17) при фиксированных параметрах у,., ер,., ,:,. (локально-идеаль
ный 1<анал) равна*)
где
А
Еz,г,ц=
(1 .18)
~.
А
~
А
.\ s,(t--"C1)s;(t-"C,)dt= -
s .s/(t--c,)si(t--cidt.
о
о
(1 .20)
Условно полагая для фиксированной пары "Cr, 1:1, что "С',.>1:1=0,
к1 обознач.ая ,:,.-1: 1 =т,.1=1:, напишем вместо соотношений (1.19) и
{1.20):
~
~АА
ен(-с)= Js,(t)s1(t- i)dt= .\ s1(t)si(t- -с)dt;
(1.21)
о
о
А
ТаА
Та
А
eu(1:) = .\ s1 (t)s,(t~- c)dt=- js,(t--c)s1 (t)dt.
(1.22)
о
о
*) Время прихода луча, пришедшего кратчайшим путем, совмещено здесь с
нулем. Что касается времени анализа Та, то оно может быть равным и отли
чаться {!)Т длительности элемента сигнала Т.
11
/1
Будем называть Sii (,) и €;; (,) соответственно автокорреляцион
ной функцией сигнала и взаимокорреляционной функцией со пря
женных сигналов.
Свойства этих функций существенно определяет алгоритм ра
боты оптимального приемника и его пом ехоустойчивость. При вы
л
полнении условия (1.9) функцки s;; (,) и s;; (,) мож1-го пр едставить
в виде 1[156] :
Eu ('t) = А, (т) cos rоьт + В1 (',) siп rо0т;
/1
Eu ('t) = В1 ('t) cos ro0't - А, ('t) siп ro0't,
(1.23)
( 1.24}
где А;(,), В; (т) - ортогональные компоненты автоко:рреляцион
ной функции.
Независимость s;; (,) от i при любом ,
Eн('t)=E('t)
(1.25)
будем называть условием тождественности автокорреляционной
функции сигналов.
Но из соотно шения ( 1.23) видно, что условие (,1.25) выполняет
ся при одновременном выполнении условий:
(1.26)
а вместе с ними
/1
/1
Еп(т)= Е(т).
(1.27}
При заданной совокупности величин у;, ер;, , выпол не,ние усло
в1ия (1.25), а следов,ателыно, .и (1.27) обеопечи-вает соглаоно раве:н
с11ву ( 1.18) ·~-rезавиои:il!ость э~нергии: ож,и:дае:мых си,гналов от ;
(1.28),
Следовательно, при тождественности: автокорреляционной функ
ции сигналов имеем в локально-идеальном канале систему с ак
тив-ной ~паузой ,на приеме. Если условие ( 1.25) вьюолняе'Гся тюлько
при т=О, мы имеем систему с активной па узой только на переда
че (равенство энергии позиций отдельных сигналов).
Часто в условиях ;многолучевого (:раэнесе:н,ноrло) :п:риема воз
можrно (при ,медлеrн1ных из1менениях параметров канала) обеспе
чить синфазность с~и ,гналов ютдельных ·ветвей (лучей):
ер, = еро-
в этом случае согласно равенст:ву (1.18.)
NN
,
,1~
Ei= L,J~ 'V1'Y,eu(т},
·l=lr=I
и для выполнения условия (1.28) можно. было и не отоварквап,,
условие ( 1.27).
12
Как будет показано ниже, при случайной фазе сигнала алго
ритм оптимального приема в многолучевом канале и соответствен
но помехоустойчивость определяются не самой функцией ен (т), а
ее огибающей
f2
2
v-2
112 •
Рн(т)=~ А;(т)+В;('t)= в;;(т)+вu(т).
( 1.29)
Тождеств енность огибающей автокорреляционной функции сиг
налов
Ри(т)=р(т)
( 1.30)
условие менее жесткое, чем условие (1.25), из которого ,всег
да однозначно следует тождество (1.30), в то время как обратное
утверждение неверно.
При исп ол ьзовании некоторых простых сигналов , удовлетворяю
щих усл овию ( 1.16), требования ( 1.25) и ( 1.27) также могут быть
обеспечены. На самом деле, в этом случае имеем
вн(т)= Е(1- а.)cosW{• = Е(1- а.)[cos(Qiт)cosW0"C - sin'(Q,т) sinШ0't],
1
•
где
/т/
С!.=-< 1.
т
(1.31)
Огибающая, соответствующая а;втокорреляционной функции
( 1.31), .не зависит от номера позиции i.
В импульсных системах, в которых информация не заложена
в изменениях частоты (система ФМ, дискретные системы ФИМ и
т. п.), вместо выражения (1.31) можно записать
вн(т)=Е(1- а)cosW0't = в(т),
(1.32)
т . е. усл овне ( 1.25) выполнено.
В подобных системах с простыми сигналами, в которых ин
формация заложена в изменениях частоты, условие ( 1.25) прибли
женно выполняется, если тQ << 12:п: .
Как будет показано в гл. 3, чтобы обеспечить максимальную
помехоустойчивость при многолучевом (разнесенном) приеме, усе
ловие ( 1.25) при I т 1 > 1't I мин ('tмин - некоторое, надлежащим об
разо м выбранное значение т) следует реализовать .в виде
Ли(т)= i\u('t) = Ан(т) = О при [т\>\т/мин•
(1 .33)
\()
<ti (т)
где1и't=~
-
нормированная автокорреляционная функ-
.
1
л
л
zu(т)
ция сигналов; Ли (т) =-г - нормированная взаимокорреля-
'
ционная функция сопряженных сигналов; J\., .( -r)=Pi (~)= 1 / л2 . + Л~-
,~
Е;VIL11
-
огибающая ·нормир:ова·нной авто,корреляционной фун1кции сигна
Jl ОВ. Это выражение ,будем име1новать усл10,вием «узо·сти» а1втикюрре-
13
ляционной функции ,оигналов. В многолучевом ка·нале 1при выпол1не
нии этого условия сигналы лучей, соответствующие одной позиции
символа, можно разделить, если взаимное запаздывание между
ними превышает 't'мин•
На практике часто удается удовлетворить условию (1.33)
/\
-
лишь приближенно, т. е. Л;; (-i:); Л;; (-i:), Л;; (,:) оказываются при
Ji:J > l•минl достаточно малыми, но не равными нулю. В гл. 3 б у
дет показано, что некоторые отклонения от строгого выполнения
условия (1.33) незначительно изменяют помехоустойчивость си
стемы.
Условия ( 1.33) можно приближенно выполнить при использо
вании сигналов с полосй частот
1
Л/1>-·
't'мин
( 1.34)
Для простых ,сигналов ,Лfi= 1 l/T и нместо усл,ов,ия (1.34) ·можно
1ребовать
Т < 't'мин·
Если 't'мин - минимальное запаздывание лучей в канале, то ус
ловие ( 1.35) исключает их перекрытие.
В литературе часто анализировалась система с простыми сиг
налами, которые удовлетворяют условию (1.35) и передаются с
защитным интервалом Т3 = 't'манс ![35, 52, 74, 120 и 121] во избежа
ние , межсимвольной интерференции на приеме в условиях много
лучевости (~:маис - максималLное запаздывание между лучами).
В дальнейшем будем подобную систему называть системой с за-·
щитны:v1 интервалом на передаче. Очевидный недостаток ее - -
большой пикфактор сигнала и недостаточное использование про
пускной способности канала.
Примененl'.е систем со сложными сигналами (т. е. с большой
базой) :[15, 48, 53, 118, 122, 145, 157 и J59], у которых время авто
кюрреляции 't'норр = ·1/Лfi< •мин, 1поз1ноляет 1удовлет,ворить условию
(1 .34) и при нарушении соотношения (1.35), т. е. в,озмож,но эффек
тив,ное ра~зделение лучей и ,п,ри их перекрьп1ии.
Переход к системам со сложными (шумоподобными) сигнала
ми, естественно, 1приводит к усложнению системы ,связи на пере
даче и ,на приеме, поэтому созда·ние эффекгив:ных систе.м связи в
у,слоВ'иях многолучевости, использующих п· ростые сигналы, весьма
актуалЬ'но.
Важной характеристикой сигналов s;(t), в значительной сте
пени определяющей помехоустойчивость систем в условиях мно
голучевости, является функция взаимной корреляции сигналов при
любом .~т
Та
та/\ /\
eii('t') = S si(t)si(t -
't')dt = S s1 (t)si(t-")dt,
j=l=i (1.36)
о
о
14
и функция взаимной корреляции i-го сигнала и сопряженного j-го
сш1нала (сокращенно фун,1щия КО'Р'реляции юопряженных сигна
лов)
л
тал
Та
л
E;j (,:) = 5St (t) Sj (t- ,:)dt =
-
5Sj (t -1:) s, (t) dt,
j =1= i. (1.37)
о
о
При приеме сигналов со случайной фазой помехоустойчивость
определяе11ся не оа:мой ,функцией 8ij (,:), а на ее оги·бающей
(1.38)
Сигналы, удовлетворяю щие условиям
Ati(,:) =О, j=1=i
( 1.39)
Чi (т)
(Лli (,:) =
-VEiEi - нормированная взаимокорреляционная функ-
ция сигналов), будем называть ортогональными при любом ,:.
Если возможно фазирование сигналов отдельных лучей (ветвей
разн есения), условие (1.39) обеспечивает при оптимальной обра
ботке полное разделение сигналов различных позиций.
Сигналы, удовлетворяющие условиям
j=1=i,
( 1.40)
л
л
Чi (т)
(Лii (,')= -=
-
нормированная взаимокорреляционная функ-
-VЕ1Еi
!
ция сопряженных сигналов разных позиций;
Л;j ('r) = VЛ7j('t) + лij (,:) - огибающая нормированной ;взаимо
корреляционной функции сигналов), будем называть ортогональ
ными в усиленном смысле при любом ,:.
На практике можно говорить ли шь о приближенном выполне
нии условий, (1 .39), ·(1.4'0), та,к как их строгое 'Выполнение для фи
нитных сигналов возмо,жно лишь при использовании •сигналов ,
спектры которых нигде не перекрываются , что физически неосуще
ствимо.
Очевидно, что условие (1.40) обобщает ортогональность в уси
ленном смысле [74] ,;)
(1.41)
Подобно тому, как условие ( 1.41) обеспечивает оптималь
ность (по миним у м у средней вероятности ошибки) системы в од-
*) Л.;j (О) =0 и при j=i.
15
нолучевом канале при неопределенной фазе сигнала*) {74, 156],
условия ( 1.40) и ( 1.33), как будет показано в гл. 3, обеспечивают
оптимальность системы в многолучевом канале при неопределен
ной фазе сигнала.
Примером системы связи с активной паузой и ортогональными
в усиленном оrысле сигналами '[условие ( 1.41)] является многоча
стотная система с поднесущими частотами f;, кратными 1/Т,
п1=1,2,3, ..
( 1.42)
При этом сигналы s; .(t) могут быть как простыми, так и слож
ными (например, использующие М-последовательности с псевдо
случайной манипуляцией фазы 1[15, 145, 150]). Разумеется, что ор
тогональность в усиленном смысле сигналов s;(t) обеспечивается
также, если их спектры не перекрываются, практически, если раз
ность любой пары частот
1
Лf.- "' -
!]//т'
j=!=i.
При обсуждении проблем приема в условиях многолучевого
распространения отдельно следует оговорить случай, когда усло
вие (1.40) выполняется лишь при 1't 1>\тмин 1:
(1.43)
Это условие •будем именовать условием узости взаимокорре
ляционной функции сигналов. При выполнении условия (1.43) вме
сте с условием (1.33) **) в 'i\Шог,олученО1.м канале ·можНlо разделить
сигналы лучей, соответствующие произвольной позиции символа,
если взаимное запаздыв_ание между ними превышает 'Тмин- В этом
случае обеспечивается максимальная помехоустойчивость связи
и при когерентном приеме сигналов. На практике удается удовлет
ворить условие ( 1.43) лишь приближенно, что, однако, мало влияет
на помехоустойчивость.
Для 1многоча,стотных си·стем с простыми сигналами удовлетво
рить условие ( 1.43) возможно лишь при дискретных значениях -т:
Лf11,: = k,
k=1,2,3...
( 1.44)
При использовании некоторых классов слqжных сигналов усло
вие (1.43) можно обеспечить одновременно с выполнением усло
вия (1:33).
Из систем связи с активной паузой большой практический ин
терес (для каналов с достаточно медленно меняющимися пара-
*) В гл. 2 будет показано , что это справедливо не только для систем с
<IКТИВНОЙ паузой,
**) Будем в этом случае говорить о пол н ом разделении лучей .
16
метрами) представляет бинарная система с противоположными
сигналами:
(1.45)
Последняя является оптимальной системой в локально-идеальном
канале при флуктуационной помехе типа белого шума 1[43].
В обсуждаемой системе, как правило, используют простые сиг
налы (например, обычная бинарная ФМ *)). Однако за послед
ние годы привлекают внимание и «широкополосные» системы с
противопоJiожными сигналами 1[122] .
Для рассматриваемого типа сигналов, очевидно,
л
л
Лii(-r:) = -Лii(-r:);
j=/==i=l,2
""-- н, следовательно, выполнения условий
~ - ной и взаимокорреляционной функций
«узости» автокорреляцион
совпадают.
J°· § 1.2 . РАДИОКАНАЛ
~
.~
Под радиоканалом в дальнейшем будем понима ть физическую
среду· между пунктами передачи и приема. Наблюдения показы
вают [19, 55, 93], что большинство каналов можно считать линей
ными, что и будем предполагать. Канал радиосвязи с одним вхо
дом, куда поступает гармонический сигнал передатчика
s(t) =S0ехр(iсоt)= S0ехр(iср0+iсоt),
(1.47)
и одним выходом, откуда сигнал s' (t)
емника, паказа,н в виде четырех,по
люонш<а ,на p :i1c. 1.1. На1правленные
свойства передающей ;и ,пр~иемной
антенн 1включают1ся при а ,нализе в
свойства ,ка,нала, ко11орый характе
направляется ко входу пpи-
~s(t~j н(йJtJ I sr~-н(i,Jt).s(tJ
Рис. 1.1
ри~зуется комплеконой 1передаточнойфункцией {19, 55, 9,3, 103, 162]:
if(со,t) ='У(t, со)ехр[iер(t, со)],
(1.48)
так что при передаче сигнала ( 1.47) принимаемый сигнал
s' (t) =н(со,t)s(t).
(1 .49)
Комплексная функция (1.48) характеризует канал и в случае пе
редачи достаточно «узкополосной» модул1иро1ванной несущей при
одинаковых условиях прохождения отдельных с пектральны х ком
понент.
В практике могут встречаться радиоканалы с одним входом
и множеством ,выходов (например, множество разнесенных в про -
*) В дальнейшем под бинарной ФМ понимается
фазы на ±:n:.
система с манипуляцией
1 - --··--
'!! е:1.1тчес 1н1.1; 6 11(1n !!()'Тi::Шi,
:<;:1сI\<..к::й
:1
ilиl,iiC:..!C.,\',sblY. 3,IЫ(Щ u
\~
.
l
ч___~~
.....,~~ ~::х,~
17
странстве антенн на приемной стороне), реже- радиоканалы бо
лее чем с одним входом (например, несколько передающих антенн.
работающих на один канал). Чтобы выяснить основные особенно
сти
радиоканала,
достаточно
ограничиться
рассмотрением
рис. 1.1 .
При передаче по радиоканалу
Рис. 1.2
18
ограниченных во времени сиг
налов длительностью Т прихо
дится (из-за многопутево,го
ра,сшространения радиоволн)
учитывать i\lDНоголучевой харак
тер
прин,имаемого
сигнала
[1, 2, 30, 31, 93]. Понятие «мно
голучевость канала» тесно свя
зано с •величиной полосы ча
стот сигнала Лfс, О1Пределяю
щей разрешающую С'Пособность
во времени IП'ринимаемого сиг
нала. Если взаимные запазды
вания :п~учей в месте при_ема
1
л.«-
'
Л/с
(1.50)
канал считают однолуч1=вым -
в 1пр,от,ив,ном случае его 1счита
ют многолучевым 1[74].
Известно, что даже в усло
виях однолу.чевого приема (что
часто обеопечивае'Гся, напри
мер, в ,коротковолновой связи
при определенном выборе ра
бочих ча~стот 1[1, 41, 91, 106])
происходит
интерференция
многих ком~понент (1подлучей),
обусловленных, главным обра
зом, диффузным характером
отражения (рассеяния) радио
волн ,в ноносферt\ тропосфере,
от поверхности Луны и т. д.
[1, 2, 30, 122].
Формирование принимаемо
го сигнала в отражающем (рас
сеивающем) объеме простран
ства - весьма сложный 'Про
цесс. · Однако установлено, что
основное влияние на сигнал
обусловлено крупномасштаб
НЬЕ\Ш и мелкомасштабными об-
разованиями, подверженны м и
быстрым изменениям во време-
ни о, 2].
Схема образования о днолучевого сигнала в месте приема, фор
миру е мого э ле м ентарными и з лучателями внутри некоторого огра
ниченного объ е ма рассеяния {1] , показана на рис . 1 . 2а. Будем счи
тать , что средние частоты сигнало,в при передаче и приеме одина
к овы и известны . Такое предпсложение учитывает уровень совре
менной техники стабилизации частоты, а также то, что возмож
ное допплеров с 1юе см е щение частоты для обыч,ных систем радио
связ и нез·начи тельrно .
Если передан узкополосный сигнал
si(t) = s i(t)ехр(iWot)h(t)'
то принимаемый сигнал
L
s:(t) = ~у1S1(t- t1)ехр[iw0(t- t1)]h(t- ti),
.....
1=1
(1.51)
(1.52)
где L - числ о подлучей, попадающих в точку приема (определяет
,ся числом элементарных изл у чателей, формирующих сигнал); у1-
к оэффициент передачи канала по l подлучу, который принят
{ всл едстви е уз·ко1Пол осности ·си1гнала) -одиншковым дл я всех часют
ных компонен т сигнала si ( t); t1- В'ремя ра•апростра,нения l 1пю,'J,
луча, к оторое также принято одинаковым для всех частотных ком
понент si(t) .
Указанны е выше условия, наложенные на у1 и t1, назовем усло
виям•и гла д к·ости замираний по i - й позrи,ции еиг,нала ,и будем ,счи
тать, что в пределах каждого луча они выполняются. Вследствие
сл учайного характера изменения свойств отражающего (рассеи
вающ е го) объе м а ионосферы (тропосферы) величины у1 и t1 сле
дует рассматривать как случайные функции во времени r·1(t) и
t 1(t) . Однако на протяжении длительности одного элемента сигна
ла (даже при и с пользовании посылок длиной порядка 10+20 мсек)
и х можно считать неизменными. Это обстоятельство будем учиты
вать в дальrнейш ем . При написании ф - л ы ( 1.52) мы . пренебрегали
:пер еходны м пр оцеt,сом в канале, обусл овленным его д.иrспер,аио1нны
ми свойствами, ограничиваясь рассмотрением прохождения узко
полосных с игналов, при которых дисперсионную характеристику
с реды можно не принимать во внимание [1, 2].
Примем
1
(1. 53)
где т - ·с ред~нее вре м я распростран ения луча ; Лt1 - отклонение t1
сО Т .среднего з н ачения, и положим, что
1лt1/ «-1
-
= .!_
дf;
Ь;
/Лt1I«т.
( 1.54)
- (1.55)
19
Тогда взаимные фазовые сдвиги частотных компонент комплексноfг
огибающей сигнала близки к нулю. Сигнал не искажается по фор
ме при прохождении через канал, и концентрируется на интерва
ле Т, а ф-лу (1. :52) можно переписать
L
s;(t) = s,(t-т)}: У1ехр(-iер1)', (fi'1= @оЛtl.
l=I
Обозначим комплексный коэффициеl:-lт передачи канала
L
у= уехр(-iер) = "Уу1ехр(-iер1}.
_...,j
l=l
(1.56)-
(1.57}
Рассматривая у как вектор, обозначим его ортогональные ком
поненты через х, у:
L
L
)
x=ycosep = !х1: = .}:y1 cosep 1 1
l:t
l:l
~"
у='=.уsinер = - ~ у1= .}:у1sinср11
(1 .58)
l=I
l=l
}
где
У=Vх2+у2; ер= arctg_jf__ ,.
х
V
-
2.2
У1= Х1+Yt;
tYl
ер1= arcg- ..
Х[
Выражение (1.56) примет вид
S~(f)=S,(f- Т))'= S1(t)Jf(t, Wo);
if(t, W0) = у ехр[-i(cp +W0-t)];
si(t), = s(t- т)ехр(iw0t)h(t- т).
(1. 59)
При анализе канала в течение длительного времени f-i (t, w0)
следует считать комплексным нестационарным случайным процес
сом. Однако ,в течение небольших временньrх интервалов Т ст по
рядка нескольких минут (интервал интерференционных замира
ний) радиоканал, а следовательно, и случайный процесс Н (t, ш 0)
можно считать локально-стацио.нарными, т. е. на эт,ом интерва.;rе
статистические характеристики случайных параметров, у, ер, т
можно считать неизменными [1, 10, 12 , 55, 93, 95, 103, 106, 119 ,
143].
Таким образом, интервалы длительностью Т с т трактуют как от
дельные состояния локально-стационарного канала [1 •2, 103]. Про
цесс if(t, wo, у, ер, т) при этом предполагается также эргодическим
r91, 103 , 113, 137J.
Канал считается локально - стационарным {1103] на интервалах
времени Т rт и частоты F ст, на которых функцию корреляции по
20
времени и частоте R (,) 0 , i(-i:, Q) ко·мплексного случа.йного процесса,
J-i (ша, t) мож,но ,считать незани1с1и,мой от t и ш0, т. е. ·от пол~ожения
внутри интервала Тст, F ст• Таким образом, для ло1<:альной стацио
нарности (квазистационар ности) необходимо, чтобы
R 1 (-т:,Q)=R(т,Q)'.
(1.60\
Wo,
/'
Когда речь идет о передаче почти гармонического сигнала, эта
функция корреляции зависит лишь от времени и тогда
R(Q,t) = R(т).
(1.61):
Если параметры распределения слу11айных величин, у, ер, т
(х, у, т) одинаi<овы для всех позиций переда;ваемых сигналов, т. е.
,не зав1и.сят от i, канR.11 назовем симметричным iГЮ 1в,сем позициям.
Это условие будем учит ывать в дальнейшем.
Интервал локальной стациона рности Т ст, в котором выполняет
ся условие ( 1.61), существенно меньше Тм - периода (обратной
величины шири ны спектра) медленных мультипликативных (ча
совых, суточных, годовых) флу](Туаций ;в радиоканале {,1, 12, 29,
55]. Таким образом, Т с т« Тм- Следует заметить, что
· существует
расхождение в оценке численных значений интервала локальной
стационарности Т ст- Однако важно то, что интервал локальной ста
ционарности Т ст существенно превышает длительность рабочих по
сылок ~ и в большинстве случаев время корреляции параметров.
канала тн (величина, обратная ширине спектра интерференцион
ных замираний), т. е.
Т«Тет«Тм; 't'к«Тат«Тм·
Если
( 1.62)
т. е. на протяжении многих элементарных посылок пар: аметры ка
нала (у, ер, т) меняются очень незначительно, будем говорить о•
медленных (гладких во времени) интерференционных замираниях
на интервале Т ст - Если условие ( 1.62) не выполняется, замирания
будем называть быстрыми (селективными: во времена) *). И тот,
и другой случаи представляют практический интерес, поскольку
диапазон обычно применяемых длительностей посылок весьма ши
рок - от долей и единиц миллисекунд до десятков миллисекунд.
Как показывают экспериментальные данные, времк корреляции
амплитуд сигнала у, фаз сигнала ер, задержек сигнала т различ-
*) В некоторых системах ра ди освязи, · исполь зу ющих посылки пор~дка
многих деся тков, сотен и более миллисекун д, могут ощущаться случаииые
пзмен ен ня параметров канала и в пределах элементарной посылки. Такие за ·
мирания лучше называть сверхбыстрыми, хотя некоторые авторы именно для
таких замираний предпочитают термин «быстрые». Свер х быстрые замирания
в книге не анализируются.
Довольно по,1робное исслед ование помехо у ст Qйчив.ост.и дн .скр.етных систем·
при таких замиран ия х выполнено в ра .боте.. 1[77] ,.
21
/--
-
-7
ны. В диапазоне кв и укв время корреляции у и время корреляции
{J; примерно равны и соста ;вляют величину порядка 0,1--; --2 сек, [1,
Ю, 29, 55, 91, 93, 106, 113, Ы8, 143]; время же автокорреляции т для
многих каналов значительно больше. Часто величины т можно счи
тать почти неизменными во время сеанса связи ,[5-2, 95, 156]. Отме
ченное обстоятельство позволяет реализовать синхронные системы
передачи цифровой информации . В данном анализе будем пола
гать величины задержек лучей т неизменными на интервале ана
лиза и точно известными при приеме. Прием дискр'етной информа
,ци1и в радиосвЯ'зи при неопределе:н~но· м .мю,ме~нте при х ода с игна
.лов а,нализировал-ся в ра•ботах (87, 88, 126-129, 155].
При изучении статистики интерференционных замираний мож
но обоснованно пользоваться ЦР.1-пральной предельной теоремой
теории вероятности и принять для одномерных плотностей вероят-
1-юсти ортогоналыных компонент х, у вектора 'У но-рмаль·ный за
кон.
Как видно из ф -лы (1:58)., х, у определяются суммированием
большого числа слагаемых х1(У1) (число подлучей .L в каждом лу
че из - за диффузного характера образования сигнала довольно ве
лико), которые следует считать случайными величинами с ограни
ченными дисперсиями cr7.x( cr;,y), причем
( 1.63)
где cry, cr~
-
дисперсии суммарных ортогональных компонент.
В указанных условиях центральная предельная теорема и тен
денция к нормаJГизации ·сохраняют силу '[47, Бl] даже в предполо
жении наличия корреляции между слагаемыми х1(У1) с различны
ми индексами. Нормальные вел~1чины х, у, вообще говоря, ,взаим
но коррелированы с 1юэффициентом кюрреляции г=f=О. Однако
можно поворотом системы ,координат на угол
1
~2
-2
VI "2
ср0= -
arc tg 2r ---
2
02_ а2
1
2
(1. 64)
перейти к совместной плотности двух неко р релированных (здесь
также независимых) нормальных величин r22]
(1.65)
где тх, ту - математические ,ожи да,ния ортогональных ·компо·нен-:
у в новой системе координат, которую для опр еделенности будем
называть системой ХУ; cr~ , cr; - дис п ерсии ортогональных КОl\ШО -
.22
нент 'У в системе координат ХУ, которые можно определить так ~
2
2aiа~(l- r2)
Ох, у = --- ------_ -_- _-_ -_-_ -
_
-_
-_-_-_-_-_-....,---....,--=-------
[✓
4ai cr~
]
(.cr2
1+cr~) 1±
1- (1- г)2----
("Т + "~)2
Следует подчеркнуть, что а; = а 2, если только
of=о~иr=О.
(1.66),
(1.67)•
Ортогональный поворот (1.64) не меняет распределение v= lvl-
Поправку же к распределению фазы, отсчитываемой в двух систе
мах координат, при необходимости rвсегда можно учесть.
Заметим, что отделыные ,сла.гае1мые Xz, Yz оуммы ,(11.60), ~юто,рые
в исходной системе координат могли быть не коррелированы меж
ду ,собой, 'В новой систе1ме ХУ могут оказатыся взаимно коррелиро-
ва,ны . Однако этю не и,сключает то·го, что су,ммарные 01ртогональньiе
компоненты х, у в этой системе координат вз:з.имно не коррели
рованы .
Из ф -лы ( 1.65) получаем дифференциальн~е распределение для
амплитуд 'У= 1·v 1, которое назовем ~четыр~х:nараметрическим (по
скольку оно зависит от четырех параметров а; , иt . , тх, ту) и
обозначим
1
21'
W4'У=.-
-
1ехр -
.
().уJ1
[ (ycos<p - mx) 2 _ (ysin<p-m _y)2 ] · (l.68)
"х"у 21t i
2а;
2"2
rv ту sin (jJ
После элементарных преобразований, разложения ех·р l а~ -
у2(1
1)J
-
22-2
в ряд, использования формулы бинома Ньютона
ау
ах
и почленного интегрирования получаем
(
0
т202,т202)
W4(v) =
_1_ехр
_
__r__
-
хУ,УхХ
cr,.ау
\
2а2
2cr2 а2
•
~
х
ху
оо 00
(
2
2)k 2s 2s
~~ (2k+2s - l)!. ау-ах ту ох k+sfk s ('mx 'У)· (1.69)
Х ~~ k!(2s)!2k
o2k-t4s mk+s
'У+а2
k=Os=O
У
х
х
Заметим, что почленное интегрирование во .всех случаях, когда .
оно используется в книге, допустимо или из-за абсолю тной сходи
мости подынтегрального выргжения или же - если это условие не
соблюдено - из - за того, что .п одынтегралЬ'ные выраже11ия •всех час:r
ных интегралов - существенно п оложительные и непрерьшные
функции при непрерывной сумме [78].
23..
Из структуры ф - лы (1.68) очевидно_, что w4 (y) не измен:иl'ся,если
!В ф-ле ( 1.69) одн'Оlвременно ,переставить места,ми а; и at , тх и ту .
Иногда вместо тх, ту, а;, а~ можно ввести иные ' Четыре пара
метра, имеющие более наглядный физический смысл. Например,
лараметры
т2+т2
у2
q2=
ху-
р
(1 .70)
cr2 + cr2
cr2 + cr2
х
у
х
у
отношение средних мощностей регулярной и флуктуирующей
частей сигнала. Регулярная часть сигнала связывается с наличием
ненулевых значений математических ожиданий тх, ту (ур>О) . Па
раметр q2 может меняться в пределах от нуля (канал без регуляр
ной части) до оо , (канал без флуктуаций амплитуд) . В реальных
каналах радиосвязи q?- редко превышает 50 [1, 2];
G2
~2=
__::_
( 1.71)
02
у
отношение дисперсий ортогональных компон е нт х и у . Б удем
говорить, что 132 характеризует степень асимметрии кана л а по ор
тогональным компонентам. Можно считать, что O~ii3 2 ~ !1, так как
наименование ортогональных компонент всегда можно выбрать
так, чтобы это условие соблюдалось. Заметим, что если регуляр
ная часть сигнала не равна нулю (ур>О), то перестановка в фор
~муш1х а; и а~ (для обеспечения условия 132 ~
, 1). требует также
, одновременной перестановки тх и ту;
t т,,
<рр= arc g-
mx
(1.72)
-
фазовый угол вектора 'Ур (регулярной части с игнала) в си
·стеме координат ХУ,
тх = 'Ур cos (f>p,
ту= 'УР sin Cf>p ·
( 1.73)
Будем считать, ч:гоО<срр< ~ (m x?0, my?0), так как соот
вет,ствующим поворотом .::,и,стемы 1ко,ординат это можно обе опечить,
сохраняя при этом некоррелированностъ ортогональных компо-
.нент;
-2
2
2
2
2
(174)
У=Ох+Оу+mx+mlJ
•
средний коэффициент передачи канала по мощности (~ред-
1ний квад1рат модуля коэффипиента передачи ка ·нала). Через у2 , q2,
-~
2 , срр па •раметры ,т;, т;, а;, at выражают,ся ,следующим 0-бразт,1:
2
q2у2cos2<рр.
2 q2у2sin"<рр
тх=
~~---'-'-
mu=
~~--' -'-
1+q2
1+q2
2
132у2
2
у2
Ох= --~---
OIJ =
----
-
-
(! +р2)(1+q2)'
(1+р2)(1+q?)
(1.75)
Выражение ( 1.69) не единственная формула для четырех п арамет
рического р аспределения _амплитуд . Из ф - лы ( 1.68) нетр удно по-
24
лучить и другое, часто используемое в литературе (например, в
работах [47, 98, •137]) представление распределения амплитуд, наз
ванное четырехпараметрическим
у[у2(1,1) 1(т;mi)]
w4 (y)= -ехр --
-
1---
-+- Х
а ,·ау
4
с;2
G2
2G2
G2
.,
х
у
х
!)
{[1у2(1 1)] [\/т; mf]
х[о4-2
-
3
[о'у~/
-
4+-4 +
Gx
,,;!J
с;х
ау
+2~[k[:
2
с~- "!2)]f2k['Yil:: + ':i]x
k=1
х
у
х
у
Х cos [ 2k arc tg (;;::.• :j)]} .
(1.76}'
Формула ( 1.69) более удобна при исследовании помехоустойчи
вости в четырехпараметрическом канале. Из выражения (1.69) не
тр уд но получить характерные частны е результаты. При my=cpp=
=O(mx=yp) из эгогu выражения следует трехпараметрическое рас
пределение амплитуд
()- 'У
( у2+у~)~"" (2k- l)!J( c;f-a;)k k[ ('У'Ур)
w3у - --ехр
-
--
-
уk-
•
а,.ау
2-2
kr21ir.2kyk
с;2
,
'х
k=O
•
Jу
р
х
(1.77),
В другой записи, следующей из ф-лы (1.76), трехпараметриче
ское распределение амплитуд рассматривалось в работе ,[97].
При симметрии канала по ортогональным компонентам cr; =
= а 2 = cr2, из ф-лы ( 1.77) следует двухпараметрическое обобщен
У
но-рэлеевское распределение [6, 47, 64, 72, 137, 138]
w(y) = ....Y _exp(-- .Y:.. - q2 )10 (-V2q-1 ...) .
(1.78}
v2
2v2
cr
Если тх = ту= ур = О, то, учитывая
lim_!!JiL = -
1-,
х"
2kk!
k-+0
(1.79)
из выражения ( 1.69) следует двух-пара метричес кое ,распределение
[47, 52, 117, 137, 138] :
w(y)= --ехр1 - -
1F1 -
,
1,-
---
=
у(у2)[!
у2(1 1)]
G_ .r"y
\
2с;;
2
2а;
0~
= ~ ехр [-у_ (' .:2._ +-1)]10[yz \1~-~)], (1.80)
u 1.су
4с;2G2
4cr
cr
•
х
у
х
у
которое в дальнейшеi\'1 именуется подрэлеевским.
25
Радиоканалы с подрэлеевскими за м ирания м и (бо л ее глубокие ,
чем рэлее в ские интерференционные замирания амп л итуд) неодно
к ратно обнар ужены экспери м ентально l[!l, 137 , ,138]. При о; =
= ai =а2 из ф-лы (1 .80) [как и из выражения (1.24 ) при q2 =0] еле
. дуе т однопарамет ричес к ое распределение Рэл е я
w(y) = lexp (.f._).
а2
2а2
(1.81 )
При а; = 1~ 2 =0 непоср едств енно из выражения (1.68) нетруд
ili О п ол учить формулу дл я распределения амплитуд (трехпарамет
_р и ческое)
(1.82)
Особенность распределен ия ( 1. ,82) состоит в то м , что оно н е
- существу ет на интерва ле '[О, тх] и обращается в бес конечность при
'У = тх , Это объясняется спецификой векторного сложения ортого
нальных компонент, из которых одна (в данном случае по оси х)
~неизменна и ·равн,а тх,
При m x =my = yp=0 из распределения ( 1.82) следует однопа
_р ам етриче с кое у сеченно - норма л ьное распределение амплитуд {е го
_мож но также получить из ф-лы (1 .80) при ~2--+-О]:
у >О-
(1. 83)
Это распределение отличается от всех рассмотренных случаев
-че тырехпараметрического распределения наибольшей плотностью
,амп л итуд в области н уля, обусловливая при заданной средней
мощности сигнала на приеме предельно низкую помехоустойчи
.вость.
Интересной особенностью общего четырехпараметрического слу
·чая распределения амплитуд w4 (y) является возможность бимо
да л ьности (двугорбости) этой функции при некоторых соотноше
· ниях параметров. Такая функция приведена в работе [1] , где так
.же обсуждаются и физические · условия, _приводящие к возникно
,вению бимодальных распределений. При этом бимодальность свя
.зывается с д1опплеровоким -смещени ем частоты ,в ·спе-ктре отделъ
; ных лучей при многолучевом распространении радиоволн . Заме
тим, что бимодаль н ость распределения амп л и туд можно объяснить .
без ,пред,положе,ния о до,пплеровокам эффекте, к_ак 1и ,соб>ственню мно·
голучевости в распространении радиоволн. Для этого достаточно
предположить, что сигнал имеет четырехпараметрическое распр;
деление амплитуд с неравными нулю параме-~:рами m;, ту ,
а2 а2.
х'у
Точные соотношения
между параметрами, при
у
которых четы,ре:,спарамет
рическое распр едел ение
w4(v) бимо,[Lально , уста
новить ,сложно, так как
анатпическое
выраже
ние ( 1.69), равно, wак и
другие виды з аписи этой
фун к ции, нельзя доступ
но непосредственно ис
с лед овать на экrетремум
нахож дением нулей его
производных.
Однако можно -срав
нительно легко показать
[39] необходимые у,словия
бимодальн0tсти (в полне
выполнимые на ·реальной
11111
I111
линии)
О ""'--+---+----+-~-+-+++--,1---н+--+----+'..,.__
х
0<cr~<M2;0 < cr;,,<m2;
m2 >0, (1.84)
где введены следующие
обозначения :
М2= max [т~, т2];
2
•
[2
m=Ш!Пmx,
а;, - диrсrпер,оия ком
поненты, квадрат мате
матичею каго
ожидания
Р,.с . 1.3
котор ·ОЙ ра,вен М 2 ; а;п - !ЩИIОпер:С!ия К'О:МIПО'НВНIТЫ,
тематического ожидания которой равен .т,2.
кшадра:т ма-
Дадим элементарное геометрическое объяснение бимодально
стй. Рассмотрим , семейст,во кривых равной плотности совместного
распределения компонент х, у. В предположении нормального рас
пределения и независимости случайных величин х, у это семейство,
показанное на рис. 1.3, представляет собой концентрические эллип
сы с осями, пара ллельными осям коо рдинат. Общий центр эллип-
27
-сов расположен в точке тх, ту, а эксцентриситет у всех одинако
вый и определяется соотношением
yl:2 _ cr2
6=----
·
~
'
"'2
[2 ·21
"-' =.ШаХGx,Gy;
u2 = ШiП [а; crz]· (1.85)
На рис. 1.3 предс-гавлен случай, когда 0<~ 2 =cr 2 <m 2 и
у
у
O<cr2 = cr; <m;, пр.ичем па_раметр cr 2 достаточно мал, так что экс-
центриоитет ,семеikтва эллиi-юоrв ·ра1В'ной плотности, дюстаточн•о бли
зок к единице. Плотность четырехпараметрического распределения
в окрестности точки у на этом рисунке выражается весом неодно
родного кольца, заключенного между окружностями радиуса у и
у+ dy. Неравномерная плотность такого кольца опредеJ1яется дву
мерной плотностью совместного распределения компонент х и у
в каждой точке она пропорциональна уровню равной плотности,
представленному проходящим через эту точку эллипсом. На ри
сунке показаны части трех таких колец (весом части каждого коль
ца, плотность которой ничтожно мала, пренебрегается), соответст
вующих трем значения у, а именно
\mxl+E;i_ = У1<У2<Уз=i/ т;+mZ - е:2,
( 1.86)
где 81>0, 82>0 - некоторые небольшие величины.
Если P,i - вес .кольца с внутренним радиусом 'Yi(i= 1, 2, 3),
то бимодальности соответствует такое соотношение между пара
метрами, при котором Р,., >Р,, <Р,,, так как w4 (0) =0 и
lim W4(y) =0. Этот случай .и представлен на рис. 1.3, где показа-
,-,.оо
но, что хотя ,в существенной юю ,весу ча1сти колыца 1с радиу,со:м у2
и есть участки с большей плотностью, чем в соответствующей ча
сти кольца с радиусом у1, последнее оказывается в целом тяже~
лее за счет значительно большей протяженности авоей существен-
1:~ой части. Более тяжелым, чем второе, а, возможно и первое,
оказывается кольцо с радиусом уз за счет самой максимальной
плотности своей, хотя и небольшой существенной части.
Приведенная геометрическая интерпретация позволяет, не пре
тендуя на строгость, сделать некоторые выводы о характере со
отношений между лараметрам.и, _способствующих бимодальности.
Так, при достаточно большом эксцентриситете эллипсов равной
плотности этому способствует условие "'2:, 2 <т 2. Так же непосред
ственно из рассмотрения иллюстраций, подобных рис. 1.3, сле
дует, что при m?=O (этому в числе других частных случаев соот
ветсnвует рэлеевское или более общее подрэлеевское распределе
ние), а также пр.и a2 =L;2 (обобщенно-рэлеевское распределение)
бимодальности не будет. В первом случае центр эллипсов равной
плотности расположен на одной из о.сей координат, а во втором -
кривые равной плотности представляют собой семейство концен
трических ,окружностей. И в первом, и во втором случаях последо
вательное увеличен.ие радиуса у .от _ нуля до бесконечности приво-
28
дит снач.ал.а к монотонному увеличению ,веса соответствующего
~ольца от нуля до некоторого максимального значения, а затем
к монотонно:\<rу убыванию от этого значения до нуля. Распреде
ление w (у) в этих случаях унимодалы-rо.
Распределения нормированной амплитуды p= y/Vv2 при раз
личных параметрах q2,
~
2, (j)p, следующие из общей ф - лы (1 .69),
_даны на рис. 1.4 .
'!J.I , (JJ)
о
f/5
-
-
l/tJm6/ptJXПfl,/7fl,MtJmp11,
ЧtJCl(0tJ JJ{tCЛ/JIJOIJЛtJH!J,8
-- -m
-
paCЛ/J808ЛIJH!J,tJ
1, ()
Рис. 1.4
1,.r
/?
Во многих работах [18, 34, 46, 72, 137, 138] распределение ам
плитуд сигнала на интервале локальной стационарности при ин
терференЦ:ион1ных замираниях описывае'ГСЯ двухшара,ме'Грическим
так называемым т - распределением {137] :
wm, (у)=
_
,
ехр - -:::-У ,
2т'т' y2m'- l
(т'2)
Г (т') у2т
\
у2
1
m'> -
2'
( 1.87)
где т' - -па раме-гр, выражающий отноше.ние к,вадрата ,средней
мощности принимаемого сигнала к дисперсии его мгновенной мощ
ности
:у22
m'= ---
(y2 - y2)2
(1.88)
Таким образом, параметр т' удобен для о ценки глубины замира
ний сигнала [ 1, 73, 137].
29
Распределение ( 1.87), выведенное теоретически как аппрокси
мация ист.инного, при самой широкой постановке задачи о распре
делении неотрицательной функции от многих случайных аргумен
тов экспери м ентально подтверждено 1[40, 137, 138]. Это можно объ
яснить тем , что распределение ( 1.87) удовлетворительно ,аппрок
симирует четырехпараметрическое распределение амплитуд ( 1.69),
которое, в отличие от т'-распределения, следует из простой фи
зической модели канала в определенной области изменения пара-
22
метров п~х, ту, (Jx' ау
.
Исходя из определения ( 1.88), нетрудно определить т' для ка
нала с четырехпараметрическим распределением амплитуд:
m'=
2[~4+cr4+2~2т2+2cr2т2]
0х
у
"хх
уу
( 1.89)
После этого можно сравнить четырехпараметрическое и т-рас
пределение, фиксируя в обоих случаях у2 . Это и сделано на рис. 1.4,
где пунктир·ными линиями дана зависимость w (р = ~ ) для т-
.
-Vv2
распределения ( 1.87), причем величины т' определялись по . ф - ле
(1 ..89).
При трехпараметрическом распределении (my=cpp = 0, mx = vp)
ф-ла (1.89) дает
(1.90)
При обобщенно - рэлеевском канале ( ~2 = 1)
4
т'-1..L,_q
__
(1 91)
-
1 1+ 2q2.
•
При подрэлеевском канале (mx=<my=q 2 =0) из ф - лы (1.90)
следует, что
'
(1 + ~2)2
т=
---
.
2(1+~4)
(1. 92)
Из ф - лы (1 .89) видно, что различнь~'е сочетания параметров
а~. а~, тх, ту, которые приводят к различной помехоустойчивости,
могут дать одну и ту же величину т'. Лишь при трех значениях
параметра т' соотношение (1.87) тождественно четырехпарамет
рическому распределению w 4 (v), а именно:
1
при т'= -
-
усеченно - нормальное распределение;
·2
при т' = 1 - рэлеевское распределение;
при т'->-= - канал .без за,м1ира1ний а,мплитуд.
Степень расхождения распределений ( 1.87) и ( 1.69) в осталь
ных точках видно из рис. 1.4 . Из рисунка можно сделать вывод,
30
что совпадение кривых лучшее в области больших значений ам
плитуд сигнала. Кроме того, оно ухудшается при неравных дис
персиях ортогональных компонент. Следует подчеркнуть, что двух
параметрическое т-распределение принципиально не может вос
произвести всю тонкую структуру четырехпараметрического рас
пределения амплитуд, в частности, оно не отражает бимодальность.
Сравним, например, на рис. 1.4 бимодальную четырехпараметри
ческую кривую при q2 = 5,2, ~2 = 0,002, срр= 1,37108 и соответствую
щую ей при том же у2 одномодальную кривую т-распределения
при m 1=1,75 согласно определению (1.89) .
Подчеркнем, что выражение (1.87) по сравнению с формулой
для четырехпараметрического распределения амплитуд отличает
ся большей простотой и, следовательно, удобнее для проведения
расчетов. Вот почему и в дальнейшем будем пользоваться этим ра
с пред елением, например, для оценки пропускной способности кана
лов со случайно меняющимися параметрами. Однако из получен
ных результатов при изменении т 1 от 1⁄2 до оо можно судить лиш1-,
о тенденциях в четырех пара метрическом канале при изменении его
пара,метров ОТ q2 = ,B2 =0 (1усе'Чен:но-,нор,маЛЬНЫЙ канал) ДО q2-oo
(канал без замираний амплитуд) без выяснения более тонких осо
бенностей последнего.
Заметим, что потенциальная помехоустойчивость двухпозици
онной ЧМ при т-распределении впервые определена в работе {18],
а при многопозиционном кодировании в работе {34].
Четырехпараметрическое распределение не обязательно связы
вать с характеристикой канала со случайно меняющимися пара
метрами. В более общем случае w4(R) можно рассматривать как
распределение радиуса-вектора
(1.93)
с независимыми нормально распределенными ортогональными
компонентами Е1 и Ez, имеющими математические ожидания т1, ·
2
2
тп и дисперсии а1, а".
Интегральную функцию четырехпараметрического распределе
ния длины радиуса-вектора R1 запишем в виде
R,
Гz
2А
\
V o1 +onj'
1+в2
P(R < R0) = W4(R)dR =
,
W4(x)dx = -- Х
.
2
4Вл
о
о
А r211:
S , [ 1(V1+в2
m1\2
Хх\\ехр--
--хcosер--1-
,
2
2
а1)
о
о
31
где
С уг::+=вz sin D
в
mll
v--
-
= С 1+В2cosD.
аII
Область изменения параметров функции F(A, В, С, D) опреде·
лим (подобно области изменения параметров В, q2, срр) следующим
образом:
А>,О;
С~О;
(1.95)
Таблицы четырехпараметрической функции F(A, В, С, D ), со
считанные по ф-ле ( 1.94) на ЭЦВ .М ·при разлиLDНЫХ з:наче,н.иях
параметров А, В, С, D, даны в приложении 6.
При B=l (crн=cr 1 =cr) из ф-лы ( 1.94) следует ,интегральная
функция обобще-нно-рэлееВ'ского рад'И'у,са-•вектора, табулирова,нная
ранее {6, 130]*):
А
Р(А,1,С)=\хехр----!0х 2Сdx.
('
(
х2+2с2) ( v- )
.}
2
(1.96)
о
Интегральную функцию (1.96) при больщих значениях А и
С [.13, 64] можно удобно аппроксимировать
где
v т2+т2
С=
I
Jf '--'-- ·1·
2о2//'
х
Ф(х)= /2л:Jехр(-
~ ) dt- фун,кция К рампа.
о
(1.97)
Можно показать справедливость аналогичной аппроксимации и
для более общей четырехпараметрической функции F(A, В, С, D),
если только
(1 .98)
*) В этих таблицах параметр V=C У2.
32
;
С учетом изложенного таблицы функции Р(А, В, С, D) . (прило
жение 6) ограничены изменением параметра С2 до величины, р_ав"
ной пяти.
При В = О с _ учетом ('1.78) интегральная функция F(A, О, С, D)
выражает•ся через фу~нкш:ии Кра1мпа
1 { [ ,--,-,--А2-
]
F(A, О, С, D)=2 Ф у2 -C2cos2D-f-CsinD +
+Ф[f ~
2
-C2 cos 2 D - CsinD]}• A>CV2cosD. (1.99)
При А~С V2cosD интегральная функция F(A, о, с, D) = ,0.
Займемся теперь распределением фаз сигнала, которое соответ
ствует четырехпараметрическому распределению амплитуд ( 1.68)
или ( 1.6'9). В системе координат ХУ дифференциальное распреде-
ление для ср = arc tg .JL, как это следует из ( 1.68), дается форму-
х
.
лой
1
тх
ту
v2 'cos2 <р
sin2 <р
(2
2)""
w4 (cp) = -ехр ---- Jyexp[--(- +- )+
2:rccrxcry
2cr2
2ra2
2
с;2
cr2
х
уо
х
у
'\'
2
1
2
'\'
•+ (cos<р0тх I sin<р0ту)]d .
ах
с;У
После интегрирования получаем
(1.100)
где
2+·
2
k=
cos<pmxcry sш<pmycrx
axcry V cr1 cos2 <р + a;sin2 <р
Анализ ( 1.100) показывает, что распределение w4 (ер) несим
метрично на интервале l[- n, +п] и имеет не более шести экстре
мальных значений в точках
rn1 = 0,·
rn
-
+__::_.
'1'
' 1'2,3-- 2 •
т
ср5= arc tg__у_ ;
тх
т
ср6= arctg-1.. -
1t (при (J)p > О).
тх
(1.101)
При cpp = mv = O распределение фазы (трехпараметрическое)
симметрично относительно оси ординат и имеет не более четырех
2-6
33
экстремальных значений ,в точках <р1-ср4. При этом расположение
точек максимума и минимума зависит от соотношений дисперсий
о2иcr2.
х
у
При cr; = crf = 1cr 2, что соответсгвует обобщеян,о-рэлеевскому ,ра
спределению амплитуд, распределение фазы на интервале .[-л,
+л] имеет максимум <p1=arctgcpp и минимум 1cp2 =argtgcpp-л: (при
<рр>О). Если из1полызонать ,ось ,ср-срр, кривая при этом оим,метри<1-
1На (47].
Зависимость дифференциального четырехпараметрического рас
ы,r1;
1
3,8
2,'1
jЗ4JOl/iijiS, IJ,,p, ": .. 1 ,liS
-
-
2,0
---
.________
1,С
1,2
tJ,8
JJ=!; i/2-s
\-1, _ =tu/=t
~\
J- \\ ,,.
tJ,' I
_j __
27Т ~
А~
---~ '-....
D
Jl
7,
JТ
у
~
JN{t;rz!.j_
-- '-
--
/i=(f316';ri,
г-------
'/
-
~
I j3={jS;1/=t
r----- _
jl=I; qt=5 '
v
1~
\
\У_,,,,
//3·/ , 'i/~~
~
-
~
37!
т
71
Рис. 1.5
~"'"
k\__JJ •1 of/ 2
"\\
i-;:;:--
../
/
SJТ
т
'
37Т
2
7.JТ
т
----
lJТ
пределения фазы при некоторых значениях параметров (32, q2, срр
дана на рис. 1.5. При построении принято
v2= т;+т;+о;+а;=1.
Подчеркнем , что в предположЕшии нормал~:шо110 распределения
ортогональных компонент у распределения амплитуд W4(-y) и фаз
w4 (cp) взаимно связаны . При использовании ~т-распределений ам
плитуд ( 1.87) вопрос о выборе распределения фаз остается от
крытым. В большинстве исследований при этом предполагают, что
фаза ,ер независима от v и распределена равномерно в интер:вале
(-л:, +л:]:
w(cp) =-
1-,
срЕ[-т:, +т:J, w(v, cp)=wm,(v)w(cp)_ .
(1.102)
2л
В этом случае совместная плотность ортогональных компонент
wm,(V= Jfxs +yz)
w(x, у)= ---
~
1----
2rc rх2+y'i.
34
Интегрируя по х(у) в бесконечных пределах ,[25], получаем дщr
безусловной плотности любой из ортогональных компонент
w(z) =
(·m'
1)
---
m'z
,
т' 2 4 ехр(----) z111-1 ,s
.
2у2
W
(m'z2)
(~
-..!...)
m- 0,5,( m-0,5 у2 '
-Vnг(т')у2 2 4
2
112
(1 .104)
где W л , μ (х) - функция Уиттекера .
1
Отсюда видно, что, за исключением случая, когда m = 1 ·[ рэлеев-
1
( z2)*)
ский канал, w(z) = -= -- ех р
-=;
и w(x, у) =w(x)w(y)],
-v,i;y2
.
'У
предположение о т - распределении амплитуд и равномерном рас
пределении фаз предполагает отличное от_ нормального распреде-
ление ортогональных компонент вектора v и их взаимную связь .
Следует заметить, что не исключены случаи, когда различные
законы распределения ортогональных компонент приводят к од
ному и тому же закону распределения модуля их векторной сум
мы. Нетру,дно в-идеть, что распределение модуля векторной суммы
R = V (x+vo cos 0) 2 + (Y+vo sin 0) 2 двух независимых ,векторов -
рэлеевского (с независимыми нормально распределенными орто
гональными компонентами х, у, имеющие нулевые математические
ожидания и дисперсии cr2 ) и вектора постоянной амплитуды vo с
любым законом распределения фазы 0-определяется обобщен-
ным распределением Рэлея w (R) = !i ехр (- R
2
+Уа)/0(R'Уо)
cr2
2cr2
cr2
независимо от закона рас111'ределения фазы, хотя су1м.марные орто
гональные компюненты x+vo cos8, y+vo sin0 могут иметь -ра1спреде
ление, ,существе,н,но отлич:ное оrг нор,малыного.
Из сказанного следует, что статистику радиоканала предпочти
тельно накапливать, изучая не отдельно распределения амплитуд
(v = 1у 1) , а О'ртогональных ·ко1м1понент, ~отнесенных (,для у.до6с11ва
сравнения различных каналов между собой по единой методике )
к системе координат ХУ. Ортогональные компоненты принимаемо
го сигнала можно выделить при помощи двух фильтров нижни х
частот на выходе синхронных детекторов с квадратурными опор
ными сигналами на частоте несущей . Блок , измеряющий кавариа
цию ортогональных компонент, может при помощи цепи обратно й
связи таким образом менять фазу местного генератора несущей,
чтобы эта - ковариация была близка к нулю. Это и обеспечит ана
лиз ортогональных компонент в системе координат ХУ.
*) Учтено, что Wl
-
.
4
2*
_1 _ (х) = expr(-+) xl/4.
4
35
Требования синхронизации фазы в таком анализаторе ортого
нальных компонент сигнала (АОКС) практически осуществимы.
Заметим, что таким прибором параметры тх, ту, а;, а~ можно
измерить (с помощью простых блоков вычитания и интегрирова -·
ния) со значительно большей точностью, чем при обработке од
ной лишь амплитуды принимаемого сигнала. Прибор АОКС отно
сительно просто может осуществить проверку нормального рас
пределения ортогональных компонент сигнала. Если будет доказа
на статистическая независимость х(у) при двух положениях си
стемы координат ХУ, что мож1Но обеопечить и:з-менением фа'Зы ме
стного гетеродина на ± л/2, то распределение может быть только
нормальным [22].
Вернемся теперь к анализу сумм ( 1:58), определяющих сум•
марные ортогональные компоненты х, у сигнала при однолучевом
прцеме. Хотя х, у в системе координа:т ХУ могут иметь неравные
дисперсии а; =paf и ненулевые математические ожидания (об
щий четырехпараметрический случай), од,нако. ·можно себе пред
ставить такое распределение элементарных излучателей внутри
некоторого объема рассеяния радиосигнала, при котором будет
происходить выравнивание дисперсии а;, az, т. е. образование
обобщенно - рэлеевского распределения амплитуд.
На рис. 1.26 показано образование однолучевого сигнала при
наличии единичного отражающего слоя. Будем так называть рас
сеивающий объем, пользуясь терминолоr:ией, принятой при ионо
сферном расп·ространен1ии радиюв,ол,н. На рИ1с. 1.26 mоказан случай,
когда протяженность объема рассеяния по одному направлению
значительно больше, чем по другим направлениям. Но тогда болk
шинство элементарных излучателей оказываются слабо коррели
рованными между собой. В этих условиях, поскольку число под
лучей очень велико и ,выполняется условие ( 1.63), закон больших
чисел обусловливает выравнивание вкладов отдельных подлучей
в образовании суммарных дисперсий а ::::::::az :,
Иначе обстошг дело, когда формирование принимаемого сиг
нала происходит от нескольких (двух) отражающих слоев (рис.
1.2в). В этом случае элементарные излучатели оказь~ваются за
метно коррелированными по высоте и хотя ортогональные компо
ненты х, у распределены нормально, вырав1нwвания их ди1опе'Р'сий
не происходит. Это объясним так: запишем принимаемый сигнал
при наличии К отражающих слоев и передаче сигнала (1.51) в
виде
к
к
s;(t) = si(t--c) ~ Ytk= si(t --с) ~ (xk + i Yk) = s,(t--c) у.
k=I
k=I
( 1.105)
36
Предположим, что одновременно с выполнением условий (1 .54),
0.55) выполняются условия
\Ло:j « Т,
(1.106)
где Л~: - разность средних времен распространения сигнала, сфор
мированного отдельными слоями. В рассматриваемом случае комп
лексный коэффициент передачи канал&
/(
y=x+iy=~Yk
(1.107)
k·= \
определяется векторным суммированием компонент, число которых
ограничено, и вследствие относительной близости отражающих
слоев их следует считать существенно ;взаимокоррелированными. •
При этом, если компоненты I Ун I имеют обобщенное распределение
Рэлея, ~одуль
имеет уже четырехпараметрическое распределение.
Для простоты рассмотрим случай К=2:
)' = V(х1+Х2)2+ (У1+У2)2•
(1.108)
Допустим, что ортогональные компоненты х11,(у11,) имеют одина
ковые дисперсии u2, одинаковые ковариации одноименных компо
нент r 1 и разноименных r 2 (в противном случае образование четы
рехпараметрического распределения лишь облегчается). Тогда сла
гаемые х=х1+х2 и у=у1+У2 имеют равные дисперсии 2u2 (l+r1),
но они взаимно коррелированы, поскольку r2=J=O. Но в этом случае,
как следует из выражения (1.66), в системе координат ХУ ком-
2
2
'1/
поненты х, у имеют :Н1ера1вные д:июперси,и u х =J=oy, и у= v х2 +у2
имеет четырехпараметрическое распределение. Можно заметить,
что если чи,сло слоев на ,рис. 1.r2в ·сущесгв,енн,о ушелич.ить, то <К<о,р
реляционные связи ослабляются и по высоте рассеивающего объе
ма пространства и снова Бачнет сказываться тенденция к вырав
ниванию дисперсий u; и о~ .
Если принять приведенное выше объяснение четырехпарамет-
. рического
распределения амплитуд w,(y) при однолучевом прие
ме, то исследование статистики сигнала в месте приема позволяет
вскрыть механизм образования сигн ала в рассеивающем объеме
пространства.
Из приведенных выше рассуждений следует, что независимо
от физической природы ( необходимо учитывать условность рис. 1.26
и в, в частности условность ориентации направлений наибольшей
протяженности слоев) образования отдельных частей суммарного
37
однолучевого сигнала в месте !Приема, - если только чи1сл 10 этих ча
стей ограничено, они имеют нормальное распределение мгновенных
значений и в1заи~м:но коррел1ирова•ны, - су1ммар1ная амплиrуда
сигнала имеет 1в общем случае четырехпараметрическое распреде
ление*). Такими частями в коротковолновой связи, в частности,
могут быть обыкновенный и необыкновенный лучи (29].
Длительные наблюдения показывают, что примерно в ·60-7,0%
или даже 90% случаев [1, ,2, 26, 67, 113 , 131, 132, 1,55] при отраже
нии от ионосферы (тропосферы) амплитуды сигнала имеют обоб
щенное распределение Рэлея, сюда включаются и случаи чисто
рэлеевского распределения. В некоторых опытах примерно в 20 %
и более случаях отмечены замирания сигнала более глубокие, чем
_ в рэлеевском канале •~1, 137, 138]; в 30% экспериментальные кри
вые распределения амплитуд имеют щвугорбый вид {1]. Все эти
случаи обобщаются четырехпараметрическим распределением ам
плитуд. К сожалению, точно нельзя сказать, к каналу с каким
числом лучей относятся приведенные выше данные.
В условиях многолучевnго распространения радиоволн при пе
редаче si(i) принимаемый сигнал, можно записать в виде
N
N
s;(t) = ~ ~,(t - 1:r)Yr = ~ s,(t--т:,) y,exp[iw0 ((--т:,)]h(t-1:r),
r=I
r=I
(1.109)
где N - число лучей в канале; у,.
-
комплексный коэффициент пе
редачи для r луча; 't ,- -
среднее время распространения r луча .
Поскольку сигналы отдельных лучей формируются, как прави
ло, в точках пространства, значите:пьно разнесенных между собой,
комплексные случайные величины Yr с различными индексами мож
но во многих случаях считать, что и будем полагать в дальней
шем**), ,ста'Г!!ктически неза1виоимыми. Чи~сло об.на 1руживае1мых в
месте приема лучей сравнимой интенсивности в кв и укв связи
меняется в широких пределах . Помимо географии трассы, состоя
ния ионосферы (тропосферы), оно также зависит от выбора ра
бочих частот, ширины полосы, в которой ведется передача, и ана
лиза принимаемых сигналов . Тем не менее при кв связи через
ионосферу чаще всего число лучей сравнимой интенсивности не
превышает 2-3, в то время как в укв диапазоне, оно может из
меряться десятками IL29, 42, 91, 95, 106, 113, 119].
Разности средних времен iра-сшр,01с1'ранения отдельных лучей Л~
в условиях многолучевого распространения могут не удовлетво
рять как условию
( 1.11 О)
*) Аналогичные объяснения для более частного подрэлеевского распреде-
ления дано в работе i[l38].
'
**) В принципе, можно учесть возможную корреляцию.
38
так и условию
1л~-1 « т.
(1.111)
При невыполнении условия ( 1.110) комплексная огибающая
сиnнала Si(t) искаж,ается при прохождении через ка,нал и говорят
о селективных (избирательных по частоте) замираниях в канале t
позиции сигнала. Если :н;е выполняется также условие ( 1. Ы 1), то
селективный характер замираний дополняется растягиванием эле
ментарного сигнала на приеме на время Т +-rмакс, где 'tмакс - мак
симальное время взаимного запаздывания лучей в канале.
В этом случае будем говорить о канале с эхо - сигналами или
о межсимвольной интерференции.
Максимальное время запаздывания лучей сравнимой интенсив
ности для ~в каналов чаще всего не превышает 2-3.мсек {29, 91,
106, 113, 119, 145], в укв каналах эта величина может измеряться
десятками миллисекунд 1[112].
Очевидно, что условие (1.110) скорее нарушается для сложных
сигналов с большой базой, чем для простых сигналов с малой ба
зой . Вместе •с тем для сигналов ·с -большой базой у,словие ( 1. НО)
может не выrпол,нять·ся, •в 'ГО время как условие ( 1. lil 1) выполнимо.
Это означает, Ч'ГО селективный хара,ктер ·за1мираний почти не -со
провождается эхо-оигналами в канале, 1иными словами, межсим-
вольная интерференция выражена очень ,сла·бо.
•
В не:которых случаях условие ( 1.11 О) может выполняться, но
невозможно условие
1
Т
IЛ-r\ « -
=-
.
•
Лfс
Ъс
(1.112)
:В этом случае будем говорить о селективности замираний для
системы в целом, но не для отдельных позиций сигнала, что, на
пример, возможно при использовании достаточно узкополосных
сигналов, значительно разнесенных по частоте.
Оценка помехоустойчивости на интервале Тет, возможная при
учете статистики интерференционных замираний, представляет ос
новной практический интерес, так как каждый сеанс , связи (по
длительности сравнимый с Т ст) должен быть обеспечен с нужным
качеством. Однако ввиду того что параметры распределения х(у)
случайны в более длительных интервалах времени (медленные
мультипликативные флуктуации в канале), вероятность ошибки,
вычисленная на интервале Те~ оказывается случайной величиной .
(канал нестационарен на интервалах, превышающих Тет)- Поэто
му представляет большой интерес характеристика, которую мы
назовем надежностью связи по по м ехоустойчивости (в отличие от
широкораспространенного понятия аппаратурной надежности). Она
определяет процент времени, в течение которого обеспечивается
вероятность ошибки в заданных пределах. Подобные характери
стики за последнее время все чаще обсуждаются, причем им дают
ся иногда весьма различные названия {12, 41, 55, 63].
39
Как будет показано далее, надежность системы связи по поме
,хоустойчивости определяется весьма просто для каналов самого
широкого класса, если известна статистика медленных мультипли
кативных флуктуаций :в канале. Эти флуктуации имеют не интер
ференционную природу, и, следовательно, их статистика не может
быть объяснена центральной предельной теоремой теории вероят
ности. В частности, многочисленные эксперименты подтверждают ,
что при медленных мультипликативных флуктуациях возможны
более глубокие замирания амплитуд относительно долговременных
среднеквадратичных (медианных) значений, чем те, которые сле
дуют из четырехпараметрической модели при интерференционных
замираниях. Другими словами, наблюдаются замирания более глу
бокие, чем при у,сеченно-нюрмалЬ1ном распределени~и амплитуд. По
многочисленным экспериментальным данным распределение сред
неквадратичных (медианных) значений амплитуд (коэффициентоз
передачи V у2 z) при медленных мультипликативных флуктуа
циях удовлетворительно аппроксимируется логарифмически-нор
мальным распределением ![55, 114, 1:23, 139]
w(z)=
1 ехр[-(lnz- f')2], z>О
Z V 2л:а2
2а2
(1.113)
при соответствующем ,выборе пара1метрю,в μ, а2 .
Математическое объяснение этому факту дано :в работе {138]
усреднением т - распределения по его статистическим параметрам.
Аналогичное доказательство, в принципе, · могло бы строиться на
базе более общего четырехпараметрического распределения ам
плитуд.
Обозначая
z = expg,
(1.114)
,можно ·видеть, что если z имеет ,раюпределение ( 1.113), тю g имеет
обычное нормальное распределение со средним μ и дисперсией
а2:
w(g) =
_
1_ exp[~(g - f')2],
-c o<g< +со; (1.115)
у2л:а 2
2а2
s-й момент от z
z5
= ехр(gs) =ехр(r-s+ 0
:
82
),
(1.116)
т. е. зависит от двух параметров μ и а2.
Так, среднее значение и средний квадрат
ные средние амплитуд сигнала)
-
( 02)
z=ехрr,+2;
для z (долговремен-
(1.117)
Обычно из эксперимента определяют z и 2 2, а по ним параметры
μиа2.
40
Интегральное распределение нормированной величины
l=_z-
(1. 118)
v-:z2
зависит от одного параметра а2
=
р(l>r) =sW(l)dl=·+[1- ф(1nrа+а2)] .
(1.119)
r
Если нормированные величины l и r выражены в децибелах
L=201g( z_);
Vi21
то интегральная функция
R = 20Igr,
P(L >R) ~ +[1 ~Ф(~+'')].
(1.120)
(1.121)
В некоторых работах распределение среднеквадратичных зна
чений амплитуд при медленных мульти пликативны х флуктуациях
апп.рокс-и,мируют Г-ра,спределением [108, 1.5'2] :
при определенном выборе двух параметров этого распределения
а и л. При a = 1m 1 ~ 1⁄2 Г-ра,спределеrние сво,щи11ся к т-ра,спределе
нию. Область О<а< 1⁄2 соответствует более глубоким (по сравне
нию с т - распределением) замираниям амплитуд.
В дальнейшем будем пользоваться логарифмически-нормаль
ной аппроксимацией, как достаточно хорошо согласующейся с эк
спериментальными данны!lш и допускающей сравнительно простую
процедуру вычислений.
§ 1 .3. АДДИТИВНЫЕ ПОМЕХИ В :КАНАЛЕ
А,дд,и11ивные помехи •в •ка,нале -ра1д,и,оювяз~и 1ВЫзываю11ся са1мьгми
различными источниками . Такие помехи по их элект.рической и ста
тистической структуре можно обобщить в три класса ~55, 72, 74]:
флуктуацио нные, сосредоточенные и импульсные помехи. Под флук
туационной помехой понимается непрерывный во времени случай
ный процесс с нормальным распределением мгновенных значений
и нулевым математическим ожиданием. Чаще всего энергетический
спектр этой поме хи ai (f) в пределах полосы частот, занимаемой
системой сигналов Лfс, полагают неизменным (помеха типа бело-
41
го шума). Плотность вероятности такой помехи u(t) на интервале
анализа Та определяется функционалом {20, 27]:
w( и,,)~ Кехр[~ л J' u'(l)dl],
(1.123)
о
где К - постоянная, определяемая условиями нормирования.
Здесь и в дальнейшем сходимость интегралов от случайных функ
ций понимается в среднеквадратичном смысле. Заметим, что соот
,ноше:ние (1.123) оправедли1во при любом з-наче,н1и,и поло,сы Лfс, ес
ли толыко энергети,ческий спектр помехи может считатыся равно
мерным в ее пределах.
Флуктуационную :помеху пола,гаем стационарным случаЙ'НЫМ
процессом на интер1вале ана.1иза (cr~
= oonst), однако во м-нотих
важных случаях ·01Пт:им ,а .льные ал;гор 1и11мы л,р,иема инвар1иа,нтны по от
ношению к параметру cr~
1[58, 73], что будет неоднократно под-
тверждено в дальнейшем. Оптимальные алгоритмы приема и по
тенциальная помехоустойчивость системы связи определяются на
ми при флуктуационной помехе типа белого шума.
Под сосредоточенной понимается помеха Исп(t), энергетический
спектр которой сосредоточен в отдельных участках спектра, соиз
меримых или даже существенно меньших полосы частот сигнала.
В радиосвязи такая помеха чаще всего обусловлена сигналами
других линий связи, создающи ,ми в1следсг:вие осюбенн,остей ра,с·п,ро
стра:нения радиоволн заметную напряженность поля в месте рас
положения антенны рассматриваемой системы связи. Это означает,
что статистические характеристики таких помех можно считать
подобными характеристикам полезного сигнала.
Сосредоточенная помеха может так же возникнуть, как пере
ходная помеха из-за несовершенства систем многоканальной свя
зи. Однако в раuионально построенной многоканальной системе
{74] влиянием такой rюмехи можно пренебречь, и в дальнейшем та
кая помеха не рассматривается.
При проектировании систем связи случайные сосредоточенные
помехи обычно полагают равномерно распределенными по частоте.
Это означает, что вероятность их попадания в полосу частот сиг
нала пропорциональна ширине этой полосы. Результат воздейст
вия большого числа удаленных от места приема источников сос
редоточенных помех создает суммарную помеху со свойствами
ф.луктуационного шума. Ясно, что чем шире полоса частот сигна
ла, тем чаще возникает такая ситуация.
Под импульсными понимаются помехи, которые представ,Jiяют
собой непериодическую последовательность импульсов, возбуж
даемых -к,ратковременными э.д .,с: Эти э.д.с. предста~вляют апе
риод 1 1ческий или колебательный процесс. Длительность одиноч
ной импульсной помех1и значительно ме:ньше длительности ин
тервала анализа (элемента сигнала) и имеет порядок 10-5
~-
42
- ;- -10- 8 сек . В радиосвязи импульсные помехи создаются атмосфер
ными или промьiшленными источниками {'49, '50, 55, 99].
Импульсную помеху Иип(t) на входе решающей схемы прием- ·
ника (после входного избирательного блока ВИБ с эффективной
полосой ЛfэФФ, который имеется в любом реальном прие мнике, хотя
он вовсе и не диктуется алгоритмом оптимального приема при
флуктуационной помехе (74]*) можно записать в виде [70]
Иип(t) = 2k0S0Лfэt(t- fи)h'(t-f0),
( 1.124)
где Sи - амплитудный спектр импульсной помехи на входе ВИБ,
который считается одинаковым в пред елах полосы пропускания;
f(t) - функция, определяемая формой импульса и свойствами
фильтра; k0- коэффициент передачи ВИБ на средней частоте; tи
случайный момент появления помехй на входе в пределах интер
вала Та:
fE[tи , fи+Т0 ];
fEftи, f0 +T0],
Ти - длительность импульсной по мех и на выходе ВИБ.
В некоторых работах f(t) аппроксимируется о-функцией [74].
Помехоустойчивость связи при имп ул ьсной помехе существенно
зависит от значений Sи, которые практически определяются рас
пределением амплитуд импульсной помехи. Экспериментально най
денная в широкой полосе ф у нкция распределения импульсных
помех показывает , что имеются •(с малой вероятностью) очень боль
шие пиковые знач е ния помехи. Это распределение (в области боль
ших значений а мпли туд) существенно отличается от рэлеевского
f49, 50, 55, 99, 108 , 131, 149-152, 160].
Распределение амплитуд импульсной помехи, обусловле нной
шумами в атмосфере и другими источниками, удовлетворительно
описывается логарифмически-нормальным законом ( 1.113) при со
ответствующем выборе параметров μ, а2 ,[99, 108, 149-152], что до
пускает также теоретическое обоснование 1[99]. Некоторые авторы
аппроксимир у ют распределение амплитуд импульсной помехи ги
перболической зависимостью [50, 131 ], другие - экспоненциальной
функцией с показателем , содержащим переменную в степени, мень
шей еди'Н'ице {60]. Мож'но по1казать, чт.о все эти а1ппрокюи,мации до
статочно близки друг к другу в наиболее существенной области
:изменен ия амплитуд. Мы будем поль зоваться логарифмически-нор
мальным распред елением.
С ледует подчеркн уть, что экспериментально снятые распреде
ления амплитуд имп ульсной помехи (как, впрочем, и распределе
ния амплитуд полезного сигнала) существенно зависят от ширины
*) При пр иблизительно равномерной амплитудно-частотной характеристи
ке в пре делах полосы частот сигнала флуктуационная помеха типа белого
шума на входе ВИ Б остается такой же в анализируемой полосе частст и на
его выхо де .
•
43
полосы, в которой iведется анализ. Разработана, однако, удобная
методика для перерасчета распределения, снятого при одной по
лосе частот анализа приемного устройства к другой полосе ча
стот [151].
Если импульсную помеху полагать равномерно распределенной
во времени, то необходимо сокращать длительность рабочих по
сылок для уменьшения вероятности попадани я таких по мех на ре
шающую схему приемника. Результат воздействия большого чис
ла импульсных помех на интервале анализа Та создает суммарную
помеху со свойствами флуктуационного шума {99].
§ 1.4. О :КНИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПРiИЕJМА
ПРИ ФЛУ:КТУАЦИОННОЙ ПОМЕХЕ
В качестве критерия оптимальности приема выбираем крите
рий отношения правдоподобия {29, 54, 80], который приводит к сле-
дующему правилу (алгоритму) приема:
•
(j =1= i),
(1.125)
где Wa. ( v) - условная п лотность вероятн ости принимае мого ко
~
лебания v(t) (сигнал+помеха) при передаче символа ai.
Для сокращения записи будем алгоритм (1.125) писать так:
(1.126)
и часто его именовать системой из ,т-1 неравенств. Реализация
алгоритма ( 1.1 '26) не требует знаний априорных вероятностей сим
воJiов, что существенно упрощает его осуществление.
Когда априорные вероятности р (ai) неизв естны, их в большин
стве случаев считают равными . Кроме того, для любого рациональ
но по,строеннт,о кюда ~одо:вые ,с,им1волы ,при1бл1из1ительню 1ра!вн,ове
р:оятны :[74], :но в этом слу~чае алrюр:итм (1.126) обеопечИ1вает ми
нимум · средней вероятности ошибки 1[29, 43, 54], а также среднего
риска решения {28 , 54] при условии равенства различных ошибок,
что как раз и характерно для надежно работающих систем радио
связи. Как показано в работе [43], алгоритм ( 1.126) обеспечивает
также максимальное использование информации в данной реали
зации v(t) относительно ai. При равенстве априорных вероятно
стей символов на передаче ai и после решающей схемы на приеме
алгоритм ( 1.126) обеспечивает также максимум передавае мой в
среднем по каналу информации 1[43], 1
~ 54].
Если параметры сигн-ала и канала фиксированы, приним аемое
колебание анализируется на интервале*) т~ а в канале имеется
*) В многолучевых каналах время анализа Та на приеме выбирают И ·
больше, и меньше Т. Подробнее· об этом буде т сказано в гл. 3.
44
только аддитивная флуктуационная помеха u(t) типа белого шума
(20, 43, 54], 'ГО*)
w (v)=Kexp{ --
1 j:a[v(t) - s;(t, Пc)]2dt} (1.127 )
ai
cro2
о
где s; , (t, Пс) - ожидаемый сигнал в месте приема при передаче
si(t) ; ·пс - 001воку,пно1сть (~вектор) -пара:м1е11рюв, -оmределяющих сиг
нал в месте приема.
Таким образом, оптимальный прием.ник в канале с фиксирован
ны ми параметрами и флуктуационной помех9й должен выбирать
позицию си!VIВола, которая максимизирует функционал ( 1.127).
Этот функционал можно определить, если все параметры сигнала
точно известны на приеме. Если часть параметров из совокупности
Пс флуктуирует ,в соответствии с заданным вероятно.стным зако
ном или если затруднительно (или нежелательно) строить схему
для получения точной информации о этих параметрах, оптималь
ный · алгоритм приема (1.126) имеет -вид: [54]
Maxl {Jcwa/v)пJ(Vc)dVc }•
(1.128)
где Vс - совокупность (вектор) флуктуирующих параметров сиг
нала; f(V с) - плотность вероятности флуктуирующего вектора
(совместная плотность флуктуирующих параметров). Интегриро- •
вание в соотношении (1.1 .28) выполняется по всей области возмож
ного изменения вектора Vс-
Чем меньше информации о параметрах сигнала (канала) учи
тывает решающая схема приемника, тем ниже ее помехоустойчи
вость [20 , 54] .
В некоторых случаях распределение вероятностей флуктуирую
щи х параметров (вектор Vc) неиз.вестно на приеме или эту ин
формацию не учитывают при построении решающей схемы. В этих
условиях оптимальное правило приема чаще всего определяют по
критерию максимума правдоподобия {28, 80] и оно может быть за
писано в виде
(1.129)
Максимум ищется по всем параметрам, распределение кото
рых считается неизвестным.
Приемное устройство, работающее в соответствии с алгоритмом
(1.129), ча1сто (например, •В системах разнесенного iПр.иема) оказы
вается значительно проще приемного устройства, учитывающего
информацию о дейст,вительном законе распределения флуктуирую
щих параметров канала. В этой связи · представляет большой тео
ретический и практический интерес оценка потери помехоустойчи
вости, связанная с реализацией более простой схемы приема.
*) Здесь и в дальнейшем в аналогичных формулах К с тем или иным
индексом означает постоянную, не зависящую от варьируемых параметров.
45
Выводы
1. При радиосвязи в условиях многолучевости большой интерес
представляет использование сигналов с тождественными автокор
реляционными функциями, удовлетворяющими условиям :«узости»
автокорреляционной и взаимокорреляционной функций (условиям
разделения лучей).
2. С учетом возможной длительности рабочих посылок Т и за
нимаемой сигналом полосы частот Лfс практический интерес пред
ставляет исследование следующих групп радиоканалов: а) с глад
кими замираниями во времени и по частоте; б) с селективными
(быстрЫiми) замира,нинми в~о времени и гладкимlИ за'мира~ниями по
частоте; в) с гладкими (медленными) замираниями во времени и
селективными заivшраниями по частоте и г) с селективными зами
раниями во времени и по частоте.
3. Обобщающим распределением амплитуд у принимаемого ра
диосигнала в интервале локальной стационарности (интерферен
ционные замирания) можно считать четырехпараметрическое рас
п ределение w4 (y), допускающее замирания более глубокие, чем
рэлеевские (подрэлеевский канал), и бимодальность.
Наиболее глубокие интерференционные замирания соответст
вуют предельному усеченно-нормальному распределению амплитуд
(усеченно-нормальный канал). Обобщенное четырехпараметриче
ское распределение фаз сигнала w4 (y) в общем случае несиммет
рично на интервале 1(-:п;, +л] и имеет не более шести экстремаль
ных значений.
4. т-распределение амплитуд (распределение Накагами) удов
летворитеj1ьно аппроксимирует четырехпараметрическое распреде
ление W4(y) в определенной области изменения четырех парамет
ров последнего, чем, по-видимому, объясняется его широкое ис
пользование в расчетах. Следует, однако, подчеркнуть, что, в прин
ципе, двухпараметрическое т-распределение не в состоянии вос
произвести всю тонкую структуру четырехпараметрического рас
пределения амплитуд, в частности оно не допускает бимодаль-
ность.
\
5. Медленные мультипликативные флуктуации ,в радиоканале
(равно как и распределения амплитуд импульсных помех) удовлет
ворительно описываются логарифмически-нормальным распреде
лением. Иные распределения, предложенньrе для этих целей , не
имеют видимых преимуществ.
46
ГЛАВА ВТОРАЯ
ОДИНОЧНЫЙ ПРИЕМ
В ОДНОЛУЧЕВОМ
КАНАЛЕ
§ 2.1. ОП'I1ИМАЛЬНЫЕ АЛ.ГОРИТ!МЫ ПРИЕ!МА И ИХ РЕА;ЛИ3АЦИЯ
При передаче i-го символа сигнала si(t) (i= 1, 2, 3, ... , т) прини
маемый сигнал
,
л
.
л
si (t) = xsi(t)+ysi(t) =(хФ+'\'рcos(f)p)si(t)+{УФ+'\'рsinсрр)si(t),
(2.1)
а анализ;и•руемое ,калеба·ние (силнал + помех•а) в месте приема
v (t) = s;(t) + u(t).
' (2.2)
Считаем, что момент начала отсчета принимаемого сигнала сов
мещен с началом координат.
Условная плотность вероятности того, что символу ai при фик
сирова:нных пара,метрах кан·ала на ~1нтервале анализа Та= Т соот
вет,сгвует колебание v (t), р31вна·
где
w (v)п =К1 ехр{-;- [xzi+ yZ;- Ei(x2 + у2)]} =
ai
с
va
2
та
Zi= Sv(t)si(t)dt;
о
л
тал
❖:•)
Z1 = Sv(t)s1(t)dt •.
о
(2.4)
У славная плотность вероятности того, что символу ai соответ
ств у ет принимаемое колебание v,(t) (сигнал+помеха), а коэффи-
") В соответствии с более общим определением гл. 3 следовало бы писать
zi (О), zi (О).
47
циенты Хф, УФ флуктуируют независимо по нормальному закону с
нулевыми средними и дисперсиями •о~, oz, равна
-
~(1+2h;.) - L (1+2hz.)}dxdy,
22
L
22
t
ах
ау
(2.5)
где
среднестатистическое значение отношения энергии флуктуирую
щих частей ортогональных компонент сигнала к спектральной плот
ности мощности шума.
Параметр h~ = h2 +h 2 определяет среднестатистическое з'Наче -
~
Х/
У/
ние отношения оу,м:мар,ной энергии флукту,ирующей чаrсти 1си·гнала
к ,апектральной ПЛIОТIНОСТИ !МОЩНОСТИ шума.
Выполняя интегрирование в уравнении (2.5), получаем:
(2.7)
После логарифмирования соотношения (2:6) алгоритм опти
мального независимого*) приема элементов сигнала определится
*) Алгоритм реализуется без учета корреляции соседних элементов сигна
ла или в условиях, когда этой корреляции действительно нет (,R э = О). Чем более
быстрыми являются замирания в канале, тем труднее учитывать коррелятив
ные связи между посылками для повышения качества связи .
48
;
/
(2.8)
(2.9)
Если в пределах некоторого интервала можно считать все па
раметры сигнала точно известными на приеме (в результате пред
варительного измерения характеристик канала), -такой канал на
зывают локальнr0-,идеальным '1'), -
то, полагая в 1НеравенеJ'lве (-2 .8)
о; =а~ =О (нет флуктуир у ющих параметр-ов), получаем оптималь
ный алгоритм приема
{ , Е;у;}
Мах. Z---- •
t
'
2,
та
z~ = S v(t)s~. о(t)dt,
о
(2.1 О)
где
,
л
s;. о(t) = '\'рcos(j)psi(t)+'\'рsin(j)psi(t)
(2.11)
о ж идаемый сигнал при передаче i-го символа в рассматривае
м ом к а,нале. Ал·rор1ит:м (2 .10) ~представляет видоизмененный алrо
р:ит,м опти м ального П!ри ема 1[43] для л,о,кально-идеального ка1на
ла при передаче ра1вновероятных символов. Эти алгоритмы могут
реализовываться как при помощи дискретной ,[32], так и аналоговой
вычи слительной техники. Здесь будут рассмотрены только анало
говы е варианты схем приема.
Вариант схемы приемника, реализующего алгоритм приема
(2 , 1О) на базе корреляционной техники, показан на рис . 2.1 . Три
основные блока приемника : БИ- блок измерения параметров при
нимаемого сигнала (информация о канале и синхронизации) ; БФ
блок формирования априорной информации для решающего блока
(ожидае-мых опорных сигналов ОС s;, 0 (t), порогов_ых сигналов
ПС Ei2'Y~
,
сигналов тактового управления СТУ) и РЕ - решаю
щий бл О1к, который юоде,ржит: m mеремножителей Пi (си1Нхронных
детектор-ав); т интеграт,о,р01в Иi, ,синх;р1он.н,о раз·ряжаемых 1в ,м,омен-
•ты времени, кратные Т; т вычитающих пороговых устройств В_У:
* ) В таком кана л е коэффици е нт корреляции соседних элементов сигнала
IR.J ~1 .
49
схему сравнения и выбора ССВ в моменты, кратные Т, наиболь
ших из входных величин для определения позиции регистрируемо- ·
го в запоминающем устройстве ЗУ символа.
----
;-i
'
1
1
1
: ,--0
'-"1
1
т\
1
РБ
\
1______________ :j
Рис. 2.1
Точное .знан,ие в :месте :п1рием,а ·ожидаемых с,и,гналов
'i (t), в том числе и фазовых соотношений, характеризует коге-
рентность рассматриваемой схемы. Вариант схемы приемника,
--- --,
_
_
1
1
1
1
1
1------ ~ i0
1
""
1
т
1
1
1
L·_ _
__ _____ ______ __ _J
Рис. 2.2
реализующего обобщенный алгоритм приема (2.8), показан на
рис. 2.2 . Блок БФ выдает опорные сигналы ОС si(t), ;i(t) и по-
0·
роговые сигналы ПС 1
•
Решающий блок содержит 2,т пе-
1+2h;.
L
ремножителей Пi, п;, интеграторов Иi, И~ квадратирующих уст-
50
ройств KYi, КУ;; т сумматоров Ci, вычитающих пороговых уст
ройств BYi ; схему ССВ. При соответствующем выборе коэффици
ентов пер едачи отдельных блоков схема (см. рис. 2.2) реализует
алгоритм (2 .8). Для того чтобы приемное устройство работало
в соответствии с алгоритмом (2.8), в месте приема необходимо не
только знать параметры канала и шума а;,~ а~, v;, а~, . h;i' h~i,
но и точно знать параметры сигнала si(t), si(t). Такой приемник
будем называть когерентным с нелинейными ветвями, подчерки
вая тем самым его отличие от оптимального приемника для ло
юаль,но-идеальноrго ка:нала, ;содержащего в РБ лишь ли;нейные !Вет
ви. Этот термин лучше отражает суть дела, чем применяемый для
такого приемника термин «квазикогерентный приемник» [7 4].
Е сл и в принимаемом сигнале нет регулярной части или в бло
ке БИ затрудняемся извлечь информацию о ней, тогда, полагая n
соотношении (2.8) ур=О, получаем оптимальный алгоритм приема
Мах. 1
Z2+ Z2 5L
i-0-
•
1[л2(1+2h;)
])
t 1+2h;i
'
'
а; (1 + 2hzi)
t_
'
4
01 = ;11 (1 +2h;1)ln [(1 + 2h;.) (1 + 2hZJ]·
(2.12)
Для системы с активной паузой*) алгоритм (2.1 12) принимает
вид
(2.13)
Алгоритм приема (2. 1,2) можно реализоваТI:, при помощи схемы,
показанной на рис . 2.2, если в ней устранить ветви, отмеченные
пунк тиром . Подчеркнем, что при асимметрии дисперсии ортого
нальных компонент ( а; =f= а z , ) приемное устройство, реализующее
алгоритм (2.12), нельзя назвать некогерентным, так как результат
зависит от фазы опорных сигналов si(s~) .
Е сли канал симметричен по ортогональным компонентам (обоб
щенно - рэлеевский канал, а; = а; =а2 ), алгоритм (2.8) можно за
писать в виде {ЗЗ]:
Мах[ {- 1
-
[v~+Zi'\'рcos(f>p ag + Z1'\'рsin(f>p а5+о,]};
1+h~
а2
cr2
L
•
2
4
0i· = У._р_ Eiа5+~(1 +h2i•)ln(1 ...L h2)·
2а2
2cr2
i
i'
(2. 14)
(2. 15)
") В однолучевом канале п ри симметрии канала по всем позициям поня
тия «система с активной паузой на передаче и приеме» совпадают.
51
или с учетом выражения (2.10) 1в виде
Мах1{- 1
~
2[z/+};'+ ag z;-01]}.
1+h.
у2
cr2
1
р
(2.16)
Оптимальная схема приема теперь реализуется не только на ба
зе корреляционной техники, но и используя линейные фи л ьтры
СФ;, согласованные с сигналом s;, 0 (t). Вариант такой схемы по
казан на рис. 2.3.
------, ---· · -----1
__1
1
1
1
1
~~
~1
1
т
1
1
--
1
L__
,
~--------_J
Рис. 2.3
На вход сумматора С; через отмеченную пунктиром ветвь в мо
менты времени, кратные Т, помимо линейной части, пропорциональ
ной Z; с выхода детектора огибающей Д ; лодае'Гся напряжение ,
прuпорциональное величине V; [27 , 48, 74].
Если в выражении (2.14) положить ур= •О, то получаем опти
мальный алгоритм приема для рэлеевского канала [74]:
Мах1{~- 06 ln(1 +h~)},
(2.17)
1+h2 2а2
'
который реализуется некогерентной схемой, так как ве Jшчина Vi
не зависит от фазовых соотнсшений опорных сигналов s;(s; ,0) .
Для систем с активной па у зой на приеме алгоритм (2.17) при
нимает вид
(2.18)
Этот алгоритм, которым будем оперировать 1В дальнейшем, на
зовем алгоритмом квадратичного суммирования . Реализация алго
ритма (2.18) существенно упрощается по сравнению с алгоритмом
('2.8). Помимо того, что не требуется априорного знания фазы, сни
жаются и требования к частотной стабильности i[74].
52
Заметим, что алгоритм (2.18) так же, как и алгоритм . (2.lO) r
инвариантен по отношению к параметру шума cr5: следовательно r
он сохраняет свои оптимальные свойства и при нестационарной
(из - за медленных из м енений cr§ во времени) аддитивной флуктуа
ционной помехе в канале.
Кроме этого, алгоритм (2 . 18) , как и алгоритм (2.10), при Ei =
= Е инвариантен по отношению к величине энергии сигналов Е.
Для двухпозиционной системы (т=2) с пассивной паузой, по
лагая s2(t) =0, м ожно алгоритм ('2.8) записать в виде
л а21+2h2
а2л
cr 2 1+2h2
2
2у
х, _LZ
о1z
.
о
х, О>о·
Z1+z1----
1
1 ypcosepp-
,
1 урsшерр- --- -
1
•.
а; 1+ 2h~,
а;
а; J+2hl,
(2.19)
Для реализации последнего алгоритма в приведенных схемах
следует сохранить лишь одну ветвь, та или иная позиция симво
ла регистрируется в зависимости от знака напряжения на выходе
блока ВУ. Реализация алгоритма приема при любом распределе
нии амплитуд существенно упрощается, если допустить равномер
ное распр еделе ние фаз прини маемых сигналов на интервале
r[-л, + л].
На самом деле, если положить, что коэффициент передачи ка
нал а 'V не ме няется и неизвест ен на приеме, то условная плотност 1:,
Wаi (v)v в соответствии с ,выражение~1 (2.3) и полагая х=у cos ер,
у=у sin ер, теперь равна
Логарифмируя по следнее выражение, пол учаеы алгоритм опти
мального (в данном случае некогерентного) приема для канала с
изв естн ой ~мплитудой и случайной равномерно распределенной фа
зой {74]
Maxi {]n [ / 0 c:;i)J-Y
2
cr;i} .
(2.21)
Алгоритм (2.21) можно записать так :
Maxi {ер (Vi)},
(2.22)
где cp(Vi) - функционал от Vi, реализуемый как при помощи не
линейных, так и линейных операций.
Для систем с активной па узой, учитывая монотонный характер
зависимости функции cp(Vi) от аргумента, из выражения (2.22)
следует алгоритм квадратичного суммирования (2.18).
53
Варианты схем приемников, которые реализуют алгоритм
(2.22), используя корреляционную технику и согласованные филь
тры, показаны на рис. ·2.4 и 2.5 .
СТ//
пс
ос
-
-
-
-
------ -
-
-,
__1
1
1
1
~~1
1
т1
1
Рб
-
-
1
L ___ _ ________ j
Рис . 2.4
На этих рисунка х приняты следующие обозначения: СОМ -
сх ема определения модуля вектора по двум ортогональным ком
понентам (нанример, см. схему ,в работе '[52]); ФБi - функцио-
-
---
-
.
---
__1--l
1
1
1
,____:
40
~1
1
т1
1
Рб
--
1
L•__ ________ __J
Рис. 2.5
нальный блок, на вход которого поступает величина, пропорцио
нальная Vi, а на выходе формируется напряже н ие, пропорциональ
ное ер (Vi). Сх,ему •ри•с. ,2.4 ча1с110 .на1зывают ·ювадр,атур,ной {74].
54
Если величина у на приеме не известна, и она флуктуирует в
соответствии с плотностью w{y), то с учетом -выражения (2.20 )
имеем для условной плотности
00
wa/v) =К Jехр (- ~
2
G;i )fo c:;i )w(y)dy = 1/J(VJ
Логарифмируя последнее соотношение и обозначая
ер (V,) = ln 1jJ (V1),
(2.23)
(2.24)
можем алгоритм оптимального приема при флуктуирующей ам
плитуде и равномерно распределенной фазе записать в виде (2.22}
и реализовать его при помощи схем рис. 2.4, 2.5 , если подобрать
соответст,:аующую характеристику функционального блока ФБi.
Заметим, что в то время как часть приемника, формирующая
величины Vi, реализуется некогерентной схемой, реализация бло
ков ФБ, может потребовать и знания фазовых соотношений в ка
нале срр. Так, есл и у имеет ч етырехпараметрическое распределени е
( 1.69), интегрирование (2.23) приводит к результату [25]
~-,
00
-,
00
(2k+ 2s-1)!! ( uz - cr;)k(ypsincpp)25 u;5
W"i (v)=К1 ~~~ т!2s! 2kk!cr2k+4s(1+2h;J+s+1
Х
(2 .25)
где F (а, ~, у, х) - гипергеометрическая функция.
Для си стем с активной паузой (h;I = h;, h2i = hz), учитывая
монотонный характер зависимости гипергеометрической функции
F(a, ~' у, х) от аргумента х, из соотношения (,2.25) следует алго
ритм приема (2. 1>3). Необходимо подчеркнуть, что даже при отсут
ствии регулярной части сигнаг,а (подрэлеевский канал) алгоритм
квадратичного суммирования (2.18), реализуемый некогерентной
схемой, не является оптимальным 1[1в рассматриваемом случае оп
тимальный алгоритм приема выражается соотношением (2 . 13)] при
асимметрии канала по ортогональным компонентам (cr~ =#=cr~ ) . Это
объясняется тем, что этот алгоритм получен в предположении рав
новероятного распределения фазы сигнала. , В действительности в
подрэлеевском канале распределение фазы иное, кроме того, рас
пределение амплитуд и фаз взаимно коррелировано;
При симметрии канала по ортогональным компонентам (обоб
щенно-рэлеевский канал, а; = oz = cr 2) ИЗ СООТНОШеНИЯ (2.25) сле
дует (33]
w (v)=-
K- exp{ 2а2 [V~ -
05E1q2]}!0 ( 2
2(ypVi2))·(2.26 )
"i
1+ h~
аб(1+ h~)
а0 l+hi
55
Этот же результат можно получ,ить из выраже'Ния (2.6) ус
реднением с равным весом по <рр, Если у имеет m-распределение
{1.87), интегрирование ур - ния (2.23) приводит к результату [25]
[-
](
2-2 )
К
у2 V·
V. 'У
w (v) = ----- ехр
•
1
iF1 1-m', 1, -
1
,
~l
(т' +li~)m'
сrб(т' + h~)
сrб(т' +h~)
(2.27)
где 1F1 (а, В, х) - вырожденная (конфлюэнтная) гипергеометриче-
,ская функция; h7= Etv2 -
среднестатистическое значение отно-
.
t
ао
шения энергии посылки i-й позиции сигнала в месте приема к спек
тральной плотности мощности шума.
Имея в виду [25]
1F1 (1--m', 1, x)= 1F1 (m', 1, х)ехр( - х),
:выражение (2.27) можно переписать так:
wa(v)=
_
,1F1m',1,
1
•
К
(
V~y
2
)
t
(т' + hi)m
"б (т' + li7)
(2.28)
(2.29)
Для систем с активной паузой (h~ h2) с учетом монотонной
зависимости 1F1(a, В, х) от аргумента х из последнего выражения
-следует алгоритм квадратичного суммирования (2.18).
В некоторых случаях представляет интерес оценка сложности
и помехоустойчивости оптимальной схемы приема, которая рас
полагает полным знанием фазы сигнала (на некотором временном
интервале) , в то время как амплитуда сигнала флуктуирует в со
ответствии с неко'Горой ,статистикой w (у) . В сооrг,ветствии с ф-лой
,( 2.3) у словная плотность:
""\ [2-уz:
у2Е·]
w(v)=Кехр--1
-
--
'
w (у)dу;
a,i ер
2
2
о
cra
cro
(2.30)
та
z~ = J_v(t)s;, 0(t)dt;
(2.31)
о
/\
s'. 0 (t) = s1(t)coscp+s1(t)sinер.
,.
Для •си,стем с активной паузой при любом распределении у ин
·тегрирование ур-ния (2.30) приводит к результату
wa. (v\ =К1 'Ф (Z;),
(2.33)
L
тде 'lj)(Z;) - монотонно возрастаН?щая функция от Z~
.
Для рассматриваемых систем алгоритм оптимального приема
при известной фазе, . но случайной амплитуде сигнала
(2.34)
56
что не отличается от алгоритма (2 :10), если опорный сигнал вы
бирать не в соответствии с выражением (2.11), а соотношением
(12.32). Ясно также, что алгоритм (2.34) реали.зуется когерентной
схемой, показанной на рис. 2.1 .
В некоторых каналах связи законы распределения амплитуд и
фаз принимаемых сигналов в месте приема могут быть неизвестны .
Оптимальное правило приема в таком случае целесообразно опре
делить, исходя из критерия максимума пра,вдоподобия 1[28 , 54, 80].
При этом считают, что х" у (или у, (J)) постоянные не случайные .
но неизвестные величины. Из нескольких гипотез с неизвестными
априорными вероятностями выбирается та, для которой максимум
функций условной плотности вероятности Wat ( v) больше, чем дл я
других гипотез, причем максимум берется по все м параметрам, оп
ределяющим плотности вероятности.
Согласно ф-ле ('2.3) при фиксированных значениях х, у и за
данном v(t)
wa/v) =К1 ехр { ~ [(xz; + yZ;)- ~ ; (х2 + у2)]}. (2.35)
Вмес~о макс,иму,ма функции Wa. (v) можно искать максимум
L
фу,нкции
(2.36)
Алгоритм оптимального приема при неизвестном законе рас
пределения амплитуд и фаз (параметров х, у), исходя из критерия
максимума правдоподобия, можно записать так:
(2.37) .
где максимум выражения (2.36) следует искать по параметрам х
и у. Параметры х, у, обращающие выражение (2.36) в максимум ,
определяются из условия
дlnWa.(v)
---
'-- =
Z,-
хЕ1= О;
дх
С учетом выражений (2.36) и (2.38) имеем
(2.38)
(2.39)
57
и алгоритм (2.37) запишется так:
(2.40)
Аналогичный результат получен в работе ~1 ,8]. Из sыражения
{12.40) следует, что для системы с активной паузой (Ei = E) алго
ритм оптимального приема при флуктуационной помехе и неизве
:стном законе распределения амплитуд и фаз сигнала, полученный
,на основе критерия максимального правдоподобия, не отличается
от алгоритма квадратичного суммирования (2.18), что дополни
тельно стимулирует особый интерес к этому алгоритму.
§ 2.2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХ[Ю3:ИЦ:ИОННОЙ
СИСТЕМЫ ПРИ НЕЗАIВИО:ИМОМ ПРИЕМЕ ЭЛЕМЕШТОiВ С:ИГiНАЛА
При осущесmвлеиии приема в ,соответ,ствrии с оптимальным ал
юритмо1м (2.8) МОЖ,НО вер'ОЯТНОСТЬ пра1В1ИЛЬНОIГО приема при пере
даче i-г,о ·с,11,м1в10Jiа ,оп,р,едмять ,вероятностЬiю вьnполнен,ия ,н,ера1вен
ства
(2.41)
при условии, что v(t) =и(t) +s; (t):
у2(
М.=0,+ _Р_а4
cos2 (j)p
{,]
l
40
4
vo
_р2_ ·[o - +Y~a4(cos2q,p)+sin2q,p (1+2h;) cr~)] (242)
t,1
1
4Ос:;б
cr6
_
(_1_+ _2 _h~~,-)- а;
•
•
.58
Котда передается сим,вол ai,
Zc,= л.1+ (хФ+ УРcosсрр) Ei; Z1= ),с +:(УФ + УР sinсрр)Е11
л
Zi= \ + (хФ +УРcos cpPeti - (УФ+ УРsinсрр)Еп
л
л
л
Z1=л.j + (хФ + УРcos<рр)Eci + (УФ+ УРsinсрр) e1i
та
лтfл
л,=IU(t)St(t)dt; ),, = JU(t)S1(t)dt
о
о
та
тал л
Eli= Eii = Js,(t)Sj(t)dt= .гs,(t)S;(t)dt
о
о
л
лтал
тал
etJ =
-
Ел=Js1(t)s1(t)dt=
-
fsi(t)s1(t)dt,
о
о
Запишем неравенство (2.41) таким об.разом:
e~i+e~i>e~i+е~1+мii,j*i=1,2,
где
л
i
.
(2.43)
(2.44)
(2.45)
Случайные величины ),i , J ,i взаимно не коррелированы (вслед
л
ствие ортогональности si (t) и si (t) на интервале Та = Т) и распре
делены нормально с нулевым средним значением и дисперсией
Л
А
а3 Ei/2 . Ковариация пары величин л;, ),,j (или Лi, Лj) равн а
л
а3 Бij/,2. К~оварrиа1ция •пары 1вел1ичи1н л;, Aj ра:вна ag Б i j/2; ковариа-
ция 1па ры 1Велич,ин Aj, Jc;-' (-а 6 ь;/2). Прrи усло вии, что Хф, УФ -
случайные но-рмаль:но раюп·ределен:ные и взаи.мно-неза ,виси1мые вели
чины, ,слагаемые 0н в соотношении (2.44), (вторые индексы для
простоты опускаем) распределены нормально. Это позволяет, в
принципе, по методике, приведенной в работах 1[155, 156], опреде-
59
..1 1ить вероятность выполнения неравенства (2.44), т. е. вероятность
ошибки при произвольных сигналах. Однако получаются весьма
сложные формулы, трудно поддающиеся инженерному анализу.
Здесь не будем приводить решение в общем виде, а ограничим
.ся ~рассмотрением трех широко распространенных ·в радиоавязи би
нарных систем: с активной паузой, ортогональной в усиленном
смысле (бинарная ЧМ) и с противоположными сигналами (бинар
ная ФМ), а также систему с пассивной паузой (бинарная АМ).
Для бинарной системы с активной паузой, ортогональной в уси
.лЕш1ном ~смысле (ЧМ), среД1ние значения ,сла1гаемых 8к в ф-ле (2.44)
будут следующие:
81 = '\'р cos cppcr5(1+ 2h;) ; в; = '\'рsincppcr5 V (1+2h;)(1+2h~);
2а;
2crxcry
83=
'\'р cos <ppcr5
84=
'\'р sin <ppcr5
V1+2h;
2v;
2crxay
1+ 2/i~
Матрица ковариаций случайных величин 8н:
и21ооо
оu2оо
М=
2
ооu2о
3
ооои24
Ecr2
и2=
-
0 (1+2h2)•а2=
1
2
х'2
Ecr2 а2
--
0~У-(1+ 2/i;)
2cr;
Е~
Еcr5 cr~ (1+ 2h;)
u2=
-
• u2=
--~-
-
--
3
2'4
2cr; (I+2ht)
(2.46)
(2.47)
В рассматриваемом случае Mij=O и вместо ф-лы (2.44) запи-
шем
Р1>Р2,
Р1= v -02-l,-i_+_e-~.-i' Р2 =Vе~.j+е~. j'
(2.48)
Ортогональность системы сигналов в усиленном смысле обеспе
чивает некоррелированность р 1 и р2 и вероятность ошибки р (те
перь одинаковая 1При переда,че любой позиции символа) опре
деляется формулой
00
Р2
Р= Sw(Р2)dР2Sw(Р1)dР1·
(2.49)
о
о
Случайная величина р 1 имеет четырехпараметрическое , распре
деление w4(p1) с параметрами:
т--е.т
-
-е. О'х2 = и2,., О'у2 =
~ 22·
Х-
1,
у-
2,
V
(2.50)
60
Случайная величина ,J2 также имеет четырехпараметрическое
распределение w,.( р2) с параметрами:
-
-
2
22
2
тх= 03; ту=04; ах=из; О'у= /J4.
(2.51)
При асимметрии по ортогональным компонентам вероятность
ошибки не удается .выразить через известные функции.
При симметрии канала по ортогональным компонентам (а; =
=0'2 и2=а2-и2• и2-и2=о2) из ф-лы (2 49) следуе. т·
у' 1 2-1• з::-::__4 н
•
•
ro
'х
р=Sхехр(-х2~а2 )10(ах)Sуехр(- У2~Ь2 ) /0 (Ьу)dydx;
о
•
о
r=аII=
1 ;а= qу2;ь= qv2V1+h2.
а/ J/I+h2
h
h
Это выражение приводится к виду 1[105, 146, 147, 1-56]
=1-F(Ь'1,
ar
)--1- Х
р
у1+r2•
У2(1+ r2)
1+ ,2
Хехр[-2а;;2:,:; ] / 0 (i~~2) •
Подставляя значения а, Ь, r, получаем 1[33, 156]
_
(1/ 2q2(!+q2+h2)2
/
q2(!+ q2)2
р-1
-
F V h2(2+2q2+h2) ,l,~ h2(2+2q2+h2)
1+q2+122 l [ 2q2(1+q2)(I+q2+1z2)]
-
о-(
~х
2+ 2q2+ h2
h22+ 2q2+ h2)
х ехр{- q2[(J~q2)2+1+~+ii2J}, h2=h2(1+ q2).
h2(2+2q2+h2)
В оспользовавшись асимптотикой ( 1.97)
F(A, 1, С)~ ~1 [l+Ф(A-CV2)], А, СЬ1;
2-
ln(x)~ V 1 ехр(х), х~ 1,
2лх
.п ри q2-+oo (идеальный канал) из ф-лы (2.М) следует [43]
p=_!_[1-ФV(h2)], h2 ._
у~Е
2
.
05
(2 .52)
(2 .53)
(2.54)
(2.55)
(2.56)
В друго м крайнем случае, когда q2 =0 (рэлеевский канал), уч
тя, что F(O, 1, О) =0 и / 0 (0) = 1, из ф-лы (2.53) следует результат
.[52], [74]
(2.57)
61
При отсутствии регулярной компоненты сигнала (ур=О) из
ф-лы (2.49) следует
00
Хsуехр[- ~
2
(1+Е2~2)]Io [ :
2
(1 -Е2~2)] dydx ,
(2.58)
х
где
82 ==.
~
2(1+2h;)
Если В2 не близко к нулю , то в области малых ошибок выпол
няется условие
7i2=No~>"-1.Е2=_1
.
х
1+в21/ ,
~2
(2.59)
и интегрирование ф-лы (2.58) дает
1+~2
~2h2 .
р= --при
-- ~1.
(2.60)
2h2 ~
1+~2
По сравнению с рэлеевским каналом ( В2 = 1) энергетический
1+ ~2
~2h2.
проигрыш "f/ = -- .
Значение этого проигрыша при -- ~ 1
•
2~
(1+~2)
ki_T А БЛИЦ А 2.1
р2
0,8
0,5
0,2
О,1
1
0,05
11• дб
о
0,5
0,8
4,7
7,4
1
15,3
и разных в2 дано в табл. 2. -
1. При В 2 =0 (усеченно-нормальный ка
нал) ф-ла (i2.58) приводит к результату
р=,,/
2
f'exp[---x2 -][l-Ф(x)]dx=
V п(1+2ii2) J
2 (1+ 2ii2)
2
1
=-
arc tg-::======
п
V1+2h2
(2.61 )
В области малых ошибок
(2.62)
Зависи~ость p(h2) при различных параметрах q2, В 2 , определяю
щая потенциальную ПОf1~хоустойчивость бинарной ЧМ, когда при-
62
ем осуществляется без учета коррелятивных авязей между посыл
ками (Rэ=О), дана на рис. 2.6 . Можно заметить, что в подрэлеев
,ском канале изменение коэффициента асимметрии ~2 в широких
пределах (от 1 до 0,2) мало меняет помехоустойчивость связи по
сравнению с помехоустойчивостью, достигаемой в рэлеевском ка
нале.
Рис. 2.6 •
Для бинарной системы с противоположными сигналами (ФМ)
S1(t) = -S2(t)
(2.63)
вероятность ошибочного приема с учетом ф-лы (2.44) определяет
ся вероятностью .неравенства
л
1+2h;
Z1cos fPp + Z1sin(J)p
•
<О,i=1,2.
1 +2h~
(2.64)
С учетом ф - лы (2.43) запише•м последнее выражение так:
А<В;
В=-
УРcos2(J)pЕ+УРЕsin2УР---
,
[
1+2h; ]
1+2h~
(2.65)
1 +2h;
1+2hz
(2.66)
(2.67)
63
где А - нормальiю распределенная случайная величина с нуле
вым средним значением и диопеР'сией
а~=а~Е[cos2<рр+sin2 <рр( 1+ 2h; )
2
] + Е2cos2 <рра~ +
2
1+2hz
•
( 1+2h2 )
2
+ Е2 sin2 <рра2
х
у I+2h2
у
(2.68)
выполнения неравенства (2 .65), т. е. вероятность
При симметрии канала по ортогональным компонентам
р= _I[l_ф(-./
2q2h
)]'
2
V i+q2+fi2
(2.70)
т. е. в этом случае вероятность оши~бки от фавы (j)p не зависит.
Для случая, КОIГда в канале нет регулярной ,юомпоненты с за
ранее извест:ной фазой (q2 = 0), из ф-лы (2.69) следует р= 1/2, что
вполне очевидно, так как ,система с противоположными ·сигналами
не может работать в таком канале. При q2-+oo из ф-лы (2 .69)
следует результат 1(43) для идеального канала
(2. 71)
Значения срр, обеспечивающие экстремальные значения (2 .69) ,
находятся из условия
(~2
-
l)sin2<pp = О, О< ~2 < 1.
(2.72)
На интервале [О, ; ] экстремальные значения
п:
<рр=О,
2
!Рмакс> (f)p = 2n: ;
р=
Рмин' (f)p = О.
(2.73)
(2.74)
Это ,понятно, та1к как ошибка минимальна, если более сильно
флуктуирующая ортогональная ,компонента •у (!При ~2 < 1 всегда
а~ > а~ ) колеблется около нуля (my=cpp = O). Ма1ксимальна же
она тогда, когда менее флуктуирующая коМ1поне:нта имеет нулевое
математическое ожидание.
64
Колда ~2 = О, т. е. ор-гогональная компонента no оси х ,не флук•
туирует,
При
= _1[1_Ф(,. / 2q2h2cos2q>p)].
Р2
V 1+q2
(2.76)
В этих усJ10виях по сравнению ,с идеальным каналом энергети
ческий проигрыш
1 +q2
-~=
--'--'--
q2cos2 q>p
(2.77)
При 7if-_. , .oo,
:n:
срр=(2k+1)2,q2 ограничено
Р= +[1 -Ф (q)],
(2.78)
т. е. вероятность ошибки за1висит только от свойстsа канала (па
раметра q2 ).
Еслиq2и~2
-
конечные ,числа, а IL2----+ -oo, из ф-лы (2.69) сле
дует
р=+[1- Ф(Vq21~ 2~
2
[cos2 срр + sin2 (J)p~2])] ,
(2.79)
вероятность ошибки определяется только пара,метрами ка,нала
q2 , р2, срр и не за·висит от отношения сигнал/помехи (параметра h2).
При qJp = О предельное ,значение вероятности ошибки ма ,wси
мально
р=+[1-Ф(V q2 ( 1~; ~
2
) )],
~
2 >0.
(2.80)
Заметим, что если од:на из ортогональных компонент не флук
туирует (Р 2 =0), а {!)р =0 , то 'Согла,сно ф-ле !(,2.7 -6)
р=+[1_ ф(V12~~2) J.q
2
<00
и, следовательно, повышая оrrшошение ,силнал/rпамеха, ошибку мож
но сделать достаточно малой.
Зависим~ость p(h2) :при различных лараметрах q2, '~2 , •срр, харак
теризующая потенциальную ,помехоустойчивость бинарной ФМ,
когда ~прием осуществляется без учета коррелятивных связей меж-
З-6
65
ду 'Посылка,ми (.Rэ= О), даRа ,на :рис. 2.7 . Из 1крИ1вых видно, что в
ка·налах с доста11очно большим зн,ачением па·раметра q2 ~ 10, uна•
зовем такой ,канал •почти идеаль-ным], даже в условиях достаточ:но
быстрых замираний (Rэ = О) мож~но обеопечить 1вероятность ошиб
ки, не превышающую ,10- 3
, относитель· но · небольшим ~превышением
сиг,нал/помеха (h 2 <50).
!О'
/(}
/{!2
10-1
1rг1
!!Гз
10-У
10-s
р
Рис . 2.7
Коэффициент а,симметрии ~2 в меньшей rетепени определяет по
мехоустойчив:ость рассматриваемой си'стемы, чем параметр <рр
Уменьшение q2 ведет ,к ,снижению помехоустойчи.ве>сти, однако при
наличии ,сильной асимметрии по ортогональным комп01:1ентам
('~2
- +0) все же возможен ·качественный прием и в каналах, где
q2 ~ :2. К,огда q2 близ1ю к нулю (под,рэлеевский ка,нал), расоматри-
1Заемая ·система (ФМ) при Ra =0 не в состоянии е>беспечивать
удовлетворительную rе,вязь.
Для бинарной системы ,с пассивной паузой 1 ( АМ), пола:гая
S1(t)=s(t);S2(t)=О,
(2.81)
вероятность ошибки р а, ,при передаче а 1 с у четом ф-лы (2.44)
определится вероятiностью 1Выполнения неравенства:
, -. rО"4(1+2h2)[
J+R2
]
М12= J/ 0 4~~ х ln(1+2h;)(1+2h;)+q2~(cos<p~2 +sin2 <pp) •
(2.83)
66
Случайная величИ1На р 1 1и:меет 1четыре)Qпара,метрическое ра,спре•
деление w 4(р 1 ) с параметрами (2.50). Следовательно,
м;2
Ра,= sW4(Р1)dР1= F(A1, В1, С1, D1),
(2.84)
о
где
С--.
f2(1+~2)(1+q2)cos2 (1
2h2 ~2
)
l- Vq
~2 h2
•
(/Jp
+(1+q2)(1+~2) +
+q2(1+~2)~+q2) sin2ер(1+
2h2
)
h2
Р . (1+~2)(1+q2) '
В1= ~;
lV· 2h2
~
•
.
1+ -----
D1 = arc tg tg:cpp~
(l+~2(1+ч2) •
.
2h2 ~2
.
1+(1+~2)(1+q2)
Вероятность оши6ки р rz. при переда ,че а.2 определится вероят
ностью выполнен 1ия 'Нера 1венства ·
(2.85)
Случайная величина р 2 имеет четырехпараметричеокое ра,спре
деление W4 (р2 ) с пара ,метра,ми (2.51). Следовательно,
00
Ра,= sW4(Р2)dР2= 1- F(А2,В2, С2,D2),
(2 .86)
м;2
з•
67
Средняя вероятность ошибки для бина·рной еистемы с iПассив
ной паузой
•р=
. Р.,fР.,=
-
1 [1- F(А2,В2, С2,D2)+F(А1, В1, C1D)J.
2
2.
(2.87)
При симметрии канала по ортогональным компонента·м (~ 2 = 1)
р=+{1+F[v2(1;q
2)[q2+ln( 1~:;h2)],
l, v(q2 (1 +h:
2
+ h2))] -F [ v2 (1+;:+h2) [ q!+ln( 1~~~:2) J,
1, Vq2 (lh~ q2)]} .
(2.88)
При отсутствии регулярной компоненты (q2 =0)
соотношения следует [74]
Р-+[1+ (! + h')- •-:
-(! + h;)- ~],
а при q2-+ -oo (идеальный канал) [43]
И'З 1П'О'СЛед.не.г0
(2.89)
(2.90)
В предельном усеченно-нормальном , канале (~ 2 =0)
р= +[1 + Ф ( y1n (12t2h2)) ~Ф( у1 ~h22h2lп(l + 2h2)) ] . (2.91)
За,висимость R_(h2) при различных пара,метрах q2, ~2
,
<рр, опре
деляющая потенциальную помехоу,стойчивость бинарной АМ при
пр_иеме без учета ,корреляции соседних элементов ,сигнала (Rэ= О),
да-на на р~ис. 2.8 .
Значения энергетического проигрыша (выиг.рыша) при перехо
де от бинарной ·с1истемы с !Противоположными сиnнала·ми ( ФМ),
68
оптиюJ.л ьной в идеальном канале*) (q2- . oo) {43], к бинарной ЧМ
и от бина'Рной ЧМ к бина'р'нюй Л.М **) в зави,симости 'О'Г ;пара,мет
.ров ка:нала q2, р 2 ,пр,и ·ос~у ще~ствлеНIИи ,оптимал ьн01го приема без уче
та ,кюрреляции элементов 1оиnнала 'П'риведены в табл . · 2.2.
ТАБЛИЦА2.2
q2
1
00
11015
1
о1о
1
о
~2
1
1
11
1
110,11о
11Фм-чм, дб 1
.3
1
2,8
1
-оо
1
-оо
1
-оо
1
-оо
11чм-Ам•дбl316,818110\25l25,7
Примечание.
R.э=О; '!'р =0;p=Iо-4
Из та,блицы :вид,но, как бинарная с1истема ,с противоположными
сигналами (ФМ) теряет свои ,качества по мере ухудшения ка,нала
(у,меньшение q2), сохраняя, однак,о, преимущества над срав:нивае
мь1ми еистемами- ,в ло~ч11и 1идеально,м канале (,q 2 >> 10) ***).
Рис. 2.8
В отличие от бшнарной ФМ., бина,рная ЧМ и АМ ,при со·отве'!'ст
вующем отношении си~нал/1помеха обеспечивает удовлетворитель
ную связь в канале с любым, малым значением q2. Энергетический
проигрыш при · переходе от бинарной ЧМ ,к АМ растет 1по ,мере
уменьш·ения q2 и р 2 · (;по мере увеличения асимметрии канала по
*) В смысле минимума ошибки при заданном превышении сигнал /по меха .
**) Сравнение выполненно при неизменной пиковой мощности передатчика.
При неизменной средней мощности этот проигрыш уменьшается на 3 дб.
***\ Если только (j)p не близко к n/i2.
69
ортогональным компонента.м). В предельном случае усеченно - нор
мального канала (q2 = 1P2 = ,0) он равен примерно 26 дб.
По1кажем стр,ого, что при q2 = 0, Rэ = О, ортогана_лыная 1в у1силен
ном омысле бинар.ная система оптимальна*) при 1ра1нных и не
равных энергиях ,сигналов, а также при наличии асимметрии по
ортогональным компонентам (Р 2 * 1) . Для этого определим веро
ятность ошибки произ,вольной (с любыми ~оэффи.циентами
корреляции и энергиями сигналов) двухпозиционной системы в рэ
леевском (ур = О, В 2 = 1) и усечен:но-нормально;vi (ур = ~2 =0) !{ана
лах 1при осуществлении приема юо алгоритму ('2.44). Результат
л
позволит ,выявить влияние коэффициентов Ei j , Bi j на помехоустой
чивость ,связи. Перепишем алгор1итм (2.44) та1к:
(2.92)
где D - квадратичная форма нормально распределенных случай
ных переменных.
Ка,к показано в работе [1,56], характеристическая функция квад
рати,ч:ной формы нормально распределенных переменных опреде
ляется формулой
.
ехр[-+ \V1M - 1{I - (!-2juMQГ1)W]
F(1u) ·- --
--
-----
-
-
-
D-
11- 2juMQl1/2
'
(2.93)
где М - матри1ца ковариаций переменных 0k; W - -матрица-ст,ол
бец средних значений ,переменных вk. Индекс t означает транопо
нирование матрицы ; индекс - 1 у матрицы означает, что бе
рется обратная .матрица; 1 - единичная ,матрица того же порядка,
что и матрица М; Q - д'Иаго.нальная матрица преобразова
ния .(2.92):
о
о
о
Q=
о
о
о
оо-1
о
оо
о-1
При :нулевых сред,них слагаемых 0k ф-ла (2.9 .3) принимает вид
(2 .94)
*) Обеспечивает минимальную вероятность ошибки при заданной средней
мощности .
70
Матрица ковариаций М [см. ф-лу (2.46) ]:
а
О
Ьс
М=Оа-сЬ
Ь-с
dО
с
Ь
Оd
Для рэJ1еевского канала:
Щ2(
h2 )·
а=2ао1+ t,
,.,2 л ( - ){1+h2
"О
2
i
с=-
E;j 1+ hj
~;
2
1 +h~
1
vo
2-2
~2(
-
)
d=Ег21+h;Aii ;
-2
2
Л2
Л;i=Лii+Лii.
После некоторых матричных вычислений получаем
1-2iua
О
2i иЬ
2i ис
111 - 2juMQII=
О
1-2iиа - 2iис
-
2iub
2iuc 1- 2iud
-
2iuc - 2iub
о
Олределитель этой матрицы
2iub
о
l- 2iud
\!- 2juMQ/=[1+4u2(ad- Ь2-с2)+2ju(d- а)]2,
а характеристичеокая функция к·вадратичной формы
F(iи) =
1
D
1+4и2(ad- Ь2- с2)+2ju(d- а)
(2.95)
Плютн·ость вероятности 1кшадратичной фор;мы Д;j ,найдет,ся
ратным преобразованием Фурье:
об-
00
(D)-
1
sехр (-iuDij)du.
w1·
------
'
] Bn(ad- Ь2- с2) (и- U1)(u- U2)
(2.96)
и=
i(a-d) (l+-./1+4ad-b2-c2).
1•2
4(ad-Ь2-с2) -V
(а- d)2
Исключая из анализа случай нулевых з,начен~й энергий сигна
лов, имеем
ad- Ь2- с2>О,
a-d=,=O.
(2.98)
71
Для интегри'рования ур~ния (2.96) воспользу е,мся теоремой о
вычетах и замкнем контур интегр ирова'ния в верх.ней полуплоско
сти, в.нутр.и 1ко·юрого имеет<:я Ещи:нствен~ный полюс в точке
и_
i(а-d) [1 1/1...L4(ad-ь2 _с2)].
1-
4(ad-ь2-с2) +V 1 (а-d)2
(2.99)
Вычет подынтегральной функции ,в у р-нии (2.96) относительно
этого полюса
(2.100)
Подынтегральная функция 'В ур - нии (2.96) удовлет,воряет усло
виям леммы Жорда,на [4'5]. Применяя теорему о вычетах, получаем
w (Dij) =
_ ____
1__-
_-
--~~~
-- -- -- -~--"-=---= ехр[ Dii(а- d) ,Х
V. 4(ad- ь2 -с2)
4(ad- Ь2- с2)'
2(а- d)
1 + ----~
(а_- d)2
х (1+ ·1/1+4 (ad-b2-c2))]
(2.101)
'
V
(а -d)2
В дальнейшем нео,щнократно будем использовать теорему о вы
чета х для вычисления контурных интегралов . Во избежание по
вторения буде ,,1 учитывать, что во ;в,сех ,случаях, ко гда мы прибе
гаем к контурному интегрированию, условия леммы ::>К:ордана вы
полняются.
В соответств'И'И с ур-.нием (2.92) вероя тность ошибки :при пере- .
даче i позиции СИ'М1ЮЛа
ati ехр[~(1+V~)]
2Vl+alj[1+Vl+aij]
(2.102)
где
С учетом введен:ных выше обозначений
4h}(l - ЛТ2)
(/.ij = - h-7(_1 _+
_
h_J) -[1~- h] -(~l -+=h2,--i ~
- ~2-)-,,- -]2
,
h7
1+hJ
(2 . 103)
72
(2.104)
Средняя вероятность ошибки
_
Ра,+Ра, _ [h2· h2 л·2]
р-
2
-
qJL1,2;12•
(2.105)
Из ф-лы ,(2.105) ,с уче'Гом •выражен1ий (2 .103) и (2.104) вид1Но,
что рассматриваемый канал в общем случае несим.метриче,н. Ана
лиз показывает, Ч'Ю значение параметраЛ2, минимизирующее ве
роятность ошибки (2.105), оп'ределяется ·совокупностью па·рамет-
ров hf, h~. Возможны,
одна·ко, условия, при которых опти,мальное
-2
значение Л12 совершенно не вависит от зна,чений отношений сиг-
нал/,помеха.
- Так, для системы с а·ктивной паузой ( h7 = h2 ),
из ф-лы (2.102) имеем
~ij= о,
4(1+h2)
a.ij=a. = li2 (1- лы·
=
v~- 1 =J_[1- V'
Р 2v1+2
2
f.L
h2
fJ=2+Ri- ·
(2.106)
.
1
Из последнего выражения ,следует, что вероятность ошибки р < '-
.
2
-
2
-
2
лишь .при Л12 < 1. Так как μ2< 1, то при Л12 < 1, очевидно, вели-
1- л.2
чина
12 достигает максимально возможного зна1чения, ,рав-
1- μА72
ного единице, при
Л12= О
(2.107)
условие (2.107) удовлетворяется, если одновременно:
(2.108)
Это - условие ортогональности ,в усиленном -смысле ,бинарной
системы. При нем 'В рассматриваемом канале (q2 = ,0, ~2 = 1) веро-
•73
ятно.сть ошибки принимает ·в соответ;ствии ,с ф-лой (2.106) мини
мально возможное значение
(2.109)
На это, по-види·мому, ~впервые было указа,но в работе [156].
Раосмотрим более :подробно соотношения (2.103) и ,(2.104) при
УСЛОВИИ, 'ЧТО
h7»1
(i=l, 2),
(2 . 110)
В этом случае:
и вероятность ошибки приближенно определяется фор,мулой
(2.111)
Из , этой формулы видно, что и для системы с неравными энер
гия·ми обоих сигналов миничальная вероятность ошибки .при не
определенной фазе сигнала обеспечивае11ся выполнением условий
ортог.ональн•ости в усиленном смысле (л";°; =О).
Для системы ,с активной паузой ( hf = ~= h2 ) из ф-лы (2.111)
следует
(2.112)
Этот результат можн10 бьшо бы ,получить, исходя из ф-лы
(2.10.6) с учетом условия (2.11 О). МинималЬ'но возможное значе
ни~ (2.11 ·2) соо"r,вет,ствуег условию ортогональности в усиленном
смысле
(2.113)
Следовательно, в рэлеев~ском •канале э·нергетичеокий проигрыш
перехода от оптимальной бинарной системы с активной паузой к
бинарной системе с активной паузой не удовлетворяет условию
ортогональности в усиленном смысле
1
"f}= 1 - л:2·
(2.114)
74
Для системы с а·ктив:ной паузой в усеченн о - нормальном
ле (at = 0) матрица ,ковариаций М иrмеет вид
кана-
2
Ео~( -)
cr1=-
1+2h2,
2
Коэффициент корреляци·и
R_В12_А
.
/г 1+2h2
12-
-
12V
о2
о1:с2
1+2h" Л12
(2.115)
В рассматриваемом случае алгоритм приема (2.44) можно за-
п исать:
Совместная плотность вероятности случайных величин
w(X,Y) = ----1---- ехр [-
1,Х
2л~1o2 V(1-R12}XY
2(1_:_Rbl
х(~ ,~)]h( R12УХУ )
о~--t- о~
С\о102(1- Ri2) '
а вероятность ошибки
р= SJw(X, Y)dYdX .
ох
(2.116)
х,у
(2.117)
После интегрирования этого ура1внения •С учетом ,соотноше
ния (2.115)
р=- arcg
-
+
1
t[✓ 1+л1,]
л
(1+2h2)(1 - Л12)
+- arctg
-- --~ --
.
1
[V l-Л12 ]
л
(1+Л12)(1 +2h2)
(2.118)
Для с1истемы с противсшолож,ными сигна,11ами (ФМ), когда
Л 12 = -1, вероятность оши·бки р = 1/,2, т . е . лрие.м таких сигналов
невозможен.
В обла,сти малых ошибок !При выполне;нии условий (2 . 110)
р=
1
[•/ 1+Л12+--. /1+Л12]=
__!_ _
r
2
.
,tV2h2 V 1- Л12 V1+Л12
:n: -vh2(1- лы
(2.119)
75
Анализ показывает, что ф-ла (2.118) или (2. 1'19) достигает ми
нимума - 1
-
1/ _:_ при
,tVh2
(2.120)
Следовательно, в усечеНlно-нормальном к,анале э,нертетиrческ1Ий
про1игрыш перехода от оптималь ной бина,рной системы 1с активной
[]ауз,ой к би1наР'НОЙ оисте:ме с аю'ИВ'Н'ОЙ па~узой, не уд:овлетв:оряю
щей условию ортогональности ,(2.120):
1
'YJ =
--
.
(2.121)
1-ЛI2
Эта формула не отличается от ф -лы (2.114) . при замене Л,2 на
Л 12 . Замети,м, что, если вместо у,словия (-2 .120) будет выполнено
более жесткое условие ортогонашшости в )'iсиленно.м смысле
(2.1'08), система будет оптимальной в усеченно - нормальном кана
ле ,независимо от того, ка1кая из ортогональных компонент обра
щается в нуль. С уче11ом эгого можно утверждать, что у,сло
вия (2.1'08) обеспечивают оптимашшость бинарной системы и в
более общем подрэлее:вском ка1нале .
Значения энергетического прои1грыша в децибелах ~п ерехода от
оптимальной системы с активной :паузой к неаптимальной систе
ме в усеченно-нормальном канале (q 2 = Р, 2 =0) ,в завИrсимости от
параметра --Л 12 ил~в рэлеевском канале (q 2 =0, Р, 2 = 1) в з1ависи
:\IIОсти от лара1метра Л, 2 приведены в табл. 2.3.
ТАБЛИЦА2. 3
-
-
---
- --·- --
-- ---·· -- -
--
- ---
Л12 (-Л12)
О [-0,2 \-О,4 [-О,б j -о,в \-О,85\-0,9 \-О,95\ -1
-~
~~'~!~~о о J o,025J , o,75J 1,92[ 4,45\ 5,5в\ 7,25\ 10,15\ оо
71(q2-'>oo)
3 [ 2,23] 1,56j 0,97\ 0,45[ О,9,4\ 0,22[ О,11\ О
Из таблицы видно, что энергетический проигрыш, связа1нный с
нарушением условий оптимальности системы сиг,налов, в подрэ
леевском канале невелик , если только IЛ 12 \ не близко к единице .
Так YJ<2 дб, если /Л,2\ <0,6.
Анализ показывает, что в каналах ,с небольшим значением q2
(почти рэ~еевские ка;налы) ортого1наль ная ,в у,силе:нном смысле
система (Л 12 = О) в1се еще :остается оп тимальной [1,56] , однако при
больших З'Начениях этого параметра (q 2 '? 10, п очти идеальный.
канал) ,оптимальная система сигналов имеет ,пара,метры Л 12 = -1;
л
--
Л,2 =0 (Л=l). В :предельном случае идеа льного канала (q2-+=)
переход от оптималь ной бина1р1ной си,стемы ( ФМ) к ,системе сиг-
76
налов с а1ктивной паувой, хара,ктеризуемой коэффи.центом взаим
ной корреляции Л 12 , ;ведет к энергетическому проигрышу [43]
" /)=
4Е
2
т
J(s1 - s2)2dt
о
Этот коэффициент при различных з·начениях Л 12 та,кже дан в
табл. 2.3 . Хара,ктерно, что в то время ка,к 'YJq•- . .
не превышает
3 дб, значения 'YJ q•=o изменяются в более широких ~пределах. Из
сказа,нного следует, ч ·tо, если бы пришлось выбрать систему для
воображаемого ка,нала, параметр q2 которого может меняться от
нуля в широких пределах, следует •выбрать систему, ·ортогональ
ную ·в у,силенном смысле. При реальных условиях каналы в пре
делах относительно •больших интервалов времени сохраняют при
мерное ,постоянств-о па•раметра q2 и там, где он ·велик (q2~ 10) ,
предпочтение следует отдать системе с про11иваположI-iыми- сиг
налами (ФМ) .
§ 2 .3 . iПОМЕХОУОТОйЧИВОСТЬ МНОГОПОЗИЦИОННЫХ ОИСТЕМ
ПРИ НЕЗАВИСИМОМ ПРИЕМЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОИГНАЛА ПО АЛТОРИТМУ
КВАДРАТИЧНОГО СУММИРОВАНИЯ
Ограничимся рассмотрен·ием систем ,с актив:ной !Паузой, орто
гональных в усиленном смысле .
А1нализируемый алгоритм приема можно записать так :
v1>vj,
i=1=i.
(2 . 122)
Реализуется он относительно просто и интересен во многих
отношениях (см. § 2.1) . В ча•ст!-юсти, соотношение (2.122) пред
ставляет собо й алгорит:м опти·мального приема для произвольных
систем с активной паузой ,гrри неопределенной фазе ·сигнала (или
когда инфор,мацию о фа,зе тр у,п,но получить или нежелатеш;но реа
лизовать).
Вероятность ошибки рассма'Гриваемой системы
р~ 1 - Jw(V,)(f w(V;)dV1)m-t dV1
(2.123)
при у,словии, что v(,t) = и(t) +s; (t).
Имея :в виду ф-лы (2.1'5) и (2.43), видно, что для системы, ор
тогональной в усиленном -смысле,
vi = Vp,i + (хф +Урcos(!)р)Е]2+rtl+(УФ +Урsin(J)p) Е]2,
vj = V"]+11.
77
Случайная величина VJ ·рц,апределена по за.кону Рэлея:
2V1
( V~)
w(Vj) , - ехр
--
.
Ecrg
Ecrg
(2.124)
Случайная вели~чина Vi в общем слу,чае 1и~меет четырехлара.мет
рическое ра1определение W4(Vi) с параметрами:
(2.125)
Интегрируя по в.нутреннему интегралу и используя формулу
бинома Ньютона, ур-:ние (2.123) приводи-м к виду
т-1
оо
р= 1-~(-l)kс~-1sехр(- ::)W4(t)dt.
k=O
О
О
Иопол?зуя для интегрирова1ния результат приложения 1, полу
чаем
+--
(2.126)
[
(
2h2 ~2
)]
Х1+k1+(l+~2)(1+q2)
При ·симметрии канала 1по ортогональным компоне-нтам из по
лучеН!ного соотношеНtия ,следует [33]
~ (- l)k+IС~_1(1+q2)
•{
kq2h2
}
р=~1+q2+k(1+q2+h2)ехр~- 1+q2+k(1+q2+h2) • (2,127)
При q2 = О из Эl'ОГ•О равен·ства получаем для вероят,Ности ошиб
ки в рэлеевском канале [74 ]
т~-1 (- l)k+I ck
Г(m) Г(1+~\
1
•. 1+h2J
р=
т- = 1- ----~--'----
k=I 1+k(1+h2)
Г(+1)
т 1+ii2
(2.128)
Доказательство тождео1венности левой и пра1вой ча1сти ур-ния
(2.128) ,приводится в приложении 2.
78
Если ам1плитуда ,сигнала не флуктуирует, из соотношения
(12.126) следует результат [7 4]:
т-1
Р=~
k+I k
( kh2)
(- 1) ст~1 ехр -'- 1+k
1 +_k]
1
( '@.)
•
р=
-
ехр~- прит=2.
2
2
.
k=I
(2.129)
Для двухпозиционной ,системы, ортогональной в у,силенном
смысле при приеме по ал1горитму квадратичного -су,М'М!,fрОва_ния в
четырехпараметрическом канале :вероятность ошибки
ехр{- 2 (lq:q2) [
cos
2
~~
1+ sin
2
cz ]}.
1 + (J+~2)(I+q2) 1 + (l+q2)(1+~2)
Р=2
(2.130)
При выполнении условия h2
» 1 которое в обла·сти
(!+~2)(1+q2)
•
малых ошибок всегда обеспечивается в каналах с небольши.м q2
(подрэлеевский и 1Почти рэлеевские каналы), ф-ла (2.130) дает
р~(1+f:;(~+q
2
) ехр [-q
2
(!~~ ~
2
) (sin 2 срр+р2 cos cpp)l ·
(2.131)
В усеченно -нор мальном канале в области ,малых ошибок
р~~-~_ ,
h2»1.
(2.132)
2Viiii
Сопоста,вляя ф - лы (2.60), (2.62) и (2.131), (2.132), видно, что
в 1подрэлеев-оком ханале энергетичес,кий проигрыш , связ,анный с
отказом от оптимального приема в пользу приема :по алгоритму
квадратичного суммирона:ния, для обсуждаемых систем бш!З'ок к
единице (О дб). Сказанное справедл111во и при наличии в канале
регулярной компО1ненты (q2 >0). Пр·и q2-н:ю проигрыш, связа:нный
здесь с ,потерей инфор.мации о фазе, максимален, но не превышает
1,5 дб [74].
Итак, для ортого:наль,ной .в усиленном ,смысле ,системы с актив
ной паузой, которая являет,ся оптимальной [87] при неопределен
ной и ра·нномер,но .раопределенной фазе ·сигнала и любом за.коне
распределения амплитуд, прием по простому алгоритму квадра
тичного суммирования ('2.122) дает примерно те же результаты,
что и более трудная для реализации оптимальная схема.
Оценим энергетический ,проигрыш, связанный с потерей опти
мальности бинар.ной системой сигналов равной энергии (условие
Л12 = О) при ~приеме по алгоритму (2.122).
.
Анализ, пр-оведенный в ра-бюте {146] для ·обобщен1но -1рэле ев-ского
канала, г.юкавьшает, ч·ю этот проигрыш монотонно растет с у,]:!е-
79
личением q2. В предельном случае
!Вероятность ошибК'и [116]
идеального канала (q2-+oo)
1 rh2(
V
2))
р=1-F\\!21+ 1-Л12 , 1, i/~(1- V 1- л!2) -
l
( h2) (h2V==г)
-2ехр-2102 Л12•
(2.133)
При Лf2 =0 ошибка минимальна и ра,вна- ехр - -
.
-
l
(No)
·
2
2
Зависимость р (h2 ) согласно выражению (2.133) ~при различных
значениях Л 12 приведена на рис. 2.9 .
10
102
1[,z=L/7 Л. =09
/4•42 Л,={J,о
1Z'
Рис. 2.9
ТАБЛИЦА 2.4
Л12
о
0,2
0,5
0,7
0,9
1
0,995
-41 о
p=IO
~!'О""
-5
/
p=IO
о
О,l
2,8
4,5
9,3 112 ,8
00
О,l
3
4,8
9,5 114,8
00
80
Значения раосматривае.мого энергетического проигрыша, опре
деленного по рис. 2.9, оведены в та,бл. 2.4 .
Из таблицы ,вид!но, что некоторые отклоне:ния от у,словий опти
мальности не ведут к существенному энергетическ,а,му проигрышу.
Оценим теперь эффективносгь простейших ,многопозиционных
кодов в одноканаль:ных (по частоте) ,системах в четыре:хшарамет
рическом канале при незаrвисимом приеме элементов ,сигнала.
Скорость ,передачи информации I пр'И т-позицио:нном ~коде*)
дв. ед.
-
-
-,
сек
где
2
Р~Т
hт=
cr5
Тт: Р :n - длительность лосыл,ки и средняя мощность сигнала в
месте ,приема для системы ·с числом позиций т.
Бели фиксированы Р~, !, 05, то инва,риа,нтом является вели-
чина
h2
р'
2
т
т
hэ=
--=--2
.
1og2 m
Ja0
Удобной хара'ктеристикой ~верности ,связи при сраннении раз
личны х дискретных систем между 1собой (1при зада:нном h; ) яв
ляе11ся экв1I1валентная вероятность ошибки Рэ [7 4].
Для данной системы Рэ оценивается той вероятностью ошибоч
ного приема элементар:ного символа в воображаемом однородном
симметричном бинарном ка,нале при прямом ·методе передачи ин
формаци~и ·и ислольз'ова,нrии п,растейшето кода, при которой обеспе
чивается та же вероят:ность •без·ашибочного .приема длинного со
общения, которая имеет место для раосматриваемой системы в
данно.м канале.
Для прямой оистемы передачи информации с т -1позиционным
· [Iростейши,м кодом (.кодом без избыточн,ости) 1в обла1с11и доста11очно .
малых ошибо,к и от,сутст:ви,и к·орреляции ·между НIИ.М!И {74]
Рэ~~,
log2 m
(2.134)
где Рт -,- вероя11ность ошибочного приема элементарно1Го символа
при m -<ПОЗИЦИОНН·ОМ I<iOдe.
*) Скорость передачи информации определяет максимально возможную
скорость передачи информации д искретным источником при условии, что нена
дежность канала равна нулю {92). Однако в условия х достаточно на дежной
связи этой х арактеристJ!кой пользуются при сравнении различных систем между
собой и при неоптимальном кодировании.
81
В усеченно-нор,мальном канале в обла,сти малых ошибок
(h 2m ~ 1) с у1Четом ф-лы (2.126)
Рэ=
1_1
_
~ (l)k+ I С~-1
V2h~ Jog2m ~ Yk(I+k)
(2.135)
Энер-гетический 'выигрыш перехода от l-й к k - й си,стеме опреде
лим
(2.136)
Здесь h;k - значение этого пара ·мет ра, при котором обеспечи
вается заданная для ,сравни~ваемых систем эквивалентная вероят
ность оши,бки Рэ •п·ри зада1нной !. Считая l-ю систему д1вух:позицион
ной, а k - ю - многопозициоююй, для энертетичес'кого выигрыша
перехода к ,многопозиционному ,коду в усеченно-нормальном кана
ле получае.м с учетом выраже:ния (,2.135)
У/ = 101gl
!og~m
J.
2-т[дб]
(т-1k
k+I )2
~ ст-1(- 1)
2 ~ Уk(I+k) •
k=I
.
В шочти рэлеев,ских каналах в обла,сти малых ошИJбок о'6суж -
даемый анертетичеок:,~:::т:1:]g ( i: ).
k=I
Значения ri 2 _ т [дб] при ра'зличных т сведены в табл. 2.5.
ТАБЛИЦ А 2.5
т
2
4
8
16
32
~
Ё
r2 =q2= 0
о
5,4
6,8
-
11
-
17,7
1
q2=0
""
о
3,3
5,4
7
8
f= ""
~2=1
\Q
rt,
~ 2=q2=0
о
ii:..
2,4
0,8
-
23,5
- 32,7
1
q2=0
.""
о
0,3
-0 ,6
-2
-7
f=" "
~2 =1
Примечание. р< \
82
Из таблицы видно, что в подрэлеевском канале увеличение ко
да от двух до вось·ми ~приводит к монотонному росту энергетичес
кого ·выигрыша, ~который с увеличением асимметрии .канала по
ортогональным ,компонента•м возра1стает. Дальнейшее увеличение
позиции кода выгодно, однако не при любых значениях кюэффи
циента асимметрии ~2
.
Так, в уrсеченно-нормальном канале (~ 2 =0),
в отличие от рэлеевокого ·канала (~ 2 = 1), ,перех1од к 1'6- и 32-по
зицион'ным кодам уже ведет к энергетичеокому ,проигрышу. Ана
лиз показывает, что рост q2 несколь·ко уменьшает энер,гетический
выигрыш по сра·в:нению с рэлеевским •ка:налом (q 2 =0). Эне1ргети
ческий 'выигрыш, определяемый ф-лой (2.136), не учитывает поло
су частот системы. Между тем она 1vюжет иметь решающее вна
qение при выборе той или иной системы ,с.вязи. Для учета эффе,к
тив:ности использования системой занимаемой полосы частот Лf
для передачи информации с заданной скоростью I определим
обобщенный выигрыш перехода от l -й к k-й си-стеме"'): •
!
.
h2
1Olg эl
-f/1 -k[дб] =
h;k
Лfk
I
Q] (Лfl)
•
/ ="'lt-k[дб]-Т1gЛfk •
Лf1
(2.137)
Аналогичный показатель введен в [70]. Если .многопозицион
ность кода создается в результате иопользо1Вания набора частот fi,
то полоса Лf будет пропорционалыной числу 1пюзиrций т **). То·гда
в·место ф-лы (2.137) можно 'Написать
(2.138)
Ра ,сочита .нные по ф-ле (2.1Э8) значения обобще-нного выитры
ша '1'] 2 _ т [дбl для усеченно-нормального и рэлеенского ка ,налов
та·кже сведения ,в табл. 2.5 . Если судить по определенному вьrше
показателю обобщенного выигрыша, выбирать позиционность
кода ЧМ больше четырех нецелесообра.зно.
В радиос1вязи чаще в-сего в результате овоей ;простоты приме
няют двоичные коды, реже - четыре:юпозиционные. Если 1Плот
ность вероятности амплитуды аппроксимирует,ся т-раrопределени
ем, а фаза не коррелирована ,с ней и равномерно распределена на
интервале [-:rt, +л] , то для плотности вероятности Vi имеем
(!Приложение 3)
г
'у2 ]
2 (т')т' ехр L- Е "о~, ~h2) Vi
(
'
w(V} =
_
,
1F1 1-т; 1-
1
Еа~(т'+h2)m
*) Здесь все сравниваемые системы считаются прямыми, одноканальными
(по частоте), а кодирование - простейшим.
**) Для систем с простыми сигналами.
83
С учетом этой ф-лы и ф-лы :(12. 1'24) интегрирование ур-ния
(2.123) приводит к результату
m-1
= ~ck_ (-l)k+l[ т'(1+k) ]т'_1
_
.
р~т1
т'+k(m' +h2)
1+k
(2.139)
k=l
Поскольку
( т'(1+k) )т' ( 1)- •(-~')
=
1--
Е'
m'+k(m'+h2)
Е
т' +k(m' +No J
г==
kNo
то при m'-+oo (е-+оо) имеем
(т,:'~~::~)::_00 =ехр(- 1 ~\) •
Следовательно, пр·и m'-+oo (канал без флуктуаций а·мплитуд)
ф-ла (2.139) переходит 1в ф - лу (2.1 129).
!О
,02
103
/01/ 10s
fOG J_o7 hz
!04=--с--.----,---,----,----.''------'+--~
_
_
'lсmырс,тадамстрu,11сс
н.ос p_acnpilkлcн11,c
- -- т - pacnpCUtlЛCH!J,C
Рис. 2.10
В другом, к,райнем, сл1у,чае, .к,огда т' = 1⁄2 (усечен1но-,Нiармаль
ный канал),
~ (- l)k+l С~-1
р=~ V(I+k)(1+k(1+2No)] •
k=I
Этот результат ~следует та1кже из ф-лы (2.1 126) 1при q2 = ~2 = О.
Для дВУХ'ПОЗИЦ·И'ОН.НОТО кода (:m=2) И'З ур-ния ('2.139) ,и,меем [18]
1( 2m'
)m'
р=2 2m'+h2
(2.140)
• Зависимость p(h2 ), определяемая ф-лой (2.130) 111ри различных
значениях параметров q2 ,
~
2, срр, дана на рис. 2.1О сплошными ли-
84
ниями, а пунктирными линиями - а·нал~оrичная зависимость по
ф-ле (2.140), при1чем параiметр т' определяет,ся в соответствии с
выраже:нием ( 1.89). :Кривые еще раз подтверждают, что т - аппрок
си,мация для распределения амплитуд t1e во ~всей обл·а,сти измене
ния параметров ,в четырех1Параметрическом канале приемлема в
одина,ковой ,сте1пеки. Сов1падение, хорошее в почти рэлеевоких ка
налах (q 2 =0, ~2 =1), ухудшается 1при а,симметрии канала ,по орто
гоналнным ,Iюмпонентам, а также в обобщен,но - рэлеевских кана
лах в области малых ошибок.
§ 2.4. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ВИНАiРНОй ОИСТЕ!МЫ
ПРИ НЕЗАВИОИМОМ ПРИЕ!МЕ ЭЛ:ЮМЕНТОВ ОИIГНАЛА ЛИНЕЙНЫМ
ПРИ,JDМНИКОМ
В каналах радиосвязи, хара·ктеризуемых большим значение м
параметра q2 ,(почти идеальный канал), -мож1но обес1печить поме
хоустойчивость, близкую к · потенциальной, если прием вес-ги не по
оптимальному, но труд:но реализуемому алгоритму (2 .8), а по ал
горитму ('2.1 О), к1оторый оптимален в идеальном канале и ·реали
зуется значительно ~проще (при наличии достаточной аЛ'риор,ной
информации).
Приемник, работающий в ,соответствии ,с алгоритмом (2 . 10) и
предназна,ченный для приема двоичных сигналов, регистрирует
первую 1позицию символа при выполнении нера 1венства
Т
2
2
("[,
,
]
Е1У - Е2У
J v(t) s1,o(t) - s2,o(t) dt >
Р2Р
(2.141 }
о
'
и в11орую позицию при выполнении обратного неравенства . Веро
я-гность ошибочного приема первой позиции ,символа определитс я:
вероятностью выполнения нера1венства
/\
t,+хФУ1+УФУ1<- с,
где
т
,,=
Jи (t) [ s;,o (t) - s;,o(t)] dt;
о
т
У1 = Js1(t) [ s;,o(t) -s;,o(t)] dt;
о
/\
т/\
,
,
У1= sS1(t)[S1,0(t)- S2,0(t)]dt;
о
2Т
Т
с = (Ez - Е1) ~Р +Js;,o(t) [ s;,o (t)- s;,o (t)] dt = +J(s;,o(t)-s;,o(t)) 2 dt.
о
о
85
Случайная величина 'А, раопределена нормальн,о .с нулевым
средним зна,чением и дисперrсией
2т
'
cr; S(s;,о(t) - s;,o (t))2dt.
о
Плотность вероятно·сти случайной величины
А
б удет
Z= ),+ХфУ+УФУ1,-ОО<Z<+ro
w (z) = - -=--=--=-- ехр
-
-
1
( z2)
V2пzii
2Df
где
2т
2 cror( ,
,
)2
22 2112
D1= 2
.) S1,o(t) - s2,o(t) dt+oxY1+auY1.
о
Вероятность ошибочного приема ~перв•ой позиции символа
-с
Ра,= Sw(z)dz = +1-
-оо
~Ф-~ / ____ ___::I_( _s1_
.o_<t_) _s
_
; __o<_t) _)2_dt_______
V 2,Jl1+-1⁄4! о:[},,;,:-,;,,)dJ]+~[ j~( , , ,.- , ,,,)dlлl
. \( s;,o - s;,0)2 dt
о
(2.142)
Аналогично шолучим вероятность ошибоч,ного приема второй
позиции символа
1-
86
т
S(s;,0 - s;,0)2dt
(2.143}
Оредняя 1Вероятность ошибки при ,передаче первой и второй по
зиции сим ·вола
(2 . 144}
При отсут,ствии флуктуации еигнала (G; = Gt = O) из последне
го выражения следует формула для вероятности ошибки в иде
альном канале [43]
l r .(t/Jc s;,o- s~ . o)dt)l
р=- 1-Ф
-----
.
2
2cr2
о
. (2.145,
Для двухпози1ционной си,сте-мы ·с противоположными сигналами
из выражения (2. ,144) следует
(2.146)
Для двух·позицион:н _ой си,стемы ,с актив,ной паузой, ортогональ
ной в усиленном смысле,
р~+[l~Ф(УГ 1Н+~~::,, ,,+ sin' ,,/') ) ] •
(2.147)
Для д1вухпозиционной системы ·с паосивной паузой, считая
s2(t) =0, для средней вероятн,ости ошибки имеем
Р=-1 [1 -О,5Ф(-.r
q
2
h
2
)-
2
__
JI_ 2[1+q2+ 1:h2~2 (cos2<рр+sin2(рр~2)]
-О,5Ф(V 2(;
2
:q2)) ] .
(2.148)
87
Сра·внива,я ф-лы (2.146) и (2.147), видим, что в тех случаях,
1югда когере:нтный прием по алгоритму (2.10) обеопечивает удов
летворительное ка•чество при быстрых замира.ниях, система с про
тивоположными сигналами обеспечиВ'ает rю сравнению с орто1го
нальной в усиленном емысле ,систе,мой (ка·к и 1в идеальном ,кана
ле [43 ]) энергетичеокий выигрыш в 2 :раза (3 дб).
При •си·мметрии канала IПо ортогональным компонентам (~ 2 = 1)
из ф-лы (2. 146) следует
Р=+[1 - Ф(11/ 1+2:::h' )] ,
(2.149)
что сов1падает с выражением (2.70). Таким ,а,бра:зо.м, при В2 = 1 ли
нейный приемник, работающий в соотве11стюш с алгоритмом
{2. 1О), оптимале,н для системы с противоположными ,сигналами.
При асимметрии канала ,п,о ортогональным компонентам это ут- ·
верждение неверно .
•
10'
!IJ'
,оз
!О'{
70s hz
Рис. 2.11
Для сра1внения оштималыного (линейная схема ·с ·квадратур
ными ветвя.ми) и ли,нейного прием:ни~ков бинар:ной ЧМ ,на рис. 2. 11
,оплошными линиями дана зависимость p(h2) при различных па
раметрах q2, ~2 , <pp = tO для оптимального приемника, а ,пунктирны
ми - аналщ·ич,ная з•а•висимость для линейного приемника. Из ри
•сунка ·в·идно, что при q2 ~ 1IO для бинарной си,стемы ,е активной
паузой, ортогональной в у~силенном ,смысле (ЧМ), линейный при 0
емник по помехоустойчивости 1пра,ктически не отличается от оnти
маль:ного. При q2 <7 удовлетворительный ~прием (р<Ю-4 ) лин~й -
ным приемником невозможен. '
;88
Зависимость p(h2) для бинарной системы с протиrвоположны
ми сигналами при оптимальном ~приеме и ра·зличных 'Значениях
q2, ~2 . ,qJp= O ,приведена на рис. 2.1 12 оплошными линия•ми, пунктир
'НЫМИ - ~при приеме по ал1горитму (2.10). Из рИ<сунка видно, что
10·
Ш'
10z
70з
1,z
Рис. 2.12
.10
10'
70' J;E
---
--:т
r/=f/
Рис. 2.13
при q2> 10, ~2 = 1 линейная ·сх ема приемника незначительно у,сту
пает оп "Гимальному . По м ере отклон ения ~2 от ед иницы различие
усиливается.
Зависимость p(h2) для бинарной системы с па,ссивной паузой
rпри оптимальном приеме и ра'Зличных значениях q6,
~
2, срр= О
89
дана на рис. 2.13 с1плошными линиями, а 1Пунктирными - анало
гичная зависимость •при приеме по алгоритму (2.10} . Из этого ри
сунка видно, что для сж:темы -с па,ссивн•ой паузой лишь при
.q2~ 50 1помехоуегойчивость линейной ,схемы приемника яесущест
:венно -отличается от помехоустойчивости оптимаю,ной ,схемы. При
.q2< 10 удовлетворительный прием (р< 10- i) линейной .схемой при
.емника невозможен.
Повыше~-гная к~ритичность прием1ника при двухпоз·и1ционной си
.стеме с пассивнюй лаузой (1по сра1внению <;: системой с а ,к11ивной
:rшуз·ой) к отклоне:нию свойств канала от идеалыных объя,оняется
:необходимостью и-з.менения ур~оння огра,ничения (для его опти1миза
ции) при из•менении овойств ,канала, ·в ·ю 1время как в системе с
.актин.ной паузой пороговое огра,ничение не требуется.
§ 2.5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОiМЕХОУСТОйЧИВОСТЬ ДiВУХ[ЮЗИЦИОННОЙ
-СИСТЕМЫ ПРИ МЕДЛЕННЫХ ИНТЕРФЕР:ШНЦИОННЫХ ЗАМИРАНИЯХ
При медленных замира-ниях ( 1Rэ 1 ~ 1) можно реализовать оп
-т,имальный •когерен тный прием по алгоритму (2.'10), в котором
'УР и <рр необходимо за•менить на v, ер - ожидаемые (измеренные
на основе анализа предшествующих эле.ментов 1си1г:нала) значения
сумма рноr10 к~оэффициента :передачи ка·нала и фазового сдвига в
канале . В отличие 1от ка,нала с неизменными параметрами (идеаль
ный кшrал), 1в ра,осматриваемом канале параметры ·почти :неизме:н
ны на определенных интервалах (локально-идеальный ,канал) .
Особенность реализуемого ,в таком канале когерент:ного !Приема по
.алгоритму (2.1 О) заключается в том, что при приеме должно не
прерывно учитываться изменение ,па1раметр·ов канала и ,приемное
устройство ст ановитс я адаптивным. Возможная схем~а такого ,при
е:много устройсгва, в котором и нформация о канале и.з-влекается
из его •реа Кlции 1н а и опытательный импульс {23], будет подрюбно
р•а1ес.мотрена в гл. 3.
При о.птималыном (когере н тном) приеме ,по алгоритму 1(2.10) и
фик,сированном коэффициенте передачи 1канала; который считаем
одина1ювым для 1всех позиций , на основа·нии ф-лы (12.145) веро
ят.ность ошибки в бинарной системе будет:
(2.150)
(2.151)
Для трех распространенных бинарных ·систем АМ, ЧМ, ФМ 1ю
эффициент л соотвежтвенно равен 0,5; 1,0 и 2,0. Средняя вероят
ность ошибки при медленных интерференционных замираниях и
90
к о герен тном приеме определяе11ся у,средн ением вь1ражения (2.150)
по v:
р=+j[1- ф(VУ2~ 1 л)] W(у)d'У.
о
.
(2.152)
И-ополызуя интегральное представление фуН1кции Кра•м1па [25 ]
00
1- Ф(х) = 2,s__!!!__ехр[- (1+f2)х2]dt
:n:
1+f2
2
(2.153 )
о
и считая, что tv(v) = W4•(v), в.\l!есто ф - лы (2.152) получаем
(2.154)
Интегрирование !Последнего уравнения в общем случае затрудни
тельно. При симметрии канала по 1ортоrональным ко·млонентам из
ур -.ния (2.155) следует
[
q2
]
ехр -
лh2
00
1+-. -
(1+ t2)
р=ехр(- q2)s
2
dt'
:n:
[ лh2
]
о(1+t2) )+т(1+t2)
2
2
hI
hx=hv= -
.
1
1
2
Пос,Тiе замены переменной t
/r h2~
12
,р
1/ ---- = tg - и некоторых
r1+~hf
2
п ре:обра,зований rнаходим
(
с) --
ехр-q2+2V1- Ei
Р=
2:n:
-
-
1-_
s· ехр(..!}_:cos 'Ф) d'Ф] ,
1+ "1
2
о
91
где
1
E1=---
l+лh~
Второй из интеграл1ов 'Выражается через модифицированную
функцию Беоселя нулевого порядка 10 ( ~) • Для вычисления пер
ного интеграла воспользуеМ1ся ,ооотношением [Н5]
1t
+sо
(2.156')
где
А=-vЕ(1+V1- ЕТ) ,
v2с= -VЕ(1- v1- Е~) •
С q2(1+лh2)
Тогда, полагая Е = -
=
1 , получаем для вероятности
2е1 2+л,hT
ошибки в обобщенно-рэлееикком канале
(2.156)
_где
А,С 2=
-- ---
1+--------' -
.
V - у q2(1+q2+лhт) ( Vлhf(2+2q2 +лhn)
2+2q2+лhi -
·
1+qz+ л,hi
h2
При выполнении у,словия
1
" -"-
1 которое в обла-
.
(1+ ~2) (1+ q2) ,/,/
'
,сти малых ошибо·к всегда обеопечивается в ка:налах с небольшим
q2 (каналы, близ.кие к рэлеевским), ф-ла 1(-2 .155) дает
р-::::::, (1 + ~2) (l + q2) ехр [- q2(l + ~2\cos2<р + ~2sin <р >] . (2.157)
4~лh2
2~2
Р
Р
1
.
,
В усеченно-нормальном канале при h2 ~ ,1 (область малых оши-
бок)
1
(2. 158)
-92
Сравнивая ф-лы (2.157) и (2.158) с результата,ми § 2.3, в,ид,им,
что для с~и,стем •с а1ктивной паузой, ортогональных в усиленном
смысле (Л 12 = О) , энергетический 'Проигрыш при неза;висимом и
оптимальном приеме эле1:ментов сигнала , (Rэ = О) , по сравнению со
случаем оптимального приема при медленных интерференционных
замираниях ( \ Rэ \ = ,1) равен для- подрэлеевских и ,почти рэлеев
ских к•анал-ов двум ,(.3 дб). Пр•и росте q2 1этот проигрыш умею,
шается, стремясь в пределе к нулю ~при q2-+oo. АнаЛ'О['ИЧная тен
денция хара·ктерна и для бинарной системы с па•осивной паузой.
!(Jf
f05 'i?
Рис . !.14
Одн·ако для этой ,системы iВ подрэлеенском канале энертетический
проигрыш несколько выше и равен [Iри.мерно 7 дб.
Для оценки влияния коэффициент автокорреляци1и еигнала
{Rэ) на помехоустойчивость бинарной си,стемы с противоположны
ми сигналами (ФМ) при ра-зличных параметрах ,канала q2, ~2 , <рр
на рис. 2.14 дан а за·виси:мость р ( h2 ) при оптималь·ном приеме со
О'tвет,ственно пр1и \ Ra \ = rl (,сшлошные линии) и Rэ=О · ('пунктирные
.линии). Из рисунка IВИдно, что в ка·налах с оильно выражен
ной регулярной -ооста1вляющей (q 2?;:, 10) ~при ~2 = 1 величи·на .коэф~
фициента корреляции ( \Rэ \ ) мало сказывается :на вероятности
<Ошибки, превышающей 10-5 • При меньших .значениях q2 величина
IRэ \ существенно ·влияет ·на помехоустойчивость связи.
Анализ вл ияния коэффициента корреляции 0< l 1Rэ\ < 1 на по
мехоустойчивость ,систем когерентного приема в обобщенно-р.э
леев,ском канале выполнен в ра,ботах [21, 74, 81, 100, 101]. Так ~как
· _радиоканалы с сильно выраженной ,регулярной 1сос1'авляющей
встречаю1'ся на практике довольно часго, то бинарные системы
_радиосвязи -с противоположными сигнала·ми 1перопективны.
93
Проанализируем теперь потенциальную п~омех·оу,стойчивость
бинарных •систем с активной ,паузой в усл-авиях медленнь~х интер
ференционных за.мираний при неопределенной амплитуде сигнала,
когда ведется ·прием по алгоритму (2.34).
В рассматриваемом случае вероятность ошибки о:пределяется
ф-лой (2.152) при Е 1 =Е и л= 1-Л 12 . Но это озна~чает, ~что для си
стем с активной 1Пау.зой в услов.иях медлен1ных и,нтерференционных
замираний незна,ние ампJiитуды еигнала (при известной фазе ,сиг
нала) •не rможет ухудшить IП·омехоустойчивость.
§ 2.6 . О .ГРУППИРОВАНИИ ОШИJЮК iВ КАНАЛАХ С МЕДЛЕННЫМИ
ИНТЕРФЕРШНЦИОННЫМИ- ЗАiМИРАНИЯМИ
Характерная ос'Обенность рад'иока-нала с медленными замира
ния:м·и - это то, что ошибки в нем грушпируются [165, 74], т. е.
когда в та~юм к•анале воз.никают :плохие условия для прохожде
ш1я сиnнала .и ,предшес11вующий элемент с-игнала пр,инят оши
бочно, то велика вер,оятность ошибки при приеме и последующе:го
элемента.
Ра1ссмотрим э·ют в-опрос подробнее, для чего вычислим услов
ные вероятности ошибочного ·приема элемента ,сигнала при усло
виях, что предшествующий элемент принят правильно или оши
бочно. Ограничим,ся расс-мотрением бинарной ортогонаштой в уси
ленном смысле системы ·с активной ,па-узой ~при приеме :по алгорит
му квадратичного ,суммирования, полагая, что 'У аппроксимируется
т - расп·ределением. Аналогичная задача для рэлеевского канала
расоматривалась в работе [74] .
Если -предшествующий элемент оигнала .принят правильно, у,с
лов-ная вероятность ошибочного приема следующего элемента
00
Рправош = 5Pv(oш)Wnpaв(Y}dy,
(2.159}
о
где Р, (ош)
условная вероят.ность ошибки при :некотором значе
нии коэффициента ~передачи v; Wправ (у) - условная плотность.
вероят,ности у, если предыдущий элемент принят пра1вильно;
1•(2Е)
Рv_<ош>=2 ехр\- Y2
cr
5 - 1вер·оятн0сть ошибки 1при данном з1наче-
iН'ИИ 'У [см . ф-лу (2.129) ].
Для ,нахождения ffiпpaв ,(v) во~е:поль-зуемся фоР'М'УЛ'ОЙ Байеса:
w(у)р'V
Wправ(У) =
прав ,
(2.160)
Рправ
где
1
( у2Е)
р
=1--ехр --
~~в
2
22cro
(2.161)
94
-
вероятность 1пра,вильноrо приема при данн-ом значении у;
Рправ = 1-Рош = 1-+ ( 2):h2 )т'
(2.162)
-
,безусловная (-средняя) вероятность правильн-о,го приема,
w(y) - т-ра 1спределение коэффициента у.
После элементарных преобразований
1( 2m'
)т' 1(т')т'
2 l2т' +7i2
-
4\~
Рправ(ош) =
1( 2m'
)т'
l-2 2m'+hz
(2.163)
В предетшом •случае усечен·но-·нормального ка,нала (т' = 1/2)
в обла·сти малых О'IIШбок (h2 » 1)
r ~ Рправ(ош) = О,36_
Рош
(2.164)
С улучшением св,ойств ,канала (ростом т' или q2 ) коэффициент
г увеличивается, стремясь П'Р'И т' = q-+oo к единице.
Если предыдущий элемент ,сигнала принят ошибочно, у,словная
вероятность ошибочного приема следующего элемента
где
00
Рощ (ош) = j. РУ(ош) Wош(у) dУ,
о
( ) w(у)рУ(ош)
Wощ у=----'-----'--
Рош
-
услов.ная .пло11ность вероятности у, если предыдущий
при:нят ошибочно.
После элементарных выкладок получаем
1[2m'+No]т'
Рош_(ош)=2 2(т'+h2)
(2.165)
(2.166)
элеме,нт
(2.167)
! ЙЗ ф-лы (2.167) видно, 'ЧТО при малых 1значениях •т' услюв:ная
~вероятность Рош (ош) не может быть уменьшена даже бесконечным
_ увеличением мощности сигнала:
1
Рош (ош) = 2m'+I •
(2.168)
No- 00
Так, в усеченно-нормальном канале Рош(ош) ::::::0,36, в рэлеевоком
; канале - Рош<ош>=О,,25.
С улучшением свойств канала сглаживается раз,ница между
, безуслов.ной и условной
вероятностями •ошибки. При т' (q2)-+oo
95
ф-ла (2.167) прини;мает в:ид
1
(No)
Рош=2ехр-2
•
Изложенный материал подтверждает то, что 1при выборе кор
ректирующих кодов для канала 'С медле'Н'ными замираниями сле
дует использовать коды, ,которые обнаруживают, а возможно и
и оправляют пакеты ошибок [74]. При применении более простых
корректирующих кодов, кюторые позволяют обнаруживать и ис
пра·влять одиночные ошибки ·в кодовой комбинации, желательно
добиваться декорреляции этих оши·бок :ра'зносом элементов ком
бинаций ·в'о в·ремени на интервалы, превышающие средний период
з·амираний '[7, 74]. Эффективное средство декорреляции ошибок
-
разнесенный прием (см. гл. 4).
§ 2.7. НАД,Е-ЖНОСТЬ авязи по ПОМЕХОУСТ.ОйЧИiВОСТ!И
ПРИ ОДИНОЧНОМ ПРИЕМЕ
Как было 011мечено в гл. 1, только ,на интер·вале локаль·ной
стационарности ,среднеквадратичные (или •медианные) значения
ам,плитуд 'Си1гнала (V~ ) в .месте :приема можно полагать · при
мерно ~постоянными. На более длительных интер-валах эти вели
чины прих,одится считать ,случайными, вследствие чего вычислен
ная в :предыдущих пара1графах вероятность оши~бки бу,дет слу,чай
·ной величиной;
В предположении лока4ыной стациона·рности на анализируемом
временном интер1вале, значитель·но превосходящем Т ст, но не на
столько протяжен·ном, чтобы ·можно обн-аружить изменения щ1ра
метров ра·спределе.ния медленных мультипликативных флуктуа
ций*), процент ,времени надежной связи оцен~ивают интегральной
функцией [55, 58, 63, 108, 13'3]
P(VУ2>VY5)= 100 Jw(Vv2)dVу2•100= F %,
Vr5
(2.169)
где w (V·v2 ) - дифференциальное ра1спределе'Ние V:Y-2 при ме,ц
ленных мультипликативных флуктуациях; у~ - пороговый уро
вень, определяющий 1помех,оустойчивость связи.
*) В кв связи при экспериментальных исследованиях медленных мультипл.и
кативных флуктуаций эти интервалы берут протяженностью порядка 1 ч (41, 114 .
123].
96
2 -2Е
lo=Уо-
•
02
о
(2.170)
Тога
== exp(gJ
при логарифмичесхи-нормальном ра,спределении • l =
{rсм. ф-лу ( 1..2) ] имеем для плотносги ,вероятности g
w(g)= 1 exp [_ (g-f.t)2 j ,- co <g<+oo
(2.171)
У2no2
205
'йнте:r·ральная же функция
Р(-l_>
_!..!!._ = r) = _1
·[1_ Ф(lnr+ а2)],
-v -z2
v12
2
cr
(2.172)
'Где Vr - 1средНе]{IВаДратично'е зна,чение.
Два параметра μ и а2, ха·рактеризующие люгарифмически~нор
мальное распределение, мюжно выразить через ,сред.неквадратич-
ное значение Vr = -a = exp(μ + a 2 ) и через отношение -средне~квад-
- v1~
02
ратичного и ,среднего з-начения -=г- = Ь = ехр (2 ) .
Выр:аж;ая а и Ь в д~цибелах (104]
.адб= 20\gа;
Ьдб=10\gЬ,
(2.173)
.Jrierкo видеть, что
(а-2Ь) дб
:tJ,=
8,686'
2
Ьдб
а=--.
4,343
(2.174)
Эк,опер 'имент:альные наблюдения ,при . изучении медленных муль
типликативных флукту.щий амплитуд показывают, Ч110 з·начения
ла_раметров а дб и Ь дб ( соответственно ~L, а2 ) мотут в зависимо
•сти от длитель-ности интер,вала наблюдений, ·време-ни ,суток и года,
географии радиотра,ссы, ча,стот 1связи и поло·сы а1нализа меняться в
весьма широких п:редел ·ах от единиц до десятков децибел [41, 55,
11-4, 123] . Одiиако медиа:нные з·начения этих величин характери
зуются ·относительной стабильностью и практически ·не зависят от
.длины, направления тра ос ы и ча,стоты овязи.
Бели iВ ф-ле ,( 2.172 ) z/ V t2 11 r выразить в децибелах:
L=20\g- 1
·-
•
R, = 201gr
Vz2 '
;и учесть сосп:ношен1ия {2.174), то получаем
F%~,P~>R) IOO~M[l~Ф( tt)J. (2.175)
·4 -6
97
При пе-ред·аче диск,ретной информации, когда объективной ха
'рактеристикой верности являе-гся вероятность ,ошибки, надежность
•связй F % предпочтительнее определять не функцией пор·ога R, а
допустимой вероятности ошибки Рош [41, 64].
Не о~танавливаясь 3,десь на различных графических методах
· определения надежности F % [12, 41, 58, 63, 108], ·найдем расчет
ные формулы для это г о параметра для каналов весьма общего
характера. Ограничимся рассмотрением бинарной системы с ак
тивной паузой, ортогональной в уС"иленном смысле.
Пусть на интервале локальной стационарности коэффицент
передачи канала ап п роксимируется т - распределением. Тогда ве
рояты,ость {)Шибки на этом интервале [см. ф - лу (2.140) ]
1(•2m'
)т'
р(!2)=2 2m'+l2
'
(2.176)
,.
Надежность, определяемая ф - лами (2.169) или (2.175), харак-
теризует суммарную вероятность нахождения ошибки в ,пределах
·отнуляДО
.
= J_( 2m'
)т'
Рош
-
2 2m'+zg
(2.177)
Из последнего равенства следует
IJ~2m'[
1~~1]•
(2Рош)
(2.178)
.Параметр
R= 1Olg~: (
1-1,-
1)=
\ (2Рош)т
}
(2.179)
Тогда вместо ф-лы (2.175) получаем
[.(
lO!g [2m' . (
.
\'/т'- 1)]-а дб+~2Ь дб )]
F%=501-Ф
___ _
(_2Р_) _____ _ ____
•"
УЬ дб•17 ,372
(2.180)
Из структуры ф 0лы (2.180) в:,щно, что при зада·нных значениях
Ро= т', Ь существует поротовое з·начение апор, при котором F
практически равно 100%. Увеличение параметра а сверх порогово
го значения не мьжет изменить результат .
98
F,%
99,8
.99,7
99,5
99
f8
97
!76'
95
90
8S
110
7.,
70
6'6'
С(}
5"5
.so
1/5"
1/0
.JS
.JO
2S
20
15
10
8
5
'1
J
/]
f
11
1
11
-~
1
JO
/!О
а- 10
О 7,5' lS 22,5' J'0
i
1
i
1
1
50
1/0
1
1
b=5Jrf
1
1
120 1.JO
i
i
~-
70
60
80
90
700
110
1
'
\
. 6'0
75
90
105
X,iJo '
Р,111 1-с
Ри с. 2.15
99
ff '1⁄4
99,ll
99,7
99,S
100
g9
98
97
9/l
9S
.90
/IS
/JO
7S
70
&5
60
ss
so
ЧS
чо
.JS
.JO
2S
20
fS
fO
8
о
,,,
.J
f
\1
'
,
\
'
1
1
•
'
-
\1
i
1
1
1
'
1
1
1
1
\
1\\
\\
\\
,\
,
\\
\
\\1
\
\
\
,
1
1
\\
,\
1
\60
1
\
1\so
\11/О'1
1
1
30
1
~~ 20
1
1
'
1
1
1
1,
1
'
,\
~~
_;
\
\а~101
\\
1
о 7,S rs 22,S .JO
'IS"
1rг 1
f!Г2
JГ ' 10··2 10 -.J 10-•1
70-2
ro-•
10-•
10-.!] 10-.1 rrгc
,
!J =10!J5
,
\
'
,
1!150
1
1
1
\
1'10
1
1
1
'
1\\
i'
1
\
1
\
1
\
'
1
1
'
1
1
1
\
1
1
\
,
\\\
'
\
,\1301
\'\
120 ,
\
\\
\
1
\ 110
\
100,\
1
\
\ .90
\\
\
\
80\
1
1!1
1
1
\
1,,
1
70\
\\
1
\
'
\
\
'
\
\\
1\1
1\
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1-\
1
\
\
1\
1
\1
:\
1
1
\
1
\
1
\:'\i
\
1
&?
75
90
JOS
x,u!f
,о-з
70-' I
10 -s
0-6'
~ Рт'~f
10 -s 10-с 10- 7 10-8 10-9 10-,о
Pm': 1
Рт'=2
Рт~о
Рис. 2. 16
F,%
9!1,8
99,7
89,5
99
;98
97
8/i
95
1
--
-
•·
,.
\\
'
\
...
1
\
1
'
1
1
\
1
\
11
!JO
8S
80
7S
7.
{i.
6'.
s.
s.
'{,
о
'S
'О
s
о
:,
.
'{,
tJ
J
2
2
о\
51
о
5
о
:,
о
1
:
''
1
1
81!
'
:1
1
1
\'
.1
н
s fl,=30
'1
2
I
.
'
:11
1
'
i'
1
\1
1
\
\\
1
.
.,,,J f;/
3\
'
!Jo
'
1
111
1
1
'
---
""
·-
1
i\
1
-
'
1
1
--
1
1
.
'
.
'
1
1
\
1
1\
1
'
\
1
'
\
1
'
\
.\
\
'
1\
J/90
1
1jtLво
·,,70
,,-60,
.J.
'
',,
\
'
\
\
\11
\
1
1
1
!,
1
:
\
о 7,5 75 22,S .J(j
'IS
со
70t
,0 -2
103
1
\
'
\
\
.
\1
\
'
\
1
'
1
\
\1
1.
,-~
-
\
-г-
\\
1
'
' t!?l
710
/100
1\
1\
1
1
\
.
1
\
'
'
\
\
\
'
1
\
7S
90
10·'{
10· 1 J(j-2
,0 -.1 10· '{ то ·.s 10·6 ' 10·7 ,о-е ,о-э
м-2
10-ч !О о
70-2
,0 -1 10-6'
Рис. 2. 17
1
'
'
\
'
1\"
ll/0
r
TJO \
1
1
1
1
1
\
\
tOS
10-s
7()-10
ь~20М
-
181.
1
\ 170,-
-
...
1
\
1
1
_l
~
1
,-~'
Vflio
15,;\_
1
'
1
\
1
1
1
\
11
\
;:::
,-
1
\,
1
\
x,rlo
70-с Pm~f
Pmkt
101
Для удобства ~построения ·и анализа зависимости (2.180) цел е
оообразно по оси абсщкс отк ладывать аргумент
Х=2m'( \Jm'-
1)
(2.181 )
2Рош
в ~ецибелах, т. е. число
у= 101g х,
(2.182)
а ·по о си ординат целесообразно F % откладывать с вероятноС'~ны м
ма•сштабом. Тогда зависимость Р % (х дб)
F%= 50{1- Ф[-V
1
(х дб+2Ь дб- а дб)]} (2.183)
Ь дб·17,372
•
пред,ставляет •собой .прямую линию, l}!аклон ко1'ор·ой определяется
параметром Ь. Пара.метр 2 Ь-а определяет смещение этой прямой
в,п:оль оси абсцисс .
Графики зависимости (2 .183), построенные при Ь = 5; 1О; 20 дб
и различных значениях ~параметра а ·приведены .на рис. 2.15-2 .17 .
Та·м же построены дополнительные оси абсцисс, позволяющие пе
ресчитать х •в соответствующие значения вероятности ошиб1ш Рош
при т'= --
1- ; 1; 2; 6 . Пр.и веденные графи.кн ·позволяют легк,о рас-
2
считать надежность связи ло 1помехоу,стойчивости в ,каналах весь
ма шир·окого клаоса.
Приведем пример ра,счета. Пусть дисперсия медленных флук
туаций оп~ределяе1'ся параметром Ь =20 дб, параметр a= •I00 дб.
Требуется определить возможное ухудшен·ие надежности связи по
nомехоуст,ойчиrюс11и ·в усеченно-нормально.м ·ка.нале при условии,
что вместо ~передачи информации с ,вероятностью ошибки р = 10-3
необходимо обеспечить вероятность ошибки р = 1О-4 . Из рис . 2.17
(т' = 1/2, а= 100 дб) имеем:
при р= 10-3
F = 75%,.
при р= 10-1
F= 1%.
Следовательно, требуемое ,снижение вероятности оши,бки на
один ,порядок вызывает уменьшение возможной надежности связи
на 74%. В канале повыше-иного качества с ,параметром m'= 1
(рэлеевокий канал) у,казан.ное выше изменение вероятности ошиб
ки от 10-3 до 10-4 приводит к понижению надежности свя з и лишь
наО,2 %.
Выводы
1. Опти м альный алгор ит м прие м а в четырехшараметриче ск о м
канал е реа л и зу етс я прие м ник·о м , содержащим ли·ней.ные и нели
,нейные в етви, - когере-нтный прие JVl'Н'И К с ,не л инейны м и ветвями .
Даже лри -отсу тст-вии регулнрной ча-ст и с•игнала, но асимметрии
·по ортогона л ь н ым 1юмпонета м ( ~2 < 1, подрэлеевск·ий канал) опти
м альный при ем н1ик не я·вляется некогерентным .
102
2. При оптимальном незави.симом приеме элемен'Гов сигнала
. <коэффициент
автокорреляции соседних элементов Rэ= О) . поме
хоу,стойчивость ортогональных в усиленном смысле бинар-ных си
стем мОJiотон,ю ухудшается с рос'Гом а·сим-метрии (1/В 2 ). Однако
до весьма малых значен·ий параметра ~2 (порядка 0,2) энергети
ческий проигрыш не превышает 5 дб.
3. При наличии сущест,венной регулярной компоненты в кана
ле (q 2> 10) бинарная система с противоположными сигналами
( ФМ) обеспечивает удовлетворитель·ную связь и э,нергетическое
преимущество над системами ЧМ и АМ неза1в·иС'имо от корреля
ции соседних элементов (О~ IRэ 1~ 1). Рост асимметрии ведет
при э·гом к повышению достовернюсти. По мере ухудшенrия ка1нала
(уменьшение q2 ) система с противоположными сигналами теряет
• помехоустойчивость, которая характеризуется ~предельной вероят
ностью ошибки (от,ношение сигнал/помеха h2--+oo), зависящей
только от параметров канала. При этом величина IRэl уже су
щественно влияет :на помехоустойчивость си-стемы. Поскольку ра
диоканалы с существенной регулярной компонентой встречаются
на пра1<тике довольно часто, перспективность системы •с противо
положным,и сигналами для рад!иосвязи не вызывает сомнений.
4. Энергетичеокий проигрыш .,•перехода от бинарной ЧМ к AN\.
{при Rэ =О) растет по мере уменьшения q2 и ~2
.
В предельном слу
чае усеченно-нормального канала (q2 = В 2 =0) он составляет при
мерно при неизменной пиковой мощности передатчика 26 дб.
5. При быстрых замираниях (Rэ=О) •и весьма слабой регуляр
ной компоненте сrигнала {q2 =0) ортогональная в усиленном смыс
ле бинар:ная система оптимальна (в смысле .минимума вероя'Гно
сти ошибки при заданной средней мощности сигнала) при произ
вольных соотношениях энергий сигналов и коэффициента асим
метрии (1 / ~2 ).
6. Jv\аксимально возмож-ный энергетичео1~ий проигрыш бинар
ной системы, связанный с нарушением условий оптимальности си
стемы ·сигналов, ~меняется от 3 дб при q2--+oo до десятк-ов децибел
при q2 =0, если , однако, коэффи циент взаи м-ной корреляции с иг
налов по модулю меньше 0,6, энергетический проигрыш не превы
шает 2 дб.
7. Для бинарных систем с активной паузой , ортогональны х в
усиленном см ысле, э.н е ргетический проигрыш п р·и независимом
{ Rэ =О ) опти м альном приеме эле ме-нтов сигнала по сравне.нию со
случаем опти м ально-го при ема при медленных интерференционных
замираниях ( 1Rэ 1 = 1) ра'вен для под рэлеевских и почти рэлеев
с ких ка,налов 3 дб. При росте q2 этот проигрыш уменьшается,
стремясь в пределе при q2--+oo к нулю.
8. Алгоритм к,вадратичн·ого суммирова,ншя [maxi(Vi) ], который
оптимален для систем с активной паузой при рав·номерно распре
деленной фа зе сигнала или неизвестных зако н а х распределения
амплитуд и фаз (согласно критерию максимального правдоподо
бия), реализ у ется сравнительно ,просто. Этот алгоритм обеспечи-
,вает для систем, в ортогональных .в усиленном смысле обобщен
ном четырех~парамет,риче~ск·ом канале, устойчи.в~ость, близкую к 'П'О·
тенциальной. Нарушение у1словия ортогональности для бинарной
,системы не -пр ·ивод,ит к -сущест,венному э·нергетическому пр,оигрышу
при ограниченном коэффициенте вэаимной корреляции сигналов
(lл12I <О,5) .
9. Линейный (когерентный) прие-мник, оптималь·ный для иде
ального ка,нала, остает,ся та·ковым для бинарн·ой ,системы с ~проти
воположными сигналами и в более общем (обобщенно-рэлеев
сжам) .канале с быстрыми замираниями. При асимметрии канала
это утверждение неве,рно.
·В
почти идеально.м канале (q2 ?; 10) при R.э=О линейный при
емник для бина ·р·ных систем с актив·ной паузой, ортагональных ~
усиленном смысле, незначительно уступает по помехоус11ойчивости
оптимальной схеме. Однако при меньших значениях параметра q2
ломехоуегойчивость резко -падает. Для ,бинарной системы •с пас
сивной паузой лишь 1при q2 ?;50 по,мехоустойчив•ость линейной схе
мы приближается ,к помехоустойчивости оптимальной ,схемы.
10. Анализ энер,гети,ческого вьшг.рыша от :р,оста позrиционности
ортогональных ·в усиленном смысле бинар ·ных систем с активной
паузой lПРИ фиксир·ованной скорост,и передачи информации) при
учете •эффективности использования занимаемой полосы частот
показывает, что выбор позиционности выше четырех нецелесооб
разен.
11. Медленные интерференционные замира,ния в канале обус
ловливают лруппирова~ние ошибо'К. У,слов.ная вероятность оши~боч
ного пр1иема очередноло элемента при условии, что предыдущий
принят оши,б,очно, характер·изуется ~предельным значением, з·ави
сящим лишь от ,па•раметров J<'а,нала. В этой 1связи декорреляция
ошибок или использование кодов, корректирующих ,пакеты оши
бок, - эффективное средство повышения помехоустойчив·ости рас
сматриваемых ка ·налов.
12. На д ежность связ·и ,по :помехоустойчивости ка ,к фу:нкция от
дорустимой вероятности ошибки (потери д~остоверности) вы р а
жается для бинарной системы с активной паузой, ортогональн ой
в ус1иленно-м смысле, довольно простой расчет,ной фор ;\1улой в ка
налах с т-распределением амплитуд.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ОДИНОЧНЫЙ ПРИЕ.:М
В :МНОГОЛУЧЕВЫХ КАНАдАХ
(СЕЛЕКТИВНЫЕ ЗАМИРАНИЯ
И ЭХО-СИГНАЛЫ)
§ 3. 1 . АЛIЮРИТМЫ ОШГИ!МАЛЫЮГО ПРИЕМА И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ
Пу,сть в промежутке времеНlи от О до Т передатчик излучает сиг
нал {1.1) . Ожида ем ый многолучевой сиnнал п-ри передаче толь·ко
сигнала si ( t):
,
.
~
А
si(t)= ~ y,fsi(t_:_т,)coscp,+s,(t-т,)sincp,],
(3.1)
p=I
где v,·, ер,., , ,.
-
ко,эффициент пере дач и канала, фаз'Овый сдвиг по
выс окой частоте и задерл<ка по г ~му J1учу *; N - число лучей
сра нни мой интен,с ив.ност.и ~в ка1нале.
Си гнал {3 .1) существует на инте'Р'вале
(3.2)
где Тманс - ма1Кс имальное зшпаз,дывание между луч ·а·ми.
Фак11ически анализируемый на 1и:нтервале Та си ,гнал при пере
дач е сигнала s,(t) о[Iределяе11ся выражеrrием
(3.3)
где gм.и(t) - си,гнал, обу,сло,вле:нный по·сылка,ми, следующими
до и ло,сле анализируем-ой, .VIеж сим~волыной интерфере:нцией.
Ан ализир уем ый на интервале Та сиг.нал плюс флуктуационная
по мех а ~~южно за1пи с атъ так:
(3.4)
*) Здесь и в дал ьнейшем считается, что луч с минимальным запаздыванием
(на ч ал о анализируемой посылки) ссвмещен с нулем по оси времени и ему при
сваивается индекс r = 1, а
- r, ;;,. 2 означает задержку r-го луча относительно
лу ч а с ми ним альным запаздыванием.
105
Есл~и все ожидаемые в месте приема сигналы считать изв·ест
ными точно, то можно реализовать оптималь-ный когерентный пра
ем по алгоритму (2.1 О), который для многолучевого канала можно,
записать так :
Мах, 1J" ,; (1) v(l)dl -О,)
или Max1 \f Jav(t)yr[cos<prs;(t~т:r)+sin<p~s;(f-т:r)Jdt-01 } • (3.5)
r=I О
Пороговый уровень _
'а
т~
о1s '•'t)d'
1 j'(
-
"d- t
;=0
2 S;lаt=2
St(t)+gм,и(t) •
(3.6}
О
D
Как видно из ф-лы (3.6) , для фо1р1мирюва1ния ;пороговых ур·ов,не й
Oi требуе11ся знание не только пара1метров канала Yr, ер,., 'tr, но и: ·
сигнала gм, и(t) .
Однако на интервале а·нализа очередной посылки Та= Т + 'tманс
можно знать, если -выбор предыдущих посылок сдела :н ,пра1вильно ,.
л1ишь остаточный сигнал ( «хвосгы») от предшествующих посылок.
Практически, если тольк-о из ·алгоритма приема нельзя исключить.
пороговый уровень Oi, проще ограничиться анал1изом ,си ,гнала на
интервале Т (брать Та=Т), что ведет к потере части энергии до.
полнительных лучей . При r0 2 > Т такой метод -п·риема позво-
ляет 1использовать энергию лишь одного луча.
При выполнении условия
т~
01= .\ [s;(t) +gм и(t)2'dt]= const
(3.7)
о
алгоритм приема (3 .5) сущесгве1шо упр ощаетс я
Мах1 1 J• ,; Щи(t)dt) •
(3.8)
Условие (3.7) можно за,писать та·к:
та
Е;+2Js;(t)gм_и(t)dt= const;
!а
в;= Js/(t)dt.
(3.9)
о
о
Выполнить последнее условие сложнее, чем т-олько условие
Е'. Е'
1=
, так как т, ребуется до1полнитеm,;fЮ
1(!}6
та
.\ s;(t)gм_ и (t) dt = const-
o
(3.Ю)
Это условие вы[те>лняется при иопользованиlИ достаточно широ
кополосных сиnналов, удовлетворяющих нераrвенству ( 1.34)
Лfi •мин> 1 {условию ,р.азделения Л'Учей), а также условию ортого
нальности в усиленном' смысле при т>тмю-1 [,см. ф - лу ( 1.40) ]. Тог,д~
примерно выполняет,ся соотношение
та
j' s;(t)g·м.и(t)dt=O
()
и для систем с а,ктивной ,паузой на приеме (E'i = Е') алгоритм
,(3.5) действителыю свод'ит,ся к (:3.8).
Когда ошибки .1в :приеме отдельных символов не коррелирова
ны, можно предложить близкую к оптимальной схему поэле.мент
ного приема, не требующую знания gм. и(t), если регистрировать
позицию символа, которая максимизирует суммарную у,словную
плотность принимаемого коJiебания v(t) при условии передачи
всевозможных комбинаций символо·в.
,
Это означает, что при за1паздывании -между лучами
(3.11)
т. е. перекрываться wюrут только ооседние элементы сигнала, рас
.сматриваемьiй алгоритм приема имеет вид
М.ах1{i i wa. 1, i, k(v)},
1=1 k=l
•
(3.12)
где Wa1 i k (v) -усло,вная ,плотнюсть v(t) при усло-вии, что пере
да,н символ i после символа l и до символа k; т - ·основа·ние кода.
Заметим, что при медленч ы х замираниях в канале алгоритм
{3.12) далек от о;птимальноrо. Для каналов ,с медленными замира
ния ми (большая корреляция между эле:\1ентами сигнала) перспек
тивен для мно голучевых каналов с .межсимволЬ'ной интерференци
ей пр ием в ы:елом пакетов из М-информационных (рабочих) по
сылок, отделенных на передаче ·с двух сторон «защит,ными» ин
теР'валами, удовле:гв оряющими условию
(3.13)
где •пер - длительность переходн·ого процесса в канале, обуслов
ленного ограниченностью его полосы пропускания (,см . рис. З. , lа).
Во многих случаях •можно принять •пер<<• и Тз=•манс-
В расо,1 атри·ваемой системе число ожидаемых ,позиций сигнала
на пр11еме ти =k {т - :позиционность кода на передаче). Реа
лизация оптимальной решающей схемы требует генер,ирование в
месте приема в блоке формирования ( БФ) всех k позиций ожидае
мых си шалав на основе данных -блоков измерения ( БИ) характе
ристик кан:ала. По.следни€ моrут измеряться при использовании
«шу,мо·подоб.ных» оигналов , на,пример, как в системе «Рейк» '[145],
или при сигналах произвольной формы - по реакции канала на
107
испытательные лосылюи, периодически передаваемые mo ,каналу с
периодом Ти {23].
Следует ·подчеркнуть, что ,созда·ние в месте ·приема не,обходи
мого набора ожидаемых ·сигналов при помощи опти:мальных оце
нок прннимаемото колебания - это весьма сложная задача, свя
занная •С реализацией аптималь·ногю приема в многолучевам ка
нале [19].
Нслытатrtлшме амп!lл.сы
Р8анqц lfанала на
ll,CЛ6/mamt'Л6Н6/C l!.MП/jl76C6t
Рис . 3.1
t
t.
t
В синхронной системе с иопытательным импульсом той же
длительности Т, что и инфоР'мационные посьшюи, ,следует вы
брать
(3.14)
где В - ближайшее целое число от деления 't'ман с +,пер на Т.
Тогда :период следо·вания иопытательных и•м,пульсов
,Ти=(М+1+2В)Т.
(3. 15)
Время Ти следует выб.и'рать так, чтобы на этом промежутке
па·раметры радиоканала считались ,пра1ктически неизменнЬ!iми. В
коротковолновых каналах 1вел1ичину Ти можно считать не меньше
50-100 мсек (10, 91, 119, 143]. Двоичный манишулирующий сигщ1л
на передаче в системе с испытательным :им;riульсом показ,а.н на
ри·с . 3. la. Элементы ,ка,налъных сигналов в системе с иопытатель-
108
ным имюvльсом •могут быть как простыми, 'Гак и •слож,ными (с
большой ·базой).
Примерный вид канального сигнала в системе бинарной АМ
с и,спытатель,ным импульсом показан .на рис. 3.16. На рис 3.lв
показан примерный вид сигнала (без аддитивной помехи) на при
еме (по·сле входного избирательного блока ВИБ), соответствую
щий силналу рис. 3.1 б в многолучевом канале. Иапытательный
радиоимпульс соответствует одной заранее определенной позиции
кода. По анализу ·реа,кции канала ,на испытательный импульс ·на
интервале (В+ 1) Т в месте приема •можно определить в_озм-ожные
реакции канала при ,переда·че радиоим.пульса любой позиции кода.
Например, 1при ква•нтовании (ма'Нlипуляции) по амплитуде или
фазе эти реакци.и от,1,ичаются соответственно толь·ко амплитудой
или фазой, известной на приеме.
По указанным выше реакциям канала можно 1сформи·ровать
(предсказать*)) на интервале анализа рабочих посылок МТ все
тм позиции ожидаемых сигналов. Очевидно, ~что прием в целом
значитель·но усложняет систему СИИП. Ниже мы вер'немся к об
суждению ю~К'О'Горых ~практических основ ·оистемы СИИП, но с по
элементным ПР'иемо.м .
Вернемся к опти маль,ному алгоритму поэлемен11ного приема
(3.5). С целью уп,рощения реализационной ,схемы его можно наш1-
сап, в следующем э,квивалентном в1иде :
Max,\iJ"v,(t)y,s,(t)dt~o, )•
(3.17)
v,(t)= v(t+т,)'f', -
сдвиг по ВЧ на срР.
Алгоритм (3.17), ·в отличие от (3.5), реал.изуе11ся при помощи
схемы (рис. 3.2), в которой за·держке (в лшн,ии задержки ЛЗ) на
Тманс подвергается -не опор,ный сигнал si(t), а 1принимаемое коле
бание v(t). Синхр·онизация ·вЬ11пол.нена таким образом, ·что к мо
менту t = О луч, пришедший кратчайшим путем, достигает конца
ЛЗ, а луч с мак,си,мальной задержыой - на~чала ЛЗ. CN отводов
JIИIНИИ сигналы подаются в блоки коррекции амплитуды v,- и фа
зы ер,. - БКАФ . Затем после операции линейного ,сложения в ,сум
маторе С используется та же техника •оптимальной отработки, что
и в однолучевом 1к шнале **).
Так ка1к взаимные задер,ююи лу~чей т,. ме няю'Гся ,со временем,
го в оптимальном ~приемнике места подк л ючения отводов линии
также меняю'Гся, чт,о существенно за'Груд:няет -практическ ую реали-
") В этой связи обсуждаемую систему можно сокращен но назвать СИИ П -
система с испытательным импульсом и предсказанием.
.
'' *) Прием ·ник системы « Рейк» [.145] построен по аналогичной схеме, но там
число перемножителей РЕ определяется не только числом позиций символов, но
л числом разделенных лучей N. Это связано с -гем, что перемножители решаю
щего блока РЕ выполняют также ф у нкшш измерения пар аметров канала.
109
•зацию схемы. Оригинальный выход был найден
раз·работчи,ками
системы «Рейк» 1[145], исл-ользующей сложные сигналы и предна
значен'Н'ой для работы ·в многолучевых каналах. Там ПР'инимаемый
сигнал постоянно ,сни~мает,ся •со всех отвод•ов линии, задержки
между которым~и ,соста,вляют *) 1 /Лfс (Лf с - полоса частот сиг
нала) . Од:нако бло<Jш БКАФ имеют не-нулевые коэффициенты пе
редачи лишь в тех отводах, в которых блоки из·мерения БИ обна
ружили полезный оигнал.
V(t)
стg
пс
ос
Рис. 3.2
Реализация алгори11ма приема (3.5) или (3.7) предполагает з1на
ние в месте п-риема па•раметров отдельных лучей у,., cpr, Tr, которые
достаточно просто определяются лишь в том случае, если сущест
вует возмож·ность их разделения, т. е. иопользование достаточно
ширкополосных сигналов. Тем не менее эти алгори11мы можно реа
лиз·овать и не раополагая зна·нием ~параметров отдельных лучей,
, т. е. .пр·испособить их к приему простых узкополосных сигналов
(с малой базой). Для этого пере-пишем сначала алгоритмы (3.5)
при Та=Т"'*) в виде
Max;{J[(v(t)-gм_и(t)]s;(t)dt - . ~_ E;}, (3. 19)
где gм. ,,(t) - ,сигнал, который обусловлен только посылками,
т
11редшествующими анализируемой; Е; = Js;' (t) dt.
о
*) Лучи с меньшей задержкой разделить нельзя.
**) Принципиально предусматривается возможность приема сигналов малой
базы в системе СИИП и при анализе на интервале Та = Т +-rмакс- Такой прием
поднимает помехоустойчивость связи за счет лучшего использования энергии
дополнительных лучей.
110
CиrH~,JI s; (t) (см. ф-лу (3.1)] можно за;писать так:
в
s;(t) = ~ g. k (t-kT),
,.,,,,,
l,
(3.20}'
k=O
где gi, ,Jt) - k-элемент этого сигнала
отличный от нуля в 1промежутке O~t -kT~T
Алгоритм (3.19) преобразуется ·к виду
длительностью
(ом. рж 3. lв).
т,
(3.21)
Сигнал gм, и(t) определяется элемента•ми gi, k (k~ 1) из ф-лы
(3.20), индекс i к·оторых за1висит от того, какие позиц.ии •символов
предшествовали анализируемой посылке.
Элементы gi,k(i=1, 2,...,т; k=O, 1,... , В)
могут быть опреде
лены в синхронной системе СИИП -в блоках БИ и БФ по реакции
канала на ·периодически переда,вае,мый иопытатель-ный импульс,
соответствующий какой-то олределен:ной, допустим с · ,номером 1,
позиции кода. По эле:мента 1м g;,k(t)(k=O, 1, ... , В)
в блоке БФ
можно определить сигналы gi, k(t) с другими индексами i. Так,
при многопоз·иционной ФМ элементы g;, k с различным и,ндексом i
отличаются только фаз'ОЙ, известной ·на приеме.
Заметим, что, ,поскольку испытательный им,пульс ,повторяется
периодически, а !Параметры канала почт.и не меняются от одного
ислытательного и~м1Пульса к другому, реакция канала на · испыта
тель-ные импульсы - :почти ·периодическая фу,нкция времени. Это
позволяет синхронным накоплен·ием (фильтрацией), на.пример, с
помощью гребенчатых фильтров, вопреки случайной ад.r1;итивной
помехе в канале, -выделить эту реакцию почти точно. Схема изме
рения характеристик канала (реакцию на испытательные посыл
ки) 1стр,оится так, чтобы иметь воз,можность след,ить за медленны
ми изменениями ,параметров ·ка,нала, т. е. система СИИП ·стана~
вится адаlПТИВНОЙ *).
Блок-схема приемной ча,сти т -по зиционной СИИП, .реализую- ·
щей алгоритм (3.21), дана на рис. 3.3. Ключ к 1 с периодом Ти
на ,время (В+ 1) Т 1ко.м,мутирует вход схемы из· мерения реакции
канала БИ, а ,на ,время i[Ти-(В +1) Т] - решающего блока Р Б.
Обратная связь между запоминающим устройством (ЗУ) для
выбранных ·символов и блоком формирования опорных сигналов
БФ необходима для образования 011гнала gм , и(t) на интервале
анализа Т с учетом 1позиции си,мволов ,;"''), предшествовавших ана-
лизируемой посьшке .
•
"') В некоторых каналах .предусматривается . воз м ожность соз д ания адап
тивной системы связи с предсказанием (СП) и без периодической пере д ачи по
каиалу испытательных посылок [38].
•
'''"') Предполагается , что определенным отношением сигнал/помеха обеспе
чивается вероятность правильног~ приема символов, близкая к е д инице.
111
Для систем с аюивной паузой .на приеме (Е; = Е) ф-лу (3.21)
ожно записать так:
(3.22)
При выполнении условия (3.11) В = 1 и реакция кан·ала на ис
пытательную посылку характеризуется лишь двумя элементами
gi,o(t) и g 1,i(t), а gм,и(t) =g1, 1 (t), l=l, 2, 3, ... , т, ,определяет по
зицию предшес'Гвующего символа.
1
1
1
_
_!!
1
L____-Рб
__ ______
:J
Рис. 3.3
Для д•воичной ,системы с противоположными сигналами имеем в
этих усл-овиях,[g1, 0(t) =-g2, o(t); g 1, 1(t) = -g2, 1(t) ]алгоритм прие,ма
т
J[v(t)+g1, 1(t)]g1, 0 dt> О.
(3.23)
о
Знак « + » или «-» определяется позицией •предшествующего
СИМВ ·ОЛа.
• Алгоритм (3.23) реализует,ся довольно просто. Незначительно
усложняется ·схема ПР'иемник,а СИИП при иопользоваю-i·и четырех
позиц:ионной ФМ с ша,гюм кванто~ван~ия фазы, ра,в·ны1м + п/2.
Использование испытательного импульса придает классичес-:1юй
фаэовой модуляци1и в условиях локально-,идеального. каяала но
вые возможности, обеспечивающие ее устойчивость. Это касается
однолучевых ка•налов ,связи, но в еще большей степе,ни многолуче
вых каналов. Наличие испытательного им:пульса не только устра
няет основной недостаток клаосичес1юй ФМ - обратную работу
(к началу обрабо11ки рабочего пакета), но и у1страняет вредные
эффекты меж·сим1вольной интерференции и тем самым с·ним·ает
огра·ни·чения на минимально допустимую длительность рабочей
посылки в ,к•аналах с эхо -,сигналами. Таким образом, система
СИИП может решать зада,чи временного у1плотнен:ия канала. По
добная систем-а времен,ного уплотне.ния (ВУ), ,в отличие от систем
частотного уллотне,ния (ЧУ), не требует создания высокостабиль-
112
ной сетки ча,стот и построения канальных фильтров 11 имеет пик
фактор (при использовании систем ·с активной ,паузой на переда
че), равный единице*).
Систему СИИП можно при.менять на магистральных ,коротко
волновых лини,;х с интенси"Вным абмено,м при особых требова:ниях
к габаритам ап,паратуры у~плот,нения, а та,кже в системах п-ре.ры
:вистой овязи, ко гда накопленная на передающей сгороне инфор
мация должна .переда,ватыся по радиоканалу в короткие благо
прия1,ные /(ЛЯ связи отрезки вре:vrен 'и.
Макси·мальпо воэможная скорость передачи информации при
кодировании без избыточности определяется соотноше,шием *: )
I=пlg2m,
дв. ед.
(3 .24)
Т
сек
где п - число ка ·налов частотного уплотнения; т
-
ч,исло позиций
кода; Т - длительность элементарной посылки.
Рост числа ,поз'идий код,а ведет ·к усложнению прием-но~пере
дающей а:ппаратуры, а часто .к чре31мерному расширению -занимае
мой сигналом полосы частот . У.величен·ие же скорости за очет рос
та числа каналов частотно.го ушлотнения при зада•н:ной пи:ковой
мо~дности передатчика в•се1гда энер-гетически менее ,выгод:но вре
менного уплотнен•ия.
Заметим, что глубокие се,1ектиВ'ные зами1рания в ~многолучевых
каналах принципиально более опас:ны для системы ча,стотного уп
лотнения, чем временного (СИИП), так ка,к в ,первых неминуемо
появляются ,при этом ,сбои в части ·ка1налов, в то время как во
вторых, у которых весь опек_тр обслужи,вает оди:н канал, возникаю
щее искажение ФоР'мы сигнала и затягивание перех•од1ного процес
са***) находятся в п·ределах и,спра,вляющей слособнюеги .приемно,го
у,стройства Поэтому система СИИП с простейш111м кодом в одно
канальном (,по частоте) варианте представляется перспективной
системой. В однока:нальных (.по частоте) системах к тому же уп
прощается решение вопросов синхрони з ации.
Раосмотренная сист ема СИИП при и,спользова•нии сиг,налов с
малой базой, устра,няя межо1:мволъную интерференцию, не ликви-
' ' ) Для облег чения режима передатчика и решения вопросов синхрон.изации
желательно и ,1Iеть активный защитный интервал. С этой целью на этом интер
вале можно и злуч ать ра ди оимпульсы, соответствующие поз·иции, отличной от
той, I<оторую использует испытательный импульс.
**) Необ х о д имость переда чи испытательного импульса в системе СИИП ве-
дет к уменыше<нию ,n1р,0iп,у,ск;нюй юпюооrбности ка,нала ,во 1Врем,е,ни в 1 / ( 1 -
Т+2Тмскс)
-
Т
раз. -О дн ако в кв связи при ис пользовании пссылок поря дка
и
'
единиц и долеi'~ милл исекунд этот коэффициент близок к единице, что и будем в
дал ьней ш ем полагать .
***) Обу словле нное и д исперсионными свойствами среды.
пз
дирует ! ,ест ественно, интерфере-нцию внутри символа . От этого яв ✓
J!е!НЩ м о жн о и з бавиться, если работать посылками
(~ .25)
где тмин ~ 1м 1шимальное взаимное запаз дывание лучей в к анале,,
т. е. в кв связи с -посылками порядка
Т = (0,4--:--0 ,5) мсек .
(3.26)i
При у словии (3.25) система СИИП по алгоритм у (3.21) выде
ляет о дин луч и обеспечивает его оптимальн у ю обработку.
В ·ка-налах, интенсивность аддитивной ,по м ехи которы х невели-
ка, алгори тм пр ие м а в систем е СИИП ·можно построить , основы
ваяср на интеграле Дюа м ел я [23]. На са мом деле, если информа
ционн ый си г на л на вы х оде пер е датчика обозначить через s(t), а
прини маем ый с иг н ал через y(t), то при линейн-ости ра д иоканала* )
t
у(t) =fk(t- t')s(t')dt',
(3.27)
о
гд е k(t) - и м п уль с ная характеристика канала (реакция н а дель
та-ф у нкцию Дирака).
Ес л и х ара кте ристи к а канала извес~на [23], то зная у (t), м ожно•
из ур-ния (3 .27) найти и s(t) - переданный информационный
си г н ал. Формальное решение, ,след ует из теоремы евертки
"'
s(t) = ___!_ _ JY(w) exp(irot)dro;
2n
Н (w)
(3.28}
-о,
где Y(w), H(w) - спектры по Фурье от y(t) и k(t] соот в етст
венно .
Когда -си·гнал s(t) ограничен во времени и по энергии, то
ф-ла (3.28) дает единственное решение задачи {86]. При этом ока
зывается, что если отклик y(t) определен с некоторой rпогрешно
стью, не шревышающей максималь.ного значения s в каждой точ
ке, то входное воздействие s(t) будет рассчитано по ф-ле (3.28) с
мак,сималь:но возможной ошибкой 8, занисящей от s, rпри s--+0 и
8-+Ю [86] .
Заметим, что если характеристи1ка канала H(w) известна
точно, а
у(t) = s'(t)+и(t); У(w) = S'(w)+И(w),
(3.29)
где u(t) - реализация аддитивного нормального ш ум а; S' (w),
И (w) - спектры по Фурье сигнала s' (t) и реализации помехи .
Как следует из ф-лы (3.28) функция s(t) опред еляется с точно-
*) Считается, что информационный сигнаJI начинается при t=O .
114
,стью до аддитивного слагаемого, являюще-гося нормаль.ным слу
чайным Л'роцессом с энергетическим спектром
а2(ей)= 1И(w) 12
•
0
IH (w) 12
Следовательно, ,после определения s(t) для филы1рации по-мехи
могут быть ·полез·ны многие из1вестные решения. В частно'С'ГИ, для
выделения дискрет.ной информации, заложенной в сиг.нале s(t),
можно воспользоваться и техн:икой оптимальн·ого приема. С1Пектр
.мощности аддитивной помехи J И(ш) J 2/ J H(ш) J2 в общем случае
iНерав-номерный, что следует учесть 1при ,пои1ске 01птимального спо
,соба обработки.
Полез·но лодчерк;нуть, что, в пр.и,нципе, система СИИП может
:работать ·при анализе прини.маемого ·сигнала в достаточно узкой
лолосе частот ~). Одна ·ко че~,r уже эта полоса, тем больше Тпер и
число перекрываемых посылок В = 1 +[•пер +/макс } и тем больше·
усложняется обработка принимаемого сиг.нала.
Система СИИП - не единственная, в которой иопользуется
зондирование радиока,нала с использованием получен.ной таким
образом информации для построения решающей схемы.
Зондирование радиоканала предполагается в си,стеме «обра
щенная ионосфера» '[119] для ~подстройки iПрием.ной части, осу
ществляющей выделение одного луча в условиях, когда адд:итив
ный шум выражен очень слабо**).
При гладких за ,мира,ниях сигнала в а•нализируе1мой полоее час
тот предложе·но зондирование ·радиоканала с использованием этой
информации в решающей схеме приемника в «компен,сацио1шом»
методе Котельникова и Сифорова '[69], различных вариа·нтах схем
когерентного разнес е1шо го прие ~1а ОФМ [99, 100, 110] в системе,
олисанной Ж. Хингора,н:и, И. Ха1нкока f115]. Последняя система
предназначена для использования в ка:н алах с флуктуирующими
или неизвестными параметра,ми, но отличается тем, что каждой
информационной посылке сигнала предшествует посылка, .пред
наз•наченная для зондирова:ния канала. Последнее обстоятельство
ведет -к з·начительному с,нижен.ию пропускной оп-особности этой
системы. В отличие от перечисленных ·систем, СИИП предназначе
на для ка•налов с селективными, но отноюительно медленными за
мираниями, причем состонние ка,нала изучается по переходной ха
ра · ктерис-гике последнего.
След уе т заметить, что задача изучения радиоканала с целью
оптимизации решающей схемы прием.ника по самим рабочи·м по
сылкам (без специальн,ого зондирования) очень актуальна. Ее ре-
''' ) К орре кuия перехо.:~ных (линейных) искаж.е ний обеспечивается алгорит
мом приеоIа.
' ' ' * ) По существу, в этоi'1 системе осуществляется прием в со.ответетвии с ал
r оритмо:-1 (3. 28 ) .
115
шение в общем виде затрудняется тем, что объекти,в·ные данные а
канале получаюТlся ·в,не зависимости от т-ого, какая из позиций
символа передается. Решения просматриваю11ся для однолучевых
кана.пав 1[9], для многолучевых каналов с использованием д,оста
точно сложных сигналов [145 ].
Переходим к определеН!ию оптимальных приемных устройств
при :неопределенной фазе силнала, 'Полагая, что элементы сигна
л!'1 ,при·нимаются незавИ1сим,о.
У,сдоtзную плотность· вероятности v(t) [(см. ф - лу (3.4)] ·при пе
редач е Si(t) и и:п1еспп,1х ,параметрах сигнащ:1 ,можно записать
так:
(3.30)
При выполнении условия , (З .1 0), т . е. при ,сла,бо выраженном
эффекте меЖ'символьной и1нтерфере:нции, с учето,м ф - л (3.1), ·(1.21),
( 1.22) и•меем:
w., (v)п, ~}(,ехр{~~ ttу,у,[,,,(t) cos(~, + ~,) +
/\
]2i-,(
/\
\)
+sii(т)sin(ер,- epi) +0~~ Z1r(т)у,cos<JJr+Z,,(т)у,sinер,) ,
't' = 't',-'t'z;
(3.31)
та
/\
та
/\
zir(т) =sV(t+'t')S1(t)dt;Z1,(т) =sV(t+'t')S1(t)dt.
(3.32)
о
о
Рас,смотри·м и·нтереюный для практи,ки случай, когда обеопече
на с1шфазность сигналов отдельных лучей
1
ер, = ер0•
(3 .33)
Тогда
NN
wa, (v)п =К1 ехр{- ~
~.., ~ Y1YrEu ('-с)+ 2-[лi cos<:ро +Л1sinеро] } ; _
L
С
~~~
~
О1=1 k=I
О
(3.34)
N
та
л.Nта
/\
Л1=~УгSV(t+'t')'P,S; (t)dt; Л1=}2SV(t+'t')<f',S(t)dt, (3.35)
r=l О
r=I О
116
где v (t+.-) - 1колебание, приведенное по вьюо1юй частоте к
'f'o
фазе ера.
Полап1.я фазу (J)o равномерно раопределенной на и~нтервале
[-л 1 +л] и ,выполняя у,С'ред'нение выражения :(3.34) по ера, получа
ем для условной плотности вероятности v(t) при передаче сигна
ла si, известных у,., но неоп•ределенной фазе
N
N
w (v) =К1 ехр {- ~ ~ ~ y1y,s;; ('t)} / 0 (2V.t)' (3.36)
a,i
•r
а?.~~
'
О 1=1 r=I
где
Бели а'вт,окорреляционные функции tнгна.пов системы удовлет
воряют услов,ию тождественности (eii('t) = е(.-), то
w _(v) =К2!0 (2V.t)
(3.37)
а,
,,
,
и алгоритм оптимального приема ,может быть за,писан в вrиде
(3.38)
Выражение в _фигурных скобках о:пределяет огибающую сиг
нала
N
та
'\.-, k Sv(t+.-) si(t)dt.
~2
'f'o
•
r=lаОО
•
Реали.зация алгоритма (3.38) кюрреляционными методами и с
помощью задержки прини.маемого колебания v(t) на л,и,ни:и за де-рж
ки с N отвода,ми rюказана на рис . 3.4. Блоки БКАФ обе опечи•вают
синфазность всех лучей и ~коррекцию по ам,плитуде у,.; решающий
блок п остроен по квадратур.ной схеме. Алгоритм (3.38), осуществ
ляющий линейное (когерентное) сложение лучей и некогерентное
детекти,рова,ние, в1пе,рвые реализова·н в системе «РеЙ'к» (14'5] *) .
Определи,м теперь оптималь'Н'ое юрием1ное у,стройсгво ,при ;неоп
ределенной фа,зе и а,м,плитуде оигнала, 1Пола.гая, 'Что ,вы,полнен о ус
ловие {3.11).
В дгвухлу,чевом 1ка'нале, имея в виду ф-лу (3.31) и полагая
'tr = 0, 't2 = . -, :получае-м для условной плотности v(t) ,при передаче
*) Некогерентное детектирование в системе «Рейк» осуществлено не по
квадратурной схеме, а методом г ете родинирования (79].
117
1/
s;(t) и случайных неза,висимых коi\шонент Х1, У1, Х2, У2:
Wa1(v) =j
00
j00j
00
j00
K1ехр{- :
5[Е;(xi+Yi) +Е,('r)(х~+у~)+
л
]
[та
л
+2Ен(i-)(Х1У1- УХ2) +о~ JV(t)(X1S;(t)+Y1S;(t)+X2S;(t-i-)+
оо
\t7-t)
118
та
E;(i-) =J si(t-i -)dt.
1
1
1
1
1
1
о
СТУ
пс
о'С
-
/
~
;,S(t)
-
1
Vt
1
. ,,[
"'1~
"'
1
1
т1
L_--РБ
-
-- _: ::U
Рис. 3.4
(3. 39)
т.
az
Xz
=
-
(k,l=1,2):,
aZ
Xk
ен= Sv(t)s1(t) dt;
о
•
(3.40}
та,
А
Jv (t) s.( t) dt;
(3.41)
о
бхх[(!+ 2h;. \ Z; (-r(-Лu 2h2 01i + J\;A2i 2h~; l + 2h;.i1 ]:
21
.
,1J
Xil
.l 1+2h2 ;
ез.=
______________________
У=11_
•1
[(1+2h;i2) (!~~
.~ ~;i1)- 4h;i1 Л7; ~~ 21 -4hzi1~7 ;~;21 х-
(3.42}
(1+ 2h~.) (1+ 2h~.
\~у,х,t л
а
'
11
еz()
А,
liit'
-
1
(3.43)
(3.44)
Если обес п ечены условия ( 1.26) тождественности автокорреля
ционных функций сигналов системы при любом -r [ли (-r) = А (-r);
л
л]
Лн (-r) = Л (-r) , то из ф - лы (3 .39) следует алгоритм оптимального
119
:неаавиоимого приема стналав в двухлучев·ом 1подрэлеев-ском ка
нале
(3.45)
Схема, реализующая алго,ритм квадратичного су.ммирования
·(3.45) ·задержкой пр,и;н,имаемого колебания на ЛЗ, использова:Нием
корреляцион;ной техншки, квадратирующих устройств КУ, сумма
торов С, блоков БКА к·оррекции ам,плитуды (задающих нужные
весовые коэффициенты), показа·на ·на рис. 3.5.
Рис. 3.5
л
Если Л,, (х) = J\u (-r) = О при -r > О, т. е. сигналы удовлетворяют
:условию узости автокорреляционной фун1кци1и (используются, !На
пример, сложные сигналы или простые си ·гналы длительностью
Т <т), и кан.ал ,симметричен ,по ортогональным компонентам, то
.алгоритм пр1Иема (3.45) может быть за1писан ,в следующем виде:
{(т
)2 (т
)2
1+2h2
Мах, Jv(i(s,,(t)dt +. \'v(t);,(t)dt +62
;iХ
0
о
1 + 2hx,2
х(JV(t+-r)s,,(t)dtу+ 62(JV(t+-r)~(t)dtУ} . (3.46)
Зака,Нчивая о реализации -схем Оiптимального приема в ,м:ного
.лучевых каналах, заметим, что такие схемы во многих 1слу,чаях ус
пешно реализую-гся -на согласованных фильтрах [125, 154].
120
§ 3.2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ [ЮМЕХОУС.ТОЙЧИ!ВОСТЬ БИНАРНЫХ СИСТЕМ
В ДВУХЛУЧffiВОМ КАНАЛЕ ПРИ КОГЕРЕiНТ!НОМ ПРИiЕiМЕ
При фик,сирова,нных параметрах канала оптимальный когерент- . •
ный прием 1по ал го.ритму (3.5) или (3 .17) ·обе:с пеq;ива:ет 1при рав- '
новероятны х ,би:нар;ных сиг,налах вероятность ошибJки
Следует !Подчеркнуть, чт~о при опти,м аль.ном поэлементном ко
герентном приеме 'Вероятность ошибки в многолуче~вом канале не
зависит от сигшала межсимвольной интерференции gм . и(t), как
следствие, ка:нал остае11ся сим1 метричным по вероятностям пере •
ходов (ошибок). Помехоустойчивость оптимального приема •при
неопределенной фазе в общем случае определяется в м,ноголучс
вом ка·нале ·сигналом gм. и(t), и это приводит, во-первых, к неси1М ·
метрии ка:нала 1по ·вероятностям перехода и, во -вторых, к ~предель
ному з,начен,ию вероя11ности ошибки, которое нельзя уменьшить.
повышая отношения аи,г,нал/помех·а.
Очевидно, что ·при ограниченной э·нергии сигналов на лрие:ме
в;~ Е вероятность ошибки 1(3.47) достигает минимума [43] при
s~(t)=
-
s; (t) ил~и sz(t) = -s1(t). Другими слова.ми, е-сли в ус
ло1виях .многолучевого приема в результате iНЕшрерывного изуче
ния возможно считать все параметры ожидаемых сиг,налов точно
известными в месте 'приема, то система с 'ПРОТИ'в·опо ложны1 ми -сиг
налами будет оптимальной.
Требования к автокорреляционной функции сигналов 1при м:но
голучевом приеме ~можно '· сформулировать, оце:ни'В среднюю ве
роят-ность ошибки 1при учете .возможной статистики для срр. Для
этого напишем сначала ф-лу (3.47) 'В виде
(3.48)
121
та
e;k = 81,1 = I[s1 (t- tz)----"' -S 2 (l--=-tz)] [{s1 (t~tk)~s2(t - тk)Jdt
о
'
.
(3.49)
т
,..,.., ...
'E;k=- 8 1 ,1 = { [;1 (t----"-tz)-" -' -S2(t-"'t'1)ll (t (t ~'t'k) ~ ~l (t - 't'k)J dt
·о
Для двухлучевогь канала (N = 2), полагая т 1 = 0, т2 = т из
.{3.48 ) ,. имеем
•,Р =
-
1 [1-Ф(11 / ~[Yi 8;1+у~8~2 +2у1у28;2cos(cp1 -<pz)+-
2
V~
.
, •·~ + 2У1У2~;2sin ~<р1- <р2)) ) ] •
(3. 50)
Пол агая, что · ср 1 и ср2 медле:нно флуктуирующие случайные не
зависимые величины, равномерно раопределенные 1:1а интервале
-' -n, +п, определим среднюю вероятность ошибки. Используя ин
тегральное -представление функции Кра1мпа и усредняя по 1jJ =
·=ср 1 -ср2 ·(тоже равномерно распределенной на интервале (-п,
+п), получаем
V'2 +л,2
(3 52)
Х=
812
812·
•
В общем виде интеграл (3 .51) мож·но выразить чере з ряды
функций Уиттекера [25] . Коэффициент х характеризует степень
в заимног о влияния сигналов отдельных лучей. Если Т~т (нет
перекрытия), то х =О. Наоборот, 1при, т=О (полное пер екр ытие)
x=s;2 . Если сигналы удовлетворяют у,словиям «узости» авт о корре
л яционной и взаимокорреляциозной функции (условинм разделе
ния сигн а лов лучей , соответст,вующих любой позиции сим вол а ) ,
тоХ=О.
Как видно из ф - лы (3.51), вероятность ошибки - мо но тонная
функция от параметр-а х, минимальная ошибка обеспечивается при
х=О, т. е.
или
л
1
8;k = s1k = О, если 't'>'t'мин; l=I=k = 1,2
л
•
8iJ(t)= 8iJ(t)=О,если 't>Тмин;i,j =1,2
(3.53)
• ;122
Можно показать, что при произвольном числе лучей минималь
ная вероя11ность ошибочного приема обеспечивается при вьшолне
нии условий вида (3.53).
у,~ловин (3 .53) не ,препятствуют и оп ользованию системы сиг- ·
налов
S2(t)= -
S1 (t). .
(3.54)
Более того, ка.к было отмечено в § 11, в системе сигналов (3.54)
облегчается реализация условий (3.53), ,пооколыку «узость» авто
корреляционной фу нкции оз:начает . одновременно и «узость» взаи
мокорреляционной функции. Из сказанного следует ,большая пер
опективность бина,рной системы с противополо.жнЫ,ми ои,гналами
при многолучевом ~приеме в условиях, когда 'Возможно получить
инфор,мацию о фазе.
Упростим ф-лу (3.51) для некоторых ''Iа'стных 1случаев, атред
ставляющих о~новной практический интерес. Бели выполнено ус
ловие
'\11'\12 х ~ 1,
2cr~
(3.55}
т. е. оба луча имеют сравнимую ,интенсивность и значительно вза
имное влияние ('перекрытие) ,сиг,налов отделыных лучей, то, вос
полЬ"зова·вшись а,си·мптотикой
имеем
lo(x)~exp(x), x))l,
V2п х
""
ехр--
ell Y1+s22 i'2 - 2У1У2 х)
[
1+t2)( , 2
,
2
]
1
J4~
р~-
--=--=--=--=---=--
--
--
--
-
-
-
--- --- -~ dt.
пV
'\) '\)
(1 +t2)1 .5
п~о
~
При полном ~перекрытии двух лучей, соответствующих одному
символу ( 't= О, е; 1 = е;2 = Х= ~(s1-s2) 2dt) , и равенстве их интенсив
ности (у 1 =у2 =у) ;показатель экопоненты под знаком интеграла
обращается в нуль и
р~-
~
======
пV2nhfл
(3.56}
-
Е1 'Yi
где hi= ---
превышение с игнал / помеха по пер,вому (здесь.
а5
также по второму) лучу при ~передаче первого кодов·о!'о символа;.
Е
г-
2
VЕо
1+у-2Л 12 Е.
),=
1
l
2
123
Для системы с противоположными сигналаю1 (ФЛ;\) л=2; для
ортогональной системы (ЧМ) л = 1; для 1системы с пассивной пау
зой, считая s2(t) = Q, и1Меем л= 10,5.
В том случае, когда два луча равной ,интенсив·ности ,полностью
переК~рыв,аются, ·ситуация ока1зывается 1на1иболее IQпаоной п1рн
флуктуа'l.lJИИ фазы сигнала (вероят~ность о~и~бки ·обратно про
порциональна лишь 1К1Вадратному корню из h2). Этот вь1,вод так
же имеется 1в работе [1"-1]. В ра,ооматриваемом двухлучевом ка:нале
возможно и полное исчезновение сумм•арного сигнала в отдельные
моменты ,времени.
_С увеличением числа лучей в канале даже при выравнивании
их интенсивнюсти глубина замираний суммарног о сигнала уме:нь
ш<1ется (соответственно ~повышается 1помехюуегойчивость [1РИ опти
мальном пр,иеме), поакольку фазы отдельных лучей случайны и
слабо коррелированы.
Когда условие (3 .55) не выполняется, приближенная оценка
интеграла (3.51) в обл 1а,сти малых ошибок при
(3.57)
:мож ет быть ,сделана, если учесть, что ,в ра осма11риваемом случ:ае
основ•ное зна;чение имеет э·кспо.ненциальный множитель подынтег
ра л ь н ого выраж ения ·в окресшюсти точ,ки t = O. Тогда
:где б=
p,:;;;;/0 (блhfv) exp[___:hf,~ (1 + 02~2)]v 1
,
(3.58)
2
2nлh~ (1 + 62~2)
у~
2 - отнош ение средни х
у1
х
мощностей лу,чей *); '1= -
<:
Eu
€
<: 1; G= ~ ~ 1. Это выражение можно ра•ссматр,ивать к,ак ре
€11
зульт ат инт егрирования ф-лы , (3 .Ы) 1по •методу Лапласа ~1·5] . При
6=0 (:второй луч отсутст~в у ет)
р~ v~•xp(- ·;).
. (359)
что является при больших превышениях ,отношения сигнал/,помеха
. аппрок,симацией
фунiкции Крампа, определяющей вероятность
ошибки в локалыно -идеально1м однолучевом канале при кюгере:нт
ном приеме.
~) Всегда можно полагать в анализе О,;::;;б 2 ~ 1, присваивая более м ощному
. лучу
индекс 1.
. 124
Если пара сигналов удовлетворяет у,словиям nолного
ния лучей {,, =О ), то из ф-лы (3.58) имеем
1
[ hfл
],.
р~
_
ехр __
-
(1+6262) .
2лл hf (1 + ь2е2)
2
разделе-
(3.60)
ТаIО-1,м образо,м, снова получили результат аппроксимации
функции К.рампа боль ш ого аргумента . Как ~видно из сравнения
ф - л (3.59) и {3.60), при v =IO энергетичеокий выигрыш реализации
..опти маль ного
когерентного приема при флуктуации только фазы
сигнала в двухлучевом ка1нале
'fJ = 1+ 62s2,
(3.61)
т. е. максимально возможный выигрыш (при v = O) не превышает
двух {3д6) поскольку 82~ 1, ;~ 1 . С другой стороны, как было по
казано выше, при 1б2 = v = 1 ,помехоустойчивость овязи в двухлуче
вом канале резко падает. Из сказанного следует, что при флук
туации только фазы сиг,нала следует стремиться к связи в усло
виях однолучевого ра·спростра1не.ния. Второй луч, фаза которого
случайно флуктуирует относительно фазы пе.рво,го, ведет к потере
качества при реализации о:птимального приема.
Найдем среднюю вероятность ошибки 1при когерентном приеме
и медленных, некоррелир ованных флуктуациях фа·з и амплитуд
сигналов ,обоих лучей. В рэлеевском канале 1результат можно по
лучить усреднени ем ф-лы ·(3.51) по 'Vt и '\12· Так 1как совместная
плотность вероя:н~:::) = 'YiY2 ехр ( _
__i_ _У~),
()2 ()2
(JG2
2а2
l2
~1
2
(3 .62)
то после интегрирования получаем
"'
1j'
dt
р= -;
____
[ __л_h_2 ___________h_2_л_2- - -]
о (l+t2) 1+-1 (l+t2)(1+ь2 е2 нь2<1+t2р-1-<е2- у2 )
2.
4
(3 .63)
здесь
о2 у2 - 2а21Е1
62=~ =
_
2;h2=
--
.
2
-
l
2
Gl
Yi
ао
(3 .64)
В области малых ошибок при вьшолнении у~словий
0
лhТ (1 + б2е2)
g~ = '12;
2
»1
(3 .65)
из ф-лы (3.63) следует рез ультат
(3.66)
125
У,словия (3.65) выполняются при полном перекрытии лучеw
(,= ·О), когда s2 = v 2 = 1. В этом случае, как видно из последнего
выражения, э·нергетический выигрыш, который может обеспечить.
оптимальный" прием в двухлучевом рэлеевоко.м ·канале (по срав
нению с однолучевым), ра!Ве:-1 ( 1+ б 2 ), т. е. не превышает двух,
(3 дб).
В области -малых ошибок, когда выполнено услови~
'). h2
о2(s2-
,12)т»1,
из ф - лы (3 .63) получаем
3
р,;::::,--------
462 ( hn2
').,2 (е -
,1
2)
(3.67)•
(3.68}
Теперь энергетический выигрыш (по ,сравнению с однолуче-в ым:
приемом) весьма существен и равен
(3.69)
-Заметим, ЧТО о 2 И ·(s2-v2) 1ВЛИЯеТ на 'Качество СВЯЗИ совершен
НО 0,l!,ИНако,во. За,виси·мос т ь YJ(P) 1при 162=s2=1 и v =O дана на
10'
10
lO
1
-- --
----------
1
----
"'......._ _
----
---- --- ---
........
~- --
г---...
JO
"-,
---- r--....
'-
. .... .... ..
1/(;
'--,
'-
""-
'-- .
Рис. 3.6
рис. 3.6 . Отклонение 62 от единицы и v от нуля ведет к уменьше-
1
нию выигрыша 11 ,в Jf
• раз. Как видно из ф-лы (3.67), в
(52(!_ у2)
многолу ч евом рэлеевском ка·нале для •оптимальн,ой системы сигна
лов (обеслечивающей минимум вероя11но·сти ошибки при заданном
превышении сигналj,помеха) 1выполняется условие v = 0.
Заметим, что ,нарушение условий оптималыности ,не существен
но снижает ,каче-ст,во, если только v 2 :не , близко к едини це . Как
ВИДНО ИЗ ф-ЛЫ (3.69), 1ПрИ s2 = 11 ОТКЛОНеНие v 2 •ОТ iНУЛЯ ведет К ЭК· .
126
виваленtному энергетическому проигрышу 1/)1 1'=';2:- Прu vi~0,91
этот проигрыш не пре'13Ышает 3,2 ( ~ 5 дб), при v2 ~0,7 прои,грыш
не ,превышает 1,8 ( ,....,, 2,5 дб).
Если Т~ =Т+.-, то Gt =1 , и по мере возра,станият вероятность ·
а
() Ши бки уменьшается от вели чи J-Iы
.до
I
fJ:::::$ ~ ~~~~=
2м1(1+а2)
(при-r=О)
J:
P''f:::5 ~~~-~ (при: -и?;- Т) .
462 ( hI)2 '}:.2
Бс.iiи же Т• == Т, то;
т
J(sг-"s2) 2 dt
s.2· --
-
--
-т-,- т
s(:Si -' S2)2 d{
О"
(3.70)
Во многих случаях можно считать (например, для систем ФМ,
ЧМ, АМ)
(3. 71)
Тогда из ф-лы (3 .63) · получаем для облас'Ги малых ошибок
лри Т?Т
1
Р~ --=- '
2л hf
-т. е . такой же результат, как ·в однолучевом кшнале, что очевидно,
поскольку речь идет о схеме оптимального приема ,с а~ализом
на интервале Та = Т.
Как следует из ф-лы (3.68), с учетом выражения (3 .71) схемы
- с анализом на и·нтервале посы л ки Т обеспечивают минимальную
:вероятность ошибки при ,;=Т/2 и резкую потерю качества лри за
паздываниях т 1 , близких к значениям О и Т [обратная пропорцио
нальность ошибки hТ: а не (li 2) 2]. Отсюда следует, что эффективная
.мера борьбы с многолучевостью - согласование мгно·венной ско
_ рости f.lередачи информации с запаздыванием лучей .
Определим теперь среднюю вероятность ошибки при когерент
. ном прие-ме в усеченно-нормальном канале при медленных флук
'Туациях параметров канала. Полагая, что лишь ортогО'нальная
компонента х ·не равна нулю , имеем из ф - лы (3.50) при фиксиро
ванных пара м ет~рах канала
,р=-3⁄4--[1-_Ф(V2~ [х~ в;,+ х~s;2+ 2 в'12х1х2])] •
(3.72)
127
Воспользомвuшсь i-Ы-tтеtральным nредставлен,ие,м функции
KpaМitia, усредняя по х 1 и х2 и полагая их неза:висимыми нормаль
но распределенными случайными величинами с нулевыми сред
ними и диоперсиями crf и о~, получаем
"'
lf
&
•
Р=
- л O (I+t2)V1+лh~(1+t2)(1+62е2)+02(h~)2л2(1+t2)2(е2_ v2)
(3.73)
При s2 = v2 в области малых ошибок, когда лhf (1+ё2s2) » 1
из ф-лы (3.73) следует
(3.74)
т. е. воз1моЖ1ный энер г етический ·выигры ш за счет энергии второго
луча ,ра,вен ( 1+ 102s2 ) (такой же, как ·в рэлеевском канале).
В области малых ошибок, когда выполнено условие
,fJ2лhf (~2-v2) » 1, из ф-лы (3.73) следует
1
р~ --------
8<'\лh~ y~2 - v2
(3.75)
Тепе~рь энерге11ическ,ий выигрыш (ло сра·внению с однолучевым
·приемом) весь:'v1а ощутим и равен
(3.76)
Эта за'Висимость 1при 62 = /;2 = 1 и v = О дана ·пунктиром на
рис. 3.6. Ка,к и ·следовало ожидать, эффективность ис,пользования
энергии дополнителыных лучей тем больше, чем хуже канал (бо·
, лее глубокие за1мирания в не'v1 ).
§ 3.3 . ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ БИНАРНЫХ ОИСТ:0М В ДВУХЛУЧЕВОМ
:КАНАЛЕ ПРИ НЕОПТИiМАЛЬНОМ RОГЕРЕiНТНОМ ПРйЕМЕ
Будем считать, что опорный сигнал в месте n:ри-ема фopl',HI·
: руе"Гся ·по сиnналrу ЛИiШЬ одного лу,ча (~как в однолуче'Бом канале)
на основе анализа принимаемого колеба:ния в определенном Ере·
менн6м интервале, предшествующем анализируемой посылке. С
учетом ф - л (2.10) и (12. Ы) алгорит.м приема на интер~вале посыл·
, ки Т мож1но ,записать так:
т
Jv(t) [ х;(s1- s) +у;(~_;J]dt > (E;-;Ei) (х;2 +Y;2J, '(3.77,)
о
j-=!= i = 1,2,
128
где х;, у; - ож,щаемые значения орто гона л ьны х компонент
ком:плеконого коэффициента передачи канала по перв,ому лучу,
формирующие опорный сигнал.
Положим, ч110 за~паздывание между лучами .-: ::;; Т, т . е. пере
крываются лишь ·соседние посылки, и параметры ·канала не ме
няются .на и1нтервале 2 Т. Вероятность ошибки р 1, i при передаче
сигнала Si ( i = 1, 2) ,в предложении того, что ему предшествовал
оиrшал s1 (l = 1, 2), определяется вероятностью невыполнения не
равенст,ва (3.77) 111ри услоВ'ИИ, что
л
V (t)
= И(t)+ X1S;+ У1S;+Х2[S1(t+ Т-
't)+S;(t-
't)] +
+ Y2l~(t + T --r) +- ~ (t--r)],
(3 .78)
где xk, У1>. (k = 1, 2) - действительные ·зна,че~ния -ортогональных
компонент 1юмплек;сного ,коэффициента rпередачи ка,нала 1по двум
лучам на интервале а·нализа.
Значения Xl/,(Y1>.) следует счиrать случайными относительно х;,
у;. Будем полагать, что х 1 , х; & (также У1, у;) распределены н-6-р
мально с одинаковыми пара,Уiетрами. Тогда услов.ную плотность
х 1 (у 1 ) 1при фик,сированном значении х; (у;) можно записать
так !(47] :
•
w
,
(х1) = -----~
-ехр
-
---- Х
1
{
1
XI
V2л:(1- R2)':J;,
2{(1- R2)
Х[R(х;-х1)- (х1- х1)]2} ,
где R - ,коэффициент взаимной корреляции одноиме:н·ных ортого
:нальных юом1понент;
Сиr,налы отдельных лучей считаем неза·в,исимыми, поэтому для
распределения х2(У2) имеем
\
W ,(Х2)= ____
Х2-Х2
__
ехр -
~----'--
.
1
[(-)2J
XI
1/ 2л:,{
2,{
С учетом сказа·нного при фиксированных пара метрах х; (у;)
вероятность 0Ш1ибкш р1, i определяе 11ся фор,мулой
р,,= _l[1-Ф(~)],
(3. 79)
l,i,x1,y1
2
у~ ..
М=[Rx; + (1-R)х1][х;(E;-вij)-у;~j]+ [Ry; + (1.-R)y1] Х
-Х[у;(Е,- Е1)+х;~J]+ Х2[х;A 1jl- у;A1j1]+У2[х;A,jt+ у;АiЛ] -
5-6
129
-
(Е;- Ej)(, '2+ '2)·
2
Xl,У1
'
cr2
r
'
л
а2= -f(х?+У;2)f(s1-sj)2dt+а;, [х;2A7il+У;2A7il -
о
-2х;у;Aijl А1л] +а~. [х~л;jl +У;2 A;jl +2х; у; АщА1л] +
+а~,(1-R2) [ х;2(E1-s1j)2+У?~0 - 2х;у; (Е1
-
si) ~j] +
+а~,(l-R2) [ У?(Ei-s1i)2+х;2 ~7v+2х;у;(Е1-s,J;ii] ;
т
)
A1i1= J(s1(t)-si(t)[s,(t--r)+s1(t+Т- т)]dt /
лт
[л
л]}.
A1jl = J(s1 (t)-si (t) s1 (t + Т-т) +si(t-т) dt /
о
"
л
(3.80)
Коэффициенты Ai11, Aijl определяются вкладом внутрисимволь
ной и межси·мвольной интерференции, вызва!Нной 1многолучевостью
-
-
2
2
22
2
канала. В рэлеевсwом ка,нале (х\=у1,,=О; ах1 = cry1 = 01; ах2= U y2 =
= о~)для бинарной с истемы с активной паузой (3.79) приводится к
виду
(3 .81)
где
'
/'2
'2
'У1=i Xl+У1•
После усреднения по у; получаем
(3.82)
Если принимаемый сигнал первого лу,ча ,пол1ностью •коррелиро
в'<lн с опорным сигналом R2 = 1, а ме:жси-мвольная и внутри-символь
ная интерференция лучей устранена (k7, 1 = 0), из (3.82) следует
известный результат для однолучевого ,канала (74].
Отличие IR I от единицы и k;~z от нуля может ,существенно по-
· 130
влиять на •помехоустойчивость 1системы, кроме того, в это м случае
канал оказывается несимметричным .
Ка,к следует из (3.82), даже при
"6 =0 (нет фл у кт уационной
помехи) существует предельное значение вероятности ошибки,
зависящее от па1 раметров канала и си1гналов
(3.82)
где
Если R2= 1, то
(3. 84)
Ро·ст пара.метра е2 1ведет к у,величению . предельной вероятности
ошибки.
§ 3.4. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ БИНАРНЫХ СИСТЕМ
ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕIЫЮЙ ФАЗЕ ОИЛНА,ЛА
Будем считать, что используемые сигналы имеют тождествен
ные авто1юрреляционные функции, межсимвольной интерференци
ей можно :пренебре~ь, а си,гналы всех л у,чей ,сфазированы . Даже
при таки·х ограничениях найти удобную фор мулу для вероятности
ошибки ~при неопределенной фазе сигнала в м ноголучев ом канале
затруднительно. Положим, поэтому, что дапол1-гительно выполняет
ся условие
(3 .85)
хотя бы при диокретных -взаимных запаздываниях лучей т, кото
рые встре"Чаются в конкретных услов,иях. Заметим, что всегд а
л
'
€ii (О)= О, а если 1э110 та1к и для всех т>тмин, то одновременно и
8ii (т) = О rпри т>тмин, т. е . разделяются сигналы лучей, ,соответст
вующие одинаковой позиции символа .
В со011ветсТ'ВИ'И ,с ф-лой . (3.38) вероятность ошибки апределя_ет
ся вероятностью выполнения неравен·ст13а
D=бf+t~ -
t~-
6~<О,
5*
131 ,
где
та
N
NN
01 = j' u(t) I y,s1 (t-'t',) dt + coscp0I I У,У1Ец ('t',1), 't',1 = 't',-'t'1;
О
r=I
r=l 1=1
та
N
л
NN
02= J u(t) I УА(t- 't',)dt + sinср0I I у,У1Ен('t',i);
О
r=I
r=l 1=1
та
N
NN
03 = J u(t)Iy,si(t-'t',)dt+cos~I'Y,'Yteli(т:,1)-
o
r=I
r=l l=I
NN
Л
-
sin (J)o I I У,'Yt 6 tf (т:,1);
r=I l=I
та
N
л
·нN
л
04 = J и(t) Iy,s1 (t-т:,)dt+coscp0 I Iy,y1eli(т:,i)+
О
r=l
r=I l=l
NN
+ sin I 2: Y,Y /=• ii (т:,~).
r=l l=I
При фиксированных значениях ср0 величИJна D является квад
ратичной формой нормально р·аспределенных переменных ·с м_атри
цей ковариации (2.95), в которой теперь
2Та(N
)2
2·r'N
N
0оs~
0о '-., ,...,
а= d = 2 о r=l y,s1 (t-т:, dt = 2 ~ 1ft, Y,Y1Eu(t,1);
Матрица-'столбец ,средних •зна•чений слатаемых вk:
NN
NN
~ = cos (J)o I I Y,Y6u (т:,1); 02 = sin (J)o ~ ~ Yr'YtEii (т:,~);
r=l l=I
r=l l=I
NN
NN
Л
8з = cos (J)o I ~ Y,Y18n (т:,~) - sin (J)o ~~У, У16с/ ('t',i);
r7 1l=I
r=l l=I
_
NN
л
NN
64 = cos <роI I У,У16n(т:,~)+ sin<ро ~I Y,'Yt6ij(т:,1):
r=l l=I
1·= 1 l=I
Поль зуясь методи1кой К . Хелстро,ма ![1 ·15] или Ж. Турина [156],
~юл~учаем для необхо,п;имой вероя11ности ошибки формулу, анало
гичную (2.1 .3'3):
]32
(j1ilVгV1°а(Тг1))
2
=2
Лэ12 ~ 1.
За~исимость p(h2,) при различных зна,чениях Лз12 определяется
к ривыми ~рис. 2.9 . Из анали;за очевидно, что вероятность ошибки
минима л ьна при уславии
/\
Лэ12 = Eii (т,1) = e.ii (т,1) = О,
(3.87)
т . е. при услоВ'и:и ортою н альности в усиленном смысле системы
с игналов !При лю·бом т = ттz *). При этом вероятность ошибки
2
N
N
р=+ехр(- ; ) = +ехр(-+~~ VгVzE:~(т,z)) • (3.88)
r=l 1=1
О
Если условие 1(3.85) вьтол1Нено при любом ,:, то также Bii (,:) =
=0 при i->0 и из последнего выражеtНия получ1и1м
!
( !~Nу~Е)
Р=-ехр--
---
.
2
2
,i
r=l
О
Следует подч е р1кнуть, что отклонение от у,словий ·(3.87) нес у
щественно понижает пом,еJСоу,стойч швость оистемы (,см. табл. 2.4) .
Так, при Лэ 12 <0,5 и p = l0-5 эквивалентный энергетический 1проиг
рыш меньше 3 дб, п-ри Лэ <0,7 Пiрошrры ш все еще не превосходит
4,8 дб.
Так -как условия (3.87) не ·зависят от 'Ут, они обеопечивают оп
тимальность системы си nналов п ри неопределенной фазе сигнала
и лроиз•вольном законе расп1ре,LI.еления амплитуд.
*) Дл я конкр ет ной ситу ации м ожно требовать выполнение у сл овий (3.87)
лишь при дискретных значениях т.
133
§ 3.5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУ.СТОЙЧИiВОСТЬ МНШОПОЗИЦИОННЫХ
СИСТЕМ В ДВУХЛУЧЕJВОМ РЭЛЕЕВСКОМ КАНАЛЕ
•
Будем •счита_ть, что меж·симальной интерференцией можно пре
небречь и расомотрим систе,му сигналов, в к·оторой выполняются
условия 11ождествен:ности автюкорреляционных функций и ортого
нальности в у,силенном смысле при любом т. Как указывалось
выше, последнее 1у,словие - необходимо для оптималЬ'ной системы
сигналов в многолучевом канале ,при .неопределенной фазе сиг
нала.
Вероятность правильно1го ,приема в ,рэлеевоком канале опреде
ляется вероятностью вы1пощ1ения -системы ;нера,ве-нств, определяе
мой алгоритмом (3.45) или (3.46) [Три
л
л
V(t)= U(t)+X1S1(t)+У1S1(t)+X2S1(t- т)+У2si(t- т)•
Слагае,мые ek, ;(0k, J) в выражении (3.45) - нормально распреде
ленные случайные ве.1ичины с нулевыми средними значениями и
матрицей ковариадий
-
2
bli
о
Ь131 о
о-2
о
0131
Ьп
М=
-2
!:\3f
о
Взi о
-2
О01310
Ьзi
Воспользовавшись методом ха,рактер-и·стичеrских фун1Кций и тео
ремой о вычетах, для плотности вероят:ности ,квадрат,ич,ной фор.мы
R1= ~~;+0~; +0~; +е~; 1получаем
1
.
.
.
w(Ri) = A-[exp(-R1B1)-exp(-R1C1)]
1
l
]}.
1}
(3.89)
В последнем выражени1и знак (минус) определяет Bi, а плюс
определяет Ci, Для ,плотности вероятности случайной величины
RJ = 0fi+e~,+e~i+e~i апра,ведлиtБы соотношеюJ:я ('3.89), если везде
заменить i н-а j.
Вероятность ошибки р3.rссматриваемых систем
р~1---, 1
w (R,) U'w (R;) dR; г~• dR,.
(З.9O)
]34
Используя формулу бинома Ньютона и интегрируя, получаем
т-1 k
Р=1-
1
~ "\...,Ck _ Cl (-1) ( Ci-Bi )m-1 -k X
АА'?'-1~~т1k
ВС-
'
1
k=O 1=0
11
Х ~, (~~У[ B1+kci+\(Bj-Cj)
ci+kci;l(Bj-Cj)].
(3.91)
Для бина1рной оистемы 'Следует результат
р = Ci-Bi
I
-
i;
. (3.92)
r
(в. )3
.l
АЛВJL_ ( 1+ ;;)(1+ ~:)
(1+ :п(1+ i;)
При ,полном перекрытии посылок (т = 'О, (;2=v2 = 1) из последне
го соотношения следует
1
1
·
-
р= 2+h2(l+б~); р,;::::, h2(l+б2) при h2~ 1 .
(3.93)
При полном разделении лучей (v = О) и анализе на интервале
Та = Т +, (s2 = 1, отсугстние пере.крытий посылок) из ф -лы (3. 92)
получаем
(3.94)
Соотношения (3.94) ранее получены в работе [157] .
В области малых ошибок, когда выполнено условие 62h 2 (s 2 -
- v2 ) » 1, из ф-лы (3.92) получаем
3
р,;::::,
2
•
(3.95)
152 (h2) (€ _
~2)
Срав.нивая ф-лы (3 .93) - (3.95) с ф-лами (3.66) и (3.68) при
л = 1 видим, что, как и в однолучевом канале, :и31менен.ие коэффи
циента IRэ I от 1 до О ведет для анализируе.мой 1системы к энерге
тическому выигрышrу, не превышающему двух (3 дб).
§ 3.6 . ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ БИНАРНЫХ СИСТ,ЕМ В ДВУХЛУЧЕВОМ
РЭЛЕЕВСКОМ КАНА,ЛЕ ПРИ НЕОiПТИМАЛЬН О:М НЕКОГИРЕНТНОМ
ПРИЕМЕ
Огра•н~ичи·мся рассмо'Грен~ием систем с активной пауз1ой на iIIe-
peдaчe, ортогональных в усиленном смысле. Положим, что ;прие м
ное устройство оптимально в однолучевом канале при случайной
фазе силнала. В соотве'Гствии с ·анализируемым алгоритмом при
ема реги,стрируется i-я (i = 1, 2) позиция си,мВ'ола, е.сл~и
D=62+-·62- 02- 02>О
(3 .96)
l
2
З
4
'
135
где
т
т
л
01= .fV(t)S1(t)dt; 02= sV(t)S1(t)dt;
о
о
т
т
л
03 = Jv(t)si(t)dt; 0~= Jv(t)si(t)dt.
(3.97)
о
о
Положим, что запаздывание между лучами .. =:;;; Т, т. е. 1П ереК1ры
ваются тольк,о ·сосед!ние посылки, и что па1ра,метры канала X k,
Y1< (k= 1, 2) ,не м еняются 1на интервале 2 Т. Тогда пр:и 1передаче сиг
нала Si(t) (i= 1, 2) и условии, что ему предшествовал сигна л
sz(t) (l=J, 2) а1Нализи,р~уемое колебание (сигнал плюс 1Помеха)
л
л
V(t) = U(t)+X1S1(t),+Y1S1(t)+X2S1(t -
't)+Y2S1(t- 't)+
.
л
.
+X2S1 (t+T-'t)+Y2S1 (t+Т-
't).
(3.98)
Вероятность ошибки Pz, i при передаче символа a i (i = 1, 2) ,
~юта.рому предшествовал символ az (l=1 , 2} , о.предели11ся вероят
ностью невыполнения нера1венства (3.96) с учетом выражени й
(3.97) и (3.98).
Нор,маль~но раопределенные слагаемые 81< в ,нера,венстве (3 .96 )
имеют матрицу ковариа-ций (2 .95) с учетом того, что теперь
Еag( -
-
-'2
а=-- 1+h2+62h2Пa);
2
-
2а~ Е
а2
h2= -
2- ;а2=~
-
отношение дисперсий дв~ух лучей ;
136
cro
af
[лл]2
2
[eu(т)+Чl(т)]2+ eu(,)+ eu(,)
.
П.1 = ---------------~ ~ 1,
1
~
т
л
.
т
л
sп(-r) = Js1 (t)s1(t--r)dt; sc1 (,)= Jsi(t) sc(t--r)dt;
о
о
т
л
sll(-r) = Js1(t)s1(t+Т:_ -r)dt; sн('t) =
о
т
л
= Js1(t)s1(t+Т- -r)dt;
о
Еа2
•
d=
-
0 (1+62h2П;ц);
2
ПZ _ [ej1(•) + ej!(T)]Z+ [ ~1(т)+~j/(T)] 2
1·1, -
---
----
----- ~1;
•
в2
Ь = а~ {[ ell ('t) + ell (-r)J[(eji (•) + efl (-r)] + [~1 ('t) + ~1(-r)] Х
х. [~l (-r) + ~jl (-r)]} ;
с= а~ {- (eu (-r) + ell (-r)] [;il (-r) + ~/z (-r)] +
+ [~u(-r) + ~z(-r)] [e[i('t) + y 1(-r)]} ·
Вер0я 11ность ошибки pz, i определится ф-лой (2.102) при
~ij= 0,т. е.
где
р11=
ащ
=-
1(1- 1/
1 ) ,(3.99)
'
2yl+ащ(1+yl+alij) 2
V 1+ащ
4(ad- Ь2- с2)
ащ = (a-d)2
После подстановки значений а, Ь, с, d:
4[!+h2+62h2(п71+П]ц)+62(k2)2П]ц]
(7,/ij =
(ii2)2 [1 + 62 (п71 - п71i)]2
(3.100)
(3.101)
1[
1z2т1 + 62 (П71 - П]!i)]
Р1.i = 2- 1- V 4[I+h2+621z2(п71+п7ц)+62h2п7u]+('fli.)2х-
]
(3.102)
-
х !1+ 62 (п71- Пiи)2 + 62n71ij •
При 62 =0 нет 1второго луча, последнее соотношение переходит
в известную формулу для вероятности ошибки бина·рной ЧМ в
рэлеевском канале
1
p=---
2+h2
(3.103)
Если 62 >0, за1паздыва!ние второго луча т>О и выполняются
усл,овия полнота ра•зделе1Ния лучей, то П;1 =llyil =0 и вероятность
ошибки снова определится ф-лой (3.103).
Отличие от нуля 62, п~, 11Jи может существенно ~повлиять на
помехоустойrчивость системы, кроме того, ,в ,этом случае канал ока
зывается не.сим,метрич.ным. Когда м"ежсимвольной интерференцией
л
можно .пренебречь · (вi!(т) =в н(т) =0) , то
2
л2
2
л2
еu(т)+ eii (т)
е-.(т) +е-.(т)
п21·1 = ------ - п2. п2
-
/1
11
= п~ =п2..
Е2
-
ii' ili -
Е
J!
11
(3. 104)
В этом случае вероятность ошибки при с,игналах с тождествен
ными автокорреляционными функциями 1по огибающей оказывает-
137
ся не зависящей от номера передаваемой 1Позиции. Особ,енностr,
ф-лы (3.102) состоит в том, ч·ю pz, i н.е стремит,ся к ;н,улю при
• h2-+=.
Другими словами, в двухлучевом рэлеевоком канале су
ществует пределнная rвероятность ошибки, .не зависящая ·от отно
шения сигнал/1помеха:
р
-=================-=
(3:105)
=
..,..-
1 [l-
. .1+62(п71-п71i) l
t;iiz- =
2
V[1+ е,2(П;z- ПJli)12 + 62n71i - :
К тому же. выводу пришел 1и П. Бело i[102] и Н. Т. Петрович 1[62]. •
Последнее соотношение обращает,ся в нуль при
(3.106)
независимо от значений П;1 и б 2 .
За,метим, что если отоутс'Гвует меж,символьная интерференция,
но не выполнено услов,ие ортогоgалмюсти в у,силенном ·смысле при
ro·
ff/ 1
ff/ 2
f(IJ
f(JЧ
i1
-
--- --- .---т ------ .---- -,
p~ -- ~- --'-- ---'- ----' ----__ _J
Рис. 3.7
любом 't , то П Ти =;,е=О и, следовательно, существует предельная ве
роятность ошибки, не зависящая от hГЕсли система ортогональ
на в усиленном смысле при любом -r и, •кроме '!'Ого, ·выполнено ус
.1ов ие тождестве,н:носги ав'Гокорреляционной фунК1ции силналов по
огибающей, то
•
•
2
л2
П2-П2
= р2 = E;z(•)+Eii(,)
il-
jli
Е2
(3.107)
В этом случае канал оказывается симметричным согласно
ф-лы (3. 1'02), вероятно,сть ошибки
!г
h2
]
Р - - ll - -;:-=============:;::::========:;::::===-
(3. 108)
-
2
V4(!+ h2 + ь2 (h2)22р2) + (h2)2(1+_a 2p2) •
а предельная вероятность ошибки
Рт,2-оо=+[1 -
(3.109)
138
При б 2 =rр = 1 предельное значение вероятности ощибки .макси
малыно и равно Piiz..... ooыaкo ::::::0,15 . .Зав~исимость р (h2), найденная
по ф-ле (3.108) при значениях параметров б2р2= 0;- 0,1; 0,5, 1,
дана на рис . 3.7. Из кривых следует, ч·ю выравнив1ан:ие интенсив
ностей лу;чей (62--+ - 1) и ухудшение .авто1юрреляционной фу~нкции
сигналов ( р2--+-1) ведет к !Понижению помехоустойчивости прием
ника, оптимального в однолучевом канале.
§ 3.7. СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ,
ПРЕДЛОЖЕННЫХ ДЛЯ ИОПОЛЬ30iВА!НИЯ В МlЮГОЛУЧЕ!ВЫХ КАНАЛАХ
Пусть фиксир,ьвана окорость передачи информации
1=!!i.k дв. ед
Tlиi' сек
'
(3.11 О)
rде n; - число каналов ча ,стотного упло'Гненная i-й сwстемы; ·т;
-
длительность посылки; kи. - коэффициент ~использоваlН'ия кана-
'•
ла во времени (:избыточность) и !Пиковая мощность передатчика
Рп. Сравню,\ между собой по эквивалентI:IОЙ вероятности Рэ семь
типов бинар·ных •си1стем связи 1при. примитив 1ном ·кодировании и оп
тимальном когерентном приеме. Канал будем считать двухлуче
вым 1с флуктуационной помехой и медленными некоррелирован
ными рэлеевскими за,мираниямй ампл·итуд.
Инвар.иа 1нтом сра,ннения я_вляется величина
(3.111)
гдеv;-
· показатель ·
иополызова1Няя пиковой ,мощности переда11чика
в каждом частотном каl-!але; Pi - п,иковая мощность в каждом
частотном канале .
при:м:а::::::::а:::::л:с:о;т~ ~:;'::'-~)~~:::·и::::::~~
дующи е системы.
1. Прием •по одному лучу, 1На1пример, система связи ,с простран
ственной •избирательностью (MUSA) *).
2. Систеl':fа АМЕ {121 ] со -ок,ач,кооб-раз·ным изменением ча,стоты
с игнала от посылки к лосылке.
Бели 1все частоты, соо'!'ветствующие одной 1п,о•зиции, . передают
в та'ких ,си,стемах ·одJну и ту же информацию, mроисход!ит обмен
скорости передачи ~шформации на ,веР'ность связи (за счет раз
несенного приема) . Такой вариант системы здесь не расматри
вается {140}.
*) PJRE , 25, 7, 1937.
139
Частоты си,стемы АМЕ могут при манипуляции по частЬте при
нимать одно из 2 l значений, где [~ тмакс
.
т
Минимальная полоса ча,стот, ,за-нимаемая системой*),
р = .Е!__ ~ 2тмакс
•
т-т2•
3. Си,стема с 1п редсказан:ием СИИП при поэлементном приеме
на интервале Т, анализируемая в § 3. 1.
4. Система с защитным интервалом Т3 = 'tмакс между информа
цио,нными посылка 1ми на ,передаче и анализе 1принимаемого коле
бания на интервале Та = .Т + tмакс, В отличие от других ,сравнивае-
1
мых систем, здесь
равен единице.
коэффициент мзбыточно·сти kи4 = ---- не
! + Тмакс
т
5. Широкополосная система со сложными ~сигналами при
анализе на ·интервале Та = Т +'tманс (;на1Пример, «Рейк»).
6. Система 5 1в много,каналь'ном (по ча,стоте) ва1риа1нте.
7. Си,стема ук•ороченного интегрирования, у которой в решаю
щем блоке !Приемника анализируется лишь часть ,ои1гнальной по
сылки, ,не пораженная эхо-·сигналами предыдущих посылок (на
пример, система «Кинеплекс» 1~135]. За,метим, что в та,ких системах
существует минимальная длительность посылки, при которой еще
возможна надежная связь 1в каналах с эхо-сигналами {74] .
ПрещполаОС'ается, что в сравниваемых ·системах (за исключени
ем систе1м 5 и 6) исп ользуются простые сиnналы.
Кроме того, будем очитать, что системы 1- 5 работают при
одинаковой длительности ~посылки Т. Первые Тlри являются Од'НО-
1шнальными (по частоте) и обеспечивают скорость 111ередачи ин-
ф
11дв.едТ
•
б
..
.
ормации = -
,-
-
.
акая же скорость о еспечивается системои
Т сек
5, однако последняя не является простой и >Занимает существенно
более широкую полосу частот ка·нала. В э·юй свя.зи система 5 в
одноканалыном вариа1нте характер·и>Зуется очень низ1кой удельной
скоростью передачи информации на 1 гц полосы. В системе 5 воз
можно размещение без существенных взаимных помех ,при почти
неизменной общей п олосе частот число частотных каналов**) r> 1.
Таким образом, ,полу,чают систему 6. Заметим, что при , одинаковой
скорости переда 1чи информаци·и длительность 1посьш:к~и в ,системе 6
равна Т•r.
*) В принципе, можно построить систему АМЕ с манипуляцией амплитуды
или фазы, тогда
F Тмакс
> Т2.
ь
**) Вели.чина r~ 2
, Ь - база сигна;юв.
Чтобы обеспечить равную скорость ,передачи информации в
системе 4, следует применить многоканальное 1плотнение :по час
!
тоте, причем число каналов п = !Т -
= 1+Iт:макс · В системе 7 будем
.
.
kИ4
1
считать, что время анализа ·на приеме Та = Т = -
,
в то время как
1
длительность посылки на ,переда·че, определяюща'я скоро ст ь пере
дачи информации ,в одном частотном канале, равна Т1 = Т:макс =
1
=-
(1+ 1-rм акс). При эт-их условиях, чтобы 1П1олучить скорости пе
/
редачи /, необходимо ·применить п-канальное у~плотнени е ·по часто
те, где n = •l +Itмакс•
Значения э1нергетичеокого вьшгрыша 'l'Ji ~перехода от системы 1
к системе i ( i = 2, 3, 4, 5, 6, 7) при фиксирован-ной ,средней окоро
сти передачи информации и вероятности ошибки ПР'Иведены в
табл. 3.1.
Из та,блицы ,в,идно, что ,наибольший энергетический выи г рыш в
многолучевом канале обеопечивает широ•кополосная ,система (:при
небольшом числе частотных ка1налов r). Однако более полный по
казатель качества должен также учитывать и эффекти.вность ис
пользования ,оистемой полосы частот ·ка·нала.
ОпределИ1м п•о-этому для сравниваемых систем .в соответств1ии
с ф - лой (2.137) обобщенный энергетический выигрыш 11; перехода
отсистемы1ксистемеi(i=:2,3,4,5,6,7).
Имеем
причем считается, что ,в системе 2 применена манипуляция по фа
зе, ·пр1и ко1'орой ~полоса ча1стот в 2 р.а:за уже , ч е~м ,при ЧМ.
Если -считать, что в системах ча·стотног-о уплотнения раз-ность
между частота-ми равна мини,мально воз можной величине !/Та
(Та - время анализа посылки ;на ·прие ме), то
·r1: ='1)4 - !0lg (1 +I;); ·r1; =·Гj 7 -10lg (! + I; ).
Для системы ,с ча,стотным ;у~ плотнением •И сложными сигналами
примерно можно счи тать
,,
01ь
1(ь)
·~
6= ·~6-1 g2r=·r15-10g 2,2-,
•
Ясно, что З'trачение 11 ~ при заданной базе си-гнала Ь максималь
но, когда r максимально, т. е. г=Ь/2 (при ,,= ,2, г не им·еет зна
чения )
( ь·,-1 )
·r1~ = '1)5- !0lg - 2
-
.
В табл. 3.2 даны значения обобщенного э•нергетическог о выиг
рыша (прс и,грыша) расоматР'И'Ваемых си·стем при заданны х пара
метрах ее и ,ка •нала.
141
..,.
t-v
\D
"'
;,:
\D
"'
,о-
о
"'
'°
+
-ьп
о
-
3
2и3
4
't
1
't
а=-
а=-
т
т
1
0,25 1 0,5
1
>11о
1
0,25 1 0,5
,-,- - --,
>
со
1
"'.
vi'
1
>
о
IQ..
"'
~
+
~ ·11с. ~1\с.
++тlc.
-
';::...
о ';:... о';:..
~ ';:...
.
lD
:::,
--
.
~
+
ь.о
ь.о
ь.о
о
о
о
о
-
,о
-
-
-
,о
.з.п
'------'
ь.о
о
о
-
-4
дв. ед
Например при p=lO
~= 3 /=1000-- о2=1 v=2
'
'
'•
сек '
'
14
14,5
о
-9
3,8
5,0
ТАБЛИ Ц АЗ .1
5
6
7
\ Примечание
IЛf=J__
1+~
'tмин
Т1=--
/
1
1
>l 1b~l
l=-
= const
т
L
г---,
/Jэ=/J=COПS
1
1
,
;,1
<D
it
IQ..
1';t
+
<D- 11c.
о
-
';:...
,..,
';:...
--
•h = f-rмaкc
<D
~ ';::...
.
~
.
~
о
ь.о
ь.о
ь.о
,о
о
о
о
ь.о
-
-
-
2
cr2
о
02=2 ~1
-
G
.
1
5,7
17 ,6
17,6 -
-9
-
IO! gr
ТАБЛ1ИЦА3.2
i'
2
3
~
а.
о
0,25
0,5
>1
о
0,25
0,5
>1
-~;. дб\ -3,О
8,0
8,5
-6
3
14
14,5
о
\
-!
5
6
1
7
1
1
0,25
0,5
Ь=100
1
1
а.
о
:;,-, 1· Ь=100
r=50
T7 =-(l+S)
/
-~;. дд1 -16 1-2,2
-1,О
-o,5 j -2,4
-2,4
1
-1,5
Пр им е чаи и е. 1=1000 дв. ед; "макс=Змсе к ; 3=3; o'= l; •1 =2; p=I о-4
сек
Можно из в,сего сказанного сделать следующие выводы .
Для получения больших ,окоростей передачи информации 1по
радиоканалам с эхо-·сиг.налами энергетически более ,выгод•ными
я,вляются бинарные системы связи, в которых эта скорость обес
печивается оокращением длительности посылки, а не у величением
числа уплотненных по ча,стоте каналов. Другими слова IVРИ, более
эффективным является путь временного, а не частотного уплотне
ния канала. Системы 1временнот,о уплотнения при этом обеспечи
вают надежный ~прием, ·несмотря на перекрытие посыло к ( СИИП
и др.), или исключают та1кое перекрытие (,система с защитными
промежУ'гками между посылками). За.метим, что чем ,короче эле
менты сигнала, тем с большим основанием радио1канал может
считаться локально-идеальным. Энергия дополнительных лучей
может быть использована в каналах с э х о-сигналами дл я сущест
венного повышения помехоустойчиво сти. Предельное ис п ользование
этой энергии достигается, в частнос11и, в системах со сложными
сигналами. Последние при ограниченном числе упло тненных по
частоте ка·налов хара;ктеризуются низкой величиной обобщенного
выигрыша. Использование ·подобных систем исключается в тех
случаях, ·когда ,сущес'!'вешно получить :пр·и заданной помехоустой
чивости ка·к можно большую скорость передачи информации на
единицу полосы частот. Кроме того, суммарную полосу ча·стот та
ких сие.тем можно обесшечить не в любом радиока1нале.
Из сопоставленных по ,своим показателям систем определенный
интерес имеет СИИП. Она выгодно отличается от систем частотно
го уплотнения тем, что су щест,венно можно снизить требования к
частотным ха1ра·ктеристи,кам кана л а, посколь·ку любые л инейные
искажения ,мож1 но ок·орректировать в с оответствии с алгоритмом
обработки сигнала.
Выводы
1. Алгоритм оптимального приема в многолу чевых к аналах с у
щественно упрощается при использовании сложных сигналов,
удовлетворяющих условию Лf> 1 /тl\'шн (условию разделения лучей),
143
а та·кже условию ортогональности в усиленном смысле при т>тмин
(тмин - -минимальное взаимное запаздыва н,ие Л'Уil!еЙ в ,канале) .
Другими словами, если с,игнал удювлетворяет условиям «узости»
автокорреляциоююй и в·заимокор,реляцион н ой фун,к,ций .
2. Зондирован,ие радио-ка1Нала
-
воэможный путь реализа
ции оптимальных ат:~0ритмов приема в многоJ11учевых каналах
при использовании простых и сложных сигналов.
3. Синфа-з1ное (кюгерентное) сложе н ие лучей и не-когерентное
детектирова'Ние реализуют алгоритм оптимального п р1иема при не
определенной, но одина,ковой фазе ком1понент для сиг,налов, удов
летворяющих условию тождесТ1венности ав11окоррелящионных
функций.
4. При неизвестной а1м,пл1итуде и фазе сигналов
чей и их ,незавиоимости алгоритм квадратичJ-Iо r,о
обеспечивает оптимальный прием. В общем случае
реализуется довольно сложной схемой.
отдельных лу
суммирования
этот алгорит;л
5. Бинарная система с противоположными сигнал1ами (ФМ) с ,,
х ра:няет свои оптимальные свойс11в·а и для многолучевых каналов.
При флу ктуирующей фазе оптимальная ,оистема си,гналов долж•на
удовлетворить у словию «узости» авт,окорреляцио•нJ-Iой и взаимокор
реляциоiJ-!НОЙ фуНiкций.
6. При флукт у ации только фа·зы сигнада следует стремиться к
однолучевому пр·и ему, ибо наличие в11орого луча со случайной фа
з ой ведет в среднем к падению помехоустойчи·во~сти . С увеличени
е м числа лучей в ,канале даже ,при вырав·нива•1ши их интенсивности
глуби н а возможных замираний сигнала падает - соответственно
растет 'fюмехо устойчивость при оптимальном приеме .
7. При оптимальном приеме в д,вухлучевом 1подрэлеев,ском ка-
11-Iале эне ргетический выигрыш бинарной системы ( за счет энергии
.второго лу ча) существенно з авн сит от взаим'Н'ого за!паздывания
лучей т и длительности раб о чих посылок Т, достигая предельной
величи1ны , к ак при ·сдвоенно м приеме . И спользова~ше энергии дю
полните:пьных лучей тем лучше , чем хуже ка1нал (более глубокие
замирания) . ·
8. Пр1и тождественности авто к орреляционных функщий и не
о преде л енной фа,зе (1при 1произrвольном за1юне 1ра,сп~ределения а:1,1-
плитуд) оптимальная би,нарная система в мноr~олучевом канале
удовлетворяет условию ортогональности в усиленном ·9мысле при
л юбом т . Од нако з1начительные отклонения от этого усло,вия при
водят к незначительному . энергетичес,юму проигрышу .
9. При не оптимально,м, ко герентном и ·некогерентном ,приеме в
д ву хл у чево м канале для би1нарной системы существует ~предельная
в ероятность ошибки (~при отношени·и ,сигнал/помеха-+оо), завися
щая от ·пара1метров самого канала, от степени В'нутр·иси1м,вольной
и , м е ж сим,вольной интерференции .
144
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
РА3НЕСЕННЫЙ ПРИЕМ
§ 4.1. ВВЕДЕНИЕ
Разнесенный прие.м - эффективное средс11во mовышения ,надежно
·СТИ связи в условиях за,мирания ,сигнала. Если замираний ,сиnнала
нет, помехоустойчи~вость 1при разнесенном приеме повышается
только при отсу11ствии или ,слабой корреляции помехи в отдельных
ветвях разнесения. При замира~ниях ситналов возникают дополни
тельные ·возможности за счет ,слабой корреляции самоr,о оилнала в
отдельных ветвях разнесения.
Различают шесть видов ра1знесенного приема: .по 'Времени, час
тоте, углу прихода луча, отдельным л1уча1м , при ,мн,оголучево,м при
еме 1(5), в 1простра:н,стве и при ;поляризации. Разнесение по времени
обычно сводится к 'Повторению сигнала. Если время корреляции
процесса -за,мирания невели~ко ,по сравнению с длителыностью эле
мента, то такое раз·несение эффективно. Одна1ю это условие во
многих каналах с достаточно медленным~и заМ'ира1Ниями не выпол
няется.
Разнесение по частоте основано ,на селе·ктивном характере за
мираний. Один iИ тот же сигнал излучается ~при э·юм на разных
частотах или отдельными переда11чика1ми, или одним. При первом
варианте можно более выгодно иопользовать мощность ле,редат
чиков, в то ~время ка .к второй ,ва,риант .проще в реализации ,и сво
дится, по сущес11ву, 'К многоканаль·ной радиотелеграфии с частот
ным разделением каналов.
При р·а·знесении по у,глам (!Пр1именяе11ся в диашазоне у,К'в) , _ ан
тен,ной со специаш,но отра1ботанной диагра,м1мой направленности
п,ринимаются сиrшалы под различными углами (57). При ,сла,бой
корреляции между лу;ча1ми си~тема ве-сьма эффективна.
При -разнесении в пространсmе сигнал одновременно прини
мается на две или более а1нте~н1Ны и используется ·ю обС'гоятельст
во, что замирания юдного и того же оиnнала в различных антеннах
при определенном удалении друг от дp)'ira не •со•впадают во вре
мени.
При поляризации исполЬ'зуются ,независи1мые прием'Ные антен
ны, расположенные в одном месте, но 1по-разн6м~у принимающие
различно ~поляри•з·оваJ:-11ные компоненты ·сигнала. При з,начительных
поляризационных замираниях сигнаjIЫ в антеннах слабо кор,рели
рованы и этот спО1соб разнесения так же эффеюивен, как и разне
сение в пространствt [113]. В д!ал ьн ейшем прием на антенны, разне
сенные ,в пространстве или при1шмающие различно ,поляризова, н
ные компоненты с:ип-iала, будем называть приемом на раз·несен
lНЫе антен,ны.
Особенности ~приема в многолучевом канале подробно рассмат
ривались в гл. 3.
Отметим, что из различных видов разнесенного приема тольк G
прием на разнесенные антенны, а также угловое ·разне
сение при одиночном и разнесенном приеме антенной с оди
наковой диаграммой направленности ,по каждому углу не влечет
за собой потери в отдельной ветв;и (канале) раЗiнесения в энергии
сигнала или скорости передачи wнформаll!ИИ ·по с•равнению с оди
ночным прие..vюм. Снижение ,скор ости переда,чи экв'И'вален1шо по
тере мощности, та.к как . при той же скорост,и передачи ~можно
увеличить при од1иночном ,приеме длителыность элемента и ооответ
ственно повысить ·сред·нюю э•нергию сигнала в месте приема . Для
сраВ<Нения помехоустойчивости различных видов раз·несенного
прие:ма между собой и с одиночным приемом !При од,инаковоГr
оредней ·мощности передатч~ика и скорости передачи ,следует
учесть потерю ,мощности.
В основном будем сравнивать си,стемы разнесенного приема с
активной паузой*) во всех ветвях ра3,несения. Обозначим h5 сред
нее отношение энергии .силнала к 1уделыной мощности помехи ,
которое имелось бы при том же передающем ус11ройстве и оди
ночном приеме. Действ1ительное же значение среднего отноше
ния энер,гии сигнала к удельной мощности помехи ,в отдельной
ветви - разнесения на приеме завиоит от вида и числа ветвей раз-
'
несения N. В общем ,случае [74]
h6
--,
NУр
(4.1 )
где vp -коэффициент, заВ'исящий от вида раз1несения и опреде
ляющий 1эффективность иопользования ,пи~ковой мощности пере
датчика.
При приеме на разнесенные антенны и при угловом разнесе
нии с неизме,н ной диаграммой направленности антенн при лю
бых N vp =O. При временном разнесении vp = !, так как здесь при
неизменных скоростях передачи и мощности передатчика дл итель-
-
2
ность элемента уменьшается в лт раз и li 2=ho/N. Такое же зна-
*) При симметрии всех ветвей разнесен_ия по отдельным позициям (ч го
будем полагать в дальнейшем) понятия системы с активной паузой на передаче.
и приеме совпадают.
146
ченю~ принимает vp и при частном ,разнесении, если для каждой
ветви используется свой передатчик.
Если же все частоты излучаются одним ,передатчиком, то его
пиковая ·мощность иопользуется значительно хуже. Обычно ;много
канальный телеграфный сигнал на передатчике формируется ме
тодо :м тональной однополо-оной модуляции . Чтобы из,бежать значи
тельных переходных помех между отдельными станциями, необхо
димо обеспечить линейный режим передатчика . При строго линей
ном режиме а1мплитуда в кnждой из N ветвей частотного раз,несе
ния в N раз меньше маiксиrмально допустимой амплитуды для те-
. леграфного
режима п ередатчика. При это1м мdщность, :ттриходя
щаяся на одну ветвь, будет в N2 раз меньше пиковой (э то сред
няя мощность для систем с активной пау зой) мощности передат
чика, т. е. vp=2. Бели можно отказать·ся от строго линейного ре
жи,:ма ,пер едатчика или иметь некоторый за1Пас !Пиковой :мощности,
то '\l p лежит •в пределах от I до 2.
Кроме перечисле'Нных выше видов разнесенн,ого приема, :мо·жно
применять и ·смешанные виды раз'Несе!-Ilия. При иоследовании раз
!Несенного приема чаще •всего будем пола,гать, что отсутствует кор
реляция между ор11огональными компонентами сигналов в отдель
ных ве11вях ·разнесения (,Rв =О). Кроме 11ого, точн,о оценить корре
ляцию и реализ·овать оптималь'Ную схему приема •с ее учетом прак
тически трудно.
Аддитивную помех,у в отдельных ветвях разнесения будем счи
тать ·некоррелиронанной . Учет такой корреляци,и прои.зведен в ра
ботах [75, 83, 142, 153].
§ 4.2 . АЛI10РИТМЫ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИВМА
И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ
При передаче i-го символа пр;и 1помощи .сигнала Si,.(t) на интер
вале [О, Т] принимаемый в r ве11ви сигнал *)
л
si .r (t)= ( хФ.r + 'Vp,r cos cpp,r) si ,r (t) + ( УФ,r + Yp,r sin срр:,) s1,,(t) =
л
= x,s;,,(t) + Yr>;,,(t).
(4.2)
С учетом некоррелирова:нности аддитивной флуктуационной по
мехи по ветвя·м ~разнесения имеем для условной :плотности вероят
ности колебаний ( сигнал плюс помеха) И1, И2, .. . ,
uN при условии
передачи а; и фик,сированных ,пара:метрах ка1нала
" ' ) З д есь считается, что сигналы отдельны х ветвей согласованы взаимно во
,вр еыени 1по ,о·г,ибающИJм ,и :с 1На1чал,о:м •а11счета.
147
где
N
= К1 Пехр[-2
-
(хZ. +уZ. )- Е,,, (х2+у2)] (4.3)
,..,2
г1,,r
r L,r
_2
r
r
'
r=I
"О,г
.
0 0,г
т
zi,г = S v,(t)s,., (t) dt;
о
л
т
л
Z.
= Гv,(t)s. (t)dt;
L,Г
L,Г
о
Е.1,r
Т
Тл
Js7,, (t) dt= Js7 ,, (t) dt
о
о
(4.4 )
-
энер,гия лосьшки i-й позиции -сигнала в r-й ве11ви; а~. , - спект
ральная плотность мощности аддитивной фл у,ктуационной помехп
в r-й ветви.
Условная плотность вероятности то:го, что символу ai соответ
ст1вуют принимаемые колебания v1, v2,
... ,
V,v при у, словии неза
висимой флуктуации к,оэффициентов Хф, т, УФ, ,. по нор'Мально-му за
кону с нулевыми средними и щиспер,сиями а 2 , v 2 ,, равна
х,r
у,
[
л cr2 (1+2h2 )
z2 +z2
y,r
x,i,r +
1,Г
1,Г (!2 (1+2h2.)
x,r
y,i .r
-о: ]},(4.5)
1,Г
а2
л
cr2 (1+2h2•)
+z у cos<р ___о.:.е_+Z. у sin<р
O,r
Х,1,Г
t,r p,r
p,r 2
1,r p,r
p,r cr2 {!+2h2.)
0 x,r
x,r
y,i ,r
rде
148
ft2 =
X,i ,r
о·. =
1,r
2
"O,r
h2.
y,1, ,r
Е. ,2
1, ,Г у,Г
~2
·o,r
Ец У~., cr6,,
2с2
(1 +2h~ .i.,) -
x,r
[
cr2,(1+2h;. •,)]
-
2 Е2 cos2<р +sin2<р
У,
•1•
•
Yp,z i.r
p,r
p,r о~ (1+2h2 . )
x,r
Y,t ,r
(4.6}
После л'Огарифмирования выражения (4.5) алгоритм оштималь
ного неза 1висимого приема элементов сигнала можно за1Писать так:
{
N
2cr 2
[
Л с2 (1+2h2 )
max ~
x,r
z~ +z~ ц,r
х,ц,r +
/~
4(
2)
!,r
1,r
2(
n2)
r=l
crO,r l + 2hx,i,r
cx,r 1 + Lhy,i ,r
с~, Л
c~.r (1 + 2h;,i,r)
]}
+zi,r'Yp,,coscpp .,
-
2- '- +zi,,Yp,,sincpp,r
2
О,, , (4.7}
cx,r
1 + 2hY,i,r
где
.
4
О,, =0:, -
~
(1+2hx2•)ln[(1+2hx2. ,)(1+2h2.)]• (4.8}
L
42
,1,,r
,1,,
y,1,,r
СХ,Г
Реализация алгори11ма (4.7) сводится к су1ммирова1нию резуль
татов, получаемых в отдельных ветвях разнесения, ,с учетом весо
вых коэффициен11ов для составляющих отдельных ветвей и их по
следующему ·сра,внению . В каждой ветви схема п1риемн1И'Ка такая
же, как при опти1маль·ном оди:ночном приеме - 11юrерентный :при
емник с нелинейными ветвями (см. рис. 2.1) . Заметим, что для
реализации алгоритма (4.7) при 1времеН1н6м разнесении требуется
устройство «памяти» для х,ранения результатов обработки сигна
ла по (N-1), предшествующИlм ветвям разнесения. Это еще один
недостаток временного разнесен1ия. Память (например, 1на дли.н1Ной:
линии) требуется и при раз·несении IПО многим луча1м.
Если в принимаемых по отдельным ветвям сигналах нет флу1к
туирующей части (<J.~ . ,=ai.,=0), алгорит,м (4 .7) при·водится к виду
max { f-1- (Г - 'У~., Ei,r )}
(4.9'•
1 ,...,/ а2
,,,
2
'
/'
r=l 0,r
где
т
z;,,- J v(t)(о,,(t)dt
о
(4.10}
ожидаемый сигнал регулярной компоненты при !Передаче i-ro·
символа в r-ветви.
Реализация алгоритма (4.9) сводится ·к линейному ,сложению
всех позиций сигнала по отдеш,ным ветвям (с ~учетом веса l/<J5,, ),.
скалярных iпр·оиз·веде;ний П1ринИ1маемого и ожидаемого сигналов и:
их 1взаимному •сравнению с учетом э-нергетических соотношений.
При одина1ювой опектраль~ной плотности ~помехи IПО всем вет
вям (<J5,,=05) вместо алг-оритма (4.9) и~.:v1еем
{
N(
у2Е.)}
max. ~ Z'.
-
p,r
'·'
.
'
"""
,.,
2
r=I
(4.11)
149
При отсутствии регулярных компонент сигнала (vp, r=O, под
р элеевский 'канал) алгоритм (4 .7) ~принимает вид
{
N
2:J 2
•
[
Л а2(1+2h2•)
max ~
x,r
z2
1z2
11,r
x,i,r
I~4(
2
i,rI
i,r
2(
2)
. r;"'I cro,r 1 + 2hx,i,r)
ax,r 1+2hy,i,r
--
1f.lп(1+2h2.)(1+2h2.)} •
2 ....i
x,t,r
Y ,t,r
r=I
(4.12)
1
Если ка,нал ,по в,сем ветвям СИIМ'метричен ·в ,средrнем по ортото-
налыным :ко,м1понента,м (обобщенно-рэлеевекий к,а1нал, cr~ . ,= о~ . , =
=cr2) и помехе (cr5,,=05), алт~ори11м •(4.7) можно 'Записать
~i
v·2 1z
оIz
.
оо
max.
cos
-
-
-
sш
--
.
,
1N
[
•
cr2
л
cr2
]}
1~!+h2
i,r I i,r 'Yp,r
(J)p,r 02 1• i,r'Ур, r срр,r cr2
1
тде
r-1
1,r
V~,,E i ,ra~
2cr 2
+ ;,(1 +hj,) ln(l + hJ_,) 1
h~ =h2.+h2. =2h2. =2h2.
,,r
х,1, ,r
у,с. ,r
x,t ,r
y,t ,r
V -1lz2 +z2
l,r -
i,r
l,r
•
1)
(4. 13)
(4.14)
Реализация оптимальiной ·схемы rп~риема у,п,рощает,ся: можно
исполь з овать к·орреля,ци,онный прием И · прием на ,согла,сованные
фильтры § 2.1 .
Бели в выражении (4 . 13) ~положить vp, r=O, то получаем о:пти-
маль·ный ал,горит•м приема для рэлеевского ·к~нала 1[74]: •
Мах,{~ v7.,
-
сrбln(1+h~)) ,
(4. 15)
,.;. 1+ h~
2о2
',r (
r=I
i,r
)
который реализуется некогерентной ,схемой, так ка1к величины Vi, r
не ·зависят ,от фазовых соотн,ошений.
Для ·систем ' с активной паузой по всем ветвям (Ei , r= E) алго
ритм (4 .15) принимает вид
Мах1 {i V7,, }·.• ,
r=I
(4.16)
Последнее выражение будет называться алгори11м·ом ,квадратично
го оуммирования. При N = 1 он уже анализировался в гл. 2. Реа
лизация алгоритма (4.16) ,суще:ствен:но упрощена по ·сра1Внению с
алюритмом (4.7) .
,
Заметим, что алгоритм (4.1'6), та,к же ка,к и (4.1'1), юнвариан
тен п о отношению к пара·метру шума cr5 . Следовательн,о, он со-
150
храняет свои оптимальные ,свойства и при нестационарной (из-за
медленных изме,не,ний 0-5
.во
времени) адди11ивной флу,кту~цион:ной::
помехе в канале '[59]. Кроме этого, алгоритм (4: 16), так же как и
алгоритм (4.1 ,1) ] при Е;, ,. =Е, 'Инвариа1нтен по 01шо ш ению к вели
чине энергии сигналов Е.
Полагая s2(t) = 0 для д,вух1поз'иционной с.истемы 1 (m = 2) с пас
сивной лаузой, алгоритм (4.7) можно на1писать в виде
N
[
Л а2(!+2h2
)
cr2
~ Z2 +Z2 lj,r
x,l,r +z у cosер ~+
~ 1,r
1,r
cr2 (!+2h2 )
1,r p.r
p,r 2
r=l
x,r
y ,1,r
0 x,r
л
о2 (1+2h2 )
]
+Z У sinер
o,r
x,1,r
-
01 >О.
l,r p,r
p,r о2 (!+2h2 ).
x,r
у,1,г
(4.17)-
Алгоритм оп~имального приема и еоответ,ственно его схемная
реализ,ация существенно упрощаются, если обеспечена синфазность
сигналов отделын~rх ветвей. Это ·в1полне возможно при 011носитель-·
но медленных за1мира:ниях ·в канале [3, 1126-1128, 145].
При си н фазности по всем ветвям (x,. =
.y, .coscp 0; y,.=y,.sin,cp 0) вы
ражение (4.3) можно записать так:
(-
[ ~N Ei,r 'V;
wa. v1, v2, ..., ин)- =К1ехр-
--''--- +
L
'\',r.po
02
[r=l
0,r
'
N
z
N_
Л]
+2coscro~'Vr; ·r +2sinер "'\.1
'V r zi,r
.
~ о0,
~2
r=I
'
r=I
cO,r
(4 .18}
Бели фазу ср 0 пола1гать случайной и равномерно ра1с~пределен-·
•ной на интервале - л--:- + л, то условная плотность
,
(~ v;Ei,r)
•
wa. (v 1, v2,
•. .,
v,v)y =К1 ехр , ~
2
/ 0 (2VP) , (4.19),
'
-
GQr
r=I
'
где
v;,, ~ {(~ :Ц v,(t)s,.,(t)dl" )+ (~ :;j v,(t) ~;., (1) dl У·
(4.20),
После логарифмирования выражения (4.19) алгоритм о:птн-
мального разнесеН1ного приема , при ,известной ам1плиrуде и неоп
ределенной (1но ,выровненной 'ПО всем ветвям) фазе выра'з·ит,ся в
виде
(4.21)
15I
Учитывая МОIНОТОН'НЫЙ характер зависимости Inf0 (x) от своего
.:аргумента для оистем с актив1ной ·пауgой по отдельным ветвям раз
':.Несения (Ei, т=Ет), последнее выражение можно у~прост,ить
Мах1 (Vi,D \ •
(4.22)
Алгоритм (4.22) ,сводится к ,когерентному сложению ·сигналов
по от:дельнЫ1м ве11вям и некогерентrНому выбору -з·нака (намера) ре
гистри1руемого на выходе решающей схемы символа [см. § 3.1] .
Найдем теперь оптrи·мальное пра,вило разнесенного ,приема при
неизвестных законах распределения фаз и амплитуд сигнала исхо
дя из критерия максимума правдопод,обия. При фиксирован
ных параме11рах Хт, Ут логарифм услоВlной плотности ,ВеР'оятности
•'Wa.1 (v1, V2, .. ,
V N ) в соответствии с выражением (4.3) равен
In Wa.1 (v1, v 2,
.
.
.,
vN) =
= {, [x,zl,r +Yг~i.r _ Ei,r ( х2 +у2)] +К,
. . ,;;..
G2
cr2
2cr2
r
r
r=I
O,r
O,r
O,r
(4.23)
;где К - :постоян~ная, не зав·исящая от i, Xr, у,..
Алгоритм разнесенного приема по критерию ма1ксималыного
, пра1вдоподобия MOЖIHIO записать та·к :
Maxi (max ln \Vai (v1,
.. .,
vN)\ ,
(4 .24)
тде мак,симу;м выражения (4.2Э) ,следует иекать по 1пара1метрам Xr,
lJr• Пара1меТ1рЫ Xr, Yr, п~ри которых выражение 1 ( 4.23) обращается в
максимум, определяются из условий:
дlnwa. (V1, .
•.,
vN)
zi,r
x,E1,r
•
'
zi,r )
i
-----
=0, х =--
дх,
а2
а2
г Е1,r
0,r
O,r
.
(4.25)
дlnwa1 (v1 , •••, vN)
ду,
С учетом выражений (4.23) и 1(4.25) имеем
N
V2
-1...к- ~ l,r
+к.
1-
..,;;.. 2Еi r а~ r
r=l
'
'
(4.26)
Т1огда алгоритм (4.24) принимает вид
Maxi {·t Ev7:2 } .
r=I /,r O,r
(4.27)
Для систем ,с а1ктивной паузой по всем ·ветвям разнесения
(Ei;r=E) при одинаковой спектральной плотности шума в отдель-
152
ных ветвях (agr=a5) ,алгоритм (4.27) ,сводится к алгоритму (4.16), _
названный алгоритмом квадратичного •суммирования. Это обс11оя
тельство под,черкивает интерес к нему в 1пра,кти1ке •,разJНесенного "
приема. В дальнейшем покажем, что алгоритм квадратичного сум
мирования, реали.зrуемый относительно пр,о,сто, очень бл,изок к оп-
тимальному для ра·спространешной системы с активной па,узой, ор-
тогональной в усиленно:м смысле для широ1юго класса ра).1.ио,каJНа- -
лов. Некоторые результаты лолучены ·в ра·боте [75].
§ 4.3 . ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВ.ОСТЬ БИНАРНОЙ СИСТЕМЫ
ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ КОГБРЕJНТ!НОiМ ПРИЕМЕ В ИДЕАЛЬНОМ КАНАЛЕ ',
И МЕДЛЕННЫХ 3АiМИРАНИЯХ ОИГНАJLА
В идеальном ка•нале вероятность ошибки при передаче ai ·(i = 1, 2) •
в соответ,ствии ,с ал1горитмом (4.9) .определится вероятностью вы- -
пол,нения нера :венства
(4.28) ,
Здесь
N
Т
А,= ~у 1· и,(t)[s;,о,г(t)-sj,O,r (t)]dt, j i= i;
r=I
О,г О
(4.29),,
N
N
Т
В,= ~ 2~%'г (Е;,г-·Еj,,)= +~Т s ( s;,o,г(t)-s;,0,г(t))2dt;(4.30) ,
r=I О,г
r=IО,гО,
где
v, (t) = v, (t) + s;,o,r (t);
'(4 .31) '1
v,.(t) - флуктуационная помеха в r-й ветви на интервале Т со .
спектралыной !Плотностью мощности 05,г;
А; - нормально раопределенная случайная величина со сред-
-
ю~м значением
N
Т
М,= ~ Т Ss;, 0 ,r(t)[ s;, 0 ,r(t)-s;,0 ,r(t)]dt
(4.32) ·
r=I
O,r О
и дисперсией
N
2
Т
Di = ~ "~r J [ s;, 0 ,,(t)-s;,0 ,,(t)]2 dt.
(4.33) ·,
r=I
О
•
Вероятность ошибки при передаче любой (в•след1ствие симмет- -
рии канала) позиции символа
153 ;
"+[l ~{(t,,;,, J(s; ,0 , (l)~ s;, 0 ,(/))' dt )] •(4 34)
Для ортогональной в усилеrнном смысле системы с а,ктивной
nаузой ,последнее выражение можно записать та1к:
(4. 35)
:где
л= 1,
Это выражение справедливо и для вероя11нос11и ошибки системы с
лротиво~положными сиnналами, если считать .л=2. Оно также спра
в едливо для системы с пассиВ1ной ~паузой, если положить Е = Е,.,
1, = 1/ 2 . Результат (4.35) означает, что при оптимальном когерент
ном сложении результирующее отношение оигнала ,к помехе рав
но сум.ме отношений сиnнала и помехи в ·каждой ветви.
Этот. результат впервые получен в •ра,боте [107] .
Обоз.н а'Чим
,1
2Е2
62= _r_=
·Yr r"o.I
h2= h2
r
-2
?2
1,
hI
aO,r У1Е1
(4.36)
тогда вместо выражения (4.35) можшо написать
(4 .37)
Учитывая ф-лу (4. 1), имеем
(4.38)
При vp= ·0 энергет,ический выигрыш от разнесения равен в иде
:альном кащ1.ле
N
'ij =
,1 62): 1.
. -',J2
r=l
Знак ра·венства при 6; = 0 (r~2 ) .
Если же vp~ 1, то энергетический выигрыш от раз1несения
N
,~=
-
-
а2
1 ~'1
N''p
,,
r=I
154
(4.39)
(4.40)
может быть и меньше единицы. Та1к, п,ри vр=б; = 1 имеем ri=l.:
При vp>l, б; = ·1 имеем ri<l. В этом случае по,мехоустойчивость,.
свя,зи ухудшается ,из-за неудовлетворительного пеР'ера•определения
пиковой 1мощнос11и передатчика •по отделЬ'ным ветвя1м ,в большей
степени, чем улучшается ·в рез1ультате разнесеН1ного прие,ма. Как.
вид1Но из ф-л (4.39) и (4.40), разнесение ,может дать определенщ,rй
энергетический ,выигрыш и за счет ,и,спользования вет,вей с относи-
тельно малыми (!По сра.внению с hT) отношениями си,гнал/помеха.
Средняя вероятность ошибк:и rпри 1когереН1шом приеме и мед
ленных некоррел.ированных замира1н:иях 1в отдельных ве11вях
Р=~s . _.
J[1-Ф(1/гt~{: Y;)]n w(уг)dУг· (4 .41),
ОО
r r=l
r=l
~~
N раз
При w ('\'т) =W4(yr), воспользовавшись приемом вычи,слен·ия rи~н-
теграла приложения 2, получаем
оо
N
1s1п
р=-;- 1-tt2. х
О
r=I
\
q2(1+-
1
-
)cos2rn лh2 (1+t2)
]
ехр_г
~~ -,,р x,r
_
q;(1 т ~;) sin2 <рр л h~., (1+t2)
2(1+(1+t2)лh~,r]
2[!+(1+t2)л hZ,г]
х --------;::-::=======
=====---~"-----,
V(1 +(1+t2)лh;,,)(1+(1+t2)Лh~_,)
(4.42),
где
Е,а;,г
Еа2
h2
h2
Г .l},Г
x,r
(j20
у,г
2
,r
vo.,
2
a~. r
q;=
'Vp,r
~;
с;2 _1_
~2
'
IJ2
x,r 1 ~y,r
y,r
Интегрир·ование выражения (4.42) в общем случае з11трудни
тельно. При симметрии ка1нала ·по ортою.нальным компонентам .
(~} ~ 1) оно приводится к виду
[
q~
]
•
(~)ехр
h2,
00
ехр -
,,.;,.. q;
N
r
1s
Г=1 п
1+(1+t2)Л2
р= -;-
1+t2
---=----л-h-2 =,- dt. (4.43},
О
r=1
1+(1+t2)Т
155 -
При N=2, qf=q~=q 2 , hт=II~=l12 из tПОс.(Iеднего СООТIНОШен:ия nо
ое ле подстановки
,следует
1t
xJо
:где
ехр
h2
-
(
q2cos(J) )
1+"'2 dЧГ·- I+2а 1·:(q2cosЧ')d·ЧГ_
1 - acos'I'
2а(l+Ь)·
')..,h2
о 1+-
-
2
1
\"
(q
2
cos
2
'!') )
-
.
ехр
h2
cos ЧГd1:Р' ,
2a(I+b).
r+-л
.
о
2
2+2q2+').., h2 .
ь-1'
2
h2
Ь=--~--,а=-
-
h=--.
л, 7i,2
•
Ь+l'
1+ q2
Воопользова,вшись отношением ('2.1'56 ') и интегральными пред
СТlавлениями функций ln(x), окончательно получим
[ 2q2(1+q2+h2л)]
р= .ехр
-
2+2q2+рл
v/2+2q~+h2')..{-/(2q2(1+q2))Х
(2+ 2q2+ h2 л,)24
.
')..h2
о 2+2q2+ h2л
Х---[ ~ / f2 л (2+ 2q2+ hzi,)24+ 4h2л(з+зq2+h21)] -
2(I+q2)
V 2+2q2+h2 ') .. ,
i(2q2
(1+qz) ) л"Ji2 }+1- F(А,1,С);
-
~'2+2q2+h2л 8(1+q2)
При q; = 0 (рэлеевский ка1нал) из выражения (4.43) следует
результат (приложение 4)
р=-се_ll_~/лh;пh;
[
N
Г-
N(k=f =r)
-
]
2.
r=I V r+л,;;rk=I h;- h~
•
(4.45)
156
При сдвоенном пр:иеме !Имеем
_
1[l
1 (-.
/ '),h2
Р-2
-
1- 02 V 2+лh2
h2
где h2= fi2; о2= _ 2_
.,,- 1
1
h2:"" •
1
ДJ1Я системы с активной 1пау,зой по ,всем ветвя,м раз,несения
(h; = h 2 ) вместо соотношения (4.45) следует рез,ультат (прило
жение 4)
N~- 1~ 2_)·
'
!
лh2 •
(4.47)
лh2
(2N - l)II
При _2
_
?:> 1 имеем р~ N!2(лf2)N
Для сдВ'оенного пр.и ем а из соотноше,ния ,(4.4 7) имеем {7 4]
р=+[!-
·
1/2:~h2(:: )~:)j.
(4.48)
Рас,крывая неопределенность ,при б2 = 1, ф-лу (4.48) можно та,к
:же получить из ф-лы (4.4 ·6). В области малых ошибок из ф-лы
(4.46) следуют ф-ла (З.168) при ~2 = 1 и v = O (,полное разделение
лучей). Таким образом, энергетический выигрыш сдвоенного прие
ма в рэлеевском канале при vp = O равен
о
-~=
--= .
VЗр
(4.49)
Если vp~ 1, то энертетический выигрыш уменьшается в 2"Pf' ра
за . При усеченно-нормальном распределении из соотношения (4.42)
следует
где
00
dt
1j'
р= -;;
-- --,
N-,-- --------
0 (I+t2)П[I+л"fi2о~(t+t2)]i;2
r=l
В области малых ошибок при выполнении неравенства
'f-;),h2~1
(4.50)
(4.51)
1.57
• интегрирование выражения (4.50) дает
Г(N;!)
p~---
-
----~
~~--
(N)
.!:!_ N
NГ - Vп(лNo)2пОг
2
r=l
(4 .52}
Для рэлеевского канала при выполнении у словий (4.51) из со
отношения (4.45) следует
C1:N-1
p:=:::::,-- --~
N--
2N (л 'fi2)н П о;
r=l
(4 .53}
Зависимости р (h2 ) в различных ·каналах :приведены на
рис. 4.1-4 .3 .
__
q2=tJ; ;зt=о
-· - ql={lj_/32= 1
/0-21-- ---' r'i~-+ --' ~- --" ~+ ->-.:~ ---= :.,;-:::::: -
-
ql -=
/J
Рис. 4.1
Анализ показывает, что в 'предельном усеченно - нормальном к а
нале вероятность ошибки монотонно па.дает с ростом числа ветве й
разнесения ·при произвольн.ом значении параметра vp. С улучше
нием канала (ростом параметра q2 ) значение параметра vp опре
деляет эфф ективность разнесения. В рэлеевском канале при
vp~ 1 вероятность ошиlбки уменьшается с ростом N лишь до те х
пор, пока число ветвей разнесения не ~превосходит некоторого по
рогов,ого значения Nо пт 1[74]. Дальнейшее у величение числа ветвей
разнесения не понижает, а увеличивает вероятность ошибки.
Определим энергетический выигрыш разнесенного приема по
сравнению с одиночным при vp=O и Rв=О. , в усеченно-нормальном
158
10°
10'
1оз
-- q,2=0j 132=0
-
. ~ q2=0; _;з2= 1
Рис . 4.2
~•
ю'
юJ
юv
~
10·1 '~J ~
~
--,...~-~--~---~---
- - f/l=/J; j32=0
-
--
r/=o; ;зi=r
---
rz2-oo
Рис. 4.3
159
канале в соответствии с ф-лой (4.52)
N
2
"f/ =
1
( ynнr(f)[]a,)ti
2(1-__!_)
Г(N+1)
р
N л;2
2
(4.54)
В рэлеевоком канале согласно ф-ле (4.53)
"f/ = _1 ('N91 ,:)~ ----
2
C2N-I
1--1
-
рN
(4.55)
При vp>O энергетический выигрыш уменьшается в N'P раз.
Значения энергетического выигрыша в децибелах при р = IО-4,
vp=O и Rв=О, рассчитанные по ф-лам (4.39), (4:54) и (4.55) для
различного числа ветвей разнесения и относительной интенсивно
сти сигнала в отдельных ветвях, даны в табл. 4.1 .
ТАБЛИЦА4. 1
Энергетический выигрыш, дб
N
о•=О,1
1 о2=0,5
1
02 =1
q•➔oo \
q•=O
1
q•=O
1 q•-oo 1
q• =O
1 q•=~•=O I q•-oo 1
q'= O
1_q• = ~•=O
~ •=!
~'=0
~ •=!
~ •=!
1о
о
о
о
о
о
о
о
о
2 0,41 12,63
31 ,08 1, 76 16, 13 34,57 3,01
17 ,63
36,08
3 0,80 16,81
41 ,48 3,01 21 ,5
46 ,14 4,77 23,51
48, 16
4 1 ,14 18,74
46 ,19 3,98 23,87
5l ,43 6,02 26,13
53,69
5 1 ,76 19,81
49,14 4,77 25,4
54,72 6,99 27 ,81
57 ,14
-··-
Из таблицы видно, ка1к падает эффективность разнесения п о
мере улучшения ,канала.
'
В случае полностью коррелированных сигналов отдельных вет
вей ( 1Rв 1 ,:;:;< 1) средняя вероятность ошибки определится соответ
ствующей формулой для одиночного приема при медленных глад-
71" N
-
о~
ких замираниях ![см . ф-л~у (2.7) ], если вместо h2 взять -- о2г
N'P
'
r=I
где б; - ко.э,ффи,циент, учитывающий асиi,ч1етрию ветвей по энер-
гии сигнала или диоперсии помехи. Таrким обравом, независимо от
свойств канала при I Rв 1 = ,! энергетический выигрыш от разнесе
ния такой же, как в идеальном ,канале .[см. ф-лы 1(4.40)]
N
~в;
Г=\
(4.56)
JбО
/
Потеря эффек11и,вности раз,несения ~при дан.ных зш ачениях пара -
метров канала q2, В 2 , связанная с изменение м величины I R I от ну
ля до единицы можно, оценить коэффициентом
(4 .57)
значение которого в децибелах при p=J0-4, vp=O, 62 = 1 даны в
табл. 4.2.
Из таблицы видно, ка1к •коэффициент
тАвлицА4.2
'У]о- 1 падает с улучшением •канала (рос
том q2) и с уменьшением числа ветвей
ра з несения.
N
'Jo...1 ' дб
§ 4.4 . ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОИЧИ
ВОСТЬ МНОГОПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ ПРИ
НЕОПРЕДЕЛЕННОИ, НО ОДИНАКОВОИ ФА3Е
СИГНАЛА ПО ВСЕМ ВЕТВЯМ
1
q•=O lq•=P·=-
q•➔oo ~•=!
=0
Рассматриваемый алгоритм приема
определяется ф-лой (4 .22) . Условия орто
гональности в усиленном смысле везде в
дальнейшем предполагаем
т
1
2
3
4
5
f s1,,(t)s1,k(t)dt=O, j=!=i; r,k=l,2,3, ..., N;
о
о
о
о
о
о
о
о
14,62 33,07
18,74 43,39
20, 11 20,82
46,67 50,15
т
л
Js;,,(t) si,k (t) dt= О, i,j = 1,2, ..., т; r,k = 1,2,3, ..., N.
При фиксированных параметрах 'Ут и :передаче ~-и позиции сим
вола сл учайные величины ViE' ViE' определяемые ф-лой (4.20),
взаимно некор,релированы и распределены по закону Рэлея и обоб
щенному закону Рэлея . Для вероятности ошибки получаем
(4.58)
где
Из этого соотношения следует, как это уже от м ечалось в рабо
те [З], что :при ко,герентно м сложении незамирающих сигналов и
некогерентно м выборе знака остается оправедливым юравило сум
мирования от,н ошен.ий сигнал /'помеха отдельных ветвей.
6-6
161
Средняя Jзероятность ошибки при некоррелированных замира
ниях сигналов по отдельным ветвям
т-1 (- l)k+I ck
Nоо
[
kE2]
р=~ I+kт-1 ПJехр - 1 ~у:2
w(y, ) dy,.
k=l
k= lO
(+)O,r
Используя для интегрирования приложение 2 при w (у,.) = w 4 (yr),
имеем для средней вероятности ошибки
где
т2 +т2
•
q2r =
x,r
y,r.h2=h2+h2
2+2'
r
x,r
y,r
ах,, о y.k
Е,( cr~.r + cr~.,)
2
"о.,
В обобщенно-рэлеевском канале
h2=h2
=
_!_
(
h2)
x,r
y,r
2
162
Для бинарной системы (т = 2) из этой ф -лы следует [3]
N 2 2N-!(
2)ехр[- ,1=П1 kfСГ,- ] '
пh,+21+q,
2 (1 +_q;) h;
1+ q;
r=\
.
Р=
Для бинарной системы в подрэлеевском канале
1
р= -~
N~--------
2 П V(l +h~.,) (1 +_h~.,)
r=l
.
(4.60)
(4.61)
(4.62)
В усеченно - нормальном канале при
о2h2= о2No>'1
rI
r
1/'
1
p= --- --
N--
2 ('fi?)N/2 п о,
r=l
(4.63)
(4.64)
Сопоставляя это выражение с ф-лой (4.52) пр•и л=l, :видно, что
энергепrческий проигрыш рассматриваемой схемы по сравнению с
оптимальной когерентной обработ,кой в усеченно-нормальном ка
нале
Для рэлеевского канала при выполнении условия
ф -лы (4.62) имеем
р=---N
,.,. ..- -
(Jiz)N~ о;
r=l
(4 .65)
(4 .бЗ) из
(4.66)
а энергетический проигрыш по сравнению с оптимальной когерент
ной о·бработкой
(
22N-l\ _!___
'f/=
-
N-
)N.
С2н-1/
(4 .67)
В табл. 4.3 приведены значения
обсуждаемого энергет ического про
игры ш а в децибелах в усеченно
нормальном канале (q2 = ~2 = 0),
рэлеевском канале (q2= 0, r:12= 1) и
в канале без замираний амплитуд
(q2-oo) при Rв=О и р=I0-4
.
Из таблицы видно, что энергети
>rеский проигрыш уменьшается с
ростом числа ветвей разнесения и с
N
1
2
3
4
5
ТАБЛИЦА 4.3
Энергетический прои грыш, дб
qt.-+oo
lq•=O, ~•= 11 q•=~•=O
0,98
3,01
16,7
0,8
2,13
3,01
0,67
1 ,68
2,48
0,55
1,41
2,12
0,5
1,22
1 ,88
улучшением свойств канала. При N~2 этот проигрыш при произ
вольных q2 и ~2 не превышает 3 дб *).
При ·полностью коррелированных замираниях сигналов отдель
ных ветвей средняя вероятность ошибки
т~-1 (- J)k+l Ck
оо[
k
N Е2]
р=
m- l Jexp - -_-у2~-
'
w(y) dy, (4.68)
1+k
1+k ~ а0r
k=l
1
r=l
'
*) Это означает, что алгоритм (4.22) для рассматриваемых систем близок
:, оптимальному и при наличии · информации о фазе.
6*
163
h2N
•
-
о~
т. е. ка,к при одиночном приеме, если вместо h2 брать -- б2 ;
N'P
r
r=l
Следовательно, независимо от за'кона распределения амплитуд
в канале разнесение обеспечивает ,по сравнению с одиночным прие
мом при I R 1 = 1 энергетический выигрыш, 01пределяемый ф -лой
(4.56).
Значения 11 0_ . 1 в децибелах, которые определяются ф-лой (4.57)
и показывают потерю эффективности равнесения при данных пара-
метрах канала q2 ,
~2, обусловленно-
т.kвлицА 4.4
го изменением I Rв I от ну.ля до еди
N
q•-+oo
1
о
2
о
3
о
4
о
5
о
110-+I' дб
1q•= O, ~•=О[ q•= ~•=O
о
о
12,49 30,06
17 ,06 . 40,91
18,70 45,55
19,60 48,27
ницы, если осуществляется коге
рентное сложение сигналов о-rдель
ных ветвей и некогерентное детекти
рование, приведены в табл . 4.4 .
Из таблицы видно, как коэффи~
циент 'У)0-+1 падает с улучшением ка
нала и с уменьшением числа ветвей
разнесения.
Определим теперь среднюю ве
роятность ошибки анализируемой
многопозиционной системы при не
коррелированных т-ра,спределени-
П ри меч ан и е. p=Io-4 ; •р=О; ях амплитуд сигналов (yr) в отдель-
~•=!.
ных ветвях. После усреднения вы
р'ажения (4.5'8) получаем
=
т~-1 (- l)k+I С~-1 N (
т;(1 +k)_ ) т;.
р
----п ---'---
---
(4.69)'
k=l
1+k
r=l m;+k(m~+ h;
Для систем· с активной паузой по всем ветвям (h~ =h2 ) при
т' =m' имеем
r
_
~(-l)k+IС~-1 ( т'(1+k)
Р-~
1+k
т'+k(т' +No)
k=l
Для двухпозиционной системы (т = 2)
=_1(2m'_)Nm'
р22m'+h2
Этим результатом воспользуемся ниже.
§ 4.5. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ДiВУХJIIОЗИЦИОННЫХ · СИСТЕМ
ПРИ ПРИ:ЮМЕ СИМВОЛОВ ПО АЛlI'ОРiИТ!МУ КВАДРАТИЧНОГО
СУММИРОВАНИЯ И ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУД И ФАЗ СИГНАЛА
(4.70),
(4.71}
Вероятность ошибки при передаче i-й (1как и любой другой. .
вследствие симметрии) позиции символа равна
164'
00
00
р= Jw(ЛJSw(Лi)dЛidЛ;,
(-! .72)
О
А;
где Лi, Лj - квадратичные формы, определяемые
л= ~N v7,, . A-~N vj,,
l
Е2' 1
2·
,~,cro,r-
Е, cro,r
r=I
r=I
Случайные вмичины Vj,,· при разных r взаимно некоррелиро
ваны и распределены по закону Рэлея:
w(V. ) = 2VJ,r ехр(- vj,,) .
J,r
Е cr2
Е cr?,
г O,r
г O,r
•NV~'
Для плотности вероятности Лj = ~ ~ методом характери
~ E,cro,r
r=I
стических функций [2,2, 47) получаем
лfо!-1
w(Л·)= 1 ехр(-Л-).
(4.72')
1
(N- 1)!
1
С учетом этого выражения интегрирование [10 внутреннему ин
теграл у в ф-ле (4.72) дает следующий результат :
оо
N-1 Л'
Р= sw(Л1)ехр(-Л~) ~ TdA1•
(4 .73)
О
r=O
В общем случае определить ,плотность вероятности w (Лi) четы
рехпараметричеокого раопределения амплитуд при наличии корре
ляции м ежду сигналами отдельных ветвей трудно .
Рассмотрим некоторые частные случаи при отсутствии корреля
ции между отдельными ветвями .
При симметрии канала в среднем по всем ветвям и ортогональ-
ным компонентам (а2=а2 =о- 2 • Е =Е· h2 =h2) обобщая pe-
x,r
у,,, т
'
r
'
NV2
[94]
л~l,Г
зультат
, получаем для плотности i =
--
2
Еа0
r=I
(4.74)
1'65
где
т2 +т2
2_
x,r
y,r
q,-
2
cr
Учитывая, что
(4.75)
из ф-лы (4.7 4) при q,. =0 следует соотношение для w (Лi) в рэлеев
ском канале
л,:V-1ехр (- Л;_)
•
1+ h2
W(Л~)= (1+h2)NГ(N)
(4.76)
Интегрирование ф-лы (4.73) с учетом выражения (4.74 )
дает [35]
(4.77)
При q,.=0 из этой формулы следует результат для рэлеевского
канала 1[74]
(4.78)
или
~ __l
_
CN
h21
р~ (~)N 2N- I при
~•
(4.79)
При q,.- +oo (h2 =0) из соотношения (4.77) имеем
р=ехр - -1~/?~N+r-l1F1 - r,N, _ __!_~h2-
• (4.80)
(
•
N
)N-1С'
(
N
)
•
2 ,t{,,,,
r
~ 2N+r
2~r
•
r=I
r=O
r=I
Из этой формулы следует, что за'кон суммирования отношений
сигнал/помеха для рассматриваемых систем остается справедли
вым и при некогерентном приеме 1по алгоритму квадратичного сум
мирования в каналах ,без флуктуаций ам1Плитуд. Можно по·казать
справедливость этого ре1зультата rпри любом т.
При симметрии канала по ортогональным комrпонентам и q; = 0
(рэлеевское распределение аМlплитуд) и при наличии асимметрии
ветвей для плотности w (Лi) методом характеристикой функции
получаем результат
166
Интегрирование ф - лы (4.73) с учетом выра1жения (4.81) дает
1
N (1+h2')1
-
N(k=#) (1 + h2) ~l-
=:°11 2+ ·f?-,',
(l+h;) П ~
k=l
2+h;
N
р=~r= l
(-i .82)
При сд военном п риеме (N = '2) из этого соотношения сл едует
ф-ла (3.94). В подрэлеевском канале плотность вероятности w (Л;)
определяется соотношеттием
100
ехр(- iиАдdu
w(Лi) = -sн
2л:п.
2 1/2
•
(
2)1/2
-
_
00
[!- 1и(1+2h,,x)] (1- 1и 1+2h,,y]
. (4 .83)
r=I
При с имметрии п о ветвям (h;,x = ·h~, h;,y = hi) интегрирование
последнего соо тношения приводит к формуле [25 ]
лf-1ехр( - 1:~h2 )
[N
(.1
1)]
w(A) -
х
F-NA
-----
·
1 - (1+2h;)Nf2(1+2hi)Nf2Г(N) 1 1 2' ' 1 1+2h; 1+ 2h~
(4.84)
Интегрир о вание выражения (4.73) с учетом ф-лы (4:84) дает
_
1
~IГ(N+r),( 1+2h~)N+rХ
р- [(1_+ 2h~)(1+2h;)Nf2Г(N) ~ ~rl
2+2h~
X F[!!_,N+r,N, T 2 (h~ -
hi)
·];
(4.85)
2
,(1 + 2h;) (1 +2h~)
в усеченно-нормальном канале (h~ = O, h~ = h2 )
1
}:Г(N+ "r) ( 1+2'Jii )N+г [ N
7i2 ]
Р=
_
~-----
F-
,N+r,N,- -
.
(1+2h2)N/2 Г(N)
rl
2+2'fii
2
·
l+fii
-
,~о
(4.86)
В области малых ошибок, когда h2 )J>2, из последней формулы
следует
N-1
р~•1
~С~+н-1F(N2 ' N+r, N, - 1).
( 2"fiz'N/2 ~
_
"-1
r=O
(4 .87)
167
Определим энер г етический прои.грыш, связанный с переходом
от схемы когерентного сложения и некогерентного выбора знака
к схеме квадратичного сложения при Rв = О и б; = 1. Для усеченно
нормального канала в области малых о ш ибок этот проигрыш
~~2(: - •)[~' c;,+,-•F(:, N+r, N, ~1)г, (4.88)
для рэлеевского канала
,, (l/N- 1) (CN )liN
-~="-
2N- l
•
(4.89)
При q2-+-= величину У] можно найти, пользуясь ф-лами (4.61)
и {4.80), при б; = 1.
Значения рассматриваемого энергетичеокого проигрыша в де
uибелах в зависимости от числа ветвей N и типа канала при Rв=О"
о2 = 1, р = 10-4 1П1рИ1Ы~дены ,в табJI. 4.5 .
r
Из таблицы следует, что энерге-
ТАБЛИЦА 4.5
тический проигрыш в рассматривае
энергетического проигрыша, дб МЫХ системах незначителен при
N
о
о
2
0,6
0,5
3
0,9
1,3
4
1,1
1 ,55
о
1,О
1,6
3,3
ограниченном числе ветвей разнесе
ния.
Поскольку помехоустойчивость
при когерентном сложении и некоге
рентном выборе знака ~южно рас
сматривать для систем с активной
паузой, как и н женерную оценку по
мехоустойчивости при оптимальном
независимом приеме элементов сиг-
нала [алгоритм (4.7), реализуемый
дос11аточно сложной сх~мой ] , то данные табл . 4.5 позволяют также
оценить энергети ч еский проигрыш, связанный с переходом от оп
тимальной схемы сложения к схеме квадратичного сложения. Вид
но, что для рассматриваеJVIЫХ систем связи ?тот проигрыш незна
чителен (см. работу {75]) и увеличивается с ростом асимметрии по
ортогональным компонентам.
§ 4.6 . 'УЧЕТ ,ВЗАИМНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ КОЭФФИЦИЕНТА ПЕРЕДАЧИ
В ВЕТВЯХ Р АЗНЕСЕН:ЕЮГО ПРИЕМА
Корреляцию в ветвях разнесения оценим· через коэффициенты
корреляции одноименных ортогональных компонент, считая их оди
на1ковыми и равными Rв. Полагая, что схема работает в соответ
ствии с алгоритмом квадратичного сложения, найдеУI влияние
коэффициента Rв на вероятность ошибочного приема при сдвоен-
. ном
приеме (N = ·2) в бинарной системе с активной паузой, орто
гональной в усиленном смысле.
168
В соответствии с ф-лой (4.73) вероятность ошибки
00
р= Jw(Л1)ехр(-Л1)[1 +Л1JdЛ1,
о
гдеЛ1=xf+х~+х~+х~;
л
(4.90)
Хз= А2+(Хф2vУр2cos(J)p2)E2 ; х, = л2+(УФ2+Ур2sin(J)p2) Е2. (4.91)
E2cr6.2
VE2{2
Распределение Л 1 квадратичной формы взаимно коррелирован
ных нормально ра.с пределеН1ны х слагаемых трудно выразить доста
точно простой формулой (см. приложение 5). Рассмотрим ча,стные
случаи.
В рэлеевском канале при асимметрии ветвей разнесения дис
персии нормально рас•пределенных случайных величин х 1 , х2, х3, х4
, определяются выражениями:
1+h2
1+ hi
а2=а2=а2=
__
1
а2= а2 =а2
1
2
I
2
3
4
II
-
2-
В рассматриваемом слу,чае плотность
величины Л 1 в ф-ле (4.90), как показано в
где
(4.92)
отлич-
(4.93)
(4.95)
169
При симметрии по обеим ветвям ('6 2 = '1) из ф-лы (4 .95) сле
,1.ует {74]
8+10h2+Зh2(1- R5)
fJ = [4+4h2+(li2)2(1- R5)]2
(4.97)
В услов иях достаточно надежной связи, ;когда h2» 1, ф-лу (4.95)
можно ,привести 1к виду
5(!+ 02)+зii202(1- RIO
р~
ii2 [2;(1.+ о2) + fiii а2 (1 - R6)]2
При отсутствии корреляции
~ 5(1+а2)+з@;r,2
Р~ ii2[2 (I+о2)+fi2oi]2
Тот же результат ~следует из ф-лы (4.82).
При полной корреля,ции
1, 25
Р~ No(! +а'),
(4.98)
(4.99)
(4.100)
т. е. вероятность ошибки обратно пропорциональна не (h 2)2 , а
толь:ко h2, как 1при одиночном приеме.
За,висимости р (h 2) в соответствии с ф-лой (4.98) при различных
значениях коэффициентов корреля1ции даны на рис. 4.4 -4 .6 . Из
графиков следует, что при I Rв 1 ::(;0,8 энер1гетический проигрыш
при р = I0-4 по сравнению ,со случаем Rв = О не превышает 1,9 д6
Рис. 4 .4
170
10·
101
JP- '
02=1,S
IO~z
10_- J
10-'I
10--5
,Р
Рис. 4.5
!0°
ш-т
/0 -2
rо-з
10- '{
Рис. 4.6
при б2=1; 1,8 дб - при 62=0,5; 1,6 дб - 1при 62= 0,1. Таким об
разом, асимметрия в отдельных ветвях· весьма незначительно из
меняет рассматриваемый энергетический проигрыш .
При оптимальном (с учетом корреляции) сдвоенном приеме •
с имметричном пообеим ветвям рэлеевском канале (62 = 1) вероят
ность ошибки равна 1[157]
171
При h2(1-R;) ~
.1 ф-лы (4.95) и (4 . 101) дают одинаковые
-
2
асимптотические выражения 3/[ (/i2) 2 (1-Rв) ], т. е. энергетический
проигрыш в схеме квадратичного сложения по сравнению с опти
мальной решающей схемой отсутств у ет . Если же R; -+ -1, то этот
энергетический проигрыш ri = 1 дб.
Определим вероятность ошибки в усеченно-нормально.м канале,
ограничиваясь рассмотрением ~при 62= 1. Учитывая R,з= ·Ro, R24=0,
можно показать, что в рассматриваемом случае совместная плот
ность вероятности (см. приложение 5) случайных величин х= xf +
+х ~. у=х~+х l хара1ктеризуется выражением
(4.102)
где
1+2h2
1
а2-а2-а2- --•
а2=а2=а2=
-
.
,-
3-1-2
'
2
4
II
2'
Интегрируя выражение (4.90), получаем
Р=
'1
(1+__а=х-+ ау j
4:;7a71(1-RI0V( a. ; - ~;)(a.i - ~z)
а;-~; az-~ i'
где
~х=(1- R6)2а7
R
~у=(1- R2\2а2•
OJ II
(4.103)
-
2-
2
Из ф-лы (4.103) при h2~ 1 (cr1=h2, CJJI =1⁄2, Ro=Rв) и Rв=О
следует обратная пропорциональность вероятности ошибки от h 2 , в
то время как при l ·Rв 1 = ·! имеем аналогичную зависимость лишь
от V h2 (как при одиночном приеме). Зави6имости p(h2) по ф -ле
(4.103) при различных з,начениях \ Rн \ даны на рис. 4.7. Из Гf)афи
ков следует, что при \ •Rв \ ~0,8 энергетический ·проигрыш при
р = 10-4 по сравнению со случаем Rв = 0 в усеченно-нормальном ка
нале не ~превышает 2 дб при 162 = 1!. В рэлеевском канале по срав
нению с усеченно - нормальным этот 1прои~грыш несколько меньше.
Наличие регулярной ком1Поненты в принимаемом сигнале еще боль
ше ослабляет влияние !Корреляции.
172
101
101
/01/
10,-
,os
!(JB
107
.'i;i
,и-з
10-1/
1(}-s
,о-·
ю-7
1
р
Рис. 4.7
§ 4.7 . О НЕОПТИМАЛЬНЫХ МЕТОДАХ РАЗНЕСЕННОГО ПРiИЕiМА
В пра1ктике радиосвязи при разнесенном ~приеме чаще всего ис
пользуются приемные устройства, отличающиеся от оптимальных
своей решающей схемой [74] , 1[84]. Зная распределение вероятно
стей коэффициентов передачи канала, можно определить помехо
устойчивость этих схем. Чаще всего используется схема выбора
(автовыбора) по мак,симальной мощности. Для нее и определим
приближенно помехоустойчивость в канале с т-раопределением
амплитуд , поскольку для четырехпараметрическог,о канала полу
чают.ся соотношения, неудобные для анализа .
В этой схеме каждая ветвь имеет свою решающую схему (та
кую же, как при одиночном приеме, будем ее считать оптималь
ной), но окончательное решение 1Принимается 1по той ветви, мощ
ность принимаемого сигнала которой наибольшая. Коэффициент
передачи ·канала у из -за аддитивной 1помехи в нем непосредствен
но измерить нельзя. Однако в условиях надежной связи и доста
точно медленных замираний, используя инерционное устройство
для выбора приемни1ка, можно считать , что работает ветвь с мак
симальным у. Параметры рас1пределения для у в отдельных ветвях
разнесения полагаем одинаковыми
При некоррелированных замираниях в отдельных ветвях для
плотности вероятности max у = у0 mолучаем
w(yo)= Nw(y ==уо) [l w (у) d 'У г-l
(4.105)
Схему выбора по максимуму коэффициента ~передачи можно
рассматривать как схему одиночного приема при ·коэффициенте
173
передачи у0 . Поэтому вероятность ошибки в ней можно опреде
лить, усредняя вероятность ошибок в •канале без замираний
(m-+oo) по коэф,фициенту передачи у0 . Для ортогональной в уси
ленном смысле т.-•позиционной системы с а1ктивной па узой вероят
ность ошибки
т-1 (- l)k+l ck
оо[
kE'У2 ]
р= ~1
I+k т-1 Jexp - (l+k~o-5 w(vo)d'Vo·
(4.106)
Если коэффициент передачи имеет т-распределение wm, (v), то
при m'= 1/2:
[ ( 'Уо )]N-1
w(vo) =Nwm,(vo) ф Vvi .
.
(4.107)
При целых значениях т'
,
[
( т' 'У5) ~ .( 'У~2т') ]N-1
w(y0)= Nwm,('\' 0 ) 1 -ехр -
2
~
-~-
(4.108)
,'У r=O
rl
Рассмотрим более подробно сдвоенный прием (N =2) . Вероятность
ошибки в соответствии с ф-лой (4.106) равна при m'=1⁄2
т-I ( I)k+l ck
[
V-2 ]
р=
- - - ~=====--
-
-
arc g
--
•
2~
-
т-1
l
2
t
l+2kh
V 2k.1z2
тt
1+k
k-l (1+k)
l+1+k
(4.109)
Для д вух,позиционной системы имеем
1
[
2
v-l
1
р=у------= 1-- arctg 1+h2 ,т'= -
;
1+ n2
n
J
2
(4 . 111)
( h2)т'
[
т,-1
1+-
]
•
1
2m'
р=
_
,
1- ~С~
-i+
_
,ni' -целое. (4.112)
•(
h2 )т
~1'(
h2 )'m,+r
,
1+2m'
r=O
2+2m'
Заметим, что ,при m-+oo (q2-+oo) из ф-л (4.112) можно полу
чить р = _I_ ехр (- fi) , т. е. вероятность ошибки та же, что при
.
.
2
2
,
одиночном приеме.
174
Зависимость p(h2 ),
рассчитанная по ф-лам
(4.111) и (4. 1112) при раз
личных значениях т' да
на на рис. 4.8 . •Пунктиром
нанесена
зависимость
то
tt/
!OJ
,u-1.-----.----т-----r-----т----.
р ( h2) в соответствии с
ф-лой (4.71) при N =2 ,
которая
характеризует
для рассматриваемых си
стем помехоустойчивость
оптимального сложения
при неопределенной фазе
сигнала. Сравнение кри
вых показывает, что схе
ма автовыбора обеспечи
вает при сдвоенном прие
ме несколько меньшую
помехоустойчивость, ч ем
схема оптимального сло-
Рис. 4.8
жения. Максимальный энерrетич~ский
q2-+oo не превышает 3 дб.
проигрыш, однако, при
§ 4.8 . НАДЕЖНОСТЬ ОВЯЗИ ПО ПОМЕ,ХОУСТОЙЧИВОСТИ
ПРИ РA3HECEJHHOrМ П~ИЕJМЕ
Полагая, что медленные мультипликативные флуктуации в ог
.1:ельных ветвях разнесения описываются логарифмически-нормаль
ным распределением, воспользуемся ф-лой (2.175) ,для р.асчета на
.1:ежности свяэи 1по помехо устойчивости
{[V4334 1
]}
F%=501-Ф
-'-ь- 8 , 686 (lO!g х+Ь2- а) , (4.113)
где а, Ь - параметры распределения медленных флуктуаций, дб.
Параметр х зависит от статистики интерференционных замираний
и числа ветвей разнесения N. При некоррелированных т-рас,преде
лениях амплитуд сигналов в отдельных ветвях с тождественно й
статистикой саг ласно ф - ле (4.71) имеем
X=2m'[
~/N , -1].
(4.114)
(2р) т
На рис. 4.9 -4 . 1·2 даны в вероятно стном масшта,бе по оси ор
динат rраJфики надежности связи ;по пом ехоустойчивости, построен
ные по ф-лам (4.113) и (4.114). Дополнительные оси абсцисс позво
ляют перехо дить от величины х дб к вероятности ошибки р при за
данном чи сле ветвей разнесения N = 1, 2, 3, 4. Построенные кри
:1'\Ые ,позволяют выполнять расчеты хара ,ктеристик качества приема
в различных условиях.
1_75
-
~
.·
' ·"'
'; ·/
r'
99/J
99,7
!l9,5
99
98
97
96'
9S
90
80
7S
70
6'5
60
ss
so
'15
l/0
.JS
.?О
2S
20
rs
10
8
i:
1,
1
\
i:
\
'1
1
\
'
\
,
1
;
1
'
l,
1
'
'
\i
\
\;
\i
l
i
i
'
1
'
~
\
l/(}
s
'1
.J
2
1
\a~s>o \
'
\
\I1
1
1
1
1
1\
!
1
'
\
1
:
\
1
1
111
'
'
11
1
'
\
\
\1\
'
\:!\
l1~:
\
:,
'
1
1
\1
!
l,,
•
-,
1
fi(}
\50 !1
'
\
1
\\
О 7,S JS 22,S J'0
176
\
\
у
\
1
т
-
\
\
\,
\\
11\
-,
\1
\i1
1
8,
'70
1\
11
\1
\1
'IS
1\
-
\\
,
1
\
\
\
1
,
1
\
\
1
\
1
l
·r
\'
11\
'
\'
1
1
\
1l1
\
1
\1
\
1
\1
\
'
i:
\
1
\
1
1
\\
\
•
\\
1
\
'1:
1
\'
\
\
'
\
1
o=20rJrf
m=O,S
1
1
118fJ
1
170
\•
t
'
1
!СО
fSO\'
'
fl/0 \
1
\
'
1.?О \
1
1
\j
1
1
1
'
\ 1201
\
1
!
\1\
\
'
1710 \
'
1
1,
\100
\
• .90
"
1
\
11
1
'
\
,1\
\
,
11
1
\11
\
\\
'
1\ 1\
'
~
6'0
7S
90
ros
x,rlo
Рис. 4.9
F,%
99,В
9!1,7
99,S
99
99
91
91!
91;
90
85
80
7S
70
1!5
l!O
S!
50
1/S
l(O
JS
30
2S
iO
15
10
8
s
'1
.J
2
1
1
1
1
'
1
'
\
1
\'
1
1
\1
.
\lf0
a~J0
1
\
\
\
\
1
.
1
\
1
'
\
'
'
'
\
1
1
1
1
\
6'0
50
1\
О 7,S !S 22,S .JO
f},!.J IJ,l'l·!li' .?,S-!0- . 110 - . 9
J,5' 10-. t 'l ·/0-v !,J· ti52· 1{Гс
9·!0-:; Jf·/0-. r 0,2-10-е
2, 'l·/0-. r r;-10- 7
-
\
'
1
\
1
\
\
1
1
,.о
701
'
1
1
l/s
\
,
\
1
\
1
\
'
'
\1
\
\
1
'
1
'
1
\
11
i
'
1\
1
'
\
\
\
1
11
\
,по
1
\
\
120
,
1
'
\
\ 110
'
1
и,
1
'
\
'
\'\
1
\
со
7S
!JO
10-с
!!·to-tz
Рис. 4.10
1
1
'
!1/0
\
'
1
1
1
1
1
'
0=2000
m=t
181
170
1r;o
1,1
'
'1\
'
!S011\
1
1
1
1
\,
\1
1
\
705
x,otF
plf=t
plf=2
P1r~.7
Рм~ч
177
F,%
99
97
gr;
9!i
90
8!i
__
ео
' f!i
70
r;s
оО
и
!iO
l/S
;
1/0
.JS
.J0
25
,!О
1S
10
8
s
1/
<f
g
1
178
1
\
\\
1
'\
\\
\
\
1
.
1
'
1
1
1
1
1
'
\
'1
\
\
'
1
\
\
\
\
\\
'1
1
\
1
\
.
'.
6'0
1
'so
r~~ 1/0
1
'{z.,lt \
\
\
О 7,S 1S 22,5 .?О
'
\
\
'
\
\,\
1
\
\
\
'
\
80
70
'
1
'
\
1
\
\
'
'
\
\
\
\
\
\
•
1
1
1
'
\
\\
,\
1
:\1
,t:
1
'\'
1
\
1
\:
'
\
i\
120
~,
1
1
\110 1
\ /00
'
90\
\
1
1
1
\
'
\
:,\
i
\
\
'
1
6'0
7S
Рис. 4.If
\
'
\
\
'\
11/0
tJ0 1
:'\
1
1
\.
1
1
1,
1
,\
\l'
о =to!Jtf
m=2
780
1
1
\ 170
160
\
1
,,
,,
~
1S0 \
\
1
\11
!
1
:,
\i
1
'
,.
[\\
\1
:
:
10S
х, tJtf
F,3⁄4
99,8
}9,7
J9,5
.99
.98
..J7
)8
'IS
.-JO
8S
,80
7S
70
85
80
55
50
·1/5
-1/0
JS
80
25'
,?О
10
,о
s
'/
,J
·
d
'
'\
1
1
\
1
\
:1
\
\
.
'
\
:\
\
\
1
1
11
'
1
.
1
'
1
\
'
1\11
i'1
'
1
·1:
\1
\
1
\\
1
,\
1
1
\
l1
\
\\
,
\\,
•
1
'
'
\
\
1
16'0
,\
\ '10
50\
t1<10'
11
О ;~5 IS ,?f!,5 J'O
ио-2 ,но -• 2,с-10 - 10
'
\
\
'
1
,\
11
i
\
\1
11
1\
:,
11
,.
1
70
\1
1/5
-
-
,
\
\\
\
\
\
1
\
'
'
-i
.
\
1\
\
\
\
1
\
1
1
1
'
'
'
.
1
\1\
1
'
1\1
\
',
\
\
\
\
\
\1\
\
,\
\
[
\
\
'
\\,
\
\\
1
1
\
, lfO
110
1/)0
90
.
'
\90 \
1
\
\
,
1
1
,
1
\
1\ 1\
1
\
6'0
75
90
Рис. 4.12
·,
\-
\
,
\
\
l
'\
\
\
\130
-т
'
1
\
~
-, , = 2oiltf
т=о
\180177п
'
160 1-
~
'\
\
•
!\
l1
\1
\
\\
,
\
\
150 1
\
\
\Jl/(J \
11
~
:t::
,
'
\
\
11
~~~
\\
'
'
\1
l
~
'
i\
705
:
\
1-79
Как 1nр1:1мер, определим возможное повышение надежности свя
зи по помехоустойчивости в .рэлеевском (т' = 1) канале с :парамет
рами Ь=20 дб, а=70 дб при переходе от одиночного к разнесен
ному ,приему, ,полагая, что во всех случаях вероятность ошибки р
не должна превышать 10-4
.
Из графика рис. 4.12 имеем:
при N=l
F=5%,
при N=2
F=99,3%
при N=3
F=99,0 .%,
при N=4
F= 100%.
Следовательно, переход от одиночного к сдвоенному приему
позволяет поднять надежность связи на 94,3 % , при переходе от
сдвоенного к строенному - на 0,5 % , . от строенного к счетверенно
му - на 0,2 % . Можно отметить не только падение эффективности
разнесения с ростом числа ветвей N, но и с улучшением свойств
канала.
В предельном усе,ченно-,нормальном канале с наиболее глубо
кими замираниями (т' = 1⁄2) при р = 10-4, a= ·lO дб, Ь =20 дб на
_ дежность связи при одиночном ~приеме меньше 1% , при сдвоенном
она равна 13%, при строенном-95%, а при счетверенном - 100%.
Выводы
1. Оптимальный разнесенный прием в четырехпараметрическом
канале реализуется достаточно сложной схемой . При асимметрии
по ортогональным компонентам 1приемное устройство не,rrьзя счи
тать некогерентным даже в канале, где q2 = О.
2. Реализуемый относительно просто алгоритм квадратичного
суммирования ( Мах, {t1 V; .,} ) , который для системы с активной
паузой оптимален в рэлеевсжом канале, а также (в соответствии с
критерием максимального правдоподобия) и при неизвестных за
конах раопределения ам,плитуд и фаз, близок ,к оптимальному для
широкого класса систем, о·ртогональных в усцленном смысле и в
более общем четырех•параметрическом канале.
3. При неопределенной, но согласованной по всем ветвям фазе
сигналов алгоритм оптимального •приема для систем с а1ктивной
паузой сводится к когерентному (линейному) сложению сигналов
отдельных ветвей и не,когерентному детектированию. Для ортого
нальных в усиленном смысле сигналов этот алгоритм близок к
оптимальному при наличии информации о фазе, а также ,при флук
туации амплитуд сигналов.
4. При оптимальном приеме и независимых замираниях сиr-на
ла _ в отде_льных ве11Вях вероятность ошибки для бинарной системы
монотонно падает в предельном усеченно - нормальном канале
'(q2 = J32 = 0) с ростом числа ветвей разнесения N при ,произвольном
180
значении параметра раэнесения O~vp~ ,2. С улучшением канал,а
эффективность разнесенного 'Приема зависит от ·параметра vp.
5. При когерентном сложении сигналов ·ветвей !Помехоустойчи
вость бинарной системы существенно за'Висит от коэффициента
взаимной корреля,ции между сигн·алами отдельных ветвей R·в• Эта
зависимость тем существеннее, чем хуже канал и · чем в"ыше mоря
док разнесения.
6. Правило суммирования отношений сигнал/iПомеха отдельных:
ветвей остается справедливым при ,кагерентном сложении сигна•
лов ветвей неза,висимо от ха ра,ктера детектиров-ания. При опреде•
ленной амплитуде сигнала оно справедливо и при квадратичном
суммировании для ,систем с активней паузой, ортогональных в уси
ленном смысле.
7. Для ортогональных в усиленном смысле бинарных систем с
активной паузой ,при сдвоенном 'Приеме по алгоритму квадратич
ного суммирования асимметрия по отдельным ветвям (бr=;t= · l) и от
клонение ,коэффициента R.в в широких ,пределах ( 1 Rв 1 ~0;8) мало
влияют на по мехоустойчивость по сравнению со случае·м симмет
рии ветвей (о; = 1) и отсутствия корреляции между ,сигналами от-
дельных ветвей.
8. Схема . автовыбора незначительно устушает по помехоустой
чивости оптимальной схеме сложения в четырехпараметрическом
· канале. Для ,бинар!-[ой системы с а1ктивной паузой, ортогональной в
усиленном смысле, ма1ксимальный энергетический проигрыш при
сдвоенном ~приеме не превышает 3 дб.
9. Надежность связи по ломехоустойчив0сти как фующия до
пустимой вероятности ·ошибки выражается для бинарной системы
с акгивной паузой, · ортогональной в усиленном смысле, при любом
числе ветвей ра.знесения N, довольно ,простой формулой в каналах
с m-распределением амплитуд.
'§ 5.1 . ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА ПЯТАЯ
ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КАНАЛА
ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
Если оптимальную обработку сигнала на ·приеме дополнить согла
сованием сигналов на :передаче в соответствии с меняющимися
свойствами канала, то можно улучшить 1[92] использование про
nуС1I<.ной способности канала. Система связи с вьшвлением опти
мальных частот .на кл онно-возвратным зондиров,анием ионосферы
является примером такого согласования. Однако лучших резуль
татов можно добить,ся, зная условия прохождения радиоволны по
всей трассе.
Такую информацию содержит ·прини маемое электромагнитное
колебание, соответствующее переданному сигналу, и, следователь
но, передача этой информа1ции по каналу обрапrой связи позво
лила бы, в принципе, улучшить согласование передающей ч а сти с
каналом. Чтобы повысить надежность информации о состоянии ка
нала, ее полезно передавать в дис.кретной форме. Ада1птация при
емника и передатчика с меняющимися свойствами канала для оп
тимизации системы связи в целом может замещать друг друга. Од
нако эффективность системы повышается при ис.польз•овании лишь
на дежного канала обратной связи '[26 ].
Приведем пример адапта1ции ,передатчика. Если rпри реализации
некогерент ного приема в однолучевом канале в I<аждый да нный
момент на передаче известен коэффициент у, то можно регулиро
ва(Гь мощность передатчика или скорость передачи полезной ин
формации (избыточность кода). Таким образом , с ухудшением ка
нала можно повысить мощность*) или понизи:гь скорость передачи
инфо:рмации, чтобы обес,печить заданную помехоустойчивость. Та.
кое согласование позволило бы при неизменном качестве связи су
щественно повысить среднюю скорость передачи информации (или
понизить среднюю мощность .передатчика) по сравнению со скоро-
*) Пиковая мощность передатчика всегда ограничена. Поэтому, начиная с
некоторого у,.,.н, не удалось бы обеспечить необхсдимую ломехоустойчлвость. С
другой стороны, аддитивная помеха в канале ограничивает минимальную мощ
ность пере дат чика, следовательно, динамический диапазон изменения мощности
всегда ограничен. Технические причины также ограничивают диапазон нзмен~
ния скорости передачи информации (избыточности кода) .
}82
стью при работе без согласования, при которой скорость и мощ
ность сигнала определяются наихудшим состоянием канала
[134, 161]. Система непрерывного согла ,сования слишком сложна . .
Причем она, естественно, усложняется ·по мере усложнения кс;1-
нала {26].
В канале с медленными и глубокими замираниями приближе
ние к предельному согласова·нию дает прерывистый принцИJп свя
зи, когда полезная информация по прямому каналу передается с
постоянной скоростью Iманс в интервалах времени, благоприятнqIХ
для ее приема. При .плохих у,словиях в канале - надежность при
нимаемых сигналов мала, ниже 1поротовой - передача информа
ции прекращается, излучается только зондирующий сигнал и си
стема находится в режиме ожидания. Система метеорной связи на
укв хара·ктерна и пост<роена 1по этому принцИlпу [26, 29]. В этом
случае прерывистая связь вызвана прерыви-стым характером ка
нала связи. Однако прерывистая связь весьма эффективна и
в непрерывных каналах с переменными условиями :прохождения
радиоволны.
По передаче информации рассмотренная система прерывистой
связи с каналом обратной связи (СКОС) не отличается от системы
с автоматическим запросом ошибок (АЗО) и с поелементной про
веркой символов на надежность :[31, 70], в которой 'При плохом со
стоянии канала в качестве зондирующего сигнала посылается ра
бочий сигнал повторения. Помехоустойчивость двух этих систем
может отличаться 1при использовании различных ,кодов.
Проанализируем оптимальный и квазиаптимальный прием в би
нарной системе, ортогональной в усиленном смысле, mри поэле
ментной проверке символов на надежность и :простейшем кодиро
вании. Затем оценим эффективность избыточного .кодирования при
отсутствии и наличии !канала обратной свнзи.
Ненадежные символы можно выявить разбиением пространст
ва принимаемых сигналов v.(t) не на m (ка1к в системах прямой
связи) а т+ 1 непересекающихся областей и интерпретацией сим
iiола ·как ненадежного при попадании его в т+ 1 область-зону
неопределенности 1[9, 52, 74] . Естественно, что введение не одной,
а нескольких зон неопределенности с различными весами повы
сит помехоустойчивость 1[9]. Но ввиду значительного усложнения
схемы такая ситуация здесь не рассматривается.
Полагая аддитивную ,помеху в канале флуктуа1ционной, осуще
ствим оптимальное ра·збиение пространства принимаемых сигналов
в соответствии с ,критерием отношения правдапод1обия {28, 54]. На
практике вместо оптимального способа обнаружения ненадежных
символов часто с некоторой юотерей юомехоустойчивости ,пользуют~
ся другими , более простыми -способами. Эти сим13олы выявляют
анализом лишь некоторых (одного) параметров принимаемаго сиг
нала [31, 70]. Часто в радиосвязи анализируемый символ считают
ненадежным, если ·коеффи·циент передачи 1канала лежит ниже по
рогового уровня -у0 . Та1кой способ называют пороговым.
18.З.
Так как в реальных условиях связи из - за аддитивной помехи
в канале величину у нельзя точно измерить, пороговый способ
приема, строго говоря, неосуществим . Однако при достаточно мед
ленных замираниях, произ·водя усреднение в блоке измерения на
протяжении ряда элементов, можно значите.тrьно ослабить влияние
помехи.
При анализе :помехоустойчивости систем СКОС будем считать,
что канал обратной с,вязи не вносит ошибку . Это, конечно, идеали
зация, но ,система СКОС лишь тогда ;эффективна, когда канал об
ратной связи достаточно надежен [26, 74].
§ 5.2. ОПТИМАЛЬНЫЙ И ПОРОГОВЫЙ ПРИЕМ iВ БИНАРНЫХ
СИСТЕМАХ CROC С ПОЭЛffiМЕШТ!НОй ПРОВЕРКОЙ СИiМiВОЛА
НА НАДЕЖНОСТЬ
При рассмотрении оптимальной [52] решающей схемы не буде:v~
учитывать корреляционные связи элементов сигнала. Одншко это
не означает, что замирания в канале считаются быстрыми в соот
ветствии с терминологией гл. 1. При очень быстрых замираниях
пришло сь бы слишком часто переходить ,из зоны неопределенности
и обратно, а это привело бы к значительному ,снижению эффектив
ности системы СКОС . При N - канальном р1азнесении будем 1реги1стри
ровать символ ai (i= 1, 2) лри выполнении си,стемы Н'еравенств
~[ Wai (v1, V2,
...,
VN) >Wai (V1, V2, , •
.,
VN);
j=fti=l, 2
илиln~;+lnWai(v1, v2, : ~.., vN)>lnWai(v1, v2, ..., vм), (5.1)
где ~i
-
правильная дробь; Wai (и1, v2, ... , vн)
-
условная плот
ность вероятности , (см. •гл. 4).
В системе прямой связи алгоритм оптимального приема отли
чается от ф - лы (,5.1) тем, что
~ ;=1; i=1, 2.
(5.2)
В этом случае область принимаемых сигналов разбивается на
две непересекающиеся области, соответствующие символам а1 и а2.
Алгоритм (15.1) 'ПреДtполагает разбиение всей области 1принимае
мых сигналов на три : ,сопос11авшtе•мые символам а1 и ,а2 ,и область
неопре,деленности, к которой относятся принимаемые сигналы
в том случае, если нер авен1ства (5.1) не выполняются ни П'РИ од
ном значении индекса i. В этом случае по команде ,с приемной
стороны 1на передающую (110 каналу обратной связи) прекращает
ся •передача иНJформа~ции 1 (в системе прерывистой связи) или пере
дается ~повторение (в системе АЗО) *).
••
*) В дальнейшем будем полагать, что передающая сторона принимает ко
мандный сигнал безошибочно и что время распространения радисволны и время,
необходимое для перевода системы из одного режима в другой, очень ,. мало по
~ра:в~нен1ию IC •,!IЩlf!Тe\JJЬIНOCTЬIO -ПОСЫ~КiИ Т. Отюлонен·и;е от !ЭТИХ усло:в,ий 111ри нео,6-
ходимости 1Вtсеrда можJю учесть (70].
'
••
184
Блок-схема приемного устройства, работающего по . алтори ·r
му (5.1), дана •на рис. 5.1. Помимо решающих блоков РБ1, РБ2,
определяrощих величины ln Wai ( v1 ... ., v N), (i = ,1, 2), имеют~ся сум
маторы С1, С2, вычитающие у,стройства ВУ1, ВУ2, и схема орав:
нения и выбора ( ССВ) .
Если зна,ки на·пряжений: на выходах вычитающих устройств:
различны , то в ЗУ регистрируется соответ-ствующая позиция сим
вола. Если оба этих напря,жений: отркцательны, т . е. неравенство,
(5.1) не выполняется ни при одном i, схема ССВ вырабатывает
сигнал в-ключения передатчи:ка и за~прещения за1Писи информации
в ЗУ до тех ·пор, пока зна·ки на,пряжений: на выходах ВУ не станут
различными . Заметим, что одновременно знаки напряжений на вы
ходах ВУ не могут быть положительными, так 1как ~i
-
rправиль
ная дробь.
Рис. 5.1
При ~пороговом приеме б удем считать, что решение на прием
ной: стороне ведется по тем ветвям разнесения, в которых отноше
ние энергии элемента сигнала у; Е (Е - энергия этого сигнала на
передаче) к удельной: мощности флуктуа1Ционной помехи в канале
05 'превышает пороговое значение R, т. е. при вЫ1полнении неравен-
ства
(5.3)
Ес л и одновременно по всем ветвя м разн е сения у;Е/а~ станет
ниже порогового значения, передача информации прекратится и
система перейдет в ре
жим ожидания.
Блок-схема порогового
бинарного устройства при
N-·канальном разнесении
и поэлементной проверке
сигналов на надежность
приведена на рис. 5.2 .
На этой схеме блок
БИ в r-й: в е тви разнесе
ния измеряет величин у
Рис. 5.2
r
N
185
1;Е/а5 (с точностью до устред н енной помехи), а порого1:юе уt.:1-
ройство ПУ,. подключает эту ветвь к ре ш ающему блоку лишь при
еыполнении неравенства (5 .3). При условии, что это неравенство
не выполняется ни в одной ветви, логическое устройство ЛУ вы
дает сигнал включения передатчика и запрещения записи инфор
мации в ЗУ до тех пор, пока неравенство (5.3) не выполнится по
~дной ветви .
Переходим к определению помехоустойчивости бинарной систе
мы с каналом обратной связи 1при поэлементной проверке сигна
лов на н а дежность, ограничиваясь рассмотрение м системы с а'к
тивно й па уз ой, ортогональной в усиленном смысле.
§ 5.3, ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ
БИНАРноа скос в СИСТЕМЕ ппсн
Рассмотрим N -,к анальное разнесение ,при наиболее простом для
анализа рэлеевском, симметричном ~По всем ветвям канале. Ввиду
симметрии канала для анализируемой системы можно в алгоритме
(5.1) положить
~i= ~·-при всех i .
В соответствии с ф-лой (4.5) при отсутствии корреляции адди
тивной помехи в отдельных ветвях
Алгоритм (5.1) с учетом ('5.5) можно представить в виде:
(l+h2) lnR+л.>Л
-
IJ
'
/•
h2
j=1=i;
1N
Л1=-2
-
~
V~.г'
Е"о r-1
(5.5)
(5.6)
(5.7)
причем случайные величины Лi с различными индексами для рас
сматриваемой системы не коррелированы.
Допустим, что передается i-я позиция символа. Тогда плотности
вероятности w (Лj) и w (Лi) определяются соответственно ф-лами
(4.72 1) и (4.76).
Вероятность выполнения неравенства (5.6) при передаче i-й
позиции сим ,вола, т. е. совместная вероятность правильного прие
ма и попадания принимаемого сигнала в зону определенности,
р,авна-
186
00
Рправ; з. о = sw(Лi)
0'
..
S w (Л1) d Л1dЛ1,
А/ !~• lnj3,
h•
(5.8)
После интегрирования получаем
1
-=-N-1' k
р
= _(_1+_ h
_
2)_N_ ~
_h
_
'
,__, , --,
_
(N_ -_
1_
-_r
_+
_
k _)! _Ck_
r ( -::___h
2
Jn ~· )'. (5_9)
прав; 3. о
(N _ 1)! ~ ,kJ, k! (2+ h2)N+k-r
k=O r=O
Совместна~ вероятность ошибки и попадания принимаемог о
с игнала в зону определенности определится вероятностью выпол
нения .неравенства (5.6), если в нем i и j поменять местами, т . е
вероятностью выполнения неравенства
1·+h2
Л, - ln В----=-< Л ...
fi2
}
После вычислений имеем
1+ii,
(5.10)
-
-~
~
-
h-'- - -~·~
(1+No)Кck(N+r-1)1(-]n ~)k-r.
(N-1)1 (2+ ,?z.)N ~~
kl (2+ h2Y
h2
k=O r=O
•
(5. 11)
Заметим, что при ~= 1 из раrвенства (5.11} следует формула
для вероятности ошибки в системе прямой связи {4.78)
N-t
-
1
\"1сг (
Ро - (2 + h2)N ...;,,J N+r- 1
r=O
1+~ )'
2+ h2
(5.12)
Безусловная вероятность попадания принимаемого. сигнала в.
з ону определенности
Р3.о=Рправ; 3.о,+Раш;3,о·
(5. 13 )1
Дальнейший анализ выполним для случая весьма качествен
ной связи, когда h2 >> 1, т. е. имеем:
•
1N-1 k
=- ~ ~Ck(N+k-r - 1)!(- In~)'
р
~р
= вh'
__
._______
__
_
3,о
прав; 3, о
k!(h2)k(N_ 1)!
Вероятность
определенности
k=O · r=O
ошибки при условии попадания сигнала
с учетом ф - л (-5.14) и (5.lб) равна
~
Р=Рз,о;0ш =
Рош;. 3·. о·
Р3.о
(5. 14 ),
(5.15}
(5.16)
в за.ну
(5.17 )
187
Средняя . скорость , передачи~ инфор·мации в СКОС при исполь
зовании . посылок длительности . Т и простейшего кода
-
.
N-1 k
~•ТТ.·а~· ~~_(N_+_K_- _
r_ -_1
_)_1 С_~_-
-
(-Jn~)'.
kl(N- 1)1(а2т)k
k"=O r=O'
(5.18)
r!)J.e а2 = No'_ Р~ - среднестатистическое значение отношения пи-
т·
~2-
vo•
ковой мощности сигнала к спектральной плотности мощности в от~
дельной . ве'tви , разнесения.
Из ф-лы (5, 17)J следует, что при фиксированной вероятности
ошибки: Р'
С учетом этих соотношений
J,'
,!.Р -
(_l__p
.
)lfN_ N-1
··
k'
R,
а2•~ '~
(N+k- r
-
1)! Ck'
1''.
t
~~ ----
---
k- -( -ln~)'.
(. р~-·.)N k=O r=O
(~)N
(N-1)! kl р .
(5.19)
(5.20)
Можно · найти значение Вопт, которое при фиксированных зна
чениях вероятности ошибки р и параметров а2 и N опреде:ляет
максимум выраж е~ния (5.20). Из условия d!/dB = O получаем со
о:rношения, определяющие Вопт, :При одиночном приеме (N = 1)
1
1
~R -(1-ln ~опт) = -
,
t'ОПТ
р
а;• при . сдвоенном приеме (N=2)
Наj%д.енные значения Вопт при N = 1, 2 и р= I0-4 ; l ,Q-5 приведе
нь1 в , табл. 5.1 . Там же даны и другие параметры, характеризую
щие ана JJИзируемую систему и поясняемые ниже.
Максимальное значение средней скорости передачи информа
ции nри, В= Вопт
[(_P _)I/N _1]N-1 k (N+k-r+l)ICk'
fыакс,-: ~опт l3опт - N ~ ~
-- ---
-
-
- -k~ (-JП~опт) pl/N.
k=O r=O (N-1)1 kl ( ~;т )N
(5.21)
tлiлйi.iл sJ
.-.
---
·---:.. ---
.,. ,~_
~,
-~ ----
-
.~-.
___ ._
-
.....
~~-
р
N
~опт
Рзо
по
- --'- ---
Y"J= =K
/,
п
-
~
10-4
82-10-5
0,335
з· ,оо
5'001
li400 ',01
0,957
0,957
1,bt
21
i
2~:.о'•
2
'i
i
--=
ю-s
0,324
0,324
3,10
3246'
9~50~6'>
2
0,936
0,936
1,0'7
51'
54: ',3',
Примечание. ~=~опт·
Вероятность попадания сигнала в зону ·<<ОПределен'ности:'» ' п'рi{
йыборе ~опт
Г~'1 (N +k~r-1)!~
Рэ.0 = Т1маке=(~опт)опт~~
.
.
}!_
-
· с _:_: Iri Роптi~ •
k=O г=О (N- l)Ikl(~о;т)N
(5.22) ''
Отношение :мгновенной скорости передачи информации к мак- •
симальной средней скорости - коэффициент замедления
1'
по= ---
.
(5.23) •
Рз.о·
Оценим вы'и ·tрыш, который можно получить, испо.i:rь:зуя • канал •
обратной связи. В системе прямой связи средняя (она же и мгно- -
венная) скорость передачи информации с учетом ф-лы · (5 . lб) ' оп~
ределяется та:к :
1
fo=-----
а.~ ,
•
1(Ро\zi-
То cfN-1)
(5.24) •
tде Т0~ длительность посылки в системе прямой связи;
~~·
-
'
''
а 0 - среднестатистическое значение отношения пиковои мощно-
сти сигнала и спектральной плотности шума отдельной
ветви р.азнесения в системе прямой связи :
1.,~ ~
~
·
~.)(,:,,)+-+]( _cfN-,.P· )~ х ·
1⁄4·
~
~
(5.25)
189
При одинаковой пиковой мощности пер.едатчика и вер·оятно·сти
ошибки
0:2=о:~, Р=Ро
• (5 .26)
выигрыш в средней скорости передачи информации
1р,
'
кCN
tГ _з_. _о _.
= ( 2N-I)
R.1/N '
t-'оп.т
: (5.27 )
Соответст,венно при одиночном и сдвоенном приеме:
кРз.оК
v-3
-
1=-R
--;
2=р3,0
- R.-
·
t-'ОПТ
'
t-'ОПТ
Из ф-лы (5.25) видно, что при неизменной средней скорости
(!манс=fо) и вероятности ошибки р=р 0 в системе с обратной свя
зью обеспечивается энергетический выигрыш по пиковой мощности
-2
ао
"f/= -= - =K.
а2
Этот выигрыш по ,скорости передачи информации или пшювой
мощности передатчика получается сокращением длительности ра
бочих посылок, т. е. р!асширением полосы частот -в
То = !макс раз.
(5.29)
Т fоРз. о
При р = р 0 и а2 = а5 необходимое расширение полосы ча стот
к
п=~-.
(5.30)
Рз. а.
При одинаковой длительности рабочих посылок и одинаковом
качестве (р=р0 ) система обеспечивает энергетический выигрыш по
пиковой мощности
(5.31)
При этом в подобной системе имеется проигрыш в средней ско
рости передачи информации, равный
1
-
= п0.
(5.32)
Рз.о.
Из табл. 5.1 видно, что использование в рэлеевском канале об
ратной связи при одиночном приеме является весьма эффектив
ным средством повышения средней скорости передачи информации
или понижения средней мощности передатчика (примерно в 500 раз
при р= 10-4 и 3200 раз при р= 10-5 ). С улуч шением свойств кана
ла эффективность использования обратной связи падает. Из табл.
5.1 также видно, что эффектиБность использования канала обрат
ной связи совместно с разнесенным приемом невелика. Разнесен
ный прием настолько улучшает свойства эквивалентного по поме
хоустойчивости одиночного канала, что использование канала об
ратной связи уже не может дать существенного эффекта.
190
§ 5.4. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ И ЭФФЕRТИIВНОСТЬ :В,йНАРНОЙ OkOC
В СИСТ ЕJМЕ ППСН ПРИ ПОРОГОВОМ ОДИНАРНОМ ПРИ:ЮМЕ
Если точно в месте приема известен коэффициент передачи ка
нала у (о таком приближении можно tОiворить. только в условиях
i\1едленных замираний в канале) и неопределенна фаза сигнала,
то при прямой связи вероятность ошибки
1
( Еу2,
Ру=2ехр- 2cr5)•
(5.33)
Средняя вероятность ошибки при пороговом прием е в системе
ППСН с учетом ф-лы (5.3)
Рош; э.о
f'J =Рз.о;ош=
Рз. о
00
j Руw(y)d'У
VRa5
•
Е
00
(5.34)•
s w(y)dy
VRa5
-г
В общем случае четырехпараметрического распределения ам
· п литуд анализ затруднен. Рассмотрим симметричный по ортого
нал .ьным компонентам обобщенно-рэлеевский канал, а затем пре
дельный - усеченно-норыальный канал.
В обобщенно - рэлеевско м канале
(5.35)
где
А1=,/ 2R~+q2) ; С1 = -vq2•
Vhi
(5.36)
Средняя вероятность ошибки в соответствии с ф-лами · (5;34) и
(5.33)
где
Когда порог нулевой, R = О,
1-F(A> 1, С)
=ll
1- F(Ai, 1; С1)•
q2(1+q2).
2+2q~+ h2·
(5.38) ·
(5.39)
191
Из ф-лы (5.37) следует результат (2.127) для вероятности ошибки
в бинарной системе прямой связи
•
1+q2 .
( -q2!f, ')
Ро=
ехр \
.
2+2q2+h2
, 2+2q2+h2
(5.40)
Средняя скорость передачи информации 1в СКОС при исполь
зовании посылок длительностью Т простейшего кода
tZ~2q2 ) Iо(V2q2t)dt,-
(5. 41)
-
h2 Ре
гдеа2= -
=
-
-
отношение средней мощности сигнала к спек-
та5
тральной плотности мощности шума.
Определим оптимальную длительность посылки Тапт, максими-
зирующую ф-лу (5.41) при фиксированных параметрах а2 , R~ q2. Из
условия d I /dT = О получаем определяющее Тапт уравнение
1- F(V2л(1+q2)' 1, Vq2)=
= л(l + q2)!0[2Vq2),(1 + q2)] ехр[-q2-ч1 + q2)],
где
R
"-=
-= --
а2 Топт
R
No
(5.42)
(5.43)
Ясно, что при заданном значении q2 существует однозначное со
ответствие между параметрами R, а2, Т апт, обеспечивающ~е мак
симальную среднюю скорость передачи информации.
Вычисленные по ф-ле (5.42) значения параметра 'А при неко
торых значениях q2 приведены в табл : 5.2.
.
ТА БЛИЦ А 5.2
о
q2
о
о
2,00
10,0
00
л
1,4
1
0,84
0,73
о
Примечание. Т=Топт·
При оптимальных соотношениях между параметрами q2, а2, Т,
R средняя скорость передачи информации
!макс=-1 [1 - F(V2л(l+q2), 1, v''q2)],
(5.44)
т
\92
х
1
-
FCV2л,(1 +q2)' 1
'
-vq2 )
(5.45)
На рис . '5.3 по ф-ле (5.45) пунктирными кривыми построены за
в иси1vюсти р от h2 а2Топт при различных значениях q2. Там же для
/(}
!/J"
J(}.J
J(},,,
1()5
!(}'
11
-
----
-
-
--
--
~-- ~-
-
-
~----,- - - --,
р
Рис. 5.3
с рав нения показаны аналогичные зависимости для прямой систе
~1 ы связи, построенные по ф-ле (5 ..30).
Из сравнения кривых видно, что при одинаковой вероятности
о шибки р = р0 = lQ- 4 в прямей системе связи параметр h2 должен
б ы ть в п раз больше, чем в системе с каналом обратной связи. ;Ве
.1 и чины п сведены в табл. 5.3 .
-
-
2
При одинаковой пиковой мо щности передатчика (а2 = ао) для
о бес печени я неизменной вероятности ошибки д.rуительность элемен
т а сигнала в системе с обратным каналом должна быть в п раз
:ч ень ше , чем в прямой системе связи. Отсюда с учетом ф-лы (5.44)
в озможн ый выигрыш :в средней скорости передачи информации
(5.46)
7-6
193
Данные для К сведены в табл. 5.3. Нетрудно видеть, что при
одинаковой средней скорости передачи информации и одинаковом
качестве использование обратного канала может дать энергетиче
ский выигрыш по пиковой мощности 11 = К.
При одинакqвой полосе пропускания в системе ,с обратным к,а
налом можно со х ранить качество, уменьшая (по оравнению с пря
мой ,с истемой связи) пиковую мощность сигнала в п раз. При этом
средняя скорость передачи ннформации уменьшает,ся в no=n/k=
= 1/Рэ.о раз. Эти величины также -сведены в табл. 5.3 .
ТАБЛИЦ А 5. 3
о
qZ
о
о
2
10
00
Рз.о
0,235
0,37
0,5
0,69
1
по
4,25
2,7
2
1 ,45
1
71 =К
6- 105
285
143
2,3
1
п
2,6-10 6
770
286
3,3
1
Пр им ечанн е.
В усеченно - нормальном канале
р =1-Ф(\1/ ~ · ),
з.а
h2
(5.47)
Средняя вероятность ошибки в соответствии с ф-лами (5.34) и
(5.33)
(5.48)
При R=O из этой формулы следует вероятность ошибки при
прямой связи
Ро=-----
2Vг1+h2
Ср~:щтя скорость передачи информации в СКОС
1[
( 1-R)l
I = т 1-Ф V.U:2-z:
•
!94
'.·
(5.49)
(5.50)
Оптимальное значение Топт, максимизирующее это выражение
при заданных R. . и а2 , опμеделяется из соотношения
R
А= ---
(5.51)
а2 Топт
При оптимальных соотношениях параметров
lмакс =-} V 2: ехр( - +),
(5.52)
а средняя вероятность ошибки
1- Ф[Vл(1+h2)]
р=
--
•
(,j.53)
2V 1+h2[1- Ф(Vf)]
Зависимости (5.49) и (5.53) также даны на рис. 5.3 . При р=
= ро= 10-4 в усеченно -н ормальном канале параметр п равен
2,5 · 10 6, а возможный выигрыш в средней скорости передачи ин
формации от использования канала обратной связи
/(=пРз. 0 = пV2: ехр(-+).
(5.54)
Данные, характеризующие усеченно-нормальный канал, также
св едены ,в табл. -5 .3 . Как видн о из этой таблицы, возможный вы
и грыш от использования канала обратной связи существенно за
в исит от статистики канала (параметра q2 и коэффициента асим
~1е трии ортогональных компонент ~2 ).
При неизменных средней скорости и качестве связи· р= 10-I
энергетический выигрыш 11 максимален в усеченно -нормальн ом ка
н але и равен 58 дб; в рэлеевском канале он падает до 24 дб и да
л ее продолжает па дат ь по мере роста q2. В каналах с парамет
ром q2"? 10 этот выигрыш менее 3,6 дб .
Сравнивая табл. 5.1 и 5.3 при q2= ,0, ~2 = 1, видно, как ПС)рого
вый способ приема уступает по эффективности оптимальному спо
собу проверки символов на надежность. Это объясняется и тем.
что пороговый способ выявляет ненадежные посылки , об услов
ле нные только состоянием канала, а оптимальная обработка ин
тер претир ует символы как ненадежные и при значительных по
мехах в виде шума .
§ 5 .5 . ОЦЕНКА ЭФФFJКТИВНООТИ И:3БЫТОЧНО:ГО КОДИРОIВАНИЯ
В СИСТЕМАХ С КАНАЛОМ ОБРАТНОЙ И ПРЯМОЙ ОВЯ3И
Сравним между собой по эквивалентной вероятности ошибки
Рэ при неизменной средней скорости передачи информации / и
средней мощности сигнала Р~ несколько одноканальных (по часто
те) систем с активной паузой , ортогональных в усиленном смысле.
В этих системах исполъзов.аны равномерные систематические би-
7*
нарные коды и оптимальный одиночный прием в канале с флук
туациями фаз и амплитуд.
Инварианто м при сравнении я1вляется величина
-
р'
fz2
h2= __
с_=
--
'
э 05/
kи
(5.55)
где kи -коэффициент избыточности .
Сравниваются следующие системы:
А. Систе ы а прямой связи с простейшим кодом. В этом слу -
чае kи = 1, h~ =h2 и эквивалентная вероятность ошибки р3 равна
вероятности о шибочного приема символа р:
при ~
2
= 1].
q2=~2=Q
(5.56)
Б . Система прямой связи с корректирующим кодом (п, п0).
В этом случае kи = n0/п ; h2 = h~ n0/п -- эквивалентная вероятность
ошибки Рэ в об ,1асти малых ошибок [74] *):
(5.57)
rде k - кратность исправляемой ошибки; р определяется ф-лой
(5.56).
Для определенности положим, что все сравниваемые системы
в состоянии передать No = 32 различных сообщения (телеграфный
текст). Приняв n0 = 5, рассмотрим три известных корректирующих
кода: девятиэ л е ы ентный (n=9, k = 1); двенадцатиэлементный (n=
= 12, k=2) и пятнадцатиэлементный (n = 15, k = З).
В. Система с поэлементной проверкой символов на надежность
обратно,й связью (автоматический зап·рос ненадежных элементов)
и с пр,остейшим кодом.
В этом случае kи = Рз.о, h2 -- h; Рз . о, а эквивалентная вероятность
ошибки Рэ определяется при пороговом способе приема ф - лой
(5.45) в обобщенно-рэлеевском канале
Р= ---- ехр ---'- - -
Х
1+q2
(
q2No )
2+ 2q2+ h2
2+ 2q2+ h2
1-F [Vл(2+2q2+"fi2), 1, 1 ; _q
_
2 _<1_+_ q
_
2~-]
.
V 2+2q2+h2
Х
1-F [ ✓ 2л(l +q2), 1, -,/q2]
(5. 58)
*) Здесь везде отдельные ошибки полагаю тся не коррелированными.
,196
и ф-лой (5.53) в усеченно-нормальном канале*)
[1-ФVл(1+Ji2)]
р = -------~~ -.
2V1'+ h2[1-Ф(✓f)]
(5.59)
Г. Система с поэлементной проверкой символов на надежность
и о-братной связью (автоматичеекий за'Прос ненадежных элемен
тов) в сочетании с корректирующим кодом [71] . Эквивалентная ве
роятность ошибки определяется ф-лой (5.57), в которой р следует
определять согласно соотношениям (5.58) или (5.59). В рассмат
риваемой системе параметры:
k
по
и=-Рз.о'
п
.
Проанализируем эту систему при иопользовании девятиэлемент
ного (9,5), двенадцатиэлементного ( 12,5) и ,пятнад,цатиэлементного
(1'5,5) кодов.
Д. Система с обратной связью при проверке кодовых комбина
ций (автоматичес-кий за·прос кодовых комбинаций).
В такой системе вероятность ошибочного приема зна1ка (1код0-
вой комбинации) {9,70]
Рош. зн
Рн.ош
1 -Роб. ош
(5.60)
где Роб ·ош, Рн-аш - вероятности обнаружения и необнаружения
ошибки, которые можно о,пределить, если код задан. Коэффициент
избыточности**)
kи = ~(l-p06 ош)•
(5.61)
п
•
а эквивалентная вероятность ошибки в области малых ошибок
р ,......
Рош. зн
э,......
по
(5.62)
При использовании в системе с автоматическим за·просом кода
(п, п-1), позволяющего обнаружить одну ошибку,
_
с2 2(I -п-2.
С' (I
)п- 1
Рн.ош- пР
-
Р)'Роб.ош=пР
-
Р'
(5.63)
где р - опр еделяется ф-лой (5 .56 ).
В об.1астях малых ошибок при испош,зовании кода (6.5)
р3 ,;:::;Зр2; k11 =f; h2 =+h;.
(5.64)
~ ) Считается, что в зада нно м канале порог выбирается оптимальным обра
зrм.
'''*) Напомним, что время прохождения сигнала по каналу обратной свя . зн
здесь счI1тается прене_брежимо малым по сравнению с длительностью элементар
ной ПОСЫЛКI!.
197
Зависимости Рэ (h;) для сравниваемых систем в усеченно-нор
мальном ·канале (q2 = ~ 2 = О) и в обобщенно-рэлеевском ,канале при
q2 =0,2, 10 ,приведены на рис. 5.4-5.7.
.
В табл. 5.4 даны значения энергети•ческого выигрыша YJл-j пе
рехода от системы А (система ~прямой связи с простейшим кодом)
к другой (j-й) системе при одина•ковой эквивалентной вероятности
ошибки Рэ=·lО-4 и / = const.
ТАБЛИЦА 5.4
~1 1=01q2=01 о \ 24,5 \ зз,2 \з1,sо I55,8I56,8I56,о 155,37129,5
~
q2=(}I о
1
6,4 \ 11,9 \20,00 \ 24,7I24,4I2з,1 l 23 1 20
t ~2=1 q2=2I о \ 15,о l 16,5I18,30I18,з \ 21,2I20,2 / 19
1
15,7
-,;
,=-
f/ 11=10\
1
3,514,6\4,8513
1
6,815,4\4,7\
о
5,5
~
11=0\ q2 =0\ о 121,9129,4132,70 \ 49,5147,25145,9114,17128,7
1О
q2=0\ о
1
3,8 \ 14,1 I15,W I20,4I17,5I15,О \ 12,91 19,2
rs:,
-:..
~2=1 :q2=2 I
\ 12,4 l 12,1 /13,50I 15,3 \ 15,6I12,4I11,3 I
1
о
14,9
.-,;
,=-
q2=10I
1 0,91 0,810,051
2,4 \-о,2 \-1,9I
о
I,2\
4,7
Примечание.
Для того чтобы учесть в сравниваемых системах и эффектив
ность использования полосы частот канала, воопользуемся ·показа
телем обобщенного энерr-етического выигрыша (проИirры,ша) ттере
хода от системы ~ к j-й системе ![см. ф-лу ('2.137)]:
(h2
Л;.
-IJ~-J = 10Jgl ;л • -f- = '!Jл-J+10Jg(::~).
hзf --
Лf1
(5.65)
Зна,чения о.бобщенного энергетического выигрыша (~проигрыша)
• для ,сравниваемых систем при р3 = 10-4 та1<же ,сведены в табл. 5.4.
Из анализа графиков и табл . 5.4 видно, что из сравниваемых
· сис тем
наибольший интерес для каналов с малым q2 представляег
•система с автоматическим запросом нена ,дежных элементов, ис
пользующая 'Простейший код (система В). Такая система, допол
ненная избыточным кодированием (система Г), в . некоторых слу- .
- чаях оказывается еще более эффективной, однако свнзанное с этим
: 198
/[)2
![)З
!Ov
10s
1or:
,о7
р
f/2=(} ;
NP
JЗJ= о
10 -v
11
ш-s '
1
\1
1i .r
i/lГ]'
10- '
/
/
ш-в
(9, 5)~ U
(!S,ii)
(12,ь}
р
Рис. 5.4
101
/(J J
fO'I
/05
/О&
,07
/00 Jii9
q,2=0;
ш-з
JЗ2= 1
10..,,
1(} -.г
ш-f!
J0-7
,о-в
Рис. 5.5
199
102
;оз
!О"
105
!08
707
xz~
tJ2-2 ,
10-з
J3'= 1
,o-v
10-s
!О -с
10-7
'-
iо -в
р
Р ис. 5.6
10°
101
(02
1()3
~-
11,g
10-2,
f/2=!0
70-з
_;з2= !
10- '(
10-s
10---r;
10-7
1i8
(1
1.
R
(9,5).J
р
Рис. 5.7
200
,,,--
усложнение схемы вряд ли. окупает ожидаемый энергетический
выигрыш. С ростом q2 обобщенный энергетический вь!Иlгрыш YJ~t
падает, причем тем ,больше, чем больше избыточность, а при очень
больших q2 даже становится отрицательным ('Проигрыш).
Для каналов с большим q2 наибольшую эффективность имеет
•система с обратной свя1зыо и ,проверкой 1кодовых ·комбинаций (си
стема Д), использующая код с минимальной избыточностью (,9.5).
Этой системе уступает система ·прямой связи, использующая ба
.лее сложные корректирующие 1коды.
Выводы
1. Поэлементная проверка символов на надежность является
ттри одиночном 'Пр.иеме и простейшем кодировании эффективным
средством ·повышения средней окорости передачи информации для
бинарной системы с а·ктивной паузой, ортогональной в усиленном
•Смысле. Эффективность использования каналц обратной связи сов-
11естно с разнесенным приемом невелика.
2. Возможный энергетический выигрыш (или вьшгрыш в сред
ней скорости передачи информа,ции), связанной с использованием
обратного канала, ·при одиночном ~приеме уменьшается с улучше
нием свойств •канала.
3. Для каналов низ1кого качества из ряда сопоставленных меж
ду собой бинарных систем составляет энергетическое преимущест"
во у системы с автоматическим запросом ненадежных элементов
(система прерывистой свя1Зи), иопользующей простейший код.
Для каналов высокого качества наибольшую эффективность
имеет система с обратной связью и 1провер,кой кодовых комбинаа
ций, ислользующ·ая код с минимальной из,быточностью.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ПОМЕХОУСТОИЧИВОСТЬ
ПРИ АДДИТИВНЫХ
ФЛУКТУАЦИОННОЙ
СОСРЕДОТОЧЕННОИ И
ИМПУЛЬСНОЙ ПОМЕХАХ
В КАНАЛЕ
§ 6.1. ПOCTtAJIOBRA ЗАДАЧИ
В предыдущих гла,вах в ·канале радиосвязи учитывалась аддитив
ная флуктуационная ,помеха типа <белого шума. Принципиально
такую помеху устранить нельзя. Это и оправдывает поиск опти
мальных алгоритмов обработки сигнала на фоне ф,луктуа,ционного
шума. Иначе обстоит дело с аддитивными помехами в канале , наз
ванными сосредоточенными и импульсными и существенно влияю
щими в некоторых диапазонах на помехоустойчивость системы в
целом. Прежде всего, предусматриваются воз:можности существен
ного подавления таких помех {49, 70]. К сожалению, сосредоточен
ные помехи, с одной стороны, и импульсные, с другой, можно по
давить совершенно различными путями, 'Кроме того, они влияют и
на помехоустойчивость системы •по отношению к аддитивной флук
туационной помехе. Поэтому сегодня нельзя еще утверждать, что
найдено вполне обоснованное компромиссное инженерное решение
построения приемного устройства, в достаточной степени защищен
ного от разнородной аддитивной помехи. Такая задача здесь не
рассматривается.
Здесь ставится дру,гая в адача: оценить помехоустойчивость ре
шающей схемы приемника, оптимальной 1по отношению к флуктуа
ционной помехе при учете в канале сосредоточенной и импульсной·
помех. Вопросов выбора оптимальной формы сигналов при дейст
вии в канале сосредоточенных и импульсных помех не · будем ка
саться {49]. Сигналы полагаем заданными.
Сначала будем считать, что, помимо аддитивной флуктуацион
ной помехи u(t), в канале имеется только сосредоточенна я помеха
Uс-п (t)'. В радиосвязи та:кая помеха обусловлена чаще всеrо сиг
налами посторонних связей, и, следовательно, статистические свой
ства та'Ких помех сходны со свойствами полезных сигналов . Сл,е
дует подчеркнуть, что, еоли даже все :каналы связи идентичны, ин
формация передается посылками равной длительности Т и на ча
стотах, кратных 1/Т, отсутствие жесткого фазирования (например "
смена элемента сигнала не в одинаковые моменты в.ремени) всегда!
202
вызывает ошибку в дан 'ном канале связи из-за наличия сосредо
точенной помехи от других каналов.
При учете сосредоточенных 'Помех в канале необходимо рас
смотреть вопросы ~целесообразности применения разнесенного
приема и зависимости помехоустойчивости от вероятности наличия
сосредоточенной помехи в отдельных ветвях равнесения. Они рас
сматриваются на примере бинарной системы с активной паузой,
ортогональной в усиленном смысле, по всем N ветвям разнесения
при использовании на приеме алгоритма • квадратичного суммиро-
- вания:
Maxi{Л~}, i=1,2,
(6.1)
.где
N
Л1 = ~V~.г'
(6.2)
r=I
(6.3)
Алгоритм (6.1), полученный на основании ,критерия м.аксималь
ного ,правдоподобия, для рассматриваемой системы близок к опти
,мальному (при флуктуа·и.ионной •помехе в канале) для каналов
весьма общего тИJпа (см. § 4.2).
При анализе будем считать, что до р,ешающей схемы пр!lемное
устройство узкополосно, поэтому в каждый данный момент в от
дельной ветви разнесения сосредоточенная - помеха, соизмеримая
по мощности с сигналом, или :отсутствует, или с некоторой вероят
ностью Рс • п имеется, но обусловлена воздействием небольшого чис
.~а источников. Точнее, помеха в отдельной ветви разнесения соз
дается одним эквивалентным источником, причем она не коррели
·рована с полезным сигналом, что сffiраведливо !При достаточном
разнесении источников сигнала и 1помехи в ~пространстве . При ана
лизе пред!пола.гается любой вид ра1знесения (см. гл. 4).
Заметим, что если ,приемное устройство до решающей схемы
считать широкополосным, то велика вероятность одновременного
.попадания сосредоточенных помех от весьма большого числа от
дельных независимых источников. Они создают общий флуктуа
ционый фон, и анализ помехоустойчивости можно выrюлнить, ка1к
это сделано в предыдущих гла ·вах.
Будем считать, что полезный сигнал и сигнал сосредоточенной
,помехи выбираются из одного и того же ансамбля сигналов
{si (t)}, i = ,1,2, и, кроме того, что огибающая сигналов Si'(t) не ме
няется на интервале посылки (анализа) Т. Это справедливо для
многих систем с малой и большой базами. Длительность элемента
помехи примем близкой к длительности элемента сигнала, однако
смену ее элементов считаем неси.нхронной относительно элементов
,сигнала.
203
После анализа помехоустойчивости с учето:\1 в канале аддитив
ных флуктуационной и сосредоточенной помех оценим помеха-
. у стойчивость
анализируемой бинарной системы при наличии в ка
нале на интервале Т также и аддитивной имп ул ьсной помехи. От
клонение распределения пиковых значений импульсной по мехи от
нормального за·кона значительно затрудняет анализ, поэтому огра
ничимся рассмотрением лишь одиночного приема.
§ 6.2. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ФЛУ,КТУАЦИОННОЙ
И СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ПОМЕХАХ ВО SCEX ВЕТ,ВЯХ РАЗНЕСЕНИЯ
Если передается сигнал si (t), (i = ·1, 2), а источник сосредото
ченной помехи ~передает на этом интервале ,элементы s1 ( t), Sn (•t)
(l=l, 2; n=l, 2), то суммарное (анализируемое) колебание в ме
сте приема в r-й ветви разнесения
л
v,(t) = и,(t)+х,si,,(t)+УгSi,,(t)+х,,пs1,,(t+Т-т:)+
л
л
+У,,п81,г(t+Т-т:)+х,,п8n, г (t-т:)+У,,_п8n, r (t-т:), (6.4}
где u,. (t) - флуктуационная 1поме ха в r-й ветви разнесения;
Xr, Yr ~ ортогональные компоненты коэффициента передачи !{!ан а
ла для сигнала в r- й ветви разнесения; Xr,n Yr,n
-
то же, для сиг
нала сосредоточенной шJмехи. Эти величины .· считаются неизмен
ными на интервале 2Т; -r
-
задержка между посылками полезно
го и мешающего сигналов.
Параметры юанала х,., у,., Xr,n, у,., п, как и флуктуацион, ная по
меха в отдельных ветвях разнесения, считаются взаимонекоррешr
рова,нными. При несинхронной смене элементов у истqчников сигна
ла и сосредоточенной помехи возможны три ра зличных взаимо
исключающих друг др1уга с,лучая:
1) оба соседних элемента сосредоточенной помехи соответст
вуют одной и той же позиции (l = п), сов·падающей с позицией пе
редаваемого (дОlпустим, i-й) полезното сигнала (l = n=i);
2) ни один элемент сосредоточенной помехи не соответствует
позиции, совпадающей с 1:позиrщей полезного сигнала (l = n=l=i);
3) элементы помехи соответствуют различным позициям (n=l=l),.
причем одна из них совпадает с позицией сигнала i.
В ·первом случае помеха не приводит к ошибке, а во втором
:вероятность ошибки ра ма,ксимальна. Определим суммарную ошиб
ку вероятностью*)
(6.5)
которая несколько превышает верхнюю грань ошибки, равной
Зр2)4, в предположении того, что источники сигнала и сосредото-
''') Из физических соображеiшй ясно, что для бинарной системы вероятность
ошибки р~ 1/2 и, следовательно, приближенные оценки допустимы лишь в пре
д,елах, когда 0110 1уол,авие !Не нарушена ..
204
ченной п омехи передают различные позиции с одинаковой вероят
ностью и независимо во времени f74 ].
Определим вероятность ошибки р 2 . Считая п = l =1= i и учитывая
ф-лы (6.3), (6.4) и условия ортогональности в усиленном 01ысле
по всем ветвям, имеем
(6.6)
где
т
л . =Sиг(t)s . ,(t)dt;
t,r
t,
1\
т
1\
";, г =fИг(t)Si, r (t)dt;
(6.7)
о
о
V.
= -v(), .
+х Е)2 +(1. +У в)2 , j=l=f=i. (6.8)
J,r
J,r
r,n
1,,
r,n
Из - за громоздкости формул для общего случая рассмотрим в
дальнейшем только симметричный по всем ветвям рэлеевский ка
нал . То г да случайная величина Vr,i распред елена по закону Рэлея
2
-
-
со средним квадратом а 0 Б( 1+ h2 ) (h2 - среднестатистичеокое зна-
чение отношения энергии сигнала в месте приема в отдельной вет
в и разнесения к спектральной плотности флуктуационной помехи).
Случайная величина V,.,j раопределена по Рэлею со средним
квадратом agБ(l +h;); /1.;
-
среднестатистическое значение отно
шения энергии сосредоточенной помехи в месте приема в отдель
ной ветви разнесения к спектральной плотности флуктуационной
помехи.
При иопользовании ал~горитма .приема (6.1) для рассматривае
мой системы связи вероятность ошибки
00
00
р= Р2 = sW(Л1)JfW(Л;)dлidлi.
(6 .9)
о
лi
Распределения для Л; и Лj определяются соотношениями вида
(4.76) и после интегрирования ур - ния (6.9) получаем
N-1
Р= ~ ON(1- О)'СN+г-1,
(6.10)
r=O
где
1 +h;
0 == ------
(6.11)
2+h~+No
Для случая, когда сосредоточенная помеха отсутствует (h; = О):
1
1
о= ---
О<о<-
,
(6.12)
2+h2
2
205
из ф-лы (6.1 О) следует рез,ультат [24] для разнесенного приема при
рэлеевских замираниях и наличии в канале только аддитивной
флуктуа.ционной помехи.
Если флуктуационная помеха отсутствует (а5=0), то [74]
(6. 13)
rде
(6.14)
-
отношение в месте приема в отдельной rветви разнесения сред
них мощностей сигнала и сосредоточенной по мех и.
•
Формула (6.13) справедлива также и 1При налич·ии флуктуа
ционной помехи в канале при услов ии
h2'?>1, h~»1.
(6.15)
Для учета влияния вида разнесения за.пишем [см. ф-лу (4.1) ]:
h2
h2
h2=
-
0-
•
h2 - __.О::_
(6.16)
N''p
'
п - N'pn'
где vp, Vрп определяются методом формирования сигнала (сосре
доточенной помехи); hJ (h;п) - среднее значение отношения энер
гии сигнала (сосредоточенной 'помехи) к спектральной плотности
флуктуационного ш ума, которое существовало бы, если бы то же
передающее устройство использовалось дл я одиночного приема .
При в:ьrполнении условий (б.1 15) и vp=Vpп
~
1
О=--- = ----
!+ €2
;;,2
1 +_о
(6. 17)
h5n
т. е . в этом случае эффективность различных видов разнесения
одинакова .
При вы:полнении соотно шений (6 .1 5) и в условиях качественной
с вязи:
Е2»1, б=-1-«1
1+ €2
-
ф-лу (6.1 О) можно iПриближенно записать так
Когда вьиюлняются условия
s2>3, б<0,25,
206
(6.18)
(6.19)
(6.20)
увеличение числа вет.вей разнесения ·всег
да приводит к у,менышению вероятности
ошибки, однако ,по ·мере их роста допол
н:ительный выигрыш все .более и более
у, мецьшается.
ТА БЛИЦ А 6.1,
NI
213 4
5131,7
Переход от N-,канальной в (N + 1) ~канальную
ния обеспечивает энергетичес:кий выигрыlШ:
систему развесе-
'1)= --- ,
--
р N(N+I)
Зависимость 'У] от N ·при р = 110-4 дана в табл. 6. 1 .
(6.21)
§ 6.3 . ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ НЕЗА,ВИСИМОМ ПРИЕМЕ
ЭЛЕМЕНТОВ СИГНАЛА ПО АЛГОРИТМУ RВАДРА ТИЧНОГО ОЛОЖЕНИЯ
ПРИ ФЛУRТУАЦИОН!НОЙ И СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ПОМЕХАХ,
СЛУЧАЙНО ПОЯВЛЯЮЩИХСЯ В ОТДЕЛЬНЫХ ВЕТШIХ
Положим, что сосредото,ченная помеха попадает в отдельные
ветви разнесения независимо с вероятностью Р с-п• Если она попала
в n~N (п = О, 1, ... , N) ветвей и передается i-я позиция сигнала, то
с учетом ф-лы (6.2)
п
N-n
л/,п=л/, !+лj,2 = ~V],r+~V],k·
(6.22)
r~I
k=I
Величина Ли определяется по ветвям с сосредоточенной поме
хой, а величина Ли.-по ветвям без этой помехи. Величины Vj,k рас
пределены по за·кону Рэлея со средним квадратом а~ Е, в то время
как величины Vи имеют такое ж~ распределение, но со средним
квадратом а5 Е (1 +h~) .
. Если
сосредоточенная помеха ,п опала в п ветвей, то JЗероятность
ошибки Рп определим формулой
"'
"'
Рп= Jw(Лi) f rо(Л 1 ,п)dЛ1,пdЛ~.
о
лi
(6.23)
Вероятность наличия сосредоточенной помехи в п ветвях из N
возможных
Рп (N) = С~ Р~.п (1-Рс. п)N-п.
Средняя вероятность ошибки
N
Рнср = ~ РпРп(N).
n=O
(6.24)
207
После интегрирования 1ур-ния (6.23) ·полу,чаем для средней ве
роятности ошибки !При одиночном ·приеме
1-Ре.п
реп(1+h~)
Р1ер=
-
+ -------
2+ /z2
2+7i2+h;,
для средней вероятности ошибки 1при сдвоенном ·приеме
Р2ер =
(4+Зh2)(1 - Ре.п)2 _ 2Рс.п(1-Ре . п) [ 1
(2 + h2)3
h;,
(2 +h2)2
[
3(1+'22)]
р2 1+
-
]
i
е.п
1+h;,
-
(-2_+
_h
_
2_+_h;,-)2- т (1+ 1+ ~ )з
\
1 +h~
Пр,и вьшолнении 1)nсло!ВиЙ (6.15) ·имеем:
1-Реп
Ре.п
Р1ер=
_
+-1+2;
h2
Е
-
3(1-Рс.п)2 1 2Ре.п(l - Р2с.п)
Р2ер-
(2)3т(
1)2+
h
Е41+-
Е2
Рс.п(1+3Е2)
(1 + Е2)3
(6.25)
(6.26)
(6.27)
(6.28)
Из формул видно, что, если вероятность наличия сосредоточен
ной помехи в отдельном канале Рс,п достаточно мала, можно обес
печить надежную связь даже в условиях су щественното превыше
ния мощности сосредоточенной помехи над мощностью сигнала.
На рис. 6.1-6 .4 •показаны зависимости p 1cp(h2 ) и P2cp(h 2 ) при
различных значениях параметра е,2 и вероятности Рс,п- Из графи
ков видно, как велико влияние вероятности наличия сосредоточен
ной помехи в отдельной ветви разнесения Рс,п на ·качество связи.
Если, например, в случае, когда Рс-п= · l , вероятность ошибки
~ 10-4 обеспечивается при в 2 ;?, 104, при одиночном приеме и
при е,2 ;?, 172, при од:военном приеме, то при Рс.п= 10 - 2 качествен
ная связь (Рср~ 10-I) обеспечивается при одиночном п риеме при
в2;?,100, /12 ;?,105
,
:.i при сдвоенном приеме и е2 ;?,20, h2 ;?, 102
.
Прак
тически .при наличии сосредоточенных ·помех в канале следует
предпочитать те виды разнесения, при которых меньше вероят
ность попадания сосредоточенной по мехи в большую часть ветвей.
Так, при значительном разносе по частоте можно с большим
основанием считать, что вероятность одновременного попадания
сосредоточенной ~помехи в большое ·число ветвей очень мала. В этих
условиях разнесение по частоте может оказаться более эффектив
ным, чем •прием на разнесенные антенны или углово е равнесение.
Прием в частотноразнесенной системе [1-09 ] связи ЧРСС осущест -
208
вляется только по ветвям, свободным на данном интервале време
ни от сосредоточенной помехи. Отсутс11вие сосредоточенной помехи
в отдельных ветвях можно установить на приемной стороне 1с по
мощью порогового устройства (полагаем, что сосредоточенная по
меха соизмерима или даже существенно ·превышает сигнал) и уст
ройства слежения за огибающей сигнала. Та1Кой двойной ко нтроль
повь1шает надежность в ыявления помехи. Систему ЧРСС полезно
про ектировать с каналом о,братной связи и в том случае, когда все
ветви разнесения ока,жутся «забитыми» сосредоточенной ·помехой,
прекращать передачу информ.а,ции по команде, передаваемой по
каналу обратной связи.
1()6'
---f'qл =10 -1/
----Рс;т=О {[,2 =f!J\ N=I
---Pt;Л=f и, c 2 =17t;N=2
р
Рис. 6.1
Дл я упрощения реализуемости системы ЧРСС можно осущест
влять прием по всем каналам разнесения, независимо от наличия
в ни х сосредоточенной помехи, как это делается при обычном раз
несенном приеме, и прекращать 'При ем лишь при подавлении по
мехой всех каналов. Систему ЧРСС, ·построенн ую та·ким образом,
назов ем вариантом Б, в то время 1ка1к систему, в которой прием
информации произв,одится только по «незабитым» ветвям, назо
вем вариантом А.
Неплохие результаты 1при сосредоточенной помехе в канале мо
гут д ать и другие виды разнесения. Более эффективен тот вид раз
несения, который лри данном географичес·ком расположении ме
шающих источников и оконечных пунктов полезной связи обеспе-
209
210
103
р
105
---Рс.л=tО-2
----Рt;п=О {62= f0qN=t
-
· -Р~п=l и
Е,2= 17Z N=Z
[,2 ~71/
Рис. 6.2
---P~= tO-t
__....:_
_Р,;п=О {;f/ =tOq N=J
-·-Pqп-f 11, 52=172 N=2 -
!2'0
Рис. 6.3
- - - P(jn=o,5
Е,2= 750
1000
7S00
---PC/J=О {['i,ro•N=1
---.Р~п = 1 11, &2=!12 N=Z
-= 1000
7S00
t
}N=Z
r IO-"l-'
·"-
- -+ --+- - --1 - -- - -- -=::,J_____
"---
"
р
Рис. 6.4
/
чит минимальную вероятность попадания сосредоточенной помехи
в отдельные ветви.
На рис. 6 .5 приведена блок-1схема системы ЧРСС, построенная
по варианту А. Аналогично можно построить систему и при других
видах разнесения. На рисунке приняты следующие обозначения:
Фr - входные фильтры (r = 1, 2, ... , N; N - число ветвей разне
сения); Vr (t) - входное колебание (сигнал плюс помеха) в r-й
ве'I\ви разнесения; БИ - блок
измерения необходИiмых ;пара
метров принимаемого си,г,нала;
БФ - блок формирования v;rtJ
~шорных сигналов; БОПr -
блок обнаружения .ломехи в
r-й ,ветви ра,знесения; РБ - ре
шающий блок 1 (ра6отает в со
ответств 'ИИ с заданным ал.го
рит.мом, ·на1пример, к;вадра11ич-
ного .сложения); Клr - ключ,
ОТIКЛОНЯЮЩИЙ вход r-й ветви
от РБ, если в ней обнаруже.на
сосредоточенная по1меха; ЗУ -
дискретное запоминающее уст
ройство; ЛУ -логичес1Кое уст
Рис . 6.5
ройст во ( схема И), ·которое у,п,ра.вляется выхода,ми всех БОП;
Пер -передатчик ,команды по ,каналу обратной связи. Ко1гда и:м
пульс на выходе ЛУ исчезает, подается - 1команда о iюзобно·влении
передачи инфор:мации..
При появлении имп~льса на выходе ЛУ (помеха обнаружена
во всех ветвях) ~подается сигнал на запрещение за1Писи информа
ции и команда запрещения ее передачи.
Для 'реализации системы ЧРСС по варианту Б отпадает необ
ходимость в ключах Клr,
Расчет параметров системы ЧРСС можно вести следующим
образом. При условии независимости попадания сосредоточенной
помехи в различные вет,ви разнесения с вероятностью Рс .п вероят
ность перерывов связи Рпер=Р1:.п . С вероятностью 1-Р~ инфор-
мация будет передаваться по линии связи.
•
Для варианта А вероятность того, что информация передается
и прием ведется по n~N ветвям, ,свободным от сосредоточенной
по мехи,
(6.29)
Вероятность ошибки Р 11 при приеме по п ветвям и по варианту А
всегда можно подсчитать. Так, при использовании алгоритма ювад
ратич ного сложения вероятность ошибки для бинарной системы · с
211
активной паузой, ортогональной в усиленном смысле, в рэл ее вском
канале равна:
-~п-1 ( 1 +izii
Рп-
_
2+h2
r=O
(6.30)
В области малых ошибок
Средняя вероятность ошибки при приеме по варианту А
(6.31)
Расчет параметров системы ЧР.СС по варианту А можн о вести
в следующем порядке. Задаваясь величиной Рс.п, определяют вна
чале число ветвей N, при кот,ором вероятность перерывов Рпер =
N
•
= Р о . п находится в допустимых пределах. Затем, зная Р с.п и N,
с учетом ф - лы (6.31) определяют необходимую мощно~сть п ер едат
· чика (параметра h2), обеспечивающую до пустимую вер оятность
ошибки.
Приведе;1,1 пример. Пусть Рс.п = О,1 и допустимое значе ние
Рпер~ 1О-4 . Следовательно, необходимо выбрать
Тогда, пользуясь ф - лой (6.31.) и задаваясь вероятностью о шиб
ки Рср= 10-4 , можно найти h2 = 55. Вероятность ошибки Рп при
приеме по вариан ту Б и п ветвей, з·абитых помехой , и N-n ветвей,
свободных от нее, также всегда можно найти, в частности, при по
мощи ф-лы (6.23).
где
Средняя вероятность ошибки п ри приеме , по ,варианту Б
N-1
Рср = "5" РпР(п),
.....!
спpn (1-Р )N-n
р(п)= __N
__
с_. п___ с_. п_
_
1-Р~п
(6.32)
(6.33)
Располагая ф - лой (6.32), можно расче т параметров системы по
ва р ианту Б вести так же, как по варианту А.
Зная зависимость вероятности ошибки системы ЧР,ОС от стати
стических параметров канала, можно определить и надежность си
стемы связи по помехоустойчивости (см.§ 4.8).
212
§ 6.4. ПО,МЕХОУСТ.ОйЧИВОСТЬ ПРИ ФЛУКТУАЦИОННОЙ,
СОСРЕДОТОЧЕННОЙ И ИМIIУ1ЛЬОНОЙ-- ПОМЕХАХ
Ограничимся рассмотрением одиночного приема (N = 1) при
наличии в канале на интервале · анализа Т, помимо флуктуацион
ной поме х и u(t), также эквивалентной сосредоточенной помехи
Uc.п(t) и одиночной имп ульсной помехи Ии.п(t) на интервале
Ти.п с моду л ем спектральной плотности Sи 1[см. ф -лу ( 1.3) ]. Будем
считать, что сосредоточенная помеха наиболее неблагоприятна для
с игнала: она выбирается из того же ансамбля, что и сигнал, но,
несинхронно с ним. Тогда при передаче i- й (i = I, 2) позиции сиг
нала принимаемое колебание на интервале Т имеет вид
/\
V(f)= U(t)+Ис.п(t)+Ии.п(t)+ХSt+УS1 =
= и(t)+X,i [si(t+Т- i-)+si(t-,:)]+Уп[~i(t+Т- i-)+;i(t-i-)]+
+2SиЛfэf(t-fи)iz'(t-fи)+ХS;+Уs;.
(6.34}
Вероятность. ошибки*) о п ределяется вероятностью ,выполнения
неравенства
[),i+ХЕ+2SиЛfэ1/(t-tи)S1(t)h'(t- fи)dtJ+
+[1
~ 1 + уЕ +2SиЛfэJ~t(t-tи)~, (t) h' (t-fи) citJ<
<[';+х,Е+2S•.Лf,Jt(1-1.) s1(l).h' (1- 1.)dlг+
+ [),i+ УпЕ_+ 2Sи Лf'эJf(t-fи);i(t).h' (t-fи)dfJ· (6.35),
Положим, что в левой части этого неравенства слагаемые, за
висящие от импульсной помехи, равны нулю . Тогда получаем не
равенство
v; = V[1,j, +ХпЕ+2SиЛfэJf(t-tи)Sj(t) h' (t-tи)dtТ+-:
-
+l),f+УпЕ+2SиЛfэjf(t-fи)~j(f).h'(f~fи)dtJ.
*) Вернее , верхняя грань этой . ошибки при наличии сосредоточенной пом е х и
в канале [см. ф-лу, (6.5)1
213:
Если ортогональные компоненты сигнала и сосредоточенной по-
, мехи распределены нормально с нулевым средним значением (рэ
леевский канал) и взаимно не коррелированы, то вероятность вы
полнения неравенства (6.36) в среднем нсегда больше вероятно
сти выполнения неравенства (6 :35). Другими словами, пользуясь
неравенством (6.36), найдем верхнюю грань возможной ошибки.
При фиксированном значении модуля спектральной плотности
(амплитуды) импульсной помехи Sи вероятность выполнения не
р.авенства (6.36) следующая:
00
00
р = 1- . \w(V1) Jw(V1)dV1 dV1.
(6.38)
о
v;
Случайные величины Vi ,распределены по закону Рэлея -со с~ред-
2
-
ним квадратом ао Е ( 1+ h2), поэтому после интегрирования по вну-
треннему интегралу получаем
р= 1-J
00
w (V1)ехр [-
v/ _ ]dVj. (6.39)
0
cr~E(I+h2)
Случайная величина V1 имеет обобщенное распределение Рэ
лея
2ASнV1 ]
а5Е(1+h~)
'
(6.40)
где
А=2Л/1' ·
V[Jt ((-fи)sjh' (f-tи) dtJ+ [Jf (t-lн) ;ih1(t-lи) dt J·
(6.41)
Интегрируя ур-ние (6.39) с учетом ф - лы (6.40), получ;~ем
р=1
(6.42)
где
(6.43)
нормированное значение амплитуды импульсной помехи.
Когда нет импульсной помехи на интервале анализа (l = O), из
ф-лы (6.42) следует -
214
1 +h~
р=-----
(6.44)
2+h2+h~
что, естественно, совпадает с результатом (6. ,10).
Средняя вероятность ошибки при учете статистики импульсной
помехи (распределения l)
(6.45)
Полагая, что амплитуда импульсной помехи имеет логарифми
чески нормальное распределение [см. ф-лу (1. ,214)] *), и вводя пе
ременную g·=ln l, приводим ф-лу (6.45) к виду
1+No
s""
1
[ (g-11)2
р= 1----- ---ехр
-- =--'- -' --
2+h2+h~-оо У2л:а2
2cr2
ехр (2g)] dg. (6.46)
Для интегрирования последнего уравнения разложим функцию
<р (g) = ехр [-ехр (2 g}J
(6.47)
в ряд Тей ло ра по степеням (g- ~t). Имеем
<p:(g) = ~ ер<:, (fl) (g-fJ)",
(6.48)
lt=O
и ф-ла (6.46) приводится после интегрирования к виду
1+ h2 -~"" ер(2r) (fl)
Р=1-
-
~ ~-a2r.
2 +h2+ h2
2rll
п r=O
(6.49)
Ряд сходится при любых конечных значениях а2, однаке чем
больше о-2, тем больше членов ряда приходится удерживать , что
затрудняет анализ. Рассмотрим · соотно шение для случая, когда
дисперсия флуктуации импульсной помехи достаточ1:10 мала, т. е.
когда
а2~ 1 или Ьаб~4,343 дб;
1+No
р~ l--~
-
-exp[-exp(2fJ)] =
2+h2 +h~
_
1+izi
[ _ (а[дб]- 2Ь[дб]
-
1-
_
_
ехр - ехр
4 343
2+h2 + h~
'
(6.50)
)].
(6.51)
*) Два параметра этого распределения всегда можно определить с учетом
нормировки (6.43).
215
Эта формула тем точнее, ч:ем лучше выполняется неравенст.во
ara61 »2 Ь[дб J " Определим среднюю вероятность ошибки в рассмат
риваемой бинарной системе. Если вероятность появления на интер
вале анализа сосредоточенной -и импульсной помех обозначить со
ответственно Р с.п и Ри.п и считать, что эти помехи появляются не
зависимо в канале, то с вероятностью (1 - Рс.п) (1-Ри.п) связь
проходит при наличии в к2.нале лишь аддитивной флуктуационной
помехи. С вер·оятностью Рс:пРи .п - связъ проходит при наличии в ка
нале трех разновидностей аддитивной помехи, с вероятностью
Рс.п( 1-Рип),
a-!!8-tftf
и, -,и~s ,t
10-2 ~---+--~~.:;;~==Ф=::;:::::;:;;;;=Ф==s~~
Рис. 6.6
-
nри наличии флуктуационной и сосредоточенной помех, с
вероятностью Ри:п ( 1-Рс ,п) - при наличии флуктуационной и им
пульсной помех. Средняя вероятность о ш ибки {при h2» 1,
h;»1)
1
{
1
Рср= (1-Рс.п)(1-Ри.п) No +Рс,пРи.п 1- 1+е2 ехрХ
[
(а -2Ь \]}
2
Х•
.
-ехр [дб J • [дбJ
+Р ·(1-Р )_е_+
4,343
)
с.п
и.п 1+ е2
(6.52)
Зависимости Рср (h2) при е2 = 104, Рс . п= 10-з и различных зна
чениях параметра а[а61-2 Ь[дбJ = 1; 5; 10 дб и Р,ш = О; 10-2 ; 10-4
показаны на рис. 6.6. Из рисунка видно, как сильно помехоустой
чивость зависит от вероятности попадания импульсной (и сосре
доточенной) ,помехи в канал и от параметров а и Ь рас п ределения
нормированной амплитуды этой п омехи {см. ф-лу (6.43) ].
2 1.6
Выво?Jьr
1. Качество связи в существенной степени определяется ве
роятностью попадания сосредоточенной помех.и в отдельные ветви
разнесения. Пр едпочтительны те виды разнесения, при которых
меньше вероятность попадания сосредоточенной помехи в боль
шую часть ветвей. Оиределенный интерес при сосредоточенной по
мехе в канале имеет разнесенный прием вместе с каналом обрат
ной связи.
2. Помехоустойчивость, связк при, флуктуационной,
.
сосредото
ченной и импульсной помехах в канале существенно зависит от
вероятности попадания импульсной помехи на интервал анализа и
от двух параметров распределения. нор мированной амплитуды этой
помехи . .Вследствие особенностей распределения аналитическое ис
следование пом.ехоустойчи.во,сти при, импульсных помехах затруд
нено.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ
РАДИОКАНАЛОВ
§ 7.1. ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ :КАНАЛОiВ С МЕДЛЕННЫМИ
3.АМИР АНИЯМИ ПРИ . РАЗНЕСЕННОМ ПРИЕМЕ
Пропускная способность канала по К. Шеннону [92]-очень важная
характеристика системы связи, определяющая предельные возмож
ности при наложенных ограничениях. •Исходной для расчетов про
пускной способности каналов связи во многих работах принимает
ся формула К. Шеннона для канала с постоянными параметрами
при оптимальном кодировании *):
C = ЛFcln(1+ ::), н::·ед
(7.1)
.где Р ~ - средняя мощность сигнала; Рш- средняя мощность шу
ма; ЛFс --- полооа частот сигнала.
1 Подчеркнем, что предельная скорость передачи информации
достигается при полном саг ласовании сигнала - и канала; сигнал
на выхо.п:е передатчика s(t) должен иметь структуру флуктуацион
ного -«белого шума» в канале с постоянными [92] и переменными
параметрами [89].
Обобщение Л. М. Фиююм ф-лы (7.1) состоит в том, что в этой
формуле {74] для пропуокной способности полоса ЛFс заменяется
Уf:Ловной F. Таким образом, результат Л. М. Финка относится к
сигналу с неограниченным спек'l'ром . С ростом ЛFс (или F в фор·
муле Финка) пропускная способность возрастает и при
ЛFс-.оо (F- . o o) стремится к величине [16]
с _ Р~ нат.ед.
-
'
'
""
cr5
сек
(7.2)
где а~ - спектральная плотность шума.
Пропускную способность N лучевого канала с постоянными па
раметрами можно аналогично (7.1) определить так н):
*) Здесь для удобства будем количество информации измерять в натураль
ных единицах.
**) Для простоты, здесь средняя мощность шума Рш в сигналах отдельных
ветвей считае11ся одинаковой.
218
(7.3)
где
(7.4)
Р с - средняя мощность сигнала на передаче,
Vr, (j)r -
коэффициенты передачи и фазовые сдвиги по отдельным
лучам.
.
.
Усредненную пропускную способность многолучевого канала с
медленными замираниями в первом приближении можно опреде
лить усреднtнием соотношения (7.3) по р:
00
C~=F0 51n(1+ ::p2)ro(p)dp_
(7.5)
о
Предпосылки для этого рассматривались в работах [б6, 60, 68 ,
89]. К сожалению, определить распределение р в общем сл учае
з атруднительно. Мы предположим, что возможно полное разде
л ение лучей (используются ш ирокополосные сигналы) и опреде
лим
(7 .6)
С учетом соотношения (7.6) ф - ла (7 .5) определяет, по-видимо
:11 у, верхнюю грань пропускной способности многолучевого канала
п ри аддитивном белом шуме и некогерентном сложении лучей .
С учетом ф-лы (7.6) можно полагать, что ф-ла (7.3) определяет
п ропускную способность канала при произвольном N-канальном
р азнесении и фиксированных коэффициентах передачи по отдель
н ым ~ветвям 'V r, если только разнесенный прием сводится к экви
в алентному одинарному с отношением сигнал/помеха (см . гл . 3
и4):
•
Примем , что сигналы, пришедшие по отдельны м лучам, ст а ти
стически независи м ы, а у,. аппроксимируется достаточно общи м *)
для интерференционных з·амираний т-распределением На к ага
:1ш ;[137]:
2mlm' У,т'-1
Г(т')у;т'
( т'у;)
ехр -~
,
у;
*) Если не интерес о ваться т онкой ст руктурой си г на ла.
, . ._____
1
т ,::::,- -
.
2
(7 .7)
\
В этих условиях в результате эффекта р.азнесенного приема
можно ожидать увеличения проп ускной способности канала с ро
,стом числа лучей N. Принципиально можно получить весьма высо
кую пропускную способность в мно гол учевых каналах с медленны
ми замираниями и мал ы м аддитивным ш умом [69 ].
Нетрудно показать, что, если 'V; = 'У6• случайная величина
--N
--
p = V~ 'V; также имеет распределен~е (7.7), если только заме-
т=!
нитьу"нар,ат'наNm1, т. е.
2 (Nm')Nm' р2 (Nm') -1
.
(
w(p)= Г(Nm')(Ny5) Nm' ·ехр
-
р2т'N )
N 'У~
•
(7.8)
Тогда
со
Fc(Nm')Nm'2 \ ( Р ) ( т'р2)2Nm'- l
CNm' = --~~
(- fn- )N--
,-
ln 1+_
._
сР2ехр-- 2-
pdp.
Г(Nm')NOт
р
i
•ш
•
~
а.~
Интегрированием по 1rастям получаем при целом N m':
с - --ЛF exp(Nm') E-(-li!!i_) N~l( -~ )k
!
Х
N,m -
с
~N
i
~N~
Nm'
(Nm' -
l- k)!
k=O
Nm'- 1
Х(- N~:' (т'-1 +(-}!_~:' (т'-1 ЛJ;с~ (- ];, у Х
k=,O
нат.ед.
сек
(7.1О)
отношение средних мощностей сигнала и
со
помехи в месте приема; -Ei(- ~ :') = J+exp( - t)dt - инте-
Nт'
Вн
гральная показательная функция.
Замет:им, что при m' = l (рэлеевский канал) и N = l (одиноч
ный прием) из ф - лы (7 . 10) сндует изР сетный результат [68]:
с
F
(1)Е( 1) нот.ед.
1,1 =-.
сехр -
1--
,
---
•
~1
~1
сек
Возьмем отношение пропускной способности CN,m к пропускной
-способности идеального канала Со с той же средней мощностью
си гн ала, что в канале .с з.амираниями:
220
с-F1(1_[_А)нат.ед.
о- сП
I t'N
•
•
сек
(7.11)
CN,m
Зависимости f!н,т' = -С:- от ~N при Nm'= 0,5; 1; 2; 3; 4; 5;
6; 1О дан ы на рис . 7.1. Для одиночного приема (N= 1) при целых
т' такие же кривые построены в работе i[l 1]. Кривая, соответст
вующ ая N m' =0,5 , определена численным интегрированием ур-ния
0.212
l(J(J
1/1/J{}
Рис. 7.1
(7.9) . Особе нность зависимости относительной пропускной способ
ности ~LN ,m , от ~N состоит в том, что при заданном отношении сиг
нал /помеха ~N пропускная способность зави· оит не от,дельно от па
раметра т' и числа лучей ·в канале N, а только от их произведения
Nm 1. Это означ ает , что относительная пропускная способность в
усеченн о - н ормальном канале (т' =0,5) при М = 2 та же, что в рэ
леевскоы канал е (т' = 1) при одиночном приеме.
Из рис. 7.1 видно, как с ростом параметра N,m' система с раз
несени еи стре м ится к идеальной (Noт'----+ оо). По сравнению с
идеальным каналом (m'----+ оо) изменение пропускной способности
в кана,1 е с параметром Nom 1 =0,5; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10 не превышает
соответственно 30; 17; 1-0; 66; 51; 42; 4; 3,8% .
Таки м образом, макс има,11ь но возможное снижение пропускной
способности радиоканала, обусловленное интерференционными за
м ирани ями, не превышает 30 % (усеченно-нормальный канал при
одиноч ном приеме) .
•
221
В табл. 7.1 даны значения ~tн ,m,, 1юто·рые наглядно говорят о
степени повышения относительной пропускной способности кана
ла с ростом числа лучей и улучшением свойств канала (рост m').
ТАБЛИЦА 7.1
т'
1
0,5
1
2
3
1'
6
00
f!-1,т'мин
1
0',7
1
О• ,83
0,90
0,93
1
0,96
f'-2,т'мин
1
0,83
1
О· ,90
О,%
0,96
1
0,98,
f'-4,т'мнн
1: 0,90
1
0,95
0,97
1
flб,т'мин
1
0,93
1
0,96
1
f'-а,т'мин
1
0,95
1
0,97
1
Примечание·. Идеальное ко:Цир0вание ·.
Заметим , что приближение к предельно достижимой в многолу
чевом ка на ле пропускной способности предполагает не только до
статочно сложное кодирование на передаче, но и довольно слож-
ную обработку сигнала на приеме (см. гл. 3).
-
Оμеним теперь пропускную способность при разнесенном прие
ме несколько иначе.
Примем, что вместо оптимальной схемы сложения использует
ся схема автовыбора. что, как было поJ<iазано 1в § 4.7, не при
водит к существенному энергетическому проигрышу для каналов
с замираниями . Но тогда разнесенный прием сводится к эквива
лентному одиночному ттриему в канале с коэффициентом переда
чи уо (максималь ный коэффициент передачи тто всем ветвям) . Сле
довательно, при достаточно медленных замир,аниях среднюю про
ттусКiную сттособность канала с ,разнесением по N -ве'I'вям прибли
женно можно . определять [56] формулой
00
·cN,m'=ЛFc Sin(l + :: y5)w(y0)dy0 , 11а;~/д.
(7. 12)
ln
где w (уо) - плотность вероятности случайной величины уо.
Ввиду громоздкости выкладок ограничимся рассмотрением
только сдвоенного приема, причем обе ветви считаем симметрич
ными.
222
Как показано в § 4.7,
w(yo) = --=4 =---ехр .( - 'У5 \)\ Ф (_Уо_)
V 2ii:v2
2v2
Vv2
при т'=+,N=2,
(7.13)
4т'т' у,5т'-\
( т'Уо)
w(y0) =
ехр -
.
"'
2
Х
(m' -
l)!y2m'
,
[
(
2) m'-1 ( у2 ..!!!!....)2 ]
Х1-ехр
-
т~2Уо ~ о}2 .
'
(7. 14)
т'- це.J1ое число, N=2.
С учетом (7 .14) после интегрирования ур-ния (7.12) при т' це-
лом получаем
(7. 15)
где С 1 ,т, - проп ускная способность канала при одиночном прие
ме, котор ая определяе,тся при N = 1 из выражения (7.10):
,
( т')r+m'- 1!
т-1 --
~~1
(-2т') (2m')
В1= ЛFс~ rl (m- l)I
-Ei~ехрТ~Х
r=O
r+m.' - 1
k
n-1
-
(2m' )' )
~(
~1 )k (г+т'-1)1 ~1~ ~1
+ ~ , --;;;;- 2k+1(r+m'-1+k)I ~-;;; ~ ll
, (7. 16)
ру2
где ~1 =+- - отношение средних мощностей сигнала и помехи
ш
при одино чном приеме. Определим теперь коэффициент
с2,т'
f-'2,т• = -с;-·
Он оп редеJ1 яется, как отношение пропускной способности канала ·
с за мира нием при сдвоенном приеме к пропускной способности
кана ла с пос тоянными пара м етрами, у которого средняя мощность
сигн ала в м ест е приема такая же, как в канале с замираниями.
П ри сдвоенном приеме:
Co=Fcln(I+ :~ y ~) = Fcln(l+~1 em,), на:~ед .'
223
"'
'У6 = \ w('Yo)'Y~d'Yo;
о
С учетом выражения (7.14) имеем для целых т'
откуда
Учитывая выражение (7.13), при т' = 0,'5 получаем
"'
~
'=
4 'У2 lt2 exp( - _!:__)Ф(t)dt=y2 (1+~) -
y2n .\
2
n
о
(7.17)
(7 .18)
(7.19)
В табл. 7.2 даны значения коэффициента em, при раз л ичных
т'.
Рис . 7.2
224
ТАБЛИЦА 7.2
т'
0,5
2
3
4
5
00
1 ,63
1,5
1 ,38
1 ,31
1 ,27
1 ,24
с2,т'
Зависимосп !-' 9 т' = -- от
~ 1 при различных значениях пара-
-,
Со
метра т' = 0,5; 1; 2; 3; 5 и N = 2 приведены на рис. 7.2. (Интегри
рование при m'=0,5 выполнено численным методом.) Эта зависи
м0сть мало отличается от той, которая дана на рис. 7.1 при NJ = 2
(с учетом различия масштаба по оси абсцисс). Можно полагать ,
что в · более общем случае N - канального разнесения с автовы
бором результат также приближенно определяется кривыми
рис. 7.1.
§ 7.2. О ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ БИНАРНЫХ СИММЕТРИЧНЫХ
КАНАЛОВ С ЗАМИРАНИЯ.МИ
Канал симметричен для системы с активной паузой. Пропуск
ная способность бинарного симметричного канала определяется
соотношением [92]
С=-
1 [1n2+р1n+(1- р)1n(1- р)], нат•ед·
,
Т
•
• сек
(7 .20)
которое максимизируется при минимизации вероятности ошибки
(перехода) р .
При когерентном приеме минимальная вероятност 9 ошибки
(при заданной средней мощности) и, следовательн ·о, макс имум про •
пускной способности Сыанс обеспечиваются противопо лож ными сиг
налами. Как показано в работе 1(8], для рассматриваемого случая
при медленных и некоррелированных замираниях сигналов от
дельных ветвей, независимо от параметра канала т.' и числа вет
вей разнесения N, максимум ф- л ы (7.20) обеспечивается при стрем
лении длительности сигнальных посылок к н ул ю (частотной поло
сы канала к бесконечности).
При 01:11метрии канала по отдельным ветвям [8]
Смаке=
при m'= 0,5,N = 1;
2Ре
·[(2т'N- 1)!!]2 П И
Смаке= ------"---- (m' N- l)!
р Nm' --целое число,
22m' N т' cr5 (N)''p
(7 .21)
где vp - коэффициент разнесения [см. ф-лу (4.1) ].
8-6
225
Таким образо м ,
СС'а><е, 1 =_i _,
m'= 0 ,5;
00' 1
л;2
где
С'N=PeN.
00
2
GQ
Смаке, N
С00, N
В табл . 7.3 приведены· значения
чениях параметра т 1.
2
[(2т'N- l)!!]z ,
22m'Nm'(N/P (m'N- !)!
(7 .22)
при различных зна-
Из табл. 7.3 видно, как разнесение ослабляет влияние свойств
среды (параметра т1 ) на пропускную способность канала, кото
рая асимптотически при N, m'--
оо стремится к величине
Смаке • Nm'---> 00
~_1
_
(7.23)
Соо, N
n N'P
ТАБЛИЦ А 7 .3
т'
0,5
2
3
4
5
с
1
маке,\N=l) 1 О ,406
соо,1
0 ,500
0,566
0,585
0,596
О ,605 О ,636
0,566
0,596
0,616
О ,619
о .620 lо ,631
0,596
0,619
0,622
0,626
о,629 1 о ,636
Роuт
0,440
1
0,245
1
0,184
1
О, 161
1
о, 152
1
0,143 1 о' 106
~
1
1
1
1
1
13,162
-
h5опт 11
0,065
2,080
2,58
2,76
2,90
3,00
s
смаке , !
о ,05751 0,067
1
о ,08651 о ,09031 о ,09321 о '0950 1 о' 115
соо,!
Пр им е чаи и е. Когерентный прием ''р = О.
Из этого вt>rражения следует, что при скоростях передачи, близ
ких к максимальной пропускной способности канала, эффективно
.тол ько разнесение с коэффициентом vp = O (пространст;венное или
у гловое разнесен1ие, ,прием по многим луч1ам). При vp> 1 и
Nm--+oo разнесенный прием может п ривести лишь к проигрышу
по пропускной опособности по ор1авнению с одиночным приемом.
Напомним, что аналогичные 'соотношения были получены при
оценке эффективности раз.не~сения 'В гл. 4.
226
Теперь рассмотрим пропускную способность симметричного би
нарного канала при неопределенной фазе сигнала. При фиксиро
ванной средней мощности сигнала и неопределенной (априори рав
. номерно
распределенной) фазе минимальная вероятность ошибки ,
а следовательно, максимизаuия выражения (3.20) обеспечиваются
для системы, ортогональной в ус иленном смысле.
Для бинарной системы с активной паузой , ортогональной в
усиленном смысле, вероятность ошибки в канале с т-распределе
нием амплитуд
1( 2m'
)т'
)
р=2
2m'+h2
(7-24
С учетом соотношения (7.22) ф-лу (7.2 0) можно записать так:
С=~
00
[ln2 + plnp -\--( l-p)ln(l-p)],нam.eд. (7.25)
h2
.
•
сек
Здесь Соо - предельное значение пропускной способности иде
ального канала с той же средней мо щностью · сигнала, что и рас
сматриваемь1й канал. Поскольку р = f (т', h 2), то при заданном
значении параметра т' величина С имеет макrсимум при опре-
dС
деленном зна 1 1ении h2. Из условия
--- =' = О следует уравнение [74]
dh2
_f i2 dp = In2+plnp'+( 1"- p)In(1 - p).
d"'@
1-р
In --
p
Как следует из соотношения (7. 124),
h2=2m'(
1,
--
1). d!_
=__
1 (2 )1/т'.
(2p)lfm
,
dh2
2рр
Откуда нместо ф-лы (7.26) запишем
-h2__!!р_=(2 )1/т' т'( 1 - 1)=
d fi!,
р р (2p)lfm'
Jn2+рlnр+(1- р)!n(1- р)
I-p
In --
p
(7.26)
(7.27)
(7.28)
Величины Ропт, удовлетворяющие ур-нию (7.28) при различных
значениях т1, сведены в табл. 7.3 . Там же даны величины 7i~n- . ,
определяемые по ф - ле (7.27). По этим данным окончательно в
соответствии с выражением (7.25) определено значение С~:с .
Результаты при п-~ 1 = 1 (рэлеевский канал) и т1 = оо (отсутствие
замираний амплитуд в канале) ранее получены в работах 1[74] , {16].
Сопо ставляя данные табл. 7.3, мож но видеть, что при некоге
рентно м приеме и бинарном коде параметр т 1 более сильно влияет
на проп ускную способность канала, чем при когерентном приеме.
227
Как показано в 1Н '6], {74], использование т - позиционного (при
m-+ оо) ортогонального симметричного кода вместо такого же
бинарного кода позволяет в канале без замираний получить уве
личение пропускной способности примерно в 1,5 7 раза, а в кана
ле с рэлеевскими замираниями в 5,5 раза.
Сравнение табл. 7. 1 и 7.3 позволяет судить о тех возможностях,
которые может дать оптимальное коднров1ание ( не реализуемое
на сегодняшний день) по сравнению с бинарны м .
Выводы
1. Оценка относительной пропускной способности каналов с
медленными некоррелированными т - замираниями в ветвях раз
несения показывает, что это - монотонная возрастающая функ
ция произведения числа лучей разнесения N и параметра кана
ла т1.
Максимально возможное снижение проп у скной способности ра
диоканала, обусловленное интерференционными замираниями, не
превышает 30 % (усеченно - нормальный канал при одиночном прие
ме, Noт 1 = .0,5). Разнесение ослабляет влияние свойств канала (па
раметра 111.1 ) на его пропускную способность.
2. !По сравнению с оптимальным кодом бинарное кодирование
ведет к ослаблению влияния свойств канала (параметра т 1) на
его пропускную способность, причем тем в большей мере, чем пол
нее можно использовать информацию о фазе прини м аемых сигна
лов.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результаты анализа разт:чных типов существующих и пер
спективных систем связи по пропускной способности, помехоустой
чивости и надежности приведены :в книге в виде формул, таблиц
и графиков, позволяющих оценить указанные характеристики в
весьма широком диапазоне из ме нения параметров сигнала, радио
канала и приема-передающей аппаратуры. Эти рез ульт аты можно
применить при проектировании новых дискретных систем радио
с вязи для каналов самого общего класса и при ра с чете характе
ристик верности и эффективности таких систем на освоенных трас
сах.
При практической разработке системы радносвязи (выборе ко
да, способа манипуляции, метода формирования и приема сигна
ла и т. п.) проектировщику приходится учитывать и другие эк
сплуатационные требования к системе связи: стоимость изготовле
ния, сложность оборудования и связанную с ней аппаратную на
дежность, осуществимость устойчивой синхронизации, габариты,
вес, которые не были затронуты в книге.
Тем не менее знание эквивалентной веро'ятности ошибки си
стемы связи, ее надежности по помехоустойчивости и эффективно-
228
сти, умение оценить изменения этих х.аракте'Р'истик системы при
вариации тех или иных ее параметров (в том челе самого радио
канала) - непременное услови.е правильного подхода к проектиро
ванщо новых систем и критического анализа сущестrвующих си
стем связи.
След уе т подчеркнуть, что встречающиеся на практике каналы
радиосвязи принадлежат 1, весьма широкому классу (значитель
но более широкому, чем кла сс обобщенно-рэлеевских каналов),
а оптимальные рекомендации по построению системы связи суще
ственно зависят от места конкретного канала внутри этого широ
кого кла сс а.
В частности, можно утверждать, что для большинства одно- и
многол у чевых каналов, отличающихся относительно медленными
за;,1ираниями, наиболее перспективно внедрение систем связи с
противоположными сигналами как простыми, так и сложными.
При этом более выгоден путь временного, а не частотного уплот
нения радиоканала.
Среди многочисленных направлений современных исследований
наиболее актуальным нам представляется создание систем с кана
лом обратной связи, эффективность которых возрастает с ухудше
нием свойств канала ( особенно в подрэлеевских каналах) и в не
которых случаях превосходит ставшие классическими и хорошо
зарекомендовавшие себя системы разнесенного приема.
Система с каналом обратной связи - , разновидность адаптив
ных систем, разработка которых (при адаптации отдельно на прие
ме, на передаче или одновременно на приеме и передаче) весьма
характерна для последних лет.
Дальнейший прогресс теории и техники передачи цифровой
информации по радиоканалам постоянно выдвигает целый ряд но
вых вопросов, ожидающих своего решения. Некоторые из них уже
определились в самостоятелы-;ые направления: вопросы оптималь
ного построения систем синхронизации, изме-рения характеристик
канала и адаптации на его освове приемных устройств; адаптации
системы спязи в целом; учета дисперсионных свойств среды (,в свя
зи с внедрением широкополо сн ых систем), специальные вопросы
инженерного синтеза алгоритмов оптимальной обработки сигна
лов и т. п. Каждое из этих направлений достойно стать предметом
обобщающего исследования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Альп ер т Я. Л. Распространение радиовслн и Jiоносфера. Изд - во АН
СССР, 1960 .
2.АльпертЯ. Л., ГинзбургВ.Л., ФейнбергБ. А. Рашростране
ние радиово ,1н . Госиздат, ,1953.
3. Андрон о в И. С. П отенш-1а,1ы1«я помехоустойчJiвость одного способа
разнесенного ,приема. «Электросвязь», 1964, No 6.
4. Андрон о ,в И . ,С . 1Потенш;альна51 помехоустойчивость разнесенного
приеыа. «Электросвязь», 1'9 65, No 9.
15. Б а г да ,. J. r1 Е. Ра знесенный прие~I. Лекции 1по теор . ин систем с· вязи. П е:-
ревод под редакцией Б . Р. ЛевJiна. Из.:r-во "'Мир», 1964.
•
6.БаркЛ.С.,БольшевА.Н.,КузнеuовП.И.,Чеlj)нышеаА.П.
Таблицы распределениII Рэлея-Райса. ВЦ АН СССР, 1964.
7. Блох Э . Л., Х а р ,к ев и ч А. А. Кодирован-не устойчивое по отношению
к замиранию . Антифедингово е код.нрованJiе. «Электросвязь», 1966, No 4.
8. Б он д а ,р ев Ю . Б. Некоторые вопросы теории разнесенного прие~·Iа.
Кандидат,ская диссертация . ЛЭИС, ,1965.
9. Бородин Л. Ф . В·ведение в теорию по:У1ехоустойчнвости кодировани;r.
Изд - во «.Советское рашю», 1967 .
.10.Булато·в Н. А., Х.ристова Е. И. О быстрых процессах в ,ионо
сфере. «,Радиотехника», 1962, т . 17, N.q 12 .
l'l. Б р ай н ин а И. С Оценка пропускной способности некоторых -радио
каналов с пере~-1енными ~параметрами. ИзвестJiя · В,УЗов N\ ,B и ССО СССР по
разделу «РаJ.иотехни,ка», 1964 , т . V I I, No 6 .
.
112. Б ре ин ан Д . Анализ медленных флуктуаuий. Лекции по теории си
сте~1 связи . Перево.:1 под реда·1щией Б . ·Р . Левпна . И.ц - во «,,Чи р», ,1:964 .
13. Бун нм о в и ч ~В. И . Приближенн о е вь~ражение ·вероятности ,правиль
ного обнаружения ,пр.и оптимальном прибiе •сигнала ·с неизвестной ф азой . « Р а
диотехника и эле,ктроника», • 19б:9, т. 3, No 4.
,14. Быховский ;\,\ . А . К вопросу о ломехоустойчивоы приеме в много
лучевом канале. Сборник трудов Государственного научно - псследовательского
инстигута связи . Вьuп. 1 (41), 1966.
15. ,В а км а н Д. Е. 1Слшкные сигналы и •принци,п неопред еленности в ра,д,ио
локации . Изд - во «,Советское ра,;1:ио», 19 65.
16. В ар ш а в ер .Б . А. ,К теорv.и пропускной способности ,п,ри бинарной пе
ре,:н,че . «Радиотехника», 1958, .No 1.
,17 . В ар ш а в ер Б. А. К тсор11и ,передачи слгна.1ов со ыноги,ми дис 1j:рет
ными значениям -и . «Радиотехника», 1959, No ·1.
18. 1В о р он ин ,А. А. ,К во,прссу о mотенциальной поыехоустойчивости в ка
налах ,со с1уч а йг1 ьш изменением r:с: -р2метров. «Электросвязь», 196 1, No 10.
11,9. В о з е н кр а ф т Дж . Последовательный приеы при связи через канал
с пара-метрами, изменяющJiмися в о вре,rени . Лекции пс теор·ии систем ·связи.
П еревод под ,редакцией Б. Р . Левина . ИЗ.:L - во «и\11.ир», 1964 .
2,0. ,В уд в о р д Ф . Теория веро}{тностей и теория иифор,•rации с примене
ниям-и ·в радиолокации . ИзJ - во «Советское -радио» , ,1955.
,2,1. 1Г е о ;р г и е ,в ~В. i--! . О сравнительных хара ·ктеристиках систем ,ча,стотной
н относител ьн ой фазовой телеграф,,и в кгналах ,с замираниями . «Элект р осв я з ь »,
1962., No 112.
:212 . .Г н еде и к с Б. ~В . Курс теории .вероятностей. Изд - во «Наука» , '1965.
1213..Гольденберг Л. М., Кловский Д. Д. Метод приема импульс
н ы х сигналов, осно·ванный на использовании вычнслительных ма ш и н . « Труды
ЛЭИ С», вьrп . 44, 1959.
230
24. , Г -он о ров с кий И. С. Радистехшrчеекие цепи ,и оrгналы. Изд - во «Со
веюкое радио», 1963.
:25 .. f' рад шт ей н И. 1С., Рыж и ,к И. IМ. Та·блицы интегралов, сумм, ря
дов и .произаедений. Изд . 4-е. Физматиздат, 111962 .
' 216 . Грин П. Система с обратной связью. Лекц и и по теории систем связи.
Изд - во ·«Мир», 1964.
27. Гут к и ,н А. С. Теория оптималыных методов приема п ри флуктуацион
ных помехах. Г осэнергоиздат, 1961 .
• 28. Да вен порт В., Рут В. Введение •в теорию случайных сигналов ,и шу
мов . Издательство иностранной литературы, 11960.
29. Дол ух ан о в J\'1. П . Р ас п ространение радиоволн . Изд. 3-е . Изд-во
«Связь», ,1965.
30.3аездиы11А.М., ОкуневЮ.Б.,РаховичЛ.М. Фазоразност
ная модуляции . Изд-во «Связь», 1967.
31 . 3 ю к о А. Г. Помехоустойчивость и эффективность систем связи. С,вязь
изда т , 1963.
32. Кл о в с к и й Д. Д . Построе-ние идеальных приемников С'игналов с за
мираниями на основе использования электронно - вычислительных устройств. «Тру
д ы ЛЭИС», 1959, No 6 (4J).
33. Кл о в с кий Д. Д. Вопросы потенциальной помехоустойчивости при за
мираниях оигнала . «Радиотехника», 1960, т . 115, No 5.
34. Кл о в с к и й Д. Д . О потенциальной помехоустойчивост,и коротковолно
вой радиотелеграфии . «Электро.связь», 1960, No 9.
35 . ,Кл о в с кий Д. Д . Потенциальная помехоустойч,ивость при разнесенном
приеме дискретной информации . «Радиотехнrика», 11961, т . 16, No 3.
36. Кл о в с кий Д . Д. П отенциальная помехоустойчивость в каналах с эхо
сигналами . «Радиотехника», 1964 т. 119, No 12.
37. Кл о в с кий Д. Д. Вопросы потенциальной помехоустойчивости в кана
.1ах с эхо - сигналами. «Радиотехника», 1966, т . 21, No 110.
38. Кл о в с кий Д. Д., Ни к о л а ев Б. И. Теоретическиt: и реализацион
ные основы дискретной системы связи с предсказанием и фазовой модуляцией
(ОП -2Ф), пре д назначенный для работы в многолучевых радиоканалах с эхо - сиг
налами. Фазовая телеграфия . Информ. сборник. Изд -во «Связь», 1967.
39.Кловский Д. Д., Самусенко И.М. О бимодальном распределе
нии амплитуд сигнала . Сборник трудов. Ра д иоэлектроника в народном хозяйст
ве. Куйбышев, 1967.
40 . К он оп лев а Е. И. Кривые распределения напряженности поля корот
коволновых сигналов . «Электросвязь», 1956, No 9.
41. К он оп лев а Е. И . Н адежность связи и необходимые отношения сиг
нал/помеха в канале рад,иосвязи на коротких волнах . «Электросвязь», 1964 , No 5.
42. К он оп лев а Е. И., Сер г ее в О. И. О зависимости качества работы
коротковолновых л1ший связи от длины, ра дiиолини.и и многолучевости. «Электро
связь», 1966, No 5.
43. К отель ни к о в В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. Гос
энергоиздат , 1956.
44. ,Клюев Н . И . Информационные основы передачи сообщений . Изд - во
«Советское ра ди о», 11968.
45. Лаврентьев М. А., Ша ба т ,Б . В. Методы теорий функций ком
плексного переменного . Госиз дат, 1958.
46. Л ан r е Ф . Корреляционная электроника. Судпромгиз, il963.
47 . Лев ин Б. Р. Статистическая радиотехника . Изд - во «Советское радио»,
1966.
48. Лез и н Ю. С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигна
лов. Изд - во «Советское радио», 1963.
49. Лер не р Р. Выбор сиnналов. Лекции по теории систем связи. Изд - во
«Мир», 1964.
6 0 . Лих те Р- Я. И . , Гер ин а Г. И. Некоторые результаты исследоваюrп
и н тенсивности атмосферных радиопомех. Сб. «Исследование ионосферы» . 11960 .
51. Л о э в М. Теория вероятностей. Перевод под р едакцией Ю. Б . Прохо
рова. Издательство иностранной литературы, 1962.
2ЗI
52. Мел ь н .и к о в В . С. Вопросы теории . помехоустойчивости телеграфны_,
систем. Докторская диссерта ц1ия. МЭИС, 11962.
53. М е шк о в с кий К. А. Теория кодиро.ваюtя в связи. Изд-во «Связь»,
1966 .
54. Ми. д д л тон Д. Введение в статистическую теорию связи. Изд - во «Со
ветское радио», 1961 (т. 11), 1962 (т . 2).
55. Морроу В. Общая характеристика каналов. Лекции по теории систем
связи. Изд-во «Мир», 1964.
.
56. Н ем и ров с кий А. С. О пропускной способности многслучевоrо кана
ла при разнесенном приеме с автовыбором. «Радиотехника», 1!961 ., No 9.
57. Немиров с кий А. С. О при еме при сложении сигналов, разнесенных
по углу .прихода луча пр.и дальнем тропосферном распространении укв. «Элек
тросвязь», l960, J\IЪ 8.
58. Н е м и р о в с к и й А. С. К расчету устойчивости многолучевых каналов
с учетом быстрых и медленных зами.раний. Государственный научно-,исследова
тельский институт связи. <С борн ик трудов, вып. 11 (29), 1963.
59. Не стер у к В. Ф. Об инвариантны х режимах работы идеалыrоrо прием
ника Котельн11кова. «Электрссвязь», 1965 , No 10.
60. -О все ев и ч И. А., Пи н с к ер М. С. Пропуск ная способность каналов
с общим и селект ивным замира,нием. « Р адиотехника», 1960, No 112.
61. Овсе ев и ч И . А., Пинске р !V\. С. Оц енка пропускной способности
канала связи , параметры которого яв ляются С J1учайнь!illи функциями времени.
«Радиотехника», 1957, No 110.
62. П е ' т ров и ч Н. Т. Передача дискрет но й информации в каналах с фазо
вой манипуляцией. И зд -во «Советское радио», 1965.
63. Пе л его в Ю. Ф. О графическом методе расчета надежности коротко
волновы х трасс . Сборник трудов. Ра д иоэлектроника в наро дном хозяйстве. Куй
бышев, ,J966.
64. Р а й с С. Теория флуктуационных шумов. В сборнике « Т е ория передачи
электрических сигналов при наличии пом ех». Издательство иностран.ной литера
туры, 1953 (под ре дакцие й Н. А. Железнова).
65. Ро з о в 1В . М . О группировании искажений при радиотелеrраф1ш. «Ра
диотехника», 1957, No 6.
66. Роз о в В. М. Об эффективности сдвоенного приема при налич.ии помех
от соседних по частоте радиостаНU!ИЙ. «.Ра щютехника», 1956, No 7.
67. Семен о 13 А . Л., К ар пе ев Т. А. Исследование характера быстрых
замираний радиосигналов на приземных трассах средней протяженнссти. « Ра
диотехника и электроника», 1958, т. IV, вып. 2.
68. С и ф о rp о в В. И. О пропу~скной спо·собности ,каналов овя.зи ,с медленНЫ\IИ
с;1 учай·ными изменения,1и параметров . «Радиотех·ник а и электр.он•ик а», 1958, l, 35.
69. С и фор о в В. И. Об условиях получения высокой проп уск ной способ
ности каналов связ и со слу чайным.и изменениями параметров. «Электросвязь»,
1958, No 1.
70. Смирн о в В. И. Курс высшей математики, т . 3. Госи здат , 1954.
71. Т епло в Н. Л. Помехоустойчивссть систем передачи д111скретной ин
формации. Связьиздат, l964.
72. Т и х он о в В. И. Статистическая радиотехника. Изд - во «Советское ра
дио», 1966.
73. Фаль к о в и ч С. Е. Пр1ием ра диолокационных сигналов на фоне флук
туационных по мех . Изд - во «Советское радио», ,J961.
74. Фин к Л . М . Т еор,ия перещ1чи дискретных сообщений . Изд- во «Совет
ское радио,,, 1963.
75. Ф и н к Л. М., Ан др он о в И. С. О ,помехоустойчивосп,1 одного метода
разнесенного приема. «Радиотех ника» , 11966, No 8.
76. Фин к Л. М. Коды для устранения «обратной работы» при двоичной
фазовой манипуляции. В торая всесоюзная конференция по теории кодирования
и ее приложен11я : Секция 4, часть !. 1966 . .
77. Фи н к ель шт ей н Е. 3. Прием дискретных · сигналов при быстрых и
скачкообразных изменениях параметров ка.нала связи. Кан д идатская диссерта
ция. ЛЭИС, 1967.
232
78. Ф их т е н г о л ь ц Г. -М. Курс дифференциального и интегрального ис
чи сления . Госизда т, 11960.
79. Ха р к ев и ч А. А. Передача сигналов, модулированных шумом. «Элек
тросвязь», 1957, J\Jo 1.
80. Хе л стр ом К. Статистическая теория обна ·ружения сигналов. Изда
тельство иностранной литературы, 1963.
8 !. Хво р о стен к о Н. П. О потенциальной помехоустойчивости федингую
щих сигналов с многозначной ОФТ . «Элект. росвязь», 1962, No 8.
82 . Хвор о стен к о Н. П. О помехоустойчивости мно·гократной фазовой
телеграфии . « Р адиотехника», ·1964 , т . 119, No 112.
83. Хвор о стен к о Н. П . О помехоустойчивости разнесенного приема кор
релированных сигналов . «Электросвязь», 1964, ,No 9.
84. Хмельницкий Е. А. Разнесенный прием и оценка его эффективности.
Связьизда т, 1960.
85. Хо меню к Ю. В. Об устранени.и обра'J\ной работы в когерентном прн
е мнике сигналов, мани п ул.ированных по фазе . «Радиотехника», 11966, No 6.
86.ХургинЯ.И.,ЯковлевВ.П. Методытеор:иицелыхфункцийвра
диофизике, теории связи ,и оптике. Физмат.издат, 11962 .
87 . Ц и к 11 н И. А. Об условиях максимальной помехоустойчивости систем с
акт ивн ой пау зой при неопределенной фазе сигнала. ,« Ра д иоте хника», 1963, No 7.
88. Ц .и к ин И. А . Оптимальные алгоритмы и помехоустойчивость разнесен
нс го приема в каналах с неопределенными параметрами. Известия вузов . «Ра
диоэлектроника», 1967, т . Х, ·No 6.
89. Ц ы ба к о в Б. С. О пропускной способности двухлучевых каналов свн
:,и. «Радiиотехника и электроника», ,1959, вып . 7.
90. Ц ы ба к о в Б. С. Проп у,скная способность некоторых каналов связи.
~< Ра д иотехника и электро ника », 1959, No 10.
91. Чер ен к о в а Е . Л. Искажение телег-рафных сигналов при передаче на
жоротких волнах. Связьиздат, 1955.
92. Ш е н нон К. Работы по теории информации и кибернетике . Издатель
ство иностранной литературьi, 1963.
93. Ш ер м ан Г. Быстрые мультипликатив ные флуктуации . Лекции по тео
рии систем связ,и. Изд - во «Мир», 11964 .
.94. Ширм ан Я. Д., .Гол н к о в В. Н. Основы теории обнаружения ра
диолокационн ы х сиг.валов и измерения их па.раметров . Изд-во «Советское радио»,
1963.
-
95. Шум с к а я Н. Н. О природе зам,ираний. Электрос•вязь. iНаучно-техни
ческий сбо рник, вып. 5. , Gвязьиздат, 1938.
96.АIпаtt!.W., JопеsЕ. D., LаwН.В. FrequeпcyDiversityiпtl1e
1Recej}tioп of select ive ly Fadiпg Вiпыу modylated Sigпals «PIRE,» 1957, pt В.,
.No 14.
97. Вес k ша п п Р . '· Statistical distributioп of the amp litude апd phase of
а лшltiply scattered [ield !. Res. N BS 610. (Radio Rop.), J-962·, No 3.
,98. В е ,с k .m а п п Р. Rayleigh distribytatioп апd its Seпelarisatioпs Radio
Scieiпce. Journ . Reseaгd Natioпal Ваыеапоf Staпdarts. •«USA», 19.64, v .. 680, No 9.
. 99 . В е с k m а п n Р. The amp li tyde -probabllity distributioп of atmospher ic
пoise. Radio Sci. !. Res. NBS (USNC) URSI 68 D, ,No 6.
100. В е 11 о Р. А.., N е I i n В. D. Predetection Diversity comblпies with Se-
. lectively Fadiпg Cheппels. «IRE Traпsactioпs оп communicat i oпs systems», March
1962, vol. CS -10, No 1.
IOI Ве11оР. А., NеIiп В. D. Theiпfluence of Fadiпg Spectrum оп thc
Ыпагу error probabllities of iп со h сгепt апd differeпtial cohereпt matched filter
Receivers. «IRE Transactioпs оп communications systems.» Juпe 1962, vol . CS-10,
No2.
.
102. Bell .o Р. А., Neliп В . D. The Effect of Frequency Selective Fadiпg
,оп the Ыпагу Error Probabllities of Iпcoher eпt and Differ e пtionalls cohereпt
Metched Filter Receivers. «IEEE Traпsactioпs оп communicatioп systems). Juпe
1.963., vol. СS - Ш., No
.2. .
10 3. В е 11 о Р. А. M.easureл1ent of the Complex Time - Frequeпcy Channel
233
Correlatio11 Fuпctio11 Radio Scie11ce Journal of Research NBS (usNC-URsi).
October 1964, vol. 68D, No 10.
104. В е 11 о Р . А. Error Probabllities Due to Atmospheric Noise a11d Flat
Fadi11g iп HF Joпospheric Commu11ic2tio11. IEEE Tra11sactio11s оп commu11icatio11
Tec.hпology. September 1965, vol. Com-13>, No 3.
1105. В е 1 1 о Р. А. Biпary еггог ProbaЬilities over selectively Fadi11g cha1111els
co11tai11i11g spe_cu l a r compoпeпts. «IEEE Traпsactioпs оп commuпicatioп Techпo
logy» August 1966, vo l. Com-14, No 4.
1106.Вr&пdiпgеr I.I., G оIdmап Н. Statistical aпalysis of multipath
Litter. «RCA Revie,v.» ,1961, vol. XXII, No 3.
107 . В r е п пап D. Оп the Maximum Sygпal-to-Noise Ratio RealisaЫe from
several Noisy-sigпals. «PIRE,» 1955, No ао.
.
Ю8. С оп d а А. М. The Effect of Atmospheric Noise 011 the Probabllity of
Error for оп NCFSK System. «IEEE Tra11sactio11s 011 Commu11icatio11 Techпology.»
September 1965 , vo l. Com-13, No 3.
109. С о s t а s I. Р. Poisso11, Sha1111011 апd the Radio-Amatue. «P IRE ,» 1959 ,
No 12.
1:10. «E lect ronics Desi11g,» 1961, No -21, Х . «IE EE Iпterпational Соп,•епtiоп
Review,» 1965, pt. 7.
1И. F i1iр о ,v s kу R. Iпterpated Data Systems. «IRE Tr.», 1,959.
112.Fга11k R. L.,
ZаdоffS. А., Неmi11еr R. С. Phase shift pulse
codes with good periodical correlatio11 p1operties. «Tra11s . IRE», October, 1962.
\tl3.GгisdаIеG.L., МоrrisI.С., РаImеrD.S. Fadi11g of Lo11g
Dista11ce Radio Sig11als and а Compariso11 of Space a11d Polariratio11 Diversits
Receptio11 iп the 6---<18 М.с Ra11ge ~<PIEE», 1957, pt. В, No 13.
114. G го s s k о р f !. Statistische U11tersuchu11ge11 а11 Kurzwelle11 Uber-
trogu11swege11. «FTZ», 1953, No 8.
115. Не I s t r о m С. W. The Resolutio11 of sig11als i11 white Gausia11 Noise,
«PIRE», 1955, No 9.
•
1·16. Нi11gоrа11i G. О., На11сосu !. С. А Traпsmitted Refere11ce Sy-
stems fo r Commu11icatio11 i11 Ra11dom or U11k11ow11 Cha1111els. « IEEE Tra11sactio11s
011 CommL111icatioл • Tech11ology», September 11965 , vol. Com-13. No 3·.
117. Но g t R. S. Probabllity fu11ctio11s for tl1e modulL1s a11d a11gle of th\'!
11ormal cowp lex variate. «Rell system Tech11ology», 1947, J. 26.
11·18. Н u f f m а 11 11 D. А . The ge11eratio11 of impulse Eq,1i;,1•lent pulse Tra11s,
Тгапs. «IRE», September 1962, IТ-8.
119. Н u I s t R. !11verse Jo11osphere. «IRE, Nat, Coпve11tio11 Record», ,195 9,
pt. \·и. HuHrna11 Moder11e breitba11dsig11alverf ahre11 fi.ir mehrde11tige i.ibertra-
gu11gswege . «Nachric ht e11tech11ick», 1963·, No 4.
12,1. J о 11 е s \V. В . А compariso11 of freque11ce Shift A11ti-Mul tipath Sig11al-
li11 g Tech11iques for Digital Commu11ication Systems. «IRE», Тг. CS, 1961, No 1.
122. R а s о w s k у !. А. Rake system for lu11 ar relay commu11ication. «IEEE,
Int. Сап. Rec.», 1963, pt. 8.
•
•
112(3.Rrо11jаgеrW.,
V о I t R. Statistische U11terst1clш11ger оп Kurz,vellen
i.ibertrag11ags,vege11. «FTZ», ' 1955, No 3.
•1:24. L а f u s е Н . G. А \J..'ide-be11d co mmu11 icatio11 system using freque11cy
atope modulatio11. «Proc. NEC», 1963, vol.
-19.
.1 ,25. L е r 11 е г R. М . А Matched Filter Detectio11 System fог Theory Compli•
cated Doppler Shifted Sig11als. «IRE Tra11s. 011 !11 foгmatio11», Ju11y 1960, :N'o З.
126. Li11dsеу W. С., На11соk !. С. Optimum performa11ce of self-
adaptive systeшs operativs through . а Rayleigh fadi11gs mediL1111 . ,«!ЕЕ Е Tra11sac-
t io11s 011 CommLI11icatio11 Systeшs», December 196 3,
·vol. CS-11.
' li27. L i 11 d s е у W. С. Performaпce characteristics for MLiltireceivers. «IEEE
Tra11sactio11s 011 CommLiпicatio11s a11d Electro11ics» . J a11uary . 1964.
128. L i 11 d s е у W. С. AsymptoЬic performa11ce characteristics for multi -
receivers. ,«IEEE Tra11sactio11s 011 Commu11icatio11 a11d Electroпics», Ja11L1ary -196.4.
129. L i 11 d s е у W. С. Error probabllity for i11cohere11t diversity reception.
« IEEE Tra11sactio11s оп !11for111atio11 Theory», October 1965, vol. !Т-11, No 4.
234
11.30. М а r с u ш · J. !. ТаЫе of Q- functions. Tl1e Raпd Corpoгation, Santa
Monica, Ca\ifornia, Res. Мешо RM-339. J anuary, 1950.
131. М е г t z Р. Statistics of Hyperbolic Еггог distribution i n Data Trans-
m1ss10n. «PIRE Traпsactions оп Communicatioпs Systems», 1961, CS -9, No 14.
132. Мс. N i с о 1. R W . Е. The Fadiпg of Radio-Waves of Medium and Higl1
Frequencies. «LIEE», 1949 , pt. 3, No 44.
J33. Мо n t g о m егу G. F. Compasison of amplitude апd ,шgle modulatioп
ior narrow-band commuпication of Ьinary-coded messages i п fluctuation Noise.
134 . М G n t g о ll1 е r у G. F . I пteгmitteпt Commuпication with а F!L1ctuatiпg
Signal. «PIRE», 19'57, No ,12 . «Proc, IRE», February 1954 , vo l. 42 .
135.Моsiеr•R. R., СlаЬаugh R. G. Кiперlех а baпdwitl1 efficieпt Ш
пагу transmissioпs systems. «Comшuпicatioп апd Electroпics», J.958, No .34.
136. М u 11 е г W. Т. Uпtersuclugeп zur Korrelatioпs ,1abstands modu l atioп.
«Nachrichteпtechnick», 1964,
.No 111.
137. N а k а g· а m i М. The m distributioп а geпegi!l formula of iпteпaity
DistribL1t ion о! rapid fading. Statistical Methods iп Radio Wave Propagatioп.
Ne,,1 -York, 1960 .
138. N а k а g а m i М. Оп tl1e Intensity DistribL1tion 1~; ехр [- ~2 (++
++)]10 [ : ( +-~)] апd its Applicatioп to Signal Statistics . «Radio Scieпce
Journal of Researcl1 NES (LlsNC-URSI), September !Э64, vol. 68D.
,1,39.NогtоnR.А, VоglегL.Е.,МаnsfiеIdW.V., ShогtР.У.
The probability distribution о! the amplitude о! а constant vector p lus а rayleigh-
Distributed Vectoг. «Ргос . IRE», ,1955, vol . 43, 1No 110.
1140. О f ! е n К. W., D i g i t а 1 Н. F. Communicatioп systeш for longdistanc1:
air-to - grouпd communicatioп. 1«IEEE Tгans». DесешЬег 1964; ANtE-11, No 4.
141. Рас k а г d Е. S. Effect of correlation оп coшblner diversity. .«Ргос.
I RE», 11958, vol . 46, No 11.
142. Р i е гс е !. Н., S t е i n S. Multiple diversity witht пonindependent fa-
ding. «PIRE», 11960, vol. 48, No ,1.
143. Р г i се R. Statistical theory applied to comшL111icat i on trough шu l tipath
disturbances. «Reseach Laboratory of Electronics Techпical Report», 19&3, No 266.
144. Р г i се · R. Tl1e autocorгelator of а complete carrier wave гece i vcd over
the ionosphere о! oЫique incidence. «PIRE», 19157, vol. 45, No 6.
145.Ргiсе R.,
G г ее n Р . Е. А conшшnication TechпiqL1e for Multipatl1
Chaппels. «PIRE», 1958, No 9.
146 .. Р г i се R. Еггог probabllities for adaptive multichannel reception of
binary signais . «IRE Traпsactions оп Iпfoгmation Theory», Septe111ber 1962,
vol. IF8.
147. Р r i се R. S0111e Non-coпtral F -distributions expressed iп closed form.
«Bioшetrika», JL1ne 1964, vol. 51, pts. IQ•.
148 . S с h w а г t z L. Е . Wide-b a пdwiclth commuпication. «Space AeroпaL1tics»,
1963, vol. 40•, No 7.
149 . S h ере l а v е у В. Non-Garssiaп noise iп Ьinary data phase cohereпt
communicatioп systems. «IEEE Traпsactions оп Communication Syste111s», Sep-
tember 1963, Yol.· CS -11 .
150. Siddiqui Н. Н., Меiss G. Н. Families о! distributioпs for hourly
median ро,,,ег and instantaneous •po,v er of received radio signals. I . Res. NBS,
Yol. 67D, November-December 1963.
15•1. Spaulding А. D., ]3oubique С. J., Crich l o\v W. О. Conver -
sion of the APD fuпction from one baпdwidth to anather. I . Res . NBS, vol. 660,
November-December 11963.
J52. S р а n l е d i n g А. D. Determination о! error retes !ог naпow-band
communication of Ьiпai·y-coded messages in atmospheric noise. «Ргос. IEEE»,
FebrL1ary '1-964, vol . 52.
2Зq
153. S t е i п S. Unified analysis of сегtаiп col1ereпt and попhегепt Ыпагу
communicatioп systems. « IEEE. Tгansactions оп Information Тhеогу », Janua. ~y
1964, vol. !Т-10.
1'54. S и s s m а п S. М. А Matched-Fiiteг Communicatio11 Systems fог J\1.ulti-
path Channels. «Tгansactions IRE», Рбl Т , Matched-Filteг lssue, June 1960.
·155. Т и г i п G. L. Communication thгough noisy, гaadom-multipath chanпe!s.
«JRE Na tion al Convention Record», ,1,956, pt. 4, No 3.
156. Т и г i п G. L . Егrог Pгcbabilities fог _ Binaгs Symmetгical Ideal Recep-
tion through Nonselective Slow Fading апd No ise. «P JRE », 1958,. vo l. 46,, No 9.
157. Т и г i п G. L . Some comuic;iioпs of еггог Rates fо г selectively Fading
J\1.ultipath channels. «Pгoeccodings о! the National Electгoлics соп !ег епсе», 1959,
vo l. l б, Chicago.
158 . Т и г i п G. L . Оп optimal Diversity Receptioп. «JR:E Tгansactions оп.
communications Systems», 19 61, vc l. Т - 7, No 3; 1,962, vo l. CS -10, No 1.
159. Т и г i п G. L. Ап Ir,troduction to J\1.atched Filter. « IRE Tгansactions »,
1960, No З.
160.WаttА.D.., С о опR.J\1.., J\1.ах,vе11F.L., РIиshR.W. Rerfor-
maпce о! some radio systems in the preseпce о! Thermal and atmosphere noise:
Proc. IRE, Decembeг 1:958, vo l. 46.
lfil. У е h L. Р. Loop Controls Scatter Pc,ver to offs et Fading.
-
«Electronics »,.
1959, No 3.
162. Z а d е L. А. Frequency Analysis of vагiаЫе Netma rk s. << Рго с . IiЩ,,,
J\1.arch 1950, 38.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ*)
А - аргумент (нормированный ве р хний предел) интегральной функции четы
рехпараметрического распределения длины радиуса-вектора с нормально
ра , спределенными н неко·ррелнроьанными 'ортоюнальными компонентами
а дб - параметр логарифмически - нормально г о распределения, принятого для
ра·спределення ·медленных му.~ьтиплv.кативных флуктуаций сигнала и моду
ля епектралы1ой mлотности импульсной mомехи
В 2 - ,пара,метр ,и,нте,гр. альной фупшции четы~рехm•а,ра·меrг,ричоспюго рас,n.ределения
длины радиуса - вектора, показывающий отношение дисперсий его ортогональ
ных 11(0МIПОНент
Ь дб - параметр логарифмически-нормального распределения, принятого для рас
пределе;-шя медлЕснных мульп,пликативных флуктуаций с.игнала и модуля
спектральной плотности i (1пиков) им,n,ульсной помехи
Ь; = 2F ;Т; Ьс = 2-F;Т - соответстве!-!НО база ,сигнала и системы си.гналов
С2 - .парам -е,тр ,и,н.тегр .алмюй функц-ии че~тЫ!рехmар.а1м-е·11ричек:июг,о раюпреде;Jiей-!ия
длины рад.иуса-вектора, .показывающий отношение средних квадратов ег 1J
регулярной и флуктуирующей частей
С - пропускная с-пособность канала (в двоичных или натуральных единицах)
С~ - число сочетаний •из m элементов IПО п.
D - параметр интегральной функuии четы,реJQпараметри,ческого , ,распределения
длины р;,диу,са-·вектора, апределяющv.й положен,ие (фа-зу) его регулярной
части в выбранной сие-теме координат
d - хеммингово рас-стояние между rкодовыми rком-бин.а,циями
т
т
Е; = J57 (t) dt ~ J\ (t) df- энергия элемента сигнала i - й позиuи-и на передаче
о
о
,
Т
Тл
•
Е; = J s;' (t) dt = J s;' (t) dt-энергия элемента -сигнала i-й позиции на приеме
о
о
.
Е;(х)=S+ехр(- t)dt ,-
интегральная по'Казате.%ная функция
х
F % - надежность связи ,по помехоустойчи,вости в п,роuентах
F;, F с - соответс гвенно условная полоса чRстот сиrнала и системы сигналов
Fl(a, В, у , z) = 2F1 (а, В, у, z) - -гипергесметрическ.ий ·ряд
1F1,(a, В, z) - вырожденная (конф:.юэнтная) г111пер,геометрическая функция
А
F(A, В, С, D)= f w;(R, В, С, D)dR-интегральная функция четырехпараметри- .
о
ческого раопределения ~дл~шы радиуса-вектора
А
F (А, 1, С)=.\ Rехр(-С2-
~
2
) / 0 (У2СR)dR-интегральная функция двухпара
о
метрического (обобщенно-рэлее&•ского) рас.пределения радиуса -·вектора -
частный случай F(A, В, С, D)
*} В этот ст1сок не вошли некоторые обозначения, встречающиеся в отдельных гла
вах книги, смыс .ТJ когJμых понятен из контекста.
237
f; - частота системы
CiJo
/ 0 = --- средняя частота сигна.1ов (-несущая)
2:rt:
g;,n(t) - k - й элемент реакции 'Каналг. на испытателБную 1J1осылку, соответствую
щую i-й позиции ,символа (элемент ,переходной хара·ктеристики канала)
gм,,(t) - сигнал, обусловленнь,й межсимЕольной интерференцией в многолуче-
вом канале (посылками, предшествующи м и ;1 последующими анализируемой)
Й.(iw, t) = v· ехр (-iw, т) - передаточная функция канала (по одному лучу)
li( х) - функцня, равная 1 на интервг, ле О ,;;;;х,;;;; Т и нулю вне этого интервала
h'(х)-фу!iкция, ра·вная I на интерва.,;е О,;;;;х,;;;;Т1,,п и нулю вне этого интер-
·вала
h~, hy - отношение средннх энергий флуктуирующих частей ортогональных ком
понент элемента сигнала к спектральной плотности мощности флуктуацион
· ного шума
h 2 = h ;+h ~ - отношение средней энергии флуктуир ующей части элемента еиr
нала к спектральной ,плотности мсщ,юсти флуктуационного шума
7i2 - отношение средней энергии Э J~емента с иги гл а к •спектральной mлотности мощ-
11ости флуктуационного шума
h~
-
отношение средней энергии элемента сосредоточенной .помехи к спектраль
ной ,плотности мощности флуктуационного шума
! - средняя окорость передачи информации в 1дв·оичных единицах JЗ ,секунду на
,входе канала для дискретной ,системы. Также считается ·средней скоростью
переда 1чи инфс•рмации при сравнении различных систем в усло.влях надеж
ной •работы
l n ( .ic) - модифицированная функция Бесселя п-го порядка
i, j, 1- ин~Lекс, указыег.ющий номер позиции символа · (элемента с·игнала)
К; /(1; К2 - нормирующие коэффициенты .при усло.вной ,плотности вероятностr1
принимаемого колебания (сигнал+помеха) v(t) на интервале анализа Та,
не за·влсящий от варьируемых па•раметров
L - ЧИСJlО «,подлучей» ·в каждом из «лучей» принимаемого сигнала L » 1
l - нормированное значение амплитуды (пика) импульсной помехи в канале
mx="yp•cos <рр; m 11 = "yp Sin 'VP - математические ожидания ортогональных комnо -
нент ко .,,плексного ,коэффициента передачи канала v· в системе координат
х, у или ортогональные компоненты вектора ур = "ур ехр ,(i<pp)
т - чwсло позиций • (основание) кода
т' - параметр т- ра•определения НRкагами
N - 1число ветвей разнесения (лучей в кангле)
п - число символов в кодовой комбинации
'
по - число информационных сииволов в кодовой комбинации
(п, по) - систематический код, кода.вые ко,м,бинации которого •содержат п0 ин
формационных символов и п-п 0 кант.рольных символов
О; -уро.в~нь ограничения (пороговый уровень) в оптимальной решающей схе~,е
для ~ - и позиции сигнала
Р ( ) - вероятность события, .указанного в скобках
Рс,п - вероятность наличия со·средсточеr.ной .помехи в от.дельной ветви разне
·сения
Р11.-п -вероятяость наличия импульсной помехи в от.дельной .ветви .разнесения
Рпп - rшковая мощность передатчика
• Ре - пиковая (она же ,средняя для •систем с акт,и·вной паузой) мощность сигна
ла в отдельной ветви разнесения (в ,от,r:ельном част,атном канале) ,на пере
да, че
Р~ - средняя мощность •С·игнала ·в месте ~Приема в отдельной ве:г.ви ,разнесенин
Рш - ,средняя мощность флуктуацv.онного шума в канале
р- вероятность ошибочно,го приема элемента сигнала
Рзн - вероятность ошибочного .приема зна:ка , (кодо•вой комбинации)
Р• - эквивалентная вероятность v-шибк.г
238
v2
п2 -~Р~- - параметр .радиоканала
-
ошошение средних мощностей pery-
'f = cr2+о2
х
у
лярной и флуктуирующей частей сигнала
Rэ - коэффициент взаимной корреляции ортогональных компонент соседних эле
ментов сигнала
Rв - ,коэффициент в.за им ной ко-рреляции орто,го-нальных rком,понент сигналов в
отдельных ·ветвях разнесения
1·
-
индекс, ,указыаающий но,мер ветви разнесения (лу,ча в канале)
S n - модуль спектральной плотности эдс импульсной по мехи в · канал е
S(t), S'(t) - соответственно огибающая си,гнала (элемента сигнала) на переда
че ·и приеме
S(t) , S' (t) - соответственно комплексная оги.бающая сигнала на передаче и
,приеме
s(t), s'(t) - мгновенное зна'Чение си гн ала соответствеано на передаче и пр иеме
;(t), s'(t) - сигналы, сопряженные по ,Гильберту, сооrветственно s(t) и
s'(t)
s
0
(t), s'(t) - комплексный аналитический ,сwгнал на перед.а':!!; 1:1 приеме
Т - длительность элемента ·сигнала на передаче
Та - •инте рвал анал,иза на приеме
Ти.п - длителLность импульсной помехи на входе решающей схемы Т,сп<{: Т .
Ти - пе.риод следования зондирующих , (испытательных) импулъсов в системе
IСИИП
Т ст - интервал локальной стационс:рности п1ри интерференционных замираниях
,в канале
Т м - период медленных 11улы ипликативных ,фл,уктуаций .р.адиоканал .а
Тз - защи т ный интервал между им,пульсами
tr - время прихода сигнала г-го луча
u(t) - аддитивный флуктуационный шум
ии(t) - аддитивная импульсная п омеха
Uc.п(t) - аддитивная сосредоточенная поме ха
Vс - совокупность , (вектор) флуктуирующих параметров сигнал -а
vi (т) = Vz; (т) +z; (т}- Q·ГИбающая сигнала на выходе согласованного
фильтра
v(t) -пр:1нн:vrа емое колебание , (сигна.п вместе с а,ддитивной помеJJ:оЙ)
w ( ) - ·плотность .вероятности случайней .велич.ины или отреща случайного
проце оса
wa (v)пс - условная плотность вероятности принимаемо,го колебания v на ин
тервале Та ,при условии ,передачи ·символа ai и фи •к,сации совокупности (век
тора) пара,метров сигнала Пс .
w,(R) - •rетырехш1раметр.иче,ское расп-рещеление дг.ин ы радиуса-вектора •С нор
мально распределен ными и неко.ррелированными ортотональньrми ко м , понен
тами
w,. (у)= [у [ - четырехпараметрическос распределение коэффициента передачи
канала
w,. ,(cp) - четырех,пара.метрическое распределение фазы-аргумента от у в сипеме
rкоардинат Х У.
•
Х У - ортогrн1альная ,система координг.т, в •которой р.ртогональньrе компоненты
сигнала оказываю т ся взаимонекоррелированными
х =у cos ер, у = у s iл ер - орто г оналыше ко,мпоненты ,комплексного к оэффици еита
передачи канала у=у ехр (-icp)
239
Х_Ф =х-т х; УФ= у-ту - флуктуирующие части ортогональных ко,шонент у !3
,системе коор.дннат Х У:
та.
т
Zt(т)=f v(t)si(t- т)dt=Sv(t+т)si(t)dt,
о
о
т'
т
t(т)=J~(t)~(t- т)dt=Jv(t+т)~i(t}dt
о
о
11 - энергетический выи,грыш (1проигрыш) ,п р и п ер еходе от одной си:темы к дру
гой при фиксированной зкв.ивален тной ·вероятности ошибки и сре,дней скоро
сти передачи информации /.
11х - обобщенный выигрыш (про иг рыш) пере хода от одной систем ы к другой
при фиксированной эквивалентной вероятности ошибки .и -с редней •скорост11
передачи инфо,рмации, учитывающей также эффективность использования по
лосы час тот
Eii (,)
Ли(т)=---
нормИ'р•Gванная автскорреляционная функция си гналов
Ei
л
11
Е..(Т}
Ли(т}=
-
11- - - нормиро·ванная взаимокорреляционная функция сопряженных
Ei
, сигналов
---- ---
--
V11
Ли (т) = Л7i (т) + Л7i (т} - огибающая нормированной • автоко рреляционной
функции сигналов
Etj (,)
Л11(т)= ,1-
-
нормированная ·взаимокорреляционная функция .:игналов
rЕ;Е1
.
л
~ i i = ,;i (т} - нормированная в.заимакорреляционная функция tопряженных
r E1Ei
сигналов разных позиций
А11 = VЛ7j + л;j - огибающая нормированной взаимокорреляционной функ
· ции ,сиг:1алов
Е2
VE2
1 + r- 2f\12(DJ
r
1=
1
1
"-
2
-
коэффициент, характ,еризующий двоичную си-
стему сигналов :
л= 0,5 ДJ)Я АМ,
'л=1 для ЧМ,
1, = '2 для ФМ с проrI·IВО'ПОЛОЖНЫМ И сигналами
Vp - 1показате.1ь разнесения (эффективности использования пиковой мощности
,передатчика)
Пс - ,совокупность (вектор) па,раметров п,ринимаемого сигна ,1 а.
а ; - кодовый ,символ i-й позиции
т
а = Т - относительн,ое запаздывание лу чей в канале
cr;
-;- - пара·метр
у
радиоканала - отно ш ение д и сперсий ортогональных ко,1 -
понент сигнала
Г (z) - гамма -функция
у = у exp(-icp) -- комплексный коэффициент перед а"!И кэ.на ла , (по одному лучу)
240
v= l'Y.I - коэффициент передачи канала (по одному лучу)'
'УР =-ур ехр (--icpp) - КОl\lIПJiексиый иоэффш.r,иент передачи канала [10 одному .~учу
для реrуляраой ча ,сти сиrаала в системе координа ,т ХУ
' VP = l'Y~ 1 -- коэффициент п ередачи канаJ1а для регулярной части сигнала (по
,одному ЛУЧ'У)
v2 - параме1'р раJ.1юканала
-
средliИЙ квадрат коэфф111Циента передачи
Лf ;, Л/ с - полоса частот i - го ,сигнала, ,системы си!"'нал,ов
Лf э - эффективная поло,са пропускан1ся
б2 - отношение интенсивностей ,сигналов в отдельных ветвях разнвсения (лучей
'В ~1н -оголу"чевом канале)
h2
"2 = -- - отношение средних мощностей сигнала и -сосредоточ енной помехи
h2
л
т
<-il (т) = Ssi (t) si (t- т) dt---'- автокорреляцнонная функция си-гнало.в
о
А
ТА
.
" il (т) = Ssi (t) s; (t-т)dt-взаимокорреляционная функция сопрF.женных сигналов
о
та
"ij (т) = S s; (t)sj (t-т)dt- взаимокорреляционная функция сопряженных си,гналов
о
разных позиций
/\
ТаА
Eii (т) = Jsi (t) si (t-т) dt- взаимокорреляционная функция со,пряженных сигна
о
ЛО'В разных позиций
PiJ (т) = V z7i (~) + : 7i (т)'- : огибающая автокорреляционной функции сигналов
Pi((T) = V E7i (т) + ;7i(т):;огибающая взаимокорреляционной функции сигналов
а5 - -спектральная :плотность мощности флуктуа,ционно,г,о ш:ума
•
а;, а~ - ди,сперсии ортогональных ксмrюнент ко:мплек,сного коэффициента . пере-
дачи ,канала v=v exp 1(-icp) = x-+iy
0'2 - дисперсия ортогональных ком-понент х и у ~при, их ,симметрии ( а; =ot =0'2)
т - взаимное запа:щывание лу,1ей 'В ханале, аргумент функций корреляции
'tnr -
взаимное запаздывание между k и r лучом в канале
-rмнн - ми11;-1ма.%ное взаимное запаздывание лучей в канале
Тма><с - максимальное взаимное запаздывание лучей в канале
х
Ф (х) = 2 Sехр (- ~'):_) dt - функция Крампа
-V2:тt о
~
ЧJ - аргумент 'У в системе коор,д:инат ХУ
'(J)p - а ,рrу ,ме,нт УР , в си1сте1ме коор,:~ннат ХУ
d <j; (t)
cu(t) = - - - - мгновенная круговая частота сигнала
dt
-
');( t) - мгновенная фаза сигнала
<uo = '2лf о - круговая частота несущей
241
ПРНЛО,ЖЕНИЕ 1
.Согласно условию норыиров2ния
или
-
1 ехр(-
ах cry
т2о2+т2cr2
х .lJ
ух
2о2о2
ху
)('ех(. _
___}'__:_\ {,~ '('2k+2s- 1)Н Х
.)р
2=2 )~~i - kl(2s)!J2k
О
х
k=O s=O
(П.1}
левую •част~ этого ра·венства Jvюжно записать иначе, если под знак двойно-го
суммиро·вания внести мно,жители, зависящие от .пе,ременной 'У, и поменять . м-еста
ми знак интеграла и ·суммы . Долустv.мость ,пе1членно,го интегрирования дв ойного
ряда здесь обоснована, так как этот ряд mри любых зна,чен.иях переменных а;· .
G~'
т.,, ту состоит из ПОЛОЖИТеJ!ЬliЫХ непрерывных для 'У;?- о функций, дт,
1,оторых ряд имеет •также непрерывную ,сумму w ~('Y) (,плотность распре.1еления
случай пой ,вел·ичины) и он заведо·мо ннтегри -руется в интервале (О, оо). В э.том
случае (718] ряд :vrожно почленн·о ин1 егриро-вать, даже не предполагая для нега
равномерную сJюдимость.
Исп ол ьзуя соотношение [2'5]
се
j~х11+ 1 ехр (-
~2 х2)ln. (rJ х) dx =
an
(2~2)n+l
о
соотношение (Л.i!) ,пр.вводим к виду
~~(2k+2s-1)!!( а~-a;)km~s а~5
~~
k! (2s)!! 2k c;2k+,4s
k=OS=O
у
(П.2)
(П.3)
Полученное соотношение можно рассматривать как общую формулу для сво
рачивания двойного функционального ряда вида (П.З), члены которого есть
фун·кции трех ,переменных - а;, а~, ту. Заметим, что при ах= ау соотношение
(П.З) переходит в обычное разложение показательной фун•кции ехр (т~ /2 а~ )
в ряд , ес,1и· уче•сть, ,что тоrща лишь сла,гаемое mри к= ·О отлично от нуля, а
242
f2s!
(2s- 1)!!= -
-
.
(П.4)
s! 25
Теперь ра-ссмотрим инте1 ·ральное выражение
К= sexp(- -y2 b)w4 (-y)dy, Ь > О.
о
(П.5)
(П.6)
где а=1+,2Ь aI ,
(\ (\
В-ведем новые, экв·ивалентные ,11араметры G~,
а~, такие , что выполняется
соптно ше ние
Тотда
(П.6) можно на.писать
~ 2k+4s
у
(П.7)
(П.8)
И спользуя ф-л у , (П . 3) для свор&чивания двойного ряда ·в соотно ш ении (П.8),
имеем
(\
К= (\
Gxcrуа
Соотношение (П.7)
(
т2G2+т2cr2
т2
т2)
ху
ух+у+х
ехр -
--
/\-
---
.
?r.2G2
2_2
2а2а
-
.Jx у
.;
х
у.
равносильно двум следующим
а~- G; ~~c~i_
а2а
у
G:;!
х
cr4 а
JJ
(\ ;!
(Jf}
а'),
х
11
J
услов ·иям;
Решая ур - ние (П.10) отнсс111 ельно
(\?
параметров а:;,
=
az (1 + 2bGZ),
Окончательно получаем для К следующее выражение :
ьт;
Ьт2 )
-----"--
у2
.
1+2ЬGy
(П.9)
(П.10)
(П.1 !)
(П.12)
243
ПРИЛОЖЕН11Е 2'
Т ождественность левой и •пра ·вой частей ур - н•ия (2 . 12 .8) при т~2 ,д окажем
мето:~:ом индукции , т . е. если равенство
(П.13)
·выполняется при некотором т~ ·2 (число -позиций ,сигна ,1ов не может быть ме нь
ш е двух), ·то оно тахже выполняется ,~:ля слу,чая, ког:да т получает -пр ираще н ие
>-Ia единицу, т . е. оправедли!Зо соотношение
т
~ (-J)kC~
Г(I+т)г(1 +
1+ h2
~1+k(1+fi2)
г(1+т+ 1
k=O
1+ 1z2
/
1
)
тГ(т)Г(1 +
1 +h2
(т+ 1;1r2)г(т+ 1~;iz)
Зд есь использо.вано известное свойство Г ф унк ц-ии
Г(!+х)= хГ(х).
)
)
(П.14)
(П.15)
·Справедливость рав енства ( П .13) для слу ч ая, .ког ;:~:а m=2·, очеви,дна. В ос
поль зуемся соотношением
Ck
ck +ck-1
1k
1
т= т-1
m-k•
< <111-
,
(П.16)
тогда леву,ю часть равен ства (IП. 1 4) можно за1писать
,т (-1)k C~
lт~-1 (-l)kC~-1 ]
---- =
1+
----
+
•k =O
.
1+k(1+h2)
k= l 1 +k(1+h2)
+[~ (-l)kC~=I + (-l)m _ ]·
k=I1+k(1+h2)
1+т(1+h2)
(П.17)
Вводя 11ад :юшк и сумм новые г1еременные к = г, к = r + ,l, после ,пр еобразова -
нии пол учаем
k
т-1
1 ~~l/lk:mh2 ) = ~ 1 ~~::r::~)
1
т-1
__
1_ ~ (-J)rc:-n_1
.
2+h2
r=O 1+r(1+-1
-
)
_
2+h2
(П.18)
Учит!Ывая р авенст.во (П . 13) , в 1Кото р ом •под h2 -подразумевается любое чис
ло , и используя соотношение (П .1 5), ,r:осле несложных преобра зований п олучаем
244
~ (- l)kC~
~_I _+_k
_ (_l
-
+ - iz-2)-
k=O
Г(m)Г(1+ 1-
.)
2 +h2
Это и требовалось до,казать.
Г(m) Г (1 + -----с=--)
1+h2
(П . 19')
ПРИЛОЖЕНИЕ 8
Если .1л11на у и угол , пло·ско-го веюора - неза ·висимые с.~учайные величины,
то совместная ллотность ero орта,гональных ком111онент х, у пр .и равномерном рас
пределении угла (фазы) равна
С учетом ф-лы ( 1.87) имеем
( т'(х2+у2))
ехр -
.
у2
(П. 21)
Так как а.1.1итивная 111омеха ,в -канале вое~гда ,считае~,ся независимой от про
цесса флуктуаций параметров канала, то для совместной плотности вероятно
л
сн1 ·случайных вtличин л;, л;, х, у имеем
л7+~7 ]
Eia~
•
(П.22}
л
Найдем совместную .плотность вероятности случайных величин Л;, Л;, х, у,.
где величины
'
.J
Якобиан преобразования (Л. 2,3,) равен единице и
/\
w (Лi, Лi, х, у)=
т'(х2+у2)
у2
(П.23}1
(П.24)
245,
л
Найдем теперь ·плотность вероятности w (А;, Лi), проинтеr,риро.вав выраже
ни е (П.24-) .в в оз·можных :предЕслах измен ения случайных вели ч ин х, у . (от - оо
.до + оо):
(П.25)
Полагая x =R cos 'ljJ, y = R sin '\jJ, т. е . ,перехо J,я к полярным координатам,
п осле интегрнроаания по 1jJ имеем
Выполняя ·интегрирование [Ю ,R (:25], имеем
(m')m' ехр [-
/1
]
т'(л7+л;)
/1
Еа~ (т' +h;)
w(A,, Лi) =
(,+ 2)т'
2
х
тh;
i,; Е1а0
X1F1[1-т',1, -
у2(л7+ ~1)
].
aci (т' + h7)
Для плотности вероятности рад.ну-са ве_ктора Vi = lf А; +f:;
з ультат
246
(П.27)
следует ре-
(П.28)
При отсутствии рег,уля,рных компонент сигнала (q; =О) ф - ла (4.43) при
нимает вид
р_=
N
(П.29)•.,
2~(~{пh;
r=l
Для интег.рирования вос'пользуемсн теор емой о ,вычетах. Замкнем контур в
верхне й ,п-олуплос,кости . .Вн,утри •ко1пура ннтегрирования .имеется N + 1 лрост ых .
полюса в точ ках
r
2
t,=iv 1+-::=-,
r=l,2, ... , N , iн+r=i-
(П.30) --
лh2
r
. Выч еты , соответствующие этим полосам, равны:
~,-
[2t,(1+f,)ь{k+,)(1;+1+ А;,)г,,-1,2, . . .• N
.
(П.31) ,
N
<pN+I = [2tN+I п(1+ ti+1 + Л:2 \]-!
k=I
-
k)
Согласно теореме ,о вычетах, ,получаем
р=-1[1 - t
1
•
•
2
r=I
-.
l1+ 2
V "лh~
n(k=/=r)
~
h2_ , ;_2
k=I
,_
k
J(П..32) 1
При fi'; =h2 интегрирование выражен11я (П.29) rвыполняется ле-rко и посау_, -
чаем результ'1т:
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Для решения многих за д а,ч в тесрин ,стат.истического приема сигналов на
фоне ,помех нео-бхо,димо знать р аспределение оу-ммы l(Вадратов ·взаи-мокоррели
ров анных нормально-рас-пределенных сла,гаемых :
п
Л=~xz,
(П.33)
/=!
у ,которых математические ожидания ai и диопе р·сии а~ различны. Решен ие по
добной задачи методом характеристической функции не раз обсуждалось [54,
1,5'5, 1'57].
247
""'---------
"---
----
Иногда, ·в некоторыJ< частных слу~чаях, можно найти распределение w (А),
-ес ли во.опользоваться орто ,rональным по.во ·ротом системы координат и отправ
.ляться от совместной •плотности .вероят1оссти [47 , 51]:
{
1 {, '-"1
(х;-а;)(xi- ai)}
Wп(Х1, х2, •••, Хп) =Кехр -W~~Dij
a;ai
•,
i=l i=l
(П.34)
тде D - определитель п -г о порядка корреляционной матрицы ,R = IIR iJ II случай -
11ых -вел·ичин Xi, XJi RiJ=RJii ,Rii =I; IRiJl~ •l;
DiJ - ал-гебр1ическое до,полнение элемента RiJ в определ ителе IRiJI:
D,i = Di;;
К={ГJ "кD-1⁄2(2л)i}-l.
k=l
В,в,одя обозначе:~ие ,для положительно спределенной формы
(П.35)
(П.36)
Лоложительно определенную фо-рму Q(x1,
... ,
х,,) можно предстаsнть !J
:вище :
тде
п
Q(x1, .. .. Хп) = К0-~a1x;+ F(x2,
..
.,Хп);
i=l
(П.37)
(П.38)
(П. 39)
(П.40)
-
квадратичная положительно опред~ленная форма. Рассматривая Х1, .. . , Хп
• как ортогональные координаты вектора х в п - мерном евклидовом пространст;зе,
перейдем с помоrцью линейного однородною ,преобразован.ия [70]
(П.41)
к новой ортогональной системе ,координ-гт , оставляя неизменным норму -вектора
(П.42)
'248
Матр ·ицу о;:1.нородного лииейного ,г,реобразования (П .41) выберем так, чтобы
форма F(x ,, ... , Хп) ,преобразовал2сь к -сумме квадратов
•
п
Хп)=~ЛkY~-
k=I
(П.43)
К:ак иззестно [70 ], Лк - корни характерИiстич-еского уравнения матрицы
11 а~:; 11 ( собственные зна чения матри цы 11 а~:: 11) т. е. корни ,уравнения
I__Eii_ -
л/1=О,
(П.44}
ai аj
~де l____!}_j _i _
-
л /1- олре,:tелr!тель матрицы 11 __!}jj__ - л/11
aiaj
aiai
! - единичная матрица порядка п .
Для вещественной симметричной матрицы 11 а~:; 11 все корни ур-ния
(П .44) веще;::твен·ны. Более того, так как F(x,1, Х2, ... , Хn)-----,положигельно опре
деленная форма, то, ,как ви,дно из формы (П.4131) , ни один из этих корней не
:может быть отрицательным.
Элементы ортогональной ма1р1щы преобразования В - (определитель кото-р,нr
•равен 1) о;~ределяются собственными векторами
матрИ1.1,ы
ний:
11 ~i~ j ll, т. е . нахо;.~нтся из сис т емы линейных однородных у,ра,вне-
(П.46)
.... ,·
..............
.
Dn1 b1k+ Dп2 b2k+
cr1crn
azan
( Dnn
)
.+т-лkbnk=O,
k=1,2,
п.
Все опре.J,еляемые собственн ые ,векторы Ьк вещественны, взаимоортогональ
ных, причем они нор:мнруют-ся к ед-ини,це.
Квадратичная фор·ма Q в новых переменных -принимает вид
п
п
Уп) = Ко+~ Лk Yk- ~ ~kYk;
k=I
k=I
п
,,
~к= ,{., aibik•
i=l
(П.47)
(П.48)
Для п-мерного нормального
лучаем формулу
закона распре деления в новых ,переменных по-
wп(У1, • , ., 'Уп) = Кехр{ - 2~ [ко+~ лkУ% - ~~kYk]}•
k=I
k=I
(h.49)
249
, .которая
оказывается пре д поч и тел ьной для ,нахождения ра,спределения квадра
тичной формы:
п
п
л=~xz=~Yl,
i=l
k=l
Когд а все слагаемые Х; .имеют ну л евые математ и,чески е ожид ания (а; = О),
" вместо (П.49), можно написать
Wп(У1, , , ,, Уп) = Кехр(- 2~ ~ ),ky~)l,
(П.50)
k=l
Рас-смотрим -случай, когда n=4 · и 'Корреляционная матрица исходного рас
· - пределения
норма л ьных слагаемых ·с нулевыми математическими ожиданиями
, :и меет ,вид:
ОRoО
о
ОR0
о
R=R0О
(П. 51)
(П.52)
В общем ,случае .в-се ко-рн и этого у равнения 1, 1, л2, 1,з , л. различны. Бели
"i=а~=07; а~= а~ =а71,
(П.53)
ст о хара1ктеристическое ур-ние , (П..S-2 ·) д2ет
(1- R5- ла7)2(1- Rб
-
Ла71)2- 2R5(1- R5)(1- R5- ла7)Х
х (1 - Rб - Л"71)+Rt(I-R5) 4 =0.
(П.54)
В д анном ,слу,чае имеются два 'КОрl'я д вой,ной кратности : л1 = л2 = л1;
• ~ л.=л11. Эти корни определяются тс:к:
лз=
(!- Rб)(oJ+cr7I} [l±1/
4а7+071(1- R5) J"I
л/•IТ=
2"7а7I
V1-
(а7+aJJ)2
'
(П.55)
- · и ф-ла · (П.60) принимает вид
(П.56)
' 25'0
Переходя к [!Оля-рным координатам
у1= R1cos, У2= R1sin01, Уз =R2cos02, у4= R2sin02,
получаем из ф - лы i (П.бб) для совместной [!Лотности:
w(R1 R2) = -----= --- -= ---
ехр --- -- л1 R1+"nR2 . (П.57)
R1 R2
•
{
1
(?
2]}
а7а}/(1- R5)
2(1- R5)2
Совместная плотность случайных Rе.r.ичин:
Х=Rт, У=R~
(П.58)
w(XУ)=
1
ехр {-
1
(л1Х+'An У]}· (П.59)
4aJа71(1- R6)
2(1- R~)2
С ,помо щью формулы ,свер11ки находим распределение :для Л = Х + У = хт +
+х~ +х~ +х~:
1
•r Л),II ] fл [i(Аи-А1)
w(Л)=-----ехр - - - -
ехр ---'--- dt=
4aJaJ1(1- R6)
_
2(1- R6)2 0
2(1- R6)2
I- R5
[Л(),г- ли)] [ Л(л1 +ли) ]
в7аJ1(л1 -),II) sh 4(l - R5)2 ехр - 4(1 - R6)2 '
но
Следовательно,
Если вместо ф - лы (П.53) sыпошrяется условие
2
22.2
2
2
a!=cr3=G[, a2=G4=cr/[,
то совместную плотность (П.59) можно привести ,к виду
w(XУ)=
В эй111 случае, к сожалению, рапrределение суммы
Л=Х+У
не выражается ·сто,1ь простой формулой, ка-к ф-лы (:П . 611)..
(П.60 ),
(П. 62)
(П.63)
251
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
В2=0,05: с2=0
А
F.(A, В, С)
Поря-
док*)
11
А
F(А,В,С)
\ П.орядок
0,05
0,555370
02
2,3
о, 977906
00
о,1
0,217878
01
2,35
0,980664
00
О, 15
0,474974
01
2,4
0,983116
00
0,2
0,809058
01
2,45
0,985290
00
0,25
о, 119947
00
2,5
0 , 987214
00
0,3
О, 162556
00
0,35
0 ,206902
00
2,55
0,988910
00
0,4
0,251532
00
2,6
О, 990404
00
0,45
0,295416
00
2,65
0 , 991715
00
0,5
0 , 337913
00
2,7
О, 992864
00
2,75
0,993867
00
0,05
0,378692
00
2,8
0,994742
00
0,6
0,417636
00
2,85
о, 995502
00
0,65
0,454755
00
2,9
0,996161
00
0,7
0,490116
00
2,95
0,996731
00
0,75
0,523806
00
3,0
0,997223
00
0,8
0,555906
00
0,85
0 , 586482
00
3 ,05
0,997646
00
0,9
0,615586
00
3,1
0,998009
00
0,95
0,643259
00
3, 15
0,998321
00
1,0
0,669533
00
3,2
0,998586
00
1,05
0,694437
00
3,25
0 , 998813
00
3,3
0,999005
00
1,1
0,717997
00
3,35
0,999169
00
1, 15
0,740241
00
3,4
0,999307
00
1,2
0 , 761197
00
3,45
0,999423
00
1,25
о, 780898
00
3,5
0,999521
00
1,3
0,799376
00
1,35
0,816667
00
3,55
0,999604
00
1,4
0,832810
00
3,6
о, 999672
00
1,45
0,847845
00
3,65
0,999730
00
1,5
0,861815
00
3,7
0,999778
00
1,55
0,874765
00
3,75
0,999818
00
1,6
0,886741
00
3,8
0,999851
00
1,65
0,897787
00
3,85
0 ,999878
00
1,7
о, 907953
00
3,9
О· , 999901
00
J, 75
0,917285
00
3,95
0,999919
00
1,8
0,925831
00
4,0
0,999934
00
J ,85
0,933638
00
4,05
0 ,999947
00
1,9
1,940752
00
4,1
0,999957
00
1,95
О, 947218
00
4, 15
0 ,999965
00
2,0
0,953082
00
4,2
0,999972
00
2,05
0.958386
00
4,25
0,999978
00
2,1
о:963172 .
00
4,3
0,999982
00
2, 15
0,967480
00
4,35
0,999986
00
2,2
0,971348
00
4,4
0,999988
00
2,25
0,974812
00
4,45
0,999991
00
*) Порядок показывает, сколько н улей надо постави-rь 110 значащих цифр. Н а при
мер : поря док 02 рядом с числом, 0,555370 указ ывает на то, ч rr.o сдеду ет· читать 0,00555370.
252
В2=0,05; С2=0, 1; D=O
А
Fj(A, В, ,С, д) !1 Порядок !]
А ,1 F(А,В,С,D) 1Порядок
0,05
0,196891
02
2,3
0,976440
00
О,1
0,802177
02
2,35
0,979388
00
о, 15
О, 185514
01
2,4
0,982007
00
0,2
0,340727
01
2,45
0,984329
00
0,25
0,550498
01
2,5
0,986381
00
{), 3
0,817217
01
0,35
О, 113968
00
2,55
0,988192
00
{) ,4
0,151256
00
2,6
0,989785
00
0,45
о, 192669
00
2,65
0,9 11183
00
0,5
0,23702 1
00
2,7
0,992407
00
2,75
о, 993476
00
0,55
0,283009
00
2,8
о, 994407
00
0,6
0,329378
00
2,85
0,995217
00
·О,65
0,375054
00
2,9
о , 995918
00
0,7
0,419219
00
.2 ,95
о, 996525
00
о, 75
0,461334
00
3,0
Q,997048
00
0,8
0 , 501112
00
Q,85
0,538462
00
3,05
0,997499
00
{), 9
0,573428
00
3,1
0,997885
00
Q,95
0,606126
00
3, 15
0,998216
00
1,0
0,636701
00
3,2
0,998499
00
3,25
·О, 998739
00
1,05
О ,665301
00
3,3
0,998944
00
1,1
О ,692061
00
3,35
0,999117
00
1, 15
0,717098
00
.3,4
'О, 999264
00
1,2
0 , 740512
00
3,45
0,999388
00
1,25
0 , 762389
00
.3,5
'() ,999492
00
1,3
0,782805
00
1,35
0,801831
00
3,35
0,999579
00
1,4
О ,819529
00
3,6
0,999652
00
1,45
•О ,835963
00
3,65
о, 999714
00
1,Б
0,851192
00
'3,7
О, 999764
00
А! '"'
3,75
·О ,999807
00
1,55
0,865276
00
3,8
0,999842
00
1,6
0 ,878273
00
3,85
О ,999871
00
1,65
О ,890240
00
3,9
0,999895
00
1,7
0,901235
00
3,95
0,999914
00
1,75
0,911313
00
4,0
0,999930
00
1,8
0,920530
00
1,85
О, 928940
00
4,05
0,999944
00
1,9
О ,936594
00
4,1
0,999954
00
1, 95
О ,943546
00
4, 15
0,999963
00
2,0
О ,949843
00
4,2
0,999970
00
0,955535
4,25
0,999976
00
.2,05
00
4,35
0,999981
00
2,1
О ,960667
00
4,4
0,999985
00
2, 15
0,965282
·00
4,45
О ,999988
00
2,2
0,969423
00
4,5
0,999990
00
2,25
0,973130
00
253
в2=0,05, с2=о,1, D = .!!:._
8
А
F (А, В, С, D) 1 Порядок\1
А
F(А,В,С,D) JПорядок
1
0,05
0,227428
02
2,3
0,975596
00
.О,1
0,921535
02
2,35
О, 978611
00
О, 15
0,211324
01
2,4
0,981294
00
0,2
0,384032
01
2,45
0,983677
0(}
0,25
0,613095
01
2,5
0,985788
0()
0,3
0,898801
01
0,35
О, 123785
00
2,55
0,987653
О(}
0,4
0,162313
00
2,6
0,989298
0(}
0,45
0,204429
00
2,65
0,990744
00
0,5
0 ,248907
00
2,7
0,992013
00
2,75
О ,993123
00
0,05
0,294481
00
2,8
0,994092
00
0,6
0,339993
00
2,85
о, 994937
00
0,65
0,384504
00
2,9
0,995670
0()
0,7
0,4273'37
00
2,95
0,996305
00·
0,75
0,468078
00
3,0
0,996855
0(}
0,8
0 ,506537
00
0,85
0,542685
00
3,05
0,997329
0()
0,9
0,576594
00
3,1
0,997736
00
0,95
0,608386
00
3. 15
0,998086
00
1,О
0,638199
00
3,2
0,998385
00
3,25
0,998641
00
1,05
0,666165
00
3,В
0,998859
00
1,1
0,692401
00
3,35
0,999044
00
1, 15
о, 717006
00
3,4
О, 999201
0()
1,2
0,740065
00
3,45
0,999334
Q(}
1,25
0,761653
00
3,5
0,999446
00!
1,3
0,781837
00
1,35
О ,800677
00
3,55
0,999540
00
1,4
0,818232
00
3,6
0,999619
00
1,45
() ,834557
00
3,65
0,999685
0(}
1,5
О, 849710
00
3,7
0,999740
00
3,75
0,999786
оа
1,55
0,863744
00
3,8
0,999825
00
!,6
0,876714
00
3,85
0,999856
00
1, 65
0,888675
00
3,9
0,999883
00
1,7
0,899681
00
3,95
0,999904
0(}
1, 75
0,909784
•00
4,0
0,999922
00:
1,8
0,919038
00
1, 85
0,927494
00
4,05
0,999937
0(),
1,9
0,935204
00
4,1
0,999949
00
1, 95
0,942216
00
4, 15
0,999959
00
2,0
0,948579
00
4,2
0,999967
00-
4,25
О ,999973
00
.2,05
0,954339
00
4,3
0,999978
00
2,1
0,959541
00
4,35
0, 999983
00-
2, 15
0,964228
00
4,4
0,999986
0()
2,2
0,968441
00
4,45
0,999989
0(}
2,25
0,972217
00
4,5
0,999991
0()
254
В2 =0,05, С2=0,1, D =~
'
4
А
.F ,(А, В, С, IЭ) 1 Порядокl/
А
F(А,В,С,D) 1Порядок
0,05
0,348867
02
2,3
0,974231
00
о,1
0,139109
01
2,35
0,977342
00
о, 15
0,311131
01
2,4
0,980120
00
() ,2
0,547765
·01
2,45
0,982595
00
(),25
,о ,843581
01
2,5
0,984795
00
0,3
О, 119060
00
2,55
0,986746
00
0,35
о, 157855
00
0,4
0,199559
00
2,6
0,988472
00
0,45
0,242950
00
2,65
0,989996
00
0,5
0,21.16883
00
2,7
0,991337
00
2,75
0,992515
00
0,55
О ,330397
00
2,8
0,993547
00
(),6
0,372763
00
2,85
0,994449
00
0,65
0,413499
·ОО
2,9
0,995235
00
<J,7
0,452339
00
2,95
0,995920
00
0,75
0,489188
00
3,.0
0,996514
00
(),8
0,524058
00
3,05
0,997028
00
0,85
0,557024
00
3,1
0,997471
00
(),9
0,588186
00
3, 15
0,997854
00
0,95
0,617646
00
3,2
0,998183
00
1,0
О ,645494
00
3,25
0,998465
00
1,05
0,671808
00
3,3
0,998706
00
1,1
О, 696655
00
3,35
0,998911
00
1 ,15
О, 720091
00
3,4
0,999086
00
i,2
0,742165
00
3,45
0,999235
00
1,25
О, 762922
00
.3,5
0,999361
00
1,3
0,782407
00
3,55
0,999467
00
I, 35
0,800663
00
3,6
о, 999557
00
1,4
0,817733
00
3,65
0,999632
00
1 ,45
0,833661
00
3,7
0,999696
00
1,5
0,848492
00
3,75
о, 999749
00
I ,55
0,862271
00
3,8
0,999793
00
3,85
0,999830
00
l,6
0,875046
00
3,9
о, 999860
00
1,65
0,886862
00
3,95
0,999885
00
1,7
0,897767
00
4,0
0,999906
00
1, 75
0,907808
00
1,8
0,917033
оо
4,05
0,999924
00
1,85
0,925488
00
4,1
0,999938
00
1,9
О ,933220
00
4, 15
0,999950
00
1,95
0,940274
00
4,2
0,999959
00
2,0
0,946695
00
4,25
о, 999967
00
4,3
0,999973
00
2,05
0,952525
00
4,35
0,999978
00
2,1
0,957807
00
4,4
0,999983
00
2, 15
0,962580
00
4,45
0,999986
00
2,2
0,966885
·00
4,5
0,999989
00
2,25
0,970756
00
4,55
0,999991
00
255
в2-О05С2-ОID---2_ =,,
-
'
'
-
''
-
~
8
А
F (А, В, С, D) 1 Порядокll
А
F(А,В.С,D)
1 Порядок
0,05
О, 510665
02
2,3
0,975249
00
о,1
0,200826
01
2,35
0 , 978248
00
0,15
0,439483
01
2,4
О, 980926
00
0,2
о, 752344
01
2,45
0,983310
00
0,25
0,112 186
00
2,5
0,985428
00
0,3
О, 152988
00
0,35
О, 195954
00
2,55
0,987306
00
0,4
0,239668
00
2,6
0,988966
00
0,45
О ,283051
00
2,65
0 , 990430
00
0,5
0,325365
00
2,7
О, 991718
00
2,75
0,992849
00
0,55
О, 366171
00
2,8
0,993839
00
0,6
0,405254
00
2,85
0,994704
00
0,65
0,442555
00
2,9
0,995457
00
0,7
0,478100
00
2,95
0,996112
00
0,75
0,511961
00
3,0
0,996680
00
0,8
0,544216
00
0,85
0,574938
00
3,05
О, 997172
0()
0,9
0,604189
00
3,1
О,99759б
00
0,95
0,632018
00
3, 15
0,997961
00
1,0
0,658463
00
3,2
0,998275
00
3,25
0,998543
00
1,05
0,683559
'00
3,3
0,998773
()0
1,1
0,707335
00
3,35
0,998969
00
1, 15
0,729819
00
3,4
0,999135
00
1,2
0,751040
00
3,45
0,999276
00
1,25
0,771027
00
3,5
0,999396
00
1,3
0,789813
00
1, 35
0,807432
00
3,55
0,999497
0(}
1,4
0,823918
00
3,6
0,999582
0(}
1,45
0,839312
00
3,65
0,999653
00
1,5
0,853691
00
3,7
О, 999713
00
3,75
0,999763
О(}
1,55
0,866979
00
3,8
0,999805
00
1,6
0,879337
00
3,85
0,999840
00
1,65
0 , 890770
00
3,9
0,999869
0(}
1,7
О, 901322
00
3,95
0,999893
0(}
1, 75
0.911039
00
4,0
0,999912
0()
1,8
0,919965
00
1,85
О ,928 145
00
4,05
о, 999929
00
1,9
0,935624
00
4,1
0,999942
00
1,95
0,942446
00
4 ,15
0,999953
00
2,0
0,948654
00
4,2
0,999962
00
4,25
0,999969
0(}
2,05
О, 954290
00
4,3
0,999975
00
2,1
0,959393
00
4,35
0,999980
00
2, 15
О ,964004
00
4,4
0,999984
00
2,2
0,968160
00
4,45
0,999987
00
2,25
0,971897
00
4,5
О ,999990
00
}.
256
'
В2 =0,05, С2=0,1, D = .!!:_
2
.i
1
Р(А, В, С, D) 1Порядокll
А
1
Р(А, В, С, D) 1Порядок
0, 05
0,55 3552
02
2,3
0, 977 469
00
О,1
0, 217166
01
2, 35
0, 98 0267
00
О,l-5
0,473427
01
2,4
С, 982755
·
00
0,2
0,806435
01
2,45
о , 984964
00
0,25
0,11 956 0
00
2,5
0,9869 19
00
С:,3
0, 162 036
по
1
0 ,35
0 ,206247
00
2,55
0,988646
00
t'
0,4
0, 250744
со
2,6
0 ,99 0167
00
0,45
0, 294502
00
2,65
0,99 1503
00
,,
0,5
0, 336882
00
2,7
0,9 92675
00
2,75
0, 993699
00
0,55
0, 377557
00
2,8
0, 994 592
00
0,6
0,4 16408
ос
2,85
0 ,9 95370
00
0,65
0,453444
ос
2,9
0, 99 6045
00
0,7
0, 488 735
00
2,95
0, 996629
00
0,75
0, 522366
00
3,0
о,997133
00
0,8
0,554417
00
0,85
0,584955
00
3, 05
0, 997568
00
0,9
О , 614031
00
3'!
0, 997941
00
0, 95
0,641686
00
3, 15
0, 998261
00
1,О
0, 667950
00
3,2
0, 998535
00
•
3, 25
0, 998768
00
1
1,05
0, 692854
00
3,3
0,998967
00
1,1
0, 716421
00
3,35
0,999136
00
1
1, 15
0,738680
00
3,4
0,999278
00
1
1,2
0, 759659
00
3,45
0, 999399
00
1, 25
0,77 9389
00
3,5
0,999501
00
1,3
0, 79790 1
00
1, 35
0,815231
00
3, 55
0,9995 86
00
1,4
0,831 418
00
3,6
0,99 9658
00
1, 45
0,84650 2
00
3,65
0,999 717
00
1,5
0, 860523
00
3,7
0,9997 67
00
3,75
0, 9998 09
00
1,55
0,873527
00
3,8
0,999843
00
1,6
0, 885558
00
3,85
0, 999872
do
1
1, 65
0,896 663
00
3,9
0,999895
00
1,7
0, 906887
00
3,95
0,999915
00
1, 75
0,91 6278
00
4,0
0, 999931
00·
1,8
0, 924 882
00
1, 85
0 ,932747
00
4,05
0 , 999944
00
1,9
0,9399 18
00
4,1
0, 999955
00
1, 95
0,94644 1
00
4, 15
О , 999963
00
2,0
0, 952360
00
4,2
0, 999970
оо,
4, 25
0,999976
00
2,05
0,9577 17
00
4,3
0, 999981
00
·2, 1
0, 962554
00
•4,35
0,9 99985
00
2, 15
0,9669 10
00
4,4
0,999988
00
2,2
0 ,970825
00
4,45
0,999990
00
2,25
0, 974333
00
9-6
257
J
,f
В2 =0,05, С2=0,5, D =0
А
F(A, В, С, D) 1 Порядокll
А
F(A , В, С, D) ·1 Порядок
0,05
0,310859
04
2,3
0,969471
00
о,1
о, 146259
03
2,35
0,973331
00
о, 15
0,417938
03
2,4
0,976752
00
0,2
0,988489
03
2,45
0, 979779
00
0,25
. 0,210024
02
2,5
0,982449
00
0,3
0,413099
02
0,35
0,762575
02
2,55
0,984800
00
0,4
0,133115
01
2,6
0,986866
00
0,45
0,220796
01
2,65
о, 988675 .
00
0,5
0,349237
01
2,7
0,990257
00
2,75
0,991637
00
0,55
О ,528284
01
2,8
0,992837
00
0,6
0,766213
01
2,85
0,993879
00
0,65
0,106812
00
2,9
0,994781
00
0,7
О, 143457
00
2,95
0,995560
00
0,75
О, 186087
00
3,0
0,996232
00
0,8
0,233719
00
0,85
0,284967
00
3,05
0,996809
00
0,9
0,338212
00
3,1
0,997304
00
0,95
0,391809
00
3, 15
0,997727
00
1,0
0,444281
00
3,2
0,998088
00
3,25
0,998396
00
1 ,05
0,494450
00
3,3
0,998657
00
1,1
0,541508
00
3,35
0,998878
00
1,15
О ,585011
00
3,4
0,999065
00
1,2
0,624821
00
3,45
0,999223
00
1,25
0,661030
00
3,5
0,999355
00
11,3
0,693865
00
1,35
0,723621
,00
3,55
0,999466
00
1,4
0,750606
00
3,6
0,999559
00
1,4р
0,775109
00
3,65
0,999637
00
1,5
О ,797385
00
3,7
0,999702
00
3,75
0,999755
00
1,55
0,817657
00
3,8
0,999800
00
1,6
0,836111
00
3,85
0,999837
00
1,65
о, 852911
00
3,9
0,999857
00
1,7
0,868195
00
3,95
0,999892
00
1, 75
0 ,882088
00
4,0
0,999912
00
1,8
0,894701
00
1,85
0,006136
00
4,05
(),999929
00
1,9
0,916485
00
4,1
0,999943
00
1,95
0,925835
00
4, 15
О ,999954
00
2,0
0,934267
·оо
4,2
0,999963
00
4,25
0,999970
00
2,05
0,941857
00
4,3
0,999976
00
2,1
0,948674
00
4,35
0,999981
00
2, 15
0,954784
00
4,4
0,999985
00
2,2
0, 960250
00
4,45
0,999988
00
2,25
0,965127
00
4,5
0,999990
00
2.58
А
0,05
О,1
о, 15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1,0
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1, 75
1,8
1,85
1,9
1, 95
2,0
2,05
2,1
2, 15
2,2
2,25
9•
:t
В2 =0,05, С2=0,5, D =-
8
F(A, В, С, D)
1 Порядокll
А
0,639316
04
2,3
0,293231
03
2,35
0,808208
03
2,4
о, 183356
02
2,45
0,372812
02
2,5
.о, 701278
02
2,55
о, 123830
01
2,6
0,206907
01
2,65
0,328836
01
2,7
0,498986
01
2,75
0,725269
01
2,8
О, 101230
00
2,85
О, 136079
00
2,9
о, 176621
00
2,95
0,221934
00
3,0
0,270717
00
3,05
0,321459
00
3,1
0,372633
·
00
3, 15
0,422868
00
3,2
0,471076
00
3,25
3,3
О, 516510
00
3,35
0,558756
00
3,4
0,597683
00
3,45
0,633363
00
3,5
0,665995
00
3,55
О ,695832
00
3,6
0,723141
00
3,65
0,748171
00
3,7
о, 771142
00
3,75
0,792243
00
3,8
'
3,85
0,811633
00
3;9
0,829450
00
3,95
0,845812
00
4,0
0, 860826
00
0,874586
00
4,05
0,887179
00
4,l
0,898687
00
4, 15
0,909186
00
4,2
0,918747
00
4,25
0,927438
00
4,3
4,35
0,935323
00
4,4
0,942463
00
4,45
0,948915
00
4,5
0,954732
00
4,55
0,959968
00
4,6
li[j
... J
-
4,65
.
-
~
0,964669
00
0,968882
00
0,972648
00
0,976008
00
0,978999
00
0,981656
00
0,984010
00
О, 986091
00
0,987927
00
0,989543
00
0,990963
00
0,992206
00
0,993293
00
О ,994241
00
0,995065
00
0,995781
00
0,996401
00
0,996936
00
0,997398
00
0,997795
00
О, 998136
00
0,998427
00
0,998676
00
0,998888
00
0,999068
00
0,999221
00
0,999350
00
0,999459
00
0,999550
00
0,999627
00
0,999692
00
0,999746
00
0,999791
00
0,999828
00
0,999859
00
0,999885
00
0,999906
00
0,999923
00
0,999938
00
0,999949
00
0,999959
00
0,999967
00
0,999973
00
0,999978
00
0,999983
00
0,999986
00
0,999989
00
0,999991
00
259
А
F(A, в .~с, D) 1 Порядок 11
А
F(A, В, С, D) J .порядок
,
0,05
0,543153
03
2,45
0,970307
00
О,1
0,230816
02
2,5
0,973718
00
о, 15
0,569073
02•
2,55
О, 976786
00
0,2
о, 113111
01
2,6
0,979538
00
0,25
о, 199485
01
2,65
0,982002
00
0,3
0,324408
01
2,7
О ,984203
00
0,35
0,495555
01
2,75
0,986164
00
0,4
0,718547
01
2,8
0,987907
00
0,45
0,995607
01
2,85
0,989454
00
0,5
О, 132487
00
2,9
0,990822
00
0,55
о, 170026
00
2,95
О, 992031
00
0,6
0,211210
00
3,0
0,993095
00
0,65
0,254845
00
3,05
0,994030
00
0,7
0,299661
00
3,1
0,994850
00
0,75
0,344474
00
3, 15
0,995567
00
0,8
0,388296
00
3,2
0,996193
00
0,85
0,430406
00
3,25
0,996737
00
0,9
0,470366
00
3,3
О, 997210
00
0,95
0,507938
00
3,35
0,997620
00
1,О
0,543124
00
3,4
0,997974
00
l ,05
0,576004
00
3,45
О, 998279
00
l,1
0,606727
00
3,5
0,998542
00
1,15
0,635464
00
3,55
0,998767
00
l,2
0,662376
00
3,6
0,998960
00
1,25
0,687608
00
3,65
0,999124
00
1,3
о, 711280
00
3,7
о, 999265
О(}
1,35
0, 733496
00
3,75
0,999 384
00
1,4
0,754339
00
3,8
0,999485
00
1,45
0,773882
00
3,85
0,999570
00
1,5
0,792189
00
3,9
0,999642
00
1,55
0,808318
00
3,95
0 ,999703
00
1,6
0, 825322
00
4,0
0,999754
00
1,65
0,840254
00
4,05
0,999797
00
1,7
0,854161
00
4,1
0,999832
00
1, 75
0,867091
00
4, 15
о, 999862
00
1,8
0, 879092
00
. 4,2
0,999887
00
1 ,85
0,890210
00
4,25
0,999907
00
1,9
0,900490
00
4,3
0,999924
00
1, 95
0,909975
00
4,35
0,999938
00
2,0
0,918711
00
4,4
о, 999950
00
•О,05
0,926739
00
4,45
0,999959
00
2,l
О, 934103
00
4,5
0,999967
00
2, 15
0,940842
00
4 ,55
0,999973
ос
2,2
О, 946996
00
4,6
0,999978
00
2,25
0,952605
00
4,65
0,999982
00
2,3
0,957705
00
4,7
0,999986
00
2,35
0,962333
00
4,75
0,999989
00
2,4
,о, 966522
00
4,8
0,999991
00
'260
3
В2=0,05,С2=0,5,D=8
1t
1
А
F(A, В, С, D) 1 .Порядок l]
А
F(A, В, С, D) 1 Перцек
1
0,05
0,365045
02
2,45
0,974928
00
О,1
О, 144951
01
2,5
0,977844
00
о, 15
0,322077
01
2,55
0,980462
00
0,2
0 ,562309
01
2,6
, о ,982807
ею
0,25
О, 857757
01
2,65
0,984903
00
0,3
О, 119849
00
2,7
0,986771
ею
0,35
О, 157321
00
2,75
0,988433
00
0,4
о, 197014
00
2,8
0,989908
€)0
0,45
0,237809
00
2,85
0,991214
eJV
0,5
0,278738
00
2,9
0,992368
05
0,55
0,3 19038
00
2,95
0,993384
Ofl
0,6
0,358179
00
3,0
О,99!1278
00
0,65
0,395840
00
3,05
0,995062
00
0,7
0,431871
00
3,1
·0,995748
{)О
0,75
0,466242
00
3, 15
0,996347
00
0,8
0,498994
00
3,2
0,996868
t'IO
0,85
0,530201
00
3,25
0,997321
00
0,9
0,559946
00
3,3
0,997713
00
0,95
0,588305
00
3,35
0,998053
00
1,0
0,615340
00
3,4
0,998345
00
1,05
0,641103
00
3,45
0,998597
00
1,1
0,665635
00
3,5
0,998814
00
1, 15
0,588970
00
3,55
0,998999
00
1,2
0,711137
00
3,6
·о ,999157
00
1,25
0,732164
00
3,65
0,999292
00
1,3
О ,752075
00
3,7
0,999406
00
1,35
0,770899
00
3,75
0,999503
00
1,4
0,788660
00
3,8
0,999586
00
1,45
0,805388
00
3,85
0,999655
00
1,5
0,821113
00
3,9
0,999713
00
1,55
0,835864
00
3,95
0,999762
00
1,6
0,849675
00
4,0
0,999804
00
1, 65
0 ,862578
00
4,05
0,999838
00
1,7
0,874609
00
4,1
0,999867
00
1, 75
0,885803
00
4, 15
0,999890
00
1,8
0,896195
00
4,2
О ,99991-0
00
1, 85
0,905823
00
4,25
0,999926
00
1,9
0,914723
00
4,3
0,999940
00
1, 95
0,922934
00
4,35
0,999951
00
2,0
0,930491
00
4,4
0,999960
00
2,05
0,937431
00-
4,45
О ,999968
00
2,1
0,943790
00
4,5
0,999974
00
2, 15
0,949605
00
4,55
0,999979
00
2,2
0,954910
00
4,6
0,999983
00
2,25
0,959738
00
4,65
0,999986
00
2,3
0,964123
00
4,7
0,999989
00
2,35
0,968097
00
4,75
• 0,999991
00
2,4
0,971689
00
261
А
F(A, В, С, D) \ Порядокll
А
F(A, В, С . ~D) 1 Порядок
·;.,:.,
0,05
0,546339
02
2,3
0,975711
00
о,1
0,214342
01
2,35
0,978666
00
о, 15
0,467289
01
2,4
0,981302
00
0,2
0,796027
01
2,45
0,983648
00
0,25
0,118027
00
2,5
0,985732
00
0,3
о, 159973
00
0,35
0,203645
00
2,55
0,987577
00
0,4
0,247616
00
2,6
0,989208
00
0,45
0,290874
00
2,65
0,990645
00
0,5
0,332794
00
2,7
0,991909
00
2,75
0,993018
00
0,55 '
0 , 373050
00
2,8
0,993988
00
0,6
0,411528
00
2,85
0,994835
00
0,65
0,448239
00
2,9
0,995573
00
0,7
0,483249
00
2,95
0,996214
00
0,75
0,516643
00
3,0
0,996769
00
0,8
0,848501
00
0,85
0,578886
00
3, 05
О,997249
00
0,9
0,607850
00
3,1
0,99 7663
00
0,95
0,635429
00
3, 15
0,998019
00
1,О
0,661656
00
3,2
0,998325
00
3,25
0,998587
00
1 ,05
0,686555
00
3,3
0,998810
00
1,1
0,710151
00
3,35
0,999001
00
1, 15
0,732469
00
3,4 .
0,999163
00
1,2
0,753534
00
3,45
0,999300
о
1,25
0,773376
00
3,5
0,999416
00
1,3
0,792023
00
1 ,35
0,809509
00
3,55
0,999514
00
1,4
0,825870
00
3,6
0,999596
00
1,45
о , 841143
00
3,65
0,999665
00
1,5
0,855367
00
3,7
О, 999724
00
•3,75
0,999772
00
1,55
0,868584
00
3,8
0,999812
00
1,6
0,880836
00
3,85
О,999846
00
1,65
0,892168
00
3,9
0,999874
00
1,7
0,902623
00
3,95
0,999897
00
1 ,75
0,912247
00
4,0
0,999916
00
1,8
0,921084
00
1,85
0,929180
00
4,05
0,999931
00
1,9
0,936579
00
4,1
0,999944
00
1 ,95
0,943326
00
4, 15
0.999955
00
2,0
0,949462
00
4,2
0,999963
00
4,25
0,999970
00
2,05
0,955030
00
4,3
0,999976
00
2,1
0,960070
00
4,35
о, 999981
00
2, 15
0,964622
00
4,4
0,999985
00
2,2
0,968722
00
4,45
0,999988
00
2,25
0,972407
00
4,5
0, 999990
00
262
в2 = о,65, с2 =1, D=O
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок\\
А
F(A,' В, С, D) 1 Порядок
0,05
о, 173767
06
2,3
0,957573
00
О,1
0,965278
06
2,35
0,963023
00
0,15
0,345153
05
2,4
0,967837
00
0,2
о, 104775
04
2,45
0,972080
00
0,25
0,288344
04
2,5
0,975813
00
0,3
0,736207
04
2,55
0,35
О, 178264
03
0,979090
00
0,4
0,398102
03
2,6
0,981961
00
0,45
0,851419
03
2,65
0,984470
00
0,5
0,172893
02
2,7
0,986659
00
2,75
0,988564
00
0,55
0,334045
02
2,8
0,990218
00
0,6
0,615139
02
2,85
О ,991651
00
0,65
0,108131
01
2,9
0,992890
00
0,7
0,181703
01
2,95
0,993958
00
0,75
0,292301
01
3,0
0,994877
00
0,8
0,450801
01
3,05
0,995666
00
0,85
0,667552
01
0,9
0,950691
01
3,1
0,996341
00
0,95
О ,130439
00
3,15
0 , 996919
00
1,О
0,172751
00
3,2
о, 997411
00
3,25
0,997829
00
1
3,3
0,998184
00
1,05
0,221296
00
1,1
О ,274811
00
3,35
0,998484
00
1, 15
0,331621
00
3,4
0,998738
00
1,2
0,389844
00
3,45
0,998951
00
1,25
0,447631
00
3,5
0,999131
00
1,3
0,503368
00
3,55
0,999281
00
1 ,35
0,555821
00
3,6
0,999407
00
1,4
0,604195
00
3,65
0,999511
00
1,45
0,648113
00
3,7
0,999599
00
1,5
0,687543
00
3,75
о, 999671
00
1,55
0,722695
3,8
0, 999731
00
00
3,85
0,999781
00
1,6
0 , 753923
00
3,9
0,999821
00
1,65
0 , 781639
00
3, 95
0,999855
00
1,7
0 ,806255
00
4,0
0,999882
00
1 ,75
0,828152
00
1,8
0,847662
00
4,05
0,999905
00
1,85
0,865069
00
4,1
0,999923
00
1,9
0 , 880614
00
4,15
0,999938
00
1,95
0, 894501
00
4,2
0, 999950
00
· 2,0
0, 906904
00
4,25
0,999960
06
4,3
0,999968
00
2,05
0,917976
00
4 ,35
0,999974
00
2,1
0,927850
00
4,4
0, 999980
00
2, 15
0,938645
00
4,45
0,999984
00
2,2
0;944467
00
4,5
0,999987
00
2,25
0,951414
00
4,55
0,999990
00
263
264
А
0,05
О1
0:15
0,2
0,25
0,3
0,35
О4
0:45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1,0
1,05
1,1
1, 15
12
1 :25
1,3
1 ,35
1,4
1,45
1,5
155
1:6
1,65
1,7
1 ,75
1,8
1,85
1,9
1,95
2,0
2,05
2,1
2 ,15
2,2
2,25
2,3
2 ,35
2,4
F(A, В, с, D) 1Порядок 11
0,734234
06
0,389633
05
о, 130967
04
0,371615
04
0,954210
04
0,22723
03
0,507534
03
О. 106989
02
0:213715
02
О ,405687
02
0,733467
02.
n,126339
О!
0,208677
01
О,3~9491
01
0,498936
01
0,725801
01
О, 101611
00
О, 137165
00
0,178906
00
0,225966
00
0 ,277 030
00
0,330493
00
0,384655
00
0,437974
00
0,489124
00
0.537187
00
о:581617
со
0,622209
00
0,659018
00
0,692269
00
0 ,722272
00
0 ,74 9366
00
0,773873
00
0,796082
00
0,816243
00
0,834564
00
0,851226
00
0,86637 9
00
0,880155
00
О ,892671
00
0,904031
00
0, 914329
00
0 ,9 23652
00
0,932079
00
0,939683
00
0,946534
00
О ,952695
00
0, 9582 26
00
rщ ,:·,
А
2,45
2,5
2,55
2,6
2,65
2,7
2,75
2,8
?85
2:9
2,95
3,0
3,05
3,l
3 ,15
32
3'25
з:з3,35
3,4
3,45
3,5
3,55
3,6
3,65
3,7
3,75
3,8
3,85
3,9
3,95
4,0
4,05
4,1
4,15
4,2
4,25
4,3
4,35
4,4
4,45
4,5
4,55
4,6
4,65
4,7
4 ,75
4,8
F(A. В, С. D)
1 Пор ядо1<
0,963180
00
С,~67610
00
0,971563
00
0,975083
00
0,97821]
00
G. 98098 .5
00•
О ,983440
00
0,985608
00
0,987518
00
0,989197
00
0,990669
00
0,991959
00
0,993084
00
0,994055
00
0,994918
00
о, 99.5658
00
0,996298
00
ll,996850
00
0.997326
00
0.997735
00
0,998086
00
0,998386
00
o.998n42
оо
o:998s60
оо
0,999045
00
0,999202
00
0,999334
00
О ,999446
00
0,999540
00
0,999619
00
О ,999685
00
0,999740
00
0,999786
00
0,999825
00
0,99985 6
00
0,999883
00
0,999904
00
О ,999922
00
0,999937
00
О ,999949
00
0,999958
00
0,999966
00
0,999973
00
·О,999978
00
0,999982
00
0,999986
00
0,999989·
00
0,99999 1
00
В2=0,05, С2= 1, D = :
А
F(A, В, С. D) 1Порядок 11
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
0,239128
04
2,55
0,955080
00
о,!
О, 112560
03
2,6
0,95989 1
00
о, 15
0,321860
03
2,65
0,964262
00
0,2
0,76 1885
03
2,7
0,968223
00
0,25
О, 162035
02
2,75
0,971806
00
0,3
0,319062
02
2,8
0,975037
00
0,35
0 ,589717
02
2,85
О,9'17946
00
0,4
О, 103084
01
2,9
0,980558
00
0,45
0,1 71253
01
2,95
0,982898
00
0,5
0,27 1352
01
3,0
о, 984989
00
0,55
0,411284
01
3,05
0,986853
00
0,6
0,597853
01
3,1
О ,988511
00
0,65
0,835522
О!
3,15
0,989982
00
0,7
О,! 12535
00
3,2
0,991285
00
0,75
О, 146441
00
3,25
0,992434
00
0,8
О, 184582
00
3,3
0,993447
00
0,85
0,225951
00
3,35
0,994337
00
0,9
0,269353
00
• 3,4
О .995117
00
0,95
0,313558
00
3,45
0 :995799
00
1,О
0,357442
00
3,5
0,996394
00
1 ,05
0,400100
00
3,55
0,996912
00
1,1
0,440887
00
3,6
0,997362
00
1, 15
0,479431
00
3,65
0,997751
00
1,2
0,515584
00
3,7
0 ,998087
00
1,25
0,549365
00
3,75
0,998377
00
1,3
0 ,580899
00
3,8
0,9986 26
00
1, 35
0,610358
00
3,85
0,998839
00
1,4
0,637925
00
3,9
0,999022
00
1,45
0,663772
00
3,95
0,999177
00
1,5
0 ,688046
00
4,0
0,999310
00
1 ,55
о, 710868
00
4,05
0,999422
00
1,6
О, 732340 .
00
4,1
0,999518
00
1,65
О ,752542
00
4, 15
0,999598
00
1,7
0,771542
00
4,2
0,999666
00
1 ,75
0,789400
00
4,25
О ,999723
00
1,8
0,806167
00
4,3
0,99977 1
00
1,85
0,821889
00
4 ,35
0,999811
00
1 ,'9
0,8366 12
00
4,4
0,999844
00
1,95
0,850377
00
4,45
0,999872
00
2.,0
0,863225
OQ
4,5
Ь , 999895
00
2,05
0, 875196
00
4,55
0,9999 14
00
.2 ,1
0,886329
00
4,6
О ,999930
00
2,15
0 ,896663
00
4,65
0,999943
00
2,2
0 ,906236
00•
4,7
0 ,999954
00
.2 ,25
0,915086
00
4,75
0,999962
00
2,3
0,923252
00
4,8
0,999969
Qф
2,35
0,930769
00
4 ,85
0,999975
00
2,4
9, 937675
00
4,9
0,999980
Oi
2 ,45
(), 944006
00
4,.95
О ,999984
00
2,5
· о ,949796
·оо
5,0
• '0,999987
00
5.,,Q5
,О ,999990
@~
265
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
0,207765
02
2,55
0,967472
00
О,1
0,838372
02
2,6
0,971029
00
(), 15
0,19 1028
01
2,65
0,974251
00
0,2
0,344384
01
2,7
о, 977165
00
0,25
0,544926
01
2,75
0,979792
00
0,3
0,791572
01
2,8
0,982155
00
0,35
о, 108050
00
2,85
0,984276
00
0,4
о, 140517
00
2,9
О ,986175
00
0,45
о, 175696
00
2,95
0,987872
00
0,5
0,212622
00
3,0
0,989383
00
0,55
0,250349
00
3,05
0,990727
00
0,6
0,288047
00
3,1
0,991918
00
0,65
0,325072
00
3, 15
0,992973
00
0,7
0,360985
00
3,2
0,993903
00
0,75
0,395536
00
3,25
0,994722
00
0,8
0,428626
00
3,3
0,995441
00
0,85
О ,4602.57
00
3,35
О ,996071
00
0,9
О ,490490
00
3,4
0,996622
00
0,95
0,519411
00
3,45
0,997102
00
1,О
0,547103
00
3,5
О ,997519
оа
1 ,05
0,573643
00
3,55
0,997881
00
1,1
0,599090
00
• 3,6
0,998195
00
1, 15
0,623490
00
3,65
0,998465
0(}
1,2
о, 646879
00
3,7
0,998698
00
1,25
0,669280
00
'3,75
0,998898
00
1,3
0,690716
00
1 ,35
0,711203
00
3,8
0,999070
00
3,85
0,999217
00
1,4
0,730756
00
3,9
0,999342
0(}
1 ,45
О ,749388
00
3,95
0,999448
О(}
1,5
О ,767115
00
4,0
0,999538
О(}
1 ,55
0,783952
00
1,6
0,799916
00
4,05
0,999615
00
1 ,65
0,8 15022
00
4,1
0,999679
0(}
1,7
0,829291
00
4, 15
0,999733
00
1, 75
0,842743
00
4,2
0,999779
00
1,8
0,8 55399
00
4,25
0,999817
00
1,85
0,867282
00
4,3
0,999849
00
1,9
0,878416
00
4,35
0 ,999876
0(}
1, 95
О ,888828
00
4,4
0,999898
00
2,0
0,898542
00
4,45
0,999916
00
4,5
0,999932
00
2,05
0,907587
00
2,1
0,915989
00
4,55
о, 999944
О(}
2,15
0,923779
00
4,6
0,999954
00
2,2
0,930984
00
4,65
0,999963
00
2,25
0,937633
00
4,7
0,999970
00
2,3
0,943756
00
4,75
0,999976
0(}
2,35
. О, 949381
00
4,8
0,999980
00
2,4
0,954537
00
4,85
0,999984
00
2,45
0,959253
00
4,9
0,999987
00
2,5
0,963555
00
. 4,95
0,999990
00
/
266
В2=0,05, С2= 1, D= ~
2
А
F(A,B , С, D) 1 Порядок 11
А
F(A, В, С, D) 1Порядок
0,05
0,534439
02
2,3
0,972720
00
O,J
0,209682
01
2,35
0,975939
00
о, 15
0,457162
01
2,4
0,978824
00
0,2
0,778854
01
2,45
0,981402
00
0,25
О, 115496
00
2,5
0,983701
00
0,3
0,156569
00
2,55
0,985748
00
0,35
О, 199351
00
2,6
0,987564
00
0,4
1,242451
00
2,65
0,989172
00
0,45
О ,284884
00
2,7
0,990593
00
0,5
0,326040
00
2,75
0,991845
00
0,55 /
0,365603
00
2,8
0,992946
.00
0,6
0,403464
00
2,85
0,993912
00
0,65
0,439632
00
2,9
0,994757
00
0,7
0,474174
00
2,95
0,995494
00
0,75
0,507174
00
3,0
0,996137
00
0,8
0,538706
00
3,05
0,996695
00
0,85
0,568835
00
3,1
0,997179
00
0,9
0,597606
00
3, 15
0,997597
00
0,95 .
0,625057
00
3,2
О ,997958
00
1,О
0,651213
00
3,25
О ,998269
00
3,3
0,998536
00
1,05
0,676100
00
3,35
0,998764
00
1,1
0,699737
00
3,4
О ,998959
00
1,15
0,722145
00
3,45
0,999125
00
1,2
0,743348
00
3,5
0,999266
00
1,25
0,763368
00
3,55
0,999386
00
1,3
0,782233
00
3,6
о, 999488
00
1,35
0,799972
00
3,65
0,999573
00
1,4
0,816615
00
3,7
0,999646
00
1,45
0,832197
00
3,75
0,999706
00
1,5
0,846751
00
3,8
0,999757
00
1, 55
0,860317
00
3,85
0,999799
00
1,6
0,872932
00
3,9
0,999835
00
1, 65
0,884636
00
3,95
0,999864
00
1,7
0,895472
00
4,0
0,999889
00
1, 75
0,905479
00
4,05
0,999909
00
1,8
0,914701
00
4,1
0,999926
00
1,85
0,923180
00
4, 15
0,999939
00
1,9
0,930956
00
4,2
0,999951
00
1,95
0,938073
00
4,25
0,999960
00
2,0
о, 944571
00
4,3
0,999968
00
4,35
0,999974
00
2,05
0,950490
00
4,4
0,999979
00
2,1
0,955868
00
4,45
О ,999983
00
2, 15
0,960745
00
4,5
0,999986
00
2,.2
0,965 156
00
4,55
0,999989
00
2,25
0,969137
00
4,6
О, 999991
00
267
в2=О,05,с2=2, D=И
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
F(A , В, С, D) 1Порядок
0,05
0,540991
11
2,4
О ,937130
00
о,1
0,404279
10
2,45
0,945772
00
о, 15
0,208594
09
2,5
0,953287
00
0,2
0 , 933395
09
0,25
0,380895
08
2,55
О ,959823 •
00
0,3
0,144381
07
2,6
0,965502
00
0,35
О ,512931
07
2,65
0,970429
00
0,4
О, 171652
06
2,7
0,974699
00
0.45
0,542854
06
2,75
0,97839 1
00
0,5
О, 162598
05
2,8
0,981580
00
2,85
0,984329
00
0,55
0,462014
05
2,9
0,986694
00
0,6
О, 124693
04
2,95
0,988725
00
0,65
0,319979
04
3,0
0,990465
00
0,7
0,781405
04
3,05
0,991954
00
0,75
0,181735
03
0,8
0,402858
03
3,1
0,993224
00
0,85
0,851727
03
3,15
0,994306
00
0,9
О, 171870
02
3,2
0,995225
00
0,95
0,331262
02
3,25
0,996004
00
1,О
0,610305
02
3,3
0,996664
00
3,35
0,997220
00
1,05
0,107568
01
3,4
0,997689
00
1,1
0,181538
01
3,45
0,998083
00
1, L5
0,293651
01
3,5
0,998414
00
1,2
0,455769
01
3,55
0,998690
00
1,25
0,679569
О!
3,6
0,99892 1
00
1,3
0,974733
01
3,65
0,999113
00
1,35
О, 134696
00
3,7
0,999272
00
1,4
0,179628
00
3,75
0,999402
00
1,45
0,231605
00
3,8
0,999513
00
1,5
0,289315
00
3,85
0,999604
00
1;55
0,350915
3,9
0, 999678
00
00
З,95
0,999739
00
1,6
• 0,414278
00
4,0
0,999788
00'
1, 65
О ,477229
00
1,7
0,537826
00
4,05
0;999829
00
1,75
0,594541
00
4,1
0,999862
00·
1,8
0,646358
00
4, 15
О ,999889
00
1,85
0,69277 1
00
4,2
О ,999911
00
1,9
о, 733718
00
4,25
0,999929
00
1,95
0,769456
00
4,3
0,999943
00
2,0
0,800444
00
4,35
О ,999955
00•
4,4
0, 999964
00
2,05
0,827228
00
4,45
о, 999971
00
2,1
0,8503f.5
00
4,5
0,999977
00
2, 15
0,870374
00
2,2
0,887709
00
4,55
0,999982
00
• 2,25
0,902755
00
4,6
0,999986
00'
2,3
0,915837
00
4,65
0,999989
00
2,35
0,927223
00,
4,7
0,999991
OQ,
1
268
В2 =0,05, С2=2, D= ~
8
А
F(A,: B, C,: D) \ Порядок 11
А
F(A, В, С, D) 1Порядок
0,05
0,969756
10
2,55
0,939563
00
0,1
0,667328
09
2,6
О ,945651
00
0,15
О ,311966
08
2,65
0,952994
00
0,2
О ,125953
07
2,7
0,958660
00
0,25
0,463272
07
2,75
0,963711
00
0,3
О, 158249
06
2,8
0,968206
00
0,35
0,506683
06
2,85
0,972201
00
0,4
О, 152860
05
2,9
0,975742
00
0 ,45
0,435973
05
2,95
0,978874
00
0,5
1 о. 117823
04
3,0
0,981640
00
0,55
0,302233
04
3,05
0,984076
00
0,6
0,736850
04
3,1
0,986217
00
0,65
О, 170937
03
3, 15
0,988097
00
0,7.
0,377654
03
3,2
0,989741
00
0,75
0,795402
03
3,25
0,991278
00
0,8
О , 158834
02
3,3
0,992429
,.. 00
0,85
0,306782
02
3,35
0,993517
00
0,9
0,562478
02
3,4
0,994461
00
0,95
0,986806
02
3,45
0,995278
00
1,0
0,165776
01
3,5
0,995983
001
1 ,05
0 ,266955
01
3,55
0,996590
00
1,1
0,412560
01
3,6
О ,997112
00
1,15
0,612675
01
3,65
0,997560
09
1,2
0,875562
01
3,7
0 ,997943
00
1,25
О, 120600
00
3,75
0,998269
00
1,3
о, 160389
00
3,8
0,998547
00
1,35
0,206355
00
3 ,85
0,998783
00
1,4
0,257386
00
3,9
0,998984
00
1,45
0,3 11947
00
3,95
0,999153
00
1,5
0,368266
00
4,0
0,999295
00
1 ,55
0,424556
00
4,05
0,999415
00
1,6
0,479223
00
4,1
0,999516
00
1,65
0 ,531011
00
4 ,15
0,999600
00
1,7
0,579077
00
4,2
0,999670
00
1, 75
0,622984
00
4,25
0,999729
00
1,8
0,662639
00
4,3
0,999778
00
1 ,85
0,698201
00
4,35
0,999813
00
1,9
0,729982
00
4,4
0 , 999851
00
1 ,95
0,758364
00
4,45
0,999879
00
2,0
0 ,783737
00
4,5
0,999901
00
2,05
0 ,806464
00
4,55
0 , 999920
00
2,1
0,826865
00
4,6
0, 999935
00
2,15
0, 845212
00
4,65
0,999946
00
2,2
0 ,861734
00
4,7
0,999956
00
2 ,25
0,876625
00
4,75
0,999966
.оо
2,3
0,890047
00
4,8
0,999973
00
2,35
0,902144
00
4,85
0 , 999976
.00
2,4
0,913039
00
4,9
0,999982
,00
2,45
0 ,922843
00
4,95
0,999986
.00
2,5
0,931625
00
5,0
0,999989
00
5,05
0,999991
00
269
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
F(A, В, С, D) !,Порядок
0,05
О, 102825
06
2,55
0,901157
00
о,1
0,571667
06
2,6
0,910430
00
0,15
0,204643
05
2,65
0,919003
00
0,2
0,622045
05
2,7
0,926908
00
0,25
о, 171440
04
2 ,75
0,934182
00
0,3
О ,438439
04
2,8
0,940857
00
0,35
О ,105159
03
2,85
0,946970
00
0,4
0,237974
03
2,9
0,952554
00
0,45
0,510052
03
2,95
0,957641
00
0,5
О, 103820
02
3,0
0,962266
00
0,55
0,201117
02
3,05
0,966459
00
0,6
0,371431
02
3,1
0,970252
00
(),65
0,655022
02
3, 15
0,973675
00
{), 7
О, 110465
oi
3,2
0,976755
00
0,75
0,178415
01
3,25
0,979521
00
0,8
0,276391
01
3,3
о, 981998
00
0,85
О ,411330
01
3,35
0,984211
00
0,9
0,589068
01
3,4
0,986183
00
0,95
0,813282
01
3,45
0,987936
00
1,0
О, 1.08461
00
3,5
0,989491
00
1 ,05
О, 140020
00
3,55 .
0.990866
00
1,1
о, 175382
00
3,6
0,992079
00
1,15
0,213657
00
3,65
0,993147
00
1,2
0,253802
00
3,7
0,994084
00
1,25
0,294755
00
3,75
0,994905
00
1,3
0,335551
00
3,8
0,995622
00
1 ,35
0,375416
00
3,85
0,996247
00
1,4
0,413802
00
3,9
0,996790
00
1,45
0,450387
00
3,95
0,997261
00
1,5
0,485039
00
4,0
0,997668
00
1 ,55
0,517765
00
4,05
0,998020
00
1,6
0,548655
00
4,1
0,998322
00
1 ,65
0,577837
00
4, 15
О ,998581
00
1,7
0,605447
00
· 4,2
0,998803
00
1,75 •
0,631610
00
4,25
0,998993
00
1,8
0,656430
00
4,3
0,999155
00
1,85
0,679991
00
4,35
0,999292
00
1,9
0,702358
00
4,4
0,999405
00•
1,95
0,723583
00
4,45
0,999507
00
2,0
0,743708
00
4,5
0,999590
00
2 ,05
0,762768
00
4,55
0,999660
00
2,1
0,780793
00
4,6
0,999716
00
2, 15
О, 797812 •
00
4,65
0,999767
00
2,2
0,813853
00
4,7
0,999803
00
2,25
0,828943
00
4,75
0,999842
00
2,3
0,843110
00
4,8
0,999871
00
2,35
0,856385
00
4,85
0,999894
00
2,4
0,888795
00
4,9
0,9999 13
00
2,45
0,880372
00
4,95
0,999929
00
2,5
О ,891149
00
5,0
0,999943
00
270
В2=0,05, С2=2, D= ~
.
4
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
1
F(A, В, С, D) 1:Порядок !
5,05
0,999953
00
5,25
0,999980
00
5,1
0,999962
00
5,3
0,999984
00
5, 15
0,999969
00
5,35
0,999987
00
5,2
0,999975
00
5,4
0,999990
00,
В2=0,05, С2=2,
3
D=-1t
8
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
1
F(A, В, C, ::D) ljПорядок !
!r:1'
-0,05
о, 108758
03
2,05
0,731712
00
о,1
0,476370
03
2,1
0,748724
00
о, 15
О, 122846
02
2, 15
о, 765103
00
0,2
0,257798
02
2,2
0,780835
00
0,25
0,482438
02
2,25
0,795910
00
0,3
0,534264
02
2,3
0,810320
00
0,35
О, 135563
01
2,35
0,824060
00
0,4
0,208931
01
2,4
0,837130
00
0,45
0,307269
01
2,45
0,849532
00
0,5
0,433171
01
2,5
о, 861271
00
0,55
0,587576
01
2,55
0,872355
00
0,6
0,769509
01
2,6
0,882795
ро
0,65
0,976146
01
2,65
0,892603
00
0,7
0,120319
00
2,7
0,901795
00
0,75
о, 144551
00
2,75
0,910389
00
0,8
о, 169782
00
2,8
0,918402
00
0,85
о, 195535
00
2,85
0,925856
00
0,9
0,221425
00
2,9
0,932773
00
0,95
0,247180
00
2,95
0,939175
00
1,о
0, 272637
00
3,0
0,945085
00
1,05
О ,297726
00
3,05
0,950529
00
1,1
0,322435
00
3,1
0,955529
00
1, 15
0,346791
00
3, 15
.о ,960111
00
1,2
0, 370832
00
3,2
0,964299
00
1,25
0, 394598
00
3,25
0, 968115
00
1,3
0,418114
00
3,3
о, 971590
00
1,35
0,441395
00
3,35
0,974741
00
1,4
0,464442
00
3,4
0,977592
00
1, 45
0,487246
00
3,45
0,980!65
00
1,5
0,509788
00
3,5
0,982482
00
1,55
0,532042
00
3,55
0,984563
00
1,6
0,553978
00
3,6
о, 986423
00
1, 65
0,575565
00
3,65
0.988094
00
1,7
0,596769
00
3,7
0,989579
00
1, 75
0,617555
00
3,75
0,990900
00
1,8
0,637889
00
3,8
0,992071
00
1, 85
0,657739
00
3,85
0,993107
00
1,9
0,677075
00
3,9
0,994022
00
1,95
0,695865
00
3,95
0,994827
00
2,0
0,714086
00
4,0
0,995533
00
271
В2=0,05, С2=2,
3
D=-
7i:
8
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
F(A, В, С, D) \Порядок
4,05
0 , 996153
00
4,9
0,999786
00
4,1
0,996694
00
4,95
0,999823
()0
4, 15
о, 997165
00
5,0
0,999854
00
4,2
0,997575
00
5,05
0,9998 80
00
4,25
0,997930
00
5,!
0,999902
00
4,3
0,998237
00
5, 15
0,999920
00
4,35
0 , 998503
00
5,2
О,999СJЗ4
00
4,4
0,998731
00
5,25
0,999946
00
4 ,45
0,99892 7
00
5,3
0,999956
00
4,5
0,999095
00
5,35
0,999965
00
4, 55
0,999235
00
5,4
о, 999971
00
4,6
0, 999360
00
5,45
0,999977
00
4, 65
0,99946 4
00
5,5
0,999981
00
4,7
0 , 999552
00
5,55
0,999983
00
4, 75
0 ,999626
00
5,6
0,999985
00
4.,8
0 ,999689
00
5,7
0,999990
00
4 ,85
0,999742
00
В2=0,05, С2=2, D= __!!:_
2
А
F(A, В, С, D) 1Порядок 11
А
F(A, В, С, D) \Порядок
0,05
о, 194473
02
1 ,05
0,329231
00
·о,1
0,764457
02
1,1
0,348988
00
0,15
о, 167210
01
1, 15
0 ,368953
00
0,2
0,286182
01
1,2
0, 389101
00
0,25
0 ,4 26942
01
1, 25
0, 409399
00
0,3
0,583137
01
1,3
0,4 29 812
00
0,35
0, 749229
01
1,35
0,450303
00
0,4
0,92 0940
01
1,4
0, 470831
00
0,45
о , 109538
00
1 ,45
0,491355
00
0,5
О, 127092
00
1,5
0, 511 832
00
0,55
0,14469 1
00
1,55
0,532218
00
0,6
О, 162334
00
1,6
0,552468
00
0,65
О , 180058
00
1 ,65
0 ,572537
00
0,7
0, 1979 10
00
1,7
0,59 2383
00
0, 75
0,2 15939
00
1,75
0 ,611963
00
0,8
0,234185
00
1,8
0,63 1234
00
0 ,85
0,252673
00
1, 85
0,650157
00
0,9
0,27 142 1
00
1,9
0,668694
00
0,95
0,290434
00
1, 95
0,686809
00
1,о
0 , 309708
00
2,0
0,704470
00
'27 2
А
F(A. в. с. D) lпорядокl\
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
2,05
0,721645
00
4,05
0,995264
00
2,1
0,738308
00
4,1
О 995911
00
2, 15
0,754434
00
4, 15
о:996477
00
2,2
0,770003
00
4,2
0,995972
00
2,25
0,784996
00
4,25
0,997403
00
2,3
0,799400
00
4,3
0,997778
00
2,35
0,813203
00
4,35
0,998103
00
2,4
0,826398
00
4,4
0,998385
00
2,45
0,83898 1
00
4,45
0,998623
00
2,5
0,850950
00
4,5
0,998837
00
2,55
0,862306
00
4,55
0,999016
00
2,6
0,873055
00
4,6
0,999170
00
2,65
0,883204
00
4,65
0,999301
00
2,7
0,892761
00
4,7
0,9994 13
00
2,75
0,901740 .
00
4,75
0,999503
00
2,8
0,910155
00
4,8
0,999589
00
2,85
0,918020
00
4,85
0,999657
00
2,9
0 ,925354
00
4,9
0.999715
00
2 ,95
0,932176
00
4,95
о:999763
00
3,0
0,938505
00
5,0
0,999803
00
З,05
0,944362
00
5,05
0,999833
00
з,1
0,949770
00
5,1
0,999866
00
з, 15
0,954749
00
5, 15
0,999890
00
3,2
0,959323
00
5,2
0,999910
00
3,25
0,963514
00
5,25
0,999926
00
3,3
0,967345
00
5,3
0,999939
00
3,35
0,970837
00
5 ,35
О ,9999 51
00
3,4
0,974014
00
5,4
0,999960
00
3,45
0,976895
00
5,45
0 ,999967
00
3,5
0,979502
00
5,5
0,999973
00
3,55
0,981855
00
5,55
0,999979
00
3,6
0,983974
00
5,6
0,999983
00
3,65
0 , 985876
00
5,65
0,999986
00
3,7
0,987583
00
1,7
0 ,999989
00
3, 75
0,989106
00
5 ,75
0,999991
00
3,8
0,990464
00
3,85
@,9 91672
00
3,9
0,992743
00
3,95
0,99369]
00
4,0
0,994526
00
/
273
в2=О,05, с2=5, D=О
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
F(A, В, С, D) 1Порядок]
1,05
-0,275383
08
2,75
0,820354
OQ
1,1
О, 100585
07
2,8
0,851722
00
1, 15
0,349799
07
2,85
0,877710
00
1,2
О , 115849
06
2,9
0,899122
00
1,25
0,365481
06
2,95
0,916725
00
1,3
О , 109858
05
3,0
0, 931200
00
1.35
0,314707
05
1,4
0,859416
05
1,45
0,223791
04
3,05
0.943119
00
1,5
0,555853
04
3,1
0 ,952957
00
3, 15
0,961092
00
3.2
0,967832
00
1 ,55
О, 131733
03
3.25
0,973421
00
1,6
0,297995
03
3,3
0,978060
00
1, 65
0,643682
03
3,35
0, 981910
00
1,7
0,132823
02
3,4
0,985104
00
1, 75
0,261958
02
3,45
0,987751
00
1,8
0,494063
02
3,5
0,989944
00
1,85
0,891654
02
1,9
О, 154090
01
1,95
0.255189
01
3,55
0,991750
00
2,0
0,405366
01
3,6
0,993256
00
3,65
0,994492
00
3,7
0,995510
00
2,05
0,618256
01
3,75
0,996346
00
2,1
0, 906410
01
3,8
0,997033
00
2, 15
О , 127903
01
3,85
0,997595
00
2,2
о. 173969
00
3,9
0,998054
00
2,25
0.228464
00
3,95
0,998429
00
2,3
0,290211
00
4,0
0 ,99 8735
00
2,35
0,357307
00
2,4
0,427334
00
2,45
0 ,497658
00
4,05
0,998983
00
2,5
0 ,56 5761
00
4,1
0.999184
00
4, 15
0,999347
00
4,2
0,999476
00
2,55
0 ,629528
00
4,25
0 ,999584
00
2,6
0,687437
00
4,3
0,(:199669
00
2.65
0,738626
00
4,35
0 , 999737
00
2.7
0,782849
00
'
274
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
\
1,05
0,130978
06
2,65
0,724672
00
1,1
0,405517 ·
06
2,7
0,755272
00
1, 15
0,119617
05
2,75
0,782578
00
1,2
0,336269
05
2,8
0,806956
00
1,25
0,901205
05
2,85
0;828745
00
1,3
0,230328
04
2,9
0,845233
00
1,35
0,561577
04
2,95
0,865673
00
1,4
О, 130670
03
3,0
0,881283
00
1,45
0,290289
03
l,5
0,615979
03
3,05
0,895243
00
3,1
0,907731
00
1,55
0,124911
02
3, 15
0,918876
00
1,6
0,242205
02
3,2
0,928812
00
1,65
0,449344
02
3,25
0,937656
00
1,7
0,798 168
02
3,3
0,945512
00
1, 75
о, 135854
01
3,35
0,952470
00
1,8
0,221769
01
3,4
0,958640
00
1,85
0,347548
01
3,45
0,964082
00
1,9
0,523493
01
3,5
0,968875
00
1,95
0,758827
01
2,0
о, 106007
00
,
3,55
0,973080
00
3,6
0,976782
00
2,05
О, 142954
00
3,65
0,980014
00
2,1
о, 186422
00
3,7
0,982835
00
2, 15
0,235560
00
3,75
О ,985292
00
2,2
0,289032
00
3,8
0,987425
00
2,25
0,345 171
00
3,85
0,989274
00
2,3
0,402 189
00
3,9
0,990872
00
2,35
0,458390
00
3,95
0,992250
00
2,4
0,512343
00
4,0
0,993435
00
2,45
0,562 992
00
2,5
0,60968 0
00
4,05
0,994452
00
4,1
0,995322
00
2,55
0,652155
00
4 ,15
0,996065
00
2,6
0,690410
00
4,2
0,996696
00
275
А
F(A, В, С, D) 1Порядок 11
А
F(A, В, С , D) 1Порядок
0,55
0,350090
07
3,05
0,8265 15
00
0,6
о, 111411
06
3,1
0,841257
00
0,65
0,336947
06
3, 15
0,855072
00
0,7
0,969241
06
3,2
0,867976
00
0,75
0 ,265366
05
3,25
0,880004
00
0,8
0,691970
05
3,3
0,891180
00
0,85
о, 171957
04
3.35
0,90 1537
00
0,9
0,407483
04
3,4
0,911 111
00
0,95
0,921328
04
3,45
0,9 19935
00
1,0
О, 198886
03
3,5
0 ,928044
00
1, 05
0,410174
03
3,55
0.935487
00
1,1
0,808737
03
3.6
0,942289
00
1, 15
О, 152563
02
3,65
0,948492
00
1,2
0,275590
02
3,7
0,954135
00
1,25
0,477137
02
3,75
0,958253
00
1,3
0,792562
02
3,8
0 .963884
00
1, 35
о, 126452
01
3,85
0,968063
00
1,4
О, 194034
01
3,9
0,971824
00
1 ,45
0,286749
01
3,95
0 , 975200
00
1,5
0,408772
01
4,0
0,978223
00
1,55
0,563080
01
1 4.05
0,98092 1
00
1,6
0,750930
01
4,1
0,983325
00
1,65
0,971563
01
4, 15
0,985460
00
1,7
О, 122222
00
4,2
О. 987351
00
1,75
о, 149849
00
4,25
0,989022
00
1,8
0,179490
00
4,3
0 , 990495
00
1,85
0,210561
00
4 .35
0,99 1790
00
1,9
0,242504
00
4,4
0,992925
00
1, 95
О ,27484 1
00
4.45
О, 993917
00
2,0
0,307191
00
4,5
0,994783
00
2,05
0,339283
00
4,55
0,99.5536
00
2,1
0,370935
00
4,6
О,9!:16189
00
2,15
0 ,4 02036
00
4,65
0,996755
00
2,2
0,43252 1
00
4,7
0,997243
00
2,25
0,462349
00
4,75
0,997663
00
2,3
0,491490
00
4,8
0,998023
00
2,35
О ,'5 19916
00
4,85
0,998333
00
2,4
0,547596
00
4,9
-
0,998595
00
2,45
0,574497
00
4 ,95
0,998823
00
2,5
0,600586
00
5,0
0,999013
00
2,55
0,625826
00
5,05
0,999176
00
2,6
0 ,650186
00
5,1
0 , 999313
00
2,65
0,673636
00
5, 15
0,999429
00
2,7
0, 6°6150
00
5,2
0,999526
00
2,75
0,717706
00
5,25
0.999603
00
2.8
0,738295
00
5,3
0.999676
00
2,85
0, 757901
00
Ь,35
0,999733
00
2,9
0,776523
00
5,4
0.999781
00
2,95
0,794160
00
5,45
0,999820
00
3,0
0,810821
00
5,5
0,999853
fIO
276
В2=0,05, с2·=5, D= ~
4
А
F(A, В, С, D) 1Порядокll А 1
F(A, . В, С, D) 1 Порядок
' 5,55
0,999880
00
5,9
0,999973
00
5,6
0,999902
00
5,95
0 , 999975
00
5,65
0,999921
00
6,0
0 , 999982
00
5,7
0,999936
00
5,75
0,999944
00
6,05
0,999986
00
5,8
0,999954
00
6,1
0,999989
00
5,85
0,999966
00
6. 15
0,999991
001
В 2 =0,05, С 2 =5, D=2_1t
8
А
F(A, В, С, D) 1 Поряд0к 11
А
F(A,. В, С, D) 1Порядок
0,05
0,297782
06
1.8
0,287126
00
О.1
О , 152164
05
1,85
0,307007
00
о, 15
0,487291
05
1,,9
0,327295
00
0,2
О, 131124
04
1,95
0,347945
00
0,25
0,318945
04
2,0
0,368907
00
0,3
0,719747
04
2,05
0,390130
00
0,35
О, 152494
03
2,1
0,411561
00
0,4
0,305375
03
2, 15
0,433144
00
0,45
0,580490
03
2,2
0,454822
00
0,5
О, 105078
02
2.25
0,476536
00
0,55
О , 181593
02
2,3
0,498231
00
0,6
0,300281
02
2,35
0,519847
00
0,65
0,476113
02
2,4
0,541320
00
0,7
0,725337
02
2,45
О,Б62617
00
0,75
О, 106396
01
2,5
0,583662
00
о.в
О , 150594
01
2,55
0,604409'
ОО·
0,85
0,206148
01
2,6
0,624809
00
0,9
0,273574
01
2,65
0,644814
00
0,95
0,352844
01
2,7
0,664382
00
l,O
0.443436
01
2,75
0,683471
00
1,05
0 , 544458
01
2,8
0, 702043
00
1.1
0,654833
01
2,85
0,720067
00
1,15
0,773473
01
2,9
0,737512
00
1.2
0,899429
01
2,95
0,754353
00
1,25
О, 103197
00
3,0
0,770567
00
1,3
О, 117064
00
3,05
0,786141
00
1, 35
О, 131516
00
3,1
0,801055
00
1,4
О, 146545
00
3, 15
О. 81530!'1
00
1,45
О, 162149
00
3.2
0,828889
00
1,5
О , 178330
00
3,25
0,841797
00
1,55
о. 195089
00
3,3
0,854033
00
1,6
0 , 212420
00
3.35
0,868603
00
1,65
0,230311
00
3,4
-
0,876515
00
1,7 •
0,248744
00.
3,45
0,886780
00
1, 75
0 ,267692
00
3,5
0,896412
00
277
В2=0,05, С2=5,
3
D=- 7t
8
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
F(A, В, С, D ) 1Порядок
3,55
0,905425
00
5,05
0, 997806
00
3,6
О,913839
00
5,1
0,998132
00
3,65
О,921674
00
5, 15
0,998413
00
3,7
О,928949
00
5,2
0,998655
00
3,75
0,935689
00
5,25
0,998863
00
3,8
0 ,941916
00
5,3
0,999041
00
3,85
О , 947655
00
5,35
0,999193
00
3,9
О ,952930
00
5,4
0,999323
00
3,95
0,957767 •
00
5,45
О ,999433
00
4,0
0 ,962191
00
5,5
0,999526
00
4,05
О,966226
00
5,55
0,999605
00
4,1
0,969897
00
5,6
о, 999671
00
4, 15
0 ,973231
00
4,2
0,976243
00
5,65
0,999727
00
4,25
0,978973
00
5,7
0,999774
00
4.3
0,981427
00
5,75
0,999813
00
5,8
0,999846
00
4,35
0 ,983631
00
5,85
0,999874
00
4,4
0,985607
00
5,9
0,999896
00
4,45
0 ,987373
00
5,95
0,9999 15
00
4,5
0,988947
00
6,0
0,99993 1
00
4,55
0,990347
00
4,6
0,991590
00
6,05
0,999943
00
4,65
0,992689
00
6.1
0,999954
00
4,7
0,993659
00
6, 15
0,999963
00
4,75
0, 994513
00
6,2
0 .999970
00
4,8
0,9952 63
00
6,25
0:999975
00
4,85
0, 995920
00
6,3
0,999980
00
4,9
0,996494
00
6,35
0,999983
00
4,95
0 ,99699 4
00
6,4
0,99998 7
00
5,0
0, 99 7429
00
6,45
0, 99 9990
00
А
F (A , В , С, D) /·.Порядок/1
А I F(A, В, С, D) 1Порядок
. 0,05
0,402970
03
0,7
0 ,501487
01
о,1
О, 1588 76
02
0, 75
0 ,562408
01
о,15
0,3492 54
02
о.в
0, 627453
01
·0 ,2
0, 602 013
02
0,85
0, 696931
01
0,25
0,9064 76
02
0,9
0,7711 24
01
0,3
0,1 25241
01
0 ,95
0,850287
01
0,35
о,163139
01
1;0
0,934646
01
0,4
0,203756
01
1,05
О , 102440
00
0 ,45
0,246786
01
1,1
О , 111973
00
0,5
0, 292169
01
1, 15
о , 122078
00
0 ,55
0,340040
01
1,2
о, 132767
00
0,6
,О , 390658
01
1.25
о, 144050
00
0, 65
0 ,444355
01
1,3
О , 155932
00
278
А
F(A, В, С, D) \ Порядок 11
А
F(A, В, С, D) 1Порядок
1,35
О, 168416
00
4,0
0,955657
00
1,4
о, 181503
00
4,05
0,960152
00
1,45
о, 195187
00
4,1
0,964269
00
1,5
0,209462
00
4, 15
0,968030
00
1,55
0,224318
00
4,2
0,971456
00
1,6
0,239739
00
4,25
0,974575
00
1,65
0,255709
00
4,3
0,977401
00
1,7
0,272204
00
4,35
0,979955
00
1, 75
0,289202
00
4,4
0,982264
00
1,8
0,306672
00
4,45
0,984341
00
1, 85
0,324584
00
4,5
0,986205
00
1,9
0,342903
00
4,55
0,987874
00
1, 95
0,36 1591
00
4,6
О ' ,989366
00
2,0
0,380608
00
4,65
O,f;90695
00
2,05
0,3999 12
00
4,7
0,991876
00
2,1
0,419458
00
4,75
0,992923
00
2, 15
0,439 198
00
4,8
0,993850
00
2,2
0,459088
00
4,85
0, 994667
00
2,25
0,479072
00
4,9
0,995386
00
2,3
0,499106
00
4,95
0,996017
00
2,35
0,519138
00
5,0
0,996570
00
2,4
0,539110
00
5,05
0,997053
00
2,45
0,558996
00
5,1
0,997474
00
2,5
0,578723
00
5, 15
0,997839
00
2,55
0,598252
00
5,2
0,998 156
00
2,6
0,617535
со
5,25
0,998430
00
2,65
0,636528
00
5,3
0,998667
00
2,7
0,655189
00
5,35
0,998870
00
2,75 ·,
0,673478
00
5,4
0,999045
00
2,8
0,691356
00
5,45
0,999194
00
2,85
0,708791
00
5,5
0,999322
00
2,9
0,725749
00
5,55
0,999431
00
2,95
0,742203
00
5,6
0,999523
00
3,0
0,758126
00
5,65
0, 999602
00
3,05
0,773502
00
5,7
0,999663
00
3,1
0,788307
00
5,75
0,999724
00
3, 15
0,802529
00
5,8
0,999771
00
3,2
0,816156
00
5,85
0,999810
00
3,25
0,829181
00
5,9
0,999843
00
3,3
0,841599
00
5,95
0,999871
00
3,35
0 ,853400
00
6,0
0,999893
00
3,4
0,864611
00
6,05
0,999913
00
3,45
0,875212
00
6,1
0,999923
00
3,5
0,885215
00
6, 15
0,999942
00
3,55
0,894639
00
6,2
0,999952
00
3,6
0,903487
00
6,25
0,999961
0(}
3,65
0,91 1776
00
6,3
0,999964
.оо
3,7
0,919523
00
6,35
0,999974
00
3,75
0,926743
00
6,4
0,999979
00
3,8
0,933457
00
6,45
0,999983
00·
3,85
0,939685
00
6,5
0,999986
00"
3,9
0,945446
00
6,55
О ,999,989
0(}
3,95
0,950763
00
6,6
0,999991
оо,
279
в2=о,1,с2=о
А
F(A, В, С, ) 1 Порядо1< 11
А
F(A, В, С,)
1 Порядок
0,05
0,393930
02
')~
0,977197
00
- ',)
О,1
О, 155956
01
2,35
0,980047
00
0,15
0,345046
01
2,4
0,982580
00
0,2
О 599304
01
2,45
0,984825
00
0,25
0,909384
01
2,5
0,986811
00
О,'3
О, 126464
00
0,35
О, 165396
00
')
,..'!"'
0,988553
00
-, 0;)
0,4
0,206645
00
2.6
0,990105
00
0,45
0,249206
00
2,65
0,991458
00
0,5
0,292203
00
2,7
0,992643
00
2.75
0,993678
00
0 ,55
0,334910
00
2,8
0,994580
00
0,6
0,376762
00
2,85
0,995364
00
0,65
0,417344
00
2,9
0,996044
00
0,7
0,456376
00
2,95
0,996631
00
0,75
0,493688
00
3,0
0,99713 8
00
0,8
0 ,529195
00
0,85
0 ,562874
00
3,05
0,997575
00
0,9
0,594744
00
3,1
0,997949
00
0,95
0,624850
00
3, 15
0,998270
00
1,0
0,653248
00
3,2
0,998544
00
3,25
0,998777
00
1, 05
0,680001
00
3,3
0,998976
00
1,1
0,705174
00
3,35
0 ,999144
00
1, 15
0,728828
00
3,4
0,999286
00
1,2
0,751023
00
3,45
0,999406
00
1,25
0,771817
00
3.5
0,999507
00
1,3
0,791263
00
1, 35
0,809417
00
3,55
0,999592
00
1,4
0,826330
00
3,6
0 ,99 9663
00
1,45
0,842055
00
3,65
0,999722
00
1,5
0,856644
00
3,7
О 999771
00
:..·-
3,75
0,999812
00
1, 55
0,870150
00
3,8
0,999846
00
1,6
0,882625
00
3 ,85
0,999875
00
1,65
0,894122
00
3,9
0,999898
00
1,7
0,904692
00
3,95
0,9999 17
00
1,75
0 ,914388
00
4,0
0,999933
00
1,8
0,923250
00
1,85
0,931360
00
4,05
0 ,999945
00
1,9
0,9387 37
00
4,1
0,999956
00
1,95
0, 9454 39
00
4, 15
О,999 9 6~
00
2,0
·о,951514
00
4,2
0 ,999971
00
4, 25
0 ,999 977
00
2,05
0 ,957006
00
4,3
0,9999 81
00
2,1
0,9619.59
00
4,35
0 ,999 985
00
2,15
0,9664 16
00
4,4
0,999988
00
2,2
0,970416
00
4,45
0 ,999990
00
2,25
0 ;97 3998
00
280
А
,•
F(A, В, С. D) 1Порядок 11
А
1
F(A, В, ,С, D) 1 Порядок ·
0,05
0,228057
0212,3
О, 975492
00
1
О,1
0,912126
02 1 2,35
0,978564
0()
О ,15
0,205129
01
2,4
о, 981292
00
0,2
0,364216
01
2,45
О, !=:·83710
00
0,25
0,567649
01
2,5
О, !;8fi847
00
0,3
0,813864
О!
· 0,35
О, 110034
00
2,55
0.987731
00
0,4
0,142350
00
2.6
О,('89388
00
0,45
О, 177865
00
2,65
О, 9(J0842
00
0,5
0,216018
00
-2, 7
0,992115
00
2,75
0.993226
00
0,5.5
() ,256176
00
2,8
0,994!94
00
0,6
0,297669
00
2,85
0.995035
00
0,65
0,339826
00
2,9
0,995764
00
0.7
0,:382010
00
2.95
0,996394
00
0,75
0,423650
00
3,0
0,996937
00
0,8
0.46426]
00
0,85
0,503456
00
3,05
0,997405
00
0,9
0,540947
00
3,1
0,997806
00
0,95
О,576546
00
3, 15
0,998150
00
1,0
0,610143
00
3,2
0,998443
00
3,25
0,998693
00
! ,05
0,641701
00
3,3
0,998905
00
1,1
0,671234
00
3,35
0,999085
00
1 ,15
0,698792
00
3.4
0,999237
00
1,2
О. 724453
00
3,45
0,999365
00
1,25
0 ,748305
00
3,!i
0 .999473
00
1,3
0,770445
00
1,35
0,790%8
00
3,55
0,999564
00
1,4
0,809969
00
3,6
0,999640
00
1,45
0,827536
00
, 3,65
0,999703
00
1,5
0,843756
00
3,7
О ,999i'56
00
3,75
0 , 999800
00
1,55
0,858708
00
3,8
0,999836
00
1,6
О ,872469
00
3,85
0 ,999866
00
1,65
О ,885 110
00
3,9
0 .999891
00
1,7
0,896702
00
3, 95
0 ,999911
00
1,75
0,907309
00
4,0
0,999928
00
1,8
0,916995
00
~-
1,85
о, 92.5821
00
4,05
0,999942
00
1,9
О, 933847
00
4,1
0,999953
00
1,95
О, 941128
00
4, 15
О, 999962
00
2,0
0,947718
00
4,2
0,999969
00
4,25
0,999975
00
2,05
0,953670
00
4,3
0,999980
СЮ
2,1
О, 959032
00
4,35
/
0,999984
00
2 ,15
0,963852
00
4,4
0,999987
00
2,2
0,968174
00
4,45
О, 99999 0,
00
2,25
0,972041
00
28 f.
А
F(A, В, С, D) 1Порядок 11
А
F(A, В, С, D) 1Порядок
0,05
0,245082
02
2,3
0,974606
00
о,1
0,978781
02
2,35
0,977747
00
о. 15
0,219599
01
2,4
0,980542
00
0,2
0,388681
01
2,45
0,983023
00
0,25
0,603475
01
2,5
0,985220
00
0,3
0,861506
01
0,35
О, 115933
00
2,55
0,987162
00
0,4
о . 149253
00
2,6
0,988873
00
0,45
О, 185573
00
2,65
0,990377
00
0,5
0,224282
00
2,7
0,991697
00
2,75
0,992851
00.
0,55
0,264722
00
2,8
0,993859
00
0,6
0,306221
00
2,85
0,994737
00
О65
0,348125
00
2,9
0 ,995499
00
0,7
0,389833
00
2,95
0,996160
00
0,75
0,430819
00
3,,0
0,996731
00
0.8
0,470648
00
0,85
0,508986
00
3,05
0,997224
00
0,9
0,545593
00
3,1
0,997647
00
0,95
0,580317
00
3. 15
О, 998011
00
1,0
0,613083
00
3,2
0,998322
00
3,25
0,998588
00
1,05
0,643874
00
3,3
о. 9988.14
·ОО
1,1
0,672717
00
3,35
. о. 999006
00
1. 15
0,699670
00
3,4
о, 099169
00
1,2
0.724810
00
3.45
0,999307
00
1,25
0,748223
00
3,5
0,999424
00
1,3
0,769998
00
1,35
0,790225
00
3,55
0,999522
00
1,4
0,808989
00
3,6
0,999604
00
1,45
0,826373
00
.
3,65 .
0,999673
00
1,5
0,842454
00
3,7
0,999730
00
3.75
0,999778
00
1,55
0,857307
00
3,8
0,999818
00
1,6
0,871001
00
3,85
0,999851
00
1,65
0,883604
00
3,9
0,999878
00
1,7
0,895180
00
3,95
0,9999[)0
00
1,75 _
0,905792
00
4,0
0,999919
00
1,8
0,915499
00
·,
1,85
0,924361
00
4,05
0,999934
00
1,9
0,932432
00
4,1
0,999947
00
1, 95
0,939766
00
4.15
0,999957
00
2,0
0,946417
00
4,2
0,999f:165
00
4,25
О, 999972
00
2,05
0,952434
00
4,3
О, 999977
00
2,1
0,957865
00
4,35
0,999982
00
2, 15
о, 962755
00
4,4
0,999985
00
2,2
о, 967148
00
4,45
0,999988
00
2,25
0, 971086
00
4,5
0 . 999991
00
1
282
А
0,05
о,1
О, 15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1,О
1,05
1,1
1, 15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
;
1,7
1, 75
1,8
1,85
1,9
1, 95
2,0
2,05
2,1
2.15
2,2
2,25
В2=О,1' С2=О,1' D = ...::..
4
F(A, В, С, D) 1Порядок 11
А
0,304737
02
2,3
О, 121181
01.
2,35
0,270003
01
2,4
0,473472
01
2,45
0,726886
01
2,5
0,102447
00
О, 135959
00
2,55
О. 172506
00
2,6
0,211337
00
2,65
О ,251709
00
2,7
2,75
0,292915
00
2,8
0,334309
00
2,85
0,375329
00
2,9
0,415508
00
2 ,95
0,454478
00
3,0
0,49197!
00
3.05
0,527805
00
3.1
0,561873
00
3, 15
0 , 594131
00
0,624579
00
3,2
3,25
0,653249
00
3,3
0,680195
00
3,35
0,705481
00
3,4
0,729179
00
3,45
0,751360
00
3,5
О, 772094
00
3,55
0,791450
00
3,6
0,809491
00
3,65
0,826282
00
3,7
0,841881
00
3,75
/'
3,8
О ,856348
ос
3,85
0,869738
00
3,9
0,882 108
00
3,95
о, 893511
00
4,0
0,904002
00
0,913631
00
4,05
0,922451
00
4,1
0,930512
00
4,15
0,937862
00
4,2
0,944550
00
4,25
4,3
о, 950620
00
4,35
О, 956118
00
4,4
0,9Gl085
00
4,45
0, 965 553
00
4,5
0,969590
00
4,55
1
F(A, В, С, D) J .порядок
0,973203
00
0,976437
00
О , 979326
00
0,981899
00
0,984 187
00
0,9862.15
90
0,988010
00
0,989593
00
0,990987
00
0,992212
00
0, 993285
00
о , 994223
00
0,995041
00
0,995753
00
0,996370
00
0,996905
00
0,997367
00
О, 997765
00
0,998 107
00
0,998400
00
О ,998651
00
О, 998865
00
0,999047
00
О, 999202
00
0,999333
00
0,999444
00
0,999538
00
О ,999616
00
0,999682
00
О ,999738
00
0,999784
00
0,999822
00
0,999854
00
0,999880
00
О ,999902
00
0,999920
00
0,999935
00
0,99994 7
00
0,999957
00
0,999965
00
0,999972
00
0,999977
00
0,999982
00
0 ,999985
00
0,999988
00
0,999991
00
283
в2=0,1;с2=O,I;D= _!_ '7t
~8
А
F(A, В, С, D) 1 ;Порядок\\
А
F (А, В, С, D) 1 Пор,ад()к
"'•
i,i i
0,05
0,373153
02
2,3
0,974344
00
0,1
о, 147839
01
2,35
0,977452
00
о, 15
0,327426
01
2,4
0,980227
00
0,2
0,569544
01 , 2,45
0,982699
00
0,25
0,865798
{)1
2,5
0,984894
00
0,3
о, 120656
00
2,55
00
0,35
О, 158165
00
0,986839
0,4
о, 198095
00
2,6
0,988560
00
0,45
0,239501
00
2,65
0,990077
00
0,5
0,281538
00
2,7
0,991412
00
2,75
0,992583
00
0,55
0,323494
00
2,8
о. 993610
00
0,6
0,364794
00
2,85
0,994506
00
0,65
0,405007
00
2,9
О ,995287
00
0,7
0,443824
00
2,95
0,995966
00
0,75
0,481046
00
3,0
0,996555
00
0,8
0,516562
00
3,05
0,997065
,00
0,85
0,550324
00
0,9
0,582333
00
3,1
0,997505
00
0,95
0,612618
00
3, 15
0',997883
00
3,2
0,998209
00
1,0
0,641229
00
3,25
0,998487
00
1,05
0,668221
00
3,3
0,998726
00
3,35
0,998929
00
1,1
О ,693656
00
3,4
0,999101
00
1, 15
0,717594
00
3,45
0,999248
00
1,2
0,740093
00
1,25
0,761210
00
3,5
0,999372
00
1,3
0,780998
00
3,55
0,999477
00
1, 35
0,799510
00
3,6
0,999565
00
1,4
0,816797
00
3,65
0,999640 •
00
1,45
0,832909
00
3,7
0,999702
00
1,5
0,847894
00
3,75
0,999754
00
1,55
0,861807
3,8
0,999797
00
00
3,85
0,999833
00
1,6
0,874692
00
3,9
0,999863
00
1,65
0,886602
00
3,95
0,999888
00
1,7
0,897586
00
4,0
0,999909
00
1, 75
0,907693
00
1,8
0,916972
00
4,05
0,999926
00
1,85
0,925471
00
4,1
0,999939
00
1,9
0,933239
00
4, 15
0,999951
00
1,95
0,940322
00
4,2
0,999960
00
2,0
0,946764
00
4,25
0,999968
00
i. _,~
4,3
0,999974
00
2,05
0,952611
00
4,35
0,999979
00
2,1
0,957905
00
4,4
0,999983
00
2, 15
0,962686
оа
4,45
0,999986
00
2,2
0,966995
00
4,5
0,999989
00
2,25
0,970869
00
4,55
0, 999991
00
284
•
в2=·о,1; с2='О,1•D __:_~
'
2
-
-···· --· --- -~-
·---
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
F(A, В, С, D) __ J._Порядок_
0,05
0,392579
02
2,3
0,976729
00
О,1
(}, 155432
01
2,35
.
0,979621
00
О, 15
0,343868
01
2,4
0,982193
00
0,2
0,597269
01
2,45
0,984476
00
0,25
0,906313
01
2,5
0,986426
00
'О' 3
О, 126040
00
0,35
о, 164847
00
2,55
0,988279
00
0,4
0,205965
00
2,6
о.~89850
00
0,45
0,248396
00
2,65
0,991231
00
0,5
0,291256
00
2,7
0,992440
00
2,75
0,993498
00
0,55
0,333853
00
2,8
0,994420
00
0,6
0,375593
00
2,85
0,995223
00
0,65
0,416075
00
2,9
0,995919
00
0,7
0,455017
00
2,95
0,996522
00
0,75
О,4922Ы
00
3,0
0,997042
00
0,8
. 0,527693
00
0,85
0,561320
00
3,05
0,99749'1
00
0,9
0,593149
00
3,1
0,997876
00
0,95
0,623226
00
3, 15
0,998206
00
1,0
0,651606
00
3,2
0,998489
оо·
3,25
0,998730
00
1,05
0,678352
00
3,3
0,998935
00
1,1
0,703527
00
3,35
0,999109
00·
1,1 5
0,727192
00
3,4
0,999256
00
1,2
0,749406
00
3,45
0,999380
00
1,25
0,770226
00
3,5
0,999485
00'
1,3
0,789706
00
1,35
0,807899
00
3,55
О ,999573_
00
!'4
0,824857
00
3,6
0,999647
00
\ ,45
0,840631
00
3,65
0,999709
00
1,5
0,855273
00
3,7
0,999760
00
3,75
0,999803
00
1,55
0,868835
00
3,8
0,999838
00
1,6
0,881369
00
3,85
0,999868
00
1, 65
0,892925
00
3,9
0,999892
00
1,7
0,903557
00
3,95
0,999912
00
1, 75
0,913314
00
4,0
0,999929
00
1,8
0,922249
00
~ ,85
0,930410
00
4,05'
0,999942
00
1,9
0,937848
00
4,1
0,999953
00
1,95
0,944609
00
4, 15
0,999962
00
2,0
0,950742
00
4,2
0,999969
00
4,25
0,999975
00
2,05
0,956290
00
4,3
0,999980
оо·
2,1
0,961298
00
4,35
0,999984
00
2, 15
0,965807
00
4,4
0,999987
00
2,2
0,969857
00
4,45
0,999990
00
2,25
0,973486
00
В2=О,1:С2=0,5;D=О
А
F(A, В , С, D) liПО_РЯДОК 11
А
F(A, В, С ,D) \ Порядок
0,05
0,256171
03
2,3
0,967188
00
о,1
О ,106634
02
2,35
• 0,971359
00
о, 15
0,255519
02
2,4
о, 975051
00
0,2
0,492908
02
2,45
0,978313
00
0,25
0,847248
02
2,5
0,981189
00
0,3
О, 135404
01
0,35
0,205452
01
2,55
0,983718
00
0,4
0,299362
01
2,6
0,985938
00
0,45
0,421719
01
2,65
0,987881
00
0,5
0,576854
01
2,7
0,989579
00
2,75
0,991058
00
0,55
0,768461
01
2,8
0,992345
00
0,6
0,999205
01
2,85
О, 993461
00
0,65
о. 127037
00
2,9
0,994426
00
0,7
О, 158159
00
2,95
0,995260
00
0,75
о, 193074
00
3,0
0,995978
00
0,8
0,231393
00
0,85
0,272567
00
3,05
0,996595
00
0,9
-
0,315926
00
3,1
0,997124
0()
0,95
0,360717
00
3, 15
0,997576
00
1,0
0,406153
00
3,2
0,997962
00
3,25
0,998290
00
1,05
0,451468
00
3,3
0,998569
00
1,1
0,495953
00
3,35
0,998805
00
1, 15
0,539000
00
3,4
0,999004
00
1,2
0,580115
00
3,45
0,999172
00
1,25
0,618935
00
3,5
о, 999314
00
1,3
0,655223
00
1 ,35
0,688858
00
3,55
0,999432
00
1,4
0,719815
00
2,6
0,999531
00
1,45
0,748148
00
3,65
О ,999614
00
1,5
о, 773968
00
3,7
0,999683
00
3,75
0,999740
00
,1 ,55
0,797421
00
3,8
0,999787
00
1,6
0,818673
00
3,85
0,999826
00
1,65
0,837898
00
3,9
0,999858
00
1,7
0,855266
00
3,95
0,999885
00
1, 75
0,870944
00
4,0
0,999907
0(}
1,8
0,885082
00
1,85
0,897821
00
4,05
0,999925
00
1,9
0,909289
00
4,1
0,999939
00
1,95
0,919601
00
4 ,15
0,999951
00
2,0
0,928863
00
4,2
0,999960
00
4,25
0,999968
00
2,05
0,937171
00
4,3
0,999975
00
2,1
О ,944611
00
4,35
0,999980
00
2, 15
о, 951262
00
4,4
0,999984
00
2,2
0,957199
00
4,45
0,999987
00
2,25
0,962487
00
4,5
О ,999990
00
..
286
в2=о,1,с2=o,s,D=~
2
А
.1
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
F(A,B,C ,D) 1 Порядок
0,05
0,367171
03
2,3
0,962154
00
О,1
0,151746
02
2,35
0,966675
00
о, 15
0,359552
02
2,4
0,970715
00
0,2
0,683642
02
2,45
0,974317
00
•
0,25
о, 115556
01
2,5
0,977522
00
0,3
о, 181334
01
2,55
0,980367
00
0,35
0,269925
01
2,6
0,982888
00
0,4
0,385690
01
2,65
0,985118
00
0,45
0,532783
01
2,7
0,987081
00
0,5
0,714764
01
2,75
0,988810
00
0,55
0,934224
01
2,8
0,990328
.00
2,85
0,991658
00
0,6
0,119244
00
2,9
0,992821
00
0,65
О, 148915
00
2,95
0,993835
00
0,7
о, 182239
00
3,0
0,994717
00
0,75
0,218855
00
0,8
0,258252
00
3,05
1 0,995483
00
0,85
0,299802
00
3,1
0,996146
00
0,9
0,342801
00
3, 15
0,996719
00
0,95
0,386514
00
3,2
0,997213
00
1,0
0,430223
00
3,25
0,997837
00
3,3 /
0,998002
00
1,05
0,473865
00
3,35
0,998384
00
1,1
О ,515066
00
3,4
0,998580
00
1,15
0,555564
00
3,45
0,998807
00
1,2
0,593910
00
3,0
0,999000
00
1,25
0,628977
00
3,55
0,999164
00
1,3
0,662341
00
3,6
0,999302
00
1,35
0,693267
00
3,65
0,999419
00
1,4
0,721792
00
1,45
0,748004
00
3,7
0,999547
00
1,5
0,772026
00
3,75
0,999608
00
3,8
0,999668
00
1,55
0,793998
00
3,85
0,999727
00
1,6
0,814067
00
3,9
0,999775
00
1, 65
0,832380
00
3,95
0,999815
00
1,7
0,849078
00
4,0
0,999848
00
1, 75
0,864293
00
4,05
0,999876
00
1,8
0,878146
00
4,1
0,999899
00
1,85
0,890748
00
4, 15
0,999918
00
1,9
0,902200
00
4,2
0,999933
00
1, 95
0,912595
00
4,25
0,999946
00
2,0
0,922018
00
4,3
0,999956
00
4,35
0,999964
00
2,05
0,930548
00
4,4
0,999971
00
2,1
0,938256
00
4.45
9,999977
00
2, 15
О, 945211
00
4,5
0,999981
00
2,2
0,951474
00
4,55
0,999985
00
2,25
о, 957103
00
4,6
0,999988
00
4,65
0,999990
00
287
в2= о,1,с2= o,s,D =
__ !:_
4
А
F(А, В, С., D) \Порsдок11
А
F(A, В, С, DJ 1Порядок
0,05
0,875591
03
2,55
0,972658
00
О,1
0,35651 i
02
2,6
0,975838
00
О, 15
0,819664
02
2,65
0,978693
00.
0,2
О, 150354
01
2,7
0,981250
00
0,25
0,243663
01
2,75
0,983535
00
0,3
0,3fi5015
О!
2,8
0,985572
00
0,35
0,517324
Oi
2,85
0,987384
00
0,4
0,702891
01
2,9
0,988992
00
0 ,45
0 , 9230-Н
01
<) о-
0,990416
00
-, ,J')
0,5
О, 117785
00
3,0
0,9916,'4
00
0,55
О, 146603
00
3,05
0,992783
00
0,6
о, 178481
00
3,1
0,993757
00
0 ,65
0,213016
00
3, 15
0,994612
00
0,7
0,249702
00
3,2
0,995360
00
0,75
0,287960
00
3,25
0,996013
00
0,8
0,327178
00
3,3
0,996582
00
0 ,85
0,366752
00
3,35
0 ,997076
00
0,9
0 , 406119
00
3,4
0,9°7505
00
0,95
Q,444784
00
3,45
0 ,997875
00
1,О
О ,482337
00
3,5
0,99 8194
00
1, 05
О ,5! 8466
00
3,55
0,9 98469
00
1,1
0, 55294 7
00
3,6
0, 998705
00
1, 15
0 ,585646
00
3,65
0,998 907
00
1,2
0, 616500
00
3,7
0 ,999080
00
1,25
0,645501
00
3 ,75
0 ,9992 27
00
1,3
0 ,672688
00
3,8
о , 999352
00
1, 35
0,6081 25
00
3,85
0,999458
00
1,4
0,721 89 4
00
3,9
0,999548
00
1,45
0,744085
00
3,95
0,999624
00
1,5
0,764 787
00
4,0
0,999687
00
1,55
0,784088
00
4,05
О ,999?41 .
00
I,6
0 ,8020 73
00
4,1
0,9997 86
00
1, 65
0,81 8816
00
4,15
0,9998 23
00
1,7
0,834391
00
4,2
0,99985 5
00
1, 75
0 ,848863
00
4 ,25
0,99 98 80
00
1,8
0,862294
00
4,3
0,999902
00
1, 85
0 ,874741
00
4,35
0, 999920
00
1,9
0,886260
00
4,4
0,999935
00
1, 95
0 ,896901
00
4 ,45
0,999947
00
2,0
0,906715
00
4,5
0 ,999957
00
2,05
0, 915750
00
4,55
0,999965
00
2,1
О, 92405 1
00
4,6
0, 999972
00
2 ,15
0 ,93 1665
00
4, 65
0, 9999 77
00
2,2
0 ,938633
00
4,7
0,999981
00
2,25
0 ,944998
00
4,75
0,999985
.00
2,3
0, 95 0799
00
4,8
0,999988
00
2 ,35
0,956076
00
4,85
О ,9999 90
00
2,4
0,960865
00
2,45
0,965203
00
2,5
0,969123
00
288
3
В2= О,1,С2= 0,5,D =
-
т:
8
А
F (А, В. С D) 1 Порядок\\
А
F(А, В, С, D) 1Порядок
0,05
0,286796
02
2,55
0,977791
00
О,1
0, 11 3997
01
2,6
0,980409
00
о, 15
0,253817
01
_ 2,65
0,982755
00
0,2
0,444678
01
2,7
0,984852
()0
0,25
0,681934
01
2,75
0 ,986722
00
0,3
0;959960
01
2,8
0,988387
00
0,35
О, 127239
00
2,85
0,989865
00
0,4
0,161245
00
2,9
0,991174
00
0,45
о, 1973 17
00
2,95
0 ,992330
00
0,5
0,234780
00
3,0
0, 993350
00
0,55
0, 273000
00
3,05
0,994246
00
0,6
0,311408
00
3,1
· О ,995033
00
0,65
0,349517
00
3, 15
0, 995722
00
0,7
O,S86932
00
3,2
0, 996323
00
0,75
0,423344
00
3,25
О , 996847
00
0,8
0,458533
00
3,3
0,997302
00
0,85
0,492350
00
3,35
0,997697
00
0,9
0, 524713
00
3,4
0, 998038
00
0,95
0,555585
00
3,45
0,998333
00
1,О
0,584968
00
3,5
0,998586
00
1-, 05
0,6 12885
00
3,55
0,998804
00
1,1
0,639375
00
3,6
О ,998990
00
1, 15
0,664486
00
3,65
0,999150
00
1,2
0,688267
00
3,7
0,999285
00
1,25
0,710768
00
3,75
0,999401
00
1,3
0,732036
00
3,8
0,999499
00
1, 35
0,752115
00
3,85
0,999582
00
1,4
0,771050
00
3,9
0,999652
00
1,45
9,788880
00
3,95
0 ,999711
00
1,5
0,805644
00
4,0
0,999760
00
1,55
0,821382
00
4,05
0,999892
00
I,6
0,836129
00
4,1
0,999836
00
! ,65
0,849925
00
4 ,15
0,999865
00
1,7
0,862806
00
4,2
0,9S9889
00
I ,75
0,874811
00
4,25
0 ,999909
00
1,8
0,885975
00
4,3
О ,999926
00
I, 85
0,896338 - 00
4,35
0,999939
00
1,9
0,905938
00
4,4
0,999951
00
1, 95
0,914812
00
4,45
0,999960
00
2,0
0, 922997
00
4,5
0,999967
00
2,05
0,930531
00
4,55
0,999974
00
2,1
0,937452
00
4,6
0,999979
00
2, 15
0,943794
00
4,65
0,999983
00
2,2
0,949595
00
4,7
0,999986
00
2,25
0,954887
00
4,75
0,999989
00
2,3
0,959706
00
4,8
0,999991
00
2,35
О, 964084
00
2,4
0,968051
00
2,45
0,971639
00
2,5
0 ,974877
00
HJ-6
289
в2= 0,1, с2='=o,s, D =~
2
А
F (А, В, С, D) 1 Порядок!!
А
F (А, В, С, D) 1Порядок
0,05
0,386081
02
2,3
0,974441
00
0,1
О, i52864
01
2,35
0,977537
00
0,15
0,338206
01
2,4
0,980300
00
0,2
О ,587477
01
2,45 .
0,982762
00
0,25
0,891540
01
2,5
0,984948
00
0,3
О, 124001
со
0,35
О, 162202
00
2,55
0,986886
00
0,4
0,202695
00
2,6
О ,988500
00
0,45
0,244499
00
2,65
0,990111
00
0,5
О ,286758
00
2,7
0,991441
00
2,75
0,992609
00
0,55
0,328765
00
2,8
0,993631
00
0,6
0,369967
00
2,85
0 , 994524
00
0,65
0,409960
00
2,9
0,995306
00
0,7
0,448470
00
2,95
0,995979
00
0,75
0,485330
·
00
3,0
0,996566
00
0,8
0,520457
00
3,05
0,997074
{)0
0,85
0,553828
00
3,1
0,9975!3
{)Q
0,9
0,585460
00
3, 15
0,997890
{)Q
0,95
0,615.'395
00
3,2
0,998214
00
1.О
0,643686
00
3,25
0,998492
00
1,05
0,670392
00
3,3
0,998729
00
1,1
0,695575
00
3,35
0,998932
00
3,4
0,999104
00
1,15
0,719290
00
3,45
0,999250
00
1,2
0,741595
00
3,5
0,999374
00
1 ,25
0, 762541
00
• 1,3
0,782179
00
3,55
0,999479
00
1,35
0,800559
00
3,6
0,999567
·оо
1,4
0,817729
00
3,65
0,999641
00
1 ,45
0,833738
00
3,7
0,999703
00
1,5
О ,848632 ,
00
3,75
0,999754
,00
3,8
0,999798
00
1,55
0,862462
00
3,85
0,999834
00
1,6
0,875275
00
3,9
0,999864
00
1,65
О ,887119
00
3,95
0,999888
00
1,7
0,898045
00
4,0
0,999909
00
1, 75
0,908099
00
•1,8.
0,917332
00
4,05
0,999926
00
1,85
0,925789
00
4,1
0,999940
00
1,9
0,933520
00
4,15
о, 999951
00
•. 1,95
0,940569
00
4,2
0,999960
00
2,0
0,946981
00
4,25
о ', 999968
00
4,3
0,999974
00
..
2 ,05
О ,952802 •
00
4,35
0,999979
00
2,1
0,958072
00
4,4
0,999983
00
2, 15
О ,962833 •
,00
4,45
0,999986
00
2,2
О ,967123 :
00
4,45
О ,999989
00
2,25
0 ,970981
00
4,55
0,999991
00
в2=о,1,с2=1,D=о
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
F (А, В, С, D) 1ПО:Р,ЯДОК .
0,5
о, 166571
04
2,3
0,952271
00
О,1
0,728023
04
2,35
О ,958490
00
о, 15
0,188014
03
2,4
О ,963961
00
0,2
0,398429
03
2,45
0,968768
00
0,25
0,761898
03
2,5
0,972983
00
0,3
о, 136494
02
2,55
0, 976665
00
0,35
0,233105
02
2,6
О ,979902 .
00
0,4
0,382954
02
2,65
0,982717
00
0,45
0,608376
02
2,7
0,985168
OG
0,5
0,937717
02
2, 75
0, 987297
00
0,55
О, 140552
01
2,8
О, 989114
00
2,85
0,990742
00
0,6
0,205212
01
2,9
0,992121
00
0,65
0, 292247
01
2,95
0,993309
00
0,7
0,406405
01
3,0
0,994331
00
0,75
0, 552397
01
0,8
0,734534
01
3,05
0,995207
00
0,85
о, 956319
01
3,1
0, 995956
00
0,9
О, 122004
00
3, 15
0,996596
00
0,95
О, 152644
00
3,2
0 ,997141
OG
1,О
о, 187441
00
• 3,25
0,997604
OQ
3,3
0,997997
00
1, 05
0,226096
00
3,35
0,998329
00
1,1
0, 268121
00
3,4
0,998609
00
1, 15
0, 312865
00
3, 45
0,998844
00
1,2
0 ,359555
00
3,5
0 ,999042
00
Ю,2 5
0,407343
00
3,55
0,999208
00
1,3
0,455361
00
1, 35
0, 502774
00
3,6
0,999347
00
1,4
0,948832
00
3,65
0,999463
00
1,45
0,592899
00
3,7
0,999559
00
3,75
0,999538
00
I,5
0,634482
00
3,8
О ,999704
00
I ,55
0,673235
00
3,85
0, 999759
0()
1,6
0,708954
00.
3,9
0,999804
00
I,65
0,741566
00
3,95
0,999841
0(}
1,7
о, 771104
00
4,0
0,999871
00
1 ,75
0,797683
00
4,05
0,999896
00
I ,8,
О ,821477
00
4,1
0,999916
00
1' ,85
0,842694
00
. 4,15
0,999932
00
J,9
о, 861558
00
4,2
0,999946
00
1,95
0,878297
00
4 ,25
0,999956
00
2,0
0;893129
00
4,3
0,999965
00
4,35
0,999972
00
2,05
0 ,906258
00
4,4
0,999978
00
2,1
0,917872
00
4,45
0,999982
00
2, 15
0,928138
00
4,5
0,999986
00
2,2
0,937207
00
4,55
0 ,999989
•00
2,.25
0, 945212
00
4,6
0,999991
00
JO*
29.l
s2= о,1, с2= 1, D=_::_
8
А
F (А, В, С, D) lПорядок11
А
F(А,В,С,D) 1Порядок
0,05
0,342206
04
2,55
0,968638
00
о,1
О, 147486
03
2,6
0,972525
00
о, 15
0,372886
03
2,65
0,977977
00
0,2
0,769 717
03
2,7
0,979036
00
0,25
О, 142928
02
2, 75
0,981743
00
0,3
0,248209
02
2,8
0,984132
00
0,35
0,4 10550
02
2,85
0,986237
00
0,4
0,653035
02
2,9
0,988087
00
0,45
0, 1-00449
01
2 ,95
0, 989709
00
0,5
0,149943
01
3,0
0,991129
00
0,55
0,217740
01
3,05
0,992370
00
0,6
0,308148
01
0,65
0,425609
01
3,1
0,993450
00
0,7
0,574395
01
3, 15
0,994390
00
3,2
0,955205
00
0,75
0,758258
01
3,25
О, 995911
00
0,8
0,980052
01
0,85
О, 124138
00
3,3
0,996520 ·
00
0,9
о, 154232
00
3,35
0,997045
00
0,95
О, 188124
00
З,4
0,997496
00
1,0
0,225476
00
3,45
0,997883
00
3,5
0,998214
00
1, 05
0,265789
00
1,1
0,308434
00
3,55
0,998497
00
1, 15
0,352682
00
3,6
0,998738
00
1,2
0,397763
00
3,65
0,998942
00
1, 25
0,442905
00
3,7
О ,999116
00
1,3
0,487386
00
З ,75
0,999262
00
1,35
0,530569
00
3,8
0,999386
00
1,4
0,571930
00
3,85
0,999490
00
1,45
О ,611070
00
3,9
0,999577
00
1,5
О, 647719
00
3,95
0,999651
00
1,55
0,681729
00
4,0
0,999712
00
1,6
0,713053
00
4,05
0,999763
00
1 ,65
0,741730
00
4,1
0,999805
00
1,7
0,767863
00
4, 15
0,999840
00
1, 75
0,791595
00
4,2
0,999869
00
I,8
0,813095
00
4,25
0,999893
00
1,85,
0 ,832 540
00
4,3
0,9999 13
00
1,9
0,850109
00
4,35
0,999929
00
1,95
О ,8 65971
00
4,4
0,999943
00
2,0
0,880286
00
4,45
0,999954
00
2,05
0,893198
00
4,5
0,999963
00
2,1
0,904840
00
2, 15
0,915330
00
4,45
0,999970
00
2,2
О ,924774
00
4,6
0,999976
00
2,25
0,933268
00
4,65
0,999980
00
2,3
0,940899
00
4,7
0,999984
00
2,35
0,947746
00
4,75
0,999987
00
2,4
0,953881
00
4,8
0,999990
00
2,45
0,959368
00
2,5
О ,964269
00
292
А
0,05
О,1
,О,15
,0,2
·0,25
,0,3
0,35
0,4
·0,45
0,5
,О,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
·О,95
1,0
1,05
1,1
'1,15
1,2
1 ,25
1,3
1,35
1,4
J ,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
1,95
2,0
2,05
2,1
.2, 15
2,2
2, 25
2,3
2,35
2,4
2, 45
2,5
в2=0,1с2=1,D=~
4
F (А, В, С, D) 1 Порядок)/
А
0,302323
03
2,55
О, 124990
02
2,6
0,296326
02
2,65
0,563865
02
2,7
0,954022
02
2,75
о, 149876
01
2,8
0,223383
01
2 ,85
0,319644
01
2,9
0,442247
01
2,95
0,594334
01
3,0
0,778294
01
3,05
0,995477
01
3,1
О ,124598
00
3, 15
О, 152854
00
3,2
О, 184054
00
3,25
0,217810
00
3,3
, О ,253638
00
3,35
0,290982
00
3,4
0,329259
00
3,45
0,367888
00
3,5
0,406330
00
3,55
0,444108
00
3,6
0,480828
00
3,65
О ,516187
00
3,7
0,549970
00
3,75
0,582047
00
3,8
0,612354
00
3,85
0,640888
00
3,9
0,667682
00
3,95
0,692800
00
4,0
О, 716320
00
4,05
0,738327
00
4,1
0,758909
00
4,15
0,778147
00
4,2
0,796122
00
4,25
0,812904
00
4,3
0,828560
00
4,35
0,843151
00
4,4
0,856734
00
4 ,45
0,869361
00
4,5
0,881082
00
4,55
0,891945
00
4,6
0,901995
00
4,65
0,911275
00
4,7
О ,919829
00
4,75
0,927697
00
4,8
0,93492]
00
4,85
0,94]538
00
4,9
0,947588
00
4,95
0,953107
00
5,0
5,05
F(А,В,С,D) 1Порядок
0,958130
00
0,962692
00
0,966826
00
0,970564
00
0,973936
00
0 ,976970
00
0,979695
00
0,982136
00
0,984317
00
0,986262
00
0,987992
00
0,989527
00
0,990886
00
0,992087
00
0,993144
00
0,994074
00
0,994888
00
0,995601
00
0,996223
00
0 , 996764
00
0,997234
00
0,997642
00
0,997993
00
0,998297
00
0,998557
00
0.,998781
00
0,998972
00
0,999135
00
О ,999274
00
0,999393
00
0,999493
00
0,999577
00
О ,999648
00
0,999708
00
0,999759
00
0,999801
00
0,999836
00
0,999865
00
0,999889
00
0,999909
00
0,999926
00
0,999940
00
0,999951
00
0,999960
00
0,999968
00
0,999974
00
0,999979
00
0,999983
00
0,999986
00
0 ,999989
00
{),999991
()0
293
А
0,05
О,1
О, 15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1,О
1,05
1,1
1,5
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1, 75
1,8
1,85
1,9
1,95
2,0
2,05
2,1
2, 15
2,2
2,25
2,3
2,35
2,4
2,45
2 ,S.
294
3
в2=о,1с2=1,D = -
--
8
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
0,229141
02
2,55
0,913333
02
2,6
0,204274
01
2,65
0-,360055
01
2,7
0,556255
01
2,75
0,789693
01
2,8
О , 105644
00
2,85
0,135193
00
2,9
О ,167 106
00
2,95
0,200844
00
3,0
0,235859
00
3,05
0,271621
00
3,1
0,307642
00
3, 15
0,343490
00
3,2
0,378805
00
3,25
0,413299
00
3,3
О ,446763
00
3,35
0,479050
00
3,4
0,510075
00
3,45
0 ,539796
00
3,5
0,568206
00
3,55
0,595322
00
3,6
о ;521 176
00
3,65
0,645804
00
3,7
О ,66924 9
00
3,75
0,691551
00
3,8
О, 712748
00
3,85
0,732876
00
3,9
0,751968
00
3 ,95
0,770055
00
4,0
0,787167
00
4,05
0,803331
00
4,1
0,818575
00
4,15
0,832927
00
4,2
0,846416
00
4,25
0,859069
00
4,3
0,870915
00
4,35
0 ,881984
00
4,4
0,892306
00
4,45
0,901912
00
4,5
0,910833
00
4,55
0;919099
00
4,6
0,926743 •
00
4,65
о , 933797
'
00
4,7
0,940290
00
4,75
0,946255
00
4,8
0,951723
00
4,85
0,956723 ,
00
4,9
0,961285
00
4,95
0,96543&
,
00
F (А, В, С, D) 1Порядок
0,969210
00
0,972628
00
о, 975718
00
0,978505
00.
0,981013
00
0,983265
00
0,985281
00
0,987082
00
0 ,988688
0(}
0,990116
00
0,991383
00
0,992504
00
0,993493
00
О ,994365
00·
0,995130
00
0,995802
00
O,Q96388
00
0,996900
00'
0,997345
00
0,997732
00
0,998066
00,
0,998355
00
0,998604
00·
0,998818
0(}
0,999002
00
0,999159
О(}
0,999293
00
0,999407
00
0,999503
00
0,999585
00
0,999654
0(}
0,999713
00
0,999762
00
0,999803
00'
0,999837
00
0,999866
0(}
0,999890
00
0,999910
00
0,999926
0()
0,999940
00
0,999951
0()
0,999960
00
0,999967
00
0,999974
00
0,999979
00
0,999983
00'
О ,999986
00
0,999989
оо,
0,999991
00,
А
·0,05
О,1
о, 15
,0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
{) ,55
0,6
{) ,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1,0
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45 •
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1 ,75
1,8
J,85
1, '9
1,95
2,0
,.
2,05
·,2,1
,2, 15
2,2
2,25·
в2= ,0,1,с2= 1_, D = ...::..
2
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
0,380626
02
2,3
О, 150708
01
2,35
0 ,333451
01
2,4
0,579255
01
2,45 .
0,879136
01
'2,5
О, 122288
00
2,55
О, 159981
00
2,6
0,199948
00
2,65
0,241224
00
2,7
0,282969
00
2,75
0,324488
00
2,8
2,85
0,365236
00
2,9
0,404817
00
2,95
0,442961
00
3,0
О .479504
00
0,514364
00
3,Об
0,54751 7
00
3,1
0,578981
00
3, 15
0,608792
00
3,2
.
0,637005
00
3 ,25
3,3
0,663675
00
3,35
0 ,688860
00
3,4
0,712614
00
3,45
0,734991
00
3,5
0,756040
00
3 ,55
0,775808
00
3,6
0,79434 2
00
3,65
0 ,811688
0 ,827891
00
3,7
0,842995
00
3,75
00
3,8
0,857048 •
3,85
0 ,870094
00
3,9
00
3,95
0,882179
00
4,0
0 ,89335 0
00
0,903654
00
4 ,05
0,913137
00
4,1
0,921843
00
4, 15
0,929820
00
4,2
0,9371 JJ
00
4,25
0 ,943761
00
4,3
4,35
О ,949811
00
4,4
0,9553 06
do
4 ,45
0,960277 ,
00
4,5
0 ,964772 .
00
4,55
0 ,958824
00
4,6
F (А, В, С, D) 1Порядок.
0,972468
0,975738
0,978665
0,98 1279
0,983608
0,985678
0,987514
0,989138
0,990571
0,991834
0,992942
• О, 993914
0,994763
0,995504
0,996148
0,996708
О ,997192
О ,997611
0,997972
0,998282
0 ,998548
0 ,998775
0,998969
0,999135
0,999275
0,999394
0,999495
0,999580
О ,999651
О ,999711
0 ,999761
0,999803
0,999838
0,999867
0,999891
0,999911
. О ,999927
0 ,999941
О ,9,99952
0,999961
0,999968
0,999974
О ,999979
0,999983
0,999987
0,999989
, О ,999991
о
.О
о
\о
о
о
о
о
о
о
о
.О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
·о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
295,
В2=0,1,С2= 2,D =0
А
F (А, В, C,.D) 1Порядок 11
А
1
F (А, В. С, D) 1 Порядок:
0,05
0,704070
07
2,55
0,950572
00
О,1
0,338015
06
2,6
0,957767
00
о, 15
о, 100158
05
2,65
0 ,963956
00
0,2
0,250118
05
2,7
0,969278
00
0,25
0,571863
05
2,75
0,973851
00,
0,3
о, 123380
04
2,8
0,977776
00·
0,35
0,254585
04
2,85
О ,981142
00
0,4
0,505907
04
2,9
0,984026
00
0,45
0,972147
04
2,95
0,986492
00·
0,5
0,181117
03
3,0
0,988599
00
0,55
о, 327752
03
3,05
0,990395
00
0,6
0, 576860
03
3,1
0,991924
00
0,65
0, 988520
03
3, 15
0,993223
00·
0,7
О, 165063
02
3,2
0,994325
00
0,75
0,268764
02
3,25
0,995257
00·
0,8
0,426982
02
3,3
0,996044
00·
0,85
0,662222
02
3,35
0,996708
00,
0,9
0,100316
01
3,4
0,997266
00
0,95
о, 148499
01
3,45
0,997734
оо,
1,0
0,214914
01
3,5
0,998126
оо,
1, 05
0,304227
01
3,55
0,998454
ОО·
1,1
0,421431
01
3,6
0,998727
00
1, 15
0,571566
01
3,65
0,998954'
оо·
1,2
0,759329
01
3,7
0,999143
00,
1,25
0,988681
01
3,75
0,999299
00
1,3
о, 126236
00
3,8
0,999428
00·
1,35
0, 158153
00
3,85
0,999534
00,
1,4
о, 194540
00
3,9
0 ,999621
0().
1,45
0,2351 10
00
3,95
0 ,909693
00
1,5
0,279367
00
4,0
0,999752
00'"
1, 55
0,326629
00
4',05
0,999800
00°
1,6
0,376060
00
4,1
0,999839
0(}
1,65
0,426727
00
4, 15
0 ,999870
0(}
1,7
0,477662
00
4,2
0,999896
00'
1, 75
0,527917
00
4,25
0,999917
00,
1,8
0,576626
00
4,3
0,999934
оо·
1,85
0,623050
00
4,35
0,999947
00
1,9
0,666606
00
4,4
0,!)99958
OQ
1,95
0,706883
00
4,45
9 ,999966
00•
2,0
0,743639
00
4,5
0,999973
00·
2,05
0,776788
00
4,55
0,999979
00
2,1
0,806377
00
4,6
0,999983
00•
2, 15
0,832556
00
4,65
0,999987
0(}
2,2
0,855548 <
00
4,7
0,999990
0()
2,25
0,875623
00
2,3
0,893070
00
2,35
0,908 182
00
2,4
0,92 1240 •
00
2,45
0,932505
00
2,5
0,942212 '
00
296
:тt
в2=о,1с2=2,п=-
8
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
D
F (А, В, С, д) .1Порядок
0,05
О ,297192
06
2,55
0,929906
00
о,1
О, 138913
05
2,6
0,938190
00
0,15
0,396135
05
2 ,65
0,945580
00
0,2
0,945857
05
2,7
0,952166
00
0,25
, О,206113
04
2,75
0,958026
00
0,3
0,423223
04
2,8
0,963235
00
0,35
0,830642
04
2,85
0,967856
00
0,4
, о, 156978
03
2,9
0,971949
00
0,45
, О,286892
03
2,95
0,97.5569
00
·0 ,5
,О ,508447
03
3,0
0,978763
00
0,55
0 ,875491
03
3,05
0,981576
00
0,6
О, 146672
02
. 3,1
0,984050
00
,Q,65
·0,239337
02
3, 15
0,986219
00
0,7
0;380737
02
3,2
0,988118
00
0,75
0,590909
02
3,25
'0 ,989777
00
,0 ,8
· О ,-895336
02
3,3
0,991223
00
0,85
О, 132521
01
3,35
0,992481
00
0,9
0,191719
01
3,4
О ,993572
00
0 ,95
0,271250
01
3,45
О ,994517
00
1,О
0,375520
01
3,5
0,999533
00
1,05
0,508972
01
3,55
0,996036
00
3,6
0,996641
00
1,1
· о ,675769
,01
. 3,65
0,997160
00
1,15
0 ,879423
01
3,7
0,997604
00
1,2
0,112242
00
3,75
0,997983
00
1 ,25
О, 140590
00
3,8
О,'998306
00
1,3
, о, 172935
'00
3,.85
0,998581
00
1 ,35
0,209051
00
3,9
0,998813
00
1,4
0,248534
00
3,95
0,999010
00
·1,45
· о ,290825
00
4,0
0,999176
00
1,5
0,335233
00
4,05
0,999316
00
,1 ,55
0,380988
00
4,1
0,999433
00
1,6
0,427280
00
4, 15
0,999531
00
1,65
О ,473320
·
00
4,2
0,999614
00
·1, 7
0,518377
00
А,25
0,999682
00
·1, 75
О ,5Ы820
00
4,3
0,999739
00
1,8
0,603140
·00
4,35
0,999786
00
1 ,85
0,641964
00
4,4
· 0,999825
00
1,9
0,678053
00
4,45
0,999857
00
1,95
0,711292
00
4,5
0,999884
00
2 ,о__
0,741670
00
4 ,55
0,999906
00
:2 ,05
· О ,769262
00
4,6
· О,999924
00
2,1
0, 794201
00
4,65
0,999938
00
2, 15
0,816661
00
4,7
0,999950
00
,2,2
0,836838
00
4,75
0 ,999960
00
2,25
О ,'854931
00
4,8
0,999968
00
2,3
0,871 140
00
4,85
0,999974
00
.2,35
0.885650
00
4,9
0,999979
00
·
2,4
о : 898633
00
4 ,95
0,999983
00
2 ,45
0,9 102 46
'00
:5,0
0,()99987
00
2,5
: о ;920629
00
5,05
0,999989
00
5,1
О ,99999.1
00
297
./
~
•
в2=о,1,с2=2,D=
-= ':
4
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
F (А, В, С, D) 1 Порядок.
0,05
0,232002
04
2,3
0,856870
00
О,1
О, 100059
03
2 ,35
0, 869354
00
О, 15
0,253255
03
2,4
0 ,88 0979
00
0,2
0,523517
03
2 ,45
0,891 783
00
0,25
0,973755
03
2,5
0,9 01803
00·
0,3
о, 169426
02
0,35
0,280832 .
02
2,55
0 ,911075
00•
0,4
0,447733
02
2,6
0,919637
00
0,45
0,690428
02
2,65
0,927525
00-
0,5
0,103343
01
2,7
0 ,9:34775
00-
2,75
0,941423
00
0,55
о , 150511
01
2,8
0,947505
00
0,6
0,213683
01
2,85
0,953056
00·
0,65
0,296150
01
2,9
О ,958111
00
0,7
0,401166
01
2,95
0,962702
00
0,75
0,531706
01
3,0
0 ,966863
00
0,8
0,690217
01
0,85
0,878363
01
3,05
0,970623
00
0,9
о, 109681 •
00
3,1
0, 974014
00
0,95 .
• 0,134513 ,
00
з,15
0,977065
00,
1,О
О, 162165
00
3,2
0,979802
00
3,25
о , 982253
00
1,05
О, 192363
00
3,3
0,984440
ОО·
1,1
0,224732
00
3,35
0,986389
00
1, 15
0,258823
00
3,4
0,988121
00·
1,2
0,294141
00
3,45
0,989656
00
1,25
0,330181
00
3,5
0,991012
0()
1,3
0,366451
00
1,35
0,402500
00
3,55
0,992209
00
1,4
О ,437942:
00
3,6
0,993262
00
1,45
0,472460
00
3,65
0 ,994186
00·
1,5
0,505813
00
3,7
0,994994
00
3,75
0,995700
00
1,55
0,537835
00
3;8
0,996315
00
1,6
0,568423
00
3,85
О ,996850
00
1,65
0 ,597529
00
.3,9
0,997313
00
1,7
О ,625146
00
3,95
0,997713
00
1, 75
0, 651297
00
4,0
0,998058
00
1,8
0,676025
00
1,85
0,699383
00
4,05
0 ,998355
00
1,9
0,721428
00
4,1
0,998610
0()
1,95
0,742220
00
4,15
О ,998828·
00·
2,0
0,761812
00
4,2
0,999014
00
4,25
0,999172
00
2,05
0 ,780258
00
4,3
0,999307
00
2,1
0,797605
00
4,35
0,999421
00
2, 15
О ,813899
00
4,4
О ,999518
оо·
2,2
О ,829181 ,
.
00
4,45
0 ,999599
00
2 ,25
О ,843492 ' '
00
4,5
0,999667
00
298
А
4,55
4,6
·
4,65
4:7
4,75
4,8
4 ,85
4,9
4 ,95
А
,О,05
о,1
О, 15
0,2
0,25
{),3
0,35
{),4
0,45
,0,5
{),55
Ю,6
.() ,65
0,7
,О, 75
0,8
0,85
0,9
.0,95
1,0
1, 05
1,1
1, 15
1,2
1, 25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
в2=о,1с2=2,D = л:
4.
1· F(А, В, С, D) \Порядок\!
А
0,999725
·00
5,0
0,999773
00
5,05
0,999813
00
5,1
0,999846
00
Б,2
0,999874
00
5,25
0,999897
00
5,3
0,999916
00
5,35
0,999931
00
5,4
0,999944
00
3
в2=о,1,с2=2,D=-
7t
8
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
о, 133286
02
1, 55
0,534831
02
1,6
О, 120919
01
1,65
0,216236
01
I,7
0,339970
01
1, 75
0,492356
01
1,8
0,673102
01
1,85
0,881218
01
1,9
О, 111492
00
1,95
о, 137165
00
2,0
о, 164816
00
2,05
о, 194068
00
2,1
0,224517
00
2, 15
0,255757
00
2,2
О ,287399
00
2,25
0,319093
00
2,3
0,350540
00
2,35
0,381499
00
2,4
0,411789
00
2,45
0,441283
00
2,5
0,469898
00
2,55
0,497593
00
2,6
0,524352
00
2,65
0,550176
00
2,7
0,575082
00
2,75
0,599086
00
2,8
0,622211
'00
2,85
0,644473
00
2,9
0,665891
00
2,!?5
0,686477
00
3,0
'
F(А,В,С,D) \Порядок
0,999955
00
0,999963
00
0,999970
00
0,999976 •
00
о,999981 .
00
0,999984
00
0,999987
00
0,999990
00
F(А,В,С,D) \Порядок
0,706243
00
о, 725196
00
0,743346
00
0,760698
00
0,777260
00
0,793039
00
0,808045
.00
0,822287
00
0,835777
00
0,848529
00
0,860556
00
0,871875
00
0,882506
00
0,892467
00
0,901779
00
0,910465
00
0,918549
00
0,926055
00
0,933007
00
0,939432
00
0,945355
00
0,950802
00
0,955801
00
0,960376
00
·О ,964554
00
0,968359
00
'0,971818
00
0,974952
00
0,977787
00
0,980344
00
299
в2= о,1,с2= 2,
3
D=-7С
8,
А
F (А, В, С, D) lыорядок 11
А
F(·А,В,С,D).
1 Порядо~
3,05
0,982646
00
4,3
0, 999630
00
3,1
0,984711
00
4,35
0,999692
00
3, 15
0,986561
00
-
4,4'
0,999745
00
3,2
0,988213
00
4,45
0, 999789
00
3,25
0,989685
00
4,5
0,999825
00
3,3
0,990994
00
3,35
0,992154
00
4,55
0,999856
00
3,4
0,993 180
00
4,6
0,999881
00
3,45
0,994086
00
4,65
0,999903
00
3,5
0,994883
00
4.,7
0,999920
00
4,75
0,999935
00,
3,55
0,995582
00
4,8
о, 999947
00
3,6
0,996195
00
4,85
0,999957
00
3,65
0,996730
00
4,9
0,999965
0(}:
3,7
0 ,997 196
00
4,95
0,999971
00
3,75
0,997602
00
5,0
0,999977
00
3,8
0 , 997953
00
3,85
0,998257
00
5,05
0,999981
00·
3,9
0,9985 19
00
5,1
0,999985
00
3,95
0,998745
00
5, 15
0,999988
00
4,0
0,998939 •
00
5,2
0,999990
00•
4,05
0,999105
00
4,1
0,999246
00
4, 15
0,999367
00
4,2
0,999470
00
4,25
0,999557
00
]32= 0,.1С2= 2·, D=
д:
2
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
1· F (А, В, С, D) 1 Порядок_,
0,05
0,367773
02
0,8
0,499942
00
о,1
1
о, 145628
01
0,85
0,532571
00
о, 15
0,322246
01
0,9
0,563623
00
0,2
0,559876
01
0,95
0,593133
00
0,25
0,849892
01
1,0
0;621148
00
0,3
о, 118249
00
;
0,35
о, 154743
00
1,05
0,647719
00
0,4
о, 193467
00
1,1
0,672896
00
0,45
0,233498
00
1, 15
0,696729
00
0,5
0,274027
00
1,2
1
0,719262
00
1,25
0,740540
00'
0,55
0,314388 ,
00
1,3
0,760603
00
0,6
0,35406 1
00
1,35
0,779490
00
0,65
0,392663
00
1,4
0,797240
00
о,7
0, 429936
00·
1,45
i
0,813891
оо"
0,75
0,465722
00
1,5
0,829483
оо,
;
1,
300
в2=о,1,с2=2,D=
.!!:._
2
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
1, 55
0,844064
00
3,3
0,998082
00
1,6
0,857644
00
3,35
0,998373
00
1, 65
0,870292
00
3,4
0,998622
00
1,7
0,882041
00
3,45
0 ,998836
00
J, 75
0,892931
00
3,5
0,999019
00
J,8
0,903002
00
1, 85
0,912298
00
3,55
0,999175
00
1,9
0,920857
00
3,6
0,999308
00
J, 95
0,928723
00
3,65
0,999421
00
2,0
0,935935
00
3,7
О ,999516
00
3,75
0,999597
00
2,05
0,942532
00
3,8
0,999665
00
2,1
0,948554
00
3,85
0,999722
00
2, 15
0,954038
00
3,9
0,999770
00
2,2
0,959021
00
3,95
0,999810
00
2,25
0,963539
00
4,0
0,999843
00
2,3
0,967626
00
2,35
0,971314
00
4,05
0,999871
00
2,4
0,974636
00
4,1
0,999894
00
2,45
0,977619
00
4, 15
0, 999913
00
2,5
о, 980293
00
4,2
0,999929
00
4,25
0,999942
00
2,55
0,982685
00
4,3
0,999953
00
2,6
0,984818
00
4,35
0,999962
00
2,65
0,986717
00
4,4
0,999969
00
2,7
0,988404
00
4,45
0,999975
00
2,75
0,989898
00
4,5
0,999980
00
2,8
0,991218
00
2,85
0,992383
00
4, 55
0,999984
00
2,9
0,993407
00
4,6
0,999987
00
2,95
0,994306
00
4,65
0,999989
00
3,0
0,995094
00
4,75
0,99999 1
00
3,05
0,995781
00
3,1
0,996381
00
3, 15
0,996902
00
3,2
0,997354
00
3,25
0,997745
00
4
в2= -0,1,с2=s,D':""о
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
F '(А, В, С, D) 1 Порядок
0,05
0,530559
14
0,3
0,552579
11
о,1
0,329444
13
0,35
0,170973
10
о, 15
о, 137683
12
0,4
0,509864
10
0,2
0,503592
12
0,45
о, 147026
09
0,25
0,171208
11
0,5
0,410856
09
301
В2=О,1,С2=5,D=О
А
F (А, В, С, D) \Порядок11
А
F(А,В,С,D) 1Порядок
0,55
0,1 11428
08
2,8
0,770551
00
0,6
0,293624
08
2,85
0,805936
00
0,65
0,752384
08
2,9
0 ,837035
00
0,7
О, 187595
07
2,95
0,864006
00
0,75
0,455371
07
.3,0
О, 887119
00
Q,8
о, 107660
06
0,85
0,247 998
06
3,05
0,908719
00
0,9
0,556776
06
3,1
0,923192
00
0,95
0,121861
05
3, 15
0,935933
00
1,О
0,260084
05
3,2
0,948326
00
3,25
0,957729
00
1, 05
0,541399
05
3,3
0,965461
00
1,1
0,109942
04
3,35
О, 971805
00
1,15
0,2 17841
04
3.4
0,977001
00
I,2
0,421234
04
3,45
0,981253
00
1, 25
о, 195049
04
3,5
0,984731
00
1,3
о, 146496
03
1, 35
0 ,263573
03
3,55
0,987573
00
1,4
0,463 121
03
3,6
0,989896
00
1 ,45
0,794853
03
3,65
0,991793
00
J,5
0, ]33278
02
3,7
0,993442
00
3,75
о, 994606
00
1, 55
0,218375
02
3,8
0,995637
00
1.6
0,349707
02
3,85
0,996476
00
1,65
0,547472
02
3,9
0,997157
00
1,7
0,838066
02
3,95
0,997712
00
1, 75
0,125476
01
4,0
0,998162
00
1,8
0.183795
01
1, 85
0,263463
01
4,05
0,998526
00
1,9
0,369709
01
4,1
0,998820
00
1, 95
0,508044
01
4, 15
0,999057
00
2,0
0,683925
01
4,2
О , 99924_6
00
4,25
0,999402
00
2,05
0,902315
01
4,3
0,999525
00
2,1
0, 116719
00
4,35
0,999624
00
2,15
о, 146! 06
00
4,4
0 ,999702
00
2,2
о, 184450
00
4,45
0,999765
00
2,25
0,225583
00
4,5
0,999815
.00
2,3
0,271096
00
2,35
0,320348
00
4,55
0,999854
00
2,4
0,372489
00
4,6
•
0,999886
00
2,45
0 ,4265]3
00
4,65
0,999914
00
2,5
0,4813 12
00
4,7
0 ,999930
00
4,75
,Q,999945
00
2,55
0,535784
00
4,8
0,999956
00
2,6
0,588840
00
4,85
0,999967
00
2,65
0,639532
00
4,9
0,999974
00
2,7
0,687072
00
4,95
0,999980
00
2,75
о, 7308 71
00
5,0
0 ,9 99985
00
5,05
0,999986
00
5,1
,0,999991
О.О
3·02
в2=--' о,1,с2=s,D= _!!:_
8
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
F (А, В, С,D) 1Порядок
0,55
о, 109107
07
3,05
0 ,866541
00
0,6
0,368284
07
3,1
0,882507
00
0,65
0,968864
07
3, 15
0,898729
00
0,7
0,231173
06
3,2
0,9063?.9
00
0,75
0,525250
06
3,25
0,920616
00
0,8
0,115132
05
3,3
0 ,930684
00
0,85
0,244941
05
3,35
0,939413
00
0,9
0,507128
05
3,4
0,947221
00
0,95
0,102312
04
3,45
0,954114
00
1,0
0,201278
04
3,5
0,960186
00
1,05
0,386300
04
3,55
0,965531:
00
I,1
0,723523
04
3,6
0,970221
00
3,65
0,974326
00
!,15
о, 132281
03
3,7
0,977917
00
1. ')
0,236136
03
·-
3,75
0,981040
00
1,25
0,411682
03
3,8
0 ,983771
00
1,3
0,701105
03
3,85
0,986 135
00
1, 35
0,116662
02
3,9
0,98818 1
00
f,4
о, 189718
02
3,95
0.989949
00
1,45
0,301598
02
4,0
0,991472
00
1,5
0,468811
02
4,05
0,992781
00
1,55
0,712754
02
4,1
0,993903
00
1,6
о, 106018
01
. 4,]5
0,994863
00
1,65
О, 154331
01
.
4,2
0,995682
00
I,7 •
0,219943
01
4,25
0,996379
'00
1, 75
0,306977
01
4,3
0,996971
00-
1,8
0.,419767
01
4,35
0,997472 '
00
1,85
0,562603
01
4,4
0,997895
00
1,9
0,739409
01
4,45
0,998251
00
1, 95
0,953392
01
4,5
0,998551
00
2,0
о, 120668
00
4,55
0,998802
00
2,05
О, 150002
00
4,6
0.999012
00
4,65
0,999187
00
2,1
о, 183256
00
4,7
0,999333
00
2, 15
0,220170
00
4,75
0,999453
00
2,2
0,260319
00
4,8
0,999553
00
2,25
0,303130
00
4,85
0,999636
00
2,3
0,347912
00
2,35
0,393902
00
4,9
0,999704
00
4,95
0,999760
00
2,4
0,440311
00•
5,0
0,999806
00
2,45
0,48637{}
со
5,05
0,999843
00
2,5
· 0,531377
00
5,1
0,999874
00
2,55
0,574725
00
5 ,15
0,999896
00
2,6
о, 615929
00
5,2
0,999916
00
2,65
0,654630
00
5,25
0,999935
00
2,7
0,690601
00
5,3
0,999943
00
2,75
о, 723729
00
5,35
0,999956
00
2,8
0,754003
00
5,4
0,999967
00
2,85
0,781487
00
5,45
0.999974
00
2,9
0,806311
00
5,5
0,999979
со
2,95
0,828636
00
5,55
0,999983
00
3,.0,
0,848648
00
5,6
0,999987
00
5,65
0,999990
00
303
в2=о,1,с2=5,D =
_!!:_
4
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
F (А, В, С, D) 1Порядок
0,55
0,582636
05
3,05
0,830249
00
0,6
0, 168776
04
3,1
0,819450
00
0,65
0.363416
04
3, 15
0,834687
оЬ
0,7
0,710339
04
3,2
0.848977
00
0,75
О, 130653
03
3,25
0,862344
00
0,8
0,230496
03
3,3
0,874810
00
0,85
0,393503
03
3,35
0,886407
00
0,9
0,653037
03
3,4
0,897163
о.о
0,95
О, 105615
02
3,45
0,9071 14
00
1,0
О, 166719
02
3,5
0,916294
00
1, 05
0,257 130
02
3,55
0,924740
00
1,1
0,387761
02
3,6
0,932489
00
1. !5
0,572127
02
3.65
0,939581
00
1,2
0,826383
02
3,7
0,946052
00
1,25
О, 1189 13
01
3,75
0 , 951943
OQ
1,3
О, 162097 '
01
3,8
0,957289
00
1, 35
0,220367
01
3,85
0,982129
00
1,4
0,293919
01
3,9
0,966499
00
1 ,45
0,384834
01
3,95
0,970434
00
]'5
0, 494941
01
4,0
0,973966
·оо
1 .55
0,625679
01
4,05
0.977133
00
1,6
0,777979
01
4,1
0,97996 1
00
1 ,65
·п .952172
01
4, 15
0,982480
00
]'7
О, 114794
00
4,2
0,9847 18
00
1,75
О, 136435
00
4,25
0,986702
00
1,8
О, 159984
00
4,3
0,988456
00
1,85
О, 185240
00
4,35
0,990002
00
1,.9
О. 211963
00
4,4
О, 991361
00
1.95
(),23989 1
00
4,45
0,992553
00
2.0
0,268756
00
4,Б
0,993596
00
2,05
0,298292
00
4,55
0,994506
по
2·, 1
0,328250
00
4.6
0,995297
00
2', ]5
0,358402
00
4,65
0,995984
00
2',.2
0,388548
00
4,7
0,996579
00
2,25
0, 416514
00
4,75
0,997092
00
2, ,1
0.448153
00
4,8
0,997534
00
2,35
О, 477344
00
4,85
0,997914
00
2',4
0,508983
00
4,9
0,998240
00
2,45
0,533987
00
4,95
0,9985 15
00
2,5
. J J,5612&5
00
5,0
0, 998754
00
2,55
0,587817
00
5,05
0, 998956
00
2 ,.6
0,613534
00
5,1
0,999127
00
2,65
0,638392
00
5, 15
О, 999271
00
2,7
0,662356
00
5,2
О ,999:i93
00
2,75
0,685395
00
5,25
О ,99949 5
00
2,8
0.707485
00
5,3
0,99958 1
00
2,85
0,728606
00
5,35
0,999653
00
2,9
0,748750
00
5,4
О. 999713
00
2,95
0,767905
00
5,45
0,999763
00
3,0
0,786070
00
5,5
0,999805
00
304
в2-·о1С2-5D
-
л:
-
''
-
'
-
-
4
А
F (А, В, С, D) 1Порядок]!
А
F(А,.'1,С,D) 1Порядок
5,55
0,999839
00
6,0
О ,999971
00
5,6
0 , 999864
rQO
6,05
0,999976
00
5,65
0,999891
00
6,1
0,9 99979
00
5,7
0,9999 10
00
6, 15
0,999982
00
5,75
0,999926
00
6,2
0,999985
00
5,8
0,999939
00
6,25
0,999987
00
5,85
0,999950
00
6,3
0,999988
00
5,9
0, 999955
00
6,35
0 ,999989
00
5,95
0,999965
00
6,4
0,999990
00
В2= О,1,С2= 5,
3
D=-.т:
'8
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
F(А.В,С,D) 1Порядок
0,05
0,689399
05
1,8
0,261453
00
О,1
0,294839
04
1,85
0,280706
00
О.15
0,736840
04
1,9
0,300430
00
0,2
0,149967
03
1, 95
0,320582
00
0,25
0,2742 18
03
2,0
0,341119
00
0,3
0 ,468792
03
2,05
0,361992
00
0,35
О 763624
03
0,4
о, 119722
02
2.1
0,383149
00
2 ,15
0,404538
00
0,45
О, 18173 1
02
2,2
0 , 426102
00
0,5
0,268097
02
2,25
0, 447784
00
0,55
0,385400
02
2,3
0,469526
00
0,6
0,540948
02
2,35
,о ,4 91270
00
0,65
0,742545
02
2,4
0,512956
00
0,7
0,996190
02
2,45
-
0,534528
00
0,75
О, 131571
01
2,5
0,555927
00
0,8
О, 170240
01
2,55
0,577099
00-
0,85
0,216467
01
2,6
0,597990
00
0,9
0,270772
01
2,65
0 , 618548
00
0,95
0,333538
01
2,7
0,638726
00
!'о
0,405005
01
2,75
О, 658477
00
1, 05
0,485266
01
2,8
0,677760
00
1,1
0,574293
ol
2,85
0 ,696536
00
1, 15
0,67 1951
01
2,9
О, 714770
00
1,2
0,77803 1
01
2 ,95
0,732431
00
1,25
0,892276
01
3,0
О , 749492
00
1,3
О , 101441
00
3,05
0,765931
00
1, 35
О, 114415
00
3,1
0, 781729
00
1,4
О,128124
00
3, 15
0,796870
00
1,45
о, 142543
00
3,2
0,811346
00
1,5
О. 157649
00
3,25
0" 825148
00
1,55
О, 173419
00
3,3
0,838274
00
1,6
О, 188834
00
3,35
0,850724
00
1, 65
0,206870
00
3,4
O, d62504
00
1,7 •
0,224503
00
3,45
0,873620
00
1, 75
0,242708
00
3,5
0,884082
00
З-05
А
.•
3,55
3,6
3,65
3,7
3,75
3,8
3,815
3,9
3,95
4,0
4,05
4,l
4. 15
4,2
4,25
4,3
. 4,35
4,4
4,45
4,5
4,55
4,6
4,65
4,7
4,75
4,8
4,85
4,9
4,95
5,0
А
0,05
О,l
О, 15
0.2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
ЗОб
в2=о,1,с2=5,
3·
D=-
7'
8'
F(А. В,С,D) 1Порядок11 А I F(А,В,С,D)
0,893900
00
Б,05
0,903100
00
5.1
0,911689
00
5,15
0,919690
00
5,2
О, 927125
00
5,25
0, 934014
00
5,3
0,940383
00
5,35
0,946255
00
5,4
0,951656
00
5,45
0,956609
00
5,5
0,961142
00
5,55
0,985276
00
5,6
О,969С44
00
5,65
5,7
о. 972462
00
5,75
О, 975559
00
0,978355
00
5,8
0, 980876
00
5,85
0,983141
00
5,9
О, 985171
00
5,95
0,986987
00
6,0
6,05
0,988606
00
6,1
О ,990047
00
6, 15
0,991325
00
6,2
О, 992457
00
6,25,
0, 993456
00
6.3
0,994336
00
6,35
О , 995109
00
6,4
0,995786
00
6,45
0,996378
00
6,5
0,996894
00
6,55
в2= 0,1, с2= о,5, D= ~
2
0,997342
0,997731
0, 998066
О ·. 99835!}·
0 , 998609
0,998824
О, 999004
0, 999165
0, 999299
О , 999412
0 , 999509
0, 999590
0 ,999659
0,999717
0 , 999766
0, 999807
0 ,999841
0, 999869
0, 999892
0, 999912
0, 999926
0 ,999941
0,999952
0, 999961
0.999969
0,999975
0, 999979
0,999983
0, 999987
0,999989
0,999991
1 Порядок.
00
00
00
00·
00
00
00·
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00_,
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
F(А,В,С,D) 1Порядок11 А
F(А, В, С,D) 1Порядок .
0, 252264
03
0,8
0,528230
01
О , 100394
02
0,85
0 ,589990
01
0,224032
02
0,9
0, 658174
01
0,393875
02
0,95
0,731042
01
О ,607125
02
1,0
0, 808847
01
0,860757
02
2,05
0,891820
01
О, 115183
01
О , 147778
01
1,1
0,980 174
01
О, 183665
01
1, 15
О, 107 409
00
0,222720
01
1,2
О, 117375
00
1,25
О, 127926
00
0,264901
01
1,3
0,139074
00
0,310246
01
1, 35
.
О, 150825
00
0,358862
01
1,4
О, 163184
00
0, 410918
01
1,45
0,176150
00
0 ,466626
01
1,5
О, 188722
00
в2= 0,1,С2=0,5,D =
_::_
2
А
F(A, В , С, Dj 1Порядок 11
А
F(А,В,С,D) 1Порядок
1,55
0, 203892
00
4,05
0 , 954688
00
1,6
0,218651
00
4,1
0,956269
00
1,65
0,233984
00
4,15
о, 96 3467
00
1'7
0,249875
00
4.2
0,967303
00
1, 75
0,266303
00
4,25
0, 970801
00
1,8
0 ,283243
00
4,3
0,973982
00
1,85
0,300668
00
4,35
0 , 976865
00
1,9
0,315545
00
4,4
0,979479
00
1, 95
0,336842
00
4,45·
0,981836
00
2,0
0,355520
00
4,5
0, 983955
00
2,05
0 ,374539
00
4,55
· О,985863
00
2,1
0, 393858
00
4,6
О, 987571
00
4,65
0, 989096
_00
2, 15
0,413430
00
4,7
О. 990456
00
2,2
0, 433210
00
4,75
0,991666
00
2,25
0,453150
00
4,8
0,992738
00
2,3
0 ,473200
00
4,85
0,993687
00
2,35
0, 493310
00
4,9
0, 994524
00
2,4
0 ,513429
00
4,95
0,99526!
00
2,45
0, 533507
00
2,5
0 , 553490
00
5,0
О, 995909
00
5,05
0 , 996476
00
2,55
0, 573339
00
5,1
0,996971
00
2,6
0,592995
00
5,15
0,997403
00
2,65
0 ,612414
00
5,2
0,997778
00
2,7
0 , 631550
00
5,25
0,998104
00
2,75
0,650361
00
5,3
0,998385
00
2,8
0,668806
00
5,35
0, 998624
00
2,85
0,686846
00
5,4
0,998837
00
2,9
0 , 704446
00
5,45
0, 999017
00
2,95
0 , 721573
00
5,5
0,999170
00
3,0
0 , 738199
00
5,55
О, 999302
00
3,05
0 , 754297
00
5,6
0,999413
00
3,1
0,769845
00
5,65
0,999509
00
3, 15
0,784825
00
5,7
0,999589
00
5,75•
0 , 999657
00
3,2
о . 799220
00
5,8
0,999715
00
3,25
0,813020
00
5,85
0, 999763
00
3,3
0,826214
00
5,9
О, 999804
00
3,35
0 ,838800
00
5,95
0 , 999833
00
3,4
0 ,850773
00
6,0
0,999866
00
3, 45
0,862136
00
6,05
0.999890
00
3,5
0 ,872893
00
6,1
0,999910
00
3,55
0 ,883051
00
6, 15
0,999926
•00
3,6
0 ,892616
00
6,2
0,999940
00
3,65
0,901607
00
6,25
0,99995]
00
3,7
0 , 910031
00
6,3
0, 999960
00
3,75
0 , 917907
00
6,35
0,999967
00
З,8
0 , 925250
00
6,4
0,999974
00
3,85
О , 93.'2081
'00
6,45
О , 999979
00
.3 ,9
0,938420
·00
6,5
0,999983
00
3,95
0,994286
•00
6,55
0, 999986
00
4,0
0. 948701
,оо
6,6
0,999989
00
б,65
0 , 999991
00
307
в2=о,5,с2=о
А
F(A, В, С)
\ Порядок\\
А
F(-4,В,С)
1 Порядо к.
0,05
О , 176611
02
2.3
0, 966262
00
о.1
0, 704462
02
2,35
0, 979575
00
о. 15
О , 157764
01
2,4
0, 974394
00
0,2
0, 278644
01
2,45
0, 977766
00
0,25
0, 431752
01
2.5
• 0,980737
00
0,3
0, 615418
01
0,35
О , 827668
01
2,55
0, 983347
00
0,4
О , 106626
00
2,6
0,985636
00·
0,45
О, 132873
00
2, 65
0, 98 7637
00
0,5
о , 161242
00
2,7
0, 989382
00
2.75
0, 990901
0()
0,55
о , 191457
00
2,.8
0, 992220
00
0,6
0,223228
00
2,85
0, 993363
00
0,65
0,255265
00
2,9
'
0, 994350
00
0,7
0.290278
00
2,95
0 ,995200
00
0,75
0,324979
00
3,0
0, 995932
00
0,8
0,360091
00
i
0,85
0 , 395349
00
3, 05·
0. 996560
00
0,9
0,430502
00
3.1
0, 997097
00
0,95
0. 465318
00
3. 15,
0,997556
00
1,0
0,4 99583
00
3', 2
'
0, 997947
0(}
3, 25
0 ,998279
00
1,05
0,533108
00
3,3
0.998561
.00
1,1
0,565723
00
3. 35,
0,998799
00
1, 15
0,597282
00
3,4
0, 999000
00
1,2
0, 627664
00
3,45 i
0, 999170
00
1. 25
0,656767
00
3,.5
0, 999312
00
1,3
0, 684513
00
1,35
0 , 719846
00
3,55
0, 999431
00
1,4
0,735728
00
3,6
0 ,999530
00
1, 45
0,759139
00
3',65
0, 999613
00
1,5
0 , 781077
00
3,7
!
0.999682
00
3,75
0, 999740
00
1,55
0,801552
00
3,8'
0, 999787
0()
1,6
0,820589
00
3,85
0,999826
00
1,65
0, 838223
00
3,9
0 ,999850
00
1,7
0,854500
00
3,95•
0,999885
00
1,75
0 ,869471
00
4,0
0,999907
00
1,8
0 ,883194
00
1, 85
0, 895732
00
4,05
0, 99 9925
00
1,9
0,907151
00
4.1
0 ,999939
00-
1,95
0, 917518
00
4, 15
0, 999951
00
2,0
0, 926901
00
4,2
0. 999961
00
2 ,05
4,25
0, 999968
00-
0,935369
00
4,3
0, 999975
00
2,1
0 ,942989
00
4, 35
0, 999980
00
2, 1'5
0 ,949826
00
4,4
0,999984
00
2,2
0,955944
00
4,45
0,999987
00
2,25
0, 961403
00
4,5
0,999990
00
308,
в2=o,s,с2=о,1,D=о
А
F (.4, В, С, D) 1Порядок 11
А
F (А, В,. С, D) 1Порядок
0, 05
О, 152039
02
2,3
0,958659
00
О,1
0,606790
02
2,35
0,963912
00
О,15
О, 136017
01
2,4
0,9685-75
00
0,2
0 , 240545
01
2,45
0,972703
00
0,25
0,373334
01
2,5
0 , 976347
00
0,3
0,533212
01
0,35
о, 718780
01
2,55
0,979553
00
0,4
0,928433
01
2,6,
0,982367
00
0,45
0,116038
00
2,65
0 , 984830
00
0,5
0,141267
00
2,7
0,9R6980
00
2,75
0 ,988851
QQ,
0,55
о , 168323
00
2,8:
0,990475
00
0,6
О, 196987
00
2,85
0, 991881
00
0,65
0,227032
00
2,9
0, 993096
00
0,7
0,258226
00
3;95
0,994142
00
0,75
0,290338
00
3,0
0 ,995041
00
0,8
0 , 323135
00
0,85
0 , 356389
00'
3,05
0,995812
00
0,9
0 , 389878
00
3,1
0,996470
00
0,95
0,423389
00
3,15
0,997032
00
1,о
0,456719
00
3,2
О , 997510
00
3,25
0 ,997916
00
1,05
0,489680
00
3,3
0,998259
00
1,1
о. ,522097
00
3,35
0,998550
00
1, 15
0,553809
00
3,4'
0,998794
00
1,2
!
0,584675
00
3,45
0,998999
оо,
1,25
0,614569
00
3,5
0,999172
00
1,3
0,643383
00
1,35
0,671028
00
3,55
0 ,999316
00
J,4
0,697431
00
3,6
0, 999436
00
1,45
0,722538
09
3,65
0,999537
00
1,5
0,746307
00
3,7
0,999620
00
3,75
0,999689
00
1,55
0 , 768717
00
3,8:
0 , 999746
00
1,6
0,789759
00
3,85
0 ,999793
00
1, 65
0,809436
00
3,9
0,999831
00,
1,7
0,827764
00
3,95
0 , 999863
00
l, 75
0,844770
00
4,0
0,999889
00
1,8
0,860489
00
1, 85
0,874965
00
4,05
0, 999911
оо,
1,9
0,888248
00
4,1
0,999928
00
1,95
0,900392
00
4.15
0,999942
00
2,0
О ,91145б
00
4,2
0.999953
00
4,25
0,999963
00
2,05
0,92 1501
00
4,3
0, 999970
00
2,1
0, 930590
00
4 ,35
0 ,999976
00>
2,15
О , 938788'
00
4,Ф
0 ,999981
00
2,2
0,946 157
00
4',45
0, 999985
00
2,25
0,95276 1
00
4,5
0,999988
00,
4;, 55
0,999990
00
30 9:
в2= о,5,02= 0,1,D=2
8
А
F (А, В, C, .D) 1Порядок\!
А
1
F(A, В, С, D) ] Порядок
0,05
, О, 153715
.. 02
- 2,3
0 , 957943
00
О,1
0,613441
•Q2
2,35
0,963207
00
.о,15
.о,137494
·01
2;4
0,967889
00
0,2
0,243126
01
2,45
·О , 972041
00
0,25
, 0,377267
01
. 2,5
0 ,975713
00
0,3
0,538711
01
0,35
0,726010
,01
2,55
0,978951
00
0,4
. О,937506
01
. 2,6
0,981800
00
0,45
,О,117135
00
- 2,65
Q,984299
00
0,5
о , 142554
00
2,7
0,.986486
00
2,75
О , 988394
00
·О,55
· О •' 169794
00
. 2,8
О, 990055
{)О
0,6
О, 198630
00
2,85
· О. 991497
00
·О,65
0,228832
00
. 2,9
0,992746
00
0,7
0,260164
:оо
. 2,95
о. ·993826
00
0,75
, 0,292388
00
3,0
· О. 994756
00
· 0,8
0 ;325271
00
0,85
0,358582
/00
3 .05
о, 995556
00
0,9
0,392099
·00
3,1
0,996242
00
··О,95
0,425607
00
3, 15
О, 996829
00
1,0
0,458905
ioo
3,2
'8 ,997733
00
3,25
0,997758
00
1,05
О ,491804
·00
3,3
0,998120
00
1,1
0,524138
.00
3,3Б
0,998428
·00
1, ]5
0,555733
00
3,'4
• О, 998688
00
'1,2
0,586466
00
.З,45
:о, 998907
00
1,25
0,616209
00
3,5
· О, 999092
00
1,3
.
0 , 644858
·оо
1,35
0 ,672327
·оо
. 3,55
0,999247
00
],4
0,698547
00
3,6
· О,999377
·00
'] ,45
0,723458
00
3,65
. · О, '999486
00
·1~
. ,;:)
, О,747052
·00
3,7
о, 999577
00
3,75
О ,999652
00
1 ,55
0 , 769281
00
3,8
,о ; 999715
00
1,6
0,790 147
Оо
3,85
0,999767
00
1, 65
0,809657
00
3,9
·О,999809
00
1,7
0,827830
00
3;95
.о , 999845
00
1, 75
0,844698
00i
'4,0
, о, 999874
QO
'1,8
0;860283
00
' 1,85
0 , 874645
·00
'4,05
, О, 999898
00
1,9
1 0,887828
00
'4 ,1
0,999917
:00
1, 95
· О,899888
,ОО
4. 15
0,999933
00
2,0
:О,910882
00
4,2
о, 999946
00
4,25
0,9999156
00
• 2,05
· о. 920873
00
'4,3
·0 , 999965
00
2,1
0,929921
00
4,35
о, 999972
00
2,15
0,938091
,00
4,4
0,999978
00
.2,2
о, 94544'3
,00
4.45
о, 999982
00
2.25
0,.952041
:оо
4,5
0 ,999986
00
4,'i5
0,999989
00
А,6
0,999991
00,
;:З 10
~
.,,,,,,.,.---
~
в2. = o,s, С2'= 0;1,
1t :.
D ·=-
4
А
F (А. В. С, D) 1 Порядок•l1
А'
F(A, В, С, D) \ 'порядоw
0,05
О , 160456
02
2,3 ·
0,957735
00
о,1
0,640216
02
2.35
0,962884
00
о, 15
О, 143448
02
2,4 ,
0, 967477
00
0,2
О ,253534'
01
2,45
0,971563 '
00
' О,25
0,393192
01.
2,5
0,975190
00
0,3
О,561055
01
0,35
0,755501
01,
2,55
0,978400
00
0,4
0,974678
01
2,6
0, 981236
00·•
0,45
О, 101653·
00
2,65
0,983734 ·
00
0,5
IJ,147886
00
2,7
0,985929
00
2,75 .
0,987854
00
0,55
О, 175931
00
2,8
0,989538
00
0,6
0,205544
00,
2,85
0,991008
0() '
О ,65,
0,236475
оо,
2,9
0, 992287
0()
0,7
0,268472
00
2,95 ,
0,993399
00
0,75
0,301284
00
3;0
0,994362
00
0.8,
0,334663
00
0,85
0,368371
00
3,05 ,
0,995195
00·
0,9
0,402178 -
00
3,1
0,995913
00•
0, 95
0,435868-
00
3, 15
0,996532
0(}'
1,О
0,469838
00
3,2
0,997063
00
3,25
0,997519
00
, 1,05
0,502 102
00
3,3 '
0,997908
00
!'1
0,534292
00
3,35
0,998240
ОО·
·
1, 15
0,565658-
00
3,4
0,998522
оо:;
1.2
0,596068
00
3,45
0,998762
00
1,25
0,625412
00
3,5
0,998965
0(}
I.3
0, 653595 •
00
1,35
0,680544
00
3,55'
0,999137
00
1,4
Q,706202
00
3.6
0,999282
00
1,45
0,730529
00
3,65
0, 999403
00
1,5
о, 753501
00
3;7
0.999506
оо
3,75
0,999591
оо
1,55,
0,775109
00
3,8
0,999663
оо
1,6
О, 795358,
00
3,85
0, 999722
ОО··
1,65
0,814262
00
3;9
0, 999772
оо
1,7
0,83 1847
00
3,95
0,999813
оо
1, 75
0,848140
00
4,0
0,999847
оо
1,8
0,863210
00
}',85
0,877079
00
4:05
0, 999875
00·
1,9
0,889807
00
4,1
0,999898 ·
00
I ,95
0,90 1454'
00
4:15
0,999917
00
2,0
0.912077
00
4,2
0,999933
00
4;25
0,999946
00·
2,05
0,921737
00
4,3
0,999956
00
2,1
0,930497
00
4,35
0,999965
00
2, 15
О, 938417
00
4,4
0,999972
00
2,2
о. 945558
00
4 ;45
0,999977
00
2,25 ••
0,951978 :
00
4,5
0,999982
00
4;55'
0,999985
00
4,6
0,999988 ·
00
4,65 •
0, 999991
00
31 1'1
В2=0,5,С2=о,
3
D=-т-
8
А
F(A , В, С, D) 1 Порядокll
А
F(А,В,С,D) 1Порядок
0,05
О. 170252
02
2,3
0,961311
00
О,1
0,679158
02
2,35
О , 966057
00
О, 15
0.152119
OJ
2,4
0,970284
00
0,2
0,268727
01
2,45
О , 974040
.оо
0,25
0,416493
01
2,5
D,977669
00
0,3
0,593853
01
0,35
О , 798958
01
2,55
0, 980312
00
о,4
О . 102970
00
2,6
0 , 982908
00
0,45
О , 128378
00
2,65
0,985194
00
0,5
О, 155868
00
2,7
9,987200
00
.2,75
0,988958
00
0,55
О, 185181
00
2,8
0,990495
00
·0,6
0, 216043
00
2,85
0 , 991835
·00
0,65
0,248180
00
2,9
D,993000
00
0,7
0,281316
00
2,95
О, 994013
00
0,75
0,315178
00
3,0
О. 994889
00
0,8
0,349502
00
0,85
0,384033
00
3,05
0,995647
00
0,9
0,418531
00
3,1
0,9963()0
00
0,95
0,452770
00
3. 15
0,996862
00
1,О
0,486544
00
3,2
0,997344
00
00
3,25
0,997757
00
1,05
0,519667
3.3
О .998110
00
1,1
0,551972
00
3,35
О, '998411
00
1, 15
0,583314
00
3.4
0,998667
00
1,2
0,613569
00
3,45
0,998844
00
1,25
0,642635
00
3,5
0,999068
00
1,3
0 , 670430
00
1,35
0,696892
00
3,55
О ,99922 3
00
1,4
0,721979
00
3,6
О, 999354
00
1,45
0,745663
00
3,65
0,999464
00
1.5
0,767935
00
3,7
о. 999556
00
3,75
0 , 999633
00
J ,55
0,788800
00
3,8
0,999698
00
J,6
0,808273
00
3,85
О 999751
00
1 ,65
0,826383
00
3 ,'9
0 .999796
00
1,7
0,843166
00
3,95
0,999833
00
1, 75
0,858669
00
4,0
0,999863
00
1,8
0,872942
00
1,85
0 ,886041
00
4,05
О, '999889
00
1,9
0,898025
00
4,1
0 , 999909
00
1, 95
О, 908957
00
4. 15
0,999926
00
2,0
О ,918901
00
4.2
0,999940
00
4,25
0.999952
00
2,05
0,927920
00
4,3
0,999961
00
2.1
О ,936077
00
4,35
О, 999969
00
2, 15
0,943435
00
4,4
0 , 999975
00
2,2
0,950054
00
4,45
0,999980
00
2,25
о, 955994
00
4,5
0 , 999984
00
4,55
0.999987
00
4,6
0,999989
00
4,65
О . 999992
00
312
в2= о,5,с2= 0,1, D =
__::__
2
А
F (А, В. С, D) 1. Порядок\[
А
F (А, В, С, D) 1 Порядок.
0,05
о. 175785
02
2,3
0,965497
00
0.1
0,70] 175
02
2,35
0,969874
09)
О, 15
о. 157030
01
2,4
о, 973754
00
(}, 2
0,277354
01
2,45
0,977 185
00
0,25
0.429764
01
2,5
0,980210
00
0,3
О .612604
01
0,35,
0,823915
01
2,55
О·, 982871
00
0,4
О . 106147
00
2,6
0,985207
00
О ,45
0,132282
00
2,65
0.987252
00
0,5
0.160535
00
2.7
о . 989038
00
2, 75
0,990594
00
0,55
о. 190528
00
2,8
0,991947
00
0,6
0,222276
00
2,85
0,993120
00
0,65
0,255191
00
2,9
о. 994135
00
. 0.7
0,289082
00
2,95
0,995012
00
0,75
0,303667
00
3,0
0,995766
00·
о.в
О' , 358668'
00
0,85
О, 393821
00
3,05
0,996414
00
0,9
0,428879
1
00
3,1
0 ,996970
оо;
0,95
0,463608
00
3, 15
0,997445
00'
r.о
0,497799
00
3.2
0,997851
00·
3.25
0,998 196
00
1.05,
О .53 !260
00
3.3
о. 998489
00·
I.l
0.563823
00
3,35
0, 998737
00
r .15
0,595343
00
3,4
0,998947
00•
1.2
0,625696
00
3,45
0,999124
00
1.25
0,654784
00
3.5
о, 999273
00-
1,3
О,682527
00
1,35
01,708868
00
3,55
0,999398
00
1,4
0,733768
00
3,6
0,999502
0(}:
I ,45
0,757208
00
3,65
о. 999590
00
I,5
0,779184
00
3,7
0.999662
00
3,75
0,999723
оо,
1,55
О, 779705
00
3,8
о , 995773
00
r.6
0,818797
00
3.85
0,999814
00·
1,65,
0,836492
00
3,9
о , 999849
001
1,7
0,852834
00
3,95
0,999877
00
1, 75
0,867875
00
4,0
0,999900
00
1,8
0,881672
00
1,85
0,894287
00
4.05
0,999919
00,
1,9
о, 905784
00
4.1
0,999934
ю
1. 95
0,916230:
00
4. 15
0,999947
00
2,0
· о. 925692
00
4,2
о , 999957
OOi
4,25
О , 9!99966
00
2.05
О. 934239
00
4,3
0,999973
00
2.1
О ,941936
00
4,35
0,999978
оо.
2, 15
о, 948848
oci
4,4'
0,999982
00
2,2
О , 955040
00
4.45
0,999986
00
2,25
о, 960570
00
4.5
0,999989
00
4,55,
0,999991
00
313
В2=0,5,С2--0,5,D=О
А
,1 F(А, В, С, D) 1Порядок\\
А
0,05
0,835033
03
..2,55
0,958022
00
О,1
0.334011
02
2,6
0,963563
00
О, 15
0,751503
02
.2,65
0,968469
00
0,2
· О, 133590
01
.2,7
0,972798
00
0,25
0,208700
01
. 2,75
0,976603
00
0,3
0,300439
01
2,8
0,979936
00
0,35
0,408736
01
2,85
О ,982844
00
0,4
0 ,533473
01
.2,9
0,985373
00
0,45
0,674481
01
2,95
0,987565
00
0,5
0 , 831520
01
3,0
0,989459
00
0,55
О, 100426
00
3,05
0,991089
00
0,6
О, 119231
00
3,1
0,992488
00
0,65
О. 139514
00
3, 15
0,993684
00
{), 7
О, 161214
00
3,2
0,994704
00
0,75
О, 184255
С)О
3.25
0,99557 1
00
{) ,8
0,208553
00
3,3
0,996306
00
0,85
О ,234011
00
3,35
0,996927
00
0,9
0.260520,
00
3,4
0,997450
00
· О,95
0,287961
00
.3.45
0,997889
00
1,0
0 , 316205
00
3,5
0,998257
00
1,05
0,345116
00
3,55
0,998564
00
1,1
0,374550
00
3,6
0,998820
00
1,15
0,404358
00
.3,65
0,999033
00
1,2
' 0,434388
00
3,7
0,999209
00
1,25
0,464489
00
3,75
0,999355
00
1,3
0,494507
00
3.8
0,999475
00
1,35
О ,524295
00
3,85
0,999573
00
1,4
· о.553708
00
3,9
,о,999654
00
1,45
О ,582609
00
3,95
0,999720
00
1,5
0,610871
00
4,0
0,999775
00
1 ,55
0,638376
00
4,05
0,999818
00
1,6
0,665016 ,
00
4,1
0,999854
00
1, 65
. · 0,690699
00
4, 15
0,999883
00
1,7
0,715343
00
4,2
0,999907
00
1,75
0,738880
00
4,25
0,999925
00
1,8
0 , 761259
00
4,3
0,999941
00
1 ,85
0,782439
00
4,35
0,999953
00
1,9
0,802394
00
4,4
0,999962
00
1 ,95
0,821113
00
4,45
О, 999970
00
2,0
0,838593
00
4,5
0,999976
00
2,05
0,854847
00
4,55
0,999981
00
2,1
0,869893
00
4,6
0,999985
00
2, 15
0,883764
00
4,65
0,999988
00
2,2
0,896496
00
4, .7
0,999991
00
2,25
0,908134
00
2,3
0,918728
00
2,35
О , 928332
00
2,4
0,937004
00
!
2,45
0 ,944802
00
2,5
, О,951788
00
А
0,05
О,1
О, 15
0,2
1
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
1
0,65
0,7
Q., 75
0,8
0,85
0,9
0,95
1,0
! ,05
1,1
!,15
!,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
I,5
! ,55
1,6
1,65
1,7
1, 75,
1,8
1,85,
l,9
1, 95
2,0
2,05
2,1
2, 15
2,2
2,25
2,3
2,35
2,4
2,45
2,5
В2'- О,5,С2'=0,5, D = ~
8
,F(А,В,С,D) \Порядок\!
А
0,882083
03
2,55
0,352722
02
2,6
о, 793198,
02
2,65
О, 140902
01
2,7
0,219928-
01
2,75
0,316265
01
2,8
0.429734'
01
2,85
0,560102
01
2,9
0,707066
01
2,95,
0,870251
01
3,0
О, 104919
00
3,05
О, 124334
00
3,1
О, 145203
00
3.15 ,
О, 167453
00
3,2
О, 190995
00
3,25
0,215733-
00
3,3
0,,24156 0
00
3',35
0,268359
'
00
3,4
0,296006
00
3,45,
0,324366
00
3,5
О ,353300 ·
00
3,55 ,
0,382665
00
3.6
'
0, 412313
00
3,65
0,442096,
00
3,7
О ,471867
00
3,75•
0,501480
00
3',8
0. 530795
00
3,85
0,559678:
00
3',9
0,588002
00
3,25
0,615649
00
4,0
0,642512
00
4.05
0,668497
00
4,1
О ,693520
00
4, 15
0,717510'
00
4',2
0,740410
00
4,25
0,762175
00
4,3
О, 782774
00
4,35
0,802187
00
4,4
0,820407
00
4,45
0,8374З8
00
4,5
0,853292
00
4,55
0,867992
00
4,6
0,881569
00
4,65
О, 8,94060
00
4,7
0,905509
,00
4,75'
0,915962
00
4,8
0,925471
00
4:,85
· 0,934091
00
0,941876
00
'
0,948882
00
0,955167
00
0,960784
00
0 ;965789
00
0,970233
00
0;974167
00
0,977638
00
О ,980692
00
0,983370
00
0,985712
00,
0,987754
00
0,989529
00·
0,991068
оо,
0,992399
00
0,993547
оо·
0,994534
оо,
0,995380 ·
OQ
0,996104
оо,
0,996722
00
О. 997248 :
00•
0,997695
00·
0,998074
00•
0,998394
00•
0,998663
00•
0,998890
00
О ,999080
00·
о, 999240 •
00•
0,999373
00·
0,999484
00·
0,999576
00•
0,999652
00·
0,999716
00, •
0,999768
00,
0,999811
00·
0,999846
00
0;999875
00,
0,999899
00
0,999918·
00·
0,999934
00
0,999947
00
0,999957
00•
0,999966
00•
0,999973
оо,
0,999978
00•
0,999983
00·
0,999986
оо,
О ,999989 ,
00
О ,99?991 ,
00
'
3\5,
в2=о.5, С2= о5, D=~
4
А
F (А, В, С, D) 1 Порядок\\
А
1
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0.05
о, 109325
02
2,55
0,954436
00
О,1
0.436726
02
2,6
0,959694
00
О, 15
0.980482
02
2,65
0,964423
00
0,2
О, 173772
01
2,7
0,968665
00
,0,25
0,270445
01
2,75
0, 972461
00
0,3
0,387552
01
2,8
0,975849
00
0,35
0,524466
01
2,85
0,978866
00
0,4
0, 680452
01
2,9
0,981546
00
0,45
0,854664
01
2,95
.Q, 98392 1
00
0,5
0, 104615
00
3,0
,0,986020
00
n.55
о. 125387
00
3,05
0,987871
00
0,6
О, 147668
00
3,1
0,989500
00
0,65
о. 171335
00
3, 15
0,990929
00
0,7
О, 196257
00
3,2
0,992181
QQ
0,75
0,222297
,QQ
3,25
0, 993275
00
о.в
0,249313
00
3.3
0,994228
00
0,85
0,277156
00
3,35
0,995057
00
0,9
0,305675
00
3,4
0,995776
00
0,95
0,334720
00
3,45
0,996398
00
1,О
0,364137
00
3,5
0,996935
00
1,05
0,393776
00
3,55
D, 997398
00
1,1
0 ,423488
00
3,6
0,997796
00
1, 15
0,453130
00
.3,65
-0, 998137
00
1,2
0,482563
00
3,7
0,998429
00
1,25
О ,511657
00
3,75
0,998678
00
1,3
0,540288
00
3,8
0,998890
00
135
0,568343
00
3,85
0,999070
00
1,4
0,595717
00
3,9
0,999223
00
1,45
0,6223 18
00
3,95
0,999352
00
1,5
0,648064
00
4,0
0,99946 1
00
1,55
0,672885
00
4,05
0,999552
00
1,6
0,696721
00
4,1
0,999629
00
1 ,65
0,719726
00
4, 15
0,999694
00
1,7
0,741264
00
4,2
0,999747
00
1, 75
0,761909
00
4,25
0,999792
00
1,8
0,781447
00
4,3
О, 999829
00
1, 85
0,799872
00
4,35
-0,999860
00
1,9
0,817190
00
4,4
0,999886
00
1, 95
0,833412
00
4,45
0,999907
00
2,0
0,848557
00
4,5
0,999924
00
2,05
0,862652
00
4,55
О, 999938
00
2,1
0,875728
00
4,6
0,999950
00
2, 15
0,887222
.QQ
4,65
0,999960
00
2,2
0,898973
00
4,7
.о, 999967
00
2,25
0,909225
00
4,75
0,999974
00
2,3
0,918621
00
4,8
0,999979
00
2,35
О, 927210
00
4,85
0,999983
00
2,4
0,935039
00
4,9
0,999986
00
2,45
,о, 942154
00
4,95
0,999989
00
2,5
-0 ,948604
-
00
5,0
0,999991
00
31(.j
в2 =0,5, с2 =0,5,
3
D=-
..
8
А
.F(A, В , С, D) 1 Порядок/]
А
1
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0, 05
О. 147026
02
2,55
0,967210
00
О,1
0 ,586710
02
2,6
О. 971067
00
о. 15
0 . 131488
01
2 ,65
0,974522
00
0,2
0, 232467
01
2,7
0,977610
00
0 ,25
0,360663 .
01
2,75
0,980364
00
0,3
0,514888
01
2,8
0,982815
00
0,35
0,693373
00
2,85
0,984992
00
0,4
0,895583
00
2,9
0,986920
00
0,45
,О, 111865
00
2,95
0,988624
00•
0,5
0 , 136102
00
3,0
0,990127
00
0,55
,О , 162062
00
3 ,05
0, 991450
00
0,6
О , 189534
00
3,1
О , 992611
00
0,65
0,218297
00
3, 15
0,993628
00
0,7
,0,248130
00
3,2
о.~94517
00
0,75
0,278813
00
3,25
0,995293
00
0,8
0,310126
·00
3,3
,0,995967
00
0,85
0,341857
00
3,35
0 , 996552
00
0,9
0,373803
00
3,4
0 ,9970.59
00
0 ,95
0,405768
00
3,45
0,997497
00
1,0
:0,437571
00
3,5
0,997874
00
1,05
0 , 469041
00
3,55
0,998199
00
1,1
0 , 500024
00
3,6
0,998477
00
1, 15
0 , 530380
00
3,65
О , 998715
00
1,2
0,559986
00
3,7
0,998919
00
1,25
0 , 588732
00
3,75
0 , 999092
00
1,3
0,616526
00
3,8
0,999239
00
1,35
0,643293
00
3,85
0,999364
00
1,4
0,668969 .
00
3,9
0,999469
00
1,45
0,693508
00
3,95
0,999558
00
1,5
0 , 716877
00
4,0
0,999633
00
1, 55
0,739053
00
4,05
0,999696
00
1,6
0,760028
00
4,1
0,999749
00
1, 65
О, 779802
00
4,15
0,999793
00
1,7
0 , 798386
00
4,2
0,999829
00
1,75
0,815798
00
4,25
0,999860
00
1,8
0,832065 1
00
4,3
0,999885
00
1.85
0,847218
00
4,35
0,999906
00
1,9
0,861295
00
4,4
0,999923
оо
1,95
0,874335
00
4,45
0,999938
00
2,0
0,886384
00
4,5
0,999949
00
2,05
О ,897489
00
4,55
0,999959
00
2,1
О,90?696
00
4,6
0,999967
00
2,!5
0,917055
00
4,65
0 , 999973
00
2,2
0,925616
00
4,7
0,999978
00
2 ,25
0,933429
00
4,75
0,999983
00
2,3
0 , 940540
00
4,8
0 , 999986
00
2,35
0 ,946999
00
4,85
0,999989
00
2,4
О, 952852
00
4,9
0,999991
00
2,45
0 , 958143
00
2,5
0,962915
00
317
в2 =05, с2 =O,f;. D=_:: _
2
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок!!
А
F(A, В, С, D) 1 П~рядок
0,05
О, 172522
02
2,55
0,980948
00
О,1
0,688 183
02
2,6
0,983473
00
о, 15
О, 154130
01
2,65
0,985694
00
0,2
0,272253
01
2,7
0,987642
со
0,25
0,421904
01
2,75
0,989348
00
0,3
0,601478
01
2,8
0,990837
00
0,35
0,809073
01
2,85
0,992 135
00
0,4
О, 104253
00
2,9
0,993264
00
0,45
о , 129947
00
2.95
0,994242
00_
0,5
О , 157735
00
3,0
0,995089
00
0,55
о, 187349
00
3,05
0,995821
00
0,6
О 218510
00
3,1
(),996451
00
0,65
0,250937
00
3, 15
0,996992
00
0,7
0,284349
00
3,2
, 0,997457
00
0,75
0,318470
00
3,25
0,997854
00
0,8
о, 353029
00
3,3
0.998193
00
0,85
() ,387768
00
3,35
0,998482
00
0,9
0,422 445
00
3,4
0,998728
00
0,95
0, 456833
00
3, 45
0,998936
00
1,о
0,490723
00
3,5
0,999112
00
1, 05
0 ,52 3928
00
3,55
0, 999260
00
1,1
0 , 556283
00
3,6
0,999385
00
1, 15
0,587642
00
3,65
0,999490
00
!,2
0,617883
00
3,7
0,999578
00
1,25
0,646907
00
3,75
0,999652
00
1,3
0,674633
00
3,8
0,999713
00
1, 35
0,70 1002
00
3,85
0,999765
00
1,4
0,725973
00
3,9
0, 999807
00
1,45
0,749525
00
3,95
0 , 999842
00
1,5
О, 77 1648
00
4,0
0,999871
00
1,55
0,792351
00
4,05
0 ,999895
00
1,6
0,811653
00
4,1
0,999915
00
1,65
0,829585
00
4, 15
0,999931
00
1,7
0,846186
00
4,2
0, 999944
00
1, 75
0,861504
00
4,25
О" 999955
00
1,8
0,875593
00
4,3
0,999963
00
1,85
0,888509
00
4,35
0,999970
00
1,9
0, 900314
00
4,4
0, 999976
00
1,95
0,911 073
00
4,45
0,999981
00
2,0
0,920849 ·
00
4,5
0,999985
00
2.05
0,929706
00
. 4,55
0,999988
00
2,1
0,937710
00
4,6
0,999990,
оо
2 ,15
0,944923
00
2,2
0,95 1407
00
2,25
0,9572 19
00
2,3
0,962416
00
2,35
0,967053
00
2,4
0,971178
00
2,45
0,974840
00
2,5
0,978083
00
318
В2 =0,5, С2= 1, D=O
А
!F(A, В, С, D) 1Порядокll
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
0,3948 11
03
2,55
0,915798
00
О.1
О, !58366
02
2,6
0,925838
00
о, 15
0 . 357966
02
2,65
0,934912
00
0,2
0,640422
02
2,7
0,943077
00
0,25
О , 100864
01
2,75
0 ,95 0392
00
0,3
О, 146620
01
2,8
0,956918
00
0,35
0,201724
01
2,85
о, 962715
00
0,4
0,266634
01
2,9
0,967844
00
0,45
0, 341835
01
2,95
0.972362
00
0,5
0,427823
01
3,0
0,976326
00
0,55
0,525089
01
3,05
0,979790
00
0,6
0,634099
01
3,1
0,982806
00
0,65
0,755276
01
3, 15
0,985419
00
0,7
0,888983
01
3,2
0,987677
00
0,75
0,103550
00
3,25
0,989618
00
0,8
о, 119502
00
3,3
0, 991282
00
0,85
0,136763
00
3,35
0,992703
00
0,9
О, 155327
00
3,4
0,993911
00
0,95
о, 175178
00
3,45
0,994935
00
1,0
О, 196284
00
3,5
0,995800
00
!,05
0,218598
00
3,55
0,996527
00
1,1
0,242060
00
3,6
0,997137
00
1, 15
0,266596
00
3,65
0,997647
00
1,2
0,292115
00
3,7
0,998072
00
1,25
0,318517
00
3,75
0,998425
00
1,3
0,345688
00
3,8
0,998716
00
1, 35
0,373503
00
3,85
0,998957
00
1,4
0,401831
00
3,9
0,999155
00
1,45
0, 430532
00
3,95
0,999317
00
1,5
0,459462
00
4,0
0,999449
00
1,55
0,488475
00
4,05
0,999557
00
J,6
0,517423
00
4,1
0,999645
00
. 1,65
0,546163
00
4, 15
0,999716
00
1,7
0,574553
00
4,2
0,999773
00
J, 75
0,602459
00
4,25
0, 999819
00
1,8
0,629755
00
4,3
0,9998.''i7
00
1,85
0, 656322
00
4,35
0,999886
00
1,9
0,682054
00
4,4
0,999910
00
1,95
0,706858
00
4,45
0,999929
00
2,0
0,730652
00
4,5
0,999944
00
2,05
0,753368
00
4,55
0,999956
00
2,1
о, 774953 ,
00
4,6
0,999966
00
2, 15
0,795365
00
4,65
0,999973
00
2,2
0,814579
00
4,7
0,999979
00
2,25
0;832581
00
4,75
0, 999983
00
2,3
0,849369
00
4,8
0,999987
00
2.35
0,864954
00
4,85,
. 0,999990
00
2,4
0,879356
00
2,45
0,892604
00
' 2,5
0,904736
00
319
В2=о,5, с2=1. D= _!!_
8
А
F(A , В, С, D) \ Порядокl/
А
F(A, Е, С, D) 1 Порядок .
0,05
0,440556
03
2,55
0, 911146
00
о,1
0.176606
02
2,6
0,921092
00
О, 15
0,398792
02
2,65
0,930132
00
0,2
0 , 712466
02
2,7
0,938318
00
0,25
0,112013
01
2,75
0,945703
00
0,3
О, 162484
01
2,8
0,952342
00
0,35
0,223012
01
2,85
0.958288
00
0,4
0,293977
01
2,9
0,963596
00
0,45
0,375779
01
2,95
0,968317
00
0,5
0,468818
01
3,0
0 , 972501
00·
0,55
0,573477
01
3,05
0,976198
00
3.1
0,979453
00
0,6
0,690106
01
3, 15
0.982311
00
0,65
0,8190()6
01
3,2
о : 984811
00
0,7
0,960408
01
3,25
0,986991
00
0,75
о, 111446
00
3,3
0.988887
00
0,8
о. 128122
00
3,35
0,990531
00
0,85
О, 146064
00
3,4
0,991952
00
0,9
О, 165254
00
3.45
0,993177
00
0,95
О, 185661
00
3,5
0,994229
00·
1,0
0,207243
00
3,55
0,995131
00
! ,05
0,229943
00
3,6
0 , 995902
00·
1.1
0,253692
00
3.65
0,996559
00·
1.15
'
0,278408
00
3.7
0,997117
00
1,2
0,303996
00
3,75
0,997591
00
1,25
0,330351
00
3,8
0,997991
00
1,3
0.357359
00
3,85
0 , 998329
00·
1, 35
0,384896
00
3,9
0,998613
00·
1,4
0,412834
00
3,95
0,998851
00
1 ,45
0,441039
00
4,0
0,999051
00
1,5
0,469374
00
4,05
0,999218
О(}
1,55
0,497703
00
4,1
0,999356
00
1,6
0,525889
со
4, 15
0,999472
00
1,65
0,553800
0(}
4.2
0,999567
00
1.7
0,581308
00
4.25
0,999647
00
1, 75
0,608294
00
43
0,999712
00
1,8
0,634644
00
4.35
0,999766
00
1,85
0,660256
00
4,4
0,999810
0(}
1,9
0,685038
00
4,45
0,999846,
00
1,95
0,708908
00
4.5
0,999875
00
2,0
0.731799
00
4,55
0,999899
00
4,6
0,9999 19
00
2,05
0, 753653
00
4,65
0,999935
00
2.1
0,774426
00
4,7
0,999948
·00
2, 15
0,794088
00
4,75
0,999958
00
2,2
0,8126 17
00
4,8
0,999967
00
2,25
0,830007
00
4,85
0,999973
00
2,3
0,846258
00
4,9
0,999979
00
2.35
0,86 1382
00
4,95
0,999983
00
2,4
0.875402
00
5,0
0,999987
00
2.45
0,888344
00
5,05
0,999989
00
2,5
0,900245
00
5,1
0,999991
00
320
А
0,05
О,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
6,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1,0
1,05
1,1
1,15
1,2
1, 25
1,3
1, 35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8
1,85
1,9
1,95
2,0
2,05
2,1
2, 1.5
2,2
2,25
2,3
2,35
2,4
2,45
2,5
2,55
2,6
11-6
:n:
в2=о,5,с2=1,D= -
4
F(A, В, С, D) 1 Порядок!\
А
0,676740
02
2,65
0, 270745
02
2,7
0,60935!
02
2 ,75
о, 108368
01
2,8
О , 169395
01
2,85
0, 244031
01
2,9
О· ,332276
01
2,95
0,434109
01
3,0
0 , 549475
01
3,05
0, 678278
01
3,1
0 ,820369
01
3,15
0,975536
01
3,2
О , 114349
00
3,25
о, 132388
00
3,3
О , 151627
00
3,35
О, 172011
00
3,4
о, 193478
00
3,45
0,215958
00
3,5
0,239370
00
3,55
0,263628
00
3,6
3,65
0,288635
00
3,7
0,314289
00
3,75
0 ,340483
00
3,8
0,36710 4
00
3,85
0, 394038
00
3,9
0 , 421167
00
3,95
0 , 448375
00
4,0
0 ,475545
00
4 ,05
0,502564
00
4,1
0 , 529321
00
4,15
0,55571 2
00
4,2
0,5816 37
00
4,25
0 , 607006
()0
4,3
0 , 631734
00
4,35
0,655746
00
4,4
0,678976
00
4,45
0, 701366
00
4,5
0,722868
00
4,55
0,7434 46
00
4,6
0, 763069
00
4,65
0,781718
00
4,7
0,799381
00
4,75
0 , 816055
00
4,8
0,831744
00
4,85
0,846459
00
4,9
0 ,860217
00
4 ,95
0 , 873040
00
5,0
0, 884956
00
5,05
0,895995
00
5,1
0,906192
00
5, 15
0, 915584
00
5,2
0,924210
00
5 ,25
F(A, В, С, D) 1Порядок
0 , 932109
00
0,939323
Оо
0,945894
00
О , 951862
00
0,957268
оо
0 ,962152
00
0 ,966554
00
0 ,970509
00
0 , 974056
00
0 ,977226
00
0 ,980054
00
0 , 982570
00
0 , 984803
00
0 ,986780
00
0,988525
00
0,990062
0,991413
00
0 ,992597
00
0 ,993632
00
0,994535
о.о
0,995320
00
0 , 996002
00
0 ,996592
00
0 , 997102
00
0 ,997541
00
0,997918
00
0 ,998242
00
0 ,998518
00
0 ,998754
00
0 ,998955
00
0 ,999126
00
0 ,999270
00
0,999392
00
0,999495
00
О,9 С: 9581
00
0 ,999653
00
О , 999714
00
0 ,999764
00
0 , 999806
00
0 ,999841
00
0 , 999870
00
0,999894
00
0.999914
00
0,999930
00
0 , 999943
00
0 ,9 99954
00
0 ,999963
О(}
0 , 999970
00
0 , 999976
00
0 ,999981
00
0,,999984
00
0 ,999988
00
0 , 999990
00
321
В2= 0,5, С2= 1,
3
D =-;с
8
А
F(A, В, С, D) 1Порядок//
А
1
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
О, 168528
02
2,55
0,978499
00
о,1
0,672281
02
2,6
0,981262
00
О, 15
0,150579
01
2,65
0, 983704
00
0,2
0,266008
01
2,7
0,985856
00
0,25
0, 412282
01
2,75
0,987750
00
0,3
0,587853
01
2,8
0,989412
00
0,35
0,790895
01
2,85
0,990868
00
0,4
О, 101933
00
2,9
0,992139
00
0,45
О, 127086
00
2,95
о, 993248
00
0,5
О, 154305
00
3,0
0 , 994213
00
{),55
о, 183329
00
3,05
0 , 995050
00
{) ,6
0,213891
00
3,1
0.995775
00
Ю,65
0,245719
00
3, 15
0,996402
00
10,7
0.278541
00
3,2
0,996942
00
Ю,75
·О .312090
00
3,25
О, 997407
00
0,8
·0,346103
00
3,3
0,997806
00
0,85
·0,380331
00
3,35
0,998147
00
0,9
·О ,414537
00
3,4
0,998439
00
Q95
·0,448499
00
3,45
0,998688
00
l,О
·О ,482015
00
3,5
0,998899
00
1,05
0,514901
00
3,55
0,999078
00
]'1
• О,546992
00
3,6
0,999230
00
1,15_
·О,578148
00
3, 65
О , 999359
00
1,2 .
·0 , 608244
00
3,7
0,999467
00
1,25
0,637182
00
3,75
0,999558
00
1,3
0,664880
00
3,8
0,999634
00
1,35
0,691276
00
3,85
О, 999697
00
1,4
0,716327
00
3,9
О, 999751
00
1,45
О, 740008
00
3,95
0,999795
00
1,5
0 , 762306
00
4,0
0,999832
00
1,55
0,783226
00
4,05
0,999862
00
1,6
0,802781
00
4.1
0, 999887
00
1,65
0,820999
00
4, 15
0,999908
00
1,7
0,837914
00
4,2
0,999925
00
1,75
0,853568
00
4,25
0,999939
00
],8
0,868010
00
4,3
0,999951
00
1,85
0 ,881295
00
4,35
0,999960
00
1,9
О ,893478
00
4,4 •
0,999968
00
1,95
0,904619
00
4,45
0, 999974
00
2 ,,0
0,914779
00
4,5
0 , 999979
•00
2,05
0,924020
00
4,55
0,999983
00
2,1
0,932402
00
4,6
0, 999987
00
2, 15
0,939986
00
4,65
0,999989
00
2,2
0,946830
00
4,7
0,999991
00
2,25
о, 952992
00
2,3
0,958525
00
2.35
0, 963482
00
2,4
0,967913
00
· 2,45
0,971864
00
2,5
0,975379
00
322
в2=0,5,с2=1,D =!!:_
2
А
1
F(A, В , С, D) 1 Порядокll
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
О, 122398
02
2,55
0 , 948793
00
0,1
0,488640
02
2,6
0,954264
00
о, 15
о, 109588
01
2,65
0,959236
00
0,2
·сЮ., 193942
01
2,7
0,963743
00
0,25
(О-,301278
01
2,75
0,967819
00
0,3
•0,430777
01
2,8
0,971497
00
0,35
0,581460
01
2,85
0,974809
00
0,4
0,752205
01
2,9
0,977783
00
0,45
0,941754
01
2,95
о, 980447
00
0,5
О, 114873
00
3,0
0,982830
00
0,55
О , 137168
00
3,05
О, 984954
00
0,6
о, 160905
00
3,1
0,986845
00
0,65
О, 185923
00
3, 15
0,988522
00
0,7
0,212056
00
3,2
0,990008
00
0,75
0,239138
00
3,25
0 ,991321
00
0,8
0,266999
00
3,3
0,992478
00
0,85
0,295475
00
3,35
0,993495
00
0,9
0,324401
00
3,4
0,994387
00
0,95
0,353617
00
3,45
О ,995168
00
1,0
0,382971
00
3,5
О ,995849
00
3,55
0,996443
00
1,05
0 ,412316
00
3,6
0,996958
00
1,1
0,44 151 4
00
3,65
0,997405
00
1, 15
0,470436
00
3,7
О , 997791
00
1,2
0,498963
00
3,75
0,998124
00
1, 25
0,526986
00
3,8
0,998410
00
1,3
0 ,554407
00
3,85
0,998656
00
1,35
О ,581139
00
3,9
0,998866
00
1,4
0,607105
00
3,95
0,999046
00
1,45
0,632240
00
4,0
0 , 999199
00
1,5
0,656490
00
4,05
0,999329
00
1,55
0,679809
00
4,1
о, 999439
00
1,6
0 , 702164
00
4, 15
0,999532
00
1, 65
о, 723528
00
4,2
о, 999611
00
1,7
0 , 743885
00
4,25
0,999677
00
1, 75
0.763228
00
4,3
0,999733
00
' 1,8
0,781553
00
4,35
0,999779
00
1,85
0,798869
00
4,4
0,999818
00
1,9
0,815185
00
4,45
0,999850
00
1,95
0,830520
00
4,5
0,999877
00
2,0 ·
0,844895
00
4,55
0,999899
00
4,6
0,999918
00
2,05
0,858336
00
4,65
0,999933
00
2,1
0,870872
00
4,7
0,999945
00
2, 15
0,882535
00
4,75
0,999956
00
2,2
0,893360
00
4,8
0,999964
00
2,25
0,903382
00
4,85
0,999971
00
2.3
0,912640
00
4,9
0,999977
00
2,35
О, 921170
00
4,95
0,999981
00
2,4
0,929012
00
5,0
0,999985
00
2,45
0,936204
00
5,05
0,999988
00
2,5
0, 942785
00
5.1
0,999990
00
11*
323
В2=0,5,С2=2, D=0
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок!!
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
0 ,882594
04
2,65
0 , 823431
00
О.1
0,356007
03
2,7
0,840956
00
О, 15
0 ,812146
03
2,75
0,857277
00
0,2
0.147149
02
2,8
0 , 872403
00
0,25
0 ,235475
02
2,85
0 ,886355
00
0,3
0 , 348843
02
2,9
0,899165
00
0,35
0 ,490479
02
2,95
0,910870
00
0,4
0,664166
02
3,0
0 , 921516
00
0,45
0 ,874225
02
3,05
о , 931154
00
0,5
о, 112549
01
3,1
0,939839
00
0,55
о, 142327
01
3, 15
0 , 947629
00
0,6
0.177332
01
3.2
0.954584
00
0,65
0,218173
01
3,25
0 , 960766
00
0,7
0,265494
01
3,3
0 ,966236
00
Q,75
0 , 319960
01
3,35
0 ,971054
00
0,8
0 , 382246
01
3,4
0,975279
00
0,85
0,453035
01
3,45
О ,978967
00
0,9
0,532996
01
3,5
0,982173
00
О,95
0,622779
01
3,55
0 , 984947
00
1,О
0 , 722997
01
3,6
0,987337
00
1, 05
0,834216
01
3,65
0 , 989387
00
1,1
О, 956934
01
3,7
0 , 991139
00
1, 15
о, 109157
00
3,75
0,992628
00
1,2
о, 123846
00
3,8
0,993890
00
1,25
О, 139783
00
3,85
0,994954 1 00
1,3
О , 156979
00
3,9
0 , 995848
00
1,35
О, 175431
00
3,95
0,996596
00
1,4
О , 195125
00
4,0
о, 997219
00
1, 45
0,216031
00
4,0'i
о, 997736
00
1,5
0 ,238105
00
4,1
0 . 998163
00
1,55
0,261288
00
4, 15
0 , 998515
00
1,6
0,285509
00
4,2
0 , 998803
00
1,65
0 ,310680
00
4,25
0,999039
00
.
1.7
0 , 336704
00
4,3
0 , 999231
00
1 ,75
0,363469
00
4,35
0,999387
00
1,8
0,390855
00
4,4
0 , 999512
00
1,85
0,418732
00
4,45
0,999613
00
1,9
0 ,446964
00
4,5
0,999694
00
1, 95
0,475410
00
4.55
0 , 999759
00
2,0
0 ,503927
00
4,6
0 , 999811
00
2,05
0,532370
00
4,65
0 ,999852
00
2,1
0,560598
00
4,7
0,999884
00
2 ,15
0 ,588472
00
4,75
0,999910
00
2,2
0 , 615860
00
4,8
0,999930
00
2.25
0,642636
00
4,85
0,999946
00
2.3
0 , 668685
00
4.9
0,999958
00
2,35
0,693901
00
4 ,95
0,999968
•00
2,4
0 , 718192
00
5,0
0 , 999975
00
2 ,45
0 , 741478
00
5 ,05
0 , 999981
00
2,5
О, 763691
00
5,1
0,999985
00
2,55
0,784778
00
5,15 '
О,9У9989
00
2,6
0,804700
00
5,2
0 , 999991
00
:324
А
0,05
О,1
о, 15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
i 0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1,о
1, 05
1,1
1, 15
1,2
1,25
1,3
1, 35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1, 75
1,8
1,85
1,9
1,95
2,0
2,05
2,1
2, 15
2,2
2,25
2,3
2,35
2,4
2,45
2,5
12-6
в2=о,5с2=2, D =~
2
F(A, В, С, D) 1 Порядок\!
А
о, 109896
03
2,55
0,442741
03
2,6
о, 100798
02
2,65
0,182129
02
2,7
0, 290448
02
2.75
0,428535
02
2,8
0,599745
02
2,85
0,807985
02
2,9
0,105767
01
2,95
о, 135372
01
3,0
О, 170142
01
3,05
0,210647
01
3.1
0,257483
01
3, 15
о, 311266
01
3,2
0,372625
01
3,25
0,442187
01
3,3
0,520573
01
3,35
0,608378
01
3,'4
0,706163
01
3,45
0,814441
01
3,5
0,933666
01
3,55
О, 106421
00,
3,6
0.120638
00
3,65
о, 136037
00
3,7
о. 152626
00
3.75
о, 170403
00
3,8
о, 189353
00
3,85
0,209448
00
3,9
0,230649
00
3,95
0,252901
00
4,0
0,276137
00
4,05
0,300281
00
4,1
0,325242
00
4, 15
0,350921
00
4,2
0,377207
00
4,25
0,403985
00
4,3
0,431131
00
4,35
0,458519
00
4,4
0,486019
00
4,45
0,513501
00
4,5
0,540835
00
4,55
0.567896
00
4,6
0,594563
00
4,65
0,620720
00
4,7
0,646259
00
4,75
О, 671084
00
4,8
0,695105
00
4,85
0,718246
00
4,9
0,740438
00
4,95
0,761630
00
5,0
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,781777
00
0,800848
00
0,818825
00
0,835697
00
0,851468
00
0,866147
00
0,879754
00
0 ,892316
00
0,903867
00
0,914445
00
'
0,924096
00
0,932865
00
0,940803
00
0,947961
00
0,954392
00
0,960148
00
0,965281
00
0,969842
00
0,973881
00
0.977445
00
0,980578
00
о, 983324
00
0,985722
00
0,987809
00
0,989620
00
0,991187
00
0,992537
00
0,993697
00
0,994691
00
О, 995541
00
0,996264
00
0,996878
00
0,997397
00
0,997836
00
0,998206
00
0,998516
00
0,998775
00
0,998992
00
0,999172
00
0,999322
00
0,999446
00
0,999548
00
0,999633
00
0,999702
00
0,999759
00
0,999805
00
0,999843
00
0,999874
00
0,999899
00
0,999919
00
325
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок[ 1
А
F(A, В, С, D) l Порядок
5,05
0,999935
00
5,3
0,999980
00
5,1
0,999948
00
5,35
0,999984
00
5, 15
0,999959
00
5,4
0.999987
00
5,2
0,999967
00
5,45
0.999990
00
5,25
0,999974
00
в2 =0,5, С2= 2, D=_!!_
4
А
F(A, В, С, D)
1 Порядок \\
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
0,259313
03
1,9
0,540269
00
о.1
О, 104054
02
1.95
0,565 024
00
0.15
0,235350
02
2,0
0,589399
00
0,2
0,421426
02
00
0,25
0,664485
02
2 ,05
0,613310
0,3
0,967270
02
2,1
0,636681
00
0,35
О, 133300
01
2, 15
0,659441
00
0,4
О, 176530
01
2,2
0,68 1528
00
0,45
0,226812
01
2,25
0,702886
00
0,5
0,284560
01
2,3
0, 723469
00
2, 35
0,743236
00
0,55
0,350204
01
2,4
0,752 156
00
0,6
0,424172
01
2,45
0,780205
00
0,65
0,506881
01
2,5
0,797367
00
0,7
0,598726
01
0,75
0,70 0071
01
2,55
0,813633
00
0,8
О ,811232
01
2,6
0,829001
00
0,85
0,932470
01
2,65
0,843474
00
0,9
О, !06398
00
2,7
0,85 7062
00
0,95
О, 120589
00
2,75
0,869779
00
1,0
О, !35823
00
2,8
0,881647
00
2,85
0,892687
00
1,05
О , 152096
00
2.9
0,902928
00
1,1
О , 169395
00
2,95
0,912399
00
1, 15
О, 187694
00
3,0
0,921 133
00
1,2
0,206961
00
1,25
(),227154
00
3,05
0,929163
00
1,3
0,248220
00
3,1
0,936526
00
1, 35
0,270097
00
3, 15
О . 943258
00
1,4
О, 292716
00
3,2
О , 949395
00
1.45
0,316000
00
3,25
0,954975
00
1,5
0,339865
00
3,3
0,960034
00
3,35
0 ,964608
00
1, 55
0,364221
00
3,4
0 ,968732
00
1,6
0,388974
00
3, 45
0,972441
00
1,65
0,4 14027
00
3,5
0,975767
00
1,7
0 .439278
00
3,55
0,978742
00
1,75
0,464628
00
00
1,8
0,489976
00
3,6
0,981396
1,85
0,515221
00
326
А
3,65
3,7
3,75
3.8
3.85
3,9
3,95
4,0
4,05
4,1
4, 15
4,2
4,25
4,3
4,35
4.4
4,45
4,5
4,55
4,6
4,65
4,7
А
0,05
о,1
О, 15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1,0
12•
В2==0,5, С2=2, D = ~
4
F(A, В, С, D) 1 Порядок\!
А
0.983756
00
4,75
0,985851
00
4,8
О, 987705
00
4,85
0,989341
00
4,9
0,990781
00
4,95
0,992046
00
5,0
О, 993153
00
5,05
0,994120
00
5,1
0,994963
00
5, 15
О, 995695
00
5,2
0,996329
00
5,25
О, 996877
00
5,3
0,997350
00
5,35
о, 997757
00
5,4
0,998106
00
5,45
0,9q8404 1 00
5,5
0,998658
00
5,55
0,998875
00
5,6
О, 999059
00
5,65
О, 999215
00
5,7
0,999346
00
0,999457
00
В2 =0,5, С2= 2,
3
D=-:rt
8
F(A, В, С, D) l Порядок/!
А
0,316782
03
1,05
О. 126868
02
1,1
0,286033
02
1, 15
0,509928
02
1,2
0,799580
02
1,25
0,115625
01
1,3
О, 158141
01
1,35
0,207668
01
1,4
0,264380
01
1,45
0,3:28452
01
1.5
0,400064
01
1,55
0,479384
01
1,6
0,56657 1
01
1,65
0,661763
01
1,7
0,765072
01
1,75
0,876585
01
1,8
0,996349
01
1,85
О, 112437
00
.
1,9
О, 126062
00
1,95
О, 140502
00
2,0
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,999550
00
0,999628
00
0,999693
00
0,999748
00
0,999793
00
(),999830
00
0,999861
00
0,999887
00
0,999908
00
0,999925
00
0,999940
00
О, 999951
00
0,99996 1
00
0,999968
00
О , 999975
00
0,999980
00
0,999984
00
0,999987
00
0,999989
00
О, 999992
00
F(A, В, С, D) 1 Порядок
О, !55743
00
О, 171768
00
О ,188554
00
0 ,206071
00
0,224288
00
0,243165
00
0,262660
00
0,282726
00
0,303310
00
0.324358
00
0,34581 1
00
0,367608
00
0,389686
00
0,411980
00
0,434424
00
0,456952
00
0,479495
00
0,501989
00
0,524368
00
0,546569, _
00
327
А
F(A. В, С, D) 1 Порядокll
2,05
0,568530
00
2,1
0.590193
00
2, 15
0,611501
00
2.2
0,632403
00
2,25
0,652848
00
2,3
0,672792
00
2,35
0,692194
по
2,4
о. 711017
00
2,45
0,729229
00
2,5
0,746802
00
2,55
(). 763714
00
2.6
О, 779945
00
2,65
0,795481
00
27
0,810313
00
2,75
0,824435
00
2,8
0,837845
00
2,85
0,850546
00
2,9
0,862544
00
2,95
0.873847
00
3,0 .
0,884469
00
3,05
0,894424
00
3,1
0,903729
00
3, 15
0,912405
00
3,2
0,920472
00
3,25
0,927955
00
3,3
О, 934877
00
3,35
0,94 1264
00
3,4
0,947142
00
3,45
О , 952537
_оо
3,5
О, 957477
00
3,55
0,961988
00
3.6
0,966097
00
3,65
0,969830
00
3,7
0,973212
00
3,75
0,976269
00
3,8
0,979026
00
3,85
0,98 1504
00
3,9
0,983726
00
3,95
0,985715
00
4,0
0,987489
00
328
3
D=-1t
8
А
4.05
4.1
4, 15
4,2
4.25
4,3
4,35
4.4
4.45
4,5
4,55
4,6
4,55
4,7
4,75
4,8
4 ,85
4,9
4,95
5,0
5,05
5,1
5,15
5.2
5,25
5,3
5,35
5,4
5,45
5,5
5,55
5,6
5,65
5,7
5,75
5,8
5,85
5,9
5,95
6,0
F(A, В, С, D) 1 Порядок
О, 989068
00
0,990470
00
О, 99l71 l
00
О ,992807
00-
0,993773
00
0,994622
00
0.995266
00
0,996016
00
0.996583
00
0,997076
00
0,997504
00
0,997874
00
0,998194
00
0,998469
00
0 . 998705
00
0,998907
00
0,999080
00
0,999228
00
О, 999353
00
о. 999459
00
0,999549
00
0,999625
00
0,999689
00
0,999742
00
0,999787
00
0,999824
00
0,999856
00
0,999882
00
0,999903
00
0,999921
00
;
0,999935
00
О, 999947
00
О, 99995'7
00
0,999965
00
О, 999972
00
0,999977
00
0,999982
00
0,999985
00
0,999988
00
0,999990
00
В2=0,5,С2=~2, D =!:_
2
А
F(A, В, С, D)
1 Порядок!/
А
1
F(A, В, С, D) 1Порядок
0,05
0 , 174204
02
2,3
0, 964015
00
О,1
0,6Sl4880
02
2,35
0 ,968517
00
о,15
О , 155625
01
2,4
0,972516
00
0,2
0,274882
01
2,45
0,976058
00
0,25
0 ,425956
01
2,5
0, 979188
00
0,3
0,607213
01
0,35
0 ,8 16724
01
2,55
0,981948
00
0,4
О, 105229
00
2,6
0, 984375
00
0,45
0 . 131151
00
2,65
о, 986505
00
0,5
О, 159179
00
2,7
0,988369
00
00
2,75
0,989997
00
0,55
О , 189039
2,8
0, 991415
00
0,6
0,220452
00
2,85
О, 992648
00
O, F5
0 ,253131
00
2,9
о , 993718
0()
0,7
0,286790
00
2,95
0,994643
00
0,75
0, 321150
00
3,0
0,995442
00
0,8
0,355937
00
0,85
0,390891
00
3,05
0, 996131
00
0,9
0 ,425764
00
3,1
0,996722
00
0,95
0,460329
00
3, 15
О, 997229
00
1,0
0,494374
00
3,2
0 , 997663
00
3,25
0,998033
00
1,05
0,527712
00
3,3
0,998348
00
1,1
0,560175
00
3,35
, О ,998616
00
1, 15
0.591617
00
3,4
0, 998842
00
1,2
0,621917
00
3,45
0.999034
00
1, 25
0,650974
00
3,5
0,999196
00
1,3
О , 678710
00
1, 35
0,705065
00
3,55
0,999332
00
1,4
0.730001
00
3,6
0,999447
00
1,45
0,753495
00
3,65
0,999542
00
1,5
0,775543
00
3,7
0,999622
00
3,75
0,999689
00
1, 55
0 , 796153
00
3,8
0,999745
00
1,6
0 ,815347
00
3,85
О, 999791
00
1,65
0 ,833157
00
3,9
0 ,999829
00
1,7
0,849625
00
3,95
0,999860
00
1, 75
0, 864801
00
4,0
0,999886
00
1,8
0, 878739
00
1,85
0 ,891500
00
4,05 ·
0,999908
00
1,9
0, 903146
00
4,1
0,999925
00
1, 95
0,913744
00
4, 15
0,999939
00
2,0
О. 923358
00
4,2
О. 999951
00
4,25
0,999960
00
2,05
0, 932055
00
4,3
0, 999968
00
2,1
0,939900
00
4,35
0,999974
00
2, 15
О . 946958
00
4,4
0,999979
00
2,2
О , 953291
00
4,45
0,999984
00
2,25
О. 958957
00
4,5
0,999987
00
4.55
0,999989
00
4,6
0, 999992
00
329
в2=0,5,с2=5,D=о
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок\\
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
О, 985969
06
2,55
0,303061
00
о,1
0,404390
05
2,6
0,328374
00
О, 15
0,947935
05
2,65
0,354482
00
0,2
о, 178209
04
2,7
0,381275
00
0,25
0,29896
04
2,75
0,408632
00
0,3
0,466410
04
2,8
0,436423
00
0,35
О ,;,9620 1
04
2,85
0,464514
00
0,4
0,100631
03
2,9
• 0,492766
00
0,45
о, 142025
03
2,95
0,521038
00
0,5
0,196758
03
3,0
0,549186
00
0,55
0,268513
03
3,05
0,577073
00
0,6
0, 361837
03
3,1
0,604563
00
0,65
0,482300
03
3, 15
0,631527
00
0,7
0,636 671
03
3,2
0,657843
00
0,75
0,833115
03
3,25
0,683399
00
0,8
о, 108140
02
3,3
0,708095
00
0,85
0,139316
02
3,35
0,734840
00
0,9
О, 178210
02
3,4
0,754560
00
0,95
0,226427
02
3,45
0,776190
00
1,0
0, 285833
02
3,5
0,796683
00
1,05
0,358582
02
3,55
0,816001
00
1,1
0,447139
02
3,6
0,834124
00
1,15
0,554306
02
3,65
0,851041
00
1.2
0, 683240
02
3.7
0,866756
00
1,25
0,837475
02
3,75
0,881282
00
1,3
о, 102092
01
3,8
0,894645
00
1,35
О, 123790
01
3,85
0,906877
00
1,4
0,149309
01
3,9
0,918020
00
1,45
0,179159
01
3,95
О, 928122
00
1,5
0,213881
01
4.0
0,937234
00
1,55
0,254051
01
4.05
0,945416
00
1,6
0,300271
01
4,1
0,952725
00
1, 65
0, 353168
01
4,15
О, 959225
00
1,7
0,413381
01
4.2
0,964976
00
1, 75
0.481555
01
4,25
0,970041
00
1,8
0,558336
01
4,3
0,974480
00
1,85
0,644331
01
4,35
О, 978351
00
1,9
0,740204
01
4,4
0,981712
00
1, 95
0,846461
01
4,45
0,984616
00
2,0
0,963635
01
4.5
О, 987113
00
2,05
· О.109217
00
4,55
О , 989250
00
2,1
О, 123244
00
4,6
0,991070
00
2, 15
0, 139473
00
4,65
0,992613
00
2,2
о, 184921
00
4,7
0,9939 15
00
2,25
о , 172594
00
4,75
0,995009
00
2,3
О, 191486
00
4,8
О , 995923
00
2,35
0,2 11577
00
4,85
0,996664
00
2,4
0, 232834
00
4,9
0,997314
00
2,45
0,2552 10
00
4.95
0,997833
00
2,5
0,278644
00
5,0
0,998259
00
330
А
5,05
5,1
5, 15
5,2
5,25
5,3
5,35
5,4
5,45
5,5
А
0,05
О,1
О, 15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1,0
1,05
1,1
1, 15
1,2
1,25
1,3
1, 35
1,4
1,45
1,5
в2=о,5, с2=5,D=О
F(A, В, С, D) / Порядокll
А
0 , 998608
00
5,55
О, 998891
00
5,6
0 , 999120
00
5,65
О , 999305
00
5,7
О, 999453
00
5,75
О. 999571
00
5,8
0,999665
00
5,85
0,999740
00
5,9
0,999798
00
5,95 _
0.999844
00
6,0
В2= 0,5, С2 =5, D= __.::._
8
1 F(A, В, С, D) 1Порядокll
А
О, 170580
05
1,55
0,697495
05
1,6
о, 162698
04
1,65
0,303851
04
1,7
0 ,504847
04
,1,75
0,7815:?8
04
1,8
о. 115461
03
1,85
О, 165055
03
1,9
0,230251
03
1, 95
0 , 315154
03
2,0
0,424795
03
2,05
0,565284
03
2,1
0,743978
03
2, 15
0,969667
03
2,2
о , 125277
02
2,25
О, 160557
•02
2,3
0,204239
02
2,35
0,257987
02
2,4
0,323715
02
2,45
0 ,403612
02
2,5
0,500159
02
2,55
0 , 616151
02
2,6
0,754709
02
2,65
0,919289
02
2,7
О, 111369
01
2, 75
о , 134206
01
2,8
0, 180886
01
2,85
о, 191890
01
2,9
0,227726
01
2,95
0,268926
01
3,0
F(A, В, С, D) 1Порядок
0,999880
00
0,999908
00
0,999930
00
0,999947
00
0,999960
00
0,999970
00
0,999977
00
0,999983
00
0,999987
00
0 , 999990
00
F(A, В, С, D) 1Порядок
0,316046
01
0 , 369656
01
0,430332
01
0,498658
01
0,575194
01
0,660502
01
0 ,755104
01
0,859485
01
0,974082
01
0 , 109926
00
О, 123534
00
О, 138253
00
О , 154096
00
О, 171065
00
0,189153
00
0,208339
00
0,228594
00
0 ,249873
00
0,272123
00
0,295276
00
0,319257
00
0,343977
00
0 ,369340
00
0,395241
00
0,421569
00
0,448207
00
0,475035
00
0,501931
00
0,528772
00
0,555436
00
331
А
3,05
,3, 1
3,15
3,2
3,25
3,3
3,35
3,4
3,45
3,5
3,55
3,6
3,65
3,7
3,75
3,8
3,85
3,9
3,95
4,0
4,05
4,1
4, 15
4,2
4,25
4,3
4,35
4,4
4,45
4,5
4,55
4,6
4,65
4,7
А
0,05
О,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
332
в2=0,5,с2=5,D = ~
8
F(A, В, С, D) 1 Порядокll •
А
0,581805
00
4 ,75
0,607765
00
4,8
0,633209
00
4,89
0,658036
00
4.9
0 , 682154
00
4,95
0,705480
00
5,0
0 ,727941
00
5,05
0,749476
00
0 , 770033
00
5,1
0, 789573
00
5, 15
5,2
0 ,808067
00
5,25
0,825498
00
5,3
0,841851
00
5,35
0,857137
00
5,4
0,871362
00
5,45
0,884546
00
5,5
О, 896715
00
5,55
0,907900
00
0,918141
00
5,6
0,927479
00
5,65
5,7
0,935960
00
5,75
0,943632
00
.'i ,8
0,950545
00
5,85
О, 956750
00
5,9
0,962298
00
5,95
0,967240
00
6,0
0,971624
00
0,975500
00
6,05
0,978914
00
6,1
0,981909
00
6 ,15
6,2
0,984527
00
6,25
0,986804
00
6,3
О, 988787
00
6,35
0,990499
00
_F(A, В, С, D) 1 Порядокl1
А
0 , 640696
05
0,55
0,260059
04
0,6
О ,599404
04
0,65
О, 110146
03
0,7
о, 179398
03
0,75
0,271370
03
0,8
О, 390715
03
0,85
0,543161
03
0,9
о, 735614
03
0,95
о, 976280
03
1,0
F(A, В, С, D) 1 Порядок
О ,_991975
00
0,993242
00
0,994326
00
о, 995251
00
0,996036
00
0,996702
00
0,997264
00
0,9 97737
00
0,998i34
00
0,998466
00
0,998742
00
0,998971
00
0,999161
00
О, 999314
00
0,999447
00
0,999553
00
0,999640
00
О, 999711
00
О, 999766
00
0,999814
00
0,999852
00
0,999882
00
О, 999907
00
0,999926
00
0,999942
00
Ь,999954
00
0,999964
00
0,999972
00
0,999975
00
о, 999983
00
0,999986
00
0,999989
00
0 ,999992
00
F(A, В, С, D) 1 Порядок
о, 127479
02
О , 164234
02
0,209 183
02
0,263799
02
0,329751
02
0,408918
02
0,503398
02
0.615517
02
0,747835
02
0,903151
02
В2=о,5,с2=5,D =!!:_
4
А
F(A, В, С , D) 1 Порядок//
А
F(A, R, С, D) \ Порядок
1, 05
о, 108449
01
3,55
0,790193
00
1,1
0,129513
01
3,6
0 ,806429
00
1, 15
о, 153855
01
3,65
0,821841
00
1,2
О , 181844
01
3,7
0,836426
00
1,25
0,213867
01
3,75
0,850183
00
1,3
0,250329
01
3.8
0,863120
00
1,35
0,291644
01
3,85
0,875247
00,
1,4
0 , 338237
01
3,9
0,886580
00
1,45
0,390537
01
3,95
0,897137
00
1,5
0 ,448972
01
4,0
0,906944
00
1. 55
0 ,513964
01
4,05
0 ,916025
00
1,6
0 ,585922
01
4,1
0,924406
00
1,65
0,665237
01
4, 15
0,932124
00
1,7
0,752276
01
4,2
0,939204
00
1, 75
0.847374
01
4,25
0,945682
00
1,8
о, 950828
00
4,3
0,951592
00
1,85
О, 106289
00
4,35
0,956966
00
1,9
0,118376
00
4,4
0,961~40
00
1, 95
о. 131358
00
4.45
0,966247
00
2,0
О, 145245
00
4,5
9,970220
00
2,05
о, 160037
00
4,55
0, 973791
00
2,1
О ,175730
00
4,6
0,976992
00
2,15
о , 192310
00
4,65
0,979853
00
2,2
0,209758
00
4,7
0,982403
00
2,25
0,228046
00
4,75
0,984669
00
2,3
0.247139
00
4,8
0,986677
00
2.35
0 ,266995
00
4,85
n.988451
00
2,4
0,287564
00
4,9
0 , 990014
00
2 ,45
0,308791
00
4,95
0 , 991387
00
2,5
0,330612
00
5,0
о. 992590
00
2,55
0,352961
00
5,05
0,993642
00
2,6
0,375763
00
5,1
0,994557
00
2,65
0,398942
00
5, 15
о, 995353
00
2,7
0,422416
00
5,2
0,996043
00
2,75
0 ,446106
00
5,25
0,996636
00
2,8
О ,469926
00
5,3
0,997151
00
2,85
0 ,493789
00
5,35
о, 997592
00
2,9
0,517610
00
5,4
0,997970
00
2,95
0,541307
00
5,45
0,998293
00
3,0
0,564797
00
5,5
0,998565
00
3,05
0,588000
00
5,55
0,998802
00
3,1
0,610843
00
5,6
0, 999000
00
3,15
0,633252
00
5,65
0 , 999165
00
3,2
0,655163
00
5,7
0,999309
00
3,25
0,676513
00
5,75
0,999427
00
3,3
0,697247
00
5,8
0, 999827
00
3,35
0,717317
00
5,85
0, 999610
00
3.4
0 , 736679
00
5,9 •
0,999679
00
3,45
0,755296
00
5 ,95
0,999737
00
3,5
0.773144
00
6,0
0 , 999785
00
333
А
6,05
6,1
6, 15
6,2
6,25
6,3
6,35
А
0,05
О,1
о, 15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1,О
1,05
1,1
1, 15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1, 75
334
F(.4 , В, С, D) 1 Порядок!!
.4
·1 F(.4 , В, С, D) 1Порядок
0,999824
00
5,4
0,999857
00
6,45
0,999884
00
6,5
0,999906
00
О, 999924
00
6,55
0,999939
00
6,6
О, 999951
00
6,65
5,7
3
в2=0,5,с2=5,D = -
7ё
8
F(.4, В, С, D) 1 Порядок!\
.4
0,240643
04
1,8
0,969595
04
1,85
0,220794
03
1,9
0,399095
03
1,95
0,636813
03
2,0
0,940347
03
2,05
О, 131756
02
2,1
О, 177780
02
2, 15
0,233193
02
0,299234
02
2,2
2,25
0,377294
02
2,3
\
0,468921
02
2,35
0,575819
02
2,4
0,699841
02
2,45
0,842997
02
2,5
0,100743
01
2,55
0,119546
01
2,6
о, 140949
01
о, 165208
01
2,65
О, 192589
01
2,7
2,75
0,223368
01
2,8
0,257829
01
2,85
О ,296260.
01
,
2,9
0.338954
01
2,95
0,386207
01
3,0
0,438309
01
3,05
0,495551
01
0.,558213
01
3,1
0,625566
01
3, 15
0,700865
01
3,2
3,25
0,78135 1
01
3,3
0,868242
01
3,35
0,961734
01
3,4
о, 106199
00
3,45
0,1 169 18
00
3.5
0,999960
00
0,999966
00
0,999975
00
0,999980
00
0,999983
00
0,999987
00
0,999990
00
F(.4, В, С, D) 1 Порядок
О, 128332
00
О, 140457
00
о, 153293
00
О, 166838
00
о, 181086
00
О, 196029
00
0,211652
00
0,227935
00
0,244856
00
0,262387
00
0,280495
00
0,299145
00
0,318295
00
0,33790 1
00
0,357917
00
0,378290
00
0,398969
00
0,4 19897
00
0,441017
00
0,462271
00
0,483597
00
0,504938
00
0,52623 1
со
0,547419
00
0,568443
00
0,589247
00
О,609778
00
0 ,629976
00
0,649800
00
О. 669201
00
0,688136
00
0,706566
00
0,724455
00
0,74 1772
00
0,75849 1
00
А
3,55
3,6
3,65
3,7
3,75
3,8
3,85
3,9
3 ,95
4,0
4,05
4,1
4, 15
4,2
4,25
4,3
4,35
4,4
4,45
4,5
4,55
4,6
4,65
4,7
4,75
4,8
4,85
4,9
4,95
5,0
5,05
5,1
5, 15
5,2
5,25
А
0,05
О,1
О, 15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
F(A, В, С, D)
0,774583
0,790044
0,804846
0,818983
0,832440
0,845240
0,857359
0,868811
0,879603
0,889746
0,899255
0,908144
0,916434
0,924143
0,931293
О. 937905
0,944011
' О, 949626
0,954783
О, 959503
0,963812
0,967736
0 ,971300
о, 974526
0,977446
О, 980075
0,982435
0,984557
0,986451
0 , 988141
1 Пор~до,JI
00
00
00•
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
А
5,3
5,35
5,4
5,45
5,5
5,55
5,6
5,65
5.7
5,75
5,8
5,85
5,9
•
5,95
6,0
6,05
6,1
6,15
6,2
6,25
00
6,3
00
6,35
00
6,4
00
6 ,45
00
6,fi ,
0000
6,55
00
6,6
00
6,65
00
6,7
6,75
0,989644
00
6,8
0,990976
00
6,85
0,992158
00
6,9
0,993200
00
6,95
О,994117
00
7.О
в2=о5с2=5D=
_..:::__
''
'
2
F(A, В, С, D.)
1 Порядокll
А
0,416323
04
0,75
0,16723 1
03
0,8
0,378900
03
0,85
0,680149
03
0,9
о : 107589
02
0,95
О, 157243
02
1,О
0,217750
02
1, 05
0,290020
02
1,1
0 , 375103
02
1, 15
0,474187
02
1,2
0,588595
02
1,25
0, 719786
02
1,3
0,869346
02
1,35
О , 103898
01
1,4
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,994923
00
0,995627
00
0,996245
00
0,996782
00
0,997244
00
О, 997653
00
0,996003
00
0,998305
00
0,998564
00
0,998787
00
о, 998977
00
0,999140
00
0,999279
00
о , 999396
00
• О ,999496
00
0,999580
00
О, 999651
00
0,9997]1
00
0,999761
00
О, 999803
00
0,999837
00
0,999866
00
0,999891
00
о, 999911
00
0,999927
00
0,999941
00
О, 999952
00
0,999961
00
0,999966
00
0,999974
00
0,999979
00
0 , 999983
00
0,999987
00
0,999989
00
0,999991
00
F(A, В, С, D) l Порядок
о . 123055
01
О, 144597
01
О, 168732
01
0,195674
01
0,225648
01
0 ,258884
01
о.~95620
01
0,336097
01
0,380559
01
0,429252
01
0,482419
01
0,540301
01
0,603131
01
0 , 671135
01
335
в2 =0,5, с2 =5, D=
:;с
-
2
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок\1
А
F(A, В, C, 7 D) 1 Порядок
1,45
0.744529
01
4.25
О ,925837
00
1,5
О ,823514
01
4,3
0,93~686
00
1,55
0.908276
01
4.35
0,939037
00
1,6
0,998982
01
4,4
0,944907
00
1, 65
0,109577
00
4,45
О. 950320
00
4.5
О. 955299
00
1.7
о. 119878
00
4,55
О, 9598t6
00
1,75
О .130809
00
1,8
О, 142378
00
4,6
О, 964047 ·
00
1,85
О, 154587
00
4,65
0,967863
00
4,7
О, 971337
00
1,9
0, 167438
00
4,75
0,974493
00
1, 95
О, 180927
00
4,8
0,977352
00
2,0
0.195048
00
4,85
0,97 9935
00
2,05
0,209791
00
4,9
О ,982264
00
2,1
0,225140
00
4.95
О, 984357
00
2, 15
0,241079
00
5,0
0,986235
·оо
2.2
0,257587
00
5,05
0,987914
00
2.25
0.274637
00
5,1
0,9894 13
00
2.3
0,292201
00
5, 15
О, 990747
00
2,35
0,310246
00
5,2
0.99 1931
00
2,4
0,328737
00
5.25
О, 992980
00
2,45
0.347634
00
5,3
0.993907
00
2,5
0,366897
00
5,35
0,994723
00
2,55
0.386479
00
5,4
0,995440
00
2,6
0,406336
00
5,45
0,996069
00
2,65
0,4264 17
00
5,5
0,9966 19
00
2,7
0,446672
00
5,55
(),997099
00
2,75
О ,467050
·
00
5,6
О, 997517
00
2.8
0,487497
00
5,65
0,997879
00
2,85
0,507963
00
5,7
0,998193
00
2.9
0,528391
00
5,75
0,998463
00
2,95
0,548731
00
5,8
О, 998697
00
3,0
0,568930
00
5,85
0,998897
00
. 3,05
0,588937
00
5,9
0,999069
00
3.1
0,608703
00
5,95
0,999216
00
3, 15
0,628181
00
6,0
0,999341
00
3,2
0,647325
00
6,05
0,999441
00
3.25
0,666093
00
6.1
0,999536
00
3,3
0,684445
00
6. 15
0,9996 14
00
3.35
0,702342
00
6,2
0,999679
00
3,4
0,719756
00
6,25
0,999733
00
3,45
0,736652
00
6,3
0,999779
00
3,5
О. 753005
00
6,35
0,9%8 17
00
3,55
0,768791
00
6,4
0,999849
00
3,6
0,783991
00
6,45
0,999876
00
3,65
0,798590
00
6,5
0,99989::!
00
3.7
0,812576
00
6,55
0,999917
00
3,75
0,825941
00
6,6
0,999932
00
3,8
0,838678
00
6,65
О, 999944
00
3,85
0,850786
00
6,7
0,999955
00
3,9
0,862271
00
6,75
0,999963
00
3,95
0,873132
00
6,8
0,999970
00
4,0
0,883380
00
• 6,85
0,999976
00
4,05
0,893023
00
6,9
0,999980
00
4,1
0,902074
00
6,95
0,999984
00
4, 15
0,910549
00
7,0
0,999987
00
4,2
0,918464
00
7,1
0,999990
00
336
А
F(A, [<, С,)
1 Порядок)!
А
F(A, В, С,)
1 Порядок
0,05
0,149290
02
2,3
0,954274
00
О.1
0,595803
02
2,35
О, 959941
00
О, 15
О, 133549
01
2,4
О. 964997
о.о
0,2
0,236166
01
2,45
0,669492
00
0,25
О ,366512
01
2,5
0,973479
00
0,3
0,523426
01
0,35
0,705525
01
2,55
0,977003
00
о.4
0,911229
01
2,6
0,980109
00
0,45
О .113877
00
2,65
0,982839
00
0,5
о. 138625
()0
2,7
0,985232
00
2,75
0,987322
00
0,55
0, 165162
00
2,8
0,989144
00
0,6
О, 193275
00
2,85
0,990727
00
0,65
0,222743
00
2,9
0,992099
00
0,7
0,253342
00
2,95
0,993284
со
0,75
0,284847
00
3,0
0,994305
00
0,8
0,317034
00
0,85
0,349683
00
3,05
0,995183
00
0,9
0,382581
00
3,1
0,995935
00
О, 95
О .41Б523
00
3, 15
0,996578
00
1,0
0,448317
00
3,2
0,997127
00
3,25
0,997593
00
1,05
0,480781
00
3,3
0,997988
00
1,1
0,512747
00
3,35
0,998323
00
1,15
0,544063
00
3,4
0,998605
00
1,2
0,574593
00
3,45
0,998842
00
1,25
0,604215
00
3,5
0,999042
00
1,3
0,632825
00
1,35
0,660335
00
3,55
О, 999208 .
00
1.4
0,686675
00
3,6
0,999348
00
1,45
О , 711788
00
3,65
0,999464
00
1,5
0,735634
00
3.7
О, 999560
00
3,75
0,999640
00
1,55
О ,758185
00
3.8
0,999706
00
-
1,6
0,779130
00
3,85
0,999761
00
1,65
0,799367
00
3,9
0,999805
00
1,7
0.818006
00
3,95
0,999842
00
1,75
0,835368
00
4.0
0,999872
00
1,8
0,851481
00
4.05
1,85
0,866383
00
0,999897
00
1,9
0,880116
00
4,1
0,999917
00
1,95
0,892728
00
4.lБ
0,999933
00
2,0
О. 904271
00
4,2
0,999946
00
4,25
0,999957
00
2,05
0.914801
00
4,3
0,999966 .
00
2.1
О ,924374
00
4,35
0,999973
00
2, 15
О. 933049 •
00
4,4
0,999978
00
2,2
0,940885
00
4,415
0,999983
00
2,25
0,947941
00
4,5
0,999986
00
4,Б5
0,999989
00
4,6
0,999991
00
337
В2 =0,7, С2 =0,1, D=O
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок\\
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
О, 132233
02
2,55
0,969709
00
О,1
0,527904
02
2,6
0,973651
00
О, 15
О, 118393
01
2,65
0,977142
00
0,2
0,209523
01
2,7
0,980224
00
0,25
0,325476
01
2,75
0,982937
00
0,3
0 ,465363
01
2,8
0,985317
00
0,35
0,628121
01
2,85
0,987399
00
о,4
0,812524
01
2,9
0,989214
00
0,45
О, 101720
00
2,95
0,990793
00
0,5
О, 124064
00
3,0
0,992161
00
0,55
0,148125
00
3,05
0,993344
00
0,6
О, 173730
00
3,1
0,994363
00
0,65
0,200703
00
3, 15
О, 995238
00
0,7
0,228859
00
3,2
О, 995989
00
0,75
0 .2580 13
00
3.25
О, 996629
оо·
0,8
0,287976
00
3,3
0,997175
00
0,85
0,318561
00
3,35
0 , 997639
00
0,9
О, 349584
00
3.4
0,998031
00
0,95
0,380864
00
3,45
О, 998363
оа
1,о
0,412228
00
3,5
0,998642
00
1 ,05
0.443508
00
3,55
О· 998877
00
1,1
0,474548
00
3,6
0,999073
00,
1, 15
0,505198
00
3,65
О ,999237
0()
1,2
0,535324
00
3,7
0,999373
00
1,25
0,56480 1
00
3,75
0,999487
00
1,3
0,.593515
00
3,8
О, 999581
00
1 ,35
0,621368
00
3,85
0,999658
00
1,4
0,648273
00
3,9
0,99972?
00
1,45
0,674159
00
3,95
0,999775
00
1,5
0,698963
00
4,0
О, 999818
00
1,55
0,722640
00
4,05
0,999853
00
1.6
0 , 745154
00
4.1
0,999881
00
1, 65
0,766481
00
4, 15
0,999905
, ОО,
1,7
0,876610
00
4,2
0,999924
00
1, 75
0,805539
00
4,25
0,999939
00
1,8
0,823275
00
4,3
О ,999951
00
1,85
0,839833
00
4,35
0,99996 1
00
1,9
0,855239
00
4,4
0.999969
0(}
1, 95
0,869522
00
4,45
0,999975
О◊
2,0
0,882718
00
4,5
0,999980
00
2,05
0 ,894869
00
4,55
0,999985
0(}
2,1
0,906020
00
4,6
0,999988
00
2, 15
0,916218
00
4,65
0,999990
00
2,2
0,925514
00
2,25
О, 933959
00
2,3
0,941607
00
2,35
(1, 9485 11
00
2,4
О, 954722
00
2,45
0,960292
00
2,5
0,965272
00
.
338
А
F(A, В, С,D) 1Порядок!! А • 1
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
0.132940
02
2.55
О, 969335
00
о.1
0,530711
02
2,6
0,973287
00
О. 15
0,119018
01
2,65
0,976791
00
0,2
0,210616
01
2,7
0,979887
00
0,25
0,327152
01
2.75
0,982616
00
0,3
0,467719
01
2,8
0,985014
00
0,3S
0,631237
01
2,85
О. 987114
00
0,4
0,816462
01
2,9
0.988949
00
0,45
О , 102200
00
2,95
0,990546
00
0,5
О, 124632
00
3,0
0,991934
00
0,55
0,148781
00
3,05
0.993135
00
0,6
О, 174472
00
3.1
0,994172
00
0,65
0,201525
00
3,15
о, 995065
00
0,7
0,229756
00
3,2
0,995832
00
0,75
0,258976
00
3,25
0,996489
00
о.в
0,288995
00
3,3
0,997049
00
0,85
0,319626
00
3.35
0,997526
00
0,9
0,350683
00
3,4
0,997931
00
0,95
0,381984
00
3,45
0,998274
00
1,о
0,413356
00
3,5
0,998564
00
1,05
0,444632
00
3,55
0,998808
00
1.1
0,475654
00
3.6
О, 999013
00
1,15
0,506275
00
3,65
0,999185
00
1,2
0,536360
00
3.7
0,999328
00
1,25
0,565785
00
3,75
0,999438
00
1,3
0,594438
00
3,8
0,999.'547
00·
1,35
0,622221
00
3,85
0,999629
00
1,4
О. 649051
00
3,9
0,999698
00
1,45
0 , 674854
00
3,95
0,999754
00
1,5
0,699574
00
4,0
0,999800
00
1. 55
0,723163
00
4,05
0,999838
00
1,6
0,745588
00
4.1
0,999869
00
1 ,65
0,766828
00
4,15
0 ,999894
00
1.7
0,786870
00
4,2
0,999915 '
00
• 1,75
0,805716
00
4 ,25
0,999931
00
1.8
0,823372
00
4,3
0,999945
00
1,85
0,839856
00
4,35
О, 999956
00
1,9
0,855192
00
4,4
0.999965
00
1, 95
0,868412
00
4,45
0,999972
00
2,0
0,882552
00
4,5
0,999978
00
2.05
0,894653
00
4,55
0,999982
00
2,1
0,905760
00
4,6
0,999986
00
2, 15
0,915922
00
4,65
0,999989
00
2,2
0,952188
00
4,7
0 ,999991
00
2,25
О, 933611
00
2.3
0,941242
00
2,35
О, 948134
00
2,4
0,954339
00
2,45
О, 959908
00
2,5
о. 964891
00
339
в2=07•с2=01D=2-
''
'
'
4
А
F(A, В, С, D) lПорядок!!
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
0,136710
02
2,55
0, 969734
00
о,1
0,545710
02
2,6
О, 973582
00
О. 15
О, 122362
01
2,65
0,976996
00
0,2
0 ,216488
01
2,7
0,980018
00
0,25
О , 336179
01
2,75
0,982686
00
0,3
0 ,480464
01
2,8
0,985033
00
0,35
0,648183
01
2,85
0,987093
00
0,4
0,838006
01
2,9
0,988897
00
0,45
О, 104844
00
2,95
О, 990471
00
0,5
О .127787
00
3.0
0 , 99]841
00
0,55
О , 152456
00
3.05
0, 993031
00
0,6
О, 178667
00
3,1
0 ,994062
00
0,65
0,2062:ЗI
00
3, 15
О, 994952
00
0,7
0,234953
00
~.2
0,995719
00
0,75
0,264636
00
3,2.5
0,996377
00
0,8
О ,295083
00
3,3
0,996942
00
0,85
0,326098
00
3,.'35
О, 997425
00
0,9
0,357489
00
3,4
0,997836
00
0,95
0,389072
00
3.45
0 , 998186
00
1,о
0,420667
00
3,.5
0,998483
00
1,05
0,452108
00
3,55
0 ,998734
00
1,1
О ,483233
00
3,6
о. 998946
00
1, 15
0,513898
00
3,65
0,999125
00
1.2
0,.543967
00
3,7
0,999275
00
1,25
0,573320
00
3,75
0,999400
00
1,3
0,601847
00
3,8
0,999505
00
1,35
0,629455
00
3,85
О, 999593
00
1,4
о. 656065
00
3,9
0,999665
00
1,45
0,681609
00
3,95
0,999726
00
1,5
0 , 706035
00
4,0
0,999776
00
1,55
0,729302
00
4,05
0,999817
00
1,6
0,751382
00
4,1
О , 999851
00
1, 65
0,772260
00
4, 15
0 , 999879
00
1,7
0,791930
00
4,2
О, 999902
00
1, 75
0,810397
00
4,25
0,999921
00
1,8
0,827673
00
4.3
О, 999935 ·
00
1, 85
0,843781
00
4,35
0,999948
00
1,9
0,858749
00
4.4
0,999959
00
1, 95
0,872611
00
4.45
0,999967
00
2,0
0 , 885408
00
4,5
0,999973
00
2,05
О,89718~
00
4,55
0,999979
00
2.1
0,907982
00
4,6
0,999983
00
2, 15
0,917856
00
4,65
0,999986
00
2,2
О, 926856
00
4,7
О, 999989
00
2,25
0,935034
00
4.75
0,999991
00
2,3
0,942443
00
2,35
0,949134
00
2,4
0,955159
00
2,45
0,960.565
со
2,5
0,9654 12
00
340
В2 =0,7, С2 =0, 1,
3
D=
-
-rt
8
А
F(A , В, С, D) 1 Порядокll
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
О , 143647
02
2,55
0 , 973042
00
О,1
0,573330
02
2,6
О, 976529
00
•О.15
О, 128528
01
2,65
О , 979614
00
0,2
0, 227329
01
2,7
0,982335
00
·О,25
0 ,352880
01
2,75
0,984730
00
(),3
0,504100
01
2,8
0, 986830
00
0,35
0,679704
01
2,85
0, 988669
00
(),4
0,878214
01
2.9
0,990273
00
0,45
О, 109799
00
2,95
0 , 991670
00
'0,5
О , ]33724
00
3,0
0, 992883
00
0,55
О , 159406
00
3,05
0 , 993933
00
0,6
О , 186645
00
3,1
0, 994840
00
0,65
0,215233
00
3, 15
О, 995621
00
() ,7
0 , 244960
00
3,2
0,996293
00
!(), 75
0,2756\ ~
00
3,25
0, 996869
00
{)' 8
0 ,306977
00
3,3
0,997361
00
(),85
О , 338848
00
3,35
0 , 997781
00
0,9
0,371021
00
3,4
0,998139
00
{),95
0, 403300
00
3,45
0,998442
00
1,0
0, 435499
00
3,5
0 ,998699
00
1, 05
0 , 467443
00
3,55
О, 998916
00
1,1
0, 498970
00
3,6
0 . 999099
100
1, 15
0,529931
00
3,65
О , 999252
00
1,2
0,560190
00
3,7
0.999381
00
1, 25
0 , 589627
00
3,75
0,999489
00
1,3
0, 618138
00
3,8
0 , 999579
00
1, 35
0,645633
00
3,85
0 ,999654
00
1,4
0,672037
00
3,9
О, 999716
00
1,45
0,697291
00
3,95
0, 999768
00
1,5
0,721349
00
4,0
0,999810
00
1 ,55
0,744 179
00
4.05
0 , 999845
00
1,6
0,765762
00
4,1
0,999874
00
1,65
0,786090
00
4, 15
0, 999898
00
1,7
0,805168
00
4,2
0, 999917
00
1, 75
0,823009
00
4,25
0. 999933
00
1,8
0 ,839634
00
4,3
о:999946
00
1,85
0 ,855074
00
4,35
0, 999957
00
1,Q
0 ,869365
00
4,4
0,999965
00
1,95
0,882548
00
4,45
0,999972
00
2,0
0 ,894670
00
4,5
0 , 999978
00
2,05
0,905781
00
4,55
0,999982
00
2,1
0,915931
00
4,6
0 , 999986
00
2, 15
О, 925177
00
4,65
0,999988
00
2,2
О , 933571
00
4,7
0,999991
00
2,25
О,941171
00
2,3
о. 948029
00
2,35
0.954201
00
2,4
О, 959738
00
2,45
0,964692
00
2,5
о,9691IJ
DO
341
В2=0.1, С2=0, 1, D= !!:,_
2
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок!] '
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок:
0,05
О , 148499
02
2,55
0,976406
00
0.1
0,592654
02
2,6
0,979569
00
о. 15
о, 132845
01
2,65
0,982352
00
0,2
0,234927
01
2.7
о, 984793
00
0,25
0,364600
01
2,75
0,986929
00
0,3
0,520714
01
2,8
0, 988793
00
0,35
0,701900
01
2,85
0, 990414
00
0,4
о. 906592
01
2,9
0 , 991821
00
0.45
О, 113304
00
2,95
0,993038
00
0,5
о. 137935
00
3,0
0, 994088
00
0,55
О , 164352
00
3,05
0,994992
0()
0,6
О, 192340
00
3,1
0. 995768
О(),
0,65
0,221684
00
3, 15
0,996432
00,
0,7
0,252159
00
3,2
0,996999
00
0,75
0, 283542
00
3,25
0, 997482
00,
0,8
0,315611
00
3,3
0,997892
00
0,85
0,348147
00
3,35
0, 998240
00
0,9
0,380940
00
3,4
0,998533
00,
0,95
0,413786
00
3,45
0,998781
00
1,0
0,446493
00
3,5
О , 998989
оо,
1.05
0,478880
00
3,55
0,999 163
00,
1.1
0,510781
00
3,6
о, 999309
00,
1, 15
0,542043
00
3,65
О. 999431
00
1,2
О .572530
00
3,7
0,999533
00
1, 25
0,602122
00
3,75
0,9996 17
00
1,З
0,630714
00
3,8
О ,999687
00
1, 35
0,658219
00
3,85
0 , 999744
00·
1,4
0,684564
00
3,9
0,999792
00,
1,45
0,709694
00
3,95
0,999831
00
1,5
0,733566
00
4,0
0,999863
00
1, 55
О ,756154
00
4,05
0,999889
оо,
1,6
0 , 777444
00
4,1
.0,999910
00
1, 65
0,797434
00
4, 15
0,999928
00
1,7
О .816133
00
4,2
о, 999942
00
1, 75
0,833561
00
4,25
0,999953
00
1,8
0,849746
00
4,3
0 , 999963
00
1, 85
0,864724
00
4,35
0, 999970
00
1,9
0, 878535
00
4,4
0,999976
0(),
1, 95
0,891228
00
4,45
0,99998 1
00
2,0
0,902854
00
4,5
0,999985
00
2,05
0,913466
00
4,55
0,999988
00
2,1
0,923123
00
4,6
0,999990
О(}
2, 15
0,931880
00
2,2
0,939797
00
2,25
о, 946932
00
2,3
0,953342
00
2,35
0,959082
00
2,4
0,964208
00
2,45
0,968772
00
2,5
::J , 972822
00
342
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок\\
А
-
-
F(A, В, С, D) 1: Порядок
0,05
0,81393 1
03
2,55
0.932496
(:)О
О.,1
0,325360
02
2,6
0,940141
60
о. 15
0,731261
02
2,65
0,947077
061
0,2
0, 12980 1
01
2,7
0,9533 47
00
V,25
0,2024 10
01
2,75
0,958995
00
0,3
0.290751
01
2,8
0,964066
00
0,35
0,394574
01
2,85
0,968604
00
0,4
0,513579
01
2,9
0 , 972649
00
0,45
0,647409
01
2,95
0 . 976245
00
0,5
0,795648
01
3,0
0,979429
00
0,55
0,957825
01
3,05
0,982239
00
0,6
о, 133340
00
3.1
о. 9847 11
00
0,65
'
о. 132178
00
3. 15
0.986878
00
. 0,7
:
0, 152230
00
3,2
0 , 988771
00
о. 75
О, 173423
00
3,25
0 ,990420
00
0,8
О, 195679
00
3,3
0 , 991851
00
0,85
0,2189 13
00
3,35
0,993089
00
0,9
0,243035
00
3,4
0,994156
00
0,95
0,267948
00
3.45
0 , 995073
00
1,0
0,293552
00
3,5
0,995859
00
1,05
.о. 319743
00
3,55
0,996529
00
1,1
0,346414
00
3,6
0,997 100
00
1. 15
'О , 373455
00
3,65
0,997584
00
1,2
0,400753
00
3,7
О ,997993
00
1,25
0,428198
00
3,75
0,998338
00
1.3
0,455678
00
3,8
0,998627
00
1.35
0,483082
00
3,85
О, 998869
00
1.4
.О,510304
00
3.9
0,999072
00
1,45
0,537240
00
3,95
0.999240
00
i,5
0,563790
00
4.о~
0,999380
00
1,55
0,589860,
00
4,05
о. 999495
00
1,6
О ;615363
00
4.1
0,999590
00
1,65
:О. 640217
00
4, 15
0,999668
00
1,7
0 , 664348
00
4.2
0 , 999732
00
1, 75
-
0 . 687692
00
4,25
0, 999785
00
1,8
0,710190
00
4,3
~
0,999827
00
1,85
0,731794
00
4,35
0,999862
00
1,9
-о . 752464
00
4,4
0, 999889
00
1,95
0,772 169
00
4,45
О. 9999 12
00
2,0
0, 790886
00
4,5
О, 999930
00
· 2.05
0,808600
00
4,55
0,999945
00
2.1
0,825305
00
4,6
0,999956
00
2. 15
:0.'841002
00
4,65
0,999965
00
2,2
0,855699
00
4.7
О ,999973
00
2,25
, О,869412
00
4,75
0,999979
00
2.3
.0 ;8S 2161
'
·00
4,8
0,999983
00
;
2.35
·о :89397J
·00
4,85
0,999987
00
2,4
- О.904874
00
4,9
0,999990
00
2,45
0,914903
!00
:2,5
:
Ю,'924097
1
,00
343
в2= о,7, с2= о,5, D= _!!:_
8
А
F(A, В, С, D) 1Порядок 11
А
F (А, В, С, D) ,.Порядок
0,05
О ,83590 l
03
2 .55
0,930978
00
о,1
0,334101
02
2,6
0 , 938608
00
о, 15
0 .750757
02
2,65
0 , 945545
00
О,?
О , 133225
01
2.7
0 .951831
00
0,25
0 ,207675
01
2,75
0 , 957508
00
0,3
0,298186
01
2.8
0,962620
00
0,35
0 , 404465
01
2,85
0,967207
00
0,4
0,526156
01
2,9
0,971310
00
0,45
0,662849
01
2,95
0 ,974969
00
0,5
0,814071
01
3,0
0,978222
00
0,55
0 ;979285
01
3,05
0 , 981103
00
0,6
о , 115789
00
3,1
0, 983649
00
0,65
о, 134924
00
3,15
0 , 985890
00
0,7
О , 155260
00
3,2
0 , 987857
00
0,75
о, 176718
00
3,25
0,989578
00
0,8
О, 199216
00
3,3
0 ,991080
00
0,85
0,222664
00
3,35
0,992386
00
0,9
0,246966
00
3,4
о , 993518
00
0,95
0 , 272024
00
3,45
0,994497
00.
1,0
0, 297735
00
3,5
0.995341
00
,... ,.
1,05
0 ,323993
00
3,55
0, 996066
00
1,1
0 , 350688
00
3,6
0, 996686
00
1, 15
0 ,377710
00
3,65
0, 997217
00
1,2
0 , 404950
00
3,7
0 ,997669
00
1,25
0 , 432295
00
3,75
0,998052
00
1,3
0 ,459637
00
3,8
0 ,998377
00
1,35
0 , 486868
00
3,85
0 ,998651
00
1,4
0,513884
00
3,9
О. 998882
00
1,45
0 ,540584
00
3,95
0 , 999075
00
1,5
0,566874
00
4,0
о. 999237
00
1,55
0 , 592663
00
4,05
0 ,999373
00
1,6
0,617868
00
4,1
0 , 999485
00
1,65
0.642413
00
4,15
0, 999579
00
1,7
0, 666228
00
4,2
0 ,999656
00
1, 75
0,689253
00
4,25
0 ,999720
00
1.8
о, 711434
00
4,3
0 , 999773
00
1,85
0 ,732726
00
4,35
0, 999816
00
1,9
0, 753094
00
4,4
0,999851
00
1. 95
0,772510
00
4 ,45
0,999880
00
2.0
0,790953
00
4,5
0 ,999903
00
2,05
0, 808411
00
4,55
0 , 999922
00
2,1
0,824881
00
4,6
0 , 999938
00
2, 15
0 , 840364
00
4,65
0,999950
00
2,2
0,854871
00
4,7
0 ,999960
00
2,25
0,868416
00
4,75
0,999968
00
2,3
0 ,881022
00
4,8
о , 999975
00
2,35
0 ,892712
00
4.85
0 ,999980
00
2,4
0,903518
00
4,9
0 ,999984
00
2,45
0 , 913473
00
4,95
0, 999987
00
2,5
О, 922613
00
5,0
0,999990
00
344
А
0,05
о.1
о, 15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95 .
1,0
1,05
1,1
1. 15
1,2
1 ,25
1,3
1, 35
1,4
1,45
1,5
1, 55
1,6
1,65
1,7
1, 75
1,8
l ,8fi
1,9
1,95
2,0
2,05
2,1
2, 15
2,2
2,25
2,3
2,35
2,4
2,45
2,5
13- 6
в2=о,7,с2=o,s,D=~
4
F(А,В,С,D) 1Порядок11 А
F(А,В,С,D) 1Порядок
0,961339
03
2,55
0,9356 15
00
0,384058
02
2!6
0,942547
00
0,862342
02
2,65
0,948856
00
0, 152860
01
2.7
0,954582
00
0,237955
01
2,75
0.959764
00
0,341094
01
2,8
0,964441
00
0,461767
01
2,85
0 ,968650
00
0,599374
01
2,9
0,972427
00
0 , 753236
01
2,95
0 ,975807
00
0,922590
01
3,0
0,978824
00
0,110660
00
3,05
0,981509
00
3,1
0,983893
00
О , !30437
00
3, 15
0,986003 .
00
О, 15 1492
00
О , 173724
00
3,2
0, 987865
00
О , 197025
00
3,25
0,989505
00
3,3
0,990945
00
0 ,221283
00
3,35
0,992206
00
0.246383
00
3,4
0,993307
00
0,272207
00
3.45
0,994266
00
0 ,298636
00
3,5
0,995100
00
0,325550
00
3,55
0,885822
00
0 , 352827
00
3,6
0 ,996446
00
0,380350
00
3,65
0,996985
00
0,408000
00
3,7
0,997447
00
0,435663
00
3.75
0,997844
00
0 , 463228
00
3,8
0,998184
00
0 ,490589
00
3,85
0,998473
00
0,517643
00
3,9
0,998720
00
0,544295
00
3,95
0 ,998929
00
0 ,570456
00
4,0
0,999 106
00
0,596044
00
4,05
0,999255
00
0,620984
00
4,1
0,999382
00
0,645209
00
4, 15
0,999487
00
0,668659
00
4,2
0,999576
00
0,691283
00
4,25
0,999650
00
О, 713038
00
4,3
0 , 999712
00
4,35
0,999764
00
0 , 733890
00
4,4
0 ,999806
00
0,753811
00
0,772781
00
4,45
0,999842
0()
0,790789
00
4,5
0 , 999871
00
О, 807830
00
4,55
0,999895
00
4,6
0,9999 15
00
0,823905
00
4,65
0,999931
00
0,839023
00
4,7
0 ,999944
00
0,853 196
00
4,75
0,999955
00
0,866444 '
00
4,8
о, 999964
00
О, 878789
00
4,85
О ,999971
00
О ,890258
00
4,9
0 , 999977
00
0,900881
00
4,95
0 , 999981
00
0,910692
00
5,0
0,999985
00
0,91972 7
00
5,05
0 , 999988
00
0,928022
00
5,1
0,999990
00
345
3
В2=0.7, С2=0,5 D= -
1t
'
8
-
-
А
1
F(A, В, C. ~D) /порядок 11
А
1
F(A, В, О, D) 1 Порядок
0,05
о, 123132
02
2,55
0,956038
00
О,1
0,49 1602
02
2,6
0 , 961061
00
О, 15
0,110264
01
2,65
О, 965586
00
0,2
О, 195167
01
2,7
0,969653
00
0,25
0,303237
•01
2,75
0,973299
00
/
0,3
0,433675
01
2,8
0,976560
00
0,35
0,585524
01
2,85
О, 979468
00
0,4
0,757685
01
2,9
0,982055
00
0,45
0,948924
01
2,95
о. 984351
00
0,5
0,115789
00
3,0
0,986384
00
0,55
0.138314
00
3,05
0,988 179
00
0,6
0,1623 14
00
3,1
0,989766
00
0,65
О, 187630
00
3. 15
о.991150
00
0,7
0,214096
00
3,2
0,992368
00
0,75
0,241545
00
3,25
0,993433
00
о.в
0,269808
00
3,3
О, 994362
00
0,85
0,298718
00
3,35
0,995171
00
0,9
0.328108
00
3,4
О ,995873
00
0,95
0,357815
00
3,45
0,996481
00
1,0
0,387682
00
3,5
0,997006
00
1,05
0,417558
00
3,55
О, 997458
00
1,1
0,447300
00
3,6
0,997847
00
1, 15
0,476773
00
3,65
0,998181
00
1,2
0,505851
00
3,7
О . 998466
00
1 ,25
0,534419
00
3,75
О, 998710
00
1,3
0,562372
00
3,8
0,998917
00
1,35
0,589616
00
3,85
О ,999093
00
1,4
0.616068
00
3,9
0,999242
00
1,45
0,64 1656
00
3,95
0,999368
00
1.5
0,66632 1
00
4,0
о. 999474
00
1,55
о. 690011
00
4,05
0,999564
00
1,6
0,712688
00
4.1
0,999639
00
1,65
0,734323
00
4. 15
0,999702
00
1.7
0,754896
00
4,2
О ,999754
00
1,75
0,774390
00
4.25 -
0,999798
00
1,8
О ,792823
00
4,3
0,999834
00
1 ,85
0,8 10179
00
4,35
0,999864
00
1,9
0,826479
00
4,4
0,999889
00
1, 95
0,84174 1
00
4,45
0,999910
00
2,0
0,855988
00
4,5
0,999926
00
2,05
0,869250
00
4,55
0,999940
00
2.1
0,88 1559
00
4,6
0,999952
00
2. 15
0,892952
00
4,65
о. 999961
00
2,2
0,903467
00
4,7
0,999968
00
2.25
0,913 144
00
4.75
о. 999975
00
2.3
0, 922027
00
4.8
0 , 999979
00
2,35
0,930 158
00
4,85
0,999983
00
2.4
0,937582
00
4,9
0,999987
00
2.45
0,944341
00
4,95
0,999989
00
2,5
0,950479
00
5,0
0,999991
·.00
346
л:
в2-О7С2-О5D--
-
''
-
''
-
2
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
F (А, В, С, D) 1Порядок
0,05
О, 145379
02
2,55
0,973995
00
О,1
0,580224
02
2,6
0,977384
00
О,15
О, 130067
01
2,65
О, 980378
00
0,2
0,230037
01
2,7
0,983016
00
0,25
0,357052
01
2,75
0,985334
00
0,3
0 ,510008
01
2.8
0.987366
00
0,35
0,687586
01
2,85
0,989 142
00
0,4
0,888276
01
2,9
0 ,990689
00
0,45
О, 111039
00
2,95
0,992036
00
0,5
О , 135212
00
3,0
0,993202
со
0,55
о, 161149
00
3,05
0,994212
00
0,6
о, 188648
00
3,1
0,995082
00
0,65
0,217496
00
3,15
о , 995832
00
0,7
0,247478
00
3,2
0,996476
00
0,75
0 , 278378
00
3,25
0 ,997026
00
0,8
0,309980
00
3,3
0,997496
00
0,85
0,342072
00
3,35
0,997897
00
0,9
0,374447
00
3,4
0,998238
00
0,95
0,406909
00
3,45
0,998527
00
1,0
0,439268
00
3,5
0,998771
00
1,05
0,471349
00
3,55
0,998977
00
1,1
0,502986
00
3,6
0 , 999150
00
1, 15
0,534031
00
3,65
0,999296
00
1,2
0 ,564348
00
3,7
0,999418
00
1,25
0,593818
00
3,75
0,999520
00
1,3
0,622336
00
3,8
0,999605
00
1,35
0,649812
00
3,85
0,999675
00
1,4
0,676175
00
3,9
0,999734
00
1,45
0,701366
00
3,95
0 ,999782
00
1,5
0,725340
00
4,0
0,999823
00
1,55
0,748069
00
4,05
0,999855
00
1,6
0,769534
00
4,1
0,999883
00
1,65
0,789732
00
4, 15
0,999905
00
1.7
0,808666
00
4,2
О, 99992З
00
1, 75
0,826354
00
4,25
0,999938
00
1,8
0,842820
00
4,3
0,999950
00
1,85
0,858094
00
4,35
О, 999960
00
1,9
0,872216
00
4.4
0,999968
00
1,95
0,885229
00
4,45
0,999974
00
2,0
0,897180
00
4,5
0 , 999979
00
,..,
1
2.05
,. .:·"
0,908121
00
4,55
0 ,999983
00
2,1
0.918106
00
4,6
0,999987
00
2, 15
0,927190
со
4,65
о. 999989
00
2,2
0 , 935428
со
4,7
0,99999t
со
2.25
0,942876
со
2,3
О, 949590
00
2,35
о -. 955626
00
2,4
0.961033
00
2,45
0,965865
00
2,5
0,970170
00
13*
347 '
_.
.._
[32~0,7, С2= 1,D =О
А
F(A, В, С, D) 1Поря~ок 11
А
1
F (А, В, С, D) 1Порядок
0,05
0,443756
03
2,65
0,894254
00
О,1
О, 177674
02
2,7
0 ,905022
00
О, 15
0,400406
02
2,75
0,914947
00
0,2
0,713398
02
2,8
0 , 924062
00
0,25
о, 111776
01
2,85
0,932403
00
0,3
О, 161486
01
2,9
0,940008
00
0,35
0,220623
01
2,95
0,946918
00
0,4
0,289354
01
3,0
0 , 953174
00
0,45
0,367851
01
3,05
0,958819
00
0,5
0,456283
01
3,1
0,963893
00
0,55
0,554809
01
3, 15
о, 968439
00
0,6
0 , 663565
01
3,2
0,972496
00
0,65
0,782663
01
3,25
0 , 976106
00
0,7
0,912175
01
3,3
0,979305
00
0,75
0,105212
00
3,35
0 , 982132
00
0,8
О. 120250
00
3.4
0,984620
00
0,85
о. 136320
00
3,45
0,986802
00
0,9
О, 153408
00
3,5
0 ,988710
00
0 ,95
0.171493
00
3,55
• О, 990372
00
1,0
О, 190544
00
3,6
0,991814
00
1. 05
0,210525
00
3,65
0,993063
00
1.1
0,231390
00
3,7
0 ,994139
00
1, 15
0,253087
00
3,75
0 , 995063
00
1,2
0,275558
00
3,8
О ,995855
00
1 ,25
0,298728
00
3,85
0 , 996530
00
1,3
0,322530
00
3,9
О, 997105
00
1,35
0,346882
00
3,95
О, 997591
00
1,4
0,371699
00
4,0
0,998()03
00
1,45
0,396889
00
4,05
о, 998349
00
1,5
0,42~360
00
4,1
0,998639
00
1,55
0,448014
00
4, 15
О , 998882
00
1,6
0,473755
00
4,2
0,999084
00
1,65
0,499483
00
4,25
О, 999252
00
1,7
0,525101
00
4,3
0,999391
00
1, 75
0,550512
00
4,35
0,999506
00
1·, 8
0,575624
00
4,4
0,999600
00
1, 85
0,600345
00
4,45
0,999678
00
],9
0,624592
00
4,5
0 , 999741
00
1, 95
0,648285
00
4,55
0 ,999792
00
2,0
0,671349
00
4,6
0,999834
00
2,05
0 ,693719
00
4,65
0,999867
00'
2.1
0,715335
00
4.7
0 , 999895
00
2, 15
0,736146
00
· 4,75
0,999917
00'
2,2
0,756107
00
4,8
0,999934
00
2,25
о. 775184
00
4,85
0,999948
00
2,3
0,793348
00
4.9
0,999959 '
оо·
2,35
0,810581
00
4,95
0,999968
оо·
2.4
0,826870
00
5,0
0,999975
00
2,45
0,842212
00
5,05
0,999980
00'
2,5
0,856609
00
5,1
0,999985
00
2.55
0 ,870070
00
5, 15
0,999988 •
00
2,6
0,882612
00
5,2
0,999991
001
348
п
В2 =0,7, С2 =1,О, D= 8
А
F(A,B,C , D) 1 \ Порядок\\
А
F(А,R,С,D) \Порядок
0,05
0, 468034
[03
2,7
0,902668
00
О,Н
О, 187350
02
2,75
0,912535
00
0,15
0,422042
02
2.8
0,921619
00
0,2
о. 751529
02
2,85
0,929954
00
0,25
О, 117668
01
2,9
0,937577
00
0.3
О, 169854
01
2,95
0,944525
00
0,35
0,231828
01•
3.0
0,950837
00
0,4
0,303715
01
3,05
0,95655.2
00
,О,45
0,385637
01
3,1
о. 961·710
00
•0,5
0.477712
01
3.15
0,966350
00
·O,S5
0 ,580043
01
3,2
О , 970511
00
•0,6
0,692707
01
3.25
0,974229
00
0,65
0,815754
01
3,3
0,977542
00
,о.7
0,949194
01
3,35
0,980483
00
·О,75
О, 109299
00
3,4
0.983087
00
,О,8
О, 124706
00
3,45
0,985384
00
{),85
О, 141126
00
3,5
0, 987405
00
{],9
О, 158538
00
3,55
0,989176
00
,О, 95
0,176914
00
3,6
0 , 990724
00
1,0
о. !96220
00
3,65
0,992073
00
1,05
0,216415
00
3,7
0,993245
00
].1
0,237450
00
3, 75
0 ,994259
00
1, 15
0,259268
00
3,8
0,995134
00
1.2
0, 281809
00
3 85·
0,995888
00
1,25
0,305002
00
3,9
0,996534
00
1,3
0,328772
00
3,95
0,997087
00
1,35
О,353С41
00
4,0
0,997558
00
1,4
0,377722
00
4,05
0,997959
00
1,4,'>
0, 402728
00
4,1
0,998298
00
1,5
0,427967
00
4, 15
0.998585
00
1,5.5
0,453347
00
4.2
0, 998827
00
1,6
0 ,478772
00
'
4,25
0,999030
00
1,65
0, 504149
00
4,3
0,999200
00
1,7
0,529385
00
4,35
0,999342
00
1, 75
0,554389
00
4,4
0.999460
00
1,8
0, 579072
00
4,45
0,999558
00
1,85
0, 603352
00
4,5
0,999640
00
1,9
0,627147
00
4,55
0,999707
00
1, 95
0 , 650386
00
4,6
0,999762
00
2,0
0 , 672998
00
4,65
0,999807
00
2.05
0.694923
00
4,7
о.999844
00
• 2,1
О, 716107
00
4,75
о.999875
00
·2, 15
0,736501
00
4,8
О,999899
00
2,2
0,756068
00
4,85
О.999919
00
2.25
0,774774
00
4,9
О.999935
00
2,3
о. 792595
00
4,95
0,999948
00
2 ,35
0,809514
00
5,0
0 , 999959
00
2.4
0,825521
00
5,05
0,999967
00
2,45
0,840613
00
5,1
0,999974
00
2,5
0,854793
00
5, 15
0,999979
00
2,55
0,868071
00
5,2
0,999984
00
2,6
0,880462
00
5,25
0,999987
00
2.65
0,891986
00
5,3
0,999990
00
349
в2=0,7,с2=1,0,D = ;
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок\\
А
F(A, В, С, D) J Порядок
0,05
0,619044
03
2,75
0,921903
00
О,1
0,247565
02
2,8
О, 929803
00
О. 15
0,556822
02
2,8.5
О,9370Б6
00
0,2
0,989396
02
2,9
0.943696
00
0,25
О, 154486
01
2,95
О. 949758
00
0,3
0,222265
01
3,0
О, 955275
00
0,35
0,302199
01
3,05
0,960283
00
0,4
0,394188
01
3,1
0,964816
00
0,45
0,498105
01
3. 15
O,CJ68907
00
О,Б
0,613793
01
3,2
О, 972589
00
0,55
0,741063
01
3,25
О, 975893
00
0,6
0,879683
01
3,3
0,978851
00
0,65
о, 102938
00
3,35
0,981491
00
0,7
О, 118984
00
3,4
0,983840
00
0,75
О, 136070
00
3,45
О, 985926
00
0,8
О, 154154
00
3,5
0,987772
00
0,85
О, 173190
00
3,55
О, 989402
00
0,9
0,193125
00
3,6
0,990837
00
0,95
0,213903
00
3 ,65
0,992097
00
1,0
0,23546 1
00
3,7
0.993200
00.
1,05
0,257733
00
3,75
0,994 163
00
1,1
0,280647
00
3,8
0,995002
OQ
1, 15
0,304 128
00
3,85
0,995731
00
1,2
0,328096
00
3,9
0,996362
00
1,25
0,352470
00
3,95
О, 996908
00
1,3
0 ,377164
00
4,0
0,997378
00
1, 35
0. 402092
00
4,05
0,997782
00
1,4
0,427168
00
4,1
0,998128
00
1,45
0 ,452303
00
4, 15
0,998424
00
1,5
0,4774 10
00
4,2
0,998 677
00
1,55
0,502405
00
,4,25
0,998891
00
1,6
0,527202
00
4,3
0,999073
00
1, 65
0.55 1722
00
4,35
0,999228
00
1,7
0,575887
00
4.4
О, 999357
00
1, 75
0,599623
00
4,45
0,999467
00
1,8
0, 622863
00
4,5
О, 999559
00
1,85
0,645543
00
4,55
0,999636
00
1,9
0,667604
00
4.6
0,999700
00
1,95
0,6889 96
00
4,65
О, 999753
00
2,0
0,709672
00
4,7
0,999798
00
2,05
О ,729594
00
4,75
0,999834
00
2,1
О, 748729
00
4,8
0 , 999865
00
2. 15
0,767050
00
4,85
0,999890
00
2,2
0,784538
00
4,9
О. 99991 !
00
2,25
0,801180
00
4,95
0,999928
00
2,3
0,816967
00
5,0
0,999941
00
2,35
0,831897
00
5,05
0,999953
00
2,4
0,845976
00
5,1
0,999962
00
2,45
О, 859210
00
5, 15
0,999969
00
2,5
0,871614
00
5,2
0.999975
00
2,55
0,883204
00
5,25
0,999980
00
2,6
0,894003
00
5,3
0,999984
00
2,65
0,904033
00
5,35
0,999987
00
2,7
0,913324
оо
5,4
О, 999990
00
350
в2 =О,7, с2 = 1,0,
3
D=-1t
8
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
F (А. В, С, D) \порядок
0,05
0,101557
02
2,65
0,945670
00
О,1
0,405624
02
2,7
0,951461
00
О, 15
0,910388
02
2,75
О, 956731
00
,0,2
О 161285
01
2,8
О, 961515
00
0,25
0,250885
01
2,85
0,965845
00
0,3
0,359310
01
2,9
о, 969756
00
-О, 35
0,485927
()1
2,95
0,973279
00
0,4
0,629999
1)1
3,0
0,976445
00
0,45
0,790696
01
3,05
О, 979282
00
0,5
0.967101
01
3,1
0,981818
00
0,05
0,115822
00
3, 15
0,984080
00
0,6
О, 136299
00
3,2
0,986092
00
0,65
О, 158029
00
3,25
0,987877
00
0,7
О, 180895
00
3,3
О, 989457
00
-0, 75
0,204776
00
3.35
0,990852
00
0,8
О ,229547
00
3,4
0,992080
00
0,85
0,255084
00
3,45
0 , 993159
00
0,9
0,281260
00
3,5
0,994105
00
0,95
0,307949
00
3,55
0.994931
00
1,0
0,335025
00
3,6
0,995652
00
1,05
0,362367
00
3,65
0,996278
00
1,1
0,389854
00
3,7
0,996822
00
1, 15
0,417370
00
3,75
О, 997293
00
1,2
0,444805
00
3,8
0,997699
00
1,25
0,472053
00
3,85
0,998049
00
1,3
0,499013
00
3,9
0,998349
00
1 ,3Б
0,525593
00
3,95
0,998607
00
J,4
0,551706
00
4,0
0,998827
00
1,45
0,577272
00
4,05
0,999014
00
1,5
0,602220
00
4,1
0,999174
00
l ,55
0,626487
00
4, 15
0,999309
00
1,6
. 0,650015
00
4,2
0,999423
00
1,65
0,672755
00
4.25
0,999520
00
1,7
0,694668
00
4,3
0,999601
00
1, 75
0,715720
00
4,35
0,999670
00
1,8
0,735884
00
4,4
О, 999727
00
1, 85
0,755143
00
4,45
0,999775
00
1,9
О, 773482
00
4,5
0,999815
00
1. 95
0,790898
00
4,55
0,999848
00
2,0
0,807389
00
4,6
О, 999875
00
2,05
0,822961
00
4,65
0,999898
00
2.1
0,837625
00·
4,7
0,999917
00
2, 15
0,851397
00
4,75
0,999932
00
2,2
0,864295
00
4.8
0,999945
00
2,25
0,876342
00
4,85
0,999955
00
2,3
0,887565
00
4,9
0,999964
00
2,35
0,897992
00
4,95
0,999971
00
2,4
0,907654
00
5,0
0,999977
00
2,45
0,916583
00
5,05
0,999981
00
2,5
0,924814
00
5,1
0,999985
00
2,55
0,932382
00
5, 15
0,999988
00
2,6
0,939322
00
5,2
0,999990
00
351
А
F (А, В, С, D) 1 Порядокll
А F(А,В,С, D) 1 Порядок
0,05
о, 141570
02
2,55
О, 970925
00
О,1
0,565052
02
2,6
О, 974598
00
О, 15
О, 126677
01
2,65
0,977857
00
0,2
0,224065
01
2,7
0,980742
00
0,25
0,347837
01
2,75
0,983290
00
0,3
0.496934
01
2,8
О, 985633
0().
0,35
0,670103
01
2,85
0,987504
00
0,4
0,86540 1
01
2,9
О. 989231
00
0,45
О, 108272
00
2,95
0,990740
00
0,5
О, 131882
00
3,0
0 , 992055
00,
0,55
О, 157234
00
3,05
0, 993199
00
0,6
• 0.184131
00
3,1
0,994191
00·
0,65
О. , 212372
00
3, 15
() , 995050
0(}
0,7
0, 241749
00
3,2
0.99579 1
00
0,75
0,272()55
00
3,25
о, 996429
0(}
0,8
0,303081
00
3,3
0,996977
О().
0,85
0,334924
00
3,35
0 , 997447
0().
0,9
0,366484
00
3,4
0,997848
00
0,95
0,398469
00
3,45
0,998 191
0()
1,о
0,430397
00
3,5
0,998482
00,
;
1,05
0,462095
00
3,55
1
0,998729
0(}
1,1
0,493403
00
3,Б
1
О, 998939
00
1,15
0 ,524174
00
3,65,
0,999115
00
1,2
0,554275
00
3,7
0,999264
0()
1,25
0,583586
00
3,75
0,999390
00
1,3
0,612003
00
3,8
0,999495
00
1,35
0,639437
00
3 :85
0,999583
0()
1,4
0,665812
00
3,9
О , 999656
00
1,45
0,691069
00
3,95
О , 999717
0(}
1,5
О ,7 15161
00
4,0
О, 999768
0(}
1,55
0,738053
00
4,05
0,9998 10
О(}
1,6
О, 759727
00
4,1
О , 999845
00
1,65
0,780171
00
4, 15
0,999873
00
1,7
О, 799388
00
4,2
0,999897
00
1, 75
0,817389
00
4,25
0,999916
00
1,8
0,834193
00
4,3
О, 999932
00
1,85
0,849828
00
4,35
0,999945
0()
1,9
0,864327
00
4,4
0.999956
00
1, 95
0,877729
00
4,45
0,999964
00
2,0
О,89007~
00
4,5
0,999972
О()
2,05
0,901423
00
4,55
о, 999977
0()
2,1
О ,91 1811
00
4,6
О,999981•
0(}
2, 15
О, 921295
00
4,65
0,999985
00
2,2
0,929929
00
4,7
0,999988
00
2,25
0.937764
00
4,75
0,999990
00
2,3
0,944855
00
2,35
0,95 1253
00
2,4
0,957001
00
1
2,45
0,962 177
00
2,5
0,966800 .
00
J52
А
F (А. R, С, D) !Порядок 11
.А
I F (А, В, С, D) 1Порядок
0,05
Ф, 1.31903
03
2,55
о, 710715
00
о,1
0,529839
03
2,6
0,731328
00
О, 15
О , 120046
02
2,65
0,751155
00
0,2
0., 215478
02
2,7
0,770155
00
0,25
О . 34080.9
02
2,75
О .788299
00
0,3
0,497979
02
2,8
0 ,805559
00
0,35
0 , 689319
02
2,85
0,821921
00
0,4
0,917932
02
2,9
0,837373
00
0,45
С, 118565
01
2,95
0,851913
00
·О,5
0 . 149705
01
3,0
0,865546
00
•О,55
, о, 185532
01
3,05
0.878282
00
0,,6
0.226431
01
3,1
0,890136
00
;О,65
0,272806
01
3. 15
0 , 901131
00
0,7
<О, 32.')069
01
3,2
0.911291
00
0,75
0,383643
01
3,25
0,920646
00
,0,8
0,448949
01
3,3
0,929229
00
0,85 .
0,52 1403
01
3,35
0 .937075
00
•0,9
0.601406
01
3.4
О ,944221
00
•О,95
0,689343
01
3,45
0,950708
,00
1,0
, о,785568
01
3,5
0,956574
00
1,05
0,89040 1
01
3,55
0,961860
00
1,1
О , 100412
00
3,6
0,966607
00
1. 15
О, 112696
00
3,65
0 , 970853
00
1,2
О, 125909
00
3,7
0,974639
00
1,25
О., 140063
00
3,75
o.q78003
00
1,3
.О, 155162
00
3,8
0,980980
00
1 ,35
О, 171205
00
3,85
0,983606
00
1,4
О . 188180
00
3,9
0,985914
00
1,45
0,206070
00
3,95
О. 987935 _
00
1.5
•0 ,224850
00
4,0
0,989699
00
1,55
0,244485
00
4 ,05
0,991233
00
1,6
0 ,264933
00
4,1
0,992563
00
1,65
0,286145
00
4, 1.5
0,993711
00
1,7
0,308063
00
4,2
0,994698
00
1,75
0,330623
00
4,25
0,995545
00
1,8
0 ,353755
00
4,3
0,996269
00
1,85
0,377380
00
4,35
0,996885
00
1,9
0,401418
00
4,4
0 ,997407
00
1,95
0 ,425782
00
4,45
о, 997849
00
"2,0
0 ,450383
00
4,5
0,998222
00
2,05
0,475129
00
4,55
0 , 998534
00
2,1
0 ,499927
00
4,6
0 , 998796
00
2, 15
0,524683
00
4,65
0,999014
00
2,2
0,549804
00
4,7
0,999195
00
2,25
0,573701
00
4,75
0,999345
00
2.3
0,597784
00
4,8
0,999469
00
2,35
0,621469
00
4,85
0,999570
00
2,4
0,644676
00
4,9
0,999654
00
2.45
0,667331
00
4,95
0,999722
00
:2, 5
·0,689366
00
5,0
0,999777
00
352
А
F(А,В,С,D) \порядок11 А
\ F (А, В, С, D) 1Порядок
5,05
0,999822
00
5,4
0,999966
00'
5,1
0,999858
00
5,45
0,999974
ею
5, 15
0,999888
00
5,5
0,999979
00
5,2
0,9999 11
00
5,55
0,999984
0(}
5,25
0,999930
00
5,6
0,999988
00
5,3
0,999945
00
5,65
0,999990
00
5,35
0,999957
•00
в2 =07, С2 =2,о D=~
,
,
8
А
А
.
\ F (А, В, С, D) 1Порядок
0,05
О, 146732
03
1,85
0,384181
00
О,1
О ,589117
03
1,9
0,407887
00
О, 15
о, 133370
02
1, 95
0,43 1873
00
0,2
0,239131
02
2,0
0,456055
00
0,25
0,377696
02
0,3
0,550962
02
2,05
0. 480344
00
0,35
0,761207
02
2,1
0,504653
00
0,4
о, 101106
01
2, 15
0,528894
00
0,45
О, 130347
01
2,2
0,552980
00
0,5
О, 164167
01
2,25
0,576827
OG
2,3
0,600352
00
0,55
0,202913
01
2,35
0,623477
00
0,6
0,246954
01
2,4
0.646129
00
0,65
0,296669
01
2.45
0,668239
00
0,7
0, 352449
01
2,5
0,689744
00
0,75
0,414690
01
2,55
0,710587
00
0,8
0,483780
01
2,6
0,730717
00
0,85
0,560101
01
0,9
0,644017
01
2,65
0,750092
00
2,7
0,768675
00
0,95
0.735870
01
2,75
0,786436
00
1,о
0,835972
01
2,8
0,803353
00
1,05
0,944596
01
2,85
0,8194 11
00
1,1
О, 106197
00
2,9
0.834602
00
1, 15
О, 118828
00
2,95
0,848922
00
1,2
о, 132366
00
3,0
0,862376
00
1,25
0,146816
00
3,05
0,874972
00
1,3
О, 162178
00
3,1
0,886727
00
1, 35
О, 178446
00
3, 15
0,897658
00
1,4
О, 195606
00
3,2
о, 907789
О(}
1,45
0,2 13636
00
3,25
0,917148
00
1,5
0 , 232506
00
3,3
0,925763
0(}
1,55
0,252181
00
3,35
0,933668
0(}.
3,4
0,940898
00
1,6
0,2726 16
00
3.45
0,947487
00,
1, 65
0,293760
00
3,5
0 ,953472
00
1,7
0,3 15555
00
1, 75
0 , 337938
00
3,55
0,958892
00
1,8
0,360838
00
3,6
0,963782
OQ
354
А
3 ,65
i
.3,7
!
3,75 1
i
3,8
i
3,85 1
3,9
3,95
4,0
4,05
4,1
4, 15
4,2
4,25
4,3
4 ,35
4,4
4,45
4,5
4,55
4,6
4,65
4,7
А
0,05
О,1
о, 15
0,2
0,25
0,3
0,35
Q,4
0,45
0,5
0,55
0,6
• 0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0.9
0,95
1,0
в2=о,7,с2=2,0D=~
8
F (А, В, С, D) 1Порядок11
А
0 ,968 181
00
4,75
0,972 125
00
4,8
0,975650
00
4,85
0,978789
00
4,9
0,981576
00
4,95
0,984042
00
5,0
0,986217
00
5,05
0,988 130
00
5,1
0 .989806
00
5, 15
0,99 1271
00
5,2
0,992546
00
5,25
0,993653
00
5,3
0,9946 11
00
5,35
0,995438
00
5,4
0,996148
00
5,45
0 ,996757
00
5,5
0 , 997278
00
5,55
0 ,997721
00
5,6
0 , 998098
00
5,65
0 , 998417
00
5,7
0,998686
00
5, 75
0,998912
00
5,8
F(А, В, С, D) \Порядок11
А
0,256692
03
1.05
О , 102867
02
1,1
0,232160
02
1, 15
О ,414481 •
02
1,2
0 ,651107
02
1, 25
0,943639
02
1,3
О, 129396
01
1,35
0 , 170421
01
1,4
0 ,217672
01
1,45
О ,271400
01
1,5
0,331862
01
1, 55
0,399322
01
1,6
0 , 474041
01
1 ,65
0,556273
01
1,7
0 ,646254
01
1,75
0,744201
01
1,8
0,850305
01
1,85
0 ,964722
01
1,9
О, 108756
00
1, 95
О , 121891
00
2,0
F (А, В, С, D) 1Порядок
0,999 102
00
0,999261
00
0,999393
09
0 ,999503
00
0,999595
00
0 ,999970
00
0,999732
00
0,999783
00
О, 999825
00
0,999859
00
0,99988 7
00
0,999909
00
0.999927
00
0,999942
00
0,999954
00
0,999963
00
0,999971
00
0,999977
00
0,999982
00
0,999986
00
О ,999989
00
0,999991
00
F(А, В, С, D) 1Порядок
0 ,.135879
00
О , 150716
00
О, 166394
00
0,182899
00
0,2002 10
00
0,21830 1
00
0,237138
00
0 ,256682
00
0,276890
00
0 , 297710
00
0 , 319066
00
0,340959
00
0 , 363263
00
0,38593 1
00
0,408890
00
0,432067
00
0,455386
00
0,478771
00
0,50214'5
00
0 ,525433
00
355
:rt
в2=о7с2=2о,D= -
,
,
4
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
1
F(A. В, С, D) 1 Порядок,
2,05
0,548558
00
4,05
0,990665
00
2,1
0,571449
00
4,1
0,991938
00
2, 15
0, 594035
00
4, 15
О, 993054
00
2,2
0,616249
00
4,2
0,994031
00
2,25
0,638029
00
4,25
0,994883
00
2,3
0,659314
00
4.3
0,995624
00
2.35
.
0,680052
00
4,35
0,996268
00
2.4
0,700193
00
4,4
0,996824
00
2,45
О, 719694
00
4.45
0,997304
00
2,5
о, 738517
00
4,5
0,997718
00
2,55
0,756629
00
4,55
0,998072
00
2.6
0,774003
00
4,6
0,998375
00
2,65
0,790620
00
4,65
0.998635
00
2,7
0,806163
00
4,7
0,998856
00
2,75
0,821824
00
4,75
0,999043
00
2,8
0,835797
00
4,8
0,999202
00
2,85
0,849284
00
4,85
0,999336
О(}
2,9
0,86 1989
00
4,9
0,999449
0(),
2.95
0,873923
00
4,95
0,999543
00·
3,0
0,885098
00
5,0
0,999923
00·
3,05
0,895833
00
5,05
0,999689
00,
3,1
0,905248
00
3, 15
0,914266
00
5,1
0,999745
0(),
3,2
0,922613
00
5, 15
0,999790
00'
3,25
0,930315
00
5,2
О, ~99829
001
3,3
0,937403
00
5,25
0,999860
00·
3,35
0,943907
00
5,3
0,999886
00
3,4
0,949857
00
5,35
0,999907
00
3,45
0,955285
00
5,4
0,999925
00
3,5
О, 960223
00
5,45
0;999939
00
3,55
0,964702
00
5,5
0,999951
00
3,6
0,968754
00
5,55
0,999961
00
3,65
0,972408
00
5,6
0,999968
00
3,7
0,975696
00
5,65
0,999975
00
3,75
0,978843
00
5,7
0,999980
00
3,8
О, 981279
00
5, 75,
0,999984
00
3,85
о, 983831
00
5.8
0,999987
00
3,9
0,985722
00
5,85
0,999990
00-
3,95
О, 987577
00
4,0
0,989218
00
в2 = о,7,
3
С2 = 2 D=-'Тi:
,
8
А
F (А, В, С, D) lПорядок 11
А
F (А, В, С, D) 1Порядок •
0,05
0,690864
03
0,3
0,246645
01
о,1
0,276149
02
0,35
0,334662
01
о, 15
0,620600
02
0,4
0,435526
01
0,2
О, 110145
01
0,45
0,548934
01
0,25
О, 171733
01
0,5
0,674544
01
356
В2=0,7, С2=2,
3
D=-.-те
8
А
F(A,B,C,D) 1 Порядок 11
А
F (А, В, С, D) 1Порядок
0,55
0 ,811973
01
3,05
0,955857
00
0,6 ·
0,960794
01
3,1
0,960897
00
0,65
0,112054
00
3, 15
О, 964907
00
0,7
О, 129070
00
3,2
0,968816
00
0,75
О, 147074
00
3,25
0,972353
00
0,8
0,166006
00
3,3
о, 975544
00
0,85
О, 185S04
00
3,35
0,978416
00
0,9
0,206404
00
3.4
0,980995
00
0,95'
0,227735
00
3,45
0 , 983304
00
1,0
0,249727
00
3,5
0,985366
00
1,05
0,272305
00
3,55
0,987202
00
1,1
0,295393
00
3,6
0,988835
00
1, 15
0,318914
00
3,65
0,990281
00
1,2
0,349788
00
3,7
0,991560
00
.
1,25
0,366935
00
3,75
0,992687
00
1,3
0,391277
00
3,8
0,993679
00
1,35
0,4 15731
00
3,85
0 ,994548
00
1,4
0,440223
00
3,9
0,995309
00
1,45
0,464669
00
3 ,95
0,995974
00
1,5
0,488998
00
4,0
0,996552
00
1,55
0,.513135
00
4,05
0,997054
00
4,1
0,997489
00
1,6
0,5370 11
00
4, 15
0,997865
00
1, 65
0,560558
00
4,2
0,998189
00
1,7
0,5837 12
00
4,25
0,998467
00
1, 75
0,606414
00
4,3
0,998705
00
1'8-
0,628508
00
4,35
0,998909
00
1,85
0,650246
00
1,9
0,671280
00
4.4
0,999083
00
4,45
0,999232
00
1 ,95.
0,691672
00
4,5
О, 999257
00
2,0
0,711384
00
4,55
0,999464
00
2,05
0,730388
00
4,6
0,999853
00
2,1
0,748658
00
4,65
0 , 999629
00
2, 15
0,766174
00
4,7
0,999698
00
2,2
0,782923
00
4,75
0,999746
0();
2,25
0,79S894
00
4,8
0,999790
001
2,3
О, 814082'
00
4,85
0,999828
0(}
2,35
0,828488
00
4,9
0,999858
0();
2,4
0,842 113
00
4,95
0,999884
00
2,45
0,854968,
00
5,0
0 , 999905
оо,
2,5
0,S67062
00
5,05
0,999923
00
2,55
0,878411
00
5,1
0,999937
00
2,6
0,889032
00
5, 15
0,999949
00
2.65
О, 898946,
00
5,2
0,999959
0()
2,7
0,908175
00
5,25
0,999966
00
2,75
0,916745
00
5,3
0,999973
00
2 ,8,
О, 924682'
00
5,35
0,999978
00
2,85
0,932012
00
5,4
0,999982
00
2,9
0,938766
00
5,45
0,999986
00
2, 95·
0 ,944971
00
5,5
0,999989
00
3., о,
0,95Q659
00
5,55,
О. 999991
00
ЗБ7
В2 =0.7, С2 =2, D=_ .:: _
2
А
F(A, В, С, D) 1Порядок 11
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
О, 134250
02
2,55
0,964610
00
о.1
0,535888
02
2,6
0,968848
00
о. 15
О, 120158
01
2,65
0.972639
00
0,2
О , 2!2586
01
2,7
0.976022
00
0,25
0,330113
01
2,75
0,979033
00
0,3
6,471783
01
2,8
0,98 1406
00
0,35
0,636458
01
2,85
0,981706
00
0,4
0,82?827
01
2.9
· О,986166
00
0,45
О, 102943
00
2,95
О, 988009
00
0,5
О, 125467
00
3,0
0,989630
00
0,55
О, 149686
00
3, 05
0.99 1051
00
0,6
О 175419
00
3,1
0,992296
00
0,65
0,202482
00
3, 15
О, 993380
00
I 0,7
0,230684
00
3,2
0,994323
00
0,75
0,259833
00
3.25
0, 995146
00
0,8
0 ,2 89737
00
3,3
О, 995857
00
0,85
0,320206
00
3,35
0,996472
00
0,9
0,351053
00
3,4
0,997002
00
0,95
0,382100
00
3,45
0,997458
00
1,0
0,413174
00
3,5
0,997850
00
1,05
0,444111
00
3,55
0,998185
00
1,1
0,474758
00
3,6
0,998471
00
1, 15
0,504975
00
.З,65
0, 998416
00
1,2
0,534630
00
3,7
0,998923
00
1, 25
0,563606
00
3,75
0,999099
00
1,3
0,591801
00
3,8
0,999248
00
1,35
0,619123
00
3,85
0,999374
00
1,4
0 , 645494
00
3,9
0,999480
00
1,45
0,670851
00
3,9-5
0,999568
00
1,5
0,695!42
00
4,0
0,99~643
00
1,55
0,718326
00
4,05
0,999706
00
1,6
0,740377
00
4,1
0,999757
00
1,65
0,761277
00
4, 15
0,999801
00
1,7
0,781020
00
4,2
0, 999836
00
1, 75
О .799608
00
4,25
0,999866
00
1,8
0,817052
00
4,3
О, 999891
00
1,85
О, 833371
00
4,35
О, 999911
00
1,9
0,848589
00
4,4
0,999928
00
1,95
0 , 862739
00
4,45
0,999941
00
2,0
0 ,875854
00
4,5
0,999952
00
2,05
0,887975
00
4,55
0,999962
00
2,1
0,899145
00
4,6
0,999969
00
2, 15
0,909409
00
4,65
0,999975
00
2,2
0,918818
00
4,7
0,999980
00
2,25
0,927406
0()
4,75
0,999984
00
2,3
0,935234
00
4,8
0,999987
00
2,35
О, 942352
00
4,85
0,999990
00
2,4
0,948801
00
2.45
0,954630
00
2,5
о.959885'
00
358
В2=0,7 С2=5, D=O
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
1
F (А, В, С, D) 1Порядок
0,05
0,346419
05
2,6
.
0,278261
00
о,1
О, 140503
04
2,65
О, 299111
00
О, 15
0,323450
04
2.7
0,320627
00
0,2
0,593434
04
2,75
0,342750
00
0,25
0,964749
04
2,8
0,365412
00
0,3
0.145640
03
2,85
0,388541
00
0,35
0,209258
03
2,9
0,412059
00
0,4
0,290323
03
2,!:i5
0,435884
00
0.45
0 , 392471
03
3,0
0,459932
00
0,5
0.520057
03
0,484115
3,05
00
0,55
0,678241
03
3,1
0,508345
00
0,6
0,873083
03
3.15
0,532534
00
0,65
0,111164
02
3,2
0,556592
00
0,7
, о, 140210
02
3,25
0,580433
00
0,75
О, 175384
02
3.3
0,603972
00
0,8
0,217762
02
3,35
0,627129
00
0,85
0,268562
02
3,4
0,649827
00
0,9
0,329164
02
3,45
0,671993
00
0,95
0,401115
02
3,5
0,693561
00
],о
0,486142
02
3,55
0,714472
00
1,05
0,586163
02
3,6
0,734671
00
1,1
0,703293
02
3,65
о, 754112
00
1, 15
0,8.39852
02
3,7
0,772755
00
1,2
0,998369
02
3,75
0,790569
00
1,25
0,118158
01
3,8
0,807527
00
1,3
О, 139243
01
3,85
0,823615
00
1,35
0, 163408
01
3,9
0,838820
00
1,4
О, 190987
01
3,95
0,853140
00
1,45
0,222332
01
4,0
0,866576
00
1,5
0,2578 12
01
0,879136
00,
4,05
1,55
0,297810
01
4,1
0,890841
00
1,6
0,.342719
01
4, 15
0,901703
00
1,65
0,392940
01
4,2
0 , 911750
00
1,7
0,4428'80
01
4,25
0,921008
00
1.75
0,510943
01
4,3
0,929509
00
1,8
0,579529
01
4,35
о, 937287
00
1,85
0,855027
01
4.4
О, 944376
00
1,9
0,737811
01
4,45
0,950819
00
1,95
0,828232
01
4,5
о, 956646
00
2.0
О ,926614
01
4,55
0,961905
00
2 ,05
О, 103324
00
4.6
0,966630
00
2,1
О , 114838
00
4,65
0,970860
00
2, 15
О, 127221
00
4,7
0,974633
00
2,2
О , 14049F
00
4,75
0,977986
00
2,25
о, 154655
00
4,8
0.980960
00
2,3
о, 169718
00
4,85
о, 983583
00
2,35
О, 185675
00
4,9
0,985890
00
2,4
0,202516
00
4,95
0,987911
00
2,45
0 ,220225
00
5,0
0,989676
00
2,5
0,238776
00
5,05
0,991212
00
2,55
0,258133
00
5,1
о, 992544
00
359
В2 =0,7, С2 =5, D=O
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
lF(A, В, С, D) 1Порядок
5, 15
о, 993694
00
5,95
0,999723
00
5,2
0,994684
00
6.0
0,999779
00
5,25
О , 995533
00
5,3
0,996259
00
6,05
0,999823
00
5,35
o,q96877
00
6.1
0,999860
00
5,4
0,997402
00
6. 15
О, 999889
00
5,45
0,997845
00
6,2
0,999912
00
5,5
о, 998219
00
6,25
0,999931
00
6,3
0,999946
00
5,55
0,998532
00
6,35
0,999957
00
5,6
0,998795
00.
6,4
0,999967
00
5,65
0,999014
00
6,45
0,999974
00
5,7
0,999195
00
6,5
0,999~8Q
00
5,75
0, 999346
00
5,8
0,999470
00
6,55
0 ,99 3984
00
5,85
О, 999572
00
6,6
0.999983
00
5,9
0, 999656
00
6,65
0,999991
00
В2 =0,7, С2 =5, D= _!!:_
8
'А
F (А, В, С, D) jПорядок11
А
F (А. В, С, D) 1Порядок
о
0,452130
05
1,45
0,2.51097
01
о ,05
о.1
о, 183161
04
1,5
0,289642
01
о, 15
0, 420824
04
01
о·2
0,770017
04
! ,.'55
0 , 332857
,25
0,124765
03
1,6
0,381119
01
u·З
О, 187611
03
1,65
0,434809
01
(;,35
0,268374
03
1,7
0,494306
01
u,4
0,370539
03
1, 75
0,559988
01
· .45
0,498312
03
1,8
0,632220
01
,5
0,656694
03
1,85
О, 711355
01
0,55
1,9
0,797727
01
0 ,851566
03
1 ,95
0,891644
01
0,6
О, 108978
02
2,0
0,993386
01
0,65
О, 137926
02
0,7
о , 172909
02
2,05
0,110319
00
0,75
0,214966
02
2.1
О, 122127
00
0,8
0,265272
02
2, 15
О, 134777
00
0,85
О 325150
02
2,2
0,148280
00
0,9
0,396086
02
2,25
0,162641
00
0,95
0,479730
02
2,3
0. 177856
00
1,о
0,577913
02
2,35
О , 193925
00
1, 05
0,692648
02
2,4
0,210827
00
1.1
0,826139
02
2,45
0,228544
00
1, 15
0.980722
02
2,5
0 ,247047
00
1,2
0 , 115916
01
2.55
0,266304
00
1,25
О, 136408
01
2,6
0,286272
00
~ 1,3
О, 159848
01
2,65
0 ,306905
00
1,35
О, 186553
01
2,7
0,326146
00
1,4
0 ,2 16854
01
2,75
0,349942
00
360
В2=0,7, С2 =5, D=..!!:...
8
А
F(A, В. С, D) 1 Порядок 11
А
F (А, В, С, D) 1Порядок
2,8
0,372223
00
4,85
о.981137
00
2,85
0,394920
00
4,9
о. 983647
00
2,9
. 0,417960
00
4,95
о. 985864
00
2,95
0, 441266
00
5,0
0,987816
00
3,0
0,464759
00
0.488356
5,05
0,989525
00
3,05
00
5,1
о. 991027
00
3.1
0,511977
00
5, 15
0,992333
00
3, 15
0.535537
00
5,2
0,993466
00
3,2
0,558956
00
5,25
0,994452
00
3,25
0,582154
00
5,3
0,995301
00
3,3
0,605053
00
5,35
0,996032
00
3,35
0,627579
00
5,4
-
0,996659
00
3,4
0,649662
00
5,45
о, 997195
00
3,45
0 ,671236
00
5,5
0,997652
00
З,5
0,692238
00
5,55
0, 998040
00
3,55
0,712615
00•
5,6
0,998369
00
3,6
0,732317
00
5,65
0,998646
00
3,65
0,751304
00
5,7
0,998880
00
З.7
0,769536
00
5,75
0, 999076
00
3,75
0,786985
00
5,8
0,999240
00
З,8
0,803627
00
5,85
0,999377
00
З,85
0,819446
00
5,9
0,999490
00
3,9
О,834432
00
5,95
0,999584
00
3,95
0,848580
00
6,0
0,999662
00
4,0
0,861892
00
6,05
0,999726
00
4.05
0,874375
00
6,7
0,999776
00
4,1
0,886042
00
6,75
0,999821
00
4. 15
0,896906
00
6,2
о. 999856
00
4,2
0,906996
00
6,25
0 , 999885
00
4,25
0,916329
00
6,3
0,999903
00
4,3
0,924936
00
6.35
0,999927
00
4.35
о. 932845
00
6,4
0,999942
00
4,4
0,940090
00
6,45
0,999954
00
4,45
0,946704
00
6,5
о, 999963
00
4,5
о. 952722
00
6.55
О, 999971
00
4,55
0,958 180
00
6,6
о . 999977
00
4.6
0,953113
00
6,65
0.999982
00
4,65
о. 967557
00
6,7
0,999986
00
4,7
0, 971547
00
6,75
0,999989
00
4,75
о, 975119
00
6,8
0.999991
00
4,8
0,978304
00
361
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
F (А, В, С, D) 1Порядок
0,05
0,860030
05
2,55
0,284946
00
о,1
0,347394
04
2,6
0,304383
00
О, 15
0,794369
04
2,65
0,324363
00
0,2
О, 144408
03
2,7
0,344835
00
0,25
0,232090
03
2,75
0, 36574.5
О()
0,3
0,345674
•03
2,8
0,387036
оо,
0,35
0,489147
03
2.85
0,408647
00•
0,4
0,667343
03
2,9
0,430513
00·
0,45
0,886005
03
2,95
0,452570
00,
0,5
о, 115183
03
3,0
0,-174749
0();
0,55
о, 147259
02
3,05
0,496982
оа
0,6
О, 185712
02
3,1
о, 519201 ·
00
0,65
0,231546
02
3, 15
0,541337
00
0,7
0.285891
02
3,2
0,563323
00
0,75
0,350009
02
3,25
0,585093
00
0,8
0,425302
02
3,3
0,606584
00.
0,85
0,613316
02
3,35
0,627734
00,
0,9
0,615751
02
3,4
0, 648486
0(}
0,95
0,734459
02
3.45
0, 668786
00-
1,о
0,871448
02
3,5
0 , 688583
О(}
1, 05
О, 102888
01
3,55
0, .707831
00
1.1
О, 120909
01
3,6
0,726491
00
1, 15
О. 141455
01
3,65
0,744525
00
1.2
О, 184788
01
3,7
О ,761902
00
. 1,25
0,191185
01
3,75
0, 778597
00
1,3
0,220933
01
3,8
0,794587
00
1.35
0,254333
01
3,85
0,809859
00
1.4
0,291694
01
3,9
0~24401
00
1, 45
0,333332
01
3,95
0,838206
00
1,5
0,379568
01
4,0
0,85 1274
00
1,55
0,430726
01
4,05
0,863606
00
1,6
0,487126
01
4,1
0,875212
00
1,65
0,549087
01
4, 15
0,886 101
00
1,7
0,6169 18
01
4,2
0,896287
00
1, 75
0,690916
01
4,25
0, 905789
00
1,8
0,771364
01
4,3
0,914626
00
1, 85
0,858522
01
4,35
0,922822
00
1,9
0,952629
01
4,4
0,930400
00
1, 95
о. 105389
00
4,45
0,937386
Оо
2,0
О, 116245
00
4,5
О, 943810'
00
2,05
0,127857
00
4,55
О, 949697
00
2.1
О, 140222
00
4,6
0,955079
00
2.15
О, 153352
00
4,65
0,959984
00
2,2
О, 167246
00
4,7
0,964442
00
2,25
о, 181901
00
4,75
0,968482
00
2,3
О, 197303
00
4,8
0,972 132
00
2,35
0,213453
00
4,85
0,97542 1
00
2,4
0,230317
00
4,9
о, 978376
00
2,45
0,247875
00
4,95
0, 981023
00
2,5.
. 0,266096
00
5,0·
0,983386 ,
OQ
362
В2=0,7, С2=5, D= _3_
4
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
5,05
0,985495
00
6,05
0 .999435
00
5,1
0,987366
00
6,1
0,999532
00
5, 15
0,989024
00
6, 15
0,999614
00
5,2
0,990489
00
6,2
0,999682
00
• 5,25
0,991777
00
6,25
0,999739
00
5,3
0,992911
00
6,3
о, 999786
00
5,35
0,993904
00
6,35
0 , 999825
00
.s .4
о, 994770
00
6,4
0,999857
00
.S ,45
0,995525
00
6,45
0,999884
00
5,5
0,996 181
00
6,5
0,999906
00
5,55
0,996749
00
6,55
0,999924
00
5,6
0,997239
00
6,6
0,999938
00
5,65
о, 997662
00
6,65
0,999950
00
5,7
0,998025
00
6,7
0,999960
00
5,75
0,998335
00
6,75
0,999965
00
5,8
О, 998601
00
6,8
0,999974
00
5,85
0,998827
00
6,85
0,999979
00
5,9
0,999019
00
6,9
0,999984
00
5,95
0,999182
00
6,95
0,999987
00
6,0
0,999319
00
7,0
0,999990
00
В2=0,7, С2=5,
3
D= -1t
8
А
F(A,B ,C,D) 1 Порядок/1
А
F (А, В, С, D) 1Порядок
0,05
о, 163592
04
1,15
0,201363
01
,О, 1
0,658885
04
1.2
0,231054
01
О, 15
О, 149945
03
1,25
0,264116
01
0,2
0,270802
03
1,3
0,300810
01
•О,25
О ,431"664
аз·
1,35
0,34140()
01
,о,з
0,636688
03
1,4
0,386155
01
:О 35
0,891007
03
1,45
0,435343
01
,Q,4
о, 120076
02
1,5
0,489232
01
(),45
0,157314
02
1,55
0,548084
01
0,5
0,201641
02
1,6
0,612156
01
0,55
О, 253995
02
1,65
0,681695
01
0,6
0,315427
02
1,7
0.756936
01
0,65
0,387109
02
1 ,75
0,838099
01
0,7
0,470334
02
1,8
о, 92.'5383
01
0,75
0,566517
02
J ,85
0,101896
00
0,8
О, 677200
02
1,9
0,111901
00
0,85
0,804051
02
1. 95
о, 122563
00
,о,9
0,948864
02
:2,◊
о, 133894
00
0,95
О , 111358
01
2,05
О, 145900
00
J,0
о, 130016
:01
2,1
О, 158584
00
1,05
0,15 1085
i0l
:2, 15
О, 171944
00
!l ,1
.0,174788
,Щ
'
2,2
О, 185977
00
363
А
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
F(А,В,С,D) 1Порядок
2,25
0,200674
00
4,75
0,962203
00
2,3
0,216022
00
4,8
0,966256
00
2,35
0,232005
оп
4,85
0,969942
00
2,4
0,248600
00
4,9
0,973287
00
2,45
0,265783
00
4, 95
0,976314
00
2,5
0,283524
00
5,0·
0,979047
00
2,55
0,30 1791
00
5,05
о. 981507
Q()
2,6
0,320545
00
5,1
О, 983716
00
2,65
0,339745
00
5, 15
О, 985694
Q(}
2,7
0,359348
Q0;
5,2
0,987461
00
2,75
0,379307
00
5,25
О, 989036
00
2,8
0,399550 .
00
5.3
0,990435
00
2,85
0,420087
00
5,35
0,991675
00
2,9
0,440803
00
5,4
0,992772
00
2,95
0,461663
00
5,45,
0,993737
00
3,0
0,482608
00
5,5
0,994589
QQ,
3,05
0,503584
00
5,55
1
0,995334
00
3,1
0,524531
00
5,6
0,995987
00·
3, 15
0,545393
00
5,65,
О, 996556
0(}
3,2
0,566114
00
5,7
0,997052
00
3.25
0,586639
00
5,75
. о, 997482.
100
3,3
0,606914 '
00
5,8
0,997855
00
3,35
0,626881
00
5,85
0,998177
00
3,4
0,646513
00
5,9
0,998454
00
3,45
0,665743
00
5,95
0,998692
00
3,5
0,684535
00
6,0
О, 998896
00
3,55
0,702846
00
6,05
0,999071
00
3,6
0,720649
00
6,1
'
0,9992 19
00
3,65
0,737904
00
6, 15, ..
0,999346
00
3,7
0,754586
00
6,2
0,999453
00
3,75
О, 770671
00
6,25
0,999544
00
3,8
0,786136
00
6,3
0,999621
00
3,85
0,800971
00
6,35
0,999685
00·
3,9
О, 815160
00
6.4
о, 999739'
00
3,95
0,828695
00
6,45,
0.999785
О(}
4,0
0,841572
00
6,5
О, 999822
00,
4,05
0 , 853791
00
6,55
'
0,999854
00
4,1
0,865355
00
6,6
1
0,999880
00,
4, 15
0,876270
00
6,65
0,999902
0(}
4,2
0,886545
00
6,7
;
0,999920
00
4,25
0,896193
00
6,7$ 1 0,999935
00
4,3
0,905226
00
6,8
О, 999947
00•
,4,35
0,913663
00
6,85
:
0, 999957
00
4,4
0,921523
00
6,9
0,999965
00·
4,45
О ,928824
00
6,95
0,999972
00
4,5
0,935589'
00
7,0
0,999977
00
4,55
0,941842
00
7,05 i о, 999982
00
4,6
0,947(05
00
7,1
0,999985
00·
4,65
0,952903
'
00
1:1:
7, 15,
0,999987
00·
4,7
0,957761
00
7 ,2:
;
Q,999990
00:
В2 =0,7, С2 =5, D= .!!:_
2
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок 11
А
F(A, В, С, D) 1 Порядок
0,05
0,213517
04
2.55
0,308189
00,
О,1
0,858924
04
2,6
0,326632
00,
о, 15
0,198081
03
2,65
0,345490
00·
0,2
0,351356
03
2,7\
0,364722
оо,
0,25
0,558148
03
2,75
0,384282
00
0,3
0,819891
03
2,8
0,404125
00·
0,35
о, 114204
02
2,85
0,424201
00·
0,4
О, 153109
02
2,9
0,444460
00·
0,45
о, 199462
02
2,95
0,464850
оо,
0,5
0 , 254127
02
3,0
0,485318
00,
0,55
0,318079
02
3,05
0,505810
ОО·
0,6
0, 392408
02
3,1
0,526273
00
0,65
0,478315
02
3, 15
0,546655
00
0,7
0,577119
02
3,2
0,566901
0()
0,75
0,890255
02
3,25
0,586962
0()
0,8
0,819273
02
3,3
0,606787
00
0,85
0,965840
02
3,35
0,626326
00
0,9
0,113173
01
3,4
n,645540
00
0,95
0,131884
01
3,45
0,664379
00
1,о
О, 152916
01
3,5
0,682204
00
1,05
0,176478
01
3,55
о, 700779
00
1,1
0,202789
01
3,6
0,718268
00
·1, 15
0,232075
01
3,65
0,735242
00
1.2
0,264570
01
3,7
0,751674
00
1:25
0,300514
01
3,75
О, 767538
00
1,3
0,340150
01
3,8
0,782817
00·
1,35 ,
0,383726
01
3,85
0,797493
00
1,4
0,431488
01
3,9
0,811554
00·
1,45
0,483684
01
3.95
0,824992
0() '
1,5
0,540557
01
4,0
0,837801
оо,
1,55
0,602344
01
4,05
0,849980
ОО;
1,6
0,669275
01
4,1
0,861529
00
1 ,65
0,741569
01
4, lБ
0,872453
оо,
1,7
0,819434
01
4,2
0,882761
00
1, 75
0,903059
01
4,25
0,992461
00'
1,8
0,992617
01
4,3
0,903566
00
1,85
О, J08826
00
4,35
0,910091
00
1,9
о, 119011
00
4,4
0,918053
00
1,95
о, 129828
00
4,45
0,925470
00
2,0
0,141284
00
4,5
0,932361
OQ:
2,05
о, ]53382
00
4,55
0,938747
00,
2,1
О, 166125
00
4,6
0,944651
00
2. 15
О. 179510
00
4,65
0,950095
00,
2,2
О, 193530
00
4,7
0,955102
оо.
2,25
0,208176
00
4,75·
0,989696
00,
2,3
0,223436
00
4,8
0,983899
00
2,35
0,239290
00
4.85,
0,967735
00,
2,4
0 , 251720
00
4,9
о, 971225
00
2,45
0,272699'
00
4,95,
0,974400
00
2,5
0,290199
о.о,
5,д
0,977273
00
365;
А
,•
F (А, В, С, D) 1Порядок 11
А
F (А, В, С, D) 1Порядок
5,05
0,979870
00
6,2
0,999343
00
5,1
0,982209
00
6.25
0,999449
00
5, 15
0,9843 12
00
6,3
0,999540
00
5,2
0,986195
00
6,35
0,999616
00
5,25
0,987885
00
6,4
0,999680
00
5,3
0,989390
00
6,45
0,999735
00
5,35
0, 990729
00
6.5
0,999780
00
5,4
0,991917
00
6,55
5,45
0,992970
00
0,999814
00
,
5,5
0,993899
00
6,6
0,999850
со
6,65
0,999877
00
5,55
0,9947 16
00
6,7
0,999899
00
5,6
о, 995437
со
6,75
0,999917
00
5,65
0,996065
00
6.8
0,999932
00
• 5,7
0,996519
00
6,8S
0,999945
00
5,75
о, 997100
0()
6,9
0,999955
00
5,8
0,9975 15
00
6,95
0,999963
00
5,85
0,997880
00
7,0
0,999970
00
5,9
0,998194
00
5,95
0,998466
00
7,05
0,999976
00
'6,0
0,998699
00
7,1
0,999981
00
7, 15
0 , 999984
00
6,05
0,998899
00
7,2
0,999987
00
6'1
0,999071
00
7,25
0,999990
00
'6, 15
0,9992 15
00
В2= 1, С2=0
А
F(A,B ,C)
1 Порядок 11
А
F(A, В, С)
1 Порядок
0,05
0,124921
02
1, 05
0,423770
00
О,1
0,498752
02
1.1
0,453925
00
О, 15
0,11 1869
01
1, 15
0,483794
00
0,2
О, 198013
01
1,2
0,5 13247
00
·О,25
0,307667
01
1 ,25
0,542166
00
·0,3
0,440025
01
1,3
0,570442
00
0.35
0,594119
01
1. 35
0,597978
00
•0,4
0,768836
01
1,4
0,624688
00
•О,45
0,962929
01
1.45
0,650499
00
'0,5
0,117503
00
1,5
0,675347
00
0,55
0.140367
00
1,55
0,699182
00
0,6
о, 164729
00
1,6
0,721962
00
0,65
о, 190428
00
1, 65
о, 743659
00
0,7
0,217295
00
1.7
0 , 764253
00
0,75
0,245 160
00
1 ,75
0,783734
00
0,8
0,273860
00
1,8
0,802101
00
0,85
0,303195
00
1,85
0,819360
00
0,9
0,333023
00
1,9
0,835525
00
- 0,95
0,363168
00
1, 95
0,850618
00
1,0
0,393469
00
2,0
0,8646 64
00
--..
'366
А·
F(А,В,С)
1 Порядок 11 А
.
'
F(А,В,С)
1 Порядок.
'
2,05
0,877696
00
3,55
О. 998165
00'
2,1
0,889749
00
3,6
0,994866
001
2,15
0,900862
00
3,65
0,998720
001
2,2
0,911078
00
3,7
0,998935
00
2,25
О, 920440
00
3,75
0, 999116
00'
2,3
0,928994
00
3,8
0,999268
00
2 .35
0,936787
00
3,85
0,999395
00
2,4
0,943865
00
3,9
0,999502 . 00 ·
2,45
0,950275
00
3,!15
0 , 999590
00
2,5
0, 956063
00
4,0
0,999664
00•
2,55
0, 961274
00
4,05
0,999725
00·
2,6
•О,965952
00
4,1
0,999776
ОО·
2,65
О , 970140
00 . 4,15
0, 999817
00'
2,7
0,973878
00
4,2
0,999852
оо,
2,75
0,977205
00
4,25
0,999880
00·
2,8
0,980158
00
4,3
0, 999903
00•
2,85
0,982772
00
4,35
0,999922
'
00·
2,9
0,985079
00
4,4
0, 999937
00·
2,95
о, 987109
00
4,45
0,999949
00•
3,0
0,988891
00
4,5
о, 999959
00,
3,05
0,990450
00
4.55
0,999968
00'
3,1
0,991811
00
4,6
0,999974
00
3, 15
О , 992995
00
4,65
0,999979
00
3,2
0, 994023
00
4,7
0, 999984
00
3,25
0,994913
00
4,75
0,999987
00
3,3
0,995682
00
4,8
0,999990
00
3,35
0,996343
00
3.4 ~
0,996911
00
3,45
0,997397
00
3,5
0, 997912
00
'
в2=1, с2=0
А
F (А, В, С,)~ 1Порядок 11
А
F(А,В,С,)
1 Порядок
0,05
О , 113041
01
0,8
0,251563
00
о,1
0,451402
01
0,85
0 , 279027
00
О,15
О, 101280
01
0,9
0,307060
00
0,2
о, 179348
01
0,95
0,335516
0(}
0,25
0,278822
01
1,о
О, 364253
О()
0,3
0,399041
01
1, 05
0,393130 ·
00
0,35
0,539212
Gl
1,1
0,422015
00
0,4
0 ,698421
01
1, 15
0, 450779
00
0,45
0, 875638
01
1,2
0,479301
00
0,5
о, 106973
00
1, 25
0,507469
00
0 ,55
о, 127948
00
1,3
0,535176
0()
0,6
О, 150358
00
1,35
0,562327
00
0,65
О, 174068
00
1,4
0, 588835
0()
0,7
О , 198936
00
1,45
0,614621
00
0 ,75
0,224817
00
1,5
0,639617
00
367
В2=1, С2=0
А
F(А,В,С)
1 Порядок!!
А
F(А,В,С)
1 Порядок
1, 55
0,663765
00
3,3
0,993126
00
1,6
0,687014
00
3,35
0,994104
00
1,65
О 709325
00
3,4
0,994955
00
1,7
0,730666
00
3,45
0,995693
00
1, 75
О ,751014
00
3,5
0,996332
00
1,8
0,770355
00
3,55
1, 85
0,788682
00
1,9 ,
0,805995
00
3,6
1, 95
0,822300
00
3,65
3,7
2,0
0,837612
00
3,75
0,996883
00
0,997358
00
0,997766
00
О,998115
00
0,998414
00
2,05
0,851947
00
3,8
0,998668
00
2,1
0,865331)
00
3,85
O,QQ8885
00
2, 15
0,877787
00
3,9
lJ,999068
00
2,2
0,889349
00
3,95
0, 999223
00
2,25
0,900049
00
4,0
0,999354
00
2,3
0,909925
00
4,05
2.35
0,919014
00
4,1
2.4
0,927356
00
4, 15
2.45
0,934990
00
2,5
0,94 1957
00
4,2
4,25
0,999464
00
0,999556
00
0,999634
00
0,999698
00
0,999752
00
2,55
0,948299
00
4,3
0,999797
00
2,6
0.954056
00
4,35
2,65
о:959267
00
4,4
0,999834
00
0,999864
00
2,7
0,963972
00
4,45
0,999889
00
2,75
0,968208
00
4,5
0,999910
00
2,8
0,972012
00
4,55
2,85
0,975419
00
4,6
2,9
0 , 978461
00
4,65
2,95
О, 981172
00
4,7
3,0
0,983580
00
4,75
0,999927
00
0,999941
00
0 , 999952
00
0,999962
00
0,999969
00
3,05
0,985714
00
4.8
3,1
0,987500
00
4;85
0,999975
00
0,999980
00
3, 15
0,989262
00
4,9
• 0,999984
00
3,2
0,990724
00
4,95
0,999987
00
:3,25
0,992005
00
5,0
0,999990
00
А
F(А,R,С)
1 Порядокl\
А F,(A, В, С)
1 Порядок
0,05
0,757926
03
0,55
0,583144
01
·О, 1
0,302886
02
0,6
О, 104339
00
•О, 15
0,680429
02
0,65
О, 121488 •
00
· О,2
О, 120700
01
0,7
О, 139695
00
• О,25
О, 188063
01
0,75
О, 158893
00
, о,3
0,269879
01
0,8
О, 179010 •
00
•·О,35
0,365840
01
0,85
О, 199969
00
•0,4
0 ,4 75586
01
0,9
0,221695
00
· О,45
0,598702
01
0,95
0,244 106
00
,о,5
0,734726
01
1,0
0,267120
00
368
А
F(A, В, С)
1Порядок II А
F(A, В, С)
1 Порядок.
1,05
О,2<Ю653
00
3,3
0,978677
00
1,1
0,314622
00
3,35
0,981232
00
1, 15
0,338941
00
3,4
О, 9835 19
00
1,2
0,363525
00
3,45
0,985.56 1
00
1,25
0,388290
00
3,5
0,987379
00
1,3
0,413151
00
1,35
0,438027
00
3,55
0,988994
00
1,4
0,462839
00
3,6
0,990424
00
1,45
0,487508
00
3,65
0,99 1688
00
1,5
0,511960
00
3.7
0 .992802
00
3,75 .
о:993781
00
1,55
0,536123
00
3,8
О, 994640
00
1,6
0,.559932
00
3,85
0,99539 1
00
1,65
0,583321
00
3,9
0,996046
00
1,7
0,606233
00
3,95
0,9966 15
00·
1, 75
0,628613
00
4,0
0,9971 10
00
1,8
0,6504 11
00
1,85
0,67 1585
00
4,05
0.997538
00
1,9
• 0,692093
00
4,1
0,997908
00
1,95
0,711904
00
4, 15
0,998226
00
2,0
0,730987
00
4,2
О, 998499
00
4;25
0,998734
00
2,05
0,749321
00
4,3
0,998934
00
2,1
0,766886
00
4,35
0,999 105
00
2,15
0,783670
00
4,4
0,999250
00
2,2
0,799664
00
4,45
0,999373
00
2,25
0,814865
00
4,5
0,999477
00
2,3
0,829274
00
2,35
0,842896
00
4,55
0,999565
00
2,4
0,855740
00
4,6
0,999639
00
2,45
0,8678 17
00
4,65
0,999701
00
2,5
0,879145
00
4,7
0,999753
00
4,75
0,99Q796
О(}
2,55
0,889742
00
4,8
0,999833
00
2,6
0,899628
00
4,85
0,999863
0(}
2,6.5
0,908828
00
4,9
0,999888
00
2,7
0,917367
00
4,95
0,999908
00
2,75
О, 925271
00
5,0
0,999925
00
2,8
0,932569
00
2,85
0,939289
00
5,05
0,999939
оа
2,9
0,945462
00
5,1
0,999951
00
2,95
0,951117
00
5, 15
0,999960
00
3,0
0,956284
00
5,2
0,999968
00
5,25
0,999974
0(}
3,05
0,960992
00
5,3
0,999979
00
3,1
0,965273
00
5,35
0,999983
00
3, 15
0,969 154
00
5,4
0 ,999986
00
3,2
0,972653
00
5,45
0,999989
00
3,25
0,975829
00
5,5
0,999991
00
369
А
F(A, В, С)
F(A, В, С)
1 Порядок
0,05
0,459849 _
03
2,55
0,805896
00
о,1
О, 183939
02
2,6
0,820202
00
о,15
0,413860
02
2,65
0,833801
00
0,2
0,735734
02
2,7
0,846695
00
: О,25
О, 114953
01
2,75
0,858887
00
' 0,3
о, 165518
01
2,8
0,870386
00
;,Q,35
0,225257
01
2,85
0,881202
00
0,4
0,294150
01
2,9
0,891950
00
'0,45
0,372170
01
2,95
0,900846
00
0,5
0,459274
01
3,0
0,909708
00
0,55
0,555408
OJ
3,05
0,917958
00
0,6
0,660498
01
3,1
0,925617
00
· О,65
0,774450
01
3, 15
о, 93271 О
Об
0,7
0,897148
01
3,2
0,939261
00
О, 75
О, 102844
00
3,25
0,945296
00
О,8
о, 116817
00
3.3
0,950841
00
0,85
О, 131613
00
3,35
о, 955922
00
'0,9
О, 147209
00
3,4
О, 960568
00
0,95
0,163578
00
3,45
0,964803
00
1,о
О, 180690
00
3,5
0,968654
00
1,05
0,]98510
00
3,55
0,972147
GO
1']
0,217003
00
3,6
0,975307
00
1, ]5
0,236126
00
3,65
О, 978158
00
1,2
0,255837
00
3,7
0,980724
00
1,25
0,276087
00
3,75
О, 983028
00
. 1,3
0,296827
00
3,8
0,985091
00
1,35
0,318002
00
3,85
О, 986933
00
1,4
0,339557
00
3,9
0,988574
00
1,45
0,361433
00
3,95
0,990032
00
1,5
0,383572
00
4,0
0,991324
00
J,55
0,405911
00
4,05
0,992466
00
1,6
О .428388
00
4,1
0,993473
00
J ,65
О, 450940
00
4, 15
0,994359
00
1,7
0,473504
00
4,2
0,995]36
00
1,75
0,496017
00
4,25
О, 995815
00
1,8
0,518417
00
4,3
0,996408
00
1, 85
0,540644
00
4,35
0,996925
00
1,9
0,562638
00
4,4
0,997373
00
1, 95
0,584342
00
4.45
0,997761
00
2,0
0,605703
00
4,5
0,998096
00
2,05
0,626668
00
4,55
0,998385
00
2,1
0,647190
00
4,6
0,998634
00
2, 15
0,667224
00
4,65
0,998847
00
2,2
0,686728
00
4,7
0,999028
00
2,25
0,705668
00
4,75
0,999184
00
2,3
0,724009
00
4,8
0,999316
00
2,35
0,741723
00
4,85
0,999428
00
2,4
0,758786
00
4,9
0,999523
00
2,45
0,775179
00
4,95
0,999603
00
2,5
0,790886
00
5,0
0,999670
00
370
А
F(A, В, С)
\ Порядок[\
А F(А,,С)
1 · Порядок
5,05
0,999727
00
5,55
0,999963
00
5,1
0,999774
00
5,6
0,999970
00
5, 15
0,999814
00
5,65
0,999976
00
5,2
0,999847
00
5,7
0,999981
00
5,25
0,999874
00
5,75
0,999984
00
5,3
0,999897
00
5,8
0,999987
00
5,35
0,999916
00
5,85
0,999990
00
5,4
0,999931
00
5,45
0,999944
00
5,5
0,999955
00
В2=1, С2=2
А
F(A, В, С)
\ Порядок[[
А
F(A, В, С)
1 Порядок
0,05
О, 169274
03
1,9
0,355639
00
О,1
0,678365
03
1,95
0,375925
00
о, 15
0,153105
02
2,0
0,396499
00
0,2
0,273359
02
2,05
0,4173D.7
00
0,25
0,429462
02
2,1
0,438296
00
0,3
0,622506
02
2, 15
0.458408
00
0,35
0 ,853798
02
2,2
О ,408588
00
0,4
О, 112484
01
2,25
0,501777
00
0,45
О, 143731
01
2.3
0,522919
00
0,5
О, 179306
01
2.35
0,543957
00·
0,55
0,219404
01
2,4
О ,564835
00
0,6
0,264232
01
2,45
0,585499
00
0,65
0,314006
01
2,5
0,605895
00
0,7
0,368942
01
2,55
0,625976
со
0,75
0,429262
01
2,6
0,645691
00
0,8
0,495181
01
2,65
0,664998
00
0,85
О ,56G912
01
2,7
0,683853
00
0,9
0,644656
01
2,75
0,702219
00
0,95
0,728602
01
2,8
0,720051
00
1,0
0,818923
01
2,85
0,737349
00
1,05
О, 915769
01
2,9
0,754056
00
1,1
0,101927
00
2,95
0,770158
00
1, 15
о, 112953
00
3,0
О, 785S37
00
1,2
О, 124662
00
3,05
0,800479
00
1,25
0,137058
00
3,1
0,814671
00
1,3
0,150141
00
3, 15
0,828207
00
1, 35
0,163910
00
3,2
0,841084
00
1,4
о, 17831:>5
00
3,25
0,853302
00·
1,45
О , 193468
00
3,3
0,864865
00
1,5
0 , 209232
00
3,35
0,875778
00
1,55
0,225628
00
3,4
0,886052
00
1,6
0,242633
00
3,45
0,89.5699
00
1,65
0,260219
00
3,5
0,904734
00
1,7
0,278355
00
3,55
0,913174
00
1, 75
0,297006
00
3.6
0,921038
00
1,8
0,316133
00
3,6'1
0,928345
00
1,85
0,335692
00
3,7
О, 935118
00
371
А
F(А,В,С)
l Порядок 11
А
F(A, В, С)
\ Порядок
3,75
0,941380
00
5,1
0,998394
00
;3,8
0,947158
00
5, 15
0 ,998639
00
3,85
0,952466
00
5,2
0 ,998850
00
3,9
0,957338
00
5,25
0,999030
00
3,95
0,961796
00
5.3
0,999184
00
4,0
0,965865
00
5,35
0,999315
00
4,05
0,969569
00
5,4
0,999426
00
-
4,1
·0,972932
00
5,45
О ,999521
00
-
4, 15
0 ,975977
00
5,5
0,999601
00
-4,2
0,978729
00
5 ,55
0,999668
00
-
4,25
0,981208
00
5,6
0,999724
00
4,3
0,983436
00
5,65
0,999772
00
.4,35
0,985433
00
5,7
0,999812
00
4,4
О, 98721~9
00
5,75
0 ,999845
00
4,45
0,98881'!
00
5,8
0,999872
00
4,5
;0 ;990228
00
5 ,85
0,999895
00
4,55
:0 ;991485
00
5,9
0,999914
00
- 4,6
•0 ;9~2597
00
5,95
0,999930
00
4,65
, О , 9935;79
00
6,0
0,999943
00
-4,7
, О :9944414,
00
6,05
0,999954
00
-4,75
, О,995203
00
6,1
0,999962
00
-4 .8
. 0,995868
;00
6, 15
0,999970
00
(85
, 0,996450
00
6,2
0,999975
00
4,9
0,996956
'
00
6,25
0,999980
00
4,95
. 0,997397
00
6,3
0,999984
00
5,0
0 ;997779
00
6,35
0,999987
00
5,05
,. О, 998109
00
6,4
0,999990
00
А
,1
,-р (А, В, С) 1Порядок 11 А
F (А, В, С) ~ 1Пор_ядок
0,05
0,844349
05
1,05
• 0,839566
02
О,1
0,3:40271
04
1,1
0,9.77454
02
О, 15
0,775130
04
1, 15
О, 113342
01
0,2
0,140180
03
1,2
О, 130928
01
0,25
0,223840
03
1,25
О, 150694
01
0,3
0,330851
03
1,3
О, 172841
~
01
0,35
0 ,464147
03
1,35
0,197578
01
0,4
,0,627262
03
1,4
0,225124
01
0,45
0,824366
03
1 ,45
0,255706
01
• 0,5
· О, 106029
02
1,5
0,289556
01
0,55
'
О, 134059
02
1,55
0,326913
01
'О,6
0,167157
02
1,6
0,368019
01
0,65
· 0,206030
02
1,65
0,413117
01
, 0,7
0,251473
02
1,7
0,462453
01
0,75
0,304365
02
1, 75
0,516268
01
О.В
- 0,365680
02
1,8
0,574803
01
. o:s5
0,436487
02
1,85
0,638291
01
о;9
, 0,517954
02
1,9
0,706955
01
0,95
· 0,611354
02
1, 95
0,781009
01
1,О
, 0,718063
02
2,0
• О ,860655
01
: 372
В2=1, С2=5
А
F(A, В, С)
1Порядок [l
А
F(A, В, С)
[ Порядок
01
4,8
0,934343
00
2,05 ,
0 ,946075
4.85
0,940581
00
2,1
О, 103743
00
4,9
0,946343
00
2, 15
0,113487
00
4,95
О ,951653
00
2,2
О, 123852
00
5,0
0,956533
00
2,25
о, 134846
00
5,05
0,961006
('0
00
2,3
о, 146477
00
5,1
0,965096
00
2,35
о . 158746
·оо
5, 15
0,968827
00
2,4
О, 171656 •
00
5,2
0,972221
00
2,45
О, 185202
'00
5,25
0,975301
00
2,5
0,199378
5,3
0,978088
00
2,55
· О ,214172
00
5,35
0,980605
00
2,6
• С,229571
00
5,4
0,982871
00
2,65
0,245557
00
5,45
0,984907
00
2,7
0,262108
,оо
5,5
0,986731
00
2,75
0,279 197
00
5,55
0,988361
00
2,8
(),296797
00
5,6
0,989815
00
00
2,85
·0,314873
00
5,65
0,991107
00
2.9
0 .333391
5,7
0,992253
00
2,95
'0 , 352310
00
5,75
0,993266
00
з.о
0,371589
00
5,8
0,994161
00
3,05
·О,391183
00
5,85
0,(194948
00
J,1
О ,41 1044
00
5,9
0,9(15640
00
з. 15
О ,431124
00
5,99
0,996245
00
З,2
0,45 1372
00
6,0
0,996774
00
З,25
0,471736
00
6,05
0,997235
00
З,3
0,492163
00
6,1
0,997639
00
З,35
0,512600
00
6, 15
0,997983
00
3,4
0,532994
00
6,2
0,998283
00
3 ,45
0,553292
00
6,25
0,998542
00
З,5
0,573441
00
6,3
0,998765
00
3,55
О ,593392
00
6,35
0,998956
00
3,6
0,6 13094
00
6,4
0 , 999120
00
3,65
0 ,632.502
00
5,45
0,999259
00
3,7
0,651568
00
6,5
0,999378
00
3,75
0,670252
00
6,55
0,999479
00
3,8
0 .688514
00
6,6
0.999565
00
3,85
0 :105315
00
6,65
0,999638
00
3,9
О, 723627
00
6,7
(),999699
00
З,95
0,740415
00
6,75
0,999750
00
4,0
J, 756356
00
6,8
0 , 999793
00
4.05
0,772326
00
6,85
0,999829
00
4,1
0,787407
uo
6,9
О, 999859
00
4, 15
0,801883
00
6,(15
0 ,999884
00
4,2
0,815743
00
7,0
0 , 999905
со
4,25
0,828980
00
7,05
0,999922
00
4,3
0,841588
00
7.1
0,999937
00
4,35
0,853568
00
7,15
0,99Q948
00
4,4
0,864920
00
7,2
0,999958
00
4,45
О ,875651
00
7,25
0,999966
00
4,5
0,885769
00
7,3
О ,999972
00
4,55
0,895284
00
7,35
0,999978
00
4,6
0,904209
00
7,4
О,999982
00
4,65
0,912560
00
7,45
0,999982
00
4,7
0,920253
00
7,5
0,999988
00
-4,75
0;927608
00
7,55
0,999990
00
373
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
5
Гл а в а 1. Характеристики сигн.ал ов радиокана л а, помех, критерий опти-
мал ьности npueлta
8
§ 1.1 . ,Сигналы
8
§ 1.2. Радиока!i2л
17
§ 11.,3. Ад,дитивные по~!ехи ·в ,канале
41
§ 1.4. О критерии опти м альности приема при флукт у ационной помех е 44
Выводы
46
Гл а в а 2. Одиночный прием в однолу•tево.лt канале
.
47
§ 2.1. Оптимальные алгоритмы приема и их реализация
47
§ 2. '2 . Потенциальная помехоустойчивость двух п озиционной систеыы
при независимом приеме элементов сигнала .
58
§ 2.3. Помехоустойчивость многопози,ционных систем при незави,си-моы
приеме элементов сигнала по алгоритму квадратичного 'суммирова-
ния
77
§ 2.4. Помехоустойчивость бинарной системы при независимом приеме
элементов сигнала линейным приемником
85
§ 2.5 . Потенциальная 1помехоустойчивость д,вухпозиционной с-истемы при
медленных интерференционных замираниях .
9(}
§ '2.6 . О группировании ошибок в каналах с медленными интер-
ференционными замираниями
94
§ 2.7 . Надежность свя з и по помехоустойчивости 1при одиночном приеме 96
Выводы
102'
Г л а в а 3. Одиночный приен. в лtног_олучевых каналах ( селективные за-
мирания и эхо - сигналы)
105
§ 3.1. Алгоритмы оптимального ·пр-иема и их реализация
.
105
§ 3.2 . Потенциальная ,помехоустойчивость бинарных систем в двухлуче-
вом канале ,при когерентьом приеме .
121
§ 3.3 . Помехоу,стойчивость бинарных ,систем в двухлучевом канале пр и
неоптимальном когерентном приеме .
128,
§ 3.4. Потенциальная ,помехоустойчивость бинарных систем пр-и нео·пр е -
деленной фазе си-гнала
131
§ ,3.5 . Потенциальная помехоус1 ойчивость мног::Jпозициснных систем JЗ
двухлучевом рэлеевском канале .
134
§ 3.6 . Помехоустойчивость бинарных -систем в двухлучевом рэлеев-ском
~{анале при несттимальном некогерентном ,приеме .
135-
§ 3.7. Сравнение эффективности некоторых систем, предложенных длн
использования в многолучевых каналах
139
В1.1воды
143
Гл а в а 4. Разнесен.ный npue,u
145
§ 4. 1. ,Введен-не
145
§ 4.2 . Алгоритмы апт.имального приема и их реализация
147
§ 4.3 . Потенциальная поыехоустой~чив,ость бинарной ·системы при опта-
мальном 'КО'герентном ,ттриеме .в идеальном канале и медленных
замираниях ,сигнала
153
374
'§ '1.4 . :Пленuиальная 1Помехоу.стойчив0Dть -м 1rо1ГОтюз иuионных систем при
нео'Пределенной, ,но •одинаковой rфазе ,с игнала по ·всем ветвям .
:§ 4.5. Помехоу,стойчив ·ость ~двухпозиционных систем при приеме си.мво- •
л,ов по алгоритму квадра'Dичног,о ,сум,мирования .и флуктуации ам
плитуд и фаз ,с игнала
., § 4.6 . Учет взаимной коррешщпи :коэффициента передачи в ,ветвях раз-
несенно,го приема
§ 4.7. О неоптимальн ых .методах разнесенного приема
.
§ 4.'8. Надежность •связ и .по ,.помехоустойчивости при разнесенном приеме
:в ыводы
Т л а в а 6. Переда<tа информации с использованием канала обратной связи
§ 6.1. Введение
.
··§ 3_;2, Оптимальный и пороговый прием в би,нарных системах СК:ОС
с поэлементной ,проверкой символа на надежно,сть .
_
§ 5.3. ПJтенциz,льная г.омехоустсйчивость и эффективность бинарной
,ОК:ОС в системе IППСН .
§ 5.4. :По·мехоустойчивость и эффекти,вность 6ина,рной СКОС в системе
IППСН шри пороговом одинарном приеме .
§ Б:б . · Оценка эффективно·сти избыточного .кодир-:>вания в системах с ка
налом обратной и ;прямой связи
:Выводы
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Тл а в . а 6. Ломе·хоустойчивость npu аддитивных флуктуационной, сосредото
ченной и имnуЛ11сной помехах в канале .
§ 6. '1 . Постановка задачи
§ 6.2. Помехоустойчивость ,при флук·туационной и сос·ре,доточенной по
мехах во ,в,сех ветвях ,рэзнесения
'§ 6.3. Помехоустойчивость при независимом приеме элементов сигнала
по алгоритму квадратичного сложения при флуктуационной и со
средоточенной помехах, случайно появляющихся в отдельных
ветвях
'§ 6.4. Помехоустойчивость . пр.и флуктуационной, сосредоточенной и им
пульсной помехах .
'Вызоды
Гл а в а 7. Пропускная спосибносrгь ,радиоканалов
§ 7.1 . Лропу,скная опосо бность ,канало .в с медленными замираниями •при
разве.сенном приеме
§ 7.2 . О ~пропускной •способности бинарных •симметричных .каналов с
зами,р:шиями
'Выв,оды
Заключение
Литература
.
..
.Усл овн ые
обозначения
.Приложение 1
Приложение 2
.Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
.Приложение 6
161
164
168
173
175
180
182
182
184
186
191
195
201
202
202
204
207
213
217
218 ·
218
225
228
228
230
237
242
244
245
247
247
25Z
Даниил Давыдович Кловскuй
ПЕРЕДАЧА ДИСКРЕТНЫХ СООБЩЕНИИ
ПО РАДИОКАНАЛАМ
Редактор А. И. Мельникова
Техн. редактор J(. Г. Маркоч Корректор Л. Н. Лещеаа
Сдано в набор 28 /XII 1968 г. Подп . в печ. 18/ 11! 1969 г.
Форм. бум. 60X90/1s
23,5 печ. л.
23,5 усл.-п. л.
25,72 уч . -изд . . л. Т-03178. Тираж 8400 экз. Зак. и зд. 13158
Цена 1 руб. 72 коп.
Издательство «Связь» , Москвэ-центр, Чистопрудный
бульвар, 2
Т шография издательства «Связь» Комитета по печати
при Совете Министров СССР.
Москва-центр, ул. Кирова, 40. Зак. тип . 6
Z,
'\о
~?.
а:':
-~;
~--~
~ !'Х.