Indice
Prefazione, 9
1 Elettromagnetismo, 11
1.1 Le equazioni di Maxwell
1.2 Le relazioni costitutive
1.3 Teoremi energetici e meccanici
1.4 Condizioni iniziali, al contomo e teorema di unicita
1.5 Teoremi di reciprocita e di equivalenza
1.6 Teoremi di dualita e delle immagini
1.7 Riepilogo
Riferimenti bibliografici
2 Propagazione, 81
2.1 Introduzione
2.2 La propagazione per onde
2.3 La propagazione di un pacchetto d'onda
2.4 Linee di trasmissione (dominio del tempo)
2.5 Linee di trasmissione (dominio della frequenza)
2.6 Generatori sulle linee: condizioni di risonanza
2.7 Onde piane
2.8 Riepilogo
Riferimenti bibliografici
3 Rappresent3.'lione,151
3.1 Rappresentazione analitica del campo elettromagnetico
3.2 Problemi interni: Ie guide d'onda
3.3 Modi trasversali, elettrici e magnetici, in guida d'onda
3.4 Problemi intemi: cavita risonanti
3.5 Problemi esterni: rappresentazione mediante onde piane
3.6 Onde sferiche .
3.7 Problemi esterni: sviluppo in onde sferiche
3.8 Riepilogo
Riferimenti bibliografici

4 Radiazione, 238
4.1 Introduzione
4.2 Potenziali elettromagnetici
4.3 Campo associato a un dipolo elementare: dominio della frequenza
4.4 Campo associato a un dipolo elementare: dominio del tempo
4.5 Antenne ftliformi
4.6 Parametri di un'antenna in trasmissione
4.7 Allineamenti di antenne
4.8 Riepilogo
R iferimenti bibliografici
S Ricezione,301
5.1 Ricezione del segnale elettromagnetico
5.2 Parametri di un'antenna in ricezione
5.3 ReIazione tra i parametri di un'antenna in trasmissione e in ricezione
5.4 11 collegamento radio
5.5 Temperatura di rumore di un 'antenna
5.6 Riepilogo
Riferimenti bibliografici
6 Polarizzazione, 338
6.1 Intloduzione
6.2 I parametri di Stokes
6.3 Onde polarizzate e onde non polarizzate
6.4 Riepilogo
Riferimenti bibliografici
Formulario,363
Glossario, 371
Indice dei nomi, 379
Indice analitico, 381

Capitolo 1
Elettromagnetismo
One of the chief peculiarities of this treatise is the doctrine which asserts that the
true electric cu"ent on which the electromagnetic phenomena depend is not the
same thing as the current of conduction, but that the variation of the electric displa-
cement must be taken into account in estimating the total movement of electriCity. *
James Clerk Maxwell, 1873.
Loi fondamentale de 1 'electricite:
La force repulsive de deux petits globes electrises de la meme nature d 'electricite, est
en raison inverse du ca"e de la distance du centre des deux globes.
Charles Augustin Coulomb, 1785.
La force attractive et repulsive du fluide magnetique est exactement, ainsi que dans Ie
fluide electrique, en raison composee de la directe des densites, et inverse .du carre
des distances des molecules magnetique.
Charles Augustin Coulomb, 1785.
Dans u.n corps conducteur charge d 'electricite, Ie fluide electrique se repand sur
la surface du corps, mais ne penetre pas dans l'interieur du corps.
Charles Augustin Coulomb, 1785.
Lorsque deux conducteurs, ou plutot deux portions d'un meme conducteur voltar-
que, l'une et l'autre mobile, sont a une distance convenable dans des directions a peu
pres par alleles, la portion mobile est attiree ou repoussee par la portion fixe, selon
que la direction du courant electrique est Ie meme, ou en sens oppose dans ces deux
portions.
Andre Marie Ampere, 1821.
 Le traduzioni dene citazioni SODO riportate in fondo al capitolo.

12
Elettromognetismo I Cop. 1
Whether Ampere's beautiful theory were adopted, or any other, or whatever reser-
vation were mentally made, still it appeared very extraordinary, that as every electric
current was accompanied by a corresponding intensity of magnetic action at right
angles to the current, good conductors of electricity. when placed within the sphere
of this action, should not have any current induced through them, or some sensible
effect produced equivalent in force to such a current.
These considerations, with their consequence, the hope of obtaining electricity from
ordinary magnetism, have stimulated me at various time to investigate experimentally
the inductive effect of electric current.
Michael Faraday, 1839.
The variation of the electrical displacement must be added to the currents to get
total motion of electricity.
If the medium, instead of being a perfect insulator, is a conductor whose resistance
per unit of volume is p, then will be not only electric displacements, but true cur-
rents of conduction in which electrical energy is transformed into heat, and the
ondulation is thereby weakened.
James Clerk Maxwell, 1865.
I" a medium in which waves are propagated there is a pressure in the direction
normal to the waves (u.) A flat body exposed to sunligh t would therefore be repel-
led from the side on which the ligh t falls.. It is probable that a much greater ener-
gy of radiation might be obtained by means of the concentrated rays of the electric
lamp. Such rays falling on a thin metallic disk, delicately suspended in a vacuum,
might perhaps produce an observable mechanical effect.
James Clerk Maxwell, 1873.
Ich habe die Versuche in der von Maxwell vorgeschlagenen einfachen Form aufge-
nommen (...)
Diese Druckkrafte des Lichtes stimmen innerhalb des Versuchsfehler quantitativ
mit den von Maxwell und von Bartoli berechneten ponderomotorischen Kraften der
Strahlung uberein.
PeOtr Nikolaevic Lebedev, 1901.
Auf die Frage uWas ist die Maxwell'sche Theorie?" wusste ich also keine kurzere
und bestimmtere Antwort als diese: die Maxwell'sche Theorie ist das System der
Maxwell'schen Gleichungen.
Heinrich Hertz, 1894.
Are not gross Bodies and Light convertible into another, and may not Bodies receive
much of their Activity from the Particles of Light which enter their Composition?
The changing of Bodies into Light, and Light into Bodies is very conformable to the
Course of Nature, which seems delighted with Transmutations.
Isaac Newton, 1717.

1.1 I Equazioni di Maxwell
13
1.1 Le equazioni di Maxwell
Ogni fenomeno elettromagnetico, nell'ambito macroscopico, e descrivibile per
mezzo di un gruppo di equazioni, la cui validita e data come postulato:
ab(r, t)
VXe(r,t)=- at
ad(r, t)
Vxh(r,t)= at +j(r,t)
V. d(r, t)=p(r, t)
V. b(r, t)=O
f(r, t)=p(r, t)e(r, t)+j(r, t)x b(r, t),
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
con it seguente significato dei simboli (tra parentesi sono indicate, nel sistema di
misura MKSA, Ie unita delle relative grandezze):
e campo elettrico (VIm)
h campo magnetico (AIm)
b induzione magnetica (Wb/m 2 )
d induzione elettrica (C/m 2 )
j densita di c.orrente elettrica (A/m 2 )
p desiti di'.arica. elttrica (C/m 3 )
f diis"1ta -di Colza (N/m 3 ).
Le [1 )-[4] sono le ben note equazioni di Maxwell; la [5], che mette in relazione i
fenomeni elettromagnetici e meccanici (nel vuoto) e I' equazione della forza di Lorentz.
Le equazioni [1 ]-[4] non sono tutte indipendenti: infatti, com'e facile verificare,
la [4] pub essere dedotta dalle precedenti (vedi 1.1.1). Da esse discende poi I'equa-
zione di continuita della corrente (vedi 1.1.2):
ap
V.j+-=O. [ 6 ]
. at
II significato delle equazioni di Maxwell e dell'equazione di continuita diviene tra-
sparente una volta che queste equazioni siano trasformate nelle corrispondenti rela-
zioni integrali. Integrando Ie [3], [4] e [6] in un volume fisso V (vedi fig. I.la) limi-
tato da una superficie S di versore normale in, si ottiene:
#doindS= JHPdV=q
s V
#b ° indS=O
S
#j °indS+  =0.
S
[7]
[8]
[9]

14
Elettromagnetismo I Cap. 1
dS
s
s
 d'\--
I
(a)
(b)
Figura 1.1
Geometrie relative alia trasformazione delle equazioni di Maxwell in forma integrale.
La [7] e la [8] non sono che I'espressione della legge di Gauss per Ie cariche elettri-
che e magnetiche; la [9] e un' equazione di continulta, generalizzazione della prima
legge di Kirchhoffnel caso di cariche e correnti variabili nel tempo.
Integrando Ie [1] e [2] su una superficie fissa S di versore normale in (vedi fig.
1.1 b) e limitata da una curva 1 di versore tangente ii, si ottiene:
+e 0 i,dl=- :t II b 0 in dS
I S
[10]
fhoi,dl= a HdoindS+ JJjoindS;
I S S
[11 ]
la superficie S e stata supposta fissa nel tempo, in modo da poter eseguire Ia derivata
temporale all'estemo dell'integrale di superficie. La [10] non e altro che la Legge di
Lenz-Neumann, generalizzazione della second a /egge di Kirchhoff nel caso di induzioni
e tensioni variabili nel tempo. La [11 ] e la /egge di Ampere, generalizzata da Maxwell
a1 caso di grandezze variabili neI tempo; l'importanza del primo termine a1 secondo
membro'della [11], di cui Maxwell (1861 e 1873) postulo I'esistenza in base a consi..
derazioni puramente teoriche, viene esaminata in seguito (vedi 1.1.4).
Pub essere utile rendere simmetriche Ie equazioni di Maxwell introducendo densita
fittizie di corrente magnetica e di carica magnetica, jm (V 1m 2 ) e Pm (Wb/m 3 ) rispet-
tivamente. Ie [1 ]- [4] si trasformano cas!:
ab .
VX e=-ar- Jm
[12]
VXh= ad +j
at
v. d=p
V. b=Pm.
[13]
[14]
[15]

1.1 I Equazion; di Maxwell
15
L'equazione di Lorentz viene a sua volta generalizzata come segue:
f=pe+jxb+Pmh-jm xd,
e quella di continuita della corrente (magnetic a) diventa
. apm
V.Jm+ at =0.
[16]
[17]
II motive dell'introduzione delle densita di corrente e di carica magnetica e duplice:
da un lato vi sono distribuzioni di campi elettromagnetici che possono formalmente
attribuirsi a sorgenti magnetiche, dall'altro, l'uso di queste cariche e correnti fittizie
e necessario in relazione a1 teorema di equivalenza (vedi  1.5).
La ovvia gener alj7:za zione delle due equazioni integrali [8] e [10], includendo
cariche e correnti magnetiche, e la seguente:
!fb'in dS = HIPmdV=Qm
S y
[18]
t e . i,dl =- :1 H b' indS- Hjm · indS;
188
[19]
l'equazione di continuita per la corrente magnetica e:
Hjm 'indS+ a;; - 0. [20]
s
Le equazioni integrali [7], [9], [11], [18], [19] e [20] consentono di esaminare il
comportamento delle induzioni, dei campi e delle densita di corrente in corrispon-
s
L\V
Figura 1.2
Volume di integrazionc A V per 10 studio delle variazioni delle induzioni e delle dcnsita di
corrente in corrispondcnza di discontinuita spaziali.

16
Elettromognetismo I Cop. 1
denza a spostamenti infmitesimi nell'intorno di loro possibili discontinuita spaziali.
Nel caso di discontinuita del tipo suddetto, Ie equazioni di Maxwell non hanno piu
validita locale se, come accade per alcune delle componenti, campi, induzioni e
densita di conente sono discontinui.
Consideriamo la figura 1.2, ove sono rappresentate schematicamente due regioni
dello spazio separate da una superficie S. Questa pub essere 0 un'effettiva superficie
fisica di separazione tra mezzi diversi 0 una superficie idea Ie (in questo caso vi  un
unico mezzo); il versore normale ad essa, in,  orientato dalla faccia 1 alIa faccia 2.
Sia data inoltre una porzione di superficie, AS, sufficientemente piccola perche su
ciascuna delle sue due facce campi e induzioni possano ritenersi spazialmente costanti.
In tali condizioni, le'equazioni [7], [9], [18] e [20], per AlO e a me no di infini-
tesimi superiori rispetto a AS, fomiscono
M(d 2 -d 1 )-i n = lim HI pd V
t:&l-+ 0 t:& V
dS(j2 -jd-i n =- (}(}t UO HI pdV)
t:&v
AS(b2 -bl).i n = lirn III p d V
t:&1-+0 m
Av
dS(jm2 -jml).i n =- (}(}t (}o HI Pm d V).
t:&v
chiaro essendo il significato degli indici 1 e 2 apposti °ai simboli delle grandezze. Se su
AS sono presenti distribuzioni superficiaii di carica elettrica, con densita Ps (C/m 2 ),
e di carica magnetica, con densita PmS (Wb/m 2 ), valgono Ie seguenti relazioni:
(d 2 - d I) - in = P s
( . . ) . a Ps
J2 -JI -In =--ar.
[21]
[22]
(b 2 -bl) - in=PmS
( . . ) . a PmS
Jm2 -Jml - In =- at ·
[23]
[24]
Ne consegue che, in assenza di tali distribuzioni di carica, Ie componenti normali a
S delle induzioni e delle densita di corrente sono continue, anche se Ie caratteristiche
del mezzo cambiano bruscamente attraversando S.
Consideriamo ora la figura 1.3; il segmento Aa, intersezione di S con A, e cosi
piccolo che si possono ritenere i campi costanti su esso; di nuovo, la superficie S che
seziona A}; e una superficie fisica di separazione tra due mezzi diversi 0 anche una
pura superficie geometrica. E' anche chiaro, dalla figura, il significato dei versori it, ib
e in: considetati in quest'ordine, essi formano una terna levogira e sono tali che
it X ib = in. Le [19], [11] danno imrnediatamente,. per Al  0 e a meno di infinite-

1.1 I Equazioni di Maxwell
17
Mezzo 2
Figura 1.3
Superficie di integrazione per 10 studio della variazione del campQ in corrispondenza di
discontinuita spaziali.
simi superiori in a,
Lla(e2- e t)oi t =- aa ( lirn .HbOibdS ) - Jim Hjm oibdS
t l11-+ 0 118 111-" 0 118
a(h-hl).it= a a ( Jim HdoibdS ) + lirn HjoibdS.
t 111  0/18 AI-J>  .118
Se attraverso il segmento a fluiscono densita lineari di corrente elettrica js
(AIm) e magneticajmS (WhIm), si ha (vedi 1.1.7):
it · (e2 -el)=- jms · ib
it · (h2 -h l )= js · ib'
Sostituendo it =i b X in' e dovendo Ie relazioni precedenti valere per qualunque i b ,
si ottengono Ie formule fmali:
in X (e2 -el)=-jmS
in X (h2 -h1)=js.
[25]
[26]
In assenza di densita lineari di corrente, Ie componenti dei campi tangenti a S sono
dunque continue, anche se Ie caratteristiche del mezzo carnbiano bruscamente pas-
sando attraverso S.
Le equazioni di Maxwell [12] e [13], unitamente aIle [6], [1 7], possono essere in te-

18
Elettromognetismo I Cop. 1
grate, anziche su volumi 0 superfici, rispetto a1 tempo tra limiti prefissati tl e t2, otte-
nendo (nell'ipotesi che sia i campi sia Ie lara derivate spaziali siano integrabili):
t 2 t 2
b(r, t 2 )-b(r, tl)=-VX J e(r, t)dt- J jm(r, t)dt
t 1 t l
t 2 t 2
d(r, t2)-d(r, t 1 )=Vx J h(r, t) dt - J j(r, t) dt
.  
'2
p(r, t 2 )-p(r, t 1)=- V. J j(r, t) dt
t l
t 2
Pm(r,t 2 )-Pm(r,t 1 )=-V. J jm(r,t)dt.
t 1
Queste relazioni 'sono utili per studiare il comportamento delle induzioni e delle
densita di carica quando Ie caratteristiche del mezzo variano bruscamente nel tempo.
Sia t 2 =to +t, t 1 =to -t; supponiamo che a1 tempo to siano impresse densita
di corrente elettriche e magnetiche temporalmente impulsive:
jt =d t (t- to), jm t =b t (t- to),
dove 6() e la funzione di Dirac e d" b t rappresentano i flussi totali rispetto a1 tem-
po delle dens,ta di corrente, rispettivamente elettrica (C/m 2 ) e magnetica (Wb/m 2 ).
Per tO, posto
t2  t6', tl  to,
si ottiene, nell'ipotesi che i campi rirnangano finiti,
b(r, f)-b(r, to)=-b t [27]
d(r, t6')-d(r, to)=-d t [28]
p(r, t6")-p(r, t o )=- V. d t [29]
Pm(r, t)-Pm(r, 10)=- v. b t . [30]
Nell'intervallo t, in assenza di correnti impresse, induzioni e cariche rimangono
continue anche se Ie caratteristiche del mezzo cambiano bruscamente all'istante to.
E' utile individuare, tra Ie correnti e Ie cariche, la parte ascrivibile a processi
(ad esempio di natura chimica 0 meccanica) estranei, per cosi dire, aIle equazioni di
Maxwell. Tali densita impresse di corrente e di carica fungono da sorgenti per i1
campo elettromagnetico, nel senso che nelle equazioni di Maxwell figurano come
termini noti. Le equazioni, una volta risolte, esprimono campi e indtizioni corne fun-
zionali delle sorgenti; conviene pertanto porre in evidenza questi termini di sorgente:
jo , jm 0, Po, Pm o. Le residue densita di carica e di corrente sono ancora indicate, per
sernplicita, con j, jm, p, Pm; anch'esse sono espresse, una volta risolte Ie equazioni,
come funzionali delle sorgenti. Con questa suddivisione di cariche e correnti, Ie

1.1 I Equozioni di Moxwell
19
[12]-[15] assumono la forma
V ab..
xe=-ar-Jm -JmO
[31 ]
Vxh=  +j+jo
V.d=p+po [33]
V.b=Pm +PmO' [34]
La dipendenza temporale che a ppare nelle [1 ]-[4] si esprime in forma algebrica
utilizzando la trasformazione di Fourier (0 di Laplace); per it campo elettrico si ha
[32]
00
1 f .
e(r, t)= 211 J E(r, w) exp(jwt) dw;
--
formule analoghe valgono per gli altri vettori del campo. Le equazioni di Maxwell, nel
dominio delle w, si ottengono trasformando Ie [31 ]-[34]:
VX E(r, w)=-jwB(r, w)-Jm(r, w)-JmO(r, w)
VX H(r, w)=jwD(r, w) + J(r, w) + Jo(r, w)
V.D,w)=p,w)+po,w)
V. B(r, w) =Pm(r, w) + Pm oCr, w).
[35]
[36]
[37]
[38]
Le equazioni di continuita della corrente elettrica [6] e di quella magnetica [1 7]

diventano
V. [J(r, w) + Jo(r, w)] + jw [per, w) + po(r, w)] =0
V. [Jm(r, w)+Jmo(r, w)] +jw[Pm(r, w)+Pmo(r, w)]=O.
[39]
[40]
Conoscendo la soluzione delle equazioni di Maxwell nel dominio trasformato
(dominio della frequenza), la soluzione nel dominio del tempo si pub subito ottenere
utilizzando la trasformata di Fourier (0 di Laplace ).1 Imp.ortante per Ie applicazioni e
it caso (1.1.12) dei segnali puramente sinusoidali nel tempo (segnali armonici).
Pub essere utile talvolta esprimere in forma algebrica la dipendenza spaziale, anzi-
che quella temporale, delle equazioni di Maxwell; in tal caso si utilizza la trasformata
tripla di Fourier:
-
-
-
e(r,t)= J dk x J dky J dkzf.(k,t)exp(-jkxx-jkyy-jkzz)=
_oo
_oo
_oo
-
= iH E(k, t) exp( - jk · r) dk,
_oo
con k=kxi x +kyiy +kzi z ;
I Almeno nel caso lineare (vedi  1.2).

20
Elettromagnet;smo I Cop. 1
analogamente si procede per g1i altri vettori del campo. Sostituendo nelle [31 ]-[34] e
uguagliando anche qui gli integrandi, si ha
. aA(k,t)
-Jk X £(k, t)=- at -Jm(k, t)-Jmo(k, t)
a D(k, t)
-jk x R(k, t)= at + J(k, t) + Jo(k, t)
-jk · D(k, t)= p(k, t) + po(k, t)
-jk. B(k, t)= 'Pm(k, t) + Pmo(k, t).
[41 ]
[42]
[43]
[44]
Le [41 ]-[44] sono Ie cosiddette equazioni di Maxwell nel dominio del numero
d'onda. Ovviamente, sono ulteriormente trasformabili nel dominio della frequenza; in
tal caso, Ie equazioni di Maxwell risultano interamente scritte in forma algebrica. Cia
non significa che ogni problema di elettromagnetismo sia di soluzione immediata:
il numero delle incognite, infatti, e largamente superiore a quello delle equazioni (il
I?roblema viene trattato nel  1.2); e iRoltre non sono state ancora specificate Ie
condizioni iniziali e al contorno (vedi  1.4).
Annotazioni
11.1 Interdipendenza delle equazioni di Maxwell
Calcoliamo la divergenza della [1]:
O= V .b'
at'
ne consegue che V. b = cost. rispetto al tempo. Se i camJ?i sono nulli per t < to
(to e l'istante di tempo in cui Ie sorgenti sono eccitate), e b (t<to)=O, si ha cioe
V. b(t<to)=O;
dovendo essere V. b = cost. per ogni tempo, si ha
V..b=O,
relazione che coincide con 1a [4]; la [1] risulta dunque piu una condizione iniz,iale che
un'equazione indipendente.
1.1.2 Equazione di continuita dell. corrente
Si calcoli la divergenza della [2]:
O=V.(  +j).
[45]
La [45] e gia di per se un'equazione interessante; essa mostra .che nel caso dina-

1 A 1 I EquQzioni di Maxwell
21
mico e solenoidale it vettore
.+ ad
Jat
e non il vettore j (come accade nel caso statico: prima Zegge di Kirchhoff). Sosti-
tuendo la [3] nella [45] si ha
ap
V - J .+-=O
at '
che non e aUro che l'equazione di continuita della corrente elettrica [6].
'\
1. t3 Equazione di continuita della corrente magnetica (esercizio)
Utilizzando 10 stesso procedimento di 1.1.2, si ricavi la [17].
*1:1-.4 Discussione della second a equazione di Maxwell
La forma differenziale della legge di Ampere e la seguente:
Vx h=j.
Si consideri il caso di un condensatore a piatti paralleli alimentato da un filo me-
tallico (fig. 1.4). Supponiamo che il generatore e i fili siano opportunamente scher-
mati, che il condensatore abbia un anello di guardia e che la frequenza del generatore
sia sufficientemente bassa (ma non nulla), di modo che i1 campo elettromagnetico
possa ritenersi diverso da zero solo nello spazio compreso tra i due piatti del conden-
satore.
Integriamo I'equazione di Ampere, calcolandone il flusso attraverso la superficie
S 1 ; si ottiene
+h. i, dl = H j · in dS= i,
I 8 1
dove i e la corrente che fluisce lungo il filo.
v
52
Figura 1.4

22
Elettromognetismo I Cop. 1
Se il calcolo e effettuato sulla superficie 8 2 , si ricava
fh · i 1 dl = H j · in, dS = O.
I 8 2
I due risultati sono dunque incompatibili. Sostituendo all 'equazione di Ampere
quella di Maxwell, si ha invece
c}h · i 1 dl = H j · in dS = i.
I 8 1
t h · i, dl = H   · in dS.
I S2
All'interno del condensatore la densita di corrente j e nulla, ma e sostituita dal termine
ad/a t =1= O.
1.1.5 Campi statici (esercizio)
Si mostri che nel caso statico, cioe per a/a t = 0, Ie equazioni per i campi elettrici
e magnetici si disaccoppiano se d = € e, b = Il h, e se I 'unica corrente e quella impressa
jo. Si ha
e=-VCP,
h = 1. V x a
Jl '
P
V 2 cp + V <I> · V(lne)=--
€
VXVXa+(VX a) X V(ln)=lljo.
1.1.6 Densita di carica elettrica di volume e di superficie
Con riferimento aHa figura 1.5, consideriamo una distribuzione di carica (ad
esempio elettrica) con densita di volume p (C/m 3 ) limitata allo stato di spessore z.
Se nel volume  V=x l::&y z della figura la carica totale contenuta e q, la densita
z


/

/


------JI
;' I / I
/ I // °1
/ )-___.L__)
/ / / /
/
/
/
/

,
,
/
z
o
, I /
1/ '/
I. J
x
x
/
/
/
/
/
/
Figura 1.5

1.1 I Equazioni di Maxwell
23
e localmente data da
8q
p= b.x8yAz .
Si immagini ora di diminuire 10 spessore b.z, mantenendo perb invariata la carica
b.q nel volume 8 V. Evidentemente la densita di volume p aumenta, tendendo all'infi-
nito quando 8z  0; e aHora utile introdurre una densita di carica elettrica superfi-
ciale Ps (C/m 2 ) tale che
t::. q = lim (p 8 z) !::t. x !::t.y = P s !:1x !::t.y .
AZ -+ 0
Nel passaggio allimite per !::t.z -+ 0 il prodotto Ps=p!::t.z rimane costante; la densita
di volume di carica assume la forma di un impulso (spaziale) di Dirac:
p=p s 6(z).
Chiaramente, se su una superficie localmente piana z = Zo e disposta una carica
superficiale Ps, la carica contenuta in un volume b. V a cavallo della superficie (vedi
fig. 1.2) e data da
/::"q = /::,.s J PsIS (z -zo) dz = Ps/::"S.
1.1.7 Densita di corrente e densita lineare di corrente (esercizio)
Procedendo come sopra, si mostri che a una corrente elettrica confinata su una
superficie (localmente pian a) z =zo conisponde una densita di corrente
j =j s 6(z -zo),
dove is (AIm) e la densita lineare della corrente elettrica. Si utilizzi il risultato per
giungere alle relazioni [25] e [26].
1.1.8 Rifrazione elettrica (esercizio)
Si mostri che alla superficie pian a di separazione di due mezzi Ie linee di forza
del campo elettrostatico (queUe che individuano, punta per punto, direzione-e verso
del campo) form an 0 angoli Qt, Q2 con la normale alla superficie (vedi fig. 1.6) dati
da
1 1
- tgQl =--:- tgQ2,
€1 €2
nell'.ipotesi che
d 1 = € 1 el , d 2 = €2 e2 .
1.1.9 Potenza forBita dalle sorgenti at campo elettromagnetico
Consideriamo la densita di corrente impressa io , sorgente del campo elettromagne-
tico, come dovuta a una densita di carica Po che si muova con velocita assegnata v:
jo =Po v.

24
Elettromognetismo I Cap. 1
Mezzo 1
Mezzo 2
Figura 1.6
La densita di corrente jo genera un campo elettromagnetico; sulle sorgenti, di con-
seguenza, agisce una densita di forza
f=poe+jo X b.
Per man tenere in mota la densita di carica Po alIa velocita v e necessario applicare
ad essa una densita di fona di pari intensita, ma opposta alla precedente. Per ogni
spostamento dr tale densita di forza com pie una densita di lavoro
-f. dr =-Po e. dr-jo X b. dr.
Nel tempo dt, la corrispondente densita di potenza e data da
-f. v=-e. jo -jo X bx jo =-e · jo.
La potenza totale e
Po . - H J e · jo d V;
[46]
questa e la potenza che i generatori, cioe Ie sorgenti del campo, devono erogare perche
possa sussistere la densita di corrente jo e, in definitiva, il campo elettromagnetico.
Tale potenza si ritrova appunto nel campo elettromagnetico.
1.1.10 Potenza formta da generatori di tipo magnetico (esercizio)
Si dimostri, con ragionamento analogo al precedente, che sorgenti impresse di tipo
magnetico jm 0 forniscono a1 campo elettromagnetico la potenza
PmO =- HI jmo · hd V.
[47]

1.1 I Equazioni di Maxwell
25
1.1.11 Rappresentazione spettrale dell'energia fornita dai generatori (esercizio)
Adoperando il teorema di Parseval si mostri che l'energia totale (supposta finita)
fomita dai generatori e data da
+00
w= I [Po (t)-I:PmO(t)] dt=
_00
+00
= ;7r  dW{- HI E. J o dV- HI J mO · HdV}.
_00 v v
,
*1.1.12 F asori del campo elettromagnetico
In molte applicazioni Ie sorgenti del campo elettromagnetico variano nel tempo
con legge sinusoidale, oppure la banda relativa di frequenza b.w/w (w e la pulsazione
centrale) e talmente piccola che la maggior parte della informazione sulle caratteristi-
che dei campi pub essere ottenuta considerando i1 comportamento di un segnale alIa
frequenza di centro banda.
Se i1 mezzo nel quale i campi sono presenti e line are e stazionario (vedi  1.2),
allora l'andamento temp orale di tutti i vettori del campo e anch'esso sinusoidale, con
la stessa frequenza del generatore. Risulta
e(r, t)=E x cos (wt + Ox) ix + Ey cos(wt + Oy) iy + Ez cos (wt + 8z)iz
= Re {E(r) exp (j wt)};
E(r) = Ex(r) exp [j 8 x (r)] ix + Ey(r) exp [j 8 y (r)] iy + Ez(r) exp [j 8 z (r)] iz;
relazioni analoghe si hanno per gli altri vettori del campo.
II vet tore (complesso) E(r) e detto fasore del campo elettrico. Mentre un ordina-
rio vettore e geometricamente rappresenta bile mediante una freccetta, per il fasore
questa rappresentazione e soltanto simbolica. Esso e infatti caratterizzato da due
quantita: parte reale e coefficiente dell'immaginario (per individuarle, sarebbero a
rigore necessarie due freccette, ad esernpio di colori diversi).
Pur se fasori e vet tori trasformati nel dominio della frequenza sono contrasse-
gnati dallo stesso sim bolo, tra questi due tipi di grandezze esiste una differenza fon-
damentale: i fasori hanno Ie dimensioni delle corrispondenti grandezze nel dominio
. del tempo (ad esempio, i1 fasore del campo elettrico si misura in V 1m); le dimensioni
dei vettori trasformati invece si ottengono da queUe dei corrispondenti vettori nel
dorninio del tempo dividendole per una frequenza (cosi, i1 vettore trasformato del
campo elettrico si misura in V 1m' Hz).
Nella somma di fasori, si compongono vettorialmente Ie parti reall con Ie parti
reali, e i coefficienti dell'immaginario con i coefficienti dell'immaginario. Pertanto,
non necessariamente Ie direzioni della parte reale e del coefficiente dell'immaginario
del fasore risultante sono coincidenti.
Vogliamo ora stabilire ache cosa tutto cic) corrisponda nel dominio del tempo.
Posto
E=A +jB

26
Elettromognetismo I Cop. 1
con A e B vettori reali, e
e=Re[E exp(jwt)]=Re[(A +jB)exp(jwt)]=A cos wt-B sin wt.
I vettori A e B d'altronde determinano un piano; introdotto su esso un sistema
cartesiano ortogonale di riferimento (x, y), si ha
e=(A x cos wt - Bx sin wt) ix + (A y cos wt- By sin wt) iy.
L'estremo del vettore e ha coordinate (vedi fig. 1.7)
x=A x cos wt-B x sin wt
y=A y cos wt-B y sin wt.
Lc funzioni del tempo possono essere facilmente eliminate risolvendo it sistema
per cos wt, sin wt e utilizzando la relazione cos 2 wt + sin 2 wt= I. Si ha
(A + B)x2 + (A + B) y2 - 2(A x .A y + BxBy)xy = (Ax By - Ay Bx)2 ,
che e l'equazione di un'ellisse; il vettore e si dice avere polarizzazione ellittica. Tale
vettore, per chi osservi il piano z = 0 da un pun to posta nella regione z> 0, appare
muoversi in senso an tiorario se B X A ha it verso di i7. t in senso orario se B X A ha il
verso di - i z . L'ellisse si riduce a una circonferenza se A = B eA. B = 0, ovvero quan-
do parte reale e coefficiente dell'immaginario del fasore sono ortogonali e di ampiezza
uguale (By =:!: Ax; Bx = =+= A y); in questo caso, si dice che it campo e polarizzato circo-
larmente. L'ellisse degenera in un segmento se B X A = 0, cioe quando parte reale e coef-
ficiente dell'immaginario del fa sore hanno la stessa direzione (B x = aA x ; By = aA y); in
questo caso, il campo e polarizzato linearmente (per una trattazione pii1 esauriente
del problema della polarizzazione vedi cap. 6).
A = e (t = 0)
x
(t= - 2: )
Figura 1.7
Composizione di due Casori e corrispondente vettore nel dominio del tempo.

1.1 I EquQzioni di Maxwell
27
Esprimendo i campi in funzione dei rispettivi fasori nelle [31 ]-[34] e uguagliando
Ie quantita entro il sim bolo di parte reale (dovendo Ie uguaglianze essere vere per
qualunque t) si ha
Vx E(r)=-jwB(r)-Jm(r)-Jmo(r)
Vx H(r)=jwD(r) +J(r) + Jo(r)
V. D(r)=p(r) + po(r)
V. B(r)=Pm(r) + Pmo(r);
[48]
[49]
[50]
[51]
si tratta di espressioni formalmente identiche aIle [35]-[38] (equazioni di Maxwell nel
dominio della frequenza) a parte la non esplicita dipendenza da w che, in questo caso,
e una costante. Vi en da pensare che la notazione di fasore (e la semplice regola che
consente di passare nel dominio del tempo: moltiplicare per exp(jwt) e prendere
poi la parte reale) sia qualcosa di simile a una trasformata di Fourier per i campi
sinusoidali. In effetti, se 10 spettro E(w) e quello riportato nella figura 1.8, si ha
00
e(t)= 217( I E(w) exp(jwt)dw=
_00
1 sin(wt)
=- 2Aw  cos(wot+ 8 0 );
1r wt
se wO, ma A oo in modo che 2A wl1r tenda al valore costante Eo, e
e(t)=Eo cos(wot+ 8 0 ).
Un segnale sinusoidale di fasore E = Eo exp ( j 8 0 ) e pulsazione Wo ha quindi uno
spettro
1rE o [exp(j 8 0 ) 6 (w-wo) + exp( -j 8 0 ) 6 (w + wo)];
la notazione di fasore pub cosi riguardarsi come una forma abbreviata per effettuare
una trasformata di Fourier.
Concludiamo osservando che, una volta calcolati per mezzo dei fason i campi
prodotti da sorgenti sinusoidali, quelli prodotti da sorgenti non sinusoidali, almeno
nel caso lineare (vedi  1.2), sono immediatamente calcolabili: basta moltiplicare la
soluzione sinusoidale per 10 spettro delle sorgenti. L'andamento dei campi nel tempo
e ottenuto mediante una successiva trasformazione di Fowier.
1.1.13 Potenza associata a campi sinusoidali
Per campi sinusoidali I'energia tot ale fornita dalle sorgenti (vedi 1.1.9) e infinita.
Conviene riferirsi a una media della potenza, calcolata nel periodo T= 21r Iw (potenza
medill )
1 T
(po)=r J Po(t)dt;
o
[52]
10 stesso dicasi per la potenza fomita dai generatori di tipo magnetico.

28
Elettromagnetismo I Cap. 1
J ., E (w) I
2dW 2w
I- -I A , I
------- -------
. I -
. I .
I I w
-wo I W o I
j / E(w ) I I I
I I I
I I I
I I I
I I I
I I I
fJ - -------
0 I
I
I
I
. I -
. I -
-wo W o W
------ I- -00
Figura 1.8
Spettro di un segnale a banda limitata e, in essa, costante.
Nei fasori J 0 ed E si distinguono il modulo e la fase:
J o =A exp(jQ), E=C exp(j1),
in modo che
jo(t)=Re[J o exp(jwt)]=A cos(wt+a)
e(t)=Re[E exp(jwt)] =C cos(wt +1).

1.2 I Relozioni costitutive
29
La densita di volume di potenza media (W 1m 3 ) fornita a1 campo da generatori di
tipo elettrico e
1 T
Pe =-r A. C J cos(wt+a) cos(wt+'Y)dt=
o
1 1
=-2" A. C cos(a-'Y)=-2"Re[E. J].
[53]
La [53] mostra come tale densita di potenza possa calcolarsi come la parte reale di
una densita di potenza complessa:
Pe =-  (E · J).
[54]
Per questo motivo, quando PUQ ingenerarsi confusione con la [54], la [53] viene
detta densita di potenza media attiva.
Analogamente, la densita di potenza media complessa fornita al campo da genera-
tori di tipo magnetico e data da
P =_l (J · ft. )
m 2 mO '
[55]
e la densita di potenza media attiva e
Pm =Re[ Pm ]=-Re [  J mo . H*J
[56]
I coefficienti dell'immaginario di Pe e di Pm sono Ie cosiddette dens ita di potenza
media reattiva; illoro significato e chiarito nel paragrafo 1.3.
1.2 Le relazioni costitutive
Le equazioni di Maxwell, come si e visto, non sono tutte indipendenti (vedi 1.1.1);.
a un rapido esame si scopre anzi che i1 numero delle incognite supera di molto quello
delle equazioni. II problema del calcolo dei campi e allora indeterminato, a meno che,
in aggiunta aIle equazioni di Maxwell e indipendenti da esse, non ne vengano scritte
di nuove, con il compito di fomire informazioni suI mezzo in cui i campi vengono
calcolati. Del resto, in mezzi diversi il campo elettromagnetico e in generale diverso, a
parita di sorgenti; pertanto Ie caratteristiche del mezzo devono, in qualche modo,
apparire nella soluzione.
Le nuove equazioni che descrivono il mezzo, insieme con quelle di Maxwell, ven-
gono a formare un sistema che in linea di principio ammette soluzione, ovvero e
compatibile. Ad esempio, in un particolare mezzo detto plasma il campo elettro-
magnetico, per esistere, deve soddisfare (vedi 1.2.2), sotto certe ipotesi restrittive

30
Elettromognetismo I Cop. 1
riguardanti il plasma stesso, Ie seguenti equazioni:
ah
vx e=-Jlo at
ae
Vx h= Eo at -Nqv
av
m at =-qe,
dove i parametri eo ,"110, N, q, m sono grandezze assegnate. Si rico no see che la terza
equazione e indipendente da quelle di Maxwell ed e caratteristica del mezzo consi-
derato.
II fenomeno descritto da questo sistema di tre equazioni vettoriali richiede eviden-
temente l'introduzione di un campo vettoriale (e, h, v) con nove componenti scalari,
delle quali sei elettromagnetiche (e, h) e tre meccaniche (v). Questa formulazione del
problema si dimostra perfettamente adeguata in un gran numero di casi (Marcuvitz,
1970); si pub tuttavia pensare a una formulazione alternativa, suggerita dal fatto che
nello spazio libero (cioe nel vuoto e, per frequenze sino dell'ordine delle decine di
gigahertz, con ottima approssimazione anche nell'aria) Ie equazioni di Maxwell assu-
mono, in assenza di sorgenti, una forma particolarmente semplice:
ah
Vx e=-Ilo at
ae
Vxh= eo at
V. e=O
V. h=O.
In questo caso, Ie equazioni aIle divergenze sono ambedue conseguenza di que lIe
ai rotori, e la libera propagazione nella spazio vuoto pui> studiarsi in base alle sole
equazioni
ah
Vxe=-Ilo -
at
[1]
ae
v x h = eo at '
[2]
Le relazioni caratteristiche del mezzo considerato (il vuoto) sono
d = eo e, b = 110 h;
ove i pararnetri Eo e 110 sono costanti dipendenti dal mezzo: Eo = 8,854 x 10- 12 F 1m;
110 = 1,256 X 10- 6 HIm. Tali espressioni 80no state sostituite nelle equazioni di
Maxwell, che si presentano COSt come un sistema di due equazioni vettoriali nelle due

1.2 I RelDzioni costitutive
31
incognite e, h. II campo vettoriale che descrive il fenomeno e in questo caso un puro
campo elettromagnetico.
Ci si pub chiedere se il ricondursi a un sistema del tipo [1 ]-[2] sia sempre possibile:
la risposta e affermativa, sempre che i vettori d, b e j siano esprimibili in funzione di e
e h (per quel che concerne j, vedi 1.2.1).
Le relazioni che legano induzioni e campi prendono il nome di relazioni costitu-
tive. Nel caso che d dipenda solo da e e b solo da h si pub porre
d=(e)
b  (h),
[3]
[4]
"dove  e  indicano operatori, detti anche funzionali, che descrivono il tipo di
mezzo considerato. Nellinguaggio della teoria dei sistemi, i vettori e, h vengono detti
cause, 0 ingressi; i vettori d, b, effetti ° uscite.
Una prima grande distinzione e quella tra mezzi lineari e non lineari: un mezzo e
detto lineare se aUa combinazione Hneare delle cause, secondo assegnati coefficienti,
corrisponde la combinazione Uneare degli effetti secondo gli stessi coefficienti. .
Tranne il vuoto, nessun mezzo e esattamente line are per qualunque valore dell'in-
gresso. Se questo e troppo debole, PUD addirittura non esservi uscita (sogliq); se e
troppo elevato, I'uscita pub rimanere costante al variare dell'ingresso (saturazione).
Tuttavia, in molte applicazioni di elettromagnetismo, il mezzo si mantiene line are in
tutta la gamma di valori d'ingresso che hanno un interesse pratico. In tal caso gli
operatori che appaiono nelle [3]-[4] devono essere lineari; se poi, per ragioni fisiche,
si richiede che siano continui, essi sono di tipo integrale:
d(r, t)= J.fe(r, r'; t. t'). e(r', t')dr'dt'
[5]
b(r, t)= J.fh(r, r'; t. t') · h(r', t') dr' dt',
[6]
dove l'integrazione e estesa a tutto 10 spazio e a tutti i tempi; Ie funzioni J1e h , di-
pendenti solo dal mezzo, sono rappresentate da matrici 3 x 3, perche non necessaria-
mente cause ed effetti devon essere paralleli (quanto all'espressione che appare sotto
il segno di integrale, e inteso che Ie componenti cartesiane dei vettori e, h sono ordi-
nate secondo due matrici colonna e i prodotti sono eseguiti riga per colonna).
11 significato delle matrici jle ,t?h e chiaro quando si consideri un particolare tipo
di ingresso, quello impulsivo:
e(r', t') =a e [) (r' -ro)  (t' - to)
h(r', t') =ah [) (r' -ro) [) (t' - to),
dove Be e ah sono vettori (dimensionati) costanti; in tal caso si scrive

32
Elettromagnetismo I Cap. 1
d (r, t) j1 e (r , r 0 ; t, to) · 8e
b (r, t) h (r, r 0 ; t, to) · 8h .
Pertanto fie · 8 e '?h · 8h sono Ie risposte in (r, t) a cause impulsive in (ro, to). Le ma-
trici Jle ,jlh, denoJninate risposte impulsive unitarie, elettrica e magnetica rispettiva-
mente, del mezzo, rappresentano la risposta a un ingresso impulsivo unitario
J[) (r' -ro)  (t- to),
ove $ e la matrice unitaria
100
-+ 0 1 0 .
001
Si noti che un formalismo simile a quello espresso dalle [5], [6] PUQ essere intro-
dot to anche nel caso di mezzi non lineari (Franceschetti e Pinto, 1980; Flytzanis,
1975).
Una classe molto importante di mezzi e quella per cui Ie risposte impulsive sono
diagonali e a elementi tutti uguali:
J'e = ge$, /'h = gh J.
Per tali mezzi, denominati isotropi (i precedenti erano anisotropi), Ie relazioni costi-
tutive assumono Ia forma semplificata:
de', t) = f gir, r'; t, t') e(r', t') dr' dt'
[7]
b(r, t) = f gh(r, r'; t, t') h(r', t') dr' dt';
[8]
d ed e, come del resto b e h, sono allineati; chiaramente, ge, gh rappresentano Ia
risposta impulsiva unitaria, elettrica e magnetica, cioe Ie induzioni corrispondenti a
campi impuisivi (spaziaImente e temporalmente) unitari. Se ad esempio
e =  (r' - r 0) [) (t' - to) ie ,
dove ie e un vettore (dimensionato) unitario, allora
d(r, t)= ge(r, ro; t, to) ie
e l'induzione elettrica, in (r, t), dovuta al campo elettrico impulsivo unitario in (ro, to).
Un mezzo si dice causale se l'effetto non precede la causa; tale proprieta, ovvia-
mente valida anche per mezzi non lineari, a Hvello macroscopico e comune a tutti i
mezzi fisicamente realizzabili (vedi 1.2.9). Supponendo inoltre che ogni perturbazione

1.2 I Relllzioni c06titutive
33
non possa propagarsi con velocita superiore a quella della luce c, risulta
Ir-ro I
ge(r, ra; t, to)=O per t< to + ;
c
[9]
10 stesso dicasi per gh. Tale proprieta di realizzabilita fisica per la risposta impulsiva e
verificata anche nel caso dei mezzi anisotropi, al pari di molte delle proprieta esami-
nate qui di seguito nelI'ipotesi, formalmente piti semplice, di isotropia del mezzo.
Una classe molto importante di mezzi e quella per i quali I'effetto in ogni punto r
dipende solo dal valore della causa nello stesso punto:
gege(r; t, t')(r-r')
gh -+ gh(r; t, t ' )  (r-r / ).
Tali mezzi sono detti spazialmente non dispersivi, a differenza dei precedenti (spazial-
mente dispersivi); per essi Ie relazioni [7] e [8] si semplificano come segue:
00
d(r, t)=  ge(r; t, t') e(r, t') dt'
[10]
_00
00
b(r, t)=  gh(r; t, t') h(r, t') dr',
[11 ]
_00
dove il limite su periore di integrazione pub essere esteso anche solo sino at, a causa
della condizione di realizzabilita fisica [9].
Un mezzo e anche temporalmente non dispersivo se I'effetto, ad ogni istante t,
dipende solo dal valore della causa in quello stesso istante:
ge(r; t, t')=e(r, t)(t-t')
gh(r; t, t ' ) =Jl(r, t)  (t- t');
e e Jl prendono rispettivamente il nome di permittivita (0 costante dielettrica) e
permeabilita (0 costante magnetica). Per tali mezzi Ie precedenti relazioni [10], [11]
si semplificano come segue:
d(r, t)=e(r, t)e(r, t)
b(r, t)=p.(r, t)h(r, t).
[12]
[13]
Invece i mezzi descritti dalle [ 1 0], [11] sono detti temporalmente dispersivi (0
semplicemente dispersivi, 0 anche, con memoria, 0 con eredita).
Un mezzo e in fine omogeneo se a una traslazione dei vettori  e h (cause) corri-
sponde un'uguale traslazione degli effetti deb; non omogeneo nel caso opposto. In
particolare, l'ornogeneita, 0 la non-omogeneita, pub essere spaziale 0 temporale;
nel secondo caso' si usano anche Ie locuzioni mezzo stazionario, 0 al contrario,
3

34
Elettromagnetismo I Cap. 1
variante, riservando l'appeUativo "omogeneo" 0 "non omogeneo", senza ulteriore
specificazione, a indicare tali proprieta nello spazio.
S i1_ezzo e non. ipersivo, l'omogeneita implica che € e Jl siano costanti, cioe
non dipendenti da r e da t; se vece e dispersivo, Ie risposte impulsive dipendono
unicamente (vedi 1.2.7) dalle differenze r-r', t- t':
ge =ge(r-r'; t-t')
gh =gh(r-r'; t- t').
Questa proprieta onduce a un risultato molto importante pr i ezzi stazionari e
spazia1mene non dispesivi, ai quali si riferisce una larghissima parte delle applica-
zioni. Trasformando Ie relazioni [10], [11] nel dominio della frequenza (vedi 1.2.8),
si otten20no. per via della dipendenza da t - t' (e non semplicemente da t, t'), Ie
seguenti elioni:
D(r, w) =e(r, w) E(r, w)
B(r, w)=p.(r, w) H(r, w),
[14]
[15]
esprimenti una semplice proporzionalita tra Ie trasformate delle induzioni e dei cam-
pi. I fattori di proporzionalita (diadi nel caso anisotropo) sono l trasformate di F ou-
rier delle risposte impulsive:
+00
e(r, w)= J ge(r, t) exp( -jwt) dt
[16]
_00
+00
p(r, w)=  gh(r, t)exp(-jwt)dt
[17]
_00
e corrispondono a quella che, in teoria dei sistemi, vien detta funzione di trasferimen-
to. Si sono usati gli stessi simboli che appaiono nelle [12], [13], sia in omaggio a una
consuetudine consoIidata, sia per mettere in luce che, !leI dorninio della frequenza, i
mezzi dispersivi e non dispersivi 80no formalmente descritti nello stesso modo. Si
noti tuttavia che mentre Ie [16], [17] sono funzioni in generale complesse, Ie e e p.
che appaiono nelle [12], [13] so no funzioni reaIi.
Se il mezzo e anche spazialmente dispersivo si possono ottenere, purche esso sia
omogeneo, relazioni simiIi alle [14], [15]. Con una ulteriore trasformazione nel
dominio del numero d'onda si ricava:
D(k, w)=t(k, w). £(k, w)
B(k, w)=fi(k, w). 9(k, w).
[18 ]
[19]
In conclusione, per l'importante classe dei mezzi lineari, stazionari ed eventual-
mente non omogenei (nello spazio), dispersivi (solo nel tempo) e anisotropi, i feno-

1.2 I R elozioni costitutive
3S
meni elettromagnetici possono essere descritti dalle equazioni
Vx E(r, w) =-jwJ1(r, w). H(r, w)-Jmo(r, w)
Vx H(r, w) =jw &(r, w) · E(r, w) + Jo(r, w).
[20]
[21]
Le espressioni
D=&.E; B=p.H
corrispondono, per iI mezzo considerato, alle [3], [4]. Calcolando Ie divergenze di
ambo i membri delle [20], [21], si ottengono, in assenza di sorgenti di carica, condi-
zioni necessarie per i1 campo elettromagnetico:
V. [&(r). E(r)] = V. D=O
V. [J1(r) · H(r)] = V. B =0,
[22]
[23]
del resto gia contenute in forma implicita nelle stesse [20], [21]; Ie induzioni DeB
che appaiono nelle [22], [23] non corrispondono pero alle DeB contenute nelle
[35], [36] del paragrafo 1.1 (come risulta da 1.2.1); esse possono considerarsi indu-
zioni generalizzate.
Annotazioni
1.2.1 Relazione costitutiva per un mezzo conduttore
Un mezzo si dice conduttore se la relazione tra la densita di corrente (eccitata dal
campo elettrico applicato) e il campo e la seguente:
j = 0 e.
Per un mezzo stazionario risulta J = 0 E; di conseguenza
iWD+J=iweE+OE=iw(e-i : )E.
Avendo posta
[24]
.0
€ =€-/-
eq W '
[25]
la seconda equazione di Maxwell si scrive, in assenza di sorgenti,
VX H=jw€eqE.
La trasfonnata della [25] e, nell'ipotesi che € non dipenda dalla frequenza,
+00
ge(t)= 2 1 ,"  eeq(w) exp(jwt)dw=e6(t)+oU(t),
_00
dove l'integrale di Fourier e calcolato come limite di quello di Laplace per assicurare
la causalita alla risposta. Pertanto Ie relazioni costitutive di un mezzo conduttore, nel

36
Elettromagnetismo I Cap. 1
dominie della frequenza e del tempo, sono date, conformemente ai risultati generali,
dalle relazioni
D(w)= €eq(w) E(w),
t
d (t) = J ge(t-T) e(T) dT.
_00
D e d sono induzioni generalizzate, non coinciden ti con queUe che appaiono nelle
equazioni [36] e [13] ( 1.1): infatti contengono anche l'integrale della corrente di
conduzione. Le divergenze di queste induzioni sono nulle, in conformita alIa [22], ed
esprimono l'equazione di continuita della corrente (vedi  1.1, equazioni [6], [39]).
*1.2.2 Relazione costitutiva di un plasma freddo, isotropo, senza collisioni
Si definisce plasma un insierne di particelle cariche e neutre tali che la carica com-
plessiva positiva uguagli quella negativa. Un esempio di plasma e la ionosfera che cir-
conda la Terra: Ie particelle negative sono gli elettroni prodotti per ionizzazione dalla
radiazione ultravioletta solare; queUe positive, gli atomi ionizzati; quelle neutre gli
atomi non ionizzati.
Quando vi sono due soli tipi di particelle cariche e una ha massa molto minore del-
l'altra (e i1 caso della ionosfera), queUe a massa minore sono Ie uniche a muoversi sotto
l'azione di un campo elettromagnetico di frequenza sufficientemente elevata (Ie altre
particelle possono ritenersi praticarnente ferme). In tal caso si parla di plasma a un
solo costituente, 0 anche a un solo {luido; e appunto questo il caso che qui di seguito
viene considerato.
Ricavare equazioni che descrivono i1 comportamento del plasma in seguito all'emis-
sione di un segnale elettromagnetico e problema non lieve, per il fatto di dover
utilizzare sia equazioni di campo (quelle di Maxwell) sia equazioni cinetiche, quelle
cioe che descrivono i1 comportamento della singola particella, su cui agiscono, oltre
alle forze (deterministiche) conseguenti all 'azione del segnale, queUe (casuali) dovu te
alla presenza delle altre particelle che, nel mota incessante dell'agitazione termica,
assumono posizioni e velocita aleatorie. Le posizioni delle particelle, Ie lore velocita e
i campi d esse prodotti risultano quindi variabili stocastiche.
Lo studio rigoroso del plasma e notevolmente complesso (Klimontovic, 1965;
Marcuvitz, 1974) e viene affrontato partendo dalle equazioni di Maxwell-Klimontovic.
Piil semplicemente, in modo semieuristico, si pub introdurre sin daU'inizio un concetto
di media.
A tal fine si immagini di avere a disposizione un gran numero di plasmi, tutti
equivalenti dal punta di vista statistico. A un certo istante t e in un certo punta r si
effettua la media della grandezza che interessa, per esempio la densita di particelle.
Una media siffatta, relativa ai possibili plasmi, e detta media d'insieme; tuttavia, per
come e stata costruita, essa e pur sempre una media microscopica e, in quanta tale,
fortemente variabile al variare di r e t. Ne, d'altra parte, essa e rappresentativa di gran-
dezze osservabili (cioe misurabili), che sono necessariamente macroscopiche. Dccorre
dunque effettuare nuove medie, su volumi e tempi opportuni, nell'intorno del punta
e dell'istante considerato. II volume da un lato dev'essere sufficientemente grande
perche Ie operazioni di media abbiano senso (variando di poco Ie dimensioni dei volu-
mi, i valori medi devono rimanere praticamente costanti); dall'altro, sufficientemente
piccolo perche Ie operazioni di media non facciano scomparire Ie variazioni spazio-

1.2 I Relozioni costitutive
37
temporali del segnale che si propaga nel plasma e che si vuol calcolare. Analogo
discorso vale per i tempi.
Ammesso che questa scelta sia possibile, cioe che la scala delle variazioni determi-
nistiche sia molto piu grande di quella delle variazioni stocastiche, allora Ie varie gran-
dezze medie che descrivono Ie caratteristiche del plasma (numero N di particelle
per unita di volume, velocita v delle particelle) sono, per COS! dire, purificate dalla
parte aleatoria e si presentano come variabili deterministiche. Nella scala (macrosco-
pica) dettata dalle variazioni spaziotemporali del segnale queste grandezze variano
anche con continuita. Si e quindi sostituito al plasma, inteso come insieme discreto
di particelle, un modello "fluodinamico", caratterlzzato da densita di carica Nq (q e
la carica dell a particella), densita di corrente Nqv e densita di massa Nm (m e la
Massa della particella). Le equazioni che descrivono l'interazione di un campo elettro-
magnetico con tale fluido sono (in assenza di sorgente) Ie seguenti:
ob
VXe=-°at
oe
Vxh= €0at+Nqv
d(Nmv)
dt =Nq(e+ovxh)
o (Nq)
V. (Nqv) + at =0;
la penultima equazione esprime la legge della dinamica di Newton, la densita di
forza e quella di Lorentz e l'ultima equazione e quella di continuita. Altre forze
eventualmente presenti, come queUe dovute alIa gravita e all'attrazione e repulsione
tra Ie partice.lle, sono state tralasciate. II fluido e state poi considerate perfetto, e in-
fatti non compaiono forze di attrito (jluido non viscido; vedi 1.2.3), e a pressione
nulla: infatti, nell'equazione di Newton si e trascurata la densita di forza - VP, dove
p e la pressione (plasma freddo; vedi 1.2.5).
Le equazioni che descrivono questo modello di plasma sono non lineari, perche
in esse appaiono prodotti di variabili dipendenti; se pero i segnali che si propagano
nel plasma sono deboli, possono essere linearizzate, trascurando tali prodotti. In par-
ticolare
N-+-N o +N
v-+vo+v
h -+- ho + h;
No e la densita media delle particelle su volumi grandi rispetto alIa variazione spaziale
del segnale, Vo una eventuale velocita impressa (velocita di drift), ho un eventuale
campo magnetico statico impressa (campo magnetico di polarizzazione); Ie grandezze
variabili si indicano, per semplicita, con gli stessi simboli N, v e h. Risulta allora
NvNovo +Nov+Nvo
NeNo e
Nvx hNovo X ho +Novx ho +N o Vo X h +Nvo X hOe

38
Elettromagnet;sm0 I Cap. 1
Nel seguito No, v 0, ho sono assunti cost anti in tutto 10 spazio occupato dal plasma
(plasma omogeneo), e in pin e Vo =0, cosicche
NvNo v
NeNoe
Nvx hNovXho.
Essendo poi
v=v(r, t) =v(x, y, z, t),
risulta
dv av av av av av av
-=-+-1) +-1) +--v =-+(V.v)v-
dt at ax x ay Y az z at at '
quando si trascurino, nel processo di linearizzazione, anche i prodotti tra v e Ie sue
derivate spaziali.
Se anche ho = 0 (vedi 1.2.4 per il caso ho =1= 0), si ottengono Ie equazioni
ah
VX e=-Ilo at
ae
Vxh= Eo at +Noqv
av
Nom at =Noqe
aN
V.(Nov)+at=O
che descrivono I'interazione tra il campo elettromagnetico e un plasma a un costi-
tuente, non viscido, freddo e linearizzato, in assenza di velocita di drift e di campo
magnetico di polarizzazione. Si noti che l'ultima equazione e disaccoppiata da1le pre-
cedenti e che basta considerare Ie prime tree
Nel dominio della frequenza,
VX E=-jwJ!o H
Vx H= jW€oE+NoqV
jwNomV=NoqE;
sostituendo la terza equazione nella seconda:
VX H=jw€E, e=EO€r;
( 2 ) 2
w p 2 Noq
Er = 1 - --;- , w p = .
w mEo
11 plasma si comport a quindi come un dielettrico la cui permittivita relativa e data
dalla [26]; la frequenza angolare w p e detta pulsazione di plasma.
Per comprendere i1 significato di w p , si consideri un modello semplice di plasma
(in assenza di campo applicato), cioe una distribuzione regolare di cariche elettriche
[26]

1.2 I Relozioni costitutive
39
di periodo spaziale a 3 = IIN o. Con riferimento aIla figura 1.9 (in cui e rappresentata
una parte della distribuzione intorno alla carica q), la forza totale agente sulla carica
q (indistinguibile daIle altre) e nulla se il plasma e in equilibrio. Se la carica viene
spostata di una piccola quantita x<a, nasce una forza di richiamo che tende a
riportarla nella posizione origin aria. Ad esempio, la forza dovuta aIle cariche I e 2 e
data da
q2 [ 1 1 ] q2 4x 1 N o q2
F 1 = 411' E o (a+x)2 - (a-x)2 - 411' E o a 3 =-; Eo x.
In generale, la componente Ix della forza dovuta a una carica la cui distanza da q,
proiettata sugli assi x, y , z, e pari rispettivamente a n a, m a, sa, e data da
f x =- 4:: 0 a: { [(na-x)2 +(a)2 +(sa)2]1/2 } =
q2 na-x
4WEo [(na-x)2 + (ma)2 + (sa)2]3/2
q 2 N o { na 2n 2 -m 2 -s 2 }
- + x ,
4WEo [n 2 +m 2 +S2]3/2 [n 2 +m 2 +s2]S/2
=-

a meno di termini di ordine superiore in x.
La componente secondo x della forza totale (indicata, per semplicita, con 10 stesso
simbolo) si ottiene dalla sommatoria delle forze prodotte daIle singole cariche, ove m,
1 f
-
-
I
I
---1- - t
I
I
- ----
y
I
I
--1---
I
I
o
- ---
J
-
- ---
-
2
Figura 1.9
Modello di plasma imperturbato.

40
Elettromagnetismo I Cop. 1
n, s assumono tutti i valori, tranne n = m =s contemporaneamente (Collin, 1960).
1,2 q2 No
f-
x 1r eo'
Sono nulle, invece, Ie componenti f y e fz (della forza totale). Se la carica dopo
esser stata spostata, e lasciata libera, essa si muove in conformita all'equazione 2
d 2 x
 +(0,64'w p )2 x=O,
dt
cioe oscilla a una pulsazione prossima a quella del plasma. Tenuto conto delle sempli-
ficazioni introdotte nel modello, si pub identificare w p con la pulsazione di oscilla-
zione libera del plasma.
1.2.3 Relazione costitu tiva di un plasma freddo e isotropo, con collisioni (esercizio)
Nelle equazioni del plasma si sostituisca all 'equazione (linearizzata) della densita
di forza I 'equazione piu completa
av
Nom at =Noqe-N o mvv,
dove }'ultimo termine rappresenta una forza di attrito che tiene fenomenologica-
mente conto delle collisioni tra Ie particelle. La costante v (lIs) e proporzionale alla
frequenza media di collisioni che ogni particella su bisce nel suo moto.
Si mostri che la permittivita del plasma assume la forma
[ W2 ]
- I P
€-€o -
w 2 -jwv
e la risposta im pulsiva,
[27]
 l-eXp(-vt) ]
ge(t)=eorl)(t)+W; v U(t).
1.2.4 Relazione costitutiva di un plasma freddo e senza coUisioni, in un campo
magnetico di polarizzazione (esercizio)
Si consideri l'equazione (linearizzata) della densita di forza quando sia applicato
un campo magnetico statico Ho = H 0 i z :
av
Nom at =Noqe+NomwevX i z ,
essendo
J.l.o Ho q
w =
e
m
[28]
We e detta pulsazione di ciclotrone del plasma. In assenza di campo elettrico si ha
2 Trascurando la radiazione da parte della carica stessa e Ie oscillazioni delle altre cariche.

1.2 I Relozioni costitutive
41
ov / a t = We v X iz, equazione che, risolta, fornisce
'Dz = cost.
a 2 'Ox 2
+WeVx=O,
dt 2
a 2 'V y + 2 _
a f We 'Dy - O.
Ne consegue che We e la pulsazione naturale di rotazione degli elettroni intorno a1
campo magnetico statico applicato.
Si dirnostri che la permittivita del plasma e data da
€1
E-+ - j€2
o
j€2
€1
o
o
o
€g
[29]
essendo
2
W p
€1 = 1 -
w 2 - w 2 '
C
2
wcwplw
E2 = 2 2'
W -We
w 2
€ 3 = 1 - --1!....
2 .
W
n plasma si comporta quindi come un dielettrico anisotropo. Per We -+ 00 (H 0 -+ 00),
€ 1 -+ I, €2 -+ 0 ed E si diagonalizza; tale plasma viene detto uniassico.
1.2.5 Relazione costitutiva di un plasma senza collisioni e isotropo, ma caldo
II modello di plasma visto in 1.2.2 e in pratica quello di un. gas elettronico caratte-
rizzato da una densita di massa mN, cioe da un volume specifico I IN. La pressione
parziale p dovuta al gas elettronico (assunto ideale) e legata aN dalla relazione
p = N R T,
dove R e la costante universale dei gas e T la temperatura assoluta.
Si noti che p=Q se T=O; in conseguenza di cio, un plasma in cui si trascurino gli
effetti dovuti alIa pressione (plasma in com pressibiZe ) viene anche denominato freddo.
Come in 1.2.2, e opportuno distinguere nel termine "pressione" la parte costante,
Po, e quella variabile, per semplicita indicata an cora con p:
P-+Po +p.
Tenendo conto del gradiente di pressione provocato dall'addensamento e dalla
rarefazione delle particelle cariche sotto l'azione del campo elettrornagnetico l'equa-
zione (linearizzata) della densita di forza diventa
OV
N o 1JZ at =Noqe-Vp,
ave si e supposto nullo il campo magnetico di polarizzazione.
La presenza della varia bile dipendente p, in aggiunta a e, h, v, richiede una ulteriore,
equazione. Ora, e ragionevole ipotizzare che i1 processo delle successive compressioni
e rarefazioni che da origine a V p sia adiabatico: la frequenza di oscillazione delle
grandezze in gioco e infatti sufficientemente elevata perche non avvengano apprez-

42
Elettromognetismo I Cap. 1
zabili scambi di calore. In questa ipotesi,
Po +p=C(N o +N)'Y,
dove C e una costante e 'Y> 1 e i1 rapporto tra i calori specifici, rispettivamente a
pressione e a volume costante. La relazione precedente, linearizzata, diventa
Po + pCNJ + C'YN'd- 1 N,
che equivale a
Po =CN'J
Po
p=CN'd- 1 -yN= No -yN;
sostituendo nell'equazione di continuita, sempre linearizzata, ricaviamo
qN o ap
NoqV.v+ 'rPo ar=O.
Questa e l'ulteriore equazione cercata. Le costanti che vi compaiono acquistano un
piil chiaro significato fisico in caso di assenza di campo elettromagnetico:
av
Nom aOt =-VP
1 ap
V.v+--=O;
'YPo at
derivando la seconda equazione rispetto ate sostituendo nell'equazione risultante
l'espressione di av/a t ricavata dalla prima equazione, si ottiene
m AT a 2 P
2 .IV 0
V p- 'YPo dt 2 =0.
La grandezza
u 2 = 'YPo
mNo
ha Ie dimensioni del quadrate di una velocita e corrisponde, in assenza di campo elet-
tromagnetico, alia velocita di propagazione delle onde acustiche nel plasma. Per
Po = 0 (plasma freddo) e u = O.
In definitiva, Ie equazioni che descrivono questo modello di plasma (Iinearizzato)
isotropo, senza collisioni ma caldo, sono Ie seguenti:
[30]
dh
Vx e=-Ilo at
ae
Vxh= €0at+Noqv
dv
vp=-Nomar+Noqe
1 dp
AT m V .v=---
lYO . 2 a .
u t

1.2 I Relozioni costitutive
43
Queste equazioni, trasformate nel dominio della frequenza e del numero d'onda,
diventano
A A
kx E= woH
A A A
kx H=-w€oE+jNoqV
A A A
kP=wNomV+jNoQE
A w A
Nomk. V=2 P .
. u
Si possono eliminare le variabili dipendenti V e P, ponendo la seconda equazione
nella forma
A A
kx H=-w€o£r. E,
dove la costante dielettrica relativa e data da
w 2
f-J- P f!l
r - w 2 (Jj _ p ) ,
[31 ]
con
fJt-+-
a 2 _ f.J.2 _ k 2
,.,0 lJa x
- kx ky
- kx k z
- kx ky
f.l - f.l2 - k 2
,.,0 Pa y
-kyk z
- kx k z
- ky k z
(3 - Jj - k
w 2
(3 =w 2 €ollo =2'
c
w 2
a2 -
fJa -  .
u
La [31] e facilmente trasformabile nel solo dominie della frequenza:
w 2
E =J- p PA
r W 2 (Jj - 13 ) ,
con
p2_2 +L a 2 0 2
o a Ox 2 oxoy OXOZ
-+ 0 2 p2 _2 + a 2 0 2
oxoy o a oy2 oyoz
a 2 0 2 p2_2 +....£:.
aXOZ OYOZ o a OZ2
* 1.2.6 Relazione costitutiva di una ferrite magnetizzata
Le ferriti sono materiali di natura ceramica che rispondono alIa formula chimica
generale MeFe2 0 4 , dove Me e un metallo bivalente, ad esempio manganese. DaI
punto di vista elettromagnetico si possono considerare come un insieme di dipoli
magnetici, dove il dipole magnetico elementare e quello dovuto aIlo spin dell'elet-
trone.
Se un singolo dipolo magnetico di momenta u m (Wb · m) si trova immerso in un

44
Elettromognetism0 I Cap. J
Ho
i z
Figura 1.10
campo magnetico statico Ko =Hoiz (vedi fig. 1.10), e sottoposto a una coppia
T=u m X Ho.
Al momenta di dipolo magnetico u m e associato un momento angolare c:
u m =- "(C,
dove "(= 2,21 X 10 5 (m/A) e il rapporto. giromagnetico (il segno "-" tiene conto
del fatto che, per le ferriti, U m e e sono antiparalleli); dall'equazione della cop pia di
Newton segue
de T H ·
-= =- "( cX =w 1 Xc
dt 0 0 z )
dove
Wo ='YHo
[32]
e detta puZsazione angoZaTe di Larmor, 0 anche pulsazione di risonanza. II significato
della Wo e presto desunto proiettando l'equazione della coppia sugli assi:
oC z
-at =0
dc x
- =-woc
dt y
dc y
dt"=woc x .
Risolvendo, se ne deduce che il vettore c, e quindi anche u m , esegue un movimen-
to di precessione intorno all'asse z con angolo a costante (vedi fig. 1.10) e velocita
angolare wo.
Se i1 campo magnetico di polarizzazione 8 0 e sufficien temente intenso, allora
tutti i dipoli magnetici della ferrite si orientano, in assenza di altro campo applicato,
lunge l'asse z; e la densita dipolare magnetica per unita di volume uguaglia quella di
saturazione Ms (questa densita di magnetizzazione e misurata qui in Wb/m 2 , e non in
AIm, come tradizionalmente viene fatto).
Se e presente anche un campo magnetico (dinamico) h, in generale non parallelo a

1.2 I Relozioni costitutive
45
Do, nasce una componente della magnetizzazione ortogonale a Ms (Iungo l'asse z la
magnetizzazione e saturata), cosicche la magnetizzazione tot ale e Ms + m. L'equa-
zione della densita di coppia (per unita di volume) diventa
dm
dt =- 1(M s + m) X (Do + h);
I 'equazione si ottiene moltiplicando per - 1 quella del singolo dipolo e sommando i
contributi di tutti i dipoli nell'unita di volume.
Nell'ipotesi di linearizzazione, cioe h <Ho, m <Ms, risulta
om . h ·
-at=-J.1.oW m 1z X -womXlz,
dove
W m =1 M slllo.
[33]
Nel dominio della frequenza Ie equazioni che descrivono, in assenza di sorgenti,
l'integrazione tra il campo elettromagnetico e la ferrite magnetizzata sono quindi Ie
seguenti:
Vx E=-jwllo D-jwM
Vx H=jw€o E
jwM=-llo w m iz X H-wo M X iz.
Sostituendo la terza equazione nella prima,. si PUQ calcolare la permeabilita
fJ = lJo fJr della ferrite magnetizzata:
III
Pr -i1l2
o
ill2
III
o
o
o
1
[34]
WOW m
III = 1 +
w - w 2
wW m
112 =
w 2 -w 2
o m
La presenza di perdite pub essere tenuta in conto introducendo un termine di
attrito nell'equazione (linearizzata) della coppia
om . h . + v. am
_ a =- J.lo w m lz X - Wo m X 1z - Iz X _ a '
t wo t
dove v e una costan te di riZassamen to. In tal caso, in assenza di campo magnetico h, i1
singolo dipole magnetico esegue un movimento di precessione smorzata intorno
all'asse z.
In una teoria piu raffinata va aggiunto un ulteriore terrnine al secondo membro
dell'equazione (Iinearizzata) della coppia. Questo termine, detto di scambio, e essen-
zialmente di natura quantistica (Akhiezer, Bar'yakhatar e Peletminskij, 1968) ed e
del tipo
w-n 2 iX V 2 m'
o I' Z ,
la costante 11 2 e detta costante di scambio.
[35]

46
Elettromagnetismo I Cap. 1
Anche in questo caso, come per il plasma, la presenza dell' opera tore spaziale V 2
nell 'equazione della coppia
jwM=-J.lo w m iz X E -wo M X iz -Wo 11 2 i z X V 2 M
rende necessario trasformare nel dominio del numero d'onda per ottenere l'espres-
sione della perrneabilita. In queste condizioni la ferrite si comport a come un mezzo
non solo temporalmente, ma anche spazialrnente dispersivo.
1.2.7 Risposta impulsiva di mezzi omogenei
Per un mezzo termporalmente omogeneo, se
+00
d(t) = J g (t, t') e(t') d t',
_00
deve aversi
+00
d(t+to)= f ge(t,t')e(t'+to)dt'
_00
dove e sottintesa la dipendenza da r.
Cio e possibile solo se ge(t, t')-+ ge(t- t'): infatti,
+00
+00
J ge(t- t') e (t' + to) dt' = f ge(t + to- [t' + to]) e (t' + to) dt' =d(t + to).
_00 _00
Analogo ragionamento vale per mezzi spazialmente omogenei.
1.2.8 Relazione tra risposte impulsive e costanti del mezzo
Consideriamo, per semplicita, il caso di un mezzo isotropo per i1 Quale la risposta
impulsiva, ad esempio elettrica, sia data, in assenza di dispersivita spaziale, da
+00
d(r, t)=  ge (r; t, t') e(r, t') dt'.
_00
Se i1 mezzo e stazionario, risulta
ge (r; t: t') -+ ge{r; t - t'),
e, applicando il teorema di Borel,
D(r, w) =e(r, w) E(r, w),
dove
+00
e(r,w)= J ge(r,t) exp(-jwt)dt.
_00
Ragionamenti analoghi valgono nel caso di dispersione spaziale, purche il mezzo
sia (spazialmente) omogeneo.

1.2 I Reloz;on; cost;tut;ve
47
1.2.9 Relazione tra parte reale e coefficiente delrimmaginario delle costanti
del mezzo.
Consideriamo, nel dominie della frequenza, una costante del mezzo, ad esempio
quella elettrica e(w), e prolunghiamola analiticamente nel piano complesso P =Q + jw.
Sia
e (p ) = €oo + e' (p ),
dove €oo = e( Ip 1-+ 00) e e' ( 1 p 1-+ 00) = O. Che la e(p) sia reale per qualunque I pl-+ 00 e
fisicamente giustificato dal fatto che, a frequenze altissime, la risposta e sempre
immediata.
La risposta impulsiva elettrica e data da
+00 +00
ge(t) = 2 1 e(w) exp(jwt) dw = e..8 (t) + iT( J e'(w) exp(jwt) dw.
_00
_00
II primo termine e detto risposta immediata, il secondo risposta dilazionata. Questo
secondo termine pub essere messo sotto la forma di un integrale su un contorno
chiuso (vedi fig. 1.11),
2j J e(p) exp(pt) dp.
I
e calcolato successivamente utilizzando il teorema di Cauchy.
jw
y--
I.
a
Figura 1.11

48
Elettromognet;smo I Cop. 1
Per t < 0 i1 contorno 1 pub essere 11 + 1"; se il dielettrico e causale (il che e neces-
sario per la realizzabilita fisica) la risposta dev'essere nulla. Pertanto €'(p) non deve
avere singolarita nel semipiano a destra.
Per t> 0 il con torno 1 PUQ essere 11 + l' ; Ie singolarita devono presen tarsi in coppie
complesse coniugate con residui complessi coniugati nei poli, in modo che la risposta
sia reale. Eventuali poli sull'asse immaginario produrrebbero una risposta perlnanente,
mentre in ogni dielettrico reale (e cioe con perdite non nulle) la risposta deve smor-
zarsi nel tempo; pertanto, i poli devono essere punti non appartenenti all'asse imma-
ginario, con parte reale negativa. Fa eccezione l'eventuale singolarita per p = 0, indi-
cante che il dielettrico ha conducibilita diversa da zero (vedi 1.2. 1 ).
Consideriamo ora l'integrale (vedi fig. 1.12)
J e(p)-€oO
d p '
p-jw '
I 0
i1 carnmino di integrazione I pub essere chiuso nel semipiano di destra, in base a1
lemma di Jordan; applicando ancora i1 teorema dei residui si ha, per mezzi a condut-
tivita nulla (Gerosa, Latmiral e Vinciguerra, 1961):
+-
J e(p)-eoo f El (W)-Eoo-j€2.(W)
. dP=1fj[E(Wo)-f_]+ dw;
P-Jwo w-wo
_00
l'ultirno integra Ie va inteso come il valore prcipale e € = € 1 - j €2. Ne consegue
+00
1 f €2(W)
€ (w )-€oo=-- d w ,
1 0 1r W - Wo
_00
+00
1 f El (w)-€oo
€2(WO)=- dw.
1f W - Wo
_00
[36]
jw
Piano p
jwo
a
I
Figura 1.12

1.3 I Teorem; energetic; e meccon;c;
49
Le [36] sono trasformate di Hilbert; esse mostrano come parte reale e coefficiente
dell'immaginario della cost ante dielettrica di un mezzo fisicamente realizzabile non
siano tra loro indipendenti.
1.3 Teoremi energetici e meccanici
Uno dei piu noti risultati associati aile equazioni di Maxwell e il teorema di
Poynting. Consideriamo il vettore omonimo
s=e X h
[1 ]
e calcoliamone la divergenza:
V. s=h · Vx e-e. V X h.
Sostituendo, nella precedente espressione, i rotori mediante Ie equazioni [1] e [2]
( 1.1) si ottiene
v.s+ ( e. ad +h. ab ) +e.j=e.jo [2]
at at '
dove si e distinta la densita di corrente impressa jo da quella j sostenuta dal campo.
La qual'!tita al secondo membro della [2] e la densita di potenza fornita dalle sr-
genti (vedi 1.1.9). Nel caso di mezzi conduttori la quantita
e · j = a e 2
[3]
e la densita di potenza dissipata per effetto Joule. Nel caso di mezzi lineari non di-
spersivi (per semplicita isotropi) si ha
d=ee, b=h.
Posto e · e = e 2 , h · h = h 2 , la grandezza in parentesi nella [2] diventa
a ( 1 2 1 2 )
at "2 ee +"2 h .
Per campi statici i due addendi che ivi compaiono sono rispettivamente identificati
come densita di energia elettrostatica e di energia magnetos ta tica . Si pub dunque sup-
porre che la grandezza scalare
1 1 .
w=-ee 2 +-JJ.h 2
2 2
[4]
funzione del tempo nel caso dinamico, coincida con l'energia del campo elettroma-
gnetico. Questa ipotesi porta, come conseguenza, a interpretare il vettore di Poynting
s come densita di flusso di potenza (W/m 2 ), e l'equazione
V.s+ aw +oe 2 =-e. J .o (teoremadiPoynting)
ot
[5]

so
Elettromognetismo I Cop. 1
come equazione di conservazione. Infatti, integrando la [5] in un volume V (vedi
fig. 1.13) e in un tempo t, si ha che l'energia fornita dalle sorgenti relativamente a
V e a t e uguale alIa somma di tre termini: il terzo rappresenta l'energia dissipata
nel volume; il secondo, la variazione delI'energia immagazzinata nel volume; il primo,
infine, l'energia trasmessa attraverso la superficie S, sempre durante il tempo t.
E' importante notare che nella [5] l'energia compare sotto forma di differenziale
esatto, come dev'essere per poter rappresentare una funzione di stato del sistema; la
sua variazione nel tempo dipende solo dai valori del campo agli estremi dell'intervallo
temporale e non da come a tali valori si e giunti. Se ad esempio ci si riferisce a una
cavita vuota con pareti metalliche perfettamente conduttrici e Ie sorgenti sono accese
al tempo t=O, l'integrazione dell a (5) al volume della cavita fornisce
t
- f dt JJfeojo dV= HI wdV.
-- v v
Se il mezzo e dispersivo, i risultati precedenti non sono piu validi in generale, pro-
prio perche it termine di energia non cmpare piu nella forma di un differenziale esatto,
a meno di riformulare, volta per volta, il teorema di Poynting (vedi 1.3.1).
Esiste anche una formulazione del teorema di Poynting per campi sinusoidali,
ove si introduce il vettore di Poynting complesso, il cui fasore e
S=  Ex H*=S, +jSj.
[6]
Operando come nel dominio del tempo, considerando anche sorgenti di tipo ma-
gnetico e avendo posta (per un mezzo isotropo)
€=€] -j€2, Jl =Jll - iJl2 ;
E · E* = IEI2 ,
H · H* = IHI2 ,
[7]
si ha
V o S, + W 2 €2 IEI2 + W;2 IHI2 +  a IEI2 =- Re(  E ° J +  J m 0 · H*) [8]
s
Figura 1.13

1.3 I Teoremi energetici e mecconici 51
V. Sj + 2W(  J.ldH1 2 -  €IIEI2) =-Im (  E. J +  J mo · H* ). [9]
Nella [8] compare, a1 secondo membro, il valore medio nel periodo della densita di
potenza fornita dalle sorgenti (vedi 1.1.13); nel primo membro, Sr e il valore medio
della densita di flusso di potenza elettromagnetica, e, a1E12/2 il valore m.edio della
densita di potenza dissipata per effetto Joule. I termini rimanenti,
W€2 IEI2 + WJl2 IHl2
2 2
[10]
corrispondono ai valori medi della densita di potenza dissipata per altri meccanismi,
diversi da quelli connessi ana cond ucibilita del materiale in cui it campo e conside-
rato. Queste ulteriori perdite, di natura non conduttiva, sono riferite a un'isteresi
dielettrica e magnetica rispettivamente. Di conseguenza, per un mezzo passivo, cioe
incapace di generare energia, €2 e Jl2 devono essere non negativi (w;> 0). .
Nella [9] il fattore in parentesi e, nel caso di un mezzo non dispersivo, uguale alIa
differenza tra i valori medi delle densita di energia di tipo magnetico ed elettrico
rispettivamente. Nel caso di un mezzo dispersivo cib non e piil vero, e i due fattori
vengono chiamati densita di pseudoenergia magnetica e di pseudoenergia elettrica. AI
secondo membro della [9] compare una grandezza denominata densita di potenza
reattiva associata aIle sorgenti (vedi 1.1.13).
La [9], integrata sui volume V (vedi fig. 1.13), mostra che la potenza reattiva,
divisa per 2w, uguaglia la differenza tra i valori medi delle energie magnetiche ed elet-
triche (mezzo non dispersivo) 0 pseudoenergie (mezzo dispersivo) immagazzinate in
V (integrale del termine in parentesi a primo membro dena [9]) ed esterne al volume

V (flusso di 8j attraverso la superficie S).
La potenza reattiva, divisa per 2w, rappresenta pertanto un'energia di scambio tra
sorgenti e ambiente esterno: questa energia e successivamente immagazzinata sotto
forma prevalentemente magnetica 0 elettrica (nel caso semplice di mezzo non disper-
sivo). Se nel periodo considerato i valori medi delle due forme di energia on sono
uguali, devono essere i generatori ad assicurare l'equilibrio, fornendo energia all'am-
biente estemo durante una parte del periodo, e ricevendola nella rest ante parte.
Oltre a1 teorema di Poynting e anche utile considerare il cosiddetto teorema
dell'energia (vedi 1.3.4). Esso mostra che per un segnale a banda stretta, centrato
intomo alIa pulsazione wo, la quantita
.!. 3(w€) IEI2 +.!. 3(wJ.l) IHl2
4 aw 4 ow
[11 ]
pub identificarsi con la densita media (nel periodo 21T/Wo) dell'energia elettroma-
gnetica. Nella [11] Ie derivate sono calcolate per w = wo, e E e H sono Ie parti lenta-
mente variabili dei campi (vedi 1.3.4). Se il mezzo non e dispersivo, la [11] coinci<J,i
con la media temporale della [4].

52
Elettromognetismo I Cop. 1
I teoremi precedenti mostrano, in defmitiva, che al campo elettromagnetico e
associato, nel caso dinamico, un flusso di energia. Si pub pensare che it campo
elettromagnetico possieda un momenta meccanico (quantita di moto) ed eventual-
mente anche un momenta (meccanico) angolare. In effetti, partendo dalle equazioni
di Maxwell per 10 spazio libero si deduce la seguente relazione (vedi 1.3.5), dove it
volume Vela superficie S sono quelli della figura 1 .13 :
IH (pe+jXlLoh)dV++ (}(}t H sdV+
Y . C v
+ H [win -eo.e(e. in)-lLoh(h -in)]dS=O.
s
[12]
La [12] e un 'uguaglianza tra forze; il primo termine rappresenta la forza di Lo-
rentz agente sulle cariche e Ie correnti esistenti nel volume V, l'ultimo termine pub
riguardarsi come una forza trasmessa attraverso Ja superficie S. La grandezza
!/ w-€oee-Ilohh
[13]
e detta tensore degli storzi di Maxwell; il vettore
p = .(1). in
[14]
puo essere interpretato come 10 sforzo unitario che si trasmette attraverso l'elemento
di superficie di norrnale in. Se questa superficie e ad esempio metallizzata 0 assor-
bente, tale sforzo unitario si manifesta come una pressione, detta pressione di radia-
zione. II secondo termine rappresenta anch'esso una forza, espressa come derivata
temporale dell a grandezza
IU -T d V= HJ gd v.
v C v
Questo integrale di volume, Ia cui variazione temporale e uguale alla forza, pub essere
riguardato come il momento meccanico associato al campo elettromagnetico presente
nel volume V; di conseguenza
1
g=-8
c 2
[15]
e la densita di momento meccanico del campo elettromagnetico (momento e pres-
sione di radiazione sono pero sempre molto modesti per Ie normali intensita del campo).
In aggiunta aURa forza, il campo elettromagnetico pub trasmettere anche una
coppia (Carrara e altri, 1955). Preso un centro 0 di riferimento, e detto r it raggio
vettore misurato da questo pun to, il prodotto vettoriale dell a [12] per r mostra che al
campo elettromagnetico e associata una densita di momento angolare, rispetto al

1.3 I Teorem; energetic; e meccon;c;
53
centro 0, data da
1
lm=rxg=2 rxs ,
c
[16]
e inoltre che, attraverso la superficie S, e trasmessa una coppia, la cui densita superfi.
ciale e data da
wr x in - Eo (e · in) r X e -Ilo (h · in) r X h.
[17]
Annotazioni
1.3.1 Flusso di potenza in un plasma caldo
Definiamo il vettore (generalizzazione di quello di Poynting)
s=eX h +(p +Po)v.
CaIcoliamone la divergenza:
V. s=h. Vx e-e .Vx h +Vp. v+(p +Po) V. v;
sostituiamo i roton, Ie divergenze e i gradienti con Ie espressioni tratte dalle equa-
zioni del plasma (vedi 1.2.5), ottenendo
a ( 1 2 1 2 1 2 ) P + Po op_
V. s+ at "2/l oh +"2 €oe +"2 Nom'V + N o mu 2 at- O .
J tre termini in parentesi rappresentano la somma delle densita di energia elettro-
magnetica
1 1
w = -" h 2 + - E e 2
em 2.- 0 2 0
e di energia cinetica delle particelle
1
wc='2Nomv2;
per 1 'ul tim 0 termine si ha
P+Po
N o mu 2
P+Po
-
'YPo
Pertanto, nell'ambito della linearizzazione,
p + Po op 1 (}p "1 a ()
N o mu 2 . at ' 'Y at = 'Y at (P+Po)= at wi.
avendo posto
P+Po
w.=
, "1

S4
Elettromognetismo I Cop. 1
Di conseguenza I 'equazione
a
v- s+ ot (w em +w c +Wi)=O
esprime una conservazione di energia. La densita di energia e
W=W em +w c +Wi;
Wi si PUQ identificare con l'energia interna del fluido (plasma) e s con una densita di
flusso di energia, elettromagnetica (e X h) e meccanica «p + Po )v).
1.3.2 Teorema di Poynting, nel dominio deUa frequenza, per un mezzo
anisotropo elettrico (esercizio)
Per un mezzo definito dalle relazioni costitu tive
D= £- E, B=H
si decomponga la diade £ come segue:
£ =£1 -j£2
&1= ; (&+&*). -i&2= ; (&-&'*).
La diade £1, che coincide con la sua trasposta coniugata £l e detta hermitiana; la
diade -j£2, che coincide con I'opposto della sua trasposta coniugata jE2*' e detta ant;-
hermitiana. Non e difficile verificare che

E · £T - E* = seal are reale
,...,
E · Ei - E* = scalare reale,
,...,
dove con E si e indicato i1 trasporto del vettore colonna E.
Si mostri che Ie equazioni [8] e [9] sono ancora valide, pur di effettuare Ie sostitu-
zioni
w w
"2 E2IEI22E.t!-E*
11,...,
--e I E I 2 -- E -£* - E
4 1 4 1 ,
e che pertanto, per un mezzo passivo, e verificata la relazione
,...,
E.t-E*>O,
qualunque sia il vettore E. Una matrice che goda di questa proprieta si dice definita
positiva (questa proprieta caratterizza i mezzi passivi).
1.3.3 Teorema di Poynting, nel dominio deUa frequenza, per un mezzo
aniso tropo magnetico (esercizio)
Si mostri come i risultati di 1.3.2 possano essere estesi a un mezzo definito dalle
relazioni costitutive
D=eE, B= p- H.

1.3 I Teoremi energetic; e meccanici
55
1.3.4 Teorema dell'energia
Si e gia visto ( 1.3), che solo nel caso di mezzi non dispersivi si pub dare del teo-
rem a di Poynting una interpretazione termodinamica precisa e attribuire a uno dei
termini che compaiono nell'espressione del teoremail significato di energia elettro-
magnetica. Nel caso di mezzi dispersivi, una tale identificazione e ancora possibile per"
i segnali a banda stretta. A tal fine e opportuno estendere il concetto di fasore, intro-
dotto nell'annotazione 1.1.12 in re1azione a segnali monocromatici. Per quest'u1timo
caso si ha
e(t)= Re[E exp(jwot)],
e i1 fasore E e un numero comp1esso indipendente da1 tempo.
Ne1 caso dei segnali a banda stretta l'espressione precedente e ancora valida, pur
di considerare l'ampiezza di E variabile, nel tempo, lentamente rispetto a1 periodo
T=2rrfwo. Ad esempio, per il tipo di banda considerato in 1.1.12 si ha
2ALlw sinwt
E(t)= Ll exp(j8 o )=Eo(t) exp(j8 0 );
1f wt
l'ampiezza del fasore, Eo (t), e una funzione lentamente v aria bile con il tempo. Piil in
generale, tale PUQ essere anche 8 0 .
Questi fasori generalizzati godono di proprieta simili a queUe dei fasori propria-
mente detti. Ad esempio,
t + T/2
1 r 1
T J e2(t)dt2IE(t)12;
t-T/2
oat e(t) Re[jwo E (t) exp (jwo t)].
n calco10 delle derivate delle induzioni richiede una qualche maggior cura. Si ha
+00
ad (t) 1  .
a =- jwe(w)A(w)exp(]wt)dw,
t 2rr
_00
dove A(w) e 10 spettro di e(t). Questo e apprezzabilmente diverso da zero in una
banda (relativa) w/wo piccola, centrata in :t Wo. Non si commette cosi grande
errore sviluppando la funzione W€(w) in serie nell'intorno di :t wo, e troncando 10
sviluppo al secondo termine. Sostituendo nell'integrale, questo pub essere facilmente
valutato osservando che A(-w)=A *(w) e €(-w)=e*(w), poiche Ie rispettive tra-
sformate devono essere funzioni reali: 1 'integrale esteso all'intervallo (- 00, 0) risulta
essere i1 complesso coniugato di quello esteso all'intervallo (0, (0). Si ha
ad {[ a(W€) a E ] }
atRe jwo€(wo)E(t)+ aw at exp(jwot) ,
. dal momenta che j (w - Wo )  a fa t. La derivata rispetto awe calcolata in Wo .

S6
Elettrol'lUlgnetismo I Cop. 1
Alla luc,e delle precedenti osservazioni, Ie equazioni di Maxwell, in assenza di sor-
genti, assumono la forma
O(WIl) oB
VXE=-jwIlH- -
dW at
o(we) oE
Vx H= jWEE+1 3w at
per segnali a banda sretta. In queste equazioni, E e H variano anche con r oltre che
Oentamente) con t.
La grandezza
1
-(E X B* + E* X H)
4
non e altro che la parte reale del vettore di Poynting. In un mezzo senza perdite
(e e /J sono reali), utilizzando Ie equazioni di Maxwell, si ha
1 0 { I O(WE) 1 O(WIl) }
-V-(EXa*+E*xH)+- - IEI2 +- IHI2 =0.
4 ot 4 dW 4 ow
L'espressione precedente e di nuovo un'equazione di conservazione di tipo [5]; la
grandezza in parentesi graffa puo dunque essere identificata con l'energia elettroma-
gnetica in un mezzo dispersivo, nel caso di un segnale a banda stretta.
Ad esempio, nel caso di un plasma freddo senza collisioni (vedi 1.2.2) si ha
O(Wp)
ow =110
O(WE) w 2 N q 2
aw =€o +€o -1}=€o +
w mw 2
poiche
jwm V=qE,
siha
_ 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2
wem-"4llo H + 4 Eo E +"4NmIVl.
L'energia del plasma e quindi la somma di quella elettromagnetica che si avrebbe
nella spazio vuoto e di quella cinetica delle particelle.
1.3.5 Momento del campo elettromagnetico
Consideriamo la diade
(c(e)= ee-! e 2 d:
.7 o 2 o J ,

1.4 I Cond;z;on; ;n;z;oli e al contorno
57
dove
100
J 0 1 0
001
e la diade ee e rappresentata, in coordinate cartesiane, da
ex ex
ee eye x
eze x
exe y
eye y
eze y
exe z
eye z
eze z
Calcoliamone la divergenza:
V. (e) =€o V. (ee)- 1- Eo V. (e. e) =
2
=€o(V. e)e-eoexVX e;
utilizzando Ie equazioni di Maxwell per 10 spazio libero si ottiene
v.y'(e)=pe +€o/loex : .
Analogamente, u tilizzando la diade
y(m)=/lohh-  /loh2,F,
si ha
v.'</'(m)=-/lo€ohX  -/lohXj.
La gran dezza
,(-/ = _ (.<I'(e) + fl'(m»
e il tensore degli sforzi di Maxwell; vale la relazione
V',</'+pe +jX/loh++ ...a 8=0.
c ut
Integrando questa equazione sui volume V della figura 1.13 e utilizzando il
teorema della divergenza applica to aile diadi, si ha
HJ(e+jX/loh)dV++ :t HJSdV+H /f"indS=O
V c V S
dove
/,. i" =wi n - €o e(e. i,,)-Ilo h(h. in).
1.4 Condizioni iniziali, al contomo e teorema di unicita
E' certamente molto importante riuscire a stabilire condizioni che assicurino, una
volta verificate, che la soluzione delle equazioni di Maxwell e determinata e unica. In

S8
Elettromognetismo I Cap. 1
s
i"

/
s
in
52
(a)
(b)
Figura 1.14
questo paragrafo ci si limita a esporre concetti generali, senza pretese di rigore 0 di
completezza; maggiori informazioni sono reperibili nei teti di fisica matematica
(Muller, 1969).
Considerando Ie equazioni di Maxwell nel dominio del tempo, si usa distinguere
tra condizioni iniziali e condizioni al contorno: Ie prime specificano i valori del campo
all'istante a partire dal quale esso viene calcolato (ad esempio, I'istante -t=O); Ie
seconde sono queUe cui it campo deve soddisfare sulla superficie S che limita it
volume V nel quale 10 si considera (vedi fig. 1.14). Se il volume V e tutto al finito
(vedi fig. 1.l4a) e S=St +S2, il problema del calcolo del campo viene detto pro-
blema interno; in caso contrario, quando cioe V si estende all'infinito (vedi fig. 1.14b),
si parla di problema esterno. In quest'ultimo caso, almeno in parte Ie condizioni che
.
riguardano il comportamento del campo sono all'infinito.
Quando si opera nel dominio della frequenza non vi sono piu condizioni iniziali.
Questo riflette if fatto che Ie soluzioni in tale dominio corrispondono a campi a re-
gilne, e cioe esistenti (e variabili nel tempo con legge sinusoidale) da tempo infinito.
Consideriamo dapprima iI problema interno nel dominio del tempo. Sia eo, h o , il
campo elettromagnetico generato dalle sorgenti jo nel volume V, e sia e, h, un altro
campo elettromagnetico prodotto nello stesso volume da sorgenti j. Nell'ipotesi di un
mezzolineare., iI campo el =e-eo hi =h-h o e certamente soluzione delle equazioni
di Maxwell in V, quando in questo siano presenti Ie sorgenti j 1 = j - jo. Supposto, per
sempIicita, if mezzo isotropo e non dispersivo, il teorema di Poynting fornisce la

1.4 I Cond;zioni iniziali e 01 contorno
59
relazione
He1Xh10indS+ ;t IH U €le d2 + ; lllh I 1 2 ]dV+
s V
+ Hf alel1 2 d V=- Hf el oj1dV.
V V
Studiamo come si evolve la precedente equazione a partire dal tempo t =0 (per-
altro arbitrario). Se j coincide con jo in tutti i punti di V e per ogni t  0, l'integrale
di volume al secondo membro e sempre identicamente nullo. Se inoltre e X in =eo X in'
oppure h X in =11 0 X in sulla superficie S per ogni t  0, anche l'integrale di superficie
e identicamente nullo, e pertanto
(}(}t I H [ ; e Ie 11 2 + ; III h 11 2 ] d V = - I Hal e d 2 d V.
v v
La relazione precedente mostra. come, al passare del tempo, l'energia elettroma-
gnetica associata al campo el, hIe contenuta nel volume V non possa che rimanere
stazionaria 0 decrescere. Se, in un arbitrario istante di riferimento, ad esempio t= 0,
e=eo e h=h o in tutto il volume V, nella stesso istante l'energia e nulla. D'altra parte,
essendo una grandezza essenzialmente positiva, essa non pub che rimanere nulla per
ogni t > 0, e, poiche l'integrando e non negativo, si deve avere in ogni istante e = eo e
h = ho .
La conclusione e che per specificare interamente un campo elettromagnetico,
soluzione delle equazioni di Maxwell, in un volume V per ogni tempo t> 0 basta
assegnare i valori del campo in tutto il volume all'istante t = 0 (condizioni iniziali), Ie
sorgenti per tutti i tempi t  0 e la componente tangenziale del campo elettrico 0 di
quello magnetico sulla superficie 8 per tutti i tempi t  0 (condizioni al contorno).
In queste ipotesi la soluzione e unica (teorema di unicita).
Un caso particolarmente importante e quello in cui il volume e limitato da un
onduttore elettrico perfetto, tale cioe che a OO. Nell'interno di un tale materiale
e = 0, altrimenti la densita di corrente indotta dal campo sarebbe infinita. Alla super-
ficie di separazione 8 2 tra it mezzo che riempie il volume Ve i1 conduttore perfetto,
la componente tangenziale del campo elettrico dev'essere continua. La condizione al
contorno per un tale conduttore e dunque
in X e=O.
[1]
II duale del conduttore elettrico perfetto e il conduttore magnetico perfetto; per
esso J.l2  00 , e la condizione al contorno diventa
in X h=O.
[2]
Spostando all'infinito la superficie S 1, si passa al problema esterno; in tal caso si
dovrebbero fornire condizioni per i valori dei campi all'infinito (vedi 1.4.5). Nel
dominio del tempo, cia e immediato, perche essendo finita la velocita di propaga-

60
Elettromagnetismo I ClIp. 1
zione dei campi, questi non giungono mai all'infmito: il campo e ivi sempre nullo.
Come si e gia osservato, nel dominio della frequenza non devono essere assegnate
Ie condizioni iniziali, e pertanto il campo e determinato quando siano assegnati i
fasori delle sorgenti e Ie condizioni a1 contomo per la componente tangenziale del
campo elettrico 0 di quello magnetico; fa eccezione il caso del caIcolo del campo in
un volume fmito di materiale senza perdite e con pareti senza perdite (vedi 1.4.4).
Annotazioni
1.4.1 Analisi delle condizioni at contomo per un conduttore elettrico perfetto
Si e visto che, alla superficie di un conduttore elettrico perfetto,
in X e=O.
D'altra parte, nel conduttore dev'essere e = 0, e quindi, in base aIle equazioni di
Maxwell, anche h = 0 (sempre che i campi siano variabili nel tempo). Non si PUQ tut-
tavia avere in X h = 0 sulla superficie, altrimenti nel volume l'unico possibile campo
sarebbe quello identicamente nullo. Di conseguenza, alla superficie di un conduttore
elettrico perfetto la componente tangenziale del campo magnetico dev'essere discon-
tinua. Questo e possibile perche un conduttore elettrico perfetto pub sostenere una
corrente elettrica superficiale (vedi  1.1, equazione [26] e 2.7.2).
1.4.2 Analisi dene condizioni al contomo per un conduttore magnetico perfetto
( esercizio )
Si mostri che alIa superficie di un conduttore magnetico perfetto i1 campo elet-
trico tangente e discontinuo ed e sostenuto da una corrente magnetica superficiale.
1.4.3 Condizioni al contomo di tipo impedenza
Una condizione al contorno si definisce di tipo impedenza se viene specificata una
combinazione lineare tra Ie componenti tangenziali del campo elettrico e magnetico
sulla superficie stessa, omogenea se tale combinazione lineare e nulla, iso tropa se i1
coefficiente della combinazione e scalare. In queste due ultime ipotesi si ha
inx Exin=Zs(Hxin).
[3]
Per una condizione al contomo di tipo ammettenza si ha
in X Hx in = Ys(i n X E).
[4]
(Queste condizioni contengono, come caso particolare, queUe di campo elettrico
tangente nullo (Zs = 0) 0 magnetico tangente nullo (Y s = 0) sui contorno.)
La componente del vettore di Poynting secondo in e data, nei due casi, da
Sn =  Z.fIH X in 1 2 ,
1
S = - y 1 t_ X E I 2
n 2 s.,., .

1.4 I Condizioni iniziDli e 01 contomo
61
Se si vuole che la parte reale di Sn sia positiva (flusso di potenza attiva nel verso di
in), devono essere positive Ie parti reali della impedenza superficiale, Zs = Rs + j Xs, e
dell'ammettenza superficiale Y s = G s + j Bs'
*1.4.4 Teorema di unicita, nel dominio deUa frequenza, per i1 problema interno
Con riferimen to alla figura 1.14a, sia E 1, HI il campo elettromagnetico soluzione
delle equazioni di Maxwell, con sorgenti J 1, J m 1 in Ve condizioni al contorno asse-
gnate su S; sia poi E2' H 2 un'altra possibile soluzione, con Ie stesse sorgenti e condi-
zioni al contorno. Per un mezzo lineare,
E=£1 -E 2 ,
H=H 1 -8 2
e ancora soluzione delle equazioni omogenee (sorgenti nulle) di Maxwell con condi-
zioni di campo tangente. elettrico 0 magnetico, nullo al contorno. Pertanto i1 teo-
rema di Poynting, applicato al volume V, porta alle seguente relazioni:
 H €2IEI 2 dV+  IH 1l21H1 2 dV+  HI alEI2 dV=O;
v v v
2w H [  IltlHI2 -  €d E I2] d v= o.
v
La prima e una somma di quantita non negative poiche gli integrandi sono non
negativi; di conseguenza, se nel mezzo vi S0110 perdite, anche piccolissime, deve essere
£=8=0
,
i1 che mostra I 'unicita della soluzione.
Se i1 mezzo e senza perdite, la prima relazione e una identita. Quanto alIa seconda
relazione, essa e certamente verificata non solo da £ = H = 0, ma anche da queUe par-
ticolari distribuzioni di campo, soluzioni delle equazioni di Maxwell in assenza di sor-
genti, con condizioni al contorno
in X £=0, oppure in X 8=0,
che verificano
H  1l1lHI2 dV= H  €11E12 dV.
V v
[5]
Se il mezzo e non dispersivo, la precedente condizione implica I'uguaglianza tra Ie
energie elettriche e magnetiche medie immagazzinate. Queste possibili soluzioni sono
dette risonanti. Si noti che la [5] e un'ulteriore condizione imposta aHa soluzione;
non e quindi detto che queste soluzioni risonanti esistano per qualunque frequenza
(vedi  3.4).
In un volume limitato, senza perdite la soluzione delle equazioni di Maxwell nel
dominio della frequenza e dunque unica a meno delle possibili soluzioni risonanti.

62
Elettromognetismo I Cap. 1
* 1.4.5 Teorema di unicita, nel dominio della frequenza, per il problema esterno
( esercizio )
Nel caso del problema esterno, per segnali sinusoidali, non si PUQ piil asserire che
il campo non e ancora giunto all'infinito, poiche e finite il tempo trascorso dall 'ac-
censione delle sorgenti: infatti, essendo il campo a regime, si deve supporre che Ie
sorgenti siano state accese da un tempo infinito.
Si pub allora richiedere che, se tutte Ie sorgenti del campo sono al finito, a grande
distanza da queste vi sia un flusso di potenza reale verso l'infinito. E' questa, essenzial-
mente, la condizione di radiazione all'infinito (vedi anche  4.2). Questa condizione
stabilisce che per un mezzo di parametri € e JJ., omogeneo all'infinito, a grande distanza
dalle sorgenti (tutte al finite nell'intorno di r = 0), IrEI deve essere limitate all'in-
finito e
Urn r[E(r)-H(r)X i,.]=O, = VIJIE .
r-+ 00
[6]
E' agevole verificare che, in conseguenza delle [6], all'infinito il vettore di Poynting e
reale ed e diretto nel verso positive delle r. Richiedere, nel dominio della frequenza,
che all'infinito il flusso di potenza sia verso l'esterno e equivalente a imporre it prin-
cipio di causalita nel dominie del tempo.
1.4.6 Condizioni al contomo e di continuita per i campi
Si e visto nel paragrafo 1.4 che per specific are it campo elettromagnetico e neces-
sario assegnare la componente tangenziale del campo elettricp 0 di quello magnetico
sulla superficie limitante it volume dove il campo viene calcolato. D'altra parte, se
nell'interno del volume V sono presenti superfici di discontinuita spaziale per i
parametri del mezzo, Ie componenti tangenziali dei campi e Ie componenti normali
delle induzioni devono essere ivi continue (vedi  1.1). In quest'ultimo caso, basta
imporre la continuita delle componenti tangenziali dei campi perche sia automati-
camente assicurata la continuita delle componenti normali delle induzioni. Cia
dipende dal fatto che Ie equazioni di Maxwell aile divergenze sono conseguenza
di quelle ai rotori, in assenza di densita di carica e corrente. Introdotto sulla superfi-
cie di discontinuita un sistema cartesiano localmente ortogonale, con l'asse z parallelo
alIa normale, si pub mostrare che Ie componenti secondo z delle induzioni sono espri-
ibili in funzione delle componenti tangenziali di campi (vedi  3.2); di conseguenza,
l'assicurare la continuita di queste ultime implica la continuita delle prime.
Nulla di strano, poi, se sulle superfici di discontinuita si rende necessaria la conti-
nuita delle componenti tangenziali sia del campo elettrico sia di quello magnetico,
mentre Ie condizioni al contorno richiedono solo la conoscen'za della componente
di uno qualunque dei due. Si tratta infatti di condizioni sostanzialmente diverse: ;
quelle al contomo servono per determinare la soluzione delle equazioni di Maxwell,
quelle di continuita per prolungare il campo da una regione all'altra. Per trovare la
soluzione del volume V si procede, in linea di principio, come segue: si risolvono Ie
equazioni di Maxwell in ciascuna regione omogenea, rimanendo indeterminate Ie
costanti di integrazione; successivamente si specificano queste ultirne imponendo Ie
condizioni al contorno su S e quelle di continuita (per Ie componenti tangenziali dei
campi) sulle superfici di discontinuita eventualmente presenti in V.

1.5 I Teoremi di reciprocitti e di equivalenzQ
63
1.5 Teoremi di reciprocita e di equivalenza
In questo paragrafo e in quello successivo vengono illustrati brevemente alcuni
teoremi, di notevole importanza ai fmi applicativi.
II primo teorema e quello detto di reciprocita. Sia dato un mezzo, per semplicita
isotropo, nel quale siano pre senti sorgenti J I , J ml , che producono il campo EI' HI, e
sorgenti J 2 ,J m2 che producono il campo £2, 8 2 , Consideriamo la divergenza
V.(ElxH2-E2xHI)=H2 .VxEI-E t .VXH2-HI.VxE2+E2.VxHI;
ed eliminiamo i rotori utilizzando Ie equazioni di Maxwell; risulta
V. (E I X H 2 - £2 X H I )=8 1 · J m 2 - 8 2 · J m I + E 2 · J I - E 1 · J 2 .
Se ora si integra su un volume V limitato da una superficie S di normale uscente in,
si ha
H- (E I X H2- X HI). in dS= HI(E 2 · J I -H 2 · Jml)d V-
s V
- HI (E I · J 2 -H I · J m2 ) dV.
V
[1]
La [1] e la fonnulazione piu generale del teorema di reciprocita. In molti casi, im-
port anti per Ie applicazioni, l'integrale di superficie e nullo: per esempio, se la super-
ficie S e un conduttore elettrico (0 magnetico) perfetto, 0 una superficie di irnpe-
denza (vedi 1.4.3); quest'ultimo caso e anche quello in cui il volume V occupa tutto
10 spazio (vedi 1.4.5).
Se l'intgrale di superficie _ nullo, il teorema di reciprocita assume Ia forma
HS(E I .J 2 -H I .J m2 )dV= HI(E2.JI-H2.Jml)dV.
V V
[2]
Ciascuno degli integrali di volume prende ailche il nome di reQzione (Rumsey,
1954) dei campi sulle sorgenti; il teorema di reciprocita, nella formulazione data dalla
[2], afferma in so stanza che Ie reazioni dei campi suZZe sorgent; sono uguaZi.
Molto importante e pure il teorema di equivaZenza, 0 teorema di Love. Conside-
riamo sorgenti J, J m tutte interne a un volume V limitato da una superficie S (pura
superficie geometrica, che ha l'unico scopo di separare il volume V dallo spazio ester-
no; vedi fig. 1.15). Le sorgenti producono un campo E, H in tutto 10 spazio; sia Es,
Hs il suo valore nei punti della superficie.

64
Elettromognetism 0 I Cop. 1
s
Figura 1.15
Introduciamo a questo punta un altro campo E 1, HI, di nuovo in tutto 10 spazio,
tale che
E 1 =H 1 =0 in V,
E 1 =E, HI =H fuori di V,
in presenza di correnti impresse sulla superficie S, di densita lineare
Js=i n X Hs
JmS=-in xEs,
e in assenza delle sorgenti originarie J, J m . Si vuol sapere se tale campo e soluzione
delle equazioni di Maxwell (se cioe e un campo elettromagnetico) e se pub riguar-
darsi come prodotto dalle correnti superficiali [3].
All'esterno di V i1 campo El' HI coincide con E, H, che certamente e soIuzione
delle equazioni di Maxwell. In V non vi sono sorgenti, e i1 campo nullo E 1 = HI = 0
e ancora una possibile soluzione delle equazioni di Maxwell. Attraversando la superfi-
cie S, it campo e discontinuo, come dev'essere in presenza di distribuzioni superficialidi
correnti elettriche e magnetiche, e l'ammontare della discontinuita e in accordo con
Ie condizioni [25] e [26] ( 1.1). E., HI e dunque una soluzione delle equazioni di
Maxwell in presenza delle nuove sorgenti J s , J mS . Per it teorema di unicita, tale
soluzione e anche l'unica.
La conclusione e la seguente (teorema di equivalenza):
[3]
II campo elettrorruzgnetico, all'estemo di una superficie chiusa S, e esprimibile in
termini di sorgenti equivalenti J s , J mS , che possono essere determinate a partire dal/a
conoscenza, su essa, delle componenti tangenziali de; campi.
E' questa la formulazione elettromagnetica del cosiddetto principio di Huygens (0

1.5 I Teoremi di reciprocitiz e di equivolenzo
65
di Huygens-Kirchhoff), che considera ciascun punto investito dal campo come nuova
sorgente per la successiva produzione del campo stesso.
L'importanza del teorema di equivalenza (formulazioni alternative sono date in
1.5.7 e 1.5.8) risiede nel fatto che, in parecchie applicazioni, la distribuzione del
campo prodotto dalle assegnate sorgenti su S puo essere ragionevolmente approssi-
mata con una scelta opportuna della superficie; dopodiche, Ie sorgenti equivalenti,
e quindi i campi all'esterno di S, sono calcolabili (vedi  3.5) e spesso in modo abba-
stanza semplice.
Annotazioni
1. S.1 T eorema di reciprocita per mezzi anisotropi reciproci (esercizio)
Si mostri che i1 teorema di reciprocita, nella formulazione data nel paragrafo 1.5,
e valida anche per un mezzo anisotropo purche Ie diadi rappresentanti Ie caratteri-
stiche di questo siano simmetriche, cioe coincidenti con Ie rispettive trasposte:
,....., ,.....,
t=t; p=p,
[4]
Un tale mezzo viene detto reciproco. (Nella dimostrazione del teorema si sfrutti la
proprieta
,....., ,...",....., -., -., -.,
E 2 · t. E 1 = E 1 · £ · E 2 ; 8 2 . 11 · HI = HI. J1 · 8 2 .)
1.5.2 Teorema di reciprocita per mezzi anisotropi non reciproci (esercizio)
Dato un mezzo anisotropo non reciproco, si derivi i1 teorema di reciprocita; esso e
formalmente uguale a quello del paragrafo 1.5, pur di considerare Ie sorgenti J 1, J m 1
operanti in un mezzo di caratteristiche £, p, e Ie sorgenti J 2 , J m 2 , in un altro mezzo
di caratteristiche £" p.
1.5.3 Formulazione alternativa del teorema di reciprocita in un mezzo senza
perdite (esercizio)
Si consideri un mezzo isotropo senza perdite; si mostri che
V.(EIXH+ErXHl)=-El.Jr-E.JI-Hl.J2-Hr.Jml'
Dedurne una formulazione alternativa del teorema di reciprocita.
1.5.4 Formulazione altemativa del teorema di reciprocita in un mezzo con
perdite (esercizio)
Si mostri che in un mezzo con perdite la formulazione precedente e ancora valida,
pur di considerare i campi Eb HI in un mezzo di parametri €, J.l, 0, e i campi E 2 , H 2
in un mezzo di parametri e*, J.l* , - a.
1.5.5 Metodo delle sorgenti di prova: caso elettrico (esercizio)
Sia data una distribuzione di sorgenti J m 2 = 0, J 2 = J t = it l) (r - rt), alia quale sia
associato i1 campo Et, Ht. Parten do dalla formulazione [2] del teorema di reciprocita,
5

66
Elettromognetismo I Cap. J
si dimostri che
it. EI(rt)= HJ(E t . J I -8 t . Jml)dV.
V
La sorgente J t (sorgente di prova; it e misurato in A. m) e spazialrnente impulsiva e
permette di individuare i1 valore del campo elettrico dovuto alle sorgenti J 1, J m 1 nel
punta in cui si trova.
1.5.6 Metodo delle sorgenti di prova: caso mapetico (esercizio)
Si modifichi la dimostrazione precedente per i1 caso di una sorgente magnetica di
prova.
*1.5.7 Prima formulazione altemativa del teorema di equivalenza
Consideriamo, in tutto 10 spazio, il campo E, H prodotto dalle sorgenti J, J m e
soddisfacente la condizione di radiazione all'infinito, sia S una superficie chiusa ideale
limit ante un volume V che contiene tutte Ie sorgenti (vedi fig. 1.16a); sia Es, Hs il
campo in corrispondenza dei punti di S.
Consideriamo poi un'altra geometria (vedi fig. 1.16 b): 10 stesso volume V e ora
riempito da un materiale perfettamente condu ttore, e il volume esterno a S coincide
con quello della figura 1.16a (per chiarezza, Ie due geometrie sono disegnate separate
ma devono essere immaginate sovrapposte). Nella nuova geometria non siano piil
presenti Ie sorgenti J, J m , ma solo correnti magnetiche superficiali impresse, disposte
su S e di densita lineare
JmS=-i n XEs.
[5]
Sia El' HI il campo prodotto dalle [5], ancora soddisfacente la condizione di radia-
zione all'infinito.
in
Tt'-:::: .,....
;.:;.1'.:: '., .....
z.? '. .., '.:. , i.:.:;k',::;: . ;:.,,'::.);.
.............;::..... ..........:.'\.-. ...,'IIC>" ".
!:'(:.,; ...., . r ... ; .   : . . . . .. ,! . [ ,  . ; . I . , . ;i , . , . . . .  . . .. . , . .  . - . . _  . ' .. . . ' . : ,  : : . ; . : .. : . . . :: . i; . t . i   . \ ;" : ; : , . . ) , :
rc:\/ .".. - -f , . ''.
V.. . ..' .
; . t , . . -. . ' .., ( . ; . .' . : . . .  , : . ; . :f . .- . :- .  . . . ' . . .. . , ' " :..: ..... i ..
'Z . '. .:,.,:.:._j:.,i..;::.. .:' ',.,
s
v
v
(a)
(b)
Figura 1.16

1.6 I Teoremi di duo/ita e delle immagini
67
Si pub dimostrare che, in queste condizioni, la soluzione delle equazioni di Max-
well, El' HI, coincide con E, H all'esterno di S. Ambedue i campi soddisfano la con-
dizione di radiazione all'infinito. Per il teorema di unicita (vedi 1.4.5) i due campi
coincidono aU'esterno di S se su tale superficie hanno identica componente tangen-
ziale del campo elettrico. Questa condizione e verificata, perche i1 campo elettrico
HI e nullo in V, e t a causa della densita lineare di corrente JmS, la sua componente
tangenziale e discontinua attraversando S e uguale a in X Es sulla faccia esterna di
questa superficie.
E' opportuno notare quanta segue. Se it teorema di equivalenza e dato in questa
forma, i campi all'estemo di S possono essere calcolati in funzione delle sole correnti
magnetiche superficiali, e non dalla combinazione di correnti elettriche e magnetiche
superficiaIi. 11 motivo e che, nella formulazione che porta alle [3], viene considerato
un campo Et, HI in tutto 10 spazio. Pertanto, Ie condizioni su S sono di discontinuita
per Ie componenti tangenziali dei campi; esse sono necessarie per prolungare i1 campo
HI, HI dall'esterno di S in un campo nullo all'interno. Al contrario, nella formulazione
che porta aIle [5], i1 campo Et, HI e considerato nel solo volume esterno a S; i1
campo in V e automaticamente nullo, perche detto volume e riempito da un condut-
tore elettrico perfetto. Le condizioni su S sono ora di tipo al contorno. In assenza di
correnti impresse, la componente tangenziale del campo magnetico e automatica-
mente discontinua, mentre quella del campo elettrico e nulla; imprimendo la corrente
superficiale magnetica, la componente tangenziale del campo elettrico diventa uguale
a quella del campo originario E, H.
Si nota ancora che Ie correnti superficiali impresse [3] irradiano nella spazio libero
(producendo i1 campo E, H all'esterno di S e un campo globalmente nullo in S). AI
contrario, la corrente superficiale [5] irradia S1 nello spazio libero, ma in presenza
della Massa metallica (di un conduttore elettrico perfetto) di volume V. Se Es e Hs
sono i valori esatti del campo, Ie due formulazioni del teorema di equivalenza por-
tano agli stessi valori per il campo E, H all'esterno di S; se viceversa sono approssimati
Ie due formulazioni conducono inevitabilrnente a valori diversi. Anzi, la differenza tra
Ie due soluzioni pub fornire un'idea della bonta dell'approssimazione nella scelta di
Es, Hs.
*1.5.8 Seconda formulazione alternativa del teorema di equivalenza (esercizio)
Si mostri che, se il volume V (vedi fig. 1.16) e riempito con un conduttore magne-
tico perfetto, i campi all'esterno di S si possono calcolare in funzione delle sole cor-
ren ti elettriche su perficiali
Js=in X Hs,
irradianti in presenza del suddetto materiale magnetico.
[6]
1.6 Teoremi di duaIita e delle immagini
Altri teoremi importanti per Ie applicazioni riguardano possibilita di determinare
uiteriori soluzioni per Ie equazioni di Maxwell, a partire da una soluzione nota, sfrut-
tando la simmetria delle equazioni stesse. Un primo teorema e il cosiddetto teorema
di dualitiz.
In un mezzo omogeneo isotropo consideriamo una soIuzione E, H delle equazioni

68
Elettromogne tismo I Cop. 1
di Maxwell dovuta alle sorgenti J, e, insieme ad essa, il nuovo campo
E'=  H=H;
[1]
''' 1
H =-V Ii E=-f E.
Ci si PUQ chiedere se E'  H' sia soluzione delle equazioni di Maxwell. Ricavando
daIle [1] Ie espressioni di E, H, in funzione di E', H' e sostituendole nelle equa-
zioni di Maxwell, si ottiene
{ VX H'= jweE'
Vx E'=-jwIlH' + v-¥ J.
Se ne conclude che il nuovo campo soddisfa formalmente a dette equazioni con
sorgenti di tipo magnetico
J;" =- v-¥ J=-p.
[2]
Bisogna ora verificare se esso e congruente con Ie originarie condizioni al contorno.
Se il campo E, H e in presenza di conduttori elettrici perfetti, sulla superficie di
questi risulta
in X E=O,
e di conseguenza
in X H' =0,
che e proprio la condizione al contorno appropriata alIa superficie di un conduttore
magnetico perfetto; un ragionamento analogo pub farsi nel caso in cui si sia in
presenza di conduttori magnetici perfetti. In conclusione, il campo E', H' e soluzione
di un problema diverso, dove non solo Ie sorgenti sono diverse, ma tutti i conduttori
elettrici perfetti si mutano in conduttori magnetici perfetti, e viceversa.
Se Ie condizioni al contorno sono del tipo "impedenza",
in X E X in =Zs(H X in),
queste si trasformano nelle nuove condizioni
· H ' · 2 E ' ·
-In X X In - = X In'
Zs
Z
· E '. s (H ' . )
In X X In = 2. X In .

1.6 I Teoremi di duo/itti e delle immogini
69
II campo E', H' e quindi soluzione di un problema con condizioni al contorno an-
cora del tipo suddetto, purche l'impedenza assuma il nuovo valore
r 2
Zs=-.
Zs
Solo se Zs = r Ie due impedenze superficiali coincidono. In assenza di conduttori
elettrici 0 magnetici perfetti, si ha la formulazione piu nota del teorema di .dualita:
Dato un campo elettromagnetico E, H prodotto da sorgenti J in un mezzo omoge-
neo e isotropo e soddisfacente la condizione di radiazione all'infinito, Ie formule di
trasformazione [1] permettono di determinare il campo E / , H' genera to dalle sorgenti
J'm, date dalla [2].
Un altro teorema che utilizza la simmetria delle equazioni di Maxwell e quello
detto delle immagini. In un mezzo isotropo sia E, H il campo elettromagnetico dovu-
to a sorgenti J, J m' Introdotta una terna ortogonale cartesiana (x, y, z), eseguiamo la
trasformazione di coordinate
, , ,
x =x Y = y z =-z
, , ,
[3]
il che corrisponde a effettuare una riflessione rispetto al piano z = 0; come si dimostra
in 1.6.4, il nuovo campo E', H', di componenti
E =-E x ,
, 
Ey =-E y '
E =Ez,
H=Hx
H; =Hy
H; =-H z ,
[.4 ]
prodotto da sorgenti J', J:r, , di componenti
J=-Jx' J:nx=J mx
J=-Jy,
J =J,
J:r,y =J my
J:nz =-J mz ,
[5]
e soluzione delle equazioni di Maxwell nel nuovo sistema di cordinate (x', y', z').
Questo significa ad esempio che, se la soluzione E, H e rappresentabile come nella
figura 1.17a, la nuova soluzione E / , H' ha la forma indicata nella yarte {b) della
stessa. La configurazione (b) e I'immagine riflessa della (a), secondo Ie regole fornite
dalle relazioni [3]-[5], rispetto al piano z = O. Si noti che i due campi E, H, e E', H'
sono soluzioni vaIide in tutto 10 spazio.
Si consideri ora il campo
E 1 =E+E', HI =H+H',
somma del campo E, H e della sua irnmagine E / , H'. SuI piano z = 0 si ha t
EIX=E1y=O, H 1Z =0,

70
Elettromagnetismo I Cop. 1
z
J/ s: /('
m
. X
X 
E'
  H'
m
z'
(8)
(b)
Figura 1.17
che sono Ie condizioni cui deve soddisfare il campo su un conduttore elettrico per-
fetto. Questo risultato pub essere utilizzato per calcolare il campo E I , HI prodotto
da sorgenti poste in un semispazio omogeneo limitato da un piano perfettamente
conduttore (vedi fig. 1.18).
Jt
J
z
d,
d 2
d 3
x
d,
d 2
d 3
J'l
J'
Figura 1.18
Immagini di sorgenti rispetto a un piano metallico.

1.6 I Teoremi di dualita e delle immagini
71
Infatti, it campo E 1 , HI, nel semispazio z> 0, e soluzione delle equazioni di Max-
well, in quanta sovrapposizione di due campi, ciascuno, a sua volta, soIuzione: il
campo E, H, soluzione delle equazioni non omogenee (cioe in presenza delle sorgenti
J, J m ) e il campo E', H', soluzione delle equazioni omogenee (essendo Ie sorgenti J',
J;'" nel semispazio z < 0). II campo E I , HI soddisfa inoltre alle condizioni al contorno
suI piano metallico z = 0, e pertanto, in base al teorema di unicita della soIuzione,
coincide con il campo cercato.
II campo E 1 , HI e definito anche nel semispazio z < 0, ove e soluzione delle equa-
zioni di Maxwell; tuttavia, il campo fisicamente esistente e quello definito nel semi-
spazio z > 0, ed e prodotto dalle sorgenti J, J m in presenza del piano metallico. Per
questo motivo Ie sorgenti J, J m sono anche dette sorgenti reali, e Ie sorgenti irnmagini
.
J', J;" , sorgent; v;rtuali.
Annotazioni
1.6.1 Forma altemativa del teorema di dualita (esercizio)
Si mostri che una forma alternativa alla [I] per il teorema di dualita e la seguente:
E ' =-  H, H' = VI E, J:n = If J,
1.6.2 Teorema di dual ita in un mezzo non omoleneo
Sia dato il mezzo non omogeneo della figura 1.19, Ie cui caratteristiche cambiano
bruscamente in corrispondenza della superficie S. Le sorgenti J producono i1 campo
£, H, indicato con £t, HI nel mezzo I e con £2, 8 2 nel mezzo 2; in corrispondenza
della su perficie S:
in X £1 = in X £2 , in X HI = in X 8 2 ,
Applicando il teorema di dualita nel mezzo I, si ha la nuova possibile soluzione:
E ' = V#ll H H' =- I€I E
1 E 1 ' I /JI 1 ,
dovu ta a sorgenti
, (¥ l
J m =- - J.
El
Nel mezzo 2, consideriamo la seguente trasformazione:
£; =rH 2 ,
, I
8 2 =-f E 2 ,
con t parametro per ora incognito; dalle equazioni di Maxwell, sostituendo ai campi
£2, 8 2 Ie loro espressioni in funzione di £ , H, si ha
{ VX £; =-jwE2r2 H;
VX H; =jW#l1 .p- E;,

72
Elettromagnetismo I Cap. 1
s
E11 JJ.1
E 21 JJ2
Mezzo 1
Mezzo 2
Figura 1.19
il che mostra che i1 campo E'2, H; e una possibile soluzione in un mezzo di costanti
, 1-2
Jl2 = E2) ,
, JJ2
E2 = 2 .
r
La continuita delle componenti tangenziali per i nuovi campi, sempre in corrispon-
denza di S, implica che
_ 1
V  in X £1 =f in X £2
V P1 in X HI =in X H 2 ;
EI
di conseguenza,
= V1 .
EI
La conclusione e che, data l soluzione E, H, prodotta dalle sorgenti J nel mezzo
di caratteristiche El, JJl (in 1) e E2, Jl2 (in 2), si pub determinare la soluzione
E' = V Jl1 H
El '
, If l
H =- - E
PI '
dovuta a sorgenti
l' =- V1 J
m €1'

1.6 I Teoremi di duolita e delle immogini
73
in un mezzo di cost anti € 1, JJ 1 (in 1) e €;, J.l; (in 2):
, 1J.2
€2=El-'
1J.l
, €2
J.l2 = J.ll - .
€1
*1.6.3 Uso congiunto del teorema di equivalenza e di quello delle immagini
Con riferimento alia figura 1.20, consideriamo 10 spazio totale, somma del volume
J{ contenente Ie sorgenti J, J m , e del volume V' nel Quale si vuol calcolare il campo
(la superficie SIt recede all'infinito). In V', per il teorema di equivalenza, il campo pub
essere calcolato utilizzando sorgenti equivalenti JS, Jms poste sulla superficie S' + S".
Si pub dimostrare che, se i campi soddisfano su SIt alIa condizione di radiazione all'in-
finito (com'e nel caso in esame), allora il contributo delle correnti superficiali che
scorrono su SIt e nullo. La dimostrazione di cio pub essere ricavata in base ai risultati
esposti in 4.3.5: ciascun elemento di SIt e un'areola elementare di Huygens che non
emette posteriormen te radiazione elettromagnetica. Allo stesso risul tato si giunge se
si ammette che in V' vi siano piccolissime perdite: i campi prodotti dalle sorgenti
equivalenti su SIt non producono alcun campo al finito, se SIt e infinitamente remota.
In conclusione, Ie uniche sorgenti equivalenti da considerare sono quelle su S'.
Applicando il teorema di equivalenza nella formulazione data in 1.5.7 (avendo
cioe metallizzato il semispazio V contenente Ie sorgenti), basta considerare Ie sorgenti
equivalenti puramente magnetiche
J mS =-i n X Es
su S'. Ma tali correnti magnetiche producono in V' un campo che pub essere calco-
v
in
EJ
S"
.v'
t Jms
Figura 1.20

74
Elettromagnetismo I Cop. 1
lato con l'ausilio delle sorgenti immagine; tali sorgenti virtuali hanno direzione e verso
delle sorgenti J m e sono infinitamente prossime ad esse. Di conseguenza il campo in
V' e caIcolabile mediante Ie sorgenti equivalenti
J;"s =- 2i" XEs,
irradianti nella spazio libero.
1.6.4 Dimostrazione del teorema delle immagini
Proiettiamo Ie equazioni di Maxwell sugli assi di un sistema cartesiano di riferi-
mento
oEz
--
oy
3Ex
oz
aE x
oy
oHz
ay
oH x
az
oH x
ay
oE y .
az =-JWIlHx-J mx
aE z
+ - =-jwIlH -J
ax y my
aE y
=-jWIlH z -J mz
ax
aH y
az =jweEx +J x
aH z
+ ax = jweE y +J y
aHy .
ax - JweEz +Jz.
Si verifica subito che Ie equazioni sono invarianti per la trasforrnazione di coordi-
nate
I , ,
X =x, y =y, z =-z
se anche i campi e Ie sorgenti sono trasformate conformernente aIle relazioni
, I , J '
Ex=-Ex, Hx=Hx, Jx::r- x' Jmx=J mx
E; =-E y '
E  Ez
,
H =Hy,
H =-H z '
.1'y =-J y ,
 =J z ,
J'my =J my
,
J mz =-J mz .
La combinazione lineare EI = E + E', HI = H + H' delle due soluzioni fornisce un
campo che e, rispetto a z, simmetrico per Ie componenti H Ix , H ly , E lz e antisimme-
trico per Ie E Ix, E Iy, Hlz,
1.6.5 Forma altemativa del teorema delle immagini (esercizio)
Si mostri che Ie equazioni di Maxwell sono invarianti per Ia trasformazione di
coordinate [3] se anche i campi e Ie sorgenti si trasformano secondo Ie relazioni
E;=Ex, H';=-H x ' j=Jx' J':nx=-J mx
E " E F' H /, ' J .t. ' J
y= Y' ny=- Y' y= Y' my=- my
E; =- Ez, It; =Hz, .t; =-J z ' .1';'z =J mz '

1.6 I Teoremi di dualita e delle ;mmogini
75
I
I
I
I
I
I
I
I
-+-----------------
t - - - - - - - - - - - - -  - J J 2
--- ----0 :
I : J, I
I I I
I I I
I
I
I
I
I I
0----- -----4 I
--------------1
J 3
-------- --------
Figura 1.21
Sorgenti elettriche in due semispazi metallici ad angolo retto (simmetria quadrantale).
o
f
.
---- ----- - --- -- ------
@ f ·
f J2
e 
J 1
,
@ f ·
o


Figura 1.22

76
Elettromagnet;smo I Cop. 1
La combinazione lineare E 1 = E + E", HI = H + a" delle due soIuzioni e, rispetto a
z, simmetrica per Ie componenti E IX , E ly , H lz e antisimmetrica per Ie H IX , H Iy ,
H lz ; in particolare, per z=O, risuita HIX=Hly=ElZ=O. Tale combinazione pub
opportunamente rappresentare un campo in presenza di un conduttore magnetico
perfetto su z = O.
1.6.6 Applicazione del teorema delle immagini (esercizio)
Con riferimento alIa figura 1.21, si giustifichi la disposizione delle sorgenti imma-
gine cola riportate (sorgenti di tipo elettrico).
1.6.7 Ulteriore applicazione del teorema delle immagini (esercizio)
Con riferimento alla figura 1.22, si giustifichi la successione di (infinite) sorgenti
immagine cola riportate (sorgenti di tipo elettrico)..
1.7 Riepllogo
In questo capitolo si sono brevemente riassunti i risultati fondamentali dell'elet-
tromagnetisrno.
Le equazioni di Maxwell sono state date come postulato:
.Vxe=- . a b
. t
Vx h= ad + J .
at
V. d=p
V · b = 0,
e si e mostrato che da esse possono ricavarsi l' equazione di continuita della co"ente,
Ie leggi di Gauss, la legge di Lenz-Neumann e la legge di Ampere generalizzata a
campi dinamici. Le equazioni di Maxwell possono essere convenientemente scritte nel
dominio della frequenza,
Vx E=-jwB-J m
VxH= jwD+J
V.D=p
V. B=Pm,

1. 7 I Riepi/ogo
77
o nei domini della frequenza e del numero d'onda:
kx £=wB+jJ m
k X A=-wD-jJ
kx D=jp
kx B=jPm,
dove si sono introdotte Ie densita di corrente magnetica e di carica magnetica.
AlIa superficie di separazione tra mezzi diversi Ie componenti tangenziali dei cam-
pi e normali delle induzioni sono continue, a meno che non siano ivi pre senti densita
lineari di corrente 0 superficiali di carica, nel qual caso si ha
in · (d 2 -d 1 ) = Ps
in · (b2 -b t ) =PmS
in X (e2 - el )=- jmS
in X (h 2 -h1)=js
Condizioni analoghe valgono in corrispondenza di discontinuita temporali delle
caratteristiche del mezzo.
Per poter risolvere Ie equazioni di Maxwell e necessario fornire uiteriori relazioni
tra induzioni e campi. Nel caso di rhezzi lineari, una forma generale di queste reI a-
zioni, dette costitutive, e, nel dominio del tempo,
d(r, t) = i ,eer, r'; t, t') · e(r', t') dr' dt'
b(r, t) = L,h(r, r'; t, t') · h(r', t') dr' dt'.
Queste relazioni si trasformano nel dominie della frequenza e del numero d'onda,
per mezzi stazionari e omogenei, come segue:
D(k, w)= t(k, w). £(k, w)
B(k, w) = p(k, w) · H(k, w).
Nel caso piu usuale di un mezzo non dispersivo nello spazio, isotropo e stazionario
Ie relazioni costitutive si semplificano:
d(r,.t) = f ge(r, t- t')e(r, t') dt'
b(r, t)= f gh (r, t- t')h(r, t') d t'
D,w)=€,w)E,w)
B(r, w) = JJ.(r, w) H(r, w).

78
Elettromognetismo I Cop. 1
Partendo dalle equazioni di Maxwell possono derivarsi alcuni teoremi. Riguardo
all'energia, il risultato piil importante e il teorema di Poynting, espresso dalla equa-
zione
( ad ab ) .
V.s+ e.- +h. - +ae 2 =-eeJ
at at .
[1]
Per mezzi non dispersivi la somma del secondo e del terzo termine si identifica
come la derivata temporale della densita di energia elettromagnetica, data (per mezzi
isotropi) da
1 1
w="2€e 2 +"2 p,h 2 .
II vettore di Poynting s rappresenta la densita di flusso della potenza elettromagne-
tica. L'analogo della [1] nel dominie della frequenza porta a stabilire che, per mezzi
passivi, i coefficienti dell'immaginario delle costanti dielettrica e magnetica
€ = € 1 - j €2 , J.1. = J.1. 1 - j J.1.2
sona non negativi:
€2  0, J.1.2  O.
AI campo elettromagnetico e associato un momenta meccanico, di densita
s
g=2 '
c
e anche, in generale, un mOlnento angolare meccanico.
Molto import ante e il teorema di unicita; esso stabilisce che un campo elettroma-
gnetico e univocamente determinato, nel dominio del tempo, se sono fissati il valore
del campo in ogni punto all'istante iniziale e, per ogni tempo, Ie sorgenti e Ie condi-
zioni a1 contorno in termini delle componenti tangenziali del solo campo elettrico 0
magnetico ( 0 di una lore combinazione line are ). Nel dominio della frequenza la
condizione suI valore del campo nell'istante iniziale non e appropriata.
Vi sono ancora: i1 teorema di reciprocita, che nella sua forma piu usuale stabilisce
che Ie reazioni dei campi sulle sorgenti so no uguali:
H (E 1 oJ 2 -8 1 0 J m2 )dV= HI (E2 oJ I -8 2 oJmddV,
v v
quello di equivalenza, che permette di calcolare il campo all'esterno di una superficie
S in termini di sorgenti equivalenti presenti su essa; quelli di dualita e delle imma-
gini, che permettono di costruire altre soluzioni dalle equazioni di Maxwell, a partire
da una soluzione nota, sfruttando la simmetria di queste.

Traduz;one delle c;taz;on;
79
Traduzione delle citazioni riportate all'inizio del capitolo
Una delle caratteristiche salienti di questo trattato e la dottrina secondo cui la corrente reale alla
base dei fenomeni elettromagnetici non coincide con la corrente di conduzione, ma la variazione
temporale deUo spostamento elettrico dev'essere tenuta in conto nel calcolo del movimento
complessivo dell 'elettricita.
J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism (Oxford 1873).
Legge fondamentale dell'elettricita:
La forza repulsiva di due piccoli globi elettrizzati da elettricita della stessa natura e inversamente
proporzionale al quadrato della distanza tra i loro centri.
C. A. Coulomb, Premier memoire sur l'electricite et Ie magnet;sme, a cura dell'Academie Royale
des Sciences (Parigi 1785).
La forza attrattiva e repulsiva del fluido magnetico e esattamente, cosi come quella del fluido
elettrico, direttamente proporzionale alIa densita e inversamente proporzionale al quadrato della
distanza tra gli elementi magnetici.
C. A. Coulomb, Second memoire sur l'electricite et Ie magnetisme, a cura dell' Academie Royale
des Sciences (Parigi 1785).
Su un corpo conduttore carico di elettricita, iI fluido elettrico si spande sulla superficie del corpo,
ma non penetra nel suo interno.
C. A. Coulomb, Quatrieme memo;re sur l'electricite, a cura dell'Academie Royale des Sciences
(Parigi 1 785).
Quando due conduttori, 0 meglio due parti di uno stesso conduttore voltaico, I'una fissa e I'altra
mobile, sono a una distanza conveniente e con direzioni all'incirca parallele, la parte mobile e
attirata 0 respinta da quella fissa, a seconda che nell'una e nell'altra la direzione della corrente
elettrica abbia 10 stesso verso 0 verso opposto.
A. M. Ampere in Annis Chim. Phys., 18 (1821).
Sia che si adotti la bella teoria di Ampere sia che se ne adotti una qualunque altra, fatta ogni
possibile riserva mentale, sarebbe davvero singolare se, mentre ogni corrente elettrica e accompa-
gnata da una corrispondente intensita di azione magnetica in direzione normale alIa corrente, nei
buoni conduttori di elettricita, posti nella sfera di questa azione, non comparissero correnti
indotte ne si producessero altri effetti misurabili equivalenti per intensita a tali correnti. Queste
considerazioni, con la lara conseguenza, e cioe la speranza di ottenere elettricita dall'ordinario
magnetismo, mi hanno indotto piu volte a investigare sperimentalmente l'effetto induttivo delle
correnti elettriche.
M. Faraday, Experimental Researches in Electricity (1839).
Per ottenere il movimento complessivo di elettricita la variazione dello spostamento elettrico
dev'essere aggiunta alle correnti. Se il mezzo, invece di essere un isolante perfetto, e un condut-
tore la cui resistenza per unita di volume e p, allora vi sara non solo uno spostamento elettrico,
ma vere correnti di conduzione in cui l'energia elettrica e trasformata in calore, e I'ondulazione
e pertanto indebolita.
J. C. Maxwell, A Dynoln;ca! Theory of the Electrolnagnetic Field, Phil. Trans., 155 (1865).

80
Elettromognetismo I Cop. 1
In un mezzo in cui si pro pagano onde vi e una pressione in direzione normale ad esse (...) Un
corpo piatto, esposto alla luce del sole, sarebbe pertanto respinto da una forza che si applica sui
lato su cui cade la luce. E' probabile che si possa ottenere una quantita molto piu grande di
energia di radiazione per mezzo dei raggi concentrati della lampada elettrica. Tali raggi, cadendo
su di un sottile disco metallico, delicatamente sospeso nel vuoto, potrebbero forse produrre un
effetto meccanico osservabile.
J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism (Oxford 1873).
Ho effettuato gli esperimenti nella semplice forma suggerita da Maxwell (oo.)
Queste fone esercitate dalla luce sono in accordo, nell'ambito degli errori sperimentali, con Ie
forze ponderomotrici della radiazione calcolate da Maxwell e Bartoli.
P. N. Lebedev, Unterruchungen uber die Druckkrilfte des Lichtes, Annain Phys., 4, 6 (1901)
Non sono forse Materia e Luce convertibili l'una nell'altra, e non pub la Materia ricevere la
maggior parte della propria attivita dalle particelle di Luce che entrano anche nella sua composi-
zione?
n tramutarsi di Materia in Luce, e di Luce in Materia e del tutto conforme al corso della Natura,
che sembra deliziarsi di trasmutazioni.
I. Newton, ScrUti di ottica, in "Opere", trade it. (Utet, Torino 1977-78). Ed. or.: 1717.
Alla domanda "che cos'e la teoria di Maxwell?" non saprei dare risposta piu concisa e definita di
questa: la teoria di Maxwell e il sistema delle equazioni di Maxwell.
H. Hertz, Unterruchungen Uber die Ausbreitung der elektrischen Kraft (Lipsia 1894).
Riferimenti bibliografici
Akhiezer A. I., Bar'yakhatar V. G. e Peletminskij S. V., Spin Waves (North Holland, Amsterdam
1968).
Carrara N., Fazzini I., Ronchi L. e Toraldo di Francia G., Sui momento di rotazione di un campo
elettromagnetico, Alta Frequenza, 24, N. 2, 100-09 (1955).
Collin R. E., Field Theory of Guided Waves (McGraw-Hill, New York 1960) cap. 12.
Flytzanis C., Theory of Non-linear Optical Susceptibilities, in H. Rabin e C. L. Lang (a cura di),
"Quantum Electronics", vol. 1 (Academic Press, New York 1975) cap. 2.
Franceschetti G. e Pinto I., Volterra Series Solution of Maxwell Equations in Non-linear Media,
presentato al 3° Convegno nazionale sull'elettromagnetismo (Bari, giugno 1980).
Gerosa G., Latmiral G. e Vinciguerra R., Electromagnetic Parameters of Matter and Conditions
of Physical Realizability, Nuovo Cim., sere X, 20, 610-16 (1961).
Klimontovic Y. L., Non-linear Interaction of Waves in a Plasma, Sov. Phys. JETP, 21, 362-32
(1965).
Marcuvitz N., Interaction of Electromagnetics and Particle Fields, Proc. 4 th ColI. Microwave
Communs (1970).
- On the Theory of Plasma Turbulence, J. math. Phys., 15, N. 6, 870-79 (1974).
Maxwell J. C., On Physical Lines of Forces, Phil. Mag., 21 (1861); ristampato nei "Scientific
Papers", vol. 1 (Cambridge University Press, Londra 1890) pp. 451-513.
- A Treatise on Electricity and Magnetism (Dover, New York 1965). Ed. or.: 1873.
MUller C., Foundation pI the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves, trade ingl. (Springer,
Berlino, Heidelberg e New York 1969).
Rumsey V. H., Reaction Concept in Electromagnetic Theory, Phys. Rev., 94, 1483-91 (1954).

Capitolo 2
Propagazione
Lumen propagatur seu diffunditur non solum directe, refracte, ac reflexe, sed etiam
alio quodam quarto modo, diffracte.
Aperto in fenestra foraminulo perquam paruo AB, introducatur per illud in cubicu-
lum, alioqui valde obscurum, lumen solis caelo serenissimo, cuius diffusio erit per co-
num, vel quasi conu ACDB visibilem si aiir fuerit refertus atomis pulveris, vel si in eo
excitetur aliquis fumus. Huic cono inferatur aliquod corpus opacum EF, in magna
distantia a foramine AB, et ita ut saltem unum extremum corporis opaci illuminetur.
A
c
M I
G H
L N
Praeterea observetur super lucidae basis parte CM, et ND, nitide ac fortiter illustrata,
spargi et distingui tractus aliquos, seu series luminis colorati, ita ut in qualibet serie
sit in medio quidem lux valde pura, et sincera, in extremis autem sit color aliquis,
nempe caeruZeus in extremo ipsi umbrae MN propinquiore, et rubeus in extremo
rem 0 tiore.
Francesco Maria Grimaldi, 1665.
6

82
Propogaz;one I Cap. 2
Ainsi ce nombre infini d'ondes qui naissent en mesme instant de tous les points
d'une etoiZe rzxe, gTande peut etre comme Ie Soleil, ne font sensiblement qu'une seule
onde, laquelle peut bien avoir assez de force pour faire impression sur nos yeux.
Outre que de chaque point lumineux il peut venir pZusieurs miliers d'ondes dans Ie
moindre temps imaginable, par la frequente percussion des corpuscules, qui frappent
l'ether en ces points; ce qui contribue encore a rendre leur action plus sensible.
n y a encore a considerer dans l'emanation de ces ondes que chaque particules de la
matiere, dans laquelle une onde s'etend, ne doit pas communiquer son mouvement
seulement a la particule prochaine, qui est dans la ligne droite tiree du point Zumineux;
mais qu 'elle en donne aussi necessairement a toutes les autres qui Za touchent, et qui
s'opposent a son mouvemen t. De sorte qu'il faut qu 'au tour de chaque particule il se
fasse une onde dont cette particule soit Ze centre.
Christiaan Huygens, 1690.
Are not all hypotheses e"oneous in which light is supposed to consist in pression or
motion propagated through a fluid medium? If it consisted in pression or motion,
propagated either in an instant, or in time, it would bend into the shadow. For pres-
sion or motion cannot be propagated in a fluid in right lines beyond an obstacle
which stops part of motion, but will bend and spread every way into the quiescent
medium which lies beyond the obstacle. The waves on the surface of stagnating water
passing by the sides of a broad obstacle which stops part of them, bend afterwards,
and dilate themselves gradually into the quiet water behind the obstacZe. The waves,
pulses or vibrations of the air, wherein sounds consist, bend manifestly, though not
so much as the waves of water. For a bell or a cannon may be heard beyond a hill
intercepts the sight of the sounding body; and sounds are propagated as readily
through crooked pipes as straight ones. But light is never known to follow crooked
passages nor to bend into the shadow. For the Fzxed star, by the interposition of any
of the planets, cease to be seen. An so do the parts of the sun by the interposi-
tion of the moon, Mercury, or Venus. The rays which pass very near to the edges of
any body are bent a little by the action of the body, but this bending is not towards
but from the shadow, and is performed only in the passage of the ray by the body,
and at a very small distance from it.
So soon as the ray is past the body it goes right on.
Isaac Newton, 1717.
Es ist gewiss ein interessanter Gedanke, dass die Vorgiinge im Luftraume, welche wir
un tersuch ten, uns in millionenfacher Vergrosserung dieselben Vorgiinge darstellen,
welche zwischen den Platten eines Newton'schen Farbenglases oder in der Niihe
eines Fresnel'schen Spiegels sich abspielen.
Heinrich Hertz, 1888.
2.1 Introduzione
Una delle pin importanti conseguenze delle equazioni di Maxwell riguarda la pro-
pagaz;one elettromtlgnet;ca: l'esistenza di sorgenti in un punto dello spazio, attive a
un certo istante, e sperimentalmente rilevabile solo dopo un tempo finito ma non
nullo. II segnale elettromagnetico si propaga quindi con velocita finita da un punto

2.2 I Propagazione per onde
83
all'altro delle spazio. E' questa la caratteristica fondamentale che- distingue Ie equa-
zioni dell'elettrodinamica da queUe dell'elettrostatica 0 della magnetostatica; in
queste ultime, grazie al concetto di campo, e certamente possibile calcolare Ie azioni
che si esercitano tra cariche distanti, ma tali azioni sono istantanee: esauriti tutti i
transitori, rimane solo una situazione di equilibrio, in cui cariche e correnti conser-
va no indefinitamente i lara valori. In elettrodinamica, invece, cariche e correnti mi-
grano e pulsano, e i campi ad esse associati variano nel tempo e nella spazio; la conse-
guenza piu appariscente e qui l'esistenza dell'onda elettromagnetica.
La propagazione elettromagnetica, teoricamente prevista in base alle equazioni di
Maxwell, fu verificata sperimentalmente da Hertz nel1887: segnali elettromagnetici,
prodotti da correnti impulsive (scariche elettriche) potevano essere focalizzati da
riflettori parabolici e ricevuti a una certa distanza. In tal modo si dimostrava anche
la sostanziale coincidenza tra propagazione elettromagnetica e ottica.
Per spiegare tali fenomeni fu proposto un modello meccanico che prevedeva la
presenza, in tutto 10 spazio, di un mezzo singolare: l'etere. In seguito alia deforma-
zione dell'etere, I'onda elettromagnetica (0 luminosa) si propagava in modo analogo a
quanto accade in un solido per un'onda meccanica; i campi erano una misura di
quella deformazione. L'ipotesi dell'esistenza delretere (sovrastruttura non necessaria
delle equazioni di Maxwell) fu presto abbandonata, mentre ha conservato la sua vali-
dita il concetto di onda elettromagnetica; e it campo, puro strumento di previsione
e di calcolo delle azioni a distanza, ha un significa to piu astratto.
In questo capitolo so no illustrati alcuni semplici esempi di propagazione elettro-
magnetica, in parte guida ta da stru tture fisiche (linee di trasmissione), in parte nella
spazio libero {onde piane). In entrambi i casi, il formalismo mate matico e modesto,
per non offuscare l'aspetto fisico piu rilevante del problema, che e quello della pro-
pagazione. Le caratteristiche piu salienti di questa sono presentati direttamente, con
riferimento all'equazione d'onda, nei paragrafi 2.2 e 2.3. Nel successive capitolo 3
vengono affrontati problemi concettualmente simili, ma che necessitano di una for-
malizzazione della soluzione piil onerosa.
.2 La propagazione per onde
II concetto di onda non e facile da definie esattamente: una definizione abba-
stanza generale e quella di Whitham (1974), che chiama onda "ogni segnale ricono-
scibile che si trasferisca da una parte del mezzo (di trasmissione) a un'altra con una
velocita di propagazione misurabile". II segnale pue essere una qualunque modifica-
1
zione delle stato di quiete dell'ambiente, purche identificabile, in ogni istante, nello
spazio: soddisfatta quest a condizione, il segnale pue distorcersi, cambiare in intensita
e in velocita. Giusta la definizione precedente, Ie onde possono essere suddivise in
due grandi categorie, anche se per alcuni tipi la distinzione non e chiara e vi e una
certa sovrapposizione tra Ie classi.

84
Propagazione I Cap. 2
Alla prima classe appartengono onde descrivibili matematicamente per mezzo di
equazioni differenziali di tipo iperbolico; il modello di queste onde e rappresentato
dalle soluzioni dell'equazione
1 a 2 <I>(r, t)
V 2 c1>(r,t)-- =0 (equazioned'onda).
c 2 a t 2
[1]
Se la funzione <I> (r, t) dipende solo da x, t, la [1 ] assume la pili semplice forma
a 2 c1>(x,t) 1 a 2 c1>(x,t)
- - =0
ox 2 c 2 ot 2 .
Con il cambiamento di variabili
[2]
=x-ct, 17=X +ct
la [2] si trasforma nell 'equazione
a 2 <I>
aall =0
la cui soluzione generale e
cI>(x, t)= f()+g(l1)= f(x-ct)+g(x +ct),
con leg funzioni arbitrarie (purche differenziabili).
La funzione f(x - ct) assume gli stessi valori per coppie di punti x I, X 2 e di tempi
t I, t 2 tali che
Xl -ctl =X2 -ct 2 .
Riportando su un grafico i valori di I(x -ct) in funzione di x, per successivi valori di
t, si ottiene un diagramma del tipo di quello riportato nella figura 2.1: in questo caso,
com'e facile vedere, l'onda si propaga, senza cambiare forma, nel verso positivo
dell'asse x con velocita c. Tutto cia PUQ essere ripetuto per l'onda rappresentata daUa
funzione g(x + ct); I 'unica variante e che il movimento e ora nella direzione negativa
deU'asse x.
Alla seconda classe di onde appartengono invece (nel caso di onde scalari e dipen-
denti unicamente da x e t) queUe rappresentabili come arbitrarie combinazioni lineari
di soluzioni elementari del tipo
'It(x, t) =A cos.(wt-fjx),
[3]
e che risultano completamente definite una volta specificata la cosiddetta relazione di
dispersione tra i parametri w e (j (supposti per semplicita reali):
w=w«(j).
[4]
In termini di fasori, invece della [3] si PUQ scrivere
'It(x, t)=A Re {exp[j(wt-fjx)]}.
[5]

2.2 I Propagazione per onde
85
f (x, t)
x , - ct, = x 2 - ct 2
x,
x 2
x
Figura 2.1
Propagazione di un 'onda.
Per sovrapposizione, si ottiene la forma piu generale di questa classe di on de:
+00
<I>(x, t)= I A(fj) exp [j(wt-fjx») dfj.
[6 ]
_00
In particolare, se w = c(3, Ia [6] diventa
+00
<I>(x, t)=  A(fj)exp(-jfj(x-ct»)dfj=<I>(x-ct),
_00
che e certamente soIuzione della [2]. Per distinguere piu nettamente Ie due classi di
onde, si PUQ limitare Ia definizione di appartenenza alIa seconda classe richiedendo
che
dw
dP =1= cost ante,
cioe
d 2 w :;CO.
d(32
[7]
Consideriamo ora la soIuzione elementare [3], rappresentata nella figura 2.2. Per
x = x = cost., la '¥ riproduce se stessa dopo un intervallo di tempo (periodo dell'oscil-
lazione)
T= 21T .
W
[8]
Lo stesso accade, per t=1 = cost., dopo un intervallo di spazio (lunghezza d'onda)
,\= 21T
1\ (3 .
[9]

86
Propogozione I Cap. 2
'I1(x,t)
\}1(x, t)
A = 21t
P
T = 21t
(J)
(a)
(b)
Figura 2.2
Rappresentazione della funzione 'I' (x, t): in (0) t= t = costante; in (b) x=x= cost.
Le onde elementari, nella [6], si spostano ciascuna con velocita di lase
w
'Vf= If'
[10]
Se w = cfj, la velocita di fase e la stessa per tutte Ie onde e uguale a c. Per questo mo-
tivo il segnaIe risultante e funzione della differenza x -ct e la propagazione avviene
senza distorsione: Ie varie onde componenti conservano Ie loro relazioni mutue
(spaziali e temporali) perche si spostano tutte con uguale velocita; di conseguenza
tutto il segnale, nel suo complesso, si sposta con velocita c.
Se invece la velocita di fase non e costante, il segnale complessivo [6] nel propa-
garsi cambia di forma; Ie varie onde componenti perdono Ie loro relazioni mutue,
ovvero "si disperdono", e pertanto vengono dette dispersive. Per stabilire se effetti-
vamente siano tali, importa non tanto l'equazione di definizine [3] quanto la rela-
zione di dispersione []. E' da quest'ultima, infatti, che si pue ricavare l'equazione di
-,
propagazione, che tuttavia non necessariamente e di tipo iperbolico; contrariamente a
quanto spesso si legge, "propagazione d 'ond" ed "equazione differenziale di tipo
iperbolico" non so no sinonimi. Come si e detto, Ie equazioni che governano la propa-
gazione delle onde dispersive possono essere di varia natura, e anche di tipo integrale
anziche differenziale. Addirittura, la propagazione di onde in un fluido incompressi-
bile, non viscoso, in presenza di un campo gravitazionale, e descritta dall'equazione
di Laplace (caratteristica dei fenomeni statici) pur di specificare particolari condi-
zioni alIa superficie libera del fluido (Luke, 1967).
Nel caso lineare, non considerando la limitazione [7], Ie due classi di onde esami-

2.2 I Propogaz;one per onde
87
nate sono, almeno formalmente, rappresentabili in modo unitario mediante la [6].
Questa rappresentazione corrisponde a considerare un segnale variabile sinusoidal-
mente nel tempo e a calcolare i1 valore di {3 mediante la [4] (equazione che, per Ie
oode di tipo iperbolico, pub essere facilmente ottenuta a partire dalla equazione
differenziale di definizione, vedi 2.2.1 e 2.2.2), per sovrapporre poi i vari segnali
elementari in modo da soddisfare Ie condizioni iniziali e at contorno. E' appunto
questo i1 procedimento utilizzato nel presente capitolo.
Annotazioni
2.2.1 Relazione di dispersione per l' 'equazione del fascio' (esercizio)
Sia data l'equazione
0 2 cI> a 4 cI>
- + 1 2 - = 0 [11 ]
ot 2 ax 4 '
ricavame la relazione di dispersione, sostituendo in essa r espressione 4>(x, t) =
=A exp[j(wt-{3x)].
2.2.2 Esempi di calcolo di relazioni di dispersione (esercizio)
Si applichi la tecnica precedente aIle seguenti equazioni
0 2 <» a 2 <»
- -Q '2 - + 1 2 c1> = 0 (equazione di Klein-Gordon),
a t 2 ax 2
o cI> 0 <» 03c1>
-+Q-+1-=O
at ox ax 3
(equazione linearizzata di Korteweg de Vries).
(Si Doti che solo la prima equazione e iperbolica.)
2.2.3 Relazione di dispersione di un'equazione integro-differenziale
Sia data l'equazione
a cI> + J OO 0 4>
- + K(u-x)- =0
at au '
_00
dove la funzione K(x), detta kernel dell'integraIe, e assegnata.
Posto <P(x, t)=A exp[j(wt-{3x»), si ha
+00
jwexp(-jx)-j J K(u-x)exp(-ju)du=O,
_00
cioe
+00
W = J K(v) exp(-jv) dV,
_00
che e la relazione di dispersione cercata.
(Si noti che l'integraIe non e aItro che la trasformata di Fourier del kernel.)

88
Propagazione I Cap. 2
2.3 La propagazione di un pacchetto d'onda
Al fine di comprendere meglio Ie caratteristiche del mota ondoso, consideriamo i1
cosiddetto pacchetto d'onda, cioe la sovrapposizione di piu soluzioni elementari,
nella forma integrale [6] del paragrafo precedente, con opportuna scelta della funzione
A(). Ad esempio, sia A()=Ao = cost. in due intervalli di larghezza 2 I.l<o a
cavallo di :t o (vedi fig. 2.3), e nulla al di fuori. In tal caso l'integrale [6] pub essere
calcolato esattamente all'istante t = 0; si ha
sin I::. x
(x, O)=4A o I::. cos(f3ox) I::.fjx .
[1 ]
L'equazione [1] e riportata graficamente nella figura 2.4, dove la 4>(x, 0) e rappre-
sentata dal tratto continuo, mentre la linea tratteggiata rappresenta l'inviluppo del
pacchetto, cioe la funzione
sin I.l x
4A 0 I.lfj .
I.lx
Si noti come la parte piu importante del pacchetto sia quella compresa tra Ie
ascisse -rr/Jlfj e --rr/I::.I3. Pertanto, se il pacchetto e composto di onde elementari molto
raggruppate intorno al valore centrale del numero d'onda (0 costante di propaga-
zione) o, esso e proporzionalmente "allargato" nello spazio (e viceversa). Se si
prende (arbitrariamente) come misura della larghezza del pacchetto la distanza tra i
due prirni zeri B, B' dell'inviluppo, si ha
2 I::.x . 21.l  = 4 7r ,
[2]
che esprime quantitativamente la relazione inversa tra banda spaziale (2 1::.{3) e lar-
ghezza (2 I::.x) del pacchetto. La [2] e una diretta conseguenza della relazione di
· A (P)
------ ------
I I -
LJ LJ p
2P
2P
Figura 2.3
Banda spaziale del pacchetto d 'onda.

2.3 I Pacchetto d'onda
89
<P (x, 0)
-,- ,
/ "
4AoP
/
/
/
x
/
,/
21t
2x- -
- dP
Figura 2.4
Rappresentazione del pacchetto d'onda nell'istante t= O.
trasformazione di Fourier tra <I>(x, 0) e A (13); it valore di LlI3f:::.x dipende in generale
dalla particolare forma della A (13) e dalla definizione di banda; per A ({3) = A 0 la co-
stante e pari a 41T.
La figura 2.4 rappresenta la forma del pacchetto d'onda all'istante t=O; negli
istanti successivi la configurazione dipende strettamente dal tipo di relazione di
dispersione che si considera, e di conseguenza dalle caratteristiche del mezzo nel
Quale it pacchetto d'onda si propaga.
Se w=cl3, sostituendo nella [6] ( 2.2) si ha
sin [LlI3(x -c t)]
<p(x, t)=4A o Ll{3 cos[l3o(x-ct)]
LlI3(x -ct)
[3]
ne consegue che il pacchetto d'onda si sposta nel verso positivo dell'asse x con velo-
cita c e senz deformarsi: non vi e infatti dispersione, perche Ie varie onde elementari
si propagano con la stessa velocita.
Se invece w e legato a 13 da una relazione non lineare, 10 studio della propagazione
del pacchetto d'onda si complica. Per studiare che cosa accade, pub esser conveniente
sviluppare in serie di potenze la funzione w(l3) nell'intorno di 13 =:t 130 :
w' ( :t (3 0) w ( + a )
w({3) = w(:!: (Jo) + l! ({J + (Jo) + " 2  o ({J +. {JO)2 + ...
"
=:!: wo + w ({J + {Jo):!: o ({J + (JO)2 + ...;
Wo = w(l3o), w = w' (130), ...

90
Propagaz;one I Cop. 2
dove si e supposta la funzione w(l3) reale (assenza di perdite) e dispari (in modo che
sia reale la <I>(x, t»), e l'apice indica l'operazione di derivata. Troncando 10 sviluppo al
secondo termine e sostituendo nell'integrale [6] ( 2.2), si ottiene
ell (X, t)= Ao exp[j(wo t-{3ox)] r exp[j{3(w t-x)] d(3 + c.c.
- JJ
dove la notazione "c.c." indica il complesso coniugato. II calcolo delrintegrale
fornisce
[ ( w )] sin [ f113(x - w t)]
<p(x, t)=4Ao f113 cos (3 x - (30 0 t
f1(3(x - W t)
II confronto tra la [3] (valida nel caso di mezzo non dispersivo) e la [4] e istrut-
tivo; Ie due espressioni sono identiche, pur di sostituire a c
[4]
Wo
- ='/)/
130
[5]
nell'espressione del coseno e
, dw
Wo =- =v
dl3 JJ-lJ o g
[6]
in quella della funzione sinc(u).
La [5] e la velocita di fase [10] ( 2.2) calcolata per la pulsazione Wo di centro
banda. Gli zeri del diagramma della figura 2.4 (ad esempio, i1 punto C) si spostano
verso destra esattamente con questa velocita; in pratica cia accade per tutti i punti
del diagramma (linea a tTatto continuo). Tuttavia l'ampiezza globale dell'oscillazione,
data dall'inviluppo, non si muove con questa velocita, bens) con quella di gruppo [6],
come immediatamente si rileva analizzando I'espressione della funzione sinc(u) nella
[4]. Spostandosi i1 pacchetto non si deforma, ma Ie oscillazioni del segnale slittano
rispetto all'inviluppo: un osservatore che si muovesse con velocita di gruppo v g
vedrebbe il segnale spostarsi con velocita vI -Vg'
II risultato precedente e stato ottenuto supponendo di poter trascurare i termini
successivi al secondo nello sviluppo in serie della relazione di dispersione. Perche la
[4] sia valida, dev'essere
w(13)2 t< 1.
[7]
Per tempi molto lunghi, detta approssimazione non e accettabile, e si rende necessa-
ria una valutazione piu accurata dell'integrale [6] del paragrafo precedente, per la
Quale rimandiamo all'annotazione 2.3.1.

2.3 I Pacchetto d'onda
91
Annotazioni
2.3.1 Valutazione asintotica dell'espressione del pacchetto d'onda
Ci proponiamo di studiare la forma del pacchetto d'onda, la cui struttura e nota
nell'intorno di x = 0, t = 0, al tendere all'infinito del tempo t e della distanza x. A tal
fine, conviene porre I'integrale [6] (9 2.2) nella forma seguente:
+00
<I> (x, t)= J.. A(p)exP[i(W(P)-p  ) t] dP
[8]
dove, piu in generale, A (e) e una funzione essenzialmente diversa da zero in due intor-
l ni 2 (j  130 a cavallo di :t 130, ma non necessariamente nulla al di fuori di essi.
Si tratta ora di valutare questo integrale, per t-)ooo, nell'ipotesi che xlt venga man-
tenuto costante. II problema venne affrontato per la prima volta da lord Kelvin, il
Quale osservo che, per grandi per valori di t, I'integrando e una funzione molto rapi-
damente variabile con (3, tranne che nelle vicinanze di punti I3 s tali che
d [ X J ' x
- w«(3)-(3- =w(I3)--=O.
d(3 t t
[9]
L'integrale [8] e dunque essenzialmente determinato dai valori assunti dall'inte-
grando nelle vicinanze dei punti 13 s ; infatti quando ci si scosta da essi, i valori positivi
e negativi della parte reale e di quella immaginaria dell'integrando tendono a compen-
sarsi,  il contributo all'integrale e trascurabile. Una tale approssimazione dell'integrale
e detta asintotica (Jeffreys e Jeffreys, 1956).
La [9] mostra che l'integrale [8] e apprezzabilmente diverse da zero solo nell'in-
tomo di valori di x e di t tali che
x = w' (13) t,
[ 10]
sempre che A «(3s) sia apprezzabilmente diverse da zero. Pertanto, fissato il rapporto
xlt, a formare il segnale nel punta x e all'istante t contribuiscono essenzialmente solo
alcune delle soluzioni elementari [5] (9 2.2) nelle quali i1 segnale stesso e scomponi-
bile: precisamente quelle la cui frequenza spaziale 13 si trova nell'intomo del valore
fissato dalla [10]. Le altre onde elementari, per via dell'interferenza, tendono ad
annullarsi, e il loro contributo alla formazione del segnale e trascurabile. Se f1(3 e
molto piccolo, da un lato e w'(l3s)w'«(Jo)='Og, dall'altro i1 segnale e apprezzabil-
mente diverso da zero solo in punti tali che x'Ogt; di nuovo si conclude che il pac-
chetto si sposta, nel suo complesso, con velocita di gruppo 'Og.
Sviluppiamo in. serie di potenze la relazione di dispersione nell'intorno di un punta
(3s soluzione della [9]:
_ w' «(3s) _ w" (l3 s ) _ 2
w«(J) - w(l3 s ) + I! (13 I3 s ) + 2! «(3 13$) +...
"
x W s
=w s + t «(3-{3s)+T (13-(3s)2 +...
Perche l'integrale [8] sia reale, la fase dell'integrando dev'essere una funzione di-
spari di 13. Pertanto i punti stazionari dell'integrando sono sempre in coppia: :t I3 s .

92
Propagazione I Cap. 2
Lirnitandosi al solo + 13$ e sostituendo nell'integrale [8], si ottiene
<1>1 (x, t)= exp (j(wst -l3 s x)] T A (13) exp & ; (13-l3 s )2 tJ dl3,
_00
[11]
dove l'integrale e an cora esteso tra (-00, +00) per quantogiaosservato: icontributi
per punti lontani da 13$ sono trascurabili e per tale motive si PUQ porre A«(3):::: A «(3s)'
Nella [11] x e t non sono indipendenti, bens! legati dalla relazione x = w t; nel
caso di due soli punti stazionari, il segnale <I>(x, t) e dato dalla somma della [11] e
della sua complessa coniugata. Si ha ancora
+00 [ " ]
<l>1(X, t)::::: exp(j(w s t-P s x)]A(l3 s ) J exp j s tu 2 du:::::
_00
- I; t A(l3 s )exp p(W s t-l3 sx +  sgn[w;]) J. [12]
l'integrale e state valutato asintoticamente, w; t  00 (pur essendo calcolabile esatta-
mente; Gradshteyn e Ryzhik, 1965).
La [I 2] mostra che dopo un tempo sufficientemente lunge il pacchetto si defor-
ma: la sua ampiezza e inversamente proporzionale alIa radice quadrata del tempo, 0
della distanza (si ricordi che, nella [12], t = x/w;). Tale deformazione e trascurabile
limitatamente a tempi (e distanze) per i quali 1 'approssimazione w' (AI3)2 t < 1 e
accettabile; non 10 e piu per tempi tali che w (13)2 t> 1, come richiesto nella
valutazione asintotica. La deformazione del pacchetto indicata dalla [12] corrisponde
a una diminuzione della intensita del segnale, che pero non pub essere attribuita a un
fenomeno di dissipazione, perche si e supposto che il mezzo nel Quale il segnale si
propaga sia senza perdite. Pertanto, diminuendo I'intensita del segnale, i1 pacchetto
deve necessaria mente allargarsi, se I'energia totale associata al segnale deve mantenersi
costante. La conclusione e che, nel propagarsi in un mezzo dispersivo, un pacchetto
d'onda non cambia di forma in tempi brevi, al contrario, in tempi lunghi si allarga e si
deforma, e una successione di impulsi tende a divenire menD riconoscibile Si ha
quindi una degradazione del contenuto informativo del segnale.
2:'4 -Unee di trasmissione (dominio del tempo)
/
Uno dei mezzi piu semplici, e tra i primi a essere usati, per convogliare il segnale
elettromagnetico in una direzione prefissata e la cosiddetta linea di trasmissione.
Nella sua forma piu semplice essa e costituita da due conduttori metallici paralleli
(vedi fig. 2.5a) che talvolta possono essere incapsulati in un sostegno dielettrico (vedi
fig. 2.5 b). Un'altra forma comunemente adottata e quell a del cosiddetto cavo coas-
siale (vedi fig. 2.5c), composto da un conduttore centrale coassiale con una calza
metallica concentrica. La sezione trasversale del cavo coassiale e generalmente di tipo
circolare, e talvolta ellittico; l'intercapedine tra i due conduttori PUQ essere totalmente
riempita con un materiale dielettrico, oppure la separazione tra i conduttori e assicu-
rata da distanziatori dielettrici disposti a conveniente distanza lungo l'asse del cavo.

2.4 I Dominio del tempo
93
(a)
(b)
(c)
Figura 2.5
Sezioni di alcuni tipi di linee di trasmissione: (Q) linea bipolare; (b) piattina; (c) cavo coas-
siale.
Lo studio delle possibili linee di trasmissione e riconducibile allo stesso tipo di
equazioni; per semplicita, si considera nel seguito la linea di trasmissione bifilare (vedi
fig. 2.6). La domanda che ci si pone e la seguente: quali sono Ie piu semplici onde
elettromagnetiche che tale sistema pub far propagare?
Abbastanza semplice e il caso di un'onda elettromagnetica trasversale (TEM),
caratterizzata da componenti secondo z identicamente nulle sia dei campi sia delle
induzioni:
e z =h z =d z =b z =0.
e
v
1\--1---\
 +,I_-- - - )
t  i,
Zn I Z I
I I
M
>' '- ."
, \
I \
i' i
\ /
, -=- -=-- --r-'r:f
A
..
N
Figura 2.6
Linea di trasmissione bifllare.

94
Propagaz;one I Cap. 2
Non e detto che un'onda siffatta sia necessariamente compatibile con la struttura
guidante della figura 2.6; in altri termini, non e detto che Ie equazioni di Maxwell,
insieme aIle condizioni al contorno imposte dalla presenza dei conduttori bifllari,
ammettano una soluzione di tipo TEM (l'esistenza di tale soluzione e considerata in
dettaglio in 3.2.1). Ad esempio, condizione necessaria perche l'onda TEM possa
esistere e che i conduttori della linea di trasmissione abbiamo conducibilita infinita
(conduttori elettrici perfetti), cosicche su essi la componente Ez del campo sia nulla,
pur scorrendo una corrente superficiale. Ammesso, pero, che l'onda TEM esista,
seguono per essa interessanti proprieta.
II calcolo della circuitazione del campo elettrico lungo il circuito ABCD della
figura 2.6 foroisce
f' isds=O,
dal momenta che il flusso magnetico concatenato e nullo (b z = 0); essendo nulla la
circuitazione lungo i tratti BC e DA (conduttore elettrico perfetto), si ha
B C
f e. i.r ds = J e. isds =11.
A D
[1 ]
La conclusione e che pub essere univocamente definito, nel piano trasversaIe, un
potenziale v, che in quanto tale e funzione solo di z e t, e non del percorso di in-
tegrazione.
In modo analogo e possibile calcolare la circuitazione del campo magnetico Iungo
il circuito M della figura 2.6, arbitrario, purche contenuto nel piano trasversale e ab-
bracciante un solo fIlo; risulta
fh · isds= i,
[2]
dal momenta che il fluso elettrico concatenate e nullo (d z =0). La i, flusso della
densita lineare di corrente che scorre sulla superficie di uno dei due conduttori della
linea di trasmissione, dipende anch'essa solo dalle coordinate z e t. Nelle usuali condi-
zioni di funzionamento, in ogni sezione trasversale Ie correnti associate ai due con-
duttori sono uguali e di segno opposto.
Invece di studiare Ie equazioni relative ai campi, pub essere preferibile ricercare
queUe cui devono soddisfare la tensione v(z, t) e la corrente i(z, t). In tal caso vi e
l'evidente vantaggio di avere a che fare con grandezze scalari e con un problema
unidimensionale. E' inoltre possibile, almeno in linea di principio, misurare Ie sud-
dette grandezze direttamente: la tensione v tra i due conduttori mediante un volt-
metro, la corrente i mediante un amperometro.
Per trovare Ie suddette equazioni si PUQ procedere come segue.
Calcoliamo anzitutto la circuitazione del campo elettrico lungo un circuito N i cui

2.4 I Dominio del tempo
95
tratti verticali giacciano nel piano trasversale (vedi fig. 2.6); risulta
f a w
e. i, dl=v(z)-v(zo)=-at '
N
dove \}1 e il flusso concatenato dell'induzione magnetica. Posto z = z 0 + I::.z e detto 'It
it flusso per unita di lunghezza, si ha immediatamente, per I::.z -40
 =_ aw [3]
az at'
Successivamente, integrando l'equazione di continuita della corrente nel volume
V (vedi fig. 2.6), si ha
fff[ V"j+ : ]dV=O,
v
cioe
a- a <I>
i(z)-i(zo)=- =--
at at '
dove q e la carica totale suI filo conduttore tra Ie ascisse z e Zo e cI> it flusso dell'indu-
zione elettrica attraverso la superficie che limita il volume V. Anche per tale equazio-
ne, posto z = Zo + I::.z e detti 4> e q it flusso e la carica per unita di lunghezza, si ha
ai _ aq
----
az at
ovvero
ai _ a<l>
----
az at'
[4]
Le [3] e [4] sono Ie equazioni cercate. Esse vanno completate dalle relazioni costl.
tutive per il sistema considerato, queUe cioe tra i flussi (delle induzioni elettrica e ma-
gnetica) e tra Ie tensioni e correnti; per sistemi lineari non dispersivi si ha
q =<1> =Cv; 'P = Li,
dove C e la capacita per unita di lunghezza (F/m) e L I'induttanza per unita di
lunghezza (HIm) tra i due conduttori. Le equazioni delle linee di trasmissione si scri-
vono dunque, in forma equivalente,
av =-L:Ei
az at
ai =-c av
az at
[5]
1 a<l> _ aw
-----
c az at
1 aw _ a4>
-- -----
L az at'
[6]

96
Propogaz;one I Cop. 2
II sistema [5] richiama subito il circuito equivalente a costan ti concentrate della
figura 2.7, dove la linea di trasmissione e stata suddivisa in tratti elementari di lun-
ghezza .6z, caratterizzati da induttanza serle Ll:1z e capacita parallela Cf:.z; ie due
equazioni corrispondono, in questo caso, ai principi di Kirchhoff applicati aile maglie
e ai nodi.
Le equazioni [3] e [4] sono state ricavate con riferimento alIa linea di trasmissione
della figura 2.6, in cui L e C, parametri della linea, non variano con z (linea spazial-
mente omogenea) e nemmeno con t (linea stazionaria). Piu in generale, i parametri
potrebbero variare con z, con t, 0 con z e t. La variazione con z pua essere ottenuta
variando la distanza tra i conduttori, 0 variando (in un cavo coassiale) can z Ie
caratteristiche (ad esempio la permittivita) del dielettrico. Analogamente, la varia-
zione con t si pub ottenere variando nel tempo Ie caratteristiche del mezzo nel Quale
la linea e immersa. In pratica cia si realizza disponendo, in parallelo tra i conduttori,
diodi varactor, la cui capacita e controllabile mediante una tensione esterna di
polarizzazione. Se la distanza tra i varactor e sufficientemente piccola rispetto aile
variazioni spaziali del segnale che si propaga sulla linea, la capacita per unita di
lunghezza della linea pub essere approssimativamente assunta pari a C (capacita della
linea non caricata dai varactor) piu NCv(t) (capacita del singolo varactor x numero
di varactor per unita di lunghezza). Si noti che il sistema [5] deriva dalle equazioni
[3] e [4] nell'ipotesi che L e C non variino col tempo; 10 stesso dicasi per il sistema
[6] nell'ipotesi che L e C non variino con z.
Ricordiamo che alIa base della valid ita delle equazioni [3] e [4] e I'ipotesi che la
linea di trasmissione possa sostenere onde TEM. Questa ipotesi e verificata nel caso di
una linea uniforme perfettamente conduttrice (vedi 3.2.1), ma non necessariamente
nel caso di linee non uniformi.
Supponiamo ad esempio che la variazione di L e C con z sia conseguenza di una
divaricazione dei conduttori, il cui asse pertanto non e piu parallelo all'asse z. In tal
caso si dimostra che onde TEM rispetto a z non sana piu possibili: infatti suI con-
duttore metallico il campo elettrico, dovendo essere normale, possiede una compo-
Lz
CdZ
I
z
I
Z+dZ
Figura 2.7
Circuito equivalente a costanti concentrate.

2.4 I Dominio del tempo
97
nente lungo z. Al contrario, una stratificazione del dielettrico lungo z e compatibile
con l'esistenza di campi TEM.
Consideriamo ancora una variazione temporale dei parametri dell a linea ottenuta
mediante variazione meccanica della lara distanza: il movimento delle cariche di
segno opposto sui due conduttori della linea produce una radiazione elettromagne-
tica (vedi   4.3 sg.), incompatibile in generale con l'ipotesi di campi TEM. AI
contrario, I'uso di varactor in parallelo lungo la linea e compatibile, nei limiti sopra
precisati, con 1 'ipotesi suddetta.
D'altra parte, se Ie variazioni spaziali e temporali di L e C sono sufficientemente
dolci (rispetto aIle analoghe variazioni delle grandezze che si propagano lungo la
linea) si pub ritenere con sufficiente approssimazione che Ie [3] e [4] descrivao
correttamente l'andamento dei segnali lungo la linea.
Una linea si dice temporalmente uniforme se i suoi parametri L e C non variano
nel tempo. Si vede subito dalla [5] che una possibile variazione temporale per v e i e
del tipo
v(z, t)= Re [V(z)exp(jwt)]
i(z, t)=Re[/(z)exp(jwt)).
Sostituendo Ie [7] nella [5] si ha
dV =-jwLI
dz
[7]
dI =-jwCV
dz
[8]
dove V(z), /(z) sono i fasori associati a vet), i(t) rispettivamente. Queste ultime gran-
dezze possono essere ricavate, conoscendo V(z); I(z), mediante il calcolo di un inte-
grale di Fourier. Per la loro importanza pratica, Ie equazioni [8] (storicamente, eqUQ-
zioni dei telegrafisti 0 dei telefonisti) so no studiate in dettaglio nel paragrafo 2.5.
Una linea si dice spazialmente uniforme se i suoi parametri L e C non variano con
la distanza; si vede subito dalle [6] che una possibile variazione spaziale per 4> e 'It e
del tipo exp ( - j I3z ):
4>(z, t) =4> (t)exp(-jl3z)
w(z, t)=w(t)exp(-j(3z),
[9]
dove <I>(t), (t) sono nuovi fasori (nel dominio del numero d'onda) associati a 4>(z, t),
'It(z, t) rispettivamente; queste ultime grandezze possono essere anch'esse ricavate
mediante il calcolo di un integrale di Fourier. Sostituendo Ie [9] nelle [6] si ha:
aw = j(3 cIJ
at C
aci> = il3 
at L .
[10]
Si noti la perfetta simmetria tra il sistema [8] e il sistema [10].

98
Propagazione I Cap. 2
Annotazioni
*2.4.1 Propagazione di un seanale lungo una linea uniforme
Partendo dalle equazioni [5], mediante derivazione e sostituzione si ottiene
a 2 'O -LC a 2 'O =0
a z2 a t 2
0 2 i _ L C 0 2 i = O.
oz2 a t 2
Posto c = l/ViC, ciascuna delle equazioni precedenti ha la fonna dell'equazione
d'onda [2] ( 2.2); risulta pertanto
'o(z, t)='O+(z-ct)+'O-(z+ct)
i(z, t) = i+(z - ct) + i -(z + ct),
dove 'V + e '0- sono (prima della imposizione delle condizioni al contomo) funzioni
arbitrarie, purche differenziabili; Ie i+, i- sono funzioni note (come e mostrato in se-
guito) una volta che si conoscano '0+ e '0-.
La v+(z -ct) rappresenta un'onda di tensione che si propaga lunge il verso positive
dell'asse z, senza deformarsi, con velocita c; essa e detta onda diretta (0 progressiva).
Analogamente, la 'o-(z + ct) rappresenta un'onda di tensione propagantesi nel verso
negativo dell'asse z, ed e denominata onda riflessa (0 regressiva).
L'onda riflessa e generata da discontinuita presenti lunge la linea; se quest'ultima
e infinitarnente lunga, I 'onda riflessa e nulla. Ragionamenti simili valgono per Ie
funzioni i+ (z - ct) e i -(z + ct).
Si consideri la sola onda diretta. Posto  = z - ct, si ha dalla prima delle [5]
..A. ( 'O+-Lci+ ) =O
d '
il che significa che la quantita entro parentesi e costante con ; di conseguenza
'0+ = L C i+ + costante.
Se si cercano Ie sole soluzioni dinamiche della [5], la costante va posta uguale a zero:
V+=LCi+= V i+.
La grandezza
RO= V{ .
[11]
e detta resistenza caratteristica (molto spesso, impedenza caratteristica, e si usa allora
il simbolo Zo) della linea ed e misurata in ohm. Analogamente si trova che
v-=-Roi-.

2.4 I Dominio del tempo
99
2.4.2 Propagazione di un segnale iungo una linea uniforme terminata da un
cortocircuito
Si e visto in 2.4.1 che la soluzione generale per la tensione e la corrente lungo 1a
linea e la seguente:
{ V(Z, t) =v+(z -ct) + v-(z + ct)
Roi(z, t)=v+(z-ct)-V"'(z +ct).
Se nel punta di ascissa z = 0 la linea e chiusa in cortocircuito, si ha
v(O, t)=v+(-ct) +v-(ct)= 0,
cioe
v-(ct) =-v+( - ct);
e la soluzione per la tensione e la corrente sulla linea e
{ V(Z, I) =v+(z-ct)-v+(-z-ct)
Roi(z, t) = v+(z - ct) + v+( - Z - ct).
Si noti che l'onda riflessa di tensione e l'immagine speculare negativa, rispetto a
z = 0, dell'onda diretta; questo permette una facile costruzione grafica della soluzione,
com'e rappresentato nella figura 2.8 nel caso di un impulso di tensione.
2.4.3 Propagazione di un segnale lungo una linea di trasmissione uniforme chiusa
sulla sua resistenza caratteristica R 0
Sia z = 0 l'ascissa in corrispondenza del carico Ro. Dev'essere
'0(0, t)=Roi(O, t).
Perche tale condizione sia verificata, occorre che sia
v(O, t) = v+(O, t), i(O, t) = i+(O, t),
e cioe, per qualsiasi z,
v(z, t)=v+(z-ct), Ro i(z, t)=v+(z-ct).
Su una linea chiusa sulla sua resistenza caratteristica si propaga dunque la sola onda
diretta; la linea si dice adattata.
2.4.4 Propagazione di un segnale in presenza di discontinuita
(a) Discontinuita spaziale. Si consideri una linea di trasmissione di parametri L 1,
C 1 per z < 0 e L 2 , C 2 per z > O. La soluzione generale per la tensione e corrente e del
tipo:
{ V 1 (z<;0, t) =Vt(Z-Cl t)+vl(z+clt)
R 01 i 1 (zO, t)=Vt(Z-Cl t)-vl(z + Cl t)
{ V 2 (z  0, t) =v;(z - C2 t)+vi(z + C2 t)
R 02 i 2 (z  0, t)=v;(z -C2 t)-Vi(z + C2 t)

100
con
Propagozione I Cop. 2
1
CI = ,
VL I C 1
Cz = 1 , R 01 = /: ' R oz = V:
VL 2 C 2
Sulla discontinuita tensioni e correnti devono essere continue: .
VI (0, t) ='02 (0, t), i 1 (0, t) = i 2 (0, t).
A grande distanza dai generatori possono esservi solo onde che si allontanano da
essi, se i parametri della linea non earn biano piu con la distanza (per la condizione di
radiazione all'infinito; vedi 1.4.5). Se i generatori sono posti in z < 0, si PUQ fare
l'ipotesi ehe in z > 0 esista la sola onda diretta:
'V2"(z +Cl t)=O.
Ro Ro Ro
v+ I t<O i v
I. d ..I z z
v+ I t = 0- I v
z z z
It= fc I v- v
..
z z z
I t> d I v- v
2c
z
v+
I t = 0+ I
z
z
v
z
z
Figura 2.8
Tensione diretta (v+), riflessa (v-) e tot ale (v) per una linea di trasmissione chiusa in corto-
circuito.

2.4 I Dom;n;o del tempo
101
Pertanto nel punta z = 0 dev'essere
{ V;(-CI t) +vi(ci t)= V;(-C2 t)
ROl +
V;(-Cl t)-vi(ci t)= R 02 V2(-C2 t);
di conseguenza
R02 -R ol
vi(ci t)= Roo + R0 1 vt(-Cl t)
2R 02 +
V;(-C2 t)= Roo + R 01 111 (-Cl t).
La presenza della discontinuita spaziale nella linea di trasmissione origina dunque
un' onda riflessa in z < 0:
_ R 02 -R o1 +
VI (z +Cl t)= Roo + ROl VI (-z -CI t).
(b) Discontinuita temporale. Si consideri una linea di trasmissione di parametri L 1,
C 1 per t< 0 e L 2 , C 2 per t> O. La soluzione generale per i flussi delle induzioni ma-
gnetica ed elettrica e, per Ie [6],
{ W1(Z, tO) =wt(z-clt)+W1(z +Clt)
ROI <1>1 (z, t O)=wt(z -Cl t)-W 1 (z + Cl t)
{ 'lt 2 (Z, t 0) ='It(Z-Clt)+'It(Z+C2t)
R 02 <1>2(Z, tO)=W2(z-CI t)-W 2 (Z- C 2 t ).
Nen'itante t= 0 i flussi devono essere continui:
WI (z, 0)=W 2 (z, 0); l (z, O)=<I>2(Z, 0).
Se i generatori sono stati attivati in un istante t < 0 e sono locati in z < 0, si puo
supporre, in base agli stessi ragionamenti del caso (a), che per t < 0 e in z> 0 esista
1a sola onda diretta:
Wi'(z + Cl t) = O.
Pertanto, Ie condizioni in t = 0 richiedono che sia
{ wt(Z) = 1/Jt(z) + \If;:(z)
Roo
- R 'ltt(z)='I1;(z)-w;:(z);
01
di conseguenza
,y,+ ( ) = ROI + R 02
'J.' 2 Z 2Rol
R -R
'It;:(z) = 01 02
2Rol
Anche l'accadere della discontinuita temporale sulla linea di trasmissione provoca
'ltt(z)
'ltt(z).

102
Propogaz;one I Cap. 2
la nascita di un'onda riflessa per t> 0:
R 01 -Roo
'I1;(z + C2 t)= 2R o1 'I1t(z + C2 t).
2.4.5 Propagazione so una linea di trasmissione uniforme con piccole perdite
Nell'effettiva realizzazione di una linea di trasmissione, alcune delle ipotesi su cui
si fonda la deduzione delle equazioni [3] e [4] sono verificate solo approssimativa-
mente. In particolare, i conduttori della linea sono imperfetti; in altri termini, la lara
conducibilita e alta, ma non infinita. Analogamente, un dielettrico (che non sia l'aria)
interposto tra i due conduttori presenta ancora una conducibilita, magari molto
piccola, ma pur sempre diversa da zero; oppure ha perdite per isteresi dielettrica,
anche queste piccole, ma finite.
II circuito equivalente della figura 2.7 suggerisce un modo per tener conto di tutto
cio. Detta R la resistenza serle per unita di lunghezza (Q/m) e G la conduttanza
derivata, sempre per unitS. di lunghezza (81m), della linea, basta inserire nel circuito
equivalente della figura 2.7 g1i elementi concentrati R Ilz e Gllz nel modo illustrato
nella figura 2.9. n sistema [5] si trasforma nel seguente:
_ aV =L ai +Ri
az at
- ai =c av +Gv.
az at
[12]
Le equazioni [12], pur essendo da un lato piu realistiche, in quanta tengono
conto delle inevitabili perdite sulle linee di trasmissione, costituiscono anch'esse delle
approssimazioni. Infatti, come gia notato, I'imperfetta conducibilita dei conduttori
porta a escludere I'ipotesi dell'esistenza di una pura propagazione TEM. Ai fini
pratici, pero, Ie [12] sono accettabili se i terminiRi e G'O sono molto piccoli rispetto
a L a ila t e ca'O/a t rispettivamente.
Vogliamo ora studiare l'andamento di tensione e corrente su una linea descritta
dalle [12], nell'ipotesi che G = O. Derivando rispetto a z la seconda delle [12], e sosti-
tuendo, nell'equazione che cOSt si ricava, l'espressione di avlaz data dalla prima, si ha
a 2 i _...!.. a 2 i -RC ai =0 [13]
az 2 c 2 at 2 at
Rf1z L6.z
C6.z
G6.z
Figura 2.9

2.5 I Dominio della frequenza
103
che differisce dall'equazione analoga data in 2.4.1 (linea senza perdite) per la presen-
za dell'ultirno termine al primo membro. Se la linea e infinitamente lunga, 0 adattata,
si pub ipotizzare una soluzione del tipo
i(z, t)= i+(z - ct) f(z, t),
dove i+(z-ct) e la soluzione dell'equazione in assenza di perdite e f(z, t) e una fun-
zione incognita, lentamente variabile con z e ct: in altri termini, si cerca una soluzio-
ne perturbativa rispetto a quella che si avrebbe in assenza di perdite.
Sostituendo la precedente espressione nella [13], trascurando Ie derivate seconde
di f(z, t) (per la supposta variazione lenta) e notando che oi+/ot=-coi+/az, si
ottiene
ai+ [ 2 at +1. at -t ] -1..1Li+ at =0.
at az c at Ro c Ro at
Una possibile soluzione di tale equazione e quella definita dalle relazioni
af
-=0
o t '
af R
2--- f=O,
az Ro
che forniscono subito la soluzione
R
f=exp(-az), a= 2Ro
[ 14]
se ne deduce che l'onda di corrente si attenua esponenzialmente nella sua propaga-
zione lungo l'asse z, con una costante di attenuazione data dalla [14]. Posto poi
v(z, t)=v+(z -ct) exp(-az),
sostituendo tale espressione nella prima delle [1 2] e trascurando i termini di or dine Q,
siha
v(z, t)=Roi+(z -ct) exp(-Qz).
L'onda di tensione va dunqueincontro alle stesse vicissitudini di quella di corrente.
5 Linee di tramniBi one (dominio della frequenza)
In questo paragrafo si considerano linee di trasmissione con eccitazione sinusoi-
dale. Questo studio e utile per due motivi. Per prima cosa, la conoscenza della soIu-
zione sinusoidale permette 10 studio di eccitazioni arbitrarie nel tempo, per il caso di
linee i cui parametri costitutivi siano stazionari (Ie piu comuni in pratica). Inoltre,
molto spesso la banda dei segnali trasmessi e sufficientemente piccola, sicche la
conoS"cenza del comportamento del segnale al centro banda fornisce gia la maggior
parte delle informazioni necessarie per il corretto dimensionamento della linea.
II punto di partenza per 10 studio delle linee di trasmissione nel dominio della
frequenza e il sistema di equazioni [8] ( 2.4). Derivando rispetto a z la prima di

104
Propagaz;one I Cap. 2
tali equazioni e sostituendo nell'equazione trovata l'espressione di dI/dz data dalla
seconda, si ottiene
d 2 V
+w 2 LCV=O;
dz 2
[1 ]
analogamente, derivando la seconda equazione e sostituendo nella nuova equazione
l'espressione di d V/dz data dalla prima, si ottiene
d 2 [ +w 2 LCI=O.
dz 2
[2]
Posto
w 2 LC=(J2 ,
la soluzione delle [1], [2] e 1a seguente:
V(z) = V+ exp( -j(jz) + V- exp(j(Jz)
/(z)=/+ exp(-j(Jz)+/- exp(jz).
[3]
[4]
[5]
Le costanti V+, V-, /+, /- non sono tra loro indipendenti. Infatti, sostituendo
I'espressione data dalla [5] nella seconda delle [8] ( 2.4) risulta
RoI+=V+, -RoI-=V-,
cosicche la [5] PUQ essere riscritta come segue:
Ro/(z) = V+ exp( -j(Jz) - V- exp(j(Jz).
Si consideri ora l'onda V+ exp( -j(3z). Posto
v+ = I V+I exp (jv),
[6]
questa onda e rappresentata, nel dominio del tempo, dall'espressione
v+(z, t)= I V+I cos(wt-J'iz + v).
Si riconosce subito che I'onda ha un periodo temporale
T= 211'
W
e un periodo spaziale
A = 2(j 7r ;
la grandezza (3 e detta costante di propagazione; A, lunghezza d'onda.
L'equazione di dispersione del sistema e quindi la [3]. La curva
1
w= (3
VLC

2.5 I Dominio de//a frequenzo
105
e una retta (vedi fig. 2.10); in base ai risultati del paragrafo 2.3, la linea di trasmis-
sione (in assenza di perdite) non e dispersiva; notiamo anche che la curva w=w(l3)
(diagramma di Brillouin) fornisce, gia a prima vista, una quantita di informazioni
preziose sulla risposta in frequenza del sistema.
L'onda f)+(z, t) assume gli stessi valori in istanti tit t 2 e in punti di ascissa ZI, Z2
tali che
wtl -PZI = Wt 2 -(jZ2.
Posto Z2 =ZI + Z, 12 =t l + dt, si verifica immediatamente che l'onda si sposta con
velocita
W
v/ = 7f
nel verso positive dell'asse z; la costante V+ e dunque il valore del fasore dell'onda
diretta nel punto di ascissa Z =0. Analogamente, V- e il valore del fasore dell'onda
riflessa nel punto di ascissa z = o.
La soluzione [4] e [6] per il sistema [8] ( 2.4) mette in luce gli aspetti del segnale
legati alla propagazione; in essa il segnale stesso risulta scomposto in onda diretta e
in onda riflessa. Per questo motivo, tale rappresentazione e detta soluzione di tipo
viaggiante. Tuttavia essa non e l'unica: infatti, sviluppando gli esponenziali complessi
in funzioni circolari, si ha la rappresentazione alternativa
V(z) = V o cos(jz-jRolo sin/jz

I(z)=I o cospz-j RoO sinpz,
[7]
U==:.
c
Figura 2.10
Diagramma di Brillouin pel una linea di trasmissione senza perdite.

106
Propagazione I Cap. 2
ove
V o = v+ + V- = V(O),
e i1 valore del fasore dell a tensione nel punto di ascissa z = 0, e
V+- V-
10 = Ro =1(0),
e il valore del fasore della corrente, ancora all'ascissa z = O. La rappresentazione [7] e
detta soluzione di tipo stazionario e mette in luce la distribuzione di tensione e cor-
rente che si misura sulla linea. Si noti che in ambedue i tipi di rappresentazione i pa-
rametri costitutivi della linea, L e C, non appaiono piu esplicitamente, bens! attraver-
so la costante di propagazione
(j=wVLC
e la resistenza caratteristica
_. fi+
Ro -VC .
I parametri Lee vengono tradizionalmente (e arbitrariamente) chiamati primari,
e i parametri (j e Ro, secondari. Questo perche a bassa frequenza e naturale parlare
di induttanze e capacita come di parametri primari. Storicamente e vero che Ie
equazioni [8] ( 2.4) sono state ottenute partendo dallo schema equivalente della
figura 2.7 (circuiti a costanti concentrate, bassa frequenza) e non dalle equazioni di
Maxwell; tuttavia, esse possono immediatamente essere riscritte utilizzando i parame-
tri {3 e R 0 :
- dV =j(3RoI
dz
-.2!.. =j V
dz Ro
il che mostraO che Ie due coppie di parametri sono del tutto intercambiabiIi e hanno
la stessa dignita.
La soluzione di tipo viaggiante ([4] e [6]) porta naturalmente a definire i coeffi-
cienti di riflessione, di tensione:
v- exp (j (3z)
ry(z)= + . = ry(O) exp(2j(3z),
V exp(-J{3z)
[8]
e di con-ente:
1- exp(j{3z)
r](z) = + . = rICO) exp(2j{3z).
I exp( -J(3z) .

2.5 I Dominio della frequenza
107
Si nota subito che
rv(z)=-r[(z).
(Data la semplice relazione tra f'v e f'/, ci si PUQ riferire sempre al solo coefficiente
di riflessione di tensione, e indicarlo solo con f'.)
Un altro parametro moho usato nella tecnica delle linee di trasmissione (e in sem-
plice relazione con i1 coefficiente di riflessione) e i1 rapporto d'onda stazionaria
ROS (0 anche, VSWR, dall'inglese Voltage Standing Wave Ratio), cioe il rapporto tra
il massimo e il minimo del modulo della tensione lungo la linea:
IV maxi IV+I+IV-I l+lrl
ROS= = =
I V min I I V+ I-I V -I 1 -I r I .
E' interessante ricercare se vi siano limitazioni ai valori che it coefficiente di rifles-
sione e il rapporto d'onda stazionaria possono assumere. A tal fine, calcoliamo la po-
tenza (complessa) nel punto di ascissa z; come si dimostra in 3.2.1, essa e data da
1
P(z)=1 V(z)/*(z),
risultato peraltro intuitivo; sostituendo aYe / Ie espressioni [4] e [6] e utilizzando il
coefficiente di riflessione, si ha
1 I v+ 1 2 1 I v+ 1 2
P(z)='2 Ro (l-lr(z)1 2 )+ '2 Ro (r(z)-r*(z».
In questa espressione, il primo termine al secondo membro corrisponde alIa
potenza reale, mentre il secondo rappresenta la potenza reattiva. Per la potenza reale,
1 I Y+1 2
2 Ro
rappresenta la potenza incidente e
I V+ 1 2
 Ro Ir(z)1 2
quella riflessa. Se. alIa destra di z (vedi fig. 2.6 per l'orientamento dell'asse z) non vi
sono generatori, la potenza reale riflessa non pue superare quella incidente; di conse-
guenza
1f'(z)1  1
e quindi
ROS  1 .
La soluzione di tipo stazionario [7] porta natural mente a definire l';mpedenza di

108
Propagazione I Cop. 2
ingresso della linea nel punto di ascissa z:
_ V(z) _ V o cos(Jz-jRolosin (jz _
Z(z)- fez) - V. -
f 0 cos (Jz:""'j R: sin (Jz
Z(O)-jR o tg(Jz
=R
o Ro -jZ(O) tg {3z '
[9]
dove
V o
Z(O) = -
10
e I'impedenza di ingresso all'ascissa z =0. (Puo essere utile talvolta introdurre anche
l'ammettenza di ingresso: Y(z) = ljZ(z).)
L'impedenza d'ingresso e in generale data da un numero complesso
Z(z)=R(z) + jX(z).
Anche in questo caso e utile mettere in relazione I'impedenza d'ingresso con la poten-
za (complessa) nel punta z:
1 1 1 . 1
P(z) = "2 V(z)/*(z) = "2 Z(z) 1/(z)1 2 = 2: R (z) 1/(z)1 2 +]2" X(z) 1/(z)1 2 .
Se alia destra del punta di ascissa z non vi sono generatori, la potenza reale dev'essere
non negativa; di conseguenza R(z)O: si ritrova, nel caso delle linee di trasrnissione,
una ben nota proprieta della resistenza di un elemento passivo a parametri concen-
trati. Ovviamente, essa non dipende dall'orientamento dell'asse z, e di conseguenza
l'impedenza nel verso negativo dell'asse z dev'essere definita come - V(z)//(z). Infatti,
se i generatori sono tutti alla sinistra del punta di ascissa z, la resistenza risulta nega-
tiva, il che e di nuovo coerente con Ie proprieta dei circuiti a costanti concentrate,
perche in questo caso la resistenza d'ingresso e quella di un sistema attivo, e non
passivo.
Net se$Uito, quando non vi sia motivo di confusione, si indica con Z(z) I'impe-
denza di ingresso nel verso positivo dell'asse z; in caso contrario vengono usati due
diversi simboli: uno per l'impedenza di ingresso nel verso positivo dell'asse z,
-+ V(z)
Z(z)= I(z) ;
uno per quella nel verso negativo,
 V(z)
Z(z)=- I(z)
Come Ie due rappresentazioni, la viaggiante e la stazionaria, non sono tra loro indi-

25 I Dom;n;o del/o frequenza
109
pendenti, COSt anche il coefficiente di riflessione e l'impendenza d'ingresso sono
deducibili l'uno dall'altra, e viceversa. Si ha infatti
Y(z) y+ 1 + r(z) = R 1 + r(z)
Z(z)= fez) -:- f+ 1 - fez) 0 1 - fez)
[10]
o anche
Z(z)-R o
r(z) = Z(z)+R o .
[11 ]
Annotazioni
*2.5.1 Tensione e corrente so una linea di trasmissione chiusa in cortocircuito
Scegliamo il punta di ascissa z = 0 in corrispondenza del cortocircuito (vedi fig.
2.11); risulta
V(O)= V o = O.
Sostituendo tale valore nella soluzione [7], si ha
{ V(z)=-jRolo sin(jz=jR o 1 0 sin{Jd
l(z)=1 0 cos{jz=1 0 cos(jd,
dove d=-z e la distanza dal cortocircuito. L'andamento dei moduli dena tensione e
della corrente e dato, nella figura, in funzione dell'unica costante 1 0 , il cui valore
ovviamente dipende dall'eccitazione (non specificata) della linea.
La potenza nel punta di ascissa z e data da
p(z)=  V(z)I*(z) =  iRo 11 0 1 2 sinl3d cosl3d
ed e, com'era da aspettarsi, tutta reattiva.
L'impedenza di ingresso nel punta di ascissa z e data dalla [9], con Z(O) = 0:
Z(z)=-jR o tg(jz =jR o tg(jd=jX,
ed e puramente reattiva. L'andamento di X in funzione di z e riportato nella figura;
si noti come, a1 variare di d, la linea chiusa in cortocircuito si comporti come un
carico di tipo induttivo (X>O) 0 capacitivo (X<O). A distanze X/4, 3"A/4, ... dal ca-
rico il cortocircuito terminale e trasformato in un circuito aperto. Da questo punta
di vista, la linea pub considerarsi come un trasformatore di impedenza.
2.5.2 Tensione e corrente so una linea aperta all'estremo terminale (esercizio)
Ripetere g1i sviluppi esposti in 2.5.1 per questa nuova condizione di carico della
linea di trasmissione.
2.5.3 Tensione e corrente so una linea chiusa soDa sua resistenza caratteristica
(esercizio)
Vedi 2.5.2.

110
Propagaz;one I Cap. 2
ROl P
d
I
-:
o
..
z
r.
-d
IV(z)1
Ro 110 I
-3A/4 -A/2 -A/4 0 z
I I/(z
1----
1/ 0 1 I
I
z
x(z)
z
Figura °2.11
2.5.4 Proprieta trasformatrici di una linea chiusa so un carico generico Zc
( esercizio )
Studiare l'andamento della impedenza di ingresso della linea al variare del carico e
della distanza da questo, in particolare per un carico puramente resistivo 0 reattivo.
2.5.5 Tensione e corrente so una linea chiusa so una induttanza Lc
Scegliamo il punta di ascissa z = 0 in corrispondenza del carico; risulta
V(O) = V o =jwLc/(O)=jwLclo.

2.5 I Dominio de/fa frequenza
111
La soluzione in termini di onde stazionarie e dunque
{ V(Z) = iIO ( W Lc COS c Ro SinP ) Z)
I(z) =1 0 cos(jz + Ro sin (Jz ,
come si vede subito dalle [7]. Se invece si preferisce avere per la soluzione una rap-
presentazione di tipo viaggiante, conviene calcolare i1 coefficiente di riflessione sui
carico; dalla [11] si deduce che
iwLc-R o
r(O)=r c = . L +R ;
JW c 0
e dalle [4], [6]
_ + [ iwLc-Ro
V(z) - Y exp(-jpz) + jwL c + Ro
. [ . jwLc-R o
Ro/(z)= y+ exp(-jpz)- jwL c +Ro
eXP(JPZ)]
exp(Jpz) ] .
La soluzione di tipo viaggiante 6, per questo esempio, particolarmente utile se si
vuole studiare l'andamento di tensioni e correnti con variazioni arbitrarie nel tempo:
+00
v(z, t)= 2 J V(z, w) exp(Jwt) dw
_00
(similmente si procede per i(z, t».
Supponiamo ora che la tensione incidente sia un gradino di ampiezza V o :
You(t- ; ).
Nel dominio della frequenza si ha 1
+00
V(z w)= J vou ( t-=- ) exP(-jwt)dt= :0 eXP ( -j w Z ) .
, C jW c'
_00
ne consegue
y+= V o
jw '
w _ 1
-=I3=wv LC, c= .
c ..JLC
L'onda riflessa di tensione e data da
+00
1 J Yo jwLc-R o eXP ( iw ( t+ Z c ) ] dW=
211' iw jwL c + Ro
_00
1 Si considera ]a trasformata di Fourier come limite di quella di Laplace per evitare l'uso della
trasformata di Fourier generalizzata che, in questo caso, porterebbe solo a un appesantimento
delle notazioni.

112
Propogaz;one I Cap. 2
+-
= 2 V o J [- j + jW:cLRo ]exPw(t+; )]dW=
_00
=V O U(t+ ;) {-1+2ex p [- :: (t+ ; )]}.
La tensione totale e la somma di quella diretta e di quella riflessa; quest'ultima, a
sua volta, e data dalla somma di due termini. Singolarmente ciascun termine, e poi la
tensione totale, sono riportati nella figura 2.1 2 in funzione di z e per vari valori di t.
Quando l'onda diretta di tensione incide sull'induttanza (t= 0), la tensione riflessa e
uguale e delle stesso segno, e la tensione totale sui carico e doppia rispetto a quella
incidente. n motivo e che, variando bmscamente la corrente nell'induttanza, at
Ro Lc Ro Lc Ro Lc Ro Lc
v v It -  I v d v
V o V o
z z z z
v v I t = 0- I v v
V o V o
z z z z
I t = 0+ I
v v v v
V o 2V o V o 2V o
z V o z z z
v v It=  I v v
V o 2V o Va 2V o
Z V o Z Z Z
v
v
v
v
V o
2V o
2V o
z
vot
z
z
z
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 2.12
(a) Andamento della tensione diretta; (b) primo e (c) secondo termine della tensione riflessa;
(d) tensione totale a1 variare di z, per vari valori di t.

2.5 I Dominio de/lo frequenza
113
tempo t= 0 il carico si comporta come un circuito aperto. AI passare del tempo, tutta-
via, la variazione della corrente dell'induttanza si attenua; sui carico, la tensione
riflessa diminuisce e tende, per tempi sempre maggiori, a cancellare la tensione inci-
dente: questo perche, a regime, l'induttanza si comporta come un cortocircuito. In tal
modo si spiegano i diagrammi della figura 2.12, in particolare il picco iniziale dell'onda
riflessa di tensione che si propaga, con velocita c, nel verso negativo dell'asse z.
I diagrammi relativi alIa corrente si possono tracciare facilrnente; la lore splega-
zione e simile a quella relativa ai diagrammi della tensione.
2.5.6 Tensione e corrente lungo una linea chiusa su una capacita C c (esercizio)
Ripetere g1i sviluppi esposti in 2.5.5 per questa nuova condizione di carico.
2.5.7 Propagazione so una linea di trasmissione con piccole perdite
In base aIle considerazioni svolte in 2.4.5, Ie equazioni delle linee di trasmissione
con piccole perdite sono, nel dominie della frequenza, Ie trasformate delle [12]
( 2.4):
_ dV =jwLI+R/
dz
-  =jwCV+GV.
[ 12]
Per w =1= 0, Ie equazioni [1 2] possono essere riscritte come segue:
dV ( R )
-- =jw L+ I
dz JW
- dI =jw ( C+  ) V
dz JW'
i1 che mostra come la presenza di perdite corrisponda, formalmente, a rendere com-
plesse I 'indu ttanza
L'=L+  =L-jB-
JW w
e la capacita
C'=C+ .G =C-j'£
JW W
per unita di lunghezza, nel sistema di equazioni [8] ( 4.2).
Le soluzioni del sistema [1 2] sono allora Ie stesse [4], [6] e [7], pur di a ttribuire
alIa linea una costante di propagazione complessa
k=w "';L 'C
e una impedenza caratteristica (anch'essa complessa)
-I?
Zo =V d .

114
Propagazione I Cop. 2
La linea si dice con piccole perdite se
R G
- <L - <C;
w ' w
in tal caso, sviluppando in serle la radice quadrata, si ha
kr:::w VLC (l-j 2L -j 2C ) =w VLC -j  ( :0 + GRO:) =/3-ja,
ZOr:::  (I-j 2L +j 2C )=Ro-j 2 (R-GR)=Ro-jXo.
La presenza di perdite rende complesse sia la costante di propagazione, sia l'impe-
denza caratteristica. L'onda diretta si propaga attenuandosi lungo l'asse z, secondo la
legge
exp(-j(jz) exp(-az),
dove
R + GR. Q .
a= 2Ro 2
e detta costante di attenuazione CN/m); si nati come l'espressione di a sia in accordo
con quanto risulta in 2.4.5 relativamente al caso G = O. Anche se a e molto piccola,
il termine exp(-az) non pub essere trascurato se z e sufficientemente gran de.
II rapporto
v+
Zo = 1+ =R o -jX o
in una linea con piccole perdite e complesso. AI prim'ordine (X o <Ro), questo com-
porta solo un piccolo sfasamento tra i fasori y+ e /+, che risulta costante e indipen-
dente da z. Se Ie perdite sono mol to piccole, si pub porre
y+
/+ Ro,
cioe eonsiderare aneora reale 1 'iJbpedenza caratteristica. Questa condizione pub essere
realizzata esattamente se vi e opportuna compensazione tra perdite serle e parallelo
lungo la linea:
R
-=GR o
Ro '
[13]
o anche
=.£
L C
Si verifica immediatamente che, in questo caso, Zo e sempre reale e uguale a VLIC ,
anche se Ie perdire non sono piccole. La relazione [13] esprime la cosiddetta condi-
zione di Heaviside.

2.5 I Dominio della frequenza
115
2.5.8 Interconnessioni di pm linee di trasmissione (esercizio)
Si consideri it sistema di linee di trasmissione dell a figura 2.13, dove sono rappre-
sentate simbolicamente tre linee di trasmissione, di resistenze caratteristiche Ro, R OI ,
R 02, delle quali due sono chiuse rispettivamen te sui carichi R 1 e Z 2. La distribu-
zione della tensione e della corrente sui tre tronchi di linea pub essere facilmen te de-
terminata prendendo come origine delle coordinate, per ciascuna linea, il comune
punto N, e scriven do la soluzione (stazionaria) per ciascuno dei tronchi, in termini
quindi di costanti
V 0, 10 ; VOl, 1 01 ; V 02 , 102 .
Si impongano poi Ie condizioni terminali
VI (11 ) = RIll (11),
V 2 (12)=Z2 / 2 (1 2 ),
e, nel nodo N, Ie condizioni di continuita della tensione. (Ie tensioni sui tre tronchi di
linea devono essere uguali in N),
Y O =V OI =Y 02 ,
e della corrente (la somma delle correnti in ingre,sso sui tronchi 1 e 2 deve uguagliare
la corrente terminale del tronco di linea a sinistra):
10 =/ 01 + 1 02 .
Le cinque relazioni precedenti determinano tutte Ie costanti meno una, i1 cui
valore e ovviamente fissato dai generatori (non specificati nel problema).
2.5.9 Adattamento di linee di trasmissione
.
Una linea si dice adattata se su essa e presente la sola onda diretta. n piu semplice
caso di linea adattata e quello di una linea chiusa suUa sua resistenza caratteristica. Se
Ro
Figura 2.13

116
Propagaz;one I Cop. 2
il carico e resistivo, ma diverse da Ro, l'adattarnento pub essere ottenuto inserendo
un tronco di linea di lunghezza "A/4 (trasformatore a X/4) di opportuna resistenza
caratteristica, tra carico e linea di trasmissione (vedi fig. 2.14).
Si ha
( X ) Rc + jR Ol tgi RI
z -"4 =R 01 A =T;
R 01 +jR c t g {j4 c
pertanto, la linea e adattata se
Rl
R =Ro, ovvero R 01 = VR cRo.
c
Se invece il carico e complesso, l'adattamento pub essere ottenuto (vedi fig. 2.15)
con l'inserzione di un tronco di linea in parallel0 e in cortocircuito (stub).
L'ammettenza di ingresso a destra del punta M e data da
+ _ Yc+jGotg{jl _ .
Y(M )-G o Go +jY c tg{jl -G+]B,
dove
I
G o =-
Ro '
Yc= Zl =G c +jBc.
c
Calcolando l'espressione esplicita di G si vede che e sempre possibile rendere G = Go
con una scelta opportuna di 1. Infatti in questo caso tg({jl) e determinata da un'equa-
zione algebrica di secondo grado, con discriminante
G o G c [(G O -G c )2 +B]O.
Scelto 1 in modo che G = Go immediatamente a valle di M, basta cancellare con 10
stub la parte reattiva B perche, a monte del punta M, la linea sia adattata; per questo
e sufficiente porre
B=-jG o tg{jd.
Esistono vari altri sistemi per adattare una linea di trasmissione, non'che procedure
grafiche di calcolo, come la cosiddetta carta di Smith (Smith, 1939 e 1944; Johnson,
1950).
Ro
R 01
Rc
L
A/4
.,'
Figura 2.14

2.5 I Dominio dello frequenza
117
I
Ro
r
--I
Zc
M
d
Stub
Figura 2.15
2.5.10 Impedenza di ingresso di linea a parametri spazialmente variabili
Lo svantaggio dei sistemi di adattamento presentati in 2.5.9 e di essere risonanti:
la condizione di adattamento dipende dalla lunghezza d'onda. Se, come sempre acca-
de, viene trasmessa una banda di frequenza, si ha un disadattamento variabile con 1a
frequenza, il che produce una distorsione del segna1e. Fissato l'ammontare tollerabile
per 1a distorsione, resta fissata 1a banda di lavoro del sistema di adattamento; per i
sistemi presentati, queste bande sono molto piccole; risu1tati migliori si ottengono
variando con continuita i parametri (indu ttanza e capacita) della linea.
La domanda che si pone e aHora la seguente: come varia l'impedenza di ingresso
di una linea a parametri variabili? Per definizione:
V(z)
Z(z) = I(z) .
Derivando rispetto a z:
dZ = dV/dz
dz /(z)
V(z} d/
/2 (z ) d z .
Sostituendo Ie derivate delle tensioni e correnti u tilizzando Ie equazioni delle linee,
si ottiene
Zo : =j(J(Z2 -Z),
[14]
che e un'equazione differenziale non lineare di Riccati. (Si noti che non solo Z, ma in
genera1e anche  e Zo sono funzioni ai z.) Puo convenire introdurre 1a cosiddetta im-
pedenza d'ingresso normalizzata
Z(z)
u(z)= Zo(z) ·
Derivando rispetto a z e tenendo conto della [ 14], si ha
du dZo/dz
dz =j(J(u 2 -1)-u Zo '
[15]

118
PropagQzine I CtJp. 2
che e ancora un'equazione non 1ineare di Riccati. La [14] e stata oggetto di lunghi
studi, e svariate tecniche sono state messe a punta per ottenere soluzioni approssi-
mate per variazioni arbitrarie di {3 e Z 0 con z (Franceschetti, 1964; Sugai, 1962).
Un caso particolarmente interessante e queUo per cui (3 e costante e solo Zo varia
con z. In una linea bifilare questa condizione pub essere ottenu ta divaricando i con-
duttori; la costante di propagazione rimane pari a quella nel vuoto, rnentre l'impe-
denza caratteristica earn bia. Se
Zo(z)=Zo(O) exp(-'Y z )
l'equazione [15] diventa
: = jtJ(u 2 -I) + 1 u ,
(linea esponenziale)
da cui
u(z) du
z= l) jl3(u 2 -1)+1 U ·
L'integrale si calcola immediatarnente mediante scomposizione in fratti semplici. La
soluzione per u (z), in .forma facilmente esplicitabile, e data da
'Y 'Yr-:;;
u(z)+ 2jtJ -V I - 4i" u(O)+ 2j13 -V I - 4if  g 2 )
- exp 2j (32 - - Z .
'1  2 "1  2 4
u(z)+--:-+ 1-- u(O)+-:-+ 1-
2J{3 4/32 2J(j 4{32 [16]
Si consideri la linea esponenziale rappresentata nella figura 2.16. Se Z c = Zo (0), si
ha u(O) = 1. Per 'Y/2(j< 1 si ha (al primo ordine in questo parametro)
u(z)I+ ZtJ [exj   1- 1 ]. [17]
Definiamo it coef[iciente di rijless.ione locale della linea non omogenea:
Z(z)-Zo(z) u(z)-I
r(z)= Z(z)+Zo(z) = u(z)+ 1 ; [18]
confrontando la [18] con la [17], si ottiene per la linea esponenziale (nelle approssi-
mazioni prece den ti)
r(z)= 4tJ [exP0j 2 :2 - = 2 exp 2 :2 z) sm 2  z}
e dunque
1"11 1 I Zo(O) I
1r(-I)IE;; 213 = 2131 In Zo(-I) ,
i1 che mostra che i1 coefficiente di riflessione pub essere reso piccolo a piacere purche

2.5 I Dom;n;o dello frequenza
119
I
I
1]1 Zc=Zo(Q)
I
I
I
I
I
I
o

z
I
I
I
-I
Figura 2.16
I'll sia sufficientemente piccolo rispetto a (3 oppure, fissato il rapportQ di trasforma-
zione Zo(O)/Zo(-I), purche sia sufficientemente gran de (31.
Una interessante pro prieta della linea esponenziale e la seguente: se 13 < 111/2,
allora la radice quadrata nella [16] e un numero immaginario puro. Per
Icf (32 Izl> 1
si ha dalla [16]
U(Z) {;(3 - vi 2'Y(3) 2 1];
l'impedenza d'ingresso e dunque una quantita puramente immaginaria e indipendente
da quella terminale se la variazione di Zo con z e troppo rapida. La linea non accetta
potenza reale, e, se 11/2(31) 1, l'impedenza di ingresso tende a zero. n fenomeno de-
scritto prende il nome di cut-off, 0 interdizione, e la lunghezza d'onda
A = 41T
c 1
che divide la regione di propagazione (X < Ac) da quella interdetta (A> Ac) e detta
lunghezza d'onda critica 0 di taglio. La linea esponenziale si comporta dunque come
un filtro passa-alto.
2.5.11 Coefficiente di riflessione 'di una linea a parametri spazialmente variabili
(esercizio)
Parten do dalla definizione [18] si mostri che l'equazione del coefficiente di rifle

120
sione e la seguente
dr 1 dZo/dz
-=2iPr-- (l-r 2 )=O
dz 2 Zo '
cioe ancora un 'equazione di Riccati.
Propagozione I Cop. 2
[19]
.2.5.12 Linea di trasmissione caricata periodicamente
Consideriamo la linea di trasmissione rappresentata nella figura 2.17; essa e
supposta infinitamente lunga e caricata periodicamente, con inteIVallo d, da una
capacita derivata e, (piu in generale, da una ammettenza Y s )' Si vuol ricercare, per
prima cosa, la relazione tra Ie tensioni e Ie correnti nella sezione n-esima (V n , In) e
tra Ie stesse grandezze nella sezione (n + 1 )-esima (V n +1' In +1)' n calcolo puo essere
effettuato agevolinente notan.do che il problema e quello della serie di due linee di
trasmissione, ciascuna di Iunghezza d/2, collegate da una capacita derivata Ca. Posto
(jd=8, si ha
.V n
In
A
B
V n +1
=.;/1/
V n + 1
C D
In +1
In +1
JH=
wC, ( WC s
cose- 2 Yo sin e iZo 2 Yo
iY o { ;: cose+ sine+ : )
wc, )
cos.e + sine- 2 Yo
we,
cos e- sin e
2Y o
[20]
Perche possa propagarsi un'onda lunge la struttura periodica della figura 2.' 7, 
necessario che Ie grandezze V n + l' In + 1 differiscano dalle V n , In per un puro fattore
di fase (stante l'assenza di perdite) che tenga conto del tempo finito di propagazione.
Cio equivale a imporre la seguente condizione:
{ V" +1 = V n exp(-j'Y d )
In + 1 = In exp( - i'Y d ).
n n+1
I I
I e I I e I I e I e
Zo I 1
I I
s I s I $ $
P I I
I. .1. .1
d d
2 2
Figura 2.17

2.5 I Dominio de//a Irequenza
121
Sostituendo tali espressioni nella [O] si ottiene
V n A B V n + 1 j V n + 1
- = exp(i'Y d )
In C D In + 1 In + 1
. ,
e Cloe
{ ;
B
D
exp(i'Y d )
o
eXP;hd>\ }.
. V n + 1
=0.
[21 ]
I n + 1
La,[21] e l'equazione di un sistema lineare omogeneo. Perche la soluzione non sia
quella identicamente nulla e necessario ,?he il determinante dei coefficienti si annul-
Ii; di conseguenza
exp(2i'Yd) -(A + D) exp(j"(d) + (AD - BC)= O.
[22]
E' facile verificare che AD- BC= 1; pertanto, moltiplicando la [22] per exp(-i'Yd),
si vede che
A + D wC s . C s ..
cos'Y d = 2 =cosd- 2Y o smd =cosl3d- 2Cd dsm(3d. [23]
La [23] e l'equazione che determina i possibili autovalori 'Y della struttura perio-
die a dell a figura 2.17; la sua soluzione e riportata nella figura 2.18, per -?T'Yd<;1T,
o  I3d <; 6, 141T e C s /2 Cd = 1. Perche vi sia propagazione lungo la linea, 'Y dev'essere
reale, e di conseguenza
wC s
cosd - 2 Yo sinl3d  1. [24]
La relazione [24] dipende chiaramente dalla frequenza, e cia spiega come nella
struttura periodica della figura 2.1 7 siano presenti bande passanti (0 pass-bands) nelle
quali il segnale si propaga (vedi fig. 2.18) e bande proibite (0 stop-bands) nelle quali i1
segnale non si propaga.
Le onde in grade di propagarsi, con costante 'Y, lungo una linea di trasmissione
caricata periodicamente sono dette onde di Bloch, per analogia con un noto feno-
meno della meccanica ondulatoria riguardante l'elettrone in una struttura cristallina;
poiche sulle ordinate del diagramma della figura 2.18 e riportata una quantita pro-
porzionale alIa frequenza, e possibile calcolare la velocita di fase dell'onda, e quella di
gruPPO, proprio come accade per i1 diagramma di Brillouin. Si noti che i1 diagramma
presenta un numero in fin it 0 (numerabile) di rami; sono stati riportati solo quelli
corrispondenti al valor principale di '}'d nella [23]. Gli altri rami corrispondono
alle ar,moniche spaziali, e cioe a valori della costante di propagazione di Bloch
1m ='Y + 2m?T.
n segnale tot ale sulla linea e in generale una com binazione di armoniche spaziali;
la possibilita di rappresentare un segnale in una struttura periodica in questo modo e
usualmente giustificata in base al teorema di Floquet.
Si noti ancora che la velocita di gruppo (proporzionale alIa tangente aIle curve
del diagramma dell a fig. 2.18) PUQ aver segno opposto a uella di fase; Ie corri-
spondenti onde di tensione e tli corrente sono dette retrograde (0 backward waves).

122
Propogaz;one I Cop. 2
61t
pd
51t
L.

/' r
Bande
passanti
41t
..
Bande
proibite
\
I
[
31t
7t
1t
yd
Figura 2.18
Diagramma (3d.'Yd per una linea di trasmissione caricata periodicamente con capaciti.
*2. S .13 Linee accoppia te
Si considerino due linee di trasmissione accoppiate, ad esempio induttivamente,
con coefficiente di mutua induttanza per unita di lunghezza M (HIm). Indicando con
pedici 1 e 2 Ie grandezze relative alle due linee, Ie equazioni che ne descrivono i1 com-
portamento sono (nel dominio della frequenza)
dV I
dz =jwLll1 +jwMl 2
dI 1
- =jwC 1 VI
dV 2
dz =jwL 2 1 2 +jwMI 1
[2]
dI 2
--=jWC 2 V 2
dz '
ovvia generalizzazione della [8] ( 2.4), in base al circuito equivalente della figura 2.7.

2.5 I Dominio de/Ill frequenzo
123
Nell'ipotesi di una dipendnza spaziale del tipo exp(- jkz), il sistema [25] si scrive
in forma algebrica nel modo seguente:
-k wL I 0 wM YI
wC I -k 0 0 II
=0.
0 wM -k wL 2 Y 2
0 0 wC 2 -k 1 2
Perche vi sia una soluzione diversa dalla banale e necessario im porre che il determi-
nante dei coefficienti sia nullo:
k 4 - k2(ti + /3) + (/3jp - w 2 M 2 w 2 C I C 2 ) = 0,
e cioe
k 2 = j : :!: { j : l-fj(j  - L22 ) .
Su ciascuna delle due linee possono propagarsi, in ciascuno dei due versi, due onde, Ie
cui costanti di propagazione si ottengono scegliendo uno del due segni nella espres-
sione precedente; si indica con k 1 la costante corrispondente alla scelta del segno +,
con k 2 l'altra. Risolvendo il sistema rispetto a Y I , si ottengono Ie due soluzioni pro-
gressive (in funzione dell'unica costante V+)
Y I (z)= V+ exp(-jkz)
wC I
II (z)=T y+ exp(-jkz)
/3i M .
Y 2 (z)= 2 2 - L y+ exp(-]kZ)
P2 -k I
wC 2 pj M
1 2 (z)= k 2 2 - L I y+ exp(-jkz),
(32 -k
dove k pub assumere i valori k I 0 k 2 . Se l'accoppiamento e nullo risultaM= 0, k I = Pi,
e k 2 = {32' Per k = k I si ha Y 2 = 1 2 = 0, e l' onda, di costan te 131, si propaga solo sulla
linea 1; per k = k 2 , l'ampiezza di Y 2 e 1 2 tende all'infinito, e pertanto non pub che
essere y+ = 0: l'onda, di costante P2, si propaga solo sulla linea 2. Se invece Ie due
linee sono accoppiate e M =1= 0, e su ciascuna linea possono propagarsi en tram be Ie
onde.
E' interessante effettuare I'analisi perturbativa del sistema, nell'ipotesi di accoppia-
mento Modesto (M 2 LIL2)' Per M=O, si ha su ciascuna linea una soluzione del
tip 0
Y(z) = y+ exp(-j/3z)
dove V= VI (0 Y 2 ) e /3=/31 (0 /32)' Per M=I=O (con M 2 <L 1 L 2 ) ipotizziamo una
soluzione del tipo
V(z) = A(z) exp(- j(3z),
con A (z) funzione lentamente variabiZe di z. Si ha

124
PropagQz;one I Cop_ 2
dV =_ j(jV(z) + dA exp(-j(jz)
dz dz
d 2  -fl2 V(z)-2jfl dA exp(-jflz)=_2 V(Z)-2jfl r dV +jvl=
dz dz L dz J
fl2 V(z)- 2jfl : . [26]
dove, per l'ipbtesi i variazione lenta, si e trascurata la derivata seconda di A (z). n
risultato [26] e ora utilizzato per eliminare Ie derivate seconde nelle equazioni che Ii
ottengono dalle [25]:
d 2 VI
=(jVI +w 2 MC 2 V 2
dz 2
d 2 V 2
=(jV2 +w 2 MC 1 VI'
dz 2
Si giunge cosi aIle equazioni dei modi accoppiati
dV I 'R V + . wM (j2
dz =/I 1 / 2Zoo (jl V 2
dV 2 wM (jl
dz .,- j(32 V 2 + j 2Z 01 (j2 VI.
[27]
Consideriamo ora la grandezza
1 VI Vr 1 V 2 Vi
p(z)=2" ZOl +"2 Zoo
[28]
Se Ie due linee sono disaccoppiate, P(z) e reale ed e la potenza totale che fluisce lun-
go Ie due linee; essa e ovviamente costante con z, data l'assenza di perdite. Quando vi
e accoppiamento, derivando la [28] e tenendo conto della [27], si ha
dP _ 1. * * wM ( (j1. I )
dz -"2 /(V 1 V 2 - VI V 2 ) 2Z 01 Z 02 (jt - (j2 .
Se (jl (j2 (il caso di maggior interesse pratico) la variazione della P(z) con z
diventa trascu ra bile , ed e lecito identificare la [28] con la potenza totale fluente
lunge Ie linee, anche nel caso di accoppiamento di queste. Posto 131 = (j2 nei termini di
accoppiamento della [27] (giA piccoli per l'ipotesi fatta su M), si ha
dV I wM
- dz '=j(jl VI +j 2Zoo V 2
dV 2 wM
dz =j(j2 V 2 + j 2Z 01 VI.
[29]
2.6 Generatori sulle linee: condizioni di risonanza
La soluzione illustrata nei paragrafi 2.4 e 2.5 per la tensione e la corrente lungo
una linea di trasmissione e la cosiddetta soluzione lib era , indipendente cioe da una

2.6 I Generator; sulle linee
125
particolare scelta dei generatori. Come si e visto, essa e determinata a meno di una
costante, n cui valore dipende dalla eccitazione, ovvero dal tipo, dall'intensita e dalla
posizione delle sorgenti lungo la linea. Ai fmi del calcolo, e opportuno schematizzare
questi generatori in termini di sorgenti impresse, cioe di tensioni 0 correnti assegna-
te in prefissati punti della linea. Tra Ie sorgenti impresse, Ie piu semplici sono i gene-
ratori (ideali) spazialmente impulsivi (cioe a pplicati in corrispondenza di un punta
della linea) di tensione
v (z, z") = V of> (z -z")
[1 ]
e di corrente
..., ,
I(z,z )=/ofJ(z-z)
[2]
rappresentati nella figura 2.19. Questa semplificazione e lecita finche Ie dimensioni
degli attacchi dei generatori sulla linea sono piccoli rispetto alla lunghezza d'onda.
Nelle [1] e [2] si e usata la rappresentazione nel dominio della frequenza, cosicche
V 0 e IG sono rispettivamente i fasori della tensione e della corrente impressa.
II generatore ideale di tensione e caratterizzato da una resistenza interna nulla. A
rigore, per mantenere Ia simmetria della linea di trasmissione, dovrebbero essere inse-
riti un generatore V 012 in serie al conduttore superiore e un generatore - V 012 in
serie a quello inferiore, ambedue nel punto di ascissa z = z". La tensione fornita dal
generatore ideale di tensione e indipendente dal carico.
II generatore ideale di corrente e caratterizzato da una resistenza serle infinita.
Trattandosi di una idealizzazione di un generatore reale, la corrente erogata non
dipende dal carico.
La grandezza V(z, z") e una densita lineare di tensione (V 1m); analogamente
I(z, z') e una densita lineare di corrente (AIm). II generatore di tensione introduce
una discontinuita di tensione V 0 nell'ascissa z =z'! sulla linea, come si vede integran-
V G
t
I G
zIt
z'

z
Figura 2.19

126
PropagQzione I ClIp. 2
do la [1] tra z"-l:1z, zIt +z, con I:1z-+0. Analogamente, il genera tore di corrente
produce una discontinuita di corrente all'ascissa z = z':
Riferendosi allo schema circuit ale della figura 2.9, si vede subito che Ie equazioni
delle linee, in presenza dei generatori [1 ] e [2], diventano
d V. TJ II )
-- =JwLI- y G5(z-z
dz
-  =jwCV-I G 6(z-z'),
[3]
dove i segni "meno" indicano che la tensione impressa ha segno opposto alIa caduta
di tensione serie e la corrente impressa ha segno opposto alla corrente parallelo.
Si consideri il caso V G = O. Derivando rispetto a z la prima delle [3], divisa per jwL,
e sostituendo per dljdz l'espressione data dalla seconda, si ottiene
jwL dd z jL  +(j2 V=-jwLI G 6(z-z'),
dove i parametri dell a linea possono variare con z. Notiamo che, per z :# z' , il secondo
memb ro e nullo 'e si possono COS! utilizzare Ie soluzioni delle equazioni delle linee in
assenza di sorgenti. 8ia V(z) la soluzione per z>z' e l1(z) quella per z<z'; ciascuna
di esse e determinata a meno di una costante. Per z = z' la tensione deve essere conti-
nua, come rappresentato nella figura 2.20 (simbolicamente, perch6 i due fasori V(z)
z
' G
Figura 2.20

2.6 I Generator; mile linee
127
e V (z) sono in generale complessi):
V (z') = V (z") = V(Z').
[4]
Questa e una prima relazione per la determinazione delle costanti incognite. Un'altra
relazione PUQ essere ottenuta integrando l'equazione differenziale della tensione tra
z' -I::&z e ;' + z:
z' + z
z' + Az
+p2 f
z' -.4%
V(z) dz =-jwL(z')I G .
dV
dz
z' - z
Per z-+O
d V d V . ( ' )
-:-r--=-/wL z IG
dz dz '
n che mostra che la curva della tensione presenta una cuspide in z =z' (vedi fig. 2.20).
La relazione precedente PUQ essere riscritta come segue:
......, r '
- I (z)+ (z )=IG'
o anche, dividendo e moltiplicando il primo membro per V(z'),
V(z') = IG
Y(z') + y(z') ,
[5]
dove a1 denominatore appare la somma delle ammettenze di ingresso della linea, a de-
stra (1' (z'» e a sinistra (1' (z'» del punto di ascissa z = z'. La relazione precedente ha
una immediata interpretazione in termini di circuito equivalente a costanti concentra-
te: la corrente IG e chiusa sui parallelo delle due ammettenze Y (z') e Y (z').
Le due relazioni [4] e [5] determinano completamente la soluzione per la tensio-
ne, e quindi anche per la corrente, per qualsiasi valore di z. Si noti che la soluzione
per la tensione e continua, mentre quella per la corrente e discontinua in z = z', per la
presenza del generatore (spazialmente impulsivo) di corrente.
AI denominatore delle espressioni della tensione e corrente lungo la linea compare
la somma delle ammettenze di ingresso
Y(z') + Y(z)
dei due tronchi di linea a destra e a sinistra del punto di ascissa z'. Se si fosse studiato
i1 caso di un'eccitazione con generatore di tensione sarebbe apparsa, sempre al deno-
minatore, la somma delle impedenze di ingresso
Z (z") + Z (z")
dei tronchi di linea suddetti. Poiche, d'altra parte,
y+y= Z+Z
ZZ '

128
Propagoz;one I Cop. 2
si puo sempre far comparire, al denominatore dell'espressione della tensione 0 della
corrnte impressa, la somma delle impedenze, qualunque sia il tipo di eccitazione
(0, se si preferisce, la somma delle ammettenze).
La soluzione trovata per la tensione e la corrente sulla linea perde di significato se 2
Y(z') + y(z')=O,
[6]
a meno che non si annulli anche I' eccitazione in modo che tensioni e correnti sulla
linea rimangano finite. Si vede dunque come la [6] sia la condizione di risonanza, po-
tendosi avere eccitazione della linea anche in assenza di generatori; essa e comune-

mente detta condizione di risonanza trasversale (Felsen e Marcuvitz, 1956 e 1973),
anche se in questo contesto sarebbe piil opportuno parlare di risonanza /ongitudina/e
(vedi anche 2.7.9).
E' utile notare che il primo membro della [6] e indipendente dalla particolare
ascissa considerata z'. Infatti
 (Y+Y)= ( _L+L ) =
dz dz' V V
=_ dI/dz' + I dV + dl/dz' _L dv .
V f2 dz' V v 2 dz"
e sostituendo Ie derivate della tensione mediante Ie equazioni delle linee, si .ricava
che l'espressione precedente e nulla alIa risonanza. Di conseguenza, ai fmi della
determinazione delle condizioni di risonanza, la [6], 0 la sua analoga in termini di
impedenza,
Z(z)+Z(z)=O
[7]
possono essere calcolate in qualunque conveniente ascissa z lungo la linea.
Le impedenze e Ie ammettenze che compaiono nelle [6] e [7] sono funzioni della
frequenza, dei parametri e della lunghezza della linea; alia risonanza queste gran-
dezze sono legate tra loro da una relazione, in generale di tipo trascendente. Si nota
ancora che in condizione di risonanza Ie cuspidi (vedi fig. 2.20) presenti nei diagram-
mi deDa tensione 0 della corrente scompaiono, data l'assenza dei generatori.
Annotazioni
2.6.1 Distribuzione deUs tensione e deUs corrente lungo una line.
Consideriamo la linea raffigurata nella figura 2.21. Per z > 0, la soluzione staziona-
ria, con la condizione
Y2(12)=O,
2 In tal C8.S0 se ne deduce che e nulla anche 1a somma delle impedenze, e viceversa (sempre che
i due termini della (6] siano singolarmente diversi da zero).

26 I Generator; aulle linee
129
e la seguente:
( cos (j1 2 )
V 2 (z)= V 02 cos(jz - sin(j1 2 sinJ3z
V 02 ( cos(j12 )
I(z)=-j Ro sin (j1 2 cos(jz + sin(jz .
Per z < 0, la soluzione stazionaria, con la condizione
VI(-II)=O,
e data da
VI(z)= VOl ( COSPZ + COsPll SinPZ )
sin (jlt
VOl ( cosJ311 )
II (z) = j Ii;; sin (jll cos (jz - sin(jz .
La continuita della tensione per z = 0 richiede che sia
VOl = V 02 = V o ,
e i1 generatore di corrente determina it valore della tensione nel punta di ascissa z = 0:
IG RoIG
V o = Y(O) + Y(O) - -j(Ctgp l l + ctgP 1 2)
R IG sin (jl 1 sin (j12 1
cos (j I j R 0 tg (j I .
=-
Si noti come al denominatore di questa espressione compaia la quantita
+- -+
Z +Z =jRo tg(jl
che e la somma delle impedenze longitudinali in z = -II (sezione AA' nella fig. 2.21,
+-
Z (-1 2 ) = 0), e determina Ie singolarita della soluzione.
La risonanza avviene per
tg(jl= 0,
cioe alle frequenze
n1r
w n = ...riC 1 ' n = 1, 2, ...
0, equivalentemente, alletlunghezze d'onda
21
An = - , n = 1, 2, ...
n
2.6.2 Calcolo delle frequenze di risonanza
Con riferimento alla linea della figura 2.22, applichiamo la condizione di risonanza
longitudinale alia sezione terminale AA':
jRo tgJ31 + jwL c = 0,

130
Propagazione I Cop. 2
A
I G
A' I /, I /2 J
I
I " I  -I
I I I 
I. I 0 J z
Figura 2.21
cioe
tg(w VLC l)=-w VLC 1  .
La soluzione grafica di questa equazione trascendente e indicata nella figura 2.23.
Si noti come la linea debba essere piu lunga di mezza lunghezza d'onda, alia ris
nanza, perche questa possa verificarsi. Infatti la reattanza induttiva (positiva) dell'in-
duttanza di carico dev'essere compensata da una reattanza di tipo capacitivo (nega-
tiva) di ingresso della linea.
.2.6.3 Risonanza di una linea con piccole perdite
Consideriamo la stessa linea della figura 2.21, in assenza di generatore. La linea
presenti piccole perdite, COSt da essere descritta dai parametri
( R GR o )
Ro. k=p-jOl.=w VLC -j 2Ro + 2 '
come mostrato in 2.5.7.
A
ROl P
Lc
I.
/
.I A'
Figura 2.22

2.6 I Generatori sulle linee
131
f 1 ( u)
f 2 (u)
I
I
f 1 (u) = tg (u) I
I
I
I
I
I
I
I 37t/2
u=W. VLC I
Lc U
'2 (u) = - U
Figura '2.2 3
Determinazione dene frequenze di risonanza di una linea chiusa in cortocircuito a un
estremo e caricata au una induttanza Lc all'altro.
La condizione di risonanza longitudinale richiede che sia
IRo tgkl= 0, kl=n1r.
L'unica possibiliti perche tale condizione sia verificata e che la pulsazione diventi
complessa:
- ' + . "
w-w ]W,
cosicche
, n1f "R G
w = w -+-
n VLC 1 ' 2L 2C'
La frequenza di risonanza e quindi complessa. La parte reale w' non cambia (nel-
l'ipotesi di linea con piccole perdite) rispetto a1 caso di linea senza perdite e determi-
na i1 periodo temporale dell'oscillazione. 11 coefficiente dell'immaginario wIt non e
altro che l'inverso della costante di estinzione dell'osci11azione, che decade nel tem-
( "
po come exp - w t).

132
PropagQZ ione I Cop. 2
2,: 7 Onde piane
Consideriamo Ie equazioni di Maxwell ai roton, nel dominio della frequenza, in
un mezzo isotropo e omogeneo, e in una regione dello spazio ove non siano presenti
sorgen ti:
{ Vx E=-jwH
[1]
VX H= jWEE.
Fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali, si vuol trovare una soluzione delle
[1] tale che i campi siano funzioni della sola coordinata z:
E=E(z), H=H(z).
Proiettando Ie [1] sui tre assi (x, y, z) si ottiene
dEx
dz =-j wHy
dHy
dz =-jwEE x ,
dEy .
dz =JW1J H x
dHx .
dz =JweEy,
jWJlHz =jweEz =0.
Si nota che il sistema [1] si spezza in un numero di sottosistemi tra loro indipen-
denti. Nel primo appaiono Ie due componenti Ex, By; nel secondo, Ey,Hx;i1 terzo
e il quarto si riducono a
Ez =Hz =0,
sempre che w*O. Possono quindi propagarsi due famiglie di onde indipendenti,
ambedue TEM rispetto alla direzione z .
Consideriamo ora la sola onda (Ex, By); posta
E=E(z)i x , H=H(z)i y '
Ie equazioni che descrivono la propagazione dell'onda sono
dE . H
-=-JWJl
dz
dB . E
-=- J W€
dz '
[2]

2. 7 I Onde pillne
133
formalmente uguali aIle [8] ( 2.4). Pertanto, la soluzione di tipo viaggiante per Ie
[2] e la seguente:
{ E(Z)= E+ exp(-jkz)+E- exp(jkz)
tH(z)=E+ exp(-jkz)-E- exp(jkz)
[3]
con
k=wV;;-, =,
rispettivamente costante di propagazione e impedenza intrinseca del mezzo.
La soluzione [3] e detta onda piano: in ogni piano z =cost. il fasore dell'onda
rimane costante; campi elettrici e magnetici sono mutuamente ortogonali; i1 vettore
di Poynting e diretto lungo l'asse z.
Se il mezzo e senza perdite e non dispersivo, si ha
k=wV-;;; = c= 1
fA c' VEJ; ,
dove c e una costante reale, indipendente dalla' frequenza. 3 In questo caso, anche
l'impedenza intrinseea risulta reale e costante con la frequenza.
Se ci si riferisee alIa sola onda progressiva e si passa .nel dominio del tempo, si ha
+00
e+(z,t)= 2 1 1T I E+(W)eXpw(t-  )JdW
_00
h+(z, t)= : e+(z, t).
La soluzione precedente e completamente determinata, una volta assegnata la distri-
buzione con z del campo elettrico al tempo t=O:
+00
e+(z, 0)= 2 1 1T I E+(W}exP(-i w  )dW.
_00
Infatti, confrontando Ie due espressioni precedenti, si ha
+00
1 J ( . z -c t )
e+(z, t)= 21T E+(w)exp -JW c dw=e+(z-ct,O).
_00
La relazione precedente mostra che I'intensita dell'onda, nel punto di ascissa z e all'i-
stante t, coincide con quella che l' onda aveva al tempo zero e nel punto di ascissa
z -ct. L'onda ha dunque traslato rigidamente, senza deformarsi, nel verso positivo
dell'asse z con velocita costante c (vedi fig. 2.24).
3 La grandezza c coincide con la velocita della luce nel mezzo di costanti e e IJ..

134
e+ (z, t)
i l..
t=O
ct
PropagQzione I Cap. 2
t= t
I z + ct
..
z
Figura 2.24
Propagazione di un'onda piana in un mezzo isotropo, omogeneo e non dispersivo.
La naturale generalizzazione della soluzione [3] al caso di un'onda piana che si
propaghi in una direzione arbitraria e la seguente (vedi fig. 2.25):
{ E(r)=£ exp(-jk. r)
H(r) = 9 exp(-jk. r),
z
r __ ---
----
-- ---
--
Figura 2.25
Geometria relativa a un' onda piana.
[4]
y

2. 7 I Onde pione
135
dove k=kxi x +kyiy +kzi z e i1 vettore di propagazione. La sostituzione delle [4]
!1eUe equazioni di Maxwell porta a una algebrizzazione delle stesse, perche l'operatore
differenziale "V" si trasforma in -jk. Si ha:
kx £=wpR
-kx R=we£
k.£=O
k. 8=0.
[5]
La terza e quarta equazione mostrano che £ e R sono ortogonali a k: in questo
mezzo isotropo omogeneo, i1 vettore di propagazione ha dunque la stessa direzione
del vettore di Poynting. Moltiplicando la prima delle [5] vettorialmente per k a de-
stra, e tenendo conto della seconda equazione, si ricava
kx Ex k=w 2 €JJ£,
cioe
(k 2 -w 2 ep.)2=O.
Perche £ sia diverso da zero, dev'essere
Jr=k 2 +k 2 +k2 =W 2 E"
x Y z ,.,.,
[6]
retazione che fissa I'ampiezza del vettore di propagazione. Dalla prima delle [5] si ha
poi
ii=--L kx 2=.! i k x 2 [ 7 ]
wp. r '
dove ik=klk.
Pertanto Ie caratteristiche di un'onda piana sono Ie seguenti:
(a) Campo elettrico e magnetico sooo mutuamente ortogonali, e ambedue ortogo-
nali at vettore propagazione; la terna £, 8, k e levogira, cosicche it vettore di Poyn-
ting e diretto secondo i k .
(b) n rapporto tra t e Ii e pari all'irnpedenza intrinseca del mezzo; l'ampiezza
della costante di propagazione e data dalle [6].
(c) I vettori dell'onda sono completamente determinati quando siano specificate
due componenti dei campi e del vettore propagazione. Se ad esempio sooo fissate Ie
componenti Ex, Ey del campo elettrico e Ie componenti k x ' ky del vettore propaga-
zione, si ha dalla terza delle [5]
t =_ kxt x + kyt y
Z k '
Z
eRe flSsato dalla [7].
Si noti che la [6] fissa solo la somma dei quadrati delle componenti del vettore di
propagazione k, ma non Ie singole componenti; di queste, due sono indipendenti. Se

136
Propagazione I Cop. 2
k
Figura 2.26
Vettore di propagazione k: (a) con componenti tutte rea1i; (b) con due componenti reali e
una immaginaria.

2. 7 I Onde piQne
137
Ie tre componenti k x , ky, k z sooo tutte reali (mezzo senza perdite; vedi fig. 2.26a),
restremo del vet tore k deve giacere su una sfera di raggio k, e la sua direzione e
individuata da angoli (9, 4» dati da
kx =k sin 8 cos l/>
ky =k sin 8 sin cp,
essendo
k z = v' k 2 - (k + k) = ic cos 9 ,
Per 8 =rr/2, il vettore k giace nel piano z =O(k z =0), formando un angolo cp con
rasse x, dato da
kx = k cos 4>, ky = k sin cp.
Supponendo fissato it valore di tale angolo, si PUQ aumentare I'ampiezza delle compo-
nenti kx e ky (vedi fig. 2.26b) pur di rendere k z immaginario, in modo che sia:
k k ' . k " k · + k . . k .
= - J = x Ix Y Iy - J Z 1%
kz= v'k +k;-W2EIJ. ,
k; + k; >w 2 €Jl
questo corrisponde, formalmente, a rendere l'angolo 8 compiesso
9 = ; + j 9", k z =k sinh 9",
e a considerare un'onda piana la cui fase decresce linearmente spostandosi lungo k',
mentre la sa ampiezza decresce esponenzialmente spostandosi Iungo k". Le onde
piane caratterizzate da vettori di propagazione con parti reali e coefficienti dell'im-
maginario non equidiretti 80no dette non omogenee. Come viene spiegato in 2.7.8 e
2.7.9, esse possono esistere alIa superficie di separazione tra due mezzi distinti (per
tale motivo prendono anche iI nome di onde superficiali), e hanno ampiezza apprez-
zabiImente diversa da zero solo se sufficientemente vicine alIa superficie.
Annotazioni
*2_ 7.1 Riflessione di un' ond. pian.
Consideriamo un'onda piana proveniente da un semispazio di parametri E'1, JlI, e
incidente normalmente su un semispazio di parametri E'2, Jl2, come rappresentato
nella figura 2.27. Affinche siano soddisfatte Ie condizioni a1 contomo nel punta
di ascissa z=O, e possibile (come in 2.4.4) utilizzare la soluzione completa [3] (onda
diretta e riflessa) in z < 0:
{ E I (z)=E; exp(-jklz) + E 1 exp(jk 1 z)
r IHI (z)=Et exp(-jk 1 z)- E 1 -exp(jk l z)

138
Propagozione I Cop. 2
x
E+
H+
y
z
f 11 JJ.1
f2' 1J2
Figura 2.27
con k I = W v'€;ii;,  I = V Il lfEI, e, in z > 0, la parte relativa alla sola onda diretta:
{ E 2 (Z)=E; exp(-jk2Z)
2H2(Z)=E; exp(-jk 2 z),
con k 2 = W v €2Jl2 ,  2 = V 1l 2/E2 . n teorema di unicita assicura, a posteriori, che la so-
luzione trovata e anche I 'unica. La eontinuita dei earn pi, nel pun to di aseissa z = 0, ri-
chiede che sia
{ Et + E 1 =E;
1 + _ _ 1 +
(EI -E I )- 2 E 2 ,
sistema che e facilmente risolto per i rapporti:
r = E 1 =  2 - r I
Et  2 + r I '
coefficiente di ri[lessione per il campo elettrico nel punto di ascissa z = 0, e
E; 22
T=- = ,
Et r2 +I
coefficiente di trasmissione per il campo elettrieo nel punta di ascissa z = O.
Osserviamo che
.1+r=T.
Per il campo magnetico, infine, il eoefficiente di riflessione e pari a - r, quello di
trasmissione, a ( I/ 2) T.
*2.7.2 Profondita di penetrazione
Consideriamo i1 problema precedente, con i seguenti parametri per i mezzi 1 e 2.
Semispazio z < 0 : f I = Eo, III = Ilo
Semispazio z> 0 : f2 = EoE" 112 = Ilo, 0;

2. 7 I Onde piQne
139
il mezzo 2 e cioe caratterizzato da una permittivita relativa Er e da una conducibilita o.
Facciamo inoltre l'ipotesi che
0> WEo Er,
condizione, questa, che definisce i mezzi buoni conduttori: una stessa sostanza pub.
cosi essere considerata un condu ttore buono 0 cattivo a seconda della frequenza. I
metalli (0  10' 81m), fino aile frequenze ottiche, sono certamente ottimi conduttori.
La costante di propagazione ne l conduttore e data da
k 2 =w y( eoe,+ j: ) Ilo  yWOo (l-j)= I/) j ,
dove
/)_./2
V
[8]
e detta profondita di penetrazione; il nome si giustifica osselVando che il campo
si attenua nel conduttore secondo la legge
exp( - zl[,).
La cost ante 6 corrisponde dunque a uno spessore di conduttore tale che l'intensita
del campo a un estremo risulti uguale a lIe volte quella relativa all'altro estremo
(- 8,69 dB).
Nel caso di un metallo, 10 spessore di penetrazione e sempre molto piccolo; ad
esempio, per l'alluminio (0= 3,54 x 10' 81m) la penetrazione e di solo 8 mm giA
a 100 Hz, e a 10 GHz si riduce a 0,8 IJ.m. Nei metalli, quindi, solo la parte esterna
viene interessata al fenomeno elettromagnetico (w =1= 0). Questo da un lato giustifica
la denominazione effetto pelle (0 skin effect) per l'insieme dei fenomeni associati a
un conduttore immerso in un campo elettromagnetico; dall'altro spiega come, nel
passaggio dal mezzo esterno al conduttore, all'andamento continuo della componente
tangenziale del campo magnetico si possa sostituire un (approssimato) andamento
discontinuo. Infatti, la componente tangenziale del campo magnetico diventa trascura-
bile dopo pochi spessori di penetrazione; non si commette dunque un grande errore
nel supporre che il campo magnetico tangente passi, in modo discontinuo, da un
valore diverso da zero sulla su perficie esterna del condu ttore a un valore nullo al-
l'intemo.
Per meglio chiarire questo concetto, calcoliamo il flusso J s (AIm) della densita di
corrente indotta nel conduttore per un tratto unitario lungo l'asse y:
00 00
Is =  J. ix dz =  oE; exp( -jk 2 z) dz=
o 0
t2Et I 2Et Ot2
=0 "  -
tl +t2 jk 2 tl jk 2
2Et
= 2H+'
t 1 1 ,
la densita lineare di corrente e dunque costante per 0> Wfo, ed e data da
Js=2H+X iz.
Fissare condizioni a1 contomo di tipo discontinuo per la componente tangenziale
del campo magnetico equivale a sostituire al vettore J (densita di corrente nel con-
duttore) la densita lineare di corrente Is (flusso di J per unita di lunghezza lungo y).

140
PropagQzione I Cop. 2
La profondita di penetrazione pub, in altre situazioni, essere rilevante; per esem-
pio, nel caso di acqua di mare (0  5 S/m), alla frequenza di 300 Hz si ha   13 m.
Questo spiega I 'uso di basse frequenze per comunicare con i sommergibili.
*2.7.3 Propagazione per onde piane e linea di trasmissione equivalente
Sia data l'onda piana rappresentata nella figura 2.28:
{ E(Y' z)=E+ exp(-jkyy-jkzz)i x
H(y Z)=-LkXE= ( i - ky L ) E+eX p (-jk y- , .k z)
,. wJl wIJ. Y wIJ. -z Y z,
k =k sin 8 k = V k 2 -k 2 .
Y 'z Y ,
si tratta di un'onda elettrica trasversale (TE) rispetto alia direzione z. Consideriamo
ora Ie componenti trasversali del campo
Et(y, z)= [E+ exp(-jkyY) i x ] exp(-jkzz)
k
Ht(y, z)=---=- [E+:exp(-jkyY)i% Xix] exp(-jkzz).
wIJ.
Si nota subito un'analogia con la soluzione progressiva per la tensione e la corrente
lungo una linea di trasmissione (equivalente) di impedenza caratteristica e costante
di propagazione date rispettivamente da
z = WIJ. k = V k 2 -k 2
ok' % . y.
%
[9]
Perche I'analogia sia valida a tutti gli effetti, bisogna ancora verificare che Ie quan-
titi in parentesi quadra soddisfino alle stesse condizioni a1 contomo cui soddisfano
x
z
y
Figura 2.28

2. 7 I Onde p;ane
141
tensione e corrente lungo una linea di trasmissione. In corrispondenza di una discon-
tinuita dei parametri della linea, tensione e corrente (totali) rimangono continui. Pas-
sando al caso delle onde, se Ie caratteristiche del mezzo cambiano bruscamente nel
punta di ascissa z = 0 (i parametri costitutivi sono diversi per z> 0 e z < 0, ma in
ciascuno dei due semispazi non variano con x e y), si hanno onde dirette e rifle sse in
z < 0 e onda trasmessa in z > 0, se i generatori sono situati in z < O. Indicando con
pedici 1 e 2 Ie onde nei semispazi z < 0 e z> 0 rispettivamente, per la continuita delle
componenti tangenziali dei campi dev'essere
{ Et exp(-jkyY) +El exp(-jkyy)=E; exp(-jkyY)
k k
ZI [Et. exp(-jkyy)-Ei exp(-jkyy)]= 2!.- E; exp(-jkyY);
WJ.ll W!J.2
la componente trasversale della costante di propagazione, k y , e qui la stessa per
1 'onda diretta, per quella riflessa e per quella trasmessa, affinche Ie condizioni di
continuita possano essere soddisfatte qualunque sia y.
L'analogia con la linea di trasmissione e ora completamente dimostrata. Essa e
molto utile per studiare problemi di riflessione e trasmissione in mezzi stratificati.
*2.7.4 Linea equivalente per onde TM (esercizio)
Si consideri un'onda piana incidente con il campo magnetico tutto trasversale:
{ E(Y Z)=.i..HXk= ( -i + ky i ) H+eXp(-jk y-jk z)
, we we Y WE Z Y z
H(y, z)= ix H+ exp(- jk,r Y - jk z z),
k y =ksin8, kz= V k2_k.
Si mostri che la linea di trasmissione equivalente ha impedenza caratteristica e co-
stante di propagazione ris pettivam ente date da
Zo =. k z = Vk 2 -k; .
we
[10]
2...7.5 Coefficiente di riflessione di Fresnel
Sia data un'onda piana incidente, con un angolo (J I, su un semispazio di caratteri-
stiche diverse, come rappresentato nella figura 2.29. Nella figura sono indicate Ie due
diverse polarizzazioni possibili: TE, con campo elettrico normale a1 piano di inci-
denza (che contiene la direzione di incidenza e la normale al piano di separazione
tra i due mezzi; vedi fig. 2.29a), e TM, con campo elettrico contenuto nel piano di
incidenza (vedi fig. 2.29 b). II primo tipo di polarizzazione e denominato polarizza-
zione normale, il secondo, polarizzazione parallela. Si vogliono calcolare i coefficienti
di riflessione (detti di Fresnel) per Ie due polarizzazioni.
Le caratteristiche del mezzo sono Ie seguenti: per z < 0, parametri e It JJI; per
z> 0, parametri €2, J.l2. L'uguaglianza della costante di propagazione trasversale ky
per londa diretta e riflessa implica
k 1 sin 8; = k 1 sin tl r
dove (J i e (J r sono gli angoli di incidenza e di rijlessione. Ne consegue la cosiddetta legge

142
Propogaz;one I Cop. 
x
E'1' JJ.1
E' 2' JJ.2
(a)
x
E'"JJ.,
E' 2' J.l.2
(b)
Figura 2.29
Incidenza obliqua su un semispazio dielettrico.

2. 7 I Onde piane
143
della rijlessione dell'ottica: angoli di incidenza e riflessione sono uguali. Si noti che il
risultato precedente e stato ricavato nel caso di un'onda incidente piana. A fre-
quenze ottiche, tuttavia, la quasi totalita delle onde pub riguardarsi come localmente
piana, e questo giustifica la generale validita della legge di riflessione in questo campo
di frequenze.
L'uguaglianza della cost ante ky per l'onda diretta e trasmessa implica
k. sin 9. = k 2 sin 8 2 ,
dove 8 2 e I'angolo di r ifrazio ne; di conseguenza
 sin 8 1 =V€2J.l2 sin 9 2 ;
o anche, detto n = V €1l/€oJlo l'indice di rifrazione del mezzo,
nl sin8 1 =n2 sin8 2
[11]
che e la legge di rifrazione ottica di Snellius. Si oti ancora che
Vk -k; ' =wnl V l-sin 2 8 1 = wn l cos8)
v' k -k; =w v'n  -n :;in 2 8 1 .
Per i1 caso di polarizzazione normale si ha, in base ai risultati 2.7.3,
/J2 nl cos81 -/Jl Vn  -n sin 2 8 1
r 1 =
1l2 n l cos81 +/JI Vn  -n sin 2 8 1
mentre per la po larizzazione p arallela si ha (vedi 2.7.4)
EI v' n  - n sin 2 8 1 - E2 n 1 cos 8 1
r.=
E I v' n  - n  sin 2 8 I + E 2 n 1 cos 8 1
Osserviamo che nelle espressioni [12], [13] figura solo rangolo di incidenza 8 1 (oltre
naturalmente ai parametri dei due mezzi).
[12]
[13]
2'6 Anaolo di Brewster
---.
Con riferimento at problema della figura 2.29, con 112 = /Jl = Ilo, vogliamo deter..
minare (ammesso che esista) un angolo di incidenza 8 B per cui non si abbia onda
riflessa. Per la polarizzazione normale (vedi la formula [12]) dev'essere
n cos 2 8B=n -n sin 2 6 8 ,
i1 che implica nl = n2, cioe E'I = €2. Se i mezzi sono diversi, non vi e alcun angolo con
questa caratteristica. Per la polarizzazione parallela (vedi la [13]) la condizione di
assenza di riflessione e data da
E(n -n} sin 2 8 B)= € n cos 2 8 B,
. ,
cloe
. 2 _ E - E I E2
SID 8s - 2 2
E2 - El
E2
-
EI + E2 .
[ 14]

144
Propagazione I Cap. 2
La [14] individua il cosiddetto angolo di Brewster, che corrisponde ad assenza di
riflessione con polarizzazione parallela. Se l'onda incidente e a polarizzazione arbitra-
ria, in corrispondenza all'angolo di Brewster l'onda riflessa e solo quella a polarizza-
zione normale, quella parallela essendo stata totalmente trasmessa nel semispazio a
destra. L'onda riflessa risulta pertanto polarizzata linearmente; su tale fenomeno si
basano alcuni tipi di polarizzatori.
2.7.7 Pseudoangolo di Brewster (esercizio)
Si mostri che per polarizzazione parallela con €2  - j a/w, a/WEt> 1, III = JJ.2, it
coefficiente di riflessione e minimo per un angolo 8 B (pseudoangolo di Brewster)
dato da
2 - WEt
cos 8 
B a
2. i.8 Riflessione totaIe
Con riferlmento alla figura 2.29, consideriamo i1 caso
>1.
n2
Esiste allora un angolo di incidenza 8t, detto angolo limite, 0 di riflessione to tale,
definito da
n2
sin8 =-
t nl'
[ 15]
tale che l'onda emergente si propaga lungo y (perche k Z2 = 0). Per angoli di incidenza
8 1 >8t,
ku =w ";n  -n} sin 2 8 1 =-jk 2 (:: J 8in 2 6 1 -}
e l'onda nel semispazio z > 0 diventa superficiale.
L'appellativo "riflessione totale" si giustifica in ottica perche, per k 2 oo (w oo),
basta spstarsi di pochissimo dal piano z = 0 nel semispazio z  0 perche il valore del
campo trasmesso diventi trascurabile. Una giustificazione diversa, valida anche nel
campo delle radiofrequenze, si ottiene calcolando, ad esempio, il valore dell'impeden-
za caratteristica della linea di trasmissione equivalente (per incidenza TE) per angoli

maggiori di quello limite:
Zo=
- ik2 V (:: J sin 2 8 1 -}
WIl2
valore che risulta puramente immaginario (se i mezzi non hanno perdite). Per angoli
di incidenza maggiori dell'angolo limite non vi e dunque flusso di potenza reale nel
verso positivo dell'asse z, per z> 0: I r(z < 0) 1= 1.

2. 7 I Onde piane
145
2.7.9 Onde superficiali guida te
Consideriamo ora il caso (illustrato in fig. 2.30) di un piano metallico ricoperto
per uno spessore d da un dielettrico di permittivita (relativa al mezzo 1) €r. Si vuole
stabilire se lunge tale struttura possa propagarsi un'onda guidata lungo l'asse z.
Suppiamo che nei due mezzi esistano onde piane con costante di propagazione
giacente nel piano della figura. La componente secondo z delle due costanti di
propagazione dev'essere la stessa, per x < 0 ex> 0, in modo che Ie condizioni a1
contomo, per x = 0, siano verificate per qualunque z (vedi 2.7.3). Detta k z tale
componente, si ha
k=k;+kl' k5€r=k;+k2' k5=W 2 €ollo,
dove k X1 , k X2 ' sono Ie componenti secondo x (per ora incognite) delle costanti di
propagazione nei mezzi I e 2; esse non sono indipendenti, avendosi dalla relazione
preceden te
2 -kl =k(Er-I).
Per determinare k X2 ' consideriamo la linea di trasmissione equivalente lungo l'asse
x (si tratta dell'unica possibile linea di trasmissione equivalente, perche solo lungo
x Ie caratteristiche del mezzo sono uniformi in ogni piano trasversale; vedi 2.7.3).
Le possibili onde naturalmente sostenute dalla struttura, 0 modi di propagazione
guidata, si ottengono imponendo la condizione di risonanza [7] ( 2.6), che in
questo contesto e giusto chiamare trasversale. Scegliendo come sezione di riferi-
mento x = 0, si ha, per modi TE rispetto a x,
W Ilo W J.lo
k +j k tgk x2 d=0.
xl x2
Questa relazione e verificata se k XI e immaginario puro:
z.. . k "
r'x 1 = - J Xl'
" - V 2 ( 2
k xt - ko Er-I)-kX20.
Posto
k X2 d=u, k(€r-l)d2 =v 2 ,
x
f , /J,
d[,o'JJ'
y
1
2
z
figura 2.30
Guida dielettrica superficiale.
10

146
Propagazione I Cap. 2
l'equazione da risolvere diventa la seguente (per u =1= 0):
-u
tgu= u 2 V2,
V v 2 - u 2 '
la cui soluzione grafica e riportata nella figura 2.31. Perche l'onda guidata possa esi-
stere, dev' essere
1) = k 0 .J €, 1 d;;' ; .
Per x> 0 si ha un'onda superficiale; e k z > k o , e quindi la velocita di fase risulta
minore di quella della propagazione libera nella stesso mezzo: un'onda di questo tipo
viene detta Zenta. AI contrario, per x < 0, k z < ko Er, si e in presenza di un'onda
veloce.
Per la propagazione guidata di onde TM rispetto a x valgono considerazioni analo-
ghe. L' equazione alla Quale si perviene e la seguen te:
Er V v 2 -u 2
tgu = u ' u=k X2 d, u2E;;1)2=k(€,-l)d2,
dove k X2 e ora la costante di propagazione secondo x per i modi TM.
" (u)
'2 (u) I
I
I
I I
I
I
I I
I I
I I
I 7t/2 I 37t/2
u
U
i V2 -U2
Figura 2.31
Soluzione grafica per i1 calcolo delle costanti di propagazione dei modi guidati da un piano
metallico caricato con dielettrico.

2.8 I Riepilogo
147
2:1..10 Teorema deD'energia per Ie onde piane
Come si e visto in 1.3.4, per un segnale a banda stretta, in un mezzo privo di per-
dite e in assenza di sorgen ti, si deve avere
V. [ l(EX H* + E* X H+  [ ! ( a(we) IEI2 + a(wlL) IHI2 )J =0
4 'J at 4 aw ow '
[16]
dove E, H, sono Ie parti lentamente variabili dei campi. Nel caso di onde piane, tutte
propagantisi con identic a polarizzazione lungo l'asse z, il segnale a banda stretta da
luogo a un pacchetto d'onde ( 2.3) e si pub porre
B = A sinu ·
lx,
U
a _A sinu .
- T u I y ,
u = 1).(jz - 1).w t,
[17]
dove A e 41).13 volte l'ampiezza (complessa) dello spettro del campo elettrico per 13 = (jo.
Sostituiamo Ie espressioni [I 7] nell' equazione [16]; poiche
I 1 11?12
4 (E X H* + E* X a) .- 2"  iz,
a d
-....- 1).w - v..... (j;- · v '
at du ' -z
si ha
d d { 2 1 112 - W em V g } = o.
u
Posta uguale a zero la costante di integrazione, si ha
1 IEI2 .
2' r =wem'Dg.
[ 18]
La [18] mostra che il valor medio (temporale) della densita di energia elettroma-
gnetica del pacchetto si sposta con la velocita di gruppo.
2.8 Riepilogo
In questo capitolo si so no presentate Ie idee fondamentali riguardanti il fenomeno
della propagazione elettromagnetica. Per prima cosa, si e osservato che Ie onde
possono essere deScritte 0 da equazioni di tipo iperbolico, come la classica equazione
d'onda
1 024> ( r t )
V 2 4> ( ) -- '. = 0
. r,t 2 2 '
c at
o dall'equazione di dispersione
w=w«(j).

148
Propagazione I Cap. 2
Nel caso dei mezzi lineari, il secondo tipo di descrizione comprende il primo, poten-
dosi sempre la funzione d'onda esprimere come integrale di Fourier.
Particolarmente utile, nel deserivere Ie caratteristiehe generali della propagazione,
si dimostra il concetto di pacchetto d'onda, cioe di un segnale la cui banda (nel domi-
nio della frequenza, e anche in quello del numero d'onda) e molto stretta. La forma
del paechetto non cambia in modo apprezzabile in intervalli spaziali 0 temporali
sufficientemente piccoli, ed esso si propaga con velocita di gruppo
aw
Vg=aif'
ca]eolata al centro della banda.
II piu sempliee tipo di propagazione si ha quando l'onda e funzione di una sola
coordinata spaziale e dalla coordinata temporale; ne e un esempio la propagazio-
ne lungo Ie linee di trasmissione. Per queste, eonviene considerare come rappresenta-
zione dell'onda la eoppia tensione-corrente, oppure la eoppia flusso dell'induzione
elettrica-flusso dell'induzione magnetica, ottenendo in un caso il sistema di equazioni
av =-L.El
az at
ai =-c ov
.az at '
nell'altro il sistema
1 a4> _ aw
- ----
c az at
1 ()\II _ a <I>
- ----
L az at.
II primo sistema si riferisee a linee stazionarie, e pub essere eonvenientemente
trasformato nel dominio della frequenza, il secondo a linee spazialmente omogenee, e
puo essere convenientemente trasformato nel dominio del numero d'onda.
Un altro esempio di propagazione e quello per onde piane, caratterizzate (in un
mezzo isotropo omogeneo) da un vettore elettrico e da un vettore magnetico mutua-
mente ortogonali, ortogonali alla direzione di propagazione e in un rapporto (delle
loro ampiezze) pari all'impedenza intrinseca del mezzo:
.... 1.  . k
n = f Ik X £', Ik = k ·
Se i1 mezzo e non dispersivo, un'onda piana si propaga con velocita cost ante c = IIVi';
senza deformarsi.
La presenza di generatori corrisponde alia inclusione di termini di sorgente nelle
equazioni differenziali che descrivono i1 proeesso propagativo. Nel caso semplice di

Troduz;one delle c;toz;on;
149
linee di trasmissione in regime sinusoidale con generatori ideali (spazialmente) irnpul-
sivi di tensione (serle) e di corrente (parallelo) si ottengono Ie equazioni
dV . 11
-- =JwLI- VGfj(z-z )
dz
- : =jwCV-IG6(z-z').
Una linea di trasmissione, caricata ai suoi estremi, e in risonanza se la somma delle
impedenze (0 ammettenze), in una sua qualunque sezione, e nulla:
Z +2 =0.
Questa condizione e detta di risonanza longitudinale.
Traduzione delle citazioni riportate aU'inizio del capitolo
La luce si propaga e si diffonde non solo direttamente, per rifrazione e riflessione, ma anche in un
quarto modo, per diffrazione.
Aperto in una fmestra un piccolissimo foro AB, si lasci flltrare attraverso esso in una stanza, per-
altro immersa nell'oscurita, la luce del sole splendente in un cielo sereno. Questa luce si propaga
secondo un cono, 0 una figura quasi conica, ACDB, che e visibile se l'aria contiene una quantita
di particelle di polvere 0 se viene prod otto del fumo. Un corpo opaco EF sia inserito in questo
cono a grande distanza dall'apertura AB, cosicche almeno un suo spigolo sia illuminato.
Alla base del cono di luce, nelle zone CM eND, nitide e forte mente illuminate, e possibile distin-
guere una gamma di righe 0 serle di luci colorate. La luce e pura e naturale nel centro di ciascuna
di queste serie, ma colorata ai bordi, cerulea vicino all'ombra MN e rosa all'estremita opposta
F. M. Grimaldi, Physico-matheris de lUlnine, coloribus et iride a/iisque adnexis (Bologna 1665).
(OS) Ie infinite onde che nella stesso istante si originano da tutti i punti di una stlla fissa, per
esempio grande come il sole, vengono percepite come un 'unica onda, la Quale pub ben essere
forte abbastanza da impressionare i nostri occhi. Oltre che da ogni punto luminoso, possono origi-
narsi onde a migliaia, nel minimo tempo immaginabile, in seguito all 'urto continuo dei corpuscoli
che colpiscono l'etere in questi punti, il che contribuisce ulteriormente a rinforzare la lara azione.
Bisogna anche tener presente che nella emanazione di tali onde ogni particella di materia in cui si
genera un 'onda trasmette il suo movimento non solo alla particella vicina, posta sulla retta trac-
ciata dal punta luminoso, ma anche, necessariamente, a tutte Ie altre che la toccano e si oppon-
gono al suo movimento. Talche avviene che intorno ad ogni particella si sviluppa un'onda di cui
quella particella e il centro.
C. Huygens, Troite de 1a lumiere (Leida 1690).
Non sono forse errate tutte Ie ipotesi secondo cui la luce consiste in pressione, 0 in spostamento
che si propaga attraverso un mezzo fluido? Se essa consistesse in pressione 0 in spostamento, pro-
pagantesi istantaneamente 0 in tempo finito, piegherebbe nell'ombra. Perche pressione 0 sposta-
mento, in un fluido, non possono propagarsi in linea retta al di Ia di un ostacolo che fermi in
parte il moto, ma piegandosi, si diffondono per ogni dove nel mezzo in quiete che si trova dietro
l'ostacolo. Le onde sulla superficie dell'acqua stagnante, passando ai lati di un grosso ostacolo che
fermi parte di esse, si piegano al di la e si espandono gradualmente nell'acqua cheta dietro l'osta-
colo. Le onde, gli impulsi, Ie vibrazioni dell'aria, di cui consistono i suoni, chiaramente si piegano,
anche se non tanto come Ie onde nell'acqua. Ecco perche una campana 0 un cannone possono

ISO
Propagaz ion e I Cap. 2
essere uditi al di Ii di una collina che impedisce 1a vista dell'oggetto che produce i1 suono; e i
suoni si propagano attraverso i condotti sia dritti sia tortuosi. Ma non si e mai saputo che la luce
segua condotti tortuosi 0 si pieghi verso la zona d'ombra. Infatti, Ie stesse fisse non sono piu visi-
bill se tra esse e l'osservatore si interpone uno qualunque dei pianeti. E COS! accade a parte del
Sole per interposizione della Luna, di Mercurio' 0 di Venere. I raggi che passano molto vicino aDo
spigolo di un corpo piegano leggennente per azione del corpo, ma questa deviazione non e nella
direzione dell'ombra, bens! in quella opposta, ed e prodotta solo al passaggio del ragio vicino al
corpo, e a piccolissima distanza da esso. Subito dopo aver oltrepassato i1 corpo, it raggio continua
i1 suo percorso in linea retta.
I. Newton, Scritti di ottica, in uOpere", trade it. (Utet, Torino 1977-78). Ed or.: 1717.
E' certamente affascinante l'idea che i fenomeni che hanno luogo nell'aria e su cui noi abbiamo
indagato siano una rappresentazione, su scala un milione di volte piu grande, di quanto accade in
prossimita di uno specchio di Fresnel 0 tra Ie lastre di vetro usate per evidenziare g1i anelli di
Newton.
H. Hertz, Uber elektrodyruzmische Wellen im Luftraume und deren Reflexion, Wiedemanns
Annln, 34 (1888).
Riferimenti bibliografici
Franceschetti G.. Scattering from Plane-layered Media, IEEE Trans. Antennas Propagat., 12, N. 6,
754-63 (nov. 1964).
Felsen L. B. e Marcuvitz N., Modal A1IIllysis and Synthesis of Electromagnetic Fields, Rep.
R. 446a, b del Microwave Research Institute (Brooklyn Polytechnic Institute, New York
1956).
- Rlzditztion and Scattering of Waves (Prentice-Hall, Englewood Cliffs 1973) pp. 215-17.
Gradshteyn I. S. e Ryzhik I. M., Tables of Integrals, Series and Products (Academic Press, New
York 1965) p. 395, equazione 1.
Jeffreys H. e Jeffreys B. S., Methods of MathematiCilI Phyrics (Cambridge University Press, Lon-
dra, 3 8 ed. 1956)   17.04 sg.
Johnson W.C., Tranmaission Lines and Networks (McGraw-Hill, New York 1950) pp. 128-43.
Luke J. C., A Varilltional Principle for a Fluid with a Free Surface, J. Fluid. Mech., 27, 395-97
(1967).
Smith P. H., Transmission Line l;alculator, Electronics, 29 (genn. 1939).
- An Improved Transmission Line Calculator, loco cit., 130 (genn. 1944).
Sugai I., A Table of Solutions of RicCIlti's Equations, Proc. IRE, SO, N. 10, 2124-26 (1962).
Whitham G. B., Linear and Non-linear Waves (Wiley, New York 1924) cap. 1, p. 2.

Capitolo 3
Rappresentazione
Guide d'onda e antenne a microonde alia fine del secolo scorso *
Tra i1 1887, anno dei famosi esperimenti di Hertz sulla radiazione elettromagne-
tica e il 1900, anno in cui Marconi inizio con successo i suoi collegamenti radio su
onde lunghe, si registra un vivo interesse dei fisici per Ie microonde, soprattutto in
relazione alIa possibilita, messa in luce da Heinrich Hertz, di spiegare mediante esse
l'intera fenomenologia dell'ottica: "Si ha davvero l'impressione che queste formule
matematiche ab biano un esistenza indipendente, e siano anzi piil sagge di noi, piu
sagge persino dei loro scopritori, e che se ne possa ricavare piu di quanto in origine
era dato di sperare" (Hertz, 1893).
Le ricerche nel campo delle microonde subirono tuttavia una battuta di arresto
quando si scopri che onde di lunghezza maggiore erano piu adatte (in relazione ai
dispositivi sperimentali del tempo) aIle comunicazioni a grande distanza, e finirono
in pratica con l'essere abbandonate. Solo agli inizi della seconda guerra mondiale, per
la necessita di sviluppare sistemi di comunicazione direttivi e sistemi di radiolocaliz-
zazione, si torno con grande impegno sull'argomento, riscoprendo tecniche e compo-
nenti gia sperimentati aHa fine del secolo scorso.
Dei primi esperimenti sulle microonde colpisce ancor oggi l'ingegnosita. Hertz, per
esempio, per giungere a risultati di importanza storica (come la conferma sperimentale
della teoria maxwelliana della natura elettromagnetica della luce) si servi di un
dispositivo semplicissimo (vedi fig. A) che sfruttava la nota proprieta ottica del fuoco
di una parabola: "Non appena mi riusc] di dimostrare che l'azione di un'oscillazione
elettrica si propaga nella spazio come un'onda, studiai il modo di concentrare tale
azione e di renderla percepibiIe a grande distanza collocando il conduttore primario
[il dipolo] sulla linea focale di un grande specchio parabolico concavo" (Hertz, 1893).
* Per una informazione piu dettagliata sull'argomento si rimanda a Ramsay (1958).

152
JO
.1
20
J
IV 1
J.(1
,
1 (b) 2
Rappresen taz;one I Cap. 3
.
..
-.
Figura A
In (a) e raffigurato i1 riflettore parabolico usato da Hertz nel 1888 per l'irradiazione di
un'onda di 66 em; in (b) i1 disegno dello stesso Hertz dell'oscillatore a dipolo in 1) trasmis-
sione e 2) ricezione. (Hertz, 1893)

A lID fine del secolo SCOTSO
153
Non molto diversa era l'apparecchiatura di cui si servi il bolognese Augusto Righi
per effettuare una serie di esperienze, riassunte nell'Ottica delle oscillazioni elettriche
(1897), che fanno di lui il piu degno continuatore di Hertz nel dare basi sperimentali
alla teoria di Maxwell. La lunghezza d'onda della radiazione utilizzata dal Righi
(prodotta da uno speciale oscillatore di sua costruzione) era tuttavia inferiore (3 0 10
cm, cioe nelle bande XeS) a quella con cui operava il fisico tedesco, onde ottenere
un fascio rifles so piu definito e di conseguenza. una migliore approssimazione delle
leggi dell'ottica classica. La figura B illustra appunto uno dei suoi celebri esperimenti.
A questo proposito bisogna tuttavia ricordare che gli interessi della maggioranza dei
seguaci di Hertz, piu che all'ottica, considerata argomento superato, erano rivolti ai
problemi connessi alia trasmissione e alia ricezione delle microonde. COS1, sempre pili
numerosi erano gli "hertziani" attratti dal virtuosismo ingegneristico di Guglielmo
Marconi, un ex allievo di Righi assurto a grande notorieta e prestigio per via dei suoi
esperimenti di trasmissione "intelligente" dei segnali mediante modulazione dell'oscil-
lazione (nel suo primo esperimento del 1897 a Salisbury Plain, in Inghilterra, si servi
egli pure di riflettori cilindrici a sezione parabolica, per la trasmissione "senza fui" di
onde di 25 em; vedi Marconi, patente del 1896).
La popolarita di questo tipo di antenna a sezione parabolica era senza dubbio
legata ana semplicita della sua costruzione: ovviamente, un paragone con Ie presta-
zioni dei moderni riflettori parabolici a doppia curvatura e improponibile! Una
variante e data dal riflettore cilindrico a sezione circolare, realizzato nel1896 da un
fisico di Calcutta, sir J agadis Chandra Bose, per esperimenti su lunghezza d'onda
di 5 millimetri (Bose, 1927). II nome del bengalese e anche legato all'invenzione di
un'originale antenna, oggi chiamata trombino elettromagnetico, destinata alIa rice-
zione, Ie cui caratteristiche operative vennero da Bose stesso illustrate nel 1897 a
Londra, nel corso di una conferenza alIa Royal Institution. L'antenna faceva parte di
un sistema completo "per 10 studio delle proprieta delle onde elettriche" (Bose, 1896),
in so stanza uno spettrometro per microonde, che Bose aveva trasportato a bella posta
dall'India insieme eon una quantita di componenti quasi ottici (vedi fig. C). Connesso
"all'imbuto collettore" (collecting funnel) era un ingegnoso rivelatore "a semicon-
duttore", costituito da un insieme di molle metalliche a forma di spirale, sottoposte a
una pressione regolabile e a un 'opportuna tensione di polarizzazione. Talvolta egli
usava come radiatore un semplice tubo di sezione rettangolare 0 circolare al cui
estremo era solito collocare una lente affinche la radiazione risultasse piu intensa. Un
esempio di un'antenna siffatta (oscillatore in guida d'onda, piu lente schermata, 0
shielded lens) e riportato nella figura D. Ancor prima di Bose fu Lodge (neI1894) a
fornire una convincente dimostrazione sperimentale, sempre alIa Royal Institution di
Londra, delle possibilita offerta dalle guide d' onda per 10 studio della fenomenologia
delle microonde; la figura E mostra appunto l'apparecchiatura da lui usata in quella
circostanza. Poehi anni dopo Ie sue scoperte sulle proprieta modali della propaga-
zione di un'onda in una cavita ricevettero da parte di lord Rayleigh una compiuta
spiegazione nell 'ambito della teoria di Maxwell.

154
RappresentQzione I Cap. 3
Figura B
Esperimento di interferenza tra due specchi di Fresnel realizzato da Righi con un'onda di
3 cm: i raggi riflessi dei due fasci hanno 1a stessa diffelenza di fase in tutti i punti, e il gra-
do di interferenza dipende dalla distanza tra gli specchi M 1 e M 2' (Poincare e Vreeland,
1905)
/I

,
If
r
Figura C
Spettrometro per microonde usato da Bose nella sua dimostrazione del 1897 . Componenti:
R, radiatore; S, cerchio spettrometrico; M, specchio piano; C, specchio cilindrico; p, pri-
sma a riflessione totale; P, semicilindri; K, portacristalli; F, imbuto collettore collegato a1
rivelatore a molle; t, vite tangenziale per la rotazione del ricevitore; V, elemento di pila
di Volta; r, reostato circolare; G, galvanometro. (Bose, 1927)

AIIIl fine del secolo scorso
lSS
nil III
A 111 1111
11,1"1
8 Ili':'1 L
c 1'1":1
1 ,1 1 11
. II
Figura D
Antenna usata da Bose nel 1897 per l'irradiazione di onde elettromagnetiehe di lunghezza
compresa tra 5 rom e 2,5 cm (oscillatore di Bose). La sfera di platino B, isolata, e 1a sorgen-
te delle oscillazioni; Ie sfere A e C sono collegate allo spinterometro; la lente cilindrica L
ha 10 scopo di intensificare la radiazione. (Bose, 1927)
Figura E
Radiatore realizzato da Lodge nel 1894 e operante su lunghezza d 'onda da 7,5 a 20 em;
l'eccitazione e posta dentro una cavita (aperta) cilindrica (copper hat). (Lodge, 1898)
Nell'ottica delle microonde, un capitolo importante e quello dei fenomeni di
polarizzazione, un campo in cui gli "hertziani" eccellevano, come dimostrano gli
studi di Righi (1897), di Bose (1898) e prima ancora dello stesso Hertz (1893). Meri-
tano infine un cenno Ie ricerche condotte in quel periodo (essenziali per la realizza-
zione dei dispositivi e delle apparecchiature esaminati) sulle pro prieta dei dielettrici,
in gran. parte sulla base di lavori originali di Hertz. Tra i materiali insoliti studiati
da quest'ultimo vi erano la carta ("feci una pila di libri fmo a formare un para1lelepi-
pedo lunge 1,5 m, largo 0,5 m e alto 1 m") 10 zolfo, la pece artificiale e addirittura
I'asfalto (Hertz, 1893).

156
Rappresentaz;one I Cap. 3
3.1 Rappresentazione ana1itica del campo elettromagnetico
Qualunque campo elettromagnetico e la soluzione delle eqzioni di Maxwell,
quando siano assegnati i generatori, Ie relazioni costitutive che specificano Ie caratte-
ristiche del mezzo, Ie condizioni iniziali e Ie condizioni al contomo. Risolvere quel
sistema di equazioni significa anche, implicitamente, saper rappresentare il campo,
conoscerne cioe i valori in ciascun punto dello spazio e in ciascun istante.
Tale rappresentazione pub essere realizzata in due modi. II primo consiste nel trac-
ciare una specie di mappa che faccia corrispondere ad ogni punto dello spazio un in-
sieme di numeri che descrivono completamente il campo in quel punto: ad esempio, Ie
componenti dei vettori del campo in un sistema di riferimento arbitrario. Perche il
procedimento sia di utilita pratica, si devono discretizzare Ie coordinate spaziali e
temporali, costruendo una specie di reticolo e assegnando i valori del campo in tutti i
vertici di questo; negli spazi intermedi il campo pub essere stimato per interpola-
zione. Quella che e stat a sommariamente descritta e una rappresentazione numerica,
oggi possibile grazie all'impiego di calcolatori ad ampia memoria e ad accesso rapido;
dal punto di vista delle applicazioni, si tratta di una tecnica soddisfacente.
II secondo modo consiste in una rappresentazione di tipo analitico, nel senso che il
campo e espresso mediante funzioni note; a differenza del primo procedimento, non
e applicabile ad. ogni situazione.
Storicamente, Ia rappresentazione mediante funzioni, 0 espansione modale, ha
preceduto quella numerica; non di rado essa consente, sfruttando Ie pro prieta delle
funzioni (modi), di spiegare Ie caratteristiche generali del campo elettromagnetico,
indipendentemente dal particolare problema considerato. Si tratta di un vantaggio
non trascurabile, almeno nella misura in cui la scienza non pub appagarsi della
semplice descrizione del fenomeno, ma deve mirare alla sua comprensione. La tecnica
numerica applicata all'elettromagnetismo e ancora agli inizi e pub darsi che, opportu-
namente raffmata, sia capace di fomire una visione piu chiara dei fenomeni, ma an-
che in tal caso, difficilmente si riuscira a fare a meno dello studio analitico del
campo; e. anzi probabile che si arrivi a una specie di fusione tra i due metodi per vie
gia indicate da alcuni autori (Harrington e Mautz, 1971; Harrington, Mautz e Chang,
1972).
In sostanza il problema della rappresentazione modale di un campo elettromagne-
tico non e dissimile da quello di una rappresentazione di una funzione del tempo in
serle (0 integrale) di Fourier. Si consideri i1 semplice caso della funzione periodica
rappresentata nella figura 3.1. Le funzioni adatte per 10 sviluppo ([unzioni di base)
so no Ie seguenti:
Sin(2mr ; ), n = 1, 2, 3, ...

3.1 I Rappresentazione ana/itica
157
. f ( t)
T -
A
-
---
t
-A
-
T T
2 2
Figura 3.1
Grafico deUa funzione periodica f(t).
Poniamo
00 . ( t )
f(t)=nAn sm 2mr T ;
moltiplicando a destra e sinistra per sin (2m 1T tIT) e tenendo conto che
T
I Sin(2mr ; ) sin(2m7r ; ) dt= ; 6 nm ,
o
si ha, integrando,
Am T I T ( t ) AT
2 = f(t)sin 2m1T T dt= m1T (l-cosm1T).
o
Da questa relazione si pub ricavare Am e di conseguenza 10 sviluppo per la funzione
f(t):
f(t)= 4: fn 2n1 Sin(2n+l)7r ; J
[1 ]
II precedente esempio e indicativo delle tecniche che vengono. adoperate per
l'analisi degli spazi lineari (Friedman, 1961). Vi si considera infatti un particolare
spazio lineare !R: I'insieme di tutte Ie funzioni dispari reali, di periodo T, a quadrato

158
Rappresentaz;one I Cap. 3
sommabile nel periodo. Detti X e y due elementi dello spazio!R, si definisce in esso
un prodotto scalare
T
u,y) = f x(t)y(t)dt.
o
[2]
In !R e poi introdotto un sistema di elementi di base linearmente indipendenti
un -+ sin [2(2n + 1)11' ; l
il sistema e completo, nel senso che un qualunque elemento dello spazio puo essere
rappresentato come combinazione line are degli elementi di base, convergente secondo
la metriea indotta dal prodotto scalare. 1
Gli elementi della base sono ortogonali, nel senso che
Un,Xm>=O per n=Fm,
[3]
e possono essere resi ortonormali:
Un -+ v1 sin [2(2n + 1)11' ; ]
in modo che
Un,xm>=nm.
[4]
In questo caso l'elemento x dello spazio e rappresentato, nella base (X n , come segue:
x{t)= n (x, x n > Un .
[$]
Nel semplice esempio considerato, la base (x n  e formata da funzioni ortogonali
che possono essere rese ortonormali (vedi la [4]), e il prodotto seal are e definito
semplicemente come l'integrale, esteso al periodo, del prodotto di due elementi
delPinsieme. Piil in generale, il prodotto scalare e definito con I'introduzine di una
funzione peso w:
T
U,y)=J x(t)y(t)w(t)dt.
o
Se gli elementi dello spazio sono funzioni complesse, il prodotto s.calare e definito
moltiplieando, nell'integrale [2], un fattore per i1 complesso coniugato dell'altro.
Talvolta e inveee necessario adoperare una rappresentazione integrale; un esempio
1 La convergenza, in generale, e defmita a meno di un insieme di miSUla nulla; nel caso uni-
dimensionale considerato, I'insieme nullo e un insieme di punti. E' infatti noto che la rappresenta-
zione [1] non converge a1 valore esatto per]a f(t) nei punti (fenomeno di Gibbs) t= T/2, T,...

3.1 I Roppresentozione onQlit;co
159
tipico e la rappresentazione di F ou rier:
+00
x(t)= 2 J X(w)exp(jwt)dw.
_00
Le funzioni expUwt), non essendo a quadrato sommabile, a rigore non apparten-
gono allo spazio delle funzioni x( t) (spazio d Hilbert); tuttavia, poiche il loro pro-
dotto scalare con gli elementi di tale spazio e ancora defmito, si conviene di chiamarle
(impropriamente) "elementi" della base. Di conseguenza "coefficienti" dello svilup-
po sarebbero Ie funzioni X(w).
Dal punto di vista. applicativo e poi importante che la rappresentazione [5] sia
non solo corretta, ma anche rapidamente convergente, nel senso che un numero
limitato di termini della serie fornisca gia una rappresentazione sufficientemente
approssimata dell'elemento x (t).
Si tratta dunque di scegliere rappresentazioni alternative, cioe basi diverse, piu
appropriate al particolare problema allo studio; ovvero rappresentazioni asintotiche,
cioe valide (e rapidamente convergenti) quando un qualche parametro del problema
(per esempio, la distanza dalle sorgenti) diventa molto grandee
Tornando al campo elettromagnetico, una volta passati nel dorninio della fre-
quenza, rappresentata cioe la dipendenza temporale dei campi con un integrale di
Fourier,2 resta da rappresentare la dipendenza spaziale del campo. In primo luogo e
necessario disporre di un conveniente insieme di funzioni di base, completo e pos-
sibilmente ortonormale. Dato il carattere complesso di tali funzioni, it prodotto
scalare tra due elementi,  e '11, dello spazio viene defmito come segue:
(<1>, \{1} = f <1>(r) \{1*(r ) dr,
[6]
essendo I'integrale esteso al volume dove il campo e definito. In particolare, si osserva
che la cosiddetta norma,
«, »1/2 ,
[7]
e positiva, e nulla solo se 10 e identicamente I'elemento 4-. Questo permette di riguar-
dare la norma come la naturale estensione della lunghezza di un vettore in uno spa-
zio euclideo reale, e spesso di interpretare il prodotto scalare [6] in termini di poten-
za associata al campo.
La ricerca delle funzioni di base equivale a fissare un opportuno sistema di coordi-
nate, e a ricercare in esso tutte Ie possibili soluzioni delle equazioni di Maxwell, in
assenza di sorgenti, che soddisfino Ie prescritte condizioni al contorno.
Nell'ipotesi che nel volume considerato tali funzioni 4-n siano ortogonali e com-
plete, un generico campo elettromagnetico pub essere espresso come loro combina-
2 Piu semplicemente, quando ci si riferisca ai fason.

160
Roppresentozione I Cop. 3
lione lineare:
(r)= nQnn(r);
[8]
con 4>(r) si e indicato (simbolicamente) il campo elettromagnetico, e gli a" sono coef-
ficienti dello sviluppo. n calcolo dei coefficienti an dipende da come e specificata
l'eccitazione del campo. Se in un sottospazio dello spazio r (per esempio su una
superficie, se 10 spazio e un volume) qualche componente, 0 combinazione line are di
componenti, dei campi E e H ha un valore assegnato, la via piu semplice e imporre
che l'eguaglianza [8] sia valida nel sottospazio, dove ora il primo membro e nota
(campo impresso); se Ie n sono ivi ortogonali, il calcolo dei coefficienti risulta
immediato.
L'eccitazione PUQ essere invece data in termini di co"enti, elettriche e magneti-
che, impresse. In tal caso, e utile adoperare i1 teorema di reciprocita. Si consideri
la situazione rappresentata nella figura 3.2, dove J, J m sono sorgenti impresse, S e una
superficie ideale, e Tuna opportuna sorgente di prova che genera un campo, Es, Hs,
coincidente con uno degli elementi della base. Applicando il teorema di reciprocita
nella formulazione 1.5.3 (mezzo senza perdite) ai campi (E, H) e (E s , Hs) si ha
!:f (E X H:+: X H). indS=  [(in X E). u: + H. (in X Es)*]dS=
S s
= IH(E: 0 J+H: 0 Jm)dV.
V
[9]
Nell'integrale di volume che appare nella [9] tutte Ie grandezze sono note. Se i'vettori
della base sono ortogonali sulla superficie S, in modo che
t}(inXEs)*oHqdS=O se s::J=q,
s
IT
v
Figura 3.2

3.1 I Roppresentoz;one onolit;co
161
e it campo (E, H) viene sviluppato nella base (Es, H s ), Ie grandezze che figurano
nell'integrale di superficie sono note, tranne it coefficiente di eccitazione per il modo
di indice s, che e cosi calcolabile (vedi anche 3.3.8).
Annotazioni
*3.1.1 Studio di un'equazione differenziale
Consideriamo la seguente equazione:
v: 'I1(t) + 2W(t)= G(t), t=::xix + yi y
[ 10]
in un dominio piano S, limitato da una curva 1 (vedi fig. 3.3), su cui
a 'It fa n = 0 (condizione di Neumann);
in S la funzione G(t) e supposta nota e l'operatore V: e il "laplaciano trasversale"; in
coordinate cartesiane, ad esempio, e dato da
a 2 a 2
V2 +
t ax2 ay2
Si vuole ricercare una soluzione dell'equazione [10] che sia esprimibile come com-
binazione lineare di elementi di un opportuno sistema di base. Consideriamo allora
l'omogenea associata (utilizzando momentaneamente, per semplicita, 10 stesso sim-
bolo 'It):
Vw + 2 'II = 0, (equazione di Helmholtz) [11]
con condizioni al contomo di tipo Neumann
aw = 0 1
an su .
L'equazione [11], insieme con la sua condizione al contorno. ammette soluzioni
(diverse da quella identicamente nulla) solo per particolari valori di 2, detti autova-
loTi dell'equazione differenziale; Ie corrispondenti soluzioni sono dette autofunzioni.
Ad ogni autovalore conisponde, at piu, un numero finito di autofunzioni; inoltre,
se nella [10] 2 coincide con un autovalore, la soluzione non e piu unica.
Una prima proprieta degli autovalori della [11] si ottiene moltiplicandola per
'It* e integrando su S:
H (w*Vlw+ 2 w*w) dS= O.
s
Utilizzando la forma bidimensionale della prima identita di Green
H (fV:g+ Vtfo Vtg)dS= + f :: dl
S I
[12]
11

162
Rappresentazione I Cap. 3
I
Figura 3.3
e risolvendo per 2 , si ottiene, tenendo esplicitamente conto delle condizioni al con-
torno,
H IV, '111 2 dS
S
H 1'111 2 dS
S
gli autovalori della [11] sono dunque reali positivi.
Dati poi due autovalori, , , sottraendo l'una dall'altra Ie due relazioni
2 =
;> '0;
'11:' V: '¥n +  W:a W n  .o
WnV 'It:' +;, W n W = 0
e integrando su S, dalla seconda identita di Green in due dimensioni,
H (IV: ,-'V; f) ds=f(f : -g : ) dl,
S I
[13]
si ottiene, tenendo conto delle condizioni al contorno:
(-) HW;:'WndS=O.
S
Se autofunzioni diverse sono caratterizzate da autovalori distinti (autofunzioni
non degeneri) la relazione precedente implica
HWnW*mdS=O (m:;l:n).
S
[14]
Le autofunzioni W n sono quindi ortogonali rispetto al prodotto scalare definito dalla
quantita a primo membro della [14]; e possibile renderie ortonormali con una oppor-

3.1 I RQPpresentozione onalit;co
163
tuna scelta della costante arbitraria rispetto alla Quale sono definite, ponendo cioe
H \W n 1 2 dS= 1.
s
Se Ie autofunzioni sono degeneri, si pub dimostrare che una opportuna combina-
zione lineare di tutte Ie autofunzioni corrispondenti all0 stesso autovalore conduce
ad autofunzioni ortonormali.
Supposto l'insieme {'If,,} completo, la funzione nota G pub essere rappresentata
come combinazione lineare di autofunzioni 'lt n :
G=nQn \IIn,
ove
an =(G, W n >= II Gw:dS;
s
analogamente, la soluzione (incognita) '¥ della [10] e rappresentabile come segue:
\If = n I3n \II n  n ('11, 'It n) (\}1 n ·
La funzione W soddisfa certamente Ie condizioni at contorno, perche queste so no
singolarmente soddisfatte da ciascuna autofunzione. Sostituendo nella [10] i due svi-
luppi per G e'¥ si ottiene facilmente
Q,z <G, Wn)(W n
'11 = :t n 2 2 \II n = :En 2 -  n 2 ,
 -"  
che e la soluzione cerca ta. Si noti che per 2 =  la soluzione e sin gol are , indice
questo della non univoca invertibilita della [10].
*3.1.2 Equazione di Helmholtz in dominio rettangolare con condizioni a1
contomo di tipo Neumann (esercizio)
Si calcolino gli autovalori e Ie autofunzioni dell'equazione differenziale [11], nel
dominie rettangolare della figura 3.4, con la condizione at contorno
:. =0 su I (perimetro del rettangolo).
Esprimendo la [11] in coordinate cartesiane e applicando il metodo della separa-
zione delle varia bili, si mostri che
!4€n€m ( nTr ) ( m1r )
Wnm(x,y)= ab cos aX cos bY ,
m=( :7T f +( n;,7T f.
If W nm Wn'm ,dS=l)nn ,l)mm',
s
dove
fa=l
per 3=1= 0;
1
f =-
s 2
per s= O.

164
Roppresen tozione I Cop. J
 y
.i =i
n y
-
in = i.
--
-
b
-
-
X
L
.1 0
a
Figura 3.4
.3.1.3 Equazione di Helmholtz in dominio rettangolare con condizioni al
contomo di tipo Dirichlet (esercizio)
Si calcolino gli autovalori e Ie autofunzioni per il problema precedente con la dif-
ferente condizione al contorno (per maggior chiarezza, la funzione viene ora chia-
mata 4»):
=O su I.
Procedendo come in 3.1.2, si dimostri che
nm(X'Y)= Va sin (n; x) sin (";,1r y).
!m =( na 1r f + ( ";,1r f.
H nmn'm'dS=c')nn,c')mm'.
s.
3.1.4 Equazione di Helmholtz in dominio circolare con condizioni at contomo di
tipo Ne umann (esercizio)
Si calcolino g1i au tovalori e Ie au tofunzioni per il problema 3.1.2, nel dominio cir-
colare della figura 3.5. L'e.quazione [11], scritta in coordinate cilindriche, diventa
.!  a'lf +....!- a 2 '1f + e'lf = 0
pap Pap p2 a cp2 .
Posto
w(p, q,)=Wl(P)W2(q,)

3.1 I Rappresentaz;one onalit;co
165
y
Figura 3.5
si ottiene
!....!-p dW I + ( 2 _ n 2 ) 'It 1 = 0
p dp dp p2
d 2 'It 2
2 + n 2 '11 2 =0.
d</)
La prima equazione e quella di Bessel, la cui soluzione finita per p = 0 e
In (p),
che e la funzione di Bessel di prima specie; la soluzione per la seconda e
exp(jn</), n = 0, t 1, :f: 2, ...,
dove n assume valori interi affinche il campo sia funzione univoca di </). Si mostri che
W ( ..1.)= ' If exp(jnq,)
nm p, 'I' V -; a
qnm
Vq m -n 2
In(qnmP/a)
In(qnm)
,
dove
,
In(qnm)=O;
II W nm W n'm' dS=c5 nn ,c5 mm ,.
S
Si noti che i punti qnm sono i successivi zeri della derivata della funzione di Bessel, e
che la ortogonalita di queste funzioni discende dalla relazione (Abramovitz e Stegun,

166
Roppresentoz;one I Cop. 3
1968,p.485)
a ( P ) ( P ) a2 qm -n 2
J pJn qnm -;; I n qnm'-;; dP=T 2
o m
[In(qnm)]26mm'
[15]
in cui appare la funzione peso p.
Negli autovalori m, i1 primo indice corrisponde all'ordine della funzione di
Bessel, . i1 secondo individua la successione degli zeri della derivata deDa funzione di
Bessel. Ad esempio:
ql1 = 1,841 ...,
2 ql 3,390...
11 =- =
a 2 a 2
dove
,
J 1 ( 1 ,841 ...) = O.
3.1.5 Equazione di Helmholtz in dominio circolare con condizioni at contomo di
tipo Dirichlet (esercizio)
Si calcolino gli autovalori e le autofunzioni per i1 problema 3.1.3 nel dominie
circolare della figura 3.5.
Procedendo come in 3.1.4, si dimostri che
J ( 1:-. )
<I> = ' /l.exp(jnrp) n Pnm a
nm(P,4» V -; a , ( P ) '
I n Pnm-
a
dove
In(Pnm) = 0;
II <l>nm<l>n'm'dS=nn'mm'.
S
L'ortogonalita delle funzioni di Bessel discende dalla relazione (Abramovitz e Stegun,
1968,p.485)
a
i pJn (Pnm : )In(Pnm' : )d P = a; [J(Pnm)]2 [jmm'.
o
Per gli autovalori m valgono Ie stesse considerazioni fatte in 3.1.4;sihaadesempio:
POI = 2,405 ...,
2 Pl 5,784 ...
Ol = - =
a 2 a 2
dove
J o (2,405)= O.

3.2 I Problem; intern;: guide d 'onda
167
3.2 Problemi intemi: Ie guide d'onda
Con una certa generalita si PUQ definire guida d'onda qualunque struttura che
consenta la propagazione di un'onda elettromagnetica. Nel presente contesto, Ie linee
di trasmissione considerate nei paragrafi 2.4 e 2.5 (vedi anche fig. 2.5) sono da
considerare guide d'onda particolari. In questo paragrafo ci si limita a una cia sse piu
ristretta di guide d'onda, quella delle strutture ciIindriche metalliche, cioe tubi con-
duttori cavi (vedi fig. 3 .6a) la cui sezione non cambia al variare di z (guide uniformi),
eventualmente a connessione multipla (vedi fig. 3.6b). La guida e quindi caratteriz-
zata da una sezione trasversale S, e da un contorno 1 metallico di versore tangente i , e
normale in tali che
in X i, = i z .
Supponiamo per ora che il metallo di cui sono costituite Ie pareti della guida sia
un conduttore elettrico perfetto. Per i buoni conduttori, quali l'alluminio, l'ottone e
il rame usati nella costruzione delle guide, si tratta di un'ottima approssimazione sino
alle microonde (vedi 2.7.2). Tuttavia, come si e visto in 2.5.7, perdite anche molto
piccole, dovute alla imperfetta conducibilita delle pareti, possono far sentire la loro
influenza dopa percorsi sufficientemente lunghi. E poiche Ie lunghezze sono rappor-
tate alIa lunghezza d'onda, nel campo delle cosiddette microonde (1 rom A  10 cm)
questo effetto puo verificarsi anche per i tratti di guida comunemente usati nelle ap-
plicazioni. Della presenza di perdite si pub tener conto con uno studio di tipo pertur-
bativo (vedi 3.3.9). La sezione trasversale della guida e supposta infine omogenea, pur
potendo Ie caratteristiche del mezzo variare lungo z.
II problema esaminato in questo e nel successivo paragrafo e dunque il seguente:
trovare eventuali configurazioni del campo elettromagnetico, in regime sinusoidale e
in assenza di sorgenti, in grado di propagarsi nell'interno di un tubo metallico cilin-
drico e soggette alla condizione al contorno
in X E = 0 su 1 [ 1 ]
(annullamento della componente tangenziale del campo elettrico suI contorno di un
conduttore elettrico perfetto).
Conviene anzitutto scomporre i campi nelle rispettive componenti trasversali e
longitudinali:
E(r)=Et(r) + Ez(r)i z
H(r) = Ht(r) + Hz(r)i z ;
10 stesso dicasi per Ie componenti trasversali e longitudinali della coordinata spaziale r:
r=t + zi z .
Sostituendo Ie precedenti espressioni di E e H nelle equazioni di Maxwell ai rotori (in

168
Roppresentozione I Cop_ 3
in
I
/,
(8)
(b)
Figura 3.6
assenza di sorgenti) e proiettando queste equazioni trasversalmente e longitudinal-
mente, si ottiene
a (iz X Et)=-jwIlHt+iz X VtEz
a (Ht X iz)=-jwEEt + VtHz X iz,
{ V t . (iz X )=j.WIlHz
V t . (Ht x 1z)=JweEz,
[2]
[3]
ove l' operatore trasveTsale  e definito come segue:
" V '. a
Vt= -Iz az ·
Ad esempio, in coordinate cartesiane
". a + . a
v t Ix ax Iy a y ·
Le [2], [3] possono essere ricavate in van modi, ovviamente tutti equivalenti. 11
piu semplice e probabilmente quello di proiettare Ie equazioni di Maxwell in coordi-
nate cartesiane e raccogliere poi separatamente i termini trasversali e quelli longitu-
dinali. Le [3] esprimono i campi longitudinali in funzione di quelli trasversali; nelle
equazioni [2] e dunque possibile, per sostituzione, far comparire solo questi ultimi.
Applichiamo ora n metodo della separazione delle variabili al sistema [2], espri-
mendo i campi trasversali come prodotto di due funzioni, l'una della sola coordinata

3.2 I Problemi intern;: guide d 'onda
169
trasversale t, I'altra della sola coordinata longitudinale z:
Et(t, z)=e(t) V(z)
Ht(t, z)=h(t)/(z),
cosicche i campi longitudinali 80no dati da
{ iWIlH z = V(z) V t · (i z X e)=- V(z)i z · (V t ¥ e)
iWEE z =l(z) V t . (h X iz)=l(z)i z · (V t X h).
[4]
Sostituendo nelle [2] si ottiene
(izxe) :: =-iW/JI{h+ :2 [VtVtO(hXiz)]}
(hx i z ) : =- i W€v{ e+ k 12 [V t V t 0 (i z X e)] X iz}
[5]
dove k" = w" Ell.
Supponendo Ez =0 (campi TE), si hanno Ie seguenti conseguenze:
(a) i1 vettore (trasversale) h  irrotazionale, come si desume dalla seconda delle [4]
(Vx h ha un'unica componente secondo z);
(b) i vettori i z x e e h sono paralleli, come si desume dalla prima delle [5]:
i z X e=Ah,
[6]
dove A e una costante arbitraria;
(c) i1 vettore (trasversale) e e solenoidale, come si desume dalla seconda delle [4] dopo
aver sostituito la [6].
Supponendo invece Hz = 0 (campi TM), si hanno Ie conseguenze duali:
(a') i1 vettore (trasversale) e e irrotazionale;
(b') vale la relazione, d'altronde coincidente con la (6],
Ah X i z = e;
(c') il vettore (traversale) h e solenoidale.
Ora, un arbitrario campo vettoriale pub essere espresso come sovrapposizione di
due campi, l'uno irrotazionale e I'altro solenoidale (teorema di Helmholtz). Si pub
dunque scomporre i1 campo e, h in una parte TE (elettrica trasversale) e in una parte
TM (magnetica trasversale) rispetto alla direzione z: la prima e composta da tutte Ie
possibili soluzioni TE; la seconda, da tutte Ie possibili soluzioni TM. Questi due
insiemi hanno un elemento in comune, cioe l'eventuale campo TEM (elettromagne-
tico trasversale) che conviene considerare a parte (vedi 3.2.1). Le proprieta delle due
soluzioni, TE e TM, sono considerate nel paragrafo 3.3.

170
Rappresentazione I Cap. 3
Annotazioni
*3.2.1 Propagazione TEM in cavo coassiale
Si vogliano studiare Ie possibili soluzioni TEM del sistema [5]. Poiche Hz = 0, il
vettore e e irrotazionale e pertanto pub essere espresso come gradiente di una oppor-
tuna funzione potenziale:
e=- Vt<l>;
d'altra parte, poiche Ez = 0 e
e=Ahx iz,
il vettore e e anche solenoidale, in accordo con la seconda delle [4 ], e pertanto
V t . Vt<P =V: <I> = O. [7]
Nella sezione S la funzione cI> e dunque soluzione dell'equazione di Laplace con
la condizione at contorno (richiesta dalla perfetta conducibilita delle pareti)
e · i 1 =- (Vt<P) · i 1 =- a Cl>lol= 0 su I,
. "
Cloe
4> = cost. su 1.
[8]
Ora, se S e semplicemente connessa, la costanza di CI> su 1 implica la costanza di 4>
su tutta S, per la proprieta delle funzioni armoniche, soluzioni della [7]; di conse-
guenza i modi TEM non possono esistere in guide a sezione semplicemente connessa.
Diverso e it caso di una sezione molteplicemente connessa (ad esempio doppiamente
connessa, come in fig. 3.7), poiche la funzione <I> puo assumere valori costanti, ma
diversi, su posizioni disgiunte nel contorno. Modi TEM possono dunque esistere
solo in strutture molteplicemente connesse. Se il grado di connessione em, esistono
(m - I) soluzioni indipendenti della [7], corrispondenti alle (m - 1) costanti che si
possono assegnare su (m -}) dei contomi, la costante sull'ultimo dei conduttori
essendo inessenziale (in altri termini, contano solo Ie differenze delle costanti rispetto
a una costante di riferimento).
Se la struttura e doppiamente connessa e i conduttori esterno e interno sono con-
centrici, si parla di cavo coassiale. Nelle realizzazioni pratiche, la sezione trasversale e
generalmente circolare e talvolta ellittica (in tal caso i fuochi delle due ellissi che la
limitano coincidono); la separazione tra i due conduttori e assicurata da un dielet-
trico che riempie uniformemente l'intercapedine 0 e limitato a setti distanziatori.
]1 sistema [5] diventa i1 seguen te:
d V =-jW.!!:.. I
dz A
[9]
dI . A V
dz =-/Wf .
Se la costante A e scelta in modo che V sia pari alIa differenza di potenziale tra i
conduttori interno ed esterno, e 1 alla corrente che circola lungo il conduttore
intemo, allora ilIA coincide con I'induttanza per unita di lunghezza e fA con la

3.2 I Problem; intern;: gUide d'onda
171
capacita per unita di lunghezza del cavo, come si desume confrontando Ie [9] con Ie
equazioni delle linee di trasmissione [8] ( 2.4).
L'integrale del campo elettrico tra i punti Bee (vedi fig. 3.7), d'altronde arbitrari,
deve allora eguagliare V(z) (il campo elettrico e diretto secondo ip, e il potenziale e
per convenzione positivo rispetto a1 conduttore esterno a massa):
C C
J EOipdp=-V J V t 4>°i p dp=-V[4>(c)-4>(b)]=V,
B B
cioe
<P(c)-4>(b)=-I,
[10]
relazione che determina (a meno di una costante inessenziale) la funzione <P. Inoltre,
la circuitazione del campo magnetico, lungo un qualunque contorno che racchiuda il
conduttore interno, deve uguagliare I(z):
fH°i.pPd(/>=  fi z X e°icpp d 1r=-  f : pd(/>=I,
ovvero
L 04>
A=-T op pdq,.
Nel caso del cavo coassiale a sezione circolare, la soluzione della [7] con la condi-
zione al contorno [8] e la normalizzazione [10] e
-lnp
cI> =- + cost.
In(clb)
Risulta dunque
21T
A-
,
m(clb)
c
Figura 3.7
Sezione di un cava coassiale.

172
RappresentQzione I Cop. 3
e quindi induttanza e capacita per unita di lunghezza del cavo sono date da
L=L In ( C )
21f b '
21ft:
c=
m(c/b)
La costante di propagazione k = wVLC = wV;; non dipende dalle dimensioni
del cavo, ma solo dal materiale del Quale esso e riempito (come deve essere per ogni
modo TEM), mentre l'impedenza caratteristica
'IlL ../if 1 c
Zo =v C =v € 21T In b
non coincide con l'impedenza intrinseca del materiale.
E' facile verificare che la potenza che si propaga lunge il cavo e data da VI*/2:
infatti essa, in quanto flusso del vettore di Poynting, e data da
p=  VI. H eX h.' izdS;
s
d 'altra parte
HeXh.'izdS= AI. HVtelt'Vtelt.dS= AI. felt aa. pd<P=I,
S S I
dove si e fatto uso deUa prima .identita di Green ([12],  3.1) insieme alla [7] e 1 e il
contomo (interno piu esterno) del cavo.
3.3 Modi trasversali, e1ettrici e magnetici, in guida d'onda
Consideriarno ora una guida d'onda a sezione semplicemente connessa, in modo da
poter ignorare i modi TEM (se la sezione e molteplicemente connessa, i risultati del
presente paragrafo, pur di includere questi modi, continuano a valere).
Esaminiamo in primo luogo i campi TE, ponendo pari alia costante Ache appare
nella [6] ( 3.2).3 La seconda delle [5] ( 3.2) stabilisce una relazione di uguaglianza
fra tre vettori. Poiche due sono uguali,
hxiz=e,
e il terzo vettore dev'essere a sua volta parallelo a e; di conseguenza
V t V t .h=-kh,
[1]
dove 14 e una (per ora arbitraria) costante. D'altra'parte, il vettore h e irrotazionale,
3 Per modi non TEM non e piu immediata l'identificazione di Vel con tensioni e correnti
effettive, e pertanto conviene scegliere per A il valore piu sempliee, cioe 1.

3.3 I Modi trowerso!i in guidQ
173
come mostra.la seconda delle [4] ( 3.2), e pertanto
1
h=-- V w
kt t ,
[2]
ovvero
V w +k 'It =0,
[3]
a meno di una arbitraria (inessenziaIe) costante additiva. L'equazione [3] determina
la funzione potenziale 'It (e quindi i vettori trasversali e e h) quando siano specificate
Ie condizioni al contorno. Poiche su I dev'essere
Et"i,=- t V(Vtwxiz)"i,=  (VtW).in=O,
la condizione al contorno e la seguente (condizione di Neumann):
aw
an =0 su I.
[4]
L' equazione differenziale [3] con la condizione al contorno [4] e stata studiata in
3.1.1. Essa ammette un insieme discreto di soluzioni (autofunzioni) corrispondenti a
un insieme numerabile di valori per k (autovalori trasversali), tutti reali non negativi.
Le autofunzioni sono ortogonali, e possono essere rese ortonormali (vedi ad esempio
3.1.2 e3.1.4):
H W n (t)W"'m(t)dS=6 nm .
S
[5]
Ad ogni autofunzione corrisponde una possibile distribuzione di campo, 0 modo:
1
h n =- kt Vtw n ,
e n =- it Vtwnxi z =- it VtX(Wni z ).
Le funzfoni en, h n sono dette funzioni vettoriali di modo. L'ortonormalita delle [5]
implica anche una ortonormaIita dei campi: dalla prima identita di Green e dalla [4]
si ricava
H en X h:' · izdS= H i z "(hrt X iz) X h dS= H h n · h:' dS=.
s 8 8
= k  H Vtw n . wdS=- k  H WnVW=
tn tm S tn tm S
ktm JJ
= k '11 n 'It dS;
tn S

174
Rappresentazione I Cop. 3
risulta pertanto
H e n Xh;'..i z dS=6nm.
s
[6]
. La relazione [6] ha una conseguenza importante: in base ad essa, il calcolo del flusso
del vet tore di Poynting attraverso la sezione dell a guida, in presenza di due modi, for-
nisce
p= ; H (En+Em)X(Hn+Hm)*'izdS= ; VnI:+ ; VmI.
S
La formula mostra che i due modi so no disaccoppiati in potenza, nel senso che i1
flusso di potenza e la somma dei singoli flussi. II risultato si estende immediatamente
al caso di piu di due modi, i quali risultano 'quindi tutti disaccoppiati. (Naturalmente,
occorre che siano soddisfatte condizioni al contorno del tipo [4], cioe che Ie pareti
della guida siano perfettamente conduttrici.) Si osserva ancora che il flusso di potenza
associato al singolo modo ha un'espressione formalmente analoga a quella relativa a
una linea di trasmissione lungo la quale sussista una distribuzione di tensione Vn(z) e
di corrente In (z).
Rimane da vedere a quali equazioni debbano soddisfare Ie cosiddette junzioni sca-
lari di modo Vn(z) e In (z). Per ottenerle, basta sostituire la [1] neUe .[5] ( 3.2); trala-
sciando l'indicazione esplicita del pedice n, si ha
dV . I
- =-JwJ.I.
dz
dI ( k 2 )
- =-jW€ l--L V.
dz k 2
Avendo posto
k z = Vk 2 -k
[7]
e
W/l
Z o =-
k z '
[8]
Ie precedenti equazioni si trasformano nel modo seguente:
dV =- J 'k Z o I
dz Z
[9]
dI . k z
- =-J- v:
dz Zo'
Si tratta di un risultato interessante. Per ogni modo TE (cioe per ogni possibile

3.3 I Modi trasverso!i in guida
175
autovalore trasversale k) la propagazione in guida e descritta da una linea di trasmis-
sione equivalente, di costante di propagazione [7] e impedenza caratteristica [8].
II fatto che Ie equazioni [9] siano formalmente identiche a quelle delle linee di tra-
, .
smissione perrnette di applicare alle guide tutti i risultati ottenuti nel paragrafo 2.5
per Ie linee nel dominio della frequenza. E' pere da notare che i parametri k z e Z 0, al
variare della frequenza, hanno un comportamento ben diverso da quello degli stessi
parametri relativi a una vera linea di trasmissione senza perdite. Per prima cosa, k%
non varia lineannente con w; pertanto la guida e dispersiva in frequenza. Inoltre, se E
e /.l sono reall (assenza di perdite) e k<kt, la costante di propagazione e l'impedenza
caratteristica risultano puramente immaginarie:
k= =-j .Jk  -k 2 '=-jOl., Zo =j :11 ;
l'onda diretta associata al modo non si propaga piu lungo la linea, ma si attenua espo-
nenzialmente secondo il fattore
exp(-az).
A questa attenuazione non corrisponde pere una dissipazione di potenza (in accordo
con la supposta assenza di perdita della guida); infatti il flusso del vettore di Poyn-
ting (per l'onda diretta)
.!. V/* =.! Zo 111 2 =.! j wp. 111 2
2 2 2 Q
e puramente immaginario.
La guida si comporta dunque come un filtro passa-alto. Per ciascun modo esiste
unapulsazione eritiea, 0 di taglio (0 di cut-off) We,
w€JJ.=k: ,
tale che la propagazione avviene solo per w> We; ad essa corrisponde una lunghezza
d'onda eritiea Ac:
21T  r=-
Ac =w e v ep. =kt,
tale che la propagazione avviene solo se X < Ac (X e la lunghezza d 'onda corrispondente
nella spazio libero). Pub definirsi altresi, relativamente al particolare modo conside-
rato, una lunghezza d'onda in guida, Ag, che misura il periodo spaziale di ripetizione
del campo lungo l'asse z:
21r = k
z.
Ag

176
Rappresentazione I Cop. 3
Le tre Iunghezze d'onda non sono indipendenti, avendosi
A
Ag= , A<Ac.
v  -A 2
Le proprieta dispersive della guida sono messe in luce, per k z =13% reale, dal dia-
gramma di Brillouin (vedi fig. 3.8); si tratta di un diagramma multiramo, nel senso
che ogni ramo corrisponde a un possibile modo di propagazione. Ciascun ramo parte
da una pulsazione che corrisponde alla pulsazione critica del modo e tende asintoti-
camente, per 13% OO, alla retta
w =13% C,
ove c e la velocita della Iuce. Osserviamo anzitutto che ogni modo e dispersivo, non
essendo la velocita di fase costante con la frequenza. Se poi si propagano piu modi
(segnale multimodale), Ie 10ro velocita di fase, corrispondenti a una data frequenza,
so no in genere diverse Ie une dalle altre; cic> contribuisce ulteriormente alIa disper-
sione del segnaIe.
Lo studio dei modi TM viene effettuato con criteri del tutto simili, giungendo aile
stesse conclusioni. Tenuto conto della prima delle [5] ( 3.2), si scrive
Vt V t . e=-k e, [10]
dove gli autovalori trasversali, k  sono in generale diversi da quelli relativi ai modi
(JJ
WeJ
1
tg)' = -
c
Wt!J.
W C1
pz
Figura 3.8
Diagramma di Brillouin per ]a propagazione in guida.

3.3 I Modi trasvenoli in guida
177
TE. In questo caso e i1 vettore e ad essere irrotazionale:
1
e =- - V 
kt '
[11 ]
da cui discende
v +k =O.
[12]
Le condizioni al contorno per la [12] sono fissate imponendo che
E ·  =- J.... VV; <II · i, =- J.... V a<ll =0 su 1
t kt t kt al
1 1 2 kt
Ez = jW€ IV,. e=- jw€k, IV, <11= jW€ 1<11=0 SU 1.
Esse sono sicuramente compatibiJi, perche la seconda impIica la prima. AlI'equazione
[12] e dunque associata la seguente condizione al contorno (di Dirichlet):
<I> = 0 su I.
[ 13]
L'ortonormalita delle autofunzioni, espressa da
II <IIn(t) <II (t) dS=nm' .
s
[14]
implica, se la [13] e soddisfatta, l'ortonormaIita dei campi:
H enxh .iz=nm'
S
[15]
Anche i modi TM sono dunque disaccoppiati in potenza.
E' interessante verificare se modi TE e TM siano ortogonali. Dette e, h Ie fun-
zioni modali vettoriali relative a un modo TM, ed e;', h;;' Ie analoghe funzioni relative
a un modo TE, si ha
r r, h It * .. dS - 1 r r 1 _l a'¥*
JJ en X m Iz - , II J J V, <IIn X V,'I1::Z · i z dS = , II j<lln aim d/.
s ktn ktm s ktn ktm I
dove si e fatto uso della identita
H Vx (fVg). izdS= II (VfxVg). izdS=ffVg. d/.
S S I
I modi TE e TM sono dunque ortogonali, anche se corrispondenti all0 stesso autova-
lore trasversale, e risultano pertanto disaccoppiati in potenza. Non necessariamente,
invece, modi TE degeneri (corrispondenti allo stesso autovalore) sono ortogonali (pos-
12

178
RappreSenlQzione I Cop. 3
sono tuttavia essere resi tali: vedi 3.3.1). Le stesse considerazioni si applicano ai modi
TM degeneri.
Le equazioni per Ie funzioni modali sealari relative ai modi TM si ottengono, come
per il caso TE, sostituendo la [1] nelle [5] ( 3.2). Tralasciando anche qui I'indica-
zione esplicita del pedice n, si ha
dV . ( k )
- =-JWJl 1-1:2 I
dz k
dI . V
dz =-/W€ ·
[16]
In termini della costante di propagazione lungo z,
k z =k 2 -k
[17]
e dell'impedenza caratteristica
k z
Z o =-
we'
[18]
si ottiene formalmente 10 stesso sistema [9]. A parte la differenza nella definizione
dell'impedenza caratteristica, tutto quanto si e detto in relazione aile proprieta
dispersive e flltranti dei modi TE vale anche per quelli TM. Analoghe sono Ie defini-
zioni di pulsazione e lunghezza d'onda critica, e analoghi sono i diagrammi di Brillouin.
A frequenze inferiori a quella critica l'impedenza caratteristica risulta puramente im-
maginaria, negativa invece che positiva come nel caso TE.
Siarno ora in grado, raccogliendo i risultati parziali esaminati in questo e nel prece-

dente paragrafo, di trattare l'espansione modale di un generico campo elettromagne-
tico in guida. Indicando con gli apici "H" ed "En i modi TE e TM rispettivamente, si
hanno Ie seguenti equazioni:
Et(t, Z}=nIV:(z}e(t)+ v:(z}e(t}] =
=_  V.H VX<'l'niz} +v. E V t<IJ n ]
n n IE n IE
tn n
Ht(t,z}= n z}h (t) + l(t)h (t =
__  H Vt'l1n _ E VX(cI>n)i z ]
- n In ,R In, '
tn n
[19]
{ iweEz(t, z)=nl;(z)kfn n(t)
[20]
iWJlUz(t, z)=n V:(z) 'I1n(t),
cui vanno aggiunti gli eventuali termini relativi ai modi TEM.
Le [19] mostrano chiaramente la scomposizione del campo in parte irrotazionale e

3.3 I Modi trasversoli in pilla
179
parte solenoidale; Ie somme vanno estese a tutti i possibili modi presenti nella guida.
Per guide uniformi lungo z, la variazione delle funzioni modali scalari e del tipo
exp( :l:jk z z);
[21 ]
i coefficienti della espansione possono trovarsi, una volta assegnate Ie sorgenti,
utiIizzando il teorema di reciprocita nella forma [9] ( 3.1); vedi 3.3.6.
Si noti anche che i campi longitudinali Ez, Hz dipendono solo dalle funzioni n e
'It n rispettivamente, e non dalle loro derivate, e che per una variazione spaziale del
tipo [21] la relazione tra Ie funzioni scalari modali e del tipo
Vn(z)=:l:Zon(z).
Non vi e allora alcuna difficolta a esprimere i campi trasversali [19] in funzione di
quelli longitudinali [20] (Johnson, 1965, pp. 100-09): un modo alternativo, ovvia-
mente equivalente, per 10 studio della propagazione in guida (vedi 3.4.1).
Annotazioni
*3.3.1 Modi in guida d'onda rettangolare
Si consideri una guida a sezione rettangolare come quella della figura 3.4. Le
espressioni dei modi associati a tale guida si possono ottenere facilmente in base a
risultati esaminati in precedenza (vedi 3.1.2 e 3.1.3). Per i modi TE si ha
1
h=-
ktnm
..
yl4€nEm [ ( n1r ) ( m1r )]
.ab Vt LOs -;;-x cos bY ,
e=h X i z ,
k:nm = ( :1T r + ( m b 1T r.
Per b <a il modo TE a frequenza di taglio piu bassa e il TE lO , Ie cui funzioni vetto-
riali modali sono
h = 11 ff Sin ( !!. X ) i
V -;;b a x'
,12 . ( Tr ) .
e=-V -;;b sm -;;x Iy;
i1 relativo autovalore trasversale e la corrispondente frequenza critic a sono dati da
k (;r c=2a.
Nella maggior parte delle applicazioni pratiche e b = a/2. I successivi modi TE sono i
seguenti (b =a/2):
TE 20 e TE o1 : Ac = a; TEll: Ac = O,894a...

180
Rappresentazione I Cop. 3
Per i modi TM si ha
e=-  Vtrm (:" X)sin (" y)J.
h=iz X e,
k 2 = ( E!!... ) 1 + ( m 1r ) 2
tn  a b.
Gli autovalori trasversali dei modi TM coincidono con quelli dei modi TE. In ciascuna
coppia, essi possono essere combinati linearmente, in modo da dare ancora un modo
della guida. In particolare, tali com binazioni possono formare nuovi insiemi di base,
TE e TM, rispetto a y 0 a x.
I modi TM con un indice uguale a zero sono identicamente nul1i: ihfatti
4»om(x, Y)=no(x, y)= O.
n primo modo TM che si propaga e it TM II , caratterizzato da
k=( : f+( ; r
e
AC= O,894a, b = a/2.
I modi successivi sono
TM 21 : A c =O,707a; TM 31 :A c =O,5S5a;
n primo modo che si propaga (modo fondamentale) e quindi i1 TElo. L'onda progres-
siva e data da
Et=- Va 2 b sin( : x) Zo1+ exp(-jzz)iy
a t = }/' a 2 b sin (: x )1+ exp(-jzz)ix
 ( 7r ) 1( .
H = - cos - x -:-- /+ exp(-j{j z)
Z ab a /{j:za Z ,
con
Z= VW 1EIl-( : r, Zo= ;: ·
(La distribuzione dei campi lungo x e riportata in fig. 3.9.)
I modi caratterizzati da una pulsazione critica maggiore di quella del modo fonda-
mentale si dicono modi superiori. I primi sono it TE 20 e il TEoI ; vengono poi it TEll
e il TM II, e di seguito tutti gli altri.

3.3 I Modi trosver./; in guido
181
I E..I
Zo 1 H MIX 1
x
I Hmax I 11(1
I
I
I
I
I x
1 Hzl I
-1L 1 Hmax 1 I
pza --------
I
I
I
a x
Figura 3.9
Guida d'onda rettangolare: andamento dei moduli delle ampiezze dei campi in funzione
dix per un'onda progressiva e per i1 modo TElo'
3.3.2 Modi in guida d'onda circolare (esercizio)
Si studino i modi in guida d'onda a sezione circolare utilizzando i risultati visti in
3.1.4 e 3.1.5. Si mostri che il modo fondamentale e i1 TEll, caratterizzato da
k = 1,841 '\ 3 413
t , I\c =, a,
a
e i1 primo modo superiore e il TM 01 , caratterizzato da
kt= 2,405 , A c =2,613a.
a
3.3.3 Modi in guida d'onda a spicchio (esercizio)
Si studino i modi in una guida d'onda la cui sezione trasversale e rappresentata
nella figura 3.l0a. Si utilizzi la soluzione trovata per la guida d'onda circolare,
imponendo opportune condizioni al contomo per
<p = 0, <p ='Y.
Si mostri che la dipendenza radiale delle funzioni 'If e  e rispettivamente del tipo
Jv(qvmP), Jv(PvmP),
dove v= n 1r1'Y.

182
y
x
(a)
y = 21t
(c)
Figura 3.10
Alcune sezioni di guida d'onda a spicchio.
Rappresentazione I Cap. 3
y= 1t
(b)
Le Jv(u) sono funzioni di Bessel di ordine (in generale) frazionario (Abramovitz e
Stegun, 1968, pp. 435-77); qvm, Pvm sono i successivi zeri delle due funzioni, per
p=a:
J;(quma)= 0, Jv(Pvm a)= O.
Si studi in particolare una guida a spicchio con 'Y = 1r (vedi fig. 3.10 b); in tal caso
v = n, e la: dipendenza radiale dei campi e ancora descrivibile per mezzo di funzioni di
Bessel di ordine intero. Si mostri che il primo modo TE e il TEll, come nel caso della
guida circolare, e che il primo modo TM e il TM 11 , mentre tutti i modi TM om sono
identicamente nulli.
Si studi poi la guida a spicchio con 'Y= 21r (vedi fig. 3.1 Oc), corrispondente a una
guida circolare con un setto radiale metallico. In questo caso v = n /2.
Per n pari si ottengono modi con dipendenza radiale uguale a quella della guida
circolare; per n dispari si ottengono nuovi modi, la cui dipen denza radiale e descritta
da funzioni di Bessel di ordine frazionario. I modi a frequenza di taglio piu bassa
sono descritti dalla funzione (Abramovitz e Stegun, 1968, p. 438)
vf sin(ktP)
J I / 2 (ktp)= 1r _  .
VktP

3.3 I Modi trasversa/i in guida
183
Si dimostri che il primo modo TE e caratterizzato da
1,165
kt= ,
a
AC = 5,391a;
mentre il primo modo TM e caratterizzato da
7r
k =-,
t a
AC = 2a.
II modo fondamentale e quindi il TE 1I2 , 1. Si noti come l'inserzione del setto
metallico abbassi notevolmente la pulsazione critic a, a parita di dimensioni, rispetto
alla guida circolare.
3.3.4 Modi superiori in cavo coassiale (esercizio)
In 3.2.1 e stato mostrato che il modo fondamentale in un cavo coassiale e il TEM
(k t = 0). Si studino i modi superiori nel caso di una sezione trasversale circolare
(vedi fig. 3.7), utilizzando combinazioni lineari di funzioni di Bessel di prima e
di seconda specie,
AJn(ktP) + B Yn(ktP);
si osservi che la funzione Yn(ktP) e singolare per p= 0 (ma questo punta e escluso
dalla sezione trasversale del cavo).
Si ricavino Ie equazioni di dispersione per i modi TE
J(ktmb) J(ktmc)
- ,
Y(ktmb) Y(ktmc)
e per i modi TM
In(ktmb) In(ktmc)
-
Yn(ktmb) Yn(ktmc)
Delle precedenti equazioni esistono soluzioni numeriche (Ramo e Whinnery, 1953);
e anche possibile darne una soluzione analitica approssimata (Johnson, 1965, p. 142)
se
I
C-b<"2 (c+b)=R;
in tal caso si ha per il primo modo TE
1
k-
t R'
Ac27rR ,
e per il primo TM
7r
kt
c-b
II primo modo superiore e quindi il TE 10 ; il primo indice (n = 1) individua l'ordine
delle funzioni di Bessel adoperate e il secondo (m = 0) classifica il primo zero della
equazione di dispersione per i modi TEnm.
Ac2(c-b).

184
Rappresentazione I Cop. 3
3.3.5 Modi in lUida d'onda a spicchio di cavo coassiale (esercizio)
Rifacendosi alla guida d'onda la cui sezione e riportata nella figura 3.11, stu-
diame i modi, con particolare riferimento ai casi 'Y=ft e "1= 2ft.
3.3.6 Bccitazione del campo in una lUida d'onda a sezione rettangolare
Consideriamo una guida a sezione rettangolare, come quella riportata nella figura
3 .12a, eccitata da un dipolo magnetico di lunghezza 111, percorso da una corrente 1m
(fig. 3.l2b) e orientato lunge l'asse longitudinale della guida. La sorgente e qui una
densita di corrente magnetica
J m =lm 5 (x-x')5(y-y')i z ,
costante in Izl <111/2 e nulla all'esterno di tale intervallo. n campo da essa prodotto
pub essere rappresentato nei modi propri della guida rettangolaJ;e considerata. Per
calcolare l'eccitazione del singolo modo, si pub far uso del teorema di reciprocita
nella forma [9] ( 3.1), laddove il volume di integrazione e la parte di guida com-
presa tra Ie ascisse z' e zIt e la sorgente di prova e posta all'estemo di esso.
Considerando l'integrale di volume e facile rendersi conto che in questo caso solo i
modi TE sono eccitati. Se la guida e illimitata nei due sensi e Ie sorgenti di prova sono
poste a un'ascissa z < z", esse producono un campo (modo di indice generico i)
{ H' =et ZOi exp(-ikziz)
H' = [hi + jzi V t . 11;] exp(-jkzz),
dove
ZOI =  ' kZI= 0 2 -( :1r f - (nb 1r r ·
L'ampiezza del campo di prova e stata scelta (arbitrariamente) in modo che sia H' =h;
per z ..:.. o.
x
Figura 3.11

3.3 I Modi trasversa!i in guida
185
.Y
y
-
x
L
x'
.I
z
b
r--- y'
I
a
Figura 3.12
II dipolo magnetico produce un campo che varia con z in modo diverso a seconda
che z < 1/2 0 z > 112. Espandendo questo campo nei modi associati ana guida, per
it modo di ordine q e z > t11/2 si ha
{ E=eqZOql q exp(-jkzq z)
Iq iz .
H= [hql q + i k zq V t . h q ] exp(-/kzqz);
per z<1/2, si ha
{ E=eqZOql q exp(jkzqz)
Iq iz .
H= [hql q - ikz q V t . h q ] exp(/kzqz).
Per 1:11  0, Ie espressioni precedenti valgono rispettivamente per z> 0 e z < o.
La Iq e una costante incognita che rappresenta l'eccitazione del modo di ordine q;
essa e la stessa per valori positivi e negativi di z, in modo da assicurare la continuita
del campo magnetico tangente per z = 0; la componente longitudinale del campo
magnetico e invece discontinua a causa della presenza della sorgente.
n campo totale prodotto dalla sorgente risulta dalla sovrapposizione dei modi pre-
cedenti, con opportuna scelta dei coefficienti Iq dello sviluppo. Sostituendo questo
nell'integrale [9] ( 3.1), si vede subito che solo i1 termine corrispondente allo stesso
modo della sorgen te di prova fornisce un val ore diverso da zero per I'in tegrale di
superficie. Infatti la parte di questo integrale estesa aIle pareti metalliche della guida
e nulla, perche ivi e nullo il campo elettrico tangente. Per la parte di integrale estesa
alla sezione trasversale della guida (z = z' e z = z") Ie relazioni di ortogonalita [6]
mostrano che solo il modo di ordine i PUQ dare un contribu to diverso da zero. Se
k > kt (il modo di ordine i si propaga), solo l'integrale nella sezione z = z' e diverso da
zero e vale
Z o i l. + Z o ..l. = 2Z o .1.
, , , , ,.
Se invece k < kt (il modo di ordine i e interdetto), solo l'integrale nella sezione z = z"
e diverso da zero e vale
ZOi1i - Zli I ; = 2ZOiI;.
perche ZOi e una pura reattanza. Perfanto, l'integrale superficiale vale sempre 2Zo;I;.
L'integrale di volume (compreso il segno meno) e anche immediatamente calcola-
bile, ove si ammetta che la lunghezza del dipolo magnetico 1:11 tenda a zero, rimanen-

186
Rappresentazione I Cap. 3
do finito i1 prodotto 1m 6.1. II risultato e i1 seguente:
1m 1:11 , ,
'k ktiWi(x ,y ),
} zi
dove si e tenuto conto dell'espressione della funzione vettoriale di modo hi in termini
della corrispondente funzione W;. Uguagliando i due integrali secondo la [9] ( 3.1) e
risolvendo per Ii, si ottiene
I = _ vi 4En Em 1"'.f:J.l  ( - .!!!!. ) 2 + ( .!!!!!... ) 2
i ab 2} wp. a b
( n1r ' ) ( m1r ' )
cos --;;- x cos bY'
U.na eccitazione come quella considerata pub essere realizzata mediante una
piccola spira di corrente elettrica, nel modo illustrato nella figura 3.13 (vedi 4.3.4).
L'alimentazione della spira lungo la Quale circola la corrente (spazialmente costan-
te) I pub essere ottenuta mediante un cavo coassiale. La spira e centrata in Y = b/2, in
modo da eccitare al massimo i modi con m pari; essa e inoltre appoggiata alla parete
x=a, dove l'ampiezza del campo magnetico longitudinale per i modi TE e massima.
La sezione A = l:1x l:1y della spira (per semplicita supposta quadrata) pub essere
scomposta in elementi infinitesimi, ciascuno dei quali contribuisce alla corrente ma-
gnetica totale 1m con una parte
1m I'
1:1 x t::.y dx dy .
n coefficiente di eccitazione Ii e dato per sovrapposizione da
. 1m f:J.l v ( .!!!!. ) 2 + ( .!!!!!... ) 2 r COS ( .!!!!. X' ) dx' .
]WIJl:1x l:1y a b J a
a-x
l.=-' / 4E n E m
I V' ab
(b + Ay)/2
. J cos ( m b 7T YJd Y ' =
(b - Ay)/2
sin Ef- f:J. x sin (lff- f:J.y) ( m 7r )
cos _ 2 '
n7r A m1r A
--;;- l..lX 2b Y
=_! 4E;b Em IA V(n: Y +( m7T r
dove si e fatto uso della relazione (vedi  4.3.4)
- 1m 6.1 + w(p.AI)= O.
Data la particolare simmetria della eccitazione, i modi con m dispari non sono eccitati.
Se ci si allontana dalla sorgente, i modi che non si propagano si attenuano come
exp[- I( :7T f +( 7T r -k 2 z].

3.3 I Modi trasversoli in guida
187
a
b
x
--J I.
Ax
Figura 3.13
Eccitazione di una guida mediante spira di corrente.
Se ad esempio nella guida pub propagarsi il solo modo TE 10 , cioe
21r <k<:!!.
a a'
per z >a esso e sufficiente a descrivere il campo in guida: tutti gli altri modi infatti
risultano sensibilmente attenuati. E' solo nelle vicinanze della sorgente che il campo
ha una distribuzione spaziale piil complicata, ed e quindi necessaria la sovrapposi-
zione di tutti i modi TEnm, con m pari, per descriverlo correttamente.
E' interessante notare che Ie proprieta di convergenza dell a rappresentazione
migliorano se si passa dal caso di un dipolo magnetico element are, a sezione trasver-
sale infinitesima, a quello di una spira di corrente, la cui sezione trasversale e piccola
ma finita. Facciamo ora ripotesi che sia finita anche l'estensione longitudinale della
sorgente (essa e peraltro difficilmente valutabile nel caso della spira). Detto I!:.l un
valore approssimato di tale lunghezza, i1 fattore aggiuntivo che compare nell'espres-
sione di Ii,
sin (k%; 111/2).
,
k zi /::"1/2
migliora ancora la convergenza della rappresentazione.
3.3.7 Eccitazione del C8lJ1pO in una guida d'onda rettangolare (esercizio)
Studiare la distribuzione del campo in una guida d'onda rettangolare eccitata da
un filo di corrente uniforme secondo l'asse y:
J=[I) -  )1)(Z)iy.
Si noti che si' eccitano solo i modi TE (precisamente TEno, n dispari), perche
J b
J · V t c) dy = O.
o

188
Roppresentoz;one I Cop. 3
*3.3.8 Eccitazione in guida d'onda (caso generale)
Data, all'interno della guida d'onda, una distribuzione di corrente impressa, sia
elettrica (J) sia magnetica (J m ), scomponiamola in parte trasversale e in parte longitu-
dinale:
J=Jt+/ziz, J m =Jmt+1mziz.
Operando come nel paragrafo 3.2 si ottengono, invece delle equazioni [2] e [3]
(9 3.2), Ie nuove equazioni
a: (izXE,)=-jwJ.lH,+izXV,Ez-Jm,
a: (H, x iz)=-jWJ.lE, + V,Hz x iz -J,
{ v,o (iz X ,) _ WJ.lHz +J mz
Vt · (H t X Iz)-]w€Ez +Jz.
Sostituendo Ie espressioni tratte dalle seconde equazioni nelle prime, queste
possono essere riscritte nella forma molto compatta (Marcuvitz e Schwinger, 1951)
- aa z E,=jwJ.I [+ vy, ] o(H,Xiz)+ Jm , Xiz
- aOz H,=jW€+ V' J o(izXE,)+izx J, .
dove e la matrice unitaria trasversale,
. A= .$t=A,
[22]
e J t , J mt sono correnti elettriche e magnetiche impresse equivalenti:
- (Vtlmz)Xi z VtX(Jmziz)
J t = J t + . = J t + .
]wP. ]WP.
- izx(VtJ z ) VtX(Jzi z )
Jmt=J mt + =J mt - ..
jW€ /W€
Le (22] generalizzano Ie [5] al caso di presenza di sorgenti, come si verifica espan-
dendo Ie sorgenti trasversali equivalenti nei modi approprlati alla guida:
[23]
{ Jt =- n epz(t) Ion(z)
J mt =-:E n hn(t) V On(z).
Sostituendo nelle [22] si ottiene, per ogni modo, l'equazione deUa linea equivalen-
te con generatori (per unita di lunghezza) serle V G e parallelo I G (l'indice di modo
n e state omesso):
[4]
- dV =jk Z o I- V o
dz z
dI k z
- dz =j Zo V-Ie,
[25]

J.J I Modi tranerstlli in guida
189
dove
10 =- H J t . e* dS
S
Vo=-H Jmt.h*dS.
S
[26]
Utilizzando Ie [2], per i generatori equivalenti sulla linea si pub ricavare una
espressione piil comoda per i calcoll, che non prevede necessariamente che Ie compo-
nenti longitudinali delle correnti siano differenziabili (nel piano trasversale): in virtu
di una identita vettoriale (vedi Formulario) e scrivendo e nella forma [II], si ha
H izx(VtJz).h*dS= II e*.VtJzdS=- H JzVt.e*ds+tJze*.j,zdl.
S S' S I
Ma lz e nulla sulle pareti e pertanto
Vo =- H J mt . h*dS+ IE H Jz V t . e*dS.
S S
[27]
Analogamente si ha
10=- H J t . e*dS+ j#l H JmzV t . h*dS.
S S
[28]
.3.3.9 Perelite neUe auide
In una guida d'onda la dissipazione di energia elettromagnetica puo avvenire in
due modi: 0 ha luogo nel materiale che riempie la guida (perdite di volume) 0 si veri-
fica per I'imperfetta conducibilita delle pareti.
n primo tipo di perdite e importante principalmente net caso dei cavi coassiali,
necessariamente riempiti (in tutto 0 in parte) di materiale dielettrico. Per quanta
buono, ogni dielettrico ha perdite a causa della isteresi del materiale; un parametro
caratteristico e it cosiddetto angolo di perdita 'Y,
E2
tg'Y= '
che, per miDimizzare Ie perdite, dev'essere it piu piccolo possibile. La presena di tali
perdite non richiede modifiche ai risultati dei precedenti paragraft 3.2 e 3.3, tranne
che il rendere e e/o IJ. complessi. Se, come in pratica accade,'Y < 1, e possibile tener
conto delle perdite di volume applicando i risultati dell'analisi delle linee con piccole
perdite (vedi 2.5.7). In pratica, l'impedenza caratteristica rimane reale e la costante

190
Roppresentozione I Cop. J
di propagazione (per un cavo coassiale riempito di dielettrico)
( tg l' )
k = w ..; Ell 0 r:::s W ..; E Ilo 1 - j 2
diventa complessa, con una piccola parte immaginaria che produce una attenuazione
(esponenziale) del segnale lungo la direzione di propagazione.
Le perdite sulle pareti sono invece importanti non solo per i cavi, ma anche (e soprat-
tutto) per Ie guide. Non si pub pero teneme conto richiamandosi direttamente ai risul-
tati dei paragrafi 3.2 e 3.3, che presuppongono la perfetta conducibilita delle pareti: se
i1 materiale che limita la guida "non e un conduttore perfetto, la componente tangen-
ziale del campo elettrico non e piu nulla sulle pareti interne della guida. Un primo
problema e quindi quello di determinare Ie nuove condizioni al contorno. Per questo
ci si riferisce al piu semplice caso di incidenza di un'onda piana su un semispazio
buon conduttore, dove gli angoli di incidenza 8 1 e di rifrazione (nel conduttore) 8 2
sono legati dalla relazione (vedi 2.7.5)
k l sin 8 1 =k 2 sin8 2 , k 2   wIJolj .
In un buon conduttore I k 2 1» k I, cosicche 8 2  O. La conclusione e che i1 campo tra-
smesso nel condu ttore e un 'onda piana con direzione di propagazione normale alIa
superficie di separazione, qualunque sia I'angolo di incidenza.
Supponendo che questa conclusione sia valida anche nel caso delle guide, si ricava
imrnediatamente la seguente condizione al contorno (condizione di Leontovic):
 1+'
IJo / . .
inxE . inXHxin= InXHXln,
ol/w 05
dove 5 e la profondita di penetrazione nel materiale delle pareti (vedi 2.7.2).
Un secondo problema e verificare se sia ancora possibile un 'espansione modale
nella guida. Si nota su bite una serie di differenze rispetto al caso di pareti perfet-
tamente conduttrici. Anzitutto non possono esistere, in generale, modi TE, perche
alle correnti (Iongitudinali) sulle pareti e associata una componente secondo z del
campo elettrico; ne possono esistere modi TM, poiche aile correnti (trasversali) suIle
pareti e associata una componente longitudinale del campo magnetico. Una espan-
sione in modi TE e TM non e a rigore possibile; e se anche Ie funzioni di modo potes-
sero essere adoperate, verrebbe a mancare la lore ortogonalita perche Ie condizioni
[4] e [13] ( 3.3) non sono piu verificate.
Fortunatamente, per I'elevata conducibilita delle pareti, la variazione delle compo-
nenti dei campi, rispetto alla situazione ideale di pareti perfettamente conduttrici, e
molto piccola, ed e pertanto lecito assumere la distribuzione dei campi ancora uguale a
quella del caso ideale; la condizione at contorno [29] serve per il calcolo della costante
di propagazione in guida, unico parametro la cui variazione, sulle lunghe distanze,
non pub essere trascura ta.
Nell'ipotesi che il campo magnetico sia nota e coincidente con quello della guida
ideate, per mezzo della [29] si pub ricavare i1 valore della componente tangenziale del
campo elettrico sillle pareti. Vi e dunque una componen te del vettore di Poynting,
normale alla parete della guida, la cui parte reale e data da
[29]
1 <5 I in X HI2 su 1.
2(1

3. J I Modi trosverso/i in guido
191
Questa produce un flusso di potenza (reale) attraverso Ie pareti (che si trasforma in
calore per effetto Joule) cui conisponde un'attenuazione dell'onda che si propaga. Se
ci si riferisce a un modo particolare, con la sola onda progressiva, i campi si attenuano
come exp( -Qz); per la potenza si ha
P(Z)=P(O) exp(- 2Qz), dP=- 2Qp(z) dz.
Uguagliando la diminuzione di potenza al flusso attraverso Ie pareti, si ottiene im-
mediatamente
1
Q= 205
tUn X H/2 dl
I
Zo 111 2
Per i modi TM si ha
111 2 L 2
tlinXHI2 dl=III2tlel2 dl =j' : dl,
I I. kt I
e Q e funzione della frequenza, secondo una costan te che dipende dalle dimensioni
della.guida e del p.articolare odo considerato, del tipo
V (W/W e )3
QCX
V (W/w c )2 - 1
II grafico dell'andamento di a con W e riportato nella figura 3.14; per ogni modo,
i1 minimo dell'attenuazione si ha per w = V3 We.
a
We
3w c
(JJ
Figura 3.14

192
RQPpresentazione I Cap. 3
Per i modi TE si ha
L 111 2
j'1i,.XHI 2 dl=1I12flel 2 dl+-;-t IV, ohl 2 dl=
I I k z I
111 2 2 1112
=-L a+ dl +k 2 -,--,L'lf2 dl
k 2 T az t k z T
t I I
e Q ha una dipendenza con la frequenza del tipo
V (w/w )2 -I I
A c + B
v w/w c V w/w c V (w/w c )2-1
con A e B cost anti dipendenti dalle dimensioni della guida e del modo considerato.
Le due parti ch concorrono a formare a sono riportate nella figura 3.15.-
Si noti, in particolare, che le perdite di tipo "B" decrescono con w. Se it modo e tale
che A =0 (e =0 suI contomo), esso presenta perdite molto basse se la frequenza e suffi-
cientemente alta. Questo accade, ad esempio, per modi TEo m della guida circolare,
perche a'l1/al= O.
La guida circolare pub essere, quindi, particolarmente utile per trasmissioni a
lunga distanza. Ovviamente, non essendo il modo TE o1 quello fondamentale, bisogna
prendere opportuni accorgimenti al fine di non eccitare i modi a frequenze critiche
piu. basse.
a
We
(J)
FiJUra 3.15

3.3 I Modi trosversoli in guido
193
3.3.10 Costante d'attenuazione (esercizio)
Calcolare la costante d 'attenuazione dovuta aile perdite sulle pareti per il modo .
TE 10 in guida d'onda rettangolare, e per it modo TEM in cavo coassiale; per quest'ul-
timo studiare l'andamento di a al variare del rapporto c/b (diametro esterno/dia-
metro interno) e verificare !'esistenza di un minimo.
3.3.11 Studio dei modi in guida per mezzo delle componenti longitudinali dei
campi
Nei paragrafi 3.2 e 3.3 10 studio dei modi in guida e stato effettuato eliminando
Ie componenti longitudinali dei campi e studiando il comportamento di queUe trasver-
sali. E' tuttavia possibile seguire la via opposta e limitarsi a considerare Ie compo-
nenti longitudinali dopo aver eliminato quelle trasversali.
Per una variazione con z del tipo exp (:t j k z z) (guida uniforme lungo z), posto
Er(X, y, z)=e(t) exp(:tjkzz)
Bt(x, y, z) =h(t) exp(:tjk z z)
Hz (x, y, z)=hz(t) exp(:tjkzz)
Ez(x, y, z)=ez(t) exp(:tjkzz),
Ie [2], [3] ( 3.2) diventano
{ %jkz(iz X e)=- jW/J h +i z X tez
tjkz(hX iz)=-jwee+ Vth z X iz,
[29]
{ Vt. (iz X e)= jWJ.lh z
Vt.(hxiz)=jwee z .
Eliminando e 0 h nella [29], si ottiene
(k 2 k 2 ) -+ wlJ. n h + . k
- z e--Tvt z-} zVtez,
z
[30]
[31]
(k 2 -k)h=% € Vtez %jk z Vthzo
z
Tali equazioni da un lato mostrano che la distribuzione trasversale del campo pub
desumersi da quella longitudinale, dall'altro che i modi possono essere di tipo .
TE(e z = 0) 0 TM (h z = 0), salvo evntuali modi TEM che vanno studiati a parte.
L'equazione di definizione per i modi TE si ottiene ponendo e z = 0, cosicche dalla
prima delle [29] si ottiene
wJ.l
izxe=:t:- h. [32]
k z
Com 'era prevedibile, la [32] mostra che Ie funzioni e e h coincidono essenzialmente
(a parte una differente normalizzazione, che ne cambia anche Ie dimensioni) con Ie
funzioni vettoriali di modo del paragrafo 3.2 e 3.3. Sostituendo poi l'espressione di
13

194
Roppresentozione I Cop. 3
iz x e, data dalla [32], nella prima delle [30] ed eliminando la Vt.h mediante la
secdnda delle [31], si ottiene
Vhz + (k 2 - k) h z = O.
L'annullarsi della componente tangenziale del campo elettrico sui contomo,
i"xe=O sui,
si traduce, per la prima delle [31 ], nella condizione al con tomo
C}h z
a;;- = 0 suI.
Di conseguenza la funzione h z e proporzionale alIa funzione 'It definita dalla [2]
( 3.3).
In maniera analoga si ottiene, per i modi TM,
k z
hXiz=:f:- e
WE
V 2 e + ( k2 -k2 ) e = 0
t z z z ,
con e z =0 su 1.
3.4 Problemi intemi: cavitA risonanti
Si defmisce cavita risonante un volume V racchiuso da una superficie metallica S
(vedi fig. 3.16) e in cui sia eccitato un campo elettromagnetico. II volume e riempito
da un dielettrico, molto spesso ornogeneo; quasi sempre e il vuoto (ma alle frequenze
aIle quali Ie cavita sono adoperate, l'aria pub ritenersi a tutti gli effetti equivalente al
vuoto). Posto dunque che vi sia un campo elettromagnetico nella cavita, si tratta ora
di dame la rappresentazione. Spesso la cavita e realizzata mediante un tronco di guida
in cortocircuito agli estrerni, e questo semplifica di molto it problema, perche si pub
far riferirnento ai risuitati ottenuti per Ie guide (vedi 3.4.3). Nella figura 3.17a e
rappresentata una cavita rettangolare, che pub considerarsi come una guida d'onda a
sezione rettangolare di lunghezza 1, chiusa agli estremi in cortocircuito (vedi 3.4.4).
v
s
in
Figura 3.16

3.4 I Problemi interni: covito risononti
195
Nella parte (b) della stessa figura e rappresentata 1a cosiddetta cavita rientrante (impor-
tante se si desidera un forte campo elettrico, come queUo che, intuitivamente, si
localizza tra l'estremo del conduttore centrale e il cortocircuito terminale nello
spazio di spessore d). Questa cavita si pub pensare formata da un tronco di cavo co as-
siale (vedi 3.4.5), chiuso a un estremo in cortocircuito e all'altro estremo su una
capacita (questo tipo di struttura trova fra l'altro applicazione nei circuiti per l'acce-
lerazione e la modulazione di f asci di particelle cariche).
Prima di passare a una trattazione piu dettagliata, definiamo alcune classi di cavita.
Si definisce cavita ideale una cavita riempita di un dielettrico senza perdite e limitata
da una superficie metallica perfetta e senza fori di accoppiamento con l'ambiente
esterno. Si dice poi cavita reaZe la stessa cavita Ie cui pareti, sempre senza fori, siano
perb realizzate mediante conduttori buoni, ma non perfetti; 10 stesso dielettrico
(raramente, nelle applicaioni pratiche) potn\ avere perdite. Si defmisce cavita accop-
piata una cavita reale che sia in comunicazione 'con l'esterno mediante foti attraverso
i quali siano .possibili scambi di energia elettromagnetica, ad esempio mediante una
piccola spira di corrente (vedi fig. 3.18).
Data inizialmente una cavita ideale (vedi fig. 3.16), facciamo l'ipotesi che in essa il
campo E, H possa essere rappresentato mediante un insieme di vettori di base en,
h .4 .
n-
{ E=n Vnen
H=nlnhn,
[1 ]
dove i coefficienti V n , In sono indipendenti dalle coordinate. Per cavita omogenee
e isotrope, il campo elettrico soddisf l'equazione d'onda
V 2 E+p 2 E=O, con V. E=O ({32 =w 2 €JJ.),
che si ottiene facilmente eliminando H dalle equazioni di Maxwell mediante il calcolo
del rotore della prima delle [1] ( 2.7). La condizione al contomo e
in X E=O su S.
Conviene pertanto scegliere come vettori di base Ie autofunzioni vettoriali en
soluzioni del problema agli autovalori
{ :2en+_ken=O' con Voen=O, [2]
In X en - 0 su S,
D'altra parte, il campo magnetico H e proporzionale al rotore di quello elettrico E;
conviene quindi porTe
knh n = Vx en'
[3]
4 Non bisogna confondere questi simboli, come i successivi V n , In' con quelli delle auto-
funzioni dei campi trasversali in guida.

196
L
b
r
8
(8)
Roppresentozione I Cap. 3
28
.I
(b)
Figura 3.17
Cavita risonanti: (0) cavita rettangolare; (b) cavita rientrante.
L'equazione differenziale per h n si ottiene calcolando il rotore della [3] e utilizzando
la prima delle [2]:
{ kn Vx h n =VxVx en =-V 2 e n =ken
[4]
Vx Vx hn=VV. h n -V 2 h n =k n VX en =khn'
In definitiva risulta
V2hn+khn=O, V.hn=O,
con la condizione al contorno
in · h n = 0 su S,
----
------
[ 4']
Figura 3.18
Accoppiamento della cavita con I'esterno mediante una piccola spira di corrente.

3.4 I Problem; interni: cavito risonanti
197
essendo Ie pareti perfettamente conduttrici. 5 Come viene mostrato nell'annotazione
3.4.1 g1i autovalori k sono positivi e i vettori di base so no ortogonali e possono es-
sere resi ortononna1i:
HI en -edV= HI h n -hdV=l)nm'
v v
E' da notare che la [4'] non  in disaccordo con la [3]. Gli autovettori en, h n banno
Ie stesse dimensioni: [e n ]=[h n ]=[1/m 3 / 2 ]; i coefficienti V n , In si misurano in
V. m 1 / 2 e in A. m 1 / 2 .
Consideriamo ora Ie espressioni [1] e sostituiamole nelle equazioni di Maxwell ai
rotori :
[5]
{ V x n Vne n =-jwJlnInhn
fix nInhn =jwen Vne n .
E' evidente che il campo E, H soddisfa aile condizioni al con torno, perche vi sod-
disfano singolarmente en e h n . Bisogna ora vedere quali relazioni devono intercorrere
tra i coefficienti dello sviluppo, V n e In' perche i campi soddisfino anche aIle equa-
zioni i Maxwell nel volume V. Ammettendo di poter invertire I'operatore "rotore"
con la somma, uguagliando termin a termine gli elementi di questa e utilizzando.Ie
relazioni [3] e [4] tra i vettori della base, si ottengono Ie relazioni
.p
V" =-J k n tIn
0'. P V n
In=J k" T'
che sana soddisfatte se
V n =-jfIn [6]
/3=k n . [7]
Tali relazioni hanno importanti conseguenze. Fissate Ie dimensioni della cavita, gli
autovalori k n sono determina ti, e pertanto in una cavita ideale possono esistere solo
campi di frequenza tale che la [7] sia verificata. Partendo poi dall'eguaglianza del
teorema di Poynting ( 1.3, [9]), utilizzando la rappresentazione [1] del campo e
sfruttando Ie relazioni di ortogonalita, si ottiene
 HI elV n l 2 e,. -e:dV=  IH IlUnl 2h n -h:dV. [8]
. v v
Se il mezzo che riempie la cavita non e dispersivo, la [8] stabilisce che, in risonanza,
Ie energie elettriche e magnetiche medie immagazzinate sono uguali. Nel caso di ca-
5 Lo sviluppo [1], con autovettorj di base tutti a divergenza nulla, pub Iappresentare solo un
campo solenoidale, come quello che si ha in cavia ideali in assenza di sorgenti (V. E= V. H= 0).
Nel caso piu genera Ie e necessaria l'aggiunta di un campo irrotazionale (van Bladel, 1964).

198
Rappresen tozione I Cop. 3
vita omogenea che si considera, l'energia media totale immagazzinata per i1 modo e
data da
_ 1 I ' 1 2 - 1 1 1 2
W n -"2 E Yn -"2J.l. In .
Passiamo ora a considerare i1 caso di cavita reali e possibilmente accoppiate. Come
per la trattazione delle guide a pareti non perfettamente conduttrici, si pub adoperare
la stessa rappresentazione [1] se il materiale delle pareti della cavita e un buon
conduttore e gli ventuali fori di accoppiamento sono piccoli. Sulle pareti, tuttavia, la
serie [1] non e uniformemente convergente, perche i singoli termini non soddisfano
aIle condizioni al contorno della cavita reale, e non e lecito invertire operatori diffe-
renziali e di somma.
Per aggirare la difficolta, detto E, H il campo nella cavita, calcoliamo
V. (Ex h:)=h. Vx E-E. Vx h:.
Sostit\lendo i rotori, espandendo i campi a secondo membro e integrando nel volume
della cavita, si ottiene
 (Exh)' indS=-jwpl n -k n V n ;
s
analogamente, il calcolo della divergenza di e: x H fornisce
# (e;: X H)' indS=kn1n -jweV n .
s
Risolvendo questo sistema rispetto a V n e In' si ottiene
iwe# (Ex h;\')' in dS+k n # (H X e;:)' indS,
In = S S
k 2 - k
[9]
k n #(EXh)'indS-jWP H(Hxe;:)'indS
V = s S
n k 2 -k
Si noti che j modi en, h n sono quelli definiti dalle [2] e [4']; ne segue che i
secondi integrali nelle [9] sono nulli, perche in xen=O su S; gli altri sono pro-
porzionali a un flusso di potenza (attiva e reattiva) attraverso Ie pareti. Nelle ipo-
tesi precedenti (elevata conducibilita delle pareti) tale flusso e molto piccolo,
cosicche i coefficienti V n , In sono apprezzabilmente diversi da zero solo se k  k n . Di
conseguenza, il modo di ordine n e apprezzabilmente eccitato solo se la frequenza del
campo elettromagnetico e prossima a quella di risonanza, anche se il campo pub
esistere nella cavita a qualsiasi frequenza. Tenendo conto della condizione di Leon-

3.4 I Problemi interni: cavita risonanti
199
tovic [29] ( 3.3) e per k  k n , sulle pareti della cavita si ha
· E 1 + j . H . 1 +j I - h ·
In X   In X X In  a  n In X n X 1,1'
au u
e quindi
I!Exlt*.i dS I+j I £.( 1 - h 1 2 dS- l+j I U 1 h 1 2dS=
J1 n n a  n J1 In X n - 00 n jj n
S S S
. WnIJ.
= (1 +])In Qn '
dove
Qn = W n
t IlIIn 1 2
 a 1 6 IIn 1 2 # Ih n 1 2 dS
S
=W n
W n
P d .
[10]
II rapporto adimensionale [10] e detto fattore di merito della cavita alla frequen-
za di risonanza (reale) W n . Nei casi pratici, Qn e un numero molto grande, poiche la
potenza media dissipata, P d, cioe il flusso di potenza attiva che entra nelle pareti e
viene trasformato in calore, e sempre molto piccola rispetto al prodotto, w n · W n ,
della pulsazione di risonanza e dell'energia media irnmagazzinata. Sostituendo Ie
espressioni precedenti nella prima delle [9] si ottiene
k 2 -k =jwe(I +j) 
WWnfll ( -1 +j )
k=kn+(-I+j) kn 1+ 2 Q .
Qn(k+k n ) n
La [11] mostra che la pulsazione di risonanza di una cavita reale e in realta com-
plessa: k'
ck=w n =w +jw: =Ck n ( 1- 2n ) +jc 2Qn ° [12]
[11 ]
La parte reale della pulsazione e leggennente inferiore a quella della cavita ideale; i1
motivo e l'allargamento virtu ale della cavita a causa della penetrazione del campo
nelle pareti. II coefficiente dell'immaginario mostra che una oscillazione innescata
nella cavita si smorza con legge esponenziale:
exp(-w t)exp(-w t/2Qn);
[13]
il fattore di mento appare come l'inverso di un coefficiente di smorzamento (un
modo altemativo per giungere a questo risultato e dato in 3.4.8).
Restano da determinare i coefficienti di eccitazione del modo. Questo e possibile

200
Rappresentazione I Cop. 3
solo se si considera I'accoppiamento della cavita con I'esterno, ad esempio mediante
una spira di materiale conduttore (vedi fig. 3.19). Lungo la spira circola una corrente;
per la presenza di questa, Ie formule precedenti [9], ricavate in assenza di sorgenti,
vanna modificate (vedi annotazione 3.4.2). E' possibile non solo calcolare i nuovi
coefficienti di eccitazione del modo di ordine n, ma anche l'ammettenza d'ingresso
della spira che alimenta la cavita oscillante nel modo di ordine n:
1 .
k 2 ( 1 + 2 ) - k
Y n = . Qn
- j WlLk I '11 nl 2
1

k n 1\}1 n 1 2
( . E WE k n )
JW - k + Q k +. .
n n n JWJ..I.
[14]
La [14] mostra chiaramente che, a parte il fattore (adimensionale) di accoppia-
mento
K= 1
n k n I 'It n 1 2 '
[15]
l'ammettenza d'ingresso della cavita, nell'intorno della rionanza, coincide con quella
/
I
5'
-'--1-------- 
\
,
/
A
Figura 3.19
Spira eccitatrice di una cavita.

3.4 I Problemi intern;: cavito risolUlnti
201
L
G
c
Figura 3.20
di un circuito .oscillantl! parallelo (vedi fig. 3.20) di capacita C, conduttanza G e
. '.
induttanza L date da
E WE
C=k' G= Q k
n n n
11
, L = k n .
E' lecito pertanto considerare Ie cavita risonanti come il corrispettivo, nelle strut-
ture a parametri distribuiti, dei circuiti oscillanti nelle strutture a parametri concen-
trati.
La risonaDza si ha aHa pulsazione (reale)
W n =ck n
(piu esattamente, alla pulsazione, leggermente piu bassa, data dalla [12]); a tale
frequenza l'arnmettenza di ingresso e puramente reale e vale, a parte il coefficiente di
accoppiamento, 1 /Qn . AlIa risonanza l'impedenza di ingresso e massima e puramente
resistiva. Nell'intomo della risonanza l'impedenza d'ingresso vale
we
knQn
k n l'l1 n l 2
+ . ( WE k n )
/ ---
k n WIl
= k n 1 '¥ n 1 2
Qnkn/Wn E
( k 2 )
 +. _ n
W n lQn Wn 'ww nILE

z =
n
1 1 2 Qn  2
kn 'I1n  k n l'I1n 1
W ( w W n )
-+jQn ---
W n W n W
Qn
w-w
1 + 2 . Q n
/ n W n
se (come sempre accade) Qn > 1. Definendo larghezza di banda I::.w della cavita
l'intervallo di frequenze in cui la resistenza di ingresso non e inferiore a meta di
queUa di risonanza, si ha
.1w _ 1
w n - Qn .
[16]
Tale relazione lega il fattore di qualita alla larghezza di banda della cavita.

202
Rappresen lazione I Cap. 3
Annotazioni
*3.4.1 Autovalori e autovettori di base di una cavita risonante
Si vuole anzitutto mostrare che, per cavita ideali, gl.i autovalori sono reali. Molti-
plichiamo scalannente 1a prima delle [2] per e e integriamola nel volume V della
cavita :
HJ e;r.V2endV+k HIl e n I 2 dv=o.
V V
Dalla relazione
V. [(VX en)X e:]=e:.V xVX en -IVx en 1 2
si ottiene
IH e,T. V 2 en dV=- H IVx en 1 2 dV- H V. [(Vx en) X e,T] dV=
V V V
=- Hi IVx en 1 2 d v,
V
essendo
HJV. [(VX en)Xe,T]dV= # [<VX en)x e;n. in dS=O
V S
per la condizione a1 contomo data dalla seconda delle [2]. Pertanto
k 2 =
n
i I J I Vx en 1 2 d V
V
iH le n l 2 dV
V
,
che e una quantita reale non negativa; k n e quindi reale. Si noti che risulta anche,
da11a [3],
Hi le n l 2 dV= Hi Ih n l 2 dV;
v V
i vettori di base sono normalizza bili in accordo alIa [5]. Dalla prima delle [2] si ha
inoItre
e:a · V 2 en - en · V 2 e = (k - k ) en  e3,.
Osservando che
e · V 2 en =-e .VX VX en = V. (et X V X en)-(VX en). (VX et),
integrando in V e tenendo in conto la condizione al contomo, risulta che i vettori di
base sono ortogonali purche k n ::1= k m per n =1= m (modi non degeneri). Se poi i modi
sono degeneri, si pub mostrare che essi sono ancora ortogonalizzabili.

3.4 I Problem; intern;: cap;ta risonant;
203
.3.4.2 Cavita accoppiata con restemo
Per studiare una ca'Yita accoppiata con l'estemo mediante una spira (vedi fig. 3.19),
si devono estendere Ie formule [9] al caso di correnti di eccitazione presenti nell'in-
temo della cavita. Questa estensione si ottiene agevolrnente seguendo la stessa pro-
cedura che conduce aIle [9], ma tenendo conto, nella sostituzione dei rot on, che
Vx H= j WE E + J. In definitiva si ottiene
jWE #(EXh.).indS-k HJ.JdV
In = 8 Y
k 2 - k
k n * (EX h,T). in dS+ jwlJ, HI . J dV
8 V
v;=
n
k 2 -k 2
n
La corrente di eccitazione e quella che seorre sullasuperficie del conduttore della spira:
IH  · J dV -+ n e,'f · IS dS'  I J e,T · it dZ=lte,T · it dZ=
V S' I l'
= II Vx e,T. i 1 dS l =knI H h,T. i 1 dS l =knIW,T.
8 1 SI
Nelle espressioni precedenti (vedi fig. 3.19) S' e la superficie del filo, S 1 la superficie
della spira delimitata dal filo, 1 il circuito della spira, I' il circuito chiuso ottenuto
aggiungendo a 1 il tratto AB lungo la parete della guida, dove e. i, = 0; .infine W n e il
flusso di h n attraverso S 1.
Gli integrali che compaiono nelle espressioni di V n , In sono ora noti. Sostituen-
doli, si 0 ttiene
1 =
n WWnE/J.
k 2 -k +(l-j) Qn
k 2 "T,. I
n 'i.' n
- k 'It:: I

( I -j )
k 2 1 + Qn - k
,
w n /J.
kn(l + j)I n Qn + jWIJ.k n I'¥:;
v: =
n k 2 - k

- jw/J.
k I" .
n
D'altra parte, la differenza di potenziale ai morsetti della spira e data da
v=-t E ' itdl=- If V X E · i 1 dS l =jwlJ, H H. h dS l .
l' 8 1 8 1
In prossimita della risonanza H  In h n , e quindi
VjWIJ,In H h n · i 1 dS 1 =jWIJ,I n W n .
8 1

204
Rappresentazione I Cop. 3
Sostituendo in questa relazione il valore trovato per In si ha
V -jwk IW n 1 2
T=Zn - k 2 (1 + j ) -k '
che e I'impedenza d'ingresso della spira, posta nella cavita che risuona sui modo di
ordine n.
*3.4.3 Cavita composte da un tronco di guida chiuso agli estremi in
cortocircuito
Spesso Ie cavita sono realizzate mediante tronchi di guida chiusi in cortocircuito,
ad esempio nel modo rappresentato nella figura 3.1 7. Per modi TE rispetto all'asse z
della guida il campo all'intemo della cavita e dato da
{ Et = e(t) V(z)
V(z)
Ht =h(t)/(z) + . iz V t · h.
JW
Le funzioni vettoriali modali e, h dipendono dalla forma della sezione trasversale,
la Quale fissa anche l'autovalore k del modo che si considera. Le funzioni scalari
modali V(z), I(z) devono soddisfare Ie equazioni della linea equivalente del modo
considerate e Ie condizioni al contorno
V(o) = V(l) = 0
nei punti di ascissa z = 0 e z = 1, dove sono stati posti i cortocircuiti terminali che
delimitano la cavita. Per z = 0
-. -.
V(O)=Z(O)/(O)=Z/o =0,
e quindi
-.
Z(O)=O,
relazione che coincide con la condizione di risonanza longitudinale [7] ( 2.6). n Ii-
sultato era prevedibile poiche, risuonando la cavita, deve ovviamente risuonare anche
la linea equivalente. Per cavita omogenee
-. WJl
Z(O)=jT tgkzl=O,
z
da cui
k z l=S7r, con S intero.
La condizio ne di rison anza e data quindi da
w=c v' + (Sl1r ) 2
ed e in generale associata a tre indici, due relativi all'autovalore trasversale k: e uno
all' au t ov al ore longitudinale.

3.4 I Problemi interni: cavitl1 risononti
205
I campi nella cavita si esprimono in funzione dell'unica costante 10 come segue:
{ E=-je(t)ZoIo sin (a; z)
H=h(t)IoCOS( at Z)-IoSin( S; z) :;lh i.z;
essi coincidono con gli autovettori di base en, h n della cavita (per it particolare modo
considerato), a meno di una costante di proporzionalita che pub essere determinata
imponendo la normalizzazione [5].
3.4.4 Frequenze di risonanza di una cavit8 rettangolare (esercizio)
Si fissi l'asse z lungo i1lato di lunghezza 1 della cavita rettangolare illustrata nella
flgUra 3.17a; per i modi TE rispetto a z, la condizione di risonanza longidinale
porge
W/J
iT tgkzl=O, kzl=Sfr;
z
pertanto, Ie frequenze di risonanza sono date da
wnm,=c vf:n r +( n f +( at f.
Analogamente, per i modi TM rispetto a z, si ha
k
i -=-- tg k z 1 = 0, k z l=s1T.
we
I modi TM hanno dunque Ie stesse frequen.ze di risonanza di quelli TE. Per essi tu tta-
via gli indici n e m non possono assumere i1 valore zero (vedi 3.3.1). n primo modo
risonante, per a> bel> b, e quindi i1 TE 101. Per questo modo, si traccino Ie distribu-
zioni dei campi e delle correnti superficiali sulle pareti.
3.4.5 Frequenze di risonaoza di una cavita rientrante
Can riferimento alIa figura 3.17 b, si supponga
d<b, l>a.
Si PUQ allora considerare approssimativamente la cavita come un tronco di cavo
coassiale, chiuso in cortocircuito a un estremo e su una capacita
frb 2
CE-
d
all'altro. Anche in questo caso, Ie frequenze di risonanza possono ottenersi impo-
nendo la condizione di risonanza longitudinale. La frequenza piil bassa e data da
.  1 ( b ) d
/ - - In - tg(kl)+ . =0,
E 21T a /WEfr b 2

206
Rappresentazione I Cap. 3
cioe
21d
kl tg(kl) = b .
b 2 In-
a
3.4.6 Frequenza di risonanza di una cavita cllindrica
Per 10 studio della cavita cilindrica della figura 3.21, si pub seguire il procedimento
illustrato in 3.4.3, utilizzando i risultati di 3.3.2. In particolare, peri modi TM rispetto
a z si ha
k 2 = ( p:m )2 + ( sr f
con In(Pnm)= 0 (vedi 3.1.5); per s =n =0, m = 1 e
POI 2,405
WOIO=C- =c
a a
Per questo particolare modo risonante non vi e variazione dei campi con z e 4>, ma
solo con p; Ie uniche componenti diverse da'zero sono Ez e H4>'
I modi TEoms hanno campo magnetico trasversale nullo sulle pareti parallele
all'asse z (vedi 3.3.2), perche h(a, cp)= 0; di conseguenza, Ie correnti superficiali sulle
pareti laterali sono tutte dirette secondo rp. E' questa la condizione ideale per poter
spostare un cortocircuito terminale senza perturbare apprezzabilmente la distribu-
zione delle correnti (e quindi dei campi) a causa dell'inevitabile irnperfezione del con-
tatto tra la base (scorrevole lungo l'asse) del cilindro e la parete laterale. Si riesce in
/
(::;'{<j:I;3: .-tD...';;:.2
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\ '., I ,..", .... ,. I....,,;.-.-,;;,:.;,. .f ,
:''." -2'i:';:>Jt.}
.
Iz
Figura 3.21

3.4 I Problemi interni: cavita risononti
207
tal modo a costruire una cavita accordabile, dove la frequenza di risonanza e variata
cambiando la lunghezza del tronco di guida.
.3.4.7 Fattore di merito di una cavita rettangolare operante nel modo TE 101
Con riferimento alIa figura 3.22 calcoliamo i termini che appaiono nelI'espressio-
ne [10] del fattore di rnerito Q. Per i1 modo TE I01 si ha
E =-jZo10 Va Sin (: x) Sin ( z) iy
H=Io (a sin( : x)COs ( Z)ix-1o Va2b  COS (: x)Sin ( Z)iz o
Queste espressioni, a menD di una costante di normalizzazione, coincidono con gli
autovettori del modo TE 101 ; risulta
_I" 2 2 1
W-"2 eZollol "2'
1 1  2 2 2 (1r/a)2
P d =- - 2 11 0 1 +11 0 1 -
 a6 ab (1(11)2
+ 11 1 2 -.2.. (1rla)2
o ab C:rrll)2
b !.. + II 1 2 -.2.. !!- 1. +
2 0 ab . 2 2
a 1 ]
2 2 '
dove i successivi termini nell'espressione di P d si riferiscono alIa integrazione superfi-
ciale sullefacce z = 0, 1; x = 0, a; y = 0, b rispettivamente. In definitiva,
06 t (k o 1)3
Q=--;: 3 2
4," 1 +1- + l!.. ( 1 + ..l.... )
a 3 . 2 b a 2
dove ko =wololc.
Ci si pub chiedere quali siano, una volta fissata la pulsazione di risonanza, Ie di-
b
I
I
----
/
/
/
/
/
/
/
/
x
a
Figura 3.22

208
Rappresentazione I Cop. 3
mensioni della cavita che rendono Massimo Q; dev'essere
2
1 1 1 ( ko ) .
13 + a3 + 2b 7 =mm.,
quando sia verificata la condizione di risonanza
2
1- +.-!.. = (  )
1 2 a 2 7r .
Si deve quindi rendere minima l'espressione
1- + r (  ) 2 _ 1- J 3/2+ (  ) 2.
1 3 U 7r 1 2 2 b 11'
Per quel che concerne i1 fattore contenente la quantita b, questa deve essere la
massima possibile, ma certamente non superiore ad a 0 a J, per non correre il {ischia
di innescare modi di risonanza diversi dal TE I01 ' Si riconosce poi che la restante parte
dell'espressione ha un minimo, ottenuto eguagliando a zero la derivata rispetto a 1:
1- 0 kO ) 2 -1-=0
1 7r P ,
da cui
2 _ ( ko ) 2
-- - ,
1 2 7r
cioe l=a t In questa condizione Q assume il valore
uo r (k o a)3
Q = 4 ",,2
II 2+!!.
b
3.4.8 Deduzione alternativa del significato fisico del fattore di merito
Consideriamo una cavita risonante la cui energia elettromagnetica media, imma-
gazzinata alia risonanza, sia W n ; se la potenza media dissipata e P d, si ha
-dWn=Pddt
su tempi grandi rispetto al periodo dell'oscillazione, ma piccoli rispetto a quello del
decremento dell'oscillazione. Sostituendo per P d I'espressione che si ottiene dalla
[10], si ha
,
w n W n
-dW n = Qn dt,
da cui, dopo in tegrazione,
Wn(t) = Wn(O) exp(-w t/Qn)'
[17]
La [17], che si riferisce all'energia, e in completo accordo con la [13], che si riferi-
see ai campi.
3.4.9 Cavita multimodali
Nelle applicazioni usuali la cavita si fa risuonare su una singola frequenza, gene-
ralmente la piu bassa; Ie sue dimensioni sono pertanto dell'ordine della lunghezza

3.4 I Problemi interni: cav;ta risontlnt;
209
d'onda corrispondente a tale frequenza. Tuttavia, in alcune applicazioni, si costrui-
scono cavita di dimensioni molto grandi rispetto alIa lunghezza d'onda del campo
presente in esse. Si parla in questo caso di cavita multimodali, 0 camere riverberanti;
per quanta esposto in seguito, conviene supporre che la distribuzione dei modi nella
cavita varii nel tempo. Questo si PUQ ottenere, ad esempio, facendo vibrare Ie pareti
deDa cavita, con il che variano Ie dimensioni di questa e quindi i modi eccitati; oppu-
re ponendq nelle vicinanze delle pareti ven tole metalliche che, rotando, earn bino Ie
condizioni al contomo sulla parete (Corona e Latmiral, 1978); in tal caso si dice che i
modi sono miscelati. Se la costante di tempo degli strumenti usati per misurare l'in-
ten sit a del campo nell'intemo della cavita e grande rispetto al periodo di vibrazione
delle pareti 0 al periodo di rotazione delle pale, i1 valor medio del campo misurato,
so un gran numero di modi, risulta approssimativamente 10 stesso in tutti i punti della
cavita (salvo per il campo elettrico nelle immediate prossimita delle pareti). Inoltre, il
campo e praticamente non polarizzato. In tal caso si dice che la distribuzione del
campo nella cavita e omogenea e isotropa: il campo e 10 stesso in ogni punto, qualun-
que sia la direzione lunge la quale e misurato. E' lecito dun que considerare la camera
riverberan"te, a geometria varia bile alla stregua di una cavita isoterma, eventualmente
contenente corpi (termometrici e non) con i quali, a regime, e in equilibrio termodi-
namico a temperatura costante. Tale interessante analogia e stata effettivamente
sviluppata (Corona e Latmiral, 1978); qui di seguito ci limitiamo ad alcune semplici
considerazioni elettromagnetiche.
n fattore di merito della cavita, in cui e presente un numero molto elevato di
modi, tutti risonanti nell'intorno della stessa pulsazione wo, PUQ essere calcolato per
mezzo della [10]. Con una certa approssimazione, si PUQ ritenere n campo magnetico
sulle pareti uguale a quello nel volume della cavita (proprieta di omogeneim); Ie
perdite sono calcolate come se fossero dovu te a una corrente indotta sulle pareti (per
unita di lunghezza), pari a H, che scorresse per una profondita B (penetrazione):
I
Wo 2"  181 2 V
Q=
.! -L IHI2 S
2 06
V
-
SB '
[18]
dove V ed S sono rispettivamente il volume e la superficie (pareti laterali) della cavita;
la formula, in prima approssimazione, vale anche nel caso di cavita unimodali. In pra-
tica, il Q della cavita e molto piu basso, a causa delle inevitabili perdite attraverso fes-
sure nelle pareti (porte, finestre di osservazione ecc.); cosi e piu realistico introdurre
un coefficiente di assorbimento globale delle pareti, 11, tale che la potenza dissipata,
o comunque persa, a ttraverso Ie pareti sia pari a 11 vol te quella inciden te sulle stesse.
Detta Pi la densita di potenza (W Isr) che fluisce in una direzione arbitraria (uguale
a quella che fluisce in qualunque altra direzione, stante la supposta isotropia del
campo), la potenza totale dissipata e data da
P d =lI S2tr Pi,
dove si sono sommate Ie potenze (i campi provenienti dalle varie direzioni essendo
non correlati). A ciascuna potenza Pi dO e associata una densita di energia Pi dOlc;
1a densita di energia in ogni punta nel volume e quindi data da
4trp.
w= I
C
14

210
Rappresentazione I Cap. 3
e, in definitiva, il fattore di mento da
41T VPi/C
Q-w
- 0 21r'T1SPi -
41rV
'T1AS .
[19]
3.5 Problemi estemi: rappresentazione mediante onde piane
Supponendo assegnata la distribuzione del campo elettromagnetico, consideria-
mone in particolare Ie componenti tangenziali su una superficie chiusa S 1 (campo
impresso). II teorema di equivalenza permette di sostituire a tale confIgurazione una
equivalente distribuzione di correnti, elettriche e magnetiche, superficiali. Se 10
spazio estemo alla superficie e illimitato, in esso il campo elettromagnetico viene
univocamente determinato imponendo la condizione di radiazione all'infinito, e PUQ
essere calcolato sovrapponendo i campi elementari prodotti dai singoli elementi di
corrente superficiale. Poiche ciascun elemento e essenzialmente un dipolo (elettrico 0
magnetico), esso irradia un'onda sferica (vedi cap. 4) se 10 spazio e omogeneo e
isotropo, come si suppone. II campo totale e dato appunto dalla sovrapposizione di
onde sferiche elementari provenienti dai vari punti della superficie.
In modo equivalente, it campo elettromagnetico, all'esterno della superficie, si pub
considerare come quella soluzione delle equazioni di Maxwell che soddisfa la condi-
zione di radiazione all'infinito e Ie cui componenti tangenziali alla superficie coinci-
dono con quelle impresse. Ci si pub chiedere se, nello spazio esterno alla superficie
S 1, il campo non sia rappresentabile mediante funzioni che siano soluzioni delle equa-
zioni di Maxwell, soddisfacenti, singolarmente (come nel caso di guide d' onda e caviti)
o globalmente, aIle date condizioni al contorno. Tale rappresentazione analitica del
campo e possibile solo I nel caso di superfici semplici, in particolare coincidenti con
una superficie coordinata di un sistema di riferimento in cui siano note Ie soluzioni
delle equazioni di Maxwell, in assenza di sorgenti.
II problema accennato e importante in relazione al calcolo del campo irradiato
attraverso un foro in uno schermo metallico . (il foro costituisce allora un' antenna
ad apertura).
Consideriamo una superficie chiusa, S 1, metallizzata tranne che per la pI:esenza
di uno 0 piu fori di superficie S (vedi fig. 3.23); sorgenti disposte nel suo interno
producono sulla sua faccia esterna una distribuzione di campo Eo, Ho. All' esterno di
S 1, in base al teorema di unicita ( 1.4), il campo E, H, e quella soluzione delle equa.
zioni di Maxwell che soddisfa la condizione di radiazione all'infinito ed e inoltre tale
che
in X E=i n X Eo su S.;
in X Eo = 0
su S 1 -8 (conduttore elettrico perfetto).
.
In modo analogo si sarebbe potuto partire dal campo magnetico, con la condi-

3.5 I Roppresentozione medionte onde pione
211
5,
'y-s
I
I
Figura 3.23
zione i,. X H = in X 8 0 su S 1, ottenendo 10 stesso campo all' e.sterno di S l' E' pero
essenziale che i campi tangenti, in X Eo oppure in X Ho, siano a loro volta I'esatta
soluzione delle equazioni del campo elettromagnetico prodotto daUe sorgenti situate
all'interno della su perficie 51 .
Si pone dunque il problema della conoscenza del campo Eo, Ho. In pratica, il piu
delle volte questo campo non e noto; esso viene ragionevolmente stimato in base a
considerazioni parzialmente intuitive. Tra Ie varie approssimazioni, Ie piu usate sono
queUe di Kirchhoff e di Bethe.
Nell'approssimazione di Kircbhoff si suppone che il campo tangente nell'apertura S
sia quello imperturbato, cio il campo che esisterebbe in Sse non vi fosse schermo e
l'e sorgenti irradiassero nello spazio libero. Si suppone inoltre che sullo schermo 51 -5
il campo tangente sia nullo (il che e esatto per il solo campo elettrico). L'approssima-
zione di Kirchhoff equivale quindi a trascurare l'effetto che i bordi hanno sulla di-
stribuzione del campo di apertura, nonche Ie correnti superficiali (eleftriche) indotfe
sulla faccia esterna dello schermo. In effetti, vicino al b"ordo la perturbazione del
campo d'apertura e Ie correnti superficiali indotte sono apprezzabili solo in una stri-
scia di larghezza paragonabile alla lunghezza d'onda. L'effetto di tale perturbazione
6 presumibiImente trascurabile se I'area dell'apertura e grande rispetto a quella della
striscia, sempre che per interferenza gli effetti delle varie onde erne sse da ogni ele-
mento dell'apertura non si cancellino. In conclusione, l'approssimazione di Kirchhoff
e valida per aperture grandi rispetto alIa lunghezza d'onda e in regioni spaziali in cui il
campo irradiato e intenso.
L'approssimazione di Bethe e duale della precedente: si assume come campo im-
perturbato queUo che si avrebbe se il foro non esistesse e la superficie S 1 fosse tutta
me l1i77.a ta. Poiche si trascura la perturbazione prodotta daIla presenza del foro
nella schermo, l'approssimazione suddetta e valida solo per fori di dimensioni pic-
cole rispetto alIa lunghezza d 'onda.

212
Rappresentazione I Cap. 3
II valore assegnato al campo nel foro, Eo, Ho, in quanto approssimazione del
campo reale, non e una soluzione delle equazioni di Maxwell. Di conseguenza, anche
it campo E, H che si calcola allesterno di S I e un'approssimazione del campo effetti-
vamente irradiato dall'apertura; ne e indifferente, per tale calcolo, assegnare Ie condi-
zioni al contorno su S 1 in termini di campo elettrico tangente 0 magnetico tangente:
l'errore che si commette sui campo Eo pub esser diverso da quello che si commette su
8 0 , (Nel caso di fori su su perfici metalliche si ricorre in genere al campo elettrico,
perche e certamente nulla la componente tangenziale di Eo sullo schermo metallico.)
Un caso relativamente semplice e quello di una superficie metallica piana indefi.
nita in cui vi sia un foro (vedi fig. 3.24). upponendo che questo sia illuminato da
sinistra, si voglia calcolare il campo per z > O. La simmetria del problema suggerisce di
utilizzare come "funzioni di base" (notazione impropria, come si e visto in  3.1)
Ie onde piane considerate nel paragrafo 2.1, se nella regione di spazio considerata il
mezzo e omogeneo e isotropoo Si pone dunque
+00 +00
E(x,y, z)=  du I dv E(u, v)exp(-:jwx)exp(-jux-jVy)
[1]
_00 _00
dove (vedi  2.7)
w= Jk 2 -(u 2 + v 2 ) ,
w=-j J (u 2 +v 2 )-k 2 ,
u 2 + v2 <k2 = w 2 EJl = (32 reale,
u 2 +v 2 >k2
,
e la radice va presa col segno positivo; la scelta del segno w e compatibile con la con.
dizione di radiazione all'infinito. La funzione vettoriale :£(u, v) e detta spettro di
onde piane (0 semplicemente, spettro) del campo E, e viene determinata imponendo
la condizione al contorno suI piano z = 0:
inX E(x,y, O)x in =Et(x,y),
[2]
dove Et coincide con il campo elettrico tangente (assegnaOto) sull'apertura ed e zero
sulla rest ante parte dello schermo. Si ha
+00 +00
I du ! dvEt(u,v)exp(-jux-jvy)=Et(x,y)
_00 _00
£t (u, v) = in X t (u, v) X in .
La precedente relazione e una trasformata doppia di Fourier che, invertita, porge
1
£t(u, v)= 2
(21T )
+00 +00
 dx  dyEt(x,y)exp(jux +jvy),
[3]
_00 _00
dove l'integrale pub essere esteso alla sola apertura, essendo, all'esterno di questa,

3.5 I Roppresentaz;one mediante onde piane
213
x
s
/
/
/
"
¥
z
y
Figura 3.24
Antenna ad apertura.
Et(x, y)=O. La componente trasversaIe dello spettro e dunque determinata total-
mente dai valori del campo sull'apertura; per la componente longitudinale si ha
(vedi  2.7)
-h _ ut x +vE y
Dz(U, v) -- .
w
In definitiva, con notazione compatta,
+00 +00
-A ( 1'1: i z k ) 1 r r
r.(u, v)= Jt--;;- · (21f)2 _t dx _t dyEt(x,y)exp(jux+jvy). [4]
1..0 spettro di onde piane e pertanto totalmente determinato daIla distribuzione
del campo tangente sull'apertura; inserita nella [1], la funzione E(u, v) permette il
calcolo del campo ovunque nel semispazio z > O.
La rappresentazione [1] e particolarmente utile se si vuol ca1colae il campo a
grande distanza dall'apertura, cioe per fjr> 1 (vedi anche fig. 3.25). A tal fine con-
viene introdurre i coseni direttori
 = sin 8 cos cJ>, 11 = sin 8 sin cJ>, l' = cos 8

214
Rappresentazione I Cap. 3
".-
S
I
\
y
Figura 3.25
Apertura giacente nel piano z = 0 e suo associato sistema di coordinate sferiche.
della direzione r considerata, nonche i coseni direttori
1:.' _ _  ' ' 'lJ , W
 ,., 11=j,1=7f
del vettore d'onda k, e riscrivere l'integrale [1] come segue:
+00 +00
E(r) = tJ2 I d r } d 11' £(f, 11') exp [- jtJr"'(. 11; '. 11')],
_00 _00
con \]I (, 11; ', 17') = ' + 1711' + 1')".
. Per. {3r'> 1 l'argomento dell'esponenziale che compare nell'integrale e una funzione
rapidamente variabile di ', 11' , a meno che
a", _ a1/J _
af - a11' - 0 (punto a lase staz;onaria).
Solo un minuscolo intomo di un tale punto contribuisce in modo significativo
all'integrale; quando ci si allontani da esso, l'integrando diventa una funzione rapida-
mente oscillante con ', fl' e il contributo all'integrale diventa trascurabile. Ora
a VI 1 I
-=---,
a' 1
a VI 111
---; = 11- -,- ,
all 1

3.5 I Rappresentaz;one mediante onde pione
215
e la condizione di fase stazionaria si ha per
=', 11=11', 'Y='Y'.
Questo significa che di tutte Ie onde piane che compongono il campo e che arri-
vane in P, solo queUe il cui vet tore di propagazione e compreso in uno stretto cono
centra to nella direzione i r , dall'origine verso P, interferiscono positivamente per
creare il campo in P; Ie altre interferiscono negativamente e il risultato netto e tra-
scurabile. Si noti che nel punta a fase stazionaria VI = 1.
In defmitiva, per (3r> 1 si ha
+00 +00
E(r)=2 exp(-jr) J df  d17't(r.17')exp[-jr(1jI-l)]::::::
_00 _00
+00 +00
::::2.t(,11)exp(-jr) J df  d17' exp[-jr(1jI-l)]::::::
_00 _00
(3 exp( -j(jr)
21rj cos 8 £(, 11),
r
[5]
dove la funzione vettoriale E(', p.') e stata approssimata al suo valore E(, 11) (perche
solo. nell'intorno del punto stazionario l'integrando ha un molo significativo) e
il restante integrale e stato valutato asintoticamente sviluppando in serie la funzione
VI sino ai termini di ordine quadratico; si noti che i termini lineari sono nulli (James,
1976).
Dalla relazione [5] si deduce anzitutto che 10 spettro di onde piane associato
all'apertura e proporzionale al campo a grande distanza (campo i"adiato), nell'am-
bito dei valori  < 1, 11 < 1 (direzioni reall di irraggiamento); risulta inoItre, sostituendo
la [4] nella [5], che tale campo e proporzionale alIa trasformata di Fourier della di-
stribuzione del campo tangente sull'apertura.
Annotazioni
*3.5.1 Campo irradiato da un'apertura rettanaolare
Sia data un'apertura rettangolare (vedi fig. 3.26a), illuminata da un campo elet-
tromagnetico tale che la componente tangenziale del campo elettrico nell'apertura sia
Et(x, y)=E o iy COs ( ;a x).
La componente tangenziale delle spettro e data da
E b a ( . )
t(U,V)= O 2 iy J exp(jvy) J COS 21( x exp(jux)dx=
(21T) -b -a a
2 b sin (vb) cos(ua) A
-E. a E ·
- 0 ly 1(3 '() b 1 _ ( 2  a r = y I.y ,

216
Roppresentozione I Cop. 3
z
 V
P(r, 0, )
2b L .... ....
-
z x y
L .1
2a x
(a) (b)
Figura 3.26
Apertura rettangolare (a) e suo associato sistema di riferimento sferico (b).
mentre la componente longitudinale e data da
A 'Oiy
E (u '0)=--
%, W
Consideriamo ora il diagramma di radiazione nei due piani principali. Nel piano E
(l/> = :t 1r /2 con la polarizzazione scelta per Eo) u = 0 e '0 = :!: /3 sin (J. Pertanto nella
direzione k = /3 i"
 _. _ 2ab sin(fjbsin8) ( . + sinll
£,(k-/31,)-Eo _ 3 /3h' (J Iy - 8
1r sm cos
sin({3b sin 8)
(3b sin (J
iz) =
- E 2ab
- 0
1f3 cos (J
i8
e il campo irradiato ha componenti Ee, HtJ> date da
8 a b [ sin (/3 b sin 8 ) ]
{ E e =jEo wAr exp(-j/3r) (3b sin 8
Eo
HCP=T.
n fattore in parentesi quadra mostra come varia il campo irradiato dall'apertura
nel piano E. n primo punto di annullamento si ha per
/3b sin (J 0 = 1f;
per grandi aperture (/3b> 1), e 8 0 A/2b. La I arghez za del primo lobo (vedi fig. 3.27)
e data dunque da
A
8 -
o b '
formula di notevole interesse pratico.
L'ampiezza dei lobi secondari decresce uniformemente all'aumentare di (J. L'am-
piezza massima dl primo lobo later ale, in corrispondenza di (jb sin (} = 31f/2, e 2/31f

3.5 I RQPpresentazione medionte onde piane
217
f(u)
1
f ( u) = sin u
u
1t
21t
u = P b sin fJ
(a)
f(u)
1
cos u
f (u) = 1 _ (2u/ n)2
1t
21t
u= pa sin f)
(b)
Figura 3.27
Campo irradiato da un'apertura rettangolare: (a) piano E; (b) piano H.
volte quella del1obo principale, con un'attenuazione di 13,46 dB; per i lobi secondari
successivi l'attenuazione e ancora piu accentuata.
Nel piano H (tP=O, 'IT) si ha u=(3 sin 8, '0=0. Pert an to, con procedimento del
tutto analogo, si ha per il campo irradiato
. 8ab . [ c'os«(3a sin 8) ]
Ecp=fJEo  cosB exp(-J(jr) ( . ) 2
1T I\r 2(ja sm B
I-
. 'IT
E4>
HS=-T'
dove i1 segno superiore va preso per 4> =0 e }'inferiore per =1r.
n fattore in parentesi quadra, moltiplicato per cos (J, rappresenta ora it variare del
campo irradiato nel piano H. Per grandi aperture 18 larghezza del primo lobo e data

218
Roppresentaz;one I Cop. 3
da
3A
f:&8 -.
o 2a'
l'arnpiezza del primo lobo secondario e inferiore (di 23,52 dB prescindendo da cos 8)
a quella del lobo principale; per i lobi successivi l'attenuazione, rispetto al lobo
principale, e superiore. Nel piano H i1 primo lobo e piil largo rispetto a quello nel
piano E (a parita di dimensioni a e b), ma 1 'ampiezza dei lobi laterali e minore. D'altra
parte, nel piano E la distribuzione del campo di apertura e costante, nel piano H si
attenua agli estremi dell'apertura (tapering cosinusoidale). La relazione di trasfor-
mata di Fourier tra distribuzione di apertura e campo irradiato spiega e generalizza
i risultati precedenti: distribuzioni di apertura piu dolci danno diagrammi di radia-
zione con lobi principali piularghi e lobi laterali piit bassi.
3.5.2 Potenza associata a un'apertura
La potenza (complessa) associata all'apertura e data da
+ + + +
p=  ! dx ! dyEXH*°iz=   dx ! dY(izXE)oH*=
-
-
-
-
+ +
=  ! dx . dY(izXE) o(iz XH*xiz)=
- -
+ +
=  J dx ! dy (iz X Et) 0 (iz X Ht X iz),
_00 _
dove E, H e i1 campo nell 'apertura. Nell'espressione finale compaiono solo Ie sue
componenti tangenziali Et, Ht, che sono d'altronde in relazione di trasformazione di
Fourier con i rispettivi spettri £t, Rt; l'integrale della formula preceaente pub COSt
trasformarsi, grazie al teorema di Parseval in due dimensioni, nell'integrale del pro-
dotto degli spettri:
+ +
p=  (211')2 ! du J dv (iz X £t) ° (iz X 9; X iz)=
_00 _00
(21T)2 + +00
J J dv (i z X E) X ( X 8)* · i z =
- du
2
_00 _00
(21T)2 + +00
I J d'V (i z X E) X [iz X (k X t)*] · i z ;
- du
2wJ.1.
_00 _00
sviluppando i prodotti e raccogliendo i termini si ottiene
(21T)2
p=
2wJ.1.
+00 +00
! du ! dv(w*IE t I 2 +wIE z I2).
_00 _00
Si PUQ distinguere l'intervallo di integrazione C R , in cui w e reale (dominio visi-

3.6 I Onde sferiche
219
bile) da quello CJ, in cui w e immaginario (dominio invisibile); risulta
(21r)2
p=.
2
r r w A 2 . (21r)2 r r I wi A 2 - 2
j J If 1 EI dud 'lJ + ] 2  J J 7 (I  t 1 -I E % 1 ) dud 'lJ .
CR CJ
n primo integrale rappresenta la potenza reale irradiata dall'apertura, cui contri-
buiscono tutte e sole Ie onde piane delle spettro che emergono con angolo reale
rispetto a z. n secondo integrale. rappresenta la potena reattiva associata all'apertura,
cioe 1/2w volte la differenza tra i valori medi delle energie elettriche e magnetiche
immagazzinate nel semispazio z  O. A form are questa potenza contribuiscono tutte e
sole'le onde superficiali che si attenuano esponenzialrnente lungo il verso positivo di
z. E' chiaro dunque il lUolo svolto dalle varie onde dello spettro: quelle del dominio
visibile trasportano la potenza dell'apertura all'infinito, queUe del dominie invisibile
contribuiscono a formare il campo nelle immediate vicinanze dell'apertura stessa.
3.6 Onde sferiche
Le onde piane sono certamente la soluzione piu semplice delle equazioni di
Maxwell; esse permettono di presentare il fenomeno della propagazione elettroma-
gnetica senza I'appesantimento di un formalismo maternatico eccessivo. Tuttavia, la
singola onda piana non e praticamente realizzabile: essa presuppone una potenza
infmita, nonche sorgenti di estensione infmita che diano luogo a eccitazioni perfetta-
mente sincronizzate.
Lo studio delle onde piane non e pero inutile: da un lato esse sono fisicamente
sovrapponiblli (vedi  3.5), dall'altro a frequenze ottiche, 0 a grande distanza dalle
sorgenti, la maggior parte delle onde possono riguardarsi come localmente piane.
Un'onda che, essendo .prodotta da sorgenti localizzate, e fisicamente realizzabile
e quella sferica. In questo paragrafo si considerano Ie onde sferiche, soluzioni delle'
equazioni di Maxwell (in coordinate sferiche' r, 8, l/J) nel dominio della frequenza,
nell'ipotesi di un mezzo isotropo e omogeneo e di sorgenti localizzate nell'intorno del
centro (r=O) del sistema di coordinate (questo studio e propedeutico a quello dello
sviluppo in onde sferiche, oggetto del prossimo paragrafo).
La trattazione delle onde sferiche e qui svolta in modo formalmente analogo a
quello del calcolo dei modi nelle guide d'onda (vedi  3.3): l'asse z diventa la dire-
zione di propagazione r, e la sezione trasversale della guida diventa una qualunque
delle superfici sferiche che inglobano Ie sorgenti. Per prima cosa occorre dunque
scomporre i tampi nelle loro componenti trasversali (alla direzione i,) e longitudinali,
o radia!i (Marcuvitz, 1951):
E (r, 8, l/J) = Et(r, 8, t/» + E, (r, (J, l/J) iT
H(r, 8, l/J)=Ht(r, 8, 4»+H,(r, 8, l/J)i,.

220
Rappresen taz;one I Cap. 3
Sostituendo nelle equazioni di Maxwell ai roton, e proiettando queste trasversal-
mente e radialmente, si ottiene
:r (i, X rEr)=-jwWHt Hr x (r VtEr)
a (D t X i r )= -jw€rEt+(rHr)x i r
(Jr.
[1 ]
{ rVt · (i r x rE t )=-jwJlr 2 Hr
r V t · (r 8t X i r )=jwer 2 Er,
mentre Ie equazioni di Maxwell aIle divergenze forniscono Ie seguenti relaioni
[2]
{ rVt.(rEt)+ aar (r2Er)  O
rV t . (rHt) + a: (r 2 Hr)=O.
[3]
Gli operatori differenziali che appaion nelle [1 ]-[3] sono COSt definiti:
at . 1 af .
r V t f(r, 8, l/J) = a7J 18 + sin 8 al/J lei>
r V t · F(r, (), 1/»= Si() aa() sin () Fe + Si ()
a
al/J F </>' ;
si tratta quindi di operatori puramente trasversali.
V ogliamo ora trovare soluzioni delle [1 ]-[3] che corrispondano a onde propagan-
tisi lungo l'asse r. 6 I campi, in analogia con quanto si e visto nel paragrafo 3.2, si
esprimono come i1 prodotto di due funzioni, I'una dipendente solo da (8, cp), I'altra
solo da r:
{ r Et(r, 8, l/J)= e(8, l/J) V(r)
r8 t (r, 8, l/J)= h(8,  )/(r).
[4]
DaIle. [2], si ha come espressione dei campi longitudinali:
{ jW/lr 2 Hr(r, 0,4> )=rV t . (i, x e) V(r)
jer2 Er(r, 8, l/J )=rV t · (h x ir)l(r).
[5]
Le due relazioni precedenti mostrano che i campi radiali decrescono piu rapida-
mente con r di quelli trasversali: a grande distanza il campo tende a diventare tutto
trasversale.
6. Cia corrisponde a scegliere una possibile classe di soluzioni delle (1 ]-( 3 I. Esistono classi
alternative di soluzioni, corrispondenti a propagazione lungo ie e iq, (Felsen e Marcuvitz, 1973).

3.6 I Onde sfer;che
221
Verifichiamo ora se puo esistere un campo TEM (rispetto a r) tale che
Er=Hr=O.
II) tal caso dalle [1] si ricava
i,.xe=h
perche i vettori al primo e secondo membro devono essere paralleli. Per Ie [3]
rV t . e=O
r. (i r X e)=O=i r . V t X e.
[6]
II vettore e, essendo a divergenza e a rotore nulli sulla sfera, e anch'esso nullo in
base at teorema di Helmholtz. Di conseguenza un'onda elettromagnetica puramente
trasversale (TEM) non e fisicamente eccitabile.
Consideriamo ora Ie possibili onde. TE rispetto a r, tali cioe che
E,=O, Hr*O.
In questa ipotesi, Ie [I] si semplificano come segue:
(i,.x e) : =-jwp./h
(hxi,.) ; =-jW€ Ve +(rVtH,.)Xi,.:
[7]
La prima equazione mostra che anche in questo caso (a meno di una costante
arbitraria che e assunta pan a uo) dev'essere i r X e=h. Dalla prima delle [2] segue
inoltre
. V(r) .. V(r) .
rVtH,. X 1,.= . 2 [rVtrV t . (I,. X e)] X I,. = . r [r VtrV t · h) X I,..
Jwr JW
Dalla seconda delle [7] risulta che questo vettore dev'essere parallelo a h X i r ; si PUQ
dunque porre
rVtrV t . h +n(n + l)h=O,
con n(n + 1) costante per ora arbitraria. Le [7] si trasformano come segue:
[8]
dV . I
- =-Jw
dr
dI . 1
- =-jWE
dr
n(n + I) J
k 2 ". V.
[9]
La [8] deterrnina la distribuzione trasversale (8, t/» dell'onda sferica (vedi 3.6.1); il
sistema [9] determina invece la sua dipendenza dal raggio (vedi 3.6.3). Di qui si vede

222
Rappresentazione I Cop. j
che una possibile soluzione del sistema [9] e la seguente:
V;) = E+h1 2 )(kr)
I ( ) 'E+
: = ;kr [krh1 2 )(kr)]'
dove Ie h)(kr) so no funzioni sferiche di Hankel di seconda specie (Stratton, 1965,
pp. 551-60; Abramovitz e Stegun, 1970, pp. 435-38) e rapice indica l'operazione
di derivata rispetto a kr.
La determinazione della costante n(n + 1) e legata alia soluzione dell'equazione
[8]; si mostra in 3.6.1 che n pub assumere qualunque valore intero positivo. Vi e dun-
que una infinita numerabile di possibili onde, con diversa dipendenza radiale, che
pero hanno tutte andamento simile per kr -+ 00. Infatti, adoperando 10 sviluppo
asintotico delle funzioni sferiche di Hankel per kr -+ 00,
exp(-jkr)
h2)(kr)jn+l
kr
h(2)' ( kr ) = 1 [ nh(2) I( kr ) - ( n+l ) h(2) ( kr )]  J 'n exp(-jkr)
n 2n+l n- n+l kr'
[10]
risul ta
V(r) +1 exp(-jkr)
jn E+
r kr
l(r)  .n+l E+ exp(-jkr)
r - J T kr .
Le relazioni precedenti mostrano chiaramente che, per kr> 1, iI fasore del campo
elettrico e di queUo magnetico corrispondono a quelli di un'onda propagantesi nel
verso positivo di r con velocita di fase (per k = P reale) 'Of= wlP. Inoltre campi elet-
trici e magnetici sono ortogonali (vedi relazione [6]) e il rapporto tra Ie lara ampiez-
ze e pari. alla impedenza intrinseca del mezzo t. In queste circostanze I'onda sferica e
localmente piana, attenuandosi pere, inversamente con la distanza (in assenza di
perdite del mezzo). La ragione di questo decadimento risulta chiara se si considera
n flusso del vettore di Poynting attraverso un angolo solido d n; tale flusso e propor-
zionale a
;  Ir* r2 dD.=-j ; 1+12 h) (I3r) [(l3r) h;: (I3r)]'* r2 dD..
Come e chiarito in 3.6.4, la parte reale del flusso e costante con r; di conseguenza
]a potenza reale iniettata dalle sorgenti nell'angolo solido d n si ripartisce, al variare
di r, sulla superficie r2dn. Per kr> 1 la potenza e tutta reale, e pertanto i1 campo
decresce come l/r all'aumentare della distanza.

3.6 I Onde sferiche
223
Le onde sferiche corrispondenti a diversi valori di n sono invece notevolmente
diverse per valori piccoli di kr, come si pub vedere dallo sviluppo delle funzioni sfe-
riche di Hankel per kr < 1 :
h(2) ( k; )  / ' (2n)! 1
n 2 n n! (krf+l
Lo studio dei modi TM (rispetto a r) e del tutto analogo; nuovamente, campi
elettrici e magnetici trasversali sono tra loro ortogonali:
h X i r = e.
La distribuzione trasversale del campo e descritta dall'equazione
rVt,V t . e +n(n + l)e=O,
[11 ]
e la distribuzione radiale dal sistema
dV . [ n(n+l) ]
- =-JWIJ. 1- I
dr k 2 7l
dI . V
- =-JW€
dr
[12]
Ie cui soluzioni so no ancora Ie funzioni sferiche di Hankel.
Annotazioni
*3.6.1 Distribuzione trasversale di onde sferiche TE
Per 10 studio del caso TE occorre partire dalla [8]. Si osserva anzitutto che la cir-
cuitazione di h lungo un qualunque percorso giacente su una sfera r=cost. e nulla,
poiche Er = O. Risulta pertanto
h (8, l/J) = - r V t 'If «() , l/J),
dove '1'(8, l/J) svolge i1 molo di un potenziale; sostituendo nell'equazione [8] si
ottiene
rVt[rVt.rVtW +n(+ 1)\1']=0,
cioe, a meno di una costante inessenzjale,
r.rVt\l' +n(n + 1)\1'=6,
dove l'operatore differenziale
[13]
V "' 2 V ' 2 1 a. 8 0 + 1 0 2
r t.rVt=r t = sin 8 08 sm 08 8in 2 8 0l/J2
rappresenta un laplaciano trasversale. Posto '11(8, l/J)="-'8«()'I!cp(q,), con i1 metoda di

224
Rappresentaz;one I Cap. 3
separazione delle variabili la [13] si spezza nelle due equazioni
d 2 ,¥
lJ> +m 2 '11 =0
dlJ>1. <po
sinO d sinO d:: + [n(n + l)sin 2 O-m 2 ]ws=O.
La soluzione della [14] e
'Pq,(lJ»=C m cosmlJ>+Sm sinm4>;
poiche si richiede che
[14 ]
[15]
'114>( 4> + 21T) = 'It q,( l/J),
m pub assumere solo valori interi positivi (m = 0, 1, 2, ...).
La soluzione della [15], finita per 8 = 0 e 8 = 1r, e data da
'11 8 (8) =P(cos(J), m n,
dove l'indice n PUQ assumere tutti i valori interi positivi (n = 0, 1, 2, ...) eP: (cos 8)
sono i polinomi associati di Legendre (Stratton, 1965, pp. 351-58; Abramovitz e
Stegun, 1970, 331-53). Usualrnente l'indice m si sottintende se esso e uguale a zero;
per i primi valori di n si ha
1
Po(cos8)= 1, PI (cos8)=cos 8, P 2 (cos8)=2:(3 cos 2 8-1),
e, per i primi valori di m,
 (cos 8) = sin 8 , p ( cos 8 ) = 3 cos 8 sin 8, P; (cos 8) = 3 sin 2 8.
Per ogni m > n risulta
PJ:1 (cos8)= o.
.3.6.2 Studio della distribuzione trasversale di onde sferiche TM (esercizio)
Si proceda come nel caso precedente, ponendo
e (8 , 4» = - r V t <P( 8, l/J).
*3.6.3 Distribuzione radiale di onde sferiche
Per il caso TE, si parta dal sistema [9]; per successive derivazioni e sostituzioni,
tale sistema si trasforma come segue:
dV . I
- =-JwIJ
dr
d 2 V
r 2 +[k 2 r 2 -n(n+l)]V=0.
dr 2
Posto f(r) = V(r)/r, si ottiene facilmente
d 2 f df
r - +2r- + [k 2 r 2 -n(n+ l)]f=O,
dr 2 dr
[16]

3.6 I Onde sfer;che
225
equazione che definisce Ie funzioni sferiche di Bessel (Stratton, 1965, pp. 551-60;
Abramovitz e Stegun, 1970, pp. 435-78). Una soluzione della [16] che corrisponde
a onde che si propagano verso l'infinito (vedi equazioni [10]) e la funzione sferica
di Hankel di seconda specie; la soluzione della [16] in un mezzo omogeneo e pertanto
V(r) =E+h(2)(kr)
r n
I(r) 1
r
jWJlr
dV
--. =-
dr
E+
(krJ42) (kr)]'.
jWJlkr
Per i primi valori di n si ha
t ) exp(-jx)
h( (x)= j x '
(2) . exp( -jx)
h 2 (x) = ] 2 (1 + j x),
x
f ) exp(-jx)
,hi}.2 (x)=j 3 (3+3jx-x 2 ).
X
3.6.4 Potenza reale associata a un'onda sferica
11 flusso del vettore di Poynting attravrso un angola solido dS1 nell'ipotesi di un
mezzo senza perdite e proporzionale (per modi TE) a
1 I E + 1 2 [(3 rh(1) «(3 r )] '
-j"2 t h2)({3r) n pr 'r 2 d1"l=
=_j  IE;12 [h2)(pr)h1)'(pr)+ Ih2)r)12 ] r 2 d1"l,
dove
hl) ({3r) = jn «(3r) + jYn «(3r) = [h2)«(3r)]*
e la funzione sferiea di Hankel di prima specie. Le funzioni h2)«(3r) e hl)«(3r) sono
soluzioni indipendenti dell'equazione [16]; il wronskiano e dato da
h(1)'( pr) h(2) (pr)-h(l) (pr)h(2)' ({3r) = 2j _
n n n n . (13 r)2
= 2 j [ j n «(3 r) y  «(3 r) - j (13 r) Y n ({3 r) ].
La grandezza in parenesi quadra non e altro che il coefficiente dell'immaginario del
prodotto h)«(3r) hl) ({3r). D'altra parte, I'espressione del flusso del vettore di
Poynting mostra che la sua parte reale e proprio proporzionale a tale quantita. Se ne
deduce che il flusso di po tenza attiva nell'angolo solido d n e dato da
1 IE +1 2
"2 p2 d1"l,
cioe e indipendente da r. Questo non aceade per la potenza reattiv3:, che al crescere
di r decresce, annullandosi all'infinito.
JS

226
Rappresentaz;one I Cop. 3
3.6.5 Onde sferiche nel dominio del tempo
Si consideri il caso di un mezzo senza perdite, non dispersivo, per il quale
k=(j=wVW =
fA c'
dove c e una costante reale indipendente dalla frequenza.
Esaminiamo dapprima i1 caso n = 0, corrispondente al caso dell'onda TEM (anche
se questa non e fisicamente eccitabile) per cui
exp( - j(3r)
E(r, w)=E+(w) (3r
e il campo magnetico, ortogonale a quello elettrico, e dato da
E+(w) exp{-j{3r)
H(r, w)= r {3r
Applicando la stessa tecnica utilizzata nel caso dell'onda piana (vedi  2.7) si ha,
nel dominio del tempo,
1 +- eXPw(t- ; )J
e(r, t)= 21r J E+(w)
_00
r
w-
c
dw,
dove E+{w) e detenninato una volta nota, ad esempio, la distribuzione radiale del-
l'onda per t= 0:
1 +- eXP(-i W ; )
e(r 0)=- J E+(w) dw,
, 21r r
_00 w-
c
E+(w)
+00
- J e(r,O) ; eXP(iw ; )d (;) .
_00
w
Pertanto
+- expw-)] +- , "
e(r,t)= 2 J dw r C J e(r',o) (:) exP(i w : ) d (: =
 -
c:
,
+J oo !- , ,
- , c r -r r r-ct
- e(r,o)- ( t+ ) d(-\=e(r-ct,o) .
_00 r c \ c J r
c

3.6 I Onde sfer;che
227
,
r-ct
Figura 3.28
La relazione precedente mostra che l'ampiezza dell'onda, nel punto di ascissa r e
all'istante t, coincide con l'ampiezza (ridotta nel rapporto delle distanze dal punta
r= 0) che l'onda aveva all'istante t= 0 nel punta di ascissa r-ct (vedi fig. 3.28).
L'onda ha dunque trasfato con velocita c costante lunge il verso positive dell'asse r, la
sua ampiezza in ogni punta decrescendo come llr.
Passando al caso n =1= 0, si nota che nell'espressione della funzione sferica di Hankel
compare sempre l'esponenziale exp( - j{3r) che moltiplica una combinazione lineare di
fattori del tipo
1
l<m<n+l.
(w ; ) m
A ciascuno di tali fattori si applicano Ie considerazioni precedenti;il campo parziale
associato a1 singolo fattore trasla con velocita costante c, attenuandosi con la distanza
come r- m . L' onda complessiva, sovrapposizione di queste onde parziali, si deforma
nella propagazione, perche i singoli termini costituenti hanno leggi diverse di dipen-
denza da r (la conclusione e curiosa, trattandosi di un mezzo non dispersivo). Questo
tipo di deformazione e diverso da quello considerate in 2.3.1, per i1 Quale Ie varie
frequenze componenti i1 segnale si propagano con velocita differenti e, dopo un
cammino sufficientemente lungo, il pacchetto si allarga. Nel caso in esame, i termini
componenti i1 segnale sono tutti della stessa frequenza e si propagano tutti con la
stessa velocita. n motivo della deformazione e diverso. Si e visto che la densita di
potenza attiva associata all'onda (parte reale del vettore di Poynting) diminuisce con
la distanza come l/r 2 . Pertanto sono i termini del campo che diminuiscono come 1/r
ad essere associati a tale densita di potenza; gli altri sono associati (nel dominie della
frequenza) alIa densita di potenza reattiva (coefficiente dell'immaginario del vettore
di Poynting), cioe a una potenza di scambio tra sorgenti e campo. Di conseguenza, a
piccola distanza dalle sorgenti l'onda non e ancora formata completamente, essendo
ancora stretto l'accoppiarnento con Ie sorgenti. AI crescere della distanza dalle
sorgenti, i termini in l/r diventano dominanti, venendo meno l'accoppiamento con
queUe; l'onda prende forma, e da un certo punta in poi, raggiunta la configurazione
definitiva, si propaga senza piu deformarsi, a parte la progressiva diminuzione di am-
piezza.

228
Rappresentaz;one I Cap. 3
3.7 Problemi estemi: sviluppo in onde sferiche
In alternativa alIo sviluppo in onde piane, si pub considerare per il campo elettro-
magnetico una rappresentazione mediante onde sferiche. Nel presente paragrafo viene
esaminato, in particolare, il problema della rappresentazione del campo all'esterno di
una superficie sferica di raggio R su cui il campo stesso assuma valori prefissati (vedi
fig. 3.29); si suppone inoltre che Ie sorgenti che originano il campo siano tutte interne
a tale superficie, che il mezzo sia omogeneo e isotropo e che sia soddisfatta la condi-
zione di radiazione all'infinito (sono esclusi i campi statici).
Come si e visto ( 3.6), l'insieme delle onde sferiche comprende modi (0 armo-
niche) TE rispetto a r
E(r, 8, l/J)=-E+h)(kr)r V t v nm xi,.
_ . E+ [krh2) (kr)]' E+ (2) .
H(r, 8, l/J)--J  k r Vtw nm + . n(n + l)h n (kr)W nm l,.
) r JWIJr
'¥nm (8, l/J)=(Am cosml/J + Bm sin m(jJ)P:' {cos 8),
z
P (r, 0, l/J)
y
Figura 3.29

3.7 I Sviluppo in onile sferiche
229
e modi TM (sempre rispetto a r):
_ . + [krh!,2) (kr)]' H+
E(r, 8, ,p) -ltH k rVt<Pnm + . n(n + 1)h2)(kr)<Pnmi,.
r Jwer
H(r, 8, l/)=H+h!,2) (kr)i r X rV t 4>nm
<Pnm (8, l/» = (C m cos ml/) + Dm sin ml/> )P;' (cos 8).
Nelle formule precedenti, Am' Bm' C m , Dm, E+, Ir sono costanti; la condizione
di radiazione all'infinito e stata imposta con la scelta della funzione di Hankel di
seconda specie che esprlme la opportuna dipendenza radiale dei campi ( 3.6, [10]).
Onde di questo tipo costituiscono una base completa (Courant e Hilbert, 1931)
per 10 sviluppo in serle di funzioni del generico campo prodotto dalle sorgenti e sod-
disfacente alIa condizione di radiazione' all'infmito. Per semplificare Ie notazioni si
introd ucono Ie ma trici (1 x 2):
/n m  P,T ( cos 8) II cos m cf> sin m 4> II
1Fnm -+rVt/nm,
e Ie matrlci (2 x 1) dei coefficienti
1 c
Qnm
tZnm s ;
Qnm
tf.  bm
nm b s .
nm
 . .
1..0 sviluppo del campo E(r, 8, 4», H(r, 8, cf» ha la forma seguente:
GO n 
E(r, 8, l/»=nm (m X i r ) 0anmh2)(kr)+
. 1 0
. . dr [krh2)(kr)]' n(n + 1) . (2) 
+JtcT"nm 0 4'nm k - . Ir4am 0 4'nm h n (kr) [1]
r . Jwer ,'.
GO n [
H(r, 8, l/»= n t m (i r xm)0 4'nmh2)(kr)+
1 0
. 1 [krh2) (kr)]' n(n + 1) . (2) 
+l"j:"m 00 nm k - . Ir1am 00nmhn (kr) . [2]
) r J wer "1'1'4
. n simbolo 0 indica il prodotto matriciale riga per colonna; la seconda sommatoria e
limitata a n, come valore massimo dell'indice m, per la nota pro prieta dei polinomi
associati di Legendre:
P;'(x)=O se m>n.
OvViamente gli indici n e m assumono tutti i possibili valori interni.

230
Roppresentazione I Ctlp. 3
Notiamo fra l'altro che su ogni superficie sferica la parte TE del campo elettrico
(determinata dai coefficienti am , tin m )  solenoidale, mentre la TM (determinata dai
coefficienti bm, bm) e irrotazionale. 7 Per ogni modo, 0 armonica sferica, si hanno
dunque quattro coefficienti (righe dello spettro), che pero possono ridursi a due se,
invece di esprimere la dipendenza del campo da t/> mediante funzioni circolari, scom-
ponendolo cos! in parte simmetrica e in parte antisimmetrica, si ricorre agli esponen-
ziali complessi exp(jml/» (in tal caso la sommatoria rispetto a m si estenderebbe da
-na+n).
I coefficienti dello sviluppo nel caso particolare considerato si calcolano impo-
nendo l'uguaglianza tra i valori noti del campo sulla sfera r = R e l'espressione gene-
rale [1 ]-[2]. Per il teorema di unicita (vedi  1.4), basta fissare su r = R Ie sole
componenti tangenziali del campo elettrico 0 di quello magnetico (piu in generale,
basta assegnare una 10ro combinazione lineare); iI calcolo dei coefficienti viene
effettuato utilizzando un procedimento standard (vedi 3.7.1).
Osserviamo che i valori del campo sulla superficie r= R potrebbero corrispondere
a valori misurati. In tal caso i coefficienti dello sviluppo permettono di calcolare age-
volmente i valori del campo a grande distanza, cioe Ie caratteristiche radiative del si-
stema delle sorgenti interno alIa sfcra (ideale) di raggio R (Jacobson, 1977). Infatti,
utilizzando 10 sviIuppo asintotico delle funzioni di Hankel ( 3.6, [10]), si ha
exp(-jkr) 00 n { }
E(r00.8.q,)= kr njn+1;m (mxin)0onm+m0.fnm
H(r  00. 8. q, ) = : i,. X E.
In pratica, la serie viene troncata a un conveniente valore di n, attuando un com-
promesso tra l'esigenza di accuratezza e quella di minimo ingombro di programma
numerico. Questa tecnica e utile nel caso di antenne grandi rispetto alIa lunghezza
d'onda (vedi 4.5.5).
Annotazioni
3.7.1 Calcolo dei coefficienti deUo svDuppo in armoniche sferiche
Si immagini di conoscere la componente tangenziale del campo elettrico Et(R, 8, cp)
sulla sfera r=R. Se it campo all'estemo della sfera r=R deve soddisfare Ia condizione
di radiazione all'in finit 0 , puo essere rappresentato mediante sviluppo in serle Ie [1]
e [2]. I coefficienti dello sviluppo sono determinati imponendo che la serle, sulla
sfera r=R, assuma i valorl (noti) Et(R, 8, l!».
7 Per il campo magnetico accade il contrario.

3. 7 I Sviluppo in onde steriche
231
Per calcolare i singoli coefficienti si sfruttano essenzialrnente Ie condizioni di orto-
gonalita delle funzioni circolari,
2n 2n
J sin(my)sin(m'y)dy= J
o 0
,
cos(my) cos (m y) dy = 0,
m =f:=m',
[3]
r sin(my)cos(m'y)dy=O,
o
[4]
e dei polinomi associati di Legendre (Jahnke e Emde, 1945),
1
J p:, (71) (71) d71 = 0, 71 = cos 0, n =l=n',
-1
[5]
1
I I d
PJ[' (ll)P::' (11) = 0, m =l=m';
1-2
-1 '1
[6]
la serle viene moltiplicata termine a termine scalarmente per una opportuna funzione
e poi integrata sulla superficie della sfera r = R.
Si voglia, ad esempio, calcolare it coefficiente bm; consideriamo il vettore
rdm
m0m=bm[ d
[ dm
+bm dOn
cos(mq,)i, - :; sin(mq,)iq,] +
sin(mq,)ie + ::; cos(mq,)]
e moltiplichiamol0 scalarmente per it vettore
! , m '
dPn ,. m Pn' . ,.
T= dO cos(m cp) I(J - sin°8 sm(m cp).
Integrando il prodotto rispetto a 4> tra 0 e 211', solo il coefficiente del fattore bm
risulta diverse da zero (per Ie [4]); inoltre, solo il termine con m =m' e diverse da
zero (per Ie [3]). Se poi si integra rispetto a 8 tra 0 e 11' dopo aver moltiplicato per
sin 8, solo il termine con n = n' e diverse da zero; infatti (Stratton, 1965, p. 576)
f 1r ( dP:' d m 2 m m , ) . _ 2n(n+l) (n+m)!
d8 dB +sin 2 8 PnPn sm8d8- 2n+l (n-m)!
o
[7]
per n =n', mentre l'integrale e nullo per n =l=n'.
Si consideri ora it vettore
.. -- c [ dP:' mPn J
m X 1,)0a nm - a nm dO cos(mq,)iq,+ sin: sin(mq,)i, -
-tI"m [ d:; sin(mq,)iq, ::; cos(mq,)i,]

232
Roppresento zione I Cap. 3
e 10 si moltiplichi per il vettore T. Integrando rispetto a, solo i1 coefficiente del fat-
tore a:zm risulta diverso da zero, per m = m'; se pero si integra rispetto a (J, dopo aver
moltiplicato per sin f), questo coefficiente risulta identicamente nullo: infatti
J 1r ( m d' m dP;:Z ) _ J 1r d ( m ."m ) f: m m.11r_
m Pn dO + Pn' dO d8- m d8 Pn r n ' dO=mLPn PnJ -0,
o 0 0
perche i polinomi associati di Legendre sono nulli, per m =f:= 0, agli estremi dell'inter-
vallo di integrazione. In definitiva
2 J 1r J ff [kRh2) (kR)]' 2n (n + I) (n + m)!
dq, Et.Tsin8d8=nbm kR 'f( 2n+l (n-m)!
o 0
e questa la formula che permette il calcolo del coefficiente bm. Si noti che it secon-
do membro e nullo per n = 0; questo corrisponde at fatto che i campi a simmetria ra-
diale (n = 0) sono puramente longitudinali, e hanno pertanto componenti tangenti
(alIa sfera r=R) nulle. Gli altri coefficienti dello sviluppo in armoniche sferiche sono
calcolati in maniera anatoga.
3.7.2 Ammettenza di ingresso di un'antenna sferica
Sia data un'antenna sferica, cioe una sfera metallica con una fessura equatoriale
(gap), ana Quale sia applicata una tensione costante in azimu t e il cui fa sore sia uguale
a V o (vedi fig. 3.30). Si voglia calcolare l'ammettenza di ingresso dell'antenna, cioe i1
rapporto tra i1 fasore del flusso della densita lineare di corrente al gap e i1 fasore della
z
2S L
I
Figura 3.30
Antenna sferica.

3.7 I Sviluppo in onde sferiche
233
tensione:
21TaH(a,8 0 )
y= V o '
ove (J 0 = 1r /2 - Qo ; data la simmetria del problema, si assume che i campi siano indi-
pendenti da 4>. Sempre per simmetria, Ie correnti sull'antenna so no tutte dirette
secondo (J, e di consegilenza sono eccitati solo modi TM."
Nell'ipotesi di un mezzo senza perdite (k = (3) il campo esterno all' antenna pub
essere rappresentato dal seguente sviluppo in armoniche sferiche:
I GO
Er=- . n n(n + I)Pn(cos8)h2)({3r) bo
Jw€r 1
_' GO dP n [(3rh2)({3r)] ,
E9 - J n dO (1r bo
_ GO dP n (2) c.
H-n dO h n «(1r)b no .
10 sviluppo si ricava dalle formule generali [1] e [2], con m = 0 (indipendenza da ) e
considerando i soli modi TM. Posto - bo =t n ;. cos (J =11, e tenendo conto delle rela-
zioni
h(2) (x)
h)'"(x)=h)_1 (x)-(n + 1) n ,
X
V dPn
P!,(71) = 1 -71 2 d71 '
si ottengono per i campi trasversali Ie seguen ti espressioni:
_ I 00 nh2)({3r)-({3r)h2 1 ((3r) 1
E9 - . n t n P n (11)
JW € 1 r
00
H(/) = };n tnh2)({3r)P(1l).
1
[8]
Per determinare i coefficienti t n dello sviluppo, basta imporre che Es(a, (J) sia
uguale al campo elettrico tangente applicato sulla superficie dell'antenna. Questo
campo e ovunque nullo, tranne che nella regione del gap, dove e lecito porre
1 dV
E(OI.)=-- -
a dQ
e quindi, essendo 01. = 1r /2 - 8 ,
1 dV
E«(J); -;w ,
V 1 _'fl2
E(ll)=-
a
dV
-=-
dll
V I -11 2
a
V'(11).

234
Roppresentazione I Cop. 3
y
C s
L
C
G
Figura 3.31 ( 4 )
Circuito equivalente per l'ammettenza d'ingresso di un'antenna sferica: C s = 2e a In . ;
3w s
L=pa; C=ea; G=*iP.; y =T W2 e 2 a 2 .
Nell'espressione precedente V(l1) e la distribuzione della tensione applicata nel
gap; essa e tale che
710
J V'(11) d11= V o . 110 =cos8 0 = sin ao-
-110
E t ora agevole calcolare i valori di t n utilizzando la relazione di ortogonalita [5],
specificata per m = 1:
1 { 4n(n+ 1)
J p (11)'(11) dl1= 2n + 1
-1 0
(n = n')
(n =#=n') .
La seconda delle [8], per r=a, fornisce un'espressione per l'ammettenza di ingresso
che si presta a una rappresentazione circuitale equivalente (Bucci e Franceschetti, 1974)
generalizzabile anche ad altri tipi di antenne, ad esempio a queUe filiformi. n circuito
equivalente, sino alIa prima risonanza dell'aI)tenna, e rappresentato nella figura 3.31.
In questa, C s e la capacita statica dell'antenna (relativa alIa distribuzione di campo
estema alla sfera r=a), e l'accoppiamento tra i due circuiti e realizzato mediante un
trasformatore ideale, ad accoppiamento elettrico invece che magnetico, tale che
l'ammettenza a monte del trasformatore, Y b sia legata all'ammettenza a ve delle
stesso, Y 2, dalla relazione Y 1 = Y5/Y 2 .
3.8 Riepilogo
In questo capitolo so no stati illustrati alcuni esempi di rappresentazione analitica
del campo elettromagnetico, in cui cioe il campo e espresso in termini di funzioni
note. A questo proposito, si e visto come, introducendo un insieme di base
(X n
completo e ortonormale
Un, X m )= l}nm,

3.8 I Riepilogo
235
it campo x sia formalmente rappresentato come segue:
x=n<X,xn)(xn'
Questa rappresentazione discreta e talvolta sostituita da una rappresentazione
integrale (tipica e quella di Fourier), che si pub ancora considerare riferita a una base
(impropria). Ciascun elemento di essa viene detto modo q,el campo elettromagnetico.
Un primo esempio di rappresentazione anaIitica del campo e quello che si ha in
una guida d'onda uniforme (cioe a sezione costante), per la Quale g1i elementi della
base, e il relativo sviluppo, so no definiti nel piano trasversale della guida, cioe orto-
gonate alla direzione di propagazione. I modi in guida sono classificabili come TE e
TM, pin eventuali TEM esistenti solo in regioni trasversali che siano almeno doppia-
mente connesse.
Gli autovalori trasversali della guida dipendono solo dalla geometria della sezione
trasversale e corrispondono aHa soluzione di un' equazione del tipo
V f+k {=O,
con condizioni al contorno di tipo Dirichlet (modi TM) 0 Neumann (modi TE), per
pareti perfettamente conduttrici; essi influiscono sui val ore della costante di propaga-
zione longitudinale
k z = Vk 2 -k
e determinano Ie proprieta filtranti della guida; l'ortogonalita dei modi corrisponde
alloro disaccoppiamento in potenza.
L'ampiezza dei campi e soluzione delle equazioni delle linee di trasmissione (equi-
valenti, una per ogni modo):
- :: =jkzZoI
dI _' k z V
- dz -J Zo '
con
Wil
Zo = k;'
k z
Zo=-
we
per i modi TE e TM rispettivamente:
Per Ie cavita risonanti gli autovalori (pulsazioni di risonanza) sono deterrninati
risolvendo un'equazione vettoriale del tipo
V 2 f+k f=O
con la condizione al contorDo
in X f = 0 su 1.

236
Roppresentozione I Cop. 3
Alla risonanza Ie energie elettriche e magnetiche medie sono uguali. Delle inevita-
bili perdite s\llle pareti (ed eventualmente anche nel volume) della cavita si tiene
conto introdueendo iI fattore di merito
WnW n
Q= ,
P d
cui e proporzionale la costante di estinzione dell'oscillazione nella cavita. In pratica
quest 'ultima e spesso costituita da un tronco di guida chiuso agli estremi in corto-
circuito. In tal caso la condizione di risonanza PUQ convenientemente esprimersi in
termini di riso1lllnza longitudi1lll1e:
Z +2 =0.
Lo sviluppo in onde piane trova applicazione al calcolo del campo associato aIle
aperture. n relativo spettro,
t(u, '0)= [.It- ik ] · 2 1 ," I dx T dyEt(x,y)exp(jux+j'Oy),
_00 _00
risulta proporzionale alla trasformata di. Fourier della distribuzione del campo tan-
gente nell'apertura. Allo spettro, nella sua regione visibile, risulta proporzionale il
campo i"adiato dall'apertura
 exp(-j{jr) A
E(roo)= E(r, rl1, r)= 21rj r cos 8 E(, 11).
Lo spettro nella regione invisibile (eto 11> 1) determina la potenza reattiva asso-
ciata all'apertura, cioe i campi reattivi.
Uno sviluppo interessante del campo e quello in onde sferiche, in particolare per
la connessione che stabilisce tra il campo vicino e il campo lontano di un arbitrario
sistema di radiatori, tutto contenuto nella sfera all'estemo della Quale si considera 10
sviluppo.
Rilerimenti bibUografici
Abramovitz M. e Stegun I., Handbook of MathemDtical Functions (Dover, New York 1968).
Bladel I. van, Electromagnetic Fields (McGraw Hill, New York 1964) cap. 10.
Bose I. C., On a Complete Apparatus for the Study of the Properties of Electric Waves, Electl
Engr. Lond. (2 ottobre 1896).
- On the Rotation of Plane of Polarisation of Electric Waves by a Twisted Structure, Proc. R.
Soc., 63, 146 (1898).
- Collected Physical Papers (Longmans, New York 1927).
Bucci O. M. e Franceschetti G., Input Impedance and Transient Response of Spheroidal Antennas
in Dispersive Medill, IEEE Trans. Antennas Propagat., 22, 526-36 (1974).
Corona P. e Latmiral G., Approccio termodinamico 0110 studio di una camera riverberante elettro-

Riferlmenti bibliogra/ici
237
magnetica a geometria variabile, in A. Sposito (a cura di), "Studi in onore di Giuseppe Simeon"
(Giannini, Napoli 1978) pp. 309-19.
Courant R. e Hilbert D., Methoden der Mathematischen Physik (Springer, Berlino, Heidelberg e
New York 1931) cap. 8,  5.
Felsen L. B. e Marcuvitz N., Radiation and Scattering of Waves (Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
N. J. 1973) pp. 284-88 e 698-710.
Friedman B., Principles and Techniques of Applied Mathematics (Wiley, New York 1961) cap. 1,
pp. 1-56.
Harrington R. F. e Mautz J. R., Theory and Computation of Cllaracteristic Modes for Conducting
Bodies, IEEE Trans. Antennas Propagat., 19, N. 5, 622-39 (1971).
- e Chang Y., Characteristic Modes for Electric and Magnetic Bodies, IEEE Trans. Antennas
Propagat., 20, N. 2, 194-98 (1972).
Hertz H., Electric Waves (Macmillan, Londra 1893).
Jacobson J. (a cura di), "Antenna Testing Techniques", Atti del convegno tenuto presso l'ESA,
giugno 1977 (ESA Scientific and Technical Publication Branch, Noordwijk 1977).
Jahnke E. e Emde F., Tables of Functions (Dover, New York 1945) cap. 7.
James G. L., Geometrical Theory of Diffraction for Electromagnetic Waves (Peter Peregrinus,
Stevenage, U. K. 1976) pp. 35-40.
Johnson C. C., Field and Wave Electrodynamics (McGraw-Hill, New York 1950).
Lodge O. J., Signalling through Space without Wires (The Electrician, Londra 1898).
Marconi G., British Patent Specification N. 12039 (1896).
Marcuvitz N., Field Representation in Spherically Stratified Regions, Communs pure appl. Math.,
4,263-315 (1951).
- e Schwinger J., On the Representation of Electric and Magnetic Fields Produced by Currents
and Discontinuities in Waveguides, J. appl. Phys., 22, N. 6, 806-19 (1951).
Poincare H. e Vreeland F. K., Maxwell's Theory and Wireless Telegraphy (Constable, Londra
1905).
Ramo S. e Whinnery J. R., Fields and Waves in Modern Radio (Wiley, New York 1953) p. 365.
Rantsay J. F., Micro wa we Antenna and Waveguide Technique before 1900, Proc. IRE, 46, 405-15
(1958).
Righi A., L 'ottica delle oscillazioni elettriche (Zanichelli, Bologna 1897).
Stratton J. A., Teoria dell'elettromtlgnetismo (Boringhieri, Torino 1965) pp. 551-60.

Capitolo 4
Radiazione
When, about two years ago news came from the other side of the A tlantic that a me-
thod had been invented of transmitting, by means of electricity, the articulated
sounds of the human voice, so as to be heard hundreds of miles away from the
speaker, those of us who had reason to believe that the report had some foundation
in fact, began to exercise our imagination in picturing some triumph of constructive
skill. When at last this little instrument appeared, consisting, as it does, of parts,
everyone of which is familiar to us, and capable of being put together by an amateur,
the disappointment arising from its humble appearance was only partially relieved on
finding that it was really able to talk (...)
For whatever may be said about the importance of aiming at depth rather than width
in our studies, and however strong the demand of the present age may be for specia-
lists, there will always be work, not only for those who build up particular sciences
and write monographs on them, but for those who open up such communications
between the different groups of builders as will facilitate a healthy interaction
between them. And in an university we are especially bound to recognise not only
the unity of science itself, but the communion of the workers in science. We are too
apt to suppose that we are congregated here merely to be within reach of certain ap-
pliances of study, such as museums and laboratories, libraries and lecturers, so that
each of us may study what he prefers.
James Clerk Maxwell, 1878.
The existence of induced currents and of electromagnetic actions at a distance from a
primary circuit from which they draw their energy, has led us, under the guidance of
Faraday and Maxwell, to look upon the medium so"ounding the conductor as play-
ing a very important part in the development of the phenomena. If we believe in the
continuity of the motion of energy, that is, if we believe that when it disappears at
one point and reappears at another it must have passed through the intervening spa-
ce, we are forced to conclude that the so"ounding medium contains at least a part
of energy, and that it is capable of transferring it from point to point f...)
I think it is necessary that we should realise thoroughly that if we accept Maxwell's
theory of energy residing in the medium, we must no longer consider a current as
something conveying energy along the conductor. A current in a conductor is rather
to be regarded as consisting essentially of a convergence of electric and magnetic
energy from the medium upon the conductor and its transformation there into
other forms.
John Henry Poynting, 1884.

4.1 I Introduzione
239
4.1 Introduzione
Un problema centrale nella teoria dell'elettromagnetismo e il calcolo del campo ir-
radiato da distribuzioni di corrente assegnate; in questo capitolo 10 si considera soprat-
tutto in relazione a distribuzioni filiformi, cui corrispollde, in pratica, l'emissione di
segnali su un ampio spettro di frequenze, da quelle estremamente basse (ELF) alle
radioonde.
E' necessario anzitutto chiarire un punto fondamentale, e per questo pub essere
utile riferirsi a un esempio concreto di antenna. Sia dato, come nella figura 4.1, un
flio metallico troncato nel mezzo; aIle estremita dell'interspazio (gap) tra i capi del
flio sia applicata una differenza di potenziale 'O(t). La distribuzione di corrente lungo
il flio, a priori incognita, pub essere calcolata, in linea di principio, imponendo che il
campo elettromagnetico, soluzione delle equazioni di Maxwell, soddisfi a opportune
condizioni al contomo. In particolare, la componente tangenziale del campo elettrico
suI flio dev'essere nulla, se si pub ritenere che il materiale di cui questo e composto
sia un conduttore elettrico perfetto, e l'integrale di linea del campo elettrico ai capi
del gap deve uguagliare 'O(t), se il gap e COs! piccolo da consentire l'uso di un concetto
statico, come e quello di potenziale, anche nel caso dinamico; dev'essere soddisfatta
inoltre la condizione di radiazione all'infinito (vedi  3.2). La conoscenza della distri-
buzione di corrente consente poi (come mostra questo capitolo) di determinare il
camp9 irradiato dall'antenna.
Tuttavia neppure la differenza di potenziale 'O(t) e, in generale, nota a priori.
Anche considerando come sorgente un generatore ideale di tensione (cosicche la
tensione, non dipendendo dal carico, sia fmalmente nota a priori), questo e di regola
collegato all' antenna mediante una linea di trasmissione. Si pone dunque un altro
problema di valori al contorno: note la tensione fornita dal generatore e Ie caratteri-
stiche geometriche e fisiche dell a linea di trasmissione con la sua connessione all'an-
tenna, calcolare la tensione 'O(t) ai capi del gap dell' antenna. In conclusione, il calcolo
del campo irradiato da assegnate distribuzioni di correnti e solo una parte del com-
plesso problema del calcolo del campo con sorgenti assegnate.
D'altra parte, non e pensabile cercare di risolvere ogni problema di eccitazione di
ciascuna particolare antenna. Un giusto compromesso sembra essere la ricerca della
soluzione di alcuni problemi tipici, 0 canonici, al frne di ottenere informazioni
piuttosto generali sulla distribuzione dell a corrente lungo l'antenna, sull'accoppia-
mento tra linea di trasmissione e antenna, in condizioni idealizzate (ad esempio, il
caso di eccitazione coassiale rappresentato nella fig. 4.2) e CoS! via. In tal modo si
pub calcolare con sufficiente accuratezza la distribuzione di corrente sulle configura-
zioni di antenna adoperate in pratica. Note Ie correnti, e possibile affrontare il problema
del calcolo del campo irradiato.
A questo frne, e essenziale poter calcolare il campo irradiato da un elemento di
corrente di lunghezza infmitesima. Infatti in ogni sistema lineare (per il Quale vale il

240
Rodiozione I Cop. 4
2/
v (t)
Figura 4.1
Antenna filiforme eccitata da una tensione 11(t).
Figura 4.2
Antenna ad eccitazione coassiale, realizzata mediante cave coassiale con la calza collegata
a un piano di tena e con il conduttore centrale che funziona da elemento radiante.

4.2 I Potenz;Qli elettromognetici
241
criterio di sovrapposizione degli effetti) il campo irradiato da una arbitraria distribu-
zione di corrente pub ricondursi alIa sovrapposizione dei campi irradiati dai singoli
elementi in cui si pub scomporre la distribuzione.
4.2 Potenziali elettromagnetici
Nello studio della radiazione proveniente da sorgenti date, in mezzi isotropi omo-
genei, conviene utilizzare funzioni ausiliarie (i potenziali) da cui i campi siano dedu-
cibili con semplici operazioni di derivazione.
Sia assegnata, nel dominio dell a frequenza, una distribuzione di corrente J (r) alIa
Quale e associata, in virtu dell'equazione di continuita della corrente, una densita di
carica p(r):
V. J +jwp=O.
[1]
II campo elettromagnetico e la soluzione delle equazioni di Maxwell
v X E=-jwIlH
Vx H= jweE+J
V. eE=p
V. IlH=O,
[2]
soggetta aHa opportuna condizione al contorno (di radiazione all'infinito, 0 di Sommer-
feld); questa richiede, per un mezzo illimitato, omogeneo e isotropo, che a grande
distanza dalle sorgenti i campi diminuiscano di intensita almeno come l/r, l e che
inoltre
lim r[E(r)-rH(r) X i r ] =0.
r-+ oo
[3]
La diminuzione dei campi come l/r si giustifica in base a considerazioni energeti-
che (vedi anche  3.6). Infatti l'intensita del campo, sia elettrico sia magnetico, e
proporzionale alIa radice quadrata della densita di potenza irradiata; questa, d'altra
parte, al crescere di r diminuisce come 1/r2 (in un mezzo senza perdite e a grande
distanza dalle sorgenti), perche la potenza tot ale irradiata dalle sorgenti si distribuisce
su superfici sferiche di area crescente come r 2 .
La [3] stabilisce che localmente, e a gran de distanza dalle sorgenti, il campo irra-
diato non differisce sostanzialmente da quello di un' onda piana propagantesi nella
direzione e nel verso di ire Cib equivale a imporre che i1 segnale si propaghi dalle sorgenti
verso l'infinito, e non viceversa (per i potenziali, corrisponde a scegliere quelli ritar-
dati anziche gli anticipati; vedi 4.3.4).
1 Se, come esplicitamente si suppone, Ie sorgenti sono tutte al finito e situate nell'intorno
di r = O.
16

242
Radillz;one I Cop. 4
Poiche la quarta delle [2] mostra che la divergenza di IlH e nulla, questo vettore
pub essere espresso come il rotore di un altro vettore A, detto potenziale vettore:
IlH=Vx A.
[4]
Sostituendo l'espressione [4] nella prima delle [2], si ha
Vx(E+jwA)=O;
il vettore E + j w A pub essere dunque espresso come gradiente di una funzione <P,
detta potenziale sealare:
E+jwA=-VCP.
.[5]
Le equazioni cui A e <I> devono soddisfare si ottengono sostituendo E e H, date in
funzione di A e <I> mediante Ie [4], [5], nella seconda e terza delle [2]; dopo alcuni
calcoli e ricordando cheVV. A -Vx Vx A=V 2 A, si ottiene
{ V2 A +k2 A=-IlJ +V(V. A +jW€Il4»
V 2 cI> + k 2 cp =- P -jw(V. A + jW€Jl<P).
f
[6]
Le [6] sono una coppia di equazioni in quattro incognite (scalari); la ricerca delle
soluzioni si presenta qui piu vantaggiosa che non nel caso del sistema costituito dalle
prime due equazioni [2], essendo minore il numero delle incognite. II sistema [6] pub
essere inoltre notevolmente semplificato con un' opportuna scelta di A e <1>, la cui
determinazione e in parte arbitraria. Segue infatti dalla [4] che l'introduzione di un
nuovo potenziale vettore A',
A'=A-Vw
,
[7]
lascia il campo H invariato. La [5] mostra che invece il campo E cambia, a meno che
anche il potenziale scalare 4> sia sostituito da un nuovo potenziale <1>':
cp'=CP+jww.
[8]
Le espressioni [7] e [8] defmiscono il grado di indeterminazione per i potenziali;
nella scelta di questi si pub imporre qualche condizione aggiuntiva.
Una possibile condizione (gauge di Lorentz) e la seguente:
V. A +jwfll<l>=O.
[9]
Si verifica subito, per sostituzione, che se la coppia (A, cp) non soddisfa 1a [9] e il
secondo membro e pari a una funzione X non identicamente nulla, basta modificare
i potenziali per mezzo di una funzione 'II, soluzione dell' equazione
v 2 'II +k2 \}1=X,
perch6 la nuova coppia (A', <p') soddisfi la [9]. Se la condizione [9] e soddisfatta, i

4.2 I Potenz;ol; elettromagnetic;
243
potenziali A e  non sono piu accoppiati; il potenziale vettore e determinato dalle
sole correnti,
v 2 A +k2 A=-J.l.J,
[10]
quello scalare dalle sole cariche:
p
V2cp+k2=_- .
€
[11 ]
I potenziali non sono piu indipendenti, ma legati dalla [9], e di conseguenza,
purche w*O, i campi possono essere espressi in funzione del solo potenziale vettore:
1
H=-VxA
J.l.
E=- .wA + V.V. A .
] JW€J.l.
[12]
[13]
Questi potenziali non sono gli unici possibili (vedi 4.2.5 e 4.3.1) e si possono anche
imporre condizioni diverse da quella di Lorentz (vedi 4.2.4); tuttavia l'introduzione
delle espressioni [12] e [13] apre interessanti prospettive per 10 studio dei fenomeni
di radiazione da parte di antenne. In questo capitolo si utilizzano essenzialmente la
gauge di Lorenz e i1 potenziale vettore.
Annotazioni
4.2.1 Potenziale vettore e potenziale sca1are nel dominio del tempo (esercizio)
Si mostri che, nel dominio del tempo,
b(t)= Vx .
e ( t ) =- a. -v
at '
dove, in un mezzo non dispersivo,
1 a 2 a
V 2 a- c 2 a =-Uj(t)
V2_....L a =_ p(t)
c 2 a fe'
con la condizione
1 a
V. .+- --- =0.
c 2 at

244
Radioz;one I Cap. 4
4.2.2 Sorgenti magnetiche (esercizio)
Si mostri che i campi prodotti da sorgenti magnetiche J m , Pm sono derivabili da
potenziali Am, <Pm (potenziali magnetici),
V2Am +k 2 A m =-eJ m
V 2 <I> + k 2 <I> =_ Pm ,
m m J.l
con la condizione
V. Am + jweJJ<I>m = 0,
e che
£=_1. Vx A
e m
H=-jwA m -VCPm'
4.2.3 Gauge di Coulomb
Se al posta della condizione di Lorentz si impone la gauge di Coulomb
V. A = 0,
i1 sistema [6] si trasforma nell'altro
{ V2<p=_!!..
V 2 A + k 2e A =- p(J - jweV4!).
Con questa condizione i1 potenziale scalare soddisfa a una equazione fonnalmen te iden-
tica a quella del caso statico. Scomponiamo ora J in una parte irrotazionale J i ,
VX J;=O,
e in una parte solenoid ale J s,
V.Js=O,
essendo
J=Ji+J S '
Tale scomposizione e possibile in base a un teorema dovuto a Helmoltz; I'equa-
zione di continuita della corrente diventa
V. J; + jwp= V. (J i -jw eV4»=O.
Poiche e anche
Vx (J;-jweVcp)=O,
il vettore
Ji-jweVcp
risulta esprimibile come gradiente di una funzione armonica. Per sorgenti tutte a1

4.2 I Poten:iDli elettromognetici
245
finito, sia J i sia V <I> sono nulli all'infinito, e pertanto la funzione armonica e ivi rego-
lare; dovendo godere di questa proprieta in tutto 10 spazio, essa si riduce a una costante.
In definitiva,
V 2 A+k 2 A=-pJ s
dal momenta che J i -jwEV4>=O.
*4.2.4 Potenziale di Hertz
Si ponga
A=jw€pn,
[14]
cosicche i campi siano espressi da
{ U=jW€VX n
E=k 2 n+VV. n.
11 vettore n prende il nome di potenziale di Hertz. L'equazione cui esso deve sod.
disfare si ottiene facilmente sostituendo I'espressione [14] della sua definizione
nell 'equazione del potenziale vettore:
J u
v 2 n +k 2 n=- . ---
/W€ - E'
dove
J
u=-
jw .
II vettore u ha Ie dimensioni di una densita di polari!zazione, cioe di una polariz-
zazione U (C . m) per unita di volume. Per chiarirne il significato fISico, consideriamo
il semplice caso di due cariche di segno opposto separate da un piccolo intervallo lunge
l'asse z (vedi fig. 4.3).
La densita di carica elettrica del sistema e
p=qo(x)o(y) [o(z-  )-o(z+  )J .
=- qI5(x) 5(y) 5 '(z) =- U c5(x) o( y) 5 '(z)
[15]
nell'ipotesi che 1-+ 0 e che il prodotto q 1-+ U.
Immaginiamo ora che Ie cariche variino sinusoidalmente nel tempo. 2 In tal caso si
ha
VoJ=Vo(li z )= : =-jwp,
ovvero, sostituendo la [ 15] nella [16]
-!- =U5(r) i z .
JW
[16]
11 membro a destra rappresenta, per I'esempio considerato, la polarizzazione elet-
trica per unita di volume; pertanto il vettore descrive Ie sorgenti in termini di una
2 Cio equivale a supporre ad esempio, che tra esse vi sia un passaggio di corrente: a questo
proposito immaginiamo che Ie cariche siano collegate da un sottile fIlo metallico, disposto lungo
l'asse z, provvisto di due serbatoi di carica aIle estremita.

246
Roditzz;one I Cop. 4
z
+
Figura 4.3
Dipolo elettrico.
densita di polarizzazione impressa, e it potenziale di Hertz e determinato da questa
rappresentazione delle sorgenti.
4.2.5 Potenziale di Hertz magnetico (esercizio)
Si introduca un potenziale di Hertz magnetico appropriato a sorgenti di tipo ma-
gnetico:
Am =jW€J,L"m,
e se ne derivi l'equazione.
4.2.6 Potenziali di Hertz nel dominio del tempo (esercizio)
Si derivino Ie equazioni dei potenziali di Hertz nel dominie del tempo.
4.2.7 Potenziali di Debye (esercizio)
Si mosfri che, in coordinate sferiche, i campi possono essere dedotti da potenziali
(di Debye)
De=£.r, Dm=H.r.
I campi associati al potenziale De risultano TM rispetto a r, quelli descritti da
Dm risultano TE (sempre rispetto a r). Si ricavino Ie equazioni cui devono soddisfare
i due potenziali.

4.3 I Dominio de/Ill frequenza
247
4.3 Campo associato a un dipolo elementare: dominio della frequenza
Si consideri un elemento di corrente, di lunghezza z, lungo il Quale scorra una
corrente 1 costante con z (vedi fig. 4.4). Poiche la corrente non pub annullarsi brusca-
mente agli estremi dell'elemento, si pub immaginare che il tratto z sia solo una pic-
cola parte di un fIlo percorso da corrente, oppure che agli estremi di questo vi siano
due serbatoi di carica elettrica (sulla cui realizzazione pratica non e per ora necessario
dilungarsi) che assicurino la continuita della corrente.
L'espressione per la densita di corrente e
J =/S(x) S(y) j(z) i z ,
dove
f(z) = 1 per -z <z< z
2 2
f(z)=O z
per Izl>T'
Sostituendo la presente espressione nell'equazione [10] ( 4.2) e proiettando sugli
assi, si ha
V2Ax+k2Ax=O
V 2 Ay+k2Ay=O
V2 Az + k 2 Az =-JJ/S(x) S(y) f(z).
Le prime due equazioni hanno come soluzione forzata (legata cioe alle sorgenti)
Ax =Ay =0. Per risolvere la terza supponiamo che z-+O e 1-+ 00 in modo che il
prodotto 1 z rimanga costante e diverso da zero (dipolo elem en tare ); 1a soluzione
per r*O e allora la seguente (vedi 4.3.1):
Az=.f. exp(-jkr) + F exp(jkr).
r r
[1]
II primo tennine al secondo membro della [1] e il cosiddetto potenziale ritardato
(vedi 4.3.2) ed e il solo a soddisfare alla condizione di radiazione all'infmito (per la
dimostrazione vedi 4.3.1); perche il secondo termine (potenziale anticipato) si
annuIli si deve allora porre F=O. La costante C si calcola come in 4.3.1, ottenendosi
JJ
A=-
411'
1 z ( . k ) ·
exp -/ r lz
r
[2]
come espressione del potenziale vettore associato a un dipolo elementare di corrente.
La [2] e esattamente la stessa formula che si sarebbe ottenuta nel caso statico, con
la sola aggiunta del fattore exp(-jkr). L'espressione del potenziale scalare pub otte-

248
Radiozione I Cop. 4
Figura 4.4
Dipolo elementare e associato sistema di coordinate.
nersi dalla [9] ( 4.2).
1 16zjjw
4>=- 4 2 (1 +jkr) cas(J exp(-jkr).
"irE r
[3]
Momento dipolare e corrrente risultano legati dall' equazione di continuita della
corrente, dopo che questa sia stata integrata nel volume 6. V della figura 4.5. Per
convenzione, la corrente entra nel volume se il dipolo elettrico e quello indicato nella
figura, cosicche
-I+jwq=O,
cioe, dopo moltiplicazione per 6.z,
16.z =jwU.
[4]
I campi associati at dipolo elementare di corrente sono ora facilmente calcolabili
sostituendo l'espressione [2] nelle [12], [13] (9 4.2); in coordinate sferiche si ha
Il:1z ( 1 1 ) .
Er=f 21r ,.z + jkr'3 cosO exp(-lkr)
( 'k
E8 =f IAz  +1- + 1 ) sin(J exp(-jkr)
41T r !2 jkr 3
I I:1z ( j k 1 ) . .
Ht/>= 7 +-;z smO exp(-lkr).
[5]

4.3 I Dominio de/Ill frequenza
249
i J'
t!iz
-q
Figura 4.5
Geometria per trovare la relazione tra corrente e momento dipolare.
Le formule precedenti mostrano che i campi so no somma di termini che al cresce-
re della distanza diminuiscono, ma con differente rapidita. A differenza di quanto si
e osservato per i potenziali, il caso dinamico non e dunque collegato a quello statico
da una relazione semplice. Per r> A/21f, i termini in l/r (che non esistono nel caso
statico; vedi 4.3.3) diventano predominanti rispetto agli altri, e Ie espressioni dei
campi si semplificano. Per k = {3 reale si ha
E .,. I z . 8 ( . f.l ) .
8 =}) 2Ar SIn exp -}r
E8
H(/>=T'
[6]
Questi termini possono quindi esser chiamaticomponenti lontane dei campi; i termini
rimanenti, componenti vicine.
Una caratterizzazione ulteriore delle componenti lontane e vicine si ottiene
calcolando il flusso di potenza attraverso una sfera di raggio r centrata nell' origine;
per mezzi senza perdite (k = (j reale) si ottiene
1 rr 1 2 1r 1r
P"=2"JJ EXH"'.i,.dS=2" J dtj> J d8r sin8E 8 H;.=
o 0
= 1f tIII2 (  ) 2_. 1 'III2 (  ) 2 (  ) 3.
3 A} 241f 2  r
II flusso di potenza si compone di una parte reale e una parte immaginaria. La par-
te reale (potenza attiva), in conseguenza della ipotizzata assenza di perdite del mezzo,

250
Radiozione I Cap_ 4
e indipendente da r: la media temporale della potenza attiva che fluisce attraverso
una superficie sferica di raggio r 1 e pari dunque a quella che fluisce attraverso una
superficie sferica di raggio r2. E' questa la potenza che dal dipolo si diparte, per r via
via crescenti, verso l'infmito; essa coincide con quella irradiata dal dipolo. A formarla
contribuiscono tutte e sole Ie componenti Iontane, che pertanto si possono anche
defmire termini radiativi_
La parte imrnaginaria del flusso di potenza (potenza reattiva) dipende invece da r,
come conseguenza della variazione con r dello squilibrio tra parte elettrica e magne-
tica della densita di energia media immagazzinata nel mezzo circostante il dipolo; 10
squilibrio e maggiore nelle vicinanze del dipolo e tende ad annullarsi a grande distan-
za. II segno della potenza reattiva e negativo, indicando che la densita di energia elet-
trica, nell'intomo del dipolo, prevale rispetto alla magnetica. Si giustifica COs! it
nome di "dipolo elettrico" per l'elemento di corrente considerato (per la connessione
con il dipolo elettrico statico, vedi anche 4.3.3). A formare la potenza reattiva con-
tribuiscono solo Ie componenti vicine del campo, che pertanto si possono anche
denominare termini reattivi.
Una terza caratterizzazione delle componenti radiative e reattive pub ottenersi
considerando illimite al quale Ie espressioni [5] tendono quando la frequenza tende
a zero (vedi 4.3.3). Le componenti reattive tendono a zero piu lentamente, e possono
quindi essere defmite come quasi statiche; in contrapposizione, Ie radiative si possono
riguardare come dinamiche.
Annotazioni
4.3.1 Calcolo del potenziale vettore associato a un elemento di corrente
Nell'ipotesi D.z -+ 0, I/)"z costante, l'equazione per il potenziale vettore diventa
v 2 Az + k 2 Az =-/JI D.z(x) (y) (z).
Per r =t= 0,
V 2 Az +k 2 Az =0.
Data la simmetria, Az =Az (r); in coordinate sferiche,
1 d ( dAz )
- - r 2 + k 2 A = 0
r 2 dr dr z.
PQsto Az(r) =f(r)/r,
si ha
d 2 f
- +k 2 f =0
d,-2 ,

4.3 I Dominio della frequenza
251
da cui
f(r)=C exp( - jkr) + F exp(jkr).
Integrando l'equazione non omogenea su un piccolo volume sferico /::,. V, limitato
dalla superficie 1).8 e centrato nell'origine, si ottiene
#VA z o i r dS+k 2 HI AzdV=-fJ.Iz.
s AV
Per  V-+ 0 it secondo termine al primo membro tende a zero; se F= 0, si ha
# VAz 0 irdS=C H [ -+ - irk ] exp(-jkr)dS-+.-41TC
AS AS r
per r-+ O. Risulta dunque
p./I).z
c= .
411
Che F debba essere uguale a zero, 10 si pub vedere imponendo la condizione di
radiazione all'infinito [3] ( 4.2). A questo proposito osserviamo che, per r-+ 00,
d exp(:tjkr) exp(:tjkr)
 :tjk
dr r r
Tutti gli operatori differenziali che legano i campi ai potenziali si semplificano,
poiche, per r  00,
V + . k '
 -J lr'
dove it segno superiore e relativo aHa funzione exp(+jkr) e I'inferiore a exp(-jkr).
Pertanto
E  -jwA + jwirir · A=j wA 8 iB
jw
H:t T A8,
dove il segno superiore e relativo al termine contenente la costante C e l'inferiore a
queUo contenente la costante F. Sostituendo nella [3] ( 4.2) si verifica subito che
solo il primo termine verifica la condizione di radiazione all'infinito (per una giustifi-
cazione differente vedi 4..3.2).
4.3.2 Potenziale vettore nel dominio del tempo
Si consideri la soluzione per il potenziale vettore associato a un elemento di
corrente (vedi fig. 4.4) nel dominio della frequenza; nel dominio del tempo si ha
1
a(r t)=-
, 211'
+00
J Jl exp(-j(jr)
41T r /(w) I).z exp(jw t) =
_00
1 Jl
=--
211' 41T
+00
J exp [jw(t-rlc)]
/(w) /::,.Z dw
r
_00

252
Radiazione I Cop. 4
per un mezzo non dispersivo senza perdite. Posto
+00
i(t)= 2 1 1r j I(w) exp(jwt) dw,
_00
si ha
#l i(t-)z
a(r, t)=- 4 .
1f r
II potenziale vettore ha dun que la forma di un'onda, sferica che si propaga nel
verso positivo di r. Se ad esempio i(t)=/o c5(t), Ponda di potenziale e avvertita
all'istante rlc. Si giustifica cosi il termine "potenziale ritardato". Se si fosse conside-.
rate il termine di potenziale soppresso nella soluzione data in 4.3.1, si sarebbe
ottenu to
Ff>(t + rlc)
r
A distanza r questo potenziale appare all'istante -rlc, cioe prima dell'accensione
della corrente; questo giustifica la denominazione "potenziale anticipato", e anche i1
porre F= 0, se si vuole che la causalita sia rispettata. Anche i potenziali anticipati in
qualche caso hanno trovato applicaziohe (Lee e Papas, 1965).
4.3.3 Limite statico
Per trovare Ie espressioni alle quali si riducono i campi, per k-+ 0, conviene utiliz..
zare la relazione [4] tra corrente e momento del dipolo; Ie espressioni [5] dei campi si
trasformano allora nelle seguenti:
U ( 1 jk )
E r =- 2 3 +2 cosO exp(-jkr)
1f€ r r
U ( 1 j k ( j k)2 )
E8 = 4 3 + 2"" + sinO exp(-jkr)
1f€ r r r
U ( jk (jk)2 )
H4>=. 41r€ ,2 +, sinB exp(-jkr).
Per k = 0, H4> = 0, e il campo elettrico si riduce a queUo di un dipolo statico.
[7]
*4.3.4 Dipolo magnetico
Utilizzando il teorema di dualita, Ie espressioni per i campi associati a un dipolo
magnetico U m si ricavano, a partire daUe precedenti espressioni [7], come segue:
U m ( 1 jk )
Hr= 2 3 +2"" cosO exp(-jkr)
1fJl r r
U m ( 1 j k ( j k)2 )
H8 = 4 3 + 2 + sinO exp(-jkr)
1fJl r r r
rUm ( jk (jk)2 ) '
E4> =- 47rJl ". + r sinO exp(-jkr).
[8]

4.3 I Dom;n;o de/Ill frequenza
253
Resta da esaminare come realizzare praticamente un dipolo magnetico; questo
problema e esaminato qui di seguito con riferimento al caso statico.
Si consideri una spira di corrente, di raggio R e lungo la quale circoli la corrente I
(vedi fig. 4.6). n potenziale vet tore prodotto dall'elemento di corrente IR dt/>' (punto
Q sulla spira) nel punto per, 8, cp) e
/J/ R dcp'
dA= i,,,,,.
41l'r' 'I'
Poiche
r'2 = (r sine cos cp - R coScp')2 + (r sinO sincp - R sincp')2 + r 2 cos 2 8 =
=r 2 + R 2 - 2r R sinB (cosl/J coscp' + sinl/J sinl/J'),
si ha
r' r-R sinO (cosl/J cosl/>' + sinl/> sinCP'),
se si possono trascurare termini di ordine (Rlr)2, il che e sempre possibile purche la
spira sia sufficientemente piccola; ne segue che
dA  : (1 +  sinB (coscf> cosl/J' + sincf> sincf>') ) it/>'.
Per calcolare tutto il potenziale vettore associato ana spira, scomponiamo dA nelle
sue componenti cartesiane,
d A =- dA sincp'i x + dA cosl/>' iy
P (r, 0, t/J)
y
r'
Figura 4.6
Campo associato a una spira di corrente continua.

254
Radiozione I Cop. 4
e integriarno rispetto a q/:
/JIR R ( )
A = 41Tr r sinB -1T sin</> ix + 1T cos</> iy =
/JI1f R 2
2 sin 6, icp.
41fr
n campo magnetico associato alla spira,
I1TR 2
H = cosB
r 21T r 3
/1TR 2
Ht/J = sin'S,
41T r 3
coincide con quello di un dipolo magnetico statico (vedi Ie espressioni [8]), pur di
porre U m =/J1TR2 I. Considerando allora una spira elementare di corrente, di area S
tale che /JIS rimanga costante quando S -+0 (in modo che Ie approssimazioni prece-
denti siano valide con qualunque r), si pub enunciare i1 seguente principia di equiva-
Ienza di Ampere:
Una spira elementare di corrente e equivalente a un dipolo magnetico, ortogonaZe
al piano della spira e di verso tale che la corren te si avviti lungo il verso del dipolo;
l'intensita del dipolo e pari a /JSI (in generaZe, a N/JS/, s'l! si considera un soZenoide
di N spire).
.4.3.5 Dipolo magnetico dinamico (esercizio)
Si estendano Ie considerazioni precedenti al caso dinamico; nei calcoli si sviluppi
in serie il fattore nell'esponenziale, approssimandolo a
kr'  kr- kR sinB (cos</> coslj)' + sintj> sin</>');
per r>- A risul ta
kR > B-
r
e quindi, procedendo come in 4.3.4,
J.lIlr R 2 .
A= jk ' 41fr exp(- jkr) sin B ic-p.
Si mostri, in particolare, che i campi a grande distanza sono dati (nel caso senza
perdite k=(j) da
{ I(jS
H=- - sin 8 exp(- j{3r) i8
2Ar
E=- Hiq,.
[9]
*4.3.6 Campo irradiato da una sorlente di Huygens
Si definisce sorgente di Huygens una combinazione di dipoli elemenari, uno
elettrico e uno magnetico, disposti ortogonalmente come nella figura 4.7 a, e Ie cui

4.3 I Dominio della frequenza
255
y
y
2L\y
v
)
z
V m
(a)
(b)
Figura 4.7
Sorgente di Huygens.
ampiezze siano in un rapporto pari all'impedenza intrinseca del mezzo:
Um=rU.
In base al teorema di equivalenza, il campo irradiato da tale com binazione di
sorgenti elementari pub anche riguardarsi come quello prodotto da un'areola elemen-
tare (vedi fig. 4.7b) investita da un'onda piana propagantesi lungo l'asse z e i cui
vettori del campo siano polarizzati come nella figura. 3 Infatti, sull'areola van no
disposte correnti su perficiali
Js=i z X 8 0 =-H o iy
J mS =-iz X Eo =Po i x ;
il campo reirradiato dall'areola PUQ quindi esser calcolato come quello prodotto da
una coppia di dipo1i: queUo magnetico, polarizzato secondo ix e di corrente magne-
tica totale
/).Im =Eo 2y,
e quello elettrico, polarizzato secondo iy e di corrente elettrica totale
Eo
I=-T 2x.
11 campo elettrico irradiato dal dipolo magnetico e dato (a grande distanza) da
E /).S
Em = -j 2 0 Ar exp( - iPr)(i x X i,.),
e quello magnetico irradiato dal dipolo elettrico da
EoS
He =-j t2AT exp(-jf3r) (iy X i,.).
3 L'areola dev'essere parte di una superficie chiusa, perche possa applicarsi it teorema di equi-
valenza.

256
RadiDzione I Cop. 4
II campo elettrico totale irradiato dalla coppia dei dipoli e datq da
E = Em + Ee = Em + r He X i,. =
E S
=-j ;Ar exp(-jr)[ixXir+(iyXir)Xi,]=
E IlS
=j ;Ar (1 + cos6) exp( - jr)(sint/> i9 + cost/> ).
[ 10]
Se il campo elettrico fosse stato polarizzato secondo ix e queUo magnetico secondo
iy, si sarebbe ottenuto, invece della [10], la nuova espressione
Eo!!:.S
E = j 2Ar (1 + cosB) exp( - il3r) (cos('/) ie - sincp icP)' [11]
Questi sono i campi irradiati dalla cosiddetta areola di Huygens; Ie relative espres-
sioni sono note come formula di Silver nell'ambito della teoria delle antenne (Silver,
1965). Si noti che l'areola di Huygens non irradia posteriormente (8 =11').
4.4 Campo associato a un dipolo elementare: dominio del tempo
II modo piu semplice per ricavare il campo associato a un dipolo elementare nel
dominio del tempo e probabilmente quello di partire dalle soluzioni [7], [8] del para-
grafo precedente, valide nel dominio della frequenza, e successivamente applicare ad
esse una trasformazione di Fourier. Consideriamo un dipolo elementare elettrico
di momento U( w); il dipolo sia posto nelI'origine di un sistema di coordinate sferiche
(r, (), cJ» e sia orientato parallelamente alIa direzione () = 0 (vedi fig. 4.4). II momenta
del dipolo, nel dominio del tempo, e dato da
+00
u(t)= in I U(w) exp(jwt) dw.
_00
Pertanto, trasformando Ie [7] ( 4.3), si ha per i campi
_ 2r [ U'(t*) CU"(t*) ]
e r (t)-- 4 cosO + 2
wr r r
r . [ U"(t*) u'(t*) CU(t*) ]
e8(t)=- 4 smB + + 2
lI'r err
1 . [ u"(t*) u'(t*) ]
hcp(t)=- 4 smB + ,
. lI'r C r
dove l'apice indica derivazione rispetto al tempo (u' =d/dt; u" =d 2 u/dt 2 ) e t* =t-
-rlc e il tempo ritardato, cioe il tempo misurato dopo l'arrivo di un segnale che si
muova con la velocita della luce e percorra la distanza r. Se, ad esempio, il momenta
[1]

4.4 I Dominio del tempo
257
elettrico e del tipo a gradino,
u(t>O)=uoi z
u(t<O)=O
(Ie cariche vengono separate all'istante t=O, e lasciate poi in tale posizione), allora
u' =Uo cS(t), u"=uo o'(t). Di conseguenza, il segnale giunge al punto r solo al tempo
rlc, propagandosi quindi con velocita c. Le [1] mostrano che, analogamente al caso
sinusoidale, ciascuna componente del campo contiene termini con diversa dipendenza
spaziale. AI fine di caratterizzarli, si consideri un momento dipolare variabile nel
tempo con Iegge gaussiana:
u(t)=uo exp(-2t 2 IT'}.)
(vedi fig. 4.8). La parte predominante del segnale e compresa tra gli istanti t = - TI2 e
t = T12, in corrispondenza dei quali Ia curva della figura 4.8 presenta due punti di
flesso.
Con questo particolare segnale Ie [1] si specializzano come segue:
2u<t*) [ cT t* ( CT ) 2 ]
er(t) = -4--+ - cosB
41f'rcT 2 r T r
r.u(t*) {[( 4t* ) 2 ] cT t* ( CT ) 2 }
ee(t) = - -4 -4--+ - sinB
41rrcT 2 T r T r
htf>(t)= u(t*) {[ ( 4t* ) 2 -4 ] -4 cT !!.. } sinB.
4nrcT 2 T r T
Evidentemente, i termini che decrescono con la distanza come 1/,'- e 1/73 (tennini
vicini; vedi  4.3) sono prevalenti per r<cT, mentre quelli che decrescono come l/r
(termini lontani) sono prevalenti per r>cT. Nel dominio del tempo, la frontiera tra
componenti lontane e vicine e dunque data dalla durata dell'impulso moltiplicata per
la velocita della luce, cioe dalla durata spaziale dell'impulso: a distanze maggiori di
.c T, dove l'impulso si e completamente distaccato dalla sorgente, solo Ie componenti
lontane sono importanti.
Un'ulteriore caratterizzazione dei vari termini [1] del campo si ha considerando il
vettore di Poynting:
s(t) =e(t) X h(t) =sr(t) i r + se(t) ie
sr(t) = r sin 2 8 { <U Il )2 + .£. ..!. [ <U')2 + £. uu' + 1 ( £. ) 2 U2 ]}
(41rcr)2 r dt r 2 r
-2sin8cos8 cd [ 1 '2 c , I ( c ) 2 2 ]
se(t)= - - - (u) +-uu +- - u
(41rcr)2 r dt 2 r 2 r
dove i calcoli sono stati effettuati partendo dalle [1].
17

258
Radiozione I Cap. 4
u(t)
- T/2
T/2
t
Figura 4.8
Segnale di tipo gaussiano.
Valutiamo ora l'energia elettromagnetica che fluisce attraverso un'arbitraria
superficie sferica r= cost. nell'intervallo di tempo t - t1. Per questo calcoliamo il
flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie sferica (potenza che attraversa
la superficie), e successivamente l'integrale del flusso fra i tempi tr e t. In quest'ul-
timo calcolo compare un integrale del tipo
t:
f. [utI (t»)2 dt,
t.
I
a formare il quale contribuiscono tutte e sole queUe componenti del campo definite
"radiative" nel precedente paragrafo. L'integrale e sempre positivo (0 nullo, se
u"(t)=O qualunque sia t nell'intervallo considerato) e corrisponde all'energia irra-
diata dal dipolo nell'intervallo di tempo t 2 - t 1; tale energia si propaga verso l'infinito
e non pub essere recuperata dalla sorgente: ad essa corrisponde un flusso di potenza
irreversibile. Se il dipolo e costituito da un carica fissa - q e da una carica + q in mota
rispetto ad essa,
u(t)=qz(t),
il dipolo stesso irradia solo quando la carica e accelerata, cioe z" (t):;c O. Si noti che
l'irreversibilita del flusso di potenza verso l'infmito e diretta conseguenza della condi-
zione di radiazione all'infinito [3] ( 4.2).
Un secondo integrale che compare nell'espressione dell'energia e il seguente:
t d [(U')2 +  uu' +  (  r u 2 J dt=
t.
1 .
 2 ] t*
= (U')2 + £'uu' +.!. ( £ ) U2 2.
r 2 r t:

4.4 I Dominio del tempo
259
Questo integrale dipende solo dagli estremi dell'intervallo di integrazione ed e formato
dalle sole componenti reattive del campo (vedi  4.3). Se la funzione u(t) e limitata
neI tempo (0 anche ciclica), l'integrale pub essere reso nullo con una opportuna
scelta di tT e t!. L'energia associata all'integrale e pertanto totaImente recuperabile
dalle sorgenti. Ad essa corrisponde una potenza reversibile.
Annotazioni
4.4.1 Campo transitorio associato a un dipolo magnetico (esercizio)
Utitizzando it teorema di dualita si mostri che it campo associato a un dipole ma-
gnetico di momenta um(t) e dato da
[ , ]
2 um(t*) cum(t*)
hr(t)= 41TT ,cos8 T 2 + cos8
1 [ U;' (t*) u;" (t*) cUm (t*) J
hs(t) = 4 1- sinB' I ' + + 2 sin 8
1TT) C T T
1 [ U;' (t*) u;" (t*) ]
ect>(t)=-- 4 sin 8 + sin8
1Tr C T
[2]
4.4.2 Campo associato a due cariche che coalescono (esercizio)
Un modello per studiare il campo transitorio a"ssociato a un dipolo elettrico e quello
di due cariche elettriche, uguali in modulo e di segno opposto, che, inizialrnente
ferme e separate da una distanza d, muovono l'una verso l'altra fino a coincidere e
quindi annullarsi. .
Supposto, per semplicita, che una carica sia fissa e I'altra mobile lungo l'asse z, a
quest'ultima (q) corrisponde una densita di corrente
j(z, t)=qt!(X)t!(y)t!(t-  ) iz,
-dzO.
[3]
dove vela velocita della carica. Si trasformi la [3] nel d9minio della frequenza,
si calcoli it campo dovuto all'armonica generica, e finalmente it campo nel dominie
del tempo mediante una trasformata inversa di Fourier (Franceschetti e Papas, 1974).
4.4.3 Campo associato a una carica in moto uniforme
Si consideri una carica in mota uniforme lunge l'asse z e che, al tempo t = 0, passi
per I'origine z = O. La densita di corrente associata a tale carica e data da'
j(z, t)=qt!(x)t!(y)t! (t- : ) iz,
dove vela velocita con la Quale si muove la carica; nel dominie trasformato,
J(z, w)=qt!(x)t!(y)exp (-i w : ) iz.

260
Radiozione I Cap. 4
E' questa una densita di corrente corrispondente a quella di un filo, di sezione
infinitesima lunge l'asse z e che trasporta (vedi fig. 4.9) una corrente la cui trasfor-
mata e q exp(-jwz/v). Un elemento dz di tale filo produce un potenziale vettore
dA in P(p, z') dato da
, Il qexp[-jW  -lw :v' (Z-Z')2+p2J
dA(p, z )= 41T i z dz
v' (z - Z')2 + p2
dove il mezzo nel quale la carica si muove e caratterizzato da un indice di rifrazione
n e c e la velocita della luce nel vuoto.
n potenziale vettore associato a tu tto il filo e dato, nel dominio della frequenza,
da
, Jlq + J oo exp[-jw(;+J(Z-Z')2 +p2)]
A(p, z ,w)= 41T i z dz
_00 J (z - Z')2 + p2
e, nel dominie del tempo, da
+00 +00
, p,q. J J
a(p, z , t)=2 1z dw du
81T
_00 _00
exp[jw(t--; _';u2 +p2 )]
v' u2 +p2
dove si e posta u = z - z'. Per avere un'idea dell'andamento del potenziale vettore,
invertiamo l'ordine di integrazione, ottenendo
+00  ( t- -!  )
, /Jq. J V V
a(p, z , t)= 4 1z du,
1T _00 ..J u 2 + p2
nell'ipotesi di un mezzo non dispersivo (n costante con w) e avendo posta
=u+ nV ';u 2 +p2.
c
[4]
Cambiando la varia bile di integrazione da u a , si ottiene
 ( t-_! )
, p,q . ! . V V
a (p,z,t)=- 4 1z d,
1T J 2 + 2 + nV
u p -u
c
[5]
dove u =u() mediante la [4]. La funzione di Dirac si annulla per
l: ' ,
so =vt-z =zo -z ,
dove Zo e la posizione della carica all'istante t, e pertanto I'integrale si calcola per
questo valore di. Per questo bisogna tuttavia precisare i limiti d'integrazione.
Un primo caso e queUo in cui il parametro n V / c < 1: la particella carica si muove
nel mezzo con velocita V minore di quella (c/n) della luce (sempre nel mezzo). Questa
situazione e detta subrelativistica. AI variare di u con continuita da -00 a + 00, anche

4.5 I Antenne filiform;
261
,/
./
./'
./'
./'
./'
dz ./'
n///
./
P (P, z')
z
z'
o
z
Figura 4.9
Filo di corrente con fase progressiva.
 varia con continuita tra gli stessi limiti e quindi l'integrazione nella [5] e ancora tra
-00 e + 00. L'argomento della funzione di Dirac e sempre interno all'intervallo di
integrazione; il potenziale vettore, e quindi il campo, e diverso da zero in tutti i punti
dello spazio.
AItra e la situazione se nv/c> 1 (situazione superrelativistica), se cioe Ia carica si
muove con velocita v maggiore di quella della Iuce nel mezzo. AI variare di u tra
- 00 a + 00,  varia da + 00 a p -V (n 'U I C ) 2 - 1, e poi nuovamen te da questo valore a + 00
(come si vede uguagliando a zero la derivata rispetto a u della [4]). L'integrale [5] e
ora diverso da zero solo se
o =zo -z';> (( :v f - 1 p.
La disuguaglianza precedente individua un volume limitato dalla superficie conica
z'=zo- 0 n : r -lp.
[6]
Questo cono ha vertice nella cca ed e tu tto alIa sinistra di questa se la carica si
uove verso la destra. SuI cono inoItre si annulla it denominatore nella [5].
La trattazione precedente mostra che, per nv/c > 1, il potenziale vettore, e quindi
i1 campo, sono essenzialmente confinati su una superficie conic a che segue la carica
e ha come vertice la carica stessa. L'angolo e che it cono di luce forma con l'asse
z e dato da sin 8=c/nv.
Quanto descritto e denominato effetto Cerenkov, e i1 cono viene detto cono di
Cerenkov.
4.5 Antenne fdiformi
Nei precenti paragrafi sono stati illustrati vari modi in cui pub essere calcolato it
campo elettromagnetico associato a dipoli elementari. Evidentemente, il campo asso-
ciato a distribuzioni arbitrarie di corrente pub essere calcolato, in base alla sovrappo-

262
RadiDzione I Cap. 4
sizione degli effetti, scomponendo tali distribuzioni in successioni di dipoli elementari.
Ad esempio, si consideri il ftlo percorso da corrente rappresentato nella figura
4.10. A grande distanza, il campo elettromagnetico prodotto dall'elemento di cor-
rente di lunghezza dz, centrato in z, e dato da
. l(z) dz
dEtl=Jt 2Xr' sinB' exp( -j{3r')
dE 8
dH'= t ' r/X> 1,
[1]
dove
r'2 =r 2 +Z2 -2rz cos8.
Sviluppando in serle, risulta
r' =r-z cosO +  2 sin 2 0 + ...
z
I
o
-/
Figura 4.10
Calcolo del campo irradiato da un filo percorso da corrente.

4.5 I Antenne filiformi
263
AI denominatore della [1] pub senz'altro porsi r' =r. Non COSt nen'argomento del-
l'esponenziale; infatti
(jr' -(jr=-(jz [coso -  (  ) sin 20 + ...J
assume un valbre Massimo dato da {31 = 21r I/A, che pub non esser trascurabile in rela-
zione aIle dimensioni lineari dell'antenna. Se (31(1/r) < 1 (regione di Fraunhofer; vedi
anche 4.5.5), si pub porre
r' r-z cose (}' 8
. , ,
e i1 campo totale irradlato dal filo di corrente e dato da
exp(-j{3r) 1 J
E8 =j 2Ar sin 8 I(z) exp(j{3z cose) dz
-I
E8
Hq,=T'
[2]
Tale campo pub dunque essere calcolato conoscendo la distribuzione di corrente.
E' questo un punto centrale nella teoria delle antenne: calcolare la distribuzione di
corrente su conduttori di geometria assegnata, quando sia stata specificata l'eccita-
zione. In pratica vi sono due modi per tent are di risolvere il problema: il metodo
dell'espansione modale e quello dell'equazione integrale (per la corrente).
L'espansione modale e stata present at a .nel capitol0 3; in particolare (vedi 3.7.2)
si e studiata in dettaglio l'antenna sferica. Basta qui ricordare che il metoda e rigo-
roso, ma permette 10 studio di poche geometrie (in particolare, la sferica e Ia sferoi-
dale; Bucci e Franceschetti, 1974).
In questo paragrafo i1 metodo dell'equazione integrale e applicato aIlo studio
della distribuzione di corrente lungo un conduttore a sezione cilindrica circolare,
metallico, di lunghezza 21, eccitato nella parte centrale da una tensione il cui fasore
e V o (vedi fig. 4.11); e questo il caso dell'antenna filiforme rettilinea. L'antenna e
sottile se il cosiddetto parametro di snellezza,
21
Q=2In-,
a
[3]
e maggiore di 10 (cioe 21/a> 150). Per simmetria, la corrente lungo l'antenna e tutta
diretta secondo l'asse z, se si trascura quella presente sulle basi terminali dell'an-
tenna (caso di un'antenna molto sottile 0 di un'antenna tubolare); il potenziale
vettore e allora diretto secondo z. Per la componente del campo lungo z, la [13]
( 4.2), che esprime il campo elettrico in funzione del potenziale vettore, fornisce.
E =-' w ( a2A +(j2A ) .
z J {32 az 2

264
Radiozione I Cap. 4
z
I
z
p (p, z)
,
I
.... --
 L
2a
Figura 4.11
Antenna filiforme.
Sulla superficie dell' antenna (supposta realizzata mediante un conduttore elettrico
perfetto) Ez = 0 ovunque, tranne che nella regione di alimentazione. Come modello
di eccitazione si assume un taglio di spessore infinitesimo (fJ-gap) al Quale sia appli-
cata la tensione di alimentazione. II campo elettrico applicato e quindi dato da
E; =- V o fJ(z) i z .
Pertanto, sulla superficie dell'antenna (p =a),
2 2
d A +2A=-:- V 6 ( z )
dz2 JW 0 ,
Izl <:1,
dove il simbolo di derivata tot ale significa che il potenziale vettore e da riguardare
come funzione della sola z, essendo la coordinata p fissata e it potenziale, per simme-
tria, indipendente da cpo La soluzione di questa equazione (vedi 4.5.1) e la seguente: .
{jV o
A(z)=C cos {jz + 2' sin {jlzl.
JW
[4]

4.5 I Antenne fil;form;
265
D'altra parte, il potenziale vettore si PUQ esprimere in funzione della densita di
corrente che scorre lungo la superficie del conduttore. Per il calcolo, supponiamo
di poter concentrare tutta la corrente sull'asse dell'antenna; cio si giustifica intuitiva-
mente in modo tanto piu convincente quanta piu all < 1 (e fornisce una soluzione
asintotica in l/n). Si ha quindi, sempre per p =a,
Jl 1 , exp(-j{3 -V a 2 +(Z-Z')2)
A(z) = 41T J /(z) dz',
-I -V a 2 +(Z-Z')2
[5]
dove /(z') e la distribuzione incognita di corre"nte lungo l'antenna.
U guagliando Ie [4], [5] si ottiene
1 ex p( - J '{3 -V a 2 + ( z - Z' ) 2 ) v: 4 C
J T. ( ' ) d ' 2 . 0 · a I I + 1r a
.1.1 Z Z =- 1rJ - SIn IJ Z cos IJZ,
-I .v a 2 + (z - Z')2  Jl
[6]
"che e l'equazione integrale di Hallen nella corrente /(z); risolta tale equazione, la
costante C e determinata dalla condizione
/(1) = 0
[7]
che, data la simmetria del problema, implica anche /(-/)=0. La [6] e una equazione
integraZe di Fredholm di prima specie. A rigore, essa non ammette soluzioni (integra-
bili) per la corrente /(z): al primo membro, diversamente da quanto accade a1 secondo,
compare una funzione analitica. Cio si deve alla supposta concentrazione della cor-
rente sull'asse dell'antenna (vedi la [5]) che ha eliminato la singolarita nel kernel
dell'integrale.
Da un punta di vista pratico il problema non e grave. La [6] viene approssimati-
vamente trasformata in un'equazione integrale di Fredholm di seconda specie e
risolta per successive iterazioni (vedi 4.5.2). La prima iterazione, all'ordine 1/0" e la
seguente:
21f V o sin {3(/-lzl) sin {3(/-lzl)
1(z)=j tn cos (31 - 10 sin (31
10 =/(0).
[8]
Confrontando la [8] con l'equazione della corrente lungo una linea di trasmis-
sione aperta agli estremi, di lunghezza I e impedenza caratteristica Zo, eccitata all'in-
gresso da una tensione V 0 ,
. V o sin {3(/-z)
/I ( z ) = J -
Zo cos {31 '
si nota che, in prima approssimazione, l'antenna si comporta come una linea di tra-

266
Radiozione I Cap. 4
smissione aperta agli estremi e divaricata, di impedenza caratteristica
n
Zo =r 21l' ·
La conclusione e che, in prima approssimazione, la distribuzione della corrente su
antenne flliformi sottili e di tipo sinusoidale, e Ia costante di propagazione {3 e la
stessa del mezzo che circonda rantenna.
Si noti che la [8] diverge per sin {31=O, cioe per 21=n1f, a meno che 1(0)=0.
Infatti, in questa prima approssimazione nella soluzione della equazione di Hallen
la corrente puo anQullarsi nel punto di alimentazione; chiaramente il risultato non e
accettabile dal punta di vista fisico, perche in tal caso la potenza fornita dal genera-
tore all'antenna,
1 " *
'2 Yo l o,
e da questa trasferita nella spazio circostante, risulterebbe nulla. Nonostante cio,
l'ipotesi di una distribuzione di corrente sinusoidale costituisce, nel caso di antenne
sottili, un'approssimazione del tutto accettabile ai fmi del calcolo del campo irradiato
(vedi 4.5.6, 4.5.7) e della potenza irradiata. L'approssimazione e invece insufficiente
per il calcolo della cosiddetta reattanza d'ingresso dell' antenna (vedi 4.6.15).
Annotazioni
4.5.1 Potenziale vettore suUa superficie di un'antenna filiforme
Si voglia risolvere 1 'equazione
d 2 A (32
+(32A= Vo(z).
dz 2 JW
[9]
Per z * 0 sj ha
A (z) = C 1 cos (3 z + s 1 sin (3z, z > 0,
A(z)= C 2 cos {3z + S2 sin (3z, z < o.
Data la simmetria della geometria dell'antenna e delle condizioni terminali, il
potenziale vettore e pari rispetto a z; esso e inoltre continuo, quindi:
A(z) = C cos {3z + S sin (3lzl, Izl l.
Integrando la [9] nell'intomo di z = 0 su un intervallo :t z -+ 0, si ha
Az {32
f = jw Yo,
-Az
dA
dz

4.5 I A ntenne filiformi
267
cioe
(32
2(3S= Yo.
JW
*4.5.2 Equazione integrale di Hallen
Si vuole un metodo di soluzione per la [6], equazione integrale di Fredholm di
prima specie (perche la funzione incognita compare solo sotto il segno di inte-
grale). Si nota che la funzione che moltiplica [(z') nell'integrale e rapidamente varia-
riabile nell'intomo di z' =z se a-+ 0 (antenna sottile). Per operare con funzioni pin
dolci conviene trasformare l'integrale come segue
J ' , exp(-j(3 Va 2 + (Z_Z')2) , J ' [(z') ,
l(z ) dz = · dz-
-I \/a 2 + (z-z')2 -I .Ja 2 +(z-z')2
1
J ",
- g(z, z )1(z ) (iz ;
-I
g(z, z')=
1 - exp( - j(3.J a 2 + (z-:- z')2)
Va 2 +(z-z')2
( .J a2 +(Z-Z')2 )
= jf3 exp - jf3
2
. I .Ja 2 +(Z-Z')2 )
sm 2 .
ja 2 +(Z-Z')2
13 2
Si noti come la funzione g(z, z') sia dolcemente variabile con z' anche nell'intomo
di z' =z. Inoltre il primo integrale pub essere approssimativamente 'calcolato in base al
fatto che, per a  0, l'integrando presenta un picco in z' = z; e quindi l'intorno di
z' = z che fomisce il massimo contributo all'integrale stesso. Di conseguenza
I /(z') , I dz'
J dz I(z) J
-I .J a 2 :+ (z - Z')2 -I Va 2 + (z - z')2
Con il cam bio di varia bile
Iz-z'l=u
l'integrale si trasforma come segue:
1 , .0 I-z
fez) = f dz =- J du + J du
-I .Ja 2 +(z-z')2 z+1 Va 2 +u 2 0 Va 2 +u 2
(l+z)+ V (I+z)2 +a 2 (Z-z)+ V (I-z)2 +a 2
= + .
a a

268
Radiozione I Cap. 4
La funzione f(z) e pa ri rispett o a z; per z = 0 assume il val ore
I+ V I 2 +a 2 21
f(0)=2In 21n-=n;
a a
per z = :I: 1 e invece
21+ V 41 2 +a 2
f ( :t 1) = In
a
41
 In-.
a
La funzione e molto piatta nell'intomo di z =0, come si vede dallo sviluppo in serle
00 1 ( Z ) 2n
f(z)n-- - ,
1 n 1
avendo posto a=O nel calcolo delle derivate. Se si approssima la f(z) a n in tutto
l'interva110 delle z, la [6] pub essere riscritta come segue:
I
1 ( 41TC . V o . ) 1 J ",
l(z)=l2 p. cOSz-27T1Tsmlzl +12 -I g(z,z)l(z)dz,
equazione integrale non omogenea (funzione nota al secondo mem bro) di seconda
specie (la funzione incognita appare sia fuori sia dentro il segno di integrale). Essa e
risolvibile per iterazioni successive; come prima iterazione si puo prendere
l(z)= A ( 4;C cos z-27Tj ;0 sin IZI),
che e di ordine 1 In. Sostituendo nell'integrale, si avrebbe la seconda iterazione, con-
tenente anche un termine di ordine I/n 2 ; e cosi via. Fermandosi alIa prima itera-
zione, per O 1 e imponendo la condizione 1(1)= 0, si ha
p. V o
C= j 2r
sin (31
cos (31 '
e di conseguenza
. 21T V o ( sin /31 cos (3z )
/(z)  j rn cos {31 - sin I3lzl .
4.5.3 Distribuzione.di corrente su un'antenna corta (esercizio)
Per /31 < 1, sviluppando la [8] a1 primo ordine si mostri che
21r V o ( IZI )
l(z)j n fJ(I-lzl)=/o 1-1 '
[9]
cioe che distribuzione di corrente su un'antenna corta e triangolare.
4.5.4 Distribuzione di corrente su un'antenna a mezz'onda (esercizio)
Un'antenna e detta a mezz 'onda se 21 = "A/2. Si mostri che
l(z)=1 0 cos{3z, IzlA/4.

4.5 I Antenne f;liform;
269
4.5.5 Regioni di Fresnel e di Fraunhofer di un'antenna
Nena caratterizzazione delle antenne e importante conoscere il diagramma di
radiazione (vedi  4.6), cioe l'andamento del campo a grande distanza. Detta r la
distanza dall'antenna (generalmente dal punta di alimentazione, nel caso di una sola
antenna, dal punta di alimentazione di una delle antenne nel caso di un sistema di
antenne; vedi  4.7), si definisce grande distanza quella a cui I'intensita dei campi
decresce come Ilr e la fase decresce linearmente con r, a meno di quantita che si
ritengono trascurabili.
A titolo di esempio, si consideri il sistema di antenne della figura 4.12, compo-
sto da tre radiatori elementari, alimentati con correnti equifasi e di ampiezza uguale
(Ie periferiche) e doppia (Ia centrale). Si consideri il campo prodotto dai radiatori in
un punto P sull'asse di simmetria del sistema, a distanza r> A. n campo totale in P e
proporzionale a
exp(-j(jrl) exp(-j(jr)
. + - .
rl r
Lo sviluppo in serle di r 1 fomisce
rl =  +(  r =r+ : +...
E' necessario fissare un criterio di troncamento della serie precedente. Se e lecito
arrestarsi al primo termine, si e per definizione nella zon.a di Fraunhofer (regione a
grande distanza); dovendosi considerare due termini, si e nella zona di Fresnel;
entrambe Ie zone sono qui definite nelle vicinanze dell'asse.
Per stabilire il suddetto criterio di troncamento, sostituiamo 10 sviluppo in serie
nell'espressione del campo. AI denominatore si pub porre rl ::::: r, non pero all'espo-
nenziale, perche (jd 2 /8r puo non essere trascurabile rispetto all'unita. II campo
risulta pertanto proporzionale a
exp(-j(jr) [ ( . (jd 2 )]
1 +exp -J- .
r 8r
La variazione 4ell 'ampiezza del campo con la distanza e data dalla funzione
V2 0 {1d 2 2 (1d 2
f(r)=- I +cos- =- cos- .
r 8r r 16r
A meno di.una costante, il decremento logaritmico del campo e dato da
(jd 2
-In r+ln cos 16r
La variazione della fase e data invece dalla funzione
(jd 2
sin-
8r
(jd 2
1 + cos --s;-
f(r)=-(jr-tg- I
(jd 2
=-(jr- 16r '
(jd 2
-'W
16r  II.

270
RQdiozione I Cap. 4
I
I
I
"""
I "'-.'"
I ""-- r
-... 1
I --.........
............
I "'--.........
I "'"
1 _-- -- - - _-! - - - - - ----" p
",
".,
I ",-""
I r,  
I "",.""
".,
I ",,""
I
I
I
I
d
Figura 4.12
Semplice sistema di antenne per 1a defmizione del campo lontano.
Per definire la zona di Fraunhofer occorre fissare un limite superiore per Ie varia-
zioni di In f(r) rispetto a -In r e di f(r) rispetto a -(3r. n criterio generalmente
accettato e che sia
(3d 2 1r
16r  16 '
2d 2
r;>-,
A
con il che 10' scostamento di fase non supera 18° e 10 scostamento di ampiezza
O,17dB.
L'analisi precedente mostra che, per antenne e sistemi di antenne di dimensioni
molto grandi rispetto alla lunghezza d'onda, la distanza di Fraunhofer pub essere
tanto grande da rendere difficile la pratica realizzazione della misura del diagramma
di radiazione. E' in tali situazioni che tecniche alternative, basate sulla trasforma-
zione "campo vicino-campo lontano" (vedi  3.7), possono risultare interessanti.
4.5.6 Campo irradiato da un'antenna corta: dominio della frequenza
Si consideri l'antenna corta della figura 4.13, dove e anche rappresentata la
distribuzione triangolare di corrente lunge il filo. Poiche
r' =r-z cos8, (3z cos9< 1,

4.5 I A ntenne fil;form;
271
I
/O
I(z)
-1/
Figura 4.13
i campi elementari prodotti dei singoli elementi dell'antenna si sommano tutti con
la stessa fase; pertanto
10 exp( -jl3r) J ' ( Izi ) 10 1
E8=j sinB 1-- dz=j-sinBexp(-jl3r)
2M 1 2Ar
-I
E8
Hct>=-
t
Un'antenna corta si comporta quindi come un dipole elementare di meta lunghezza.
4.5.7 Campo irradiato da un'antenna corta: dominio del tempo
La formula [9] mostra che, in prima approssimazione, i fasori della tensione e
della corrente in ingresso a un'antenna corta sono legati dalla relazione
. 2Ttel
10J Q wYo.
Pertanto, l'antenna risponde alla tensione applicata come una capacita
C = 21rfl
n ·

272
Radiozione I Cop. 4
In base ai risultati del paragrafo 4.4, un' antenna si definisce cOTta, nel dominie del
tempo, se la sua lunghezza e molto minore di quella spaziale cT del segnale (di tipo
impulso 0 similare) applicato. In questa ipotesi un 'antenna di lunghezza fisica 21
equivale a un dipolo elementare di lunghezza 1 (vedi 4.5.6). Poiche
io(t) = Cv(t), u' (t) = io(t) 1,
dalle [1] ( 4.4) si ottengono Ie espressioni del campo irradia to:
Cv(t*) I i' (t*) 1
e8(t)=t 4 sinB =t °4 sinB
"rc "TC
e8 (t)
hcp(t) =  .
II campo risulta proporzionale alIa derivata seconda della tensione applicata.
In maniera analoga pub calcolarsi il campo associato a una "piccola" spira di
corrente, il cui raggio sia cioe minore della lunghezza spaziale dell'impulso. In questo
caso l'antenna risponde alla tensione applicata essenzialmente come una induttanza,
e si ha
vo(t)=- Li(t), u m (t)=p:rrR 2 i o (t)
(vedi 4.4.1); di qui, per Ie [2] ( 4.4), si ricava
v(t) 1fR 2 t(t) nR 2
h ( t ) - sinO = sin 8
8 -- 4"rc Lc 4"TC C
ecp( t) = -  h8 (t).
II campo irradiato risulta pertanto proporzionale alla derivata prima dell a tensione
applica ta.
4.5.8 Antenna marconiaDa
Sia data un'antenna, corta rispetto ana lunghezza d'onda, disposta verticalmente
suI suolo (vedi fig. 4.14), e alimentata rispetto a questo. Se il suolo pub riguardarsi
come perfettamente conduttore, per it teorema delle irnmagini la lunghezza totale
dell'antenna viene raddoppiata ai fini del calcolo del campo al di sopra di essa.
L'antenna marconiana si comporta cioe come un dipolo elementare di lunghezza 1. Al
fme di migliorare la conducibilita del suolo nelle immediate vicinanze dell'antenna,
spesso viene disposta sui suolo 0 in prossimita di esso una raggiera di fill di rame, con
centro nell'antenna. Tale antenna, detta marconiana dal nome del suo primo utilizza-
tore, Gugliebno Marconi, e largamente usata nel campo delle basse frequenze.
4.5.9 Antenna a L rovesciata
Consideriamo l'antenna della figura 4.15, dove e anche rappresentata la distribu-
zione della corrente. Ai fini della irradiazione, il braccio orizzontale della L e ineffi-
cace, poiche il relativo campo e in pratica cancellato da quello dell'irnmagine (per
l<); tuttavia tale braccio contribuisce positivamente alla distribuzione della cor-

4.5 I Antenne filiform;
273
I(z)
Figura 4.14
rente net braccio verticale, perche all'estremita di questo essa non deve piu annul-
larsi. Infatti, la distribuzione della corrente nel braccio vertica1e e data da
I(z)=[o (1- lb )' Ozl.
sempre che {3(1 + b) < 1. Tenendo anche conto dell'immagine, l'antenna a L rovesciata
I(z)
Figura 4.15
18

274
Rodiozione I Cop. 4
equivale a un dipolo element are di lunghezza
I 1+ 2b
1+ b ·
Spesso, at posto di un solo braccio orizzontale in testa all'antenna, si utilizza una
raggiera di fili centrata suI conduttore verticale. Si dice allora che l'antenna e caricata
con capacita terminale; l'effetto della raggiera e infatti equivalente a quello di una
capacita posta in testa all'antenna; in tal modo la corrente lungo i1 braccio verticale
pub riguardarsi come quasi costante (spazialmente). Ecco una realizzazione pratica
di un dipolo elettrico elementare.
4.6 Parametri di un'antenna in trasmi one
Da un pUAto di vista pratico, per facilitare al progettista del collegamento la
scelta dell'antenna, e necessario caratterizzare quest'ultima in modo semplice, per
mezzo di parametri possibilmente numerici (al piu, di diagrammi).
Un primo parametro caratteristico e il valore del campo (gerieralmente elettrico)
irradiato dall'antenna (a grande distanza da essa):
E(r -+ 00, 8 , <p) = Eoo(r, 8, <p),
[1 ]
che per comodita conviene normalizzare rispetto a una qualche grandezza; e qui si
presentano varie alternative.
Un primo tipo di normalizzazione e conveniente se nell'antenna, 0 nel sistema di
antenne, sono facilmente individuabili dei morsetti ai quali si possa misurare una
corrente (0 anche una tensione) di riferimento 1 0 ; in particolare questo e it caso delle
antenne filiformi, dove e naturale assumere come corrente di riferimento quella di
aIimentazione. Come ulteriore esempio, nel caso di un sistema di antenne flliformi
(vedi  4.7) si pub prendere come corrente di riferimento quella di ingresso di una
delle antenne. Per definizione, si pone
Ioh(8, 4»
(r,8,<p)=jt exp(-j.
2AT
[2]
La funzione vettoriaIe h (8, .p) (dimensi onalmente, una lunghezza), che prende il
nome di altezza (0 anche lunghezza) efficace, descrive completamente il campo
irradiato dall'antenna (0 dal sistema di antenne). Per il dipolo elementare elettrico
di lunghezza /),1 risulta quindi
h = Lli sin 8 i8 ;
per un' antenna filiforme, dalle [2] ( 4.5) si ricava
1 I(z)
h=sin8 is J I exp(jz cas 8) dz.
-I 0
[3]

4.6 I Porometri di un'ontenno
275
Un secondo tipo di normalizzazione e quello adottato quando correnti 0 tensioni
non sono facilmente individuabili. 4 In tal caso si preferisce normalizzare il campo a
grande distanza rispetto all'ampiezza di quello irradiato dalla stessa antenna in una
direzione (8 0 , 4>0) di riferimento (generalmente quella di massimo):
£00( 8 , lP) = f «(J , lP) Eoo(r, 6 0 , lPo).
[4]
Talvolta la normalizzazione viene effettuata rispetto al campo che si avrebbe se
tutta la potenza fosse irradiata isotropicamente (vedi la successiva definizione di
"diagramma di direttivita "). La funzione vettoriale f(8, lP), adimensionale, e detta
vettore di radiazione.
Altezza efficace e vettore di radiazione sono tra loro proporzionali (vedi 4.6.1) e
differiscono solo per una costante (complessa). Ciascuno di essi, ad esempio il vettore
di radiazione, pub essere riferito a un usuale sistema di coordinate sferiche centrato
in un punto opportuno dell 'antenna (0 del sistema di antenne),
f (8 , lP) = ie (8 , lP) ie + 14>(8 , lP) it/>, .
o anche a una coppia di vettori ortogonali differenti da i8 e  (vedi  6.1, 6.1.4 e
6.1.5). II modulo di ogni componente di f(O, rp) (come anche di h), ad esempio
lIe (8, q,)I,  rappresentabile in coordinate polari mediante la superficie
r = 18 «(J , lP ) .
In tal modo si individua un volume, detto solido di radiazione, che consente di
avere una rappFesentazione grafica immediata delle caratteristiche radiative dell'an-
tenna (vedi fig. 4.16); il solido si presenta diviso in regioni, ciascuna delle quali
prende il nome di lobo di radiazione. S
La rappresentazione grafica del solido di radiazione pub essere data in assonome-
tria (un esempio e fornito nella fig. 4.17), o mediante piu sezionit/>=cost. (0 8=cost.);
un esempio di sezione e riportato nella figura 4.18. Queste sezioni prendono il nome
di diagrammi di radiazione.
II vettore di radiazione 0 I'altezza efficace descrivono l'andamento angolare del
campo irradiato normalizzato rispetto a un valore di riferimento. Si noti che ciascuna
loro componente e un fasore. Pertanto essi descrivono totalmente il campo irradiato,
fornendone (a me no del riferimento di normalizzazione) ampiezza, fase e polarizza-
zione.
In molte applicazioni queste informazioni non so no tutte necessarie, bastando la
conoscenza del modulo del vettore del campo. Si defmisce allora il solido, 0 diagram-
ma, di direttivita (a rigore, il diagramma e una sezione del solido):
4 Come generalmente accade nel campo delle antenne a microonde, ad esempio quelle ad
apertura (vedi  3.5).
5 Una rappresentazione simile pub essere data anche per la fase di 18(8, 4».

276
RlldiDzione I Cop. 4
z
y
Figura 4.16
Esempio di solido di radiazione.
IE(r, 8', cp)12 411'r 2
D( 8, cp)= lim
r-+- # IE(I', 0,1/»1 2 dS o
So
1/(8, ;)1 2 411'
2 11' 1f
f dl/> f If(O, 1/»1 2 sin 0 dB
o 0
Ih(8, cp)12 4,"
-
21f 1f
J dl/> f Ih(8, 1/»1 2 sin 0 dO
o 0
[5]
dove So e la superficie sferica (r-+ oo ) che contiene l'antenna (0 il sistema di antenne).
Nella [4] il denominatore, moltiplicato per 1/2t, corrisponde alIa potenza totale
irradiata. 11 numeratore, moltiplicato per 1/2t, rappresenta la potenza che sarebbe
irradiata se l'irraggiamento avvenisse isotropicamente in tutto 10 spazio con inten-
sita IE(8, cp) 1 2 /2t. In particolare, il valore che D(8, q,) assume nella direzione di
massimo irraggiamento (8 M , cp M ),
D(8'M, cpM)=DM,
[6]
viene detto direttivita dell'antenna. La direttivita e un numero maggiore dell'unita
(non esistendo antenne isotrope, per Ie quaIi D = DM = 1) e permette l'immediato

4.6 I Pommetri di un'ontenno
277
u = JlQ.. si n 8 coscp
2
v = JlQ..sin8 coscp
2
Figura 4.17
Rappresentazione assonometrica di un solido di radiazione (D e it diametro di bocca
dell'antenna).
calcolo della densita di potenza irradiata S nella direzione (8 M , 4>M) quando sia
nota la potenza totale irradiata:
D. = 1im II lE(r, 8,4»1 2 d
C,rr 2 1- So.
roo S 
o
Si ha infatti
D M P irr
S(8 M,<J>M)=SM= --2
41l'r

278
Radiozione I Cap. 4
(dB)
o
f (u , v)
(in unitll
arbitrarie)
20
-20
(\n(\
-51t
o
5n
v = JlQ.. sin (1
2
Figura 4.18
Diagramma di radiazione nel piano u = O.
In certi casi, la direttivita viene espressa in decibel:
DM(dB) = lOlogD M .
In altemativa alla direttivita si considera talvolta i1 guadagno:
Pirr . IE(r, 8, cJ»1 2 41fT" /2
G=D-= hm
P T roo P T '
[7]
dove P T  1a potenza reale consegnata dal generatore ai morsetti dell' antenna. Se
questa non ha perdite, P irr = P T, e direttivita e guadagno coincidono; in caso con-
trario, G<D. In generaIe,
GD.
Anche il guadagno viene talvolta espresso in decibel.
Un altro import ante parametro per Ie antenne per Ie quali tensione e corrente
d'ingresso sono misurabili 0 defmibili (vedi anche  5.1), in particolare queUe flli-
formi, e l'impedenza d 'ingresso, definita come rapporto tra i fasori della tensione e
della corrente ai morsetti di alimentazione:
V o
Z.=R'+ J 'X.=-
I I I 10.
[8]

4.6 I Parametr; di un 'antenlUl
279
L'impedenza d'ingresso descrive Ie caratteristiche circuitali dell' antenna: se questa
e sostituita da una impedenza Zi, il generatore continua a erogare 1a stessa potenza
attiva e reattiva; Si noti tuttavia che l'impedenza Zi non possiede tutte Ie proprieta
delle usuali impedenze dei circuiti a costanti concentrate; ad esempio, non e in
generale rappresentata da un rapporto di poIinomi.
La resistenza d'ingresso e facilmente calcoIabile se l'antenna e iI mezzo esterno
non hanno perdite. Infatti in tale circostanza la potenza (attiva) consegnata ai mor-
setti deve totalmente ritrovarsi come potenza irradiata, e pertanto
lR 1 1 1 2 = lim H IE(r,8,I/>W d s =p.
2 i 0 ?,. 0 Irr,
r-+ oo -
So
[9]
il che perrnette il calcolo della resistenza d'ingresso. Per tale motivo R i e anche detta
resistenza di radiazione, ed e indicata con R irr . Esiste una relazione che lega resistenza
di radiazione e direttivita:
. IE(r, .8 M , l/>M)1 2 41Tr 2 Ih(8 M , l/>M)1 2
RirrDM= 11m 2 =1Tt 2 .
r-+ oo rllo I A
[10]
Se invece l'antenna ha perdite, si deve distinguere tra resistenza di radiazione R irr ,
data dalla [9], e resistenza d'ingresso R i , data dalla parte reale della [8]. In questo
caso la relazione [10] si trasforma nella seguente:
. IE(r, 8 M, l/>M )1 2 41Tr2
RiG=lim 2 .
r-+ oo rll 0 I
II calcolo della reattanza d'ingresso (vedi 4.6.16) richiede che venga completa-
mente risolto iI problema di valori al contorno dell' antenna.
Annotazioni
4.6.1 Relazione tra altezza efficace e vettore di radiazione
Come si e giA notato, si considera il vettore di radiazione quando e pi'll agevole mi-
surare, anziche Ie correnti 0 Ie tensioni di alimentazione, Ie potenze, in particolare
que11e attive:
41Tr 2 IEoo(8 M, l/>M )1 2 /2
P irr = DM . [11]
Tra ,f(8, l/» e h(8, l/» esiste comunque una semplice relazione, facilmente ottenibile
uguagliando Ie due diverse espressioni dei moduli dei campi a grande distanza:
2 _ . 2 2 _ 2 11 0 1 2 Ih(8, l/»1 2
IE..(8, 1/»1 -IE..(8 M , I/>M)I 1[(8, 1/»1 - f 4?,2 ·
Sostituendo I'espressione di IEoo(8M, l/>M)I ricavata dalla [11] e tenendo conto del-

280
RodiDz;one I Cop. 4
l'espressione della resistenza d'ingresso den' antenna, si ha
yRoDM
Ih(8, cf»1 = t I f(8, cf»1
[12]
che e la relazione cercata. I due vet tori h e f hanno ugual direzione e verso; a meno di
una fase (il cui valore e pero indipendente da 0 e l!» la [12] determina quindi runo in
funzione dell'altro.
4.6.2 Altezza efficace di un'antenna corta (esercizio)
Si mostri che per un 'antenna corta di lunghezza 211'altezza efficace e
h=l sinO iB.
4.6.3 Altezza efficace di un'antenna a mezz'onda, per 0 =Tf/2 (esercizio)
Si mostri che il valore dell'altezza di un'antenna a mezz'onda e /1( nella dire-
zione 0 = Tf/2, cioe 2/Tf volte la lunghezza fisica dell'antenna.
4.6.4 Altezza efficace di un'antenna verticale in presenza del suolo
Sia data un'antenna verticale, di altezza efficace h, in presenza di un suol0 che si
suppone perfettamente conduttore (vedi fig. 4.19).
d
\
\
\
\
\
d
2 d cose
Figura 4.19

4.6 I Parametri di un 'antenno
281
n campo totale irradiato, tenendo con to dell' antenna immagine, e dato da
Ee=H ;r exp(-j(jr)[1+exp(-j2(jdcos8)];
di conseguenza, l'antenna presenta un'altezza efficace data da
h t =2h cos({jd cos 0) exp(-j{jd cosO)
quando l'origine del riferimento coincide con il punto di alimentazione dell'antenna.
4.6.5 Altezza efficace di un'antenna orizzontale in presenza del suolo (esercizio)
Si mostri che l'altezza efficace di un'antenna orizzontale in presenza del suolo e
data da
ht = 2jh sin({jd sin 0) exp(- j{jd sin9),
dove 0 e l'angolo di osservazione misurato rispetto al piano orizzontale.
4.6.6 Altezza efficace di una spira
Si e dimostrato (in 4.3.4) che una spira elementare di corrente, giacente nel piano
z = 0, equivale a un dipole magnetico orientato secondo z, di momento Urn =JlAI,
dove A =TfR 2 e l'area della spira e I il fasore della corrente nella spira. Questo risul-
tato e ancora valido per spire fisicamente realizzabili, purche piccole rispetto alIa
lunghezza d'01'!da. Se la spira e realizzata mediante N avvolgimenti (sempre sotto
l'ipotesi che 2NTf R  X), il campo irradiato e dato da
INA
H8=- 2Xr sinO exp(-j(jr)
Per Ie antenne di tipo elettrico l'altezza efficace e definita con riferimento al
campo elettrico irradiato. Per la spira, antenna certamente di tipo magnetico,l'altezza
efficace pub essere riferita a1 campo magnetico irradiato:
h m =N{jA sinO ie;
nulla vieta tuttavia di riferire l'altezza efficace al campo elettrico ponendQ
Eq, = jf 2 1 :r exp( -j(jr).
Tale definizione e piu comoda, perche permette un paragone piu semplice tra antenne
di tipo elettrico e magnetico; e si ha, per la spira elementare,
h=-jN{jA sinB iq,.
A paritA di corrente I, un'antenna elettrica corta, di lunghezza 1, e una spira irra-
diano campi proporzionali a 1/2 e 2N1r 2 R 2 /X. Una piccola spira irradia dunque molto
meno di un 'antenna corta di dimensioni 1  R, a parita di corrente. D'altra parte,
una spira pub essere sintonizzata mediante una capacita, mentre il sintonizzare l'an-
tenna elettrica richiede l'uso di un'induttanza Ie cui perdite limitano l'intensita di
corrente. La corrente iniettabile in una spira e certamente maggiore di quella che si
pub far circolare in un filo corto.

282
RadiDzione I Cap. 4
z

21 =-
2
/1
I(z)
x
Figura 4.20
4.6.7 Vettore di radiazione di un'antenna a mezz'onda (esercizio)
Si consideri un'antenna di lunghezza 21= "A/2, alimentata nel centro, con una
distribuzione di corrente (vedi 4.5.4)
l(z) = 10 cos (jz.
Si mostri che il vettore di radiazione e dato da
f(8, 4»= 18( 9) iB,
con
cos(cos 0)
If) ( 8 ) = . 9
sm
L'intersezione del solido di radiazione con it semipiano cp=O (vedi anche 4.6.11)
e rappresentata nella figura 4.20; essa e indipendente da l/>.
4.6.8 Vettore di radiazione di un 'antenna filiforme (esercizio)
Utilizzando la formula
J exp(aE)
exp(a) sin(1JE+c)dE= 2 2 [a sin(bE+c)-b cos(bE+c)]
a +b
si mostri che it vettore di radiazione di un'antenna filiforme con distribuzione sinu-
soidale di corrente (vedi  4.5, equazione [8]), ha un'unica componente secondo 8,
data da
cos({jl cos 8)-cos {jl
 (8) =
8 (l-cos{jl) sin 8 '
dove la nonnalizzazione e rispetto a1 campo nella direzione 8 =1r/2, e (31=#= 2n1r. E'

4.6 I POfametr; di un'ontenno
283
z
2/
x
f(z)
(a)
21
1(0)
f(z)
x
Figura 4.21
Diagramma di radiazione nel semipiano 4>= 0: (0) per un' antenna di lunghezza A; (b) per
un'antenna 3 A/2 .
poi necessario supporre che l'alimentazione dell'antenna non abbia luogo necessaria-
mente nel centro dell'antenna, in modo da evitare che la corrente di ingresso sia nulla
(vedi fig. 4.21 a). I diagrammi di radiazione nel semipiano cp= 0 sono rappresentati,
per due antenne, nella figura 4.21.
Si noti che, all'aumentare della lunghezza dell'antenna, aumenta il numero di lobi
del diagramma di radiazione, e i1 Massimo di radiazione non e pi'll nella direzione
() =,"/2.
4.6.9 Campo irradiato da un'antenna a onda progressiva
Sia dato un filo percorso da corrente, di lunghezza 21, lungo i1 Quale la corrente
abbia un andamento del tipo
I(z)=I o exp(-j(3z),
-lz l.

284
RQdillzione I Cop. 4
n campo irradiato da tale antenna e facilmente calcolabile e risulta pari a
10 sin[l(l-cos 8 )]
E8=jt- 2 exp(-jl3r) sin 6 1 8 ·
1rT -cos
I massimi del vettore di radiazione sono approssimativamente dati da
1r
131(1-cos8)=(2n+l)2' n=O, 1,...
dove il massimovaloredin e tale che 2131(2n + 1)1r/2 affinche Icos61<;1: n numero
dei massimi aumenta all'aumentare del rapporto IIA, e il Massimo assoluto (vedi fig.
4.22) e quello corrispondente al minima valore di 6.
Una realizzazione pratica di un'antenna a onda progressiva e la cosiddetta antenna
rombica (vedi fig. 4.23). Essa consiste in una linea di trasmissione divaricata a forma
di rombo, adattata a1 suo estremo a destra in modo che sia presente la sola onda pro-
gressiva. La dimensione dell'antenna e scelta in modo che i campi associati ai lobi 1 e
2 (nonche 3' e 4') di ciascun braccio si sommino in fase, e i campi associati ai lobi
3 e 2' (nonche l' e 4) si cancellino run l'altro. Come risultato, si ha una radiazione
fortemente anisotropa (endfire) nella direzione comune ai lobi 1, 2, 3',4'. Si noti
it verso dei vettori del campo irradiato, che tiene conto del segno della corrente sui
bracci dell 'antenna. A questo proposito, si immagini di ruotare il conduttore con i
lobi 2' e 4' in modo da sovrapporlo a queUo con i lobi 2 e 4: a causa del diverse segno
della corrente sui due fiIi, i rispettiv,i vettori hanno verso opposto.
4.6.10 Direttivita di un'antenna corta (esercizio)
Si mostri che la direttivita di un'antenna corta e pari a 3/2.
4.6.11 Direttivita di un 9 antenna a mezz'onda
Dato il vettore di radiazione di un'antenna a mezz'onda,
cos ( ; coso)
f(8)= . 8 iB,
sm
-I
z
Figura 4.22
Antenna a onda progressiva.

4.6 I PDrometri di un 'Qntenno
285
/
,
/ E;
/
/
/
_tE
______iE
Figura 4.23
Antenna 10m bica.
\
\
\

\
\
ricerchiamone 10 sviluppo in serie di Fourier nell'intervallo (0, 11'):
00
f(8)= n an sin [(2n + 1) 8].
o
Per il primo coefficiente si ha .
'If
a o = ; f cos G coS8)d8=2Jo(  )0,945.
o
In prima approssimazione, e ai fini del calcolo della potenza irradiata,
f(8)  0,945 sin (J ,
2 'If 1r
J d4J f d81f(8)1 2 sinB dB = 71' (0,945)2;
o 0
sostituendo l'espressione precedente nelle [5] e [6] si ottiene (King, 1941):
1,5
D - 1,63.
M - (0,945)2

286
Rodioz;one I Cap. 4
4.6.12 Guadagno di un'antenna corta (elettrica)
n guadagno di un 'antenna corta e dato da
G=l Pi" l R irr
2 Pr 2 R i
dove Rir, e la resistenza di radiazione e Ri la resistenza di ingresso dell 'antenna. Se
l'antenna e corta, la resistenza di ingresso e essenzialmente quella dovuta aIle perdite
ohmiche lungo i1 filo, poiche, rispetto a questa, la resistenza di radiazione e trascura-
bile. Spesso si inclu de nella resistenza di ingresso anche quella dell 'indu ttore usual-
mente posta in serle a1l'antenna per sintonizzarla (questo corrisponde a definire i
morsetti di ingresso dell'antenna a monte del circuito di adattamehto). Ne segue che'
n guadagno pub essere, per un'antenna corta, un numero molto minore dell'unita.
4.6.13 Resistenza di radiazione di un'antenna corta
Si consideri un'antenna corta di lunghezza 21 e altezza efficace h =1 sin 8 iB; la po-
tenza totale irradiata e data da
1 11 0 1 2 1 2 211' 'If
P -,. J d J sin20orsinOd8=
irr-2) 4 '\2 2 'I'
1\ roo
2
= ; t 11 0 1 2 (  ) 7r .
Posto
_ 1 2
P irr - 2" Rirr 110 I ,
e risolvendo per la resistenza di irradiazione, si ha
211' ( 1 ) 2
Ri'r=T i '
all'incirca uguale (in ohm) a 800 (11'X)2 .
4.6.14 Resistenza d'ingresso di un'antenna corta in presenta del 80010
Si consideri l'antenna corta della figura 4.24, posta verticalmente su un suolo
supposto perfettamente conduttore. Per la presenza dell'immagine dell'antenna, in
ogni punto dello spazio al di sopra del suolo l'intensita del campo raddoppia, la den-
sita di potenza quadruplica. Nel calcolo della potenza totale irradiata l'integrazione
del flusso di potenza va pero estesa solo aIla semisfera al di sopra del suolo. In defi-
nitiva, la potenza totale irradiata e doppia rispetto a quella di un 'antenna corta, di
lunghezza 21, nella spazio libero. La conclusione e che raddoppia la resistenza di
radiazione:
41l' ( 1 ) 2 ( 1 ) 2
Rirr=T  'X  1600 A '
dove I 'ultima espressione e un valore misurato in ohm.

4.6 I Parametri di un 'ontentUl
287
4.6.15 Resistenza di radiazione di una antenna a meta onda (esercizio)
Utilizzando i risultati visti in 4.6.3 e la relazione [10] tra resistenza di radia-
zione e direttivita, si mostri che la resistenza di radiazione di un' antenna a meta onda
e data (in ohm) da
/1r
R irr  1 ,6 3  73,6.
4.6.16 Impedenza d'ingresso di un'antenna filiforme
Secondo l'espressione [8], I'impedenza d'ingresso di un'antenna e il rapporto tra i
fasori della tensione e della corrente di ingresso ai morsetti di alimentazione. Se si
assume come distribuzione per la corrente la [8] ( 4.5), cioe la prima iterazione
della equazione di Hallen, si ottiene
V(O) n
Zi = 1(0) =- j 21r ctg 131.
Questa formula e insoddisfacente per due diversi motivi. In primo luogo, I'impe-
denza e tutta reattiva, mentre certamente deve esistere una componente reale che
tenga conto della irradiazione dell'antenna. Inoltre, per (jl = n 1f (lunghezza dell'an-
tenna pari a un numero intero di lunghezze d 'onda), l'irnpedenza diventa infinita.
Quanto sopra mostra che per il calcolo dell'impedenza d'ingresso la prima iterazione
dell'equazione di Hallen non e sufficiente. Risultati piil soddisfacenti si ottengono
con una migliore approssimazione per la distribuzione della corrente sull 'antenna,
applicando ad esempio i1 metodo di King-Middleton; nella figura 4.25 e riportato it
calcolo della impedenza d'ingresso di un'antenna filiforme effettuato per mezzo di
detta teoria (King e Middleton, 1946). L'antenna si comporta quindi come un
circuito risonante, caratterlzzato da successivi nulli della reattanza al crescere della
frequenza. II primo nullo si ha per 131 1,5, cioe per 21A/2, ed e caratterizzato da
un valore relativamente basso della resistenza di ingresso. n secondo nullo, per
/31  2,9, cioe per 21 non troppo diverse da A, e invece caratterizzato da un alto valore
della resistenza di ingresso.
2/
Figura 4.24

288
2000
1600
1200
800
400
400
200
-200
-400
Radiozione I Cap. 4
R
2n
o
0,8
1,6
2,4 3,2
(a)
4
4,8
5,6 PI
x
27t
o
o
0,8 1,6
2,4
3,2
5,6 pi
4
4,8
(b)
Figura 4.25
Impedenza di ingresso di un'antenna f1liforme (coefficiente di snellezza = 10): (a) resi-
stenza di ingresso;'(b) reattanza di ingresso (misurate in ohm).
4.7 ADineamenti di antelU1e
Si e visto nel paragrafo 4.6 che, per antenne filiformi, all'aumentare della lun-
ghezza dell'antenna aumenta il numero di lobi del diagnlmma di radiazione e it mas-
simo si sposta rispetto alla direzione 8 =1r/2. Risulta cosi difficile ottenere diagrammi
di radiazione caratterizzati da alta direttivita, massimo in direzione prefissata e bassi

4.7 I AllineQmenti di ontenne
289
lobi laterali. La difficolta pub essere superata utilizzando piil antenne (allineamento
di antenne, 0 a"ay) opportunamente spaziate tra lara e percorse ciascuna da una
corrente di determinata intensita. Per una realizzazione piil efficace delle caratteri-
stiche radiative del sistema di antenne si possono utilizzare, e in effetti si utilizzano,
allineamenti di antenne non filiformi (ad esempio, allinearnenti di aperture).
Consideriamo l'allineamento rappresentato nella figura 4.26, dove il tipo dell a
singola antenna non e specificato se non per i1 punto di alimentazione r n rispetto al
quale e defmita I'altezza efficace h n (8, cp) dell'antenna stessa. L'antenna n-esima sia
alirnentata dalla corrente di fasore In. 11 campo elettrico da essa irradiato, a grande
distanza, e dato da
KIn exp(j{3r n · i,)h n (8, t/J),
[1]
dove
. exp( -j{3r)
K=Jf ·
2Ar
L'altezza efficace h n , in questo contesto, e spesso chiamatafattore di antenna; essa
descrive Ie caratteristiche radiative dell' antenna in presenza di tutte Ie altre. Molto
spesso, tuttavia, si suppone che Ie altre antenne non modifichino sostanzialmente i1
diagramma di irradiazione dell'antenna considerata, e pertanto h n (8, t/)) coincide
con la funzione che si avrebbe nel caso di un'antenna isolata.
Se Ie antenne dell'allineamento sono N, il campo elettrico tot ale irradiato e dato
da
N
K n In h n (8, t/)) exp(j{3r n · iT)'
1
[2]
Inoltre, se Ie antenne sono tutte uguali e di caratteristiche radiative caratterizzabili
y
Figura 4.26
Allineamento di antenne.
I'

290
Rodiozione I Cop. 4
mediante un'unica funzione h(8, cp), la [2] si trasforma nella seguente espressione:
N N
K h(8, tP) n In exp(j{3r n · i r )=K1t(8, cp)Io Ln an exp(j(3r n · i r ), [3]
1 1
dove 10 e il fasore di un'opportuna corrente di riferimento e an e it fasore della cor-
rente di alimentazione dell'antenna n, normalizzato rispetto a 10. La grandezza
(complessa)
N
F(8, <1»= n an exp(j{3r n · in)
1
[4]
e detta fattore di allineamento (array factor). Le caratteristiche radiative di un alli-
neamento di antenne di identiche caratteristiche radianti sono quindi descritte dal
prod otto del fattore di antenna h( 8, l/» e del fattore di allineamento F( 8, (jJ).
Consideriamo ora un allineamento unidimensionale, rappresentato in sezione nella
figura 4.27. In questo caso il f attore di allineamento [4] nel piano 8 = 1r /2 si esprime
1
z
\
n
N
N
Figura 4.27
Allinearnento unidimensionale di antenne.

4.7 I Allineamenti di antenne
291
piu semplicemente come
N
F(l/» = "2:,n an exp(jl3x n cas l/».
1
L'allineamento e detto broadside se si ha iI massimo di irradiazione per l/>=1r/2;
per questo basta che Ie an abbiano tutte la stessa fase, ad esempio siano reall. Si ha
pero 10 stesso massimo per l/>=-1r/2 (vedi fig. 4.28a).
L'aillneamento e detto endfire se il massimo di irradiazione si ha per (/J = 0, il che
accade quando la fase di an e uguale a -(3x n ; in questo caso non si ha in generate
un massimo per (/J = 1r (vedi fig. 4.28 b).
L'allineamento e detto uniforme se la spaziatura tra Ie varie antenne componenti
e la stessa. Se Ie antenne sono N, l'origine e posta in corrispondenza dell' antenna
n = 0 e d e la distanza tra Ie antenne, si ha
N-l
F(l/»= n an exp(jn{3d cos l/».
o
[5]
L'allineamento e non uniforme se Ie distanze tra Ie varie antenne componenti sono
diverse. Per tale allineamento Ie eccitazioni sana generalmente uguali (an = 1) e si ha
N-l
F(l/»= n exp(j{3x n cos l/».
o
[6 ]
L'allineamento uniforme e detto anche allineamento riempito (filled array) in
contrasto con I'allineamento non uniforme, 0 assottigliato (thinned a"ay): un allinea-
x
(a)
(b)
Figura 4.28
Fattori di allineamento: (0) per radiazione broadside; (b) per radiazione endfire.

292
Radioz;one I Cap. 4
mento non uniforme riesce infatti a ottenere la stessa direttivita di uno uniforme con
un minor numero di elementi. Uno dei grandi vantaggi degli allineamenti non uni-
formi e la non-apparenza dei cosiddetti grating lobes, cioe di quei lobi in cui l'irradia-
zione e uguale a quella del lobo di massima irradiazione (lobo principale). Sia infatti
4>0 la direzione del lobo principale. Per un allineamento uniforme si ha irradiazione
uguale a quella lungo 4>0 in ogni direzione 4>m tale che
(3d cos l/>m = (3d cos <Po + 2m 11', m = oj; 1, f: 2, ...,
il che certamente avviene per qualche angola l/>m reale, purche (3d sia sufficiente-
mente grande (d A).
Un Inetodo per analizzare gli allineamenti uniformi e quello di Schelkunoff(1948).
Posto
an =A n exp(jc5 n )
exp(jfjd cos cf»=1'l,
la [5] viene riscritta come segue:
N-l
F(l/»= n An exp(jc5 n )l'ln.
o
[6]
II fattore di allineamento viene dunque espresso in forma di polinomio (polinomio
di Schelkunoff) nella variabile 11. Questa, d'altronde, deve giacere su una circonfe-
renza unit aria (fig. 4.29), se la [6] rappresenta un diagramma di array. La parte della
il1"
(/)=0
fP= 1(/
f/J = rr
2
11'
Figura 4.29
Piano della variabile 11 = 11' + j "," .

4.7 I Allineament; di antenne
293
circonferenza corrispondente a valori I cf>1  1r definisce il cosiddetto spazio visibile; 1a
restante parte (come anche i successivi percorsi sulla circonferenza stessa) corri-
sponde a valori complessi di  e definisce 10 spazio in visibile . L'importanza della [6]
risiede nel fatto che, avendo espresso il fattore di allineamento in forma di polino-
mio, e possibile utilizzare gli appropriati teoremi dell' algebra. Ad esempio, se on = 0:
F(l/» = AN -1 (11-110) (11- 111)". (l1-l1N -I),
dove Ie l1n sono Ie radici del polinomio [6]. II fattore di allinearnento si annulla solo
in corrispondenza di radici l1n di modulo uno e nel dominio visibile. L'importanza di
queste considerazioni e evidente ai fini della sintesi, cioe della realizzazione di un
assegnato fattore di allineamento.
Le espressioni della direttivita e del guadagno, come anche quella dell'impedenza
d'ingresso, possono facilmente generalizzarsi al caso degli allineamenti. Per quel che
concerne I'impedenza di ingresso va notato che la corrente che circola nella generic a
antenna dell'allineamento dipende anche dalla presenza delle antenne vicine, poiche
esse inducono, se eccitate, forze elettromotrici nell' antenna considerata. Pertanto it
fasore tensione di ingresso V n e legato ai fasori delle correnti di ingresso In delle varie
antenne da una relazione del tipo
Vn=Znl/1 +"'+ZnnIn+'''+ZnNIN
[7]
data la linearita del sistema.
La Znn e l'impedenza di ingresso dell' antenna n quando tutte Ie altre antenne
banno correnti di ingresso nulle (antenne con terminali aperti); essa e detta autoimpe-
denza, 0 impedenza propria, dell'antenna. Molto spesso viene identificata con l'impe-
denza di ingresso dell' antenna nella spazio libero; si suppone cioe che Ie altre antenne,
a circuito di ingresso aperto, non perturbino il campo associato all' antenna in esame.
Antenne che godano di questa proprieta di invisibilita quando siano a circuito aperto
(0, piu in generale, opportunamente terminate) sono dette a minima diffrazione (mi-
nimum scattering antennas; Kahn e Kurss, 1965). Le antenne reali approssimanQ piu
o meno questa caratteristica.
La Znm e definita come il rap porto tra i fasori della tensione indotta ai terminali
dell' antenna n e della corrente di eccitazione dell'antenna m quando tutte Ie antenne
siano a terminali aperti e non eccitate, tranne I'antenna m; essa e denominata impe-
denza mutua. Nel calcolo dell'irnpedenza mutua si fa spesso l'ipotesi che Ie antenne
siano a minima diffrazione (vedi 5.3.5).
Annotazioni
4.7.1. AUineamento uniforme con eccitazione a fase progressiva
Poniamo an =exp(jnc5); la [5] diventa
N -1 N -I l-exp(j N 1)
F ( "' ) =  n ex p [ J . n ( c5 + R d cos '*' )] =  n exp [ ] n 1]
0/ G  'I' 0 . = l-exp(j'Y) =

294
Rad;az;one I Cap. 4
IF(OU
N
1
0,5
n/2
7t
y
Figura 4.30
Modulo del fattole di allineamento per N= 1, 2, 3, 4, 5.
sin N 'Y .
=exp  .(N-I) 1 ] 2 , 1=6 + {3d cos <p.
2 . 1
sm-
2
II modulo del fattore di a11ineamento per vari valori di N e riportato nella figura
4.30. II massimo del fattore di allineamento si ha per 1 = 0 ed e pari a N. II primo
zero si ha per N1= 211', e il Massimo del primo lobo later ale all'ihcirca per N1= 31r.
L'ampiezza del fattore di allineamento in corrispondenza del primo lobo laterale e
pari a
1
. 31f
sm 2N
se N e sufficienternente grandee II primo lobo laterale, che e anche il piu grande, e
solo -13,5 dB a1 di sotto di queUo principale.
2
-N
31f
4.7.2 Allineamento a distribuzione triangolare di corrente
Consideriamo un allineamento uniforme in cui Ie varie antenne siano percorse da
correnti di arnpiezza decrescente linearmente dal centro verso la periferia; tra antenne
vicine vi sia differenza di fase costante. Questo a11ineamento pub immaginarsi realiz-
zato mediante piu allineamenti nel modo rappresentato nella figura 4.31. Ciascun

4.7 I A/lineamenti di antenne
295
allineamento e composto di N elementi; i successivi allineamenti sono spostati lungo
l'asse x di una lunghezza pari a d. II primo ha un fattore di array pari a
[ 1 ] sin N 
exp j(N-l)7: . =Fl(),
sm 2
2
dove l'origine e presa in corrispondenza dell'antenna con 6 = O. n secondo, se l'origine
e in corrispondenza della corrente con fase -6, ha un fattore di array pari a
. N 'Y
[ 1 ] sm 2"
exp j(N-l)7: . exp(-jo)=F 1 (qJ) exp(-j6).
sm 1
2
Se l'origine e spostata in corrispondenza dell'antenna con fase zero, il fat tore di
.a11ineamento diventa F 1 (4)) exp(-j'Y). Analogamente, l'ultimo allineamento presenta
un fattore di array (con l'origine sempre in conispondenza dell' antenna con fase
zero) dato da F 1 () exp(-jN1).
Se ora gli allineamenti vengono traslati verticalmente sino a coincidere, si ha un
unico allineamento con una distribuzione di corrente triangolare: l'intensita (norma-
lizzata) del fasore della corrente e pari aNal centro dell 'allineamento, e decresce
linearmente sino a 1 aile due estremita. Sommando i campi parziali prodotti dagli
allineamenti componenti, si ottiene il fattore di allineamento per l'array a distribu-
zione triangolare di conen te:
F(<p)=F()=
2
sin NL
.2
. sin 1
2
-4 . .
x I. .1
d . .
. . .
. .
.
exp [ j ( N - 1) 0)
exp [ j J]
1
exp [joJ
1
exp [ -1'oJ
. .
. . .
. . . exp [- j (N - 1) } 0]
. .
Figura 4.31

296
RadiDz;one I Cap. 4
11 numero totale di antenne e ora 2N, il massimo del fattore di al1inamento e N 2 , e
I'intensita del primo lobo laterale e, per N sufficientemente grande, (2N/31t)2 .
II primo lobo laterale e pertanto - 27 dB al di sotto di quello principale. Ai fini
della riduzione dell'intensita dei lobi laterali il cosiddetto tapering d'ampiezza 6
si dimostra dunque vantaggioso. AI contrario, la larghezza del lobo principale e
uguale a quella di un allineamento uniforme con meta elementi e ampiezza
spaziale, (N-1)d, anch'essa meta. A parita di dimensioni dell'allineamento, il tape-
ring d'ampiezza allarga illobo principale.
4.7.3 Allineamento binomiale
Si consideri un allineamento uniforme i cui coefficienti di eccitazione siano i
seguenti:
ao=()=l, al=()exP(jO), a2=()eXP(2jO)'."
aN=(Z) exp(2Njo).
II fattore di array e dato da
F(,p) = n (  ) exp(jn'Y)=[1 +exp(j'Y)]N =
=2 N eXP(j 'Y ) [cos i] N,
poiche la somma e immediatamente identificabile con 10 sviluppo della potenza
N del binomio; per questo motivo I 'allineamento e detto bin om iaZe . Si tratta di un
allineamento di N + 1 elementi, con tapering simmetrico rispetto al centro. I lobi
1aterali possono addirittura scomparire; basta che sin
16 + (j d cos  1 < 1r, 0 <; "tp  21r.
4.7.4 Radiazione emessa da aperture in schermi metallici
Consideriamo un'apertura in uno schermo metallico piano, come quella rappresen-
tata nella figura 4.32; per ipotesi, e nota la componente tangenziale del campo elet-
trico, Et(x, y), nell'apertura.
Per il calcolo del campo irradiato dalrapertura nel semispazio z  0, in alternativa
al metoda dello sviluppo in onde piane (vedi  3.5), pub applicarsi il teorema di
equivalenza, nella forma in cui compaiono solo correnti magnetiche superficia1i:
J m S=2E,(x, y)x i z .
II campo totale irradiato si riconduce quindi a queUo prodotto da una distribuzione
superficiale di correnti magnetiche.
Di particolare interesse sono Ie cosiddette antenne a fessura (slot antennas), carat-
6 Cioe l'addolcimento della distribuzione spaziale della corrente, che diminuisce verso gli
estremi dell 'allineamento.

4.7 I A Ilineamenti di antenne
297
x
Figura 4.32
terizzate da una dimensione molto piu piccola rispetto all'altra (vedi fig. 4.33); in
questo caso si ha
JmS= 2E o (x,y) iy X iz = 2E o (x,y) ix,
avendo supposto it campo elettrico polarizzato lungo l'asse y : Et(x, y)=Eo(x, y)iy.
Se b  A, all'apertura pub sostituirsi (ai fini del calcolo del campo in z;> 0) una cor-
rente magnetica
b
I m (x)=2 I E o (x,y)dy=-2V(x)=-2V o f(x),
-b
dove - V(x) e l'integrale del campo elettrico sull'apertura; V o puo essere riguardato
come una tensione applicata, e la funzione f(x) ne descrive la variazione con x.
n valore del campo a grande distanza si ottiene da11a [3] ( 4.6) e applicando it
teorema di dualita:
Voh
E=j Ar exp(-j(jr)
E8
He =- T'
a
h(6 )=sin6 ict> J f(x) exp(j(3x cosO) dx.
-Q

298
Radiozione I Cap. 4
P (r, 0, f/J)
z
Figura 4.33
L'antenna a fessura, per z  0, si comporta dunque come un'antenna filiforme ma-
gnetica.
4.8 Riepilogo
In questo capitolo sono stati illustrati i concetti fondamentali concernenti il feno-
meno dell a irradiazione del campo elettromagnetico relativo ad assegnate distribu-
zioni di corrente. II problema della effettiva distribuzione 4ella corrente su antenne
fIliformi e stto considerato solo nel paragrafo 4.5.
Per prima cosa abbiamo mostrato che il calcolo del campo in un mezzo illimitato
isotropo omogeneo e sempIificato dall'introduzione del potenziaZe vettore A e del
potenziale seal are . Questi collegati dalla gauge di Lorentz,
V. A +jwfIlCP=O,
soddisfano, nel dominio della frequenza, aIle equazioni
V 2 A+k 2 A=-IlJ
V 2 CP + k 2 cp =_.e.. .
f

4.8 I R iepilogo
299
I campi sono calcolati come segue:
E=-iwA-V<I>=-iw(A+ V'A )
H=! VX A.
Jl
AHa piu semplice antenna, il dipolo elementare elettrico, corrisponde un poten-
ziale vettore
dA Jl I !::,.Z ( . k ) ·
= 411' r exp - J r lz
dal quale possono facilmente ricavarsi i campi. Questi sono caratterizzati da compo-
nenti vicine, che diminuiscono, all'aumentare della distanza, almeno come l/r2, e da
component; lontane, che diminuiscono come l/r. AIle prime sono associate, nel
dominio delle frequenza la potenza reattiva, e nel dominio del tempo l'energia
reversibile. AIle seconde e associata la potenza reale irradiata, cui corrisponde un'e-
nergia che non pub piu essere recuperata dalle sorgenti, ma viene persa sulla sfera
all'infinito.
Analogo al dipol0 elettrico e il dipolo magnetico, di momento U m , che pub esser
realizzato mediante una spira elementare tale che
.U rn = Jl1l'R 2 I.
Le antenne filiformi possono essere studiate come distribuzione spaziale di dipoli
elementari, ove sia nota la distribuzione della corrente. Questa e approssimativamente
sinusoidale:
sin[P(I-lzl)]
I(z) =1 0 .
sin P 1
In tale ipotesi, si possono calcolare i parametri che caratterizzano il comportamento
dalle antenne in trasmissione: altezza efficace, vettore di radiazione, direttivita, gua-
dagno, nonche il parametro che caratterizza Ie proprieta circuitali dell'antenna:
l'impedenza d 'ingresso.
Piu antenhe possono essere collocate con opportuna distribuzione nella spazio, al
fine di ottenere un sistema radiante con caratteristiche migliori di queUe della singola
antenna. Questi sistemi di antenne vengono detti allineamen ti, e possono essere a
spaziatura uniforme 0 non uniforme. L'allineamento e caratterizzato da una funzione,
denominata fattore di allineamento, che nel caso unidimensionale assume la forma:
N
F(4)) = !;n an exp(jPxn cos 4».
1
In molti casi, la somma che compare neIl'espressione precedente si riconduce a
una funzione semplice. Si nota cosi che un tapering di ampiezza, dal centro dell'alli-
neamento verso la periferia, riduce l'intensita dei lobi laterali, aUargando nel con-
tempo illobo principale.

300
Radiozione I Cap. 4
Traduzione deUe citazioni riportate aU'inizio del capitolo
Quando, circa due anni fa, giunse notizia dall'altro lato dell' Atlantico che era stato inventato un
metodo per trasmettere mediante l'elettricita i suoni articolati della voce umana, cosicche questa
potesse essere udita a centinaia di miglia di distanza da colui che parla, q uelli tra noi che avevano
ragione di ritenere che tale notizia avesse un fondamento di verita, presero a fantasticare, imma-
ginando che si trattasse di un qualche trionfo di abilita costruttiva. Finalmente, quando apparve que-
sto piccolo strumento, che in effetti consiste in parti con cui ciascuno di noi ha familiarita e che
persino un dilettante sarebbe capace di montare, il disappunto dovuto al suo aspetto modesto solo
parzialmente fu bilanciato dalla costatazione che si trattava una vera macchina parlante (...)
Infatti, nonostante tutte Ie possibili considerazioni sull'importanza di procedere, nei nostri studi,
in profonditi piuttosto che in vastita, e per quanto forte possa essere la richiesta di specialisti in
questo nostro tempo, vi sara sempre lavoro, non solo per chi contribuisce all'edificazione di
questa 0 quella scienza e scrive monografie su di essa, ma anche per chi apre la via alIa comunica-
zione tra i diversi gruppi di ricercatori, S1 da facilitare una salutare interazione. Nell'universita poi
si e specialmente portati a riconoscere non solo l'unita della scienza in quanto tale, ma anche la
comunione degli studiosi. Sarebbe troppo semplice supporre che noi siamo qui riuniti solarnente
pel poter usufruire di certe comoditi di studio, come musei e laboratori, librerie e conferenzieri,
affinche ciascuno possa studiare cio che piu g1i aggrada.
I. C. Maxwell, The Telephone, Nature, 18 (1878).
L'esistenza di correnti indotte e di azioni elettromagnetiche a distanza dal circuito primario dal
Quale esse derivano la loro energia ci ha condotto, sotto la guida di Faraday e di Maxwell, a ricono-
scere che i1 mezzo in cui il conduttore e immerso svolge un ruolo molto importante nel divenire
del fenomeno. Se si crede alla continuita del mota dell'energia, cioe che quando questa scompare
in un punta e riappare in un altro dev'essere passata attraverso 10 spazio intermedio, si deve per
forza concludere che il mezzo [che racchiude il conduttore] ne contiene perlomeno una parte ed
e capace di trasferirla da punta a punta (...)
10 penso sia necessario aver ben chiaro che, accettando la teoria di Maxwell, secondo cui l'energia
risiede nel mezzo, non si PUQ piu considerare una corrente come qualcosa che trasporta energia
lungo il conduttore. Una corrente in un conduttore e piuttosto da riguardare come risultante
essenzialmente da una convergenza di energia elettrica e magnetica dal mezzo sui conduttore, ove
essa si trasforma in altre forme.
J. H. Poynting, On the Transfer of Energy on the Electromagnetic Field, Phil. Tlans, 175 (1884).
Riferimenti bibUografici
Bucci O. M. e Franceschetti G., Input Impedance and Transient Response of Spheroidal Anten-
nas in Dispersive Media, IEEE Trans. Antennas Propagat., 22, 526-36 (1974).
Franceschetti G. e Papas C. H., Pulsed Antennas, IEEE Trans. Antennas Propagat., 22, 651-61
(1974).
Kahn W. K. e Kurss H., Minimum Scattering Antennas, IEEE Trans. Antennas Propagat., 13,
671-75 (1965).
King R. W. P., The Approximate Representation of Distant Field of Linear Radiators, Proc. IRE,
29, 458-63 (1941).
Schelkunoff S. A., A Mathematical Theory of Linear Arrays, Bell Syst. tech. I., 22, 80-107
(1948).
Silver S., Microwave Antenna Theory and Design (Dover, New York 1965) .pp. 158-62.

Capitolo 5
Ricezione
So soft and uncompounded in their essence pure...
In what shape they choose
Dilated or condensed, bright or obscure
Can execute their aery purposes.
(COS! soffici e diffuse nella lara pura essenza...
Qualunque sia 1a fOlma,
Espansa 0 condensata, luminosa od oscura,
Esse eseguono i lara aerei doven.]
John Milton, n paradiso perduto
Segnali dallo spaz;o
Nella storia delle esplorazioni spaziali, raramente un eventp ha suscitato nella
comunita scientifica, come anche tra la gente comune, un interesse pari a quello che,
nell'autunno del 1980, desto la trasmissione delle prime immagini ravvicinate di
Saturno e dei suoi anelli da parte della sonda americana Voyager 1 (fig. A). Nel punto
di Massimo avvicinamento al pianeta, Ie telecamere della navicella scrutavano l'atmo-
sfera gassosa di Saturno a soli 124000 km di distanza, ben poca cosa rispetto a1
miliardo e mezzo di chilometri che separavano la sonda dalla Terra. Propagandosi on
la velocita della luce, i segnaIi da essa irradiati coprivano questa distanza in poco
meno di un'ora e mezza (il viaggio di andata era durato quattro anni). La ricezione e
l'amplificazione di radiazioni di cosi deb ole intensita - l'attenuazione del segnale nel
percorso Terra-Saturno raggiunge valori enormi, fino a 200 dB - e nel contempo la
necessita di contenere al Massimo il rumore di fondo ponevano, com'e anche facile
immaginare, problemi tecnici estremamente complessi. E indubbiamente, al successo
della missione del Voyager contribuirono in misura determinante Ie non comuni
caratteristiche di sensibilita e discriminazione dei sistemi di antenne, usate in rice-
zione, presenti nelle stazioni di osservazione terrestri.
I problemi connessi alIa ricezione di segnali molto deboli si sono presentati per la
prima volta agli scienziati da una cinquantina d 'anni. E' del 1931 1a scoperta di
Jansky, che dava inizio alIa radioastronomia, di una sorgente di rumore situata nel
centro della Galassia (in fig. B e visibile la rudimentale antenna da lui usata). Per 10
sviluppo di questa nuova scienza occorrevano antenne altamente direttive e in grado
di ricevere radiazioni entro una larga banda di frequenze. Tali era no i grandi riflettori
costruiti nel dopoguerra, e qui bisogna anzitutto menzionare il paraboloide di Jodrell
Bank (Inghilterra), assurto agli onori della cronaca in occasione dei primi lanci dei
satelliti sovietici, di cui permise di determinare con grande precisione la traiettoria; fu
aHora che la gigantesca antenna progettata da Bernard Lovell (500 tonnellate di pes

e un diametro di 82 m, montatura alto-azimutale) dimostro appieno la sua versatilita
e i vantaggi delle grandi dimensioni. Ben presto altri paraboloidi, anche pi'll grandi,
l'affiancarono. La figura C mostra la superncie del riflettore di Effelsberg (Germania
occidentale) del Max-Planck..Institut fur Radioastronomie (100 m di diametro: il piu
grande del mondo a montatura equatoriale), lavorata con precisione tale da consen-
tire I'osservazione con onde di un centimetro di lunghezza. Per inciso, ricordiamo che
la levigatezza della superficie influisce direttamente suI guadagno dell'antenna; in
ogni caso Ie sue irregolarita, perche essa possa funzionare corne riflettore, non dovreb-
bero superare 1/8 della lunghezza dell'onda incidente: nel riflettore di Effelserg, Ie
deviazioni cIal paraboloide ideale sono inferiori, in media quadratica, a 0,65 mm!
La tendenza al gigantismo culmina con la costruzione (ultimata ne11974) dell'an-
tenna di Arecibo (Portorico), una struttura reticolare metallica a forma di calotta
sferica racchiusa in una conca naturale e rivestita da 38778 fogli di alluminio (fig. D).
Attualrnente si tenta, con tecniche di rilevazione laser, di ridurre la ruvidezza della
superficie da 6 a 3 rom (rms) per incrementare uiteriormente Ie possibilita operative
dell'atenna, che can i suoi 305 m di diametro e la piu grande in assoluto.
La necessita di avere un potere risolutivo elevato (capacita di distinguere oggetti
cosmici relativamente vicini) anche lavorando con onde metriche ha posto peraltro
i radioastronomi di fronte a problemi insolubili con antenne di tipo tradizionale:
per raggiungere un potere risolutivo di 1', quello dell'occhio umano, un'antenna
operailte su una lunghezza d'onda di 1 m dovrebbe avere un diametro di ben 3,5 km.
La tendenza prevalente oggi e di sostituire alIa singola antenna a riflettore un allinea-
mento di antenne (in terferom etro ). Tipiche disposizioni sono queUe a croce di Mills,
di cui un esempio esiste anche in Italia (antenna Croce del Nord a Medicina, presso
Bologna), queUe a croce di Christiansen, ad esempio l'interferometro di Calgara in
Australia, e i piiJ recenti dispositivi VLBI (Very Long Base Interferometer) capaci di
risolvere i1 millisecondo di grado, e che gia si sviluppano su distanze di 3000 chilo-
metri negli Stati Uniti.

11
.
i
oF
...
J .,
/
I
.;'
Figura D
\.....
.. 'II",
 .,
" "'\.
'- ;\.
\...
"
\
\
. 
 
j' t
.
.. .
Figura C
I
<-'

304
Ricezione I Cap. 5
5.1 Ricezione del segnale elettromagnetico
Le stesse antenne che sono adibite alIa trasmissione del segnale elettromagnetico
possono essere usate per 1a ricezione dello stesso. Si consideri ad esempio un fllo me-
tallico, come quello rappresentato nella figura 5.1a, suI quale incida un campo elet-
tromagnetico (E i , Hi)' Questo e, per definizione, il campo che esisterebbe in tutto 10
spazio se il fllo fosse rimosso (campo incidente, 0 imperturbato); in generate, esso e
diverso da zero nella regione dello spazio che e poi occupata dal filo. Se questo
 realizzato mediante un conduttore elettrico perfetto, nel suo interno il campo
elettromagnetico dev'essere nullo e sulla sua superficie deve ancora essere nulla la
componente tangenziale del campo elettrico. Queste condizioni non sono verificate
dal solo campo incidente. Pertanto deve generarsi un ulteriore campo (Es, H s ), detto
diffratto (scattered field), che e una misura della perturbazione del campo incidente
dovuta alIa presenza dell'ostacolo (in questo caso il fIlo). 11 campo totale (E, H) e la
somma del campo incidente e di quello diffratto:
E=Ei+Es, H=Hi+Hs.
[1]
Esso deve verificare Ie condizioni sopra esposte, in particolare l'annullarsi della com.
ponente tangenziale del campo elettrico, (& + Es)t, sulla superficie del fllo; su questa
 indotta una corrente superficiale che assicura che ivi e discontinua la componente
tangenziale del campo magnetico (Hi + Hs)t. II campo diffratto pub cosi riguardarsi
come sostenuto da questa corrente superficiale.
Se ora n ftlo e interrotto, ad esempio nella sua parte centrale, da un piccolo gap
(vedi fig. 5.1 b), e ancora necessario postulare la presenza di un campo diffratto, che
tuttavia e diverso dal precedente, perche diverse sono Ie condizioni al contorno. II
campo elettrico tangente non deve piu essere nullo nella regione del gap. Se questa
regione e sufficientemente piccola da poter applicare concetti di tipo statico, l'inte-
grale di linea del campo elettrico tra i due lembi del gap pub essere identificato con la
tensione indotta ai morsetti dell'antenna. Se poi i1 ftlo meta11ico e di tipo tubolare
cavo, in modo da diminuire la capacita del gap sino a poterla trascurare, la corrente
superficiale ai lembi del gap e nulla. E' questa una condizione ben precisa di carico ai
morsetti dell'antenna. Essa viene detta "a vuoto", e la differenza di potenziale indotta
tensione a vuoto. La configurazione rappresentata nella figura 5.1 a pub essere invece
riguardata come quella di un' antenna in cort ocircuit 0 , e la corrente (flusso assiale della
corrente superficiale), alIa stessa ascissa del gap, pub essere definita corrente di corto-
circuito dell'antenna.
Una condizione intermedia tra Ie due precedentemente esaminate e quella rappre-
sentata nella figura 5.1 c, dove i terminali delI'antenna sono collegati, in generale
attraverso una sezione di linea di trasmissione, a un carico. Nella figura, ZL e l'impe-
denza del carico riportata ai morsetti dell'antenna. In questo caso ai terminali dell'an-

5.1 I Segnole elettromognetico
305
E.
,
ZL
.....
-
.....
(a)
(b)
(c)
Figura 5.1
Antenna in ricezione.
tenna Ia corrente non e piu nulla (come nel caso di un'antenna a vuoto) ma uguale a
quella di ingresso sull'impedenza Z L ; ne  nulla la tensione (come nel caso di un'antenna
in cortocircuito), ma uguale a quella presente ai capi dell'impedenza Z L' I due casi,
antenna a vuoto e in cortocircuito, si ottengono da questo, piu generale, ponendo
ZL -+00 e ZL =0 rispettivamente.
Per un'antenna filiforme la tensione a vuoto si identifica quasi sempre con quella
indotta ai capi del gap in assenza di carichi esterni. Questo comporta i1 trascurare la
capacita del gap (che per antenne sottili e sempre molto piccola); in ogni caso, tale
capacita PUQ essere assorbita nell'impedenza del carico (vedi 5.1.1). E' bene anche
notare che i campi diffratti dall'antenna differiscono in generale per Ie due configu-
razioni di vuoto e di cortocircuito, 0 ancora, nelle diverse situazioni di carico.
II processo di ricezione di un'onda elettromagnetica presenta dunque una certa
complessita, poiche dipende sia dalle caratteristiche dell' antenna sia da quelle del
carico. Ad esso si accompagna invariabilmente un processo di reirradiazione, da parte
dell'antenna, che pure dipende dalle caratteristiche summenzionate.
Annotazioni
.5.1.1 Definizione non ambigua di impedenza di ingresso di un'antenna
Per un'antenna, la definizione usuale di "tensione a vuoto", come si e visto, PUQ
essere affetta da imprecisione per via dell'incertezza riguardante la capacita del gap.
20

306
Ricezione I Cop. 5
Si PUQ tentare di ovviare a questo inconveniente inciudendo nell' antenna un tratto di
linea di trasmissione di alimentazione sufficientemente lungo e definendo tutte Ie gran-
dezze (tensione, corrente, impedenza) in una sezione della linea di trasmissione in cui
sia presente i1 solo modo TEM (per alimentazione con linee bifilari 0 cavi coassiali).
Le grandezze misurate in questa sezione sono poi riportate, con Ie usuali formule di
trasporto nelle linee di trasmissione, a una sezione di riferimento opportunamente
scelta, che per defmizione si assume come quella di ingresso dell'antenna. Quest'ultima
e dunque "a vuoto" quando l'impedenza di carico nella sezione di riferimento tende
all'infinito; e "in cortocircuito" quando l'impedenza riportata e nulla. Nelle condi-
zioni intermedie i1 carico e dato dall'impedenza nella sezione di riferimento.
5.2 Parametri di un'antenna in ricezione
Come l'antenna in trasmissione, anche quella in ricezione PUQ essere caratterizzata
diversamente a seconda che interessi (e sia possibile) rilevare tensioni 0 correnti rice-
vute,o non invece potenze trasferite al carico suI Quale l'antenna e chiusa.
Nel primo caso l'antenna viene caratterizzata dalla cosiddetta altezza efficace in
ricezione. Consideriamo ad esempio un'antenna ftllforme (ma quanto segue e valido
in generale) come quella rappresentata nella figura 5.2. Su di essa incida un'onda
piana (0 che possa ritenersi tale nella zona occupata dall'antenna) con i1 campo
elettrico polarizzato linearmente e lungo l'asse del ftlo (vedi fig. 5.2a). Si supponga
I'antenna a vuoto; ai capi del gap si induce una tensione (tensione a vuoto Va) la
quale dipende dal campo totale esistente nel gap. Certamente questa tensione indotta
e proporzionale al campo incidente (quello che si avrebbe se l'antenna fosse rimossa),
data la linearita del sistema. E' pertanto lecito porre
Va =-hrE i ,
[1 ]
dove E i e il valore del fasore del campo elettrico incidente in corrispondenza del gap.
La grandezza h" che ha Ie dimensioni di una lunghezza (m), prende i1 nome di altezza
efficace in ricezione: essa e un fattore di proporzionalita che permette di passare dal
campo elettrico incidente alla tensione indotta ai terminali dell'antenna quando
questa e a vuoto.
La defmizione precedente si pub estendere al caso piu generale in cui it campo inci-
dente abbia una polarizzazione arbitraria (vedi fig. 5.2b). In questo caso PUQ supporsi
(com'e giustificato nel  5.3) che l'altezza efficace sia un vettore, h r , in generale fun-
zione degli angoli 8 e iP (per l'antenna della fig. 5.2b, la dipendenza e solo con 8),
perche non e detto che campi incidenti da diverse direzioni inducano la stessa ten-
sione a vuoto ai morsetti dell'antenna. Per definizione  dunque
Va =h r (8, iP). E"
[2]
dove, ancora, E i e i1 valore del fasore del campo elettrico incidente in corrispondenza

5.2 I ParQmetri di un 'antenna
ZL
,
(a)
Figura 5.2
Antenna ricevente eccitata da un 'onda piana.
307
t z
.
,...
(b)
del gap. La J2] contiene come caso particolare la [1] quando E i e parallelo all'an-
tenna. 1
La conoscenza dell'altezza efficace in ricezione permette n calcolo della tensione
che viene indotta ai capi dell'impedenza ZL quando l'antenna e caricata. Con riferi-
mento alla figura 5.3, si vuol determinare i1 circuito equivalente dell' antenna in rice-
zione. Siano A, A' i morsetti di ingresso (veri 0 equivalenti; vedi 5.1.1.). Ai fini del
calcolo dei fasori di tensioni e correnti suI carico Z L, l'antenna pub essere rappre-
sentata mediante un generatore ideale di tensione, in serie con la sua impedenza
interna (schema di Th6venin). 11 generatore ideale e caratterizzato da una tensione
Va' che e quella che si misura ai morsetti A, A' quando ZL -+00: per defmizione, la
tensione Va coincide dunque con la [2]. L'impedenza interna, Z;, e quella di ingresso
ai morsetti A, A I verso sinistra, quando i1 generatore sia cortocircuitato. Questo
implica cortocircuitare Ie sorgenti che producono il campo elettromagnetico inci-
dente sull'antenna. L'impedenza Zi coincide allora con quella di ingresso dell'antenna,
e la tensione ai capi del carico e data da
ZL ZL
V L = V a = Et- h ,.
. ZL +Zi ZL +Zi
1 Per 8 = Tr/2, h, = -h,i z per rantenna considerata.
[3]

308
Ricezione I Cop. 5
A
I
I
z,
ZL
v.,
ZL
I
A'
-
A'
Figura 5.3
Circuito equivalente di untantenna in ricezione.
In conclusione, il parametro "altezza efficace" e particolarmente adatto per an-
tenne che, come queUe filiformi, 80no provviste di morsetti di alimentazione. In ogni
caso, come si e visto in 5.1.1, e anche possibile definire morsetti equivalenti riferen-
dosi alla linea, 0 al sistema di alimentazione, che necessariamente connette l'antenna
at carico.
L'antenna in ricezione PUQ essere caratterizzata da un altro parametro che non
necessita di morsetti di alimentazione: l'''area efficace", che ora viene definita.
Consideriamo un' antenna adattata per il massimo trasferirnento di potenza al ca-
rico. Questa condizione non richiede necessariamente la presenza di morsetti di ali-
mentazione in cui poter definire univocamente una tensione. Tuttavia, se questi mor-
setti possono essere considerati (come nel caso delle antenne flliformi), aHora la con-
dizione di adattamento in potenza richiede che l'impedenza di carico sia la complessa
coniugata di quella di ingresso (vedi 4.2.5):
R L + jX L = ZL = Z{ = Ri-jX i .
[4]
Supponiamo che sull'antenna incida un'onda elettromagnetica piana (0 localmente
piana); ad essa e associato un vettore di Poynting S e quindi una densita di potenza
S =! IE;12
2 r .
[5]
SuI carico (adattato) si dissipa una potenza reale PM. L'area efficace A e il fattore

5.2 I Porametri di un'ontenno
309
di proporzionalita (misurato in m 2 ) tra la potenza consegnata al carico, in condizioni
di adattamento di potenza, e la densita di potenza [5]:
PM =SA.
[6]
L'area efficace e una grandezza (reale) che dipende, in generale, dalla direzione di
ricezione: A = A (8, l/». Ovviamente, tale grandezza non e indipendente dall'altezza
efficace. Infatti, in condizioni di adattamento
1 1 E i · h r 1 2 1 1 E i · h r 1 2
PM ="2 IZ{+ Zjl2 R j = "2 4R j
dove R i e la resistenza di ingresso dell'antenna (uguale a quella del carico, per la sup-
posta condizione di adattamento in potenza). Dall'uguaglianza
1 E h 1 2 IE, . 1 2
1 ;e r =1. A
2 4R; 2 
segue
,. 1 E · h 1 2 1- 1 E; · h r 12
A=2- i r =2-lh 12
4R; IE;12 4R; r IE;12 Ih r l 2
[7]
che e la relazione cercata. La quantita
. 1 E; · h r 1 2
x= IEjl21h r l 2
[8]
prende il nome di fattore di depolarizzazione; essa e massima (e pari a uno) quando
E; e parallelo al coniugato di h r (vedi 5.2.8). In queste condizioni si ha
t"
A= 4R. Ih r l 2 .
,
[9]
Con la definizione precedente,A non dipende solo dalle caratteristiche dell' antenna,
ma anche, tramite i1 fattore di depolarizzazione, dalla polarizzazione del campo
incidente (rispetto ad essa). Si preferisce allora ritoccare la definizione di area efficace,
intendendo con questo termine il fattore di proporzionalita tra potenza consegnata al
carico e densita di potenza, in condizioni di adattamento per il carico (Z L = Zf) e per
la polarizzazione (x= 1). Con la nuova definizione, A e data dalla [9], e la potenza
trasferita al carico (adattato) da
Pr=SAX.

310
R;cez;one I Cap. 5
Annotazioni
.5.2.1 Altezza efficace (in ricezione) di un dipolo elementare
Volendo calcolare l'altezza efficace di un dipolo elettrico elementare, pensiamo
anzitutto a una struttura filiforme ricevente lungo la quale la corrente possa ritenersi
spazialmente costante. In linea di principio, un modo per realizzare tale struttura
potrebbe essere quello di collocare all'estremita di un filo corto due piatti metallici
(vedi fig. 5.4). I due piatti funzionano da "serbatoi" per Ie cariche elettriche, e la
corrente pub ritenersi costante lungo il fila. Si noti che in trasmissione Ie correnti
radiali lungo i due piatti sono uguali in ampiezza e opposte in verso, cosicche il
campo da esse prodotto si annulla per 1-+ 0 (dipol0 elementare). In trasmissione,
quindi, l'altezza efficace e pari a 1 sin 8 itJ .
In ricezione, consideriamo un'onda incidente piana can un campo elettrico pola-
rizzato parallelamente al filo. L'antenna e elementa,e se Ie dimensioni (lunghezza
del filo, diametro dei piatti) tendono a zero; in pratica, se sono molto piccole rispetto
alla lunghezza d 'onda. In tal caso e lecito applicare concetti di tipo statico, e ai
capi dei due piatti, isolati perche l'antenna e a vuoto, considerare una differenza
potenziale V. Assumendo D > I, il campo all'interno dei piatti (ma lontano dal filo) e
pari a E i ; di conseguenza la differenza di potenziale indotta e pari a - Ejl. II valore
dell'altezza efficace, per la considerata direzione di incidenza, e quindi pari a 1.
Se il campo elettrico incide in direzione diversa da (J = 1T /2 (vedi fig. 5.5), la diffe-
renza di potenziale indotta e
-I E i · iz = -I E i · (cos (J i r - sin 8 itJ) = E i · 1 sin (J itJ = E i · h"
dove
h, = 1 sin (J itJ.
E,
/
H.
,
I .
I
o
Figura 5.4
Dipolo elementare

5.2 I POTQmetri di un'ontenno
311
Figura 5.S
Dipolo elementare investito da un'onda con polarizzazione arbitraria.
Le due altezze efficaci, in ricezione e in trasmissione, dunque coincidono. Tale
risultato (vedi  5.3.) e del tutto generale e non limitato al dipol0 elementare elettrico.
5.2.2 Altezza efficace (in ricezione) di una spira elementare
Si consideri la spira elementare rappresentata nella figura 5.6, investita da un'onda
piana. Dall'annotazione 4.6.6 risulta che l'altezza efficace della spira in trasmissione e
pari a h = - j (j 1T R 2 sin 8 .
Per calcolare I'altezza efficace in ricezione si noti che, per spira aperta e R  0
(spira elementare), la corrente indotta nella spira e nulla, e pertanto il campo magne-
tico incident non e deformato in modo apprezzabile. Quanto alla tensione indotta ai
capi della spira, il suo valore pub essere calcolato applicando la legge di Neumann-
Lenz:
-Va=-jWIJ, H H j dS=-jWIJ,1TR 2 H j =-j(ltrR 2 Ej.
spira
L'ampiezza (complessa) dell'altezza efficace in ricezione e data, per la direzione
d'incidenza della figura 5.6, da h r =-j(j1rR 2 . Nel caso generale, procedendo come in
5.2.1, si ottiene
Va =jw/JwR 2 Hi · iz =- jW/J 1rR 2 sin.8 Hi · ie =
=- j(j1r R 2 sinO (E i X i,.) · ie =- j(j1r R 2 sinO iq, · E i
h r =-j(j1rR 2 sin8 .

312
Ricezione I Cop. .5
E,
Figura 5.6
Spira elementare di corrente.
5.2.3 Circuito equivalente alternativo per l'antenna in ricezione
Per il calcolo del circuito equivalente dell' antenna in ricezione PUQ applicarsi 10
schema di Norton invece di quello di Thevenin. n generatore ideale dello schema
equivalente (vedi fig. 5.7) e caratterizzato dal fasore della corrente ai morsetti A, A'
chiusi in cortocircuito. Questa corrente, Ice, coincide con quella ai morsetti dell' an-
tenna chiusa in cortocircuito. L'impedenza (parallela) del genera tore e quella che si
misura, sempre ai morsetti A, A', quando il generatore e aperto (quando cioe il
campo incidente e rimosso); essa coincide con l'impedenza di ingresso dell' antenna.
I due schemi, di Th6venin e di Norton, devono fornire gli stessi risuitati suI carico,
e pertanto
Va lee
V L = Zi+ZL ZL= Zi+ZL ZiZL'
E,
ZL
Ice
z,
ZL
H,
,.....
Figura 5.7

5.2 I Porometri di un 'ontenno
313
Ne consegue che
Va =Zi1cc'
[10]
La tensione (indotta) a vuoto ai morsetti dell'antenna uguaglia 1a corrente (indotta)
di cortocircuito, agli stessi morsetti, moltiplicata per l'impedenza di ingresso dell'an-
tenna (sempre agli stessi morsetti).
5.2.4 Condizioni di adattamento
Consideriamo un'antenna chiusa su un carico Z L. La potenza (reale) trasferita al
carico e data da
1 IY a l 2R L
P L ="2 IZj+ZLI 2 ·
Se Zi = R i + j Xi, Z L = R L + j XL, al variare della sola XL la potenza raggiunge un
Massimo per XL =- Xi, e vale
1 IY a l 2 R L
PL ="2 (R j + R L )2 .
AI variare di RL la potenza diventa massima per
dP L
dRL
IV a l 2 (R;+R L )2_2R L (R i +RL)
4 , = 0,
2 (R/+R L )
cioe per R L =R i .
La precedente condizione e detta di adattamento per il massimo trasferimento
di potenza: non e detto perb che essa sia sempre una condizione ottimale. La tensio-
ne suI carico e data (per x= 1, ma non necessariamente in condizioni di adattamento)
da
Eih r
VL = ZLo
Zi + Z L
Se i1 segnale incidente e caratterizzato da una banda di frequenze, E i =Ei(w), il se-
gnale in uscia, V L = V L (w), su bisce una distorsione lineare a meno che 1a funzione
di trasferimento,
hZ
W(w) = r L ,
Zi + ZL ..
sia tale che il segnale sia solo scala to in ampiezza ed eventualmente ritardato ne1
tempo. Perche i1 segnale non sia distorto, dev'essere quindi
W(w)=h o exp(-jwT),
dove ho e T sono costanti. Non vi e distorsione se, nella banda di interesse, h r PUQ
ritenersi indipendente dalla frequenza e, nella stessa banda,
Zi(W)=ZL(W)
La condizione [11] e detta di adattamento per uni[ormita.
[11 ]

314
Ricezione I Cop. 5
I due tipi di adattamento considerati coincidono se ZL = RL, e cioe se il carico e
resistivo, come usualmente accade. Infatti l'antenna e generalmente chiusa su una
linea di trasmissione, e ZL e l'impedenza di ingresso della linea. Ma questa deve essere
adattata a valle, e Ia sua impedenza di ingresso coincide con la sua resistenza caratteri-
stica: si ha ZL =Ro.
Condizioni ancora differenti si ottengono se si vuol massimizzare i1 rapporto tra la
potenza del segnale, misurata in un certo istante T, e la potenza del rumore. Nel
dominio del tempo la tensione del segnale ai capi della resistenza di carico e data,
all'istante T, da
1 + J - -
vR(T)= 21l' E;(w) W(w) exp(jwT) dw,
--
- hr(w)
W ( w ) = R
Z;(w)+R o o.
La potenza suI carico e proporzionale, nello stesso istante, all'espressione
+ 2 +- +
J Ei(w) W (w)exp(jwT) dw .s;;; J I W (w)1 2 dW..J I E i(W)1 2 dw,
- ---
dove si e utilizzata la disuguaglianza di Schwartz. La relazione precedente si trasfor-
ma in una uguaglianza se
W (w)=KE{(w) exp( -jwT),
[ 12]
dove K e un fattore (reale, costante con w) di proporzionalita.
Se al campo elettrico incidente e associato anche un rumore con spettro di po-
tenza costante in w (rumore bianco), Ia potenza di rumore suI carico e data da
+
 J I W(w)1 2 dw;
-
N e la densita spettrale della potenza di rumore, e il fa ttore 1/2 tiene conto del
fatto che l'integrale e calcolato tra - 00 e + 00, mentre la potenza di rumore e usual-
mente considerata per i soli valori positivi di w. Pertanto, il rapporto segnale/rumore
F, all'istante T, e dato da
+CID
2 J IE i (w)1 2 dw
-
F<:
N
Questo rapporto e rnassimo e dipende solo dall'energia associata al segnale, e
non dalla sua forma, se la funzione di trasferimento W ( w) e data dalla [12]. Un
sistema che goda di questa proprieta prende il nome di filtro adattato, nel senso che
esso e dimensionato al particolare segnale in ingresso. Per un filtro adattato risulta
+ +00
;11' J W (w) exp(jwt) dw= :11' J E i ( -w) exp[jw(t- T)] dw =
-
_00
=Ke;(T-t),

5.2 I Parametri di un'antenna
315
cosicche I 'uscita
+00
vR(t)=K J ei(T)ei(T-t+T)dT
_00
coincide (a parte la costante K) con Ia convoluzione del segnale di ingresso can la
replica di se stesso, invertita (nel tempo) e traslata di T.
5.2.5 Relazione tra potenza diffratta e potenza assorbita da un'antenna
Sia data un 'antenna in ricezione a circuito aperto, ai cui terminali si induce una
tensione Va; lungo I'antenna si stabilisce una distribuzione di corrente Ia(z), cui e .
associato un campo elettromagnetico reirradiato Ea (r, (J, ), Ha (r, 8, ). Tale campo e
in generale diverse da quello irradiato dalla stessa antenna usata in trasmissione. Infatti
nel gap la corrente Ia(z) dev'essere nulla, condizione questa non necessariamente
verificata dalla corrente associata all'antenna in trasmissione.
Se ora l'antenna viene chiusa suI carico Z L, ai suoi morsetti si stabilisce Ia tensione
ZL
Y;=VL=V a Zi+ZL '
come si deduce immediatamente da110 schema equivalente dell'antenna in ricezione
. (vedi fig. 5.3); lunge l'antenna si stabilisce inoltre una distribuzione di corrente l r (z),
cui e associato un campo reirradiato Er(r, (J , ), Hy{r, (), ).
Consideriamo ora la sovrapposizione delle correnti
l(z) = la(z) -ly(z),
[ 13]
cui corrisponde la tensione suI gap
ZL
Y(Q) = V - V
a a Zi+ZL
Z.
I
Ya'
Zi + ZL
[14]
I campi (Ea, Ba) e (Er, By) soddisfano a identiche condizioni non omogenee suI
contomo dell'antenna: la componente tangenziale del campo elettrico deve annullare
quella del campo incidente. Di conseguenza, il campo associato alIa corrente l(z)
deve avere componente tangenziale nulla sulla superficie dell'antenna. Tale condi-
zione e tipica di un'antenna in trasmissione; per l'unicita della soluzione, questo
campo coincIde con quello irradiato da un 'antenna eccitata dalla tensione [14] appli-
cata agli estremi del gap, 0 anche con corrente di ingresso
V
1(0)= a .
Zi + ZL
II campo elettrico diffratto dall'antenna caricata e quindi dato, per la [13], da
Va Zi
Ea (r, (J, tfJ) - Zi + ZL E(r, 8, tfJ) = Ea(r, (J, tfJ) - Zi + Z L Ie E(r, (J, tfJ),
dove si e sfruttata la [10] ed E(r, 8,) e il campo elettrico irradiato dall'antenna con
corrente di alimentazione in ingresso unitaria.
In generale, dunque., potenze assorbite e diffratte da un'antenna non sono uguali.

316
Ricezione I Cap. 5
Consideriamo tuttavia la classe di antenne dette a minima diffrazione. (minimum scat-
tering antennas), caratterizzate dall'essere invisibili a un campo e1ettromagnetico inci-
dente, cioe non reirradianti, quando sono aperte (vedi  4.7). Una tale antenna e ad
esempio i1 dipol0 elernentare (vedi 5.2.1 e 5.2.2), dal momento che la corrente
Ia (z) e nulla. Per un 'antenna a minima diffrazione, Ea = 0, e la potenza totale reirra-
diata e
1 IV a l 2 R i
2 Ri = R L PL,
IZi + Z L 1 2
dove P L e la potenza consegnata al carico. Se R i =RL, potenza reirradiata e potenza
trasmessa al carico sono uguali.
*5.2.6 Area efficace di un dipolo elementare elettrico
Sia dato un dipolo elettrico e1ementare, di lunghezza 1, su cui incide un campo
elettrico polarizzato linearmente e parallelamente al dipolo stesso. Per la direzione di
incidenza considerata, I'area efficace, tenuto conto dei risultati di 4.6.13 e suppo-
nendo R irr = Ri, s scrive
r 3?
A=_Z2=-.
4Ri 8w
Apparentemente il risultato e assurdo poiche, risultando l'area efficace del dipolo
elementare inversamente proporzionale alIa frequenza, all'abbassarsi di questa la
potenza trasferita al carico aumenterebbe indefinitamente.
11 paradosso si spiega notando che nella definizione di area efficace e implicita la
condizione di adattamento. Ora, un dipolo elementare presenta una reattanza di
ingresso capacitiva che aumenta (in valore asso1uto) al decrescere della frequenza.
Per adattare il dipolo e necessario porre in serie ad esso un 'indu ttanza proporzionale
al quadrato della lunghezza d'onda di lavoro. Tale induttanza ha necessariamente
una resistenza serie, anch 'essa proporzionale a1 quadrato di A. La resistenza di ingresso
del dipolo decresce invece con il quadrato della lunghezza d'onda. La condizione di
adattamento e pertanto puramente teorica, e in pratica non pub essere realizzata,
perche la resistenza serle dell'induttanza risulta molto maggiore di quella di radia-
zione (vedi anche 5.3.3, ove si tiene in conto la resistenza ohmica del dipolo).
S .2.7 Area efficace di un dipolo elementare magnetico (esercizio)
In modo analogo a quanto si e fatto per il dipolo elettrico (vedi 4.6.13), si dimo-
stri che la resistenza di radiazione di un piccolo avvolgimento composto da N spire di
raggio R e data da
( Nf31TR2 ) 2
R irr = 7T t A = ; t(N(fJ. R2)2 I
e si calcoli l'area efficace seguendo 1a via indicata in 5.2.6. Si dimostri a1tres! che in con-
dizioni. di ada ttamen to di polarizzazione l' area efficace vale A = 3 A 2 / 8n, valore che pub
diventare molto grande alle basse frequenze. Anche in questo caso Ie perdite nel
condensatore necessario per l'adattamento impediscono che la condizione di massimo
trasferimento di potenza sia possibile per valori elevati della lunghezza d'onda della

5.3 I Antenno in trosmissione e in ricezione
317
radiazione incidente (vedi anche l'annotazione 5.3.4, in cui si tengono in conto Ie
perdite della spira).
*5.2.8 Potenza trasferita a un'antenna non adattata
La potenza (reale) trasferita suI carico di un'antenna non adattata (in carico e
polarizzazione) e data da
P L =SAX,
dove X e i1 fa ttore di depolarizzazione [8],
IE; · h r l 2
x= IE;12 Ih r l 2 '
e  e il fattore di disada ttam en to :
4R;RL
= IZj+ZLI 2 ·
[ 15]
La presenza del primo fattore e stata giustificata nel paragrafo 5.2; il secondo si
deduce immediatamente considerando il circuito equivalente della figura 5.3.
Sia  sia X sono non superiori all'unita. Com'e facile dedurre dalla [15], il fattore
di disadattamento raggiunge il valore Massimo  = 1 per Zi = Z! (adattamento del
carico). A sua volta, il fattore di depolarizzazione raggiunge il val ore Massimo X= 1
quando E; e parallelo al coniugato di h r (adattamento di polarizzazione). Infatti,
posta
E - E ' + . E ll - h * - h '-' h "
; - ; J i - Q r - Q r J(1 r,
si ha
x=
I(h;. h+ h; · h;) + j(h · h; -h; · h)12
= 1.
Ih r l 2 Ih r l 2
5.3 Relazione tra i parametri di un'antenna in trasmissione e in ricezione
E' del tutto lecito supporre che Ie proprieta di un'antenna utiIizzata come mezzo
trasmittente siano in qualche modo collegate a queUe della stessa antenna u tilizzata
come mezzo ricevente. Si pub ricercare una conferma a questa supposizione me-
diante il teorema di reciprocita.
Consideriamo Ie due antenne della figura 5.8, alimentate dai generatori mediante
linee di trasmissione. Nella figura, per fissare Ie idee, Ie antenne sono filiformi e Ie
linee di trasmissione bifilari, ma in realta Ia configurazione pub essere molto piu ge-
nerale; in questo caso Ie linee di trasmissione si intendono equivalenti (vedi _ 3.3), e
Ie sezioni di riferimento, S 1 e 8 2 , dislocate in posizione tale che, in esse, sia presente
un solo modo di trasmissione (vedi  3.3). Inoltre, trasmettitori e linee di trasmis-
sione si suppongono schermati sino aIle sezioni 8 1 , 8 2 .

318
Ricez;one I Cap. 5
...
.
8 2 r---,
I I
r, _I e
}
+- 7- -,
-
i l' I I
L___.J
Schermo
1----
I 8 1
I. 1 
e __.L J
- --'T 
I I  
1___-1 i l'
Schermo
r
Antenna 1
Antenna 2
Figura 5.8
Per antenne, linee di trasmissione (per la parte non schermata) e schermi perfet-
tamente conduttivi i1 teorema di reciprocita fornisce la seguente relazione:
Jf (E2XHd o i z dS= II (EIXH2)oi z dS;
8 1 +8 2 8 2 +8 1
[1 ]
dove (EI' HI) e (E 2 , 8 2 ) sono i campi trasversali prodotti rispettivamente dall'an-
tenna 1 e dall'antenna 2.
Ora
E 2 = V 21 e 1 , HI X i z = /1 hI X i z = / 1 e I
su S 1 ,-
e
i z X E 2 = V 2 i z X e2 = V 2 h 2 , HI =/12h2
su S 2 
e 1 e hI sono Ie funzioni vettoriali modali relative all'unico modo esistente sulle due
linee (vere 0 equivalenti); V 2 e /1 sono Ie funzioni scalari modali (tensione' e cor-
rente nel caso di linea di trasmissione 0 cavo coassiale), rispettivamente nelle sezioni
S2 e S I , relative ai campi delle antenne nella loro funzione di trasmittenti; V 21 , /12,
Ie analoghe funzioni scalari modali relative ai campi delle antenne nella loro funzione
riceven te.

5.3 I Antenna /n trasm/ss/one e in r/cezione
319
Sostituendo i valori precedenti nel primo integrale che appare nella [1] si ha
H E 2 X HI · izdS=- V 21 I 1 J J el' el dS=- V 21 I 1
8 1 
J S E 2 ' X HI · i z dS=- V 2 1 12 S S e2' e2 dS=- V 2 1 12 .
8 2 8 2
Infatti nel caso di linee di trasmissione e schermi perfettamente conduttori Ie fun-
zioni e 1 ed e2 possono essere scelte reali, talche
H e'edS= II e'e*dS=l
8 8
in base alla normalizzazione [6] ( 3.3).2
In modo perfettamente analogo si calcola il secondo integrale che appare nella [1].
In defmitiva, la [1 ] e equivalente alIa relazione
V 21 / 1 + V 2 1 12 = V 12 / 2 + V t / 21 .
[2]
Basta ora scegliere Ie sezioni S 1 e 8 2 in modo che esse siano queUe equivalenti di
ingresso delle antenne (vedi 5.1.1), e la lunghezza delle linee di alimentazione in
modo che, a generatori spenti,3 Ie impedenze di ingresso nel verso -jz siano infinite,4
cosicche
/ 12 =1 21 =0.
Si ottiene allora
V 21 1 1 = V 12 1 2 ,
[3]
dove ora, per definizione, V 21 e la tensione a vuoto indotta dell'antenna 2 sulla 1,
V 12 e la tensione a vuoto indotta dall'antenna 1 sulla 2, lie 1 2 sono Ie correnti di
alimentazione rispettivamente delle antenne 1 e 2. Se Ie antenne sbno I'una nel
campo radiativo dell 'altra, si ha
V 21 =E 2 · h 1r =K1 2 h 2 · h 1r
V 12 =E 1 · h 2r =K1 1 h 1 · h 2r ,
e quindi, in base alIa [3],
h 2 · h 1r =h 1 · h 2r .
[4]
2 Si PUQ supporre che Ie autofunzioni e, h siano reali anche se i conduttori sono buoni, ma
non perfetti (linee con piccole perdite). In questo caso 1a relazione [1] e anch 'essa valida, perche
campi elettrici e magnetici tangenti ai conduttori sono legati da una relazione di impedenza
(condizione di Leontovic; vedi 3.3.9).
3 Aperti se generatori di tensione, cortocircuitati se di corrente.
4 Per questo si richiede che i tratti della linea di trasmissione, dalle sezioni S 1 , S 2 sino ai gene-
ratori, siano senza perdite.

320
Ricezione I Cap. 5
L.a [4 J e valida per due antenne arbitrarie. Considerando ora come antenna 2 un
dipolo elettrico elementare di lunghezza 1, orientato secondo l'asse z (in un sistema di
coordinate sferiche) si ha subito
hi · i81 sin8 =i 8 · hlrl sine.
Analogamente, scegliendo come antenna 2 un dipolo magnetico,
hi · i<l> =icp · hlr.
L'altezza efficace in trasmissione ha componente nulla secondo r; nulla pub anche
ritenersi la componente omonima dell'altezza efficace in ricezione, in quanto essa
non da contributo alla tensione indotta a vuoto (il campo incidente lungo r non ha .
mai componente secondo questa direzione). In defmitiva
hi =h lr ,
[5]
cioe altezze efficaci in trasmissione e in ricezione coincidono, per la stessa antenna.
La relazione [5] e molto importante e permette di stabilire la connessione tra gli
altri parametri che descrivono l'antenna in trasmissione e quelli che ne caratteriz-
zano il comportamento in ricezione. In particolare (vedi 5.3.1), se l'antenna e per-
fettamente conduttrice, diagramma di diret tivita e area efficace sono legate dalla
relazione
D(8, </» =
2 .
A(8,CP) A
[6]
Per antenne perfettamente conduttrici, quindi, il rapporto tra direttivita e area
efficace e una costante che non dipende dal tipo di antenna considerata, ma solo
dalla frequenza.
Se invece l'antenna non e perfettamente conduttrice nella [6] alIa direttivita va
sostituito it guadagno (vedi 5.3.2):
Q. = 41T
A A 2 '
[7]
Annotazioni
*5.3.1 Relazione tra diagramma di direttivita e area efficace
Si consideri un'antenna perfettamente conduttrice (con la sua linea di alimenta-
zione), caratterizzata da un diagramma di direttivita D(8, (/J) e da un'area efficace
A (8, </». Dalla relazione [10] (g 4.6) si ricava
1ft
D= Ih1 2 ,
R;A 2
e dalla [9] ( 5.2), tenuto conto che x= 1 (adattamento di polarizzazione),
-  2
A- 4R. 1hl,
I

5.3 I Antenno in trosmissione e in ricezione
321
dove non si e piil fatta distinzione tra altezze efficaci in trasmissione e in ricezione,
data la loro coincidenza. Pertanto
D 411'
---
A "A?'
* 5.3.2 Relazione tra guadagno e area efficace
Siano date due antenne, per semplicita filiformi, parallele, e orientate in modo che
il Massimo di radiazione dell'una coincida con la direzione del massimo di ricezione
dell'altra (vedi fig. 5.9). Le due antenne siano inoltre l'una nel campo radiativo dell'8;l-
tra, e ada ttate in guisa che
Zt =Zi, Z2 =Zi2'
essendo Zi1, Zi2 Ie rispettive impedenze di ingresso. In un primo tempo (vedi fig.
5.9a) l'antenna 1 funziona come trasmittente e l'antenna 2 come ricevente; successi-
vamente i lore ruoli si scambiano. Nel primo modo di funzionamento, la potenza
ricevuta dall'antenna 2 e data da
P T1 G 1 A 2
P R2 = 4 2 '
1fT
come facilmente si desume dalle definizioni di guadagno e di area efficace (vedi anche
 5.4); la P T1 e la potenza (reale) trasmessa dall'antenna 1, e si e usato il guadagno
G 1 (invece della direttivita) per tener conto di eventuali perdite sull'antenna 1.
Analogamente, quando i ruoli di trasmittente e ricevente sono invertiti, si ha
PT2 G 2 A t
P R 1 = .
411' ,2
di conseguenza
G J G 2 PT2 P T2
---
At A 2 P R1 P T1 '
[8]
Ma
I IE 12 h 21 2
PR2 =- 2
4R 2
1 2
P T2 = "2 R 2 11 2 1 ,
1 IE 21 h l 1 2
P R t = "2 4R I '
_ 1 I 1 2
P Tt -"2Rt II ,
dove hi, h 2 sono Ie altezze efficaci (uguali in trasmissione e ricezione) delle due
antenne; R I, R 2 sono Ie resistenze di carico, uguali a quelle di ingresso, dato l'adatta-
mento; 1 1 ,1 2 , Ie correnti di ingresso in trasmissione, e E 12, E 2t i campi imperturbati.
Ne consegue
P R2 P T2 E I2 h 2 I 2 2 h l l l h 2 / 2 2
- - = 1.
P Rt P T1 E 21 h 1 I 1 h 2 I 2 h 1 / 1
II rapporto [8] tra guadagno e area efficace e quindi una costante che non dipende
dal particolare tipo di antenna considerata. Tale rapporto PUQ essere conveniente-
21

322
Ricezione I Cop. 5
Z,
V 1
Z2
,
(a)
Z2
Z1
V 2
r
(b)
Antenna 1
Antenna 2
Figura 5.9
Applicazione del teorema di reciprocita a due antenne filiformi parallele.
mente calcolato, una volta per tutte, per una sola antenna. Per it dipolo elettrico
elementare (senza perdite) il calcolo dell'area efficace (vedi 5.2.6) fornisce
1 2
A =  4R i '
e lespressione del guadagno (vedi  4.6, [7] e [11]) diventa
41rr2IEI2/ 1T 1 2
G= =
R i lIl 2 Ri'?

5.3 I Antenna in trosmissione e in ricezione
323
In conclusione
G 41T
---
A "'A?'
Per un 'antenna senza perdite si e trovato che i1 rapporto [6] tra direttivita e area
efficace e una costante che non dipende dal tipo dell'antenna, ma solo dalla frequenza.
Se Ie antenne hanno perdite, la stessa costante esprime il rapporto tra guadagno e
area efficace. A quest'ultimo risultato si e giunti tenendo conto dell'uguaglianza tra
altezze efficaci in trasmissione e in ricezione. Tale uguaglianza e vera per una antenna
arbitraria (non necessariamente filifbrme) e irradiante un campo comunque polariz-
zato. La relazione tra guadagno (0 direttivita) e area efficace e pertanto di valid ita.
completamente generale.
5.3.3 Potenza trasferita at carico di un'antenna corta adattata
Sia data un'antenna corta, di lunghezza 21, adattata. La sua resistenza di ingresso
si pub ritenere uguale alla serie di quella di radiazione (vedi 4.6.13),
21T ( 1 ) 2
Rirr=3 X '
e di quella ohmica di ingresso. Per calcolare quest'ultima si noti che Ia potenza ohmica
dissipata lungo i1 filo e data da
_ I 1 1 11 0 1 2 ( Z ) 2 _ 1 21 11 0 1 2
Pn- 2 J - 2 - 2 1-- 1 dZ-- 2 - 3 2 '
a 'Ira a 1Ta
o
dove a e il raggio del filo (per la corrente si e assun ta una distribuzione triangolare e
si e trascurato l'effetto pelle). Posto
1 2
Pn=2" R nI 1 ol,
Ia resistenza ohmica di ingresso e data da
Rn=! 21 .
o 31Ta 2
L' espressione [7] (g 4.6) diven ta
3
"2
( ) 2 R .
1+-L  
21T I 
Pur essendo Rn/< 1, a frequenza sufficientemente bassa il guadagno comincia a
decrescere; in tal caso,
G=l R irr
2 Rn +R irr
"'A?
A=- G=
411'
3.2
81f
1 +2- (  ) 2
21f 1
Rn

1 
 - - 1 2
4 Rn

324
Ricezione I Cap. 5
e l'area efficace non cresce piu al diminuire della frequenza. Naturalmente, come si e
visto in 5.2.6, resta valida l'osservazione sull'impossibilita pratica di realizzare l'adat-
tamento in potenza.
5.3.4 Potenza trasferita at carico di un piccolo avvolgimento adattato
Consideriamo un piccolo avvolgimen to di raggio R e di sezione del filo 11' a 2 .
Supponendo costante la corrente e trascurabile l'effetto pelle, l'espressione della
resistenza ohmica di ingresso si scrive
1 2NR
Rn=-
a a 2
N essendo il numero di spire; 1a resistenza di radiazione e data in 5.2.7.
A frequenza sufficientemente bassa il guadagno e dato da
G=i R irr !!. 3-(N(J2R2)2
2 Rirr+Rn 4 Rn
e l'areao efficace da
( R ) 2 r
A 11'3 - N 2 11'R2-
. A Rn
poiche R irr <Rn.
L 'area efficace, e di conseguenza 1a potenza trasferita a1 carico adottato, decre-
scono a1 diminuire della frequenza quando vengano realisticamente tenute in conto
Ie perdi te ohmiche lungo 1a spira.
5.3.5 Impedenza mutua tra due antenne corte
Siano date due antenne corte, nella disposizione indicata nella figura 5.1 Oa. L'im-
pedenza mutua Z12 e definita come la tensione presente ai morsetti (aperti) dell'an-
tenna 1 quando l'antenna 2 e eccitata da una corrente di ampiezza unitaria. II campo
e1ettrico prodotto dall'antenna 2 1ungo l'antenna 1 (supposta invisibile) e dato da
/2 1 ( 1 1 )
E 21 =r- 2 2 of- . 3 exp(-j(3z).
1r z Jl3z
Per d> I, risu1ta
/2 12 ( 1 1 )
V 21 =-r 2 2 + 3 exp(--:-j(3d),
1r d j(3d
dove si e an cora utilizzata l'altezza efficace in ricezione (pur non avendosi, a rigore,
condizioni di onda incidente piana). L'impedenza mutua e dunque data da
t ( 12 1 2 )
Z12 =-- 2 2 + 3 exp(-j(3d).
1r d j(3d
In modo analogo, per 1a configurazione indicata nella figura 5.10 b si ottiene
r ( j(31 2 12 1 2 )
Z12=- 4 +2+ 3 exp(-j(3d).
1r d d j{3d

5.3 I Antenna in tl'Qsmissione e in ricezione
325
z
Antenna 1
21 Antenna 1 Antenna 2
I
d 21
x I
I. ..I
21 d
Antenna 2
(a)
(b)
Figura 5.10
5.3.6 Forze meccaniche agenti su un dipolo element are
Consideriamo il dipolo elettrico elementare rappresentato nella figura 5.11; il
dipolo sia fisso, adattato e investito da un'onda piana polarizzata linearmente:
e(z, t)=E o cos(wt-{3z)i x
. Eo
h(z, t)=T cos(wt-(jz)i y .
11 dipole e sede di una corrente indotta
Eol
i(t)= 2R. cas wt,
,
21f ( 1 ) 2
ove R . = - ,. -
, 3) A '
e alle sue estremita compaiono cariche, positive e negative, di valore
f Eol
q(t)= i(t) dt= 2R i w sin wt.
II campo elettrico agisce suIle cariche, producendo nella direzione dell'asse x
due forze uguali e opposte; it campo magnetico agisce invece sulla corrente can forza

326
Ricezione I Cop. 5
x
I
H
z
Figura S.ll
Dipolo elementare investito da un'onda piana.
pari a
ES 1 2 Ilo
f(t)=j(t)llo h (t)Z ix X iy = 2Ri cos 2 wt iz,
il cui valore medio e dato da
(f(t» = S 2A iz ;
c
[9]
nella [9] si sono in trodotti il valor medio del vettore di Poynting,
1 E
S=--
2 t '
e l'area efficace del dipolo,
1 2
A=r 4R. .
I
II dipolo e quindi sottoposto a una spin ta (in tutti i casi pratici molto piccola)
lungo l'asse z. Si noti che 2AS e la potenza media che il dipolo "estrae" dal campo,
consegnandone una meta al carico e reirradiando l'altra meta (vedi 5.2.5).
Se il campo incidente e polarizzato circolarmente,
e(z, t)=Eo(cos wt ix + sin wt iy)
E
h(z, t)= + (cos wt iy -sin wt i x )'
l'unica componente del campo magnetico efficace, ai fini dell'azione meccanica sui
dipolo, e hy, e i1 valor medio della forza di natura magnetica e dato da
S
(f(t» = - A i z ,
c
il valor medio del vettore di Poynting essendo
E
S=T'

5.4 I Collegamento radio
327
Diversamente nel caso della polarizzazione lineare, la componente e y del campo
elettrico agisce ora sulle cariche alia estremita del dipolo, esercitando su esso la
cop pia
E 1 2
c(t)= 2R.w sin 2 wt iz,
,
il cui valor medio e dato da
<c(t) =.i. A i z .
w
II dipolo, quindi, e sottoposto anche a una coppia (Franceschetti e Papas, 1980).
5.4 n conegamento radio
Nella trasmissione di un segnale via radio un problema di capitale importanza e
quello del calcolo della potenza ricevuta da un'antenna quando sia nota la potenza
trasmessa da un'altra antenna. La soluzione a tale problema e data dalla cosiddetta
formula del collegamento, facilmente deducibile dai parametri delle due antenne.
Consideriamo la figura 5.12, dove I'antenna 1 trasmette la potenza Pr e I'antenna
2, ricevente, e adattata in polarizzazione e potenza. Sia G 1 il guadagno dell'antenna
trasmittente nella direzione del collegamento e A 2 l'area efficace dell'antenna rice-
vente nella stessa direzione.
La densita di potenza incidente sull'antenna 2 e data da
P T
s= 2 G 1 ,
41l'r
e la potenza consegnata al carico adattato da
P T
P R = 2 G 1 A 2 .
41fr
Pertanto
P R = G 1 A 2
P T 41l'r 2
= G 1 G 2 ( --L ) 2 -
41l'r
A 1 A 2
'''.2r 2 '
[1 ]
dove i pedici 1 e 2 si riferiscon<:> aIle antenne 1 e 2 rispettivamente.
. Le formule precedenti (formule del collegamento), tu tte equivalenti, si applicano
al caso di antenne poste in uno spazio omogeneo isotropo illimitato senza perdite,
I'una nel campo radiativo dell'altJa, e la ricevente adattata. Le limitazioni r.elative aIle
caratteristiche del mezzo trasmissivo sono molto speso eliminabili. Se Ie antenne
spno vicine al suolo, e questo pub ritenersi perfettamente conduttore nell'ambito

328
Ricezione I Cop. 5
..

ZL = z,*
/1
,
Antenna 1
Antenna 2
Figura 5.12
Collegamento tra due antenne.
delle frequenze adoperate, PUQ applicarsi i1 teorema delle immagini ( 1.6; vedi
anche 4.6.4). Se i1 mezzo e dissipativo, nell'espressione (1] compare un fattore di
attenuazione exp( -aT). Se la polarizzazione dell'onda trasmessa viene modificata (ad
esempio a causa della pioggia nella banda dei gigaherz) se ne pub tener conto introdu-
cendo opportuni fattori di depolarizzazione. Se l'antenna ricevente non e perfetta-
mente adattata, si introducono i fattori di disadattamento e di depolarizzazione (vedi
5.2.8). Tutte Ie cause che tendono a diminuire la potenza ricevuta sono usualmente
conglobate in un fattore di efficienza del collegamento, spesso determinato sperimen-
talmente. Con cia la [1] si trasforma nell'espressione piu generale
P R G I A2
-=1'/ 111.
P T 41Tr 2 '
[2]
In alternativa alIa [1], non e difficile ricavare una formula piil generale, valida
anche se Ie antenne non sono in zona lontana. II sistema delle due antenne pub riguar-
darsi come un quadripolo, i cui morsetti 1 siano quelli di ingresso dell'antenna 1, e i
cui morsetti 2 siano quelli (sempre d'ingresso) dell'antenna 2. Per la linearita del si-
stema, e con ovvio significato per i simboli, si ha
{ VI =ZIII1 +Z12 1 2
V 2 =Z21 I 1 + Z22 1 2.
[3]
In particolare, }'impedenza mutua Z21 si PUQ calcolare come tensione a vuoto ai

5.4 I Collegomento radio
329
morsetti dell'antenna 2 per corrente unitaria di ingresso all 'antenna 1. Se Ie antenne
sono l'una nel campo radiativo dell'altra e sono orientate con Ie altezze efficaci paral-
lele e in modo da ottenere iI massimo di ricezione (come di solito accade nelle appli-
cazioni pratiche), allora
h 1 h 2
Z21 =j exp(-j(3r).
2AT
[4]
E' facile dimostrare che in generale (e non solo quando vale la [4])
ZI2 =Z21 ,
[5]
relazione che esprime, in termini di impedenze mutue, la proprieta di reciprocita del
colle gament 0 .
L'impedenza Z 11 e quella di ingresso (Z I) per l'antenna 1 e pub calcolarsi, se la
distanza tra Ie antenne e sufficiente, come se I'antenna 2 non esistesse. Lo stesso
dicasi per l'impedenza Z22'
Note Ie impedenze del quadripolo, pub calcolarsi la tensione ai morsetti dell'an-
tenna ricevente quando siano assegnate la corrente in ingresso all'antenna trasmit-
tente e I'impedenza di carico dell'antenna ricevente. Sussiste infatti la seguente rela-
zione:
V 2 =Z21 I l +Z2/2 =-Z L I 2 ,
dove il segno "meno" all'ultirno membro indica che si considera positiva la corrente
entrante nel quadripolo. Ne consegue
Z21
-1 2 = Z2 +ZL II,
e quindi
ZL Z 21
V 2 =-Z L I 2 = Z2 +ZL II'
[6]
Se, in particolare, Ie antenne sono I'una nel campo radiativo dell'altra, si ha
. ZL/l h 1 h 2
V 2 =] Z2 +ZL nr exp(-j{3r).
[7]
Annotazioni
5.4.1 Calcolo dena potenza ricevuta da una antenna usando la rappresentazione
quadripolare
Posto che Ie antenne siano l'una nel campo radiativo dell'altra, la potenza (com-
plessa) trasferita a1 carico e data da

330
Ricezione I Cop. 5
1 V ( -I ) * =! Ih 11 2 Ih 2 1 2 r 2 Z L 1 1 2
2 2 2 2 4?r2 I Z 2 +ZLI 2 II ·
Pertanto, la potenza (reale) suI carico e data da
p _ 1 Ih 11 2 Ih 2 1 2 t 2 R L 2
R-"2 4X 2 ,-2 I Z 2 +ZLI 2 11 1 1 ;
1a potenza trasmessa e d'altronde pari a
P _ 1 1 2
T-"2 R 1 1 1 1 ,
e di conseguenza risulta
PR
--
P T
Ih l l 2 Ih 2 1 2 R L r 2
4)?r 2 R 1 I Z 2 +ZLI 2 .
[8]
In condizioni di adattamento, sostituendo Ie espressioni per G e A, si trova la [ 1 ].
*5.4.2 Collegamento tra due antenne in presenza del 8uolo
Siano date due antenne, per semplicita -due dipoli elementari, in presenza di un
suolo perfettamente conduttore, come rappresentato nella figura 5.13. II campo elet-
trico (imperturbato) prodotto dall'antenna 1 sulla 2 e dato da
2.h 1 11
E 12 = j exp( - jl3r),
2Ar
dove l'altezza efficace in trasmissione e raddoppiata per tener con to della presenza
del suolo riflettente. La tensione indotta a vuoto sull'antenna 2 e data da
h 1 h 2 / 1
V 12 =j exp(-jl3r).
Ar
Questa tensione e quella esistente tra il morsetto di ingresso del dipoo e la terra
,
I-
..-,
ZL
v.
Antenna 1
Antenna 2
Figura 5.13

5.4 I Collegomento rodio
331
(massa). La corrente suI carico e data da
V 12
IL= ZL +Z2 '
dove Z 2 e I'impedenza di ingresso (tra il morsetto di ingresso e la terra) dell'antenna
2 in presenza del suolo.
*5.4.3 La formula del radar
II radar (radio detection and ranging) e un'apparecchiatura capace di misurare
distanze (e talvolta velocita) di un oggetto utilizzando emissioni radio. E' opinione
comune che sia stato inventato dagli inglesi durante 1a seconda guerra mondiale; cib
non e del tutto esatto, perche nella stesso periodo apparecchiature simili furono indi-
pendentemente costruite in Germania, e anche in Italia, e utilizzate durante gli ultimi
tempi del conflitto. E' pero vero che i radar inglesi e americani erano superiori per
portata e discriminazione, potendo adoperare frequenze piil elevate generate dal
magnetron, un particolare generatore di microonde.
Con riferimento alla figura 5.14, considtriamo un'antenna trasmittente e, a di-
stanza T da essa, un oggetto capace di diffrangere Ie on de elettromagnetiche incidenti.
La densita di potenza incidente sull'oggetto e data da
PTG T
s=
411' r 2 .
Le caratteristiche di reirradiazione di questo sono descritte dalla sua sezione
radar. 11 corpo reirradia un campo £(7, 8, 4» cui e associata, a grande distanza, una
densita di potenza pari a
1 IE(r,8,4»1 2
2 r
Detta 8(8 1 , t/>1) la densita di energia della radiazione incidente, la sezione radar 0 e
definita dalla seguente relazione
8(81,I)O«(Jl,q,1;8,q,) _1 IE(r-+ oo ,8,q,1 2
--
41Tr 2 2 r
[9]
essa dipende in generale sia dalla duezione del campo incidente sia <:lalla direzione
lungo la quale viene misurato il campo reirradiato (sezione radar bistatica). Se Ie due
direzioni coincidono (e i versi sono opposti) la sezione radar viene detta monostatica.
Dalla relazione [9] segue che la densita di potenza reirradiata sull'antenna trasmit-
ten te dal corpo diffrangen te e data da
, PrGT
8 = (411',-2)2 0,
ove 0 e la sezione radar monostatica nella direzione di incidenza.
A grande distanza, la potenza captata dall'antenna, che funziona anche come rice-
vente (e questo in generale il caso del radar) e data da
PrGTAR
PR = (411'r2)2 G.
[10]

332
Ricez;one I Cap. 5
-
T)(
,
..
..
Figura 5.14
La [10] e la desiderata equazione del radar (si e implicitamente ammesso che non vi
siano perdite di polarizzazione). Come si vede, la potenza ricevu ta decresce con la
quarta potenza della distanza. La misura di quest'ultima viene effettuata trasmet-
tendo un impulso elettromagnetico e misurando il tempo di arrivo dell'impulso
diffratto dall'oggetto. n tempo che intercorre tra i due impulsi, diviso per la velocita
della luce, fomisce il doppio della distanza tra antenna e oggetto.
5.5 Temperatura di rumore di un'antenna
L'intensita minima di segnale che pub essere rivelata da un'antenna dipende dal
rumore che e associato ad ogni apparecchiatura ricevente. In parte esso si genera nel
ricevitore stesso collegato all 'antenna, in parte e inerente al segnale trasmesso, in
quanto prodotto nel trasmettitore, in parte e ricevuto dall'antenna direttamente
dall'ambiente circostante. E' di quest'ultimo tipo di rumore che ci si occupa in
questo paragrafo. In pratica si considera il rumore prodotto dall'uomo (ad esempio,
quello generato dalla scarica delle candele nei motori della automobili), e it rumore
termico prodotto dai corpi (la Terra, il cielo, il Sole ecc.) in presenza dell'antenna.
A questo rumore va poi aggiunto quello eventualmente generato dalla stessa antenna
e dalla linea di trasmissione che connette antenna e carico.
Consideriamo, con riferimento alIa figura 5.15, un 'antenna chiusa su un carico
puramente resistivo, e (in via provvisoria) l)interazione tra l'antenna stessa e un pic-
colo corpo nero presente nella spazio (la restante parte dello spazio viene supposta
momentaneamente incapace sia di irradiare, sia di ricevere). Nella figura I'antenna e
flliforme, ma Ie considerazioni seguenti valgano per qualsiasi tipo di antenna.
In accordo alla legge di Planck che, nel caso delle radiofrequenze che qui si consi-
derano, prende la forma approssimata di Rayleigh-Jeans (vedi 5.5.1), il corpo nero
e caratterizzato da una brillanza B (misurata in W 1m 2 · sr · Hz)
B=2KTI"A 2 ,
dove K=I,380 x 10- 23 . J/oK e la costante di Boltzmann e Tla temperatura assoluta

5.5 I Temperatura di rum ore
333
dS
R L
Figura 5.15
Antenna in presenza di un corpo nero.
in gradi Kelvin. La brillanza e la potenza irradiata dall'unita di superficie del corpo
per unita di banda e nell'angolo solido unitario. Un corpo nero di superficie dS
irradia in un angola solido unitario, nella banda f, la potenza totale
dS
BdSl1f=2KT ? f,
dove  e la lunghezza d'onda al centro della banda (molto piccola) f. Ana distanza,
(vedi fig. 5.15) la densita di potenza irradia ta, sempre nella banda 1::1[, e data da
2KT dS l::1[l.
"A? ,2
[1 ]
La potenza ricevuta dall'antenna e consegnata al carico R L e data da
 ? ] 1 [ 6.f dS ]
dP L = D(8 ip) - - 2KT- - =
, 41T 2 2,2
D ( 8 ;k ) dn
=KTl1f : .
[2]
Nella [2] il primo termine in parentesi quadra e l'area efficace dell'antenna (sup-

334
R;cez;one I Cap. 5
posta senza perdite) rispetto alIa direzione (0, l/J); il fattore 1/2 e stato incluso per
tener conto del fatto che I'antenna e in generale sensibile a una sola delle due polariz-
zazioni in cui il segnale di rum ore incidente puo venir scomposto (vedi cap. 6); esso
viene omesso se l'antenna riceve indifferentemente entrambe Ie polarizzazioni; il
fattore  tien conto dell'eventuale disadattamento tra carico e antenna (vedi 5.2.8) e
vale in questo caso
4R L R i
= IRL +Z;l2 '
dove Zi e l'impedenza d'ingresso dell'antenna riportata ai morsetti del carico. Si noti
che dSjr 2 =dQ e proprio l'angolo solido sotto it Quale l'antenna vede il corpo nero
(vedi fig. 5.15).
Se it corpo nero non e perfetto, irradia solo una frazione a della densita di potenza
[1]; corrispondentemente, la potenza ricevuta dal resist ore R L e data da
dO
dP L = KT ilf D(O, l/J)a 4n .
Considerando tutti gli altri corpi neri presenti nello spazio che circonda l'antenna,
la potenza totale ricevuta dal resistore pub calcolarsi come somma delle potenze ele-
mentari. Infatti, trattandosi di rumore, e quindi di sorgenti tra lara incoerenti, vale
la regola della sovrapposizione delle potenze. La potenza totale ricevuta dalI'antenna
e trasrnessa al resistore R L nella banda ilf e quindi data da
Kilt J .
P R =  41T a(O, 4» D(8, l/J) T(8, l/» dQ
41T
[3]
dove si e supposto che, nelle varie direzioni dello spazio, l'antenna possa vedere corpi
con diverse emissivita (X e temperature T.
Alla potenza [3] ricevuta dal resistore R L , per effetto dell'irradiazione dell'ambiente
esterno sull'antenna, va aggiunta la potenza di rurnore prodotta dalla stessa antenna
e dalla linea di trasmissione, se queste non sono perfettamente conduttrici. In condi-
zioni di equilibrio termodinamico, i1 resistore restituisce tutta la potenza [3] fornita-
gli dall'antenna.
E' conveniente attribuire formalmente la potenza di rurnore [3] alla resistenza di
radiazione dell 'antenna, ponendo
P R =KTR /).f.
[4]
Risolvend la [4] per 1 'incognita T R , si ha
T R =--L f a(8, q,) D(8, q,) T(8, q,) dD..
41l' 41T
[5]
La grandezza T R prende il nome di temperatura di rumore dell'antenna. Essa e

5.5 I Temperatura di rumore
335
quella temperatura equivalente che, attribuita alIa resistenza di radiazione dell'an-
tenna, fa S1 che questa produca 10 stesso rumore che I'antenna reale trasmette al ca-
rico. Generalmente si incrementa il secondo membro della [5] con l'eventuale potenza
di rumore prodotta dall'antenna stessa e dalla linea di trasmissione che connette l'an-
tenna col carico; la temperatura di rurnore dell'antenna viene a tener conto anche di
questo rurnore aggiuntivo.
Se ci si riferisce a110 schema equivalente della figura 5.3, Ia tensione quadratica
media di rumore dovuta al rumore che l'antenna riceve dallo spazio circostante risuita
v;' =4R i K T R !::"f.
[6]
La [5] mostra come sia importante, ai fini della riduzione della temperatura di
rumore, mantenere i1 piil possibile basse Ie perdite sull'antenna e sulla linea di tra-
smissione che collega antenna e carico, e mantenere bassi i lobi di radiazione nelle
direzioni in cui la temperatura dell'ambiente (generalmente il suolo) e elevata.
Annotazioni
5.S.1 Formula per l'irradiazione del corpo nero nel campo della radiofrequenze
La brillanza del corpo nero e data daUa formula di Planck
B = 2h cO.? ,
exp(hc{KT"A)-1
[7]
dove h e la costante di Planck. Se h elK TA  I, 10 sviluppo in serie della [7] fornisce 1a
formula di Rayleigh-Jeans. La condizione precedente equivale a porre hfKT. La
formula di Rayleigh-Jeans e dunque valida, quantisticamente, se l'energia del fotone e
piccola rispetto a KT.
5.5.2 Temperatura di rumore di un'antenna in uno spazio assorbente
a temperatura costante
La fonnula [5] foroisee, per a= 1,
TR = J7r J D(8, tfJ) d11=T
411'
perche dalla definizione di direttivita (vedi  4.6, equazione [5]) risulta che l'inte-
grale vale 41r.
S.S.3 Temperatura del cielo, del Sole e della Terra
La Terra e generalmente alIa temperatura ambiente (T 300 oK). La temperatura
del Sole (dal punta di vista del rumore generato in corrispondenza della superficie
terrestre) pub essere approssimata dalla seguente formula (Hogg e Mumford, 1960):
-L = 675
290 f

336
Ricezione I Cap. 5
dove f e la frequenza in gigahertz (Ia formula e valida tra i 250 MHz e i 35 GHz). La
temperatura del cielo e molto v aria bile ed e abbastanza bassa tra i 10 e i 100 GHz. In
questa banda, tuttavia, essendo elevato l'assorbimento atmosferico, la maggior parte
del rumore d'antenna e prodotto dall'atmosfera, e la temperatura di rumore dell'an-
tenna e approssimativamente uguale a quella ambiente.
5.6 RiepiIogo
In questo capitolo sono state considerate Ie proprieta dell'antenna legate alla rice-
zione. A caratterizzare l'antenna sono essenzialmente due parametri: l'altezza effi-
cace e l' area efficace. La prima (h) e una grandezza che permette di passare dal
campo incidente (non perturbato) alIa tensione (a vuoto) ai morsetti dell'antenna:
V=h · E i ;
per il teorema di reciprocita, essa coincide con l'aItezza efficace in trasmissione.
La seconda (A) e il fattore di proporzionalita fra la potenza (reale) consegnata al
carico, adattato per it massimo trasferimento di potenza, e la densita di potenza
incidente sull'antenna, adattata in polarizzazione:
PM=SA.
Sempre per it teorema di reciprocita, I'area efficace e proporzionale al guadagno
dell 'antenna:
)?
A =G 41T .
Area efficace e altezza efficace non sono indipendenti:
-  2
A- 4R. Ihl.
I
Nota l'altezza efficace e possibile, utilizzando it circuito equivalente dell'antenna
in ricezione, calcolare la tensione sui carico,
ZL
V L = Z L + Zi E i . h.
e quindi anche i1 rapporto tra potenze trasmesse e ricevute in un collegamento radio.
Se I'antenna ricevente e adattata per it massimo trasferimento di potenza e in pola-
rizzazione, si ha
P R =G 1 G 2 (  ) 2 _
Pr 41fr
AIA2
)?r 2
La minima potenza che l'antenna PUD rivelare dipende dal rumore associato al

R ifer/ment; b;bliograflc
337
segnale in ingresso. Una parte di questo rumore e generato dalla stessa antenna ed
eventualmente dalla linea di trasmissione che collega antenna e carico, se questa ha
perdite. Un'altra parte e trasmessa all'antenna dall'ambiente. Questa potenza di
rumore e data da
K T R I:1f
per un 'antenna adattata. La temperatura T R, che dipende dalle caratteristiche radia-
tive dell 'antenna, dalla sua temperatura, dal suo orientamento e dalla temperatura dei
corpi circostanti, prende i1 nome di temperatura di rumore dell'antenna.
Riferimenti bibliografici
Flanceschetti G. e Papas C. H., Mechonical Forces and Torques Associated with Electromagnetic
Waves, J. appl. Phys., 23, 153-61 (1980).
Hogg D. C. eMumford W. W., The Effective Noise Temperature o/the Sky, Microwave J., 3, 80-84
(1960).
22

Capitolo 6
Polarizzazione
1 have also been reflecting on the possibility ()f giving an imperfect explanation of
the affection of light which constitutes po larisation, without departing from the
genuine doctrine of undulations. It is a principle, in this theory, that all undulations
are simply propagated through homogeneous mediums in concentric spherical sur-
faces, like the undulations of sound, consisting simply in direct and retrograde mo-
tions of the particles in the direction of the radius with their concomitant conden-
sation and rarefactions. And yet it is possible to explain in this theory a transverse
vibration, propagated also in the direction of the radius, and with equal velocity, the
motions of the particles being in certain constant direction with respect to that
radius; and this is a polarisation.
Thomas Young, 1817
6.1 Introduzione
Come si e accennato nel paragrafo 2.2, in natura esistono vari fenomeni che per Ie
loro caratteristiche possono essere definiti di tipo ondoso. Uno di essi e la propaga-
zione di onde acustiche nell'aria che, com'e noto, e descrivibile in termini delle
variazioni spaziotemporali della pressione locale del gas (aria). La propagazione di
onde elettromagnetiche in una guida d'onda e un altro esempio di fenomeno ondoso,
descrivibile in termini delle variazioni, nel tempo e lungo la guida, del vettore "campo
elettrico" (e di quello "magnetico"). La propagazione di onde gravitazionali eO un terzo
esempio di propagazione ondosa, descrivibile in termini delle variazioni locali del
tensore metrico dello spazio. Questi fenomeni hanno tutti un'origine comune,
riconducibile matematicamente a uno stesso tipo di equazione (equazione d 'onda),
e fisicamente alla possibile esistenza di perturbazioni propagantisi con velocita finia.
E' tuttavia diversa la loro rappresentazione, richiedendosi di volta in volta l'uso di
funzioni scalari (pressione), vettoriali (campo elettrico), tensoriali (metrica dello
spazio ).
In questo capitolo si considera il problema della rappresentazione delle caratte-
ristiche vettoriali del campo elettromagnetico (per ora monocromatico).

6.1 I Introduzione
339
Nel caso piu generale, la polatizzazione del campo e ellittica, cioe, nel dominio del
tempo, l'estremo del vettore rappresentativo del campo descrive un'ellisse, ruotando
con velocita angolare (rispetto a un asse ortogonale al piano dell'ellisse) non costante,
ma tale da descrivere tutta l'ellisse in un tempo T= 21tlw. L'ellisse pub degenerare in
un segmento (polarizzazione lineare) 0 in una circonferenza (polarizzazione circo-
lare). D'altra parte, com'e illustrato in 6.1.1, una qualsiasi polarizzazione ellittica pub
essere scomposta in due polarizzazioni, lineari 0 circolari (rotanti in senso opposto).
Ciascuna di queste due polarizzazioni pub essere assunta come base di rappresenta-
zione, atta a individuare uno stato di polarizzazione arbitrario.
Nel dominio della frequenza sia:
L 1 =ai x ,
L 2 =bi y
C a + b ( . .. )
1 = 2 Ix - J Iy ,
C a- b ( . + .. )
2 = 2 Ix J Iy .
E' immediato verificare che
L 1 · Lf= C 1 · ct=O;
i vettori Ll'  e C 1 , C 2 sono ortogonali. Due possibili basi di rappresentazione
(normalizzate, e usand per semplicita gli stessi simboli) so no
L 1 = ix ,
L 2 = iy
C 1 ( . . · )
1 = V2 Ix -Jly ,
C 2 = Ji (i x +ji y ).
.,.
Non e questa pere) l'unica scelta possibile. Sia dato infatti, piu in generale, un
campQ.vettoriale (nel dominio della frequenza) A definito su una superficie S. Sulla
stessa superficie si consideri una polarizzazione di riferimento rappresentata dal fasore
(in generale complesso) p, convenientemente normalizzato in modo che
p · p* = 1 ,
[1 ]
e la polarizzazione a questa ortogonale, rappresentata dal fasore q tale che
q. q* = 1 (normalizzazione)
p. q* =0 (ortogonalita).
[2]
[3]
Com'e illustrato in 6.1.3, l'arbitrario vettore A e rappresentabile nella base (p, q) nel
modo seguente:
A=(A. p*)p+(A. q*)q=App+Aqq.
Le espressioni [2] e [3] generalizzano al caso di versori di riferimento complessi Ia
nozione di ortogonalita (locale), sulla superficie S, dei versori reali ordinari. Infatti, se

340
PolorizzQzione I Cop. 6
p e q sono reali, Ie [3] non sono altro che la definizione di versori localmente mutua-
mente ortogonali. Nelle applicazioni aDe antenne si definiscono componenti co-polari
e cross-polari del campo Ie componenti Ape Aq (vedi 6.1.4 e 6.1.5); esse individuano
completarnente 10 stato di polarizzazione del campo. L'uso di vettori di riferimento
complessi e dettato dalla necessita di considerare polarizzazioni non solo lineari, ma
piil in generale circolari 0 ellittiche.
Esistono anche altre rappresentazioni della polarizzazione, in un certo senso piil
astratte; esse vengono considerate nel paragrafo 6.2.
Annotazioni
6.11- Scomposizione di una polarizzazione eWttica in una coppia di
pelarizzazioni lineari 0 circolari
Sia dato un vettore f(t) polarizzato ellitticamente. In un sistema d'assi cartesiani
coincidenti con g1i assi principali dell'ellisse (vedi fig. 6.1) si scrive, com 'e ovvio,
f(t) = fx(t) ix + fy(t) iy = 11 (t) + 1 2 (t)
f; /2 f, (t)
-+2....=1, tg1(t)= y ,
a 2 b 2 fx(t)
dove i due vettori
II (t)=a cos wt ix
1 2 (t)=b sin wt iy
sono polarizzati linearmente.
y
x
Figura 6.1

6.1 I lntroduz;one
341
Mediante Ie due polarizzazioni lineari 11, 1 2 si pub quindi ricostruire la polarizza-
zione ellittica f(t). In alternativa, si possono considerare i due nuovi vet tori
( ) a+b ( ) . + a+b . ( ) .
Cl t = 2' cos wt Ix 2 sm wt Iy
( ) a-b ( ) . a-b . ( ) .
C2 t = 2 cos wt Ix - 2 sm wt ly;
il primo descrive una polarizzazione circolare, di velocita angolare w e ampiezza
(a + b )/2, i1 secondo ancora una polarizzazione circolare, di velocita angolare - w e
ampiezza la- bl/2.
Dal momento che Cl + C2 = 11 + 1 2 , la cornposizione dei due vettori Cl (t), C2 (t) ri-
produce ancora I'originaria polarizzazione ellittica.
6.1.2 Polarizzazione di un segnale a banda stretta
La polarizzazione di un segnale sinusoidale puro e stata studiata nell'annotazione
1.1.12, ove e stato introdotto il concetto di fasore. II concetto e stato poi generaliz-
zato (in 1.3.4) al caso dei segnali a banda stretta. A un campo a banda stretta, ad
esempio elettrico,
e(z, t)=eo(z, t)cos[wo t-l3oz +8 o (z, t)],
corrisponde, nel dominio della frequenza, un fasore
E(z, t)= Eo(z, t) exp(-jl3 o z),
dove Eo (z, t) e la funzione (vettoriale complessa)
Re{Eo(z, t)exp[j(wot-tioz)]}=e(z, t).
DaIle formule precedenti risulta
Eo(z, t)=eo(z, t)exp[j8 o (z, t)],
dove sia l'ampiezza eo(z, t) sia la fase 8 o (z, t) sono, in accordo all'ipotesi di segnale a
banda stretta, funzioni lentamente variabili di z e t, rispettivamente nella lunghezza
d'onda Ao = 2rr/f3o e nel periodo To = 21f/wo della portante (frequenza spaziale e tem-
porale di centro banda).
Anche per questo segnale a banda stretta pub studiarsi la polarizzazione. Conside-
riamo i1 vettore
[4]
[5]
[6]
e(z, t) = ex(z, t) ix + ey(z, t) iy,
dove nel dominio del tempo
ex(z, t)=ax(z, t) cos[Wot-f3oz +5 x (z, t)]
ey(z, t)=ay(z, t) cos[wot-f3oz +5 y (z, t)],
e nel dominio della frequenza
Ex(z, t)=ax(z, t) exp[j5 x (z, t)] exp(-jl3oz)=A x (z, t)exp(-jl3oz)
Ey(z, t)=ay(z, t)exp[j5 y (z, t)]exp(-jl3oz)=Ay(z, t)exp(-jl3oz).
Le variazioni di ax, a y , [)x, 5y, Ax, Ay sono lente nel senso gia precisato.
[7]
[8]
[9]

342
PolDrizzazione I Cap. 6
Com'e facile intuire, la polarizzazione del vettore [7] e lentamente v aria bile nel
tempo (e anche nella spazio). Se ne vogliono ora determinare Ie caratteristiche al
variare del tempo, per un prefissato valore di z (la dipendenza con z e d'ora in poi
soppressa, perche irrilevante; nell'argomento delle funzioni circolari il termine -Poz e
assorbito nelle funzioni x, y).
Per eliminare i termini rapidamente variabili, si sviluppa nella [8] il coseno :
ex =ax.[cos wt cos [)x -sin wt sin 6x];
dopodiche si esprime cos w t in funzione del sin w t, si risolve per quest'ultirna
funzione e si ottiene
-ex sin x:t Va ; -e cosc5 x
sin wt=
ax
Si ripete il procedimen to per cos w t:
ex cos x:t Ya  -e sinc5 x
cos wt=
ax
Sostituendo queste due espressioni nella [9], quadrando e riordinando i termini si
ottiene
2 2 + 2 2 _ 2 r - 2 2 . 2 r
axe y aye x exeyaxa y cos u -axa y sm u,
 =y-c5x'
che e l'equazione di un'ellisse (vedi fig. 6.2) quando ex, e y siano riportati sugli assi
x e y rispettivamente.
y
yl\
\
\
\
\
X'

./'
/
/
",
x
Figura 6.2
Composizione di due vettori di ampiezza e sfasamento reciproco lentamente variabili.

6.1 I lntroduz;one
343
Pub essere conveniente operare la rotazione di 3ssi
{ X'= x cosa+y sin
y'=-x sina+y COSQ,
ottenendo la nuova rappresentazione
(a sin 2 a+a; cos 2 ex.-axa y sin 2ex. cos eS)e2 +
+ (a cos 2 ex. +a sin 2 Q + axa y sin 2ex. cos) e.? +
+ (a sin 2ex. -a; sin 2a- 2a x a y cos 2a cos eS) e e; =
=aa sin 2 ,
dove e, e; sono Ie componenti del campo elettrico riferite al nuovo sistema di assi.
Se
2a x a y cos 8
tg 2 ex. = 2 2 ' [ 10]
ax -a y
allora l'el1isse viene riferita a un sistema di assi paralleli ai suoi assi principali e con
centro nel centro dell'ellisse (vedi fig. 6.2). Poiche Ie grandezze al secondo membro
della [10] sono funzioni lentamente variabili del tempo, anche I'orientazione dell'el-
lisse varia lentamente nel tempo.
Rispetto al nuovo riferimento x', y', i semiassi dell'ellisse sono dati da
axa y Isinc51
a=
Va  sin 2 a+a; cos 2 a-axa y sin 2a cos
a x a y I sin cS I
b=
Va  cos 2 a+a sin 2 a+axa y sin 2acos
dove ex. e dato dalla [10]. Sostituendo questo valore, I'espressione dei semiassi diventa
la seguen te
_ V2 ax a y I sin cS I
a- [(a +a;)- V (a +a;)2 -4aa; sin2 ] 112
_ V2 axa y I sin eSl
b- [ . ] 1/2'
(a +a) + V (a +.a;)-4aa sin2
[11 ]
[12]
Anche l'arnpiezza dei semiassi, dunque, varia lentamente nel tempo. Se la variazione
lenta e periodica, I'ellisse pulsa e oscilla, con lento periodo, in accordo aIle [10]-[ 12].
6.1.3 Scelta dei due vettori di polarizzazione p e q
Vogliamo ora scegliere, su una superficie (localmente) piana, due possibili vettori
di polarizzazione p e q. Posto
p=p(i x + tg VI iy)
q =q(i x + tgq, iy),

344
Polorizzazione I Cop. 6
con 1/1 e q, eventualmen te complessi la condizione di normalizzazione implica che:
1
p=
V 1 + I tg 2 "'I '
1
q=
V 1 + I tg 2 4>1
Inoltre, forzando la condizione di ortogonalita [3],
p · q * = p q*( 1 + tg 1/1 tg 4>*) = O
si 0 ttiene
1
tg 4>=- =-ctg 1/1*.
tg 1/1 *
In definitiva,
ix + tg 1/1 iy ix - ctg VI. iy
p= , q= .
V I + I tg 2 '" I V I + I ctg 2 , 1/1 1
*6.1.4 Componenti copolari e cross-polari del campo (riferimento dipolare)
Nello studio della radiazione da parte di antenne e spesso importante definire e
misurare con precisione 10 state di polarizzazione del campo. II motivo e che a due
stati di polarizzazione ortogonali (secondo la [3]) possono essere affidati messaggi
diversi, ciascuno dei quali PUQ essere ricevuto indipendentemente da antenne sensibili
a una sola delle due polarizzazioni. E' questa la cosiddetta riutilizzazione di fre-
quenza (frequency reuse), che permette di raddoppiare la capacita del canale senza
raddoppiare la banda trasmessa.
Sono state proposte varie sorgenti di riferimento (Ludwig, 1973) per definire 10
stato di polarizzazione copolare del campo e quello cross-polare.
pna prima sorgente di riferimento e quella di un dipolo elettrico elementare cl:J.e
pub essere orientate secondo l'asse x (vedi fig. 6.3a) 0 l'asse y (vedi fig. 6.3 b). Si
prende come polarizzazione di riferimento quella del campo elettrico a gran de di-
stanza; nella figura sono rappresentate Ie linee di polarizzazione, cioe Ie linee aIle
quali in ogni punta sono tangenti i vettori p e q' (in questo caso reali).
II modo pin semplice per calcolare il campo irradiato dal dipolo elementare orien-
tato secondo ix e partire dalla espressione del potenziale vettore
A Il ( '(.1. ) .
= /J exp - J,.,t 1 =
411'7 x
= Il I  I ex p ( - j (3 r) [cos <p sin 6 i,. + cos cp cos 8 ie - sin cP i<J»
411'r '
dove (7, 8, lJ» sono Ie usuali coordinate sferiche (di asse di riferimento z per gli angoli
(J e x per gli angoli cp). Calcolando il campo elettrico (a grande distanza) e normaliz-
zandolo all'unita, si definisce il vettore p
1
p = ( cos 8 cos cI> iB - sin 4> ).
V cos 2 8 cos 2 cp + sin 2 cp
n vettore ortogonale q puo calcolarsi u tilizzando Ie condizioni [2] e [3]; si ha
[ 13]
q = 1 (sin 9 iB + cos 8 cos 4> iq,).
V cos 2 8 cos 2 lJ> + sin 2 cp

6.1 I lntroduzione
345
Figura 6.3
Linee di polarizzazione per sorgente di riferimento dipolare: (a) orientate secondo x; (b)
orientate secondo y.
Considerando ora i1 campo irradiato dal dipolo elettrico orientato secondo l'asse
y  si definisce i1 vettore
, 1 )
q = (cos 8 sin 4> ie + cos 4> iq, .
V cos 2 (J sin 2 4> + cos 2 ifJ
[14]

346
Polorizzazione I Cap. 6
11 vettore q' non e ortogonale al vettore p. Tu ttavia 1 'ortogonalita e verificata per
piccoli angoli, che sono quelli che in teressano nelle applicazioni. Con buona appros-
simazione, se non si e troppo discosti dall'asse z, due dipoli elettrici elementari
ortogonali forniscono un possibile riferimento per la misura della polarizzazione su
una sfera, che e proprio quel che interessa nelle applicazioni.
*6.1.5 Componenti copolari e cross-polari del campo (riferimento: sorgente di
Huygens)
La scelta di una sorgente di riferimento dipolare, presentata in 6.1.4 soffre di due
limitazioni. Per prima cosa, fissate Ie componenti copolari del campo, queUe cross-
polari non corrispondono esattamente a una sorgente di riferimento ruotata di rr/2
rispetto a quella relativa aIle componenti co-polan. Inoltre, cosa piu importante, la
scelta non si sposa logicamente aIle tecniche usuali utilizzate per la misura del dia-
gramma di radiazione di antenne (Hollis, Lyon e Clayton, 1970). Un'altra e Migliore
definizione fa riferimento a sorgenti di Huygens elementari (vedi 4.3.6), con il rela-
tivo dipolo elettrico orientate secondo l'asse x (vedi fig. 6.4a) 0 l'asse y (vedi fig.
.6.4b).
Nel caso di sorgente di Huygens con dipole elettrico orientate secondo l'asse x,
questo produce un campo elettrico (a grande distanza, vedi  4.3, relazione [11])
che, dopo la normalizzazione, e dato da
p = cos t/> ie - sin 4>.
[ 15]
11 vettore ortogonale ape dato dunque da
q = sincP ie + cos cP iq,.
[ 16]
Considerando ora una sorgente di Huygens col dipolo eletrico diretto secondo iy
e queUo magnetico secondo - ix, il campo elettrico da essa irradiato a grande distanza
(vedi  4.3, relazione [10]) e dato, una volta normalizzato, esattamente dalla [16].
Con queste definizioni per i vettori p e q, Ie componenti copolari e cross-polari del
campo sono dunque riferite a due sorgenti elementari di Huygens mutuamente
ortogonali .
6.2 I parametri di Stokes
Consideriamo due segnali, ad esempio campi elettrci, puramente sinusoidali, i cui
fasori siano dati da
Ex =a x exp(jcS x ) ix
Ey =a y exp(j cSy)iy.
Nel dominio del tempo, a questi fasori corrispondono Ie oscillazioni
ex (t) =a x cos( w t +cS x) ix
ey(t)=a y cos(wt + cS y ) iy.
Si pub eliminare il parametro temporale wt, ottenendo (vedi 6.1.2, dove ax, a y , cS x ,

6.2 I Pommetri di Stokes
347
(8)
Figura 6.4
Linee di polarizzazi<}ne (con sorgenti di riferimento di tipo Huygens) con dipolo elettrico:
(a) orientato secondo l'asse x, (b) orientato secondo l'asse y.
 Y SODO ora da riguardare come costanti nel tempo, ed eventualmente variabili con la
coordinata spaziale):
( ex ) 2 ( ey ) 2 ex e y
- + - -2 --cos =sin 2 6,
ax a y ax a y

348
Polor;zzaz;one I Cap. 6
dove
6=6y-x'
Presi ex e e y come assi coordinati, e evidente che l'estrerno del vettore risultante
descrive una ellisse centrata in ex =e y =0. Si constata facihnente (vedi 6.1.2) che
I'ellisse e caratterizzata da un angolo di orientazione 1/1 (vedi fig. 6.5)
2a x a y
tg 2\jJ = 2 2 cos 6, 0< 1/1 < 1r/2,
ax -a y
[1 ]
e che i due semiassi maggiore e minore dell'ellisse, a e b, sono legati dalla relazine
(vedi 6.2.1)
b
tg'1' =:1: -,
a
. 2a x a y .
sm 2"Y = 2 2 sIn ,
ax +a y
1r 1r
-- 'Y -
4 4'
[2]
dove l' e detto angolo di eccentricita.
Al variare del tempo, I'estremo del vettore risultante pub muoversi, rispetto
a un osservatore orientato secondo il verso positivo dell'asse z, in senso antiorario 0
orario. Nel primo caso, si suol chiamare la polarizzazione levogira, e nella [2] si
sceglie it segno negativo (vedi 6.2.1); nel secondo caso, la polarizzazione e detta
destrogira, e viene preso il segno positivo. In modo equivalente, si pub affermare
che nella polarizzazione levogira, i1 vettore tende ad avvitarsi lungo i1 verso positivo
dell'asse z; I 'opposto accade nel caso della polarizzazione destrogira. Se "y = 0, la
polarizzazione e lineare; se 'Y = oj: 1r/4 circo/are (Ievogira 0 destrogira); nei casi inter-
medi, ellittica.
y
x
Figura 6.5
Ellisse di polarizzazione.

6.2 I Porametri di Stokes
349
Per individuare l'ellisse, cioe la polarizzazione dell'onda, e necessario fornire tre
parametri, ad esempio Ie grandezze ax, a y e , oppure i due semiassi a e b e l'angolo
di orientazione VI. Ovviamente, e anche possibile individuare la polarizzazione me-
diante un'opportuna combinazione dei precedenti parametri.
Una combinazione molto felice e quella suggerita da Stokes (1852); i para-
metri che ne derivano, So, Sl, S2, S3, sono detti parametri di Stokes e sono cOSt
definiti:
So =a +a; =ExE +EyE;
Sl =a-a;=ExE-EyE;
S2 =2a x a y cos  =ExE; +E:Ey
S3 =2a x a y sin  =j(ExE;-EEy)'
[3]
Quadrando e sommando Ie [3] si ha
s =s +s +s,
[4]
il che mostra che solo tre dei parametri di Stokes sono tra loro indipendenti.
Noti i parametri di Stokes, l'ellisse di polarizzazione e immediatamente indi-
viduata, essendo
2_ SO+SI
a x - 2
2_ S0 - S1
a y - 2
S3
tg  =  ;
[5]
oppure, dalle [1], [2],
S2
tg 21/1 =  '
S3
sin 2 1 =-
So '
So =a 2 +b 2 .
[6]
Viceversa, i pararnetri di Stokes possono essere facilmente espressi in termini
degli angoli VI e 1 (vedi 6.2.1), ottenendo
Sl =so cos 21 cos 21/1
S2 =so cos 21 sin 21/1
S3 =so sin 21.
[7]
Poiche la polarizzazione lineare corrisponde a 'Y = 0 (b = 0), essa e caratteriz-
zata da S3 =0. La polarizzazione circolare corrisponde invece a 1=-J:.1r/4, per essa
Sl =S2 =0.
In virtu della relazione [4], al variare della polarizzazione dell'onda, il punto di
coordinate cartesiane (Sl, S2, S3) deve giacere su una superficie sferica di raggio So
(vedi fig. 6.6). Per Ie [6], la Iatitudine del punto e pari a 21, e Ia Iongitudine a 2 VI.
Questa sfera e detta di Poincare; su essa ciascun punta corrisponde a uno stato di
polarizzazione. In particolare, Ia polarizzazione lineare (S3 =0) e rappresentata dai
punti dell'equatore; la polarizzazione circolare (Sl =S2 =0) dai due poli, il polo

350
PolDrlzzoz;one I Cop. 6
S2
Figura 6.6
Sfera di Poincare.
nord (S3 > 0) quella destrogira e il polo sud (S3 < 0) quella levogira. Piu in generale,
l'emisfero nord della sf era rappresenta tutti i possibili casi di polarizzazione ellittica
destrogira, l'emisfero sud tutti i possibili casi di polarizzazione ellittica levogira.
AnnotazioDi
*6.2.1 Parametri dell'ellisse di polarizzazione
Dati due vettori
ex(i)=a x cos(wt+6x)i x
ey(t)=a y cos{wt+6y)i y ,
la loro composizione e = ex + e y e un vettore che giace nel piano (x, y) ed e pola-
rizzato ellitticamente. L'estremo del vettore giace su un'ellisse e forma, istante per
istante, un angolo a con l'asse x dato da
a y cos(wt+6y)
tg a = .
ax cos(wt+6 x )
L'ellisse e percorsa con velocita angolare istantanea
da axa y sin 6
O(t)=-=w
dt e 2 (t)
una rotazione completa effettuandosi in un tempo T= 21rlw.

6.2 I PorDmetrl dl Stokes
351
Un'asse principale dell'ellisse (vedi 6.1.2) forma con l'asse x un angola 1/1, dove
2a x a y S2
tg 2V1 = cos  =-, [8]
a 2 -a 2 SI
x y
l'altro asse formando ovviamente un angolo 1/1 + -rr/2. Gli assi a, b deU'ellisse risultano
dati da (vedi 6.1.2)
a 2 a 2 sin 2 
2- x Y.
a -
a sin 2 1/1 + a cos 2 1/1 - axa y sin 21/1 cos 
a 2 a 2 sin 2 
b 2 = x y
a;. cos 2 1/1 + a in2 1/1 + ax a y sin 1. '" cas  t
o anche, in funzione dei parametri di Stokes, da
2
1 S3
a 2 =-
2 &0' - (s I cos 21/1 + s 2 sin 2 VI )
2
b 2 =.! S3
2 So + (SI .cos 21/1 + S2 sin 21/1)
N e consegue
2tg
sin 2'Y=
1 + tg2 1
2E.. .../
a vs -(II cos 2 VI + S2 sin 21/1)2
1 + b 2 So
a 2
e, u tilizz an do la [4],
VS  + (Sl sin 21/1 -S2 cos 21/1)2
sin 2'1= .
So
In base alle prime due delle [7] 1a quantita nella parentesi e nulla, e pertanto si
ottiene
. S3 2a x a y sin 6
sm 2'1=-=
So a 2 +a 2
x y
[9]
Dalle [8] e [9] si ha
S3 =So sin 21
S 2 = S I tg 21/1.
Sostituendo nelle [4]:
s =s(1 + tg 2 2 VI) + s sin 2 21,
. ,
Cloe
S 1 = So cos 21 cos 2 1/1 .
Si ricavano cosi Ie relazioni [7] tra i parametri di Stokes e gli angoli di orientazione

352 Po larizzozione I Cop. 6
ed eccentricita. E' ancora utile notare che
2
2 2 9093
a +b = -
s -(Sl cos 2 VI + S2 sin 2 VJ)2
2
SOS3
2 =So =a; +a;,
(SI sin 2 VJ - S2 COS 2 VJ). + S3
dove si e utilizzato prima la [4] e poi Ie prime due delle [7].
Resta da giustificare i1 doppio segno che appare nella [2] nella definizione dell'an-
golo 1; i1 segno positive si ha per 6> 0, e cioe 6y > 6x se ax e a y sono positivi. AI
tempo t= 0 si ha
ex(O)=a x cos 6x
ey(O)=a y cos 6 y ;
questi valori sono supposti entrambi positivi. Se6y>5x, ey(t) cambia segno allorche
wt=1r/2-6 y , prima cioe dell'istante in cui cambia segno ex(t). Pertanto la polariz-
zazione e destrogira.
6.2.2 Parametri di Stokes in guida d'onda
Sia data una guida d'onda rettangolare in cui si propaghinoi due modi TE lo e TEOI
(vedi fig. 6.7). I rispettivi campi elettrici, E 1 e E 2 , sono dati da
HI =A 1 sin (: X) exp(-illz)iy,
H 2 =A 2 Sin {: Y) exp(-j2z)ix'
 = (32 - (?r la)2
 = (32 -(?rlb)2
Per semplicita, Ale A2 sono supposti reali.
Siha
80 =A sin 2 ( ; Y ) + A sin 2 (: x)
81 =A Sin2{ ; Y)-A Sin 2 (: x)
82 =2A 1 A 2 sin (; Y) Sin (: X) COS[(2 -dz]
83=2A 1 A 2 Sin {; Y)Sin (: X) sin[(2-I)Z].
Di conseguenza, sia l'angolo di polarizzazione sia quello di orientazione variano
con x, y e z. In particolare, la polarizzazione e lineare nei punti di ascissa z" ,
" n7r
z = (32 - (31 '
e circolare nei punti di coordinate
, (2n + 1)7r/2
z =
(32 - (31
A 2 sin (; l)=Al Sin (: X').

6.2 I Parometrl dl Stokes
353
y
b
x
I.
.1
a
Figura 6.7
Sezione della guida d'onda rettangolare nella Quale si propagano i modi TE 10 e TE o1 '
6.2.3 Parametri di Stokes nel caso di modi accoppiati
Come si e visto in 6.2.3, la presenza nella guida di due modi, propagantisi con
diversa velocita di fase, porta a una modulazione spaziale della polarizzazione, con
periodo 21r/«(j2 -(jt), cioe inversamente proporzionale alla differenza delle costanti
di propagazione. Se i due modi si propagassero con identica velocita di fase (modi
degeneri), la polarizzazione del vettore risultante dalla lore somma, pur variando
nella sezione trasversale, non varierebbe con z. In molte situazioni pratiche, tuttavia,
la degenerazione dei modi scompare. Un primo esempio e quello delle guide con
pareti non perfettamente conduttrici. Modi degeneri (per esempio, i TE e TM con
uguali indici in guide d'onda rettangolari), ma con differente distribuzione trasversale,
sono modificati in modo diverse dalla presenza delle perdite sulle pareti, e la degene-
razione scompare. Un secondo esempio, molto importante per Ie applicazioni, e
quello della propagazione unimodale in fibra ottica (cioe della propagazione lungo un
cilindro dielettrico).
Con riferimento a quest'ultimo caso (vedi fig. 6.8), il modo fondamentale pub
propagarsi per una qualunque orientazione iniziale, data la simmetria cilindrica dell a
struttura; nella figura sono rappresentate due possibili orientazioni, l'una ottenuta
dall'altra con una rotazione di 1r /2. A ciascuna di esse corrispondono due modi,
degeneri (perche la costante di propagazione e la stessa) e tra lore disaccoppiati (data
l'ortogonalitA spaziale dei campi trasversali) se la fibra e ide ale. Le inevitabili disomo-
geneita nella sezione trasversale della guida, dovu te ad esempio ad azioni meccaniche
(curvatura, torsione), elettrostatiche (campi elettrici di polarizzazione), magnetosta-
tiche (campi magnetici di polarizzazione), hanno due conseguenze: 1) scompare la
degenerazione, per la diversa legge con cui variano due costanti di propagazione; 2) i
due modi si accoppiano. n secondo fenomeno si giustifica nel modo piil semplice
osservando le lievi perturbazioni delle caratteristiche della sezione trasversale della
fibra possono essere studiate in termini di sorgenti di polarizzazione equivalenti che,
eccitate da un modo (relativo alla fibra non perturbata) producono un nuovo campo
23

354 Polar;zzQz;one I Cop. 6
x x
\ I
"
  ..
y
/' .. '"
y
/f\
(a)
(b)
Figura 6.8
Propagazione di due modi spazialmente ortogonali in fibra ottica.
elettromagnetico, sviluppabile anch'esso nei modi della fibra imperturbata. In altri
termini, basta sostituire alla sezione perturba ta 1a stessa sezione non perturbata ma
contenente genera tori equivalenti dipendenti dal campo presentee Si pub tener con to
dell'accoppiamento tra i modi applicando un processo perturbativo alia soluzione dei
modi guidati (Urlich e Simon, 1979). Limitandosi a due soli modi (quelli rappresen-
tati in fig. 6.8a e b) si pub usare il modello di due linee da trasmissione accoppiate,
ad esempio per induzione (vedi 2.5.13). Dette Ax e Ay Ie ampiezze dei due modi, il
primo polarizzato nell'interno della fibra lunge ix, il secondo 1ungo iy, si ha (France-
schetti e Smith, 1981)
.dA x
dz  jkxAx+jXAy
dAy
dz =jkyAy +jX*A x ,
[10]
k x , ky essendo Ie cost anti di propagazione (lungo z) dei due modi e X=Xl +jX2 la
costante di accoppiamento.
Le equazioni [10] sono Ia generalizzazione delle [29] ( 2.5). La costante di
accoppiamento X. e la complessa coniugata deU'omonima costante che compare nella
prima equazione. Questo e conseguenza dell'aver supposto che per una fibra senza
perdite la potenza reale si conservi Iungo l'asse z (come e discusso in 2.5.12).
Derivando Ie equazioni [3] rispetto a z, e tenu to con to delle [10], si ha (nell'ipo-
tesi di assenza di perdite, cioe per kx e ky reali)

6.3 I Onde polorlzZIlte e onde non polor;zzote
355
ds o
-=0
dz
dS t
- =2X2 S 2 +2Xt S 3
dz
dS 2
 =-2X2 S t - KS 3
dS 3
 =-2Xt s t +/(S2,
dove K =k x -ky.
La prima equazione equivale all'affermare che la potenza totale, proporzionale a
lAx 1 2 + lAy 1 2 , rimane costante lunge z (come dev'essere, dato che la struttura e
senza perdite).
Per risolvere i1 sistema [11] supponiarno che i parametri di Stokes variino con z con
una legge del tipo exp(-il1Z). Sostituendo nelle [11] si ottiene un sistema omogeneo,
i1 cui determinante deve essere nullo perche si possa avere una soluzione non identica-
mente nulla:
[11 ]
in
-2X2
-2Xt
2X2 2XI
i11 - K
I( ill
=0
,
cioe
11=0
oppure
11=:t: vl 4IxI 2 +,,2 =:t:T.
Pertanto la soluzione generale per i1 generico parametro di Stokes e del tipo
si(z)=A i + B i cos TZ + Ci sin TZ,
dove Ie cost anti vanno scelte in base aIle condizioni iniziali (i valori dei parametri nel
punta di ascissa Z = 0).
6.2.4 Parametri di Stokes nel caso di modi accoppiati: accordo di rase (esercizio)
Se Ie costan ti di propagazione dei due modi sono uguali, se cioe I( = 0, si dice che
essi sono in accordo di lase. La variazione della polarizzazione lunge l'asse z della
fibra e dovuta a1 supposto accoppiamento tra i modi.
In queste condizioni, si calcoli la legge di variazione dei parametri di Stokes consi-
derando separatamente i due casi Xl = 0, X2 * 0, e Xt =1= 0, X2 = O. Si trovino quei
valori dell a polarizzazione in ingresso che si propagano indisturbati (autostati di pola-
rizzazione ).
6.3 Onde polarizzate e onde non polarizzate
Nel paragrafo 6.2 si e mostrato che per un'onda monocromatica 10 stato di pola-
rizzazione e perfettamente individuato dai corrispondenti parametri di Stokes. Si e

356
Polarizzazione I Cap. 6
anche visto (6.1.2) che per un segnale a banda stretta pub ancora definirsi un'ellisse
di polarizzazione, i cui assi e la cui orientazione, tuttavia, variano lentamente nel
tempo (rispetto al periodo della pulsazione di centro banda).
Molto interessante e il caso in cui Ie variazioni temporali (Iente) delle ampiezze e
delle fasi delle grandezze che si considerano sono irregolari. Dati i due segnali asso-
ciati a vettori mutuamente ortogonali,
{ ex(t) =ax(t) cos [wt + 6x(t)]
ey(t)=ay(t) cos[wt+6y(t)], 6 (t)=6 y (t)-6 x (t),
dove ax (t), ay(t), 6 (t) sono funzioni lentamente variabili, la loro evoluzione temRo-
rale non e prevedibile a priori, ma e piuttosto una funzione casuale. Non si deve pero
ritenere che tra queste grandezze non possa esistere una relazione di correlazione. Nel
caso, ad esempio, dell'emissione di luce da una sorgente a bassa coerenza, la frequenza
istantanea, l'ampiezza e l'orientamento del campo elettromagnetico varia no sl in modo
irregolare, ma non tale che i valori di dette grandezze in successivi istanti di tempo
siano del tutto incorrelati. Si intuisce che la relazione di correlazione e tanto pib stretta
quanta maggiore e la coerenza della sorgente; ed e proprio tale correlazione tra Ie
grandezze temporali che determina il grado di polarizzazione del segnale.
Consideriamo ancora i parametri di Stokes, soggetti a variazioni irregolari in fun-
zione del tempo. Per eliminare questa variazione irregolare, si introducono i para-
metri (si usano per semplicita gli stessi simboli)
So = (a; (t) + (a(t)
Sl = (a; (t) - (a;(t)
S2 =2(ax(t)ay(t)cos «S(t)
S3 = 2 (ax(t)a y (t) sin 6(t);
[1 ]
si considerano cioe i vQlori medi delle [3] ( 6.2) su tempi lunghi rispetto al periodo
caratteristico della variazione irregolare (lenta) delle grandezze. Si constata che i
quattro prametri di Stokes [1] (vedi 6.3.1) sono legati dalla relazione
2.........2 + 2 + 2
SO:::::::::OSI S2 S3,
[2]
che generalizza la [4] a questo caso di segnali non esattamente monocromatici.
Con riferimento aHa figura 6.9 consideriamo ora la seguente esperienza. Con uno
strumento sensibile solo al valore del campo lungo la direzione 8, misuriamone, in
tale direzione, il valore istantaneo:
es(t)=ex(t)cos 8 + ey(t) sin 8.
Supponendo di poter variare la fase di e y rispetto a ex di una quantita arbitraria
/),., si ha
es(t)=ax(t)cos[wt +6 x (t)] cos 8 + ay(t)cos[wt + Oy(t) + /),.] sin (J.

6.3 I Onde polorlzZtlte e onde non polorlzZtlte
357
( t)
........
........
...........
.......
.........
.........
0 1 .................... .........
..................
e"  
Figura o.
Misura del valore istantaneo del fasore del campo elettrico nella direzione 6.
La potenza istantanea del segnale misurato e proporzionale a e(t). II valore medio
nel periodo T=2wlw pub essere calcolato ritenendo Ie grandezze lentamente variabili
cost anti in T. Per la grandezza [(t) proporzionale a quest a potenza media in T, si ha
2 T
f(t)=T J e(t)dt=
o
=a; cos 2 8 +a sin 2 8 +2a x a y cos 8 sin 8 ·
 .
.[cos x cos(y + 1:1) + sin x sin(6 y + /1)]=
=a; cos 2 8 +a sin 2 8 +axa y sin 28 (cos  cos l:1-sin  sin /1).
Questa grandezza e lentamente variabile nel tempo; il suo valore medio e propor-
zionale alla potenza media, 0 intensita, associata alia parte di campo polarizzato nella
direzione 8. Si ha:
I(8)=(f(t»=(a)cos2 8+(a)sin2 8+
+ [(axa y cos 6) cos 1:1- (aXa y sin 6) sin l1] sin 28 =
=  {so +Sl cos 28 +(S2 COS -S3 sin )sin 28}. [3]
L'onda si dice totalmente non polarizzata se la sua intensita e sempre la stessa,
qualunque siano l'angolo 8 lunge il quale viene effettuata la misura e 10 sfasamento
1:1 che pub presentare un segnale rispetto all'altro ad esso ortogonale. Perche un'onda
sia totalmente non polarizzata dev'essere dunque
SI =S2 =S3 =0,
[4]
l'intensita dell'onda essendo data da
1
1=2 so .
[]

358
Polorlzzazione. I Cap. 6
In generale, I'onda e parzialmente polarizzata, cioe i parametri s 1, S2, S3 possono
essere diversi da zero, essendo pero la somma dei loro quadrati minore di s. L: onda
si pub allora decomporre nella somma di due onde che si mostra in seguito essere tra
loro inco"elate. La prima onda e completamente polarizzata, e caratterizzata da
.parametri di Stokes
S () = V S 2' +S 2 +S 2 S S S .
o 1 2 3 " 1, 2, 3 ,
la seconda onda, al contrario, e completarnente non polarizzata, e caratterizzata da
parametri di Stokes
S (2) - s - S (l) S - s - s - 0
o - 0 0, 1- 2- 3- .
Si noti che, per Ie defmizioni precedenti di parte polarizzata e non dell'onda, i
parametri di Stokes dell'onda totale sono la somma degli omonimi parametri delle
due onde parziali. Poiche i parametri di Stokes sono grandezze quadratiche e relative
alla potenza media del segnale (vedi equazioni [3]), la precedente proprieta stabilisce
che i segnali associati a queste due onde parziali sono tra lara incorrelati.
Annotazioni
6.3.1 Relazione tra i parametri di Stokes per onde non completamente polarizzate
Osserviamo anzitutto che per ogni funzione f(t)=(f(t» + f(t),
(f2 (t»=(f(t»2 + ([f(t)]2),
cosicche
({2) (f)2 ,
l'uguaglianza avendosi per f(t) costante.' Ne consegue
«a; - a;)2 ) = (a) + <a) - 2 <a a;)  (a;)2 + (a;)2 - 2 (a) (a;) = s
4(a;a cos 2 5)4(axay cos 5)2 =s
4(aa; sin 2 5)4(axay sin 5)2 =s,
e ancora
sj +s +s (a)+(a)-2(aa;)+ 4(a;a;)=s.
6.3.2 Stabilita di polarizzazione nel caso di onda policromatica
Poiche per Ie [6] ( 6.2), e
2a x a y cas 5
tg 21/1 = 2 :1
ax -a y
2 a y
ax
-
1- (:: f
cos5

6.3 I Onde polorizzate e onde non polorizzate
359
2 a y
ax
- l+(  f sinc5,
se aylax e  sono indipendenti dal tempo, allora l'orientazione e it verso di polariz-
zazione dell'ellisse non cambiano, pur variando Ie dimensioni degli assi (il cui rap-
porto si mantiene costante).
. _ 2a x a y sin 
sm2'Y- 22
ax + a y
*6.3.3 Matrice di coerenza
Alternativamente il grado di polarizzazione di un'onda si esprime attraverso la
cosiddetta matrice di coerenza
ove C pq =<a p a> e Ie a p , a q sono gli stessi parametri che appaiono nelle [1] con p,
q =x, y.
Ovviamen te, C x y = c; x; C x C; e C y C; so no reali, cosicche  e hermi tiana.
Gli elementi della matrice di coerenza sono immediatamente riconducibili ai para-
metri di Stokes utilizzando Ie relazioni [3] ( 6.2):
1
C xx =2" (so +SI)
1
C yy ="2 (so -81)
C xy =  (S2 -j S 3)
Cyx=  (S2+j S 3).

C xx
C xy
C yx C yy
80 =C xx +C yy ,
81 =C xx -C yy ,
82 =C xy + C yx '
83 =j(Cxy-C yx )'
[7]
[8]
Se l'onda e completamente non polarizzata,
rL:J 80
TO-
2
1 0
o 1
se e parzialmente polarizzata
CxxCyy-CxyCyx=I<tI=  (S5-S-S-S)O;
se e totalmen te polarizzata
II = O.
La matrice di coerenza puo essere formalmente rappresentata in termini dei para-
metri di Stokes nel modo seguente
Cf)  {so 1 0 1 0 0 1 l -1 }.
+81 +S2 +j s 3 [9]
0 1 0 -1 1 0 0

360
Polorizzazione I Cap. 6
In meccanica quantistica, Ie matrici elementari che appaiono nella [9] prendono il
nome di matrici di spin di Pauli.
6.3.4 Ricezione di onde parzialmente polarizzate
Sia data, per ora, un'onda piana monocromatica che incide su un'antenna adattata
per il Massimo trasferimento di potenza. Riferendosi a un sistema di coordinate sferi-
che centrate sull'antenna, l'onda incidente sia caratterizzata da un vettore di Poyn-
ting di ampiezza 8(8, 4»; la polarizzazione del campo elettrico sia data dal versore
(eventualmente complesso) Pi' Se l'antenna ricevente e caratterizzata da un guadagno
G(8, f/J) e irradia nella direzione (8, f/J), con polarizzazione descritta dal versore (even-
tualmente complesso) Pr, la potenza trasferita al carico e data da
?
P= 41T G(8, f/J) 8(8, f/J) Ipi(8, f/J). Pr(8, f/J)12.
11 fattore
K(8, f/J) = Ipi(8, f/J) · Pr(8, f/J)1 2
[10]
coincide con quello di depolarizzazione (vedi 5.2.8). II valore m assimo, 1, si ha per
Pr (8, f/J) = pi «(J, f/J)
avendosi, in questo caso,
"A.2
p= 411' G(8, lfJ) 8(8, lj»=A(8, f/J) 8(8, lj».
Se l'onda incidente non e piil monocromatica, ma tuttavia a banda stretta (sicche
l'adattamento del carico all'8IJ.tenna possa ritenersi tale in tutta la banda e la sua area
efficace possa ritenersi ivi I costante), la potenza media ricevuta dall'antenna pub
ottenersi come media temporale, dove Ie grandezze lentamente variabili sono solo
quelle dell'onda incidente.
A tal fine, conviene scrivere l'espressione della potenza ricevuta P in forma diversa,
in troducendo Ie diadi
/'i
*
Pi8 Pi8
*
Pi8 Pit/>
*
Pit/> Pit/>
*
Pit/>Pi8
*
Pre Pre
*
Pre PI'</>
/',. 
* *
Prq,Pr8 Prq,P,.</>
La potenza ricevuta si esprime cosi nella forma compatta
""
P = 8 (8, f/J) A (8, f/J) Tr fir jA i ] ,
dove con il simbol0 Tr si indica la traccia della matrice. n valor medio della potenza e
calcolablle come la media temp orale della precedente espressione, dove la grandezza
lentamente v aria bile e /'i (proporzionale alla matrice di coerenza del segnale inci-
dente) e
(8(8, f/J»=so.
Scomposta la matrice ;ti nella parte polarizzata e in quella polarizzata, e suppo-

6.4 I Riepilogo
361
nendo che l'antenna sia adattata per la prima delle due, si ha
1
P=2 (1 +m)soA(8, 4»,
dove m = SI) Iso e detto grado di polarizzazione.
6.4 Riepllogo
In questo capitolo sona state illustrate alcune possibili rappresentazioni della pola-
rizzazione del campo elettromagnetico. Una prima possibilita. e i1 fare riferimento a
una base di rappresentazione. Se interessa la polarizzazione del campo su una super-
ficie assegnata, una base e data da due versori p e q, eventualmente complessi, giacenti
suUa superficie e tali che
p · q* =0.
La polarizzazione del campo e allora individuata dalle componenti di questo nella
base prescelta. Nelle applicazioni di antenne e utile scegliere per i versori p e q quelli
corrispondenti al campo irradiato da due areole di Huygens, con dipoli elettrici (e
magnetici) mutuamente ortogonali.
Un modo alternativo di rappresentare la polarizzazione e mediante i parametri di
Stokes
So, SI, S2' S3
legati tra loro dalla relazione (per campi sinusoidali)
s = s + s + s .
L' angola di orientazione .p e quello di eccentricitiz 'Y dell' ellisse di polarizzazione
sono lega ti ai parametri di Stokes dalle relazioni
SI =So cos 21 cos 21/1
S2 =So cos 21 sin 21/1
S3 =So sin 21.
Le SI, S2, S3 possono geometricamente interpretarsi come Ie coordinate cartesiane
di un punto di coordinate polari (so, Tr/2 -21, 2 t/J) che giace su una sf era detta di
Poincare.
Se il segnale non e onocromatico, ma a banda stretta, i parametri di Stokes
possono ancora defmirsi come i valori medi temporali delle espressioni considerate
per i1 caso monocromatico. Se Ie variazioni lente delle grandezze del campo sono
i"egolari, ma possibilmente tra loro parzialmente correlate, il campo totale pub
essere scomp osto in una parte polarizzata, caratterizzata da parametri di Stokes
SI)= v'S  +s +s, $1, S2, S3,

362
Polorizzazione I Cap. 6
e in una parte non polarizzata, caratterizzata da parametri di Stokes
S2) =So -s(1), SI =S2 =S3 =0.
Si PUQ COS! defmire i1 grado di polarizzazione dell'onda
Sl)
m=-
So
che svolge un ruolo importante nel caso di ricezione di onde parzialmente polarizzate
(ad esempio in radioastronomia).
Traduzione deUe citazioni riportate all'inizio del capitolo
80 anche riflettuto sulla possibilita di fomire una spiegazione imperfetta di queUa caratteristica
deUa luce che costituisce la polarizzazione, senza tuttavia discostaimi dalla teoria originale dell'on-
dulazione. Vi e l'assunto t in questa teoria, che in un mezzo omogeneo tutte Ie onde si plOpaghinO
solo secondo supelfici sferiche concentrlche, come Ie ondulazioni del suono; esse consistelebbero
semplicemente nel mota di va e vieni delle particelle in direzione del raggio, accompagnato da
condensazioni e rarefazioni. E' tuttavia possibile spiegare t nell'ambito di tale teoria, la presenza di
una vibrazione trasversale, plopagantesi anch'essa nella direzione del raggio e con uguale velocita,
mentre il moto delle particelle avviene in una certa direzione, costante rispetto al raggio; e questa
e la polarizzazione.
Lettera di T. Young a J.-F. D. Arago (1817).
Riferimenti bibllografici
Ludwig A. C., The Definition of Cross Polarisation, IEEE Trans. Antennas Propagat., 21, 116-19
(gennaio 1973).
Hollis J. S.t Lyon T. J. e Clayton L., Microwave Antenna Measurements, (Scientific-Atlanta,
Atlanta 1970).
Franceschetti G. e Smith C. P., Representation of the Polarisation of Single Mode Fibers using
Stokes Parameters, JOSA, 71, 1487-91 (1981).
Stokes G. G., On the Composition and Resolution of Streams of Polarized Light from Different
Sources, Tlans. Cambridge Phil. Soc., 9, 399 (1852); rist. in Mathematical and Physical
Papers vol. 3 (Cambridge University Press, Londra 1883) pp. 233-58.
Ulrich R. e Simon A., Polarization Optics of Twisted Single Mode Fibers, Appl. Opt., 18, 2241-
51 (1979).

Formulario
1 Ana1isi vettoriale
Relazioni di moltiplicazione
A. (BX C)=B. (CX A)=C. (AX B)
A X (B X C)= B(A. C)-C(A. B)
A X (B X C) - C X (B X A) = B X (A X C)
(A X B). (CX D) =(A. C) (B. D)-(A. D) (B. C).
Relazioni differenziali
Nelle fonnule seguenti A e B sono funzioni vettoriali; <I- e '11 sono funzioni sca1ari
(di punto); sia per Ie une sia per Ie altre devono essere soddisfatte opportune condi-
zioni di continuita e di derivabilita.
V( +'11)= V + V '11
V. (A+B)=V. A+V. B
Vx (A +B)=Vx A + Vx B
V('I1)=<I-Vw + 'I1V4» .
V (A · B) = A X V X B + B X V X A + (B · V) A + (A · V) B
V. (A)=V. A+V. A
V. (A X B) = B · V X A - A · V X B
Vx (A)= VX A +tI»Vx A
'VX (AX B)=A V. B-BV. A +(B. V)A -(A · V)B
V · V 4» = V 2 <I-
VxV<I-=O
V. Vx A=O
Vx V X A = VV · A - V 2 A
Vf()= ['(4)>) V
V2('It) = V2 '11 +V · Vw +V2 '11
V2(A)=  V 2 A + A V 2  + 2(V. V)A
VV.(<I-A)= (V4») V. A +VV. A +V X V X A +(A. V)V<I» + (VtI» · V)A
VxV X (<I-A)=VX Vx A-AV2 +(A .V)V+Vx Vx A+
+ V4» V. A -(V · V) A.

364
FormulQrio
Relazioni integrali
Nelle formule seguenti Veil volume limitato da una superficie chiusa S; it versore
n e normale a S e diretto in senso positivo verso l' esterno.
Curve e superfici limitanti i domini di integrazione sono supposte regolari. Le fun-
zioni devono essere monodrome con derivate generalmente continue (esse possono
diventare infmite suI contorno, nel qual caso gli integrali vanno intesi come valore
principale),
I fin. V X AdS=t A . dl (teorema di Stokes)
S 1
J I I V. Ad V= # A · in dS (teorema di Gauss)
V S
H 4»  dS= H J (4)> V 2 \}1 + V4» · V \}I) d V (10 teorema di Green scalare)
s v
11 (<II : -\}I : ) dS= HI (4)>V2\}1_\}IV24>>dV
s v (2 teorema di Green scalare)
11 in · (A X V X B) dS = H I (V X A · V X B - A · V X V X B) d V
s. v (1° teorema di Green vettoriale)
H in. (AX V X B-BX V X A)dS= HI (B. V xv X A-A. V xVX B)dV
S V (2° teorema di Green vettoriale)
IHV4»dV= # 4»indS
V s
HI VXAdV= #in XAdS
V s
J J in X V4»dS=+4»dl.
S I
Coordinate cartesiane
Illoro significato e illustrato dalla figura 1.
(A. B)=AxBx + AyBy + Az Bz
(A X B)=(AyBz - AzBy) ix + (AzBx - AxBz) iy + (Ax By - AyBx) i z
V <I> = a . + del> . + d<l> .
d x Ix d y Iy a z 1%
dAx dAy OA z
v. A= dX + dZ + dZ
. _ ( dA z dAy ) . ( dA x dAz ) . ( dAy dAx ) .
Vx A- ay - az Ix + dZ - ax Iy + dX - ay Iz

Formulario
365
/P(X, y, z)
iy
ix
........ ./' 
....... ./
" ./
" I ./'
....... ./'
___ ____ __::.:J,...-
x
Figura 1
V2 = a 2 cp + 0 2 41> + 3 2 cp
3x2 3y2 OZ2
V 2 A=(V 2 Ax) ix + (V 2 Ay) iy + (V 2 Az) i z .
Coordinate cilindriche
Tali coordinate so no legate aIle coordinate cartesiane ortogonali (vedi fig. 2) dalle
relazioni
{ X =r cosllJ
y=rsiJ1</J
z=z,
con r=(x 2 +y2)1/2, tgcp=ylx.
Le formule di trasformazione per i versori tangenti aile linee coordinate sono
{ ir = ix cos «J + iy sin 'fJ
i.p=- ix sin 'P+ iy cos 'P
i z = iz
{ i x = i r coscp- icp sin cp
iy = i,. sin cp + iv> cos cp
iz = i z
Le relazioni di moltiplicazione tra i vettori assumono la forma seguente:
A.. B=ArBr + Aq,Bcp + AzBz
A X B= (A(/>B z - AzBq,) i,. + (AzBr - ArBz) iq, + (ArBq, - AcpBr) iz,
e gli operatori differenziali si scrivono
V  a . + 1 0 . + 0 .
'J:' = 0 r lr 7 08 18 0 Z lz

366
Formulorio
z
1
I if
IZ
I I
I
",.. -1- .........L
/ I "
I
-4 rl
", Cp
y
x
Figura 2
1 a 1 aA(/> aA z
v. A=; ar (rA r ) + -;: all> + az
_ ( 1 oAz oAC/> ) . ( aAr OAz ) . 1 r a aA r ].
VXA- -; aq, - az .,.+ a;-- ar I</>+-;[ ar (rA</»- aq,JIz
V 2 4>=1.1- ( r a<l» +-L a24> + a 2 4>
r ar ar' r 2 a(/)2 Oz2
2 ( 2 At 2 O Acp )
V A= V A r --;2- r 2 OVJ i r +
( 2 Acp 2 OAr )
+ V A --+-- i +(V 2 AZ)i z .
4{J r 2 r2 a cp t()
Coordinate sferiche
Tali coordinate sono legate aIle coordinate cartesiane ortogonali dalle relazioni
(vedi fig. 3)
{ X = r sin 8 cos l/>
y =r sin 8 sint/>
z=r cos
con
y
r=(x 2 +y2 +Z2)1/2, tg8=(x 2 +y2)1/2/z, tg</>=-.
x
Per i versori tangenti aile linee coordinate, in ogni singolo punto, valgono Ie for-

Formulario
367
mule di trasformazione seguenti:
{ ir = ix sin 8 costP + iy sin 8 sin tP + iz cos 8.
 = ix cos 8 cos cP + iy cos 8 sin tP - i z sin 8
iq, = - ix sin tP + iy cos l/>
{ ix = i,. sin 8 cos cJ> +  cos 8 cos cJ> - iq, sin c1>
iy = i r sin 8 sin cf> + i8 cos 8 sin tP +  cos cJ>
iz = i,. cos 8 - ie sin 8 ·
Le espressioni del prodotto scalare e di quello vettoriale diventano
A- B=ArBr+A8B8 +Aq,Bcp
A X B=(A 8 BC/> - Aq, B 8) i r + (Atf>Br - ArBq,) i8 + (ArBe - A8 Br) iq,;
mentre gli operatori differenziali si scrivono
nn,. a. + 1 a . + 1 a.
v'¥ = a r Ir -;: a 8 18 r sin 8 a cP 1q,
_ 1 a 2 1 a. 1 a Aq,
V-A-T- a (r Ar)+ . 8  8 (sm8A8)+ . 8 acp
. r r r sIn u r sm
- 1 [ a. aAe ] .
VXA- rsin8 08 (sm8Aq,)- acp 1,+
1 [ 1 a A r a .1 . 1 [ a a A r ] .
+ -;: sin8 a;p- - ar (rAq,)J Ie + -;- ar ( rA e)----a7f 
V2cI>=...L  ( r2 a ) + 1 .1.... ( sin 8 a4» + 1 a 2 <1>
r 2 a Tar r 2 sin 8 a 8 a 8 r 2 sin 2 8 a 2 .
x
Figura 3

368
Formulorio
2 _ ( 2 _ 2Ar _ 2 ctg(1 _ 2- oAo 2 oA<J> ) .
V A- V Ar 2 2 Ao 2  6 2. Ih 1r +
r r r u r sm (1 u'l'
( 2 2 oAr 2 cos (1 OA<I» .
+ V Ao + -;2 --aiJ - r 2 sin 2 (1 0<1> Ie +
+ ( V 2 A + 2 aA, _ 1 AI/>+ 2cos8 aAO ) .
<I> ,2 sin (1 0 cp ,2 sin 2 8 ,2 sin 2 (1 a 4>  .
Coordinate ortogonali generiche
In uno spazio tridim ension ale, siano Ut (x, y, z), U2(X, y, z), U3(X, y, z) coordi-
nate curvilinee ortogonali tali che il volume elementare limitato dalle superfici coor-
dinate sia esprimibile come d V=h 1 h2 h 3 du 1 dU2 dU3. I coefficienti metrici '-h i si pos-
sono calcolare con la formula
2 . 2 2
h;= ( ox ) + ( OY ) + (  ) , i=1,2,3;
au. OU' OU-
I I I
illoro significato e peraltro chiaro dalla figura 4. I versori tangenti aile linee coordi-
nate in ogni singolo punta sono
· 1 [ OX · + oy. + OZ · J
t; =- h  Ix Iy  lz .
i uUi uUi uUi
Le espressioni degli operatori differenziali diventano
V ",. 1 0<1>. + 1 oel>. + 1 0<1> .
'¥=- h _ a II - h  12 - h  13
1 UI 2 uU2 3 uU3
1 [ a 0 0 ]
V-A= h h h (h2h3Al)+ (h3hIA2)+ (h 1 h 2 A 3 )
1 2 3 uUl uU2 uU3
VX A= h23 [a: 2 (h3 A 3)- a: 3 (h 2 A 2 )] i 1 +
+ h:h l [ a: 3 (h 1 A 1 )- a: 1 (h3A3 i 2 +
+ h 1 1 h 2 [a: 1 (h 2 A 2 )- a: 2 (h I A 1 )] i3
2 1 a ( h 2 h 3 a <I> ) a ( h 3 h I a<l»
V= - - +- - +
. hlh2 h 3 aUl hi OUI OU2 h 2 OU2
o ( hlh2 o )
+- .
OU3 . h3 aU3
2 Analisi diadica
Rapp,esentazione della diade
CC=Cxxixi x + C xy ixiy + Cxzixi z + Cyxiy ix + C yy iyiy +Cyziyiz +
+ C zx i z ix + C zy i z iy + C zz iz iz,
ovvero
=ix +iyc;, +izCi,

Formulorio
369
Figura 4
dove
 = C xx ix + Cxyiy + Cxzi z
sono i vettori riga della diade.
In alternativa,.
CC=C;i x + iy +Ciz,
dove
 =Cxxi x +C yx iy +Czxiz
""-J
sono i vettori colonna della diade. La diade trasposta  si ottiene dalla diade  scam-
biando Ie righe con Ie colonne.
n prodotto di una diade per un vettore e dato da
. A=C;A x +CAy +CAz
A .=AxC +Ay +Az;
un'espressione analoga vale per i prodotti vettoriali. Si noti che Ie operazioni di pro-
dotto non sono commutative, e cioe . A =1= A ., a meno che la diade ct non sia
simmetrica, e cioe = fl.
Relazioni di moltiplicazione tra vettori e diadi
A e B sono vettori; t:t e  sono diadi.
-
A.=.A
(A .) · B = A · (. B)= A · ct. B
(A X B). =A. (B X)=-B. (A xct)
(<tfx A). B=. (A X B)=-(X B). A, ma non (. A) X B
(A x<tf). B=A X (. B)
(A .)x B=A. (x B)
(AX)X B=Ax (x B)=AXX B
.
24

370
Formulario
(.). A=' (. A)= .. A
(A X) ·  = A x ('t.) = A X . 
(.)X A=. (X A)= .!lJx A
(X A). = CC. (AX!?})
-
A..B=B.ft.A
($X A). B=A. ($X B)=AX B;  e la diade unitaria
($x A).=AX=(AxJ).
JX(AXB)=BA-AB
 X A = A X  la piu generale diade an tisimmetrica.
Relazioni differenziali tra vettori e diadi
VA = · a A + . a A + . a A
Ix a ly a lz a
x y z a ae; a
v.ct=(v. )ix +(V. )iy +(V. )iz= ax + ay + az
vx=(Vx )ix +(V X) iy +(Vx )iz =
= ( a c: _ a c ) i + ( a c _ () c ) i + ( a c _ a c ) .
ay a z x az ax Y ax ay Iz .
V2  vv.ct-vxvxct= a2 + a2. + a 2 ct
ax 2 ay2 az 2
V. vx=o
Vx VA=O
V(AX B)=(VA)x B-(VB)x A
V(4)B)=VB+VB
V. (AB)=(V. A)B+ A. VB
V. (<t)=VcI». +v.
V. (A xct)=(V X A). - A. VX
Vx ()=vx + Vx.
Relazioni integrali per Ie diadi
II in · V X ctds=fi,. CCdl
S I
JH v.ctdv=Hin .ctdS
v S
HJ [A. (VV .ct)-(VV. A) .ct] d V= H [(in · A) V. -(V · AHin .CC)] dS
v S
HJ [(vx V X A) .ct- A. (Vx V xct)]dV.= If [AX (Vxct)-(Vx A)xct]dS.
v S
I Dove [ ]t significa "trasposta".

Glossario
a
a(r, t)
A(6, 4»
A(r, w)
Am(r, w)
b(r, t)
B
B(r, w)
A
B(k, w)
c
c(r, t)
C

cosx
ctgx
d(r, t)
D(6, <fJ)
D,DM
D(r, w)
A
D(k, w)
e(r, t)
e(t)
en (r)
E(r, w)
A
B(k, W)
L(6, <fJ)
expx
-lunghezza
potenziale vettore
area efficace
potenziale vettore
potenziale vettore magnetico
induzione magnetica
brillanza
induzione magnetica
induzione magnetica
velocita della luce
momenta angolare
densita lineare di capacita
matrice di coerenza
coseno di argomento x
cotangente di argomento x
induzione elettrica
diagramma di direttivita
direttivi ta
induzione elettrica
induzione elettrica
cam po elettrico
funzione vettoriale modale
vettore di base
campo elettrico
campo elettrico
campo elettrico irradiato per r -")- 00
esponenziale di argomento x

372
f
f(r, t)
f(6, If>)
F(6, If>)
F(r, w)
( , ,
(Ie r, r ; t, t )
,. , ,
I'h (r, r ; t, t )
I ,
ge(r, r ; t, t )
, ,
gh(r, r ; t, t )
G
G
h
h(r, t)
h(t)
h(8,lf»
h n (r)
h,.(8, If>)
H(r, w)
iI(k, w)
Ho
h) (x)
h2) (x)
i(z, t)
i+(z, t)
i -(z, t)
ib
i ,
in
it
ix, iy, iz
iT' i8, i((>
1
l(z)
l(z, w)
]+(z, w)
]-(z, w)
10
J
j (r, t)
jo (r, t)
jm (r, t)
js (r, t)
Glossorio
frequenza
densita di forza
vettore di radiazione
fattore di allineamento
densita di forza
risposta impulsiva (diadica) elettrica
risposta impulsiva (diadica) magnetica
risposta impulsiva (scalare) elettrica
rispulsta impulsiva (scalare) magnetica
guadagno
densita lineare di condu ttanza
costante di Planck
campo magnetico
funzione vettoriale modale
altezza efficace
vettore di base
altezza efficace in ricezione
campo magnetico
campo magnetico
campo magnetico statico di polarizzazione
funzione sferica di Hankel di prima specie
funzione sferica di Hankel di seconda specie
corrente
corrente diretta
corrente riflessa
versore binormale
versore tangente a una curva I
versore normale a una superficie
versore tangente a una superficie
terna di versori cartesiani
terna di versori sf erici
in tensita
funzione scalare mo dale
corrente
corrente diretta
corrente riflessa
fasore di un generatore ideale di corrente
mat rice unitaria
densita di corrente elettrica
densita di corrente elettrica sorgente del campo
densita di corrente magnetica
densita lineare di corrente elettrica

Glossorio
jmo (r, t)
jmS(r, t)
J(r, w)
Jo(r, w)
Jm(r, w)
JS(r, w)
Jt(r, w)
J mo (r, w)
Jm S(r, w)
Jmt(r, w)
Jt(r, w)
jn(x)
J n (x)
k=(j-ja
k z
k;
k
K
L
m
m
m(r, t)
M
M(r, w)
Ms
n
N
No
P
P=Ol+jW
Pe
Pm
Po (t)
Po
Pe
Pm
Pmo (t)
p (r, t)
P(z)
Pn(x)
P:'(x)
373
densita di'corrente magnetica sorgente del campo
densita lineare di corrente magnetica
densita di corrente elettrica
densita di corrente elettrica sorgente del campo
densita di corrente magnetica
densita lineare di corrente elettrica
densita di corrente elettrica trasversale
densita di corrente magnetica sorgente del campo
densita lineare di corrente magnetica
densita di corrente magnetica trasversale equivalente
densita di corrente elettrica trasversale equivalente
funzione sferica di Bessel di prima specie
funzione di Bessel di prima specie
costante di propagazione
costante di propagazione in guida
au tovalore trasversale in guida
vettore di propagazione
costante di Boltzmann
densita di induttanza
massa
grado di polarizzazione
vettore magnetizzazione
densita lineare di mutua indu ttanza
vettore m agnetizzazione
vettore magnetizzazione di saturazione
indice di rifrazione
densita di numero di particelle
densita media del numero di particelle
pressione
frequenza complessa
densita media di potenza fornita da sorgenti elettriche
densita media di potenza fornita da sorgenti magnetiche
potenza fornita da sorgenti elettriche
pressione media
densita media di potenza complessa fornita da sorgenti elettriche
densita media di potenza complessa fornita da sorgenti magnetiche
potenza fornita da sorgenti magnetiche
vettore densita di polarizzazione
potenza complessa
polinomio di Legendre di argomento x
polinomio associato di Legendre di argomento x

374 Glossorio
q carica elettrica di una particella
q vettore di polarizzazione
Q carica elettrica
Qn fattore di merito
r coordinat a spaziale
R costante universale dei gas
R densita lineare di resistenza
Ri resistenza di ingresso
R. resistenza di radiazione
117'
Ro resistenza caratteristica
R(z) resistenza di ingresso
ROS rapporto d' onda stazionario
s(r, t) vettore di Poynting
SO,Sl,S2,S3 parametri di Stokes
S superficie di integrazione
S(r) vettore di Poynting
!/ tensore degli sforzi di Maxwell
sgnx segno dell'argomento x
sin x seno di argomento x
sine x (sin x)/x
t coordinata temporale
t* = t-rlc tempo ritardato
t=xi x + yi y coordinata trasversale
T temperatura assoluta
T periodo di oscillazione
TR temperatura di rumore
T(r, t) coppia meccanica
tgx tangente di argomento x
tg - 1 X arcotangente di argomento x
Tr traccia della ma trice
u velocita dell'onda acustica
u impedenza normalizzata
u(r, t) momento di dipolo elettrico
urn (r, t) momenta di dipolo magnetico
U(t) funzione di Heaviside
U(r, w) momento di dipolo elettrico
Um(r, w) momento di dipolo magnetico
v(z, t) differenza di potenziale
v+(z, t) differenza di potenziale (onda diretta)
v-(z, t) differenza di potenziale (onda riflessa)
,vI velocita di fase

GIOSSDrio
V g
v(r, t)
Y
V(Z)
Y(Z)
y+ (z)
Y-(Z)
Y G
V(r, W)
w
we
W em
W
W(w)
z
Z(z)
Z.
,
Zn
Zo
Zs
x
X
X.
,
Y
Y n
Yo
Ys
Yn(X)
Q
f3
f3 a
f30
"1
"1
"1
r(o rv)
r]
r ll
r 1
375
velocita di gruppo
velocita
volume di integrazione
tensione
funzione scalare modale
tensione diretta
tensione riflessa
fasore del generatore ideale di tensione
velocita
densita di energia
densita di energia cinetica
densita di energia elettromagnetica
energia elettromagnetica
funziorie di trasferimento
coordinata cartesiana
impedenza di ingresso (linea di trasmissione)
impedenza di ingresso (antenna)
impedenza di ingresso (cavita)
impedenza caratteristica
impedenza superficiale
coordinata cartesiana
reattanza
reattanza di ingresso (antenna)
coordinata cartesiana
ammettenza di ingresso (cavita)
ammettenza caratteristica
ammettenza superficiale
funzione sferica di Bessel di second a specie
costante di attenuazione
costante di propagazione
costante di propagazione acustica
costante di propagazione elettromagnetica
costante di propagazione di Bloch
angolo di perdita
angola di eccentricita (parametri di Stokes)
coefficiente di riflessione di tensione
coefficiente di riflessione di corrente
coefficiente di riflessione di Fresnel, polarizzazione parallel a
coefficiente di riflessione di Fresnel, polarizzazione normale

376 Glossorio
6 profondita di penetrazione
6nm simbolo di Kroneker
6 (x) funzione di Dirac di argomento x
E costante dielettrica 0 permeabilita
Er costante dielettrica relativa
Eo costante dielettrica del vuoto
E costante dielettrica diadica
 nnpedenzaintrinseca
11 coefficiente di efficienza
11 = cos (J coordinata sferica
8 angolo
8 coordinata sferica
8 B angolo di Brewster
(Je angolo limite
(JB pseudoangolo di Brewster
A' lunghezza d' onda
Ae lunghezza d'onda critica 0 di cut-off
Ag lunghezza d' onda in guida
Il costante magnetica 0 permittivita
Ilo costante magnetica del vuoto
Ilr costante magnetica relativa
J1 costante magnetica diadica
 fattore di disadattamento
D(r, w) potenziale di Hertz
P densita di carica elettrica
Pm densita di carica magnetica
Po densita di carica elettrica (sorgente)
Ps densita di carica elettrica su perficiale
Pmo densita di carica magnetica (sorgente)
PmS densita di carica magnetica superficiale
a conducibilita
a sezione radar
T coefficiente di trasmissione

Glossorio
t/>
(r, t)
(r, w)
(t)
(z, t)
1/1
'¥ (t)
\{1 (z, t)
x
377
eoordinata sferiea 0 eilindriea
potenziale sealare
potenziale sealare
funzione potenziale in guida (modi TM)
densita lineare di flusso dell'induzione elettriea
angolo di orientazione (parametri di Stokes)
funzione potenziale in guida (modi TE)
densita lineare di flusso dell'induzione magnetiea
fattore di depolarizzazione
Segni matematici
, (apiee)
.
(x (t), Y (t»
.
x
V
V.
Vx
V 2
V2


derivata: a' (t) = da/ d t
eomplesso eoniugato : (a + j b )* = a - j b
J x(t)y*(t) dt
prodotto seal are : a · b
prodotto vettoriale: a X b
gradiente: Va
divergenza: V. a
rotore: Vx a
laplaeiano sealare: V2 a = V · V a
laplaeiano vettoriale: V 2 a = VV. a - V X V X a
all'incirea uguale
asintotieamente uguale
Unita di m isura
A ampere
C coulomb
F farad
H henry
Hz hertz
K kelvin
kg kilogrammo
m metro
Q ohm
s secondo
S siemens
sr steradian te
V volt
W watt
Wb weber