Paolo Marcellini - Carlo Sbordone
Elementi di Analisi Matematica uno
Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea
Liguori Editors
PREF AZIONE
pag.
CapUolo 1 — I NUMERI E LE FUNZIONI REAU
1.	Premessa
2.	Gli assiomi del numeri reali______________________ " 12
3.	Alcune conseguenze degli assiomi dei numeri reali_	” 13
4.	Cenni di teoria degli insiemi_~_______________.___ ” 17
5.	Numeri natuiali, interi, razidnaii_____...____.___” 20
6.	Funzioni e rappresentazione cartesiana-»---~-- ”	22
7.	Funzioni invertibili. Funzioni monotone.____   ”	24
8.	Funzioni lineari. Funzione valore assoluto_«._____ ” 26
9.	Le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo__ ”	30
10.	Le funzioni trigonometriche_________________   °	34
Appendice al capitolo 1
11.	П principle di induzione39
Capitolo 2 — COMPLEMENT! Al NUMERI REALI
12.	Massimo, minima, estremo superiore, estremo inferiore.. ” 43
13.	Calcolo combinatoric________________________.___________ ” 49
14.	Il binomio di Newton__________________________»_________ ” 51
Appendice al capitolo 2
15.	I numeri complessL.______...
CapUolo 3— LIMIT! DI SUCCESSION!
16.		J*	61
17.	cfimziOTu. & pi*imc	3>	63
18.	Succsssi^ini liinitdt0i*fi**i**M«iH*»»*«ii*i*i«*****«»»*«***i*i**Mi*i*i**M«»**>M*»H*ii*M+4**iMi«		67
19.	ОрСГ 323.0111 СОП 1 llTUltl **»»iM.^M*i-MM^*****Mw»»»*»m**»**»»«**»**-—	n	68
20.	j^Ol'ЦЮ Hid d^ ПНЮ.	||№М«1*«***1НН*Н**14*1*М*М**ММмп*М*И«*|**^*>>*Ю>>>»м>>		70
21.	Teoremi di confronto^.	.....	——		71
22*	Altre propriety dei iimiti di succession!...».			>>	72
23.	Alcuni Iimiti notevoh а».....»».*.»..»....*»...**..».....*.».....		74
6 Indite
24.
Succession! monotone	pag. 78
Il numero e-----------------------.----.----—----- ” 79
Appendice al capitolo 3			
26.	Infiniti di ordine crescente					84
27.	Succession! estratte. П teorema di Bolzano-Weierstrass—		85
28.	Succession! di (xauchy		87
Capitolo 4 — LIMIT! DI FUNZIONI. FUNZIONI CONTINUE
29.		»»	91
30.	П gf] П191 ПИ I т-._ >11.1Г11П1.г..Г1гг -1Г.г--ГП-Г - - Г	—1 —T—1-1T	л--гт r--- -4	»»	94
31.	Legame tra limit! di funzioni e limit! di succession!.—..	7?	97
32.	Esempi e propriety dei limit! di funzionR				98
33.	unziom continue-...—-———«—.««—««*—«•.««*......—	11	101
34.	1^) tsco n tiiAmty. ...—.««««———	IF	103
35.	Alcuni teoremi suite funzioni continue				»•	106
Appendice al capitolo 4
36.	Metodo di bisezione per il calcolo delle radici di una
equazione **аеее«ммм« m«vm-	»♦»*•*** ы*»»нм» **« *««** м« «*«»**».».” ш
37.	Dimostrazione del teorema di Weierstrass___________.. ’’ 114
38.	Continuity delle funzioni monotdne e delle funzioni in-
” 115
Capitolo 5 — DERIVATE
39.	Tasso di accrescimento. Significato meccanico della
denvata	°	119
40.	Defmizione di denvata	._________________ ’’ 120
41.	Operazioni con le derivate.—........______________.___.	”	123
42.	Derivate delle funzioni composts e delle funzioni inverse	”	125
43.	Derivate delle funzioni elementari.________________________ ”	128
44.	Signfficato geometrico della denvata.	Retta	tangente.......	”	131
Appendice al capitolo 5
45.	Le funzioni trigonometriche inverse.” 137
Capitolo 6 — APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI
FUNZIONI
46.	Massimi e minimi relatzvi. Teorema di Fermat............... ” 141
47.	I teoiemi di Rolle e di Lagrange...-------------------------- ” 144
Indice 7
48. Funzioni crescent! e decrescent!	pag. 146
49. Funzioni convesse e concave ----------------------..----- ” 148
50.	II teorema di L’Hdpital... ___________________________________________ *’ 152
51.	Studio del grafico di una funzione--------------------.........------- ” 155
52.	La formula di Taylor: prime propriety,™_______________________________ ” 158
Appendice al capitolo 6
53.	Il teorema di Cauchy. И teorema di L*H6pital nel caso gene-
r^ll^Z	 ч	I	n... ..«.W.. ......... W.JW.	163
Capitolo 7 — FUNZIONI DI PIU VARIABILI
54.	Funzioni di due variabili: dominio; rappresentazione car-
tesiana	..... " 169
55.	Limiti e continuity	178
56.	Derivate parziali. Gradients---------------------------------------------------------------------      ”	180
57.	Derivate successive. Teorema di Schwarz_______....—..—  ” 184
58.	Massimi e minimi relativi..-..____________________________________________________________________  ’*	187
59.	Funzioni di tie о pih variabili	reaM v кфф i t* i M « •*« М4Г M« «	« « « * r •• ««4 *	M * **• *»» ’	‘	193
Appendice al capitolo 7
60.	Differenziabilith	196
Capitolo 8 —	INTEGRAL! DEMNITI
61.	П	k***w*h**m-bo***mi**m*»*m4***m»m*»*»»m»b.»»b«i»4m-»u»*i.ow**	199
62.	J	~	J 11 —	- г г |Г1 fT , mtxll‘lit1irl4tinnri.ni ri inlirlirlui ji.i1
63.	Propriety degli integral! definitiH.				—” 208
64.	Il teorema della media					 ”	211
Appendice al capitolo 8
Uniforme continuity. Teorema di Cantor. Funzioni
lipschitziane
Integrabilita delle funzioni continue rw«fe*v*• 1 W+W«tt<*** «tt t• • >»>• • r• » • *
65.
66.
213
216
Capitolo 9 — INTEGRAL!INDEFINTH
67.	Il teorema fondamentale del calcolo integrals_____________”	217
68.	Primitive. Formula fondamentale del calcolo integrate___ *’	218
69.	L’integrale indefinite..........---.™„.----------------- ” 221
70.	Integrazione per decomposizione in somma............_____ ”	223
71.	Integrazione delle funzioni razionali_____________________”	225
8 indice
PREFAZIONE
72.	Integrazione per parti-----------------------------------pag. 230
73.	Integrazione per sostituzione---------------«------------ ” 232
74.	Calcolo di aree di figure piane.«..(_______________________ ”	236
Appendice al capitolo 9
75.	Integral! impropri_________________________________________ ”	238
76.	Definizione di logaritmo, esponenziale,	potenza~________ ”	241
Capitolo 10 — FORMULA DI TAYLOR
77.	Resto di Peano_________________ ”	245
78.	Uso della formula	di	Taylor nel calcolo di limiti_ ”	250
79.	Resto integrate________________ ”	253
80.	Resto di Lagrange.—..”	254
Appendice al capitolo 10
81.	Tabulazione di funzioni-—«..._____________________” 255
Capitolo 11 — SERIE
82.	Serie numeriche	,«	«.			259
83.	Serie a termini non negativi						263
84.	La serie geometrica.n««««MMM.«.««»M.««.«.»«w».«.«m«.MM.m«.«.«.4.H.	91	264
85.	La serie armonica			.«„«.			>1	266
86.		It	269
87.	alternate	......	11	272
88.	Convergenza assoluta				11	274
Appendice al capitolo 11
89.
Serie di Taylor
275

Gli autori hanno realizzato questo testo di Elementi di Analisi Matema-
tica uno rielaborando il materials del volume di Analisi Matematica uno. gift
ampiamente sperimentato in van corsi universitari di laurea e di diploma.
E stata tenuta nella massima considerazione 1’esigenza, sentita da molti,
di un libro di testo rigoroso nei contenuti e, allo stesso tempo, snello e di
facile lettura; ci6 infatti dovrebbe facilitare lo studio della maggioranza di
quegli student! che si awicinano al corso universitario di Analisi Matema-
tica uno con il timore (o, forse, con il preconcetto) di non essere a priori in
grade di comprendere a fondo 1’argomento. Nel contempo> non e stato
sottovalutato il desiderio di quegli studenti, e non sono pochi, che deside-
rano approfondire argomenti appresi a lezione e risultati particolarmente (e
talvolta inaspettatamente) interessanti.
Allo scopo di fomire un quadro schematico d’insieme degli argomenti
trattati in questo libro ё proposto di seguito uno schema di collegamento
dei principal! teoremi (in genere, di esistenzd) trattati nel testo; tale schema
dovrebbe contribuire a dare un’idea al lettore del contenuto culturale di un
corso di Analisi Matematica, basato non su di un elenco di formule о
affermazioui fini a s6 stesse, ma su di una serie di argomentazioni logiche
tra loro coerenti e conseguenti. Lo schema dovrebbe rivelarsi utile allo
studente, anche per la preparazione delTesame.
Oltie all’assioina di compietezza, I’intero sistema di assiomi dei numeri real! ё presup-
posto di tutta la teoria.
Altie implicaziom importanti, non contenute nello schema, sono quelle del teorema di
Bolzano-Weierstrass (§ 27), che implica И criterio di convergenza di Cauchy (§ 28) e quella
del teorema dell'esistenza dei valori intennedi (§ 35), che implica la continuity delie funzioni
inverse (§ 38), che a sua volta implica la derivability delle funzioni inverse (§ 42). Inoltre
I’esistenza del limite delle succession! monotdne (§ 24) d utilizzata per lo studio del carattere
delle serie a termini non negativi (§ 83). Infine, il teorema.di Lagrange (§ 47) ha акте
important! applicazioni, ad esempio nei criteri di monotonia (§ 48) e di convessity (§ 49), о
nel teorema di Schwarz sull’inversione dell’ordine di derivazione (§ 57).
10 Prefbztone
1. Premessa
шиаод dl cumpteiezzu (ft 2)
esisrenza deU’esiremo su periore (ft 12)
esislenzn del Hmlte deile
succession! monotone (ft 24)
teorema dl
Bolzano-Wcicrstrass (ft 27)
teorema delTesistabza
degli zeri (ft 35, 3ft)
teorema di Weierstrais (ft 35, 37)
teorema
i Cantor (ft 65)
teoremi deii’esistenza
dei vaJorl Utennedl (ft 35)
u
teorema di Rolfe (ft 47)
integrubililk delle
funzjani continue (ft 66)
u
teorema dl Lagrange (ft 47)
caranerizzazione delte funzioni con
derivata nulla In un intervallo (ft 48)
teorema di Cauchy (ft 53)
caratterizzaziane delle primitive
dl им hinztone In un intervallo (ft 68)
teorema dl L’HOpiUi! (ft 50,53)
teorema della media (ft 64)
u
teorema fantfanrentale
del calcolo integrate (ft 67)
II
formula fandamentale
del calcolo integrate (ft 68)
11
formula dl Taylor
coh fl ratio integrate (ft 79)
II
Il metodo comunemente usato in Matematica consists nel precisare
senza ambiguita i presupposti, da non cambiare durante Felaborazione dei
dati о della teoria, e nel deduure da tali presupposti, in modo logico e
coerente, il maggior numero di informazioni possibili. In altre parole, i
presupposti sono le regole del gioco, che potrebbeto essere state anche
diverse, ma che, una volta iniziato il gioco, non vengono piu cambiate. In
Matematica tali presupposti vengono chiamati postulati о assiomi. Da essi,
mediante dimostrazioni, si deducono i risultati о teoremi. Sinonimo di teo-
rema ё lemma, parola piti spesso usata per indicare un risultato. intermedio,
utile soprattutto per dimostrare un altro teorema; altri sinonimi sono corol-
lario e propositions.
Il nostro punto di partenza e quello di assumere, come postulate, che
esista il sistema dei numeri reali. Cioe assumiamo che esista un insieme di nu-
meri, che chiamiamo numeri reali e che indichiamo con R, su cui sia possibile,
ad esempio, eseguire le quattro operazioni elementari (-ь, -, *, /), oppure
sia possibile stabilire quale e il maggiore tra due numeri.
Il sistema dei numeri reali e sicuramente gia familiare alia maggioranza
degli student! che leggono queste pagine. Infatti stiamo assumendo come
punto di partenza (come assioma) queU’insieme di regole per operare sui
numeri che il lettore ha sempre usato in modo naturale fin da quando ha
imparato a far di conto. Per esempio, e per tutti naturale che 2 + 3 sia
uguale a 3 + 2, о che 2’3 = 32. Esprimiamo cio in modo generale per due
numeri reali a, b, dicendo che valgono le proprieta commutative della
somma e del prodotto:
(1.1)	a + b = b + а,	a * b = b • a
П lettore conosce sicuramente (provi a scriverle) anche la propriety
associativa, sia rispetto alia somma che al prodotto, e la proprieta distribu-
Formute di Taylor
con II resto di P»nno (ft 52, 77)
formula dl Taylor
con il resto dl Lagrange (ft 80)
12 Capitolo 1
tiva. Nel paragrafo successive e riportato un elenco complete delle pro-
priety che assumiamo valere per assioma. Dividiamo tali propriety in tre
gruppi; quelle relative alie operazioni, le propriety relative all’ordmamento,
e 1’assioma di completezza.
X Gli assiomi dei numeri reali
Assiomi relativi alle operazioni. Sono definite le operazioni di addizione
(+) e moltiplicazione (•) tra coppie di numeri reali, con le seguenti propriety
(a b, c indicano numeri reali generici):
(2.1)	Proprieta associativa:
(a + b) + c = a + (b + c), (a < b) - c	=» a • (b • c).
(2.2)	Proprieta commutative: a + b = b + av	a-b = b*a.
(2.3)	Propriety .distributive: a*(b + c) = ab + a c.
(2.4)	Esistenza degli. elementi neutri: esistono	in R due numeri distinti 0, 1, tali
che a + 0 - a, a ♦ 1 = a.
(2.5)	Esistenza degli opposti: per ogni numero reale a esiste un numero reale,
indicate con - a, tale che a + (- a) = 0.
(2.6)	Esistenza degli inversi: per ogni numero reale а * 0 erirfe un numero,
mdicato con a“\ tale che a * (a-i) = 1.
Assiomi relativi alFordinamento. Ё definita la relazione di minore о
uguale (£) tra coppie di numeri reali con le seguenti proprieta:
(2.7)	Dicotortiia: per ogni coppia di numeri reali а, Ъ si ha d & b oppure bid.
(2.8)	Propriety asimmetrica; se valgono contemporaneamente le relation! a < b,
b S a, ailora a = b.
(2.9)	Se a < b ailora vale anche a + c S b + c.
(2.10)	Se 0 £ a e 0 <_b ailora valgono anche 0<a + b, 0<ab.
Assioma di completezza
(2.11)	Siano A e В due insiemi non vuoti di numeri reali con la propriety che a < b,
comunque si.scelgano a elemento di A e b elemenio di B. Ailora esiste
almeno un numero reale c tale che a < c S b, qualunqiie siano a in A e bin B.
I numeri e /с funzioni reali 13
3.	Alcune conseguenze degli assiomi dei numeri reali
Nel paragrafo precedente sono state elencate le proprieta dei numeri
reali che vengono assunte come assiomi. Tutte le altre propriety e teoremi
esposti in questo libro discendono dagli assiomi. Sono conseguenze degli
assiomi anche quelle proprieta elementari che in genere fanno parte del
«bagaglio matematico» di ogni studente, come ad esempio il fatto che un
prodotto £ nttllo quando almeno uno dei due fattori e nullo, oppure quella
regola dei segni per il prodotto (che, dagli studenti delle scuole elementari
talvolta e accettata come imposizione, perche incompresa) che schematica-
mente si enuncia: meno per meno fa pi&\ oppure la norma di frequence
applicazione nel risolvere disequazioni: moltiplicando entrambi i membri
per una quantity. negative, il verso della disequazione cambia.
Di seguito esaminiamo alcune propriety, come quelle sopra enunciate,
che sono conseguenza degli assiomi dei numeri reali.
(3.1)	Vale la regola di semplificazione rispetto alia somma: « a + b = a + c,
ailora b = c.
Utilizziamo gli assiomi (2.4) e (2.5), di esistenza dello zero e deiropposto — a, e le
propriety commutativa e associativa:
b ~ 0 + b = [a + (— a)] -f- b =
[(-a) + a] + b = (- a) + (a + b)
essendo a + b = a + c , si ottiene
b = (— a) -h (a + b) = (— a) +	+ c) - [(- a) + a] + c =
— [a + (— a)] + c = 0 + с = c + 0 = c.
(3.2)	Vale la semplificazione rispetto al prodotto: se a • b = a • c e se a 0,
ailora b = c.
Si pub procedere come ле Ila dimostrazione della proprieta precedente. scambiando la
somma con il prodotto e avendo 1‘accortezza di ricordare che 1’iuverso a-1 di un numero
reale a esiste purch6 sia a # 0. In tai caso, nella Hnea della dimostrazione di (3.1), si ha:
b=*b l = l b = (a a,)'b = (a1«a)‘b =
=? a”1 • (a • b) = a”1  (a  c) = (a-1  a) * c =
= (a • a-1) • c = 1 • с = c - 1 — c.
14 Capitolo 1
(3.3)	II prodotto a*b Ъ nullo se e soltanto se almeno uno dei due fatten fe nullo.
Proviamo preliminarmente rimplieazione con il 11яе°; ciofc proviamo che a-0 = 0 per ogni
numero reale a. Ricordiamo che lo zero fe, per I’assioma (2.4), releniento neutro rispettd alia
somma-, cioe tale die a + 0 = a per .ogni reale a; ricordiamo hnche che 1, elemento neutro
rispetto al prodotto, sernpre per Vassioma (2.4) soddisfa la relazione a-1« a per ogni reale a.
In base alia proprieta associativa abbiamo allora.
a+a-0 = a- l+ 3'0 = a-(l +O)=a-l=a — a + 0
da cui, semplificando entramfri i membrl in base alia propriety (3.1), otteniamo aO = 0.
Proviamo ora 1'implicazioneconil «solose»;a talescoposupponiamochea b = 0;sea = 0
la tesi e ragginnta; altrimenti, se a*0, esiste 1’inverso a"1 e -si ha
b = b • I = b • (a ’ a"1 ) = a“* • (a • b) = a-1 • 0 = 0.
Si noti che, nelTultimo passaggio, abbiamo utilizzato quanto gifc proVato nella prima
parte della dimostrazione.
La precedent© proposizione (33) spiega perche nell’ambito dei numeri
reali non sia possibile la divisione per zero, cio6 perche nell’assioma (2.6) di
esistenza dell’inverso a"1 si richieda che a#0. Infatti, se a = 0 allora a*b = 0-b
= 0 per ogni numero rfeale b e percid non esiste un numero reale (Г1 tale che
&04 = 1.
(3.4)	L’opposto di un numero reale Ъ unico.
In base airassioma (2.5), per ogni numero reale a esiste 1’opposto di a, indicate con — a,
tale che a + (— a) — 0. Se supponiamo che risulti anche a + b — 0, allora, per la legge di
semplificaziojie (3.1) si ha — a = b; quindi Topposto fc unico.
(3.5)	L*inverso di un numero reals non nulla fc unico.
Stessa dimostrazione del caso precedente.
(3.6)	Per ogni reale a vale la propriety — (— a) = a.
JI numero - (— a) e, per definizione, Popposto di - a; ma essendo
a + a) = (- a) + a = 0,
risulta che a e Topposto di — a, ciofc.a * — (— a), in base alia propriety (3.4) che I'opposto dt
un numero reale e unico.
(3.7)	Per ogni coppia di numeri reali a, b risulta (- a) b = - a b.
Z numeri e le funzioni reali 15
Per la propriety distributiva si ha che
(- a) * b + a - b = [(— a) 4- a] ? b — 0 • b = 0,
da cui a*b fe 1‘opposto di (- a) bf ciofe - a*b — (— a) b.
(3.8)	Per ogni coppia di numeri reali a, b risulta (- a)(- b) = a-b.
Come conseguenza della precedente propriety (3.7) e deJia proprieta commutativa (2.2)
abbiamo.
(—a) • (—b) = — [a - (—b)] = - [(—b) • a] =
= - [-(b « a)] = — [-(a • b)]j
la conclusions segue infine dalla (3.6), essendo — [- (a b)] = a-b.
Gli assiomi del paragrafo 2, relativi all’ordinamento, si riferiscono alia
relazione di minore od uguale (£) tra le coppie di numeri reali. La relazione
di maggiore od uguale (>) ё ricondotta a quella di minore od uguale me-
diante la definizione:
a £ b <=> b < a.
(Il simbolo <=> sta per «equivale»). Pertanto la relazione di > gode di pro-
priety analoghe a quelle di <.
Infine le relazioni di minore (<) e di maggiore (>), dette anche relazioni
di minore strettd e, rispettivamente, di-maggiore stretto^ sono definite da:
a<b«=>a<b,a*b;
a > b <=> a > b, a ^ b.
(3.9)	La relazione a b e. equivalente alia relazione b - a > 0.
Infatti, se a 5 b, allora per la (2.9):
a-b^b~b = O.
Viceversa, se b — a > 0, sempre per la (2.9) e per la proprieta associativa dell’addizione
si ha:
a - 0 + a £ (b - a) + a =s b 4- [(— a) + a) - b .
(3.10)	Proprieta transitiva dell'ordinamento: se a < b e b < c allora a < c.
16 Capitolo 1
Supponiamo che a < b e b & c: per la precedente proprieta (3.9) risulta 0£b-a,0£c-b.
Dalia (2.10) si ottiene poi
0 5 (b - a) + (c - b)' — c — a
che, ancora per la. (3.9), equtvale ad a < c.
(3.11)	-Risulta a > 0 se e soltanto se - a 5 0.
Infatti, per la (2'9), se 0 < a ailora
0 + (- a) £ a + (- a),
ciofc - a £ 0. Viceversa, se -aS 0, ailora a + (- a) S aT ciofc 0 < a.
(3.12)	SeaSbec^O ailora a  c b - c.
Infatti; se a <b ailora per la (3.9) fc anche 0 S b - a da cui,. per la (2.10) e per la
proprieta distributiva (2.3):_
0 S (b — a) - c = b  c *- a • c,
cioe. ancora per la (3.9),	a • о S b • c .
(3.13)	Se a < b e	c < 0 ailora a *	c > b	 c.
Per le ipotesi e per la (3.11) si ha 0 S b - a,	- c >	0. Dalia (2.10) si ottiene
0 S (b — a) • (- c) = —	b ’ c + a	c,
da cui, per la (3.9), b « cSa • c
L’assidma di completezza (2,11) a prima vista pud sembrare ovvio: «se
tutti i numeri delTinsieme A sono minori od uguali a tutti i numeri dell’in-
sieme B, ailora esisteril certamente un numero c intermedio fra A e B, ciofc
tale che a < с < b per ogni elemento a di A e per ogni elemento b di B;
basterfc infatti scegliere come numero c il piu grande elemento di A, oppure
il pih piccolo elemento di В»,
Ebbene, la frase scritta precedentemente fra virgolette e sbagtiatal Infatti
non tutti gli insiemi numeric! haimo il piti grande о il piu piccolo elemento
(rimandiamo al paragrafo 12 per un approfondimento di questo punto): ad
esempio, I’insieme
I numeri e le funzioni reali 17
che, rappresentato sulla retta d£ luogo ad uno schema come quello in figura
1/1, ha il piu grande elemento, che ё uguale ad 1, ma non ha il piu piccolo
elemento; potremmo essere tentati di dire che lo zero ё il pit! piccolo
elemento di B, ma lo zero non e un elemento di Bl Infatti lo zero ё diverso
da 1/n qualunque sia n (una frazione e nulla se e soltanto se il numeratore
della frazione ё nullo).
 QlMllllillH »	»	---♦	-------- r	-----
q .....X.J- _L JL JL	1
8	5 4	3 2 97JDB83Q733H31JI.I
Figura LI
L’assioma di completezza e, in effetti, un assioma molto piu profondo di
quanto possa sembrare a prima vista, Come mostreremo nel paragrafo 5,
soltanto tramite l’assioma di completezza e possibile distinguere Finsieme
dei numeri rappresentabili sotto forma di frazione, insieme detto dei numeri
razionaU, dalFinsieme dei numeri reali.
4.	Cenni di teoria degli insiemi
Introduciamo alcune notazioni e definizioni tratte dalla teoria degli
insiemi. Sia S un insieme di natura qualsiasi. Per indicare che x e un
elemento di S scriveremo:
x e S (x appartiene a S).
Per indicare, invece, che у non e un elemento di S, scriveremo:
у £ S (y non appartiene a S).
Se A e un insieme i cui element! sono anche element! di S, diremo che
А ё un sottoinsieme о parte di S.
Tra i sottoinsiemi di S si suole considerare anche Vinsieme vuoto, сюё
Finsieme privo di element!, che si indica con ф.
Se A e В sono due sottoinsiemi di S, Vintersezione AnBdiAeBe
I’insieme degli element! di S che sono comuni ad A e В (figura 1.2):
(4.1)	A n В = {x e S : x e A e x e В].
L? unione AuBdiAeBk Finsieme costituito dagli element! di S che
appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e В (figura 1.3):
18 Capitolo I
(4.2)	А и В = |x e S : x g A oppure x e B}.
Diremo che A ё contenuto in В (A с B) se ogni elemento di А ё anche
elemento di B:
Si couviene che Finsieme vuoto sia contenuto in ogni sottoinsieme di S.
Se А ё contenuto in В ed ё diverse da B, si dice che А ё una parte propria
di B.
Il simbolo <=> si legge e solo se» o, come gia detto, «equivale» ed il
simbolo => si legge «implica».
Figure 1.3
Se A e В sono due sottoinsiemi delFinsieme S, il complemento A - В
di В rispetto ad A e Finsieme degli elementi di A che non appartengono a
В (figure 1.4):
I numeri e le funzioni reali 19
(4.4)
A - В = (x e S : x g A e x C B|.
In particolare, per A = S, I’insieme S — B, complemento di В rispetto a
S, si chiama anche complementare di B e si indica con Bc oppure con — B.
Evidentemente si ha
(4.5)
AcB
Bc c Ac .
L’insieme di tutti i sottoinsiemi di S si suole indicate con P(S) e si
chiama insieme delle parti di S.
Figura 1.4
Siano A e В due insiemi. Si chiama prodotto cartesiano di A e В e si
indica con A x В Finsieme di tutte le coppie ordinate (a, b) con la prima
coordinate a appartenente ad A e la seconda coordinate b appartenente a B.
Le coppie ordinate sono caratterizzate dalla seguente propriety
(4.6)	(a, b) » (a', b') se e solo se a = a' , b = b'
Nel caso particolare in cui sia A « B, un sottoinsieme di A x A si
chiama relazione binaria in A.
Una relazione binaria 91 in A si chiama relazione di equivalenza, se
gode delle seguenti propriety
1)	riflessiva: per ogni a e A si ha (a, a) 6 St
2)	simmetrica: (a, b) g 91 implica (b, a) e 91
3)	transitive: se (a, b) s 9i e (b, c) e 91, allora (a, c) e 91
Se (a, b) g 91 si scrive a - b e si dice che a e b sono equivalent.
20 Capitolo 1
Indichiamo con [a] la classe di equivalenza di a € А, сюё L’insieme degli
element! equivalent! ad a. Si prove facilmente che due classi di equivalenza
о coincidono о sono prive di elementi comuni.
L’insieme delle classi di equivalenza di elementi di A rispetto alia rela-
zione SR si chiama insieme quoziente e si indica con il simbolo AAR, с!оё
(4.7)	AAR = |[a]: a e A).
Una relazione binaria SR su A si chiama relazione d'ordine, se gode delle
seguenti propriety
1)	riflessiva
2)	transitiva
3)	aslmmetrica: se (a, b) *= «К e (b, al e SR. allora a = b.
La relazione di minore о uguale tra coppie di numeri reali considerate
nei paragrafi 2 e 3 del presente capitolo fe una relazione d’ordine.
5.	Numeri naturali, interi, razionali
Abbiamo visto cpme tra gli assiomi dei numeri reali ci sia Pesistenza
degli elementi neutri 0 e 1. Quindi apparterranno ad R (come gia detto,
indichiamo con R l’insieme dei numeri reali) anche i risultati delle opera-
zfoni eseguite a partire da 0 e 1. In particolare sono numeri reali: 1 + 1=2,
(1 +1) + 1 = 3,... Tale sottoinsieme di R, che si chiama insieme dei numeri
naturali, si indica con
(5.1)	N = (1. 2, 3, .... n. ...).
Nel paragrafo 11 sono studiate alcune propriety dell’insieme N dei nu-
meri naturali.
Analogamente indichiamo con Z il sottoinsieme di R costituito dagli
elementi di N, dai loro opposti, e dallo 0. Ciofc l’insieme dei numeri interi (o
interi relativi) si indica con
(5.2)	Z = (0, ± 1, ± 2...J = PM* n : n e N).
I risultati della divisione m/n (che, con la terminologia introdotta dagli
assiomi, significa m n"1) con m, n e Z, n * 0, si chiamano numeri razionali e
si indicano con
I numeri e le funzioni reali 21
(5.3)
Q = <— : m, n g Z, n э* (H .
Risulta N c Z c Q c R. Naturalmente, essendo N, Z, Q sottoinsiemi di
R, su di essi sono definite le opeiazioni di addizione e di moltiplicazione e
I’ordinamento indotti da R. Perd essi non soddisfano tutti gli assiomi dei
numeri reali. Ad esempio, N non soddisfa (2.5): nell’ambito di soli niirheri
naturali non esiste i’opposta di alcun numero. Z non soddisfa (2.6): tutti i
numeri interi, escluso 1, hanno per ill verso un numero reale che non e
intero; in altre parole, non esiste Finverso nell’ambito dei numeri interi.
Si pud verificare che invece Q soddisfa tiitte le proprieta algebriche
relative alle operazioni e alPordine. L’unico assioma non soddisfatto da Q ё
Fassioma di completezza (2.11).
Per dimostrare cid, premettiamo la seguehte
7
PROPOSIZIONE. — Non esiste alcun numero rationale c tale che c~ = 2.
Dirriostrazione: sia per assurdo c un numero razionale positive tale che c~ = 2. In base
alia (53) esistono m, n numeri interi, che possiamo supporre entrambi positivi, tali che c -
m/n: Se necessario. possiamo «semplificare» la frazione m/n, ottenettdo men non entrambi
pari. Risulta (m/n)* 2 = c2 * 2, ciofe 2n2 = m2. Essendo il prinio membro 2n2 un numero intero
pari,: anche m2 deve essere pari; ma allora anche m deve essere pari (se m fosse dbpari,
anche m2 sarebbe dispart); quindi m = 2k, con к intero. Ne segue che
(5:4)
2 n2 = m2 = 4 k2 , cioe n2 — 2 k1.
Ripetendo il ragionamento, risulta che anche h deve essere un numero pari, cid che
contrasts con Vipotesi che m ed n siano numeri interi non entrambi pari
Consideriamo ora gli insiemi
(5Л)
A — (a.G Q : a40| и jae Q : a > 0 . a2 < 2|,
В = (b e Q : b > 0 , b2 > 2).
Tinti i numeri di A sono mmori di tutti i numeri di B. Inoltre, per la proposizione
precedente, risulta AUB = Q e АлВ - ф.
Se esistesse un numero rarionale c con la propriety che a £ c < b, per ogni а ё A, b e B,
tale numero dovrebbe appartenere ad A oppurc a B.
Supponiamo с c A. Non potendo essere c £ 0, ne segue cite c < 2. Sia n un numero
naturale maggiore di (2c + l)/(2 — c2); certamente esistente per la propriety di Archimede (si
veda il paragrafo 12). Allora, essendo L/n < 1/n,
(5.6)
22 Capitolo 1
per cui c + - e A, il che ё asstirdo регсЬё с ё piiigrande di tutti gli element! di A.
n
Analogamente si perviene ad un assurdo supponendo с e B. Osserviamo ora che i due
insiemi A с B, costituiti da numeri razionali, possono essere riguardati come insiemi di
numeri reali e quindi, per Fasstoma di completezza, esiste un numero reale c con la proprieta
che a £ c < b per ogni a e A.b g. B. Tale numero, che si pub dimostrare essere unico, ё tale
che c2 = 2, ё irrazionale e si denota con il simbolo c — лД .
Riassumendo con parole semplici, possiamo dire che nell’insieme dei
numeri naturali N si possono eseguire le operazioni di addizione e di molti-
plicazione, ma non e possibile in genere eseguire le operazioni inverse di
sottrazione e di divisione. Z e un ampliamento di N che permette di calco-
lare anche le differenze, ma non i quozienti. Q ё un ulteriore ampliamento;
in Q ё possibile eseguire le quattro operazioni fondamentali (tranne natu-
ralmente la divisione per zero), ma non ё possibile in generale eseguire altri
calcoli altrettanto utili, come ad esempio Festrazione di radice. Come ve-
dremo, R ё invece sufficientemente ricco per la maggior parte delle applica-
zioni.
6.	Funzioni e rappresentazione cartesians
Siano A e В due insiemi di numeri reali. Una funzione di A in В ё una
legge che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno ed uno solo elemento
di B. Se indichiamo con f tale funzione, scriveremo f : A —> B, oppure
у = f(x), intendendo che ad ogni elemento x e A corrisponde, tramite la
funzione f, Felemento у = f(x) e B.
Si dice che A e il dominio о insieme di definizione di f. Il simbolo f( )
indica un complesso di operazioni che devono effettuarsi su x (argomento di
f) per ottenere у (valore di f), come negli esempi seguenti:
(6.1)	f(x) = 2x + 1
(6.2)	f(x) = 1/x
(6.3)	f(x) =
(6.4)
0 se x e Z
1 altrimenti
occorre moltiplicare x per 2 e sonimare 1;
occorre calcolare Finverso di x;
si deve calcolare la radice di x;
occorre riconoscere se x ё intero oppure
no, e di conseguenza assegnare ad f(x) il
valore 0 oppure 1.
La funzione (6.1) ё definita per ogni x reale; in altre parole il suo dominio
e tutto R. La funzione (6.2) ё definita per x Ф 0, quindi il suo dominio e
I numeri e le funzioni reali 23
A = [x e R: x * 0). Il dominio della (63) ё A - |x e R: x > 0), mentre la
(6.4) e definita su tutto R.
И valore ffx) della fimzione f in x si chiama anche immagine di x
mediante f.
Figlira 1Л
Ricordiamo brevemente come effettuare la rappresentazione cartesiana
di una funzione, Riferendoci alia figura 13, consideriamo due rette perpendi-
colari che si intersecano in un punto O, origine degli assi. Fissiamo sulle due
rette una direzione positive ed una unitA di misura, Chiamiamo asse delle
osctsse, о asse x, una delle due rette, asse delle ordinate, о asse y, Paltra retta.
Ad ogni numero reale x comsponde in modo biunivoco un punto P|
delfasse delle x, scelto in modo che il segmento OPt abbia lunghezza
24 Capitolo 1
uguale ad x< Analogamente ad ogni numero reale у corrisponde un punto P2
dell’asse yf tale che il segiuonto OP2 abbia lunghezza uguale a y. Tracciamo
due rette parallele agli assi e passanti rispettivamente per Pi e P2. П punto P
di iifcontro delle due rette corrisponde in modo biunivoco alia coppia di
numeri reali (x, y).
Se e assegnata una funzione f, in coirispondenza alle coppie di numeri
reali (x, f(x)) abbiamo un insieme di punti del piano, ottenuti con la rappre-
sentazione cartesiana sopraindicata, che costitnisce il grafico della funzione.
In figura 1.6 abbiamo riportato i grafici delle quattro funzioni conside-
rate fin dall’inizio del paragrafo; il lettore verifichi i disegni proposti per
punti, do& assegnando alia variable indipendente x dei valori su cui calco-
lare sempiicemente la funzione; ad esempio, nel Caso (6.3), x = 0, 1, 4, 9,...
7.	Funzioni invertibili. Funzioni monotbne
Una funzione f da A verso В si dice iniettiva se element! distinti hanno
immagini distinte, аоё, equivalenteiiiente, se sussiste Fimplicazione
(7.1}	f(x2) = fCxj) => Xi = x2
La funzionef si dice poisurtettivase per ogntу eBesiste almeno’unxe A
tale eh© у f(x).
Una fmxzione f che sia contempotaneamente iniettiva e suriettiva da A
verso В si dice biunivoca. Cid vuol dire che f non solo fa corrispondere ad
ognixe A unoedun solo valoreу e B, ma anche che per ogniу e В esiste un
solo x e A tale che у =• f(x).
Figura 1.7
1 numeri e le fitnzioni reali '25
1ц tali condizioni didamo che f ё invertibile. La funzione da В ad A che
ad ogni у e В fa corrispondere I’unico x e A per cui f(x) = y, si chiama
funzione inversa e si indica con f"1. Si ha (il simbolo V si legge per ogni):
(7.2)	Г») = x, V x e A; f(fl(y)) = y, Vy g B,
Da notare che spesso si cambiano le notazioni ed invece di usare
x = f”1 (y) si preferisce, con un puro scambio di simboli, у = f1 (x) , per
mettere in luce che la variabile indipendente e quella dell’argomento di f"1.
In figura 1.7 ё riportato il grafico di una funzione f:A —> В invertibile e
della sua inversa Г1: В -»A.
Ad esempio, la funzione (6.1) ё invertibile; infatti, fissato у=f(jt), risulta x — (y —1)/2. La
funzione inverse della (6.1) b quindi
(7-3)	Г' (x) =	.
Anche la funzione (6.2) ё invertibile e risulta f-1 (x) = 1/x (fe solo un caso che f edf“*
coincidanol). La funzione (6.3) ё anche invertibile e f"1 (x) = x2, per x S 0. Mentre la (6.4)
non ё invertibile, perche non stabilises una corrispondenza biunivoca tra finsieme A = R e
Finsieme В costituito dai soh due valori 0,1.
Diremo che una funzione f ё monafbna in unt msieme A, se verifica
una delle condizioni seguenti (V xb x2 e A):
(7.4)	f strectamente	crescente:
(7.5)	f crescente:
(7.6)	f strettdmerite	decrescente:
(7.7)	f decrescente:
X1 < *2 => f(Xt) < f(X2)«
Xj < x2 => ffo) < f(x2),
< x2 => f(xj) > f(x2)>
Xi < X2 => f(Xi) > f(x2).
Una funzione che verifica la (7.4), oppure la (7.6), si dice strettamenie
monotbna.
Ad esempio, la funzione (6.1) e strettamerite crescente su R; la funzione
(6.2) e strettamente decrescente, separatamente negli insiemi [x > 0) e [x %.
0}. La funzione (6.3) fe strettamenfe crescente. La funzione (6.4) non ё
monotona su R.
Ci sar£ utile nd seguito un criterio per riconoscere se una data funzione e
invertibile. RimandandO al criterio di invertibilita del paragrafo 35 per una
visione pih coinpleta delFargomento, supponiamo che la corrispondenza
26 Capitolo 1
traniite una funzione f tra due insiemi A e В sia tale che ad ogni у g В
corrisponde almeno un x e A. Se f e strettamente monotona allora e anche
invertibile. Infatti, ad ogni у gB corrisponde un solo x e A per cui f(x) = y;
perche, se ne esistessero due distinti xi ^х2, i corrispondenti valori ffxj, f(x2)
dovrebbero essere diversi fra loro a causa della stretta monotonia.
Concludiamo il paragrafo con alcune utili definizioni e notazionL
Sia f: A —> В una funzione da A verso B. SeXfc.un sottoinsieme di A,
Ybnmagine di X mediante f, indicata con f(X), ё il sottoinsieme di В defi-
nite da
(78)
f(X) = {у € В : Э x e X : у = f(x)J
(il simbolo 3 si legge esiste).
L’insieme f(A), cioe Fimmagine di A mediante f, si chiama codominio
di f. Evidentemente, la funzione f ё suriettiva da A verso В se e solo se il
suo codominio coincide con B.
Se Y e un sottoinsieme di B, Vimmagine inversa di Y mediante f,
indicata con f-1(Y) ё il sottoinsieme di A definite, da
(7-9)
Г’(У) = {x 6 A : f(x) e Y}.
Diamo infine la definizione di funzione composta mediante due fun-
zioni. Siano X, Y, Z tre insiemi e siano g: X—> Y e f: Y ч Z due funzioni,
tali che l’insieme Y contenente i valori della prima coincida con il dominio
della seconds, Allora si pud considerare la funzione composta h : X Z,
definite da h(x) = f(g(x)) per x g X. In tai caso si usa la notazione h = f°g; in
altre parole, si pone f°g(x) » f(g(x)) per ogni x e X.
8.	Funzioni lineari, Funzione valore assoluto
Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una fiinzione del tipo
(8.1)	у = mx + q
ove m, q sono numeri reali fissati. Si verifica facilmente che il grafico di una
tale funzione ё una retta, di cui il parametro m e detto coefficients angolare.
Ogni funzione lineare e monotdna su R, anzi, strettamente monotona se
m # 0. Infatti, basta considerare Xi < x2 e f(x) - mx 4- q, da cui
(8.2)	f(xt) = nut] 4- qt f(x?) = mx2 + q;
1 numeri e le funzioni reali 27
se il coefficiente angolare m ё positive, allora, essendo x: < x2 risulta anche
mxx < mx2 e quindi f(xt) < f(x2) ; in questo caso f(x) risulta strettamente
crescente su R. Se invece m ё negative, allora da xT < x2 segue mxt > mx2 e
quindi f(xL) > f(x2) ; percid, se m < 0, la funzione lineare f(x) e strettamente
decrescente. Infine, se m = 0, allora risulta f(x) = q = costante; essendo
f(xT) = f(x2) Рет ogni coppia di valori xb x2, la funzione f(x) ё contempora-
neamente crescente e decrescente su R; si dice brevemente che la funzione e
costante su R. П grafico di f(x) in questo caso e una retta parallela all’asse x,
costituita daipunti (x, y) con ascissa arbitraria e ordinata costante uguale a q.
Ricordiamo il criterio esposto net paragrafo precedente, criterio in base al quale una
funzione strettamente monotdna su un insieme ё anche invertibile su tale insieme. Nel caso
in considerazione la funzione f(x) = их + q ё strettamente monotdna su R se m 0 e quindi ё
anche invertibile se m 0. Tale fatto ё di semphee verifies diretta: infatti, se m 0, vale
1’equivalenza:
у — q
(83)	y = mx + q <=> x - i--------------
m
che, con i simboli introdotti.nel paragrafo precedente, significa che la funzione inversa f*1(y)
della funzione lineare f(x) = mx + q ё data da
(8.4)	Г’ (y) = £—9
Ш
Al contrario, se m = 0, la funzione costante f(x) = q non stabilisce una corrispondenza
biunivoca tra l’insieme R e l’insieme В =- (q) costituito dal solo valore у = q; percib la
funzione costante f : R —» (q) non ё invertibile.
28 Capitolo 1
Da to che per due punti distinti del piano passa una ed una sola retta,
per disegnare il grafico di una funzione Япеаге ё siifficiente calcolare Tordi-
nata у in (8.1) in corrispondenza a due valori distinti della variabile x.
Ad esempio, riel caso della funzione lineare у = 3x — 1, ad x = 0 comsponde у == — 1 e ad
x = 1 corrisponde у = 2; pertanto И grafico ё come quello in figura 1.8, ottenuto disegnando la
retta passante per i punti di coordinate (0, - 1) e (1,2). Il lettore ritrovi da solo H grafico in
figura 1.9 relative alia funzione lineare у = 3 - 2x.
Il valore assoluto (o modulo) di x, indicate con il simbolo |x|, ё definite
da
re
(8.5)
x > 0
x < 0 .
Il grafico della funzione valore assoluto f(x) - |x| ё composto da due
semirette per Porigine, di equazione rispettivamente y = xey = -x, come
nella figura 1.10.
Piu precisamente il grafico in figura 1.10 della funzione valore assoluto ё
umone della semiretta di equazione lineare у = x, con x > 0, ё della semiretta
у - - x, eon x < 0.
Le seguenti propriety sono diretta conseguenza della definizione (8.5):
(8.6)	M £ О, V x e R;
(8.7)	|x| = 0	<=> x = 0;
(8.8)	I- x| = |x|, V x e R;
(8.9)	fxi • xj = fxj • |x2[, V x, , x, e R;
(8.10)	(x( / x2( = IxJ/ x2|, V X, , x; e R, x, г0.
I numeri e le funzioni reuii 29
Dimostriaino ad esempio la (8.6): se x > D allora [x| = x e quindi in questo caso |x| £ 0; se
invece x < 0, allora |x| = — x e quindi, essendo - x > 0, risulta |x| > 0; in definitiva |x| > 0 per
ogni x e R.
La (8.7) k immediate; le (8.9), (8-10) sono diretta conseguenza della «regoLa det segni».
Proviamo la (8.8); se x > 0 allora |x| = x e |- x| = - (- x) = x, dato che - x < 0; percid |x| = |- x|
se x > 0. Analogamente $e x < 0 risulta |x| = - x e |- x| = - x, essendo - x > 0; anche in questo
caso |x| = |— x|. Inline, ss x = 0, si ha - 0 = 0 e pertanto |- 0| = j0|.
Esanriniamo ora le seguenti propriety (8.11) e (8.12), la cui interpreta-
zione geometries e schematizzata in figura 1.11.
PROPOSIZIONE. — Per ogni numero reale г > 0 valgono le equivalenze:
(8.11)	|x|	< г <=>	-	r	<	x r;
(8.12)	|x|	< г 4=>	-	r	<	x < r.
Figura 1.11
Dimostrazjone: la verifica delle due equivalenze pud procedere allo stesso modo; percid
ci Umitiama a dimostrare |a (8.11), In base alia definizione (8.5) det valore assoluto, la
relazione |x[ < r equivale ai due casi:
x > 0	f x < 0
(8-13)
г
к S r
il primo sistema si riscriye nella forma 0 £ x £ r, mentre il seconda equivale a — г £ x < 0.
Unendo i due risiil'tati si trpva infine - r x 5 r.
30 Capitola 1
La seguente propriety (8.14) del valore assoluto, detta disuguaglianza
triangolaret fc di grande importanza. La spiegazione intuitiva della disugua-
glianza fc sempiice: a secondo mem bro della (8.14) compare la somma di
due numeri positivi о nulli (i moduli dei due numeri Xi e x2), mentre a
prime membro compare il modulo della somma algebrica di xt e x2; se i
segni di e x2 sono discordi, il primo membro della (8.14) ё minore del
secondo membro, mentre se i segni di X] e x2 sono concordi, ailora i due
membri sono tra. loro uguali.
DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE. —; Per ogni coppia di numeri reali
Xi, x2 va/e la disuguaglianza
(8.14)	I Xj + Xj | < [ Kj | + | x2 |.
Dimostrazione: per ogni numero reale x la relazione |x| < |x| fc ovvia (anzi. vale con ii
segno =); indicando con г П secondo membro di tale owia reiazione, per i'equivaienza (8.11)
abbiamo anche - |x| £ x £ |x|; in partlcolare, per x = x( e x — x2 :
(8.15)
- IxJ S X, £ |X|L - |X2| SXjS |x2|.
e sommando membro a membro:
(8Л6)
- (IxJ + IxJ) £ x, + x2 < (IxJ + |xj).
La conclusions segue da una nuova applicazione dell’equivaienza (8.11) con r ₽ |xtf + |x3|.
9. Le funzioni potenza, esponenziale, logarltmo
Consideriamo la funzione potenza con esponente n g N:
(9.1)
f(x) = xn ,
che ё definite, per ogni x e R, moltiplicando il numero x per se stesso n
volte. La funzione f e strettamente crescente per x 2 0, ciofc:
(9.2)
0 £ Xt < x2 => xj < x" .
Infatti. se n = 2 e se 0 X| < x2v ailora moltiplicando prima per poi per x2, si ottiene
xf £ x( #2 , x, x2 < x|; ciofc xf < x|.
Sen =3,partendodaxj < x2siottiene* X| x| < x, w < x2 x| » x],ecosl viasea>3
(si veda anche il paragrafo 11 sul principle di induzione).
I numeri e le funzioni reali 31
Per mezzo del teorema dell’esistenza degli zeri, dimostreremo nel para-
grafo 35 che ad ogni у к 0 corrisponde almeno un numero reale x > 0 per
cui f(x) = x° = y. La condizione di stretta monotonia (9.2) implica, come
osservato nel paragrafo 7, che la funzione ё invertibile. Perdd e defmita la
funzione inversa di f(x) = x" (x > 0), che si chiama funzione radice n-sima,
e si indica con
(9.3)
f 1 (x) = tfx XUn ,
(x > 0).
I grafici delle funzioni (9.1), per x > 0, e (9.3) sono come in figura 1.12.
Per mezzo delle funzioni (9.1), (9.3) si pud defihire Televazione aa
esponente razionale (m, n e N, x € R, x > 0) :
(9.4)
х-т/и = 1/	?
X° = 1.
A questo punto e state definite il significato di ab, con a numero reale
positive e b numero razionale. Utilizzando l’assioma di completezza ё possi-
ble estendere la definizione diab anche se 1’esponentebe unnumero reale
non razionale, come vedremo nel paragrafo 12.
Un’altra definizione equivalente e proposta nel paragrafo 76.
Elenchiamo alcune propriety.:
(9.5)
(9-6)
(9.7)
ab - ac= ab + c;
ab > 0.
a < b, c > 0
(ab)' = ab •' .
ac < bc .
32 Capitolo 1
(9.8)	a	<	b,	с	<	0
(9.9)	a	>	1,	b	<	c
(9.10)	a	<	1,	b	<	c
ac > bc .
ab < ac .
ab > ac.
DalTespressione ab derivano due diversi tipi di funzione, a seconds che
si faccia variare la base a p I’esponente b. Nel primo caso consideriamo la
funzione potenza f(x) ~ xb , con b e R fissato. Nel secondo caso abbiamo la
funzione esponenziale f(x) = a* , con a numero reale positive fissato.
Casi particolari della funzione potenza i(x) - xb sono quelli con b = n
e N, oppure b = 1/n, gia esaminati in precedenza. La funzione potenza, per
x > 0, in base a|la (9.6), e positiva. Inoltre xb e una funzione strettamente
crescente re b > 0 e strettamente decrescente se b < 0, in base alle (9.7),
(9.8). Esempi di grafici nei van casi sono riportati in figura 1,13.
Figura 1.13
La funzione esponenziale f(x) = ax , con a numero reale positive, ё una
funzione positiva, & strettamente crescente se a > 1 e strettamente decrescente
se a < 1, in base alle (9.6), (9.9), (9.10).
Esempi di grafici sono riportati in figura 1.14.
Un caso notevohnente importante, e cib diventerb. chiaro nel paragrafo 43
nello studio delle derivate, si ha quando la base e uguale al numero di Nepero
e = 2.7... (definite nel paragrafo 25). In tai caso ovviamente si indica la fun-
zione esponenziale con f(x) — e*; dato che e > 1, la funzione ех ё crescente.
Se a ~ 1, la funzione ax ё identicamente uguale a 1. Si dice in tai caso
che la funzione e costante. Naturalmente una funzione costante non ё inver-
tibile. Se invece a 1, allora la funzione esponenziale a* e invertibile. La
funzione inverse e definita sui numeri reali positivi (dato che I’immagine
1 numeri e le futtzioni reali 33
Figura 1.14
della funzione у = ax ё appunto costituita dai numeri reali positivi); si
chiama funzione logaritmo e si scrive f(x) = logax.
Quindi la funzione logaritmo ё definita da:
(9.11)	у»loga x <=> ay = x.
Si suole omettere Findicazione esplicita della base, se tale base ё il
numero e. Quindi:
•(9.12)	у = log x <=> ey = x.
Le formule (9.11), (9.12) sono molto usate anche nella forma seguente:
(9.13)	a'°b ’ = x ;	e'°8 * = x.	(x > 0)
Se la base ё maggio re di 1, come nel caso (9.12), il logaritmo ё una
funzione strettamente crescente.
Figura 1.15
34 Capitolo L
Infatti, siano < x2 e yt = log xb y2 = log x2. Se fosse y2 < yj per la (9.9j
avremmo x2 = ey- < ey’ = xv contrariamente alls ipotesi. Analogamente ё
assurdo che y{ « y2, регсИё avremmo xt — x2. Quindi deve risultare yj < y2i
Con dimostrazione analoga si verifica che il logaritmo £ una funzione stret-
tamente decrescente se la base £ minore di 1. Esempi di grafici sono riportati
in figura 1.15.
Elenchiamo alcune note propriety dei logaritmi:
(9.14)
(9.15)
(9.16)
(9.17)'
log, (x( X2) = log, X] + log, x2 ,
log, (X| / Xj) = log, X, - log, *2 ,
log, xb = b log, X ,
logb X = log, x / log, b,
V	xL , Xj > 0;
V	xt , x2 > 0;
V	x > 0;
V	x > 0.
Dimostrazione: per provare la (9.14) poniamo
(9.18)	log. xt = y, , tog. x2 = y2 i
in base alia definizione (9.11) risulta
(9.19)	a*1 — X| ,	ay- =; x2
Pertanto
(920)	x, • x2 = ay' • a* = ay’*y’ ,
che, di nuovo in base alia definizione (9.11), equivale a
(921)
y,+ y2 = log. (Xj . xj .
Ricordando i simboli introdotti all’inizio in (9.18), la (9.21) equivale alia tesi (9.14).
Le altre relazioni (9.15), (9.16) e (9.17) si dimostrano in modo analogo (ed U lettore ё
invitato ad eseguire i calculi esplicitamente).
10. Le funzioni trigonometriche
Riportiamo in questo paragrafo un breve riassunto di nozioni di trigo-
nometria, in genere gia note al lettore.
Il lettore sa misuxare gli angoli in gradi; ad esempio un angolo retto
I numeri e le funzioni reali 35
misura 90°, un angolo piatto 180°, un angolo giro 360°. Per studiare le
funzioni trigonometriche e opportune adottaxe una diversa unitA di misura
per gli angoli.
Definiamo la misura di un angola piano espressa m radiant!. Essaё data
dalla lunghezza delVarco di circonferenza di raggio 1 e centro nel vertice
dell’angolo intercettato dalle due semirette individuanti I'angolo (si veda la
figura 1.16).
Si conviene di denotare сопя (pi greed) la lunghezza diunasemicircon-
ferenza di raggio 1. Cid significa che, espresso in radianti, un angolo piatto
misura я, tin angolo retto misura я/2, mentre un angolo giro misura 2я (la
lunghezza di una circonferenza di raggio 1 ё 2я). Come tutti sanno, un
valore numerico approssimato di л ё я — 3.14...
Analogamente a quanto si fa per 1’ascissa su di una retta, si definisce
un,’engine ed un' verso di rotazione positive (si suole scegliere il verso
antiorario a partire dall’asse delle x) e si considerand in modo naturale anche
angoli maggiori di 2я radianti, о angoli minori di zero. Cosi I’angolo x
geometricamente corrisponde all’angolo x + 2я ed anche all’angolo x + 4я,
oppure all’angolo x — 2я, о in generate all’angolo x + 2кя, per ogni к e Z.
Le funzioni sen x, cos x si definiscono rispettivamente come I'ordinata e
I’ascissa del punto che si trova sulla circonferenza di centro rorigine e
raggio 1 e che sottende un angolo orientato di lunghezza x, a partire dal-
l’ass£ delle ascisse (figura 1.16).
Le funzioni sen x, cos x sono definite per ogni x e R, mentre I’immagine
delle due funzioni e compresa tra — 1 ed 1, cioe:
36 Capitolo J
(10.1)
- 1 < sen x < 1, - 1 < cos x < 1,
V x e R.
11 grafico delle due funzioni e riportato in figura 1.17. Nel paragrafo 49
sari indicate come ottenere il grafico; per ora il lettore controlli sut grafico
il segno delle due funzioni in base alia definizione. Le funzioni sen x e cos x
non sono monotone su R.
Delle numerose relazioni tra queste due funzioni, la piu importance e
senza dubbio quella che segue dal teorema di Pitagora sui triangoli rettangoli.
Ё utile ricordare come si ottiene una dimostrazione del teorema di Pitagora per un
triangolo rettangoio cpn cateti lunghi a, b e ipotenusa Junga c. Si Veda la figure. 1.18. П
triangolo rettangoio rlpetutp piu volte in figura 1.18 ha cateti lunghi a, b e angoli a, 3» oltre
all’angolo retto. Evidentemente a + ft — яг/2 (perchd la somma degli angoli interui del
triangolo vale jt); ne segue che anche I’angolo у in figura 1.18 fe uguale й nl2. Percio il rombo
di lato c rappresentato nella parte destra della figura 1.18 ё in realty uh quadrate.
Figura 1.18
I mtmeri e le fiinzioni reali 37
L’area de! quadrate piu grande, di late a + b, vale (a + b)~. Tale area si pud ottenere
sommando Ip aree delle figure component! (quattro triangoli rettangoli di cateti a, b, ed un
quadrate di lato c)t dofc 4(ab/2) + c2 . Percio
2ab + c2 = a2 + b2 + 2ab,
da cui П teorema di Pitagora:
(10.2)
a2 + b2 — c2
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangoio di cateti [sen x|
e |cos x| e ipotenusa uguale a 1, si trova la relazione fondamentale
(10.3)	sen2 x + cos2 x = 1,	V x e R.
Sono anche important! le formule di addizione:
(10.4)	sen(xi ± x2) = sen x1 cos x2 ± sen x2 cos xi •
(10.5)	cos (xT ± xj == cos xx cos Хг ч- sen x1 sen x2
Se nelle identita sopra scritte scegliamo il segno + e poniamo
хг = x2 = x , otteniamo le formule di duplicazione:
(10.6)
sen 2x = 2 sen x cos x .
Figura 1.19
38 Capitolo 1
(10.7)
cos 2x = cos2 x - sen2 x.
A partire dalle funzioni sen x e cos x si definisce la funzione tangente
(10.8)
tg №
sen x
cos x
il cui grafico ё rapptesentato in figura 1.19.
La funzione tangente ё definita se cos x * 0, сюё se x £ jr/2 + кл, con
к e Z. Usando le propriety dei triangoli simili (ВТ = BT/OB = AP/OA), si
vede che la tangente di un angolo x si pub rappresentare come in figura
1.20. Dalia figura risulta chiaro che, se 0 < x < лг/2 allora valgono le
disuguaglianze
(109)
0 < sen x < x < tg x.
Riportiamo una tabella con i valori delle funzioni trigonometriche per
alcuni angoli di uso frequente. XI- modo con cui ottenere tali valori ё indi-
cate negli esercizi.
x radiant!	0	л/6	л/4	Л/3	jt/2	л	(3/2>	2л
x gradi	0	30	45	60	90	180	270	360
sen x	0	1/2	л/2 /2.	з/з /2	1	0	- 1	0
cos X	1	/2	^2/2	1/2	0	- 1	0	1
tg x	0	^3 /3	1	л/з	non definita	0	non definita	0
I numeri e le funzioni reali 39
Appendice al capitolo 1
11. И principio di induzione
Abbiamo utilizzato nel paragrafo 9 la seguente affermazione sulla cre-
scenza della funzione potenza x°:
(11.1)
0 <	< x2
x? < x; t
V n e N.
Vogliamo dimostrare questa proposizione per mezzo del principio di
induzione. Supponiamo preliminarmente che essa valga per un certo indice n
(cid che dobbiamo provare ё che la (11.1) sia vera per tutti gli n; qui stiamo
supponendo che la (11.1) sia vera per qualche n; ad esempio, per n = 1 la
(11.1) ё banahnente vera!). Percio supponiamo che valgano le disuguaglianze
0 £ Xi < x2 t x? < x2 . Otteniamo:
(11.2)
|	— Aj Aj Ao A| A^ — Aj 
Cioe abbiamo provato che, se vale la (11.1) per un certo indice n, allora
essa vale anche per I’indice successivo n + 1. Ma allora la (11.1) vale
sempre, perche: sappiamo che la proposizione vale per n = 1 (lo verifi-
chiamo banahnente); per quanto sopra detto essa vale anche per I’indice
successivo, cioe n = 2; ancora, sempre per lo stesso motivo la (11.1) vale per
il successivo n = 3, e cosi via... Possiamo raggiungere con questo argomento
qualsiasi naturale n.
Formuliamo in generale il seguente;
PRINCIPIO DI INDUZIONE. — Supponiamo che una proposizione
dipendente da un indice n e N sia vera per n = 1 e che inoltre, supposta vera per
(i, sia vera anche per il successivo n + 1. Allora la proposizione e vera per ogni
П € N.
Per chiarire meglio il principio consideriamo altri esempi. Dimostriamo
per induzione la formula che esprime la somma dei primi n numeri natural!
(questa formula era nota a Gauss dalTete di nove anni!):
(11.3)
..	_ n	. -x	n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ... 4- (n — 1) + n =-----------—  .
La formula ё vera per n = 1; infatti si ha Tidentita 1 - (1 * 2)/2.
40 Capitolo 1
Supponiamo vera la (113) e dimostriamo la formula analoga con I’indice n
+ 1 al posto n. Per ottenere cid, ё naturale sommare ad entrambi i membri
il numero n + 1:
(11.4)
4	-	—	r ч n(n 4*1) z 4
1 + 2 + 3 +'... + n + (n + 1) =-------------------+ (n + 1) —
£*
_ n(n + 1) 4- 2(n + 1) _ (n + l)(n 4- 2)
- — - '
Abbiamo ottenuto cid che volevamo; quindi la (113) risulta vera per
ogni n e N.
Un’altra applicazione del principle di induzione e la seguente:
DISEGUAGLIANZA DI BERNOULLI. — Per ogni numero reals x > — 1, e
per ogni naturale n, risulta
(11.5)	(1 + x)ft > 1 + nx.
DimostraziOne: per n ==1 la proposizione ё vera (con il segno Supponiamo Vera fa
(1L5) per цц numero natural^ n, moitiplfchiaino entrambi i membri per 1 4- к, che ё una
quantity maggiore о uguale a zero:
(1L6)
(I’ + 'X)I1W £ (1 + пх) (1 + x; r
= 1 + X -h nx + fix2 > 1 + (n + 1) x.
Abbiamo ottenuto la proposizione con n + lai posto di il Percid. in base al principio di
induzione, la (11 Л) ё provata.
Utilizzando il principio di induzione, dimostriamo la formula che
esprime la somma di una progressions geometrica di ragione x A 1:
1 —
(11.7)	1 + x + x2 + ... + xn = —---------,	V x Ф 1.
1 - x
Per n = 1, a secondo membro abbiamo
(И-8)
1 - x2 (1 - x) (1 + x)
1 - x 1 - x
= 1 •+ x;
I numeri c le futizioni reali 41
quindi la (11.7) ё vera per n = 1. Supponendo verificata la (11.7), som-
miamo ad entrambi i membri il termine x"+l:
1 + X + x2 +	+ x” + xn+J =
(11.9)
1 - xn+2
Abbiamo ottenuto la proposizione con n + 1 al posto di n. Quindi, in
base al principio di induzione, la formula (11.7) e dimostrata.
Proviamo mediante il principio di induzione una formula, analoga alia
(113), che verrh utilizzata nel paragrafo 61 introducendo gli integral! defi-
nite
-.m	„7	„7	«7	2 n(n	+ 1) (2n +
(11.10)	I2	+ 2Z	4- 32	4- ... + ir	= —----------------
6
pimostraZione: la formula (11.10) В vera per n—1; risulta infatti
1’2*3
(11.11}	=
О
Supponiamo che (11.10) sia verifteata. per un indide n e dedueiamo da essa la formula
analoga eon п+l al posto di n. Abbiamo
I2 + 22 +...+ П2 + (n 4- I)2 = [I2 + 22 +...4- n2] +- (n 4- I)2 =
n (n + 1) (2n 4- 1) r	Гп (2n + 1)	t	t.l
-	—-----------------i + (n + I)2 - (n + 1) —----------' + (n + 1) U
о	L о	J
.	,. 2n2 + n + 6n + 6	2n2 + 7n -t* 6
-	(П + 1)-----------~ (n + 1)--------------------—----------
Osservando che la (11.10) con н + 1 al posto di n, a secondo membro ha I'espressione
:iu3)
(n + 1) (n + 2) [2 (n + 1) + 1] _ (n + 1) (n+ 2) (2n 4-3)
6	.6
imane spltanto da osservare che
.11.14)
f 2n2 + 7n + 6 (n 4- 1) (n 4-2) (2n 4- 3)
(n + 1) ------------- = -----------7-----------
die e una relazione soddisfatta, perchё, da verifica diretta, risulta ,2n24- 7n 4- 6= (n 4- 2) (2n 4- 3).
42 Capitolo 1
Mostriamo inline che
(11.15)
11	1	_ n
1  2 + 2 • 3 +"'+ n (n + 1) “ n + 1 '
Dimostrazione: da verifica diretta la formula (11.15) e soddisfatta per n«l, Supponendo
poi che la (11.15) sia verificata per un indice n generico, ottenia mo
1 1 1
1  2 +”’+ n (n + 1) + (n + 1) (n + 2)
(1J.16)
n	1	n (n 4- 2) + 1
n + 1 + (n + 1) (n + 2) (n + 1) (n + 2)
rr-h 2n + 1 _ (о + I)2 n + 1
(n + 1) (n + 2)” (n + 1) (n + 2)“?i~+ 2 ’
die corn'sponde appunto alia (11.15) con h + 1 al posto di n.
CAPITOLO 2
COMPLEMENT! Al NUMERI REAU
Raccogliamo in questo capitolo alcuni complement] ai numeri leali.
Introduciamo I’estremo superiore e I’estremo inferiore di un insieme di
numeri reali, il calcolo combinatoric ed i numeri complessi.
П concetto di estremo superiore, introdotto nel seguente paragrafo 12, ё
fondamentale per la trattazione della maggior parte dei teoremi di esistenza
del?Analisi Matematica, come ad esempio per la dimostrazione del teo-
rema suite succession! monotdne del paragrafo 24, о per altri teoremi di
esistenza (Bolzand-Weierstrass, Weierstrass, ecc.).
12. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore
Sia A un insieme di numeri reali. П massimo di A, se esiste, e un
numero M dell’insieme A che ё maggiore od uguale ad ogni altro elemento
dell’insieme. In simboli:
(12.1)
M massimo di A
(M = max A)
M > a, V a e A;
M e A.
Analogamente, il minimo di un insieme di numeri reali A, se esiste, ёип
numero m dell’insieme A che e minore on uguale ad ogni altro elemento di
A. In simboli:
(12.2)
m minimo di A
(m = min A)
m < a, V a e A;
m e A
4.
Non tutti gli insiemi di numeri reali hanno il massimo ed il minimo. Ad
esempio, se A e costituito da tutti i numeri reali positivi, A non ha пё
massimo, пё minimo (non esiste il piu piccolo numero reale positive; ad
esempio, lo zero non ё il minimo, регсЬё non appartiene ad A).
44 Capitolo 2
Si verifica facilmente che quando esistono, il massimo о il mbiimo SO no
unid Infatti, se M| e M2 sono due massimi di un insieme A, allora per
definizione
ML > a, M2 £ a, V a e A;
ma dato che Mi ed M2 sono element! di A, posto a rispettivamente uguale a
M2 ed a Mi nelle relazioni precedent!, si ottiene Мг > M2 e M2 £ Mi, cio6
Mt = M2.
Un numero reale L si dice un maggiorante per un insieme A se L S a
per ogni a e A. Analogamente un numero reale f e un minorante di A, se
f £ a per ogni a e A.
Ё bene notare esplicitamente che un insieme A non sempre ammette
maggioranti о minoranti. Se А ё di nuovo finsieme dei numeri reali posi-
tive, A non ammette alcun maggiorante, mentre lo zero (ed anche qualsiasi
numero reale negativo) ё un minorante di A.
Diciamo che A e limitato superiormente se ammette un maggiorante. A
ё limitato inferiormente se ammette un minorante. Infine si dice limitato un
insieme che ё limitato sia superiormente che inferiormente. In simboli (3 si
legge esistono):
(12.3) A limitato <=>	3 f, L e R: f < a £ L, V a e A.
Tenendo presente la definizione (8.5) della funzione Valore assoluto, si
riconosce facilmente che:
PROPOSIZIONE. — Un insieme A e limitato se e soltanto se esiste un numero
positive M tale che
(12.4)|a| < M, V a 6 A
Dimostrazione: se per ipotesi vale la (13.4), allora. datla propriety (8.11) relativa al valore
assoluto si ottiene
(12.5)
- M i a 5 M,
V a e A,
e quindi vale la (13.3) con t = — M e L = M. Viceversa, se vale la (12.3), allora vale anche la
(12.4) (o equivalentemente la (12.5)) con M » max (|Г|, |L|], perchfi:
(12.6)
- M £ - |f| <S C£ a < L £ |L| S M.
V a e A.
Complementi ai numeri reali 45
П risultato che segue, alia base della definizione di estr emo superiore, ё
conseguenza delTnswoma di completezza (2.11) per i numeri reali.
TEOREMA DI ESISTENZA DELL’ESTREMO SUPERIORE. —
Supponiamo che A sia un insieme non vuoto di numeri reali limitato su-
periormente. Allora esiste il minimo deirinsieme del maggioranti di A.
Infatti, indichiamo con В I’insieme costituito dai maggioranti di А. В ё
non vuoto, perchd А ё limitato superiormente. Applichiamo 1’assioma di
completezza (2.11) ai due insiemi A, B. Esiste un numero reale M tale che
(12.7)
a < M £ b,
V a e A, V b e B.
Dato che M ё maggiore od uguale a tutti gli element! di A, M в un
maggiorante di A; cioe M e B. Inoltre M ё minore od uguale a tutti gli
dementi di B. Quindi, in base alia definizione (12.2), M ё il minimo di B.
In base al teorema precedents, poniamo la seguente
DEFINIZIONE DI ESTREMO SUPERIORE. — Sia A un insieme di numeri
reali non vuoto e limitato superiormente. Diciamo che M e R ё restremo
superiore di A se M e il minimo dei maggioranti di A
Cid equivale a dire che M ё un maggiorante, e che ogni numero piu
piccolo di M, diciamo M — e con e positive, non ё un maggiorante; cioe M —
e ё minore di qualche elemento delTinsieme A. In simboli (3 si legge
esiste):
(12.8)
M estremo superiore di A
(M = sup A)
M > a, V a e A;
Analogamente, si verifica che se A e un insieme non vuoto di numeri
reali limitato inferiormente, allora I’insieme dei minor anti di A ha massimo.
In tali condizioni, si dice che un numero m ё I’ertremo inferiore di A se m e
il massimo del minoranti di A. Cid equivale a:
(12.9)
m estremo inferiore di A
(m ~ inf A)
m < a, V a a A;
V e > 0, 3 a e A: m + e > a.
46 CapiHrfQ 2
Quindi, se un insieme e limitato superiormente esiste restremo superiore
edeun numero reale. Se un insieme e limitato inferiormente esiste restremo
inferiore ed e un numero reale.
Ё utile introdurre i simboli + **»,-« per descrivere gli insiemi non
limitati. Precisamente, sia A un insieme non vuoto. L’estremo superiore di
А ё -и* se A non ё limitato superiormente; I’estremo inferiore di А ё - «> se
A non e limitato inferiormente. In simboli:
(12.10)	sup A - + oo <=> VL, Э a e A: a > L.
(12.11)
V f, 3 a 6 A: a < f.
Nelle relazioni sopra scritte ci si pud limitare a considerare L > 0 e t < 0.
Facendo uso dei simboli +«» e — «5 si pud quindi affermare che ogni
insieme non vuoto di numeri reali ammette sia estremo superiore che estremo
inferiore. Se rinsieme ё limitato superiormente ailora I’estremo superiore ё
finite; se I’insieme ё limitato inferiormente ailora I’estremo inferiore ё
finite.
Diamo ora alcuni esempi; se A - |x g R: x > D) , ailora
(12.12)	sup A = + 00, inf A = 0
ed il massimo e minimo di A non esistono. SeB = {(n.- l)/n: n e N) (Tinsiemer-B e schema-
tizzato in figura 2.1), risulta
(12.13)	sup В = 1, inf В = min В = 0.
0 = min В	1 3 sup В
ч----1—1 I llliill—1------
2_ 11 \n~l
1
2
^7lpaaj»m8W2.i
Figura 2.1
Se infine C [(n + l)/n: n e N]) (si veda la figura 2.2), si trova
(12.14)
sup C = max C - 2, inf C = 1.
Siano A e В due sottoinsiemi di R e f tma funzione da A verso B. Per
ogni sottoinsieme X di A, I’estremo inferiore (risp. I’estremo superiore)
dell’insieme f(X) si chiama estremo inferiore (risp. superiore) di f su X. Si
pone inoltre
Compternenii ai numeri reali 47
(12.15) inf f(x) = inf f(X) , sup f(x) = sup f(X) *
ХЕЛ
Se poi f(X) ё limitato inferiormente (risp* superiormente) si dice che la
funzione f e limitato inferiormente (risp- superiormente) su X.
Se infine f(X) ё un insieme limitato, si dice che f e timitata su X.
Figura 2.2
Alia luce delle nozioni introdotte nel present© paragrafo riportiamo di
seguito alcune propriety dell’insieme dei numeri natural! e delVinsieme dei
numeri razionaii
Nell’insieme R dei numeri reali, a partire dall’elemento 1, si possono
determinare gli elementi 2 = l + l,3 = 2 + le cost via* TaH element!
costituiscono Г insieme dei numeri naturali di R, cioe I’insieme N = (1,2,3,...)
i cui elementi sono ordinati secondo le relazioni 1 < 2 < 3 < ...
L’insieme N gode di due propriety caratteristiche:
1) Ogni parte non vuoto dr N e dotata di minimo;
2) ogni parte non vuota di N, superiormente limitato, ? dotata di mas-
simo.
Tenendo conto di tali propriety si pud dimostrare la seguente
PROPRIETA DI ARCHIMEDE - Per ogni x e R, esiste n e N tale che n > x.
Dimostrazione: se la propriety di Archimede fosse falsa, I’insieme dei numeri reali
sarebbe limitato superiormente e quindi, per l’assioma di completezza. dotato di estremo
superiore M e R- In particolare. per ogni numero naturale n di R sarebbe n < M. Poiclift
anche n + 1 ft un numero naturale,risulterebbe n + KM, cioft n< M- 1, per ogni n g N, il
che ft assurdo perchft M - 1 sarebbe un maggiorante di N, contrariamente al fatto che M ft d
piii piccolo dei maggioranti.
In altre parole, la propriety di Archimede afferma che I’insieme N dei
numeri natural! non e limitato superiormente.
Dalia propriety di Archimede si ricava che 1’iosieme Q dei numeri
razionali di R, сюё finsieme dei numeri del.tipo m/n con me Zen e Ne
48 Capitolo 2
denso in R, vale a dire, per definizione, che per ogni coppia a, b di numeri-
reali con a < b, esiste un numero razionaie compreso fra a e b.
DENSItA DEI NUMERI RAZIONALI. - L’insieme Q dei numeri razionali ё
denso bi R.
Dimostrazione: si deve provare che, per ogni coppia a, b di numeri reaii cpn a < b, esiste
un numero razionaie x tale che a < x < b. Suppasto й > 0, sia n e N tala che ii > 1 / (b — a); per
cui risultera nb - na > 1, Detto m U'pife piccolo numero naturale tale die Jia < tn; Si avra in -1
sm <шй anche na<m = (m — l)4’l<na + l<ua + (nb - na) = nb. Dalle disiigiiaglianze na
< m < nb segue I’assetio. II caso a < 0 < b essendo ovvio; resta da esamin&re quello in cUt a <
0 c b S 0, die si riconduce al primo, ragionando siilla coppia - b, — a.
Concludiamo il paragrafo soffermandoci sulla funzione esponenziale.
Nel paragrafo 9 abbiamo definite il significato di ab con a numero reale
positivo e b numero razionaie. luoltfe, dalle (9.9), (9.10) segue che la fun-
zione esponenziale su Q
(12.16)
f : x e Q —> a* e R+
e strettamente crescente se a > 1, strettamente decrescente se 0 < a < 1.
Allo scopo di definite la funzione esponenziale su R, proviamo il se-
guente:
LEMMA DI DENSITA — Il codominio f(Q) della funzione f ё denso in R+.
Dimostrazinne: verifichiamo che, per ogni coppia a, fi di numeri reali positivi, con a <
0, esisre у e Q tale che a < ay < £.
Linutiamocialcaso a> 1,1 <a <in quanto gli altri si itattano analogamertte. Sia n e
N tale che (fllaf > a e sia m ii massirno intero tale che am £ a °. Si ha
(12.17)
<Xn <	gn *
in quanto risulta Д11 > a - a" > a * am Dalia (12.17) segue 1’asserto con у = ——
n
Dal lemma precedente si ricavano facilmente le formule
(12.18)
a’ = suPy<x ay
(a > 1)
(12.19)
aK = supy>x ay
(0 < a < 1)
Complement! ai numeri reali 49
Tali foririule suggeriscono di definire la funzione esponenziale ad espo-
nente x reale qualsiasi nel modo seguente:
(12.20)	a* = sup (ay :y e Q, у < x] ,
(12.21)	ax = sup (ay : у e Q, у > xj ,
Si puo dimostrare il seguente
se a > 1
se < a < 1 .
TEOREMA. — Per a > 1 (risp. 0 < a < 1) la funzione esponenziale ё strettamente
crescente (risp. strettamente decrescente) da R su R+.
13. Calcolo combinatoric
Sia A un insieme costituito da n elementi:
(13.1)
A = (aj , a2 an) .
Sia к un numero naturale minore od uguale ad n. Una disposizione di к
elementi tra gli n dati ё un sottoinsieme ordinato di A che ha к elementi;
consideriamo distinte due disposizioni se differiscono о per gli elementi,
oppure solo per I’ordine di tali elementi.
NUMERO DI DISPOSIZIONI. — П numero delle disposizioni di к elementi tra
gli n dati e
(13.2)	n(n - 1) (n - 2) ... (n - к + 1);
clot 2 il prodotto di к numeri interi decrescent! a partire da n.
Cost ad esempio il numero delle disposizioni di 2 elementi su 3 dati £3-2 — 6, Infatti, se
consideriamo l’insieme [at , a2 , a3J , tutte le disposizioni possibili con 2 elementi sono:
(13.3)
{aj , a,); (flj , aj; (a3 , a3);
(аз» aih fa2» аз)>
Per dimostrare la proposizione precedence, esaminiamo un possibile
modo di formare una disposizione di к elementi dall’insieme (13.1). Pos-
50 Capitolo 2
siamo scegliere il primo elemento da n dati. Invece ё possibile scegliere il
seconder elemento solo tra gli (n - 1) element! rimasti dopo fatta la prima
scelta. Quindi, se к = 2, il numero delle disposizioni ё n(n - 1). Se к > 2, si
procede allo stesso modo, cioe si sceglie il terzo elemento tra gli (n - 2)
rimasti. Quindi, se к = 3, il numero delle disposizioni ё n(n - l)(n - 2). E
cost via, se к > 3.
Una disposizione di n elementi tra gli n dati (k - n) si chiama permuta*
zione degli n elementi. Ponendo к = n nella proposizione precedente, si
ottiene che il numero delle pennutazioni di n elementi e:
(13.4)
n! = n : (n - 1) * (n - 2)....2 - 1 ;
il simbolo nJ, che indica il prodotto dei primi n numeri naturali, si legge «n
fdttoriale».
Tenendo conto del simbolo di fattoriale sopra introdotto, si riconosce
che il numero di disposizioni di к elementi tra n dati si pud anche scrivere:
(135)
n(n-l)"<n-k + l) = ^TkJi
Una combinations di к (^ n) elementi tra n dati ё un sottoinsieme (non
ordinato) di к element!; consideriamo uguali due combinazioni che hanno
gli stessi elementi, indipendentemepte dall’ordme.
NUMERO DI COMBINAZIONI. — Il numero delle combinazioni di к
elementi tra n dad e
(13.6)
n!
(il - k)l kl
Prima di passare alia dimostrazione osserviamo che il simbolo a primo
membro della (13.6) si legge «n su к», ed ё chiamato coefficiente binomiale,
Ё utile dare un significato a tali espressioni anche per к - 0 e к - n net
modo seguente:
<u”	и-1- ©-OsV1-
Complement ai numeri reali 51
Direttamente delle defmizioni (13.6), (13.7) segue 1’identitA
(13.8)
V д e N, V к e {0, 1, ... , n) .
Ritoniando all’esempio di un insieme con 3 element! { аг , a2 , a3 ) , si
hanno 317(1! 2!) « 3 combinazioni con due elementi, che soiio:
(13.9)
{	); {	, аэ ); ( a2 , аз |.
La proposizione precedente si dimostra osservando che il numero delle
combinazioni & inferiore (se к > 1) al numero delle disposizioni, e che ad ogni
combinazione con к elementi corrispondono tiitte le disposizioni che si
ottengono permutando tra loro i к element! Quindi ad ogni combinazione
corrispondono k! disposizioni. П numero totale delle combinazioni e ottenuto
dal numero (13.2), oppure da (13.5), che esprime il numero di disposizioni di
к elementi tra n dati, diviso per kl.
14. Il binomio di Newton
Una importante applicazione (che peraltro ё anche conseguenza del
principio di induzione, come mostrato nella seconda parte del paragrafo)
dei risultati del paragrafo precedente ё costituita dalla
FORMULA DEL BINOMIO (DI NEWTON)* — Per ogni coppia di numeri
reali a, b vale Uidentita
(14.1)
Infatti, immaginiamo di eseguire il seguente prodotto di n fattori:
(14,2)	(a + Ь)" « (a + b) < (a + b) ... (a + b) ;
il risultato del prodotto si scrive come somma algebrica di mold addend! Fissiamo la nostra
attenzione suH’addendo del tipo an ok. Eseguendo la moltiplicazione indicata, si ottiene tale
addendo tante volte quante e possibile scegliere к fattori uguall a b dagli n dati* Cioe n su k.
52 Capitolo 2
Complement at numeri reali S3
La formula de) binomio (14.1) in particolare fornisce deirisukati di facile verifica per r
= 2 e n = 3: infatti, per tali valori di n si ottengono le ben note rejazionf;
<143)
da cui (a + b)2 « a2 + 2ab + b2;
(14.4)

da cui (a +. b)3 = a3 + 3 az b + 3a b2 + b3 -
Le considerazioni che seguono sono utili per sviluppare esplicitamente
il secondo membro delict formula del binomio (14.1) per valori di n piti
grandi di 3:
LEMMA. — Per ogni coppia di numeri naturali n, к vale la formula
Infatti, dalla definizione (13.6) otteniamo:
(n - П fn - 1V	(n - I)!	(n ~ 1)!
Ik - 1J+ I к J ~ (к - I)! (n - k)l + kt (n - к - 1)1
(п-l)! f l
“(k-l)!(n-k-l)!ln-k + kj~
(14.6)
_ (n - 1)1	n _
= (к - 1)! (n - к - 1)! ' k(n - k) "
______n)_______fnl
~ к.' (n - к)! _ W ’
La proprieta (14.5) del lemma precedente permette di scrivere il se-
guente triangolo di Tartaglia (noto anche come triangolo di Pascal), dove
ogni coefficients e uguale alia somma dei coefficient! piu vicini della riga
precedente:
0-
0- 0-
©-1 0- 0=*
0-	0-3	0-	0-
0- 0- 0-	©>
0- 0-	0=“	0-»	0= =	0-
Quindi ad esempio risulta
(14.7) (a + b)5 = a5 + 5 a« b + 10 a3 b2 + 10 a2 b3 + 5a b4 + b5 .
Di seguito esponiamo un’ulteriore dimostrazione della formula del bi-
nomio con it metodo di induzione,
Dimostrazione per induzione della (14.1): cominciamo con Tosservare che la formula del
binomio (14.1} e Verificata per n - 1; infatti:
(14.8)	(a + b )' =Q]a + Q]b = a + b.
Secondo Fipotesi di induzione supponiamo vera la (14.1) per un indice n e N e dimo-
striamo. fa validiU della formula analoga con n + 1 al posto di n; a tai fine moltiplichiamo
entrain bi i membri della (14.1) рёг (a 4- b), ottenendo
54 Capitolo 2
tenendo con to che, per la (14.5), risulta
(14.10)
-L ( ” ) (П + П
[kJ + (к-1)±=( к J1
V к e (1,2, ..., n),
si ottiene infine la conclusione
(14.11)
(a + b )•'*' = (П q	a"*' +	[П * X) a" b + ...
... + fП J Па"4*1	bk	+ ...	fn + *1 a bn + fn	+	J)	b***1 .
V к }	I n ) \n	+	1}
Appendice al capitolo 2
15.1 numeri complessi
Consideriamo una generica equazione di secondo grado nelTmcognita z:
(15-1)
az2 + bz + c = 0,
che ha come soluzioni (reali, se b2 - 4ac > 0):
(15-2)
b л/b2 — 4ac
2a ± 2a
I coefficient! a, b, c sono legati alle soluzioni zi, Za anche dalle semplici
relazioni, che si verificano immediatamente:
(15a)
+ Z2=-
a
c
Z1 ’ Z2 = - .
a
Proviamo a scrivere tali relazioni nel caso dell’equazione:
(15.4)
z2 + 1 = 0 ;
in tai caso le (15.3) diventano
(15.5)
+ Zj = 0;
Zj Z, =
Complement ai nuinerl reali 55
Le relazioni (15.5), anche se formalmente ben definite, non hanno alcun
sense nell’ambito dei numeri reali, perche non esistono zlt z2 soluzioni reali
della equazione (15.4). Questo esempio mostra come tavolta sia utile pen-
sare che qualsiasi equazione di secondo grade ammetta soluzione. Dato che
cid non vale nell’ambito dei numeri reali R, si estende R introducendo il
campo C dei numeri complessi.
Consideriamo ancora Гesempio (15.4). Formalmente 1-equazione (15.4)
ha soluzioni
(15.6)
z = ± лрТ .
Definiamo il numero complesso i =	1. Si dice che i e I’unitii unmagi-
naria. Risulta per definizione:
(15.7)
i2 = - 1.
L’insieme dei numeri complessi si rappresenta in forma algebrica
(15.8)
C = [z = x + iy:	x, у e R).
Si dice che x ё la parte reale ed у e il coefficients della parte immaginaria
del numero complesso z.
Le operaziom sui numeri complessi si eseguono con le stesse regole dei
numeri reali, tenendo anche conto della (15.7). Quindi:
(15.9)	(x + iy) 4- (x' + iy') = (x + x7) + i(y + /) ;
(x + iy) - (x7 + iy') = xx' + ixy' + ix' у + i2 yy' =
(15.10)
= (xx' - yy') + i(x/ + Zy),
Il numero complesso z = x - iy si chiama complesso coniugato del
numero z - x + iy. Dato che risulta
(15.11)	z • Z = (x + iy) (x - iy) x2 + y2 ,
il coniugato ё particolarmente utile nel calcolo debquoziente di. due numeri
complessi; infatti:
56 Capitolo 2
(15.12)
x'~ + iyz _ (x* -I- iyz)(x " iy) _ (x* + iyz)(x ~ iy)
x -t- iy (x + iy)(x - iy) x2 + yz
хзе + yy'
X2 4- y2
Come si vede dal conto precedente, la divisione tra due numeri com-
plessi ё possibile purchb il denominator z = z 4- iy sia diverse da zero, ciob
purche non risulti contemporaneamente x = 0, у = 0.
Ё utile la rappresentazione cartesiana dei numeri complessi, Che si ot-
tiene facendo corrispondere ad ogni numero complesso z = x 4- iy il punto P
di coordinate (x, y), come in figura 23.
Un punto P del piano pub essere individuato anche dalla distanza q dal
centro 0 degli assi, e daU’angolo ft che il segmento OP forma con Гasse
delle x, come in figura 23. Dal teorema di Pitagora si deduce che
(15.13)
e = т/х2 + y2;
1’angolo Ф b legato alia parte reale x ed al coefficients delFinunaginario y,
dalle formule
Figura 23
(15.14)
Si dice che р e il modulo del numero complesso z x + iy, mentre *0*,
misurato in radianti, e Vargomerito. Naturalmente Ф ё definite a meno di
multipli di 2л. Tenendo conto delle relazioni tra q, fr e x, y, possiamo
serivere il numero complesso z = x 4- iy in forma trigonometrica
(1515)
z = q (cos ft 4- i sen *0-).
Complement ai numeri reali 57
Ё paxticolarmente semplice scrivere il prodotto ed il quoziente di due
numeri complessi espressi in forma trigonometrica. A tale scopo, cohside-
riamo due numeri complessi z, zf nella forma:
(15.16)	z = q (cos ft + i sen fl); z' = q' (cos fl*' + i sen ft')*
Tenendo conto delle forinule di addizione (10-4), (10-5) si ottiene:
z - z' - q(cos fl + i sen fl*) • q' (cos fl-' + i sen fl') =
(15.17)	= {(cos fl cos -У - sen fl sen 1Г) + i(sen fl cos fl' + sen fl' cos )] =
я qq' {eos(fl + fl') + i sen(fl + fl')).
Ciofc il prodotto tra due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei
moduli, e per argomeuto la somma degh argomenti.
Per il quoziente si ottiene la formula analoga:
z/z' = q(cos fl + i sen fl)/{p' (cos fl' + i sen flO) ~
о (cos fl + i sen fl)(cos fl' — i sen fl7)
” q' (cos fl' + i sen fl' )(cos fl' - i sen fl') -
(15.18)	_ £ (cos ф cog ф' + Sga £ sen + фед $ cos ф' „ sen cos эд _
cos2 fl - i2 sen2 fl
- ~ (cos (fl - fl') + i sen (fl - fl')}.
Dalia formula (15.17) per il prodotto, si deduce la forma trigonometrica
della potenza z" con esponente n e N
(15.19)	zn - [q(cos fl + i sen fl)]^ = Qn(cos n fl + i sen n fl).
Un: numero complesso z' & la radice n-sima di z se risulta (z7)11 - z.
Quindi se z, z' sono rappresentati in forma trigonometrica dalla (15.16)
58 Capitola 2
come in precedenza, deve risultare
(zQn = (p')n {cos(nft') + 1 sen(nft')] =
(15.20)	= z = q(cos ft + i sen £) =
— p [cos(ft + 2кл) + i sen(ft + 2кл)},
qualunque sia к ,G Z. Otteniamo quindi:
(15.21)
q' «	; ft' = (ft + 2кл)/п, к e Z.
In particolare il modulo di una radice n-sima ё uguale alia radice n-sima del
modulo. Si riconosce anche che la (15.21) fornisce n valori distinti delFargo-
mento ft'. Quindi se z 0, esistono n radici n-esime distinte del numero
complesso z.
Ad esempio, calcoliamo le radici quadrate del numero complesso z = i. In forma trigono-
metrica i ha modulo uguale ad 1, ed argomento uguale a n/2, Quindi in base alia (15.21), le
due radici quadrate di z » i hanno modulo uguale ad 1, ed argomento uguale a
In corrispondenza si ottiene:
(15.23)
л
cos — + i sen — I;
4 4J
z*2 = 1 cos - я + i sen " ji
I 14 J 14
Quindi le due radici quadrate di i sono:
(15.24)

^ = 1
Segnaliaino una notazione di tip о esponenziale per i numeri complessi.
Posto
(15.25)
cos 0 + i sen 9 - ew ,
un numero complesso z — q (cos 0 + i sen0) si potra rappresentare nella
forma
(15.26)
z = q eiB .
CAPITOLO 2 59
In tai modo la (15.17) si riscrive come
(15.27)
z • z' = q eia • q' eie = q • q' ©И®**)
e la potenza n-sima di z' = q' eiff , come
(15.28)
n = fo')n ein0'
Se z' = q' e,₽ e una radice n-sima di z - q elfl, sara (д')11 e Q
percid Qf = S|q , cos n0' = cos0 e sen n0' = senO. Ne seguono le (1521).
CAPITOLO 3
LIMHI DI SUCCESSION!
16. Premessa
Uno dei problemi che affronteremo nel capitolo sugti integral! sara il
calcolo delle ar ее di figure piane. Tale calcolo fa uso in modo essenziale del
concetto di limite. Per mostrare cid, consideriamo un metodo per il calcolo
dell’area di un cerchio, simile al metodo che Archimede usd nel 1П secolo
a.C.
Si tratta di «approssimare» un cerchio di raggio 1 (potremmo scegliere anche un diverse
valore per il raggio) con figure che «differiscono di poco» dal cerchio, e di cui sia possibile
caicolare Гагеа. Nel capitolo sugii integral! vedremo che ё comodo considerare, come figure
approssimanti, union! di rettangoli. Qui, per ogni n £ 3 consideriamo Pn> un poligono rego-
lare di n lafi inscritto al cerchio di raggio 1. Ciofe, per n = 3 consideriamo up triangoio
equilatero (- P3) inscritto al cerchio, per n = 4 un quadrate (= P4), e cosi via (figura 3.1).
Agli n lati del poligono Pn corrispondono n angoli al centro uguali fra loro, die sono
Гп-sima parte dell'angolo giro e che quindi misurano 2n/n radianti. Quindi Tangelo a indi-
cate in figura vale a = л/п radianti. Dato che i cateti del triangoio rettangolo in figura
misurano sen a e cos a, la sua area vale (sen a cos a)/2. Per ottenere Гагеа del poligono Рд
оссоце moltiplicare I’ultimo risultato per il numero dei triangoli rettangoli in cui e scom-
posto Pn. Tale numero b 2n. Quindi Гагеа di. Pn, che indichiamo con aq, vale:
Figura 3.1
62 Capitola 3
(16.1)
an ~ area (Pn) — 2n * — sen a cos a.
Use nd о le formule di duplicazione (10.6) e ricordando il valors di a otteniamo
(16.2)
n	2л
a_ = - sen —
"2	n
piportiamo an per alcuni valori di n; il lettore controlli 1 prinu valori, fine ad n = 12, usandc
tabella del paragrafo 10.
	3	4	6	8	12	20	50	100	200
an	3 4	2	cn 1	2 ^2	3	3.09	3.133	3.139	3.1410
Come ci aspettiamo, per n grande i valori di an si awkinano а л = 3.14159265...
Archimede, partendo dall’esagono e raddoppiando per 4 volte il numero dei lad, consider^
un poligono rcgolare con 96 lati e riuscl a calcolare le priitie due cifre decimali di л.
Alla fine del paragrafo 23 dimostreremo, tramite la (16.2), che Гагеа di
un cerchio di raggio 1 vale я. Perd la (16.2) non ё utile per il calcolo
flUmerico di jt, perchd л entra nella definizione stessa di a^. Qui deside-
damo sottolineare lo schema del procedimento: abbiamo introdotto una
successions di numeri reali
(16.3)	a3,84 , a5 , a„
Di tale successions ci interessa il comportamento per n grande. Infatti il
pumero an rappresenta Гагеа del poligono regolare di n lati inscritto al
cerchio, ed ё tanto pih vicino all’obiettivo area del cerchio, quanto piu n ё
grande. Se avesse un senso, diremmo che. ci interessa «I’ultimo» termine
della successions a„; perd cid non ha senso регсЬё non esiste I’ultimo
termine della successione.
Cid che realmente ci interessa ё il limits della successione a„, ciod un
numero a e R che sia «vicino» ai termini della successione che hanno
I’indice n «grande». Cid si esprizne piu precisamente cost: a, limite della
successione ап, e un numero reale tale che comunque si scelga un intervallo
di numeri inferno ad a, diciamo (a — a, a + e) con e > 0, allora esiste
un indice v tale che, per n > v, an sta in questo intervallo, clod
a-E<an<a + e.
Abbiamo rappresentato in figura 3.2 tre casi per diversi valori di e; se si
cambia e con un numero minore, I’indice v in genere aumenta. L’impor-
Limili di successioni 63
tante e che comunque si fissi e > 0, in comspondenza esiste un indice v con
le propriety suddette.
L’intervallo (a - e, a + s) considerate in precedenza e definite, in
formula, da
(16.4)
(a - e, a + e) = [x g R:a — c<x<a + e],
ё detto inferno del numero a, di raggio 8.
Nel paragrafo seguente diamo la definizione di limite di successions e
consideriamo alctini esempi.
17. Definizioni e prime propriety
Una successions ё una legge che ad ogni numero naturale n fa corri-
spondere uno ed un solo numero reale aa. Ricordando la definizione di
funzione (paragrafo 6) si pud dire che una successione e una funzione da N
in R. Indichiamo una successione con il simbolo (an), о piu semplicemente
con an, о per esteso con
(17,1)	at , a2 , a3 , a^ , Яд
Parleremo allo stesso modo di successione anche se non sono definiti i
termini an per i primi indici n, cioe per un numero finite di indici n, come
nel caso considerato nel paragrafo precedente, dove era n. > 3. Esempi di
successioni sono:
(17.2)
1 1 1 1
*2’3’4 * * n ””
64 Capitolo 3
(173)	n - 1 “•= n	1 1 * 1 Й R • • • m IM* ► co Icn i-i IN f* о
(17.4)	я <- 1)n *“ n	_ 1 1 -11	(-1)д ’2’ 3’4	n
(17-5)	an = (" l)n	- 1,1, - 1,1 (- 1)“ ....
(17.6)	a« = n2	1, 4, 9, 16 , .... n2 ....
DEFINIZIONE — Un numero reale a e il limits della successione an (jj dice
anche che aB tende о converge ad a), e si scrrve
(17.7)	Jim an - a (oppure an a),
se, qualungue sia a > u, esiste un numero v tale che a — s<an<a + e per ogni n >
v.
Larelazionea — e < an < a + e sipudanchescrivere — e< an— a < e, edd
equivale a (propriety (8.12)):
(17,8)
|a„ - a| < e.
Quindi possiamo ripetere la definizione precedente in simboli (3 si
legge esiste):
(17.9)	lim ah = a <==> V a > 0, 3 v: [Эц - a| < e Vn > v.
Ц—>+“»
Osserviamo, регсЬё ci sar& utile nel seguito, die la (17.9) ё equivalents
a
(17.10)	lim Нц = a <=► 2c > 0: Vs > 0, 3v: [an — af < ce, Vn > v ;
Ц—>+«>
infatti dalla (17.10) si riottiene la (17.9) cambiando e con e/c.
Usando la definizione, verifichiamo che
(17.11)	lim - = 0.
Limiti di succession! 65
Risulta|an - u| a |l/n| = 1/n.Datoche l/n< eequivale a n> 1/e, basiuscegliere v = 1/e.
Ciofe abbiamo verificato che per ogni e > 0 esiste v = 1/e per cui |an - a| = 17n < e per ogni
n > v.
Verifichiamo ora che
(17.12)
Risulta
(17.13)
lim
n—J-t*»
Is» - «I =
in questo esempio si vede I’importanza di considerare il valors assoluto di - a; si trova
|an - a) » 1/n e pot st procede come nel caso precedente.
Naturalmente non abbiamo scelto a caso i valori, a = 0 e a = 1 nei due esempi prece-
dent! Proviatno a vedere che succede se invece tentassimo di dimostrare che
(17.14)
lim 1 = 1 !
n—>|M T1
Avrenuno
Questa reiazione non crea problems se а ё grande, ad esempio se в * 1 fe verificata da
ogni n e N. Ma se s ё pih piccolo, ad esempio se e ® 1/2, ailora 1/n > 1/2 ё verificata solo se
n < 2. Cio£ solo Hi verifica la reiazione data, e non an con n > v. Cid prova che a = 1 non ё il
iimite della successione 1/n.
Con un argomento simile verifichiamo la
UNICITA DEL ЫМГГЕ. — Una successione convergente non pub avere due
limiti distintl
Dimostrazione: supponiamo per assurdo che esistano due limiti distind, ciob suppo-
niamo che an —> a, an —> b, con a * b. Poniamo e = (a - b|/2 (> 0). Si ha
(17.15)
3 Vi: |a„- a| < e, Vn > V|; 3 va: |ал-b| < в, Vn >
Ppnendo v = max {v( , v2l i *e relazioni sopra scritte valgono conternporaneamente e si
ha (utilizzando la disuguaglianza triangolare |x1 + xj < |xt| 4- |x2] del paragrafo 8)
66 Capitolo 3
la - b| = |(а- а,)) + (ап - Ь)| <
(17.16)	* la - aj + к - Ь| =
= |ав - а| + |ап - Ы < £ + е = |а - Ь|.
Abbiamo cosi trovato che |a - b| < |a - b| , che e assurdo.
Esaminiamo ora le succession! (17.4), (17.5). Si ha che
(- l)n
(17.17)	lim -—— = 0;
infatti |a„ - a| = |(- l)n /n| = 1/n ; ppi si procede come fatto per il Iimite (17.11),
Invece il Iimite
(17.18)	Um (- 1)” non esiste,
Infatti, supponiamo per assurdo che esista a = lim (- l)11. Se a > 0, consideriamo |an - a|
п Э+"»
con n dispart Ailora an - -1 e quindi |an - aj = |- 1 - a| = 1 + a > L Percid, se a < 1, non
risulta mai |an - a| < e per л dispart Si procede inmodo analogo per il caso a < 0 prendendo
i termini con indice n pari.
Infine la successione (17,6) tende а +« secondo la definizione seguente.
DEFINIZIONE. — Una successione an ha Iimite uguale a +	(57 dice anche che
an tende о diverge a + <») e si derive
(17,19)	lim an = +*» (oppure an —> + ~) ,
se, qualunque sia M > 0, esiste un numero v tale che ал > M, per ogni n > v.
Si da una definizione analoga nel caso di Iimite uguale a - *>. Ad
esempio, la successione an = - n2 tende a - In simboli scriveremo le due
defimzioni nel modo seguente:
(17.20)	lim	a,, = + °°	<==> V M > 0, 3v:	an > М»	V n > v;
n*—>+«
(17.21)	lim	an = - oo	V M > 0, 3v:	a„ < - M,	V n > v.
n-4 !«
Limiti di succession! 67
Come gia detto, una successione si dice convergente se ammette limite
finite, mentre si dice divergente se ammette limite uguale a +*» oppure a
— oo. Le succession! convergent! b divergent! si dicono regolari, mentre le
succession! che non ammettono limite si dicono non regolari.
Inline, una successione che converge a zero si dice infinitesima, mentre
una successione divergente si dice anche infinite.-
18. Succession! limitate
Abbiamo detto nel paragrafo precedente che una successione si dice
regolare se ammette limite (finite о infinite). Invece una successione an si
dice limitata se esiste un numero reale M tale che
(18.1)	|aj £ M,	Vn s N,
о (equivalentemente, in base alia proposizione (8.11)):
(18.2)	- M £ an £ M,	Vn e N.
Si noti il legame con la definizione (12.3) di insieme limitate (si veda
anche la (12.4)).
II lettore provi a verificare pea* eserdzio che Le succession! (17.2), (173), (17.4), (173)
sono limitate, mentre la successione (17.6) non lb fc; ad esempio, la successione (17.4) fe
limitata dalla costante M = 1, infatti:
(18.3)	I I = МЧ = i S 1,	Vns N.
| n n
Esistono successions limitate non regolari, cio£ succession! limitate che
non ammettono limite; un esempio ё fornito dalla successione (17.5) defi-
nita da
(18.4)	a„ = (- 1)" ,
che ё limitata (регсЬё |an| = 1 per ogni n e N) ma che, come dimostrato in
(17.18), non ammette limite.
Viceversa, ogni successione che ammette limite . finite e limitata, come
mostrato dal seguente:
TEOREMA — Ogni successione convergente ё limitata.
68 Capitolo 3
Dimostrazione: supponiamo che a„ converge ad a e scegliamo я - 1. In base alia
definizione di limite (si veda la (17,9)) esiste im indice v per cui |aQ - a[ < 1 per Ogni n >v
Quindi, utilizzando la dlsttguaglianza triangolare (8.14),
(18.5)
laj l(an - a) + a| 5 ta, - al -ь |a| <14- |a|, Vn > V,
Ma allora, per ogni n e N, si ha:
(18.6)
faj £ M = так (lal[, la2|t4...|aj^ 1 4- |a|]
19. Operazkmi con i Iimiti
Valgono le seguenti regole di calcolo:
OPERAZIONI CON ILIMITI. — >!?e lim an - a e lim bn= b, con a, b 6
n—n—
R, si ha
(19.1)	lim (a„ ± b„) = a * b.
n—>+*»
(19.2)	lim a„ • b„ = ab.
n—>+•*
(19.3)	I™ ~ = c (se bn , b * 0).
ba b
Dimostriamo la (19.1) con i] segno +: per ipotesi, per ogni a > 0,
(19;4)	3 7| : 1&Ц - a| < e, Vh > уг; Э v2 : |bn Ы < 6» Vh > yz
Ponendo v = max { vt , y2 } , per ogni n > v si ha
(19.5)
Ka. + b„) - (a + b)| = Ka, - a) + (bn - b)i <
£ [an - a| + jbn - bl < 2a.
La ртоуа e complete. Si noti che abbiamo Usato la disuguaglianza tnangohre (8,14) e la
dettnizione di КщИе neila forma (17.10). Л lettore dimostn la (19.1) соц it segno
Dimostriamo la formula (19.2) relativa al limite di iin prodotto con due metodn iJ ptinn*
dei quali non fa uso del concetto di successione limitata
Limiti di succession! 69
Dimosirazione della (19.2) (primo metcdo): utilizziamo 1’identita
anb„ - ab = (an - a) (b„ - b) + an b + a b„ - 2ab =
(19.6)
- (4 “ ») (bn - b) + (an - a) b + a (b„ - b).
NeU’ipotesi (25.4) risulta quindi
|йд bo - ab| £ |an - a| - |b„ - b| + |aa - a| - jb| +
(19/7)	2
+ |a| • |bn - b| < e + e |b| + |a| e
per ogni n > *v = max {vt . vj.
Dimostrazione della (19.2) (xecondo metodo): per il teorema del paragrafo precedente la
successione an ё linritata, ciofe esiste un numero reale M (> 0) tale che
(118)
|an| £ M,
Vn g N.
DaH’ipdtesi (19.4), per ogni n > v - max |vt , v2| si ottiene
lan bn - ab] = |a„ bn - an b + hn b - ab| «
(19.9)	= |an(bn - b) + b(an - a)| < |art J|be - b| + |b||a(, - a| <
< Me + |b| e = (M + |b|) e.
La prova che il limite di un quoziente ё uguale al quoziente dei limiti e
simile alia prova della relazione per il limite di uh prodotto.
Esaminiamo due esempi di applicazione delle operazioni con i limiti Avendo gid verifi-
catb che la successione l/п converge a zero per n dal limite del prodotto (19.2) con
a0 = b„ ss 1/n si deduce che
(19.10)	lim 1 = 0
n-^ lag П
e, iterando il procedimento,
(19.11)
lim тГь — 0,
Vb6 N.
Mediante le operazioni con i limiti si calcola, ad esempio, il seguente limite, dividendo
70 Capitolo 3
numeratore e denominatore per n2:
(19.12)
n2 + 5n - 4	„	1 + 5/n - 4/jn? 1
lim --------:--------- hm -----------------;— =* -
3nZ + 1	п-4-M»	3 + l/n2 3
20. Forme indeterminate
Si prova che valgono le operazioni con limiti infiniti nei casi seguenti (a
€ R):
(20.1) an —> a ,	bn-»±~	=> a„ + b0 -» ± ~
(20.2)
(20.3)
(20.4)
a„ —> ± 00 ,
П	3
a„ —» a * 0 ,
a»	.
bn -» ± ~	=> an + b„ -> * ~
bn -> ± ~	=> |a„ b„| -> + «
b0 -» ± ~	=» К bn| -> + -
(20.5)
(20.6)
(20.7)
a,-*».
a„ -> a ,
a„ -> a * 0 ,
b„ -> ± ~	=> an / b„ -> 0
=> |b„ / a„| -> + “
n
=> |a„ / b„| -> + «
Risultano esclusi dalla tabella alcuni casi che schematizzianio nelle
forme seguenti, dette forme indeterminate:
(20.8)
OO — QQ^ 0 ‘ СЮ, **/<»,	0/0.
Altre forme indeterminate sono date nella (25-9). Dire che un limite ё
una forma indetenninata non significa dire che il limite non esiste, ma
significa semplicemente che occorre prelnninarmente eseguire trasfonna-
zioni, о semplificazioni, per togliere, se possibile, I’nideterminazione.
Ad esempio, le successioni seguenti esprimono forme indeterminate:
(20.9)
(n + I)2 - (n - I)2 ;
1
n2
(n + 1);
l/n2
l/n ‘
n - 1
t
n
La prima di tali successioni ё una forma +°° ~ «. Pert» svolgendo i quadrat! Si trova che la
successione vale 4n e quindi tende a	La seconda successione ё una forma 0 • ma si pud
anche scrivere l/n 4- l/n , che tende a zero. La terza successione fe una forma «•/«>, ma gih
sapplamo che tende a 1. La quarts successione ё del tipo 0/0, ma semplificando si trova l/n -»0.
Limiti di succession! 71
21. Teoremi di confronto
Studiamo in questo paragrafo alcune relazioni tra limiti e ordinamento.
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO. — Se lim an - a > 0,1
n—
esiste un numero v tale che a„ > 0 per ogni n > v.
Prima di propone la dimostrazione, del teorema della, permanenza del segno sottoli-
neiamo che, se una successione an converge ad un numero reale positivo a, non si pud
affiennare in generate che tutti i termini della successione an sono positivi.
Ad esempio, in analogia con la (17.3), la successione a„ » (n — 7)/n converge al numero
1 per n -> + «, perd i primi termini della successione (aj, a2,finoad a$) sono negativi; il
numero v, nella tesi del teorema della permanenza del segno, in questo caso e uguale a 7.
Dimostrazione: dato che a > 0, possiamo scegUere e = a/2. Esiste quindi un numero v per
cui |aB - a| < a/2 per ogni n > v. Cid equivale a-a/2 <an — a < a/2. In particolare ab-
biamo
a a
a„ > a ~	> 0
£
(21Д)
Vn > v.
COROLLARIO. —»Se ]im an =; a , e se 2 0 per ognrvt, ailora anche a > 0.
П—
Dimostrazione: se per assurdo fosse a < 0, il teorema della permanenza del segno,
applicate alia successione ~ an, comporterebbe che an < 0 per n grande.
COROLLARIQ. — & lim an - a, lim bR = b , e se an > bB per ogni el,
n—)+«•	n—>+*•
ailora a > b.
Per ottenere la dimostrazione di quest’ultimo corollario, basta applicare il corollario
precedente alia successione an — bn.
Possiamo schematizzare i risultati ottenuti nel mode seguente (si noti la
differenza tra i segni > e S):
(21.2) ал -> a, a > 0 => 3 v: an > 0, Vn > v;
(2L3) ад a, 0, V n e N => a £ 0;
(21.4)	a, bn —» b, a„ £ bn , V n e N => a £ b.
72 Capitolo 3
TEOREMA DEI CARABINIERI. — Siano an, bn, q, tre succession} tali che
(215)	a„ < c„ < b„ , Vn e N.
Se lim an » lim bn — a , ailora anche la successione c„ e coiivergente e
rt—H**	n—
lim cn = a.
Д >1 —
Dimostrazione: per ipotesi.per ogni e > 0
(21.6)	3 v, • |an - M < e, Vn > V| ; 3 v2 : |bft - a| < e£ Vn > -v2 .
RicordiamO the ledisuguaglianze con il valore assoJuto si possono anche scrivere.
(21.7)	a-e<an<a + fi; a - e < bn < a + e.
Quindi, se n > v max (v, , v2| , risulta
(21.8)	a - e < ao S cn < bn < a + e,
Percid |c^ — a| < a per ogni n > v, come voievasi dimostrare.
Valgono analoghi teoremi di confronto anche per i limiti infiniti:
(21.9)	£ bn Vn = N, ^-> + «0 bn -> + «
(21.10)	an £ bn Vn e N, bn -» - «> =>
Dimosiriamor te (21.9) (la prova defta (21.10) e analoga): per ipotesi art -> + che; per
la definizione dr Iimite (17.20), signifies:
(2£lt)	VM > 0,3 v: a0 > M, Vn > V.
Data che bm an per ogni n g N, si ottiene la test
(21.1-2)	bn £ an > M,	Vn > v.
22.	Altre propriety dei limiti di succession!
Riportiamo in questo paragrafo due ulteriori proprieta dei limiti di suc-
cession!; in particolare la seconda, enunciate sotto forma di teorema, ё
importante per le applicazioni.
Limiti di successione 73
PROPOSIZIONE. — a„ converge a zero se e soluinto se |an| converge a zero.
Dimostrazione: poster bn == faj, in base alia definizione (17.9) bn converge a- zero se e
solo, se
(22.1)	V g> О, Э v : |bn| < a; Vn > v;
Dato che
(22.2)	|bj = ilajl = la,	Vn e Nt
la (22.1) & eqtfivalente alia convergenza a zero della successione aft
Si noti che. nelta proposizione precedente. ё importante considerare non solo succes-
sion! convergent!, ma pih in particolare succession! convergent! a zero. Ad esempio. se
an » (— 1)" , allora an non ё convergente. mentre bn = |aj c la successione costante
bn = 1, Vn e N , che owiamente converge ad 1.
Ricordiamo che una successione an d limitata se esiste un numero M > 0
tale che
(22.3)	faj < M.	V n e N.
Ricordiamo inoltre che una successione che converge a zero st dice infinite-
sima.
TEOREMA DEL LIMITE DEL PRODOTTO DI UNA SUCCESSIONE
LIMITATA PER UNA INFINITESIMA. — .Se an e una successione limitata e
hQ ё una successione che converge a zero; allora la successione prodotto ad-bn
converge d zero.
Dimostrazione (prime metodo} per Fipotesi (22.3) si ha
(22;4)	|art bj = |an| • |ЬЛ| < M. - jbj,	Vn g N,
che, per La propriety del valore assoiuto, equivale a
(22.5)	- M - |bj < a„ bA < M • |bn|.	Vn e N.
Dato che per ipotesi bn —» 0; per la proposizione precedente anche la successione |bD|
converge a zero. Per il teorema dei carabinieri, dalla (22:5) si deduce infine che  bn -) 0.
74 Capitolo 3
Dimpstrazione (secondo metodo): per la definizione di limite si ha:
(22,6)	Ve >0, Sv : |b„| < e,	Vn > v.
Dall'ipotesi di limitatezza (223) si ottiene poi
(22.7)	}an bn| = |aj - |bJ <; M - |bn| < Ma.	Vn > ?,
che equivale (si veda la (17.10)) al fatto che la successione prodotto an - bn converge a zero.
A titolo di esempio verifichiamo che
(22.8)
lira
n—>+«o 3n + 1
infatti st tratta del limite del prodotto della successione limitata an = (— l)n per la succes-
sione infinitesima
(22.9)
_ n + 5	1/n + 5/n2
” 3n7- + 1 * 3 + 1/n2
Come ulteriore esempio verifichiamo che
(22.10)	lim = 0
n" >1— П
(il lettore non confonda questo limite con quello proposto in (23.17), uguale a 1; nel limite in
(23.17) la sucqessione an converge a zero, mentre la successione in considerazione in (22.10)
ё sen an/an, con an = n -> + «»).
I! limite in (22.10) ё zero perche limite del prodotto della successione limitata
an - sen n (|an| = Isen n| < 1, V n e N) per la successione infinitesima bn == 1/n.
23.	Alciira Iimiti notevoli
In questo paragrafo esaminiamo alcuni esempi di Iimiti particolannente
important!. Cominciamo con (a e R fissato):
(23.1)
	+°°	se
lim an = <	1	se
П1 >4 —	0	se
	non esiste	se
a > 1
a - 1
- 1 < a < 1
a<-l
Se a > 1 ё possibile utilizzare la disuguaglianza di Bernoulli (11.5):
Limiti di successioni 75
(23.2)
a" i I + n(a - 1).
Dato che a > 1» il secondo membro tende a + «° se n —» •+ <»; per il teorema di confronts
(2L9) anche a" —> + «. I casi a = 1 e a = 0 sono ovvi. Se a fe diverse da zero e compreso tra
- J, 1 (0. < |a| < 1), risulta 1/|af > 1, e quindi dal caso gia trattato otteniamo:
(233)
Km Ja”| = lim —--------------------= 0.
n—(1/|a|)n
Se a = - 1 si riottiene il limite (17,18)* Se inline a < — 1, si vede che la successione con
esponenti' pari a —> + “» meritre la successione con esponenti dispari a2k+l—» — ~ per к —> +
®o. Perci & non esiste il limite per n —» + ч» di a1’. Si noti che invece esiste, ed c uguale a + «>, il
limite di |an|t se a < - I; infatti si ottiene la successione )an), che ha per base |a| > 1.
Proviamo ora che, se а ё un numero reale positive, risulta
(23.4)
i
lim 5/a = lim an = 1 .
П-*Х-аа	ПЧ4»
Notiamo preUminannente come sia facile ricordare il limite (23.4) per
mezzo dei passaggi: т/а = a1/n -» a0 = 1.
Dimostrazione della (23.4): nel caso a 2 1 si ha л|а £ 1. Poniamo br = л|а - 1 ; risulta
bfl 2 0 e inoltre, sempre per la disuguagHanza di Bernoulli:
(235)
a = (1 + bir)" > 1 + n bn .
Percib
(23.6)
0 £ bn < (a - l)/n.
Dal teorema del carabinieri segue che b„ 0 , ciofe che ^fa -И. Se 0 < a < 1, allora
1/a > I e quindi, per quanto gia dimostrato.
(23.7)
Drniostriamo ora che, se b e R, risulta
(23.8)
n—
Esaminiamo pre!iminarn**4ite il caso b = 1/2. Procedendo come fatto in precedenza,
poniamo bn =	— 1 & 0. Utilizzando ancora la disuguaglianza di Bernoulli, otteniamo
76 Capitolo 3
(23.9)
Reread
(23.10)
Quindi
Vn = (1 4* bjn £ 1 + n bn
„ , Vn-1 1 1
0 2 bu S ----= •-= ----> 0
n	n
bn -> 0; cine = n’^> -+ 1.
Afcuni quesiti per il lettore: регсЬё si ё sceltd il valore b = 1/2 1 La dimostrazione
proposta non funziona se si sceglie b = 1; регсЬё? Quali altri valori di b, oltre b - 1/2,
possono essere scelti in modo che la dimostrazione funzioni?
Cotisideriamo ora il caso in ciii I'esponente b e Z.
In tai caso tfn** - (^п,д)2ь —»	« 1. Per trattare il taso generate b e R, inttOdUciamo
la funzione parte intern di x:
(23.11)
[x] = il piil grande inrero minore od uguale ad x.
$e b e R, abbiamo [b] 2 b < [b] 4- 1, e quindi
(23.12)

Artcora, per il teorema dei carabinieri, si ottiene la test (23.8)>
Esaminiamo ora tre limiti relative alle funzioni ttigonometriche. I primi
due sono:
(23.13)
an —> 0 => sen an —> 0;
(23.14)
ай^В =>
nos an -> 1:
Ad escmpio sen (l/n) —> 0, cos (l/n) —£ 1, perchd l/n 0.
Dimostrazione della (23.13) datb che an converge a zero, per la definizione di limite
esiste un indice v per cut [all(< л/2 per ogni n > v. Per tali valori di n; utilizzando fa
disuguaglianza (10.9),- ottemamo
(23.15)	0 < Isen aj = sen |aj < faj
Per ia proposizione del paragrafo precedente per il teorema dei carabinieri, [sen aj—»0.
Infine, ancora per la proposizione del paragrafo precedente sen a„ —> 0.
Dimostrazione deJia (23.14): si pervfene ai nsultato dalla (23.13), utilizzando la relazione
cos x = ± 71 — sen2 x . AHo scopo di stabilire il segno della relazione precedente, indi-
chiamo cod v i’indice tale che nsulti — n/2 £	£ tc!2 per ogni n > v (v esiste per la
Limiti di successioni 77
definizione di lirnite, dato che an -4 0). Per tali valori di n risulta cos an > 0 e quindi
(23.16)
cos a„ = л/l — sen* a„ ,
Vn > v.
Avetido giS provato che sen an —» 0, ne segue che bn = I - sen2 an -> 1; la test e infine
conseguenza del fatto che	—> л/Т= I .
Il terzo Iimite di funzione trigonometrica che prendiamo in considera-
zione ё:
sen a_
(23.17)	an -> 0,	* 0. Vn=> -------------- -> 1.
Notrariid'ch'e. dato che ай -> 0, (sen aj/a^ e una forma indeterminata.
Cpnunciamo col dimostrare che
(23.18)	0 < |x| < J	cos x < Sen * < 1 .
2	x
Infatti, se x e positive, dalia (10.9) si ottiene
sen x
(23.19)	seh x <x < tg x »---------------
cos x
da cui, dividendo per sen x (che 6 positive) e prendendo gli inversi, si ha
(23.20)
Sen x
cos x < —:—
X
Seinvecex c negative, applicando a - x la (23.20) si ottiene
a	t- ч sen (“x)	*
(23.21)	cos x = cos (~ x) < —--------- = —-— < I.
— X	X
dunque la (23.20) vale anche se x e negative e la (23.18) ё dimostrata.
Datoche aa-»0, per la definizione di Iimite esiste un indice v tale che |ай[< n/2 per ogni
n > v Dalia (23.18) si ottiene
(23.22)
sen a,v
cos an <---------- <1, V n > v.
fin
Per n -> + «, cos un I. La. tesi (23.17) discende quindi dal teorema dei carabinieri.
Applfchiamo Я risultavo appena dimostrato per condudere 1’argomento del paragrafo
16, <поё per provare che 1’area del cerchio di raggio 1 & uguale а л. Ricordiamo che, data un
cerchio di raggio 1, per definizione л e la lunghezza della semicirconferenza, mentre Farea
del cerchio ё il Iimite, per n —> + e«, delle aree dei poligoni regolari di n lati inscritti. In base
alia (16.2) si ottiene
78 Capnalo 3
(23.23)
area del cerchio di raggio 1 = lim - sen — .
2 n
Dato. che, per n —> + «», la successione 2re/n tende a zero, sianio neila situazione del
Iimite notevole (23.17) e quindi
(23.24)
area del cerchio di raggio 1 = lim и —---------~ = л.
2л/п
24. Succession! monotone
Abbiamo gia dato nel paragrafo 7 la definizione di funzioni (stretta-
mente) crescenti о decrescenti. Allo stesso modo per le succession! diciamo
che
(24.1)	an	strettamente	crescente:	ап	<	+ г	,
(24.2)	an	crescente:	an	<	an +1	,
(24.3)	an	strettamente	decrescente:	au	>	all + j	,
(24.4)	a,,	decrescente:	an	>	an + t	,
V n g N;
V n e N;
V n g N;
V n g N.
Una successione an e monatona se verifica una delle quattro condizioni
sopra scritte. Una successione e strettamente monotdna se verifica la (24.1)
oppure la (24.3).
Se an = a per ogni n g N, con a numero reale fissato, si dice che an ё una
successione costant e. Le succession! costanti sono allo stesso tempo cre-
scenti e decrescenti.
Ad esempio le successioni (17.2) e (17.3) sono strettamente monotone; la (17.2) ац = 1/n
ё strettamente decrescente, mentre la (17.3) an = (n — l)/n ё strettamente crescente; infatti,
se Hn = 1/n, ailora
1 1
(24 J)	a„ >	n + 1 > n
n n + 1
e Tultima disuguaglianza ё verificata per ogni n e N. Invece se
ailora
,nj	П “ I n	,	„	7
(24.7)	an < аиИ <=>	------<--------- ф=» i/ -1 < n1
n n + 1
e anche questa volta I'ultima disuguaglianza e verificata per ogni n e N.
Limiti di successions 79
Il risulta to seguente e di fondamentale importanza.
TEOREMA SULLE SUCCESSION! MONOTONE. — Ogni successione
monotona ammette limite. In particolare, ogni successione monotona e limitata 3?
convergente, cioe ammette limite finite.
La successione (17.4) a„ = (— l)n/n non e monotona; infatti i termini di posto pari sono
positive, mentre quelli di posto dtspari sono negativi: i termini della successione oscillano
intomo allo zero. La successione an = (— l)“/n fe quindi un esempio di successione conver-
gent, pur non essendo monotona (osserviamo che cid non contraddice H teorema; infatti nel
teorema non si afferma che ogni successione convergente e monotona!).
La successione non regolare (17J) an - (—1)" non e monotona; cid ё in accordo con il
teorema sulle succession! monotone, perchS se la successione (17-5) fosse monotona do-
vrebbe aver© limite.
Dimostrazione del teorema sulle succession! monotone: consideriamo il caso di una
successione an crescente e limitata. Posto f = supn an , fissato e > 0, per le proprieta dell*e-
stremo superiors (paragrafo 12) esiste v e N tale che
(24.8)	C — e < aY .
Per n > v risulta ar £ an e dunque
(24.9)	- e < av £ an < l* < f + s,
da cui lim ae = f .
П--------
Consideriamo ora il caso di una successione an crescente e non limitata (superiormente).
Fissato M > 0 esiste у e N tale che av > M. Dato che an ё crescente, per ogni n > v risulta
(24.10)	an £ Ну > M
da cui lim an = + °°.
in modo analogo si trattano i cast relativi a succession! decrescent!.
Ricordando che una successione si dice regolare se essa ammette limite
(finite о infinite), il precedents teorema afferma che ogni successione mo-
notbna 'e regolare.
25. П numero e
Il teorema sulle succession! monotdne ё utile per defnrire il numero di
Nepero e come limite di una particolare successione monotdna e limitata.
80 Capitolo 3
Infatti, introduciamo tale numero mediante il limite:
(25.1)
con
& = lim Дц
П—>+“
La (25.1) ё la definizione del numero di Nepero e. Tale definizione ё
giustificata dal fatto che, come provato alia fine del paragrafo, la succes-
sione Эя = (1 + l/n)n e (strettamente) crescente e limitata', quindi esiste, ed e
un numero reale, il limite per n —> + «• di an.
Nel paragrafo 81 indicheremo il metodo per cajcolare espressioni deci-
mal! approssimate del numero e, del tipo
(252)
e = 2.71828182845904523536,,, ;
qui riportiamo alcuni valori numeric! approssiinati di an che, essendo an una
successione strettamente crescente, sono approssimazioni per difetto del
numero e;
n	1	10	50	100	500	1000	105
(1 + l/n)n	2	2.5937	2.6915	2.7048	2.7155	2.7169	2.7182
Nelle applicazioni sono utili anche i Iimiti seguenti, generalizzazioni
della definizione (25.1):
(25.4)
a_ —— oq =>
n	r
e.
Dimostrazione della (25 J): indichiamo con [an], come nella (23.11), la parte inters di an.
ciofe il pih grande intero minore od uguale ad an. Risulta [ an i	i 11 , e quindi
(25.5)
1 у “»1
1 ] +’ 1 j
UJJ
perche la base e I’esponeute del primo membro sono minor! rispettivamente della base e
delFesponente de) secondo membro, e lo stesso accade tra secondo e terzo membro. 11
risultato segue dal teorema dei carabinieri, perche si verifica facilmente che le succession! a
primo e terzo membro tendono ad e, per п —>ч- «>. Infatti ad esempio per il terzo membra;
Limiti di successioni 81
Dimostrazione della (25.4): poniamo
[25.7)
bn = - a„ " 1.
Dato Ghe an , la successione bn diverge a +°°; inoltre an = - b(l - I e quindi
[25.8)
Rlcordando che bB -> + <», rul'timo membro converge a e  1 = e per n —»-t- «>, a causa della
[253); ci6 prova la (25.4).
La successione in (25.1), utilizzata per definire il numero e, combina fra
loro due tendenze opposte: la tendenza della base ad un limite uguale ad 1,
5 la tendenza dell’esponente ad un limite infinite. П risultato ё appunto e,
in numero intermedio tra 1 e +». La forma 1“ e una nuova forma indeter-
ninata, come pure sono indeterminate le forme 0°. Quindi all’elenco del
paragrafo 20 vanno aggiunte le forme indeterminate:
[25.9)
l(+~) jl- -) ,	(+	, Oo
Riprendiamo la definizione del numero e come limite, per n -> + della
successione
(25.10)
Come gia detto, la definizione ё giustificata (in base al teorema sulle
successioni monotone) dalle seguenti proprieta:
[25.11)	la successione ап e monotdna crescente;
(25.12)	la successione a„ e limitato-
82 Capitolo 3
Dimostrazione della (25.11)*. ta tesi ft
(25.13)
Eseguendo la somma delle fraziont, si pud scrivere in modo equivalente:
(25.14)
pi + 1V ( n pi - IA
n )	vi - 1J V n /
cioft ancora
(25.15)
Ё convenience isolate come addendo 1, nel modo seguente:
(25.16)
La (25.16) e equivalence alia test da provare.
Cib premesso, ricordiamo la disuguaglianza di Bernoulli (11.5), che vale per ne Ne per
x £ - I:
(25.17)
(1 + x)" > 1 + nx.
2
La conclusione (25.16) si ottiene ponendo netla disuguaglianza di Bernoulli x = - l/n .
Osservando che la disuguaglianza di Bernoulli (25.17) vale con il segno
stretto di maggiore se x 0 e n 1 (il lettore provi tale affermazione per
induzione, con n = 2, 3la dimostrazione sopra proposta mostra piu
precisamente che an > an_A per ogni n > 2; ciofe la successione an risulta
strettamente crescente/
Dimostrazione della (25.12): introduciamo la successione
(25.18)
Per ogni n e N si ha
b
(25.19)
Vn *2
Proveremo che bn e una successione strettamente decrescente; dato che an e (stretta-
mente) crescente, ne segue che
Limui di sticcessiorri 83
(25.20)	a, < an < bn < b, .	V n > 2
e quindi, essendo a} => 2. b, » 4,
(252!)	2 £ an < 4.	Vn e N:
percid la successione an risulta linritata, come si voleva dimogtrare. Rimane da verificare che
bn & una successione strettamente decrescente: a tale scopo procediamo come nella dimostra-
zione della (25.11): la tesi ё
(2522)
Vn > 2.
cioe, equivalentecnente
(2523)
Come nella dimostrazione precedente isoliamo 1 come addendo:
(2524)
i у	t i
-5------ > I + - .
n2 - 1./ n
La disuguaglianza di Bernoulli (25.17), con x l/( n2 - 1) , dk la conclusione
(25.25)	fl +-Д-Г1 S 1 +^—> I + - ,	Vn&2
( n* - I у	rr - 1 n
(nelFultimo passaggio si ё utilizzata la disuguaglianza n/( n2 - 1) > l/n , che ё vera perchg
equivale a n2 > n2 - 1).
Uu’osservazione a proposito della stima (25.21): desiderando una stima
piu precisa si pud utilizzare la relazione
(25.26)
Vn, m e N,
che vale perch6, posto к = max (n, m), risulta
(25.27)
aa 5 ak < bk bm .
Per m = 1 si ottiene la limitazione an < bj = 4; aumentando il valors nume-
rico di m si ottengono stime piu precise; ad esempio, per m = 5 si ha
Vn e N.

(25.28)
84 Capitolo 3
In particolare si pud affennare che 2 < an < 2.98 ... < 3 per ogni n g N e
quindi anche il numero e, Iimite della successione crescente aQ, verifica le li-
mitaztoni 2 < e < 3.
Appendice al capitolo 3
26.	Infiniti di ordine crescente
Con Io stesso metodo utilizzato per studiare le succession! definite per
ricorrenza dimostriamo il seguente:
CRITERIO DEL RAPPORTO (PER LE SUCCESSION!). — Sia an una
successione a termini positive Definiamo bp ~ ац+1 / an. Se la successione bn
converge ad un Iimite b < 1, ailora la successione an tende a zero.
Dimostrazione: per il teorema della permanenza del segno del paragrafo 21 (applicate,
alia successione I - bn)t esiste Un indice v per cui bn < 1 per ogni n > v. Quindi
a^i / a,, < 1, ciofc an+( < a„ per ogni n > v. Il teorema suite succession! monotone assicura
Tesistenza del Iimite a. che ё un numero reale non negative, dato che la successione ё
decrescente. Supponendo per assurdo a * 0 e passando al Iimite per n —>+«*• nella relazfone b0
= aB+|/an, si ottiene b = a/a = 1, in contrasto con 1‘ipotesi b < 1. Pertanto risulta a = 0.
Applichiamo il criterio del rapporto al confronto delle succession!:
(26.1)
log n; nb ; a” ; nl; nD .
Abbiamo scelto b > 0, a > 1. П simbolo n! (n fattoriale) signifies il
prodotto dei primi n numeri natural!:
(26.2)
nl = 1 - 2 • 3 •	• (n — 1) - n.
Per n -> + <x> le cinque succession! (26.1) tendono tutte a + «>. Possiamo per6 dire che
sono infiniti in ordine crescente, nel senso che i limiti dei rappord valgono
loS n ..	nb a" nl
(263)	lim —r—	= lim	—	= lim — =	lim —	= 0.
n—П	n—>+> an «—>+» nJ	n—n"
Rimandiamo al paragrafo 33 (si veda la (33.9)) Io studio de] prime dei tie limiti.
Riguardo al secondo, poniamo
nb
a“=^
(26.4)
Limili di successioni 85
b n
Dal criterio del rapporto otteniamo che n 2a —* 0. Per 11 terzo limite poniamo
(26.5)
Ancora dal criterio del rapporto segue che a"/nl —» 0. Inline, per il quarto limite in (26.3)
poniamo
(26.6)
e di nuovo, per il criterio de] rapporto; la successione an = nl/n" converge a zero per n —» +
27.	Successioni estratte. И teorema di Bolz ano-We ierstrass
Si^ Эд una successione di numeri reali e sia nk una successione stretta-
mente crescente di numeri naturali. La successione an defimta da
(27Д)
к g N —»
prende il nome di successione estratta da an, di indici nk.
Ad esempio, se nk - 2k, la successione estratta da an di indici 2k, ciofe di indici pari, ё
(27.2)
^2 ’ ^4 >—i i "**
Se invece = 2k - 1, si ottiene I’estratta da an di indici dispari:
(27.3)
ai » 83	_ x , —
LEMMA. — Per ogni successions strettamente crescente di numeri natural^ si
ha
(27.4)
nk > k,
Vk e N.
Dimostrazione: per к = 1 si ha ovviamente iq £ 1. Inoltre, supponendo valida la (27.4),
proviamo che risulta n^j > к + 1, da cui, per il principio di induzione, la (27.4) risultera vera
per ogni k. Per ipotesi ё > nb 2 k, ovvero n^i > к e percid пк+1 йк + 1.
Dalia (27.4) si ricava facilmente la seguente
86 Capitolo 3
PROPOSIZIONE. — Se an converge verso a, allora ogni estratta converge
verso a.
Dimostrazione: fissato a > 0 esiste kn tale che |an — a| < e per ogni п > к<). Se к > kJt.
essendo > к per il lemma precedente. si ha anche > kjj e percid la^ - a| < e .
Nel paragrafo 18 abbiamo dimostrato che ogni successione an conver-
gente e limitata, cioe esiste M > 0 tale che |an| < M, per ogni n € N. П
viceversa non sussiste, perche, ad esempio, la successione an = (— 1)” e
limitata, ma non convergente.
Tuttavia sussiste ii seguente notevole
TEOREMA DI BOLZANO*WEIERSTRASS. — Sia an una successione
limitata. Allora esiste almeno una sua estratta convergente.
Dimostrazione: per i potest la successione an & limitata; periantp esistono due costanti A,
В g JR tali che
(27.5)	A 5 ал < В,	V n e N.
Suddividiamo 1’intervallo (A, B] mediante il punto di mezzo C = (A + B)/2 e cpnside-
riamo i due intervalli [А, С], [С, В]. CFno almeno dei due intervalli (А, С], [С, B] contiene
termini della successione an per infiniti indici; ciofe, pit* precisamente, dato che l’insieme N
dei numeri naturali ё infinite, risulta anche infinite almeno uno tra i due sottoinsiemi di N
(27.6)	|n € N : a„ g [A. C]J, |n e N :	g [C, B]J.
Sia ad esempio [A, C] (oppure [С, B]) il sottointervallo che contiene termini della
successione a„ per infiniti indici e indichiamolo genericamente con il simbolo [A|, B|],
essendo
(27.7)
A < A, ,	< В, B, - A( » --------
Suddividiamo I’intervallo [A|, Bj] mediante il punto di mezzo C| = (A| + B,)/2. Per Io
stesso motive indicalo in precedenza almeno unb tra j due intervalli [Ab CJ, [C(, Bj]
contiene termini della successione an per infiniti indici e indichiamo tale intervallo con il
simbolo [Aj, Вз}; risulta
(27.8)
A, 5 A2 . B2 5 Bj .
Iterando il procedimento si gencrano due succession! A^, B^ (k e N) tali che
Limiti di successioni 87
(27.9)
A S Ak S A k+) < Bk+1 — Bk & B,
(27.10)
B - A
2k
V к e N,
V к e N,
Bf
e inoltre I'intervallo [Ak, Bk] contiene termini della successione per Infiniti indict.
In particolare, l*intervallo [A], В J contiene termini della successione an; quindi esiste il
primo intero nj tale che an> e [ A, , B| ]- Per Io stesso motivo esiste un primo intero n2, fra
tutti i numeri natural! piu grand! din,, per cuia^ e [ A2 , B2 ]. Iterando i casi к - 1. 2 giS
trattati, con к — 3, 4, 5, ...» determiniamo una successione strettamente crescente di interi
(27.11)
< n2 < n3 < ... < nk < nk+| <
b
per cui a„k e [Ak , BJ per ogni к e N. Dato che Bk - Ak = (B - A)/2 , abbiamo quindi
(27.12)
Bt = Ak. +
В - A
2k
Vke N.
Ak * 4 *
Per la (27.9) la successione Ak (ed anche la Bk) ё monotdna e limitata; per il teorema
sulle successioni monotdne Ak ammette limite finite per к —> + <». Indichiamo con fe IJ.it
valore di tale limite.
Dato che (B — A)/2k —* 0 per к —) -+ «», sia il primo che I'ulthno membro della (27.12)
convengono ad Г per к —? + Dal teorema dei carabinieri si ottiene: allora la conclusione
(27.13)
lim an> = f .
k—
28.	Succession! di Cauchy
Sia an una successione di numeri reali. Si dice che a„ ё una successione di
Cauchy se, per ogni e > 0, esiste un indice v tale che per h, к > v risulti
(28.1)
|at - ah| < e.
Dimostriamo in primo luogo la seguente
PROPOSIZIONE. — Ogni successione convergente e di Cauchy,
Dimostrazione: se an converge verso a allora, per ogni s > 0, esiste v tale che
(28.2)	,	|ец, — a| < e/2.	Vn > v.
88 Capitolo 3
Dalia disuguaglianza triangolare segue allora, per h, к > v:
(28.3)
E 8
|afc - a„| £ |at - a| + |a - aj < - + - = e.
Per dimostrare che, viceversa, ogni successione di Cauchy e conver-
gente, premettiamo alcuni lemmi.
UBMMA 1. — Una successione di Cauchy fe limitata.
Dimostrazione: sia e 1; per ipotesi esiste v e N tale die
(28.4)
|ak - ah| < 1,
V h, к > v,
Fissiamo un indice ho > *v- Allora, dalla (28.4), per le propriety del valore assoluto, segue
(28.5)
аЦ( “ 1 < ak < ah,, + 1*
v к > v.
Posto
A - min Ja, , ..., ak ,	- 1), В = max |a, , at , an> + 1|,
evidentemente risulta
(28.6)
V к e N,
A < ak < В ,
e percid la successione e limitata.
LEMMA 2. Se una successione di Cauchy a,, contiene un'estratta an^
convergence verso f, allora anche aa converge verso f.
Dimostrazione: fissato e > 0 sia v e N tale che
(28.7)	|ak - ah| < e/2,	V h, к > v.
Sia inoltre kg > v tale che
(28.8)	|аи> - f| < e/2,	V к S kB .
Poich6 si ha: nk| > k0 > у (si veda la (27.4)), per ogni n > v risulta
В E
К - fl S I a» - a^l + |a4 - f|<j + 5 = e.
(28.9)
Limiti di succession! 89
Combimmclo i risultati precedent! si dimostra il seguente
CRITERIO DI CONVERGENZA DI CAUCHY. — Una successione e
convergente se e solo se ё di Cauchy,
Dimostrazione: con la proposizione all’inizio del paragrafo abbiamo gih provato che le
succession! convergent! sono di Cauchy. Viceversa, se an ё di Cauchy, per il lemma 1 ё anche
limitata. In base al teorema di Bolzapo-Weierstrass (paragrafo 27) an ammette una succes-
sione estratta аПк convergente. Per il lemma 2, an ё convergente.
CAPITOLO 4
ШЛИ DI FUNZIONI. FUNZIONI CONTINUE
29.	Premessa
Consideriamo la ftmzione
(29-1)
.. sen x
fW = ——-,
A
che ё definite per ogni x e R - (0]. Allo scopo di disegname il grafico,
osserviamo preliminarmente che -1 £ sen x < 1 per ogni x e R; dividendo tutti
i membri per x otteniamo
(29.2)
V x > 0.
Figura 4.1
92 Capitolo 4
Se x < □ si ottiene la situazione analoga 1/x £ f(x) 5 - 1/x; comunque, essendo f(x) una
funzione pari (ciofc f(— x) = f(x) per ogni x e R — (0|\ fc sufficiente studiarne le proprieta per
x > 0, riporlando poi il disegno anche per x < 0, per simmetria rispetto all'asse y.
Le funzioni у = - 1/x e у = 1/x, che appaiono nella stima (29.2), haiino
per grafico dei rami di iperbole, come in figura 4.1.
Tenendo conto del segno di f(x), che per x > 0 felo stesso segno di sen x,
si ottiene per f(x) un grafico come quello disegnato con tratto continue in
figura 4.1. Il disegno ё significative per x sufficientemente grande; ё invece
indeterminate per x ё “vicino” a zero.
Ricordiamo che la funzione f(x) in (29.1) non fc definita per x<j = 0, ciofc non fc, calcolabile
f(0). Invece fe possibile calcolare valori di f(x) per x “vicino" a zero; ad esempio vale la
tabella
X	Л/2	л/3	л/4-	л/6
f(x)	— s= 0.63... л	з Лз —~ = 0.82... 2л	2 ^2 --L = 0.90... Л	- = 0.95... л
e, con 1-uso di una calcolatricc, si ottiene (ad esempio) Pulteriore tavola di valori
X	0.1	0.01	0.001	0.0001
f(x)	0.9983341...	0.9999833...	0.9999998„.	0.9999999...
Nella tabella precedente fono stati said valori di x sufficientemente vicini a Xq a» 0? Uno,
.due, tre о otto valori di x non sono — in assoluto — ue vicini nfc lontani da zero. Cerlaments,
sulla base delle precedent! tabelle si pud intuire che f(x), per x vicino a zero, assuma valori
viemi al numero 1 (f(x) assume valori del tipo 1 — a, con e > 0 “piccolo"). Non e perd
possibile escludere che, per x ancora pih vicino a xq = 0 rispetto agli otto valori gia conside-
rate, f(x) cambi comportamento.
Una formulazione rigorosa del comportamento di f(x) per x “vicino” ad
x0 si ottiene nel modo seguente: si considera una tabella ideale, illimitata a
destra, del tipo
X	Xl	«2	Х3		
f(x)	У1 = f(*i)	у2 = f(Xj)	Уз “ f(xa)	м*	
Сюё, si considera una generica successione xn che converge ad x0 (xn ё
“vicino” ad x0 se n ё “grande”) e la corrispondente successione yn, costituita
Limiti di funzioni Funzioni continue 93
dai valori assnnti dalla funzione f(x) (y? = f(xn), V n e N). Se yn converge ad
un numero Г (e se il numero f non cambia qualunque sia la successione xn che
converge ad Xq) allora si dice che la funzione f(x) ammette limite, uguale ad I’,
per x —> xD.
Tomiamo all’esempio della funzione f(x) in (29-1); si e gia verificato (si veda il Limite
(23.17)) che
sen x_
(29.3)	lim Kxi>) = lim --------- 1,
Л )	П—>+w Xf,
qualunque sia la successione xn che converge a = 0 (con х, О, V n e N). In accordo
con. quanto detto sopra, in termini di Iimiti di funzioni la (293) equivale a dire che f(x) ha
limite f = 1 per x —> 0; in simboli
(29.4)	lim- f(x) = lim SCn * = 1.
Til figura 43 ё riportato il grafico delta funzione (sen x)/x; la funzione non ё definite per
Xg = 0 (nel grafico cih ё stato evidenziato con un “tondino” vuoto); perd la funzione ha un
comportamento regolare anche nolle vicinanze di xq = 0 ed i valori у assunti da f(x) sono
vicini ad f = 1 quando x ё vicino a Xo  0.
Figura 4.2
Viceversa, anche se la struttura analitica pud sembrare a prima vista simile, il limite:
(293)	lira sen i non esiste
x—>o	x
(si veda la (325)).
In figura 4.3 ё riportato il grafico, eseguito al computer, della funzione sen(17x). Si noti
in particolare il comportamento caotico della funzione nelle vidnanze di x0 = 0.
94 Capitolo 4
Figura 43 - у = sen (1/x)
Nel paragrafo che segue formalizziamo la definizione di Iimite di fun-
zione secondo le idee sopra esposte.
30. Defmizioni
Si definisce il Iimite di una funzione f(x), per x clie tende ad x0 e Rt nel caso in cui Xq
risulti un punto di accumulazione per il dominio di f(x).
In generale un numero reale xq si dice punto di accumulazione per un insieme A c R se
in ogni interna di xq, ciofe in ogni insieme [x e R : Xq — <5 < x < Xq + d), con d > 0, cade
almeno un punto di A distinto da x&.
Nel prosieguo del capitolo vengono prese in considerazione soltanto funzioni il cui
dominio A A costituito da un intervallo (o dalfunione finita di interval)!) e xq, punto pre-
scelto per il calcolo det Iimite, appartiene ad A od e un punto di ixontiera per П dominio A
(ad esempio Xq un estremo dell’intcrvallo A nel caso in cui A fe, appunto, un intervallo di
numeri reali); in entrambi i casi xq risulta punto di accumulazione per finsieme A.
Se a, b sono due numeri reali (con a < b), per indicare un intervallo di
estremi a, b si usano le notazioni:
(30.1)	[a,	b]	=	(x	e	R:	a	<	x	<	b|;
(30.2)	(a,	b)	==	{x	e	R:	a	<	x	<	bj;
(30.3)	[a,	b)	=	(x	e	R:	a	£	x	<	b);
(30.4)	(a,	b]	=	(x	e	R:	a	<	x	<	b).
Limiti di funzioni, Funzioni continue 95
L’intervallo [a, b] si dice chiuso, mentre (a, b) e detto aperto, Inoltre
[a, b) e detto chiuso a sinistra e aperto a destra (analogamente per (a, b]);
gli intervals sopra scritti si dicono limited. Si considerano anche gli inter-
valli iltimitati:
(30.5)
(30.6)
(30.7)
(30.8)
(30.9)
[a, +«)	=	{x	e	R:	x	>	a);
(а, -н»)	=	[x	e	R:	x	>	a};
(- « b]	=	(x	e	R:	x	<	b);
(- «, b)	=	{x	e	R:	x	<	b|;
(—	+ °°) = R.
Come gi£ detto, i numeri a, b sono detti estremi delTintervallo (anche
nel caso in cui tali numeri non fanno parte delTinteryallo).
Un intomo di un punto xq ё un intervallo aperto contenente x0, ad
esempio un intervallo del tipo (x^ - d, Xq + <5) (pit! generalmente, viene con-
siderate intomo di un punto Xq ogni insieme contenente un intervallo
aperto contenente Xq).
Nelle defiuizioni che seguono consideriamo funzioni f(x) il cui dominio
А ё un intervallo, о ё unione finita di intervaUi, e Xq appartiene, od e
estremo, ad uno di tali intervaUi.
Ad esempio, se f(x) e definite nell’insieme A = R - |0|, ailora risulta A ~	0) w (0,
+ °°); in tai caso xq, punto presceito per il calcolo del Iimite, pud appartenere ad uno dei due
intervaUi (—	0), (0, + *») oppure pud essere uguale all’estremo 0. In definitiva, in questo
esempio, Xq pub essere un qualuuque numero reale.
DEFINIZIONE. — Si dice che f(x) ha Iimite uguale ad Г (tende о converge ad I)
per x che tende ad xq se, qualunque sia la successione x„ -> Хц, con хл e A e xa A
x0 per ogni n, risulta f(xn) -> £
Secondo questa definizione la relazione (23.17), come gia detto nel pa-
ragrafo precedente, diventa:
(30.10)	lim = 1.
x—)0 X
Cosl pure le relazioni (2313), (23.14) diventano-
lim seii x = 0;
x—»o
lim cos x = 1.
x—>o
(30.11)
96 Capitolo 4
Possiamo fomulare la definizione di limite direttamente per mezzo di
disuguaglianze, come gifi fatto per le successioni, usando i simboli er v. I
simboli usati classicamente per i limiti di funzioni sono e, 3 (delta) nel
modo seguente:
TEOREMA. —Siha lim f(x) = f seesoltantose, qualunqttesiae>^esisteun
numero & >0 titleche f— e <f(x) < f + e,per ognixe A—co/i Xq — 6 < x < Xq + S.
Il teorema, che pud essere enunciate in simboli
(30.12)
liin f(x) = f «=> Ve > 0,3 d >0: |f(x) - f| < e,
X—
Vx 6 A: 0 |x - xD | < 3,
e dimostrato nel seguente paragrafo 31.
Valgono analoghe definizioni per i limiti Infiniti. CosI ad esempio:
(30.13) lim f(x) = + «» <==> V х„ -> Xq , Xj, € A-fxJ V neN=>f(Xn) -ж»;
X—Uj
VM > О, Э<5 > 0: f(x) > M,
VxeA; O*|x-Xol<d.
(30.14) lim f(x) = I
X >!«
<=» Vxn-)+«xne A, Vne N=>f(xn)—>f;
<=> Ve > 0,3 k: |f(x) - • r| < e, V x e A: x > k.
(30.15)	lim f(x) + « <=> V Ха -ж », xe e A, Vn e N=>	—»+«>;
X—>+•*
<=> VM > 0, 3k: f(x) > M, Vx e A: x > k.
П lettore, tenendo conto della definizione (17.21} relativa alle succes-
sion! che tendono a - •*>, formuli i casi corrispoiidenti con — «* al posto di
+
Ё utile considerate anche i cosiddetti limite destro (x —> xq+) e limite
sinistro (x —> Xo~), quando ci si awicina al punto Xq per valori di x e A
rispettivamente solo maggiori di Xq, о solo minori.
Consideriamo per brevity solo i casi di limite f finite (il lettore formuli
i casi con limite infinite):
Limiti di funzioni. Funzioni tbnlinue 97
(30.16)	lim f(x) = C s=> чхоAexn>x0 Vne N*=*f(xn)—> f;
JC-» X|*
<=> Ve > 0, 36 > Ck |f(x) - f| < e,
V x e A: Xq < x < x0 + 6.
(30.17)	lim f(x) - Г Ухц-^Хц.Хп e Ae <Xq, Vne N f(x„) —> Г;
x->
4=> Ve > 0, 3d >0: |f(x) - f| < e,
Vx g A: x0 - d < x < x0 .
Ad esempio, ё facile verificare che
(30.18)
|x|	.	..	|x|
hm — =	1;	lim —	= - 1;
x—>0* X	Х’-ЯГ
(30.19)
lim — non esiste.
x—>0 x
31.	Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni
Le seguenti relazioni (31.1), (31.2), di cui proviamo requivalenza, sono state adottate
net paragrafo 30 come definizione di limite (finito) di una funzione. Come nel paragrafo 30,
f(x) ё definita in un insieme A costituito da un inteivailo о da una unione firuta di intervalli e
xq fe un estremo di uno degli intervalli; la situazione pift generate presa in considerazione nel
paragrafo precedente, ш cui xq e punto di accumulazione per il dominio di f(x), non presenta
differenze.
• TEOREMA. — Le s£gUenti relazioni sono fra toro equivalent (Xq, f e R):
i
!(31.1)	Vxo->x0, xne A-{xq1 Vne N =» Цх^-э-С;
i
f
I (31.2) Ve > 0,36 > 0: x e A, 0 * |x - Xq | < 6 => ]f(x) - f| < e.
Proviamo preliminarmente che (31.2) implica (31.1): per ogni e > 0, sia 3 > 0 il numero
reale per cui vale Tipotesi (31.2); consideriamo pot una generica successione xn, di punti di A,
convergeiite ad Xq, con xn # xq per ogni n e N.
Per la definizione di limite di successione, esiste un indice v per cui |xn — xq| < 3 per
ogni n > v; inoltre, essendo xn xq, in definitiva si 'ha
98 Capitolo 4
(31.3)	xn e A, 0 * |xn - X|j| <5,	Vn > v.
Per Hpotesi (31.2) segue ailora
(31.4)	|f(xn) - И < e,	Vu > v,
che, ill base alia definizione di Iimite di successione» significa che f(xn) -> f per n -> + «•.
Proviamo ora» per assurdo, che (31.1) implica (31,2): contraddire la (31.2) equivale ad
affermare che:
(31.5)	3 Gfl > 0: V5 > 0, 3x € A:.O * |x — x^ | < 8, |f(x) - r| a .
Poniamo 6 = 1/n, con n e N e indichtamo con x = Xn il valore di x che compare in (31.5) in
dipendenza da 5 - 1/n:
(31.6)	3 £(, > 0: Vn e N, 3 x, e A: 0 | х,, - x0 | < i , |f(xn) - И >	.
Risulta in particolare
(31.7)
x„ * xu ,
Vn e N;
percib xn e A - [xq] Vn e N e xn -> xq (per il teorema dei carabinieri): perd f(xn) non
converge ad f perchё la disuguaglianza |f(xn) - f| S eg, Vn e N, contrasts con la definizione di
Iimite di successione.
II lettore, per esercizio, rifonnuli le relazioni (31,1), (31,2) con x0 e/o (
Infiniti (come nel paragrafo 30) e ne provi Fequivalenza.
32, Esempi e proprieta dei limiti di fimzioni
Esempi di. limiti molto important!, e che quindi occorre sapere bene,
sono i limiti della funzione esponenziale che derivano dal Iimite di succes-
sione (23.1):
{+ oo	se a > 1
0 se 0 < a < 1.
In particolare per la base e, dato che e“x = l/ex , si ha:
(32.2)	lim ex = + oo; lim e* ~ lim — — 0.
>+oe	X“^ — И»	X—>+«> e
Limiti di funzioni. Funzioni continue 99
П lettore controlli graficamente i limiti per x	della funzione
esponenziale dai grafici riportati nel paragrafo 9; controlli graficamente
anche i seguenti important! limiti della funzione log x (in base e):
(32.3)	lim log x - + «»; lim log x - - «.
x—x—>0*
Verifichiamo che invece i limiti
(32.4)	lim sen x, lim cos x, non esistono.
Limltlamoci al primo dei due. Se esistesse il Iimite ~ t‘, dovremmo avere che sen xn tende
sempre allo stesso valore I’ qualunque sia la successione xn -> + *».
Mostriamo che esistono due succession), xn x'n, divergent! a +«, con la propriety che sen xn
e sen x'n tendono a limiti diversi. Infatti, ponendoxn = 2nn, x'n == 2rm + x/2 , risulta sen xn = 0
-> 0, mentre sen x'n = 1 —> 1.
Analogamente
1
(32.5)	lim sen - non esiste.
x—>0	X
La successione x„ = 1/(пл) converge a zero per n —» + in corrispondenza la funzione
f(x) = sen(l/x) assume i valori
(32.6)	f(xn) = sen — = sen (пл) = 0.
Percid f(xn) ё la successione cost ante, uguale a zero, e converge a zero.
Analogamente, posto x'n — 1/(л/2 + 2tut), risulta
(32.7)	f(^n) sen "7“ = sen
x n
quindi x'o -» 0, ma f(x'n) -» 1 (in contrasto con il fatto che f(x„)	0). Ne segue che f(x) non
ammette Iimite per x 0 (si veda il grafico di f(x) in figura 43).
Altri limiti notevoli, conseguenza della definizione di Iimite di funzione
e dei limiti di successione (253), (25.4), sono
+ 2пл
1
lim
X >4-°°
(32.8)
100 Capitolo 4
Dato che i Iimiti di funzioni sono defimti a partire dai Iimiti di succes-
sion^ anche per essi valgono le proprieta gia dimostrate per i Iimiti di
succession!. Dal paragrafo 19 deduciamo le:
OPERAZIONI CON I LIMITI DI FUNZIONI, — II limite della somma,
differenza, prodotto, qiioziente di due fiinzioni e rispettivamente uguale alia
somma, differenza, prodotto, quotients (se il denominators e diverse da zero)
dei due Ifinith ригскё non. sia una delle forme indeterminate «»—	0 • «,
0/0.
.——------------------------------------------------
Ad esempio dimostriamo che П limite di un prodotto 6 uguale al prodotto dei Iimiti.
Supponiamo che per x —> xw risulti f(x) —> C|, g(x) -* <3. Cib signifies che qualunque
sia la successione xn che tende ad x<), con xq e A e xn Xq V n g N, risulta
f(*n) —> ij » g(*n) —* lj •* la (19.2), che esprime il modo di calcolare il limite del prodotto
dl due successioni, risulta f(xJ(} • g(x„)	l’( * f, e cid complete la prova.
Come applicazione calcoliamo il limits, per x —» 0, del rapporto (1 — cos
х)/хл Ё una forma indeterminata 0/0. Moltipiicando numeratore e denomi-
nators per (1 + cos x) otteniamo
1 - COS X	1 - cos2 X
hm ------=----= lim ------------------
x-40	x-W л (1 + COS X)
(32.9)
sen2 x _
x->° x2 (1 + cos x)
sen xV	11
----	 hmwU --------= - .
x )	1 + cos x 2
Il lettore verifichi che, con lo stesso metodo, si ottiene
(32.10)
„	1 - cos X
Inn-----------
x—>0	x
Una ulteriore propriety utile per le applicazioni & la seguente.
LIMITI DI FUNZIONI COMPOSTE — Siano g:X -> Y e f:Y -> R due
fiinzioni tali che
Limiti di fiinzioni. Funzioni continue 101
(32.11)	lim g(x) = y0 , Hm f(y) = f,
y—>yM
ed esista 5 > 0 tale che risuld g(x) уц per ogni x^Xq deirintervalio, (xq - S, xo
+ 6). Allora ё. anche
(32.12)	lim f(g(x)) = f.
Dimoslrazione: consideriamo una generica successione xn convergence ad jQ), con xn £ X
e xn =£xq per ogni n e N. Per la definizione di limite di successione esiste v tale che ]xn - Xq| <
6, per ogni n > v. Percid, per ogni n > v risulta anche g(xn) # y0. Dato che yn = g(xn) e una
successione contenuta in Y che converge a y(I ed e tale che yn #= y0 per n > v, allora f(y„) -»i'.
Ciofe f(g(xn)) come si voleva dimostrare.
33. Funzioni continue
Come nel paragrafo precedente, consideriamo fiinzioni f(x) definite in
un dominio A costituito da un intervallo, о dall’unione finita di intervalli,
con x0 punto di A о punto estremo ad uno degli. intervalli costituenti A.
Abbiamo introdotto i limiti di fiinzioni per descrivere il comportamento
di fiinzioni nelle vicinanze di loro piinti singolari. Naturalmene possiamo
calcolare il limite, per x —» x<), anche se la funzione non presenta alcuna
singolariU in Xq. Ad esempio abbiamo gia calcolato in (30.11) i limiti
(ЗЗД) lim sen x = 0 = sen 0; lim cos x ~ 1 = cos 0;
x—>0	x—>0
il valore limite, per x —> 0, e uguale al valore che si ottiene calcolando la
funzione per x - 0. Si dice che le funzioni sen x, cos x sono continue per x “
0 (ed in realta sono continue per ogni Xq e R) in accqrdo con la:
DEFINIZIONE. — Una funzione f(x) e continua in un punto Xq se
(ЗЗД)	lim t’(x) = f(x0) .
Una funzione e continua in un intervallo (a, b] se e continue in ogni punto Xq e
[a, b] (se x0 = a si considera in (33.2) il solo limite destro x -> a\ mentre se
x0 = b si considera il limite sinistro x —> b").
102 Capitolo 4
Dato che il limite di somma, differenza, prodotto e uguale rispettiva-
meate alia somma, differenza, prodotto dei limiti, risulta che la somma, la
differenza, il prodotto di funzioni continue e una funzione continua. Anche
il quoziente di funzioni continue e una funzione continua, ma come al solito
occorre fare attenzione ai punti dove il denominatore si annulla.
Utilizzando la proprieta relative ai limiti di funzioni composte (si veda il
paragrafo precedente) si verifica che la funzione composta mediante fun-
zioni continue ё continua,
L’importanza delle funzioni continue ё anche nel fatto che molte fun-
zioni elemental sono continue nel loro insieme di definizione: potenze у = xb,
esponenziali у = a*, logaritmi у ~ loga x, funzioni trigonometriche у = sen x,
у = cos x, у - tg x, valore assoluto у = |x|.
La continuita ed altre propriety delle potenze, esponenziali e logaritmi verrA esaminata
nel paragrafo 76. La continuity della funzione f(x) « sen x nel punto xq e R si esprime con La
relazione di limite
(333)	lim sen x w sen Xq ,
ot equivalentemente, con la relazione di limite
(33.4)	Um sen (xa + h) = sen xD ,
h—HJ
che e consegnenza della formula di addizione per il seno e dei limiti in (33.1); infattu
lim sen(xo + h) = lim [sen Хд cos h + cos x^ sen h] =
tr-li—M)
(33.5)
= sen Хд * lim cos h + cos Xq • lim sen h - sen xq .
h—>0	h—>0
П lettore provi in modo analogo che, qualunque sia x0 e R, cos x converge a cos xq per
x -4 Xd. La continuity della funzione f(x) = tg x = sen x/cos x, per x # л/2 + Jot (k e Z), discende
dalla continuitA delle funzioni sen x, cos x e dalla formula per il limite del quoziente.
La continuity della funzione f(x) « |x| su R segue dalla disuguaglianza:
(33.6)	||x| - |x0|| < |x - xq|t	V x, Xq e R;
basta infatti porre 6 = e nella relazione di limite (30.12): se |x - Xq| < £ allora anche
|6(x) - fWI = IM - IxqII < e.
Mostriamo con due esempi l’importanza del concetto di continuita per
eseguire calcoli di limiti.
Usiamo la continuity della funzione potenza xb per calcolare, a partire dalla (32.8), il
seguente limite notevole (pouiamo у = (bx)“l e consideriamp il caso b > 0; se invece b < 0
Limiti di funzioni. Funzioni continue 103
occorre cambiare il segno ± con il segno infine se b = 0 il risultato ё ovvio):
(33.7)
Utilizziamo ora la continuity della funzione log x per X — 1, per ottenere, a partire dalla
(23.8), il limite notevole:
(33.8)
lim —-°- = lim log ф - log 1 - 0.
Я—U
Per comprendere la prima uguaglianza, si riveda la propriety (9.16) dei logaritmi. Analo-
gamente al limite precedente, dato che log n = (1/b) log nb, si ottiene
(33.9)
lim
V b > 0.
34. Discontinuity
La funzione
(34.1)
se x > 0
se x < 0
ё continua per X * 0, ma non ё continua se x = 0. Il grafico di questa
funzione presenta per x - 0 un salto, appunto una discontinuita (figura 4.4).
Figura 4.4
In particolare La funzione f(x) in (34.1) non b continua nel punto xq = 0 perchd non i
definita in tai punto, ciofe perche non esiste Я valore f(xg) - f(0).
Estendiamo f(x) anche a Xq = 0 con un valore f e R; eonsideriamo ciofc la nuova
funzione I(x) definita da
104 Capitolo 4
(34.?)
se	x 0
se	x - 0
La funzione f(x) ё definita anche nel punto Xq = 0, ma non ё continue in tale punto perchd
non esiste il Iimite per x —> Xq di f(x); precisamente il Iimite destro ё diverse dal timite
sinistro.
Tutto cib accade qualunque sia il valore f scelto in (34.2) per la definizione di f(x), che
risulta una esiensione no n_ continua (o prolungamento non continua) della funzione f(x);
inoltre la discontinuity di f(x) nel punto Xq = 0 si dice non eliminabile.
Viceversa, la funzione studiata nel paragrafo 29:
(34.3)
к sen x
f(x) = ——
non ё continua in xq = 0 (perche non ё definita), ma ё possible prolungare per continuith f(x)
mediants ]a funzione;
#/ \ sen x
se
x * 0
x = 0
134.4)
A causa del Iimite notevole (29.4), T(x) ё continua anche nel punto Xq = 0. П grafico di I(x) si
ottiene “completando*’ il disegno in figura 4.2 con Tulteriore punto di coordinate (0, 1).
Sia f(x) una funzione definita in A e Xq un punto di A. Le discontinuita
di f(x) si classificano nel modo seguente;
(a)	la funzione presents in Xq una discontinuity eliminabile se esiste il
Iimite di f(x) per x —> x0 e risulta
(34.5)	lim f(x) * f(X(j).
*“* Xo
In tai caso, posto f = lim f(x) , la funzione
к—>
(34.6)
f(x)
f
se	x e A - {«J
se	x = x0
risulta continua nel punto x0.
Limiti di funzioni, Funzioni continue 105
(b)	la funzione f(x) presenta in Xg una discontinuity di prima specie se
esistono finiti i limiti destro e sinistro di f(x) in x0 e si ha
(34.7)
lim f(x) & lim f(x),
X—> Хц	x—> <
Ad esempio la funzione f(x) — [x] parte intern di x, definita in (23.11) e rappresentata in
figura 4Д presenta discontinuity di prima specie in corrispondenza ad ogni valore x € Z,
mentre & continua per ogni x € R - Z.
Figura 4,5
(c)	La funzione f(x) presenta in x0 una discontinuity di seconda specie se
uno almeno dei due limiti
(34.8)
lim f(x),	lim f(x)
x—> x0~	x*-* xj
non esiste oppure ё infinito.
Sia A un intervallo (o unione finita di intervaUi), xg e A, e f(x) una
funzione definita in A - [x0); se esiste il Iimite
(34.9)
lim f(x) - C,
106 Capitolo 4
allora la funzione T(x), definita in A da
(34.10)
se x e A ~ (x0)
se x = xD
e detta prolungamento per continuity di f(x) in x0; f(x) risulta continua in Xq.
Se poi f(x) ё continua in A - {xq}, allora f(x), continua su tutto l’insieme A,
e detta prolungamento per continuity di f(x) su A.
35. Alcuni teoremi sulle funzioni continue
П teorema seguente ё analogo al teorema della permanenza del segno
(paragrafo 21) per le succession!.
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO. — Sia f(x) una
funzione definita in un intorno di Xq e sia continua in xo- Se f(xo) > 0, esiste un
numero 5 > 0 con la propriety che f(x) > 0 per ogni x e (xo 5, Xq + 6).
La dimostrazione st fa come nel paragrafo 21: dato che f(xo) > 0, possiamo scegliere
a = f(xo)/2; esiste quindi un numero 5 > 0 per cui |f(x) - f(xo)I < f(xo)/2 per ogni x neH'intervaUo
|x - xol < 6, Cib equivale a - f(xh)/2 < f(x) ~ f(xu) < f<3qJ/2; in particolare
(35,1)
. F/ . f(xo) IM _
f(x) > f(x„) -	> 0,
Molto important! sono i tre teoremi che seguono: il teorema deU’esi-
stenza degli zeri, il teorema deU’esistenza dei valori intermedi ed il teorema
di Weierstrass sull’esistenza del massimo e del mimino.
TEOREMA DELL’ESISTENZA DEGLI ZERI. — Sia f(x) una funzione
continua in un intervallo [a, b], Se f(a) < 0, f(b) > (X allora esiste x0 a (a, b) tale che
f(xo) = o.
Naturalmente la tesi vale anche se f(a) > 0 e f(b) < 0; cioe il teorema
deU’esistenza degli zeri vale supponendo che i valori f(a), f(b) siano di
segno discorde. La dimostrazipiie del teorema ё riportata nel paragrafo 36
che segue.
Limiti di fiinzioni Funzioni continue 107
Per mostrare la portata del teorema, consideriamo come esempio ie seguenti due equa-
zioni nella incognita x
(35.2)	X" + X - 1 = 0,
(35.3)	e* + x.= 0,
che non rientrano tra le equazioni algebriche di primo e secondo grado di cui ё facile
ricordare la formula risolutiva. La prima delle due equazidni & una equazione algebrica di
terzo grado., mentre la seconda ё un’eqz/azto/ze trascendenle. Procediamo per tentativi, asse-
gnando ad x alcuni valori:
X	-2	-1	0	1	2
f(x) = x3 + x - 1	- 11	-3	-1	1	9
f(xj = ex + x	e~2 - 2	e’1 - 1	1	e + 1	e2 +-2
□
Nel caso f(x) = x + x - lf abbiamo f(0) < 0, f{l) > 0. In base al teorema dell’esistenza
degli zeri, esiste un numero Xq neil'intervallo (0,1) tale che Цхд) = 0; ciofe xQ ё una soiuzione
dell'equazione (352). Nel paragrafo 36 vedxemo come calcolare numericamente tale radice,
e troveremo che xq - 0.682327...
Nel secondo caso f(x) = e* + x, risulta f( - 1) - 1/e - 1 < 0, f(0) = 1 > 0, Quindi esiste
neil’intervallo (— 1,0) una radice x0 delFequazione (73). Nel paragrafo 36 troveremo che Xq
« - 0,567143...
Notiamo che esiste una formula risolutiva per ie equazioni di terzo grado, che d& come
soiuzione reale delFequazione (35.2) il numero
(35,4)
'31
|	= 0.682327...
108/
Vfceversa, non ё nota alcuna formula risolutiva per 1’equazione (35.3).
Appiichiamo ancora una volta il teorema dell'esistenza degli zeri per dimostrare una
propriety utilizzata nel paragrafo 9*. per ogni y0 & 0 esiste un numero reale xq 0 soiuzione
dell’equazione
(35.5)
= Уп -
Ricordiamo che, essendo la funzione f(x) = xn strettamente crescente per x > 0, un tai
numero xq ё unico, e lo abbiamo chiamato radice n-esima di yo’ Dimostriamo che 1’equazione
(355) ha soiuzione: se y0 = 0 naturalmente e x0 = 0. Se y0 > 0 poniamo f(x) = xn - yo; risulta
f(0) = — yo < 0; rimane da trovare un punto dove la funzione f ё positive. Se y0 < 1, allora
f(l) = 1 - y0 > 0 e quindi esiste una radice Xo nelPintervallo (0, 1). Se invece Уо > 1. allora
f( Уа ) = Уо “ Уо = Уо ( Уо-1 - 1) > ° i quindi in questo caso esiste una radice nelFintervalio
(0, yo). In fine se y0 = 1 basta prendere x0 = 1.
108 Capitolo 4
(PRIMO) TEOREMA DELL’ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDL —
Una funzione continua in un intervallo [a, b] assume tutti i valori compresi tra f(a)
e f(b).
Dimostrazione: per semplificare le notazioni eonsideriamo il caso in cui f(a) £ f(b). La
lest consiste nel provare che, qualunque sia Уц 6 [f(a), esiste xq s [a, b] tale die f(Xg) »
УП-
Se уо = f(a) si pub porre xo “ a; analogamente se y0 = f(b), allora basta prendere xri = b*
Per trattare il caso yo e (f(a). f(b)) eonsideriamo la funzione
(35.6)	g(x) = f(x) - y„ ,	V x e[a, b];
essendo f(a) < y0 < f(b), risulta
(35.7)	g(a) = f(a) - y() < 0, g(b) = f(b) - yn > 0.
Per il teorema dBlfesistenza degli zeri esiste un numero xn e (a, b) tale che g(xo) = 0, ciofe
= Уо-
TEOREMA DI WEIERSTRASS. — Sia f(x) una funzione continua in un
intervallo chiuso e limitato [a, b], Allora f(x) assume massimo e minimo in [a, b],
cioe esistono in [a, bl x^, x2 tali che
(35.8)	f(X() <; f(x) £ f(xj,	V x e [a, b].
I numeri хъ x2 sono detti rispettivamente punti di minimo e di massimo
per f(x) aelTmtervallo [a,b]; i corrispondenti valori m = f(xi) e M = f(x2) sono
detti minima e massimo di f(x) in [a, b] (si veda la figura 4.6).
f(x)
Figura 4.6
Limiti di funzioni. Funzioni continue 109
Il teorema di Weierstrass e dimostrato nel paragrafo 37; in questa sede
ci limitiamo a mettere in luce con degli esempi rimportanza delle ipotesi
(funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato) che garanti-
scono 1’esistenza de] massimo e del minimo.
Consideriamo per к > 0 la funzione
(35.9)
f(x) = -;
f(x) non assume massimo nelFintervallo aperto a sinistra (0, I]; infatti non e limitata supe-
riormente in tale intervallo: VM>0 risulta f(x) > M se x e (0,1/M) (si veda la figura 4.7). La
funzione non assume minimo neU’intervaUo illimitato [1, +»); la funzione ё Limitata in tale
intervallo perchd risulta (si veda anche la figura 4.8):
(35.10)
V x H;
x
perh 0 non ё il minimo di f(x) in [1,+“) perche non esiste alcun valore xj a 1 per cui f(x-i) =
1/xi - 0 (una frazione ё nulla se e soltanto se ii nnmeratore e nullol) e inoltre nessun numero
reale positive m ft minimo per f(x) in [1, -н») perchd risulta f(x) < m per ogni x > 1/m.
La funzione f(x) = x2 assume massimo e minimo in ogni intervallo chiuso e limitato
[a, b], in particolare nelFintervallo [- 1,1]. Invece la funzione g(x), rappresentata in figura
4.9 e definita da
110 Capitolo 4
non assume minimo ne it’intervallo chiuso e limitato [- 1, 1] регсЬё assume valori positive
arbitrariamente vicini alio zero (g(x) —» 0 per x —* 0) ma non b uguale a zero per alcun valore
di x g [- 1, I]. In questo caso la mancanza del minimo fe causata dalla discontinuity di g(x)
nel punto xq — 0.
c3
y-x-[x]
Figura 4.10
Per la sua discontinuity. in corrispondenza ai numeri x e Z, la funzione parte frazionana,
rappresentata In figura 4.10 e definita da
(35.12)	f(x) = x - [x],	x € R’
Limiti di fiinziotiL Funzioni continue 111
([x] fe la parte interai di x, rappresentata in figura 4.5), non ha massimo in un qualunque
intervallo che contenga almeno un numero intero.
Siamo ora in grade di provare una nuova fonuulazione del teorema di
esistenza dei valori mtermedi.
(SECONDO) TEOREMA DELL'ESISTENZA DEI VALORI INTERMEDL
— Una funzione continua in uh intervallo fa, Ы assume tutti i valori compresi tra
il minimo ed il massimo.
Dimostrazione: i valori di massimo M e di minimo m sono assunti in base al teorema di
Weierstrass; rimane da provare che, qualunque sia y(J € (m, M), esiste xn e [a, b] tale che
f(*o) = Уо-
Indlchiamo con X|, Xj i punti di minimo e di massimo di f(x), doe tali che f(xj) = m. f(x2)
= M e consideriamo la funzione
(35.13)
g(x) = f(x) - yt,.
V x e [a, b].
Essendo f(xj) = m < уq < M = ffe), risulta
(35.14)
g(xf) => f(X|) - у<| < 0,	g(x2) = f(x2) - y(l > 0;
per il teorema dell'esistenza degli zeri esiste un numero x#, appartenente alHntervallo aperto
di estremi X|, x2, tale che g(xo) = 0, clofe tale che f(xn) - у».
Chiudiamo il paragrafo precisando un criterio, introdotto nel paragrafo
7, per riconoscere se una data funzione e invertibile. La continuity della
funzione inversa У invece studiata nel paragrafo 38.
CRITERIO DI INVERTIBILITA. — Una funzione continua e strettamente
monotbna in un intervallo [a, b] e invertibile in tale intervallo.
Proponiamo la dimostrazione nel caso in cui la funzione f sia strettamente crescente in
[a, b): risulta
(35.15)
f(a) < f(x) < f(b),
V x g (a, b);
quindi f(a) ё il minimo della f In [a, b], mentre f(b) ё il massimo. Inoltre si verifica come nel
teorema precedente che f assume tutti I valori compresi tra f(a) ed f(b). Cioe, per ogni у e
f(b)], esiste almeno un x € [a, b] per cui f(x) - y. Tale x ё unico; infatti, se esistessero
due valori X|, x2 distlnti tra loro, diclamo X| < x2, per cui у = f(x() = f(x2)» ailora dovrebbe
risultare anche f(Xj) < ЦХ2), dato che f ё strettamente crescente. Quindi fi[a, b] —» (f(a), f(b)]
ё invertibile.
Appendice al capitolo 4
36.	Metodo di bisezione per il calcolo delle radid di una equazione
In questo paragrafo dimostriamo il teorema deU’esistenza degli zen,
enunciate all’inizio del paragrafo precedente. Utilizziamo ne a m
zione il metodo di bisezione- si tratta di un proeed.mento costrufovo che,
oltre a dimostrare I’esistenza di una soiuzione di una equazione data, t
nisce anche un metodo per calcolarla.
Prendiamo in considerazione eqiiazioni del tipo
(36.1)	1W =
con f(x) funzione definita in un intervallo [a, b]. Risolvere 1
signifies determinate tutti i numeri re ah xD e [a, b] per cui f(x0) - ’
numeri si dicono soluzioni dell’equazione (36,1), od anc e zeri
^Se^funzione f(x) ё un polinomio, si dice che (36.1) ё
algebrica. Se f(x) e una funzione trascendente (ad esempio ^iposta tra-
mite le funzioni ex, log x, sen x, cos x) allora la (36,1) pren e
equazione trascendente.
Una soiuzione di un’equazione algebrica si dice anche radice deflequa-
zione, Per estensione, si usa il termine di radici anche per e so
equazioni trascendenti,
Ricordiamo le ipotesi del teorema dell’esistenza degli zeri: f(x) fe una funzione continua
in [a, b] e
(362)
f(a) < 0, f(b) > 0.
Consideriamo il numero c, punto di mezzo delTihtervallo [a, b], dob c - (a
f(c) =0 abbiamo trovato una radice. Altrimenti consideriamo i due casi f(c) > 0, ВД *
f(c) > 0. la funzione f assume valori di segno discorde agli estremi delJ • {
mentre se f(c) < 0, [c, b] e Vintervallo dove f cambia segno. Indichiamo con [at btJ
da considerare, cioe definiamo:
(363)
se f(c) >0 =>	a, = a, bj = c
se f(c) <0 =>	8| - c, b, = b
Abbiamo cosi trovato un
cui risulta f(at) < 0, f(b|) >
intervallo [ah bj], di ampiezza meth del precedents (a, b], per
0, Definiamo c, - (a, + bJ/2 e ripeliamo il ragionamento.
Limiti di fiuiziofu. Funzioni continue 113
Otleniamo tre succession! an, bn, che per n > I sono definite, analogamente alia (363J, da
(36.4)
№ f(c„) > 0	a„., . a„, b„, - c. a„,, + b„,
' cn+l —	—
se f(co) c 0 ал+| — cn , bn+| — bJ(
Se per qualche n risulta f(cn)= 0, ci si femia регсЬё si e trovata una radice; altrimenti,
per costruzione, risulta
(36.5)
f(an) < 0, f(bn) > 0,
Vn g N.
fe semplice scrivere la relazione che lega a„ con bn (oppure con qj; infatti, ad ogni
iterazione, la lunghezza delFintervallo [an, bn] si dimezza. Quindi b( - a: = (b - a)Z2, bj - a2 =
(b - a)/2". e dope n passi
(36.6)
Vn e N.
Per costruzione, la successione an ё crescente (Sj S a2 £ a3 £...) ed & limitata, perche
contenuta nell’intervallo [a, bj. Per il teorema sulle succession! monotone an ammette limite
finito. e sia Xq tale limite; 'anche la successione bn. espressa mediante la (36.6) da
(36.7)
b - a
bn
= an +
2" ’
converge ad xq per n -» + «.
Quindi, ricordando la (36.5). dalia continuity di f si ottiene
(36.8)	f(xo) = lim f(a„) < 0;	f(x0) = lim f(bj > 0.
n —> b —
Percib f(x0) = 0 ed il teorema dell'esistenza dagli zeri ё provato.
Dalia dimostrazione propost a risulta chiaro come caicolare numericamente la soiuzione
Xq. Infatti le tre succession! an, bn. cn convergono ad Ху. I termini di una qualunque delle tre
succession! sono valori approssimati di xq; in particolare, i valori di an sono approssimazioni
per difetto, quetli di bn sono approssimazioni per eccesso, сюё
(36.9)	аи < xo S bft t	Vn e N.
Dalle (36.6), (36.9) si deduce che Гепгоге di approssimazione che st commette sosti-
tuendo Xq con an (oppure con bn) e inferiore a (b - a)/2n. Dato che cll ё il punto di mezzo
dell*intervallo [an, bn], i’eirore die si commette nell’appossimare xq con fe minore di (b -
а)/2"Л
Riprendlamo in considerazione le cquazioni (35.2), (35.3). Ci proponiamo il calcolo
delle rispettive radici con un errore inferiore a IO“\ In entrambi i casi abbiamo un intervallo
di ampiezza b - a = 1; infatti nel primo caso [a, b] = [0, 1], nel secondo [a, b] = [ ~ 1, 0].
114 Capitola 4
L’errore di approssimazione che si commette soetituendo la sohizione xo con cn & minore di
1/21**1; in particolare, per n. = 9, risulta
(36.10)	| Cg - xa 1 < V 21D 1/1024 < 10"3 .
Si ottiene la tabelia di valori:
	c	4	♦♦♦	c6	c7		
x3 + x - 1 = 0	0.5	0.75		0.6796	0.6835	0.6816	0.6826
X II о	-0.5	- 0.75	♦♦♦	- 0.5703	- 0.5664	- 0.5683	- 0.5673
Quindi la radice deU’equazione x3 + x — 1=0&Xq = 0.682 (± 0.001); la radice
deli’eqiiazione ex + x = 0 fe xq = — 0.567(:t 0.001). П numero ± 0.001 ё una stima delFerrore;
ciofe ad esempio nel primo caso risulta 0.681 < xq < 0.683.
Chiudiamo il paragrafo con un’osservazione sull’assioma di completezza
(2.11). Abbiamo utilizzato tale assioma nella dimostrazione del teorema
deU’esistenza degli zeri, in particolare nell’affermazione che la successione
an, essendo monotdna e limitata, risulta convergente.
Cxd ё essenziale; infatti, nell’ambito dei numeri razionali Q, dove non e
verificato Fassioma di completezza, non vale nemmeno il teorema delFesi-
stenza degli zeri. Ad esempio, Fequazione f(x) = x2 - 2 = 0 non ha soluzioni
nelFintervallo di razionali (x 6 Q: 0 x < 2), nonostante che f(0) < 0, f(2) > 0.
Infatti si ё gih verificato nel paragrafo 5 che л/2 non e razionale. I/assioma di
completezza ё essenziale anche in altri teoremi di esistenza; ad esempio nel
teorema di Weierstrass, o, come gih detto, nel teorema sull’esistenza del
limite per le successioni monotdne.
37.	Dimostrazione del teorema di Weierstrass
Dimostriamo il seguente teorema, enunciate nel paragrafo 35;
TEOREMA DI WEIERSTRASS. — Sia f(x) una fitnzione continua in un
intervallo chiuso e limitato [a, b]. Allora f(x) assume minimo e massimo in [a, b],
ciob esistono xlt x2 in [a, b] tali che
(37.1)	f(xt) < f(x) < f(xj),	V x 6 [a, b].
Dimostrazione: posto M = sup (f(x): x e [a, b]|, verifichiamo che esiste una successione
xn di punti di {a, b] tale che
Limiti di funzioni Funzioni continue 115
(37.2)	lim f(xn) w M.
Infatti, se M = + «, per le propriety dell’estremo superiore, per ogni n e N esiste x„ e [a, b]
tale che f(x„) > n e percid f(xn) ->№ = + «».
Se invece risulta M < + «>, per ogni n e N esiste xn in [a, b] tale che
(373)
П
e percid f(xn) -> M.
Per il teorema di Bolzano-Wcierstrass (paragrafo 27) esiste un’estratta x^ da xn ed un
punto xq € [a, bj, tale che
(37.4)	4	‘
Poichd f(x) ft continua, ne .segue
(37.5)	-> f(xfl)
e allora, per la (37.2),
(37.6)	M = lim f(xj « lim ffx^) = Цхд) .
n ->!*	к—
Abbiamo cost dimostrato che
(37.7)	f(x„) = M = sup |f(x): x e (a, b])*,
rib implies allo stesso tempo cbe M < + *» e che Vestremo superiore fe, in effetti, un massimo.
Analogamente si ragiona per determinare un punto di minimo, partendo dall’estremo
inferiore di f(x) in [a, b].
38. Continuita delle funzioni monotdne e delle funzioni inverse
Con lo stesso metodo utilizzato per la dimostrazione del teorema sulle
successioni monotdne si prova il seguente:
TEOREMA SUL LIMITE DELLE FUNZIONI MONOTONE. — Sia f(x) monotdna in [a, b]; allora esistono finiti i limiti			
(381)	lim f(x), a—>a+	lim f(x); x—->b“	
(38.2)	lim f(x), x-»x,7		V Xq € (a, b).
Limiti di funzioni, Funzioni continue 117
116 Capimlo 4
Dimostrazione: consideriamo il caso di una funzione f(x) crescente in [а. Ы; osserviamo
subito chfe Цх) ё limitata in [a, b]:
(38.3)	f(a) * fW - f(b)-	VX G Ь^'
cioe f(a) 4 il minimo di f(x) nell’intervallo [a. b], mentre f(b) 4 il massimo.
Fissato xq e (a, b], pouiamo
(3g4)	f = sup (f(x): x e [a, xu)|*
Per la (383) I’estremo superiore Г 4	. ogni e > 0 esiste x, e [a. x«)
Per le proprieta dell’estremo superiore (paragrafo 12), p gn
talc che
(38.5)	f-e«f(Xi)’
Рет x > X| risulta f(x) S f(Xj) e dunqtie
(38,6)	Г - e < f(Xi) К*) S Г < f + < >
da cui
(38,7)
lim f(x) = £
Jt-4 X"
ed f(x) non assume alcun valore neli’intervallo (fh Si procede in modo analogo se x = a,
oppure se x = b: ad esempio, se x » a e se f(x) i crescente e non ё continua per x = a, ailora
f(x) non assume alcun valore nell'intervallo (f(a)t 0, essendo:
(38.10)
f(a) < Г = lim f(x).
TEOREMA DI CONTINUITY DELLE FUNZIONI INVERSE. — Sia f(x)
una funzione strettamente monotbna in [a, b], Se f(x) e continua, anche la
funzione inverse Г1 e continua.
Dimostrazione: osserviamo che la stretta monotdnia di f(x) su [a, b] implica la sua
invertibilita (si veda il criterio di invertibilitft, alia One del paragrafo 35).
Supponiamo, per fissare le notazioni, che f(x) sia strettamente crescente in [a, b]; ailora.
(38.11)
f:[a, b] [f(a), f(b)]: Г' :[f(a), f(b)}	[a, b].
In particolare f1 assume tutti i valori deirintervallo (a, b|; per il criterio precedente (di
continuity delle funziom monotone). Г1 e continua.
Si precede in modo analogo per il Iimite per x —> x<j , c°n xq € [a> b)*
Osserviamo che. se f(x) 4 crescente in [a. b], i limiti (38.1). (38.2) si possono ordinare nel
modo seguente;	s	f(j[) *
я—
(38 8)	< Um f(x) 2 lim f(x) S /(b).	V х» e (a. b).
X—x—*b"
I criterio’ di continuity per le	f/Jl
ffx) una funzione monotbna nell'intervaUo chmso e hmitato fr b]. AUora цх) e
cXTn МаГь] « e Solo « l-inunagine di f(x) 4 tutto I’intervallo d. estremr f(a),
^f(b).	-1
Dimostrazione; se f(x)
assume tutti i valon compresi tra t(a) e hdj jsj vc
intermedi de) paragrafo 35).	( h\ oer n teorema
Viceversa.se f(x) 4 crescente in [a. b] ma non 4 continua in (a, b). per
precedente ammette in x<j una disconlinuith di pniua specie e
(38.9)
lim f(x) = G < <2 = ’im f(x)
CAPITOLO 5
DERIVATE
39. Tasso di accresamento. Significato meccanico della denvata
Consideriamo un semplice processo di crescita di un corpo, supponendo che il peso p dei
corpo van al crescere del tempo; cioe supponiamo che il peso sia una funzione del tempo
P = p(0*
Prendiaino in considerazione variazioni di peso a partire da un certo istante t. Al tempo
t il peso e p(t), mentre alfistante t + h, dopo che & tiascorso un tempo uguale ad h, il peso t
p(t + h). Quindi, nell’intervallo di tempo ht il cambio di peso e p(t + h) - p(t). Il rapporto
(39Д)	P(t + h) ~ P(t)
d& una indicazione di quanto sia cambiato il peso per unith di tempo. Piu piecisamente il
rapporto (39.1) esprime la variazione media per unith di tempo del peso neirintervallo [t, t + h].
Si chiama anche tasso medio di accrescimento t о tasso medio di variazione, о velocita media di
accrescimento.
Invece della variazione media nell’intervallo [t, t + h], spesso t pih utile la variazione
istantanea al tempo t Intuitivamente si considera Pespressione (39.1) per alcuni valori di h
sempre piu vicim a zero. Con il linguaggio piii precise mtrodotto nei capital! precedent!, si
calccla il limite, per h 0, del rapporto (39.1):
(392)	Tasso di accresamento = lim P—-+	.
h—>0	h
Si uoti come sia indispensabile usare il limite per h -> 0, dato che, se nella (39.1) si pone
direttamente h - 0, si ottiene una espressione senza significato. Invece, col linguaggio dei
limiti, il limite in (392) e una forma mdeterminata 0/0 (se p(t) e una funzione continua).
Per mostrare come il tasso di accrescimento possa essere effettivamente calcolato, consi-
deriamo a titolo di esercizio il caso hi cui il peso dipenda da] tempo in modo quadratico
(39-3)	p(t) = e ;
per ogni h * 0, risulta
(39.4)	p(t + h) - p(t) = (t + h)2 - t2 = t2 + 2ht + b2 - t2 = 2t + h
120 Capitolo 5
L’ultimo membra della (39.4) tende a 2t per h 0. Quindi il tasso di accrescimento vale
2t Cid significa che, al crescere del tempo t (> 0), non soltanto il peso cresce come ma
apche il cambiamento di peso per unit^ di tempo aumenta (nel caso in considerazione, in
modo proporzionale al tempo).
Proponiamo un esempio numerico: secondo-la legge p(t) = t“, al tempo t = 10 il peso
risulta essere uguale a p(10) = 100.11 tasso di accrescimento, uguale a 2t. al tempo t = 10 vale
20. Cid significa che, dopo una rniita di tempo, il peso del corpo aumenta di circa 20 unita;
quindi p(ll) vale all'incirca 120. Si noti che effettivamente il valore trovato 120 non differisce
di molto da p(U) = И2 = 121; approfoiidiiemo questo aspetto nei paragrafi 44 e 8*1, nello
studio della formula di Taylor.
Abbiamo gia detto che “velocita di accrescimento’’ c sinonimo di “tasso di accrescimen-
to'’; cib deriva dal fatio die una velocity si definisce in modo analogo a quanto fatto sopra.
Consideriatno ad esempio tm’automdbile die peredrre una strada, ed hidichiamo con s(t) lo
spazio percorso in funzione del tempo t. La veloclth media dell’automobile nell’intervallo di
tempo [t, t + h] 6 uguale al rapporto tra lo spazio percorso s(t + h) — s(t) ed il tempo h
impiegato a fare il percorso. La velocita istantanea (quella indicata dal tachimetro sul cru-
scotto dell’auto, se s(t) e espresso in chilometri e t in ore), ё il limite,. per h —> 0, della
velocity-media; quindi
. ч •	..	s(t + h) - s(t)
(39.5)	Velocity istantanea = lim--------------— .
h-И) h
E chiarc che nei due esempi precedent! lo schema matematico e identico. In entrambi
gli esempi occorre calcolare il limite di un rapporto incrementale, cost chiamato perchd a
denominator с’ё Finer emen to h della variabile indipendente, mentre a numeratore с’ё
I’incremenfo della variabile dipendente.
Occorre calcolare il limite del rapporto incrementale anche in molte altre situazioni,
an&loghe a qpelle dei due esempi esposti. Ad esempio, se si considera la density di un fluido
о di una pppplazione, о 1’aecelerazione di un corpo che. si muove di moto rettilineo. Un altrp
esempio, di tipo geometrico, ё studiato nel paragrafo 44.
Introdurremo nel prossimo paragrafo la derivata come limite del rapporto incrementale,
quando Fincremeato tende a zero.
40. Definizione di derivata
Sia f(x) definita nell’intervallo aperto (a, b) e sia x un punto di (a, b); si
dice che la funzione f e derivabile nel punto x se esiste finite il limite del
rapporto incrementale
(40.1)
1- f(x + h) - f(x)
lim-----------—— 
h—>0	h
Tale limite fc la derivata di f, e si indica con una delle seguenti notazioni, fra
loro equivalent!:
Derivate 121
(40.2)	f(x),
df
dx
Df(x),
dy
dx
Dy.
Si dice che f ё derivabile пе1Г intervallo aperto (a, b) se ё derivabile in
ogni punto x e (a, b).
In alcuni casi ё utile consideraie al posto della definizione (40.1), invece
del Iimite complete per h —» 0, soltanto il Iimite destro per h 0+, oppure il
Iimite per h —> 0“. Nel primo caso si parla di derivata destra, nel secondo
caso si parla di derivata sinistra.
Se f(x) ё definita in [a, b], si dice che f ё derivabile nelVintervallo chiuso
[a, b] se ё derivabile in ogni punto x e (a, b) e inoltre se f ammette derivata
destra nel punto x = a e derivata sinistra nel punto x = b.
Consideriamo alcuni esempi. Intziamo daila funzione cos tante f(x) - q, per ogni x e
e proviamo che tale funzione e derivabile su tutto R e che la derivata & identicamente nulla;
infatti il rapporto mcrementale vale costantemente zero, qualunque sia 1’incremento h 0 (si
veda la figura 5.1):
(403)
f(x •+ h) - f(x) = q - Q _ 0 _
h	h - h~
e quindi anche il Iimite del rapporto inqrementale, per h —> 0, vale zero (il lettore non cada
nell’errore di considerare il Iimite per h —> 0 di (40.3) una forma indeterminate 0/0).
Piu gencralmente verifichiamo che la derivata della funzione f(x) = mx +► q, con m e q
costanti (il cui grafico ё una retta), ё identicamente uguale ad in; infatti il rapporto incremen-
tale vale costantemente m, qualunque sia h # 0:
(40.4)
f(x + h) — f(x) _ (m(x + h) + q] — [mx + q] _
m.
f(x) = f(x + h)
f (x) = costante
Figura 5.1
122 Capitolo 5
2
Abbiamo gi& calcolato nel paragrafo precedente la derivata della funzione E(x) = x ,
trovando f(x) = 2x,
Verifichiamo invece che la funzionef(x) = |x| non ё derivabile per x =s 0. Infatti se h я* 0
si ha
(40 5)	f<° * h> ~ f(0) = 10 * h| ~ i01 = M
‘ f	h	h h '
Abbiamo gia incontrato quests funzione nella (34.1). П Iimite per h —> 0 del rapporto
incrementale non esiste, perchc risulta:
(40.6)	lim = 1;	Um ^ = - 1.
и—мг* h	> er h
Quindi f(x) = |xf non ё derivabile per x = 0; mentre esistono le derivate destra e sinistra,
uguali rispettivamente a + 1 e - 1.
Confrontiamo la nozione di derivabilita con quella di continuity. Ricor-
diamo che una funzione f ё continua in un punto x se (riprendiamo la
definizione (33.2) cambiando x0 con x, e x con x + h):
(40.7)	lim f(x + h) =f(x).
h-M)
L’esempio precedente, con f(x) = |xl, mostra che una funzione continua
pud non essere derivabile. Invece, ogni funzione derivabile in x ё continua
in x; infatti:
(40.8)
lim f(x + h) = f(x) + lim [f(x + h) - f(x)] «
h—>0	h—>0
= f(x)
f(x + h) - f(x)
+ hm -3---------2-----. lim h =
h-40	n	|i-40
= f(x) + f'(x) • 0 = f(x).
Se una funzione ё derivabile in tutti i punti di un intervallo (a,b), ailora
la sua derivata Г(х) ё una funzione definita su (a,b). Se questa funzione ё a
sua volta derivabile, diremo che la sua derivata (f)' e la derivata seconda
della funzione f, ed indicheremo tale derivata con uno dei simboli:
(40.9)
d2 у
dx2
Derivate 123
Se a sua volta la derivata seconda ё derivabile parleremo di derivata
terza f*' ё cosi via. Useremo, il simbolo ftn) per la derivata n-sima. Pud
accadere che una funzione ammetta derivate fino ad un or dine he N;
oppure che sia derivabile infinite volte, cioe che ammetta derivate di qual-
siasi ordine u.
*)
Ad esempio, la funzione f(x) = x~ ammette derivate di ogni ordine; infatti abbiamo
veriHcato nel paragrafo precedente che f (x) = 2x: poi dalla (40.4) segue che f'(x) = 2e dalla
(40,3) che f"(x) - Of dato che f" & costante, si ottiene r4^ = 0 e, analogamente, ?n\x) ж 0 per
ogni n 2 3.
Invece, la funzione f(x) = x \ |x| ammette per x = 0 derivata prima, ma non derivata
seconda; Infatti, essendo
(4010)
ад-
se x 2 0
se x < 0
f(x) & derivabile e, per x * 0, si ha
2x
(4011)
Г(х) =
— 2x
se x > 0
se x < 0
mentre, se x = 0, si ha
.. f(0 + h) — f(0)	„ h|h| - 0 t. 1L1 л
(4012)	lim ----------------— lim--------— ~ hm |h| = 0;
h—>0	h	h^o n	fa-X)
pertanto f*(0) = 0. In definitiva f(x) e derivabile per ogni x e R e la derivata vale
(4013)	f(x) = 2|x|,	VxeR.
Perd P(x) non e derivabile per x = 0; quindi non esiste la derivata seconda di f(x) nel punto
x = 0.
41. Operazioni con le derivate
Per le derivate valgono le seguenti regole di calcolo:
OPERAZIONI CON LE DERIVATE. — f e g sono due funzioni derivabili
in un punto x, allora sono derivabiii in x anche la somma, la differenza, il
prodotto, il quoziente purche it denominate re sia diverso da zero), e si ha:
124 Capitolo 5
(41.1)	(f ± g)' = f ± g' ;
(41.2)	(fg)' = fg <- fg' ;
(41.3)	Q' =	g * 0).
Dimostriamo la (41.1) con il segno 4-: per ogni h <*0, scriyiamo il rapporto incrementale
relative a!|a funzione somma f + g:
(41.4)
(f(x + h) + g(x 4- h)] - [f(x) + g(x)]
h
_ f(x 4- h) - f(x) g(x 4~ h) ~ g(x)
h	h
Dato che il limite di una somma ё uguale alia somma dei limiti, per h 0 si ottiene la
(4U).
Dimostriamo ora la rcgola di de.rivazione del prodotto, A tai fine scriviamo il rapporto
incrementale relative alia funzione prodotto fg:
f(x + h) g(x + h) - f(x) g(x)
h
(41.5)
f(x 4- h) g(x + h) - f(x) g(x 4- h) 4- f(x) g(x 4- h) - f(x) g(x)
h
= f(X * Ц ~ tw g(x t h) + fW s(X * h> - g(x) .
h	h
La funzione g essendo per ipotest derivabile in x, ё anche continua Quindi al limite per
h 0 risulta g(x h) —> g(x) Dalla relazione sopra scritta $i ottiene la tesi passando al
limite per h -> 0.
Per dimostrare la formula (41.3) relativa al quozientei supponiamo g(y) 0- Per il
tgorema della permanepza de) segno (paragrafo 35)r esiste un numero 6^0 per cui, se |h| <
g, allora gfx 4? h) 0. Scriyiamo il rapporto incrementale di ffg:
(416)
/f(x 4- h) _ f(xH 2 _ f(x + h) g(x) - f(x) g(x + h)
\g(x±h) g(x)Jh~ g(xfh)g(x)h
_ f(x 4- h) g(x) - f(x) g(x) 4- f(x) g(x) - f(x) g(x + h) _
g(x * h) g(x) h
h) - f(x)	g(x 4- h) - &(*))	1
h gw ЦХ) h Jg(x + h)g(x)‘
Derivaie 125
Al Iimite per h -4 0 si ottiene la tesi, ricoidando che, come nel caso del prodotto, la
funzione g e continua in x e quindi g(x + h) tende a g(x).
Notiamo che iin caso particolarmente impoirtante di derivaziorie di im
prodotto si ha quando una delle due funzioni e costarite. Dato che la
derivata di una costante vale zero, dalla regola (41.2) si ottiene
(41-7)
(cf)' = cf'
(c = cos tame}.
42. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse
Una delle pifi important! regole di derivazione ё quella relativa alle
funzioni composte. Se у ё funzione di z (у = f(z)) e z a sua volta ё funzione
di x (z = g(x)), у - f(g(x)) ё la funzione composta risultante. Si usa anche il
simbolo f(g(x)) = fog(x).
9	7	2
Sono funzioni composte, ad esempio, у = sen x~ (y = sen z, z = x’), oppure у = sen x
(y = z2, z = sen x).
TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE. — Se g
ё una funzione derivabile in x, e se f ё una funzione derivabile nel punto g(x),
ailora la funzione composta f(g(x)) ё derivabile in x, e si ha
(42.1)	Df(g(x)) = f(g(x))  gW
Coal, ad esempio, in base alia regola di derivazione delle funzioni composte, la derivata
della fuozioDe у = sen x2 vale y' = cos(x2) • 2x, mentre la derivata della funzione у = sen’ x =
(sen x)2 vale y* = 2 sen x • cos x.
Per serriplificaie la dimostrazione* consideriamo pielimmarmente il caso in cui risulti
g(x + h) * g(x) per ogni h * 0; il caso generate ё trattato di seguito. Il rapporto incrementale
della funzione composta, nel punto x, vale
ffefr + h)) - f(g(x)) f(g(x -ь h)) - f(g(x)) g(x + h)-g(x)
J	h	g(x + h)-g(x)	’ h
Nel prime dei due quozienti a secondo membro compare il rapporto incrementaie della
funzione f nel punto g(x), con. incremento к = g(x + h) — g(x). Tale incremento к tende a
zero per h -> 0, dato che g ё continua in x. Quindi
f(g(x H- h)) - f(g(x))
ll-ю g(x + h) - g(x)
(423)
- lim	,
che corrisponde alia tesi (42.1).
126 Capitolo 5
Passiamo alia dimostrazione del teorema di derivazione delle funzioni composte nel caso
generate.
Ricordiamo preliminarmente che la funzione g ё derivabile in un punto x (ed ё definita
in un intorno di taie punto), mentre ia funzione f ё derivabile nel punto у = g(x) (ed ё
definita in un intomo di y). Poniamo
(42.4)
F(k) = 
f(y + k) - f(y)
к
l Пу)
se	к s* Q
se	к — 0
Per I’ipotesi di derivabilith di f nei punto у e per ia definizione di F(0) risulta
(42.5)	lim F(k) - f(y) -> F(0)
k—>1)
(ciob F(k) e continua nel punto к = 0). Posto
(42.6)	к = g(x + h) - g(x),
ed essendo g(x) = у» g(x + h) = g(x) + к ='y + k, per ogni к ^0 risulta
f(g(x + h)) - f(g(x)) f(g(x) + k) - f(g(x)) к
h	к	h
(42.7)
t(y‘ + к) - f(y) к	g(x + h) - g(x)
-------------------- = F(k)------------j.------.
La novit& rispetto alia dimostrazione proposta precedente ё che ridetititfe
(42.8)
f(g(* + h)) - F(e(x>) = F(k) g(x + h) - g(x)
h	h
vale, non solo per к 0, ma anche per к - 0, регсЬё in tai caso, essendo к = g(x + h) - g(x) = 0,
risulta nullo il secondo membro di (42.8), ma anche il primo membro, dato che g(x + h) = g(x).
vale, non solo per к 0, ma anche per к = 0, perchd in ta! caso, essendo к S3 g(x + h)-g(x) = 0,
risulta nullo il secondo membro di (42.8), ma anche il primo membro, dato che g(x + h) = g(x),
Passiamo al Iimite in (42,8) per h —> 0. Per la continuity di g (g ё continua in x essendo,
per ipotesi, derivabile in tale punto) к » g(x + h) - g(x) converge a zero per h —> 0; ailora, per
le (42.5), (42.8), si ottiene
(42.9)
lim f(g(X + h)) " f(gW) lim Ffkl lim g(X + h) ~ gW
iim -------------------------= Um r(K) - lim -------------------------
h—>o	h	k—>1»	ti—mj	n
= F(0) - g'(x) - f(y)? g'(x) = f(g(x)) . g'(x).
Esamimamo ora la regola di derivazione delle funzioni inverse. Ricor-
diamo quanto gia detto drca le funzioni strettamente monotone: una fun-
zione f(x) e strettamente crescente neirintervallo [a, b] se
Derivate 127
(42.10)
a xt < «2 < b
=> f(xf) <
Se f ё continua e strettamente crescente in [a, b] allora ё anche inverts
bUet cioe ad ogni у e [f(a), f(b)] corrisponde un solo x e [a, b] per cui f(x) =
yt e si indica x = la stessa proprieta vale per le funzioni strettamente
decrescent! (si veda il criterio di invertibilite alia fine del paragrafo 35).
TEOREMA DI DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI INVERSE. Sia i(x)
una funzione continua e strettamente crescente (oppure strettamente decrescente)
in un intervallo [a, b]. Se f ё derivabile in un punto x g (a, b) e se f (x) Ф 0, allora
anche f-1 ё derivabile nel punto у = f(x) e la derivata vale
(42.11)	DF‘(y) =	= —L— .
f(x) '(y))
Prima di dare ia dimostrazione, applichiamo il teorema ad un esempio concrete: la
funzione у = f(x) » xz ё continua e strettamente crescente per x > 0. La funzione inversa f"J
ё x = f 1 (у) =	’ Abbiamo giA visto che la funzione у = x2 e derivabile e che la derivata
vale / = 2x. In base al teorema di derivazione delle funzioni inverse, anche x = т/у e
derivabile per у > 0 e la derivata vale
Figura 5.2
128 Cup holo 5
Passiamo alia dimostrazione del teorema: con riterimento alia figura 52, ad x corri-
sponde у = f(x); ad x + li corrisponde у + к = f(x + h), dove si e posto к « f(x + h) — f(x). In
termini di f~l risulta quindi x » f"'(y) e x + li = f (y + k). Scriviamo il rapporto incrementale
relative ad f
(42.13)
Г'(у + k) - F'(y) h
к	f(x + h) - f(x) ’
Data che f ё strettamente monotdna, risulta h * 0 se e solo se к * 0. Si pud anche
verificare che se к tende a zero allora anche h-tende a zero; infattih = f~ (y + k)~ f (y) —>0
per к 0 perche Fl fe una funzione continua (si veda il paragrafo 38). Dato che a secondo
membro compare il reciproco dei rapporto incrementale della f, passando a) limite nella
(42.13) per к —> 0, si ottiene la tesi.
43. Derivate delle funzioni elementari
In questo paragrafo calcoliamo le derivate di alcune funzioni elemen-
tari. Comindamo con la potenza ad esponente naturale n:
(43.1)	D xn = n xn-1 .
Questa formula (che si ottiene anche dalla piu generale formula (43.10))
si pud dimostrare facendo uso del principio di induzione: abbiamo gjh veri-
ficato che D x = 1 (si veda la (40.4)); quindi la (43.1) e vera per n = 1.
Supponiamo, secondo lo schema del principio di induzione, che la (43.1) sia
vera e calcoliamo per mezzo della regola di derivazione det prodotto:
Dxn+1 = D(x” « x) = D^) x + xn Dx =
(43.2)
= n xn l X + Xй • 1 = (n + 1) x“ .
Abbiamo quindi verificato che la (43,1) vale anche per 1’indice n + 1.
Percid la (43.1) ё provata.
Notiamo che il risultato ottenuto ci permette di calcolare la derivata di un polinomio
qualsiasi:
у = a„ x” + a,.! x“-' + ... < ai x + ao ;
(43.3)
у' = na„ Xя"1 + (n - 1) ae^ x*-2 + ... + at .
Inparticolare,laderivatadiunpohnomiodigradonfcunpoiinomio digradon—1 (ng N).
Derivate 129
Proviamo che la derivata del logaritmo in base a (a > 0, a 1) di x vale:
(43.4)	D loga x - i ioga e,	V x > 0.
Utilizziamo le propriety del logaritmo (tra cui la sua continuity) ed il
Hmite notevole (33.7) (nel limite (33.7) cambiamo x —> 0 con h 0, e b con
1/x):
log. (x + ii) - log. x I X + h
lim-----------z------------- um - log»--------=
b->0	h	h-ю h x
/х + ъУл*	f
(43.5)	= lim	logQ |-----1	= loga lim	11 4-- I	=
h—M) V	X )	* h->0 Xj
I
= log. e1/x = - log. e.
Risulta ora chiaro 1’interesse nel considerare logaritmi in base e: dato
che loga e = 1, la derivata del logaritmo in base e di x e semplicemente
(43.6)	D log x = - ,	V x > 0.
x
La funzione у = log x e invertibile e la sua inversa ё x = ey. Dal teorema
di derivazione delle funzioni inverse otteniamo
(43.7)
= x = ey ,
Usando, come si ё soliti fare, il simbolo x per denotare la variabile
indipendente, possiamo riscrivere la formula precedente:
(43.8)
D eK = ex .
Ricordiamo la proprieta (9.13): e1Q8 * =: x, che ё sempre utile quando si
vuole calcolare la derivata di un esponenziale о di una potenza che non
rientrano nei casi precedent!. Ad esempio, si pub calcolare ]a derivata delle
130 Capitolo 5
funzioni esponenziali con base a > 0, a 1, facendo uso del teorema di
derjvazione delle funzioni composte:
D ax = D elog a* = D e* '°8 a =
(43.9)
= eKloga D(x log a) = ax log a.
Analogamente si calcola la derivata della funzione potenza xb, con espo-
nente b reale
D xb = D elog "* = D eb l0« * =
(43.10)
= eb '°s * D(b log x) = xb - - = b xb~1
La formula precedente fe molto utile. Ё utilizzata ad esempio nei casi b = 1/2 (in questo
caso si riottiene (42.12)) e b = — 1:
(43.11)	D з/х = D xl* = - x~ 1/2 =	;
2	2 yx
(43.12)	D = D x“’ = (- 1) x“2 = -	.
W	*
Calcoliamo ora le derivate delle funzioni trigonometriche sen x, cos x,
tg x- Cominciamo con
(43.13)	D sen x = cos x; D cos x = - sen x.
Dimostriamo la prima delle due: facet a mo uso delle formule di addizione (10.4) e dei
limiti notevoli (30.10), (32.10):
. sen(x + h) - sen x
hm--------------
ihp	h
t.~ ,sen x cos h + sen h cos x - sen x
(43.14)	- hm------------------------
h—h
.. cos h - 1	.. sen h
= sen x • lim---+ cos. x - lim —-— = cos x.
h—»i)	h	и—>u	n
Allo stesso modo si calcola la derivata di cos x:
Derivate 131
. cos (x + b) - cos x
lim---------------------
h—Ml	П
,	cos x cos h — sen x sen h - cos x
(43 Л 5)	- hm----------------------------------------—
ii—hi	h
„ cos h — t	. sen h
= cos x - hm-----------sen x - hm —-— = - sen x.
h—mi	n	h—mi «
La derivata della funzione tg x si calcola con la regola di derivazione del
rapporto:
(43.16)
sen _ D(sen x) cos x - sen x D(cos x) _
cos xj	cos2 x
cos2 x + sen2 x _	1
2	” ~ 5	’
cos X cos X
Riassumiamo in una tabella le principal! formule di derivazione trovate
in questo paragrafo:
f(x)	f<x)
xb	b x5"1
log X	1/x
ex	ex
sen x	cos X
cos X	- sen x
tg x	1/cos2 x
44. Signfficato geometrico della derivata. Retta tangente
Sia f(x) una funzione definita in un intomo di un punto xq e si consider!
nel piano x, у il grafico della funzione, come in figura 53. Ci proponiamo di
determinare 1’equazione della retta r passante per il punto Po di coordinate
(xq, f(xo)) e tangente al grafico della funzione f.
Cid che preliminarmente ё pit! opportune fare, ё determinare I’equa-
zione di una retta r' secante il grafico della funzione f nei punti
Po s(*o » f(*o)) e P - (xo + К f(xo + h)). L’equazione di una generica retta
non verticale ё у = mx + q; determiniamo i parametri m, q imponendo che
la retta passi per i punti dati:
132 Capitolo 5
Figura 53
(44.1)
r f(xo) = m Xo + q
f(x0 + h) = m(x0 + h) + q
(passaggio per Po)
(passaggio per P).
Abbiamo un sistema in due equazioni nelle due incognite m, q, che si pud
risolvere per sostituzione, oppure sottraendo la prima equazione dalla se-
conda. Si ottiene m - [f(x0 + h) - f(Xo)]/h e poi si ricava q dalla prima
equazione. L’equazione della retta secante risulta essere:
ш	. f(*o + h) - f(x0)
(44.2)	у = f(xo) +-------------------(x - Xo)-
n
L’equazione della retta tangente, quando esiste, e il Limite per h —» 0
dell’equazione della retta secante. Si pud passaie al limite nella (44.2) se e
solo se f ё derivabile in xa. Quindi, se f ё derivabile in x01 si ottiene Vequa-
zione della retta tangente In (x0, f(xo)) al grafico della funzione f:
(44.3)	у f(X{l) 4- Г(х0)(х - Xq).
Quanto stabilito fomisce il significato geometrico della derivata. Dato
che neH’equazione della retta tangente il coefficiente della x e uguale a m -
Г(хо)^ si dice che la derivata di una funzione f in un punto Xq ё il coefficiente
angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto (xo, f(x0)).
La derivata e quindi una misura della pendenza del grafico della funzione.
jDerivnte 133
Diamo un esempio numerico di utilizzazione dell’equazioue della retta tangente, esami-
nando un problems di calcolo approssimato dei valori di una funzione. Normalmente non &
immediate 11 calcolo del valore numerico di una funzione in un punto. Ad esempio, ё facile
calcolare a mente i valori numerici delle funzioni \/x , oppure sen x, solo per particolari valori
della x. Al contrario, ё sempre elementaxe calcolare i valori numerici delle funzioni у = mx +
q, che hanno per grafico una retta. L’idea ё quella di “sostimire*’ una funzione data con
i’equazione della sua retta tangente in un punto di ascissa xq, con xq vicino al punto x in cui si
vuole calcolare la funzione; Dalia figura 5.4 & irituitivamente chiaro che 1’errore che si
commette ё tanto piil piccolo, quanto piu x & vicino all’ascissa de] punto di tangenza xq.
Ciofe la quantity f(xg) 4* f'(xq)(x - xu) rappresenta una apprcssimazione di f(x)a tanto
migliore quanto pift x e vicino ad Xq; scriveremo:
(44.4)
f(x) s f(xn) + Г(Хо) (x - Xq)
(re x ё vicino ad Xq).
Il punto xo va scelto in modo che sia semplice calcolare f(xo) e f'(xo)'
Si pub dare un significato rigoroso aha scrittura (44.4) usando i limiti. La (44.4) significa
che, non solo fa differeuza tra primo e secondo membro tende a zero quando x —> xq, ma
anche che tende a zero pih rapidamente della quantity x ~ xq, с!оё che:
(44.5)
f(x) - (f(x0) + f (X(j)(x - Xq)]
hm ----------------------------------------- 0.
X ~ *0
La verifica della relazione sopra scritta e iramediata; infatti, dato che f e derivabile in Xq,
possiamo riscrivere il Iimite precedente nella forma:
f(x) “ ffan)
(44.6)	lim _ w - г ад = рад - рад = о.
х—>	* Х0
Ad esempio, se f(x) = >|x , la (44.4) diventa
134 Capitate 5
(44.7)
(se x -» no).
Volendo espriiuBi'e in forma decimale ^80 t scegliendo = 81 otteniamo
(44.8)
’^0a9 + ?l5(-l) = 9- i = 8.9444...
(il valore esatto e ^80 = 8.9442...). Qualcuno Corse avrh pensato che il conto fe state possibile
soltanto perche 80 e viciiio al quadrato perfetto 81. Proviamo con t/2 : si pub calcolare ^200 ,
e poi. dividere il risultato per 10. Il quadrate piil vicino a 200 fe 196 = 142; si ha quindi:
(44.9)
^00^14 +
1
2 • 14
4 = 14 + | = 14.1428...
Percib ^2 s 1.41428 (il valore esatto di e 1.41421-.).
I conti fatti ddvrebbero aver dato un’idea dell'utilita delle derivata nella tabulazione
delle funzioni elementari. Torneremo nel paragrafo 81 in modo piu complete su questo
interessante aspetto- del calcolo differenziale.
Utilizzando fra Г altro il significato geometric© della derivata» studiamo
la continuity e la derivability, nel punto Xq = 0, della funzione ^(x) (n « 0,
1, 2) definita su R dalia formula
(44.10) f„ (0) = 0, fn (x) = xn sen i se x * 0.
Per n = 1. 2» fn(x) ё definita rispettivamente da
(44.11) fi(x) = J
0	re x =* 0
x sen — re x * 0
x
se x ~ 0
se x * 0
mentre per n - 0 si ottiene la funzione
(44.12)
f0(x) “
0
1
sen -
x
se x = 0
se x.* 0
che non & continua nel punto Xq ~ 0, ma presenta una discontinuity di seconda specie (infatti
come risulta dalia (32.5), non esiste il lumte per x —> 0 di fo(x)); inoltre fg, non essendo
continua in Xq = 0, non ё.пеалсЬе derivabile iu tale punto.
La funzione f|(x), prodotto del fattore infinitesimo x per it fattore limitato sen(l/x),
converge a zero per x -> 0; essendo f^O) = 0, la funzione 6 continua (anche) in x0 ® 0; perb
Derivate 135
non risulta derivabile in tale punto perchd non esiste il limite (si veda la (32.5)) del rapporto
incrementale:
(44.13)
E,(h)-f,(O)	i
lim------:------» hm sen - .
h—h	h“M)	n
La funzione f2(x) e derivabile (e quindi anche continua) anche per Xq = 0 e la derivata
vale 1*2(0) = 0; infatti:
(44.14)
fi(h)-f2(0) v u 1
f3(0) = lim---------------= hm li sen — = 0.
h-*> b	Ir-H)	b
h
1 risultati trovati sono riassunti nella seguente tabella:
funzione	continua in Xq = 0	derivabile in Xq = 0
*d(x)	no	no
ft(x)	81	ЛО
M*)	sl	sl
Nelle figure 53. 5.6. sono rappresentati i grafici delle funzioni e f2 eseguiti al computer, la
continuity di fj, f2 n®i punto Xq « 0 corrisponde a grafici "vicini” alForigine delle coordinate
quando 1’asassa x ё “vicina" ad Xq = 0 (si noli che tale propriety non ё verificata per il
grafico della funzione f<> in figura 43).
Figura 53 — у - f((x)
136 Capitolo 5
Figura 5.6 — у — f, (x)
Invece la derivabiliti di fj e la non derivabilita di fj corrispondono al fatto che il grafico
di f2 in figura 5.6 ammette retta tangents anche nel punto xq = 0 (dato che fz(O) = ОДО) == 0,
Pequaziohe (44.3) della retta tangente ё: у = 0) mentre U grafico di in figure 5.5 non ba
retta tangente nell’origine degli assi (le rette у = x, у — — x, con coefficienti angolari + 1 e -1.
danno un’idea dell’oscillazione della retta tangente in un generico punto (x. 1г(х))г con x
“si awidna” a xq = 0). Tali propriety sono evideuziate in figura 5.71 dove sono rappresentati
in un intorno di xo = 0 i grafici delle funzioni fi, con particolare enfasi alle limitazioni:
Figura 5.7
Derivate 137
(44.15)
- |x| £ ft(x) < |x|.
Vx g R;
(44.16)
- x2 < f2(x) £ X3
Vx e R.
Appendice al capitolo 5
45.	Le funzioni trigonometriche inverse
Le funzioni trigonometriche sen x, cos x, tg x, non sono monotone su
tutto R e non esistonO le loro funzioni inverse su R. Perd possiamo restrin-
gere ad un intervallo limitato I’insieme in cui prendere in considerazione
tali funzioni, in modo che risultino monotdne nell’insieme considerate.
Cominciamo con la funzione sen x. E una funzione strettamente cre-
scente nelFintervallo [— л/2, л/2]. Consideriamo quindi f(x) - sen x, con
f: [- jc/2, я/2} —> [— 1, 1]. La funzione f e continua e quindi assume tutti i
valori compresi tra il suo minimo - 1) ed il massimo (~ 1). Essendo stret-
tamente monotdna, ё anche invertibile. Pertanto esiste la funzione inverse
fl; [-1,1] -» [— n/2, n/2], che viene indicata con f"l(x) = arcsen x (arcoseno
di x). Il nome deriva dal fatto che, se у = arcsen x, viiol dire che у ё uguale
alia misura dell’arco, о angolo, il cui seno ё x (sen у = x). Il grafico
dell’arcoseno si ottiene immediatamente dal grafico della funzione seno,
come nella figura 5.8.
Figura 5.8
La funzione arcoseno ё quindi definita nell’intervallo chiuso [- 1, 1].
Dal teorema di derivazione delle funzioni inverse si ottiene che la funzione
arcsen x ё derivabile nelFintervallo aperto (~ 1, 1), e la derivata vale:
138 Capitolo 5
111
D arcsen x = —-=-----= ,
D sen у cos у _ Sen2 y
(45.1)
________________________1______ 1
- sen2 (arcsen x) ^1 - x2
sono state utilizzate le relazioni
(45.2)	cos у - т/l - sen2 у ,	sen( arcsen x) — x,
la prima delle quali vale perche cos у > 0 per ogni у e (— л/2, л/2).
La funzione arcsen x non ё derivabile per x ® ± 1, dato che cos у ®
D sen у si annulla per i corrispondenti valori у - - arcsen (±1) = ±n/2.
Graficamente, cid corrisponde al fatto che la funzione arcsen x ha retta
tangente verticals se x = ±1.
Passiamo alia funzione f(x) = cos x. Risulta che f:[0, я] -> [— 1, 1] ё
continua e strettamente decrescente; quindi ё invertibile in tale intervallo.
La funzione inversa f"1: [— 1, 1] —> [0, я] viene indicata con f"l(x) = arccos x
(arcocoseno di x). П grafico si ottiene dal grafico della funzione coseno,
come m figura 5.9.
La funzione у s arccos x ё definita neirintervallo chiuso [- 13 1]. fe
derivabile nell’intervallo aperto (— 1» 1) в la derivata vale:
Derivate 139	140 Capitolo 5
_ 1 1 "1
D arccos x = ----------=-----------	_ — -=
D cos у - sen у _ cos2 y
(45.3)
___________- 1_________ - 1
•\/l - cos2 (arccos x) ^T- x2
D arctg x - —--------=--------—
D tg у 1/ cos2 у
(45.5)
(cos2 у + sen2 y)/ cos2 у 1 + tg2 у
La piu usata funzione trigonometrica inversa e quella relativa alia tan-
gente. La funzione f(x) - tg x ё continua e strettamente crescente nell’inter-
vallo aperto (- я/2, л/2). Ё quindi invertibile in tale intervallo. La funzione
inversa Г1: R —» (- л/2, л/2) viene indicata con Г1(х) = arctg x (arcotangente
di x) ed ha il grafico come in figura 5.10.
1 1
1 + tg2 (arctg x) 1 + x2
Riassumiamo nella tabella seguente i valori trovati per le derivate:
f(x)	f(x)
arcsen x	1 л/1 - x2
arccos x	- 1 - x2
arctg x	1 1 + X2
La funzione у = arctg x ё definita per ogni x reale. Per i limiti all’infinito
si ha:
(45.4)	lim arctg x = — ; lim arctg x - - — .
x—>+«>	£	x—>-«	2
E una funzione derivabile per ogni x e R e la derivata vale:
CAPITOLO б
142 Capitolo 6
APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI
46. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat
In questo capitolo affrontiamo tra I’altro lo studio del grafico di una
funzione. Conundamo col definire i punti di massimo ed i punti di minimo
relative.
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b]. Diremo che un
punto Xq 6 [a, b] ё di massimo (relative) per f, nell’intervallo [a, b], se il
valore f(xo) ё pin grande dei valori f(x), con x e [a, b] vicino ad piu
precisamente, se esiste un numero <5 > 0 tale che
(46Д)	ffo) £ f(x)> Vx e [a, b]: |x - xj < 6.
Si noti che non si richiede che la (46.1) valga per ogni x e [a, b], ma solo
per x vicino ad x©. Nella figura 6.1, x2 e X4 sono punti di massimo; anche il
punto x = а ё un punto di massimo relative.
Il pit! grande dei valori f(x) per x e [a, b], si chiama massimo ossoluio di
f nell’intervallo [a, b]. In figura 6.1 il massiino assoluto ё assunto per x — x2
e vale f(x2).
Analogamente, xq e un punto di minimo (relativo) per la funzione f,
nell’intervallo [a, b], se esiste 6 > 0 per cui
(46.2)	f(xG) S f(x), Vx 6 [a, b]: [x - x0 I < 3.
Nella figura 6.1, xA, x3, b sono punti di minimo.
Dalla figura 6.1 notiamo anche il fatto seguente: se si disegna la retta tangente al grafico
della funzione in ciascuno dei punti x, , x2 , x3 ,	, punti di massimo о di minimo inierni
aJl’uitervallo [a, b] (un punto xq e [a, bj fe in tern о all’intervallo se Xq e (a, b), ciofe se xq g (a,
bl e xo a, x0 * b), tale retta risulta orizzontale. Questa propriety vale in tutti i punti di
massimo e di minimo intern! all’intervallo di definizione. Non vale perb (necessariamente)
nei punti agli estremi deH’intervallo, dove il grafico della funzione pub avers La retta tan-
gente non orizzontale.
Una retta ё orizzontale se e solo se ha equazione у — costante. Si ricordi 1’equazione
(44.3) della retta tangente al grafico di una funzione f(x) per x = Xd; tale retta tangente fe
orizzontale se e solo se f (xq) — 0. Dimostriamo nel teorema seguente la propriety in gene-
rate.
TEOREMA DI FERMAT. — Sia f una funzione definita in [a, b] e sia Xq un
punto di massimo о di minimo relativo interna ad [a, b]. Se f ё derivabile in x0,
risulta f (x0) — 0.
Dimostrazione: consideriamo il caso in cui x© sia un punto di massimo (relativo): signi-
fies che esiste b > 0 per cui
Figura 6.1
(46.4)
e. al limite per h —> 0*“
(46.5)
(46.3)
f(xu) £ Г( xh + h).
Stu.diamo separatamente i casi h > 0 e h < 0: dalla (46.3) si ottiene:
f(*u + h) - f(x(>)
h
se. 0 < h < b
ле — 6 < h < 0
Г(хп)= lim [Цх© + h) - f(xH)]/h < 0 ;
h“> 114-
F(x„) = lim [Г(х„ + h) - a 0 .
||—> 1Г
V h: |h| < b.
Ne segue che f(x0) = 0.
Nella dimostrazione precedente Pipotesi che x© sia un punto intemo
all’intervallo [a, b] ё essenziale. Cid ha consentito di poter considerare
increment! h sia positivi che negativi.
Applicazioni delle deriwre. Studio di funzioni 143
Se invece х0 ё un punto non intemo dell’intervallo [a, b], se ad esempio
x0 = a, ailora x0 + h = a + h, con 0 < h < 8, rimane in [a, b], mentre Xq + h =
a + h non e un punto di [a, b] se h < 0. Pertanto in (46.5) ё possibile
considerare solamente il Iimite per h —» 0+ (e non il Iimite per li -> O’)
giungendo alia conclusione che
(46.6)
f(x0) = f'(a) < 0
nell’ipotesi che Xq = a sia un punto di massimo relative per f(x) in [a, b],
Analogamente, se Xq = b risulta xn + h = b+ he [a, b) soltanto se h ё
negative (~ 8 < h < 0) ed in tai caso, procedendo come nella (46.5),
calcolando il Iimite per h -> 0" si ottiene
(46.7)
f(x0) = f(b) 0 ,
sempre nell’ipotesi che xq = b sia un punto di massimo relative per f(x) in
[a, b).
In ogni caso risulta
(46.8)
f'(*o) * (x - x0) < 0 ,
V x e [a, b];
infatti, se x0 = a, ailora x-Xq = x — a>0 per ogni x 6 (a, b] e quindi la
(46,8) si riduce a f'(Xo) £ 0 come in (46.6). Mentre se x0 = b ailora x - Xq = x
- b < 0 per ogni x e [a, b) e quindi la (46.8) diventa Г(хд) > 0 come in
(46.7). Infine, se Xq ё intemo ad [a, b], la differenza x — Xq cambia segno in
dipendenza da x e la (46.8) ё quindi equivalente alia condizione Г(х0) — 0,
come nell’enunciato del teorema di Fermat
Come gi£ detto la (46.8) vale nell’ipotesi che Xq sia un punto di massimo
relative per f(x) nell’intervallo [a, b], indipendentemente dall’assumere che
x0 sia intemo ad [a, b]. Naturalmente, se x0 ё un punto di minimo relative
per f(x) in [a, b], ailora nella (46.8) cambia il segno di minore о uguale con
quello di maggiore о uguale. Vale quindi la seguente
PROPOSIZIQNE. •— Sia f(x) una funzione definita in [a, b] e derivabile in un
punto Xq e [a. b]. Se x0 e un punto di massimo relative per f(x) in [a, b] ailora
(46.9)
f'(Xn) • (X - x„ ) < 0 ,
V x e [a, b];
se Xo i un punto di minimo relative per f(x) in [a, b] risulta
(46.10)
Их») • (i - ^) г о,
V к e [а, Ъ].
144 Capitolo б
47.1 teoremi di Rolle e di Lagrange
TEOREMA DI ROLLE. — Sia f(x) una funzione continua in [a, b] e derivabile
in (a, b). Se Да) =, f(b), esiste un punto Xq e (a, b) per cui Г(х<)) = 0.
Dimostrazione: indichiamo con X| e хз due punti, rispettivamente di minimo e di mas-
simo assoluto per f nell’intervallo [a, b}; ciofe
(47.1)
f(x,) < f(x) < f(x,),
V x e [a. b].
Tali punti di massimo e di minimo assoluto per f esistono, in base al teorema di
Weierstrass (paragrafi 35 e 37).
Se almeno uno dei due punti X|, xj ё interna airintervallo [a, b], in corrispondenza la
derivata si annulla (per H teorema di Fermat).
Rimane da esaminare П caso in cui entrambi i punti Xi, Хз non sono intends diciamo X| =
a, x2 = b. La (47.1) diventa f(a) < f(x) £ f(b). per ogni x nell’intervallo [a, b]. Dato che pey
ipotesi f(a) = f(b). risulta f(x) a f(a) per ogni x e [a, b]; quindi f 6 costante e la sua derivata c
ovunque zero. Il teorema ё dimostrato anche in questo caso.
Geometricamente il teorema di Rolle afferma che, per una funzione f(x)
continua in [a, b]».derivabile in (a, b), con f(a) = f(b), esiste in (a, b) un punto
Xo in cui la retta tangente ё orizzontale (figura 6.2).
Nel teorema seguente (di Lagrange) si considera una situazione piu
generale, in cui non necessariamente f(a) = f(b). Il teorema di Lagrange
geometricamente afferma che, per una funzione f(x) continua in [a, b] e
derivabile in (a, b), esiste un punto Xo e (a, b) in cui la retta tangente e
parallela alia corda congiungente gli estremi del grafico (figura 63). Si
Appiicazioni delle derivate. Studio di funzioni 145
tenga presente che Ц coefficiente angolare della retta tangente in x0 ё f (хД
mentre il coefficiente angolare della corda ё (f(b) - f(a)j/(b •* a).
TEOREMA DI LAGRANGE. — Sia f(x) una funzione continua in [a, b] e
derivabile in (a, b). Esiste un punto Xq e (a, b) per cui
| (47.2)
t> — a
Dimostrazione: ci si riconduce al teorema precedente рот mezzo della Funzione
(47.3)
g(x) = f(x) -
f(a) + !^.(K_a)l.
b - a	I
Si noli che g(x) & ottenuta sottraendp da f(x) I’espressione delta retta congiungente gli
estremi del grafico. Ponendo successivamente x = a, x - b. si verifica che g(a) - g(b) = 0.
Inoltre g e derivabile in (a, b) e risulta
(47.4)
,, .	, f(b) - f(a)
g*(x) = F(x)---------------< ,
о — a
V x,e (a, b).
Per il teorerpa di Rolle, esiste quindi xjj € (a, b) per cui g'(xo) ~ 0. Bonen do nella
relazione precedente gX^o) = si ottiene la tesi (47.2).
Le ipotesi sulla funzione f(x) (continua in [a, b] e derivabile in (a, b)),
comuni ai teoremi di Rolle e di Lagrange, certamente sussistono se suppo-
niamo direttamente che f(x) sia derivabile in tutto I’intervallo [a, b], estremi
indusi; infatti in tai caso f(x) sarebbe automaticamente continua in [a, b] e
ovviamente, derivabile in (a, b).
La continuity di f(x) agli estremi dell’intervallo e co munque un’ipotesi
indispensabile; ad esempio, la funzione (il cui grafico ё rappresentato in
figura 440)
(47-5)
{x	se
0	se
x e [0, 1)
X = 1
ё derivabile in (a, b) — (0, 1), ё continua. (a destra) per x — 0 (ma* non e
continua per x - 1), soddisfa 1’ipotesi del teorema di Rolle f(Q) = f(l), ma
non soddisfa la tesi del teorema di Rolle, perche la derivata ё costante-
mente uguale ad 1 in (0, 1).
146 Capitolo 6
48.	Funzioni crescenti e decrescent
Una conseguenza del teorema di Lagrange ё il seguente criterio di
monotonia, fondamentale per studiare il grafico di una funzione. Ricor-
diamo che la definizione di funzione monotdna (ad esempio crescente) ё
stata data nel paragrafo 7.
CRITERIO DI MONOTONIA. — Sia t una funzione continua in [a, b] e
derivabile in (a, b). Allora.
(48.1)	f(x) SO, V x e (a, b) <=> f e crescente in [a, b];
(48.2)	f(x) SO, V x e (a, b) <=* f e decrescente m [a,b].
Dimostrazione: proviamo la (48J); la (48.2) si ottiene in modo analogo.
Nell'implicazione =>, supponendo Г(х) s 0 per ogni x e (a, b), occorre dimostrare che, se
a < Xj < xj < b, allora f(X|) <Jf(x2). Scriviamo la tesi del teorema di Lagrange nell‘intervallo
[xb xj]: esiste xD e (xh x2) per ctil
(48.3)	f(X1) - f(x,) = rW (x2 - xj:
dato che f (xq) й 0 e dato che x2 > xb risulta anche f(x2) a f(xp)«
Viceversa, se la funzione f ё crescente in [a, b], per ogni x g (a, b) e h > 0 tale che x + h e
(a, b) risulta ffx + h) > f(x) e quindi
(48.4)	S-X * h> ~ г о
h
(ii lettore noti che la (48.4) vale anche per h < 0); al limite per h —> 0* si trova la tesi f'(x) > 0.
Consideriamo alcuni esempi di applicazione del criterio precedente. La funzione ex ё
(strettamente) crescente su tutto R, perchd la derivata D e* = e ё positive. La funzione log x
e crescente per x > 0, perche la sua derivata D log x а» 1/x ё positiva. Cosl pure la funzione
arctg хё crescente su tutto R, perchd D(arctg x) « V(1 + x,j > 0.
La funzione x2 ha derivata uguale a 2x, che ё positiva per x > 0, negative per X < 0;
quindi la funzione x2 ё decrescente per x < 0 e crescente per x > 0;.x = 0 ё percib un punto di
minimo.
La funzione f(x) * x3 - 3x ha come derivata f « 3(x2 - 1), che si annulla per x = ± 1, ё
positiva alFestemo dell’intervallo [- 1, 1], ed ё negativa all’interno. Quindi la funzione f e
crescente per x> 1 e x< -1, ed e decrescente per - 1 < x < 1. П punto x = — 1 ё di massimo
relative, mentre il punto x = 1 e di minimo. Queste sole considerazioni, unitamente ad alcuni
valori della funzione (per x = 0, x=± 1, x « ± л/З) facilmente calcolabili, pennettono di
disegnare il grafico della funzione f(x) = x3 - 3x come in figura 6.4.
In generaie, si tenga conto che il segno della derivata prima costituisce una delle
principal! infonnazioni per disegnare ii grafico di una funzione.
Application! delle derivace. Studio di funzioni 147
Figura 6.4
Conseguenza del criterio di monotonia ё la
CARATTERIZZAZIONE DELLE FUNZIONI COSTANTI IN UN
INTERVALLO. — Una funzione e costante in un intervallo [a, b] se e solo se ё
derivabile in [a, b] e la derivata ё ovunque nulla.
Dimostrazione: come in (403) si prova che la derivata di una funzione costante in [a, b]
e nulla per ogni x € [a. b].
Viceversa, se f(x) 4 derivabile in [a, b] e F(x) = 0 per ogni x e [a, b], per i criteri di
monotonia (48.1), (48.2), f(x) fe contemporaneamente crescente e decrescente in [a, bj; percid,
per ogni x e (a. b] (essendo x > a) risulta allo stesso tempo Г(х) > f(a) e f(x) £ f(a); cioe f(x) ё
identicamente uguale ad. f(a).
Combinando il criterio di monotonia e il teorema di caratterizzazione
delle funzioni costanti in un intervallo si grange facilmente al seguente:
CRITERIO DI STRETTA MONOTONIA- — Sia f una funzione continua in
[a, b] e derivabile in (a, b). Allora
(48.5)
f (x) > 0, Vx e (a, b);
Г non si annulla identicamente in
alcun intervallo contenuto in (a,b)
f(x) £ 0, Vx g (a, b);
f non si annulla identicamente in
alcun intervallo contenuto in (a,b)
f ё strettamente crescente in
[a. b};
f ё strettamente decrescente
in [a, b].
148 Capitolo 6
Dimostrazione: proviamo 1’implicazione =? in (48.5); essendo Г(х) 0 per ogni x € (a, ),
per il criterio di monotonia (48.1) f(x) 4 crescente in [a, b]. Se non fosse strettamente
crescente, esisterebbero Xj, x2 e (a, b) con X] < Xo tali che f(xi) » f(xz)’ ma ato c ®
f(xi) Sf(x) £ f(xj) se X] < x < хэ, f(x) sarebhe costante nell’intervallo [X|, xj e f (x) = per.ognt
x € [x|, Xo], contrariamente aH'ipotesL	. _	,
Proviamo ora Timplicazione e= in (48.5); dato che f 4 (strettamente) crescente in ]a, Ь
per il criterio di monotonia (48.1) Г(х) S 0 per ogni x t (a, b); inoltre Г(^) non puo annu arsi
identicamente in un intervallo (xi, x^] C (a, b) perchd altrimenti in tale intervallo (x) sare e
costante, contrariamente all'ipotesi di streets monutonia.
4 strettamente crescente su R, perche:
X| < Xi;
(48.7)
f(Kl) < f(X2)
la derivata f*(x) = 3x2 4 positive su R - (0), ma si annulla per x - 0-
49.	Funzioni canvesse e concave
Introduciamo una nuova definizione utile per studiare il grafico di una
funzione.
Si dice che una funzione ё convessa in un intervallo [a, b], se per ogni
punto Xq g [a, b] il grafico. della funzione in [a, b] ё al di sopra della retta
tangente al grafico della funzione nel punto di coordinate (xo, f(xo))- Analoga-
Applicazloni de tie derivate. Studio di funzioni 149
mente si dice che it ла funzione & concava in [a, b] se per ogni punto Xq e [a, b]
il grafico della funzione ё, nelFintervallo [a. b], al di sotto della retta tangente
in (xb. f(xo)).
Ad esempio, uella figura 6.6 la funzione f(x) ё convessa in [a, b], ed e
concava in [b, с]. 11 punto b ё un punto di flesso, сюё un punto in ciii
cambia la concavity.
Possiamo ripetete le definizioni in modo piti precise utilizzando Pe-
spressione analitica dell’equazione della rerta tangente. Supponiamo che f
sia una funzione derivabile nelFmtervallb [a, b]; diamo le seguenti defini-
zibni:
(49-1)
f convessa in [a, b]
f(x) г f(x0) + Г(Х„) (X -- Xq),
V X, Xq e
[a; b]:
(49.2)
f concava in [a, b]
f(x) < f(x„) + r(XQ) (x - Xq),
V x, Xq e [a, b].
Se, come in figura 6.6, una funzione f(x) ё convessa in [a, b] e concava
in [b, c] (a < b < c), si dice che il punto b ё di flesso per la fiinzione f(x).
Naturalmente b e di fiesso anche se la funzione f(x) ё concaVa in [a, b] e
convessa in [b, с].
CRITERIO DI CONVESSTTA. — Supponiamo che f(x) ла Una funzione
derivabile in [a, b] e che ammeaa derivata seconda in (a, b); le seguenti.
condiziOni sono fra loro equivalenti
ИО Capitolo 6
(a)	f(x) ё convessa in [a, b];
(b)	f(x) ё crescente in [a, b];
(c)	f*(x) > 0 per ogni x e (a, b).
Osserviamo subito che un analogo criterio vdle per le funzioni concave; in particolare
una funzione f(x) derivabile due volte ё concava in [a, b] se e soltanto se f(x)SO per ogni
x e (a, b).
Il criterio di monotonia (48.1) applicato alia derivata prima f*(x) stabilises che f*(x) S 0
per ogni x e (a, b) se e solo se F(x) ё crescente in [a. b]: pertanto le condizioni (b) e (c) sono fra
loro equivalent!. La dimostrazione del criterio di convessitS sara completa provando che (а) ё
equivalente a (b),
Dimostrazione che (a) => (b): allo scopo di provare die f(x) ё crescente in [a. b],
consideriamo X|. x2 в [a. b], con x, < x2: ponendoconsecutivamente Xq uguale a X|. oppure a
x2. nella definizione dt convessith (49.1). st ha
(49.3)	f(x) a f(xt) + r(Xj) (x - xtX	V	x e [a, b]:
(49.4),	f(x) > f(x2) + Г(х2) (x - x2)»	V	x a (a, bj.
In ^493),	(49.4) x ё	un punto generico di [a. b]: scegliendo	x = x2	in. (49.3)	e x = X| in
(49.4). sommando membro a membro e semplificando si ottiene
(49.5)	0 > Г(Х|) (x, - X|) + F(x,) (x| - x2).
ciofe
(49.6)	[f(xj - f(x,)] - (x2 - x,) > 0.
Essendo x2 > Xj ne segue che Г(х3) S Г(* * * * * * * * * х|)-
Dimostrazione che (b) => (a): fissati x. xo e (a. b], con x & хц. per il teorema di Lagrange
esiste X| neirintervallo di estremi x^, x, per cui
(49.7)	f(x) - f(xo) = F(xt)  (x - xn).
Distinguiamo j cast x > x() e x < хц. Se x > xu, essendo x( s (xo, x) (cioe, in particolare, X| >
xo). per la monotonia di F(x) risulta F(X|) S Г(хц) che. insieme alia (49.7). dh luogo alia
conclusione:
(49.8)	f(x) - РСхц} 2* Г(Хп) - (x - x«).
Se x < xq si procede in modo analogo, osservando che x । e (x, x(|) e minore di Хц e quindi f'(x।) <
F(xi}); anche in questo caso si ottiene.la conclusione (49.8) perchd, di nuovo.
Iх — xj F(Xn) (x — x0). dato che (x — x(}) < 0.
Applicazioni delle derivate. Studio di funziotu 151
Riprendiamo gli esempi introdotti nel paragrafo precedents La funzione e* e convessa su
tutto R, dato che la sua derivata seconds (= ex) ё positiva. La funzione log x ё concava per x > 0,
ретсЬё la sua derivata seconds - 1/x2) e negativa. Il lettore pud verificare che la funzione
arctg x ё convessa per x < 0, ed ё concava per x > 0; il punto x = 0 ё di flesso per la funzioue
arctg x. La funzione x2 e convessa su tutto R.
La funzione f(x) = x3 - Зх, considerate in precedenza, ha come derivate successive: f =
3x2 - 3, f* - 6x. Quindi f(x) ё convessa per x > 0 ed ё concava per x< 0, Si confront! con Я
grafico in figura 6,4.
Figura 6.7
Le propriety stabilite in questi ultirrn due paragrafi ci consentono di motivare il grafico
delle funzioni trigonometriche sen x, cos x. Consideriamo ad esempio la funzione f(x) = sen x,
limitatamente all’intervallo [0,2л: j. Calcoliamo il segno delle derivate f = cos x, f" = - sen x:
X f(x) = sen x	_ n 0 < x < - 2	Jt — < x < л 2	3 л < x < z л 2	3 - л < x < 2л 2
segno di f		4*		
segno di f	+	—	—	
segno di f*	—		4й	+
In corrispondenza abbiamo le infonnazioni: di monotonia e di concavity per f:
152 - Capitolo б
X f(x) = sen x	- Я 0<x<2	— < ЗС < л 2	3 Л < X < - Jt 2	3 - л < x < 2л 2
segno di f	positive		negative	
monotonia di f	crescente	decrescente		crescente
concavity di f	concava		convessa	
Queste informaziorii, insieme ad alcuni valori facilmente calcolabili di sen x< indicano
come disegnare il grafico ben noto della figura 6,7.
In particolare ilpunto x = л/2 ё di massimo Ji punto x = л e di flesso, il punto x = (3/2)я & di
tninimo. In modo analog©, il lettore pub studiare il grafico della funzione cos x per x e [0,2л].
Chiudiamo il paragrafo anticipando tin criterio basato sul segno della
derivata seconda e studiato in condizioni piti general! alia fine del paragrafo
52, per stabilire se un punto x0 e di massimo о di minimo relative per una
funzione ffx) derivabile due volte in un intorno di x0.
COnsideriamo il caso in cui
(49.9)	f'(xo) = 0,	f'(x0) > 0,
supponendo che la derivata seconda sia continua in xa. Per il teorema della
permanenza del segno (paragrafo 35), f*(x) ё positiva in un intorno di
x0 , (xo — Xq + 5) i con 6 > 0; quindi f ё convessa in tale intorno. Te-
nendo preSente che F(xq) = 0, risulta
(49.10)	f(x) > f(x0) + ГСкоХх - xq) f(xo), Vx € [Xtf - d, x0 + SJ;
percid x<j e un punto di tninimo relative per L
Il caso f"(xft) < 0 si tratta in modo analogo. Riassumendd, abbiamo
diinostrato il seguente criterio, valido per una funzione che ammette deri-
vata SCcOnda (continua):
(49.11)	f^(Xtf) - 0> f"(xo) > 0 => x0 punto di minimo relative;
(49.12)	^(xq) - 0# 1"(х0) < 0 =* Xq punto di massimo relative.
50.	Il teorema di L’Hopital
Stand f(x)j g(x) due funzioni che tendono a zero per x —> Xq. Abbiamo
gia visto net paragrafo 20 che il rapporto f(x)/g(x) e una forma indetermi-
nata per x —> Xq. Cio£, in genere non e possibile dedurre immediatamente il
Applicazionl delle derivate. Studio di funzioni 153
154 Capitolo 6
risultato dei limite del rapporto ma occorre preliminarmente trasfonuare il
rapporto in modo da togliere i’indetermmazione. Il teorema di L’Hopital
serve a questo scopo.
(ed anzi verifica le ipotesi che abbiamo assunto nel fare la dimostrazione). Si ha quindi;
(50.5)
r e* ~1 r eX 1
lim ---— = lun  --— = - *
к—sen 2x % jo 2 cos 2x 2
| TEOREMA DI L’HOPITAL. — Siano f, g fiinzioni derivabili in un intorno di
j Xq (con la eventuate eccezione di xq) tali che
г
j	lim f(x) *= 0,	lim g(x) = 0.
j j	*	*11	X'
V I
Se in uri intorno di Xo risulta g(x), g'(x) * 0 per ogni x # Xq, allora si ha
t
L
Un’altra situazione in cui sono verificate
seguente
le ipotesi assunte nella dimostrazione ё la
(50-2)
lim
«-» "i
Hm
g(x) w^'W’
ригсй^ esista il secondo limite.
i
i
i
J
I
(50.6)
x2 — 1
log X
2x
- lim —- = 2.
Consideriamo ora due limiti notevoli, analoghi ai limiti di successione (26.3), e che si
calcolano facilmente per mezzo del teorema di L’Hdpitel. Indichiamo con b un parametro
positive; per calcolare il limite (50.8) deriviamo successivamente n volte il numeratore x ,
fino ad ottenere una potenza xb”n con esponente b - n negative о nullo (cioe poniamo n = b,
se b e intero, n = [b] + 1 altrimenti):
Л teorema di L’Hopital vale anche per forme indeterminate del tipo
ciofe supponendo, al posto della (50.1), che f, g tendano all’infinito per
x Xo (anzi, basta che la sola g tenda all’infinito). Inoltre il teorema vale
per limiti destri e sinistri (x —> xf) e vale anche pei x —> +	oppure x -4
“ DQ
♦
(50.7)
(50.8)
La dimostrazione del teorema di L’H&pitai net Caso generale ё proposta nel paragrafo
53 in appendices in quests sede ei lim it (шло a prove re il teorema nel case particolare. ma
significative), in edi f, g sono derivabiH in X(j, con derivata continua, e g (xq) 0.
In cal caso, dato che I, g sono derivabili in Xq, esse sono anche continue in jqj e quindi.
per la (50.1), risulta f(xa) = g^) = 0. Si ottiene
b(b - l)...(b - n + 1) xb~°
eK
iim
lim
5—> Xd
f(x) - ffr»)
8(x) - g(X|>)
Il teorema di L’Hdpital ё utile anche per il calcolo del limite di una differenza f(x) - g(x)
che si presenta sotto la forma indeterminate — «, oppure per il calcolo del limite di un
prodotto che si presents sotto la forma indeterminata 0*«. Per il prodotto si peine fg = £/(l/g),
oppure fg ~ g/(l/f), per ricondursi rispettivamente ad una forma 0/0 oppure «/<». Ad
esempio, se b e un parametro positive, si ha:
(503)
= Hm
f(x) - f(x0)
g(x) - g(x<t)
fc- x(,
fW = .. rw
fi'UoJ *. &'(x)
(50.9)
.	log x
lim x log x = lim —3—
х-ю*	wo* *
,,	1/X r X6
= lim -------г? = lim — = 0.
x-w* -b x‘w	x—>0* _b
Consideriamo alcunt esempL Calcoliamo il limite
Per mezzo del teorema di L*H6pital si calcolano anche alcuni limiti che si presentano
sotto le forme indeterminate 0°, 1", «Л come negli esempi seguenti:
(50.4)
iim -----------
x->a	sen 2x
(50.10)
Si tratta di una forma indeterminate 0/0, che verifica le ipotesi del teorema di L’HGpita!
iim Xх - Lim etoe,tM = lim eMh*x«
ж—>0*	je**404'	xr-^04'
lOfl X	Ifr
Hm x log x lim	- Jim	——5
= e*^“*	= o’“»*	l/x = e’-**-'' * = e“ = 1.
Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni 155
-	♦ sen x)
lim (1 + sen x)’w = lim e*
(50.11)
lie, 108(1 * ”n X) 4m
= e*-”’	*	~ ея-и' 1	* = e = e
5L Studio del grafico di una funzione
I risultati ottenuti in questo capitolo ci permettono di studiare 1’anda-
mento di una funzione f(x) e di disegname il grafico. Si pud procedere
secondo lo schema seguente:
A.	— Si determina il dominio (o insieme di definizione) della funzione
f(x).
B.	— Si.esamina se la funzione gode diqualche simmetria; ad esempio
se f e una funzione pari: f(- x) = f(x), V x, oppure dispart: f(- x) = - f(x),
Vx, oppure periodica di periodo T: f(x + T) •» f(x)s Vx s R.
Quando ё semplice fario, si calcolano le intersezioni con gli assi ed il
segno della funzione.
C.	— Si determinano gli eventual! asintbti orizzontali о vertical!. Ricor-
diamo che gli asintoti orizzontali si trovano calcolando i limiti per x —>±
se tali limiti esistono e sono finiti. Cioe:
(51.1)	y = f asintoto orizzontale <==> lim f(x) = f e R.
Nel caso della definizione (51.1), si parla di asintoto orizzontale per x —>
+ si pud avere in modo analogo un asintoto orizzontale per x - =>*.
Gli asintoti verticali si trovano calcolando il Iimite per x —> x‘o (eventual-
mente x Xo\ oppure x —> Xq') quando il risultato del Iimite ё infinite:
(51.2)	x = Xq asintoto verticals <=> lim f(x) = ± «.
Xq
D.	— Si determinano gli intervaUi dove la funzione e crescente о decre-
scente, ed i punti di massimo о minimo relative, studiando il segno della
derivata prima.
Si calcolano i valori di f nei punti di massimo о minimo relative.
E.	— Si determinano gli intervaUi dove la funzione e convessa о con-
cava, e gli eventual! punti di flesso, studiando il segno della derivata se*
conda.
156 Capitolo б
Si calcolano i valori di f nei punti di flesso.
F.	— Si determinano gli eventual! asintoti obliqui. Un asintoto obliquo
per x -4 + fe una retta di equazione у = mx 4- q con la propriety
(513)	lim [f(x) — (mx + qj] - 0.
X—H-oo
Cid signified che, per x —> + «», il grafico della funzione fc vicino al grafico
della retta у = mx + q.
Suppoiiiamo che esista un asintoto oblique, clod suppouiamo che valga
la relazione (51.3), e ricaviamo i valori di m, q. Se f(x) - mx - q tende a
zero per x —> + <», a maggiore ragione dividendo I’eSpressione per x otte-
niamo una quantity che tende . a zero. Quindi
(51.4)	0 = lim f(x) ~ <mx + 4) = Um «« _ ni.
X	X—>+« X
Il Valore di q si ricava direttamente dalia (51.3). Riassumendo, i valori di m,
q sono dati da:
(51-5)	m = lim ; q - lim [f(x) - mx].
x—34*» X	x-4+*
Naturalmente consideration! analoghe valgono per x	Notiamo
anche che, se esiste un asintoto orizzontale у - f per x —> + «>, ailora ё
inutile ricercare un asintoto obliquo per x —> 4- <». Infatti, se f(x) —> f per
x —> + ©о, ailora f(x)/x —> 0, e quindi m = 0, q = f. Cioe si ritrova 1’asintoto di
equazione у = f.
Secondo lo schema proposto, studiamo la seguente funzione:
(51.6)	f(x) = x е1Лс .
A. — La funzione fc definita per ogni x * 0. Quindi il dominio di f ё {— «, 0) u (0, + »).
B.—La funzione non & definita per x = 0 e non si annulla per alcuri valore di x e R — {0);
percifr Я grafico di f(x) non inierseca gli assi cartesiani; f(x) risulta positiva per x > 0 e negative
Pcr x < 0 (dato che il fattore e1^ e positive per ogni x e R — [0)).
C.—Per determmare gli asintoti orizzontali e verticali si calcolanoj limiti agli estremi del
dominio. Nel nostro caso si calcolano i limiti di f(x) per x x -» 0 , x —* 0+, x -4 + Per
x	eUx e° = 1; quindi
(51.7)	lim x e,/x = ±
x—
Applicuzioni dette derivate. Studio di funzioni 157
percid non ci sono asintoti orizzoutaU. Per x ч 0" abbiamo un aliro limite immediate; infatti
in tai caso 1/x -+ - e quindi e  —> 0* Ne segue
(51.8)
lim x &y* = 0;
x—МГ
cid signifies che per x -» 0 non c’d un as'mtoto verticale. Per calcolare il limite per x -> 0+
usiamo il teorema di L’H&pital:
el/K
lim x е1й = lim —
s—> 0*	o* ***
(51.9)
eu* (- V x2 )	|;
= hm ------------— = hm e'* = + «*>
x—> 0*	If Xs	x—> <3*
quindi la retta vcrticale di equazione x = 0 fe un asintoto per x -ч 0\
97|08e20733H66.B
Figura 6.8
158 Capitolo 6
D.	La derivata prima vale
(51.10)
f(x) - el/* + x eWx f—51 = eu* fl — —
I rJ lx.
Per ogni x risulta e1Z* > 0. Quindi Ja derivata prima ё positiva se (1 - 1/x) > 0, ciofe se x > 1
oppure x < 0. La derivata prime & negativa se 0 < x < 1. Nc segue che la funzione e crescente
nel due intervalli (- «», 0) e (1, + «»), ed & decrescente nell’intervallo (0,1). Il punto x = 1 fc di
minimo relative»; in corrispondenza la funzione assume il valore f(l) — e.
E.	— La derivata seconda vale
(51.11)
La derivata seconda & positiva per x > 0, ed e negativa per x < 0. Quindi la funzione &
convessa per x > 0, ed ё concava per x < 0. Dato che f(x) non ё definita per x = 0, non ci sono
punti di flesso.
F.	— Poichd il limite (51.7) per x —> ± vale mfmito, occorre esaminare se esistono
asintoti obliqui. Calcoliamo, come in (65.5), i limiti
(51.12)
m = lim — » lim el/K = e° ~ 1;
X—>±—	X—>±—
q = lim (x eI/x - x) - lim x(ew" - 1) =
(51.13)
- lim	——— = lim —
1/X	-
= lim eJ/x = 1;
per calcolare q si fe usato il teorema di L’Hdpital. Si fe trovato che la retta di equazione у = x
+ l e un asintoto oblique per x —> ± °° per la funzione f(x).
Con gli elementi trovati (dominio della funzione, segno, asintoto verticale per x -> 0+,
limite note vole (51.8) per x —> 0“ intervalli di monotonia e di convessita, punto di minimo
relative in x - 1T asintoto obliquo) si esegue il disegno del grafico di f come in figura 6.8.
52. La formula di Taylor: prime propriety
Abbiamo gia introdotto nel paragrafo 44 un metodo per “approssi-
mare” una funzione derivabile con uri polinomio di primo grado. Abbiamo
Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni 159
infatti affermato che
(52.1)
f(x) = f(Xq) + f (Xp) (X - Xq)
(per x vicino ad x0),
dove con Я simboio = intendiamo che la differenza tra il primo ed il se-
condo membro, che indichiamo con RL(x) (resto di ordine 1), tende a zero
piii rapidamente di x — x0. Ciofc, riscrivendo la (44.5) con il resto Rb ab-
biamo:
(52-2)	f(x) = f(x0) + f(xQ) (X - Xq) + Rji(x),
(523)
x-*x„
R1(X)
X - Xq
Sapendo che una funzione e derivabile fino ad un ordine n > 1, ci si puo
domandare se sia possibile ottenere un miglior grado di approssimazione
rispetto al caso n = 1, cioe se sia possibile decomporre f(x) in un polinomio
di grado n ed un resto. R„(x) che tenda a zero piu rapidamente di (x - x0)n.
La formula di Taylor risponde affermativamente al quesito posto.
Prima di enunciare la formula di Taylor, introduciamo il simboio di
sommatoria, utile per scrivere in modo cdmpatto la somma di piit addendi.
Diamo alcuni esempi; in particolare, il simboio a prime membro della (52.4)
significa che si considera la somma di n addendi, con il tennine generico
uguale ad akl con rindice к che assume tutti i valori compresi tra к = 1 e к = n:
n
(52-4)	£ Эь = a! + a2 + аз + ... + a„ _! + a„ ,
fest
П
(52.5)	J (2k +1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1),
b=0
4
y. k! = 2! + 3! + 4! =
(52.6)	k=2
= l- 2 + l- 2- 3+ l- 2- 3- 4 = 32.
Nell’ultima sommatoria abbiamo usato il simboio kl introdotto in
(26.2), che si legge к faitoriale^ ed fc uguale al prodotto dei primi к numeri
naturali.
160 Capitolo 6
FORMULA DI TAYLOR. — Sia f(x) una funzione derivabile n volte in Xq.
Risulta
(52.7)
ад = Z
k=0
.. (x - Xo)k + R,(x),
KI
(52.8)
Iim
b!!L.o
r v
Nella formula (52.7), per k=0, st intende ~ f(xo), e 01 — 1. Quindi ad esempio,
se n jb. 2, si ottiene:
(52.9)
(52.10)
Пхо)
f(x) - f(x0) + Г(хр)(х - Xq) +	(:
.. • ад n
lim --------- - 0;
par □ — 1 si riottengono Ie (52.2)» (523). П lettore scriva esplicitamente la sommatoria per
altri valori di n.
Dimostriamo ora La formula di Taylor supponendo che la derivata f^n\x) sia
continua in Xq. П lettore interessato al caso generate, con f^n\x) non necessaria-
mente continua in Xq, pud consultare il paragrafo 77. Inoltre, avendo difficoltik a
considerare n generica, si cansiglia di rileggere il metodo proposto con n = 2.
Ricqvando Rn(x) dalla (52.7). occorre dimostrare che:
(52,11)
f(x)“[f(x1<) + r(xu)(x-x0) + ...4-f<t',(^)(x“Xa),l^‘]
hm-------------------------:“ о
(x-JQ,)*1
11 limite si presents sotto forma indeterminata 0/0. Utilizziamo il teorema di L’HOpital.
Notiamo esplicitamente che occorre derivare numerators a denominatore rispetto ad x;
quindi ad esempio la derivata di f(xo) vale zero, mentre la derivata di f*n\xo) (x ~ Xo)"/n! e
uguale a
(S2.|2)
nl
(n - 1)!
Quindi il limite nella (52.11) fe la stcsso di
(52.13)
Г(х) - [ад + .. *	- Xu)"4 /(n - 1)1]
hm--------------:-------------—71------------------
“>Л|	n(X ~~ Xq)
Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni 161
purch£ il secondo limite esista. Se n > i, abbiamo oltenuto una nuova forma Ml Dopo aver
applicate in lotale n volte il teorema di L'Hopital, abbiamo:
(5214)
f“(x) - (""(Xu)
lim-----------------------
x—)jc,(	nl
Quest'ultimo limite e zero, регсЬё f^(x) Ь continua in x». Percid la tesi (52.11) e
diniostrata.
Sviluppianjo secondo la formula di Taylor alcune funzioni elernentarf. Se f(x) f= ex,
risulta Гдх) “ ex per ogni n. Quindi, ponendo xq = 0, si ha r\o) = e = 1 per ogni n. Percid
otteniarno
(52.15)	e* = 1 + x +	+ ^ +
z ni
Analogamente, scegliendd xq - 0, si ottiene
log(l + x) = x -	~	-t- (- l)n+1 — + R^x);
2	3	П
(5216)
Figura 6.9
Allo scope di veriHcare graficamente i risultati otlcnutt, abbiamo riportato nella figura
6.9 i grafici dei polinomi di grado: prime, terzo, quinto,..., che si ricavano dallo sviluppo in
162 Capitolo 6
formula di Taylor per la funzione sen к. Tenendo conto della (52.17), abbiamo posto:
(52.19)	f,(x) = x; f3(x) = x -	;	f5(x) - x -	+
О	D JLZU
II disegno della figura 6.9 ё state eseguito con PausiHo di un computer. Si nota chiara-
men te che i polinomi fjk4-l(^ = 0,1,2,...) di Taylor hanno un grafico per x vicing a zero, tanto
pih simile al grafico della funzione sen x, quanto piu к b grande.
Per mezzo della formula di Taylor e possibile generalizzare il criterio
(49.11), (49.12) nel modo seguente:
Dimostrazione: una situazione generica neJlo schema sopra proposto & quell a in cui f(x)
e derivabile n volte in x<| per qualche n > 2, e risulta
(5220)	Г(х„) = Г(х,,) = ... -	= 0;	f^) * 0.
Consideriamo il caso in cui > 0 (la trattazione dei caso ^п>(хо) < 0 ё analoga). Per
I’annullarsi delle derivate, la formula di Taylor (52.7) diviene
^п>(х 1
(5221)	f(x) = f(x„) +------ (x - x„)" + R,,(x)
ПI
Application! delle derlvate. Studio di funzioni 163
e, per la (52.8):
Jim
x—» X,,
f(x) - f(x,,)
U - x«)"
(52.22)
R.,(x) J f-’W „
+----------- ----------> 0.
(x - *иГ] n!
Per il teorema della permanenza del segno, esiste 6 > 0 tale die
f(x) - Г(х„)
(5223)	—-------— > 0 ,	V x: 0 * |x - xn | < 6.
(x - x,J"
Se n ё pari il denominatore (x -* хц)п ё positive» per ogni x * Xo; percid risulta f(x) > f(xp)
per ogni x e (x« - 5. Xp + 5) - [хц| e quindi x« ё un punto di minimo relative per f(x).
Se Invece n e dispan. dato che iI denominatore della frazione (52.23) cambia segno per x
maggiore о minore di x(J. risulta che f(x) > f(xn), oppure f(x) < f(x0). rispettivamente per x >
Xu. oppure x < Xfr. Percid la funzione f(x) non ha ne massimo пё minimo in xo.
A titolo di esempio osserviamo che per la funzione f(x) = x risulta
(52.24)	f'(0) « Г(0) = f<3,(0) = 0,	f<4)(0) = 4! » 24
e pertanto, in base al criterio precedente, f(x) ammette minimo nel punto Xq = 0; la verifica
diretta di tale proprieta ё immediate: infatti f(x) = x4 £ 0 = f(0) per ogni x e R.
Invece, per la funzione g(x) = x3 si ha:
(52.25)	g-(O) = g*(0) = 0, gP,(0) = 3!,
per cui, in xq = 0, g(x) non assume massimo пё minimo. In realta ia funzione g(x), rappresen-
tata In figura 6.5, ha un flesso in xq = 0. Osserviamo che tale propriety vale In generale: se in
un punto la prima derivata non nulla e di ordine dispari (maggiore, od uguale a 3) ailora la
funzione presenta un flesso nel punto.
Appendice al capitolo 6
53. Il teorema di Cauchy. Л teorema di L’Hdpital nel caso generate
Allo scopo di dimostrare il teorema di L’Hdpital nel caso generale, e
utile il seguente
TEOREMA DI CAUCHY, — Siano f(x), g(x) due funzioni continue in [a, b] e
derivabili in (a, b). Se g'(x) * 0 per ogni x 6 (a, b), esiste un punto Xq e (a, b)
per cut
164 Capitolo б
(53;1)
= f(b) - f(а)
g'W - е(Ь) - g(a) ‘
Dimostrazione: si procede come per la prova del teorema di Lagrange (paragrafo 47).
utilizzando la funzione
(53.2)
h<x) = f(x> - f(a) + ;;" у (g(X) - boo)
L g(b) - g(a)
che & ben definita in [a, b] perche g(b) — g(a) 0 (infatti. se fosse g(a) = g(b). per il teorema di
Rolle esisterebbe un punto Xq e (a. b) per cui g'(xn) = 0. contrariamente all'ipotesi g'(x) 0 per
ogni x e (a; b)).
La funzione h(x) e continua in [a, b] e verifica le condition! h(a) = h(b) = 0; inoltre fe
derivabile in (a. b) e la derivata vale
(53.3)
Per il teorema di Rolle esiste x(> e (a, b) per cui h'(xo) = 0 die, essendo g' * 0. equivale
alia tesi (53.1).
Se nel teorema diCauchy (come pure uel teorema di Lagrange) si suppone anche che
f(a) = f(b). dalld tesi (53.1) si ottiene [’esistenza di un punto Xq e (a, b) per cui f (xq) = 0; ciofe
Si riottiene il teorema di Rolle, che a sub volt а ё alia base delle dimostrazioni proposte per i
teoremi di Lagrange e di Cauchy.
Per tan to, le foriiiulazioni dei teoremi di Rolle, Lagrange. Cauchy, sono da considerarsi
fra* loro equivalent!.
Siamo ora in grado di enunciate e dimdstrare П teorema di L’Hopital
(gia introdotto nel paragrafo 50) in ipotesi general!.
TEOREMA DI L’HOPITAL. — Siano f(x), g(x) due funzioni derivabili in
[a, b] — (x0J e tali che
(53.4)
lim f(x) = lim g(x) - 0.
x—Jjq,
Se g'(x) * 0 per ogni x e[at b] — (x0) e se esiste il Iimite
(53.5)
ailora esiste anche il Iimite per x —> x(l dal rapporto f(x)/g(x) e si ha
Applicazioni delie derivate, Studio di fituzioui 165
(53.6)
lim
X—
1'(x)	.. HO
—:— = 11П1	------- •
g(x) X-4X., g'W
Inoltre il teorema vale anche in oghuna delle. seguenti situazioni:
(53.7)	л considerano limiti destri (x —> x^*) о sinistri (x —> xo’);
(53.8)	in luogo delPipotesi (53.4) ri suppone che
limf(x) = limg(x) = 4-
*—*X||	X—>Xn
oppure - «> (anzi, sufficients che, per x —> x0, la sola funzione g(x)
diverga a +<*> о a - <»);
(53.9)	f(x), g(x) sono. derivabiii in intervalli illimitati e si cansidera il limite
per x —> -ь ©o, oppure per x —> -
Dimostrazione: utilizzando Pipotesi (53.4), estendiamo per continuity
f(x), 8(x) ne| punto con ii valore 0; poniamo cioe f(0) =• g(0) = 0 (con
abuse di notazione usiamo lo stesso simbolo per le funzioni f(x), g(x). a
priori definite soltanto in [a, b] - {хц), e per le loro estensioni continue in
tutto [a, oj). Cost definite f(x) e g(x) risiiltano continue negli jntervalli [a,
xj, [xn, b] (se a Xo * b) e derivabiii in (a, Xn), (xQf b).
Osservtamo prelim inannente die anche la Funzione g(x), okre che g'(x). non si antiulla
in [a, b] - (xo); infatti, se esistesse un puntp Xj s [a, b] - {x«) per cut g(x|) “ 0, per il teorema
di Rolle applicaio alia funzione g(x) nell’intpryallo di estremi Хц, xb esisierebbe un punto x2
€ [a, b] - (xo) per cui g'Uz) « 0.
Consideriamo una generica successione xn convergence ad x(j e tale che x„ s [a, b] - {x^,
Vn e N. Per il teorema di Cauchy a ppi tea to all’intervallo di estremi xt) e xn, per ogni n esiste un
punto x'n jnterno a tale intcrvallq per cui
(53 Ю)	fUnl = F(Xn) ~ f(Xtt) = Г(<)
fiW g(xn)-gW g'Cx'n)
Dato che x'n d, per pgni n g N, interne airintervallo dj estremi x<) e xn, la successione x'n
converge ad хд per n —» + <*>. Percid
(53.11)
lim
*«) F(x)
y. .. = hm -r-т :
„&«) x-^g(x)
Pultijno passaggio vale регсИё il limite (53.5) esiste per ipotesi.
Pertanto П limite a primo membro della (53.11) indipendente dalla panicolare succes-
sione xn —> X(j; per la caratterizzazioue dei limiti di funzioni mediants successioni (paragrafo
31), ne segue che esiste il limite di funzione a primo membro della seguente relazione conclu-
sive:
166 Capitolo 6
(53.12)
.. Г(Х) fW Г(х)
lim ——- = hm ——- = hm ——-
Dimostrazione del teorema di L'Hopital neU'ipotesi (53.7): si procede esattamentc come
nel caso sopra considerate. Ad esempio, per il limite destro x -»xj si suppone ovviamente che
x(J b e si prende in considerazione una gpnerica successione x(1 convergente ad X|h con xu e
(Xjj, b], Vn 6 N*
Dimostrazione del teorema di L'Hdpital neU'ipotesi (53.8): dimostriatno la tesi (53.6)
per il limite sinistro x —» (supponendo Хц > a). Dato che la dimostrazione per il caso X —>
xt* fe analoga, combinando i due risultati si ottiene la tesi per 11 limite complete x —> x<3.
Indichiamo con f il limite per x —* xjj del rapporto f(x)/gf(x), esistente per ipotesi.
Consideriamo, per fissare le Idee. J'e R (la dimostrazione net casi Г= + «» e t‘= - •» ё analoga);
per ogni e > 0 esiste > 0 (con a <	~ 6^) tale che
(53.13)
F(x)
g'(x)
< C + e.
V x e (xlt - S| . xH).
L'ipotesi g'(x) * 0 in [a, x<>) equivale (come si pub dimostrare) a supporre g'(x) di segno
costahte in Jale intervallo. diciamo g'(x) > 0 in [a. xn).
Dalla (53.13) segue allora
(53.14)
f'(x) - (f + e) g'(x) < 0. V x e (xa - 6b xt)).
De fin tamo nclfintcrvailo (x<j -	x«) le funzioni
(53.15)
hj(x) = f(x) - (]’ + e) g(x).
h2(x) « f(x) - (Г + 2e) g(x);
essendo g'(x) > 0, per I® (53.14) risulta h'|(x) < 0, h'2(x) < 0 in (xq — X(j); quindi h। (x), h?(x)
sono funzioni strettamente decrescenti in tale intervallo (ed in particolare ammetlono limite
per x x(j).
Per x —> xjj le due funzioni hj(x), h2(x) non possono convergere contemporaneamente a
limiti finlti, perchё la differenza hj(x) - h2(x) = eg(x) diverge alfinfinito. Supponiamo
quindi, ad esempio, che perx -* xjj hj(x) diverga; trattandosi di una funzione decrescente.
diverged a
6sister& quindi &i tale che Щ(х) < 0 per ogni x e (X|> - ciofc
(53.16)	f(x) - (Г + e) g(x) <0,	V x € (x(J - &2. Xo).
Dato che g'(x) > 0. g(x) diverge positivamente per x : percib esiste 63 > 0 tale che
g(x) > 0 per x e (X(j - 63. X(|). Posto 6 « min ЬзЬ ne segue infine
Applicazioni delie derivate. Studio di funzioni 167
(53.17)
f(x)
g(x)
V x e (xo - 6, xo).
In modo ana logo si ottiene la disuguagiianza f(x)/g(x)> Г— e; per la definizione di limite
il rapporto f(x)/g(x) ha quindi limite uguale ad C per x —> xjj .
Dimostrazione dei teorema di L'Hdpital nell’ipotesi (53.9): supponiamo che f(x), g(x)
siano derivabili nell’intervallo [a. + “»), con a > 0 e con g'(x) * 0 Per ogni x S a.
Definiamo neirintervallo (0, 1/a] le funzioni
(53.18)	f(t) « f(l/t), g(t) =₽ g(l/t). Vt g (0, 1/a]
(notiamo che, se t e (0, 1/a], allora x = l/t e [a, + “); quindi le espressioni f(l/t), g(l/t) sono
ben definite).
Risulta poi
lim T(t) - lim f(!/t) = lim f(x);
I—Ml*	wii*	x—>+-
(53.19)
lim g(t) = lim g(1/t) = lim g(x):
I—Ml*	l—Ml*	x >*
quindi, se f(x), g(x) sono infinitesime о infinite per x —> + allora T(t), g(t) sono rispettiva-
mente infinitesime о infinite per t 0+. Applicando il teorema di L’Hdpital al limite del
rapporto delle funzioni f(t), g(t) per t -» 0* (che ё un caso gift trattato) si ottiene
r ?(0 r F(t)
lim —— - hm ——- =
i—Mi* S(0 t—>o* £(0
(53.20)
pf(i/t) =	a i/р  (-v-ft =
Dg(i/o Д. g'(i/t)  (-1/ p)
= lim
I—Ml*
TO
g'(izt) ’
purche Г ultimo limite esista. Ma, con il cambto di variabile l/t = x, Tultimo limite & uguale a
(5321)
Г	lim f<X>
l—Ml* g(^0	x g(5t)
che esiste per ipotesi; pertanto Tuguaglianza dei limiti in (53.20) ё giustificata. Le (53.20),
(53.21) forniscono la conclusione:
(53.22)
Iim —- = Iim , - -
*—>+• g(^0 i—mi* g(i^f)
In. T(t) - li™ Г(Х)
= lim " - — Iitti —— .
I—ё(0 x—g (X)
CAPITOLO 7
FUNZIONI DI PIU VARIABUI
In questo capitolo diamo alcuni cenni di un argomento — quello delle
funzioni di piii variabili reaE — che in genere viene ripreso e approfondito
in un corso di Analisi Matematica di secondo anno.
54. Funzioni di due variabili: dominio; rappresentazione cartesiana
Indichiamo con R2 l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali
(54,1)
R2 = ((x, y): x e R, у g R).
Sia P un sottoinsieme di R2, Un’applicazione f che ad ogni elemento di D
fa corrispondere uno ed un solo elemento di R ё detta una funzione di due
variabili; come nel paragrafo 6, ё denotata con il simboio f:D R, oppure,
per mettere in evidenza il fatto che D c R2, con il simboio
(54.2)
z == f(x, y),
(x, y) e D,
oppure semplicemente con il simboio f(x, y).
L’insieme D si dice il dominio della funzione f, о anche V insieme di
definizione di f.
Per rappresentare graficamente una funzione di due variabiH z = f(x, y),
spesso si utilizza un riferimento cartesiano ortegonale, di assi x, y, z; si
considera un generico punto (x, y) g D nel piano di base x, у (figura 7.1) ed
il corrispondente punto (x, y, z) a quota z, con z = f(x, y) (figura 7.2),
Si ottiene cosi, nello spazio tridimensionale di coordinate (x, y, z), una
superficie, che ё detta grafico della funzione f(x, y),
Consideriamo alcuni esempi.
Cominciamo con la funzione
(54.3)
f(x, y) = x* - уг,
170 Capitolo 7
Figura 7.1
Figura 7.2
che ё definita per ogni (x, y) e R2. Si comprende il comportamento della funzione JDssando
una delle due variabili indipendenti x, y. Per у fissato si ottengone delle parabole convesse di
equazione z = x — costante (figura 73). mentre per x fissato si hanno delle parabole concave
di equazioue z - costante — у (figura 7.4).
Il grafico della funzione (543), eseguito al computer e rappresentato in figtira 73 Jimita-
tamente ai punti (x, y) del dominio a forma quadrate:
(54.4)	D = |(x, y)eR2:	- 1 £ у £ 1|;
tale grafico prende il nome di paraboloids iperbolico.
Funzioni di piii variabili reali 171
Figura 7.5 — f(x, y) = x1 - y2
Analogamente, scambiando il ruolo delle variabili x, yt si ottiene il grafico della funzione
(54.5)
f(x, У) = У2 - x2
Figura 7.6 — f(x, у) = у - x*
172 Capitolo 7
Figura 7.7
in figura 7.6, descritto da parabola concave di equazione z = costante — x2 se у ё fissato, e da.
parabole convesse di equazione z — y2 — costante, se x ё fissato.
La funzione
(54.6)	f(x, y) = yCx2 + x)
ha, per у > 0 fissato, il comportamento di una parabola convessa del tipo z xz + x, mentre se
у ё uyi numero negative fissato, il comportamento ё queDo di una parabola concava del tipo
z ~ - x2 - x (si veda la figura 7.7).
Inyece per x fissato la funzione (54.6) ha un comportamento lineare: si tratta di una retta
di equazione z — costante * y. Pertanto il grafico della funzione f(x, y), rappresentato in figura
7.8, ё unione di una famiglia di rette; per tale motivo si dice che il grafico ё una
rigata.
La funzione
(54.7)	f(x, y) = coe^x2 + y2)
fe definita per ogni (x, y) e R2; per comprenderne il grafico ё opportune pensar® f(x, y)
funzione composta nel mode seguente:
(54.8)	f(x, y) = cos t? , t2 =;riy2	(t - °)-
Nel piano x, у Г equazione x2 + y2 = t2, con t •> 0, rappresenta una circonferenza di centro
1’origme e raggio t, come in figura 7.9; in figure 7.10 ё invece rappresentata la funzione
t —> cos t2, per t 2 0.
La funzione f(x, y) in (54.7) c costante (сюё assume lo stesso valore) in tutti i punti della
circonferenza x2 + у = t2, con t fissato, ed il valore ё appunto uguale az- cos t2. П grafico di
f(x, y) si ottiene facendo ruotare intorno ali’asse z il profilo disegnato in figura 7.10; si
perviene alia supeificie rappresentata in figura 7.11. Si dice che f(x, y) in (54.7) ё invariants
per rotazioni.
Funzioni di piu variabili reuli 173
о
Figura 7,8 — f(x, y) = y(x + x)
Invece in figura 7,12 b rappresentato il grafico della funzione di due variabili
Figura 7.9
Figura 7,10
174 Capitolo 7
Figura-7Л1 — f(x, y) = cos(x2 + yz)
(54.9)	f(xt y) = sen xy,
che e costante sulle iperboli del piano x, у di equazione x - у = t, con t fissato in R.
Come la funzione (54.7), anche
(54.10)	f(xt y) = log(x2 + y3)
Figura 7.12 — f(x, y) = t sen xy
e mvariante per rotaziom; non ё perd definita per x + у = 0, cioft nel punto (0, 0). II grafico
si ottiene face n do niotare intorno alPasse z il profilo della funzione z = log t2 = 2 log t, con
t > 0, come in figura 7.13.
Sono invariant! per rotazioni anche le seguenti funzioni
(S4.ll)
(54:12)
У) - 1 - № + T >
fl(x, y) - 1 - ,Jx2 + y2 - 1 ,
Funzioni di pi.il variabili reali 175
Figura 7.13 — f(x, y) — log(x2 + yz)
(54.13)
f2(x, У) = 1 - ^x2 +У - 2 ,
i cui grafici sono rappresentati rispettivamente nelle figure 7.14, 7.15, 7.16. La funzione fg,
definita su tutto R2, ha per у - 0 un profilo descritto dall’equazione
(54.14)
z — 1 — t/j? = 1 - |x|;
analogamente, per x — 0 risulta y) = 1 - |y|; si noti il punto angoloso, dovuto al valors
assoluto, in figura 7.14 in corrispondenza al punto (x, y) = (0, 0).
La funzione fi fe definita se x + у > 1, che corrisponde aJFestemo de] cerchio del piano
x, у di centro 1’origine e raggio 1. Analogamente, lafunzione f2 & definita all’estemo del cer-
chio di centro I’origine e raggio y/2 .
Figura 7.14 — z - [ - -Jx2 + y1
176 Capitolo 7
Figiira 7.15 —z — 1 — т/х2 + у2 — 1
Figura 7.16 — z « 1 — '•Jx2 + y2 — 2
Come le funzioni in (54.12), (54.13), anche
(54.15)	z = 1 - V(1 - x1) • (1 - y2)
(54.16)	Z as ч/(№ 4- y2 - x) (2x - x2 ~ y2)
*>
non sono definite su tutto R“. La (54.15) & definita quando
(54.17)	(1 - x2 ) (1 - y2 ) Si 0,
ciofe quando i fattori 1 — x2 e 1 - y2 hanno lo stesso segno, e cid accade nell’insieme
traiteggiato in figura 7.17.
La (54.16) fe definita quando rargoinento della radice quadrats ё maggiore od uguale a
zero. Ricordiamo che requazione
(54.18)	х2+у2-х-|Гк-|]+у2-^ = 0
V 4L J	*T
Funzioni di piu variabili reali 177
Figura 7,17
Figura 7,18
rappresenta una circonferenza del piano x, у di centre nel punto di coordinate (1/2, 0) e
raggio 1/2; analogamente (’equazione
(54-19)
x2 + y2 - 2x. - (x - I)2 + y2 - 1 = 0
Figura 7.19 — z = 1 - ^(1 - x3) • (1 - y2)
rappresenta una circonferenza di centro (1,0) e raggio 1, Si vede ailora che la funzione
(54.16) ё definita аП’ш/егло della circonferenza (54,19) e all’estemo della circonferenza
(54.18), quando risulta:
178 Capitolo 7
(54.20)
x2 + у2 - x > 0, xz + у2 - 2x S 0
(il lettore verifichi che non esistono coppie (x, y) tali che x2 + y2 - x < 0 e x2 + y2 - 2x > 0): si
ottiene il dominio tratteggiato in figura 7.18.
Nelle figure 7.19 e 7.20 sono rappresentati nspettivamentc il grafico della funzione
(54.15), limitatamente al quadrate D = {(x, y) g R: - 1 < x 1, - 1 £ у £ 1), ej il grafico
della funzione (54.16) «vista da dietro», cio& cantbiando if verso all’asse x (che, analitica-
mente, corrisponde a cambiare x con - x).
Figura 7.20 — z = ^-(x2 + yz + x) - (x1 + у2 2x)
55. limiti e continuity
Un intorno circolare I6 di raggio d (> 0) di un punto (x0, y0) e R2 e, per
definizione, il cerchio aperto di centro (x0, y0) e raggio 6 (in figura 7.21);
analiticamente I’intorno la e individuate dalla condizione:
(55.1)
Is = !(x. y) e R2 : (x - Xo)2 + (у - Уо)2 < 82) ;
talvolta, equivalentemente, si preferisce scrivere:
(55.2)
(x, y) e Is <=> л/(х - x0)2 + (y - yo)2 < 8.
Sia f(x, y) una funzione definita in un insieme D c R~ e sia (xq, y0) un
punto di R2 con la propriety che in ogni intomo circolare di (x0, y0) cada
almeno un punto del dominio D distinto da (x0, y0) (come in figura 7.22); in
Funzioni di piu variabili reali 179
analogia con la definizione introdotta nel paragrafo 30 per le funzioni di una
variabile reale, si dice che (xq, y0) ё un punto diaccurnulazione per il dominio
D di definizione della funzione f(x, y).
Figura 7-21	Figura 7.22
Nelle condizioni anzidette si dice che f(x, y) converge ad un numero
reale f, per (x, y) che tende ad (x0, y0), e si scrive
(55.3)	lim f(x, у) = C
(x, y)->( Xff , yn )
se per ogni e > 0 esiste 6 > 0 tale che |f(x, y) - f| < e per ogpi (x, y) e Ift n D
- Kxo, Уо)1- simboli la (55.3) si pub anche scrivere:
Ve > 0 35 > 0: V(x, y) e D - {fo , y0)),
(55.4)	_________________________
i/(x - Xo)2 + (y ~ Уо)2 < s => lf(x- у) - Й < e.
Ad esempio risulta
x** + v4
(55.5)	lim	—<= = 0 ;
(xjJ-HOO) x2 + y2
infatti, essendo x4 f / < x* + y4 + 2 x2 / = (x2 + y2)2 , si ha
(55.6)	Ч + У - x2 + у2 ;
XT + у X + у*
percio, se per ogni e > 0 si pone 6 = 4Ё , si ottiene
180 Capitolo 7
(55.7)
(к, У) * (0, 0).	+ / <6 =*
г4
7-0
< е.
Se la funzione f(x, у) ё definita anche nel punto (xq, yo) e se risulta
(55.8)	lim f(x, y) = f(x0,y0),
(х,У)->(хо.Ув)
allora si dice che f(x, у) ё continua in (x0, Уо); si dice poi che f(x, у) ё
continua in un insieme D se ё continua in ogni punto di D.
Verifichiamo ad esempio che la funzione
(55.9)	f(x, у) = к * у
fe continua nel punto (xq, y0) = (0, 0); essendo f(0, 0) = 0, оссотге mostrare che
(55.10)	lim x • у = 0 .
toHO.0)
A tale scopo mostriamo preliminarmente che
(55.11)
Iх • yl ^ | ( x2 + У2 )»
V(x, y) e R2;
infatti, sc x • у 0, la (55.11) diviene 2xy < x2 + y2, cio6 ancora x2 + y2 - 2xy & 0, che ё
verificata регсЬб equivale a (x -_y)2 2 0; analogamente. se x • у < 0, la (55.11) diviene - 2xy £
X2 + у , che equivale a (x + у)2 й 0.
In base alia (55.11), risulta |xy | < a ogni qualvolta x2 + y2 < 2a. Pertanto, posto 6 = тДе ,
si ha
(55.12)
a/x2 + y? <8	=>
|x < у - 0| < a,
che prova la tesi (55.10).
Come accade per le funzioni di una variabile, anche le funzioni di due
variabili, ottenute componendo potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni
trigonometriche, sono continue nel loro insieme di definizione.
56. Derivate parziali. Gradtente
Sia f una funzione di due variabili definita in un intomo circolare I5 di
un punto (x, y), come in figura 7.23.
Funzioni di piii variabili reali 181
Figura 7.23
In particolare f ё definita, oltre che in (x, y), anche in (x + h, y),
qualunque sia h tale che |h| < 6.
La derivata parziale di f rispetto ad x nel punto (x, y) ё, per definizione,
il' limite
(56.1)
h
h->0
se tale limite esiste ed ё finite (si noti che si tratta del limite di una funzione
di una variabile reale, dato che у ё fissato e gioca il niolo di parametro); se
esiste la derivata parriale rispetto ad x si denota con uno dei simboli
df
Эх :
(56.2)
X
Analogamente, la derivata parziale di f rispetto ad у nel punto (x, y) e,
per definizione, il limite
(56.3)

purch6 tale limite esista e sia finite, e si denota con uno dei simboli
(56.4)
A seguito della definizione, le derivate parziali di una funzione di due
182 Capitolo 7
variabili si calcolano con le stesse regole di derivazione per le funzioni di
una variabile, considerando 1’altra variabile costante, con il rublo di para-
metro.
Come primo esempio, calcoliamo le derivate parziali della funzione
(56.5)	f(x, y) = x1 + x y1,	(x, y) s R2 
Nel derivare rispetto ad x si considers у costante (come se fosse, ad esempio у — 9 e si
dovesse derivare la funzione x -ъ x2 + 9x); si ottiene la derivata parziale rispetto ad x.
(56.6)	f« (x, У) - 2x + y1
e, analogamente, la derivata rispetto ad y:
(56.7)	fy (x, У) » 2хУ-
La funzione
(56.8)	f(x, y) = sen xy,	(x, y) e R,
il cui grafico ё rappresentato in figura 7-12, ammette le seguenti derivate parziali.
(56,9)	fx = у cos xy, fj --X cos xy,	V(x, y) e R2 -
Come ultimo esempio consideriamo la funzione
(56.10)	Цх, y) = eK *,
si txatta di una funzione costante rispetto ad у e le sue derivate parziali valgono.
(56.11)	fx = e* , fy = 0,	V(x, y) e R2 -
Se la funzione f ammette derivate parziali fx, fy in un punto (x, y), in tale
punto si d efinis ce il gradients di f, indicate con grad f, oppure con Df, come
il vettore di R2 avente per component! le derivate parziali di f; in simboli.
(56.12)	grad f = Df = (4 , fy).
Si dim nstra che, se non ё nullo, il vettore gradiente iudica la direzkme
di massima pendenza del grafico della funzione.
Ad esempio, la funzione
(56.13)	f(x, y) « x + 2y,	<*’ У> € r2
Funzioni di pul variabili reali 183
Figura 7.24
ammette derivate parziali fx 1, fy = 2 costanti su R“. П gradiente di f per definizione & il
vettore di R2
(56,14)	grad f = (1, 2)
ed esprime la direzione ed il verso nel piano di base x, у in cui conviene muoversi per
ottenere il massimo incremento della funzione f (a parity di percorso nel piano x, y).
Generalizzando I’esempio (56.13), in figura 7.24 fe state rappresentato il grafico di una
generica funzione Uneare di due variabili, di equazione
(56.15)	z = f(x, y) = ax + by + c,
con (x, y) € D, dove come dominio D e stato scelto un cerchio del piano x, у. II grafico di f(x, y),
con (x, y) e D, e una porzione di un piano dello spazio tridimensionale di assi x, y, z. II
gradiente di f(x, y):
(56.16)	grad f = (£,, f,) = (a. b)
6 rappresentato in figura 7.24 da un vettore giacente (nel piano x, y) nel cerchio D; nella
direzione del gradiente, in corrispondenza, la funzione f(x, y) ha ia massima pendenza.
184 Capitolo 7
57. derivate successive. Teorema di Schwarz
Sia f una funzione di due variabili definita iu un intorno circolare IB di
un punto di R2 e supponiamo che in tutti i punti di Ib f ammetta derivate
parziali
(57.1)	fx (x, y), fy (x, y),	(x, y) e I8 .
Se a loro volta le funzioni fx, fy ammettbno derivate parziali
(57.2)
_Э_. If if
Эх x ’ dy x ’ Эх y f Эу y ’
quest’ultnne si cbiamano derivate parziali seconds della funzione f e si
indicano rispettivamente con i simboli
(573)
oppure con i simboli
(57.4)
э2 t э2 f
Эх2’ Эх Эу ’
Э2 f
Эу Эх 
Э2 £
Эу2 ‘
In particolare fxy, vengono dette derivate seconde miste, mentre fxx, fy,
vengono dette derivate seconde pure.
Ad esempio, la funzione
(57 J)	f(x. y) = x> ,	V(x. y) e D = |(x, У) e r2 = * > °)
per у fissato e una potenza, mentre per x fissato & un esponenziale die, ai fini della deriva-
zione rispetto ad у, ё opportune rappresentare nella forma f(x, у) - еук>вк. Le derivate
parziali prime di f(x, y) valgono
(57.6)	fя = у Xх-1 , fy — xy • log x.
Le derivate seconde pure sono date da
(57.7)	fxx - y(y - 1) xT2 , fw = Xх (log x)z ;
per ottenere fxy deriviamo fx in (57.6) rispetto ad у con la regola di derivazione de] prodotto:
(5718)	= Xх"1 + у x3'"1 • log x = Xх-1 (1 + у log x);
Funzioni di piu variabili read 185
la derivata fy* e ottenuta derivando rispetio ad x fy in (57.6):
(57.9)	fyx = у x*-1 • logx + xy  - = xy*‘ (y log x + 1).
П lettore che ha seguito il calcolo di fxy e fyx avrd notato che, con passaggi intermedi
different! aei due casi, si ё ottenuto lo stesso risultato finale. Cid non ё casuale ed e
formalizzato uell’importante teorema che segue.
TEOREMA DI SCHWARZ. — Se una funzione f ammette entrambe le derivate
miste fxy, fyx e se tali derivate seconde sono continue in (xq, Уо), allora
АсуС^О» Уб) ~ ^yxC^flj Уо)*
Dimostrazione: indichiaiuo con 1$ un intorno circolare del punto (x0, y0) dove risultano
definite le derivate seconde miste ^xy> ^yx e sia (x, y) un punto di I&, con x * Xq e у yg, come
in figura 7.25.
Figura 7.25
Utflizzando i valori della funzione f in corrispondenza ai punti rappresentati in figura
7.25, definiamo
(57.10)
F(x) = f(x,y) - f(x,y0)
(per у fissaro);
(57.11)
G(y) = f(x,y) - Дхц.у)
(per x /isjfato).
Risulta:
186 Capitolo 7
F(x) - F(x„) « f(x,y) - f(x,yw) - [f(xn,y) - f(xn,yt()],
(57.12)
G(y) - G(y(>) « f(x,y) - f(x(>,y) - [f(x,yu) ~
per cui
(57.13)	F(x) - F(x„) = G(y) - G(y„).
Applichiamo il teorema di Lagrange (paragrafo 47) alia funzione F(x) nell’intervallo di
estremi x<), x: esiste in tale intervallo un punto x, per cui
F(x) - F(x„) = F'(x,)(x - x,,) =
(57.14)
=	(x
appltcando di nuovo il teorema di Lagrange alia funzione у —» fx(xb y) nell’intervallo di
estremi у», у, otteniamo I’esistenza in tale intervallo di un punto yj per cui
F(x) - F(x1J) = У) ~ fx(x(, y0)] (x - x„) =
(57.15)
= fsy(Xh У1) (x - xj (y - y(().
Pracediamo in modo analogo con la funzione G(y) nell’intervallo di estremi y^, y:
es is ton о y2, e poi. x2, per cui
G(y) - G(yo) = G'(y.)(y - y„) -
(57.16)	= [f/x.y-,) - fy(xlby2)] (y - y(l) =
= W^’Ya) <x ”	” Уи)-
Confrontando le (57.13), (57.15), (57.16), si perviene alia condizione
(57.17)	fxyCXpyj) ~ fyxtetfz),
essendo i punti (xt, yj) e (x2. yz) interni al rettangolo disegnato in figura 726. Passando al
limite per (x, y)	(xq, yp) anche (xb yj e (x2, y2) tendono	a	(xq,	yo): per	Tipotesi	di
continuity di fxy,	Fyx si ottiene la tesi	(xf),yh) = ^(х^уД
Per finire osserviamo che se le derivate seconde miste non sono continue, allora non
necessariamente	sono uguali. Il lettore	esegua la verifies sulla	funzione	f(x,	y)	definita	da
(57.18)	f(0, 0) = 0,	f(x,y)=^ ,	V	(x,	y) * (0,	0)
X”+jr
relativamente al punto (0, 0).
Osserviamo inoltre che il teorema di Schwarz fomisce informazioni anche per le deri-
vate terze, quarte, e cost via; infatti, applicando ad esempio il teorema alia derivata parziale
fx, si trova che f^y = fxyx, purchd tali derivate ten® siano continue. Pertanto, se una funzione
Funzioni di piil variabiU reali 187
di due variabili ammette derivate terze continue, quelle distinte sono al pit» quattro, e cioe:

(57.19)
fjjyy .
58. Massimi e minimi relativi
Sia f(x, y) una funzione di due variabili definita in un insieme D cR2
Un punto (x0, y0) e D e di massimo relativo per la funzione f(x, y) nel
dominio D se esiste un interne circolare Is di (x0, y0) tale che
(58.1)	f(Wo) f(x> У)> v(x, У) I» n D
(ricordiamo che I& ё stato definite nel paragrafo 55).
Analogamente, un punto (x0, y0) ё D ё di minimo relativo per la fun-
zione f(x, y) nel dominio D se esiste un intorno circolare I5 di (xq, y0) tale
che
(58.2)
f(x0,y0) < f(x, y), V(x, y) e I6 n D.
Un punto (xo,yi)) e interne ad un insieme D g R2 se esiste un intorno
circolare Ij di (хо,у0) contenuto in D (si veda la figura 7.27).
188 Capitolo 7
Figura 7.27
Pertanto un punto (x0, y0) e D e di massimo (rispettivainente minimo)
relative interna aiTinsieme D per la funzione f se esiste un intomo circolare
Ifi di (x0, y0) tale che
(58.3)
f(xo.y0) f(«. У).
V(x, y) e I8
(rispettivaineute f(xu,y0) < f(x, y), V(x, y) e I6).
I due teoremi che segiiono sono utili per la determihazione dei punti di
massimo e di minimo relative interni al dominio di una funzione di due
variabili
TEOREMA (CONDIZIONE NECESSARIA). — Se (xo,yD) e un punto di
massimo о di minimo relativo intemo al dominio D di una funzione f(x, y) e se
f(x, у) ё dotata di derivate parziali prime in (Хо*Уо)» ailora risulta
(58Л)	УхфУо) = 0; f/ХфУа) = 0.
Dimostrazione; supponiamo ad esempio che (xo,yo) sia un punto di massimo relative
intemo al dominio D di una funzione f(x, y); esiste ailora un Intomo circolare [5 per cui vale
la disuguaglianza (583).
Fissato у » y(h consideriamo la funzione di una variabile reale
Funzioni di ptd variabili reali £89
(58.5)	F(x) - f(x, yu),
che, per la (583) con у - Усь soddisfa:
(58.6)	F(Xo) > F(x),	Vx e R: xu - b < x < x() + 6 ;
ciofc xq e un punto di massimo relative intemo per la fiinzione F(x) nelfintervallo (xq, - b, xq
+ 6). Per il teorema di Fermat (paragrafo 46), risulta F4xq) = 0; cioe, ricordando la defini-
zione (§8.5) della funzione F(x)
(58.7)	F(x„) = fx(x„,y„) = 0.
Si procede in modo analogo per ottenere fy(xtl,yh) =• 0.
In base al teorema precedente, i punti di massimo о di minimo intemi al dominio di una
funzione di dye variabili vanno ricercati tra i punti che annullano entrambe le derivate
parziali prime; tali punti si dicono punti critici per la funzione. In altre parole, un punto
critico per una funzione & un punto in cui si annulla il gradiente della funzione.
Il teorema che segue fornisce un criterio per stabilire se un punto critico sia di massimo
о di minimo relativo per una funzione; prima di enunciare il teorema premettiamo alcune
notazioni.
Supporuamo che f(x, y) ammetta derivate seconde continue in un in-
sieme D c; R2; si definisce il determinants Hessiano H(x, y) (o semplice-
mente Hessianojz
H(x, y) =
(58.8)
f«(x>y)
fyX(x,y)
f,yO.y)
fyy(X>y)
(ricordiamo che, per il teorema di Schwarz, risulta fxy = fyx). Talvolta, per
mettere in luce la dipendenza dalia funzione f, si usa la notazione Hf(x,y),
invece di H(x,y).
TEOREMA (CONDIZIONE SUFFICIENTE). — Nelle ipotesi precedent, se
risulta
(58.9)
W») = 0, fy<x0.y0) = 0
Hf(xo.yo) > о, Мади) > о
190 Capitolo 7
allora (хд,у0) e un. punto di minimo relative per f(x,y). Se invece risulta
(58.10)
A(Wo) = °» Мхо>Уо) = 0
Hf(x0,y0) > 0, 4х(ХфУ0) < 0
allora (xq, y0) e un punto di massimo relativo per f(x,y). Infine, se risulta
(58.11)
Hf(xo,yo) < 0,
allora il punto (x0, y0) non ё пё di massimo, ne di minimo per f(x, y) (ed in tai
caso si dice anche che (Xg, y0) e un punto a sella per f(x, y)).
Pertanto un punto critico (xq, y0) risulta di massimo о di minimo relativo
per una funzione f(x, y) se Hf(xo, y0) > 0; se invece Hf(x0, y0) < 0 allora il
punto (x0> y0) non e ne di massimo nd di minimo. Il caso Hf(Xo, y0) = 0 non ё
contemplate nelTenunciato del teorema, potendosi verificare sia che (xg, y0)
e di massimo о di minimo, sia il caso contrario.
Non diamo la dimostrazione della condizione sufficiente sopra enun-
ciata, ma illustriamo alcuni esempi.
La funzione
(58.12)
f(x, y) = x2 + y2
ammette derivate parziali fx = 2x, fy = 2y che si annullano nel punto di coordinate (0, 0). И
detenninante Hessiano vale
(58.13)
ed fe quindi positive. Essendo = 2 > 0, il punto (0, 0), m base alia (58.9), ё di minimo
relativo per la funzione. Si verifica anche direttamente che (0, 0) risulta punto di minimo
assoluto per f(x, y) su R2, perphd
(58.14)
f(0, 0)। » 0 £ x2 + y2 = f(x, y),
V(x, y) e R.
H =
= 4
Anche la funzione
(58.15)
f(X, y) = y* - X2
ha derivate parziali fx = -2x, fy = 2y che si annullano in (0,0). Perd, essendo il determinante
Funzioni di piu. variabili reali 191
Hessiano
(58.16)
- 2
0
2
0
negative, in base alia (5&11), (0.0) e un punto a sella per la funzione; tale punto a sella fc ben
riconoscibiie nel grafico della funzione in figura 7.6.
La funzione
(58.17)
У) ••x’ - <$y(x + y)
ё definite nel dominio D costituito da tutto lo spazio R2. Il gradieute di f si annulla in
corrispondenza ai punti di coordinate (x, y), soluzioni del sistema
(58.18)
fx = 3 x2 - 6y = 0
fy = - 6x - 12y = 0
dalla seconda equazione si ricava x = - 2y, che, sostituito nella prima, da lupgo a 12 y~ - 6y = 0,
ciofc у = 0, oppure у = 1/2; in corrispondenza fc x = 0, oppure x = - 1.
Percid i punti di coordinate (0, 0), (- 1, 1/2) sono critici per la funzione f in (58.17).
Il determinaute Hessiano di f vale
(58.19)
H(x, y) =
12x	- 6
-6	- 12
= - 144x - 36.
In particolare per (x, y) = (0,0) si trova H(0, 0) = - 36; siamo quindi nella condizione (58.11)
del teorema precedente e (0,0) fc un punto a sella per f(x, y). Invece, per (x, y) = (- 1,1Z2) si
trova H(— 1,1/2) ® 108. > 0; essendo fjoc(-1,1/2) = —12< 0, siamo nella condizione (58.10) ed
il punto di coordinate (— 1, 1/2) ё di massimo relativo per f(x, y).
In figura 7.28 e rappresentato il grafico di f(x, y); si noti in particolare il punto di
massimo relativo nel quadrante delle у positive e delle x negative.
I punti critici della funzione
(58.20)

si detenninano risolvendo il sistema
(58.21)
fx = -2xy e"(xJ + y2) = 0
fy = (1 - 2 уг) e’^^.O
La prima equazione fomisce le condizioni x = 0 oppure у = 0, Quest’ultima, cioe у = 0, non e
compatible con I’altra condizione fy = 0, che invece ё soddisfatta per 1 - 2y2 = 0, ciofc per
у = ± ^2 12. Si trovano quindi i punti critici (0, t/2 /2), (0, - t/2 /2) .
192 Capitolo 7
Figura 7.28 — f(x, y) = x3 - 6y(x + y)
Si verifies che Ц determinante Hessiano i positive in entrambi i casi, mentre per
(5832)	= (- 2y + 4 x1) e-‘	1
siha: f„ (0, л/2 12) = - ^2 e-'n < 0, f„ (0, - тД /2) =	e~“ > 0. Pertanto (О, тД 12) 4
un punto di massimo e (0, — л/2 /2) ё un punto di minimo per la funzione f(x, y), il cui grafico
ё rappresentato in figura 7.29.
Chiudiamo il paragrafo con un esempio di punto di massimo (o di minimo) per una
funzione con determinante Hessiano nullo, Dalla figura 7,11 si vede chiaramente che il punto
centrale, di coordinate (0, Q), ё di massimo per la funzione
(58,23)	f(x, y) = cos (x2 + y2) ;
cid & evidente anche analiticamente, perche, essendo
(58,24)	f(0, 0) - cos 0 = 1 > cos (x2 + y2) = f(x, y),	V(x, y) e R2 ,
il punto (0, 0) risulta di massimo assoluto per f(x, y) su R2. In accordo con la condizione
necessaria (58.4), (0, 0) & una soiuzione dal sistema
Funzioni di put variabili reali 193
Figura 7.29 - f(x, у) = У e4
(58.25)
= — 2x sen(№ + у2) = 0
ty = - 2y sen()r + у2) = 0
Il determinants Hessiano vale
(5826)
Hf=
-2 sen(xz + y2) - 4 № cos(x2 + y2)
—4xy cos(x2 + y2)
-4xy cos(x2 + y2)
- 2 sen(xr + y2) - 4 y2 cos(x2 + y2)
e si annulla in (0, 0) (infatti tutte le derivate parziali seconds si annullano in (0, 0)).
59.	Funzioni di tre о pin variabili reali
Indichiamo don R3 l’insieme delle terne ordinate di numeri reali:
(59.1)
R? = ((x, y, z): xeR, yeRi zeR)
e> piu generalmente^ con Rn, l’insieme delle n-ple ordinate di numeri reali:
(59.2)	R" = {(X1 , x2 xny jq s R, Vi = 1,
Un’applicazione f che ad ogni elemento di un insieme D c Rn fa com-
194 Capitolo 7
spondere uno ed un solo elemento di R ё detta una fiinzione di n variabili
ed ё denotata con il simbolo
(59.3)	f(xi, x2 x„);
nel caso particolare n - 3 si ha una funzione f di tie variabili reali, che ё
denotata anche con il simbolo
(59.4)	f(x, y, z)
in ogni caso si usa anche il simbolo f: D R e I’insieme D ё detto il
dominio della funzione f.
Molte definizioni e concetti introdotti nei paragrafi precedent! per le
funzioni di due variabili si estendono alle funzioni di tre о pin variabili; cid
vale ad esempio per le definizioni di Iimite, continuity, derivate parziali.
Vediamo pih in dettaglio quest’ultimo argomento.
La derivata parziale di una funzione f rispetto alia variabile Xj, nel punto
(хь хь...,хп), e il Iimite
(59.5)	hm------------------------------------------------,
h-»0	П
purch6 tale Iimite esista e sia finite; in tai caso si denota con uno dei simboli
<59 6)	v Д; Dx, D, f.
Ad esempio, le derivate parziali della funzione di'tre variabili
(59.7)	f(x, y, z) - x2 + / + z2 + xyz
sono date da
(59.8)	fx - 2x + yz; fT = 2y + xz; 4 = 2z + xy-
Mentre la funzione di n variabili, detta modulo о norma, definita da
(59.9)	f(x, , Xa xj = ^xj + xj + ... + xj ,
ammette, per ogni (x, , x2 xn) * (0,	, derivate parziali date da
(59.10)
; 5_______________________5_____________
f a/x? + xj + ... + xj
Vi = 1, 2,..,,n.
Funzioni di piu variabili reali 195
Come per le funzioni di due variabili, anche per le funzioni di n variabili
si definiscono le derivate parziali seconde, che vengono a costituire la se-
guente matrice quadrate n x n, detta matrice Hessiana
4 *n
(5911)
4*i
Applicando il teorema di Schwarz (paragrafo 57) sull’inversione dell’or-
dine di derivazione alia funzione di due variabili
(59.12)
(i * j) >
lasciando fissate le altre variabili con il ruolo di parametri, si ottiene la
formula
(59.13)
Vi, j — 1, 2,...,n, (i j),
purche tali derivate seconde esistano e siano continue. Pertan to la matrice
Hessiana (59.11) e una matrice simmetrica, nel caso in cui tutte le derivate
parziali seconde siano continue.
Con le stesse definizioni e la stessa dimostrazione del paragrafo prece-
dente si prova che in un punto di massimo о di minimo relativo intemo al
dominio di definizione risulta
(59.14)
nell’ipotesi che le derivate parziali prime esistano nel punto.
Una condizione sufficiente per i massimi ed i minimi, in termini della matrice Hessiana
(59.11), esiste ma ё piu complessa della formulazione data nel paragrafo precedente nel caso
di funzioni di due variabili; tale condizione sufficiente si esprime dicendo che la matrice Hes-
siana (59.11) ё definita postiiva (rimandiamo ad un testo di Analisi Mateinatica 2. о di
Geometria, per la nozione di matrice quadrats definita positiva). La condizkme sufficiente,
nei caso di fuozioni di n variabili, ha un notcvole interesse teorico, ma ha un minore interesse
applicative nella risoluzione di esercizi.
196 Capitolo 7
Appendice al capitolo 7
60. Differenziabilit&
Ё ben note che, per Ie funzioni di una variabile reale, la derivabilith in
W punto implica la continuity della funzione nel punto (si veda il paragrafo
40).
Nori vale una proprieta analoga per le funzioni di due о piti variabili;
esistono infatti funzioni f(x, y) definite in un intorno di un punto (x0, y0),
aventi derivate parziali fx(xo, y0), fy(x0, y0), pur non essendo continue in (xq,
y0). La nozione naturale per le fiinzioni di due о pift variabili, che estende il
concetto di derivability per le funzioni di una variabile reale, e quella di
differ enziabilita.
Cominciamo col presenters un esempio di funzione che ammette derivate parziali, ma
che non ё continua in un punto di R2.
Consideriamo la funzione f(x, y) definita su R2 da:
(60Л)
f(x, y)
se	(x, у) Ф (0, 0)
se	(x, y) « (0, 0)
La funzione si annulla, oltre che in (0, 0), in tutti gli altri punti del piano x, у che giacciono
sugli assi coordinate pertanto:
(60.2)	yo, 0) = lim f(h’ 0) ~ f(0, 0) = lim 0 = 0.
h	h-*o
Analogamente risulta fy{0, 0) = 0. La funzione f(x,y) ammette quindi derivate parziali nel
punto di coordinate (0, 0) (ed anche in tutti gli altri punti di R2).
Perd f(x, y) non fe continua in (0, 0), perchd non esiste il limite
(603)
r xy
um -z—
(jcjiMOO) * +
infatti, attenuate che П limite in (603) della funzione f (x, у) e uguale ad un numero Г s R
significa che, in ogni intenio I6 di raggto & > 0 del punto (0, 0), private dello stesso punto
(0, 0), la funzione f (x, y) assume valori “vicini" ad f. Viceveisa, in I* — {(0, 0)], quaiunque
sia <5 > 0, la funzione f (x, y) assume, ad esempio, sia И valore + 1/2 che fl valore —1/2: cid
accade in corrispondenza della retta per Forigine, di equazione у — x, per cui risulta f (x, x)
= x* I (x1 + x2) =* 1/2 per ogni x * 0, ed in corrispondenza della retta di equazione у = — x,
per cui f(x, — x) = — x1 / (x: + x1) — — 1/2 per ogni x 0.
Una funzione f e differenziabile in un punto (x, y) e R2 se esistono in
Funzioni di piu variabili rettii 197
tale punto le derivate parziali fx, fy e se risulta
(60.4)
f(x + h, у + k) - f(x, y) - fx (x, y) h - f (x, у) к
hm -------------------------------.--- -------------------------— - 0;
(h,kH(0j0)	Jh2 + k2
osserviamo che si pud dare una definizione apparentemente piu generale,
senza richiedere a priori che esistano le derivate parziali fx(x, y), fy(x, y).
Se f ё differenziabile in (x, y), la quantity fx(x, y) h + fy(x, y)k ё detta il
differenziale di f in (x, y).
Сод lo stesso procedimento utilizzato nel paragrafo 40 per le funzioni
reali di una variabile reale, proviamo ora che ogni funzione differenziabile
in (x, у) ё anche continua in (x, y); infatti:
(60.5)	lim f(x + h, у + k) - f(x, y) + lim [f(x + h, у + к) - f(x, у)];
(ь*)-иад)	{мо-чм)
risulta poi
|f(x + h, у + k) - f(x, y)| -
(60.6)
f(x + h, у -t- k) - f(x, y) - fx (x, y)h — fy (x, y)k
Vh2 + k2
y) h . +fy (x, y) k • >jh2 + k2
Vha + k2	jh2 + k2
f(x + h, у + k) f(x, y) - fx(x, y) h - fy(x, y)k
)/h2 + kz
+ I 4 | -ь I fy I Vh2 + k2-
Per la definizione di differenziabiliti (60.4), dato che ^h2 + k2 -► 0 per (h, k) —> (0, 0), dalla
(60.6) si deduce che il limite a secondo membro della (60.5) vale zero e pertanto
(60.7)
lim f(x + h, у + k) = f(x, y),
che equivale alia continuity dt f nel punto (x, y).
Un importante criterio per stabilire se una data funzione ё differenzia-
bile in un punto ё espresso dal seguente:
TEOREMA DEL DIFFERENZIALE. — Se una funzione f ammette derivate
parziali prime continue in un punto (x, y), allora f ё anche differenziabile in
(X. y)-
198 Capitolo 7
Dimostrazione: allo scope di provarc la relazione di limite (60.4), applicando due volte il
leorenja di Lagrange (relativo a funzioni di una variabile), abbiamo
(60.8)
f(x + h, у + k) - f(x, y) =
= f(x + h. у + k) - f(K, у + к) + f(x, у + к) - f(x, у) =
= fx(x(h), у + к) • h + fy(x, у(к» • к.
dove x(h) & un punto opportune dell’intervallo di estremi x,x + h. mentrey(k) e un punto
opportune dell'intervallo di estremi у, у + к (si noti in particolare che x(h). у (к) convergent)
rispettivamente a x, у per (h. k) (0, 0)). Si ottiene la stima seguente:
f(x + h, у + k) - f(x, y) - fx(x. y)h - f/x, y)k
т/h2 + k2
* I fs(* *(h). у + к) - fK(x. y)| I*1*— +
(60.9)	1/h3 + k3
Ikl
+ I f,(*.	“ M*- У» ~ 5
Vh2 + k3
< 1 f,(x(h). у + k) - f,(x, y)l + I f/x. y(k)) - fy(x, y)| ;
perTipotesi di continuity delle derivate parziali fx e fy* Pultimo membro della (60.9) tende a
zero per (h, k) -» (0t 0); percid anche il primo membro della (60.9) tende a zero.
Se una funzione f e continua in un dominio D (che supponiamo aperto)
si dice anche che f e di classe C° in D e si scrive f e C°(D); se f ammette
deriyate parziali prime continue in D si dice che f ё di classe Cl in D e si
scrive f g C](D); piii generalmente f e Ck(D)r con к g N, signified che la
funzione f ammette derivate parziali continue in D fino all’ordine k. Infine,
se f g Ck(D) per ogni к g N, si dice che f g C**(D).
Con le notazioni introdotte, il teorema del differenziale e la propriety di
continuity precedentemente dimostrate si scrivono;
(60.10) feC^D) => f differenziabile in D fGC°(D).
CAPITOLO 8
INTEGRA!! DEFENTTI
61. Il metodo di esaustione
Con Pespressione «metodo di esaustione» si fa riferimento ad un metodo
per calcolare le aree ed i volumi di figure curvilinee, usato da Archimede
nel Ш secolo a.C., ma risalente, secondo lo stesso Archimede, ed Eudosso
di Cnido, vissuto nel IV secolo a.C.
Abbiamo gi& descritto nel paragrafo 16 il metodo che Archimede utiliz-
zava per calcolare Гагеа di un cerchio, apprqssimando tale area con le aree
di poligoni regolari di n lati inscritti (o circoscritti). Riferendoci a questo
esempio, con la parola «esaustione» si vuole significare che un cerchio viene
riempito, о «esaurito», inscrivendo in esso poligoni regolari di n lati, e
facendo poi tendere n all’infinito.
Descriviamo in questo paragrafo il metodo di esaustione con il lin-
guaggio modemo, facendo uso della teoria dei limiti, in modo da facilitate
la comprensione del metodo generate che introdurremo nel paragrafo suc-
cessive.
Calcoliamo con il metodo di esaustione Гагеа di un settore di parabola,
ciod Гагеа della regione S che nel piano cartesiano x, у ё compresa tra Fasse
delle x, il grafico della funzione f(x) = x2 nell’intervallo [0, b], e la retta
verticale di equazione x = b (b > 0), come in figura 8.1.
Dividiamo rintervallo [0, b] in n e N intervalli, [xk _ b xk], ciascuno di
amptezza b/n, ponendo:
12	к
(61.1)	*0 = 0, x,=—b, Хг=—b, xk=—b,	xn = b.
n n	n
Calcoliamo Гагеа della regione tratteggiata nella figura 8.2. La regione
tratteggiata e unione di rettangoli. Il generico rettangolo ha per base Pinter
vallo [хк_1з Xfc], di lunghezza uguale a b/n, ed ha per altezza il valore della
funzione in xk_t, ciofc f(Xk-i) = xk_(. L’area totale e data dalla somma delle
aree dei rettangoli component!, cioe (il simbolo di sommatoria ё stato
Integrtiji definiti 201
Per fncilhiire il lettore osserviamo die la (61.2) si pud riscriveie espiicitameutc, senza
1'Ubu del simbolo di sommatoria, nel modo seguente:
“ *(>) +	- *i) +..•+ f(Xk _ ।)(xk - jq.
(61.3)
,	b	, Ъ	,	b _	b
+ f(x„ _ i)(xfl - xn _ ,) =	X5	-	4*	xy -	+ ... +	xj _	j	-	+ ... +	xj_	I	-	=
n	n	n	n
= -(xJ+X? +... 4-xJ„, + ... + X^,).
La somma indicata nella (61.2) e un’approssimazione per difetto del-
Гагеа della regione S. Analogamente otteniamo un’approssimazione per
eccesso considerando Farea della unione di rettangoli, come in figura 8.3.
Figura 8.3
Rispetto al caso precedente, stiamo considerando rettangoli con la
stessa base, ma eon diversa altezza. П generico rettangoio ha per base
Fintervallo [xk- ь xk], e per altezza f(xk) = xk2. L’area totals in questo caso e
data da
(61.4)
n	®	h	h n
X f(4)(Xk - Xih) = X $ ~ = -XXk-
k=l	k=I	n	ц k=l
Quindi abbiamo ottenuto le seguenti stime per difetto e per eccesso
delTarea della regione S;
202 Capitolo 8
b n	h °
(61.5)	- У х£_, < area S < - У x| ,	Vn e N;
n £1	n Ы
la somma a primo membro ё detta somma integrate inferiore* mentre quella
all’ultimo membro ё detta somma integrate superiore,
Ricordando la definizione (61.1) di xt, valutiamo 1’ultima sommatoria:
n	11 /к A2	h2 n
(61.6)	£4=ф =~Ik2;
k«l	k=l \u J	n k_x
la (61.5) si pud quindi riscrivere:
b3 n-1	h3 n
(61.7)	— 2	< area S < -3 X k2 ‘
n k=l	n fc=l
Utilizziamo la formula (11.10), che si verifica per mezzo del principle di
induzione:
(61.8)
Sostituiamo questo valore nelVultimo membro della (61.7), mentre a
primo membro sostituiamo il valore della somma coirispondente, cam-
biando quindi n con n - 1. Otteniamo:
(61.9)
(n - 1) n(2n - 1)	n(n + 1) (2n + 1)
6	n3	6	ц3
cioe, semplificando:
(61.10)
b3 (n - l)(2n -1)	b3 (n + l)(2n +1)
-z----5---< area Ъ< —------
On”	□	n.”
VneN.
Si calcola facilmente il Iimite per n —> + <*> delle succession! che com-
paiono nella relazione precedente (si pud ad esempio dividere numeratore e
denominatore per n2). Dato che il Iimite del primo membro ё uguale al Iimite
del membro a destra, il comuue valore (= b3/3) ё Гагеа della regione S._ Ab-
Integral} definite 203
biamo quindi ritrovato ilrisultato di Archimede: Гагеа del settore di parabola
S, come in figura 8.1, ё data da
(61.11)
area 8 = —
Si noti cid che apparentemente pub sembrare una comcidenza: deri-
vando il risultato trovato rispetto a b otteniamo:
(61.12)
4; (area S) = b2 .
□b
Cioe, la derivata dell’area, pensata come funzione del parametro b, ё
uguale al valore della funzione f(x) = x2, che d ё servita per definire la
regione S, calcolata per x = b. Chiariremo nel paragrafo 67 l’importanza di
questa apparente curiosity.
Nei paragrafi seguenti introduciamo I’integrale definito sulla base delle
idee sopra esposte.
62.	Definizioni e notazioni
Sia f(x) una funzione limitata nell’intervallo chiuso [a, b] di R; quindi
esistono due costanti m, M tali che m £ f(x) < M per ogni x e [a, Ъ].
Una partizione P di [a, b] ё un insieme ordinato costituito di n + 1 punti
distinti Xq, xb..., xn> con n e N, tali che
(62.1)	a = Xq < Xj < ... < xk < ... < x„ = b.
Quindi, per definizione, risulta P = {x0 , xx xn|. Gli n + 1 punti
individuano n intervalli [xfc _ b xj, con к = 1, 2,..., n.
Per ogni partizione P di [a, b], ppniamo
(62.2)	mk = inf (f(x): x e [xk _, , xj),
(623)	Mk = sup (f(x): x e K-! , xj].
Definiamo poi le somme (integral!) inferior!
П
(62.4)	s(P) = X nik (xk - Xk.i)
k=l
e le somme (integral!) superior!
204 Capitolo 8
(62.5)
л
S(P) = X Мк (xk - хм),
к-1
Talvolta, per ricordare anche la dipendenza dalla funzione f, si utilizzano i
simboli equivalent! s(P) = s(P, f), S (P) = S(P, f).
Se la funzione f(x) e positiva in [a, b], le somme integral! hanno il chiaro
significato geometrico di somma delle aree dei rettangoli rispettivamente
inscritti e drcoscritti, come in figura 8.4. Si noti perd che s(P), S(P) sono
definite, indipendentemente dal significato geometrico di area, anche se
f(x) non 6 positiva nelFintervallo [a, b].
Figura 8.4
Dato che mk Mk per ogni k, dalla definizione risulta che
(62.6)
s(P) S S(P),
V P.
Pit* in generale, vale il seguente lemma, nel quale indichiamo con
(62.7)
R = PuQ
la partizione di [a, b] che si ottiene prendendo contemporaneamente i punti
di P e i punti di Q.
LEMMA. — Per ogni coppia di partizioni P, Q di [a, b], se R = P и Q ri hp
(62.8)	s(P) £ s(R) < S(R) < S(Q).
bitegrali defiiiiti 205
Dimostrazione: cominciamo col con fro n la re fra loro le somme iniegrali inleriori s(P) e
s(R). Supponiamo. per semplicita che R contenga un solo punto x in piu di P e siano xk_h xk
due punti conseculiVi della parlizione P tali che x e xkL Poniamo
(62.9)	ni| = inf |f(x): x e [x^, . x]}:
(62.10)	пъ = inf И(х); x e (x. xkJ}.
Le somme in Ferion s(R) e s(P) differiscono per рос hi termini: precjsaniente;
s(R) - s(P) =
(62.11)	_	_
= | m, (x - xfc_t) + m2 (х* “ *)] - mk (xk - xk_,).
Essendo Tn] £ mk. пъ 2 тк. in quanto I'insieme dei valori Г(х) pc г x € t*k_|- xr] contiene sia
rinsieme delle Г(х) per x g [xk _ j. x]. sia Pinsiemt delle Г(х) per x e [x, xt]. oileniamo:
(62.12)	s(R) — s(P) > mk (x - x*., + xk - x - xb + x^j) = 0.
Si procede in mbdo analogo se la pailiziune R contiene pitl di un punto rispetto alia
parlizione P. Quindi
(62.b>	s(P) < s(R).
Analogamente si dimosirn che
(62.14)	S(R) £ S(Q).
Da tali relazioni e dalla (62.6) si ricava
(62Л5)	s(P) < s(R) < S(R) < S(Q).
Indichiamo ora con A l’insieme numerico descritto dalle somme inte-
gral! inferiori s(P) al variare delle partizioni P dell’intervallo [a, b] e con В
rinsieme delle corrispondenti somme superior!:
(62.16)	A = [s(P)J; В = (S(P)).
Dal lemma precedente segue che i due insiemi A e В sono separati9 ciok a
b per ogni a e A, b e B. DaU’assioma (2.11) di completezza segue che
esiste almeno un numero reale c maggiore b uguale a tutti gli elementi dt A
e minore о uguale a tutti gli elementi di B.
In generale non vi sard un unico elemento di separazione tra A e B; si da
in proposito la seguente importante
206 Capitolo 8
DEFINIZIONE DI INTEGRALE DEFINITO. — Se vi e un unico elemento di
separazione c tra A e B, allora si dice che f(x) ё integrabile in [a, b] (secondo
Riemann) e Гelemento с л indica con il simboio
rb
(62.17)	I f(x) dx
e si chiama integrate definite di f in [a, b].
In altre parole» posto
(62.18)	s(f) = sup (s(P): P parlizione di [a, b]},
(62.19)	S(f) = inf {S(P): P parlizione di [a, b]},
se risulta s(f) - S(f), allora f(x) ё integrabile (secondo Riemann) in [a, b] e
(62.20)	c = s(f) = S(f) = f f(x) dx.
Come gih detto, si dice che Fintegrale in (62.17) ё un integrate definite,
per distinguerlo dagli integrate indefinite che verranno presi in considera-
zione nel capitolo successive, in cui non sono fissati gli estremi di integra-
zione a, b.
Dalla definizione di integrate segue banalmente che, se f(x) ё una funzione costante con
f(x) ~ m per ogni x € [a, b], allora
-b	A
(62.21}	I f(x) dx = Г m dx = m(b - a).
Ja	*a
Dalle propriety dell’estremo inferiore e deU’estremo superiore si ricava
poi il seguente:
CARATTERIZZAZIONE DELLE FUNZIONI INTBGRABILI. — Una
funzione f limitata in [a, b] £ ivi integrabile (secondo Riemann) se e solo se, per
ogni e > 0, esiste una partizione P di [a, b] tale che
(62.22)
S(P) - s(P) < e.
Integrate definite 207
Dimostrazione: se f e integrabile (secondo Riemann) in (a, b] ailora s(f) = S(f), dove s(f)
e S(f) sono rispettivamente I’estreino superiore e restremo inferiore definiti in (62.18).
(62.19). In base alle definizioni di estremo superiore ed inferiore. ner ogni e > 0 esistono
partizioni P, Q deirintervallo [a, b] tali che
(62.23)	s(f) - < 3(P),
(62.24)	S(f) + - > S(Q),
Posto R - P и Q, dalia (62.8) st deduce che
(62.25)	s(f) -1< s(P) £ s(R) < S(R) < S(Q) < S(f) + - ,
2	2
da cui. essendo s(f) = S(f),
(62.26)	S(R) - s(R) < S(f) + f - Lf) - fl = e
Viceversa, se vale ia (62.22) essendo s(P) £ s(f), S(f) <SIP), otteniamo
(62.27)	0 S S(f) - s(f) £ S(P) - s(P) < £ .
Dato che il numero S(f) — s(f) non dipende da e. la (62.27) pud valere per ogni e > 0 solo
nel caso in cui S(f) - s(f) - 0, cioe quando f e integrabile (secondo Riemann) in (a, b].
L’integrale definite di una funzione ha un notevole significato geome-
tric©. Ad esempio, se f(x) ё una funzione non negativa, integrabile nell’in-
tervallo chiuso [a, b], qualunque sia la partizione P = {xq , xt xj di
[a, b], la somma s(P) rappresenta Гагеа di un plurirettangolo (cioe di una
undone di rettangoli) contenuto nelPinsieme
(62228)	S = ((x, y) e [a, b] x R: 0 £ у < f(x)},
mentre la somma S(P) rappresenta Гагеа di un plurirettangolo contenente S
(si veda anche la precedente figura 8.4). L’insieme S prende il nome di
rettangoloide di base [a, b] relativo alia funzione f(x).
Il teorema precedente afferma ailora che, nelle nostre ipotesi, si pos-
sono trovare un plurirettangolo contenente S ed uno contenuto in S le cui
aree differiscono per ineno di &. Dunque ё ragionevole attribuire a S
un’nrea uguale all’elemento di separazione tra le aree dei plurirettangoli
«inscritti» e quelle dei plurirettangoH «circoscritti». In altre parole, pos-
208 Capitolo 8
siamo affennare che, se f(x) ё non negativa e integrabile^ Гагеа del rettango-
loide di base [a, b] e Uguale all'integrate (62.17).
Concludiamo il paragrafo con alcune notazioni e definizioni, utili per il
seguito. NelTespressiohe (62.17) i numeri a, b si dicono estr*mi di integra-
zione, la funzione f si dice fiinzione iniegranda, la variabile x si dice varia-
bile di integrazione.
Si noti che il risultato dell’integrazione non dipende da x, cioe non ё
una funzione (non costante) di x, ma ё semplicemente un numero reale.
Ё utile considerare 1’integrale definite (62.17) anche se il primo estremo
di integrazione non ё minore del secondo. Pomamo:
(62.29)
(62.30)
(a > b);
f f(x)
Ja
dx = 0.
63.	Proprieta degli integral! definiti
Esaminiamo alcune semplici proprieta dell’integrale definite di una
funzione integrabile secondo Riemann in un intervallo chiuso e limitato.
Cominciamo con una proprieta che ha un chiaro significato geometrico
Figura 8.5
quando si interpretano gli integral! definiti di funzioni positive come aree di
eerie regioni piane. In tale contesto la propriety di additivita corrisponde al
fatto che 1’area della unione di due regioni piane prive di punti in conlune ё
uguale alia somma delle due aree.
Integral! definiti 209
Infatti, con riferimento alia figura 8.5, se f(x) > 0 in [a, b] la formula
(63*1) corrisponde ad affennare che Гагеа dell’msieme А ё uguale alia
somma delle aree degli insiemi Aj e A2. Il lettore esamini ii caso con f(x) di
segno indefinite.
ADDmVITA DELJJINTEGRALE RISPETTO ALL’INTERVALLO. — Se
a, b, csorto tre punti di un intervallo dove la funzione f(x) e integrabile, allora
ГЬ	f	rb
(63.1)	I f(x) dx = f(x) dx + I f(x) dx.
*^a	“a	**c
Dimostrazione: se due, tra i tre punti a, b, c, coincidono fra loro, allora la tesi (63. L) segue
dalle definizioni (62.29), (62.30). Altrimenti, eonsideriamo pfeliminarmente ii caso in cui c sia
un punto interne all’intervallo [a. b]. Se Pj, P? sono partizioni rispettivamente degli intervalli
[a, c], [c, b], allora P = Pj и Pj fe una partizione dell’intervallo [a. bj e risulta:
(63.2)	s(P) ~ s(P,) + s(P2); S(P) « S(P.) + S(P2).
Da cid segue facilmente la tesi. I casi rimanenti (ad esempio con b intemo all'intervallo
[a. c], ecc) si riconducono al caso gid trattato. tramite la (62.29).
LJNEARITA DELL'INTEGRALE. — Se f, g sono funzioni integrabili in [a, bj
e se c un numero reale, anche f + g- e c * f sono integrabili in [a, b] e risulta
съ	fb	fb
(633)	[f(x) + g(x)] dx = J f(x) dx + I g(x) dx;
A	a
rb	rb
(63,4)	I c • f(x) dx = c • I f(x) dx.
•'a	A
Dimostrazione: dato die f, g sono funzioni integrabili secondo Riemann in [a. b], per
ogni e > 0 esistono P e Q partizioni di [a, b] tali che
(633)	S(P, f) - s(P, f) < e/2, S(Q, g) - s(Q,	g)	<	e/2.
Indichiamo con R. la partizione gene rat a da P e Q, ciofe R = P uj Q. Conte	nbl lemma del para*-
grafo 62 (si veda in	particolare la (623)) otteniamo
(63.6)	S(R, f) - s(R. f) < e/2. S(R, g) - s(R,	g)	<	s/2.
D’altra parte e immediate verificare che
'210 Capitolo 8
(63.7)	s(R. f) + s(Rt g) < s(R. f + g) < S(R, f+g) < S( R, f) + S(R, g)
quindi, per la definizione di integrate relativo alia funzione f + g,
rb
(63.8)	s(R, f) + s(R, g) S I (f(x) + g(x)] dx < S(R, f) + S(R. g).
Poiche ё anche
s(R. f) * s(R, g) < f(x) dx +
(63.9)
+ g(x) dx s S(R, f) + S(R, g),
dalle (63.5), (63.8), (63.9) segue
(63.10)
e, per I’arbitrarieth di e, 1’asserto (63.3).
La (63.4) si prova in modo analogo.
Dalla definizione di integrate segue facilmente anche la seguente pro-
priety
CONFRONTO TRA INTEGRAL!. — Se f, g sono funzioni integrabili in
[a, b] e je f(x) 5 g(x) per ogni x e [a, b] allora
(63.11)
g(x) dx
Dato che 1’integrale definite della funzione identicamente nulla e zero,
dalla propriety precedente si deduce che;
(63.12)
f(x) > 0 =ф
rb
f(x) dx 0
a
(a < b).
Integrate definite 211
Inline, utilizzando le disuguaglianze
(63.13)
- |f(x)| < f(x) < |f(x)[,
Vx e [a, b],
ancora dalla proprieta di confronts» (63.11) e dalla (63;4) con c = - 1, si
deduce
(63.14)
|f(x)| dx < J f(x) dx < J |f(x)| dx,
&	fl	a
che, in base alia equivalenza (8.11) relativa al valore, assoluto, si scrive
anche nella forma:
(63.15)
< f |f(x)| dx
A
(a < b).
64.	П teorema della media
Nella dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrate
(proposto nel paragrafo 67) faremo uso de! risultato che segue.
TEOREMA DELLA MEDIA. — Sia f e una funzione continua in [a, b]. Esiste
un punto xB € [a,b] tale che
(64.1)	f f(x) dx = f(x0) - (b - a) .
A
Dimostrazione: 1’integrale definite ё I‘elemento di separazione delle somme integral!
inferior! s(P) e delle somme integral! superior! S(P): percid, дца1ипцис sia la partiziooe P
deU'intervallo {a, b], risulta
_h
(64.2)	s(P) 5 Г ад dx £ S(P).
Scegliendo la partizione banale di [a. b], costituita dai soli punti a, b (P - [at bp, otteniamo
(64.3)
s(P) = m • (b — a).
S(P) = M • (b - a),
dove m. M rappresentano rispettivamentc il minimo ed il massimo della funzione Г(х)
nell'intervallo chiuso e limitaio [a,b], certamente esistentl in base al teorema di Weierstrass
(paragrafi 35 e 37).
212 Capitolo 8
Sostiluendo le (64J) nella (64.2) otleniamo
(64.4)
b
m • (b - a) S J f (x) dx < M - (b - a)
*Л
e dividendo tutti i membri per la quantita positiva (b - a) (che non cambia il vtrso delle
disuguaglianze)
(64.5)
1 f“
m < ------ | f (x) dx 5 M
b - a J
ift .
Indichiamo con y(l e R il valore
(64.6)
Уп =
I
b - a
f (x) dx.
che quindi, per la (64.5). 6 un valore conipreso fra il minimo ni ed il massimo M di f(x)
nell’intervallo [a.b]. In base al secondo teorema di esistenza dei valori intermedi (paragrafo
35); esiste un punto x,, e [a.b] tale che f (xj = yu: rfcordando la definizione (64.6) di ym cid
signifies
(64.7)
f W = 7—- f f(x) dx ,
b - a J
a
che equivale alia tesi (64.1).
Figura 8.6
Con riferimento alia figura 8.6, dove & fappresentato il grafico di una funzione f(x) > 0 in
[a, b], il (secondo) teorema della media affenna che Гагеа del rettangoloide A relativo alia
integral! definiti 213
funzione f(x) nelTmtervallo [а, b] ё uguale all’area di un rettangoio R che ha per base
1’intervallo [a, b] e per altezza un valore opportuno f(xQ) (сюё un valore non scelto a casot
ma determinate in base alia particolare funzione considerate).
Appendice al capitolo 8
65.	Uniforme contmuita. Teorema di Cantor. Funzioni lipschit-
ziane.
Allo scopo di dimostrare che una funzione continua in un intervallo
chiuso e limitato risulta integrabile secondo Riemann in tale insieme, intro-
duciamo in questo paragrafo il concetto di uniforme continuita.
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo I di R. Ailora, per ogni
Xq e I e per ogni e > 0 esiste 6 = 6(xq, e) > 0 tale che, se x g I e |x - x0| < 5,
risulta |f(x) - f(xo)| < e.
Tale numero 6 dipende, in generale, sia da e che da xq.
Ad esempio, sia f(x) — x2 per x e 1 = R. Fissato a > 0, supponiamo che esista 6 > 0,
dipendente solo da e e non da x0, tale che
(65.1)	=> jx2 - x§ | < E.
Posto x = x0 + h, pur di prendere |hj < 8, si ha
(65.2)	|(Xo + h)2 - xj I = |2X|)h + h2 | < a,	V Xq e R.
Ma cib ё assurdo in quanto, per ogni h * 0, risulta
(653)	lim [2 xo h + h2 | = + “•
Kt, —>+-
Ё opportuno introdurre la seguente
DEFINIZIONE DI FUNZIONE UNIFORMEMENTE CONTINUA. — Si
dice che fl —>R ё uniformemente continua nelTmtervallo I di R se, per ogni
a > 0, esiste 6 = 6(e) > 0 tale che, per ogni x, x* e I,
(65.4)	|x - x'| < 6	=>	|f(x) - fCx*)! < e.
2
Riprendendo I’esempio precedents, la funzione f(x) ~ x nan & umfarmemente continua
su tutto R; invece, essendo continua in R, e anche uniformemente continua in ogni intervallo
chiuso e limitato [a, b] c R, grazie al seguente teorema di Cantor.
214 Capitolo 8
TEOREMA DI CANTOR. — Sia f una funzione continua nell’intervallo chiuso
e limitato [a,.b]. Ailora f e uniformemente continua in [a, b].
Dimostrazione.' pro cedi ante per assurdo. A tale scopo ricordiamo in simboli, per сото-
dit^L del lettore, La definizione (da uegare) di continuity unifonne:
Ve > 0, 36 > 0: Vx, x7 e [a, b], |x — x7] < 6 =>
(65.5)
=> |f(x) - f(Xj( < E.
Negate la (65.5) equivale ad affiermare che esiste Eq > 0 tale che, qualunque sia 6 > 0,
esistono in corrispondenza x, x7 (dipendenti da 6) con le propriety
(65.6)	|x - x'| < 5t |f(x) - f(xOI * ao I
in simboli:
(65.7)	3 e0 > 0: V 6 > 0t Зх, x* e [a, bj: vale (65.6).
Scegliamo 5 = 1/n con n e N, e indichiamo con xn , x*n i corrispondenti punti di [a, b] per cui
vale la (65.6); abbiamo quindi
3 Eq > 0: V n g N, В X,, , x^ e [a, b]:
(65.8)
I*. - «'.I < - , HW - «(X’JI a Eq .
n
Per U teorema di Bolzano-Weierstrass (paragrafo 27) esiste una successione x^ , estratta da
Xn, convergente verso un punto xg e (a, b]; iuoltre, essendo
(65.9)	x - — < x' <	,	Vk e N,
nk	“k
per il teorema dei carabinieri anche x7^ converge ad Xg per к -> + <x>.
Dall’ipotesi di continuity di f(x) segue
(65.10)	lim [f(S) - f(x\)j = £(«□) - f(xo) = 0,
It1 >H*
che contrasta con il fatto che
(65.11)	!f(4) - fOQI S Eq .	V к g N.
A conclusione del paragrafo mtrodudamo una notevole classe di fun-
zioni uuifonnemente continue.
Integrali definiti 215
Si dice che f(x) e una funzione lipschitziana nell’iatervallo I di R se
esiste una costaute L > 0 per cui
(65.12)	lf(x) - f«)l < L lx - x'l	V x, f e I.
Una tale funzione ё anche unifonnementc continua in I, in quanto,
fissato e > 0 e posto <5C = e/L, risulta lf(x) - f(x')l < s Per coppia, x, x'
di punti di I tali che lx - x'l <
La funzione f(x) = y/x per x g I - [0,1] fe uniformemente continua in I per ii teorema di
Cantor. Essa non & lipschitziana in (0,1) per il seguente risultato.
CARATTERIZZAZIONE DELLE FUNZIONI DER1VABILI E
LIPSCHTTZIANE. — Sia f(x) una funzione derivabile nelFintervallo L Allora
f(x) e lipschitziana in I con costante L, se e solo se 1f(x)l S L per ogni x e L
Dimostrazione: Se If (x)l £ L, Vx e L applicando U teorema di Lagrange alia funzione f
nell’intervallo di estremi x, x' e L esiste x^ e I per cui
(65.13)
lf(x) - f(x')l = If (xj (x - x*)l < L be - П
Vice vers a. se f ё lipschitziana in I, per x e I e / = x + b e I (con h * 0) si ha
(65.14)
lf(x) - f(x + h)l = If(x + h) - f(x)l £ L Ihl;
dividendo ambo i membri per Ihl e passando al limite per b —» 0, si ottiene lf(x)l £ L.
UHiizzando la proposizione precedente siricava subito che la funzione f(x) = sen x b
lipschitiziana in R, in quanto If (x)l = Icos xl £ 1, per ogni x e R
Proponiamo comunque una ulteriore dimostrazione della lipschitzianit^ di f(x) = sen x.
Utilizzando la formula di prostaferesi
(65.15)
x — x7 X + X*
sen x — sen x' = 2 sen —-— cos —-—
2	.2
dato che Isen tl < Itl per ogni t e R, otteoiamo
(65.16)
Isen x - sen x'l < 2 sen
< lx — x'l.
Per concludere osserviamo che la funzione f(x) — ixl ё lipschitziana in R, ma non verifica
le ipotesi della proposizione precedente. Sussiste infatti la disuguaglianza:
(65.17)
11x1 — Ix'II < lx - x'l.
216 Capitolo 8
66.	Integrabilita delle funzioni continue
Dimostriamo il seguente teorema di
INTEGRABILITA DELLE FUNZIONI CONTINUE*—f(x) una funzione
continua in [a, b]. Allora f(x) integrabile (secondo Riemann) in [a, b].
Dimostrazione: per il teorema di Cantor f(x) ё uniformemente continua e percid, fissato
e > 0, esiste 6 > 0 tale, che
(66.1)	|f(X) - f(X*)| < — ,
о — a
per ogni coppia di punti x, x' e (a, b] tail che |x - xr| < 6. Se P e una partizione di [a, b],
F = I X{) T X| Xn I,con xo=a, xn=b, tale che Ix^-x^l <6 per ogni к allora, posto
mk = inf (f(x); x е[х,_, . xj|„
(66.2)
Mt = sup |((x); x е[хь.!. xj|,
che sono rispettivamente minimo e massimp, risulta per la (66,1):
b — a
V k = I,.... n.
e percid
(66.3)
S(P)-s(P) - f (M, - ччХч-хц) <
e ft
< r—; Z (ч -««) =«.
D ~ “ k=i
dal teorema di caratterizzazione del paragrafo 62 segue I’asserto.
CAPITOLO 9
ENTEGRALI INDEFWH
67.	Il teorema fondamentate del calcolo integrate
Ci proponiamo di mettere in evidenza una important© relazione tra
integral! e derivate, che ha notevoli applicazioni in tutto il calcolo integral©.
Sia f una funzione continua nell’intervallo [a, b], Per ogni x e [a, b]
consideriamo I’integrale definite
(67.1)	F(x) = f f(t) dt
A
Notiamo che abbiamo rappresentatp 1’integrale definite usando la varia-
bile di integrazione t, invece che la x, con un puro scambio di simboli.
Invece abbiamo denotata con x il secondo estremo di integrazione. Per ogni
x ё determinate I’integrale definite nell’intervallo [a, x] della funzione f;
pertanto il risultato dell’integrazione risulta una funzione di x. Cid spiega il
simboio di funzione F(x) a primo membro della (67.1); tale funzione si
chiama funzione integrate.
Ad esempio, con il calcolo del settore di parabola (si veda la (61.11)) si ё ottenuto
J’*
t2 dt =	,	Vx > 0.
Q	3
In questo esempio la funzione integrate vale F(x) =; x3/3; la sua derivata, uguale aF(x) =
x2, ё anche uguale alia funzione integranda f(t) = t, calcolata per t - x.
Tale propriety vale in generale; infatti, risulta in generale die F'(x) = f(x), secondo il
teorema die segue.
TEOREMA FOND AMENTALE DEL CALCOLO INTEGRATE.—Sia f una
funzione continua nell’intervallo [a, b]. La funzione integrate F(x), definita in
(67.1), ё derivabile e la derivata vote
218 Capitolo 9
(673)	F(x) = f(x),	Vx e [a, b].
Dimostrazione: occorre calcolare il limite del rapporto incrementale della funzione F(x)
quandb I’incrementotende a zero. Cominciamo con il rapporto incrementale
(67.4)
f(t) dt +
+ h
f(t) dt -
f(t) dt.
F(x + h) - F(x) _ I
h ” h
f(t) dt
f(t) dt -
f(t) dt «
Abbiamo utilizzato la proprieta di additivity dell'integrate rispetto airinterval lo. Tra-
sformiamo Г ultimo integrate per mezzo del teorema della media applicato alHntervallo di
estremi x e x 4- h: esiste un punto compreso tra x ed x + h, che dipende quindi da h, che
indichiamo con x(h), tale che
(67.5)
f(t) dt - f(x(h)).
Dato che x(h) ё compreso tra x ed x + h, per h —> 0 risulta:
(67.6)	lim x(h) = x.
h—Ml
La tesi segue dalla continuity della funzione integranda f; infatti:
(67.7)
F(x + h) - F(x)
lim-------------------= hm f(x(h)) = f(x).
h->u	h	li—
58. Primitive. Formula fondamentale del calcolo integrate
DEFINIZIONE. — Una fimzione F(x) e una primitiva di f(x) se F(x) e
derivabile in [a, b] e se F*(x) = ffx) per ogni x 6 [a, b].
Ad esempio una primitiva della funzione f(x) = x ё F(x) =.x2/2. Uua primitiva della
iinzione f(x) ~ sen x ё F(x) = - cos x.
Integral! indefiniti 219
Tenendo presente la definizione di primitive, possiamo enunciare il
teorema fondamentale del calcolo integrate dicendo che: se f e una funzione
continua in [a, b], ailora la funzione integrate F, definita in (67.1), e una
primitiva di f.
E chiaro che, se F(x) ё una primitiva di una funzione ffx), anche G(x) =
F(x) + c, qualunque sia la costante с, e una primitiva di f(x). Come provato
nel lemma seguente, vale anche il viceversa, doe tutte le primitive di f si
ottengono nel modo anzidetto. Cid caratterizza I’insieme delle primitive di
una data funzione.
CARATTERIZZAZIONE DELLE PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE IN
UN INTERVALLO. — Se F(x) e G(x) sono due primitive di una stessa
fiinzione f(x) in un intervallo [a, b], esiste una costante c tale che
(68.1)	G(x) = F(x) + c,
Vx € [a, b].
Dimostrazione: poniamo H(x) — G(x) — F(x); risulta
(68.2)
H'(x) = G'(x) - F(x) = f(x) - f(x) = 0.
Applictjiamo il teorema di Lagrange alia funzione H(x) nell’intervallo [а, к], con x fissato in (a,
b]; esiste e (a. x) tale che
(683)	H(x) - H(a) = НЧхнХх - a) 0 • (x - a) = 0:
percib H(x) = H(a). per ogni x e (a. b).
Ponendo c — H(a). H(x) risulta costante, uguale a c, per ogni x s [a, b] (si noti che
avremmo potato equjvalenterpente dedurre dalia (68.2) che H(x) ё unafunzione costante in
[a, b], utilizzando la caratterizzazione delle funzioni costanti del paragrafo 48).
Quindi. G(x) = F(x) + H(x) = F(x) + c, per ogni x e [a. b].
La formula che segue riconduce il calcolo degli integrali definiti alia
ricerca delle primitive delle funzioni continue.
FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALS. — Sia f
una fiinzione continua in [a, b]_ Sia G una primitiva di £ Ailora
rb
(68.4)	f(x) dx = [G(x)].b = G(b) - G(a).
220 Capitolo 9
Il simbolo [G(x)]]J signifies appunto 1ц differenza dei valori della fun?
zione G(x) per x = b e x = a.
Per dimostrare la formula fondamentale» consideriamo la funzione inte-
grate (67.1), indicando con t la variabile di integrazione.
La funzione integrate F e la funzione G sono entrambe primitive della
funzione f. In base alia caratterizzazione precedente, esiste una costante c
tale che
(68.5)
G(x) = F(x) -к c = c + f f(t) dt,
Vx g [a, b].
Per x = a abbiamo
(68.6)
G(a) = c +
f(t) dt = c
e, sostituendo il valore trovato al posto di c nella (68-5),
(68.7)
rx
G(x) = G(a) * f(t) dt,
La tesi segue ponendo x ~ b in (68.7).
Utilizzando la formula fondamentale del calcolo integrate si ritrova immediatamente i!
risuitato (61Д1): con j simboli degli integrali definiti, Гагеа del settore di parabola conside-
rate nel paragrafo 61 6 dato da
(68.8)
X2 dx .
Una primitiva della funzione x2 e la funzione G(x) — x3/3. Quindi
(68.9)
Come ulteriore esempio consideriamo I’integrale definite della funzione f(x) — sen x
Integrcili indefinai 221
nelFintervallo [0, л]: dato che una primitiva della funzione sen x ё G(x) = cos x> si ottiene
(68.10)
sen x dx. = [— cos x] JJ - - cos л + cos 0 = 2.
69.I/integrale indefinite
Nel paragrafo precedente abbiamo ricondotto il calcolo di un integrate
definite alia ricerca delle primitive della funzione integranda. Ё percid
naturale porre la seguente:
DEFINIZIONE DI INTEGRALE INDEFINITO. — f una funzione
continua in un intervallo [а, Ь]. L‘insieme di tutte le primitive di t in [a, b] .w
chiama integrate indefinito di f e si indica con il simbolo
(69.1)
In base alia caratterizzazione data nel paragrafo precedente, possiamo
affermare che
(69.2)
J f(x) dx = F(x) + c,
dove F ё una primitiva di f e с ё una costante arbitraria.
Sottolineamo che с*ё una sostanziale differenza tra 1’integrale definite e
quello indefinito, che indichiamo rispettivamente con i simboli
(69.3)
f(x) dx
J f(x) dx;
il primo dei due integral! ё un numero reale, il secondo integrate ё un
insieme di funzioni. Il legame tra i due integral! ё dato dalla formula
fondamentale (68.4).
Ricordando che la derivata di una somma ё uguale alia somma delle
derivate, si ottiene la propriety corrispondente per gli integral! indefinite
(69.4)
[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx.
222 Capitolo 9
Analogamente, ricordando ia formula (41.7), che esprime la derivata del
prodotto di una costante per una funzione, risulta
(69.5)
f(x) dx
(c - costante).
Si noti fanalogia delle due propriety sopra elencate per 1’integrale indefinito con. le
propriety di linearita (63.3), (63.4) per 1’integrale definite.
Riportiamo di seguito una serie di integral! indefiniti immediati. Tali
integral!, di facile verifica, sono ottenuti a partire dalle tabelle per le deri-
vate esposte nei paragrafi 43, 45.
(69.6)
(69.7)
(69.8)
(69.9)
(69.10)
(69.11)
(69.12)
(69.13)
f 1 .	,
I - dx = log X + c,
r
ex dx ~ ex + c;
sen x dx = - cos x + c ;
J* cos X dx = sen x + c ;
cos2 x
dx = tg x + c ;
dx arcsen x +
dx se arctg x + c.
b 1 ;
x > 0 ;
c >
A propositn dell’integrale (69.7), notiamo che risulta
Integratt indefbtifi 223
(69.14)	D log |x| = — ,	V x 0;
infatti, se x > 0 la relazione precedente fe ben note. Invece, se x < 0, per la regola di
derivazione delle funzioni composte, risulta
(69.15)	D log |x| = D log(- x) = —  (- 1) = -	(x < 0).
~ X	X
La (69.14), in termini di integral! indefiuiti, fe equivalents a
(69.16)	f - = log lx] + c ,
J x
mtendendo die (’integrate in (69.16) e considerate in un intervallo non contenente il punto
x — 0.
In molte situazioni ci si riconduce ad integral! immediati del tipo sopra indicate, utiliz-
zando la formula di derivazione delle funzioni composte. Cos) ad esempio la formula (69.6) si
generalizza nel modo seguente: si parte dalla formula di derivazione, valida per una funzione
f(x) positiva e derivabile
(69.17)	D ' = [f(x)]b  Г(х)	(b * - 1).
In corrispondenza si ottiene la formula di integrazione indefinita
(69.18)	[ [f(x)lb f(x) dx = -L- [((x)]" ♦' + c (b * - 1).
J	D + 1
Come esempio consideriamo:
(69.19)	f tg x dx = f seQ_* dx = - log ]cos x| + c ;
J	J cos x
abbiamo calcolato una primitiva dopo aver riconosciuto che a numerators della funzione
integrands) c’fe, a meno del segno, la derivata de! denominators.
70. Integrazione per decomposizione in somma
In mold casi il calcolo delFintegrale mdefinito di una funzione si pud
ricondurre al calcolo di integrali gia not!, о di tipo pifl semplice. Un metodo
particolarmente frequente consists nel decomporre la funzione integrands
nella somma di due о piu funzioni, applicando poi la propriety di linearity
(69.4). Hlustriamo cid con alcuni esempi.
224 Capitolo 9
Calcoliamo il seguente integrate indefinite»
(70.1)
dx ;
sommando e sottraendo 1 al numerators della funzione integrands otteniamo
-----dx =
x + 1
(70x2)
dx
Calcoliamo Fintegrale indefinite
(703)
i
ricordando la definizione della funzione tangente, abbiamo
(70.4)
sen2 x _ 1 ~ cos2 x
cos2 x cos2 x
1
2
cos' X
per deeomposizione in somma otteniamo
cos2 x
(70.5)
cos2 x
tg X - X + C .
Calcoliamo Fintegrale indefinite
(70.6)
dx
sen x cos x
anche in questo caso seriviamo il numerators della funzione integranda in modo che sia
possibile semdere la frazione nella somma di due fiazioni
sen x cos x
sen x cos x
(70.7)
sen2 x
cos2 x
sen x cos x
sen x cos x
sen x cos x
cos x sen x
integrando entrambi i membri otteniamo
(70.8)
sen x cos x
cos x ,
—= dx ss
sen x
= - log |cos xi + log Isen x) + c .
Integrali indefinitl 225
Cakoliamo I’integrale indefinite)
(70.9)	J" sen2 x dx ;
ricordiamo la formula (10.7) di duplicazione
(70.10)	cos 2x = cos3 x - sen2 x = 1 - 2 sen2 x ,
da cui si deduce che sen2 x =* (1 - cos 2x)/2. Otteniamo
(70.11)	f sen2 x dx = i f (1 — cos 2x) dx = - x - - sen 2x + c ;
J	2 j	2	4
nell’ultimo passaggio si ё tenuto conto che D sen 2x = 2 cos 2x. Se lo si preferisce, si pud
scrivere il risuitato utilizzando la formula di duplicazione (10.6) per la funzione seno, nel
modo seguente:
(70.12)	| sen2 x dx » i (x - sen x cos x) + c .
Dal risuitato ottenuto 6 facile dedurre il valore delFintegrale
J" cos2 x dx = J* (1 - sen2 x) dx =
(70ДЗ)
= x - Г sen2 x dx - i (x + sen x cos x) + c .
I	Лл
71. Integrazione delle funzioni razionali
Ё sempre possibile, in linea di principio, calcolare per decomposizione
in somma Fintegrale indefinite delle funzioni razionali, cioe delle funzioni
che sono il rapporto di due polinomi f(x), g(x):
(71.1)
f(x) _ Эд, x" + am_i x"1 1 + ... + a, X + Эр
g(x) bn x“ + bn _ , x°-1 + ... + bt x + b0 '
m, n e N.
Nella (71.1) ё rappresentata una funzione razionale ottenuta come rap-
porto tra un polinomio f(x), di grado m, ed un polinomio g(x), di grado n.
Se m > n, ciofc se il grado del numeratore fc maggiore od uguale al grado
del denominatore, si esegue la divisions fra i polinomi f(x) e g(x). Se
indichiamo con r(x), q(x) rispettivamente il resto ed ii quoziente della divi-
sione, possiamo scrivere la scomposizione
(71-2)
f(x) = g(x) q(x) + r(x) ;
226 Capitolo 9
cio£r moltiplicando ik quoziente q(x) per il divisore g(x), ed aggiungendo il
resto, si ottiene il dividendo f(x). La stessa relazione si pud scrivere met-
tendo in luce il rapporto f/g nel modo seguente:
(71.3)	= q(x) +
g(x) qW + gW
Ricordiamo che il resto e un polinomio di grado inferiore al grado n del
divisore g(x).
Per I’integrale della funzione razionale f(x)/g(x) si ottiene
(71-4)	f dx = f q(x) dx + f dx .
J g(x) J	J gW
Dato che q(x) ё un polinomio, il suo integrate indefinite ё immediate.
Ci siamo quindi ricondotti a taJcolare I’integrale della funzione razionale
у(хУб(х)» ch® ba la propriety che il grado del polinomio a numeratore ё
inferiore al grado del polinomio a denominatore.
. Fnma di proseguire ad integrare r(x)/g(x), ricordiamo con un esempio come si esegue la
divisions tra polinomi. Consideriamo la funzione razionale
(71.5)	x5-3x4 + x + 3
x*-l
procediamo nella divisione in modo analogo al modo in'cui si effettua la divisione tra due
numeri natural!, secondo il seguente schema:
(71.6)
x5 - 3x* +
3x" +
3
Integrali indefiniti 221
Il resto r(x) ed i! quoziente q(x) valgono rispettivamente: r(x) » 2x, q(x) = x3 - Зх1 -ь x - 3.
In questo caso la scomposizione (71.3) cbrrisponde a
x — 3 x4 + x + 3	-	„ ,	„ 2x
-------=-----------= x3 - 3 Г + x - 3 + —-------
x2 - 1	x2 - 1
Ora si ottiene facilmente 1’integrale indefinite
f Xs - 3 x4 + x + 3 , f , j	f 2x
-----------------.	=	( x3 - 3 x2 4* x — 3) dx + | ——- dx -
(71.8)
x4 , x? ,	. , k
* — - X3 + — - 3x + log fxr ".11 + c ;
Ritorniamo a! calcolo dell’integrale della funzione razionale r(x)/g(x),
dove г(х) ё un polinomio di grado inferiore al grado del polinomio g(x). Per
semplidta ci limitiamo a considerare Я caso in cui g(x) sia un polinomio di
secondo grado. In tali condizioni, il grado di r(x) ё minore di due. Quindi ri-
sulta
(71.9)
g(x) = ax2 + Ъх + c
(a * 0);
r(x) s= dx + e.
Per calcolare 1’integrale indefinito di r{x)/g(x) e opportune distinguere i
tre casi, in cui l’equazione g(x) = 0 abbia 2 radici reali distinte, oppure 2
radici coincidenti, oppure nessuna radice reale. Consideriamo tre esempi in
cui si verificano queste situazioni.
Il caso b2 — 4ac > 0 si tratta come nelVesempio seguente; dopo aver trovato le radici del
denominators (xj = — 1, x2 = 2), scomponiamo la fr aztone
(71.10)
x-b 7 A В
x2 — x — 2 x + 1 x — 2’
con A, В numeri reali da determinare. Sviluppando il secondo membro otteniamo
(71.11)
A В Ax - 2A 4- Bx + В _ (A + B) x - 2A + В
x + 1 x - 2 (x 4- l)(x - 2)	x2 - x - 2
affmchS valga 1’uguaglianza (71.10) per ogni x, deve risultare
(71.12)
'A + В = 1
- 2A + В = 7
Si risolvc il sistema per sostituzione, oppure sottraendo le due equazioni membro a
228 Capitolo 9
scomposizione (71.10), si calcola 1’integrale definite
(71.13)
dx =
= - 2 log |x + 1| + 3 log |x - 2| + c ,
2
11 caso b — 4ac = 0 si tratta come nell’esempio seguente:
(71.14)
x _ A В
x2 4- 2x 4- 1 x 4- 1 (x + if '
come in precedenza si determmano le costanti A, В in modo che valga i’identitfc (71.14) per
ogni x e R (x * — 1); si calcola il denominatore comune e si trovano le condizioni A = 1,
A + В = 0; ciofc A - 1, В = — 1. Risulta in definitive
(71115)
x # f dx f dx
—----------;— dx = I ----------— | ------------
3C2 4- 2x 4- 1 J X + 1 J (x 4- I)2
= log |x + 1| 4-
2
Inline, se b — 4ac < 0. ciofc se Tequazione g(x) = 0 non ha radici reali, si procede come
nell’esempio seguente:
(71.16)
1 - 2x A(2x + 2) + В
x2 4-2x 4-5 x? 4-2x 4-5
Fespressione (2x 4- 2), che compare nella relazione precedente, fc state scelta perchfc fc fa
derivata del denominatore. Si ricava inunediatamente il sistema: 2A =—2,2A + 4- В = 1, ciofc
A =3 — 1, В = 3L Quindi
(71.17)
1 - 2x	f 2x + 2	.	„ C dx
—--------dx = -	—--------dx 4- 3	—--------
jt 4- 2x -t 5 J r + 2x + 5	Jx*4-2x4-5
= - logtx2 + 2x 4- 5) 4- 3
f dx
J X2 4- 2x 4* 5 ’
si noti che log (x2 4- 2x + 5) — logjx2 4* 2x + 5| , dato che il polinomio di secondo grado fc
positive per ogni x.
Scomponiamo Fultimo integrate nel modo seguente, fenendo conto che x2 e 2x sono due
addendi del polinomio (x + 1)~
(71.18)
dx _ Г dx
x2 4- 2x + 5 J (x + I]1 + 4
If dx	1 X 4- 1
t ------------=----= - arctg------4- c
4 J [(X 4- l)/2]2 4-12	2
Integrate indefinite 229
Indichiamo il metodo seguito per un generico polinomio g(x), con a > 0:
x2 + — X + -
a aJ
(71.19)
c _ b2 ~
a 4 a2
4ac - b2
4 a2
inline si mette in evidenza il fattore positive (4ac - b2)/4a2.
2
Diamo ancora un esempio relativo al caso b- — 4ac < 0:
x ,	1 Г 2x + 1	.	1 Г dx
—--------dx * — I —----------dx----—------------
x2 + x + 1	2 J x2 + x + 1	2 J x2 + x + 1
li,2	1 Г dx
~ — Iog(jr + x + 1) — — I ---------=
2	2 J (x + 1/2 )2 + 3/4
(7120)
1.	,,	14	1	4
= -log(xJ + x + 1)-J--
= I log(x2 + X + 1) - \
Лг	J
= z log(^ + X + 1) - "Y arctg
-J
c .
Il metodo descritto si applica anche a funzioni razionali che hanno a
denominatore un polinomio di grado superiore a due, purchd sia possibile
calcolame esplicitamente le radici, come nell’esempio che segue.
Come in precedenza, si inizia con la divisione tra polinomi:
(71.21)
x dx -
x* + x2
dx ;
poi si scompone Г ultimo integrando
230 Capitolo 9
(71.22)
x3 + x - 1	? t x - 1 _ A	В	C-J- Dx .
x4 + X2	X2 (x2 + 1) x	x2	X2 + 1 *
si trova che vale I’identita se A =. C = 1, В = — 1, D = 0. Quindi
(71.23)
f Xs - X + 1 X2 . .	1
—3------5“ dx = - - log |x|--------arctg x + c .
J x4 + k2 2	x
72.	Integrazione per parti
Mentre il metodo di integrazione per decomposizione in somma si bass
sulla regola di derivazione della somma di due funzioni, il metodo di inte-
grazione per parti, che stiamo рет descrivere, si basa sulla formula di deri-
vazione del prodotto di due funzioni.
FORMULA DI INTEGRAZIONE PER PARTI. — Se in un intervallo f, g
sono due funzioni derivabiU con derivata continua, risulta
(72.1)	J f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - J F(x) g(x) dx .
Chiameremo f(x) il fattore finite, mentre g'(x) e detto fattore differen-
ziale. L’ipotesi che le derivate f(x), g'(x) siano continue assicura che gli
integral! in (72.1) siano ben definiti. Il lettore non confonda tale ipotesi con
la condizione, pih debole, che f(x), g(x) siano continue.
Per dimostrare la (72.1) partiamo dalla formula di derivazione del prodotto
(72.2)	[f(x)g(x)r = Г(х) g(x) + f(x) g'(x).
Calcoliamo gli integral! indefiniti di entrambi i membri ed utilizziamo la propriety di
linearity (69.4)
(72.3)	J (f(x) g(x)]' dx ж J f(x) g(x) dx J f(x) g'(x) dx .
La tea’ (72.1) si ottiene osservando che la funzione f  g & una primitiva delh sua derivata
[f g]'.
Consideriamo alcuni esempi. Cominciamo con Tintegrale indefinite
(72.4)
x cos x dx ;
integrali uulefiniti 231
applichiamo la formula (72.1) di integrazione per parti, con f(x) = x e g'(x) = cos x, quindi
g(x) = sen x (si noti che, ponendo g'(x) - cos x, potremmo scegliere g(x) = c + sen x, con c
costante; verificare per esercizio che il risuitato finale non cambia):
x cos x dx = x sen x -
sen x dx —
(72-5)
= x sen x + cos x + c.
Calcoliamo per parti, ponendo f(x) = x2, g'(x) coe x, I’integrale indefinite
(72.6)
x2 cos x dx = x2 sen x
x sen x dx
integrando di nuovo per parti, scegliendo come fattore finite x e come fattore differenziale
sen x, otteniamo
(72.7)
J x1 cos x dx — x2 sen x + 2x соя x — 2 J* cos x dx —
= x? sen x 4- 2x cos x - 2 sen x 4- c.
Calcoliamo per parti I’integrale seguente, ponendo f(x) = log x, g'(x) = 1:
(72.8)
f	fl
I log x dx = x log x — I - • x dx =
= x log x - x + c.
Assumendo come, fattore finite x e come fattore differenziale ex, calcoliamo per parti
I’integrale
(72.9)
ex dx = x el -	+ c.
NelTintegrale seguente assumiamo come fattore finite ex e come fattore differenziale
sen x
(72.10)
ex sen x dx = — ex cos x + e* cos x dx ;
integriamo di nuovo per parti I’ultimo integrate:
(72.11)
ex sen x dx = “ c1 cos x + cx sen x — e* sen x dx ;
232 Capitolo 9
dalia relazione precedente si pud ricavare il valore dell’integrale
Г	ex
(72.12)	e* sen x dx = — (sen X ~ cos x) +> c.
J	Л
Con Io stesso metodo possiamo calcolare I’integrale
J cos1 xdx = J" cos x cos x.dx =sen x cos x + J sen2 x clx =
(72.13)
= sen x cos x + J" (1 — cos2 x) dx = sen x cos x + x — J cos2 x dx ;
ricavando dalia relazione precedente il valore dell’integrale, si ritrova il risuitato, ottenuto
per altra via in (70.13):
JI
cos2 x dx = — (sen x cos x + x) + c.
Chiudiamo il paragrafo scrivendo esplicitamente la regola di integra-
zione per parti per gli integrali definiti. Tenendo conto della relazione tra gli
integrali indefiniti e gli integrali definiti espressa dalia formula fondamen-
tale (68.4), otteniamo dalia (72.1):
(72.15) f f(x) g'(x) dx = [f(x) g(x) ]J - f f(x) g(x) dx .
73.	Integrazione per sostituzione
Abbiamo visto che il metodo di integrazione per decomposizione in
somma si basa sulla regola di derivazione di una somma ed il metodo di
integrazione per parti si basa sulla formula di derivazione di un prodotto. Il
metodo di integrazione per sostituzione, che descriviamo in questo para-
grafo, si basa sulla formula di derivazione delle funzioni composte.
FORMULA DI INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE. — Sia f una
fiinzione continua e g una fiinzione derivabile con derivata continua. Risulta
J x=*g(t)
huegrali indejiiiiri *33
Osserviamo die la formula di integrazione per sostituzione (73.1) non richiede, per la
sua validity, che g(t) sia una funzione invertibile; naturalmente il risultato dell'integrazione
rndefinita ё espresso in funzione di t, mediante la posizione x - g(t), con x che varia nel
codominio della funzione g. Per poter esprimere il risultato in funzione dt x, occorie sup-
porre che g(t) sia una funzione invertibile; in tai caso si ottiene il risultato finale, in funzione
di x, con rulteriore sostituzione t = g~'(x). Notiamo perd che, per il calcolo di un integrate
definite, pub non essere necessario invertire g(t), come mostrato nella successiva formula
(73.14).
Il simboio a primo membro della (73.1) signified, indican do con F(x) una primitiva di
f(x), che
(73.2)
f(x) dx = F(x) + c;
f(x) dx
= F(g(0) + c.
ч - rfi)
La dimostrazione della (73.1) consiste nell'osservare che
(733)
F(g(0) + c =	f(g(t)) gf(l) dt ;
db ё conseguenza del teorema di derivazione delle funzioni composte. Infatti, dato che
(73.4)
~	g'(0 = f(g(0) g'(t)>
at
abbiamo verificato che F(g(t)) ё una primitiva di f(g(t))g'(O« ciofe abbiamo verificato la tesi
(733).
Se x = g(t), la quantita g'(t) - dt (che ё uila funzione delle due variabili t,
dt) si chiama il differenziale della funzione g(t), e si indica con il simboio
dx. Percid, il differenziale della funzione derivabile x - g(t) e, per defim-
zione, dato da
(73.5)
dx = g'(t) dt ;
tale definizione ё motivata dalla foxmula (73.1) di integrazione per sostitu-
zione; infatti, in (73.1) x si trasforma in g(t), mentre il differenziale dx si
trasforma secondo la (73.5).
Consideriamo alcuni esempi, cominciando con I’integrale
(73.6)
3
dx ;
1
234 Capitolo 9
2	2
fe naturale рогте x = t. In base alia formula (73.1), con x = g(t) « t , otteniamo, per t > 0
(73.7)
dx
f 2t
dt =
(x = t2)
3
t^3
dt =
=» 2t + 6 log |t - 3| + c ;
volendo scrivere il risultato finale in funzione di x, si sostituisce t - i/x , ottenendo:
(73.8)
Г ~=—— dx - 2	+ 6 log It[x “ 3| + c.
J лрс-З
Con la sostituzione 2x — 1 -t2 сюё x ® g(t) = (t2 + l)/2, calcoliamo Pintegrale, per t S 0
(73.9)
(t2 + l)/2 + t
(t2 + l)/2 - t
t dt =
f t3 + 2 t2 4- t
J t2 - 2t 4-1
dt;
abbiamo ottenuto I'integrale di una funzione razionaie, che possiamo risolvere con il metodo
indicate nel paragrafo 71. Notiamo che il denominatore ha due radici concidenti e che, ese-
guendo i conti, si ottiene la scomposizione:
(73.10)
quindi (x = (t2 + l)/2):
t3 4- 2 t2 + t л 8t — 4
-=-------------- t + 4 + --------------
t2 - 2t + 1	t2 - 2t + 1
1 \
(73.11)
Г	4
=• — + 4t 4- 8 log |t - 1|-- + c ;
2	t - 1
fe facile scrivere i! risultato finale in funzione di x, tenendo presente che t — ^2x — 1 .
Con la sostituzione x = sen t, calcoliamo 1’integrale (ci limitiamo ai valori di t per cui
cos t > 0)
Integrate indefinite 235
- sen2 t cost dt = (x = sent)
(73.12)
1
cos2 t dt = — (t + sent cost) + c;
2
J’ultimo integrate era stato calcolato in (70.13) (ed anche in (72.14)),
Per finire, scriviamo esplicitamente la formula di integrazione per .sosti-
tuzione per gli integral! definiti. Consideriamo 1’integrale di una funzione f
esteso ad un intervallo [a, b], ed effettuiamo la sostituzione x = g(t). Suppo-
niamo che ad x = a, x = b corrispondano tramite la funzione g i valori t = c,
t = d; ciofc supponiamo che risulti:
(73.13)
g(c) = a, g(d) = b.
In tali condizioni deduciamo immediatamente la regola di integrazione
per sostituzione per gli integrali definiti:
(73.14)
C f(x) dx - f f(g(t)) gXt) dt.
a	*c
Ad esempio, eonsideriamo I’integrale definite, corrispondente alTintegrale indefinito
(73.12),
.1
(73.15)	I Vl - X2 dx.
—I
Abbiamo verificato che e utile effettuare la sostituzione x — sent Dato che risulta
(73.16)
sen - - 1,
applicando la formula (73.14) e ricordando il risultato dell’integrale indefinito (72.14), otte-
niamo
(73.17)
cos2 t dt —
Г1	T*2
= I - (t + sent cost)
12
236 Capitolo 9
74.	Calcolo di aree di figure piane
Abbiamo introdotto I’integrale definite con lo scopo principale di calco-
lare aree di figure piane del tipo
(74.1)
A -- {(x, y):
a < x < b,
о <; у < f(x)},
dove f(x) e una funzione continua e non negativa nell’intervallo [a, b]. In tai
caso risulta
(74.2)
area di A
dx ,
Pift generalmente possiamo calcolare Гагеа di una regione T, come in.
figura 9.1, definita per mezzo di due funzioni continue f(x), g(x), dalle
limitazioni seguenti
(74.3)
T = ((x. У)' a < x < b, g(x) s у < f(x)J.
Figura 9.1
In tai caso Гагеа della regione T si calcola per sottrazione degli integral!
definiti relativi rispettivamente ad f, g: Cibe
area di T = f (f(x) - g(x)] dx .
A
(74.4)
Come applicazione, calcoliamo l*area di un cerchio di raggio т. П cerchio C di centre
Integruli indefinite 237
1’origine c raggip г ё individuate) dalle iinuiazioiii
(74.5)	С = |(x, y): - r < x < r, - Vr* -	5 У - x2 |.
La situazione fe quella descritta in (74,3), con g(x) = —	— x2 , f(x) = i/r2 — x2 . In con-
formity con la formula (74.4), Гагеа del cerchio ё data da
,.r
area di С = I [ ч/r2 - x2 - (-	- x2)] dx =
(74.6)
= 2 J л/г2 — x2 dx.
Anche Vultimo membro della relazione precedente ha un chiaro significato geometrico.
Infatti, in base alia (74.2), rappresenta il doppio dell’area del semicerchio al di sopra dell'asse
delle x
Effettuiamo la sostituzione x = rt. Utilizzando la formula (73.14) con x = g(t) - rt, si
ottiene
(74.7)	I л/г2 “ x2 dx = I ^r2 - r2 t2 r dt = i2 I - t2 dt
-r	-i	-i
e rultipio integrate, calcolato in (73.17), e uguale in Jt/2.
Kjassumendo, abbiamo dimostrato che Гагеа di un cerchio di raggio г vale
(74.8)	area di C = 2 f - x2 dx = 2 г— = Jt r2 .
J	2
П lettore osservi che abbiamo gid. calcolato Гагеа del cerchio alia fine del paragrafo 23.
Possiamo calcolare Гагеа della regione piana racchiusa dalPeZArje di equazione
(74.9)	4 + g = l;
a- b
la regione E di cui vogliamo calcolare Гагеа & quindi definita dalle limitazioni
(74.10)	E = ((x, y): - a £ x £ a, - ~ ^a2 - x2 i у £ - ч/а2 - x2| ;
a	a
con lo stesso proc edime n to usato in precedenza per il cerchio, otteniamo che Гагеа deirel-
lisse vale
238 Capitolo 9
Appendice al capitolo 9
75.	Integrali impropri
Nei paragrafi precedent! abbiamo studiato I’integrale definite di un«
funzione limitata in un intervallo chiuso e limitato [a, b]. Nelle applicazioni
e utile considerate anche integral! come i seguenti;
(75.1)
Tali integral! non rientrano nei casi gia trattati; infatti nel primo caso
I’integrale ё esteso ad un intervallo illimitato; nel secondo caso la funzione
integranda non ё limitata per x —> 0+. Integrali come quelli in (75.1) pren-
dono il nome di integrali impropri.
Per definite il valore degli integrali impropri, consideriamo funzioni che,
oltre ad essere continue all’intemo delTintervallo preso in considerazione,
sono anche non negative. Consideriamo preliminarmente I’integrale impro-
prio esteso ad un intervallo illimitato [a, + «); diamo la seguente definizione:
(75.2)
f(x) dx = lim I f(x) dx.
ь—J a
La definizione ё ben posta, регсЬё ё possibile provare che es&rte il iimite
a secondo membro} a tale scopo consideriamo la funzione integrate
(75.3)
F(b) = f(x) dx
e notiamo che, come al solito, F ё funzione del? estremo dt integrazione b.
La derivata di F rispetto alia variabile b ё nota in base al teorema fonda-
mentale del calcolo integrate: F = f. Dato che f > 0, anche К > 0; percib F,
essendo una funzione crescente, ammette Iimite per b —> + «>. E duuque
lecito definite, come in (75.2)
(75.4)
f(x) dx = lim F(b).
Iruegraii indefiniti 239
L’integrate improprio e detto convergente se U limite ё finite, ё detto
divergent^ se il limite ё + «>.
Riprendendo П primo integrate in (75.1), risulta
— dx = Um — dx ж
x*	ь->4- J< x2
(75.5)
= lim —
ь—>» L \li
= lim r + 11 = 1*
Pih generalmente, per ogni p 1, possiamo considerate rintegrale:
(75.6)
= lim ---------
ь—>*«. _1 ~~ p_ i
b'-P
— Um h—— +------.
ь->+- Ц - p p - 1)
L’integrale improprio converge о diverge a secondo che i’esponente p sia maggiore о
minore di 1; infatti:
(75.7)
,+" 1	Г1/(р “1) se P > 1
se p < 1
In modo analogo si definisce 1’integrale improprio di una funzione con-
tinua e non negativa in un intervallo illimitato del tipo (—	a], oppure (— «,
+ «»). Ad esempio;
(75.8)
f (x) dx = lim | f(x) dx .
b” )! J
b ) Ivo 4 Ь
Non sempre ё possibile calcolare esplicitamente una primitiva di una
data funzione. In tai caso pud essere utile ilseguente criterio per stabilire se
un integrate improprio su un intervallo illimitato ё convergente.
CRITERIO DEL CONFRONTO. — Supponiamo che nell’intervallo [a, +
risulti 0 < f(x) £ g(x). Se Г integrals improprio relativo alia funzione g
nell’intervallo [a, + «) e convergente, allora anche I'integrale improprio relativo
alia funzione f in [a, + <») e convergente, Se invece rintegrale relativo ad f ё
divergente, anche rintegrale relativo age divergente.
240 Capitolo 9
Dimostrazione: per la propriety di confronto (63JI) risulta
(75.9)
f(x) dx S g(x) dx.
Calcoliamo il limite per b —> + «>, Esiste i! limite di entrambi i membri. Se il limite a
secondo membro ё finite, anche il limite a primo membro deve risultare finite. Se invece il
limite del primo membro & infinite, anche ii limite dei secondo membro deve essere uguale a
Ad esempio, verifichiamo che il seguente integrate improprio ё convergente:
(75.10)
e“ ** dx < + <*».
Naturalmente l’integrale (75.10) Ъ convergente se e soltanto se ё convergente (’analogo
integrals esteso all’intervaUo [!, + »), invece che [0, + «>); infatti i due integral! differiscono
fra loro dell’integrale definite su [0, 1] dalla funzione data. Per x g [1, + <*>) risulta 1 £ x, e
quindi
(75.11)
f(x) = e" £ e~ *’ x = g(x),
Vx e [1, + co).
La funzione a destra ha il vantaggio di avere una primitive facilmente calcolabile; risulta
(75.12)
e~ ’’ x dx = lim I e” *’ x dx = lim —
ь—J.	t»" >>—	2
Percid I'integrale improprio relativo alia funzione g(x) nell’intervallo [lt + «>) fe conver-
gente. Per il criterio del confronto anche rintegrale improprio della funzione f(x) fe conver-
gente; ciofe vale la (75.10).
In modo analogo si procede per rintegrale improprio, esteso ad un
intervallo [a, b], di una funzione che non e continua ad un estremo di
integrazione, ad esempio aU’estremo a. Supponiamo che f sia una funzione
continua e non negativa nell’intervallo (a, b]; definiamo:
f f(x) dx = lim f f(x) dx .
Ja	h-»0* Ja + h
(75.13)
Integral! indefbiiti 241
Come in precedenza si verifica che 1’integfale definite a secondo
membro ё monotono rispetto ad h, quindi esiste il limite per h —> 0 +. Se il
limite e finite, I'intcgrate improprio (75.13) si dice convergente, altrimenti si
dice divergente.
Lasciamo al lettore la cura di formulare un criterio di confronto per
questo tipo di integral! impropri.
A titolo di esempio, calcoliamo per ogni p * 1, ('integrate improprio
(75.14)
f1 l	Г1
— dx = hm x"? dx ~
l0 X₽ lr->0+ Jh
- lim ---------
h->U+ Ll — pJh
1 h'~p
L’integrale improprio converge о diverge a secondo che p sia minore о maggiore di 1;
infatti:
(75.15)
fv(i - p)
se p < 1
se p > 1
In particolare il secondo integrate dell’esempio iniziale (75.1) ё convergente e si ottiene
dal conto precedente per p = 1/2:
(75.16)
'о Vх
76.	Definizione di logaritmo, esponenziale, potenza
Abbiamo introdotto le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo nel
paragrafo 9 a partire dalla espressione ab, con a, b numeri reali (a > 0). Ci
siamo basati preliminarmente sulla idea intuitive di elevazione ad espo
nente reale ed abbiamo dato un significato rigoroso alia espressione ab nel
paragrafo 12 per mezzo di un lemma di densita del codominio della fun-
zione esponenziale. In questa sede seguiremo un approccio diverse, basato
sul concetto di integrate definite.
In questo paragrafo ci proponiamo infatti di defimre la funzione loga-
ritmo per mezzo di una opportuna funzione integrate e da questa dedune le
definizioni della funzione esponenziale e della funzione potenza. Natural-
mente supponiamo validi gli assiomi dei numeri reali; in particolare sono
deficit! il prodotto ed il quoziente tra numeri reali e la elevazione ad
242 Capitolo 9
esponente naturale an, come prodotto del numero a per se stesso n volte
Oltre a cid, utilizziamo i risultati dimostrati senza far uso delle tre funzion
che intendiamo definire.
La funzione l/t ё continua e decrescente per t > 0; a partire da essa
consideriamo per x > 0 la funzione integrate
(76.1)
(x > 0)
In base al teorema fondamentale del calcolo integrate, F(x) ё derivabile
per x > 0 e la sua derivata vale 1/x. In particolare F(x) e una funzione
continua.
Fissati due numeri positivi xb x2, calcoliamo la funzione F nel prodottc
XiX2
(76.2)
NelTultimo integrate effettuiamo la sostituzione t = g(s) = X[S. Risulta
g'(s) = xi. Inoltre, se s e [1, x2], allora t e [xb XiX2L base alia formula
(73.14) di integrazione per sostituzione per gli integral! definiti, otteniamo
(76.3)
dt _ p ds
t 
J, J-w.
In defmitiva, con le (76.2), (76.3) abbiamo provato che
(76.4)	F(xtx2) = F(xJ + F(x2),	V xL , x2 > 0.
In particolare, per Xj = x2 = x, risulta F(x2) = 2F(x) e piii generalmente
(76.5)	F(xn) = nF(x),	Vx >0, Vn g N.
Dalla stessa definizione segue che F(l) = 0. Verifichiamo ora che F(e) =
1, con e numero di Nepero defniito nel paragrafo 25 come risultato del limite
(76.6)
e — lim xn ,
Integrali indefiniti 243
Per la propriety (76.5) e dato che F(l) = 0, abbiamo
(76.7)
F(xB) = nF
П
+ — I = n
nJ
F(1 + 1/n) - F(l) .
aell’ultimo membro compare il rapporto incrementale della funzione F nel
punto x = 1, con incremento h = 1/n. Per n —4 + «» otteniamo
(76.8)	F(e) = lun F(x„) = hm —--------------—i--------= F(l) ;
n—>+-»	n—M®*	-If И
dato che K(x) = 1/x, risulta K(l) = 1 e quindi
(76.9)	F(e) « 1.
La funzione F(x) ha derivata (= l/x)positiva per ogni x > 0; percid e
una funzione continua e strettamente crescente per x > 0. In base, al criterio
di invertibilit^ del paragrafo 35, F e invertibile, cioe esiste la funzione
inversa di F, che indichiamo con F“l e che ё definita da
(76.10)	F4(y) = x <=> F(x) = y,
Fissato a > 0, scriviamo la relazione precedente con x = a11. Dato che у =
F(x) = F(an) = nF(a), abbiamo
(76.11)	a" = x = F[ (y) = IT1 (nF(a)).
La relazione precedente giustifica la seguente
DEFINIZIONE. — Se a, x sono numeri reali, con a > 0, definiamo I'espressione
*a elevato ad x* nel modo seguente:
(76.12)	a’ = F"' (x F(a)).
In particolare» ponendo a - e, dato che F(e) ~ 1, abbiamo la fiinzione
esponenziale:
(76.13)
ex = F~l (x).
244 Capitolo 9
Se, come al solito, la funzione logaritmo (in base e) e la funzione
inversa di ex, otteniamo
(76.14)
log x ~ F(x).
Risultano quindi definite le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo e
si riconosce facilmcnte che esse godono delle propriety illustrate nel para-
grafo 9.
Ad esempio la proprieta (9.14):
(76.15)
log (X| x2) = tog Xi * tog x2.
Vxp x2 > 0,
ё gjA stata provata in (76.4), Mentre la proprieta (9.15):
(76.16)
tog (xa / x2) * log Xt - log x3,
Vx(, x» > 0,
si ottiene dal precedente caso (76.15), ponendo y( = хД, e y, =x2; risulta
(76.17)
tog (У1 yj = log y, + log y2.
da cui la conclusione (76.16), essendo y, ya = x,.
CAPITOLO 10
FORMULA DI TAYLOR
La formula di Taylor (con il resto di Peano) e stata gi& introdotta nel
paragrafo 52 e ne sono state esaminate le prime proprieta e conseguenze,
come ad esempio il criterio per stabilire se un punto e di massimo о di
minimo relativo, in base all’annuli ar si, о mono, delle derivate successive alia
prima.
In questo capitolo riprendiamo la formula di Taylor in ipotesi general! e
ne esaminamo ulterior! propriety.
77. Resto di Peano
Consideriamo un polinomio p(x) di grado n a coefficient! reali
(77.1)
p(x) = a0 + at x + a2 x2 + ... + an xn .
La funzione p(x) e indefiiiitamente derivabile in R e le sue derivate di
ordine maggiore di n sono tutte nulle. Inoltre e facile verificare che
(77.2)
p(0) = a0 ,	pw(0) = k! ak ,
per ogni к < n. Ricavando i valori dei coefficient! a^, possiamo riscrivere il
polinomio (77.1) nella forma seguente:
(77.3)
, x /лх P'(0)	P"(0) ,	p(n)(0) ,
p(x) = p(0) + t-! X +	£ + ... + —А2 X».
1!	Z!	П!
In altre parole un polinomio di grado n ё noto una volta che siano noti
il suo valore e quelli delle sue derivate nelio zero.
Sostituendo il ruolo dello zero con quello di un qualunque punto Xq e R
si perviene analogamente ad un’espressione del polinomio p(x) in cui inter-
vengonb solo il suo valore e quelli delle sue derivate in x0:
246 Capitolo 10
. .	, 4	P'(x0)	P"(Xo) 2
p(x) = p(x0) + (x - Xo) + —— (x - Xo)2 +
(ПА)
(x - Xo)" .
Dalla (77.4) segue in particolare che un polinomio di grado n ё univoca-
mente determinate una volta che siano noti i valori che esso e le sue prime
n derivate assumono in x0.
Sia ora f(x) una funzione derivabile n volte in un punto Xq e cerchiamc
di determinare un polinomio pn(x) di grado minore о uguale a n che veri-
fichi le uguaglianze
(77.5)	p„(x0) = f(Xo), p'„(xo) = f(x0).... p'n)(xo) = ^>(хо).
Tale polinomio deve avere, per la (77.4), 1’espressione
p„(x) = f(Xo) +
(77.6)
Г(хр)
2!
nl
Le condizioni (77.5) sono verificate da pn. Percid il polinomio di grado
minore od uguale ad n che verifica le uguaglianze (77.5) esiste, ё unico, ed ё
rappresentato in (77.6); tale polinomio prende il nome di polinomio di
Taylor* di ordine n e centro Xq, della funzione f(x).
Definiamo la funzione resto:
(77.7)	Rn(x) = f(x) - pn(x).
La funzione Rn(x) (resto della formula di Taylor di f) rappresenta I’er-
rore che si commette quando in x si sostituisce a f(x) il suo polinomio di
Taylor di centro Xq e ordine n.
FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO DI PEANO. — Se f ё derivabile n
volte in Xq, il resto Rn(x) e un inftnitesimo in x0 di ordine superiors a (x — Xq)”,
ossia
(77.8)	Iim	= 0.
x-Jx. (x - Xo)n
Formula dt Taylor 247
La dimostrazione che segue si differenzia da quella proposta nel paragrafo 52 per il fatto
che, in questa sede, non si suppone la continuity della derivata п-suna nel punto Xq.
Dimostrazione: tenendo presente la definizione (77,7) di Rn(x), la tesi da dimostrare У la
seguente:
RJx) f(x)-pn(x)
lim ---------» hm----------— —
(77.9)
f(x) - inХц) + Г(Хй)(х - X«) +... + tw(iQ(x - X,,)" /П!]
lim----------------------------------------------------=0.
(x-x0)"
Applicando n - 1 volte il teorema di L'Hdpital (il limite (77.9) ft una forma indeterminata
0/0) si perviene a
+	- X,,)]
lim-------------------------------------------
x-	П!(Х - Xn)
(77.10)
Hm
Г"-"(Х) ~ f'n-,1(x„)	1
--------r-;---------------? (x,,)'
= (f”(x„) - f’W) = 0.
DEFINIZIONE DI «о piccolo». — Siano f(x), g(x) funzioni definite in un
intorno di Xq (con la eventuate eccezione di Xq), non nulle per x Xg. <S7 dice che
f(x) У per x —> Xq un infinitesimo di ordine superiore a g(x), oppure
equivalentemente che f(x) e un «о piccolo» di g(x), e si scrive
(77.11)	f(x) = o(g(x))	(per x Xq),
je g(x) Ъ una funzione infinitesima per x —> x& e
(77.12)	lim ^4 0.
x-»XoE(x) 
Con tale definizione il resto di Peano (77.7), (77.8) si rappresenta anche
nel modo seguente:
(77.13)
RaW - o((« - «о)")
(per x Xo) ;
tenendo present! le espressioni del resto (77.7) e del polinomio di Taylor
248 Capil&to 10
(77,6), utilizzando (come nel paragrafo 52) il simbolo di sommatoria, si pud
scrivere la formula di Taylor con il resto di Peano nella forma;
(77.14)
fW = X ~cr~ (x - *0)“ + °<(x “ xo)n)-
k~0 k’
Si utilizza spesso la formula di Taylor con centro Xq = 0 (ed in tai caso si
chiama anche formula di Mac Laurin):
(77.15) f(x) = f(0) + f(0) x + ® xz + ... + x" + o(x”).
П!
Esplicitiamo tale formula per alcune funzioni elementari;
(77.16)
ex = 1 + x +	+ "7 + °(x°) i
2	3! n!
(77.17) log(l + x) = x - ф + ф - ... + (- 1)" + 1 - + o(x") ;
z J	n
(77.18)
(77.19)
T3 V5	rZn * 1
senx = x - — + — -	+ (- 1)"	+ o(x^) ;
„2 Y4	Y2"
= 1 ’ 2 + 4! - - + <- 1)0 (2n)l + 0(x2n+,) ;
(77.20) arctgx = x - ^ + ^ -... + (- 1)”	+ o(xZn+2).
3	5	2n + 1
Ad esempio, dalla (77,18), con n = 0, si ottiene sen x = x + o(x2) e, cambiando x con x2, о
con x , si ricava rispettivamente
(77.21)
sen x2 = x2 + o(x4), .sen x3 = x3 + o(x6),
2	3
esprimendo U fatto che, per x vicino a Xq — 0, le funzioni у — sen x e у — sen x hanno un
«comportamento» simile rispettivamente alle funzioni у - xz e у = x3. Cid e ben evidenziato
dalle figure 10.1,10.2, eseguite al computer; infatti, in figura 10.1 ё rappresentato il grafico
della funzione sen x2 che, per x vicino a x0 — 0, e simile alia parabola di equazione у = x2,
mentre il grafico in figura 102 della funzione sen xa d, per x vicino a Xq = 0, simile al grafico
della funzione y = x .
Per motivi analoghi, la funzione f(x) = 1 + sen(ex — I), rappresentata in figura 10.3, ha
per x vicino a xq = 0, un grafico simile al grafico della funzione у = ex. Invece, per x^-> + ««la
Гт nude di' Taylor 249
funzione f(x) oscilla con «periodo» (сйоё, piii preeisamente, «distanza tra zeri consecutivj»)
decrescente (dovuto al fatto che ex diverge a + « piu che lineannente) mentre ,ре г x —> —“°,
f(x) ammette asintoto orizzontale a quota 1 + sen(— 1) > 0.
Figura 10,1 — f(x) = sen xZ
3
Figure 10.2 — f(x) = sen x
250 Capitolo 10
Figura 10.3 — f(x) — 1 + sen(e* — 1}
78. Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti
La formula di Taylor con il resto di Peano si dimostra utile nel calcolo
di limiti di forme indeterminate, come nell’esempio che segue.
Si vogtia cakolare il Iimite:
(78.1)
1	1 A
x2 x sen. xJ'
II Iimite si presenta sotto la forma indeterminate 4- <» — (+• «), Utilizziamo la formula di
Taylor della funzione sen x centra xq — 0 .(si veda la (77Л8) con n — 1):
(78.2)
Si ottiene
(783)
sen x * x — — + o(x4)
6
lim
x—>0
1	\ sen x ~ x
—----- = lim —=---------
x sen x J	x2 sen x
..	— X3 /6 + o(x4)
lira -=-----;----------z" >
x-M) x3 — x? 16 + o(x6)
Formula di Taylor 251
si fe utilizzato il fatto che x2 * ofc4) — ofc6) (si veda la proposizione seguente); cosi pure si
sarebbe potuta utHizzare la propriety* — зс/б + o(x6) ofc4).
Dividendo numerator© e denominatore della (78.3) per x e tenendo presente che
(78.4)
o(x‘l) _
x3
oCx4)
—> 0 per x —> 0,
ii 4
come pure o(x )/x —> 0 per x —» 0, si ottiene infine il Iimite equivalent©
(783)
v - 1/6 + ofc4)/ x3	1
x-^o 1 - x2 /6 + ofc6)/ x3	6
Ai fiui del calcolo di limiti sono utili le proprieta degli «о piccoli»
elencate nella seguente
PROPOSIZIONE. — Valgono le propriety (m, n e N):			"0;
5 (78.6) (78.7)	o(xQ) + o(xn) e ©(x11) ;		
	c • ©(x”) - ofcx") = o(x"),	c = costante ?	
(78.8)	o(xn) - o(xn) = o(xn) ;		
; (78.9)	xm • ofc°) = o(xro+n) ;		
; (78-10)	o(xm) • o(x”) = o(xm+n) ;		-
' (78.11)	o(o(x")) ofc“) ;		
(78.12)	o(xn + o(x")) = o(x”).		
Dimostriamo la (78.6): siano ffc) = ofcn), gfc) = ofc”) due funzioni infini tesi me di
ordine superiore a xn per x —> 0, cioe tali che
(78.13)
Ijm^ = o
-»o xn
№ «& - a
->o x"
Ma ailora anche [ffc) + gfc)]/x”—> 0 per x —> 0, cioe ffc) + gfc) = ofc”), come si voteva
dimostrare.
La (78.7) afferma I’ovvia proprieta che se f(x)/x" —> 0 per x —> 0, ailora anche
(78.14)
c ♦ ffc) ffc)
x* * c • xn
convergono a zero per x —> 0, qualunque sia la costante c * 0.
252 Capitolo 10
La (78.8) si prove come la (78.6); si osservi che, in generale, поп e leciro porre o(x”) -
о(Хл) ® 0! Infatti o(xn) — o(xn) denota la differenza di due funzioni f(x), g(x), entrambe
infinitesime di ordine superiore a x" per x —> 0.
Le (78.9), (78.JO) st dirnostrano in modo analogo.
Dimostriamo la (78.11): posto f(x) = o(o(xn)), risulta
(78.15)
r(x) o(o(x"))
x“ O(X*‘)
o(x")
X11
per x —> 0:
percid f(x) — o(x") per x 0.
Dimostrazione della (78.12): posto f(x) = o(xn + o(xn)), si hfl:
(78.16)
f(x) ш o(xrt + o(x»)) Г + о(хцП » Q
xn x* + C(x") t Xn J
per x .0. Percib f(x) ~ o(xn) per x —» 0.
Come ulteriore esempio calcoliamo il Iimite
(78.17)
lim
1 cos X
---:—T* +
Л X3
sen 3x"\
3x4 J'
Ponendo 3x al posto di x nello svitappo della funzione sen x in (77.18) e utilizzando la
(78.7), si ottiene
(78.18)
9
2
Utilizzando anche lo sviluppo (77.19) della funzione coseno, 9 Iimite (78.17) diviene
,.	3 x3 — 3x cos x + sen 3x
Um --------------;---------
x-M)	3 X4
(7819)
3 x3 - 3x(l - x2 /2 + 0(3?)) + 3x - (9/2) x3 + o(x4)
3 x4
= lim 3 -1- <за) ~ С9Д) + Q(x<) _ lim _ 0
X’^O	3 X4	3 X4
Come ultimo esempio studiamo il Iimite di successione
(78.20)
che e ricondudbile (mediante la composraooe con la successione xn = 1/n e utilizzando il
teorema del paragrafo 31) аГ Iimite di funzione
Formula di Taylor 253
(78.21)
1	fogctw x
Um (cos x ) * = lim e *’
X-»
Utilizzando gli sviluppi in formula di Taylor delle funzioni cos x e log(l + x) e ie
proprieta degli «о piccoli», si ha:
(78.22)
Iog(cos x) = log
- - v + °<x2)’
da cui si deduce immediatamente che i limiti (78.20), (78.21) valgono eIQ
79. Resto integrate
FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO INTEGRALS — Se f e derivabile
n 4-1 volte in [a, b], con derivata f^n+^ continua, ii resto Rn(x), definita in (77.7),
si rappresenta nella forma
(79.1)	R„(x) = f (X - tr	Vx e[a. b).
Dimostrazione: per la definizione (77.7), e per la (77.6), il resto Rn(x) ё dato da
(79.2)
n
Rn(x) = f(x) - £
kM)
kl
(X - ItJ?
pertanto la tesi consiste nel dimostrare che il secondo membro. della (79.1) ё, per ogni x e
[a, b], uguale al secondo membro della (79,2): proviamo cid per induzione su n =0, 1, 2,...
Per n = 0, 1’uguaglianza dei secondi membri delle (79.1), (79.2)6 conseguenza della
formula fon da men tale del calcolo integrate; infatti:
(79.3)	J F(t) dt = [f(t)£ = f(x) - ад = Rn(x), Vx e [a, b].
*Л
Nell’ipotesi che f(x) ammetta derivata di ordine n + 2 continua in [a, b], assumiamo per
induzione ch?
Rn(x) = f(x) - 2	ь.) U “ xu) *
k=0 K'
(79.4)
= f	Vx e [a. b]
254 Capitolo IО
Integrando per parti otteniamo
f (x-t)"*'
L n + 1
R.W = -Jj •
ti!
(795)
(X - t)ntl
П +
^’(t) dt 
f
(n + 1)!
Г* (x - ()"*'
J (n + 1)1
Л|
dt.
che equivale alia test, con n 4* 1 al postd di n:
(79.6)
Rn . >(x> = f (Д f “2,(t) dt.
Jv (n + I )l
*0
V x g [a, bj.
80, Resto di Lagrange
Continuiamo ad indicate con Rn(x) il resto nella formula di Taylor,
definite in (77.7),
FORMULA DI TAYLOR CON IL RESTO DI LAGRANGE, — Se f e ‘
derivabile n +1 volte in [a, b], con derivata f<n+1) continua, per ogni x e [a, b] esiste
un numero Xj compreso tra xq ed x, tale che
f^x,)
(80.1)	R„(x) = (x - ХоГ1
Dimostrazione: supponiamo x > Xq (le differenze con il caso x < xn sono soltanto
formali). Indichiamo con m, M rispettivamente il minimo ed il massimo di nelTinter-
vaJlo [хц, x], certo esistenti essendo continua. Dalle disuguaglianze m £	(t) < M,
Vt s<(x{), x] e dall’espressione integrate (79.1) del resto Rn(x) deduciamo che
(80.2)
J n!	J ni
(x - x,J"*'

I'integrale e calcolabilc clementarmente e vale
Formula di Taylor 255
(803)
Percid
(80.4)
(X ~ Хц)П+1
(n + 1)!
m £ R„(x) 
(n + 1)1
(x - V‘ * ’
S M.
Per il teorema dell'esistenza dei valori intermedi applicato alia funzione f^n+lJ(t) (tale
funzione assume tutti i valori compresi tra П minimo m ed il massimo M) esiste X| e[x«. x]
tale che
(«03)
(""•"(x.) = r„w • (n + V;, •
(X - Xfi)" ’
Рет n = 0 la formula di Taylor con il resto di Lagrange non & altro che il teorema di
Lagrange (paragrafo 47): esiste x^ nell’intervallo di: estremi xq ed x tale che
(803)
f(x)" *(xq) = Koto = f (*}) ♦ (x - Xq),
Per n generico la formula dl Taylor con H resto di Lagrange & Utilizzata per la tabula-
zione numerica di funzioni; В infatti alia base della stima del resto (81.2), proposta nel para-
grafo seguente.
Appendice al capitolo 10
81» Tabulazione di funzioni
La formula di Taylor ё utile, oltre che per il calcolo di limiti, anche per
la tabulazione numerica delle funzioni elementari: si approssima un valore
di una funzione f(x) con un polinomio di Taylor di grado n, scegliendo x0 ed
n in modo tale che il resto Rn(x) sia compatibile con il grado di precisione
consentito dal problems. A questo scopo ё necessario avere una stima del
resto Ro.
STIMA DEL RESTO. — Sia. f(x) una funzione derivabile n + 1 volte in un
intervallo [a, b] contenente x^, con denvata f^n+1l continua in [a, b]. Posto
256 Capitolo 10
(81Д)	= max ||f<"’-|>(x)i : x e [a, b]J.
il resto Rn(x) della formula di Taylor verifica la disuguaglianza
|x - Xo)"*1
(81.2)	|Rn (x)l < M„T, -	.	Vx e [a, b].
(I) *r JJ!
Dimostrazione: ё diretta conseguenza della nipprescntazione del resto secondo la formula
di Lagrange (80.1); infarti, fissati x, xq e [a, b], se indichiamo con xt il punto per cui vale la
formula ( 80.1 к si ottiene:
|x ~ Xul**1
(81.3)

Diamo un’indicazione di come calcolare numericamente i valori di una
data funzione usando la formula di Taylor. Con il metodo che esponiamo si
possono costruire le tavole dei logaritmi о delle funzioni trigonometriche.
Si fissa preliminarmente il numero di cifre decimal! con cui lavorare, о
pih precisamente, il grado di approssimazione con cui si vuole conoscere il
risultato. Si esegue il calcolo usando il polinomio di Taylor (77.6), trascu-
rando il resto Rn(x), D resto, о errore che si commette, e stimato con la
formula (81.2).
Ad esempio, ci proponiamo di calcolare sen (1/10) con uu errore inferiore a 10~7.
Scriviamo la formula di Taylor per la funzione f(x) = sen x, con xp я 0 ed x ~ 1/10. Dato che.
la derivata f*Q\x) ё uguale a ± sen x oppure ± cos x, risulta |rp\x)| < 1, e quindi
(81.4)	= max ||f(n*t>(x)| : x 6
Perci&, se 0 £ x £ 1/10, otteniamo
(81Л)
х"+’	1
|R. (x)l < M.rf (n-+ JJ! * (n + 1);	;
si pub calcolare (n + 1)! * 10 per i primi valori di u; in particolare per n + 1 = 5 si trova
(81.6)
IR4 (x)| £-------5 «----------г < —-
51 10s 120 • 10s 107
quindi: commettianio un errore inferiore a 10 se approssimiamo il valore del seno di x con il
Formula di Taylor 257	258 Capitolo 20
valore dei polinomio di Taylor
(81.7)	sen x s x----,
6
Vx e 0, “ .
10
il valore di e, esatto fino alia sesta cifra decimale, ё il seguente:
(81.14)
e = 2.718281...
Ponendo x = 1/10 otteniamo il valore:
(81.8)
1^1 1 599
10 = 10 6 • 103 “ 6000
= 0.09983333....
Per valori pih grandi di n, con lo stesso metodo si trovano, ad esempio,
le prime trenta cifre decimali:
L’errore commesso e inferiore a 10"7 = 0.0000001. Go significa che Le prime sei cifre
decimal! trovate sono esatte. Quindi possiamo senza dubbio affermare che
(81.15)	e = 2.718281828459045235360287471352...
(81.9)
sen -4 = 0.099833...
10
Il disegno grafico in copertina del presente volume ё stato composto
utilizzando la (81.15).
Volendo conoscere altre cifre decimali di sen (1/10), basta atimentare n. Ad esempio, se
si vuole un risuitato con un errore inferiore a IO"1 , basta prendere n - 6. Dalia stitna (81.5)
si ottiene |Кб(х)| < 1/(7! 107) < 10"t0. Eseguerido i calcoli, si trova il valore esatto fino alia
nona cifira decimale:
(81.10)
1 _ 599	1
16 = 6000 + 120.10s
0.099833416^,
Calcoliamo ora valori numerici approssimati del numero di Nepero e;
utilizziamo la formula di Taylor per la funzione f(x) « ex, con centro Xq = 0 e
con x - 1.
Poich6 la derivata f^n)(x) e uguale ad ex qualunque sia n, e dato che la
funzione ex ё strettamente crescente, risulta
(81.11)
Mn+1 = max [ex : x g [0a 1]) - e < 3.
Ponendo x0 = 0, x = 1, nella stima del resto (81.2), abbiamo
(81-12)	|ЕЦ, (x)| £	+	+	.
Ad esempio per n - 10 si trova |Rn(x)| < 3/11! < 10"7. Quindi otteniamo
il numero e dal polinomio di Taylor (77.16) per la funzione e* con Xo = 0,
x = 1, n — 10:
(81.13) e = i + i+ i + ^ + ... + ^ = 2-71828180114-
П risuitato ё stato ottenuto a meno di un errore inferiore a 10 7. Percid
260 Capitolo II
CAPITOLO И
SERIE
A titolo di esempio consideriamo la serie seguente, detta serie di Mengoli:
(82.4)
111 1
- d-+ - + ... -I-+ ...
1-2 2*3 3*4 n(n + 1)
82. Serie numeriche
Sia an una successione di numeri reali* Ci proponiamo di definire la
somma dei termini della successione, doe di definite Г espressione
(82,1)
+ a2 + a3 + ... 4- a,, + ..*
Introduciamo la somma sn dei primi n termini della successione (detta
anche somma parziale, о ridotta n-sima):
(82.2)
n
sn ~ al + a2 + *“ + an = S alt '
k=l
Tale successione prende il nome di serie di tennine generate an.
Ricordiamo che il simboio S, di sommatoria, ё stato introdotto nel para-
grafo 52. Ё naturale definite Fespressione (82.1) come limite, per n —> + <»,
della successione sn delie somme parziali. Ciod poniamo per definizione
(823)	ak = lim sn = lim X ak •
k=l n-H->
Il simboio a primo membro si legge: somma, о serie, per к che va da 1 a
4- «>, di ak. Se il limite per n —> 4-« di sn esiste ed ё un numero finite, si dice che
la serie ё convergente, Se il limite di sn vale 4-00 (oppure - °°), si dice che la
serie ё divergente. Una serie convergente о divergente si dice regolare. Se non
esiste il limite per n 4- « di sB si dice che la serie ё indeterminate;
naturalmente, la somma della serie a primo membro della (82.3) ё definita
solo nel caso in cui la serie ё regolare.
II carattere di una serie ё la stia propriety di essere convergence, 0
divergente oppure indeterminata.
La somma Sn dei primi n tennini della serie ё data dalla formula (11.15), dimostrata nel
paragrafo 11 per induzione:
(82.5)
n
s.= L
k-1
1	_ П
k(k + 1) n + 1 ’
per n—> +	sn converge ad 1. Quindi la serie data ё convergente e la somma vale
(82.6)
£ k(k +1) - n*x.s" h
Consideriamo ora la serie associate alia successione an = (— l)n, doe:
(82.7)	- 1 + 1 - 1 + ... + (- 1)" + ...
Per la successione sn delle somme parziali otteniamo: — 1; s2 = 0; S3 = — 1; S4 = 0;...
La successione s^, non ha limite; quindi la serie (82.7) ё indeterminate.
Si noti che 1’esempio (82.7) di serie indeterminata ё stato date a partire
dalla successione an = (— 1)" che non converge a zero; questo ё un motivo per
escludere a priori che la serie converga, secondo la seguente:
CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA DI UNA
SERIE. — Se la serie У, ak fe convergente, allora la successione an tende a zero
k=l
per n —»+«>.
Dimostrazione; indichiamo con sn la successione delle somme parziali e con s € Il la
somma della serie. Essendo
(82.8)	sft + j в,, + a„ + 1 .
risulta
(82.9)	Hm ая+| lim snr, — lim sh = s - s = 0;
II" >!*•	Il—n—
Vn e N,
Osserviamo che la condizione precedente ё necessaria ma non sufficiente per la conver-
genza di una serie, come si vede dal seguente
Serie 26 I
ESEMPIO. II termine generale della: serie
(82.10)
ё infinitesimo, ma la serie ё divergente. Verifichiamo infatti, per induzione, che la sua ridotta
n-sima fc data da
(82.11)
Sn = т/п + 1 - 1 .
Cio ё immediate per n • 1. Supposta vera ia (82. LI) per n « m, verifichianiola per n« m
4- 1, Sia dunque sm ~ д/т + 1 - 1 , ailora
(82.12)
soh4 “ sm + t----- I------	— 1 + j	-	. _
'7m + 2+'Vni +1	ym+2 4* д/m +1
Essendo evidentemente
(82.13)
	---- : = д/т -t* 2 - д/т 4- 1 ,
ym + 2 4- y/m 4- 1
dalia (82.12) segue sm+l = y/m + 2 - 1 r ciofc la tesi.
Quanto segue in questo paragrafo pud essere omesso ad una prima
lettura.
Dal criterio di convergenza di Cauchy per le successioni di numeri reali
si ricava il
CRITERIO DI CAUCHY PER LE SERIE. — Condizione necessaria e
oo
sufficiente affinche la serie a* sia convergente e che, per ogni e > 0, esista
k=l
v > 0 tale che
n+p
(82.14)	[ £ a* I = । a«.i + a«+2 + - + a»tP I < e
k=n+l
per ogni n > v e per ogni p e N.
Dimostrazione: indichtamo con sn la successione delle somme parziali c ricordiamo, dal
criteria di Cauchy per le successioni (paragrafo 28), che sn converge se e solo se per ogni e >
(1 esiste v > 0 tale che per m > v, n > v
(82.15)
1$1и ®iJ '
262 Capitolo J]
Essendo per m > n, m a n + p con p € N. si ha
m	n	n+p
(82.16)	Sj„ - sn = X ak “ 2	= S at •
k=l	k=l	k=n+l
da cui la tesi.
Dt facile verifica sono le seguenti proposizioni.
PROPOSIZIONE L — Se le serie di termine generale ak e bk sono regolari e se
no	«J
(82.17)	X ak + X bk
k=l	k-1
ha significato in R = R c? {- *», ailora la serie di terrnine generale ak + bk e
regolare e risulta
PO	DO
(82.18)	X (“k + bt) = X «к + X bk •
k=t	k^l k=l
PROPOSIZIONE 2. — Se la serie di termine generale ak ё regolare, anche la
serie di termine generale c • ak e regolare per ogni c e R e si ha
(82.1^)	S c * ak = c ‘ S ak •
k»f	k=l
Utile ё la nozione di resto di una serie.
Data la serie ak , per ogni n e N consideriamo la serie resto n-simo
k=i
(82.20)
®n4-J an+2 + ®n+3 *** — + a«+k + *"
ottenuta trascurando i primi n termini della serie data; cioe consideriamo la serie di temritie
generate Ьк, con
(82.21)
bt =
ak
per к = 1,	□
per к > n .
0
Sussiste il seguente
Serie 263
TEOREMA DEL RESTO. — Se la serie £ afc ё convergente anche la serie resto n-simo
k—1
lo ё. Detta Rn la sua somma, eio€ posto
M
(8252)	R. = La.rt= X
k=d k»n>l
si ha inoltre
(82.23)	Hm R„ = 0 .
Dimostrazione: essendo. per m > л. b]n — am = 0 si ha
(«2.24)
m	n
Z <bk ~ ak) = X <bk - ak)
16=]	k«l
per ogni m > n. Pertanto la serie di termine generate bk. — ak e convergente. Tale risulta
allora. in base alia proposizione I, anche la serie di termine generale bk = (l\ - ak) + a^.
La (82.24) pub esser riscritta come
m	ii	n
(82-25)	J (ak - bk) = £ (ak - bt) = £ ak .
k-l	fc=l	Uf
per ogni m > n; per cui. passando il limite per m —>	si ha
(8226)
ed anche
(82.27)
E (ak ~ bk) = a, + a, + ... + an .
k=l
Z ak - Rn 3 al + *2 + -- + an 
k>l
Passando al Hmite per n «> in tale relazione, si ricava la (R2.23).
83.	Serie a termini non negativi
См3
Diremo che una serie X ak ё a termini non negativi se per ogni n e N
k«l
risulta an > 0. Diremo che una serie ё ia termini positivi se an > 0 per ogni n.
La successione sn delle somme parziali di una serie a termini non nega-
264 Capitolo il
tivi e crescents. Infatti, dato che a11+1 > 0 per ogni n, risulta anche
(83.1)	Sn+J ~ ®n an+l — sn.
Quindi, in base al teorema sulle successioni monotone (paragrafo 24), sr
non pud essere indeterminata, ma ammette sicuramente limite (eventual-
mente uguale a 4- «»). Abbiamo cosi dimostrato il seguente:
TEOREMA SULLE SERIE A TERMINI NON NEGATIVE — Una serie a
termini non negativi non pub essere indeterminata. E quindi convergente, oppure
divergente positivamente.
Ad esempio, in base al teorema sulle serie a termini non negativi ed alia proposizione
del paragrafo precedente, e possibile affermare che
infatti, la serie data ё a termini positivi, quindi pub essere divergente a + oppure
convergente. Ma non e convergente, perche la successione an = n/(n 4-1), non tende a zero
per n—> 4* <», ma tende a 1.
Evidentemente la somma di una serie a termini non negativi conver-
gente ё maggiore о uguale di ciascuna delle sue somme parziali sn.
84.	La serie geometrica
Per ogni mimero reale x eonsideriamo la serie geometrica
oo
(84.1)	xk = 1 + x + x2 + ... + xn + ...
k=0
П numero x si dice ragione della serie geometrica.
Se x e positive, la serie ё a termini positivi; percid; se x > 0, la serie ё
convergente oppure divergente. Se x > 1, la successione an = xn non tende a
zero; quindi, in base alia condizione necessaria per la convergenza di una
serie, la serie ё divergente, cioe risulta
(84.2)
f xk = + ”
k=0
Vx> 1 .
Serie 265
Fissato x < 1, calcoliamo la somma parziale sn. Ricordandp la formula
(11.7), abbiamo
(84.3)
n
S„ = X xk =
k=0
n+1
(— 1, 1), mentre non ha limite se
In accordo con la relazione di limite (23.1), per n —» + xn+l
zero se x e
otteniamo
tende a
x < — 1. In corrispondenza
(84.4)
Iim
1/(1 - x),
se
non esiste,
se
Riassumendo, la serie geometrica ё convergente se |x[ <1, divergente se
x > 1, indeterminata se x < — 1. Risulta inoltre:
(84.5)
se
k=0	1 ~ x
Per mezzo della serie geometrica siamo in grado di chiarire una proprieta
ben nota di quei numeri reali che, in forma decimale, hanno un allineamento
periodico. Ricordiamo che ogni allineamento decimale periodico pud essere
trasformato in un numero razionaie mediante la frazione generatrice., ciod
quelia frazione che ha a numerators le cifre del periodo e per denominators
tanti P quante sono le cifre del periodo.
Ad esempio, verifichiamo che
(84.6)
—	13
0.13 = 0.131313... = — .
99
L'allineamento decimale periodico 0.13 si scrive in modo preciso in forma di serie, la
quale e poi calcolata per mezzo della formula (84.5):
0.13 = 0.13 + 0.0013 + 0.000013 + ...
(84.7)
л 1	102 13
= 0.13---------r = 0.13
1 - 10-2	99	99
266 Capitolo 11
i .
85.	La serie armonica
La sene seguente e detta serie armonica’.
11 1
(85.1)	1 + - + - f ... + —I- ...
v 7	2	3 n
Per stabilire il carattere di tale serie, ciofe per stabilire se la serie data ё
convergente о divergente, osserviamo che, per ogni к e N,
(85.2)
Calcolando 1’integrale definite nell’intervallo [к, к + 1], otteniamo
(85.3)
Consideriamo Гагеа della regione piana al di sotto del grafico della
funzione 1/x, per k<x<k + l,ealdi sopra dell’asse delle x. Nella relazione
precedent^ abbiamo confrontato tale area cpn Гагеа del rettangolo dise-
gnato in figura 11.1.
Sommando, per к che varia da 1 ad n, otteniamo
(85.4)
A secondo membro с’ё la ridotta n-sima sn della serie armonica. Svilup-
piamo la somma a primo membro (utilizziamo la proprieta (63.1) di additi-
Serie 267
vita dell’integrale rispetto all’intervallo):
n fk+l dx fn+1 dx
(85.5)	sn>I ^=|	S=log(n+1).
k=i x л
La successione log(n + 1) tende a + ©© per n —> + ©°; quindi anche la
successione sn tende a + Cioe la serie armonica (85.1) e divergente.
Data I’importanza dell'argomento, proponiamo urn.secpnda dimostrazione della diver-
genza della serie armonica, senza far iiso del calcolo integrate.
A tale scopo ricordiamo (paragrafo 25) che
(85.6)
e una successione crescente, convergente al numero di Nepero e per k—> +
quindi '
abbiamo
(85.7)
e > ak = I + - , •
I kJ
Vk e N.
Dato che la funzione log x ё crescente in (0, + ~), risulta log e > log a^, per pgni к e N; cioe
(85.8)
da cui
(85.9)
1 — log e > log 1
- > tog
f—r—1= loe(k + 0 ~
I k /
Hk	(
+ - — к log L
К J	v
log k,
Vk e N,
Vk e N.
Sommando per к = 1, 2,...,n, otteniamo
(85.10)
> [log(n + I) — log n) + [Log n — I6g(n — 1)] +
+ [log 2 — log I] = log(n + 1) - log 1 = log(n + I).
Si nori che, per akra via, si e ottenuta di nuovo la (85.5). Dato che ia successione
log(n +1) diverge a + «> per n—» +«», anche la successione sn delle somme parziali diverge a
+
Consideriamo, per ogni valore del parametro positive p, la seguente
serie armonica generalizzata:
268 Capitolo 11
(85.11)
Procediamo analogamente a come fatto in precedenza. Se к < x < к + 1
risulta
(85.12)
—L_s±s±,
(k + l)p xp kp
Vx 6 [к, к + 1]
Jhitegriamo nell’intervallo [к, к + 1] e sommiamo rispetto a k:
(85.13)
La somma a destra e la ridotta n-sima sn; la somma a sinistra, a menc
del primo termine (uguale ad 1), ё la ridotta (n + l)-sima. Quindi possiamc
riscrivere la relazione precedente nella forma
(85.14)
dx
Tp ~ s°
1
Abbiamo gia considerate il caso p = 1; distinguiamo ora i casi p < 1 e p >
1. Se p < 1 otteniamo
(85.15)
dato che 1 - p > 0,1’ultimo membro tende a + per n—> + «>; quindi anche
la successione s„ tende a + ©о. Pertanto la serie armonica generalizzata ё
divergente se p < 1.
Invece, se p > 1, dalia (85.14) otteniamo
(85.16)
dato che 1 - p < 0, per n —> + °° la successione (n + l)1-p tende a zero.
Quindi la successione sn+1 (che ha Iimite perche la serie e a termini positivi)
e convergente.
Serie 269
Riassumendo, abbiamo dimostrato che la serie armonica generalizzata e
convergente se p > 1 ed e divergente se 0 < p < 1. Naturalmente la serie
(85.11) e divergente anche se p < 0, in quanto il suo ternune n-simo non
tende a zero.
86.	Criteri di convergenza
Non sempre & semplice calcolare esplicitamente la somma di una serie
(per questo spesso si ricorre a metodi numerici). Ё pih facile ed e sempre
interessante poter stabilire a priori il carattere di una serie, cioe stabilire se
una data serie e convergente oppure no. Considereremo sempre in questo
paragrafo serie a termini non negativi.
CRITERIO DEL CONFRONT'D. — Siano an, bn due succession! tali che 0< an
< bn per ogni n. Si ha:
(86.1)	X bk < + “	=> Z ak < + 00;
k=l	k=l
(86-2)	X ak = + ее	У, bk = + ее. л
k-L	к=1
Dimostrazione: indichiamo con sn, tn le ridotte n-sime delle due serie relative rispettiva-
rneflte alle succession! an, bn. Per le ipotesi fatte risulta sn 5 tn per ogni n. inoltre le due ridotte
sn, tn han no limite per n—> 4- dato che le serie date sono a termini non negativi. Percid, se il
limite di tn e finite anche il limite di sn e finite, cioe vale la (86.1). Analogamente, se il limite di
sn ё +• apche tn diverge a -t- °=s cioe Vale la (86.2).
Osserviamo esplicitamente che, nelle ipotesi del teorema di confronts, ё sufficiente
assumere che an 5 bn per n grande, cioe per ogni h > v, con v fissato.
i
CRITERIO DEGLI INF1NITESIMI. — Sia an una successione a termini non
negativi Supponiamo che, fissato un numero reale p, esista il limite:
(86.3)	f = lim np an .
n—
Si ha:
DQ
(86.4)	C v* + «», p > 1	=*>	ак < + “ ;
л	k=l
270 Capitolo 11
(86.5)
f * 0, p 5 1	=>
X ak = + “
Dimostrazione: nella condizione (86.4) con il limite t finite, per la definizione di limite d
successione (con e — 1), esiste un indice v tale che
, (86.6)	np an < I’ + 1,	Vn > v
Per tali n risulta quindi 0 < ап < (Г + 1 )/np. Applichiamo il criterio di confronto (86.1)
con bn = (Г + l)/np. Dato che p > 1, la serie armonica generalizzata relativa a bn e conver-
gente; quindi anche la serie relativa ad an converge.
Nella condizione (86.5) con IVO, esiste un indice v tale che (per sempiicita consideriamc
fe R)
(86.7)	np an > (72,	Vn > v .
Procedendo in modo analogo a come fatto in precedenza otteniamo la (86.5).
A titolb di esempio, possiamo affermare che la serie
(86.8)
s
k=1
ё convergente. Cib segue dal criterio (86.4) con p — 4; infatti risulta
(869)
Allo stesso modo, applicando il criterio (86.4) con p = 2, si verifica che la serie seguente
e convergente:
'	- r	n
(86.10)	1	У 1 - cos - < + ==.
I	iSt I	V
CRITERIO DEL RAPPORTO. — Sia a, una successione a termini positive
Supponiamo che esista il limite
(86.11) ,,	C= lira — .
Serie 271
Dimostrazione: supponiamo !*< 1 e scegliamo un numero x tale che i‘< x < 1. In base alia
definizione di limite di successione (con e = x — t’). esiste un indice v per cui
^u+i
(86.14)	— < x,	Vn > v.
an
Per semplicita supponiamo che I’indice у sia uguale ad 1. Abbiamo allora ач <’Э|Х; a3 <
азх < ajx2, ... , in generale:
(86.15)	an < a, x'*4 .
La serie associata alia successione bn — aixn e la serie geometrica di ragione x (tl fattore
ab comune a tutti i termini, non influenza il carattere della serie geometrica). Dato che 0 < x
< 1, la serie associata a bn a convergente.
Per il.criterio del confronto, anche la serie associata alia successione atl e convergente;
quindi la (86.12) ё provata.
Se i‘> 1, esiste un indice v per cui
(86.16)	— > 1,	Vn > v.
an
Quindi la successione an ё strettamente crescente per n > v, e percid non pub convergere
a zero; in base alia condizione necessaria del paragrafo 82, ia serie data ё divergente (essendo
a termini positivi).
Come esempio eonsideriamo la serie esponenziale
x3	x“
(86.17)	1 + x + — + —	+ ...»
2	31	nl
con x numero reale fissato. Ponendo an = x"/nl, se x > 0 si trova
/о61Я%	a^t _ x"*L n! x _
Ujj (n + 1)1 x" n + I ’
la quantity an + t/an tende a zero per n ~> 4- «?; in base al criterio del rapporto, la serie
esponenziale ё convergente per x > 0. Dimostreremo nel paragrafo 89 che la serie esponen-
ziale e convergente per ogni x, e che la somma della serie vale e*.
272 Capitolo 11
Talvolta e utile anche il criterio seguente, detto della radice, che si
dimostra confrontando la serie data con la serie geometrica, analogamente
a quanto e stato fatto per dimostrare il criterio del rapporto.
CRITERIO DELLA RADICE. — Sia an una successione a termini non
negativi Supponiamo che esista il limite
(86.19)	f = lim .
П—
Allora valgono le stesse conclusion! (86.12), (86.13) del criterio precedente.
Dintostrazione: neU’ipotesi Г< 1, sia e > 0 tale che t’+ e < 1. Per definizione di limite,
esiste v e N tale che < (’ + e per n > v, ovvero tale che an < (f + a)" per n > v. Poich£ la
serie geometrica di ragidne Г+ £ < 1 converge, anche la serie di termine generate an converge,
per il criterio del confronto.
Se i’> 1, sia'v 6 N tale che ^a^ > 1, cioe an > 1 per ogni n > v. Poichd an non pud essere
infinitesima, per la condizione necessaria del paragrafo 82 la serie non fe convergente e
dunque fe divergente (in quanto a termini non negativi).
87.	Serie alternate
Nel paragrafi precedent! abbiamo considerate essenzialmente serie a
termini non negativi. Nel presente paragrafo eliminiamo tale restrizione; in
particolare, eonsideriamo serie alternate, cioe serie del tipo
(87.1)J	аг - a2 + a3 - a4 + ... + (- I)11"1 an 4- ...
con an > 0. Proveremo, ad esempio, che la serie armonica altemata
(87.2)	1_1 + 1_1 + ... + (_ i)"-i 1 + ...
234	n
ё convergente.
Vale il seguente
CRITERIO DI CONVERGENZA PER LA SERIE ALTERNATE. — Sia an
> 0 una successione decrescente ed infinitesima. Allora la serie (87.1) e
convergente. Inoltre, detta з la somma, sn la ridotta n-sima, si ha
Serie 273
(87-3)	|sn - si < an+l ,	Vn e N.
Dimostrazione: essendo* per к = I, 2, 3,...
(87.4)	s2k+2 ~ Sik + (а2к+| — thk+j) — ^2k -
(87.5)*	s3k+| =	— (a2k *- a2k+1) s^j .
la successione sj, s4, S5,... risulta crescente, mentre ia successione sb S3, s$*<... e decrescente,
ciofc, si ha
(87.6)	s2 S s4 $ s6 & ... 5 s2k S ...
(87.7)	S| s3 s^ ... s2k 11	—
Essendo inoltre
(87.8)	s2fe+| — s2k = a2k + 1
e a2k + 1 > 0, si ha •
(87.9)	s’jk+| > s2k > s2 , 	V к e N.
Pertantd, Га successione s(, S3, S5, .... fc decrescente e limitata inferiormente e, grazie al
teorema sul Iimite delle succession! monotdne del paragrafo 24, e convergente.
Analogamente si vede che la successione з2< 54, s^,... e convergente. Ricordando che
lim a2k+i = 0 dalia (87.8) segue che tali succession! han no to stesso Iimite s:
к—>♦«»
(87.10)	lim s,k ts lim s2fc+i = s.
k—к—
Dal citato teorema suite succession! monotdne seguono anche le relaziohi
(87.11)	-	S -S2k+I ’ s2k+2 — S’	• = - .
Й
per cui
(87.12)	0 5 s-sIkS S2k+I - Si* = a3h+1 .
(87.13)	0 •< s2k+l - s < s2k+( - s2fe+2 = a^-j ,
cioe la (87.3).
Talvolta la (87.3) viene descritta in maniera espressiva affermando che
Verrore che si commette sostituendo alia somma della serie la somma dei
primi n termini e maggiorato in valore assolutot dal primo termine [rascu-
rato.
274, Ga^t&lo 11
La serje armonica altemata
(87.14)	1|	i)’’-1 i + ...
4	2-3	4	n
verifica le ipotesi del precedente criterio e percid converge. Domandiamoci quanti termini
dobbiamo sommare in modo che la somma parziale sn differisca dalia somma s della serie per
meno di 1/100. In altre parole, vogliamo determinare n in modo che |s - sn| < 1/100. A tale
scopo, per |a (873), bastera determinare n in modo che an +1 < 1/100, ciofe l/(n + 1) < 1/100,
che e soddisfatta per n > 99.
88.	Conyergenza assoluta
Una serie
(88.1)	ax + a2 + ... 4- a^ + ...
Г :
si dice assolutamente convergente se risulta convergente la serie dei valori
assoluti:
(88.2)	| aj | + | a2 | + ... + [ a„ | + ...
In generale una serie convergente non necessariamente ё assolutamente
convergente, come si vede pensando alia serie armonica altemata. Il vice-
versa sussiste, grazie al seguente .
TEOREMA. — Una serie assolutamente convergente e convergente.
Proponiamo due diverse dimostrazioni; la prima, classica, fa uso del
criterio di Cauchy (paragrafo 82).
Dimostrazione (primo metodo): per ipotesi la serie
(88.3)	£ |ak|
k=l
e convergente. In base al criterio di Cauchy per le serie (paragrafo 82), per ogni e > 0 esiste v
e N tale che
n+p
(88.4)	•	£ |a„l < e
Serie 275
per ogni n > v e per ogni p e N. Per gli stessi indici. dalla disuguaglianza triangolare
otteniamo
(883)
n+p
k=n+l
— lan+l + ®n+2
n+p
n+p
* lan+|l + lan+zl + - + lan+pl = X KI -
k=n+l
Combinando le (88.4). (88.5) otteniamo
(88.6)
n+p
k=n+l
< e
per ogni n > v e per ogni p e N. Di nuovo, per il criterio di Cauchy, la serie di termine
generate ak fe convergente. .
Dimostrazione {secondo metodo}'. la serie
(88.7)	X (ak + I ak |)
k=l
ё convergente per il criterio del confronto. essendo
(88.8)
0 < ak + | ak | < 2 | ak |,
Vk e N.
ed essendo la serie di termine generate |ak|. per ipotesi, convergente. Per ogni n e NT si ha
(88.9)
n	11	n
X = X К * I ak I) - X I ak I
k=l	k=l	k=l
ed il limite per n —> + <» del primo membro esiste finite perche esiste finito il limite dei
singoli addendi del secondo membro.
Appendice al capitolo 11
89.	Serie di Taylor
Consideriamo una funzione f(x) definita in un intorno di un punto Xo-
Supponiamo che in x0 f(x) ammetta infinite derivate f(xo), f'(xo),..., ^п)(х0),
... Traendo spunto dalla formula di Taylor (paragrafo 52, о capitolo 10), e
naturale considerare la serie
276 Capitolo 11
HXo)
f(x0) + f (Xo)(x - x0) + -p
(89.1)
n!
La (89.1) e detta serie di Taylor della funzione f(x) con centro nel punto
Xq. La funzione f(x) e sviluppabile in serie di Taylor (con centro Xo) se per
ogni x in un intorno di x0 la serie (89.1) ё convergente e la somma della
serie vale f(x); сюё, se esiste 6 > 0 tale che
*• )
(89.2)	f(x) = У / ° (x - Хо)к ,	Vx: lx - x0 I < 6.
k=0 K'
TEOREMA. — Sia f(x) una funzione che ammette infinite derivate
nell’intervallo [xq — 5, Xq + 8], con 6 > 0. Supponiamo che esista un numero M
per cui
(89.3)	|f*h)(x)| < M,	Vx e [x0 - 6, xo 4- 5], Vn <=N.
। Allora f(x) e sviluppabile iri serie di Taylor di centro x0.
Diriiostrazlone; per ogni x 6 [хр - 3* хц + 3] indichiamo Con sn(x) la ridotta n-sima della
sefie (89J); come nel paragrafo 77, iridichiamo coh R,j(x) il resto della formula di Taylor.
Con qtieste notation!, la formula di Taylor si scrive anche nel modo seguente
(89:4)	f(x) = sh(x) + R„(x).
In base alia sdnta (81.2) del resto Rn(x), ed in base all’lpotesi (89.3), dato che |x - x>jf £ 3,
Otteniamo
(89.5)
|R„(x)| < M
|x - хиГ1	d***1
(ft + 1)! (n + 1)!
per ogni x e [x0 - 3, Xo + 3]. In accordo con la (26.3), per n —> + <» I’ultimo membro tende a
zero; quindi Rn(x) —> 0 per ogni x g [xq - 6, x(j 4- 3]. Ricavando sn(x) dalla (89.4), otteniamo
(89.6)'	sH(x) = f(x) - R|,(x)	f(x).
Cid sighifica che vale la formula (89.2), cioe f(x) e sviluppabile in serie di Taylor di
cehtro Xo nell’intervallo [x(J - 3, Xo + 6].
Serie 277
11 teorema precedente si applica, ad esempio, alle funzioni trigonometriche sen x, cos x.
Infatti, indicando con f(x) una di tali funzioni, si vede subito che |r J (x)| < 1 per ogni n g N
e per ogni x g R. Quindi le funzioni sen x, cos x sono sviluppabili in serie di Taylor, ad
esempio con centre in 0. Ricordando la formula di Taylor (52.17), (52.18) di tali funzioni, si
ottengono gli sviluppi in serie
(89.7)
(89.8)
sen X = X —
COS X = 1
Il teorema precedente si applica anche alia funzione esponenziale f(x) = ex. Risulta
(89.9)	|f<u)(x)| - e* < e6 = M,	Vx e [- &, 6].
Quindi le ipotesi del teorema precedente sono soddisfatte anche per la funzione espo-
nenziale. Percio la funzione esponenziale & sviluppabile in serie di Taylor con centre 0 e vale
la formula
x2	xn
(89.10)	e* - 1 + x + J- + ... + —- + ...
21	n!
Partjcolarmente signifjeativo e il caso in cui x = 1, per cui risulta
(39.n)	e=in=1 + i44+5i+--
K=U
Consideriamo altri esempi di funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Abbiamo giA
verificato con la (84.5) che, se x e (-1,1), la serie geometrica ё convergente e la somma vale:
(89.12)
--------- = 1 + X + X2 + X3 + ... + x° + .-
1 - X
Invitiamo il lettore a verificare per esercizio che, posto f(x) = 1/(1 - x), allora f^n\o) = n! per
ogni n. Quindi la (89.12) ё lo sviluppo in serie di Taylor con centra 0, della funzione 1/(1 - x).
Ё utile scrivere la formula di Taylor per la funzione precedente:
(89.13)
1 n
= Ё xk + RnW;
1 ~ x к « 0
e possibile scrivere esplicitamente il resto Rn(x); infatti, in base alia relazione (11.7), ab-
biamo:
1	n	yn ♦ l
(89.14)	R„ (x) = ----------Ё Xk = —— ,	Vx e (- 1. 1):
X X Lr — n	*	**
278 Capitolo 11
con tale espressione del resto, integrando tra 0 e x entrambi i membri della (89.13), otte-
niaino
(89.15)
La funzione 1/(1 - t) e crescente; quindi, se t £ x, risulta 1/(1 - t) < 1/(1 - x). Conside-
rando per sempliciti x > 0, otteniamo
(89.16)
dt £
1
n + 2
x° + 2
1-X*
Ricordiamo che xn + 2 —> 0 se n —> + «>, perchi x < 1; quindi, per □-> + «», l’integrale tra
0 e x di Rn tende a zero. Passando al limite nella (89.15) otteniamo
(89.17)
- log(l - x) = У
k=D
к + 1 ’
Se nella formula precedente si cambia x con - x, si ottiene lo svHuppo in serie di Taylor
della funzione log(l + x) (si confront! con la formula di Taylor (52.16)):
(89.18)
log(l + X) = X - у + £ - ... + (r l)-‘ -
fc «5	П
Ancora, cambiando x con - x nella formula (89.12), si ottiene il seguente sviluppo:
(89.19)
.	; = 1 - x2 + x4 -... + (- l)n + ...
1 + xz
Integrando entrambi i membri, con lo stesso metodo usato in precedenza, si ottiene
(89.20)
«3	«2n+l
arctg x = x	1)" ——
J j	2П + 1
f
Particolarmente significative ё it caso in cui x = 1; dato che arctg 1 = jt/4, otteniamo
(89.21)
n ,	1	1	(-1)"
2n + 1