Д. Андерсон, Дж.Таннехилл, Р. Плетчер
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ
ГИДРОМЕХАНИКА
И ТЕПЛООБМЕН
В двух томах
Том 1
Перевод с английского
С. В. Сенина и Е. Ю. Шальмана
под редакцией
Г. Л. Подвидза
Москва «Мир» 1990

ББК 22.253
А65
УДК 532 + 681.3
Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р.
А65 Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т.
Т. 1: Пер. с англ. —М.: Мир, 1990. —384 с, ил.
ISBN 5-03-001927-8
Книга учебного типа, написанная известными американскими спе-
специалистами. В ней поставлена цель — научить читателя составлять ко-
конечно-разностные алгоритмы решения гидро- и газодинамических задач.
Структура книги тщательно продумана и позволяет практически освоить
методику численного решения сложнейших задач гидродинамики и
теплообмена. Этому способствуют тщательно подобранные примеры и
уникальные наборы задач в конце каждой главы. В русском издании
книга выходит в двух томах.
Для математиков-прикладников, инженеров-вычислителей, специ-
специалистов по механике жидкостей, аспирантов и студентов вузов.
. 1602120000-149 2890
041@1)—90
Редакция литературы по математическим наукам
Научное издание
Дейл Андерсон, Джон Таннехилл, Ричард Плетчер
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ГИДРОМЕХАНИКА И ТЕПЛООБМЕН
В двух томах. Т. 1
Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. Арнольд. Зам. зав. редакцией А. С. По-
Попов. Ст. научн. редактор П. Я. Корсоюцкая. Мл. научн. редактор Р. И. Пяткина.
Художник М. Н. Кузьмина. Художественный редактор В. И. Шаповалов. Технический
редактор А. Л. Гулина. Корректор Н. А. Гиря
ИБ № 7157
Сдано в набор 02.06.89. Подписано к печати 04.12.89. Формат 60x907i6- Бумага тип.
№ 2. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 12,00 бум. л. Усл. печ. л. 24,00.
Усл. кр.-отт. 24,00. Уч -изд. л. 21,67. Изд. № 1/6517,. Тираж 7800 экз. Зак. 198. Цена 1 р. 80 к.
Издательство «МИР» В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР по пе-
печати. 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер, 2.
Набрано в Ленинградской типографии № 2 головного предприятия ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Со-
Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 198052, г Ленинград, Л-52, Измай-
Измайловский проспект, 29. Отпечатано в Ленинградской типографии JNfe 4 ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соко-
Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 191126. Ленинград, Социалисти-
Социалистическая ул., 14.
© 1984 by Hemisphere Publfshing Corpora-
ISBN 5-03-001927-8 (русск.) tion
ISBN 5-03-001926-Х © перевод на русский язык. С. В. 'Сении,
ISBN 0-89116-471-5 (англ.) Е. Ю. Шальман, 1990

Предисловие к русскому изданию
Вычислительная гидромеханика — быстро развивающееся на-
направление механики жидкости и газа. Данная книга является
монографией учебного типа, в которой обобщается опыт приме-
применения современных конечно-разностных методов решения задач
гидродинамики и теплопередачи. Она написана известными уче-
учеными, работающими в области теоретической и прикладной газо-
газовой динамики и аэрокосмической техники.
В части 1 книги изложены основы конечно-разностных мето-
методов и описаны наиболее распространенные разностные схемы ре-
решения уравнений в частных производных. При постановке на-
начальных и граничных условий задач учитывается ориентация
характеристик исходной системы уравнений. Рассмотрены мар-
маршевые (или эволюционные) задачи, решение которых находится
последовательным продвижением в направлении маршевой пере-
переменной. В нестационарных течениях газа такой переменной слу-
служит время, а в стационарных сверхзвуковых течениях — про-
пространственная координата, проекция скорости на которую ока-
оказывается сверхзвуковой. Приведены неявные разностные схемы,
основанные на расщеплении матриц коэффициентов конвектив-
конвективных операторов уравнений на верхнюю и нижнюю треугольные
матрицы и схемы расщепления для многомерных задач. Выпол-
Выполнен анализ соответствия исходного уравнения в частных произ-
производных с дифференциальным приближением его разностного
уравнения.
В части 2 книги наряду с исходными уравнениями течения не-
невязкого и вязкого газа дано описание математических моделей
турбулентности в объеме, необходимом для решения приклад-
прикладных задач. Для течения невязкого газа рассмотрены различные
схемы сквозного счета и схемы, предусматривающие явное по-
построение скачков уплотнения. Для уравнений «погранслойного»
типа описаны различные способы линеаризации и приведены
разностные схемы расчета трехмерного пограничного слоя. Пред-
Представляет интерес изложение обратного метода, применяемого
для расчета отрывных течений с тонкими рециркуляционными
областями.
Для трехмерных уравнений Навье — Стокса в газе описаны
наиболее распространенные в зарубежных работах схемы: явная

6 Предисловие к русскому изданию
двухшатовая схема Мак-Кормака, имеющая ограничение на-шаг
интегрирования и поэтому требующая при решении стационар-
стационарных задач методом установления больших затрат времени счета
на ЭВМ, и его же неявная схема, устраняющая ограничение на
шаг по времени, а также неявная схема Бима — Уорминга, в ко-
которой применена линеаризация конвективных и вязких членов.
Большое внимание уделено построению разностных сеток для
областей сложной формы с отображением области течения в фи-
физической плоскости в простую каноническую область, покрытую
ортогональной сеткой. Рассмотрены сетки, адаптированные к
скачку уплотнения и благодаря этому существенно повышающие
точность решения.
Книга написана на высоком научном уровне.-Приведенные
в ней примеры отражают состояние вычислительной гидродина-
гидродинамики последнего десятилетия и представляют интерес для спе-
специалистов, занимающихся ее применением к объектам аэрокос-
аэрокосмической техники и энергомашиностроения, а также к другим
приложениям. Большая часть примеров посвящена газодинами-
газодинамическим задачам.
В список дополнительной литературы, включенный в русское
издание, вошли монографии по теоретической гидродинамике
[1, 5, 16, 18, 19, 30, 36], теплообмену [22] и методам вычислений
отечественных авторов [7, 8, 13, 20, 25, 28, 33, 38, 40], а также
отдельные переведенные на русский язык монографии зарубеж-
зарубежных авторов [23, 29, 34, 35, 39]. Среди последних отметим моно-
монографию П. Роуча «Вычислительная гидродинамика» (М.: Мир,
1980), которая по тематике близка данной, но отражает миро-
мировой уровень развития вычислительной гидромеханики двадцати-
двадцатилетней давности. В последнее время в зарубежной литературе
появились работы по многосеточным подходам, расчету про-
пространственных отрывных течений, расчету турбулентных течений
с низкими числами Рейнольдса. Ряд таких работ, также попав-
попавших в этот список, переведен в журнале «Аэрокосмическая тех-
техника» [10, 21, 26]. Наконец, хотелось бы отметить, что вне поля
зрения авторов предлагаемой книги оказалась «распадная» схе-
схема С. К. Годунова и ее явные и неявные модификации повышен-
повышенной точности, с которой читатель может ознакомиться в работах
[2,3,4, 6, 11, 12, 14, 15, 17, 27,31,32].
Книга будет полезна многим научным работникам и инжене-
инженерам, а также аспирантам и студентам вузов.
Работа над'переводом была распределена следующим обра-
образом: предисловие, гл. 1—4, 7 и приложения перевел Е. Ю. Шаль-
ман, а гл. 5, 6, 8—10 — С. В. Сенин. Русское издание выходит
по заказу ЦИАМ им, П. И. Баранова. дш ## крпйко
Г. Л. Подвидз

Посвящается нашим женам и детям: Map-
лин, Грегу и Лизе Андерсонам, Марсии,
Мичеллу и Джону Таннехиллам, Кэрол,
Дугласу, Лауре, Цинтии Плетчерам
Предисловие
Предлагаемая книга является учебным пособием по курсу
вычислительной механики жидкости и теплообмена (или просто
вычислительной гидродинамики), предназначенному для сту-
студентов старших курсов и аспирантов. В ее основу • положены
заметки, подготовленные для читавшихся один за другим двух
курсов лекций. Эти курсы преподавались в Университете шт.
Айова в течение более десяти лет. Книга не претендует на все-
всестороннее освещение рассматриваемой проблемы, но мы на-
надеемся, что она может служить введением в вычислительную
гидродинамику для начинающих. Большая часть книги посвя-
посвящена применению конечно-разностных методов.
Материал книги разбит на две части. В первой части, состоя-
состоящей из гл. 1—4, изложены основные понятия и основы методов
конечных разностей. Вторая часть, состоящая из гл. 5—10, по-
посвящена применению этих методов для решения уравнений гид-
гидромеханики и теплообмена. Глава 1 служит введением, а основ-
основные сведения из теории уравнений в частных производных
приведены в гл. 2. Конечно-разностные методы и вопросы устой-
устойчивости, аппроксимации и сходимости разностных схем обсуж-
обсуждены в гл. 3. '
В гл. 4 приведен, возможно, наиболее важный для этой книги
материал. Множество различных конечно-разностных методов
применено к решению линейных и нелинейных модельных урав-
уравнений в частных производных. Так как аналитическое.решение
модельных уравнений известно, то можно понять, к каким ре-
результатам приводит применение различных численных методов
для решения одной и той же задачи.
Предполагая, что читатель хоть немного знаком с гидроме-
гидромеханикой и теплообменом, в гл. 5 авторы дают обзор основных
уравнений и выписывают их различные формы, наиболее удоб-
удобные для численного моделирования. В эту же главу включен
раздел, посвященный моделированию турбулентности. Методы
расчета невязких течений, основанные на решении уравнений,
записанных в дивергентном и недивергентном видах, описаны
в гл. 6. Методы расчета ламинарных и турбулентных пограничных

8 Предисловие
слоев рассмотрены в гл. 7. Глава 8 посвящена классу урав-
уравнений, названных параболизованными уравнениями Навье—
Стокса, которые полезны в тех случаях, когда течение не адек-
адекватно описывается уравнениями пограничного слоя, но может
быть изучено в рамках более простых уравнений, чем полные
уравнения Навье — Стокса. Кроме того, в гл. 8 рассмотрены
дозвуковые и сверхзвуковые течения как при внешнем обтекании
тел, так и в ограниченных областях. Глава 9 посвящена методам
решения полных уравнений Навье — Стокса, в том числе и ос-
редненных по Рейнольдсу (уравнений Рейнольдса). Завершает
книгу краткое введение в методы построения разностных сеток,
которому посвящена гл. 10.
В Университете шт. Айова изложенный в книге материал
использовался в основном для обучения студентов аэрокосмиче-
аэрокосмических и механических специальностей, хотя к ним часто добавля-
добавлялись студенты, изучающие другие инженерные специальности
и науки о Земле. Наш опыт показывает, что часть 1 книги
(гл. 1—4) может быть изучена в рамках одиосеместрового кур-
курса. Часть 2 книги содержит куда больше информации, чем может
быть включено в такой курс, поэтому ее материал можно ис-
использовать в различных курсах. И хотя мы обнаружили, что
большая часть материала, приведенного в каждой из гл. 5—10,
может быть изложена студентам за один семестр, вполне воз-
возможно на основе этого материала создать специальные курсы.
Наиболее очевидным вариантом является использование гл. 5,
6 и 10 для курса, посвященного невязким течениям, и гл. 5, 7—9
и, возможно, 10 для курса, посвященного вязким течениям. Су-
Существуют, конечно, и другие комбинации. Если по теме этой
книги предполагается читать лишь один учебный курс, то и
в этом случае поступить можно по-разному: либо изложить под-
подробно только первую часть книги, либо изложить лишь часть
материала гл. 1—4, дополнив его некоторыми представляющими
специальный интерес материалами из части 2. Материал этой
книги в достаточной степени разграничен, поэтому он может
быть использован в учебных курсах, читающихся с разными це-
целями.
Изложенный в книге материал предполагает знакомство сту-
студентов по меньшей мере с одним курсом по гидромеханике, кур-
курсом обыкновенных дифференциальных уравнений, а также с тео-
теорией уравнений в частных производных. Кроме того, конечно,
предполагается некоторый опыт в программировании.
Курс лекций, читавшихся в Университете шт. Айова, методо-
методологически был составлен так, чтобы студенты могли самостоя-
самостоятельно разрабатывать программы. Поэтому в книге цет описания
готовых программ, предназначенных для решения специальных

Предисловие 9
задач. В конце каждой главы приведены задачи, целью ко-
которых является численная реализация изложенного в книге ма-
материала. При этом предполагается, что студенты имеют доступ
к быстродействующим ЭВМ.
Мы хотим поблагодарить за сотрудничество всех наших быв-
бывших и нынешних студентов. Авторы многим обязаны Ф. Блотт-
неру, С. Чакравартхи, Ж. Кристофу, Дж. Дейуитту, Т. Холсту,
М. Хуссаини, Дж. Иевалтсу, Д. Джесперсену, О. Квону, М. Ма-
Малику, Дж. Ракичу, М. Саласу, В. Шанкару, Р. Уормингу и др.
за полезные предложения по улучшению текста книги. Мы хо-
хотели бы также поблагодарить г-жу Пэт Фокс и ее помощников
за искусно подготовленные иллюстрации. Особо мы благодарны
Шерли Райни, которая отпечатала и отредактировала весь текст.
Ее усилия постоянно воодушевляли нас. Мы в большом* долгу
перед нашими женами и детьми за все те часы, которые мы
украли у них. Их терпение должно быть оценено очень высоко.
В заключение несколько слов о порядке расположения авто-
авторов. Эта книга — наш коллективный труд, среди нас нет «стар-
«старших» и «младших», поэтому порядок был определен подбрасы-
подбрасыванием монеты. То есть, несмотря на то что книга посвящена
конечно-разностным методам, этот вопрос был решен методом
Монте-Карло.
Дэйл Андерсон
Джон Таннехилл
Ричард Плетчер

1
ОСНОВЫ МЕТОДОВ
КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Глава 1
Введение
§ 1.1. Общие замечания
Появление быстродействующих ЭВМ резко изменило характер
применения основных принципов теоретической гидромеханики
и теплопередачи при решении инженерных задач. Задачи, кото-
которые сейчас с малыми затратами решаются на ЭВМ за несколько
секунд, всего 20 лет назад известными в то время численными
методами на существовавших ЭВМ могли быть решены лишь за
несколько лет. Мощные ЭВМ, о возможности появления кото-
которых никто и не думал, привели к многочисленным изменениям.
В первую очередь эти изменения стали заметны в промышлен-
промышленности и научно-исследовательских лабораториях, т. е. там, где
выше всего была потребность в решении сложных задач. В по-
последнее время изменения, вызванные компьютерами, проявились
в университетских аудиториях, где студентов стали обучать ос-
основам наук, необходимых для успешного использования вычис-
вычислительной техники. Мы надеемся, что предлагаемая книга по-
поможет организовать обучение и шире распространить информа-
информацию о новых научных достижениях.
Мы были свидетелями резкого роста роли и значения нового
подхода к решению задач гидродинамики и теплообмена, кото-
который получил название вычислительной гидромеханики. Основной
особенностью этого вычислительного (или численного) под-
подхода является то, что уравнения (чаще всего уравнения в ча-
частных производных), описывающие интересующий нас физиче-
физический процесс, решаются числейно. Некоторые идеи такого под-

§ 1.1. Общие замечания . 11
хода известны довольно давно. Разработка численных методов,
в первую очередь конечно-разностных, решения обыкновенных
дифференциальных уравнений и уравнений в частных производ-
производных, началась уже в начале двадцатого века. Изобретенный
в конце 1930-х гг. Атанасовым механический арифмометр (см.
[Gardner, 1982]) почти сразу стал использоваться для решения
задач гидромеханики. Однако он существенно не повлиял на ме-
методику решения инженерных задач. Взрыв в применении чис-
численных методов наступил лишь после того, как в 1960-х гг. по-
появилась третья составляющая, необходимая для применения
численного подхода, — широко доступные быстродействующие
ЭВМ.
Традиционно при проектировании летательных аппаратов сов-
совместно использовались и теоретический, и экспериментальный
методы, с помощью" которых определялись гидродинамические
и тепловые характеристики. С появлением быстродействующих
ЭВМ стало возможным применять третий подход — вычисли-
вычислительный. Несмотря на то что эксперимент по-прежнему играет
очень важную роль, особенно при исследовании сложных тече-
течений, в процессе проектирования отчетливо проявляется тенден-
тенденция ко все более широкому использованию вычислительного
подхода.
Эта тенденция во многом связана с соображениями экономии
[Chapmaft, 1979]. За последние годы быстродействие ЭВМ воз-
возрастало быстрее, чем их стоимость, вследствие этого стоимость
заданного расчета фантастически уменьшилась. Из представ-
представленных на рис. 1.1 данных видно, что стоимость заданного рас-
расчета уменьшается в десять раз каждые восемь лет. Такой харак-
характер изменения стоимости расчетов связан с использованием са-
самых лучших ЭВМ, хотя, конечно, далеко не каждый пользова-
пользователь имеет доступ к самым современным ЭВМ. Удешевление
оказывается еще более значительным, если учесть развитие чис-
численных методов. Процитируем один яркий пример из книги Чеп-
мена [Chapman, 1979], иллюстрирующий рост эффективности
вычислений: «Численный расчет обтекания крылового профиля
на основе уравнений Рейнольдса может быть проведен на совре-
современных супер-ЭВМ менее чем за полчаса, стоимость машинного
времени при, этом не превышает 1000 долл. Если бы кто-то по-
попытался провести такие расчеты 20 лет назад на существовав-
существовавших в то время ЭВМ (например, на ЭВМ,класса IBM-704) по
известным в то время алгоритмам, то стоимость такого расчета
составила бы примерно 10 млн. долл., а расчет этого одного
течения закончился бы лишь еще через десять лет, так как время
решения задачи составило бы около 30 лет». Ожидается, что
тенденция к снижению стоимости расчета сохранится и в будущем

12
Гл. 1. Введение
в течение некоторого времени. Стоимость же проведения экспе-
экспериментов в последние годы неуклонно растет.
Мы не думаем, что при проектировании численные методы
в ближайшее время полностью заменят экспериментальные, но
верим, что в будущем численные методы будут применяться
шире. В большинстве случаев при анализе гидродинамических
течений и теплообмена в интересующих проектировщиков* ситуа-
ситуациях сохранится необходимость проведения экспериментов. Од-
Однако численные расчеты можно использовать для уменьшения
I- 100
I
Ш
1
S ш
I 0.01
10.001
JBM 650 7094
IBM 360-50
C60-67
CDC 6400-^8- 370-195
6600°
360-91 7600
'fr^BSP
I
I
I
I
1955 I960 1965 1970 1975 1980 1985
Год появления новой ЭВМ
Рис. 1. Тенденция изменения относительной стоимости расчета одного и
того же течения по одному и тому же алгоритму [Chapman, 1979]; штриховой
линией показано, что стоимость расчета уменьшается в 10 раз каждые 8 лет.
диапазона значений параметров, при которых проводятся экспе-
эксперименты. Экспериментальные исследования будут, вероятно,
еще какое-то время необходимы в приложениях, если нужно
получить информацию о турбулентных течениях, так как для
описания таких течений в настоящее время экономически невоз-
невозможно использовать, модели, свободные от эмпирической инфор-
информации. В приложениях, связанных с течением многофазных сред,
кипением или конденсацией, особенно в сложных геометрических
конфигурациях, экспериментальные методы играют ведущую
роль при получении необхрдимой для проектирования информа-
информации. В развитии вычислительных моделей для таких течений
заметен некоторый прогресс, однако работы в этой области на-
находятся пока на довольно низком уровне по сравнению с суще-
существующими методами расчета внешнего обтекания аэродинами-
аэродинамических тел однофазным ламинарным потоком.

§ 1.2. Сравнение экспериментального и вычислительного подходов 13
§ 1.2. Сравнение экспериментального, теоретического
и вычислительного подходов
В предыдущем параграфе уже отмечалось, что для решения
задач гидродинамики и теплообмена используются три различ-
различных подхода: 1) экспериментальный, 2) теоретический, 3) чис-
численный (вычислительная гидромеханика). Теоретический подход
часто называют аналитическим, термины же численный и вы-
вычислительный взаимозаменяемы. Для иллюстрации применения
этих трех подходов к решению задач гидромеханики рассмотрим
классическую задачу определения распределения давления по
передней поверхности кругового цилиндра, обтекаемого равно-
равномерным потоком, при числе Маха М», равном четырем, и числе
Рейнольдса (определенном по диаметру цилиндра), равном
5.106.
Если используется экспериментальный подход, то сначала
надо спроектировать и изготовить модель кругового цилиндра.
В этой модели должна быть предусмотрена возможность изме-
измерения давления на стенке, а также возможность установки ее
в аэродинамической трубе. Аэродинамическая труба должна
позволять получать в рабочей части необходимые для модели-
моделирования набегающего потока параметры. Создать в аэродина-
аэродинамической трубе необходимые условия часто довольно трудно,
особенно при испытании уменьшенных моделей больших само-
самолетов и космических аппаратов. После того как модель изготов-
изготовлена, а аэродинамическая труба выбрана, можно приступать не-
непосредственно к экспериментальному исследованию. Так как при
работе аэродинамической трубы потребляется большое количе-
количество энергии, то время проведения эксперимента должно быть
сведено к минимуму. Эффективное использование времени ра-
работы аэродинамической трубы стало особенно важным в послед-
последнее время в связи с ростом стоимости энергии. После проведе-
проведения экспериментов необходимо по известным коэффициентам
провести коррекцию измеренных значений для окончательного
определения распределения давления на стенке. Эксперимен-
Экспериментальный подход позволяет найти наиболее близкие к действи-
действительности решения многих гидромеханических задач, однако его
стоимость растет с каждым днем.
При использовании теоретического подхода делаются неко-
некоторые упрощающие предположения, что и позволяет найти реше-
решение задачи по возможности в замкнутом виде. В рассматривае-
рассматриваемой нами задаче полезной аппроксимацией является теория
Ньютона (см. [Hayes, Probstein, 1966]) для совершенного газа.
Согласно теории Ньютона, ударный слой (область между телом
и ударной волной) полагается бесконечно тонким, .поэтому

14
Гл. 1. Введение
головная ударная волна прилегает непосредственно к поверхно-
поверхности тела (рис. 1.2(а)).Следовательно, в этом случае нормальная
к поверхности тела скорость потока за ударной волной равна
нулю, так как газ сразу «ударяется» о поверхность тела. Закон
^сохранения импульса в направлении, нормальном к ударной
волне (см. гл. 5), можно записать в виде
P2 + P& 0.1)
где р— давление, р — плотность, и — нормальная составляющая
скорости, а индексами 1 и 2 обозначены значения параметров
Головная
ударная волна
(Ь)
Рис. 1.2. Теоретический подход, (а) Теория Ньютона; (Ь) геометрические па-
параметры для расчета ударной волны.
непосредственно перед и за скачком соответственно. Для рас-
рассматриваемой задачи (рис. 1.2(Ь)) уравнение A.1) примет вид
Poo + 9ooVlsm'a = pw + pw u*9, A.2)
давление на стенке pw равно
Для совершенного газа скорость звука в набегающем потоке
определяется соотношением

§ 1.2. Сравнение экспериментального и вычислительного подходов 15
где у = Cp/cv — отношение теплоемкостей. Используя определе-
определение числа Маха
. A.5)
и тригонометрическое тождество (см. рис. 1.2 (Ь))
cos 9= sin a, A.6)
получим из уравнений A.1) — A.3)
Рш = М1+УМ2„соз2е). A.7)
В критической точке Э = 0° и давление на стенке равно
A.8)
Подставляя выражение для давления в критической точке в
A.7), окончательно получаем
Pw = Роо + (Ps - Poo) COS2 9. A.9)
Точность использованного теоретического подхода можно суще-
существенно улучшить, если вместо соотношения A.8) для опреде-
определения давления в критической точке ps воспользоваться форму-
формулой Рэлея для насадка полного давления [Shapiro, 1953]
ГЧ v+1 Г"" пни
-(y-i>J ' (U0)
mL-(y-i>
которая получена в предположении, что между ударной волной
и поверхностью тела происходит изэнтропическое сжатие вдоль
критической линии тока. Совместное использование соотноше-
соотношений A.9) и A.10) называют модифицированной теорией Ньюто-
Ньютона. Предсказываемое этой теорией распределение давления со-
сопоставлено на рис. 1.3 с полученным при экспериментальном
подходе [Beckwith, Gallagher, 1961]. Отметим, что рассчитан-
рассчитанные и измеренные значения удовлетворительно согласуются ме-
между собой вплоть до углов 8 = ±35°. Большим преимуществом
теоретического подхода является то, что с его помощью можно
получить «чистую» и довольно обширную информацию, причем
во многих случаях на основе довольно простых формул. Этот
подход особенно полезен на этапе предварительного проектиро-
проектирования, так как он позволяет за минимальное время получить
разумные ответы на возникающие вопросы.
При использовании численного подхода делается ограничен-
ограниченное количество предположений, а получающаяся в резуль-
результате система уравнений газовой динамики решается численно на
быстродействующей ЭВМ. Д^я рассматриваемого течения
(рис. 1.2) при больших числах Рейнольдса можно ограничиться

16
Гл. 1. Введение
анализом обтекания невязким газом, так как мы хотим опреде-
определить лишь распределение давления по передней поверхности ци-
цилиндра. Следовательно, наиболее подходящими для описания
течения являются уравнения Эйлера, которые мы и выберем
в качестве исходной системы газодинамических уравнений. Для
решения этих уравнений необходимо сначала построить расчет-
расчетную сетку в области между ударной волной и телом, как пока-
показано на рис. 1.4. Входящие в нестационарные уравнения Эйлера
частные производные аппроксимируются в каждом узле сетки
-80 -60 -40
.-20 О Z0
0, град
60 80
Рис 1.3. Распределение давления по поверхности кругового цилиндра; О экс-
экспериментальное; теоретическое; численное.
подходящими конечно-разностными выражениями. Полученные
уравнения интегрируются по времени до тех пор, пока после не-
некоторого достаточного числа шагов не выработается асимпто-
асимптотическое стационарное решение. Подробно этот подход будет
рассмотрен в последующих главах книги. Получающиеся ре-
результаты [Daywitt, Anderson, 1974] показаны на рис. 1.3. От-
Отметим, что они прекрасно совпадают с экспериментальными
данными.
Сравнивая различные подходы, заметим, что численные ме-
методы свободны от ряда ограничений, накладываемых на экспе-
экспериментальные методы для получения исходной для проектирова-
проектирования информации. В этом главное преимущество численных ме-
методов, которое в дальнейшем будет еще более важно. Идея
экспериментального исследования состоит в получении требуе-
требуемых характеристик на относительно дешевой небольшой модели

§ 1.2. Сравнение экспериментального и вычислительного подходов 17
реального устройства. Однако, проводя такие исследования, не
всегда удается смоделировать реальные условия работы прото-
прототипа на существующих экспериментальных установках. Напри-
Например, сложно смоделировать большие числа Рейнольдса для ле-
летящего самолета, условия при входе в атмосферу или строгие
условия, возникающие на некоторых рабочих режимах в турбо-
машинах. Отсюда следует, что численные методы, не имеющие
таких ограничений, позволят получать информацию, которую
другими методами найти невозможно.
С другой стороны, применение численных методов также
ограничено, в первую очередь быстродействием и памятью ЭВМ.
Еще одно ограничение на приме-
применение этих методов связано с на-
нашей неспособностью понять и ма-
математически смоделировать не-
некоторые сложные явления. Ни
одно из этих ограничений на воз-
возможность применения численных
методов не является принци-
принципиально непреодолимым, а суще-
существующие в настоящее время
тенденции позволяют строить оп-
оптимистические прогнозы о роли
вычислительных методов в буду-
будущем. Из представленных на
рис. 1.1 данных видно, что от-
относительная стоимость расчета
одного и того же течения умень-
уменьшилась за последние двадцать
лет на три порядка; по-видимо-
по-видимому, эта тенденция сохранится
Рис. 1.4. Расчетная сетка.
в ближайшем будущем. Многие
верят, что когда-нибудь аэродинамические трубы будут иг-
играть второстепенную роль по отношению к ЭВМ, так же как
сейчас баллистические испытания играют второстепенную роль
по отношению к расчетам при анализе траекторий (Chapman,
1975].
Некоторые преимущества и недостатки всех трех рассмот-
рассмотренных подходов показаны в табл. 1.1. В заключение следует
заметить, что в некоторых ситуациях сложно провести границу
между различными подходами. Например, модели турбулентной
вязкости, которые обычно используются в расчетах, получаются
на основе анализа результатов измерений. Аналогично многие
теоретические методы, которые требуют численных расчетов,
могут быть отнесены к численным методам.

18 Гл. 1. Введение
Таблица 1.1* Сравнение различных подходов
Подход
Преимущества
Недостатки
Эксперимен- 1. Получение наиболее близ-
тальный ких к реальности резуль-
результатов
Теоретиче- 1. Получение «чистой» ин-
ский формации общего харак-
характера, обычно в виде фор-
формул
Численный 1. Нет ограничений, связан-
связанных с линейностью
2. Описание сложных физи-
физических процессов
3. Описание эволюции тече-
течения во времени
1. Сложное оборудование
2. Проблемы моделирования
3. Коррекция измеренных зна-
значений
4. Сложность измерений
5. Стоимость
1. Ограничен простыми геомет-
геометрическими конфигурациями л
физическими моделями
2. Обычно применим лишь к
линейным задачам
1. Погрешности округления
2. Проблема задания гранич-
граничных условий
3. Стоимость ЭВМ
§ 1.3. Исторический обзор
Естественно, что история вычислительной гидромеханики
тесно связана с историей развития ЭВМ. До конца второй ми-
мировой войны большинство задач решалось аналитическими и
эмпирическими методами. До этого времени лишь отдельные
пионеры применяли численные методы для решения задач. Рас-
Расчеты выполнялись вручную и каждое отдельное решение полу-
получалось в результате очень большой по объему работы. С тех пор
как были созданы ЭВМ, рутинная работа, связанная с получе-
получением результатов при численном решении, проводится довольно
просто.
Когда появилась вычислительная гидромеханика или когда
были созданы методы, которые можно без сомнения отнести
к методам вычислительной гидромеханики, можно лишь предпо-
предполагать. Большинство считает, что первой значительной работой
в этом направлении была работа Ричардсона [Richardson, 1910],
где была предложена итерационная схема решения уравнения
Лапласа и бигармонического уравнения. Ричардсон провел вы-
вычисления для определения напряжений в каменной дамбе. Кроме
того, он четко сформулировал различия между задачами, кото-
которые надо решать релаксационными методами, и задачами, ко-
которые мы называем маршевыми.
Ричардсон разработал релаксационный метод решения урав-
уравнения Лапласа. В этом методе все величины на новой итерации

§ 1.3. Исторический обзор 19
вычисляются по значениям неизвестных на предыдущей итера-
итерации. В 1918 г. Либман предложил улучшенный вариант метода
Ричардсона. В методе Либмана при каждом проходе разностной
сетки используются значения неизвестных как на предыдущей,
так и на текущей итерациях. Эта простая процедура «непрерыв-
«непрерывного замещения» неизвестной позволяет существенно уменьшить
количество итераций, необходимых для решения уравнения Лап-
Лапласа. Методы Ричардсона и Либмана часто приводят в элемен-
элементарных курсах теплопередачи для того, чтобы показать, как не-
небольшое изменение численного метода может существенно по-
повысить его эффективность.
Иногда начало современного численного анализа (вычисли-
(вычислительной математики) связывают с появлением знаменитой ра-
работы Куранта, Фридрихса и Леви [Courant, Friedrichs, Lewy,
1928). Часто встречающаяся в литературе аббревиатура КФЛ за-
заменяет фамилии этих авторов. В их работе были поставлены
вопросы о существовании и единственности решения уравнений
в частных прризводных. Об огромной роли этой работы свиде-
свидетельствует ее повторное опубликование в журнале IBM Journal
of Research and Development в 1967 г. В этой работе впервые
сформулировано условие КФЛ устойчивости разностных схем,
используемых для численного решения уравнений в частных
производных гиперболического типа.
В 1940 г. Саусвелл [Southwell, 1940] предложил релакса-
релаксационную схему, которая широко использовалась при решении
задач гидромеханики и строительной механики в тех случаях,
когда требовалось улучшить сходимость релаксационной схемы.
Его метод был создан для расчетов, проводимых вручную. Для
применения его необходимо вычислить невязку во всех узлах
разностной сетки и найти ее наибольшее значение. На следую-
следующем шаге релаксация начинается с узла, в котором невязка
максимальна. В течение двух десятилетий на протяжении
1940-х и 1950-х гг. метод Саусвелл а был первым численным ме-
методом, с которого студенты инженерных специальностей начи-
начинали изучение численных методов. В 1955 г. Аллен и Саусвелл
[Allen, Southwell, 1955] применили метод Саусвелла к решению
задачи об обтекании цилиндра несжимаемой вязкой жидкостью.
Решение было найдено вручную, что связано с проведением
очень большой вычислительной работы. Полученные результаты
дали дополнительную информацию о вязких течениях, первые
результаты для которых начали появляться с середины 30-х
годов.
В течение второй мировой войны и сразу после ее окончания
многие исследования были посвящены применению численных
методов к решению задач гидромеханики. Именно в эти годы

20 Гл. 1. Введение
проф. фон Нейман создал свой метод анализа устойчивости
разностных схем решения нестационарных (маршевых по вре-
времени) задач. Интересно, что Нейман в полном объеме свой метод
не опубликовал. Метод Неймана был несколько позже подробно
изложен в работе [O'Brien, Hyman, Kaplan, 1950]. Последняя
работа чрезвычайно важна, так как в ней описан практический
метод анализа устойчивости, который понятен инженерам и на-
научным работникам и мог быть ими использован. Метод Ней-
Неймана — наиболее широко применяемый в вычислительной гидро-
гидромеханике метод анализа устойчивости разностных схем. При-
Примерно в то же время была опубликована статья Лакса [Lax,
1954]. Лаке разработал метод расчета газодинамических тече-
течений с ударными волнами, которые являются поверхностями раз-
разрыва газодинамических параметров. При этом для расчета удар-
ударных волн не требовалось задание каких-то дополнительных
условий. Такие свойства схемы Лакса были обусловлены ис-
использованием дифференциальных уравнений, записанных в ди-
дивергентной форме.
Параллельно развивались методы решения эллиптических и
параболических уравнений. Франкел [Frankel, 1950] предложил
первый вариант метода последовательной верхней релаксации
для решения уравнения Лапласа, который позволил существенно
улучшить скорость сходимости численных методов. Писмен и
Ракфорд [Feaceman, Rachford, 1955], Дуглас и Ракфорд [Doug-
[Douglas, Rachford, 1956] предложили новый класс неявных методов
решения параболических и эллиптических уравнений, которые
назвали неявными методами переменных направлений. При ис-
использовании этих методов шаг по времени не ограничен; они
широко используются и в настоящее время.
Книги, посвященные отдельным вопросам вычислительной
гидромеханики, начали появляться в конце пятидесятых — на-
начале шестидесятых годов. В ранней книге Рихтмайера [Richt-
myer, 1957] и более поздней Рихтмайера и Мортона [Richtmyer,
Morton, 1967] освещены в основном вопросы, связанные с реше-
решением маршевых задач, а в книге Форсайта и Вазова [Forsythe,
Wasow, 1960] — с решением эллиптических задач. Быстрое раз-
развитие вычислительной гидромеханики продолжалось и в шести-
шестидесятые годы. В ранних работах расчет течений с ударными
волнами пытались проводить ..либо по схеме Лакса, либо по
схеме с искусственной вязкостью, предложенной Нейманом и
Рихтмайером. Среди выполненных в Лос-Аламосской лаборато-
лаборатории ранних работ по вычислительной гидромеханике отметим
работы по методам типа «частиц в ячейке», которые используют
диссипативные свойства разностных схем для «размазывания»

§ 1.3. Исторический обзор 21
ударных волн на несколько шагов разностной сетки [Evans,
Harlow, 1957].
В 1960 г. Лаке и Вендрофф [Lax, Wendroff, 1960] предло-
предложили новый метод расчета газодинамических течений с удар-
ударными волнами, позволяющий строить разностные схемы второго
порядка точности, существенно меньше размазывающие удар-
ударные волны, чем использовавшиеся ранее конечно-разностные ме-
методы. Предложенный Мак-Кормаком [MacCormack, 1969] ва-
вариант этого метода является и сейчас одним из наиболее попу-
популярных методов расчета течений с ударными волнами. Чтобы
избежать размазывания скачков уплотнения, можно использо-
использовать разностные схемы с выделением скачков. Одной из ранних
была работа Гари [Gary, 1962], в которой этот подход исполь-
использован для расчета движущихся скачков. В работах Моретти
с соавторами [Moretti, Abbett, 1966; Moretti, Bleich, 1968] схемы
с выделением скачков применены для расчета многомерного
сверхзвукового обтекания с ударными волнами тел различной
формы. Одна из первых схем с выделением скачка описана Гихт-
майером и Мортоном. И сегодня для расчета течений с ударными
волнами используются разностные схемы как с выделением, так
и с размазыванием скачков.
В последние пятнадцать лет прогресс в вычислительной гид-
гидромеханике продолжался, а количество исследователей, рабо-
работающих в этой области, увеличивалось со все возрастающей ско-
скоростью. Поэтому трудно дать краткий обзор истории этого пе-
периода и указать всех, чей вклад был значителен. Для интере-
интересующихся этим вопросом мы рекомендуем работу Холла [Hall,
1981], в которой подведены итоги развития вычислительной гид-
гидромеханики начиная с 1950 г. В заключение отметим еще три
работы, целью которых было проинформировать мировую науч-
научную общественность о достижениях вычислительной гидромеха-
гидромеханики. Работы [Macagno, 1965} и [Harlow, Fromm, 1965] были
опубликованы во французском журнале La Houille Blanche и
в американском журнале Scientific American соответственно.
В них объяснена полезность численных методов для решения за-
задач гидромеханики и приведен ряд численных примеров, иллю-
иллюстрирующих достигнутые результаты. В более поздней работе
Левина [Levine, 1982], опубликованной в журнале Scientific
American, рассмотрены потенциальные возможности численных
методов. Как и предыдущие работы, она ускорила знакомство
научной общественности с состоянием вычислительной гидроме-
гидромеханики и нового поколения ЭВМ.

Глава 2
Уравнения в частных
производных
§ 2.1. Введение
Многие физические проблемы.сводятся к решению уравнений
в частных производных, поэтому необходимо знать физические
особенности решений этих уравнений. Для решения конкретных
задач необходимо уметь определять тип дифференциального
уравнения в частных производных и знать его основные матема-
математические особенности. В этой главе рассмотрены математические
и физические свойства уравнений с частными производными,
встречающихся в газовой динамике и теплопередаче, на ряде
примеров показаны наиболее важные особенности их решений.
В конце главы приведены сведения, относящиеся к системам
уравнений в частных производных. Выписан также ряд модель-
модельных уравнений, которые в гл. 4 используются для анализа
свойств конечно-разностных схем.
§ 2.2. Физическая классификация уравнений
2.2.1. Стационарные задачи
Задача называется стационарной, если решение уравнения
в частных производных внутри некоторой области определяется
лишь условиями на границе этой области (рис. 2.1). Физически
стационарная задача описывает установившийся процесс, а ма-
математически сводится к решению задачи с граничными усло-
условиями (краевой задачи) для уравнения в частных производных.
К стационарным задачам относится определение стационарного
поля температур, расчет течения несжимаемой невязкой жид-
жидкости, нахождение упругих напряжений в твердом теле.
Иногда стационарные задачи называют детерминирован-
детерминированными, так как решение в любой внутренней точке области D
определяется условиями, заданными на ее границе В, т. е. гра-
граничные условия полностью определяют поведение решения в D.
Установившиеся процессы описываются уравнениями в частных
производных эллиптического типа.
Пример 2.1. Стационарное поле температуры в проводящей
среде с постоянным коэффициентом теплопроводности удовлет-

§ 2.2. Физическая классификация уравнений
23
воряет уравнению Лапласа. Рассмотрим типичную задачу рас-
расчета двумерного поля температур в твердом теле, температура
на границах которого поддерживается постоянной. Эта задача
сводится к решению уравнения
, B.1)
с граничными условиями
Т@,у) = 0,
у) = 0, Г(*,О) = Го> Т(х9 1) = 0.
Расчетная область и граничные условия показаны на рис. 2.2.
Рис. 2.1. Область для решения стационарной за-
задачи. В области D решение должно удовлетво-
удовлетворять уравнениям в частных производных; на гра-
границе В области D решение должно удовлетво-
удовлетворять граничным условиям.
Решение. Для решения линейных уравнений в частных про-
производных часто применяют метод разделения переменных
у [Greenspan,, 1961]. Для того
чтобы воспользоваться им,
предположим, что искомая
температура является произве-
произведением двух функций, одна из
которых зависит только от х,
а другая — только от у:
Т=*0
X
0
V
А\\\\\\\\\\\\ч
Л
\
\
\
\
\
К\\\\\\\\\\\\\\
T(x9y) = X(x)Y(y).
т=тп
Подставив это выражение для
температуры в уравнение Лап-
Лапласа, получим два обыкновен-
обыкновенных дифференциальных урав-
уравнения. Выпишем их вместе с однородными граничными усло-
Рис. 2.2. Единичный квадрат с задан-
заданной температурой границ.
ВИЯМИ
B.2)

24 Гл. 2. Уравнения в частных производных
Штрихом здесь обозначено дифференцирование. Появление в
уравнениях коэффициента а2 связано с проведенным разделе-
разделением переменных. Значение этого коэффициента необходимо оп-
определить в процессе решения задачи. Выпишем решения урав-
уравнений B.2):
X (х) = A sin (ля*), Y(y) = C sh [пп{у — 1)].
Граничные условия учитываются следующим образом:
1. Г@, у)=О->Х@) = 09
Т(х, 1) = 0->ГA) = 0.
Эти условия определяют тип функций, входящих в выражение
для температуры Т(х, у). Например, граничное условие Г@, у) =
= 0 выполняется в том случае, когда решение уравнения для
функции Х(х) удовлетворяет условию Х@) = 0. Поэтому, хотя
общее решение дифференциального уравнения содержит как си-
синусы, так и косинусы, граничное условие позволяет исключить
члены, содержащие косинус. Аналогичную роль для второго
обыкновенного дифференциального уравнения играет граничное
условие Т(х, 1) = 0, приводящее к условию УA) = 0.
2.
Это условие позволяет определить собственные значения, т. е.
такие значения коэффициента а, при которых существует нетри-
нетривиальное (отличное от тождественного нуля) решение обыкно-
обыкновенного дифференциального уравнения с однородными гранич-
граничными условиями. Так как решение первого из уравнений B.2)
имеет вид
*(*) = i4sin(ox),
то нетривиальное решение Х(х), удовлетворяющее условию
ХA) = 0, существует лишь при a = mt, где п= 1, 2, ... .
3. Т(х,0)=Т0.
Заданное значение температуры на оси х позволяет определить,
в какой комбинации собственные функции входят в решение.
Запишем решение рассматриваемой задачи в виде
оо
Т (х, у) = ? Ап sin (nnx) sh [яя {у - 1)], B.3)
» /1=1
т. е. как сумму собственных функций, удовлетворяющих задан-
заданному уравнению и трем граничным условиям. В общем случае
решение записывается в виде суммы ряда, членами которого
являются произведения синусов и косинусов на гиперболические
синусы и косинусы. Для рассматриваемой задачи четвертое гра-

§ 2.2. Физическая классификация уравнений
25
ничное условие, заданное на нижней границе области, имеет вид
Т(х, О)=Го. Используя это выражение для определения коэф-
коэффициентов Ап в соотношении B.3), получим (см. задачу 2.1)
_2Г0 [(-1)"-!]
Пп пп sh(wt) '
Найденное решение Т(х,у) уравнения описывает распределение
температуры в твердом теле. Очевидно, что значение темпера-
температуры в любой внутренней, точке области зависит от условий, за-
заданных на всей границе этой области. Такая зависимость ре-
решения от граничных условий характерна для всех стационарных
задач математической физики.
Пример 2.2. Безвихревое течение несжимаемой невязкой жид-
жидкости описывается уравнением Лапласа. Найдем поле скорости,
возникающее при обтекании изображенного на рис. 2.3 цилиндра
F(r,0)=r-rh@)=Q
Рис. 2.3. Схема двумерного обтекания цилиндра.
потоком несжимаемой невязкой жидкости. Введем потенциал
скорости ф, т. е. такую функцию ф, что \ф = V, где V — вектор
скорости. Тогда течение несжимаемой невязкой жидкости опи-
описывается уравнением \*ф = 0. На поверхности цилиндра задает-
задается граничное условие .
V-VF = 0, B.4)
где F(r> 0) — 0 — уравнение, описывающее поверхность цилиндра.
При удалении от цилиндра скорость должна стремиться к ско-
скорости набегающего потока, т. е. при х, у-+оо
V^ = V0O. B.5)
Решение. Будем искать решение поставленной задачи в виде
суммы двух простых частных решений уравнения Лапласа. Сум-
Сумма двух решений будет также решением уравнения вследствие
линейности уравнения Лапласа, для которого любая линейная
комбинация его решений является решением этого уравнения

26 Гл. 2. Уравнения в частных производных
[Churchill, 1941]. В случае обтекания кругового цилиндра по-
потенциал искомого решения является суммой потенциалов одно-
однородного потока и диполя [Karamcheti, 1966]:
1±T B.6)
х + у
Первое слагаемое описывает однородный поток, а второе — ди-
диполь интенсивности 2я/С.
2.2.2. Маршевые задачи
Маршевой или эволюционной (или задачей распространения)
называется задача, в которой требуется найти решение уравне-
уравнения в частных производных в незамкнутой области при задан-
заданных граничных и начальных условиях. Расчетная область и мар-
маршевое направление (в этом направлении область не замкнута)
t или у
\\\\\\\\\\\v(\\\\\v
Рис. 2.4. Область для решения маршевой (эволюционной) задачи. В обла-
области D решение должно удовлетворять уравнениям в частных производных;
на границе В решение должно удовлетворять граничным условиям; на по-
поверхности В' задаются начальные данные.
показаны на рис. 2.4. Математически задачи такого типа яв-
являются задачами с начальными условиями или задачами с на-
начальными и граничными условиями. Решение таких задач долж-
должно быть найдено последовательным движением в маршевом
направлении наружу от поверхности, на которой заданы началь-
начальные условия, при этом необходимо удовлетворить также гранич-
граничным условиям. Такие задачи описываются уравнениями в част-
частных производных гиперболического или параболического типа.
Пример 2.3. Определить нестационарное поле температуры
в одномерном твердом теле (рис. 2.5) с коэффициентом тепло-

§ 2.2. Физическая классификация уравнений
27
проводности а, если начальная температура тела равна нулю,
а в последующие моменты времени температура левой границы
остается равной нулю, а температура правой границы поддер-
поддерживается равной То.
Решение. Процесс распространения тепла в одномерном слу-
случае описывается уравнением
теплопроводности
dt
= а
д2т
дх2
B.7)
В рассматриваемом случае ре-
решение должно удовлетворять
граничным условиям
Г@, 0 = 0, T(l,t) =
и начальному условию
Т(х, 0) = 0.
B.8)
B.9)
I
27 = 1
Рис. 2.5. Схема задания граничных
условий для одномерного уравнения
теплопроводности.
Проще всего получить реше-
решение поставленной задачи, вве-
введя новую искомую переменную
и= Т— Тох. Тогда для функции и получается однородное урав-
уравнение
ди д2и
а
с однородными граничными условиями
н@, 0 = 0, иA, 0 = 0
и начальным распределением
и(х, 0) = -7>.
Теперь мы можем воспользоваться методом разделения пере-
переменных. Будем искать решение уравнения в виде и(ху t) =
= V(t)X(x). Обозначим возникающую при разделении перемен-
переменных константу через —р2 и сведем решение поставленной за-
задачи к решению обыкновенных дифференциальных уравнений
В результате получим, что удовлетворяющее начальному рас-
распределению для функции и решение уравнения в частных произ-
производных имеет вид
и(х, 0 =
sin (nnx) = Т- Тох,
п-1

28 Гл. 2. Уравнения в частных производных
ИЛИ
оо
Т = Тох + ? 2Т°{п~1)П е-2™ sin (nnx). B.10)
Пример 2.4. Определить смещение y{x,t) струны длины /,
закрепленной в точках х = 0 и х = /, если ее начальное смеще-
смещение имело форму у (ху 0) = sin (ял://) и начальные скорости от-
отсутствуют. Предполагается, что внешние силы на струну не
действуют.
Решение. Колебания струны описываются волновым уравне-
уравнением
(а — положительная константа). Решение должно удовлетворять
граничным условиям
t) = y(l,t) = 0 • B.12)
и начальным условиям
у(х, 0) = sin^L, Jry(x,t)\t=0 = 0. B.13)
Используя метод разделения переменных, получим решение
в виде
у(х, O = sin(*-f)cos(flw-f). B.14)
Обычно решение такого типа задач удается найти лишь в виде
суммы бесконечного ряда. В рассматриваемом примере удалось
обойтись лишь одним слагаемым благодаря тому, что первый
член ряда в точности удовлетворяет начальным условиям.
Характер физических процессов, описываемых уравнением
теплопроводности и волновым уравнением, различен, хотя оба
этих уравнения являются маршевыми. Различаются также ме-
методы их решения и математические свойства этих решений. При-
Причины этого будут ясны после изучения математических свойств
уравнений в частных производных.
Типичными примерами маршевых задач являются также не-
нестационарные течения невязкой жидкости, стационарные сверх-
сверхзвуковые течения невязкого газа, пограничный слой, нестацио-
нестационарное распространение тепла,

§ 2.3. Математическая классификация уравнений 29
§ 2.3. Математическая классификация уравнений
Уравнение в частных производных второго порядка, записан-
записанное в общем виде, обычно используют для пояснения матема-
математической классификации уравнений в частных производных. Рас-
Рассмотрим уравнение в частных производных
афхх + Ьфху + сфуу + йфх + ефу + !Ф = ё (х, у), B.15)
Здесь а, 6, с, d> e, f — функции от х, у, т. е. рассматривается
лишь линейное уравнение. Хотя для последующего анализа это
ограничение несущественно, однако оно позволяет упростить из-
изложение. Часто рассматривают квазилинейные уравнения, т. е.
уравнения, линейные относительно старших производных. В этом
случае коэффициенты а, Ь и с в уравнении B.15) могут зави-
зависеть от х, у> фу фх и фу. Мы, однако, ограничимся линейным урав-
уравнением B.15) с коэффициентами, зависящими лишь от х и у.
Определим теперь канонические формы записи уравнений
в частных производных различных типов. Известно, что в виде
B.15) могут быть записаны уравнения трех различных типов —
гиперболические, параболические и эллиптические. Такая клас-
классификация уравнений в частных производных второго порядка
проводится по аналогии с классификацией кривых второго по-
порядка в аналитической геометрии. Тип уравнения в частных про-
производных, так же как и тип конического сечения кривой второго
порядка, определяется знаком определителя. Уравнение назы-
называется гиперболическим в точке (л:0, у о), если
Ь2-4ас>0. B.16)
Его каноническая форма !> имеет вид
Фц-Фт = ЬЛФ1>Ф*ФЛ,1\). B.17)
Уравнение называется параболическим в точке (х0, уо), если
Ь2__4ас = 0. B.18)
Его каноническая форма имеет вид
*К = М*$, Ф*Ф,1, Л)- B-19)
Уравнение называется эллиптическим в точке {хо,уо), если
Ь2 — Аас < 0. B.20)
Его каноническая форма
^ШьФчФ.Ьъ). B-21)
*> В отечественной литературе ее обычно называют второй канонической
формой гиперболического уравнения. — Прим. ред.

30 Гл. 2. Уравнения в частных производных
Волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение
Лапласа — соответственно уравнения трех указанных типов. При
исследовании уравнений гиперболического типа часто исполь-
используют их характеристическую форму1)
*М = М**, #ц, ФЛ,у\), B.22)
которая особенно удобна для нахождения аналитических ре-
решений.
Проведем в уравнении B.15) замену переменных
(х9у)-+A,ч), B.23)
т. е. вместо независимых переменных х и у введем новые пере-
переменные | и т|. Потребуем, чтобы это преобразование было невы-
невырожденным, т. е. чтобы между (х,у) и (?, т]) существовало вза-
взаимно однозначное соответствие. Для этого достаточно, чтобы
был отличен от нуля якобиан
ITaylor, 1955]. При применении преобразования координат
B.23) все производные, входящие в уравнение B.15), вычис-
вычисляются по правилу дифференцирования сложной функции. На-
Например,
дФ • j^ , JH>
дЧ _ >я дЧ , og дЧ , о дЧ
K '
Подставив эти выражения для производных в B.15), получим
^g| + Щп + Сфп + ... = g (I, ч).
Здесь
Становится ясным важный результат этого преобразования. Ди-
Дискриминант преобразованного уравнения
В2 - 4 АС = (б2 - Аас) (|,% - |„т,*J, B.26)
!) В отечественной литературе ее обычно называют первой канонической
формой гиперболического уравнения. — Прим, ред.

4
§ 2.3. Математическая классификация уравнений 31
причем
Следовательно, любое невырожденное преобразование перемен-
переменных не меняет тип дифференциального уравнения.
2.3.1. Гиперболические уравнения в частных производных
Для приведения гиперболического уравнения в частных про-
производных к характеристической форме B.22) перейдем к пере-
переменным |, т), являющимися корнями уравнений А = О и С = 0.
Первое из этих уравнений имеет вид
<** + №Д, + сБ*=0,
или, разделив на 1У Ф 0, имеем
+ьЬ+с=0- <2-27)
Рассмотрим поверхности |(x, у) = const. На этих поверхностях
т. е. Ix/ly = —dy/dx. Подстановка этого выражения в B.27)
приводит к уравнению характеристик
Найдем корни этого уравнения:
2«
Поверхности ? (х, у) = const и г\ (ху у) = const определяются из
решения двух полученных обыкновенных дифференциальных
уравнений B.28). Найденные таким образом функции | и ц на-
называются характеристиками уравнения B.15). Выбирая их в ка-
качестве независимых переменных, можно привести исходное урав-
уравнение в частных производных к виду B.22), которое поэтому и
называется характеристической формой гиперболического урав-
уравнения.
Замена искомой функции ф на Ф позволяет в случае постоян-
постоянных коэффициентов а, 6, с, d и е преобразовать уравнение B.15)
к канонической форме [Gary, 1969]
?>П). B.29)

Гл. 2. Уравнения в частных производных
Пусть Xi и %2 — корни характеристического уравнения
— ЬК + с = 0. Преобразование переменных
}+* B.30)
позволяет исключить из уравнения член со смешанной произ-
производной. Для исключения членов, содержащих первые производ-
производные, проведем замену искомой функции по формуле
ф = фв-«%-Рч. B.30а)
Подходящим выбором аир (см. задачу 2.5) можно привести
уравнение B.15) к виду B.29). Проиллюстрируем переход к ха-
характеристическим переменным на примере волнового уравнения
Фи-Фхх = 0. B.31)
Здесь а = 1, 6=0, с = —1, поэтому уравнения B.28) сводятся
к уравнениям
Проинтегрировав эти обыкновенные дифференциальные уравне-
уравнения, получим
X — / = Т).
Перейдем к переменным |, ц. Так как
Фи = Фц — 2Ф& + Фг\ц>
то ^т)=0. Таким образом, мы нашли характеристическую фор-
форму волнового уравнения. Приведем пример, показывающий пре-
преимущества этой формы записи волнового уравнения.
Пример 2.5. Решить волновое уравнение
utt = c2uxx B.32)
в области — оо << х < + °° с начальными условиями
u(x,0) = f(x),
Щ(х, 0) = g(x).
Решение. Перейдя к характеристическим переменным, полу-
получим ищ = 0. Здесь g = х + ct, г] = х — ct.
Решение этого уравнения определяется последовательным
интегрированием и имеет вид
и (х, t) = Л (х + ct) + F2 (x - ct). B.33)

§ 2 3. Математическая классификация уравнений 33
Это решение называют решением Даламбера волнового уравне-
уравнения [Wylie, 1951]. Конкретный вид функций F\ и F2 определяет-
определяется начальными условиями
и(х, 0) = f(x) =
Теперь можно выписать решение поставленной задачи:
x+ct
x-ct
Используем это решение для иллюстрации основных свойств
гиперболических уравнений в частных производных. На рис. 2.6
(*„Л)
-ro+cto
Рис. 2.6. Характеристики волнового уравнения.
показаны характеристики, проходящие через точку (хОу to)- Тан-
Тангенс угла наклона правой характеристики равен + A/с), а тан-
тангенс левой равен —A/с). Решение u(x,t) в точке (х0, t0) зави-
зависит лишь от начальных значений в интервале х0—cto ^ х ^
^ Хо + cto. Первое слагаемое в решении B.34) описывает пере-
перенос начальных данных вдоль характеристик, а второе — вклад
начального распределения на конечном замкнутом интервале
(отрезке).
Продемонстрированная в примере 2.5 ограниченность обла-
области зависимости решения является характерной особенностью
гиперболических уравнений в частных производных. В этом при-
примере область зависимости ограничена характеристиками, прохо-
проходящими через точку (хо, /о), так как решение в этой точке опре-
определяется лишь условиями на ограниченном этими характери-
характеристиками интервале. Это означает, что4 никакое возмущение,
возникающее вне указанного интервала, не может влиять на ре-
решение в точке (л'о, to)- Это свойство решений характерно для всех
2 Д. Андерсон и- др. Том 1

34 Гл. 2 Уравнения в частных производных
гиперболических уравнений в частных производных и объяс-
объясняет, почему задача с начальными данными для гиперболиче-
гиперболических уравнений называется маршевой или эволюционной: на-
начальные данные задаются, а решение определяется последова-
последовательным продвижением (решение маршевым методом) по вре-
времени или играющей его роль координате.
Имена многих выдающихся математиков связаны с поста-
постановкой различных задач для уравнений в частных производных.
Для гиперболических уравнений наиболее известной является
задача Коши: найти решение уравнения в частных производных
с начальными данными, заданными на кривой С. Доказана очень
важная теорема (она называется теоремой Коши — Ковалев-
Ковалевской) о существовании решения задачи Коши. Эта теорема
утверждает, что если начальные данные в окрестности точки
(*о, У о)—аналитические функции, а функция иХх (для частного
случая, рассмотренного, в примере 2.5) аналитична в этой точке,
то в окрестности точки (хо, уо) существует единственное реше-
решение и дифференциального уравнения в частных производных,
являющееся аналитической функцией.
Рассмотрим подробнее допустимые для гиперболических урав-
уравнений постановки задач. Например, для волнового уравнения
начальные данные (значения искомой функции и ее производ-
производных) можно задавать на любой кривой С, направление которой
не совпадает с направлением характеристик. В примере 2.6 бу-
будет показано, что если начальные данные заданы на характе-
характеристике, то единственное решение задачи Коши найти нельзя.
Такая задача называется некорректно поставленной. Подробно
мы рассмотрим вопрос о корректности постановки задач в § 2.4.
Пример 2.6. Решить записанное в характеристической форме
волновое уравнение м^ = 0 с начальными условиями и (О, г\) =
Ф() @) ()
Решение. Линии g = const и r\ — const являются характери-
характеристиками рассматриваемого уравнения; следовательно, в нашем
примере начальные условия заданы на характеристике.
Разложим решение для и в ряд Тейлора по | в окрестности
линии |=0, на которой заданы начальные условия:
8 i?w
Из начальных условий нам известны функции и@, г\) и t^@, г]).
Остается найти иц@, ц).
Из исходного дифференциального уравнения следует, что
w^ti @, г]) = 0. Из начального условия получим, что
(°) /() о

§ 2.3. Математическая классификация уравнений 35
и, следовательно,
<ф (г)) = const = с{.
Мы можем, кроме того, написать
Проинтегрировав это уравнение, получим иц = {(?,). Если те-
теперь учесть начальные условия, то получим
иЪ1 @> 'П)== const= С2-
Следовательно,
В случае когда начальные данные заданы вдоль характеристики
1 = 0, определить вид функции g(g) нельзя.
При решении уравнений в частных производных необходимо
правильно задавать начальные и граничные условия, так как
лишь в случае корректно поставленных задач решение непре-
непрерывно зависит от граничных и начальных условий [Hadamard,
1952]. Понятие «корректно поставленная задача» одинаково
подходит как для гиперболических, так и для параболических
и эллиптических уравнений в частных производных. Пример за-
задачи для уравнения эллиптического типа будет приведен ниже,
в § 2.4.
2.3.2. Параболические уравнения в частных производных
В предыдущем разделе мы изучили основные свойства гипер-
гиперболических уравнений на примере простого уравнения в частных
производных. Поступим аналогично и при изучении параболиче-
параболических уравнений. Уравнение B.15) является параболическим,
если Ь2 — 4ас = 0. Уравнение характеристик в этом случае имеет
вид
#-=4-- B-35)
Для приведения уравнения B.15) к канонической форме
*« = *(**. *„,*. 5, Л) B-36)
перейдем к переменным |, ц по формулам
i = х — Хгу9 т] = х — Х2у.
2*

36
Гл. 2. Уравнения в частных производных
Коэффициент Х\ определяется из уравнения B.35). Так как
в случае параболического уравнения существует только одно
семейство характеристик, то выбор коэффициента А,2 ограничи-
ограничивается лишь условием линейной независимости функций !¦ и г\.
Последнее эквивалентно требованию отличия от нуля якобиана:
% \ -и о /о ^7^
д (х, у)
Если выбрать %2 удовлетворяющим этому условию и перейти
к переменным ?, т], то получим каноническую форму B.36).
Параболические уравнения обычно описывают диффузионные
процессы. Хотя эти уравнения являются маршевыми (эволю-
(эволюционными), т. е. допускают ре-
решение последовательным про-
продвижением по времени (или
аналогичной времени марше-
маршевой координате), зона зависи-
зависимости их решений в отличие от
гиперболических уравнений не
ограничена. Решение парабо-
параболического уравнения в любой
момент времени U зависит от
параметров во всей рассмат-
рассматриваемой области в предыду-
предыдущие моменты времени
^- х
Рис. 2.7. Область зависимости
параболического уравнения.
Для
в том числе и от условий на
боковых границах. Мы уже
отмечали это свойство решений параболических уравнений при
анализе одномерного уравнения теплопроводности (пример 2.3).
Пусть заданы начальное поле температуры и температура обеих
границ; тогда область зависимости решения этого уравнения
в момент времени t\ имеет вид, показанный на рис. 2.7. Рас-
Рассмотрим еще одну интересную и важную задачу, сводящуюся
к решению параболического уравнения.
Пример 2.7. Рассмотрим задачу о нестационарном обтекании
несжимаемой вязкой жидкостью внезапно приведенной в движе-
движение пластины. Это известная задача Рэлея, допускающая точ-
точное аналитическое решение. Так как течение двумерное, то от-
отлична от нуля лишь параллельная пластине составляющая ско-
скорости. Выберем систему координат х, у так, чтобы ось х была
параллельна, а ось у перпендикулярна пластине. Тогда скорость
жидкости описывается уравнением
ди
dt
ду*
B.38)

§ 2.3. Математическая классификация уравнений 37
Здесь v — коэффициент кинематической вязкости. Содержащая
частную производную по времени левая часть уравнения описы-
описывает ускорение жидкости, а правая часть — тормозящее воздей-
воздействие вязких напряжений (т = vpdu/dy). Выпишем граничные
и начальные условия для уравнения B.38):
u@9y) = 0, u(t,O) = U (/>0), и(/,оо) = 0.
Решение. Решение поставленной задачи описывает поле ско-
скорости, возникающее при внезапном приведении пластины в дви-
движение со скоростью ?/. При решении параболических уравнений
часто достаточно найти их автомодельное решение [Hansen,
1964]. Для этого надо провести замену переменных, позволяю-
позволяющую понизить число независимых переменных в исходном урав-
уравнении [Churchill, 1974]. В рассматриваемой задаче мы хотим
свести уравнение в частных производных к обыкновенному диф-
дифференциальному уравнению, перейдя от переменных у, t к пере-
переменной т]. Пусть
Ыц) = <п = Ц=т
Тогда наша задача сводится к решению уравнения
с граничными условиями /@)=1, /(оо) = 0. Интегрируя обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение, получим
B.39)
Используя определение функции ошибок
B.40)
перепишем выражение для скорости в виде
м = С/[1 — erf
Полученное решение показывает, что толщина слоя жидкости,
приведенного в движение пластиной, растет по времени как
yvi. Отсюда следует, что рост толщины слоя определяется
только коэффициентом кинематической вязкости v и изменение
скорости жидкости в слое обусловлено лишь диффузией скоро-

38 Гл. 2. Уравнения в частных производных
сти от пластины к неподвижной жидкости. Итак, рассмотренная
задача описывает диффузионный процесс, аналогичный одно-
одномерному стационарному процессу распространения тепла.
2.3.3. Эллиптические уравнения в частных производных
Третий тип уравнений в частных производных эллиптический.
Рассмотрим основные свойства эллиптических уравнений, кото-
которые, как отмечалось выше, описывают стационарные процессы.
Если уравнение B.15) эллиптическое, его дискриминант отрица-
отрицателен, т. е.
Ь2 — 4ас<0. B.41)
В этом случае вещественных корней у характеристического урав-
уравнения B.27) нет, а комплексные корни этого уравнения опреде-
определяются соотношением
Ь ± / л/4ас — Ь2
Al>2~ Та *
Итак, оба семейства характеристик эллиптического уравнения
комплексные.
Приведем эллиптическое уравнение к канонической форме.
Для - этого проведем комплексное преобразование координат
1-1ц B.42)
и, кроме того, положим, что
ф = фхе-а1-*т1л B.43)
Применив преобразования B.42) и B.43) к уравнению B.15),
можно привести его к виду
#1К + #11т +*#i = /F, Л), <2-44)
аналогичному B.21), но более удобному и простому, так как
функция ф\ входит в уравнение явно.
Характер зависимости решения эллиптического уравнения
в частных производных от граничных условий был рассмотрен
в примере 2.1. Чтобы еще раз подчеркнуть это свойство, рас-
рассмотрим еще одно эллиптическое уравнение.
Пример 2.8. Найти решение и (г, 0) уравнения Лапласа
в круге единичного радиуса
удовлетворяющее граничным условиям

§ 2.4. Корректно поставленные задачи 39
Решение. Будем искать решение уравнения в виде суммы
ряда
оо
и (г, в) = -f- + ? гп (а„ cos п8 + Ьп sin пв).
Значения коэффициентов аЛ и ЬЛ можно определить стандарт-
стандартным для ап и 6Л методом [Garabedian, 1964]. Для данного при-
примера выражения для ап и Ьп зависят от граничных условий во
всех точках единичного круга. Такая зависимость решения в лю-
любой внутренней точке области от условий на всей границе об-
области характерна для всех эллиптических уравнений. Отметим,
что единственное решение поставленной задачи существует, если
только
где интеграл вычисляется по единичной окружности [Zachma-
noglou, Thoe, 1976]. Это можно доказать при помощи теоремы
Грина, примененной к единичному кругу. Итак, в рассмотренной
задаче граничные условия не могут быть произвольными, а
должны удовлетворять специальному интегральному условию.
§ 2.4. Корректно поставленные задачи
В предыдущих разделах мы изучили математические свой-
свойства уравнений в частных производных. На ряде примеров было
показано, что характер решения этих уравнений определяется
заданными граничными и начальными условиями. При изучении
гиперболических уравнений в частных производных было пока-
показано, что, в случае когда начальные условия заданы на харак-
характеристике, нельзя найти единственное решение уравнения. Для
эллиптических и параболических уравнений также можно при-
привести примеры неудачных граничных и начальных условий.
Трудность, возникшая при попытке решить гиперболическое
уравнение с заданными на характеристике начальными усло-
условиями, состоит в ответе на вопрос, корректно ли поставлена
рассматриваемая задача. Задача для уравнений в частных про-
производных называется корректно поставленной, если она имеет
единственное решение, непрерывно зависящее от начальных и
граничных условий. На возможную неединственность решения
уравнений в частных производных указывает пример 2.6. Ада-
мар [Hadamard, 1952] построил простой пример, показываю-
показывающий, что решение не всегда непрерывно зависит от начальных
условий.

40 Гл. 2. Уравнения в частных производных
Пример 2.9. Решить уравнение Лапласа
ихх + иуу = 0» ""¦ °° < X < ОО,
с заданными при у = 0 граничными условиями
и(х, 0) = 0,
иу (*, 0) = A/л) sin (пх\ п>0.
Решение. При помощи метода разделения переменных легко
получить
и = (l/n2) sin (nx) sh (ny).
Если рассматриваемая задача корректно поставлена, решение
должно непрерывно зависеть от граничных условий, одно из ко-
которых имеет вид
иу (х, 0) = (l/n) sin (nx).
Следовательно, при больших п величина иу малая. Решение
уравнения ведет себя при больших п иначе. При больших п
решение и стремится к епу/п2> т. е. неограниченно растет даже
при малых у. Однако и(х, 0)=0, т. е.
непрерывность по начальным данным от-
отсутствует. Итак, задача поставлена не-
некорректно. К этому же выводу можно
было прийти на основе проведенного вы-
выше анализа свойств уравнений в частных
производных, не выписывая их решение.
Действительно, уравнение Лапласа эл-
эллиптическое, поэтому его решение зави-
зависит от условий на всей границе замкну-
замкнутой области. В рассмотренном же при-
примере требовалось найти решение эллип-
эллиптического уравнения в открытой области,
так как граничные условия были заданы
лишь на линии у = 0.
Наиболее часто встречающимся краевым задачам для урав-
уравнения Лапласа присвоены имена известных ученых. Первой ука-
укажем задачу Дирихле (рис. 2.8), в которой требуется найти ре-
решение уравнения Лапласа в замкнутой области, если на ее гра-
границе задано значение искомой функции. В задаче Неймана
также надо найти решение уравнения Лапласа в замкнутой об-
области D, если на ее границе задана производная искомой функ-
Рис. 2.8. Задача Дирих-
Дирихле: V2u = 0 в D, u=f(x)
на В.

§ 2.5. Системы уравнений 41
ции по нормали к В, а не сама искомая функция:
= 0 в D, 4fc = g(x) на В.
Обобщением задач Дирихле и Неймана, когда на границе зам-
замкнутой области задана линейная комбинация искомой функции
и ее производной по нормали к границе является так называе-
называемая смешанная краевая задача:
V2u = 0 в области Z),
дп
а\ (х) "г~ + а2 (х)и = h (х) на границе В.
Эту краевую задачу иногда называют также третьей краевой
задачей для уравнения Лапласа [Zachmanoglou, Thoe, 1976] или
задачей Робина. Часто именем Дирихле, Неймана и Робина на-
называют тип граничных или начальных условий, заданных для
любого уравнения в частных производных. Например, если мы
говорим: «граничное условие Дирихле», то это значит, что на
границе области задано значение искомой функции. Такая тер-
терминология используется для уравнений в частных производных
любого типа.
§ 2.5. Системы уравнений
При изучении физических процессов обычно приходится ре-
решать системы уравнений в частных производных, так как редко
удается описать сложный физический процесс одним уравне-
уравнением в частных производных. Но даже в тех случаях, когда фи-
физический процесс описывается одним уравнением в частных
производных высокого порядка, это уравнение можно заменить
системой уравнений первого порядка. Проиллюстрируем это
двумя простыми примерами.
Заменим волновое уравнение B.32) системой двух уравне-
уравнений первого порядка. Обозначим
du du
и рассмотрим систему уравнений
dw
fir '
B.45)
dv
dt
dw
dt
dw
C dx
dv
~~C dx '

42 Гл. 2. Уравнения в частных производных
Подставляя в любое из уравнений вместо w и и их выражение
через и, видим, что функция и удовлетворяет волновому урав-
уравнению.
Многие физические процессы описываются уравнением Лап-
Лапласа B.1). Заменим его системой уравнений в частных произ-
производных первого порядка
ди , dv
зи_=_А B-46)
ду дх
относительно неизвестных и и v. Это известные уравнения
Коти — Римана [Churchill, 1960], широко используемые в тео-
теории конформных преобразований 1\
Так как многие задачи вычислительной гидродинамики сво-
сводятся к решению систем уравнений в частных производных пер-
первого порядка, то для корректной постановки задач необходимо
уметь определять тип системы уравнений в частных производ-
производных. Рассмотрим систему линейных уравнений в частных про-
производных первого порядка
4г + И]-ё--НЯ]-^- + г = 0. B.47)
Для простоты ограничимся случаем, когда матрицы коэффи-
коэффициентов [А] и [В] являются функциями только t, х и у. Неиз-
Неизвестное и является вектором-столбцом, а г зависит от u, х и у.
С точки зрения авторов работы [Zachmanoglou, Thoe, 1976]
тип системы уравнений в частных производных первого порядка
можно уверенно определить лишь в двух случаях. Система урав-
уравнений B.47) называется гиперболической по (х, t), если все соб-
собственные значения матрицы [А] вещественны и различны. Рихт-
майер и Мортон [Richtmyer, Morton, 1967] предложили считать
гиперболической систему уравнений в том случае, когда все
собственные значения матрицы [А] вещественны и эту матрицу
можно представить в виде [Т] [А,] [Г]-1, где [X] — диагональная
матрица, состоящая из собственных значений матрицы [Л],
а матрица [Т]~1 — матрица левых единичных собственных век-
векторов. То же самое можно сказать о поведении системы уравне-
уравнений по (y,t) в зависимости от собственных значений мат-
матрицы [В].
1) Следует отметить, что между решениями уравнения Лапласа и уравне-
уравнений Коши — Римана существует некоторое различие: решение уравнений Ко-
ши — Римана всегда является решением уравнения Лапласа, но не всякое
решение уравнения Лапласа является решением уравнений Кощи — Римана,

§ 2.5. Системы уравнений 43
В качестве примера рассмотрим систему уравнений B.45),
записав ее в виде
¦? + И]-§ = 0, B.48)
где
V v 1 Г
Собственные значения К матрицы [А] определяются из решения
уравнения
det | [Л] — Я [/] | = 0.
Следовательно,
-А -с2
— 1 -X
= 0,
т. е. X2—с2 = 0. Корни этого уравнения равны: Х\ = +с9 Яг =
= —с. Вспомним определение характеристик волнового урав-
уравнения
dx
Система уравнений в этом случае гиперболическая, и мы видим,
что собственные значения матрицы [А] определяют направление
характеристик волнового уравнения.
Во втором случае тип системы уравнений B.47) можно оп-
определить, когда все собственные значения матрицы [А] комп-
комплексные. В этом случае система уравнений называется эллипти-
эллиптической по (x,t). В качестве примера рассмотрим систему урав-
уравнений Коши — Римана.
Пример 2.10. Запишем систему уравнений B.46) в виде
дх ' L'1J ду "'
где
О -1
Собственные значения матрицы [А] равны К\ = +/, %2 = —/.
Так как собственные значения матрицы [А] комплексные, то
система уравнений B.46) эллиптическая, что согласуется с уже
известными нам свойствами решений уравнения Лапласа.
Система уравнений в частных производных первого порядка
B.47) может оказаться эллиптической по (у, t) и гиперболиче-

44 Гл. 2. Уравнения в частных производных
ской по (х, /) в зависимости от собственных значений матриц
[В] и [А]. Это связано с тем, что тип системы уравнений в ча-
частных производных первого порядка по (х, t) и по (у, t) опре-
определяется независимо.
Хеллвиг [Hellwig, 1977] предложил классификацию систем
уравнений вида
ди . , dv . du . , dv ?
1 dx 1 дх z dy dy 'l
A ^u J_ A ^v _u A du , t dv p
1 dx * dx 2 dy 2 dy '2*
Перепишем ее в векторном виде
[А] --г^- + [С] -^- = F. B.49)
1 л dx L л dy v 7
Здесь
Пусть
и пусть D = В2 — 4|Л||С|, где |Л| — определитель матрицы
[А]. Система уравнений B.49) гиперболическая при D > О,
эллиптическая при D < 0 и параболическая при ?) =0.
Не ясно, однако, как поступать в том случае, когда часть
корней характеристического уравнения вещественные, а часть —
комплексные. Система уравнений в частных производных с та-
таким характеристическим уравнением смешанная и может обла-
обладать свойствами, характерными одновременно для гиперболиче-
гиперболических, параболических и эллиптических уравнений. Понять основ-
основные свойства решений систем уравнений в частных производных
смешанного типа обычно помогает знание описываемых ими фи-
физических процессов, а уже имеющийся опыт решения аналогич-
аналогичных систем уравнений — корректно поставить для них задачу.
Еще более сложной является классификация систем уравне-
уравнений в частных производных второго порядка. Определить тип та-
такой системы удается лишь в простейших случаях. Например,
система уравнений и/=[Л]ид;* параболическая в том случае,
когда все собственные значения матрицы [А] вещественные. От-

§ 2.6. Другие уравнения в частных производных 45
меченные выше проблемы, возникающие при классификации си-
систем уравнений первого порядка смешанного типа, сохраняются
и для систем уравнений второго порядка.
§ 2.6. Другие представляющие интерес уравнения
в частных производных
В этой главе мы пока изучали в основном решения уравне-
уравнений второго порядка — уравнения Лапласа, теплопроводности
и волнового уравнения, а также систем уравнений в частных
производных первого порядка. Приведем еще несколько очень
важных уравнений в частных производных, которые либо опи-
описывают часто встречающиеся физические процессы, либо исполь-
используются для анализа свойств разностных схем, применяемых при
решении более сложных уравнений. Для большинства приве-
приведенных ниже уравнений существуют точные аналитические ре-
решения.
1. Линейное волновое уравнение первого порядка
Это уравнение описывает волну, бегущую вправо с постоянной
скоростью с. Оно часто встречается в метеорологии.
2. Невязкое уравнение Бюргерса
| + «|«0. B.51)
Иногда его еще называют нелинейным волновым уравнением
первого порядка (уравнением переноса). Это уравнение описы-
описывает процесс распространения нелинейных волн в одномерном
случае.
3. Уравнение Бюргерса
Jto. + и -|j = v -0- B.52)
отличается от предыдущего нелинейного уравнения B.51) тем,
что в правую часть добавлен диффузионный член. Это уравне-
уравнение очень похоже на уравнения газовой динамики и часто ис-
используется как простая модель для анализа численных методов
их решения.
4. Уравнение Трикоми

46 Гл. 2. Уравнения в частных производных
является уравнением смешанного типа. Оно описывает, напри-
например, трансзвуковые течения невязкого газа. Важным свойством
уравнения Трикоми является то, что оно изменяет тип с эллип-
эллиптического на гиперболический в зависимости от знака у.
5. Уравнение Пуассона
д2и . д2и
B-54>
Это уравнение эллиптического типа описывает распределение
температуры в твердом теле, когда внутри тела есть источники
тепла интенсивности f(x,y). Уравнение Пуассона описывает
также напряженность электрического поля, если плотность рас-
распределения зарядов равна f(x,y).
6. Уравнение конвекции и диффузии
#+¦'#-#¦¦• . <«*>
Это уравнение описывает перенос скалярной величины | при
скорости конвекции и\ а — коэффициент либо вязкости, либо
диффузии.
7. Уравнение Кортевега де Вриза
Это уравнение описывает процесс распространения нелинейных
волн при наличии дисперсии.
8. Уравнение Гельмгольца
g 0 ^=0. B.57)
Это уравнение описывает движение нестационарной гармониче-
гармонической волны с волновым числом k. В приложениях его исполь-
используют для описания распространения звуковых волн.
Задачи
2.1. Покажите, что в решении уравнения Лапласа B.3), полученном
в примере 2.1, коэффициенты ряда Фурье Ап определены правильно. Указа-
Указание. Умножьте обе части соотношения B.3) на sin(mnx) и проинтегрируйте
в интервале 0 ^ ,v ^ 1; вы получите требуемый результат, если учтете гра-
граничное условие Т(х, 0)= 7V
2.2. Покажите, что поле скорости, потенциал которого описывается соот-
соотношением B.6), удовлетворяет граничному условию B.4).
2.3. Покажите, что формулы B.14) действительно дают решение волно-
волнового уравнения. Воспользуйтесь методом разделения переменных.

Задачи 47
2.4. Покажите, что тип уравнения в частных производных не меняется
при любом невырожденном вещественном преобразовании переменных.
2.5. Приведите гиперболическое уравнение B.29) к канонической форме,
применив к уравнению B.15) преобразование переменных B.30) и B.30а).
Найдите аир.
2.6. Покажите, что записанное в канонической форме уравнение B.36)
действительно параболическое.
2.7. Покажите, что единственное решение уравнения, приведенного в при-
примере 2.8, существует, только если
где интеграл вычисляется по единичной окружности с центром в начале ко-
координат.
2.8. Определите тип уравнений
д2и , д2и , ди _ _?/
д2и д2и , ди __
дх2 дхду ду ~~
2.9. Определите тип системы уравнений по (t, x) и (t, у):
ди ш dv __ ди __0
dt + дх "" ду ~~ '
dv ди dv __ п
~дГ~~ дх +7""
2.10. (а) Разложите в ряд Фурье по косинусам функцию
= sin (jc), 0 < х < л.
(b) Разложите в ряд Фурье по синусам функцию
f (Х) = cos (х), 0<х<п.
2.11. Найдите характеристики уравнений
2.12. Приведите уравнения предыдущей задачи к канонической форме.
2.13. Приведите к канонической форме следующие эллиптические уравне-
уравнения в частных производных:

48 Гл. 2. Уравнения в частных производных
2.14. Приведите к канонической форме следующие параболические урав-
уравнения в частных производных:
(а) Л ^ ?« з«.
v ' дх2 дхду ду2 дх
/м д2и д2и д2и ди ди
(Ь) + 2+ + 78 0
2.15. Решите волновое уравнение
д2и д2и
с начальными условиями
и(х,0)=*1, «*,(*, 0) = 0.
2.16. Решите уравнение Лапласа
V2u = 0, 0 < л: < я, 0 < у < я,
с граничными условиями
и (*, 0) = sin х + 2 sin 2*,
и (я, у) = 0, и (*, я) = 0, м @, у) = 0.
2.17. Повторите задачу 2.16 при
и (*, 0) = — я2*2 + 2я*3 — х\
2.18. Решите уравнение теплопроводности
ди д2и
с граничными условиями
и(/, 0) = 0, м(^, 1) = 0
и начальным условием
t/ @, х) = sin Bял:).
2.19. Повторите задачу 2.18, если начальное условие имеет вид
и @, *) = 1 — cos Dял:).

Глава 3
Основы метода конечных
разностей
§ 3.1. Введение
В этой главе изложены основные понятия и методы, используе-
используемые при конечно-разностном решении уравнений в частных про-
производных. Основой метода конечных разностей является дискре-
дискретизация— замена непрерывной области совокупностью изолиро-
изолированных точек (сеткой), причем решение уравнений ищется лишь
в этих точках (узлах сетки). Производные аппроксимируются
конечными разностями и решение уравнения в частных произ-
производных сводится к решению системы алгебраических уравнений.
Основные особенности получающейся системы алгебраиче-
алгебраических уравнений определяются типом исходного уравнения в ча-
частных производных (или системы уравнений в частных произ-
производных). Стационарные задачи обычно сводятся к системам
алгебраических уравнений, которые приходится решать одновре-
одновременно во всей расчетной области, учитывая заданные граничные
условия. Маршевые задачи часто сводятся к алгебраическим
уравнениям, которые можно решать последовательно (хотя ча-
часто удобнее одновременно решать несколько уравнений). В этой
главе рассматривается также вопрос о том, сколь точно реше-
решение разностных уравнений приближается к решению исходной
задачи. Для этого анализируется погрешность аппроксимации,
устойчивость и согласованность разностных схем.
§ 3.2. Метод конечных разностей
Одним из первых шагов при применении метода конечных
разностей к решению уравнения в частных производных яв-
является переход от непрерывной области к конечно-разностной
сетке. Пусть, например, надо найти решение и{х,у) уравнения
в частных производных в квадратной области 0 ^ х ^ 1, 0 ^
^у^ 1. Введем сетку, т. е. будем рассматривать не и(хуу),
a u(iAx, j&y). Положение точек (узлов сетки) внутри области
определяется значениями величин /, /, поэтому разностные урав-
уравнения обычно записываются для произвольного узла (/,/), при-
причем используются значения функции и в этом и соседних узлах
сетки. Конечно-разностная сетка и используемые обозначения

50
Гл. 3. Основы метода конечных разностей
показаны на рис. 3.1. Пусть щ, / = и (х0, у0), тогда
и*+1,/ = и(*о + Л*, Уо), Ui-i,f = u{x0 — Дх, у0),
Щ% /+1 = " (*о. #о + А*/), и*, /-1 = и(*о> Уо — А*/).
При решении маршевых задач номер узла сетки по маршевой ко-
координате обычно обозначается верхним индексом (например,
и*4*1). Для каждого уравнения в частных производных существует
множество его конечно-разностных аналогов, из которых обычно
нельзя выбрать наилучший со всех точек зрения. В первую оче-
очередь при использовании метода конечных разностей надо стре-
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
i i
i i
i i
i i
i i
|Дх)
1 1
-=*» Х
1
Рис. 3.1. Пример конечно-разностной сетки.
миться к правильной аппроксимации уравнений поставленной
задачи, а во вторую очередь выбрать «наилучшую» схему, т. е.
оптимизировать ее, учитывая ее точность, экономичность, удоб-
удобство программной реализации на ЭВМ и т. д.
Для того чтобы лучше понять идею конечно-разностной ап-
аппроксимации производных, вспомним определение производной
от функции и(х,у) в точке (*o, Уо):
ди __ -. и (хр + Ах, у о) — и (хр, у о)
дх — 11™л Да:
C.1)
Если функция и(х,у) непрерывна, а Дл: — достаточно мало, но
конечно, то значение разности [и{хо + Ах, у0)— и(хо, уо)]/Ах бу-
будет близко к значению производной ди/дх. Действительно, из
теоремы о конечном приращении следует, что разностное зна-
значение производной равно производной искомой функции в неко-
некоторой точке интервала длины Дх. Формально проверить точность
разностной аппроксимации производной можно, разложив функ-
функцию и в ряд Тейлора или по формуле Тейлора с остаточным
членом. Выразим и(xQ + Ах, уо) через значения функции и и ее

§ 3.2. Метод конечных разностей
51
производных в точке (х0, у0):
ди
и (х0 + Л*, У о) = и (*о, у0) + -gj-
о («-1I
,
ап«
дх2
(А*J
о 2!
(А*)*
. C.2)
Здесь последнее слагаемое — остаточный член. Применяя раз-
разности вперед (их часто называют «правыми» разностями), пе-
перепишем выражение C.2) в виде
io) — и (хр, у о) д2и\ Ах /Q\
ди
дх
Обозначив для краткости значение функции в узле (/, /) разност-
разностной сетки индексом t, /, получим
ди
?
— +погрешность аппроксимации, C.4)
где разность (ui+\9j — M/f/)/Ajc, очевидно, является конечно-раз-
конечно-разностным представлением производной (ди/дх) *, /. Погрешностью
аппроксимации называется разность значений частной производ-
производной и ее конечно-разностного аналога. Можно характеризовать
погрешность аппроксимации стандартным математическим обо-
обозначением порядка малой величины (О). Тогда последнее выра-
выражение можно переписать в виде
ди
Ах
-^ + О (Ах),
где О (Ах) имеет точный математический смысл. Представление
погрешности аппроксимации в виде О (Ах) обозначает, что по-
погрешность аппроксимации по абсолютной величине не превос-
превосходит /С|Ajc| при Ах-^0 (для достаточно малых Дх), причем
К > 0 — вещественная константа. Практически порядок погреш-
погрешности аппроксимации в этом случае равен Ал: и является самой
высокой степенью, общей для всех членов уравнения.
В общем случае выражение f(x)= О(ф(х)) означает, что су-
существует такая не зависящая от х константа /С, что |/(x)|=^
^/C|^(jc)| для всех х из области 5, где / и ф — вещественные
или комплексные функции х, определенные в 5. В качестве об-
области 5 часто выбирается область х-+оо (достаточно боль-
большие х) или, как бычно бывает при использовании разностных
методов, область х-+0 (достаточно малые х). Подробно мате-
математическое обозначение символа О описано в учебнике Уитте-
кера и Ватсона [Whittaker, Watson, 1927].

52 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
Отметим, что представление погрешности аппроксимации
в виде О (Ал:) ничего не говорит о величине погрешности, а лишь
указывает на характер ее стремления к нулю. Если погрешность
другой конечно-разностной аппроксимации производной равна
O[(AjcJ], to можно ожидать, что во втором случае погрешность
аппроксимации будет меньше, чем в первом. Это утверждение
безусловно верно для достаточно малых Ах, но какое Ал: будет
«достаточно малым», определить заранее сложно.
Можно построить бесконечно много конечно-разностных ап-
аппроксимаций производной du/dx\itl\ В качестве примера по-
построим аппроксимацию этой производной с использованием раз-
разностей назад (их называют также «левыми» разностями). За-
Запишем
и (*0 — Ал:, у0) = и (х0, у0) — -^- q Ал: +
. д2ц 1 (AjcJ д3к
"*" дх2 |о 2 ах3
^+-... C.5)
После несложных преобразований найдем выражение, аппрок-
аппроксимирующее производную разностями назад
ди
"дх
Вычитая соотношение C.5) из соотношения C.2), получим ап-
аппроксимацию производной центральными разностями
ди «,.,,-«,-_, ,+ 0
дх
*,!
Складывая выражение C.2) и C.5), найдем конечно-разностную
аппроксимацию производной второго порядка
Л/_ = ^+it/-^,/ + tt<-i,/ + 0 (bxf. C.8)
дх2 tt i (ДхJ i \ / \ /
Отметим, что приведенные примеры отнюдь не исчерпывают всех
возможных конечно-разностных аппроксимаций производных
первого и второго порядка.
Для сокращения записи удобно ввести разностные опера-
операторы. Будем называть разностным оператором первого порядка
вперед по переменной х выражение
Тогда конечно-разностную аппроксимацию вперед частной про-
производной первого порядка можно записать в виде
ди "'-*-'¦ / ~ "*. / + 0 (Дх) = Ajftl. + о (Дл:). (з.Ю)
1лХ 1лХ

§ 3.2. Метод конечных разностей 53
Аналогично записывается и конечно-разностная аппроксимация
производной ди/ду:
Введем также разностный оператор первого порядка назад
vA,/ = wU~"Kr C.11)
Используя его, можно записать конечно-разностную производную
назад функции и в узле (/, /) разностной сетки в виде
дх
А*
(зл2)
Часто используют центральные разностные операторы б, б
и б2:
М*,/ = и* + 1,/ — и*-1,/» C.13)
i, / = Щ + 1/2, / — И*-1/2, /, C.14)
А, / = *, (*А. /) = ui+u / - 2ал; + щ_Хш, C.15)
и оператор осреднения |я:
Удобно ввести специальные операторы центральных разностей,
хотя два из них легко выразить через разностные операторы
вперед и назад первого порядка:
bxuit, = Axuu + Vxui9h C.17)
= A^VA. r C.18)
Используя введенные центральные разностные операторы, ко-
конечно-разностный аналог первой производной можно записать
в виде
О (Л*J = ^ТГ + ° №J. C.19)
ди
Ж
Аналогично аппроксимируется центральными разностями и вто-
вторая производная:
дх2
,; + О(А^ = ^ + О(Ах)^. C.20)

54
Гл. 3. Основы метода конечных разностей
Разностные операторы вперед и назад более высокого порядка
определяются рекуррентными соотношениями
= A*(A5~V/)> C.21)
= VJC(vrV/)- C.22)
В качестве примера приведем конечно-разностную аппроксима-
аппроксимацию вперед второй производной:
(Д*J
(ДхJ
д2и
Ix2'
(АхJ
C.23)
Можно показать, что разностная аппроксимация вперед или
назад производной любого порядка записывается в виде
дпи
дпи
дхп
hi
C.24)
C.25)
Центрально-разностная аппроксимация производной любого по-
порядка, большего двух, выражается через операторы А, V и б.
Более подробно применение разностных операторов описано
в курсах вычислительной математики; см., например, [Hilde-
brand, 1956].
Большинство уравнений в частных производных, встречаю-
встречающихся в гидродинамике и теплопередаче, содержат лишь част-
частные производные первого и второго порядков, при этом для
аппроксимации производных стараются использовать не более
трех узлов разностной сетки. Поэтому на равномерной сетке
(Ах = h = const) чаще всего применяют приведенные ниже ко-
конечно-разностные аппроксимации первых производных
ди
~Ш
ди
~дх
ди
~дх~
"U7<"''/+Q(A),
1. / ~ "<-!¦/
2А
C.26)
C.27)
C.28)

ди
~дх
Тх
§ 3.2. Метод конечных разностей
2,/ .
*,/
55
C.29)
C.30)
C.31)
Для трехточечной аппроксимации вторых производных на рав-
равномерной сетке (Дх = А = const) чаще всего используют соот-
соотношения
дх2
д2и
~дх*
д2и
дх2
д*и_
дх2
2^ + 0 (Л),
h2
О(А2),
C.32)
C.33)
C.34)
C.35)
Остановимся подробнее на записанной (трехточечной ком-
компактной разностной аппроксимации производных с четвертым
порядком точности (соотношения C.31) и C.35) [Orszag,
Israeli, 1974]. Обозначив ди/дх\/, / = Vit/, представим C.31)
в виде
(# «Л/
ИЛИ
2h
C.36)
В это соотношение интересующая нас производная Vi, / входит
неявно. Производную vi}} можно определить, зная и/,/, путем
решения системы алгебраических уравнений с трехдиагональной
матрицей, которое проводится обычно весьма эффективно. К ре-
решению системы алгебраических уравнений с трехдиагональной
матрицей сводятся многие маршевые задачи для уравнений в ча-
частных производных второго порядка, что будет обсуждаться да-
далее в гл. 4. Здесь же достаточно представлять себе трехдиаго-
нальную систему как конфигурацию, которая получается в слу-

56 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
чае, когда каждое разностное уравнение системы включает одну
искомую функцию, вычисленную в трех смежных узлах разно-
разностной сетки. Соотношение C.35) позволяет неявно выразить вто-
вторую производную d2u/dx2\itj. Некоторые аппроксимации произ-
производных, в которых используется и более трех узлов разностной
сетки, приведены в табл. 3.1. Для полноты несколько общих
представлений смешанных частных производных приведено
в табл. 3.2. Они будут полезны для схем, которые будут обсуж-
обсуждаться в последующих главах. Справедливость этих соотноше-
соотношений можно проверить, используя разложение функции и в ряд
Тейлора для двух переменных:
и (х0 + Дл;, у0 + &у) = и (лг0, у0) + (Дл; -^ + Ьу -—-) и (х0, у0) +
1. C.37)
Таблица 3.1. Конечно-разностные аппроксимации производных,
использующие больше трех узлов разностной сетки
Произ- __ Уоавне-
водная Конечно-разностная аппроксимация ние
-^ t + 1)/9A3 J L^L + 0 (h2) C.38)
а*3
д4и
дх4
д2и
дхг
дъи
ад:3
ди
дх
2/г3
*±-*lL + о (h2) C.39)
2A3
-^i + О (h2) C.40)
Hj+i,/- ^/+Q(tf) C>41)
а2м
— ^ . ..tl L^li_ + 0(^2) C42)
..4t у
2/г3
— + О (h2) C.43)
и
1-2,
12Л
+ О (Л4) C.44)
а2м
1?r . . ^д + O(A«) C.45)

§ 3 3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений 57
Таблица 3.2. Конечно-разностные аппроксимации смешанных производных
Произ- __ Уравне-
водная Конечно-разностная аппроксимация „ие
= -т— + М . t + 1>/ ! ltI A /Л ! + О (Д*, Aw) C.46)
ff / Ax \ At/ At/ /
»,, = Г ("^ly""^ - "'~''/+Ay~"'~''O + ° (ДЖ- Д^> <3'47>
• О (Ах, Ay) C.48)
д2и
дхду
д2и
дхду
д2и
дхду
г,/
Дд; V Ду Ду
О (Дж,ду) C.49)
Дл:
C.50)
(
Да; I 2ДР 2Ду
C.51)
дхду
2 Ax V 2 At/ 2 Ay
C.52)
" + О [(AxJ, At/]
At/ At/
C.53)
дхду
Ay
C.54)
§ 3.3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений
в частных производных
3.3.1. Погрешность аппроксимации
Анализ погрешности аппроксимации начнем с уравнения теп-
теплопроводности
ди д2и /Q --,
— =аш. C.55)
Используя разности вперед для аппроксимации производной по
времени и центральные разности для аппроксимации второй

58 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
производной, получим аппроксимацию для уравнения теплопро-
теплопроводности
— = wK+i-2*/
(Л*J
Как отмечено в § 3.2, погрешность аппроксимации уравнения
C.56а) определяется использованием разностей вперед по t и
центральной разностной аппроксимации производных по х. Если
в уравнении C.55) член справа перенести в левую часть, а в пра-
правой части записать погрешность аппроксимации производных, то
получим
ди д2и и!\+х-и!\ а
dt дх2 А? (Ал:J \ /+1 / ' /-1/ *~
Г 7i
д2и I А^ , дАи
Здесь цифрами I, II, III обозначены исходное уравнение в част-
частных производных, его конечно-разностный аналог и погрешность
аппроксимации. Погрешность конечно-разностной аппроксима-
аппроксимации дифференциального уравнения определяется разложением
в ряд Тейлора в окрестности одной и той же точки (в рассмот-
рассмотренном примере точки (п, /)).
Конечно-разностный аналог уравнения C.56а) будем назы-
называть простой явной схемой решения уравнения теплопроводно-
теплопроводности. Разностная схема называется явной, если в каждое алгеб-
алгебраическое уравнение входит лишь одно неизвестное, которое
с помощью этого уравнения может быть выражено через уже
известные величины. Так как параболическое уравнение тепло-
теплопроводности решает маршевую задачу, то начальное распреде-
распределение и должно быть задано, поэтому значения функции и на
п-ы временном шаге можно считать известными. Если для ап-
аппроксимации второй производной в уравнении теплопроводности
использовать значения функции и на (п + 1)-м временном шаге,
то в каждое разностное уравнение, войдут три неизвестных. Та-
Такая схема называется неявной, так как одновременно прихо-
приходится решать несколько алгебраических уравнений. Подробно
различие явной и неявной схем будет рассмотрено в гл. 4.
Заключенное в квадратные скобки и обозначенное цифрой III
слагаемое в правой части соотношения C.56Ь) называется по-
погрешностью аппроксимации уравнения теплопроводности и опре-
определяется как разность между исходным уравнением в частных
производных и его конечно-разностным аналогом. Отметим,
что при вычислении погрешности использованы лишь первые

§ 3.3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений 59
члены ряда Тейлора. Порядок погрешности аппроксимации в
этом случае равен О(А/)+О[(АхJ], который часто для крат-
краткости записывают в виде О [At, (AxJ]. Применяя численные ме-
методы, мы решаем лишь разностные уравнения и надеемся, что
погрешность аппроксимации мала. Может быть, на первый
взгляд такой подход не вызывает сомнений, но если задуматься,
то сразу возникает ряд вопросов. Например, где гарантия, что,
решая разностные уравнения маршевым методом, мы получим
значения, достаточно близкие к решению исходного уравнения
в частных производных? На этот вопрос можно ответить утвер-
утвердительно, лишь если разностная схема удовлетворяет условиям
согласованности и устойчивости.
3.3.2. Согласованность разностных схем
Согласованной называется разностная схема, аппроксими-
аппроксимирующая уравнение в частных производных. Напомним, что по-
погрешностью аппроксимации называется разность между диффе-
дифференциальным уравнением и его конечно-разностным аналогом,
поэтому условием согласованности разностной схемы является
стремление к нулю погрешности аппроксимации при измельче-
измельчении сетки. Это условие безусловно выполняется, если погреш-
погрешность аппроксимации убывает при измельчении сетки, т. е. если
погрешность аппроксимации имеет порядок О (At), О (Ах) и т.д.
Однако если порядок погрешности аппроксимации равен, напри-
например, О (At/Ах), то схема будет согласованной лишь в том случае,
когда измельчение сетки проводится в соответствии с условием
At/Ax-^О. В качестве примера рассмотрим схему Дюфорта —
Франкела [DuFort, Frankel, 1953] для уравнения теплопровод-
теплопроводности
2A/
Главный член погрешности аппроксимации этой схемы, вычис-
вычисленный с использованием ряда Тейлора, равен
а дАи
д3и
12 дх
Схема удовлетворяет условию согласованности, если
Л Ах /
Если же при измельчении сетки выполняется условие At/Ах =
= р, то схема Дюфорта —Франкела согласована не с исходным

60 - Гл. 3. Основы метода конечных разностей
уравнением, а с гиперболическим уравнением
dt ^ ар dt2 a дх2 '
3.3.3. Устойчивость разностных схем
Понятие счетной устойчивости строго применимо лишь при
решении маршевых задач. Разностная схема называется устой-
устойчивой, если на каждом шаге по маршевой координате любая
ошибка (погрешность округления, погрешность аппроксимации,
просто ошибка) не возрастает при переходе от одного шага
к другому. Обычно для достижения устойчивости разностной
схемы требуется намного больше времени и энергии, чем для
достижения ее согласованности. Проверить условие согласован-
согласованности разностной схемы нетрудно, кроме того, обычно оно вы-
выполняется автоматически, т. е. вытекает из использованного ме-
метода построения разностной схемы. Устойчивость — свойство
более тонкое, и обычно приходится хорошо потрудиться для ана-
аналитического доказательства устойчивости разностной схемы. Ме-
Методы анализа устойчивости разностных схем мы подробно опи-
опишем в § 3.6. Большинство этих методов применимо лишь к ли-
линейным уравнениям в частных производных, однако полученные
для линейных уравнений результаты позволяют анализировать
устойчивость численного решения нелинейных уравнений.
Используя эти соображения, ниже покажем, что схема Дю-
форта — Франкела C.57) безусловно устойчива, тогда как про-
простая явная схема устойчива лишь при условии, что г =
= [аД//(Лдс-J] ^ 1/2. Это условие ограничивает шаг по марше-
маршевой координате (времени), если размер шага по пространствен-
пространственной координате задан.
Схема, использующая центральные разности по времени с по-
погрешностью аппроксимации порядка О [(АО2, (Л*J]>
п+1 n-{
2«/ + «?-«). C.58)
безусловно неустойчива и, следовательно, непригодна для чис-
численных расчетов, несмотря на то что она выглядит более точ-
точной, чем ранее приведенные схемы.
Иногда на неустойчивость схемы указывает физическая не-
нереальность следующих из нее результатов, т. е. неустойчивая
разностная схема неправильно описывает физические процессы.
Покажем это на примере явной схемы для уравнения теплопро-
теплопроводности C.56а). Введя параметр г = аД?/(ДхJ, преобразуем
уравнение C.56а) к виду

§ 3.3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений 61
Пусть в момент времени t uf+i = ^_1 = 100°С, а ^ = 0°С
(рис. 3.2). Если г > 1/2, то температура в узле / на (п + 1)-м
шаге по времени будет выше температуры в соседних узлах
в момент времени /г, но это физически невозможно, так как теп-
тепло передается от более теплого тела к более холодному, а не
наоборот. С физической точки зрения температура в узле / не
ZOO°C
t+At.
л+1
100°С 0°С 100°С
М ¦ *-"
Рис. 3.2. Противоречащее законам физики изменение температуры при г = 1.
может на (/г+1)-м шаге по времени превышать 100°С, а из
уравнения C.59) следует, что при г = 1 эта температура равна
200 °С.
3.3.4. Сходимость решения маршевых задач
Выполнения условий устойчивости и согласованности доста-
достаточно для сходимости разностной схемы. Под сходимостью в дан-
данном случае понимается стремление решения конечно-разностного
аналога уравнения в частных производных к решению исходного
уравнения (для одинаковых начальных и граничных условий)
при измельчении сетки. Для линейных уравнений в частных про-
производных доказана теорема Лакса (см. [Richtmyer, Morton,
1967]), которую мы приведем без доказательства.
Теорема Лакса об эквивалентности, Необходимым и доста-
достаточным условием сходимости разностной схемы для решения
корректно поставленной задачи с начальными данными для
линейного уравнения в частных производных является выполне-
выполнение условий согласованности и устойчивости.
Необходимо отметить, что во многих работах по вычисли-
вычислительной математике предполагается справедливость этой теоре-
теоремы для нелинейных уравнений в частных производных, хотя для
таких уравнений эта теорема не доказана.
3.3.5. Погрешность округления
Любое численно полученное решение, даже так называемое
точное аналитическое решение уравнения в частных производ-
производных, зависит от ошибок округления, связанных с конечным

62 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
числом знаков, используемых при арифметических операциях.
Возникающая при этом погрешность называется- погрешностью
округления. Она может оказать существенное влияние на реше-
решение конечно-разностных уравнений, так как получение этого ре-
решения обычно связано с выполнением большого числа однотип-
однотипных арифметических операций. В ряде случаев погрешность
округления пропорциональна числу узлов разностной сетки, по-
поэтому измельчение сетки, снижая погрешность аппроксимации,
может увеличивать погрешность округления.
Напомним, что погрешностью аппроксимации называется по-
погрешность, возникающая при замене уравнения в частных про-
производных его конечно-разностным аналогом. Она равна разно-
разности точных (без учета погрешностей округления) решений ис-
исходного дифференциального уравнения и его конечно-разност-
конечно-разностного аналога. Следовательно, погрешность полученного на ЭВМ
решения уравнения в частных производных равна сумме погреш-
погрешностей аппроксимации и округления. Точность численного реше-
решения уравнения в частных производных определяется погреш-
погрешностью аппроксимации не только самого уравнения, но и гра-
граничных условий.
3.3.6. Стационарные задачи
В предыдущих разделах основное внимание было уделено
исследованию устойчивости и сходимости маршевых задач (ги-
(гиперболических и параболических уравнений в частных производ-
производных). За исключением задачи с начальными данными, большин-
большинство полученных результатов без изменения переносится на
стационарные задачи, кроме понятия устойчивости разностной
схемы. Однако следует заметить, что понятие согласованности
применимо к разностным схемам решения уравнений в частных
производных любого типа.
Сходимость разностной схемы к точному решению уравне-
уравнения в частных производных можно рассматривать как сходи-
сходимость по ошибкам аппроксимации и сходимость по ошибкам
округления. При конечно-разностном решении стационарных за-
задач (уравнений эллиптического типа) систему алгебраических
уравнений необходимо решить лишь один раз, тогда как в слу-
случае маршевых задач одну и ту же систему алгебраических
уравнений приходится решать на каждом шаге по маршевой
координате. Следовательно, непосредственно применить введен-
введенное ранее определение устойчивости разностей схемы к стацио-
стационарным задачам нельзя. Для сходимости разностной схемы ре-
решения стационарной задачи по ошибкам округления достаточно
потребовать ограниченности погрешности округления при из-
измельчении сетки.

§ 3.3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений 63
Часто при решении стационарных задач применяются итера-
итерационные методы (например, метод Гаусса — Зейделя), поэтому
необходимо определить условия сходимости итерационного про-
процесса. Обычно предполагают, что итерационный процесс сошел-
сошелся, если во всех узлах разностной сетки отличие значений иско-
искомых функций на итерациях с номерами (k + 1) и k не превосхо-
превосходит некоторой заранее заданной малой величины, т. е. если
I utV ~" ut / I < 8 для всех *» /• ^то называется сходимостью ите-
итерационного процесса. По-видимому (доказательство этого утвер-
утверждения нам не известно), сходимости разностной схемы по
ошибкам округления достаточно для согласованности этой схемы
при решении стационарных задач, если только удается доказать
сходимость итерационного процесса при любом измельчении
сетки.
Если для решения систем алгебраических уравнений, возни-
возникающих при дискретизации стационарных задач, применяют
прямые (не итерационные) методы, то необходимо лишь прове-
проверить, что возникающие при расчете погрешности, в первую оче-
очередь погрешность округления, остаются ограниченными как при
любом измельчении сетки, так и при стремлении числа узлов
сетки к бесконечности.
В заключение этого раздела отметим, что итерационный
метод решения стационарных задач во многом аналогичен мар-
маршевому методу решения задач с начальными данными, поэтому
вопросы сходимости итерационных процессов при решении ста-
стационарных задач и устойчивости разностных схем для решения
маршевых задач близки между собой.
3.3.7. Дивергентная форма записи уравнений в частных
производных и консервативность разностной схемы
В этом разделе мы обсудим две разные проблемы. Первая
из них относится к форме записи уравнений в частных производ-
производных. Уравнение в частных производных записано в «дивергент-
«дивергентной форме», или, что эквивалентно, в «консервативной форме»,
если коэффициенты при производных являются либо констан-
константами, либо функциями, производные которых в уравнение не
входят. Обычно уравнения в частных производных, описывающие
законы сохранения, записываются в дивергентной форме тогда,
когда в них явно входит дивергенция той величины, для которой
этот закон формулируется. Например, дивергентная форма урав-
уравнения неразрывности (описывающего закон сохранения массы)
имеет вид
0? + J^+J^ + i?2L = O. C.60)

64 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
Последнее соотношение можно записать в векторной форме
Недивергентной будет, например, такая форма уравнения не-
неразрывности:
dp I dp . да . до . dv . до . dw Л
В качестве другого примера рассмотрим одномерный процесс
распространения тепла в среде с зависящими от координаты
плотностью р, удельной теплоемкостью с и коэффициентом теп-
теплопроводности k. Запишем это уравнение в дивергентной форме
и недивергентной форме
дТ , д2Т , дк дТ
Взятая со знаком минус правая часть уравнения C.62) равна
дивергенции вектора теплового потока в одномерном случае.
При использовании разностных схем, построенных для записан-
записанных в недивергентной форме уравнений в частных производных,
часто сложно решать уравнения с разрывными коэффициентами,
например проводить расчет течений с ударными волнами.
Второй вопрос, который мы рассмотрим в этом разделе, свя-
связан с понятием консервативности конечно-разностной схемы.
Наша книга посвящена в основном методам решения уравне-
уравнений, являющихся следствием физических законов сохранения,
например законов сохранения массы, импульса и энергии. Урав-
Уравнения в частных производных описывают эти законы сохранения
в точке. Конечно-разностная схема обеспечивает близкую ап-
аппроксимацию уравнений в частных производных в небольшой
области, содержащей несколько узлов разностной сетки. Те же
законы сохранения, из которых выводятся уравнения в частных
производных, справедливы для любой конечной области (кон-
(контрольного объема). На самом деле вывод уравнений в частных
производных обычно начинают с применения законов сохране-
сохранения к контрольным объемам. Если конечно-разностная схема
даст близкую аппроксимацию уравнения в частных производных
в окрестности каждого узла разностной сетки, то можно ожи-
ожидать, что законы сохранения будут приближенно выполняться и
для большего контрольного объема, содержащего довольно боль-
большое число узлов разностной сетки. Консервативной схемой на-
называется разностная схема, обеспечивающая точное выполнение

§3 3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений 65
законов сохранения (исключая погрешности округления) на лю-
любой сетке в конечной области, содержащей произвольное число
узлов разностной сетки. Для решения некоторых задач можно
использовать только консервативные разностные схемы.
Главным в определении консервативности разностной схемы
является слово «точное». Любая согласованная разностная схе-
схема обеспечивает приближенное выполнение законов сохранения
в большой области, но лишь консервативная разностная схема
обеспечивает точное (без учета погрешности округления) выпол-
выполнение этих законов вследствие взаимного уничтожения ряда
членов уравнения. Проиллюстрируем это на примере решения
уравнения неразрывности для установившегося течения: V-pV =
= 0. Предположим, что мы построили конечно-разностную
схему, аппроксимирующую это уравнение, и решили разностные
уравнения во всей области течения. Из закона сохранения мас-
массы, примененного к любому контрольному объему, который мо-
может совпадать со всей областью течения или составлять какую-
то ее часть, следует, что суммарный расход газа через границу
этого объема равен нулю (сколько вещества втекает в объем
столько и вытекает из него). Формально это можно показать,
проинтегрировав записанное в дивергентной форме уравнение
по всему объему и воспользовавшись формулой Гаусса — Остро-
Остроградского
pV dR = \ \ pV ' П dS = ° *
Чтобы показать, что для решения уравнения неразрывности ис-
используется консервативная конечно-разностная схема, следует
установить, что решение разностных уравнений удовлетворяет
конечно-разностному аналогу этого интегрального тождества.
Обычно это проверяется для контрольного объема, совпадаю-
совпадающего со всей областью течения. Для этого вычислим интеграл
в левой части, просуммировав конечно-разностные аналоги урав-
уравнения в частных производных во всех узлах разностной сетки.
Если конечно-разностная схема консервативна, то при суммиро-
суммировании сократятся все члены, кроме тех, которые описывают по-
поток массы через границу. Последние следует перегруппировать
так, чтобы эти члены совпали с конечно-разностным аналогом
интеграла в правой части закона сохранения массы. Для этого
примера результат будет проверкой равенства втекающего в
объем и вытекающего из него количества вещества. Если ис-
используемая конечно-разностная схема неконсервативна, то вну-
внутри области могут появиться источники и стоки небольшой ин-
интенсивности.
3 Д. Андерсон и др. Том 1

66 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
Обычно для построения консервативных конечно-разностных
схем используют записанные в дивергентной форме уравнения
в частных производных. Если записать уравнение в дивергент-
дивергентной форме не удается, то для построения консервативной ко-
конечно-разностной схемы можно воспользоваться методом кон-
контрольного объема (см. п. 3.4.4). Построенная этим методом
конечно-разностная схема оказывается, как правило, консерва-
консервативной, если конечно-разностные выражения для потоков через
прилегающие грани контрольных объемов одинаковы.
Вся недолгая история вычислительной гидромеханики и теп-
теплопередачи сопровождается спорами о том, должна ли разно-
разностная схема быть консервативной. Однако не только консерва-
консервативность определяет достоинства и недостатки разностной схе-
схемы. Уравнения в частных производных описывают не только за-
законы сохранения в точке, но, как было показано в гл. 2, они
содержат информацию о характеристических направлениях и
областях зависимости. Конечно-разностная схема должна по
возможности правильно описывать и эти свойства уравнений
в частных производных. На практике часто используют некон-
неконсервативные конечно-разностные схемы, которые в ряде случаев
оказываются точнее консервативных. Вопрос о том, нужно ли
обеспечивать очень точное выполнение законов сохранения в ко-
конечной области, зависит от поставленной задачи. Все согласо-
согласованные конечно-разностные схемы независимо от того, консер-
консервативны они или нет, на достаточно мелкой сетке позволяют
в большинстве случаев достичь требуемой точности решения
уравнения.
§ 3.4. Различные методы построения конечно-разностных схем
Для данного уравнения в частных производных и данной ко-
конечно-разностной сетки конечно-разностный аналог этого урав-
уравнения может быть построен разными методами. Укажем на не-
некоторые из них:
(a) разложение функций в ряд Тейлора;
(b) интерполяция функций полиномами;
(c) интегральный метод;
(d) метод контрольного объема.
Иногда все эти методы приводят к одному и тому же конечно-
разностному аналогу исходного уравнения. Сначала проанали-
проанализируем подробно метод разложения функций в ряд Тейлора,
иногда привлекая для аппроксимации граничных условий интер-
интерполяционные полиномы.

§ 3.4. Различные- методы построения конечно-разностных схем
67
3.4.1. Разложение функций в ряд Тейлора
В этом разделе мы покажем, как можно формально полу-
получать конечно-разностные выражения, удовлетворяющие задан-
заданным условиям, используя для этого ряды Тейлора. Пусть мы
хотим построить конечно-разностную аппроксимацию производ-
производной ди/дх\и, имеющую погрешность аппроксимации О (АхJ, ис-
используя лишь значения щ-2, /> т~\, /, т, /. Проще всего для этого
представить н*_2,/ и w«-i, / с помощью ряда Тейлора для функ-
функции и в точке (i, j) и попытаться выразить из полученных соот-
соотношений производную du/dx\tfj с требуемой точностью:
B Да:J ,
ди
, ди
(- 2Л*K
3!
2!
д2и
дх2
2!
д3и
*./
(- Ал:K
3!
C.64)
C.65)
Требуемую конечно-разностную аппроксимацию удается ча-
часто получить путем наблюдения или простой подстановкой.
Чтобы произвести подстановку, выразим производную du/dx\i,j
из соотношения C.64); тогда
ди
Их
Порядок аппроксимации О (Ах) определяется членом
{д2и/дх2)Ах, содержащим вторую производную. Подставляя
д2и/дх2 из соотношения C.65), получаем требуемую аппрок-
аппроксимацию производной ди/дх. Иногда для построения конечно-
разностной аппроксимации используют более формальный под-
подход. Для этого сложим умноженное на а уравнение C.64) с умно-
умноженным на Ъ уравнением C.65). При —2а — Ь= 1 коэффициент
при (du/dx\itj)&x будет равен 1, а при 2а+ 6/2 = 0 члены, со-
содержащие д2и/дх2\1,} и обусловливающие погрешность аппрок-
аппроксимации О(Лх), будут из уравнений исключены. Решая систему
уравнений
— 2а — Ь=1,
2а + ft/2 = О,
находим, что а— 1/2, Ь — —2. Итак, если сложить умноженное
на 1/2 уравнение C.64) с умноженным на —2 уравнением
C.65) и разрешить полученное уравнение относительно ди/дх \,-, /,
3*

68
Гл. 3. Основы метода конечных разностей
то получим требуемую аппроксимацию производной
ди ui-2 / — ^ui-\ j
~дТ i f ~ 2Д*
^ + О [(Д^J],
4
совпадающую с C.30). Если внимательно рассмотреть детали
этого примера построения конечно-разностной аппроксимации
производной, то мы увидим, что при разложении функций в ряд
Тейлора действительно необходимо выписать члены, содержащие
производную д3и/дх3 |,-, /, так как если бы эти члены в результате
проведенных арифметических операций сократились, то разност-
разностная аппроксимация производных имела бы порядок О (АхK. Та-
Такое благоприятное сокращение содержащих высшие производные
членов встречается достаточно ча-
часто, поэтому мы обращаем на него
особое внимание.
Следует заметить, что иногда
приходится проделывать процедуру,
обратную описанной. Пусть аппрок-
аппроксимация C.30) получена каким-то
другим методом, а мы хотим ис-
исследовать ее согласованность и точ-
точность. Для этого следует подставить
в конечно-разностную аппроксима-
аппроксимацию производной вместо величин
Ui-2,j и Щ-\,\ их разложения в ряд Тейлора C.64) и C.65).
Тогда правая часть окажется равной сумме производной ди/дх | /,, /
и погрешности аппроксимации. Зная погрешность аппроксима-
аппроксимации, можно проверить и условие согласованности, т. е. узнать,
стремится ли погрешность аппроксимации к нулю при Дх->0.
Рассмотрим несколько более сложный пример. Найти ко-
конечно-разностную аппроксимацию производной ди/ду в точке
(/,/), имеющую погрешность аппроксимации О(ДуJ, используя
заданные на неравномерной сетке значения и/,/, w*,/+i, Uij-\.
Примем обозначения Ау+ = yit /+i — yi, /, Д#- = yi, / — yi, /_i
(рис .3.3).
Напомним, что на равномерной сетке (Ду+ = Ду_ = Ау) цен-
центрально-разностная аппроксимация первой производной равна
полусумме односторонних разностных производных вперед и
назад:
Рис. 3.3. Обозначения, исполь-
используемые при расчетах на нерав-
неравномерной по у сетке.
_ 6yui, / _
ди
Мы желаем знать, можно ли достичь второго порядка точности
на неравномерной сетке, взяв геометрически взвешенное среднее

§ 3.4. Различные методы построения конечно-разностных схем 69
односторонних разностных производных с весами, пропорцио-
пропорциональными шагам разностной сетки:
ди > д„и, ,. /А// \ V,,w,- , / Д/у, \ Л Г/А ч01
¦О [(А^/J].
C.66)
Справедливость этого соотношения может показаться некоторым
очевидной, однако это можно проверить, разложив функцию и
в ряд Тейлора в окрестности точки (/,/). Полагая а = Ау+/Ау-
и используя для сокращения записи обозначение дифференци-
дифференцирования при помощи индексов (иу = du/dy\iih иуу = д2и/ду2\it /
и т. д.), получим
(<хД*/_J
(а ky_f (а ^y__y
+ иУУУ 3! ^ иУУ?У 41 Ь • • • , C.67)
= и. j + uy(- Ду_) + иу (~ ^]
иуу
^ + и
"г пУУУ з! ' иУУУУ 4! г • • • • \о.чи)
Как и раньше, сложим умноженное на а уравнение C.67)
с умноженным на Ъ уравнением C.68) и выразим из получен-
полученного уравнения ди/ду\{,}-. Требование равенства единице коэф-
коэффициента при члене du/dy\iy /Ay- приводит к соотношению аа —
— 6 = 1. Чтобы порядок аппроксимации был не хуже, чем
О(АуJ, необходимо, чтобы коэффициент при члене, содержащем
иуу, был равен нулю, т. е. а2а + 6 = 0. Решение этих двух
алгебраических уравнений легко получается в виде а = 1/[а(а +
+ 1) ], Ь = —а/ (а + 1). Следовательно,
ди а X уравнение C.67) + b X уравнение C.68) . П/Л \9
Окончательно имеем
ди
C.69)
Последнее соотношение можно привести к виду C.66).
Мы показали, как, используя разложение функций в ряд
Тейлора, строить конечно-разностные аналоги отдельной произ-
производной. Но нас в основном интересует построение конечно-раз-
конечно-разностного аналога всего заданного уравнения в частных произ-
производных, обеспечивающих его аппроксимацию во всех точках за-
заданной области. Поэтому все члены уравнения надо расклады-

70
Гл. 3. Основы метода конечных разностей
вать в ряд Тейлора в одной и той же точке. При таком подходе
к построению разностной схемы погрешность аппроксимации
уравнения в частных производных равна сумме погрешностей
аппроксимации его членов.
Разложение функций в ряд Тейлора не обязательно прово-
проводить в узле (/, •/) разностной сетки. Проиллюстрируем это двумя
примерами. Используемые при построении конечно-разностной
аппроксимации производных узлы разностной сетки (шаблон) и
п+1
п+1
Рис. 3.4. Шаблон, используемый при
решении уравнения теплопроводности
по неявной схеме; крестиком указа-
указана точка, в которой проводится раз-
разложение в ряд Тейлора.
Рис. 3.5. Шаблон, используемый при
решении уравнения теплопроводности
по схеме Кранка — Николсоиа; кре-
крестиком указана точка, в которой
проводится разложение в ряд Тей-
Тейлора.
точка, в которой проводится разложение функций в ряд Тей-
Тейлора, показаны на рисунках.
Полностью неявная разностная схема для уравнения тепло-
теплопроводности C.55) имеет вид
А/
(А*J
погрешность аппроксимации схемы равна О[Д/, (АхJ]. Исполь-
Используемый шаблон и точка (м+ 1,/), в которой удобнее всего про-
проводить разложение функции в ряд Тейлора, показаны на рис. 3.4.
Схема Кранка — Николсона для уравнения теплопроводно-
теплопроводности тогда имеет вид
At
- 2
и*)
и*±\
C.71а)

§ 3.4. Различные методы построения конечно-разностных схем 71
погрешность аппроксимации схемы О[(Д^J, (АхJ]. Используе-
Используемый шаблон и точка (п+ 1/2,/), в которой удобнее всего про-
проводить разложение решения в ряд Тейлора, показаны на рис. 3.5.
Интересно отметить, что погрешность конечно-разностной ап-
аппроксимации всего уравнения в частных производных (но не его
отдельных членов) не зависит от выбора точки, в которой про-
проводится разложение решения в ряд Тейлора. Покажем это на
примере схемы Кранка — Николсона. Обычно погрешность ап-
аппроксимации для этой схемы определяют путем разложения
решения в ряд Тейлора в окрестности точки (/г -+-1/2, /). Ис-
Использование этой точки приводит к исключению максимального
числа членов из разложения Тейлора путем сокращения. Пока-
Покажем, что при разложении решения в ряд Тейлора в окрестности
точки (п, /) или даже точки (п—1,/) погрешности аппроксима-
аппроксимации не изменятся. Для этого мы должны весьма тщательно про-
проанализировать погрешность аппроксимации. Разложим функции
И/_р И/+р и"*/, a^J/, un^x в ряд Тейлора в точке (п, /); после
несложных преобразований из C.71а) получим
Щ - аихх = -ииЦ- + autxx ^- + 0 (А*J + О (А/J. C.71Ь)
Так как в правую часть этого уравнения входят члены —uttAt/2
и autxxAt/2> то на первый взгляд кажется, что погрешность
аппроксимации уравнения равна О (А/) + О (АхJ. Однако сумма
указанных членов равна —At/2(d/dt) (щ— аиХх), где под зна-
знаком производной стоит левая часть уравнения C.71Ь). Продиф-
Продифференцировав C.71b) no t и умножив обе части полученного
уравнения на —А//2, получим
- At/2 (d/dt) (щ - аихх) = О (AtJ + О (А*J.
Следовательно, погрешность аппроксимации уравнения тепло-
теплопроводности при использовании схемы Кранка — Никольсона
равна О (AtJ + О (АхJ независимо от того, в какой точке про-
проводится разложение функций в ряд Тейлора: (п +1/2,/) или
(nyj). Порядок аппроксимации уравнения не изменится при раз-
разложении функций в ряд Тейлора в окрестности любой другой
точки. Рассмотренный пример показывает, что при анализе точ-
точности разностной схемы необходимо тщательно проверить, не
являются ли коэффициенты при главных членах в выражении
для погрешности аппроксимации произведением некоторой функ-
функции на производную исходного дифференциального уравнения.
Если это так, то для определения погрешности аппроксимации
необходимо рассмотреть члены более высокого порядка.

72 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
3.4.2. Интерполяция функций полиномами
Интерполяция полиномами имеет много приложений в вычис-
вычислительной гидродинамике и теплопередаче. Эту технику можно
использовать для построения конечно-разностного аналога урав-
уравнений в частных производных, однако обычно ее применяют
лишь для записи граничных условий или получения более под-
подробной информации вблизи границ при известном численном
решении задачи.
Рассмотрим несколько характерных примеров.
Пример 3.1. В этом примере мы построим конечно-разност-
конечно-разностные аналоги всех входящих в уравнение производных, предпо-
предполагая, что решение этого уравнения локально аппроксимируется
полиномом. Значения полинома в прилегающих к узлу (i, /)
узлах разностной сетки должны совпадать с решением уравне-
уравнения. Достаточное для точного определения коэффициентов по-
полинома число узлов разностной сетки определяется степенью
полинома. Продифференцировав интерполяционный полином,
можно найти требуемую аппроксимацию входящих в уравнение
производных. Рассмотрим уравнение Лапласа, описывающее ста-
стационарное двумерное распределение температуры в твердом
теле:
+ 0 CJ2)
Предположим, что в окрестности узла (i, /) зависимость тем-
температуры от х и у описывается полиномами второго порядка.
Например, зафиксировав у, будем считать, что изменение тем-
температуры по х вблизи узла (/, /) описывается полиномом
Т \х> Уо) = а-{- ох -\- сх .
Для удобства положим, что л: = 0 в точке (/,/), а Ал: = const.
Очевидно,
дх
„
Коэффициенты а, Ь, с можно определить, зная температуру
в конкретных узлах сетки и шаг сетки Ах. Для этого сначала
надо выбрать используемые при интерполяции средние узлы
разностной сетки, т. е. задать геометрическое расположение то-
точек, определяющих разностный шаблон и характер разностной
аппроксимации производных: вперед, назад или центрально-раз-
центрально-разностная аппроксимация. Выбрав узлы (/— 1,/), (/,/) и (/+ !,/)>

§ 3.4. Различные методы построения конечно-разностных схем 73
получим
j
- с (Ал:J.
Решив эти уравнения, найдем
дх
2 А*
д2Т
= ~2
Следовательно,
с = ^1х-2
/,/ 2 (АхJ
д2Т
Ix2'
Полученное выражение является точным, если зависимость тем-
температуры от х действительно описывается полиномом второго
порядка. В общем случае мы лишь предполагаем, что полином
второго порядка является хорошей аппроксимацией решения.
Погрешность аппроксимации производной C.73) можно опреде-
определить подстановкой разложений в ряд Тейлора в окрестности
точки (/,/) для Ti&ь / и Ti-Uj в C.73). Она равна О(ДхJ, при-
причем в выражение для погрешности аппроксимации входят лишь
производные температуры четвертого и более высоких порядков,
которые равны нулю, если зависимость температуры от х описы-
описывается полиномом второго порядка.
Аналогично можно построить конечно-разностную аппрокси-
аппроксимацию производной д2Т/ду2. Рассмотренный пример показывает,
что при использовании интерполяции полиномами приходится
произвольно выбирать ряд параметров, влияющих на погреш-
погрешность аппроксимации уравнений с частными производными и вид
разностной схемы, в том числе и используемый шаблон. Следо-
Следовательно, этот метод не обладает какими-либо особыми преиму-
преимуществами, гарантирующими, например, оптимальность или
устойчивость разностной схемы (для маршевой задачи).
Пример 3.2. Предположим, что мы нашли решение конечно-
разностного аналога уравнения энергии и определили распреде-
распределение температуры вблизи твердой границы. Нам надо теперь
определить тепловой поток к стенке, зная распределение темпе-
температуры лишь в узлах разностной сетки. По закону Фурье тепло-
тепловой поток через границу определяется выражением qw =
= —kdT/dy\y=o- Следовательно, для решения поставленной за-
задачи необходимо заменить производную дТ/ду\у=о ее конечно-
разностным аналогом, используя значения температуры в узлах

74
Гл. 3. Основы метода конечных разностей
разностной сетки, известные из решения уравнения энергии.
Для этого можно воспользоваться интерполяционными полино-
полиномами, предполагая, что распределение температуры вблизи гра-
границы описывается полиномом какого-либо порядка, т. е. что оно
линейное, параболическое, кубическое и т. д., причем значения
полинома совпадают со значением температуры в узлах разно-
разностной сетки. Последнее условие позволяет определить коэффи-
коэффициенты полинома.
Например, пусть распределение температуры вблизи границы
описывается полиномом второго порядка вида Т = а + by + су2;
тогда дТ/ду\у=0 = Ь. Если сетка
равномерная (рис. 3.6), то
Z\j/= const
Л
Из этих соотношений находим
-ЗГ,
Рис. 3.6. Расположение узлов ко-
конечно-разностной сетки вблизи
стенки.
Следовательно, тепловой поток к стенке аппроксимируется вы-
выражением
Естественно определить погрешность аппроксимации для про-
производной дТ/ду\у=о. Для этого выразим Т2 и Г3 через разложе-
разложения температуры в ряд Тейлора в окрестности точки, лежащей
на границе и подставим полученные разложения в конечно-раз-
конечно-разностную аппроксимацию для производной дТ/ду\у=О' Можно по-
поступить и по-другому, учтя, что интерполяционный полином со-
совпадает с первыми тремя членами разложения в ряд Тейлора
для температуры в окрестности точки у = 0. Выпишем полином
второго порядка
и ряд Тейлора
_±_ ^!LI j?--l ^JL\ nL
,^+ ду* |о 2! + dy* |o 3! "

§ 3.4. Различные методы построения конечно-разностных схем 75
Таким образом, аппроксимация Т « а + by -\- су2 определяется
первыми тремя членами, а погрешность аппроксимации Т — по-
последним из выписанных членов ряда Тейлора и имеет порядок
О (А*/.K. При определении производной дТ/ду\у=о проводится
деление на Ду, поэтому порядок аппроксимации производной ра-
равен О(АуJ.
Пример 3.3. Пусть, как и в примере 3.2, уравнение энергии
решается для распределения температуры вблизи стенки, только
в этом примере задан тепловой поток на стенке в качестве гра-
граничного условия. Мы можем теперь использовать интерполяцию
полиномами для определения температуры стенки, которая не-
необходима для решения разностных уравнений во внутренних
узлах сетки. Другими словами, если qw = —kdT/dy\y=0 задано,
надо определить Т при у = 0, т. е. выразить Т\ через qw/k, T2y
Т3 и т. д. Пусть вблизи стенки Т = а +- by + су2 + dyz, и пусть
дТ/ду\у=о = Ь = —qw/k задано. Наша цель состоит в опреде-
определении Гь которое в рассматриваемом случае равно а. В соот-
соответствии с обозначениями рис. 3.6 имеем
Т2 = а - ^2. АУ + с (^J + d (Ау)\
Эти три уравнения можно решить относительно а, с и d при за-
заданных Т2, Тг, Ti, qw/k и Ay. Так как Ti = а, то, следовательно,
поставленная задача решена:
^р) C.74)
Погрешность аппроксимации в выражении C.74) можно опреде-
определить, либо разложив температуру в ряд Тейлора в окрестности
точки (/,'/)> либо заметив, что получившийся полином представ-
представляет собой усеченный ряд Тейлора.
В заключение обсуждения полиномиальной аппроксимации
приведем некоторые выражения для значений функции на стенке
и ее производной через значения самой функции. Эти выражения
используются, например, для определения значения функции на
стенке по заданному на стенке значению ее первой производной.
Все приведенные в табл. 3.3 формулы получены при интерполя-
интерполяции искомой функции на равномерной сетке (At/ = h = const)
полиномами не выше четвертой степени.

76
Гл/ 3. Основы метода конечных разностей
Таблица 3.3. Некоторые соотношения, полученные с использованием
интерполяционных полиномов
Степень
поли-
полинома
Выражение для функции или ее производной на стенке
Урав-
Уравнение
дТ
т —т _ и
ду
дТ
ду
дТ
ду
дТ
ду
*,/
Ж
¦О (А)
. + О (Л2)
12A
— 12/г
C.75)
C.76)
C.77)
C.78)
C.79)
C.80)
~ЗГ/,/+4)+
• О(/г4) C.81)
4 ~~*
О (/г5) C.82)
3.4.3. Интегральный метод
Для построения конечно-разностных аналогов уравнений в ча-
частных производных можно использовать интегральные методы,
основанные на интегрировании этих уравнений. Рассмотрим
уравнение теплопроводности
ди _ д2и
dt дх2
C.83)
Попробуем построить разностную схему путем интегрирова-
интегрирования уравнения теплопроводности по t и х в окрестности узла
(п, j) разностной сетки. Этот узел будем иногда также обозна-
обозначать как точку (to,xo). Шаги разностной сетки обозначим Ах
и At. Так как выбор области интегрирования произволен, то
проинтегрируем уравнение C.83) от t0 до to + At и от х0 — Дх/2
до Хо + Ах/2. Выбор интервала интегрирования от t0 — At/2
до t0 + At/2 приведет к абсолютно неустойчивой разностной

§ 3 4. Различные методы построения конечно-разностных схем 77
схеме. К сожалению, на этом этапе построения разностной схемы
для решения уравнения в частных производных нельзя сказать,
какие интервалы интегрирования целесообразно выбрать для
обеспечения устойчивости численного метода. На этот вопрос
можно ответить, либо проведя расчеты, либо проанализировав
устойчивость уже построенной разностной схемы методами, опи-
описанными в § 3.6. Порядок интегрирования в каждой части урав-
уравнения выбирается так, чтобы использовать точные дифферен-
дифференциалы:
\ (s $*)*-. s (s &
- *0-Дх/2 ^ tQ ' tQ \со-Лх/2
Взяв точно внутренние интегралы, получим
[и (t0 + Ы, х) — и (/0, х)] dx =
to + At
Для вычисления оставшихся интегралов воспользуемся теоремой
о среднем значении. Из этой теоремы следует, что для любой
непрерывной функции f(y)
У\+Ау
J C.86)
где у — некоторое значение у из интервала у\ ^ у ^ у\ + Ау.
В соответствии с этой теоремой любое у из указанного интер-
интервала позволяет получить приближенное значение интеграла от
непрерывной функции:
У\
Для дальнейшего упрощения интеграла C.85) при помощи тео-
теоремы о среднем значении возьмем значение подынтегральной
функции при х = хОу а при вычислении интеграла в правой ча-
части — при t = U + Af. Тогда получим
[и (t0 + А/, *0) — и (/0, *о)] д* =
= а [-1- (/0 + а/, *0 + -?) - ? (,0 + А/, х0 - 49] ^ C.87)

78 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
Для выражения результата в алгебраической форме выразим
производную ди/дх через значения функции и в узлах разност-
разностной сетки. Для этого можно использовать уже известные нам
аппроксимации, например центральные разности. С другой сто-
стороны, мы можем придерживаться чисто интегрального метода
и на основе теоремы о среднем значении получим
, х0) + ^L(jo + А/, х0 + ±f) Ax. C.88)
Из последнего соотношения следует
дН (t -L. Л/ v±AM/v И (*р + А*, Хр + Ьх) — и (tp + At, Xp)
"fa yh т* &iy *o i~ "y J ^^ ^
При вычислении интеграла в правой части C.88) по теореме
о среднем значении мы произвольно выбрали х = xq + Ajc/2
(средняя точка интервала), поэтому интеграл в правой части вы-
вычисляется приближенно. Найдя аналогично конечно-разностные
аппроксимации остальных первых производных, получим ко-
конечно-разностный аналог уравнения теплопроводности
[и (/о + А*, *о) — и (t09
+ u (f0 + А/, х0 — Ал:)] А/. C.90)
Обозначая значения функций в узлах индексами п, /, где п —
номер шага по времени, а / — номер шага по пространственной
координате, перепишем C.90) в виде
. C-91)
Последнее выражение совпадает с полностью неявной схемой
для уравнения теплопроводности, приведенной в п. 3.4.1. Неяв-
Неявная разностная схема получена благодаря тому, что интеграл
в правой части вычислялся по теореме о среднем при значении
подынтегральной функции в момент времени t0 + А/. Если бы
при вычислении этих интегралов были использованы значения
подынтегральной функции при t = tOy то мы получили бы явную
схему. Отметим, что при применении описанного в этом разделе
метода построения разностных схем погрешность аппроксимации
в явном виде не получается и должна быть найдена.

§ 3.4. Различные методы построения конечно-разностных схем 79
3.4.4. Метод контрольного объема
Метод контрольного объема принципиально отличается от
уже рассмотренных методов построения разностных схем для
уравнений в частных производных. Используя методы, основан-
основанные на разложении функций в ряд Тейлора, и интегральные ме-
методы, мы предполагали, что уравнения в частных производных
корректно и в соответствующей форме описывают законы со-
сохранения, поэтому при построении разностной схемы мы просто
обращались к математическим средствам. При таком подходе
физические законы сохранения применяются лишь при выводе
уравнения в частных производных и никак не ипользуются при
построении разностной схемы. В этом смысле разложение в ряд
Тейлора и интегральные методы — формальные методы построе-
построения разностных схем для уравнений в частных производных.
При использовании метода контрольных объемов разностная
схема строится на основе физических законов сохранения, след-
следствием которых является рассматриваемое уравнение в частных
производных. Сначала этот закон сохранения формулируется
словесно для некоторого контрольного объема, окружающего
узел разностной сетки, а потом записывается математически
с учетом дискретной сетки. Описанная процедура во многом по-
похожа на ту, с помощью которой уравнения в частных производ-
производных выводятся из физических законов сохранения, не проводится
лишь переход к пределу при стягивании контрольного объема
в точку. Если уравнение в частных производных записано в ди-
дивергентной форме, то закон сохранения можно получить, интег-
интегрируя это уравнение по контрольному объему и используя фор-
формулу Гаусса — Остроградского. На практике метод контроль-
контрольных объемов позволяет обычно строить более точные вблизи
границ разностные схемы, чем другие методы. Возможно, это
связано с тем, что этот метод сохраняет дискретную природу
решения задачи на всех этапах построения разностной схемы.
В качестве примера рассмотрим двумерный установившийся
процесс распространения тепла в твердом теле с постоянным
коэффициентом теплопроводности. Как известно, распределение
температуры удовлетворяет в этом случае уравнению Лапласа
C.72).
Решение задачи начнем с построения разностной сетки. Сна-
Сначала расположим узлы сетки на границе расчетной области,
так как температура границы входит в граничное условие. За-
Затем разобьем всю область решения на контрольные объемы,
каждый из которых содержит лишь один узел разностной сетки.
Границы контрольных объемов удобнее всего проводить посре-
посредине между смежными узлами, хотя при этом узлы разностной

80
Гл. 3. Основы метода конечных разностей
сетки окажутся в центрах контрольных объемов лишь в случае
равномерной сетки, т. е. при Ах = С\, Ау = c<i-
Рассмотрим сначала контрольный объем, не прилежащий к
границе, например объем А на рис. 3.7. Так как рассматривается
установившийся процесс, то суммарный поток тепла через гра-
границу контрольного объема А должен равняться нулю. Именно из
этого закона сохранения выводится уравнение Лапласа для тем-
температуры, описывающее рас-
распределение температуры внут-
внутри области. Этот закон можно
вывести также из исходного
уравнения в частных производ-
производных, воспользовавшись теоре-
теоремой Гаусса — Остроградского.
По закону Фурье тепловой по-
поток пропорционален градиенту
температуры: q = —kVT. Сле-
Следовательно, если k — констан-
тй, то уравнение C.72) можно
переписать в виде
_ v • q = V • (kVT) = 0.
Интегрируя это уравнение по контрольному объему и используя
теорему о дивергенции Гаусса — Остроградского, получим
(((v. (kVT) dR = [[ (kVT) • n dS = 0.
J J J j j
R S
Интеграл в правой части описывает суммарный поток тепла че-
через границу контрольного объема. Представляя этот интеграл
в виде суммы потоков через все границы контрольного объема
с центром в узле (/, /), получим
# а дТ I
Рис. 3.7. Конечно-разностная сетка,
используемая при решении уравнений
методом контрольного объема; Гоо, h
заданы на границе /.
i+l/2, /
I/./-1/2
/,/+1/2
= 0.
Здесь 1/2 в нижнем индексе указывает на то, что соответствую-
соответствующая величина вычисляется в центре грани объема (посредине
между узлами сетки). Законы сохранения энергии выполняются
точно, если на границах для производных выбраны подходящие
средние значения. Используя центральные разности, получаем
+

§ 3.4. Различные методы построения конечно-разностных схем 81
Разделив это уравнение на &ДхДу, находим
Г'1'~?Г<' + Г<+1' Ги'"?Г'( + Ги" =0- C-92)
В последнем уравнении каждое из двух слагаемых совпадает
с аппроксимацией вторых производных д2Т/дх2 и д2Т/ду2, полу-
полученной ранее при помощи рядов Тейлора.
Рассмотрим теперь прилегающий к границе контрольный
объем, обозначенный на рис. 3.7 буквой В. Пусть граничное
условие для исходной (не дискретизированной) задачи имеет
вид h(Too — Titj)=—kdT/dx\i,j, где (i,j) — точка на физической
границе области, соответствующей границе контрольного объема
В. Если бы применили метод разложения в ряд Тейлора для
задания граничных условий, то нашим следующим шагом было
бы построение конечно-разностного аналога производной
(dT/dx)i,j. Аппроксимируя производные односторонними разно-
разностями вперед, граничное условие получаем в виде
h G\» - Г,, /) = -?¦ (Tt,, - Ti + i>,). C.93)
Следует заметить, что при применении метода контрольного
объема необходимо обеспечить выполнение закона сохранения
в прилегающем к границе объеме. Приравняем нулю суммарный
поток тепла через границу:
дТ
JX f + 1/2, /
дТ \ kAx дТ
Применяя для аппроксимации производных центральные разно-
разности, получаем
- Г,,) + * ДУ ^4^
Разделив на k, приведем это соотношение к виду
т I &у т Ал: (т , т
C'96)
Эта запись граничного условия несколько отличается от записи
граничного условия в виде C.93), полученной при формальной

82 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
аппроксимации производной dT/dx\itj с помощью рядов Тей-
Тейлора.
Сравнивая метод контрольного объема и метод построения
разностных схем, основанный на разложении решения в ряд
Тейлора, можно заметить, что последний позволяет построить
конечно-разностную аппроксимацию всех входящих в дифферен-
дифференциальное уравнение производных путем суммирования конечно-
разностных аналогов входящих в него производных. В противо-
противоположность ему метод контрольного объема, основанный на
применении физических законов сохранения, дает возможность
построить лишь конечно-разностный аналог всего уравнения в
частных производных, однако в принципе с его помощью нельзя
построить конечно-разностный аналог какой-то отдельно взятой
производной, например производной ди/дх. Отличительной осо-
особенностью метода контрольного объема является то, что он обес-
обеспечивает «баланс» физической величины в окрестности узла раз-
разностной сетки. Метод контрольных объемов учитывает дискрет-
дискретный характер решения поставленной задачи, поэтому он обес-
обеспечивает выполнение законов сохранения в конечной области,
а не только в точке при стремлении шага сетки к нулю. Ко-
Конечно-разностные схемы, построенные методом контрольных объ-
объемов, почти всегда консервативны.
Трудно понять, чем могут отличаться разностные схемы, по-
построенные для уравнения в частных производных всеми че-
четырьмя указанными в этой главе методами, не рассмотрев боль-
большое количество примеров. Часто, особенно для линейных урав-
уравнений в частных производных, при использовании различных
методов получаются одни и те же разностные схемы. Ни один
из рассмотренных методов не гарантирует устойчивости по-
построенной разностной схемы, поэтому построенная любым из
этих методов разностная схема может оказаться бесполезной.
Наиболее заметно отличие построенных различными методами
разностных схем при использовании неортогональных систем
координат и при аппроксимации записанных в недивергентной
форме уравнений.
§ 3.5. Применение нерегулярных сеток
Наиболее удобными для проведения расчетов являются регу-
регулярные сетки с постоянными шагами Ал*, Ау во всей расчетной
области. Однако на практике такие сетки часто использовать не
удается либо из-за того, что граница расчетной области не со-
совпадает с узлами регулярной сетки, либо из-за необходимости
сгущать сетку в некоторых подобластях для достижения требуе-
требуемой точности решения задачи. При решении физических про-

§ 3.5. Применение нерегулярных сеток 83
блем нерегулярные сетки приходится использовать довольно ча-
часто, поэтому в вычислительной гидродинамике и теплообмене
их применению уделяется довольно большое внимание. На прак-
практике, прежде чем вводить нерегулярную сетку, имеет смысл
попробовать применить преобразование координат, позволяющее
согласовать форму границы и регулярную сетку. Подробно раз-
различные преобразования координат будут рассмотрены в § 5.6.
3.5.1. Нерегулярные сетки, вводимые из-за формы
границы области
В качестве примера рассмотрим случай, когда для решения
задачи построена регулярная сетка с квадратными ячейками,"
т. е. Ах = Ly = const, но одна из границ расчетной области
криволинейна. Вследствие этого расстояние от внутреннего узла
сетки до границы непостоянно и отлично от шага сетки (рис. 3.8).
Пусть мы хотим решить урав-
уравнение Лапласа при заданном
на границе области значении
искомой функции и. Для этой
задачи ввести нерегулярную
сетку можно несколькими раз-
различными методами, выписан-
выписанными ниже. —J ~~
1. Используем вблизи гра-
границы очень мелкую равномер-
равномерную сетку, перенося гранич-
граничное условие в узел сетки, бли-
ближайший к границе. Если вда-
вдали ОТ Границы не ИСПОЛЬЗО- Рис. 3.8. Конечно-разностная сетка
вать более грубую сетку (при вблизи нерегулярной границы,
этом она оказывается нерегу-
нерегулярной на границе подобластей с мелкой и грубой сетками), то
для достижения приемлемой точности необходимо провести рас-
расчет на сетке с очень большим числом узлов.
2. Используем линейную интерполяцию для определения зна-
значения функции и в каждом узле разностной сетки, отстоящем
от границы области на расстояние, меньшее шага сетки. Интер-
Интерполяция проводится по заданному значению функции и на гра-
границе области и ее значениям в узлах регулярной сетки, сосед-
соседних с узлом, прилежащим к границе. Например, значение функ-
функции иР в точке Р на рис. 3.8 можно определить либо по формуле
ии + (ии)

84 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
либо по формуле
Можно использовать и среднее арифметическое этих двух зна-
значений: ир = (иРх + Ыр2)/2.
3. Построим конечно-разностную схему, пригодную для реше-
решения уравнения в частных производных на нерегулярной сетке.
Последнее проще всего сделать, используя интегральный ме-
метод на неравномерной сетке. Проинтегрируем дифференциальное
уравнение в окрестности точки (хо, уо), выбрав верхние и нижние
пределы интегрирования отстоя-
отстоящими на полшага сетки от этой
точки. Тогда в соответствии с
приведенными на рис. 3.9 обо-
i+1 - значениями получим
J
Л1/4-
1 \
1
V
Г '
-J+1
и
с
Рис. 3.9. Обозначения, использу-
емые при решении уравнений на
нерегулярной сетке.
C.97)
Внутренние интегралы могут быть вычислены аналитически:
+/
Г \ да
А/2
ди
+
Д/2
Остальные интегралы можно вычислить, используя теорему о
среднем значении:
А*.
ди (
ди
= 0.
C.98)

§t 3.5. Применение нерегулярных сеток 85
Если для аппроксимации производных в последнем соотноше-
соотношении воспользоваться центральными разностями, как это было
сделано в п. 3.4.3, то получим следующий конечно-разностный
аналог уравнения Лапласа:
+
^ Ау++Ау_
Используя это выражение для точек, прилежащих к нерегуляр-
нерегулярной границе (рис. 3.8), получим следующие конечно-разностные
аналоги вторых производных:
д2и
дх
Ал:A +а) V аДл: Ал:
д2и | 2 (
ду2 \Р ~ АуA + Р) V РАг/ А*/
Разностную схему C.99) можно построить, применив также
разложение функций в ряд Тейлора. При использовании нерегу-
нерегулярных сеток построение разностных схем методом разложения
функций в ряд Тейлора требует куда больше усилий, чем в слу-
случае равномерных сеток, тогда как применение интегрального
метода на равномерной и неравномерной сетках требует при-
примерно одного и того же объема аналитических вычислений. Для
определения погрешности аппроксимации и проверки условия со-
согласованности разностной схемы C.99) необходимо все вели-
величины разложить в ряд Тейлора в окрестности узла (*',/). Мы
предлагаем читателю проделать это в качестве упражнения.
В качестве предупреждения напомним, что при аппроксимации
вторых производных на равномерной сетке второй порядок по-
погрешности аппроксимации получался вследствие сокращения чле-
членов рядов Тейлора для узлов с большим и меньшим номерами.
На неравномерной сетке такое сокращение не происходит.
Если расчет проводится при примерно одинаковом числе
узлов разностной сетки, следует ожидать, что метод 3 учета не-
неравномерности сетки, вызванной формой границы, должен быть
наиболее точным, так как уравнение в частных производных
аппроксимируется в каждой внутренней точке (в отличие от ме-
метода 2) и положение границы не меняется (как в методе 1).
Если на нерегулярной границе задана производная искомой
функции (задача Неймана), то и в этом случае можно построить
необходимую разностную схему, хотя алгебраические соотноше-
соотношения оказываются более сложными, чем в рассмотренном случае.

86 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
Ряд простых примеров, иллюстрирующих методы построения
разностных схем при задании на нерегулярной границе произ-
производной искомой функции, можно найти в работах [Forsythe,
Wasow, 1960; James et al., 1967; Allen, 1954].
3.5.2. Нерегулярные сетки, не связанные с формой границы
При расчете некоторых газодинамических течений для обес-
обеспечения требуемой точности часто приходится использовать
сетки с мелким шагом вблизи твердой границы (стенки) или
вблизи ударных волн, т. е. в тех областях течения, где гра-
градиенты параметров велики. Для экономии времени и памяти
ЭВМ целесообразно использовать более грубую сетку вдали от
этих критических областей. Следовательно, для решения задач
следует использовать нерегулярные или переменные сетки. Их
можно строить различными методами, укажем по крайней мере
два из них.
1. Можно применить преобразование координат, переводя-
переводящее неравномерную сетку в физических координатах в равно-
равномерную, при этом изменяется вид уравнения в частных произ-
производных. Этот метод мы подробно опишем несколько ниже.
2. Так же как в методе 3, рассмотренном выше, можно по-
построить конечно-разностную схему, пригодную для решения
уравнения в частных производных на неравномерной сетке. Этот
1 подход ничем не отличается от ранее описанного, просто нерав-
неравномерность сетки определяется не формой границы, а особен-
особенностями решения уравнения. В качестве примера укажем на
разностную схему решения уравнения Лапласа C.99).
3.5.3. Заключительные замечания
Цель данного раздела состояла лишь в том, чтобы в общих
чертах показать некоторые проблемы, возникающие в задачах
с нерегулярными границами при использовании неравномерных
сеток, а также описать методы их решения. Наше описание
этого вопроса ни в коем случае не претендует на полноту. Даль-
Дальнейшее его изучение быстро приводит к специальным задачам.
Хорошая педагогика предполагает, что мы сначала продвинемся
вперед и рассмотрим весь «лес», а уж потом вернемся к изуче-
изучению отдельного дерева. В дальнейшем мы рассмотрим некото-
некоторые вопросы использования неравномерных сеток в связи с ре-
решением конкретных задач гидродинамики и теплообмена.

§ 3.6. Устойчивость конечно-разностных схем 87
§ 3.6. Устойчивость конечно-разностных схем
Не любая согласованная конечно-разностная схема обеспе-
обеспечивает сходимость решения конечно-разностных уравнений к ре-
решению уравнения в частных производных. В соответствии с тео-
теоремой Лакса об эквивалентности (см. п. 3.3.4) такую сходимость
решения обеспечивает лишь устойчивая разностная схема. В этой
главе мы подробно рассмотрим теорию устойчивости конечно-
разностных схем.
Понятие устойчивости конечно-разностных схем аналогично
понятию устойчивости в теории управляемых систем. Переда-
Передаточная функция в теории управляемых систем играет ту же
роль, что и разностный оператор в вычислительной математике.
вход
п-и шаг
по времени
Черный ящик
Выход
(п+\)-йшаг
по времени
Рис. 3.10. Схематическое изображение конечно-разностной схемы как управ-
управляемой системы.
Рассмотрим маршевую задачу. Пусть на /г-м шаге по времени
начальные значения известны, а на (п + 1)-м шаге по времени
значения этих величин надо определить. Разностный оператор
можно тогда интерпретировать как «черный ящик» с некоторой
передаточной функцией. Схематически такая интерпретация раз-
разностного оператора показана на рис. 3.10. Устойчивость такой
управляемой системы определяется преобразованием исходных
данных, проводимым «черным ящиком». Из теории управления
известно, что управляемая система работает устойчиво тогда и
только тогда, когда все нули характеристического полинома этой
системы расположены в левой полуплоскости. Если это не так,
то входной сигнал усиливается неправильно, а выходной сигнал
бесполезен, так как он неограниченно растет. Теория устойчи-
устойчивости разностных схем изучает способ, которым разностный опе-
оператор преобразует начальные значения величин в их значения
на следующем шаге по времени, и является центральной про-
проблемой анализа устойчивости.
Начнем изучение устойчивости конечно-разностных схем с
анализа простой явной схемы для уравнения теплопроводности
Решив это уравнение относительно и?+1, получим
«?+• = ««,+ а ^г (в«+1 - Щ + „«_,). C.101)

88 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
Обозначим буквой D точное решение этого разностного уравне-
уравнения, т. е. решение, которое мы получили бы на ЭВМ при отсут-
отсутствии ошибок округления, а буквой N — решение, полученное на
реальной ЭВМ. Если А — аналитическое решение исходного
уравнения в частных производных, то можно записать
Погрешность аппроксимации = А — D,
Погрешность округления = N — D.
Устойчивость конечно-разностной схемы определяется измене-
изменением погрешности в процессе вычисления. О'Брайен и др.
[O'Brien et al., 1950] предложили следующую классификацию
устойчивости разностных схем:
1. Если полная погрешность округления растет (не растет),
то разностная схема называется сильно неустойчивой (устой-
(устойчивой).
2. Если отдельная погрешность округления растет (не рас-
растет), то разностная схема называется слабо неустойчивой
(устойчивой).
Обычно изучают лишь слабую устойчивость, так как для
ее анализа можно использовать метод разложения решения
в ряд Фурье, называемый в вычислительной математике мето-
методом Неймана. При этом предполагают, что если выполнено усло-
условие слабой устойчивости, то выполнено и условие сильной устой-
устойчивости.
3.6.1. Метод Фурье или метод Неймана
Рассмотрим разностное уравнение C.101). Если е — погреш-
погрешность округления, то численное решение разностного уравнения
можно представить в виде
W = D + e. C.102)
Так как численное решение должно удовлетворять разностному
уравнению, то, подставляя C.102) в C.101), получим
D/»-8y __ ( р*+
"~а V
Точное решение D удовлетворяет разностному уравнению C.101),
поэтому и погрешность г удовлетворяет тому же уравнению:

§ 3.6. Устойчивость конечно-разностных схем
89
Так как точное решение разностного уравнения D и погреш-
погрешность округления е удовлетворяют одному и тому же уравне-
уравнению, то и растут по времени они одинаково. Если разностная
схема устойчива, то рост любого возмущения, вводимого на
п-м шаге по времени, ограничен; для неустойчивых конечно-
разностных схем возмущение'возрастает.
Рассмотрим распределение погрешности на сетке в любой
момент времени. Для удобства выберем момент времени ^ = 0.
Схематически это распределение погрешности показано на
е(х,0)
Рис. 3.11. Начальное распределение погрешности.
рис. 3.11. Предположим, что погрешность е(х,/) можно пред-
представить в виде суммы ряда Фурье
о (у А У/) (t\pikmX C \0А)
m
причем период основной частоты (т = 1) равен 2L. Нас инте-
интересует решение в интервале длины L, поэтому волновые числа
= mn/L, m =
2, ..., Му
где М — число отрезков длины Ах, помещающихся в отрезке
длины L. Например, если интервал длины 2L разбит на отрезки
пятью узлами, то М = 2, а в сумму ряда входят лишь гармо-
гармоники
fm = km/2n = m/2L, f{ = 1/2L, m = 1,
/o = O, m = 0, /2=l/?, m = 2.
Напомним, что частота указывает на число волн, помещающихся
в отрезке длины 2L. Если т = 0, то /0 = 0, а соответствующее
слагаемое описывает стационарную составляющую решения.
Так как погрешность удовлетворяет линейному уравнению, то
поведение каждой гармоники, входящей в C.104), можно рас-
рассмотреть независимо. Ьассмотрим член гт(х, t) = bm(t)el т*.

90 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
Будем искать решение уравнения в виде ztletktnX. При / = 0
(п = 0) оно имеет вид е*кт*. Пусть z = eaM9 тогда
C105)
причем km вещественно, но а может быть и комплексным. Под-
Подставляя C.105) в C.103), получим
еа (t+At)eikmx _ eateikmx = f ^atjk^x+Ax) _ 2eateikmx + eateik^x~^x))y
где r = aAt/(AxJ. Разделив на eatetkmX и использовав соотноше-
соотношение
получим
еаМ = l + 2Г (COS P - 1),
где р = kmAx. При помощи тригонометрического тождества
sin2(P/2) = (l — cosP)/2
перепишем последнее соотношение в окончательном виде
е°м = 1 — 4г sin2 (P/2)/ C.106)
Так как для каждой гармоники &f+l = еаМг*}, то погрешность
округления не будет возрастать на каждом шаге по маршевой
координате (времени), если \еа&(\ не превосходит единицы. Сле-
Следовательно, разностная схема устойчива при
|1 -4rsin2(p/2)|<l. C.107)
Коэффициент 1—4r sin2 (р/2) (равный отношению в/+1/87) назы"
вают коэффициентом (или множителем) перехода и обозначают
через G. Отметим, что при анализе Фурье устойчивости конечно-
разностных схем реальные граничные условия не учитываются;
вместо них для гармоник выставляют обычно периодические
граничные условия.
При решении неравенства C.107) надо рассмотреть два воз-
возможных случая:
1. Рели A—4rsin2(p/2))>0, то 4г sin2(p/2) > 0.
" 2. Если A —4rsin2(p/2))<0, то 4r sin2(P/2)— 1 ^ 1.
Первое неравенство выполняется для всех г > 0, а второе — лишь
при г ^ 1/2. Последнее неравенство и является условием устой-
устойчивости рассматриваемой конечно-разностной схемы; оно накла-
накладывает ограничение на соотношение шагов по времени и про-
пространственной координате. Теперь можно легко объяснить, по-
почему в примере, приведенном в конце п. 3.3.3, получались физи-

§ 3.6. Устойчивость конечно-разностных схем 91
чески нереальные значения температуры. Шаг At в этом примере
был вдвое больше максимально допустимого условием устойчи-
устойчивости конечно-разностной схемы, поэтому решение резко росло.
При a{At/Ax2) = 1/2 устойчивость рассматриваемой разностной
схемы легко проверить. Следует заметить, что выражение C.106)
для коэффициента перехода можно получить при помощи под-
подстановки разложения погрешности в ряд Фурье C.104) в ко-
конечно-разностное уравнение. Мы предлагаем читателю проде-
проделать это в качестве упражнения.
Метод Неймана (или Фурье) применим и к анализу конечно-
разностных схем решения уравнений гиперболического типа.
В качестве примера рассмотрим одномерное волновое уравнение
первого порядка
¦& + *-?~0, C.108)
описывающего распространение волны, бегущей со скоростью с.
Это уравнение имеет только одно семейство характеристик, яв-
являющихся решением характеристического уравнения xt = с. Об-
Общее решение уравнения C.108) имеет вид
и(х — ct) = const.
Это решение требует, чтобы начальные данные, заданные при
t = 0, без изменения переносились вдоль характеристик.
Лаке [Lax, 1954] предложил конечно-разностную схему пер-
первого порядка для решения уравнений такого типа:
_ «ж
C.109)
Первое слагаемое в правой части есть среднее значение неиз-
неизвестной на предыдущем шаге по времени, а второе — конечно-
разностный аналог первой производной по пространству. Пусть
и!} = eateifcmX. Подставляя это выражение в разностное уравне-
уравнение, получим, что коэффициент перехода принимает вид
еаМ — cos р __ /v sfn p
Следовательно, схема Лакса устойчива при
|cosр — iv sin p|^ 1,
где параметр v = cAt/Ax называется числом Куранта. Так как
квадрат модуля комплексного числа равен сумме квадратов его
вещественной и мнимой частей, то рассматриваемая конечно-
разностная схема устойчива при
М<1. C.110)

92 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
Следовательно, и в этом случае устойчивость конечно-разност-
конечно-разностной схемы определяется соотношением шагов.по времени и про-
пространственной координате. Условие C.110) называется условием
устойчивости Куранта — Фридрихса — Леей (КФЛ), которое
подробно обсуждалось в связи со сходимостью и устойчивостью
в исторически важной работе Куранта и др. [Courant et al.,
1928], которую обычно рассматривают как основополагающую
для развития современных численных методов решения уравне-
уравнений в частных производных.
Коэффициент перехода, или, как его еще иногда называют,
множитель перехода, для некоторой конечно-разностной схемы
зависит от шагов сетки и волнового числа. Для конечно-разно-
конечно-разностной схемы Лакса коэффициент перехода имеет вид
G = cos p - /v sin р = | G\el+ = Vcos2p + v2 sin2 p e'arctg<-vtgp)f
C.111)
где <f> — фазовый угол. Из последнего соот/ношения ясно, как
коэффициент G зависит от числа Куранта v и параметра частоты
р. Зависимость коэффициента G от этих параметров построена
на рис. 3.12 при разных числах Куранта в фазовой плоскости.
Тщательный анализ этих кривых позволяет сделать ряд инте-
интересных выводов. Фазовый угол в методе Лакса меняется от 0
для малых частот до —я для больших, что легко проверить,
вычислив этот угол для обоих предельных случаев. При числе
Куранта, равном единице, все гармоники распространяются без
затуханий. При числах Куранта, меньших единицы, низкочастот-
низкочастотные и высокочастотные гармоники меняются слабо, тогда как
гармоники со средней частотой затухают довольно сильно. По
представленным на рис. 3.12 кривым можно оценить и затухание
по величине фазового угла.
Очень важно понять физический смысл условия КФЛ C.110)
для гиперболических уравнений. Рассмотрим волновое уравне-
уравнение второго порядка
utt-c2uxx = 0. ' C.112)
Его характеристики имеют вид
х + ct = const = с [у
х — ct = const = с2.
Решение в точке (х, t), как показано на рис. 3.13, зависит лишь
от условий, заданных между пересекающимися в этой точке ха-
характеристиками. Следовательно, аналитическое решение в точке
(xf t) зависит лишь от информации, содержащейся в области
между характеристиками с{ и с2.

0.0 0Л 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
-ф/тг
Рис. 3.12. Зависимость модуля коэффициента перехода от фазы при различ-
различных числах Куранта для схемы Лакса.
til
(x,t)
x-ct= с
-x+ct=c
\ '*
Рис. 3.13. Характеристики одномерного волнового уравнения второго по-
порядка.

94 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
Условием устойчивости большинства явных схем решения
гиперболических уравнений в частных производных является
условие КФЛ, имеющее вид |cAf/Ax|^ 1, т. е. то же условие,
что и C.110). Его можно представить в другой форме:
(Д//Дл;J<1/с2.
Тангенс угла наклона характеристик dt/dx = ±\/с. Следова-
Следовательно, условие КФЛ эквивалентно требованию, чтобы область
зависимости аналитического решения лежала внутри области
зависимости численного решения. Область зависимости числен-
численного решения может быть шире области зависимости аналитиче-
аналитического решения, но не наоборот. Возможна и простая геометри-
геометрическая интерпретация условия КФЛ: угол наклона прямых, со-
соединяющих узлы (/± l,/i) и (/, /г + 1), по абсолютной величине
должен быть меньше угла, наклона характеристик. Условие КФЛ
имеет физический смысл. На основе проведенных рассуждений
можно ожидать, что численное решение будет ухудшаться, если
слишком много излишней информации о течении учитывается
в данной точке, т. е. если величина с (А//Ах) сильно отличается
от единицы. При численных расчетах так и получается. При
применении явных схем для решения гиперболических уравне-
уравнений наиболее точные результаты получены для близких к еди-
единице чисел Куранта. Напомним, что к этому же выводу мы
пришли при анализе коэффициента перехода в методе Лакса
(см. рис. 3.12).
Прежде чем перейти к описанию методов анализа устойчи-
устойчивости конечно-разностных схем для решения систем уравнений
в частных производных, приведем пример применения метода
Неймана к анализу устойчивости конечно-разностных схем для
решения уравнений с большим числом независимых пере-
переменных.
Пример 3.4. Определить условие устойчивости простой явной
схемы для решения двумерного уравнения теплопроводности
ди д2и , д2и
Конечно-разностный аналог рассматриваемого уравнения
имеет вид
«Г* = «/. k + >>(«?+,, U - 2«/, k + «/"-!, k) +

§ 3.6. Устойчивость конечно-разностных схем 95
Здесь гх — а(Д//Дх2), a ry = a{kt/Ay'2). Будем искать решение
в виде суммы гармоник вида
Если 0! = kxAx, p2 = kyAy, то
еам = i + 2гх (cos Pi — 1) + 2г„ (cos p2 — 1).
Используя тригонометрическое тождество sin2 (Р/2) = A —
— cosp)/2, для коэффициента перехода получим выражение
G = 1 - 4rx sin2-^- - 4ry sin2-^-.
Следовательно, разностная схема устойчива при
| 1 - 4rx sin2 (pi/2) - 4ry sin2 (Pa/2) | < 1,
т. е. при
4rx sin2 p/2 + 4ry sin2 р/2 < 2.
Последнее условие выполняется лишь при rx + ry ^ 1/2. Воз-
Возвращаясь к шагам разностной сетки, получим условие устойчи-
устойчивости в виде
< 1/2.
Это условие аналогично полученному в одномерном случае,
хотя эффективный шаг по времени в двумерном случае оказы-
оказывается меньше, чем в одномерном. В рассмотренном примере
результат удалось получить довольно легко, но в большинстве
случаев провести анализ устойчивости конечно-разностной схе-
схемы решения уравнения в частных производных очень трудно
для более чем одной пространственной переменной и времени.
Условие устойчивости удается часто определить, лишь вычислив
коэффициент перехода для различных значений гх и гу.
3.6.2. Анализ устойчивости систем уравнений в частных
производных
Описанный в предыдущем разделе метод Неймана может
быть использован и для анализа устойчивости конечно-разно-
конечно-разностных схем решения систем уравнений в частных производных.
Встречающиеся в газовой динамике и теплопередаче системы
уравнений можно обычно записать в виде
#+?=°. • <ЗЛ13>
где Е и F — векторы, причем F = F(E). Обычно система урав-
уравнений является нелинейной, а методы анализа устойчивости

96 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
развиты лишь для линейных уравнений. Поэтому перепишем
нашу систему в виде
дЕ rdFidE , ,
+ ЫЫ = °- <ЗЛ14>
Обозначая матрицу Якоби [dF/dE] через [А], получим
dt ' L J дх
Для линеаризации системы уравнений предположим, что мат-
матрица [А] остается неизменной, а вектор Е изменяется при рас-
расчете на одном шаге по времени. Аналогично поступают и при
применении метода Неймана к анализу устойчивости одного
нелинейного уравнения в частных производных.
Сначала проанализируем устойчивость метода Лакса реше-
решения системы уравнений в частных производных
ЕГ1 = т ([/] + -е- ИГ) Е?-, + -J- ([/] - ? ИГ) Е?+1. C.115)
Здесь все обозначения имеют тот же смысл, что и раньше,
а [/] — единичная матрица. Для анализа устойчивости применим
метод Неймана. Подставляя любой член ряда Тейлора в C.115),
получим выражение вида
e"+t(k) = [G(M, k)]en(k), C.116)
где
-/-^H]sinp, C.117)
а ея— коэффициент Фурье. Матрица [G] называется матрицей
перехода, она зависит от шага по времени и частоты, т. е.
[G] = [G(At, k)]. Если конечно-разностная схема устойчива, то
максимальное собственное значение атах матрицы [G] должно
удовлетворять условию
|атах|<1, C.118)
откуда следует, что разностная схема устойчива при
W|r|<l, C-119)
где Хтах — максимальное собственное значение матрицы [А],
т. е. матрицы Якоби системы. Приведем простой, но важный
пример.
Пример 3.5. Определить необходимое условие устойчивости
метода Лакса решения системы уравнений в частных производ-

§ 3.6. Устойчивость конечно-разностных схем 9?
ных первого порядка
тг+«-к-°-
В рассматриваемом случае
Перепишем систему в матричном виде
где
ГО с]
= [с о]'
Следовательно, максимальное собственное значение матрицы
[А] равно с и конечно-разностная схема устойчива при выпол-
выполнении обычного условия устойчивости КФЛ
I А/
Отметим, что описанный выше метод анализа устойчивости
конечно-разностных схем не учитывает влияния граничных усло-
условий, хотя и использует матричную запись системы уравнений
в частных производных. Как учесть влияние граничных условий,
будет показано ниже.
Соотношение C.116) показывает, что устойчивость конечно-
разностной схемы определяется видом матрицы перехода. Пере-
Перепишем C.116) в виде
C.120)
Теперь можно сформулировать условие устойчивости разностной
схемы [Richtmyer, Morton, 1967]. Оно сводится к требованию
существования такого положительного т, чтобы матрица
[G(At,k)]n была равномерно ограничена при 0 < At < т, 0^
^ nAt ^ Т для любых kf где Т — максимальное время. Отсюда
следует необходимое условие устойчивости Неймана:
| a, (A/, k) |<-1 + О {At) при 0 < At < т C.121)
для всех собственных значений и волновых чисел, где а — соб-
собственные значения матрицы [G(At,k)].
В рассмотренных примерах мы считали конечно-разностную
схему устойчивой, если максимальное собственное значение
4 Д. Андерсон и др. Том 1

98 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
матрицы перехода по модулю не превосходит единицы. Это усло-
условие более сильное, чем C.118). Необходимое условие устойчи-
устойчивости Неймана накладывает требование приемлемого роста ло-
локальной величины cAt, что в действительности возможно для
решения многих физических задач. Классическим примером, ил-
иллюстрирующим это, является разностная схема решения урав-
уравнения теплопроводности с источниковым членом.
Пример 3.6. Пусть мы хотим решить уравнение теплопровод-
теплопроводности с источниковым членом
ди д2и .
а+с
используя простую явную конечно-разностную схему. Применив
анализ Фурье, найдем коэффициент перехода
G=l-4rsin2k(p/2)-f<?A/.
Отсюда следует, что решение данного разностного уравнения
может расти по времени и удовлетворяет необходимому условию
устойчивости Неймана. Мы видим, что при анализе устойчивости
разностных схем полезно привлекать физические соображения.
Следует помнить, что для системы гиперболических уравнений
строгое условие заключается в том, что максимальное собствен-
собственное значение не должно превосходить по модулю единицу. Это
связано с тем, что гиперболические уравнения аналогичны вол-
волновому и не имеют экспоненциально растущих по времени ре-
решений.
Мы исследовали устойчивость различных конечно-разностных
схем, используя метод Неймана. Если мы хотим изучить влия-
влияние граничных условий на устойчивость конечно-разностной схе-
схемы, то мы должны использовать матричный метод. Это проще
всего показать на примере применения метода Лакса к решению
одномерного линейного волнового уравнения первого порядка
Пусть сетка по х состоит из m точек, а граничные условия пе-
периодические, т. е.
ef. C-122)
Применяя для решения этой задачи метод Лакса, получим си-
систему алгебраических уравнений вида
ип+1 = [Х]ип, C.123)

§ 3.6. Устойчивость конечно-разностных схем
99
где
1±?
C.124)
. C.1Z5)
Устойчивость конечно-разностной схемы C.123) зависит от соб-
собственных значений матрицы [X]. Так как заданы периодические
граничные условия, то в матрице [X] существенны лишь эле-
элементы на трех отмеченных в соотношении C.125) диагоналях
и два угловых элемента. Такая матрица называется апериоди-
апериодической [Lomax et al., 1970]. Для матрицы вида
н о • •
собственные значения имеют вид
C-126)
В рассматриваемом случае
а0 — —2^->
=1, m.
а\ =

100
Гл. 3. Основы метода конечных разностей
и собственные значения имеют вид
A, = cos-^-(/ - 1) + /v sin -25-(/ - 1).
C.127)
Итак, конечно-разностная схема устойчива при |v|^ 1, т. е. при
выполнении условия КФЛ. Это показывает, что матричный ана-
анализ устойчивости схемы Лакса привел к тем же результатам,
что и метод Неймана для простого волнового уравнения. При
периодических граничных условиях матричный метод и метод
Неймана приводят по существу к тождественным результатам.
Проиллюстрируем влияние граничных условий и разностной
сетки на другом примере.
Пусть, как и в предыдущем примере, метод Лакса приме-
применяется к решению одномерного линейного волнового уравнения
первого порядка. Ограничимся случаем, когда для решения
уравнения используются лишь четыре точки по пространствен-
пространственной координате. В первой и четвертой точках зададим гранич-
граничные условия. Предположим для простоты, что в первой точке
величина и постоянна для всех времен, тогда граничное условие
можно записать в виде иу+1 = ипх. Так как мы ищем решение
волнового уравнения, то граничное условие в четвертой точке на
правом конце не может быть произвольным, а должно быть
согласовано с направлением распространения волны. Зададим
его в виде #*+1=и?, т- е- будем определять значение функции и
на границе по ее значению во внутреннем узле сетки на преды-
предыдущем слое. При таких граничных условиях матрица [X] имеет
вид
10 0 0
1+v
2
0
1
0
+ V
2
1
— V

0
1
0
— v
2
о
о
1
о
Собственные значения этой матрицы легко вычисляются. Они
равны
4
Условие |М^= 1 приводит к тем же ограничениям на v, что и
условие КФЛ: |v|^ 1.
В рассмотренном примере граничные условия не изменили
условия КФЛ устойчивости схемы. Однако граничные условия
обычно изменяют условия устойчивости и этого следует ожидать.

Задачи 101
Ясно, что матричный метод анализа устойчивости разностных
схем учитывает заданные на сенсе граничные условия. Это озна-
означает, что при матричном методе анализа влияние граничных
условий автоматически учитывается. К сожалению, определить
аналитически собственные значения матриц при произвольно за-
заданных граничных условиях обычно не удается.
В этом разделе проведен анализ устойчивости конечно-раз-
конечно-разностных схем при помощи метода Фурье (метода Неймана) и
матричного метода. Эти два метода широко применяются для
анализа устойчивости разностных схем. Однако разработаны и
часто используются и другие методы. В этой связи укажем на
работы [Hirt, 1968] и [Warming, Hyett, 1974]. Наиболее всесто-
всесторонний математический анализ устойчивости конечно-разностных
схем с доказательством многих теорем изложен в монографии
Рихтмайера и Мортона [Richtmyer, Morton, 1967].
Задачи
3.1. Покажите, что
д3и
дх*
(Ах)*
• + О (Ах).
3.2. Рассмотрите функцию f(x)—ex. Определите на сетке с шагом
Ал; = 0.1 производную f (х) при х = 2, используя разности вперед C.26),
центральные разности C.28) и трехточечную аппроксимацию второго порядка
C.29). Сравните полученные результаты с точным значением производной.
Повторите вычисления при Ах = 0.2. Правильно ли описывает точность ап-
аппроксимации производной порядок погрешности аппроксимации? Проанализи-
Проанализируйте полученный результат.
3.3. Проверьте, является ли консервативной конечно-разностная схема
для уравнения неразрывности двумерного стационарного движения несжи-
несжимаемой жидкости
2Ал: + Ау
где м, v — составляющие скорости по осям х и у соответственно.
3.4. Задание то же, что и в задаче 3.3, но для разностной схемы
2Д* + 2Дг/
3.5. Рассмотрите нелинейное уравнение
да д2и
дх ^ ду2
с постоянным коэффициентом ц.
(а) Записано ли оно в дивергентной форме? Если нет, то можете ли
вы записать его в дивергентной форме?

102 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
(Ь) Постройте конечно-разностный аналог этого уравнения, используя
интегральный метод.
3.6. Проверьте конечно-разностную аппроксимацию C.50) для производ-
производной д2и/дхду.
3.7. Проверьте конечно-разностную аппроксимацию C.40) для производ-
производной д2и/дх2.
3.8. Проверьте соотношение C.79) в табл. 3.3.
3.9. Проверьте соотношение C.80) в табл. 3.3.
ЗЛО. Проверьте следующую конечно-разностную аппроксимацию диффе-
дифференциального оператора в точке (I, /) при Ах = Ay = h:
д*и
W
(h).
3.11. Постройте в точке (i, j) конечно-разностную аппроксимацию произ-
производной д2и/ду2 на неравномерной сетке с погрешностью аппроксимации О (Ау),
используя Ui, /, щ, /+ь uit /_!. Примените метод разложения функций в ряд
Тейлора. Можете ли вы на неравномерной сетке построить трехточечную ап-
аппроксимацию этой производной со вторым порядком точности? Прежде чем
ответить на этот вопрос, подумайте о возможности компактной неявной
записи производной.
3.12. Найдите погрешность аппроксимации в точке (i,/) конечно-разност-
конечно-разностной аппроксимации производной ди/ду на равномерной сетке
**
ду ** 2Ау
Чему равен порядок погрешности аппроксимации?
3.13. Найдите на равномерной сетке погрешность аппроксимации произ-
производной
да 1 1
дх \1ш,™2Н
3.14. Используя разложение функций в ряд Тейлора в окрестности точки
(п +1/2,/), определите погрешность аппроксимации схемы Кранка — Никол-
сона решения уравнения теплопроводности C.71). Сравните найденную по-
погрешность аппроксимации с полученной при разложении функций в ряд Тей-
Тейлора в окрестности точки (л, /).
3.15. Постройте на неравномерной сетке конечно-разностный аналог про-
производной дТ/ду в точке (/,/)» имеющий погрешность аппроксимации О(Дг/J,
ИСПОЛЬЗУЯ Г/, /. Tl, / + i, Tl, /+2-
3.16. Определите погрешность аппроксимации в точке (/, /) приведенной
ниже конечно-разностной аппроксимации производной ди/дх на неравномер-
неравномерной сетке:
ill Л+1>/~(А*+/А*~)'-1,/ + П-(A**/A*-flui,f
ill
дх \t J ** Длг_ (Д*+/Дл:_J + Длг
+
3.17. Пусть из решения разностных уравнений нам известно распределе-
распределение температуры вблизи адиабатической стенки (т. е. граничное условие

Задачи
103
имеет вид дТ/ду=0)у но значение температуры на самой стенке мы не знаем
(рис. 3-3.1). Однако во многих случаях нам необходимо определить именно
температуру стенки. Определите температуру Тх адиабатической стенки по
'значениям температуры Г2, Г3 и т. д. во внутренних узлах сетки, предпола-
предполагая, что вблизи стенки температура (а) меняется линейно, (Ь) описывается
полиномом второго порядка; (с) описывается полиномом третьего порядка
(укажите лишь, как вы будете строить этот полином). С какой точностью
Тд Ay=const
1 То
У////////////////////////
Рис. 3-3.1.
в каждом из этих случаев будет определена величина температуры стен-
стенки 71!?
3.18. Рассмотрим задачу определения стационарного поля температуры
с теплоотдачей на границе (рис. 3-3.2). В этом случае поле температуры опи-
z
0
• 3
X
1
Ах ~ А г/
Рис. 3-3.2.
сывается уравнением Лапласа, а граничное условие имеет вид —kdT/dy\w =
= h(Tw — Too). Простейшая конечно-разностная аппроксимация этого гранич-
граничного условия имеет вид
-ЧКГо - Т^/Ьу] + ОЦЬу) - h (To - 7\J.
Определите граничное условие в лежащей на границе точке 0, используя
метод контрольного объема. Найдите погрешность аппроксимации, предпола-
предполагая, что уравнение Лапласа выполняется на границе.
3.19. Процесс распространения тепла описывается уравнением dT/dt =
= а(д2Т/дх2). Используя метод контрольного объема, постройте конечно-раз-
конечно-разностный аналог этого уравнения на неравномерной сетке.
3.20. Рассмотрим установившийся процесс распространения тепла в твер-
твердом теле в двумерном случае. Используя метод контрольного объема, полу-

104 Гл. 3. Основы метода конечных разностей
чите в случае адиабатической стенки выражение для температуры границы
изображенного на рис. 3.7 объема В.
3.21. Решите одномерное уравнение теплопроводности, используя для ап-
аппроксимации производных по времени разности вперед, а производных по
пространству — центральные разности, если шаги по временной и простран-
пространственной координатам связаны соотношением а(Д//Д;г)= 1/2. Используйте
расчетную сетку из пяти точек, две из которых лежат на границе, а три —
внутри области. Температура стенки предполагается постоянной и равной еди-
единице, а начальная температура — равной нулю. Проведите расчет для десяти
шагов по времени. Сравните полученный вами результат с полученным в при-
примере § 3.3.
3.22. Покажите, что коэффициент перехода разностной схемы решения
уравнения теплопроводности C.101) можно получить прямой подстановкой
решения такого вида:
+ 0О
иП = V Г пП oikxX
И e 2 С?е х
Здесь Ст — коэффициенты Фурье начального распределения температуры,
a gm — коэффициент перехода. Проверьте, совпадает ли полученное выраже-
выражение для gm с C.106). Рассмотрите вопрос о сходимости разностной схемы,
воспользовавшись для этого теоремой Лакса.
3.23. Используя метод Неймана, покажите, что если для аппроксимации
производных по пространству применяются центральные разности, то явный
метод Эйлера решения одномерного волнового уравнения неустойчив. Раз-
Разностные уравнения в этом случае имеют вид
п+1 п _ А/
Покажите, что аналогичный неявный метод
устойчив.
3.24. Найдите необходимые условия устойчивости конечно-разностной
схемы
и1 / _
получающейся при решении уравнения теплопроводности методом Дюфор-
та—Франкла.
3.25. Покажите, что условие КФЛ является условием устойчивости схемы
Лакса — Вендроффа решения одномерного волнового уравнения первого по-
порядка. Конечно-разностное уравнение в рассматриваемом случае имеет вид
Д7

Задачи 105
3.26. Определите необходимое условие устойчивости конечно-разностной
схемы решения волнового уравнения с источниковым членом
ди д2и . ,
при использовании центральных разностей по пространству и разностей впе-
вперед по времени. Имеет ли для таких уравнений физический смысл необходи-
необходимое условие устойчивости Неймана C.121).
3.27. Используйте матричный метод для исследования устойчивости схемы
Лакса решения одномерного волнового уравнения первого порядка на сетке,
состоящей из двух внутренних и двух граничных точек, причем предпола-
предполагается, что граничные условия имеют вид i/ieft = 1, bright = 0.
3.28. Используйте матричный метод анализа устойчивости конечно-раз-
конечно-разностной схемы задачи 3.21 при решении уравнения теплопроводности на сет-
сетке, состоящей из пяти точек. Сколько гармоник надо ввести в этом случае?
3.29. Пусть конечно-разностная схема решения уравнения в частных про-
производных имеет вид u"+1 = [Л] и", где
1 +v v 0
[А]-
[1+v v 0 1
0 1+v % \.
-v 0 1 + v J
Определите условие устойчивости этой схемы.

Глава 4
Применение методов конечных разностей
для решения модельных уравнений
В этой главе описаны и подробно изучены различные ко-
конечно-разностные схемы, с помощью которых можно решать
простейшие модельные уравнения. Мы ограничимся рассмотре-
рассмотрением следующих модельных уравнений — волнового уравнения
первого порядка, уравнения теплопроводности, уравнения Лап-
Лапласа и уравнения Бюргерса. Эти уравнения называются модель-
модельными, так как они используются для изучения свойств решений
более сложных уравнений в частных производных. Так, уравне-
уравнение теплопроводности можно рассматривать как модельное для
других параболических уравнений в частных производных, на-
например уравнений пограничного слоя. Все рассматриваемые мо-
модельные уравнения имеют аналитические решения при некото-
некоторых граничных и начальных условиях. Зная эти решения, легко
оценить и сопоставить различные конечно-разностные методы,
используемые для решения более сложных уравнений в частных
производных. Из множества существующих конечно-разностных
методов решения уравнений в частных производных в этой главе
описаны в основном такие методы, которые обладают свой-
свойствами, характерными для целого класса аналогичных методов.
Некоторые из этих свойств нежелательны, однако в учебных це-
целях мы рассматриваем и эти методы. Некоторые полезные для
решения уравнений конечно-разностные методы не приведены,
так как они аналогичны описанным в этой главе методам, а огра-
ограниченный объем книги не позволяет описать в ней все пригод-
пригодные для практического использования методы.
§ 4.1. Волновое уравнение
Одномерным волновым уравнением называется следующее
гиперболическое уравнение в частных производных второго по-
порядка:
д*и о д2и /Л 1Ч
Это уравнение описывает распространение звуковых волн в од-
однородной среде со скоростью с. Существует уравнение первого

§ 4.1. Волновое уравнение 107
порядка, свойства решений которого близки к свойствам реше-
решения уравнения D.1):
ди i ди Л . ~ /л пч
-^т- + с-^—= 0, с > 0. D.2)
Отметим, что уравнение D.1) можно получить из уравнения
D.2). В этом параграфе в качестве модельного уравнения вы-
выберем уравнение D.2), которое будем называть одномерным
волновым уравнением первого порядка, или просто волновым
уравнением. Одномерное волновое уравнение является линейным
гиперболическим уравнением, описывающим распространение
волны со скоростью с вдоль оси х. Оно в элементарной форме
моделирует нелинейные уравнения, описывающие газодинами-
газодинамические течения. Хотя в этой главе мы будем называть уравнение
D.2) волновым уравнением, обратим внимание читателя на то,
что обычно волновым уравнением называют уравнение D.1). Со-
Соответственно уравнение D.2) часто называют одномерным ли-
линейным уравнением переноса.
Точное аналитическое решение уравнения D.2) с начальными
данными
и(х, 0) = F (х), — оо < х < оо, D.3)
имеет вид
и(х, t) = F(x — ct). D.4)
Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения
одномерного волнового уравнения первого порядка.
4.1.1. Явные методы Эйлера
Этот метод приводит к двум простым явным одношаговым
разностным схемам
i=ii«^l=o D.6)
с погрешностью аппроксимации О (А/, Ах) и О (А/, (А*J) соот-
соответственно. Обе эти схемы имеют первый порядок аппроксима-
аппроксимации, так как главный член в выражении для погрешности имеет
первый порядок (А/ или Ах для схемы D.5) или At для схемы
D.6)). Разностные схемы D.5) и D.6) явные, так как в каждое
разностное уравнение входит лишь одно неизвестное и"+{. К со-
сожалению, анализ устойчивости разностных схем D.5) и D.6)
методом Неймана приводит к тому, что они обе абсолютно

108 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
неустойчивы и, следовательно, для численного решения волно-
волнового уравнения непригодны. Перейдем теперь к описанию более
полезных разностных схем.
4.1.2. Метод использования разностей против потока
Простую явную схему D.5) (метод Эйлера) можно сделать
устойчивой, если при аппроксимации производной по простран-
пространству использовать не разности вперед, а разности назад в тех
случаях, когда скорость волны с положительна. Если скорость
волны отрицательна, то устойчивость схемы обеспечивается при
использовании разностей вперед. Этот вопрос будет более под-
подробно рассмотрен в гл. 6 при описании метода расщепления
коэффициентов матриц. При использовании разностей назад
разностные уравнения принимают вид
utl+l iin un fjn
Эта разностная схема имеет первый порядок точности с по-
погрешностью аппроксимации О (At, Ах). Из условия устойчивости
Неймана следует, что схема устойчива при
0 <iv < 1, D.8)
где v = cAt/Ax.
Подставим в D.7) нмесю ип^: п u1j_[ их выражения в виде
ряда Тейлора. Тогда получим
{
?{['^^^+...]} = 0. D.9)
После несложных преобразований уравнение D.9) приводится
к виду
, М , сАх (А/J п(Д*J ,
Ut + CUx= — -Y l[tt Ь"~2" и-:х ёГ Щн ~ С- 6~ Uxxx + ' • • •
D.10)
В левой части последнего равенства записано исходное волновое
уравнение, а в правой — погрешность аппроксимации, которая
обычно отлична от нуля. Значение членов, входящих в погреш-
погрешность аппроксимации, можно лучше понять, если заменить про-
производные по времени производными по пространству. Для этого
выразим производную пи через производную по х. Дифферен-

§ 4.1. Волновое уравнение 109
цируя D.10) по времени, получаем
D.11)
а дифференцируя D.10) по х и умножая на —с, находим
2 Ш с2Ах
-сщх - с2ихх = — и„х ^
Складывая D.11) и D.12), получаем
utt = с2^, + А/ (^- + 4- ^». + О (АО) +
+ Л* (-f и^ - -у иххх + О (Ал:)) . D.13)
Аналогично можно получить следующие выражения для произ-
производных UttU Uttx, Uxxi\
иш = —съиххх + О (А/, А*),
uttx = c2uxxx + O(At, Ax), D.14)
"xxt = ~Ыххх + О (А/, А*).
Из уравнений D.10), D.13) и D.14) следует, что
+ О((Д*K, (Д*JДг, Д*(Д/J, (ДО3). D.15)
Уравнение, аналогичное D.15), называют модифицированным
уравнением1^ [Warming, Hyett, 1974]. При использовании ме-
метода конечных разностей решается на самом деле модифициро-
модифицированное уравнение, а не исходное уравнение в частных производ-
производных. Подчеркнем, что для исключения производных по времени
высших порядков необходимо использовать именно уравнение,
получающееся после подстановки разложения в ряд Тейлора
в разностное уравнение, т. е. уравнение D.10), а не исходное
уравнение в частных производных D.2). Это связано с тем, что
решение исходного уравнения обычно не является решением
Х) В отечественной литературе модифицированное уравнение обычно на-
называют дифференциальным приближением разностной схемы (см., например,
работу [40] в списке дополнительной литературы на стр. 712). В первой части
книги сохранен термин «модифицированное уравнение», а во второй части
книги использован термин «дифференциальное приближение разностной схе-
схемы».— Прим. ред.

Таблица 4.1. Процедура определения коэффициентов модифицированного уравнения
Щ UX Utt Utx Ux*
uttt uttx Щхх «юсе
Uttxx Utxxx
Коэффициенты (к.Щ
f *?b] D-10)
i с f о -г*
2 2
0
с At2
4
сДГ2
12
1 2
cAtAx
4
0
0
3
сДгДх
4
0
0
0
сг^Д/Дх
4
с2ДгДх
4
Дт"
12
0
0
0
0
сДГ3
12
0
0
0
0
0
с Дг2 Дх
8
с At Ах*
12Ь"' 12Ь
с Ах'
24
с'ДгДх2
12
+ ^-ДгДх2
-±с2АхАг* -\
4с4
Коэффициенты
1 с О О
V— 1» О О

§ 4.1. Волновое уравнение 111
разностного уравнения, и так как модифицированное уравнение
следует из разностного уравнения, то очевидно, что исходное
уравнение в частных производных не должно использоваться
для исключения производных по времени.
Производные по времени проще всего исключить, используя
табл. 4.1. В первой строке таблицы выписываются коэффициенты
перед каждым членом уравнения D.10) (предварительно все
члены уравнения переносятся в левую часть). Член уравнения
D.10), содержащий производную utu можно исключить, умно-
умножив D.10) на дифференциальный оператор —(&t/2) (d/dt) и
прибавив результат к первой строке таблицы, т. е. к уравнению
D.10). При этом в уравнении появляется новый член —(сМ/2)щх,
который исключается умножением D.10) на дифференциальный
оператор (cAt/2) (д/дх) и сложением результата с первыми
двумя строками таблицы. Так поступают до тех пор, пока не
будет исключено требуемое число производных по времени.
После этого каждый коэффициент модифицированного уравне-
уравнения получается простым суммированием коэффициентов, распо-
расположенных в соответствующих столбцах таблицы. Необходимые
алгебраические вычисления можно провести на ЭВМ, используя,
например, язык FORMAC [Fike, 1970].
Правая часть модифицированного уравнения D.15) является
погрешностью аппроксимации, так как она равна разности ре-
решений исходного уравнения в частных производных и его ко-
конечно-разностного аналога. Следовательно, член наименьшего
порядка в правой части модифицированного уравнения опреде-
определяет порядок точности метода. В рассматриваемом случае метод
имеет первый порядок точности, так как член наименьшего по-
порядка имеет порядок О(Д?, Дх). Если v=l, то правая часть
D.15) равна нулю и решение разностного уравнения является
точным решением исходного дифференциального уравнения.
В этом случае разностная схема с разностями против потока
имеет вид
Такая запись разностной схемы эквивалентна точному решению
уравнения D.2) методом характеристик. О конечно-разностной
схеме, позволяющей получить точное решение исходного уравне-
уравнения в частных производных, говорят, что она удовлетворяет
«условию сдвига» [Kutler, Lomax, 1971]. Заметим, что погреш-
погрешность аппроксимации равна разности точных решений модифи-
модифицированного и волнового уравнений (при периодических гра-
граничных условиях).
Главный член в выражении для погрешности аппроксимации
в рассматриваемом случае пропорционален производной uXXi т. е.

112 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
он аналогичен диссипативному вязкому члену в одномерном
уравнении движения жидкости. Например, если коэффициент
вязкости [х постоянен, то вязкий член в одномерном уравнении
Навье — Стокса (см. гл. 5) можно записать в виде
¦^(т«) = -у |Ш,,. D.16)
Следовательно, при v ф 1 схема с разностями против потока
неявно вводит в уравнение искусственную вязкость, которую ча-
часто называют неявной (схемной) искусственной вязкостью в от-
отличие от явной искусственной вязкости, которая преднамеренно
{а] (И (с)
Рис. 4.1. Влияние диссипации и дисперсии, (а) Точное решение. (Ь) Числен-
Численное решение, полученное в том случае, когда ошибка является в основном
диссипативной (такое решение типично для схем первого порядка точности).
(с) Численное решение, полученное в случае, когда ошибка является в основ-
основном дисперсионной (такое решение типично для схем второго порядка точ-
точности) .
вводится в разностное уравнение. Искусственная вязкость сгла-
сглаживает решение уравнения, уменьшая градиенты всех парамет-
параметров независимо от причины возникновения этих градиентов, фи-
физической или вычислительной. Такое свойство разностной схемы,
обусловленное наличием в выражении для погрешности аппрок-
аппроксимации производных четного порядка, называют диссипацией
на разностной сетке.
Другое близкое к физическому свойство разностных схем
называют дисперсией. Оно непосредственно связано с производ-
производными нечетного порядка в выражении для погрешности аппрок-
аппроксимации. Дисперсия приводит к искажению соотношения фаз
различных волн. Совместное воздействие диссипации и диспер-
дисперсии на решение иногда называют диффузией. Диффузия приво-
приводит к растяжению крутых линий раздела, которые могут появ-
появляться в расчетной области. На рис. 4.1 показаны эффекты дис-
диссипации и дисперсии на расчет разрыва. Обычно если главный
член в выражении для погрешности аппроксимации содержит
производную четного порядка, то схема обладает в основном
диссипативными свойствами, а если производную нечетного по-
порядка— то дисперсионными,

§ 4.1. Волновое уравнение 113
В гл. 3 мы показали, как можно определить относительную
погрешность в амплитуде (диссипацию) и фазе (дисперсию)
каждой гармоники, зная коэффициент перехода. Поэтому есте-
естественно возникает вопрос: есть ли какая-либо связь между коэф-
коэффициентом перехода и видом модифицированного уравнения.
Оказывается, что такая связь действительно существует. Уор-
минг и Хайет [Warming, Hyett, 1974] описали «эвристическую»
теорию устойчивости разностных схем, основанную на анализе
членов модифицированного уравнения с производными четного
порядка, и определили погрешность,, связанную с изменением
Единичная окружность
1.50 1,00 0.50 0.0Q 0.50 1,00
Рис. 4.2. Модуль коэффициента перехода для схемы с разностями против
потока.
фазы, зная члены модифицированного уравнения с производ-
производными нечетного порядка. Прежде чем показать, как связан коэф-
коэффициент перехода с видом модифицированного уравнения, запи-
запишем коэффициент перехода для рассматриваемой разностной
схемы с разностями против потока в виде
G = (l — v +vcosp) —/(vsinp). D.17)
Его модуль
| Q | = [A - v + v cos рJ + (-v sin PJ]1'2
при различных v изображен на рис. 4.2. Из представленных на
нем данных видно, что условие устойчивости Неймана |G|^ 1
выполняется лишь при v ^ 1.
Запишем коэффициент перехода в виде G=|G|c^, где ф —
фазовый угол, определяемый соотношением
, , Im(G) , Г —V sin p "|
* = ar°tg ТОТ) = arCtg Ll-v + vcosp I •
Фазовый угол точного решения волнового уравнения фе опреде-
определяется аналогично, если известен коэффициент перехода точного

114
Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
решения волнового уравнения. Для определения точного значе-
значения коэффициента перехода подставим в волновое уравнение
его фундаментальное решение u — eateifcm* и найдем, что а =
= —ikmc. Тогда и = е***"^^ и, следовательно, коэффициент
перехода для точного решения имеет вид
U°— U(t) — eikm(x
Из последнего соотношения следует, что
где фе = —kmcAt = —pv, причем | Ge | = 1.
Итак, обусловленная диссипацией суммарная ошибка в опре-
определении амплитуды после п шагов решения волнового уравне-
Едипичнап окружность
0.75
1.50
1.00
Рис. 4.3. Относительная погрешность определения фазы для схемы с разно-
разностями против потока.
ния по схеме с разностями против потока равна A—|G|w)i40,
где Ло — начальное значение амплитуды волны. Аналогично
полную дисперсионную ошибку (искажение фазы волны) можно
записать в виде п(фе — ф). Относительная погрешность в опре-
определении смещения по фазе на одном шаге по времени равна
Ф arctg [(—у sin P)/(l — v + v cos ft)]
Фе
-ру
D.18)
На рис. 4.3 показано отношение ф/фе при различных v. При ма-
малых волновых числах (т. е. если р мало) выражение для отно-
относительной погрешности в определении фазы можно привести
к виду
D.19)

§ 4.1. Волновое уравнение 115
Если относительная погрешность в определении фазы при задан-
заданном |5 превосходит единицу, рассчитанная скорость распростра-
распространения соответствующей гармонической волны оказывается боль-
больше точного значения скорости этой волны. Про такие волны
говорят, что они распространяются с опережением по фазе. Ана-
Аналогично, если относительная погрешность в определении фазы
меньше единицы, то рассчитанная скорость распространения
гармонической волны оказывается меньше точного значения ско-
скорости этой волны, поэтому говорят, что такая волна распро-
распространяется с отставанием по фазе. При использовании разностей
против потока опережение по фазе возникает при 0.5 < v < 1,
а отставание — если v < 0.5.
Пример 4.1. Пусть для решения волнового уравнения (с =
= 0.75) с начальным условием
и(х, 0) = sin(бпх), 0<*<1,
и периодическими граничными условиями используется схема
с разностями против потока. Определим погрешность в опреде-
определении амплитуды и фазы волны через десять шагов по времени,
если А* = 0.02 и Ах = 0.02.
Решение. В рассматриваемой задаче можно ограничиться
одним значением параметра р, так как при заданных гранич-
граничных и начальном условиях решение волнового уравнения опи-
описывается одним членом ряда Фурье. Коэффициент перехода
в этом случае определяется также одним членом ряда Фурье,
удовлетворяющим волновому уравнению, поэтому частота точ-
точного решения совпадает с частотой, используемой для определе-
определения коэффициента перехода, т. е. fm = km/2n. Следовательно,
в рассматриваемом случае волновое число задается в виде
и тп 6я л
Теперь можно вычислить 0:
р = kmAx = (бя) @.02) = 0 Л 2я.
При помощи числа Куранта
с At @.75) @.02) ,-
V —"ДГ~ (О02) —°-7й
легко определить модуль коэффициента перехода
| G | = [A - v + v cos рJ + (- v sin PJ]1'2 = 0.986745

116 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
и, следовательно, погрешность в определении амплитуды после
десяти шагов по времени
A -1 G Г) Ао = A - | G |10) A) = 1 - 0.8751 = 0.1249.
Сравнивая фазовый угол ф после выполнения одного шага по
времени
*°a"*g , SS^L p--0.28359
с его точным значением фе за один шаг
?e= — pv = —0.28274,
получим, что после выполнения десяти шагов по времени ошибка
в определении фазы будет равна
— Ф) = 0.0084465.
Сопоставим теперь точное решение волнового уравнения при
t = lOAt = 0.2 с полученным численно после выполнения десяти
шагов по времени. Точное решение имеет вид
и(х9 0.2) = sin [6я(*-0.15)],
а решение, полученное численно по схеме с разностями против
потока, имеет на десятом шаге по времени вид
и(л;, 0.2) = @.8751) sin [6я(* — 0.15) - 0.0084465].
Чтобы показать связь коэффициента перехода и модифици-
модифицированного уравнения D.15), запишем это уравнение в виде
Здесь Счп и С2п+1 — коэффициенты перед членами уравнения
с производными четного и нечетного порядков по пространству.
Уорминг и Хайетт показали, что необходимым условием устой-
устойчивости разностной схемы является условие
(-1)/-1С2/>0, D.21)
Где Сп — коэффициент перед низшей производной четного по-
порядка. Условие D.21) аналогично требованию положительности
коэффициента вязкости в уравнениях движения вязкой жид-
жидкости. В уравнении D.15) коэффициент при низшей производ-
производной четного порядка имеет вид
l-v), D.22)

§ 4.1. Волновое уравнение 117
поэтому необходимое условие устойчивости разностной схемы
запишется в виде
v)>0, D.23)
т. е. разностная схема устойчива, если v < 1. Это же условие
устойчивости мы получили выше из анализа коэффициента пе-
перехода. Следует напомнить, что «эвристическая» теория устой-
устойчивости, приводящая к условию D.21), позволяет получить лишь
необходимое условие устойчивости, поэтому для некоторых ко-
конечно-разностных схем информация об их устойчивости будет
недостаточно полной, а для некоторых разностных схем (ис-
(используемых, например, для решения уравнения теплопроводно-
теплопроводности) необходимо привлекать более сложные методы анализа
устойчивости.
Уормииг и Хайетт также показали, что относительная по-
погрешность в определении фазы для разностных схем решения
волнового уравнения определяется выражением
^ D-24)
/г=1
где /?т = р/Ал; — волновое число. Если волновое число мало, то
можно ограничиться рассмотрением лишь членов ряда низшего
порядка. Для схемы с разностями против потока это приводит
к соотношению
(^J| D.25)
которое совпадает с D.19). Итак, мы показали, что между коэф-
коэффициентом перехода и видом модифицированного уравнения су-
существует непосредственная связь.
4.1.3. Схема Лакса
Разностную схему D.6) (метод Эйлера ) можно сделать
устойчивой, заменив Щ на пространственное среднее (ajf+i +
+ W/__i)/2. В результате получим широко известную схему
Лакса [Lax, 1954], которой мы уже пользовались:
<"(? + *№&?&
+«?
+«¦&?&¦..,. D26)
Это явная одношаговая схема первого порядка точности с по-
погрешностью аппроксимации О (At, (AxJ/At). Она устойчива при

118 Гл. 4. Метод коггетаых разностей дл"я модельных уравнений
1. Модифицированное уравнение имеет вид
... D.27)
Отметим, что эта схема не всегда удовлетворяет условию согла-
согласованности, так как отношение (kxJ/At может не стремиться
к нулю при Д?, Длс, стремящихся к нулю. Однако если при стрем-
стремлении Д/ и Да: к нулю число Куранта v сохраняется постоянным,
то условие согласованности выполняется. Схема Лакса отличает-
отличается высоким уровнем диссипации при v #= 1. В этом можно убе-
убедиться, сравнив коэффициент при члене ихх в уравнении D.27)
1.00
ф/фе
(b)
Рис. 4.4. Схема Лакса. (а) Модуль коэффициента перехода; (Ь) относитель-
относительная погрешность определения фазы.
и в модифицированном уравнении D.10) для схемы с разно-
разностями против потока при разных v. На высокий уровень дисси-
диссипации указывают и значения коэффициента перехода
Q = cos р — lv sin p, D.28)
который был вычислен в п. 3.6.1. Модуль коэффициента перехода
показан на рис. 4.4(а). Относительная погрешность в опреде-
определении фазы выражается в виде
* Ф __ arctg (— v tg p)
Фе~ -PV
при этом происходит опережение по фазе, что видно из рис. 4.4 (Ь).
4.1.4, Неявный метод Эйлера
До сих пор мы рассматривали только явные методы. Рас-
Рассмотрим неявную разностную схему
и 7' — i

§ 4.1. Волновое уравнение
119
Это схема первого порядка точности с погрешностью аппрокси-
аппроксимации О (At, (А*J). Анализ устойчивости Неймана (анализ
Фурье) показывает, что она устойчива при любом шаге по вре-
времени, т. е. абсолютно устойчива. Однако при использовании этой
схемы на каждом шаге по времени приходится решать систему
алгебраических уравнений. Чтобы проиллюстрировать это, пе-
перепишем уравнение D.29) так, что члены, содержащие значения
г
0 012
Рис. 4.5. Расчетная сетка.
М М + 1
неизвестных на (п + 1)-м шаге по времени, будут в левой части,
а известное значение uf — в правой части уравнения. В резуль-
результате получим
~ TUW = иЬ
или
t}±\ = С,
D.31)
где a = v/2, d= 1, b =—v/2, C = w^. Пусть расчет проводится
на изображенной на рис. 4.5 сетке, состоящей из М + 2 узлов
по х. Начальные условия заданы при п = 0. На левой границе
величина н{*+1 задана и равна и0, а значение Щ^х на правой гра-
границе можно вычислить в процессе решения методом характери-
характеристик. Например, если v= 1, то ^Af+11 = ttAf- На заданной сетке
разностная схема D.31) сводится к решению системы М линей-
линейных алгебраических уравнений на (я+ 1)-м шаге по времени:
[А]
М
[С]
им
D.32)

120 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
В системе уравнений D.32) коэффициенты С{ и См определяют-
определяются соотношениями
С — ип
1 \ ио
С —ип —аип+1 D.33)
где «5+1 и ип^х известны из граничных условий.
В уравнении {4.32) матрица [А] трехдиагональная. Томас
[Thomas, 1949] предложил метод быстрого решения систем урав-
уравнений с трехдиагональной матрицей, который обычно называют
прогонкой. При применении этого алгоритма система уравнений
сначала приводится к системе уравнений с верхней треугольной
матрицей заменой диагональных элементов dt элементами
Ф 1 = 2, 3, ..., М,
и коэффициентов С/ коэффициентами
Ct — 'p—Ci-x, 1 = 2, 3, ..., М.
После этого вычисление неизвестных начинается от значения
и на границе ^У — С^/^м и продолжается по рекуррентной
формуле
^> я+1
Более подробно метод прогонки будет описан в п. 4.3.3.
При использовании неявных схем на каждом шаге по вре-
времени приходится проводить больше вычислений, чем при исполь-
использовании явных схем, но зато можно проводить расчет с суще-
существенно большим шагом по времени, так как они безусловно
устойчивы. Однако при использовании слишком большого шага
по времени можно пблучить бессмысленные результаты. Это
связано с тем, что при увеличении шага по времени растет по-
погрешность аппроксимации. Модифицированное уравнение для
неявного метода Эйлера имеет вид
щ + сих = A/2с2 А/) ихх - [%с (АхJ + 7зс3 (А/J] иххх + ... D.34)
и, следовательно, не удовлетворяет условию сдвига. Коэффи-
Коэффициент перехода
~ 1 — /v sin Р /. qc\
I 4- v2 sin2 R \ '' с

§ 4.1. Волновое уравнение 121
и относительная погрешность в определении фазы
Ф __ arc tg (- v sin р)
-0Г" ^
построены на рис. 4.6. Неявный метод Эйлера ведет к сильной
У = 1.'
1,00 0.00 1.00
Ф1Фг
(Ь)
Рис. 4.6. Неявный метод Эйлера, (а) Модуль коэффициента перехода; (Ь) от-
относительная погрешность определения фазы.
диссипации при средних волновых числах и значительному за-
запаздыванию по фазе при больших волновых числах.
4.1.5. Метод с перешагиванием (метод «чехарда»)
До сих пор мы в этой главе рассматривали лишь схемы пер-
первого порядка точности решения линейного волнового уравнения.
В большинстве случаев эти схемы не используются для реше-
решения уравнений в частных производных из-за их низкой точности.
Простейшим методом второго порядка точности является метод
с перешагиванием. Применяя его к волновому уравнению пер-
первого порядка, получаем явную одношаговую трехслойную по
времени разностную схему
Метод с перешагиванием называют трехслойным по времени,
так как для определения значения и на (/г + 1)-м шаге по вре-
времени необходимо знать значения и на (п—1)-м и п-м шагах
по времени. Метод имеет погрешность аппроксимации О ((AtJ,
(Ал:J) и устойчив при |v|^l. Модифицированное уравнение
имеет вид
D.38)

122 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Главный член в выражении для погрешности аппроксимации
пропорционален производной нечетного порядка иххх, поэтому
разностная схема должна обладать в основном дисперсионными
свойствами. Последнее вообще характерно для схем второго по-
порядка точности. Схему с перешагиванием отличает то, что в пра-
правой части модифицированного уравнения вообще нет производ-
производных четного порядка, поэтому связанные с диссипацией ошибки
вообще отсутствуют. Следовательно, метод с перешагиванием
нейтрально устойчив и любые появляющиеся при расчете ошиб-
ошибки, например ошибки от неточного задания граничных условий
l.oo
1.00
1.00
0.00
Ф/Фе
(а) (Ь)
Рис. 4.7. Схема «чехарда», (а) Модуль коэффициента перехода; (Ь) относи-
относительная погрешность определения фазы.
или от округления, не затухают (предполагается, что гранич-
граничные условия периодические, a |v|^l). Коэффициент перехода
G = ± A — v2 sin2 рI/2 — /v sin p
D.39)
и относительная погрешность в определении фазы
Ф __ arctg[-vsinP/±(l--v*sin2PI/2]
Ф ~ P
D.40)
построены на рис. 4.7.
Хотя метод с перешагиванием имеет второй порядок точности
и не вносит в решение диссипацию, он обладает рядом недостат-
недостатков. Прежде всего начальные условия необходимо задать на
двух временных слоях. С этой проблемой можно справиться, ис-
используя двухслойную схему на первом шаге по времени. Второй
недостаток метода связан именно с «перешагиванием» (т. е. с
тем, что uj+l не зависит от и*}), которое приводит к появле-
появлению при расчете двух независимых решений. И наконец, метод
с перешагиванием предъявляет более высокие требования к па-
памяти ЭВМ, так как является трехслойным по времени. Необхо-
Необходимую для расчета память ЭВМ можно существенно сократить,
если вместо величины и* записать величину unt+l.

§ 4.1. Волновое уравнение
123
4.1.6. Метод Лакса — Вендроффа
Схему Лакса — Вендроффа [Lax, Wendroff, 1960] можно по-
построить, исходя из разложения в ряд Тейлора:
D.41)
D.42)
= и] + Mut + уа (btfuit + О ((ДО3).
Из волнового уравнения следует
= — сиХУ utt = c2uxx.
Перепишем уравнение D.41) в виде
ип+х = ип__с Шх + Узе* (МJихх + О ((А/K)
D.43)
и заменим производные их и ихх, используя центральные раз-
разности второго порядка. В результате получим широко известную
схему Лакса — Вендроффа
"Г1 - "/ - таг («7+1 - «/-О
- 2и?
Это явная одношаговая схема второго порядка точности с по-
1.00
0.00
(b)
1.0Q
Рис. 4.8. Схема Лакса — Вендроффа. (а) Модуль коэффициента перехода;
(Ь) относительная погрешность определения фазы.
грешностью аппроксимации О ((Ал:J, (Д/JЬ устойчивая при
|v|^ 1. Модифицированное уравнение в этом случае имеет вид
D.45)
D.46)
Коэффициент перехода
Q = 1 _ v2 (I — cos p) — /v sin p
и относительная погрешность в определении фазы
Ф __ arc tg {- v sin РД1 — va(l — cos

124 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
изображены на рис. 4.8. Для схемы Лакса — Вендроффа харак-
характерно запаздывание по фазе, исключение составляют лишь гар-
гармоники с большими волновыми числами при д/о.5 < v < 1.
4.1.7. Двухшаговый метод Лакса — Вендроффа
Для решения нелинейных уравнений, например уравнений,
описывающих движение невязкой жидкости, можно использо-
использовать двухшаговый вариант метода Лакса — Вендроффа. При-
Применяя этот метод для решения волнового уравнения, получаем
явную двухшаговую трехслойную по времени разностную схему:
Шаг 1
Дх
Шаг 2
D.49)
Эта схема имеет второй порядок точности с погрешностью ап-
аппроксимации О((АхJ, (AtJ) и устойчива при |v-|^ I. Шаг I —
это просто метод Лакса, использованный для построения раз-
разностного уравнения в точке /+ 1/2 на полушаге по времени,
а шаг 2 — метод с перешагиванием, примененный на оставшемся
полушаге по времени. В случае линейного волнового уравнения
первого порядка двухшаговый метод Лакса — Вендроффа экви-
эквивалентен описанному в предыдущем разделе методу Лакса —
Вендроффа. В этом легко убедиться при помощи подстановки
D.48) в D.49). Так как оба метода эквивалентны, то и модифи-
модифицированное уравнение, и коэффициент перехода у них будут
одинаковы.
4.1.8. Метод Мак-Кормака
Метод Мак-Кормака [MacCormack, 1969] широко приме-
применяется для решения уравнений газовой динамики. Фактически
это один из вариантов двухшагового метода Лакса — Вендроф-
Вендроффа, не требующий вычисления значений искомой функции в точ-
точках /+1/2 и /—1/2. Благодаря этому метод Мак-Кормака
особенно удобен для решения нелинейных уравнений в частных
производных, как это будет показано в п. 4.4.3. Применяя явный
метод предиктор-корректор к линейному волновому уравнению,
получаем следующую разностную схему:
Предиктор
ufTi = ип _ с _*?. (и»+1 - и*}). D.50)

§ 4.1. Волновое уравнение 125
Корректор
Первоначально (предиктор) находится оценка uj+l вели-
величины и на (я-f- 1)-м шаге по времени, а потом (корректор) опре-
определяется окончательное значение и нл (я + 1)-м шаге по вре-
времени. Отметим, что в предикторе прои вводная ди/дх аппрокси-
аппроксимируется разностями вперед, а в корректоре — разностями на-
назад. Можно поступить и наоборот, что бывает полезным при
решении некоторых задач. К таким задачам относятся, в ча-
частности, задачи с движущимися разрывами. Для линейного вол-
волнового уравнения схема Мак-Кормака эквивалентна схеме Лак-
са — Вендроффа, поэтому у них одинаковые погрешность ап-
аппроксимации, условие устойчивости, модифицированное уравне-
уравнение и коэффициент перехода.
4.1.9. Разности против потока
Бим и Уорминг [Warming, Beam, 1975] предложили не-
несколько изменить метод Мак-Кормака, используя как на шаге
предиктор, так и на шаге корректор разности назад (разности
против потока). При с Г> 0 этот метод приводит к разностной
схеме.
Предиктор
К ""О <452)
"Г7 =
Корректор
Благодаря тому что в правую часть уравнения D.53) включена
односторонняя с разностями против потока аппроксимация вто-
второй производной, схема имеет второй порядок точности с по-
погрешностью аппроксимации O((ArJ, (A^)(A#), (Ал:J). Если под-
подставить D.52) в D.53), то получится одношаговый алгоритм
»+1 = и» - v (и] - и1_х) f I v (v - - 1) (и* - 2и»_х + и?_2). D.54)

126 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Модифицированное уравнение для рассматриваемой разностной
схемы имеет вид
D.55)
--^v(l-v)*B-v)«
При v = 1 и v = 2 схема с разностями против потока имеет
бесконечный порядок точности. Коэффициент перехода выра-
выражается в виде
D.56)
G= 1 - 2v [v + 2A - v) sin2 |] sin2-| -
-/vsinp[l+2(l-v)sin2|-],
и разностная схема устойчива при 0 ^ v ^ 2. Модуль коэффи-
коэффициента перехода и относительная погрешность в определении
фазы показаны на рис. 4.9. Для метода с разностями против
2/=1.25, 0.75
2.00, 1.00
1.50, 0.50
1.75, 0.25
V = 0.25
0.59
0Л5
1.00
1.25
1,00 2.00
Рис. 4.9. Схема с разностями против потока (Бима — Уорминга). (а) Мо-
Модуль коэффициента перехода; (Ь) относительная погрешность определения
фазы.
потока при 0 < v < 1 характерно в основном опережение по
фазе, а при 1 < v < 2— отставание. Отметим, что при 0 < v <
< 1 метод Лакса — Вендроффа и метод Бима и Уорминга с раз-
разностями против потока имеют противоположные ошибки по
фазе, поэтому дисперсионную ошибку можно существенно умень-
уменьшить, применив линейную комбинацию двух этих методов. Ме-
Метод Фромма [Fromm, 1968] с равной нулю средней ошибкой по
фазе основан именно на этой идее.

§ 4.1. Волновое уравнение 127
4.1.10. Центрированная по времени неявная схема
Для построения неявной разностной схемы второго порядка
точности вычтем два ряда Тейлора
иГ.=«•+д/ («,);+ш. ы;+Ш- («ш); +
)+1
и заменим (w«)y+1 на
(И„);+1
В результате получим
Такое выражение для производной по времени называют ко-
конечно-разностной аппроксимацией производной по Кранку —
Николсону. В случае линейного волнового уравнения щ = —сих
имеем
«Г1 = "/ - ^Т- [КГ + К)"]/ + О ((А/K). D.59)
Подставляя вместо членов с производной их центрально-разно-
центрально-разностную аппроксимацию второго порядка точности, получаем
Это схема второго порядка точности с погрешностью аппрокси-
аппроксимации О ((Ал:J, (А/J). Она безусловно устойчива при любых
шагах по времени, однако на каждом новом временном шаге
приходится решать линейную систему алгебраических уравне-
уравнений с трехдиагональной матрицей. Модифицированное уравне-
уравнение для рассматриваемой разностной схемы имеет вид
М + ^!1]„„„, + .... D.6.)
Отметим, что в модифицированное уравнение не входят произ-
производные четного порядка, т. е. неявная искусственная вязкость
равна нулю. Когда такая схема применяется для решения нели-
нелинейных уравнений движения, для предотвращения нелинейной
неустойчивости часто необходимо вводить в нее некоторую яв-
явную искусственную вязкость, т. е. «сглаживающий» член. Под-

128 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
робно этот вопрос будет рассмотрен в п. 4.4.7. Модуль коэффи-
коэффициента перехода
1-(/у/2) sin p /462)
°— l+(/v/2)sinp K™1)
и относительная погрешность в определении фазы показаны на
рис. 4.10.
Для центрированной по времени неявной разностной схемы
можно достичь четвертого порядка аппроксимации по простран-
Цливсех v У = 0.5
1.0
1.00 0.0Q Ш
Рис. 4.10. Центрированная по времени неявная схема, (а) Модуль коэффи-
коэффициента перехода; (Ь) относительная погрешность в определении фазы.
ству, если для конечно-разностной аппроксимации производной
пх использовать соотношение C.31):
<4-63)
Модифицированное уравнение и погрешность в определении
фазы для получающейся в этом случае схемы можно найти
в работе [Beam, Warming, 1976].
4.1.11. Метод Русанова (Бёрстейна — Мирина)
До сих пор мы рассматривали лишь методы первого или
второго порядка точности. В литературе опубликовано только
несколько методов третьего порядка точности. В. В. Русанов
[1968] и Бёрстейн и Мирин [Burstein, Mirin, 1970] одновременно
создали следующий явный трехшаговый метод:
Шаг 1
и<»42 = 72 К+1 + и?)
Шаг 2

§ 4.1. Волновое уравнение 129
Шаг 3
»/+' = "/ - Ж v (~2"/+2 + 7"/+i ~ 7uU + 2uU) ~
- 78v (ufU - «f>,) - ? («5?+2 - 4«?+I + 6«« - 4«7_1-f««_2). D.64)
На шаге З в уравнение добавлен член, пропорциональный раз-
разностному оператору четвертого порядка:
KU1 = +2 - 4*Ж + К "" AUU + tt/-2'
умноженному на некоторый параметр со. Этот член вводится
в уравнение для обеспечения устойчивости схемы. Необходи-
Необходимость добавления этого члена очевидна из условия устойчи-
устойчивости рассматриваемой разностной схемы:
| v | < 1, 4v2 - v4 <g><3. D.65)
Если разностный оператор четвертого порядка в уравнение не
введен (т. е. со равно нулю), то при 0 < v ^ 1 не удается удов-
удовлетворить условию устойчивости D.65). Модифицированное
уравнение для схемы Русанова имеет вид
~5@ + 4 + 15v2" 4v4) u***** + • • • • D*66)
Для снижения диссипативных свойств схемы можно приравнять
нулю коэффициент при четвертой производной, полагая
co = 4v2-v4. D.67)
Аналогично можно уменьшить дисперсионные свойства разно-
разностной схемы, приравняв нулю коэффициент при пятой производ-
производной, т. е.
Коэффициент перехода для метода Русанова имеет вид
G = 1 - -? sin2 р - Щ- sin4 4 - /v sin р[l +1 A - v2) sin2|] •
D.69)
5 Д. Андерсон и др. Том 1

130
Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Модуль коэффициента перехода и относительная погрешность
в определении фазы приведены на рис. 4.11. Из рисунка видно,
27=0.25,0^=0.5,
17=1.00, (У=3.0
0.75, со =2.5
37=0.50, w =1.5
17=1.00,67=3.0
1.00
Рис. 4.11. Схема Русанова, (а) Модуль коэффициента перехода; (Ь) относи-
относительная погрешность определения фазы.
что при использовании метода Русанова опережение или запаз-
запаздывание по фазе определяется величиной параметра со.
4.1.12. Метод Уорминга — Катлера — Ломакса
Уорминг и др. [Warming et al., 1973] предложили метод
третьего порядка точности, который на первых двух шагах по
времени совпадает с методом Мак-Кормака и на третьем —
с методом Русанова:
Шаг 1
Шаг 2
Шаг 3
т
ж
*¦?
Условия устойчивости рассматриваемого метода такие же, как
и метода Русанова. Кроме того, в случае волнового уравнения
первого порядка и модифицированное уравнение совпадает
с D.66). Метод Уорминга —Катлера —Ломакса обладает перед
методом Русанова теми же преимуществами, что и метод Мак-
Кормака перед двухшаговым методом Лакса — Вендроффа.

§ 4.2. Уравнение теплопроводности 131
При использовании методов третьего порядка точности за
увеличение точности алгоритма приходится расплачиваться уве-
увеличением времени счета и усложнением разностной схемы. Это
необходимо тщательно учитывать при выборе метода решения
уравнения в частных производных. Обычно для большинства
приложений достаточную точность позволяют получить методы
второго порядка точности.
При решении одномерного линейного волнового уравнения
первого порядка явные методы второго порядка точности, на-
например методы Лакса — Вендроффа или Бима — Уорминга,
дают прекрасные результаты с минимальными вычислительными
усилиями. Неявные методы для решения этого уравнения ис-
использовать нецелесообразно, так как решение нестационарно,
и нас обычно интересуют значения величин через небольшие
промежутки времени.
§ 4.2. Уравнение теплопроводности
Одномерное уравнение теплопроводности (уравнение диф-
диффузии)
ди _ д*и
= a
является параболическим уравнением в частных производных.
Оно описывает одномерный процесс распространения тепла или
одномерную диффузию в однородной изотропной среде. Это
уравнение является простейшим модельным уравнением для па-
параболических уравнений. Точное решение уравнения теплопро-
теплопроводности с начальным условием и(х, 0) = f(x) и граничными
условиями u(Q,t) = u{l9t) = Q имеет вид
и (х, t) = ? Апе~*™ sin (kx)9 D.72)
где
1
Ап = 2 \ / (х) sin (kx) dx, k = nn.
о
Перейдем теперь к изучению некоторых наиболее важных раз-
разностных схем решения уравнения теплопроводности.
4.2.1. Простой явный метод
Явный одношаговый метод
—5 a
имеет первый порядок точности с погрешностью аппроксимации

132
Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
0(At, (AxJ). В стационарном случае погрешность аппроксима-
аппроксимации равна О ((Ал:J). Как показано выше, такая разностная
схема устойчива при
0<г<72, D.74)
где
r = aAt/(Axf. D.75)
Модифицированное уравнение в рассматриваемом случае имеет
вид
1 9 л л , а (А*J1 ,
12 J хххх *
кххххх + .... D.76)
Отметим, что при г =1/6 погрешность аппроксимации равна
О ((А/J, (АхL). Интересно также заметить, что в выражение
1.00?
-0.50 -
-1.00
0.00 0.50
3.00
Рис. 4.12. Коэффициент перехода для простой явной схемы.—о— простой
явный метод; точное решение.
для погрешности аппроксимации не входят производные нечет-
нечетного порядка. Поэтому для этого метода, так же как для боль-
большинства других методов решения уравнения теплопроводности,
дисперсия на разностной сетке отсутствует. Этот факт следует
и из анализа выражения для коэффициента перехода рассматри-
рассматриваемой схемы:
G=l + 2r(cosp-l), D.77)
причем мнимая часть этого коэффициента перехода равна нулю
и, следовательно, сдвиг по фазе отсутствует. На рис. 4.12 про-

§ 4.2. Уравнение теплопроводности
133
ведено сравнение коэффициента перехода D.77) с его точным
значением при двух различных г. Точное значение коэффи-
коэффициента перехода (затухания) определялось путем подстановки
фундаментального решения
== е
в соотношение
Отсюда
u(t)
или
Ge =
где |J =
D.78)
iX. D.79)
Следовательно, амплитуда точного решения уравнения тепло-
теплопроводности уменьшается на каждом шаге по времени в е-г$*
раз (если не учитывать влияние граничных условий).
Линия задания
начальных данных
Рис. 4.13. Зона зависимости для простой явной схемы.
Из рис. 4.12 видно, что простой явный метод решения урав-
уравнения теплопроводности при г =1/2 характеризуется сильной
диссипацией при больших значениях параметра C. Как и следо-
следовало ожидать, при г = 1/6 наблюдается гораздо лучшее совпа-
совпадение коэффициента перехода с его точным значением.
При использовании простого явного метода уравнение теп-
теплопроводности решается последовательным продвижением (мар-
(маршем) от линии, на которой заданы начальные данные, т. е. так
же, как решались явными методами гиперболические уравне-
уравнения. Этот процесс проиллюстрирован на рис, 4.13. Из рисунка

134 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
видно, что решение в точке Р не зависит от граничных условий,
заданных на линиях АВ и CD. Однако решение уравнения теп-
теплопроводности в точке Р должно зависеть от граничных условий
на линиях АВ и CD, так как характеристики параболического
уравнения теплопроводности имеют вид t = const. Следова-
Следовательно, простая явная схема (с конечным At) неправильно мо-
моделирует физические особенности уравнений в частных произ-
производных параболического типа. Представляется, что для решения
уравнений в частных производных параболического типа лучше
использовать неявные методы, так как они учитывают всю ин-
информацию, известную на характеристике t = const и под ней.
С другой стороны явные схемы лучше использовать для реше-
решения гиперболических уравнений, так как у них размер зоны за-
зависимости ограничен.
Пример 4.2. Применим простой явный метод для решения
уравнения теплопроводности (а = 0.05) с начальным условием
и(х, 0) = sin Bnx)9 0<#<1, -
и периодическими граничными условиями. Определим погреш-
погрешность в определении амплитуды после десяти шагов по времени
при At = 0.1, Дх = 0.1.
Решение. Единственное значение р удается определить в рас-
рассматриваемой задаче на основе тех же соображений, которые
приведены в примере 4.1. Это значение параметра р равно
Р = km Ах = Bя) @.1) = 0.2я.
Вычисляя г по формуле
@.05) @.1) _п-
находим коэффициент перехода для простого явного метода:
G = 1 4- 2r (cos P - 1) = 0.809017.
Точное значение коэффициента перехода равно
Ge = e-^2 = 0.820869,
поэтому погрешность в определении амплитуды равна
4O|G*O-G1O| = A)@.1389 -0.1201) = 0.0188.
В соответствии с D.72) точное решение уравнения теплопро-
теплопроводности после выполнения десяти шагов по времени (t = 1.0)
имеет вид
и (х, 1) = е-а4я2 sin Bял:) = 0.1389 sin Bnx).
Его можно сравнить с "численным решением, имеющим вид
и(х, 1) = 0.1201 sin Bnx).

§ 4.2. Уравнение теплопроводности 135
4.2.2. Метод Ричардсона
Ричардсон [Richardson, 1910] предложил явную одношаго-
вую трехслойную схему решения уравнения теплопроводности
D80)
2 Ы ~а (Ал:J * ^'6U'
Это схема второго порядка точности с погрешностью аппрокси-
аппроксимации О ((А/J, (АхJ). К сожалению, метод Ричардсона абсо-
абсолютно неустойчив и, следовательно, для решения уравнения теп-
теплопроводности непригоден. Ок приведен в книге просто как при-
пример из истории численных методов решения уравнений в част-
частных производных.
4.2.3. Простой неявный метод
Простой неявный метод предложен Лаасоненом [Laasonen,
1949]. Соответствующая разностная схема записывается в виде
n+l
i
It ~а
Используя центральный разностный оператор
A2fjji — fJ n Oijti \ fln
°xUf — Ul + \ Ш\ * U1-V
уравнение D.81) можно переписать более компактно:
Рассматриваемая разностная схема имеет первый порядок точ-
точности с погрешностью аппроксимации О (А/, (Ад:J) и абсолютно
устойчива. Как следует из уравнения D.82), на (п-\- 1)-м шаге
по времени следует решать систему линейных уравнений с трех-
диагональной матрицей.
Модифицированное уравнение для рассматриваемой схемы
имеет вид
щ] .... D.83)
Коэффициент перехода
G = [1 + 2г A - cos P)] D.84)
приведен на рис. 4.14 при г= 1/2 и сравнивается с его точным
значением.

136
Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
4.2.4. Метод Кранка — Николсона
Кранк и Николсон [Crank, Nicolson, 1947] предложили для
решения уравнения теплопроводности неявную схему
Это широко известная абсолютно устойчивая схема, которую
обычно называют схемой Кранка — Николсона. Благодаря тому
1.00-
0.50 -
0.00 -
-0.50 -
-1.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.06
Рис. 4.14. Коэффициент перехода для нескольких численных схем, г = 1/2;
— о— простая неявная схема; —Д— схема Кранка — Николсона; —? —
схема Дюфорта — Франкела; точное решение.
что правая часть уравнения аппроксимируется полусуммой зна-
значений производных на двух последовательных шагах по вре-
времени, схема имеет второй порядок точности с погрешностью ап-
аппроксимации О((А^J, (А*J)- Как и в предыдущем случае, на
(/г+ 1)-м слое по времени приходится решать систему алгеб-
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. При приме-
применении метода Кранка — Николсона модифицированное уравне-
уравнение имеет вид
щ — аихк =
^ихххх + \±а>(МГ +
12
а
Коэффициент перехода
l-r(l-cosP)
и~ 1 +гA — cos р)
Uxxxxxx "г • • • •
D.86)
D.87)
при г = 1/2 построен на рис. 4.14.

§ 4.2. Уравнение теплопроводности 137
4.2.5. Комбинированный метод А
Простой явный метод, простой неявный метод и метод Кран-
ка — Николсона являются частными случаями более общего ме-
метода
"Г1
-«7
—Я = а
где 8 = const@^9^ 1). При 0=0 получаем простой явный
метод, при 0 = 1 — простой неявный метод, а при 0 = 1/2 —ме-
—метод Кранка — Николсона. Этот комбинированный метод имеет
первый порядок точности с погрешностью аппроксимации
О (At, (АдеJ), за исключением трех частных случаев:
(a) 0=1/2. Схема Кранка — Николсона, погрешность ап-
аппроксимации О ((А/J, (Ал:J).
(b) 0 = -g- —12 д , погрешность аппроксимации О ((AtJ,
(Ах)*).
1 /д^\2 (Ад;J /
(c) 0 = у —1 ' и ' = д/20, погрешность аппроксима-
аппроксимации О ((A*), (АхN).
Погрешности аппроксимации в этих частных случаях опре-
определяются из модифицированного уравнения
Щ - «„ - [@ -1) a» At + 2^] ихххх + [@2 - 0+1) a^ (А/J+
•••• D-89)
Предложенный комбинированный метод абсолютно устойчив
при 1/2 ^ 0 ^ 1. Однако, если 0 ^ 0 < 1/2, этот метод устой-
устойчив лишь при
0 <г< 1/B-48). D.90)
4.2.6. Комбинированный метод |В
Рихтмайер и Мортон [Richtmyer, Morton, 1967] предложили
общую трехслойную неявную схему решения уравнения тепло-
теплопроводности
tln+l t.n „п ttn-l
При произвольном 0 эта схема имеет первый порядок точности
с погрешностью аппроксимации О (At, (AxJ)> за исключением
частных случаев:
(а) 0=1/2, погрешность аппроксимации О ((AtJ, (АхJ).

138 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
(b) 8 = y+ i2a д; ' погрешность аппроксимации О ((А/J,
(АхL), причем погрешности аппроксимации определяют-
определяются из модифицированного уравнения
Щ - ™хх = [- (в - 4") <*2^ +12 а №J] ихххх + .... D.92)
4.2.7. Метод Дюфорта — Франкела
Абсолютно неустойчивый метод Ричардсона D.80) можно
сделать устойчивым, заменив ип, на среднее по времени значе-
значение (и^+1 + и*}-1у2. В результате получим явную трехслойную
схему
2 М ~а
впервые предложенную Дюфортом и Франкелом [DuFort, Fran-
kel, 1953]. Переписав уравнение D.93) в виде
D.94)
обнаружим, что в него входит лишь одна неизвестная вели-
величина а?+|, и, следовательно, схема явная. Схема Дюфорта —
Франкела имеет погрешность аппроксимации О ((А/J, (АхJ,
{At/АхJ). Поэтому если она удовлетворяет условию согласо-
согласованности, то (At/АхJ должно стремиться к нулю при At и Ах,
стремящихся к нулю. В гл. 3 было показано, что если отноше-
отношение At/Ах стремится не к нулю, а к некоторой константе у, то
схема Дюфорта — Франкела согласована с гиперболическим
уравнением
Если при стремлении Д? и Ах к нулю г остается постоянным, то
величина (At/ AxJ формально имеет порядок О (АО- Тогда мо-
модифицированное уравнение имеет вид
Щ - <шхх = [-!¦ а(ДхJ - а3 $?¦) ихххх +
+ [pgjg. а (АхL - | а3 (А/J + 2а* -Щ^] ихххххх + .... D.95)
Коэффициент перехода
— 2г C0S Р ± У1 - 4г> sin2
Г+2?

§ 4.2. Уравнение теплопроводности 139
при г =1/2 изображен на рис. 4.14. Схема Дюфорта — Фран-
кела обладает необычным для явных схем свойством — безуслов-
безусловной устойчивостью.
4.2.8. Методы решения двумерного уравнения теплопроводности
Двумерное B-D) уравнение теплопроводности имеет вид
Так как это уравнение отличается от одномерного A-D) урав-
уравнения теплопроводности, то необходимо аккуратно проанализи-
проанализировать возможность применения для его решения методов, опи-
описанных в предыдущих разделах. Приведем два примера, иллю-
иллюстрирующих возникающие при этом проблемы. Если для реше-
решения двумерного уравнения теплопроводности применим простой
явный метод, то получим следующую разностную схему:
_ ui
uui+\ -~
At ~aL (A*K "*"
D.98)
где х = i&x, у = /Ау. Как показано в гл. 3, условие устойчиво-
устойчивости этой схемы имеет вид
т. е. при (АхJ =(АуJ схема устойчива, только если г ^ 1/4.
Это условие накладывает в два раза более жесткое ограниче-
ограничение на соотношение шагов по времени и пространству по срав-
сравнению с одномерным случаем (условием г ^ 1/2) и, следова-
следовательно, делает применение явного метода на практике еще ме-
менее целесообразным.
Применяя для решения двумерного уравнения теплопровод-
теплопроводности метод Кранка — Николсона, получаем разностную схему
„п+1 ___ п
l\t '•' -ТЙ + «) ("Г/1 + К,)• D-99)
Для сокращения записи здесь введены двумерные центрально-
разностные операторы б? и б|, определяемые соотношениями

140 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Как и в одномерном случае, схема Кранка — Николсона абсо-
абсолютно устойчива, если применяется для решения уравнения с пе-
периодическими граничными условиями. К сожалению, получаю-
получающаяся в результате система линейных алгебраических уравне-
уравнений не является больше трехдиагональной, так как в разностные
уравнения входят пять неизвестных и?У> и?+/,/> tt?-/, /» w?,~/+i»
ttJV/Lr To же самое верно и для всех описанных ранее неяв-
ь
г//
/
1
1
,1
'////////////////////У///
1
X
i=l 2 3 4 5 6
Рис. 4.15. Двумерная расчетная сетка; и = щ = const на границе.
ных разностных схем. Чтобы подробнее изучить получающуюся
систему уравнейий, перепишем уравнение D.99) в виде
+1 = dl /, D.101)
ои?.+/-1 + Ьи?±1 / +
i
где
Используя схему D.101) для решения уравнения на двумерной
сетке 6X6, показанной на рис. 4.15, получим, что на каждом

§ 4.2. Уравнение теплопроводности
141
(я+1)-м шаге по времени необходимо решить систему 16 ли-
линейных алгебраических уравнений
с ь о о а о о
b с Ъ а
О Ъ с Ъ а
О Ь с О а
а 0 с Ъ а
О a b с Ъ а
a b с b a
a b с 0 а
а 0 с b a
a b с Ъ а
a b с b а О
a b с 0 а
а 0 с b О
а Ь с Ъ О
a b с b
О
О а 0 0 b с
~«f/
«3.2
«4.V
«S.V
«Гз1
«S.V
«Гз1
,./7+1
.3
.V
.V
,./1+1
.4
,./1+1
.4
,./1+1
.5
,./i + l
.5
.V
«.п+1
«5.S
J'"
.2
d'b.2
di2
d's"i
dl3
</.,з
^4.3
<1U
d'2.4
d3A
Л..4
d'sA
d'u
d'3.s
dis
rfs's
,D.102)
где
= d — au0, d" = d — Ьщ, d'" = d-(a + b) uQ.
Для решения системы уравнений, аналогичной D.102), требует-
требуется существенно больше машинного времени, чем для решения
системы уравнений с трехдиагональной матрицей. Обычно та-
такие системы уравнений решают итерационными методами, кото-
которые мы рассмотрим в § 4.3.
4.2.9. Неявные методы переменных направлений
Описанные в предыдущем разделе трудности, возникающие
при применении обычных методов к решению двумерного урав-
уравнения теплопроводности с условно устойчивым алгоритмом, при-
привели к созданию неявных методов переменных направлений, ко-
которые предложены в работах [Peaceman, Rachford, 1955; Doug-
Douglas, 1955]. Применяя обычный неявный метод переменных на-
направлений, получим двухшаговую разностную схему:

142 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Шаг 1
„я+1/2 „n
Шаг 2
„n+l „n+1/2
^ =
D.103)
В результате проведенного «расщепления» задача сводится к ре-
решению систем линейных алгебраических уравнений с трехдиаго-
нальной матрицей. На шаге 1 такая система решается для каж-
п+1
л+1/2
Рис. 4.16. Схема расчета неявным методом переменных направлений. Стрел-
Стрелками указаны направления, по которым схема неявна.
дой строки (ряда точек с фиксированным /), а на шаге 2 — для
каждого столбца (ряда точек с фиксированным i). Схематически
рассматриваемая процедура решения уравнения теплопровод-
теплопроводности показана на рис. 4.16. Неявный метод переменных на-
направлений обладает вторым порядком точности с погрешностью
аппроксимации О ((А/J, (АхJ, (At/J). Проанализировав выра-
выражение для коэффициента перехода
[1 — гх A — cos Pjc)] [1 — ry A — cos
[1 + rx A - cos p*)] l\+ry(\ -cos
находим, что этот метод безусловно устойчив. Здесь необходимо
отметить, что получающаяся при наиболее очевидном обобще-

§ 4.2. Уравнение теплопроводности 143
нии этого метода на трехмерный случай разностная схема (трех-
шаговая схема, использующая значения величин на шагах по
времени п, п + 1/3, п + 2/3, п + 1) оказывается лишь условно
устойчивой и имеет погрешность аппроксимации О (At, (AxJ,
(At/J, (Л2J). Для того чтобы обойти это, Дуглас и Ганн [Doug-
[Douglas, Gunn, 1964] предложили общий метод построения неявных
схем переменных направлений, имеющих второй порядок точ-
точности и безусловно устойчивых. Применяя этот метод, можно
обобщить схему Кранка — Николсона на случай трехмерного
уравнения теплопроводности. В результате получим следующую
трехшаговую схему:
Шаг 1
и*-ип = %61 (и9 + ип) + rJS\un + rzb\un.
Шаг 2
и" -и* = 1±61 (и* + ип) + -?61 (и- + и") + rJS\un. D.104)
Шаг 3
Здесь верхние индексы * и ** обозначают промежуточные зна-
значения, а индексы /, /, k опущены во всех членах уравнений.
4.2.10. Методы дробных шагов, или методы расщепления
Неявные методы переменных направлений тесно связаны,
а иногда и совпадают с методами расщепления, или, как их еще
иногда называют, методами дробных шагов, которые были соз-
созданы советскими математиками примерно в то же время, когда
в США были разработаны неявные методы переменных направ-
направлений. Основная идея этих методов состоит в расщеплении ко-
конечно-разностного оператора на ряд одномерных операторов.
Например, к простой неявной схеме решения двумерного урав-
уравнения теплопроводности можно применить метод расщепления
следующим образом:
Шаг 1
„п+\/2 „п
д^ = aOjc#/, / .
Шаг 2 D.105)
M/l+l ,/1+1/2

144 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Эта схема имеет первый порядок точности с погрешностью ап-
аппроксимации О (At, (AxJ, (At/J). Подробно метод дробных ша-
шагов описан в монографии Н. Н. Яненко [1967].
4.2.11. Явные методы переменных направлений
Для решения двумерного уравнения теплопроводности можно
также воспользоваться явным методом переменных направлений.
В отличие от неявного метода переменных направлений он не
требует обращения трехдиагональных матриц. Так как явный
метод переменных направлений можно использовать для реше-
решения одномерного уравнения теплопроводности, для простоты
ограничимся применением явного метода переменных направле-
направлений к этому уравнению.
Впервые явный метод переменных направлений был предло-
предложен В. К. Саульевым [1957]. Применяя этот метод, получим
двухшаговую разностную схему:
Шаг 1
U1 -~UJ „ ц/-1 -~и1 —и! +"/+1
5 = а (Щ* • D.106)
Шаг 2
На шаге 1 разностные уравнения решаются маршевым методом
от левой границы к правой. При таком марше величина ипЛ\
всегда известна, поэтому неизвестная ип^х определяется «явно».
Аналогично на шаге 2 уравнения решаются маршевым методом
от правой границы к левой, и схема снова является «явной», так
как значение ип^\ уже известно. При этом предполагается, что
значения функции и на границе области известны. Хотя рас-
рассматриваемая схема является трехслойной по времени, для хра-
хранения в памяти ЭВМ величины и достаточно одного массива,
благодаря тому что при расчете значение и в каждом узле сетки
используется лишь один раз. Явная схема переменных направ-
направлений безусловно устойчива и имеет погрешность аппроксимации
О((Д?J, (Ал:J, (At/АхJ). Из-за наличия в погрешности аппрок-
аппроксимации члена (At/АхJ эта разностная схема формально имеет
первый порядок точности.
Другой вариант явного метода переменных направлений пред-
предложен Баракатом и Кларком [Barakat, Clark, 1966]. Маршевым
методом одновременно решаются уравнения в обоих направле-
направлениях, а полученные решения pjf+1 и <7/+1 осредняются для на-

§ 4.2. Уравнение теплопроводности 145
хождения и?+1:
_
М (Д*J
(Л*)*
Этот метод абсолютно устойчив, а его погрешность аппрокси-
аппроксимации близка к О ((А/J, (А*J), так как при одновременном
расчете маршевым методом члены, содержащие (At/AxJ> имеют
тенденцию к взаимному сокращению. Известны результаты,
показывающие, что для двумерного уравнения теплопроводности
этот метод в 18/16 раза быстрее неявного метода переменных
направлений.
Ларкин [Larkin, 1964] предложил слегка измененный ва-
вариант этого алгоритма, состоящий фактически в замене, где это
возможно, р и q на и:
А* ~а (А*)*
= <Х (Ex? • DЛ08)
Ш
Численные эксперименты показали, что эта схема обычно усту-
уступает в точности схеме Бараката и Кларка.
4.2.12. Блочный метод Келлера и модифицированный
блочный метод
Блочный метод Келлера [Keller, 1970] широко применяется
для решения двумерных параболических уравнений в частных
производных, например двумерного уравнения теплопроводности
или уравнений пограничного слоя. Оба метода — и метод Кел-
Келлера, и модифицированный блочный метод — будут рассмотрены
в п. 7.3.5 для решения уравнения теплопроводности.
4.2.13* Метод «классики»
Последним из методов решения двумерного уравнения теп-
теплопроводности рассмотрим метод «классики» (hopscotch). Это
явный абсолютно устойчивый метод. Схема расчета иллюстри-

146 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
руется на рис. 4.17 и состоит из двух последовательных прохо-
проходов всей расчетной области. При первом проходе величина w]rtl
вычисляется в тех узлах сетки, где (i + / + п) — четное число,
по простой явной схеме
D.109)
При втором проходе величина uf+l вычисляется в оставшихся
узлах сетки (в тех узлах сетки, где (i + / + я) — нечетное число)
по простой неявной схеме
J? «я+1 _„" .
р.
Л 1
о ,
о )
^ 1
1 ,
i
\
f
1
\
7
1
1
1
1 Z 3
Рис. 4.17. Схема расчета «классики».
Крестики для нечетных (i + / + п);
кружки для четных (i + j + п).
D.110)
Второй проход кажется неяв-
неявным, но решать систему алгеб-
алгебраических уравнений не надо,
так как величины Щ+\ /,
uV-\%\% u1+!+i> "?+н нам Уже
известны из первого прохода,
т. е. рассматриваемая схема
явная. Погрешность аппрокси-
аппроксимации метода «классики» рав-
равна О (А/, (АхJ, (Д#J).
4.2.14. Дополнительные замечания
Выбор наилучшего метода
решения уравнения теплопро-
теплопроводности является нелегким делом из-за того, что существует
большое разнообразие приемлемых методов. Обычно неявные
методы больше подходят для их решения, чем явные методы.
Для решения одномерного уравнения теплопроводности мы ре-
рекомендуем схему Кранка — Николсона, так как она обеспечи-
обеспечивает второй порядок точности по времени и пространству. Для
двух- и трехмерного уравнений теплопроводности превосход-
превосходные результаты получаются при использовании как неявного
метода переменных направлений Дугласа и Ганна, так и блоч-
блочного метода Келлера или модифицированного блочного ме-
метода.

§ 4.3. Уравнение Лапласа 147
§ 4.3. Уравнение Лапласа
Уравнение Лапласа является модельным уравнением для
эллиптических уравнений в частных производных. В декартовой
системе координат двумерное уравнение Лапласа имеет вид
$ + $ = 0. D.111)
Некоторые важные задачи, часто встречающиеся в приложе-
приложениях, сводятся к решению одного эллиптического уравнения в
частных производных. К ним относятся задачи расчета дозвуко-
дозвукового безвихревого (потенциального) течения газа и определе-
определения стационарного поля температуры в твердом теле.
Уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости —
пример более сложной системы уравнений, имеющей эллиптиче-
эллиптический характер. Стационарные уравнения Навье — Стокса эллип-
эллиптические, но их эллиптичность проявляется довольно сложным
образом, так как эллиптический характер уравнения опреде-
определяется и производными скорости, и производными давления. Не-
Нестационарные уравнения Навье — Стокса являются уравнениями
смешанного эллиптически-параболического типа. Смешанный
характер уравнений Навье — Стокса лучше всего подтверждает-
подтверждается тем, что при численном решении этих уравнений они преоб-
преобразуются к системе уравнений, из которых хотя бы одно пара-
параболическое, а одно — эллиптическое уравнение Пуассона вида
& ?-«* У)- «ЛИ)
Итак, уравнения в частных производных эллиптического
типа встречаются в задачах гидродинамики и теплообмена до-
довольно часто, поэтому мы внимательно рассмотрим различные
методы решения нашего модельного эллиптического уравнения.
4.3.1. Конечно-разностные аналоги уравнения Лапласа
Методы решения уравнения Лапласа, да и вообще большин-
большинства эллиптических уравнений различаются не столько методом
построения конечно-разностного аналога (хотя и эти методы от-
отличаются), сколько методом решения получающейся системы
алгебраических уравнений.
Пятиточечная схема. Наиболее часто для построения конечно-
разностного аналога уравнения Лапласа используется пятито-
пятиточечная схема, предложенная Рунге в 1908 г.:
Щ*

148
Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
с погрешностью аппроксимации О ((АхJ, (АуJ). Модифициро-
Модифицированное уравнение имеет вид
) \~иуууу
Девятиточечная схема. Эта схема представляется наиболее
логичной, если мы хотим решить уравнение Лапласа по схеме
высокого порядка точности.
Пусть Ах = A, Ay = k, тогда
разностная схема имеет
вид
2 ~~~ / I
h* + k2 W + 1»/ •"
г
к
) к
С
)
) к
J
(а)
t 1
Г
к
J
«е-Ах—^
/Г
J
J
J
Рис. 4.18. Шаблоны, используемые для
расчета по двум пятиточечным схемам
при Ал: = Ау. (а) Пятиточечная схема;
(Ь) диагональная пятиточечная схема.
-20a/t/ = 0. D.114)
Погрешность аппрокси-
аппроксимации этой схемы имеет по-
порядок О (А4, А4), однако на
квадратной сетке этот поря-
порядок повышается до O(h6).
Найти погрешность аппрок-
аппроксимации и получить моди-
модифицированное уравнение мы
предложим читателям в за-
задачах к этой главе. Девяти-
Девятиточечная схема кажется до-
довольно привлекательной для
уравнения Лапласа из-за
подходящей ошибки аппрок-
аппроксимации, но для уравнений
более общего вида (в том
числе и для уравнения Пуас-
Пуассона), содержащих другие
члены, она имеет погреш-
погрешность аппроксимации лишь
О (Л2, А2).
Другие разностные схемы для уравнения Лапласа. Так как
оператор Лапласа инвариантен относительно поворота системы
координат, то не удивительно, что на квадратной сетке (Ах =

§ 4.3. Уравнение Лапласа 149
= Ay = h) вместо четырех точек шаблона схемы D.113) можно
использовать точки, в которые они переходят при повороте на
45° относительно узла (/,/) и одновременном увеличении шага
сетки до д/2 h. В результате получается диагональная пятиточеч-
пятиточечная схема решения уравнения Лапласа:
На рис. 4.18 показано расположение узлов разностной сетки,
используемых при аппроксимации оператора Лапласа по двум
пятиточечным разностным схемам. Погрешность аппроксимации
диагональной пятиточечной разностной схемы составляет O(h2)
(см. задачу 3.10).
В литературе приводятся и другие разностные схемы реше-
решения уравнения Лапласа (см., например, [Thorn, Apelt, 1961]),
но ни одна из них не обладает сколь-нибудь заметными преиму-
преимуществами перед приведенными пяти- и девятиточечной схемами.
Для повышения порядка аппроксимации приходится увеличи-
увеличивать число точек в шаблоне, поэтому при использовании таких
схем трудно обрспечить высокий порядок точности вблизи
границ.
4.3.2. Простой пример применения разностной схемы
для решения уравнения Лапласа
Рассмотрим задачу нахождения функции и, удовлетворяю-
удовлетворяющей уравнению Лапласа д2и/дх2 + д2и/ду2 = 0 в квадрате 0 <;
^ х ^ 1, 0 ^ у ^ 1, если на границе заданы условия Ди-
Дирихле.
Решение поставленной задачи можно найти в виде суммы
ряда (используя метод разделения переменных), коэффициенты
которого подбираются так, чтобы удовлетворить заданным усло-
условиям для и на границе. Такое решение приведено в большинстве
книг, посвященных теплопередаче (см., например, [Chapman,
1974]), и может быть использовано для проверки конечно-раз-
конечно-разностных схем. Есть и другой способ проверки разностной схемы.
Возьмем какую-нибудь простую функцию, являющуюся реше-
решением уравнения Лапласа в квадратной области, например функ-
функцию и = х2 — у2, и используем ее для задания граничных усло-
условий при конечно-разностном решении этого уравнения. Тогда
результаты расчета можно сравнить с функцией и = х2 — у2.
В этом примере мы используем пятиточечную схему D.113), по-
положив Ах = Ау = 0.1, т. е. построим равномерную сетку
11 X И в квадратной области (рис. 4.19). При Ах = Ау разност-
разностные уравнения имеют вид
+ ui^ltJ + uitf+l + uitf^-4uiJ = 0 D.116)

150
Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
во всех узлах сетки, в которых величина и неизвестна, т. е. для
рассматриваемой задачи с граничными условиями Дирихле
в 81 узле. В каждом из этих узлов должно удовлетворяться раз-
разностное уравнение, поэтому одновременно надо решить 81 ли-
линейное алгебраическое уравнение с 81 неизвестным uitl. Мате-
Математически такую систему уравнений можно записать в виде
апих + а12и2 + аыип = с
ь
а2пип = с2>
D.117)
апХщ + ап2и2 +
или более компактно: [Л]и = С, где [Л] —известная матрица
коэффициентов, и — вектор-столбец, элементы которого надо оп-
@,0
A,1)
@,0) A,0) '
Рис. 4.19. Конечно-разностная сетка для решения уравнения Лапласа.
ределить, а С —известный вектор-столбец. Стоит заметить, что
матрица коэффициентов разреженная, так как 76 из 81 вели-
величины а в каждой строке равны нулю. Для того чтобы получить
наиболее простую систему алгебраических уравнений, положим
Ах = Ау. Если Ад: ф Ау, то выражения для коэффициентов урав-
уравнения становятся немного более сложными, но система алгеб-
алгебраических уравнений остается линейной и также может быть
записана в виде [А]и = С.
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
можно разделить на прямые и итерационные. Прямыми назы-
называются методы, позволяющие за конечное число заранее опре-

§ 4.3. Уравнение Лапласа 151
деленных операций найти точное (если пренебречь ошибками
округления) решение системы уравнений. Алгоритм получения
решения такими методами обычно оказывается довольно слож-
сложным. Итерационные методы сводятся к последовательному при-
применению относительно простого алгоритма, они позволяют полу-
получить точное решение лишь в пределе. Однако если итерацион-
итерационный процесс сходится, то результат, отличающийся от точного
решения на величину, меньшую некоторого наперед заданного
значения е, можно получить за конечное, хотя заранее и неиз-
неизвестное, число операций. Приведем несколько примеров прямых
и итерационных методов решения систем линейных уравнений.
4.3.3. Прямые методы решения систем линейных алгебраических
уравнений
Правило Крамера. Это один из самых простых методов. Все
студенты наверняка слышали о нем, и большинство из них зна-
знакомы с процедурой этого метода. К сожалению, он требует чрез-
чрезвычайно больших затрат машинного времени. Число операций,
необходимых для решения системы уравнений, пропорционально
(N + 1)!, где N— число неизвестных. Много ужасных историй
рассказывалось о большом времени, затрачиваемом на решение
уравнений по правилу Крамера. Излюбленный пример приводит-
приводится Роучем [Roache, 1972]. Для решения по правилу Крамера
системы 26 уравнений с 26 неизвестными на ЭВМ CDC6600 по-
потребуется 1016 лет. Это в 106 раз больше оцениваемого совре-
современной наукой времени существования Вселенной! Не вызывает
сомнения, что до тех пор, пока выбор метода в наших руках, мы
никогда не воспользуемся для решения уравнений правилом
Крамера.
Метод исключения Гаусса. Метод исключения Гаусса — очень
полезный и эффективный метод решения многих систем алгеб-
алгебраических уравнений, особенно систем уравнений с трехдиаго-
нальной матрицей. Однако для систем алгебраических уравне-
уравнений более общего вида, возникающих при конечно-разностной
аппроксимации уравнений в частных производных, он уступает
в быстродействии некоторым другим методам. При решении
этим методом системы N уравнений требуется примерно N3 опе-
операций. Кроме того, накапливающаяся при выполнении большого
числа операций ошибка округления иногда приводит к снижению
точности получаемых результатов, если N велико. На самом
деле точность метода во многом определяется конкретным видом
системы уравнений, и вопрос о точности метода слишком сло-
сложен, чтобы можно было ответить на него простым утверждением
общего характера. Если преобразовать систему уравнений так,

152 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
чтобы наибольшие по абсолютной величине коэффициенты были,
насколько это возможно, расположены на главной диагонали,
то точность получаемых методом Гаусса результатов повысится.
В дальнейшем мы будем использовать метод Гаусса для ре-
решения систем уравнений с трехдиагональной матрицей, возни-
возникающих при применении неявных разностных схем к решению
маршевых задач. Пока же покажем, как применяется метод
исключения Гаусса для решения систем алгебраических урав-
уравнений общего вида. Рассмотрим систему уравнений
=сь
D.118)
Приведем ее к верхнему диагональному виду, исключив с по-
помощью алгебраических операций часть неизвестных из некото-
1-е опорное уравнение
r-1
Рис. 4.20. Метод исключения Гаусса, неизвестная щ под главной диагональю
исключена.
рых уравнений. Выберем, например, в качестве опорного первое
уравнение (строку) рассматриваемой системы и используем его
для исключения неизвестной и\ из расположенных ниже урав-
уравнений. Для этого сначала умножим первое уравнение на aW^n *>
и вычтем его из второго уравнения системы, что позволит исклю-
исключить и\ из второго уравнения. Умножая опорное уравнение на
#3i/#n и вычитая результат из третьего уравнения, исключим
из него и\. Таким образом, можно исключить и\ из всех уравне-
уравнений от 2-го до Ai-ro. В результате система уравнений примет вид,
изображенный на рис. 4.20.
Теперь второе уравнение (в том виде, какой оно приняло
после применения описанной выше процедуры исключения) ис-
*> Чтобы избежать деления на нуль, мы всегда можем поменять уравне-
уравнения местами.

§ 4.3. Уравнение Лапласа
153
пользуем в качестве опорного* для исключения неизвестной и2
во всех ниже расположенных уравнениях, что приведет систему
уравнений к виду, показанному на рис. 4.21. Третье уравнение
получившейся системы используется как опорное для исключе-
1 1-е опорное уравнение
j
2-е опорное уравнение
Рис. 4.21. Метод исключения Гаусса, неизвестные щ и и2 под главной диаго-
диагональю исключены.
ния иг. Этот процесс продолжается до тех пор, пока система
уравнений не приведется к верхнему треугольному виду
=си
аыиз "г • • • • = cv
D.119)
В результате в последнее уравнение входит лишь одно неиз-
неизвестное, в предпоследнее — два и т. д., поэтому получившуюся
систему уравнений можно решить последовательной обратной
подстановкой.
В качестве числового примера рассмотрим систему трех урав-
уравнений
Используя первое уравнение в качестве опорного, исключим 1)\
из двух последних уравнений:
UX + 4U2 + U3 = 7,
2[/2-2?/3 = 6,
Теперь выберем опорным второе уравнение и приведем систему

154 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
к верхнему треугольному виду
2(/2-2(/3 = б',
—9«У3= 18.
Используя обратную подстановку, получаем ?/3 ¦= — 2, ?/2 = 1,
J7i=6.
При решении уравнения Лапласа блочными итерационными
методами (см. п. 4.3.4) приходится решать системы уравнений
с трехдиагональной матрицей. В § 4.1 и 4.2 было показано, что
такие системы уравнений получаются также в случае примене-
применения неявных разностных схем к решению маршевых задач для
уравнений в частных производных. Покажем, как эффективно
модифицировать метод исключения Гаусса для решения систем
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей на при-
примере неявной разностной схемы для уравнения теплопроводности
ди д2и
Используя обозначения, введенные для записи систем уравнений,
перепишем эту схему в виде
ои1-\ Т" auj "Г ""/+1 — с>
где
Если заданы условия Дирихле, то на одной границе известно
и^+j1, а на другой известно #?+/. Все известные значения и
включены в коэффициент с, поэтому наша система уравнений
имеет вид
0
•
0
аш-\
dm
•
•
с2
•
•
•
cm

§ 4.3. Уравнение Лапласа 155
Систему уравнений можно привести к такому виду и в тех
случаях, когда заданы другие граничные условия, хотя при этом
первое и последнее уравнения могут получаться из некоторых
дополнительных соотношений, связанных с граничными усло-
условиями, а не только из записанных во внутренних узлах сетки
разностных уравнений.
Для решения систем линейных уравнений с трехдиагональ-
ной матрицей разработана модификация метода Гаусса, исполь-
использующая нули в матрице коэффициентов. Эта процедура, назы-
называемая прогонкой и предложенная Томасом [Thomas, 1949],
кратко описана в п. 4.1.4.
Метод прогонки. Приведенная выше система линейных урав-
уравнений с трехдиагональной матрицей приводится к верхнему тре-
треугольному виду заменой коэффициентов dj по формуле
?l9 / = 2, 3, ...,#/,
f f?Jl9
и коэффициентов Cj по формуле
/ = 2, 3, ..., NJ.
После этого, начиная с tiNj = cNJ/dNJ> проводится обратная под-
подстановка для вычисления неизвестных:
= NJ-\, NJ-
В приведенных выше соотношениях знак равенства понимается
в смысле «заменить на», как это принято в языке программи-
программирования Фортран. Написанная на языке Фортран программа
решения уравнений методом прогонки приведена в приложе-
приложении А.
При применении метода прогонки необходимо проявить опре-
определенную гибкость для задания граничных условий. Лучше всего
читателю научиться этому на основе личного опыта, мы же огра-
ограничимся одним-двумя замечаниями. Так как целью метода ис-
исключения является определение значений неизвестных, то при
решении задачи Дирихле, когда значения и на границе изве-
известны, мы не должны включать их в число неизвестных. Тогда
в методе исключения и\ соответствует значению и в первой не-
неграничной точке, a uNJ — значению и в последней неграничной
точке. Однако ничего плохого не произойдет, а алгоритм даже
упростится, если мы зададим аи du bNJ, dNJ так, чтобы вместо
граничных условий дополнить систему двумя дополнительными

156 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
уравнениями. Например, полагая d\ = 1, а\ = 0,dNJ = I, bNJ =
= u\+l (задано) и cNJ = tiNtl (задано), получаем, что пер-
перб
NJ ) у р
вое и последнее алгебраические уравнения просто повторяют
граничные условия. Приведем еще один пример, показываю-
показывающий, как можно получить систему уравнений с трехдиагональ-
ной матрицей при других граничных условиях. Пусть при ре-
решении уравнения теплопроводности стенка является теплопро-
теплопроводной, т. е. на ней заданы смешанные граничные условия
ми--«о=-*!¦¦-
Применяя метод контрольного объема на той границе области,
где /= 1, получаем разностное уравнение
где
причем это уравнение, очевидно, не меняет трехдиагонального
вида матрицы для коэффициентов первого уравнения.
Современные прямые методы. Существуют, конечно, и более
быстрые, чем метод исключения Гаусса, прямые методы реше-
решения систем алгебраических уравнений. К сожалению, ни один
из этих методов не является достаточно общим. Обычно они
позволяют решать только алгебраические уравнения, возникаю-
возникающие при применении разностных схем определенного типа, да
и то при специальном задании граничных условий. Большинство
таких методов имеет ограниченную размерность (могут быть ис-
использованы для решения лишь небольших систем уравнений)
из-за накапливания погрешности округления. Если рассматри-
рассматривать быстрые прямые методы как специальный класс, то их ал-
алгоритмы довольно сложны и нелегко приспосабливаются для
решения задач в областях неправильной формы или на случай
задания сложных граничных условий. Прямые методы требуют
обычно существенно большей памяти ЭВМ, чем применяемые
для решения тех же задач итерационные методы. По-видимому,
недостатком простых быстрых прямых методов является их огра-
ограниченная размерность, что сужает возможную область их при-
применения; методы же, не страдающие этим недостатком, обла-
обладают алгоритмами, содержащими ряд деталей, изложение кото-
которых выходит за рамки данной книги. Поэтому мы лишь кратко

§ 4.3. Уравнение Лапласа 157
охарактеризуем некоторые из этих методов, не описывая ни один
из них подробно.
Одним из простейших прямых методов является метод рас-
расчета распространения вектора ошибки, разработанный для ре-
решения уравнения Пуассона Роучем [Roache, 1972]. Размерность
этого метода ограниченна, но так как метод прямой, то в тех
тестовых задачах, когда удалось проконтролировать рост по-
погрешности округления, он оказался в 10—100 раз быстрее луч-
лучших итерационных методов, которые будут описаны ниже.
Для решения уравнения Пуассона разработано два быстрых
прямых метода, имеющих неограниченную размерность. Это —
двойная циклическая редукция Бунемана [Buneman, 1969] и бы-
быстрое преобразование Фурье Хокни [Hockney, 1965; 1970]. Ин-
Интересные вычисления проведены Лугтом и Орингом [Lugt,
Ohring, 1974] при решении двумерных уравнений Навье — Сток-
са. Они заметили, что методы Бунемана и Хокни оказываются
в 10—20 раз быстрее лучших итерационных методов. Полезное
обсуждение возможности применения быстрого преобразования
Фурье для решения уравнений в частных производных прове-
проведено в работах [LeBail, 1972] и [Buzbee et al., 1970]. Приме-
Применению быстрых прямых методов к решению задач аэродинамики
посвящены работы [Martin, Lomax, 1975] и [Schumann, 1980].
Очевидно, быстрые прямые методы имеет смысл применять
для решения задач лишь в тех случаях, когда определяющим
является время расчета. Заметим еще раз, что реализующие эти
методы алгоритмы сложны и предназначены для расчета про-
простых геометрических конфигураций при задании простых гранич-
граничных условий. Время создания программы решения конкретной
задачи быстрым прямым методом велико, поэтому необходимо
тщательно взвесить, окупится ли это впоследствии сокращением
времени расчета. Для большинства встречающихся в приложе-
приложениях уравнений эллиптического типа лучше всего использовать
описанные ниже итерационные методы.
4.3.4. Итерационные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений
Рассматриваемые в этом разделе методы некоторые назы-
называют релаксационными, хотя другие авторы предпочитают со-
сохранять слово «релаксация» для обозначения метода релаксации
невязки, предложенного Саусвеллом много лет назад. Итера-
Итерационные методы можно разбить на две группы — точечные (или
явные) итерационные методы и блочные (или неявные) итера-
итерационные методы. При использовании явных методов один и тот
же простой алгоритм последовательно применяется для опреде-

158 Гл. 4. Метод конечных ралнгь топ для модельных уравнений
ления неизвестных в каждой точке, тогда как при использова-
использовании неявных методов решение для какой-то группы точек опре-
определяется в рамках общей итерационной процедуры методом
исключения (или каким-либо другим прямым методом).
Метод Гаусса — Зайделя. Хотя за последние годы предложе-
предложено множество различных итерационных методов, метод Гаусса —
Зайделя является одним из наиболее эффективных и часто ис-
используемых явных итерационных методов решения больших си-
систем уравнений. (Иногда его называют методом Либмана, если
он применяется для решения разностных уравнений, получаю-
получающихся при конечно-разностной аппроксимации уравнений в ча-
частных производных эллиптического типа.) Метод чрезвычайно
прост, но сходится лишь в тех случаях, когда матрица коэффи-
коэффициентов уравнения удовлетворяет специальному условию «диа-
«диагонального преобладания». К счастью, большинство разностных
схем, используемых для решения стационарных задач, приводит
к решению систем алгебраических уравнений, удовлетворяющих
этому условию. Метод позволяет явным образом учесть разре-
разреженность матрицы коэффициентов.
Приведем сначала пример, показывающий простоту рассмат-
рассматриваемого метода, а потом уже сформулируем достаточные
условия его сходимости. В тех случаях, когда этот метод можно
использовать, решение системы уравнений определяется сле-
следующим образом:
1. Задается начальное приближение (при этом, как будет
видно из приведенного ниже примера, значение одной из неиз-
неизвестных можно не задавать).
2. Из каждого уравнения определяют неизвестную, коэф-
коэффициент перед которой имеет наибольшую абсолютную вели-
величину, при этом используются заданные начальные значения и
уже вычисленные значения других неизвестных.
3. Процесс решения уравнений повторяется итерационно до
тех пор, пока значения неизвестных на двух последовательных
итерациях не будут отличаться на достаточно малую величину,
при этом надо не забывать подставлять в правую часть каж-
каждого уравнения уже вычисленное значение неизвестной.
В качестве примера рассмотрим систему уравнений
4х{ — х2 + *з = 4,
хх + 6л:2 + х3 = 9,

§ 4.3 Уравнение Лапласа 159
Сначала приведем ее к виду
и зададим начальное приближение для х2 и х3 (начальное при-
приближение для Х\ задавать не надо). После этого в ходе описан-
описанного выше итерационного процесса будем последовательно вы-
вычислять Х\, Х2, Хз.
Достаточное условие сходимости метода Гаусса — Зайделя.
Для упрощения записи перепишем систему уравнений так, чтобы
по возможности максимальный по абсолютной величине коэф-
коэффициент в каждой строке был расположен на главной диаго-
диагонали. Тогда если система уравнений несводима (т. е. не может
быть преобразована так, чтобы часть неизвестных определялась
из решения системы с меньшим чем п числом уравнений) и если
\аи\>Ъаи\ D.120)
для всех i и, кроме того, хотя бы для одного I
\ан\>^\ац\9 D.121)
то метод Гаусса — Зайделя сходится. Это достаточное условие
сходимости, т. е. в ряде случаев метод может сходиться и тогда,
когда указанные выше условия' не выполнены. Можно устано-
установить и необходимое условие, но пользоваться ими на практике
не имеет смысла. Можно предложить и словесную формули-
формулировку достаточного условия сходимости метода Гаусса — Зай-
Зайделя: метод сходится, если в каждом уравнении абсолютная
величина коэффициента, расположенного на главной диагонали,
больше или равна сумме абсолютных значений остальных коэф-
коэффициентов уравнения и хотя бы в одном уравнении выполняется
строгое условие больше (при решении физических задач обычно
в уравнении, записанном для точки, расположенной вблизи гра-
границы).
Воспользуемся теперь приведенными выше условиями схо-
сходимости итерационного процесса для анализа системы уравне-
уравнений D.113), которая была раньше получена при дискретизации
уравнения Лапласа. Прежде всего заметим, что наибольшим
по абсолютной величине является коэффициент при неизвестной
uitj. Так как уравнение D.113) записывается в каждой точке,

160 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
в которой величина ш, / неизвестна, то легко расположить все
уравнения рассматриваемой системы так, что наибольшие по
величине коэффициенты будут расположены на главной диаго-
диагонали. При некотором опыте и соответствующем выборе конечно-
разностного аналога уравнений такое диагональное преобла-
преобладание можно обычно обеспечить при решении любых уравне-
уравнений эллиптического типа. Если разностное уравнение для и ли-
линейно, то можно ожидать, что метод Гаусса — Зайделя сходится
в том случае, когда в тех узлах ('/,/), в которых значения ш, \
неизвестны, разностные уравнения имеют такой вид, что коэф-
коэффициент при неизвестной и^ / по абсолютной величине больше
или равен сумме абсолютных величин коэффициентов при ос-
остальных неизвестных. Строгое условие больше должно выпол-
выполняться хотя бы для одного уравнения.
Мы не будем приводить доказательство этого достаточного
условия сходимости метода Гаусса — Зайделя, а просто попро-
попробуем на простом примере пояснить, почему оно должно выпол-
выполняться. Вернемся к нашему примеру решения системы трех ли-
линейных уравнений итерационным методом Гаусса — Зайделя.
В каждой точке промежуточное значение х, получаемое в ходе
итераций, является суммой точного значения и некоторой по-
погрешности е, т. е. х\ =(xi) exact + 81 и т. д. Условие диагональ-
ного преобладания гарантирует убывание е от итерации к ите-
итерации. Действительно, в рассматриваемом примере после одной
итерации имеем
Если г\ и 8* вначале равнялись 10, то je2|^5, а |е^|^ 1.446.
Верхние индексы используются здесь для обозначения номера
итерации.
В заключение отметим, что для выполнения одной итерации
может потребоваться до п2 операций, однако для сильно разре-
разреженных матриц объем вычислений существенно сокращается.
Метод последовательной верхней релаксации. Метод после-
последовательной верхней релаксации может быть использован для
ускорения сходимости любого итерационного процесса, однако
мы рассмотрим его в основном как метод, используемый для
улучшения метода Гаусса — Зайделя. Про возникновение этого
метода рассказывают одну любопытную (хотя, возможно, и вы-
вымышленную) историю о том, как один охотник обнаружил, что

§ 4.3. Уравнение Лапласа 161
если он целится не в утку, а перед ней, то чаще попадает
в цель. Утка — движущаяся мишень, и, предвосхитив ее движе-
движение, мы с большей вероятностью попадем в нее. Охотник рас-
рассказал о своем открытии соседу — специалисту в области вы-
вычислительной математики. Так, если верить этой истории, был
создан метод последовательной верхней релаксации.
При решении системы алгебраических уравнений методом
Гаусса — Зайделя для достижения требуемой точности прихо-
приходится совершать несколько последовательных расчетов или ите-
итераций. Предположим, что мы наблюдаем за изменением значе-
значения неизвестной в некоторой точке на двух последовательных
итерациях: тогда, определив направление и скорость ее измене-
изменения, можно предположить, что они сохранятся и на следующей
итерации. Если пойти дальше, то можно задуматься: а не уве-
увеличится ли скорость сходимости итераций при коррекции в со-
соответствии с этой тенденцией неизвестных до проведения сле-
следующей итерации? Коррекция неизвестных в любом итерацион-
итерационном методе (в этом разделе мы ведем речь о методе Гаусса —
Зайделя лишь потому, что' в данный момент изучаем именно
этот метод) по формуле
(«?+/)' = (и* ,)' + со («fV - (и* ,)') D.122)
называется верхней релаксацией, или последовательной верхней
релаксацией. Здесь k — номер итерации, tiffi — последнее значе-
значение неизвестной щ j, вычисленное по методу Гаусса — Зайделя,
(ut /)' ~" значение й( у на предыдущей итерации, возможно уже
скорректированное по предлагаемой формуле, если метод верх-
верхней релаксации применяется последовательно (на каждой ите-
итерации), а (я*4}1)' — новое или «подправленное» значение uitf на
(k + 1)-й итерации. Применяя этот метод, мы предполагаем, что
(и*"/1)' будет ближе к точному значению неизвестной, чем зна-
значение и%+\ полученное методом Гаусса — Зайделя. Формула
D.122) применяется непосредственно в каждой точке на каждой
итерации, а во все последующие расчеты входит величина
(a?V)/> а не И*"У" Коэффициент со называется параметром ре-
релаксации. Если 1 < со < 2, то говорят, что используется метод
верхней релаксации. Верхняя релаксация в каком-то смысле
аналогична линейной экстраполяции, проводимой по значениям
При решении некоторых задач применяют метод нижней ре-
релаксации @ < со < 1). Обычно его используют в тех случаях,
когда сходимость решения в точке носит осциллирующий ха-
характер, причем в ходе итераций оно стремится как бы «превы-
6 Д Андерсон и др. Том 1

162 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
сить» точное значение. В методе нижней релаксации «подправ-
«подправленное» значение (и^1)' лежит между (и\ ^ и икЛ>, Метод по-
последовательной верхней релаксации обычно дает хорошие ре-
результаты при численном решении задачи Дирихле для уравне-
уравнения Лапласа. Метод нижней релаксации обычно используют при
решении эллиптических уравнений лишь в том случае, когда
уравнения нелинейные. Иногда при решении нелинейных урав-
уравнений сходимость численного метода обеспечивается лишь при
использовании нижней релаксации.
Мы наложили на параметр релаксации условие 0 < со < 2.
Введение такого ограничения на <о связано с тем, что по опре-
определению итерационный процесс сходится тогда, когда отличие
и от точного решения убывает от итерации к итерации. При
со ^ 2 это отличие будет либо не убывать, либо возрастать, т. е.
такой итерационный процесс не может сходиться.
Пока еще мы не ответили на два очень важных вопроса:
как выбрать хорошее и даже лучшее значение параметра со и
на сколько при этом ускорится сходимость итерационного про-
процесса? Общих ответов на эти вопросы не существует, но можно
привести некоторые полезные соображения.
Если уравнение Лапласа решается (по схеме D.113)) в пря-
прямоугольной области на квадратной сетке (Ах = Ау = к), а на
границе заданы условия Дирихле, то оптимальное значение па-
параметра со (здесь и далее будем обозначать его через co0pt) мож-
можно определить теоретически согласно работам [Young, 1954; Fran-
kel, 1950]. Это оптимальное значение со равно меньшему корню
уравнения /2со2 — 16со + 16 = 0, где t = cos (я/р) + cos (n/q), а р
и q — число отрезков, на которые сетка разбивает каждую из
сторон прямоугольника. Приведем один пример. Если р = q =
= 45, то coopt= 1.87. Однако в общем случае при решении более
сложных эллиптических задач найти co0pt заранее не удается.
В такой ситуации полезными для определения подходящих зна-
значений со могут оказаться численные эксперименты. Теория и чис-
численные эксперименты показывают, что обычно лучше задать бо-
более высокое, чем co0pt, а не более низкое значение параметра со.
Вопросы определения параметра cooPt рассмотрены в работах
[Forsythe, Wasow, 1960; Varga, 1962; Ames, 1977].
Стоит ли тратить время и силы на поиск подходящих значе-
значений со? Конечно, да, так как в ряде случаев время расчета
удается сократить почти в 30 раз, а это существенно! Разу-
Разумеется, в некоторых случаях метод последовательной верхней
релаксации не дает сколь-нибудь заметного ускорения сходи-
сходимости, но все равно его стоит попробовать применить, так как
не следует игнорировать потенциальную возможность значи-
значительного уменьшения времени расчета.

§ 4.3. Уравнение Лапласа 163
Так как верхнюю релаксацию можно рассматривать как кор-
коррекцию результатов, полученных методом Гаусса — Зайделя, на
основе линейной экстраполяции с предыдущих итераций, то есте-
естественно ожидать, что другие, возможно, более точные (с точки
зрения погрешности аппроксимации) экстраполяционные зави-
зависимости могут быть использованы для ускорения сходимости
итерационного процесса. И действительно, для этих целей
успешно применяются экстраполяционные формулы Эйткена и
Ричардсона. Соответствующие методы подробно описаны в кни-
книгах по вычислительной математике; мы же лишь отметим, что
целесообразность использования более сложных методов экстра-
экстраполяции необходимо тщательно взвесить, так как они ведут к
увеличению числа алгебраических действий и требуют большей
памяти ЭВМ. К преимуществам метода последовательной верх-
верхней релаксации относятся его простота и то, что при включении
его в алгоритм можно обойтись без введения дополнительных
массивов.
Блочные итерационные методы. Метод Гаусса — Зайделя
с последовательной верхней релаксацией является лучшим из
пока подробно рассмотренных в этой главе методов решения
эллиптических уравнений. Обычно количество итераций можно
сократить, используя блочные итерационные методы. Однако при
этом увеличивается число алгебраических операций на каждой
итерации, и заранее не ясно, компенсирует ли уменьшение ко-
количества итераций увеличение времени счета на каждой итера-
итерации. Этот вопрос для каждой задачи надо решать конкретно.
Можно привести примеры, когда применение блочных итера-
итерационных методов позволило действительно сократить суммарное
время решения задачи, поэтому эти методы заслуживают вни-
внимательного изучения. Интересное сопоставление скорости схо-
сходимости точечных (явных) и блочных итерационных методов
проведено в работах [Forsythe, Wasow, 1960; Ames, 1977].
Основная идея блочных (или групповых) итерационных ме-
методов состоит в том, что выделяется некоторая подгруппа неиз-
неизвестных и их значения подправляются одновременно путем ре-
решения системы алгебраических уравнений методом исключения.
Поэтому блочные итерационные методы носят неявный харак-
характер, иногда их называют неявными итерационными методами.
В большинстве блочных итерационных методов подгруппы не-
неизвестных выбираются так, чтобы в результате получилась си-
система уравнений с трехдиагональной матрицей, которую можно
эффективно решить методом прогонки. Простейшим блочным
итерационным методом является последовательная верхняя ре-
релаксация по строкам.
6*

164 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Последовательная верхняя релаксация по строкам. Хотя эта
процедура применима к любому итерационному алгоритму, наи-
наиболее целесообразно использовать ее совместно с методами
Гаусса — Зайделя и последовательной верхней релаксации. Эту
процедуру можно с равным успехом применять как к строкам,
так и к столбцам. Проиллюстрируем ее на примере пятиточеч-
пятиточечной разностной схемы решения уравнения Лапласа с гранич-
граничными условиями Дирихле в квадратной области. Для большей
общности рассмотрим случай, когда шаг Ах не обязательно ра-
равен Ау. Обозначая через р = Ах/Ay отношение шагов разностной
сетки, запишем разностные уравнения для решения методом
Гаусса — Зайделя *>
здесь k — номер итерации, /-^-столбец, а / — строка. Если мы
решим начинать вычисления с нижней границы квадрата и дви-
двигаться вверх по строкам, то в произвольной точке сможем напи-
написать соотношение
Ut.f ~ 2(l + p2) ' V
Если посмотреть внимательно на это соотношение, то можно
заметить, что в него входят лишь три неизвестных, так как ве-
величина и^У^уже известна либо из условий на нижней границе,
если уравнение записано для первой строки, либо из решения,
уже полученного на (&+ 1)-й итерации для ниже расположен-
расположенной строки. В последнее соотношение входит значение неизве-
неизвестной tt/,/+i на итерации с номером k, а не (& + J), так как
нашей задачей было получить уравнение с тремя неизвестными,
чтобы для решения системы уравнений можно было использо-
использовать эффективный метод прогонки. Схематически описанный
алгоритм показан на рис. 4.22.
Задача сводится теперь к решению системы / — 2 линейных
уравнений с / — 2 неизвестными значениями uiyi на (k + 1)-й
итерации. Прежде чем перейти к следующей строке, можно
применить метод последовательной верхней релаксации так же,
как это было сделано в предыдущем разделе. Существует не-
несколько способов включения верхней релаксации в рассматри-
рассматриваемый алгоритм. Первый из них состоит в том, что после реше-
решения методом прогонки системы уравнений D.124) для каждой
]) В связи с последним членом в числителе заметим, что в общем случае
хотя бы одна неизвестная в каждом уравнении должна быть уже вычислена
на (k + 1)-м слое.

§ 4.3. Уравнение Лапласа
165
строки значения всех неизвестных в этой строке корректируются
по формуле D.122), после чего осуществляется переход к реше-
решению для следующей строки.
Другой способ состоит во включении параметра релаксации
о в алгоритм до решения уравнений прогонкой. Для этого под-
подставим правую часть D.124) в правую часть D.122). В резуль-
результате получим систему уравнений
k+1
4- uk+l
которая для каждой строки решается методом прогонки. При
таком подходе последовательная верхняя релаксация органи-
1,J
Направление
движения
по строкам
(игьгстно)
Рис. 4.22. Последовательная верхняя релаксация по строкам. К ряду, обве-
обведенному штриховой линией, применить метод прогонки, после чего перейти
к следующей строке.
чески включается в алгоритм решения на каждой строке, а не
является отдельным шагом процедуры решения. Так как при
использовании прогонки желательно обеспечить диагональное
преобладание, то при втором способе включения верхней релак-
релаксации в алгоритм надо позаботиться о том, чтобы со ^ 1 + р2.
При последовательной верхней релаксации по строкам один
цикл итерации заканчивается после того, как системы уравне-
уравнений с трехдиагональной матрицей решены для всех строк. После
этого процесс повторяется до тех пор, пока не будет выполнено
условие сходимости итераций. Эймс [Ames, 1977] показал, что
при решении задачи Дирихле рассматриваемым методом тре-
требуется в V2 раз меньше итераций, чем при решении той же
задачи методом Гаусса — Зайделя с последовательной верхней
релаксацией (для одинакового уменьшения начальной ошибки).
С другой стороны, применение метода прогонки ведет к некото-
некоторому увеличению времени расчета одной итерации.

166 Гл 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Ускорение сходимости итераций при использовании блочных
итерационных методов по сравнению с точечно-итерационными
методами связано, по-видимому, с более сильным влиянием гра-
граничных условий на каждой итерации. Например, при последо-
последовательной верхней релаксации по строкам значения неизвестных
определяются сразу во всей строке, поэтому на каждой итера-
итерации граничные условия могут влиять на значения сразу всех
неизвестных в строке. Совсем иная картина наблюдается при
решении разностных уравнений, получаемых при применении
точечно-итерационной схемы, методом Гаусса — Зайделя, так
как существует хотя бы одна граничная точка (какая именно,
зависит от выбранной последовательности прохождения точек),
которая на первой итерации влияет на решение лишь в сосед-
соседних с ней точках.
Неявный метод переменных направлений. При последова-
последовательной верхней релаксации по строкам строки перебираются
одна за другой, и эта процедура все время повторяется. Сходи-
Сходимость метода часто можно улучшить, чередуя движение по стро-
строкам и движение по столбцам. Тогда одна итерация будет со-
состоять в последовательном прохождении сначала всех строк, а
потом всех столбцов. Известно несколько очень похожих друг
на друга вариантов неявнрго метода переменных направлений.
Простейшей процедурой является применение сначала соотно-
соотношения D.124) для движения по строкам. Определенные таким
образом величины будем обозначать индексом &+1/2- После
этого в соответствии с формулой
>4.f
Hi —
¦'./ ~~ 2A + р2)
проводится релаксация по столбцам. Так завершается одна ите-
итерация, а верхняя релаксация проводится во всех узлах сетки
по формуле D.122) в качестве второго шага перед второй ите-
итерацией. Верхняя релаксация может быть и сразу включена в ал-
алгоритм расчета, если итерации по строкам проводить в соответ-
соответствии с формулами
ь х СО i
а по столбцам — в соответствии с формулами
и*+/ = A - а) и*+/* + щЪу НИ!) + «?-+,' / +

§ 4.3. Уравнение Лапласа 167
Для обеспечения диагонального преобладания в методе про-
прогонки требуется, чтобы со ^ 1 +132 при проведении итераций по
строкам и со ^A + Р2)/Р2 при проведении итераций по столбцам.
Разностные схемы, получающиеся при применении неявных
методов переменных направлений для решения двумерного урав-
уравнения теплопроводности D.97), также довольно часто исполь-
используются для решения уравнения Лапласа. Возможность приме-
применения такого подхода объясняется тем, что если в описываемой
уравнением D.97) нестационарной задаче граничные условия не
зависят от времени, то решение асимптотически стремится к
стационарному решению, удовлетворяющему уравнению Лап-
Лапласа. Так как нас интересует лишь стационарное решение, то
размер шага по времени можно выбрать, исходя из условий наи-
наиболее быстрой сходимости итерационного процесса. Положив
в соотношениях D.103) aAt/2 = pk, запишем двухшаговую не-
неявную схему Писмена — Ракфорда для решения уравнения Лап-
Лапласа:
Шаг 1
W./). DЛ26а)
Шаг 2
aft = и?.+/* + р*(«7/2 + &W.V). tD.126b)
Af) АО
Разностные операторы 6* и 6У определены соотношениями
D.100).
На шаге 1 проводится прогонка по строкам, а на шаге 2 —
прогонка по столбцам. Коэффициенты pk называются итера-
итерационными параметрами. Митчелл и Гриффите [Mitchell, Grif-
Griffiths, 1980] показали, что при решении уравнения Лапласа
в квадратной области итерационный процесс Писмена — Рак-
форда сходится для любых фиксированных значений pk. С дру-
другой стороны, наибольшая вычислительная эффективность алго-
алгоритма достигается в тех случаях, когда итерационные параметры
изменяются вместе с k, а в течение одной итерации коэффи-
коэффициенты pk должны быть одинаковы на обоих шагах итерации.
Ключевым моментом, определяющим эффективность применения
неявного метода переменных направлений для решения эллипти-
эллиптических уравнений, является выбор значений итерационных па-
параметров р*. Этот выбор можно осуществлять либо по мето-
методике, предложенной Писменом и Ракфордом [Peaceman, Rach-
ford, 1955], либо по методике, предложенной Вахспрессом
[Wachspress, 1966]. Хотя имеющийся опыт применения этих ме-
методик не позволяет узнать, какая из них лучше, результаты
некоторых исследований указывают на то, что вторая из них
предпочтительней. Читателю, который захочет воспользоваться

16& Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
неявным методом переменных направлений, мы советуем сна-
сначала ознакомиться с работами, посвященными выбору итера-
итерационных параметров р&.
Сопоставить времена счета при использовании точечно- и
блочно-итерационных методов с последовательной верхней ре-
релаксацией не просто из-за сложности подбора оптимального
значения параметра верхней релаксации. Кроме того, результат
такого сопоставления во многом определяется конкретными осо-
особенностями рассчитываемой задачи, граничными условиями и
числом узлов разностной сетки. Блочно-итерационные методы
требуют обычно меньше итераций, чем точечно-итерационные
методы, но, как мы уже указывали, на каждой итерации прихо-
приходится проводить больший объем вычислений. Имеющийся опыт
показывает, что для большинства задач время счета для дости-
достижения одинаковой точности при применении методов последо-
последовательной верхней релаксации по строкам и Гаусса — Зайделя
с последовательной верхней релаксацией практически одина-
одинаково. Неявный метод переменных направлений с последователь-
последовательной верхней релаксацией (при постоянном параметре итераций)
позволяет часто сократить время счета на 20—40 % по сравне-
сравнению с методом Гаусса — Зайделя с последовательной верхней
релаксацией. При переменном параметре итераций можно обыч-
обычно достичь еще большего сокращения времени счета.
Сильно неявные методы. В последние годы разработан но-
новый тип блочно-итерационной процедуры решения системы алгеб-
алгебраических уравнений, возникающей при дискретизации эллипти-
эллиптических уравнений в частных производных. Для иллюстрации
этого подхода рассмотрим систему алгебраических уравнений,
получающуюся при использовании пятиточечной схемы для ре-
решения уравнения Лапласа. Запишем эту систему уравнений
в виде
[Л] 11 = С,
где [А] — сильно разреженная матрица коэффициентов, и — век-
вектор-столбец неизвестных, а С — вектор-столбец известных вели-
величин. Стоун [Stone, 1968] предложил решать эту систему урав-
уравнений методом факторизации с использованием сильно неявной
процедуры. Суть этого метода состоит в замене разреженной
матрицы [А] матрицей [Л + ^Ч, которая представляется в виде
произведения верхней [U] и нижней [L] разреженных треуголь-
треугольных матриц. Если матрицы [L] и [U] неразреженные, то эффек-
эффективность рассматриваемого метода оказывается близкой к эф-
эффективности метода исключения Гаусса; следовательно, успех
применения метода факторизации определяется выбором мат-

§ 4.3. Уравнение Лапласа 169
рицы [Р]. Важно, чтобы элементы этой матрицы были малы по
абсолютной величине, а получающаяся в результате система
уравнений должна быть более неявной, чем при использовании
метода переменных направлений. Для построения итерационного
алгоритма перепишем систему уравнений [Л]и — С в виде
Представим матрицу [В] = [А + Р] как произведение верхней
[U] и нижней [L] треугольных матриц. Тогда
[L][U]un+l = C + [P]un.
Если ввести промежуточный вектор V"+1 = [f/]uw+I, то получим
следующий двухшаговый алгоритм:
Шаг 1
[L]Vn+l = C + [P]un. D.127а)
Шаг 2
[U]un+{=Vn+l. D.127b)
По этому алгоритму расчет проводится на каждой итерации. На
шаге 1 осуществляется прямая подстановка, а на шаге 2 — об-
обратная.
Стоун [Stone, 1968] выбрал матрицу [Р] таким образом,
чтобы в матрицах [L] и [U] было только по три ненулевые диа-
диагонали, а главная диагональ матрицы [U] состояла бы из одних
единиц. Кроме того, элементы матриц [L] и [U] были подоб-
подобраны так, что ненулевые элементы матрицы [А] совпали с рас-
расположенными на их месте элементами матрицы [В], т. е. мат-
матрица [В] отличалась от матрицы [А] появлением двух новых
ненулевых диагоналей. Элементы матриц [L], [U] и [Р] можно
определить по заданным уравнениям, основываясь на произве-
произведении [?][?/]. Подробно этот метод описан Стоуном [Stone,
1968]. Рассмотренный метод неявный как по х, так и по у. Про-
Проведенные численные расчеты показали, что время решения урав-
уравнения Лапласа этим методом составляет лишь 50—60% времени
решения неявным методом переменных направлений.
Шнейдер и Зедан [Schneider, Zedan, 1981] предложили новый
способ построения матриц [L] и [17], позволяющий сократить
время расчета в два — четыре раза по сравнению с методом
Стоуна (Stone, 1968). Получившийся в результате метод авторы
назвали модифицированным сильно неявным методом. Алгоритм
решения уравнений этим методом также описывается соотноше-
соотношениями D.127а) и D.127Ь); улучшение же достигнуто благодаря
распространению метода Стоуна на девятиточечную схему

170 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
решения уравнения Лапласа. Модифицированный сильно неяв-
неявный метод можно использовать и для решения разностных урав-
уравнений, получающихся при применении пятиточечной схемы, при
этом, как уже отмечалось, время расчета сокращается в два —
четыре раза. По-видимому, новый метод является эффективным
и довольно общим методом решения алгебраических уравнений.
Подробно он описан в приложении С.
§ 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение)
Мы изучили различные конечно-разностные методы и приме-
применили их к решению простых линейных задач. Это позволило нам
лучше понять эти методы и познакомиться с их основными спе-
специфическими особенностями. К сожалению, в гидромеханике
обычно приходится решать нелинейные задачи, так как давле-
давление, плотность, температура и скорость должны быть опреде-
определены из решения нелинейной системы уравнений в частных про-
производных.
Полезно сначала изучить какое-то одно простое нелинейное
уравнение, аналогичное уравнениям гидромеханики. Это урав-
уравнение должно включать в себя члены, описывающие те же физи-
физические процессы, что и члены, входящие в уравнение гидромеха-
гидромеханики, т. е. конвективный, диффузионный или диссипативный и
нестационарный члены. Такое простое нелинейное уравнение
было предложено Бюргерсом [Burgers, 1948]. Оно имеет вид
Первое и второе слагаемые в левой части этого уравнения яв-
являются соответственно нестационарным и конвективным чле-
членами, а в правой части стоит вязкий член. Если вязкий член не
равен нулю, то уравнение D.128) параболическое; если же он
равен нулю, то в уравнении остаются лишь нестационарный и
нелинейный конвективный члены. Такое уравнение гиперболиче-
гиперболическое и имеет вид
-? + «? = 0. D.129)
Его можно рассматривать как модельное для уравнений Эйле-
Эйлера, описывающих движение идеального газа. Уравнение D.129)
есть нелинейное уравнение конвекции и обладает некоторыми
математическими особенностями, к рассмотрению которых мы
сейчас перейдем. После этого мы опишем различные разностные
схемы, используемые для решения невязкого уравнения Бюр-
Бюргерса. При этом будут приведены типичные результаты, полу-

§ 4.4. Уравнение Бюргерса (иевязкое течение) 171
чаемые при расчетах по многим широко используемым разно-
разностным схемам, и выяснена роль нелинейных членов. Уравнение
Бюргерса будет рассмотрено в § 4.5.
Уравнение D.129) можно интерпретировать и как нелиней-
нелинейное волновое уравнение, при этом скорость распространения
волны в различных точках будет разной. В противоположность
этому в ранее изученном линейном одномерном уравнении кон-
конвекции (линейном волновом уравнении) D.2) скорость распро-
распространения любых возмущений была постоянна. Так как скорость
распространения возмущений меняется, то характеристики на-
начинают пересекаться и в решении возникают разрывы, анало-
аналогичные ударным волнам в газовой динамике. Следовательно,
рассматриваемое одномерное модельное уравнение позволяет
изучать свойства разрывных решений.
Нелинейные гиперболические уравнения в частных производ-
производных обладают решениями двух типов согласно Лаксу [Lax,
1954]. Поясним это на примере простого скалярного уравнения
¦&+?=<>• <4-130>
В общем случае и неизвестная и, и функция F(u)—векторы.
Перепишем уравнение D.130) в виде
где в общем случае А = А (и) — матрица Якоби dFi/дщ, а в на-
нашем простом примере А = dF/du. Так как наше уравнение (или
система уравнений) в частных производных гиперболическое,
то все собственные значения матрицы А вещественные. Гладким
называется такое решение уравнения D.131), когда функция и
непрерывна внутри области, а ее производная может иметь раз-
разрыв на границе (т. е. решение уравнения является непрерывным
по Липшицу). Слабым называется решение уравнения D.131)
гладкое всюду, кроме некоторой поверхности в пространстве
(х, /), на которой функция и может иметь разрыв. На величину
скачка функции и при переходе через поверхность разрыва на-
накладываются определенные ограничения. Пусть w — произволь-
произвольная непрерывная векторная функция с непрерывной первой про-
производной, равная нулю вне некоторой ограниченной области,
тогда и называется слабым решением уравнения D.130), если
(wtu + wxF) dx dt + J w {x, 0) ф (х) dx = 0, D.132)
причем ф(х) = и(х, 0). Гладкое решение всегда является од-
одновременно слабым решением, а всякое непрерывное слабое

172 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
решение является гладким. Подробно теория слабых решений
изложена в прекрасных книгах [Whitham, 1974] и [Jeffrey, Та-
niuti, 1964]. Теория слабых решений гиперболических уравнений
в частных производных — относительно недавно созданная ма-
математическая теория. Одним из примеров слабого решения яв-
являются ударные волны, возникающие в сверхзвуковых течениях
невязкой жидкости. Интересно заметить, что решения уравнений
газовой динамики с ударными волнами были известны за 50—
100 лет до того, как была построена теория слабых решений си-
систем гиперболических уравнений в частных производных.
Л
Траектория
движения разрьи
х
Рис. 4.23. Типичная задача о распространении разрыва для уравнений Бюр-
герса.
Вернемся к невязкому уравнению Бюргерса и найдем усло-
условия существования слабого решения этого уравнения, т. е. не-
необходимые условия существования решения с разрывом, как
изображено на рис. 4.23.
Пусть w(x, t)—произвольная непрерывная функция, имею-
имеющая непрерывную первую производную. Кроме того, пусть она
обращается в нуль на границе В области D и вне D (на допол-
дополнении к D); D — произвольная прямоугольная область в пло-
плоскости (х, t). Ясно, что в этом случае
D
или
= 0. D.134)
Если функции и и F непрерывны и имеют непрерывные первые
производные, то уравнения D.133) и D.134) эквивалентны. Вхо-
Входящий в уравнение D.132) второй интеграл в последних двух
уравнениях отсутствует, так как функция w на границе равна
нулю. Функция u(x,t), удовлетворяющая условию D.134) для

§ 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение)
173
любой функции w, называется слабым решением невязкого урав-
уравнения Бюргерса. Отметим, что, для того чтобы удовлетворить
условию D.134), функция и не обязательно должна быть диф-
дифференцируемой.
Рассмотрим случай, когда прямоугольная область D в пло-
плоскости (x,t) разделена кривой т(х, /) = 0, на которой функция
и имеет разрыв. Предположим, что функция и непрерывна и
имеет непрерывные первые производные в подобластях, лежа-
w-0
Рис. 4.24. Схематическое изображение произвольной области с расположен-
расположенным в ней разрывом.
щих слева от t{D\) и справа от %{D2). Используя формулы ин-
интегрирования по частям и учитывая, что функция и равна нулю
на границе области D и вне D, из D.134) получим
D.135)
D2
+ \ (М cos а{ + [F] cos <x2) ds = 0.
Последний интеграл вычисляется вдоль кривой т(х, t) — 0> раз-
разделяющей подобласти D\ и ?J- Он появляется при интегрирова-
интегрировании по частям вследствие того, что кривая т(х, t) = 0 является
границей подобластей D\ и ?)$. Квадратными скобками обозна-
обозначена разность значений заключенной в них величины по разные
стороны разрыва («скачок» этой величины при переходе через
разрыв), cci и сс2 — углы между направлением нормали к кривой
т(х, /) = 0 и осями / и х соответственно. Рассматриваемая за-
задача проиллюстрирована на рис. 4.24.
Согласно D.133), входящие в D.135) интегралы по подобла-
подобластям Di и D2 равны нулю, поэтому и последний интеграл равен

174 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
нулю для любой функции w. Следовательно,
[и] cos ах + [F] cos 02 = 0. D.136)
Последнее соотношение и является условием, которому должно
удовлетворять слабое решение и уравнения Бюргерса. Рассмот-
Рассмотрим движущийся разрыв. Пусть начальное распределение
и(х, 0) имеет вид, показанный на рис. 4.23, где и\ и и2 — значе-
значения и слева и справа от разрыва. В одномерном случае уравне-
уравнение поверхности %(ху t) = 0 можно представить в виде / — t\(x) =
= 0. Тогда входящие в D.136) направляющие косинусы опре-
определяются соотношениями
(штрихом обозначено дифференцирование по х). Следовательно,
или
Окончательно
[1
[и]
+ ?
и2-
2] 1/2
Щ
dx
dt
«1
[F]f
+ t'2]
-«?
2
2
11/2
dt
dx #
»
D.137)
т. е. скорость распространения разрыва равна полусумме ско-
скоростей слева и справа от него. Зная, что по обе стороны раз-
разрыва скорости постоянны и что сам он движется с постоянной
скоростью (и\ + и2)/2, легко провести сравнение решений по раз-
различным численным методам расчета течений с разрывами с точ-
точным решением.
Волны разрежения встречаются в сверхзвуковых течениях не
реже, чем ударные волны. Известно точное решение уравнения
Бюргерса, описывающее волну разрежения. Пусть начальное
распределение и(х, 0) имеет вид, изображенный на рис. 4.25.
Характеристики уравнения Бюргерса описываются соотноше-
соотношением
•S-T- <4Л38>
Вид характеристик в плоскости (х, t) показан на рис. 4.26.
В левой полуплоскости характеристики суть вертикальные пря-
прямые, а справа от характеристики, ограничивающей волны раз-
разрежения, они составляют с осью х угол я/4 рад. Рассматривае-

§ 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение)
175
мая задача похожа на задачу о распространении центрирован-
центрированной волны разрежения в течении сжимаемой жидкости. В слу-
случае уравнения Бюргерса волна разрежения ограничена слева ли-
линией х = 0, а справа — проходящей через начало координат ха-
характеристикой, которая изображена на рисунке штриховой ли-
и=0
Рис. 4.25. Начальные условия для волны разрежения.
нией. Математически решение задачи о распространении волны
разрежения можно записать в виде
u = x/t,
н=1,
Итак, заданное начальное распределение и приводит к образо-
образованию центрированной волны разрежения, ширина которой рас-
растет по времени линейно.
Мы изучили две задачи, ча-
часто встречающиеся в сверхзву-
сверхзвуковых газодинамических тече-
течениях— ударные волны и вол-
волны разрежения, — которые
можно моделировать при по-
помощи уравнения Бюргерса. Ре-
Решения такого типа существуют
и для других нелинейных ги-
гиперболических уравнений в ча-
Рис. 4.26. Характеристики для случая
центрированной волны разрежения.
стных производных. Вооружившись простыми аналитическими
решениями для двух этих важных случаев, перейдем к изучению
различных разностных схем решения невязкого уравнения Бюр-
Бюргерса.
4.4.1. Метод Лакса
Схемы первого порядка точности почти не используются для
решения гиперболических уравнений в частных производных.
Метод Лакса [Lax, 1954] выбран как типичный метод первого

176 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
порядка точности для того, чтобы показать, что такие методы
позволяют решать нелинейные уравнения, но обладают силь-
сильными диссипативными свойствами.
Для построения разностной схемы, как и при построении
всех последующих примеров, воспользуемся дивергентной фор-
формой записи исходного уравнения
dt ^ дх и#
Применим метод Лакса. Для этого выпишем первые два члена
ряда Тейлора для функции и в точке (х, t):
и(х,
При помощи исходного уравнения заменим производную по вре-
времени; тогда запишем
и(х,
Следуя методу Лакса, для аппроксимации производной исполь-
используем центральные разности, а первое слагаемое в правой ча-
части представим как среднее арифметическое значение в двух
соседних узлах (см. п. 4.1.3). В результате получим
Для уравнения Бюргерса F=u2/2. Коэффициент перехода
в этом случае запишется в виде
G = cos р - i -|j A sin р, D.140)
где якобиан А = dF/du для уравнения Бюргерса равен просто
и. Условие устойчивости схемы Лакса имеет вид
|F«m.x|<l, D-141)
так как Umax— максимальное собственное значение матрицы Л,
состоящей лишь из одного элемента и.
Результаты расчета методом Лакса движущегося вправо раз-
разрыва 1—0 приведены на рис. 4.27. Положение движущегося
разрыва определяется довольно точно, однако диссипативные
свойства метода проявляются в размазывании разрыва на не-
несколько шагов разностной сетки. Как уже отмечалось раньше,
это размазывание должно быть тем больше, чем меньше число
Куранта. Интересно заметить, что при расчете разрывных ре-

§ 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение) 177
шений метод Лакса приводит к одинаковым значениям и в двух
соседних узлах, как показано на рисунке. Укажем еще на одно
свойство метода Лакса — его монотонность, т. е. на отсутствие
осцилляции решения. С. К. Годунов [1959] показал, что схемы
с более высоким, чем первый, порядком точности не могут быть
монотонными 1>. Если расчет разрыва является лишь частью бо-
более общей задачи, то желательно проводить его, используя мо-
Точное решение
-О~ At/Дх = 0.6
" = 1.0
Рис. 4.27. Результаты численного решения уравнения Бюргерса по схеме
Лакса.
нотонную схему, однако диссипативные свойства методов пер-
первого порядка точности велики, поэтому вопрос о целесообраз-
целесообразности использования монотонной схемы необходимо решать
в каждом конкретном случае.
4.4.2. Метод Лакса — Вендроффа
Метод Лакса — Вендроффа [Lax, Wendroff, 1960] — один из
первых конечно-разностных методов второго порядка точности,
созданных для решения гиперболических уравнений в частных
производных. Для нелинейных уравнений разностную схему мож-
можно построить, исходя из разложения в ряд Тейлора:
Первую производную по времени можно заменить при помощи
исходного уравнения в частных производных. Сложнее обстоит
дело со второй производной. Запишем исходное уравнение
в виде
ди _ dF
Idt] ~ дх #
!) Все результаты были получены С. К. Годуновым лишь для так назы-
называемых однородных разностных схем. В последние годы создан ряд неодно-
неоднородных монотонных разностных схем высокого порядка точности для решения
гиперболических уравнений. Они описаны, например, в работах [2, 3, 11, 15,
27, 31] в списке дополнительной литературы на стр. 712. — Прим. перев.

178 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнении
Дифференцируя его по времени, получаем
d2u _ _ d2F _ __ d2F d__ ( dF \
dt* ~ dtdx ~ dxdt ~ dx \ dt ) '
где порядок дифференцирования функции F изменен. Так как
F = F(u), то
du dF dF du * du
Ж=~Ж=~'Ж1)х' = ~~л~Ш'
dF dF du - du
~df~ du ~W~ ЛЖЛ
Следовательно, производную dF/dt можно заменить по формуле
J?L — a dF
Тогда
d2u d ( д dF
dt2 dx v dx
В случае уравнения Бюргерса матрица Якоби А состоит лишь
из одного элемента. Если решается система уравнений, то и и
F — векторы, а А — матрица. Подставляя найденные производ-
производные в разложение функции и в ряд Тейлора, получаем
Для построения схемы Лакса — Вендроффа теперь достаточно
вместо производных подставить их центрально-разностные ап-
аппроксимации
ип+\ — пп _
+ 4" (^J U7+W2 (^i ~ F7) - AU» (П - FU)}• D.142)
Матрица Якоби А вычисляется в середине между узлами раз-
разностной сетки, т. е.
Если решается уравнение Бюргерса, то F = и2/2 и А = и. В этом
случае j4/+i/2 = (h/ + h/+i)/2, Л/_1/2 = (иу + Н/-0/2. Коэффициент
перехода для рассматриваемого метода вычисляется по формуле
)-;2/|^Л8тр, D.143)
а условие устойчивости имеет вид | (А(/кх)итах\ ^ 1.

§ 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение) 179
На рис. 4.28 показаны результаты расчета методом Лакса —
Вендроффа той же модельной задачи, что и в предыдущем раз-
разделе. Положение движущегося вправо разрыва определяется до-
достаточно точно, а сам разрыв описывается довольно крутой ли-
линией. Осцилляции решения вблизи разрыва подчеркивают пре-
преимущественно дисперсионные свойства разностной схемы. Хотя
для аппроксимации производных используются центральные раз-
разности, решение асимметрично, так как разрыв движется. При
u-l —^«^v, Тачное решение
-О- At/Дх = 0.6
-О- At/Ax = 1.0
u«0
Рис. 4.28. Решение невязкого уравнения Бюргерса, полученное схемой Лак-
Лакса — Вендроффа.
числе Куранта, равном 0.6, наблюдаются более сильные осцил-
осцилляции решения, чем при числе Куранта, равном 1. Обычно при
уменьшении числа Куранта ухудшается качество численного ре-
решения (см. п. 4.1.6).
4.4.3. Метод Мак-Кормака
В п. 4.1.8 было показано, что метод Мак-Кормака является
модификацией метода Лакса — Вендроффа на основе схемы пре-
предиктор-корректор. Этот метод намного проще метода Лакса —
Вендроффа, так как в разностные уравнения не входит матрица
Якоби.
Для уравнения Бюргерса невязкого течения схема Мак-Кор-
Мак-Кормака имеет вид
7Г+Т п А/
Щ =Щ — Т7
D 144)
' ""
Коэффициент перехода и условие устойчивости в этом случае
такие же, как в схеме Лакса — Вендроффа. Результаты расчета
движущегося вправо разрыва методом Мак-Кормака показаны
на рис. 4.29. Положение разрыва определяется довольно точно.

180 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Результаты расчета отличаются от полученных методом Лакса—
Вендроффа при тех же числах Куранта. Это является след-
следствием как изменения направления численного дифференциро-
дифференцирования на шагах предиктор и корректор, так и следствием нели-
нелинейности рассматриваемого уравнения в частных производных.
Нет ничего удивительного в том, что разные результаты полу-
получаются методами, которые для линейных задач эквивалентны.
Точное решение
-О- At/Ax =0.6
-О- At/Дх - 1.0
-оч?— и - 0 "
Рис. 4.29. Решение уравнения Бюргерса, полученное схемой Мак-Кормака.
Обычно схема Мак-Кормака очень хорошо описывает раз-
разрывы. Отметим, между прочим, что изменение направления чис-
численного дифференцирования на шагах предиктор и корректор
приведет к изменению результатов расчета. Лучше всего рас-
рассчитываются разрывы, если на шаге предиктор разности берут-
берутся в направлении движения разрыва. Мы предложим читателю
проверить это в задачах, которые помещены в конце главы.
4.4.4. Метод Русанова или Бёрстейна — Мирина
Имеющий третий порядок точности метод Русанова или Бёр-
Бёрстейна— Мирина рассмотрен в п. 4.1.11. В этом методе для
аппроксимации производных используются центральные разно-
разности. Применяя его к уравнению D.130), получаем разностную
схему
1 / п , , п\ 1 Ы (vn гп\
B) п 2 Ы (и{\) п@ \
и) ' = 11,-.- — \F)Ui2 - /7-1/2),
24 А.
3 А*
к -

§ 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение) 181
Последний член в соотношении, описывающем третцй шаг, яв-
является конечно-разностной аппроксимацией члена с четвертой
производной (АхLдАи/дхАу дополнительно вводимого в уравне-
уравнение для обеспечения устойчивости схемы. Введение этого члена
не снижает третий порядок точности схемы, так как он имеет
порядок О ((АхL). Из анализа устойчивости рассматриваемого
и *
Точное решение
-о- At/Дх = 0.6; оз = 2.0
-о- At/Дх = 1.1; w = 3.0
-о— u = О
Рис. 4.30. Решение уравнения Бюргерса, полученное схемой Русанова.
АЛЛ
i + f At, B)
ЛЛЛЛ (
• • # • • Т, П
Рис. 4.31. Пирамида узлов сетки для схемы Русанова.
метода следует, что коэффициент перехода выражается форму-
формулой
D.146)
В случае уравнения Бюргерса эта схема устойчива, если
| v | ^ 1 или
4v2 — v4<co<3. D.147)
На рис. 4.30 показаны результаты расчета пе этой схеме ре-
решения уравнения Бюргерса с движущимся вправо разрывом.

182 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Положение разрыва и его интенсивность описываются коррект-
корректно, однако перед и за разрывом наблюдается превышение точных
значений. На рис. 4.31 схематически показано, как при исполь-
использовании метода Русанова происходит движение по точкам шаб-
шаблона при переходе с одного слоя на другой.
4.4.5. Метод Уорминга — Катлера — Ломакса
Уорминг и др. [Warming et al., 1973] предложили метод по-
построения разностной схемы третьего порядка точности без ис-
использования центральных разностей. Первые два шага этого
метода совпадают с методом Мак-Кормака при шаге B/3)А^.
Основное преимущество такого метода перед методом Русанова
состоит в том, что он использует значения всех величин лишь
в узловых точках.
Применяя метод Уорминга — Катлера — Ломакса, получаем
разностную схему
A) п 2 М (пп
«Г = «/ - -зг % (- 2F?+2 + 1FU - 7tf-i + 2FU) -
- -g- U/+2 - 4u?+i + Gul - AuU + uU\ D.148)
Третий шаг метода Уорминга — Катлера — Ломакса совпадает с
третьим шагом метода Русанова. Отметим, что на первых двух
шагах можно использовать и другой метод второго порядка точ-
точности. Бёрстейн и Мирин показали, что для вычисления uf> мож-
можно использовать любой метод второго порядка точности. Линей-
Линейный анализ устойчивости рассматриваемой разностной схемы
показывает, что она устойчива при тех же условиях D.147), при
которых устойчива схема Русанова. На рис. 4.32 схематически по-
показано, как при использовании метода Уорминга —- Катлера —
Ломакса происходит переход с одного слоя на другой. Отметим,
что на этой диаграмме направление численного дифференцирова-
дифференцирования на первых двух шагах различно. Направление дифференци-
дифференцирования можно изменить, а можно и циклически менять это на-
направление при проведении нескольких последовательных шагов
по времени.

§ 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение)
183
На рис. 4.33 показаны результаты расчета решения уравне-
уравнения Бюргерса с движущимся вправо разрывом по схеме Уормин-
га — Катлера — Ломакса. Эти результаты почти не отличаются
от полученных в предыдущем разделе. На основе полученных
\
t+fAt, (Z)
t\tvt\t\
Рис. 4.32. Пирамида узлов сетки для метода Уорминга — Катлера — Ло-
Ломакса.
Точное решение
~<>- At/Лх = 0,6; ш = 2.0
-О- At/Ax = 1,0; о) = 3.0
и - 0
Рис. 4.33. Решение уравнения Бюргерса, полученное схемой Уорминга — Кат-
Катлера — Ломакса.
результатов можно прийти к заключению, что все методы треть-
третьего порядка приводят к примерно одинаковой точности.
4.4.6. Самонастраивающийся метод третьего порядка точности
Параметр со, появляющийся на третьем шаге в двух только
что рассмотренных методах, может быть выбран относительно
произвольно. Его величина ограничена лишь условиями устой-
устойчивости разностной схемы. Выбранное в начале расчета значе-
значение параметра со остается во всех узлах сетки одним и тем же.
Однако если вводимый на третьем шаге демпфирующий член
записать в дивергентном виде
д ( д3и

184 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
то при проведении расчета параметр со может меняться от
точки к точке, а законы сохранения на разностной сетке будут
выполняться. При таком подходе член, содержащий со в соот-
соотношениях для последнего шага схем Русанова и Уорминга —
Катлера — Ломакса, запишется в виде
<4Л49>
Величины со^±1/2 зависят теперь от эффективного сеточного числа
Куранта. Уорминг и др. [Warming et al., 1973] предложили
в каждом узле выбирать эти параметры так, чтобы свести к ми-
минимуму либо дисперсионную, либо диссипативную ошибку.
Модифицированное уравнение для схем третьего порядка
точности проанализировано в п. 4.1.11. Если мы хотим миними-
минимизировать дисперсионную ошибку, то в соответствии с D.68)
должны задать параметр а^± i/2 п0 формуле
D.150)
Теперь осталось лишь разумно определить эффективное число
Куранта v/±i/2. Уорминг и др. [Warming et al., 1973] предло-
предложили при определении коэффициентов оэ/ ± i/2 полагать эффек-
эффективное число Куранта равным среднему значению чисел Ку-
Куранта в узлах сетки, используемых для разностной аппроксима-
аппроксимации соответствующего члена. Так как член с (o/+i/2 содержит
значение неизвестной в узлах / + 2, /+ 1, / и /—1, то можно
записать
v/+i/2 = j (Я/+2 + Я/+1 + Xj + Xf_{) ? D.151)
и аналогично
v/-i/2 =. j (Я/+1 + Я/ + ЛЬ1 + Я7_2) -?j,
где X — локальное собственное значение. Для уравнения Бюр-
герса X просто совпадает с неизвестной и. Результаты расчетов
с переменным о) (расчетов по самонастраивающейся схеме) при-
приведены на рис. 4.34. Из рисунка видно, что оба метода третьего
порядка точности позволяют получить удовлетворительные ре-
результаты, если разностная схема строится из соображений ми-
минимальной дисперсии. Слева от разрыва наблюдается неболь-

§ 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение) 185
шое превышение точного решения, справа же решение почти со-
совпадает с точным. Мы не советуем определять параметр co/±i/2
из соображений минимума диссипации. Член, содержащий па-
параметр со, добавлен в уравнения для стабилизации решения, по-
поэтому при уменьшении диссипации могут возникнуть проблемы
с устойчивостью разностной схемы. Сильные осцилляции могут
появляться даже в устойчивом решении. Отметим, что параметр
u =
Рис. 4.34. Решение уравнения Бюргерса, полученное самонастраивающимся
методом (методом с переменным со).
о)/±1/2 может быть вычислен различными способами, но он дол-
должен быть выбран так, чтобы не изменилось условие устойчиво-
устойчивости разностной схемы. Очевидно, при разных методах определе-
определения этого параметра будут получаться различные численные
решения.
4.4.7 Неявные методы
Центрированный по времени неявный метод описан в п. 4.1.10.
Его основу составляют соотношения D.57). Подставляя в D.58)
производные по времени из рассматриваемого нами модельного
уравнения, получаем
Задача оказывается нелинейной, и для ее решения необходимо
применить линеаризацию или итерационный метод. Бим и Уор-
минг [Beam, Warming, 1976] предложили воспользоваться сле-
следующим приближенным соотношением:
. Fn+1 » Fn + (-gLI1 (un+l - un) = Fn + An (un+l - un).

186 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Тогда
Используя центральные разности для аппроксимации производ-
производных по х со вторым порядком точности, получаем
В случае уравнения Бюргерса матрица Якоби А состоит лишь
из одного элемента, и поэтому правую часть можно упростить.
Мы видим, что предложенная линеаризация Бима и Уорминга
позволяет получить на новом временном слое систему линейных
алгебраических уравнений. Это система уравнений с трехдиаго-
нальной матрицей, которая легко может быть решена прогонкой.
В п. 4.1.10 было показано, что рассматриваемый метод устой-
устойчив при любых шагах по времени. Следует заметить, что все
корни характеристического уравнения лежат на единичной ок-
окружности, что согласуется с отсутствием в модифицированном
уравнении членов с производными четного порядка. Вследствие
этого в схему приходится вводить искусственную диссипацию.
Можно, например, к уравнению D.153) добавить член, пропор-
пропорциональный разностной производной четвертого порядка
- Т ("/"+2 - 4«?+. + 6м/ - 4""-. + "/-2)> D-154)
не изменив формального порядка аппроксимации разностной
схемы. Согласно Биму и Уормингу, неявная разностная схема
D.153) с явным демпфирующим членом устойчива при
0<@<1. D.155)
Результаты расчета движущегося вправо разрыва по центри-
центрированной по времени неявной разностной схеме показаны на
рис. 4.35. Очевидно, что решение, полученное по схеме без демп-
демпфирования, неприемлемо. При введении в разностную схему
демпфирующего члена по формуле D.154) получаются суще-
существенно лучшие результаты.
Кроме только что описанного метода, Бим и Уорминг [Beam,
Warming, 1976] предложили еще два аналогичных метода —
неявный метод с трехточечной аппроксимацией производных на-
назад и неявный метод Эйлера. Вариант неявного метода Эйлера,
предложенный Бимом и Уормингом, основан на методе Эйлера

§ 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение)
с разностями назад
187
,п+\
Для рассматриваемого нами нелинейного уравнения последнее
соотношение примет вид
Применяя уже описанную линеаризацию, получаем
— ДМ? , ДМ?., М F?,,
2Ал: ui-\^ui ^ 2Дат m/+i ~ Д*
ДМ?
Л"
D.156)
Задача снова свелась к легко решаемой системе линейных ал-
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Полу-
, . 1X111 7owoe решение
u=i ^•^-^^о4сг4-г/4-А1 ^ск без демпфирования
-о- с демпфированием
v = 0.5
оз = 0.5
20 шагов
i = о
Рис. 4.35. Решение уравнения Бюргерса, полученное центрированной по вре-
времени неявной схемой Бима — Уорминга.
чившаяся разностная схема безусловно устойчива, но для полу-
получения приемлемых численных результатов в нес необходимо
ввести демпфирующий член, например по формуле D.154).
Более простой вид описанных в этом разделе неявных раз-
разностных схем получается, если их записать в так называемой
дёльта-форме, т. е. в тех случаях, когда разностные уравнения
составляются для приращений величин и для потоков, входя-
входящих в законы сохранения. Преимуществом такой записи раз-
разностных схем при решении многомерных задач является то, что

188 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
стационарное решение, если оно существует, не зависит от шага
по времени. Построим центрированную по времени неявную раз-
разностную схему, используя дельта-форму записи разностных
уравнений. Пусть AUj — uf+i — uf. Тогда уравнение D.152)
можно переписать в виде
Проведя, как и раньше, локальную линеаризацию, получим
Окончательно разностное уравнение запишется в виде
А/Л? , ДМ?.,
D.157)
Оно имеет более простой вид, чем уравнение D.153). Система
линейных алгебраических уравнений осталась трехдиагональ-
u = l
- Точное решение
без демпфирования
с демпфированием
v = 1.0
ы = 1.0
Рис. 4.36. Решение задачи о движущемся вправо разрыве, полученное цен-
центрированной по времени неявной схемой, записанной в дельта-форме.
ной, но число членов в правых частях уменьшилось. Связанное
с этим сокращение объема вычислений может оказаться осо-
особенно существенным при решении систем уравнений, когда
объем вычислений очень большой. Гсшив уравнение D.157),
найдем приращения неизвестных на одном шаге по времени.
Как уже отмечалось, записанная в дельта-форме схема без-
безусловно устойчива, но и к ней необходимо добавить демпфи-
демпфирующие члены более высокого порядка. На рис. 4.36 представ-
представлены результаты расчета движущегося вправо разрыва по схеме,
использующей дельта-форму записи. Как и следовало ожидать,
решения с демпфированием и без демпфирования идентичны рё-

§ 4.5. Уравнение Бюргерса (вязкое течение) 189
шениям, полученным при развернутой записи разностных урав-
уравнений. При применении центрированной по времени схемы мы
рекомендуем использовать дельта-форму, а не развернутую
запись разностных уравнений. Если ищется асимптотическое по
времени решение, то члены, содержащие Аи, стремятся к нулю
и, кроме того, во всех случаях необходимо вычислять меньше
матричных произведений.
Рассчитанные по неявным разностным схемам решения не-
невязкого уравнения Бюргерса обычно хуже рассчитанных по яв-
явным схемам; при этом на каждом шаге приходится производить
больший объем вычислений. Кроме того, часто надо знать про-
промежуточные результаты, поэтому возможность использовать
больший шаг по времени в случае неявной схемы обычно особой
роли не играет. При расчете разрывных решений явные схемы
позволяют получить лучшие результаты, чем неявные схемы, ис-
использующие центральные разности; поэтому мы рекомендуем
для решения уравнения Бюргерса для невязкого течения приме-
применять явные методы, например метод Мак-Кормака.
§ 4.5. Уравнение Бюргерса (вязкое течение)
Полное нелинейное уравнение Бюргерса
ди . ди д2и {А 1Г-ОЧ
является параболическим уравнением в частных производных.
Оно используется как модельное для уравнений пограничного
слоя, «параболизованных» уравнений Навье — Стокса и полных
уравнений Навье — Стокса. Для лучшего моделирования урав-
уравнений пограничного слоя и параболизованных уравнений Навье —
Стокса независимые переменные tux можно заменить независи-
независимыми переменными х и у\ тогда получим
ди , ди д2и /л 1 г-п\
—Мт~Цтт. D.159)
дх ' ду ^ ду2 • v '
где х — маршевая координата.
Как и в случае ранее рассмотренных модельных уравнений,
для уравнения Бюргерса существуют точные аналитические ре-
решения при некоторых начальных и граничных условиях. Эти
решения полезно использовать для сравнения различных разно-
разностных схем. Точное стационарное решение [т. е. lim u(x, /)]
t->oo
уравнения D.158) с граничными условиями
«1@,0=1/0, D.160)
u(L, 0 = 0 D.161)

190 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
имеет вид
Г 1 — expfuRe, (x/L— 1
где
ReL = uQL/Vii D.163)
а й— решение уравнения
(п- 1)/(п+ l) = exp(-ttReL). D.164)
Для простоты вместо уравнения D.158) часто рассматривают
линейное уравнение Бюргерса
Отметим, что при ji = 0 из него получается волновое уравне-
уравнение, а при с = 0 — уравнение теплопроводности. Точное стацио-
стационарное решение уравнения D.165) с граничными условиями
D.160) и D.161) имеет вид
exP[#(*/L-l)n
DЛ66)
где 7?l = cL/ji. Точное нестационарное решение уравнения
D.165) с начальным условием и(х,0) = sin(^t) и периодическим
граничным условием имеет вид
и (х, t) = ехр (— k2\xt) sin k (x — с/). D.167)
Это решение полезно для анализа точности расчета по времени.
Уравнения D.158) и D.165) можно скомбинировать в обоб-
обобщенное уравнение [Rakich, 1978]
ut + (c + bu)ux = \iuXX9 D.168)
где с и b — свободные параметры. При 6=0 получаем линей-
линейное уравнение Бюргерса, а при с = 0 и b = 1 — нелинейное
уравнение Бюргерса. Рхли с =1/2 и Ь=—1, то обобщенное
уравнение Бюргерса имеет точное стационарное решение
D.169)
которое при |х= 1/4 показано на рис. 4.37. Следовательно, если
начальное распределение для и задано соотношением D.169), то
точное решение не меняется по времени, а остается равным за-
заданному начальному распределению. Другие точные решения
уравнения Бюргерса можно найти в работе [Benton, Platzman,
1972], в которой приведено 35 различных точных решений.

§ 4.5. Уравнение Бюргерса (вязкое течение) 101
Уравнение D.168) можно записать в дивергентной форме
щ + Тх = 0, D.170)
где F определяется соотношением
F = cu-[-bu2/2-\iux. D.171)
Уравнение D.168) можно записать и по-другому:
ut + Fx = VMxx, D.172)
где
F = cu + bu2/2. D.173)
Для линейного случая (Ь = 0) выражение для F упрощается и
1.0
Ь=-1
с =1/2
I
-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0
Рис. 4.37. Точное решение уравнения D.168).
Z.0
3.0 х-хл
сводится к виду F = си. Если ввести А = dF/du, то уравнение
D.172) примет вид
щ + Аих = \шхх. D.174)
Для нелинейного уравнения Бюргерса (с — 0у Ь = 1) А равно и,
а для линейного уравнения F = 0) А равно с. В последующем
при анализе разностных схем мы будем использовать уравнение
Бюргерса как в виде D.172), так и в виде D.174).
4.5.1. Метод разностей вперед по времени и центральных разностей
по пространству (ВВЦП)
Методом ВВЦП Роуч [Roache, 1972] назвал метод, полу-
полученный при применении к линеаризованному уравнению Бюр-
Бюргерса (к уравнению D.174) при А = с) разностей вперед по вре-
времени и центральных разностей по пространству. Полученная

192 Гл. 4 Метод конечных разностей для модельных уравнений
в результате разностная схема имеет вид
,,71 + 1
(А,)'
Это — явная одношаговая схема первого порядка точности с по-
погрешностью аппроксимации О (At, (AxJ). Выпишем модифици-
модифицированное уравнение
Для уравнения Бюргерса г = \iAt/(AxJ, a v = cAt/Ax. Отме-
Отметим, что при г— 1/2, v= 1 коэффициенты при первых двух чле-
членах в правой части модифицированного уравнения обращаются
в нуль. К сожалению, при этом исчезает вязкий член \шхх в рас-
рассматриваемом уравнении в частных производных. Следователь-
Следовательно, метод ВВЦП при г = 1/2 и v = 1 приводит к неприемлемой
конечно-разностной аппроксимации уравнения Бюргерса, так как
в этом случае разностная схема принимает вид ип}+{ =uj__v
Из описанного ранее эвристического анализа устойчивости
следует, что для устойчивости разностной схемы необходимо,
чтобы коэффициент при ихх был больше нуля. Следовательно,
c2At/2 < pi, или
Последнее соотношение можно переписать в виде
v2<2r. D.177)
Очень полезным параметром, который естественно появляется
при численном решении уравнения Бюргерса, оказывается се-
сеточное число Рейнольдса, определяемое соотношением
ReAx = ? Ax/\i. D.178)
Этот безразмерный параметр, характеризующий отношение кон-
конвекции к диффузии, играет важную роль при определении ха-
характера решения уравнения Бюргерса. Сеточное число Рей-
нольдса (называемое также числом Пекле) можно выразить
через v и г следующим образом:
с Ал: сМ (Ал:J _\^
' |Г" Ал: ц А/ г

§ 4.5. Уравнение Бюргерса (вязкое течение)
193
Следовательно, условие устойчивости D.177) можно записать
в виде
D.179)
Мы уже отмечали раньше, что эвристический анализ устой-
устойчивости не всегда позволяет определить все условия устойчи-
устойчивости разностной схемы. В рассматриваемом нами сейчас случае
так и произошло. Чтобы получить все условия устойчивости,
воспользуемся фурье-анализом (методом Неймана). Для схемы
ВВЦП коэффициент перехода
G = 1 + 2r(cosp - 1) - /v(sin P) D.180)
построен на рис. 4.38 (а) для данных v и г. Уравнение для G
описывает эллипс с центром в точке A—2г) вещественной оси.
Единичная
окружность
(а)
(Ь)
Рис. 4.38. Условие устойчивости схемы ВВЦП. (a) v < 1, г < 1/2, v2 < 2г;
(b) v< 1, г< 1/2, v2>2r.
Большая и меньша'я полуоси эллипса равны 2г и v соответ-
соответственно. Кроме того, эллипс касается единичной окружности
в точке пересечения этой окружности с положительной веще-
вещественной осью. Необходимое условие устойчивости | G | ^ 1 экви-
эквивалентно требованию, что эллипс целиком содержится внутри
единичной окружности. Последнее условие накладывает следую-
следующие ограничения на длины большой и малой полуосей эллипса:
v<l, 2г<1. D.181)
Однако и при выполнении этих условий разностная схема мо-
может быть неустойчива, как видно из рис. 4.38 (Ь). Конечно, пол-
полное условие устойчивости можно найти, исследуя обычным обра-
образом выражение для модуля коэффициента перехода. Проведя
такой анализ, получим
v2<2r, г < 1/2. D.182)
7 Д. Андерсон и др. Том 1

194 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Первое условие уже было получено раньше на основе эвристи-
эвристического анализа устойчивости. Комбинируя эти два неравен-
неравенства, можно определить еще одно: v ^> 1, которое уже было
получено на основе графического анализа. Условия устойчи-
устойчивости накладывают следующие ограничения на величину сеточ-
сеточного числа Рейнольдса:
D.183)
Следует заметить, что в некоторых работах правая часть по-
последнего неравенства ошибочно записывается как ReA* ^ 2.
Важной характеристикой конечно-разностных схем, исполь-
используемых для решения уравнения Бюргерса, является появление
осцилляции (всплесков) решения. Очевидно, при расчете тече-
течений жидкости мы хотели бы избежать появления таких осцил-
осцилляции. При решении уравнения Бюргерса методом ВВЦП осцил-
осцилляции возникают, если сеточное число Рейнольдса расположено
в диапазоне
2<ReA*<2/v.
Если сеточное число Рейнольдса немного больше 2/v, то эти
осцилляции в конце концов приведут к «взрыву» решения, как и
следовало ожидать из проведенного выше анализа устойчиво-
устойчивости. Чтобы найти причину возникновения осцилляции, перепи-
перепишем уравнение D.175) в виде
и«+1 =(Г- v/2)w*+1 + A - 2r)uf + (r + v/2)tt«_p D.184)
или, что эквивалентно, в виде
Теперь предположим, что мы хотим найти решение уравнения
Бюргерса с начальным условием и(х, 0) = 0, 0 ^ х < 1, и гра-
граничными условиями и@, /) = 0, u(l,t)=l на сетке, состоящей
из 11 узлов. На первом шаге по времени все значения и на
(д+1)-м временном слое равны нулю, кроме значений в узле
/ = 10, где
иТ=тB - ReA*>A) +A -2г) @) + тB
и на границе (/=11), где иц равно заданному значению 1.
Если ReA* больше двух, то величина ttj*o+1 будет отрицательна,
что и вызовет осцилляции решения, как показано на рис. 4.39(а).

§ 4.5. Уравнение Бюргерса (вязкое течение)
195
Этот рисунок построен для случая v = 0.4, г = 0.1, ЯеАх =±= 4 <
< 2/v. При этих параметрах^4 равно —0.1. На следующем
шаге по времени'осцилляция продвигается еще на одну точку
дальше от правой границы. Значения и при / = 9 и / = 10 равны
и?+2 = -f- 0.01, ti^2 = — 0.18, а вид решения показан на
рис. 4.39(Ь). Постепенно осцилляции распространяются до дру-
другой границы, но при этом остаются ограниченными по величине
1 .U
0.9
0.8
0,7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
п п
и ¦ и
-0.1
-0.2
-0.3
1
-
-
-
-
-
-
-
1
\1
j
1 1 1 1 Г
1 3
5. 7
(а)
9 11
1 3
5 7
j
(b)
9 11
1 3
5 7
j
(с)
9 11
Рис. 4.39. Возникновение осцилляции при численном решении уравнения Бюр-
Бюргерса. (а) (л+1)-й слой по времени; (Ь) (/г + 2)-й слой по времени;
(с) (я + 3)-й слой по времени.
в течение всего решения, пока итерационно не получится ста-
стационарное состояние. Рассмотренные осцилляции аналогичны
тем, которые возникают в рамках невязкого уравнения Бюр-
' герса при расчете движущегося разрыва по схемам второго (или
более высокого) порядка точности.
Лучше понять причины возникновения осцилляции можно,
также изучив коэффициенты уравнения D.185) с физической
точки зрения. Мы видим, что если Re&x больше двух, то коэффи-
коэффициент при uf+l становится отрицательным. Следовательно, чем
больше и?+1, тем меньше w^+1. Для вязких задач такое пове-
поведение решения не имеет физического смысла, так как с ростом
uj+{ величина uf+l должна «тянуться» за ней все сильнее и
7*

196 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
сильнее (т. е. возрастать). Следствием такого нефизического по-
поведения решения и является возникновение осцилляции решения.
При использовании метода В ВЦП можно избавиться от
осцилляции, если при аппроксимации конвективного члена сих
заменить центральные разности, обеспечивающие второй поря-
порядок точности по пространству, на разности против потока, имею-
имеющие первый порядок точности. Тогда при с > О получим раз-
разностную схему
¦Г1-7 ¦ с«7-?-.. «?+,-*?+«7- D186)
Л* ^С Д* **¦ (Да:J ' \*л™)
Схема первого порядка точности подавляет осцилляции благо-
благодаря введению в решение дополнительной диссипации. К сожа-
сожалению, вносимая диссипация делает разностную схему настолько
неточной, что разностная схема D.186) не может рассматри-
рассматриваться как схема решения уравнения Бюргерса. Вносимая в ре-
решение большая диссипация очевидна из анализа модифициро-
модифицированного уравнения для этой схемы
fiK+ ••• <4Л87>
и сравнения его с модифицированным уравнением для схемы
ВВЦГГ. В уравнении D.187) в выражении для коэффициента
при члене, содержащем ихх, появляется дополнительное слагае-
слагаемое jxReA*/2. Следовательно, если Re&x больше 2, то этот до-
дополнительный член приводит к большей диссипации (диффу-
(диффузии), чем вязкий член в исходном уравнении Бюргерса. Для
уменьшения дисперсионных ошибок Леонард [Leonard, 1979a;
1979b], не вводя слишком большую искусственную вязкость,
предложил аппроксимировать конвективный член разностями
против потока с третьим порядком точности. При с>0в этом
случае получается разностная схема
~ГС\ 2&X 6Д* J~
а при с < 0 — схема
 , ( «т - 4-1 ц/+2 - 8аУ+ж + К - и*} Л
tc\ 2Ajc 6 Да: /
A/

§ 4.5. Уравнение Бюргерса, (вязкое течение) 197
4.5.2. Схема «чехарда» Дюфорта — Франкела
Мы уже отметили, что линеаризованное уравнение Бюргерса
является комбинацией волнового уравнения первого порядка и
уравнения теплопроводности. Поэтому мы можем попытаться
скомбинировать некоторые алгоритмы, использовавшиеся
раньше для решения волнового уравнения и уравнения тепло-
теплопроводности. Одной из таких схем и является схема «чехарда»
Дюфорта — Франкела. Для уравнения D.174) она имеет вид
4"/-1 | л. «Ей-«7-i_ «7+»-<!-«Г1 + «'7-1 (
Это одношаговая явная разностная схема первого порядка точ-
точности с погрешностью аппроксимации О((А*/Ал:J, (АО2, (АхJ).
Для линейного случая (А = с) модифицированное уравнение
имеет вид
«»+.... D.191)
В линейном случае можно провести анализ устойчивости мето-
методом Неймана (анализ устойчивости Фурье), и показать, что
схема устойчива при v ^ 1. Отметим, что условие устойчивости
схемы не зависит от величины коэффициента вязкости \х; это
связано с тем, что для аппроксимации вязкого члена использо-
использована схема Дюфорта — Франкела. Однако из условия согласо-
согласованности следует, что величина (At/АхJ должна стремиться
к нулю при At и Ах, стремящихся к нулю, что накладывает на
шаг по времени куда более жесткое ограничение, чем условие
v <; 1. Поэтому с точки зрения Пейрета и Вивьяна [Peyret,
Viviand 1975] схема «чехарда» Дюфорта — Франкела больше
подходит для расчета стационарного решения (в этом случае
точность расчета по времени несущественна), чем для решения
нестационарных задач. В нелинейном случае рассматриваемая
схема неустойчива, если ц = 0.
4.5.3. Метод Браиловской
И. Ю. Браиловская [1965] предложила следующую явную
двухшаговую схему для решения уравнения D.172):
Предиктор
- FU) + г («?+, - 2к? + uU). D.192)

198 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Корректор
„п+1 п А/ (vn+\ пп+1\
uj = щ — (// Fi\)
Формально эта схема имеет первый порядок точности с погреш-
погрешностью аппроксимации О (At, (Ал:J). Если мы хотим найти лишь
стационарное решение, то первый порядок точности по времени
несуществен. Для линейного уравнения Бюргерса необходимое
условие Неймана устойчивости разностной схемы имеет вид
| G |2= I - {v2 sin2p (I — v2 sin2p) + 4r(l ~ cosp) X
X [I - r (I - cos p) (I + v2 sin2P)]} < I. D.193)
Если пренебречь вязкостью (т. е. положить /- = 0), то условие
устойчивости примет вид v ^ I, а если пренебречь конвекцией,
т. е. положить v = 0, то получим, что схема устойчива при
г^ 1/2. На основе этих результатов Картер [Carter, 1971] пред-
предложил следующее условие устойчивости схемы Браиловской:
D.194)
Привлекательной особенностью этой схемы является то, что на
шагах предиктор и корректор вязкий член один и тот же, по-
поэтому его можно вычислить только один раз.
4.5.4. Метод Аллена — Чена
Аллен и Чен [Allen, Cheng, 1970] предложили модификацию
схемы Браиловской, позволяющую исключить из условия устой-
устойчивости ограничение на г. Эта схема имеет вид
Предиктор
D.195)
Корректор
„n+l n A^ l
Необычная конечно-разностная аппроксимация вязкого чле-
члена позволяет избежать ограничений на г, связанных с условием
устойчивости, поэтому рассматриваемая схема в случае линей-
линейного уравнения Бюргерса устойчива при v ^ 1. Благодаря этому
при больших \х этот метод позволяет использовать существенно
больший шаг по времени, чем метод Браиловской. Метод Ал-
Аллена— Чена формально имеет первый порядок точности с по-
погрешностью аппроксимации О(Л7, (Л*J).

§ 4 5. Уравнение Бюргерса (вязкое течение) 199
4.5.5. Метод Лакса — Вендроффа
Мы'уже применяли двухшаговый метод Лакса — Вендроффа
для решения волнового уравнения. Среди нескольких различных
вариантов использования этого метода для решения полного
уравнения Бюргерса есть и такой:
Шаг 1
[К-з/2 - K-i/2 + *ж/2) + К+з/2) - 2^+1/2 + ^_1/2)]. D.196)
Шаг 2
п+\ я А/ (пп+1/2 пп+\/2\ | /я
Этот вариант схемы Лакса — Вендроффа был использован Том-
меном [Thommen, 1966] для решения уравнений Навье — Сток-
са. Другой вариант предложен Палумбо и Рубином [Palumbo,
Rubin, 1972]. Он отличается тем, что предварительные значения
вычисляются на слое с номером п + 1» а не п + 1/2. Описанная
в этом разделе разностная схема имеет первый порядок точ-
точности с погрешностью аппроксимации О (At, (AxJ). Точное усло-
условие устойчивости этой схемы, полученное в результате линей-
линейного анализа устойчивости, имеет вид
^ . D.197)
4.5.6. Метод Мак-Кормака
Применяя метод Мак-Кормака к полному уравнению Бюр-
Бюргерса D.172), получаем разностную схему
Предиктор
1^ = 1*1 - -^ (Fhi -Fl) + r (и?+1 - 2а? + uU\ DЛ98)
Корректор
<.n+l 1 Г,/1 I *,n+l Af (пп+\ пП+Т\ I *. d.'i+T Of n+l , «+1
Эта схема имеет второй порядок точности как по пространству,
так и по времени. Эта разностная схема получена при аппрок-
аппроксимации производной дР/дх на шаге предиктор разностями впе-
вперед, а на шаге корректор — разностями назад. Возможен и дру-
другой вариант схемы Мак-Кормака, использующий на шаге пре-
предиктор разности назад, а на шаге корректор — разности вперед.

200 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Оба варианта схемы Мак-Кормака имеют второй порядок точ-
точности. Найти точное условие устойчивости метода Мак-Кормака
при решении уравнения Бюргерса не удается, однако можйо
использовать либо условие D.194), либо эмпирическую формулу
[Tannehill et al., 1975]
причем в обоих случаях с некоторым коэффициентом запаса.
Последняя формула при |Л|, равном нулю, переходит в обыч-
обычное для вязкого члена условие г ^ 1/2, а при |л, равном нулю,
она переходит в обычное невязкое условие устойчивости
\A\kt/Ax^L Метод Мак-Кормака широко применялся не
только для решения уравнений Эйлера, но и для решения урав-
уравнений Навье — Стокса в случае ламинарного течения. Для мно-
многомерных задач разработан метод Мак-Кормака с ращеплением
по времени, который будет описан в п. 4.5.8. Для решения задач
с большими числами Рейнольдса Мак-Кормак разработал метод
быстрого решения уравнений [MacCormack, 1976] и неявный
метод [MacCormack, 1981], который будет* описан в гл. 9.
Интересный вариант обычного метода Мак-Кормака полу-
получается при применении верхней релаксации на обоих шагах
предиктор и корректор [Desideri, Tannehill, 1977a]:
Предиктор
оР = «У —Е- (tf+i - Я) + г Gfr+i - 2и? + «?_,)>
«Г^ + йСир-и,»).
Корректор
В приведенных соотношениях v — промежуточные значения не-
неизвестных, аи — их конечные значения, со и со — релаксацион-
релаксационные параметры, a uf — значение uf, полученное на предыдущем
временном слое. Обычная схема Мак-Кормака получается, если
положить й=1, (о= 1/2. В общем случае метод Мак-Кормака
с верхней релаксацией имеет первый порядок точности с погреш-
погрешностью аппроксимации О (А/, (АхJ). Однако можно показать
[Desideri, Tannehill, 1977b], что если
сой = | ш — со |, D.202)
то при решении линейного уравнения Бюргерса этот метод
имеет второй порядок точности. Применение верхней релаксации

§ 4.5. Уравнение Бюргерса (вязкое течение) 201
ускоряет сходимость численного метода по сравнению с обычным
методом Мак-Кормака примерно в Q раз, где
D.203)
1 — (о— 1)(а>— 1) •
Анализ устойчивости Фурье в случае линейного уравнения. Бюр-
Бюргерса не позволяет найти необходимые и достаточные условия
устойчивости рассматриваемой разностной схемы в виде алгеб-
алгебраического соотношения между параметрами v, r, со и со. Однако
необходимое условие устойчивости имеет вид
D.204)
В общем случае условие устойчивости схемы приходится нахо-
находить численно, и оно оказывается обычно более жестким, чем
условия 5<2ио)<2.
4.5.7. Метод Брили — Макдональда
Неявный метод Брили — Макдональда [Briley, McDonald,
1973] основан на следующей конечно-разностной аппроксима-
аппроксимации по времени уравнения D.172) (фактически применяется
неявный метод Эйлера):
dF\n+l /д2и\п+1
Ы) Ы
)/+I
Член (AF/dJt)/+I разлагается в ряд Тейлора
при этом появляется производная d/dt(dF/dx), которая преоб-
преобразуется следующим образом:
dt \ дх ) ~ дх \ dt ) ~ дх \ ди dt ) дх \п dt
И наконец, комбинируя соотношения D.205) — D.207) и аппрок-
аппроксимируя производные по времени разностями вперед, а произ-
производные по пространству центральными разностями, получаем
схему Брили — Макдональда
"r 2 Ах "г
At • "r 2 Ах

202 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
Формально это схема первого порядка точности с погрешностью
аппроксимации О (At, (AxJ), однако стационарное решение оп-
определяется с погрешностью аппроксимации О ((АхJ). Точность
разностной схемы по времени может быть повышена, если для
аппроксимации производных по времени" использовать центри-
центрированные разности или если ввести еще один временной слой,
как это было уже сделано в случае схемы Бима — Уорминга.
Например, применяя для аппроксимации производных по вре-
времени в уравнении D.172) центрированные разности, получаем
Г1 др ТЧ^Л1
D.209)
Поступая так же, как в раньше, получаем следующую разно-
разностную схему второго порядка точности:
ui -ui , Fi+\-Fl-l , A!+l KuI+l "" tt/+lJ "~ A!~\ \u!-\ "" u!-\) _
Обе разностные схемы D.208) и D.210) безусловно устойчивы и
приводят к системам линейных алгебраических уравнений с трех-
диагональной матрицей, которые можно решать прогонкой.
Метод Брили — Макдональда тесно связан с методом реше-
решения уравнений Навье — Стокса, разработанным Бимом и Уор-
мингом [Beam, Warming, 1978]. Разностные схемы, полученные
при решении этими методами уравнения Бюргерса, могут быть
приведены к одному и тому же виду. Для этого записанные в
дельта-форме члены в схеме Бима — Уорминга надо выразить
через неизвестные (т. е. заменить Дн^ на (И/+1 "-"**/))• Метод
Бима — Уорминга решения уравнений Навье —- Стокса описан
в гл. 9.
4.5.8. Метод Мак-Кормака с расщеплением по времени
Для иллюстрации применения численных методов, предна-
предназначенных специально для решения многомерных задач, рас-
рассмотрим двумерное уравнение Бюргерса
Если ввести Л, равное dF/du, и В, равное dG/du, то уравнение
D.211) можно переписать в виде
Щ + Аих + Вии = \х(ихх + иуу). D.212)

§ 4.5. Уравнение Бюргерса (вязкое течение) 203
Рей [Rai, 1982] получил точное стационарное решение двумер-
двумерного линеаризованного уравнения Бюргерса
ut + cux + duy = \i(uxx + uyy) D.213)
с граничными условиями @ ^ t ^ оо)
M(Xjl>/) = 0,
и 214)
/У/П ,, а — 1 — ехр[(у — 1) tf/|A] (] Л_
и начальным условием
а(*, у, 0) = 0 @
Решение имеет вид
p[()/|]Hp[(y)/|]
_ ехр (_ с/|1) }| 1 - ехр (- d/rt J *
Отметим, что записанное в таком виде решение легко обоб-
обобщается на случай трехмерного линеаризованного уравнения
Бюргерса. Все рассмотренные методы решения одномерного
уравнения Бюргерса применимы и для решения двумерного
уравнения Бюргерса, однако при решении многомерных задач
используют обычно модифицированные алгоритмы. Это связано
с тем, что условия устойчивости явных схем становятся более
жесткими, а при использовании неявных схем желательно
свести задачу к решению систем уравнений с трехдиагональной
матрицей. В качестве примера такой модификации рассмотрим
явный метод Мак-Кормака с расщеплением по времени.
Метод Мак-Кормака с расщеплением по времени [МасСог-
mack, 1971; MacCormack, Baldwin, 1975] так «расщепляет» ори-
оригинальную схему Мак-Кормака, что решение многомерной за-
задачи сводится к последовательному решению одномерных за-
задач. Благодаря этому условие устойчивости разностной схемы
становится менее жестким. Другими словами, расщепление поз-
позволяет получить решение в каждом направлении с максимально
допустимым шагом по времени. Особенно заметно преимущество
расщепления в том частном случае, когда максимально допу-
допустимые шаги по времени Atx, Му сильно отличаются друг от
друга из-за различия шагов Дх, Ау разностной сетки. Чтобы
записать метод расщепления, воспользуемся одномерными раз-
разностными операторами Lx(Atx) и Ly(Aty). Если оператор Lx{Atx)
применяется к величине и? р то выражение

204 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
по определению эквивалентно следующей двухшаговой фор-
формуле:
«1 / = «?,/- -БГ ^"-н. / - #. /) + й ***&? /»
D'217)
Верхним индексом * обозначен фиктивный временной слой. Ана-
Аналогично определяется и оператор Ly(Aty). Выражение
по определению эквивалентно
п\ i = uli-^- (О?. /+1 - Gl
D.219)
Применяя к величине ип{ f операторы Lx и L^, разностную
схему второго порядка точности можно построить следующим
образом:
«Г/1 - Lu (-г)L* ^ L» (f-)"" /* D-220>
Эта разностная схема имеет погрешность аппроксимации
О ((А/J, (АхJ, (At/J). В общем случае разностная схема, по-
полученная при применении такой последовательности операторов,
удовлетворяет следующим условиям: A) устойчивости, если для
каждого оператора шаг по времени не превосходит максимально
допустимый для этого оператора; B) согласованности, если сум-
суммы шагов по времени для каждого оператора совпадают; C) ап-
аппроксимации со вторым порядком точности, если последова-
последовательность операторов симметрична.
Приведем другие последовательности операторов, удовлетво-
удовлетворяющих перечисленным условиям:
Hi —Lu\ 2 )ЬЛ 2 )LA 2 )Lv\ 2 )UU>
[/ Л/ \im r / \t \~im
^(¦s-)] M*>[*.(&)] «?.,.
где m — целое. Последнее выражение особенно полезно в случае
At/ < Ах.

§ 4.5. Уравнение Бюргерса (вязкое течение) 205
4.5.9. Неявные методы переменных направлений
Для решения уравнений Навье — СтОкса движения газа
В. И. Полежаев [1967] предложил модифицированный неявный
метод переменных направлений Писмена — Ракфорда. Приме-
Применяя этот метод к решению двумерного уравнения Бюргерса
D.212), получаем разностную схему
D.222)
-['-•?(«'¦&-¦*)]*,.
Это схема первого порядка точности с погрешностью аппрокси-
аппроксимации О (А/, (АхJ (А*/J). В линейном случае она безусловно
устойчива. Очевидно, на каждом шаге по времени необходимо
решать систему алгебраических уравнений с трехдиагональной
матрицей.
Если разностную схему Брили — Макдональда D.208) прямо
применить для решения двумерного уравнения Бюргерса, то за-
задача сведется к решению системы алгебраических уравнений,
матрица которой отлична от трехдиагональной. От этого недо-
недостатка схемы можно избавиться, воспользовавшись двухшаго-
вым методом переменных направлений Дугласа — Ганна [Doug-
[Douglas, Gunn, 1964]
= [ 1 - М (Jfc Bl / - »hl)] ul i + (A/) Sl /, D.223)
D.224)
где

206 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
4.5.10. Многоитерационный метод предиктор-корректор
Рубин и Лин [Rubin, Lin, 1972] предложили многоитера-
многоитерационный метод предиктор-корректор для расчета параболизо-
ванных уравнений Навье— Стокса. Этот метод исключает одно-
одновременное появление в уравнениях значений функций в узло-
узловых точках по нормальному у и поперечному z направлениям,
а для достижения приемлемой точности используются итерации.
Для иллюстрации этого метода применим его к решению трех-
трехмерного линейного уравнения Бюргерса
их + сиу + duz = \i (иуу + и22), D.225)
которое является модельным уравнением для параболизованных
уравнений Навье — Стокса. В результате применения к этому
уравнению многоитерационного метода предиктор-корректор по-
получим разностную схему
„т + 1 \
m+l /у
i+Uj%k Ui,l,k
h.!/-..») +
4_Ji±L.////n __9m^+1. 4-ttm ^ D 226}
fA2^* V /+1» /» «+1 ' < +1, /, At ' l + l, 1, k — lj* \ • ** /
\ /
где индексом т обозначен номер итерации, х = /Ах, у = /At/,
z = &Дг. На первой итерации т полагается равным нулю, а со-
соответствующие члены уравнения аппроксимируются либо про-
простой линейной подстановкой u(j+l j k~ui / &> либо с использова-
использованием разложений в ряд Тейлора, таких, как
«i+i. /. * = 2Ч /. ш - «1-1. /. * + О ((А^J).
Тогда в уравнение D.226) при т = 0 входят лишь три неизве-
неизвестные
«J+,i/+i.*. «i+i./.*. «}+i./-!.*. D-227)
которые могут быть найдены из решения системы алгебраиче-
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. В плоскости с но-
номером /+ 1 расчет проводится в направлении от столбца с но-
номером k = 1, на котором заданы граничные условия, до послед-
последнего по k столбца узловых точек. На этом первая итерация за-
заканчивается. На следующей итерации (т=\) в уравнение
D.226) также входят три неизвестные:
«?+,.,+,.*, «?+,,,.» «?+!./-!. *• D-228)

Задачи 207
Итерационный процесс продолжается, до тех пор, пока решение
в плоскости i + 1 не сойдется. Обычно для достижения прием-
приемлемой точности достаточно двух итераций (т = 0, т=\).
После этого переходят к расчету в плоскости i + 2.
§ 4.6. Заключительные замечания
В этой главе мы попытались привести основные конечно-
разностные методы решения простых модельных уравнений. При
этом не ставилась задача описать все известные методы реше-
решения этих уравнений, поэтому некоторые довольно полезные ме-
методы не приведены. Однако представленные методы являются
разумной предпосылкой для анализа методов решения более
сложных задач, описанных в гл. 6—9.
Из представленной в этой главе информации видно, что для
решения одной и той же задачи можно использовать множе-
множество различных численных методов. Отличие в качестве реше-
решений, получаемых этими методами, часто невелико, поэтому вы-
выбрать оптимальный метод довольно сложно. Однако выбрать
наилучший метод можно при помощи опыта, полученного при
программировании различными численными методами и после-
последующем решении на ЭВМ модельных уравнений, описанных
в этой главе. \
Задачи
4.1. Выведите соотношение D.19).
4.2. Получите модифицированное уравнение для схемы Лакса решения
волнового уравнения. Сохраните члены вплоть до ихххх.
4.3. Повторите задачу 4.2 для неявной схемы Эйлера.
4.4. Получите модифицированное уравнение для схемы с перешагиванием
(схемы «чехарда»). Сохраните члены вплоть до иххххх.
4.5. Повторите задачу 4.4 для схемы Лакса — Вендроффа.
4.6. Определите погрешность вычисления амплитуды и фазы при Р = 90°
после 10 шагов по времени, если волновое уравнение решается методом
Лакса с v = 0.5.
4.7. Повторите задачу 4.6 для метода Мак-Кормака.
4.8. Пусть метод Лакса используется для решения волнового уравнения
(с =1/2) с начальным условием и(х, 0)= sinBnx)y 0 ^ х < 2, и периодиче-
периодическими граничными условиями при Длс = 0.02 и Л/ = 0.02.
(a) Используя коэффициент перехода, найдите погрешность определения
амплитуды и фазы после 20 шагов по времени.
(b) Используя модифицированное уравнение, найдите (приближенно) по-
погрешность определения амплитуды после 20 шагов по времени.
Указание. Точное решение линейного уравнения Бюргерса

208 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
с начальным условием и(х, 0)= sin(foc) и периодическими граничными усло-
условиями имеет вид
и (jc, /) — ехр (- fcty) sin [k (х — ct)].
4.9. Найдите коэффициент перехода при решении волнового уравнения
методом с перешагиванием (методом «чехарда») и определите условия устой-
устойчивости получающейся разностной схемы.
4.10. Повторите задачу 4.9 для метода с разностями против потока.
4.11. Покажите, что при решении волнового уравнения методом Русанова
получается разностная схема, эквивалентная следующей одношаговой раз-
разностной схеме:
о -!-)«?+*& (j+4)«" -
4.12. Используя метод Неймана, найдите условие устойчивости разност-
разностной схемы, получаемой при решении волного уравнения методом Русанова.
Указание: см. задачу 4.11.
4.13. Кроули [Crowley, 1967] предложил явную разностную схему второго
порядка точности для решения волнового уравнения
«Г1=«? - v (на) «/ + т- («#>*)«? - т *3 №)«/•
- (а) Получите модифицированное уравнение для этой схемы, сохранив
члены вплоть до иххххх,
(b) Найдите необходимые условия устойчивости этой схемы.
(c) Определите погрешность вычисления амплитуды и фазы после 10 ша-
шагов по времени при Р = 90Г, если при решении волнового уравнения v = 1.
' 4.14. Решите на ЭВМ волновое уравнение щ+их=0> используя (а) схему
Лакса; (Ь) схему Лакса — Вендроффа при начальном условии и(х, 0) =
= sin2nn(x/L)t 0<*<L, и периодических граничных условиях. Исполь-
Используйте сетку, состоящую из 41 точки при Аде = 1, и проведите расчет до
t = 18. Решите эту задачу для п = 1, 3 и v = 1.0, 0.6, 0.3; полученные ре-
результаты сопоставьте графически с точным решением. Определите значения Р
для п = 1 и п = 3 и вычислите погрешность в определении амплитуды и
фазы для каждой из схем при v = 0.6. Сравните эти ошибки с ошибками, най-
найденными из графиков.
4.15. Повторите задачу 4.14 для следующих схем: (а) схемы с разно-
разностями против потока; (Ь) схемы Мак-Кормака.
4.16. Повторите задачу 4.14 для следующих схем: (а) схемы Мак-Кор-
Мак-Кормака, (Ь) схемы Русанова (о) = 3).
4.17. Решите на ЭВМ волновое уравнение ш + их = 0, используя (а) схе-
схему с разностями против потока, (Ь) схему Мак-Кормака, если заданы на-
начальные условия
и(Ху 0) = 1, *<10,
м (лг, 0) = 0, *>10,
и граничные условия Дирихле. Используйте разностную сетку, состоящую
из 41 узла при Дх = 1, и проведите расчет до значений t = 18. Решите эту

Задачи
209
задачу для v = 1.0, 0.6, 0.3; полученные результаты сравните графически
с точным решением.
4.18. Используя схему с разностями против потока, найдите решение дву-
двумерного волнового уравнения
и условия устойчивости полученной разностной схемы.
4.19. Получите модифицированное уравнение для простого неявного ме-
метода решения одномерного уравнения теплопроводности. Сохраните члены,
включающие производные до иХХхххх-
4.20. Определите условия устойчивости разностной схемы, полученной при
помощи комбинированного метода В к ре-
решению одномерного уравнения теплопро-
теплопроводности.
t
4.21. Определите коэффициент перехо-
перехода, для явной схемы переменных направле-
направлений Саульева и .найдите условия устойчи-
устойчивости этой схемы.
4.22. Покажите, что для узлов сетки
с четными номерами (i + / + п) построен-
построенная методом «классики» разностная схема
принимает вид
•
= 2и?
1 — и'
/777777777777
3
-*- X
Z
Рис. 3-4.1.
4.23. Используйте простой явный ме-
метод для решения одномерного урав-
уравнения теплопроводности на разностной сетке, которая показана на рис. 3-4.1,
при граничных условиях иг
1
1
и начальных условиях u{=2 = i
¦ 1. Покажите, что при
«2 = 1. Покажите, что при г = 1/4
стационарное значение и в точке / = 2
равно
п
fc=l j
л\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Обратите внимание на то, что члены
37 этого ряда образуют геометрическую
прогрессию, сумма которой известна.
Рис. 3-4.2. 4.24. Используйте неявный метод
переменных направлений для решения
двумерного волнового уравнения и найдите un+l во внутренних узлах изо-
изображенной на рис. 3-4.2 сетки при гх = гу = 2, если заданы начальные
условия
ип = 1 —=4— на линии у = О,
ип = 1 — •
на линии
2Д*/
ип=*0 всюду вне этих линий,
а граничные условия сохраняются равными их начальным значениям.

210 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
4.25. Решите на ЭВМ уравнение теплопроводности щ = 0.2иХх, исполь-
используя (а) простую явную схему, (Ь) явную схему переменных направлений
[Barakat, Clark, 1966], если заданы начальные условия
и (х, 0) = 100 sin (jm/L), L = 1,
и граничные условия и@, t)= u(L, t)= 0. Проведите расчеты до t = 0.5 при
приведенных в табл. 3-4.1 параметрах (если это возможно) и полученные
результаты сравните графически с точным решением.
Таблица 3-4.1.
№ варианта Количество узлов сетки г
1 И ' 0.25
2 11 0.50
3 16 0.50
4 11 1.00
5 11 2.00
4.26. Повторите задачу 4.25 для схемы Кранка — Николсона.
4.27. Повторите задачу 4.25 для схемы Дюфорта — Франкела.
4.28. Уравнение теплопроводности
дТ = д2Т
dt a дх2
описывает изменение по времени температуры в однородном твердом теле
с постоянными свойствами, если изменение температуры происходит лишь
в одном направлении. Физически это почти точно можно осуществить в длин-
длинном тонком стержне или в очень большой (бесконечной) стенке конечной
толщины.
Рассмотрим большую стенку толщины L с начальным распределением
температуры T(t,x) = csm(nx/L). Если температура поверхностей стенки и
в дальнейшем поддерживается равной 0°, то решение для температуры при
t > 0, 0 < х < L, равно
Т (t, х) = с ехр (—jz—J sin —.
Положим с = 100 °С, L = 1 м, а = 0.02 м2/ч. Рассмотрим два явных метода
решения этой задачи: (А) простую явную схему D.73), устойчивую при
аДг/(ДхJ < 1/2; (В) явную схему переменных направлений D.107), пред-
предложенную в работе [Barakat, Clark, 1966]. При использовании этой схемы
уравнение для р"+1 решают явным методом, начиная с границы х = 0,
а уравнение для qf+ — начиная с границы х = L. При использовании этой
схемы условие устойчивости не ограничивает величину шага по времени. Со-
Составьте программы решения на ЭВМ рассматриваемой задачи указанными
методами А и В. Кроме того, для сравнения методов вам придется вычис-
вычислить точное решение. Сопоставьте эти методы хотя бы в следующих слу-
случаях:
1. Для Дл: = 0.1, Л^ = 0.1 (соответствующее значение a At/(АхJ = 0.2)
сопоставьте результаты, полученные методами. А и В, с точным решением
при t = 10 ч. Сравнение проводится графически.

Задачи
211
2. Повторите указанное выше сопоставление на более мелкой сетке, по-
полагая А* = 0.066667 (т. е. при уменьшении шага в 15 раз). Согласуется ли
уменьшение погрешности с порядком аппроксимации О (АхJ?
3. Для Ал; = 0.1 подберите At так, чтобы a At/(АхJ = 0.5, и сопоставьте
при t « 10 ч результаты расчетов методами А и В с точным решением.
4. Покажите, что при aAt/(AxJf больших 0.5, метод А становится не-
неустойчивым. Одним из возможных путей решения этой задачи является по-
построение на средней линии тела зависимости температуры от времени при
аД//(Ал:J « 0.6 при значениях времени 10—20 ч.
5. Для Ал: = 0.1 подберите А* так, чтобы aAt/(AxJ = 1.0, и сопоставьте
при t « 10 ч результаты расчетов методом В с точным решением.
6. Увеличивая aAt/(AxJ до 2, потом до 3 и т. д., повторите проведенное
в предыдущем задании 5 сравнение до тех пор, пока согласованность резуль-
результатов с точным решением не станет заметно плохой.
4.29. Повторите задачу 4.28, используя в качестве схемы В схему Кран-
ка — Николсона.
4.30. Повторите задачу 4.28, используя в качестве схемы В простую не-
неявную схему.
4.31. Придумайте метод решения задачи 4.28, используя конечно-разност-
конечно-разностную аппроксимацию вторых производных C.35) с четвертым порядком точ-
точности.
4.32. Используйте конечно-разностную аппроксимацию C.35) вторых про-
производных
a*2
для построения конечно-разностного аналога уравнения Лапласа при Ах=Ау.
Используя значения и в узлах разностной сетки, перейдите к явной записи
разностной схемы. Чему равна погрешность
аппроксимации такой разностной схемы?
4.33. Найдите погрешность аппроксима-
аппроксимации конечно-разностной схемы D.114) реше-
решения уравнения Лапласа при (а) Д# = Ау\
(Ъ) Ах Ф Ау.
4.34. Чему равна погрешность аппроксима-
аппроксимации уравнения Пуассона ихх + иуу = х + у по
девятиточечной разностной схеме D.114) при
Ал: = Ау?
1
2
3
5 '
6
'I
30 cm
И ЗОш И
Рис. 3-4.3. Too = О °С; h
= 28 Вт/м2.°С.
4.35. В поперечном сечении, изображен-
ном на рис. 3-4.3, поверхность 1—4—7 яв-
ляется теплоизолированной (адиабатической).
Коэффициент теплопередачи на поверхности 1—2—3 равен 28 Вт/м2-°С. Ко-
Коэффициент теплопроводности твердого материала равен 3.5 Вт/м2-°С. Исполь-
Используя итерационный метод Гаусса—Зайделя, найдите температуру в узлах 1,
2, 4 и 5.
4.36. Цилиндрическое ребро в форме иглы (рис. 3-4.4) прикреплено
к стенке, имеющей температуру 200 °С, а его поверхность находится в газе
с температурой 30°С. Коэффициент теплопередачи равен 300 Вт/м2-°С. Игла
сделана из нержавеющей стали с коэффициентом теплопроводности

212 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
18 Вт/м2*°С. Разделите иглу на 5 частей и при помощи итерационного метода
Гаусса — Зайделя. найдите температуру в узлах сетки. Вычислите скорость
теплопередачи со всей поверхности иглы. При этом вы можете пренебречь
1 « 2
•100 ОМ
1.
Рис. 3-4.4.
потерями тепла через наружный конец иглы (т. е. предположить, что он
теплоизолирован).
4.37. Решите двумерное стационарное уравнение теплопроводности в квад-
квадратной области 0 < х < 1, 0 <у <\t используя разностные сетки с шагами
д# = д# = 0.2 и 0.1. Сравните температуру в центре квадрата с точным
решением. Граничные условия имеют вид
Т = 0, * = 0, *=1,
Т = sin (nx), у = \.
4.38. Рассмотрим описываемый уравнением Лапласа стационарный про-
процесс распространения тепла в двумерной области, изображенной на рис. 3-4.5.
6
150°С
>200
50°С
Рис. 3-4.5.
Сетка квадратная, т. е. А* = Д# = 0.02 м. Условия на левой границе от точ-
точки G до следующей нижней точки имеют вид
4Ч
т = 300° С, h — 250 Вт/м2 • °С, к — 5 Вт/м • °С.

Задачи 213
(a) Используя метод контрольного объема, найдите приближенное раз-
разностное уравнение для температуры границы в точке G.
(b) Построив подходящий конечно-разностный аналог уравнения Лап-
Лапласа, найдите стационарное распределение температуры итерационным мето-
методом Гаусса — Зайделя.
4.39. Решите задачу 4.38, используя метод итераций по строкам.
4.40. Пусть в стационарном случае требуется оценить распределение тем-
температуры в двумерной стенке камеры сгорания. Для такого предварительного
анализа ее форма упрощена и показана на рис. 3-4.6. Напишите программу
Горячий газ
г
il
10 см
Теплоияплипаванте --Охлаждаемая
^Жки Н*~Ш см""и поверхность канала
И 20 см И
Рис. 3-4.6. Для горячего газа: hg = 1000 Вт/м2-°С, Tg = 2000°С; для'охлаж-
для'охлаждаемой поверхности канала: h = 8000 Вт/м2-°С, Ть = 60 °С.
решения этой задачи на ЭВМ методом Гаусса — Зайделя с последовательной
верхней релаксацией. Особое внимание обратите на уравнения на границе об-
области. Положите шаг сетки равным 2 см (Д* = Д#), в результате получите
сетку 6ХП.
(a) Вычислите стационарное поле температуры.
(b) Вычислите скорость теплопередачи на верхней стенке и проверьте,
как близко она совпадает с теплом, снимаемым охладителем.
(c) При одном и том же условии сходимости итераций проведите рас-
расчеты для трех различных значений релаксационного параметра со. Если вы
можете использовать больше времени ЭВМ, то проведите более подробный
поиск оптимального значения этого параметра co0pt.
4.41. Решите задачу 4.40, используя метод итераций по строкам.
4.42. Решите задачу 4.40, используя неявный метод переменных направ-
направлений.
4.43. Используйте схему Лакса для решения невязкого уравнения Бюр-
герса на сетке, содержащей 51 узел в направлении оси х. Решите уравнение
для движущегося вправо разрыва, если и = 1 в первых 11 узлах сетки и
и = 0 в остальных узлах. Повторите расчеты при числах Куранта, равных
1.0, 0.6, 0.3, и сравните полученные численно решения с аналитическим реше-
решением в те же моменты времени.
4.44. Повторите задачу 4.43, используя схему Мак-Кормака. Примените
оба варианта этой схемы с чередованием на шагах предиктор и корректор
производных вперед — назад и назад — вперед.
4.45. Повторите задачу 4.43, используя схему Уорминга — Катлера — Ло-
макса.
4.46. Повторите задачу 4.43, используя схему Бима — Уорминга.

214 Гл. 4. Метод конечных разностей для модельных уравнений
4.47. Найдите решение невязкого уравнения Бюргерса для течения с раз-
разрежением. Начальные условия заданы так: и = 0 в первых 21 узлах раз-
разностной сетки и и = 1 всюду вне этих узлов. Примените оба варианта схемы
Мак-Кормака с чередованием на шагах предиктор и корректор производных
вперед — назад и назад — вперед. Сравните результаты, полученные при двух
различных числах Куранта, с точным аналитическим решением.
4.48. Повторите задачу 4.47, используя центрированную по времени схему
Бима — Уорминга и неявную схему Эйлера.
4.49. Решите уравнение Бюргерса для неподвижного разрыва в вязкой
жидкости. Начальные условия заданы так: «=1 в левой граничной точке,
и = —1 в правой граничной точке ий = 0в остальных точках. Используйте
для решения этой задачи схему Мак-Кормака.
4.50. Повторите задачу 4.49, используя схему Бима — Уорминга.
4.51. Постройте графически точное стационарное решение уравнения
D.158) с граничными условиями и@, t) = 1, u(\tf) = 0 при \i = 0,1.
4.52. Проверьте, что соотношение D.169) является точным стационарным
решением уравнения D.168).
4.53. Найдите условия устойчивости разностной схемы, полученной при
решении одномерного линейного уравнения Бюргерса методом ВВЦП.
4.54. Найдите условия устойчивости схемы с разностями против потока
D.186).
4.55. Используя метод ВВЦП для решения линейного уравнения Бюргерса
с начальным условием и(х, 0)=0, 0 ^ х ^ 1, и граничными условиями
к@, 0= Ю0, u(l,t)= 0 на разностной сетке, состоящей из 21 узла, найдите
стационарное решение при следующих значениях параметров:
(a) г = 0.50, v = 0.25;
(b) г = 0.50, v=1.00;
(c) г = 0.10, v = 0.40;
(d) г = 0.05, v = 0.50
и сопоставьте результаты численных расчетов с точным, решением.
4.56. Повторите задачу 4.55, используя схему D.188).
4.57. Повторите задачу 4.55, используя схему «чехарда» Дюфорта —
Франкела.
4.58. Повторите задачу 4.55, используя схему Аллена — Чена.
4.59. Определите методом Неймана условия устойчивости разностной
схемы D.188).
4.60. Найдите модифицированное уравнение для схемы Аллена — Чена,
сохранив члены до иххх включительно.
4.61. Используйте схему Браиловской для решения линейного уравнения
Бюргерса на приведенной на рис. 3-4.7 сетке и покажите, что стационарное
значение и при / = 2 равно
п
и™= lim > п . =-—.
2 „->«> La з"-' 2

Задачи
215
Граничные условия имеют вид и^ = 3/2 = и^у а начальное условие имеет вид
«2 = 1. Для решения этой задачи использовать ЭВМ не надо.
4.62. Используйте схему Бима — Уорминга с аппроксимацией производ-
производных по времени неявным методом Эйлера для решения линейного уравнения
Бюргерса на сетке, изображенной на рис. 3-4.8. Определите стационарные
1
1
1
i
3
i
\\\\\\\\\v.v\
2 3
х
x
Рис. 3-4.7. с = 1 м/с, \i = 1/3 м2/с, Рис. 3-4.8. с = 2 м/с, |х = 2 м2/с,
v = 1, А* = 1 м. А* = 1 м.
значения и при / = 2 и / = 3. Граничные условия имеют вид uf =? 1,
\
0 = и\. Для решения этой задачи использо-
использоа начальные условия — вид их2 •
вать ЭВМ не надо.
4.63. Примените двухшаговую схему Лакса — Вендроффа к уравнению
в частных производных
ut ""•"* х ииххх »
где F = F(u). Получите конечно-разностные уравнения.
4.64. Решите линейное уравнение Бюргерса, используя (а) схему ВВЦП,
(Ь) схему с разностями против потока D.186), (с) схему Леонарда D.188).
Пусть задано начальное условие и(х, 0) = 0, 0 < х ^ 1, а граничные условия
имеют вид u(Q,t)= 100, u(\,t)=O. Расчет проведите на сетке, состоящей
из 21 узла. Найдите стационарное решение при г = 0.10 и v = 0.40. Сопо-
Сопоставьте численное и точное решения.
4.65. Повторите задачу 4.64, используя следующие схемы: (а) схему «че-
«чехарда» Дюфорта — Франкела, (Ь) схему Аллена — Чена, (с) схему Мак-Кор-
мака D.198).
4.66. Повторите задачу 4.64, используя схему Брили — Макдональда с ап-
аппроксимацией производных по времени неявным методом Эйлера.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ
КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ К УРАВНЕНИЯМ
ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛООБМЕНА
Глава 5
Основные уравнения механики
жидкости и теплообмена
В этой главе речь пойдет об основных уравнениях механики
жидкости, и теплообмена (т. е. динамики жидкости). Мы пола-
полагаем, что читатель имеет некоторое начальное представление об
обсуждаемых в данной главе вопросах, поэтому не приводим
подробного вывода уравнений. Уравнения рассматриваются в
порядке убывания сложности. В большинстве случаев приво-.
дятся только общепринятые формы записи. В последующих гла-
главах будут представлены другие формы записи основных уравне-
уравнений динамики жидкости, специально упрощенные для целей вы-
вычислений. В эту главу включен также раздел, являющийся ввег
дением в моделирование турбулентности.
§ 5.1. Основные уравнения
Фундаментальные уравнения динамики жидкости основаны
на универсальных законах сохранения: сохранения массы, со-
сохранения количества движения и сохранения энергии. Уравне-
Уравнение, получающееся в результате применения закона сохранения
массы к потоку жидкости, называется уравнением неразрывно-
неразрывности. Закон сохранения количества движения — это второй закон
Ньютона. Его применение к потоку .жидкости дает векторное
уравнение, известное как уравнение количества движения или
как уравнение импульса. Закон сохранения энергии тождествен
первому закону термодинамики- и в динамике жидкости уравне-
уравнение, являющееся его выражением, называется уравнением энер-

§ 5.1. Основные уравнения 217
гии. Для замыкания системы к уравнениям, полученным из упо-
упомянутых выше законов сохранения, следует добавить соотноше-
соотношения, устанавливающие связь между свойствами жидкости. При-
Примером такого соотношения может быть уравнение состояния,
связывающее термодинамические параметры жидкости: давле-
давление р, плотность р и температуру Т.
Исторически сложились два подхода к получению уравнений
динамики жидкости: феноменологический и использующий ки-
кинетическую теорию. В первом случае постулируются определен-
определенные соотношения между механическим напряжением и ско-
скоростью деформации, между потоком тепла и градиентом темпе-
температуры, после чего урайнения динамики жидкости выводятся из
законов сохранения. Требуемые константы пропорциональности
"между напряжением и скоростью деформации и между потоком
тепла и градиентом температуры (называемые коэффициентами
переноса) в этом подходе должны определяться эксперимен-
экспериментальным путем. Во втором подходе (называемом еще матема-
математической теорией неоднородных газов) уравнения динамики
жидкости получают с коэффициентами переноса, которые опре-
определяются в рамках некоторых интегральных соотношений, воз-
возникающих при рассмотрении динамики сталкивающихся частиц.
Слабая сторона этого подхода состоит в том, что при вычисле-
вычислении интеграла столкновения необходимо определить силы взаи-
взаимодействия между частицами. Таким образом, неопределен-
неопределенность феноменологического подхода, обусловленная эксперимен-
экспериментом, сменяется неопределенностью математического свойства
в кинетическом подходе. Эти два подхода приведут к одним и
тем же уравнениям динамики жидкости, если при их выводе
делаются равнозначные допущения.
Мы не будем здесь выводить основные уравнения динамики
жидкости. Вывод вы найдете в монографиях Шлихтинга (фено-
(феноменологический подход) [Schlichting, 1968] и Гиршфельдера
(кинетическая теория) [Hirschfelder et al., 1954]. Мы же приве-
приведем уравнения для случая однородной жидкости без диффузии
и химических реакций, протекающих с конечной скоростью. Для
включения этих эффектов необходимо рассматривать уравнения
неразрывности для каждой из компонент реагирующего газа,
а в уравнение энергии добавить диффузионные члены. Подроб-
Подробные сведения о течениях с химическими реакциями можно найти
в книге Дорранса [Dorrance, 1962].
5.1.1. Уравнение неразрывности
Применяя закон сохранения массы к жидкости, протекающей
через фиксированный бесконечно малый контрольный объем

218 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
(рис. 5.1), получим уравнение неразрывности
|? Of E.1)
где р — плотность жидкости, а V — ее скорость. Первый член
этого уравнения дает увеличение плотности в контрольном объ-
объеме за единицу времени, второй — поток массы через поверхность
Контрольная
поверхность
Рис. 5.1. Контрольный объем при использовании подхода Эйлера.
контрольного объема за единицу времени, отнесенный к единице
объема. Удобно воспользоваться понятием субстанциональной
производной
^-4H- + v-»( ) И
для преобразования уравнения E.1) к виду
§J V) = O. E.3)
Уравнение E.1) было выведено с использованием подхода
Эйлера. В этом подходе фиксируется контрольный объем и рас-
рассматривается баланс жидкости, протекающий через его поверх-
поверхность. В альтернативном подходе Лагранжа изменения свойств
некоторого жидкого элемента фиксируются наблюдателем, дви-
движущимся вместе с этим элементом. Обычно в задачах механики
жидкости подход Эйлера удобнее.
В декартовой системе координат, где и; и, w суть компоненты
скорости по осям х, у, z, уравнение E.1) принимает вид
"ЯГ <0"> + W

§ 5.1. Основные уравнения 219
Заметим, что уравнение E.4) записано в форме закона сохра-
сохранения (дивергентной форме).
Жидкость, плотность которой остается постоянной, назы-
называется несжимаемой. Математически это означает, что
1 = 0. E.5)
Тогда уравнение E.3) сводится к уравнению
V.V==0 E.6)
или для декартовой системы координат
Для воздуха при V < 100 м/с или М < 0.3 предположение о не-
несжимаемости жидкости является хорошим приближением.
5.1.2. Уравнение количества движения
Применение второго закона Ньютона к жидкости, протекаю-
протекающей через бесконечно малый фиксированный контрольный
объем, приводит к уравнению количества движения
±- (pV) + V • pVV = pf + V • П„. E.8)
Первый член этого уравнения дает отнесенное к единичному
объему изменение количества движения в контрольном объеме
за единицу времени. Второй член есть отнесенное к единичному
объему изменение количества движения в контрольном объеме
за счет конвекции в единицу времени. Заметим, что pVV — тен-
тензор, поэтому V-pVV не есть просто дивергенция. Однако этот
член можно разложить на два слагаемых:
V . pVV = pV • VV + V (V • pV). E.9)
Когда это выражение подставляется в уравнение E.8), то с ис-
использованием уравнения неразрывности последнее упрощается
и уравнение количества движения принимает вид
^ .nl7. E.10)
Первый член в правой части уравнения E.10) есть отнесенная
к единице объема массовая сила. Массовые силы действуют на
расстоянии и приложены ко всей массе тела. Чаще всего это —
сила тяжести. Тогда сила f, отнесенная к единичной массе, про-
просто равна ускорению свободного падения g:
pf = pg. E.11)

220 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
Второй член в правой части уравнения E.10) дает отнесенные
к единице объема поверхностные силы. Эти силы суть механи-
механические напряжения, действующие на выделенный жидкий объем
со стороны внешней по отношению к нему жидкости. Они обра-
образованы нормальными и сдвиговыми напряжениями и задаются
компонентами тензора напряжений IL/.
Приведенное выше уравнение выписано для общего случая
и пригодно как для течений с разрывами, так и без таковых.
Но, как только для тензора напряжений мы принимаем какую-
либо аппроксимацию, уравнение E.8) теряет свою общность.
Для всех газов, которые можно считать сплошной средой, и
большинства жидкостей замечено, что напряжение в некоторой
точке линейно зависит от скорости деформации жидкости. Та-
Такая жидкость называется ньютоновской. При этом допущении
можно вывести [Schlichting, 1968] общий закон деформации,
который связывает тензор напряжений с давлением и компонен-
компонентами скорости. В тензорных обозначениях он записывается в виде
. ', /. *-1. 2, 3,
E.12)
где б/у—-символ Кронекера F^=1, если / = /, и 6^ = 0, если
*?=/); и\, ti2, иг — компоненты вектора скорости V; х\, х2, хъ—
координаты радиус-вектора точки; \х—коэффициент динамиче-
динамической вязкости; \\! — второй коэффициент вязкости. Эти два
коэффициента вязкости связаны с коэффициентом объемной
вязкости и выражением
E.13)
Обычно коэффициент объемной вязкости полагают пренебре-
пренебрежимо малым, за исключением тех случаев, когда изучается
структура ударных волн, а также поглощение и затухание аку-
акустических волн. Поэтому в дальнейшем мы будем им пренебре-
пренебрегать. При к = 0 второй коэффициент вязкости станет равным
ц' = -7зИ, E.14)
а тензор напряжений можно записать как
E.15)
Тензор напряжений разделяют часто на две части:
W, E.16)

§ 5.1. Основные уравнения 221
где xij — тензор вязких напряжений, задаваемый выражением
Подставляя E.15) в E.10), получаем известное уравнение
Навье—Стокса >
DV . д Г (ди. ди,\ 2
'^ + [(^+^)
В декартовой системе-координат имеем три скалярных уравне-
уравнения Навье — Стокса:
Du
Dv
Dt
Dw
Л/у 1
д
1 dy
г / da
dp
Г2 /2
L 3 \
[|,B
d Г
г) у 1
¦ dv
д г
dx L
dv
ду
д Г
dw
dz
ы
¦)]+
аи
ах
/ da
' du dv
d Y ( dw
v . du \~\
x dy /j
да.Ч-1 .
дг Л '
~~dy~)\'
— .
+ .
ь
d
dz
d
°b
dw >
a«\
г .
-l>
I +
' J
' dv ,
, dz '
/ do
E.
d^N-l
dy )]'
19)
Ь
Имея в виду E.8), эти уравнения можно переписать в дивер-
дивергентной форме
-к f
E.20)
-L. (puw - тЛ2) + -±- (р«ш - т„) + 4" (Р^2 + Р ~ *«) = Р/«
где компоненты тензора вязких напряжений задаются выраже-
выражениями
до д« da» ^
-ду~ ~~дх"~~дТ) • Тл2 — Р
dz дх dy)' хУ*~Р\Эг ^ dy

222 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
Уравнения Навье — Стокса образуют ту базу, на основе ко-
которой была развита полная теория вязких течений. Строго го-
говоря, термин уравнения Навье — Стокса относится к проекциям
уравнений движения E.18) на оси координат. Однако в систему
уравнений Навье — Стокса включают еще и уравнения нераз-
неразрывности и энергии.
Течение несжимаемой жидкости с постоянным коэффициен-
коэффициентом вязкости [I описывается упрощенной формой уравнения
E.18), а именно
^ур + р**4 E-21>
Необходимо помнить, что уравнение E.21) получено в пред-
предположении постоянной вязкости, которое может оказаться не-
неоправданным для неизотермических течений, когда вязкость
сильно зависит от температуры. С другой стороны, вязкость га-
газов обнаруживает умеренную зависимость от температуры и
уравнение E.21) хорошо описывает течение несжимаемого газа.
5.1.3. Уравнение энергии
Применение первого закона термодинамики к жидкости, про-
протекающей через бесконечно малый фиксированный объем, при-
приводит к уравнению энергии такого вида
^ + V.^=^-V.q + pf.V + V.(n//.V), E.22)
где Et — полная энергия единицы объема, задаваемая выраже-
выражением
(у2 ч
е + -у + потенциальная энергия + • • • 1. E.23)
и е — внутренняя энергия единицы массы. Первый член в левой
части уравнения E.22) есть изменение полной энергии единицы
контрольного объема в единицу времени, тогда как второй —
изменение полной энергии за счет конвекции через контрольную
поверхность (в единицу времени и отнесенная к единице объема).
Первый член в правой части уравнения E.22) есть скорость теп-
тепловыделения внешних источников, отнесенная к единице объема,
а второй член (V-q) — тепловые потери за счет теплопровод-
теплопроводности через контрольную поверхность в единицу времени (от-
(отнесенные к единице объема). Закон Фурье для переноса энергии
за счет теплопроводности гласит, что поток тепла-выражается
через градиент температуры следующим образом:
E.24)

§ 5.1. Основные уравнения 223
где k — коэффициент теплопроводности и Т — температура. Тре-
Третий член в правой части E.22) есть отнесенная к единице
объема работа массовых сил, совершаемая над контрольным
объемом. Четвертый — отнесенная к единичному объему работа
поверхностных сил, совершаемая над контрольным объемом.
Очевидно, что уравнение E.22) есть просто первый закон термо-
термодинамики, записанный для контрольного объема, т. е. изменение
энергии системы равно подводимому к системе теплу плюс совер-
совершаемая над системой работа массовых и поверхностных сил.
В декартовой системе координат уравнение E.22) запишется
в дивергентном виде
+ -^ (Etu + ри — иххх — vxxy — wxxz + qx) +
+ -gp- (?> + pv — uxxy - vxyy - wxyz + qy) +
+ -^- (Etw + pw — uxxz — vxy2 — wxzz + qz) = 0. E.25)
С использованием уравнения неразрывности левую часть урав-
уравнения E.22) можно заменить выражением
g ^- + V.^V, E.26)
которое тождественно следующему:
Р Г (?*/Р)= Р "dT "^ P~dT (v /2)» E.27)
если в качестве основных переменных в E.23) рассматривать
внутреннюю и кинетическую энергии, рбразуя скалярное про-
произведение из векторного уравнения E.10) и вектора V, получим
Комбинируя E.26) —E.28), получим еще одну полезную форму
записи уравнения энергии
P"^ + p(V.V) = |2.-V.q + V.(t,/.V)-(V.T,/).V. E.29)
Последние два члена этого уравнения могут быть объединены
в один, так как
т'/г{- = v' (т<>'v) -(v' *'/> •v- E-30)

224 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
Его обычно называют диссипативной функцией Ф, которая есть
тепловой эквивалент механической мощности, затрачиваемой
в процессе деформации жидкости вследствие вязкости. После
введения диссипативной функции уравнение E.29) принимает
вид
jJr V) = §--V-4 + ®. E.31)
Вводя энтальпию
E.32)
и используя уравнение неразрывности, перепишем E.31) в виде
Р^Г = ^ + ^-^<1 + ф- (8-33)
В декартовой системе координат диссипативная функция, кото-
которая всегда положительна, если yS = — B/3jx, задается следую-
следующим выражением:
Если жидкость несжимаемая и коэффициент теплопровод-
теплопроводности постоянный, то E.31) сводится к уравнению
5.1.4. Уравнение состояния
Для замыкания системы уравнений динамики жидкости не-
необходимо установить связь между термодинамическими пере-
переменными р, р, Г, е, Л, а также соотношение между коэффициен-
коэффициентами переноса \if k и термодинамическими переменными р, р, Г,
е, h. Для примера рассмотрим течение сжимаемой жидкости без
подвода тепла извне в отсутствие массовых сил. Воспользуемся
уравнением неразрывности E.4), тремя уравнениями движения
E.19) и уравнением энергии E.25). Эти пять скалярных урав-
уравнений содержат семь неизвестных р, р, е, Г, и, v, w при условии,
что коэффициенты переноса ji, k можно связать с термодинами-
термодинамическими величинами из числа неизвестных. Очевидно, что для
замыкания системы нам необходимы еще два уравнения. Их
можно получить, устанавливая существующие соотношения ме-
между термодинамическими переменными. Соотношения такого
рода известны как уравнения состояния. Как известно, локаль-

§ 5.1. Основные уравнений 225
ное термодинамическое состояние системы определяется лю-
любыми двумя независимыми термодинамическими переменными
при условии, что химический состав жидкости не меняется из-за
диффузии или химических реакций. Так, если в примере за не-
независимые переменные мы примем е и р, то нам потребуются
уравнения состояния типа
р = р(е,р), Т = Т(е,р). E.36)
Примером уравнения состояния является уравнение совер-
совершенного газа
E.37)
где R — газовая постоянная. Для совершенного газа имеются
также следующие соотношения:
с /? v/?
e = cvT, h = cpT, \ = -?> ^ = —р ср = —р E.38)
где cv ^— удельная теплоемкость при постоянном объеме, ср —
удельная теплоемкость при постоянном давлении и у = cp/cv —
отношение удельных теплоемкостей. Для воздуха в обычных
условиях R = 287 м2/с2-К и ^ = 1.4. Если в нашем примере
жидкость есть совершенный газ, то соотношения E.36) примут
вид
p = (Y-l)pe, T={y~Rl)e . E.39)
Для жидкостей, которые нельзя считать совершенным газом,
требуемые соотношения состояния могут быть заданы в виде
таблиц, карт или графи^ских зависимостей.
Зависимость коэффициентов вязкости и теплопроводности от
термодинамических величин устанавливается при помощи кине-
кинетической теории. Формула Сазерленда есть пример такого соот-
соотношения
гЗ/2
E-40)
где С\ и С2 — постоянные для данного газа. Для воздуха при
умеренных температурах С{ = 1.458 • 10~6 кг/(м • с • VK ) и
Сг = 110.4 К. Для определения коэффициента теплопроводно-
теплопроводности k по известному \i часто используется число Прандтля:
Pr = cp\i/k. E.41)
8 Д. Андерсон и др. Том 1

226 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
Это возможно, так как отношение ср/Рг, возникающее в выра-
выражении
ix9 E.42)
приблизительно постоянно для большинства газов. Для воздуха
при обычных условиях Рг = 0.72.
5.1.5. Векторная форма записи уравнений
Перед составлением конечно-разностных схем часто бывает
удобно записать уравнения динамики жидкости в компактной
векторной форме. Например, уравнения Навье — Стокса для
сжимаемого газа в случае отсутствия массовых сил и подвода
тепла извне в декартовых координатах можно записать так:
3V.dE.dF.dG Л ,-. ,оч
где векторы U, E, F и G задаются следующим образом:
р ~ ~ - ри
ри ри2 + р — ххх
pv , Е = puv — хху
pw puw — xxz
.Et- AEt + p)u — ихxx — vxxy — wxxz + qx
pv'
. puv — xxy
pv2 + p — xyy , E.44)
pvw — xyz
_ (Et + p) v — uxxy — vxyy — wxyz + qy_
pw
puw — xxz
G = pvw — xyz
pw2 + p — xzz
> — uxxz — vxyz — wxzz + q
Первая строка векторного уравнения E.43) соответствует урав-
уравнению неразрывности в форме E.4), вторая, третья и четвер-
четвертая— уравнению движения E.20), а пятая — уравнению энер-
энергии E.25). С записанными в такой форме уравнениями Навье —
Стокса зачастую легче работать при составлении конечно-раз-

§ 5.1. Основные уравнения
227
ностных схем. Другие уравнения динамики жидкости, записан-
записанные в дивергентной форме, также могут быть представлены
в векторной форме.
5.1.6. Безразмерный вид уравнений
Уравнения динамики жидкости часто приводят к безразмер-
безразмерному виду. Преимущество такой формы записи в том, что такие
характеризующие течения параметры, как число Маха, число
Рейнольдса, число Прандтля и другие, могут варьироваться не-
независимым образом. К тому же после приведения уравнений
к безразмерному виду параметры потока «нормализуются», так
что их величины изменяются в обозначенных пределах, например
между 0 и 1. Возможны разные процедуры обезразмеривания.
Например, - /
X*
*
и
р*
X
~Т'
и
v оо
Р
Роо
•
V
р
У
L '
V
v оо
Р
Роо^оо '
*
W
Г
г
-т-
w
~V '
v оо
т
f
*
е"
= T}v,
\х
е
коо
где безразмерные переменные обозначены звездочкой, пара-
параметры невозмущенного потока — значком оо и L — характер-
характерная длина, входящая в безразмерный комплекс числа Рей-
Рейнольдса
1*00
Если эту процедуру применить к уравнениям Навье — Стокса
для сжимаемого газа E.43) и E.44), то получим следующие
безразмерные уравнения:
где
аи*
дГ
. (Я*
1 дх*
1
дР* ,
+ ду* "г
~ Р* "
pV
pV
Pv
е:
дп*
дг"
= 0,
E.45)
8*

22.8 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
Pv
Е' =
* * *
Р « v
р*м V -
pV
* * * *
pUV — т
v -\- р — %
* * * *
pv w —xul
E.46)
уу
* *
* *
р w
* * * *
Рида -тхг
pVaf-т;,
* *2 , * *
р оу + р — xzz
(ГЧ* I *\ * * * * *
E, + p)w -«„-"„-
Компоненты тензора напряжений и вектора теплового потока
в безразмерном виде суть
* = 2^* {о ди* dv* dw* Л
хх 3 ReL \ дх* ду* dz ) '
* —
ХУУ
дх)* ди*
ХУУ 3 ReL \Z ду* дх* dz* ) '
* — 2У* (<> dw* ди* dv* Л
Xzz — з ReL [f dz* дх* ду* ) '
** — & (ди* I dv*\
тху — ReL V ду* ^ дх*)9
dw*
<547)
ЛИ
dz*

§ 5.1. Основные уравнения 229
\i* дТ*
(Y-1
(Y-1
li*
)M*,R
1»*
le^Pr
IetPr
dx*
дТ*
ду*
дГ
Ях =
Яг (Y - 1) M» ReL Pr dz* '
где Moo — число Маха, посчитанное по параметрам невозмущен-
невозмущенного потока
и уравнение состояния совершенного газа E.39) приводится
к виду
Заметим, что безразмерные уравнения E.45) и E.46) иден-
идентичны размерным уравнениям E.43) и E.44), ^сли в записи
уравнений опустить звездочку. Для сокращения записи звез-
звездочки в безразмерных уравнениях можно опускать, что обычно
и делают.
5.1.7. Криволинейные ортогональные координаты
Уравнения динамики жидкости могут быть записаны в любой
системе координат. Ранее мы выписали эти уравнения для де-
декартовой системы координат. Во многих приложениях удобнее
пользоваться какой-либо другой ортогональной системой коор-
координат. Определим криволинейную ортогональную систему коор-
координат общего вида х\, х>ч, #з, начало которой находится в точке
Я, и пусть ib i2, 13 — соответствующие единичные векторы
(рис. 5.2). Координаты декартовой прямоугольной системы свя-
связаны с криволинейными координатами общего вида соотноше-
соотношениями
х = x(xi, х2, #з),
У = У(Х\, х2> *з). E.48)
z = z(xit х2, х3).
Если якобиан д(х> уу z)/d{xux2, хг) отличен от нуля, то
х{ = хх (х, у, z),
х2 = х2 (ху у, г), E.49)
хг = хг(х, у, z).

230 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
Длина элемента дуги в декартовых координатах равна
{dsf = (dxf + {dyf + (dzf. E.50)
Если уравнения E.48) продифференцировать и подставить
в уравнение E.50), то получим
(dsf = (A,
(h2dx2f + (A3 dx3f,
E.51)
где
Пусть ф — произвольный скаляр, А —- произвольный вектор,
тогда для градиента, дивергенции, вихря и оператора Лапласа
Рис. 5.2. Ортогональная криволинейная система координат.
в криволинейных координатах общего вида имеем следующие
выражения:
1 . I дФ .
E.52)
А -
-?<ллл>>] • E-53)

§ 5.1. Основные уравнения 231
r
- -^ (ЛИ,)] 18} , E.54)
Г a f М» а» Л | ^ f Аз/г, <?» Л ,
Л,Л2Лз L dx, V Л. дхг J^ дх2 К кг дхг ) ^
E.55)
Выражение V-VV, входящее в член DV/Dt уравнения движения,
можно представить в виде
где ии U2, иг — компоненты вектора V по направлениям хих2ухг.
Учитывая, что единичные векторы суть функции координат, по-
получим
у YV = (Ul dUl I  dU> I V--1- | И' dHl |
\ Ai дх2 Л2 дх2 A3 $#з h\h2 дх2
Uxuz dhx u\ dh2 u\ дк
h\h2 дх\ h\hz дх\
, (ui ди2 , «2 дЧ ¦ цз ^2  3*1 ,
"^ V Ai Ejci ^^ А2 Eл:2 г Л3 дх3 h\h2 дх2 '
m,w9 <5A9 w9«o f3A9 ui dh* \
h\h2 dx\ h2hz дхл h2h3 дх2 / 2
u\ dh{
h\ dxi h2 dx2 * A3 ддг3
u\ dh2 uxu3 dh3 u2u3 dh3 \ #
?^з AiA3 Exi *" A2A3 ^2 / 3*
Компоненты тензора напряжений E.15) можно выразить через
координаты х\у х2, лг3 следующим образом:
Щх, = — р + -у ^ BвЛ1Х| — ^ос, — ех х)у
2
П +
П^{ = — р + -|- \i {2e*Xi — ^,х. — еХ2Х2), E.56)
Пл;2л;з = ПХзЛ2 = ЦвхгХ ,
Пдс,дс2 = ПдсгДС! === №xiX2 у

232 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
где выражения для компонент тензора скоростей деформаций
записываются в виде
1 дп\ , и2 dh\ . ц3 dh\
hx дхх * h\h2 дх2 *
1 ди2 . ц3 dh2 , и i dh2
xh* дхх '
та
1
П\П2 0Х2
1
-Ib
h2hz
_ . а*, •
\ х h2 д ( и2
h2 дх2 V Лз
*XlX> hx dxu \ h2 ) 1' h2 dx2
Компоненты V • Y[tj суть
В криволинейных координатах диссипативная функция прини-
принимает вид
ф = I* [2
l +,ex*,
E.59)

§ 5.2. Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений 233
Все выписанные выше формулы можно использовать для полу-
получения уравнений динамики жидкости в любой криволинейной
ортогональной системе координат. Ниже приведено несколько
таких примеров. •>
1. Декартовы координаты
xs = z, A3=l, us = w.
2. Цилиндрические координаты
х2 = 8, А2 = г, и2 = uQy
Xs = z, A3=l, щ = иг.
3. Сферические координаты
*з = Ф> h = r sin 6, иг = иф.
4. Двумерные осесимметричные связанные с поверхностью
тела координаты
х3 = ф, Л3 = [г (I) + Л cos а A)]т, ^щ = w = 0,
где /((?) — локальная кривизна поверхности тела, r(g) — радиус
цилиндра (рис. 5.3) и
для двумерного течения,
' * для осесимметричного течения.
§ 5.2. Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений
5.2.1. История вопроса
Более пятидесяти лет тому назад стало понятно, что наши
знания о турбулентности далеки от полноты. Датированное
1932 годом высказывание Г. Ламба остается актуальным и по-
поныне: «Я старый человек и, когда после смерти попаду на не-
небеса, то спрошу у Всевышнего две вещи: что такое квантовая
электродинамика и что такое турбулентность. В отношении пер-
первого я настроен более оптимистически».

234 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
(а)
Тела
Рис. 5.3. Криволинейные системы координат, (а) Цилиндрические коорди-
координаты (г, 9, 2); (b) сферические координаты (г, 6, Ф)\ (с) связанные с по-
поверхностью тела координаты в двумерном или осесимметричном случае
(Б)

§ 5.2. Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений 235
Приведем цитату из классической работы Хинце [Hinze,
1975]: «Турбулентное течение жидкости есть форма нерегуляр-
нерегулярного ее движения, в котором параметры потока изменяются
случайным образом во времени и пространстве вокруг некоторых
своих средних значений».
Все мы знакомы с различиями между ламинарным и турбу-
турбулентным течениями. Обычно в турбулентном потоке происходит
большее падение давления и наблюдается большее трение. Ско-
Скорость диффузии некоторой скалярной величины, как правило,
больше в турбулентном потоке (большее «перемешивание») и
в турбулентных потоках более сильный шум. Турбулентный по-
пограничный слой до отрыва способен преодолевать более протя-
протяженную область с положительным градиентом давления, нежели
ламинарный пограничный слой. Игроки в гольф, использующие
пупырчатые мячи, хорошо знают это.
Считается, что нестационарные уравнения Навье — Стокса
полностью описывают турбулентные течения. Если это так, то
интересно анать, почему нельзя рассчитывать на ЭВМ турбу-
турбулентные течения столь же эффективным образом, как и лами-
ламинарные. Ведь тогда можно было бы раз и навсегда демонтиро-
демонтировать аэродинамические трубы. Дело в том, что временной и про-
пространственный масштабы турбулентного движения столь малы,
что требуемое количество узлов расчетной сетки и малый раз-
размер шагов по времени делают эти вычисления практически не-
нереализуемыми на современных ЭВМ ввиду ограниченности ре-
ресурсов последних. Хотя оценки разных авторов и различаются,
но считается, что требуется по крайней мере 10 узлов сетки
для разрешения движения турбулентного вихря. Масштаб са-
самых мелких вихрей обычно в 1000 раз меньше размера области
течения вдоль твердой поверхности. Для типичных течений мо-
может потребоваться 105 точек для разрешения области течения
объемом 1 см3.
Авторитеты расходятся во мнениях, когда компьютерная тех-
технология достигнет в своем развитии этапа, на котором расчеты
турбулентных течений станет возможным проводить «в лоб».
Некоторые считают, что никогда не удается рассчитать мелко-
мелкомасштабную структуру турбулентности на основе нестационар-
нестационарных уравнений Навье — Стокса в задачах, представляющих
практический интерес. Вероятно, что еще до конца нынешнего
столетия наиболее развитый подход будет включать в себя ре-
решение зависящих от времени уравнений Навье — Стокса для
больших вихрей, ответственных за большую часть переноса им-
импульса, и моделирование самых малых вихрей (субсеточный
масштаб). Этот подход называют обычно моделированием круп-
крупных вихрей. В работе Чепмена [Chapman, 1979] имеются инте-

236 Гл. 5. Основные уравнений механики жидкости и теплообмен
ресные соображения о перспективах численного моделирования
в задачах аэродинамики.
В настоящее время основное направление численных мето-
методов расчета турбулентных течений состоит в решении осреднен-
ных уравнений Навье — Стокса. Эти уравнения называют также
уравнениями Рейнольдса. При осреднении по времени в уравне-
уравнениях возникают новые члены, которые можно интерпретировать
как градиенты «кажущихся» (добавочных) напряжений и тепло-
тепловых потоков, связанных с турбулентным движением. Эти новые
величины должны быть связаны с характеристиками осреднен-
ного течения посредством моделей турбулентности, что приво-
приводит к новым гипотезам и аппроксимациям. Таким образом, урав-
уравнения Гейнольдса не вытекают полностью из основополагаю-
основополагающих принципов, так как для замыкания системы уравнений при-
привлекаются дополнительные гипотезы.
Уравнения Рейнольдса получают разложением независимых
переменных в уравнениях сохранения на осредненные по вре-
времени величины, полученные на соответствующем интервале вре-
времени, и пульсационные компоненты и последующим осредне-
осреднением по времени всего уравнения. В настоящее время исполь-
используются два способа осреднения — классическое осреднение по
Рейнольдсу и предложенное Фавром [Favre, 1965] осреднение
с использованием плотности в качестве весовой функции. Для
течений, в которых флуктуациями плотности можно пренебречь,
оба способа эквивалентны.
5.2.2. Процедуры осреднения
В обычной процедуре осреднения, следуя Рейнольдсу, опре-
определим осредненную по времени величину f в виде
и+м
fsssJp J fdt. E.60)
Потребуем, чтобы At было велико по сравнению с периодом
турбулентных пульсаций, но мало по сравнению с постоянной
времени для^ любого медленного изменения поля течения, об-
обусловленного обычной нестационарностью течения. Иногда гово-
говорят, что Д^ должно стремиться к бесконечности, но это следует
интерпретировать только в сравнении с периодом пульсаций,
характерных для турбулентности. В реальных измерениях At
должно быть конечно.
В процедуре осреднения по Гейнольдсу случайно изменяю-
изменяющиеся величины заменяются на осредненные по времени плюс

§ 5.2. Уравнения Рейнольдса для турбулентных течении
237
пульсации вокруг этих средних значений (рис. 5.4). Для декар-
декартовой системы координат можно записать
и = п + и\ v = v
w = w + w', р = р + р'>
E.61)
где полная энтальпия Н определена как Н = h + UiUt/2. Пуль-
Пульсации таких величин, как вязкость, теплопроводность и удель-
удельная теплоемкость, обычно малы, и здесь ими будем пренебре-
пренебрегать.
U = U + U '
u = u + u
M l (b) z
Рис. 5.4. Связь между и, п и и', (а) Стационарное течение; (Ь) нестационар-
нестационарное течение.
По определению осреднение пульсационной составляющей
дает нуль:
в-
-о-
<5-62>
Ясно, что при осреднении величин fu
щие соотношения:
= 0, fg = fg,
g имеют место следую-
следуюE.63)
Также ясно, что если f = 0, то осреднение произведения двух
флуктуирующих величин дает обычно отличную от нуля вели-
величину, т. е. Yf' ф 0. И на самом деле среднеквадратичная вели-
величина пульсаций скорости известна как интенсивность турбулент-
турбулентности.
При рассмотрении течений сжимаемого газа или смесей га-
газов принято пользоваться процедурой осреднения с весовой
функцией (плотностью). При этом осредненные величины

238 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и Теплообмен
определяются как f == pf/p, т. е.
Р v P ' Р Р Р Р
E.64)
Отметим, что так осредняются только компоненты скорости и
тепловые переменные. Плотность и давление осредняются преж-
прежним образом.
Перед подстановкой в уравнения определим новые изменяю-
изменяющиеся величины
/г = Й + А", Т = Т + Т'\ Н = Н + Н".
Заметим^ что осредненные по времени пульсации с двумя штри-
штрихами (и'\ v" и т. д.) а общем случае отличным от нуля, если
только р' Ф 0. В самом деле, можно показать, что и" = —р'и'/р,
?// = —pV/p и т. д. Зато среднее по времени от произведения
пульсации с двумя штрихами и плотности равно нулю:
рР=0. , E.66)
Это можно легко показать, раскладывая p/ = p(f + /") и ис-
используя определение f.
5.2.3. Уравнение неразрывности в форме Рейнольдса
Начнем с уравнения неразрывности, записанного в декарто-
декартовой системе координат. Сначала представим все переменные
в виде суммы осредненных по времени величин и пульсаций
[уравнение E.61)].
После осреднения по времени всего уравнения с учетом со-
соглашения о суммировании имеем
E.67)
Три члена равны нулю в соответствии с тождеством E.62). Итак,
уравнение неразрывности в форме Рейнольдса при осреднении
переменных обычным способом имеет вид
f + ^(Рй/ + ^а=О- E-68)
Производя в уравнении E.4) замену переменных на осред-
осредненные с весами переменные плюс пульсации с двумя штри-

§ 5.2. Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений 239*
хами в соответствии с уравнением E.65) и осредняя по вре-
времени полученное уравнение, получим
E.69)
Два члена этого уравнения тождественно обращаются в нуль.
Кроме этого, два последних члена можно объединить в один,
который будет равен нулю в соответствии с равенством E.66):
Это позволяет записать уравнение неразрывности для осреднен-
ных с весами переменных в виде
ж + ?гт') = 0- EJ0)
Эта запись более компактна, чем уравнение E.68). В случае не-
несжимаемой жидкости р' = 0 и различие между переменными,
осредненными обычным способом и с весами, пропадает, тогда
dui/dxJ = 0. E.71)
5.2.4. Уравнения движения в форме Рейнольдса
Уравнения движения в форме Рейнольдса получаются наи-
наиболее просто, если исходить из уравнений Навье — Стокса,
записанных в дивергентной форме E.20). Заменим в E.20) за-
зависимые переменные на осредненные по времени значения плюс
пульсации в соответствии с E.61). Рассмотрим, например, проек-
проекцию уравнения E.20) на направление ху пренебрегая массовыми
силами:
+ (р + />') - гхх] + -А- [(р + р') (« + «0 (v + vf) - тух] +
+ ж Кр + рО <й + "') (* + «О ~-т«] = °-
Затем все уравнение осредняется. Линейные относительно
пульсаций члены при осреднении по времени обращаются в нуль,
как и в случае уравнения неразрывности. Таким путем мы избав-
избавляемся от нескольких членов, некоторые другие группируются
и обращаются в нуль с учетом уравнения неразрывности,

240 Гл. 5 Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
В результате проекцию уравнения движения в форме Рейнольд-
са на направление х можно записать
-57 (рпп* + up'w') =
дп 2
171 Kl7 + -ш)~V9U ~puv ~puv\ +
if И-i- + -Sr) - ^p7- p^7- p7^7^7] • EJ2)
Полностью (все три компоненты) уравнения движения в форме
Рейнольде^ могут быть записаны как
где
дщ дп,\ 2
+
\ 2
Чтобы получить уравнение движения в форме Рейнольдса
для осредненных с плотностью в качестве весовой функции пе-
переменных, воспользуемся разложением E.64) для представле-
представления мгновенных значений переменных. Для примера рассмотрим
х-проекцию уравнения E.20):
4г Кр + р') (й + «")] + ж [(р + р^(й + и")(й + и") +
+ (р + рГ) - rxx] + -1L [(р + рО (S + а") E + v") - хух] +
+ зг Кр + рО (й + ^) (® + «^) - *«] = о. E.75)
Затем уравнение осредняется по времени с использованием тож-
тождества E.66), что приводит к уменьшению количества членов
в нем. Уравнения движения в форме Рейнольдса. для всех трех
проекций будут выглядеть так:

§ 5.2. Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений 241
Пренебрегая пульсациями вязкости, для %ц получим
Вид уравнения движения при осреднении с весами проще,
чем при обычном осреднении. Заметим, однако, что, даже если
пренебрегать пульсациями вязкости, выражение для х ц E.74)
проще в случае обычного осреднения E.77). На практике вяз-
вязкие члены, включающие помеченные двумя штрихами пульсации,
считаются малыми, и ими можно пренебречь при оценке поряд-
порядков величин.
Для несжимаемой жидкости уравнение движения можно
записать в более простой форме:
где xij вычисляется по упрощенной формуле:
/дщ duj\
«'/-¦Ч^+вгг)- <5J9)
Как и в случае уравнения неразрывности, здесь уже нет раз-
различия между способами осреднения переменных (обычное осред-
осреднение и осреднение с весовой функцией).
5.2.5. Уравнения энергии в форме Рейнольдса
Тепловые параметры Я, Л, Т связаны друг с другом, и урав-
уравнение энергии принимает различный вид в зависимости от того,
какой из них считается независимой величиной. Чтобы получить
общее выражение, начнем с уравнения энергии в виде E.22).
Членом dQ/dt, связанным с тепловыделением внешних источни-
источников, будем пренебрегать. Полагая, что полная энергия состоит
из внутренней и кинетической энергий, и заменяя Et на р# — р,
можно переписать E.22) с учетом суммирования по повторяю-
повторяющимся индексам:
Чтобы получить уравнение Рейнольдса для энергии при обычном
осреднении величин, заменим мгновенные значения величин

242 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
в уравнении E.80) на суммы E.61). После осреднения по вре-
времени имеем
Часто желательно иметь в уравнении энергии в качестве не-
независимой величины статическую температуру. Положим h =
= срТ и запишем уравнение E.33) в дивергентной форме
+ » + ф <582>
Диссипативную функцию ф можно выразить через компоненты
скоростей:
дщ Г 2 / дик V 1
фЛЬ) +
Переменные в уравнении E.82) представляются в виде суммы
E.61) и получаемое уравнение осредняется. С учетом обраще-
обращения в нуль некоторых членов уравнение энергии в форме Рей-
нольдса принимает вид
(k ik ~ ~9С>Ш> ~ ^р"^)+w' E;84)
где
В уравнении E.85) хц следует рассчитывать по формуле E.74).
Чтобы получить уравнение энергии в форме Рейнольдса при
осреднении с весами, заменим переменные в уравнении E.80)
разложением E.64), а затем произведем осреднение по времени.

§ 5.2. Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений 243
Результат можно записать как
4
), E.86)
где т/у задается формулой E.77).
Уравнение i ейнольдса E.86) можно переписать для статиче-
статической температуры
д
E.87)
ди. дй.
В несжимаемой жидкости уравнение энергии для полной
энтальпии имеет вид
! д
и для статической температуры — вид
¦ж «*/)+-яг (р-Л) -1+«/ -Ц-+
' E-90)
где диссипативная функция Ф упрощается вследствие обраще-
обращения в нуль члена, яелзчощсгося объемным расширением жид-
жидкости, в выражении для т/у.
5.2.6. Замечания sc уравнениям Рейнольдса
На первый взгляд уравнения Рейнольдса выглядят довольно
сложно, и мы вправе задаться вопросом, продвинулись ли мы
вперед по пути решения практических задач расчета турбулент-
турбулентных течений. Главная трудность в задачах механики жидкости
состоит в том, что мы имеем большее число уравнений, чем мож-
можно решить. К счастью, для многих практически важных течений
уравнения Рейнольдса можно упростить. Прежде чем заняться

244 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
упрощением, продолжим дальнейшее рассмотрение уравнений
Рейнольдса.
Обратимся к рассмотрению турбулентного течения несжи-
несжимаемой жидкости и дадим интерпретацию членов уравнения
движения в форме Гейнольдса E.78). Это уравнение описывает
осредненное по времени течение жидкости и наряду с обычными
членами, описывающими перенос импульса и ламинарноподоб-
ные напряжения, имеет ряд новых членов с пульсациями вели-
величин, которые и представляют кажущиеся турбулентные напря-
напряжения. Эти кажущиеся турбулентные напряжения возникают
в уравнениях Навье — Стокса в членах, которые дают перенос
импульса. Другими словами, уравнение осредненного движения
связывает ускорение жидкой частицы с градиентами напряже-
напряжений. Так как известно выражение для ускорения частицы в ос-
редненном движении, то все новое в этом уравнении должно
возникать в градиентах напряжений, обусловленных турбулент-
турбулентным движением. Чтобы показать это, воспользуемся уравнением
неразрывности для преобразования уравнения E.78) к виду
= dp ^ д(хцIат [ 0(f//)turb
где член слева описывает ускорение частицы в осредненном
движении, первый справа — средний градиент давления, вто-
второй— ламинарноподобные градиенты напряжений для осред-
осредненного движения, третий — градиенты кажущихся напряжений,
обусловленные переносом импульса турбулентными пульса-
пульсациями; (т//),ат то же, что и в уравнении E.79), и имеет в пере-
переменных осреднецных скоростей тот же вид, что и тензор напря-
напряжений для ламинарного течения несжимаемой жидкости. Кажу-
Кажущиеся турбулентные напряжения можно записать как
Часто их называют напряжениями Рейнольдса.
Для турбулентного течения сжимаемой жидкости согласова-
согласование членов, соответствующих ускорению осредненного движения,
с кажущимися напряжениями превращается в трудную задачу.
При использовании обычной процедуры осреднения наличие чле-
членов, подобных р'и'., может давать поток через поверхность, об-
образованную линиями тока осредненного течения, что не позво-
позволяет отнести члены уравнения к той или иной категории. Осред-
Осреднение с «весами» обращает в нуль члены р'и'. и дает компактное
выражение для ускорения частицы, но затрудняет разделение
напряжений на чисто ламинарные и кажущиеся турбулентные.

§ 5.2. Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений 245
При обычном осреднении пульсационные компоненты %ц про-
пропадают. Этого не происходит при осреднении, «взвешенном» по
плотности. Чтобы показать это, преобразуем E.76) с использо-
использованием уравнения неразрывности к виду с полной производной
в левой части и указанием происхождения членов уравнения:
дх,
где интерпретацию членов слева и первого и второго справа см.
в тексте за уравнением E.91), а третий член справа описывает
градиенты кажущихся напряжений, обусловленные турбулент-
турбулентными пульсациями и деформациями вследствие этих пульсаций.
Уравнение E.93а) полностью идентично уравнению E.91) с той
лишь разницей, что вместо ьц в нем фигурирует /г/. Если пред-
предположить, что (т,/Iат имеет тот же вид, что и для ламинарного
течения, то вторая половина выражения для %ц в E.77) должна
быть отнесена к турбулентному переносу, что в результате дает
, W —57=7 + и [(?+?) -к, ?
Как и прежде, при выводе E.93а) мы пренебрегали пульса-
пульсациями вязкости. Второй член в выражении для fa/)turb, связан-
связанный с молекулярной вязкостью, обычно полагают малым по
сравнению с членом —ри"и'?.
Подобный анализ мы можем выполнить для уравнения энер-
энергии в форме Рейнольдса и идентифицировать некоторые члены,
куда входят пульсации температуры или энтальпии как кажу-
кажущиеся тепловые потоки. Например, в уравнении E.84) молеку-
молекулярный ламинарноподобный тепловой поток есть
и кажущийся турбулентный тепловой поток есть
- (v • 4U = ^7 (-^ -с'^- E-94Ь)
Другие примеры рейнольдсовых напряжений и тепловых пото-
потоков будут приведены в разделах, в которых будут .рассмотрены
более простые формы уравнений Рейнольдса.
Уравнения Рейнольдса не могут быть решены в том виде,
в каком они приведены выше, так как кажущиеся турбулентные

246 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
напряжения и тепловые потоки следует считать новыми не-
неизвестными. Необходимо установить дополнительные уравнения
для этих новых неизвестных или принять какие-то допущения
о связи между кажущимися турбулентными величинами и пара-
параметрами осредненного потока. Эта процедура известна как за-
задача замыкания, которая будет рассматриваться в моделях тур-
турбулентности, обсуждаемых в § 5.4.
§ 5.3. Уравнения пограничного слоя
5.3.1. Некоторые предварительные соображения
Понятие пограничного слоя ввел в 1904 г. Людвиг Прандтль
[Prandtl, 1926]. Он исходил из экспериментального наблюде-
наблюдения, что в достаточно большом диапазоне чисел Рейнольдса
вблизи твердой стенки имеется тонкий слой, в котором вязкие
эффекты столь же существенны, как и инерционные, какой бы
малой ни была вязкость. Прандтль пришел" к выводу, что можно
использовать упрощенные уравнения при соблюдении двух усло-
условий: вязкий слой размером б должен быть тонким по сравнению
с характерным размером L тела вдоль по потоку (8/L С 1) и
главный вязкий член должен иметь тот же порядок величины,
что и любой из инерционных членов. Он воспользовался оцен-
оценкой по порядку величины для уменьшения числа основных урав-
уравнений. Главные выводы заключаются в том, что вторыми про-
производными скоростей в продольном направлении можно пре-
пренебречь по сравнению с соответствующими производными в
поперечном направлении и можно вообще не рассматривать урав-
уравнение движения в поперечном направлении.
Аналогичное упрощение может быть произведено и для дру-
других течений, в которых можно выделить преимущественное на-
направление. Это — струи,"следы, слои смешения, развивающиеся
течения в трубах и других каналах. Поэтому термины погранич-
пограничный слой и приближение пограничного слоя трактуются в более
широком смысле, что позволяет относить их к условиям, когда
можно вообще не рассматривать уравнение движения в попе-
поперечном направлении и в оставшемся уравнении (или уравнениях
в трехмерном случае) можно пренебречь членом со второй про-
производной в продольном направлении. В этом более широком
смысле эти упрощенные уравнения называются уравнениями
тонкого сдвигового слоя. Данный термин кажется более подхо-
подходящим, особенно для уравнений, описывающих свободные сдви-
сдвиговые течения, такие, как струи и следы, а также течения вдоль
твердых границ. Мы будем использовать оба термина, погра-
пограничный слой и тонкий сдвиговый слой, не делая разницы между
ними.

§ 5.3. Уравнения пограничного слоя 247
5.3.2. Приближение пограничного слоя для стационарного течения
несжимаемой жидкости
Методику, используемую для получения приближения погра-
пограничного слоя для уравнений Навье — Стокса и Рейнольдса,
удобно продемонстрировать на примере стационарного двумер-
двумерного течения несжимаемой жидкости с постоянными свойствами
вдоль изотермической поверхности с температурой Tw. Прежде
всего определим безразмерные переменные
* и * v *.v * у * р
" « L L р«^
и введем их в уравнения Навье — Стокса. В результате получим
Уравнение неразрывности
& + »
Уравнение движения по оси х
Уравнение движения по оси у
* до* . * dv* dp* . 1 / dV . дЧ{ \ ' ,- nQ4
«-ir+v ж^--д1г+щ:Ь^+1^У E-98)
Уравнение энергии
где Rei = (ptiooL)/\л — число Рейнольдса; Pr = cp\\,/k — число
Прандтля; Ес=2(Г0 — Too)/(TW — Too)—число Эккерта; t/oo,
Too — скорость и температура невозмущенного потока соответ-
соответственно, а То — температура заторможенного потока. Произве-
Произведение Re-Pr известно также как число Пекле Ре.
Следуя Прандтлю, предположим, что толщины динамического
и теплового пограничных слоев малы по сравнению с характер-
характерной длиной в продольном направлении, т. ё. 8/L <С 1 и 8t/L <C 1
(рис. 5.5). Положим е :— 6/L и е/ — bi/L. Величины е и е/ обе
малы; будем считать, что они одного порядка малости. Если
дЬ/дх и dbi/dx всюду малы, то и е и е* малы на всей длине L.

248 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
На расстоянии L от начала пограничного слоя оценим типичные
или ожидаемые величины членов в уравнениях.
Как правило, мы оцениваем величины производных по «сред-
«среднему значению», которое получают из конечно-разностного со-
соотношения в ожидаемом диапазоне изменений переменных в по-
пограничном слое. Например, оценим величину ди*/дх*у заметив,
что при обтекании пластины однородным потоком и* изменяется
У
Граница динамического
пограничного слоя
Граница теплового
пограничного слоя
Рис. 5.5. Обозначения и система координат для пограничного слоя на пло-
плоской пластине.
от единицы до нуля при изменении х* от нуля до единицы. Та-
Таким образом, мы говорим, что ожидаемый порядок величины
ди*/дх* равен 1. Другими словами,
ди*
дх*
О- 1
1-0
= 1.
Множитель порядка двух не имеет значения в наших оцен-
оценках, тогда как множитель порядка 10—100 важен и дает поря-
порядок величины. Следует отметить, что скорость на внешней гра-
границе может немного отличаться от и™ (так бывает в случае те-
течений с градиентом давления). При этом порядок величины
ди*/дх* остается прежним. Установив, что ди*/дх* « 1, оценим
член dv*/dy* из уравнения' неразрывности, требуя, чтобы он
имел тот же порядок. Поскольку в пограничном слое у* изме-
изменяется от 0 до 6, то и v* тоже будет изменяться между 0 и е.
Итак, v* » е. Если из-за какого-либо возмущающего фактора
дЬ/дх становится локально большой величиной, то в силу урав-
уравнения неразрывности v* также может быть локально большой.
Очевидно, что безразмерная тепловая величина 0 изменяется от
0 до 1 в несжимаемой жидкости с постоянными свойствами.
Сейчас мы в состоянии установить порядок величин всех чле-
членов уравнений Навье — Стокса. Оценки указаны под соответ-
соответствующими членами уравнений E.100) — E.103).

§ 5.3. Уравнения пограничного слоя 24Й
Уравнение неразрывности
iSl + ^Hl = O. E.100)
ох оу
1 1
Уравнение движения по оси х
1 1 е 1/е 1 е^ 1 1/е2
Уравнение движения по оси у
E102)
1 8 8 1 8 82 8 1/8
Уравнение энергии
и
дх* [ ду* ReL P
11 е 1/е е2 Л 1/е- 111 ее
е2 1 1 е-' 1 1/е2
Несколько замечаний о процедуре оценки членов. В уравне-
уравнении E.101) порядок величины градиента давления устанавли-
устанавливают, замечая, что на внешней границе вязкой области уравне-
уравнения Навье — Стокса переходят в уравнения Эйлера (см. § 5.5).
Градиент давления должен уравновешивать инерционные силы.
Поэтому порядок величины градиента давления и инерционных
членов должен быть одинаков. Требуем также, чтобы наиболь-
наибольший из вязких членов был одного порядка с инерционными чле-
членами. Для этого порядок величины Rei должен быть 1/е2, как
можно видеть из уравнения E.101).
Порядок величин всех членов уравнения E.102) можно уста-
установить прямым путем, за исключением градиента давления. Так
как градиент давления должен быть уравновешен другими чле-
членами этого уравнения, то его порядок не может быть больше
порядка остальных членов уравнения E.102). Поэтому его мак-
максимальный порядок должен быть е.
В уравнении энергии мы до некоторой степени произвольно
положим, что порядок числа Эккерта равен единице. Следует
считать это значение типичным. Число Эккерта в некоторых
приложениях имеет порядок больший или меньший. Порядок
величины числа Пекле Pe = Re-Pr, как установлено, равен
1/е2. Так как при рассмотрении уравнения предполагалось

250 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
^A/е2), то это дает Рг ж 1. Это полностью соответствует
нашей исходной гипотезе о том, что е и е* обе малы, т. е. б ^ б/.
Другими словами, мы считаем, что числа Пекле и Рейнольдса-
имеют одинаковый порядок величины. Следует ожидать, что на-
настоящие результаты применимы для потоков, в которых число
Прандтля не сильно отличается от единицы. Точные границы
такого анализа должны быть установлены сравнением с экспе-
экспериментальными данными. Для,последнего члена в квадратных
скобках уравнения E.103) указано три порядка: порядок 1 от-
относится к оценке величины удвоенного произведения, возникаю-
возникающего при возведении в квадрат.
Выполнив перемножение, видим,^ что вес члены уравнения
движения по направлению х имеют один порядок величины, за
исключением члена со второй производной (диффузия) в про-
продольном направлении, порядок которого е2. В уравнении движе-
движения по направлению у нет членов, порядок которых больше е.
В уравнении энергии несколько членов имеют порядок величины,
равный единице, хотя порядок членов, связанных с работой сил
давления и вязкой диссипацией, меньше. Сохраняя в уравне-
уравнениях лишь члены, порядок которых равен 1, получим уравнения
пограничного слоя. Ниже они записаны в размерных пере-
переменных.
Уравнение неразрывности
¦& + -S—0. . EЛ04)
/t- 1А[-ч
E.105)
E.106)
где v = м/р — коэффициент кинематической вязкости и а =
= k/pCp — коэффициент температуропроводности.
Уравнение энергии можно обобщить на случай неидеального
газа путем введения коэффициента объемного расширения
Р Р дТ \р'
Для идеального газа р = 1/Г, где Т — абсолютная температура.
Следует подчеркнуть, что последние два члена в уравнении
E.106) сохранены на том основании, что Ее ~ 1. Если для не-
некоторого частного случая течения порядок величины Ее стано-
Уравнение
Уравнение
дТ
и дх
движения
ди .
и~дх- + Х)
энергии
^ ду
ди
ду ~
д2Т
а ду2 '
р дх "¦"
r pep dx i
д2и
V ду2 '
- —!
( ди
< ду

§ 5.3. Уравнения пограничного слоя 251
вится равным е или меньше, то этими членами следует пре-
пренебречь.
Чтобы завершить математическую формулировку задачи,
надо указать начальные и граничные условия. Стационарные
уравнения пограничного слоя относятся к параболическому
типу, когда за маршевое направление принимают направление
основного потока. Необходимо задать начальные распределения
и и Т. Граничные условия задают следующим образом:
и(х, 0) = v(x, 0) = 0,
дТ I а(х) E.107)
или |L|lW
lirn и (х, у) = ue (*), lirn^ T (*, y) = Te (x),
где нижний индекс е относится к условиям на внешней границе
пограничного слоя. Градиент давления в уравнениях E.105) и
E.106) рассчитывают по известному на внешней границе тече-
течению. Если распределение йе(х) задано, то dp/dx можно рассчи-
рассчитать по уравнению движения для внешнего течения невязкого
газа (уравнению Эйлера)
d? due (x)
Не составляет труда получить уравнения пограничного слоя
для течений жидкости с переменными свойствами и/или сжи-
сжимаемой жидкости. Мы ограничимся рассмотрением жидкости
с постоянными свойствами только из-за удобства, поскольку со-
собираемся изложить основные принципы, которые часто можно
применять для получения упрощенной системы приближенных
уравнений для рассматриваемого течения. Уравнения погранич-
пограничного слоя для сжимаемой жидкости с учетом переменных свойств
жидкости будут представлены в п. 5.3.3.
Прежде чем завершить обсуждение вопроса оценки поряд-
порядков -величин для ламинарных течений, следует поднять вопрос
о том, какие члены, опущенные в приближении пограничного
слоя, становятся доминирующими, по мере того как отношение
S/L растет. Ответ очевиден — сначала члены порядка е, затем
члены порядка е2. Заметим, что член со второй производной,
которым мы пренебрегали в уравнении движения в продольном
направлении, имеет порядок е2, тогда как большинство членов
уравнения движения в поперечном направлении имеют порядок
е. Это означает, что вклад уравнения движения в поперечном
направлении ожидается более существенным, нежели учет до-
дополнительных членов в уравнении движения в продольном на-
направлении. Система уравнений,которая получается в результате

252 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
сохранения как членов порядка 1, так и членов порядка е,
но пренебрежения членами порядка е2 и выше, оказалась по-
полезной в вычислительной гидромеханике. Такие стационарные
уравнения движения жидкости, в которых пренебрегают всеми
членами со второй производной в продольном направлении, из-
известны как параболизованные уравнения Навье — Стокса в слу-
случае сверхзвуковых течений и как частично параболизованные
в случае дозвуковых течений. Эти два примера относятся к ка-
категории уравнений, называемых параболизованными уравне-
уравнениями Навье—Стокса. Они занимают промежуточное положе-
положение между уравнениями Навье — Стокса и уравнениями погра-
пограничного слоя в иерархии уравнений динамики жидкости и бу-
будут обсуждаться в гл. 8.
Теперь займемся получением приближения пограничного слоя
для двумерного турбулентного течения несжимаемой жидкости
с постоянными свойствами. В предположении несжимаемости
жидкости (р' = 0) уравнения Рейнольдса значительно упро-
упрощаются. Обезразмерим уравнения Рейнольдса для несжимаемой
жидкости во многом сходным путем, как это мы делали в слу-
случае уравнений Навье — Стокса, положив
и~ и„ ' L L
Т * СО TJ* Н НСО Г\/ *
{5Л08)
* W *""" * сю **¦ W "со ¦* W ¦* со
Отнесенная к скобкам звездочка, ( )*, указывает на то, что все
величины в скобках безразмерные, т. е. вместо u'*v'* будем
пользоваться более удобной записью (u'v')*.
Как и ранее, предположим, что 8/L <С 1, bt/L <1 и е =
= 8/L « 6//L. При установлении порядков величин рейнольд-
совых напряжений и тепловых потоков мы исходим из экспери-
экспериментальных наблюдений, которые свидетельствуют, что рейнольд-
совы напряжения могут быть так же велики, как соответствую-
соответствующие величины в ламинарном потоке. Это требует, чтобы
(u'v')* ~ е. Измерения подтверждают, что (и'2)*, faV)*, (v'2}* при
некотором их различии в величинах и распределении имеют в
пограничном слое одинаковый порядок величин. Иными сло-
словами, мы не можем сказать, что величина любого из этих чле-
членов отличается на множитель 10 или более от величины других
членов. Аналогичное замечание может быть сделано в отноше-
отношении уравнения энергии, что приводит к заключению о том, что

§ 5.3. Уравнения пограничного слоя 253
(9V)* и (9V)* имеют порядок величины е. Тройные корреляции,
как, например, (и'и'и')*, считаются малыми по сравнению с двой-
двойными и имеют порядок е2 [Schubauer, Tchen, 1959]. Целесооб-
Целесообразно привести уравнение энергии в приближении пограничного
слоя, записанное относительно полной энтальпии E.89). Заме-
Заменим Н' по формуле
Ниже выписаны уравнения Рейнольдса, в которых под каждым
членом приведена его оценка по порядку величины.
Уравнение неразрывности
•& + •?-<>. EЛ09)
1 1
Уравнение движения по оси х
1 е 1/е
)-4т W~Y -4^?*)*. E.П0)
2 ) ду v ' дх v ' v '
дх* ^ ReL V дх*2 ^ ду*2 ) ду* ^ и > дх*
1 е2 1 1/е2 е/е е
Уравнение движения по оси у
* dv* . * dv*
18 8 1
и
= dp* \
ду" ' ReL
1 е2 е 1/8
Уравнение энергии
1 1 8 1/8 1 8 8/8
д , -гтг* д
(ши)
1/82 1 е
/ / /ч* 1 д
е/е е2/е

254 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
\ ч п д ( * ди*
82/е
dx* \V ду* ) ^ дк" V дх* ) + ду" V ду*
е/е2
Мы вновь будем считать, что Рг и Ее близки к единице. Дву-
Двумерные уравнения пограничного слоя получают, сохраняя только
члены первого порядка. Их можно записать в размерных пере-
переменных:
Уравнение неразрывности
дп , dv Л
Уравнение движения
_ дп , - дп ___ dp ,
Уравнение энергии
- дН t ~ дН . д2Т
EЛ13)
^-). E.114)
Следует заметить, что в уравнении движения по оси у остаются
члены первого порядка, а именно
L1L 2-7^
Р ду— ду КХ) h
Они не включаются в систему уравнений пограничного слоя, так
как не содержат информацию об осредненных скоростях. Изме-
Изменение давления поперек пограничного слоя имеет порядок е
(мало по сравнению с изменением давления вдоль пограничного
слоя). Погранслойное уравнение энергии^легко переписать че-
через статическую температуру, заменяя Н в уравнении E.114)
на срТ + п?/2. При этом мы пренебрегаем v2 по сравнению
с п2 в выражении для кинетической энергии осредненного дви-

§ 5.3. Уравнения пограничного слоя 255
жения. Рассмотрение того, как возникает Я в E.114), показы-
показывает, что это допустимо в приближении пограничного слоя. Ис-
Исключая члены с кинетической энергией при помощи E.113), пе-
перепишем погранслойное уравнение энергии в виде
дТ , - дТ 1 д2Т* д
S7 + we, -Щ = * sjt fc, 5J
В некоторых задачах последними двумя членами правой части
E.115) можно пренебречь. Но так поступать неправомерно в
случае несжимаемой жидкости. Например, последний член в пра-
правой части дает вязкую диссипацию энергии, играющую важную
роль в задачах смазки, в которых основная проблема состоит
в отводе тепла, порождаемого вязкой диссипацией. Иногда
можно пренебречь одним или даже обоими последними членами
в правой части уравнения E.114). Уравнения E.114) и E.115)
легко записать в конечно-разностном виде, поэтому дальнейшее
их упрощение нецелесообразно, кроме того случая, когда упо-
упомянутыми членами этих уравнений действительно можно пре-
пренебречь. Для турбулентных "течений граничные условия сохра-
сохраняются неизменными.
Завершая раздел, посвященный рассмотрению приближения
тонкого слоя, следует заметить, что для турбулентных течений
наибольший член, опущенный в уравнении движения в продоль-
продольном направлении, т. е. нормальное рейнольдсово напряжение,
имеет порядок больше е, т. е. превосходит наибольший из опу-
опущенных членов в случае ламинарного течения. Заметим также,
что только один член с рейнольдсовым напряжением и один
член с рейнольдсовым тепловым потоком сохраняются в урав-
уравнениях пограничного слоя.
В любой задаче, в которой стационарные уравнения тонкого
слоя используются для расчета внутренних течений, можно по-
получить расход жидкости через канал. Это позволяет рассчитать
градиент давления, тогда как в случае рассмотрения внешних
течений его необходимо задавать. Об этом будет еще разговор
в гл. 7.
5.3.3. Уравнения пограничного слоя для сжимаемой жидкости
Упрощение уравнений Рейнольдса при использовании при-
приближения пограничного слоя в случае сжимаемой жидкости яв-
является более громоздкой процедурой. По этой причине ниже бу-
будут приведены лишь результаты. Подробности можно найти в
цитируемых работах [Schubauer, Tchen, 1959], [van Driest, 1951]

256 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
и [Cebeci, Smith, 1974]. Как и для несжимаемой жидкости,
оценка порядков величин производится на основе эксперимен-
экспериментальных данных. Для сжимаемой жидкости должна быть оце-
оценена величина р'/р-
Измерения, выполненные в газах при числах Маха около 5,
показывают, что для адиабатических течений пульсации темпе-
температуры происходят почти изобарически. Это означает, что
Т /Т « —р'/р. Однако имеются свидетельства того, что суще-
существуют заметные пульсации давления (порядка 8—10% сред-
среднего статического давления на стенке) при Ме = 5, и предпола-
предполагается, что р'/р растет с увеличением числа Маха. При отсут-
отсутствии наблюдений, подтверждающих противное, оценка поряд-
порядков пульсационных величин основывается обычно на допущении
о том, что пульсации давления малы. Это, видимо, вполне оправ-
оправданно для Ме ^ 5. Кроме того, были отмечены факты хорошего
совпадения экспериментальных наблюдений и расчетов, осно-
основанных на этом допущении, даже при числах Маха, равных 7.5.
Мы примем гипотезу об изобарическом характере пульсаций.
При увеличении числа Маха в первую очередь могут расти кор-
корреляционные члены, в которые входят пульсации плотности.
Мы обнаружили, что различие между п и п в приближении
пограничного слоя пропадает. Это следует из того, что р'и' счи-
считается величиной, малой по сравнению с рй, и ею можно пре-
пренебречь в уравнении движения. Мы находим также, что Г = Т и
Н = Я, чтобы не противоречить допущениям пограничного слоя.
С другой стороны, pV и pv — величины одного порядка в тон-
тонком сдвиговом слое, поэтому €фд. Ниже неустановившиеся
уравнения пограничного слоя для сжимаемой жидкости записаны
в виде, пригодном как для двумерных, так и для осесимметрич-
ных турбулентных течений. Для удобства будем опускать черту
над осредненными по времени величинами и введем обозначение
5 = (p6 + pV)/P« Эти уравнения справедливы и для ламинар-
ламинарных течений, если в них положить равными нулю члены с пуль-
пульсациями. Системы координат показаны на рис. 5.6.
Уравнение неразрывности
t ^ ^-(rV) = 0. E.116)
Уравнение движения
ди . ди . ~ ди dp . 1 д Г m ( ди
E.117)

§ 5.3. Уравнения пограничного слоя
257"
т( \л дН
Уравнение энергии
дН , дН . „ д#
Уравнение состояния
Р = Р(Р,Т)9 E.119)
В этих уравнениях показатель степени, равный 1, соответ-
соответствует осесимметричным течениям (rm = r), а равный 0 — дву-
(а)
(с)
Рис. 5.6. Система координат для осесимметричных уравнений тонкого сдви-
сдвигового слоя, (а) Пограничный слой при внешнем обтекании; (Ь) осесиммет-
ричное свободное сдвиговое течение; (с) осесимметричное течение в трубе.
мерным течениям (rm = l). Другие формы уравнения энергии
будут рассмотрены ниже.
9 Д. Андерсон и др. Том 1

258 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
• Уравнения пограничного слоя для сжимаемой жидкости вы-
выглядят немного более сложно, чем для несжимаемой. Только
один член с рейнольдсовыми напряжениями и один член с рей-
нольдсовым тепловым потоком фигурируют в уравнении как для
сжимаемой жидкости, так и для несжимаемой. Для ламинарных
течений основное отличие заключается в изменениях свойств ц,
Лир, когда в случае сжимаемой жидкости требуется решать
'уравнение энергии. Когда же свойства жидкости считаются по-
постоянными (как это бывает для многих течений несжимаемой
жидкости), уравнения движения и энергии не зависят друг от
друга, поэтому во многих задачах в решении уравнения энергии
просто нет необходимости.
Приближение пограничного слоя остается справедливым и
для трехмерного течения, возникающего в результате поворота
основного потока, если только производные скоростей в одном
выделенном направлении велики. Иными словами, трехмерный
пограничный слой есть поток, который остается «тонким» по от-
отношению к одному координатному направлению. Ниже приве-
приведены нестационарные уравнения трехмерного пограничного слоя
для сжимаемой жидкости в декартовых координатах. Направ-
Направление у совпадает,с нормалью к стенке.
Уравнение неразрывности
Уравнение движения по оси х
ди , _. ди . ~ ди х„АШ_ди др , д (яя ди
E.121)
Уравнение движения по оси z • ¦
dw , dw , - dw , dw dp , д ( dw —7
E.122)
Уравнение энергии
дН , дН . . дН . дН д Г ц дН л ~тр ,
-Р"^-0^^1- <бЛ23>
Для трехмерного течения в приближении пограничного слоя
можно выписать следующее выражение для Я:
—
2 *

§ 5.3. Уравнения пограничного слоя 259
Трехмерные уравнения пограничного слоя использовались сна-
сначала для задач внешней аэродинамики, в которых члены с гра-
градиентами давления находились из решения уравнений невяз-
невязкого течения (уравнений Эйлера). Трехмерные внутренние те-
течения обычно рассчитываются по несколько иным уравнениям,
которые будут обсуждаться в гл. 8.
При расчетах пограничного слоя на крыльях или других кон-
конфигурациях, представляющих практический интерес, обычно ис-
используются связанные с телом криволинейные координаты. Ча-
Часто эти координаты неортогональные. Пример этого можно найти
в книге Цебеци и др. [Cebeci et al., 1977]. Однако применение
ортогональных координат более распространено (см., например,
[Blottner, Ellis, 1973]). Одна из координат, х2, обычно направ-
направлена почти по нормали к стенке. Этого соглашения мы и будем
придерживаться. Ниже выпишем уравнения трехмерного погра-
пограничного слоя в криволинейных ортогональных координатах, опи-
описанных в п. 5.1.7. Обычно Х\ есть направление основного потока,
а А'з — поперечное к нему направление. Метрические коэффи-
коэффициенты Ль Л2, Л3 определены так же как в п. 5.1.7; однако h2 в
приближении пограничного слоя принимается равным единице.
Кроме них мы будем использовать геодезические кривизны лиг
ний координатных поверхностей
EЛ24)
В этих обозначениях уравнения турбулентного пограничного
слоя сжимаемой жидкости можно записать следующим образом.4
Уравнение неразрывности
Уравнение движения по оси Х\
= 0. E.125)
Уравнение движения по оси х3

260 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
Уравнение энергии
их дН . „ дН , «з дН ___ д Г \i дН —пр ,
р + p"^ + p^T^L^pVV +
E.128)
Как всегда, для замыкания системы уравнений в нее необхо-
необходимо включить уравнение состояния р = р(р, Г). Приведенные
выше уравнения остаются справедливыми и для ламинарного
течения, если пульсационные величины положить равными нулю.
§ 5.4. Введение в моделирование турбулентности
5.4.1. Некоторые общие соображения
О насущной необходимости моделирования турбулентности
уже шла речь в § 5.2. Чтобы рассчитать турбулентные течения
путем решения уравнений Рейнольдса, необходимо принять ги-
гипотезу замыкания для кажущихся турбулентных напряжений и
тепловых потоков. Все существующие модели турбулентности
имеют недостатки. Окончательная модель турбулентности еще
не создана. Некоторые авторы философски рассуждают, что
уравнения Навье — Стокса — это система уравнений для описа-
описания турбулентных течений, являющаяся одновременно и точной,
и общей, поэтому надеяться на то, что нам удастся получить
при помощи моделирования турбулентности некую альтернатив-
альтернативную систему с сохранением прежней точности и общности, но
проще решаемую, было бы чересчур оптимистично. Если при-
принять эту точку зрения, то наши ожидания умерятся и от поисков
окончательного решения этой проблемы мы перейдем к поиску
моделей, которые имеют приемлемую точность в ограниченном
диапазоне условий течения.
Важно помнить, что модели турбулентности должны прове-
проверяться сравнением расчетов, выполненных на их основе, с экс-
экспериментальными данными. Следует быть особенно вниматель-
внимательным при интерпретации расчетов, когда модель используется
вне диапазона условий, в которых она была проверена срав-
сравнением с данными эксперимента.
Цель данного раздела — введение в общепринятые методики
моделирования турбулентности. При этом мы не имеем намере-
намерения дать подробные описания этих моделей, что невозможно без
ознакомления с оригинальными работами, а хотим выявить ра-
рациональную сторону выбора стратегии моделирования. Простей-
Простейшие модели будут описаны достаточно подробно, чтобы чита-
читатель сам был в состоянии сформулировать основную модель,
пригодную для простейших тонких сдвиговых слоев.

§ 5.4. Введение в моделирование турбулентности 261
5.4.2. Терминология моделирования
Более чем 100 лет тому назад Буссинеск [Bossinesq, 1877]
выдвинул предположение, что кажущиеся турбулентные сдви-
сдвиговые напряжения могли бы быть связаны со скоростью сред-
средней деформации через кажущуюся (эффективную) скалярную
турбулентную (или «вихревую») вязкость. Для тензора рей-
нольдсовых напряжений общего вида это дает
) E.129)
где fir — коэффициент турбулентной вязкости и к — кинетиче-
кинетическая энергия турбулентности, k = u'iu'i/2. Следуя принятому
в п. 5.3.2 соглашению, опускаем черту над средними по вре-
времени переменными.
По аналогии с кинетической теорией газов можно ожидать,
что турбулентную вязкость можно с достаточной точностью
представить в виде
/ E.130)
где vt и / — характерные масштабы скорости и длины турбу-
турбулентности соответственно. Проблема состоит в том, как оценить
VT И /.
Модели турбулентности для замыкания уравнений Рейнольд-
са могут быть разделены на две большие группы в соответствии
с тем, используется или нет гипотеза Буссинеска. Модели, в ко-
которых используется гипотеза Буссинеска, будем относить к груп-
группе I и называть их моделями турбулентной вязкости. Большин-
Большинство моделей, используемых в настоящее время в инженер-
инженерных расчетах, относятся именно к этой группе. Эксперименталь-
Экспериментальные наблюдения свидетельствуют, что гипотеза турбулентной
вязкости пригодна для многих течений. Существуют, однако,
исключения, и нет физического обоснования ее справедливости.
Модели, осуществляющие замыкание уравнений Рейнольдса без
гипотезы Буссинеска, будем относить к группе II. Она включает
в себя модели, называемые моделями рейнольдсовых напряже-
напряжений или моделями с уравнениями для напряжений.
Другой способ классификации моделей состоит в классифи-
классификации согласно числу дополнительных дифференциальных урав-
уравнений в частных производных, которые необходимо решить для
получения параметров модели. Это число может изменяться от
0 в случае простейших алгебраических моделей до 12 в случае
наиболее сложных моделей рейнольдсовых напряжений [Do-
[Donaldson, Rosenbaum, 1968]. Иногда говорят о порядке замыка-
замыкания. Согласно этой терминологии, в модели замыкания первого

262 • Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
порядка рейнольдсовы напряжения рассчитываются как функ-
функции только осредненных скоростей и геометрии задачи. Модель
замыкания второго порядка использует решение некоторого мо-
модельного уравнения для переноса одной или более характери-
характеристик турбулентности.
К группе III будут отнесены модели, которые не основы-
основываются полностью на уравнениях Рейнольдса. Многообещаю-
Многообещающий численный метод, известный под названием моделирование
крупных вихрей, относится к этой группе. В этом методе [Dear-
dorff, 1970] делается попытка разрешить крупномасштабное
турбулентное движение, исходя из основных принципов путем
численного решения «отфильтрованной» системы уравнений, опи-
описывающих это крупномасштабное трехмерное нестационарное
движение. Моделирование турбулентности используется для
аппроксимации эффектов турбулентности, масштаб которых
меньше размеров ячейки сетки. Такие расчеты очень перспек-
перспективны, но в настоящее время их стоимость слишком велика,
чтобы они могли быть инструментом инженерных расчетов.
Поскольку мы обратились к специальным моделям турбу-
турбулентности, то полезно иметь в виду систему уравнений сохране-
сохранения, которая должна быть дополнена уравнениями модели тур-
турбулентности. Уравнения тонкого сдвигового слоя E.116) — E.119)
достаточно хорошо будут служить этой цели. В случае дву-
двумерных или осесимметричных уравнений тонкого сдвигового слоя
задача моделирования сводится к нахождению выражений для
— pv'и' и pcpv'T'. Далее опишем способы определения этих двух
членов и покажем там, где это возможно, пути перехода к урав-
уравнениям более сложного вида.
5.4.3. Простые алгебраические модели
Алгебраические модели турбулентности постоянно исполь-
используют гипотезу Буссинеска. Одну из наиболее успешных моделей
этого типа предложил Прандтль в 1920-х гг.:
где / — длина пути смешения, которую можно трактовать как
расстояние в поперечном направлении, на котором частицы еще
сохраняют свой собственный импульс (по порядку величины,
равному длине среднего свободного пробега жидких частиц до
столкновения или смешения). Произведение 1\ди/ду\ можно
интерпретировать как характерную скорость турбулентности vt.
В выражении E.131) и — компонента скорости в направлении
основного течения и у — поперечная координата,

§ 5.4. Введение в моделирование турбулентности 263
Для трехмерных сдвиговых слоев формула Прандтля запи-
записывается обычно в виде
• EЛ31а)
В этой формуле турбулентная вязкость рассматривается как
скаляр и дает качественно правильные результаты, особенно для
пристенных течений. Однако имеются экспериментальные дока-
доказательства того, что во внешнем слое турбулентную вязкость
следует рассматривать как тензор (т. е. величину, зависящую от
направления деформации) для обеспечения лучшего согласова-
согласования с результатами эксперимента. Для течений в углах или дру-
других конфигурациях, в которых нет явно выраженного попереч-
поперечного направления, формула Прандтля должна быть модифици-
модифицирована (см., например, [Patankar et al., 1979]).
Вычисление / в модели длины путем смешения зависит от
типа рассматриваемого течения: пограничный слой, струя, след
и т. п. Для пристенных течений (внутренних или внешних) хо-
хорошие результаты дает оценка согласно формуле
/, = xr/(l — в-^+/л+) E.132)
для внутренней области, расположенной в непосредственной бли-
близости от стенки, и формуле
/о = СД E.133)
когда рассчитываемая по формуле E.132) величина /,• впервые
превосходит /0. Постоянная С\ в E.133) обычно принимается
близкой к 0.089, а б — толщина пограничного слоя.
В выражении E.132) % есть постоянная Кармана, обычное
значение которой принимается равным 0.41, и А* — демпфирую-
демпфирующая константа, равная 26. Выражение в скобках есть демпфи-
демпфирующая функция ван Дриста [van Driest, 1956], которая ис-
используется для того, чтобы перекинуть мост между полностью
развитым пограничным слоем, где / = кг/, и вязким подслоем,
где 1-+0. Параметр у+ определяется в виде
Для учета влияния переменных свойств жидкости, градиентов
давления, вдува, шероховатости поверхности сделаны многочис-
многочисленные поправки к экспоненциальной функции. В работе [Се-
beci, Smith, 1974] дано обсуждение модификаций для учета не-
некоторых из этих эффектов. Однако, как ясно из сравнений,
опубликованных в литературе материалов, для модели внутрен-
внутреннего слоя [см. E.132)] не требуется модификации для точного

264
Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
учета переменных свойств газов при умеренных давлениях на
гладких поверхностях.
Выражение E.132) для U обусловливает внутреннюю об-
область закона стенки турбулентного течения, а выражение E.133)
для /о — внешнюю область «следа». На рис. 5.7 показано их
30
25
20
10
_ Внутренняя часть,
где справедлив закон стенки
Внешняя часть -
_Вязкий
подслои
уф
" зона
J
полностью |
, литого "Л
I турбулентного I
пограничного ,
слоя с логаритмиА
I чесним распределен
шем скорости i
1 i i
i i
J_
5 10 20 50
100 ZOO
y+
500 1000 2000 5000 10000
Рис. 5.7. Структура турбулентного пограничного слоя для типичного течения
несжимаемой жидкости на гладкой плоской пластине. типичный про-
профиль скорости, Ree = 5000; и+ = A/0.41) In у+ + 5.15; и+ = #+.
расположение для типичного распределения скорости в турбу-
турбулентном пограничном слое несжимаемой жидкости на гладкой
непроницаемой пластине в координатах «закона стенки» (у+у и+).
Число Рейнольдса Ree = PeUeQ/[ie подсчитано по толщине потери
импульса, которая определяется в виде-
Безразмерная скорость а+ определяется как u+=u/(\xw\/pw)l/2.
Взаимное расположение внутренней и внешней областей пока-
показано на рисунке. В обычных условиях внутренняя область за-
закона стенки включает примерно 20 % толщины пограничного

§ 5.4. Введение в моделирование турбулентности 265
слоя. Область логарифмического закона является характерной
чертой пристенного турбулентного пограничного слоя, хотя за-
закон стенки меняет свой вид в зависимости от чисел Рейнольдса
и Маха.
Стоит отметить, что при малых числах Рейнольдса, подсчи-
подсчитанных по толщине потери импульса, т. е. при зарождении тур-
турбулентного пограничного слоя, размеры как внутренней, так и
внешней областей стремятся к нулю и следует ожидать неприят-
неприятностей при применении модели турбулентности, использующей
выражения E.132) и E.133). Трудности возникают от того, что
малые б, имеющие место при зарождении турбулентного погра-
пограничного слоя, вызывают переключение на модель внешней ча-
части, прежде чем демпфирующий эффект позволит развиться
полностью турбулентной области закона стенки. Это приводит
к тому, что разностные схемы, использующие эту модель, дают
уменьшенные значения для касательного напряжения на стенке.
Это отличие мало для течений несжимаемой жидкости и гораздо
больше для сжимаемых жидкостей, причем становится все более
заметным при увеличении числа Рейнольдса, так как число
Маха растет из-за утолщения вязкого подслоя вследствие тепло-
тепловых эффектов [Pletcher, 19t6]. Естественно, на этот эффект
влияет интенсивность охлаждения стенки в случае сжимаемых
течений.
Можно добиться хорошего соответствия результатов расчета
с экспериментальными данными при малых числах Рейнольдса
путем простого запаздывания переключения с модели внутрен-
внутренней части слоя E.132) на модель внешней части E.133) до тех
пор, пока у+ ^ 50. Если при у+ = 50 1/8 ^ 0.089, то в моди-
модификации нет необходимости. Если, с другой стороны, соотноше-
соотношение E.132) дает 1/8 > 0.089, то длина пути смешения становит-
становится постоянной во внешней части, рассчитываемой по E.132)
при у+ = 50. Такая простая модификация дает линейно-лога-
линейно-логарифмический закон скорости, что согласуется с измерениями.
Для внутренней и внешней частей пограничного слоя с успе-
успехом используются и другие модели. Некоторые исследователи
[Patankar, Spalding, 1970] в непосредственной близости от
стенки пользуются пристенными функциями, применение кото-
которых основано на допущении о характере течения Куэтта вблизи
стенки. Этот подход, вероятно, не так хорош для течений жид-
жидкости с переменными свойствами, для течений с проницаемыми
стенками и другими пристенными эффектами, как подход с ис-
использованием функции ван Дриста.
Для расчета турбулентной вязкости во внешней части слоя
как альтернативу расчету по соотношению E.133) часто исполь-
используют другой подход [Cebeci, Smith, 1974]. Клаузер предложил

266 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
пользоваться формулой
Hr(ou.er> = «P«e|S;|. E-134)
где а учитывает эффекты при малых числах Рейнольдса. Це-
беци и Смит [Cebeci, Smith, 1974] рекомендуют пользоваться
для а следующим выражением:
у|^ E.135)
где
jt = 0.55[l — ехр (—0.243Z1/2 — 0.298z)] и z = Ree/425 — 1.
Для Ree, большего 5000, а » 0.0168. Параметр 6* есть толщина
вытеснения, определяемая в виде
^)y. E.136)
Вычисление рейнольдсового теплового потока pcpv'T' обычно
производится при помощи алгебраических моделей в виде ана-
аналогии Рейнольдса, которая основана на подобии между пере-
переносом тепла и импульса. В применении к кажущимся турбу-
турбулентным тепловым потокам она заключается в том, что посту-
постулируется гипотеза Буссинеска
В турбулентном потоке дополнительный перенос тепла обуслов-
обусловлен турбулентным движением. Экспериментальные данные под-
подтверждают, что отношение турбулентной теплопроводности к
турбулентной вязкости, называемое турбулентным числом
Прандтля, Ргг = [iTCp/kTi является функцией с «хорошим» пове-
поведением. Большинство алгебраических моделей" турбулентности
хорошо работают, когда турбулентное число Прандтля пола-
полагают близкой к единице константой. Обычно считают, что
Ргг = 0.9. Данные эксперимента свидетельствут, что для при-
пристенных течений Ргг изменяется от 0.6—0.7 во внешней части
пограничного слоя до 1.5 вблизи стенки, хотя теоретических
обоснований этого не имеется. Предложено несколько полуэм-
полуэмпирических распределений для Рг?-[Cebeci, Smith, 1974; Kays,
1972; Reynolds, 1975]. Кажущийся турбулентный тепловой по-
поток связан с турбулентной вязкостью и параметрами осреднен-
ного течения при помощи турбулентного числа Прандтля еле-

§ 5.4. Введение в моделирование турбулентности 267
дующим образом:
-p^=t^4f- EЛ37)
что завершает процедуру замыкания.
Для течений, отличающихся от тонких сдвиговых слоев, мо-
может возникнуть необходимость в моделировании других членов
с рейнольдсовыми тепловыми потоками. Для реализации этого
считают коэффициент турбулентной теплопроводности кт =
= ср\1т/Ггт скалярной величиной и распространяют аппрокси-
аппроксимацию типа Буссинеска на другие компоненты градиента тем-
температуры. В качестве примера вычислим — рсри'Т':
Итак, рекомендуемая основная алгебраическая модель тур-
турбулентности для пристенных пограничных слоев состоит в вы-
вычислении турбулентной вязкости по формуле Прандтля для
длины пути смешения E.131), в которой I задается выражением
E.132) для внутренней части и выражением E.133) ддя внеш-
внешней части слоя. Наряду с этим для внешней части слоя можно
использовать формулу Клаузера E.134). Кажущийся тубулент-
ный тепловой поток можно оценивать по формуле E.137), счи-
считая турбулентное число Прандтля равным 0.9. Эта простейшая
математическая модель турбулентности имеет четыре эмпири-
эмпирические константы, которые подбираются согласно табл. 5.1.
Таблица 5.1. Эмпирические константы для алгебраических моделей
турбулентности для пристенных пограничных слоев
Обозначение
Описание
У,
Л+
или
Рг
т
Константа Кармана для внутренней части слоя «0.41
Константа ван Дриста для демпфирующей функции «26,
но часто модифицируется для учета более сложных эф-
эффектов
Константа для внешней части слоя С\ « 0.089, а « 0.0168,
но обычно включает f (Re0) в а
Турбулентное число Прандтля, обычно Ргг « 0.9
Алгебраические модели хорошо зарекомендовали себя для
сравнительно простых течений вязкой жидкости, но требуют мо-
модификации для расчета течений более сложного вида. Следует
сказать, что сжимаемость жидкости не относится к этим ослож-

268 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
няющим факторам. Структура турбулентности остается в основ-
основных своих чертах неизменной вплоть до чисел Маха по меньшей
мере 5. Естественно, изменения плотности ц других свойств
должны быть учтены в уравнениях сохранения, используемых
совместно с моделью турбулентности. В табл. 5.2 перечислены
некоторые особенности течений, требующие модификации опи-
описанной выше простейшей алгебраической модели. Указаны так-
также ссылки на библиографические источники, в которых эти мо-
модификации обсуждаются.
Таблица 5.2. Эффекты, требующие модификации или добавлений
к простейшим алгебраическим моделям турбулентности
Эффект Библиографические источники
Малые числа Рей- [Cebeci, Smith, 1974; Pletcher, 1976; Bushnell et al., 1975;
нольдса Herring, Mellor, 1968; Bushnell et al. 1976; McDonald,
1970]
Шероховатость [Cebeci, Smith, 1974; Bushnell et al., 1976; McDonald,
Fish, 1973; Healzer et al., 1974; Adams, Hodge, 1977]
Проницаемость [Cebeci, Smith, 1974; Bushnell et al., 1976; Pletcher, 1974;
стенки Baker, Launder, 1974; Kays, Moffat, 1975]
Большие градиен- [Cebeci, Smith, 1974; Bushnell et al., 1976; Adams, Hodge,
ты давления 1977; Pletcher, 1974; Baker, Launder, 1974; Kays, Mof-
Moffat, 1975; Jones, Launder, 1972; Kreskovsky et al.,
1974; Horstman, 1977]
Сливающиеся сдви- [Bradshaw et al., 1973; Stephenson, 1976; Emery, Gessner,
говые слои 1976; Cebeci, Chang, 1978; Malik, Pletcher, 1978]
Это обсуждение алгебраических моделей для пристенных те-
течений ни в коей мере не является исчерпывающим. За истекшие
годы было предложено множество слегка отличающихся друг
от друга алгебраических моделей. Было выполнено сравнение
одиннадцати алгебраических моделей для турбулентных тече-
течений в трубах с теплообменом [McEligot et al., 1970]. Оказалось,
что ни одна из них не дает лучших результатов, нежели опи-
описанная выше модель длины пути смешения с демпфирующей
функцией ван Дриста.
Чуть меньше информации имеется об алгебраических моде-
моделях турбулентности для свободных сдвиговых течений. Эта ка-
категория течений более трудна для моделирования, нежели при-
пристенные пограничные слои, особенно если общность модели слу-
служит мерилом ее достоинств. Некоторое обсуждение простых мо-
моделей для круглых струй можно найти в работах [Madni, Flet-
Fletcher, 1975b, 1977a]. На начальном участке круглой струи мо-
может использоваться формула Прандтля длины пути смешения

1 § 5.4. Введение в моделирование турбулентности 269
E.131), где / выражается в виде
/ = 0.07626т E.138)
Fт — ширина зоны смешения). Эта модель уже не работает,
когда сдвиговые слои сливаются, и в этой точке необходим пе-
переход к модели формы струи [Hwang, Fletcher, 1978]:
(«max-"min) E.139)
или [Madni, Fletcher, 1975b]:
oo
vr=lT$ \ue-u\ydy, E.140)
( 1,
={ @.5J,
У
которая обеспечивает хорошее соответствие с измерениями для
круглых соосных струй. Выражение E.139) есть модификация
модели, предложенной Прандтлем для струй [Frandtl, 1926].
В выражениях E.139), E.140) а есть радиус отверстия, у —
функция перемежаемости:
если 0<*//*/1/2<0.8,
если у/угп>0Я, E'И1)
где z = (y/y\/2 — 0.8J5, a F — функции отношения R скорости
потока к скорости истечения из отверстия, задаваемая выраже-
выражением F = 0.015A + 2.13R2). Координата у измеряется от оси
струи, и r/i/2 — расстояние от оси струи до точки, в которой ско-
скорость убывает до значения, равного средней величине от ско-
скорости на оси струи и скорости внешнего течения.
Поводом для обращения к более сложным моделям турбу-
турбулентности является то, что алгебраические модели дают оценку
турбулентной вязкости только в терминах локальных парамет-
параметров течения, однако у нас есть ощущение, что модель турбу-
турбулентности должна иметь механизм, посредством которого осу-
осуществлялось бы влияние на структуру турбулентности (вяз-
(вязкость) со стороны потока, расположенного выше по течению.
Кроме того, при специальных расширениях и поправках простей-
простейших моделей часто требуется учесть специфические эффекты,
поэтому приходится менять константы моделей турбулентности
для того, чтобы последние были пригодны для описания разных
классов течений.
Кроме того, при работе с простыми моделями требуется вво-
вводить специальные дополнения и поправки, чтобы учесть специ-
специфические эффекты, а также следует модифицировать константы
для различных классов сдвиговых течений. Для многих иссле-
исследователей это было побуждающим мотивом для разработки

270 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
модели, которая обладала бы достаточной общностью и не тре-
требовала бы изменения констант для описания разных классов
течений.
Если мы примем общую форму выражения турбулентной
вязкости \iT = pvTl, то для придания большей общности моде-
моделям турбулентной вязкости представляется логичным считать vt
и, возможно, / более сложными (и, следовательно, более об-
общими) функциями течения, что позволяет учитывать предысто-
предысторию течения (т. е. влияние набегающего потока). Это сообра-
соображение служит побудительной причиной для разработки более
сложных моделей турбулентности.
5.4.4. Модели с одним обыкновенным дифференциальным уравнением
Модель с одним обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением будет определена как модель, в которой один из парамет-
параметров модели (vjy l или сама \iT) в направлении основного потока
определяется из решения обыкновенного дифференциального
уравнения. Уравнение обычно получают, полагая, что этот пара-
параметр зависит только от одной координаты. В эту группу попа-
попадают модели, являющиеся дальнейшим развитием моделей дли-
длины пути смешения или релаксационных моделей. В модели с од-
одним уравнением решается дополнительное дифференциальное
уравнение в частных производных для параметра модели. Ос-
Основные черты нескольких моделей с одним обыкновенным диф-
дифференциальным уравнением приведены в табл. 5.3.
Таблица 5.3. Некоторые из моделей с одним обыкновенным
дифференциальным уравнением (ОДУ)
Уравнение переноса,
Модель используемое как основа
для одного ОДУ
Параметр
модели, опре-
определяемый
из решения
одного ОДУ
Библиографические ссылки
5А Кинетическая энергия
турбулентности
[McDonald, Camerata, 1968;
Kreskovsky et al., 1974;
McDonald, Kreskovsky,
1974]
5B
5C
5D
5E
5F
To же
Эмпирическое
&T outer
To же
Эмпирическое
loo
ОДУ для
ОДУ для
/со
/со
Иг outer
ИГ outer
/со
[Chan, 1972]
[Adam, Hodge, 1977]
[Shang, Hankey, 1975]
[Reyhner, 1968]
[Malik, Pletcher, 1978; Plet
cher, 1978]

§ 5.4. Введение в моделирование турбулентности 271
Первые три модели из табл. 5.3 отличаются друг от друга
в деталях, хотя все три используют интегральную форму урав-
уравнения переноса кинетической энергии турбулентности для учета
влияния предыстории потока на турбулентную вязкость. Мо-
Модели такого типа были разработаны для расчета перехода, влия-
влияния эффектов шероховатости, проницаемости стенок, градиен-
градиентов давления и качественного учета реламинаризации. Сооб-
Сообщается, что эти модели тестировались в основном на задачах
внешнего обтекания, а не на задачах течения в каналах.
Хотя модели 5D, 5Е и 5F, по-видимому, являются чисто
эмпирическими релаксационными моделями или моделями с за-
запаздыванием, было показано [Birch, 1976], что модели этого
типа на самом .деле эквивалентны одномерным вариантам урав-
уравнений в частных производных для переноса рассматриваемых
величин, за исключением того, что эти уравнения переноса
нельзя получить из уравнений Навье — Стокса. Это не слишком
большой недостаток, поскольку их все равно нельзя решать без
упрощений эмпирического характера и моделирования членов.
В конце концов независимо от своей природы эти уравнения
принимают вид, в котором имеются члены, описывающие гене-
генерацию, диссипацию, диффузию и конвекцию рассматриваемых
величин.
Модель 5F для пристенных пограничных слоев использует
выражение E.132) для длины пути смешения во внутренней ча-
части. Во внешней части длина пути смешения принимается равной
/0 = 0.121, E.142)
где L определяется из решения обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения. Для сдвиговых слоев постоянной толщины за L
принимается толщина б сдвигового слоя. При изменении б в
направлении потока L будет отставать от б, причем характер
этого отставания будет определяться временем релаксации
крупных вихрей, которое считается равным б/йт, где пх — харак-
характерная турбулентная скорость. Если далее принять, что ско-
скорость жидкости во внешней части сдвигового слоя равна ие, то
расстояние в направлении течения, которое поток проходит за
время релаксации, есть L* = С2ие8/пх- Тогда уравнение для из-
изменения L может быть записано в предположении, что L релак-
сирует к б по закону
¦аг—т^- <5Л43>
Эта модель была^ распространена на свободные сдвиговые те-
течения [Minaie, Fletcher, 1982], при этом б интерпретируется как
расстояние между точкой максимума сдвигового напряжения и

272 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
внешней границей течения, а ие заменяется на продольную ско-
скорость, осредненную по сдвиговому слою. Оптимальная оценка
пХу по-видимому, не найдена. Выражение ux = (L/8) (\xw\/pw)l/2
с успехом применяется для течений вдоль твердых поверхно-
поверхностей, тогда как пх =(ттах/ршI/2 оказалось вполне удовлетвори-
удовлетворительным для свободных сдвиговых течений. Можно было бы
предположить, что последнее выражение будет приемлемым и
для пристенных пограничных слоев. В окончательном виде обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение для переноса L в случае
пристенных пограничных слоев [Pletcher, 1978] и смешиваю-
смешивающихся сдвиговых слоев в кольцевых каналах [Malik, Pletcher,
1978] можно записать в виде
5.4.5. Модели с одним уравнением
Очевидный недостаток алгебраических моделей турбулент-
турбулентной вязкости, в которых vt в выражении для [iT = pvTl обычно
оценивается по формуле vT = 1\ди/ду\> заключается в том, что
11т = kT=0 всюду, где \ди/ду\ = 0. Это означает, что \хт и От-
Отбудут нулями на центральной линии трубы, в областях переме-
перемешивания пристенной струи с основным потоком и при течении
между двумя плоскими стенками, когда одна стенка горячая,
а другая холодная, при истечении через круглое отверстие. Из-
Измерения да и здравый смысл говорят, что \iT и кт не равны нулю
в условиях, когда ди/ду = 0. Модели длины пути смешения
можно подкорректировать, чтобы преодолеть и это их слабое
место, но этот их принципиальный недостаток побуждает к по-
поискам других выражений для \iT и кт. В пользу алгебраических
моделей следует сказать, что этот их недостаток не всегда яв-
является решающим, так как рейнольдсовы напряжения и тепло-
тепловые потоки часто бывают малыми, когда ди/ду = 0. В работе
[Malik, Pletcher, 1981] приведены примеры, иллюстрирующие
это явление.
В 40-х годах Прандтль и А. Н. Колмогоров предположили,
что в формуле [1т = pvTl скорость vt пропорциональна корню
квадратному из кинетической энергии турбулентности k = !/2«Х*
Таким образом, турбулентную вязкость можно оценивать как
I/2 E.145)
и jiir уже не обращается в нуль, когдка ди/ду = 0. Кинетическая
энергия к — величина, доступная измерениям, и ее легко интер-
интерпретировать с физической точки зрения. Встает вопрос, как рас-
рассчитать к.

§ 5.4. Введение в моделирование турбулентности 273
Уравнение для к можно получить (задача 5.18) из уравне-
уравнений Навье — Стокса. Для двумерного течения несжимаемой
жидкости в приближении тонкого слоя его можно записать
в виде
ду ) ^ \ ду
которое в свою очередь обычно моделируется уравнением
Dk «Г/ i»r\dJl ( ди\2 CD9(kf2
г
<5Л47>
В этом уравнении члены имеют следующий физический смысл:
член слева — приращение к в жидком объеме, первый член спра-
справа—скорость диффузии для к, второй член — скорость генера-
генерации для ?, третий член — скорость диссипации для к. Это мо-
модельное уравнение решается совместно с системой уравнений
в частных производных, описывающих рассматриваемое течение
жидкости. Заметим, что параметр / необходимо задавать алгеб-
алгебраической формулой. В уравнении E.147) Vxk — число Прандтля
для кинетической энергии турбулентности («1.0), а Сд « 0.164,
если / считать обычной длиной.пути смешения.
Приведенное выше модельное уравнение справедливо только
для полностью развитых турбулентных течений, т. е. вдали от
демпфирующего влияния стенки. Для типичных пристенных те-
течений это означает, что у+ должно быть больше 30. Для зада-
задания внутренних граничных условий для к часто используют при-
пристенные функции [Launder, Spalding, 1974]. Другой способ
задания внутренних граничных условий для к основан на извест-
известном экспериментальном наблюдении, Что вблизи стенки конвек-
конвекция и диффузия к обычно малы. Поэтому генерация и диссипа-
диссипация к уравновешивают друг друга и можно показать (задача
5.19), что модель для кинетической энергии турбулентности све-
сведется при этих условиях к модели длины пути смешения E.131).
В области, где диффузией и конвекцией можно пренебречь, в ка-
качестве внутреннего граничного условия для к можно использо-
использовать (задача 5.22)
§ EЛ48)
где Цс — координата точки внутри области, где, как ожидается,
справедливо логарифмическое распределение скорости. Если же
У < Ус, то можно использовать алгебраическую модель типа

274 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
модели Прандтля [E.131) и E.132)]. В работе [Launder, Spal-
ding, 1972] можно найти дальнейшие подробности применения
моделей из одного уравнения для течений несжимаемой жид-
жидкости.
Не так давно модель турбулентности с одним уравнением
была распространена на случай течения сжимаемой жидкости
[Rubesin, 1976], и полученные к настоящему времени резуль-
результаты выглядят обнадеживающе. Представляется очевидным, что
для течений, где есть взаимодействие с ударной волной, которое
заметно влияет на уровень турбулентности в потоке, расчеты
по модели Рубезина с одним уравнением являются определен-
определенным улучшением по сравнению с расчетами по алгебраическим
моделям. В целом, однако, качество большинства моделей с од-
одним уравнением (как для несжимаемой# жидкости, так и для
сжимаемой) оставляет желать лучшего даже в тех немногочис-
немногочисленных случаях, когда применение этих моделей дает лучшие ре-
результаты по сравнению с расчетами по алгебраическим моделям.
На самом деле некоторые течения могут быть рассчитаны с боль-
большей точностью по моделям с одним обыкновенным дифферен-
дифференциальным уравнением, нежели по модели с одним уравнением
типа Прандтля — Колмогорова, которая просто дает изменение
скорости турбулентности в выражении для турбулентной вяз-
вязкости. Причина этого может лежать в том, что для большин-
большинства течений улучшение в задании величины характерной длины
/ дает больший эффект, чем изменение скорости турбулентности
vT. Многие из моделей с одним обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным уравнением, перечисленные в табл. 5.3, дают большую точ-
точность масштаба длины.
Были предложены и другие модели с одним уравнением^ от-
отличающиеся от уравнений, основанных на подходе Прандтля—
Колмогорова. Наиболее известна из них модель Брэдшоу [Brad-
shaw et al., 1967]. В модели Брэдшоу используется уравнение
для кинетической энергии турбулентности, но моделируется она
иным способом. Также иначе записано и уравнение движения,
в котором турбулентные сдвиговые напряжения предполагаются
пропорциональными k. Подробности модели здесь обсуждаться
не будут, однако интересной чертой модели Брэдшоу является
то, что как следствие формы моделирования членов турбулент-
турбулентного переноса тип системы становится гиперболическим и она
может быть решена методом, аналогичным методу характери-
характеристик. Модель Брэдшоу с успехом применяется для расчета при-
пристенных пограничных слоев, но при всем этом результаты не-
ненамного лучше результатов расчета по алгебраическим моделям
или моделям с одним обыкновенным дифференциальным урав-
уравнением.

§ 5.4. Введение в моделирование турбулентности 275
5.4.6. Модели с одним уравнением и одним обыкновенным
дифференциальным уравнением и модели с двумя уравнениями
При переходе от моделей длины пути смешения к моделям
с одним уравнением принципиальный шаг вперед состоял в том,
что последние допускают изменение параметра, описываемое
уравнением модели. В моделях с одним уравнением характер-
характерная длина по-прежнему задается алгебраическим выражением и
зависит только от локальных параметров течения. Однако иссле-
исследователи турбулентности интуитивно чувствовали, что масштаб
длины в турбулентных моделях также должен зависеть и от
предыстории течения, а не только от локальных условий. Оче-
Очевидный способ учесть более сложную зависимость / от картины
течения заключается в том, чтобы записать уравнение переноса
для изменения /. Если в систему добавляется обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение, как, например, E.144) для модели
5F, то результирующую модель можно было бы назвать моделью
с одним уравнением и одним обыкновенным дифференциальным
уравнением. Такая модель использовалась для расчета отрыв-
отрывных турбулентных пограничных слоев в задачах внешнего обте-
обтекания [Fletcher, 1978], для течений в круглых каналах с тепло-
теплопередачей [Malik, Plecher, 1981], для плоских и круглых струй
[Minaie, Fletcher, 1982].
Когда для масштаба длины получают уравнение в частных
производных, то такую модель часто называют моделью турбу-
турбулентности с двумя уравнениями.
Хотя можно получить уравнение в частных производных для
масштаба длины, члены его не так просто моделировать; в неко-
некоторых работах добились большего, решая уравнение переноса
для параметра, связанного с масштабом длины, а не для самого
масштаба длины. Этот подход обсуждается Лаундером и Спол-
дингом [Launder, Spalding, 1974].
Одной из наиболее употребительных моделей с двумя урав-
уравнениями является (k — е) -модель, впервые предложенная Хэр-
лоу и Накаямой [Harlow, Nakayama, 1968]. В своем описании
этой модели следуем работам [Jones, Launder, 1972] и [Laun-
[Launder, Spalding, 1974]. Параметр е есть скорость диссипации тур-
турбулентности; предполагается, что он связан с другими модель-
модельными параметрами формулой е = С (?) 3/2у7е> где /е — масштаб
диссипации и С — постоянная. Тогда турбулентная вязкость вы-
выражается через е следующим образом:
!/8. E.149)
о
Накоплен большой опыт работы с этой моделью, в основном для
течений, в которых свойства жидкости изменялись мало.

276 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
Те, кто собирается пользоваться этой моделью, должны
прежде всего тщательно изучить литературу по этому вопросу.
В нашем же описании модели с двумя уравнениями речь пой-
пойдет об основных идеях, лежащих в ее основе, что необходимо
для работы с ней. Турбулентная вязкость рассчитывается по
формуле E.149). Для кинетической энергии турбулентности ис-
используется уравнение в форме E.147), в котором последний член
интерпретируется как плотность, умноженная на скорость дис-
диссипации ре. Чтобы замкнуть систему, добавляется параболиче-
параболическое уравнение переноса для е (здесь оно записано для несжи-
несжимаемой жидкости):
Dz д ( \хт д& \ t C2\iTe (ди у* _ С3рв2
Члены в правой части уравнения E.150) (слева направо)
можно интерпретировать как дуффузию, скорость генерации и
диссипации е. Типичные значения констант модели приведены
в табл. 5.4.
Таблица 5.4. Крнстанты для (k — е)-модели
С С* С Pr Dr Рг
0.09 1.44 1.92 1.0 1.3 0.9
Было предложено много других моделей с двумя уравне-
уравнениями, из них часто используются модели Нга — Сполдинга
[Ng, Spalding, 1972] и Уилкокса —Трейси [Wilcox, Traci, 1976],
причем последняя является модификацией более ранней модели
Сэффмена — Уилкокса [Saffman, Wilcox, 1974]. Рубезин [Ru-
besin, 1977] составил сводку основных различий между моде*
лями, а Чэмберз и Уилкокс [Chambers, Wilcox, 1976] провели
более подробное сравнение моделей. Всюду в них используется
модельная форма уравнения для кинетической энергии турбу-
турбулентности, но представление в них диффузионного члена раз-
различно. Но самое удивительное различие состоит в выборе зави-
зависимой переменной для второго модельного уравнения переноса,
согласно которому определяется масштаб длины.
Рубезин [Rubesin, 1977] сравнил несколько моделей для не-
несжимаемой жидкости, и все они работают достаточно хорошо;
трудно даже выделить лучшую из них.

§ 5.4. Введение в моделирование турбулентности 277
Приведенное выше уравнение переноса для е непригодно
вблизи стенки, т. е. внутри вязкого подслоя. Ситуация обстоит
точно так же, как и в случае уравнения для кинетической энер-
энергии турбулентности E.147). Граничное условие для е на внутрен-
внутренней границе может быть поставлено в той же самой точке ус, что
и для к (см. E.148)). Считают, что в этой точке справедлива ги-
гипотеза длины пути смешения Прандтля и
**
_CjF _CD[h(ye)]
Величина k(yc) может быть найдена из выражения E.148).
В большинстве практических приложений (k — е) -модели для
изучения пристенной области используются функции стенки (см.
[Launder, Spalding, 1974]. В качестве альтернативы в уравне-
уравнения (к — e) -модели вводятся дополнительные члены, чтобы рас-
распространить область применимости модели на вязкий подслой
[Jones, Launder, 1972; Wolfstein, 1969] и др. В связи с этим
вязкий подслой часто называют областью малых турбулентных
чисел Рейнольдса [ (к) 1/2/8/v]. Такой способ моделирования яв-
является решающим для сложных турбулентных течений, как, на-
например, для течений с зонами отрыва или сильными измене-
изменениями свойств жидкости. Недостаточная точность расчетов в
случае сложных турбулентных течений во внутренней части слоя,
по-видимому, ограничивает в настоящее время применимость
{к— е)-модели (и почти всех других моделей).
Были предложены модификации (k — е) -модели для учета
эффектов плавучести и кривизны линий тока в турбулентном те-
течении. Общепринятый способ замыкания для членов с рейнольд-
совыми тепловыми потоками при помощи (к— е) -модели ис-
использует ту же самую формулировку турбулентного числа
Прандтля, которая применялась в алгебраических моделях
E.137).
Несмотря на энтузиазм, который возникал время от времени
в отношении моделей с двумя уравнениями, стоит, наверное, еще
раз упомянуть два основных недостатка этого типа моделей.
Первый заключается в том, что обсужденные здесь модели
с двумя уравнениями являются моделями турбулентной вяз-
вязкости, основанными на гипотезе Буссинеска E.129). Только
в них \х,т есть функция более сложного вида, тогда как в алгеб-
алгебраической модели \1Т — локальная функция. Если гипотеза Бус-
Буссинеска оказывается несправедливой, то даже применение мо-
моделей с двумя уравнениями обречено на неудачу. Несомненно,
однако, что для инженерных расчетов многих течений гипотеза
Буссинеска соответствует реальности с достаточной точностью.

278 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
Второй недостаток заключается в необходимости моделиро-
моделирования разных членов модельных уравнений переноса., особенно
членов с тройными корреляциями. Впрочем, этот недостаток при-
присущ всем моделям замыкания более высокого порядка. Эти мо-
модели не обладают никакими чудесными свойствами, они только
являются отражением большого проникновения в суть дела и
интуиции специалистов, их предложивших. Будем, однако, опти-
оптимистами: эти модели могут быть усовершенствованы за счет бо-
более изощренного моделирования входящих в уравнения членов.
5.4.7. Модели рейнольдсовых напряжений
Модели рейнольдсовых напряжений мы относим к группе мо-
моделей II (иногда их называют моделями с уравнением для на-
напряжений), в которых не предполагают, что турбулентные на-
напряжения пропорциональны средней скорости деформации. На-
Например, в случае несжимаемой жидкости это означает, что
В настоящее время эти модели широко используются скорее
как инструмент "или предмет в исследованиях турбулентности,
нежели как средство решения инженерных задач. Для рейнольд-
рейнольдсовых напряжений могут быть получены точные уравнения (за-
(задача 5.17). Естественно, в этих уравнениях, имеются члены, ко-
которые необходимо моделировать; причем следует помнить, что
для турбулентных течений можно вывести уравнение для лю-
любой величины, но ни одно из них нельзя решить точно. Такое
моделирование, начало которому положили пионерские работы
Ротты [Rotta, 1951], требует по меньшей мере трех уравнений,
а для течений, в которых нормальные напряжения велики, даже
пяти. В одной из последних моделей рейнольдсовых напряжений
[Daly, Harlow, 1970] вводится скорость диссипации е и решают-
решаются пять уравнений:
з.

§ 5.5. Уравнения Эйлера 279
помимо решения обычных уравнений сохранения массы, им-
импульса и энергии. Моделирование членов в правых частях при-
приведенных уравнений требует многочисленных предположений.
Упомянем некоторые модели рейнольдсовых напряжений
[Hanjalic, Launder, 1972; Daly, Harlow, 1970; Donaldson, 1972],
получившие наибольшее распространение к настоящему вре-
времени. В работе Лаундера [Launder, 1979] описано состояние
дел и перспективы проблемы замыкания для моделей рейнольд-
рейнольдсовых напряжений.
В моделях рейнольдсовых напряжений отсутствует ограниче-
ограничение, накладываемое принятием гипотезы Буссинеска о связи
турбулентных напряжений со средней скоростью деформации,
зато они содержат наибольшее количество уравнений и кон-
констант. Поэтому, по-видимому, эти модели имеют больше шансов
стать «окончательными» моделями турбулентности, если будет
достигнут успех в решении осредненных по времени уравнений
Навье — Стокса. Тем не менее в этих моделях все еще необхо-
необходимо делать допущения при моделировании входящих в состав
уравнений членов, которые в настоящее время никак нельзя из-
измерить. Модели рейнольдсовых напряжений находятся еще
в стадии разработки, и пройдет еще некоторое время прежде,
чем они будут усовершенствованы и проверены настолько, что
станут употребляться в инженерных расчетах. Поскольку более
простые модели адекватны в отношении многих типов течений,
то модели рейнольдсовых напряжений можно применять в ин-
инженерных расчетах в тех случаях, когда сложность задачи этого
требует. До сих пор модели рейнольдсовых напряжений не про-
проверены экспериментально для многих типов сложных течений.
§ 5.5. Уравнения Эйлера
В 1904 г. Прандтль обнаружил (см. п. 5.3.1), что при доста-
достаточно больших числах Гейнольдса влияние вязкости проявляет-
проявляется только в тонком пограничном слое вблизи твердой поверх-
поверхности. Как следствие этого расчет в невязкой (и нетеплопровод-
нетеплопроводной) области поля течения можно производить независимо от
пограничного слоя. Конечно, так поступать правомерно, только
если пограничный слой является тонким по сравнению с харак-
характерным размером поля течения, так что можно пренебречь взаи-
взаимодействием между пограничным слоем и невязкой областью.
Для течений, когда этого делать нельзя, все же можно раз-
раздельно решать системы уравнений в двух этих областях поля
течения, но осуществлять это следует путем итераций. Итера-
Итерационная процедура может оказаться неэффективной с точки зре-
зрения вычислений, поэтому следует иногда использовать единую

280 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
систему уравнений, справедливую во всем поле течения. Уравне-
Уравнения такого типа будут рассмотрены в гл. 8.
В настоящем параграфе мы обсудим систему уравнений,
справедливую только в невязкой части поля течения. Эти урав-
уравнения получаются, когда в полных уравнениях Навье — Стокса
опускают члены с вязкостью и теплопроводностью. Получаю-
Получающиеся в результате этого уравнения могут быть решены числен-
численно (см. гл. 6) с гораздо меньшими затратами машинного вре-
времени, чем в случае решения полных уравнений Навье —- Стокса.
Мы будем называть такие упрощенные уравнения уравнениями
Эйлера, хотя, строго говоря, имя Эйлера следовало бы упоми-
упоминать только в связи с уравнением импульса для течения невяз-
невязкого газа. В дополнение к допущению о невязком характере те-
течения будем также предполагать, что подвод тепла извне отсут-
отсутствует, поэтому член dQ/dt в уравнении энергии можно опустить.
5.5.1. Уравнение неразрывности
В уравнении неразрывности отсутствуют члены, связанные
с вязкостью или теплопередачей, поэтому приведенные в п. 5.1.1
различные формы этого уравнения нельзя упростить для тече-
течения невязкой жидкости. Однако если стационарная форма урав-
уравнения неразрывности содержит только два члена в выбранной
системе координат, то можно вообще не рассматривать уравне-
уравнение неразрывности, а ввести в рассмотрение так называемую
функцию тока \f>. Так можно поступать независимо от того, рас-
рассматриваем ли мы течение вязкой жидкости или невязкой. На-
Например, двумерное стационарное уравнение неразрывности для
сжимаемой жидкости, записанное в декартовой системе коорди-
координат, имеет вид
|г ^ О. E.151)
Если функцию тока определить как
то она будет удовлетворять уравнению неразрывности E.151)
и нет необходимости решать уравнение неразрывности, а число
зависимых переменных уменьшается до одной. Правда, при та-
такой замене порядок остальных уравнений переменных повы-
повышается на единицу. Физический смысл функции тока становится

§ 5.5. Уравнения Эйлера 281
очевидным, если учесть
E.153)
Видно, что линии постоянства г|э (Л|) = 0) суть линии, расход че-
через которые равен нулю: dm = 0. Линию тока мы определяем
как линию, касательная к которой в любой точке совпадает
с направлением вектора скорости в этой точке. Поэтому в на-
нашем случае линии постоянства \|) являются линиями тока и раз-
разница значений г|) на двух любых линиях тока дает массовый
расход через кривую, соединяющую две точки на этих линиях
тока (отнесенный к расстоянию между ними).
Для двумерного течения несжимаемой жидкости уравнение
неразрывности в декартовых координатах записывается как
? + ¦?--0 E.154)
и функция тока определяется следующим образом:
Для стационарного осесимметричного течения несжимаемой жид-
жидкости уравнение неразрывности в цилиндрических координатах
(см. п. 5.1.7) выглядит так:
и функция тока определяется соотношениями
Для трехмерных течений вместо уравнения неразрывности мож-
можно ввести две функции тока. Однако сложность такого подхода
делает его менее привлекательным по сравнению с подходом,
где уравнение неразрывности записано в исходной форме.
5.5.2. Уравнения количества движения для невязкой жидкости
Когда в уравнениях Навье — Стокса E.18) опускают члены
с вязкостью, то получается уравнение
р-ж=р'-*р- EЛ58)
Впервые его вывел Эйлер в 1755 г., поэтому оно названо его
именем. Если пренебречь массовыми силами и течение считать

282 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
стационарным, то уравнение Эйлера сведется к уравнению
V- VV = -~-Vp. E.159)
Его интегрирование вдоль некоторой линии в поле течения дает
(V • VV) • dx = - J у Vp • dr, E.160)
где dx— дифференциал длины пути вдоль этой линии. В декар-
декартовых координатах
dx = dxx + dy\ + dzk. E.161)
Пусть эта линия является линией тока. Тогда V имеет то же на-
направление, что и dxy и мы можем упростить подынтегральное
выражение в левой части E.160):
Аналогичным образом упрощается подынтегральное выражение
в правой части:
и уравнение E.160) сводится к уравнению
--const. E.162)
Интеграл в этом выражении можно рассчитать, если течение
баротропное. Жидкость является баротропной, если р — функция
только от р (или константа), т. е. р = р(р). Назовем примеры
баротропных течений:
1. Стационарное течение несжимаемой жидкости
р = const. E.163)
2. Изэнтропическое (с постоянной энтропией) течение (см.
п. 5.5.4)
р = (const) pi/v. E.164)
Таким образом, для несжимаемой жидкости интегрирование
уравнения Эйлера E.162) вдоль линии тока дает
p+1/2pl/2 = const. E.165)
Это соотношение называется уравнением Бернулли. Для изэн-
тропического течения сжимаемой жидкости уравнение E.162)

§ 5.5. Уравнения Эйлера 283
сведется к уравнению
E166)
которое называют уравнением Бернулли для сжимаемой жид-
жидкости. Отметим, что уравнения E.165) и E.166) справедливы
только вдоль выбранной линии тока, поскольку константы этих
уравнений изменяются от одной линии тока к другой.
Сейчас мы покажем, что уравнения E.165) и E.166) спра-
справедливы во всей жидкости, если течение безвихревое. Течение
является таковым, если жидкие частицы не вращаются вокруг
своих осей. При рассмотрении кинематики поля течения (см.,
например, [Owczarek, 1964]) завихреннреть g, которая опреде-
определяется в виде
g = VXV, E.167)
эквивалентна удвоенной угловой скорости вращения жидкой ча-
частицы. Таким образом, для безвихревого течения
? = VXV = 0, F.168)
и поэтому мы можем выразить V через градиент некоторой од-
однозначной функции ф положения точки, так как
0. E.169)
Скаляр ф называется потенциалом скорости. Тогда ускорение
жидкой частицы есть
Это так называемая формула Лагранжа для ускорения. Для
безвихревого потока
и подстановка в уравнение Эйлера дает
Если пренебречь массовыми силами и рассматривать стацио-
стационарное течение, то уравнение E.171) можно переписать в виде
V (-?+$-4^)= 0, E.172)
так как
Г dp _
J P

284 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
Интегрируя уравнение E.172) вдоль произвольной линии в поле
течения, получаем
^$f E.173)
причем константа в этом уравнении будет иметь одно и то же
значение для всего поля течения, так как уравнение E.173)
интегрировалось вдоль произвольной линии тока. Уравнения
Бернулли для несжимаемой жидкости E.165) и для сжимаемой
жидкости E.166) непосредственно вытекают из уравнения
E.173) тем же самым способом, как и ранее. Единственное раз-
различие состоит в том, что они справедливы всюду в поле течения
невязкой жидкости вследствие нашего предположения о без-
безвихревом характере течения.
В случае безвихревого течения невязкой несжимаемой жид-
жидкости уравнение неразрывности
V-V = 0 E.174)
может быть объединено с выражением
V = V<?, E.175)
которое приводит к уравнению Лапласа
E.176)
5.5.3. Различные формы записи уравнения энергии
для невязкой жидкости
Для невязкой жидкости уравнение энергии E.22) запишется
в виде
** E.177)
L+V?,V = pf.V-V
что эквивалентно
-|- (р#) + V • (p#V) = pf • V + ^-. E.178)
Дополнительные формы уравнения энергии можно получить из
уравнения E.29)
§f V) = O E.179)
и из уравнения E.33)

§ 5.5. Уравнения Эйлера 285
Если мы воспользуемся уравнением неразрывности, то, прене-
пренебрегая массовой силой в уравнении E.178), можем записать
что для стационарного течения сводится к уравнению
V- V// = 0. E.182)
Интегрирование этого уравнения вдоль линии тока дает
# = A + -y- = const, E.183)
где константа остается одной и той же для всего поля течения
в случае изоэнергетического (с постоянной энергией) потока.
Для случая несжимаемой жидкости уравнение E.179) сво-
сводится к уравнению
-gf = 0, E.184)
что для стационарного течения означает постоянство внутрен-
внутренней энергии вдоль линии тока.
5.5.4. Дополнительные соотношения
В этом параграфе были приведены уравнения сохранения для
невязкой жидкости. Можно вывести дополнительные соотноше-
соотношения, которые оказываются полезными в конкретных приложе-
приложениях. В некоторых случаях ими даже можно пользоваться вме-
вместо одного или более уравнений сохранения. Несколько из этих
дополнительных уравнений основаны на первом и втором зако-
законах термодинамики. Второй закон дает соотношение
Tds = de + pd(l/p), E.185)
где 5 — энтропия. Вводя энтальпию h = е + р/р, запишем E.185)
в виде
, E.186)
Это уравнение можно переписать в виде
поскольку в любой момент времени жидкая частица может ме-
менять свое положение относительно соседней жидкой частицы.
Комбинируя это уравнение с уравнениями E.170) и E.158) и

286 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
пренебрегая массовыми силами, получаем
ИЛИ
.|?-_yX6 = rVs-V#. E.187)
Уравнение E.187) известно Как уравнение Крокко. Оно дает
связь между завихренностью и энтропией. Для стационарного
течения
VX? = V#-:TVs. E.188)
Ранее мы показали, что в случае стационарного адиабатического
течения невязкого газа (уравнение E.182)) имеем V-V# = 0,
что в комбинации с уравнением E.188) дает V- Vs = 0, так как
VX? нормально к V. Таким образом, мы доказали, что в слу-
случае стационарного адиабатического течения невязкой и нетепло-
нетеплопроводной жидкости энтропия сохраняется вдоль линии тока.
Такое течение называется изэнтропическим. Если, кроме того,
считать его безвихревым и изоэнергетическим, то из уравнения
Крокко следует, что энтропия постоянна всюду во всей области
течения.
Уравнение E.185) связывает между собой термодинамиче-
термодинамические функции, изменения которых определяются исходными и
конечными положениями системы, но не зависят от формы пути,
по которым система из исходного состояния переходит в конеч-
конечное. Для изэнтропического течения совершенного газа можно
записать
или
dp __ у dT
Р ~ Y—l T '
Последнее уравнение может быть проинтегрировано, что дает
что в свою очередь после подстановки уравнения состояния со-
совершенного газа сводится к соотношению
p/pv = const. E.189)
Последнее соотношение для изэнтропического течения было ис-
использовано ранее для вывода уравнения Бернулли для сжимае-
сжимаемого газа E.166). Интересно заметить, что проинтегрированное

§ 5.5. Уравнения Эйлера
287
уравнение энергии E.183) может быть сведено к E.166), если
течение считать изэнтропическим.
Скорость звука задается выражением
E.190)
где индекс 5 указывает на то, что процесс происходит при по-
постоянной энтропии. Для совершенного газа уравнение E.190)
дает
Vy^7\ E.191)
5.5.5. Векторная форма уравнений Эйлера
Уравнения Эйлера для сжимаемого газа в отсутствие массо-
массовых сил и внешнего тепловыделения могут быть записаны в де-
декартовых координатах
dt + дх + ду + dz ~U>J
где векторы U, E, F и G задаются выражениями
E.192)
F =
Р
ри
pv
pw
pv
puv
p
pu
puv
puw
pvw
P)v_
pw
puw
pvw
pw2
Для стационарного изоэнергетического течения совершенного
газа уравнение энергии можно исключить из этой системы, за-
записанной в векторной форме, и пользоваться его алгебраиче-
алгебраической формой E.166). Это уменьшает затраты времени на вычис-
вычисления, так как приходится решать на одно уравнение в частных
производных меньше.
5.5.6. Упрощенные формы уравнений Эйлера "
Делая дополнительные предположения, можно упростить
уравнения Эйлера. В случае стационарного безвихревого из-
энтропического течения уравнения Эйлера могут быть сведены

288 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
к единственному уравнению, называемому уравнением для по-
потенциала скорости, которое можно получить таким образом.
Уравнение неразрывности в декартовой системе координат мож-
можно записать в виде
где компоненты скорости заменяются величинами
Уравнения импульса (и энергии) в предположении, что течение
стационарное, изэнтропическое и безвихревое, сводятся к урав-
уравнению E.162). Дифференциальная форма этого уравнения вы-
выглядит так:
(?)(!?±$±1) E.195,
Комбинация уравнений E.190) и E.195) приводит к уравнению
которое можно использовать для определения производных от
р по всем направлениям. После подстановки р*, ру ир2в урав-
уравнение E.193) и упрощения получаем для потенциала скорости
следующее уравнение:
-0. E.197)
Заметим, что для несжимаемой жидкости (а-^оо) уравнение
для потенциала скорости сводится к уравнению Лапласа.
Уравнения Эйлера могут быть упрощены,еще в большей сте-
степени для случая обтекания тонких тел, размеры которых в по-
поперечном направлении столь малы, что эти тела слабо возму-
возмущают набегающий поток. Пример такого типа течения — обте-
обтекание тонкого профиля. Анализ такого рода течений выполняет-
выполняется при помощи теории малых возмущений. Чтобы показать, как
можно упростить в этом случае уравнение потенциала, считаем,
что тонкое тело помещается в двумерный поток. Тело возму-
возмущает однородный поток, и компоненты скорости записываются
как
и = и„ + и', v = v', E.198;

§ 5.5. Уравнения Эйлера 289
где штрих обозначает возмущенную скорость. Пусть далее ф'—
возмущение потенциала, тогда
ду ду
Подставляя эти выражения, а также E.191) в уравнение E.166),
получаем
«2 = < ~ ^Т1 \2u'U<*> + (м'J + (y'JJ' E-200)
что в комбинации с уравнением для потенциала дает
?+?¦)• E-201)
Поскольку возмущения однородного потока являются малыми,
то полагаем, что u'/Ul<x» v /Uoo «С 1. Тогда уравнение E.200)
упрощается:
a2 = al-(y-l)ufUa>, E.202)
и E.201) принимает вид
^^ - (Y + О тг-1 №J'XX + Ф'у = 0. E.203)
Последнее уравнение называется трансзвуковым уравнением
малых возмущений. Тип этого уравнения эллиптический или ги-
гиперболический в зависимости от того, каким является течение,
дозвуковым или сверхзвуковым.
Для течений на до- или сверхзвуковых режимах величина
члена М^(у+ 0(а7 <»)^*х мала по сравнению с A — М^)^
и уравнение E.203) сводится к линейному уравнению Прандтля—
Глауэрта
A - М2то) ф'хх + ф'уу = 0. E.204)
Зная возмущенную скорость, можно определить коэффициент
давления из соотношения
Ю Д. Андерсон и др. Том 1

290 Г л 5 Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
которое получено из уравнений E.166), E.189), E.198) и на
основе теоремы о разложении бинома.
5.5.7. Ударные волны
Ударные волны представляют собой область течения в виде
тонкого слоя в сверхзвуковом течении, в котором происходят
большие изменения параметров потока. Поскольку эти измене-
изменения происходят на очень малом расстоянии, вязкость и тепло-
теплопроводность оказывают доминирующее влияние на структуру
ударной волны. Если, однако, структура ударной волны сама по
себе нас не интересует, то можно считать ее бесконечно тонкой
(т. е. с математической точки зрения ударная волна это — раз-
разрыв параметров потока) и для определения изменения парамет-
параметров потока при переходе через ударную волну использовать
уравнения Эйлера. Рассмотрим, например, стационарную пря-
прямую ударную волну, фронт которой перпендикулярен направле-
направлению потока. Вектор скорости двумерного течения направлен
в положительном направлении оси х, и параметры потока перед
ударной волной будем обозначать индексом 1, а за ударной вол-
волной— индексом 2. Поскольку ударная волна есть слабое реше-
решение гиперболических уравнений Эйлера, мы можем применить
к уравнению E.192) изложенную в § 4.4 теорию слабых реше-
решений. В нашем случае это дает [Е] = 0, Ei = E2. Таким образом,
Р\ + Pi"? = р2 + Р"
{Еи +р{)щ = (Еи +р
После простых преобразований находим
р[Щ = р2и2,
Р\ + ? +
= 1>2, E.206)
,2 „2
и
Решая эти уравнения относительно перепада давления на удар-
ударной волне, получаем
Рч _ (у + i)Pi — (v— i)Pi /
Рх (y+1)Pi-(y-1)P2 ' v

§ 5.6. Преобразование основных уравнений 291
Это уравнение, связывающее термодинамические параметры по
обе стороны от ударной волны, получило название соотношения
Гюгонио — Рэнкина. Термин соотношения Гюгонио — Рэнкина
часто применяется ко всем уравнениям, связывающим пара-
параметры потока по обе стороны от ударной волны.
Для ударных волн, расположенных под углом к набегаю-
набегающему потоку, т. е. косых ударных волн, изменения параметров
потока задаются уравнениями
E.208)
-y = n2 + у,
где Vn и Vt — нормальная и тангенциальная компоненты ско-
скорости соответственно. Эти уравнения можно применять также
к движущимся ударным волнам, если компоненты скорости из-
измерять относительно движущейся ударной волны. В этом слу-
случае нормальная компонента скорости потока перед ударной вол-
волной (измеренная относительно ударной волны) может быть свя-
связана с давлением за ударной волной
f) <5-209>
Последнее соотношение оказывается полезным в численных рас-
расчетах, когда движущиеся ударные волны рассматриваются как
разрывы (см. гл. 6).
§ 5.6. Преобразование основных уравнений
В настоящей главе приведены классические уравнения ди-
динамики жидкости. Они были записаны либо в векторной, либо
в тензорной форме. В п. 5.1.7 было показано, как эти уравнения
могут быть записаны в любой ортогональной криволинейной си-
системе координат. Во многих задачах удобнее, однако, пользо-
пользоваться нсортогональными системами координат. В данном раз-
разделе мы покажем, как преобразуется вид уравнений при пере-
переходе от декартовой системы координат к неортогональной (или
ортогональной) системе координат общего вида. По ходу изло-
изложения мы покажем, как можно использовать простые преобра-
преобразования для сгущения узлов сетки в областях больших гра-
градиентов параметров потока (в пограничных слоях) и как преоб-
преобразовать непрямоугольную расчетную область в физической
Ш*

292 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
плоскости к прямоугольной сетке с равномерным размещением
узлов в вычислительной плоскости. Эти последние преобразова-
преобразования будут представлены простыми примерами, взятыми из очень
важного раздела вычислительной динамики жидкости — мето-
методов построения расчетных сеток. Подробно методы построения
расчетных сеток будут рассмотрены в гл. 10.
5.6.1. Простые преобразования
В этом разделе простые преобразования переменных приме-
применяются для того, чтобы показать, как при этом преобразуется
вид уравнений. В качестве первого примера рассмотрим задачу
сгущения узлов сетки вблизи стенки. В большинстве случаев
1.0
^/////////////////7/77'
I
(а)
(Ь)
Рис. 5.8. Распределение узлов сетки вблизи стенки, (а) Физическая пло-
плоскость (х,у); (Ь) вычислительная плоскость (хуу).
измельчение сетки совершенно необходимо для разрешения дета-
деталей течения в пограничном слое. На рис. 5.8 (а) показана сетка
для расчета течения на плоской пластине с однородным разме-
размещением узлов по направлению л: и со сгущением узлов по на-
направлению у по мере приближения к стенке. Так как шаг сетки
по направлению у неравномерный, то удобно преобразовать ко-
координату у так, чтобы уравнения можно было решать на рав-
равномерной сетке в вычислительной плоскости (х, //), как показано
на рис. 5.8 (Ь). Подходящим для такой двумерной погранслой-
ной задачи является преобразование 1.
Преобразование 1
9=1-
ln
+ 1 —
— t +
1<Р<оо.
E.210)

§ 5.6. Преобразование основных уравнений 293
Это преобразование растяжения размещает тем большее число
точек вблизи у = 0, чем ближе параметр р к 1.
Чтобы применить это преобразование к уравнениям дина-
динамики жидкости, выпишем следующие частные производные:
д дх д , ду д
дх дх дх дх ду '
где
дх ' ~дх '
дх с\ ду 2|5
~ду~~ ' ~W ~ h{р2 - [1 - (y/h)V) In [(p + 1)/(р - 1)] '
В результате выражения для частных производных упрош .ются:
? Та-^ а E.212)
о ( оу \ и
~dtf "" \~dy~J~df'
Если сейчас применить это преобразование к стационарному
двумерному уравнению неразрывности для несжимаемой жид-
жидкости, записанному в декартовых координатах
^ + ^L = 0 E213)
дх ду ' ' '
то преобразованное уравнение будет выглядеть так:
=• = 0. E.214)
|D
дх ' \ду
Это уравнение можно дискретизировать на равномерной сетке в
вычислительной плоскости. Шаги сетки равны %
Л*=ЛггЬр Ь9 = Ж=т< E-215)
где N1 и NJ — число узлов сетки в направлениях х и у соот-
соответственно. Заметим, что в выражении для метрического коэф-
коэффициента ду/ду содержится у, поэтому мы должны уметь вы-
выражать у как функцию у. Это называют обратным преобразо-
преобразованием. В нашем примере обратное преобразование легко на-
находится в виде
X = X,
h (Р + 1) - (Р - 1) {[(Р + 1)/(Р - О]1"*} E.216)
[(Р+)/(Р1)]'~* + 1

294 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
Обсуждаемое здесь преобразование растяжения принадле-
принадлежит к более общему семейству преобразований растяжения
[Roberts, 1971]. Другое преобразование этого семейства измель-
/"///////////У/////////////
1.0
7=э** а:
(а)
(ъ)
Рис. 5.9. Распределение узлов расчетной сетки в канале, (а) Физическая пло-
плоскость (х,у); (Ь) вычислительная плоскость (хуу).
чает сетку у стенок канала (рис. 5.9). Оно обозначается как
преобразование 2.
Преобразование 2
In ({Р + [у Bа + \)lh] - 2а}/{Р - [у Bа + \)/h) + 2а})
— 1)]
•о)
411 LVK» ~Г *//VH ~~ */J
E.217)
Если а = 0, то сетка будет измельчаться только вблизи y = hy
тогда как если а = 1/2, то сетка будет измельчаться как вблизи
у = Оу так и вблизи y = h. Гобертс показал, что параметр рас-
растяжения р приближенно связан с безразмерной толщиной по-
пограничного слоя б/Л следующим образом:
р = A - 6/Л)/2, 0 < б/Л < 1, E.218)
где Л — размер сетки в направлении у. Величина растяжения
для разных значений б/Л показана на рис. 5.10 для случая
а=0. Для преобразования, задаваемого уравнением E.217),
метрика ду/ду есть
ду 2РA -а)Bа+ 1)
ду h (Р2 - [у Bа + 1)/Л - 2а]2} In [(р + 1)/(р - 1)]
а обратное преобразование выражается в виде
Х = X,
и = Л г~-
E.219)
E.220)

§ 5 6. Преобразование основных уравнений
295
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
- »
1.0
0.5
0.3
_ 0.2
0.1
0.05
0.01
0.001
—
—
р
со
1.414
1.195
1.118
1.054
1.026
1.005
1.0005
/
/у
ш
1
А
/////III
/ ///11 / 1
/ ///11 11
/ / // //11
/ / // /1 \ \
/ / / / / 1 \ \
/ / // / / 1 1
////// /
/ / $.Ъ ' /^/ / /
г S У 0.2 ^^ ^/^ ^/ /
/// 0*1 >///^ >^^ /
\/у'у/' 0*05 >г у/
^\^^^ О-001
1 1 1 1 1 1
0.0 0.1 0.2 0.3 0А 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
г//ь
Рис. 5.10. Преобразование растяжения (а = 0), предложенное Робертсом.
1.0
'а)
(Ь)
Рис. 5.11. Распределение узлов расчетной сетки со сгущением внутри обла-
области, (а) Физическая плоскость (х,у)\ (Ь) вычислительная плоскость (х,у).

296 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
Полезным будет преобразование для измельчения сетки
вблизи внутренней границы (рис. 5.11).
Преобразование 3
E.221)
где
в = 4-\
-'> <*«/*>
1 о
<т<оо.
Здесь параметр растяжения т изменяется от нуля (нет растяже-
растяжения) до больших значений, которые производят измельчение
-»> х
(а) (Ь)
Рис. 5.12. Получение прямоугольной расчетной сетки, (а) Физическая пло-
плоскость (х, у)\ (Ь) вычислительная плоскость (х, у).
вблизи у = ус. Метрики ду/ду и у суть
ду ~'
sh (xB)
sh (xB)
E.222)
E.223)
В качестве последнего примера рассмотрим простое преобра-
преобразование, которое переводит непрямоугольную область в физиче-
физической плоскости в прямоугольную область в вычислительной пло-
плоскости, как показано на рис. 5.12. Оно обозначается преобразо-
преобразованием 4.
Преобразование 4
= х, y = y/h(x).
E.224)

§ 5.6. Преобразование основных уравнений 297
Расстояние между нижней и верхней границами, измеряемое
вдоль линии х = const, обозначено через h(x). Необходимые
частные производные записываются в виде
_д_ д , h'(x) д
дХ~д-х Ун(х)дд> E<225)
д 1
ду h (х) ду '
где h'{x)= dh(x)/dx. Отсюда двумерное стационарное уравне-
уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости, записанное в де-
декартовых координатах, преобразуется к виду
ди _. h'(x) ди . 1 dv _n .
_ _ _ 0 (
Ж~У h(x) ду + h(x) ду -U-
5.6.2. Преобразование общего вида
Выше мы рассмотрели простые преобразования независимых
переменных, которые позволяют решать задачу на равномерной
сетке. Рассмотрим теперь преобразование общего вида
1 = Ъ(х, У у z),
т\ = г)(х, у, z), E.227)
С = С(*> У, г),
которое отображает физическую плоскость (а:, у, z) на вычисли-
вычислительную плоскость (|, tj, t). По правилу дифференцирования
сложной функции имеем
д t д \ д . ъ. д
дг — ^ д\ ^ Цг дг\
E.228)
Возникающие в этих выражениях метрические коэффициенты
Sjc, л*» ?^> ^» Л^» Sy» S«» Лг» ^ могут быть найдены следующим об-
образом. Запишем сначала выражения для дифференциалов
dl = lxdx + ly dy + lz dzy
dt\ = r\x dx + x]y dy + r\z dz, E.229)

298 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
или в матричной форме
\dr] = \г\х
LrffJ It.
dy |. E.230)
Аналогичным образом можно записать
Vdx-\ Гхг Xi) xt-\
\dy = \уг у„ */с 11 ^П | - E.231)
UzJ LZ?
Таким образом,
¦г6 zi
ЗЛ ~|f e<6 g i| »• ¦»
[// *У+ —^ 11*"У —— If ^* — V»^ 1 V //» —— Y+11 T
— (^2C — М;2^) ^^zt — -^C2! —(*?#? — ^tf/|) I- E.232)
Следовательно, метрические коэффициенты имеют вид
E.233)
?» = —
где / — якобиан преобразования:
ё
,
Ь* ьу
1Л

§ 5.6. Преобразование основных уравнений 299
который вычисляется следующим образом:
— ytfift- E-235)
Метрические коэффициенты легко находятся, когда имеется об-
обратное преобразование
= У(Ъ, Л, S), E.236)
В случае когда сетка строится численным путем, они вычис-
вычисляются численно с использованием центральных разностей в вы-
вычислительной плоскости. Подробное обсуждение этого способа
расчета метрических коэффициентов отложим до гл. 10.
Если применить преобразование координат общего вида к
уравнениям Навье — Стокса для сжимаемого газа E.44), запи-
записанным в векторной форме, то получим следующее преобразо-
преобразованное уравнение:
8 ^ = 0. E.237)
Вивьян [Viviand, 1974] и Винокур [Vinokur, 1974] показали, что
уравнения газовой динамики могут быть записаны в строго ди-
дивергентной форме при помощи некоторого преобразования ко-
координат. Для этого разделим сначала преобразованное уравне-
уравнение на якобиан и перегруппируем его, добавляя и вычитая оди-
одинаковые члены. Для уравнения E.237) это даст
Последние три члена в квадратных скобках равны нулю. Это
легко проверить, подставляя в них выражения для метрик

300 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
E.233). Если теперь определить величины
II - и
U, — — .
E.239)
и подставить их в уравнение E.238), то уравнение в строго ди-
дивергентной форме будет выглядеть следующим образом:
Необходимо помнить, что векторы Еь Fi и d содержат частные
производные в членах с вязкостью и теплопроводностью, которые
должны быть преобразованы в соответствии с уравнениями
E.228). Например, сдвиговые напряжения %ху будут преобразо-
преобразованы к виду
ди . ди , -. ди . с. dv . dv , -. dv
-di + % "^j" + *у-Щ- -Т Ьх-Щ- "Г Чх Tfrf "Г ?л; as
E.241)
Строго дивергентная форма записи уравнений удобна при
составлении разностных схем. Следует, однако, быть вниматель-
внимательным при ее использовании на сетках с переменным шагом.
В этом случае во избежание внесения ошибок в решение при
дискретизации метрик необходимо соблюсти ограничение, назы-
называемое геометрическим законом сохранения (Thomas, Lombard,
1978]. Оно будет обсуждено в гл. 10.
Задачи
5.1. Проверьте равенство E.9).
5.2. Покажите, что для несжимаемой жидкости с постоянными свойствами
уравнение E.18) сводится к уравнению E.21).
5.3. Проверьте равенство E.30).
5.4. Используя процедуру обезразмеривания, описанную в п. 5.1.6, выве-
выведите уравнение E.47).
5.5. Запишите уравнение энергии E.33) для осесимметричного течения в
координатах, связанных с телом.
5.6. Запишите уравнение Навье — Стокса E.21) для несжимаемой жид-
жидкости в сферической системе координат.

Задачи 301
5.7. Покажите, что р'и" = р'и'.
5.8. Покажите, что и — п = р'и'/р.
5.9. Проверьте, что и" = —р'и"/р.
5.10. Исходя из уравнения E.80), покажите все шаги получения уравне-
уравнения E.81).
5.11. Получите уравнение E 84) подстановкой срТ = Я — Й/Й//2 в уравне-
уравнение E.81).
5.12. Покажите все этапы получения уравнения E.76) из уравнений На-
вье — Стокса.
5.13. Оцените по порядку величин члены двумерного уравнения Навье —
Стокса для несжимаемой жидкости в случае двумерной ламинарной струи
и покажите, какими членами можно пренебречь.
5.14. Объясните, почему уравнения пограничного слоя можно применять
в случае развивающегося течения в трубе.
5.15. Укажите граничные условия для уравнений тонкого сдвигового слоя
для случая двумерного сдвигового слоя, образованного слиянием двух одно-
однородных потоков со скоростями Ua и Ub.
5.16. Уравнения пограничного слоя E.104) — E.106) были получены для
чисел Прандтля порядка единицы. Для ламинарного течения на нагреваемой
плоской пластине покажите, какие изменения в эти уравнения следует внести,
чтобы они были пригодны для чисел Прандтля порядка е, 82, 1/е, 1/е2.
5.17. Используя уравнения Навье — Стокса, получите точные уравнения
переноса рейнольдсовых напряжений для несжимаемого турбулентного погра-
пограничного слоя, т. е. получите выражения для pDuiU^JDt. Покажите все этапы
процедуры.
5.18. Используя выражения для переноса напряжений Рейнольдса из за-
задачи 5.17, положите в них i = /, чтобы получить выражение для переноса
кинетической энергии турбулентности.
5.19. Используя модельные формы уравнения кинетической энергии турбу-
турбулентности E.147), покажите, что, когда конвекция и диффузия кинетической
энергии турбулентности пренебрежимо малы, то модель кинетической энергии
турбулентности сводится к формуле Прандтля для длины пути смешения.
5.20. Полагая, что конвекция и диффузия кинетической энергии турбулент-
турбулентности малы внутри области логарифмического закона скорости для пристен-
пристенного турбулентного пограничного слоя, найдите выражение для кинетической
энергии турбулентности на внешней границе области логарифмического закона
скорости в терминах сдвиговых напряжений на стенке. Сравните эту*, оценку
с экспериментальными измерениями ?, которые выполнил Клебанофф (см.
[Hinze, 1975]).
5.21. Считая формулу Прандтля длины пути смешения справедливой для
пристенного турбулентного пограничного слоя, получите выражение для отно-
отношения кажущейся турбулентной вязкости к молекулярной вязкости для об-
области логарифмического закона.
5.22. Проверьте граничное условие для к на внутренней границе, задавае-
задаваемое уравнением E.148).
5.23. Определите функцию тока стационарного двумерного течения сжи-
сжимаемой жидкости, рассматриваемого в связанных с поверхностью тела коор-
координатах.

302 Гл. 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмен
5.24. Получите уравнение E.220).
5.25. Проверьте уравнения E.222) и E.223).
5.26. Преобразуйте двумерные уравнения Навье — Стокса для несжимае-
несжимаемой жидкости E.21), используя преобразование E.217).
5.27. Покажите, что преобразование
х = г cos 8, у = г sin 9, z = z
будет переводить трехмерное уравнение неразрывности сжимаемого газа, за-
записанное в цилиндрических координатах, в уравнение неразрывности, записан-
записанное в декартовых координатах.
5.28. Последовательно примените преобразования E.224) и E.210) к
уравнению энергии невязкого газа E.179), записанному для стационарного
двумерного течения.
5.29. Преобразуйте двумерное уравнение неразрывности
dp дуй дру __
к вычислительной плоскости (т, g, т]), используя преобразование
т = t, I = I (t, х, у)у t\ = ц (/, х, у).
Воспользуйтесь методикой Вивьяна, чтобы записать преобразованное урав-
уравнение в дивергентной форме.
5.30. Преобразуйте стационарные уравнения Эйлера E.192) к координатам
E, Л> Е), используя преобразование
I = х, г\ == т) (х, #, 2), ? = I (х, у, z).
Воспользоваться методикой Вивьяна, чтобы записать преобразованные урав-
уравнения в дивергентной форме.
5.31. Рассмотрите преобразование
? = ?(*, х, у, г),
Л = Л (*> х, у, z),
? = ?(г, *, yt 2).
(a) Определите выражения для якобиана этого преобразования, а также
для метрических коэффициентов.
(b) Выполните это преобразование для уравнений Навье — Стокса для
сжимаемого газа, записанных в векторной форме E.44).

Глава 6
Численные методы решения уравнений
течения невязкой жидкости
6.1. Введение
Уравнения Навье — Стокса описывают течения жидкости в за-
задачах как внутренней, так и внешней аэродинамики. Численное
решение уравнений Навье — Стокса зачастую невозможно или
по крайней мере не представляет практического интереса, а во
многих задачах в нем просто нет необходимости. Результаты,
полученные из решения уравнений Эйлера, имеют практическую
значимость на стадии предварительного проектирования, когда
требуется только знание распределения давления. В задачах
расчета трения и теплопередачи решение уравнений погранич-
пограничного слоя дает адекватные результаты. Однако на первом этапе
анализа требуется найти граничные условия на внешней границе
опять-таки из решения уравнений течения невязкой жидкости.
Уравнения Эйлера представляют и самостоятельный интерес,
поскольку в них содержатся основные элементы динамики жид-
жидкости. Например, в течениях жидкости часто возникают внутрен-
внутренние разрывы, такие, как ударные волны или контактные раз-
разрывы. Известные соотношения Гюгонио — Рэнкина связывают
конечные параметры газа по обе стороны от ударной волны.
Эти соотношения содержатся в решениях уравнений Эйлера.
Уравнения Эйлера описывают течения невязкого нетеплопро-
нетеплопроводного газа и имеют различный тип при разных режимах тече-
течения. Если в них сохранены зависящие от времени члены, то тип
получающихся нестационарных уравнений гиперболический для
любых чисел Маха и они могут быть решены с использованием
маршевых по времени процедур. Совсем другая ситуация имеет
место при рассмотрении стационарных течений. В этом случае
тип уравнений Эйлера эллиптический на дозвуковых режимах
течения и гиперболический на сверхзвуковых.
Этот факт изменения типа уравнений послужил толчком к
развитию методов решения задач стационарной трансзвуковой
аэродинамики, длившемуся многие годы. Для расчета течений
невязкой жидкости используются многочисленные упрощенные
версии уравнений Эйлера. Для случая несжимаемых жидко-
жидкостей часто пользуются допущением о безвихревом характере
течения. При этом решение уравнения Лапласа для потенциала

304
Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
скорости обеспечивает необходимую информацию. Связана
с уравнениями Эйлера и система уравнений для малых возму-
возмущений. Для дозвуковых и сверхзвуковых течений уравнение
Прандтля — Глауэрта дает хорошее приближение первого по-
порядка для потенциала. Для трансзвуковых течений уравнение
малых возмущений остается нелинейным. В табл. 6.1 приведена
классификация уравнений движения невязкой жидкости.
Таблица 6.1. Классификация уравнений Эйлера
Дозвуковое течение,
М< 1
Течение со скоростью
звука, М=1
Сверхзвуковое
течение, М > 1
Стационарное
Нестационарное
Эллиптическое
Гиперболическое
Параболическое
Гиперболическое
Гиперболическое
Гиперболическое
Для решения уравнений Эйлера или любых их видоизмене-
видоизменений используются самые разные методы. Основная цель настоя-
настоящей главы — представить получившие наибольшее распростра-
распространение методы решения задач течения невязкой жидкости. Так
как для нас наибольший интерес представляют конечно-разно-
конечно-разностные методы, то многие другие методы, интенсивно применяю-
применяющиеся в последнее время, мы не рассматриваем. Наиболее изве-
известным среди них является метод конечных элементов. Он ши-
широко применяется для расчетов течений несжимаемой жидкости
вокруг конфигураций различной формы.
§ 6.2. Метод характеристик
В общем случае решений нелинейных гиперболических урав-
уравнений в частных производных в аналитическом виде не суще-
существует, поэтому приходится прибегать к численным методам для
их решения. Старейшим из них является метод характеристик,
который наиболее близок к точному решению гиперболических
уравнений в частных производных. Даже если этот метод за-
заменяется новыми наиболее легко реализуемыми конечно-разно-
конечно-разностными методами, тем не менее в основе этих методов лежат
теория характеристик и ее приложения.
В гл. 2 мы выяснили, что с гиперболическими уравнениями
связаны некоторые направления или поверхности, которые опре-
определяют области влияния. Сигналы распространяются вдоль этих
выделенных поверхностей, влияя на решения в других точках
внутри областей влияния. Метод характеристик использует из-
известное физическое поведение решения в каждой точке течения.
Понять существенные свойства метода характеристик можно на
примере исследования линейного уравнения в частных производ-
производных второго порядка.

§ 6.2. Метод характеристик 305
6.2.1. Линейные системы
Рассмотрим стационарное сверхзвуковое течение невязкого
нетеплопроводного совершенного газа. Допустим, что помещен-
помещенное в однородный набегающий поток тонкое тело только слегка
возмущает его, так что течение удовлетворяет предположениям
о малых возмущениях (см. п. 5.5.6) u/U<x> <C I, v/Uoo «С 1, где и
и v — возмущенные компоненты скорости. Если исключить из
рассмотрения трансзвуковые и гиперзвуковые течения, основные
уравнения сводятся к уравнению Прандтля — Глауэрта для
сверхзвукового течения. Если ось х направлена вдоль скорости
невозмущенного потока, это уравнение можно записать в виде
A-№1)фхх + фуу = 0. F.1)
Число Маха набегающего потока обозначено через Моо, а воз-
возмущенный потенциал скорости — через ф. Начальные условия
задаются на гладкой кривой С. В нашем случае в качестве этой
кривой принимается прямая х = const. Граничные условия за-
задаются на у = 0.
D) у) = О. F.2)
Чтобы сформулировать задачу для системы уравнений, удобно
рассмотреть постановку задачи, почти эквивалентную введенной
в гл. 2. Используя возмущенные компоненты скорости
и = дф/дх, v = дф/ду
и обозначение p2 = ML — 1, уравнение F.1) можно представить
в виде системы
fi2 ди dv_ _
J~7
fi2 ди dv
J~7
dv __ ди n
дх ду ~~U
с начальными и граничными условиями
и@, у) = 09 t>@, у) = 0, у>0,
v(x, 0) = vw, y = 0. ( • }
Чтобы использовать метод характеристик, систему F.3) сле-
следует записать вдоль характеристик. Итак, на первом этапе этой
процедуры выписываются уравнения для характеристик.
Пусть начальные условия этой задачи заданы на гладкой
кривой С. Рассмотрим методы построения решения уравнения
F.3) вблизи этой кривой. Если решение достаточно гладкое, то
первый метод, который следует рассмотреть, состоит в разложе-

306
Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
нии в ряд Тейлора в некоторой точке, лежащей на кривой С.
Пусть мы интересуемся решением в малой окрестности этой точ-
точки, поэтому оставляем в разложении в ряд только члены с пер-
первыми производными. Тогда решение для и либо для v может
быть записано в виде
F.5)
В этом выражении точка с координатами (лс, у) находится на
кривой, где заданы начальные данные для и и v, т. е. и и v из-
известны на кривой С. Требуется вычислить первые производные
в разложении в ряд Тейлора. Если через 5 обозначать длину дуги
вдоль кривой С, то можно записать
du
ds
dv
ds
__ du dx , du dy
~~ dx ds ' dy ds
dv dx , dv dy
~~ dx ds * dy ds
F.6)
Система из четырех уравнений для неизвестных производ-
производных F.3) и F.6) может быть решена любым стандартным ме-
методом, например по правилу Крамера. Очевидно, что определи-
определитель коэффициентов этой системы не должен обращаться в нуль.
Если это происходит, то кривая С совпадает с одной из харак-
характеристик системы и в соответствии с материалом, изложенным
в гл. 2, производные нельзя определить однозначно. Уравнения
характеристик получаются из приравнивания нулю определителя
системы:
р2 0 0-1
0-110
dx
ds
ds
ds ds
= 0.
F.7)
Раскрывая этот определитель и решая характеристическое урав-
уравнение, получаем выражения
= ±W, F.3)
которые являются дифференциальными уравнениями характери-
характеристик, показанных на рис. 6.1. Так как р — константа, то эти урав-
уравнения можно проинтегрировать, что дает
I = х — Ру, у\ = х + Р#. F.9)

§ 6.2. Метод характеристик
307
Исходные дифференциальные уравнения, записанные вдоль
характеристик, называются уравнениями совместности. Их мож-
можно вывести, решая исходную систему уравнений для первых про-
производных. Вдоль характеристических направлений определитель
коэффициентов системы обращается в нуль. Если мы ищем ре-
решение для любой из первых производных, например для ди/дх,
и требуем, чтобы они были по крайней мере ограниченными, то
У
J3
Рис. 6.1. Характеристики уравнения Прандтля — Глауэрта.
должен обращаться в нуль и определитель матрицы, образован-
образованной любыми четырьмя столбцами расширенной матрицы. Это
может быть записано в виде
0
0
du
ds
dv
ds
0
— 1
dy
ds
0
0
1
0
dx
ds
— 1
0
0
dy_
ds
= 0.
F.10)
Раскрывая этот определитель, получаем уравнения совместности
du / dy \ dv
ds V dx ) ds
ИЛИ
d
ds
F.11)
вдоль распространяющейся вправо характеристики dy/dx =
1/Р и
-*-(Ри-1>) = 0 F.12)
вдоль распространяющейся влево характеристики dy/dx — 1/р.

308 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
Более общая процедура отыскания характеристик описана
в книге Уизема [Whitham, 1974]. Ниже мы приведем детали этой
процедуры, опуская выкладки. Чтобы найти характеристики си-
системы F.3), запишем эти уравнения в векторном виде
3? + И]-^ = 0, FЛЗ)
где
w = f!l, [А]\ ° -"Н. F.14)
Собственными значениями этой системы являются собственные
значения матрицы [А]. Последние определяются корнями харак-
характеристического уравнения матрицы [А]. Итак, мы записываем
| [Л] — Я [/] 1 = 0 или 2
1 у
= 0.
Это приводит к квадратному уравнению X2—1/р2=0, корни
которого суть %i = 1/р, Ад = —1/р.
Эта пара корней образует дифференциальные уравнения ха-
характеристик F.8), которые мы уже вывели. Так как исходное
уравнение Прандтля — Глауэрта есть всего лишь волновое урав-
уравнение для фу мы могли бы выписать дифференциальные уравне-
уравнения характеристик, используя результаты нашего обсуждения
дифференциального уравнения в частных производных второго
порядка B.15). Следующий шаг состоит в получении уравне-
уравнений совместности. Следуя Уизему, эти уравнения можно полу-
получить, умножая систему F.13) на левый собственный вектор мат-
матрицы [А]. Это приводит к уравнениям, записанным вдоль харак-
характеристик.
Пусть L1 — левый собственный вектор матрицы [Л], отве-
отвечающий %и и L2 — левый собственный вектор, отвечающий Ад.
Собственные векторы матрицы [А] находим из уравнения
[hi]T[A-XiI] = 0. F.15)
Если положить
ТО

§ 6.2. Метод характеристик 309
Это приводит к уравнениям
-if-+ d = o, F + f = 0>
которые эквивалентны, как и ожидалось. Поскольку мы можем
получить только нормализованные компоненты вектора L1, по-
положим /} = —р. Тогда
/J=l, L' =
Аналогичным образом находим
Записывая систему F.13) вдоль характеристик, получим теперь
уравнения совместности. Для этого умножим уравнение F.13)
на транспонированный левый собственный вектор:
[LT[w, + H]w,] = 0. F.16)
В соответствии с уравнением F.15) член [Ь']Г[Л] можно заме-
заменить на [L'] %•[/]. Поэтому мы можем переписать уравнение
F.16) в виде
[']r
Уравнение совместности вдоль Х\ получают из соотношения
L о* + IT о» J
Таким образом,
? ^(Pa-cO = 0. F.17а)
Аналогичным образом уравнение совместности вдоль правой ха-
характеристики записывается в виде
jL
F.17b)
Уравнение F.17а) справедливо вдоль положительной, или ле-
левой, характеристики. Оно выражает тот факт, что величина
($и — v) остается постоянной вдоль характеристики, отвечающей

310
Гл. б. Численные методы решения уравнений течения
Xi. Это легко показать, считая 5 расстоянием, измеряемым вдоль
характеристики, и записывая
Однако если фи — v) постоянна вдоль характеристики, то мож-
можно записать
•?№«-*)-о
или
что есть не что иное, как уравнение F.17а). Таким образом, мы
приходим к выводу, что ($и — v) постоянна вдоль характери-
характеристики, отвечающей собственному числу Хи а величина ($u-{-v)
У
jt
y=f;
1-6-
-H
Рис. 6.2. Волнистая стенка в виде одного периода синусоиды.
постоянна вдоль характеристики Л2. Величины (ри — v) и (Р)
называются инвариантами Римана (см. [Garabedian, 1964]). Так
как эти две величины постоянны на распространяющихся в
противоположные стороны характеристиках, легко определить
и и v в заданной точке. Если величины ($и + v) и (ри — v)
известны в некоторой точке (х,у), мы сразу же находим и к v
в этой точке. Рассмотрим пример расчета по методу характе-
характеристик.
Пример 6.1. Однородное сверхзвуковое (№<„ = л]2 ) течение
невязкой жидкости в ударной трубе натекает на неровность
стенки в виде одного периода синусоиды. Такая конфигурация
изображена на рис. 6.2. Амплитуда синусоиды равна е и г/L <С
<С 1. Определить возмущенные скорости и и v, используя метод
характеристик.

§ 6.2. Метод характеристик 311
Решение. Так как течение по условиям задачи отвечает тре-
требованиям о малости возмущений, то при решении задачи можно
пользоваться уравнением Прандтля — Глауэрта. Итак, будем ре-
решать систему уравнений F.3) для возмущенных компонент ско-
скорости и и v. В этом случае р2 = 1 и система выглядит так:
дх ду — U'
dv ди__ п
дх ду
с начальными условиями
и = О, v = 0 вдоль х = О, у > О
и граничными условиями, заданными на стенке (см. § 6.4):
8 / X \
v = 2я-jjcos [2я-7-], O^Jt^L.
Так как задача двумерная и решается в рамках теории малых
возмущений, можно перенести граничные условия на плоскость
у = 0. Это во многом облегчает задачу.
Начнем с того, что нарисуем характеристики, берущие свое
начало на поверхности задания начальных данных х = 0. На
левой характеристике
dy/dx = 1, и — v = P = const,
тогда как на правой характеристике
dy/dx = —l, u + v = Q = const.
Следовательно, мы определяем и и v в любой точке:
v = (Q-P)/2.
Так как правые характеристики, пересекающие поверхность, ис-
исходят из невозмущенного потока, то начальное значение пере-
переменной Q равно нулю. Кроме того, Р = 0 для характеристик,
исходящих из невозмущенного потока (рис. 6.3).
Рассмотрим характеристики, которые пересекают волнистую
стенку. Распространяющаяся вверх, или левая, характеристика
приходит в некоторую точку так, что приносит в нее граничное
условие с поверхности волнистой стенки, т. е. в некоторой точке
х\ мы имеем
Q = u + v = 09 v = Щ- cos Bя^ ,
Следовательно,

312
Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
4яе
. — V = jj- COS
Решение для и и v строится в соответствии с маршевой про-
процедурой по направлению х, исходя из плоскости задания на-
начальных данных. На рис. 6.4 показана сетка с нумерацией узлов
*~ X
Рис. 6.3. Линия задания начальных Рис. 6.4. Расчетная сетка, узлы кото-
данных, рой являются точками пересечения
характеристик.
и соответствующие характеристики. Теперь на пересечении ха-
характеристик мы можем получить решение. В точке A,3)
Я = 0, Q = 0, и = 0, и = 0.
В точке C, 2)
j?L(^) Q = 0,
Таким образом, мы получили решение во всей интересующей
нас области. Оно может быть проверено непосредственным ре-
решением уравнения Прандтля — Глауэрта для потенциала ско-
скорости, по которому затем находят и и v.
6.2.2. Нелинейные системы
До сих пор мы рассматривали систему из двух линейных
уравнений, которая была выбрана ради простоты. В более слож-
сложных нелинейных задачах решение получают уже не так легко.

§ 6.2. Метод характеристик
313
В общем случае наклон характеристик уже не постоянный, а ме-
меняется в соответствии с изменением свойств жидкости. Входя-
Входящие в систему уравнения могут быть неоднородными. Ясно, что
в этом случае уравнения совместности уже невозможно проин-
проинтегрировать в аналитическом виде вдоль характеристик. В об-
общем случае нелинейной задачи как уравнения совместности, так
и уравнения характеристик приходится решать численно, чтобы
получить полную картину течения. При этом неизвестны не толь-
только параметры потока, но также и положения характеристик
должны определяться путем численного решения.
Чтобы показать различия в применении метода характери-
характеристик в случае линейной и нелинейной задач, рассмотрим дву-
двумерное сверхзвуковое течение совершенного газа на плоской пла-
пластине. Для простоты выберем прямоугольную систему коорди-
координат и запишем уравнения Эйлера в матричной форме (см. гл. 5)
4=.
дх
+
где
1 ду
и
V
р
F.18)
UV
0
—-pva2
—pv
-а2
v ( 2 2\
раа2
ри
V
рм
UV
V
и
— (и2
и v
0
0
0
¦а2)
Начальные условия I заданы и записываются в виде
Граничные условия для нашей задачи имеют вид
v (х, 0) = 0, и (х, К) = uw v (xf h) = v,,,
p(x, h) = poof p{x, A) = poo.
Собственные значения матрицы [А] определяют характери-
характеристические направления и должны быть найдены в первую

314 Г л 6 Численные методы решения уравнений течения
очередь. Находим
= v/u, l2 = v/u,
uv + а у и2 + V-
2 — а2
uv
— а д/'и2 + v2 — а2
F.19а)
— а*
—а2
Выпишем матрицу, составленную из левых собственных век-
векторов, отвечающих данным собственным значениям X:
[Г] =
— a2
О
pva
. F.19Ь)
Умножая исходную систему F.18) на [Т]~\ получаем соотно-
соотношения совместности. Эти соотношения задаются в виде
du , dv
6 dp
р dss
Л
0
вдоль
= А* и
dsA
dp
ds4
F.20)
F.21)
вдоль dy/dx = Я4. В этих выражениях
Уравнение F.20) является обыкновенным дифференциальным
уравнением, которое удовлетворяется вдоль характеристики с
наклоном Хз- Длина дуги вдоль этой характеристики обозначена
через 53. Смысл выражения F.21) аналогичен. В противополож-
противоположность рассмотренному ранее примеру решения линейного уравне-
уравнения Прандтля — Глауэрта аналитическое решение для характе-
характеристик в общем случае нелинейной задачи неизвестно. Ясно, что
мы должны определять форму характеристик путем пошагового
численного интегрирования. Рассмотрим характеристику, опреде-
определяемую Хз:
dx
•uv + а у и2 + v2 — а2
и2-а2
Начиная с поверхности, на которой заданы начальные условия,
это выражение можно проинтегрировать и получить последую-

§ 6.2. Метод характеристик
315
щую точку на кривой. Одновременно с этим можно проинтегри-
проинтегрировать дифференциальное уравнение, определяющее другую ха-
характеристику волнового фронта. Интегрируя простое дифферен-
дифференциальное уравнение первого порядка, получаем два уравнения
для определения волнового фронта характеристик. По ним на-
находят координаты точки их пересечения (точка А на рис. 6.5).
Зная положение точки Л, интегрируем уравнения совместности
F.20) и F.21) вдоль характеристик, проходящих через эту точ-
точку. Это дает систему уравнений для неизвестных в точке А.
Безусловно, требуются дополнительные соотношения для замы-
замыкания задачи, которые можно получить, интегрируя уравнения
У
i
-^ х
Рис. 6.5. Характеристики в точке, где определяется решение.
совместности вдоль линий тока или используя другие уравне-
уравнения, связывающие неизвестные в точке А.
Применяя эту процедуру, можно в первом приближении опре-
определить положение точки А и параметры потока в ней. Эта
оценка обычно используется на первом шаге схемы предиктор-
корректор при решении системы гиперболических уравнений
в частных производных методом характеристик. На шаге кор-
корректор новое положение точки В пересечения характеристик
можно рассчитать уже с учетом нелинейной природы характе-
характеристических кривых. Аналогично рассчитываются значения за-
зависимых переменных в точке В.
Нахождение решения в точке В представляет собой интерес-
интересную задачу. Поскольку задача нелинейная, окончательное по-
положение точки пересечения В вовсе необязательно имеет одну
и ту же координату х для всех точек решения. Поэтому реше-
решение обычно интерполируется на поверхность х = const, прежде
чем переходят к следующему шагу интегрирования. Это ведет
к усложнению логики при кодировании программы вычислений.

316 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
Проблемы интегрирования уравнений совместности и поста-
постановки граничных условий как на проницаемых, так и на непро-
непроницаемых поверхностях будут обсуждаться в следующем па-
параграфе. Следует отчетливо представлять, что граничное усло-
условие типа стенки является итеративным в том смысле, что мы
пытаемся удовлетворить конкретному граничному условию в
точке на поверхности, координата х которой нам изначально
неизвестна.
Рассмотренную в этом разделе задачу в настоящее время
можно решать при помощи характеристик гораздо более про-
простым методом (см. § 6.4). Основной причиной вышеприведен-
вышеприведенного обсуждения было показать идеи, лежащие в основе чис-
численных расчетов уравнений движения с использованием методов
характеристик, и присущие этим методам трудности. Имеется
обширная библиография ([Owczarek, 1964; Shapiro, 1953; Cou-
rant, Friedrichs, 1948]), в которой метод характеристик описан
более подробно.
§ 6.3. Методы сквозного счета
Методы сквозного счета широко применяются для расчета
течений невязкого газа с ударными волнами. В этом случае
уравнения Эйлера записываются в дивергентной форме и для
расчета скачков уплотнения или любых других разрывов не при-
принимается никаких специальных мер, они получаются как часть
решения всей задачи. Рассчитанные этими методами скачки
«размазываются» на несколько ячеек сетки, но простота этого
подхода может оказаться решающим фактором при сравнении
со схемами с выделением скачков, несмотря на то что послед-
последние дают несколько более точные результаты.
При расчетах течений методами сквозного счета часто поль-
пользуются выделением скачка на границе. Поскольку на границах
скачки могут быть выделены по любой из обычных схем, об-
обсуждаемых в настоящем параграфе и в § 6.4, то на самом деле
преимущество схем сквозного счета становится еще более ощу-
ощутимым, когда имеется сложная структура* скачков. В этом слу-
случае удается уловить структуру скачков и отпадает необходи-
необходимость в специальной обработке каждого скачка.
Лаке [Lax, 1954] показал, что скорость и интенсивность скач-
скачка рассчитываются верно, если уравнения Эйлера записаны в
дивергентной форме. Это означает, что физически корректное
слабое решение, соответствующее соотношениям Гюгонио — Рэн-
кина на скачках, получается в случае, когда используется ди-
дивергентная форма записи уравнений Эйлера и последние дискре-
тизируются консервативным образом. В § 6.4 мы получим ела-

§ 6.3. Методы сквозного счета 317
бое решение уравнений Эйлера, используя их недивергентную
форму записи, и покажем, что в этом случае разрыв решения
с физической точки зрения уже не интерпретируется как удар-
ударная волна. Таким образом, вид получаемого решения зависит
от формы представления решаемых уравнений.
Дивергентную форму записи проиллюстрируем на примере
сверхзвукового обтекания совершенным газом некоторой дву-
двумерной поверхности. Если считать, что ось х совпадает с по-
поверхностью тела и эта координата является маршевой, то урав-
уравнения, описывающие это течение, являются двумерной версией
уравнений E.192) и их можно записать в виде
=0, F.22)
¦?¦ (р + Р«2) + -§? (Р«у) = °' <6-23>
¦?¦ (puv) +-щ^(р + pv2) = 0. F.24)
Для стационарного изоэнергетического течения полная энталь-
энтальпия сохраняется вдоль линий тока. В этом случае уравнение
энергии не интегрируется, а используется аналитическая интег-
интегральная форма
Lti F.25)
Уравнения F.22), F.24) при постоянной полной энтальпии об-
образуют в случае сверхзвукового течения гиперболическую си-
систему. Ее можно решать маршевым методом по координате х,
т. е. последовательно интегрируя уравнения вдоль направления
х, начиная с поверхности задания начальных данных. Геомет-
Геометрия такой задачи показана на рис. 6.6. Начальные данные за-
задаются на линии х = 0 и решение находится шаг за шагом при
продвижении по координате х с учетом граничных условий на
поверхности тела и соответствующих условий при ^/шах-
Уравнения F.22) — F.24) можно записать в виде
— + — = 0 F.26)
дх ду '
где
Г 9U 1
\ р + ри2 \
L puv J
puv
Уравнение F.26) можно решать любым методом, пригодным
для гиперболических уравнений в частных производных из числа

318 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
представленных в гл. 4. Схема Мак-Кормака будет хорошим
выбором. Вариант схемы Мак-Кормака с разностями вперед на
шаге предиктор и с разностями назад на шаге корректор в при-
применении к уравнению F.26) может быть записан в виде
/ =Е/— ¦д7-1г/+1 — F/J,
и (б 27)
По завершению шагов предиктор и корректор от вектора Е сле-
следует перейти к примитивным переменным /?, р, и, v. Только после
Поверхность задании
^начальных данных
Моо^ Ф ^~ Маршевое направление
Поверхность тела
Рис. 6.6. Система координат для маршевой задачи.
этого можно составить новый вектор потока для следующего
шага интегрирования. После получения решения на каждом
шаге по маршевой координате сразу находим компоненту у ско-
скорости: v = Е3/Е\> где нижние индексы обозначают элементы
вектора Е. Для отыскания компоненты х скорости необходимо
решить квадратное уравнение. Для исключения р можно ском-
скомбинировать Е2 с уравнением энергии; тогда имеем
BН -и2- v2) '
Исключим р, используя равенство
р = ?,/«. F.28)
Это приводит к квадратному уравнению для и с корнями

§ 6.3. Методы сквозного счета 319
Обычно радикал следует брать со знаком плюс. Плотность те-
теперь рассчитывается через Е{ по формуле F.28), а давление вы-
выражается через Е2 в виде
р = ?2-ры2. F.30)
Проделав эти вычисления, можно вычислить новое значение F
и перейти к следующему шагу интегрирования.
Пример 6.2. Рассчитайте обтекание двумерного клина (полу-
(полуугол при вершине равен 15°), движущегося со скоростью М = 2.
Рассмотрите течение невязкого совершенного газа.
Решение. В задаче требуется определить положение скачка
уплотнения и его интенсивность, а также картину течения вблизи
клина. Клин и картина его об-
обтекания показаны на рис. 6.7.
Обтекание двумерного клина с
присоединенной ударной вол-
волной является коническим тече-
течением. Это значит, что парамет-
параметры потока вдоль лучей, исхо-
исходящих из вершины клина, по-
постоянны [Anderson, 1982]. Это
существенно облегчает задачу.
Определяющими уравнения-
уравнениями задачи являются уравнения
F.22) —F.24) И уравнение энер- Рис. 6.7. Обтекание клина с присо-
ГИИ F.25), Граничными уело- единенной ударной волной,
виями — условие скольжения
на поверхности клина и условия в свободном потоке вне ударной
волны. Конечно, можно направить ось х вдоль поверхности кли-
клина и интегрировать уравнения шаг за шагом вдоль этой оси до
тех пор, пока число Маха в ударном слое остается больше еди-
единицы. К сожалению, по мере продвижения вниз по потоку удар-
ударный слой утолщается и в конце концов это приводит к взаимо-
взаимодействию внешней границы нашей расчетной области (при у =
= Утах) С уДарНОЙ ВОЛНОЙ.
Эти трудности можно легко преодолеть, если учесть, что
ударная волна прямая, а толщина ударного слоя растет линейно
с увеличением х. Выполним преобразование переменных
? = *, Ч = у/х. F.31)
Оно приводит к расчетной сетке, изображенной на рис. 6.8. Те-
Теперь задача обтекания клина решается без особого труда, по-
поскольку линии постоянства г\ растут линейно с х. Так как основ-

320
Гл 6 Численные методы решения уравнений течения
ные уравнения являются гиперболическими относительно коор-
координаты |, то начальные данные необходимо задавать на некото-
некоторой линии, не являющейся характеристической. В качестве по-
последней удобно выбрать линию ?= 1. Уравнения в частных про-
производных интегрируются в направлении g с произвольно задан-
заданными начальными условиями. Так как течение вокруг двумер-
двумерного клина является коническим, то решение для него будет
достигаться при больших |(асимптотически).
const
Рис. 6.8. Клин с ударным слоем после преобразования.
После преобразования координат от (лс, у) к (?, г\) уравнения
принимают вид
F.32)
где Е = ?Е, F = F — т)Е. Можно избежать дополнительных труд-
трудностей, если в этой задаче использовать свойства конического
течения. Устойчивость схемы, применяемой для решения урав-
уравнений F.32), зависит от собственных значений матрицы [А]
расширенной системы, записанной в координатах (?,т|):
— 4- Н—0
F.33)
В этом уравнении w есть вектор примитивных переменных, а
Н — источниковый член в расширенной системе. Оказывается,
что собственные значения [А] явно зависят от g, т. е. g входит
в выражения для собственных значений. Когда при решении
задачи мы продвигаемся вниз по потоку вдоль маршевой коор-
координаты |, допустимый размер шага должен изменяться, если
применяется явная схема, например схема Мак-Кормака. Если
при увеличении g этого не происходит, могут возникнуть труд-
трудности с устойчивостью разностной схемы. Их можно избежать,

§ 6.3. Методы сквозного счета 321
если интегрировать уравнения от ? = 1 до | = 1 + А| путем ите-
итераций до достижения сходимости.
Тщательного рассмотрения требуют граничные условия. Ко-
Количество точек в направлении г\ должно быть достаточным,
чтобы ударная волна могла формироваться естественным обра-
образом и не взаимодействовала с граничными условиями в свобод-
свободном потоке, которые ставятся при г) = rjmax. Например, если
в нашей задаче ударная волна образует с поверхностью клина
угол в 20° и в ударном слое мы размещаем 10 точек, то
rjshock = tg B0°) = 0.3640, At] = 0.3640/A0 - 1) = 0.0404.
Пусть при том же шаге мы добавляем еще пять точек; тогда
= 0.0404 A5 - 1) = 0.5662
и последняя точка сетки видится из вершины клина под углом
29.52°. Это должно гарантировать отсутствие интерференции
ударной волны при граничных условиях, задаваемых на т]тах.
Если используется схема Мак-Кормака, то шаг предиктор
можно делать непосредственно от стенки, так как используются
разности вперед. Но шаг корректор должен быть модифициро-
модифицирован. Один из способов удовлетворения условию скольжения
вдоль поверхности клина состоит в использовании на шаге кор-
корректор также передних разностей и последующей записи значе-
значения v на стенке с граничным условием v=0. Несмотря на то
что использование разностей- вперед и в предикторе, и в кор-
корректоре приводит обычно к неустойчивостям схемы, граничное
условие на стенке меняет ситуацию так, что устойчивость реше-
решения обеспечивается.
Типичные распределения давления при обтекании клина, по-
полученные методом сквозного счета, изображены на рис. 6.9. Эти
результаты отлично согласуются с аналитическим решением при
v=1.0, обнаруживая резко выраженную ударную волну, не-
несколько размазанную осцилляциями. Однако результаты тех же
расчетов при числе Куранта 0.7 выявляют дисперсионное пове-
поведение, присущее схемам второго порядка, которые обсуждались
в гл. 4.
Прежде чем мы закончим с задачей обтекания клина, стоит
заметить, что ее решение можно было бы получить, считая его
зависящим от времени. Записанные в полярной системе коорди-
координат уравнения, включая зависящие от времени члены, имеют
вид
11 Д. Андерсон и др. Том 1

322
Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
при этом начало системы координат расположено в вершине
клина, а векторы записаны в полярных координатах. Если ап-
априори предположить, что течение коническое, то можно получить
решение в плоскости R = const, исключая из рассмотрения про-
S
I
28
24
20
16
12
8
к
0
\ ' о „ = 1.0
-
-
till
Д <
[
о Д
эД
::
0.09 0-Щ 0.11 0.12 0.13 0.14
P
Рис. 6.9. Распределение давления при обтекании клина, полученное методом
М 2.0, 6да = 7.5°, р — б
литическое решение.
Рис. 6.9. Распределеи д
сквозного счета; М«> = 2.0,
а, полученн
безразмерное давление;
ана-
анаизводные в радиальном направлении. В этом случае приходится
решать систему
<6-35>
+
Система является гиперболической относительно времени, и ее
можно решать, пока решение не установится по времени, что
даст решение задачи стационарного обтекания клина. В неко-
некоторых отношениях зависящую от времени систему уравнений
решать легче, например ее процедура расчета много проще.
Как и в примере 6.2, уравнения движения обычно преобра-
преобразуются в вычислительной плоскости. Одно из наиболее часто

§ 6.3. Методы сквозного счета 323
применяемых, преобразований предложили Вивьян [Viviand,
1974] и Винокур [Vinokur, 1974]. Это преобразование (см. гл. 5)
гарантирует, что система уравнений в строго дивергентной
форме после замены независимых переменных может быть запи-
записана в прежнем виде. К его недостаткам можно отнести тот
факт, что в преобразованных уравнениях в форме Вивьяна
в знаменателе консервативных членов всегда возникает якобиан
преобразования. Чтобы избежать ошибок при геометрических
преобразованиях, необходимо принимать специальные меры при
вычислении метрических коэффициентов. Это подробно будет
обсуждаться в гл. 10.
Ударная волна
v Поверхность задания
начальных данных
Маршевое
направление
\\\\\\Л\\\\\\\\\\\Л\\\\\Л\\\\\Лw\\\\\\\\v^ s
Рис. 6.10. Преобразованная область.
Сложностей, возникающих при использовании простой пря-
прямоугольной сетки в примере 6.2, можно было бы избежать, если
бы ударная волна рассматривалась как разрыв. На самом деле
в большинстве методов сквозного счета ударные волны на гра-
границах выделяются, а внутренние ударные волны улавливаются
по мере их возникновения. В то время как одни и те же сообра-
соображения лежат в основе методики выделения ударных волн как
в стационарных задачах обтекания, решаемых маршевым мето-
методом, так и в задачах, зависящих от времени, несколько иная
схема иногда применяется для расчета давления внутри области
или за ударной волной, когда исходные уравнения записаны
. в дивергентной форме. Рассмотрим систему уравнений в част-
частных производных, записанную в форме F.26). Пусть мы ис-
используем преобразование
(х, У) -> (I, л)> I = х, л = У/У. (*). F-36)
Где y_ys(x}==Q есть уравнение, задающее поверхность удар-
ударной волны. Как показано на рис. 6.10, физическая область пре-
преобразуется в вычислительную, в которой ударная волна распо-
расположена на поверхности т] = 1.0. Дивергентная форма записи

324 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
уравнений может быть такой, какую предложил Вивьян, или лю-
любой другой формой, в которой имеет место сохранение соответ-
соответствующих потоковых членов. Мы опять пользуемся маршевым
методом для отыскания решения во внутренней части ударного
слоя. На ударной волне для получения оценки одной из пере-
переменных следует применять одностороннее интегрирование. Будем
считать, что в начальный момент времени нам известно все вдоль
поверхности задания начальных данных, включая наклон удар-
ударной волны. Далее мы последовательно получаем решение во вну-
внутренней части ударного слоя, включая точки ударной волны, про-
продвигаясь в направлении маршевой координаты. Кроме того, ин-
интегрируется уравнение для наклона ударной волны dys/dx, что
дает уточненное положение ударной волны. Теперь мы вычис-
вычисляем наклон ударной волны в ее новом положении, а также
другие зависимые переменные, кроме давления.
Если давление за ударной волной известно, легко найти плот-
плотность и обе компоненты скорости из соотношений Гюгонио —
Рэнкина. Требуется получить выражение для наклона ударной
волны. Запишем уравнение поверхности ударной волны
У-уЛх) = 0. F.37)
Тогда уравнение нормали к ней записывается в виде
Нормальная компонента скорости перед ударной волной дается
выражением
й4^4 F-39)
Откуда для наклона ударной волны получаем
\ ooft °О/ dx °^ ^
± д/w^t;^ — (м^я — w^) (w^n — о^). F.40)
Величина и\оп в F.40) определяется по перепаду давления на
ударной волне, задаваемому уравнением E.209):
F.41)
После того как наклон ударной волны рассчитан, в новом по-
положении известны все величины. Эта процедура повторяется на
шагах предиктор и корректор. Затем опять выделяем ударную
волну, считая давление за ней . (или какую-нибудь другую ве-

§ 6.3. Методы сквозного счета 325
личину) известной. Этот подход предложил Томас и др. [Tho-
[Thomas et al., 1972].
Так как мы рассматриваем методы решения либо зависящих
от времени уравнений, либо уравнений для стационарных сверх-
сверхзвуковых течений невязкого газа, то эти уравнения относятся
к типу гиперболических. Обычно гиперболические системы ре-
решаются явными методами. Однако величина шага для большин-
большинства явных схем ограничена условием Куранта — Фридрихса —
Леви. Для некоторых задач это может привести к неразумно
большим временам счета. Разработка и применение полностью
неявных схем для решения гиперболических уравнений — срав-
сравнительно недавнее явление. Более ранние попытки такого рода
были частично явными или итерационными. Недавно были раз-
разработаны неитеративные алгоритмы ([Lindemuth, Killeen, 1973;
Briley, McDonald, 1973; Beam, Warming, 1976]). Преимущество
неявных схем заключается в их безусловной устойчивости. Хотя
по сравнению с явными методами приходится делать больше
вычислений на один шаг по времени, полное время счета может
оказаться меньшим. Мы опишем в общих чертах основную схему
Бима — Уорминга [Beam, Warming, 1976] для уравнений, запи-
записанных в дивергентной форме, а затем рассмотрим алгоритм
расщепления потоков, предложенный Стегером и Уормингом
[Steger, Warming, 1979].
Рассматриваемая система аналогична уравнению E.192).
Для удобства приведем его здесь:
где U — вектор консервативных переменных, а Е и F — вектор-
функции от U. Если схема интегрирования задается уравнением
D.58), то значение U на следующем временном слое задается
выражением
или
Последнее дает второй порядок аппроксимации вектора неиз-
неизвестных Uw+1 на следующем временном слое. Эта схема неяв-
неявная, поскольку производные U да и сама величина U берутся
на следующем временном слое, связывая, таким образом, неиз-
неизвестные в соседних узлах сетки на следующем временном слое.
Для получения линейного уравнения, которое можно разрешить
„«+1 ..» М Г/дЕ ,dF\n,fdE dF\n+f\

326 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
относительно Un+1, используется локальное разложение в ряд
Тейлора производных F и G. Пусть
Г+1-1Г),
F + [B](U+1-ir), ( '
где [A]=*dE/dli, [B] = dF/dU.
После подстановки линеаризации F.44) в F.43) для опреде-
определения Un+I имеем линейную систему относительно неизвестной
Прямого решения уравнения F.45) стараются избегать из-за
большого количества вычислений в случае многомерных задач.
В этом случае предпочитают сводить многомерную задачу к по-
последовательности одномерных. Это можно сделать, применяя
метод дробных шагов [Yanenko, 1971] или метод приближенной
факторизации [Peaceman, Rachford, 1955; Douglas, 1955].
Уравнение F.45) можно записать в приближенно факторизо-
ванном виде
х.(ш + т-?
Это выражение отличается от исходного уравнения F.45) на
член порядка (AtJ, и формально точность нашего неявного
алгоритма остается второго порядка. Эта факторизованная схе-
схема может быть представлена как последовательность схем по
переменным (чередующимся) направлениям
([/]
+ х "й"f Л]Л) U'= ПРавая часть Уравнения F.46),
F-47)
Если использовать дельта-форму, введенную в гл. 4, получается
более простой алгоритм. Так как в обеих частях уравнения
F.46) стоят одинаковые операторы, то AUn = Urt+1 — U", отсюда
(m+Ц- -k
f

§ 6.3. Методы сквозного счета 327
И опять это уравнение можно заменить последовательностью
более простых уравнений по переменным направлениям
(в"9)
Решение этой системы нетривиально. Если пространственные
производные аппроксимируются центральными разностями, то на
каждом проходе по направлениям х и у требуется решать блоч-
блочную трехдиагональную систему уравнений. Каждый блок имеет
размер тУ^ту где т — размерность неизвестной вектор-функ-
вектор-функции U (см. приложение В).
Представленный здесь неявный алгоритм использует неявную
центрированную по времени схему. Для построения семейства
неявных алгоритмов различной точности можно использовать
дискретизацию по времени общего вида [Warming, Beam, 1979].
Этот вопрос обсуждается в гл. 8. Там же приводятся допол-
дополнительные соображения о необходимости добавления искусствен-
искусственного демпфирования в связи с применением недиссипативных
схем.
Стегер и Уорминг [Steger, Warming, 1979] разработали не-
неявный алгоритм,'в котором производится расщепление векто-
векторов Е и F. Несмотря на то что точное расщепление может быть
выполнено несколькими способами, обычно оно проводится в со-
соответствии со знаками собственных значений системы, как это
делается, например, в методе расщепления коэффициентов мат-
матриц (см. § 6.4). Чтобы показать идею расщепления, рассмотрим
одномерную систему гиперболических уравнений в частных про-
производных
dt ^ дх и'
Эту систему можно переписать в виде
ff- = 0, F.50)
где [А] есть матрица Якоби dE/dV. Эта система гиперболиче-
гиперболическая, если существует преобразование подобия, такое, что
[ТГ1[А][Т] = [Х], F.51)
где [X] —диагональная матрица из собственных значений [А],
а [Т]-1 — матрица, строки которой есть левые собственные век-
векторы матрицы [А], взятые по порядку. Теперь векторы потоков

328 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
(Е и F в уравнении F.42)) обладают интересным свойством:
Е = [Л]Д1. F.52)
i
Это можно проверить простым перемножением указанных мат-
матриц. Согласно Стегеру и Уормингу, если уравнение состояния
имеет форму
/М, F.53)
где е>— внутренняя энергия, то вектор потока E(U) является од-
однородной функцией U первой степени, откуда следует
E(aU) = aE(U) F.54)
для любого а. Мы можем воспользоваться этим свойством,
а также тем фактом, что система гиперболическая для пред-
представления потока в расщепленном виде.
Комбинируя F.51) и F.52), вектор Е можно записать в виде
Е = [A] U = [Т] [Я] [Г] U. F.55)
Матрица собственных значений разделяется на две; причем одна
состоит только из положительных элементов, а другая — только
из отрицательных. Запишем
[А] = [А]+ + [АГ = [Т] [Х+] [ТГ1 + [Т] [Л-] [ТГ1 F.56)
и определим
Е = Е+ + Е~, ' F.57)
так что
Е+ = [А]+ U, Е" = [А]~ U. F.58)
Исходное уравнение в дивергентной форме записывается в обо-
обозначениях с расщепленными потоками в виде
JL ^l ^IO,- F.59)
JJL + J^l + ^^O,
dt ' дх ' дх '
знак плюс показывает, что должна быть использована разность
назад, а знак минус — разность вперед.
Расщепление потоков можно применять как в явных, так и
неявных алгоритмах. Например, схему второго порядка с раз-
разностями вверх по потоку можно записать [Warming, Beam,
1975] так:
u?+i = u?_?( VE+ + A E-yf
_ _ F.60)
B

§ 6.3. Методы сквозного счета 329
Нетрудно построить неявный центрированный по времени алго-
алгоритм с расщеплением потоков на основе
AU? = - ? [VE+ + ДЕТ-
F.61)
Он имеет первый порядок точности по пространственной коор-
координате и второй по времени. Точность по пространственной ко-
координате можно улучшить простым увеличением порядка аппрок-
аппроксимации пространственных дифференциальных операторов. За-
Зачастую интерес представляет только стационарное решение.
В этом случае правая часть может быть модифицирована, чтобы
получить второй порядок аппроксимации по пространству при
выходе на стационарное решение без изменения блочной трех-
диагональной структуры левой части.
Интересно отметить, что левую часть уравнения F.61) можно
приближенно представить в виде произведения двух операторов
(факторизовать):
Ь v И]+) (т + & А И/Г) ли? =
= Правая часть уравнения F.61). F.62)
Это позволяет реализовать алгоритм в виде следующей после-
последовательности:
([Л + Тд~*^И/]+ jAU/ = Правая часть уравнения fF.61),
, F-63)
При использовании уравнений F.63) каждый проход в одно-
одномерной задаче требует решения двух блочных двухдиагональных
систем. Исходная система F.61) требует решения одной блоч-
блочной трехдиагональной системы на каждом шаге по времени.
Важно отметить, что более экономичные вычисления, которые,
как ожидается, имеют место при использовании уравнений F.63),
можно реализовать не для всех задач. Обычно главное преиму-
преимущество, связанное с применением расщепленных форм с двух-
диагональными системами, проявляется при решении многомер-
многомерных задач.
Расщепление потоков в методах сквозного счета дает не-
несколько более лучшие результаты, нежели обычные схемы с цен-
центральными разностями, но трудности все же остаются и здесь.
При использовании расщепления потоков ударные волны хо-
хорошо прорабатываются, и результаты, получающиеся при этом,
согласуются с теми, которые дают лучшие методы сквозного

330 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
счета. Результаты расчета с расщеплением потоков могут ока-
оказаться не так хороши, когда встречается звуковая линия. Не-
Небольшие осцилляции происходят при пересечении звуковой ли-
линии, потому что расщепление зависит от собственных значений.
Потоковые члены имеют разрывы первых производных при из-
изменении знака собственных значений. Стегер [Steger, 1981] по-
получил хорошие результаты, когда переопределил собственные
значения в виде
x±ygT? (б64)
где е — коэффициент, введенный для обеспечения гладкости,
когда X меняет знак.
Наше обсуждение методов сквозного счета было сосредото-
сосредоточено на маршевых задачах как по времени, так и по простран-
пространству. Решение маршевых по времени задач может иметь своей
целью или определение некоторого переходного процесса, или
расчет установившегося течения как асимптотического по вре-
времени предела зависящей от времени задачи. В последнем случае
временной предел может рассматриваться как релаксационный
процесс по отношению к уравнениям Эйлера с включенной в них
переменной времени, чтобы указать физическое направление ре-
релаксации. Истинные релаксационные процедуры не являются
асимптотическими по времени, а основаны на релаксировании
стационарных уравнений с целью получения решения для дан-
данного течения.
Релаксационные методы решения уравнений Эйлера рассмат-
рассматривались в работах [Steger, 1981; Johnson, 1980]. Стегер поль- .
зовался представлением уравнений Эйлера с расщепленными
потоками и обычной релаксационной схемой для получения окон-
окончательного решения. Джонсон использовал новый подход, ко-
который он назвал методом замещенных уравнений. В его схеме
записанные в дивергентной форме уравнения Эйлера встраи-
встраиваются в систему более высокого порядка и решение уравнений
Эйлера будет одним из частных случаев решения этой системы.
Недостаток этого метода заключается в том, что приходится
решать систему более высокого порядка, чем исходная система.
Сейчас обратимся к постановке граничных условий в мето-
методах сквозного счета. Отмечалось [Moretti, 1969], что корректная
постановка граничных условий является делом непростым. Не-
Некорректные условия на твердой стенке могут привести к ло-
локально искаженным результатам, а во многих случаях даже
разрушить решение. Гиперболические уравнения особенно чув-
чувствительны к граничным условиям. По причине их волновой
природы ошибки в задании граничных условий распространяют-

§ 6.3. Методы сквозного счета 331
ся по сетке с отражениями, и в результате может возникнуть
неустойчивость.
Ранее мы разъяснили простую идею постановки граничных
условий. Обсудим еще три процедуры постановки граничных
условий: 1) отражение; 2) метод Аббетта (стационарные сверх-
сверхзвуковые течения); 3) метод Кенцера.
Идея отражения является, по-видимому, старейшей схемой
при постановке граничных условий на твердой поверхности для
течений невязкой жидкости. Она не имеет четкого обоснования
и является до некоторой степени лишь приближением. Запре-
Запрещен поток массы по нормали через твердую границу.
У
J ~ illlllllllfiWffinf/lllhllllll!/^ x
j = 1 • • • • • • • Подслой
Рис. 6.11. Фиктивные точки в подслое / = 1, необходимые для постановки
граничных условий типа отражения.
Для реализации граничного условия по методу отражения
узлы сетки размещаются таким образом, что поверхность тела
совпадает со вторым слоем, а первый слой узлов размещен
внутри тела. Чтобы понять основную идею отражения, предпо-
предположим, что мы решаем задачу о стационарном двумерном сверх-
сверхзвуковом течении путем интегрирования уравнений движения.
Как показано на рис. 6.11, ось х (/ = 2) направлена вдоль по-
поверхности тела, а первый слой сетки (/ = 1) находится внутри
тела. Если интегрирование уравнений Эйлера осуществляется
по схеме второго порядка, например по схеме Мак-Кормака, то
параметры потока на поверхности тела можно получить непо-
непосредственно из расчета. Значения примитивных переменных в
узлах подповерхностного слоя задаются в соответствии с про-
процедурой отражения. Мы полагаем, что давление, плотность и
касательная скорость суть четные функции расстояния по нор-
нормали вверх от поверхности, а нормальная скорость есть нечет-
нечетная функция этого аргумента. Тогда давление, плотность и ка-
касательная скорость в точке подповерхностного слоя сетки равны

332 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
соответствующим значениям в первой точке слоя сетки, следую-
следующего сразу за слоем, совпадающим с поверхностью тела. Вместе
с тем нормальная скорость в точке подповерхностного слоя бе-
берется с обратным знаком по отношению к значениям нормаль-
нормальной скорости в соответствующей точке слоя j = 3.
Для стационарной двумерной маршевой задачи уравнение по-
поверхности тела можно записать в виде
F(x, y) = y-f(x) = O/ F.65)
Тогда граничное условие для касательной к поверхности ком-
компоненты скорости в случае течения невязкой жидкости есть
v = udf/dx. F.66)
В общем случае условие отражения реализуется при помощи
выражений для нормали к поверхности, для нормальной и ка-
касательной компонент скорости. Единичная нормаль к поверхно-
поверхности есть n=\F/\\F\, тогда касательная к поверхности ско-
скорость есть
u, = nXVXn, F.67)
а нормальная —
un = (V.n)n. . F.68)
Величины скоростей, определяемые уравнениями F.67) и F.68),
переносятся в точки подслоя, чтобы соблюсти условие отраже-
отражения. На практике только одна компонента касательной скорости
используется как скалярная величина. Выражение для каса-
касательной скорости может стать громоздким, если используется
полная касательная скорость. Обычно мы получаем систему
уравнений, которые необходимо решать также и для точек под-
подслоя в случае применения данной схемы (см. задачу 6.11). Хотя
условие отражения сравнительно легко реализуется, регуляр-
регулярного применения оно не находит. Условие отражения очень не-
неточно для тел с поверхностями большой кривизны.
Аббетт [Abbett, 1973] разработал процедуру задания гра-
граничных условий, в которой в максимально возможной степени
используются физические соображения при формулировке гра-
граничных- условий в плоскости, касательной к поверхности тела.
Поскольку вычисляемый на последнем шаге процедуры интег-
интегрирования вектор скорости не параллелен поверхности тела, то
основная идея метода Аббетта состоит в том, что вводится в рас-
рассмотрение течение типа простой волны, в котором газ либо сжи-
сжимается, либо расширяется. При этом поток разворачивается и те-
течет параллельно поверхности.
Рассмотрим стационарное сверхзвуковое течение совершен-
совершенного газа. Пусть мы решаем стационарную маршевую задачу,

§ 6 3 Методы сквозного счета
333
и пусть используется ортогональная система координат х\, X2, х$9
в которой вектор скорости представляется в виде
V = lxu + l2v + l3w. F.69)
Компоненты скорости в соответствующих направлениях суть и,
v,w\ единичный вектор нормали к поверхности есть n=YF/\ VF|,
Касательное
направление
Рис. 6.12. Ориентация вектора скорости на поверхности тела,
где поверхность тела задается уравнением
С I АЛ АЛ АЛ \ _^ АЛ "Г ? АЛ АЛ \ ^-^_ С\ i Cb. ^7fW
Г \Х\, Л2, лз/ — *1 —/ v*2> ^З/ "• ^О./и^
Откуда получаем выражение для нормали к поверхности тела
i (df/dxt)] - [Оз/Аз) (df/dx,)]
п = -1^^
О/*?-
) (dt/dx2)f
) (df/dx3)f)
|2\l/2 *
F.71)
Вектор скорости можно разложить на нормальную и касатель-
касательную к поверхности компоненты. Если нормальная скорость рас-
рассчитывается в виде
uft = (V.n)n, F.72)
то малое угловое расхождение А0 между вектором скорости и
плоскостью, касательной к поверхности, вычисляется по фор-
формуле
I sin (Дв) | = | «и И VI, F.73)
которую можно переписать в виде
sin(A9) = (V
F.74)
Ориентация вектора скорости относительно поверхности тела
показана на рис. 6.12, где изображен также угол А0. Вектор ско-
скорости V построен по значениям скорости на поверхности, рас-
рассчитанным в соответствии с принятой схемой интегрирования.
Если в качестве последней используется схема Мак-Кормака,

334 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
то показанный на этом рисунке вектор V строится по значениям,
полученным на шаге корректор. Напомним, что на поверхности
тела следует использовать на шаге корректор разность вперед.
Для разворота вектора скорости на угол Д8 так, чтобы он
был параллелен поверхности, в поток вводится слабая волна.
Если А6 положительный, то необходимо, чтобы газ расширялся.
Поскольку поток разворачивается на угол А6, то должно из-
измениться и давление. Для слабых волн давление связано с углом
поворота потока следующим образом [см. NACA Report 1135
(Ames Research Staff, 1953]:
F.75)
Mr(V + l)M^4(M--lI у
L 4(M2-1J J
В этом выражении М и р\— число Маха и давление до пово-
pota потока, рч— давление после того, как поток повернулся.
Определив давление из уравнения F.75), можно вычислить из-
изменение плотности. В этом месте схема Аббетта требует допол-
дополнительной информации. Полагают, что энтропия на поверхности
известна. Величина p/pv известна по крайней мере вдоль линии
тока, омывающей тело. Для расчета нового значения плотности
Р2 используются новое значение давления р2 и величина энтропии
на поверхности. "
Величина скорости в касательном направлении вычисляется
из стационарного урабнения энергии. Если Н — полная энталь-
энтальпия, то скорость вдоль поверхности тела находится в виде
FJ6)
Теперь могут быть определены компоненты скорости. Направ-
Направление нового вектора скорости вдоль поверхности получаем вы-
вычитанием нормальной скорости из исходной (т. е. имевшей место
до разворота потока) скорости, вычисляемой в процессе реше-
решения. В результате получаем выражение
Vr = V-(V-n)n, F.77)
которое дает касательную компоненту исходной скорости. По-
Полагают, что новый вектор скорости на поверхности имеет то же
самое направление, а величина его равна
V2 = |V2|Vr/|Vr|. F.78)
Эта процедура расчета граничных условий сравнительно проста
в применении и дает отличные результаты (см. Kutler et al.,
1973). Одна из основных трудностей, правда, состоит в опреде-

§ 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов 335
лении надлежащего направления вектора скорости по заверше-
завершении процедуры. В методе Аббетта полагают, что вектор ско-
скорости по завершению процедуры лежит в касательной к поверх-
поверхности тела плоскости в направлении пересечения касательной
плоскости и плоскости, образованной нормалью и исходным век-
вектором скорости. Поправка на то, что это допущение некорректно,
не производится.
Одна из трудностей постановки граничных условий в мето-
методах сквозного счета состоит в обеспечении условий скольжения
вдоль поверхности, когда косая ударная волна падает на твер-
твердую границу. Гриффин [Griffin, 1981] получил хорошие резуль-
результаты, заменяя значение энтропии в последующей точке на по-
поверхности тела (# + Ал:, 0) его значением в предыдущей точке
{ху 0) плюс изменение энтропии между двумя предыдущими точ-
точками в слое над поверхностью тела (х, Дг/) и (л: —Ал:, Ду). Для
стационарных сверхзвуковых течений эта процедура дает оценку
значения энтропии на поверхности. Согласно Гриффину, эта про-
процедура работает очень хорошо при определении корректной
величины энтропии на поверхности и дает способ определения
граничных условий для областей пересечения ударных волн
с твердыми поверхностями..
Кенцер [Kentzer, 1970] предложил схему формулировки гра-
граничных условий, которая существенно использует соотношения
совместности на характеристиках, приходящих к границе из вну-
внутренней области, вместе с граничным условием на поверхности.
Этот подход аналогичен используемому в неконсервативном
методе расщепления матричных коэффициентов, который будет
рассматриваться в следующем разделе. При этом подходе ис-
используется условие скольжения вдоль поверхности в дифферен-
дифференциальной форме с соответствующим уравнением совместности.
§ 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов
Метод расщепления матричных коэффициентов — сравнитель-
сравнительно недавнее новшество в классе конечно-разностных методов для
решения гиперболических уравнений в частных производных.
Введенная Чакраварти [Chakravarthy, 1979; Chakravarthy et al.,
1980] в практику исследований схема с расщепленными матрич-
матричными коэффициентами является недивергентной формой схемы
с расщепленными потоками, предложенной Стегером [Steger,
1978]. Метод расщепления матричных коэффициентов исполь-
использует информацию о распространении сигнала, которую дает тео-
теория характеристик. Поэтому мы можем надеяться, что приме-
применение этого метода приведет к лучшим результатам по сравне-
сравнению с теми, которые были получены прежними методами. Так

336 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
оно и оказывается. Рекомендуется применять метод расщепле-
расщепления матричных коэффициентов в тех случаях, когда численно
решаются гиперболические уравнения в частных производных,
записанные в недивергентной форме.
Получили также развитие и другие методы, в которых ис-
используется информация, приносимая на характеристиках. Гор-
Гордон [Gordon, 1969] разработал во многом похожую схему для
решения гиперболических систем. Моретти [Moretti, 1978]
d(pu-o)=0
I
А | Ч
\* их
Рис. 6.13. Характеристики и расположение точек сетки.
предложил так называемую Я-схему, в которой обработка зави-
зависит от направления распространения сигнала. В некоторых слу-
случаях Х-схема Моретти и метод расщепления матричных коэффи-
коэффициентов идентичны. Однако в случае многомерных течений при
использовании произвольной системы координат единая форму-
формулировка разностных уравнений по Я-схемё не существует. Ме-
Метод расщепления матричных коэффициентов позволяет точно по-
получать разностные уравнения в случае произвольного числа из-
измерений.
Метод расщепления матричных коэффициентов легко разъ-
разъяснить на примере системы двух линейных уравнений, рассмот-
рассмотренной в § 6.2. Система F.3) была диагонализирована и соот-
соотношения совместности записаны в виде
^" Т"?(Ра V)~ ' F.79)
~дх ^U ~~ V' "•" TTlty" ^U "~ У'
Как видно из рассмотрения рис. 6.13, эти уравнения эквива-
эквивалентны требованию
-i>) = 0 F.80а)

§ 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов 337
на характеристике х — $у = g и требованию
+ v) = 0 F.80b)
на * + р# = т1.
Пусть мы хотим построить конечно-разностный аналог этих
выражений. На положительной характеристике ц = const
(рис. 6.13) мы можем записать
(Р« — t;b — (ри — о)л = 0, F.81)
а на характеристике g= const —
(ри + v)D - (ри + v)c = 0. F.82)
Эти уравнения можно решить относительно неизвестных в точ-
точке Д считая известными значения величин в точках Л и С. Ме-
Метод характеристик основан на интегрировании уравнений совме-
совместности F.80а) и F.80Ь) вдоль характеристик. Конечно-разно-
Конечно-разностный метод характеристик можно построить, используя экви-
эквивалентное уравнение F.75). Прибавим и вычтем величину
(Pw — v)B из уравнения F.81). Это даст
Аналогично уравнение F.82) можно записать в виде
о)в _
(pb + v)D - (Ри + v)B
А* р Аг/
Эти два соотношения являются конечно-разностными анало-
аналогами уравнений F.79) и приводят к тому же решению в точке
В. Схема с расщепленными матричными коэффициентами во
многом основана на интегрировании соотношений совместности.
Используемый в этом методе вид соотношений совместности по-
получается, если переписать уравнение F.79) в виде
Оно может быть записано так:
w* + И]+ wj + [ЛГ wy = 0, F.85)
где

338 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
Сравнивая с F.14), видим, что
+ = [А]. F.87)
Смысл обозначения в F.85) можно понять из уравнений ха-
характеристик. Матрица коэффициентов [А] расщепляется, чтобы
корректно учесть направления распространения сигнала при
использовании односторонних разностей. Например, член[А]+ vr$
означает вклад характеристики с положительным наклоном.
В этом случае берется разность назад для производных от w,
и об этом нам напоминает знак собственного значения. Если для
аппроксимации производных по у используются простые одно-
односторонние разности, уравнение F.85) в форме с расщепленной
матрицей коэффициентов аналогично конечно-разностному ме-
методу характеристик. Если же используются односторонние раз-
разности более сложного вида, то эти методы уже не идентичны,
хотя расщепление все же содержит информацию о распростра-
распространении сигнала.
Пример 6.3. Решить задачу из примера 6.1 методом расщеп-
расщепления матричных коэффициентов.
Решение. Соответствующие конечно-разностные уравнения
получаются, если записать два скалярных уравнения F.85)
в виде
их + 72 К ~ *у)* - 72 (и, + vyy = О,
vx + lli(- и9 + vy)+ - 72 (и, + v9T = 0.
Теперь для производных по х используем разности вперед, а
члены плюс и минус аппроксимируем разностями первого по-
порядка. Тогда первое из разностных уравнений можно записать
как
w ("" - "" - vi
Аналогичным образом получаем второе выражение. Граничные
условия известны, и мы можем интегрировать конечно-разност-
конечно-разностные уравнения в маршевом направлении х, начиная с поверх-
поверхности задания начальных условий. Мы построили схему первого
порядка с расщепленными матричными коэффициентами для ре-
решения задачи из нашего примера. Результаты ее численного ре-
решения прекрасно согласуются с точным решением (см. за-
задачу 6.6).
Устойчивость явных схем с расщепленными матричными
коэффициентами определяется обычным условием Куранта —
«Г1=«7 - w ("" - ""-> - vi

§ 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов 339
Фридрихса — Леви. Другие пределы устойчивости получаем при
использовании односторонних разностей более высокого порядка.
Это будет предметом более подробного обсуждения в данном
параграфе.
Мы описали метод характеристик и метод расщепления мат-
матричных коэффициентов для простой линейной задачи. На ее при-
примере мы продемонстрировали основные идеи, на которых осно-
основаны эти схемы. Оба этих метода пригодны и для нелинейных
уравнений динамики жидкости, пока последние остаются гипер-
гиперболическими. Сейчас рассмотрим теорию этого метода для си-
системы нелинейных уравнений гиперболического типа.
Уравнения нестационарного одномерного течения невязкого
совершенного газа имеют вид
где w есть /г-компонентный вектор неизвестных и [А] — матрица
размером пУ^п, Собственные значения [А] определяют харак-
характеристические направления, и можно записать
dx/dt = Xh i = 1, 2, ..., п. F.90)
Для каждого собственного значения Я/ существует левый соб-
собственный вектор Li, удовлетворяющий условию
M/]) = 0. F.91)
Как и в примере с линейной задачей, уравнение совместности
получаем умножением транспонированного вектора L, на ис-
исходную систему F.89):
L? (w, + [A] wx) = Lf (w* + ktwx) = 0. F.92)
Это приводит к уравнениям вдоль характеристик, и собственно
с этого момента начинается построение схемы с расщеплен-
расщепленными матричными коэффициентами. Пусть [Г]-1 есть матрица,
п строк которой являются п левыми собственными векторами,
взятыми по порядку. Тогда уравнение совместности можно запи-
записать в виде
[ТГ1 wt + lAAlT]-lwx = 09 F.93)
где [Лл] — диагональная матрица, составленная из собственных
значений матрицы [А]. После умножения F.93) на [Т] слева
получаем
Vt + [T][AA][Trlwx = 0. F.94)
Исходную матрицу [А] можно теперь записать как
[А] = [Т][АА][ТГ{. F.95)

340 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
Если [Лл] расщепить на положительную и отрицательную части:
[Лл] = [Лл]+ + [ЛлГ F.96)
и подставить в уравнение F.95), то получим
[А] = [Т] [Лл]+ [ТГ1 + [Т] [ААГ [ТГ\ F.97)
где [А] = И] + + И]~. Матрицы [А]+ и [Л]-отождествляются
с собственными значениями и собственными векторами. Мы
опять можем записать наше уравнение в виде
w, + [A]+ wx + [ЛГ w, = 0, F.98)
где смысл обозначений «+» такой же, как и в предыдущем при-
примере.
Пример 6.4. Пусть мы собираемся получить расщепленную
форму записи стационарных двумерных уравнений Эйлера. Ее
можно использовать для расчета стационарного сверхзвукового
обтекания любой двумерной поверхности. Уравнения в этом слу-
случае имеют окончательный вид
w, + [Т] [Л]+ [Г]-1 Wy + [Т] [ЛГ [ТГ1 vry = 0.
Мы уже получили вид матрицы [Т]~1 [см. выражение F.19Ь)].
Остается только вычислить ее элементы. Эти алгебраические
вычисления довольно просты. В задачах такого типа эти вычис-
вычисления приходится проделывать на каждом шаге для определе-
определения Х+ и Х~ и, следовательно, для правильного дифференциро-
дифференцирования по пространственным координатам. Остальные подробно-
подробности этого примера даны в качестве упражнения в задаче 6.7 на-
настоящей главы.
Была предложена альтернативная форма записи [Moretti,
1971; Salas, 1975; Marconi, 1980] основных уравнений динамики
жидкости. В ней производные плотности в уравнении неразрыв-
неразрывности заменены на производные давления по известному выра-
выражению для скорости звука. Кроме того, вместо уравнения энер-
энергии используется уравнение для энтропии. В такой форме урав-
уравнения из п. 5.5.4 выглядят так:
дх ^ у дх ^ ду ^ V ду — и'
&и I да , а2 дР п
dv , dv . а2 дР п
u-dx-+v-W + -7W = 0>
ds . ds Л

§ 6.4 Метод расщепления матричных коэффициентов 341
В этой системе неизвестными величинами являются компоненты
скорости и и v, энтропия s и натуральный логарифм давления
Р. Интересно заметить, что уравнение для энтропии не связано
с остальными уравнениями системы. Следовательно, энтропию
можно рассчитывать независимым образом. Моретти [Moretti,
1971] указал, что для аппроксимации энтропии всегда следует
использовать разности вверх по потоку, поскольку уравнение
для энтропии выражает всего лишь тот факт, что эта функция
постоянна вдоль линии тока. Это требует, чтобы разностная
аппроксимация производной ds/dy была вперед или назад в за-
зависимости от знака v/u. Это согласуется с методом расщепле-
расщепления матричных коэффициентов. Даже в схеме Мак-Кормака ре-
рекомендуется для энтропии использовать разности вверх по по-
потоку.
Особое внимание следует уделить должной аппроксимации
членов с производными в методе расщепления матричных коэф-
коэффициентов. Чтобы охватить в нашем рассмотрении большее
число идей общего характера, вновь обратимся к нелинейному
уравнению F.98). Если обозначить разность первого порядка
назад через V, а разность первого порядка вперед через А, то
схема первого порядка по времени и по пространству будет за-
задаваться выражением
Разработка схем второго порядка требует большей тщательно-
тщательности. Моретти [Moretti, 1978] предложил схему с переключением
с двухточечных разностей на трехточечные на последовательно-
последовательности предиктор-корректор.
Шаг предиктор
wp = w? - At ([A]+ w*~ + [Л]" w+),
на котором производные по пространственной координате ап-
аппроксимируются следующими выражениями:
F.100)
"* А*
Шаг корректор

342 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
на котором пространственное дифференцирование как в w?,
так и в w?+1 производится
чечному вперед выражениям
так и в w?+1 производится по двухточечному назад и трехто-
трехтож+_ -2w* + 3w*+1-w?+2 FЛ01)
причем пространственные производные в w?+1 аппроксимируют-
аппроксимируются с использованием значений, полученных на шаге предиктор.
Чтобы обеспечить требуемый второй порядок точности, разно-
разностная аппроксимация на каждом шаге меняется. Важно отме-
отметить, что точные явные схемы второго порядка с односторон-
односторонними разностями не так компактны, как схемы с центральными
разностями. Для уравнения F.98) требуется задействовать три
точки для схем первого порядка и пять точек для схем второго
порядка. С другой стороны, схема Мак-Кормака формально дает
второй порядок аппроксимации по пространству и использует
только три точки.
Недостаток схемы, описываемой уравнениями F.100) и
F.101), заключается в том, что она не удовлетворяет точно
условию сдвига. Это значит, что при числе Куранта, равном
единице, она в точности не следует характеристикам линейной
задачи. Габутти [Gabutti, 1982] для устранения этого недостатка
ввел поправку. Предложенная им схема является трехшаговой.
Для уравнений F.99) имеем
Шаг предиктор
wp = w? - -? ([Л]+ Vw? + [ЛГ Aw?). F.102)
Промежуточный шаг
.; _ и,- ("?-»%¦+¦;».) _ И!+ («¦?-»¦%¦+<-.).
F.103)
Шаг корректор
Здесь w?+I вычисляется обычным способом по исходному урав-
уравнению с использованием передних и задних разностей первого
порядка. Интересно заметить, что эта схема полностью совпа-
совпадает с предложенной Уормингом и Бимом [Warming, Beam,

§ 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов 343
1975] (см. п. 4.1.9) и использованной Стегером и Уормингом
[Steger, Warming, 1979]. Схема Бима — Уорминга второго по-
порядка на шаге предиктор совпадает с уравнением F.102), а шаг
корректор задается как
[АГ A2w? -тЬ[А]+ V2w?. F.105)
Введенные на шаге корректор два дополнительных члена изме-
изменяют ошибку аппроксимации так, что схема дает второй порядок
точности, удовлетворяя при этом условию сдвига.
Процедуры постановки граничных условий в методах, подоб-
подобных методу расщепления матричных коэффициентов, имеют ра-
разумное обоснование. На границах вычислительной области не-
некоторые характеристики приходят к границе из внутренней ча-
части, другие — извне. Мы можем воспользоваться уравнениями
совместности вдоль характеристик, приходящих к границе из
внутренней части области. Однако информацию, приносимую
остальными характеристиками, использовать невозможно. Соот-
Соответствующие соотношения совместности должны быть заменены
заданными граничными условиями. Это могут быть либо условие
скольжения потока вдоль твердой границы, либо заданные рас-
распределения давления или скорости на внешней границе. При рас-
рассмотрении сверхзвуковых течений с ударными волнами ударные
волны следует трактовать как разрывы. Это будет обсуждаться
позже в данной главе.
Пример 6.5. Пусть требуется рассчитать распределение дав-
давления в одномерном сопле, когда первоначально покоящийся газ
разгоняется до скорости звука в горловом сечении, а затем рас-
расширяется в сверхзвуковой части сопла при заданном давлении
на срезе сопла. Схематически сопло изображено на рис. 6.14.
Решение. Одномерное течение газа описывается следующей
системой уравнений:
ди ,
_^_4- и— + — — =0 F.Ю6)
где а =A/А)дА/дх. Так как мы пользуемся недивергентной
формой записи уравнений, то правильно «поймать» скачок вну-
внутри сопла нельзя. При интегрировании уравнений F.106) необ-
необходимо иметь уравнение для энтропии или считать поток изэн-
тропическим (s = const). В нашем примере для простоты будем

344
Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
считать энтропию постоянной. Даже в рамках этого предполо-
предположения единственное решение для течения в сопле получаем ин-
интегрированием уравнений по времени.
Соответствующая форма уравнений с расщепленными мат-
матричными коэффициентами без труда получается из уравнений
F.106), и ее вывод здесь мы приводить не будем. Сосредоточим
Рис. 6.14. Одномерное течение в сопле.
наше внимание на постановке граничных условий на срезе сопла.
На рис. 6.15 показан срез сопла и приходящие на него характе-
характеристики в плоскости (х, /). Поскольку характеристики, имеющие
t
Срез сопла
Рис. 6.15. Характеристики в плоскости среза.
отрицательный наклон, приходят извне, то соотношение совме-
совместности на них следует заменить граничным условием. В нашем
примере это р = 0.75р*, где р* — давление заторможенного по-
потока. Уравнение совместности вдоль характеристики с положи-
положительным наклоном дает полезную информацию, которой мы и
воспользуемся. Оно записывается в виде
дР , ди . л

§ 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов
345
Для заданного давления на срезе сопла требуем, чтобы
dP/dt = O. Когда производные по х в уравнении F.107) аппрок-
аппроксимируются разностями назад, новое значение скорости на срезе
сопла получается сразу интегрированием. Оно вместе с задан-
заданным на срезе сопла давлением полностью определяет задание
граничных условий на срезе сопла.
Метод расщепления матричных коэффициентов применим
в случае любого числа измерений, и в этом плане поучительным
является пример двумерного зависящего от времени течения.
Обычно выполняется преобразование координат
= /, l = l(t, х, у), т] =
, У).
F.108)
Если в декартовой системе координат переменными являются s,
и, v и Р, то в преобразованных координатах уравнения запи-
запишутся в виде
wx + [A] ws + [В] w, + h = 0. F.109)
В соответствии с принятыми ранее обозначениями мы можем
расщепить матрицы [А] и [В]; тогда получим
wT + [Т] [АА] [Г]

w4 + h = 0. F.110)
В этом выражении [Лл1 и [Ав] — диагональные матрицы, со-
состоящие из собственных значений матриц [А] и [В], а [Т]~1 и
[S]~l — транспонированные матрицы, составленные из соответ-
соответствующих собственных векторов. В уравнении F.110)
= (s, и, и, Р)ту
= (o, о, о, eY|
F.111)
[F.112)
где е =A,0) для осесимметричного или двумерного течения со-
соответственно,
~й 0 0 0
и
о \х
F.113)
п = h + и\х + vly,
[Лл] —диагональная матрица с элементами
п, п и
F.114)

346
Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
[Г] =
10 0
0 — k2 kx
0
о 4.
2
2
0
0
a
a
F.115)
*2 —
Матрицы [Лв], [5]~] и [S], соответствующие матрице [В],
выглядят аналогично с зам-еной g на т] в элементах [Л]. Пусть
1
^
Отрицательное Я
Положительное А
Рис. 6.16. Вычислительная плоскость (т, г\).
при т] = 0 имеется твердая стенка. Так как мы интегрируем
уравнения по времени, будем исследовать характеристические
направления в плоскости (т, rj), чтобы найти те, на которых
можно пользоваться соотношением совместности, и те, которые
должны быть заменены граничными условиями. На рис. 6.16
изображена плоскость т, г\. Поскольку события развиваются
в сторону увеличения времени, границы достигает информация,
которая переносится только вдоль характеристики с отрицатель-
отрицательным наклоном (правая характеристика). Информация, перено-
переносимая левой характеристикой, должна быть заменена гранич-
граничными условиями на стенке. Третье уравнение совместности, со-
соответствующее третьему собственному значению матрицы
F.114), в которой п заменено на v, а \ — на г\, не может быть
использовано. Граничное условие в этом случае такое:
= 0. F.116)

§ 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов , 347
Продифференцируем это выражение по времени; тогда получим
Чтобы получить решение на границе, это выражение исполь-
используется совместно с тремя остальными уравнениями совместно-
совместности. Основную систему уравнений можно преобразовать. Если
положить
F.118)
F.119)
то уравнение F.110) можно переписать в виде
Уравнения совместности в плоскости (t,tj) суть
[ST'wt + [Лв] [SV1 w, + [SVl g = 0.
F.120)
Третье уравнение совместности заменяется дискретизированным
условием скольжения вдоль поверхности [уравнение F.117)],
что приводит к системе вида
[D]wt + e + f = 0, F.121)
где
[D] =
S2i
О
Ls41
е =
в2Г
К
iW,
S\2 S\3 514
^22 ^23 ^24
Чх 'Цу 0
S42 543 544 -
t
s
4
Z
^1
Здесь Sij — элементы матрицы [5]~!. Теперь можно получить
явные выражения для элементов w$ из уравнения F.121).
Поскольку мы обсуждаем постановку граничных условий
для уравнений Эйлера, записанных в недивергентной форме,
удобно рассмотреть вопрос о выделении скачка. Обычно мы вы-
выделяем скачок как некоторую границу, и расчет положения
скачка является частью всего решения. На показанной на
рис. 6.16 вычислительной плоскости скачок будет формироваться

348 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
при г\ = r]max. Выделение скачка — вопрос удовлетворения со-
соотношениям Гюгонио — Рэнкина при одновременном соблюде-
соблюдении того, чтобы решение за скачком было совместимо с осталь-
остальным полем течения.
Решение за ударной волной определяется параметрами сво-
свободного потока, скоростью ударной волны и ее ориентацией.
Если мы знаем параметры свободного потока, первоначальный
наклон ударной волны и скорость, то в схеме выделения скачка
неизвестными величинами в первую очередь можно считать ско-
скорость ударной волны или перепад давления на ней. Чтобы полу-
получить выражение для ускорения ударной волны или давления
за ней, применяется обычная процедура объединения соотноше-
соотношений Гюгонио — Рэнкина с одним из уравнений совместности.
Например, если мы нашли давление за скачком, то можно вы-
вычислить другие параметры течения за скачком при помощи со-
соотношений
F122)
V2 = V^ + (u2n - и»*) ns [sign (Уто . n,)].
Нижний индекс оо относится к условиям свободного потока, ин-
индекс 2 — к параметрам потока сразу за скачком; индекс s ука-
указывает на принадлежность к поверхности скачка, п обозначает
нормаль к этой поверхности. Уравнение F.122) легко получить
из соотношения Гюгонио — Рэнкина и выражения для относи-
относительной скорости ударной волны. Подробности этого вывода опу-
опускаем, так как они аналогичны тем, которые были приведены
в предыдущем параграфе, когда схема выделения скачка при-
применялась для маршевой по пространству задачи. На рис. 6.17
показаны обозначения и ориентация ударной волны в физиче-
физическом пространстве. В соответствии с уже обсуждавшейся про-
процедурой постановки граничных условий информацию на удар-
ударную волну из внутренней области приносит только одна харак-
характеристика. Пусть это будет характеристика Ха, а соответствую-
соответствующее уравнение совместности имеет вид
Е s« (wix + Kwln + Si) = 0. F.123)

§ 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов 349
Поскольку ударная волна является одной из границ нашей об-
области, можно записать
dwi dwt dp
дх dp dx
F.124)
Иными словами, мы явным образом включили зависимость пе-
переменных Wi от давления. Производные dwi/dp можно найти из
Рис. 6.17. Геометрия ударной волны.
уравнения F.122). Если подставить уравнение F.124) в F.123),
то получим зависимость для изменения давления во времени
4 4
% ? s« ~w - - ? s« &*w*+§i)- F-125)
Производные Wi%\ аппроксимируются разностями назад, что
вполне согласуется с тем, что информация приносится вдоль по-
положительной характеристики. Уравнение F.125) позволяет вы-
вычислить рт, после чего производные по времени от других пере-
переменных можно выразить из уравнения F.124). Далее эти выра-
выражения интегрируются, в результате получаются новые значения
зависимых переменных. Положение ударной волны уточняет-
уточняется путем интегрирования известной скорости ударной волны.
Моретти [Moretti, 1974; 1975] предпочитает принимать в каче-
качестве зависимой переменной скорость ударной волны Vs- Такой
подход легко можно рассмотреть в рамках настоящего ана-
анализа. Прежняя зависимость для переменных wi, задаваемая

350
Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
уравнением F.124), заменяется соотношением
dw.
dwt dVs
ТнЖW <6Л26)
где dwi/dVs мы опять вычисляем из соотношений Гюгонио —
Рэнкина. Подстановка этих выражений в уравнение совместно-
1.5
Рис. 6.18. Сфера в сверхзвуковом потоке с М«> = 2.94;
[Salas, 1979];
О метод расщепления матричных коэффициентов [Chakravarthy et al., 1980].
сти дает уравнение, решая которое, можно определить ускоре-
ускорение ударной волны
^й? FЛ27)
Зная ускорение ударной волны, скорость и положение ее нахо-
находят интегрированием по времени. Новые значения зависимых
переменных вычисляют из соотношений Гюгонио — Рэнкина по
новым значениям скорости ударной волны.
Де Ниф и Моретти [De Neef, Moretti, 1980] предложили дру-
другой подход к выделению скачка, который назвали методом с по-
последующей коррекцией. В этом методе ударная волна рассмат-

§ 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов
351
ривается как граница в течении и уравнения движения интегри-
интегрируются за ударной волной при помощи соответствующих раз-
разностей. Это дает набор значений зависимых переменных, полу-
полученных интегрированием уравнений Эйлера, приносящих инфор-
информацию изнутри области. После чего по соотношениям Гюгонио —
12
о ю zo
30 40
0,град
Рис. 6.19. Распределение давления на
сфере при Моо = 2.94; [Salas,
1979], О метод расщепления матрич-
матричных коэффициентов [Chakravarthy et
al., 1980].
Рис. 6.20. Положение ударной волны
и звуковой линии для конуса с уг-
углом при вершине 60° и цилиндриче-
цилиндрической кормовой частью, М«> = 1.81;
О NASA TN-2000, метод рас-
расщепления матричных коэффициентов
[Chakravarthy et al., 1980].
Рэнкина вычисляют значения этих переменных за ударной" вол-
волной. Де Ниф и Моретти показали, что изменение скорости удар-
ударной волны связано с разницей в решениях для значений зави-
зависимых переменных, полученных при помощи двух указанных на-
наборов значений. Как только изменение скорости ударной волны
найдено, определяют новое значение скорости ударной волны и
рассчитывают новое ее положение.
В заключение этого раздела, посвященного рассмотрению
метода расщепления матричных коэффициентов, на рис. 6.18—

352 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
6.20 приведены два примера расчета обтекания. На рис. 6.18 по-
показана типичная форма головной ударной волны при обтекании
сферы при числе Маха набегающего потока 2.94, а на рис. 6.19 —
распределение давления, причем на нем же приведены результа-
результаты расчетов работы [Salas, 1979]. На рис. 6.20 представлены
ударная волна и звуковые линии при обтекании конуса с углом
при вершине 60° с цилиндрической хвостовой частью при числе
Маха набегающего потока 1.81. Эти решения были получены ме-
методом расщепления матричных коэффициентов, при этом головная
ударная волна трактовалась как разрыв. Из методов, пригодных
для решения уравнений Эйлера, записанных в недивергентной
форме, метод расщепления матричных коэффициентов особенно
хорошо себя зарекомендовал в связи с выделением скачка.
§ 6.5. Методы решения уравнения потенциала
Хотя в настоящее время во многих случаях стало возмож-
возможным численное решение уравнений Эйлера, все же желательно
иметь упрощенную систему уравнений, которую можно решать
более простым способом при меньших затратах ресурсов ЭВМ.
Это могло бы найти применение на этапах предварительного
проектирования сверх- и гиперзвуковых летательных аппаратов,
когда рассматривается много вариантов аэродинамических кон-
конфигураций с попыткой их оптимизации. В задачах такого рода
затраты памяти и процессорного времени, требуемые для реше-
решения уравнений Эйлера для каждой задачи, чрезмерно велики.
Как хорошо известно в механике жидкости, существует
иерархия уравнений, основанная на порядке аппроксимации, ко-
который хотят получить, или на допущениях, которые делают при
выводе этих уравнений. Если попробовать упростить уравнения
Эйлера, то следующим шагом будет рассмотрение решения
уравнения полного потенциала.
Уравнение для полного потенциала, записанное либо в ди-
дивергентной, либо в недивергентной форме, часто используется
в задачах трансзвуковой аэродинамики. При выводе уравнения
для полного потенциала требуется, чтобы поток был безвихре-
безвихревым. Кроме того, из уравнения Крокко E.187) вытекает требо-
требование отсутствия производства энтропии. Таким образом, в фор-
формулировке задачи для полного потенциала изменение энтропии
при прохождении через скачки, даже в сверхзвуковых потоках
недопустимо. На первый взгляд это допущение обедняет поста-
постановку задачи. Однако практика показывает, что решения урав-
уравнений Эйлера и уравнения потенциала отличаются друг от
друга незначительно в тех случаях, когда число Маха, рассчи-
рассчитанное по компоненте скорости, нормальной к фронту скачка,

§ 6.5. Методы решения уравнения потенциала 353
близко к единице. Производство энтропии на слабом скачке за-
зависит от числа Маха по нормальной проекции скорости, и мы
можем записать [Liepmann, Roshko, 1957]
^-1)9- <6Л28>
Это подтверждает тот факт, что допущение о постоянстве энтро-
энтропии при переходе через скачок является разумным, пока число
Маха по нормальной проекции скорости достаточно близко к
единице. Важно отметить, что это допущение касается локаль-
локального числа Маха по нормальной проекции скорости, а не числа
Маха в свободном потоке.
Если допущение о безвихревом характере течения оправ-
оправданно, то следует ожидать, что решение уравнения потенциала
будет столь же хорошо, как и решение уравнений Эйлера, даже
в сверх- и трансзвуковых потоках с ударными волнами. Труд-
Трудностей при решении уравнений Эйлера нельзя полностью избе-
избежать даже сведением задачи к решению уравнения потенциала,
так как в любом случае задача остается нелинейной, пусть и
упрощенной. Здесь мы обсудим применение уравнения потен-
потенциала для расчета сверх- и трансзвуковых течений. Поскольку
мы занимаемся практическими приложениями гиперболических
уравнений, то начнем со сверхзвуковых стационарных течений,
а затем перейдем к трансзвуковым.
Потенциальное приближение уравнений Эйлера можно по-
получить как в дивергентной, так и в недивергентной форме. Дву-
Двумерные уравнения потенциала в недивергентной форме E.197)
можно записать в виде
( ?К^„( ?>„-<>, F.129)
где
и = дф/дх, v = дф/ду9 F.130)
и а — скорость звука, которую можно рассчитать по уравнению
энергии
?+^ F.131)
Уравнение F.129) иногда называют квазилинейной формой
уравнения полного потенциала. В нашем обсуждении решений
уравнения Эйлера отмечалось, что применение недивергентной
формы не давало приемлемых результатов на скачках. Однако
в случае трансзвуковых течений эта проблема не возникает, так
как скачки в этом случае слабые. В настоящем разделе мы
12 Д. Андерсон и др. Том 1

354 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
будем рассматривать методы решения уравнения полного потен-
потенциала, записанного в дивергентной форме.
Двумерное безразмерное уравнение полного потенциала в ди-
дивергентной форме можно записать в виде
F132)
где звездочка, обозначающая обезразмеривание функций, опу-
опущена, и
и = дф/дх, v = дф/ду. F.133)
Плотность рассчитывается по уравнению энергии в виде
. F.134)
В этой записи плотность и компоненты скорости обезразмери-
вают по параметрам свободного потока. В случае сверхзвуко-
сверхзвуковой маршевой задачи требуется решать уравнения F.132) —
F.134) с граничным условием непротекания на поверхности
дф/дп = 0 F.135)
и заданным числом Маха в свободном потоке М<х>. Такая по-
постановка задачи существенно проще, чем решение полных урав-
уравнений Эйлера.
Уравнение полного потенциала в недивергентной форме было
использовано в работах [Grossman, 1979; Grossman, Siclari,
1980] для расчета обтекания конических и закрученных с не-
несимметричным профилем дельтовидных крыльев. Для получе-
получения решений была использована недивергентная формулировка
и релаксационная схема для трансзвуковых течений. Сейчас мы
опишем маршевую процедуру [Shankar, 1981; Shankar, Chakra-
varthy, 1981] решения уравнения потенциала, записанного в ди-
дивергентной форме, чтобы пояснить идею линеаризации плот-
плотности, использованной в этих работах.
Прежде чем обрисовать в общих чертах всю процедуру, не-
необходимо обсудить конечно-разностную аппроксимацию уравне-
уравнения потенциала. Так как, считая течение безвихревым, мы вво-
вводим потенциал, то в нашей системе уравнений отсутствует меха-
механизм диссипации. Вследствие постоянства энтропии уравнения
потенциала допускают решения в виде скачков разрежения и
уплотнения. В расчете дозвуковых течений нет особенностей.
В сверхзвуковых потоках невозможно появление скачков разре-
разрежения, и их следует исключить из рассмотрения. Эту трудность
можно обойти явно или неявно путем введения искусственной
вязкости.

§ 6.5. Методы решения уравнения потенциала 355
Мёрман и Коул [Murman, Cole, 1971] в своей знаменатель-
знаменательной работе о трансзвуковых течениях указали, что производные
в каждой точке области расчета должны быть корректно ап-
аппроксимированы в соответствии с типом уравнения. Они рас-
рассматривали трансзвуковое уравнение малых возмущений, но
эта же идея применима и для уравнения потенциала.
Чтобы проиллюстрировать конечно-разностную аппроксима-
аппроксимацию, зависящую от типа уравнения, рассмотрим уравнение в не-
недивергентной форме F.129). Тип этого уравнения гиперболиче-
гиперболический в точках, где (u2 + v2)/a2— 1 > 0, и эллиптический в точ-
точках, где (и2 + v2)/a2— I < 0. Пусть поток направлен вдоль
Направление
течения
(а) (Ь)
Рис. 6.21. Аппроксимация, зависящая от типа уравнения; (а) точки эллиптич-
эллиптичности; (Ь) точки гиперболичности.
оси х. Если течение дозвуковое, то уравнение эллиптическое и
производные аппроксимируются центральными разностями. Если
течение сверхзвуковое, то уравнение гиперболическое в рассмат-
рассматриваемой точке и вторые производные в направлении течения
(в продольном направлении) берутся со смещением шаблона
вверх по потоку. Имеем следующие конечно-разностные выра-
выражения для вторых производных в точке (*',/):
Г хх *
(А*J
F.136)
ТУУ— (А*/J
Сеточный шаблон для точек, в которых скорость потока меньше
(точки эллиптичности) или больше (точки гиперболичности)
скорости звука, показан на рис. 6.21.
Изображенные на рис. 6.21 узлы сетки иллюстрируют кор-
корректную зависимость от типа уравнения для до- или сверхзву-
сверхзвукового течения. Расположение точек шаблона для стационарного
уравнения потенциала говорит в пользу применения неявной
12*

356 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
схемы. Если мы имеем дело только со сверхзвуковым течением,
т. е. в расчетной области нет точек эллиптичности, то решение
можно получить и по явной схеме. Но этого не рекомендуют де-
делать, если в некоторых точках поля течения скорость потока не-
ненамного превышает звуковую, так как критерий устойчивости Ку-
Куранта— Фридрихса — Леви запрещает иметь разумные размеры
шага. В этом случае применение явных схем, даже для чисто
сверхзвуковых течений, становится непрактичным.
Линия Махи
• Направление
течения
Линия Маха
Рис. 6.22. Случай, когда направление сетки не совпадает с направлением
течения.
Если построить дифференциальное приближение для конеч-
конечно-разностного представления фхх в точках гиперболичности, то
окажется, что старшие отброшенные члены имеют вид
Ьх(и*-а*)фххх. F.137)
Это эквивалентно введению положительной искусственной вяз-
вязкости в точках, где и2 > а2. Если конечно-разностная аппрокси-
аппроксимация F.136) применяется в точке эллиптичности, то искус-
искусственная вязкость становится отрицательной и возникает про-
проблема устойчивости. Джеймсон [Jameson, 1974] указал, что эта
трудность возникает в тех случаях, когда поток сверхзвуковой
и компонента и скорости в направлении х меньше скорости зву-
звука. Проблему можно понять, рассматривая случай, когда поток
не строго параллелен направлению х> как это показано на
рис. 6.22. Шаблон разностной схемы неправильно учитывает
область зависимости точки (*',/). Одна из точек шаблона
(/, /+1) в этом случае расположена перед характеристикой,
проходящей через точку (/,/). Чтобы преодолеть эту трудность,
Джеймсон предложил схему, учитывающую разворот потока.

§ 6.5. Методы решения уравнения потенциала 357
Идея состоит в том, что уравнение потенциала записывается
в потоковых координатах в виде
= 09 F.138)
где 5 и п — расстояния, измеряемые вдоль линий тока и по нор-
нормали к ним. По правилу дифференцирования сложных функ-
функций вторые производные ^5 и фпп выражаются через х и у сле-
следующим образом:
Фзз = У* Wxx + 2»0Фху + *Ч>„)>
F.139)
Фпп = у
В разностной аппроксимации для ^5S производные по х и у бе-
берутся со смещением назад (с запаздыванием), тогда как для фпп
используются центральные разности. Когда поток направлен
вдоль одной из осей координат, схема Джеймсона сводится
к уравнению F.136) и вводит искусственную вязкость с главным
членом вида
(?)+...). F.140)
Поэтому мы имеем положительную искусственную вязкость во
всех точках, где поток сверхзвуковой, и можно надеяться, что
скачки будут скачками сжатия. Так понятие искусственной вяз-
вязкости используется для объяснения свойств решения уравнения
полного потенциала. К тем же самым выводам можно прийти
путем тщательного анализа конечно-разностных уравнений, рас-
рассматривая разные его члены.
В работе [Hafez et al., 1979] при рассмотрении трансзвуко-
трансзвуковых течений применена идея искусственной сжимаемости для
введения искусственной вязкости в сверхзвуковых областях те-
течения. Эту идею впервые предложил Хартен [Harten, 1978], пы-
пытаясь улучшить методы сквозного счета для сверхзвуковых тече-
течений. Для получения требуемой искусственной вязкости в неко-
некоторых работах [Hoist, Ballhaus, 1979; Hoist, 1979] использова-
использовалось смещение шаблона плотности вверх по потоку. Описанный
ниже метод включает в себя эти идеи и очень полезен при ре-
решении уравнения полного потенциала.
Чтобы понять, как через смещение шаблона при аппрокси-
аппроксимации плотности или искусственную сжимаемость вводится ис-
искусственная вязкость, полезно рассмотреть одномерное уравне-
уравнение потенциала

358 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
Его аппроксимация имеет второй порядок и выражается в сле-
следующем виде:
(^) = 0, F.142)
где обозначения имеют тот же смысл, что и ранее. В точках
эллиптичности уравнение F.142) корректно. В точках гипербо-
гиперболичности следует добавить искусственную вязкость так, как это
делает Джеймсон [Jameson, 1975]:
-Ьх(\ьфхх)х, F.143)
где
-4)-
^ Х\ F.144)
Как говорилось выше, такое явное добавление искусственной
вязкости эквивалентно введенной Мёрманом и Коулом [Mur-
man, Cole, 1971] разностной аппроксимации, зависящей от типа
уравнения. Джеймсон [Jameson, 1975] показал, что член F.143)
эквивалентен члену вида
-ЬхЫх+х)Х9 F.145)
где
v = max< , _^1 F.146)
Такое представление получают дискретизацией одномерного
уравнения энергии. Если искусственную вязкость в таком виде
ввести в уравнение потенциала, то конечно-разностная аппрок-
аппроксимация уравнения F.141) будет выглядеть так:
F.147)
Было показано [Hoist, Ballhaus, 1979], что она имеет второй по-
порядок точности и в дозвуковых зонах эквивалентна аппроксима-
аппроксимации уравнения центральными разностями. В сверхзвуковых зо-
зонах из-за добавления искусственной вязкости конечно-разностное
представление F.147) является схемой первого порядка с раз-
разностями вверх по потоку. По мере увеличения числа Маха шаб-
шаблон все более смещается вверх по потоку. В дозвуковых зонах
шаблон производных плотности не смещается.

§ 6.5. Методы решения уравнения потенциала 359
Разностное выражение F.147) можно также записать в виде
если pj+i/2 определить следующим образом:
P/+I/2 = 0 ~ v,) pi+m + vfp,_1/2, F.149)
где значения в центрах ячеек р*+1/2 получаются из уравнения
энергии F.134), в которое входит только величина и, которая
оценивается как (^x+i—ф^/Ах. Из уравнений F.148) и F.149)
видно, что добавление искусственной вязкости эквивалентно тому,
что плотность берется с запаздыванием. Джеймсон [Jameson,
1975] добавляет искусственную вязкость явным образом, тогда
как в описываемой здесь схеме она включается посредством
представления плотности в специальном виде. Если для искус-
искусственной вязкости v выбирается представление F.144), то оба
метода дают одинаковые результаты. Если v = О, то схема хо-
хорошо работает только в дозвуковых зонах и неустойчива в сверх-
сверхзвуковых зонах. Однако если v равно положительной константе,
то схему можно применять как для дозвуковых, так и для сверх-
сверхзвуковых течений. Следует заметить, однако, что в этом случае
результирующая схема дает только первый порядок точности и
является сильно диссипативной. Недавно были разработаны схе-
схемы второго порядка, в которых значения плотности берутся со
смещением [Steinhoff, Jameson, 1981].
Прежде чем применять подход, основанный на введении ис-
искусственной сжимаемости или использовании значений плотно-
плотности со смещением, преобразуем уравнения в вычислительной
плоскости (|,г|), что позволяет более просто ставить граничные
условия. Если выполнить преобразование уравнений к строго ди-
дивергентному виду [Viviand, 1974], то уравнение F.132) прини-
принимает вид
где U и V—контравариантные компоненты скорости, задавае-
задаваемые выражениями
где
А1 = 12Х + Щ, Aa = lxi\x + lyr\y, 4» = rg + T)y, F.152)
г_ дA,1\) _t _? „

360 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
а плотность определяется выражением
Необходимо знать также и метрические коэффициенты. Они свя-
связаны с производными физических координат следующим об-
образом:
F.154)
6.5.1. Методы для сверхзвуковых течений
Для демонстрации процедуры решения уравнения полного
потенциала для сверхзвуковых течений выберем g в качестве
маршевого направления, и пусть на слое i и всех предшествую-
предшествующих слоях нам известна вся информация. Наша задача состоит
в получении значения ф на слое f + 1. Первый член уравнения
потенциала аппроксимируем в точке (/+1/2,/), а второй —
в (/, /') или в (i + 1,/) для полностью неявной схемы.
Рассмотрим первый член уравнения F.150): d/dl(pU/J).
Чтобы получить решение в следующих точках по направлению ?,
разложим р в ряд относительно известных величин t-ro слоя.
Так как р явно зависит от компонент скорости, запишем
9 = Р(Фх,Фу) и р = Р/+Ар, F.155)
где
Если плотность выразить из уравнения F.153), a U и V — из
уравнения F.151), то изменение плотности запишется в виде
Ар = - 4 (U A + Vt -?) Ьф, F.156)
где Аф = ф — фь Аф(, = ф( — ф-ь Выражая плотность из уравне-
уравнения F.155) и 0 из F.151), производную по g в уравнении по-
потенциала можно записать так:
dl V I )
ф 1 >р^ А0П i
^ ар; Ag J "•"
]\ J apt J dt) ' / dr\ J j

§ 6.5. Методы решения уравнения потенциала 361
Если используется конечно-разностная аппроксимация первого
порядка против потока
¦Т|Л«-ЯГК )<+'./-( )*./Ь F.158)
то главный член ошибки аппроксимации есть
41- FЛ59)
Это дает положительную искусственную вязкость, когда
Щ\Ах>а\ F.160)
Последнее условие должно быть выполнено, если решается мар-'
шевая задача для уравнения потенциала в случае сверхзвуко-
сверхзвукового течения. Если условие F.160) не выполняется, искусствен-
искусственная вязкость становится отрицательной и это ведет к неустойчи-
неустойчивости. Отметим, что возникающие в уравнении F.157) смешан-
смешанные производные аппроксимируются разностями против потока,
зависящими от знаков коэффициентов при них, чтобы обеспе-
обеспечить преобладание диагональных членов в случае неявной схе-
схемы. Производная по т] для уравнения потенциала вычисляется
в точке i + 1:
что приводит к неявному алгоритму по маршевой координате.
Если это разностное выражение записать через разность потен-
потенциалов А0, то
д f РМ _fP?+i*2 аЛ f Р?+Из д*
дг\ К J ) ~ \ I Д? Д ~*~ V / дц
F.161)
где Р?+1 — плотность на п-й итерации в точке сетки /+ 1. На
каждом шаге при продвижении по | новое значение плотности
должно определяться путем итераций. В большинстве задач
оказывается, что этот процесс состоит из одной-двух итераций.
Чтобы корректно ввести искусственную вязкость, шаблон при
аппроксимации плотности смещается против потока (см. [Hoist,
1979; Hafez et al., 1979]). Значение pf+1 в уравнении F.161)
заменяется выражением
L + V (P?+l)? + 1, / + I/2W
F.162)

362 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
где
( -I, Vt+i.t+m >0, .
t О,
причем 5 = 0 для Vi+\, ж/2 > 0 и 5 = 1 для Vi+\y /+i/2 < 0. Такое
представление плотности [уравнения F.162) и F.163) ] вводит
положительную искусственную вязкость во всех точках, где
M?+i > 1 (скорость потока сверхзвуковая). Поскольку мы рас-
рассматриваем маршевую процедуру решения уравнения потен-
потенциала для сверхзвуковых течений, то метод оказывается несо-
несостоятельным, когда поток дозвуковой и искусственная вязкость
становится отрицательной.
Чтобы найти решение на слое 1+1, зададим на нем неявные
граничные условия. В любой плоскости симметрии можно вос-
воспользоваться простым отражением. Например, в двумерной за-
задаче, когда делают проход по направлению т|, можно ставить это
условие на границе (считаем, что симметричные граничные усло-
условия мы имеем при / = /тах— 1), задавая
Постановка граничных условий на поверхности тела почти та-
такая же простая. Если система координат предполагается адап-
адаптированной к поверхности тела, то в двумерном случае на по-
поверхности тела можно задавать условие типа
Для задания граничных условий на поверхности (/ = 2) тела
можно воспользоваться фиктивной точкой (/ = 1), расположен-
расположенной под поверхностью. Пусть
F.165)
Это выражение используется для исключения из уравнения на
границе значения функции в фиктивной точке (/= 1). В расчете
с неявным граничным условием отсутствует ограничение на раз-
размер шага по маршевой координате, которое может возникнуть
из-за наличия границы. К тому же неявное задание граничных
условий ускоряет сходимость итерационного процесса нахожде-
нахождения плотности на каждом шаге по ?.

§ 6.5 Методы решения уравнения потенциала
363
В конечном счете процесс вычислений сводится к решению
трехдиагональной системы уравнений для Д$. В этом легко убе-
убедиться, рассматривая систему, записанную в виде
+ т-к+т-км+тМьъ?)]**-*-FЛ66)
где С\9 С2, С3 и р — коэффициенты при членах с производными,
a R — известная правая часть уравнения. В качестве упражне-
упражнения читателю предлагается найти выражения для этих членов
0.35
0.30-
0.25 =
0.20 —
0.15
0.10
0.05
0.0
А /\
—
1 1
1
\
,\
в
Ударная
/ волна
1*-
1.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Расстояния от поверхности
Рис. 6.23. Решение уравнения потенциала для обтекания клина;
нение полного потенциала (скаляр); уравнения Эйлера.
урав-
(см. задачу 6.15). Решая трехдиагональную систему, находим
Д^. Зная Афу вычисляем рм-ь Это новое значение плотности ис-
используется для расчета новой величины Аф из уравнения F.166),
и этот итерационный процесс повторяется, пока не будет достиг-
достигнута сходимость. В трехмерном случае следуют той же про-
процедуре с той лишь разницей, что решение для А^ получают,
используя приближенную факторизацию, что требует решения
трехдиагональных систем по направлениям ц и ?.
Шанкар и Ошер [Shankar, Osher, 1982] применили описан-
описанную выше процедуру для решения уравнения полного потен-
потенциала. Вместо простой линеаризации плотности по уравнению
F.155) здесь разлагают в ряд произведение плотности и контра-
вариантной компоненты скорости по направлению g в виде

0.25 ^
0.00
Наветренная сторона
00
-90 -45 0 45 90 135
со,град
Рис. 6.24. Обтекание кругового конуса, Мто = 2.0, а = 10°; О уравнение
полного потенциала; А уравнения Эйлера.
0.14
0.12
0.10
0.08
0.04
Простая
конфигурация
крыло-тело
J I
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Z/X
Форма конфигурации в плоскости
YZ описывается законом косинуса
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Z/X
— уравнение полного
Рис. 6.25. Обтекание конфигурации крыло —тело,
потенциала; уравнения Эйлера.

§ 6.5. Методы решения уравнения потенциала 365
Помимо этого использовали разности вверх по потоку, взятые
на характеристиках гиперболической системы уравнений. Такое
представление производных вверх по потоку обеспечивает наи-
наиболее четкое применение искусственной вязкости, нежели искус-
искусственной сжимаемости или смещение шаблона вверх по потоку
при аппроксимации плотности.
На рис. 6.23—6.25 приведены типичные результаты расчета
[Shankar, Chakravarthy, 1981]. При расчете обтекания клина по
уравнениям Эйлера методом сквозного счета второго порядка
точности получаем осцилляции на ударной волне. Результаты
расчета обтекания конуса (рис. 6.24) и простой конфигурации
крыло — тело (рис. 6.25) хорошо согласуются с решениями урав-
уравнений Эйлера. В некоторых случаях решение уравнений полного
потенциала требует на порядок меньше машинного времени.
Этот подход рекомендуется применять в задачах расчета сверх-
сверхзвуковых течений, тогда справедливо уравнение потенциала.
6.5.2. Методы расчета трансзвуковых течений
Уравнение полного потенциала используется для описания
трансзвуковых течений, когда интенсивность ударных волн мала.
Разработанные недавно схемы используют идею смещения шаб-
Звуковая линия
Слабая
ударная волна
Моо<1 г
Рис. 6.26. Трансзвуковой профиль.
лона вверх по потоку при аппроксимации плотности, и метод
Холста и Боллхауза [Hoist, Ballhaus, 1979] является очень по-
показательным.
Рассмотрим обтекание двумерного профиля, причем число
Маха набегающего потока АС таково, что возможно образова-
образование местных сверхзвуковых зон. Такая ситуация изображена
на рис. 6.26. Обтекание этого профиля невязкой жидкостью
рассчитывают, решая уравнение полного потенциала. При ре-
решении этой задачи физическая область течения отображается

366
Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
на вычислительную плоскость (g, r|) так, что поверхность про-
профиля т] = const — ее внешняя граница. Координату g опреде-
определяют так, что нижняя сторона воображаемого разреза вдоль
прямой, сходящей с задней кромки, есть поверхность g = const.
Условие
непротекания
(нижняя сторона
разреза) ^-~-
Внешняя граница
Условие
/непротекания
(верхняя сторона
разреза)
Профиль
Рис. 6.27. Вычислительная плоскость для трансзвукового профиля.
Координата g возрастает при обходе контура до величины gmax
на верхней границе вихревой пелены (верхняя сторона разреза).
Вычислительная плоскость показана на рис. 6.27. Вопросы ото-
отображения физической области на вычислительную будут рас-
рассматриваться в гл. 10.
Наша задача — решить уравнение полного потенциала
F.150) — F.152) для случая обтекания трансзвуковым потоком
профиля, изображенного на рис. 6.26. Обозначения имеют тот
же смысл, что и при рассмотрении сверхзвуковых маршевых
задач.
Конечно-разностная аппроксимация второго порядка уравне-
уравнения F.150) может быть записана в виде
* + l/2,j
F.167)

§ 6.5. Методы решения уравнения потенциала 367
В этом выражении контравариантные компоненты скорости
имеют вид
ut+\l% /=
где значения в полуцелых узлах получают усреднением, а вели-
величины А определяют по уравнению F.152). Такое представление
справедливо для дозвуковых областей течения. Теперь введем
смещение назад при аппроксимации плотности и заменим урав-
уравнение F.167) следующим:
= 0, F.169)
i, / + 1/2
где
п —(\ v ^o -l-v о F 170)
"i V i+k, 1) "/ + 1/2, / • *i + k, j"i+2k-\/2, /> yv.iivj
Для искусственной вязкости выбираем выражение
v = max[0, d (l -тяг)].
где константа Ci равна единице для малых сверхзвуковых об-
областей, но должна быть увеличена в областях, где интенсивность
скачка значительна. Такая постановка задачи для уравнения
полного потенциала может быть пригодной для всей области
течения независимо от типа уравнения.
Получающееся разностное уравнение можно решать различ-
различными способами. Холст и Боллхауз делали это как обычным ме-
методом последовательной верхней релаксации по линиям, так и
с использованием схемы приближенной факторизации. Обсудим
схему приближенной факторизации Холста, называемую ПФ2-
схемой, поскольку методы последовательной верхней релакса-
релаксации были описаны при рассмотрении других систем уравнений.
Схема приближенной факторизации (и многие другие) в слу-
случае релаксационной задачи, описываемой уравнением вида
Ьф = 0, где L — некоторый дифференциальный оператор, для
уравнения полного потенциала может быть записана в виде
+ coLf = 0, F.172)

368 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
где со — параметр релаксации, С*— поправка (фп+х—фп), Ьфп—
невязка (приближенное решение не удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению в частных производных) и N — оператор,
определяющий тот или иной итерационный метод. В схемах при-
приближенной факторизации N представляют в виде произведения
двух или более операторов: N = N\N2. Операторы N\ и N2 сле-
следует выбирать так, чтобы их произведение аппроксимировало L.
При этом годятся только простые матричные операции и схема
в целом будет устойчивой. В ПФ2-схеме, которую использовал
Холст, оператор N представляется в виде
F.173)
где а — свободный параметр, который можно интерпретировать
как (АО"- Некоторый набор а используется во время вычисле-
вычислений для подавления высоко- и низкочастотных ошибок в реше-
решении. Холст и Боллхауз [Hoist, Ballhaus, 1979] привели один та-
такой набор. Его можно использовать и для других расчетов обте-
обтекания трансзвуковых профилей. При этом ПФ2-схема работает
почти оптимально.
В ПФ2-схеме уравнения F.173) решение определяется при
помощи двухшаговой процедуры:
F174)
где f" f — результат на промежуточном шаге. На первом шаге
fi,i получают из решения двухдиагональной системы, аналогич-
аналогичной той, которая встречалась в факторизованной схеме с рас-
расщепленными потоками в § 6.3. На втором шаге требуется решать
уже трехдиагональную систему. Направление расчета на шаге
1—от профиля, на шаге 2 — к профилю. В этой схеме нет огра-
ограничения на направление расчета в зависимости от направления
потока. Однако при использовании других методов, например
метода последовательной верхней релаксации, необходимо сле-
следить, чтобы в сверхзвуковых зонах направление расчета совпа-
совпадало с направлением потока. Это как бы соответствует введе-
введению стабилизирующего члена фц.
Джеймсон [Jameson, 1974] подчеркивал, что при решении
уравнения потенциала вблизи звуковой линии возникают труд-
трудности с устойчивостью. Чтобы обойти их, в разностную схему
добавляют времениподобные члены. Последние имеют вид фц

§ 6.5. Методы решения уравнения потенциала 369
и f^ и обычно включаются в операторы в релаксационных схе-
схемах. В нашем случае к операторам на втором шаге уравнения
F.174) добавляются члены типа a/CiV^, a/CiA^. Используются
только разности вверх по потоку и обычно только в сверхзвуко-
сверхзвуковых областях. Знак этих членов выбирается так, чтобы вели-
величина диагонального члена росла на втором шаге уравнения
F.174), что обеспечивает диагональное преобладание. Было по-
показано [Hafez et al., 1979], что добавлением этих времениподоб-
ных членов можно произвести модификацию зависимости для
плотности. Она осуществляется добавлением члена $* к квадрату
скорости в уравнении для плотности F.153). Такой подход также
обеспечивает стабилизирующую добавку, вид которой близок
к той, что предложил Джеймсон.
При постановке граничных условий на профиле используются
фиктивные точки внутри стенки, чтобы можно было задать
условие отражения. Условие V = 0 на профиле задается как
(Jr) =-(-Er) <6Л75>
в фиктивных точках, где NJ — точка на поверхности профиля.
В этих расчетах граничное условие задается явным образом.
Если подъемная сила профиля равна нулю, значения потен-
потенциала скорости и плотности на внешней границе сохраняются
постоянными и равными значениям в набегающем потоке. Для
ненулевой подъемной силы эти величины на внешней границе
должны давать циркуляцию, совместимую (совпадающую) с за-
завихренностью, найденной из решения, и обновляемую в конце
каждой итерации. В конце каждой итерации циркуляция рассчи-
рассчитывается по скачку потенциала скорости на задней кромке:
Г = фитв-ф1тЕ. F.176)
В начале следующей итерации скачок потенциала скорости за-
задается вдоль всей вихревой пелены. Поправка определяется как
разность при переходе через вихревую пелену
Гл+! - Г* = Си - С?, F.177)
где
ГЛ+1 = 3 (Г* - Г) + Г". F.178)
На рис. 6.28 показаны результаты расчета трансзвукового
обтекания профиля NACA0012. На нем приведено сравнение
коэффициентов давления, вычисленных по ПФ2-схеме, с коэффи-
коэффициентами, взятыми из работы Лока [Lock, 1970]. ПФ2-схема
работает хорошо, о чем свидетельствуют полученные результаты,

370
Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
и является высокоэффективной процедурой расчета трансзву-
трансзвукового обтекания профилей, будучи объединенной с процеду-
процедурой построения сетки. Кроме того, эту схему можно использовать
и для расчета трехмерных конфигураций. Холст [Hoist, 1980]
распространил свой подход на расчеты обтекания трехмерных
-1.2
-0.8-
1.0
Рис. 6.28. Распределение коэффициента давления ср на профиле NASA 0012;
а = 2°, Моо = 6.63; О cL = 0.334 [Hoist, 1979]; cL = 0.335 [Lock,
1970]. ._ ..„ Л
крыльев. Его процедура является дальнейшим развитием дву-
двумерного метода.
Следует отметить особо один очень важный момент. В дву-
двумерном случае использование схемы, в которой шаблон при ап-
аппроксимации плотности сдвигается назад по направлению g,
оказывается достаточной мерой. Если сверхзвуковой поток до-
достигает задней кромки, то и в направлении г\ также необходимо
использовать разности против потока. В трехмерных расчетах
обтекания крыльев разности против потока используются и в на-
направлении размаха крыла, и в направлении хорды. Если сверх-
сверхзвуковые области возникают вблизи задней кромки, разности

§ 6.6. Уравнения малых возмущений для трансзвуковых течений 371
против потока необходимо использовать и в нормальном на-
направлении.
В работе [Hafez et al., 1979] указано, что члены с искусствен-
искусственной вязкостью, возникающие при разностном представлении
плотности разностями против потока, можно рассматривать как
аппроксимации уравнений Навье — Стокса. Было получено вяз-
вязкое трансзвуковое уравнение малых возмущений [Sichel, 1963]
A-М2) фхх + фуУ=- гфххх. F.179)
Здесь вязкие члены имеют ту же форму, что и искусственная
вязкость, добавленная в сверхзвуковых областях явным обра-
образом, или искусственная вязкость или искусственная сжимае-
сжимаемость, вводимые за счет модификации разностного представле-
представления плотности.
И последнее замечание по поводу уравнения полного потен-
потенциала. Стейнхофф и Джеймсон [Steinhoff, Jameson, 1981] сооб-
сообщают, что были получены неединственные решения уравнения
потенциала в случае трансзвукового течения. В этих расчетах
число Маха изменялось в диапазоне от 0.82 до 0.85 и задача
обтекания профиля Жуковского с толщиной 11.8% имела более
одного решения при данных условиях. В этом есть что-то на-
настораживающее, и должны быть предприняты дальнейшие ис-
исследования численных решений уравнений Эйлера и уравнений
Навье — Стокса для таких условий. Это позволит ответить на
вопрос, является ли неединственность свойством уравнения пол-
полного потенциала или это физическое явление. Предварительное
изучение уравнений Эйлера, по-видимому, говорит в пользу пер-
первой гипотезы.
§ 6.6. Уравнения малых возмущений для трансзвуковых течений
В предыдущем разделе речь шла о расчетах трансзвуковых
течений невязкой жидкости при помощи уравнения полного по-
потенциала. Результаты, полученные для профилей и некоторых
трехмерных конфигураций, очень хорошо согласуются с имею-
имеющимися экспериментальными данными. Методы решения урав-
уравнения полного потенциала очень эффективны, поэтому они ши-
широко применяются. Известно, однако, много случаев, когда нет
необходимости решать уравнение для полного потенциала, и до-
достаточно точности, которую обеспечивает решение уравнения
малых возмущений. К тому же простота постановки граничных
условий делает его применение еще более привлекательным.
В двумерном случае граничные условия ставят на линии раз-
разреза, в трехмерном — на плоскости. Уравнения существенно
упрощаются, так как отпадает необходимость отображения об-

372 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
ластей сложной формы на более простые для удобства поста-
постановки граничных условий. Это в свою очередь приводит к тому,
что потребности в ресурсах ЭВМ (процессорное время и память)
значительно уменьшаются, особенно в трехмерных задачах.
Трансзвуковое уравнение малых возмущений можно получить
применением процедуры разложения в ряд [Cole, Messiter, 1957;
Hayes, 1966], что дает возможность систематическим образом
получать приближения уравнений Эйлера все более высокого
порядка. В гл. 5 трансзвуковое уравнение малых возмущений
E.203) было выведено в предположении малости возмущений.
В безразмерной форме его можно записать в виде
09 F.180)
где К — параметр подобия:
F.181)
здесь б — максимальная относительная толщина профиля и / —
функция формы профиля, определяемая выражением
У = #(*)¦ F.182)
Потенциал скорости в уравнении F.180) — возмущенный потен-
потенциал, определяемый так, что производная ф по х есть возмущен-
возмущенная скорость по координате х, обезразмеренная по скорости на-
набегающего потока и параметру подобия по направлению у. Мас-
Масштабированная координата у определяется так:
F.183)
Уравнение F.180) формально эквивалентно уравнению E.203),
и оба они являются разновидностями трансзвуковых уравнений
малых возмущений Гудерлея — Кармана. Уравнение F.180),
куда входит параметр подобия К, через который выражаются
законы подобия, было использовано Мёрменом и Коулом [Миг-
man, Cole, 1971] для расчета обтекания невязкой жидкостью
профиля с нулевой подъемной силой. Коэффициент давления
определяют так же, как и в случае уравнения E.205), тогда
можно записать Ср = —2фх. Для течений, которые нельзя счи-
считать трансзвуковыми, мы получаем уравнение Прандтля —
Глауэрта для до- и сверхзвуковых течений. Оно уже не раз
приводилось в предыдущих главах и выглядит так:
-0. F.184)
Основная его особенность в том, что оно нелинейно и меняет
свой тип от эллиптического к гиперболическому, как и уравне-
уравнения Эйлера, и уравнение полного потенциала.

§ 6.6. Уравнения малых возмущений для трансзвуковых течений 373
В уже упомянутой статье Мёрмен и Коул рассматривали
трансзвуковое обтекание профиля- с нулевой подъемной силой
и решали трансзвуковое уравнение малых возмущений F.180).
Граничные условия на поверхности тела при нулевом угле атаки
ставятся в плоскости у = 0 и выражаются в виде
0) = f'(x), F.185)
что совместимо с теорией. На внешней границе расчетной сетки
также необходимо сформулировать граничное условие. В нашем
случае для дальнего поля
Ф~—1-="———, F.186)
где
$ ^ J J F.187)
— 1
а профиль находится в интервале —1 ^ * ^ 1.
В случае профиля с ненулевой подъемной силой следует за-
задавать циркуляцию, причем ее величина должна удовлетворять
условию Жуковского — Кутты на задней кромке. Условие для
дальнего поля в этом случае есть вихрь, величина циркуляции
которого определяется условием Жуковского — Кутты. Поста-
Постановка граничных условий для дальнего поля дана в работах
[Ludford, 1951; Klunker, 1971].
Мёрмен и Коул решали уравнение F.180) для трансзвуко-
трансзвукового профиля без подъемной силы методом релаксации по
линиям. В сверхзвуковых областях (точках гиперболичности) ис-
использовались разности против потока, а в точках эллиптично-
эллиптичности— центральные разности. Профиль теперь изображается ли-
линией, или разрезом, расположенным вдоль оси х, и на нем ста-
ставятся граничные условия. В данном случае профиль расположен
в центральной точке между двумя узлами, как показано на
рис. 6.29. Граничное условие при у = 0 задается наклоном ли-
линии контура тела или производной от ф, как это следует из
уравнения F.185). В точке (*, 1) производная фдд представляется
в разностном виде
Граничное условие на поверхности профиля входит в расчет
явно через член с фд.
На рис. 6.30 приведено распределение давления на круговом
профиле, полученное из решения трансзвукового уравнения

374
Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
малых возмущений. Как можно видеть, результаты расчета хо-
хорошо согласуются с данными эксперимента [Knechtel, 1959] как
в докритическом, так и в сверхкритическом случаях. Интересно
отметить, что местоположение и интенсивность ударной волны
в этом примере подтверждены экспериментальными измере-
v\\\\\\\\\\\\\N^\\\\\\\\\N\\NS\N У "U
Рис. 6.29. Распределение точек сетки вблизи твердой границы.
ниями. Вычисления по записанным в недивергентной форме
уравнениям теории малых возмущений для течений невязкой
жидкости дают заниженные значения интенсивности ударной
Рис. 6.30. Распределение коэффициента давления ср для кругового профиля;
(а) докритический случай; (Ь) сверхкритический случай. [Murman,
Cole, 1971]; эксперимент (б = 0.06) [Knechtel, 1959]: О Rec « 2-Ю6, Л Rec«
« 2-Ю6 (малая шероховатость).
волны. Точно так же на положение и интенсивность ударной вол-
волны влияет ее взаимодействие с пограничным слоем. Поэтому не-
недивергентная форма записи является очень распространенной,
хотя с математической точки зрения дивергентная более привле-
привлекательна. Метод Мёрмена и Коула решения трансзвукового
уравнения малых возмущений имеет многочисленные приложе-
приложения, и предложено много его усовершенствований. Однако всегда
надлежит помнить, что его применение означает существенное

§ 6.7. Методы решения уравнения Лапласа 375
упрощение задачи по сравнению с решением уравнений Эйлера
или уравнения полного потенциала.
При рассмотрении задачи обтекания трехмерных крыльев
Бейли и Боллхауз [Bailey, Ballhaus, 1972] использовали упро-
упрощенную форму трансзвукового уравнения малых возмущений.
Их работа привела к разработке широко применяемой в настоя-
настоящее время программы расчета трансзвукового обтекания трех-
трехмерных крыльев. Она широко использовалась при проектиро-
проектировании крыльев с улучшенными аэродинамическими характери-
характеристиками для полетов на трансзвуковых скоростях. Статью Бейли
и Боллхауза можно рекомендовать изучать тем, кто интере-
интересуется расчетом трехмерного трансзвукового обтекания крыльев.
В настоящее время большая часть усилий при расчете транс-
трансзвуковых течений затрачивается на разработку методов расчета
уравнения полного потенциала или уравнений Эйлера. И только
задачи проектирования остаются единственной областью более
или менее интенсивного приложения трансзвукового уравнения
малых возмущений. При проектировании задается распределе-
распределение давления на поверхности тела и задача состоит в определе-
определении формы тела. В задачах такого рода упрощенный подход
имеет много достоинств.
§ 6.7. Методы решения уравнения Лапласа
Численные методы, описанные в предыдущих разделах на-
настоящей главы, применялись для решения нелинейных уравне-
уравнений динамики невязкой жидкости. Для моделирования как внеш-
внешних, так и внутренних течений часто используются линейные
уравнения с частными производными. К их числу относятся
уравнение Лапласа для безвихревого течения невязкой несжи-
несжимаемой жидкости и уравнение Прандтля — Глауэрта, справедли-
справедливое для течения сжимаемой жидкости в предположении о мало-
малости возмущений. Методы решения этих двух уравнений анало-
аналогичны. Обзор конечно-разностных методов решения уравнения
Лапласа был сделан в гл. 4, и здесь мы не будем повторяться.
Вместо этого обсудим основные идеи панельных методов, полу-
получивших широкое распространение в промышленных расчетах.
Преимущество панельных методов состоит в том, что распре-
распределение давления на поверхности тела можно получить, не опре-
определяя поле течения вокруг тела. В этом случае задача сводится
к решению системы алгебраических уравнений для интенсивно-
стей источников, диполей или вихрей, распределенных на грани-
границах. Зная эти величины, можно вычислить распределение давле-
давления на поверхности тела. Панельные методы требуют решения
большой системы алгебраических уравнений. Для большинства

376
Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
практических конфигураций быстродействие и память современ-
современных ЭВМ позволяют это делать. Однако для получения хоро-
хорошего решения существенны адекватный выбор количества пане-
панелей и их расположение на поверхности.
При изучении панельных методов будем рассматривать без-
безвихревое течение невязкой несжимаемой жидкости, которое опи-
описывается уравнением Лапласа для потенциала скорости. Потре-
Потребуем
2^ 0 F.189)
и зададим на границах рассматриваемой области либо ф, либо
дф/дп. Для простоты ограничимся рассмотрением двумерного
Рис. 6.31. Физическая область для уравнения Лапласа.
случая, хотя принципиально он ничем не отличается от трехмер-
трехмерного. Рассматриваемая область изображена на рис. 6.31. В ос-
основе всех панельных методов лежит замена решения уравнения
Лапласа в рассматриваемой области некоторым поверхностным
интегралом за счет применения второй формулы Грина к инте-
интересующей нас области. Пусть функции и и v имеют непрерыв-
непрерывные производные вплоть до производных второго порядка (функ-
(функции и и v принадлежат к классу С11), тогда вторая формула
Грина может быть записана в виде
{uV2v — vV2u) dA = \ (vVu — uVv) • n ds>
где n — единичная нормаль к границе и /—элемент дуги вдоль
границы. Выберем в качестве и потенциал ф, а в качестве v —
функцию вида v = In (г), где г = л/(х — ?J + (у — г\J.
Пусть (|, т))—координаты точки Р, в которой следует опреде-
определить потенциал, а (дс, у)—координаты точки Q на границе, в ко-

§ 6.7. Методы решения уравнения Лапласа 377
торой расположен источник. При вычислении интегралов в фор-
формуле Грина следует быть особенно внимательным по мере при-
приближения точки (?, т)) к {х, у), т. е. когда г-*0. Чтобы избежать
связанных с этим обстоятельством трудностей, вообразим, что
вокруг точки Р(?,л) построена окружность малого радиуса е, и
применим формулу Грина к области, заключенной между гра-
границей В рассматриваемой области и этой малой окружностью.
Имеем
О = ф (vVu — uVv) • n ds — ф (vVu — uVv) • n ds.
Во втором интеграле заменим и и v их зависимостями от ф и г:
ф [In (г) V^ — ^V In (г)] • n ds.
г
На окружности малого радиуса г равно е, и этот интеграл можно
записать в виде In (e)\& V^ • nds\ — ф — ds. В соответствии с на-
нашим исходным предположением о том, что ф есть решение урав-
уравнения Лапласа, первый член обращается в нуль (см. задачу 2.7).
Второй член есть г & ф ds, но по известной теореме о среднем
е
значении гармонической функции он равен г§фds = 2пф(Ъ, г\).
Подставляя последнее равенство в исходное выражение, полу-
получаем
Ч$[г^] F.190)
Таким образом, решение уравнения Лапласа в некоторой об-
области мы свели к задаче решения интегрального уравнения на
границе этой области. Первый член соответствует задаче Ней-
Неймана, в которой на границе задается дф/дп, второй — задаче Ди-
Дирихле с краевым условием, когда на границе задается ф. Интег-
Интегралы в равенстве F.190) дают вклады в ф от источников и ди-
диполей. Далее можно записать
}l] <6Л91>
где а можно интерпретировать как плотность распределения ис-
источников, а [I — плотность распределения диполей с осью, пер-
перпендикулярной к поверхности границы.
Поверхностное распределение источников с плотностью а на

378 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
единицу длины дает во внешней точке величину потенциала
F.192)
где интегрирование производится по всей поверхности. Если мы
имеем п поверхностей или панелей, суммарный потенциал в точ-
точке Р есть сумма вкладов от каждой панели:
FЛ93)
Аналогичное выражение можно получить и для распределения
диполей. Если в области, где имеются п панелей с распределен-
распределенными источниками, существует еще и однородный поток, то с уче-
учетом его потенциала записываем
Ж S /1п (Г"} */• F'194)
Наиболее простое и удобное для проведения численных расче-
расчетов выражение получают в случае, когда интенсивности источ-
источников панелей полагаются постоянными. В более совершенных
методах пользуются другими распределениями, и тогда выра-
выражение для потенциала скорости становится более сложным. Для
постоянной интенсивности источников на панели имеем
Фг =
Геометрия области, соответствующая такому распределению
потенциала, показана на рис. 6.32. Далее необходимо опреде-
определить интенсивности источников а/. Для этого на каждой панели
выбирают контрольную точку и требуют, чтобы через панель
поток отсутствовал. Контрольную точку выбирают в центре па-
панели. Пусть точка Р является контрольной точкой /-й панели.
Условие отсутствия перетекания через панель в этой точке есть
" F.196)
дп.
Так как ф — потенциал скорости, то это равенство просто выра-
выражает факт обращения в нуль нормальной скорости в контроль-
контрольной точке i-й панели. Таким образом,

§ 6.7. Методы решения уравнения Лапласа 379
В правой части этого выражения стоит скалярное произведение,
поскольку нас интересует только нормальная к поверхности ком-
компонента скорости. Скорость, индуцируемая в /-й контрольной
точке 1-й панелью, равна а,/2. Ее обычно выделяют из выписан-
выписанной выше суммы. С учетом этого можно записать
i + ? -W J ж In (rit) dst — U. • Щ. F.198)
Записанные для каждой панели такие уравнения образуют си-
систему из п алгебраических уравнений относительно п неизвест-
неизвестных интенсивностей источников. Вычислив а/, можно определить
Контрольная точка Ц
Рис. 6.32. Представление тела общей формы панелями.
коэффициенты давления. Когда для нахождения требуемых ин-
интенсивностей источников на панелях используется уравнение
F.198), подынтегральное выражение легко преобразуется к виду
dnt
F.199)
В приведенном ниже примере показана процедура составления
алгебраических выражений.
Пример 6.6. Пусть мы хотим при помощи панельного метода
рассчитать давление на цилиндре единичного радиуса, обтекае-
обтекаемого несжимаемой жидкостью. Представим цилиндр восемью
панелями, конфигурация которых изображена на рис. 6.33.
Для определения распределения давления на поверхности
цилиндра нужно вычислить интенсивности распределенных по
панели источников для всех восьми панелей. Для этого решают
систему алгебраических уравнений, полученную при помощи
записи уравнения типа F.198) для каждой панели. При этом
наибольшую трудность представляет вычисление члена с интег-

380
Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
ралом. Обычно принято представлять интеграл через коэффи-
коэффициент влияния и записывать систему уравнений в виде
С учетом этого соглашения можно записать
Сц = \ Vi In {rtj) • n, dsf, 1Ф1; Сц = п, / = /'. F.201)
Чтобы продемонстрировать применение уравнения F.201), вы-
вычислим величину Сбз, которая представляет собой нормальную
скорость в контрольной точке панели 5, индуцируемую находя-
У
Рис. 6.33. Распределение панелей на цилиндре.
щимся на панели 3 источником с постоянной плотностью интен-
интенсивности 1/[/<х>. В этом случае соответствующий радиус есть
F.202)
Единичная нормаль к панели 5 есть просто направленный в сто-
сторону положительных х единичный вектор и
V5 In J *
• п5 = (Х5 _ J,5 (*35 _ yz)l .
В рассматриваемом случае хъ = 0.9239, у$ = 0 и уъ = 0.9239,
если Хъ изменяется на панели 3. Тогда вычисляемый интеграл
есть
+0.3827
х* -1.848*+ 1.707 <** = 0-4018.
-0.3827
В этом выражении длина дуги вдоль панели 3 равна х — 0.3827,
следовательно, ds$ = dx, и мы можем принять координаты х
концов панели за пределы интегрирования. Отметим также, что

§ 6.7. Методы решения уравнения Лапласа
381
интегрирование вокруг цилиндра ведется в направлении враще-
вращения часовой стрелки, которое является положительным для об-
области, в которой мы ищем решение уравнения Лапласа. Мат-
Матрица [С] симметрическая, т. е. сц = с\и и решение для а
должно быть таким, чтобы
Z <*i = 0.
Последнее требование очевидно, так как рассматриваемое тело
является замкнутым.
360 0
-3L-
Рис. 6.34. Коэффициент давления ср для кругового цилиндра; О панельный
метод; аналитическое решение.
На рис. 6.34 приведены аналитическое и восьмипанельное ре-
решения для коэффициента давления. Видно, что в данном случае
панельный метод дает очень точное численное решение.
В нашем примере мы воспользовались панельным методом
с распределенными источниками, чтобы показать, как приме-
применяется этот метод. Точно так же мы могли бы представить тело
состоящим из панелей с распределенными диполями, равно как
и из панелей с распределенными вихрями. Ясно, что при рас-
рассмотрении профилей с подъемной силой мы должны задавать
циркуляцию. Это можно сделать разными способами, один из
которых состоит в размещении панелей с распределенными вих-
вихрями вдоль средней линии профиля, что позволяет наложить
циркуляцию и удовлетворить условию Жуковского — Кутты
в контрольной точке сразу за выходной кромкой.
Панельные методы являются мощным средством решения не-
некоторого класса задач обтекания. Они получили большое разви-
развитие, что вылилось в разработку большого количества стандартных

382 Гл. 6. Численные методы решения уравнений течения
программ, которые широко применяются в промышленности.
За подробностями мы отсылаем читателя к работе [Hess, Smith,
1967], в которой описаны основные идеи этих методов, а также
к работам [Rubbert, Saaris, 1972; Johnson, Rubbert, 1975], в ко-
которых изложено дальнейшее их развитие.
Задачи
6.1. В примере 6.1 мы применили метод характеристик к решению задачи
о сверхзвуковом обтекании волнистой стенки. Получите поле скорости, решая
непосредственно уравнение Прандтля — Глауэрта (уравнение F.1)).
6.2. Выведите уравнения характеристик нелинейной системы уравнений,
записанных в прямоугольных координатах для двумерного сверхзвукового те-
течения.
6.3. Уравнения характеристик из задачи 6.2 записаны в прямоугольных
координатах. Преобразуйте этот результат, введя угол наклона линии тока 9,
и покажите, что характеристики наклонены под локальным углом Мйха, т. е.
t 9 ± [I = dy/dx.
6.4. Получите уравнения совместности для нелинейных уравнений из за-
задачи 6.2.
6.5. Воспользуйтесь результатами решения задач 6.2 и 6.4 и решите за-
задачу из примера 6.1 методом характеристик для нелинейных уравнений.
6.6. Получите конечно-разностные уравнения в примере 6.3 и решите за-
задачу из примера 6.1 методом расщепления матричных коэффициентов.
6.7. Вычислите Т в примере 6.4. Уравнения легко численно интегрируются
с использованием соответствующих односторонних разностей.
6.8. Составьте программу решения для сверхзвукового обтекания двумер-
двумерного клина из примера 6.2. Решите стационарные уравнения методом сквоз-
сквозного счета, используя схему Мак-Кормака.
6.9. Решите предыдущую задачу, используя зависящие от времени урав-
уравнения и полагая течение коническим.
6.10. Составьте программу решения задачи 6.8, выделяя ударную волну.
Используйте уравнения либо в дивергентной форме, либо в недивергентной.
6.11. Пусть твердая стенка расположена на луче 9 = const (двумерная
задача обтекания). Предложите подходящий способ определения параметров
потока в фиктивных точках, используя принцип отражения. Используйте пря-
прямоугольную систему координат.
6.12. Предложите процедуру постановки граничных условий для задачи
сверхзвукового обтекания клина, используя метод Кенцера.
6.13. Покажите, что уравнение F.142) является разностным приближе-
приближением второго порядка одномерного уравнения потенциала.
6.14. Покажите, что разностная аппроксимация уравнения F.148) со сме-
смещенным шаблоном для плотности эквивалентна уравнению F.147).
6.15. Вычислите правую часть уравнения F.166).
6.16. Покажите, что уравнение F.199) дает решение уравнения потенциала
для несжимаемой жидкости.
6.17. Вычислите с4з из примера 6.6.

Оглавление
Предисловие к русскому изданию .... 5
Предисловие 7
Часть 1. Основы методов конечных разностей ю
Глава 1. Введение 10
§ 1.1. Общие замечания . 10
§ 1.2. Сравнение экспериментального, теоретического и вычислитель-
вычислительного подходов 13
§ 1.3. Исторический обзор . 18
Глава 2. Уравнения в частных производных 22
§ 2.1. Введение 22
§ 2.2. Физическая классификация уравнений 22
§ 2.3. Математическая классификация уравнений 29
§ 2.4. Корректно поставленные задачи 39
§ 2.5. Системы уравнений 41
§ 2.6. Другие представляющие интерес уравнения в частных произ-
производных 45
Задачи 46
Глава 3. Основы метода конечных разностей 49
§ 3.1. Введение 49
§ 3.2. Метод конечных разностей 49
§ 3.3. Конечно-разностная аппроксимация уравнений в частных про-
производных 57
§ 3.4. Различные методы построения конечно-разностных схем ... 66
§ 3.5. Применение нерегулярных сеток 82
§ 3.6. Устойчивость конечно-разностных схем 87
Задачи 101
Глава 4. Применение метода конечных разностей для решения модельных
уравнений . . 106
§ 4.1. Волновое уравнение 106
§ 4.2. Уравнение теплопроводности 131
§ 4.3. Уравнение Лапласа 147
§ 4.4. Уравнение Бюргерса (невязкое течение) 170
§ 4.5. Уравнение Бюргерса (вязкое течение) . . ...... 189
§ 4.6. Заключительные замечания 207
Задачи 207

384 — 392 Оглавление
Часть 2. Применение методов конечных разностей к урав-
уравнениям гидродинамики и теплопередачи 216
Глава 5. Основные уравнения механики жидкости и теплообмена . . . 216
§ 5.1. Основные уравнения 216
§ 5.2. Уравнения Рейнольдса для турбулентных течений 234
§ 5.3. Уравнения пограничного слоя 246
§ 5.4. Введение в моделирование турбулентности 260
§ 5.5. Уравнения Эйлера 279
§ 5.6. Преобразование основных уравнений 291
Задачи 300
Глава 6. Численные методы решения уравнений сечения невязкой жид-
жидкости . 303
§ 6.1. Введение 303
§ 6.2. Метод характеристик 304
§ 6.3. Методы сквозного счета 316
§ 6.4. Метод расщепления матричных коэффициентов 335
§ 6.5. Методы решения уравнения потенциала 352
§ 6.6. Уравнения малых возмущений для трансзвуковых течений . . .371
§ 6.7. Методы решения уравнения Лапласа 375
Задачи 382
Содержание т. 2
Глава 7. Численные методы решения уравнений типа уравнений погранич-
пограничного слоя
Глава 8. Численные методы решения параболизованных уравнений На-
вье — Стокса
Глава 9. Численные методы решения уравнений Навье — Стокса
Глава 10. Методы построения расчетных сеток
Приложение А. Подпрограмма решения системы уравнений с трехдиаго-
нальной матрицей.
Приложение В. Подпрограмма решения системы уравнений с блочной
трехдиагональной матрицей.
Приложение С. Модифицированный сильно неявный метод.
Обозначения
Литература
Именной указатель
Предметный указатель