И. И. ВОРОБЬЕВ
Теория
относительности
в задачах
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1989

ББК 22.313
В75
УДК 530.13@23)
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук А. В. Берков]
доктор физико-математических наук И. Б. Хриплович
Воробьев И. И,
В 75 Теория относительности в задачах.— М.: Наука>
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989,— 176 с: ил.
ISBN 5-02-014045-7.
Физические основы специальной теории относительности,
ее кинематика и релятивистские законы сохранения пред-
представлены последовательностью взаимосвязанных задач и об-
обсуждений. Достаточно знаний в рамках школьной программы.
Многие задачи оригинальны и восходят к научной практике,
обращены к реальным явлениям природы. Сочетание иссле-
исследовательского духа и простых средств вызывает творческое
соучастие и дает возможность получить основные результаты
самостоятельно.
Для учащихся и преподавателей средних школ и техни-
техникумов, студентов педагогических вузов, а также лиц, за-
занимающихся самообразованием.
1604010000 — 060
В 053@2(-89 89"89 ББК 22'313
ISBN 5-02-014045-7
Издательство «Наука».
Главная редакция

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .-,.«-. s 4
1. Предварительное знакомство 7
2. Инерциальное движение . ? * 19
3. Принцип относительности -. * 26
4. Распространение света 31
5. Локация и движение ¦ 36
6. Релятивистская кинематика 53
7. Преобразование Лоренца и интервал 80
8. Импульс и масса 108
9. Масса и энергия « -* 122
10. Закон сохранения энергии и импульса • 135
Заключение 171
Приложения • 172
I. Фундаментальные физические константы 172
11. Основные единицы СИ и их связь с внесистемными еди-
единицами 173
III. Множители и приставки для образования кратных и
дольных единиц СИ 174

ПРЕДИСЛОВИЕ
Нельзя понять физики, не решая задач. Распростра-
Распространенное мнение о том, что задачи служат для проверки
знаний, чересчур односторонне. Задачи служат также
и средством для овладения знаниями и методами физи-
физического мышления, помогают ощутить дух научного
поиска. Интересная и важная задача — своего рода вы-
вызов нашим творческим способностям. Она вызывает эмо-
эмоции, а проблема, в ней поставленная, становится нашей
собственной проблемой.
Книга представляет идеи теории относительности
«в работе». Введение понятий и их применение осуществля-
осуществляются главным образом при постановке задач и в процессе
их решения. Стройность изложения материала от этого
выигрывает, конкретная ситуация подсказывает подхо-
подходы, полезные и в дальнейшем; общие соображения сразу
находят поддержку и уточнение; происходит естественное
разделение материала на направления, имеющие и само-
самостоятельный интерес.
Все задачи сопровождаются обсуждениями, с которы-
которыми вы при необходимости можете ознакомиться. Если
вы внимательно проверите все выкладки и вдумаетесь
в доказательства, то при новом подходе к решению задачи
неподдающаяся задача наверняка решится. Но и после
самостоятельного успешного решения приводимые об-
обсуждения не бесполезны. В них могут содержаться допол-
дополнительные сведения, может отмечаться связь с предыду-
предыдущими и последующими этапами, наконец, они хотя бы
отчасти передают атмосферу общения, характерную и
для подлинной, живой науки. Обсуждения — неотъем-
неотъемлемая часть книги, они предназначены не для пассив-
пассивного чтения, а для общения на равных, когда есть уже
и собственные мысли.
Для творческого соучастия читателя существенно,
чтобы задачи в основном решались самостоятельно. За-

ключим поэтому договор. Автор обязуется ограничить
необходимый математический аппарат элементарной ал-
алгеброй и геометрией; сведения по физике, когда они выхо-
выходят за рамки школьного учебника, будут поясняться в
условиях и обсуждениях задач. Читатель же, со своей
стороны, настроится на активную работу с карандашом
в руках.
Задачи повышенной трудности, в которых затрагива-
затрагивается дополнительный материал, отмечены звездочкой.
Эти задачи читатель может использовать для проверки
усвоения основного материала и расширения своего кру-
кругозора. Существуют два варианта сокращенного изучения.
В первом можно ограничиться обязательными задачами
первых пяти разделов, а задачи из раздела 6 использовать
выборочно для проверки. Во втором, расширенном, ва-
варианте можно, пропустив раздел 7, перейти к обязатель-
обязательным задачам разделов 8 и 9. Знакомство с разделом 7,
представляющим и самостоятельный интерес, пригодится
для решения задач последнего раздела. Некоторые из
обязательных задач могут оказаться сравнительно
трудными. Обратитесь тогда к соседним задачам, они
могут помочь в понимании, разберите обсуждение за-
задачи.
Исторически создание теории относительности связано с
развитием электродинамики. Для электромагнитных явле-
пий существенно рассмотрение быстрых движений. Дос-
Достигнутая к тому времени точность оптических и электро-
электромагнитных измерений позволяла опираться на экспери-
эксперимент. Для уяснения ситуации, возникшей при объединепии
принципа относительности и электродинамики, большое
значение имели работы Лоренца и Пуанкаре. Новое
и глубокое понимание всей проблемы, которое стало
одной из основ современной физики, выдвинул Эйнштейн.
Трудности разрешились созданием кинематики^ основан-
основанной па «локационном» подходе к определению момента
времени и на принципе относительности. Здесь, как и в
подходе к энергии и импульсу, мы следуем духу работ
Эйнштейна.
Новые идеи имеют общефизическое значение и могут
рассматриваться независимо от их применений в электро-
электродинамике. Сейчас теория относительности не столько
отдельная область науки, сколько рабочий метод во всех
разделах физики. Для теории относительности характерно
использование представлений, сложившихся до ее созда-
создания, их переосмысление и уточнение.

В последующих разделах рассматриваются инерци-
альное движение и принцип относительности в ньютонов-
ньютоновской механике. Затем обсуждается распространение света
в вакууме, световая локация для определения места и вре-
времени событий и для измерения скорости. На основе ло-
локационного подхода и принципа относительности выво-
выводятся правила перевода кинематического описания из
одной системы отсчета в другую. К ним относятся знаме-
знаменитые результаты о замедлении времени и сокращении
продольных размеров. Использование принципа относи-
относительности позволяет получить релятивистские выражения
для импульса и энергии вместе с замечательным выводом
об эквивалентности массы и энергии. Наконец, законы
сохранения энергии и импульса применяются для рассмот-
рассмотрения многообразных физических эффектов.
Употребленный выше термин «релятивистский» заме-
заменяет длинный описательный оборот: «имеющий место в
теории относительности». Например, если для описания
эффектов существенна теория относительности, то есть
заметны отклонения от ньютоновской механики, то гово-
говорят о релятивистских эффектах.
Содержание книги не выходит за пределы так называ-
называемой специальной, или частной, теории относительности.
Мы не затрагиваем созданную Эйнштейном позднее общую
теорию относительности, представляющую собой понима-
понимание гравитации как свойств пространства и времени.
Автор признателен учащимся Новосибирской физико-
математической школы, в активном сотрудничестве с
которыми возник и сформировался замысел этой книги.
Автор благодарен Ю. И. Соколовскому за квалифици-
квалифицированное и заинтересованное обсуждение проблем
элементарного изложения теории относительности*
О. Я. Савченко не только настоял на самом написании
этой книги, но и внес много полезных предложений на
разных этапах работы. Благодарю за содействие
Е. И. Биченкова, с пониманием и готовностью предложивше-
предложившего свою помощь. Автор благодарен за дружескую поддерж-
поддержку со стороны коллег-физиков, которая служила одно-
одновременно и стимулом к продолжению работы над книгой.

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗНАКОМСТВО
Теория относительности проста и красива. Про-
Просты ее основные идеи, прекрасно согласующиеся с
опытом; просты способы, с помощью которых можно
разобраться в ее удивительных результатах. Вместе
с тем она имеет глубокие и разнообразные применения.
Вполне заслуженно теория относительности вызывает
интерес и желание понять ее. Читателю предлагается
участие в построении теории относительности. Можно
прочувствовать основные понятия и подходы, обдумывая
и решая подобранные в этой книге задачи. Сама их после-
последовательность и сопутствующие обсуждения помогут
увязать материал в единое целое. Для успеха достаточно
доброй воли, настойчивости и школьных знаний.
Первый раздел имеет вводный, обзорный характер,
в нем нет задач. Однако и здесь не мешает задумываться
по ходу чтения.
«Детективная история»
Следователь расспрашивает любителя утреннего бега
трусцор. Циже приведена часть их диалога.
— Я всегда добегаю до киоска в парке. Потом той же
дорогой, в том же темпе назад. А тут, вижу, неладное...
— Так когда Вы обнаружили факт взлома?
— В семь четырнадцать.
— Сразу взглянули на часы?
— Нет, я бегаю без часов.
— Откуда же такая точность?
— Что тут странного? Увидев, что киоск взломан,
я не стал задерживаться, и, как всегда, побежал назад.
Дома посмотрел на часы и позвонил по «02».
— Так это в семь четырнадцать Вы вернулись?
— С какой стати? Я вышел из дому без пяти семь,
вернулся в семь тридцать три. А уж с делением-то попо-
пополам я справлюсь.

В записной книжке следователь набросал схему,
рроде той, что на рис. 1, и с удовлетворением поставил
восклицательный знак.
Такой способ определения момента времени события
по «домашним» часам полезен и физикам. Любителя бега
*
Рис. 1
можно заменить более подходящим посредником, движу-
движущимся от часов нашей системы отсчета к месту события
и назад. Событию же не обязательно быть «обнаружением
взлома». Но вот дотошное выяснение существенных об-
обстоятельств необходимо и при физических измерениях.
Событие, система отсчета, сигналы
Событием может быть прибытие поезда па станцию,
встреча частиц, распад радиоактивного ядра,; испускание
света атомом и т. п. Кроме самого содержания события
важно, где и когда оно произошло. Для устранения воз-
возможных неоднозначностей будем называть событием дос-
достаточно кратковременное явлениеt происходящее в дос-
достаточно малом объеме, так что в пределах заданной точ-
точности допустимо пренебречь его длительностью и протя-
протяженностью. При таком понимании процессы считают
складывающимися из отдельных событий.
Описание движения, процессов, событий в физике
всегда проводят относительно какого-то выбранного тела
отсчета. Предполагая, что это тело снабжено необходи-
необходимыми измерительными приборами, говорят о системе
отсчета. Без указания системы отсчета однозначное опи-
описание невозможно. Например, удары сердца космонавта
происходят почти на одном и том же месте в системе

«орбитальная станция» и разделены расстоянием в нес-
несколько километров в системе «Земля».
По отношению к выбранной системе отсчета произво-
производится упорядочение событий по месту и времени. О проис-
происшедших событиях судят по тем или иным сигналам,
доносящим весть о них. Для определения момента времени
удаленного события мало просто иметь часы. Ведь сигналу
A,tt
Рис. 2
приходится «добираться» до часов. Нужно хоть что-то
знать о распространении реальных сигналов.
Попробуем в этом разобраться на примере нашей
«детективной» истории, переведя ее на язык физики.
Можно, не дожидаясь пассивно сигналов,, послать к инте-
интересующему нас объекту пучки частиц, света или радио-
радиоволн — прямой сигнал. О событиях, происшедших при
встрече прямого сигнала с объектомг и о самой встрече
можно узнать, если зарегистрировать ответный сигнал,
идущий назад от объекта к часам нашей системы отсчета.
В этом заключается основная идея разных видов локации.
Скажем, посланные частицы могут отразиться или выбить
другие частицы с поверхности объекта, часть которых
полетит назад и может быть воспринята вблизи часов.
Пусть прямой сигнал отправлен от часов нашей системы
отсчета в момент времени tx, а ответный сигнал приходит
назад к часам в момент t2 (рис. 2). Если нет задержки с
испусканием ответного сигнала и оба сигнала распростра-
распространяются одинаково быстро, то время прохождения пути
«туда», t — tt, должно быть равно времени прохождения
пути «обратно», t2 — *• Здесь t — момент встречи прямого
сигнала с объектом. Тогда, как и в «детективном рассле-
расследовании», момент встречи дается средним арифметичес-
арифметическим моментов выхода и возвращения сигналов
Но вот ключевой вопрос: как убедиться в равенстве
скоростей прямого и обратного сигнала?

Сравнение скоростей
На первый взгляд, ответ ясен: если на путь от часов
к месту события тратится то же время, что и на обратный
путь, то туда и обратно сигналы идут одинаково быстро.
Найдем разность t — t± между моментами времени
встречи сигнала с объектом и испускания сигнала от ча-
часов. Казалось бы, так можно определить время прохожде-
прохождения пути в прямом направлении.
Тут-то и обнаруживается, что мы топчемся по кругу.
Чтобы найти время прохождения пути туда и обратно
по отдельности, надо уже знать момент времени t9 а чтобы
его найти, нужно убедиться в равенстве затрат времени
на прямой и обратный путь.
Выход заключается в сравнении скоростей уходящего
и возвращающегося сигналов без измерений интервалов
времени. Достаточно лишь убедиться в равенстве скоростей,
а их значение не играет роли. Таких способов множество.
О равенстве скоростей одинаковых пуль можно судить
по равенству глубин, на которые они проникают в одно-
однородную стенку. Электроны, попавшие в магнитное поле,
излучают. При совпадении характеристик этого излуче-
излучения можно сделать вывод о равенстве скоростей электро-
электронов. О равенстве скоростей нейтронов можно судить
по одинаковому их поглощению в веществе, например
в кадмии. Вообще, о равенстве скоростей одинаковых
частиц можно косвенно судить по характеру их взаимо-
взаимодействия с веществом. Можно аналогичным образом про-
проверить постоянство скорости и выяснить условия, при
которых скорость постоянна на всем пути.
Но будет ли получаться то же самое t при использова-
использовании сигналов с другими скоростями? Предположим, что
по косвенным данным проверено равенство и постоянство
скоростей прямого и обратного сигналов. Пусть теперь
момент испускания другого прямого сигнала равен t[ по
тем же часам. К месту встречи этот другой сигнал дошел
вместе с первым (такое совпадение можно зарегистриро-
зарегистрировать). Возвращение же к часам происходит теперь в момент
t2 (рис. 3). Совпадает ли t' = (tx + t'2)/2 с прежним
t = (tx + t2)/2 или нет?
Одной логики для ответа мало. Надо проделать изме-
измерения и посмотреть, что получится. Мы рассчитываем
на совпадение. Однако, занимаясь наукой, догадки и
ожидания проверяют фактами. Природа оказывается
благосклонной к нам, Для одного и того же события,
10

какие бы сигналы по нашему рецепту ни использовать,
lf = t. Опытное подтверждение этого равенства позволгет
считать найденный нами момент времени характеристикой
события, не зависящей от рода используемых для опреде-
определения времени сигналов.
Удивительно, что до появления теории относитель-
относительности вообще явно не определяли, что такое интервал
Рис. 3
времени и как его измерить. Измерения— это выполнен-
выполненные по определенным правилам действия с реальными
предметами. Но мало как-то измерить интервал времени,
надо еще исследовать, получится ли один и тот же резуль-
результат при разных способах измерений. Во всяком случае^
должна быть четко сформулирована процедура измерений.
Пока исследовались сравнительно медленные процессы
и временем распространения сигналов можно было пре-
пренебречь, не было, видимо, насущной потребности глубоко
разобраться в этом вопросе.
Преимущества света
Для определения момента времени пригодны любые
сигналы, однако особенно практична световая локация,
(Для краткости под светом будем понимать всякое электро-
электромагнитное излучение от радиоволн до гамма-лучей, а не
только видимый свет.) В самом деле, световые ^м^ульсы,,
испущенные из одной точки пространства в одном направле-
направлении, продолжают двигаться в вакууме вместе. Ни о^ин из
импульсов не обгоняет другого. Распространение света
в вакууме не зависит от его частоты и интенсивности,,
не зависит от характера источников и их движения. Это
в приводит к особой простоте световой локации: в ваку-
вакууме у любого светового импульса одна и та же скорость.
При использовании световых сигналов в вакууме отпадает
необходимость контроля за равенством скоростей. В тех-
техническом отношении немаловажны высокая точность
оптических и радиоизмерений^ удобство обработки элек-
электромагнитных сигналов и т.д.
11

Точность современных измерений позволяет провести
прямую проверку необгоняемости света светом в вакууме
по схеме, изображенной на рис. 4. Быстродействующий
затвор открывается на короткое время для света от двух
сравниваемых источников. Дальше свет идет по одинако-
одинаковым путям до приемников света. По часам, установленным
Рис. 4
рядом с приемниками, регистрируется, одновременно
или нет приходит свет. Можно менять скорости источников,
состав испускаемого света и т. п.
В 1913 г. де-Ситтер обратил внимание на наблюдения
за двойными звездами, которые позволяли с большой точ-
точностью подтвердить независимость скорости света в вакууме
от его состава и от движения источников. Впрочем, и до
этого были известны факты, подтверждающие эти фун-
фундаментальные свойства света.
Время и движение
При любом направлении распространения свет в ваку-
вакууме проходит одинаковые расстояния за одно .и то же
время.
Пусть испущенный движущимся локатором свет отра-
отразился и вернулся к локатору. На рис. Ъа события «испус-
«испускание света», «отражение» и «приход света» обозначены
через А, В, С. По движущимся часам ?туда = Обратно. Опе-
Оператор локатора рассуждает: «Свой локатор я принимаю
за неподвижный. Свет после отражения вернулся в преж-
прежнюю точку, откуда был испущен, и прошел назад то же
расстояние, что и вперед. Поэтому на обратный путь он
затратил то же самое время. Значит, между событиями
«испускание света» и «отражение» прошло столько же
времени, сколько и между событиями «отражение» и
«прием», соответствующие промежутки времени равны».
По в исходной системе отсчета локатор смещается на-
навстречу отраженному свету (рис. 56). Прием света произо-
12

шел уже не в прежней точке. Свет назад шел меньшее
расстояние, чем вперед, и затратил на это меньшее время.
Следуя одному и тому же утверждению о распростра-
распространении света в вакууме, мы пришли к поразительному
выводу: в одной системе отсчета промежутки времени
между событиями одинаковы, а в другой для тех же
о
Рис. 5
событий они различны. При небольшой скорости локатора
разница количественно невелика, но вызывает удивление
сам факт зависимости временных характеристик от выбора
системы отсчета. Получается, что нет единого, «общего»
времени, время зависит от того, по отношению к каким
часам мы его определяем.
Нет ли все же в наших выводах ошибки? Рассмотрим
вместо света звук. В неподвижном воздухе звуковые
волны распространяются во все стороны с одной скоростью-
Но при движении звукового локатора в воздухе в системе
отсчета, движущейся вместе с локатором, дует ветер-
Против ветра звук распространяется медленнеег чем по вет-
ветру. Не происходит ли нечто подобное и со светом?
Действительно, весь вопрос в том, одинаковы или нет
скорости у света на пути туда и обратно как в исходной
системе отсчета, так и в системе отсчета «локатор»? В ко-
конечном счете это дело природы, она не обязана следовать
нашим предписаниям, и о ее свойствах приходится дога-
догадываться, опираясь на опытное исследование. В связи
с этим вспомним об определении момента времени события,,
Удаленного от часов. С помощью несветовых сигналов и
13

часов можно измерять промежутки времени, поэтому
осуществима независимая проверка свойств распростра-
распространения света в вакууме. Разнообразные прямые и косвен-
косвенные данные указывают на то, что для света в вакууме ника-
никакого «ветра» нет. В равномерно и прямолинейно движу-
движущихся друг относительно друга системах отсчета скорость
света в вакууме не зависит от направления. Это замеча-
замечательное и простое свойство объясняет преимущества све-
световой локации, позволившие наиболее ясно обнаружить
относительность времени, зависимость временных харак-
характеристик от выбора системы отсчета.
Закончим этим «детективную историю» с ее физическим
продолжением и нетривиальным завершением: открытием
относительности времени. Количественная разработка тре-
требует привлечения дополнительных идей, главная из кото-
которых —¦> принцип относительности.
Элемент, открытый на Солнце
Изложенная ниже история подводит к важному для
теории относительности кругу вопросов.
В лабораторных опытах установили, что спектр излу-
излучения ра ^аленных газов имеет линейчатую структуру
(рис. 6). Для атомов каждого химического элемента име-
Рис, 6
ется характерный набор длин волн испускаемого света,
Еслц же через газ пропускать свет от постороннего ис-
точникаж то происходит избирательное поглощение на
этих же длинах волн (Кирхгоф, Бунзен, 1859 г.).
Источником света являются и Солнце, и звезды. Их
атмосферы просвечиваются излучением от внутренних,;
14

более плотных и раскаленных слоев. В спектре излучения
Солнца обнаружили семейства линий поглощения, соот-
соответствующие уже известным спектрам элементов. Слу-
Случайному совпадению это приписать нельзя. Спектры —
своего рода «отпечатки пальцев» элементов; в каждое се-
семейство входит много линий и положение их своеобразно.
Вывод из совокупности этих «улик» однозначен: земные
элементы присутствуют в солнечной атмосфере. Во время
затмения 1868 г. в спектре Солнца заметили линию погло-
поглощения из неизвестного семейства. Астроном Дж. Норман
Локкир предположил, что в солнечной атмосфере содер-
содержится не обнаруженный на Земле элемент. Он назвал
его «гелий» (солнечный). Позже гелий выделили из земного
минерала клевеита (Рамзай, 1895 г.). Опираясь на уста-
установленную опытом независимость спектра поглощения
газа от того, где этот газ находится, удалось связать на-
наличие новой линии поглощения в солнечном спектре с
существованием в природе нового химического элемента.
Произошло это задолго до истолкования спектральных
закономерностей квантовой физикой.
Открытие гелия показывает плодотворность простой
идеи о независимости природных процессов от места и вре-
времени самих по себе. Встретив существенные для данного
явления условия где-то в другом месте и в иное время,
мы ожидаем повторения в развитии событий, проявления
тех же закономерностей и соотношений.
Не существует ли независимости явлений и от состоя-
состояния движения?
Принцип относительности
Земля движется вокруг Солнца с огромной по бытовым
меркам скоростью — 30 км/с. Тем не менее сама по себе
эта скорость неощутима. Итальянский физик, механик
и астроном Галилео Галилей A610 г.) осознал, что это
проявление общей закономерности^ которая имеет место
и в самых обыденных ситуациях.
В закрытой каюте корабля, плывущего равномерно
и без качки, любые опыты дают тот же результат, что и
в каюте неподвижного корабля. От скорости корабля
течение процессов не зависит. Иное дело, если скорость
меняется при торможении, повороте или разгоне. Уско-
Ускорение влияет на происходящее: незакрепленные предметы
поедут по полу каюты, нужно приложить усилие, чтобы
Удержать их на месте. Обнаруживается зависимость от
15

ускорения, но не от скорости общего движения. В этом
и заключается принцип относительности. Скорость орби-
орбитального движения Земли мы не ощущаем так же, как
внутри корабля или автобуса наблюдатель не ощущает
влияния их скорости.
К независимости от таких обстоятельств, как момент
времени, положение и ориентация добавляется также
и независимость от состояния движения, но независимость
ограниченная. Для хода процессов безразлично не любое
общее движение, а лишь неускоренное; чем ускорение
больше, тем заметнее его влияние на происходящее.
Может возникнуть вопрос: как разделить движения
на ускоренные и неускоренные? Ведь движение относитель-
относительно одних тел может быть равномерным и прямолинейным,
а относительно других — ускоренным! Ответ на этот
вопрос дается ниже.
Инерциальное движение
Свободные частицы (не подвергающиеся воздействиям
со стороны других тел) движутся с постоянной скоростцо
в системах отсчета, связанных с любыми другими свобод-
свободными частицами. В этом состоит смысл первого закона
Ньютона. Различные свободные частицы выступают здесь
совершенно равноправно. Их движение называется инер-
циальным, а связанные с ними системы отсчета называют-
называются инерциальными. Инерциальную систему можно задать
четверкой свободных частиц, не находящихся в одной
плоскости, взаимное расположение которых неизменно.
Одна из них — начало отсчета, отрезки же, проведенные
от нее к остальным частицам, зададут направления осей
координат. Какие же частицы можно принять за свобод-
свободные? Это может потребовать специального разбора. Но есть
и сравнительно простой выход. По мере увеличения рас-
расстояния между телами взаимодействие ослабевает. Поэто-
Поэтому достаточно удаленные друг от друга и других тел час-
частицы можно считать свободными.
Тип движения, который выше назывался неускоренным,
имеет еще одно название: инерциальное движение. Инер-
циалъное движение — это движение при отсутствии
сил. Если к частице приложены силы, но их сумма равна
нулю (они компенсируются), то ее движение не отличается
от движения при отсутствии сил и является также ипер-
циальным.
16

Твердое тело, на любые части которого не действуют
силы (или они компенсируются), называют инерциальным.
Инерциальные тела движутся друг относительно друга
поступательно с неизменной по модулю и направлению
скоростью. Для инерциальности йедостаточно отсутствия
внешних сил. Ведь при этом тело может вращаться, но
тогда части тела движутся с ускорением и подвергаются
действию сил со стороны других частей тела и оно не явля-
является инерциальным.
Любые отклонения от инерциального движения проис-
происходят не иначе, как из-за действия сил. На основе анализа
этих отклонений силы можно обнаруживать и исследовать,
как они зависят от условий взаимодействия.
Изменение скорости частицы относительно выбранного
тела отсчета вызывается как силами, непосредственно
приложенными к этой частице, так и силами действующи-
действующими на тело отсчета. Поэтому движение частиц зависит
не только от характера их взаимодействия и начального
состояния, но и от того, как тянут, толкают или закручива-
закручивают само тело отсчета, то есть от того, каковы силы, прило-
приложенные к телу отсчета, и как они меняются с течением
времени (Ньютон, 1690 г.). Таких осложнений нет, если
тело отсчета инерциально. Тогда движение группы частиц,
взаимодействующих только между собой, полностью опре-
определяется составом группы и начальными положениями
и скоростями частиц относительно этого инерциального
тела. На равных правах можно выбрать совершенно произ-
произвольное инерциальное тело отсчета. Так разъясняется
в механике независимость явлений от инерциального дви-
движения, принцип относительности.
Инерциалъный снос
Пусть одно инерциальное тело отсчета движется отпо-
сительно другого со скоростью V. Если по отношению к
этим телам состояния (процессы) двух разных физичес-
физических систем одного состава описываются одинаково, то
будем говорить, что одни состояния (процессы) получепы
из других инерциальным сносом скорости v. При инер-
циальпом сносе исходных состояний замкнутых физичес-
физических систем согласно принципу относительности разверты-
развертывающиеся процессы получаются друг из друга тем же
инерциальным сносом.
Например, прпцггптрппшдл частиц на лету получают-
получаются инерциальным сносои процвсявЕддадзда таких же поко
17

ящихся частиц. Эти явления, отличающиеся одно от дру-
другого только инерциальным сносом, можно описывать
и относительно одного и того же тела отсчета, скажем,
относительно неподвижных в лаборатории приборов.
Описания событий в разных инерциальных системах
отсчета связаны между собой вполне определенными
общими соотношениями. Имея такие правила перевода,
преобразуя описания состояний и процессов при переходе
от летящей с материнскими частицами системы к лабора-
лабораторной системе отсчета, мы получим характеристики
распада на лету. Отпадает нужда в действительном раз-
разгоне оборудования до скорости заинтересовавшего нас
объекта. Переход к другой системе отсчета проводится
только мысленно, только чтобы установить родство
явлений, отличающихся инерциальным сносом.
Сколько центров у сферы?
Рассмотрим пример, когда инерциальные тела проле-
пролетают, почти касаясь друг друга (рис. 7). В этот момент
между ними проскакивает электрическая искра, порожда-
порождающая вспышку света.
Где свет окажется через
время t после вспыш-
вспышки?
Распространяясь во
все стороны со ско-
скоростью с% свет окажется
на сфере радиуса г =ct
с центром в той точке
пространства, в которой
произошла вспышка.
Согласно принципу от-
относительности распро-
Рис' ' странение света проис-
происходит одинаковым обра-
образом как по отношению к телу А, так и по отношению к
телу В. Получается, что как от тела Л, так и от тела/?
свет распространится на одно и то же расстояние г. Но за
время t тела А и В уже разошлись. Как же так, ведь
одна сфера не может иметь два разных центра?!
Время и расстояние определяются всегда по отноше-
пию к какому-либо телу отсчета. При одинаковом способе
измерений ход явлений в разных инерциальных системах
описывается одинаковыми законами. В этом принцип
18

относительности. Измерения же, проведенные с помощью
движущихся относительно друг друга приборов, могут
и не совпадать. Разрешение парадокса заключается в том,
что в каждой системе отсчета свое время и расстояние.
Световая сфера, координаты которой измерены по часам
и линейкам, движущимся с одним телом, не совпадает
со световой сферой, измеренной по часам и линейкам,
движущимся с другим телом. В каждой системе отсчета
своя сфера, со своим центром, «чужая» же «сфера» оказы-
оказывается искаженной. Подтверждаемая опытом независи-
независимость распространения света в вакууме от движения источ-
источников вместе с принципом относительности приводят
нас к выводу, что расстояние и время относительны,
они зависят от выбора системы отсчета, в которой изме-
измеряются.
2. ИНЕРЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Осознание особой роли инерциального движения —
заслуга Галилея и Ньютона. Связанные с этим понятия
важны и для теории относительности. Имеет смысл их
опробовать на основе обычной кинематики и динамики,
вполне применимых в области малых скоростей.
Равномерное прямолинейное движение замечательно
не только своей простотой. Оно физически выделено.
По отклонению от движения с постоянной скоростью
обнаруживают взаимодействия. Наоборот, исходя из за-
законов взаимодействия, предсказывают, как именно на-
наблюдаемое движение отклоняется от свободного, инер-
инерциального. В этом смысл первого закона Ньютона: любые
частицы, пока и поскольку отсутствуют воздействия на
них, движутся друг относительно друга равномерно и
прямолинейно или покоятся. Отклонение же от такого
движения происходит не беспричинно, а свидетельствует
о взаимодействии.
В свете первого закона Ньютона выделяются инер-
циальиые системы отсчета, связанные с какими-либо
инерциально движущимися телами. Для количественных
расчетов отклонений от инерциального движения исполь-
используется второй закон Ньютона, связывающий силу F,
действующую на тело, с его массой т и ускорением а:
Второй закон Ньютона одинаково применим в любых
инерциальных системах,
19

1. Измеритель ускорения. В звездолете шар массой
100 кг прикреплен к шести Струнам, натянутым вдоль
координатных осей системы отсчета «звездолет» (рис. 8).
Показания датчиков натяжения приведены на рисунке.
Т12=570Н
Рис. 8
Определите ускорение шара. В каком случае по этим
данным можно судить о силе тяги двигателей?
Q*) В системе «звездолет» ускорение шара нулевое. Эта
система неинерциальна, ибо шар покоитсяf хотя на него
действует пе скомпенсированная сила. Найдем ускорение
в сопутствующей инерциальной системе (рис. 9). Так
t>t
Рис. 9
пазывается инерциальная система, оси которой в начальный
момент времени совпадают с осями системы «звездолет»,,
а скорость — с мгновенной скоростью начала отсчета
системы «звездолет» в этот же момент времени. При изме-
изменении скорости системы «звездолет» заменяются и сопут-
Здесь и далее знаком ? отмечено начало обсуждения задачи.
20

ствующие системы. По второму закону Ньютона проекции
ускорения на оси сопутствующей системы
ах = (Т2х~ Tlx)/m = 1,2 м/с2,
Яу = (Г«у — Т1у)/т = 15 м/с2,
аг = (Г2г - Tlz)/w = 0.
При поступательном движении корабля его ускорение
равно ускорению шара. Тогда сила, действующая на ко-
корабль, равна этому ускорению, умноженному на всю
массу корабля.
2. Абсолютность вращения. После того как скорости
межзвездных кораблей сравнялись, капитаны *) выклю-
выключили двигатели и обменялись репликами.
Йон: «Когда Вам надоест кувыркаться?»
Пирке: «Остановите свое вращение. Мой корабль
вполне инерциален».
Чей корабль инерциален, если экипаж Пиркса свобод-
свободно парит у иллюминаторов, а экипаж Иона вжат в кресла?
? Экипаж Пиркса можно принять за инерциально дви-
движущиеся тела, не подверженные внешним воздействиям.
Поэтому система отсчета «корабль Пиркса», в которой они
неподвижно парят, инерциальна, Неподвижные же в
системе «корабль Иона»
члены его экипажа подвер- ~
гаются действию сил, они
вжаты в кресла. Это не
удивительно. Относитель-
Относительно свободно движущихся
частиц движение частей
корабля Иона не прямоли-
прямолинейно, а значит и не инер-
инерциально. Для отклонения
от инерциального движе-
движения нужны силы.
3. Навигационное уст-
устройство. Межзвездный ко-
корабль находится вдалеке
от источников заметных
гравитационных сил. В трех неподвижно закрепленных
взаимно перпендикулярных трубках откачан воздух и
Рис. 10
*) У капитанов имена героев фантастических произведений
Станислава Лема. Настоящий Ион Тихий и астронавигатор Пирке,
может быть, и не оказывались в подобной ситуации.
21

движутся шарики^ упруго отражаясь от торцов (рис. 10).
Включены ли двигатели корабля, если зазор между
шариками и стенками трубок остается неизменным?
Q Шарики можно считать свободными частицами. Ко-
Конечно, чтобы обеспечить их инерциальное движение при
пролете от торца до торца, нужно устранить действующие
на них силы. Все части устройства должны быть электри-
электрически нейтральны, ненамагничены, трубки — откачаны
до высокого вакуума. Защититься от внешних электро-
электромагнитных влияний в принципе нетрудно. «Загородиться»
же от гравитационных сил вообще нельзя. Ведь они дей-
действуют на всег что имеет массу. Их можно ослабить, лишь
удалившись от массивных тел.
Если двигатели включены, то корабль и трубки дви-
движутся с ускорением относительно инерциальных тел,
в частности и относительно шариков. Чтобы обнаружить
ускорение,; одной трубки мало. Ускорение может быть
направлено вдоль оси и не повлияет на зазор. При поступа-
поступательном движении корабля достаточно двух трубок.
Ускорениег направленное по одной из трубок, перпендику-
перпендикулярно другой, стенка которой и столкнется с шариком#
Может бытьг третья трубка лишняя? Нет, так как возможно
ускоренное движение, когда корабль вращается вокруг
оси, проходящей через два шарика. Третья трубка исклю-
исключает и эту возможность. Неизменность зазоров гарантиру-
гарантирует, что все точки устройства не имеют ускорения относи-
относительно шариков, значит, оно и вместе с ним корабль
движутся инерциально.
4. Проверка инерциальности. Как в закрытой кабине
по внутренним измерениям установить ее инерциальность
или неинерциальность? Какой должна быть погрешность
экспериментального вывода об инерциальности кабины?
Пусть в описанном выше измерителе ускорения натяжение
струп определяется с погрешностью 0,5 Н. С какой по-
погрешностью можно судить об инерциальности звездолета?
Q Относительно инерциальной кабины свободные час-
частицы движутся с постоянной скоростью, то есть без уско-
ускорения. Если свободные частицы имеют ускорение относи-
относительно кабиныг то она неинерциальна. По наблюдениям
за свободными частицами или с помощью измерителя
ускорения можно определить ускорение разных точек
кабины. Чем ближе эти ускорения к нулю, тем меньше
движение кабины отличается от инерциального. За меру
неинерциальности можно принять наибольшее ускорение,
измеренное в пределах кабины,
22

Для указанной погрешности в измерениях натяжения
струн «не почувствуются» отклонения проекций ускорения
от нуля, меньшие 0,01 м/с2.
5. Отклонения от инерциальности. Радиус Земли
около 6400 км, период суточного обращения 86 400 с;
радиус земной орбиты 1,5*1011m, скорость орбитального
движения 30 км/с; расстояние от Солнца до центра Галак-
Галактики примерно 3«1020м, скорость его движения вокруг
этого центра примерно 300 км/с. Определите отклонения
от инерциальности для этих движений.
Современные прямые методы измерения не позволяют
заметить относительные ускорения удаленных звезд
порядка 10~6 м/с2. Предложите, как можно косвенно
судить о меньших ускорениях звезд.
Q Предполагаем все движения круговыми. Тогда нахо-
находим ускорения точек экватора Земли, ее центра и центра
Солнца:
а± = 3,4-10 м/с2, а2 = б-10 м/с2, а3 = 3-100 м/с2.
При этих движениях поворот вектора скорости на 1°
происходит соответственно за 4 мин, за сутки и за миллиоп
лет. Когда существенны значительно большие ускорения,
чем найденные, тогда соответствующие движения можно
считать приближенно инерциальными.
Идею косвенного определения ускорения звезд под-
подсказывает способ, которым нашли ускорение центра
Солнца, много меньшее,
чем доступно прямому из-
измерению. Наблюдаемое .;•:,
расположение звезд в Га- ..$$&
лактике и распределение .'-$V:v
их скоростей позволяет :\':\-';:'У'-
предположить, что звезды о'.'•/'•'..'.'
галактического диска об- ''.';-.'.
ращаются вокруг центра ';..'•.'•'.:
Галактики (рис.11). Тог- ';'.'•;
да оцениваем их ускорение '' •/• ''; :.'-'.:::'у/.';]. \%
как центростремительное: '•;•¦.',/•
ft = v2jR, где v — их ско-
скорость, а й — расстояние
До центра. Это приближен- Рис* **
на я оценка. У некоторых
звезд имеются заметные скорости, направленные попе-
поперек галактического диска.
23

Прямыми измерениями заметить изменения скорости
в несколько сантиметров за секунду на фоне сотен кило-
километров за секунду пока не удается даже за десятки лет
измерений.
6. Падение нейтронов. Обычно подчеркивают трудности
наблюдения инерциального движения в земных условиях.
Непросто избавиться от внешних воздействий, искажаю-
искажающих такое движение. Любопытно, что в современном
эксперименте оказалось сложно обнаружить именно от-
Рис. 12
клонение от инерциального движения. В эксперименте
проверялось что в поле земного тяготения нейтроны
падают с тем же ускорением, что и макроскопические тела.
Нейтроны из атомного реактора вшгетают через узкую
горизонтальную щель и попадают в счетчик^ расположен-
расположенный на расстоянии L = 400 м от щели (рис. 12), Счетчик
регистрирует только частицы с кинетической энергией,}
большей К = 0,05 эВ. При опускании счетчика по верти-
вертикали на расстояние h = 8 см ниже оси щели он перестает
срабатывать. Определите ускорение свободного падения
нейтронов. Какие изменения произойдут при увеличении
порога срабатывания счетчика до энергии 1 эВг 1 кэВ?
Для нейтрона тс2 = 940 МэВ, где т — его масса, с —
скорость света.
Q Если отвлечься от непривычных единиц, то обнаружит-
обнаружится обыкновенная механическая задача. Щель формирует
горизонтальный пучок нейтронов. Время полета от щели
до счетчика t = Ljvy где v — начальная скорость, По вер-
вертикали нейтроны опустятся за это время на h = gt2/2 =
=а gL2{2v2, где g—ускорение свободного падения нейтронов»
По закону сохранения энергии для тех из зарегистриро-
зарегистрированных нейтронов, которые имеют самые низкие траекто-
траектории, справедливо равенство
+ mgh = К,
24

где h = 8 см. Из подученного выше выражения для h
найдем и2 и подставим его в уравнение баланса энергии:
mgL2/4/i + mgh = К.
В нашем случае L2Jih ^> hi поэтому изменением потенци-
потенциальной энергии можно пренебречь в сравнении с начальной
кинетической энергией. Отбрасывая слагаемое mgh, полу-
получаем для ускорения нейтронов g z& AhK/mL2. Для оконча-
окончательного расчета немного преобразуем это выражение:
где скорость света с ж 3»108 м/с. Так как тс2 » 940 МэВ,
то можно обойтись без перевода единиц энергии. Получен-
Полученное значение g ж 9,6 м/с2 в пределах погрешности этого
эксперимента находится в согласии с ускорением макро-
макроскопических тел.
Энергия К = 0,05 эВ мала даже в сравнении с энер-
энергией, которую может сообщить электрону напряжение
батарейки карманного фонаря. Но и при такой малой
энергии нейтронов пришлось поместить счетчик на больг
шое расстояцие, чтобы надежно зафиксировать снижение
нейтронов. Снижение обратно пропорционально кине-
кинетической энергии:
Поэтому при пороге срабатывания, равном 1 эВ, нейтроны
опустятся всего на 4 мм, а при пороге 1 кэВ — еще в ты-
тысячу раз меньше. Относительное смещение (по на-
направлению силы F = mg)
ЩЬ = FL/4K
тем меньше, чем больше начальная кинетическая энергия.
В ньютоновской механике ускорение при заданной силе
не зависит от кинетической энергии. Однако с увеличе
нием начальной энергии частицы влияние ускорения на
отклонение частицы уменьшается. Другими словами, н»
ограниченном расстоянии быстрая частица не успевает
«почувствовать» силу.
Несколько слов об электронвольте — единице энергии,
которая широко употребляется в физике. Один электрон-
ьольт равен энергии, приобретаемой электроном при про-
прохождении через точки пространства с разностью потен-
потенциалов в один вольт: g|
1 кэВ = Ю3 эВ, 1 МэВ = 10б эВ, 1 ГэВ - 109 эВ.
25

Если имеется необходимость перехода к единицам
энергии СИ, то это легко осуществить. В самом деле,
элементарный заряд е = 1,6'10~9 Кл, произведение его
на 1 В даст 1 эВ в джоулях:
1 эВ =1,6.10-1» Дж.
Нейтрон электрически нейтрален, но и его энергию
можно выражать в электронвольтах, как и величину тс2,
имеющую размерность энергии. Отметим, что при рас-
рассмотренных в данной задаче значениях энергии скорость
нейтрона далека от скорости света, поэтому использова-
использование классической механики вполне оправдано.
3. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Принцип относительности формировался совместно
с другими представлениями классической механики. Ус-
Успешные ее применения по существу являются и подтверж-
подтверждением этого принципа. Но оказалось, что и в тех областях
исследования, где законы классической механики уже
не действуют, многообразные факты свидетельствуют о
справедливости принципа относительности. Например,
вся практика исследования элементарных частиц явля-
является также и проверкой этого принципа в жестких условиях.
1. Доля распадов. Нестабильные элементарные частицы
распадаются несколькими способами *). Например, К+-
мезоны в 63,5% случаев распадаются на положительный
мюон и мюонное нейтрино: К+-^ (i+ + v^, в 21,2% слу-
случаев — на положительный и нейтральный пионы: К+ ->
->• п+ + п° и т. д. Почему, сообщая такие данные, не ука-
указывают скорость «материнских» частиц, в данном случае
К+-мезонов? Почему бы доле распадов каждого типа по
зависеть от скорости свободно летящих положительных
каонов? (Каоны — другое название К-мезонов.)
Q Принцип относительности применим к любым про-
процессам, в том числе и к распадам. Если покоящиеся каоны
*) В задачах широко используются примеры из физики эле-
элементарных частиц, но при этом не предполагается, что читатель
знаком с этой областью физики. Выражения типа: «положительный
мюон» или «мюонное нейтрино» нужно воспринимать как названия
частиц определенного типа. Дополнительная информация о свой-
свойствах частиц сообщается в необходимых случаях. Для более глубо-
глубокого знакомства рекомендуем книгу: Окунь Л. Б. а, E, у, . -. . , ъ\
Элементарное введение в физику элементарных частиц. —
М.: Наука, 1985.— (Б-чка «Квант»; Вып. 45.)
26

в какой-то пропорции претерпевают распады различных
тнпов (говорят о каналах распада), то и летящие каоны
Б системе отсчета, летящей вместе с ними, в своей системе
«покоя», должны распадаться по тем же каналам и в той
>ке пропорции. Поэтому состав продуктов распада не за-
зависит от скорости каонов. Другое дело, например, ско-
скорости дочерних частиц в исходной системе отсчета; они,
разумеется, зависят от скорости материнских частиц.
Если обнаружится зависимость доли распадов того
или иного типа от скорости каонов, то это будет означать,
что в разных инерциальных системах, где «свои» каоны
покоятся, они распадаются по разным законам. Это про-
противоречит принципу относительности, т. е. независимости
хода явлений от скорости инерциального движения.
2. Платформа — Земля. Скорость орбитального дви-
движения Земли вокруг Солнца равна 30 км/с. Направление
этой скорости меняется
за год на 360° (рис. 13).
Для быстропротекаю-
щих экспериментов не-
иперциальность Земли
не существенна. В раз-
разные сезоны года ее мож-
можно рассматривать как
платформу, которой со-
сообщаются различные
инерциальные движе- Рис. 13
ния. Как этим восполь-
воспользоваться для экспериментальной проверки принципа
относительности?
О Нужно проверить, влияет ли орбитальная скорость на
ход механических, электромагнитных, оптических и других
явлений. Если в разные сезоны года при разных направ-
направлениях орбитальной скорости характер явлений различен
при одних и тех же условиях опыта, то принцип относи-
относительности не верен. Если же наблюдаемые явления зависят
только от относительного движения тел, участвующих во
взаимодействии, и никакие свойства явлений не позво-
позволяют обнаружить влияние орбитальной скорости, то это
подтверждает принцип относительности в рамках точно-
точности эксперимента.
Особенно интересна проверка принципа относитель-
относительности в опытах со светом. Для движений с малыми ско-
скоростями принцип относительности подтверждается ус-
успешной практикой ньютоновской механики.
27

3. Распространение света. На жесткой плите установлен
источник кратковременных вспышек (рис. 14). По взаимно
перпендикулярным направлениям перемещают два зер-
зеркала до тех пор, пока отраженный от них свет не станет
возвращаться к источнику одновременно. Зеркала за-
закрепляют на плите и плиту поворачивают. При этом на-
направление орбитальной скорости не успевает сколько-
иибудь существенно измениться. Оказывается, что свет
Рис. 14 Рис. 15
по-прежпему возвращается к источнику одновременно
независимо от угла поворота плиты. Опыты повторялись
в разные сезоны года (Майкелъсон, Морли, 1887 г.).
Опыты Торндайка и Кеннеди в 1932 г. состояли в из-
измерении времени возвращения света к источнику от за-
закрепленного на неизменном расстоянии зеркала (рис. 15).
В течение нескольких месяцев время распространения
света туда и назад оставалось постоянным, хотя за это
время орбитальная скорость заметно изменилась.
Какие выводы о свойствах света можно сделать из этих
опытов? Согласуются ли эти опыты с принципом относи-
относительности?
Q Основной итог опытов состоит в том, что во всех почти
инерциальных системах, которые представляет собой
Земля в разные сезоны года, скорость света, измеренная
на пути туда и обратно, не зависит от направления рас-
пространения света и имеет одно и то же значение во всех
этих системах отсчета. Это согласуется с принципом от-
относительности .
Опыты Майкельсона, начатые в сотрудничестве с Морли»
в последующем неоднократно усовершенствовались.
В последней установке Майкельсона время распространения
света составляло около 5• 10~8 с, а промежуток мешдУ
28

моментами возвращения мог быть измерен с погрешностью,
меньшей 10 18 с. В более позднем опыте Торндайка и Кен-
веди для измерения времени использовался сам свет (пе-
(период колебаний, отвечающий выделенной спектральной
линии от ртутной лампы). Равенство скорости света в раз-
разных сезонных системах установлено им с погрешностью,
меньшей 2 м/с. Высокую точность в этих реальных опытах
обеспечило умелое применение явления интерференции
света.
4*. Заряд и магнит. Поместим в магнитное поле по-
покоящегося постоянного магнита неподвижный заряд. Для
неподвижного заряда сила, действующая на него со сто-
стороны магнитного поля, равна нулю и он останется непод-
неподвижным, когда мы его от-
отпустим. Теперь сообщим
магниту и заряду одинако-
одинаковые скорости (рис. 16).
На движущийся заряд
уже действует магнитная
сила. Если его отпустить,
то скорость заряда начнет
меняться и он придет в
движение относительно
магнита. Почему описан-
описанное выше противоречит
принципу относительнос-
относительности? Что, по вашему мнению,
покажет эксперимент? Какое упущение сделано в рассуж-
рассуждении?
П В системе отсчета «магнит» исходная ситуация оста-
остается прежней, заряд так же останется неподвижным от-
относительно магнита. В других же инерциальных системах
он будет двигаться с той же неизменной скоростью, что
и магнит. В рассуждении упущено, что на заряд действует
не только магнитная, но и электрическая сила. Появление
электрического поля при движении магнита объясняется
электромагнитной индукцией. Опираясь на принцип от-
относительности, можно установить закономерности электро-
электрода гпитной индукции.
В самом деле, наш заряд должен двигаться с постоян-
°и скоростью вместе с магнитом. Неизменность скорости
аидетельствует о нулевой суммарной силе. Поэтому кроме
^гнитной силы FM есть еще какая-то сила F такая, что
м + F = 0 (рис. 17). Модуль магнитпой силы FM =
ФВ sin а, где В — магнитная индукция. Значит,
Рис. 16
29

добавочная сила оказывает такое же действие, как и
электрическое поле с напряженностью Е = F/q=vB sin a.
Действие же электромагнитного поля на заряд слагается
только из электрических и магнитных сил. Так мы при-
приходим к выводу о порож-
дении электрического поля
«движущимся» магнитным.
Для зарядов, у кото-
которых скорости отличаются
от скорости магнита, сум-
суммарная сила может быть
отличной от нуля. В част-
ности, неподвижные заря-
заряды вблизи движущегося
магнита подвергаются дей-
Рис. 17 ствию только электричес-
электрической силы F = д.Е, что
можно использовать для измерения Е и проверки на-
наших выводов.
5. Поперечные размеры. Капитан Йон рассказывал:
«Мой звездолет имеет форму пустотелой цилиндрической
трубы. Совершая полет с околосветовой скоростью, вдруг
замечаю точно такой же звездолет Пиркса, несущийся
навстречу, ось в ось. Столкновение неизбежно! Но тут
я вспомнил^ что согласно теории относительности размеры
тел сокращаются тем сильнее, чем ближе их скорость к
световой. Я даже не стал включать двигатели. Встречный
звездолет пролетел внутри моего, не поцарапав обшивки»
Наверно, так же рассуждал и Пирке».
В теории относительности полностью сохраняет силу
принцип относительности. Исходя из этого, сделайте вывод
о возможности случая, рассказанного Ионом. Заодно вы-
выясните, как влияет скорость движения на поперечные
размеры тел.
Ц Какой корабль пролетит внутри другого, легко уста-
установить без измерения радиусов. Например, поперек од-
одного корабля-трубы натянем пленку. Для внешнего ко-
корабля она порвется при пролете, для внутреннего — оста-
останется целой. При этом факт повреждения пленки не зависит
от выбора системы отсчета.
Разовьем теперь любопытный намек на равноправие
кораблей. Инерциальная система «корабль Пиркса» ничем
не хуже системы «корабль Иона». Но в ней-то движется
корабль Иона, его радиус должен сократиться! Значит,,
корабль Иона пройдет внутри корабля Пиркса (рис. 18)«
30

До пришли к противоречию! ведь ответ на вопрос, какой
корабль окажется «внешним», а какой — «внутренним»,
оТ выбора системы отсчета не зависит. К подобному же
противоречию приводит и предположение об увеличении
^\ , -Л
11 f% 1
Jl i^1 J
^\
Л у
J
'CIX-. .
Рис.. 18
размеров движущегося тела в направлении, перпендику-
перпендикулярном направлению движения. Ввиду равноправия звездо-
звездолетов ни один из них не может пролететь внутри другого
и при соосном движении произойдет столкновение, которое
«докажет» равенство радиусов кораблей. Напомним, что
звездолеты одинаковые и у них одинаковые радиусы по
измерениям в собственной системе отсчета»
4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА
Для построения теории относительности существенно
только одно общее свойство световых сигналов: в вакууме
два световых импульса не могут обгонять друг друга.
Любые одновременно испущенные из одной точки в одном
и том же направлении световые сигналы распространяются
в вакууме вместе и вместе приходят в любую другую точку.
1. Мгновенен ли свет? Обычно мы считаем, что когда
видим событие, тогда оно и происходит. Такое понимание
свободно от противоречий лишь в случае прохождения
светом любых расстояний без затрат времени. Предложите
Мысленный эксперимент, который решит, есть затраты
времени или нет. Ограничьтесь единственными часами.
]^к на опыте установить зависимость времени распрост-
распространения света от пройденного им расстояния? Какую за-
зависимость можно предполагать?
31

Q Ничто пе мешает вернуть зеркалом свет назад к часам,
измеряя по одним часам и момент испускания ?1? и момент
возвращения t2. С помощью наручных часов и глаза, как
регистрирующего прибора, запаздывание светового эха
t2 — tx не обнаружить в пределах земных расстояний.
В этом смысле бытовое представление о «мгновенности»
света согласуется с бытовым же опытом. Вооружившись
приборами, можно измерять весьма малые промежутки
времени, не обязательно ограничиваться и земными рас-
расстояниями. Тогда запаздывание t2— tx поддается надежным
измерениям. Не только специальные опыты, но и вся прак-
практика радиолокации и практика интерференционных из-
измерений подтверждают наличие запаздывания, которому
строго пропорционально пройденное светом в вакууме
расстояние
Измерения коэффициента с — скорости света в вакууме —
производились сотни раз, как по астрономическим наблю-
наблюдениям, так и по прямым измерениям в земных условиях.
По современным данным общепризнано следующее зна-
значение скорости света:
с = 2,99792458A,2). 108 м/с.
Цифры в скобках указывают погрешность в последнем
десятичном знаке.
Реальные измерения отличаются способом формиро-
формирования световых импульсов, регистрации возвращенияfi
фиксации расстояния... Отвлекаясь от деталей, можно
представить установку, в которой часы, источник и при-
приемник света установлены рядом, а на неподвижной отно-
относительно часов линейке можно закреплять зеркало, от-
отсчитывая расстояние по линейке. С помощью же нескольких
зеркал можно возвращать свет к часам по разным замк-
замкнутым путям.
2. Пульсар как вспышка. Пульсар — это нейтронная
звезда, у которой имеется область, испускающая направ-
направленное электромагнитное излучение. Из-за вращения
звезды земной наблюдатель обнаруживает всплески из-
излучения в те моменты, когда он попадает во вращающийся
«луч». Для пульсара, находящегося на расстоянии около
10 4 световых лет от Земли, удалось обнаружить всплески
видимого света и рентгеновского излучения. Одновремен-
Одновременность их прихода установлена с погрешностью At = I мкс.
С какой относительной погрешностью из этих данных мож-
32

00 установить равенство скоростей видимого света и рент-
рентгеновского излучения? A год ж 3,15» 107 с).
Q Полагая скорости видимого света и рентгеновского
излучения с ш сг, найдем интервал времени между момента-
моментами приема:
т = L/c — Ысъ
где L — расстояние до пульсара. Согласно эксперимен-
экспериментальным данным
ссх
где Д?—погрешность измерений. Так как ?/с=?=104лет,то
СХ \ t ~
Интересно, что совпадение скоростей устанавливается
с точностью значительно большей, чем точность самой
скорости света!
3. Двойная звезда. Звезды, входящие в состав двойной
системы, обращаются вокруг неподвижного центра масс
с периодом Г. Расстояние L от Земли до двойной системы
много больше расстояния между этими звездами. В пред-
предположении, что скорость света складывается со скоростью
источника, найдите долю периода, в течение которой легкая
В v
v A
^/\~\/\хч^/
Рис. 19
звезда видна с Земли на более удаленной половине орбиты
между точками А и В (рис. 19). Скорость легкой звезды
Рассматриваемой двойной системы равна и. В действи-
действительности время видимого прохождения половины орбиты
Равно половине периода обращения. Как это объяснить?
LJ Обозначим через t момент времени испускания света
в точке А, а через t0 — момент прихода этого света к зем-
земному наблюдателю. Тогда в соответствии с предположен
2 И. и. Воробьев 33

нием задачи
В точку В легкая звезда приходит из точки А через время
Т/2, а запаздывание на том же расстоянии L вычисляется
по скорости сигнала с + v. Поэтому tx — момент времени
прихода к земному наблюдателю света^ испущенного в
точке В орбиты, будет
L
2 "Г" с + у
Время видимого с Земли прохождения легкой звездой
половины орбиты от ее точки А до точки В равно разности
h — tn* а именно
Аналогичным образом находится время видимого про-
прохождения легкой звездой другой половины орбиты:
Различие скоростей света,: испущенного в точках А
и В орбиты^ при одном и том же пройденном расстоянии
обязательно приводит к неодинаковым запаздываниям
моментов приема по отношению к моментам времени ис-
испускания, а значит и к неравенству Тг и 5Г2. Поскольку
по данным наблюдений Тг = Г/2 = Т2, то это означает
независимость скорости света от движения испустившей
его звезды. Де-Сштер A913 г.), следуя предложению
Комстока A910 г.), провел количественное рассмотрение
данных наблюдений и оценил, с какой погрешностью они
подтверждают независимость скорости света от движения
источника.
4. Наше Солнце. Из-за вращения Солнца восточный
и западный края его видимого экватора движутся в про-
противоположные стороны со скоростью 2 км/с В 1955 г.
А. М. Бонч-Бруевич провел опыт (рис. 20), суть которого
состояла в сравнении интервалов времени, в течение ко-
которых свет, испущенный восточным и западным краями
солнечного экватора, проходит один и тот же путь длиной
2 км. Разность интервалов оказалась равной нулю при
погрешности измерений Д? = 1,4* 10~12 с. Сравните по-
34

грешность измерений с ожидаемой разностью временных
интервалов, соответствующей гипотетическому случаю
сложения скоростей света и источника.
2км/с
Zhm/c
2км
Рис. 20
Ожидаемая разность временных интервалов
L L 2Lu _ 2Lv
Т =¦
Так как с ж 300 000 км/с, то для L = 2 км получаем
<г = 9*10~"п с, что в 60 с лишним раз больше погрешности
опыта.
5. Локация. Локатор с остронаправленной антенной
облучает интересующий нас объект световыми импульсами
и принимает отраженное излучение. Как определить мо-
момент отражения и положение объекта в этот момент по
отношению к локатору? Испускание и прием сигналов
регистрируются по часам локатора.
Q Расстояние находится по промежутку времени между
испусканием и приемом отраженного от объекта сигнала:
г = c{t2 — ггI2.
Момент испускания tx и момент приема ?2 регистрируются
по часам локатора. Для определения направления сигналы
должны быть остронаправленные. Если поместить излу-
излучатель и приемник в точке, где зеркало-антенна собирает
параллельный пучок света, то по ориентации зеркала
можно судить о направлении испускаемого и принимаемого
сигналов.
В разделе 1 имеется подробное обсуждение определения
момента отражения
* = (*! + 4I2.
, что такое определение означает равенство
времени пути туда и назад: t — tx = t2 — t.
2* 35

6. «Шариковая» локация. Почему бы не воспользовать-
воспользоваться для локации, скажем, теннисными шариками — обстре-
обстреливать ими объекты и регистрировать их возвращение?
Вообразим, что два совершенно одинаковых устройства
выбрасывают одновременно два одинаковых шарика в
одном и том же направлении. Пусть шарики упруго от-
отскакивают от двух тел, движущихся в противоположных
направлениях. Будет ли совместным возвращение шариков,
если отскоки происходят в момент встречи этих тел?
Q До места ударов, ввиду оговоренного равноправия,
шарики летят вместе. Но после ударов скорости шариков
становятся различными, поэтому шарик, испытавший
встречный удар, вернется назад быстрее. В этом случае
для совпадающих событий время возвращения одновре-
одновременно испущенных шариков оказывается разным. Наобо-
Наоборот, если столкновения произошли в разных местах и одно
позже другого, то более далекое тело может так ударить
шарик, что он вернется назад как раз вместе со своим «со-
«собратом». Трудности связаны с тем, что движение шариков
после отражения зависит от того, с чем и как они столк-
столкнулись. Если формально ввести момент времени отражения
как среднее арифметическое моментов вылета и возвра-
возвращения шарика, то такое определение, как мы уже убеди-
убедились, не приспособлено для упорядочения событий.
Как же быть с упомянутой в первом разделе возмож-
возможностью использовать произвольные сигналы? Напомним,
что там имелось дополнительное требование равенства
скоростей прямого и обратного сигналов. В общем же слу-
случае мало знать время испускания и время возвращения
шарика. Нужны добавочные измерения, например, ско-
скорости шариков, или нужно усложнить саму процедуру
локации.
5. ЛОКАЦИЯ И ДВИЖЕНИЕ
В каждой инерциальной системе отсчета место и время
событий устанавливаются по своим локаторам и часам.
С помощью световой локации можно проследить и за
процессами, происходящими на движущемся теле. Рас-
Рассматривая обмен световыми сигналами между различными
инерциальными системами отсчета, можно разобраться
в том, как их относительное движение влияет на размеры
тел и временные интервалы.
1. Измерение скорости. Локатор, показанный на рис. 21,
посылает радиоимпульсы один за другим через интервалы

времени Тг. Отраженные от автомобиля импульсы воз-
возвращаются вдоль шоссе назад к локатору через равные
промежутки времени Т2. Какова скорость автомобиля?
Рис. 21
Q Из рис. 22, где изображены графики движения авто-
автомобиля и радиоимпульсов, ясно, что, посылая к объекту
световые сигналы, можно следить за изменением расстояния
с течением времени. По моменту испускания импульса tx
Рис. 22
и моменту приема отраженного импульса t2 находим рас-
расстояние в момент отражения сигнала
» — ^Ч <! ^^ ''1/''"
и сам момент времени отражения:
Следующий импульс испускается в момент времени
tl ^ h + Ти а возвращается в момент t\ = t2 + T2. Так
Что отражение этого импульса происходит на расстоянии
г' = с (?-
п момент времени
37

Таким образом,, расстояние до объекта возрастает на
Аг = г' - г = с(Т2 - 7\)/2
за время
А л _ J.' Л. | / /ТТ | /77 \ /О
tA t —— v ——• \f —— I X о |" J. -* if & ф
Так как v = Аг/Д^, то находим скорость автомобиля:
_. ^2—74
Применение периодических импульсов позволяет из-
измерять скорость на всем протяжении пути и следить за
ее постоянством,
2. Отражение волны. Как меняется период электро-
электромагнитной волны при отражении от удаляющегося со
скоростью v тела? Как меняется длина волны при отраже-
отражении? Рассмотрите также случай приближения тела к не-
неподвижному источнику излучения.
[П Период волны Т равен интервалу времени между про-
прохождениями одной и той же неподвижной точки соседними
горбами или впадинами волны. В данной точке через пери-
период Т происходит полное повторение всех характеристик
волны. Длина же волны X равна наименьшему расстоянию,
на котором в фиксированный момент времени повторяются
все характеристики волны. В частности, расстояние между
соседними горбами или впадинами равно X. Электромаг-
Электромагнитные волны в пустоте распространяются со скоростью
света. Поэтому длина волны и период связаны соотноше-
соотношением X = сТ.
С соответствующими изменениями применимы рас-
сужденич из предыдущей задачи. Достаточно проследить
не за импульсом, а за горбом волны. Обозначим период
испускаемой источником волны через 7\, а период отра-
отраженной волны — через Г2, тогда соответствующие длины
волн Xt = сТг и Х2 — сГ2. Согласно решению предыдущей
задачи
v ~ с тг + Тх '
откуда находим
а после умножения обеих частей последнего равенства
на с получаем
Л2 = Л1 =7"'
38

При удалении тела от источника излучения скорость
v ^> ®i так что Длина волны излучения после отражения
возрастает; при сближении же тела с источником скорость
v <^ 0^ в этом случае отражение приводит к уменьшению
длины волны излучения.
Поучительно рассмотреть изменение длины волны
при отражении, анализируя рис. 23. Проследим за одним
Зеркало
Рис. 23
периодом волны. Обозначим через т время, в течение ко-
которого волна набегает на объект. За это время объект уйдет
на расстояние vx, а «хвост» волны пройдет расстояние
Х± + VX = СТ,
откуда
— v).
За это же время т «голова» развернувшейся волны прой-
пройдет расстояние ст, к которому нужно добавить смещение
объекта vx, чтобы получить работояние от «головы» до
«хвоста» в развернувшейся волне. Это расстояние и есть
длина волны после отражения:
= СХ
VX.
Подставив выражение для т, получим окончательно
Поскольку частоты обратно пропорциональны пери-
периодам и длинам волн (v = 1/Г = с/к), то для них будет
3. Дистанция между ракетами. Две ракеты уходят от
базы с одинаковой скоростью и по одной прямой. Локатор
базы посылает световые импульсы через интервалы вре-
времени Т1% Возвращение к локатору светового импульса,
39

отраженного передней ракетой, совпадает с возвращение^
к локатору следующего импульса, отраженного последней
ракетой. От какой бы ракеты импульсы ни отражались,
они приходят к локатору через равные интервалы време-
времени Т%. Определите время прохождения света между ра-
ракетами в прямом и обратном направлении и расстоянии
между ними.
? У ракет одинаковые скорости относительно базы^
= С
7*2-74
поэтому расстояние между ними неизменно. Обратимся
к рис. 24, на котором изображены графики движения ракет
и световых сигналов. Рассмотрим два последовательных
импульса. Пусть первый из них испущен локатором базы
в момент времени tly а в момент времени t он догнал по-
последнюю ракету. Часть света при этом отразилась и вер-
вернулась к локатору в момент t2x а часть света прошла дальше
и в момент tr отразилась от передней ракеты. Этот отра-
отраженный импульс встретился с последней ракетой в момент
времени t", когда эту же ракету догнал второй импульс,
испущенный локатором. После этого первый световом
импульс, отраженный передней ракетой, и второй импульс,
отраженный последней ракетой, вместе приходят к лока-
локатору базы в момент времени t2 -f- Г2.
40

Моменты времени трех пвеледовательвых* встреч света
с последней ракетой, с передней и снова с последней ра-
ракетой находятся по соответствующим моментам испускания
й приема импульсов локатором базы:
1 в
Отсюда легко найти интервал времени прохождения света
от последней ракеты к передней,
и от передней обратно к последней ракете:
**_*'=: Тг/2.
Перемещение света за время Г2/2, с одной стороны,
равно сТ<2/2, а с другой,— I + vT%l2\ к расстоянию между
ракетами добавляется смещение передней ракеты за это
время
сТ2/2 = I + vT2l2.
Аналогичное равенство имеем при обратном движении
света навстречу последней ракете:
сТх12 = I - vTx!2.
Исключая из этих двух уравнений v% находим расстояние
между ракетами:
т т
I == С "rn J 7тГ~ •
Все измерения и рассуждения относятся к системе
отсчета «база», по световые сигналы, курсирующие между
ракетами, может использовать и наблюдатель на ракете
(в системе отсчета «ракета»).
4. Коэффициент к. Продолжим предыдущую задачу.
Наблюдатели на ракетах могут определить не только рас-
расстояние между собой, но и скорость, с которой от них
Удаляется база. Пусть световые импульсы, испущенные
с базы с интервалом времени Тх по ее часам, приходят к
последней ракете с интервалом времени Тг по часам этой
Ракеты. После отражения от последней ракеты они воз-
возвращаются к базе с интервалом времени Т2 по часам базы.
Отразившись, в свою очередь, от базы, они приходят к
последней ракете с интервалом Т2 по часам ракеты. По
^тим данным легко найти упомянутые в начале задачи
в системе отсчета «ракета». Но сделайте болыпео,
41

докажите, что
тш
к
и выразите скорость относительного движения ракет ^
базы через этот коэффициент к,
Q Ракеты движутся с равными скоростями относительно
базы. Друг относительно друга они неподвижны. Еслц
вспомнить, что свет, отраженный от передней ракеты, при^
ходит к последней ракете вместе со следующим импуль
сом от базы, то ясно, что Тх равно времени прохождения
Врбнй по часам 8аш
Рис. 25
неизменного расстояния 10 между ракетами туда и обратно
в системе отсчета «ракета». В этой системе обе ракеты не-
неподвижны и Тг == 210/с. Рассматривая последующие им-
импульсы, приходящие от базы и курсирующие между ра-
ракетами, можно сделать вывод, что одинаковым по часам
базы интервалам времени Тг отвечают одинаковые по часам
ракеты интервалы времени Тг. (В этом можно разобраться
как по рис. 24, так и по схеме, изображенной на рис. 25,
в которой ва графике движения последней ракеты отме-
отмечены интервалы времени по ее часам.) Удвоенному ж*
интервалу между посланными сигналами по часам истоЧ'
ника отвечает удвоенный интервал времени между момеН'
тами прихода этих сигналов к ракете по ее часам, утроей'
ному—утроенный и т. д. Это означает пропорциональное?*
42

любых интервалов времени при приеме световых импу ль-
соВ интервалам времени при их испускании:
%' измеряется по часам инерциального «прием:гика»,
— по часам инерциального «источника». В частности,
д сигналов, идущих от базы с интервалом времени Т2
по ее часам,; имеем
Т'г =* кТ2
с тем же коэффициентом к, что и в соотношении
Т\ = кТг.
Для наблюдателя, находящегося на ракете,: уходящие
от него с интервалом времени 7\ световые сигналы воз-
возвращаются к нему после отражения от базы с интервалом
времени Т2. Поэтому согласно результату первой за-
задачи данного раздела скорость базы по отношению к сис-
системе отсчета «ракета»
т' т*
v' = c 2 г
Причем ввиду равенств Т2 = JcT2 и Тх = кТг имеен
Т2 — Тх
^2 + ^1
где v — скорость ракет в системе отсчета «база»* Относи-
Относительно ракеты база удаляется с той же скоростью v% что
ц ракета от базы по измерениям в системе отсчета «база».
Таким образом, для случая испускания сигналов с ра-
ракеты к базе ситуация оказывается той же, что и для ис-
испускания сигналов с базы к ракете. В любом случае сиг-
палы принимаются приемником, удаляющимся от источ-
источника со скоростью v. Поэтому в то же самое число раз к
Должен измениться интервал времени при приеме по срав-
сравнению с интервалом времени при испускании сигналов.
Рассматривая отраженные от последней ракеты импульсы,
приходящие к базе через интервалы времени Т2 по часа?!
базы, имеем
Т2 = кТ[.
Теперь уже легко выразить и относительную скорость
к. Так как Т[ - кТъ то Т2 = к2Ти откуда
43

Результат этой задали исключительно важен. С по-
помощью коэффициента к мы получаем возможность связать
измерения, производимые в разных инерциальных систе-
системах отсчета.
5. Выражение для коэффициента к. Инерциально дви-
движущиеся по одной прямой два звездолета ежесекундно
по своим часам отправляют световые сигналы. Наблюда-
Наблюдатель одного звез юлета принимает сигналы другого звездо-
звездолета через интервалы времени, большие в к раз, чем ин-
интервалы при их передаче по наблюдениям на другом
звездолете. Через какие интервалы времени приходят
отраженные сигналы? Выразите коэффициент к через от-
относительную скорость движения звездолетов v в случае
их удаления и сближения.
Q Коэффициенты к одинаковы для звездолетов, ведь каж-
каждый относительно другого удаляется с той же самой ско-
скоростью v, Первый звездолет посылает сигналы с односе-
кундным интервалом в направлении второго, по часам
которого приход и отражение этих сигналов происходит
через к секунд. Тогда прием этих отраженных сигналов
по часам первого звездолета происходит с периодом еще
в к раз большим, то есть с интервалом в к2 секунд (рис. 26).
Рис. 26
Допустим, что, двигаясь по одной прямой, звездолеты
сначала сближались, а затем после встречи, двигаясь с
прежними скоростями, удаляются. Если начиная с
момента встречи последний сигнал послан спустя время
tx, то значит, послано tt секундных сигналов. После отра-
отражения этот последний сигнал вернется к первому звездо-
звездолету через время t2 = кНг после встречи. Нетрудно по-
понять, что tx = t — г/сш a t2 = t + rIс, где t — интервал
времени от момента встречи до момента отражения по из-
измерениям первого звездолета, а г — расстояние в этот
момент от первого до второго звездолета. При скорости
второго звездолета v (в системе первого) г = vt. Поэтому
tx = t — vie = t A — vie),
h = t + r/c = t A + vie).
44
4

Так как А2 = t2/t1% то из выражений для tx и t2 найдем к
в случае удаления:
Для случая сближения рассмотрим рис. 27* Сигнал,
отправленный за время tx до встречи звездолетов, вернется
Рис. 27
к этому же звездолету раньше момента встречи на время
t2. В этом случае к' = Yh^h* При сближении звездоле-
звездолетов tx = t A + *V<?K а *2 — * A — v/c)i гДе ^ — время от
момента отражения сигнала до встречи звездолетов. Тогда
*-УШ-
Оба случая описываются предыдущим выражением для
А:, если под v понимать алгебраическое значение скорости,
то есть считать v ^> 0 при удалении и у<^0 при сближе-
сближении систем отсчета. В случае сближения период следова-
следования импульсов, получаемых наблюдателем от движущего-
движущегося объекта, меньше периода следования импульсов при
их испускании на этом объекте, а в случае удаления —
наоборот. Изменение знака скорости обращает коэффици-
коэффициент к:
к' = ilk.
6. Замедление времени. Часы, движущиеся относитель-
относительно локатора со скоростью v, при пролете рядом с часами
локатора доказали вместе с последними нулевой момент
времени. В какой момент времени t по часам локатора по-
ползания движущихся часов равны т?
U Рассмотрим рис. 28. Сигнал, посланный локатором в
момедт tx по его часам, отражается от движущихся часов
п момент, когда они показывают время т. Отраженный
45

сигнал приходит к локатору в момент^ по его часам* Тогда
тг/^ == t2/x = к. Из равенства этих отношений получаем
х2 = txt2. Так как tx = t (I — р/с)Л a ?a = ' A + vl°)i T0
т2 = Р [1 ~
и окончательно
t
Заметим, что при выводе этой формулы нам даже не потре-
потребовалось использовать конкретное значение коэффициен-
коэффициента к.
Множитель у == l/|Al — (v/cJ неоднократно встречает-
встречается в теории относительности. Его называют релятивистским
множителем, В данном случае у показывает,; во сколько
раз замедляются движущиеся часы. Для скорости и, мно-
много меньшей световой, у почти не отличается от единицы и
эффект замедления времени незаметен. Для скорости ул
близкой к световой, у может быть весьма большим.
До сих пор речь шла о часах. Но наш результат, ко-
конечно, относится к временному ходу любых процессов.
Течение любых процессов в движущейся системе отсчета
замедляется в у раз в сравнении* с таким же процессом в
неподвижной системе отсчета *),
*) При сравнении инерциальных систем отсчета в рамках
конкретного обсуждения одну из систем отсчета условно назЫ'
ваем «неподвижной», рассматривая движение остальных систем
отсчета по отношению к ней. Такое словоупотребление не означает
отказа от относительности движения и покоя, так как любую инер-
циальную систему отсчета можно принять за неподвижную8
46

7. Световые часы. Рассмотрим воображаемые часы^ схе-
да которых показана на рис. 29. Свет от лампы-вспышки
отражается зеркалом и попадает на фотоэлемент, снова
включающий лампу. Зеркало и лампа с фотоэлементом
закреплены на концах стержня длины Z.
Тогда промежуток времени между вспыш-
вспышками % = 211с. По числу вспышек можно
измерять время. Какой промежуток вре-
времени понадобится для возвращения света
к лампе, если время измерять по часам,
относительно которых световые часы дви-
движутся со скоростью v перпендикуляр-
перпендикулярно стержню? Для решения задачи исполь-
используйте неизменность размеров объектов по
направлениям, перпендикулярным векто
ру скорости.
Q Пусть свет достигает зеркала за время
Т при измерении по неподвижным часам
(рис. 30). Зеркало за это время сместит-
сместится из точки В в точку В' на расстояние vT.
Расстояние от места вспышки А до места
отражения равно сТ. Для прямоугольного треугольника
АВВ' имеем
{cTf = {vTf + 1\
откуда
Рис. 29
j/"c2 — у2 '
столько же времени займет возвращение света к лампе,
поэтому t = 2Г, и окончательно
В vT У , В"
t = - ===== VT.
В данном случае у света про-
проекция вектора скорости на направ-
направление сноса равна ср = у, а на
направление, поперечное сносу1—
с± =z ус2 — v2.
Если исходить из эффекта за-
замедления времени, проанализиро-
проанализированного в предыдущей задаче, то,
{усматривая наши световые часы, можно доказать неиз-
^"п поперечных размеров. В дапной же задаче мы
из обратного и получили предыдущий резуль-
о замедлении времени, но только другим способом.
47

В заключение заметим, что прежнее выражение для t
остается в силе и для любой другой ориентации стержня
световых часов относительно направления движения.
В самом деле, соединим одинаковые световые часы под
углом друг к другу, как показа-
показано на рис. 31. От общей лампы-
вспышки свет идет к зеркалам,
отражается от них и возвращается
к общему фотоэлементу, затрачи-
затрачивая на это одно и то же время т.
Что будет происходить при посту-
поступательном движении двойных све-
световых часов с постоянной ско-
скоростью? В системе покоя *) длины
стержней световых часов одинако-
одинаковы, световые импульсы от вспышки
Рис. 31 одновременно вернутся к началь-
начальной точке после отражения от
зеркал В ж С. На, фотоэлементе произойдет встреча отра-
отраженных сигналов. Это же произойдет и в любой системе
отсчета, поскольку факт события не зависит от выбора
системы отсчета. Одновременное возвращение света к фо-
фотоэлементу по «поперечному» и по «наклонному» пути и
доказывает независимость t = ух от ориентации.
8. Продольные размеры. Мимо локатора пролетает
стержень со скоростью у, направленной вдоль стержня.
Когда задний его конец А поравняется с локатором,
к зеркалу на переднем конце стержня В локатор направля-
направляет световой сигнал. Через какое время отраженный сиг-
сигнал вернется к локатору, если длина стержня, измеренная
в движущейся вместе с ним системе отсчета, равна /0?
Какова длина стержня по измерениям локатора?
Ц Свет послан в момент совмещения заднего конца стерж-
стержня и локатора. В системе «стержень» свет дойдет до зерка-
зеркала и вернется к заднему концу стержня через время 2101с
от момента испускания света локатором. Если предста-
представить, что в момент встречи заднего конца и локатора к ло-
локатору был послан световой сигнал, то 210/с можно рас-
рассматривать как интервал времени между сигналами, по-
посланными к локатору с заднего конца стержня, а Г — как
интервал при приеме этих сигналов локатором. Поэтому
*) Системой покоя данного объекта называют систему отсчета,
относительно которой объект неподвижен,.
48

локатору свет вернется через время
Оо часам локатора.
Длина стержня, измеренная в неподвижной системе
отсчета, равна разности расстояний от локатора до даль-
дальнего конца стержня и до ближнего его конца L причем рас-
расстояния должны быть измерены в один и тот же момент
Т/2 Г Часы локатора
Рис. 32
времени, например в момент отражения света от зеркала.
Отражение по часам локатора происходит спустя время
772 от момента испускания света, ведь Т — это время
прохождения света туда и обратно (рис. 32). Свет до мес-
места отражения проходит расстояние сГ/2, а ближний конец
стержня уходит за это время от локатора на расстояние
vT/2. Поэтому длина движущегося стержня равна I =
={с —- и) Т/2. Используя выражение для Г, получаем
Если использовать релятивистский множитель^ то
Поперечные размеры тела остаются неизменными, а про-
продольные сокращаются в у раз по сравнению с продольными
размерами тела в системе отсчета, где оно покоится.
9, Длина и время. Не обязательно для измерения длины
движущегося стержня использовать локационные изме-
Рения. Если стержень движется вдоль собственной оси
с<> скоростью у, то можно измерить время пролета стержня
т по неподвижным часам. Включим секундомер при сов-
МеЩении с ним переднего конца стержня и выключим при
совмегцении с ним заднего конца стержня. Тогда длина
49

стержня I = v%. В системе отсчета, движущейся вместе
со стержнем, также можно определить его длину /0, из-
измеряя время прохождения секундомера исходной системы
отсчета между концами стержня. Выведите соотношение
I = Z0/y, опираясь на эффект замедления времени.
Ц Обозначим через t время пролета секундомера исход-
исходной системы отсчета между концами стержня по измерениям
в системе, в которой стержень покоится. Относительно
стержня секундомер движется со скоростью у, и поэтому
длина стержня в системе его покоя
10 = vt.
С другой стороны, t — это промежуток времени в системе
покоя стержня,^ в течение которого показания движущего-
движущегося секундомера стали равны т. Поэтому, согласно полу-
полученному ранее выражению для эффекта замедления вре-
времени,
t = yt'
Используя равенства I = vx и 10 = vt, получаем 10 =
= у1г или
в полном согласии с результатом предыдущей задачи дли-
длина движущегося стержня в у раз меньше длины этого стерж-
стержня в системе его покоя»
10. Относительность одновременности. Свет от вспышки,
произведенной посередине неподвижного стержня длины
I -^ I
Рис. 33
Zo, достигает его концов одновременно. Такой же стержень
движется со скоростью v вправо и в средней его точке про-
происходит световая вспышка (рис. 33). Насколько раньше
свет придет к левому концу движущегося стержня, чем
к правому? Время определяется по неподвижным часам.
Г~] В неподвижной системе отсчета, относительно которой
движется стержень, расстояние между световым сигналом
и движущимся ему навстречу левым концом стержня убы-
50

вает каждую секунду на с + и. Обозначим через I длину
стержня, измеренную в неподвижной системе отсчета.
«Тогда встреча светового импульса с левым концом стержня
яроизойдет через время т+ = 1/2 (с + v) после момента
вспышки. Для света, идущего вправо, расстояние до ухо-
уходящего от него правого конца сокращается за каждую
секунду на с — v. Поэтому до встречи с правым концом
пройдет большее время: т_ = 1/2 (с — v). Таким образом,
свет дойдет до левого конца раньше, чем до правого, на
время
4(—
2 \ с — v
Учитывая полученный в предыдущей задаче результат
I == 10/уг приходим к выражению
Причина неодновременного прихода света к концам
движущегося стержня очевидна: один конец идет навстре-
навстречу свету, а другой от него уходит. В движущейся системе
отсчета, относительно которой стержень покоится, свет
от его середины одновременно приходит к его концам.
В этой системе отсчета приход света к его левому и к его
правому концам — одновременные события, события, про-
происходящие в один и тот же момент времени.
11. Релятивистское сложение скоростей. Он станции
слежения по одной прямой, как показано на рис. 34^
Станция
Рис. 34
Удаляются две ракеты. Первая ракета по измерениям стан-
Чии движется со скоростью vx вторая же по измерениям
51

наблюдателей первой ракеты имеет скорость и. Со стан-
станции слежения ежесекундно посылают световые сигналы
в направлении ракет. С какими промежутками времени эти
сигналы принимаются на ракетах? С какой скоростью
вторая ракета движется относительно станции?
П Первая ракета принимает сигналы через интервалы
длительностью кг секунд по своим часам, где
Можно считать, что принимаемые от станции сигналы пер-
первая ракета ретранслирует второй ракете без задержки
через интервалы, также равные кг. Интервал между сиг-
сигналами при приеме их второй ракетой увеличится в к2
раз, где
-1/ * + »
~ У 1 - и
•Jo *
Поэтому по часам второй ракеты интервалы между сигна-
сигналами составляют к = кгк2. Естественно, и при непосред-
непосредственном приеме сигналов со станции произойдет увели-
увеличение периодов в к раз.
Скорость второй ракеты по отношению к станции вы-
выражается через к = кгк2:
Чтобы не ошибиться в преобразованиях довольно громозд-
громоздких выражений, которые получатся при подстановке зна-
значений кг и к2х рассчитаем сначала отдельно числитель и
знаменатель:
к 12 ,
После этого получаем сравнительно простое выражение
для ю%
W l + vu/c* •
Это соотношение является обобщением на релятивистский
случай правила сложения скоростей, действующего в клас-
классической кинематике в случае параллельных скоростей.
При v и м, много меньших скорости света с, слагаемым
vulc2 в знаменателе можно пренебречь по сравнению с
52

яяйцей. Тогда приближенно скорость дается простой
ьу w х v + и.
Отличие от приближенной формулы существенно для ско-
скоростей, сравнимых со световой. В частности, при и = с
^ любой скорости v получается w = с.
формула «релятивистского сложения» скоростей опи-
описывает результат действия инерциального сноса скорости
v на скорости частиц и, направленные по этому сносу.
По измерениям же наблюдателей первой ракеты рас-
расстояние между второй ракетой и станцией возрастает еже-
ежесекундно на w0 = v + и' В самом деле, ведь от нее за
секунду по ее часам станция уходит на г? в одну сторону,
а вторая ракета — на и в противоположную сторону.
Очевидно, что w0 не равно w.
Ввиду относительности времени и расстояний скорость
удаления объектов друг от друга зависит от выбора систе-
системы отсчета, в которой эту скорость измеряют.
6. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
Раздел посвящен применениям основных идей реляти-
релятивистской кинематики и некоторым экспериментальным ее
подтверждениям. Задачи сгруппированы в порядке изло-
изложения тем предыдущего раздела.
Продольный эффект Доплера
В 1842 г. Доплер предложил объяснить цвет звезд
влиянием их движения на спектральный состав излучения.
Вообще говоря, это не верно. Однако сама идея о зависи-
зависимости цвета, то есть частоты (или длины) излучения, от
движения источников оказалась исключительно ценной.
1. Подобие спектров. Можно обнаружить химические
элементы в атмосфере звезд по дошедшему от них свету,
пбо атомы химических элементов имеют характерный
спектр излучения и поглощения. Для удаляющихся или
пРиближающихся звезд спектры приходящего к наблюда-
наблюдателю излучения отличаются от соответствующих спектров
источника, неподвижного относительно наблюдателя. Каж-
Д°й спектральной линии с длиной волны Хо в спектре не-
ц°движного источника отвечает подобная линия в спект-
Ре звезды, но только с длиной волны К = АЛ0, где коэффи-
коэффициент к одинаков для всех спектральных линий данной
53

звезды» Объясните эту замечательную закономерность и
свяжите к со скоростью звезды.
Q Атомы элемента в эвездной атмосфере интенсивно по-
поглощают свет только отдельных спектральных компонент,
соответствующих определенному набору длин волн. Из-за
такого избирательного поглощения в сплошном перво-
первоначально спектре излучения внутренних раскаленных сло-
слоев появляются семейства узких темных линий. В системе
отсчета% в которой звезда неподвижна, длины волн спект-
спектральных линий поглощения те же,, что и в лаборатории.
Движение звезды относительно наблюдателя влияет на
длины волн и периоды принимаемого им излучения. По-
Почему же «искажение» всех длин волн происходит в одно
и то же число раз?
Причина этого проста. Дело в том, что любые волны
идут по прямой к наблюдателю с одной и той же скоростью.
Представим себе, например, что при одновременном излу-
излучении на отрезке в три длины волны первой спектральной
компоненты укладывается пять длин волн второй компо-
компоненты и семь — третьей. Поскольку волны всех этих спект-
спектральных компонент движутся по одной прямой с одной
и той же скоростью, то наложение сохраняется на всем
пути до приемника. Значит, за время приема трех длин
волн первой компоненты принимается пять длин волн
второй и семь — третьей спектральной компоненты. Со-
Сохранение таких пропорций при приеме означает, что если
длины волн и меняются, то для всех спектральных линий
в одно и то же число раз. Естественно, в то же самое число
раз изменяются и длины волн, относящиеся к пропускам
в спектре, к темным спектральным линиям.
Изменение длин волн в к раз означает и изменение в к
раз соответствующих периодов:
Т - кТ0.
Если вспомнить о связи интервалов времени при приеме
и при испускании световых сигналов при инерциальном
движении источника и приемника по одной прямой то
1 — у/с '
где, в данном случае, v — скорость удаления звезды*
Для длин волн К = сТ и Ко = cTQi поэтому
. — у/с

Коэффициент к дает релятивистское выражение для эф-
эффекта Доплера как в случае удаления {и > 0), так и в слу-
чае сближения (v < 0) звезды и наблюдателя. Отметим,
что рассмотрено только движение по прямой, соединяющей
источник и приемник.
2. Нерелятивистское приближение. Доплеровское из-
изменение длин волн и периодов имеет место и для звуко-
звуковых волн. Поскольку скорость звука с8В много меньше
скорости света, то вполне применима классическая кине-
кинематика. Определите длину волны звука, воспринимаемого
неподвижным относительно воздуха наблюдателем от уда-
удаляющегося от него со скоростью v звукового источника.
Покоящийся источник излучает звук с длиной волны XQ.
Рассмотрите также случай, когда источник неподвижеп,
а со скоростью v относительно неподвижного воздуха дви-
движется наблюдатель.
Ц Скорость звука в среде определяется в системе отсчета,
в которой среда неподвижна. В дальнейшем будем прене-
пренебрегать увлечением воздуха движущимся источником или
приемником, будем считать весь воздух неподвижным.
В случае удаления источника от неподвижного наблю-
наблюдателя волна, порождаемая источником за период Го,
имеет длину Кг = То (сзъ + v). В самом деле, как видно
Рис. 35
из рис. 35, начало волны уйдет от первоначального по-
положения источника на расстояние сзвТ01 а конец волны,,
врожденный источником в конце периода, окажется вмес-
вместе с ним на расстоянии vT0 от первоначального положения
55

источника. Так как То = А0/сзв» т<>
Хг = А,о A + v/c9B).
При неподвижном источнике и удалении наблюдателя
волна длиной Ко = сзв Го догоняет приемник со скоростью
сэв, а он уходит от нее со скоростью v. За время приема,
Т2 конец волны пройдет расстояние савТ2, которое, с дру-
другой стороны, равно сввТ0 + vT2, так как сам приемник
переместится на расстояние vT2. Отсюда
что соответствует длине волны
Все рассуждения проводились в системе отсчета, где воз-
воздух неподвижен, а релятивистскими эффектами мы пре-
пренебрегали.
В историческом аспекте интересно, что до создания тео-
теории относительности свет рассматривали как волны в не-
некой гипотетической среде, называемой эфиром. Скорость
света принималась постоянной в системе отсчета, в которой
эфир покоится. Расчет в рамках классической кинематики
при таком предположении буквально повторяет проведен-
проведенный нами расчет для звуковых волн,; а результат получа-
получается заменой сзв на скорость света с. Поэтому при движе-
движении источника
К - Яо A + v/c),
а при движении наблюдателя
%2 = Хо/A - vie).
В отличие от релятивистского выражения, дающего
один и тот же результат при той же относительной скоро-
скорости удаления, как в случае движения источника, так и
в случае движения приемника, в классической кинемати-
кинематике Ях и %2 различны!
Отношение нерелятивистских значений длин волн к
точному релятивистскому выражается через множитель у:
При учете релятивистского замедления времени в пер-
первом случае в неподвижной относительно приемника систе-
56

е отсчета время испускания волны равно не То, а уТ0 =
\ T/Y ! (lJ ТогДа
X - Г.т(е+ »)-Л,
go втором случае время приема найдено по часам неподвиж-
неподвижного источника, по часам же приемника пройдет время,
в у раз меньшее. Поэтому
С =
' Г
у (с — о)
у[ в том и в другом случае К = Хок.
3. Проверка. Электрическим полем разгоняются ишьт
молекулярного водорода Н^. При их распаде образуются
возбужденные атомы водорода Н, которые излучают. Для
покоящихся атомов это излучение имеет длину волны А,о.
Измерили один раз длину волны ^+ при удалении атомов
со скоростью v от регистрирующих приборов, другой раз —
длину волны Х_ при приближении атомов с той же скоростью.
После этого находим среднее арифметическое значение
\ = (А,+ + ^_)/2. Почему экспериментально наблюдаемое
отклонение X от Хо свидетельствует против обычной кине-
кинематики? Каково релятивистское выражение для к?
Q По перелятивистским выражениям Я,+ = XQ (I + vie)
и X. = Яо A —- у/с), здесь у — модуль скорости. Среднее
арифметическое равно Яо вопреки опыту. Релятивистский
эффект Доплера не совсем симметрично смещает длины
волн
\ — \ i/l±?t -х ^v -, / 1 — у/с"
\ - до |/ i_y/c » ^ - л0 ^/ 1 + у/с •
Поэтому
Щ + ^Ц) = Т^
Относительное же отклонение среднего значейия К от
Согласие с теорией относительности установлено в
пределах 3% от наблюдаемого отклонения X — Хо, что
^ответствует погрешностям измерения (Айве, Стилуэлл,
4. Вычисление скорости по спектру. Длина волны каж-
каждой темпой линии в спектре звезды Капелла больше г л
57

0,01% длины волны соответствующей линии в солнечпо^
спектре. С какой скоростью удаляется от нас Капелла?
В 1982 г. в направлении созвездия Стрельца обнаружен
квазар *), в спектре которого длины волн излучения хц.
мических элементов увеличены в 4,9 раз по сравнению с
излучением неподвижных источников. С какой скоростью
этот квазар удаляется от нас? Применимо ли нерелятивист,
ское приближение в этом случае?
Q Так как отношение длин волн
то по известному к легко получить точное релятивистское
выражение для скорости:
= С
Сдвиг спектра Капеллы весьма мал: к — 1 = 10~4,
поэтому хорошую точность дает нерелятивистское прибли-
приближение. Из нерелятивистской формулы к = к0 A + vie)
можно найти скорость
что для данной звезды приводит к v = 10~4с х 30 км/с#
Для квазара же из созвездия Стрельца при к = 4,9
нерелятивистское выражение v = с (к — 1) приводит к
скорости, почти вчетверо большей скорости света. Это за-
заведомо неприемлемо. Поэтому следует обратиться для
вычисления скорости к релятивистскому выражению,
в данном случае
Скорости, сравнимые со световой, а тем более близкие F
скорости светаг целесообразно выражать в долях скорости
света.
Замедление времени
Одно из самых впечатляющих подтверждений теория
относительности — эффект замедления времени. Замедле-
Замедление времени проявляется, когда сравнивают временные
характеристики процессов^ происходящих с движущимися
*) Квазары —далекие космические объекты, похожие на фото-
фотографиях на звезды, мощность их излучения сравнима с излучение*1
галактик,
58

неподвижными объектами» Оно особенно заметно для
больших скоростей.
5. Продление жизни. Период полураспада покоящихся
оложительных пионов т0 = 1,8-1(Г8 с. Положительные
пионы распадаются в основном на мюоны и мюонные ней-
нейтрино'-
g опытах (Дарбин, Лоар, Хевенсх 1952 г.) образовывали
0уЧок пионов со скоростью и = A! — 5-Ю) с. Каков пе-
период полураспада этих пионов по лабораторным измере-
измерениям? Какое расстояние пролетают пионы пучка, прежде
чем половина их распадается?
П Все процессы с движущимися объектами по лаборатор-
лабораторным измерениям идут в у раз медленнее, чем такие же про-
процессы с неподвижными объектами. И временные характе-
характеристики распада подчиняются этой закономерности, хотя
распад каждого отдельного пиона случаен. В самом деле,
ведь и явление распада можно использовать для измере-
измерения времени. Поэтому период полураспада летящих пио-
пионов
т = уг0.
Для удобства расчета представим релятивистский мно-
множитель как
Y
В множителе подкоренного выражения A + vie) можно
пренебречь отличием vie от единицы, тогда 1 + v/cz^2.
Второй множитель по данным условиям задачи 1 — vie =
= 5-1СГ5. Тогда с хорошей точностью у = 100г и
т - 1,8.1(Г6с.
За это время пионы пролетят расстояние
I = vx х 540 м
11 только половина пионов пучка распадется.
При отсутствии эффекта замедления времени половина
яионов распалась бы на пути 5,4 м, половина оставших-
Ся ~- на следующем участке в 5г4 м и т. д. На счетчик,
помещенный в пучок на расстоянии 540 м, попала бы то-
JjAa только A/2I00 доля от первоначального числа пионов.
*ак как два в десятой степени — это 1024, близкое к 103„
то 21°о ^> 10зов Поэтому чтобы хотя бы один пион достиг
нетчика с заметной вероятностью t их первоначально в
59

пучке должно быть больше 1030! На всех ускорителях мир9
не получено столько пионов. В действительности же боль,
шое число пионов регистрировалось на расстоянии в де,
сятки и сотни метров в полном соответствии с выведенным
выше ослаблением интенсивности пучка вдвое на расстоя-
пии 540 м.
Продление в у раз жизни нестабильных частиц при ощ.
лосветовых скоростях — настолько надежно установлен
ный факт, настолько наглядно сказывающийся в работе
оборудования (хотя бы из-за увеличения длин пробега),
что в ускорительной физике это воспринимается весьма
прозаично, как обычный элемент повседневности.
6. Пульс пассажира. После того как звездолет покинул
пределы Солнечной системы и летел уже с постоянной
скоростью, пассажир проверил свой пульс. Оказалось,
что он участился вдвое по сравнению с обычным. Пасса-
Пассажир решил, что не мог так разволноваться, а все дело в за-
медлепии хода движущихся часов. Правильно ли его объ-
объяснение, если скорость звездолета относительно Земли v
составляет 0,87 скорости света?
Q) Хотя у, отвечающее этой скорости, близко к двум, пас
сажир ошибается. На ход процессов в инерциальной систе-
системе отсчета не влияет сама по себе ее скорость относительно
других инерциальных систем. Замедление часов и вообще
всех процессов на движущихся объектах обнаруживается
лшгь в сравнении с измерениями в системе отсчета, где
эти объекты движутся. По внутренним же наблюдениям
па звездолете его заметить нельзя. Это можно понять и с
позицир1 земного наблюдателя, в системе отсчета «Земля».
Он обнаружит, допустим, что конденсатор на звездолете
разрядился наполовину за время в у раз большее, чем
такой же конденсатор на Земле. Но он обнаружит, что в
секундомер, по которому на звездолете измеряют время
разрядки, идет в у раз медленнее. Поэтому в «искаженном»
времени полуразряда укладывается то же число «иска-
«искаженных» секунд, что и для конденсатора, покоящегося на
Земле.
А как быть с пульсом? Он независимо от скорости может
измениться по разным причинам.
7. Диалог. Капитаны инерциально движущихся звездо-
звездолетов сверяют ход своих часов. После этого они вступают
в радиопереговоры.
— Пирке, твои часы идут медленнее в полтора раза-
— Не волнуйся, Йон. И твои тоже идут медлепя^
моих в полтора раза.
60

Капитаны не ошиблись. Объясните, как это может быть,
дТо и часы Пиркса идут медленнее часов Иона, и часы
Йояа идут медленнее часов Пиркса. Заодно найдите от-
относительную скорость звездолетов.
с~\ Причина парадоксальной на первый взгляд ситуа-
jj~0 в том, что по локационным измерениям каждого
звездолета одовременными являются разные события.
Без ограничения общности можно принять^ что при встре-
встрече показания часов каждого звездолета были нулевые.
Для определения момента времени событий «чужие часы
доказывают т» на каждом корабле измеряется время от-
отправления и приема своего локационного сигнала, отра-
отражение которого от чужого корабля и происходит при по-
показаниях т чужих часов. Свой сигнал возвращается после
отражения тем же путем в прежнюю точку,; затрачивая
равное время туда и назад («свой» корабль принимается
неподвижным). Это соответствует моменту отражения
I = (tx + t2)/2. Здесь tx и t2 — моменты испускания и прие-
приема сигналов. Показания чужих часов т и своих t одновре-
одновременны. Но, наблюдая за этими локационными измерения-
измерениями из другого корабля, мы обнаружим, что пока свет пу-
путешествует, испустивший его корабль успевает переме-
переместиться и отраженный сигнал принимается в более далекой
точке, чем он был испущен. Так как пути туда и назад не
Рис. 36
одинаковы, то полусумма (tt + t2)/2 не является показа-
нием, одновременным с моментом отражения. В этих рас-
распадениях оба звездолета выступают совершенно равно-
равноправно, в любом случае «чужая» одновременность не сов-
совпадает со «своей». Для наглядности на рис. 36 приведены
гРафики движения звездолетов и световых сигналов в си-
системе отсчета, в которой звездолеты разлетаются симмет-
симметрично с равными скоростями. Здесь же отмечены события,
6J

одновременные «по часам Иона» и одновременные «по ча*
сам Пиркса». С относительностью одновременности ев я.
зано и то, что в полном согласии с принципом отнеителы
пости для Иона замедляются часы Пиркса, а для Пиркса
замедляются ча,сы Иона.
По релятивистскому множителю у = 1/ ]/*1 —
находим
что для у — 1,5 дает v = 0,73 с.
8. Поперечная скорость. Конец стрелки часов движет-
движется со скоростью и относительно циферблата. Часы удаля-
удаляются от нас со скоростью v no
нормали к плоскости часов
(рис, 37). G какой скоростью
относительно нас движется ко-
конец стрелки? Чему равна сос-
составляющая этой скорости в
плоскости циферблата?
Ц Период оборота стрелки не-
неподвижных часов То =[2пД/щ
где R — радиус окружности, по
Рис. 37 которой движется конец стрел-
стрелки. Для движущихся часов пе-
период оборота, измеренный в неподвижной системе отсчета,
равен Т = уТ0. Так как поперечные размеры неизменны,
то Т = 2nR/V±, где V± — составляющая скорости конца
стрелки в плоскости часов. Сравнивая эти выражениях
находим
7± = и/у = uf\ —(vle)\
Составляющая скорости конца стрелки по направлению
сноса V\\ совпадает со скоростью v плоскости циферблата.
Для модуля же скорости^ применяя теорему Пифагора,
имеем
F* = V\ + Vl = i* + u2 A - (vlcf).
Результаты сохраняют силу для любого движения в
плоскости, подвергнутого инерциальному сносу по нор-
нормали к этой плоскости. В частности, для движения света
в плоскости после такого инерциального сноса имеем
с И = v и Cj_ = У с2 — и2, мЪдуль же вектора скорости оста-
ется равным с.
9. Угловая аберрация. Звезда у Дракона находится
весьма далеко от Земли в направление почти перпенд#'
62

уЛярном плоскости земной орбиты. Из-за орбитального
вй?кения со скоростью 30 км/с земной наблюдатель обна-
обнаруживает движение этой звезды по кругу в течение года.
под каким углом виден радиус этого круга? Нерелятивист-
сКое объяснение этого явления — угловой аберрации —
да л Джеймс Брэдли в 1725 г.
г~] Количественное рассмотрение угловой аберрации для
г^ Дракона весьма просто. Если идет отвесный дождь,
а ми бежим со скоростью v по горизонтальной плоскости,
то по отношению к нам у капель появится горизонтальная
составляющая скорости v% направленная навстречу наше-
нашему движению независимо от того, по прямой ли мы бежим
улп по кругу. В системе покоя у Дракона роль отвесного
до/кдя поручим свету, идущему к Земле почти по перпен-
перпендикуляру к плоскости ее орбиты. Землю в течение корот-
короткого времени можно считать инерциальной системой.
Тогда составляющая скорости света, параллельпая
плоскости орбиты Земли, равна с у = у, а перпендику-
перпендикулярная — Cj, = Yc% — у2» веДь модуль скорости света
всегда равен с.
При измерениях в другой сезон, в новой сопутствую-
сопутствующей инерциальной системе составляющая скорости света
в плоскости орбиты направлена против новой орбитальной
скорости. Поэтому земной наблюдатель после учета суточ-
суточного вращения обнаружит поворот вектора скорости све-
света, а значит и его лучей, по конусу с углом ф между осью
и образующей. Полный оборот происходит за год, а для
угла ф справедливо соотношение
tg ф = Сц/Cjl = Vl]f С2 — V2 = Vylc.
Брэдли получил нерелятивистское выражение tg ф ==
= vie. Так как v = 10 с, то отличие релятивистского
угла фот нерелятивистского незначительно. Окончательно
Угол аберрации
Ф ж 1(Г4 рад да 20",
Для других звезд,: направление к которым не совпадает
с нормалью к плоскости орбиты, наблюдается годовое
Движение по малым эллипсам. По измерениям угловой
можно найти скорость света.
Одновременность и продольные размеры
Расстояние между движущимися точками определяет-
как расстояние между их положениями в один и тот же
м времени. Поэтому продольное сокращение движу-
тел связано с рассмотрением времени,
63

Земля
10. Линейка из мюонов. Частицы космических лучей
при столкновениях с атомами атмосферы Земли обильно
порождают мюоны. Период полураспада покоящихся мюо-
нов т0 = 1,5-10 с. Поэтому пучок мгоонов, порожденных
в верхних слоях атмосферы, редеет, приближаясь к поверх,
гости Земли, как из-за взаимодействия с атомами воздуха,
1ак и из-за распадов налету. Идеализируя ситуацию
реального эксперимента, будехм
считать, что счетчики регист-
регистрируют только мюоны, летя,
щие вертикально вниз с у = 44.
Счетчик воздушного шара, па-
парящего на высоте 20 км, снаб-
снабжен фильтром, толщина кото-
которого по содержанию вещества
эквивалентна двадцатикиломет-
двадцатикилометровому слою воздуха. Этот счет-
счетчик фиксирует вдвое больше
мюонов, чем такой же счетчик
за то же время на земной по-
поверхности. На рис. 38 умень-
уменьшение числа мюонов показано
сужающейся книзу заштрихо-
заштрихованной областью.
В системе отсчета, где эти
мюоны неподвижны, на цепоч-
цепочку покоящихся мюонов со ско-
скоростью, близкой к световой,
надвигаются воздушный шар и Земля. Такая цепочка мюо-
мюонов может служить и часами, и линейкой. Каково рас-
расстояние между воздушным шаром и поверхностью Земли
в системе покоя мюонов? Согласуется ли это с релятивист-
релятивистским сокращением продольных размеров?
Ц Цепочка мюонов — не совсем обычная линейка, через
время т0 половина составляющих ее частиц распадается.
Когда счетчик на поверхности Земли займет положение
счетчика на шаре, он зарегистрирует вдвое меньше мюонов.
Это означает, что перемещение Земли па искомое расстоя-
расстояние I заняло как раз время т0. Поэтому
I = vx0,
где v — скорость Земли и воздушного шара в системе по-
покоя мюонов. Так как v соответствует релятивистскому
множителю у — 44, то
v = с /1 — 1/Y2 ж A — 2,6• 10) с.
64
////////
Земля
Рис. 38

g расчете перемещения I скорость можно заменить на ?,
«так как нет смысла сохранять больше значащих цифр, чем
в условии задачи. Тогда
I ^ сх0 = 0,45 км.
С другой стороны, длина отрезка «счетчик на шаре» —
«счетчик на Земле» в системе отсчета, связанной с Землей
п воздушным шаром, равна по условию 10 = 20 км. Дви-
Движущийся отрезок сокращается в у раз1 то есть должно
быть
20/44 да 0,45 км.
полное согласие в пределах точности данных и расчетов.
11. Что предпочесть? Заполните свободные клетки
табл. 1 и объясните, почему медленные движения предпо-
предпочитают характеризовать скоростью, а быстрые — реля-
релятивистским множителем.
Таблица 1
Вид движения,
энергия
элементарной частицы
Звук в воздухе
Земля на орбите
Электрон в радиолампе,
Я = 25 эВ
Протон в циклотроне,
? = 15 МэВ
Протон в синхрофазотроне,
Я=10ГэВ
Электрон в синхротроне,
Я=10 ГэВ
Скорость
км/с
0,3
30
доля
скорости
света
0,01
0,5
Релятивист-
Релятивистский
множитель
10
20 000
О Скорость и однозначно связанный с ней релятивистский
^йожитель приспособлены выражать разные свойства
Движения. Скорость эадает «быстроту» перемещения,
а множитель у передает влияние движения на ход времени
й изменение длины. При малых скоростях, даже заметно
Сличающихся друг от друга, у весьма близко к единице
3 И и. Воробьев 65

и почти неизменно. Здесь важнее знать скорость, на пер-
первый план выступают «скоростные» свойства движения,
связанные с перемещением за единицу времени. При ско-
скоростях, близких к световой, изменениям у в десятки, сот-
сотни и тысячи раз отвечают крайне малые изменения скоро-
скорости. Отличием скорости от скорости света в расчетах пере-
перемещений при больших у можно просто пренебречь. Здесь
своеобразие движений проявляется через у в виде замедле-
замедления времени, сокращения длины и т. п.
При малых скоростях удобно пользоваться приближен-
приближенным выражением *)
2с*
а при скоростях, близких к световой, для ультрареляти-
ультрарелятивистских движений с v^lj полезно приближение:
Правильное использование приближений не только
дает возможность проводить расчеты быстро и точно, но и
помогает уловить особенности предельных, физически ин-
интересных ситуаций.
12. Авторучка пассажира. «Когда двигатели звездоле-
звездолета выключились и я пришел в себя,— рассказывал пас-
пассажир после возвращения,— то мне показалось, что по-
полет сорвался и мы вообще не летим. Но тут я вспомнил о
релятивистском сокращении продольных размеров. До-
Достал авторучку, и, когда повернул ее по оси корабля, то
заметил, что она сократилась почти втрое.» Проанализируй-
Проанализируйте это воспоминание в свете принципа относительности.
? После поворота покоящаяся авторучка сохраняет свою
длину в неподвижной системе отсчета. Согласно принципу
относительности такой поворот не приведет к изменению
длины авторучки и в любой инерциальной системе, вместе
*) Для любого показателя степени п и малого числа г (| г | <^ 1)
имеется полезная приближенная формула
A + 8)п ж 1 + пв.
Она получается из соотношения
л п(п — 1) п (п — 1) (п — 2)
= 1 + *8+ е* + — 2TJ Le3 +
отбрасыванием слагаемых, содержащих е2 и более высокие степени
малой величины е. Первому случаю в тексте отвечает п = —1/2
и е = —(и/сJ; второму же случаю — ?г = 1/2 и 8 = —1Ау2.
G8

с которой авторучка движется. Сокращение размеров тел
рдоль направления скорости имеет место по отношению
и системе отсчета, в которой это тело движется, а не по
отношению к самому телу.
Само по себе инерциальпое движение неощутимо. При
оценке расстояний работа глаза, как и любых других при-
приборов, не зависит от скорости этого движения* Чтобы
\У
Рис. 39
заметить «искажения длин», нужен взгляд со стороны.
Допустим, земной и корабельный наблюдатели измеряют
одинаковые авторучки с помощью поперечной линейки
и транспортира, как показано на рис. 39. С позиции зем-
земного наблюдателя «искаженная» авторучка на звездоле-
звездолете измеряется по «искаженному» транспортиру. Попереч-
Поперечные размеры неизменны, а размеры вдоль направления
скорости сокращены в одно и то же число раз. Нить, про-
проходящая в натянутом состоянии через центр транспорти-
транспортира от конца авторучки, или соответствующий луч света
пройдут через то же самое деление, что и при аналогичном
измерении неподвижной авторучки на Земле. «Искажен-
«Искаженные» измерения «искаженных» размеров дают те же резуль-
результаты, что и земные измерения земной авторучки. Говоря
°б искажениях, мы не забываем о равноправии инерци-
инерционных систем. Наблюдатель на звездолете точно так же
обнаружит «искажения» земных явлений и разберется,
Почему земные измерения не позволяют их заметить.
13. Шест и сарай. Чтобы спрятать шест длиной 20 м в
СаРае длиной 10 м, сообщим шесту такую скорость, что в
^стеме отсчета «сарай» его длина станет чуть меньше 10 м.
ОгДа его можно полностью вместить в сарай и закрыть
3* 67

входную дверь. Но рассмотрим происходящее в
отсчета «шест». Теперь вдвое сократится длина сарая. Как
же может поместиться 20-метровой шест в 5-метровом са-
сарае? Разъясните четко и подробно.
? Будем считать, что шест без помех пролетает сарай.
Заднюю стенку заменим газетой, чтобы не осложнять дело
сокрушительным столкновением.
Шест помещается в сарае, если оба конца шеста оказы-
оказываются внутри сарая одновременно. Событие А — «перед-
«передний конец коснулся газеты» и событие В — «задний конец
поравнялся с дверью» одновременны в системе отсчета
«сарай». В этот момент шест в сарае, чуть раньше — он
еще не весь вошел, чуть позже — уже прорвал газету.
В системе «шест» эти события неодновременны. В ней уко-
укоротившийся сарай наезжает со скоростью v на неподвиж-
неподвижный шест. Сначала на
передний конец наткнет-
наткнется газета, а затем уже
плоскость двери порав-
поравняется с задним концом.
Чтобы наглядно пред-
представить ситуацию, вос-
воспользуемся графиками
движения, изображен-
изображенными на рис. 40. Здесь
же изобразим и движе-
Дберь
Рис. 40
ние световых локацион-
локационных сигналов Время откладывается на графиках движения
заднего конца шеста и двери сарая. Штриховая линия сое-
соединяет А с серединой промежутка времени Т± + Т2г что
соответствует показаниям часов шеста в момент события
А в системе «шест». Вдоль этой штриховой линии все со-
события одновременны в системе «шест», ее можно использо-
использовать как ось расстояний в этой системе.
Пусть сигнал, посланный с заднего конца шеста, при-
приходит к переднему концу при встрече последнего с газетой
в момент события А. Испущен же он за время Тх до собы-
события В (встреча заднего конца с плоскостью двери) по ча-
часам шеста. Этот прямой сигнал используем для определе-
определения промежутка в системе «сарай». Пусть его прохожде-
прохождение через двери зарегистрировано по часам сарая,: нахо-
находящимся вблизи дверей, за время Т[ до события В. Об-
Обратный сигнал с места события А приходит спустя время
Т2 после события В к заднему концу шеста и по его часам*
Этот же сигнал, идя дальше, дойдет до часов сарая в две-
68

рях через время Т2 после события В по измерениям этих
часов. Здесь еще никаких рассуждений нет, просто под-
подробно введены необходимые в дальнейшем величины и их
обозначения, на рисунке они указаны на графиках дви-
движения соответствующих часов.
Ввиду сокращения интервалов времени при сближении
источника и приемника
I-у/с j,
I + у/с l'
а ввиду увеличения периодов при удалении
. — vie 2*
Одновременность А и В в системе «сарай» означает,
что Тх — это время путешествия света на пути /0 (длина
сарая) к газете, а Г2~ время обратного путешествия по
тому же пути. Поэтому
Т[ = Т'ш = У с.
Отсюда, используя предыдущие выражения, можно найти
Тх и Т2.
В системе «шест» событие В произошло спустя время
7\ от момента испускания света. Событие же А произошло
через время G\ + Т^12 от момента испускания. На путь
к А свет тратит половину времени всего путешествия туда
и обратно. Поэтому событие В происходит позже собы-
события А на промежуток времени
1 2 2
Если воспользоваться значениями коэффициентов /с, то
2с\К с — у Г с + У/ с21/ — (у/сJ '
или
Д^ = yvlo/c2.
Итак, в системе «шест» сначала газета натыкается на
Шест, а 15 м шеста находятся вне сарая, а затем через
время Д? этот остаток полностью проходит через плоскость
Двери. В системе «шест» плоскость двери, движущаяся со
скоростью у, должна пройти длину остатка шеста, равную
о ~- V?» как Раз за время Д?. Здесь LQ — длина шеста,
69

измеренная в системе покоя шеста, a IJy — «сократив-
«сократившаяся» длина сарая. Так как /0= ?<>/?» то можно проверить
предшествующее утверждение, сводящееся к равенству
В самом деле, тогда
10 (у - 1/y) = у (vie)* U,
что означает
или 1/Y = /1 _
От выбора системы отсчета не зависит, какие события
происходят. Но когда эти события через расстояние и
время соотносятся с той или иной системой отсчета, их
описания могут различаться. Для тех же самых событий
ситуация «находиться внутри» зависит от выбора системы
отсчета ввиду относительности одновременности. Наш
расчет показал, что одновременные в неподвижной систе-
системе отсчета события, разделенные расстоянием 10 по нап-
направлению относительной скорости, в движущейся системе
отсчета разделены промежутком времени At = yvlo/c2.
14*. Ток и заряд. Притяжение параллельных токов
объясняется магнитными силами. Каждый ток создает
вокруг себя магнитное поле, а сила, действующая на уча-
участок провода, складывается из магнитных сил, действую-
действующих на отдельные движущиеся заряды. Перейдем, однако,;
в систему отсчета, движущуюся вместе с зарядами, к ко-
которым приложена сила. Теперь эти заряды неподвижны
и магнитная сила равна нулю. Но если провода притяги-
притягиваются,; то сила должна существовать. Что же является
источником этой силы?
Ответ связан с влиянием движения системы отсчета
на продольные размеры. Благодаря этому нейтральный
провод с током оказывается заряженным в системе отсче-
отсчета, движущейся вдоль провода. Рассмотрите этот эффект,;
если ток в исходной системе отсчета создается электрона-
электронами. Заряд электрона равен —- г, а расстояние между ними
/. Провод нейтрален, так как в нем находятся неподвиж-
неподвижные положительные заряды -f ? на таком же расстоянии I
друг от друга (рис. 41). Для упрощения выкладок допустим,,
что скорость электронов совпадает со скоростью v движу-
движущейся вдоль провода системы отсчета. Найдите в этой
системе отсчета расстояния 1+ и 1_ между положительными
и отрицательными зарядами и рассчитайте суммарный
заряд,: приходящийся на единицу длины.
70

Q В новой системе отсчета электроны покоятся, а положи-
положительные заряды движутся со скоростью v (рис. 41).
fjl
0
0—-^»
•Ч—Ф -< Ф -*¦ -0
© 0
~*—© -<—© -^—ф
Рис. 41
Расстояние между первоначально неподвижными заря-
зарядами сокращается:
/+ = Ifl - (vlc)\
Для электронов же сокращено расстояние в исходной
системе отсчета:
I = L /1 -(v/c)\
а расстояние между неподвижными электронами больше^
чем в исходной системе отсчета:
-
В движущейся вдоль провода системе отсчета положи-
положительные заряды расположены гуще, а отрицательные —
Реже. На отрезок единичной длины приходится 1/Z+ по-
положительных и 1//_ отрицательных зарядов, а их суммар-
аый заряд
0 _ J J
Р
71

Свяжем линейпую плотность заряда с током /0 в исход-
исходной системе отсчета. За единицу времени через сечение
провода проходят электроны из отрезка длины v. Так как
число этих электронов равпо v/l, то перенесенный ими за-
заряд равен evil, это и есть сила тока /0. Замепяя evjl на
10 в выражении для р, получаем
где у — релятивистский множитель, соответствующий
скорости v.
При наличии заряда у провода вокруг него возникает
электрическое поле с напряженностью Е — p/2ns0/?, где
R — расстояние до провода, а е0 — электрическая по-
постоянная. Для неподвижного в данной системе отсчета
заряда q магнитная сила равна нулю. Но на него со сто-
стороны провода действует электрическая сила F = qE, так
что
F =
Мы ответили на вопрос о прохождении силы в системе
покоя заряда q и дагке получили для нее количественное
выражение.
Интересно провести сравнение с описанием в исходной
системе отсчета, в которой провод нейтрален и не создает
электрического поля. Теперь рассмотренный выше заряд
движется со скоростью v и на него действует магнитная
сила Fo = qvB0 со стороны тока. Как известно, на рас-
расстоянии R от прямолинейного тока индукция магнитного
поля равна Во = \i0IQ/2nR, где \х0 — магнитная постоян-
постоянная. Магнитная сила в исходной системе отсчета
F = №vI<i
не случайно сходна с электрической силой в системе по"
коя заряда. Это силы, действующие на один и тот же за-
заряд, но рассматриваемые в разных системах отсчета. Если
учесть, что магнитная постоянная щ = 1/SqC2, T<> взаимо-
взаимосвязь этих сил оказывается исключительно простой:
F = v^o-
Магпитпое взаимодействие токов — вещь вполне обы-
обыденная, достаточно вспомнить, например, об электродви-
электродвигателях. И опо2 как мы убедились, тесно связано с реля-
72

тивистским сокращением размеров. В хороших провод-
ликах и при сравнительно больших токах скорость иоси-
телей тока порядка 1 мм/с. Но из-за огромного количества
этих носителей могут возникать большие силы, и благо-
благодаря этому мы можем судить о, казалось бы, неощутимо
далых релятивистских эффектах.
15*. Сохраняется ли заряд? «Что-то не ладно в предыду-
предыдущей задаче,— заметил один из участников обсуждения,—
i
а'
Lo
а
Рис. 42
провод, в котором поровну положительных и отрицатель-
отрицательных зарядов % не может стать заряженным просто от пере-
перехода в другую систему!»
Возражение серьезное. Заряд — это фактический избы-
избыток положительных элементарных частиц над отрицатель-
отрицательными. Инерциальное движение не влияет ни на число час-
частиц, ни на полный заряд тела. В принципе, закону сохра-
сохранения заряда не противоречит появление ненулевого за-
заряда у части тела из-за другого распределения частиц в
другой системе отсчета, лишь бы сумма всех зарядов но
изменилась. Рассмотрите ток по прямолинейному проводу,
соединяющему заряженные пластины конденсатора, как
показано на рис. 42. Докажите,; что суммарный заряд
иластип и провода один и тот же как в исходной системе,
так и в системе отсчета, покоящейся относительно элект-
электронов провода.
О Начнем рассмотрение в системе покоя пластин и про-
й°Да. Пусть в какой-то момент времени сумма зарядов
Пластин равна нулю и провод нейтрален. В момент вре-
Мепи, когда некоторый электрон Ъ входит в провод с отри-
отрицательной пластины,: одновременно некоторый другой
73

электрон а уходит из провода на положительную пласти-
пу. Обозначим эти события В и А соответственно. При
одинаковых скоростях движения электронов по проводу
и неизменном зазоре I между ними левую пластину покинет
столько же электронов, сколько придет на правую за
тот же промежуток времени. И, естественно, полный за-
заряд все время равен нулю.
После того как описана ситуация в исходной системе,
перейдем в систему отсчета, в которой неподвижны элек-
электроны провода. Почему в этой системе, где на неподвиж-
неподвижные заряды наезжают со скоростью v пластины и провод,
сумма зарядов пластин не нулевая? На положительную
пластину и в этой системе отсчета попадает столько же
электронов, сколько уходит с отрицательной пластины
за то же время. Но отмеченные выше электроны а и Ъ не-
неодновременно пересекают границы пластин. Именно, со-
событие А происходит раньше В на время Д? = yvL0/c21
где LQ — длина покоящегося провода. Мы воспользова-
воспользовались результатом задачи о шесте и сарае, только теперь
дистанция между исходно одновременными событиями у
нас Lo, а не ?0, как прежде. Одновременно с электроном,
входящим в провод, с отрицательной пластины попадает
некоторый электрон а', а не а, как в исходной системе.
За счет электронов отрезка vAt сумма зарядов пластин и
отлична от нуля. Число этих электронов равно A/
тогда сумма одновременных зарядов пластин
Заряд на единицу длины провода в системе покоя электро-
электронов
_ е (у(с)* _ е (vie? _ e (v/c)* 2
Р 7
Полный заряд провода q2 = pL0/yy ведь длина движущегося
провода уменьшается в у раз. Окончательно
q2 = e {vlcf yLJl,y
так что полный заряд провода равен по модулю и противо-
противоположен по знаку заряду пластин. Таким образом, сум-
суммарный заряд пластин и провода равен нулю.
Поучительны здесь не столько даже согласие с законом
сохранения заряда и независимость суммарного заряда от
выбора системы отсчета, столько вывод о том, что распре'
деление заряда может зависеть от выбора системы отсчета*
74

16. Растяжение пружины. Два первоначально непод-
ви>кных тела соединены недеформированной пружиной
длины L Этим телам одновременно сообщили скорость у.
Останется пружина недеформированной, растянется или
сожмется? Что произойдет, если скорость и сообщена те-
телам не мгновенным толчком, а постепенным ускорением?
Оба тела одновременно и совершенно одинаково приво-
приводятся в движение и в дальнейшем скорости их поддержи-
поддерживаются неизменными.
Q Законы движения тел одинаковы, значит, расстояние
между ними в исходной системе отсчета остается неиз-
неизменным. Однако при этом появятся упругие силы со сто-
стороны пружины. В самом деле, длина пружины в системе
отсчета, движущейся вместе с ней со скоростью v относи-
относительно неподвижной системы отсчета, не совпадает с пер-
первоначальной длиной. Теперь ее длина
lo = yl = Z//1 - (и/сJ.
В дальнейшем будем говорить о характеристиках объ-
объекта, измеренных в системе его покоя, как о «собственных»,
например: «собственная длина», «собственное время»
и т. п. Так вот, собственная длина пружины, движущейся
со скоростью и, оказывается в у раз больше длины в не-
деформированном состоянии, а растяжение пружины
Д/ = (у — 1) /.
Чтобы обеспечить одинаковый разгон тел, приложенные
внешние силы должны «подстраиваться» к возникающим
упругим напряжениям. И в дальнейшем при равномерном
движении должны быть приложены силы, удерживающие
пружину в растянутом состоянии. В неподвижной отно-
относительно пружины системе отсчета эти силы равны по
модулю к&1 (к — жесткость пружины) и направлены в про-
противоположные стороны.
17. Одинаковые движения. При обсуждении задачи о
Растяжении пружины возникло возражение: одинаковые
Движения одинаковые любой системе отсчета, в частности
в инерциальной системе отсчета, в которой после разгона
тела и пружина покоятся. При одинаковом же движении
концов пружины ее длина не меняется, значит, собствен-
собственен длина пружины остается прежней!
Рассмотрите ситуацию в предложенной системе отсче-
^ и разъясните, почему возражение ошибочно.
U Одинаковые перемещения остаются одинаковыми в лю-
^Ь1 системах отсчетаг но происходят опи не обязательно
75

одновременно, поскольку в каждой системе отсчета свое
время.
Систему отсчета, относительно которой тела до начала
разгона покоятся, назовем начальной, а систему отсчета,
относительно которой тела покоятся после окончания
разгона, назовем конечной системой отсчета. Допустим,
что в начальной системе отсчета одновременное ускорение
тел начинается по световым сигналам от вспышки, про-
произведенной посередине между телами. Вспышка позволя-
позволяет начать ускорение синхронно, поскольку свет от середи-
середины неподвижного отрезка приходит к его концам в один
и тот же момент времени в данной системе отсчета,
В конечной системе отсчета, движущейся относительно
пачальной со скоростью —v, тела до начала ускорения
движутся с постоянной скоростью v (рис. 43). Если перво-
первоначальное расстояние между ними в конечной системе
отсчета равно L, то в этой системе отсчета легко найти
время путешествия света от места вспышки до правого я
левого тела. Когда свет идет к удаляющемуся от места
вспышки телу, то за время движения t+ он проходит до
места встречи расстояние L/2 + ^+» так как на vt+ сме-
смещается за это время само тело. Тогда
t+ = (L/2 + vt+)/c.
При движении света навстречу другому движущемуся
телу имеем
*_ = (L/2 — vtj/c.
76

Отсюда
Световой сигнал, отправленный с середины пружины,
придет к левому телу позже, чем световой сигнал к пра-
правому, на промежуток времени
Д* = t+ — t_ = vL/{c2 - v2).
Поэтому у правого тела скорость начпет уже уменьшаться,
а левое тело за это время переместится с неизменной ско-
скоростью на расстояние uAt = v2L/(c2 — v2). Только после
этого левое тело начнет полностью повторять перемеще-
перемещения правого, конечно, запаздывая по времени на Д?.
Обозначим через s перемещение правого тела в конеч-
конечной (движущейся) системе отсчета от момента начала
торможения до его остановки. Левое тело начинает тор-
тормозиться позже на время At и поэтому пройдет до своей
остановки расстояние uAt + s. Расстояние между телами,,
то есть конечная длина пружины, станет равным
Так как L = I }/Ч — {vieJ, где I — начальная длина пру-
пружины в исходной системе отсчета, то получаем
L = * = yl
в полном согласии с предыдущей задачей. В конечной
системе отсчета «одинаковые торможения» начинаются
неодновременно. Левое тело продолжает двигаться с на-
начальной скоростью большее время, чем правое.
Относительность одновременности установлена в этой
задаче не тем способом, что в задаче о шесте и сарае, по
результат такой же, если в выражении для Д? учесть раз-
разницу в обозначениях величин.
Параллельные скорости
18, Скорости вдоль пучка. Покоящийся положитель-
положительный пион я+ распадается на мюонное нейтрино v^ и по-
положительный мюон |л+, скорость которого Vy, = 0,268 с. Об-
Образован пучок пионов со скоростью vn = A—5- 10~б) с.
Какие скорости у положительных мюонов, возникших
пРи распаде и летящих вдоль пучкаг будут зарегистриро-
в неподвижным оборудованием?
77

П В зависимости от того, вперед или назад полетел мюов
в системе покоя пионов, у мюонов, летящих вдоль пучка,
может быть два значения скорости:
W\ === ' ' ' ' / о ' , М?О """"" —\ "fa" •
Так как vn ]> v^, то в лабораторной системе обе скорости
направлены в одну сторону. В нашем случае
Wl = A-2,9-Ю'5) с, w2 = A-8,6-10) с.
Скорости мало отличаются от скорости пионов. Соответ-
Соответствующие же релятивистские множители для мюонов
Yi = 130, у2 = 75 и для пионов у = 100 различаются зна-
значительно больше.
19. Опыт Физо, Отношение скорости света в вакууме с
к скорости света в покоящемся веществе и, равное п =
= с/и, называется показателем преломления. В 1851 г.
Физо измерил скорость света, распространявшегося в те-
текущей со скоростью v воде. Определите скорость света
в этом опыте, приняв п — 4/3. Показатель преломления
зависит от частоты, но для воды в диапазоне частот види-
видимого света можно считать его постоянным (п слегка рас-
растет с увеличением частоты).
Ц Скорость света в неподвижной воде и = с/п. Поэтому
скорость света в лабораторной системе отсчета
v 4-и cfn + v
1 _|_ vu/c2 1 -(- v/nc '
Так как v <^ с, то имеет смысл получить приближенное
выражение, в котором учитывается первая степень ut
а более высокие степени отбрасываются. Для этого чис-
числитель и знаменатель помножим на 1 — v/nc, после рас-
раскрытия скобок отбросим слагаемые, содержащие (у/сJ,
Тогда
W ^ с/п + U A — 1/гс2)*
для п = 4/3
тж 2,25-108 м/с + G/16) v.
При показателе преломления, заметно меняющем-
меняющемся с частотой, вывод остается в силе. Только п нужно
брать не для частоты, определяемой в лабораторной си-
системе отсчета, а для частоты в системе покоя воды.
20. Релятивистский наезд. При упругом лобовом уда-
ударе о пеподвижную стенку частица отскакивает от нее
с той же по модулю скоростью^ что и до удара. Какую
78

скорость приобретет первоначально покоящаяся частица,
если на нее налетает стенка со скоростью v?
Q Столкновение частицы с начальной скоростью i;, нале-
налетающей на неподвижную стенку, превратим иперциальным
сносом в налет стенки на неподвижную частицу. Тогда
и состояние после удара получается тем же инерциальным
сносом. В общую формулу действия сноса на продольную
скорость
W ¦
1 + vu/c*
подставим и = v и получим скорость частицы после на-
налета :
_ Ъ
W - 1 + (i>/c)« •
21. Многоступенчатая ракета. Каждая ступень ракеты
от ее включения до полного срабатывания и отделения со-
сообщает последующим ступеням скорость и = с/3 относи-
относительно системы отсчета, в которой ракета покоится до
включения этой ступени. Какая достигается скорость
после срабатывания первых десяти ступеней относитель-
относительно неподвижной системы отсчета? Допустим, что разго-
разгоняемая каждой ступенью масса составляет 1/9 начальной
массы ступени. Какова начальная масса десятиступенча-
той ракеты, если полезный груз на десятой ступени со-
составляет одну топну?
Ц Утомительно десять раз применять формулу «реляти-
«релятивистского сложения» скоростей. Предпочтительней обра-
обратиться к коэффициентам к. Одному инерциальному сносу
скорости v отвечает
В данном случае к = 1^2. При последовательных сносах
в одном направлении коэффициенты к просто перемножа-
перемножаются. Десятикратному сносу отвечает
К = к10.
Из выражения скорости через коэффициенты к получаем
210— 1
С
_
С ~~ &2° + 1 с — 210+1
как 210 = 1024, то
79

При всей фантастической эффективности (каждая сту-
ступень сообщает скорость 100 000 км/с при расходе
9/10 массы), разгон до скорости 0,998 световой требует
начальной массы 10 миллиардов тонн. Здесь и в условии
задачи имеются в виду массы тел в системе их покоя. Ра-
Расчет прост, ведь добавление каждой ступени увеличивает
суммарную массу в 10 раз.
Еще несколько слов о коэффициентах к. Одной из важ-
важнейших причин их эффективного применения в теории
относительности является простота их поведения при
инерциальном сносе: последовательные коэффициенты к
просто перемножаются. Алгебраические же формулы для
скоростей более сложны.
В классической кинематике существует простое пра-
правило сложения скоростей. В релятивистской же кинемати-
кинематике правило сложения скоростей заменено правилом пере-
перемножения коэффициентов /с. Впрочем, от умножения мож-
можно перейти к сложению, если использовать логарифмы
коэффициентов к. Мы этого не собираемся делать, так как
сами коэффициенты к имеют простой физический смысл
и с ними можно легко оперировать.
7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА И ИНТЕРВАЛ
Преобразование Лоренца — экономный и мощный ме-
метод рассмотрения пространственно-временных соотноше-
соотношений. Оно выражает само существо дела в релятивистской
кинематике. Это преобразование и связанные с ним поня-
понятия работают и за пределами кинематики, образуя основу
для описания законов природы в соответствии с принци-
принципом относительности.
1. Астероид по курсу. Звездолет Пиркса пролетает
мимо звездолета Иона со скоростью v. Пирке по локацион-
локационным наблюдениям обнаруживает, что через время t от мо-
момента встречи с Ионом курс его корабля пересек астероид
на расстоянии х от корабля. Через какое время от момента
встречи и на каком расстоянии от корабля Иона произош-
произошло пересечение курса астероидом по измерениям Иона?
Q Можно считать, что сигналы локатора Иона, опреде-
определяющие пересечение курса полета астероидом, использует
и Пирке. Эти локационные сигналы, как показано па
рис. 44, идут по прямой, проходящей через звездолеты*
По измерениям Иона, момент испускания сигнала с его
звездолета отсчитывается от момента встречи двух
80

кОраблей (рис. 446):
А = Г - х'/с,
где f — время, прошедшее от встречи до отражения сиг-
сигнала астероидом, а х' — расстояние от корабля Иона до
ИстероиЗ
Рис. 44
астероида в момент отражения. (Сигнал испускается рань-
раньше момента его отражения на время прохождения света
до астероида, которое равно хЧс.)
Посланный Ионом сигнал воспринимается и ретранс-
ретранслируется локатором Пиркса спустя время
tx = t — xlc
от момента встречи звездолетов (по измерениям Пиркса).
Ведь этот сигнал, пройдя расстояние х, доберется до ас-
астероида к моменту t.
Воспользуемся коэффициентом к для связи этих про-
промежутков времени: tx = Ыг или t[ = txlk. Выразив к че-
через скорость, получим
После отражения от астероида сигнал пройдет мимо
звездолета Пиркса спустя время
t2 ~ t
xlc
2
°т момента встречи звездолетов. На путь х назад от места
Сражения требуется время xlc. К кораблю Йоиа п
по его
81

часам сигнал придет в момент времени
h = t' + x'lc.
Так как i2 = kt2, то
По определению расстояний и момептов времени в си-
системе отсчета, связанной с кораблем Иона, имеем
t' = (t2 + t[)/2, xf = c(t2- t[)/2.
Подставим уже полученные выражения для t[ и t2, приве-
приведем к общему знаменателю и сгруппируем слагаемые:
,= t + uxl*
Эти формулы называют преобразованием Лоренца,
Удобно момент встречи принять за нулевой момент но ча-
часам каждого корабля. Тогда преобразование Лоренца
даст правило преобразования координат и времени для
описания времени и места событий при переходе в иную
инерциальную систему. Если начала координат систем
отсчета, связанных со звездолетами^ выбрать в центре со-
соответствующего звездолета, то # и #' можно считать коор-
координатами события в каждой из этих систем отсчета. По
этой же координатной оси направлен и вектор относитель-
относительной скорости звездолетов. Тогда преобразование Лорен-
Лоренца охватывает всевозможные частные случаи пересечения
астероидом указанной оси: перед кораблем Пиркса х ^> О,
сзади корабля Иона %' < 0 и т. д. При координатном опи-
описании скорость v надо брать положительной, если вектор
скорости направлен в ту же сторону, что и общая ось ко-
координат, и отрицательной — в противоположном слу-
случае.
2. Преобразование Лоренца. Нас могут интересовать
и события, происшедшие в стороне от прямой, по которой
движутся звездолеты из предыдущей задачи. Рассмотрим,
как связаны описания таких событий в разных инерциаль-
ных системах отсчета. Допустим, что в момент встречи
Йон отправил световой сигнал, отразившийся от другого
астероида и вернувшийся к звездолету Иона. По измере-
измерениям Пиркса отражение произошло через время t от мо-
82

^ встречи на расстоянии х от его звездолета по нап-
направлению курса и на расстоянии у в перпендикулярном
^правлении. Где и когда произошло это отражение по из-
измерениям Иона?
П Обратимся к рис. 45, где изображены траектории од-
одного и того же светового сигнала в системе координат,
Рис. 45
связанной с кораблем Иона, и в системе координат, свя-
связанной с кораблем Пиркса. Через tf, x\ у' обозначены
момент времени и координаты отражения в системе отсче-
отсчета «звездолет Иона». В системе же «звездолет Пиркса»
траектория светового сигнала при возвращении другая,
чем для прямого сигнала, так как звездолет Иона, к кото-
которому вернулся свет, уйдет на расстояние их от звездолета
Пиркса. Время т — это время, через которое свет возвра-
возвращается к звездолету Иона по измерениям в системе отсче-
отсчета Пиркса. По измерениям же Иона возвращение происхо-
происходит через время 2tf от момента испускания света, совпа-
совпадающего с моментом встречи звездолетов. Ввиду реляти-
релятивистского замедления времени
поэтому достаточно найти г, чтобы определить t'\
Рассмотрим еще раз рис. 45. Отрезок траектории све-
светового сигнала длиной ct является гипотенузой прямо-
Угольного треугольника с катетами х и у\ длина же обрат-
обратного участка траектории с (т — t) — на возвращение
свету остается время, равное т — t. Катеты соответствую-
соответствующего прямоугольного треугольника равны х + v% и г/.
Поэтому
.2/2
сН
(г - tf = (х
у
83

Раскроем скобки во втором уравнении и воспользуемся
первым уравнением для упрощения:
сН2 - 2c2xt = 2vxx
Сократив на общий мпожитель т, получим
сН — 2сН = 2vx + vH.
Отсюда
т
а значит и t' — %12у. Так как у = 1/|^1 — (у/сJ, то
*' = у (t + UX/С2).
Выражение для I' получилось в точности тем же, что и в
предыдущей задаче.
Перейдем теперь к определению координат. Посколь-
Поскольку движение системы отсчета не влияет на поперечные
размеры,
у' = у.
Для определения же координаты хг (вдоль вектора ско-
скорости v) воспользуемся равенством
{ct'f = (x'f + (у')\
Подставим в него выражение для t\ а вместо (у'J подста-
подставим г/2 = (ctJ — х2, последнее получено из равенства
(ctJ = х2 + у2. Итак,
Числитель, как можно заметить, оказывается полным
квадратом, так что легко извлечь корень, Окончательно
получаем
xf = у (х + vt).
Опять-таки такое же выражение, как и в предыдущей
задаче. Все отличие сводится к добавочному равенству
у' = у.
В преобразование Лоренца включают и выражение
неизменности поперечных координат. Тогда для любых
событий,, где бы они ни произошли, можно перейти от опи-
описания в одной системе отсчета к описанию в другой. П
вила перехода и дает преобразование Лоренца:
? = Y (t + vxlc2)% x' = v (x + vt), у' = у.
84

Если для обнаружения событий с поперечной коорди-
jj tTOU у локаторы звездолетов выдвинуть вбок на расстоя-
расстояние, равное z/, то можно использовать сигналы, идущие
сараллельно оси х, и применить метод предыдущей зада-
ч11. Такой искусственный прием заметно упрощает выклад-
кП при выводе преобразований времени и координат.
Преобразование Лоренца описывает действие инер-
цИального сноса на пространственно-временные характе-
характеристики. Если в группе взаимодействующих между собой
частиц происходят распады, столкновения и т. д., то для
такой же группы частиц, участвующих в общем инерциаль-
0ом движении^ по известным событиям исходной группы
можно установить, где и когда произойдут соответствую-
соответствующие события во второй группе. По принципу относитель-
относительности в соответствующей системе отсчета развитие событий
во второй группе в точности копирует развитие событий
в первой группе по описанию в исходной системе отсчета.
Преобразование же Лоренца позволяет перевести про-
пространственно-временную картину из одной инерциальной
системы отсчета в любую другую.
Аналогичные преобразованию Лоренца соотношения
в обычной кинематике можно получить непосредственно:
f = t, х' = х + vt, у' = у,
Они дают хорошее приближение при v << с. В нереляти-
нерелятивистском приближении инерциальный снос не влияет на
время и масштабы, а к координате вдоль направления
сноса просто добавляется перемещение vt1 происшедшее
за время I. Эти формулы, называемые преобразованием
Галилея, можно получить из релятивистских выражений
формальным приемом: заменить множители Не нулем,
т» ъ. считать скорость света бесконечной. Тогда у перейдет
ь едшицу, слагаемое vx/c2 — в нуль, а преобразование
Лоренца — в преобразование Галилея.
3. Снова скорости. Получите из преобразований Ло-
ренца формулу релятивистского сложения параллель-
параллельных скоростей. Сравните это выражение с нерелятивист-
нерелятивистским»
D Обратимся к первой задаче данного раздела. Пусть
перемещение х == ut отмечено событиями А в начале пе-
перемещения и В в его конце (рис. 46). Допустим, что при
встрече звездолетов (событие А) Пирке отправил со ско-
Ростыо и ракету-зонд, которая через время t попала в ас-
астроид при пересечении им курса звездолета (событие В),
При иперциальном сносе скорости vf направленной по
85

оси х, промежуток времени между соответствующими со-
событиями равен
t' = у (t + vxlc2) = yt A + vulc2)t
а расстояние между ними
х' = у (х + vt) = yt (и + v).
(Слагаемое yvx/c2 в выражении для t' учитывает относитель-
относительность одновременности, множитель у — замедление вре-
времени и сокращение про-
продольных размеров, слагае-
слагаемое yut в х' — перемеще-
перемещение из-за сноса.)
Найдем теперь скорость
зонда по отношению к ко-
кораблю Иона:
Рис. 46
w =•
В классической кине-
кинематике исходят из допуще-
допущения, что движение не влия-
влияет пи на время, ни на расстояния между одновременными
положениями точек. Тогда мы приходим к сложению од-
одновременных перемещений:
wt — ut + vt%
и к правилу сложения скоростей:
w = и + v.
В классической кинематике равносильны два разных
понимания относительной скорости. Во-первых, под ско-
скоростью частицы относительно движущегося тела можно
понимать скорость и частицы в системе покоя этого тела,*
измеренную приборами, движущимися вместе с этим те-
телом. Во-вторых, под относительной скоростью и0 можно
понимать изменение расстояния между частицей и телом
за единицу времени по измерениям в исходной системе
отсчета, в которой тело движется со скоростью v. Тогда
само собой w = и0 + v. По-разному определенные ве-
величины, измеряемые разными способами, конечно, не обя-
обязаны непременно совпадать. И в теории относительности
и0 Ф и. Чтобы не возникало путаницы, мы придержива-
придерживаемся первого понимания относительной скорости, а когда
нас интересует изменение расстояния между движущи-
86

щися телами в несовпадающей с ними системе отсчета, то
2vibi явно прослеживаем зависимость его от времени, учи-
учитывая движение тел.
Отличие релятивистского выражения от простой сум-
суммы скоростей
отнесенное к точному выражению для w, дает относитель-
относительную ошибку нерелятивистской формулы
При скоростях, много меньших световых, она ничтожна;
при околосветовых скоростях ошибка доходит до еди-
единицы.
4. Независимы ли движения? Для анализа распада
элементарных частиц на лету было предложено рассмат-
рассматривать продольную uj| и поперечную uL составляющие
скорости дочерних частиц в системе покоя материнских
частиц как скорости отдельных тел: одного, движущегося
только в продольном направлении, и другого, движущего-
движущегося только поперек направления скорости v материнских
частиц. В лабораторной системе отсчета скорости этих тел
в этом случае дадут соответствующие составляющие ско-
скорости дочерних частиц в лабораторной же системе отсчета.
Так ли это?
Q В соответствии с обозначениями рис. 47 и по образцу
предыдущей задачи рассмотрим перемещения, но на этот
раз в проекциях на оси
координат:
х = щ t, у = u±t; у ^
Х' = \D\\t\ у' = W±t'.
Штрихом отмечены харак-
характеристики в лабораторной Р"с. 47
системе.
По формулам преобразования Лоренца для событий,
обозначающих начало и конец перемещения,
Г = у (t + vx/c2)t Xе - у (х + vt), у' = у.
87

Поэтому
х* и „ + и
Здесь автор предложения прав. Однако для поперечной
составляющей
_ у' _ u±t ux __ u± V'i - v2lc*
w
При непулевом и ц конец и начало перемещений в системе
покоя материнских частиц разделены в пространстве вдоль
направления сноса. Необходимо учесть относительность
одновременности. Поэтом^ в знаменателе кроме множите-
множителя у, учитывающего замедление времени, появляется
и 1 + u\\vlcK
5. Абсолютное разделение. Докажите, что досветовой
инерциальный снос оставляет досветовые скорости досве-
товыми, а сверхсветовые — сверхсветовыми.
Ц Казалось бы, по имеющимся уже точным выражениям
для проекций скорости после сноса нужно проверить не-
неравенства, отвечающие условиям задачи. Попробуйте!
После этого вы оцените достоинства обходного маневра,
избавляющего нас от громоздких алгебраических выкла-
выкладок.
Перемещение объекта г за время t отвечает досветовой
скорости, если rVt2 < с2 или сН2 — г2 ^> 0, а сверхсвето-
сверхсветовой — если r2lt2 ^> с2 или сН2 — г2 < 0. После инерциаль-
ного сноса перемещение объекта между соответствующими
начальным и конечным событиями обозпачим г', а время
этого перемещения — V. Теперь нужно выяснить знак
выражения с2*'2 — г'2, чтобы установить, превосходит
скорость световую или нет. Рассмотрим составляющие пе-
перемещений г и г' по направлению сноса х и х' и по перпен-
перпендикулярному к нему направлению у и у'. На поперечную
составляющую снос не влияет, поэтому у' — у. Что каса-
касается х и tr, то их можно выразить через х и t с помощью
преобразования Лоренца. Но и здесь удержимся от выкла-
выкладок! Посмотрим, что осталось выяснить. Так как г2 =
= х2 + у2 и г'2 = х'2 + г//2, то осталось сравнить знаки
выражений Л2 — х2 — у2 и Л'2 —х'2 — y'2t причем
у' = г/. Вычислить нужно только
сЧ'2 - х12 = (ctf - х') (с? + х')А
а не t' и х1 по отдельности»
88

Ксли обратиться к первой задаче этого раздела, то
0 ct' — xr = ctx и ctf + х' = ct2 имеют простой смысл:
эТи величины через коэффициент к связаны с соответст-
Бующими нештрихованными величинами:
ct' — х' = (с* — x)lkt ct' + х' = k{ct + х).
цет даже нужды выражать к через скорость сноса1 в про-
произведении оно сократится, и мы получим
сЧ'2 - х'2 = сН2 - х2,
а тогда и
Мы достигли большего, чем добивались. Оказывается, что
це только знаки ключевых выражений, но и сами они
совпадают.
Можно и безотносительно к задаче о разделении ско-
скоростей рассмотреть величину
для произвольных событий А и В, понимая под t проме-
промежуток времени между событиями в какой-либо инерциаль-
пой системе, а под г — расстояние между этими события-
событиями в той же системе отсчета. Договоримся сразу рассмат-
рассматривать обозначение s2 как цельный символ,; заменяющий
выражение c2t2 — г2. Поэтому s2 может быть и положитель-
положительным, и отрицательным, и нулевым. Величина s2, называе-
называемая квадратом интервала, заслуживает внимания. Во-
первых, для данных событий А и В квадрат интервала
один и тот же, в какой бы инерциальной системе не оп-
рзделялись расстояния и промежутки времени между со-
событиями. Отдельно и расстояние, и промежутки времени
зависят от выбора системы отсчета. Квадрат же интервала
от такого выбора не зависит и характеризует взаимоот-
взаимоотношения самих событий. Во-вторых, для физических про-
процессов, отличающихся только инерциальным движением,
любые иптервалы между соответственными событиями рав-
равны. Для сокращения речи иногда будем говорить просто
«интервал», подразумевая, что в строгом смысле надо ис-
использовать s2 — квадрат интервала.
При s2 > 0 интервал называется времениподобным, от
места одного события к месту другого можно добраться
с досветовой скоростью* При s2 = 0 интервал называют
светоподобпым, па до двигаться в точности со световой ско-
Ростыо. Наконец, при s2<0 интервал называютпростран-
89

ственноподобным интервалом, от одного события к друго-
другому нельзя прийти ни с досветовой, пи со световой ско-
скоростью.
Оставим пока обсуждение интервалов и обратимся
к интригующему вопросу: бывают ли вообще сверхсветовые
скорости?
6. Сверхсветовая скорость. Вопреки распространенно-
распространенному мнению сверхсветовые скорости весьма обычны. На-
Например, при наклонном падении электромагнитной Bojb
пы из вакуума на прово-
проводящую пленку область пе-
пересечения волны и пленка
бежит со сверхсветовой
скоростью (рис. 48). Най-
=ssSBt дите, с какой именно. За-
Заряды в этой области вовле-
вовлекаются полем падающей
волны в движение и сами
Рис. 48 становятся источниками из-
излучения. Постройте, исхо-
исходя из принципа Гюйгенса, фронт излученной волны. Какой
будет скорость области пересечения для наблюдателя,
движущегося со скоростью v = с sin а вдоль пленки?
Q Вектор скорости волны перпендикулярен ее фронту,
образованному точками одновременного прихода волны.
Фронт волны пересекает пленку под углом а. За единицу
времени он сдвинется по собственной нормали на расстоя-
расстояние, равное с, а тогда линия пересечения фронта и пленки
сместится на
и = c/sin a > с,
Это и есть искомая скорость.
Заряды пленки приходят в движение, скорость которо-
которого зависит от характеристик поля и вещества пленки. Как
правило, эта скорость весьма далека от световой *). Со
сверхсветовой скоростью перемещается полоса, где имев-
имевшиеся уже и ранее, заряды вовлекаютбя в движение. Про-
Проведем, как показано на рис. 49, из каждой точки этой по-
полосы сферу с радиусом, равным произведению времени,
прошедшему от момента прихода в эту точку падающей
*) Перемещение зарядов приводит к излучению сферически*
электромагнитных волн с каждой точки возбужденной поверх
пости. Скорость распространения этих волн равна скорости света,
а фаза — фазе возбуждающей волны. (Примеч. ред.).
90

, на скорость света. Огибающая всех этих сфер дает
излученной волпы. Получаются две плоскости, об-
зующие угол а с пленкой. По одну сторону пленки это
Р oflT отраженной волны,
о ДРУГУЮ же СТ0Р0НУ из"
бученная волна складыва-
}сЯ с падающей и в сумме
с ней образует проходя-
проходящую волну.
Для наблюдателя, дви-
движущегося со скоростью v%
картина явлений получа- Рис. 49
ется инерциальным сносом
скорости —v. Для него скорость области пересечения
u — v с —у sin a
1 — му/с2 с sin а —• у
(подставили и = с sin а и избавились от дробей в числи-
числителе и знаменателе).
При v = csina знаменатель выражения для w обра-
обращается в нуль. Чтобы разобраться с устремляющейся
к бесконечности скоростью w при v ->• с sin а, разберемся
в направлении падающей волны в новой системе отсчета,
найдем угол р между нормалью к пленке и скоростью
волны.
Так как с sin а и с sin fi — это продольные составляю-
составляющие скорости световой волны в исходной системе отсчета
н в системе отсчета наблюдателя^ то но релятивистской
формуле для параллельных сносу скоростей находим^ что
Рс sin a -
— .
С— У SI
с sin а — v
у sin а
При стремлении v к с sin а угол |3 стремится к нулю. В си-
системе наблюдателя волна все более и более круто падает
на пленку. Наконец, когда C = 0, продольная скорость
света обращается в нуль, скорость волны перпендикуляр-
перпендикулярна, а фронт — параллелен пленке. В этом случае волна
одновременно достигает пленки по всей ее поверхности.
Это и соответствует бесконечной скорости w = c/sin p
при р = 0.
7. Разбирательство инцидента. Перед посадкой кс-
Рабли Иона и Пиркса пролетели навстречу друг другу со
скоростью v (v < с) над межзвездной заправочной стап-
Дией. Они оказались свидетелями неприятного проис-
происшествия. Оба по курсу своего движения заметили, как сып

начальника станции выстрелил из рогатки и как разле,
телся вдребезги большой фонарь станции. По наблюди
ныям Иона выстрел был произведен за время t до того
как разлетелся фонарь. По наблюдениям Пиркса выстре^
был произведен на такое же время позже. Найдите рас.
стояние на станции между местом выстрела и фонарем
Если допустить, что камень, выпущенный именно npjj
этом выстреле, разбил фонарь, то какова его скорость?
Для каких событий у Пиркса и Иона могут возникнуть
разногласия по поводу того, что произошло раньше, а что
позже?
? Ввиду относительности времени в показаниях капитн-
нов нет противоречий. Обозначим события «выстрел из
рогатки» через А, а «разлет фонаря вдребезги» — через В.
Пусть в системе отсчета «станция» событие В произошло
через время t0 после события А на расстоянии х0 от него.
(Если промежуток времени окажется отрицательным, то
это означает противоположную по времени последова-
последовательность событий.)
Для кораблей, движущихся со скоростями v и —v в
системе отсчета, связанной со станцией, используем пре-
преобразования Лоренца. Тогда в системе отсчета «корабль
Иона» событие В произошло позже события А на время
t = у (t0 + vzo/c2).
В системе отсчета «корабль Пиркса» событие В опередило
событие А на
t = — у (t0 — vxo/c2).
Значение у от изменения знака скорости не меняется. Из
этих уравнений легко найти, что
а расстояние между событиями на станции
х0 = сЧ/yv.
События А и В по определению моментов времени на стан-
станции оказываются одновременными.
Для нахождения предполагаемой скорости камня нуж-
по указать, какая система отсчета имеется в виду. В систе-
системе «станция» эта скорость бесконечна, так как сразу про-
произошли и событие Л, и событие В. В системе «корабль
Попа» расстояние равно х = y#o = гс2/ил а скорость
я= x/t = cVv
Г2

называется сверхсветовой. При описании в системе «ко-
яаблъ Пиркса» ситуация оказывается другой. Вылет кам-
#я, разбившего, по предположению, фонарь, произошел
, чем фонарь разбился. Формально можно считать,
камень, разбив фонарь, со сверхсветовой скоростью
долетел до рогатки.
Допущение сверхсветовой скорости объекта-посредни-
объекта-посредника между событиями «причина» и «следствие» приводит
к тому, что найдутся инерциальные системы, в которых
Рис. 50
следствия происходят раньше возникновения причин!
Попробуем разобраться в этом вопросе.
Обозначим скорость корабля Иона относительно ко-
корабля Пиркса через v (конечно, это не та скорость, о ко-
которой шла речь раньше). Ограничимся рассмотрением со-
событий, происходящих на оси х вдоль этой скорости
(рис. 50). Пусть разность координат сравниваемых собы-
событий А и В в системе Иона х = хв — хА, а разность момен-
моментов времени этих событий t= tB— tA. Соответственно
в системе Пиркса х = хв — x'Ai tr = tB — ЬАч По форму-
формулам преобразования Лоренца
tr = у (t + vx/c2).
При скорости v, близкой к нулю, знаки t' и t одинаковы.
Выберем направление v при заданных характеристиках
событий в системе Йояа так, чтобы vx имело знак, проти-
противоположный t. Тогда увеличение v по модулю приведет
к обращению t1 в нуль при
v = —сН/х.
Дальнейшее же увеличение модуля v приведет к тому, что
Знак I' станет противоположным знаку t. Это означает,
93

что в соответствующей системе отсчета последователь-
последовательность событий А и В стала обратной по времени. Прц
досветовой относительной скорости систем отсчета
v2 < с2. Это возможно лишь в случае (ctJfx2 < 1 или
{ctf - х2 < 0.
Нетрудно понять, что изменение порядка событий
досветовых скоростях относительного движения систем
отсчета возможно для событий, для которых
*2 = (ctf - Г2 < 0.
Для событий, квадрат интервала которых отрицателен,
можно найти систему отсчета, где они происходят одновре-
одновременно. В этой системе отсчета расстояние между этими со-
событиями выражается через интервал: г2 = —s2 при t = 0.
Раньше обсуждаемые здесь интервалы были уже названы
пространственноподобными. Теперь можно понять осно-
основания для появления такого термина: при пространствен-
ноподобном интервале между событиями они не могут быть
связаны досветовым или световым сигналом.
Для любых наблюдателей все события можно разде-
разделить по отношению к событию А на три области. Область
несомненного прошлого, то есть область, где все события
произошли раньше А по наблюдениям в любых инер-
циальных системах. Условиямп этого являются два нера-
неравенства
t < 0, s2 = {ctf — г2 > 0s
Область несомненного будущего:
t > 0, s2 = {ctf - г2 > 0,
то есть область, где все события произошли позже А по
наблюдениям в любых инерциальных системах. И, нако-
наконец, область возможных разногласий
включает события, которые в зависимости от выбора си-
системы могут случиться и раньше, и позже, и одновремен-
одновременно с А. Из этих областей выпадает случай t = 0 и г = 0.
Нетрудно понять, что этот случай объединяет события,
совпадающие с Л по месту и времени. Можно рассматри-
рассматривать это как определение настоящего (по отношению к4)-
Светоподобные интервалы тоже важны в этой классифика-
классификации, они выделяют граничные события в несомненном
прошлом и в несомненном будущем, от которых световой
94

сцгяал может прибыть к А, или наоборот, к которым от А
световой сигнал может дойти.
8. Фотонная система. Частицы самого света — фото-
0bi, конечно, движутся со скоростью света. Их испускание
нельзя рассматривать как разгон из состояния покоя.
Оля рождаются сразу со световой скоростью. Есть у них
й энергия, и импульс, но модуль их скорости изменить
невозможно. Фотоны могут вступать во взаимодействия
с другими частицами: рассеиваться, терять или приобре-
тать энергию, поглощаться. Но если фотон есть, то ско-
скорость его всегда одна и та же. Нельзя ли создать из фото-
яов тело отсчета, движущееся со световой скоростью?
Конечно, обычных часов и локаторов из них не сконструи-
сконструируешь. Однако для измерения времени можно использо-
использовать любой физический процесс, лишь бы происходили
какие-нибудь изменения. Считая, что полученные раньше
соотношения сохраняют силу при предельном переходе
у~^с, докажите, что часы фотонной системы стоят.
Q Пусть t — промежуток времени, измеренный по ча-
часам, движущимся со скоростью v относительно какого-то
обычного тела отсчета, a t — соответствующий промежу-
промежуток времени, измеренный по неподвижным часам этого
тела отсчета. Тогда
т = t/y = t /l — {vlc)\
Каким бы ни было ограниченное t при v, стремящемся к с,
промежуток т стремится к нулю! Это означает, что за ко-
конечное время t частица, летящая со скоростью света, не
испытывает никаких изменений. Замедление процессов
в у раз при у = оо есть не что иное, как полная остановка
каких-либо процессов. Пока фотон свободйо летит, он не
меняется.
Мы ограничивались досветовыми системами отсчета.
Это требует обсуждения, ведь сами по себе сверхсветовые
скорости не запрещаются. Легко, конечно, заметить,
что выражения для релятивистского множителя у =
= 1/]/*1 — (и/сJ и коэффициента к = Y(\ + v/c)J(l — vie)
теряют смысл при сверхсветовой скорости v, а при | l? | = с
появляются особенности. Это логически связано с самим
нашим выводом связи описаний в разных инерциальных
системах по обмену световыми сигналами. Скорость света
Должна превышать относительную скорость тел отсчета,
иначе свет не догонит более быстрое тело. Но это не сни-
снимает вопроса, могут ли быть вообще сверхсветовые систе-
К*Ь1 отсчета?
95

Начнем с того, что тело отсчета — это не бесплотная
тень воображения. Оно, хотя бы в принципе, должно быть
снабжено локатором и часами. Если обратиться к реаль-
реальности, то заранее не ясно, можно ли такое сооружение
разогнать до сверхсветовых скоростей. Пока ни в одном
эксперименте не обнаружено каких-либо частиц, обго-
обгоняющих свет. Позже мы убедимся, что для разгона тел
при приближении их скорости к световой нужны все боль-
большие и большие затраты энергии, неограниченно возрас-
возрастающие при стремлении скорости тела к световой. Поэтсь
му приобрести световую скорость обычное тело отсчета
не может даже в принципе. Группа же параллельно летя-
летящих фотонов, как уже мы убедились, не может представ-
представлять собой системы отсчета. Ее часы «стоят» и, кроме того,
нет сверхсветовых «вестников», которые могли бы разве-
разведать окрестности и вернуться к этой группе назад.
9. Связаны ли события? Счетчики, находящиеся па
расстоянии г друг от друга, зарегистрировали две реак-
реакции с вылетом заряженных частиц, разделенные проме-
промежутком времени t. Могла ли незамеченная нейтральная
частицаf порожденная при одной реакции, вызвать дру-
другую? Если это так и произошло, то через какое время по
часам этой частицы-посредницы?
Ц Какая бы частица ни порождалась при реакции, мы
ожидаем, что ее скорость не больше световой: v <^ с. По-
Поэтому при t <[ г/с частица, вылетевшая при одной реак-
реакции, не успеет добраться до места другой. Для t = г!с
гипотетическая нейтральная частица может поучаство-
поучаствовать в этих двух реакциях, только двигаясь со световой
скоростью от одного счетчика к другому. Досветовая ско-
скорость частицы-посредницы возможна при t > г/с. Удобно
считать t разницей моментов регистрации, когда возмож-
возможно и отрицательное t при другой временной последова-
последовательности реакций. Описанное выше разделение случаев
тогда проводится по энаку квадрата интервала
s2 = (ctJ — г2.
Для независимых событий s2 <^ О, для событий, связанных
частицей, движущейся со скоростью света, s2 = 0, нако-
наконец, для событий, в которых можетлоучаствовать частица
с досветовой скоростью, s2 > 0.
При инерциальном движении частицы от места одной
реакции до места другой г = vt. Поэтому показания часов*
летящих вместе с частицей, дают собственное время час-
96

т « * /1 - {vlcf = ft* - {r/c)\
Подкоренное выражение неотрицательно в случае, когда
может найтись частица, связывающая события, проис-
происшедшие на расстоянии через промежуток времени t. Ин-
Интервал между событиями, обозначающими начало и ко-
конец перемещения, просто совпадает с собственным време-
временем переместившейся частицы, умноженным на с:
сх = s.
Отметим, что в системе покоя этой частицы события про-
произошли в одном месте, разделяет их только время. Вообще,
для любых двух событий с времениподобным интервалом
найдется инерциальная система отсчета, в которой оба
события произошли в одной точке. В этой системе отсчета
интервал равен промежутку времени, умноженному на с.
10. Стержневой телеграф. Изобретатель предложил
устройство, периодически выбрасывающее длинные стерж-
стержни, движущиеся дальше со скоростью и перпендикулярно
своей образующей. Пере-
Передатчик, расположенный в
точке А (рис. 51), может
выбивать ударом пролета-
пролетающий стержень из плос-
плоскости начального движе-
движения. Это будет передача
символа 1. Если же пере-
передатчик пропускает стер-
стержень без удара, то это пе- рис 51
редача символа 0. После-
Последовательностью нулей и единиц можно закодировать любое
сообщение. Приемник в точке В фиксирует выход стерж-
стержней из плоскости начального движения. При малых углах а
между стержнями и отрезком АВ по мысли изобретателя
информация будет передаваться со сверхсветовой ско-
скоростью. С какой именно? Как, по-вашему, будет работать
эта линия связи?
С] Скорость перемещения точки пересечения стержня
й прямой А В легко найти:
v = u/sin а,
При sin a < и/с эта скорость v больше скорости света да-
'ке при малой скорости и. При выключенном передатчике
Никакой информации из А в В не передается: не перехо-
JteT из А в В какие-либо частицы, не передается энергия.
И Воробьев
97

Участок стержня, пролетающий вблизи 5, начал свой
путь в соответствующем месте метательного устройства
и несет свои атомы, энергию и т. д, вместе с собой со ско-
скоростью и < с. Когда же передатчик ударяет по проле-
пролетающим мимо него участкам стержня, то, по идее изобре-
изобретателя, одновременно приобретет скорость по направле-
направлению удара весь стержень, то есть и близкие к месту уд^
ра участки, и сколь угодно удаленные. Тогда v = w/sin cc
и будет искомой скоростью передачи информации.
Эксперта, знакомого с релятивистской кинематикой,
насторожит следующее: в других инерциальных системах
отсчета разные участки стержня начнут смещаться поперек
плоскости движения неодновременно. Найдутся системы,
где сначала приобретут добавочную скорость удаленные
от места удара участки, потом участки поближе и, лишь
после этого произойдет сам удар!
При точечном ударе стержень неизбежно деформиру-
деформируется. Именно из-за деформаций и возникают силы, вовле-
вовлекающие в движение атомы удаленных от места удара участ-
участков. Деформация изгиба стержня распространяется по
нему с ограниченной скоростью. Для обычных материа-
материалов скорость волны изгиба пе больше 10 км/с. Будь эта
скорость и в сто раз больше, при сверхсветовой скорости v
участок стержня,'пролетающий вблизи точки В, еще не
успеет откликнуться на удар. Волна деформации изгиба
дойдет до него позже, чем он пролетит мимо точки В. По-
Поэтому линия связи между точками А и В вообще не будет
работать.
11. Волна на стадионе. На чемпионате мира по футболу
мексиканские болельщики любопытным образом выража-
выражали свои чувства. Каждый болельщик с некоторым запаз-
запаздыванием т по отношению к соседу справа поднимался,
всплескивал руками и опускался. По периметру стадиона
из-за этого пробегала впечатляющая волна. Найдите ее
скорость, если соседние места на стадионе отделяет рас-
расстояние I (от середины до середины). Существуют ли огра-
ограничения сверху на скорость волны? Рассмотрите два спо-
способа согласования действий; каждый смотрит на соседа
справа и повторяет его движения; каждый руководству-
руководствуется своей инструкцией, определяющей, в какие момен-
моменты времени по своим часам он должен подняться и опус-
опуститься.
Q] За время т «состояние приподнятости» распространяет-
распространяется на расстояние /, поэтому скорость волны
v = //т.
98

Когда болельщик действует по видимому сигналу от
с0оеда, то время запаздывания т заведомо больше време-
н0 распространения света Цс. Если т > 11с, то v <^ с.
Скорость волны не превосходит скорости света. Учет вре-
^епи реакции на поступивший сигнал только увеличи-
увеличивает т.
Инструкцией можно задать как т > Z/c, так ь т <( 1/с,
Доведение каждого болельщика в этом случае не зависит
от поведения соседей, согласованность же действий обее-
лечивается специально составленным временным расписа-
расписанием для каждого места на стадионе. При равном у всех
болельщиков времени реакции оно не повлияет на раз-
разность моментов времени подъема соседей. Выбрав достаточ-
достаточно малое %, можно добиться сколь угодно большой скоро-
скорости волны, в принципе и большей скорости света в вакууме.
Интересен еще один способ согласования. Организатор
передает инструкции по радио. Получив их, каждый бо-
болельщик сразу же начинает их исполнять. В этом случае
граница области, в которой болельщики пришли в движе-
движение, расширяется со скоростью радиосигнала. Но до гра-
границы этой области волна идет со скоростью v = 11%, об-
обрываясь на этой границе независимо от того, больше она
или меньше скорости границы.
Качественно близкая к этому случаю ситуация склады-
складывается при распространении электромагнитных волн
в среде. При падении «обрезанной» синусоидальной вол-
волны ее фронт (граница) идет по среде со скоростью света
в вакууме. По прошествии некоторого времени на доста-
достаточном расстоянии от ушедшего фронта в среде устанавли-
устанавливаются вынужденные колебания заряженных частиц, вхо-
входящих в ее состав. Излучение этих зарядов накладывает-
накладывается на поле падающей волны. В суммарной же электро-
электромагнитной волне запаздывание % на расстоянии I зависит
от частоты колебаний и характеристик среды. Горбы
и впадины в установившейся вдалеке от фронта волне
Перемещаются со скоростью v = 11%, которая для одних
сред и частот может быть меньше световой, а для других —
больше. В плазме, например, эта скорость больше скоро-
скорости света в вакууме. Разберитесь сами, почему такие сверх-
сверхсветовые скорости нельзя использовать для сверхсветовой
связи пли для сверхсветовой передачи энергии.
12. Движущийся адресат. Не открывается ли возмож-
ноеть сверхсветовой связи в следующей ситуации: навстре-
навстречу межзвездному кораблю отправляем с письменным
с°общением ракетный катер. Пусть у них одинаковая пэ
4* 99

модулю скорость относительно неподвижного наблюдать
ля v = A — 2-Ю) с. Тогда расстояние между катеров
и кораблем сокращается со сверхсветовой скоростью
и0 = 2v. Как быть с обсужденным ранее ограничение^
на скорость распространения информации? Нет ли ошиб-
ошибки в утверждении, что скорость уменьшения расстояния
равна 2v?
[3] Читателя нарочно пытаются сбить с толка, путая ско-
скорость сигнала и скорость уменьшения расстояния между
сигналом и получателем, В исходной неподвижной систе-
системе отсчета от места отправления до места получения пись-
письмо идет с досветовой скоростью и не обгоняет свет. Так
как сам адресат летит навстречу, то письму нужно пройти
не все начальное расстояние, а только половину. Отре-
Отрезок между катером и кораблем с каждого конца сокраща-
сокращается на у за 1 с и скорость полного сокращения и0 = 2v.
Здесь нет ошибки, хотя и0 почти вдвое превосходит све-
световую скорость.
Но ведь в системе отсчета «корабль», где сам корабль
неподвижен, скорость уменьшения расстояния совпадает
со скоростью сигнала! Как же быть?
Да, все верно: скорость катера в этом случае равна
скорости уменьшения расстояния. Но это скорости, из-
меренные уже в иной системе отсчета. Скорость катера
в системе отсчета «корабль» легко найти по релятивист-
релятивистскому правилу:
)'Щ
У нас v = A — а) с, где а <^ 1. Тогда
а* (л_
Отсюда получаем приближенное выражение для скорости
катера и zz A — а2/2) с, удобное для расчета. Скорость
и чрезвычайно близка к световой, но все же меньше нее.
На ускорителях со встречными пучками частиц фак-
фактически реализуется описанная в задаче ситуация.
13. Часы — молекула. Атом азота и три атома водо-
водорода в молекуле аммиака образуют конфигурацию пира-
пирамиды, с которой могут происходить любопытные периоди-
периодические превращения. В неподвижной и невращающейся
молекуле атом азота «проскакивает» через плоскость ато-
атомов водорода туда и обратно. Пирамида как бы выворачй-
вается, но после обратного проскока восстанавливается
100

^сходная конфигурация и т. д. Частота этих переходов
Vo = 24 000 МГц отвечает радиоизлучению с длиной вол-
волны kQ = 1,25 см. Молекула аммиака движется со ско-
скоростью и, упруго отражаясь от неподвижных стенок, рас-
расстояние между которыми L (рис. 52). Сколько переходов
Рис. 52
она испытает за время tf Считайте, что столкновения не
влияют на переходы. Если каждый переход сопровожда-
сопровождается испусканием светового сигнала, то в какие моменты
времени неподвижный наблюдатель получает сигналы при
постоянном движении молекулы относительно стенок?
Q Столкновения считаем кратковременными. На пути
туда и обратно одинаков модуль скорости, одинаково
и замедление времени. По часам молекулы пройдет время
т = t fl — {vlcf,
а тогда число переходов
N = vor = vot /I - {vtcf.
Наблюдатель воспринимает излучаемые молекулой
электромагнитные волны, период которых равен при
удалении молекулы
при приближении
1 "~ с \ 1
¦ у/с
и1с
v/c
Если молекула после одного отражения возвращается
к исходной стенке, то интересно сравнить число ее пере-
переводов N с числом переходов No у такой же молекулы,
•Остававшейся все это время на месте. На путешествие
тУДа и обратно по неподвижным часам требуется время
101

t = 2L/v и
= 2v0L/v.
По собственным часам молекулы путь туда и обратно
занимает одинаковое время. Молекула на каждой поло-
половине пути испустит по N12 сигналов, которые все будут
приняты наблюдателем у исходной стенки к моменту
возвращения. Поэтому
t = (N/2){T + Г).
Подставляя выражения для периодов, получим
+ v/c
2с
l + v/c ) -
Время нам уже известно: t = 2L/v; найдем тогда
Сравнивая это выражение с N01 получаем окончательно
N = Noyi - {vlcf.
Улетевшие и вернувшиеся назад часы-молекула показы-
показывают в у раз меньшее время^ чем такие же часы, оставшие-
оставшиеся на месте.
14. Путевые расчеты. Однажды, будучи еще космо-
космонавтами-стажерами, Пирке и Йон отправились с Земли
в центр межзвездных исследований, находящийся от нее
на расстоянии 5 световых лет. Если пренебречь участками
разгона и торможения, то скорость звездолета v =
= A — 5 • 10~5)с. При обсуждении вопроса, какой срок будет
зачтен им в летную практику, Йон заявил: «Скорость
корабля почти световая, поэтому полет туда продлится 5 лет
и такое же время обратно. В зачет пойдет 10 пет». Пирке
не согласилсяо Он узнал у капитана звездолета время
полета и стал умножать его на |/Ч — (у/сJ, приговари-
приговаривая: «Земля удаляется от ракеты со скоростью v, значит,-
земное время идет медленнее...» И вдруг он воскликнул:
«Ну и ну, на дорогу уйдет всего 0,4 дня!?» По возвраще-
возвращении инспектор космофлота затребовал корабельный жур-
нал и зачел по нему 37 дней пребывания в полете. Какие
времена имели в виду все герои этой истории? В чем за-
заключается ошибка Пиркса? Объяснения подтвердите вы-
выкладками.
? Йон нашел время полета по земным измерениям:
h = 2Uv « 2L/c ж 10 лет,
102

инспектор зачел время полета по корабельным часам:
0,1 год « 37 дней,
здесь у = "j/Ч — (vlcf ж 100. Пирке, исходя из кора-
корабельного времени tK = 37 дней, пытается определить,
сколько пройдет земного времени.
В системе отсчета А, связанной с кораблем, инер-
циально летящем от Земли, в соответствии с принципом
относительности в у раз медленнее идут часы на Земле.
За корабельное время tJ2 по земным часам проходит
время га = tJ2y. Аналогично в системе отсчета Z?, ле-
летящей вместе с кораблем к Земле, у земных часов такое
>ке замедление. Суммируя, Пирке и получил время «по
земным часам»:
?з = tjy ж 0,37 дня.
Здесь он и совершает ошибку. Показания земных
часов га = гп12у одновременны с показаниями гк/2 ко-
корабельных часов в системе отсчета Л, но не в системе В.
В системе В моменту обратного старта корабля одно-
одновременны совсем другие показания земных часов tB. Про-
Промежуток времени tB — tA и упустил Пирке, забыв, что
при изменении скорости корабля на обратную меняется
и используемая инерциальная система отсчета.
15. Близнецы. Оставшийся на Земле брат-близнец
пилота звездолета из предыдущей задачи постареет к мо-
моменту возвращения брата на 10 лет, а пилот — только
на 37 дней. Видимо, человеческий драматизм этой вооб-
воображаемой встречи близнецов возбуждает ощущение чего-то
таинственного. Молекула аммиака, вернувшаяся назад
после упругого отражения, или ядро атома железа,
участвующее в колебаниях кристаллической решетки,
по существу такие же путешественники, стареющие мед-
медленнее своих оседлых собратьев. Почему разная степень
постарения встретившихся близнецов не противоречит
принципу относительности?
Q Инерциальные часы, движущиеся с разными скорос-
скоростями, могут встретиться только однократно. Повторной
встречи не будет. Сравнивать ход этих часов приходится
Дистанционно с помощью сигналов. В полном соответст-
вии с принципом относительности по локационным изме-
измерениям первых часов замедляются вторые, а по измере-
измерениям вторых часов во столько же раз замедляются первые,
103

При неинерциальном движении хотя бы одних часов
возможна повторная встреча и непосредственное сравнение
показаний. Конечно, инерциальное и неинерциалытое
движение неравноправны. Для ускорения необходимы
внешние воздействия. По инефциальным и неинерциаль-
иым часам вполне может набежать от встречи до встречи
разное время. Противоречия с принципом относительно-
относительности здесь нет. Всегда, когда часы сначала были вместе,
а затем разошлись и встретились снова, имело место
неинерциальное движение.
Нужно обойти одну трудность количественного рас-
рассмотрения неинерциального путешествия. Инерциальное
движение одинаково влияет на ход любых процессов,
любые согласованные друг с другом часы остаются со-
согласованными при совместном инерциальном движении.
Д*.я ускоренного движения это не так. Воздействия из-
извне, необходимые для ускорения^ могут сказаться неоди-
неодинаковым образом на разных процессах. Ход часов при
совместном ускорении зависит от их конкретной конструк-
конструкции. (Уроните на пол наручные часы с противоударным
устройством и без него!)
Заметим, однако, что каким бы ни было неизвестное
влияние участков неинерциального движения при раз-
разгоне и торможении, его вклад будет иметь все меньшее
относительное значение при увеличении отрезков движе-
движения с постоянной скоростью туда и обратно. В предель-
предельном случае неинерциальный путешественник отличается
от своего инерциального со-
собрата «скачкообразным» пере-
переходом от одной инерциальной
системы к другой. Пусть в мо-
момент поворота с звездолета от-
отправляется к Земле световой
сигнал. При симметричном дви-
Рис. 53 жении туда и обратно от старта
до поворота по часам звездолета
пройдет время т/2 и столько
же — от поворота до возвращения (рис. 53). По земным
часам от старта до приема сигнала пройдет время
Тх =
возвр
мя
Т2 = xl2k%
а от приема сигнала до возвращения звездолета по земным
же часам пройдет время
104

где коэффициент к = У (с + v)/(c — v)* Полное время
пути по земным часам
После подстановок и приведения к общему знаменателю
имеем
Иногда недоумевают: как кратковременное ускорение
приводит к значительной разнице показаний инерциаль-
ных и неинерциальных часов?! Здесь вполне уместен
геометрический пример, показан-
показанный на рис. 54. Кратчайший путь
между двумя точками — прямая.
Соединяющая эти точки ломаная
может быть значительно длиннее,
хоть путь по ней прямолинеен, за
исключением малого участка ис- М м
кривления. Дело не в длине уча-
участка излома, а в повороте направ- Рис- ^
ления на определенный угол
при переходе от одного отрезка ломаной к другому,.
И в нашем случае важна не просто длительность уско-
ускорения, а вызванное им изменение скорости, переход
от одного инерциального движения к другому.
16, Собственное время, В зависимости от конструкции
часов они по-разному отзываются на ускорение. Введем
поэтому собственное время неинерциального тела, ис-
используя только инерциальные часы. На участке пути,;
в пределах которого изменения скорости малы, рассмот-
рассмотрим инерциальные часы, начавшие движение вместе с те-
телом от начала участка и совместно с ним прибывшие
к концу. Разбивая путь на все меньшие и меньшие участки
со своими инерциальными часами на каждом из них
и суммируя промежутки времени, измеренные по этим
йиерциальным часам, мы и получим собственное время
тела. Таким образом, с неинерциальным телом связы-
связывается непрерывная эстафета сопутствующих инерциаль-
ных систем, каждая из которых в определенное мгновение
Движется вместе с телом. Докажите, что собственное время
Неинерциального тела, через которое оно вернется к инер-
Диальному, всегда меньше времени возвращения по часам
этого инерциального тела,
105

Для малого промежутка собственного времени имеем
где i7j — скорость неинерциального тела на данном ма-
малом участке по измерениям инерциального наблюдателя.
На участке с номером i время прохождения этого участка
Att по часам инерциального тела больше собственного
времени неинерциального тела, так как ]/*1 — {vi/c)^^
1. Это же остается в силе и для суммы всех промежутков:
% = 2 д4т = s У 1~Ы^J Д|* < S Д** = *•
Сравнивая показания часов разных конструкций с соб-
собственным временем, мы можем изучить влияние ускоре-
ускорения на их ход. Для наручных часов малые ускорения,
возникающие при движении руки, не существенны. Срав-
Сравнительно большие ускорения мало влияют на внутри-
внутриатомные переходы. Внутриядерные переходы еще менее
чувствительны к ускорению.
17* Ф Железные близнецы. Не дожидаясь межзвездных
полетов, Ребка и Паунд в 1960 г. экспериментально уста-
установили более медленное «старение» неинерциально дви-
движущихся путешественников. В качестве таковых исполь-
использовались ядра 57Fe, участвующие в хаотическом тепловом
движении в составе кристаллической решетки. Эти ядра
образуются в возбужденном состоянии при распаде радио-
радиоактивного кобальта б7Со. При переходе в невозбужденное
состояние они испускают гамма-излучение с исключитель-
исключительно малым относительным разбросом частоты. Было уста-
установлено, что повышение температуры на AT = 1 К при-
приводит к уменьшению наблюдаемой средней частоты излу-
излучения ядер
Av/v = — B,09 ± 0,24). 105.
Рассчитайте сдвиг средней частоты, сравните его с дан-
данными эксперимента (для значений скоростей, соответст-
соответствующих тепловому движению, полезно использовать при-
приближение у\ — {vieJ ж 1 — 172/2с2). Почему данные экспе-
эксперимента можно рассматривать как доказательство нечувст-
нечувствительности часов-ядер к значительным ускорениям пря
ах тепловых колебаниях?
Q За малый промежуток собственного времени Дт про-
произойдет AN = v0At колебаний гамма-излучения ядра. Так
как Дт = Д? ]fi — {v/cJt где и — скорость ядрал а АИ
106

промежуток времени по неподвижным часам, то
&N = VoA*|/l — {vie? ж v0At (I - vV2c2).
Здесь v0 — частота излучения покоящегося ядра железа.
Скорость теплового движения i; беспрестанно меняется
я по модулю, и по направлению. Однако за достаточно
большое время наблюдения t нетрудно найти суммарное
число колебаний iV, равное числу испущенных и приня-
принятых периодов волн излучепия. При суммировании AN
квадрат скорости просто заменяем средним его значе-
значением, отвечающим температуре образца, тогда
где v2 теперь — средний квадрат скорости при темпера-
температуре Т. Хотя мгновенные скорости разных ядер неоди-
неодинаковы, средний квадрат у всех них один и тот же. Он
выражается через температуру и массу атома:
& « ЗкТ/т = ЗИТ/р.
Для удобства расчетов от постоянной Больцмана к мы
перешли к газовой постоянной R = 8,31 Дж/(моль«К)
(масса моля \ь = 0,057 кг/моль). Итак,
Средняя наблюдаемая частота при температуре Т будет
N /л SRT
^М1
Для относительного сдвига средней наблюдаемой час-
частоты при возрастании температуры на AT получаем
Ду _ ЗДДГ
В нашем приближении не существенно, что в знаменателе
стоит vOf а не v. Расчет при AT == 1 К дает
Согласие с экспериментом хорошее^ отклонение близко
к указанной погрешности.
Ускорения ядер при тепловом движении в твердом
теле могут в обычных условиях достигать значений по-
Рядка 1015 м/с2. По «человеческим» меркам это весьма
К1ного. В расчетах полагали^ что «ядерные» часы показы-
107

вают собственное время. Иначе говоря, мы пренебрегали
влиянием ускорения на ход ядерных процессов, свя-
связанных с испускалием гамма-излучения. Тогда, в рамках
теории относительности, согласие с экспериментом под-
подтверждает наше предположение.
Конечно, о значении ускорения надо судить по «ядер-
«ядерным» меркам, по тому, насколько существенно оно может
повлиять на структуру ядра и ядерные переходы. Оценки,
использующие данные ядерной физики, показывают, что
и значительно большие ускорения мало искажают ход
процессов внутри ядра,
8. ИМПУЛЬС И МАССА
Ньютоновская механика тем лучше согласуется с опы-
опытом, чем меньше скорости движения рассматриваемых
тел. Как распространить эаконы, хорошо известные и
проверенные для медленных движений, на общий случай?
Этот переход мы осуществим, опираясь на принцип отно-
относительности й релятивистскую кинематику. Раздел по-
посвящен импульсу и массе и
начинается с напоминания со-
соотношений ньютоновской ме-
механики.
1. Торможение. Рассмотрим
рис. 55. Между протяженными
сетчатыми электродами подано
постоянное напряжение. В за-
зазоре между ними на частицы с
с# данным зарядом действует сила
Р по нормали к сеткам, Как
нужно установить этот плоский сетчатый конденсатор,
чтобы затормозить заряженную частицу до нулевой ско-
скорости? Какое время t от начала торможения на это по-
понадобится, если масса частицы т, а ее начальная ско-
скорость i;? Какой единственной характеристикой частиц
при заданной силе F определяется время торможения t?
Проведите расчеты в рамках ньютоновской механики.
Обдумайте с позиций теории относительности пределы
применимости этих расчетов.
Ц Сила F должна быть направлена против скорости.
По второму закону Ньютона ускорение а = Flm и при
равнозамедленном движении скорость обратится в нуль
108

через время
t = via = mvlF.
При заданной силе это время определяется начальным
импульсом частицы р = mv. Важны не скорость и масса
в отдельности, а только их произведение. Для другой
частицы с иной массой и скоростью, но с тем же импуль-
импульсом встречная сила F за то же время t = p/F доведет
скорость до нуля.
С помощью такого конденсатора, как источника за-
заданной силы, можно измерять неизвестные импульсы,
определяя время торможения: р = Ft. В случае разгону
из состояния покоя получается то же самое выражение
для модуля импульса вылетевшей из конденсатора за-
заряженной частицы, только t теперь — время разгона.
При разгоне вектор импульса направлен вдоль вектора
силы.
Нерелятивистский подход применим, если скорости
частиц малы в сравнении со световойг-Кроме того, все
величины должны быть измерены в нерелятивистском
пределе: масса т — для покоящейся или медленно дви-
движущейся частицы, сила F —
для покоящегося конденса-
конденсатора и медленных частиц.
2. Парное взаимодейст-
взаимодействие. Используя сетчатые кон-
конденсаторы, расположение ко-
которых показано на рис. 56С
сообщим частицам началь-
начальные импульсы рх и р2. При
сближении и разлете частиц ' /'
импульсы меняются из-за рис 5б
взаимодействия частиц друг
с другом. С помощью другой
пары удаленных конденсаторов можно измерить конеч-
конечные импульсы частиц после разлета. С помощью третьего
закона Ньютона установите, в какой связи находятся
изменения импульсов частиц за один и тот же промежу-
промежуток времени при их парном взаимодействии. Что в этом
случае можно сказать о суммарном импульсе частиц?
[П Силы, с которыми частицы действуют друг на друга,
одинаковы по модулю и противоположны по направле-
направлению. Одновременные ускорения частиц аг = F/m1 и а2 =
= —F/m2, где т1 и т2 — массы частиц, a F и —F силы,
действующие на эти частицы со стороны друг друга.
109

Изменения скоростей за один и тот же малый промежуток
времени Д?, когда силы можно считать почти неизмен-
неизменными, будут
А FM A FM
Соответственно одновременные изменения импульсов
Арг = m1Av1 = JPAf, А#2 = m2Av2 = — .FA*.
Они оказываются одинаковыми по модулю и противо-
положг лми по направлению. Поэтому их сумма
i + Др2 — 0.
Изменения импульсов за продолжительное время скла-
складываются из изменений за малые промежутки. Поэтому
при парном взаимодействии сумма одновременных из-
изменений импульсов равна нулю. Это значит, что и сумма
импульсов частиц не меняется и суммарной импульс
в начальный момент времени равен суммарному импульсу
в конечный момент:
Pi + Рг = Pi + 2V
При парном взаимодействии импульс передается от час-
частицы к частице, но при этом Арг = —Ар2.
В классической динамике Ньютона справедливо и об-
общее утверждение о сохранении суммарного импульса
любой изолированной группы частиц, какими бы ни
были взаимодействия между ними. Суммарный импульс
системы может измениться лишь из-за взаимодействия
с частицами, не входящими в рассматриваемую систему.
Изолированная (замкнутая) система частиц включает всех
партнеров по взаимодействию и ее импульс неизменен
во времени.
Применяя описанный в предыдущей задаче метод,
можно найти начальные и конечные импульсы частиц
по времени их разгона и торможения. Естественно, что
силы, действующие на частицы в конденсаторах, должны
быть уже известны из предварительных измерений.
Описанный эксперимент можно провести и для быст-
быстрых, релятивистских частиц. Если для них по тому же
методу, при тех же значениях сил в конденсаторах, что
и для медленных частиц, определить импульсы^ то ока-
оказывается по-прежнему
Pi + Pz = Pi + Ръ*
110

В чем же проявляется своеобразие быстрых частиц?
Если провести независимые измерения скоростей, то для
релятивистских частиц импульс, определенный по сило
я времени, не пропорционален скорости,; а растет тем
быстрее, чем ближе скорость к скорости света.
3. Импульс невидимки. Электромагнитные взаимодей-
взаимодействия позволяют регистрировать частицы и определять
их характеристики. Нейтральные частицы, в отличив
от заряженных, не оставляют следов в фотоэмульсии д
Рис. 57
не вызывают разрядов в искровых камерах и т. п. Как
распознать участие в реакциях нейтральных частиц?
Рассмотрим события, зафиксированные водородной пу-
пузырьковой камерой. Заряженная частица ионизирует ато-
атомы на своем пути. Этот след становится видимым при
сбросе давления в жидком водороде: на ионизированных
атомах начинается кипение и образуются пузырьки газа.
На рис. 57 показаны так называемые звезда и вилка.
Три луча звезды образованы следами заряженных частиц:
отрицательного пиона, налетевшего на неподвижный про-
протон, положительного каона и второго отрицательного
пиона, образовавшихся в процессе столкновения: л~ + р->
->• Л + К+ + яГ. Нейтральный Л-барион остается не-
невидимым. Из-за его последующего распада по схеме
Л ->- р -|- тГ • вновь порожденные пион и протон обра-
образуют двуострую вилку с вершиной в точке рождения.
Пусть импульсы заряженных частиц измерены, а про
участие в процессах нейтральной частицы Л мы не знаем.
Как убедиться, что в первом процессе родилась нейтраль-
нейтральная частица? Как установить, что вилка связана с распа-
распадом частицы, появившейся в процессе столкновения?
Как, не зная заранее импульса невидимки^ проверить
закон сохранения импульса?
Ill

Q] По измерениям импульсов заряженных частиц можно
установить, что баланс импульсов не сходится. Доверяя
закону сохранения импульса, можно предположить, что
«недостачу» вызвал импульс р, унесенный одной или
несколькими частицами. Тогда р можно найти из урав-
уравнения
Рп
Рис. 58
Здесь рл — импульс налетевшего пиона, р& и рп — им-
импульсы каона и пиона, порожденных в реакции, р — им-
импульс невидимки или суммарный импульс нескольких
нейтральных частиц. Им-
Импульс неподвижного про-
протона в уравнении отсут-
отсутствует, поскольку он ра-
равен нулю. Проще всего
определить р геометри-
геометрическим построением, пока-
показанным на рис. 58. Откла-
Откладывая по направлениям
соответствующих следов
стрелки, изображающие
импульсы частиц в опре-
определенном масштабе, и пе-
перенося их с сохранением направлений и длин, мы полу-
получим вектор р — как отрезок, замыкающий ломаную.
Аналогичным образом из рассмотрения вилки, пока-
показанной на рис. 57,: найдем импульс р' распавшейся нейт-
нейтральной частицы:
Р' = Рр + Рл-
Здесь р9 и рп — импульсы протона и пиона, появившихся
при распаде. Направление вектора р' позволяет уста-
установить, по какой прямой летела материнская нейтраль-
нейтральная частица. Если эта прямая проходит к вершине вилки
ч:ерез центр звезды, то это убедительный довод в пользу
порождения материнской частицы в первой реакции.
Совпадение импульсов р и р', рассчитанных по звез-
звезде и вилке, свидетельствует о том, что импульс унесла
единственная частица, полностью передавшая его впослед-
впоследствии продуктам своего распада. При появлении в звез-
звезде дополнительных нейтральных частиц они унесли бы
какой-то импульс, и в результате равенство р ъ р' ока-
оказалось бы нарушено.
112

Для полной уверенности нужно оценить вероятность
случайного попадания в допуски, оставляемые погреш-
погрешностями измерений. Если вероятность такого стечения
обстоятельств крайне мала, то наша версия расшифровки
событий убедительна.
В отдельной реакции с участием нейтральных частиц
нельзя проверить закон сохранения импульса. Но если
у этих нейтральных частиц продукты распада заряжены,
то появляется возможность сравнить импульсы до по-
порождения нейтральных невидимок и после их распада.
В нашем случае равенство
Рп = РК + Рп + р'р + Рп
доступно экспериментальной проверке. Мы можем надеж-
надежно судить о характеристиках «невидимок», ибо сведения,
полученные из законов сохранения в одной реакции, мож-
можно проверить по другим реакциям с участием этих частиц.
4. Отдача и толчок. Для опытной проверки закона
сохранения импульса релятивистских частиц необяза-
необязательно даже знать релятиви-
релятивистские выражения для им-
импульса. Допустим, быстрые
частицы получены предвари-
тельным разгоном из состоя-
ния покоя при взаимодейст-
взаимодействии с массивными и непод-
неподвижными вначале телами
(рис. 59). После же столкно-
столкновения друг с другом быстрые
частицы застревают в массив-
массивных и неподвижных до этого
ловушках. Как, имея только
нерелятивистские выражения для импульса, проверить
закон сохранения импульса при столкновении реляти-
релятивистских частиц?
Ц Точность нерелятивистского выражения для импульса
тем больше, чем меньше скорость тел. Скорости же мас-
массивных источников и ловушек, появляющиеся при от-
отдаче и толчке, тем меньше, чем больше их массы.
Проведем сначала предварительный эксперимент: быст-
быстрая частица после испускания ее источником сразу по-
попадает в ловушку. После ее вылета массивный источник
приобретает нерелятивистскую скорость отдачи V и соот-
соответствующий импульс MV, здесь М — его нерелятивист-
нерелятивистская масса после испускания частицы. В соответствии
ИЗ

с законом сохранения импульса на этапе разгона имеем
р = 0.
Импульс быстрой частицы р = —MV можно вычислить
по скорости отдачи массивного источника. Закон сохра-
сохранения импульса на этапе захвата частицы ловушкой дает
р « WV\
где V —нерелятивистская скорость ловушки вместе с за-
захваченной частицей, а М' — соответствующая нереля-
нерелятивистская масса. В конечном же счете
МГ + M'V = 0.
Допустим, что последнее соотношение мы не вывелп
нз сохранения импульса, а нашли его экспериментально,
проводя изхмерения скоростей и масс. Если такое соот-
соотношение установлено в разных сериях подобных опытов,
если каждый раз изменение импульса источника при
отдаче отвечает изменению импульса ловушки при за-
захвате, то предположение о переносе импульса быстрой
частицей становится оправданным.
Проводя эксперименты по полной схеме, можно по
отдаче источников определить начальные импульсы быст-
быстрых частиц до их столкновения: рх = —MXVX и р2 =
= —M2F2; по толчку при захвате частиц в ловушки —
конечные импульсы после столкновения: р^ = M[V[ и
р2 = M'2V'2- Благодаря этим предварительным и после-
последующим измерениям можно проверить, сохраняется ли
импульс быстрых частиц при столкновении, выполняется
ли равенство
Наша задача не такая уж надуманная, как может
показаться. Для макроскопических источников и регист-
регистрирующие устройств практически невозможно уловить
изменения их скоростей при отдаче и толчке. Но идею
косвенного подхода к измерению импульса можно при-
применить к многоступенчатым процессам. В частности,
если возбужденное атомное ядро испускает фотон, по-
поглощаемый затем другим ядром, то здесь буквально
реализуется наш предварительный эксперимент, конечно,,
при нерелятивистском движении ядер.
В сохранении импульса можно убедиться экспери-
экспериментально, даже не имея математического выражения
зависимости импульса от скорости для быстрых частиц»
114

Огромное число данных, полученных при различных
взаимодействиях элементарных частиц, подтверждают за-
закон сохранения импульса.
5. Масса и вещество. Представляется естественным,
qxo вектор импульса отдельной частицы р направлен
вдоль вектора ее скорости v: р « т (v)v. При инерциаль-
ном движении скорость задает выделенное направление,
да п экспериментальные данные свидетельствуют о сов-
совпадении направления импульса и скорости По преемст-
преемственности с ньютоновской механикой числовой коэффи-
коэффициент т (у), связывающий вектор скорости и вектор
импульса, будем называть массой. Отсутствие пропор-
пропорциональности импульса и скорости для быстрых частиц,
о чем уже упоминалось, означает, что масса зависит
от скорости. Это встречает иногда следующее возражение:
неужели оттого, что кусок железа движется инерциально,
изменится число его атомов? Вообще, откуда берется
вещество на увеличение массы быстро движущихся тел?
Попробуйте убедительно ответить на этот вопрос.
Скорость тела, конечно, не влияет на число атомов,
того же тела в одной инерциальной системе скорость
мала, в другой — велика. Атомы не исчезнут и не появят-
появятся оттого, что выбрана иная система отсчета. Просто
с ростом скорости каждый атом становится массивнее,
во столько же раз массивнее становится и все тело. Не-
Недоумение связано с представлением о массе как о вели-
величине, изменить которую можно только, добавив или
отняв частицы. Это неверно. Масса — мера инертности,
чем больше масса тела при том же его импульсе, тем
меньше его скорость, тем меньше сказывается передан-
переданный телу импульс на скорости движения. Именно это
свойство инертности отражает формальное определение
массы как коэффициента, связывающего импульс и ско-
скорость. Зависит ли инертность («нечувствительность к им-
импульсу») от скорости тела — это уже вопрос исследования.
Отметим, что если двигаться вместе с инерциальным
телом, то никакого изменения массы заметить нельзя.
Согласно принципу относительности само по себе инер-
циальное движение не сказывается на свойствах тел.
В сопутствующей инерциальной системе отсчета масса
тела равна массе такого же покоящегося тела в исход-
исходной системе.
6. Симметричный распад. Это простая задача — ис-
исходный пункт в выводе зависимости массы от скорости.
Частица распалась на две одинаковые частицы. Какова
115

скорость материнской частицы, если скорости дочерних
частиц одинаковы по модулю, но противоположно па-
правлены?
Ц Дочерние частицы одинаковы, в частности одинаковы
их массы покоя. При одинаковых по модулю скоростях
разлета у дочерних частиц одинаковы и массы в движе-
движении, значит,: импульсы одинаковы по модулю и проти-
противоположны. Поэтому суммарный импульс продуктов рас-
распада нулевой. Ввиду сохранения импульса он нулевой
и до распада у материнской частицы. Ее скорость, таким
образом, нулевая.
Нетрудно понять,; что и при обратном процессе —
симметричном слиянии двух одинаковых частиц — ско-
скорость образовавшейся частицы будет нулевой.
7. Распад на лету. При распаде движущейся частицы
на две одинаковые дочерние частицы их скорости уже
не равны по модулю,^ отличен от нуля и суммарный им*
пульс* Как относятся массы дочерних частиц, если из-
известны проекции их скоростей на ось, перпендикулярную
вектору скорости материнской частицы?
Ц Сумма импульсов дочерних частиц равна по модулю
импульсу материнской частицы и направлена по вектору
се скорости. Значит, составляю-
составляющие импульсов дочерних частиц
на направление, поперечное век-
х- w(vi)vii тору скорости материнской час-
частицы, взаимно уничтожаются и
дают в сумме нуль. Рассмотрим
рис. 60. Если рх = т {vx)vx —
импульс первой частицы, то его
проекция на поперечное направ-
направление pXJL = т {vx)v1Ll здесь vxl —
проекция скорости первой части-
частицы. Для второй частицы имеем'
аналогичное выражение:
т (и )v i + m (v )v =0
Р
iL~m(vz)v2L
Рис. 60
поэтому отношение масс дается отношением поперечных
скоростей:
т (и2)/т (vt) == —i>iJL/i>ajL«
Знаки проекций скоростей противоположны^ поэтому
отношение масс положительно.
8. Обращение к кинематике. В обозначениях преды-
предыдущей задачи докажите^ что при разлете одинаковых
116

дочерних частиц
Рассмотрите поперечные смещения дочерних частиц за
равные промежутки их собственного времени.
Q В системе покоя материнской частицы промежуток
собственного времени дочерних частиц
х *= tfl _ (и/сJ,
где t — время перемещения, аи — скорость дочерней
частицы. Так как в этой системе у дочерних частиц ско-
скорости одинаковы по модулю, то и времена перемещений
одинаковы. Так как скорости противоположны, то про-
противоположны и перемещения частиц, а значит и проек-
проекции этих перемещений ух и у2 вдоль оси, перпендикуляр-
перпендикулярной вектору скорости материнской частицы: у2 = —ух.
Поперечные сносу перемещения остаются неизменпыми
при сносе, таковы же они и в системе отсчета, где ма-
материнская частица движется, а скорости дочерних частиц
vx и v2. Однако здесь эти перемещения происходят не за
одинаковые промежутки времени tx и ?2. В самом деле,
Y
так как т = tiYi — {vjcy ит = B Y^ — (*VCJ» то ПРИ
разных по модулю скоростях дочерних частиц tL Ф t2.
Отношение этих временных промежутков равно об-
обратному отношению соответствующих корней, а так как
поперечные перемещения отличаются только знаком, то
этим и доказывается приведенное в условии соотношение
поперечных скоростей. Проделаем выкладки детальней.
Ясно, что
а тогда
у% Ух
Отношение поперечного перемещения к времени, за ко-
которое оно произошло, и есть поперечная скорость, По-
Поэтому
что эквивалентно соотношении^ которое требовалось до-
доказать.
117

По ходу рассуждений можно заметить, что если ско-
скорость v получена инерциальным сносом из скорости и, то
1Л - WcJ 1Л
так как это всего лишь разные выражения одной и той
же величины у/т. Снос не влияет ни на поперечное ему
перемещение, ни на собственное время, поэтому сохра-
сохраняется и отношение этих величин. Это общий результат,
не зависящий от дополнительных предположений задачи
о распаде.
9. Релятивистская масса. Масса покоящейся частицы
яг0, какова ее масса т при движении со скоростью vf
Каков ее импульс?
Q Воспользуемся тем,; что для произвольного распада
на две одинаковые частицы
Тогда
Подбором скорости разлета в системе покоя материн-
материнской частицы и скорости материнской частицы до распада
можно добиться, чтобы vx стремилось к нулюг a v2 — к у.
Тогда
Так как при любой предыстории масса данной частицы
при данной скорости имеет одно и то же значение, то
это выражение справедливо для любой частицы неза-
независимо от того, появляется она при симметричном рас-
распаде или нет. Зависимость массы от скорости имеет уни-
универсальный характер. Конечно, масса покоя — харак-
характеристика индивидуальная, для разных частиц она мо-
может,, естественно^ отличаться. Масса же движущейся
частицы превосходит массу покоя в у = 1/|/Ч — (vieJ раз.
Релятивистский множитель у определяет, во сколько раз
увеличится масса при данной скорости. (Если вспомнить
кинематическое обсуждение в предыдущей задаче, то Y
появилось из выражения для собственного времени.)
По мере приближения скорости частицы к световой ее
масса неограниченно растет.
118

Импульс частицы р = mv3 так что
р = —у- ° т- = ymnv*
Интересно, что если в духе предыдущей задачи рас-
рассмотреть перемещение частицы г = vt за время t, соот-
соответствующее промежутку собственного времени т =
z^tYi — (у/сJ, то для массы и импульса можно получить
простые выражения:
т = mQt/x, р = тог/х.
Масса покоя и собственное время т не зависят от
выбора системы отсчета. Поэтому масса и импульс пре-
преобразуются при инерциальном сносе как промежутки
времени и перемещения, то есть для них справедливы
те же формулы преобразования Лоренца.
10. Импульс и сила. У свободной частицы импульс
постоянен, воздействия же на частицу приводят к его
изменению. Скорость передачи импульса частице задается
приложенной к ней силой
dpi At = F.
В такой форме второй закон Ньютона применим и при
релятивистском движении. Замечательно, что сам Ньютон
формулировал этот закон через импульс, а не через уско-
ускорение.
Какую скорость наберет частица с массой покоя т0
за время разгона t при наличии постоянной силы Jt1?
Выясните, когда можно считать та = F, здесь т — масса,
а а = dv/dt — ускорение.
Q При нулевой начальной скорости начальный импульс
частицы равен нулю. Каждую единицу времени частица
получает один и тот же импульс F, а за время t — импульс
p = Ft.
Исходя пз релятивистского выражения
выразим скорость через импульс. Квадрат импульса
отсюда
119

Тогда
v =
ср
Поскольку р = Ft, то скорость частицы через время
равна
cFt
График зависимости модуля скорости от времени
показан па рис. 61. Для малого времени разгонаА когда
Релятивистская
зависимость
Рис. 61
Ft
имеем приближенное равенство
У =
В этом случае движение можно считать равноускорен-
равноускоренным с ускорением а = F/mQ. Это ответ на второй вопрос
задачи.
При продолжительном разгоне, когда Ft ^> тос, в под-
подкоренном выражении можно пренебречь квадратом массы
покоя, тогда v ж с. Скорость никогда не достигает све-
световой, но с ростом t все меньше и меньше от нее отли-
отличается. Ускорение при этом стремится к нулю.
Точное равенство та = dp/dt, а значит и та = F,
выполняется лишь при неизменной массе, а значит при
неизменной по модулю скорости, при неизменном модуле
вектора импульса. Это отвечает не только случаю нуле-
нулевой силы, но и случаю силы, перпендикулярной импульсу.
Последнее практически важно, так как магнитная сила
перпендикулярна скорости заряженной частицы. Конеч-
Конечно, здесь т не совпадает с т0, а Зависит от скорости (по-
120

стоянной по модулю). Замена т на т0 оправдана лишь
в нерелятивистском пределе»
11. Измерение импульса. Принципиально возможное
измерение импульса по времени торможения заряженных
частиц электрическим полем редко применяется на прак-
практике. Иное дело — магнитное поле. Трековые детекторы,
в которых видны следы частиц, обычно помещают в маг-
магнитное поле. Это позволяет определять знак заряда частиц
Рис. 62
и их импульс по кривизне траектории. Определите им-
импульс частицы с зарядом q, если она движется по окруж-
окружности радиусом г в плоскости, перпендикулярной магнит-
магнитному полю В (рис. 62).
Ц В данном случае магнитная сила F = qvB. Она на-
направлена перпендикулярно плоскости векторов qv и jB,
ориентация задается известным правилом правой руки.
Ускорение частицы при равномерном вращении по ок-
окружности равно а = и2/г, направлено оно к центру ок-
окружности. Модуль скорости, а значит и масса частицы
не меняются, поэтому
mv2/r = qvBf
откуда
р = mv — qBr*
Угловая скорость со = v/r = qB/m в релятивистском
случае зависит от скорости частицы, ибо т =
JY — {vlcf.
При известном направлении движения частицы знак
заряда определяют по тому, в какую сторону траектория
искривляется магнитным полем. (Искривление дает на-
направление силы, а тогда с помощью правила правой руки
находим ориентацию вектора qv.) Легче всего в этом
разобраться по рис. 62.
12]

9. МАССА И ЭНЕРГИЯ
Сохранение импульса связано с неизменностью у^
парной массы изолированной системы. Разгон частиц
происходит при передаче им энергии и сопровождается
увеличением массы. Анализ этих обстоятельств с по,
зиций закона сохранения энергии приводит к замеча-
замечательному результату о пропорциональности массы и энер-
энергии.
1. Дефект массы. Примерно в одной трети случаев
К°-мезон распадается на заряженные пионы: К0 -> п+ -f-
+ п~. Масса покоя нейтрального каона тКо =*
= 497,7 МэВ/с2, у отрицательного и положительного
пионов массы покоя одинаковы и равны тп = 139,6 МэВ/с2.
Независимо от используемых единиц легко установить
«пропажу» более 40% массы при распаде. Такая «недо-
«недостача» называется дефектом массы и имеет место во мно-
множестве других реакций.
Казалось бы, это противоречит закону сохранения
импульса. Допустим, из покоящейся частицы с массой
т0 образовались две покоящиеся частицы с массами тО1>
и т02. Тогда для материнской частицы, имеющей скорость
v, ту же скорость имеют и продукты распада. Импульс
до распада р *= moyv равен импульсу после распада
Pi + Ръ s=z mQi?° Н~ m№Y°' После сокращения на общий
множитель yv имеем
т0 = т01 + /7г02.
В чем дело? Вроде бы правильно применяя закон сохра-
сохранения импульса, мы пришли к неизменности суммы масс
покоя, что противоречит экс-
экспериментальным данным о
дефектах масс.
?j В рассуждении использо-
использовано произвольное допуще-
допущение, что после распада покоя-
покоящейся частицы дочерние час-
частицы не разлетаются. Распа-
Распады, как правило, происходят
с заметным изменением внут-
внутренней энергии и дочерние
частицы получают кинетическую энергию, улетая от места
рождения с ненулевыми скоростями щ и щ (рис, 63).
Из-за этого и при распаде на лету скорости дочерних
ч \стиц vx и v2 ие совпадают со скоростью материнской
122
Рис. G3

частицы. Поэтому закон сохранения импульса^ записан-
записанный в форме
mQyv= WoiYi^i + ™>02y2v2f,
уже не противоречит изменению суммы масс покоя.
Только при отсутствии разлета частиц, а значит при рас-
распаде без изменения внутренней энергии, мы имеем т0 =
Несовпадение суммы масс покоя частиц до и после
взаимодействия имеет место не только в процессах рас-
распада, но и в процессах столкновения с порождением
новых частиц. Вполне может появиться и «лишняя»
масса покоя. Это, например, обязательно происходит при
слиянии соударяющихся частиц в одну. Дефект массы
в этом случае отрицателен. Опираясь на закон сохране-
сохранения импульса, можно сделать вывод, что при любом
ненулевом дефекте масс участвующие в процессе частицы
движутся друг относительно друга. При этом обязатель-
обязательно прйисходит превращение внутренней энергии в кине-
кинетическую и наоборот.
Для малых относительных скоростей из соображений
непрерывности можно сделать вывод, что и соответствую-
соответствующий дефект массы мал. В нерелятивистском пределе,
когда до и после реакции скорости частиц малы, можно
пренебречь изменением суммы масс покоя.
2. Закон сохранения массы. Достаточно продолжить
рассуждения предыдущей задачи, чтобы прийти к уже
верному выводу о неизменности сум-
суммарной массы при распаде. Пусть век-
векторы скоростей дочерних частиц щ
и и2 в системе покоя материнской
частицы перпендикулярны вектору
ее скорости v (рис. 64). Рассмотрите
проекции векторов импульса дочер-
дочерних частиц на направление скорости
материнской частицы. Получив из
закона сохранения импульса неиз-
неизменность суммы масс при таком рас-
распаде, рассмотрите случай произволь-
произвольного направления скорости мате-
материнской частицы.
С] Скорости vx и v% дочерних частиц при распаде на лету
получаются инерциальным сносом скорости v. В первом
случае вектор v перпендикулярен щ и г*2. Поэтому про-
продольные составляющие скорости дочерних частиц одина-
123
Рис. 64

ковы и совпадают со скоростью материнской частццы;
Согласно закону сохранения импульса
Щ (vi) vi + Щ (vz) v2 = т (v) v<
Перейдем от векторного равенства к проекциям. Попе-
Поперечные проекции импульсов дочерних частиц в сумме
дают нуль, а для проекций на направление вектора ско-
скорости материнской частицы
Щ
V2 о
= т
Здесь vt\\ = v2[\ = v, поэтому, сократив на у, имеем
Щ
= т
Сумма масс продуктов распада равна начальной массе.
Общий случай «неперпендикулярного» разлета можно
разобрать, следуя уже оправдавшей себя идее с проек-
проекциями. Обратимся к рис, 65 и представим себе, что ма-
материнская частица находит-
находится в трубе, по оси которой
разлетаются дочерние части-
частицы со скоростями иг и гг2.
В системе покоя материнской
частицы труба неподвижна.
В общем случае скорость ма-
материнской частицы не направ-
направлена по перпендикуляру к
трубе, но проекции скоростей
частиц на направление это-
этого перпендикуляра у всех
частиц, включая и мате-
материнскую, снова одинаковы.
Обозначим эту общую проекцию ш. Тогда
mi (vi)w + Щ (щ)и> = т (v)w,
а значит сумма масс неизменна и для произвольного на-
направления V.
(Воображаемая труба понадобилась нам, чтобы сразу
осознать равенство проекций всех скоростей на ось,
перпендикулярную иг и г/2. В поперечном к трубе направ-
направлении скорости всех частиц одинаковы и совпадают со
скоростью самой трубы в этом направлении, иначе они
наткнулись бы на ее стенки.)
124

Утверждение о неизменности суммарной массы для
любой изолированной группы частиц также может быть
получено исходя из закона сохранения импульса и инер-
циального сноса.
3. Двухпионный распад. Найдите скорости заряжен-
заряженных пионов, появившихся при распаде покоящегося
нейтрального каона.
Q Ввиду равенства масс пионов их скорости одинаковы
по модулю и, естественно, противоположны. Обозначим
модуль скорости пионов через и. Неизменность массы
приводит к равенству
2тпу = тк,
которое позволяет найти релятивистский множитель у =
= 1/|/Ч — (и/сJ = тк/2игя (тл — масса покоя пиона).
Тогда
и = с/1 - 1/v2 = eYi - bml/mh
Воспользуемся приведенными в задаче 1 данного раздела
значениями масс покоя каона и пиона (важно только их
отношение) и получим
и = 0,83с.
4. Нерелятивистский распад. Скорость пионов в пре-
предыдущей задаче сравнима со световой. Однако расчеты,
проведенные в общем виде, справедливы и для любого
симметричного распада. Выясните, как в нерелятивист-
нерелятивистском пределе кинетическая энергия дочерних частиц свя-
связана с дефектом массы Am = MQ — 2т0% Mo — масса
покоя материнской частицы, т0 — масса покоя любой
из одинаковых дочерних частиц. Скорость разлета частиц
мала в сравнении со световой.
? Согласно результату предыдущей задачи у == М0/2т0,
поэтому
7 = 1 + &т/2т0.
При малых скоростях применимо приближенное равенство
у - 1 ж uV2c2,
так что
Am ж m0u2/c2#
Хотя нам и неизвестно релятивистское выражение для
энергии, но мы знаем, что в пределе малых скоростей
применимы соотношения классической механики, в ко-
которой кинетическая энергия частицы К = тои2/2. У сим-
125

метрично разлетающихся частиц одинаковые кинетиче-
кинетические энергии. Так что дефект массы равен суммарной
кинетической энергии дочерних частиц, деленной на квад-
квадрат скорости света.
Поскольку масса движущейся частицы т = Мо/2 =
= т0 + Ат/21 то в том же приближении имеем
т ях mQ + ш0и2/2с2 = т0 + К/с2.
Прирост массы равен кинетической энергии частицы, де-
деленной на с2,
Запас энергии оказывается связан с массой. Мы об-
обнаружили это, используя нерелятивистское приближе-
приближение. Но такая взаимосвязь заслуживает исследования
и в общем случае.
5. Энергия и масса. Чтобы первоначально свободная
частица разогналась или затормозилась, она должна
вступить во взаимодействие с какой-либо физической
системой. Назовем эту систему, с которой частица обмени-
обменивается энергией, источником. Наподобие аккумулятора
источник может как отдавать, так и запасать энергию.
Будем считать, что после взаимодействия с источником
частица снова движется свободно. Отдав энергию на раз-
разгон частицы, любой источник обязательно изменит свое
состояние, перейдет в состояние с меньшей энергией.
Докажите, что это сопровождается уменьшением массы
источника. Если же при торможении частицы ее энергия
забирается источником, то его масса растет. Пусть при
разгоне частицы из состояния покоя источник передает
ей энергию А?", а масса частицы возрастает на Am. Ка-
Какую энергию затратит источник при последовательном
разгоне п таких частиц до той же конечной скорости
у каждой? Насколько изменится масса источника? До-
Докажите, что изменение энергии любого источника про-
пропорционально изменению его массы Е2 — Ег = а {т2 — щ)
и найдите а.
Ц Все дело в том, что у системы, состоящей из источника
и частицы, остается неизменной полная масса. Поэтому
при передаче энергии на разгон частицы возрастание
массы частицы сопровождается точно таким же уменьше-
уменьшением массы источника. Если же источник получает энер-
энергию от тормозящейся частицы, то по той же причине
уменьшение массы замедлившейся частицы сопровожда-
сопровождается приростом массы источника. В любом случае сумма
масс до взаимодействия равна сумме масс после взаимо-
взаимодействия. (Отсутствие взаимодействия до и после обмена
126

энергией позволяет рассматривать по отдельности энергии
# массы частицы и источника, а значит и полученный
ранее вывод о зависимости массы свободной частицы от
скорости.)
Источник, передавший энергию АЕ на разгон одной
частицы, уменьшит свою массу в точности на Am, на
прирост массы частицы. При последовательном разгоне
п таких частиц до той же конечной скорости каждая
частица должна получить ту же порцию энергии, поэтому
суммарная передача энергии от источника равна пАЕ.
Поскольку разгон каждой частицы сопровождается умень-
уменьшением массы источника на Am, то суммарное уменьше-
уменьшение массы источника равно пАт.
Рассматривая обратный процесс торможения частиц,
можно получить аналогичный результат для приращений
энергии и массы источника. Этим фактически доказана
пропорциональность изменений энергии и массы. То, что
изменение энергии кратно АЕ, не вызывает затруднений,
так как значение АЕ можно взять достаточно малым. По-
Поэтому изменение массы и изменение энергии пропорцио-
пропорциональны:
Е% — Ех = а(т2 — тх).
Некоторая абстрактность подхода отвечает существу
дела. Связь энергии с массой установлена для любого
типа источника, в какой бы форме ни была в нем запасена
энергия. Множитель а, связывающий изменение энергии
н изменение массы, является универсальным. Ведь откуда
бы ни получили одинаковые частицы одинаковые порции
энергии, их массы в любом случае возрастут одинаково.
Так как источником энергии может служить и любая
движущаяся частица, то тот же множитель а связывает
и кинетическую энергию с приростом массы частицы при
разгоне из состояния покоя:
К = а(т — mQ) или т = т0 + К/а.
Естественно, что это точное равенство остается примени-
применимым и в нерелятивистском пределе^ когда, как мы уже
получили,
т = т0 + К/с2.
Сравнение этих выражений позволяет найти а: а = с2 —
универсальный переводной множитель равен квадрату
скорости света.
6. Превращение частиц. Полная энергия или масса
замкнутой системы частиц неизменны, но обладающие
127

ями частицы могут появляться и исчезать в процессе пре-
превращений. Распады нестабильных частиц сопровождаются
переходом их внутренней энергии в кинетическую энергию
продуктов распада. Возможно и создание новых частиц.
Например, при столкновении высокоэнергетических про-
протонов может появиться нейтральный пион:
Энергия пиона, включая и его внутреннюю энергию, бе-
берется из запаса кинетической энергии протонов до столк-
столкновения. Запишите для этого процесса баланс энергии и
массы. Как энергия пиона связана с его массой? Чему
равна внутренняя энергия пиона, если его масса покоя щ0?
L^j В этом процессе для новорожденной частицы изменение
массы равно самой ее массе, а изменение энергии — самой
ее энергии. Поэтому энергия возникшей частицы просто
равна ее массе, умноженной на с2. В самом деле, согласно
закону сохранения энергии
и энергия пиона равна уменьшению энергии протонов
Е = 2?1Р + i?2p — (^ip
Значит, она равна и уменьшению массы протонов, умно-
умноженной на с2. Ввиду неизменности суммарной массы,
га1р + /Пар = mlp + и^р + иг,
масса пиона также равна уменьшению суммы масс про-
протонов.
Итак, для пиона масса, умноженная на с2, равна энер-
энергии:
тс2 = Е.
Энергия частицы в системе отсчета, в которой она по-
покоится, называется внутренней энергией. При движении
частицы к внутренней энергии добавляется кинетическая,
другими словами, полная энергия свободной частицы
складывается из ее внутренней энергии и кинетической.
Поскольку полная энергия частицы сводится к ее массе,
умноженной на квадрат скорости света, то внутренняя
эпергия также сводится к массе покоя с тем же переводным
множителем:
Ео = тос\
Чтобы пион родился, каким-то другим телам прихо-
приходится отдавать на это энергию. Наименьший запас энергии!
128

необходимый для создания частицы, равен ее внутренней
энергии. Этой энергией частица обладает, даже если она
покоится.
Нейтральный пион нестабилен, и энергия, пошедшая
на его создание, не остается «мертвым капиталом». При
распаде покоящегося пиона на два фотона она полностью
наследуется: суммарная энергия фотонов равна внутренней
энергии пиона. То же верно и для суммы масс фотонов.
Пионы не исключение. Лри столкновении протона с
антипротоном *) обе частицы могут исчезнуть, породив
тройку пионов:
р + Р -> я+ + я- + я0.
У протона и антипротона изменение энергии совпадает с
самой энергией, а тогда и для них с учетом множителя с2
равны массы и энергии. Так как существует принципиаль-
принципиальная возможность возникновения и исчезновения любых
частиц и их систем в процессе взаимодействия, то такое
равенство является общим свойством физических систем.
Для системы частиц «покой» это состояние с нулевым пол-
полным импульсом. Энергия системы в этом состоянии и есть
ее внутренняя энергия, а масса покоя связана с внутренней
энергией множителем с2.
Ранее, до создания теории относительности, считалось,
что энергия и масса являются независимыми характерис-
характеристиками, описывающими разные свойства тел. Знаменитое
равенство
Е = тс2,
называемое соотношением эквивалентности массы и энер-
энергии Эйнштейна, показывает, что это не так. Все эти свойства
на равных правах могут количественно выражаться как
массой, так и энергией. С помощью переводного множи-
множителя с2 всегда можно перейти от одной величины к другой,
можно судить о массе по ее энергетическому эквиваленту
и наоборот, по массе определять энергию. В физике эле-
элементарных частиц массы покоя указывают в единицах
энергии, не упоминая даже о переводном множителе с2.
7. Один или два закона сохранения? Масса системы
однозначно определяет ее энергию и наоборот. Закон со-
сохранения массы изолированной системы есть тем самым
и закон сохранения энергии. Чем же оправдана практика
*) Античастицы имеют ту же массу, что и соответствующие
частицы, и противоположный им заряд.
5 ИИ Воробьев ^?Q

раздельного использования законов сохранения массы
и энергии в нерелятивистской физике?
В процессах, в которых частицы вещества не возникают
и не исчезают, внутренняя энергия частиц не имеет боль-
большого значения. Подтвердите это, проанализировав баланс
энергии для изолированной системы частиц, не претерпе-
претерпевающих внутренних изменений. С другой стороны, пока
изменения энергии малы в сравнении с внутренней энер-
энергией частиц, они мало влияют на массы частиц, почти не
приводят к изменению инерционных свойств. Наиболее
точные прямые измерения массы имеют относительную
погрешность, превышающую 10~8. До каких скоростей
частиц соответствующее изменение массы останется не-
незамеченным? Почему потенциальная и кинетическая энер.
гия могут быть измерены, даже если соответствующее
изменение массы ускользает от измерений?
Q Отсутствие внутренних превращений частиц означает,
что состав системы не меняется: ее образуют постоянно
одни и те же частицы с теми же массами покоя moi. Полная
энергия системы включает в себя сумму внутренних энер-
N
гий частиц 2 7И<нс2' их суммарную кинетическую энергию
К и потенциальную энергию U взаимодействия частиц
между собой. Потенциальная и кинетическая энергии меня-
меняются, внутренние же энергии частиц при неизменности
масс покоя постоянны. В равенстве, выражающем закон
сохранения энергии,
N N
+ к + и= 2 ™<нс2 + к' + и;
i
постоянное слагаемое выпадает из баланса энергии, сумму
внутренних энергий частиц можно исключить:
к + и = к' + и*.
В процессах, не затрагивающих массу покоя частиц, их
внутренняя энергия поэтому себя и не обнаруживает,
остается «мертвым капиталом».
Обратимся к инерционным свойствам. Прямое изме-
измерение масс основано на том или ином использовании со-
соотношения для импульса р = mv. Изменения масс, усколь-
ускользающие от прямого измерения, подчиняются неравенству
Д/п/т0 < 1(Г8,
130

Изменение массы, вызванное кинетической энергией,
Am = К/с2 «= т — т0 = mo(v — 1).
Ввиду малости изменения массы воспользуемся нерелкти-
вистским приближением у — 1 » у2/2с2. Тогда гЯ/2с2 <
< ЮЛ а
у/с < 1,4. ЮЛ
то есть отклонение массы от массы покоя останется не*
замеченным при скоростях частицы меньших или порядке
100 км/с.
О кинетической и потенциальной энергии можно су-
судить и без обращения к массам: по скорости, по расстоянию
между частицами, по различным характеристикам состоя-
состояния, которые могут быть доступнее для измерений,
чем соответствующие добавки к массе.
Итак, в нерелятивистском случае при отсутствии пре-
превращений частиц сохранение энергии сводится к неизмен-
неизменности суммы кинетической и потенциальной энергии. Об
энергии того или иного вида можно судить независимо от
вклада в массу. При ограниченной точности измерзния
масс изменение масс с изменением энергии остается неза-
незаметным. Поэтому инерция системы в первую очередь опре-
определяется составом системы, суммой масс покоя, полная
же масса системы представляется не зависящей от энер-
энергии.
8. Установление индивидуальности. После открытия
пропорциональности массы и энергии оказалось, что двумя
разными терминами выражается одно и то же свойство.
Уместно устранить такое дублирование. Массой называют
теперь только массу покоя. В остальных случаях исполь-
используют термин «энергия», подразумевая, что она есть и мера
инертности. В таком понимании масса является характе-
характеристикой частицы данного вида, не зависящей от движения.
В дальнейшем будем придерживаться этой терминологии.
Элементарные частицы одного вида одинаковы, оди-
одинаковы свойства любых электронов, протонов и т. д. Оди-
Одинаковы у них и массы. Поэтому по массе можно судить,
к какому семейству принадлежит частица. Для быстрых
частиц энергия Е и импульс р более удобны для измерений,
чем скорость (в частности, их можно найти из законов
сохранения). Остановить и взвесить частицы весьма и
весьма непросто. Но массу можно найти и на лоту. Выра-
Выразите через Е и %> массу частицы1 ее скорость v и реляти-
релятивистский множитель y»
5* 131

? Сохраним пока прежние обозначения. Так как р ==
= mv = ymQv, а Е = тс2 = Ym0c2, то
v = с2р/Е.
Подставляя это значение в формулу для релятивистского
множителя (у = il]fi — {vieJ), имеем
Е
У
Сравнивая этот результат с формулой Е = ут0с2, полу-
получаем
т0 = УЕ* - {cpflc\
Это соотношение более удобно в несколько другой форме:
{тосУ = Е* - {ср)\
Так как термин «масса» будет использоваться только для
обозначения массы покоя, го нулевой индекс можно опу-
опустить. Массу же движущегося тела всегда будем выражать
через энергию, как Е1с2. Тогда
» С* уГХ _ („/с)« •
Связь энергии, импульса и массы, устанавливаемая со-
соотношением
Е2 = mV + с2р2,
напоминает соотношение сторон в прямоугольном тре-
треугольнике и может быть геометричес-
геометрически проиллюстрирована рис. 66.
9*. Работа и энергия. Релятивистс-
Релятивистские выражения для энергии и импуль-
импульса отличаются от классических. Однако
по-прежнему приращение энергии час-
частицы равно работе приложенной к ней
силы. Докажите это, исходя из вто-
второго закона Ньютона dpldt —F is. реля-
релятивистской «теоремы Пифагора» Е2 =
= mV + с2р2.
? Достаточно рассмотреть малый учас-
участок. Полное приращение энергии скла-
складывается из приращений на малых
участках, как и полная работа силы
на всем пути складывается из работ на малых участках.
На данном малом участке силу F можно считать оди-
одинаковой на всем его протяжении и тогда по второму

закону Ньютона приращение импульса
Р% — Pi =
здесь р2 и jpx— импульсы в начале и конце участка, At —
время его прохождения. Поскольку El = т2с* + с~р\
и Е\ = т2с* + c2j&2» то разность квадратов энергий в
конце и начале участка равна разности квадратов имнуль-
2
сов с множителем с2:
или
(Е2 + Ех) (Е2 - Ег) = с2(р2 + Pl)(p2 ~ Pl).
Введем среднюю энергию Е = (Е2 + ^i)^ и средний им-
импульс р = (jP2 + jPi)/2, приращение же энергии обозначим
через АЕ = Е2 — Ех, тогда получаем
ЕАЕ = с2р-Ар.
Для малого участка средней скоростью можно считать
v = с2р/Е, тогда
Д? = &p-v.
Наконец, подставим FAt вместо Ар и введем вектор пере-
перемещения Ar = ^Ai. Тогда
= F-vAt = F-Ar = Л,
где Л — работа силы на перемещении Аг.
Читатель, не знакомый со скалярным произведением
векторов, может начать со случая, когда сила направлена
по перемещению. Учтя, что работа силы, перпендикулярной
перемещению, нулевая, а изменение модуля импульса
вызывается только проекцией силы на направление им-
импульса, можно прийти к равенству
АЕ =F,, | Ar| = /''cos а | Ar|,
где Fj| —проекция силы на направление импульса, а —
угол между силой и перемещением (направление малого
перемещения совпадает с направлением импульса). Соб-
Собственно равенство
F- Ar = F cos а | Аг |
можно рассматривать как определение скалярного произ-
произведения векторов.
Во многих важных ситуациях работу легко рассчитать.
Например, в электростатическом поле А = q(q>x — ф2), здесь
133

# — заряд частицы, а фх и ф2 — потенциалы в начальной
и конечной точках траектории. Переходя к энергии части-
частицы, получим
Е2 — Ех = д(фх — ф2),
или
Последнее равенство можно истолковать как выражение
закона сохранения энергии: энергия частицы плюс по-
потенциальная энергия взаимодействия ее с электростати-
электростатическим полем остается неизменной.
10*. Нарушение третьего закона Ньютона. Может
показаться, что теория относительности не приводит к
принципиальным изменениям в представлениях о взаимо-
взаимодействии тел по сравнению с классической механикой.
Это не так. Рассмотрим симметричный разлет по прямой
отталкивающихся друг от друга одинаковых частиц.
Скорости их, направленные в противоположные стороны,
увеличиваются сначала быстро, затем, по мере удаления,
все медленнее; наконец, на определенном расстоянии R
между частицами скорости перестают меняться*). Полный
импульс частиц при таком разлете все время равен нулю,
поэтому и одновременные силы, действующие на эти части-
частицы, противоположны и одинаковы по модулю, как и следует
из третьего закона. Покажите, что в инерциальной системе
отсчета, движущейся по указанной выше прямой, третий
закон Ньютона нарушается и сумма импульсов частиц
не постоянна.
?] В исходной системе отсчета, где разлет симметричен,
изменение импульсов частиц прекращается одновременно.
В тот же момент времени обращаются в нуль и действующие
на частицы силы. В другой же системе отсчета эти события
неодновременны: у одной частицы импульс уже прекратил
изменяться, а у другой еще продолжает изменяться не-
некоторое время Д? (At = yvR/c2, где v и у характеризуют
движение другой системы отсчета). В течение этого вре-
времени при ненулевой силе, приложенной к одной частице,
на ее партнера по взаимодействию не действует сила. Не-
Неравенство модулей сил возникает и на более ранних эта-
этапах разлета.
Согласно принципу относительности, если справедлив
яакон сохранения импульса, то он применим в любой
*) Допущение о выключении взаимодействия упрощает расчет,
а сам эффект имеет место и в общем случае.
134

циальной системе отсчета. Как же может тогда меняться
сумма импульсов частиц при их взаимодействии? Ко вре-
времени создания теории относительности уже имелась основа
для ответа на этот вопрос. По представлениям электродина-
электродинамики заряженные частицы не действуют непосредственно
друг на друга. Они создают поле, силовое воздействие кото-
которого на частицу определяется его характеристиками в том
месте, где частица находится. Имеется третий участник
взаимодействия — поле, которое может забирать импульс у
частиц или передавать его им. Для электромагнитного
взаимодействия неизменными являются не просто импульс
или энергия частиц, а их сумма с импульсом или энергией
поля. Если доверять законам сохранения, то представ-
представления о поле буквально навязываются теорией относи-
относительности. Обнаружив недостачу импульса, мы вынуждены
тогда искать объект, уносящий этот импульс.
В случае неизменных или медленно меняющихся полей
оправданы представления механики о том, что силы оп-
определяются взаимным расположением частиц. (Через
работу сил, приложенных к частицам, определяется тогда
потенциальная энергия частиц, то есть энергия взаимо-
взаимодействия.) При быстрых изменениях это уже не так. Су-
Существенна перестройка поля, распространяющаяся с
конечной скоростью. Обнаруживается самостоятельность
поля, становится важным, что поле является носителем
энергии и импульса. Частицы, породившие поле, могут
исчезнуть, поле наследует их энергию и импульс, которые
оно может потом передать другим частицам. Рассмотрение
законов поля не входит в наши задачи. Но желательно
хотя бы намекнуть на релятивистский подход к взаимо-
взаимодействию частиц с полем.
10. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА
Особенно эффективно применение релятивистских за-
законов сохранения в мире элементарных частиц. Во-первых,
они движутся с большими скоростями и для них важны
релятивистские эффекты. Во-вторых, их взаимодействия
происходят при тесном сближении частиц и весьма быстро,
когда непосредственные наблюдения невозможны, поэтому
информация извлекается из баланса энергии и импульса
частиц до и после исследуемого взаимодействия.
1. Удобное соглашение. Практически во все соотноше-
соотношения теории относительности входит скорость света с не-
независимо от того, идет ли речь о самом свете или нет.
135

В физике элементарных частиц общепринято соглашение,
исключающее с из всех формул и выкладок. Все скорости
задаются их отношением к скорости света: равенство v =
~ 0,5 означает, что скорость равна половине световой,
a v = 1 означает совпадение скорости со световой. Массы
частиц задаются в единицах энергии без упоминания пе-
переводного множителя. В единицах же энергии задается
и импульс, без упоминания о множителе 1/с, нужного для
перехода к обычным единицам импульса. Пользуясь этим
соглашением, напишите формулы для коэффициента /с,
релятивистского множителя у, энергии и импульса. Для
всех величин сохраняются прежние обозначения.
Г] Рецепт очень прост: во всех известных формулах нужно
заменить с на единицу. Поэтому
Е = ут = , р = = Еи.
При необходимости всегда можно расставить нужные сте-
степени с на нужные места, руководствуясь правилом раз-
размерности. Например, из соотношения
приходим к соотношению
Е2 = mW + с2р2
с «правильными» размерностями слагаемых*
Овладев этим приемом, вы не будете испытывать за-
затруднений при переходе от выражений с исключением с
к выражениям, где степени с явно выписываются.
2. Расшифровка следов. Элементарные частицы одного
вида неотличимы друг от друга. Все собственные их
характеристики — электрический заряд, масса покоя
и т. д. — совпадают. (Конечно, одинаковые сами по себе
частицы могут по-разному двигаться.) Такая предельная
.у; андартизация позволяет опознавать известные частицы
l* открывать новые. Знак заряда и импульс частицы можно
определить но искривлению следа в магнитном поле,
я энергию можно определить по разрушениям, которые
частица производит в веществе, по характеру следа. На
?ис. 67 приведена типичная картина треков элементарных
частиц, состоящая из звезды и двух вилок. Нейтральные
каон и Л-барион невидимы. Как убедиться в правильности
136

расшифровки этой картины для заряженных частиц? Как
найти массы нейтральных частиц? Как убедиться, что они
рождены при реакции в звезде?
Ц Для заряженных частиц, вылетающих из острия вилки,
известно направление движения. Поэтому при заданном
направлении магнитного поля легко
отличить положительные частицы от
отрицательных. По радиусу кривизны
участка траектории вблизи острия опре-
определяется импульс частицы р\ по харак-
характеру же следа — энергия частицы Е.
По этим данным найдем массу
т = YE2 — (рсJ/с2. После этого ищем
эту массу в таблице элементарных час-
частиц. Если тс2 близко к 0,94 ГэВ, а за-
заряд положительный, то это протон,
если к 0,135 ГэВ, то пион. Оконча-
Окончательный выбор я+ или л~ делаем по зна-
знаку заряда. А как быть, если в таблице
не нашлось близкой массы? В таком
случае надо все тщательно проверить, с*
учесть погрешности, и если ошибка
исключена, то можно объявить об открытии неизвест-
неизвестной еще частицы.
У нейтральных невидимок импульс и энергию опре-
определяют по измерениям характеристик заряженных дочер-
дочерних частиц. Например, для распада Л ->• р + я" имеем
ЕА = Ер + Ею Ра = Рг> + Рл-
Тогда
\ \ У ЕпJ - с2 (рр + рЛ)\
Для множества других вилок, образованных отрицатель-
отрицательным пионом и протоном, рассчитанные массы примерно
равны 1,11 ГэВ. Группировка значений около одного числа
свидетельствует о наличии какой-то одной материнской
частицы. По распаду К0 -* я+ + л~ находим массу нейт-
нейтрального каона, она оказывается близкой к 0,49 ГэВ. По
направлению импульсов р\ и рк можно определить, вы-
вылетели ли эти частицы из центра звезды или нет. Баланс
энергии и импульса в звезде используют для дополнитель-
дополнительной проверки.
Сейчас просмотр и обработка следов в трековых де-
детекторах обычно проводится ЭВМ* но, не понимая физики
Дела, ЭВМ не запрограммируешь на нужную работу.
137'

3*. Масса трития. Массы атомных ядер могут быть g
высокой точностью измерены на основе анализа их дви-
движения в электрических и магнитных полях. Появляется
возможность сравнить экспериментально измеренные зна-
значения масс ядер с соответствующими значениями, полу-
получающимися расчетным путем из релятивистских законов
сохранения. В эксперименте (Стрэйт, Ван Патер, Бух-
нер и др., 1951 г.) дейтроны 2Н с энергией Е2 и массой ш2
направлялись на мишень, содержащую неподвижные дейт-
дейтроны. В результате реакции 2Н + 2Н -> *H + 3Н появля-
появлялись быстрые протоны ХН и ядра трития 3Н (рис. 68). Для
ядер изотопов водорода использованы стандартные обо-
обозначения. Для протонов, вылетающих под прямым углом
к направлению движения первоначальных дейтронов,
измерения энергии дали значение Ех% у ядер трития энер-
энергия не измерялась. Масса протона щ. Какова масса ядер
трития т3 по этим данным?
Q Запишем баланс энергии и импульса для нашей
реакции:
т2с
2
= Ег
Энергия покоящегося дейтрона равна его массе, умно-
умноженной на с2, а импульс нулевой. Тогда энергия и им-
нульс ядра трития равны
Е8 = Е
т2с2 —
8 = Е2 + т2с2 — Ег, 2>з = р2 — рг.
В треугольнике векторов р3 образует гипотенузу, а рг
Р2 являются катетами. Поэтому
р\ = р\ + рЬ
№

Так как то|с* = Е\ — {ср3)г, то
mlc* = (Еш + т2с* - Etf - с*[р\ + pj).
Раскроем это выражение и воспользуемся для дейтрона
и протона равенствами
mlc* = El - (ср2J, т\с* = Е\ - (cPl)\
Тогда
ml = 2ml + m2t + 2m2(E2 - EJ/c2 - 2Е2Ег/с*.
Для расчета удобнее преобразованное выражение:
ml = т\ +. 2(т2 +
Таблица 2
В табл. 2 даны массы и энергии частиц в атомных едини-
единицах массы (а. е. м.) A/12 массы атома углерода 12С), по-
погрешность — в миллионных до-
долях этой единицы. Рассчитан-
Рассчитанную с шестью знаками после
запятой массу трития нужно
сравнить с приведенной в таб-
таблице массой, полученной пря-
прямыми измерениями. Относи-
Относительное различие меньше 3- 1СГв,
что меньше разброса из-за по-
погрешности данных. Относитель-
Относительный же дефект массы составля-
составляет приблизительно 2«1СГ8. По-
Поэтому столь точное вычисление
массы ядра трития — отличное
подтверждение релятивистских
законов сохранения.
4. Собственное время. Покоящиеся частицы с массой
т имеют период полураспада т. В сгустке таких совместно
летящих частиц половина их распадается за время t, со-
совершив перемещение г. Найдите энергию и импульс частиц.
Связь энергии и импульса со временем перемещения и
самим перемещением интересна не только для нестабиль-
нестабильных частиц (этого вопроса мы уже касались, получая вы-
выражение для импульса).
О Релятивистский множитель у = tlx показывает замед-
замедление процессов при движении тел, в частности и про-
процесса распада. Так как Е = туе2, то
Е = тсН/х.
Величина
тг
1 ГэВ/с*
Значение в а.е.м.
1,0078252±0,3
1,011547 ±4
2,0141019±0,3
2,016043 ±2
3,0160494 ±0,7
= 1,073562 ±17
139

Время жизни и энергия пропорциональны, чем больше
энергия частицы, тем дольше она живет.
Импульс р = myv = rnvt/i, а так как г = vt, то
р = тг/х.
Импульс получается умножением массы на перемещение»
отнесенное к собственному времени этого перемещения*
Эти соотношения остаются в силе и независимо от распада.
Тогда t — время между событиями «начало» и «конец»
перемещения г, а т — собственное время между этими
же событиями.
Так как т2 = t2 A — {vie2)) = t2 — (г/сJ, то из на-
наших выражений для энергии и импульса сразу получаем
Е2 - (с/7J = то V *2~TBr/gJ = т2с\
то есть мы вывели равенство Е2 = (срJ + т2с* новым
способом. Отметим, что правило образования квадрата
интервала между событиями не случайно совпадает с пра-
правилом получения квадрата массы по энергии и импульсу.
В случае непрерывного изменения скорости нужно
дерейти к предельно малым промежуткам, тогда
п 9 dt dr
5. Преобразование Лоренца. Распад покоящейся части-
частицы на две легко поддается расчету, но обычно приходится
встречаться с распадом на лету. Существует много подоб-
подобных ситуаций, когда от описания явления в одной инер-
циальной системе отсчета требуется перейти к его описанию
в другой инерциальной системе отсчета. Каковы энергия
Е' и импульс р' частицы, если в инерциальной системе
отсчета, летящей со скоростью v, энергия и импульс этой
частицы равны Е и р? Рассмотрите продольную и попе-
поперечную проекцию вектора импульса по отношению к век-
вектору скорости v.
? Рассмотрим в указанных системах отсчета перемеще-
перемещения, совершенные частицей за одно и то же собственное
время т, соответственно за время t и t' по часам этих систем
(рис. 69а). Проекции перемещений на направление v обо-
обозначим через хшх\ а на ось, перпендикулярную V,— через
у и у1. Тогда для энергии и соответствующих проекций
импульса в движущейся системе отсчета имеем выражения
Е = тсЧ/х, р\\ = тх/%, р± == myli
140

и аналогичные выражения в неподвижной (штрихованной)
системе
Е' = тсН1 /т, р\ = тх'1%, р'± — ту'1%.
Согласно преобразованию Лоренца для событий, обозна-
обозначающих начало и конец перемещения,
f = y(t + vx/c*), x' = у(х + ut), у' = у.
Достаточно эти равенства сравнить с предыдущими вы-
выражениями для энергии и проекций импульса, чтобы по-
получить
Е' = у{Е + vpi), p\ = y(ph + vE/c2), p\ = Pl.
Отметим, что скорость v и релятивистский множитель у
характеризует движение системы отсчета, а не частицы.
Рис. 69
Полученные соотношения, описывающие действие инер-
циального сноса на энергию и импульс, тоже называю^
преобразованием Лоренца. Как же с ним работать? Прежде
всего импульс р в движущейся системе отсчета разбива-
разбивают на продольную и поперечную составляющие рц npL
(рис. 696). После этого находят энергию в неподвижной
системе и продольную составляющую импульса (попе-
141

речная составляющая неизменна), по известным состав-
составляющим строят вектор импульса //.
Преобразование Лоренца остается в силе и для сум-
суммарной энергии и импульса группы невзаимодействующих
частиц. Проверим это для двух частиц. Если Е = Ег + Е2
и V = Р\ + 2>2i то
Е' = Е\ + Е2 =у{Ег + Е2
Так как сумма проекций векторов равна проекции век-
векторной суммы, то
Е' = у(Е + vpi).
Аналогичную проверку выдерживают и проекции вектора
импульса. Здесь важно, что коэффициенты преобразования
у и yv одинаковы для всех частиц, ведь они характеризуют
не движение каких-либо частиц, а движение инерциаль-
ной системы отсчета. Поэтому преобразование Лоренца
для импульса и энергии справедливо независимо от со-
состава и свойств изолированной физической системы.
6. Покой и движение группы частиц. В исходной сис-
системе отсчета изолированная группа взаимодействующих
частиц имеет полную энергию Е и полный импульс р.
В какой системе отсчета импульс этой группы частиц равен
нулю? Такую систему отсчета называют системой центра
масс. В какой системе отсчета энергия группы частиц наи-
наименьшая и чему она равна?
? Если скорость системы центра масс в исходной системе
отсчета равна у, то энергия Е и импульс р получаются
преобразованием Лоренца из энергии Ео и импульса р0 = О
в системе центра масс:
Е = т^0, р = уиЕ0/с2.
Простота полученных выражений связана с нулевым
значением импульса в системе центра масс. Скорость
центра масс, то есть скорость движения группы как цело-
целого, находим теперь сразу:
v = с2р/Е.
Это — скорость системы отсчета, в которой импульс
группы нулевой. Когда группа сводится к единственной
частице, эта скорость совпадает со скоростью частицы.
Поскольку у = 1/}^1 — (ср/ЕJ, то энергия в системе
центра масс
Ео = Ely = YE2 - (срJ,
что легко получить из равенства Е = уЕ0.
№

Будем говорить, что физическая система покоится
в целом, если у нее нулевой полный импульс. Энергию
покоящейся в целом физической системы называют вну-
внутренней энергией, она связана с полной массой системы М:
Ео = Мс2.
Тогда взаимосвязь энергии, импульса и массы для любой
изолированной физической системы такая же, как и для
отдельной частицы, в частности
Масса отдельной частицы — неотъемлемое ее свойство.
Иное дело группа частиц. При неизменном ее составе и
нулевом полном импульсе составляющие ее частицы могут
иметь разные энергии. Поэтому внутренняя энергия и
полная масса системы могут принимать различные зна-
значения. Но если внешние воздействия отсутствуют и группу
частиц можно считать изолированной физической систе-
системой, то остаются неизменными и полная энергия, и пол*
ный импульс, и полная масса. Не меняется масса физи-
физической системы и при инерциальном сносе, который,
естественно, не сказывается на ее внутреннем состоянии.
Последнее утверждение можно получить и формальными
выкладками. Энергия и импульс при инерциальном сносе
даются преобразованием Лоренца:
Е' = у (Е + *>/>„)> Р\\ = У (Р\) + »Е1с2),р'± = р±.
Здесь v — произвольная скорость, а не скорость движе-
движения центра масс, как было выше. Мы собираемся доказать,
что выражение
не изменится и при подстановке «штрихованных» величин.
Ввиду равепства поперечных составляющих импульса
достаточно сравнить величины Е2 — (ср ц J и (Е'J — (ср\ J.
Для этого из преобразования Лоренца найдем следующие
соотношения:
Е' + ср\ = у A + vlc)(E + cpi)t
Е' - ср\ = 7 A — v/c)(E - еру).
Так как у2 A — (vieJ) = 1, ю, перемножив эти выраже-
нияА имеем

а значит и
(Е'J - (ср'J = Е2 - (срJ.
Таким образом, доказано, что инерциальный снос пере-
переводит одну физическую систему в другую с той же массой.
Общий итог состоит в том, что с физической системой
можно обращаться как с отдельной частицей, если речь
идет о ее энергии, импульсе и массе. В частности, так как
Е = ]/Л/2с4 + (с/?J, то очевиден ответ на заключитель-
заключительный вопрос. Наименьшая энергия соответствует нулево-
нулевому полному импульсу — это внутренняя энергия систе-
системы, определяющая ее массу.
На ускорителях разгоняют атомные ядра, представ-
представляющие собой систему взаимодействующих между собой
частиц. Да и у некоторых элементарных частиц обнару-
обнаружена внутренняя структура. Массивные частицы (их
общее название — адроны) состоят из нескольких сор-
сортов кварков и глюонов, взаимодействующих между собой.
Поэтому и теоретически, и практически важен вывод
задачи: применимость соотношений, связывающих им-
импульс, энергию и массу, не зависит от внутреннего ус-
устройства физических систем.
7. Возможности ускорителя. Ускоритель в Серпухове
разгоняет протоны до энергии Е = 76 ГэВ. При столкно-
столкновении с неподвижными протонами мишени может про-
произойти рассеяние и всевоз-
всевозможные реакции, совмести-
совместимые с законами сохранения
электрического заряда, энер-
энергии и импульса (рис. 70).
В частности, может появить-
Рис 70 ся несколько протонов и ан-
антипротонов . Электрический
заряд у антипротона противоположен протонному, а масса
равна массе протона т = 0,94 ГэВ/с2. На какое наибольшее
число протонов и антипротонов можно рассчитывать в
результате одного столкновения?
Ц Запишем закон сохранения энергии:
Е + тс2 = Ех + . . . + Е п;
в левой части сумма энергий разогнанного протона и
протона мишени, справа — сумма энергий протонов и
антипротонов после столкновения. Наименьшая энергия
протона или антипротона тс2. Отсюда получим, что
наибольшее возможное число этих частиц равно целой
144

части отношения (Е + тс2)/лгс2, т. е. 81 протон и анти-
антипротон. (Полную энергию делим на наименьшую энергию
одной частицы.)
Однако ни разу подобного изобилия частиц не наблю-
наблюдалось. Энергии на это достаточно, есть даже небольшой
избыток. Но вспомним, что разогнанный протон имеет
импульс, который сохраняется и у продуктов реакции.
Образующиеся частицы наследуют этот импульс, так что
все одновременно они не могут покоиться. Энергетиче-
Энергетические возможности — это еще не все. По закону Сохране-
Сохранения импульса
Р = Pi + • • • + Рт
т. е. энергия идет не только на создание частиц, но и на
придание им кинетической энергии.
К дополнительному ограничению приводит и закон
сохранения электрического заряда. Чтобы он оставался
равным начальному заряду двух протонов, число конеч-
пых протонов должно на два превосходить число антипро-
антипротонов. Поэтому полное число частиц четное: два протона
плюс сколько-то протон-антипротонных пар.
Чтобы учесть ограничение, накладываемое законом
сохранения импульса, прибегнем к обходному маневру.
Представим, что сталкивающиеся протоны образуют про-
промежуточную частицу с массой М, которая затем распада-
распадается. От конкретного механизма превращений законы со-
сохранения не зависят, поэтому, интересуясь только вытекаю-
вытекающими из них ограничениями, мы ничего неправильного
не получим. Масса введенной нами фиктивной частицы
есть не что иное, как масса изолированной группы, со-
содержащей первоначально два протона, а после их стол-
столкновения — разлетающиеся после реакции частицы.
В любом случае
MV = {Е + тс2J - {срJ =* 2тс2 (Е + тс2).
При выводе этого выражения учтено, что для протона
?2 (J 24
Распад фиктивной частицы происходит на лету, но
ничто не мешает воспользоваться системой ее центра масс.
Откажемся временно от того, что в конечном состоянии
присутствуют только протоны и антипротоны. Пусть об-
образовались частицы с массами тг, . . ., тп. Тогда энергия
fc-й частицы 2?к = fmSc4 + (сркJ, где рк — ее импульс
в системе центра масс. (Это, конечно^ иные импульсы,
6 и. и. Воробьев 145

чем в исходной лабораторной системе отсчета,; в которой
мишень неподвижна.) Запишем в системе центра масс
закон сохранения энергии и импульса:
Мс2 = УтУ + (cPlJ + ... +
О = Pi + • • • + Рп-
Из первого равенства получаем необходимое условие
распадам
М> т1 + ,,, + тп%
которое означает^ что масса материнской фиктивной ча-
частицы должна быть не меньше суммы масс дочерних ча-
частиц.
Второе равенство, выражающее закон сохранения им-
пульсаг не ужесточает полученного условия распада.
В самом делег так как сумма импульсов в системе центра
масс равна нулю, то и в предельном случае,, когда М =
= т1 + »., + тпх распад возможен при нулевых импуль-
импульсах всех дочерних частиц.
Вернемся теперь к случаю, когда в конечном состоя-
состоянии имеются только протоны и антипротонЫд массы у
которых одинаковы. Наибольшее возможное число про-
протонов и антипротонов дается четным числом^ ближайшим
к числу
JL = лГ
т У тс2
Для Е = 76 ГэВ и тсг =* 0494 ГэВ общее число частиц
равно 12*
С ростом Е увеличивается масса М = Y2m (Е/с2 + т)%
которая может пойти на создание частиц. Отношение
Мс2 к полной энергии Е + тс2 можно условно принять
8а КПД ускорителя
Можно получить простое приближение для rj:
Лж дг t
где N — число конечных частиц* Уменьшение КПД с
ростом энергии показывает, что за увеличение возможно-
возможностей ускорителя приходится платить все дороже,
146

8. Встречные пучки. При столкновении частиц, имею-
имеющих противоположно направленные импульсы, не при-
приходится тратиться на бесполезную для создания новых
частиц энергию движения группы частиц как целого. Та-
Такова исходная идея ускорителей на встречных пучках.
Для оценки эффективности таких ускорителей предста-
представим себе, что энергии протонов встречных пучков равны
?'0=70 ГэВ. До какой энергии должен разогнать протоны
обычный ускоритель с неподвижной протонной мишенью,
чтобы обеспечить те же возможности порождения частиц?
П При нулевом суммарном импульсе масса фиктивной
частицы
М = 2Е0/с2 = 140 ГэВ/Л
Часть энергии может пойти на создание частиц, осталь-
остальное — на кинетическую энергию разлета. Может вообще
ничего нового не образоваться, останутся по-прежнему
два протона; может появиться большое число разнооб-
разнообразных частиц, включая и весьма тяжелые. Но в любом
случае сумма масс конечных чартиц не превосходит свое-
своего предела М.
Для ускорителя с неподвижной мишенью и теми же
возможностями энергия в системе центра инерции (вну-
(внутренняя энергия) должна быть равна Мс2. Так как в
этом случае М2 = 2т (т + Е/с2), то энергия налетаю-
налетающего протона
• — 171) С
тс2
Для тс2 =* 0,94 ГэВ и Ео = 70 ГэВ можно оставить
только первое слагаемое и тогда
2Е2
#~—2- ж Ю 000 ГэВ.
тс2
Ускорители со встречными пучками протонов или про-
протонов и антипротонов при энергии 70 ГэВ могут заменить
обычный ускоритель на 10 000 ГэВ по своим созидатель-
созидательным способностям. Почти все эти 10 000 ГэВ пронесутся
мимо, столкновение с относительно легкими протонами
мишени способно перевести на созидательные превра-
превращения лишь ничтожную долю этой энергии.
Если вместо протон-протонного столкновения рас-
рассмотреть электрон-позитронное, то при той же энергии
Ео = 70 ГэВ энергия позитронов, бомбардирующих не-
неподвижные электроныА будет равна Е ях 2«107 ГэВ. (Мас-
6* 147

см электрона и его античастицы, позитрона, одинаковы
и примерно в 2000 раз меньше массы протона.)
Впрочем, не всегда является главным достижением
наибольшей энергии в системе центра инерции. Ускори-
Ускорители используются в разных целях. Например, для по-
получения пучков высокоэнергетических вторичных частиц
незаменимы ускорители с неподвижной мишенью.
9. Фотоны. Волна электромагнитного излучения име-
имеет энергию и импульс. У плоской волны в пустоте энергия
равна импульсу, умноженному на скорость света. После
работ Планка в 1900 г. и Эйнштейна в 1905 г., объясняю-
объясняющих результаты экспериментальных исследований, стало
ясно, что электромагнитное излучение представляет со-
собой поток частиц — фотонов, у которых энергия совпа-
совпадает с импульсом, умноженным на с. (Мы не будем за-
затрагивать вопрос о смысле волновых характеристик для
частиц света — фотонов.) Конечно, законы сохранения
и преобразование Лоренца остаются в силе и для процес-
процессов и участием фотонов. Как меняются энергия и импульс
фотона при инерциальном
сносе? Какова наименьшая
энергия фотона и достижима
ли она?
? Пусть в движущейся со
скоростью v инерциальной
Рис. 71 системе отсчета энергия фо-
фотона равна Е, а импульс
р (ср = Е) направлен, как показано на рис. 71. Согласно
преобразованию Лоренца энергия и проекции импульса
этого же фотона в неподвижной системе отсчета
Е* « у (Е + 1?/?„), р\ = у (^ + vE/c2)} р\ = Pl.
Учтем, что
срц = Е cos а, ср± = Е sin а, у = l/}fl — (vieJ.
Тогда
ju j-,c-{-vcosa ' j-, с cos а 4-v * ^ .
h = Е ' , срп=Е— ^ . ср, =Esina.
Легко проверить, что ср' = ?'. Впрочем, уже раньше в
задаче 6 было установлено, что разность квадратов энер-
энергии и импульса1 умноженного на сх одна и та же во всех
пиерциальных системах. Раз она нулевая в одной системе,
то и в любых вообще инерциальных системах модуль им-
пульса1 умноженный на сх даст энергию фотона*
148

Угол а' между импульсом р' фотона и направлением
вектора скорости v в неподвижной системе отсчета можно
найти из соотношения ср\ = Е' cos а':
соча' - ffJL - ccos<x + v
cosa -
E' c + v cos a *
Если вспомнить про скорость фотона (с у =с cos ос, с и ==
= с cos а'), то в предыдущем выражении узнается реля-
релятивистская формула сложения продольных скоростей.
Согласно принципу относительности, если у какого-то
фотона энергия и импульс равны соответственно Е и
р (ср = Е), то могут существовать фотоны с энергиями
и импульсами, полученными любым преобразованием
Лоренца. Для нахождения наименьшей энергии можно
ограничиться углом а = 180°. Тогда
ср' = Е' = Е c~~v = Е
Скорость движущейся системы меньше световой, v <^ с,
так что никаким встречным сносом остановить фотон,
обратить его импульс в нуль нельзя. Ио скорость у, ос-
оставаясь меньше скорости света, может быть сколь угодно
к ней близка. При v ~* с энергия и импульс фотона стре-
стремятся к нулю, никогда, впрочем, его не достигая. Энер-
Энергия фотона может быть сколь угодно малой, но ее невоз-
невозможно довести в точности до нуля, ибо скорости инерцн-
альных систем досветовые.
10. Безмассовые частицы. Соотношение Е2 — (срJ =
= т2с* и выводы из него можно распространить и на слу-
случай т = 0. Какова скорость безмассовых частиц? Можно
ли их остановить? Какова масса покоя фотона?
Q Значение величины Е2 — (срJ для данной частицы не
зависит от выбора инерциальной системы отсчета и яв-
является собственной характеристикой частицы. При не-
ненулевой массе частицы Е2 — (срJ = т2с4, если же, как
это имеет место в случае фотона, Е2 — (срJ = 0 (Е = ср),
то масса покоя равна нулю.
Масса определяет нижнюю границу энергии, которая
достигается при нулевом импульсе. Для частиц с нулевой
массой возможны сколь угодно малые энергии, по нуле-
нулевое значение недостижимо никаким выбором инерциаль-
инерциальной системы отсчета. Это мы выяснили в предыдущей
задаче на примере фотона. Невозможность остановки та-
таких частиц можно осознать и иначе. В самом делег в за-
149

даче 8 из раздела 9 получено выражение для скорости
v = с2р/Е. При т = 0 энергия совпадает с импульсом,
умноженным на сх а скорость v = cf то есть она совпадает
со скоростью света* Отсюда следует^ что безмассовые ча-
частицы всегда летят со скоростью света.
Инерция задается энергией и присуща как частицам
с отличной от нуля массой^ так и частицам с нулевой
массой. Есть инерция и у фотона» Свойства,; связанные с
инерцией,, являются общими для всех частиц. Так* на-
пример^ фотоны набирают энергию^ приближаясь к Зем-
Земле, а при пролете мимо Солнца они отклоняются грави-
гравитационными силами.
Кроме фотона к безмассовым частицам относят сейчас
три вида нейтрино й антинейтрино: электронное ve (ve)%
мюонное v,j, (VjJ и тау-лептонное vt (vt). Эксперименталь-
Экспериментально установлено^ что массы указанных частиц не пре-
превосходят соответственно 35 эВ/с2г 0,Й5 МэВ/с2 и 70 МэВ/с2*
Для сравнения укажем, что масса электрона тв =>
= 0,511 МэВ/с2.
11*. Нейтрино от сверхновой* 23 февраля 1987 г,
на ряде установок зарегистрирован всплеск нейтрино
в диапазоне еаергий от 7,5 до 40 МэВ. Есть основания
долагать,: *то нейтрино испущены при взрыве сверхновой
в соседней галактике Большое Магелланово Облако на
расстоянии L = 160 000 световых лет от Земли. По суще-
существующим в астрофизике теориям колоссальное количе-
количество нейтрино со средней энергией порядка 10 МэВ ис-
испускается на этапе взрыва продолжительностью Т ях
ях 0А1 с. При нулевой массе нейтрино эти частицы уда-
удаляются от сверхновой звезды со скоростью света. Если
масса нейтрино отлична от нуля« то скорость этих частиц
тем меньше,, чем меньше их энергия, С увеличением рас-
расстояния от сверхновой из-за такого разброса скоростей
возрастает разброс моментов времени прихода частиц.
Оцените промежуток времени At между моментами при-
приема одновременно испущенных нейтрино с энергией Ех =
= 10 МэВ и Е2 =* 40 МэВ на указанном расстоянии LVl
предполагая массу нейтрино m ж 10 эВ/с2. Затем,: на-
наоборот, по времени Д? и известным энергиям Ех и Е2 по-
получите выражение для массы, используя малость отно-
отношения массы к энергии.
Q Скорость частицы с массой m и энергией Е
и = с2р/Е = cY'\ - {гпсЧЕ)\
ибо импульс р ~ YE2 — m2c*/c,
150

Время пролета расстояния L
*-*- , L
v fl
Цолучим для него приближенное выражение. Согласно
общей формуле A + е)п » 1 + пг. В нашем случав
малым параметром является 8 = —(тс2/ЕJ, а показа-
показатель степени п = —1/2. Поэтому
2Е*
Второе слагаемое в скобках описывает разброс времени
из-за разброса энергии. Если ввести переменные у =
t — L/c и х = сЧЕ2х то
У
Lm?
график этой зависимости показан на рис. 72.
Если по вертикали откладывать время прихода ней-
нейтрино, отсчитывая его от произвольно выбранного мо-
момента, то прямая просто сдвинет-
сдвинется по вертикали, но наклон гра-
графика останется прежним и рав- <
ным Lm2/2c. Это обстоятельство '
подсказывает удобный графичес-
графический способ обработки данных. На
диаграмму время — обратный
квадрат энергии наносим экспе-
экспериментальные точки. После этого
полученную экспериментально за-
зависимость аппроксимируем (приближаем) прямой. На-
Наклон этой прямой и даст нам значение Lm2/2c.
Но вернемся к первому вопросу задачи, Из-за разбро-
разброса энергий частиц
Рис, 72
Расстояние L задано у нас временем распространения
света в годах, в году примерно 3,15«107 с3 так что для
т ж 10 эВ/с2 имеем
At ж 2,5 с.
Из выражения для Д? можно найти массу в энергети-
энергетическом эквиваленте:
Уе1-е\
151

Отметим, что Д? — это разница моментов прихода разных
нейтрино при одновременном их испускании. Разность
моментов времени регистрации может отличаться от на-
нашего Д? на продолжительность исходного нейтринного
всплеска Г. Приведенное в тексте значение Т ж 0А1 о
имеет ориентировочный характер.
По мнению Джона Бакала и Шэлдона Глэшоу, пред-
предварительные данные по нейтринному всплеску 1987 г,
позволяют ограничить массу электронного нейтрино
сверху тс2 ^10 эВ. Впрочем, малое число зарегистри-
зарегистрированных событий и сложности в сопоставлении данных
различных установок оставляют место для сомнепий#
В будущем увеличится число больших детекторов нейтри-
нейтрино, и мы будем надеяться, что следующая вспышка близ-
близкой сверхновой не застанет нас врасплох.
12. Масса двух фотонов. У одного фотона масса ну-
нулевая. А чему равна масса двух фотонов? Не торопитесь
с ответом. Найдите массу системы из двух фотонов с
эпергиями Ех и Е2г летящих
под углом а друг к другу.
? Массу системы из двух
«^^' ^ч*^ \ фотонов сразу дает основ-
основное соотношение
Рис- 73 где полная энергия Е= Ех-\-
+ Е2, а полный импульс
Р = Pi + JV Импульсы складываются векторно. Для
расчета рассмотрим показанный на рис. 73 вспомогатель-
вспомогательный прямоугольный треугольник с катетами р2 sin a,
Pi + Р2 cos a и гипотенузой р, По теореме Пифагора
Р2 = {Рх + Ръ cos аJ + pi sin2 а = р\ + р\ +2ptp2 cos а.
В выражении для квадрата массы заменим р% правой
частью полученного равенства и подставим энергии фо-
фотонов, деленные на с, вместо модулей импульсов. Тог-
Тогда с учетом тождества 1 — cos а == 2 sin2 (a/2) по-
получим
roV = АЕгЕ% sin2 (а/2).
Другое возможное решение состоит в переходе в систему
центра инерции с применением преобразования Ло-
Лоренца.
Задача интересна еще и темг что можно попытаться
выяснить^ откуда взялись эти фотоны* Если они появи-
152

лись, скажем, при распаде нейтральной частицы на два
фотона, то т — это масса материнской частицы.
Иногда о распаде частицы с отличной от нуля массой
на безмассовые фотоны говорят, что в этом случае масса
полностью превращается в энергию. Звучит красиво,
но трудно понять, что все это значит. Масса покоя изо-
изолированной системы до и после распада одна и та же.
Она не исчезает и не появляется. На страже стоят зако-
законы сохранения энергии и импульса. Если под массой
понимать «массу в движении», то есть энергию, то, опять-
такиг какой она была, такой и остается. Другое дело, что
происходит превращение энергии из одной формы в дру-
другую: энергию материнской частицы после распада насле-
наследуют два фотона. Так как масса системы не равна сумме
масс составляющих ее частицг то лучше двусмысленным
выражением о превращении массы в энергию не пользо-
пользоваться.
13*. Наименьший угол. Нейтральные пионы с энергией
Е распадаются на два фотона. Какие углы между фотона-
фотонами возможны? Массу я0 обозначим т.
П Задача связана с одним из первых экспериментальных
доказательств существования нейтральных пионов. Для
объяснения характера ядерных сил Юкава в 1935 г. пред-
предположил % что они обусловлены обменом частиц между
протонами и нейтронами ядра и приблизительно указал
массу этих посредников. Ожидалось три сорта этих ча-
частиц. Заряженные пионы я+ и п" были открыты в 1947 г.
по трекам в фотопластинках, поднятых на воздулных
шарах* Нейтральные пионы были обнаружены по их
распадам на два фотона в 1950 г.
Пучок фотонов высокой энергии ударял в мишень,
порождая,: как и ожидалось,; нейтральные пионы* В пло-
скости^ перпендикулярной пучку,: на равных расстояниях
от мишени устанавливались счетчики фотонов,; продуктов
распада я0. Если два счетчика срабатывают одновремен-
одновременно,, то регистрируемые ими фотоны вылетают из мишени
в один и тот же момент при распаде одного и того же пи-
пиона. Нетрудно понять, что импульс такого материнского
пиона перпендикулярен пучку первоначальных фотонов.
Если даже энергия пионов была одинакова,; то у дочерних
фотонов энергия меняется от случая к случаю. В системе
покоя пиона фотоны летят в противоположные стороны,
унося энергию пгс2/2 каждый. Но в лабораторной системе
отсчета (рис. 74) распад происходит на лету. От случая
к случаю меняется угол между вектором скорости очеред-
153

яого пиона и направлением разлета фотонов в движущей-
движущейся с пионом системе отсчета. Наибольшая энергия у
фотона, вылетающего по направлению движения пиона,
а наименьшая — у фотона, вы-
вылетающего в противоположном
направлении. В зависимости от
указанного выше угла появля-
появляются фотоны всевозможных
промежуточных энергий. Соот-
Соответственно от случая к случаю
меняется и угол между направ-
направлениями вылета фотонов в ла-
лабораторной системе отсчета.
Преобразование Лоренца позволяет перейти от систе-
системы отсчета, летящей вместе с пионом, к лабораторной.
Но, пожалуй, проще использовать результат предыдущей
задачи. Во-первых, сумма энергий дочерних фотонов из
одной пары равна энергии пиона,
Ег + Е2 = Я,
во-вторых, масса системы фотонов наследует массу пио-
пиона, так что
4ВД sin2 (а/2) = Л4.
Энергии Еи Е2 и угол а меняются от случая к случаю,
но для любой пары фотонов правая часть равенства по-
постоянна. Чтобы характер зависимости легче восприни-
воспринимался, обозначим Ех через #, тогда Е2 = Е — х, а соот-
соотношение, выражающее постоянство массы, имеет вид
4х (Е — х) sin2 (a/2) « иА4.
Для каждого х найдется свое а. Осталось только исследо-
исследовать, какие углы а возможны.
Коэффициент при sin2 (а/2), являющийся функцией
х, обозначим через у:
у = 4х (Е — х).
График этой функции показан на рис, 75. Это парабола
с вершиной при х = EI2 и у = Е2. Так как произведение
у sin2 (а/2) постоянно, наибольшему значению i/max ^ Е2
соответствует наименьшее значение sin2 (a/2). Поэтому
для минимального угла а получаем соотношение
Е2 sin2 (amin/2) = mV.
Это свойство дочерних фотонов не разлетаться слишком
тесными парами было использовано для определения мас-
154

сы нейтрального пиона. Угол а между счетчиками посте-
постепенно уменьшали до тех nops пока они наконец не пере-
переставали срабатывать од-
одновременно.
Подобные же экспери-
эксперименты с порождением пио-
пионов пучком протонов вы-
высокой энергии,; а также
обработка данных по энер-
энергиям фотонов в космичес-
космических лучах дали для
массы нейтрального пиона
значения, близкие к
0,135 ГэВ/с2,
В каких пределах меняется энергия вторичных фс-
тонов? Если вспомнить, что наибольшая и наименьшая
энергии отвечают углу разлета фотонов а = 180° (при
sin (а/2) = 1), то эти энергии можно найти из уравнения
4г (Е — х) = т2с*х
решения которого дадут
Заметим, что
Это подсказывает еще один способ нахождения массы
пиона — по измерениям
энергии фотонов.
По наименьшему утлу
можно также найти ско-
скорость и импульс пиона:
v =s с cos
р = тс ctg (amin/2).
14. Фоторождение. При
рис 76 столкновении фотонов вы-
высокой энергии Еу с покоя-
покоящимися ядрами мишени возможно рождение нейтральных
пионов:
у + Я -> Я + п°.
Схема эксперимента показана на рис* 76, Найдите энер-
энергию пионовt вылетающих под прямым углом к фотопам,
если масса ядра М*
155

? С позиций законов сохранения можно считать, что
фотон и ядро образуют промежуточную частицу^ впо-
впоследствии распадающуюся на пион и ядро. Распад про-
происходит на лету. Энергия дочерних частиц зависит от
угла между направлением их разлета в системе центра
инерции и вектором скорости фиктивной частицы. Поэтому
для выделения пионов опреде-
определенной энергии нужен отбор по
напр авлению вылета.
Согласно законам сохранения
энергии и импульса
Еу + Мс2 = Е + Ея,
Рис. 77
где Е и р относятся к нейтраль-
нейтральному пиону, а йя и ря относятся
к летящему ядру. Так как 1?я—•
— (еряJ = М2с*9 то, выражая
энергию и импульс ядра по предыдущему соотношению,
получим
(Еу + Мс2 — ЕJ — с2 (Ру - рJ = МЧ*.
Угол между р и ру прямой (рис. 77), поэтому в нашем
случае
Подставим это в предыдущее выражение, раскроем скоб-
скобки и учтем, что Е2 — (срJ = иг2с\ а Е\ — (cpYJ == 0.
Тогда, проведя сокращения, получим
2ЕуМс2 — 2Е (Еу + Мс2) + т2с* = 0,
Отсюда энергия пиона
В эксперименте 1950 г. использовались фотоны с Еу ^
zz 0,3 ГэВ. Масса легчайших атомных ядер — протонов —
равна М = 0,94 ГэВ/г% в мишени же можно использо-
использовать более массивные ядра. Так как масса пиона т =
== 0,135 ГэВ/с2, то с учетом предыдущих данных слагае-
слагаемым т2с4 в числителе можно пренебречь. С учетом сказан-
сказанного для Е получается значение между 0^23 и 0124 ГэВ
при фоторождении пиона на ядре водорода.
Для более массивных ядер не только роль т?г2с4 в чис-
числителе малосущественна^ но и слагаемое Еу в знаменателе
156

приводит лишь к малой поправке. Это нетрудно понять1
преобразовав выражение для Е:
С ростом М энергия Е просто приближается к Еу*
В эксперименте не была известна заранее точная мас-
масса пиона, ожидалось, что она в несколько раз меньше про-
протонной и поэтому не помешает точному определению Е,
Впрочем, подставив полученное для Е выражение в соот-
соотношение Е sin (amin/2) = me2, мы получаем возможность
определить т из уравнения:
2ЕуМ
Здесь мы обратились к результатам задачи об угле разлета
дочерних фотонов.
15. Двухчастичный распад. Покоящаяся частица
с массой т распадается на частицы с массами тг и пг2.
Каковы энергии Ег и Е2 этих дочерних частиц? Двухчас-
Двухчастичный распад упоминался не раз — эта простая задпча
находит множество интересных конкретных применений.
Ц Сумма энергий дочерних частиц равна энергии покоя-
покоящейся материнской частицы:
Ех + Е2 = тс2.
Полный импульс системы нулевой, поэтому импульсы до-
дочерних частиц противоположно направлены и одинаковы
по модулю. Обозначим модуль импульса через р. Для до-
дочерних частиц тогда имеем:
El - (срJ = тУ% Е\ - {cpf - т\с\
Исключим р2 в последних двух уравненияхх вычтя из пер-
первого уравнения второе:
Е\ -Е\ = (mi ~ml)c\
Учитывая, что Ех + Е2 = тс2, получаем
т; —-ml
12 m
По известной сумме и разности легко найти энергии дочер-
дочерних частиц:
m\m\
2m С , b2
m\-m\
157

Энергии однозначно определены массами частиц. Одно-
Однозначно определен и модуль импульса. На направление же
разлета частиц ограничений нет. Дочерние частицы летят
в противоположные стороны, направление их от случая
к случаю меняется. Для большого числа распадов покоя-
покоящихся материнских частиц концы векторов импульсов
этих частиц, отложенные от одной точки, распределяются
равномерно по поверхности сферы радиусом р. Сфериче-
Сферическая симметрия распределения импульсов связана с от-
отсутствием выделенных направлений при распаде в покое»
(Исключение составляет ситуация со специальным отбо-
отбором материнских частиц по направлению их спина. На-
Направление спина — это квантовомеханический аналог на-
направления оси собственного вращения частицы.)
16. Фотонная ракета. Любопытно, что к случаю двух-
двухчастичного распада сводится расчет скорости движения
фотонной ракеты. Конст-
Конструкция этого обычного в
фантастике, транспортного
средства показана на
рис. 78. В фокусе идеаль-
идеального параболического зер-
зеркала находится источник
фотонов. После отражения
от зеркала фотоны летят
параллельным пучком. За
счет отдачи ракета разго-
разгоняется. Найдите скорость
Рис. 78
ракеты, если масса пер-
первоначально покоящейся
ракеты w, а ее масса пос-
после разгона mQ9 Какую часть начальной массы можно
разогнать до скорости v *= 0,999с?
9 Для каждого отраженного фотона в отдельности про-
проведение импульса на скорость света равно энергии. Так
кик все фотоны улетают по одной прямой, то импульсы,
как и эйергии, складываются алгебраически. Поэтому
суммарный импульс фотонов р? умноженный на с, равен
суммарной энергии фотонов Е. Все фотоны, испущенные
ракетой, можно считать одной фиктивной частицей нуле-
нулевой массы, во всяком случае, для применения законов
сохранения энергии и импульса»
Согласно балансу энергии
158

где Ео — энергия ракеты после разгона, когда ее масса
стала т0. Полный импульс нулевой, поэтому конечный
импульс ракеты р0 противоположен суммарному импуль-
импульсу фотонов и равен ему по модулю» отсюда ср0 = Е, За-
Заменяя Е на ср0 в балансе энергии, имеем
Ео + ср0 = тс2.
Рассмотрим связь энергии и импульса с массой:
Для нахождения скорости ракеты вспомним,, что р0 *=
= EqvIc2, и в предыдущие два уравнения подставим это
значение р0. Тогда получится система:
Ео A + vie) - тс\ El A - {vieJ) = m\cK
Исключим энергию, возведя первое уравнение в квадрат
и поделив на второе, тогда
с + v т2
Отсюда находим скорость:
2 2
mt + m2
При mjm = 0г5 (половина начальной массы сожжена)
находим и = 0,6с.
Используя предыдущее промежуточное выражение,
по заданной скорости легко найти искомую долю массы;
TTIq -и / С —- V
т У с-\-и
Для v =» 0А999с находим то/т л; 0^2*
Простота расчета не означает еще легкость в реализа-
реализации проекта фотонной ракеты. Стоит задуматься, напри-
например, над тем, что близкий к 100%-ному дефект массы во
много раз превышает дефект масс при ядерном или термо-
термоядерном взрыве, Даже добившись сверхэффективного пре-
превращения топлива в фотоныг мы должны укротить всю
эту огромную энергию,, ничтожной доли которой хватает
на то, чтобы распылить всю ракету на отдельные атомы.
17. Излучение и поглощение. Возбужденный атом мо-
может, излучив фотон, отдать излишек внутренней энерпш
и перейти в основное состояние с минимальной внутрен-
159

ней энергией. Возможно и обратное: атом, поглотив фо-
фотон, может из основного состояния перейти в такое же
возбужденное. Найдите энергии фотонов для этих про-
процессов с первоначально покоящимися атомами. Определи-
Определите кинетическую энергию атомов, возникающую из-за
отдачи. Массы атома в основном и возбужденном состоя-
состояниях т и т*, энергия возбуждения Е = (т# — т) с2.
Г] Процесс излучения фотонов можно рассматривать как
распад частицы с массой т# на фотон с нулевой массой
и на частицу с массой т. Используя общий результат
задачи о двухчастичном распаде с учетом новых обозна-
обозначений, получим энергию фотона, излученного атомом:
Энергия фотона меньше энергии возбуждения Е на вели-
величину Е2/Bт#с2), которая и есть кинетическая энергия
атома. Испустив фотон, атом приобретает противополож-
противоположный фотону импульс и испытывает отдачу. Так как по ба-
балансу энергии
т%с = тс -f- а -j- x^Y»
где К — кинетическая энергия (энергия отдачи), то
А « Е - Еу = Е2/Bт*с2).
Определим теперь энергию фотона Еу, при поглоще-
1«ии которого покоящийся атом переходит из основного
состояния в рассмотренное ранее возбужденное состоя-
состояние.
У изолированной системы, состоящей из фотона и по-
покоящегося ядра, масса не меняется, поэтому при погло-
поглощении фотона (ср'у = Еу)
т%с* = (тс2 + ЕуJ — (ср'уJ » т2с* + 2тс2Еу.
Отсюда энергия поглощаемого фотона
т2 _ т2
2т
Возбужденный атом наследует импульс фотона, поэтому
энергия фотона идет и на увеличение внутренней энергии
атома, и на приобретение им кинетической энергии К',
Для энергии фотона имеем уравнение
тс2
160

откуда
К' = Е\-Е = Я2/Bтс2).
У атома могут быть разные возбужденные состояния
с разными энергиями возбуждения Ех, Е2 и т. д. Энерге-
Энергетические уровни образуют своего рода ступени с пустыми
промежутками между ними (рис. 79).
Атом может оказаться на любой из
ступеней этой лестницы, но не в про-
промежутке между ними. Ступени не бес- t
конечно тонкие, они имеют некоторую
толщину. Для множества атомов впер- ^
вом возбужденном состоянии встреча-
встречаются в основном энергии в диапазоне
от Ех — Гх/2 до Ег + Гх/2, где Тг —
«толщина» первой ступени, она назы-
называется шириной первого энергетичес- /
кого уровня. Эти сведения нам пона-
понадобятся.
Для желтой линии натрия ¦) Е = рис 79
= 2,1 эВ, Г = 4,4* 10"8 эВ, а масса
mNa = 22 ГэВ/с2 — 22-Ю9 эВ/с2. Кинетическая энергия
отдачи в данйом случае
К ж К9 « ?2/BmNac2) « Ю-10 эВ
не просто мала, но много меньше ширины уровня. Из-за
присущей возбужденному состоянию неопределенности
энергии разброс в энергиях излученных фотонов более
чем в 400 раз превосходит сдвиг энергии из-за отдачи.
В этом случае разумно считать Еу*=* Е (или Еу~ Е ± Г/2).
Для поглощения конечная ширина уровня означает,
что возбужденное состояние образуется не только при
единственном значении энергии фотона, но в целом диапа-
диапазоне ее значений Е ± Г12. Опять-таки ввиду того, что
К' <^g Г, кинетическая энергия атома для поглощения
не важна. Можно считать Еу = Е (или Еу = Е dt Г/2).
Поглощение носит резонансный характер. Если энер-
энергия падающих фотонов близка к Е, но выходит за шири*
ну линии, то вероятность поглощения близка к нулю.
При попадании в промежуток Е ± Г/2 вероятность по-
поглощения становится заметной и достигает наибольшего
*) Желтая линия натрия соответствует спектральной компо-
компоненте излучения паров натрия с длиной волны 0,59 мкм. (Примеч.
ред.)
161

значения при Еу = Е;) сдвигом энергии на К1 мы прене-
пренебрегли.
Не только для натрия^ но и для атомов других элемен-
элементов К + К1 ^ 1\ так что в атомных переходах энергия
отдачи несущественна. Фотоны, испускаемые возбужден-
возбужденными атомами, интенсивно поглощаются такими же не-
невозбужденными атомами. Впервые такое резонансное по-
поглощение именно для натрия было открыто американским
физиком Робертом Вудом в 1904 г.
18. Ядерные переходы. Изменения энергии при ядер-
ядерных переходах куда больше, чем при атомных. Рассмот-
Рассмотрите возможность резонансного поглощения фотонов, по-
появляющихся при гамма-распаде *) возбужденных ядер
железа 67Fe, невозбужденными ядрами. Энергия возбуж-
возбуждения Е = 14,4 кэВ, относительная ширина этого энер-
энергетического уровня Т/Е =* 3»10~13, масса ядра железа
m - 53 ГэВ/с2.
Q Расчет энергий для однофотонного излучения и погло-
щения^ проведенный в предыдущей задаче, годится и для
ядерных гамма-переходов и для реакций типа распада
2-гиперона на Л-барион и фотон, Законы сохранения
срабатывают одинаково,, но характер следствий из них
зависит от дополнительных обстоятельств.
Энергия отдачи для данного ядерного перехода
R«K' = EV2mc2 ж 2.1(Г3 эВ
мала в сравнении с энергией возбуждения,, но во много
раз превосходит ширину энергетического уровня
Г = ЗА0~*Е =* 4,3«Ю-9 эВ,
Поэтому фотоны^ излученные неподвижными возбужден-
возбужденными ядрами, не будут резонансно поглощаться покоя-
покоящимися невозбужденными ядрами железа.
Чтобы обеспечить поглощение, нужно невозбужден-
невозбужденным ядрам сообщить в точности такой же по модулю и на-
направлению импульсЛ какой приобретает ядро в реакции
распада. Только тогда законом сохранения энергии и им-
импульса разрешается обратная реакция поглощения гам-
гамма-кванта ядром.
Один из способов обеспечить поглощение состоит в ис-
использовании большого числа излучающих и поглощающих
ядер, участвующих в хаотическом тепловом движении.
*) При большой энергии фотонов их иногда называют гамма-
квантамиА Отсюда и название распада!
162

При температуре Т средняя кинетическая энергия тепло-
теплового движения равна C/2) кТ, где к =* 8,62-1СГ5 эВ/К —
постоянная Больцмана. Если эта энергия сравнима
с энергией отдачи, то среди большого числа ядер найдут-
найдутся ядра с подходящими импульсами. Так, для ядер железа
57Fe с избытком достаточно комнатной температуры Т ж
ях 300 К, а для ядер цинка e7Zn нужна температура око-
около 900 К.
В 1958 г. Мёссбауэр нашел другой способ. Вместо того
чтобы рассчитывать на случайную компенсацию потерь
энергии при отдаче за счет энергии хаотического теплово-
теплового движения, можно попытаться уменьшить энергию от-
отдачи. Для этого достаточно увеличить массу ядра в не-
несколько миллионов, а лучше в несколько миллиардов
раз, чтобы энергия отдачи К да К = Е2/Bтс2) стала пре-
пренебрежимо малой в сравнении с шириной уровня Г и не
препятствовала резонансному поглощению. Как этого
добиться? Мёссбауэр использовал излучающие и погло-
поглощающие ядра, находящиеся в узлах кристаллической ре-
решетки. Тогда импульс отдачи может воспринимать весь
кристалл в целом. Для этого кристалл нужно охладить,
при достаточно малой температуре отдача не вызовет ко-
колебаний ядер. В этом случае т — масса всего кристалла.
Благодаря открытию Мёссбауэра появились возмож-
возможности интересных сверхточных измерений. Например,
удалось определить изменение энергии фотонов в грави-
гравитационном поле Земли. Измерения в эксперименте, опи-
описанном в задаче 17 раздела 7, до этого открытия были бы
также невозможны.
19. Тепловое уширение. Оцените разброс энергии фо-
фотонов, испускаемых возбужденными атомами газа при
температуре Т. Покоящиеся атомы испускают фотоны
с энергией Е. Масса атомов т, их движение нерелятивист-
нерелятивистское.
Ц Средняя кинетическая энергия атома
отвечает характерной тепловой скорости его движения
При наблюдении фотонов, испускаемых на лету (рис. 80),
согласно преобразованию Лоренца встречаются энергии
(ср и = Е cos a)
Е' = у {Е + vpi) = уЕ [I + We) cos а],
163

отвечающие всевозможным углам а. Здесь скорость v
и релятивистский множитель у относятся к движению
атома. Наибольший разброс отвечает значениям cos a =*
Рис. 80
= ±1. У нас y~ 1, а в качестве v берем характерную
тепловую скорость. Тогда средний разброс энергии фото-
фотонов
Конечно, встречаются фотоны и вне этого интервала, но
их относительное число мало.
Свет, таким образом, несет не только сведения о хи-
химическом составе излучающего газа, определяемом по на-
набору спектральных линий излучения, но и о температу-
температуре газа, определяемой по уширению этих линий.
20. Формула Планка. В 1900 г. Планк выдвинул ги-
гипотезу, согласно которой энергия электромагнитной вол-
волны с частотой v меняется неделимыми порциями, равными
Е = hv. Так ему удалось решить проблему теплового рав-
равновесия излучения с веществом в согласии с опытными
данными. С тех пор коэффициент h = 4,06 »10~15 эВ-с на-
называется постоянной Планка. Так впервые фотоны дали
знать о себе физикам. Сейчас мы уверены в существова-
существовании фотонов и в справедливости формулы Е = hv для их
энергии. Выяснение смысла связи волновых характерис-
характеристик и характеристик частиц — это особая тема квантово-
квантового описания явлений. Но мы можем проверить согласо-
согласованность формулы Планка с теорией относительности.
Докажитег что если в одной инерциальной системе отсчета
энергия фотона Е == hv, то и в любой другой инерциаль-
инерциальной системе отсчета его энергия Е' = hv'\ т. е. так же свя-
связана с частотой в новой системе отсчета.
[31 Энергия фотона в штрихованной системе отсчета да-
дается преобразованием Лоренца:
Г; что ср == Е% тогда ср% = Е cos а, где а — угол
164

между направлением движения фотона в исходной системе
и направлением скорости v. Тогда
Е' = уЕ [1 + {vie) cos a].
Для определения частоты волны v' в штрихованной
системе отсчета достаточно найти период Т' — время, че-
через которое гребни волны проходят через неподвижную
точку, допустим, через антенну приемника. В исходной
системе отсчета эта антенна движется со скоростью —#,
Рис. 81
как показано на рис. 81. Расстояние между гребнями
в этой системе отсчета равно сТ = civ (Т = 1/v). Обозна-
Обозначим через т интервал времени между моментами встречи
с соседними гребнями. Проекция вектора скорости на па-
правление вдоль гребней волн несущественна, важна
только проекция скорости v cos а на направление поперек
гребней, то есть на направление распространения волны.
Начальное расстояние сТ между антенной и следующим
гребнем сократится за время т на сх за счет движения вол-
волны и па v cos a •% за счет движения антенны. Поэтому сТ =
= (с + v cos а) т, а
Т
1 + (v/c) cos a *
В штрихованной же системе отсчетау в которой антен-
антенна покоится, из-за релятивистского замедления времени
Т = t/y интервал времени между встречами с гребнями
сокращается. Тогда частота
v' = -уг = -~- == vy [1 + (v/c) cosa].
165

Переход в штрихованную систему в одинаковое число
раз меняет энергию фотона и частоту волны. Поэтому при
любом инерциальном сносе E'h* = Eh1 а значит из Е =?
= hv следует Е' = W.
Из самой теории относительности нельзя получить
связи частоты с энергией, но если она имеется, то обяза-
обязательно носит характер прямой пропорциональности: Е сх>
оо v, что и соответствует формуле Планка.
21*. Эффект Комптона. В результате столкновения
фотонов с первоначально покоящимися электронами по-
появляются рассеянные фо-
фотоны,; вылетающие под
различными углами а к
направлению движения
первичных фотонов, как
показано на рис. 82. Оп-
Определите зависимость энер-
Рис, 82 гии рассеянных фотонов
от угла а. Масса электро-
электрона т = 0,511 МэВ/с2.
Ц Американский физик Комптон в 1922 г. использовал
рентгеновское излучение с энергией фотонов Е = 20 кэВ,;
направляемое на пластинку графита. Эта энергия много
больше энергии связи электронов в атоме углерода.
У рассеянного излучения измерялась длина волны X'
в зависимости от угла рассеяния а.
Изменение энергии фотона при рассеянии связано
с отдачей^ испытываемой электроном. Согласно законам
сохранения энергия и импульс электрона после рассея-
рассеяния равны
Ее = Е + то2 — Е'% Ре = р — р\
Здесь Е% р и Е\ р! — энергии и импульсы фотонов до
и после рассеяния. Так как для фотонов модуль импульса
равен энергии, умноженной на с% то для составляющих
импульса электрона вдоль и поперек направления первич-
первичных фотонов имеем
<7?ец == Е — Er cos Ой с/?е.ь = —25' sin a.
Поэтому
Ы2 = (среО2 + (*РехJ « Я2 + (#Т - ZEE' cos а.
Подставим это значение квадрата импульса и энергии
Ее = Е + гас2 — Е' в соотношение ?| •— (среJ = лг2с4:
(Е + тс2 — Е'У - [Е2 + (Е'У — 2??' cos а] = т2с\
166

После раскрытия скобок нетрудно найти энергию фотона
после рассеяния:
Е
Е'
\ + (Е/тс*) A — cos a)
При нулевом угле рассеяния энергия фотона не меняется;
наибольшее изменение энергии происходит для фотонов,
рассеянных назад. При малых энергиях первичных фото-
фотонов (Е <^ тс2) энергия после рассеяния остается почти
неизменной. Для фотонов видимого излучения изменение
энергии при рассеянии недоступно для наблюдения.
При рассеянии рентгеновского излучения в опытах
Комптона часть фотонов рассеивалась без заметного из-
изменения энергии, а остальные фотоны рассеивались
в полном соответствии с полученной нами формулой.
В первом случае электроны не вылетают из атома, и отда-
отдачу воспринимает весь атом как целое. Для таких фотонов
массу электрона в формуле энергии нужно заменить на
массу атома углерода. Тогда для Е = 20 КэВ энергией
отдачи можно пренебречь.
Переход к длинам волн осуществим с помощью форму-
формулы Планка. Так как v = с/К, то Е = hv^hc/X. Теперь от
энергий легко перейти к длинам волн:
%' = Х + — A — cosa).
1 тс v '
Когда длина волны во много раз превосходит значение
%е = hi тс = 2,43» 10~12 м, называемое комптоновской дли-
длиной волны электрона, то изменение длины волны при рас-
рассеянии трудно обнаружить.
22. Гамма-спектрометр. Комптоновское рассеяние мож-
можно использовать для исследования энергетического соста-
состава рентгеновского и гамма-излучения» Для каждого вида
ядер имеется свой характерный спектр излучения и точ-
точное измерение энергии позволяет судить о составе радио-
радиоактивного образца.
Рассмотрим рис. 83. Выделенный пучок исследуемых
фотонов попадает на тонкую пластинку вещества, содер-
содержащего слабо связанные электроны. Под прямым углом
к пучку первичных фотонов установлен счетчик рассеян-
рассеянных фотонов. В той же плоскости и на том же расстоянии
от пластинки расположен счетчик электронов под углом р
к плоскости, перпендикулярной первичным фотонам.
Угол р можно изменять, пока счетчики фотонов и электро-
электронов не станут срабатывать одновременно, Этим выделя-
167

ются случаи регистрации рассеянных фотонов и электро-
электронов отдачи, относящиеся к одному и тому же столкнове-
столкновению. Определите энергию налетевшего фотона.
Ц Конечно, электрон немного запаздывает по сравне-
сравнению с фотоном. Но в диапазоне измеряемых энергий
@,1—Ю МэВ) и в не очень интенсивных первичных
пучках фотонов достаточно простой схемы совпадений с
Рис, 83
временным разрешением 10~9 с. При не очень больших рас-
расстояниях от мишени до счетчиков эта схема надежно вы-
выделяет необходимые нам случаи. Вне пределов указанно-
указанного диапазона комптоновское рассеяние осложняется дру-
другими физическими процессами: фотоэффектом при низких
энергиях и рождением электронов и позитронов при вы-
высоких энергиях.
Сам расчет весьма прост. Энергия фотона, рассеянно-
ного под прямым углом (а =» 90°), согласно предыдущей
задаче равна
Е
Е'
Е/тс*
Параллельный начальному направлению фотонов импульс
электронов равен /?у = Е1с% а поперечный — р± = Е' 1с.
Поэтому
Е
Е
откуда
Е
me
(tg р - 1).
где т — масса электрона»
168

Вместо пары счетчиков и переменного угла р можно
использовать набор неподвижных счетчиков, просмат-
просматривающих область разлета электронов по секторам.
23*. Электронная бита. Фотоны высокой энергии мож-
можно получить при рассеянии видимого света на пучке ульт-
ультрарелятивистских электронов в ускорителе. Источником
Рис4 84
света служит лазер. В 1970 г, на Стэнфордском линейном
ускорителе таким методом получали фотоны с энергией
5 ГэВ. Рассмотрите показанное на рис. 84 встречное столк-
столкновение фотона с энергией Еу с электроном, обладающим
энергией Е и импульсом р. Какова энергия фотона, рас-
рассеянного назад, т. е. по направлению импульса электро-
электрона? Проведите сначала приближенный расчет, пренебре-
пренебрегая отдачей электронов*
? Без учета отдачи рассеяние назад — это просто отра-
отражение от «зеркала», летящего навстречу фотонам со ско-
скоростью v = с2р/Е. При таком отражении частота света
увеличивается (см. задачу 2 раздела 5):
v' —у c+v =у е + ср
с — v E — ср *
Согласно формуле Планка энергия пропорциональна час-
частоте, поэтому конечная энергия фотонов
Так как (Е — ср) {Е + ср) == т2с\ то Е — ср =
= т2сЧ(Е + ср), где т == 0,511 МэВ/с2 — масса электро-
электрона. Тогда конечную энергию фотонов можно выразить
в форме
легко упрощаемой для ультрарелятивистских электронов
при Е ^> тс2. В этом случае ср почти не отличается от Е%
и после замены ср на Е получаем
169

Для реальных значений Еу = 3 эВ и Е = 10 ГэВ Е\ «
я? 4,8-109 эВ =4,8 ГэВ, то есть отражение увеличивает
энергию фотона более чем в миллиард раз.
Интересно, что при начальной энергии электронов Е ^>
^>т2с*/&Еу энергия отраженных фотонов по этой формуле
больше, чем энергия электронов, из которой она черпает-
черпается. Это противоречие связано с пренебрежением эффектом
отдачи.
Когда в системе покоя электронов энергия налетающих
фотонов
р Е + СР р
^0Y ~ тс* *"*
сравнима с тс29 учет отдачи уже необходим. Для перехо-
перехода в систему покоя пучка электронов использовано пре-
преобразование Лоренца с у = Е/тс2 и vy = р/т. Рассмотрев
в этой системе комптоновское рассеяние на угол а = 180%
обратным сносом найдем точное значение энергии рассеян-
рассеянного фотона в лабораторной системе отсчета:
Этот же результат можно получить из законов сохране-
сохранения непосредственно в лабораторной системе отсчета $
Е -f- Еу = Еу -J- Е'у р — Еу/с = Еу/с -f- pr.
В случае ультрарелятивистских электронов можно за-
мейить ср на Е и при учете отдачи^ тогда
Когда первое слагаемое в знаменателе много больше вто-
второго, отдачей можно пренебречь. Интересен и обратный
предельный случай, когда второе слагаемое много больше
первого. Тогда
8
то есть фотон и электрон просто обмениваются энергиями.
Последнее равенство заведомо справедливо при Еу ^> т,
так как в этом случае массу электрона можно считать
равной нулю. Законы же сохранения энергии и импульса
при столкновении двух безмассовых частиц автоматически
удовлетворяются при обмене импульсами и энергиями*

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вот и пройден длительный путь от обсуждения физиче-
физических основ кинематики до разнообразных применений за-
законов сохранения энергии и импульса. Почти везде мы
обошлись простой школьной математикой. Тем не менее
все,, чем мы занимались,; рассмотрено всерьез и последо-
последовательно, Понимание существа дела2 достигнутое правиль-
правильным применением простых средств, остается верным, хотя
в дальнейшем при продолжении своего физического обра-
образования придется овладевать более изощренными мето-
методами.
Конечно,; ряд тем только затронут,: а многие темы во-
вообще опущены. В первую очередь это касается электро-
электромагнетизма, Но,; пусть и в ограниченных пределах,, нам
удалось приобщиться к миру большой науки. Между жи-
живой практикой науки и школьными задачами нет непре-
непреодолимой пропасти можно и в нашей книге найти случаи,
где они почти смыкаются,— например, в задаче 11 *
последнего раздела. В том же разделе немало и других
примеров. Но главное даже не в привлечении свежего ма-
материала. При обдумывании и решении хороших задач раз-
развиваются лучшие человеческие качества, без которых не
обойтись исследователю^— упорство2 трудолюбие1 интуи-
интуиция.

ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Фундаментальные физические константы
(по ГСССД 1-76)
Гравитационная постоянная
Скорость света в вакууме
Магнитная постоянная
Электрическая постоянная
Постоянная Планка
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Масса покоя нейтрона
Элементарный заряд
О г ношение заряда электрона
к его массе
Постоянная Авогадро
Атомная единица массы
Постоянная Фарадея
Газовая постоянная (молярная)
Постоянная Больцмана
Объем моля идеального газа
при нормальных условиях
(ро= 101 325 Па, Го= 273,15 К)
6,6720.10-и Н.м2/кг*
2,99792458-108 м/с
¦• 4я.1О-7 Гн/м =
12,5663706144-Ю-7 Гн/м
с
\i0
=* 8,85418782.1012 Ф/м
й = 6,626176.10~34 Дж-с
П = hl2n =
» 1,0545887. Ю-84 Дж-с
те = 9,109534-Ю-8* кг
тр« 1,6726485-Ю-27 кр
тп — 1,6749543-Ю-27 кг
е= 1,6021892- 10~*e Кл
е/те « 1,7588047 -101* Кл/кг
6,022045-1023 моль-i
10~3кг/моль
*Y A
1 a. e. м.
— 1,6605655.Ю-27* кг
=96,48456.103 Кл/моль
R = 8,31441 Дж/(моль-К)
= 1,380662.10'23 Дж/К
22,41383.10"? м3/моль

II. Основные единицы СИ
в их связь с внесистемными единицами
(по ГОСТ 8.417—81)
Длина
Метр (м) представляет собой расстояние, проходимое в ваку-
вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299 792 458 долю се-
секунды:
1 а. е. (астрономическая единица) = 1,49598* 10й м,
1 св. год (световой год) =» 9,4605 «1015 м,
1 пк (парсек) == 3,0857 -1016 м.
Масса
Килограмм (кг) равен массе международного прототипа кило-
килограмма:
1 т (тонна) = 108 кг,
1 а. е. м. (атомная единица массы) = 1,6605655 •10"^ кг
Время
Секунда (с) равна 9 192 631 770 периодов излучения, соответ-
соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основ-
основного состояния атома цезия-133:
1 мин (минута) = 60 с,
1 ч (час) = 3600 с,
1 сут (сутки) = 86 400 с.
Сила электрического тока
Ампер (А) равен силе неизменяющегося тока, который при про-
прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам
бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового попереч-
поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстояний 1 м один
от другого, вызвал бы на каждом участке проводнике длиной 1 м
силу взаимодействия, равную 2-10"? Н.
Термодинамическая температура
Кельвин (К) равен 1/273,16 части термодинамической темпера-
температуры тройной точки воды:
,1=4-273,15.
Количество вещества
Моль (моль) равен количеству вещества системы, содержащей
столько же структурных элементов, сколько содержится атомов
в углероде-12 массой 0,012 кг.
При применении моля структурные элементы должны быть
специфицированы и могут быть атомами, молекулами, ионами,
электронами и другими частицами или специфицированными груп-
группами частиц.
173

Сила света
Кандела (кд) равна силе света в заданном направлении источ-
источника, испускающего монохроматическое излучение частотой
540 -1012 Гп, энергетическая сила света которого в этом направлении
составляет A/683) Вт/ср.
Дополнительные единицы
Плоский угол
Радиан (рад) равен углу между двумя радиусами окружности,
длина дуги между которыми равна радиусу:
1° (угл. градус) = (я/180) рад,
Г (угл. минута) = (я/10 800) рад,
V (угл. секунда) = (я/648 000) рад.
Телесный угол
Стерадиан (ср) равен телесному углу с вершиной в центре
сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную пло-
площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.
III. Множители и приставки для образования
десятичных кратных и дольных единиц СИ
Множитель
IQie
iOie
101а
109
10е
10*
102
10*
Приставка СИ
наимено-
наименование
экса
пета
тера
гига
мега
кило
гекто
дека
обозна-
обозначение
Э
П
т
г
м
к
V
да
Множитель
ю-»
ю-*
10-8
ю-*
10-и
Ю-15
10-м
Приставка СИ
наимено-
наименование
деци
санти
МИЛЛИ
микро
нано
пико
фемто
атто
обозна-
обозначение
Я
О
м
мк
н
п
ф
а

Научно-популярное издание
ВОРОБЬЕВ Иван Игнатьевич
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
Заведующий редакцией Л. И. Гладнева
Редакторы В. В. Протопопов, Д. А. Миртова
Младший редактор В. А, Кузнецова
Художественный редактор Т, Н, Кольченко
Технический редактор Е, В. Морозова
Корректоры Т. С. Родионова^ Л. С. Сомова
И Б № 32596
Сдано в набор 06.10.88. Подписано к печати 20.02.89.
Формат 84 X 108/32, Бумага тип, JSft 2. Гарнитура обыкновенная,
Печать высокая. Усл. печ. л. 9,24, Усл. кр.-отт. 9,45.
Уч.-изд. л. 9,26. Тираж 91000 экз, Зак. 2116. Цена 40 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва Г-99, Шубинский пер., 6