№ П tt Ш ^
I
£8t£»292

РУтияма ТЕОРИЯ
относитеяьности
Перевод с японского
кандидата физико-математических наук
И. И. ИВАНЧИКА
ш
МОСКВА АТОМИЗДАТ 1979

УДК 530.12
Р. Утияма. Теория относительности: Пер. с япон. — М:
Атомиздат, 1979, 208 с.
Дано сжатое введение в частную и общую теорию
относительности, позволяющее быстро и целенаправленно
продвинуться от полного незнания теории до понимания
наиболее существенных ее достижений и проблем.
Объяснены основы теории (опыт Майкельсона—Морли,
преобразование Лоренца, парадокс близнецов и т.п.),
тензорное исчисление, группы Лоренца и Пуанкаре, тензорная
запись уравнений Максвелла, релятивистское обобщение
макроскопической электродинамики, лагранжева и гамиль-
тонова формулировки релятивистской динамики, принцип
эквивалентности, риманово пространство, уравнения
Максвелла в гравитационном поле и, наконец, уравнение
гравитационного поля в общей теории относительности,
проблемы которого рассмотрены особенно подробно (в
частности, введены понятия черной дыры и гравитационного
коллапса).
Книга рассчитана на студентов старших курсов
университетов и технических вузов, аспирантов и научных
работников, желающих приобщиться к современным проблемам
космофизики и космологии, а также на преподавателей.
Рис. 13. Список литературы 17 наименований.
лниа—ИР БЗ—102—3—1978» 1704070000
034(01)—79
© Ь & · ^ 1977
© Перевод на русский язык. Атомиздат, 1979

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1 Основы частной теории относительности
§ 1. Историческое введение 9
§ 2. Опыт Майкельсона — Морли 15
§ 3. Преобразование Лоренца (частный случай) .... 18
§ 4. Некоторые следствия преобразования Лоренца ... 21
Глава 2. Тензорное исчисление
§ 5. Преобразование Лоренца в общем случае .... 40
§ 6. Пространство Минковского, мнимое время 46
§ 7. Скаляры, векторы, тензоры 50
§ 8. Равенство тензоров, их сумма, произведение и
свертка 54
§ 9. Антисимметричные тензоры, тензорная плотность,
дуальные тензоры 61
Глава 3. Релятивистская формулировка электродинамики
§ 10. Уравнения Максвелла в вакууме (напоминание) . . 66
§ 11. Релятивистская запись уравнений Максвелла (1) . . 68
§ 12. Релятивистская запись уравнений Максвелла (2)
§ 13. Релятивистская формулировка феноменологической
электродинамики 70
Глава 4. Релятивистская механика
§ 14. Релятивистская кинематика 85
§ 15. Релятивистское обобщение основных уравнений
механики 88
§ 16 Энергия и импульс 91
§ 17. Принцип Гамильтона 95
Глава 5. Общая теория относительности
§ 18. Недостатки частной теории относительности. Общий
принцип относительности 106
§ 19. Принцип эквивалентности 109
Глава 6. Тензорный анализ в римановом пространстве
§ 20. Риманово пространство 117
§ 21. Тензоры, тензорная плотность 119
§ 22. Интегрирование, теоремы Стокса и Гаусса .... 122
§ 23. Афинные тензоры, свободные векторы, законы
сохранения 127
§ 24. Параллельный перенос, ковариантное
дифференцирование, геодезические системы координат 131
§ 25. Кривизна 138
5

Глава 7. Механика и электродинамика в общей теории
относительности
§ 26. Уравнение движения материальной точки .... 145
§ 27. Уравнения Максвелла в гравитационном поле ... 150
Глава 8. Уравнения гравитационного поля
§ 28. Уравнения гравитационного поля 157
§ 29. Предельный переход к закону всемирного тяготения
Ньютона 163
§ 30. Принцип Гамильтона для гравитационного поля . . 164
§ 31. Энергия гравитационного поля 167
§ 32. Слабое гравитационное поле, гравитационные волны 173
§> 33. Решение Шварцшильда 180
§ 34. Особенности решения Шварцшильда, черные дыры 184
§ 35. Красное смещение спектральных линий 189
§ 36. Движение планет, искривление лучей света .... 192
§ 37. Заключение 187
Список литературы 198
Указатель
202

ПРЕДИСЛОВИЕ
В первое время после своего создания теория
относительности была предметом исследований узкой группы
физиков-теоретиков. Большинство же физиков могло
успешно работать без знания этой академической, как тогда
считали, науки. Не будет преувеличением сказать, что
почти полвека теория относительности находила поддерж-
ку скорее не у физиков, а у математиков и
многочисленных любителей-непрофессионалов, стимулируемых
популярными книгами, в которых, ради возбуждения интереса,
непомерно раздували ее парадоксы. Так было в Японии,
да и во всем мире.
Между тем развивались исследования электронов,
атомных ядер и элементарных частиц. В настоящее время
уже многие физики, как теоретики, так и
экспериментаторы, не могут работать, не зная частной теории
относительности, применяемой при исследовании частиц, движу*
щихся с околосветовыми скоростями. Не только в чистой
физике, но и в технике возросло число специалистов,
применяющих частную теорию относительности в своей
повседневной работе. Как-то Эйнштейн сказал, что во всем
мире едва ли десять человек понимают теорию
относительности. Теперь же очень многие не просто понимают эту
теорию, но и знают ее в совершенстве.
В 60-х годах сделаны многие интересные космофизиче-
ские открытия, вызвавшие быстрый пересмотр
приложений общей теории относительности в соответствующих
областях. В частности, результаты современного прогресса
в изучении сверхплотных звезд и в физике элементарных
частиц позволяют надеяться, что общая теория
относительности (о которой до сих пор думали, что она
эффективна только в задачах астрономического масштаба, на
сверхмакроскопическом уровне) будет играть важную
роль также и в мире элементарных частиц, т. е. на
супермикроскопическом уровне.
В наше время изучать физику без изучения теории от-
7

носительности нельзя. Поэтому вполне естественны
пожелания написать хороший учебник.
За пределами Японии создано много превосходных
учебников теории относительности. В Японии, помимо
переводных книг, в последнее время появились также и
оригинальные руководства. Но я не могу припомнить
других учебников теории относительности, кроме книг,
написанных моими коллегами Гото и Хиракава. В их
учебниках содержатся многие вещи, которые невозможно
включить в книгу небольшого объема. Каждый из этих
учебников хорош по-своему. Недавно от г-на М. Макино из
издательства «Иванами» я получил предложение написать
учебник, имеющий другие достоинства, отличающие его
от книг Гото и Хиракава. Сделать это было довольно
трудно. Книга, которую вы держите в руках, — результат не
скольких месяцев тяжелой работы.
Небольшой объем книги ограничивает характер
изложения материала. В отличие от двух упомянутых
монографий в настоящую книгу включено только самое
существенное в теории относительности. Пришлось отказаться
от ее приложений к космофизическим проблемам. Зато
ситуация в момент зарождения теории относительности
обрисована обстоятельно, как подобает учебнику, и столь
же тщательно. В моей книге детально объяснены основы
теории относительности, но на уровне более высоком, чем
обычно принято в учебниках. Например, в учебниках
часто стремятся не пользоваться сложными формулами;
здесь же наряду с обычными объяснениями приведены
все важные формулы. Вводить формулы в текст книги я
старался по возможности легко, в интуитивно понятной
фс>рме. Все объяснения даны логически строго, без
плутовства, или попыток отделаться от читателя. В этом —
главная особенность моей книги. Скажу по секрету:
иногда мне кажется даже, что не найдется других книг, в
которых теория относительности была бы объяснена столь
же просто и естественно. И в самом деле, при
неоднократном вдумчивом прочтении объяснения начинают казаться
понятными; все важные места даны в книге без
логических пропусков или недомолвок. Дочитав книгу до конца,
чувствуешь, что понял теорию относительности. Для
понимания книги достаточно знания основ механики (включая
вариационный принцип) и (классической)
электродинамики. Ну, а тем, кто не смог разобраться в моей книге, по-
видимому, лучше махнуть рукой на попытки постичь
теорию относительности. р утияма

Глава 1
ОСНОВЫ ЧАСТНОЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1. ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Можно сказать, что теория относительности возникла
как результат усилий физиков измерить скорость
абсолютного движения Земли. Со времен Галилея и Ньютона
во всем мире утвердился механический взгляд на
природу. Его основу составляет механика Ньютона, которую
можно вывести из трех знаменитых законов: (1) если на
тело не действует внешняя сила, то оно покоится или
движется равномерно и прямолинейно; (2) ускорение тела
пропорционально действующей на него внешней силе;
(3) действие и противодействие равны по величине и
противоположны по направлению. Третий закон мы
обсуждать не будем. Так как первый закон формально является
частным случаем второго, то может показаться, что
'первый закон вообще не нужен. Но внимательное
рассмотрение показывает, что в нем высказано глубокое
утверждение. При формулировке первого и второго законов
Ньютона использованы слова «покой», «скорость»,
«ускорение», смысл которых вполне определен лишь в том
случае, если предварительно задана система отсчета (вместо
«системы отсчета» можно говорить о «наблюдателе»).
Справедливость утверждения (1) зависит от выбора
системы отсчета. Если наблюдатель, находящийся в
свободно падающем лифте, выпустит из руки яблоко, он увидит,
что яблоко парит неподвижно в пространстве рядом с
ним. Но на яблоко действует сила тяжести со стороны
Земли. Следовательно, для наблюдателя в лифте закон
(1) не справедлив. Есть только один класс систем
отсчета, в которых верен закон (1). Утверждение (1)
называют законом инерции, а системы отсчета, в которых верен
закон инерции, — инерциальными системами. Строго
говоря, невозможно представить себе наблюдаемое
физическое тело, на которое не действовали бы внешние силы.
Поэтому не ясно, существуют ли в нашем мире инерци-
альные системы. Но обычно можно очень ясно видеть
состояние покоя физического тела, если действующая на
него внешняя сила приблизительно равна нулю. Обобщая

такие опытные факты, первый закон Ньютона можно
интерпретировать как принципиальное утверждение о
существовании инерциальных систем отсчета. В такой
интерпретации закон (1) уже не будет частным случаем закона
(2). Скорее второй закон Ньютона нужно понимать в том
смысле, что «утверждение (2) имеет место только в
инерциальных системах отсчета».
Очевидно, что система отсчета S', движущаяся с
постоянной скоростью относительно инерциальной системы
отсчета S, сама инерциальна. Таким образом, существует
бесконечно много инерциальных систем отсчета. Но если
внешняя сила не зависит от скорости движения
физического тела, то в любой инерциальной системе отсчета законы
механики, Ньютона выражаются в совершенно
одинаковой форме. Обычно это утверждение называют принципом
относительности Галилея.
ζ A S г k S1
Рис. 1
Рассмотрим этот принцип подробнее. Пусть часы
наблюдателя А в начале координат О прямоугольной
системы отсчета S показывают время t, а часы наблюдателя
А' в точке О' системы S' — время V (рир. 1).
Предположим, что часы обоих наблюдателей синхронизированы
так, что при t=0 t'=0y и что в этот момент времени оси
систем отсчета 5 и S' совпадают. С точки зрения
наблюдателя Л, система S' движется в положительном
направлении оси χ с постоянной скоростью ν, сохраняя
неизменными направления своих осей. Пусть в момент времени t
декартовы координаты материальной точки в системе
отсчета 5 будут х, у, ζ, а в системе отсчета S' — х'> у', ζ'.
Из рис. 1 ясно, что связь указанных координат друг с
другом имеет вид
*' = x — vtt у' = у, г' ^z, f = t.
(1.1)
10

Следовательно, скорости и ускорения материальной точки
в системах отсчета S и S' связаны соотношениями:
dx' __ dx dy' _ dy t dz' __ dz . ,* ~\
dt' ~ dt У dt' ~ dt'y dt' ~ dt У { ' '
d4' _ d2x . d2y' = d2y d2z' _ d2z ,* ~r\
dt'* ~ dt2 У dt'2 ~ dt2 У dt"2· ~ dt2 ' '
Запишем ньютоновское уравнение движения в системе
отсчета 5:
md?x/dt2 = f. (1.3)
Здесь f — сила в системе 5. Пусть в системе S' сила
будет Р. Если сила не зависит от скорости, то f=
=Р и, согласно формулам (1.2), (1.3),
пиРк'№*=**'. (1.3')
Таким образом, закон движения материальной точки в
системе отсчета S' по виду полностью совпадает с законом
(1.3). Но S' — тоже инерциальная система отсчета. Итак,
при переходе от инерциальной системы отсчета S к инер-
циальной системе отсчета S' вид ньютоновских уравнений
движения (1.3) не изменяется. Обратно, пусть
наблюдатель Л', покоящийся в системе отсчета S', производит
механический опыт и сравнивает свой результат с
результатом, полученным, наблюдателем А в таком же опыте. Из
факта независимости законов механики от выбора
инерциальной системы отсчета следует тогда, что по разнице
результатов механических опытов невозможно узнать
относительную скорость наблюдателей А' и А. Иными
словами, согласно принципу относительности Галилея, в
пределах механики все инерциальные системы полностью
эквивалентны: они равноценны для формулировки законов
механики.
Ситуация изменится, если привлечь немеханические
явления, например электродинамические или оптические.
Согласно электродинамике, завершенной Максвеллом и
Фарадеем, свет — разновидность электромагнитных волн,
распространяющихся в вакууме со скоростью 3-1010 см/с
(эту величину в дальнейшем будем обозначать с). Сразу
возникает вопрос, относительно чего указывается эта
скорость. Пусть вспышка света распространяется в
положительном направлении оси χ системы отсчета S со
скоростью с. Даже без ф9рмул (1.2) ясно, что в системе отсчета
11

S' скорость света будет с—ν (теория Максвелла не
справедлива). Это значит, что теория Максвелла может быть
верна только в одной из бесконечного множества инерци-
альных систем отсчета. Назовем эту выделенную инерци-
альную систему абсолютной системой отсчета. Возникает
вопрос, где она расположена? Довольно правдоподобно
выглядит такой ответ: «абсолютной является инерциаль-
ная система, покоящаяся относительно центра масс G всей
вселенной». Но Земля движется относительно G.
Следовательно, скорость света на поверхности Земли должна
отличаться от с. Поэтому, измеряя скорость
распространения света в различных направлениях на поверхности
Земли, можно, обратно, определить скорость Земли
относительно G, т. е. измерить скорость абсолютного движения
Земли.
Основываясь на этих соображениях, в конце XIX в.
поставили несколько экспериментов. Самый известный из
них, принесший решающие результаты, —
интерференционный опыт Майкельсона и Морли. Ниже мы еще
вернемся к этому опыту, а сейчас нам важен только его
результат: из опыта вытекает, что скорость абсолютного
движения Земли чрезвычайно мала, Земля почти покоится
относительно G (скорость абсолютного движения Земли не
выше 1/4—1/6 скорости ее вращения вокруг Солнца).
Другие опыты тоже дали для абсолютной скорости Земли
значение нуль. Принятие такого вывода означало бы
возврат к старой геоцентрической системе, которой
противоречит вся совокупность знаний, накопленных к XX в.
Поэтому многие физики стали искать физическую
ошибку или какой-либо важный факт, не принятый во внимание
при истолковании опытов. Некоторые пытались объяснить,
почему пришлось прийти к столь необычному выводу.
Среди таких «оправданий» наиболее известна лоренцев-
ская гипотеза сокращения, согласно которой длина тела
в направлении движения сокращается по сравнению с
длиной в состоянии покоя в отношении У1—β2, где β=ϋ/ε,
ν — скорость тела (скорость его абсолютного движения).
В опыте Майкельсона ν — скорость абсолютного движения
Земли. Пользуясь гипотезой сокращения, Лоренц доказал,
что опыт Майкельсона должен дать для величины ν
значение нуль (из оптических опытов на поверхности Земли
узнать величину υ невозможно).
Хотя такие гипотезы и помогают понять, почему нельзя
определить скорость абсолютного движения Земли из
опытов на ее /поверхности, физических знаний конца XIX в.
было недостаточно для объяснения смысла самих этих
12

гипотез. Следовательно, гипотезы не дают решения
проблемы. Они заменяют одну проблему другой. Сам Лоренц
пытался обосновать гипотезу сокращения с помощью
разработанной им электронной теории. Предполагая, что
масса электрона зависит от скорости и что зависимость
полной массы физического тела от скорости такова же, как
у составляющих тело электронов, Лоренц доказал, что
длина любого физического тела сокращается в
направлении движения в ]/1—β2 раз. Но при доказательстве
справедливости таких гипотез невозможно избежать введения
новых гипотез, т. е. нельзя получить удовлетворительного
объяснения.
Совершенно другую позицию занял Эйнштейн. Он не
стал примирять отрицательный результат опыта Майкель-
сона (и других опытов) с современным ему «физическим
здравым смыслом», а, наоборот, воспринял
экспериментальный результат как урок природы и применил
вытекающий из него вывод конструктивно, как руководящий
принцип. В самом деле, если взглянуть на
экспериментальные данные свежо, без предвзятых мнений, то они указы·'
вают нам, что «измерения скорости распространения
света в любой инерциальной системе отсчета дают один и
тот же результат». Учитывая этот факт и особую роль
инерциальных систем отсчета в механических явлениях,
можно высказать обобщенное утверждение: все
физические законы выражаются в одинаковой форме в любой
инерциальной системе отсчета. Это — эйнштейновский
принцип относительности (ниже будет выдвинуто более
общее требование, из которого развилась общая теория
относительности. Поэтому о высказанном здесь принципе
мы будем говорить как о частном принципе
относительности) . '
Принципа относительности недостаточно для
построения свободной от трудностей теории. При переходе от
одной инерциальной системы отсчета к другой кроме
принципа относительности должно еще удовлетворяться
соотношение (1.1). В случае ньютоновской механики оно
совместимо с принципом относительности. Эта совместимость,
однако, нарушается, если учесть электродинамику
Максвелла, в частности законы распространения света.
Следовательно, соотношение (1.1) нужно заменить новым
соотношением (соотношением Лоренца, играющим в
дальнейшем основную роль). Выше мы определяли связь
координат материальной точки в двух инерциальных
системах отсчета, исходя из принципа относительности с
учетом конкретного физического закона. По такому пути шли
13

Лоренц и Пуанкаре, которые независимо друг от д^уга
доказали, что уравнения Максвелла для
электромагнитного поля сохраняют одинаковый вид в системах отсчета
S и S\ если эти системы связаны не преобразованием
(1.1), а преобразованием, называемым теперь
преобразованием Лоренца. Но при формулировке основ всей
физики нежелательно выбирать в качестве отправной точки
конкретный физический закон. Лучше постулировать
какой-либо простой и понятный факт, не противоречащий
эксперименту. Поэтому Эйнштейн принял в качестве
отправного 'пункта не законы Максвелла, а утверждение, что
скорость света в вакууме не зависит от движения
источника света. Это утверждение обычно называют принципом
постоянства скорости света. Такая формулировка может
привести к недоразумениям, и хотелось бы выразить этот
принцип в другой форме. Но так как не удается найти
подходящего краткого выражения, то приходится
пользоваться приведенной формулировкой.
Отвлечемся немного в сторону. Скорость стрелы,
выпускаемой стоящим на земле лучником, на υ меньше
скорости стрелы, выпускаемой из лука всадником, скачущим
со скоростью v. С другой стороны, если медленно
плывущая по стоячей воде лодка качается вверх-вниз, то от
нее, как от центра, распространяются волны. Если же
лодка плывет со скоростью и, то от ее носа расходится волна
в форме клина. Но скорость фронта волны определяется
поверхностным натяжением воды, ее плотностью и не
зависит от того, движется или стоит лодка.
Сформулированное выше утверждение о постоянстве скорости света
означает, что распространение света напоминает
распространение волн на воде. Априори не ясно, сигналом
какого типа является свет: подобна ли его скорость скорости
стрелы или скорости волн на воде. Если за основу
принять уравнения Максвелла, то очевидно, что для описания
свойств света не нужен принцип постоянства его скорости.
Уместность этого принципа подтверждается тем фактом,
что скорость света, испускаемого двойными звездами,
не зависит от скорости движения звезды вдоль луча
зрения.
Вернемся, однако, к нашей основной теме. В 1905 г.
Эйнштейн, исходя из двух указанных выше принципов,
перестроил всю физику, создав теорию относительности.
Мы уже упоминали, что в 1915 г. Эйнштейн сам обобщил
эту теорию, построив общую теорию относительности.
Поэтому теорию, созданную в 1905 г., называют частной
теорией относительности.
14

§ 2. ОПЫТ МАЙКЕЛЬСОНА —МОРЛИ
Рассмотрим опыт Майкельсона — Морли, несколько
упростив его для облегчения понимания. На рис. 2 показана
упрощенная схема установки. Свет от источника L
частично отражается полупрозрачным зеркалом Μ и
направляется к зеркалу М2, отражаясь от которого, возвращается
к М. Проходя сквозь М, свет попадает в интерферометр /.
Далее, остаток света от L, проникая сквозь
полупрозрачное зеркало М, распространяется прямо, достигает зерка-
Рис. 2
ла Ми отражается, возвращается к зеркалу Μ и, частично
отражаясь, попадает в интерферометр. Лучи света,
прошедшие по двум описанным различным путям, обозначим
символами L2 и Lx. Интерферируя, они порождают
интерференционные полосы. В абсолютной системе отсчета
полученную интерференционную картину можно рассчитать,
зная разницу длин оптических путей лучей Lx и L2.
Показанная на рис. 2 установка помещена на
горизонтальную плиту на поверхности Земли. Предполагается,
что Земля (а вместе с ней и установка) совершает
абсолютное движение с постоянной скоростью ν в
направлении ММХ. Если теория Максвелла справедлива в абсолют-
15

ной системе отсчета, то свет от источника L
распространяется в вакууме со скоростью, не зависящей ни от
скорости абсолютного движения источника, ни от
направления (распространения и равной (в абсолютной системе
отсчета) с. Следовательно, время Ти необходимое' лучу Lx
для прохождения туда и обратно отрезка ЛШЬ равно
γ = *ι ι *ι = 2*i/c β= —
1 с — υ ι c + υ 1— β2 * Η с '
Для определения времени, которое потребуется лучу L2
для прохождения туда и/обратно отрезка ММ2, нужно
подсчитать в абсолютной системе отсчета время, которое он
потратит на прохождение пути М-*М'г+М\ показанного
на рис. 2 (Л1'2, М' — положения в абсолютной системе
отсчета зеркал Λί2, Λί в те моменты, когда к ним подходит
свет L2), т. е.
T2 = 2VW+(vT2/2)*/c9
откуда
r, = 2(Vc)//r=F.
Следовательно, оптическая разность хода лучей L\ и L2
Δ = с (7\ - TJ = 2 [V(l - β2) - V/ΰΓβΓ]
Затем всю установку поворачивают на 90° по часовой
стрелке вокруг вертикальной оси, проходящей через
точку М. После поворота отрезок ММ2 параллелен
направлению абсолютного движения Земли, а отрезок ММ\
перпендикулярен. Рассчитывая оптическую разность хода
лучей L\ и 12 для этого случая, найдем
Δ' = с (Т[ - П) = 2 [ljVT=W - V(l - β2)].
Следовательно, оптические разности хода до и после
поворота различаются на величину
δ = Δ'-Δ~-(/1 + /2)β2.
Поэтому при повороте установки на интерферометре
должно произойти смещение интерференционных полос.
В действительности даже без специальных поворотов
вследствие суточного и годичного вращений Земли
установка ориентируется самым различным образом
относительно направления абсолютного движения. Но в
пределах точности наблюдения смещения интерференционной
картины не наблюдалось.
16

Отсюда вытекает, что β = 0, τ. е. что равна нулю
скорость абсолютного движения Земли. Мы уже отмечали в
предыдущем параграфе, что с таким выводом нельзя
согласиться. Поэтому были предприняты попытки объяснить,
почему 6 = 0. Рассмотрим одну из них — лоренцеву
гипотезу сокращения. Согласно этой гипотезе, в изложенный
расчет нужно внести следующие исправления. В
абсолютной системе отсчета до поворота установка движется в
направлении ММХ со скоростью у, поэтому длина
интервала ММ\ равна не /ь а /ι"[/1—β2. Следовательно, теперь
1 1 - β2
Величину Т2 исправлять не нужно. В итоге получим
Δ = с (7\ - 7\,) = 2 ihl/T^W - ν/ΓΤβΓ)
После поворота установки на 90° не требует исправлений
рассчитанная ранее величина Т'и а /2 в формуле для Т'2
нужно заменить на /^У1—β2. Поэтому оказывается, что
исправленные значения А' и Δ равны друг другу и 6 = 0.
Смещения интерференционных полос не происходит.
Согласно этому расчету, время распространения света
в направлении абсолютного движения и в направлении, к
нему перпендикулярном, одинаково и равно //q/1—β2, где
/ — проходимое светом расстояние (измеренное
наблюдателем на поверхности Земли). Значит, наблюдатель на
поверхности Земли не может узнать направление ее
абсолютного движения. Но можно подумать, что он в
состоянии измерить значение собственной абсолютной скорости,
пользуясь тем, что время распространения света в 1/"|/1—β2
раз больше величины 1/с. Более внимательный анализ
показывает, однако, что это не так. В самом деле, мы не
знаем, какие изменения в законы механики вносит лорен-
цева гипотеза сокращения. Поэтому для измерения
времени вместо обычных механических часов мы должны
пользоваться световыми часами, придуманными
Эйнштейном. Эти часы образованы двумя параллельными
зеркалами, между которыми движется фотон. Единицей
времени служит время прохождения фотоном расстояния
между зеркалами. Это время не зависит от ориентации
поверхности зеркал. Но если световые часы доместить на
поверхности Земли, то из-за абсолютного движения
единица отсчитываемого ими времени увеличится в 1/У1—β2

раз. Следовательно, наблюдатель на поверхности Земли,
измеряющий время прохождения света от Μ до М{
световыми часами, обнаружит, что оно не зависит от β и
равно времени, измеренному в состоянии покоя. Таким
образом, земной наблюдатель не может узнать ни
направления, ни величины скорости абсолютного движения.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
(частный случай)
Исходя из принципа относительности и принципа
постоянства скорости света, выведем преобразование
координат при переходе от одной инерциальной системы
отсчета к другой, заменяющее в теории относительности
преобразование (1.1). Для простоты рассмотрим системы
отсчета 5 и S', показанные на рис. 1. Источник света,
расположенный в начале координат системы 5, вспыхивает и
тут же гаснет в момент t=t'=0. Рассмотрим сначала это
событие в системе S. С течением времени t вспышка света
распространяется в темном вакууме в виде расходящейся
сферической волны с центром в начале координат О. Пусть
в момент t волновой фронт этой вспышки света доходит
до наблюдателя Р, находящегося в точке с координатами
(х, у, ζ). Тогда имеет место соотношение
s2 == х2 + у2 + ζ2 — (ct)2 = 0. (3.1)
d
Здесь символ = означает «по определению». В системе
отсчета S' источник света перемещается в отрицательном
направлении оси хг со скоростью υ> но ввиду принципа
постоянства скорости света скорость света в системе S'
равна с независимо от движения источника и от
направления распространения света. Поэтому в системе отсчета
S' рассматриваемое явление выглядит так же, как в
системе S: свет в момент t'=0 выходит из начала отсчета
О' (в момент t'=0 О' совпадает с О) и распространяется
со скоростью с в виде расходящейся сферической волны с
центром в начале координат О'. Пусть наблюдатель Ρ
имеет в системе S' координаты (*', у', ζ') и свет к нему
приходит в момент t'. Тогда
s'2= {χ')2 + (у')2 + {z')2 — {ct')2 = 0. (З.Г)
Итак, одновременно верны равенства (3.1) и (З.Г). Из
этого факта вытекает соотношение между координатами
(*,y,zj) и (*',*/', г', f).
18

Прежде всего заметим, что если материальная точка
движется в системе отсчета S равномерно и
прямолинейно, то, согласно принципу относительности, юна должна
двигаться равномерно и прямолинейно также и в системе
отсчета S'. Поэтому координаты t\ χ', у', ζ' должны
выражаться через координаты ty χ, ί/, ζ линейным
соотношением. Так как плоскости ху и х'у\ а также плоскости χζ
и χ'ζ' преобразуются в себя, то из условия ζ=0 следует
ζ'=0, а из условия у=0 следует у'=0 независимо от
значений х, t. Поэтому для произвольных yf z должны иметь
место соотношения вида
y' = *(v)y; ζ' = κ(υ)ζ, (3.2)
где κ — не зависящий от х, у7 z, t коэффициент
пропорциональности, который, может быть, зависит от v. Совпадение
коэффициентов пропорциональности κ в формулах для
у, ζ вытекает из того факта, что пространство одинаково
во всех направлениях, т. е. из изотропии пространства.
По той же причине κ не изменяется ори замене ν на —v.
Следовательно, κ — функция от |и|. Соотношение (3.2)
выражает координаты в системе S' через координаты в
системе 5. Но с точки зрения наблюдателя в системе
отсчета S' система 5 удаляется в отрицательном направлении
оси хг со скоростью v. Следовательно, координаты
системы 5 должны выражаться через координаты системы S'
формулой, по существу совпадающей с (3.2),
y = *(—v)y'; ζ = *(—ό)ζ'. (3.2')
Из формул (3.2) и (3.2') вытекает, что
{*(Μ)>·=ι,
т. е. что
κ(\υ\) = ±1.
Но в пределе £/-^0 имеем z/'-и/, г'-кг. Поэтому κ(|ι/|) = 1.
Следовательно,
у' = у; zf = z. (3.2")
Совершенно аналогично можно доказать, что из
линейности связи между координатами х', у\ z\ V и х, у, z, t и
из эквивалентности систем отсчета S и S' [выражающейся
в том, что справедливость соотношения (3.1) влечет за
собой справедливость соотношения (З.Г)] вытекает, что
при s2=t^0 должно иметь место соотношение
s'2 = a(v)s\
19

в котором коэффициент α (ν) не зависит от х, у, z, t, а
является функцией только от \v\. Независимость α от
направления υ вытекает из изотропии пространства (так
же, как выше в случае коэффициента κ). Записанное нами
соотношение пропорциональности выражает величину s'z
в системе отсчета S' через соответствующую величину в
системе S. Обратное соотношение имеет вид
s2 = a(— v)s'\
Поэтому, в полной аналогии с выводом для κ, получаем
s* = χ2 + у2 + ζ2 — (ct)2 = (χ')2 + (у')2 + (ζ')2 — (ct'f = (s')2·
(3.3)
Это соотношение выполняется при любых значениях
формы 52 (а не только в тривиальном случае s2=0).
Подставляя в формулу (3.3) соотношение (3.2"),
получаем
& — (d)* = (x')* — (d')*. (3.3')
Примем теперь, что
х> = ах + Ы\ t' = fx + gt, (3.4)
где коэффициенты а, &, /, g зависят только от υ (не
зависят от координат). Учтем, что в системе отсчета S
начало координат О' системы S' движется в положительном
направлении оси χ со скоростью v. В системе S'
положение точки О' определяется условиями *'=(), ί/'=0, ζ'=0.
Отсюда следует, с учетом формул (3.4) и (3.2"), что в
системе 5 координаты точки О' удовлетворяют уравнениям:
ах + U = 0; у = 0; г = 0.
Это значит, что уравнение движения точки О' в системе
отсчета 5 имеет вид
х = — (Ыа) t.
Следовательно,
— b/a = v. (3.5)
Подставляя формулы (3.4) в соотношение (3.3'),
учитывая, что соотношение (3.3') должно иметь место при
произвольных ху t, и принимая во внимание формулу (3.5),
определим неизвестные коэффициенты а, 6, f, g. Тогда
формулы (3.4) примут вид
γ, _ , * — р* . tt , t — (νI<?) χ
χ ~ ± /Γ^βί' ± /Γ=βϊ ·
20

где $ = v/c. В полученных формулах априори допустима
любая комбинация знаков «±». Но ввиду предельного
перехода х'->х, t'-*t при v^-0 от отрицательных знаков
нужно отказаться. Окончательно приходим к следующему
закону преобразования координат при переходе от инер-
циальной системы отсчета 5 к инерциальной системе
отсчета S':
= i-WU х, = *^* , = ж, = Zt (3.6)
Это преобразование независимо друг от друга вывели
Лоренц, Пуанкаре и (несколько позже) Эйнштейн. Эйнштейн
не знал об исследованиях Лоренца и Пуанкаре, и его
подход к задаче коренным образом отличался от точки зрения
этих двух ученых. Он вывел преобразование (3.6)
поистине простым способом, исходя из экспериментально
обоснованных принципов. Хотя окончательные формулы
получились одинаковыми, вывод Эйнштейна имеет больший
смысл. Но в знак уважения к Лоренцу, поднимавшему
целину в этом вопросе, Пуанкаре в статье, посвященной
изложению его собственных результатов, впервые стал
называть преобразования (3.6) преобразованиями Лоренца.
Так их и называют теперь.
Разрешая уравнения (3.6) относительно х, у, г, t,
получим
Эти соотношения можно получить из формул (3.6)
заменой ν на —υ. Соотношения (3.6') легко также получить,
рассматривая преобразование координат при переходе от
системы отсчета 5' к системе отсчета S: S'-+S.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛОРЕНЦА
Преобразование (3.6) — один из простейших
вариантов преобразования Лоренца. О формулах (3.6) говорят
как о частном случае преобразования Лоренца. Но этого
частного случая достаточно, чтобы произвести
фундаментальные изменения -в наших привычных понятиях.
Рассмотрим некоторые из этих изменений.
а) Относительность понятия одновременности. Мы
привыкли считать, что понятие одновременности имеет
абсолютный смысл, не зависящий от состояния движения
наблюдателя. Но из преобразования (3.6) вытекает, что ут-
21.

верждение об одновременности событий, происшедших в
двух пространственно различных точках, может быть
истинным для одного наблюдателя и ложным — для
другого, т. е. что одновременность — понятие относительное,
зависящее от состояния движения наблюдателя.
Чтобы убедиться в этом, удобно представить
соотношение (3.6) с помощью диаграммы, показанной на рис.3.
Координаты у, ζ на этом рисунке не показаны. По оси
абсцисс отложена координата ху а по ортогональной к ней
оси ординат — координата ct. Вместо времени t взята
величина ct, чтобы сделать размерности на обеих осях оди-
Рис. 3
наковыми. Точка в плоскости рисунка означает событие,
происшедшее в некоторый момент в некотором месте.
В теории относительности временные и. пространственные
координаты объединяют, говоря о пространстве—времени,
или о мире. Событие происходит в некоторой точке
пространства—времени. Ее называют
пространственно-временной или мировой точкой. Если событие длится
некоторое время, ему соответствует пространственно-временная
кривая. Ее называют мировой линией. Так как мы
опустили координаты у и ζ, то в нашем случае мировые точки
и мировые линии суть точки и линии на плоскости рис. 3.
Чтобы найти координаты произвольной пространственно-
временной точки в системе отсчета 5, через эту точку на
рис. 3 нужно провести прямые, параллельные осям орди-
22

нат и абсцисс, до пересечения с осями и отсчитать по
осям расстояния до точек пересечения. Чтобы найти
координаты той же точки в системе отсчета S', прежде всего
нужно провести на рис. 3 координатные оси этой системы.
Ось х' выражается условием ί'=0. Согласно формулам
(3.6), это — прямая линия ct=$x. Аналогично ось ct'
удовлетворяет условию х'=0 и дается прямой линией
x=$ct. Обе эти оси показаны на рис. 3. Из приведенных
формул ясно, что наклон оси х' определяется условием
tg9=p. При возрастании скорости системы S'
относительно системы S угол θ тоже растет, и при v->c он
приближается к пределу 9-^45°. В этом пределе оси ct' и х'
совпадают.
Пусть два события Ρ и Q одновременны в системе
отсчета S. Будем считать, что они произошли в момент t в
пространственных точках х=а и х=Ь. Совокупность
пространственных координат и времени называют мировыми
координатами, пространственно-временными
координатами или просто координатами события. Таким образом, в
системе отсчета 5 пространственно-временные координаты
событий Ρ и Q суть соответственно (t, а) и (t, b). Эти же
события в системе отсчета S' имеют координаты (t'Pf x'=
=а')> (*'<}> x'=b'). Подставляя в формулы (3.6)
координаты точек Ρ и Q, получаем
ct'p = (ct - M/VT^W; ct'Q = (ct - β&ν/ΓΓβ^
откуда
t'Q — t'P = (a — b) №νΤ=ψ.
Если а>Ь, то tQ >tp. Значит, в системе S' событие Q
происходит позже события Р. Это ясно с первого взгляда
на рис. 3.
Ь) Лоренцево сокращение. Пусть на оси х' в системе
отсчета S' расположен неподвижный масштаб. На рис. 4
его концы обозначены буквами Л, В; ^-координаты точек
Л и β в системе S' равны соответственно а' и Ь', а длина
масштаба в S' равна 10=а'—Ь'. В системе отсчета S этот
масштаб движется со скоростью ν в положительном
направлении оси х. Поэтому для измерения его длины в
системе 5 надо определить х-координаты точек Л, β в
какой-либо произвольный момент времени t. Пусть xA(t) =
=a, xB(t)=b. Длина масштаба / в системе отсчета S
будет 1=а—Ь. Подставляя'во вторую из формул (3.6)
координаты точек Л, β в один и тот же момент времени,
получаем
23

о! = (α — Όή/γΊ—p ; V = φ — vt)l/\ — β2,
откуда
т. е.
lQ = af-V = (a-b)l\f\-$\
Это — лоренцево сокращение длины.
Рис. 4
с) Замедление скорости хода движущихся часов. Пусть
часы Wi и W2 покоятся соответственно в начале
координат О системы отсчета 5 и начале координат О' системы
отсчета S' (рис. 5). Предположим, что момент времени
Рис, 5
t=0 по часам Wi соответствует моменту времени t'=0
по часам W2, и пусть в этот момент времени положения
часов О. и О' совпадают. В момент / по часам W{ #-коор-
24

дината часов W2 (т. е. начала отсчета О') равна vt. В
системе отсчета S' в этот момент координаты часов W2 суть
(х'=0, ?), где V — время по часам W2. Определим связь
между t и V. Согласно первой из формул (3.6) получим,
что моменту t по часам Wi соответствует по часам W2
момент
f = [t — (v/c2) 3/]//ΰΓβΓ = t /γΐΖψ <t. (4.1)
Это — известный эффект «замедления скорости хода
часов».
Если часы W2 совершают неравномерное движение
вдоль оси χ по закону
то нужно рассуждать следующим образом. Пусть Δ/
достаточно мало. Тогда можно считать, что от момента t до
момента t+Δί часы W2 движутся с постоянной скоростью
v(t)=df(t)/dt. Следовательно, интервал времени от t до
t+Δί по часам Wi в системе отсчета S будет
соответствовать интервалу времени от f до t'+bt' по часам W2 в
системе отсчета 5', где, согласно формуле (4.1),
№ = Δ/ fl—(df/dt)2/c2. (4.2)
Интервалу времени от 0 до / по часам Wi соответствует
интервал времени от 0 до f по часам W2, где
о о
Если известна функция f(t), то можно определить связь
между f и t. Из формулы (4.2') очевидно, что при
произвольной функции f (t)
t'<t.
При выводе формул (4.2) и (4.2') принято допущение, что
ускорение часов W2 создается силой, отличающейся от
силы тяжести, т. е. принято, что ускорение само по себе не
влияет на скорость хода часов. В случае действия силы
тяжести скорость хода часов получает дополнительное
изменение. Этот вопрос рассмотрен в следующем пункте d.
d) Парадокс часов. Применяя вдумчиво и тонко
соотношения (4.1) и (4.2'), можно высказать различные
забавные парадоксы. Разговоры о теории относительности в
широкой публике в основном вращались вокруг таких
парадоксальных эпизодов.
25

Пусть в некоторый начальный момент времени
синхронизованные часы Wi и W2 находятся в начале координат
системы отсчета S. Предположим, что часы Wi покоятся
в S, а часы W2 совершают движение, показанное на
рис. 5: они ускоряются внешней силой до точки Р,
движутся со скоростью ν равномерно и прямолинейно от Ρ
до Q, тормозятся противоположно направленной внешней
силой до точки поворота R. Затем внешняя сила ускоряет
их в обратном направлении до точки Q, от Q они вновь
движутся равномерно и прямолинейно (налево) до точки
Р. Начиная с этой точки внешняя сила тормозит часы, и
они возвращаются в исходную точку О. При бесконечно
большой внешней силе время, необходимое для ускорения
часов W2 до скорости ν, равно нулю. Для остановки часов
W2, движущихся со скоростью г>, тоже потребуется нулевое
время. Тогда время, потраченное часами W2 на путешест-
пие туда и обратно, будет равно удвоенному времени
прохождения отрезка PQ с постоянной скоростью υ. Пусть
по часам Wi от момента отправления до момента
возвращения часов W2 прошло время 2ГЬ а по часам W2 — время
2Г2. Тогда, согласно формуле (4.1), с точки зрения
наблюдателя в системе отсчета 5
27\ = 27\ /H^~F < 27\. (4.3)
Рассмотрим теперь события с точки зрения
наблюдателя в системе отсчета S', движущегося вместе с часами
W2. Он видит, что часы W2 покоятся в начале координат,
а часы Wi совершают то же самое движение (с точностью
до замены левого на правое), какое совершали часы W2 в
системе отсчета 5. Поэтому, согласно той же формуле
(4.1),
27\ = 2Г2 /b^F < 2Г2. (4.3')
Когда оба наблюдателя встретятся, каждый из них будет
утверждать, что он моложе другого. Эту ситуацию
называют парадоксом часов.
В описанном случае часы W2 совершают ускоренное
движение в инерциальной системе отсчета.
Следовательно, связанная с ними система отсчета S' неинерциальна, и
парадокс можно было бы объяснить замечанием, что при
наблюдении явлений природы из системы S' нельзя
пользоваться формулой (4.1). Но при бесконечно большой
внешней силе время ускоренного движения часов W2
бесконечно мало. А по отрезку PQ они движутся вперед и
назад с постоянной скоростью (на этом участке движения
26

система S' тоже инерциальна). Следовательно,
утверждение (4.3/) верно, и противоречие с формулой (4.3)
остается необъясненным.
Чтобы выяснить, в чем тут дело, рассмотрим рис. 6. На
этом рисунке участок ОР ускоренного движения часов W2
не показан. При движении часов W2 со скоростью ν от
Рис. 6
точки 0( = Р) до точки Q система отсчета S'
инерциальна, и с точки зрения находящегося в ней наблюдателя,
события, одновременные с приходом часов 1^2 в точку Q,
лежат на прямой DQ. Пусть стрелка часов Wi в момент
прихода часов W2 в точку Q показывает время t\. Тогда,
согласно формуле (4.1),
^ = Т2/Т=р. (4.4)
27

Так как система 3 инерциальна, то справедливо
соотношение (4.3), пользуясь которым, приводим формулу (4.4)
к виду
Ί = 7\(1-β2). (4.4')
На рис. 6 величина Тх изображена отрезком ОА, а
величина t\ — отрезком OD.
Рассмотрим теперь возвращение часов W2. Инерциаль-
ную систему отсчета, в которой часы W2 покоятся на
обратном пути, обозначим символом S", чтобы подчеркнуть
ее отличие от инерциальной системы S'. В момент, когда
часы W2 находятся в исходной точке Q' участка их
равномерного и прямолинейного движения, наблюдатель в
системе отсчета S" увидит, что часы Wi показывают время,
отмечаемое точкой \D' на оси ct рис. 6. Следовательно,
пока часы W2 переходили из системы отсчета S' в систему
отсчета S", стрелка на часах Wi прошла отрезок UD'.
В пределе бесконечно большой внешней силы, изменяющей
направление движения часов на противоположное, отрезок
QQ' стягивается в точку, но отрезок DD' не стремится к
нулю, если угол θ наклона осей х' и χ" ^θ = β) остается
постоянным. Итак, в пределе бесконечно большой силы
стрелка часов W2 проходит бесконечно малое расстояние
QQ', а стрелка часов Wi — конечный отрезок DW. Из
рис. 6 ясно, что в пределе QQ'-+Q длина отрезка АА'
стремится к нулю, а длина DD' стремится к пределу
lim — Ш = — Ш = — AQtgQ = 2^Tx.
QQ'^0 С С С
Следовательно, наблюдатель, движущийся вместе с
часами W2, увидит, что за все время движения от точки 0 = Р
до точки Р' стрелка часов Wi пробежала интервал
— {OD + Ш + ИГ'} = 27\ (1 — β2) -f 2β27\ = 2TV
с
В формуле (4.3') не учтена величина DD\ поэтому в ее
левой части должно стоять не 2ГЬ a 2t{ (4.4).
Но почему оказалось, что для наблюдателя в системе
отсчета ,5 (часы Wi) поворот часов W2 при их ускоренном
движении под действием бесконечно большой внешней
силы произошел за нулевое время, а для наблюдателя,
движущегося вместе с часами W2, поворот часов ,Wi, идущий,
с его точки зрения, с тем же по величине ускорением,
произошел за конечное время 2β2Γ1? Для ответа на этот воп-
28

рос нужно привлечь общую теорию относительности.
Говоря проще, в инерциальной системе покоя часов Wi
внешняя сила, действующая на часы W2, отличается от
силы тяжести. Это может быть, например,
электростатическая сила или сила упругости пружины. Ускорение,
сообщаемое такой силой, не влияет на скорость хода часов
(об этом мы уже упоминали выше, в пункте с).
По-другому обстоит дело, если движение часов Wi рассмотреть из
системы покоя часов W2. Пока на часы W2 действует
внешняя сила, система покоя этих часов неинерциальна. С
точки зрения общей теории относительности это значит, что
в окружающем часы W2 пространстве создано
гравитационное поле, под действием которого движение часов Wi
замедляется и они поворачивают назад. Сила тяготения
компенсирует внешнюю силу, действующую на часы W2,
поэтому в своей системе покоя они неподвижны. Согласно
общей теории относительности, появление гравитационного
поля изменяет геометрию пространства — времени, в
частности, там, где существует сила тяжести, ход часов
замедляется. Это — важнейшая отличительная особенность
действия силы тяготения. Рассмотрим количественные
соотношения, вытекающие из общей теории относительности.
Доказательство используемых здесь формул общей теории
относительности будет дано ниже, в § 35.
Сначала станем на точку зрения наблюдателя,
покоящегося в инерциальной системе отсчета 5. Пусть при
движении из точки Q (см. рис. 5) в точку R и обратно в
точку Q часы W2 имеют постоянное, направленное влево
ускорение а. Рассмотрим это движение, пользуясь рис. 6.
Будем считать, что время, затраченное часами W2 на
прохождение отрезка траектории Q->~/?-^Q', по часам Wi
равно АТ{(=АА'/с), а по часам W2 равно ΔΤ2 ( = QQ7^)·
Между ΔΓι, а и ν имеет место соотношение
Ό + (—α) Δ7\ = —υ, τ. е. 2υ = αΔ7\. (4.5)
Далее, согласно формуле (4.2/),
АТ'~IVΤ^^«-δλ(1--Ε.+ . . .).
о
(4.6)
Переходя в формуле (4.5) к пределу а-^оо при
постоянном υ, получаем ΔΓι-^O. Тогда из формулы (4.6) следует,
что АТ2-+0,
29

Рассмотрим теперь Тот же Процесс с точки зрения
наблюдателя, движущегося вместе с часами W2. Когда
стрелка часов W2 отмечает показанный на рис. 6 момент
времени Г2, стрелка часов Wi находится на отметке D.
Начиная с этого момента часы Wi движутся с постоянным
ускорением по мировой линии D-+B^~D' под действием
внешней силы инерции, возникающей из-за того, что
наблюдатель W2 совершает ускоренное движение
относительно инерциальной системы отсчета 5. Но в общей
теории относительности считают, что поле сил инерции
неотличимо от гравитационного поля, существующего вокруг
наблюдателя W2. Наблюдатель W2 воспринимает
ускоренное движение часов Wi как свободное падение тела
(начальная скорость которого равна υ и направлена влево)
в постоянном поле тяжести (ускорение силы тяжести
этого поля направлено вправо и равно а). При расчете
будем удерживать члены низшего порядка малости по β,
полностью пренебрегая релятивистскими поправками
более высокого порядка малости. Согласно общей теории
относительности, потенциал гравитационного поля влияет на
скорость хода часов. Пусть часы Wi и W2, покоящиеся в
точках Pi и Р2, отмерили интервалы времени Δτι и Δτ2.
Если ньютоновский потенциал всемирного тяготения в
точках Pi и Р2 равен φ(1) и φ (2), то, согласно доказанной
в гл. 8 формуле (35.5), имеет место соотношение
\х?г -^{φθ)-φ(2)}. (4.7)
Пусть ускорение а бесконечно возрастает. Выше мы уже
отметили, что при этом АА'/с=АТ\-+0. Следовательно, с
точки зрения наблюдателя Wi пространственное смещение
часов W2 под действием внешней силы, равное QR&
«αΔ7Ί/2, тоже стремится к нулю. Короче говоря, с точки
зрения наблюдателя Wi в этот интервал цремени часы W2
стоят на месте. И обратно, с точки зрения наблюдателя
W2, в пределе а-+оо часы Wi покоятся в течение всего
времени, пока наблюдатель W2 переходит из инерциальной
системы отсчета S' в инерциальную систему отсчета S",
т. е. в течение времени, пока на часы Wi действует
гравитационное поле. Расстояние между наблюдателями Wi и
W2 равно при этом υΤ\. Следовательно,
φ(ί)-φ(2) = ανΤ1>0.
Интервалы времени Δτ2 и Δτι, входящие в формулу (4.7),
в нашей задаче соответствуют показанным на рис. 6 ве-
30

личинам QQ7^=Ar2 и DD'jc. С учетом формулы (4.6)
имеем ΔΓ2»Δ7Υ Пользуясь, кроме того, формулой (4.5),
перепишем соотношение (4.7) в виде
DD/c = Ахг = ΔΓ2 {1 + О/с2) αυΤχ) « Δ7\ + 2β27\.
В пределе α->οο имеем ΔΓι->0 и ΔΓ2->0, а Δτι стремится
к пределу
Δτχ = DD'/c =2β27\.
Строгий расчет с использованием общей теории
относительности подтверждает приведенные здесь
иллюстративные вычисления.
И наконец, последний вопрос. С точки зрения
наблюдателя W2, гравитационное поле в течение короткого
времени возникает также в момент выхода часов Wi из точки
О и в момент их возвращения в точку О. Верно ли мы
поступили, пренебрегая замедлением хода часов в этом
гравитационном поле? Оказывается, да. Разумеется, ход
времени под действием гравитационного поля изменяется
и в этом случае. Но разность показаний часов Wi и W2
пропорциональна <р(1)—φ (2). Когда Wi и W2
одновременно находятся в точке О, φ(ί)—φ(2)= 0, поэтому часы
показывают одно и то же время.
В рассмотренной задаче часы можно
персонифицировать, заменив их близнецами. Тогда эту задачу называют
парадоксом близнецов.
е) Подготовка систем отсчета. В пункте а) мы
обсуждали проблему одновременности событий, случившихся в
пространственно-различных точках. Но для выяснения
этого вопроса нужно предварительно установить во всех
точках пространства — времени синхронизованные часы.
В пункте Ь) мы рассматривали вопрос о длине тела. Для
решения его нужйо заранее во всех точках системы
отсчета ввести пространственные координаты. Отсюда ясно,
что система отсчета может эффективно исполнять свою
роль и быть полезной только в том случае, если ее
предварительно подготовить к работе. Обсудим методы такой
подготовки.
Будем пользоваться световыми часами Эйнштейна. Они
состоят из двух параллельных зеркал, укрепленных на
определенном расстоянии друг от друга. Единицей
времени служит время, затрачиваемое светом на
прохождение расстояния между зеркалами один раз туда и обратно.
Подготовим систему координат, покоящуюся
относительно наблюдателя Л, Будем считать, что гравитацион-
31

ное поле отсутствует. В противном случае свойства
пространства—времени изменятся и наши рассуждения нужно
будет пересмотреть. Разместим в каждой точке
пространства световые часы и займемся регулировкой скорости их
хода (добьемся, чтобы скорость хода любых часов
совпадала со скоростью хода контрольных часов
наблюдателя Л) и их синхронизацией. Перемещать контрольные
часы для этой цели нельзя (об этом мы уже говорили в
пункте с), так как скорость их хода замедляется при
перемещении. Мы должны пользоваться световыми
сигналами. Чтобы сделать одинаковым темп отсчета времени у
контрольных часов W0 наблюдателя А и часов Wi,
находящихся в некоторой другой точке Р, будем посылать из
точки А один раз в единицу времени световой импульс.
Скорость приема этих импульсов по часам Wi тоже должна
быть равна одному импульсу в единицу времени. Если
это не так, нужно изменить расстояние между
зеркалами.
Для синхронизации часов W0 и Wi применим
следующую процедуру. В момент t{ (по часам Wo) наблюдатель
А посылает в направлении Ρ вспышку света. Пусть время
приема этой вспышки в точке Ρ будет /' (по часам Wi).
Наблюдатель в точке Ρ отражает свет, отправляя его
немедленно назад в А. Будем считать, что свет вернулся в
точку Л в момент t2 (по часам Wo). Тогда момент
прихода света в точку Ρ по часам W0 будет (ίι + ^)/2, и
наблюдателю в точке Ρ надо рекомендовать, чтобы его часы Wi
в момент посылки сигнала из точки А показывали время
{t\ + h)№—V. Тогда с точки зрения наблюдателя А все
часы системы отсчета будут синхронизированы
(отрегулированы на одно и то \же время).
Ортогональные координаты обычно вводят с помощью
триангуляции. При этом исходят из справедливости
евклидовой геометрии и выполняют совместные измерения
углов и расстояний. Согласно триангуляционным теоремам,
измерение углов сводится к измерению расстояний между
парами точек. В теории относительности, однако,
принципиально невозможно существование твердых тел, а
следовательно, нельзя пользоваться твердыми масштабами.
Расстояние между двумя точками в теории
относительности определяют как умноженное на с время прохождения
света между ними. Поэтому наиболее важны измерения
момента отправки светового сигнала из пространственной
точки и момента его прихода. Точное измерение
расстояния этим методом основано на предположении о
возможности сколь угодно точного измерения момента совпаде-
32

ния фотона с заранее указанной пространственной точкой.
На том же предположении основан описанный выше метод
синхронизации часов. Если это важное предположение
допустимо, то в каждой точке можно ввести прямоугольные
координаты.
Обсудим теперь vctpohctbo инепциальной системы
отсчета, связанной с наблюдателем Вх движущимся
относительно наблюдателя А с постоянной скоростью υ. Скорость
эту изменить легко, способ ее измерения в пояснениях не
нуждается. Наблюдатель В должен пользоваться теми же
единицами длины и времени, какими пользуется
наблюдатель А.
Рассмотрим сначала способ согласования единиц
длины. В системе наблюдателя А укрепим масштаб, длина
которого в 1/yi—β^ раз больше единииы длины
наблюдателя А. Масштаб ^тот ориентирам вдоль вектора скорости
наблюдателя В. Наблюдатель В в некоторый момент по
своим часам должен приложить к обоим кониам нашего
масштаба евпй масштаб, покоящийся в его системе
отсчета. Измеренное им расстояние между концами нашего
масштаба и будет единицей длины, используемой
наблюдателем А,
Рассмотрим теперь согласование единиц времени. Пусть
расстояние между зеркалами световых часов наблюдателя
А, в его единицах длины, равно d. Наблюдатель В в
своих световых часах должен установить расстояние между
зеркалами, равное d в единицах длины, об измерении
которых мы только что говорили. Тогда наблюдатели В к А
будут иметь часы, идущие с одинаковой скоростью. После
этого систему наблюдателя В нужно подготовить к работе.
Действовать при этом нужно так же, как при подготовке
системы отсчета наблюдателя А (см. выше).
f) Закон изменения частоты и длины волны света.
Синусоидальная волна, имеющая амплитуду Л, частоту ν и
длину волны λ, выражается формулой
A sin 2π (ηχ/λ — vf+ α),
где η — единичный вектор в направлении распространения
волны, α — постоянная, называемая фазой. Событие,
состоящее в том, что волна имеет пучность или узел, не
зависит от того, из какой системы отсчета волну наблюдать.
Следовательно, имеет место соотношение
ηχ/λ1— vt = nVA' — νΤ, (4.8)
де ν', λ\ η' — частота, длина волны и единичный вектор
Зэк. 2035 33

в направлении распространения волны в системе отсчета
S'. Пользуясь волновыми векторами
к = пД, к'=п'Д',
соотношение (4.8) можно переписать в виде
кх — v/ = k'x' — ν'/'. (4.8')
Подставляя в левую часть этого равенства формулу (3.6')
и сравнивая коэффициенты при χ', t\ получаем
v-^ k'x=kx-(v/c>)v k· . k■ k (4fl)
Применим соотношение (4.9) к свету,
распространяющемуся g вакууме. Пусть источник света покоится в
плоскости ху системы отсчета 5. Рассмотрим волну,
распространяющуюся в плоскости ху (под углом θ к оси х. В
системе S' направление распространения этой волны будет
иметь угол Θ' с осью х'. Учтем, что для света λν = α Тогда
формулы (4.9) примут вид
, 1 — β COS θ , Λ, ь COS θ — β / · л/ · л
ν'=ν—_ , ν'cos θ' = ν -==-, ν'sin θ'= ν sin θ,
/Ί —β2 ' /1 —β2
(4.10)
откуда
tg9' = sine/r^pVicos θ — β). (4.10')
Или, в другой форме,
tg(θ'/2) = tg(θ/2) /(1 + β)/(1-β) ,
Первая из формул (4.10) выражает эффект Доплера,
В теории относительности нет различия между случаем,
когда источник света покоится, а наблюдатель движется
со скоростью ν, и случаем, когда наблюдатель покоится,
а источник движется со скоростью —v. А в классической
теории соотношение между частотой ν, измеренной
наблюдателем, движущимся вместе с источником света, и
частотой ν', измеренной наблюдателем, относительно которого
источник движется, различно для двух случаев, указанных
выше. И разумеется, в классической теории ни одно из
соотношений не совпадает с первой формулой (4.10). Но
если при малых β пренебречь членами, порядок малости
которых выше β2, то формулы для всех трех случаев
совпадут.
Особенно интересен так называемый поперечный
эффект Доплера, описываемый формулами (4.10). Пусть в
34

системе отсчета S' направление распространения света
перпендикулярно оси х\ т. е. θ' = 90°. Такое положение
может возникнуть, например, в тот момент, когда источник
света, движущийся по прямой */'=const<0, г'=0 со
скоростью υ, антипараллельной оси х\ пересекает ось у\
если при этом наблюдатель находится в начале координат
системы S'. Согласно второй из формул (4.10), в этом
случае cos θ = β. Подставляя значение cos θ в первую
формулу (4.10), получаем
ν' = v/u^fF.
Иными словами, частота света, излучаемого движущимся
источником в направлении, перпендикулярном скорости
движения, сдвинута в красную сторону по сравнению с
частотой света от неподвижного источника. С точки зрения
классической теории поперечного эффекта Доплера быть
не должно. Этот эффект можно использовать для
экспериментальной проверки теории относительности.
g) Закон сложения скоростей. В классической
механике связь между координатами инерциальных систем
отсчета 5 и S' выражается формулой (1.1) (преобразование
Галилея). Закон сложения скоростей, выводимый из
преобразования Галилея, дается формулой (1.2). Если
скорость dx'ldt в системе отсчета S' равна с, то, согласно
формуле (1.2), скорость в системе отсчета S будет dx/dt=
= c + v. Это означало бы, что вывод электродинамики о
значении скорости света не справедлив в системе
отсчета S.
Закон сложения скоростей в теории относительности не
имеет простой формы (1.2). Пусть в системе отсчета S'
материальная точка совершает движение:
*' = *'(*'); y' = y'(tf)\ z' = z'(t'). (4.11)
Для ее скорости в системе *S' имеем
* dt' у dt' z dt'
"' = K(«;)2+(»;)2+(«;)2.
Пусть это же движение в системе 5 описывается
формулами:
dx(t) a dy(t) dz(t)
их = w = и cos θ; ии = * w ; иг = ——;
* dt y dt z dt
" = /("Л2 + Ю2+Ыа.
35

Сравним написанные выражения. Из формул (3.6)
выводим
dx= dx'+vdt' ; dy = dy'; dz = dz'; Л = " + «"*>* ,
у· 1 _ (J2 » *' У 1 — β2
Деля первое, второе и третье равенства на четвертое,
получаем
"* = Τ,—:—ί uv = , ,—Г; "»=
1 + («>/<*) 1 + (u'xv/c*) 1 + (u'xv/_c*)
(4.12)
Для и имеем
и = Κ*Ύ + ν* + 2»'v cos θ- - j(u'v sin У)/с}Ч1/я /4 13)
1 + (u'v cos G'/c2) * '
Это выражение можно переписать в виде
i/l_fJL\2 = Vi-W№ /i-№* ί4 13/ν
У \ с J 1 + (и'υ cos θ'/c2) * '
Далее, для угла θ справедливо соотношение
tgQ = u' sine71/1— Ρ2 /(α7 cos θ' + и). (4.14)
Для того чтобы, наоборот, выразить их\ иу\ ..., Θ' через
Ux, Uy, ..., й, надо в написанных формулах переставить
штрихи и заменить υ на —υ. Например, из формулы
(4.14) вытекает
tg6' =tfsin6/l— PKucosQ — υ). (4.14')
Из формулы (4.13/) ясно, что если \и'\<с, 1^1 <£,
то и для их суммы и имеет место \и\<с. Если какая-либо
из величин \и'\9 \υ\ равна с, то легко видеть, что и |и|=с.
Таким образом, хотя при сложении одинаково
направленных скоростей, меньших скорости света, сумма и
получается больше отдельных слагаемых, но она никогда не
превосходит с.
Предположим теперь, что (их\ иу\
^—составляющие скорости светового луча. Значит, и' = с. Согласно
формуле (4.13), в этом случае, разумеется, и=с. Из
формулы (4.14) вытекает тогда
tg θ = sin θ' j/b^F7(cos θ' + β), (4.15)
а из формулы (4.14')
tg6' = sin6 /r=^F7(cosu —β). (4.150
36

Формула (4.15/) совпадает с полученым ранее
соотношением (4.10'); (4.15) и (4.15')—релятивистские формулы
для аберрации света. Классическая формула получится,
если в числителе положить β2 = 0.
В качестве еще одного важного приложения формул
(4.12) рассмотрим вывод коэффициентов увеличения
Френеля. С точки зрения наблюдателя, покоящегося
относительно среды с коэффициентом преломления η (эту
систему отсчета назовем S'), свет в среде распространяется со
скоростью с/п, одинаковой по всем направлениям.
Рассмотрим распространение света в системе отсчета S. Для
простоты примем, что свет распространяется в
направлении, параллельном направлению движения системы
отсчета ίν относительно системы отсчета 5. Тогда
их = с[п\ и'у = и'г = 0; Θ' = 0.
Поэтому,' согласно формулам (4.12),
^//^^^ Λ _1\ (416)
До создания теории относительности считали, что свет
распространяется в гипотетической среде, называемой
эфиром. Полагали, что эта среда заполняет не только
вакуум, но и пропускающие свет среды, например воду
или стекло. В абсолютной системе отсчета эфир покоится,
а скорость света относительно эфира равна с. Если
прозрачное вещество, например стекло, движется в эфирном
море со скоростью ν, то возникает вопрос, какова
скорость света в стекле в направлении движения стекла?
Если пронизывающий стекло эфир прилипает к стеклу и
движется со скоростью υ, совпадающей со скоростью
стекла, то скорость распространения света относительно
абсолютной системы будет cjn+av (α — некоторое число,
меньшее единицы). Величина α выражает степень
увлечения эфира движущимся веществом, ее называли
коэффициентом увлечения Френеля. Известные опыты Физо с
текущей водой показали, что а=1—1//г2. Для объяснения
этого результата было предложено много классических
теорий, но все они очень сложны. По сравнению с ними
объяснение на основе теории относительности выглядит
очень просто, а кроме того, при релятивистском
объяснении не нужно, как это было необходимо в классических
объяснениях, вводить каких-либо специальных гипотез о
механизме преломления. Этим релятивистское объяснение
лучше классических.
37

Рассмотрим диспергирующую среду, в которой
показатель преломления зависит от частоты. Так как показатель
преломления в правой части формулы (4.16) определен в
системе отсчета S', эту формулу нужно записать в виде
их « с/п (ν') + υ{1 — Ι/η (ν')2}. (4.160
Фазовая скорость света в среде с показателем
преломления η (в системе S') равна v'X'=c/n. Пользуясь этим, а
также соотношением между частотами ν и v/ в системах
отсчета S и S', напишем с учетом первой из формул (4.9)
(ky'=kz' = 0):
ν = (ν' + Ok'xWl=W = ν' (1 + $η)!/Τ=ψΤ.
Пренебрегая членами порядка β2, получим
d
ν'« ν (1 — β/ι) = ν + Δν.
Поэтому
η (ν') ж η (ν) + Avdn/dv = η (ν) {1 — $vdn/dv}.
Подставляя полученный результат в первый член
формулы (4.160, находим
их = c/n(v)+v{l — l/n2 + (v/n) dn/dv}. (4.160
Здесь отброшены члены порядка малости ν2 и выше.
Формула (4.16,/) дает скорость распространения света в
диспергирующей среде с коэффициентом преломления п,
движущейся относительно наблюдателя S со скоростью v.
Правильность последнего слагаемого также
подтверждена экспериментально.
Замечание. В системе отсчета S имеет место соотноше-
d
ние K/ = c/v/n(v/))^f(v/). Его можно записать также в
виде v' = g(X'), где g— функция, обратная функции f. По-
d
этому, полагая n(v')=n{g(K')}=N(K'), формулу (4.16)
можно записать в виде
их = c/N (λ') + ό {1 — Ι/Ν (λΟ2}.
С другой стороны, пользуясь второй из формул (4.9) и
соотношением λ' = λ(1+β#), можно написать
Поэтому правая часть формулы (4.160 принимает вид
и,= _£- + *(1 ! ^Щ. (4.16-)
38

Если последний член формулы (4.16") переписать,
пользуясь величиной N, то это даст
«,--i- + ofi—L_ ±£L\
* η (ν) Ι я1 N d%\
На первый взгляд полученное выражение противоречит
формуле (4.16"'). В действительности же противоречия
d
нет. В самом деле, хотя η(ν')=Ν(λ')9 однако
η (ν) —Ν(λ) = βλ (1/λ — η) dN/dk.

Глава 2
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Выше мы уже отмечали, что преобразование
координат (3.6)—частный случай преобразования Лоренца. В
общем случае направление движения системы отсчета S'
относительно инерциальной системы отсчета 5 не
обязательно параллельно оси х, а декартовы оси
пространственных координат системы отсчета S' не параллельны осям
системы 5. Определим вид наиболее общего
преобразования Лоренца.
Введем ортогональные координаты (ty xy у, ζ),
отмечающие время и место некоторого произвольного события
Ρ в системе отсчета 5 (мировую точку). Ради удобства в
дальнейшем положение мировой точки будем отмечать
четверкой чисел χμ (μ = 0, 1, 2, 3),,где x°=ct, xl=xy x2 = y>
x3=z. Совокупность чисел (χ0, χ1, χ2, χ?) будем называть
четырехмерными координатами мировой точки Ρ или
просто ее координатами и в типичном случае будем писать
χμ или просто х. Индекс μ справа вверху над χ
различает временные и пространственные компоненты, и когда не
нужно знать, какая именно компонента имеется в виду, на
него можно не обращать внимания. Точно так же
совокупность чисел (х°'у л:1', х2\ χν) означает координаты
мировой точки Ρ в другой инерциальной системе отсчета Sf.
Если материальная точка движется равномерно и
прямолинейно в инерциальной системе отсчета 5, то, согласно
принципу относительности, ее движение будет
равномерным и прямолинейным также и в другой инерциальной
системе S'. Но одного этого требования еще недостаточно
для вывода, что координаты χ и хг точки Ρ связаны
линейным соотношением. Это будет так, если потребовать,
чтобы конечным значениям χ отвечали конечные значения
х'. Тогда соотношение между χ и хг будет линейной
формой. Наиболее общее соотношение, удовлетворяющее
указанным требованиям, имеет вид
χμ· = J <*VV + P, μ = 0, 1, 2, 3, (5.1)
v=0
40

где αμν—шестнадцать (=4-4) неизвестных постоянных,
не зависящих от х, а 6μ— четыре постоянные, равные
значениям χμ' в случае, когда х°, xit x2, хъ все одновременно
равны нулю, короче, это — координаты в системе S'
начала отсчета системы S (с учетом начала отсчета времени).
Если начала отсчета обеих систем совпадают, то 6μ = 0
(μ = 0, Ι, 2, 3). Примем следующее удобное соглашение.
Если в одном и том же члене какой-либо математической
формулы встретится пара совпадающих нижних и верхних
индексов, то по этим индексам будем подразумевать
суммирование от 0 до 3, а знак Σ писать не будем. Например,
формулы типа (5.1) при 6μ = 0 в дальнейшем будем писать
в виде
х*' = а\х*. (5.1')
Формула (5.1')—наиболее общее соотношение,
удовлетворяющее требованиям частного принципа
относительности. Чтобы его можно было назвать преобразованием
Лоренца, к нему нужно добавить условие, выражающее
принцип постоянства скорости света
— (*0)2 + 2 И2 = - (х°7 + У] (**')*· (5.2)
k=l k=l
Введем символы
ί Ι, μ = ν= 1,2,3;
%ν = Ήνμ = | 0, μ =^= ν;
( —1, μ = ν = 0.
С их помощью условие (5.2) можно представить в форме
η-χμ^ν = ημνΛ;μ'Λ;ν'. (5.2')
Равенство (5.2') справедливо при любом s2=£0, а не толь-
d
ко при условии 52ΞημνΛν =0, которое возникло у нас
просто, как исходный пункт наших рассмотрений. Это
утверждение мы уже разъясняли в связи с формулой (3.3).
Определим преобразование Лоренца в общем случае.
Пусть координаты произвольной мировой точки Ρ в
системах отсчета S и S' будут х* и #μ'. Если соотношение
между х* и χμ' удовлетворяет условиям (5. Г) и (5.2'J, то
преобразование χμ-κκμ/ называют преобразованием
Лоренца. Подставляя равенства (5.2') в правую часть
формулы (5.Г) и сравнивая коэффициенты при х, получаем
η = η др а° (5.3)
41

(не надо забывать, что здесь в правой части по индексам
ρ и σ подразумевается независимое суммирование от О
до 3). Данное выше определение можно сформулировать
также следующим образом: преобразование координат
χν·-+χ*' (5.Γ), в котором коэффициенты а%удовлетворяют
условиям (5.3), называют преобразованием Лоренца.
Преобразование координат, определенное не формулой
(5.Г), а формулой (5.1), в которой коэффициенты αμν
удовлетворяют соотношению (5.3), называют неоднородным
преобразованием Лоренца.
Соотношение (5.3) симметрично по индексам μ, ν.
Поэтому оно налагает на а^ десять ограничений. Таким
образом, хотя на первый взгляд в формуле (5. Г)
содержится шестнадцать полностью произвольных коэффициентов,
в действительности ввиду соотношения (5.3) свободно
выбрать можно только шесть (16—10) коэффициентов.
Эти шесть степеней свободы точно соответствуют степеням
свободы выбора системы отсчета S' относительно системы
5. В самом деле, мы уже отмечали, что требование t' = 0
при ^=0 означает, что в этот момент времени совпадают
начала отсчета систем 5 и S'. Ориентация оси ζ' системы
S' относительно системы 5 определяется двумя
параметрами. Когда ось ζ' задана, определяем перпендикулярную
ей плоскость х'у'. На этой плоскости через начало
0'( = 0) проводим ось х'. Для указания направления оси
хг нужно задать ее угол, например, с линией пересечения
плоскостей х'у' и ху (эта линия уже определена). Если
ось х' определена, то на плоскости х'у' ось у'
определяется автоматически, как ось, перпендикулярная оси х'.
Таким образом, положение осей х', у', ζ' определяется
тремя параметрами. Еще три параметра нужны для
задания скорости движения системы отсчета S' относительно
системы 5. Указанными шестью параметрами полностью
определяется ориентация осей и движение системы
отсчета S'. Эти шесть степеней свободы совпадают со
степенями свободы выбора коэффициентов αμν, о которых
говорилось выше.
Из сказанного ясно, что преобразований Лоренца
бесконечно много. Множество этих преобразований
обозначают символом оо6. Говоря математическим языком,
совокупность преобразований Лоренца образует группу. Это —
непрерывная группа, имеющая шесть непрерывных
степеней свободы. Единичным элементом рассматриваемой
группы является преобразование, в котором коэффициенты αμν
равны
42

ΙΟ, μ^ν,
т. е. тождественное преобразование
хм _+ х»> = χμ9
Преобразование, обратное преобразованию Лоренца
(5.Г), — тоже преобразование Лоренца. В самом деле,
ввиду условия (5.3) формулу (5. Г) можно разрешить
относительно xv:
Х* = Ь\х*\ (5.1")
Формула (5.1") не что иное, как переписанная по-другому
формула (5.Г). Поэтому координаты в формуле (5.1")
удовлетворяют соотношению (5.2'), откуда и вытекает, что
определенное формулой (5.Г') преобразование является
преобразованием Лоренца. Мы доказали тем самым, что
совокупность всех преобразований Лоренца образует
группу. Ее называют группой Лоренца. Группу образует
также совокупность всех преобразований вида (5.1). Ее
называют неоднородной группой Лоренца или группой
Пуанкаре. Эта группа получится, если к группе Лоренца
добавить преобразование сдвига начала отсчета
Так как оно зависит от четырех параметров, то группа
Пуанкаре — десятипараметрическая.
Определим нужное для дальнейшего соотношение
между коэффициентами αμν и Ь\ прямого и обратного
преобразования Лоренца.
Определим сначала 4Х4-матрицу А, элементами
которой являются числа αμν:
d
(Α)μν = α ν.
Аналогично определим элементы (Υ)μν матрицы Υ:
d
(Υ)μν = ημν·
Для транспонированной к А матрицы Ат, получаемой из
А заменой строк столбцами и наоборот, имеем
(Α ^μν = (Α)νμ = Αμ;
В матричных обозначениях соотношение (5.3)
перепишется в виде
(Υ)μν = (ΑτΥΑ)μν. (5.4)
43

Перейдем в обеих сторонах равенства к детерминантам:
det (Υ) = det (ATYA) = det (AT) det (Y) det (A).
Принимая во внимание, что
det (AT) = det (A), det (Y) = — 1,
получим
det(A) = ±l. (5.5)
Следовательно, уравнение (5.1) можно разрешить
относительно a:v.
Матрица Υ-1, обратная матрице Υ, определена
формулами
(Υ"%ν =
1, μ = ν = 1, 2, 3;
О, μφν;
— lf μ = ν = 0.
Введем новый символ
d
1, μ = ν=1, 2, 3;
0, μ=£ν; (5.6)
1 —1, μ = ν = 0.
это определение полностью совпадает с определением
величин ημν, но величины ημν и ημν имеют разный смысл.
Их различают по расположению индексов: вверху или
внизу. С учетом определения (5.6) определение матрицы Υ-1
принимает вид
(γ-')μν4η*ν.
Пользуясь им, выводим из формулы (5.4)
1 = Y-!ATYA,
где 1—единичная 4Х4-матрица. Последнее соотношение
можно также записать в виде
.6% = η^αρληρσασν. (5.7)
С другой стороны, подставляя в правую часть формулы
(5.Г') выражение (5.Г) вместо χμ', придем к формуле
6% = Ъ\а\. (5.8)
Сравнивая формулы (5.7) и (5.8), получим
ра = ημνληρσ, (5.9)
44

Для упрощения символики запишем правую часть
последнего равенства в виде
ησραρληλμ4αΑ (5.10)
Обратим внимание, что определенная формулой (5.10)
величина а ^отличается от а\ расположением индексов.
Говорят, что нижний индекс σ величины af получается
опусканием с помощью тензора ησρ верхнего индекса ρ
величины αρλ, а верхний индекс μ величины ασΜ получается
подниманием нижнего индекса λ величины а\ с помощью
тензора ηλ^. Вспоминая определения тензоров ημν» ημν,
связь между величинами αμν и αμν можно выразить
следующим образом: если μ, ν — какие-либо из чисел 1, 2, 3
или если μ = ν = 0, то
^ ~ ν
й ν = βμ .
Если же & — какое-либо из чисел 1, 2, 3, a v=0, то
Запишем преобразование (5.1"), обратное (5.Г), пользуясь
новыми обозначениями
χν = α^χ»\ (5.1'")
Подставляя формулу (5.1 Г") в правую часть формулы
(5.1') и сравнивая коэффициенты при *р', получаем
f№ ЛМ- ~ ν Λμ ^ „λ σν
о ρ = α ναρ = α ν^ρλ^ση
Умножая обе части этого равенства на ητρ и суммируя
по р, приходим к формуле, аналогичной формуле (5.3):
ητμ = αμ^ησν# (5.11)
В заключение параграфа приведем еще одно
соотношение, вытекающее из формулы (5.3). Полагая в (5.3) μ =
=ν=0, получим
-i-W + gW,
т. е.
Следовательно, либо а°0^1, либо 0°Ο^Ξ—1· Поэтому
преобразования Лоренца разбиваются на четыре класса в
45

зависимости от того, будет ли det(A) = ±l и а°^ + 1 или
а°0^—1. Тождественное преобразование и частный
случай преобразования Лоренца (3.6) принадлежат классу
det(A) = 1, α°ο^ + 1. Принадлежащие этому классу
преобразования Лоренца называют собственными.
§ 6. ПРОСТРАНСТВО МИНКОВСКОГО,
МНИМОЕ ВРЕМЯ
Рассмотрим поворот осей прямоугольной системы
координат К в 3-мерном евклидовом пространстве.
Положение произвольной точки пространства Ρ указывается
прямоугольными координатами Х\=х, Х2=У, Хз=г (в системе
К). Пусть координаты этой точки Ρ в другой
прямоугольной системе координат К' (начало отсчета К' совпадает с
началом отсчета К) будут Хк (k=l, 2, 3). Тогда Хк и Хь
связаны линейным соотношением
где cut — коэффициенты, зависящие от относительного
расположения осей обеих систем координат. Они
удовлетворяют условию
gw»-<u-{J; :;* ад
где бы — символы Кронекера. Формула (6.2) выражает
условие того, что системы К и К' связаны друг с другом
поворотом осей. Оно выводится из требования, чтобы
расстояние от начала отсчета О до точки Ρ (его квадрат)
было инвариантно относительно поворота осей, т. е. путем
подстановки формулы (6.1) в тождество
23 β«*ί*ί = Σ β«*Λ' (6·3)
Сравнивая написанные формулы с формулами
предыдущего параграфа, замечаем соответствие соотношений
(5.Г), (5.20 и (5.3) соотношениям (6.1), (6.3) и (6.2).
Эти соотношения отличаются тем, что в § 5 индексы
принимают значения 0, 1, 2, 3, а в § 6—1, 2, 3, и тем, что
расстояние QP в формуле (6.3) выражается суммой
46

а «расстояние» в формуле (5.2') —суммой
-(х°)2+ (χγ+ (х2)2+ (х*)*.
Следовательно, введенное в § 5 4-мерное пространство —
время (мир) по своим геометрическим свойствам сильно
напоминает 4-мерное евклидово пространство,
существенно отличаясь от него, однако, тем, что в формуле для
расстояния появляется член —(х0)2. Такое пространство
называют псевдоевклидовым или, в честь его
исследователя, пространством Минковского.
Чтобы сделать более ясной аналогию между
евклидовым и псевдоевклидовым пространством, целесообразно в
качестве временной координаты 4-мерного пространства—
времени использовать не x°=ct, а так называемое мнимое
время
x* = ict = \χ\ (6.4)
Тогда для квадрата расстояния s2 между началом
координат и мировой точкой Ρ в 4-мерном пространстве —
времени получится формула
μ=1 μ,ν=1
внешне полностью совпадающая с определением
расстояния в 4-мерном евклидовом пространстве. Но так как хА—
мнимое число, то значения s2 не обязательно
положительны, возможны также значения 52^0. С формальной
стороны, преобразование Лоренца (5.1) оказывается
записанным точно так же, как поворот осей в евклидовом
пространстве. Но оно отличается от настоящего поворота
тем, что углы поворота мнимые.
В качестве иллюстрации запишем с помощью мнимого
времени частный случай преобразования Лоренца (3.6):
х*' = x1ch<p —x°sh(p, х0' = x°ch(p — ^shqp.
Здесь
chq>=l//T=F; sh<p = p/}/u^\
Представим теперь вещественное число φ в виде φ=*ίΦ
(Φ —чисто мнимое число). Так как
ch φ = cos Φ; sh φ = i sin Φ,
то формулы (3.6) принимают вид
я1' = xxcos Φ — **sin Φ; χ4' = #'sin Φ +x*cos Φ. (6.5)
Это — формулы поворота осей на мнимый угол Φ.
47

Принцип относительности утверждает, что в любых
инерциальных системах отсчета, связанных между собой
преооразованием Лоренца, физические законы можно
записать в одинаковой форме. Для того чтобы можно было
с первого взгляда решить, удовлетворяет ли физический
закон требованию принципа относительности, все
физические законы нужно записывать в форме, инвариантной
относительно преобразования Лоренца. Рассмотрим законы
ньютоновской механики. Пусть масса материальной
точки— т, прямоугольные координаты, указывающие ее
положение (в системе /С), — Хи, k=l, 2, 3, а декартовы
компоненты действующей на нее внешней силы — fhi k=l, 2,3.
Тогда закон движения материальной точки примет вид
mcPXb/dt2 = fk> k= 1, 2, 3. (6,6)
В другой декартовой системе координат К! этот закон
имеет вид
тсРх^Ш2 = /;, ft=lf 2, 3, (6.60
где Хи\ fh —компоненты в системе /('. Если уравнение
(6.6) верно, то, какова бы ни была декартова система
координат К', в ней будет иметь место закон (6.6'),
записанный в форме, совпадающей с формой закона (6.6).
Для доказательства достаточно заметить, что соотношение
между компонентами fh и /У имеет*, тот же вид, что и
соотношение между координатами хь, и Хи (6.1), т. е. что
n = ^cjt. (6.7)
В самом деле, если в произвольной декартовой системе
координат К имеет место формула (6.6), то это значит,
что в любой другой декартовой системе координат
рассматриваемый закон записывается в той же самой форме.
И обратно, если закон всегда может быть записан в форме
(6.6), то компоненты силы fh должны преобразовываться
по правилу (6.7). Вообще величины, преобразующиеся при
преобразовании координат (6.1) так же, как Хи
(например, tk), называют векторами. Следовательно, если не
только механические, но и любые физические законы
записать с помощью векторов, то будет непосредственно
видно, что их форма не зависит от выбора системы
координат. Применение векторного исчисления, как мощного
метода представления величин в механике и
электродинамике, основано на этом обстоятельстве.
48

Образцом решения этой задачи для нас может
послужить рассмотренное только что векторное исчисление,
если взглянуть на преобразование Лоренца как на поворот
в пространстве Минковского на мнимые углы. Нам
нужно, обобщая векторное исчисление в 3-мерном евклидовом
пространстве, построить аналогичное исчисление для
4-мерного псевдоевклидового пространства. Такое
исчисление называют тензорным, и в дальнейшем мы потратим
некоторое время на его изучение. Цель векторного
исчисления в 3-мерном пространстве — записать законы в
форме, независимой от выбора прямоугольной системы
отсчета. Но представление векторов через компоненты
противоречит этому замыслу, так как конкретный вид компонент
изменяется в зависимости от выбора системы координат.
Более удачно представление, при котором пользуются не
компонентами, а векторными символами. Например,
уравнение (6.6) можно записать в виде
md?x/dt2 = i. (6,8)
Это представление не зависит от выбора системы
координат, а кроме того, по-настоящему удобно. Желательно
было бы придумать аналогичный метод представления
также и для псевдоевклидова пространства. Проблема,
однако, состоит в том, что физические величины бывают
не только векторной, но и тензорной природы (понятие
тензора обобщает понятие вектора). При последовательном
применении символического способа представления,
подобного представлению (6.8), придется вводить один за
другим все новые символы. В итоге символический метод
окажется еще более неудобным, чем метод с
использованием компонент. Поэтому в рассмотренном ниже
тензорном исчислении мы будем представлять физические
величины с помощью их компонент в некоторой системе
отсчета.
И последнее: в настоящей книге мы не будем
пользоваться мнимым временем. Кажущееся удобство его
применения связано с формальной аналогией получающихся
формул с формулами в евклидовом пространстве. В
действительности же применение мнимого времени лишь
затрудняет вычисления, так как приходится оперировать
формально комплексными величинами (которые в
действительности вещественны). Кроме того, пользоваться
вещественным временем удобнее ввиду связи с общей
теорией относительности. Итак, ниже мы всюду будем
пользоваться обозначениями x°=ct, xi=x, х2=у, xz=z, a
индексы всегда будут принимать значения 0, 1, 2, 3.
49

§ 7. СКАЛЯРЫ, ВЕКТОРЫ, ТЕНЗОРЫ
Примем, что координаты мировой точки Ρ в системах
отсчета 5 и S' равны соответственно χμ и χμ'. Между
ними имеет место линейное соотношение
χμ' = αμν*ν + 6μ, (7.1)
коэффициенты которого удовлетворяют условию
V = VVv. (7·2>
необходимому для того, чтобы формула (7.1) выражала
неоднородное преобразование Лоренца.
Пусть значения некоторой физической величины в
системах отсчета 5 и S' будут С и С Если
[С = С,
то С называют скаляром. Пусть, далее, в заданной
области 4-мерного пространства — времени распределена
некоторая физическая величина и пусть в системах отсчета
d
5 и S' ее значения выражаются функциями Θ(χ)=Θ(χ°,
d
χί$ χ2> я3) и Θ' (χ') =Θ (χ0', χι/, χ2\ χν). Если во всех точках
внутри указанной области справедливо равенство
Θ (χ) = Θ' (*'), (7.3)
то величину Θ (я) называют скалярным полем (х и хг—
координаты одной и той же мировой точки в системах
отсчета S и S'), Для того чтобы функция Θ(χ)
представляла скалярное поле, необходимо, чтобы в одних и тех же
точках ее значения в системах S и S' совпадали, но вид
функции в системах отсчета 5 и S' вовсе не обязан быть
одинаковым.
Следуя определению векторов в 3-мерном эвклидовом
пространстве, дадим следующее определение векторов для
4-мерного пространства Минкивского. Пусть дана 4-ком-
понентная физическая величина и пусть ее компоненты в
системах отсчета 5 и 57 будут А* и Αμ', μ = 0, Ι, 2, 3.
Если между ними имеет место соотношение, аналогичное
соотношению между координатами χμ и χμ', т. е.
соотношение
А»' = (дхР'/д**) Αν = а\А\ (7.4)
то говорят, что Лμ— контравариантный вектор. Величины
Л°, Л1, Л2, Л3 называют контравариантными
составляющими вектора. Пусть координаты двух произвольных
мировых точек Ρ и Q будут *μ и χμ. Согласно (7.1),
50

Следовательно, примером контравариантного вектора
является разность координат двух мировых точек.
Пусть А*1—функция координат мировой точки и пусть
ее значения в системах S и S' будут А^(х) и Α*1 (χ').
Если
А»' {х') = (dx*'/dxv) Av (*), (7.40
то говорят, что А»(х)—поле контравариантного вектора
(контравариантное векторное поле).
Векторы можно также определить способом,
отличающимся от данного выше. Пусть дана 4-компонентная
физическая величина и пусть ее компоненты в системах
отсчета S и S' будут Βμ, и 5μ. Если
Bl = (dxv/dx»')BV9 (7.5)
то говорят, что это — ковариантный вектор. Пусть βμ—
функция χ и пусть ее компоненты в системах отсчета S и
S' будут βμ (Χ) И Βμ (*'). ЕСЛИ
Bl(x') = (dxv/dx»')Bv(x), (7.6)
то величину В^(х) называют полем ковариантного
вектора (ковариантным векторным полем).
Пользуясь формулой (5.Г"), соотношения (7.5) и (7.6)
можно представить в виде
β; = αμνβν. (7.50
По сравнению с формулой (7.4) здесь изменено
положение индексов у коэффициента а. Векторы введенных здесь
двух типов различаются расположением индексов: у конт-
равариантных векторов индексы вверху, а у ковариант-
ных — внизу.
Приведем пример ковариантного вектора. Пусть
θ (а:)—скалярное поле. Запишем величину, получаемую
его дифференцированием,
θμ (χ) i ΘΘ (χ)/θχμ, μ = 0, 1, 2, 3.
В системе отсчета S' эта величина принимает вид
дх»' dxv д&'
откуда видно, что она преобразуется по закону (7.6).
Следовательно, θμ(Λ;) —ковариантное векторное поле.
Введем теперь понятие тензора, являющееся
обобщением понятия ректора. В качестве примера рассмотрим два
51

контравариантных векторных поля А (х), В (х). Образуем
произведение их компонент
C^{x)Lasi{x)Bv{x), (7.7)
в котором μ, ν независимо пробегают множества значений
О, 1, 2, 3. Величина С*™ (χ) , определенная формулой
(7.7), имеет шестнадцать компонент. Построим
аналогичную величину С*™' (xf) в системе отсчета S'. Легко
вывести, что между С1™' (*') и (?μν (χ) имеет место
соотношение
СГ' (х') L А* (*') Bv* (xf) .-= ^- ^- Лр (χ) Βσ (χ) =
дхо дх°
дхР дх°
Вообще, если дана 16-компонентная величина С^(х),
которая при преобразовании Лоренца х-+х'
преобразуется в Ον' (χ') по закону
СГ' (х') = — — Ср(Т (*), (7.8)
дхР дх°
то говорят, что С — контравариантное тензорное поле
второго ранга; Сне обязано быть произведением двух
контравариантных векторов, подобным (7.7). Является ли
рассматриваемая величина тензором или нет — этот вопрос
решается только на основании закона ее преобразования.
Если она преобразуется по закону (7.8), то это — тензор.
Сказанного достаточно, чтобы понять, каково должно
быть общее определение тензора. Пусть компоненты
некоторой величины Т(х) в системах отсчета S и S' будут
соответственно
ТаЬ-"Сц..Л(х) И Γλμ···ν..τ>').
Если они связаны между собой соотношением
Τλμ. . .ν >,.. _ «**' дх»' дх* ν
1 ρσ. . . τ \Χ ) — —rz —r~ - - - Λ
дха дх° Qjf
χΊντ^ ■ ■ •-£7-*-"V--»w. (7.9)
дхр дх° θχτ
то величину Τ (χ) называют тензорным полем. Если в
приведенном примере есть г верхних индексов (λμ.,.ν) и s
52

нижних индексов (ρσ...τ), то величину Τ называют
смешанным тензорным полем, контравариантным r-го ранга
и ковариантным 5-го ранга. В частности, если есть только
г верхних индексов, то говорят о контравариантном
тензоре r-го ранга, а если есть только 5 нижних индексов, то
говорят о ковариантном тензоре s-го ранга. Согласно
данному определению, тензор нулевого ранга — скаляр.
Если г=1, 5=0, то Τ — контравариантный вектор, а если
г=0, 5=1, то Τ — ковариантный вектор.
Далее, символ Кронекера δμν — смешанный тензор. В
самом деле, для символа Кронекера в системе S' имеем
(дх^'/дх») (<Э* V) δρσ = 6μν = δμν\
чем и доказывается, что он — смешанный тензор. Но
символ Кронекера имеет особое свойство, состоящее в том,
что его компоненты в любой системе имеют одно и то же
значение. Есть и другие тензоры с такими экзотическими
свойствами. Пусть в системах отсчета S и 5; величина
ημν записана в виде ημν, ημν' . Но величина ημν'
определяется формулой, полностью совпадающей с определением
(5.6) величины ημν;
г 1, μ = ν= 1,2,3;
ημν' = 0, μ=£ν;
[—1, μ = ν= 0.
Величина ημν— контравариантный тензор второго ранга.
Действительно, формулу (5.11) можно записать в виде
ημν = (дх»'/дха) (dxv'/dx*) ηα3,
откуда и вытекает сделанное утверждение. Аналогично
можно определить ковариантный тензор ημν. Его
компоненты, независимо от системы отсчета, равны 1, 0 или
—1. Свойство тензора δμν , выражающееся в том, что его
компоненты инвариантны относительно преобразования
координат, имеет место не только по отношению к
преобразованию Лоренца, но и по отношению к более общим
преобразованиям координат. А инвариантность компонент
тензоров ημν , ημν имеет место только относительно
преобразования Лоренца [это свойство инвариантности
выводится из определения преобразования Лоренца (7.2)1.
В заключение параграфа обратим внимание на
тензорные индексы. Пусть компоненты ковариантного тензора
второго ранга F^ имеют свойство
F μν = ^*νμ ИЛИ F^y = — /*νμ·
5&

Тогда ^μν называют симметричным (в случае знака
минус — антисимметричным) ковариантным тензором.
Свойство симметрии индексов сохраняется при
преобразованиях Лоренца. Вообще говоря, тензор второго ранга ни
симметричен, ни антисимметричен. Следовательно, нельзя
по своему усмотрению изменять положения индексов
(вообще говоря, F^^F^). Но так как характер
преобразования верхних и нижних индексов совершенно
различен, то обычно порядок их расположения справа
несуществен. Например, безразлично, написать ли
Τμν или 7νμ
(в дальнейшем, правда, встречается один случай, когда их
необходимо различать). Но менять местами эти группы
индексов в процессе вычислений нельзя. Например, выше
мы уже отмечали, что для коэффициентов преобразования
Лоренца (они, правда, не тензоры, но тем не менее!)
αμν Φ θνμ·
§ 8. РАВЕНСТВО ТЕНЗОРОВ, ИХ СУММА,
ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА
Для простоты мы рассмотрим эти понятия на примере
смешанного тензора третьего ранга. Но легко видеть, что
все, что будет сказано для этого частного случая,
справедливо для тензоров общего вида. Доказательства всех
отмечаемых ниже фактов опущены. Эти
доказательства— хорошие упражнения, и они предоставлены
читателю.
Рассмотрим равенство тензоров. Ниже вскоре будет
показано, что физические законы очень удобно
представлять в форме тензорных равенств. Если Αμνχ(χ) и Βμ\(χ) —
два смешанных тензорных поля третьего ранга, то
физический закон можно выразить, например, в форме
А»\(х)=В»\(х). (8.1)
Вообще, величины в обеих частях тензорного равенства
должны быть, так же как в случае (8.1), одинакового
типа, и компоненты этих величин должны иметь
одинаковые совокупности индексов. Тогда совершенно такое же
равенство получится и после перехода к другой системе
отсчета с помощью преобразования Лоренца. Так как все
компоненты тензоров в обеих частях тензорного
равенства одинаковы, то одинаковы и сами тензоры,
54

Равенство (8.1) можно переписать в виде
А»\(х)-В»\(х) = 0. (8.1')
Вообще, если какой-либо тензор равен нулю, то нулю
равны все его компоненты. При.преобразовании Лоренца
тензоры преобразуются по линейному закону. Если все
компоненты равны нулю в одной системе отсчета, то они
будут нулями во всех других системах отсчета. Таким
образом, свойство быть равным нулю имеет место всегда,
независимо от выбора системы отсчета. Если удалось
установить, что левая часть равенства (8.1') —тензор, то
тем самым доказано, что это равенство имеет место в
любой системе координат. Ниже мы покажем, что если А и
В— тензоры, то и левая часть равенства (8.1')—тензор.
Следовательно, если физический закон всегда можно
записать в форме (8.1) или (8.1'), то непосредственно ясно,
что этот закон удовлетворяет принципу относительности.
Пусть теперь Θ(χ)—произвольное скалярное поле.
Тогда произведение Θ (χ) Αμ\(χ)—тензор того же типа, что
и Αμ\(χ). Если Ci(x), c2(x)—скалярные поля, то,
полагая
5μνλ (χ) i сх (χ) А»\ (х) + с2 (χ) βμνλ (*),
легко доказать, что 5μ\(*)— тензорное поле того же
типа, что и А и В. В частности, если С\ = с2=1> то S
называют суммой тензоров А и В. В случае сх =—с2=\ говорят,
что S — разность тензоров А к В. При определении суммы
и разности тензоров, так же как в случае тензорных
равенств, важно, чтобы оба тензора были одинакового типа
и чтобы складывались или вычитались компоненты с
одинаковыми совокупностями индексов.
В случае преобразования Лоренца при определении
суммы или разности тензорных полей А к В вовсе не
обязательно брать складываемые (или вычитаемые)
компоненты в одной и той же мировой точке. Сумма величин в
двух различных точках
А»\{х) + В»\(у)
тоже тензор того же типа, что и А и В. Следовательно,
дифференцирование и интегрирование компонент
тензорного поля по χ — операции, имеющие математический смысл
(но в общей теории относительности сумма тензоров в
двух различных мировых точках не имеет смысла).
Пусть Αμ\ (χ) и βαβ (х) — тензоры, тип которых указан
55

расположением их индексов. Если образовать
произведения независимо взятых компонент этих тензоров
С»\^(х)=А»\(х)В^(х),
то С будет тензором пятого ранга типа, указываемого
расположением его индексов; С — называют произведением
тензоров А и В. С помощью произведения тензоров можно
образовывать тензоры более высокого ранга. Пример
произведения тензоров дает формула (7.7), в которой
образован тензор Ομν из двух векторов: A*, Βν. Введем
понятие производной тензора. Производная тензорного
поля Αμ\ (χ)
дА^\(х)/дхр
есть смешанный тензор четвертого ранга. Легко
установить закон его преобразования при преобразовании
Лоренца. С формальной точки зрения производную можно
рассматривать как произведение ковариантного вектора
др = д/дхР на тензор Αμ\. Символ производной сам по
себе не имеет смысла, но с точки зрения закона
преобразования его можно рассматривать как ковариантный
вектор.
Беря в тензоре А*™х(х) одинаковые λ и μ и суммируя
по ним от 0 до 3, получим величину
EP(x)La\(x).
Легко доказать, рассматривая закон преобразования, что
Bv — контравариантный вектор. Вместо Βν можно
построить контравариантный вектор С**:
Вообще, приравнивая в некотором смешанном тензоре два
индекса (верхний и нижний) и суммируя по ним от 0 до
3, получим тензор, ранг которого на два ниже. Операцию
получения такого тензора называют свертыванием (или
просто сверткой) указанного смешанного тензора. Как
ясно из приведенных примеров, свертывание можно
производить по различным группам индексов; получаемые при
этом тензоры, вообще говоря, различны.
Построим сначала произведение двух тензоров
C^(x)LA»\(x)Bat{x),
56

а затем произведем их свертку
или
DVKa = А^\Ва$; £\ρ = Ла\£ар.
Операцию получения возникающих при этом тензоров
третьего ранга называют внутренним произведением
тензоров А к В. Среди операций внутреннего произведения
наиболее хорошо знакома операция получения скаляра из
двух векторов А* (х) и Βν (χ):
C(x)La11(x)B11(x).
Величину С называют скалярным произведением векторов
А и В.
С помощью внутреннего произведения из контрава-
риантного вектора можно получить ковариантный, и
наоборот. Например, составляя внутреннее произведение
контравариантного вектора Αμ (χ) и ковариантного
тензора ημ.ν
Βν(χ) = ι\^Α»(χ),
получаем ковариантный вектор. Обратно, из
произведения Βν и η^ν
ημν5ν = ημνηνλ^λ = δνλ = ^
выводим исходный вектор Αν-. Короче говоря, выражение,
некоторой физической величины с помощью
контравариантного или ковариантного вектора — вопрос удобства и
зависит от обстоятельств. В дальнейшем для выражения
одной и той же физической величины мы будем
пользоваться одним и тем же символом (например, А). В случае
ее представления ковариантным вектором индекс будем
писать внизу: Лμ, А если ее удобно представить контрава-
риантным вектором ημΜν, то индекс будем писать
вверху: А^ . Сравнивая ковариантное и контравариантное
представление, надо помнить, что при μ=1, 2, 3 А]Х=А*1$
а при μ=0 Α0 = — А°.
Скалярное произведение вектора А* самого на себя
(Af = А»А» = ημ/Μν = - (Αγ + g (Akf
называют квадратом- величины А. Хотя при этом и пишут
(А)2, но эта величина не обязательно положительна. Если
57

^мпоРнаеНнСтыеННЫе К°МП0Ненты ЛД болыпе его временной
(Л)г>0,
eLfнаХр'оГ пР°стРа»™™оподобным вектором, а
(А)*<0,
то говорят о времениподобном векторе. Наконец, когда
(Л)а = 0,
говорят о нуль-векторе. Величина (Л)2_скаляр Так как
он инвариантен относительно преобразования Лоренса то
ГоТ^аГ/ К °ДН0М«У И3 ТРСХ У^занных°вРид0Цввек-
торов — его абсолютное свойство.
Рассмотрим показанный на рис. 7 вектор связываю
щии начало отсчета с произвольной мировой точкой ""
Времениподобная
точка
Ρ Пространственно-
(λ) подооная точка
Рис. 7
Пусть его компоненты— х*. Если это —пространственно
подобный вектор, то пространственно
58
Ι *Ί < Ι χ I =V(*L)* + (xY + (x*)*.

Следовательно, точка Ρ находится вне конической
поверхности, определяемой уравнением
-(*°)2+Σ(**)2 = ο.
Наоборот, если вектор ί/μ, соединяющий начало О с
мировой точкой Q, времениподобен, то точка Q лежит
внутри конического зонтика. И наконец, если вектор ζμ,
соединяющий О с точкой R, — нуль-вектор, то точка R
лежит на конической поверхности. В случае точки Ρ
соответствующим подбором преобразования Лоренца можно
добиться, чтобы отрезок ОР лежал на оси х1' новой
системы координат. А для точки Q можно добиться, чтобы
в новой системе координат отрезок OQ лежал на оси х0'.
У нового вектора О Ρ компонента хиФ0, а остальные
компоненты равны нулю. У нового вектора OQ х°'Ф0, а х1'=
=*2'=х3/=0. В зависимости от того, будет ли х°'>0 или
х°'<0, он направлен в будущее или в прошлое. На рис. 7
это соответствует положению точки Q либо в верхнем,
либо в нижнем коническом зонтике. Этот факт
инвариантен относительно преобразования Лоренца. Но, как уже
говорили в § 4, для точки Ρ утверждение, что Ρ лежит в
будущем или в прошлом относительно О, не имеет
абсолютного смысла.
Так как исходящее из точки О взаимодействие
(например, частица) не может распространяться быстрее
скорости света, то область, которой оно может достичь, лежит
на верхней части конической поверхности рис. 7 или
внутри нее. Следовательно, все мировые точки внутри этой
области [она обозначена на рис. 7 символом (I)] связаны
с О причинным образом. И наоборот, взаимодействия,
исходящие из мировых точек области (II), лежащих на
нижней части конической поверхности или внутри нее,
оказывают влияние на точку О. Поэтому область (I)
называют областью абсолютного будущего, а область
(II)—областью абсолютного прошлого. Точки в области
(III) вне конуса вообще не могут быть связаны с точкой
О с помощью взаимодействия. Наконец, на конической
поверхности лежат точки, которых может достичь световая
волна, вышедшая из точки О. Поэтому эту поверхность
называют световым конусом. Световой конус — граничная
поверхность между областью, мировые точки которой
могут быть причинно связаны с началом отсчета О, и
областью, мировые точки которой не связаны причинно с
точкой О. Иначе говоря, мировая точка, находящаяся в
59

будущем относительно точки О, не обязательно связана
с точкой О причинно. Этот факт нельзя понять, если (как
это. делали в прошлом) рассматривать время отдельно от
пространства. Теория относительности конкретизировала
понятие причинности в форме распространения
физических взаимодействий. Подобная интерпретация стала
возможной только после того, как в качестве арены, на
которой разыгрываются физические явления, стали
рассматривать 4-мерное пространственно-временное многообразие,
в котором пространство и время объединены в единое
целое.
Особенно важным частным случаем скалярного
произведения векторов является оператор
Его индексы показывают, что это —скаляр.
Следовательно,
Тот факт, что электромагнитные волны распространяются
в любой системе отсчета с постоянной скоростью с, позже
будет связан с этим соотношением.
Завершим настоящий параграф следующей удобной
теоремой.
Теорема. Пусть дана величина с тремя индексами
;4λμν. Умножая А на три произвольных ковариантных
вектора ξλ, η μ , ζ ν , образуем выражение
Если 5 — скаляр, то Αλ»ν —контравариантный тензор
третьего ранга. Если для произвольного ковариантного
вектора ξ λ величина
<^ΛλμνΙλΙμξν
скаляр, то Αλ»ν—полностью симметричный
контравариантный тензор. Доказательство предоставляется читателю.
Легко сформулировать аналогичную теорему для тензоров
ранга, отличного от 3, и другого типа, не обязательно
контравариантного.
60

§ 9. АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ,
ТЕНЗОРНАЯ ПЛОТНОСТЬ, ДУАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
Сумма компонент тензора в разных мировых точках
имеет смысл только относительно линейных
преобразований координат типа лоренцевых. В случае
преобразований координат общего вида коэффициенты преобразования
тензора дх»·'/дх* , δχΊ /dx*' являются, вообще говоря,
функциями мировой точки. Поэтому указанная выше
сумма не имеет смысла. Но если в результате сложения
образуется скаляр, то сумма имеет смысл в случае самого
общего преобразования координат.
Рассмотрим интеграл от некоторой величины 6 (х) по
области Ω 4-мерного пространства — времени
У е= J © (χ) dx*dx4x4xz s J © (*) d*x.
Ω Ω
Если при переходе с помощью преобразования Лоренца к
новым координатам х' имеет место равенство
&(x')d*x' = <S(x)d% (9,1)
то © (х) называют скалярной плотностью. В
действительности это определение применимо также к произвольным
преобразованиям координат, но здесь мы ограничиваемся
одними только преобразованиями Лоренца. Пользуясь
функциональным определителем преобразования χμ -κκμ'
д(х\ х\ х\ х*)/д(х°'9 х1\ х2', я3') = д (*)/<?(*'),
равенство (9.1) можно переписать в виде
6' (xf) = (д (х)/д (*')) © (х). (9,1')
Это — закон преобразования скалярной плотности. В
такой форме определение применимо и к произвольным
преобразованиям координат. В случае преобразования
Лоренца функциональный определитель равен
irk = (4ттГ = <det W)"1 - idet (A)}'1
д (χ') \д(х) J
и формула (9.Г) принимает вид
<5'(x') = {det(a%)}-l<5(x), (9.2)
Это — закон преобразования скалярной плотности при
преобразованиях Лоренца. С учетом формулы (5.5)
получаем для закона преобразования скалярной "плотности
[—, dtt{ary) = — l.
61

Следовательно, в случае преобразования Лоренца с
det (αμν) = 1 закон преобразования скалярной плотности
такой же, как у скаляров. Но в случае преобразования
пространственной инверсии (это — одно из преобразований
Лоренца в широком смысле)
t + f = t; χ->χ' = — X
det (αμν) = — 1, поэтому
6'(х'.*') = -б(х, t)
(надо помнить, что точка (х', f) и точка (х, t) — одна и
та же мировая точка, только в разных системах отсчета!).
Скаляры так не преобразуются. Поэтому в частной
теории относительности и в теории элементарных частиц
скалярную плотность называют псевдоскаляром.
Аналогично скалярной плотности можно определить,
например, величину, преобразующуюся по закону
sV {χΊ = wl ^L *L ^Lj* w. (9.3)
μ ' *(*') дх« dx»' dx»'
Такую величину называют тензорной плотностью третьего
ранга. Приведенное определение годится также и для
произвольного преобразования координат. В случае
преобразования Лоренца определение принимает вид
*V (*') = {det Ш}-1 αλααμ4νΧαβν (χ).
Так как det (a %) = ± 1, то
*V (*') = ± а\ αμβ α/ %\ (*); (9.3')
Формула (9.3') отличается от закона преобразования
тензора третьего ранга множителем ±1, возникающим из-за
det(aPa) = ± 1. В теории элементарных частиц
определенную только что величину Χλ называют псевдотензором
третьего ранга. Вообще, величины, имеющие смысл
плотности (псевдотензоры), обозначают жирным шрифтом
(в некоторых книгах — готическим шрифтом), чтобы
отличить их от обычных тензоров *.
Рассмотрим пример скалярной плотности. Пусть кова-
риантный тензор четвертого ранга 7\μνρ (χ) полностью
антисимметричен по всем своим индексам (это значит, что
значение компоненты не изменяется при четной
подстановке индексов λμνρ, а при нечетной — изменяет свой знак на
* В оригинале псевдовеличины обозначены жирным шрифтом^
Прим. пер.
62

обратный). Следовательно, компонента равна нулю, если
среди индексов найдется пара одинаковых. Введем
обозначение
Гош (*)=*(*)· Μ
Тогда отличные от нуля компоненты равны либо %, либо
—%. Это значит, что по существу наш тензор имеет всего
одну компоненту. При преобразовании Лоренца
*., (уг\ -I Т ι (уг\ _ дх* дх1 _дх^_ дх1 т , * __
£ (X ) = ι ош К* ) - -дх^-ёх^ Ίχ*7' ~Ш~ L (fkl(X) ~
= (д (х)/д (*')) Го123 (х) = (д (х)1д {χ')) Χ (х). (9.5)
В такой форме преобразование величины X справедливо
и при произвольном преобразовании координат. В случае
преобразования Лоренца
Z'(x') = {det(a%)}-vX(x).
Следовательно, определенная формулой (9.4) величина—
скалярная плотность. Таким образом, скалярная
плотность совпадает с плотностью антисимметричным кова-
риантным тензором четвертого ранга, для которого она
служит его единственной отличной от нуля компонентой.
Чтобы сделать соотношение между ними еще более ясным,
воспользуемся определяемой ниже специальной тензорной
плотностью.
Определим в некоторой системе координат полностью
антисимметричную контравариантную тензорную
плотность четвертого ранга ©λμνρ
( 1, (λμνρ)-> (0123)—четная подстановка;
φλμνρ β J—lf (λμνρ) -► (0123) —нечетная подстановка; (9.6)
I 0, в остальных случаях.
Обозначим компоненты этой тензорной плотности в другой
системе координат символом c^m-vp' ц0 определению
тензорной плотности
„Λμνρ' _ *(*) dxl·' дх*' dxv* дх*' Ifkl
д(х') дх1 дх1 дхк дх1
(9.60
В правой части здесь функциональный определитель
д(х)/д(х') умножен на сумму, которую можно
представить в виде произведения (5λμνρ на функциональный
определитель д (х') /д (χ), Следовательно,
^λμνρ' = @λμνρ# (g7)
63

Соотношение (9.7) имеет место также и в случае
произвольного преобразования координат.
Пользуясь величиной ($, перепишем соотношение (9.4)
в виде
%(χ) = №)<έ»νρΤλιινρ(χ). (9.40
С помощью закона преобразования величины (S легко
показать, что правая часть формулы (9.4') — скалярная
плотность.
С помощью величины ($ из тензоров можно получать
тензорные плотности. Пусть, например, 7\μν
(χ)—полностью антисимметричный ковариантный тензор третьего
ранга. С помощью операции
Χ%(χ) = (1/3ΐ)^νρΤμν()(χ) (9.8)
он преобразуется в контравариантную векторную
плотность. Если ^μν — антисимметричный ковариантный тензор
второго ранга, то
^%μ = (έμν%ρ(χ)/2 (9.9)
—контравариантная тензорная плотность второго ранга.
Наконец, из ковариантного вектора А ^с помощью
операции
Ηλμν=^λμνρΛρ (9.10)
выводится контравариантная тензорная плотность
третьего ранга 51λμν.
Рассмотрим несколько подробнее соотношение (9.9).
Записывая его по компонентам, имеем
*r01 __ f . *c02 _ f . *с03 _ f . \
I —/23» I —/31» I —/12» I /Q |J\
*е23 __ f . *с31 __ f . *с12 __ f | V ' /
Τ —/οι» Г —/02» Τ — /ο3· )
Эти соотношения сохраняются даже при
пространственной инверсии из-за того, что слева стоит тензорная
плотность * f. Величину * ίμν называют тензорной
плотностью, дуальной ковариантному тензору fllv. Аналогично
векторную плотность %%, даваемую формулой (9.8),
называют векторной плотностью, дуальной тензору Τ μνρ.
Далее, ЯМ1* (9.10)—тензорная плотность, дуальная Ар.
Имеют место следующие интересные соотношения:
д^ = д0Т123 - д{Гт + д2Тт + д3Т012; (9.12)
64

3κΊΜ = - (dJn + dJn + dJiJ; j
д\ f = dj30 + 5з/02 + d0f23; I (9.13)
д&*3 = д0А1-д1А0\ дк<&™ = д0А2-д2А0; . . .1 (g U)
5λ#°' = <?Α-3Α; · · · · · ·>
d λ
Здесь дх==д/дх .
3 Зак. 2035

Глава 3
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 10. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ВАКУУМЕ
(напоминание)
Обратимся к рассмотрению электродинамики в
вакууме. Будем считать, что электрический заряд сосредоточен
на рассеянных в вакууме заряженных частицах, таких
маленьких, что их надо рассматривать как геометрические
точки. Обозначим количество электричества в единице
объема, т. е. плотность электрического заряда, символом р,
а количество электричества, протекающего в единицу
времени через единичную площадку, перпендикулярную
потоку электричества, т. е. плотность электрического тока,—
символом j. Уравнения Максвелла имеют вид
divB = 0; (10.1)
dB/df+ rotE = 0; (10.2)
divD = p; (10.3)
rotH —3D/d/ = jf (10.4)
где D, Ε, Β, Η — векторы индукции, напряженности
электрического поля, магнитной индукции и напряженности
магнитного поля. В вакууме
D = e0E; В = μ0Η, (10.5)
где εο, μο — диэлектрическая постоянная и магнитная
проницаемость вакуума. Численное значение этих величин
зависит от выбора системы единиц. Но независимо от выбора
системы единиц между ними сохраняется соотношение
ε0μ0 = 1/с2,
где с — скорость света в вакууме. Пользуясь формулами
(10.1) и (10.2), векторы В и Ё можно выразить через
потенциалы Л, Φέ:
В = rot А, Е = — dA/dt — grad Φ. (10.6)
Подставляя эти выражения в формулы (10.3) и (10.4),
получаем
ΠΦ = -ρ/ε0; (Ю.7)
66

□ Α = — μ0].
(10,8)
Чтобы эти формулы были эквивалентны формулам (10.3)
и (10.4), должно удовлетворяться условие
divA + (l/c2) дф/dt = 0. (10.9)
Решения исходных уравнений Максвелла можно получить,
определяя потенциалы А и ф, как решения уравнений
(10.7) и (10.8), удовлетворяющие условию (10.9). Но
остается опасение, будут ли решения уравнений (10.7),
(10.8) удовлетворять условию (10.9), иначе говоря,
совместимы ли уравнения (10.7), (10.8) с условием (10.9)?
Применяя к левой части условия (10.9) операцию П, по·
лучим с учетом уравнений (10.7), (10.8)
п(<И»А + £-£) — *.(<И»| + 2-). (10.Ш,
Из исходных уравнений Максвелла можно вывести, что
правая часть последнего равенства равна нулю:
divj + dp/<3/ = 0. (10.11)
Следовательно, условие (10.9) совместимо с уравнениями
(10.7), (10.8). Очень важное соотношение (10.11)
называют законом сохранения электрического заряда.
Условие (10.9) называют условием Лоренца. Оно
налагает ограничение на неопределенность потенциалов.
Рассмотрим природу этого ограничения. Известно, что
физически наблюдаемыми величинами (непосредственно
измеряемыми на опыте) являются векторы В и Е. Но формулы
(10.6) не позволяют однозначно определить пару
потенциалов А, ф, соответствующую паре векторов В и Е. В самом
деле, пусть нам удалось каким-то способом найти пару
потенциалов А, ф, связанных с заданными векторами В и
Ε формулами (10.6). Этой паре мы можем поставить в
соответствие новую пару потенциалов А7, ф/ формулами
А' = А + grad λ; φ' = φ — dk/dt,
в которых λ (χ, ί) —произвольная функция х и t.
Используя в формуле (10.6) вместо А и φ вновь построенные
потенциалы А7 и ф/у получаем
rot A' = rot А = В; _ J*L — gradjfr' = — — — grad $6 = Ε.
Таким образом, заданной паре векторов В и Ε отвечает
целое семейство потенциалов А7, ф\ получаемых из
найденных нами потенциалов Аи^с помощью произвольной
3* 67

функции λ. Переход от Α, φ κ Α', Ф' называют
калибровочным пребразованием. При калибровочном преобразовании
наблюдаемые величины 3, Ε не изменяются. Указанная
неопределенность потенциалов позволяет для пары А, ф>
не удовлетворяющей условию (10.9), построить пару
потенциалов А7, ф', удовлетворяющих этому условию, для
чего достаточно воспользоваться функцией λ,
удовлетворяющей уравнению
Отсюда следует, что условию (10.9) всегда можно
удовлетворить. На этом мы закончим краткое напоминание
уравнений Максвелла.
§ 11. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ
МАКСВЕЛЛА (1)
Запишем формулы § 10 в тензорном виде. Тогда станет
очевидно, что они удовлетворяют принципу
относительности.
Начнем с уравнения непрерывности тока (10.11). Если
ввести обозначения:
/1 = /*; r = iyi f = /«; /° = ф, Oi·1)
то в некоторой системе отсчета уравнение (10.11) примет
вид
53^ = 0. (11.2)
μ=0
Величину jv· мы записали в виде контравариантного
вектора, но ее векторная природа пока не доказана. Согласно
принципу относительности, закон сохранения заряда
должен иметь место также и в любой другой инерциальной
системе отсчета S'. Поэтому если определить величину
/μ/(*') по формулам, аналогичным (11.1), то в системе
S' должно быть
2)^Г(*') = 0, (11.2')
μ=0
d
где д^^д/дх»·' — ковариантный вектор. Если
справедливо уравнение (11.2), то имеет место также и уравнение
(11.2'). Обратное утверждение тоже должно быть верным.
Если бы величина /и не была контравариантным
вектором, то левая часть уравнения (11.2) не являлась бы ска-
68

ляром. Тогда из справедливости уравнения (11.2) нельзй
было бы вывести заключение о справедливости уравнения
(11.2'). Короче говоря, из принципа относительности
следует, что величина /ιλ —контравариантный вектор.
Векторная природа величины /> выводится из огромного запаса
экспериментальных данных, полученных в очень большом
числе инерциальных систем отсчета. Нужно помнить, что
это не просто математический постулат, а утверждение,
выражающее экспериментальный факт.
Далее, запишем в релятивистской форме уравнения
(10.7), (10.8). Если ввести определения
Л° = (1/с) Φ; А1 = Ах; А2 = Ау\ А3 = Аг, (11.3)
то уравнения (10.7), (10.8) примут вид
ΠΑλ = -μ/, λ = 0,1,2,3. (11.4)
Выше мы уже объяснили, что правая часть этого
равенства— контравариантный вектор. Оператор D
инвариантен относительно преобразования Лоренца. Следовательно,
для того, чтобы это уравнение сохраняло свой вид
независимо от преобразования Лоренца, величина Αλ , так же
как и /λ, должна быть контравариантным вектором.
Если Αλ —контравариантный вектор, то левая часть
условия Лоренца (10.9)—скаляр:
0μΛμ = Ο. (11.5)
Следовательно, условие Лоренца имеет место в любой
системе отсчета. Действуя на обе части уравнения (11.4)
оператором (9λ, получим
Так как, согласно уравнению (11.2), правая часть этого
равенства равна нулю, то
ОдкАк = 0,
откуда видно, что условие (11.5) совместимо с
уравнением поля (11.4).
Калибровочное преобразование тоже можно записать
в тензорной форме. Для этого вместо >4μ нужно ввести
d
Αμ Ξ=ημν Αν. Согласно определению ημν,
А0 = -А« = -(1/с)Ф; Ak = A\ k=l, 2,3.
Пользуясь величиной Αμ,, запишем калибровочное
преобразование в виде
Λμ -* Λμ = Λμ + 0μλ, (11.6)
69

где л — произвольное 4-мерное скалярное поле. Из этой
формулы ясно, что величина Α μ , получающаяся после
калибровочного преобразования, так же как и Λμ, является
ковариантным вектором (величины /1μ, Α^ называют
4-мерным потенциалом или просто 4-потенциалом поля).
Рассмотрим теперь тензорную запись величин" В, Е.
Определим ковариантный полностью антисимметричный
тензор второго ранга:
d
/ μν = 0μ/*ν Ο'ν^μ = / νμ·
В матричной записи, эта формула имеет вид
(11.7)
/00
Ло
/20
/30
и
/и
и
fu
/02
/и
/22
/32
Ы
/18
/23
/33 j
о
-ΕΨ
-ΕΨ -Еи - — Е2
— Е„ — В9
-Ея
В„
в,
-вУ
—в„
в,
(11.8)
Легко проверить, что при калибровочном преобразовании
величина /μν не изменяется:
/μν —> /μν — ΟμΑν Ο'ν^μ == ^\χΑν *Λ^μ = /μν
Подытоживая, заметим, что мы записали уравнения
Максвелла в форме уравнения (11.4) с добавочным
условием (11.5). Кроме того, при нашей форме записи в виде
самостоятельного закона выступает закон сохранения
(11.2). Его называют условием для 4-мерного тока.
Очевидно, что все эти формулы инвариантны относительно
преобразования Лоренца.
§ 12. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ
МАКСВЕЛЛА (2)
В предыдущем параграфе мы записали уравнения
Максвелла в релятивистски инвариантной форме, пользуясь
4-потенциалом. Дадим теперь релятивистскую запись
уравнений (10.1) — (10.4) без использования потенциала.
Прежде всего, определим антисимметричный
ковариантный тензор второго ранга /μν =—/νμ с помощью
формулы (11.8). Так как здесь мы не пользуемся 4-мерным
70

потенциалом, нам нужно совершенно забыть о
соотношении (11.7). Итак, в качестве основной формулы примем
определение (11.8). Кроме того, нам потребуется
определение 4-мерного тока (11.1). С учетом этих определений
исходные уравнения Максвелла (10.3), (10.4) примут вид
<3/ν = μ0/λ. (12.1)
Оставшаяся пара уравнений (10.1), (10.2) запишется в
виде одного тензорного уравнения
0λ/μν + 0μ/νλ + 0ν/λμ = Ο. (12.2)
Уравнение (12.2) имеет место для произвольной
тройки индексов λ, μ, ν, каждый из которых независимо
пробегает значения 0, 1,2, 3. Поэтому на первый взгляд
тензорное уравнение (12.2) содержит 64 уравнения. Но
большинство из них — тождества типа 0 = 0, и только четыре
уравнения точно соответствуют уравнениям (10.1), (10.2).
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим величину в левой
части (12.2), обозначив ее символом ^λμν. Пользуясь
антисимметричностью тензора /uV, легко доказать, что
^λμν — полностью антисимметричный ковариантный тензор
третьего ранга. Следовательно, если какие-либо два из
индексов λ, μ, ν совпадают, то F=0. Значения компонент
этого тензора, получающиеся при изменении порядка
следования индексов λ, μ, ν, одинаковы с точностью
до знака. Следовательно, есть всего четыре независимых
компоненты, отличные от нуля: Fm, ^023, ^озь Fo\2·
Содержание уравнения (12.2) состоит в требовании, чтобы все
эти четыре компоненты равнялись нулю. Например,
конкретная запись уравнения F,m = 0 имеет вид
0 = F123 = dj23 + <Э2/31 + d3f12 = div В.
Это — уравнение (10.1). Оставшиеся три уравнения
соответствуют уравнению (10.2).
Если воспользоваться связью между тензором /μν и
дуальной ему тензорной плотностью (9.11) и применить
формулы (9.13), то можно убедиться, что уравнение (12.2) по
существу совпадает с уравнением
3ν*Γ = 0. (12.3)
Следовательно, уравнения Максвелла можно заменить
двумя очень похожими друг на друга уравнениями:
5/ν = μ„/λ; (12.4а)
<3VYV = 0. (12.46)
71

Подействуем на обе стороны уравнения (12.4а)
оператором дх . Левая часть получаемого тогда уравнения тож<
дественно равна нулю ввиду антисимметрии тензора
/λν = —/νλ и симметрии произведения д;Д, = δνδχ.
Следовательно,
δλίλ = 0. (12.5)
Таким образом, если не удовлетворен закон сохранения
заряда, то левая и правая части уравнения (12.4а)
противоречат друг другу.
Уравнение (12.46) эквивалентно уравнению (12.2), т. е.
уравнениям (10.1), (10.2). Из уравнений (10.1), (10.2)
следует, что величины В, Ε можно выразить в виде
В = rot А; Е = — — —grad Φ. (12.6)
dt
Формулы (12.6) в тензорной записи имеют вид
/μν = Μν —Μμ. (12.7)
Следовательно, уравнение (12.46) эквивалентно
требованию, что тензор /μν можно выразить в форме (12.7). Если
вместо уравнения (12.46) воспользоваться эквивалентной
ему формой записи (12.7), то уравнение (12.4а)
представится в виде
dv (d\4v - dvAx) = д% (dv Α") -ΠΑλ = μ/,
где δλ = ηλρ5ρ, dvdv = Π · Используя условие Лоренца
dvAv = 0,
приведем последнее выражение к виду
-□Λλ = -μ0/\
Тем самым мы возвратились к форме записи уравнений
Максвелла, введенной в § И.
В заключение параграфа рассмотрим энергию и
импульс электромагнитного поля.
Умножая обе части уравнения (12.4а) на fip> получим
левая часть = Др dvfKv = dv (/λν/λρ) — /λν5ν/λρ-
Принимая во внимание условие /λν = —/νλ , преобразуем
второе слагаемое:
вторсе слагаемое = — (1/2) /λν (<3ν/λρ — d;/vp) =
= - (1/2) /λν (ду hP + <?λ/ρν + dpfvK) + (1/2) /λ4/νλ ."
72

С учетом уравнения (12.2) скобка в правой части равна
нулю. Следовательно,
второе слагаемое = — (1/4) <ЭР (/λν /^v).
Переобозначая здесь индексы, получаем
левая часть = dv [/λν /λρ - (1/4) δνρ /αβ/αβ].
Поэтому окончательно получаем из уравнения (12.4а)
dv [/λν /χρ - (1/4) δνρ /α|} /αβ] = μ0/λ /λρ. (12.8)
Вводя обозначение
Λ i ~ (/X - \ δνΡ Γβ /αβ) · (12.9)
запишем результат (12.8) в виде
dvT\ = fpXj\ (12.8')
Разберемся в смысле полученного соотношения.
Прежде всего, поднимая индекс ρ с помощью тензора
ηΡμ , получим *
r» = -± UJ- г - 4- ηνμΓβ/αβ) = Γμν (12.9')
μ0 \ 4 j
Выражая компоненты этого тензора в привычных
3-мерных векторных обозначениях, получим
—w —Cgx —Cgy —С8г }
fJOO JO1 JO2 J^
yiO J4L J42 J43
у 20 у 21 у 22 y23
уЗО y31 y32 уЗЗ
— — Sx Мхх
С
—l-s2 мгх
ι с
Μ
Μ
ху
Μ
χζ
УУ
Λί,
ί/ζ
Μ.
zy
Μ7
(12.9*)
где
w = (DE -f- BH)/2 — плотность энергии электромагнитного поля,
g=(l/c2) (ΕχΗ)—плотность импульса электромагнитного
поля,
S=(ExH)—плотность потока энергии
электромагнитного поля.
Кроме того, в формуле (12.9") Μ — тензор натяжений
* Встречаются определения Γμν, в которых знак противоположен
знаку, принятому нами. Мы будем всегда (включая общую теорию
относительности) следовать определению, при котором Τ 0 выражает
плотность энергии.
73

электромагнитного поля, или тензор максвелловских
натяжений. При i, k=l, 2, 3 его компоненты суть
Mik = г&Ек + μ,Η,Η, - 6ik (DE + ВН)/2.
Величину T^v называют тензором энергии—импульса
электромагнитного поля.
Пользуясь определением (12.9"), запишем компоненты
уравнения (12.8') при ρ = 0, 1, 2, 3 в 3-мерных векторных
обозначениях:
— dw/dt = divS + (E.j); (12.10a)
/=1
Интегрируя формулы (12.10а), (12.106) по области
3-мерного пространства V в некоторый момент времени t и
пользуясь теоремой Гаусса, выведем следующие
соотношения:
Lcwdsx= ^s-da+ f(E.j)d3*; (12.10a')
V F V
^-f^^ = 2 J ^«Λτ,-f (pE + jxB)fcd»jf, k=l, 2, 3.
V l=\F V
(12.106')
Здесь dou 1=1, 2, 3, — три взаимно ортогональные
составляющие элемента da поверхности F, охватывающей объем
Vy определенные с помощью направленного наружу из
V единичного вектора нормали к элементу do поверхности
F в виде da=ndo. Первый член правой части (12.10а')—
энергия, выходящая через поверхность F в единицу
времени, а второй — работа электрического поля, совершаемая в
единицу времени над зарядами внутри V. Следовательно,
левая часть (12.10а') имеет смысл коэффициента
ослабления энергии электромагнитного поля внутри области V.
Второй член правой части (12.106х) выражает величину,
противоположную силе, действующей со стороны
электромагнитного поля на заряды и токи в объеме V
(противодействие), т. е. силу, с которой заряды действуют на поле.
А первый член выражает электромагнитные натяжения со
стороны внешнего к объему V электромагнитного поля,
действующие на объем V через поверхность F.
Следовательно, левая часть (12.106х) равна коэффициенту
возрастания в единицу времени импульса электромагнитного по·
74

ля внутри области V. Первому члену правой части
(12.106') можно дать другую интерпретацию. Величину
Mhioi можно понимать как k-ю компоненту импульса,
втекающего в единицу времени в объем V через элемент
поверхности do перпендикулярно этому элементу.
Следовательно, величина — Мм показывает k-ю компоненту
импульса, проходящего в единицу времени в положительном
направлении оси / через единичный элемент поверхности,
перпендикулярный оси /.
Если р = 0, / = 0 и электромагнитное поле достаточно
быстро убывает на бесконечности, то, распространяя в
формулах (12.10а'), (12.10бг) область интегрирования V
до бесконечности, получим, что интеграл в правой части
равен нулю. Следовательно, величины
Р0= j T00cPx = — J wd*k; (12.10a")
— ОО —00
PkL JTokd°x = cJ gkd% A= 1,2,3, (12.106")
— ОО —00
не изменяются с течением времени. Это утверждение
выражает закон сохранения энергии и импульса
электромагнитного поля. Доказательство того факта, что
определенная формулами (12.10а"), (12.106") величина Ρμ является
4-мерным ковариантным вектором, будет дано в конце
§23.
Мы завершили запись уравнений Максвелла в
релятивистски инвариантной форме. С принципиальной точки
зрения такая запись совершенно необходима. Но она имеет
преимущества не только с чисто теоретической или
формальной точки зрения. Релятивистская форма записи
удобна также и для практических вычислений. В качестве
примера определим электромагнитное поле, создаваемое
движущимся точечным электрическим зарядом. Для его
определения можно было бы непосредственно решать
уравнения Максвелла, но это — довольно сложная задача.
Поэтому решим задачу для случая, когда заряд покоится в
начале координат системы отсчета S', а затем перейдем от
S' к S с помощью преобразования Лоренца, определив тем
самым электромагнитное поле движущегося заряда.
Итак, пусть в начале координат системы отсчета S'
[она связана с системой 5 преобразованием Лоренца
частного вида (3.6)] покоится протон, имеющий
положительный заряд е. В системе S' протон создает поле
75

E'k(x',y',z',t')
*= 1,2,3;
4πε0 (л')3 '
B'k = 0, r' = {{x'Y + {y'f + (zr)4'
Следовательно, согласно определению (11.8),
Г (*') = - fok (*') = WltnwWfi
cik
Г =fik = 0, i, £=1,2, 3.
(12.11)
(12.11')
Если преобразование от S' к S записать в виде Λ£μ =
= αμν #ν' , то, согласно формулам (3.6'), величины α μν
определятся соотношением
го о о о
1 а о β ι β 2 β з
,*1 Λι „ι „ι
α ο β ι β 2 β 3
2 2 2 2
(2 ο β 1 ^ 2 β 3
. 3 3 3 3 .
(«Ο # 1 β 2 β 3 J
1/V1 — β2 β/Τ/1 —β2 0 0
β/1/1 - β2
ο
ο
l/Vi — β2 ο ο
ο
ο
Пользуясь контравариантностью тензора /μν,
Г(х)=4а\Г'(х')=Г(х'У,
Γ (χ) = (1/УТ=Щ Λ (X'), k = 2,Z;
1 0
0 1
напишем
(12.12а)
/12(*) = (β/νι-β2)/02ν);)
(12.126)
Выражая в правой части х' через χ, получим окончательно
где
Ε (χ, t)=e(x — ν/)/4πε0 (г')3 У1 — β2;
В (χ, 0 = vXE(x, t)lc\
. ((χ — υί)2 . 9 , «//β
ι—β2
Выпишем также и потенциалы
Φ (χ, 0 = ^/4ле0г'У1 —β2
Л (χ, /) - *ν/4πε0Λ·' 1/1 — β2.
Мы получили, что эквипотенциальная поверхность φ = const
есть эллипсоид вращения, сплюснутый в направлении ν в
V 1—β2 раз. Его центр находится на оси χ в точке х=
= vt, и, разумеется, осью вращения является ось х. Такой
же вывод можно получить прямым решением уравнений
Максвелла в системе отсчета S», но это менее просто.
76

§ 13. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Хорошо известно, что все вещества образованы из
атомов, а каждый атом, в свою очередь, состоит из ядра и
нескольких электронов. Можно считать, что эти частицы
рассеяны в вакууме. Из результатов предыдущего
параграфа вытекает тогда, что законы электродинамики внутри
диэлектриков и магнетиков можно записать в
релятивистски инвариантной форме. Более того, в принципе эта запись
в предыдущем параграфе уже осуществлена. Но
воспользоваться ею практически невозможно из-за того, что
вещество состоит из огромного количества заряженных
частиц и мы не в состоянии точно учесть их движение и
выразить электромагнитное поле с учетом этого движения.
Ввиду этого может оказаться плодотворным
феноменологическое рассмотрение уравнений электромагнитного
поля. В учебниках этот вопрос освещен в настоящее время
слабо. Поэтому автор надеется, что обсуждение основ
подхода к этой проблеме встретит у читателей
благожелательный прием.
Обратимся к рассмотрению феноменологической
электродинамики. Пусть в инерциальной системе отсчета S'
вещество покоится. В системе отсчета 5 вещество (а
следовательно, и S') движется с постоянной скоростью v.
Известно, что в системе отсчета S' феноменологические
уравнения Максвелла для электромагнитного поля имеют вид
div'B' = 0; db'/dt' + rot'E' = 0; (13.1a)
div'D'=p'; J®- — rot'H' = — j\ (13.16)
dt'
Пары 3-мерных векторов (D', Н') и (Е', В') связаны
материальными уравнениями
D' = eE'; Η' = μ-'Β', (13.2)
в которых ε и μ — диэлектрическая постоянная и магнитная
проницаемость среды; вообще говоря, они — функции
точки внутри вещества. Но для простоты предположим, что
ε и μ не зависят от электромагнитного поля. Кроме того,
ток У и напряженность электрического поля Е' связаны
законом Ома
У = аЕ\ (13.3)
Применяя к уравнениям (13.1) — (13.3) преобразование
Лоренца S'-+S, можно однозначно, без какого бы то ни
было произвола, вывести законы электромагнитного поля
в любой инерциальной системе координат S, т. е. законы
77

феноменологического электромагнитного поля в
движущемся веществе.
Если в вакууме рассеяно несколько отдельных кусков
вещества, движущихся с попарно различными (но
постоянными) скоростями, то, пользуясь линейностью уравнений
(13.1) относительно электромагнитного поля, можно
применить принцип суперпозиции. Следовательно, достаточно
знать электромагнитное поле для отдельного куска
вещества. Если разные части единой материальной среды
движутся с различными скоростями, то нужно мысленно
разбить вещество на маленькие участки, движущиеся с
постоянной скоростью. Остается еще проблема учета
ускорений. Но если ускорения не очень велики, то можно,
разбив вещество на достаточно малые участки, считать, что
в течение достаточно малого времени эти малые участки
движутся равномерно и прямолинейно. Следовательно,
предложенный нами выше метод рассмотрения
охватывает достаточно много частных случаев.
Чтобы применить преобразование Лоренца к уравнениям
(13.1а), (13.16), нужно сначала записать эти уравнения в
тензорной форме. Для 3-мерных векторов В' и Е' имеем
В' = (/и, /з., Я; (Мс) Ε'* = (/ίο, /го, /зо). (13.4)
Этим соответствием определен антисимметричный тензор
/μν=—/νμ· Для электромагнитного поля в веществе, в
отличие от поля в вакууме, в случае пары 3-мерных векторов
D' и Н' нужно ввести другой антисимметричный тензор
F^' = —FVM/. Определим его соотношениями
Н' = (Я3', Я1', Я2'); d>' = (Я1', Я2', Я3'). - (13.5)
Воспользуемся, кроме того, 4-мерным током
Ф' = /0'; Г = ϋ1', Λ Л- (13.6)
Тогда уравнения (13.1а), (13.16) примут вид
д'% Uv + dlU + d'v /Ιμ = 0; (13.7a)
d'xF^' = /μ\ (13.76)
Эти уравнения записаны в тензорной форме,
следовательно, они имеют тот же самый вид в любой системе отсчета
[если воспользоваться 3-мерными векторами, то в любой
системе отсчета они имеют вид (13.1а), (13.16)]. Значит,
в системе отсчета 5 имеют место уравнения вида (13.7а),
(13.76) без штрихов.
Пользуясь антисимметричностью тензоров /μν , /?μν,
выразим закон преобразования величин В', Е', Н', D' при
78

переходе к системе отсчета S. Компоненты векторов,
параллельные и перпендикулярные скорости ν, будем
различать символами || и ±. Чтобы придать формулам более
краткий и обозримый вид, будем пользоваться также
символами
Ε* = Ε + ν χ В;
Н* = Н — VXD.
Тогда искомые соотношения принимают вид
Е'„ =Е„ =Е;(; Ei = El/yuTp2; (13.9а)
В'„ = В„; Bi = {В - (ν χ Ε)/£2}±/νΓΤβ2; (13.96)
υ], = D(l; Di = {D + (ν X Hyc^jyY^W; (13.9в)
Η,, = Η „ = Η],; Hi = Hl/УТ^Т2. (13.9г)
Подставляя формулы (13.9) в уравнения (13.2) и (13.3)
и выражая всюду величины в системе S' через величины
в системе S, можно однозначно вывести обобщение
законов (13.2), (13.3) на случай движущихся сред. Это можно
выполнить в тензорной форме. Преобразование Лоренца
ют системы отсчета S к системе S' выражается формулой
.Это же преобразование можно записать в форме,
разрешенной относительно х:
xv = &>μ\
Соотношение между коэффициентами Ь и а определено
.формулой (5.9):
6νμ = V; °μν bv9 = δμρ; b\ av9 = δμρ.
."Поэтому
.^v= yj {b\b\-b\b\)Fw + J] b^b^F"1'. (13.10)
/?=1 k,l=\
Запишем уравнения (13.2) в тензорной форме:
,Fok' = ec*foh'; FkV = μ-1 fkl\ k, I = 1, 2, 3. (13.20
Подставим эту запись в формулу (13.10) и выразим сно-
:ва /μν' через величины в системе отсчета 5. В процессе
.вычислений удобно воспользоваться формулой
•V ь\ а\ = у. Ь\ а\ - Ь\ а\ = δνσ - b\ a\.
,Л=1 t^O
79
(13.8)

Чтобы выразить величину ftv0, поступим следующим
образом. Координаты начала отсчета системы S', записанные в
системе S' и в системе 5, имеют вид
Ж __ /уо/
= (jcO/f Х' = θ); *μ = (jc° = ct, x (/)).
Следовательно, χμ =Ь^оХ°\ Дифференцируя это
соотношение по t, получим (&=1, 2, 3)
k dx uk
dx0'
с =
dx°
Ж
= b»
dx0'
~Ж~
Но так как
Лоо
=%Гоь\ = {-с>+т/(^у
то получаем окончательно
ν*
о о =
d Uk
А0
О о =
С
(13.11)
суьГр с "у/1 — β3
Пользуясь этими формулами, после небольших
вычислений получим для выражения (13.10)
/^μν = —(Γ+(εμ-^)(δν-δνμ)^Γ}. (13.12)
μ
Здесь и^—контравариантный вектор, называемый
4-мерной скоростью начала отсчета системы S', а αρ=ηρμ иУ· —
ковариантный вектор [ср. с формулой (14.3)]. Так как
выражение (13.2) теперь записано в тензорной форме, то оно
сохраняет свой вид в произвольной инерциальной системе
координат. В частности, при
с; if
0. k =1.2,3.
v = 0, т. е. системы отсчета S' и S совпадают. Легко
убедиться, что в этом случае формула (13.12) переходит в
формулу (13.2х). При работе с реальными задачами
удобнее пользоваться записью формулы (13.12) через 3-мерные
векторы:
l-β» L \ ejW V βμβ1/
χμ-ν(ν·Ε)-νχΒ
H=T^7[f(i-erf)B +
+ε(ι-ι^){ν(ν·Β)+νχΕ}]·
(13.13)
m

Поступая аналогично, можно записать б тензорном
виде также и закон Ома (13.3). Сначала выразим 4-мерный
ток /μ в системе S через величины в системе S'. Для
величин \к' получаем из формулы (13.3), А=1, 2, 3,
f = «хГ ·
Выполняя подсчет, аналогичный проведенному выше,
представим это выражение в тензорной форме:
/μ = - Γ2Λν/ν + оирГ. (13.14)
Или, иначе,
(6% + <TVttv) /v = σ/μρί/ρ. (13.14')
Перепишем полученный результат, пользуясь 3-мерными
векторами:
J == Jпровод ~г Jkohb» (Ιο. 10)
JnpoB = (σ/|/Γ^β"2){Ε*-^ν(ν.Ε*)}; (13.16)
Jkohb = PV. (13.17)
Формула (13.16) выражает закон Ома в системе отсчета S,
а формула (13.17) определяет конвекционный ток,
возникающий за счет переноса заряда ρ вместе с веществом со
скоростью v.
При решении уравнений Максвелла (13.1) нужно знать
условия на границе раздела двух различных сред. Пусть
два различных вещества движутся с общей, постоянной
скоростью ν, находясь в контакте друг с другом.
Рассмотрим условия сшивания (граничные условия)
электромагнитного поля на границе раздела этих сред или в случае
движения с постоянной скоростью одного куска вещества
в вакууме условия на границе этого куска. В принципе
ответ на поставленный вопрос можно получить следующим
образом. Примем, что в системе покоя вещества
справедливы известные граничные условия
(В')д, (Е')ь (Н'), —непрерывны на границе;
{D'(l)}„-{D'(2)}„ = co'.
Здесь п, t — проекции физических величин на нормаль к
границе раздела и касательную плоскость к границе
раздела. Вектор нормали η направлен из среды 2 в среду 1;
о/ — поверхностная плотность электрического заряда на
границе раздела. Применяя преобразование Лоренца
S'-*S к формулам (13.18), можно вывести условия для
случая, когда вещество движется со скоростью v.
81
(13.18)

Но выполнить такой расчет фактически очень сложно.
Пусть, например, преобразование S—kS' будет частным
случаем преобразования Лоренца (3.6), при котором
система отсчета S' движется в системе S с постоянной
скоростью ν в положительном направлении оси х.
Рассмотрим 3-мерный вектор PQ = a, направленный из какой-либо
точки поверхности раздела Ρ в другую точку этой
поверхности Q. Между компонентами этого вектора в системах
отсчета S и S' имеют место соотношения
ах = α*|Λ —β2; ау = ау\ аг = αζ
или
α и =а\ VI — β2; α± = α±.
'3-Мерный единичный вектор нормали к поверхности в
точке Р, п, удовлетворяет условию (а-п) = (а'-п') =0.
Следовательно, компоненты этого вектора в системах S и S'
связаны формулами
λ]/Τ^β"2/ι„ =л'ц; ληχ = η1, (13.19)
где λ определено соотношением
λ2((1-β2)("ιι)2 + ("±)2}=1
или
λ«{1-β« («ι)'} = 1·
Пользуясь формулами (13.19), выразим в терминах
величин системы 5 тот факт, что компоненты E't с обеих
сторон поверхности раздела одинаковы:
(e;)1=x«(e;)u. (13.20)
Здесь
Ε,* =Е* — η(η·Ε*).
Для компонент, нормальных к ν, получим
(Е;)± = -^= {(е;)х + 1Αιχ№)χηχ}. (13.20')
Следовательно, из того факта, что в системе S' на границе
раздела непрерывна величина Е/, вытекает, что в
системе S на границе раздела будет непрерывна величина Е/.
Аналогично можно вывести, что на границе раздела
непрерывна величина Н/*.
Когда вещество граничит с вакуумом, возникает
вопрос, какой смысл имеет скорость υ, входящая в
определение величин Ε*, Η* на стороне вакуума? Если вниматель-
82

но просмотреть изложенный выше вывод, можно понять,
что на стороне вакуума в выражения для Е* и т. д. нужно
подставлять скорость вещества.
Но можно избежать отмеченных сложностей и очень
просто получить те же самые результаты, если при выводе
граничных условий исходить из уравнений поля. Известно,
что условия (13.18) в системе отсчета Sf можно вывести
путем подходящего интегрирования уравнений поля (13.1)
в окрестности границы. Следовательно, выполняя такую
же процедуру, можно вывести граничные условия в
системе отсчета S. Но так как в системе отсчета S за малый
интервал времени Δ/ граница сдвигается на νΔ/, то формула
(13.1) неудобна. Перепишем поэтому уравнения поля в
системе отсчета 5 [получающиеся из уравнений (13.1),
если в них опустить штрихи] в виде
divB = 0, δΒ/δί + rotE* = 0; (13.21а)
divD = p, 6D/6/-rotH* = -jnpOB№ (13.216)
где
δΟ/δί = dD/dt — rot (ν X D) + (div D) ν, (13.22)
а символ б В/б/ выражает аналогичную операцию над В.
Кроме того,
d
]пРовод = j — vp = j — v (div D), (13.23)
а величина Е|* определена формулой (13.8). Эта величина
выражает силу в системе отсчета S, действующую на
единичный заряд, закрепленный относительно вещества.
Величина Н* интерпретируется аналогично. Оператор δ/δ/
можно выразить через интеграл по поверхности σ от
некоторой величины А(х, /):
lim—/ Г Α(χ + νΔ/, t + At)da(t + At)—
- j A(x, /)da(/)U^A, (13.24)
где σ(/), σ(/ + Δ/) символизируют рассматриваемую
поверхность в моменты /, / + Δ/, а da(t), da{t + At) означают
бесконечно малые элементы поверхности в моменты t, t +
4-Δ/. Скорость υ в этой формуле может изменяться от
точки к точке на поверхности, т. е. быть функцией х.
Рассмотрим уакий и длинный прямоугольник PQRS
(рис. 8), секущий по нормали границу раздела 1-й и 2-й
сред в момент /. Пусть da{t) —вектор, показывающий
элемент площади этого прямоугольника (этот вектор направ-
83

лен от бумаги на читателя). Интегрируя вторую из формул
(13.21а) по площади прямоугольника и по времени от t
до t+At, получим, согласно формуле (13.24),
At ^rotE* da (ί) + ΗΒ·άσ(ί +At) — Я В Жт (ή = 0.
Если величина Bt на поверхности раздела ограничена, то
в пределе Q^R, P->S второй и третий члены исчезают и
первый член, переписанный с помощью теоремы Стокса
в виде интеграла по контуру, дает
e;o) = e;(2).
Непрерывность Н* получается совершенно так же с
помощью второй из формул (13.216). Первые из формул
(13.21а), (13.216) не содержат производных по времени.
Поэтому при выводе из них граничных условий для
нормальных компонент Вп, Дп достаточно рассмотреть какой-
либо один момент времени. Тогда получится, что
непрерывность нормальной компоненты Вп и условие Dn(l) —
—Dn(2)=G) -выводятся точно так же, как и в случае
покоящейся среды.
ЛТ) Q
® /?
Выше мы вывели основные законы электродинамики
движущихся сред. Среди задач, не рассмотренных нами,
представляет интерес задача о тензоре энергии —
импульса электромагнитного поля в веществе. Этот тензор
выводят, записывая сначала соответствующую величину в
системе покоя вещества 5/, а затем получают ответ в системе
5, применяя преобразование Лоренца S'-*S. Но к
настоящему времени нет установившейся теории для
определения тензора энергии — импульса в системе покоя вещества
S'. Поэтому и для,тензора энергии — импульса в системе
S предлагают различные варианты, каждый из которых
имеет свои достоинства и недостатки. Проблема эта пока
не решена.
Jpiv-^'
©ιιυυαμλΗυι
. ^ раздела
поверхность
6момент t+At
Поверхность
раздела
в момент t
Рис. 8

Глава 4
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
§ 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
Законы Ньютона имеют совершенно одинаковую
форму в инерциальных системах отсчета, связанных между
собой преобразованием Галилея. Но если преобразование
Галилея заменить преобразованием Лоренца, то в
инерциальных системах отсчета будут иметь одинаковый вид
уравнения Максвелла, а не законы Ньютона. Иначе
говоря, законы Ньютона неинвариантны относительно
преобразования Лоренца. Чтобы сделать их инвариантными
относительно преобразования Лоренца, эти законы нужно
немного исправить.
Прежде всего, дадим релятивистское исправление
кинематики материальной точки. В ньютоновской динамике
движение материальной точки выражают, записывая ее
пространственные координаты xh, k=lt 2, 3, в виде
функций времени /. Но такой способ представления не
позволяет оперировать пространством и временем на равноправной
основе, он неадекватен точке зрения теории
относительности. Желательно ввести инвариантный относительно
преобразования Лоренца параметр λ и выражать 4-мерные
координаты материальной точки χμ, μ = 0, Ι, 2, 3, в виде
функции λ. Таким параметром могла бы служить 4-мерная
длина мировой линии материальной точки. Если частица
переходит из мировой точки с координатами χμ в мировую
точку с координатами *μ + Δχμ, то инвариантное 4-мерпое
расстояние (его квадрат) между этими мировыми точками
дается формулой
As2 = ημνΔχμΔΛ;ν = — (cAt)2 + (Αχ)2.
Его можно было бы выбрать в качестве (Δλ)2. Но так как
значение трехмерной скорости ν = Ах/At обычно меньше
скорости света су то контравариантный вектор Αχμ заведомо
времениподобен. Поэтому определенное выше расстояние
As2 заведомо отрицательно. Чтобы не было недоразумений,
лучше написать As2 = —с2{Ах)2. Это значит, что приращение
вещественного параметра τ,*инвариантного относительно
преобразования Лоренца, определяется формулой
85

— £2(Δτ)2= ημνΔχμΔ*ν. (14.1)
Пользуясь вместо λ параметром τ, будем считать, что
4-мерный вектор положения материальной точки χμ есть
функция τ: *μ = χμ(τ). Формулу (14.1) можно переписать
в виде
Ax = AtVl — (v/c)\ (14. Г)
где v=dx/dt — 3-мерная скорость материальной точки.
Величину τ называют собственным временем
материальной точки. Объясним смысл этого названия. Из
определения (14.1) ясно, что величина τ лоренц-инвариантна.
Рассмотрим поэтому движение материальной точки в инер-
циальной системе отсчета S'y скорость которой в данный
момент совпадает со скоростью нашей материальной точки.
Пусть ее координаты в этот момент будут χμ/(τ). Так как
в рассматриваемый момент времени материальная точка
покоится, то
/' (τ) = /' (τ + Δτ), k = 1, 2, 3, χ0' (τ+ Δτ) — χ0' (τ) = Δχ°' =
= cM' φ 0.
Следовательно,
— с2 (Δτ)2 - ημνΔχμ/ΔΛ;ν/ = — с2 (Δ/')2,
т. е. Δτ = ΔΓ. Итак, время /', показываемое часами,
движущимися вместе с материальной точкой, совпадает с τ.
Иначе говоря, часы, покоящиеся относительно материальной
точки, показывают время т. Поэтому τ и называют
собственным временем материальной точки.
Так как собственное время лоренц-инвариантно, то
скорость изменения координат материальной точки χμ
αμ = άχμ(τ)/άτ (14.2)
преобразуется при переходе к другой инерциальной
системе отсчета так же, как χβ , т. е. является контравариант-
ным вектором. Эту величину называют 4-мерной скоростью
материальной точки (или просто ее 4-скоростью).
Рассмотрим материальную точку, покоящуюся в начале координат
системы S'. Ее координаты в системах отсчета S', 5
соответственно равны χμ/ (τ) = (*0/, х'=0), χβ (τ). Они
связаны друг с другом преобразованием Лоренца
λ·μ/ = fl\*v или xv = Ь\х*' = b\x°\
86

Дифференцируя вторую из этих формул по собственному
времени, получим
uv ==bv0cdt'/dx = cbv0. (14.3)
Следовательно, bv 0 совпадает с контравариантным
вектором uv/с. Это соотношение уже встречалось нам ранее в
формуле (13.11).
Связь 4-мерной скорости ί/μ и 3-мерной скорости ν
можно выразить, воспользовавшись формулой (14.Г),
tt* = d*/yT^P; и°=с/у:Г^2. (14.4)
Здесь k=l, 2, 3, a fi=\v/c\. Эти соотношения тоже
встречались нам в формуле (13.11). Далее, из формулы (14.4)
выводим
ημνκν = -<:2. (14.5)
Иначе это соотношение можно получить, деля формулу
(14.1) на (Δτ)2.
Пользуясь тем, что ί/μ —контравариантный вектор,
можно естественным образом вывести закон сложения
3-мерных скоростей. Обозначим складываемые 3-мерные
скорости в системах отсчета S и S' символами до и до' (для
простоты примем, что обе они параллельны оси х). В
качестве преобразования S-kS' воспользуемся частным
случаем преобразования Лоренца (3.6). Выражая и1 через
и1', и0', получаем
и1 = (и1' + β*/°')/ν ί^β"2; β = υ/c.
С учетом формул (14.4) соотношение между и и до, и! и
до' имеет вид
ф' = ш7У(1 — (w'lcf; и0' = c/yi — (w'/c)2 ;
и1 = до/1/1 — (w/c)2.
Исключая из написанных формул и и и!, выводим
w = (w' + v)/[l +(w'v/c2)].
Эта формула сложения получается из формул (4.12), если
в них принять иу = и'у = 0; uz = uz = 0 и ux = wt ux = до'.
4-Мерное ускорение определим формулой
αμ = du^ldx = ά2χμ/άτ2.
Так же как и 4-мерная скорость, αμ —контравариантный
вектор. Но ввиду тождества (14.5) векторы αμ и ί/μ
«ортогональны». Именно
87

νμών = °· (14.6;
Это тождество легко доказать, дифференцируя формулу
(14.5) по τ. Наконец, выпишем конкретные формулы,
связывающие 4-мерное ускорение αμ и 3-мерное ускорение
dv/dt = d2x/dt2:
/ ι 2 з\ I dv . 1 / dv \
а = (а\ а2, а2) = ν Ι ν· — );
' ' } l-β2 at ^ с8 (I — β2)^ V dt J
c(l —β2)2 \ dtj' r
ν
с
§ 15. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ОБОБЩЕНИЕ
ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ
Если в преобразовании Лоренца скорость движения
системы отсчета S' относительно системы отсчета 5
достаточно мала по сравнению со скоростью света, то это
преобразование переходит в преобразование Галилея.
Следовательно, если уравнения Ньютона (инвариантные относительно
преобразования Галилея) обобщить так, чтобы они стали
инвариантными относительно преобразования Лоренца, то
новые уравнения в пределе малой по сравнению со
скоростью света скорости материальной точки должны мало
отличаться от законов Ньютона.
Поэтому потребуем, чтобы обычные законы Ньютона
были справедливы в системе покоя материальной точки,
т. е. в такой инерциальной системе отсчета S', в которой
наша материальная точка в данный момент покоится.
Итак, запишем уравнения Ньютона в системе отсчета S':
m^ = Fk'; 4r- = 0, /е = 1,2,3. (15.1)
Здесь m — масса материальной точки, a Fh'— k-я
компонента действующей на нее (в системе отсчета S') внешней
силы. Дополним (15.1) еще одним уравнением
mdWldtf* = F*'. (15.2)
В левой части последней формулы, разумеется, стоит нуль,
d2(ct')lvt'2 = 0. Следовательно, 3-мерный вектор силы F'
можно обобщить, превратив его в 4-мерный, только в том
случае, если принять, что временная компонента F0'
4-мерного вектора силы согласно формуле (15.2) равна нулю в
системе покоя материальной точки. Тогда основные
уравнения механики в системе S' молено записать в виде
mdW/dt'2 = Fμ', μ = 0, 1, 2, 3. (15.3)
88

В этой формуле мы дифференцируем по Ϊ. Поэтому при
преобразовании Лоренца левая часть ведет себя очень
сложно. Вспомним, однако, что система отсчета S'
является в рассматриваемый момент системой покоя нашей
материальной точки. Тогда V можно интерпретировать как ее
собственное время и написать вместо (15.3)
mdWld%2 = F*\ (15.3')
Теперь левая часть равенства — контравариантный вектор.
Следовательно, форма записи законов механики станет
лоренц-инвариантной, если правая часть (15.3'), так же
как и левая, будет контравариантным вектором. Для этого
контравариантным вектором должна быть сила /Γμ/. Итак,
мы установили векторную природу силы F^ '. Применив к
формуле (15.3') преобразование Лоренца, запишем
основные уравнения механики в произвольной инерциальной
системе отсчета
md2x[l/dT2 = F[l. (15.4)
Пусть преобразование S'-+S имеет вид
χν = &νμχμ' (обратное преобразование — χβ' = а\ху).
Тогда для силы F*1 можно написать
Г = &\Г'=2 b\Fk\ (15.5)
h=\
В формуле (15.4) мы не обязаны считать, что dxh/dx = 0.
Уравнение (15.4) справедливо не только в рассмотренный
ранее (при его выводе) момент собственного времени, оно
верно всегда.
Релятивистская сила F^ —4-мерный вектор, имеющий
четыре компоненты. Его называют 4-мерной силой. Но
между ее четырьмя компонентами есть одно линейное
соотношение. Поэтому число ее независимых компонент
равно трем. Это легко понять, вспомнив, что в системе отсчета
S' F°' = 0. Запишем указанное линейное соотношение.
Умножая обе части формулы (15.5) на ημν bv 0, получаем
\yoF»=£%vb\b\Fk'.
Так как Ь\ —коэффициенты преобразования Лоренца, то
множители перед Fk\ k = \t 2, 3, в правой части равны нулю.
Подставляя в левую часть формулу (14.3), получим
окончательно
и^ = 0. (15.6)
89

Здесь #μ —4-мерная скорость материальной точки в
системе отсчета S.
Легко понять, что если бы условие (15.6) не имело
места, то уравнение (15.4) противоречило бы самому себе.
Умножая обе части (15.4) на ίΐμ , получаем
ти^а? = Ημ/?μ, αμ = ά2χμ/άτ2.
Но левая часть, согласно тождеству (14.6), тождественно
равна нулю. Следовательно, и правая часть должна
равняться нулю. Таким образом, любая 4-мерная сила должна
удовлетворять условию (15.6).
Рассмотрим пример силы /7μ. Пусть протон массы т,
заряда е движется в вакууме под действием
электромагнитного поля /μν. Уравнение движения протона определяется
действующей на него 4-мерной силой /Γμ. Согласно
сказанному выше
m-£?- = /*; F*=2)ftV",
где Я'— сила в системе покоя S'. Если ее выразить через
тензор /μν, она примет вид
Я' = еЕ\ = cefoi' = cea\alQ Г (*).
Следовательно,
Применим приемы расчета, использованные нами в § 13.
Переписывая с их помощью правую часть, получаем
F[i = eca\r.
Пользуясь соотношением [ср., например, с формулой
(14.3)]
flp=^p = — Up/C,
приведем выражение для /7μ к виду
Р» = еГир. (15.7)
Так как /μρ = —/ρμ, то
Таким образом, условие (15.6) удовлетворено.
В 3-мерных векторных обозначениях формула (15.7)
принимает вид
F = (Я, Я, Я) = К// l-{v/c)2 , (15.8)
90

где К — сила Лоренца в системе S,
K = e(E + vXB).
Пользуясь тождеством (15.6), получим
cF° γ \—{vlcf = (ν Κ). (15.9)
Таким образом, величина cF°yi — (v/c)2 равна работе,
производимой электромагнитным полем над протоном в
единицу времени.
§ 16. ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС
Поступая так же, как делают в ньютоновской механике,
запишем уравнение (15.4) в виде
dfPldx = F*. (16.1)
Введенную здесь величину ρμ называют 4-мерным
импульсом. По определению
d
ρ* = rmP = rndx^dx. (16.2)
Очевидно, что ρμ — контравариантный вектор. Выясним
его смысл. Полагая
Ρ = (Р\ Р\ Р3),
перепишем уравнение (16.1), пользуясь формулой (14.1'):
dp/dt = ¥Y l—(v/c)2 .
Вспоминая связь пространственных компонент 4-мерной
силы F с силой Лоренца (15.8), установленную в
предыдущем параграфе, будем в общем случае интерпретировать
величину
K = F1/"1— (v/c)2 (16.3)
как силу в смысле ньютоновской механики. Тогда
пространственные компоненты уравнения (16.1) принимают
вид обычного закона Ньютона
dp/dt = K, (16.Г)
откуда следует, что стоящую в левой части (16.1')
величину ρ нужно рассматривать как импульс материальной
точки. Согласно тождеству (15.6), соотношение (15.9)
имеет место для произвольной силы К (а не только для
силы Лоренца). Временная компонента уравнения (16.1)
имеет вид
d(cp°)/dt = cF°V \—{vlc)2 = (Κ·ν). (16.1*)
91

Выше мы уже отмечали, что правая часть здесь равна
работе силы К над материальной точкой в единицу
времени. Следовательно,
с/?°=энергия материальной точки + const.
До создания теории относительности начало отсчета
энергии можно было выбирать совершенно произвольно. Но
Эйнштейн принял, что константа в указанной выше
интерпретации величины ср° не является произвольной; по
Эйнштейну, эта константа равна нулю. При таком выборе
константы (энергия/с) и импульс объединяются в один
4-мерный вектор. Эйнштейновское определение константы
приведет нас в дальнейшем к важным выводам. Для
выяснения истинности такого определения нет других
способов, кроме эксперимента. Верность эйнштейновского
определения подтверждает огромный экспериментальный
материал. Некоторые экспериментальные факты этого
рода мы рассмотрим ниже.
Подытожим сказанное. Согласно определению (16.2)
имеем
ρ = ν _ = импульс материальной точки;
/1 — (ν/с)2
тс2
ср° = =■ = W = энергия материальной точки;
(16.20
Если в формулах (16.2х) принять v = 0, то ρ обращается
в нуль, а энергия W оказывается равной не нулю, а тс2.
Эту величину называют энергией покоя материальной
точки. Таким образом, из формулы (16.2') вытекает
важнейший вывод: покоящееся тело массы т обладает
энергией тс2·. Общеизвестно, что сумма всех видов энергии —
величина постоянная, не зависящая от времени. Но если
ограничиться рассмотрением, например, одной только
механической энергии, то она не сохраняется, а, вообще
говоря, переходит в энергию других видов. Следовательно
энергия тс2 не является чисто механической величиной,
правильнее считать, что эта энергия может принимать
любой вид. Но тогда, обращая постулат о связи энергии с
массой покоя, можно утверждать, что энергия W любого
вида обязательно соответствует масса, равная W/c2.
Например, можно сказать, что масса покоящегося куска железа
возрастает при увеличении его температуры. В самом
деле, внутренняя энергия нагретого тела (тепловая
энергия) больше внутренней энергии тела холодного. Следова-
92

тельно, и масса нагретого тела больше массы холодного
тела на величину, равную (разность внутренних
энергий) /с2. Рассмотрим интересную задачу обобщения
уравнения (16.1) с учетом обобщения понятия энергии W.
Пусть в системе покоя материальной точки на нее не
действуют внешние силы. Тогда
dpk'/dT = 0, k= l, 2, 3.
Будем нагревать эту материальную точку, сообщая ей в
единицу времени тепловую энергию Q'. Тогда
dpQ'/dx = Q'/c = F0'.
В произвольной системе координат это соотношение
принимает вид
арЩт = /Л' F» L b\F*' = c-^Q!b\. (16.4)
4-Мерная сила здесь удовлетворяет соотношению
UllF* = c-iQ'U[lb>l0 = -Q'.
Таким бразом, условие (15.6) для 4-мерной силы не
выполнено. С другой стороны, умножая формулу (16.4)
на и μ у получаем
левая часть = и» (тиУ) = — с2 ,
άτ di
Следовательно,
dmldx = Q'/c2.
Это — записанное в математической форме утверждение
о возрастании массы нагреваемого тела. Иными словами,
силы, не удовлетворяющие условию (15.6), описывают
ситуацию, в которой над телом не только производится
механическая работа, но ему сообщается энергия
немеханической природы. Под действием такой 4-мерной силы
масса материальной точки изменяется с течением
времени.
Прежде чем обсуждать эксперименты, подтверждающие
истинность утверждения Эйнштейна о равенстве нулю
константы в интерпретации величины ср°, рассмотрим
некоторые соотношения для импульса /?μ. Прежде всего,
из тождества
щ^ = —с2 (16.5)
93

вытекает
р^ = -(тс)\ (16.6)
Это тождество — определение массы. Оно дает связь между
энергией и импульсом частицы
W = с V(p)2 + (mc)2. (16.6')
В частности, когда скорость материальной точки υ
гораздо меньше скорости света с, можно пренебречь
членами (υ/c)2 и получить из формулы (16.2) |р| ^mv<^mc.
В таком нерелятивистском случае (точнее, в случае
Μ <Сс) формула (16.6х) принимает вид
W = mc2+(\/2m)(p)2 + . . .
Точками здесь обозначены члены второй и более весо-
кой степени по (р/тс)2. Пренебрегая ими, можно сказать
W3 = тс2 + WH
(Ws и Wh — эйнштейновское и ньютоновское определения
энергии). Здесь, разумеется, Wn равно (р)2/2т. Это
соотношение можно вывести из формул (16.2'):
W = mc2+(\/2)m(v)2 . . .ttmc*+WH.
Таким образом, грубо говоря, эйнштейновское
определение
W3 = с ρ"
(при котором призвольная константа принята равной
нулю) соответствует тому, что в ньютоновском определении
энергию нужно отсчитывать от уровня тс2.
Обсудим несколько экспериментальных фактов,
подтверждающих верность эйнштейновского определения
начала отсчета энергии. В качестве примера рассмотрим
массу ядра дейтерия (дейтона) d. Дейтон — частица, в
которой ядерными силами соединены протон ρ и
нейтрон п. Обозначим массы этих частиц т^ тр> тп. Следуя
эйнштейновскому определению, примем, что полная
энергия Wd покоящегося дейтона равна т&с2. Скорости
протона и нейтрона внутри дейтона гораздо меньше скорости
света. Поэтому полную энергию дейтона можно записать
в виде
Wa = трс2 + тпс2 4- ΚΕΌ + КЕп + РЕр.п,
где КЕ — кинетическая, a PF — потенциальная энергия.
Так как протон и нейтрон няходятся в связанном
состоянии, то
94

-B = KEp + KEn + PEp,n.
Следовательно, согласно эйнштейновскому определению
md = Wd/c2 = тр + тп — В/с2 <тр + тп.
Это соотношение выражает хорошо известный
экспериментально эффект дефекта массы. Дефект массы характерен
не только для дейтона, он присущ ядрам всех атомов.
Этот эффект стал понятен после появления теории
относительности.
Теорию Эйнштейна подтверждает также следующий
экспериментальный факт. Если вещество облучать
^излучением высокой энергии, то вблизи атомных ядер внутри
вещества энергия γ-излучения превращается в пару
электрон (е~) —позитрон (е+), т. е. вблизи атомных ядер идет
реакция
γ -* е+ + е~.
Если утверждение Эйнштейна верно, то полная энергия
правой части должна быть на 2тс2 больше суммы
кинетической и потенциальной энергии электрона и позитрона
(т—масса электрона). Из закона сохранения энергии
вытекает тогда, что энергия γ-излучения тоже должна
быть больше 2тс2. Это означает существование порога для
эффекта конверсии γ-излучения с образованием электрон-
позитронных пар. Наличие порога подтверждено
экспериментально: возникновение пар е~е+ наблюдается только
в том случае, если энергия γ-излучения превысит 2тс2.
Таким образом, в настоящее время справедливость
эйнштейновского определения произвольной константы
надежно подтверждена; и наоборот, пользуясь вытекающим
из него соотношением массы и энергии, производят
определение масс неизвестных частиц. Пусть, например, при
распаде частицы А вылетели частицы В, С. Если
измерены энергии и импульсы частиц В, С, то, пользуясь
законами сохранения, можно косвенно определить энергию и
импульс частицы А. Подставляя их в соотношение (16.6),
находят массу частицы Л. Это — обычный метод в физике
элементарных частиц.
§ 17. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА
Уравнения движения материальной точки (15.4) и
уравнения Максвелла (11.4) можно вывести из принципа
Гамильтона. Рассмотрим случай, когда N точечных
зарядов, массы которых /и,·, а заряды ей i=U 2, ..., Ν, взаимо-
95

действуют с электромагнитным полем. 4-Мерные
координаты i-й заряженной частицы обозначим 2μ (λ;), или
просто ζμ(/)> где λ* — параметр, описывающий траекторию
частицы, например ее собственное время.
Рассмотрим сначала случай, когда частицы не
взаимодействуют с электромагнитным полем (систему свободных
частиц). Интеграл действия* для этого случая имеет вид
ί=1 —оо
Формула (17.1) проверяется непосредственно: определяя
функцию Гамильтона, соответствующую написанной здесь
функции Лагранжа, убеждаемся, что эта функция Гамиль»
тона совпадает с полной энергией системы частиц.
Формула (17.1) сохраняет свой вид, если параметры λ,-
заменить произвольными монотонно возрастающими
функциями λ{, Xi-+Si = f(Xi). В самом деле,
J V dXc dki l J V dsc dsc l
Выбирая здесь, в частности, в качестве λ* величины 2P(i)'/c
и полагая, для еще большего упрощения, временные
координаты всех частиц одинаковыми, приведем интеграл
действия к виду
I0 = §L0dt;
1=1
z°(i)/c = t, / = 1,2 Ν.
(17.1')
Пользуясь хорошо известной процедурой аналитической
механики, запишем канонические импульсы р&(0>
соответствующие координатам zh(i), k=l, 2, 3:
Р*(0= ,f° i ^mi^^l]/l-(^l)2i (17.2)
Hk W д [dzk (i)ldt) dt I У \ cdt J V '
* Для выбора интеграла действия нет других критериев, кроме
интуитивных. Обычно известен вид уравнений, которые надо вывести с
помощью варьирования. Решая обратную задачу, проверяют различные
гипотезы о виде интеграла действия. После некоторой практики можно
уловить секрет того, как это делается.
96

Полученный результат совпадает с определением (16.2').
С помощью этих соотношений можно, наоборот, выразить
скорости dz(i)/dt через импульсы. Соответствующая
функции Лагранжа L0 функция Гамильтона имеет вид
ν
dt °·
Если в этой формуле выразить все скорости через
импульсы, то функция Гамильтона примет вид
#0 = XJ cVlnW+¥W~. (17.3)
i=\
Это — полная энергия рассматриваемой системы
свободных частиц. Варьируя интеграл действия (17.Г) по zh(i),
выводим уравнения движения
J_l m(dzk(l)/dt_\^ Λ=1>2 g. i=l . . .,tf,
dt \ J\ _ (dz (i)/cdt)* J
Таким образом, интеграл (17.1) действительно является
интегралом действия рассматриваемой системы свободных
частиц.
Если частицы взаимодействуют с электромагнитным
полем Лμ, то интеграл действия необходимо записать в
виде
(17.4)
Здесь Av(i) означает величину Av(x), в которой принято
х» =zv> (i). Определим уравнения движения частиц в поле,
варьируя интеграл (17.4) по z^(i). Примем, что
Тогда
τ fn^_f f-e слагаемое подынтегрального)
L") = \ выражения (17.4) j
Г
dL(i) dzv(i) ( д
dz^(i) dK{ l &«* vwb=z(0'
d ( dL(i) 1
d%t I d(dz^(i)/dli) J
- d \mc dZ[l (t) / Ί/ dZv (t) d*V (/) 1 ι c dA»(i)
άλι \ άλ{ I ' άλ{ d%i J d%i
Зак. 2035 97

Как мы уже говорили выше, переменную интегрирования
можно выбирать произвольно. Поэтому, в частности, в
качестве Кг можно принять собственное время хь i-и частицы.
Тогда
— (dzv (i)/dXi) dz* (fydxt = с2.
d
ϊ) = dzv (i)/dri} получим
* ί И* № I " /л , „lv/л ί д\М
d
Вводя символ z^ (i) = dz^ (i)/dri} получим
dXi 1 dz»(i) / 1 дх* >X=z{i)
■ Следовательно, уравнения Эйлера принимают вид
• tdAv(x) Λ4μ(*) \ ..
1 дх» dxv )x=ziC)
или
m^z» (ή/άτϊ = ef (0 *v (/)· (17.5>
Правая часть здесь совпадает с правой частью
уравнения (15.7).
Далее, так же как и в случае свободных частиц,
определим функцию Гамильтона. Примем, что все λ{ равны
времени в рассматриваемой системе отсчета t, 2®(i)=ct,
i=l, 2, ..., N. Тогда функция Лагранжа примет вид
1-Й-·* ιΛ-(-^)'+«α»-3*-+«*.«}.
t=l
Для импульсов рк(i), k=l, 2, 3, сопряженных
координатам zh(i), получим
d(dz*(i)/#)
а для функции Гамильтона
Я = 2 [cVipQ-eMW + imd* - efA0 (i)). (17.7)
Выражение в фигурных скобках в правой части (17.7) мы
интерпретируем как энергию i-й частицы. Тогда по
определению
98

_ р0 (О = -L { } = У {ρ (ι) _ βί\ (i)}2 + {miCf - eiA0 (i).
(17.8)
Вместо po(t) можно ввести другую величину πο(ί):
"о (0 = {Ро (0 - *А (')} = - K("¥f + W0}2 . (17.8')
где
"*(9 = Р*(0 —еДк(Э· (17.9)
Согласно формуле (17.6),
%(0 = %^//ΐ-(^)!, * =1,2,3. (.7.10,
Сравнивая формулы (17.10) и (17.2), замечаем, что
соотношение (17.10) для случая взаимодействия с
электромагнитным полем можно получить, если величину ρ(ί)
d
(17.2) для свободных частиц заменить на π(/)=ρ(0 —
— eiA(i). Точно так же, сравнивая (17.8') и (17.3), легко
убедиться, что формулу (17.8') можно получить из (17.3),
d d
заменяя p(i) на π(ί)> a p0(i)=—H0(i)/c на n0(i)=p0(i) —
— β{Αο(ί). Короче говоря, соотношения (17.10) и (17.8')
для случая взаимодействия с электромагнитным полем
можно получить из соотношений (17.2), (17.3) для
свободных частиц, если в последних соотношениях сделать
замену
d
Ρμ (0 "> πμ (Ζ) = ρμ (Ζ) — ^μ (0,
μ = 0, 1,2,3; i= 1, 2, . . . , Ν.
Если электромагнитное поле Αμ, (χ) задано, то, решая
} равнения (17.5), можно определить движение частиц. Но
в нашем случае поле Ац создается самими заряженными
частицами, входящими в задачу, и уравнения (17.5)
следует рассматривать совместно с уравнениями Максвелла.
Для этого к выражению (17.4) нужно еще добавить
интеграл действия электромагнитного поля, т. е. рассмотреть
интеграл действия
/ = Σ ] i-niic/ -ζμ(ι)ζ^(ί) +eiAlx(i)z»(i)}dxi-
l=\ —oo
-riUWrw^, 07·11)
4* 99

где тг·, разумеется, собственное время ί-й частицы, a d3x—
= dxdydz. Приведенную выше формулу удобнее записать
в виде
/ = J L (x) d% d*x = ахРахЧхЧх?, (17.1 Г)
где
N оо
1 w = Σ ί ί~ щс ^~z» w *μ (/) +^ wζμ w) χ
t= l —со
Χ δ*{*-ζ(0>Λ£ -^/μν (*)/■"(*), (17.12)
4μ0ο
а /μν = 5μΛν — 5ν^1μ. Кроме того,
d
δ*{*-ζ(0} = δ{*ο-Ζο(0}δ{ }δ{ }6{*»-2»k(i)},
где δ (χ — α)—δ-функция Дирака. Рассматривая /, как
функционал от ζμ (ί) и Λμ(#) и варьируя по ним, выводим
уравнения движения ί-й частицы и уравнения Максвелла
для электромагнитного поля. Уравнения движения частиц
не отличаются от полученных выше уравнений (17.5), а
для уравнений поля получаем
dLjx) _э_( дцх) ]_0 - < ,
Μμ(«) dxv Ι^μ,νΜ
Если в качестве L(x) подставить выражение (17.12), то
уравнения поля примут вид
N
У*еЛг»(1)6*{х-г(1)}аГс--^-дчГ = 0. (17.13)
t=l
Вводя ток
JHx)iycet J *4i)&{x-z(i))dxt, (17.14)
перепишем уравнения (17.13) в виде уравнений (12.1)
0νΓ = μο/μ(*)· (17.13')
Так как /μν = δμΑν — 5νΛμ, то другая группа уравнений
Максвелла [уравнения (12.2)] получается автоматически;
на ней мы здесь не останавливаемся.
Удовлетворяет ли ток /μ (χ), определенный формулой
(17.14), уравнению непрерывности? Имеем
100

oo
— /μ (χ) = Σοβ{ Γ ζ» (0 — δ4 {χ — ζ (ι)} eht =
<5χμ J 5*μ
—ΟΟ
1 J &μ(ί) άτι
—ΟΟ
ΟΟ
= -2te, Γ J—^{x-z{i))dTh
J ατ*
—ΟΟ
Здесь х°—ограниченная величина. С другой стороны, при
ti->-±oo величина 2°(i) тоже стремится к ±оо. Поэтому
б {л:0 — г°(/)} при Тг-^±оо равна нулю, и уравнение
непрерывности удовлетворено:
di/(*) = 0.
Чтобы проверить, действительно ли величина j°(x)/c
дает плотность заряда, проинтегрируем ее в некоторый
момент времени х°=const по всему 3-мерному
пространству:
оо N оо оо
— Г j0(x)dxdydz = X*ei Г Ле Г б4{* — z(i)} ^^-άτ{ =
ί = 1 00 00
N ОО
Υ%< Γ δ8{* —*(ί)Κ*.
ί=1 —οο
d
Здесь величина ζ(ί), входящая в δ3{χ — гг}=б{х— z{i)}>
указывает положение ί-й частицы в момент x° = z°(i), i=
= 1, ..., N. Беря последний 3-мерный интеграл, получаем
оо N
— Г j° (x) dxdydz = V ei — полный заряд,
-оо 1=1
т. е. убеждаемся, что ίμ(χ)—действительно 4-мерный
вектор плотности тока.
Закон сохранения энергии и импульса полной системы,
включающей частицы и электромагнитное поле, можно
выразить в очень красивой форме. В § 12 мы уже говорили,
что из уравнения поля (17.13) можно вывести
соотношение
dvT\(x)w = /ρλ/\ (17.15)
101

совпадающее с соотношением (12.80. Здесь fvp(e)—тензор
энергии — импульса электромагнитного поля. Он
определен формулой (12.9):
Гт i - (1/μ0) (ΓλΑρ-δνΡΓβ/αβ/4). (17.16)
Пользуясь формулой (17.14), перепишем правую часть
уравнения (17.15) в виде
N
Ы*)/М
χ — z(i)}eifP%{i)z%{i)(hl.
Подставляя в правую часть этого соотношения уравнения
движения частиц (17.5), получаем
ж^ч η d2z (i)
Σсщ) ^Γ-δ*{χ-ζ№άτ'=
i=l
dz0(i)
£_в*{ж_г(0}^»_Л|в
J dti dzv (i) άτί
i=\
Γ N
= -^\ ^^ί^(0*ρ(0β4*-*(0>*.
Полагая, по определению,
Гр (х)(т) = - 2 mfi J 2v (ι) гр (t) δ* {* - ζ (/)} Λ,, (17.17)
ί=1 —οο
представим уравнение (17.15) в виде
Ά d
* ρ = U, ip^i p(e) ■+■ ' p(m).
dxv
(17.18)
Величина Г vP(m) выражает энергию — импульс (их
плотность) системы заряженных частиц. В самом деле,
интегрируя (0, 0)-компоненту (17.17) по всему 3-мерному
пространству в некоторый момент времени х° = const,
получаем полную энергию системы материальных точек
со
j T°0(x)(m)cPx =
—со
N СО ρ СО -I
= Σ щс f ^Ч δ <х — ζ (0> f z° (0 δ ix°—2° (0) dz° (ι) =
t=l —со
102

Ν
Σ тс2
i=l /ι-{β(0)2 '
где β(ι) = \dz(i)cdt\—величины, взятые в моменты
времени z°(i)/c=x!0/c=t, i=l, 2, ..., N. Совершенно
аналогично для компонент Г, соответствующих парам индексов
v = 0, p = k=l, 2, 3, получим, что интеграл
ί
JU /ΐ_{β(/)}2
at
равен —с, умноженному на k-ю компоненту импульса
системы материальных точек. Далее, интегрируя
соотношение (17.18) по пространственно-временной области,
ограниченной моментами времени t = t\ и t = t2 (т. е. по области
пространства — времени, ограниченной двумя
гиперплоскостями t = t\ и t=t2 и простирающейся по пространственным
переменным до бесконечности), получаем
J Г°р (х, Ц(Рх-] Т°р (х, tj d*x =
00 ОО
= "(еЫ> Ί d*xj}dkTkp(x,t).
Ctt —00 k=\
Применяя к правой части теорему Гаусса и учитывая, что
на пространственной бесконечности нет ни
электромагнитного поля, ни частиц, убедимся, что правая часть здесь
равна нулю. Следовательно, величина
J9= J T\{xJ)d*x
—ОО
не зависит от времени (постоянна). Это — закон
сохранения энергии — импульса. Ниже (в § 26) мы покажем, что
величина /р—ковариантный вектор относительно
преобразования Лоренца. С учетом этого замечания запишем его
в виде
yn = 4f«E-Dl + (BH)}<f*+V от'с2 —;
2 J <шЛ /ι_{β(ί)>·
(17.19)
103

Наконец, перепишем тензор энергии — импульса
заряженных частиц Γμν(/η)Β несколько более понятной форме.
Пусть система частиц заключена в небольшой
пространственной области и пусть все частицы движутся с
одинаковой скоростью. Тогда, обозначив через и* (t)
4-мерную скорость какой-либо одной из этих частиц в момент ί,
получим из формулы (17.17):
Τμν(χ,0(^) =-^(0"ν(0Σ mfi№{x-z(1)}dxt.
Но при преобразовании Лоренца
*μ -* *μ' = α\χν\ ζ* -► ζ*' = α\ζν
имеет место тождество
\&{x — z(i)}d*x = \V{x' — z'{i)}(Px' = \.
А так как det(a\) = 1, To d*x = d*x'. Следовательно,
&{x — z{i)} = &{x' — z'(i)}.
Поэтому плотность
d Ν
p(x) = Y1micl^{x — z{i))dxi
лоренц-инвариантна. Воспользуемся системой отсчета S',
в которой частица покоится. В этой системе cxi = z°'(i) =
= cf, i=l, 2, ..., Ν, и
ρ (χ) = ρ' (*') = jg mfi {χ' - ζ' (τ, = Г)}·
Это — плотность массы частиц в системе покоя.
Следовательно,
7*Vi(x,O(*) = -Р(х, 0"μ(0"ν(0· (17.20)
Предположим теперь, что система частиц разбита на
несколько подсистем и частицы отдельной подсистемы (так
же как и в случае одной группы частиц, рассмотренной
выше) движутся с одной и той же скоростью. Тогда
изложенные выше соображения применимы к каждой
подсистеме. Но так как теперь 4-мерные скорости и^ в разных
подсистемах разные, то в данном случае Φ является
функцией не только от t, но и от положения χ центра
масс подсистемы. Следовательно,
Τμν (х, t){m) = - ρ (х, t) и» (х, t) и? (х, t). (17.20')
104

Чтобы в рассматриваемом случае был справедлив закон
сохранения количества вещества, должно иметь место
уравнение непрерывности
0μ{ρ(*)"μ(*)} = Ο (17.21)
[под и(х) подразумевается и(х, /)]. Это легко доказать.
В самом деле, учитывая, что в выражение для плотности ρ
входит б{* — z(i)}, можно написать и* (х)-^и^ {z(x)} =
=dz^/dx. Поэтому доказательство формулы (17.21)
проходит аналогично доказательству равенства (?μ/μ = 0.
Заметим, наконец, что в величине ρ (л:) (17.20х) учтены
частицы, находящиеся в окрестности
пространственно-временной точки х. В связи с этим не нужно забывать, что
р(х) имеет смысл плотности массы в окрестности этой
мировой точки в системе ее покоя, записанной в
произвольной инерциальной системе координат.

Глава 5
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 18. НЕДОСТАТКИ ЧАСТНОЙ ТЕОРИИ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Рассмотренная нами частная теория относительности
дает великолепный пример глубокой по содержанию,
красивой по форме физической теории. Одно из ее эпохальных
достижений—объединение пространства и времени в
единое пространственно-временное многообразие. Но все же и
у этой замечательной теории есть два крупных недостатка.
Во-первых, она рассматривает только соотношения между
инерциальными системами. Во-вторых, в ней не учтена
(да в ее рамках и не могла быть учтена) гравитация
(всемирное тяготение). Ниже нам станет ясно, что между
этими недостатками есть тесная связь.
Инерциальные системы отсчета очень удобны для
описания физических явлений. Однако явления можно
описывать и в системах координат, совершающих в некоторой
инерциальной системе отсчета ускоренное движение
(например, вращение; такие системы координат называют
ускоренными). Ускоренные системы отсчета, правда,
имеют недостаток: явления природы в них описываются
сложно из-за появления так называемых сил инерции.
Тем не менее пользоваться одними только инерциальными
системами отсчета не всегда удобно. Но даже если не
затрагивать вопросы удобства или неудобства, часто
бывает очень трудно понять, какая же система использована
в действительности — инерциальная или ускоренная? А в
масштабах вселенной, с учетом гравитационных полей,
отличить инерциальную систему отсчета от ускоренной
скорее всего невозможно.
В § 1 мы рассмотрели критерий решения вопроса об
инерциальности системы координат, согласно которому
в инерциальной системе отсчета тело движется равномерно
и прямолинейно, если на него в некоторой области не
действуют внешние силы. Инерциальность системы
отсчета можно также установить, проверив, будет ли
материальная точка двигаться под действием внешней силы
с ускорением, пропорциональным силе. В частности,
используемая система координат инерциальна, если мате-
106

риальная точка под действием силы тяжести движется
ускоренно в направлении силы. Рассмотрим теперь
находящийся на краю вселенной (т. е. в области, где не
действуют никакие силы) ящик, совершающий ускоренное
движение в инерциальной системе отсчета. Система
координат внутри ящика ускоренная. Наблюдатель в ящике
видит, что тела «свободно падают» в направлении,
обратном ускорению ящика. Ситуация в ящике неотличима
от случая, когда тела ускоренно движутся под действием
силы тяжести в инерциальной системе отсчета. Так как
наблюдатель в ящике не знает, что его ящик ускоренно
тянут за веревку, то вряд ли он свяжет наблюдаемое им
свободное падение со своим собственым ускоренным
движением. Скорее, он интерпретирует факты так: сам он
пользуется инерциальной системой отсчета, а наблюдаемое
свободное падение тел вызвано тем, что ящик помещен в
гравитационное поле. Ничто не мешает такой
интерпретации. Если в первом примере наблюдатель думает, что его
собственная система отсчета инерциальна, то и второй
наблюдатель, видящий совершенно те же опытные факты,
естественно, может утверждать, что он пользуется
инерциальной системой отсчета. Рассмотренный нами пример
известен как мысленный эксперимент Эйнштейна с ящиком.
Итак, по крайней мере локально, невозможно отличить
действие силы тяжести от действия сил инерции,
вызванных ускоренным движением наблюдателя. Мы не можем
решить, инерциальна или ускорена система отсчета в
нашем ящике. Иными словами, при учете силы тяжести
рассмотрение механических процессов не позволяет
отличить инерциальную систему отсчета от неинерциальной.
Это значит, что принципиально невозможно ограничиться
рамками инерциальных систем отсчета (как делается в
частной теории относительности). Надо уметь описывать
физические явления в произвольных системах координат,
т. е. учитывать наиболее общие преобразования
координат, а не ограничиваться преобразованием Лоренца для
инерциальных систем. К разъяснению этой мысли и
сводится высказанное нами замечание о тесной связи двух
отмеченных выше недостатков частой теории
относительности.
Опираясь на указанные соображения, Эйнштейн
выдвинул в качестве принципа следующее смелое
утверждение: все физические законы имеют одинаковую форму в
любой системе отсчета. На математическом языке это
утверждение формулируется так: все физические законы
можно записать в форме, ковариантной относительно про-
107

извольного преобразования координат. Это — обобщение
частного принципа относительности, о котором мы
говорили в гл. 1., Сформулированный здесь принцип называют
общим принципом относительности.
Наблюдения всех физических явлений в конечном счете
сводятся к подтверждению совпадения места и времени
двух событий. Например, при измерении времени нужно
убедиться, что на двух часах совпали деления
циферблатов и показания стрелок. При изучении движения
материальной точки прежде всего нужно уметь указывать ее
положение в некоторый момент времени. Для этого нужно
установить, с какой точкой на физическом теле, входящем
в состав системы отсчета, совпадает наша материальная
точка в рассматриваемый момент времени. Повторяя по
очереди эту операцию, мы сможем проследить движение
материальной точки. Таким образом, для описания
движения каждой точке пространства — времени нужно
сопоставить четверку чисел (я0, xiy χ2, χ3) (их называют
координатами этой точки), так чтобы разным точкам отвечали
разные четверки чисел. Тогда совпадение четверок чисел
(х) будет означать тождественность
пространственно-временных точек. Но этого недостаточно. Надо потребовать,
чтобы при движении материальной точки в пространстве —
времени по произвольной мировой линии координаты
пространственно-временных точек, последовательно
занимаемых нашей материальной точкой, изменялись непрерывно.
Если эти два условия (взаимной однозначности и
непрерывности) удовлетворены, то система координат может
служить для описания физических явлений. В дальнейшем,
говоря о системе координат, мы будем иметь в виду
координаты указанного типа.
Если пространственно-временное совпадение двух
событий отмечено в некоторой системе координат, то эти
события должны совпадать также и в любой другой системе
отсчета. Вспоминая, что совпадение событий — основа
любых наблюдений, мы начинаем понимать естественность
утверждения, что из факта справедливости физических
законов в некоторой системе отсчета вытекает их
справедливость в любой другой системе отсчета. Итак,
оказывается, что общий принцип относительности — совершенно
естественное требование.
Но очень скоро можно заметить, что этот принцип сам
по себе, взятый изолированно, противоречит опыту.
Рассмотрим, например, свободное падение лифта после того,
как перерезан трос. Пусть S'—ортогональная система
координат в лифте. Наблюдатель в лифте увидит, что выпу*
108

щенное им из руки яблоко покоится в пространстве.
А с точки зрения внешнего наблюдателя, яблоко свободно
падает с ускорением g под действием притяжения Земли
согласно закону Ньютона. Но в системе $', несмотря на
существование силы тяжести, яблоко покоится. Поэтому
здесь закон Ньютона не справедлив. Чтобы примирить
этот факт с общим принципом относительности, при его
интерпретации нужно считать, что в системе Sf на яблоко
не действуют внешние силы. Это значит, что действующие
в лифте силы инерции нужно возвести в ранг истинно
существующих (а не кажущихся) сил, столь же реальных,
как, например, электромагнитные силы. Сила инерции в
падающем лифте компенсирует силу тяжести, и на яблоко
в нем не действует внешняя сила. Эйнштейн возвел такую
интерпретацию в принцип, названный принципом
эквивалентности. Мы рассмотрим этот принцип в следующем
параграфе.
§ 19. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Начнем с рассмотрения хорошо известных в
ньютоновской механике фактов. Пусть лифт падает с ускорением α
из точки на высоте h. Пусть в системе координат S',
связанной с лифтом, в некоторый
момент времени f
координата материальной точки Ρ
будет ζ' (координаты х\ у' не
рассматриваем), а в системе S
на поверхности Земли
координаты этой же
материальной точки ty ζ. В
ньютоновской механике t'=t, z'=z —
— (h — at2/2) (рис. 9).
Если масса материальной
точки Ρ равна тг· и на нее
не действуют другие силы,
кроме притяжения Земли, то
в системе отсчета S закон
Ньютона имеет вид Рис. 9
m{cPz/dt2 = —F. (19.1)
Из опыта известно, что сила F выражается произведением
постоянного числа g на собственную константу
материальной точки (вообще — физического тела) mG, F=mG-g.
Говорят, что mG — гравитационная масса материальной
1 ..»
U.2
π " τ т
ρ
I /
У ι
ζ \
fl.
)ζ'
w
г
/ ί Ι ,
L_j_^
<χ
h
109

точки, точнее, ее пассивная гравитационная масса, a πΐ{ —
инертная масса.
Подставляя в формулу (19.1) соотношение между ζ
и ζ\ приходим к уравнению движения в системе отсчета S'
mxd2zfldt2 = — mQg + m-μ. (19.2)
Материальная точка покоится в системе отсчета Sy, если
ускорение лифта удовлетворяет соотношению
kLmQjmx = alg. (19.3)
. Из опыта мы знаем, что если в лифте покоится
материальная точка Р, то сила тяжести перестает действовать
не только на нее, но и на все другие тела в лифте. Иными
словами, соотношение (19.3) будет верно не только для
масс нашей материальной точки, но и для масс всех
других материальных тел в лифте. Вопрос о причине такого
положения остался в ньютоновской механике
неразъясненным.
Эйнштейн взглянул на этот факт как на важную
информацию о природе силы тяжести, сообщаемую нам
природой. Этот факт подсказал Эйнштейну принцип,
справедливый не только в механике, а вообще для всех
физических явлений: действие однородного поля тяжести на
все физические явления можно полностью устранить
подходящим выбором ускоренно движущейся системы
координат. Пусть согласно ньютоновской механике в некоторой
области пространства гравитационное поле не действует.
Высказанный только что принцип равносилен
утверждению, что в окрестности наблюдателя в указанной
пространственной области появится гравитационное поле после
перехода от инерциальной к ускоренной системе отсчета.
Если гравитационное поле пространственно неоднородно
или зависит от времени, то нужно ограничиться малой
окрестностью пространственно-временной точки. В этом
случае сформулированный выше принцип звучит так.
Рассмотрим бесконечно малую 4-мерную окрестность
произвольной точки в гравитационном поле. Всегда можно
подобрать такую систему координат, при переходе к которой
в указанной бесконечно малой окрестности гравитационное
поле исчезнет. Это утверждение называют принципом
эквивалентности. Согласно принципу эквивалентности,
локально нельзя отличить гравитационное поле от силы
инерции, возникающей при движении наблюдателя (лучше
сказать, системы отсчета) с подходящим ускорением.
Разумеется, принцип эквивалентности основан на том
ПО

экспериментальном факте, что отношение k = mGfmi
одинаково для всех физических тел. Принцип эквивалентности
полностью разрешает указанное в конце предыдущего
параграфа затруднение, состоящее в том, что в системе
координат, связанной со свободно падающим лифтом, не
выполняется второй закон Ньютона.
Для проверки справедливости принципа
эквивалентности надо выяснить, действительно ли k — константа, не
зависящая от природы вещества. Оказывается, еще до
появления теории относительности, в конце прошлого века,
Этвеш экспериментально доказал постоянство величины k.
В 1960 г. Дикке и др. в США выполнили аналогичное
исследование, значительно повысив чувствительность
эксперимента Этвеша. Они проверили, отличаются ли
величины k для алюминия и золота. Пусть
*(Α1)/*(Αιι) = 1+η.
Согласно результату Дикке и др. |η| <3· 10-11. На
основании этих опытов можно принять, что для всех тел Шо =
= nii. Тогда неизвестная константа g должна совпадать
с ускорением лифта α (последнюю величину можно
измерить). Принцип эквивалентности является мощным
инструментом исследования влияния гравитации на
немеханические явления (распространение сзета и т. п.).
Рассмотрим в качестве примера показанный на рис. 9 свободно
падающий ящик. В системе отсчета S', связанной с
ящиком, пространство внутри него свободно от
гравитационного поля. Мы уже упоминали, что в областях, свободных
от гравитации, строго выполняется частная теория
относительности. Следовательно, если в системе отсчета S'
в момент /'=0 из точки ζ' = α на левой стенке ящика
испускается в горизонтальном направлении свет, то он через
некоторое время (например, через t'0 сек) достигнет
правой стенки в точке z'=a. Но в системе 5, связанной с
поверхностью Земли, свет испускается в момент t=0 из
точки над поверхностью с координатой z = a + hy а затем
он движется по параболе и достигает правой стенки в
точке на высоте z=a + h—a(t'0)2/2. Опускание света на
величину a(t'0)2/2 можно интерпретировать как
искривление траектории светового луча в поле тяжести Земли.
Такое искривление светового луча возможно только в том
случае, если скорость света в гравитационном поле
убывает по мере приближения к источнику гравитационного
поля (т. е. по мере уменьшения ньютоновского потенциала
111

всемирного тяготения *). Иными словами, в отличие от
частной теории относительности в присутствии
гравитационного поля даже в вакууме скорость света непостоянна.
Увеличение или уменьшение гравитационного потенциала
влияет на скорость света, приходящего в данную точку,
Это напоминает зависимость скорости света от
коэффициента преломления света в веществе. Можно сказать, что
коэффициент преломления света в гравитационном поле
больше единицы, а при бесконечном удалении от
источника гравитационного поля коэффициент преломления
стремится к единице (скорость света стремится к с и
становится верной частная теория относительности).
Искривлению лучей света в гравитационном поле можно
дать следующую важную интерпретацию. Пусть в системе
отсчета 6' свет распространяется по некоторой бесконечно
малой 4-мерной области Ω прямолинейно. Но в системе
отсчета S свет описывает в этой же 4-мерной области
кривую линию. Это значит, что в системе отсчета »!>
кратчайшее расстояние между двумя
пространственно-временными точками — не прямая линия. Иначе говоря,
геометрия пространственно-временной области, в которой отлично
от нуля гравитационное поле, отличается от геометрии
пространства — времени Минковского. Внимательный
анализ факта непостоянства скорости света приводит к
необходимости пересмотра введенных в частной теории
относительности понятий длины, интервала времени и др., а
также способов измерения этих величин. При обдумывании
этих проблем единственной твердой почвой для нас
является принцип эквивалентности.
Рассмотрим определение 4-мерного расстояния между
двумя близкими точками, принадлежащими малой
области Ω, внутри которой в системе отсчета 5 отлично от
нуля гравитационное поле. Прежде всего, пользуясь
принципом эквивалентности, введем систему отсчета S', в
которой гравитационное поле равно нулю по крайней мере
в области Ω. В дальнейшем системы отсчета, подобные
системе S', будем называть локально лоренцевыми в той
точке, в окрестности которой гравитационное поле в этой
системе отсчета равно нулю. В локально лоренцовой
системе координат внутри области Ω можно применять все
понятия частной теории относительности и все ее методы
измерения. Если, например, ввести в системе S' ортого-
* При распространении пучка света скорости волновых фронтов из
границах пучка различаются. Если скорость слева больше, чем справа,
то пучок загибается вправо.
112

нальные координаты двух точек х', х'+Ах\ то
интересующее нас 4-мерное инвариантное расстояние определится
формулой
As2 = ημνΔ;^'ΔΛ:ν'. (19.4)
Все связанные с ним измерения будем производить так
же, как это мы делали в частной теории относительности.
Иначе говоря, ввиду неясности определения расстояния в
гравитационном поле нам нужно возвратиться к системе
отсчета, в которой гравитационное поле отсутствует, и
дать в ней все определения. Пусть в системе отсчета 5
координаты рассматриваемых нами точек равны χ, χ+Δχ,
а соотношение между ними и координатами х\ χ'+Δχ'
этих же точек в системе S' определено формулой
х*' = f (X)t откуда Δ**' = (df*/dxv) Ax\ (19.5)
С помощью этого результата можно, не переходя в
систему S', выразить искомое инвариантное расстояние As
непосредственно через величины в системе S:
As2 = βμν (χ) Δ^Δχν, (19.6)
Входящие сюда десять коэффициентов £μν определены
формулой
дх» dxv
Так как система отсчета S' совершает относительно
системы 5 ускоренное движение, то преобразование S-bS' не
является преобразованием Лоренца, а величины df/dx,
вообще говоря, функции х. Следовательно, g μν — тоже
функция х. Иными словами, в отсутствие гравитационного
поля коэффициенты ημν формы Asz—константы, а в
системах с неравным нулю гравитационным полем
коэффициенты g-μν (х)—функции х. В ньютоновской механике
гравитационное поле описывают одной величиной Ф(х),
называемой потенциалом всемирного тяготения Ньютона,
а в эйнштейновской теории гравитации для описания
гравитационного поля приходится пользоваться десятью
функциями £μν (х). Совокупность этих десяти функций
называют эйнштейновским гравитационным тензором.
В геометрии величину #μν (х) (19.6) называют
метрическим тензором. Его задание определяет все геометрические
свойства пространства. Поэтому иногда его называют
также фундаментальным тензором. Принцип эквивалентности
показывает, что геометрическая величина £μν с физиче-
113

ской точки зрения играет роль гравитационного
потенциала. С другой стороны, еще со времен Ньютона хорошо
известно, что распределение гравитационного потенциала
определяется пространственно-временным распределением
вещества. Следовательно, геометрия пространства —
времени определяется распределением вещества в нем.
Раньше пространство считали «вместилищем» для вещества и
сценой для развертывания физических явлений и думали,
что его геометрия не связана с находящимся в нем
веществом, не зависит от происходящих в нем физических
явлений, а является как бы данной от бога евклидовой
геометрией. Этому ходу мыслей мы следовали также и в
частной теории относительности. Иначе говоря, раньше
геометрию пространства — времени считали не предметом
естественных наук, а скорее, объектом метафизических
спекуляций. Но Эйнштейн сделал ее предметом физики.
Это — поистине революционная теория, и надо как следует
понять, насколько важен принцип эквивалентности.
Не пользуясь принципом эквивалентности, совершенно
невозможно записать различные законы, введенные в
частной теории относительности, в форме, инвариантной
относительно произвольных преобразований координат. В
качестве примера рассмотрим уравнение движения
материальной точки, на которую не действуют внешние силы.
Обозначим через Λ>(τ) ее координаты в лоренцевой
системе отсчета пространства Минковского. Здесь τ —
собственное время материальной точки. Рассматриваемое
уравнение имеет вид
ά2Χμ/άτ2 = 0. (19.8)
Введем в пространстве Минковского произвольные
криволинейные координаты αμ, μ = 0, Ι, 2, 3. Запишем
соотношение между прямоугольными координатами X и
криволинейными координатами и:
Х»=Г{и\и\и\и\ μ = 0,1,2,3.
Пользуясь этим соотношением и выражая уравнение (19.8)
через криволинейные координаты и, получим
d*ux дих 32Χμ duP du° =Q ί198,,
№ 6Χμ диРди? άτ άτ
При этом величина τ удовлетворяет соотношению
— (calf = ημν4Χ W = ημν — -**L duPdu\
δυΡ ди°
114

Если вместо и использовать другую систему
криволинейных координат и\ то получится формула, по виду
такая же, как формула (19.8'), в которой всюду и заменено
на и'. Это значит, что уравнение (19.8х) инвариантно
относительно произвольного преобразования координат
и-+и\ Заметим, что коэффициенты второго члена
уравнения (19.8х) d2X»/duQdu° и дих/дХ^· определяются только
соотношением между координатами системы X и системы
и (не являются физическими величинами). Их вид
зависит от выбора криволинейных координат. Следовательно,
уравнение (19.8х) можно рассматривать, как уравнение
(19.8), записанное в специальной, сложной форме, причем
в эту запись не внесено нового физического смысла.
Совершенно иначе можно взглянуть на уравнение
(19.8х), если воспользоваться принципом эквивалентности.
Полагая
gQo(u) = r]]XV(dXW)dXv/du(S
и рассматривая, согласно принципу эквивалентности, g ρσ
как гравитационный тензор, можно расширить смысл
уравнения (19.8х) до закона, показывающего
взаимодействие материальной точки с гравитационным полем.
Действительно, пользуясь величинами £ρσ, коэффициенты
второго члена уравнения (19.8х) можно записать в виде
(19.9)
дик
дХ»
где
диРди?
_ ηλα
2 S
ghx. („)
ί dSqp . д8аа.
\ дха дхр
d ,, dul· диа
==η'/ —г
дха ,
= ga\
дХ1 дХ1
Величина g удовлетворяет соотношению
βλαβαμ = δλμ.
Перепишем уравнение (19.8х), пользуясь формулой (19.9):
d2ux _ Γλ duP du° /iq«"\
■ —— 1 ρσ— — * tiy'° )
dx* μ άχ dx
Коэффициент Г в правой части содержит величины dg/dx.
Если gμv интерпретировать как гравитационный
потенциал, то правая часть (19.8ХХ) в точности выражает силу
тяжести. Обратно, из уравнения (19.8ХХ) ясно, что
правильная интерпретация величины gμV—гравитационный
потенциал.
Приведенный пример показывает, что в простом
переписывании законов частной теории относительности в фор-
115

ме, удовлетворяющей общему принципу относительности,
еще нет ничего физически нового. Смысл нового закона
взаимодействия с гравитационным полем внесен в эти
уравнения исключительно благодаря принципу
эквивалентности. Обратим внимание, что при выводе уравнений
движения материальной точки в гравитационном поле (19.8")
не возникает никакого произвола и не нужно вводить
каких-либо дополнительных предположений. Аналогичная
процедура приложима к любому закону частной теории
относительности. С ее помощью можно однозначно
определить поведение любой физической системы в
гравитационном поле.
Итак, все законы нужно записывать в форме,
инвариантной относительно произвольного преобразования
координат. Это значит, что тензорное исчисление, развитое
нами до сих пор лишь с учетом преобразования Лоренца,
надо перестроить с учетом произвольного преобразования
координат. Поэтому следующая глава вновь посвящена
математической подготовке читателя. В ней объясняется
тензорный анализ.

Глава 6
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ В РИМАНОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 20. РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО
В § 18 мы уже указали, что мировые точки 4-мерного
многообразия, называемого пространством — временем или
миром, различают с помощью четверок чисел х°, я1, х2> х3.
Эти четверки чисел мы назовем координатами χβ, μ—Ο,
1, 2, 3.-Между координатами и мировыми точками нужно
установить взаимно однозначное непрерывное
соответствие. Если такое соответствие установлено для всех точек
некоторой пространственно-временной области, то мы
будем говорить, что в этой области введена некоторая
система координат. Подчеркнем, что от системы координат
не требуется, чтобы она покрывала все точки
пространства — времени. Рассмотрим, например, сферическую
поверхность радиуса 1. Это непрерывное двумерное
многообразие. Введем на поверхности сферы обычную сферическую
систему координат (семейство параллелей и
ортогональных им меридианов). В северном и южном полюсах этой
системы координат собираются все меридианы, и, таким
образом, нарушается условие взаимной однозначности
соответствия точек поверхности сферы и сферических
координат. Поэтому окрестности полюсов нужно исключить из
нашей системы координат, покрыв их дополнительной
координатной сеткой. Вообще пространство — время можно
разбить на несколько областей и в каждой области ввести
свою систему координат так, чтобы на границах соседних
областей эти системы координат налагались друг на
друга. Численные значения координат — не более чем адрес,
предназначенный для того, чтобы различать мировые
точки. Поэтому сами по себе они, разумеется, не имеют
ни физического, ни геометрического смысла. Вместо χ
можно с тем же успехом ввести другое множество
численных значений х'. Но чтобы четверки чисел хг могли стать
координатами, соответствие между ними и мировыми
точками должно быть взаимно однозначным и непрерывным.
Кроме условия взаимной однозначности и непрерывности,
на соответствие между координатами и пространством —
временем мы наложим еще одно ограничение. Пусть новые
117

и старые координаты произвольной мировой точки χμ и χν'
связаны функциональным соотношением
х*· = /μ (л*, х\ х\ х3) 4 /μ (χ), μ = 0, 1, 2, 3. (20.1)
Мы потребуем, во-первых, чтобы функция ϊμ(χ) была
дифференцируема нужное число раз (обычно достаточно,
чтобы существовали вторые производные). Кроме того, по
требуем, чтобы в тех областях пространства — времени, где
обе системы координат перекрываются, было выполнено
условие, необходимое для независимости четверок чисел
хР·' и х»".
д (хг)/д (х) = det (dp (χ)/δχή φ 0. (20.2)
Расстояние между двумя пространственно-временными
точками с координатами *μ, x^+dx^ дается формулой
(19.6)
ds2 = βμν (χ) dx^dxy.
В другой системе координат х' расстояние записывается в
такой же форме:
ds2=g'^dx{xYdx*.
Новые коэффициенты giv(xf) связаны со старыми £μν (х)
соотношением
С (*') = №/дхП фхПдхУ) gp(7 (х). (20.3)
Если система координат установлена, то, каковы бы
ни были значения £μν(*), их можно измерить,
воспользовавшись определением (19.6) и принципом
эквивалентности. Например, чтобы найти величину £μν (χ) в мировой
точке Ρ (ее координаты х)у нужно поступить следующим
образом. Сначала произвольно выбираем в окрестности Ρ
десять точек. Координаты этих точек нам заданы.
Пользуясь принципом эквивалентности, вводим в окрестности Ρ
локально лоренцеву систему координат. В этой системе
координат измеряем расстояния ds между указанными
десятью точками и точкой Р. Получаем десять линейных
соотношений (19.6) для десяти неизвестных параметров
£μν(*)» соответствующих данным значениям άχμ и
измеренным ds (для десяти различных точек наборы dx* и ds
различаются). Решая систему десяти линейных уравнений
для βμν(*)> находим измеренные значения £μν (χ).
Выполняя аналогичную операцию для всех точек
пространственно-временной области, покрытой координатной системой
118

χ, находим в этой области все значения £μν(*)·
Следовательно, в рассматриваемой области расстояния между
любой парой соседних точек оказываются заданными с
помощью формулы (19.6). Многообразие, имеющее такие
характеристики, в математике называют римановым
пространством. Таким образом, пространство — время
является 4-мерным римановым пространством. Геометрию, в
которой расстояние определено формулой (19.6) (т. е.
геометрию в римановом пространстве), называют римановой
геометрией. В гл. 2 мы рассматривали тензорное
исчисление в пространстве Минковского, расстояние в котором
определено формулой (5.2'). Теперь рассмотрим тензорный
анализ в римановом пространстве.
§ 21. ТЕНЗОРЫ, ТЕНЗОРНАЯ ПЛОТНОСТЬ
Мы будем иметь дело с преобразованием координат
*μ->*μ' = /μ (χ)9 μ = 0, 1,2,3. (20.1)
От функции /μ требуется, чтобы она удовлетворяла
условиям, сформулированным в § 20, в остальном эта функция
произвольна. В отличие от преобразования Лоренца в
данном случае величина δχμ'/δχν9 вообще говоря, функция х.
Помня об этом можно и в римановом пространстве
пользоваться без изменений определениями скаляров,
векторов и тензоров, данными в гл. 2. Поэтому ограничимся
здесь только выписыванием формул, определяющих
тензоры. Величину Г, преобразующуюся по закону
Ρσ- V ' дха дх" дхр- дхо' " У ''
(21.1)
называют тензором, а о величинах T^v··» ^ говорят как о
компонентах. Определение (21.1) в сущности не
отличается от определения (7.9). Единственное отличие состоит в
том, что все коэффициенты преобразования дх'/дх —
функции х. Поэтому формулой (21.1) нельзя пользоваться,
если величина Τ не задана в каждой мировой точке.
Кроме того, не имеют никакого смысла сумма, разность и
произведение тензоров в разных мировых точках
(исключение из этого правила — скаляр). Но пользоваться
суммой, разностью и произведением однотипных тензоров в
одной и той же мировой точке можно, определения этих
операций совпадают с определениями в § 8. Без
изменений остаются определения свертки и внутреннего произвел
119

дения тензоров. Произвольное преобразование (20.1), так
же как и преобразования гл. 2, сохраняет симметрию
тензоров по их индексам.
Рассмотрим примеры скаляров и векторов. Из
определения ясно, что инвариантное расстояние между двумя
точками — скаляр. Бесконечно малая разность координат
двух соседних точек άχμ — вектор*. В самом деле,
согласно формуле (20.1)
dx*' = (dx»'/dxv) dxv .
Но в отличие от гл. 2 здесь сама координата χμ — не
вектор, так как она преобразуется по формуле (20.1). Далее,
g\iv (#) — ковариантный тензор второго ранга. Это
очевидно из закона преобразования (20.3). Символ Кронекера
δμν, так же как и в гл. 2, — смешанный тензор. Из этого
факта и из соотношения
вытекает, что g№ (χ) — контравариантный тензор второго
ранга.
Определение тензорной плотности полностью совпадает
с определением в гл. 2. Например, для произвольного
преобразования координат в неизменном виде пригодно
определение смешанной тензорной плотности третьего ранга
(9.3) и определение скалярной плотности (9.1'). Плотности
мы по-прежнему обозначаем готическим шрифтом.
Скалярные плотности можно получать следующим
образом. Пусть Αμν (χ)—произвольный ковариантный
тензор второго ранга. Тогда квадратный корень из
детерминанта его матрицы
(В(х) = У~ЩА^) (21.2)
скалярная плотность. В частности, в общей теории
относительности важен случай, когда вместо Αμ,ν(χ) в формуле
(21.2) использован тензор £μν(*). Так как в реальном
пространстве — времени
i(*)idet{^v(*)}<0,
то важную роль играет скалярная плотность У—g(x).
* Строго говоря, нужно сказать, что dx^—«компонента» вектора,
но, чтобы избежать тяжеловесности языка, мы будем говорить просто
«вектор». То же относится и к тензорам.
120

Например, для тензора Г···... величина
r"...iy=jr"...
является тензорной плотностью. Далее, величина
У— g{x) d*x = V—g'(x') <Pxr = инвариант (21.3)
инвариантна относительно произвольного преобразования
координат. Если, в частности, воспользоваться в точке χ
локально лоренцевой системе отсчета (пусть координаты в
ней будут X), то из определения £μν (19.7) вытекает
У^Щ d*x = аХЧШХЧХ*. (21.3')
Следовательно, величина dkx не является инвариантным
элементом 4-мерного объема в произвольной системе
отсчета. Инвариантный элемент объема дается левой частью
формулы (21.3').
Определение антисимметричной тензорной плотности
®λμνρ (95) без изменений переносится на случай римано-
ва пространства. Закон преобразования этой величины
дается формулой (9.6'), справедливо также и свойство
(9.7). Следовательно, по формуле (9.9) можно вывести
контравариантную тензорную плотность *fM-vf дуальную
антисимметричному ковариантному тензору второго ранга
/μν. Из нее и из исходного тензора /μν выводим скалярную
плотность [см. формулу (9.11)]:
*ϊμν W4 = fj01 + U02 + fj03 = yM(Q.
Это — формула (21.2), в которой вместо Λμν взято ^μν.
Последний результат означает, в частности, что *ίμν —
контравариантная тензорная плотность.
Наконец, затронем вопрос о величине вектора. Пусть
дан произвольный вектор А^(х). Форму
(A)*LgiivA»(x)Av(x)
называют квадратом величины А. Для тензоров
пространства Минковского подъем и опускание индексов во всех
случаях мы выполняли с помощью тензоров ημν, ημν.
В римановом пространстве вместо тензора η для подъема
и опускания индексов нужно пользоваться тензорами
£μν(*)>£μν(*):
Λμ(*) = £Λν(χ), Av(x)^g^(x)All(x).
121

можно
Следовательно, можно написать
(Α)* = Α*Αμ.
Аналогично частной теории относительности
ввести следующую классификацию векторов:
( > О — пространственноподобный вектор;
(Л)21=0 — нуль-вектор;
I < 0 — времениподобный вектор.
В римановом пространстве математически допустимы
совершенно произвольные системы координат. От координат,
вводимых в реальном пространстве — времени, мы
потребуем, чтобы всегда среди четырех векторов
ά0χμ = (dx° φ 0, dx1 = dx2 = dx? = 0);
d^ = (ахгф0, dx° = dx2 =dx? = 0);
d2x» = ( . . . );
^μ = (^^0, dxP = dx2 = dx2 = 0)
(21.4)
вектор άοΧμ был времениподобным, а остальные три —
пространственноподобными векторами. Это требование
удовлетворено, если тензор £μν удовлетворяет условиям
£оо (*) < 0; gtt (χ) > 0;
8kt 8kk
>0;
gll 8l2 &8
#21 #22 6*23
§31 §32 §33
>0; g(x)<0.
Индексы /,.Λ здесь выбираются из множества значений 1,
2, 3. По паре повторяющихся индексов в данном случае
не берется сумма.
§ 22. ИНТЕГРИРОВАНИЕ,
ТЕОРЕМА СТОКСА И ГАУССА
Мы уже отмечали, что ввиду зависимости
коэффициентов преобразования δχμ//δχν от положения мировой точки
в римановой геометрии сумма и разность векторов и
тензоров в разных мировых точках не имеют смысла. Но
скаляры — исключение из этого правила. Если 6 (х) =
=У—g(x)S(x) — скалярная плотность, то интеграл по
некоторой пространственно-временной области Ω
I=j<B(x)d*x = $S(x)V=][($d*x (22.1)
122

инвариантен относительно произвольного преобразования
координат. Это значит, что интеграл / — скаляр. Но
интеграл вида
в котором νμ(χ)—вектор, не является вектором.
Кроме скаляров вида (22.1), в теории относительности
часто встречаются скаляры, представляемые интегралами
несколько иного вида. Для их определения рассмотрим в
произвольной пространственно-временной точке χ тройку
независимых бесконечно малых векторов (не обязательно
пространственноподобных) άιΧμ, агх^, ώ3*μ. Из этих векто*
ров построим бесконечно малый элемент поверхности и
бесконечно малый элемент объема
άσ^ =
rfgXllV =
ахх* dxxv
ά2χ» d2xv
> 1
άχχλ dxx^ dxxv
ά2χλ d2x^ d2xv
ά3χλ d3x^
d3x*
[
> 1
/
(22.2)
являющиеся полностью антисимметричными тензорами
соответственно второго и третьего рангов.
Пусть теперь А^(х) — произвольный ковариантный
вектор; Αμν(χ) и Τχμν{χ)—произвольные полностью
антисимметричные ковариантные тензоры. Тогда все три
интеграла
!ΑμώΡ, ΙΙΑ^ώΡ», ίίί^λμν^λμν
(22.3)
скаляры. В частности, если 5 — произвольная двумерная
поверхность, ограниченная замкнутой кривой С, то по
теореме Стокса
+-\^μνάσ^ = §Αμάχ\ (22.4)
21 5 С
где, разумеется, оба вектора ώϊ, άχ%, на которые натянут
элемент ώσμν, лежат на поверхности 5. При этом, по
определению,
/ μν = ^μ Ay C7V Αμ ,
(22.5)
Сформулируем 3-мерную теорему Гаусса. Пусть V —
3-мерная область, ограниченная замкнутой поверхностью
5. По теореме Гаусса, для произвольного
антисимметричного тензора Αμν справедлива формула
123

S V
в которой, по определению,
d
Fλμν ξ <?λ Лцу + <?μ Λνλ + <?ν Λλμ . (22.7)
В формуле (22.4) поверхность S, опирающаяся на
заданный контур С, определена неоднозначно. Но,
независимо от выбора 5, интеграл в правой части (22.4) всегда
равен интегралу в левой части, так как величина /μν (22.5)
удовлетворяет соотношению
δλ /μν + <?μ /νλ + dv /λμ = 0. (22.8)
Аналогично не определен однозначно 3-мерный объем V,
охватываемый двумерной поверхностью S. Но при любом
V правая часть формулы (22.6) равна левой части, так
как величина F^v (22.7) удовлетворяет тождеству
др /4μν — д\ ^μνρ + δμ /\,ρλ — dv ^ρλμ = 0 (22.9)
[это тождество доказывается с помощью соотношения
(22.10)].
Сформулируем наконец 4-мерную теорему Гаусса.
Пусть Ω — 4-мерная область, охватываемая произвольной
3-мерной гиперповерхностью V. Рассмотрим в
произвольной точке внутри Ω четыре независимых бесконечно малых
вектора d0x»·, ώιχμ, rf2**\ ^3*μ· Тогда величина
I d0x<> ά0χλ
dxx* άλχλ
d2xP ά2χλ
Ι ά3χν (Ljl·
имеет смысл 4-мерного объема ромбоэдра, натянутого на
эти векторы. По теореме Гаусса для произвольного
полностью антисимметричного тензора 7\μν (х) имеет место
тождество
¥ίίίΓλμνίίί'λμν = 'ϊΓί * ' •$w*»vde>*iV' (22Л0)
Ω
где
d
ΐ^ρλμν = dp 7\μν — dk Γμνρ + <5μ Γνρλ — <5ν Γρλμ . (22.11)
Величины, встречающиеся в формулах (22.4), (22.6),
(22.10), — скаляры, и эти формулы справедливы при
любом выборе областей интегрирования. Если учесть, что
124
d
^ωρλμν =
4>*μ
4*μ
d2x»
d*x*
dox"
d^
dj?
d^

Λχμν, rfv^H 6?ωρλμν —антисимметричные тензоры,
выбираемые произвольно, то станет ясно, что определяемые
формулами (22.5), (22.7), (22.11) величины /μν, /4μν и
Μ^ρλμν — полностью антисимметричные ковариантные
тензоры. Таким образом, хотя производные вектора Лй,
тензоров Λμν и Г^сами по себе, как мы уже отмечали выше,
и не являются тензорами, но специально подобранные
комбинации (22.5) — (22.11) этих производных —
ковариантные тензоры, ранг которых на единицу больше ранга
дифференцируемых тензоров.
Рассмотрим другую запись формулы (22.10). Правая
часть этого равенства пропорциональна интегралу
Ω
Если воспользоваться специальной четверкой бесконечно
малых векторов (21.4), то можно написать
d(uoi23 = ΜώϊώΜ* = d*x.
Мы уже отмечали ранее в связи с формулой (9.5), что
отличные от нуля компоненты полностью
антисимметричного ковариантного тензора четвертого ранга, например
компонента W0123, имеют трансформационные свойства
скалярной плотности. Поэтому можно принять
W0123^V~gW(x) = M(x). (22.12)
Пользуясь величиной ©p^v, определенной в формуле
(9.6), можно, по аналогии с формулой (9.4), написать
^=&ρλμνΙΡρλμν/4!. (22.12')
Подставляя в правую часть этого равенства формулу
(22.11) и пользуясь векторной плотностью
3:ρ^@ρλμνΓλμν/3!, (22.13)
получим
2В = др£0. (22.12')
Пользуясь соответствием между компонентами величин
£р и Γλ^ν
*? = ТЩ; Х1 = -Т„; & = -Тш; %* = -Тт, (22.13')
представим левую часть формулы (22.10) в виде
Г {£W23 — £W30 + £W01 — %4υ012} = — j- f ερλμν £0 άνλ^,
125

ρλμν
где ε ρλμν — символ, определяемый в произвольной системе
координат следующим образом:
[1, (ρλμν)-> (0123)—четная подстановка;
1, (ρλμν) -► (0123) — нечетная подстановка; (22.14)
0, в остальных случаях.
Подчеркнем, что этот символ — не тензор.
Подытоживая, запишем формулу (22.10) следующим
образом:
1Г .14^^= \др%»#х. (22.15)
01 V Ω
Так как 7\μν—полностью антисимметричный тензор 3-го
ранга, то 2Р— векторная плотность. Это значит, что
соотношение (22.15) справедливо для произвольной векторной
плотности %Р, а интеграл (22.15)—инвариант
относительно произвольного преобразования координат. Отсюда
вытекает ввиду произвольности области Ω, что из любой
векторной плотности 2Р можно получить скалярную
плотность по формуле
dp £p = скалярная плотность. (22.16)
Выразим в другом виде формулу (22.6). Определим
тензорную плотность * $Ιλρ и векторную плотность δσ:
*^λρ4(£λρμΜμν/2!; δσ4^σλμνλμν/3!. (22.17)
Тогда с учетом формулы (22.7)
%° = 0τ4στ. (22.18)
В левой части этого равенства стоит векторная плотность..
А величина * 2ίστ в правой части по своим
трансформационным свойствам — тензорная плотность. Следователь-
но, для произвольной антисимметричной контравариант-
ной тензорной плотности $1στ* справедливо утверждение
<5τ 5ΐστ = контравариантная Еекторная плотность. (22.19)
Тогда формулу (22.6) можно переписать в виде
_J_ Γε Λσμν = — Γεηλιινδρώ^ν =
21 21 J ρλμν 3! J ρλμν
-И
ρλμν
3τ%ρτάυλ»ν. (22.20)
* Мы не будем больше пользоваться тем, что величина *21στ
дуальна ковариантному тензору 2ίμν. Поэтому в дальнейшем значок * в
левом верхнем углу символов *$1στ будем опускать.
126

§ 23. АФФИННЫЕ ТЕНЗОРЫ, СВОБОДНЫЕ ВЕКТОРЫ,
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Пусть 4-компонентная величина &μ(χ) в произвольной
системе координат удовлетворяет уравнению
3μ*μ(*) = 0. (23.1)
Величина Ъ» здесь — не обязательно векторная
плотность относительно произвольного преобразования
координат. Но потребуем, чтобы при аффинных преобразованиях
координат она вела себя как векторная плотность. Под
афинным мы подразумеваем здесь преобразование
х*-+х*' =a\xv + blx, (23.2)
в котором αμν,6μ—не связанные друг с другом константы,
и, в отличие от преобразования Лоренца, (Ы(а^)=т^0 —
произвольное, отличное от нуля число. Совокупность всех
таких преобразований образует группу. Ее называют
аффинной группой. Величину, ведущую себя при
преобразовании (23.2) как тензор, называют аффинным тензором.
Для аффинного преобразования непригодно определение
величины ημν> данное в § 5. Это значит, что не существует
метрического тензора, не зависящего от выбора
преобразования. ,
Пусть вещество, являющееся источником
гравитационного поля, заключено в некоторой пространственной
области, внутри которой отлична от нуля физическая величина
*μ. Выберем начало координат где-нибудь в области,
занятой веществом, и предположим, что на
пространственной бесконечности вещество отсутствует, а физическая
величина &μ и гравитационное поле обращаются в нуль.
Тогда можно ввести систему координат, в которой на
бесконечности (в пределе xfe-)-±oo, k=l, 2, 3)
1«η£μν(*)=ημν. (23.3)
При наблюдении материальной системы (вещества) из
бесконечности величина х° в этой системе координат
играет роль времени.
Рассмотрим две 3-мерные гиперповерхности,
соответствующие моментам времени х°=а, х° = Ь (пусть это будут
гиперповерхности Vi и У2), и заключенную между ними
трубчатую гиперповерхность У3. Обозначим символом Ω
4-мерную область, заключенную между
гиперповерхностями 1/2 (потолок), Vi (дно) и Уз ((боковая поверхность)
(рис. 10). Рассматривая Vu V2) V$ как одну гиперповерх-
127

ность, обозначим ее символом V. Интегрируя выражение
(23.1) по V и применяя теорему Гаусса (22.15), находим
01 V Ω
Согласно предположению при #ft->stoo, k=l9 2, 3, хр
достаточно быстро обращается в нуль. Поэтому если
отодвинуть боковую поверхность Уз на бесконечность, то в левой
части последнего равенства интеграл по боковой
поверхности обратится в нуль. Пользуясь на гиперповерхности
Рис. 10
Vi элементом объема, определенным с помощью трех
векторов diX*, ί/2*μ> ά3χμ (21.4), получим
Λι1» = dx4x4£\ dvolk = 0, i, k = 1, 2, 3.
To же можно сделать и на гиперповерхности F2. С учетом
этих замечаний, правую часть формулы (23.4) можно
записать в виде
— J ъЧхЧхЧх* + J МхЧхЧх* = 0,
откуда следует, что величина
jL J b°(x, х^ахЫхЧх* (23.5)
—00
не зависит от х°. Учитывая, что х° имеет смысл времени
при наблюдении материальной системы из бесконечности,
можно сказать, что величина / не изменяется с течением
времени. Это — закон сохранения физической величины
Ь°.
128

Величина / не зависит не только от времени. Она
инвариантна также относительно аффинных преобразований
(I) и (II) произвольных преобразований координат:
#]<>?' = Г Μ, μ = 0, 1,2,3, (23.6)
при которых fv(x)-+xv> на пространственной бесконечности,
т. е. таких преобразований, при которых новые
координаты *μ/ достаточно быстро совпадают со старыми
координатами х^ при л:Л->±оо, &=1, 2, 3.
Доказательство утвероюдения (I). Рассмотрим афинное
преобразование (23.2). Обозначим символом Ω' 4-мерную
область, получаемую заменой потолка V<l на новый
потолок W (на гиперповерхность, определяемую условием
x°f—b). Гиперповерхности Vu V3 определены при этом
по-прежнему. Так же как и выше, в системе χ получим
для области Ω'
— ί Wvb9*Vv" f b°dx1dx2dx*=0.
Выразим первый член левой части этого равенства через
величины в системе х\ пользуясь тем, что. Ьр— аффинная
векторная плотность, а άνλ]Χν — аффинный тензор:
Выберем три бесконечно малых вектора, на которые
натянут элемент объема ЛЛм-v на yj Примем, что
компоненты вектора άιχμ' равны (άχι'Φ0, dx°'=dx2'=dx3').
Компоненты двух оставшихся векторов выбираем по такому же
принципу. Тогда
/'if &'d&Wd#'= f b*dx1dx*dx = J.
y2 ν,
Следовательно, / — аффинный скаляр.
Доказательство утверждения (II). Рассмотрим
преобразование (23.6). Будем считать, что при этом
преобразовании первоначальный потолок К2 области Ω заменяется
на гиперповерхность V2', определяемую условием х°'=Ь.
Так же как и выше, символом Ω" обозначим область,
окруженную боковой поверхностью Уз с дном Vi и новым
потолком V2'ш
Третью систему координат х" определим следующим
образом. Примем, что гиперповерхности х°"=а, х°" = Ь
совпадают соответственно с гиперповерхностями x°=a(Vi),
5 Зак. 2035 129

x°r=b(V2). Кроме того, будем считать, что на
гиперповерхности Vi полностью совпадают системы координат χ
и х", на гиперповерхности V"2 — системы координат х' и
х", а на гиперповерхности Уз — системы координат х, х' и
х". Пользуясь такой системой координат и рассуждая так
же, как и раньше, получим
Г (х?" = а)]= J b°" (х") dxvt dxv'dx*" = Г (*°" = b). (23.7)
Вспоминая определение системы координат хп\ замечаем,
что
j(x?> = b) = J(x?> = a)= Г (*°" = а) = Г (*°" = Ь) =
= у(*о' = 6). (23.7')
Следовательно, величина / инвариантна относительно пре-
образования (23.6). Вывод (23.7) основан на предположен
нии, что в системе координат х" тоже выполняется
соотношение, имеющее вид (23.1)
дъ»п (х")1дх^ = 0.
Рассмотренные понятия находят применение в
следующем случае. Пусть некоторая физическая величина не
является тензорной плотностью относительно произвольного
преобразования координат, но оказывается таковой
относительно аффинного преобразования. Пусть кроме того, в
произвольной системе координат она удовлетворяет
соотношению
διιμν (χ)/θχμ = 0. (23.8)
Рассмотрим систему координат, лоренцеву на
бесконечности, и в ней — аффинный вектор, компоненты
которого— произвольные постоянные αμ. Примем по
определению
г»(х) = и\(х)а\
Все свойства величины :μ полностью совпадают со
свойствами величины &μ (23.1). Следовательно,
определенный с ее помощью интеграл
/= j* t*(x)dx1d)ftb<*=aZlv;
*°=*const
d
/v = J u°v (x) dx1 dxHtf
*°=const
130

не зависит от *°, откуда вытекает, что интеграл /v — koib
станта, не зависящая от х°. Это — закон сохранения
величины u°v.
Легко убедиться, рассуждая так же, как при
доказательстве утверждения (I), что интеграл /— аффинный
скаляр, откуда при учете векторной природы величины αν
вытекает, что величина /ν — аффинный вектор.
Аргументация, аналогичная рассуждениям при доказательстве
утверждения (II), показывает, что величина / инвариантна
относительно преобразования (23.6). При этом в системе
координат хи надо рассмотреть аффинный вектор αν .
Тогда можно показать, что интеграл /ν инвариантен
относительно такого преобразования координат, при котором
координаты внутри цилиндра, покрывающего область
отличных от нуля значений Πμν , изменяются произвольно, а
координаты вне этого цилиндра (там, где система координат
лоренцева) остаются неизменными.
Мы уже отмечали в § 21, что в римановой геометрии
закон преобразования некоторой величины остается
неопределенным до тех пор, пока не определены ее
трансформационные свойства в любой точке пространства —
времени. Рассмотренная выше величина /ν определена
интегралом по гиперповерхности х°=const. В отдельных точках
пространства — времени значения /v не указаны. Поэтому
она, естественно, не является вектором относительно
произвольных преобразований координат. Тем не менее, по
доказанному выше, /v—вектор относительно аффинных
преобразований координат. Величины такого типа
называют свободными векторами. Из полученных нами
результатов вытекает, что рассмотренные в § 12 полные энергия
и импульс электромагнитного поля при отсутствии заря*
дов — векторы относительно преобразования Лоренца
[этим фактом мы пользовались в § 12, в тексте после
формул (12.10")].
§ 24. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС, КОВАРИАНТНОЕ
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ, ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Производная dvV^ вектора V^(x)y вообще говоря, не
является вектором относительно произвольного
преобразования координат. Это связано с тем, что dvV^
определяется разностью векторов νμ в разных мировых точках
dW = lim (1/ε) {νμ (χν + ε) - 7μ (χν)} . (24,1)
β-* ο
5· 131

Но если производную вектора V* определить йё с
помощью формулы (24.1),. а через посредство выражения
lim(l/e){VlL(x + e)-Vll(x + s)ll}f
в котором 1^μ(* + ε)|| —результат «параллельного»
переноса вектора νμ(χ) из точки χ в точку х+г, то такая
производная будет иметь смысл независимо от выбора
системы координат. В пространстве Минковского
«параллельный» перенос определяется правилом
νμ(χ + ε)ιι =νμ(χ). (24.2)
Но как определить параллельный перенос в пространстве
Римана?
Обобщая правило параллельного переноса (24.2),
естественно допустить, что при переносе вектора νμ(χ) из
точки χ в соседнюю точку х+Ах изменение компонент
вектора Κμ пропорционально Ах. Поэтому примем по
определению, что при бесконечно малом параллельном
переносе вектор V^(x) подвергае!ся следующему
линейному преобразованию:
Κμ (χ + Ах) „ - νμ (χ) = Αχν Χ\χ Vх. (24.3)
Разумность этого определения можно понять на
следующем примере.
Поверхность конуса — двумерное риманово
пространство. Но если конус разрезать вдоль произвольной
образующей ОАу его можно развернуть на плоскость (рис. 11).
А
Рис. 11
При таком разворачивании рассматриваемую поверхность
не придется ни растягивать, ни сжимать. Следовательно,
определение расстояния между двумя точками на конусе
совпадает с определением расстояния на плоскости
развертки. Это значит, что поверхность конуса эквивалентна
132

куску двумерного евклидова пространства, в котором
справедлива евклидова геометрия. Рассматривая правый
рис. 11, легко видеть, что при параллельном переносе
вектора V из точки А по кругу С этот вектор в точке ЛА со*
ставляет с касательной к кругу угол а, а в точке Л2 —
угол β (β>α). По мере параллельного переноса этот угол
возрастает. Скатывая вновь кусок плоскости и образуя
конус, видим из левого рис. 11, что по мере параллельного
переноса вектора V в точки ЛА, Л2 и т. д. он постепенно
поворачивается по часовой стрелке. Таким образом,
V(Αι) к — величина, получаемая из V(A) линейным
преобразованием, состоящим в повороте на угол а. Угол а
пропорционален бесконечно малому сдвигу АА±. Формула
(24.3) обобщает факт, установленный в рассматриваемом
примере. Коэффициенты пропорциональности ΧμνκΒ
правой части ее, вообще говоря, функции х. Их конкретный
вид зависит от свойств рассматриваемого риманова
пространства.
С учетом определения (24.3) производная вектора
принимает вид ·
Vv V11 = lim {[7μ (χ + Δ*) - νμ (χ)]/Αχν) - Χ\% Vk =
Δχ-*0
= δνμ/δχν—Χμνλνλ, (24,4)
Говорят, что это — ковариантная производная *.
Пользуясь тем, что ковариантная производная VVV^ —
смешанный тензор относительно произвольного
преобразования координат, можно вывести трансформационные
свойства коэффициентов ^μνλ. Простые вычисления
показывают, что
дхг οχ* οχμ
дх^дхУ dxv' дх*'
Обратно, если дана величина Х\9(х), преобразующаяся по
закону (24.5), то с ее помощью можно определить кова-
риантную производную по формуле (24.4). Для того^
чтобы величина (24.4) была тензором, можно
воспользоваться любой функцией X. Надо только, чтобы эта функция
* Ковариантную производную часто обозначают символами V *ί ν
133

удовлетворяла закону преобразования (24.5). Если вместо
X взять другую функцию, преобразующуюся по закону
(24.5), то будет определена другая ковариантная
производная.
Из-за того что второй член правой части (24.5)
отличен от нуля, величина X не является тензором
относительно произвольного преобразования координат. Но в случае
аффинных преобразований второй член обращается в нуль.
Следовательно, X—аффинный тензор. Согласно
определению параллельного переноса (24.3) вектор νμ(χ) в точке χ
и отвечающий ему вектор V^(x+Ax) ц в точке х+Ах свя-
. заны между собой линейно. Это линейное соотношение
называют аффинной связностью, а о коэффициенте X
говорят как о коэффициенте связности.
Коэффициент связности — не тензор. Но разность
Z=X—Υ двух коэффициентов связности Х\9(х) и Κμνρ(Λ:) —
тензор относительно произвольного преобразования
координат, так как
7» 11**\ дх*' д*р дх* 7а м
L> vp \Х ) = ; Г ** βν \х)'
дх« dxv дх*
Ковариантные производные других величин, отличных
от контравариантных векторов, можно определить с
помощью следующих соображений. Сначала определим
правила действий с ковариантными производными.
d
1. Если S — скаляр, то V^S^dSjdx^.
2. Для двух произвольных тензоров Л, В
Vμ(Л.β)ivμЛ.β + Л.Vμβ.
Образуем скаляр 5 из двух произвольных векторов Λμ,
Βμ, полагая 5=Λμβμ. Тогда согласно правилам (1), (2)
5ν (Αμ5μ) = Vν (Λμ5μ) = (3ν Α» - Χ\ Лр) βμ + Α» Vν θμ.
Сравнивая обе стороны этого равенства, можно вывести
определение ковариантной производной ковариантного
вектора:
Vν βμ iΑ βμ + Χ\μ Βλ . (24.6)
Теперь понятно, что определение ковариантной
производной тензора можно дать, применяя последовательно
несколько раз правило (2). Например, в случае тензора Γμνρ
получаем
Vx Т»\ = дь Т»\ - Χ\τ Г\ - Χ\τ Т»\ + Х\р Т»\. (24,7)
134

В римановой геометрии квадрат величины вектора νμ
определен выражением νμνμ. При построении римановой
геометрии стремятся, чтобы понятие параллельного
переноса в ней было по возможности близко к понятию
параллельного переноса в евклидовой геометрии. Поэтому
выдвигают требование, чтобы «при параллельном
переносе величина вектора не изменялась». Это значит, что
ё^(х + Ах)Уи(х + Ах){ГУ*(х + Ах)п =
= gllv(x)V1(x)Vv(x). (24.8)
Подставляя определение (24.3) в левую часть равенства
(24.8) и пользуясь произвольностью вектора V> выводим
соотношение
Αίμν = -(^μΛν + ^νΛμ), *μ,λν^£μρ*ν (24.9)
Производя циклическую перестановку индексов λ, μ, ν,
получаем еще две аналогичные формулы:
^μ £νλ = — (^ν, μλ + ^λ,μν);
^ν ε·Κ\ι = — (^λ,νμ + ^μ,νλ).
Вычитая первое выражение из суммы двух последних и
предполагая, что Хц, κν=Χμ, νλ , придем к выражению
коэффициентов X через метрический тензор:
-ΧΚμν = (1/2) (-<>λ£μν + <3μ gvK + dv gj = Γλ>μν. (24.9')
Кроме того,
- Χ\ν = (gXp/2)\- dp £μν + <5μ gvp + dv gj i Γλμν; J (24 9„}
Γλμν4^ΡΓρμν> j
Определенную здесь величину Г называют 3-индексным
символом Кристоффеля*. Если соответствие V(x)-*V(x+
+Δχ) и векторов в точках χ и х+Ах определять с помощью
индексов Г, то о таком соответствии говорят как о
римановой связности.
Чтобы не было ошибок, надо помнить, что величины X
и Г имеют противоположные знаки. Перепишем еще раз
основные формулы с участием величины Г.
* Кристоффель первоначально вместо Г^ μν пользовался
символом t\V]» а вместо Γλμν—символом { μλν }. Здесь [ ] — 3-индекс-
ный символ первого рода, а { } — символ второго рода.
135

Закон преобразования:
ги 4y'\- дх дх дх га0 м
1 ρσ (X)— —— —Г -—7 1 βν \Х) —
дха дхр дх°
дЧ*' дх* дх*
дх^дх? дхР' дх°' '
(24.50
параллельный перенос:
V11 (χ + Δ*) „ = 7μ (χ) — Δχλ Γμλν (χ) Vv (χ); (24.30
ковариантная производная:
ναΤμνλ = даТ»\ + Γ%Γβνλ + Γναβ7μΡλ - Γβαλ7μνβ . (24.70
Формула (24.9) по существу означает, что
νλ^5λ£μν-Γ\μΙΓτν-Γ\ν£μτ = 0. (24.9'")
С ее помощью можно доказать также, что Vxg^v=0.
Таким образом, при ковариантном дифференцировании с
компонентами метрического тензора #μν, £μν нужно
обращаться как с постоянными. Например, V%(gllvAv)=g^vX
XVjHv. Аналогично поступать нужно и с тензорными
плотностями. Например,
+ Γνλρ£μρ-Γρρλ2:μν. (24.10)
Это выражение отличается от ковариантной производной
тензора последним членом правой части.
Дадим сводку часто встречающихся формул.
Свертывая выражение (24.9") по λ и ν, получим
rV = |T"4gvp/2. (24.11)
Но алгебраическое дополнение элементов #μν
определителя g есть gg^v. Поэтому
dg/d&^ggTdvg^. (24.12)
Следовательно, можно написать
^vx = dli\nV~g. (24.11')
Далее, часто бывают полезными соотношения для
вариаций:
136

6g = gp*6gui=-ggm6gr.
(24.13)
5μν ο6μν
Дадим другое доказательство того факта, что
введенная в § 22 комбинация производных тензора есть тензор.
С учетом симметрии Г μν = Γ νμ правую часть формулы
(22.5) можно переписать в виде
/μν =: 0\l «*v — C'v **μ == νμ **ν — ν ν ^μ >
откуда и вытекает, что /μν —тензор. В формулах (22.7)
и (22.11) тоже можно всюду заменить простые
производные на ковариантные, при этом формулы не нарушатся.
Отсюда ясно, что эти величины — тензоры. Совершенно
так же, пользуясь определением ковариантной
производной тензорной плотности (24.10), можно легко доказать
справедливость утверждений (22.16) и (22.19).
В законе преобразования величины Г (24.5х) есть член,
не зависящий от Г. Рассмотрим произвольную мировую
точку Р. Если в некоторой системе отсчета 5 не все
компоненты Г в точке Ρ равны нулю, то благодаря наличию
указанного неоднородного члена в законе преобразования
(24.5') всегда можно подобрать такую систему отсчета
S'f в которой все компоненты Г" в точке Ρ обратятся в
нуль. Но, по формулам (19.9), (24.9") и (19.8"), величина
Г определяет действующую на материальную точку
гравитационную силу. Следовательно, система отсчета S'—
локально лоренцева в точке Р. Если система координат
такова, что все компоненты Г в некоторой точке Ρ равны
нулю, то в геометрии говорят, что эта система
координат — геодезическая в точке Р. Такую систему координат
называют геодезической в точке Ρ или системой
геодезических координат. Следовательно, на геометрическом
языке принцип эквивалентности означает, что в произвольной
мировой точке всегда можно ввести геодезическую систему
координат.
Эйнштейн опубликовал общую теорию относительности
в 1915 г. Вскоре после этого, обобщая теорию Эйнштейна,
несколько человек предприняли попытки описать
геометрические пространственно-временные свойства не только
гравитационного, но и электромагнитного поля. Среди них
наиболее известна и интересна работа Вейля. Он
потребовал, чтобы при параллельном переносе вектора νμ
изменялись не только его компоненты по формуле (24.3), но
137

й Модуль вектора. Следовательно, коэффициенты
связности по Вейлю не удовлетворяют соотношению (24,9/).
Некоторые рассматривали случай, когда коэффициенты
связности Χ μν несимметричны по μ, ν. Тогда тоже, разумеется,
нельзя пользоваться формулой (24.9/). Совокупность всех
таких теорий, 'посвященных расширению общей теории
относительности с целью включить в нее электромагнитное
поле путем рассмотрения различного типа связности,
называют единой теорией поля. Среди вариантов единой
теории поля есть теории, в которых пространство — время
рассматривают как щятимерное многообразие, и теории, в
которых метрический тензор #μν несимметричен по
индексам μ, ν и т. п. Сам Эйнштейн вторую половину жизни
усиленно занимался единой теорией поля. В этой теории
встречаются математические сложности, для преодоления
которых изобретены очень тонкие методы.
В работе Эйнштейна 1915 года большую роль сыграла
опора на эксперимент Этвеша. Но в единой теории поля
нет соответствующего эксперимента и, кроме того, не
открыт великий руководящий 'принцип, подобный принципу
эквивалентности. Поэтому, несмотря на огромную
проделанную работу, удовлетворительной единой теории поля
пока не существует.
§ 25. КРИВИЗНА
Ковариантные 'производные, вообще говоря, не
коммутируют: для произвольного вектора разность νμνν^α —
—VvVtiV^ne равна нулю. Вычисляя ее, получаем
[νμ, Vv]Va=V»VvVa-VvV»V* = R%livV\ (25.1)
где
d \
#°βμν = <V Γανβ — dv Γαμβ + Ι^μτ ΓΤνβ — Γαντ ΓΤμβ (25.2)
есть тензор кривизны Римана — Кристоффеля *.
Объясним, -почему величину R называют тензором кривизны.
Рассмотрим произвольную поверхность в
пространстве — времени и на ней — координатную сетку,
установленную с помощью семейства кривых и=const, v = const
(рис. 12). Тогда координаты χμ точки на поверхности
выражаются функцией двух параметров #μ (и, υ). Пусть в
точке Ρ на нашей поверхности и=0, υ=0. Произведем
* В некоторых книгах тензор Римана — Кристоффеля
определяют с обратным знаком.
138

параллельный перенос вектора V*1 из точки Ρ в точку
S(Au, Αν), двигаясь сначала по кривой ^ = 0 до точки
Q(Au, v = 0), а затем — по кривой w = const ( = Au) до
точки S(Au, Αν). Обозначим этот путь переноса
символом С\. Кроме того, совершим параллельный перенос
того же вектора νμ по пути С2 (Ρ-^Γ-kS). Результаты
параллельного переноса вектора νμ в точку 5 оказываются
разными в зависимости от
пути, по которому мы
переносили вектор. Обозначим
поэтому вектор, перенесенный в S
по пути Си символом νμ (5,
С\) и . Запишем сначала
выражение для VV (Q) и:
V»{Q)* = V4P)-
-Y\v(P)Vv(P)^(P)i
где
Ахха = (дха/ди) Аи.
Далее,
V11 (5, С,) „ = Κμ (Q) „ - Γμβν (Q) Г (Q) „ Δ2*β (Q),
d
Α2χ$ == (dxfydv) Αν.
Подставляя сюда результат для Κμ (Q) ц, получаем с
точностью до первого 'порядка малости по Аи и первого
порядка малости по Αν
V^(S9C1)l{ = V^(P)+{(Y%r\p-daT%)VpA1x-A2x^P +
+ (члены, симметричные по и9 ν).
Здесь символ { }р означает, что во втором члене правой
части все величины берутся в точке Р. Так как ΐ^μ(5,
Сг) у получается перестановкой и и ν, то
νμ (5, CJ „ - Κμ (5, С2) „ = - #μΡαβ Κρ Δχ*α Α2χ*=
= -/?μΡαβ^ρΔσ«β/2, (25.3)
где
Δσ0^:
Δ2α^ Δ2*&
— площадь ромба PQST. Несовпадение векторов V* (С\)\
νμ (Сг) вызвано искривлением пространства. Когда ис-
139

кривления нет, эти два вектора совпадают. Следовательно
/?μραβ —тензор, выражающий степень искривления
пространства. В этом причина того, что он назван кривизной.
Если в некоторой конечной области реального
пространства— времени /?μραβ =0, то в ней можно ввести лорен-
цеву систему отсчета, т. е. такую систему координат, в
которой метрический тензор равен ημν . Доказательство
этого факта мы опускаем *. Обратное утверждение
звучит так: если на всем протяжении некоторой конечной
области (пространства — времени можно ввести лоренцеву
систему координат, то внутри этой области тензор
кривизны равен нулю. Справедливость этого утверждения
очевидна.
Скажем несколько слов об индексах тензора кривизны.
Рассмотрим тензор
d
#αβμν = gay #Υβμν · (25.2')
Пользуясь определением величины Г (24.9"), легко
вывести свойства симметрии тензора Rafaiv*
Ααβμν = — Αβαμν > Ααβμν = — Ααβνμ > 1 /ρг л\
Ααβμν = Αμναβ f )
из которых вытекает, что множество индексов (αβμν)
разбивается на два множества пар (αβ) и (μν) так, что
каждая пара независимо от другой принимает шесть значений
(01), (02), (03), (23), (31), (12). Для простоты вместо
пары αβ будем писать Л, а вместо пары (μν)—В; Л, В
выбираются из множества значений 1. 2, 3, 4, 5, 6. Если,
пользуясь этими новыми индексами, вместо /?αβμν
написать Rab, to, согласно третьему свойству симметрии
(25.4), Rab=Rba- Поэтому величину RAB можно
рассматривать как симметричную матрицу 6X6, откуда следует,
что число ее независимых компонент равно 21. Но
несколько ниже мы убедимся, что
#αλμν + #αμνλ + #ανλμ = 0. (25.5)
Если в этом соотношении среди четырех индексов
найдется пара одинаковых, то ввиду симметрии (25.4) оно
превратится в бессодержательное тождество 0 = 0. Поэтому в
действительности формула (25.5) содержит всего одно
соотношение
^0123 ~Ь ^0231 + ^0312 = 0» (25-5 )
* Читатель, заинтересовавшийся этим вопросом, может найти
доказательство в книге Ямаути, Утияма, Накано «Общая
относительность и гравитация». 1967, с. 293
140

с учетом которого число независимых компонент Rab
уменьшается на 1. Остается всего 20 независимых
компонент. Таким образом, число отличных от нуля
независимых компонент тензора Римана — Кристоффеля равно 20.
Докажем тождество (25.5). Согласно формуле (25.1)
имеем
νλ[νμ, Vv]^ = νν/?Γβμν^+^αβμν Vx^.
Затем с помощью несколько довольно длинного
вычисления можно получить
[νμ, Vvl VxV" = /?V · V^P - #\μν · Vxt^.
Составляя разность этих двух выражений, получим
Г V*, [νμ, Vvl] Vе = νλ/?αβμν · νβ + /?\μν. VxV* (25.6)
Производя циклические перестановки λ, μ, ν, находим еще
два соотношения:
[Уд, [Vv, 4l]]Va= νμ^βνλ-^ + ^μνλ-ντ^;
[Vv, [VX, νμ]]^= νν/?νμ^Ρ + ^τνλμ·ντ^.
Складывая эти три формулы, слева по тождеству Якоби
получим нуль. Следовательно,
о = (νλ/?αβμν + νμ/?ν + νΛμ) ·7β +
Значения компонент Ур и VTVa в произвольной точке
пространства — времени можно выбрать совершенно
произвольно и независимо друг от друга. Поэтому написанное
выше тождество разбивается на два: .
Vx#Vv + νΛλ + Vv/?°W = 0; (25.7)
/?\μν + R\vX + #W = 0. (25.8)
Тождество (25.8) эквивалентно использованному нами
выше тождеству (25.5). Очень важное тождество (25.7)
называют тождеством Бианки.
Произведем свертку тензора кривизны (являющегося
тензором четвертого ранга):
Αμν = Α νμα = ^μ αν — ^α^ μν Τ" 1 μτ Α να
— Γ ατ Γ μν = Ανμί (25.9)
R = gv>Rw. (25.10)
141

Симметрия первого члена правой части (25.9) по
индексам μ, ν сразу не видна, но достаточно одного вгляда на
формулу (24.1 Г), чтобы убедиться, что этот член
симметричен. Тензор /?μν называют тензором Риччи, а
величину/? — скалярной кривизной.
Выполняя свертку тождества Бианки (25.7) по α и ν,
придем к соотношению
νλ# βμ — νμ% + V*R°V = 0;
умножая его на gW и вспоминая, что ν^λβ = 0,
получаем
2Vx#\ - νμ# = 2νλ (R\ - δλμ/?/2) = 0.
Воспользуемся определением тензора Эйнштейна
Ομν4/?μν-£μν/?/2. (25.11)
Тогда
VbG^-O. (25.12)
Последнее тождество — важная путеводная нить при
выводе уравнений гравитационного поля.
Тензоры βμν и /?μν —симметричные тензоры второго
ранга, построенные из метрического тензора gμv и его
производных dg^dx^ d2g^Jdxxdxu. Формы, выражающие
тензоры βμν и /?μν, линейны по вторым производным
тензора gμV , причем сам тензор #μν (или #μν ) входит
в коэффициенты перед первыми производными dg^/dx1*
Такие же замечания относятся к тензору Ra^v и
скалярной кривизне R. Рассмотрим следующую важную
теорему.
Теорема 1. Пусть скаляр 5 построен из тензора βμν,
его 'первых и вторых производных. Если он линеен по
вторым производным, то
S(x) = clR(x)+c2,
где Си с2 — произвольные постоянные.
Доказательство. Введем систему координат,
геодезическую в точке Р, с началом в Ρ (χ=0, χ —
координаты точки Р). Подходящим аффинным преобразованием
приведем значения тензора #μν в точке Ρ к виду
£μν(°)=ν·' £μν(°) = ημν;
(25.13)
142

Тогда в точке Ρ
S (0) = {ατΤηΡ* + Ь (η^Ρη^ -f ημσηνρ)} dpd(jg^ + ^
где а, 6, с — константы. Это — наиболее общее выражение
для скаляра 5. Выполним теперь преобразование
координат х-+х'. В окрестности точки Ρ
^ = ^4(l/3!)aV*VV'+ . . .
Коэффициент α полностью симметричен по индексам /, /,
k. Так как в точке Ρ χ'=0, то
дх» Λμ# dW n аз^ μ
дхг дх1'дхк' dxrdxrdxk'
Пользуясь этими формулами, получим, что тензор £μν
его производные в точке Ρ преобразуются по закону
Siv = £uv = %v> до 8'uv = dp8*v = °ί
>μν 6μν ·μν> ρ»μν Ρομν
"^ Γ Va σρμ «|mv "Τ α σρν "Ι/πμ/
дхР'дх0' дх»дх°
Следовательно, новая система координат х' тоже
геодезическая в точке Р. В результате преобразования вместо S
получаем
S' (0) = 5 (0) + 2α*σρμηΛν {ατΤ ηΡσ + 6 (η«> η™ + η^η^)}.
Но по построению S — скаляр. Следовательно,
добавочный член в 'последней формуле равен нулю. Это значит,
что между неизвестными коэффициентами а, Ь имеет место
соотношение а+2Ь = 0. Поэтому в начале координат
геодезической системы
5 (0) = а (ТГ ηΡσ _ ημρ ηνσ) dfiog^ + С.
С другой стороны, в геодезической системе координат
R = (ημν ηρσ _ ημρ ηνσ) 5ρ3σ#μν,
откуда
5 = aRA+ с.
Это соотношение шолучено нами в геодезической системе
координат. Но так как S и R — скаляры, то соотношение
между ними должно иметь место в произвольной системе
отсчета. Полагая а->сь с-к:2, получаем искомый
результат,
143

С доказанной только что теоремой тесно связана дру-,
гая теорема.
Теорема 2. Симметричный тензор второго ранга Γμν,
построенный из тензора gμV , его первых (<3ρ£μν ) и
вторых (др д0 £μν) производных и линейный ήο вторым
производным тензора £μν , а кроме того,
удовлетворяющий тождеству
νμτμνΞο,
имеет вид
Τμν = ^μν + ^μν,
где си с2 — произвольные постоянные.
Для доказательства нужно воспользоваться
геодезической системой координат, .так же как при
доказательстве теоремы 1. Доказательство предоставляется читателю.

Глава 7
МЕХАНИКА И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 26. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ
ТОЧКИ
Рассмотрим уравнение движения материальной точки
массы т в заданном гравитационном поле. Пусть в
момент t наша материальная точка оказалась в мировой
точке Р. Введем в точке Ρ геодезическую (в частности,
локально лорендеву) систему координат. Обозначим
координаты материальной точки в этой системе отсчета
символом Χμ (τ), где τ — собственное время материальной
точки:
άτ2 = -(1/ο2)χ\μνάΧϊιάΧν.
В геодезической системе координат в момент τ в
окрестности материальной точки нет гравитационного поля.
Значит, в этот момент справедлива частная теория
относительности, и
ά2Χμ/άτ2 = 0. (26.1)
Переходя от системы X к произвольной системе координат
и переписывая соответствующим образом уравнение (26.1),
выводим интересующее нас уравнение движения.
Соответствующий расчет мы уже проделали в § 19: уравнение
(19.8) преобразуется сначала к виду (19.8/), а затем —
к виду (19.8"). Обозначим координаты материальной
точки в произвольной системе отсчета символом *μ (τ) [это
соответствует обозначению и* (τ) в § 19]. Тогда получим
Примем, что системы координат л; и л/ в формуле (24.5)
соответствуют в нашем случае геодезической системе
координат X и произвольной системе координат х. Тогда
формула (24.5) примет вид
Γρσ (*) = s .
дХ*дХ? dx» дха
После небольшого преобразования правой части этого
равенства приведем выражение для Г к виду (19.9):
145

Γμ д ( дх*\ дХУ ^ , дх» д*ХУ
00 ~ дх<> \dXV ) дх° dXV дх»дха
Пользуясь этим выражением, запишем уравнение (26.1) в
форме, эквивалентной (19.8"):
Чх^ +1 ^ άχ dx ~ υ' (Ζ0·Ζ)
Это — искомое уравнение движения.
Об уравнении, не изменяющем своего вида при
произвольном преобразовании координат, будем говорить, что
оно ковариантно. Ковариантность уравнения (26.2) можно
доказать непосредственно. В этом можно убедиться
также с помощью следующих рассуждений. Рассмотрим в
пространстве — времени векторное поле νμ (χ, /)· Пусть
оно совпадает с вектором скорости άχμ (x)/dx
материальной точки на ее мировой линии:
υμ(χ) = ομ [χ = χ(τ)} = dx»(x)/dx.
Умножая ковариантную производную вектора ик (х)
S7^ = dvK(x)/dx» + r\vvv
на ϋμ , получим для точек х, лежащих на мировой
линии материальной точки:
ν» (τ) νμι>λ{х(τ)} = dv% (x)/dx + Γλμν{χ (τ)} ν» (τ) <(τ).
Очевидно, что левая часть полученного равенства —
вектор, а правая его часть совпадает с выражением в левой
части (26.2). Следовательно, выражение (26.2)
преобразуется по векторному закону.
В уравнении движения (26.2) инертная масса
материальной точки выпала из-за принципа эквивалентности. {
В самом деле, в первом члене (26.2) должна была бы
стоять инертная масса га, а во втором — гравитационная
масса то материальной точки. В силу принципа
эквивалентности обе эти массы тождественны друг другу и
потому сократились.
Уравнение (26.2) можно вывести из принципа
Гамильтона. В частной теории относительности мы выводили
уравнение движения (26.1) путем варьирования по
Χ* (λ) интеграла действия
'—«jV-^Tr Л (263)
[см. формулу (17.1)]. Переходя к общей теории
относительности, перепишем интеграл (23.6) в форме, соответст-
146

вующей произвольной системе координат. При этом
будем иметь в виду, что λ — параметр, не зависящий отвы-
выбора системы отсчета. В произвольной системе отсчета
интеграл действия (26.3) принимает вид
Варьируя его по хк , выводим уравнение Эйлера
в котором радикал V в знаменателе означает
подынтегральную функцию (26.3'). Величина λ — совершенно
произвольный параметр. В частности, его можно выбрать
так, чтобы удовлетворялось соотношение
- gj* W) (άχ^άλ) άχν'άλ = c\ (26.4)
означающее, что λ совпадает с собственным временем
материальной точки τ. Тогда уравнение Эйлера примет вид
8kv dx* + ^ dxv 2 дхЬ J dx dx
В такой форме оно не отличается от уравнения (26.2), так
как антисимметричная по индексам μ, ν часть первого
члена в круглых скобках выпадает. Кривую, описываемую
уравнением (26.2), называют геодезической линией.
Чтобы лучше понять смысл уравнения (26.2), полезно
сравнить его с уравнением движения Ньютона. Пусть сила
тяжести очень слаба. Это значит, что существует система
координат, в которой то крайней мере в течение
некоторого времени в окрестности нашей материальной точки
справедливо разложение
(Ι) £μν (χ) = ημν + Αμν (χ), | Λμν Κ 1.
Предположим, кроме того, что
(II) тензор β·μν не зависит от х° и что
&а = 0, k= 1,2,3.
Наконец, допустим, что 3-мерная скорость материальной
точки в нашей системе координат удовлетворяет условию
(III) Μ «с.
Гравитационное поле, удовлетворяющее условию (II),
называют статическим. Если же удовлетворена только
περί 47

вая часть условия (II), то говорят о стационарном
гравитационном поле.
Из условия (I) систему координат в окрестности
материальной точки можно приближенно считать лоренцевой.
Следовательно, в качестве времени можно пользоваться
величиной x°/c=t. Согласно условиям (I) и (III)
собственное время τ приближенно совпадает с t. Поэтому
dxk dxk d kyy dx° dx°
Из предположений (I), (II) вытекает, что
Γ*οο = -3Αο/2; Γ*ο/ = 0, Μ= 1,2,3;
Г°о* = - дДо/2; Г0™ = 0, k, I = 1, 2, 3.
Здесь оставлены члены первого порядка малости по А и
второго — по и, а члены более высоких порядков малости
по h и υ отброшены. Кроме того, отброшен член hv2.
В этом приближении пространственные компоненты
уравнения (26.2) (при &=1, 2, 3) принимают вид
d2j . (dx* γ &jt
k (dx* γ d*j c*
Koo^; =^r~ —aAo- (26.5)
dt*
Сравним с ними уравнение Ньютона
в котором * — ньютоновский потенциал всемирного
тяготения; mG — тяжелая масса материальной точки, равная
инертной массе т. Для совпадения уравнений (26.5) и
(26.6) нужно потребовать, чтобы
к00 = -2Ф/с\ (26.7)
т. е.
βΰα = -(\+2ΦΙο% (26.7')
Формула ^26.7') показывает, что компонента goo тесно
связана с ньютоновским потенциалом. Эта формула
математически подтверждает принятую нами выше
интерпретацию метрического тензора #μν . Имея в виду
соотношение (26.70, можно утверждать, что ньютоновское
уравнение движения является частным случаем эйнштейновского
уравнения.
Рассмотрим теперь временную компоненту уравнения
(26.2) (при λ=0). В рамках принятого приближения, эта
компонента уравнения записывается в виде
148

d2x<> dhon _ dxk
dx2 дх1
dxk d г dx* , , , Ч.П л
Умножим полученное выражение на тс. Теперь можно
сказать, что вдоль мировой линии материальной точки
сохраняется величина
Е = тс— — mc2h^ = тс2 — + 2тФ {χ (τ)}. (26.8)
dx dx
, dx'dxk.
Но в статическом гравитационном поле
В рассматриваемом приближении эта формула 'принимает
вид
άτ2 = άί2{(1+2Φ/ο2) — v2/c2}.
Следовательно,
dt/dx = {1 + 2Ф/с2 — v2/c2}~1 « 1 — Φ/с2 + v2/2c\
откуда
Ε = тс2 + mv2/2 + m Φ {χ (τ)} = const. (26.8)
Это—закон сохранения энергии материальной точки
массы т в гравитационном поле с потенциалом Φ в
ньютоновской механике.
В заключение параграфа рассмотрим распространение
лучей света. Так же как и в случае с материальной
точкой, введем геодезическую систему координат. Обозначая
через Ζμ (λ) координаты начала светового луча, запишем
уравнение светового луча в некоторый момент времени в
некотором месте:
ά2Χμ/άλ2 = 0; ds2 = %vdX4Xv = 0.
Здесь λ — параметр, определяющий траекторию светового
луча, на которой 4-мерное расстояние ds равно нулю.
Поэтому выбрать 5 в качестве λ невозможно. В
произвольной системе координат уравнение светового луча
принимает вид
(Ρχμ/άλ2 + Γμαβ (dxa/dk) άχ*Ιάλ = 0; (26.9)
(ds/άλ)2 = gjfifldk) dxv/dk = 0, (26.10)
где χ* (λ) — координаты начала светового луча.
Уравнение (26.9) тоже можно вывести из вариационного
принципа. Но в данном случае ввиду соотношения (26.10) нель-
149

άλ.
зя пользоваться выражением (26.3) [иначе, при выводе
уравнения Эйлера из интеграла действия в знаменатель
войдет корень из выражения (26.10)]. Поэтому для
вывода уравнения (26.9) вместо выражения (26.3) пользуются
формулой
1 =KvW-ajr-2jr
В такой форме вариационный принцип означает, что
траектории световых лучей дают те экстремали функционала
/' (геодезические линии), вектор касательной к которым
всегда — нуль-вектор.
§ 27. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
Так же как и при выводе уравнения движения
материальной точки, исходным пунктом для нас будут
уравнения Максвелла в системе координат, геодезической
относительно некоторой (произвольной) мировой точки,
т. е. уравнения (12.1) и (12.2). Преобразуя их к
произвольной системе координат, мы получим уравнения
Максвелла в гравитационном поле. В данном случае
электромагнитное поле описывается антисимметричным тензором
μν (χ). 4-Мерный ток /μ (χ) удовлетворяет уравнению
νμ/μ = 0, (27.1)
которое получится из уравнения непрерывности (12.5),
если его переписать в произвольной системе координат.
Ковариантная запись уравнений (12.1) и (12.2) имеет вид
ν/ν=μο/λ; (27.2)
νλ/μν + νμ/νλ + νν/λμ = 0, (27.3)
Сравнивая уравнения (27.2), (27.3) с исходными
уравнениями (12.1), (12.2), замечаем, что от записи физического
закона в частной теории относительности можно перейти
к записи этого закона в общей теории относительности с
помощью следующей операции:
(27.4)
Частная теория
относительности
ημν, ημν
д/дх»
—►
—►
Общая теория
относительности
βμν» ё »
V».
150

Уравнения (27.1) —(27.3) можно записать в другой фор-
ме. Умножая уравнение (27.1) на ]/—g и пользуясь
определением ковариантной производной тензорной плотности
(24.10), получаем
0μίμ = Ο; fly—gj^ (27.Г)
Аналогично, умножая уравнение (27.2) на ]/—g, получаем
<Μλν=μ<Λ ^=V~gtv· (27.2')
Остается уравнение (27.3). В § 24 мы видели, что в
произвольной системе координат его можно записать в виде
0λ/μν + 0μ/νλ + 0ν/νμ = 0, (27.30
полностью совпадающем с видом этого уравнения в
частной теории относительности. Следовательно, так же как и
в частной теории относительности, можно
воспользоваться потенциалом Α μ :
/μν = Μν — Μμ· (27.5)
Перепишем уравнение (27.2) в виде уравнения для
потенциала Α μ . Сначала запишем условие Лоренца
νμΛμ = 0. (27.6)
Подставляя формулу (27.5) в уравнение (27.2) и
пользуясь условием (27.6), находим
Vv (νλΑν - ννΛλ) = (Vv νλ - Δλ Vv) Α"-Π A\
. d
πΛλ=νμνμΛ\
Учитывая тождества (25.1) и (25.9), преобразуем первый
член правой части последнего равенства к виду
«^ (Vv Уд - νμ Vv) AV = ^μ flV^p = _ tf^
откуда вытекает, что уравнение (27.2) переходит в
следующее уравнение для потенциала:
αΛ4#νρ = -μοΛ (27.7
В присутствии гравитационного поля пространство —
время искривлено (тензор кривизны отличен от нуля).
Хотя в локально геодезической системе координат в
окрестности некоторой точки Г=0, но, несмотря на это, второе
151

слагаемое левой части уравнения (27.7) нулю не равно.
Таким образом, здесь мы имеем пример нарушения
принципа эквивалентности. При построении общей теории
относительности принцип эквивалентности играл роль
мощного руководящего принципа. Но в конструируемой нами
сейчас теории возникают ситуации, подобные случаю с
уравнением (27.7), когда этот принцип нарушается. В §26
мы видели, что величина Г выражает гравитационное
поле. Следовательно, тензор #λρμν , построенный из
производных Г, связан с градиентом гравитационного поля.
Вообще, можно сказать, что принцип эквивалентности имеет
место по отношению к тем физическим явлениям, которые
зависят только от гравитационного поля и не зависят от
его градиента, и не имеет места для явлений, зависящих
от градиента гравитационного поля. Ниже мы увидим, что
при взаимодействии гравитационного поля только с
электромагнитным полем, т. е. в случае, когда кроме этих двух
полей нет никакой другой материи (и, разумеется, /λ =0),
тензор /?λρ пропорционален тензору энергии — импульса
электромагнитного поля. Тогда второй член (27.7)
'пропорционален третьей степени А и теряется линейность
электромагнитного поля [см. уравнение (27.7') в § 28].
Уравнение (27.2') тоже можно вывести- из принципа
Гамильтона. Мы рассмотрим вывод из вариационного
принципа уравнений электромагнитного поля и
уравнений движения частиц для случая, когда N заряженных
частиц взаимодействуют с электромагнитным полем в
заданном гравитационном поле.
Перепишем интеграл действия (17.11), руководствуясь
правилами (27.4):
Здесь τ<—собственное время ί-й частицы. Кроме того, при
переходе от частной теории относительности к общей мы
заменили элемент объема d4x на У—gd4x (эту замену мы
уже обсуждали в связи с формулой (21.3')].
Полагая x°=ct, представим интеграл 'действия (27.8)
в виде
/ = JS(x) Лий; (27.80
152

+ β,Λ4μ (л:) / (ί)J δ* {χ — ζ (t)} rfr, —
—^ν=8*»Μ«!„Μ· (27·9)
Варьируя функционал (27.8) по ζμ (i) и пользуясь тем,
что η — собственное время, т. е. тем, что
V- -sw (0 *μ (О 2V (0 = с, г (о i <fc (о/л„
выводим уравнение
δ2ζ\0/δτώ*λ(0 + Γλρσ(0ζρ(0^(0 = (^Μ)/λρ (0*Р (0, (27.10)
соответствующее уравнению (17.5).
С другой стороны, варьируя функционал (27.80 по
Лд (х), приходим к уравнению
0νΓ(х) = μ02^ί^μ (ί)δ4{Α: —г(0} άτι% (27.11)
которое в общей теории относительности заменяет
уравнение (17.13). Привлекая определение (17.14) и полагая
Π*)^Σ^ίζμ(0δ*{*-ζ(0}^, (27.12)
i
получаем
<3νίμν=μ0Ιμ. (27.11')
Это — уравнение (27.20.
Тот факт, что определяемая формулой (27.12) величина
ίμ (χ) является векторной плотностью, вытекает из
рассмотрения трансформационных свойств δΑ(χ—ζ). В самом
деле, при произвольном преобразовании координат
х-+х'
δ4 (χ! — г') = [д (х)/д {х')\ б4 (х — ζ),
откуда при учете определения (27.12) вытекает, что
1μ (а:) преобразуется как векторная плотность. Можно
рассуждать по-другому. Введем систему координат хУ
геодезическую в точке х, и, пользуясь законом преобразования
6-функции, перепишем правую часть формулы (27.12) в
виде
<"<*>=4||-|^2И^в'<г-*<г»Л<]<2712'>
153

Сумма Σ[ ] в правой части последнего равенства
записана в системе без гравитационного поля. Следовательно,
она выражает 4-мерный ток (17.14) [который здесь
нужно обозначить символом /μ (χ)]. Вспоминая определение
8^ = %а(д^/дг)дха/дх\
получаем
d(x)/d(x)=V=JW*
Таким образом, формула (27.12х) принимает вид
fW=V-gW№/d^!X$ = V^^ (27.12")
Теперь очевидно, что |μ — векторная плотность.
Пользуясь тем, что рассматриваемая физическая
система взаимодействует с гравитационным полем, можно дать
весьма изящный вывод выражения для симметричной
тензорной плотности энергии—импульса связанной системы
заряженных частиц и электромагнитного поля £μν . В
самом деле, величина £μν, вообще говоря, определяется
формулой
%^(x)l-22(x)/dgilv(x). (27.13)
Непосредственный подсчет правой части этой формулы с
учетом выражения (27.9) дает
зГ (χ) = — 2 т{с J ζμ (i) ζν (Ζ) δ4 {χ—ζ (i)} dxt —
Второй член правой части здесь имеет вид, совпадающий
с формулой (17.16). Следовательно, это — тензорная
плотность энергии — импульса электромагнитного поля *
Первый член правой части формулы (27.14) можно
переписать в другом виде, воспользовавшись соображения-
* В дальнейшем, для облегчения языка, вместо тензора энергии —
импульса мы будем говорить просто о тензоре энергии.
154

ми, с помощью которых мы доказали псевдовекторнукЗ
природу величины /μ :
^»(т) =^miC\z»(i) zv(i)V{x-z(i)} dxt =
= V^TF) {дх»1д~ха) {dxvld~x*) Γαβ (x)(m) = У=ШΤμν (x)(m).
(27.15)
Здесь Та& (х)(т) — тензор энергии системы частиц в точ«
ке х, видимый из геодезической системы координат х,
т. е. тензор (17.17):
i
С учетом формулы (17.20) это выражение можно
переписать в виде
^αβ (*)(«> = -ΡΜ и* (χ)άβ (*), (27.150
где р(я)— скалярная величина, выражающая плотность
массы покоя системы частиц в точке #, видимую из
системы координат, локально лоренцевой в точке χ (в
которой частицы в окрестности точки χ покоятся). Кроме
того, в формуле (27.15) вектор йа (х) означает 4-мерную
скорость частицы в точке χ в системе отсчета х.
Пользуясь формулой (27.15)', запишем следующее выражение
для величины £μν(*)(™) (27.15):
^ (*)<«> = - V-iWp (x)u*(x)uv(x). (27.15")
Здесь р(х)=р(х) —скалярная величина р, а Μμ (χ)
—вектор скорости частицы в точке X, взятые в произвольной
системе отсчета.
Полученные результаты показывают, что величина
(27.14) является тензорной плотностью энергии всей
системы. Можно доказать, чтсГона удовлетворяет закону
сохранения
νμ£μν = 0, (27.16)
который получается из закона сохранения (17.18), если
последний переписать на случай общей теории
относительности. Суть доказательства кратко сводится к
следующему.
Прежде всего, согласно формулам (27.11), (27.12)
= Σ cet J f\ (0 z% (i) δ*{χ-ζ (»)} dx„
ι
155

Подставляя в правую часть этого выражения уравнение
(27.10), получаем
νμ£μν(*) = Σ ^с J* { ζ ν (0 + Γνρσ (χ) гр (ι) ζσ(ι)}& {χ - ζ (/)} dxt.
ι
Интегрируя по частям первый член правой части и
пользуясь определением (27.15), приходим к соотношению
^ mfi j zv (i) z° (i) -±t-V{x-z (i)} dxt = —L·- £νσ (x)m ,
i
откуда
Vμ£ (e) — Γ-Τ- λ, (m) — 1 ρσ (Χ) % (m) = — Va$ (m) ·
Утверждение доказано.
Опустим индекс ν в формуле (27.16):
d»T\ = dvgpoTpo/2.
Правая часть здесь, вообще говоря, не равна нулю
вследствие взаимодействия с гравитационным полем. По этой
причине величина
d
J ν == J A* \Cl X
не является константой, она изменяется при изменении
х°. Этот факт отражает обмен энергией и импульсом
между гравитационным полем с одной стороны и частицами
и электромагнитным полем — с другой.
Заменяя во всех выражениях тензор gV\L на ημν ,
перейдем к частной теории относительности. Но
рассмотренная процедура вывода симметричного тензора энергии
применима также и в случае указанной замены. Кроме того,
после этой замены величина /ν становится константой и
вступает в силу закон сохранения.

Глава 8
УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
§ 28. УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Займемся уравнением для потенциала гравитационного
поля £μν . Неизвестная функция g μν имеет десять
компонент. Поэтому уравнения гравитационного шля можно
рассматривать как одно тензорное 10-компонентное
уравнение, которое должно заменить ньютоновский закон
всемирного тяготения. Уравнение закона всемирного
тяготения для потенциала Φ имеет вид
Δ0 =4πσρ, (28.1)
где ρ — плотность массы вещества — источника
гравитации, a G — гравитационная постоянная:
G = (6,670 ± 0,005)· 10"8- см3·г"1·с"1.
Естественно предположить, что искомое уравнение
построено аналогично уравнению (28.1):
Fμν = *Χμ\ (28.2)
Здесь F^ и Λ>ν —симметричные тензоры, α —
неизвестная константа пропорциональности. Тензор F^' в левой
части (28.2) должен зависеть от £μν или от его
производных, а тензор Λ>ν в правой части выражает свойства
вещества — источника гравитации (для простоты будем
называть веществом все, что не сводится к гравитационному
полю).
В § 26 мы уже отметили, что для слабого статического
гравитационного поля
£оо»-(1+2Ф/с2). (28.3)
В этом случае (28.2) должно переходить в уравнение
(28.1). Так как в левой части (28.1) содержатся вторые
производные * , то надо потребовать, чтобы левая часть
(28.2) была функцией от производных тензора β·μν вплоть
до второго порядка. Слабость гравитационного поля
означает, что система координат в окрестности
рассматриваемой мировой точки приблизительно геодезическая. Для
совпадения (в приблизительно геодезической системе ко-
157

ординат) уравнения (28.2) с (28.1) необходимо, чтобы
тензор FW был линеен по d2g/dxdx, причем коэффициент
перед этими вторыми производными должен быть
функцией только от guv (но не от первых производных £μν).
С другой стороны, тензор энергии системы частиц
(27.15) в статическом случае (т. е. в системе покоя
частиц) принимает вид
τμν ί— р(х)с2, μ = ν = 0;
[ О для остальных компонент,
откуда вытекает, что в правую часть (28.2) вместо Χ μν
нужно подставить симметричный тензор энергии Т^(Ш)
системы частиц. Если источником гравитационного поля
является материя в более широком смысле слова, то
нужно пользоваться тензором полной энергии всей
материальной системы. В § 27 мы доказали, что тензор энергии
удовлетворяет уравнению
νμτμν = ο,
имеющему смысл записанного в дифференциальной
форме закона сохранения энергии и импульса материи в
общей теории относительности. Учитывая этот закон
сохранения и связь между Γμν и F^v , вытекающую из урав·
нения (28.2):
F^ (3, dg/дх, d2g/dx2) = αΤμν, (28.2')
приходим к выводу, что тензор F^v должен удовлетворять
тождеству
νμ^μν^0, (28.4)
которое должно быть справедливо для любых £μν (χ),
независимо от того, являются ли они решением уравнения
гравитационного поля (28.2) или нет. В самом деле, если
бы это было не так, то соотношение (28.4) накладывало
бы на тензор g^v четыре дополнительных условия. Тогда
получилось бы, что на десять неизвестных компонент
£μν наложено слишком много условий. Во избежание
такой ситуации нужно потребовать, чтобы соотношение
(28.4) удовлетворялось тождественно.
Таким образом, тензор F^v должен удовлетворять
следующим условиям:
1. F^ —симметричный тензор, построенный из тензо-
Ра £μν, его первых и вторых производных;
2. F^ —линейная форма от d2g/dxdx;
3. F^v должно удовлетворять тождеству (28.4).
158

Согласно теореме 2 § 25 тензор F^v , удовлетворяющий
всем этим условиям, имеет вид C\G^V +c2g*LV . Итак,
окончательно уравнение гравитационного поля принимает
вид*
(Τ-Ι£"=*α»». (28.5)
Здесь принято, что с2/с{ = —λ, α/£ι=κ. Величину κ
называют эйнштейновской гравитационной постоянной, а λ —
космологической постоянной. Из космологических
соображений, радиус мира но шорядку величины равен Ι/Υλ.
Следовательно, λ — очень малое число:
Я«1(Г57-ь1(Г54слГ2.
Поэтому вторым членом левой части (28.5) (так
называемым космологическим членом) обычно пренебрегают и
пишут уравнение гравитационного поля в виде
#" _ gwR/2 = κΓμν. (28.6)
Это уравнение называют уравнением Эйнштейна.
В случае взаимодействия гравитационного и
электромагнитного поля в выражении (27.14) нужно оставить
только часть, отвечающую электромагнитному полю:
Т»\= -ч± (Г ГР - ± grf* Ц . (28.7)
Подставляя это выражение в формулу (28.6), можно
определить гравитационное поле, создаваемое
электромагнитным полем.
Умножая уравнение (28.6) на £μν, получаем
-# = κ£μνΤμν4κ7\
откуда вытекает, что вместо уравнения (28.6) можно
также пользоваться уравнением
R»v = κ (Τμν — gw T/2). (28.6')
Для тензора энергии — импульса электромагнитного
поля (28.7)
Т=[0
и уравнение (28.60 принимает вид
* В некоторых книгах пишут —κΓμν. Вообще, надо иметь в виду,
что встречаются книги, дающие определение g»v» #μγ> ^μν со знаком,
Обратным знаку, принятому нами.
159

Подставляя это выражение тензора кривизны в уравнение
(27.7), приходим к уравнению электромагнитных волн,
распространяющихся в гравитационном поле:
□Л* - -*- (/λρ/νΡ - 4- δλν/αβΓβ>) Λ" = 0. (27.70
Если с гравитационным полем взаимодействует
система многих частиц, то, согласно формуле (27.15), нужно
принять
Z»\x) = -j}mic$z»(i)zv(i)V{x-z(i))dxl
или воспользоваться эквивалентным этому
выражением (27.15")
Τμν (χ) = — ρ (χ) и» иУ (х). (28.8)
Здесь ρ (χ) — скаляр, выражающий в системе координат,
геодезической в точке х, плотность массы покоя малой
части рассматриваемой системы частиц; и^(х) —
4-мерный вектор характерной скорости частиц в
точке х.
Если гравитационное поле создается идеальной
жидкостью, то
Γμν = — g^p (χ) — /ρ (χ) + -^-) V (χ) иУ (х). (28.9)
Наконец, в вакууме (по определению в вакууме
материя, в широком смысле этого слова, отсутствует)
уравнение гравитационного поля принимает вид
R»v — gwR/2 = 0.
Свертка этого уравнения показывает, что в данном
случае /?=0. Поэтому для уравнения гравитационного поля
в вакууме получаем
/?μν = 0. (28.10)
Разумеется, полученное уравнение не означает, что в
вакууме кривизна пространства — времени равна нулю, т. е.
что пространство — время в вакууме устроено по типу
пространства Минковского". Говорят, что
пространственно-временная область плоская, если в ней /?αρμν =0. Для
того чтобы пространство — время было плоским,
необходимо потребовать равенства нулю 20 компонент тензора
кривизны, а уравнение (28.10) требует только, чтобы
равнялись нулю десять специальных комбинаций этих
160

компонент. Но если бы пространство — время было 3-
мерным, то из уравнения (28.10) следовало бы, что оно
плоское. В этом случае Ra^v имеет шесть отличных от
нуля независимых компонент (все α, β, μ, ν берутся из
множества значений (1, 2, 3). Тождество (25.5) при этом
превращается в тривиальное тождество 0 = 0, и на
компоненты тензора не накладывается никаких ограничений.
Тензор Риччи /?μν в 3-мерном случае тоже имеет шесть
независимых компонент. И обратно, /?αβμνвыражается
подходящей линейной формой от /?μν. Следовательно, если
всюду в некоторой области 3-мерного пространства —
времени удовлетворено уравнение (28.10), то эта
пространственно-временная область плоская. Читателю предлагается
самостоятельно рассмотреть случай двумерного
пространства — времени (т. е. мир, в котором и пространство, и
время одномерны).
Хотя это на первый взгляд не очевидно, но
оказывается, что уравнения (28.5) или (28.6) имеют всего по
шесть независимых компонент. Мы уже говорили, что
условие νμΓμν = 0 выведено из уравнений,
определяющих поведение материи (например, для системы
частиц — из уравнений движения частиц, для
электромагнитного поля — из уравнений Максвелла). Кроме
того, согласно теореме 2, левая часть (28.5)
удовлетворяет тождеству (28.4). Следовательно, независимо от
того, справедливо или несправедливо (28.5), из одних
только уравнений движения материи вытекает
соотношение
νμ (βμν — Xgw - κΓμν) = 0. (28.11)
Обозначим выражение в фигурных скобках этой
формулы символом #μν; #μν — функция величин,
описывающих материю, и тензора g μν. Если в величины,
связанные с материей, подставить решения уравнений
движения вещества, то #μν окажется функцией только
тензора g^ . При этом соотношение (28.11) должно иметь
место независимо от того, каков тензор #μν>
определяющий величину #μν. В этом смысле соотношение
(28.11) является тождеством. Отсюда вытекает, что
требование
Ημν ^ Qixv _ Kg[lv _ κΤμν = Q ^ щ
достаточно наложить только на шесть из десяти
компонент #νμ.Β самом деле, если от оставшихся четырех ком-
6 Зак. 2035 161

понент не требовать удовлетворения этого равенства, оно
удовлетворится для них автоматически в силу тождества
(28.11). Таким образом, хотя на первый взгляд
уравнение (28.12) налагает на £μν десять условий, фактически
возникает не более шести ограничений. Следовательно,
решение уравнения (28.12) при соответствующих
граничных и начальных условиях определяет £μν не
полностью. Решение зависит от четырех произвольных
функций.
Этот факт не является недостатком уравнения
(28.12). Наоборот, так и должно было быть. Величина
£μν (х) — тензор второго ранга. Следовательно, если
его компоненты заданы в некоторой системе отсчета х, то,
выполняя преобразование
х*-+х»' = /μ(*),
получаем, что в системе х' величина g' ^ (хг) является
линейной формой от £μν (χ) с коэффициентами df^/dx*·.
Функции /μ(Χ) можно выбрать произвольно.
Следовательно, появление четырех произвольных функций —
неотъемлемое свойство компонент тензора #μν .
Существование тождества (28.11) отражает этот факт.
Обращая описанную ситуацию, Эйнштейн выдвинул
следующее интересное соображение. Пусть система
частиц взаимодействует с гравитационным полем, а
уравнения движения частиц не заданы. Задано только
уравнение гравитационного поля (28.5) *. Тогда из
тождества
и из уравнения гравитационного поля (28.5) получим
νμτμν = ο.
Подставляя вместо Τ^ν выражение (27.15) и проводя
в обратном порядке рассуждения, приведшие нас к
закону сохранения (27.16), придем к соотношению
/=«" νμΤμν<„) = νμ£μν (x)in) =
= - Σ ЩСI {έ'ν (Ζ) + ΓνμΡ (0 *μ (0 *p (0) δ4 {х - ζ (i)} dxt = 0.
i
Таким образом, хотя мы и не требовали, чтобы частицы
удовлетворяли уравнениям движения, мы смогли вывести
* В действительности, большую роль играет предположение, что
тензорная плотность энергии системы частиц ^V(m>имеет вид (27.15).
162

эти уравнения, пользуясь только уравнением
гравитационного поля Эйнштейна. В этом направлении некоторое
время развивались исследования Эйнштейна, Гоффмана
и Инфельда. В дальнейшем работы в этом направлении
прекратились.
§ 29. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД К ЗАКОНУ
ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА
Посмотрим, действительно ли уравнения Эйнштейна,
выведенные нами в предыдущем параграфе, включают
закон всемирного тяготения Ньютона как частный
случай. Введем следующие предположения.
1. Гравитационное поле слабое. В подходящей
системе координат оно имеет вид *
βμν (Χ) = ημν + Λμν = ημν + |/ Χ φμν, | Λμν | == ]/ Κ | φμν |< 1#
2. Материальная система, создающая гравитационное
поле (система частиц) покоится в указанной выше
системе координат·
3. Гравитационное поле статично.
Первое предположение означает, что используемую
систему координат приближенно можно рассматривать
как лоренцеву, т. е. считать, что xk, k=l, 2, 3 —
пространственные координаты, a t=x°/c — время. Пользуясь этим
и учитывая второе предположение, напишем выражение
для тензора энергии вещества:
(х) с2, μ = ν = 0;
π (29Л)
0 в остальных случаях, '
из которого вытекает, что
Τ L £μνΓμν = (η00 + У κ φ00) Г00 = рс2 - V* <р00рс\ (29.2)
С другой стороны, после отбрасывания членов второй и
более высоких степеней по Ух получаем
βμν ~, ημν _ γκφ\η9 φμν = ημ«ηνβφαβ>
откуда
Γλμν = -у /κ ηλρ (3νφρμ + 3μφρν - 3Ρφμν)
* Ниже показано, что κ — очень малая величина. Поэтому мы
будем удерживать только величины первого порядка малости по
Vх» а величинами следующих порядков малости будем пренебрегать.
б* 163
rv(JC) =

(члены второй степени в выражении Г — величины
второго порядка малости по "|/κ). Следовательно, (0, 0)
компонента уравнения (28.6/) принимает вид
R00 = ]/κ Δφ00/2 = к{—рс2 — г\00рс2/2) + (член порядка |Л<3)
или
ΔΛ00 = Δ {J/*" <Pool = — ^2Р·
Подставляя сюда формулу (28.3), приходим к
уравнению
Δ Φ = (хс*/2)р, (29.3)
сравнивая которое с уравнением (28.1), видим, что при
κ = (δπ/c4) G = 2,07-10~48 сек2 · см-{ · г-{ (29.4)
и при выполнении условий 1, 2, 3 уравнение Эйнштейна
переходит в уравнение закона всемирного тяготения
Ньютона.
§ 30. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА
ДЛЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Уравнение Эйнштейна (28.5) можно вывести из
принципа Гамильтона. В действительности математик
Гильберт, исходя из вариационного принципа, вывел
уравнение (28.6) независимо от Эйнштейна. Гильберт
пользовался излагаемым ниже методом·
Примем, что действие системы гравитационного поля
и материальных точек выражается следующим
интегралом по произвольной пространственно-временной
области:
/ = L·fйΛc_
2ск J
Ω
-^т^1У-ё^(х)г^1)г-{1)^{х-г{1))ах4% (30.1)
Ι Ω
в котором
+ ΙμβΓ να — ~μνΓ βα) 4
Перегруппировывая производные первого и второго
членов правой части последней формулы, представим ее в
виде
щ=—© + 5μΦμ, (30.2)
164

где
© = ν=ί8μν (Г%Грт- ΓαμνΓββα};
W = |^=g- {^μνΓααν _ go*r%}.
Заметим, что в отличие от величины $Я, ведущей себя
при произвольном преобразовании координат как
скалярная плотность, величина ® скалярной плотностью не
является. Точно так же при произвольном
преобразовании координат величина Φμ не является векторной
плотностью. Но при аффинном преобразовании координат ©
ведет себя как скалярная, а $>μ— как векторная
плотность.
Пусть при замене gμν на #μν + δ£μν величина Г!
переходит в Γ + δΓ. Будем считать, что на поверхности
области Ω обе вариации δ£μν, δΓ равны нулю.
Интегрируя по частям, получаем для вариации первого члена
(30.1)
Введем обозначения
νλβμν = V=g νλβμν = <?λβμν + Γ%9Ρν + rW» — Γρλρ9μν.
Тогда
«'*/ = - \ {δ',νμΐ·4* + δ*/νμ<Η + V/i'* = 0.
Простое вычисление дает
58μν = - |ЛГ7 (#μν - g^R/2) 4 _ yZZg G»v i - ®»\
Таким образом, варьирование функционала (30.1) по
£μν (х) приводит нас к уравнению
©μν + κ Σ mf 5 zil (9 2V (0 δ4 {x — г (t)} dxt = 0.
i
Учтем формулу (27.15). Тогда
«Γ = κίΕμν(ιιι). (ЗОЛ)
Пользуясь формулой (27.15//), приведем порученное
уравнение к виду уравнения Эйнштейна
^ — gwRi2 = ΗΤμ\η) = — npuW. (30.40
При выводе мы предположили, что на поверхности
области Ω вариации dg μν , δΓ равны нулю. При выполне-
165
(30.3)

нии этого условия второй член правой части (30.2) не
дает вклада в вариацию, и можно написать
δ J шФх = — б J ®dAx = — J ©μνδ&νΛ;. (30.2')
Отсюда вытекает, что для величины Φ (30.3) имеет
место соотношение
6®%μν = 5β%μν - δλ (de/dftiv д) = ©μν, (30.5)
где
£μν,λ = dg^/дх1.
Обобщая формулу (30.1), рассмотрим интеграл
действия
/ = — Г md*x + Г — Ы% (30.6)
2ск J J с
в котором £ — функция Лагранжа материальной
системы, зависящая от физических величин,
характеризующих состояние вещества [например, в случае системы
материальных точек —от 2μ(0» Β случае
электромагнитного поля — от Л μ(χ)] и от тензора g μν . Варьируя ее
по £μν, получаем согласно принципу Гамильтона
δ/ = —— Г (®μν + 2κ —Μ8gd*x = 0.
Пользуясь определением (27.13) симметричной
тензорной плотности энергии материальной системы,
выводим
цГ = УЯГ. (30.7)
Добавляя в правую часть формулы (30.6) слагаемое
ск
вместо уравнения (30.7) приходим к уравнению
(*Τ_λ9μν = κ£μν. (30.70
В следующих параграфах мы сможем оценить
преимущества вывода уравнения Эйнштейна из
вариационного принципа. Различные чисто теоретические
построения делаются при этом легко обозримыми. Кроме того,
оказывается, что вариационный принцип очень полезен
при решении уравнения Эйнштейна. Мы увидим это на
примере вывода решения Шварцшильда.
166

§ 31. ЭНЕРГИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Мы уже отметили в § 27, что энергия и импульс
материальной системы, взаимодействующей с
гравитационным полем, не сохраняются. Тензорная плотность
энергии %\ удовлетворяет равенству
νμ£μν = 5μ£μν - (1/2) £p(7gpa. v = 0. (31.1)
Заманчиво было бы представить второе слагаемое в виде
дивергенции, т. е. написать
5μ(χμν+ Λ,) = ο. (31.Г)
В частности, если бы величина t\ была построена
только из тензора £μν или из его производных, то ее
можно было бы рассматривать как энергию
гравитационного поля. Покажем, что такую величину t
действительно можно ввести.
Заметим, что величина © (30.3) — функция £μν и его
первых производных, через которые она зависит от х.
Следовательно,
d®/dxv = (d®/dg<z&) βαβ,ν + (3©/<5£αβ,μ) £αβ,μν.
Изменяя форму записи второго члена, представим
правую часть этой формулы в виде
ί д® ( д® \\ ( д® \
Вводя обозначение
t% L ^(_^_£αβ>ν_δμν<4 (31.2)
и пользуясь формулой (30.5), перепишем последнее
выражение в виде тождества, верного при любом #μν :
©"Wv + 2κ<?μ1μν ^ 0. (31.3)
Вспомним, что при аффинном преобразовании
величина % ведет себя как скалярная плотность.
Рассмотрим бесконечно малое аффинное преобразование
^ _> χ»' = χ\>> + α\χν,
где α μν — бесконечно малые параметры, вторыми и
более высокими степенями которых мы будем
пренебрегать. Тогда величины £μν, £μν, λ преобразуются
следующим образом:
167

βμν W = £μν W - aVpv - αΡν«?μρ = βμν + 4^
(31.4)
βμν,λ (*') = βμν.λ - ""μβρν,λ ~ "^μρ,λ ~ ^μν. ρ =
d
= 6μν,λΤ &μν,λ*
Закон преобразования величины & имеет вид *
*=*KvW. UvaM] =7^«1*μνΜ. ίμν.Χ W]· (3L6)
С точностью до членов первого порядка малости по а
функциональный определитель д(х)/д(х') равен
д (х)1д (х') = det (δμν — а\) = 1 — αρρ.
Записывая выражение (31.5) с той же точностью,
получаем
(*»%«„) δβαβ + (*»#««Ρ.0 ^αβ.λ + ®flPp = О-
Подставляя сюда формулу (31.4), приходим к
тождеству
лр
*σ
"gpv+2
d®
**<
βρν,λ+
d®
σν,λ
абсф.с
^αβ.σ —δσρ©
= 0.
(■^.+'0—W-£r-)-
справедливому при любом выборе параметров а и
произвольном g\Lv(x). Изменяя форму записи второго члена
этого тождества, получаем для коэффициента при а?а
*-?— я» 1· (ЗЬ6)
Вспомним теперь тождество Бианки (25.1) или
эквивалентное ему тождество
V=g 4κθ\ = θλ®\-(1/2)©αββαβ,μ = 0. (31.7)
Прежде всего, из формул (31.3), (31.7) вытекает, что
5μ[(1/κ)©μν + ίμν]=--0. (31.8)
Пользуясь уравнением гравитационного поля
®»v = K%\t (31.9)
* После преобразования ® становится функцией g', dg'/dx'. Вид
этой функции, однако, не изменяется: после преобразования ®
зависит от· g't dg'/dx' так же, как до преобразования она зависела от
g, dg/dx.
168

выводим из формулы (31.8)
<3μ (2μν + t\) = 0. (31.8')
Из формулы (31.2) ясно, что введенная здесь величина
*μν является функцией £μν и dg^v 1дхх. Сравнивая
формулы (31.8) и (31.1), замечаем, что нам удалось
построить именно ту величину, которую мы хотелк
иметь.
Величина i\— аффинная тензорная плотность. Она
не является тензорной плотностью относительно
произвольного преобразования координат. Поэтому ее
называют псевдотензором энергии гравитационного поля или,
по имени ее открывателя, эйнштейновским
энергетическим комплексом. При произвольном преобразовании
координат величина t— не тензор, но в любой системе
отсчета согласно определению (31.2) всегда
удовлетворяется закон сохранения в форме (31.8'). Благодаря:
этому свойству к выражению (31,8х) применимы
рассуждения § 23.
Пусть материальная система находится вблизи
начала координат и на достаточно большом удалении от
начала координат пространство — время становится
плоским. Это значит, что можно выбрать такую систему
координат, в которой на пространственной
бесконечности метрический тензор имеет вид *
ϋπι^μν->ημν + 0(1/Γ), (31.10)
г-* оо
где г = Vix1)2 + (χ2)2 + (λ:3)2 . Строго говоря, г не является
расстоянием до начала координат; но ориентировочно по
г можно судить о расстоянии. Мы уже отмечали, что при
произвольном преобразовании координат величина
ίμν—не тензорная плотность. Поэтому для рассмотрения
*μν нужно фиксировать систему отсчета. Мы будем
пользоваться системами отсчета, лоренцевыми на
бесконечности. Это значит, в частности, что мы исключаем из
рассмотрения полярные координаты.
* Такой системой координат можно пользоваться только в том
случае, когда физическая система (в частности, вселенная),
простирается до бесконечности. Если вселенная пространственно замкнута,
то выводимое ниже выражение (31.13) обращается в нуль. Но в
случае замкнутой вселенной теория измерений не дает оснований для
интерпретации величины х° как времени. Поэтому и величину /ν
нельзя интерпретировать как энергию и импульс. Мы не будем
рассматривать теорию таких случаев.
169

Согласно доказательству § 23 в системе координат,
удовлетворяющей условию (30.10), интеграл по
гиперповерхности х° = const
Ivi$(3°+t\)(Px (31.11)
^постоянен независимо от х°. Он ведет себя как
аффинный вектор. Кроме того, величина /v остается
неизменной в системах координат, которые, не изменяясь на
бесконечности, произвольно преобразуются в области
отличного от нуля £μν.
Для определения Ιν удобно воспользоваться
формулой (31.6). Подставляя выражение (31.6) в тождество
(31.8), получаем
Это тождество верно при произвольных £"μν. Поэтому
величина
tf\ = №dgOVtb)gpv (3.12)
антисимметрична по индексам σ, λ. Пользуясь
формулами (31.6), (31.9), получаем для тензора энергии всей
♦системы
η+^ρ = -(1/κ)5λδσλρ<
С учетом антисимметричности величины g можно
написать
'--тШ^^-тЁЯ**'*" (31·13,
Правая часть здесь — интеграл по бесконечно большой
двумерной замкнутой поверхности, охватывающей все
3-мерное пространство; dok — элемент, вырезаемый на
этой замкнутой поверхности телесным углом άΩ с
вершиной в начале .координат:
dak = (xk/r) r*dQ.
В случае электромагнитного поля и полей теории
элементарных частиц поверхностные интегралы такого
типа равны нулю, так как подынтегральная функция
достаточно быстро обращается в нуль при г->-оо. Но к
гравитационному полю такая аргументация неприменима.
Из формул (31.12) и (30.3) видно, что g —форма,
линейная по dgiLV/dxk. Следовательно, с учетом (31.10) на
170

сферической поверхности при г->-оо величина $ имеет
порядок малости 0(1/г2). Поэтому правая часть (31.13) при
г-+оо стремится к конечному значению, не равному
нулю.
Чтобы фактически определить значение интеграла,
достаточно знать значение % v при г->-оо. Для этого
разумно возвратиться к тождеству (31.6). В этом
тождестве мы учтем только члены низшего порядка малости
по 1/г при г->-оо. Заметим, что в круглых скобках ( ) стоят
величины порядка О (1/г2). Следовательно, низший
порядок малости величин в правой части — 0(1/г3).
Величина t в левой части представлена однородной формой,
квадратичной по dg^^/dx7", порядок малости которой
О (1/г4). Во втором слагаемом левой части ©р член
дГ/дх имеет порядок малости 0(1/г3), а член ГГ —
порядок малости О (1/г4). Поэтому вместо подсчета членов
низшего порядка малости правой части лучше
определить член порядка О (1/г3) в ®V Примем
d
ftiv (Χ) = ημν + Λμν (Χ), | Λμν |< 1 ·
Поднимание и опускание индексов будем производить с
помощью тензоров ημν, Ήμν так же, как в частной
теории относительности. Для членов порядка О (1/г3) в
компоненте ® ν получим
© ν -* — (—ht0v —h ^,να + h ν,Οα — D^ov —
-δ°νπΛ + δ°νΛαβ,αβ), (31.14)
где
Λ=τΤΛμν; Π=ημνδμ3ν.
В частности,
3 3
©°о -* у J] (hik.ik-hti.ui ^ γ Σ dk{kikti ~hii'k)-
i,k=l C,k=l
Следовательно, согласно тождеству (31.6) при г->-оо
κ 2κ ^
Подставляя это выражение в формулу (31.13),
получаем
171

/o = ir Σ ίί(Λί*·£-Α"·*)ίί(Τ*· (31Л5)
1_
t.
Ниже мы увидим [см. формулу (33.13)], что точное
решение Шварцшильда для случая, когда в начале про·*
странственных координат покоится частица массы М,
при г-^оо приводит к асимптотической формуле
№ « _ Λ _ ±-\ (cdtf +ί\ + -у\ {(dx1)2 + (dx2)2 + (dx?)2},
которая означает, что при i, k=l, 2, 3
Λ00 -> Aa/r; hik -+ 8ik. Aa/r; h0k -> 0·
Параметр а здесь определен формулой
4α = 2GM/c2 = (κ/4π) Мса.
В этом случае интеграл (31.15) можно вычислить.
Оказывается, что он равен
10=(16я/к)а = Мс\
откуда видно, что полная энергия с учетом
гравитационного поля равна энергии покоя частицы. Не надо
забывать, что стоящая здесь величина Μ означает массу
покоящейся в начале координат материальной точки,
видимую из бесконечности.
Определим полный импульс. Повторяя рассуждения,
относящиеся к случаю /о, получим для 1-й компоненты
импульса
=i!r 2 И (~δ* 2 Λ"·°+Ык>1+hki'*-h<»'k) dak=°·
Вообще, в случае (31.10) можно утверждать, что
величина
выражает полную энергию всей системы. Интеграл в
правой части и здесь распространен по поверхности
бесконечно удаленной сферы. Проведенные нами
рассуждения показывают, что формула (13.15') не приближенная,,
а точная.
172

§ 32. СЛАБОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ,
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
На достаточно большом удалении от масс,
создающих гравитационное поле, оно очень слабо. Поэтому в
подходящей системе координат можно написать
£μν(*) = ν+νχφμν(*), ΙνκφμνΙ«1· (32.1)
О гравитационном поле, которое можно выразить таким
образом, говорят, что оно слабое. Тензор #μν слабего
гравитационного поля приближенно равен
_ d
g.uv (χ) = ημν _ -|/κ φ^ φμν _ ημΡηνσ φ^# (32.2)
В этом параграфе мы будем считать, что пространство —
время — плоский мир Минковского и что гравитационное
поле φμν распространяется в плоском пространстве. Это
значит, что с гравитационным полем мы будем
обращаться примерно так же, как с электромагнитным полем
в частной теории относительности. Например, для
поднимания и опускания индексов будем использовать
тензоры η^ν, ημν.
Уравнение Эйнштейна (28.6), записанное с точностью
до первого порядка малости по φ, имеет вид
Ψ\μν "· '—' Ψμν Ψ μ,να Ψ ν,μα 4μνΙ—'Ψ "·" ^μν τ ,αβ
= 2ΥκΤμν. (32.3)
Здесь использованы следующие обозначения:
□ =Ч 9μ.δν; φ =э if νφμν = φ
φαβ>μν452φαβ/^μ^νΗ Т. Д.
Воспользуемся вместо φμν величинами
ψ^ν^φμν-ημνφ/2, (32.4)
подчинив их условию, напоминающему условие Лоренца
ψμν,ν = 0. (32.5)
Тогда уравнение (32.3) примет вид
0%v = 2Vx Γμν, (32.6)
173

Величина Γμν в правой части, вообще говоря, зависит от
£μν. Но, ввиду условий (32.1), все члены правой части
(32.6), зависящие от φμν, оказываются не ниже второго
порядка малости по )/κ. Поэтому в качестве Γμν нужно
пользоваться не зависящим от £μν тензором энергии
материальной системы, применяемым в частной теории
относительности. Этот тензор удовлетворяет
соотношению, вытекающему из основных уравнений движения
материальной системы
<?μ7μν = 0. (32.7)
Из уравнений (32.7) и (32.6) следует, что условие (32.5)
совместимо с уравнением гравитационного поля (32.6).
Условие (32.5) выражает с точностью до членов
порядка "(/κ условие Де Дондера
3μ(ν=^έΤ) = 0, (32.5)
называемое также координатным условием, так как оно
налагает ограничения на выбор системы координат.
Иногда его называют гармоническим условием.
Уравнения (32.5) — (32.7) имеют такой же вид, как
уравнения электромагнитного поля в частной теории
относительности:
<?μΛμ = 0, (11.5)
ϋΛλ = -μ0/λ; (11.4)
<?μ/μ = 0. (11.2)
Единственное различие между ними в том, что
гравитационное поле — не вектор, как электромагнитное поле, а
симметричный тензор второго ранга. Уравнения
электромагнитного поля инвариантны относительно
калибровочного преобразования
Λμ-*Λ; = Λμ + 3μλ. (11.6)
В случае гравитационного поля калибровочному
преобразованию соответствует бесконечно малое
преобразование координат, которое мы сейчас запишем.
Введем произвольный афинный вектор λμ (χ) и
рассмотрим преобразование координат
*μ -> х»' = х» — У^ λμ (χ). (32.8)
Если все вычисления проводить^ с точностью до членов
первого порядка малости по Ух, то преобразование
правой части уравнения (32.6) рассматривать не нужно.
174

Преобразованию (32.8) отвечает преобразование
тензора £μν :
_ d
£μν "* £μν (*') = £μν Μ + УК (<V^v + 3Л) =
= %v + V*<Pw (32·9)
соответствующее следующему преобразованию
тензора φμν *:·
Ψμν (χ) -* Φμν Μ = Φμν Μ + 5Λ + 5Л, (32.9')
d
в котором ,λν=ηνμ λ*1. Формула (32.9') соответствует
(11.6). Для того чтобы условие (32.5) имело место
также и для величины ψ^ν', на произвольную функцию λ **-
нужно наложить ограничение
ϋλμ = 0, (32.10)
•гарантирующее инвариантность уравнения (32.6)
относительно преобразования (32.9/). Для электромагнитного^
поля тоже необходимо условие ϋλ = 0. Таким образом,,
обе теории по всем пунктам обнаруживают поразительное
сходство.
Рассмотрим, в частности, случай Τμν =0. При этом,
уравнение гравитационного поля принимает вид
□Ψμν = 0. (32.6')
При свертывании оно переходит в уравнение ϋψ = 0.
Поэтому кроме условия (32.5) на величину ψ μν нужно
наложить еще условие
ψ4ημνψμν = 0, (32.11)-
не противоречащее, как легко видеть, уравнению (32.б7).
С учетом условия (32.11), из определения (32.4)
вытекает, что в данном случае ψμν=φμν· Для инвариантности
условия (32.11) относительно преобразования (32.9') от
произвольной функции λμ нужно потребовать, чтобы она
удовлетворяла уравнению
λμ,μ = 0. (32.12)
* Различать величины φ'(χ') и φ'(*) нет необходимости. В самом
Деле, разность х' и χ пропорциональна V*. Это значит, что разность,
между φ'(χ') и <р'(*)—член более высокого порядка малости πο~Κκ.
175.

Займемся решением уравнений
□ φμν = 0; φμν,μ = 0; φ = 0. (32.13)
Их общее решение можно представить суперпозицией
плоских волн. Отдельную плоскую волну определим
•формулами
d
φμν (χ) = а^ exp (ikx), kx = &μ χμ.
Зто выражение будет удовлетворять первому, второму и
третьему уравнениям (32.13), если выполнены условия
Μμ = 0; νμν = 0; ημναμν = 0. (32.14)
Произвольная функция λμ(χ), определяющая
преобразование координат (32.8), должна удовлетворять
уравнениям (32.10), (32.12):
Πλμ = 0; λμ,μ = 0,
решение которых в виде плоской волны имеет вид
λμ (χ) = ^exp(i^), νμ = 0. (32.15)
Если принять, что в формулах (32.11) и (32.15) векторы
£μ совпадают, то окажется, что амплитуда αμν при
преобразовании координат (32.8) должна
трансформироваться по закону
V "* αμν = V + [ (Vv + *ν*μ)· (32.16)
Рассмотрим для простоты систему координат, в которой
£о==—&, &ι = &2 = 0, къ = к. Тогда из формул (32.14)
вытекает, что αμν имеет пять независимых компонент α0ο, 0οι>
^02, 0ц( =—«22), 012. Остальные компоненты
выражаются через эти пять с помощью соотношения
а = а .
Из формулы (32.15) видно, что £μ имеет три
независимые компоненты с0 ( = с3), с1, с2. Компоненты
#п ( = —а22) и й\2 инвариантны относительно
преобразования (32.16). Для остальных компонент имеем
яоо = а00 — 2ikc0; do/ = α0/ — i&/, / = 1, 2.
Если для компонент εμ принять
с0 = (—[Щ аш с, = (— Щ aoh /-1,2,
то окажется, что после преобразования отличны от нуля
только компоненты
яи = flu (= — Ои) i <ώ = βχ2, (32.17)
176

а остальные компоненты равны нулю. Это значит, что
при соответствующем выборе системы отсчета у
гравитационной волны (которая, на первый взгляд, имеет десять
компонент) остаются всего две отличные от нуля
компоненты. Как показывают их индексы, обе эти
компоненты лежат в плоскости (х1, х2), перпендикулярной
направлению распространения (направлению х3). Таким
образом, гравитационная волна, так же как и волна
электромагнитная, является поперечной (имеет два различных
состояния поляризации). Состояния поляризации
аналогичны соответствующим состояниям электромагнитных
волн. Например, возможна поляризация по часовой
стрелке или против часовой стрелки. Повернем
координатные оси х' относительно оси х3' на отрицательный угол
Θ. При этом повороте (штрих опускаем) координаты
х1, л:2, х3 произвольной точки преобразуются следующим
образом:
х1 -* х1 = х1 cos θ — χ2 sin θ;
λ:2 -► ~χ2 = λ;1 sine + *2cos θ;
χ* -+χ? = χ?.
Полагая χι + ίχ2=ζ, запишем это преобразование в виде
ζ^"ζ = βχρ(ίθ)ζ.
Образуем из волны с амплитудой (32.17) две независимых
волны
φ+ (*) = (а11 + ia12) exp (ikx); φ_ (χ) = (а11 — ία12) exp (ifa),
преобразующиеся при указанном вращении координат
по закону
Ψ-Ι- -+ Ф+ = ехР (2ίθ) Ф-р Ф- -* Ф_ = ехР (—2ιθ) φ_.
Определенные так волны соответствуют двум упомянутым
выше состояниям поляризации. При повороте на угол θ
амплитуда гравитационной волны умножается на
exp{±i29} из-за того, что гравитационная волна —
тензор второго ранга.
При вычислении псевдотензора энергии
гравитационной волны с точностью до членов второго порядка
малости по φ оказывается, что в формуле для потока энергии
остаются только две рассмотренные нами независимые
компоненты. Этот факт подтверждает, что остальные
компоненты гравитационной волны — только кажущиеся,
они не дают вклада в физические эффекты.
7 Зак. 2035 177

При Τν» фО условие (32.11) можно наложить только
в случае, когда Γ=ημν 7μν =0. Следовательно, вообще
говоря, ψμν=7^=φμν· По аналогии с электромагнитным
полем решение уравнения (32.6) можно выразить через
запаздывающие потенциалы:
1 г- С Тх^{\\ х°' = *° — I х — х' |\ ,
(32.18)
Если Γμν отлично от нуля в пространственной
окрестности некоторой точки (примем ее за начало координат),
то выражение (32.18) можно записать в хорошо
обозримой приближенной форме, которую мы приводим без
вывода (i, k=l, 2, 3):
*'*(*) =(V*/4*r)Qik(t')+ . . .;
/- [ 3 i
ί,Α-1
Здесы=|^(/)2р, tf=t-r,
(32 Л 9)
а точка «·» означает
дифференцирование по t'. Остальные обозначения в
формулах (32.19) имеют следующий смысл. Если р(*', t') —
плотность массы, то
Λί(/') = ίρ(χ', t')(Px'
— полная масса вещества в момент V;
D*(f') = JVp(x'. t')d*xf
— дипольный момент массы;
— квадрупольный момент массы.
Если записать выражение (31.2) с точностью до
членов второго порядка малости по ψ, и воспользоваться фор-
178

мулами (32.19), то можно подсчитать долю энергии,
излучаемой в виде гравитационных волн. Например,
энергия, излучаемая в единицу времени через единичную
площадку, перпендикулярную оси х3, в точке на оси х3,
достаточно удаленной от начала координат (т. е. от места
концентрации вещества), равна
ctS = ^^ \<ЗЫ&. + (фу),
(8π)2 сг* [ 4 V ; J
откуда видно, что для излучения гравитационных волн
существен только квадрупольный момент массы
источника, испускающего волны (или моменты более высоких
порядков), а ньютоновский потенциал и дипольный
момент массы роли не играют. Кроме того, приведенная
формула показывает, что в случае распространения
волны вдоль оси х3 физическое значение имеют только
компоненты (11), (22), (12).
Мы уже отмечали, что существование гравитационных
волн теоретически предсказано Эйнштейном. Однако
ввиду малости коэффициента κ на возможность их
наблюдения не обращали внимания. Тем не менее в 1960 г.
профессор Мэрилендского университета Вебер
предпринял попытку измерить гравитационные волны,
приходящие на Землю извне. Он расположил детекторы в
Мэриленде и Аргонне (вблизи Чикаго) и пытался
зафиксировать приходящие туда одновременно
«гравитационные волны». Оказалось, что с частотой, большей
частоты случайных совпадений, оба детектора
регистрировали приход каких-то сигналов. По мнению Вебера,
«земные» причины совпадений на его установках были
полностью исключены. Несмотря на это, эффекты
совпадений все равно наблюдались, откуда Вебер заключил,
что объяснения, не связанные с гравитационными
волнами, должны быть отброшены. Но в адрес его
экспериментов раздавались многочисленные критические
замечания, и в настоящее время еще рано говорить о том,
что гравитационные волны обнаружены эксперимент
тально.
Рассмотренное нами приближенное решение
уравнений гравитации предложено самим Эйнштейном,
поэтому его называют эйнштейновским или линейным
приближением. С целью экспериментального
подтверждения своей теории Эйнштейн, пользуясь этим
приближением, описал различные конкретные эффекты.
7· 179

§ 33. РЕШЕНИЕ ШВАРЦШИЛЬДА
Найти точное решение уравнения Эйнштейна (28.6)
при определенных условиях впервые удалось Шварц-
шильду. Он рассмотрел случай, когда в начале
пространственных координат покоится сферическое тело
радиуса г0, и определил гравитационное поле £μν вокруг
этого тела. Шварцшильд предположил, что
распределение массы в теле, а следовательно, и гравитационное
поле имеет сферическую симметрию и статично. Кроме
того, он предположил, что на достаточно большом
удалении от начала координат пространство — время
переходит в плоское пространство Минковского.
Пусть линейный элемент ds, удовлетворяющий
указанным предположениям, имеет вид
ds2 = — A (dx°)2 + BJ] (dxf, (33.1)
где А, В— неизвестные функции r={(xl)2+ (xz)2+
+ (*3)2}1/2, которые при r-^οο приближаются к 1. Кроме
того, по аналогии с евклидовым пространством примем,
что пространство — время пространственно изотропно.
Систему отсчета, в которой записана формула (33.1),
называют системой изотропных координат.
Формуле (33.1) соответствует тензор £μν с
компонентами
£°о = -1/Л; g* = (l/B)8ik; g°* = О, i, A =1,2, 3, (33,1)
и символы Кристоффеля
Г°0* = A'xk/2Ar; Г*00 = A'xk/2Br;
Г'*, = (В'12Вг) (А/ + А* - *'««);
(33.2)
остальные компоненты равны нулю )
(штрих справа вверху означает дифференцирование d/dr).
Формулы (33.2) легко получить, подставляя выражение
(33.1) в определение символов Г. Символы Г можно
определить так же, как коэффициенты при ха χ $ в уравнении
движения материальной точки (геодезических линий):
7 + Γ%Λβ = 0,
если эти уравнения выводить из интеграла действия (26.3)
— mcUA (χ0)2 — В J] (?)2р ds. (26.3')
Точка здесь означает производную d/ds.
180

Наша задача — найти функции А, В, решая уравнений
Эйнштейна в произвольной мировой точке вне тела (вне
сферы радиуса г0 с центром в начале координат). Так как
в этой области нет вещества, то нужно решать уравнения
(28.10) в так называемом вакууме [состоянии, в котором
материя (в широком смысле слова) отсутствует]
*μν = 0. (28.10)
По смыслу написанного уравнения сначала нужно
определить десять компонент./? μν, пользуясь выражениями Г
(33.2). Но мы применим изящный метод, позволяющий
избежать этих громоздких вычислений. В § 30 уже говорили,
что уравнение Эйнштейна можно вывести, варьируя по
(£μν интеграл действия
/ = — f©d4*. (33.3)
Поэтому сначала, пользуясь определением (30.3),
вычислим величину ®. Из формул (33.2) для Г получим
(3 = В' (2ВАГ + АВ')12 УМ*" = 8ξ'η', (33.4)
где
l = Btu; г) = А1/*Вч\ (33,5)
Из граничных условий для А, В при г-*оо вытекает, что
ξ, η должны при г-*оо стремиться к 1. Величина © (33.4)
зависит только от г. Поэтому формулу (33.3) можно
переписать в виде
В рассматриваемой задаче пределы интегрирования по
времени х° и телесному углу Ω роли не играют.
Если варьировать функционал / не по функциям А, В,
а по новым функциям ξ, η, то уравнения Эйнштейна
примут вид
Ы'г2У=Р; (6'гУ = 0.
Запишем решения этих уравнений с учетом граничных
условий при г-мэо:
ξ = 1 + а/г; η = 1 + 6/Λ (33.6)
Здесь а, Ь — константы интегрирования. Пользуясь
полученным результатом, находим
А = (1 + b/r)V(l + alrf\ B = (\+ alrf. (33 J)
181

(33.7')
Следовательно, при г-»-оо
-g00 = A^\+2(b-a)lr;
g.kLblkB^6ik(l + 4a/r).
Для определения констант а, Ь воспользуемся
условиями при г->оо. При возрастании г гравитационное поле
становится слабым и при этом будет справедлива формула
(28.3), из которой вытекает, что
2 (Ь — а)/г = 2Ф/с2 = — 2GM/c2r,
т. е. что
b — a = — GM/c2. (33.8)
Здесь Μ — масса тела в начале координат, видимая с
расстояния, достаточно большого для того, чтобы формулы
(33.7') могли иметь место, a G, разумеется, постоянная
закона всемирного тяготения Ньютона. Для вывода
другого соотношения между а и Ь рассмотрим уравнение
Эйнштейна /?μν=0 при больших г. Полагая при г-*»оо, /,
* = 1, 2, 3,
&о-►-(!+«/'); Λ*-*Μ1 + β/'), gok = 0,
запишем уравнение Эйнштейна в виде
/?ίΛ«[(α + β)/2]3Α(1/Γ) = 0.
Отсюда выводим, что α+β = 0. В нашем случае это
соотношение имеет вид
2(6 — а) + Аа = 0. (33.9)
Из формул (33.8), (33.9) вытекает, что
а = — b = GM/2c\ (33.10)
Для ds2 находим
±2_ (1-а/г) - " 3
(1 + а/г)2
(d*o)s+A+ ±.Y^(dxf (33.11)
или, в полярных координатах,
ds*=- ({~alr)t (dx»f +
0+«/')a '
+ (l + y-V[(dr)2 + г2{(<Ю)2 + sin2θ (dcp)2}]. (33.11')
Рассмотрим теперь преобразование координат
х° -*■ -V0' = χ»; θ -*. θ' = θ; φ-*φ' = φ;|
г + r'= r(l-j-a//f. '
182

Отличные от нуля компоненты преобразованного тензора
g'w (г'> θ') Равны
goo(r') = g00(r) = -(l-4a/r');
g'rrir') = {drldr'fgrr{r) = (1 -4Й/ГТ1;
g'^r') = gQQ(r) = (rr,
g'm(r', θ') = ^φφ(Γ, θ) = (r')2sin'θ'.
Следовательно, в новых координатах ds2 имеет вид
(штрихи опущены)
ds* = — (1 — 4а/г) (d*0)2 + (1 — 4а/гГ1 {drf +
+ г2 {(dQ)2 + sin2 θ (άφ)2}. (33.13)
Формула (33.13) выражает результат, полученный Шварц-
шильдом путем непосредственного решения уравнения
Эйнштейна. Ее называют точным или внешним решением
Шварцшилъда (это решение годится только вне тела, при
г>г0).
В решении Шварцшильда (33.13) при г=4а (на сфере
такого радиуса) имеет место gOo = 0, a grr->-oo. Это
обстоятельство обычно называют шварцшильдовской
особенностью или шварцшильдовским барьером. В формуле (33.11)
особенность расположена при г=а. Кроме того, есть
особая точка при г=0. В начале координат уравнение /?μν =0
не справедливо. Следовательно, при г=0 нельзя
пользоваться формулой (33.13). Начало координат
(г=0)—настоящая особая точка, в том смысле, что там, в отличие
от других точек, пространство — время само по себе имеет
особенность. В противоположность этому особенность
(33.13) при г = 4а — следствие выбора системы координат,
это, так сказать, кажущаяся особенность. В самом деле,
в точке г=4а, так же как и в других точках,
удовлетворено уравнение/?μν = 0.
Величину 4a = 2GM/c2 называют гравитационным
радиусом тела массы М. Для многих тел гравитационный
радиус гораздо меньше их реального радиуса, и шварц-
шильдовский барьер не возникает. Например, в случае;
Солнца Αί0=2·1Ο33 г и 4а = 3 км, а радиус Солнца Г0=*
= 7·105 км, т. е. rQ>4a. Таким образом, шварцшильдов-
ская стенка погружена в солнечное вещество, а там
формула (33.13) не справедлива. Для того чтобы барьер
оказался вне тела, оно должно иметь очень высокую
плотность и малый радиус. Такие тела (пространство — время
вблизи них) называют черными дырами. В последние годы
183

они получили известность не только в научном мире, но
и среди широкой публики. Черные дыры мы рассмотрим в
следующем параграфе.
Дадим краткий обзор успешных попыток точного
решения уравнения Эйнштейна (26.8). Остановимся сначала на
случае, когда тело образовано несжимаемой идеальной
жидкостью. Точное решение внутри тела, совпадающее вне
тела с формулой (33.13), дано Шварцшильдом [1]. Решение
для статического центрально-симметричного
гравитационного поля в случае заряженного центрального тела
называют решением Рейсснера — Вейля [2]. Вейлем [3] дано
решение для осесимметричного гравитационного поля, в
котором центральная симметрия немного ослаблена. Особого
упоминания заслуживает решение Керра [4] — точное
решение для стационарного гравитационного поля в случае,
когда центральное тело вращается с постоянной угловой
скоростью. Несколько лет назад в Японии Томимацу и Са-
то получено решение для осесимметричного случая,
охватывающее решение Вейля и Керра. Рассмотреть здесь это
решение не представляется возможным из-за нехватки,
места. Заинтересованный читатель может обратиться к
первоисточникам, перечисленным в прилагаемом ниже}
кратком списке основной литературы по этому вопросу.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Schwazschild К. «S. В. preuss. Akad. Wiss.», 1916, 424.
2. Reissner H. «Ann. Physib, 1916, v. 50, p. 106; Weyl H. Ibid., 1917,
v. 54, p. 17.
3. Weyl H. Ibid., 1917, v. 54, p. 117; 1919, v. 59, p. 185.
4. Kerr R. P. «Phys. Rev. Lett.», 1963, v. 11, p. 237; Kerr R. P., Schlld A.
«Proc. Sympos. Appl. Math., American Math. Soc», 1965, v. 18, p. 199.
5. Tomimatsu, Sato. «Progr. Theoret. Phys.», 1973, v. 50, p. 95.
§ 34. ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ШВАРЦШИЛЬДА,
ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Решение (33.13), полученное в предыдущем параграфе,
на первый взгляд содержит особенность при г = 4 а. В
действительности это не так. В качестве иллюстративного при-)
мера рассмотрим сферическую поверхность. Чтобы указать
положение точки на ней, удобно ввести широту и долготу.
Но долгота обоих полюсов такой системы координат не
определена, так как все меридианы сходятся в одной точке
на северном и южном полюсах. Таким образом, полюсы
можно рассматривать как особые точки сферы. Но по
своим геометрическим характеристикам все точки сферы со-
184

вершенно одинаковы, и полюсы ничем не отличаются οι
других ее точек. Если выбрать северный и южный полюсы
иначе и ввести другую сетку широт и долгот, то
особенности в прежних полюсах исчезают, а появляются особые
точки в новых полюсах. Итак, особенности в полюсах не
являются свойством сферы. Причина их возникновения —
выбор системы координат на поверхности. Особая точка
Шварцщильда при г =4а имеет аналогичную природу.
Шварцшильдовское пространство — время само по себе
имеет единственную особую точку в начале координат
г=0, где сосредоточено вещество.
Чтобы еще лучше разъяснить это обстоятельство,
рассмотрим свободное падение материальной точки в шварц-
шильдовском пространстве — времени. Пусть материальная
точка начинает падать из точки г = гх (>4а) и движется
по направлению к центру (г=0) по прямой линии θ =
= const, φ = const. Предположим, что тело, создающее
гравитационное поле, сосредоточено в начале координат, а
шварцшильдовский барьер, окружающий тело, находится
в открытом пространстве.
Для вывода уравнений движения материальной точки
воспользуемся вариационным принципом с интегралом
действия (26.3/). Если в формуле (33.13) принять θ =
= const, φ = const, то функционал / примет вид
/ = _ тс\ V A(tff — А-Х(г)*ат, А=\—4а/г,
где точка означает дифференцирование d/dx (τ —
собственное время материальной точки). Следовательно, имеет
место соотношение
с2 = А(х0)2 — А-1 (г)2. (34.1)
При варьировании получаются уравнения движения
d(2Ax°)/dx = 0 (34,2)
и
А' {(х0)2 + А~2 (г)2} + 2d (Α-1 ήΙάτ = О, (34.3)
в которых штрих означает производую d/dr. Уравнение
(34.3) можно вывести, дифференцируя соотношение (34.1)
по τ и пользуясь уравнением (34.2). Поэтому достаточно
рассмотреть уравнения (34.1) и (34.2). Согласно (34.2)
(1 — ia/r) dt/dx = const.
Если принять, что в рассматриваемой системе координат
при г-^оо скорость материальной точки стремится к нулю,
185

то стоящая здесь константа будет равна 1. Это значит,
что
Ах? = с. (34.2')
Подставляя соотношение (34.2') в формулу (34.1), можно
определить положение материальной точки г как
функцию /:
dr/cdt = г/х0 = — VWr (1 — 4а/г). (34.4)
Принимая, что материальная точка, находившаяся в
момент ί=0 в точке г\ (>4α), достигает к моменту
времени t точки г (г{>г>4а), получаем из формулы (34.4)
ct = (2/3 уГа) [г\и - ги + 12а (У7Х - у7)} +
(у7-У4а)(у^ + уй) '
При г->4а правая часть обращается в бесконечность.
В этом случае
г — 4а « 16а ехр (— ct/4a).
Следовательно, при /->оо материальная точка постепенно
приближается к поверхности барьера.
Но если вместо времени / воспользоваться собственным
временем, то ситуация коренным образом изменится.
Тогда, согласно формулам (34.2) и (34.1)
г = dr/dx = — c VWr. (34.5)
Обозначая через τ собственное время, за которое
материальная точка, начавшая движение в момент τ=0 из
положения г, упадет до положения г, получаем
сх = (2/3) (1/V45) {г\и- г'/я), гх>г. (34,6)
Уравнение (34.5) не содержит других особенностей, кроме
особенности при г=0. Поэтому интегрирование можно
продлить до значений г, меньших 4 а. Если в формуле
(34.6) совершить переход r-Я), то собственное время τ, за
которое материальная точка достигнет начала координат,
окажется равным
т1 = (2/3с"|/4а)п/в.
При проходе материальной точки через барьер величина
Л = 1—4 а/г переходит через нуль от положительных к
отрицательным значениям. Тогда согласно формуле (34.2)
величина х° тоже изменяет свой знак на обратный, и, ока-
186

зывается, в области за барьером при возрастании
собственного времени τ величина t уменьшается. Но величина t в
области за барьером не имеет смысла временной
координаты. В самом деле, для квадрата величины вектора,
имеющего компоненты ах°ФОу dr = dQ = dy = 0, возникает
условие— (1—4a/r) (dx°)2>0f означающее, что этот вектор
становится пространственноподобным. Но где бы ни
находилась материальная точка, вектор элемента ее мировой
линии должен быть времениподобным. Следовательно,
внутри барьера точка не может оказаться в положении г=
= const так, чтобы одновременно было θ, φ = const. И
наоборот, вектор с компонентами dr¥=0, dx°=0 оказывается
времениподобным. Это значит, что координаты х°, г, θ, φ,
очень удобные вне барьера, становятся непригодными
внутри него. В самом деле, выполненный выше расчет
показывает, что частица может перейти за барьер только после
того, как минует бесконечное время (после момента /=оо).
Рассмотрим теперь обратный случай, когда из точки
внутри барьера испускается луч света. Разумеется, θ, φ —
константы. Так как при распространении света dx=Ot то
уравнения движения, с использованием параметра λ,
принимают вид
0 = —с2 (dxfdX)2 = A (dxP/dk)2 — Л"1 (dr/dX)* (34.1')
и
AdxP/άλ = α = const. (34.7)
Из формулы (34. 1') вытекает, что
dr/dx° = — (1 — 4а/г), г < 4а.
Следовательно, если свет вышел из точки г\ (<4α) в
момент t=0 и пришел в точку г в момент t (при этом г\<
<г<4а), то
г — гг + 4а In [(г —4 а)/(гх — 4а)] = — ct.
При r->4 a
4а — г « (4а — гг) ехр (— ct/Щ.
Таким образом, время приближения света к барьеру с
внутренней стороны тоже бесконечно велико.
Следовательно, внешний наблюдатель (пользующийся временем /) не
сможет увидеть вышедший за барьер свет. Разумеется,
невозможно также наблюдать вылет материальных частиц,
движущихся со скоростью, меньшей скорости света.
Этот барьер — особая поверхность, свойственная
координатам Шварцшильда, она имеет характер полупрозрач-
187

ной мембраны, поглощающей все, что находится вне ее и
ничего не выпускающей изнутри. Такую область
пространства — времени называют черной дырой. В центре черной
дыры находится вещество очень высокой плотности. Пусть
масса центрального тела М. Тогда его плотность должна
быть не ниже
ρ > Λί/[4π (4α)3/3] = Зс6/32я(УЛР.
Если бы Солнце путем сжатия превратилось в черную
дыру, то его плотность ρ стала бы больше чем 7-Ю14 г-см~3.
Плотность протона примерно равна 2-Ю13 г-см-3, так что
плотность Солнца стала бы тогда по меньшей мере в 35
раз больше плотности ядерной материи.
Черные дыры существуют, по крайней мере
теоретически. Стационарные звезды типа Солнца находятся в
равновесном состоянии, так как гравитационная сила,
создаваемая их огромной собственной массой,
уравновешивается давлением, возникающим за счет энергии идущих
внутри этих звезд реакций ядерного синтеза. Но когда
реакции синтеза прекращаются, давление уже не может
противостоять сжатию за счет силы тяжести и вещество
звезды очень быстро сгущается. Это явление называют
гравитационным коллапсом. В результате звезда
превращается в маленький сжатый горячий белый карлик. Если
эта звезда гораздо тяжелее Солнца, то сжатие
продолжается дальше и происходит огромный взрыв. Результат
взрыва зависит от массы звезды. По теоретическим
расчетам, бывают случаи, когда после взрыва остается масса,
которая продолжает непрерывно безостановочно
сжиматься. Она в конце концов превращается в черную дыру.
Нельзя сказать, что существование черной дыры вообще
невозможно обнаружить экспериментально. Согласно
сказанному, черная дыра не испускает света или
материальных частиц, и наблюдать ее непосредственно нельзя. Но
если черная дыра образует двойную звезду со звездоц
обычной, то сильное гравитационное поле черной дыры
можно наблюдать по его влиянию на состояние звезды-
партнера. Возможно, что газ, составляющий вещество
звезды-партнера, будет всасываться черной дырой. Если бы
удалось найти двойную звезду в таком'состоянии, то с ее
помощью можно было бы обнаружить черную дыру.
И действительно, последними исследованиями установлено,
что двойная звезда X—I созвездия Лебедя — источник
рентгеновского излучения. Структуру этого рентгеновского)
излучения можно объяснить, если допустить, что газ одной
из звезд (обычной звезды), всасываемый ее невидимым
188

партнером (черной дырой), излучает непосредственно
перед всасыванием.
Заметим, наконец, что шварцшильдовский барьер
называют иногда горизонтом событий. На Земле мы не можем
видеть предметы, скрывшиеся за горизонт. Шварцшильдов-
ская стенка в этом отношении очень похожа на земной
горизонт. Поэтому она и получила такое название.
Система координат, в которой не появляются
кажущиеся особенности, кроме действительной особенности при
г = 0, найдена Крускалом. С помощью системы отсчета
Крускала удалось выяснить, что шварцшильдовокий
барьер имеет характер полупрозрачной стенки. Введенная
Крускалом временная координата υ, в отличие от t, не
изменяет своего характера при переходе (по
пространственным координатам) за барьер. Но на пространственной
бесконечности υ отличается от t. Это неудобно, ибо ν нельзя
интерпретировать как время в смысле Минковского.
Подробности можно найти в работе Kruskal Μ. D. «Phys.
Rev.», 1960, v. 119, p. 1743.
§ 35. КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ
ЛИНИЙ
Пользуясь шварцшильдовским решением, можно
объяснить эффект смещения в красную сторону спектра сол-^
нечного излучения, наблюдаемого с Земли *.
Частота (колебаний света, испускаемого атомом, имеет
смысл числа колебаний в единицу собственного времени
атома. Пусть атом водорода 5 на поверхности Солнца
(радиус rs) излучает свет в интервале времени от t\ до t2 в
системе координат Солнца и пусть к наблюдателю Ε на
поверхности Земли (его координаты гЕ, θ, φ) начало этого
луча света приходит в момент t'u а конец — в момент t'2.
Для того чтобы земного наблюдателя Ε можно было
считать покоящимся, предположим, что t'2—1\ очень мало.
Если свет идет от 5 к Ε по прямой линии θ = const, φ =
= const, то уравнение движения луча света дается
формулой (34.1х), которую можно записать в интегральной
форме
'■'
с cdttt Г A~~x(f)dr (начало светового луча).
* Даваемое нами объяснение не ограничено рамками шварц-
шильдовского решения, оно относится к любому статическому
гравитационному полю,
189

Для конца светового луча уравнение имеет вид
J cdt = l A'1 (r) dr.
Так как в статическом поле коэффициент А не зависит от
t, то tf2—t2 = tf\—tu или
At = t2 — tl = t2 — tl (35.1)
Связь между интервалом времени At, измеренным по
часам в сферической системе координат, и интервалом
собственного времени атома Ats на поверхности Солнца
выразится, с учетом соотношения (34.1), формулой
Ат5=*|/Т(г")А*. (35.2)
За то же время At по часам наблюдателя Ε пройдет
интервал времени Δτ^, причем
Δτ£ = /МЙд AL <35·3)
Если свет, испущенный атомом 5 за время At, содержит
η периодов колебаний, то собственная частота vo (частота
колебаний света, испускаемого атомом водорода) равна
v0 = n/Ars.
Наблюдатель Ε на поверхности Земли, принимающий
этот свет, измерит частоту
ν = η/ΑτΕ,
откуда вытекает, что
ν Δτ5 у A(rs) τ \rs Te)
Так как rs^rE, то \/гЕ можно пренебречь. Полагая v =
=vo—δν, получаем, учитывая, что 4u = 2GMq/c2,
J^liJiL«JL=ii!o=2,12.10-«. (35.4)
v0 v0 rs crs
Это значит, что частота света, испущенного атомом
водорода с поверхности Солнца (в момент испускания она была
равна vo), при измерении на поверхности Земли
оказывается меньше v0 на величину δν. Говорят, что на такую
величину свет «краснеет». Указанное изменение частоты
190

света называют также красным смещением спектральных
линий. При сравнении теоретического результата с
данными о спектрах солнечного света нужно учитывать разные
сложные обстоятельства. Сравнение теории и
эксперимента произвести нелегко. Нельзя сказать, что совпадение
здесь вполне удовлетворительное, но преобладает мнение,
что эксперимент подтверждает теорию.
Выразим А(г) через ньютоновский потенциал
всемирного тяготения Ф: А = 1+2 Φ ]с2. Тогда с учетом формул
(35.2), (35.3) получим
{«(5)-ф(£)}
с2
или
^_JL«±{*(5)_*(£)} = __^. (35.5)
Таким образом, ход собственного времени наблюдателя
зависит от потенциала всемирного тяготения Φ в той точке,
где наблюдатель находится. Если для наблюдателей S и
Ε Ф(5)<Ф(£), то Δτ$<Δτ£ и получается, что часы в S
отстают от часов в £ на величину, пропорциональную
разности потенциалов в этих двух точках. Соотношением
(35.5) мы уже пользовались в формуле (4.7).
Формулу (35.4) можно вывести следующим образом.
Энергия фотона в точке 5 (рассматриваемая как масса
фотона hv/c2 с учетом его потенциальной энергии в
гравитационном поле) согласно закону сохранения равна его
энергии в точке Е. Поэтому*
К + (hvjc*) Φ <S) = Λν + (hv/c2) Φ (£),
откуда
^ο-ν „ Φ(Ε)-Φ(8)_ φ(3) = GMQ
ν. г» ** Α*
(35.4')
Влияние гравитационного поля Земли на частоту света
можно определить следующим образом. Точку 5 выберем
на поверхности Земли, а точку Ε — на высоте / над
Землей. Для ускорения силы тяжести на поверхности Земли
примем значение g=980 см»сект2 и положим в формуле
(35.4) Φ (£)=#/ и *(S)=0. Тогда
(v0 - ν)/νβ »[*(£)-* (S)]/ca = gl/A
Пользуясь γ-излучением, Паунд и Ребка экспериментально
подтвердили справедливость этой теоретической формулы.
* h — постоянная Планка.
191

§ 36. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ,
ИСКРИВЛЕНИЕ ЛУЧЕЙ СВЕТА
Другой пример приложения общей теории
относительности— поправки к движению планет в поле тяжести
Солнца.
Будем считать, что гравитационное поле Солнца
определяется решением Шварцшильда. Координаты
материальной точки (планеты), движущейся в этом поле,
обозначим символами x° = ct, xl = r, χ2 = θ, χ3 = φ, а ее
собственное время — τ. С учетом формулы (33.13) получим для
интеграла действия этой материальной точки (4 а —
гравитационный радиус Солнца 2GMq/c2)
/ = -™j[(i-^)(>;2-(i-^L)-'(r)2-
— Γ2{(θ)2+8ίη2θ(φ)2}ΐΛ<ίτ.
Уравнения Эйлера для дс°, θ и φ примут вид
г2 sin θ cos θ (φ)2 — — {γ2Θ} = 0; (36.2)
άτ
— {r2 sin2 θ (φ)} = 0. (36.3)
άτ
Еще одно уравнение можно получить варьированием по г.
Но возникающие при этом четыре уравнения и определение
собственного времени
С2 = Λ _ J«\ (χ0)2 _ / ! _ J?_ у1 (г)2 _ Г2 {(0)2 + sin2 0 (φ)2|
(36,4)
не являются независимыми. Поэтому вместо уравнения
Эйлера, получаемого варьированием по г, воспользуемся
соотношением (36.4).
Дифференцируя уравнение (36.2) η раз по τ, можно
выразить производную άηθ/άτη (η^2) через производные θ
более низких, чем п, порядков. Пользуясь этим
выражением и выбирая в качестве начальных условий, например, θ =
=π/2, θ = 0, можно доказать, что θ постоянно и равно
своему начальному значению. Поэтому мы ограничимся
случаем θ = π/2, т. е. рассмотрим движение планеты в
192

плоскости ху. Уравнение (36.3) тогда равносильно
соотношению
Лйр/Л = h = const, (36.3')
соответствующему закону постоянства секторной скорости
в ньютоновской механике. Уравнение (36.1) можно
переписать в виде
(1 — 4a/r) dt/dx = b= const. (36.1')
Пользуясь соотношением (36.3), получаем
г' = dr/άφ = г/φ = (гЩ г. (36.5)
Подставив формулы (36.3), (36.Г), (36.5) в формулу
(36.4), определим соотношение между г и φ
'■С-тГК^К·
Это соотношение можно записать в другом виде, если вве-
d d
сти обозначения u=l/r, u'=du\d{$\
(αγ + и2 — (AacVh2) и — 2E/h2 - 4шг3. (36.6)
Здесь принято 2Е = с2(Ь2—1). Величина Ε соответствует
энергии планеты (материальной точки) в ньютоновской
механике.
Если бы в формуле (36.6) правая часть равнялась
нулю, то эта формула выражала бы уравнение траектории в
ньютоновской механике. Поэтому решение уравнения
(36.6) будем искать в форме, напоминающей решение в
ньютоновском случае:
u = ^r = ±-{l+ecos(r\<p)} (36.7)
(ньютоновскому случаю отвечает η = 1). Подставляя это
выражение в уравнение (36.6) и сравнивая коэффициенты
при степенях cos (ηφ) в обеих частях равенства, получаем
три соотношения. Обычно эксцентриситет е очень мал.
Поэтому в обеих частях равенства можно пренебречь
членами e3cos3^<p). Тогда указанные соотношения примут
вид
А)2//2 + I//2 — 4ас2№ — 2E/h2 = 4α//8; (36.8)
2e/l2 — 4аес2№ = 12ea/l*; (36.9)
— έ?Υ//2 + e2/l2 = I2ae2/l*. (36 Л 0)
Так как в формуле (36.3') г^1, г rdy/dx примерно равно
скорости материальной точки ν, то будем считать, что
193

h^lv. Учитывая это и сравнивая второй член левой части
формулы (36.9) с правой частью, придем к неравенству
(4аес2№)/(12еа/1в)« 1/3β2 > 1, β = υ/c,
из которого вытекает, что правой частью можно
пренебречь. Тогда
/ = Л*/2ос\ (36.11)
что совпадает с результатом ньютоновской механики.
Далее, из уравнения (36.10) получаем
η = VI —12α//« 1 — 6α// = 1 — l2a2cW. (36.12)
Для оценки η примем, что планета — Земля. Тогда /«1,5Х
Х108 км, а 4 а (для Солнца) равно 3 км. Следовательно,
1—η — очень малое число, порядка 3·10~8.
Наконец, подставляя выражение (36.11) в формулу
(36.8), получаем
е2ц2=1 + (2Е/Н2)12 + Аа/1.
Последним членом в правой части здесь можно пренебречь,
так как 4а//<<1. Полагая, кроме того, η = 1, придем к
формуле
е2 = 1 + (2E/h2)l2 = 1 + Ε№ΐ2α2<+, (36,13)
совпадающей с результатом ньютоновской механики.
В формуле (36.7) точка, в которой г минимально
(перигелий), определяется условием α)8(ηφ) = 1, τ. е.
условием
ηφ = 0, 2π, 4π, . . . ,
из которого вытекает, что с момента выхода планеты из
перигелия к моменту ее следующего прихода в перигелий
угол φ должен возрасти на
2π/η = 2π(1 + 12α^2/Α2).
Значит, планета вернется в перигелий, когда ее радиус-
вектор, в.дополнение к углу 2π, повернется еще на угол
б42я-^=2я-^ = 2я 3(Ш® , (36.14)
/ι* / А4(1—«») '
Здесь А — длина большой полуоси ньютоновской
эллиптической орбиты.
Мы уже говорили, что 6 а// — очень малая величина.
Поэтому определить величину δ экспериментально очень
трудно, Чтобы по возможности увеличить значение б, нуж-
194

но рассмотреть планету, у которой А мало, а
эксцентриситет велик. С этой точки зрения оптимален Меркурий.
Согласно формуле (36.14) для Меркурия поступательное
смещение перигелия за 100 лет составит 43,03". В
действительности большая часть смещения перигелия планет
объясняется без общей теории относительности. С учетом
возмущений, вносимых другими планетами, траектории
планет в ньютоновской механике не являются неподвижными
эллипсами, их перигелии смещаются. Ньютоновская
механика почти полностью воспроизводит данные наблюдений,
остается очень маленькое различие, которое раньше
объяснить не могли. Для Меркурия наиболее достоверное
значение расхождения составляет 43,11 ±0,45" в столетие.
Точное совпадение этого значения с эффектом, предсказанным
Эйнштейном, поистине поразительно. Можно оказать, что
общая теория относительности заделала маленькую щель
между ньютоновской теорией и экспериментом.
Перейдем к третьему примеру приложения общей
теории относительности к эксперименту. Рассмотрим с
помощью решения Шварцшильда отклонение лучей света в
гравитационном поле Солнца.
Уравнения геодезических линий (36.1) — (36.3) имеют
место также и для света; но для света dx=0. Поэтому
вместо τ удобно воспользоваться параметром λ, отмечающим
точку на световом луче. Тогда в уравнениях (36.1) — (36.3)
точка будет означать d/άλ. Вместо соотношения (36.4) для
света нужно воспользоваться формулой, выражающей
условие
(1 _ \а/г) (χγ — (1 — ία/ή-1 (rf — г2 (φ)2 = 0. (36.15)
Так же как и в случае с планетами, рассмотрим условие
θ=π/2, т. е. движение луча света в плоскости ху.
В полной аналогии находим
гЩ/άλ = h = const; (1 — Aa/r) dt/άλ = b = const*
Подставляя эти равенства в условие (36.15), получаем
соотношение между г и φ
(и'У + и2 — Δ^2 = Ааи\ (36.16)
в котором и, и' имеют тот же смысл, что и для
планет, a A=\h/bc\—константа размерности длины.
Правая часть (36.16) очень мала: по порядку величины
она равна члену и2 левой части, умноженному на а/г.
Полагая в первом приближении правую часть равной нулю,
находим решение
и = (1/Δ) cos φ или г = Δ/cos φ, (36.17)
195

показанное на рис. 13 пунктирной линией, параллельной
оси у. Здесь Δ — расстояние между лучом света и центром
Солнца.
Решение уравнения (36.16) мало отличается от
выражения (36.17). Поэтому полагаем
α = (1/Δ)α»φ + χ(φ). (36.18)
По смыслу принятого приближения, величина χ гораздо
меньше 1/Δ. Мы оставим в χ только члены первого поряд-
Цстинное
положение
$бе$ды
*£> Кажущееся
г положение
щть .
ι света!
Солнце
Наблюдателе
Рис. 13
ка малости по 1/Δ2, а остальными членами пренебрежем.
Тогда, подставляя формулу (36.18) в уравнение (36.16),
получаем
X = (га/А2) (1 + sin2 φ) + const-sin φ.
Если координатные оси выбрать так, чтобы траектория
светового луча оказалась симметричной относительно замены
φ на —φ (на рис. 13 —симметричной при отражении QT*
196

носительно оси χ), то константа в правой части обратится
в нуль. Тогда уравнение траектории светового луча примет
вид
Mr = (1/Δ) cos φ + (2α/Δ2) (1 + sin2 φ). (36.19)
Определим угол падения светового луча и направление
вылета света из бесконечности, т. е. угол φ при r-^οο. При
χ = 0 искомый угол φ=±π/2. Поэтому примем
φ=±(π/2 + θ), θ«1.
Тогда при r-^oo из формулы (36.19) получим
(1/Δ) cos (π/2 + θ) + (2α/Δ2) {1 + sin2 (π/2 + θ)} = 0.
Решая это уравнение с точностью до членов первого
порядка малости по 1/Δ, находим
θ « 4α/Δ. (36,20)
Угол отклонения светового луча равен
2θ«8α/Δ.
Этот угол максимален, если в качестве Δ взять радиус
Солнца rs = 7 · 105 /еж. Тогда
2Θ « 2 · 3/(7 · 105) = 8,5 · Ю-6 рад «1,75\ (36.21)
Полученный результат нашел экспериментальное
подтверждение при исследовании полных солнечных
затмений. Характер зависимости 2Θ от Δ (обратная
пропорциональность) подтвержден вполне надежно, но нельзя
сказать, чтобы количественное согласие теоретической
формулы с экспериментальными данными было совершенно
удовлетворительным. Надо отметить, что эффект
отклонения лучей света можно вывести в рамках ньютоновской
механики (без общей теории относительности). При этом
фотон надо рассматривать как частицу, имеющую хотя и
очень малую, но ненулевую массу, и считать, что скорость
этой частицы на бесконечности равна с. Рассчитывая
траекторию такой частицы по ньютоновской механике,
получают для угла отклонения значение, равное половине
отклонения (36.21). Данные наблюдений ближе к
эйнштейновской, а не к ньютоновской формуле. В этом смысле
справедливость формулы (36.21) подтверждена
экспериментально.
§ 37. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, мы рассмотрели важнейшие понятия общей
теории относительности, разъяснили основные уравнения и
наиболее существенные выводы из них, За рамками
197

нашего рассмотрения остались приложения общей теориц
относительности к космофизике, в частности модели
вселенной, задачи о гравитационном поле внутри звезд и т. п.
Кроме того, из-за недостатка места мы не затронули
новейшие, очень интересные экспериментальные
подтверждения теории Эйнштейна. Например, можно было бы
рассмотреть такой эксперимент. В изотропной системе
координат получаем уравнение светового луча в
гравитационном поле Солнца, полагая в формуле (33.1) ds = 0.
Скорость света в этой системе координат определится
формулой
dt - (1+в/г)» ~Ч г J'
Поэтому в системе с Солнцем свет распространяется
медленнее, чем в отсутствие солнечного гравитационного поля.
Этот эффект проверили экспериментально с помощью
радара. Есть также несколько эффектов, которые во времд
возникновения теории относительности не поддавались
экспериментальной проверке, а теперь, в связи с
прогрессом экспериментальной техники, стали доступны для
наблюдений. Эти новые эксперименты вместе с
рассмотренными тремя давно известными опытами (красное смещение
спектральных линий, искривление лучей света, движение
перигелиев планет) послужили для проверки различных
теорий гравитации, включая теорию относительности.
Кроме эйнштейновской, предложено несколько других теорий
гравитации. Но только две из них — теория Эйнштейна и
несколько более искусственная теория Дикке —
выдерживают до сих пор всевозможные экспериментальные
проверки. Рассмотрение этих вопросов, по-видимому очень
интересных для читателя, тоже пришлось опустить.
Но основы частной и обш;ей теории относительности
рассмотрены нами достаточно строго. Освоивший книгу
читатель может быть уверен, что он понимает теорию
относительности. Все важнейшие аспекты теории получили в
данной книге необходимое и достаточное освещение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Эйнштейн. Избранные труды. Под ред. X. Юкава. Т. 1, 2. «Кёрицу
сюппан», 1970, 1971 (на япон. яз.). На русск. яз.: Эйнштейн
Альберт. Собрание научных трудов в 4 томах. Под ред. И. Е. Тамма.
М, «Наука», 1965—1967.
2. Утияма Р. Релятивистские теории гравитации (на япон. яз.). В кн.:
Новое в физике, 63. Издание Японского физического общества,
1975.
3. Weyl Η. Raum, Zeit, Materie (5 Auff), Springer, 1923.
4. Pauli W. Relativitatstheorie. Encyklopadie der Math. Wiss., Bd 5,
Feubner, 1921.
На русск. яз.: Паули В. Теория относительности. Μ.—Л., Гостехиз-
дат, 1947.
5. Schrodinger E. Space-time Structure. Cambridge Univ. Press., 1950.
6. Meller С The theory of relativity. Oxford Univ. Press, 1952.
На русск. яз.: Меллер К. Теория относительности. Μ,, Атомиздат,
1975.
7. Fock V. The theory of Space, Time and Gravitation. Pergamon Press,
1959.
На русск. яз.: Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения.
М., Физматгиз, 1961.
8. Weber J. General Relativity and Gravitational Waves. Interscience,
1961.
На русск. яз.: Вебер Дж. Общая теория относительности и
гравитационные волны. М., Изд-во иностр. лит., 1962.
9. Adler R., Bazin M., Schiffer M.. Introduction to General Relativity.
McGraw-Hill, 1965.
10. Ямаути Ю., Утияма Р., Накано Т. Общая относительность и теория
гравитации. Изд. 6-е, Сёкабо, 1975 (на япон. яз.).
11. Хиракава X. Теория относительности. Кёрицу сюппан, 1972 (на
япон. яз.).
12. Гото К. Теория относительности. Кёрицу дзэнсё, Кёрицу сюппан,
1972 (на япон. яз.).

КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КНИГ, УКАЗАННЫХ
В СПИСКЕ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сборник переводов важнейших статей Эйнштейна.
Первая треть первого тома посвящена частной теории
относительности, а во втором томе собраны почти все
основные статьи Эйнштейна по общей теории относительности
и единой теории поля. Изложение в статьях Эйнштейна
очень спокойное и ясное, и думается, что вместо чтения
пособий, составленных другими, гораздо приятнее и полезнее
ознакомиться со статьями самого Эйнштейна.
2. Сборник оригинальных, наиболее важных статей по
общей теории относительности, вышедших до 1960 г.
(кроме статей Эйнштейна). Можно рассматривать как
углубленный курс для изучающих теорию относительности.
3. Очень знаменитая, но трудная для понимания книга.
С современной точки зрения (в частности, с точки зренид
студента, специализирующегося по физике) содержание
книги Вейля несколько старомодно, но основы теории
относительности изложены в ней очень глубоко. Это хорошая
книга, изобилующая ценными указаниями.
4. Наиболее известная книга по теории
относительности. Первоначально она замышлялась как статья для
математической энциклопедии, но по своему содержанию
статья оказалась столь великолепной, что была издана
отдельно книгой. Учитель Паули Зоммерфельд, направляя
эту книгу Эйнштейну, отзывался о ней очень высоко.
Книга невелика по объему, но теория относительности
изложена в ней очень ясно и высказаны критические
замечания в адрес теории. Для изучающих теорию
относительности безусловно необходимо знать эту книгу.
5. Брошюра, и как таковая не может быть слишком
содержательной. Но, несмотря на малый объем книги, в
ней достаточно подробно изложены основные факты
общей теории относительности и объясняется единая теория
поля.
6. Стандартный учебник. Объяснения подробны, читать
книгу сравнительно легко.
200

7. Брошюра *. Очень сжатое изложение с необычной
точки зрения. Встречаются уникальные места, материалы,
которые нельзя найти в других книгах.
8. Написана Вебером — первым исследователем
гравитационных волн. Большая часть книги посвящена
обсуждению гравитационных волн, но в начальной части дано
простое объяснение общей теории относительности, а в
заключительной главе — краткий обзор современных проблем
теории относительности.
9. Современный учебник. Даны приложения к космофи-
зике.
10. Еще один (в основном стандартный) учебник общей
теории относительности. Рассмотрена общ'ая теория
законов сохранения, каноническая теория гравитационного
поля.
11. 12. Эти книги упомянуты во введении. Они
представляют собой введения в теорию относительности.
В книге {11] довольно подробно обсуждены приложения к
космофизике и гравитационные волны. Книга [12]
невелика по объему, но в ней говорится о многих вещах. Это —
очень ценное пособие. Монографии [11, 12] по
содержанию шире настоящей книги, но изложение в них менее
подробное.
* На русском языке книга В. А. Фока — большая монография. —
Прим. пер.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная система отсчета 12
Абсолютное будущее 59
— движение 12
— прошлое 59
Аффинная связность 134
Аффинные. преобразования
координат 127
Аффинный тензор 127
Вектор
— времениподобный 58, 122
— ковариантный 51
—контравариантный 56
— нуль 58, 122
— пространственноподобный 58,
122
— свободный 131
Векторная плотность
— дуальная 64
Векторы
— скалярное произведение 57
Геодезическая линия 147
Горизонт событий 189
Гравитационная волна 177
Гравитационное поле
слабое 173
статическое 147
стационарное 148
сферически симметричное
180
Гравитационный радиус 183
Группа
— Лоренца 43
— Пуанкаре 43
Единая теория поля 138
Закон
— инерции 9
— Ома 81
— сохранения электрического
заряда 67
энергии — импульса 102
гравитационного поля 75
Замедление хода часов 25
Интеграл действия 96
Инверсия пространственных
координат 62
Искривление
— лучей света 112, 195
— пространства 112
Канонический импульс 96
Ковариантная производная 133
Ковариантность уравнения 146
Конвекционный ток 81
Координаты 40, 108, 117
— четырехмерные 40
Коэффициент увлечения Френеля
37
Коэффициенты связности 134
Красное смещение спектральных
линий 191
Кривизна скалярная 142
Лоренцево сокращение длины 24
— гипотеза 12
Майкельсона—Морли опыт 15
Масса
— гравитационная 109
Дефект массы 95
202

~ инертная ПО
Мир 22
Мировая
— линия 22
— точка 22
Мысленный эксперимент
Эйнштейна с ящиком 107
Парадокс близнецов 31
Параллельный перенос 134
Плотность энергии импульса
системы заряженных частиц 102
Порог конверсии γ-излучения 95.
Постоянная
— космологическая 159
— эйнштейновская
гравитационная 159
Преобразование
— калибровочное 68, 69
— Лоренца 21
неоднородное 42
общий случай 41, 42
собственное 46
частный случай 21
Принцип
— относительности
Галилея 10
Эйнштейна 13
частный 13
общий 108
— постоянства скорости света 14
— эквивалентности ПО
Пространство — время 22
Пространство
— Минковского 47
— псевдоевклидово 47
Псевдоскаляр 62
Псевдотензор 62
— энергии гравитационного поля
169
Решение уравнений
гравитационного поля
Вейля 184
Керра 184
Рейсснера—Вейля 184
Томимацу и Сато 184
Шварцшильда
внешнее 183
внутри тела 184
Риманова геометрия 119
Риманова пространство 119
Световой конус 59
Связность
— аффинная 134
—риманова 135
Силы инерции 109
Символы Кристоффеля 135
Система координат 117
геодезическая в точке 137
— геодезических координат 137
изотропная 180
Крускала 189
Система отсчета 9
абсолютная 12
инерциальная 9, 106
локально лоренцева 112
покоя 88
ускоренная 106
Скаляр 50
Скалярная плотность 61^
Скалярное поле 50
Смещение перигелия планет 195
Собственное время. 86
Совпадение 108
Тензор
— антисимметричный 54
— аффинный 127
— ковариантный 53
— кривизны Римана —
Кристоффеля 138
— метрический ИЗ
— натяжений
электромагнитного поля 73, 74
— производная 56
— ранг 52, 53
— Риччи 142
— симметричный 54
— симметрия по индексам 120
— фундаментальный 113 -
203

— Эйнштейна 142
— гравитационный 113
— энергии — импульса
электромагнитного поля 74
Тензорная плотность 62, 120
дуальная 64
Тензорное поле 53
контравариантное 52
смешанное 53
Тензоры
—произведение 56, 119
внутреннее 57, 119, 120
— равенство 54
— разность 55, 119
— свертка 56, 119
— сумма 55, 119
Теорема
— Гаусса
трехмерная 123
четырехмерная 124
— Стокса 123
Теория относительности
общая 14
частная 14
Тождество Бианки 141
Уравнение
— Эйлера 147
— Эйнштейна 159
линейное приближение 179
Условие
— Де Дон дер а 174
— Лоренца 69
Функция
— Гамильтона 96
— Лагранжа 96
Четырехмерная
— сила 89
— скорость 80, 86
Четырехмерное ускорение 87
Четырехмерный
— импульс 91
— потенциал поля 70
Черная дыра 183, 184, 185
Шварцшильдовский барьер 187
Эйнштейновское приближение 179
Эйнштейновский энергетический
комплекс 169
Энергия покоя 92
Эффект Доплера 34
поперечный 34

ИБ № 910
Рёю Утияма
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Редактор Н. Г. Саакян
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Технический редактор Л. Ф. Шкилевич
Корректор Н. А. Муэыкантова
Сдано в набор 31.10.78. Подписано к печати
23.05.79. Формат 84X108V32. Бумага тип. № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ.
л. 10,92. Уч.-изд. л. 10,71. Тираж 6200 экз. Зак.
изд. 77538. Зак. тип. 2035. Цена 1 р. 70 к.
Атомиздат, 103031 Москва К-31, ул. Жданова, 5.
Московская типография № 6 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной тортовли.
109088 Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24.

ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
Атомиздат выпустил в свет следующую книгу:
Проблемы теории гравитации и элементарных частиц.
Сб. статей. Вып. 9. Под ред. К. П. Станюковича. 1978 г.
1 р. 90 к.
Сборник составлен из оригинальных и обзорных
статей, посвященных математическим методам
современной теории тяготения, вопросам классической и
квантовой теории гравитации, релятивистской астрофизики
и космологии, изучению проблемы построения
космологических моделей с переменным числом частиц, точных
решений в ОТО и ее обобщений, проблемы применения
методов гидродинамики и статистической физики к
задачам гравитации и др. Сборник издается ежегодно.
Издание рассчитано на физиков-теоретиков и
экспериментаторов, математиков, работающих в области
теоретической физики, и всех тех, кто интересуется
проблемами современной теории тяготения.
Заказы на книгу направляйте по адресу: 103031
Москва К~31, ул. Жданова, 5, Атомиздат.

ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
Атомиздат выпустил в свет следующие книги:
Волков М. К., Первушин В. Н. Существенно
нелинейные квантовые теории, динамические симметрии и
физика мезонов. 1978. 2 р. 10 к.
Излагаются новые математические методы
квантовой теории поля с неполиномиальными лагранжианами,
а также описываются динамические спонтанно
нарушенные симметрии, приводящие к таким существенно
нелинейным лагранжианам. Идея спонтанного
нарушения симметрии в нелинейном варианте в настоящее
время успешно используется при построении теорий для
различных видов взаимодействия элементарных частиц.
В книге излагаются результаты, описывающие эффекты
сильных, электромагнитных, слабых и гравитационных
взаимодействий элементарных частиц при низких
энергиях.
Прогресс, достигнутый за последние годы в
области существенно нелинейных квантовых теорий поля,
еще не нашел отражения в монографиях. Поэтому
данная книга должна подвести итог определенному этапу
в развитии интересующей нас области физики
элементарных частиц.
Книга рассчитана на специалистов, занимающихся
квантовой теорией поля и вопросами взаимодействия
элементарных частиц, а также на студентов старших
курсов и аспирантов, специализирующихся по
квантовой теории поля.
Заказы на книгу направляйте по адресу:
103031 Москва К-31, ул. Жданова, 5, Атомиздат

ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
Атомиздат выпустил в свет следующие книги:
Вайскопф В. ФИЗИКА В ДВАДЦАТОМ СТОЛЕТИИ.
Пер. с англ. 1977. 1 р. 56 к.
Заказы на книгу просим направлять по адресу:
191040 Ленинград Пушкинская, 2, магазин Μ 5
«Техническая книга».
Франк-Каменецкий А. А. ПЛАЗМА—ЧЕТВЕРТОЕ
СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА. Изд. 4-е. 1975. 26 к.
Заказы на книгу просим направлять по адресу:
г. Алма-Ата, 64, ул. Шевченко, 76, Алма-Атинский
облкниготорг.
Тредер Г. Ю. ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ И
ПРИНЦИПЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ. 1973. 86 к.
Заказы на книгу просим направлять по адресу:
252094, Киев, ул. Сергиенко, 18, Киевкниготорг,
Ассортиментный кабинет.